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Análisis Matemático I – CIBEX

Facultad de Ciencias ExactasUniversidad Nacional de La Plata

Unidad 3: Derivadas y sus aplicaciones

Curso 2015

Dr. Gerardo Rossini, Dra. Ana AlonsoEquipo Coordinador

UNIDAD 3

Derivadas y sus aplicaciones

Contenidos de la Unidad 3: Razón de cambio. Derivada en un punto. Recta tangente ydiferenciabilidad. Derivadas laterales en un punto. Función derivada. Reglas de derivaciónpara la suma, producto, cociente y composición (regla de la cadena) de funciones derivables.Crecimiento y decrecimiento. Extremos locales y absolutos. Teoremas sobre funciones conderivada continua en intervalos cerrados y sus consecuencias. Puntos críticos. Problemasde optimización.

El cálculo de derivadas de funciones de variable real ha sido, históricamente, el comienzo del cálculomoderno. Sus aplicaciones como herramienta en el análisis de funciones son tan poderosas que hoy endía el cálculo in�nitesimal es una asignatura central en el primer año de carreras de ciencias, economía,ingeniería, tecnicaturas, arquitectura, etc.

Podemos decir que el uso de derivadas en el modelado matemático de situaciones reales, más que unaherramienta, constituye una manera de pensar la Naturaleza. Esperamos que este curso los ayude, llegadoel momento de usarlas en otras asignaturas, a pensar con derivadas.

Clase 3.1. Razón de cambio y Derivada

Contenidos de la clase: Incrementos en las variables y razón de cambio de una función.Derivada de una función en un punto.

3.1.1. Incrementos y razón de cambio

Ya sabemos que una función expresa de qué manera una magnitud depende de otra. Si cambiamosel valor de la variable independiente, veremos que se produce un cambio en la variable dependiente. Enmuchos casos es más importante conocer cuánto cambia el valor de una función, que el valor en sí.

Vamos a desarrollar los conceptos de incremento y razón de cambio en un ejemplo.

Al conducir un auto por un camino de montaña la altura será función de la distancia horizontal reco-rrida. Las características de la marcha no se relacionan sensiblemente con la altura, sino con la pendientedel camino: cuántos centímetros subimos (o bajamos) por cada metro recorrido. Con esta informacióndecidimos qué marcha utilizar, cuánto apretar el acelerador o cuánto apretar el freno.1

Llamemos h a la altura respecto del nivel del mar, y l a la distancia horizontal recorrida. Una funciónh = f(l) describe cómo depende la altura de la distancia; supongamos que l se mide en metros y que h semide en centímetros. Podemos gra�car un per�l del camino:

1Incluso nuestro cuerpo reacciona distinto a las subidas y bajadas. Y aunque no manejemos, sentimos que el funciona-miento del vehículo depende de la pendiente del camino.

127

CLASE 3.1. RAZÓN DE CAMBIO Y DERIVADA 128

Analicemos el proceso en el cual la posición horizontal l cambia desde l1 hasta l2 > l1, y en consecuenciala altura cambia desde h1 = f(l1) hasta h2 = f(l2). Vamos a llamar

∆l = l2 − l1al incremento del valor de l, y

∆h = h2 − h1

al incremento del valor de h (que puede ser positivo en una subida, negativo en una bajada, o nulo en uncamino horizontal).

El cociente del incremento de altura ∆h sobre la distancia recorrida ∆l describe la pendiente delcamino: cuánto cambia el valor de la función h con respecto a un cambio en la variable l. Este cociente,llamada razón de cambio2, es la forma apropiada de comparar ambos incrementos. Se calcula como

razón de cambio de h respecto de l =∆h

∆l

Actividad 3.1.1. Consideren la función h = 800 cm + 10 cmm l, que describe la altura del camino

mientras 0 ≤ l ≤ 100m. Completen la siguiente tabla

l1 l2 ∆l h1 h2 ∆h ∆h/∆l

0m 100m0m 50m50m 100m0m 1m

Gra�quen la función h = 800 cm + 10 cmm l y los incrementos ∆l y ∆h entre cada par de puntos

dados.

2La razón entre dos cantidades se de�ne como su cociente; en problemas de proporcionalidad, o de regla de tres simple,seguramente habrán escrito que la razón entre cantidades a y b proporcionales se mantiene constante usando expresionescomo

a′

b′=a

b.


Actividad 3.1.2. Consideren ahora un camino dado por la función h = 800 cm+ 20 cmm l− 1

5cmm2 l

2,que describe la altura mientras 0 ≤ l ≤ 100m. Completen la tabla

l1 l2 ∆l h1 h2 ∆h ∆h/∆l

0m 100m0m 50m50m 100m0m 1m

Gra�quen la función h = 800 cm + 20 cmm l − 1

5cmm2 l

2 y los incrementos ∆l y ∆h entre cada par depuntos dados.

En la actividad 3.1.1 la razón de cambio es 10 cm/m, independientemente del tramo de elegido. Elcamino va en subida, ascendiendo 10 cm por cada metro avanzado. La pendiente se mantiene constanteporque el camino es una recta.

En la actividad 3.1.2 el camino no es recto, y la razón de cambio depende del tramo elegido:

en el recorrido de 0m a 100m no hay ascenso neto, la razón de cambio da 0 cm/m.en el recorrido de 0m a 50m hay un ascenso neto de 500 cm, la razón de cambio es positiva y vale10 cm/m.en el recorrido de 50m a 100m hay un descenso neto de 500 cm, la razón de cambio es negativa yvale −10 cm/m.en el recorrido de 0m a 1m hay un ascenso neto pequeño de 19.8 cm, en un tramo corto, la razónde cambio es positiva y vale más que en los otros tramos, 19.8 cm/m.el grá�co muestra que el camino es una loma con forma de parábola: empieza en subida, con lamayor pendiente del recorrido, luego la pendiente es más suave hasta que se llega a la parte másalta y luego hay un tramo en bajada. En promedio, entre la subida y la bajada, el cambio de alturaes nulo.

Esta actividad nos muestra que la razón de cambio en un intervalo dado no es representativa del ritmo decambio local de la altura (es decir, en cada punto del tramo recorrido). Solamente cuando la altura es unafunción lineal la razón de cambio es siempre la misma, para cualquier tramo del camino.

En un caso general, la razón de cambio en un determinado intervalo nos da la pendiente de un caminoideal que fuera en línea recta desde el punto inicial al punto �nal de ese intervalo. Es decir, nos da solamentela pendiente promedio de un tramo del camino, sin distinguir los detalles intermedios.

La pregunta que surge del ejemplo es: ¾cómo podemos calcular una pendiente que sea representativadel ritmo de cambio local de la altura respecto de la distancia recorrida?

Pero ¾qué queremos decir con "ritmo de cambio local"? Necesariamente, para hablar de cambio tenemosque proponer un recorrido. Un tramo de 100m puede ser representativo para quien conduce un auto, perono para quien anda en bicicleta. Un tramo de 1m puede ser representativo para una bicicleta, pero nopara un caracol. Quizás 1 cm alcance para estudiar el movimiento de un caracol, pero no será apropiadopara estudiar el transporte de hidratos de carbono en una membrana celular.

Antes de encarar estas preguntas, vamos a pasar del ejemplo a un planteo general.

3.1.2. Presentación formal: Incrementos y razón de cambio. Recta secante.

En esta sección vamos a plantear en general la situación discutida en el ejemplo anterior para poderaplicarla a otros casos. El proceso de enseñanza-aprendizaje que permite sintetizar lo que ya se ha com-prendido y darle estructura formal para que sea útil en otras situaciones es de suma importancia en laCiencia, y en particular en la Matemática. Se conoce como abstracción.


Para acostumbrarse al lenguaje formal, que van a encontrar en muchos textos de Matemática, lessugerimos relacionar cada paso de esta sección con el ejemplo anterior e imaginar otros ejemplos similares.

Consideremos una magnitud x que experimenta cierto proceso de cambio. Nos interesa comparar suvalor antes del proceso, digamos x0, con su valor x1 después del proceso. Recordemos que en la Clase 1.1hemos llamado incremento ∆x al desplazamiento de su valor, calculado como

∆x = x1 − x0.

Reforzemos la memoria destacando la

Definición 3.1.3. Cuando una magnitud x experimenta cierto proceso, cambiando su valor desdex0 hasta x1, llamaremos incremento ∆x al desplazamiento de su valor, calculado como

∆x = x1 − x0

Consideremos una magnitud y que depende de otra magnitud x. Es decir, consideremos una funcióny = f(x).

En todo proceso, real o simulado, si se cambia el valor de x se obtiene un cambio en el valor de y.Digamos que el valor de x pasa de una cantidad x0 una cantidad x1 y que el valor de y pasa de y0 a y1.Nos interesa el incremento que experimenta cada magnitud.

La información que describe el proceso se puede organizar en una tabla:

valor original valor cambiado incremento

x x0 x1 ∆x = x1 − x0

y y0 = f(x0) y1 = f(x1) ∆y = y1 − y0

También se puede visualizar en la grá�ca de la función:

El valor relativo del incremento de y ante un incremento de x se calcula como el cociente ∆y/∆x. Elcociente o razón de cambio nos indica la comparación entre ambos incrementos.


Definición 3.1.4. Cuando la variable independiente x de una función y = f(x) experimenta unincremento ∆x = x1 − x0 en cierto proceso y en consecuencia la variable dependiente experimentaun incremento ∆y = f(x1)− f(x0) llamamos razón de cambio de la función f en el proceso dado alcociente entre el incremento de la variable dependiente y el incremento de la variable independiente,

∆y

∆x=f(x1)− f(x0)

x1 − x0

Observación 3.1.5. Nomenclatura: también se llama cociente incremental al cociente ∆y∆x .

Consideremos la recta que pasa por el punto inicial y el punto �nal del proceso. Es decir, construyamosla ecuación de la recta que pasa por (x0,f(x0)) y por (x1,f(x1)):

Recordando la forma de la recta que pasa por dos puntos dados

y − f(x0) =f(x1)− f(x0)

x1 − x0(x− x0)

vemos que la función lineal que pasa por el punto inicial y el punto �nal del proceso es

y(x) =

(f(x1)− f(x0)

x1 − x0

)(x− x0) + f(x0)

y tiene pendiente m01 = f(x1)−f(x0)x1−x0 (en este caso anotamos m01 para indicar la pendiente m entre el punto

inicial x0 y el �nal x1).La recta que pasa por dos puntos dados de una curva se llama recta secante a la curva en esos puntos.

Llegamos a la siguiente conclusión:

Propiedad 3.1.6. La razón de cambio de una función y = f(x) en cierto proceso coincide con lapendiente de la recta secante que pasa por el punto inicial y el punto �nal del proceso.


3.1.3. Razón de cambio local

Vamos a volver a la pregunta ¾qué queremos decir con "ritmo de cambio local" de una función? ¾Quéincremento habría que proponer en la variable independiente para que sea representativo del ritmo decambio en un dado punto de la grá�ca de la función (en lugar de ser representativo de un intervalo)?

Si proponemos un incremento pequeño en la variable independiente, siempre podremos considerar otromás pequeño (por ejemplo un décimo del anterior). Nunca un incremento �nito va a ser su�cientementepequeño.

Necesitamos considerar un incremento arbitrariamente pequeño. Tenemos un recurso para hacerlo:proponer un incremento de la variable independiente y tomar el límite cuando el incremento tiende a cero.Llamaremos a razón de cambio local (o instantánea) al límite de la razón de cambio, calculada para unincremento variable, cuando ese incremento tiende a cero.

Observación 3.1.7. El incremento de una variable x que cambia desde x0 hasta x1 depende de los dosvalores, digamos inicial y �nal. Para tomar el límite cuando el incremento tiende a cero vamos a mantener�jo el valor inicial x0 y hacer tender x1 hacia x0.

Vamos a llamar x0 al valor �jo y simplemente x al valor �nal, que queda como variable hasta quetomemos el límite. El cálculo del límite vamos a anotarlo como

lımx→x0

o bien lım∆x→0

Ejemplo 3.1.8.Sigamos analizando el ejemplo del camino de montaña, y en particular la actividad 3.1.2 donde la

altura del camino está dada por

h(l) = 800 cm+ 20cm

ml − 1

5

cm

m2l2

para 0 ≤ l ≤ 100m.La razón de cambio local, en este ejemplo, representa la pendiente del camino. Queremos calcular

la razón de cambio local del camino cuando ya se han avanzado 25m. Consideramos l0 �jo (25m) yconsideramos otro punto l distinto de l0 para calcular la razón de cambio

∆h

∆l=

(800 + 20 l − 1

5 l2)−(800 + 20 l0 − 1

5 l20

)l − l0

Por simplicidad dejemos de lado las unidades, recordando que el cociente incremental queda expresado

encm

m. Reemplazando l0 = 25 y dejando l libre obtenemos

∆h

∆l=−1

5 l2 + 20l − 375

l − 25

Observemos que este cociente incremental es función de l solamente. La estrategia es tomar ahora ellímite para l→ 25.

Como tenemos un cociente, primero miramos por separado el numerador y el denominador. Obvia-mente el denominador tiende a cero: intencionalmente estamos haciendo tender este incremento a cero.El numerador también tiende a cero (veri�quen), por lo que se trata de un límite indeterminado deltipo "0 sobre 0". Tenemos que factorear el numerador, para intentar simpli�car con el denominador 3.Encontramos que

−1

5l2 + 20l − 375 = −1

5(l − 25) (l − 75)

y la razón de cambio (o cociente incremental), simpli�cando, resulta

∆h

∆l= −1

5(l − 75)


siempre que l 6= 25. Hemos salvado la indeterminación, es decir que ahora resulta más fácil tomar ellímite. Simplemente

lıml→25

∆h

∆l= −1

550 = −10

Volviendo a anotar las unidades, tenemos que

lıml→25m

∆h

∆l= 10

cm

m

Conclusión: la estrategia de calcular la pendiente del camino tomando incrementos genéricos y luegohacerlos tender a cero nos dice que cuando luego de haber avanzado 25m la pendiente (en ese lugar)es de 10 cmm . Es decir, a partir de ese lugar se subirían 10 cm al avanzar 1m.

Observación 3.1.9. Cuando se recorre 1m, desde los 25m hasta los 26m del camino, ¾se ascienden10 cm? ¾Cuánto se asciende en realidad?

¾Podrían explicar la diferencia?

Actividad 3.1.10. Siguiendo la misma estrategia, calculen la pendiente del camino cuando ya sehan recorrido 50m y 75m (si lo pre�eren, pueden trabajar sin unidades, con la función h = f(l) =800 + 20l− 1

5 l2 que da la altura en centímetros siempre que pongan el valor de l en metros). Comenten

si en esos lugares encuentran una subida o una bajada, o un punto neutro.

Observación 3.1.11. Aunque pensamos en avanzar en el camino, al tomar el límite l → 25m nohemos hecho distinción entre l > 25m (es decir avanzar en el camino) y l < 25m (es decir retroceder en elcamino). Como el límite existe, también existen los límites laterales y ambos dan 10 cmm . Vamos a revisarloel caso de l < 25m:

- Intenten gra�car la situación de un desplazamiento negativo, retrocediendo en el camino a partir delpunto l = 25m.

¾Qué signo tienen ∆l y ∆h? ¾Qué signo tiene la razón de cambio? ¾Cuánto da el lıml→25m−∆h∆l ?

- Ahora hagan lo mismo con un desplazamiento positivo. ¾Cuánto da el lıml→25m+∆h∆l ?

- Discutan el signi�cado de cada resultado por separado. ¾Podemos hablar de la pendiente con que sellega a un punto del camino, y de la pendiente con que se avanza a partir de un punto del camino?

Actividad 3.1.12. En nuestro camino de montaña dado por

h = 800 cm+ 20cm

ml − 1

5

cm

m2l2

para 0 ≤ l ≤ 100m,- ¾Con qué pendiente se avanza al comienzo?- ¾Con qué pendiente se llega al �nal?

3.1.4. Presentación formal: Derivada de una función en un punto

En esta sección vamos a formalizar la de�nición de derivada de una función en un punto. Verán quese trata de abstraer lo discutido en la sección anterior, con el cuidado necesario de que sea aplicable engeneral.


Al plantear un caso general, hay que tener el cuidado de precisar las condiciones en las cuales lateoría sea aplicable. Por ejemplo, la función que discutimos en la sección anterior es continua en todo sudominio, pero en otros casos nos tocará trabajar con funciones que presenten discontinuidades. Para haceruna teoría útil, es muy importante enunciar las condiciones en las cuales se la podrá aplicar.

Consideremos una función f : D → R con regla de asignación y = f(x). Elijamos un punto x0 enel dominio D e intentemos construir la razón de cambio entre x0 y puntos vecinos x. Para que esto seaposible, necesitamos que esos puntos vecinos estén en D. Como además queremos tomar el límite x→ x0

necesitamos mover x tanto por derecha como por izquierda de x0 y mantenernos dentro de D. Es decir,necesitamos que algún entorno E(x0, r) esté dentro del dominio D. No importa si ese entorno es pequeño,ya que �nalmente vamos a tomar el límite x→ x0, sólo importa que tenga un radio r 6= 0. Se dice que x0

es interior al dominio. Dado un punto en ese entorno, x ∈ E(x0, r), vamos a anotar

x = x0 + ∆x

para destacar que x es un valor desplazado en un incremento ∆x alrededor de x0. Tengamos presente que∆x puede ser positivo o negativo, o sea que x puede estar a la derecha o a la izquierda de x0.

