analisis matematico de la universidad de loja.pdf

UNIVERSIDAD TCNICA PARTICULAR DE LOJALa Universidad Catlica de Loja

MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA

CARRERA:Ingeniera en Informtica

AUTOR (A):Marco Vinicio Morocho Yaguana

MATERIAL DE USO DIDCTICO PARA ESTUDIANTES DE LA UNIVERSIDAD TCNICA PARTICULAR DE LOJA,PROHIBIDA SU REPRODUCCIN TOTAL O PARCIAL POR CUALQUIER MEDIO

OCTUBRE 2007 - FEBRERO 2008

Reciba asesora virtual en: www.utpl.edu.ec

ESCUELA DE CIENCIAS DE LA COMPUTACIN

GUA DIDCTICA

CICLO

3

CLCULO I

INESText Box ABRIL / 2008 - AGOSTO / 2008

CLCULO IGua DidcticaMarco Vinicio Morocho Yaguana

2007, UNIVERSIDAD TCNICA PARTICULAR DE LOJA

Diagramacin, diseo e impresin:EDITORIAL DE LA UNIVERSIDAD TCNICA PARTICULAR DE LOJACall Center: 593 - 7 - 2588730, Fax: 593 - 7 - 2585977C. P.: 11- 01- 608www.utpl.edu.ecSan Cayetano Alto s/nLoja - Ecuador

Segunda edicinCuarta reimpresin

ISBN-978-9978-09-815-8Derechos de Autor:026656

Reservados todos los derechos conforme a la ley. No est permitida la reproduccin total o parcial de esta gua, ni su tratamiento informtico, ni la transmisin de ninguna forma o por cualquier medio, ya sea electrnico, mecnico, por fotocopia, por registro u otros mtodos, sin el permiso previo y por escrito de los titulares del Copyright.

Agosto, 2007

NDICE

ITEM PGINA

INTRODUCCION .................................................................................................................................5OBJETIVOS GENERALES ................................................................................................................5CONTENIDOS ....................................................................................................................................5BIBLIOGRAFIA ...................................................................................................................................6ORIENTACIONES PARA EL ESTUDIO .......................................................................................7

PRIMER BIMESTRE

OBJETIVOS ESPECIFICOS ..............................................................................................................9CONTENIDOS .....................................................................................................................................9DESARROLLO DEL APRENDIZAJE ...........................................................................................10

Mdulo p Resumen de ecuaciones de la recta ...................................................................14 MDULO 1 Lmites y sus propiedades ........................................................................................27 MDULO 2 La Derivada .....................................................................................................................45

SEGUNDO BIMESTRE

OBJETIVOS ESPECIFICOS ..............................................................................................................51CONTENIDOS ....................................................................................................................................51DESARROLLO DEL APRENDIZAJE ............................................................................................52

MDULO 3 La regla de la Cadena ..............................................................................................52MDULO 4 Aplicaciones de la Derivada .....................................................................................62

ANEXOS ................................................................................................................71

EVALUACIONES A DISTANCIAF

UNIVERSIDAD TCNICA PARTICULAR DE LOJA La Universidad Catlica de Loja

PRELIMINARES Gua Didctica: Clculo I

Introduccin

El Clculo pertenece al grupo de materias denominadas del rea Matemtica propiamente dicha, posee contenidos bsicos indispensables a todo estudiante que se interese por las ciencias tcnicas, cualquiera sea su orientacin ( Ingeniera informtica, elctrica, ciencias contables, administrativas, econmicas, actuariales, etc). Y se puede afirmar sin error que todo profesional tcnico no podr leer con soltura la bibliografa actualizada de nivel superior, sin poseer los conceptos bsicos del Clculo. Esta asignatura exige conocimientos de lgebra y recordar los contenidos de Geometra. Debe mencionarse que resulta imprescindible el conocimiento de elementos bsicos de Geometra Analtica del plano, para adquirir con provecho los conceptos de nuestra asignatura. La carencia en la mayora de los alumnos de estos tpicos dificultan la enseanza y el aprendizaje de nuestra disciplina, aconsejando que sea repasado convenientemente el mdulo de preparacin para el Clculo.

En este curso se pretende que el estudiante aprenda a utilizar el Clculo en la solucin de problemas matemticos que puedan presentarse a lo largo de sus estudios y en la carrera profesional.

PRIMER BIMESTRE

Mdulo p: Preparacin para el Clculo

P1 Grficas y modelos P2 Modelos lineales y ritmos o velocidades de cambio P3 Funciones y sus grficas

Mdulo 1: Lmites y sus propiedades

1.1 Una mirada previa al Clculo 1.2 Clculo de lmites por medio de los mtodos grfico y numrico 1.3 Clculo analtico de lmites 1.4 Continuidad y lmites laterales o unilaterales 1.5 Lmites infinitos

Mdulo 2: Derivacin

2.1 La derivada y el problema de la recta tangente 2.2 Reglas bsicas de derivacin y ritmos o velocidades de cambio 2.3 Reglas del producto, del cociente y derivadas de orden superior

Objetivo General

Contenidos


PRELIMINARESGua Didctica: Clculo I

SEGUNDO BIMESTRE

Mdulo 3: 2.4 La regla de la cadena

2.5 Derivacin implcita

Mdulo 4: Aplicaciones de la derivada

3.1 Extremos en un intervalo 3.2 Teorema de Rolle y teorema del valor medio. 3.3 Funciones crecientes y decrecientes. Criterio de la primera derivada 3.4 Concavidad y el criterio de la segunda derivada 3.5 Lmites en el infinito 3.6 Anlisis de grficas 3.7 Problemas de optimizacin

Texto Bsico

LARSON R., HOSTETLER R., EDWARDS B., Clculo I, 8va edicin, Editorial McGraw-Hill Interamericana, Mxico 2006

Este libro se ha escogido por su interesante y clara exposicin de los temas, un enfoque moderno y desde luego sus mltiples aplicaciones del Clculo en la solucin de problemas tcnicos. El texto esta organizado en 9 captulos, de los cuales nosotros vamos a revisar solamente los tres primeros, como es ya tradicional en nuestro pas al impartir esta asignatura. El libro es bastante didctico, y los conceptos fundamentales se exponen con mucha claridad a lo largo de todo el libro comenzando por ms sencillo hasta lo ms complejo. Adems el texto le permitir disponer de otros temas en los cuales Ud. puede emprender individualmente.

