Introducción al Análisis Matemático Documento elaborado por: M.C. Héctor Isaias Escobosa Iribe

1.-) Axiomas Fundamentales Para los Números Reales ! R={xε(QUI) }. Axioma-1-) a + y = y + a Propiedad Conmutatíva de la Suma a . y = y . a Propiedad Conmutatíva del Producto Axioma-2-) ( y + a ) + b = y + ( a + b ) Propiedad Asociatíva de la Suma ( y . a ) . b = y . ( a . b ) Propiedad Asociatíva del Producto Axioma-3-) a * ( b + c ) = a * b + a * c Propiedad Distributíva Axioma-4-) a + 0 = 0 + a = a Existencia de Neutro Aditivo a . 1 = 1 . a = a Existencia de Neutro Multiplicativo Axioma-5-) Si X * a = a * X = 0, entonces X = 0 o bién a = 0. Axioma-6-) Si a > 0 y X > 0 , entonces ( a + X ) > 0 y a * X > 0.

N = {1,2,3, . . . n, n+1, . . .} Conjunto de los Números Naturales Z = {. . . -n . . . -3,-2,-1, 0 , 1,2,3, . . .+n . . . } Conjunto de los Números Enteros Q = {x=p/q ; con p,q elementos del conjunto Z, para q≠0 } Conjunto de los Números Racionales I ={x≠p/q; aquellos números que no se pueden representar como Racionales} Conjunto Números Irracionales R! R = { xε(QUI) } Conjunto de los Números Reales. Unión de Racionales con Irracionales. C = { z = x ± y i ; en donde x , y son elementos de los Reales, i =√-1 número imaginario} Conjunto de los Números Complejos

2 2.-) Teoremas Fundamentales Para los Números Reales. Teorema 1.1-) Ley de Cancelación para la Suma. Si a + b = a + c ! b = c Demostración: Del axioma 4, existe y∈R, tal que, a + y = 0 ; o bién y + a = 0 (axioma 1) Como las sumas están determinadas en forma única, entonces: y + ( a + b) = y + ( a + c ) ( y + a ) + b = ( y + a ) + c (axioma 2) pero como y + a = 0 , se tiene que ! 0 + b = 0 + c pero 0 + b = b y también 0 + c = c (axioma 4) de donde finalmente tenemos qué b = c. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Teorema 1. 2 -) Propiedad del Inverso Aditivo de un número Real a∈R. Dados a , b∈R, existe exactamente un X tal que a + X = b. Esta X se denota por (b - a). En particular , 0 - a = - a (inverso aditivo de a) Demostración: Dados a, b∈R, seleccionamos un y de tal forma que a + y = 0, y hagamos X = y + b ! entonces: a + X = a + ( y + b ) = ( a + y ) + b axioma 2 = 0 + b = b axioma 4 de donde, existe exactamente un X tal que a + X = b ! X = b - a (del teorema 1) ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Teorema 1. 3 -) b - a = b + ( - a ) Demostración: Sea X = b - a y sea Y = b + ( - a ) , demostraremos que X = Y. Pero X + a = b , por la definición de (b - a) en el teorema 2 Entonces, Y + a = [ b + ( - a ) ] + a = b + [ ( - a ) + a ] axioma 2 = b + [ a + (- a ) ] axioma 1 = b + ( a - a ) axioma 4 = b + 0 = b ; luego, como X + a = b y Y + a = b, entonces X + a = Y + a ! X = Y (teorema 1.1) --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Teorema 1. 4-) - ( - a ) = a Demostración: Por la existencia de Inverso Aditivo de un Número Real a, contemplada en el Teorema-1.2, tenemos que a + ( - a ) = 0 , y también que: - ( - a ) + ( - a ) = 0 ; ahora, de ambas expresiones se obtiene: a + ( - a ) = - ( - a ) + ( - a ) ; y aplicando el teorema I.1, se obtiene finalmente ! a = - ( a ) . De manera más directa (más sencilla), podemos establecer, para este caso, lo siguiente: a + (- a ) = 0 por la definición de - a. Pero ésta ecuación nos dice que a es el negativo de ( - a ) ; esto es, a = - ( - a )