Con estos elementos ya podemos dar la de�nición de derivada:

Definición 3.1.13. Dada una función y = f(x), de�nida en un entorno de un punto x0, se dice quef es derivable en x0 siempre que exista el límite de la razón de cambio

lım∆x→0

f(x0 + ∆x)− f(x0)

∆x

En ese caso, se llama derivada de f en el punto x0 a dicho límite, y se anota

f ′(x0) = lım∆x→0

f(x0 + ∆x)− f(x0)

∆x

(y se lee "f prima en x0")a

aHay otras notaciones de uso corriente para la derivada. Aquí usamos la notación de Lagrange.

Podemos ilustrar el proceso de límite para de�nir la derivada en un punto en el grá�co de la función.Elijamos primero un punto �jo x0. Las líneas punteadas indican el movimiento de cada elemento cuando∆x tiende a cero:


La recta que pasa por (x0, f(x0)) y por (x0 + ∆x, f(x0 + ∆x))), con ∆x 6= 0 es una recta secantea la grá�ca de f(x). Cuando ∆x tiende a cero la recta secante tiende a una recta que llamaremos rectatangente 4.

Definición 3.1.14. Si una función y = f(x) es derivable en x0,a se llama recta tangente a la grá�cade f en el punto (x0, f(x0)) a la recta que pasa por (x0, f(x0)) con pendiente m = f ′(x0).

aCuando decimos que y = f(x) es derivable en x0, o que existe f ′(x0), damos por entendido que están dadas lascondiciones para calcular la derivada, es decir que x0 ∈ Dom f y que existe un entorno E(x0, r) ⊂ Dom f .

Según esta de�nición, si f es derivable en x0 podemos construir la ecuación de la recta tangente a lagrá�ca de f en el punto (x0, f(x0)) como

y = f ′(x0)(x− x0) + f(x0).

Es importante notar que x e y son las variables (independiente y dependiente) de una ecuación lineal, perof(x0) y f ′(x0) son valores �jos asociados al punto de tangencia (x0, f(x0)).

Observación 3.1.15. Cuando f(x) es derivable en x0, la función y = f ′(x0)(x − x0) + f(x0) es lafunción lineal que más se parece a la función y = f(x), al menos cuando la variable x se mueve cerca dex0. Si hacemos un zoom muy ampliado de la grá�ca veremos que la función y su recta tangente parecencoincidir. Se puede decir que una función derivable es localmente similar a una recta. Técnicamente se diceque la función es diferenciable. Más adelante usaremos esta idea para aproximar funciones diferenciablespor funciones lineales, que son mucho más sencillas de trabajar.

Por estas consideraciones, al cálculo con derivadas se lo llama cálculo diferencial. (vean por ejemplohttp://es.wikipedia.org/wiki/Cálculo_diferencial)

Observación 3.1.16. Dada una función f(x) derivable en x0, el valor de la derivada f ′(x0) nos dainformación sobre el aspecto de su grá�ca. La derivada, o razón de cambio local en x0, es la pendiente dela recta tangente a la curva en el punto (x0, f(x0)). Esto signi�ca, por ejemplo, que cuando la derivada espositiva la pendiente de la recta tangente es positiva, o sea inclinada hacia arriba. Se dice que la funciónes creciente en ese punto.

4No se debe confundir recta tangente con la función trigonométrica tan.


De la misma manera, cuando la derivada es negativa, la recta tangente está inclinada hacia abajo.Sedice que la función es decreciente en ese punto.

Además, si la derivada (en valor absoluto) es grande la curva es más empinada, o sea que los valoresde y cambian rápidamente. Cuando la derivada es pequeña, la curva es menos empinada y el valor de ycambia más lentamente.

Observación 3.1.17. Al calcular una derivada entran en juego incrementos arbitrariamente pequeños.A un incremento de cierto tamaño se le dice �nito, y a un incremento arbitrariamente pequeño se le dicein�nitesimal.

En realidad no existe un dado incremento arbitrariamente pequeño; cuando se habla de un incrementoin�nitesimal se quiere decir que se piensa en un incremento �nito que eventualmente se tomará tan pequeñocomo haga falta, según las circunstancias del modelo que se trate. Si bien suena impreciso, cuando uno seacostumbra a pensar con derivadas es común hablar de incrementos in�nitesimales. Lo harán en muchasmaterias de sus carreras. Cuando les hablen de incrementos in�nitesimales, estén seguros que �nalmentelas fórmulas prácticas van a contener derivadas.

Por estas consideraciones, al cálculo con derivadas también se lo llama cálculo in�nitesimal.

Uso de GeoGebra 3.1.18. Es muy instructivo visualizar con GeoGebra el proceso de calcular unaderivada.

Parte geométrica:

- Elijan una función f (que no sea lineal) y elijan un punto x0 en su dominio.- Veri�quen que haya un entorno de x0 en el dominio de f .- Ubiquen el punto P = (x0, f(x0)) sobre la grá�ca de f y un segundo punto Q = (x1, f(x1))

distinto del primero.- Tracen la recta que pasa por esos dos puntos, con la herramienta "Recta que pasa por Dos Puntos".- Con el mouse, muevan el segundo punto Q tan cerca del primero como puedan sin que coincidan.

Si la función que eligieron es derivable en el x0 elegido, observarán cómo la recta secante se va acercandoa la noción geométrica de una recta tangente.

- Seguramente funciona. No es que hayan tenido mucha suerte, ½la mayoría de las funciones quetrabajamos son derivables en casi todo su dominio!

- Hagan una ampliación del grá�co alrededor del punto P (conviene mostrar los números con variosdecimales, busquen Opciones y luego Redondeo). Con mucho zoom, mientras Q no coincida con Pllegarán a distinguir entre la recta "casi tangente" y la función.

- Para ver la verdadera recta tangente (es decir la que hemos de�nido en 3.1.14) pueden usar laherramienta "Tangentes". Deben hacer click primero en el punto P y luego sobre la grá�ca de la función.

Parte algebraica:


- Pueden rescatar las coordenadas de cada punto. En la línea de entrada escriban

x0=x(P)

y verán en el panel de vista algebraica la coordenada x del punto P . Escriban

y0=y(P)

y tendrán la coordenada y del punto P . Hagan lo mismo con el punto Q.- Para calcular la razón de cambio, escriban la expresión

m=(y1-y0)/(x1-x0)

y verán en el panel de vista algebraica el resultado de la razón de cambio.- Muevan el segundo punto Q tan cerca del primero como puedan sin que coincidan5, y estarán

explorando el límite de la razón de cambio para Q→ P .

Podrán construir algo como

3.1.5. Derivadas laterales

La derivada está de�nida como un límite. Por lo tanto, puede existir o no existir. O puede existir porderecha y no por izquierda (o viceversa).

Cuando la derivada existe signi�ca que la razón de cambio se mantiene estable, cerca de un valor�jo, para incrementos arbitrariamente pequeños tanto positivos como negativos. Intuitivamente, podemospensar que la función se comporta como una recta, o que se estabiliza tan cerca de una recta comoqueramos, para incrementos su�cientemente pequeños. Dicha recta es la que llamamos recta tangente.

Cuando el límite de la razón de cambio no existe, todavía podemos explorar si existen los límiteslaterales:


Si existe el límite cuando ∆x → 0+, se dice que la función es derivable en x0 por derecha yse anota

f ′+(x0) = lım∆x→0+

f(x0 + ∆x)− f(x0)

∆xGeométricamente, signi�ca que hay una semirrecta tangente que describe la pendiente de lagrá�ca desde el punto (x0, f(x0)) hacia la derecha, es decir la pendiente con que la funciónavanza a partir de x0.

Si existe el límite cuando ∆x→ 0−, se dice que la función es derivable en x0 por izquierda yse anota

f ′−(x0) = lım∆x→0-

f(x0 + ∆x)− f(x0)

∆xGeométricamente, signi�ca que hay una semirrecta tangente que describe la pendiente de lagrá�ca desde el punto (x0, f(x0)) hacia la izquierda, es decir la pendiente con que la funciónllega a x0.

Si encontramos que existen las derivadas por izquierda y por derecha, y que son iguales,signi�ca que existe la derivada.

Un caso importante en que interesan las derivadas laterales es el caso de funciones de�nidas en intervaloscon extremos cerrados. Por ejemplo, si tenemos f : [a, b]→ R, en x0 = a sólo podemos calcular la derivadapor derecha y en x0 = b sólo podemos calcular la derivada por izquierda.

Ejemplo 3.1.19. En la actividad 3.1.12, revisen lo que hicimos para l = 0m y para l = 100m; esun ejemplo de derivadas laterales.

También es natural calcular derivadas laterales en el caso de funciones de�nidas a trozos.

Ejemplo 3.1.20. Consideremos la función valor absoluto f(x) = |x|, que de�nimos como

f(x) =

{−x, si x ≤ 0

x, si x > 0.

Gra�quen la función y traten de dibujar una posible recta tangente en (0, 0), pensando en rectassecantes por la derecha y por la izquierda del grá�co.

En x = 0, el cociente incremental es diferente según los incrementos sean positivos o negativos, yaque la función a izquierda y a derecha de 0 tiene distinta de�nición. Calculemos:

f ′−(0) = lım∆x→0−

f(0 + ∆x)− f(0)

∆x= lım

∆x→0−

−∆x− 0

∆x= −1

f ′+(0) = lım∆x→0+

f(0 + ∆x)− f(0)

∆x= lım

∆x→0+

∆x− 0

∆x= 1.

Es decir, existen las derivadas laterales pero son diferentes; por lo tanto el valor absoluto no esderivable en x = 0. No existe recta tangente en dicho punto.

3.1.6. Ejercitación

Ejercicio 3.1.1. Para �jar los conceptos de derivada y recta tangente, les proponemos calcular algúncaso por de�nición. En la próxima clase veremos reglas prácticas para conocer los resultados con menosesfuerzo.

Consideren la función f(x) = x2:


Estimen grá�camente si es derivable en x0 = 1. Para eso hagan la grá�ca y vean si pueden trazaruna recta tangente (siendo una función bien conocida, pueden hacerlo en papel o con GeoGebra).Si les parece derivable, estimen grá�camente el valor de la derivada. Para eso, lean del grá�co lapendiente m de la recta tangente trazada.Averigüen por de�nición si f(x) = x2 es derivable en x0 = 1. Es decir, escriban el cocienteincremental y operen algebraicamente la expresión para poder calcular el límite:

f(1 + ∆x)− f(1)

∆x=

(1 + ∆x)2 − 1

∆x=

1 + 2∆x+ (∆x)2 − 1

∆x=

∆x(2 + ∆x)

∆x= 2 + ∆x

(donde en cada expresión, incluso la última, ∆x 6= 0). ¾Cuánto vale f ′(1)?Comparen los resultados grá�cos con los resultados analíticos (es decir, los que obtengan haciendolos cálculos). ¾Les parecen razonables? ¾Les resulta signi�cativo que la derivada valga 2?

Ejercicio 3.1.2. Estudiemos ahora la derivada en un punto genérico, es decir en un x0 dado sin decirsu valor.

Consideren de nuevo la función f(x) = x2:

Estimen grá�camente si es derivable en distintos puntos x0. Para eso, vean sobre la grá�ca sipueden trazar rectas tangentes (en papel o con GeoGebra) en distintos puntos.Lean del grá�co las pendientes de las rectas tangentes trazadas. ¾Tienen todas la misma pen-diente? ¾De qué depende la pendiente? ¾En qué regiones/puntos la pendiente de la recta tangentees positiva, negativa o nula? ¾Dónde es mayor la pendiente?Averigüen por de�nición si f(x) = x2 es derivable en un x0 cualquiera. Es decir, calculen el cocienteincremental:f(x0 + ∆x)− f(x0)

∆x=

(x0 + ∆x)2 − x20

∆x=x2

0 + 2x0∆x+ (∆x)2 − x20

∆x=

∆x(2x0 + ∆x)

∆x

y tomen el límite. Si f(x) es derivable, ¾cuánto vale f ′(x0) en los distintos x0?Comparen los resultados grá�cos con los resultados analíticos. ¾Les parecen razonables? ¾Les re-sulta signi�cativo que la derivada sea positiva cuando x0 > 0? ¾Y que la derivada sea negativacuando x0 < 0? ¾Cuánto vale la derivada cuando x0 = 0 y cómo es la recta tangente en ese punto?Veri�quen que los resultados del ejercicio anterior se recuperan cuando x0 = 1. ¾Qué les parecemás conveniente para analizar una función: calcular la derivada repetidas veces en cada punto deinterés o calcularla en forma genérica?

Ejercicio 3.1.3. Calculen, si es posible, las derivadas laterales en x0 = 0 de las siguientes funciones:

f(x) = 2x2 si x ≥ 0g(x) = 4x2 si x > 0

h(x) =

{x2, si x ≥ 0

0, si x < 0

Ejercicio 3.1.4. Calculen las derivadas laterales de f(x) en x0 = 1, para

f(x) =

{x+ 1, si x ≤ 1

x2 + 1, si x > 1

¾Existe f ′(1)? Interpreten grá�camente.

CLASE 3.2. REGLAS PRÁCTICAS PARA EL CÁLCULO DE DERIVADAS 140

Clase 3.2. Reglas prácticas para el cálculo de derivadas

Contenidos de la clase: Dominio de derivabilidad. Función derivada. Tabla de derivadasbásicas. Álgebra de derivadas: reglas de derivación para la suma, producto, cociente ycomposición de funciones derivables. Relación entre derivabilidad y continuidad. Derivadaslaterales para dominios con extremos cerrados y funciones de�nidas a trozos.

La noción de derivada tiene muchas aplicaciones importantes, en realidad varias ramas de las CienciasExactas no se habrían desarrollado sin derivadas. Su uso marca la diferencia entre el Análisis Matemáticoy el Álgebra.

Para calcular derivadas en forma e�ciente utilizaremos reglas prácticas, siempre que las mismas puedanaplicarse. Como les habrá sucedido con las tablas de multiplicar en la escuela, necesitarán un poco dememoria y mucha ejercitación para derivar con seguridad. En esta clase trabajaremos esas reglas.

3.2.1. Dominio de derivabilidad

Hemos visto que una función puede ser derivable en distintos puntos de su dominio. Para analizar unafunción siempre será importante distinguir dónde es derivable, y dónde no lo es. Para ponernos de acuerdonecesitamos precisar algunos nombres.

Para referirnos a un conjunto de valores de la variable independiente donde una función es derivable,usaremos la expresión "derivable en un conjunto":

Definición 3.2.1. Dada una función f y un conjunto A dentro de su dominio, se dice que es derivableen el conjunto A siempre que f sea derivable en cada punto de A.

Recordemos que cuando decimos que f es derivable en un punto dado, asumimos que f está de�nidaal menos en un entorno de ese punto (es decir en el punto dado, un poco más a la izquierda y un pocomás a la derecha de ese punto).

Para indicar el mayor conjunto donde una función es derivable se de�ne el "dominio de derivabilidad":

Definición 3.2.2. Dada una función f : D → R, se llama dominio de derivabilidad de f al conjuntode puntos de D donde la función f es derivable,

Domf ′ = {x0 ∈ D : existe f ′(x0)}

3.2.2. Función derivada

Ya sabemos que la derivada de una función se calcula en un punto x0, y que toma distintos valoressegún en qué punto se calcule (si es que existe). Conviene de�nir una nueva función que asigne a cadanúmero x0 del dominio de derivabilidad el valor de la derivada f ′(x0) en ese punto.

Puede parecer que no de�nimos nada nuevo: desde que empezamos con derivada ya escribimos f ′(x0)con notación de función, indicando el número x0 entre paréntesis. Y en varias actividades sugerimos variarel valor de x0. Lo que hacemos ahora es coleccionar los resultados de la derivada en distintos puntosx. Usaremos f ′ como una nueva función, para referirnos al valor que toma la derivada en puntos x quetratamos como variable independiente:

Definición 3.2.3. Dada una función f : D → R, derivable en Domf ′, se llama función derivada def a una nueva función

f ′ : Domf ′ → Rcon regla de asignación

x0 → f ′(x0)


Según esta de�nición, cuando evaluemos la función f ′ en un punto dado x0 estaremos obteniendo elvalor de la derivada de f en ese punto6.

Ejemplo 3.2.4. Si han resuelto el ejercicio 3.1.2, sabrán que la función derivada de f(x) = x2 esf ′(x) = 2x.

Cuando interese conocer, por ejemplo, f ′(5) podemos calcular la derivada por de�nición (comolímite de un cociente incremental), o recordar la fórmula de f ′ y calcular f ′(5) = 2 · 5 = 10.

¾Cuál procedimiento les resulta más fácil?¾Vale la pena, entonces, recordar que (x2)′ = 2x?

3.2.3. Otras notaciones para la derivada

El concepto de derivada fue desarrollado por varios matemáticos y cientí�cos. Como estaban inven-tando algo realmente nuevo, diseñaron incluso la forma de anotar sus desarrollos. Cada uno usó distintasnotaciones, y hoy en día se usan varias de ellas. Según la aplicación que se esté trabajando, algunas pue-de ser más conveniente que otras. La notación con "prima" que venimos usando se llama notación deLagrange.

Otra notación muy usual es la de Leibniz: dada una función y = f(x) se anota

df

dx

a la función derivada, y se lee "derivada de f respecto de x". Esta notación está inspirada en el cocienteincremental, pero una vez que se toma el límite debemos reconocer que la derivada no es una división dedos objetos distintos; dfdx se debe leer como un bloque, sin desarmarlo7. La notación de Leibniz es prácticapara la función derivada, pero es incómodo escribir la derivada en un punto. Si uno anota

df(x0)

dx

no es claro si quiere derivar f y luego evaluar en x0 o si quiere evaluar f(x0) y luego derivar ese valor(constante, ya no depende de x). Por eso se usa una notación particular

f ′(x0) =df

dx

∣∣∣∣x=x0

que se lee "derivada de f respecto de x evaluada en x0".Por comodidad, y si el contexto permite entender sin confusión, se usan notaciones más informales.