Bibliografa Complementaria 1. Robert Smith y Roland Minton, Clculo, Tomo 1, Primera Ed. McGraw-Hill, Bogot, 2000.

Este libro es didctico, tiene un enfoque moderno y muchas aplicaciones en la solucin de problemas tcnicos del diario vivir. Este le puede servir como texto adicional.

2. Lara J. Arroba R. Anlisis Matemtico, Centro de Matemtica de la Universidad Central.1982.

En este libro se exponen los temas desde un punto de vista ms formal, y le puede ayudar a desarrollar ms destrezas para el dominio de este apasionante tema de la matemtica.

3. Purcell,E. Varberg, D. Clculo diferencial e integral, Sexta Ed. Prentice Hall. Mxico,1993.

Este texto tambin le puede servir en mucho por cuanto trae abundante informacin relacionada con los temas que tratamos.

Bibliografa


PRELIMINARES Gua Didctica: Clculo I

En general cualquier libro sobre el tema le va a servir de mucha ayuda por cuanto como Ud. conoce no hay libro malo, siempre se encuentra algo, siempre se aprende algo de cualquier libro.

Recuerde que el verdadero estudiante Universitario, no debe conformarse o limitarse exclusivamente al contenido programtico de una asignatura.

Para iniciarse en esta materia, permtame hacerle algunas sugerencias para el estudio. Es bien conocido que el Clculo es difcil para muchos estudiantes; le pido por favor que no se deje impresionar por esta apreciacin, pues varias de las dificultades con las que Ud. se topar no son precisamente del Clculo sino del lgebra, por eso le pido por favor que lea detenidamente el primer Mdulo p (Preparacin para el Clculo), el cual le va a ayudar mucho para recordar cosas que a lo mejor ya se olvidaron; en l se enfocan aspectos del lgebra, geometra y la trigonometra que le van a ser tiles a medida que avance en el estudio del Clculo. De igual manera se revisan los conceptos de funcin el cual es clave para es estudio del Clculo, la composicin de funciones, etc, pues el lenguaje del Clculo es el lenguaje de las funciones.

En el Mdulo 1, se introducen los conceptos de lmites y continuidad, que son de gran importancia, ya que el lmite es la piedra fundamental sobre la cual se fundamenta el Clculo. La idea de lmite nosotros la desarrollaremos de una manera intuitiva, sin llegar a formalismos que generalmente son abstractos. Lo que se persigue es que se reconozca la importancia del concepto de lmite en el Clculo. As mismo en este mdulo se analizan los conceptos de continuidad de una funcin, el cual es muy importante al analizar problemas en donde se tiene como variable independiente al tiempo, al espacio, etc, es decir a cantidades que no sufren saltos de ninguna especie.

En el Mdulo 2, se introduce el concepto de derivada y se desarrolla las reglas para derivacin de funciones algebraicas, as como el concepto de derivacin de funciones trigonomtricas. El concepto de derivada lleva consigo la definicin de lo que es lmite, as que primeramente introduciremos el concepto de derivada partiendo de la idea de lmite de la razn de incrementos, luego encontraremos reglas ms precisas para derivar funciones de cualquier tipo. En este sentido, el concepto matemtico no significa precisamente que haya dominado algunas frmulas y pueda simplemente aplicarlos a los ejercicios que ms o menos se asemejan. Dominar significa que Ud. entiende el concepto y entiende porqu ste es cierto. Quiz pueda desalentarse al saber que los Clculos rutinarios resultan inadecuados para el Clculo. Sin embargo al estudiar el porque de los algoritmos, Ud. desarrollar sus habilidades para analizar problemas y no resolverlos en forma mecnica. Preste atencin a las demostraciones puesto que all se dan ideas que aparecen en las aplicaciones. Las demostraciones son importantes, no porque prueben que un teorema es cierto; despus de todo algunos de los teoremas han sido demostrados desde hace por lo menos dos siglos atrs y por ahora, nadie esta cuestionando su validez. Las demostraciones le dan a Ud. la oportunidad de repasar los conceptos bsicos y reducir la tensin de memorizar y sobre todo le ayudarn a desarrollar en Ud. un razonamiento formal lgico que es la piedra angular de toda la carrera.

El plan de trabajo de la materia esta hecho para que se abarquen los mdulos p, 1, 2; en el primer bimestre, mientras que los mdulos 3 y 4 se los deja para el segundo bimestre, por esto le recomiendo que confeccione un horario de trabajo diario o semanal para el estudio de esta materia de manera que alcance a cubrir dichos mdulos.

Un tiempo de seis horas por semana son ms o menos aconsejables para asegurar un buen desarrollo del curso.

En el Mdulo 3 analizamos la derivacin de funciones ms complejas como son las funciones compuestas para esto nos valdremos de la regla de la cadena para derivar las mismas. Aqu Ud. va a sentir realmente el poder del Clculo.