3 Teorema 1. 5-) Propiedad Distributiva a * ( b - c ) = a * b - a * c Demostración: a * ( b - c ) = a * ( b + (- c ) ) Teorema 1.3 = a * b + a * (- c ) Axioma 3 = a * b + (- c ) * a Axioma 1 = a * b - c * a Teorema 1.3 = a * b - a * c Axioma 1 ________________________________________________________________________________________ Teorema 1. 6-) 0 * a = a * 0 = 0 Demostración: Sean a , X∈R , entonces X * a = a * X (axioma 1) En el caso particular de que X = 0, tendremos que: X * a = 0 (axioma 5) y a * X = 0 (axioma 1), de donde X * a = a * X , pero como X = 0, entonces 0 * a = a * 0 = 0 Otra forma de realizar esta demostración, es a partir del teorema 1.5: a ( b - c ) = a b - ac ; si b = c , entonces ! a ( b - b ) = a b - a b entonces a ( b - b ) = ( a - a ) b (axioma 2) de donde a . 0 = 0 . b (axioma 4) si b = a , entonces ! a . 0 = 0. a _________________________________________________________________________________________ Teorema 1. 7-) Ley de Cancelación para la Multiplicación. Si a b = a c y a ≠ 0 , entonces b = c . Demostración: Del axioma 4, existe un y∈R , tal que a . y = 1 y también y . a = 1 (axioma 1) Como los Productos están determinados en forma única, entonces tenemos qué: y ( a b ) = y ( a c ) de donde ( y a ) b = ( y a ) c (axioma 2) luego, ( a y ) b = ( a y ) c (axioma 1) pero como a . y = 1 ! ( 1 ) b = (1 ) c ! b = c (Nota: Para que a y = 1 sea único, entonces ! y = a-1 = 1/a ( a ≠ 0) es el "Inverso Multiplicativo ó Reciproco" de a ) ________________________________________________________________________________________ Teorema 1. 8-) "Posibilidad de División". Dados a , b ∈R , con a ≠ 0 , existe una X tal que a . X = b . Esta X es denotada por b/a y es conocida como el cociente de b y a ; en particular 1/a es también escrito como a-1 y es llamado el "Reciproco de a". Demostración: Dados a , b ∈R , con a ≠ 0 , seleccionamos una Y , de tal forma que a .Y = 1 .

4 Luego, haciendo X = Y . b , tendremos que ( a . Y ) X = ( 1 ) ( Y . b ) ; luego, realizando el producto miembro a miembro entre ambas ecuaciones, se obtiene: ( a . X ) Y = Y ( 1 . b ) aplicando el Axioma 2 de donde a . X = b aplicando el Teorema 1.7 Así, existe una X , tal que a . X = b pero por el Teorema 1.7 , dicha X es única y dada por b / a , con a ≠ 0 . _________________________________________________________________________________________ Teorema 1. 9-) Si a ≠ 0 , entonces b / a = b . a-1 . Demostración: Sea X = b / a , y sea Y = b . a-1 , deseamos demostrar que X = Y . De acuerdo con el Teorema 1.8 ! a . X = b asi pues, a Y = a ( b . a-1 ) . = b ( a . a-1 ) de acuerdo con el Axioma 2 = b ( 1 ) de acuerdo con el Teorema 1.8 = b Entonces, como a . X = b y a . Y = b , tenemos que a . X = a . Y ; luego, aplicando el Teorema 1.7 (Ley de cancelación para la multiplicación), llegamos finalmente a que X = Y . ________________________________________________________________________________________ Teorema 1. 10-) Si a ≠ 0 , entonces ( a-1 )-1 = a . Demostración: Como a . a-1 = 1 , por definición de reciproco de a ( a ≠0 ), entonces vemos que esta ecuación nos dice que a es el reciproco de a-1 , esto es, que a = 1 / a-1 ó sea, qué a = ( a-1)-1 (de acuerdo con el Teorema 1.8). ________________________________________________________________________________________ Teorema 1. 11-) Si a . b = 0 entonces a = 0 ó b = 0 Demostración: Del Teorema 1.8 a . X = b , con X = b / a ( a ≠ 0) Por analogia, deberá existir un b, tal que a . b = X (Teorema 1.8) , con b = X / a , (a ≠ 0) asi pues, b = X / a = X . a-1 (Teorema 1.9 ). Si X = 0 , entonces b = 0 / a = 0 . a-1 = 0 (Teorema 1.6) , de donde a . b = 0 si b = 0 . . . .(*) Por otra parte, también podemos establecer que existe un a , tal que a . b = Y (Teorema 1.8) , con a = Y / b , (b ≠ 0) , Luego entonces a = Y / b = Y . b-1 (Teorema 1.9 ). Si Y = 0 , entonces a = 0 / b = 0 . b-1 = 0 (Teorema 1.6) , de donde a . b = 0 si a = 0 . . . .(**) De ambas expresiones (*) y (**) , se concluye qué a . b = 0 Si a = 0 , ó bién , Si b = 0 . a . b = 0 a = 0 ó b = 0