Por ejemplo, dada y = f(x) será lo mismo anotar

y′(x) = f ′(x) =dy

dx=df

dx=

d

dxf(x)

para referirse a la función derivada.

6Queremos destacar que, por de�nición, la derivada de una función se construye en cada punto x0, tratándolo como �jocuando se toma el límite para x1 → x0.

7Más adelante de�niremos df y dx por separado, se los llama "diferencial de f" y "diferencial de x".


3.2.4. Tabla de derivadas básicas

En lugar de pasar por el cociente incremental y tomar límites, en la práctica utilizaremos derivadas defunciones conocidas y algunas reglas para construir nuevas derivadas.

El primer paso es construir y recordar una tabla con la derivada de funciones básicas (como las querepasamos en las clases 1.2 y 1.5). Como sucede con las tablas de multiplicar, cuando se las necesita unono se detiene a pensar cómo se calcula 7 × 8, simplemente recuerda que da 56. Y resultan útiles porqueuno sabe qué signi�ca multiplicar y cuándo hay que hacerlo.

Los resultados que vamos a enunciar provienen de usar la de�nición de derivada y resolver los límitesindeterminados correspondientes (tipo cero sobre cero). En la Clase de Integración 3.3 vamos a discutiralgunos de ellos; otros estarán discutidos en nuestro sitio web y en los libros pueden ver cada caso elaboradoen detalle.

Función constante. Dada f : R → R con regla de asignación f(x) = c, donde c es un número dado,se encuentra que es derivable en todo R y que f ′(x) = 0.Este resultado es fácil de demostrar: para cualquier a ∈ R,

f ′(a) = lım∆x→0

f(a+ ∆x)− f(a)

∆x= lım

∆x→0

c− c∆x

= lım∆x→0

0

∆x= 0

Conviene recordar como regla que

(c)′ = 0

Función identidad. Dada f : R→ R con regla de asignación f(x) = x, se encuentra que es derivableen todo R y que f ′(x) = 1. Este resultado también es fácil de demostrar: para cualquier a ∈ R,

f ′(a) = lım∆x→0

f(a+ ∆x)− f(a)

∆x= lım

∆x→0

a+ ∆x− a∆x

= lım∆x→0

∆x

∆x= 1

Conviene recordar como regla que

(x)′ = 1

Función potencia de exponente natural. Dada f : R → R con regla de asignación f(x) = xn,donde n es un número natural, se encuentra que es derivable en todo R y que f ′(x) = nxn−1. Dejamos lademostración para los ejercicios.Conviene recordar como regla que

(xn)′ = nxn−1

Por ejemplo, si f(x) = x2, tenemos que f ′(x) = 2x1 = 2x. Comparen con el cálculo hecho en el ejercicio3.1.2.

Actividad 3.2.5. Encuentren por de�nición la derivada de x3.Escriban por reglas la función derivada de x3, x4, x5.Escriban la función derivada de x0 y x1 (funciones constante e identidad), y comparen con las reglas

correspondientes.

Se suele decir que "se baja el exponente multiplicando y se le resta 1 al exponente".


Función raíz de índice natural.

Comencemos con la raíz cuadrada:Dada f : [0,+∞) → R con regla de asignación f(x) =

√x, se encuentra que es derivable en

(0,+∞) y que f ′(x) = 12√x.

En x0 = 0, que es un extremo cerrado del dominio, se puede analizar sólo la derivada por derecha.Podemos comprobar que el límite de la razón de cambio no existe, ya que

lım∆x→0+

f(0 + ∆x)− f(0)

∆x= lım

∆x→0+

√∆x

∆x= lım

∆x→0+

1√∆x

= +∞

Observen entonces que la raíz cuadrada está de�nida pero no es derivable en x0 = 0.Conviene recordar como regla que

(√x)′

=1

2√x

existe solamente para x > 0

Sigamos con la raíz cúbica:dada f : (−∞,+∞) → R con regla de asignación f(x) = 3

√x, se encuentra que es derivable en

(−∞, 0) ∪ (0,+∞) y que f ′(x) = 1

3( 3√x)2 .

Observen que la raíz cúbica está de�nida pero no es derivable en x0 = 0. En ese punto se puedeanalizar tanto la derivada por derecha como por izquierda, pero el límite de la razón de cambio noexiste, sino que por ambos lados tiende a +∞.En general, si n es par la función f(x) = n

√x tiene dominio [0,+∞) y es derivable en (0,+∞)

pero no en x = 0. Y si n es impar la función f(x) = n√x tiene dominio (−∞,+∞) y es derivable

en todo punto real menos en x = 0. Para recordar más fácil las fórmulas de las derivadas convieneescribir las raíces n-ésimas como potencias de exponente fraccionario 1/n:dada f(x) = n

√x ≡ x1/n donde existe la derivada vale f ′(x) = 1

nx1n−1 .

Conviene recordar como regla que para índice n(n√x)′ ≡ (x 1

n

)′=

1

nx

1n−1

existe solamente para x > 0 si n es par, y para x 6= 0 si n es impar.

Usando la notación de exponente fraccionario se puede decir, igual que con las potencias de exponentenatural, que "se baja el exponente multiplicando y se le resta 1 al exponente".

Actividad 3.2.6. Escriban la función derivada de√x, 3√x, 4√x, 5√x, etc. Usen la forma de exponente

fraccionario pero vuelvan a escribir el resultado con raíces y potencia naturales.

Función recíproca. Dada f : (−∞, 0) ∪ (0,+∞)→ R con regla de asignación f(x) = 1x , se encuentra

que es derivable en (−∞, 0) ∪ (0,+∞) y que f ′(x) = − 1x2. Este resultado es fácil de demostrar: para

cualquier a 6= 0,

f ′(a) = lım∆x→0

1a+∆x −

1a

∆x= lım

∆x→0

a−∆x− a∆x (a+ ∆x) a

= lım∆x→0

−1

(a+ ∆x) a= − 1

a2

Conviene recordar como regla que(1

x

)′= − 1

x2existe solamente para x 6= 0


Función potencia de exponente natural negativo. Dada f : (−∞, 0)∪ (0,+∞)→ R con regla deasignación f(x) = 1

xn , donde n es un número natural, se encuentra que es derivable en (−∞, 0)∪ (0,+∞)y que f ′(x) = − n

xn+1 .

Actividad 3.2.7. Escriban la función derivada de x−2, x−3, x−4, x−5, etc.Escriban la función derivada de x−1, y comparen con las reglas de la función recíproca.

Observación 3.2.8. Si escriben f(x) = 1/xn como f(x) = x−n pueden ver que f ′(x) = −nx−n−1.Usando la notación de exponente negativo se puede decir que "se baja el exponente multiplicando y se leresta 1 al exponente", como en los casos anteriores.

Conviene recordar como regla que (1

xn

)′≡(x−n

)′= −nx−n−1

Funciones trigonométricas. Dada la función sen : R→ R, se encuentra que es derivable en todo R yque sen′(x) = cos(x).Noten que las funciones trigonométricas tienen nombre propio. Usamos la comilla que indica la derivadadirectamente después del nombre de la función. También es usual escribirlo sin paréntesis.Conviene recordar como regla que

sen′ x = cosx

Dada la función cos : R→ R, se encuentra que es derivable en todo R y que cos′(x) = − sen(x).Conviene recordar como regla que

cos′ x = − senx

Dejaremos como ejercicio el cálculo de estos resultados.

Función exponencial. Dada la función exp : R → R, se encuentra es derivable en todo R y queexp′(x) = exp(x).Conviene recordar como regla que

(ex)′ = ex

Función logaritmo natural. Dada la función ln : (0,+∞) → R, se encuentra que es derivable en(0,+∞) y que ln′(x) = 1/x.Conviene recordar como regla que

(lnx)′ =1

x

Observación 3.2.9. Recuerden que no hemos dado todavía de�niciones precisas de las funcionesexponencial y logaritmo natural. Por eso mismo, no estamos en condiciones de calcular sus derivadas porde�nición. De todas formas, para seguir adelante necesitarán memorizar estas reglas.


3.2.5. Álgebra de derivadas

El paso siguiente consiste en calcular las derivadas de funciones más elaboradas, reconociéndolas comooperaciones entre funciones sencillas. Las funciones que manejamos en modelos matemáticos se construyencomo sumas, restas, productos, cocientes y/o composición de las funciones que acabamos de repasar.Eventualmente aparecerán otras funciones especiales, que habrá que estudiar en cada caso y agregar a latabla básica.8

Vamos a presentar reglas para calcular la función derivada en cada caso, precisando el conjunto dondeson válidas. Recordemos que evaluando la función derivada en un número obtendremos la derivada en esepunto; nunca usen una regla en un punto donde no sea válida.

Como la derivada se calcula como el límite del cociente incremental, algunas reglas se demuestran sinmucha di�cultad, utilizando las propiedades de los límites que ya hemos estudiado en la unidad anterior.A �n de ser prácticos, ahora sólo las vamos a enunciar. Pueden ver las justi�caciones de estas reglas enlos libros de nuestra bibliografía.

Derivada de una constante por una función.

Supongamos que la fórmula de una función se escribe como producto de una constante por una funciónconocida f(x) en un conjunto A. Si f es derivable en A podemos calcular la derivada del producto con lasiguiente regla

Propiedad 3.2.10. Derivada de una constante por una función: si c es una constante y f(x)es una función derivable en un conjunto A, entonces c · f(x) es derivable en A y la derivada vale

(c · f(x))′ = c · f ′(x)

Se suele decir que "la constante sale fuera de la derivada".

Comprobemos este resultado por de�nición: Si llamamos g(x) = c f(x), el cociente incremental seescribe como

g(x+ ∆x)− g(x)

∆x=c f(x+ ∆x)− c f(x)

∆x=c

f(x+ ∆x)− f(x)

∆xComo f es derivable, existe el límite de su razón de cambio. Entonces

g′(x) = lım∆x→0

g(x+ ∆x)− g(x)

∆x=c lım

∆x→0

f(x+ ∆x)− f(x)

∆x= c f ′(x)

Ejemplo 3.2.11. Calculemos la derivada de g(x) = 5x3. Como x3 es derivable en todo el eje real,

g′(x) =(5x3)′

= 5(x3)′

= 5 · 3x2 = 15x2

es la derivada de g(x) en todo el eje real.

Derivada de una suma de funciones.

Si una función aparece escrita como suma de dos funciones conocidas, se puede derivar con la reglasiguiente

Propiedad 3.2.12. Derivada de una suma de funciones: si dos funciones f(x) y g(x) sonderivables en un conjunto A, entonces f(x) + g(x) es derivable en A y la derivada vale

(f(x) + g(x))′ = f ′(x) + g′(x)

8Las llamadas funciones especiales han surgido de algún problema sin solución algebraica, tienen nombres y notaciónparticular. Cuando las necesiten conviene consultar algún manual y hacer un resumen de sus propiedades (como hemos hechoen la clase 1.5). Pueden encontrar excelente información en http://mathworld.wolfram.com/topics/SpecialFunctions.html.Además se las encuentra en programas de cálculo numérico y grá�co, como GeoGebra.


La justi�cación de esta regla se puede contar en dos pasos: en primer lugar, para cualquier a ∈ A,organizamos la razón de cambio como

(f(a+ ∆x) + g(a+ ∆x))− (f(a) + g(a))

∆x=

(f(a+ ∆x)− f(a)

∆x+g(a+ ∆x)− g(a)

∆x

En segundo lugar, notamos que existe el límite para ∆x→ 0 de cada cociente por separado, ya que f y gson derivables en x = a; luego,

(f + g)′(a) = lım∆x→0

f(a+ ∆x)− f(a)

∆a+ lım

∆x→0

g(a+ ∆x)− g(a)

∆x= f ′(a) + g′(a)

Noten que lo mismo vale para una resta, ya que f(x)− g(x) ≡ f(x) + (−g(x)).

Ejemplo 3.2.13. Calculemos la derivada de h(x) = x2 +√x. Como x2 es derivable en todo el eje

real pero√x es derivable solamente en (0,+∞), tenemos que

h′(x) =(x2 +

√x)′

=(x2)′

+(√x)′

= 2x+1

2√x

es la derivada de h(x) solamente en (0,+∞).

Derivada de un producto de funciones (regla de Leibniz). La regla para derivar un producto esmenos intuitiva, por eso requiere un esfuerzo extra de memoria:

Propiedad 3.2.14. Derivada de un producto de funciones: si dos funciones f(x) y g(x) sonderivables en un conjunto A, entonces f(x) · g(x) es derivable en A y la derivada vale

(f(x) · g(x))′ = f ′(x) · g(x) + f(x) · g′(x)

Dejamos la demostración de esta regla como un ejercicio. Para no atarse a las letras f y g, se suelerecordar que la derivada de un producto de funciones es "la derivada de la primera por la segunda sinderivar más la primera sin derivar por la derivada de la segunda".

Ejemplo 3.2.15. Calculemos la derivada de y(x) = ex cosx. Como ex y cosx son derivables en todoel eje real, tenemos que

(ex cosx)′ = (ex)′ cosx+ ex (cosx)′ = ex cosx− ex senx

es la derivada y′ en todo el eje real.

Derivada de un cociente de funciones. La regla para derivar un cociente es un poco más elaborada.Además, hay que tener cuidado de que el denominador no se anule.

Propiedad 3.2.16. Derivada de un cociente de funciones: si dos funciones f(x) y g(x) sonderivables en un conjunto A, entonces f(x)/g(x) es derivable en todo número de A donde g(x) 6= 0.En esos puntos la derivada vale

(f(x)/g(x))′ =f ′(x) · g(x)− f(x) · g′(x)

(g(x))2

Ejemplo 3.2.17. Calculemos la derivada de y =(x3 − 1

)/(x + 1). Primero vemos que x3 − 1 y

x + 1 son derivables en todo el eje real, ya que por la regla de la suma(x3 − 1

)′= 3x2 − 0 = 3x2 y


(x+ 1)′ = 1 + 0 = 1 . Además x+ 1 = 0 cuando x = −1. Por lo tanto, tenemos que(x3 − 1

x+ 1

)′=

(x3 − 1

)′ · (x+ 1)−(x3 − 1

)· (x+ 1)′

(x+ 1)2

=3x2(x+ 1)− (x3 − 1)

(x+ 1)2

=2x3 + 3x2 + 1

(x+ 1)2

es la derivada de(x3 − 1

)/(x+ 1) en todo el eje real excepto en x = −1.

Derivada de una composición de funciones (regla de la cadena). En muchos casos tendremosque hallar la derivada de una función compuesta, de la forma y = g(f(x)). Hay una regla importantepara este caso, llamada "regla de la cadena". Para enunciarla vamos a usar la letra u para la variableintermedia: digamos que y = g(u), donde u = f(x).

Propiedad 3.2.18. Derivada de una función compuesta: dadas dos funciones f(x) y g(u),tales que f es derivable en x y que g es derivable en u = f(x), entonces la función compuesta(gof)(x) = g(f(x)) es derivable en x, y la derivada se calcula como

(g(f(x))′ = g′(u) f ′(x)

donde g′(u) es la derivada de g con respecto a la variable u.

Observen que no pudimos escribir fácilmente el conjunto donde g(f(x)) es derivable; en cada casohabrá que revisar los puntos x tales que f es derivable en x y que g es derivable en u = f(x).

Para recordar la regla de la cadena se suele decir que la derivada de g(f(x)) es igual a "la derivada dela función de afuera evaluada en la de adentro, por la derivada de la función de adentro".

Ejemplo 3.2.19. Calculemos la derivada de y = sen(2x). Para empezar, reconocemos la composiciónde la función 2x con la función seno. El dominio natural de esta función son todos los números reales.La "función de adentro" u = 2x es derivable para todo valor de x y la "función de afuera" y = senu esderivable para todo real u. La derivada se calcula como

y′(x) = (senu)′ · u′(x)

pero hay que entender bien la notación: (senu)′ es la derivada de la función seno respecto de su variableu, que debe hallarse antes de reemplazar u = f(x), y u′(x) es la derivada de la función de adentrorespecto de x. Tenemos que

y′(x) = cosu(x).u′(x)

= cos(2x)(2)

= 2. cos(2x)

válido para todo x.

La regla de la cadena suele costar un poco, por lo que merece otro ejemplo:

Ejemplo 3.2.20. Calculemos la derivada de y =√

1− x². Para empezar, reconocemos la com-posición de un polinomio con la raíz cuadrada. El dominio natural de esta función es el conjunto{x : 1 − x2 ≥ 0}, es decir el intervalo [−1, 1]. La "función de adentro" u = 1 − x2 es derivable para


todo valor de x, pero la "función de afuera" y =√u es derivable sólo para u ∈ (0,+∞), o sea para

1− x2 > 0. La derivada se calcula como

y′(x) = (√u)′ · u′(x)

y′(x) =1

2√u(x)

u′(x)

=1

2√

1− x2(0− 2x)

= − x√1− x2

válido para 1− x2 > 0, o sea en el intervalo abierto (−1, 1).

Recomendaciones. Con la tabla de derivadas básicas y las reglas para derivar funciones construidasmediante sumas y restas, productos, cocientes y composición deberíamos estar en condiciones de encararel cálculo práctico de cualquier derivada, al menos mirando la guía.

En el resto del curso, y de sus estudios, las derivadas aparecerán permanentemente. En las materiascorrelativas se entiende que ustedes podrán interpretar y operar con facilidad cualquier derivada. Nece-sitarán mucha ejercitación para hacerlo con e�ciencia y seguridad, y este es el momento de practicar ymemorizar las reglas.

Como consejo para encarar el cálculo de una derivada, recomendamos que primero revisen la estructurade la expresión que quieran derivar. La primer pregunta que deben hacerse es ¾cuál es la operaciónprincipal9 de la expresión: sumas y restas, o un producto de factores, o un cociente, o una composición?Según el caso, decidan qué regla usar.