F

Orientaciones Generales


PRELIMINARESGua Didctica: Clculo I

En el Mdulo 4 usaremos la potencia del Clculo para aplicarlo en problemas que requieran de maximizacin o minimizacin problemas que a lo mejor Ud. Se topar en asignaturas como comunicaciones, algoritmia, teora de colas, etc. As mismo nos ayudaremos del Clculo para la construccin de grficos de funciones complejas y analizaremos sus puntos caractersticos. Desde luego que as a simple vista no se ve la aplicacin directa del Clculo en la vida real, pero si Ud. piensa que una funcin dada representa por ejemplo el costo de los materiales para cierto estudio de cableado estructurado, entonces a Ud. lo que le interesar saber cul es el momento en que esos gastos son mnimos. De la misma forma Ud habr visto en los supermercados que prcticamente todos los tarros de conservas tienen el mismo porte. Estos dos ejemplos son aplicacin directa del Clculo. A continuacin se presenta un plan de desarrollo general del presente curso en semanas Tema Tiempo

PRIMER BIMESTRE

Grficas y modelos matemticosModelos lineales y ritmos o velocidades de cambio

Semana 1

Funciones y sus grficas Semana 2Una mirada previa al ClculoClculo de lmites por medio de los mtodos grficos y numrico

Semana 3

Clculo analtico de lmites Semana 4Continuidad y lmites laterales o unilateralesLmites Infinitos

Semana 5

La derivada y el problema de la recta tangente Semana 6Reglas bsicas de derivacin y ritmos o velocidades de cambio Semana 7Regla del producto, del cociente y derivadas de orden superior Semana 8

SEGUNDO BIMESTRE

La regla de la cadena Semana 9Derivacin implcita Semana 10Extremos en un intervaloEl teorema de Rolle y el teorema del valor medio

Semana 11

Funciones crecientes y decrecientes y el criterio de la primera derivada Semana 12

Concavidad y el criterio de la segunda derivada Semana 13Lmites al infinito Semana 14Anlisis de grficas Semana 15Problemas de optimizacin Semana 16

Interactividad a travs del Campus Virtual

Ingrese peridicamente al campus virtual que se encuentra en la siguiente direccin: http://www.utplonline.edu.ec para familiarizarse con el tema y conocer sus compaeros.

Durante el semestre se planearn foros uno por bimestre, al cual es necesario y obligatorio intervenir.

Antes de referirse a un ejemplo o resolver algn problema planteado, asegrese que los conceptos que le preceden estn asimilados y que el ejercicio simplemente sirva para reforzar los mismos.

F


PRIMER BIMESTRE Gua Didctica: Clculo I

1. Determinar los lmites de una funcin.

2. Determinar la continuidad de una funcin en un punto.

3. Aplicar los teoremas sobre diferenciacin a la derivacin de funciones.

4. Aplicar el concepto sobre derivada para la solucin de problemas en donde existen ritmos de cambio continuo.

Mdulo p: Preparacin para el Clculo

P1 Grficas y modelos P2 Modelos lineales y ritmos o velocidades de cambio P3 Funciones y sus grficas

Mdulo 1: Lmites y sus propiedades

1.1 Una mirada previa al Clculo 1.2 Clculo de lmites por medio de los mtodos grfico y numrico 1.3 Clculo analtico de lmites 1.4 Continuidad y lmites laterales o unilaterales 1.5 Lmites infinitos

Mdulo 2: Derivacin

2.1 La derivada y el problema de la recta tangente 2.2 Reglas bsicas de derivacin y ritmos o velocidades de cambio 2.3 Reglas del producto, del cociente y derivadas de orden superior

PRIMER BIMESTREObjetivos Especficos

Contenidos

UNIVERSIDAD TCNICA PARTICULAR DE LOJA La Universidad Catlica de Loja10

PRIMER BIMESTREGua Didctica: Clculo I

Desarrollo del Aprendizaje

Se recomienda que Ud. distinguido estudiante, lea primeramente las pginas de 10 a 13 antes de iniciar la lectura del texto, ya que revisamos un poco acerca de los nmero reales. Luego de que termine de analizar estos tpicos; podemos iniciar la lectura del texto comenzando por la grfica de una ecuacin en la pgina 2.

Propiedades de los nmeros Reales

Sean a, b, c nmeros reales, se tiene que:ADICION MULTIPLICACION1. Ley Clausurativa a +b es un nmero real ab es un nmero real2. Ley Conmutativa

a +b = b + a ab = ba3. Ley Asociativa

a + (b + c) = (a +b)+ c a(bc) = (ab)c4. Propiedad de Identidad

a + 0 = 0+ a , 0 es neutro aditivo a 1= 1 a , 1 es neutro multiplicativo5. Propiedad de del Inverso

a + (a) = 0 = (a)+ a , -a es el inverso aditivo a 1

a= 1= 1

a a ,

1a

, es el inverso multiplicativo

6. Propiedad Distributiva

a) a(b + c) = ab + ac b) (a +b)c = ac +bc7. Ley Cancelativa

Si a +b = b + c , entonces a = c Si a b = b c , entonces a = c8. Ley de multiplicacin por cero

a 0 = 0 a = 0 Si a b = 0 , entonces a = 0 o b = 0 o ambos son cero

Con estas propiedades y entendiendo que a, b, c representan cualquier nmero real podemos pasar a revisar un poco la recta numrica:

Si a esta a la izquierda de b, se dice que a es menor que b y se escribe as: a < b .

As de esa forma tambin se pueden tratar a las relaciones de mayor que (>) y de menor que (

UNIVERSIDAD TCNICA PARTICULAR DE LOJA La Universidad Catlica de Loja 11


a) Si a < b y c es cualquier nmero real se tiene: a + c < b + c

b) Si a < b y c es positivo, entonces a c < b c

c) Si a < b y c es negativo, se tiene que a c > b c

Obsrvese la propiedad a indica que se puede sumar a ambos miembros una misma cantidad y esta relacin no se altera, (sigue siendo menor que).