5 Teorema 1. 12 -) ( - a ) b = - ( a . b) y ( - a ) . ( - b ) = a . b 1ª Parte de la demostración: Partiremos de que ( - a ) b + a b = [ ( - a ) + a ] b ( Axioma 3 ) Luego entonces ( - a ) b + a b = 0 . b ( Axioma 4 ) y también ( - a ) b + a b = 0 ( Teorema 1.6 ) Por otra parte, - ( a b ) + a b = 0 (por definición de inverso aditivo) Igualando ambas expresiones tenemos: ( - a ) b + a b = - ( a b ) + a b Cancelando a b (Teorema 1) se obtiene: ( - a ) b = - ( a b ) 2ª Parte de la demostración: ( - a ) . ( - b ) = a . b Partiremos de que ( - a ) b + (- a ) ( - b ) = ( - a ) [ b + (-b) ] ( Axioma 3 ) = ( - a ) . 0 ( Axioma 4 ) = 0 ( Teorema 1.6 ) luego entonces ( - a ) b + (- a ) ( - b ) = 0 De la primera parte de este Teorema vimos que (- a ) b + a b = 0 (por definición de inverso aditivo) Igualando ambas expresiones tenemos: ( - a ) b + (- a)(- b) = (- a) b + a b Cancelando (Teorema 1) se obtiene: ( - a )( - b ) = a b _________________________________________________________________________________________ Teorema 1.13 -) ( a / b ) + ( c / d) = ( a d + b c ) / b d ; b ≠ 0 y d ≠ 0 Demostración ( Suma de números racionales ): Partiremos de que ( a d + b c ) / b d = ( a d + b c ) * ( b d)-1 , teorema 1.9 = a d * ( b-1 d-1 ) + b c * ( b-1 d-1 ) , axioma 3 = a ( d*d-1 ) b-1 + c * ( b*b-1 ) d-1 , axiomas 1 y 3 = a ( 1 ) b-1 + c ( 1 ) d-1 , por definición de reciproco de b y d = a b-1 + c d-1 , p = ( a / b ) + ( c / d ) , aplicando el teorema 1.9 y dado el axioma 1, queda probado ! ( a / b ) + ( c / d) = ( a d + b c ) / b d

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Teorema 1.14 -) ( a / b ) * ( c / d) = ( a c ) / ( b d ) ; b ≠ 0 y d ≠ 0 Demostración (Producto de números racionales): Partiremos de que ( a c ) / ( b d) = ( a c ) * ( b d)-1 , teorema 1.9 = ( a c )* ( b-1 d-1 ) , equivalencia lógica = a ( c* b-1 * d-1 ) , axioma 2 = a ( b-1 * c * d-1 ) , axioma 1 = ( a b-1 ) * ( c d-1 ) , axioma 2 = ( a / b )*( c / d ) , teorema 1.9 y dado el axioma 1, queda probado ! ( a / b )*( c / d) = ( a c ) / ( b d ) _________________________________________________________________________________________ Teorema 1. 15 -) ( a / b ) / ( c / d) = ( a d ) / ( b c ) ; b ≠ 0, c ≠ 0, d ≠ 0 Demostración (cociente de números racionales): Partiremos de que ( a / b ) / ( c / d) = ( a / b ) * ( c / d )-1 , teorema 1.9 = ( a / b )* ( c-1 / d-1 ) , equivalencia lógica = ( a c-1 ) / ( b d-1 ) , teorema 1.14 = a (d-1)-1 / ( b c ) , teorema 1.9 = ( a d ) / ( b c ) , teorema 1.10 = ( a / b )*( c / d ) , teorema 1.9 Así, queda probado ! ( a / b ) / ( c / d) = ( a d ) / ( b c ) ________________________________________________________________________________________ Teorema 1. 16-) Si a < b y c > 0 , entonces a c < b c Demostración: Como a < b , entonces ( b - a ) > 0 Como c > 0 , entonces ( b - a )* c > 0 Pero ( b - a )* c = b c - a c , teorema 1.5 como ( b - a )* c > 0 , entonces ( b c - a c ) > 0 , y esto implica qué a c < b c