En muchos casos tendrán que derivar expresiones con una estructura fácil de reconocer, pero queinvolucra funciones nada sencillas. En esos casos hay que proceder desde afuera hacia adentro (como paradesarmar una cebolla).

Ejemplo 3.2.21. Calculemos la derivada de

y = cos(x+ 2).(x2 − 2x)2

En este caso, la operación principal es un producto de funciones y existe la derivada de cada factor.Luego, aplicando la regla del producto tenemos

y′ = (cos(x+ 2))′ .(x2 − 2x)2 + cos(x+ 2).((x2 − 2x)2

)′Para seguir el ejercicio necesitamos calcular las dos derivadas que aparecen en esta expresión. Pri-

mero tenemos que derivar la función compuesta cos(x+ 2), donde u = x+ 2 es derivable para todo x ycosu es derivable para todo u. Aplicando la regla de la cadena:

(cos(x+ 2))′ = − sen(x+ 2).(x+ 2)′ = − sen(x+ 2).(1 + 0)

Luego tenemos que derivar la función compuesta (x2 − 2x)2, donde v = x2 − 2x es derivable paratodo x y v2 es derivable para todo v. Aplicando la regla de la cadena:(

(x2 − 2x)2)′

= 2(x2 − 2x)1.(x2 − 2x)′

= 2(x2 − 2x).(2x− 2)

Finalmente, reemplazando tendremos

y′ = − sen(x+ 2).(x2 − 2x)2 + cos(x+ 2).2(x2 − 2x).(2x− 2)

9Nos referimos a la operación externa, es decir la última que hay que hacer para llegar al resultado.


Ejemplo 3.2.22.La estrategia de este ejemplo es la misma, aunque resulte más largo. Tratemos de calcular la derivada

de

y = cos

(3√x2 − 4

x4 − 1

)respecto de x.

En primer lugar, para que la función esté bien de�nida debemos pedir que x4 − 1 6= 0 (por qué?).Veri�quen que el dominio es (−∞,−1) ∪ (−1, 1) ∪ (1,+∞). Para derivar la expresión, observemos quela operación principal es una composición, es decir queremos calcular la derivada del coseno de algo.El coseno es la función de afuera, que es derivable en todo su dominio, y el argumento del coseno es lafunción de adentro. Sin importar que la función de adentro se vea complicada, tenemos que aplicar laregla de la cadena. Obtenemos que

y′ = − sen

(3√x2 − 4

x4 − 1

)·

(3√x2 − 4

x4 − 1

)′donde hicimos la derivada del coseno y multiplicamos por la derivada de la función de adentro, perodejamos indicada la derivada esta última. Ahora tenemos que hacer la derivada que quedó indicada, yvemos que se trata de la derivada de un cociente. Copiamos lo que ya está listo y aplicamos la regla delcociente:

y′ = − sen

(3√x2 − 4

x4 − 1

)·

(

3√x2 − 4

)′·(x4 − 1

)− 3√x2 − 4 ·

(x4 − 1

)′(x4 − 1)2

Sucede que no conocemos al golpe de vista la derivada de 3

√x2 − 4 , y quizás nos cueste la de x4 − 1,

por eso las dejamos indicadas para hacerlas con cuidado. Podemos calcular aparte las derivadas quefaltan, o escribirlas sobre la expresión completa. Hagamos los cálculos aparte. Teniendo en cuenta que3√u es derivable para u 6= 0, y que el polinomio u = x2 − 4 es derivable para todo x,(

3√x2 − 4

)′=((x2 − 4

)1/3)′=

1

3·(x2 − 4

) 13−1 (

x2 − 4)′

=2x

3 (x2 − 4)2/3, si u = x2 − 4 6= 0

Por otro lado(x4 − 1)′ = 4x3

donde usamos desde afuera hacia adentro las reglas necesarias. Reemplazando, tenemos

y′ = − sen

(3√x2 − 4

x4 − 1

)·

2x

3(x2−4)2/3

(x4 − 1

)− 3√x2 − 4.4x3

(x4 − 1)2

Para que la derivada esté bien de�nida, además de pertencer al dominio de la función, debemos

pedir u = x2 − 4 6= 0, es decir x 6= ±2. Por lo tanto, el dominio de la función derivada es (−∞,−2) ∪(−2,−1) ∪ (−1, 1) ∪ (1, 2) ∪ (2,+∞).

Observación 3.2.23. Es muy importante haber encontrado en el ejemplo que, además de no estarde�nida en x = ±1, la función no es derivable en x = ±2. Grá�camente, en esos dos puntos no hayrecta tangente con pendiente bien de�nida. Intenten verlo con GeoGebra.

3.2.6. Relación entre funciones derivables y funciones continuas

Existe una relación directa entre continuidad y derivabilidad, expresada por un importante teorema:


Teorema 3.2.24. Si una función es derivable en un punto x = a, entonces también es continua enese punto.

La demostración formal es sencilla. Esencialmente hay que calcular el límite lımx→a (f(x)− f(a)) ycomprobar que da cero. Escribamos

lımx→a

(f(x)− f(a)) = lımx→a

f(x)− f(a)

x− a(x− a) = lım

x→a

f(x)− f(a)

x− alımx→a

(x− a) = f ′(a) 0 = 0

donde todos los pasos están bien justi�cados (discutan por qué). Luego, existe lımx→a f(x) = f(a), esdecir que f es continua en x = a.

El resultado se visualiza grá�camente: si una función f(x) es derivable en un número a sabemos queadmite recta tangente en el punto (a, f(a)), es decir que es localmente parecida a una recta que pasa por(a, f(a)). Como la recta es continua, la función también es continua.

Actividad 3.2.25. Proponemos un análisis conceptual:- Gra�quen esquemáticamente una función f derivable en un punto x0 de su dominio. ¾Está de�nido

el valor de f(x0)? ¾Cómo pueden justi�carlo, si no tienen la fórmula de f(x)?- Tracen la recta tangente a la grá�ca de f en el punto (x0, f(x0)). Discutan qué posibilidades ven

para lımx→x0 f(x).

El Teorema 3.2.24 nos resulta útil en dos situaciones prácticas:

Cuando sabemos que una función es derivable en cierto punto, porque hemos usado las reglas dederivación y hemos revisado en qué puntos son válidas, automáticamente sabemos que la funciónes continua en dicho punto. Como justi�cación, corresponde citar este teorema.Cuando sabemos que una función no es continua en cierto punto, porque hemos visto que fallaalguna de las condiciones de la de�nición 2.3.2, podemos estar seguros de que no es derivable enese punto. Es decir, no es necesario mirar otra regla ni calcular la derivada por de�nición, podemosasegurar que la derivada no existe y justi�carlo con este teorema.

Actividad 3.2.26. Gra�quemos la función

f(x) =

{0 si x < 0

1 si x ≥ 0

- ¾Es continua en x = 0? ¾Cuál condición falla en la de�nición 2.3.2?- ¾Es derivable en x = 0? Si no conociera el teorema 3.2.24, ¾cómo se darían cuenta de que no es

derivable?

Observación 3.2.27. El teorema 3.2.24 no funciona al revés: si una función es continua en un punto,podría ser derivable o no ser derivable en ese punto. Simplemente no lo sabemos, hasta que lo estudiemoscon cuidado. Por ejemplo, hemos visto que f(x) = |x| no es derivable en x = 0, aunque sí es continua endicho punto (recuerden el Ejemplo 3.1.20).

3.2.7. Derivadas y continuidad laterales.

Recuerden que cuando hablamos de límite, continuidad o derivabilidad en un punto consideramos elcomportamiento de la función tanto a izquierda como a derecha del punto. Cuando el comportamiento porcada lado es distinto (como en funciones de�nidas a trozos o funciones de�nidas en intervalos cerrados) sepueden estudiar límites laterales, continuidad lateral y derivadas laterales.

Una versión más detallada del teorema 3.2.24 nos asegura el siguiente enunciado:


Propiedad 3.2.28. Si una función es derivable por derecha en un punto, entonces también es continuapor derecha en ese punto.Si una función es derivable por izquierda en un punto, entonces también es continua por izquierdaen ese punto.

Actividad 3.2.29. Revisen la actividad anterior para discutir continuidad y derivabilidad porderecha y por izquierda de f(x) = |x| en x = 0.


Ejercicio 3.2.1. Indiquen en cada caso el dominio donde se puede usar reglas de derivación y calculenla función derivada. usando reglas apropiadas.

f(x) = 5x2 − 3x+ 2f(x) = 2

√x+ 12x3


f(x) = 3x cosxf(x) = x2ex


y =5x2 − 3x+ 2

x3 − 8

y =3

x2+

5

x4

y = tanx =senx

cosx

y =(3x− 2) ex

x+ 1


y =(x2 + 1

)3y =√x2 + 4x+ 5

y = sen(x2)

y = e2x

xy = −3x ln(3x)

CLASE 3.3. ACTIVIDADES DE INTEGRACIÓN 152

Clase 3.3. Actividades de integración

Contenidos de la clase:- Práctica de derivación por reglas.- Derivadas por de�nición.- Construcción de rectas tangentes y rectas normales.

3.3.1. Algunas derivadas aplicando reglas

Ejercicio 3.3.1. Indiquen en cada caso el dominio natural y el dominio de derivabilidad y calculenla función derivada usando reglas apropiadas.

1. f(x) = (x2 + 1)/(x− 2)

2. g(x) =2x3 − 7x

2x(además: distribuir primero y derivar después para veri�car que se obtiene el

mismo resultado)

3. h(x) =x1/3

x− 14. k(x) = tan(x)

Ejercicio 3.3.2. Indiquen en cada caso el dominio natural y el dominio de derivabilidad y calculenla función derivada usando reglas apropiadas.

1. f(x) = (x3 + 1)2 (además: desarrollar primero el cuadrado y derivar después para veri�car quese obtiene el mismo resultado)

2. g(x) =√

1− x2

3. h(x) = sen(3x)4. k(x) = e−x

5. r(x) = senh(x2/3

)Ejercicio 3.3.3. Dadas f(x) =

√x y g(x) = lnx,

1. Indiquen el dominio de g ◦ f(x) y de f ◦ g(x) y calculen sus expresiones2. Indiquen el dominio de (g ◦ f) ´ (x) y de (f ◦ g) ´ (x) y calculen sus expresiones

3.3.2. Algunas demostraciones

Desafío (para pensar más) 3.3.4. Las reglas prácticas que usamos son el resultado de un trabajoteórico. Les proponemos:

Demostrar la regla de derivación de un producto, calculando el límite del cociente incremental yjusti�cando cada paso.Demostrar la regla de derivación de potencias naturales xn, por inducción completa.Demostrar la regla de derivación de un cociente, justi�cando cada paso.Demostrar que (sen x)′ = cosx(ayuda: planteen el cociente incremental y desarrollen sen(x+ ∆x) como seno de una suma. Luegocalculen el límite recurriendo a algunos límites especiales vistos en la Unidad 2)Demostrar que cos (x)′ = −sen x.

Ante un desafío teórico, es aconsejable consultar algún libro de los que mencionamos en la bibliografía.


Algunas situaciones en que la tabla de derivadas no alcanza

Las derivadas que presentamos como tabla, para memorizar y aplicar, sirven bajo una condición ele-mental: que la función esté de�nida con la misma fórmula en el punto x0 donde se calcula la derivada yen algún entorno de x0. Es decir, que la fórmula de la función valga en el punto, al menos un poco a laizquierda y al menos un poco a la derecha. Esto queda claro cuando se las demuestra, tomando el límitede la razón de cambio para x→ x0 tanto por izquierda como por derecha.

En el caso de funciones de�nidas a trozos, en un punto donde se cambia de fórmula nopodemos usar estos resultados. Cuando no se pueden usar las reglas prácticas tendremos que trabajarcon la de�nición. Y por tratarse de funciones de�nidas a trozos habrá que calcular por separado los límiteslaterales del cociente incremental. Comentaremos otra técnica al �nal de la clase 3.4.

Ejercicio 3.3.5.

Hallar la derivada de

f(x) =

{−2x+ 3, si x < 0

x+ 3, si x ≥ 0

en todos los puntos en que sea posible trabajar con reglas y discutir su existencia donde no sea posible.Gra�car.


f(x) =

{−x2, si x < 0

x2, si x ≥ 0

en todos los puntos en que sea posible trabajar con reglas y discutir su existencia donde no sea posible.Gra�car.


f(x) =

{−1, si x < 0

1, si x ≥ 0

en todos los puntos en que sea posible trabajar con reglas. Sin hacer cuentas, comprobar que f(x) no esderivable en x = 0. ¾Existen las derivadas laterales en x = 0? Gra�car.

Ejercicio 3.3.6. Determinen en qué puntos son derivables las siguientes funciones y hallen la expresiónde la función derivada:

(a) f(x) =

{3x3 − 5x, si x < 1

2x2 − 4, si x ≥ 1(b) g(x) =

{(x− 1)−1, si x ≤ 0

2x2 − x, si x > 0

Ejercicio 3.3.7. Sea la función

f(x) =

{2x+ 1, si x < 1

x+ a, si x ≥ 1

Determinen el valor de a para que la función sea continua en x = 1.Calculen, si es que existen, las derivadas laterales en x = 1.¾Es f(x) derivable en x = 1?

3.3.3. Interpretación del signo y valor de la derivada

Para hacer estos ejercicios, deben recordar qué signi�ca la derivada. Es decir, cómo es que la derivadamide el ritmo de cambio de una función. Los grá�cos se deben hacer con computadora.


Ejercicio 3.3.8. Consideren la función dada por la fórmula y(x) = 13x

3 + 12x

2 − 6x+ 3 y calculen lafunción derivada y′(x).

Gra�quen en un mismo sistema de ejes la función y su derivada. Observen:

si donde la grá�ca de y(x) tiene recta tangente horizontal, encuentran que la grá�ca de y′(x) cortaal eje x.si donde la función es creciente, encuentran que la grá�ca de la función derivada está por encimadel eje x.Ahora miren dos puntos del eje x donde la función sea creciente. ¾Es cierto que donde la curva esmás empinada la función derivada toma un valor más grande?Repitan la comparación con otro par de puntos.

Ejercicio 3.3.9. Consideren una función f(x) desconocida, cuya función derivada seaf ′(x) = 6x2 − 1.

Mirando el grá�co de f ′(x), piensen las siguientes preguntas:

¾cuál es la pendiente de la recta tangente a la grá�ca en el punto (1, f(1))?¾dónde es mayor el ritmo de crecimiento, en x = 1 o en x = 2?

La función desconocida era f(x) = 2x3 − x. Grafíquenla y revisen sus respuestas.

3.3.4. Recta tangente

Hemos visto (de�nición 3.1.14) que cuando una función es derivable en un punto x0 de su dominio, sepuede construir la recta tangente a la grá�ca de la función en el punto (x0, f(x0)).

Ejercicio 3.3.10. Hallar la ecuación de la recta tangente a la grá�ca de los siguientes funciones enlos puntos indicados. En cada caso gra�car y dar las coordenadas del punto de tangencia.

f(x) = x2 − 2x+ 1, en el punto de abcisa x0 = −1.g(x) =

√2x− 1, en el punto de abcisa x0 = 2 y en el punto de abcisa x0 = 3. Discutir la existencia

de recta tangente en x0 = 1/2.h(x) = ln(2x), en el punto de abcisa x0 = 1.k(x) = sen(x), en el punto de abcisa x0 = 0 y en el punto de abcisa x0 = π/2.

Un problema geométrico interesante es encontrar rectas tangentes a una grá�ca, que pasen por unpunto exterior a dicha grá�ca. Por ejemplo, tangentes a la parábola de ecuación y = x2 que pasen porP = (1,−1).

Ejercicio 3.3.11.(a) Gra�quen con cuidado la función f(x) = x2 y el punto P = (1,−1). Tracen dos rectas que pasen

por P y se vean tangentes a la parábola.(b) Resuelvan analíticamente el problema planteado: encuentren las ecuaciones de las rectas y los

puntos de tangencia.Ayuda: si llamamos x0 al punto de tangencia, buscamos una recta y = mx+ b que pase por (1,−1) y

por el punto (x0, f(x0)) y que además tenga la pendiente adecuada, es decir m = f ′(x0).

También sabemos escribir la pendiente a partir de los dos puntos de la recta: m =f(x0)− (−1)

x0 − 1(si

x0 6= 1).Igualando las expresiones para m podrán obtener el valor de x0 (en este caso obtendrán dos valores

diferentes).


Ejercicio 3.3.12. Para la misma parábola y = x2, encuentren la (o las) ecuación(es) de rectastangentes que pasen por el punto (−1,−1).

Repitan el trabajo para el punto (2, 0).Resuelvan en forma grá�ca y analítica.

Ejercicio 3.3.13. ¾Existe alguna recta tangente a la parábola y = x2 que pase por (0, 1)? Resuelvanen forma grá�ca y analítica.

Ejercicio 3.3.14. Encuentren todas las rectas que sean paralelas a la recta y = 34x y tangentes a la

grá�ca de f(x) = x3. Resuelvan en forma grá�ca y analítica.

3.3.5. Recta normal

Dos rectas de pendiente m1 y m2 son perpendiculares cuando el producto de sus pendientes es −1,

m1.m2 = −1

Podemos aprovechar esta propiedad para encontrar rectas normales a la grá�ca de una función derivable.Si f(x) es derivable en un punto x0 de su dominio, y f ′(x0) 6= 0, se llama recta normal a la que pasa

por el punto (x0, f(x0)) de la grá�ca y tiene pendiente m = −1/f ′(x0), es decir es una recta perpendiculara la recta tangente y pasa por el punto (x0, f(x0)). Para la función f(x) = x3 y x0 = 0.5 trabajando porejemplo con GeoGebra se vería así:

Ejercicio 3.3.15. Encuentren la ecuación y gra�quen la recta normal a la grá�ca de f(x) = 3 sen(2x)en el punto de abcisa x0 = π.