La segunda manifiesta que se puede multiplicar por un nmero positivo, y esta relacin no se altera (sigue siendo menor que).

Mientras que al multiplicarse por un nmero negativo, esta relacin cambia de sentido (cambia a mayor que).

Existen algunas inecuaciones llamadas simultneas como por ejemplo:

a < x < b lo cual significa que se da tanto que a < x y que x < b , fjese que ese y es muy importante por cuanto significa que el conjunto de valores que convierten en verdadero el enunciado anterior esta en la interseccin de los conjuntos determinados por las relaciones anteriores a < x y que x < b o sealndolo de otra forma sera que a < x y x < b deben observarse al mismo tiempo.

Miremos el siguiente ejemplo:

Resolver la siguiente inecuacin: 7 2x +1< 19

Del problema, se deduce que: a) 7 2x +1 b) 2x +1< 19Tomando la expresin a tenemos que: 7 1 2x

Luego 8(1

2) 2x(1

2) ,

4 x

De la parte b igualmente tenemos:

2x +11< 191, luego se tiene que: 2x(

12

) < 18(12

)

Finalmente se tiene que x < 9

Es decir la solucin esta en la interseccin entre x < 9 y 4 x

La solucin expresada como intervalo sera: 4,9 )

Cuando se resuelven desigualdades que llevan fracciones, es necesario que estas estn relacionadas con respecto de cero.



Miremos el siguiente ejemplo:

Resolver la siguiente desigualdad:

x 1x 2

1

En este caso en necesario pasar el -1 a la izquierda, para no perder el hecho de que para que la desigualdad tenga sentido, no debe existir la divisin por cero. Por eso se tiene:

x 1x 2

+1 0

Luego se tiene,

x 1+ x 2x 2

0

2x 3x 2

0

Como podemos observar, para que este cociente tenga sentido, se debe considerar dos cosas: que la razn entre estos dos nmeros sea positiva, tanto numerador y denominador deben tener el mismo signo y que el numerador sea cero, es decir 2x 3 0 y x 2 0 - ambos son positivos o 2x 3 0 y x 2 0 - ambos son negativos.

Sin embargo no se debe perder de vista que x-2 0. (evitamos la divisin por cero).

De la primera relacin, se tiene que: x 3

2y x > 2

De la segunda relacin se tiene: x 3

2y x < 2

De los diagramas realizados, se tiene el conjunto solucin que es:

x ,3 / 2( ) 2,( )Una definicin que se emplea muy a menudo en el Clculo es el de valor absoluto, cuya definicin es como sigue:

x = x si, x 0

x si, x < 0

Esta definicin requiere de interpretacin y es la siguiente: ella dice, si x es un nmero positivo, entonces tmese el mismo nmero y si este es negativo, entonces tmese el nmero cambiado de signo. Por lo tanto podemos decir que el valor absoluto siempre es positivo.



Por ejemplo:

Si x = 4, entonces 4 = 4 Hemos tomado el mismo nmero,

Si x = - 4, entonces 4 = (4) = 4 . Hemos tomado el nmero con el signo cambiado.

De igual forma se tiene para una funcin f(x) = f(x) si, f(x) 0

f(x) si, f(x) < 0

La definicin de valor absoluto, nos lleva a lo que conocemos como la distancia entre dos puntos.

Consideremos dos puntos ubicados en la recta real, entonces la distancia entre estos se representa

como a b . Vase el grfico.

As mismo, el valor absoluto nos puede llevar a plantear desigualdades con valor absoluto.

Analicemos el siguiente ejemplo:Resolver la siguiente desigualdad:

x 2 < 5

Por la definicin de valor absoluto se tiene dos alternativas:

x 2 < 5 y (x 2) < 5Es decir se tiene:

x < 7 y x > 3Tratemos de llevar todas estas relaciones a la recta real,

Como vemos, hemos buscado el conjunto de nmeros tales que la distancia hasta el punto 2 sea menor que 5.

Como resultado de todo este anlisis tenemos que x 3, 7( ) .

En el presente curso nos vamos a dedicar al estudio de las relaciones numricas, para lo cual; como una herramienta poderosa vamos a utilizar el plano Cartesiano.

Un punto en el plano suele escribirse siempre de la forma P(x, y), en donde x es la primera componente

y = f(x) y la segunda componente.

Muchas de las ideas del Clculo se comprenden con la ayuda de grficos, es por esto Ud. debe conocer y realizar los grficos de las funciones ms conocidas.Como por ejemplo: y = x

2 , y = x3 , y = sin(x), y = cos(x) .

Algunos de los grficos se dan en la pgina 22 del texto.



Mdulo p

Lea detenidamente este mdulo ya que aqu se explican algunas de las herramientas que utiliza el Clculo y que a lo mejor Ud ya los olvido.

Para confeccionar una grfica en el plano cartesiano, hay que tener en cuenta algunos puntos caractersticos de sta, tales como puntos de interseccin con los ejes, simetras, puntos mximos y mnimos, puntos de inflexin; estos tres ltimos se los revisar en el segundo bimestre.

Estos tpicos los puede ver en las pginas 4-6 del libro texto.

Resumen de ecuaciones de la recta

Podemos resumir los varios tipos de ecuaciones de la recta usados, lo importante es reconocer cuales son los datos con que contamos:

a) Ecuacin de los dos puntos:

y y

1= y2 y1

x2 x

1

(x x1)

b) Ecuacin punto pendiente:

y y1 = m(x x1)c) Ecuacin con ordenada en el origen

y = mx +b

d) Ecuacin simtrica abscisa ordenada al origen.

xa+ y

b= 1, a,b 0

e) Ecuacin general de la recta

Ax +By +C = 0

Debemos tener a mano las formas matemticas de la ecuacin de recta y los datos que se necesitan para determinarla.