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Teorema 1. 17-) Si a ≠ 0 , entonces a2 > 0 Demostración: 1º Si a > 0 , entonces ( a * a ) > 0 axioma 3, ! a2 > 0 2º Si a < 0 , entonces ( 0 - a ) > 0 ! - a > 0 luego entonces: (- a)*(- a ) > 0 , y del teorema 1.12 ! a2 > 0 ________________________________________________________________________________________ Teorema 1.18-) Si a < b y c < 0 , entonces a c > b c Demostración: Como a < b , entonces ( b - a ) > 0 ! ( b + (- a )) > 0 Como c < 0 , entonces ( 0 - c ) > 0 ! - c > 0 del axioma 3 ! ( b + (- a ) )*(- c ) = b(- c) + (- a)(- c ) > 0 del teorema 1.12 ! - b c + a c > 0 del axioma 1 ! a c + (- b c ) > 0 del teorema 1.3 ! a c - b c > 0 de donde a c > b c , ó bien b c < a c _________________________________________________________________________________________ Teorema 1. 19-) Si a < b entonces - a > - b Demostración: Como a < b , entonces ( b - a ) > 0 Sea X∈R con X < 0 , entonces ! - X > 0 del teorema 1.18 , entonces ! a X > b X Si seleccionamos X = - 1 , obtenemos ! - a > - b ________________________________________________________________________________________ Teorema 1. 20-) Si a b > 0 , entonces ambos a y b son positivos ó ambos son negativos . Demostración: 1º Sean a > 0 y b > 0 , entonces ! ( a * b ) > 0 , axioma 6 2º Sean a < 0 y b < 0 , entonces ! - a > 0 y - b > 0 luego entonces ! (- a ) (- b ) > 0 y del teorema 1.12 tenemos a* b > 0 Observación: Si a > 0 y b < 0 , entonces a > 0 y - b > 0 ! ( a ) ( -b ) > 0

8 y del teorema 1.12 se tiene que ! - a b > 0 Luego, si a < 0 y b > 0 , entonces - a > 0 y b > 0 ! ( - a ) ( b ) > 0 y del teorema 1.12 se tiene que ! - a b > 0 . Son todas las posibles situaciones que se pueden presentar en este caso. Conclusión: para que a b > 0 es necesario que a > 0 y b > 0 , ó bien que a < 0 y b < 0 , esto es: a b > 0 ( a > 0 y b > 0 ) ó ( a < 0 y b < 0 ) _________________________________________________________________________________________ Teorema 1. 21-) Si a < c y b < d , entonces a + b < c + d Demostración: Como a < c , entonces ( c - a ) > 0 Como b < d , entonces ( d - b ) > 0 del axioma 6 ! ( c - a ) + ( d - b ) > 0 de axiomas 1 y 2 ! ( c + d ) + ((- a ) + ( - b ) ) > 0 de teorema 1.3 ! ( c + d ) - ( a + b ) > 0 de donde ( c + d ) > ( a + b ) o bien a + b < c + d __________________________________________________________________________________________ Teorema 1. 22 (Problema) Demuestre que no existe número real X, tal que X2 + 1 = 0. Demostración: Hagamos Y = X2 + 1= 0 . Analizaremos los tres casos que se pueden presentar con los valores de X∈R , de acuerdo con la propiedad de Tricotomia de los números reales. 1º Si X > 0 ! entonces X2 > 0 ( del teorema 1.17 ), luego entonces X2 + 1 > 0, esto es Y > 0 . y no se satisface la condición Y = 0 para X > 0. 2º Si X = 0 ! entonces Y = (0)2 + 1 = 1 > 0 . y de nuevo no se satisface la condición Y = 0 para X = 0. 3º Si X < 0 ! entonces - X > 0 ! (-X)(-X) > 0 del axioma 6, y del teorema 1.12 tenemos que X2 > 0 , por lo cual X2 + 1 > 0 , esto es Y > 0 . y no se satisface la condición Y = 0 para X < 0. Conclusión: No existe número real X∈R, tal que X2 + 1 = 0.