Ejercicio 3.3.16. ¾Qué sucede con la recta normal cuando f ′(x0) = 0? Analicen f(x) = 3 sen(2x) enel punto de abcisa x0 = π/4.

Ejercicio 3.3.17. Hallen la ecuación de las rectas indicadas en las siguientes situaciones, y gra�quen:

1. Encuentren las rectas tangentes horizontales a la curva y = x3 − 3x− 2. Determinen también lasecuaciones de las rectas normales a la curva en los puntos de tangencia hallados.

2. Encuentren las rectas tangentes a la serpentina de Newton, de ecuación y = 4x/(x2 + 1), en elorigen y en (1, 2). Comprueben que la función es impar y construyan, sin repetir las cuentas, larecta tangente en (−1,−2).

3. Encuentren la recta tangente a la grá�ca de y = sen x en el punto de abcisa x = π/4. Gra�quencon computadora la función y la recta tangente para veri�car lo hallado. ¾Es cierto que la rectacorta a la grá�ca una sola vez?

4. Encuentren las ecuaciones de todas las rectas tangentes a la curva y = (x− 1) / (x+ 1) paralelasa la recta x− 2y = 2.


Derivadas y tangentes en GeoGebraAhora que han trabajado bastante a mano, vamos a ver que GeoGebra es capaz de calcular derivadas

y rectas tangentes: el programa reconoce las funciones básicas, las operaciones entre ellas, y opera con lasmismas reglas que ya hemos aprendido.

Uso de GeoGebra 3.3.1. Una vez que tenemos construida una función f(x), pedimos su funciónderivada con la entrada

f'(x)

Verán que la función derivada aparece en la Vista Algebraica, con nombre f'(x), y gra�cada en laVista Grá�ca.

También podemos pedir el valor de la derivada en un punto dándole valores a x. Por ejemplo,

f'(2)

En este caso verán en la Vista Algebraica una variable numérica con el valor de la derivada; estavariable se puede usar por su nombre en otras cuentas.

Actividad 3.3.2. Veri�quen con GeoGebra algunas de las derivadas calculadas en el ejercicio 3.3.2.Observen las grá�cas de la función y de la función derivada (conviene que estén en distinto color),

relacionen el ritmo de crecimiento con el valor de la derivada.

Uso de GeoGebra 3.3.3. Procedimiento para generar la recta tangente a una función en un puntode la grá�ca:

- una vez que tenemos construida una función f(x), ubicamos un punto sobre su grá�ca (con laherramienta Punto en Objeto, o con Nuevo Punto)

- seleccionamos la herramienta Tangentes y seguimos las instrucciones: click en el punto y click en lafunción.

Verán la ecuación de la recta tangente y su grá�ca. Pueden mover el punto y la recta tangente se iráadaptando al punto que elijan.

Si corren el punto con el mouse podrán obtener su abcisa con la entrada x(A), donde A es el nombredel punto.

Actividad 3.3.4. Veri�quen con GeoGebra algunas de las rectas tangentes calculadas en el ejercicio3.3.10 (miren el grá�co y la ecuación de la recta tangente)

Comparen la pendiente (m) de la recta tangente con el valor (f ′(x0)) de la derivada en el punto detangencia.

Uso de GeoGebra 3.3.5. Se pueden generar rectas tangentes a una curva que pasen por un puntoexterior a ella. En la versión actual del programa esto sólo funciona para curvas con ecuaciones cuadráticas:parábolas, circunferencias, elipses e hipérbolas (llamadas cónicas, como habrán visto en Algebra).

El procedimiento es el siguiente:- se construye la curva entrando su ecuación cartesiana. Por ejemplo,

y=x^2

- se ubica un punto fuera de la grá�ca (con la herramienta Nuevo Punto).- seleccionamos la herramienta Tangentes y seguimos las instrucciones: click en el punto y click en la

grá�ca.Verán la ecuación de la recta tangente y su grá�ca. Si la ecuación de la recta aparece en forma general

(Ax+By = C) pueden cambiarla a la forma explícita (y = mx+ b) eligiendo Propiedades -> Algebra.


Como siempre, pueden mover el punto con el mouse; la(s) recta(s) tangente(s) se irá(n) adaptando alpunto que elijan.

Actividad 3.3.6. Veri�quen con GeoGebra las rectas tangentes calculadas en el ejercicio 3.3.11.

Derivada en modelos aplicados. Interpretación y unidades.

En los modelos de situaciones reales las variables son magnitudes con unidades. La derivada de unafunción con unidades va a heredar las unidades de las variables de la función, en forma de cociente; esdecir, tiene las mismas unidades que la razón de cambio.

Repasemos el ejemplo del comienzo de esta clase: describimos la altura del camino h en función dela distancia horizontal recorrida l. La variable independiente representa una longitud, medida en m y lavariable dependiente representa una longitud, medida en cm. La derivada describe el ritmo de cambio dela altura respecto de la distancia recorrida, y se la considera una nueva magnitud que mide el cambio dealtura "en unidades de" distancia recorrida. En este caso la nueva magnitud se llama pendiente del caminoy se mide en cm/m.

Veamos otros ejemplos:

El �ujo de corriente eléctrica a través de un axón mide la cantidad de carga eléctrica que circulapor unidad de tiempo. En un extremo del axón se podría medir la cantidad de carga Q recibidaen función del tiempo t transcurrido. La carga se mide en microCoulombs (µC) y el tiempoen segundos. La corriente se de�ne como la derivada de la carga recibida respecto del tiempo,

I(t) =dQ

dt, y se mide en µC/s.

En la práctica es más sencillo medir directamente la corriente eléctrica que medir la carga recibida,y se usan unidades apropiadas llamando microAmpere a µA = 1µC/s.Este es un ejemplo interesante en que la derivada de una función es más representativa que lafunción en sí misma.En una reacción química un conjunto de sustancias A se transforma en un conjunto de sustanciasB, o viceversa. El proceso se simboliza en general como

A→ B

La cinética química describe la velocidad instantánea de reacción mediante la derivada vR = −d[A]

dt,

donde [A] es la concentración molar de A medida en moles por litro, y depende del tiempo. Siesta velocidad es positiva, la reacción está convirtiendo A en B; si fuera negativa, se estaríaconvirtiendo B en A. La velocidad de reacción se expresa típicamente en mol/(l.s) (moles porlitro y por segundo). En muchos casos la concentración molar de cada sustancia sigue una leyexponencial:


Para describir el movimiento de un objeto a lo largo de una recta se estudia su coordenada x enfunción del tiempo t leído en un cronómetro, mediante una función x(t). La magnitud que mide x

es una longitud, y la que mide t es un tiempo. La derivadadx

dtes una nueva magnitud que en este

caso se llama velocidad, y se mide con unidades de longitud por unidad de tiempo.Según las unidades que se usen para la posición y el tiempo, podemos obtener la velocidad en m/s,km/h, m/min, millas/hora, etc. Todas estas expresiones son convertibles entre sí, porque midenla misma magnitud.

Ejercicio 3.3.18. Una piedra se lanza hacia arriba alcanzando una altura y que depende del tiemposegún la función cuadrática

y(t) = 2m+ 10m

st− 5

m

s2t2

contando el tiempo con un cronómetro desde t = 0 s hasta que vuelve al piso (altura y = 0m).

Calculen su velocidad en función del tiempo.¾Cuál es el signo de la velocidad cuando la piedra va subiendo? ¾Y cuando va bajando?¾En qué intervalo de tiempo se desarrolla la subida?¾En qué intervalo de tiempo se desarrolla la bajada?Gra�quen la función y(t) y gra�quen el recorrido (siempre vertical) de la piedra.

CLASE 3.4. TEOREMA DE ROLLE. ESTUDIO DEL CRECIMIENTO. 159

Clase 3.4. Teorema de Rolle. Estudio del crecimiento.

Contenidos de la clase: Teorema de Rolle. Aplicación al crecimiento y decrecimiento defunciones.

La derivada de una función y = f(x) nos permite apreciar su ritmo de cambio. Si la derivada existe enun punto x = a y es positiva, la información más inmediata que obtenemos es que, cuando la variableaumenta una cantidad in�nitesimal, el valor de la función crece en una cantidad in�nitesimal. En cambio,si la derivada existe en un punto x = b y es negativa, sabemos que, cuando la variable aumenta unacantidad in�nitesimal, el valor de la función decrece en una cantidad in�nitesimal.

Sin embargo, el valor de la derivada en un punto no alcanza para predecir hasta cuándo una funciónse mantiene creciente o decreciente. El Teorema de Rolle (demostrado en 1691) es un resultado centraldel Análisis Matemático que permite usar la derivada como herramienta para estudiar el crecimiento defunciones en intervalos.

3.4.1. Crecimiento en intervalos

Ya mencionamos la noción de crecimiento y decrecimiento de una función en la Unidad 1. Analicemosahora la de�nición precisa:

Definición 3.4.1. Dada una función f : D → R y un intervalo I de números reales incluido en eldominio D,

se dice que f es creciente en I cuando para todo par de números x1 y x2 de I se veri�ca quesi x1 < x2 entonces f(x1) ≤ f(x2).se dice que f es decreciente en I cuando para todo par de números x1 y x2 de I se veri�caque si x1 < x2 entonces f(x1) ≥ f(x2).

Observación 3.4.2.

El intervalo I puede ser abierto, semiabierto o cerrado (estos casos incluyen también intervalos noacotados, por ejemplo (1,+∞)).En las de�niciones anteriores, cuando para todo par de puntos en cierto intervalo I se veri�caf(x1) < f(x2) se dice que la función es estrictamente creciente en I.Similarmente, si se cumple que f(x1) > f(x2) se dice que la función es estrictamente decrecienteen dicho intervalo.

Ejemplo 3.4.3. Podemos ilustrar los dos casos en distintos intervalos del dominio de la funciónderivable f(x) = 1

4x2:


es estrictamente creciente en el intervalo [2, 3].es estrictamente decreciente en el intervalo (−4,−2].En cambio, en el intervalo [−1, 1] la función no es creciente, y tampoco es decreciente.

La función del ejemplo anterior es derivable, pero no siempre será así.

Ejemplo 3.4.4. Podemos ilustrar en este ejemplo el crecimiento de una función que no es derivableen todo su dominio. Gra�quen

f(x) =

x+ 2, si x < 0

2, si 0 ≤ x < 1

x+ 1, si x ≥ 1

y veri�quen que es creciente en todo el eje real.Observen también que f(x) es estrictamente creciente en (−∞, 0) y en (1,+∞).

3.4.2. Teorema de Rolle y Teorema del Valor Medio

El Teorema de Rolle y su generalización inmediata, conocida como Teorema del Valor Medio, son lallave para establecer condiciones para a�rmar si una función es creciente o decreciente en un intervalo. Nosvamos a referir a funciones continuas en intervalos cerrados, que incluye la noción de continuidad lateralen los extremos del intervalo. Asegúrense de recordar la de�nición 2.5.11.

Comencemos planteando la siguiente situación: imaginen la grá�ca de una función f(x) continua en unintervalo cerrado [a, b], y derivable al menos en el intervalo abierto (a, b). Asuman además que la funcióntoma el mismo valor en los bordes del intervalo, es decir f(b) = f(a).


No hablamos de una función determinada: podría ser que la función crezca en algún tramo, peroentonces deberá volver a decrecer; podría que decrezca en algún tramo, pero entonces deberá volver acrecer; o podría ser simplemente una función constante. En todo caso el crecimiento neto de la funciónen el intervalo [a, b] es nulo: la función termina en x = b a la misma altura que al comienzo, en x = a.Si trazamos la recta que pasa por el punto inicial (a, f(a)) y el punto �nal (b, f(b)), encontramos que es

horizontal (su pendiente m =f(b)− f(a)

b− aes cero) .

Como la función es derivable en (a, b), existe la recta tangente en cada punto del intervalo abierto.Puede ser que en algunos puntos la recta tangente tenga pendiente positiva, y que en otros puntos tengapendiente positiva. Y resulta intuitivo que, en algún punto intermedio, la recta tangente necesariamenteserá horizontal. Es decir, debe existir un valor x = c tal que f ′(c) = 0.

Esto es lo que a�rma el

Teorema 3.4.5. (de Rolle).Sea f(x) continua en un intervalo cerrado [a, b] y derivable al menos en el intervalo abierto (a, b).Si f(b) = f(a), entonces existe al menos un punto c en (a, b) tal que f ′(c) = 0.

En el grá�co de arriba vemos dos puntos del intervalo (a, b), qua anotamos c y c′, donde las rectastangentes son horizontales.

El Teorema no dice dónde están estos puntos. Tampoco dice si hay uno o más. Sólo asegura que existeal menos uno.

Ahora, consideremos una situación un poco más general: vuelvan a imaginar la grá�ca de una funciónf(x) continua en un intervalo cerrado [a, b], y derivable al menos en el intervalo abierto (a, b), esta vez conf(b) 6= f(a).

El crecimiento neto de la función no es nulo: la función termina en x = b a una altura distinta que alcomienzo, en x = a. La recta que secante que pasa por el punto inicial (a, f(a)) y el punto �nal (b, f(b))

tiene pendiente m =f(b)− f(a)

b− adistinta de cero. Como sabemos, esta es la razón de cambio de f(x) en

el intervalo [a, b].


Como la función es derivable en (a, b), existen las rectas tangentes en cada punto del intervalo abierto.Resulta intuitivo que, al menos en algún x = c intermedio, la recta tangente debe ser paralela a la rectaque pasa por el punto inicial y el punto �nal. Es decir, debe existir un valor x = c tal que f ′(c) = m =f(b)− f(a)

b− a. Dicho de otro modo, la razón de cambio de f entre a y b resulta igual a la derivada f ′(c).

Esta situación, con recta secante inclinada, generaliza el resultado del teorema de Rolle. Bajo lasmismas condiciones que el teorema anterior, se enuncia el

Teorema 3.4.6. (del Valor Medio).Sea f(x) continua en un intervalo cerrado [a, b] y derivable al menos en el intervalo abierto (a, b).Entonces existe al menos un punto c en (a, b) tal que f ′(c) = (f(b)− f(a))/(b− a).

En el grá�co de arriba vemos un punto del intervalo (a, b), que anotamos c, tal que la recta tangenteen (c, f(c)) (línea llena) tiene la misma pendiente que la recta secante que pasa por (a, f(a)) y (b, f(b))(línea punteada).

Nuevamente, el teorema no indica dónde encontramos el punto c, ni cuántos hay con las mismascaracterísticas.

Actividad 3.4.7. Consideren la función f(x) = x−x3 en el intervalo [0, 1]. Veri�quen si se cumplenlas hipótesis del teorema de Rolle. Si se veri�can, encuentren el punto donde la tangente es horizontal.Escriban la ecuación de la recta hallada.

Veri�quen gra�cando con GeoGebra.

Actividad 3.4.8. Consideren la función f(x) =√x en el intervalo [0, 1]. Veri�quen si se cumplen las

hipótesis del teorema del Valor Medio. Si se veri�can, encuentren el punto donde la tangente es paralelaa la recta secante que pasa por (0, f(0)) y por (1, f(1)). Escriban la ecuación de la recta hallada.

Veri�quen gra�cando con GeoGebra.

La demostración formal del Teorema de Rolle suele no incluirse en un primer curso de Análisis Ma-temático, aceptaremos la validez de este teorema. La demostración del Teorema del Valor Medio es unaconsecuencia bastante directa del Teorema de Rolle y se deja como ejercicio opcional al �nal de esta clase.


3.4.3. Crecimiento en intervalos

En esta sección vamos a presentar un teorema importante que describe condiciones su�cientes paraque podamos asegurar que una función sea creciente o decreciente en un intervalo I. Su demostracióntambién es consecuencia del Teorema del valor medio.

Teorema 3.4.9. Sea una función f : D → R y un intervalo I incluido en el dominio D. Si

f(x) es continua en el intervalo If(x) es derivable en todo punto del intervalo I, con la posible excepción de sus puntosextremos,

se puede a�rmar que:

Si f ′(x) ≥ 0 (respectivamente f ′(x) > 0) para todo x ∈ I donde exista f ′(x), entonces f(x)es creciente (respectivamente estrictamente creciente) en todo el intervalo I.Si f ′(x) ≤ 0 (respectivamente f ′(x) < 0) para todo x ∈ I donde exista f ′(x), entonces f(x)es decreciente (respectivamente estrictamente decreciente) en todo el intervalo I.

Demostración: Veamos el caso en que f ′(x) ≥ 0 en todo el intervalo I. Tomemos dos puntos cualesquierax1 < x2, ambos en I. Como f es continua en el intervalo cerrado [x1,x2] y derivable en el abierto (x1,x2) ,se cumplen las hipótesis del Teorema del Valor Medio; luego existe c en (x1,x2) tal que f(x2) − f(x1) =f ′(c) (x2 − x1) . Como f ′(c) ≥ 0 resulta f(x2) − f(x1) ≥ 0, es decir que f(x2) ≥ f(x1). Esto prueba quef(x) es creciente en I.

De la misma manera pueden razonar en los otros casos.

Observación 3.4.10.

El intervalo I puede ser abierto, semiabierto o cerrado. En particular podría ser una semirecta oincluso todo el eje real.En el caso en que interese un intervalo cerrado I = [a, b], las hipótesis del teorema piden continuidaden el cerrado [a, b] y derivabilidad por lo menos en el abierto (a, b). Con eso alcanza para asegurarel tipo de crecimiento en [a, b] completo.