Ud debe conocer como se identifican rectas paralelas y rectas perpendiculares.

Se dice que dos rectas son perpendiculares mutuamente, si el producto de sus pendientes es menos uno.

As, si m1 representa a la pendiente de la recta L1 y m2 a la recta L2, entonces se tiene que:

m1.m2 = 1. O lo que es lo mismo m

1= 1

m2

Analicemos el siguiente ejemplo:

Determinar la ecuacin de la recta que es perpendicular a la recta cuya ecuacin es: 2x y 3 = 0 y pasa por el punto P(-1, 2 ).

F



De lo anteriormente sealado, se tiene: si m1 y m2 representan a las pendientes de esas rectas, entonces m1.m2 = -1.

Si hacemos que m1 represente la pendiente de la recta 2x y 3 = 0 , entonces m2 representar la

pendiente de la recta buscada, es decir m

2= 1

m1

De la ecuacin dada se tiene que, la ecuacin es del tipo Ax +By +C = 0 en donde m

1= A

B. Por

tanto, se tiene que m

1= A

B= 2

1= 2 .

Recordando que el producto de las pendientes es - 1, se tiene que m

2= 1

2.

Se conoce que el punto P(-1, 2 ) y la pendiente m

2= 1

2 de la ecuacin buscada por tanto utilizamos

la forma de la ecuacin de la recta punto pendiente cuya forma es:

y y1 = m(x x1) ,

En donde las coordenadas x1 y y1 representan las coordenadas del punto conocido P, m representa su pendiente y, x y representan a las coordenadas genricas de la recta.

Sustituyendo los datos en la ecuacin, se tiene: y 2 = 1

2(x (1)) . De donde finalmente la ecuacin

buscada es:

x + 2y 3 = 0

Dibujando en el plano cartesiano, tenemos.



Funciones y sus grficas

Muchas de las relaciones que se estudian en matemtica son relaciones numricas, es decir una correspondencia que se establece entre los elementos de un conjunto con los elementos de otro conjunto; podemos tener relaciones como hijo de, padre de, perpendicular a, paralelo a, cuadrado de, en fin tenemos un gran nmero de relaciones, estas relaciones pueden ser de un elemento a varios, de uno a uno, de varios a uno, etc. Dentro de este tipo de relaciones, existen las relaciones que se establecen entre cada elemento de un conjunto con cada elemento de otro conjunto, a este tipo de relaciones se las llama funciones.

Al conjunto del cual se toma los elementos para establecer la correspondencia, se denomina Dominio, mientras que el conjunto para el cual se encontraron los elementos de correspondencia, se denomina Recorrido.

Para reconocer si una grfica corresponde al de una funcin, lo que hace es trazar una recta paralela al eje y, y si esta corta a la grfica en un solo punto, entonces se trata de una funcin. Caso contrario no lo es.

El xito de aprendizaje del Clculo tiene que ver el apoyo que se le de a las ideas de este, este apoyo puede ser grfico, numrico o analtico.

Si una funcin tiene la forma de:

f(x) = anxn + a

n1xn1 + a

n2xn2 + a

n3xn3 + .......+ a

1x + a

o

En donde, an y nson enteros, se dice que es una funcin polinmica entera.

Si una funcin tiene la forma f(x) = P(x)

Q(x), Q(x) 0 se denomina funcin racional

Tenemos algunos ejemplos:

Indique a qu tipo de funcin pertenecen las siguientes funciones?:

f(x) = 5x5 4x4 6 Polinmica

f(x) = 4 x

3 +7x6

x100 10x17 + x +1. Racional

h(z) = z 17z5 +5z8 4z10 +3z11 . Polinmica

Ahora vamos a confeccionar algunas grficas de funciones.

Revisar la pgina 22.

Graficar la siguiente funcin f(x) = x2 4

Primeramente construimos una tabla de valores

F



x -3,5 -3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

f(x) 8,25 5 2,25 0 -1,75 -3 -3,75 -4 -3,75 -3 -1,75 0 2,25 5* La tabla de valores se puede calcular con la ayuda del Excel** Los valores trazados con negrita son las intersecciones con los ejes

Seguidamente pasamos a revisar algunas otras funciones peridicas.

En todo fenmeno repetitivo (peridico o no peridico), las funciones seno y coseno siempre estn presentes, sobre todo en el campo de las telecomunicaciones, climas, etc.

As tenemos a las funciones seno, coseno, impulso unitario y el tren de impulsos.

Las funciones impulso unitario y tren de impulsos, tienen dentro de su composicin un nmero muy grande de senos y cosenos.

El impulso unitario no es repetitivo mientras que el tren de impulsos es una funcin que se repite luego se cierto tiempo.

Seno Coseno

Impulso unitarioTren de impulsos rectangulares



Puede Ud pensar en otros tipos de funciones que se repiten luego de cierto tiempo?

Hay un grupo de funciones que suelen denominarse cuasi-peridicas aqu un ejemplo:

y = 5e0.25t cos(10t)

El grfico de la misma es:

Como Ud. observa, se trata de una funcin peridica, pero; en este caso las amplitudes van disminuyendo conforme aumenta la variable independiente.

En general se dice que una funcin es peridica, si se cumple que f(x) = f(x +nT) , en donde T se denomina perodo fundamental y n es un nmero entero.

Las funciones ms usadas son el seno y el coseno, las cuales se las simboliza as:sen(x) - se lee seno de xcos(x) - se lee coseno de x

As como a la funcin f se le asigna un argumento (x), el cual se escribe f(x); a las funciones trigonomtricas hay que asignrseles un argumento (x). De esto Ud. podr darse cuenta que no se escribe simplemente sen, cos o tan, sino sen(x), cos(x) o tan(x). Lo mismo ocurre con sus funciones inversas como sen

1(x),

cos1(x) , tan

1(x) .