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Teorema 1. 23 (Problema #1) Dados dos números reales a y b, tales que a ≤ b + ∈ para todo ∈ > 0 , entonces a ≤ b . Demostración: Si b < a , entonces la desigualdad a ≤ b + ∈ es viciada para ∈ = ( a - b) / 2 , porque b + ∈ = b + ( a - b) / 2 = ( a + b) / 2 < (a + a)/2 = a por lo tanto, aplicando la propiedad de Tricotomía del conjunto de los números reales, debemos tener que a ≤ b . _______________________________________________________________________________________ Teorema 1. 24 ( Problema #2 ) Todo entero n > 1, es ya sea, un número primo, ó un producto de números primos. Demostración (Por Inducción) El Teorema se cumple trivialmente para n = 2 (dado que 2 es un número primo). Suponemos que es válido para todo entero K con 1 < K < n . Si n no es primo tiene un divisor positivo d con 1 < d < n . Por lo tanto n = c d , donde 1 < c < n . Ya que ambos c y d son menores, cada es un número Primo ó un ñroducto de números Primos; por lo tanto, n es un producto de números Primos. Teorema I. 25 (Problema #3) Todo par de enteros a y b tiene un común divisor "d" de la forma d = a X + b Y, en donde X y Y son enteros; Más aún, todo común divisor de a y b divide ésta d . Demostración (Por Inducción) Primero suponemos que a ≥ 0 , b ≥ 0 y empleamos inducción sobre n = a + b . Si n = 0 entonces a = b = 0, y podemos tomar d = 0 con X = Y = 0 . Suponemos entonces que el teorema es válido para 0, 1, 2 , 3 , . . . n - 1 . Por simetria , podemos suponer a ≥ b . Si b = 0 tomamos d = a , X = 1 , Y = 0 . Si b ≥ 1 podemos aplicar la hipótesis de inducción para (a - b) y b de la forma d = (a - b) X + bY . Esta d también divide a (a - b) + b = a , por lo tanto d es un común divisor de "a" y "b" y tenemos d = a X + (Y - X) b , una combinación lineal de "a" y "b". Para completar la demostración , necesitamos demostrar que todo común divisor divide a "d" . Como un común divisor divide a "a" y "b" , también divide a la combinación lineal a X + (Y - X) b = d . Esto completa la demostración para cuando a ≥ 0 y b ≥ 0 .

10 Teorema 1. 26 Problema#4 “Lema de Euclides".-) Si a / b c y ( a , b) = 1, con a , b primos relativos, entonces a / c ( a es divisible por c ). Demostración: Ya que ( a , b) = 1 , podemos escribir 1 = aX + bY ; por lo tanto, c = acX + bcY pero a / a cX y a / b c Y , por lo tanto a / c . __________________________________________________________________________________________ Notas Elaboradas por: M.C. Héctor Isaias Escobosa Iribe. Profesor (Jubilado) “Titular C” del Instituto Tecnológico de Culiacán. Culiacán, Sinaloa, México. Año 2015

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3.-) Notas sobre Inducción Matemática. 3.1-) Inducción Incompleta: Las generalizaciones o leyes son la base del desarrollo de todas las ciencias, incluyendo las matemáticas. La utilidad de la generalización radica en la posibilidad de librarse de los casos particulares que cubra la generalización lograda. Se puede llegar a la generalización considerando desde el principio el caso general mismo, es decir, trabajar de lo general a lo particular, lo que constituye el método de la lógica llamado deducción. Otra manera de llegar a una generalización es examinar un cierto número de casos particulares para descubrir la forma en que están relacionados; encontrada esta relación, se toma como la generalización buscada. Este método va de lo particular a lo general y recibe el nombre de INDUCCION. El peligro de la inducción es que los casos particulares, sin importar el número de estos que se examinen, pueden tener características especiales que hagan que una generalizaciónn basada en ellos pueda resultar erronea. Frecuentemente la ciencia debe conformarse a trabajar dentro de esta limitación, la cual se llama “Inducción Incompleta” ó Inducción Ordinaria. Ejemplo #1-) Observamos que: 1 = 12 1 + 3 = 4 = 22 1 + 3 + 5 = 9 = 32 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 42 y entonces concluimos que: 1 + 3 + 5 + 7 + . . . + (2n – 1) = n2 Es decir, que la suma de los primeros n-números impares es = n2 . ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ejemplo #2-) Considere el trinomio X2 + X + 41, analizado por el brillante matemático Leonhard Euler. Si en este trinomio se reemplaza X por el número 0 (cero), se obtiene el número primo 41; si se reemplaza X por el número 1, se obtiene el número primo 43. Si se continua reemplazando X por 2,3,4,5,6,7,8,9,10 sucesivamente, se obtiene en cada uno de dichos casos un número primo, a saber: 47, 53, 61, 71, 83, 97, 113, 131, 151 respectivamente y basandonos en estos resultados, podria concluirse que para todo entero no negativo X, el valor del trinomio es un número primo. En estos dos ejemplos, el razonamiento que se hizo nos llevo a establecer una proposición general referente a todo n en la veracidad de cierto número de casos particulares; sin embargo, ocurre que la proposición general obtenida en el primer ejemplo es verdadera, en tanto que la proposición del segundo ejemplo es falsa, pues si bien con valores de X de 0 a 39 el trinomio X2 + X + 41 produce números primos, cuando X=40 el valor del trinomio es 412 = 1681 que es un número compuesto. Para evitar llegar a conclusiones falsas con este tipo de razonamiento, utilizaremos la Inducción Matemática (o Inducción Completa), la cual nos asegura la validez o no validez de una generalización lograda.