Recíprocamente,

Teorema 3.4.11. Sea una función f : D → R y un intervalo I incluido en el dominio D donde lafunción es derivable, con la posible excepción de los puntos extremos. Se tiene el siguiente resultado:

Si f(x) es creciente en el intervalo I, entonces f ′(x) ≥ 0 para todo x ∈ I donde exista f ′(x).Si f(x) es decreciente en el intervalo I, entonces f ′(x) ≤ 0 para todo x ∈ I donde existaf ′(x).

Demostración: Veamos el caso en que f ′(x) es creciente en todo el intervalo I. Tomemos un puntocualquiera x0 ∈ I y calculemos el cociente incremental.

Si ∆x > 0, como f es creciente sabemos que f(x0) ≤ f(x0 + ∆x), y por lo tanto tenemos quef(x0 + ∆x)− f(x0)

∆x≥ 0.

Si ∆x < 0, por ser f creciente sabemos que f(x0+∆x) ≤ f(x0) y también obtenemos quef(x0 + ∆x)− f(x0)

∆x≥

0.Tomando el límite para ∆x→ 0 concluimos que f ′(x0) ≥ 0 (recuerden el Teorema 2.3.19).Pueden razonar de la misma manera para el otro caso.

Veamos algunos ejemplos. Elegimos casos en que la grá�ca ya es conocida, para que todo sea fácil deinterpretar.


Ejemplo 3.4.12. Sea f(x) = 12x+ 1.

La función es derivable (y, por lo tanto, continua) en todo el eje real. f ′(x) = 12 para todo x. Como

f ′(x) > 0 la función es estrictamente creciente en todo el dominio, es decir en (−∞,+∞).

Ejemplo 3.4.13. Consideremos f(x) = cosx.La función es derivable en todo el eje real, la función derivada es f ′(x) = − senx, cuyo grá�co es

bien conocido.Consideremos primero el intervalo [0, π]:.sabemos que f ′(x) = − senx ≤ 0 si x ∈ [0, π] . Entonces elteorema nos asegura que la función cosx es decreciente en [0, π].

Observen que en el intervalo [0, π] la grá�ca de f ′(x) está por debajo del eje de las x (es decir, esnegativa) y la grá�ca de f(x) es decreciente.

Si consideramos ahora el intervalo [π, 2π], como f ′(x) = − senx ≥ 0 para todos los puntos delintervalo, podemos a�rmar que cosx es creciente en [π, 2π].

Ejemplo 3.4.14. Supongamos que necesitamos estudiar la función f(x) =√x en el intervalo [0, 4]

.El dominio de la función es el semieje real [0,+∞), donde es continua. Sabemos que es derivable

solamente para x > 0 y que en x = 0 no existe la derivada lateral f ′+

(0). Estas condiciones alcanzanpara aplicar el teorema en el intervalo [0, 4] en el que estamos interesados (recuerden que el enunciadopide que la función sea derivable en todos los puntos del intervalo, con la posible excepción de sus puntosextremos). Como f ′(x) = 1

2√xes positiva en (0, 4], la función raíz cuadrada es creciente en [0, 4].

.


Si consideramos todo el dominio de la función, como f ′(x) > 0 para todo punto del intervalo(0,+∞), el mismo teorema nos permite a�rmar que en realidad la función raíz cuadrada es crecienteen todo el dominio [0,+∞).

Ejemplo 3.4.15. Completemos los ejemplos con la función f(x) = 1/x. Esta función está de�nidaen (−∞, 0)∪(0,+∞) . Sabemos que en todo su dominio la función es continua y derivable, con derivadaf ′(x) = −1/x2, que es negativa para todo x 6= 0.Como el teorema se aplica en intervalos, podemos deducir que

en el intervalo (−∞, 0) la función es decrecienteen el intervalo (0,+∞) la función es decreciente.

Si observan el grá�co completo de la función, podrán comprobar que, sin embargo, la función NO esdecreciente en todo el dominio: por ejemplo −1 < 1 pero f(−1) = −1 < f(1) = 1.

3.4.4. Estudio de regiones de crecimiento

Hemos visto varios ejemplos de funciones, algunas con un único crecimiento, otras donde la función escreciente o es decreciente en diferentes intervalos.

Nos interesa averiguar entonces, para una función y = f(x) dada, los distintos intervalos en que lafunción es creciente o decreciente. Si hiciéramos una grá�ca con computadora, podríamos averiguarlográ�camente. Esto tiene dos contras: por un lado no podemos gra�car todos los reales, sólo veremos laventana que decidamos gra�car, y por otro lado no sabremos exactamente dónde se dan los cambios detipo de crecimiento.

Según el teorema 3.4.11, tenemos un método analítico para analizar regiones de crecimiento estudiandola función derivada f ′(x) en intervalos: debemos encontrar los intervalos donde la función f ′(x) existe yes positiva, y los intervalos donde la función f ′(x) existe y es negativa.

Ejemplo 3.4.16. Analicemos las regiones de crecimiento de f(x) =4 + x2

4− x².

La derivada f ′(x) existe en todos los reales, excepto x = −2 y x = 2, y está dada por

f ′(x) =16x

(4− x2)2

Como el denominador es siempre positivo, el signo de la expresión completa depende solamente delsigno del numerador.Luego, f ′(x) > 0 si x > 0 y x 6= 2, porque allí tanto el numerador como el denominador son positivos.Y es negativa si x < 0 y x 6= −2, porque allí el numerador es negativo y el denominador es positivo.


Entonces podemos a�rmar que la función es decreciente en (−∞,−2) y en (−2, 0), creciente en(0, 2) y en (2,+∞).

Gra�quen con GeoGebra para apreciar este resultado.

Debe quedar claro que, para analizar el crecimiento de una función, es crucial conocer la existencia yel signo de su derivada. La forma directa de hacerlo es trabajar con desigualdades, como en el ejemploanterior, aunque no siempre será sencillo resolverlas.

Hay una técnica alternativa para conocer el signo de una función, que ya discutimos en la Unidad 2,basada en el Teorema del Valor Intermedio 2.5.19. Si una función es continua en un intervalo, y no seanula en todo ese intervalo, entonces su signo no cambia: o bien es positiva en todo el intervalo, o bien esnegativa en todo el intervalo, y para conocer el signo basta con un punto de muestra. Lo que tenemos quehacer ahora es aplicar esta técnica a la función derivada f ′(x). Podemos enunciar:

Propiedad 3.4.17. Sea f una función con derivada continua en un intervalo (a, b) tal que f ′(x) 6= 0en el intervalo abierto (a, b). Entonces,

si en un punto x0 ∈ (a, b) se encuentra que f ′(x0) > 0, entonces f ′(x) > 0 en todo el intervalo(a, b).si en un punto x0 ∈ (a, b) se encuentra que f ′(x0) < 0, entonces f ′(x) < 0 en todo el intervalo(a, b).

Dada una función f(x), una estrategia para analizar el signo de la función derivada f ′(x) se basa enpartir su dominio en los puntos donde la derivada valga cero y donde sea discontinua (porque no exista oporque no coincida con sus límites laterales). En detalle:

Encontrar el dominio de la función. Reconocer si está separado en distintos intervalos.Encontrar el dominio de derivabilidad de f (es decir, todos los puntos del dominio donde la derivadaexiste). Reconocer si está separado en distintos intervalos.Buscar todos los puntos del eje real donde la derivada f ′(x) sea discontinua. Si los hay, separar eldominio de derivabilidad en esos puntos.Buscar todos los puntos donde la derivada valga cero, f ′(x)=0. Si los hay, separar el dominio dederivabilidad en esos puntos.Hallar el signo de la derivada en cada intervalo abierto, determinado por las separaciones anteriores.Si lo han hecho bien10, en esos intervalos abiertos la derivada existe, es continua y es distinta decero. En consecuencia basta evaluar la derivada en un punto de prueba en cada intervalo parareconocer su signo.

Ejemplo 3.4.18. Estudiemos las regiones de crecimiento y decrecimiento de

f(x) =x2 + 1

x2 − 1

El dominio de f es (−∞,−1) ∪ (−1, 1) ∪ (1,+∞), porque el denominador se anula en −1 y 1. Laderivada existe en todo ese dominio; es discontinua en −1 y en 1.

En el dominio de derivabilidad, la derivada vale

f ′(x) = − 8x

(x2 − 1)2

y se anula en un solo punto, x = 0.Separando el eje real en x1 = −1 (donde la derivada no existe), en x2 = 0 (donde la derivada vale

cero) y en x3 = 1 (donde la derivada no existe) podemos armar una tabla:

10Es importante encontrar todos estos puntos. Si se saltean alguno, sus conclusiones podrían ser falsas.


intervalos (−∞,−1) (−1, 0) (0, 1) (1,+∞)

punto de prueba −2 −0.5 0.5 2signo de la derivada f´(−2) > 0 f´(−0.5) > 0 f´(0.5) < 0 f´(2) < 0

régimen de crecimiento creciente creciente decreciente decreciente

Observación 3.4.19. Los dos ejemplos anteriores son muy similares, y se aprecia que el primer métodoes más sencillo de aplicar. Recomendamos intentar el primer método, y recurrir al segundo solamentecuando no puedan resolver fácilmente las desigualdades f ′(x) > 0 y f ′(x) < 0

3.4.5. Una aplicación del Teorema de Rolle: estudio de la derivada en extremos de intervaloscerrados y en funciones de�nidas a trozos

A partir del Teorema de Rolle se puede deducir una regla práctica para decidir si existe la derivadalateral de una función en un extremo del intervalo de de�nición. También se puede aplicar paradecidircuándo existe la derivada de una función de�nida a trozos en un punto conociendo el comportamiento aa izquierda y a derecha de dicho punto. No vamos a demostrar esta regla, sólo les contamos el enunciado:

Teorema 3.4.20. Consideremos un intervalo I y x0 ∈ I. Sea una función f(x) continua en I y derivableal menos en I − {x0}.

Si existe el lımx→x+0

f ′(x) = A, entonces f es derivable por derecha en x0 y vale f ′+(x0) = A.

Si existe el lımx→x−0

f ′(x) = B, entonces f es derivable por izquierda en x0 y vale f ′−(x0) = B.

En particular, si existe el lımx→x0

f ′(x) = L, entonces f es derivable en x0 y vale f ′(x0) = L.

Ejemplo 3.4.21. Consideremos la función

f(x) =

x+ 2, si x < 0

2, si 0 ≤ x < 1

x2 − 2x+ 3, si x ≥ 1

Comprueben que f(x) es continua en todos los reales. Podemos a�rmar además que es derivable enR− {0, 1} (¾por qué? ) y que la expresión de la función derivada en esos puntos es

f ′(x) =

1, si x < 0

0, si 0 < x < 1

2x− 2, si x > 1

.

Calculemos los límites laterales de la función f ′ en x = 0 y en x = 1:

lımx→0−

f ′(x) = 1; lımx→0+

f ′(x) = 0; Entonces podemos a�rmar que existen las derivadas laterales

f ′−(0) = 1; f ′+(0) = 0. Como las derivadas laterales son diferentes, no existe f ′(0).lımx→1−

f ′(x) = 0; lımx→1+

f ′(x) = 2.1− 2 = 0; Entonces obtenemos que existen f ′−(0) = f ′+(0) =

0. Como las derivadas laterales son iguales, f es derivable en x = 0 y vale f ′(0).

Por supuesto, podríamos haber calculado las derivadas laterales por de�nición, es decir calculando loslímites de los cocientes incrementales. Hagámoslo para x = 0:

f ′−(0) = lım∆x→0−

f(∆x)− f(0)

∆x= lım

∆x→0−

∆x+ 2− 2

∆x= lım

∆x→0−

∆x

∆x= 1,

f ′+(0) = lım∆x→0+

f(∆x)− f(0)

∆x= lım

∆x→0+

2− 2

∆x= lım

∆x→0−

0

∆x= 0.


Pueden hacer lo mismo para x = 1 para comprobar los cálculos realizados.

Como siempre, no hay que olvidarse de veri�car todas las hipótesis antes de aplicar el Teorema. Deotra manera se podría llegar a resultados erróneos.

Ejemplo 3.4.22. Supongamos la función

f(x) =

{x, si x 6= 0

1, si x = 0

Podemos ver que es derivable en R − {0, } (¾por qué? ) y que la expresión de la función derivada enesos puntos es

f ′(x) = 1, si x 6= 0.

Calculando los límites laterales de la función f ′ en x = 0, comprobamos fácilmente quelımx→0−

f ′(x) = lımx→0+

f ′(x) = 1. Sin embargo, como f(x) no es continua en x = 0, no existe f ′(0).


Ejercicio 3.4.1. Determinen si las siguientes funciones son crecientes, o decrecientes, o ninguna delas dos, en los intervalos dados:

1. f(x) =√

25− x2, en el intervalo [0, 5] y en el intervalo [−5, 0]2. g(x) = x3, en los intervalos [−2, 0], [0, 2] y [−2, 2]

Ejercicio 3.4.2.a) Analicen si la función f(x) = 1/(x− 1) es creciente o decreciente en el intervalo (0, 1).b) Analicen si la función f(x) = 1/(x− 1) es creciente o decreciente en el intervalo (1, 2).c) Analicen si la función f(x) = 1/(x− 1) es creciente o decreciente en (0, 1) ∪ (1, 2).d) ½Recuerden que saltearse una discontinuidad puede arruinar cualquier análisis de crecimiento!

Ejercicio 3.4.3. Para cada función dada, determinen sin gra�car:

1. el dominio (en particular reconozcan si está partido en distintos intervalos).2. las discontinuidades, si las hay (registren los intervalos donde la función es continua).3. el dominio de derivabilidad (registren los intervalos donde la función derivada es continua).4. los puntos donde la derivada es nula o la derivada no existe.5. las regiones de crecimiento y decrecimento.6. �nalmente, gra�quen en computadora para apreciar los resultados anteriores.

g(x) = 13x

3 − 32x

2 + 2x− 1 de�nida en el intervalo [−1, 3]

h(x) = cos2 x− cosx en el intervalo [0, 2π]

Ejercicio 3.4.4. Encuentren los intervalos de crecimiento y de decrecimiento para las siguientesfunciones en todo su dominio natural.

f(x) = x4 − 2x2

g(x) = x√

16− x2

h(x) = cos(2x)


Ejercicio 3.4.5. ¾Es cierto que la función f(x) = cosh(x2)tiene un punto en el intervalo [−1, 1]

donde la recta tangente es horizontal? ¾Lo pueden contestar sin calcular la derivada?

Ejercicio 3.4.6. Justi�quen que la función f(x) =√x− 2 admite en el intervalo [2, 3] una recta

tangente paralela a la recta secante que pasa por (2, f(2)) y (3, f(3)). Encuentren el punto de tangenciay la ecuación de dicha recta.

Ejercicio 3.4.7. Estudien las derivadas de las funciones dadas en los ejercicios 3.3.5-3.3.7 utilizandoel teorema 3.4.20.

Ejercicio 3.4.8. Consideremos la función

f(x) =

{ex−1, si x ≤ 1

x2 − x+ a, si x > 1.

1. Hallen el valor de a para que la función sea continua en x = 1.2. Analicen si existe f ′(1).

Desafío (para pensar más) 3.4.9. Discutan la demostración del Teorema del Valor Medio, comoaplicación del Teorema de Rolle. Sugerencia: dada f(x) continua en un intervalo [a, b] y derivable en (a, b),estudien la función

g(x) = f(x)−[f(b)− f(a)

b− a(x− a) + f(a)

]Veri�quen que a g(x) se le puede aplicar el Teorema de Rolle, y vean que el punto x = c permite llegar ala conclusión del Teorema del Valor Medio para f(x). Encontrarán esta demostración en la página 174 de[Larson].

CLASE 3.5. EXTREMOS LOCALES Y ABSOLUTOS EN INTERVALOS 170

Clase 3.5. Extremos locales y absolutos en intervalos

Contenidos de la clase: Máximos y mínimos locales en puntos interiores al dominio de unafunción. Criterio de la derivada primera. Máximos y mínimos locales en puntos de bordedel dominio de una función. Máximos y mínimos absolutos. Problemas de optimización.

Una característica importante en la grá�ca de cualquier función es la existencia de puntos de máximaaltura, o de mínima altura. Su estudio está asociado a las nociones de crecimiento y decrecimiento queanalizamos en la clase anterior.

3.5.1. Extremos locales en puntos interiores del dominio

En la Unidad 1 describimos grá�camente máximos y mínimos locales: son casos en que el valor de unafunción en un punto x0 de su dominio toma valores mayores que en los puntos vecinos cercanos, o menoresque en los puntos vecinos cercanos, respectivamente. Vamos ahora a de�nirlos con precisión:

Definición 3.5.1. Dada una función f : D → R, y dado un punto x0 interior al dominio D, se diceque f tiene un máximo local en x0 cuando existe al menos un entorno de x0 donde f(x) ≤ f(x0).Se llama valor del máximo local al valor de f(x0).

Recordemos que x0 es un punto interior al dominio de una función f(x) cuando existe algún entornoE(x0, r) donde f(x) esté bien de�nida; es decir, tiene sentido evaluar f(x) un poco a la izquierda y unpoco a la derecha de x0. Que haya un máximo local en x0 signi�ca que para cierto radio r alrededor dex0 no se encuentra ningún número x donde la función valga más que en x0.

Ejemplo 3.5.2.La función f(x) = senx tiene un máximo local en x0 = π/2. Y como es periódica de período

2π, también tiene máximos locales en 5π/2, 9π/2, etc. Podemos escribir a todos estos máximos comoπ/2 + 2kπ, donde k es un número entero cualquiera. El valor en todos estos máximos es 1.

Otro ejemplo es la función g(x) = 4x3 − 3x, que tiene un máximo local en x0 = −1/2, dondef(x0) = 1.