Existen dos unidades que se emplean para las funciones trigonomtricas, estas son el grado y el radian.

Una manera sencilla de transformar grados a radianes y de radianes a grados, es la siguiente:

Transformacin de grados a radianes

Sea xGRAD un ngulo en grados, entonces:

x

RAD=

180.x

GRAD

Para transformar de radianes a grados

Sea xRAD un ngulo en radianes, entonces:



x

GRAD= 180

.x

RAD

Construyamos el grfico de la funcin seno

x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7f(x) 0 0.48 0.84 1 0.91 0.6 0.14 -0.4 -0.8 -0.97 -0.96 -0.7 -0.3 0.22 0.66

Si usa calculador verifique si las unidades son Rad o Deg. No confundir con la unidad Grad, que es otra mediada de ngulos que divide a la circunferencia en 400 partes, esta unidad no la usaremos.

Al graficar la funcin f(x) = 10.05x cos(10x) , x en que unidades debe estar en grados o en radianes?

Recuerde que el lenguaje del Clculo es el de funciones, es por eso que si Ud. conoce el grfico de una funcin; puede ms o menos predecir el comportamiento de ella y reconocer algunas de sus propiedades.

Las funciones Exponenciales y las funciones Logartmicas tienen especial importancia ya que mediante este tipo de funciones son muy utilizadas en el Clculo, cuyo anlisis se realizar en el siguiente semestre en Clculo II.

Una vez conocido algunas de las funciones que se manejan en el Clculo, pasamos a revisar algunas operaciones que se pueden realizar con funciones. Es importante tener en cuenta los dominios de definicin de las funciones y sobre todo el dominio de definicin de la resultante de una operacin dada entre funciones.

La funcin dada f(x) = 2sen( x ) es una funcin potencial Respuesta ( ). ?

Transformacin de funciones

Algunas funciones tienen la misma forma pero diferente posicin respecto del plano cartesiano. Muy importante para graficar una funcin es conocer los desplazamientos que esta puede tener en relacin con los ejes coordenados.

Analicemos un ejemplo:

Graficar la siguiente funcin:

f(x) = 0.5x3 2

Dibujemos primero el grfico de x3

F



De este grfico podemos construir el grfico de la funcin f(x) = 0.5x3 2 , sabiendo simplemente

que lo que ha hecho es multiplicarse por 0.5 en el eje vertical, y se ha desplazado dos unidades hacia abajo.

Grfico de f(x) = 0.5x3 Grfico de f(x) = 0.5x

3 2

Revisar la pgina 23, en donde se da una tabla de transformaciones de una funcin

El encontrar los puntos de interseccin con el eje de las x, es resolver la ecuacin f(x) = 0.

Para resolver la ecuacin f(x) = 0, se puede utilizar diferentes mtodos, tales como la factorizacin, por tanteo, o algn mtodo numrico, como por ejemplo el mtodo de biseccin, el mtodo de Newton, etc. En estos mtodos el grfico del polinomio da informacin muy importante para poder darse una semilla inicial de la raz. En general cualquier polinomio de grado n tiene n races, las cuales pueden ser reales o imaginarias.



Clasificacin y combinacin de funciones

Muy importante sino talvez el ms importante, es el concepto de funcin compuesta para el desarrollo del Clculo. El concepto de funcin compuesta debe estar claro ya que nos servir de mucha ayuda para trabajar con funciones mucho ms complejas, derivar funciones ms complejas, etc.

En la pgina 24 una breve clasificacin de las funciones elementales.

Analicemos un ejemplo sobre funciones compuestas.

Sea f(x) = x2 1 . y g(x) = 4 / x . Hallar la composicin de:

a) f o g(x)

b) g o f(x)

a) f o g(x) = f(g(x)) = f(4 / x) = (4 / x)

2 1. Observe que el argumento de f(x) es la funcin g(x).

f o g(x) = (4 / x)2 1 = 16 x

2

x2. En este caso hemos resuelto la fraccin

f o g(x) = 16 x

2

x2, Por definicin

x2 = x , entonces sustituimos en el denominador de la

funcin, lo que nos da finalmente:

f o g(x) = 16 x2

x

b) g o f(x) = g(f(x)) = 4

x2 1. Observe que el argumento de g(x) lo constituye la funcin f(x).

Como puede observar, una funcin a su vez puede ser argumento de otra funcin.

Revise con detenimiento los ejemplos de las pginas 25-26 los cuales le darn una idea global y clara de la composicin de funciones.

IMPORTANTE:

f o g(x) g o f(x)

Revisemos algunos ejercicios adicionales 1. Verifique si la funcin

y = x es una funcin par.

F



Sea x = x si x 0

x si x < 0

la definicin del valor absoluto.

Una funcin es par; si verifica que f(x) = f(-x)

Grficamente, la funcin debe ser simtrica respecto del eje de las y. Se tiene entonces que

f(x) = x si x 0 .

Tambin podemos escribir f(x) = (x) = x , si x < 0 .

Como f(x) = f(-x).

Por tanto f(x) = x es una funcin par.

Como se puede observar del grfico, la figura es simtrica con respecto al eje de las y.

2. Encuentre el Dominio de la siguiente funcin t(x) = 1

x 1.

Para que la funcin tenga sentido, la cantidad subradical tiene que ser cero o mayor que cero ya que solo para esos casos existe la raz real par.

La funcin dada se puede escribir de otra forma: t(x) = 1

x 1

De lo que seduce que: x 1> 0 , y x 1 0 , ya que de lo contrario, la funcin carecera de sentido. De x 1> 0 , se deduce que x > 1, a condicin de que el denominador no sea cero, despreciamos la igualdad.