De la misma manera se de�ne un mínimo local:

Definición 3.5.3. Dada una función f : D → R, y dado un punto x0 interior al dominio D, se diceque f tiene un mínimo local en x0 cuando existe al menos un entorno de x0 donde f(x) ≥ f(x0).Se llama valor del mínimo local al valor de f(x0).

En este caso, estamos pidiendo que haya un entorno alrededor de x0 donde la función no valga menosque en x0.

Ejemplo 3.5.4. La función f(x) = |x| tiene un mínimo local en x0 = 0.

¾Recuerdan si esta función es derivable en x0 = 0?

Ejemplo 3.5.5. La función f(x) = senx tiene mínimos locales en x0 = 3π/2, 7π/2, 11π/2, etc.odos estos mínimos de la forma 3π/2 + 2kπ, donde k es un número entero cualquiera. El valor en todosestos mínimos es −1.

La función g(x) = 4x3 − 3x tiene un mínimo local en x0 = 1/2, donde f(x0) = −1.Ambas grá�cas se pueden ver en el ejemplo 3.5.2.

Recuerden que hablamos de extremos locales para referirnos tanto a máximos como a mínimos locales.

La presencia de extremos locales está íntimamente relacionada con la noción de crecimiento: natu-ralmente no se encuentran ni máximos ni mínimos locales en un intervalo abierto donde la función seaestrictamente creciente o sea estrictamente decreciente. Observen en los ejemplos anteriores que cuando la


función es derivable en un extremo local, su recta tangente es horizontal. Aunque tambien podemos tenerun extremo en un punto donde su derivada no exista, como ocurre con el valor absoluto.

En primer lugar presentamos una condición necesaria para la existencia de un extremo relativo, su-poniendo la función derivable en dicho punto.Su demostración se presenta como desafío al �nal de estaclase:

Teorema 3.5.6. Dada una función f(x) y un punto x0 interior a su dominio,Si la función presenta un extremo local en x0 y la derivada f ′(x0) existe, entonces f ′(x0) = 0.

Un modo de interpretar este resultado es observando que si la función es derivable en x0 pero f ′(x0) 6= 0,la función no presenta en x0 un extremo local. Luego, a partir de este teorema, sólo se pueden encontrarextremos locales de f(x) en puntos donde la derivada no exista, o donde exista pero valga cero. Pararecordar esta propiedad se les da un nombre a estos puntos:

Definición 3.5.7. Puntos críticos de crecimientoDada una función f : D → R, se llaman puntos críticos de crecimiento de f a los puntos interioresal dominio D donde la función o bien no es derivable, o bien es derivable con derivada nula.Son los únicos puntos interiores al dominio de f donde pueden encontrarse máximos o mínimoslocales.

El teorema 3.5.6 reduce el problema de buscar extremos en puntos interiores a estudiar solamente lospuntos críticos.

Una vez que se ubica un punto crítico de crecimiento x0 de una función f(x), para saber si hay unmáximo o un mínimo local se debe estudiar el comportamiento de la función a ambos lados de x0:

si se encuentran intervalos de crecimiento o de decrecimiento a derecha y a izquierda de x0.si existen los límites por derecha y por izquierda de f(x)si existe f(x0)

Con esta información se puede decidir si f(x) presenta en x0 un máximo local, un mínimo local, o ningunode los dos. Veamos unos ejemplos.

Ejemplo 3.5.8.Analicemos el comportamiento de la función

f(x) =

{1− x, si x ≤ 0

x, si x > 0

Esta función tiene por dominio todos los reales. Es derivable en (−∞, 0), donde la derivada esnegativa, y en (0,+∞), donde la derivada es positiva. La función es discontinua en x0 = 0, luego noexiste f ′(0). Como el punto x0 = 0 es interior al dominio, y la derivada no existe, es un punto crítico.

Por el signo de la derivada la función es decreciente a la izquierda de x0 = 0 y es creciente a laderecha de x0 = 0.

Encontramos que lımx→0− f(x) = f(0) = 1 y que lımx→0− f(x) = 0 6= f(0), por lo que f(x) tieneuna discontinuidad tipo salto en x0 = 0.

Con esta información podemos esbozar un grá�co del comportamiento de la función alrededor dex0 = 0 y concluir que el valor f(0) = 1 no es máximo ni mínimo respecto de sus vecinos.


Conclusión: aunque la función pasa de decreciente a creciente, no hay un mínimo en x0 = 0, porqueel valor f(0) = 1 no es menor que el valor f(x) en los puntos vecinos a la derecha de 0. Tampoco hayun máximo, porque el valor f(0) = 1 no es mayor que el valor f(x) en los puntos vecinos a la izquierdade 0.

Observación: si cambiamos la función por

g(x) =

{1− x, si x < 0

x, si x ≥ 0

x0 = 0 sí es un mínimo local. La falta de continuidad hace que no podamos dar conclusiones generales,hay que mirar cada caso particular con cuidado.

3.5.2. Condiciones su�cientes para asegurar la existencia un extremo local: criterio de laderivada primera

Hay una situación importante y frecuente, en la cual podremos distinguir con certeza qué sucede enun punto crítico x0 estudiando la función derivada. Es el caso de funciones f(x) continuas en un puntocrítico x0.

Las hipótesis y los resultados de este análisis se pueden presentar como un teorema:

Teorema 3.5.9. Criterio de la derivada primera.Sea una función f : D → R, y un punto x0 interior a su dominio D, tal que existe un entorno de x0

de la forma E(x0, r) en el cual

f(x) es continua E(x0, r)f(x) es derivable en E(x0, r), excepto quizás en x0 (en otras palabras, f(x) es derivable almenos a la izquierda de x0, en (x0 − r, x0), y a la derecha de x0, en (x0, x0 + r))

Si

f ′(x) es positiva en (x0 − r, x0) (a la izquierda de x0) y f ′(x) es negativa en (x0, x0 + r) (ala derecha de x0), entonces la función f presenta un máximo local en x0.f ′(x) es negativa en (x0− r, x0) (o sea a la izquierda de x0) y f ′(x) es positiva en (x0, x0 + r)(o sea a la derecha de x0), entonces la función f presenta un mínimo local en x0.

Demostración. Las hipótesis de continuidad y derivabilidad permiten a�rmar el tipo de crecimientode f(x) a ambos lados del punto crítico, usando el teorema 3.4.9. En el primer caso, f(x) es creciente en(x0−r, x0] (o sea que allí f(x) ≤ f(x0)) y decreciente en ([x0, x0 +r) (o sea que allí también f(x) ≤ f(x0)),por lo que presenta un máximo local en x0. En el segundo caso, f(x) es decreciente en (x0−r, x0] y crecienteen ([x0, x0 + r), por lo que presenta un mínimo local en x0.

Observen que la demostración funciona cuando la función f(x) es derivable en un entorno reducidode x0, tanto en el caso en que no exista f ′(x0) como en el que sí exista f ′(x0) y valga cero. En base


a este teorema se puede decir que cuando una función continua pase de ser creciente a ser decreciente,presenta un máximo local; y cuando una función continua pase de ser decreciente a ser creciente, presentaun mínimo local.

Si la función no fuera continua en x0, la comparación del signo de la derivada a cada lado no permitesacar conclusiones; repasen el ejemplo 3.5.8.

Apliquemos el teorema 3.5.9 en un ejemplo:

Ejemplo 3.5.10. Busquemos máximos o mínimos locales de la función polinómica f(x) = x4 +4x3 + 6x2 + 4x+ 1, sin hacer su grá�ca. En primer lugar, f(x) es continua por ser un polinomio.

Calculemos su función derivada

f ′(x) = 4x3 + 12x2 + 12x+ 4

que existe y es continua en todo el eje real. Luego solamente puede haber puntos críticos donde laderivada sea nula. Para averiguarlos conviene factorear

f ′(x) = 4(x3 + 3x2 + 3x+ 1) = 4 (x+ 1)3

Igualando a cero encontramos un solo punto crítico, x0 = −1.Para saber el signo de la derivada a la derecha e izquierda de x0 = −1 necesitamos resolver las

desigualdades4 (x+ 1)3 > 0 y 4 (x+ 1)3 < 0

Aprovechando que las expresiones estan factoreadas, hay que ver el signo de cada factor (en este casouno solo, al cubo). Resolvemos que x+ 1 > 0 en el intervalo (−1,+∞) y que x+ 1 < 0 en el intervalo(−∞,−1). Es decir, f ′(x) < 0 en (−∞,−1) y f ′(x) > 0 en (−1,+∞).

Conclusión: la función f(x) presenta un único punto crítico en x0 = −1. Como en x0 = −1 lafunción es continua y pasa de decreciente a creciente, concluimos que es un mínimo local.

Actividad 3.5.11. Veri�quen el ejemplo anterior gra�cando con computadora, tanto la funcióncomo su derivada. Observen el mínimo local, las regiones de crecimiento y el signo de la derivada.

Actividad 3.5.12. Analicen la función g(x) = x3:

Comprueben que x0 = 0 es el único punto crítico de crecimiento de g(x). ¾Existe g′(0)? ¾Cuántovale?¾Es continua g(x) en x = 0?¾Existe algún intervalo de la forma (a, 0), a la izquierda de 0, donde g(x) sea creciente o decre-ciente?¾Existe algún intervalo de la forma (0, b), a la derecha de 0, donde g(x) sea creciente o decre-ciente?¾Existe un extremo local de g(x) en x = 0?


¾Es posible que en un punto del grá�co la recta tangente sea horizontal y la función no tengaun extremo?¾Podrían haber distinguido el comportamiento observado si sólo sabían que g′(0) = 0?

Ejemplo 3.5.13. Busquemos, sin conocer la grá�ca, extremos locales de la función

f(x) = x5 − x3

Primero buscamos los puntos críticos. El dominio es R; vemos que todos los números reales sonpuntos interiores. Calculamos la derivada usando reglas,

f ′(x) = 5x4 − 3x2

y comprobamos que la derivada existe en todo R , con lo que, además, f(x) es continua en todo sudominio . Nos resta ver si hay puntos donde f ′(x) = 5x4 − 3x2 = 0; esta ecuación tiene resultados

x1 = −√

35 , x2 = 0, x3 =

√35 , que son los únicos puntos críticos de f(x).

Para buscar intervalos de crecimiento a derecha e izquierda de cada punto crítico conviene factorear

f ′(x) = 5x2(x−

√35

)(x+

√35

).

Se puede concluir que g(x) es creciente en (−∞,−√

35), decreciente en (−

√35 ,√

35) y creciente en

(√

35 ,+∞).

Por lo tanto tiene un máximo local en x1 = −√

35 y un mínimo local en x3 =

√35 . El punto crítico

x2 = 0 no es ni máximo ni mínimo.

Actividad 3.5.14. Completemos el análisis del ejemplo gra�cando la función f(x) = x5 − x3 en

entornos pequeños (es decir, con mucho zoom) de x1 = −√

35 , x2 = 0, x3 =

√35 .

Observen el comportamiento local alrededor de cada punto crítico.Miren también la grá�ca en una porción grande de su dominio, y encuentren algún valor de x tal

que f(x) sea mayor que el máximo local en x1 = −√

35 . ¾Hay alguna contradicción?

En línea punteada agregamos la función derivada. Comprueben grá�camente que la región enque la derivada es negativa coincide con la región de decrecimiento de f(x).

Estudio de puntos que no son interiores al dominio: bordes de intervalos cerrados


Hasta ahora estudiamos con cuidado puntos interiores al dominio de una función. Para completarel análisis de extremos locales vamos a discutir un caso importante de puntos del dominio que no soninteriores: el caso en que el dominio incluya intervalos con bordes cerrados.

Actividad 3.5.15. Consideremos la función f : (1, 2]→ R con regla de asignación f(x) = 1/x. Enotra notación, podemos escribirla como

f(x) = 1/x, si 1 < x ≤ 2

¾Dónde es derivable esta función (es decir, cuál es el dominio de derivabilidad)?Comprueben que es decreciente en todo su dominio.¾Podríamos comparar el valor f(2) con puntos vecinos a la derecha de 2?¾Podríamos decir que la función tiene un mínimo local en x0 = 2, respecto de sus vecinos de laizquierda?

Tenemos que adaptar las de�niciones anteriores de extremos locales para que consideren los puntosdel dominio ubicados en bordes de intervalos cerrados. La idea en todos los casos es que se compare elvalor f(x0) con los vecinos de un solo lado, el que queda dentro del dominio. Habría que hacer cada unados veces, porque se van a enunciar distinto según sea un borde a la derecha (donde se puede estudiar lafunción sólo por izquierda), o sea un borde izquierdo (donde se puede estudiar la función sólo por derecha).Finalmente quedan adaptaciones muy razonables: los enunciados son similares al caso de puntos interiores,con el cuidado de referirse sólo al comportamiento lateral del lado correcto.

En vez de escribir todo este detalle, nos parece conveniente que hagan las adaptaciones cada vez quelas necesiten. Los dejamos con la siguiente

Afirmación 3.5.16. Cuando el dominio de una función incluye puntos de borde de intervalos cerra-dos, las de�niciones de extremo local se pueden adaptar, con el cuidado de referirse sólo al compor-tamiento lateral del lado correcto.

Podemos completar la actividad anterior, explicando las adaptaciones necesarias:

Ejemplo 3.5.17. La función f(x) = 1/x, si 1 < x ≤ 2,

es continua por izquierda en x0 = 2es decreciente en (1, 2]

Luego, tiene un mínimo local en x0 = 2, con valor f(2) = 0.5 (Observen en la grá�ca que encontramos"semi-entornos" de la forma (2− r, 2] donde f(x) ≥ f(2)).

Notemos también que en el borde izquierdo del dominio está el punto 1, que no pertenece al dominio.Es decir, no existe f(1) y ni siquiera se puede de�nir la derivada lateral. La única manera de explorarla función cerca de x = 1 es calcular límites laterales, por derecha. Sin embargo, no puede haber unextremo local donde la función no está de�nida.


Extremos absolutos

Una aplicación importante del estudio de funciones es el problema de optimización: hallar el valor de lavariable tal que la función tome el valor máximo posible, o mínimo posible, dentro de cierto dominio. Porejemplo, si describimos con una función la pureza de un preparado químico, querremos que sea máxima.O si describimos con otra función el nivel de radiaciones nocivas de un equipo médico, querremos que seamínima. Además, en situaciones reales podremos mover las variables en cierto rango acotado; en generalquerremos encontrar la solución óptima dentro de ese rango.

En el lenguaje de funciones vamos a hablar de máximos absolutos, o mínimos absolutos, de una funciónen un dado dominio. La de�nición precisa es

Definición 3.5.18. Dada una función f : D → R,se dice que f(x) tiene un máximo absoluto en D cuando existe un número c ∈ D tal que paratodo x en D resulta f(x) ≤ f(c).

En ese caso, se dice que la función f presenta un máximo absoluto en x = c, con valor f(c). Lagrá�ca de f muestra el máximo absoluto en el punto (c, f(c)).

se dice que f(x) tiene un mínimo absoluto en D cuando existe un número d ∈ D tal que paratodo x en D resulta f(x) ≥ f(d).

En ese caso, se dice que la función f presenta un mínimo absoluto en x = d, con valor f(d). Lagrá�ca de f muestra el mínimo absoluto en el punto (d, f(d)).

Se usa el término extremo absoluto a cualquiera de los dos casos.

Observación 3.5.19. Puede ocurrir que el valor máximo (o mínimo) absoluto se alcance en dos o máspuntos del dominio. En ese caso decimos que hay un valor máximo (o mínimo), que se presenta en talespuntos.

Ejemplo 3.5.20. La función f(x) = cosx, en el intervalo [0, 2π], alcanza un máximo absoluto devalor 1 en dos valores de x, x1 = 0 y x2 = 2π.

Y alcanza un mínimo absoluto de valor −1 una vez, en x3 = π. Lo pueden comprobar grá�camente.

La cuestión es: sin hacer la grá�ca ¾qué estrategia conviene seguir para determinar si existen extremosabsolutos, y dónde se presentan?

Sugerimos que:

analicen los intervalos de crecimiento, con la estrategia de la sección anterior.determinen los extremos locales en puntos interiores al dominio.revisen el comportamiento de la función en cada extremo de los intervalos de crecimiento (es decir,en cada punto crítico y en cada borde del dominio)� si la función es continua, deben evaluarla en esos puntos.� si la función no es continua, deben evaluar la función (si estuviera de�nida) y los límiteslaterales.

con esta información, esbocen una grá�ca y construyan su respuesta.

Ejemplo 3.5.21.Busquemos los extremos absolutos de f(x) = 4

9x3 − 2

3x2 − x en el intervalo cerrado [−1, 1].

La función, por ser un polinomio, es derivable en todos los puntos interiores al dominio dado, esdecir en (−1, 1). Entonces no hay que partir el dominio en puntos donde la derivada no exista.

La derivada f ′(x) = 43x

2 − 43x − 1 es continua y se anula en x1 = −1/2 y en x2 = 3/2. Debemos

partir el dominio en el punto crítico x1 = −1/2; el otro punto está fuera del dominio [−1, 1].


La tabla de regiones de crecimiento se puede armar así:

intervalos (−1,−1/2) (−1/2, 1)

punto de prueba −3/4 0signo de la derivada f ′(−3/4) = 3/4 > 0 f ′(0) = −1 < 0

régimen de crecimiento creciente decreciente

Evaluamos los extremos de los intervalos de crecimiento:

en x0 = −1 la función es continua por derecha. Como la función es creciente a la derecha de x0,tenemos un mínimo local, con valor f(−1) = −1/9.en x1 = −1/2 la función es continua. Como la función pasa de creciente a decreciente, tenemosun máximo local, con valor f(−1/2) = 5/18.en x2 = 1 la función es continua por izquierda. Como la función es decreciente a la izquierda dex2, tenemos un mínimo local, con valor f(1) = −11/9.

Con estos puntos y la información del crecimiento se puede esbozar la grá�ca a mano y, a partir de ella,comprobar que la función tiene un máximo absoluto en x1 = −1/2 y un mínimo absoluto en x2 = 1.

Agreguemos la grá�ca hecha con GeoGebra, para chequear nuestros resultados:

Ejemplo 3.5.22.Vamos a ver que hay casos en que no existen extremos absolutos. Completemos el estudio de

f(x) =x2 + 1

x2 − 1

Los intervalos de crecimiento que hemos separado son (−∞,−1), (−1, 0), (0, 1) y (1,+∞).

Comenzando por el "borde" en −∞, evaluamos limx→−∞f(x) = 1. El comportamiento de lafunción hacia la izquierda muestra valores cercanos a 1.En el punto x1 = −1 la función no está de�nida. Los límites laterales son lımx→−1− f(x) = +∞y lımx→−1+ f(x) = −∞, tenemos una asíntota vertical.En el punto x2 = 0 la función es continua Como pasa de ser creciente a ser decreciente encon-tramos un máximo local en x2 = 0, de valor f(0) = −1.En el punto x1 = −1 la función no está de�nida. Los límites laterales son lımx→1− f(x) = −∞y lımx→1+ f(x) = +∞, tenemos una asíntota vertical.Terminando con el "borde" en +∞, evaluamos limx→+∞f(x) = 1. El comportamiento de lafunción hacia la derecha muestra valores cercanos a 1.

Con esta información podemos esbozar un grá�co con�able. Concluimos en que no hay mínimo absoluto,porque en algún lugar la función tiende a −∞, y tampoco hay máximo absoluto, porque en algún lugarla función tiende a +∞.


Completemos el ejemplo grá�co hecho con GeoGebra, donde podemos corroborar los resultados quehemos obtenido analíticamente.

En trazo grueso está la función (también dibujamos en trazo punteado las asíntotas verticales). Seobserva el máximo local en (0,−1). No hay otros extremos locales. No hay máximo ni mínimo absolutos.

Propiedades de funciones continuas en intervalos cerrados

Teorema de existencia de máximos y mínimos absolutos en intervalos cerrados. Hemos vistovariados ejemplos donde encontramos o no encontramos extremos absolutos. En principio no reconocimosel caso hasta que terminamos los cálculos. Afortunadamente la situación es mucho más previsible cuandose trata de funciones continuas en intervalos cerrados. Intuitivamente, el trazo de una función continua sehace sin levantar el lápiz; al recorrer un dominio tipo intervalo cerrado, los valores de la función barrenuna imagen que resulta un intervalo cerrado, pasando por algún punto que es el más bajo del recorrido ypor otro punto que es el más alto del recorrido.

Esta intuición es correcta, como a�rma el importante

Teorema 3.5.23. (del Valor Extremo)Si una función f es continua en un intervalo cerrado [a, b], entonces alcanza tanto un mínimo comoun máximo absolutos en ese intervalo.

Este enunciado sencillo tiene una demostración delicada. Al igual que el Teorema del Valor Intermedio(teorema 2.5.19), se basa en que los números reales cubren la recta, sin dejar huecos.

No nos dice dónde se presentan los extremos absolutos, sólo asegura que existen. Para encontrarlos hayseguir las estrategias que ya hemos discutido. Es decir, hallar los puntos críticos de crecimiento (donde laderivada es nula o no existe) y considerar los extremos del intervalo cerrado. Como el teorema del valorextremo garantiza la existencia del máximo y mínimo absoluto, debe ser alguno de éstos. Sólo nos restacomparar los valores funcionales. para decidir cuál es mínimo y cuál es máximo.

Ejemplo 3.5.24. Como ilustración, repasen el Ejemplo 3.5.21. Como la función es continua en elintervalo cerrado [−1, 1], el Teorema del valor extremo nos asegura que existen el mínimo y el máximoabsoluto. Entonces, comparando los valores alcanzados en los tres extremos locales concluimos que lafunción tiene un máximo absoluto en x1 = −1/2, donde alcanza el valor f(−1/2) = 5/18 y un mínimoabsoluto en x2 = 1, donde alcanza el valor f(1) = −11/9.


3.5.3. Problemas de optimización

Los métodos para hallar valores extremos aprendidos en esta clase tienen aplicaciones prácticas enmuchas áreas. Podemos resolver problemas de maximizar áreas, volúmenes o utilidades, y minimizar dis-tancias, tiempos o costos. En la solución de esos problemas prácticos, el desafío es convertir el problemaque está descripto en palabras en un planteo matemático de optimización, es decir, reconocer las variablesapropiadas, la función que debe maximizarse o minimizarse, y el dominio donde esta función representaal problema.

Como consejos prácticos, podríamos enunciar los siguientes pasos:

leer el problema con cuidado, hasta que se entienda con claridad: ¾Cuál es la incógnita? ¾Cuálesson las cantidades dadas? ¾Cuáles son las condiciones dadas?puede ser útil diseñar un diagrama e identi�car en él las cantidades dadas y requeridas, y lasrelaciones entre ellas.asignar un nombre a la cantidad que se va a maximizar o minimizar. Esta será la función (por ejem-plo F ). Asimismo, elegir nombres de variables para las otras cantidades desconocidas y ubicarlosen el diagrama; por ejemplo, A para el área, h para altura o t para el tiempo.expresar la función F en términos de algunas de las variables. Si quedó escrita en términos demás de una variable, utilizar la información dada para hallar correspondencias (en la forma deecuaciones) entre estas variables y utilizarlas para despejar todas en términos de una sola. Asíquedará F como función de una sola variable, por ejemplo F (x).escribir el dominio de esta función en base a los datos del problema.

Una vez que está de�nida la función y su dominio, pueden aplicar todos los métodos estudiados para hallarlos extremos requeridos.

Ejemplo 3.5.25. Un granjero tiene 2400m de alambre para cercar un campo rectangular que limitacon un río recto. No necesita cercar a lo largo del río. ¾Cuáles son las dimensiones del campo que tengala super�cie más grande posible?

Para resolver este problema, conviene hacer primero un grá�co y describir la información que te-nemos. En este caso podemos escribir (por ejemplo) con x la profundidad y con y la longitud del ladoparalelo al río (ambos en metros) y seguidamente la función que expresa el área A que necesitamosmaximizar:

A = xy.

Si el área fuera función de una sola variable, podríamos aplicar todo lo que aprendimos para hallarextremos de una función. En este caso la información que poseemos es la longitud total de alambre, quepodemos escribir (en metros) como

2x+ y = 2400.

Despejando una de las variables, por ejemplo y = 2400− 2x, la función área queda escrita como

A(x) = x(2400− 2x).

Es fundamental reconcer el dominio de la función. Si bien el dominio natural son los números reales,para nuestro problema en particular las variables x e y representan longitudes, por lo cual x ≥ 0 ey = 2400− 2x ≥ 0. Resolviendo la desigualdad, debe ser x ≤ 1200.

Luego, nuestro problema es hallar el máximo de

A(x) = 2400x− 2x2 0 ≤ x ≤ 1200.

Ejemplo 3.5.26. Se quiere construir una lata cilíndrica que contenga 1000 cm3 de aceite. ¾Cuálesdeben ser las dimensiones de la misma para minimizar el costo del metal con el que se fabricará?


La lata está formada por el piso, la tapa y el costado. Llamemos r al radio de los dos círculos queforman el piso y la tapa. Si llamamos h a la altura de la lata y cortamos la lata verticalmente, vemosque el costado de la lata es un rectángulo cuyas dimensiones son 2πr y h.

Para minimizar el costo del material, tenemos que minimizar la super�cie total de la lata (doscírculos y un rectángulo), es decir

S = 2πr2 + 2πrh

Por otro lado, como el volumen de la lata debe ser de 1000cm3, tenemos una relación entre r y hdada por

πr2h = 1000.

Despejando h = 1000/(πr2), podemos escribir

S(r) = 2πr2 + 2000/r r > 0.

Ejemplo 3.5.27. Encontrar el punto sobre la parábola y2 = 2x que se encuentre más cercano alpunto (1, 4).

Este es un problema geométrico. La distancia entre el punto (1, 4) y un punto de la parábola (x, y)se calcula (usando el Teorema de Pitágoras) como

d =√

(x− 1)2 + (y − 4)2.

En primer lugar, como y2 = 2x, conviene usar y como variable. La función quedará escrita como

d =

√(y2

2− 1)2 + (y − 4)2.

Por otro lado, se puede ver que un punto y0 hace mínima la función d si y sólo si también hacemínima a la función d2. 11 Podríamos usar la función d, pero es más sencillo trabajar con la función d2.Luego el problema se describe como minimizar

f(y) = (y2

2− 1)2 + (y − 4)2 y ∈ R.

En cada caso, la técnica es plantear la función a minimizar o maximizar, encontrar relaciones quepermitan escribir la función en términos de una sola variable, y de�nir cuál es el dominio adecuado. Apartir de allí se pueden utilizar las técnicas aprendidas en esta clase para encontrar y clasi�car los posiblesextremos de la función. Recuerden que el criterio de la derivada primera permite clasi�car extremos locales,y que si estamos trabajando con una función continua en un intervalo cerrado, tenemos garantizada laexistencia de máximo y mínimo absoluto.


Ejercicio 3.5.1. Exploren si hay extremos absolutos en las siguientes funciones:

f(x) =

{2− x, si 0 ≤ x ≤ 1

x− 1, si 1 < x ≤ 2

g(x) =

{2− x, si 0 ≤ x < 1

x− 1, si 1 ≤ x ≤ 2

h(x) =

{2− x, si 0 ≤ x ≤ 1

2x− 1, si 1 < x ≤ 2

k(x) = exp(2x) en [−10, 10]


Ejercicio 3.5.2. Encuentren los puntos críticos y los intervalos de crecimiento y de decrecimiento paralas siguientes funciones, en los intervalos indicados o en todo su dominio natural. Indiquen qué encuentranentre dichos intervalos (máximos locales, mínimos locales, otras situaciones).

1. f(x) = 2x2−4

2. f(x) = 1/x− 1/x2 en (0,+∞)

Ejercicio 3.5.3. Completen los ejercicios 3.4.3 y 3.4.4 indicando (si existen) los máximos y mínimoslocales y absolutos.

Desafío (para pensar más) 3.5.4. Intenten seguir y completar la demostración del teorema 3.5.6:

Supongamos que x0 es un máximo local y que existe f ′(x0).Por ser máximo local, existe un entorno de x0 tal que f(x) ≤ f(x0) para todo x en ese entorno.

Suponiendo x a la derecha de x0, es decir x−x0 > 0, se deduce quef(x)− f(x0)

x− x0≤ 0.Tomando límite

para x→ x+0 obtenemos que f ′+(x0) ≤ 0.

Para x en el mismo entorno, pero ahora a la izquierda de x0, es decir x − x0 < 0, tenemos quef(x)− f(x0)

x− x0≥ 0.Tomando límite para x→ x−0 obtenemos que f ′−(x0) ≥ 0.

Como existe f ′(x0), sabemos que f ′(x0) = f ′+(x0) = f ′−(x0).Pero entonces, por las desigualdades anteriores, debe ser f ′(x0) ≤ 0 y f ′(x0) ≥ 0 , de donde concluimos

que debe ser f ′(x0) = 0 .

Ejercicio 3.5.5. Resolver los problemas de optimización planteados en los ejemplos de la sección3.5.3.

CLASE 3.6. ACTIVIDADES DE INTEGRACIÓN: DERIVADAS Y CRECIMIENTO 183

Clase 3.6. Actividades de integración: derivadas y crecimiento

Contenidos de la clase:- Reconstrucción de grá�cas aproximadas a partir de información analítica.- Ejercitación en estudio del crecimiento. Identi�cación de máximos y mínimos, locales

y absolutos.

Ejercicio 3.6.1. Encuentren los puntos críticos y los intervalos de crecimiento y de decrecimientopara las siguientes funciones, en los intervalos indicados o en todo su dominio natural. Indiquen quéencuentran entre dichos intervalos (máximos locales, mínimos locales, otras situaciones).

1. f(x) = 5− |x− 5|

2. f(x) = x2−3x−4x−2

3. f(x) = x2−5x+6x−2

4. g(x) = x√x− 9

5. f(x) = 2x5/3 − 5x4/3

6. f(x) = cosx/ (1 + senx)en el intervalo (−π/2, 3π/2)

7. f(x) = sen x cosx (aprovechando que las funciones seno y coseno son periódicas, trabajen primeroen el intervalo [0, 2π] y luego completen el análisis - por periodicidad- en todo el eje real)

Ejercicio 3.6.2. Consideren una función f(x) derivable en el intervalo [−1, 1], con derivada continua.La tabla muestra los valores de f ′(x) en algunos puntos elegidos. Dibujen una grá�ca aproximada de f(x),señalando puntos críticos y extremos relativos:

x −1.0 −0.75 −0.5 −0.25 0 0.25 0.5 0.75 1.0

f ′(x) −10 −3.2 −0.5 0.8 5.6 3.6 −0.2 −6.7 −20.1

(además del signo, respeten el valor de las derivadas! Recuerden que f ′(x0) representa la pendiente de larecta tangente).

Ejercicio 3.6.3. Las siguientes grá�cas representan la función derivada f ′(x) de cierta función con-tinua f(x). Determinen en cada caso (si existen) los puntos críticos, las regiones de crecimiento y decrec-imiento y los máximos y mínimos locales.

a) b)

Ejercicio 3.6.4. Conocer la continuidad, derivada y algunos límites de una función nos da informaciónsobre su grá�ca, sin hacerla en detalle. La simetría, además, reduce el trabajo. Esbocen la grá�ca de unafunción f(x) que:

CLASE 3.6. ACTIVIDADES DE INTEGRACIÓN: DERIVADAS Y CRECIMIENTO 184

1. tenga asíntota horizontal y = 2 tanto a la derecha como a la izquierda; que sea continua en R; quetenga derivada negativa para x < 0 y derivada positiva para x > 0 .

2. tenga límites limx→−∞ f(x) = +∞ y limx→+∞ f(x) = −∞; que sea continua en R; que tengaderivada negativa en (−∞,−2) y en (4,+∞) y positiva en el resto del eje real.

3. tenga límite limx→−∞ f(x) = −∞; que sea continua en R; que tenga derivada positiva en (−∞,−2)y negativa en (−2, 0); que sea par; que sea derivable en x = 0.

4. tenga dominio (0, 10); que sea derivable con derivada positiva en todo el dominio excepto enx = 5; que sea continua en x = 5; que tenga asíntota vertical x = 10, con la función creciendo porizquierda. En este caso dibuje más de una función compatible con los datos dados.

Ejercicio 3.6.5. Encontrar máximos y mínimos absolutos, si los hay.

1. f(x) = 4− x2, en el intervalo (−3, 1]

2. V (x) = 27x− 14x

3, en el intervalo [0,√

108].

3. A(x) = (x+ 3)(

24x + 2

), en todo su dominio.

4. f(x) = cosh (3x), en el intervalo [−2, 5].

Observación: los ítems 2 y 3 corresponden al planteo de problemas concretos, desarrollados en la sección3.7 del libro de [Larson]. Hay copias de este libro disponibles durante el horario de clase.

Ejercicio 3.6.6. Dada la función y = 2 tan (πx/4), ¾Cuál es el valor mínimo que puede tener lapendiente de la recta tangente en distintos puntos del intervalo (−2, 2)?

Ejercicio 3.6.7. En cada ítem, plantear primero la función a optimizar e indicar el dominio corre-spondiente. Luego resolver el problema.

1. Encontrar dos números reales cuya suma es 23 y cuyo producto sea máximo.2. Encontrar dos números reales cuya diferencia sea 100 y cuyo producto sea mínimo.3. Encontrar dos números positivos cuyo producto sea 100 y cuya suma sea mínima.4. Encontrar las dimensiones de un rectángulo con un perímetro de 100m cuya área sea lo más grande

posible.5. Un modelo aplicado para el rendimiento Y de un cultivo agrícola como una función del nivel de

nitrógeno N en el suelo (que se mide en unidades apropiadas) es

Y (N) =kN

1 +N2

donde k es una constante positiva. ¾Qué nivel de nitrógeneo proporciona el mejor rendimiento?6. Una caja con base cuadrada y parte superior abierta debe tener un volumen de 32000 cm . En-

contrar las dimensiones de la caja que minimicen la cantidad de material usado.

EJERCICIO PARA AUTOEVALUACIÓN - UNIDAD 3 185

Ejercicio para autoevaluación - Unidad 3

Ejercicio 4. Consideren la función f(x) = |x2 − 2x|.

1. Comprueben que es continua en todo su dominio.2. Encuentren el dominio donde pueden derivar utilizando reglas conocidas y hallen la expresión de

la función derivada en esos puntos. ¾Es derivable en x = 0 y en x = 2?3. Determinen los puntos ctríticos de crecimiento y las regiones de crecimiento y decrecimento.4. Determinen los máximos y mínimos locales, si los hay. ¾Alguno de ellos es absoluto?5. Encuentren la ecuación de la recta tangente a f(x) que sea paralela a la recta 2y − 8x = 9.

Finalmente, gra�quen la función para apreciar los resultados anteriores.

Ejercicio 5. Se debe diseñar un tanque de base cuadrada y paredes verticales, sin tapa, cuyo volumensea de 125m3. El costo del material para la base es de $24 por metro cuadrado, y para las paredes es de$12 por metro cuadrado. Calculen las dimensiones del tanque de modo que el costo de los materiales seamínimo.

EJERCICIO PARA AUTOEVALUACIÓN - UNIDAD 3 186

análisis matemático i – cibex · porque el camino es una recta. en la ... quizás 1 cmalcance...

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