Por tanto conjugando las dos condiciones anteriores se tiene que el dominio de la funcin es:

D

t= 1,( ) .

3. Para la funcin f(x) = x

x 1 encuentre f(1/x),

Calculamos f(1/x):



f1x

=

1x

1x1

=

1x

1 xx

= 11 x

. Sustituimos en el lugar de x ponemos 1/x, y resolvemos las operaciones

indicadas. De lo cual resulta.

f

1x

=

1x 1

1) Determine si las siguientes funciones son pares o impares

a) y = 1+ cos(x)

b) y = 1+ x

1+ x2

2) Determine el dominio y recorrido de la siguiente funcin y = x +3

3) Determine cual de las siguientes relaciones son funciones:

a) x y2 = 0

b) x

2 4 y = 0

c) x2 + y2 = 4

d) y = x +1 x 0

x + 2 x > 0

4) Resuelva:

a) Se desea construir una caja abierta con un cartn de 24 cm. de lado, cortando cuadrados iguales en las esquinas y doblando los lados hacia arriba. Encontrar una expresin para el volumen en funcin de x y estimar las dimensiones de la caja que produce el mximo de volumen.

b) Un ganadero decide vallar un terreno de pasto rectangular adyacente a un ro. Dispone de 100 m de valla y el lado que da al ro no precisa vallar. Expresar el rea (A) del terreno en funcin de las dimensiones de los lados paralelos. Cul es el dominio de A?

SOLUCION:

a) Para determinar si es par una funcin, se debe determinar f(x) = f(x)

f(x) = 1+ cos(x)f(x) = 1+ cos(x) = 1+ cos(x)

f(x) = f(x) Por tanto la funcin es par (no es necesario verificar si es impar)

Actividades Complementarias



b) f(x) = 1+ x

1+ x2. Verificamos si la funcin es par

f(x) = 1+ (x)

1+ (x)2= 1 x

1+ x2

f(x) f(x) Por lo tanto no es par

Para verificar que la funcin es impar, se debe verificar que f(x) f(x)

f(x) = 1+ (x)

1+ (x)2= 1 x

1+ x2= x 1

1+ x2

f(x) f(x) Por consiguiente no es impar

Por lo tanto la funcin no es ni par ni impar.

2) Para que la funcin tenga sentido, se tiene que dar x +3 0 . De esto se tiene que x 3 , es decir el dominio de la funcin es:

D

f= 3, ) .

3) Para verificar grficamente si una relacin es una funcin, una recta vertical debe cortar la grfica de la relacin en un solo punto.

a) x y2 = 0 , si observamos la recta ha cortado en dos puntos a la grfica, por lo tanto no

es una funcin

b) x2 4 y = 0 , en esta grfica vemos que la recta corta por un solo punto a las grficas.

Por lo tanto si es una funcin.



c) x2 + y2 = 4 , En esta grfica vemos que se trata de una circunferencia y la recta corta a la

curva en dos puntos, por tanto no es una funcin.

d) y = x +1 x 0

x + 2 x > 0

. Esta relacin esta definida en partes y se tratan de rectas, que como

uds. conocen son funciones.

4. a) De acuerdo a los datos del problema se tiene que:

Como se puede ver a los 24 debemos descontar los lados de longitud x

El volumen entonces se determina como V = x(24 2x)(24 2x)

Si graficamos la relacin obtenida, se puede ver que el valor mximo se alcanza cuando x 4 , de esto se puede encontrar el resto de dimensiones. Que son 16 cm. por cada lado y desde luego 4 cm de alto. (Este es un problema tpico de aplicacin de la derivada)



b) Conocemos que todo el permetro es 100 y esto es: 100 = 2y + x , de donde y = 100 x

2,

es decir el rea del terreno es A = xy = x 100 x

2

. El dominio de la relacin obtenida es

D

A= 0, 100

Si graficamos esta relacin tenemos que el valor mximo del rea se la obtiene cuando x=50.



MDULO 1 LMITES Y SUS PROPIEDADES

Para continuar con el desarrollo de la materia, entramos al concepto ms importante y fundamental dentro de toda la teora del Clculo, esto es el Lmite.

Para esto, primero empezamos hablando de una manera intuitiva tratando de ubicarnos en el contexto de todo el estudio del Clculo. Para esto se requiere que ud lea las pginas de 42 a 44.

Cuando se habla de lmite hay una idea de movimiento en variable independiente y dependiente, fjese cuando se dice el lmite de f(x) cuando x tiende a c. Por eso debemos pensar en la variable independiente esta se vaya moviendo hacia el punto donde se quiere calcular el lmite tanto por la derecha como por la izquierda de ese punto.

Lea detenidamente el anlisis de los problemas de la recta tangente y el problema del rea en las pginas 45-46. Preste atencin a la forma como uno se acerca al punto (se da la idea de movimiento), no importa la forma de hacerlo.

Revise los ejemplos 1 y 2 de la pgina 49, en ellos nos explican que al aproximarse al punto, se lo puede hacer de dos formas por la izquierda o por la derecha.

Y sobre todo que: El lmite de una funcin, no depende si la funcin esta o no definida en el punto, esta puede estar o no definida en el punto.

Veamos otro ejemplo sobre lo dicho.

Calcular el lmite de la funcin en el punto x = 3, f(x) = x

2 x 6x 3

Lim

x3f(x) = Lim

x3

x2 x 6x 3

= Limx3

(x 3)(x + 2)x 3

. Hemos factorizado el numerador

= Lim

x3(x + 2) = 3+ 2 = 5 . Hemos simplificado el trmino semejante.

Lim

x3

x2 x 6x 3

= 5

Se tiene que f(x) = x

2 x 6x 3

. Como puede observar, la funcin no esta definida para x = 3; pero

calculando el lmite, este es igual a 5.

IMPORTANTE:

Se debe sealar que si bien no se dan el dominio de definicin de las funciones, el dominio de stas ser el conjunto donde las funciones tengan sentido.

Una observacin muy importante es la siguiente:

Analicemos un poco ms el ejemplo anterior:

F



Sea f(x) = x

2 x 6x 3

, factorizando el numerador, se tiene que f(x) = (x 3)(x + 2)

x 3 se sobre entiende

que x no puede tomar el valor de 3 ( x 3 ) ya que se tendra una divisin por cero (0/0), lo cual no tiene sentido desde el punto de vista matemtico. Luego si simplificamos el trmino x 3, obtenemos una nueva funcin.

g(x) = x + 2

Fjese que f(x) g(x) , ya que sus dominios no son iguales.

Si construimos los grficos de estas dos funciones, tenemos:

Los grficos nos muestran que las funciones son diferentes ya que en el punto x = 3 , la funcin no esta definida.

Ahora Ud. se preguntar cmo es que entonces se escribe:

limx3

(x 3)(x + 2)x 3

= limx3

(x + 2) = 5.

Lo que pasa es que cuando nosotros analizamos el lmite, no tomamos el valor x = 3 , (no sustituimos el valor de 3 directamente con el de x en la funcin); si no, tomamos valores cercanos a 3. ( x 3). De ah que se pueda simplificar el trmino x 3 por cuanto ste aunque es un nmero pequeo, ste sin embargo nunca es cero, de ah que no se requiere que la funcin este definida en el punto.

En general cuando se calcula el lmite de una funcin en el que al sustituir directamente el valor de la variable en la expresin se obtiene una indeterminacin del tipo 0/0. Lo que primero que se debe realizar es, liberarse del trmino que causa esta indeterminacin mediante la racionalizacin del numerador o denominador segn convenga o realizar cualquier artificio matemtico.

Veamos el siguiente ejemplo:

Calcular el lmite de la siguiente funcin:

limx4

1+ 2x 3x 2

F



Al reemplazar directamente x por 4, se tiene una indeterminacin de la forma 0/0. Lo que implica que se debe racionalizar la expresin.

= lim

x4

( 1+ 2x 3)( 1+ 2x +3)( x + 2)( x 2)( x + 2)( 1+ 2x +3)

. Multiplicamos y dividimos al mismo tiempo por la conjugada (la

conjugada de un monomio es el mismo monomio cambiado de signo). Esto esta permitido ya que en realidad lo que se esta haciendo es multiplicando por 1.

1= 1+ 2x +3

1+ 2x +3

As vemos que los dos primeros trminos nos dan el producto de la suma por la diferencia, lo cual se descompone en la diferencia de cuadrados, que al desarrollarlo queda como se tiene en la parte inferior.

Lo mismo se tiene con los dos primeros trminos del denominador de la expresin

= lim

x4

((1+ 2x) 9)( x + 2)(x 4)( 1+ 2x +3)

limx4

2(x 4)( x + 2)(x 4)( 1+ 2x +3)

= limx4

x + 21+ 2x +3

. Aqu simplificamos trminos iguales

Evaluando el lmite ahora que no se tiene ningn tipo de indeterminacin, se tiene que:

limx4

2(x 4)( x + 2)(x 4)( 1+ 2x +3)

= 4 + 21+ 2.4 +3

= 23

Como puede observar se tena una indeterminacin del tipo 0/0, al sustituir directamente, pero hemos procedido a racionalizar numerador y denominador de tal manera de eliminar el trmino (x - 4) el cual es el causante de la indeterminacin. Finalmente tenemos que:

limx4

1+ 2x 3x 2

= 23

Analice los comentarios asociados sobre la existencia del lmite en la pgina 51.

IMPORTANTE:

Para la definicin formal de lmite, por tradicin se han empleado las letras griegas y que representan nmeros arbitrarios los cuales nos indican cuan cerca esta un nmero x de un nmero c y lo mismo cuan cerca esta F(x) de L. Es decir, y simplemente nos sirven de referencia para poder decidir si un nmero tomado x esta cerca del punto c o no, y lo mismo de F(x) cerca o no de L.

Todo lo dicho se plantea de la siguiente manera:

F



0 < x c < . La distancia desde x hasta el punto c tiene que estar comprendido entre cero y .

f(x) L < , La distancia desde el punto f(x) hasta el punto L tiene que ser menor que .

Por lo general, cuando se trata de demostrar que un nmero L es el lmite de cierta expresin en un punto c dado, se encuentra que es una porcin o mltiplo de ( = f() ).

Con respecto a los lmites laterales, entender la simbologa es importante, por eso debemos tomar en cuenta que:

El smbolo x c+ significa que nos acercamos al punto c por la derecha, es decir tomamos valores de x mayores que el nmero c, pero cada vez ms y ms cercanos al punto c.

De la misma manera el smbolo x c significa que nos acercamos al punto c por la izquierda, es decir tomamos valores de x menores que nmero c, pero muy cercanos al punto c.

Si analizamos un punto dentro de la grfica de una funcin, para indicar que el punto c no existe, se dibuja y se indica as:

Si analizamos un punto dentro de la grfica de una funcin, para indicar que el punto c si existe, se dibuja y se indica as:

Hay que tener mucho cuidado cuando nos aproximamos al punto en donde se requiere encontrar el lmite de la funcin; pero, debe quedar claro que el lmite no depende de la forma como nos aproximamos al punto.

Veamos un ejemplo:

Supongamos que el grfico de una funcin es el que se da en la figura inferior.

Encontremos los lmites pedidos por simple observacin:

analisis matematico de la universidad de loja.pdf

Documents