12 3.2-) El Principio de la “Inducción Matemática ( I.M.) ”. ¿ Como puede determinarse si la proposición se cumple en general? O mejor aun, ¿cómo puede determinarse si la proposición es verdadera para todos los números naturales n = 1, 2, 3, 4, . . .?. Puede contestarse a esta pregunta usando un método especial de razonamiento llamado “Método de Inducción Matemática”, basado en el siguiente principio: una proposición se cumple para todo número natural n si se satisfacen las siguientes condiciones: 1º Condición-) La Proposición se cumple para n = 1. 2º Condición-) La veracidad de la Proposición para cualquier número natural n = k implica la veracidad para el número natural siguiente n = k + 1. La validez de este principio se acepta, en general, como axioma fundamental de todas las matemáticas, sin embargo, se puede justificar de la manera siguiente: Por la primera condición sabemos que la proposición se cumple para n = 1 (en realidad para la n menor que satisfaga la proposición bajo estudio). Por la segunda condición tiene que ser valida para n =2 y asi sucesivamente. Las palabras decisivas son las tres últimas “y asi sucesivamente”. Si no fuera verdadera para todo número natural, tendriamos un número m, el menor de todos para los cuales la proposición es falsa. Por la 1º condición, m ≠ 1. de donde m > 1, de manera que (m -1) es un número natural. Si m es el menor número natural para el cual la proposición es falsa, se ve que la proposición es verdadera para (m – 1) pero falsa para el siguiente (m-1) + 1 = m, y como esto contradice la 2º condición, por lo tanto la proposición debe ser verdadera para todo número natural. Este razonamiento se puede ilustrar mediante el siguiente ejemplo: supongase que se puede alcanzar cierta meta mediante una sucesión de un cierto número de pasos no conocidos. Supongase igualmente que a una persona puesta en el proceso de alcanzar dicha meta se le asegura que siempre le sera posible dar el siguiente paso. Entonces, independientemente de cualquier otra circunstancia, la persona sabe que puede llegar a la meta. Ejemplo # 3-) Tomando de nuevo el ejemplo #1 en que observamos que: 1 = 12 1 + 3 = 4 = 22 1 + 3 + 5 = 9 = 32 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 42 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 52

13 y asi sucesivamente, para tener en general, que:

1 + 3 + 5 + 7 + 9 . . . + (2n – 1) = n2

es decir, si Sn representa la suma de los n primeros términos de los números impares, entonces tenemos lo siguiente. S1 = 12 S2 = 22 : Sn = n2 Por ahora diremos que que S1, S2, S3, . . ., Sn nos llevan a la hipótesis de que Sn = n2 y probarenos este resultado por medio de la Inducción Matemática. 1º condición: Nuestra hipótesis es verdadera para n = 1 (el menor número natural que satisface la proposición). 2º condición: Suponemos que la hipóteisi es verdadera para n = k Sk = 1 + 3 + 5 + 7 + . . . + (2k – 1) = k2 ; en donde k es cualquier natural. Probaremos ahora que, la hipóteisi debe cumplirse para n = k + 1, esto es, debemos mostrar que: Sk+1 = (k + 1)2 Podemos escribir Sk+1 = 1 + 3 + 5 + 7 + . . . + (2k – 1) + (2k + 1) Sk+1 = Sk + (2k + 1) (2k + 1) es el impar que sigue a (2k – 1) el último de la suma Sk. Sustituyendo Sk por k, tenemos Sk+1 = k2 + (2k +1) = k2 + 2k +1, de donde Sk+1 = (k + 1)2, de lo anterior vemos que las dos condiciones se satisfacen, por lo tanto esto confirma nuestra hipótesis. Debemos dejar claro que en una demostración por inducción se deben satisfacer las dos condiciones. En el ejemplo #2 se observa que la condición-2 no se satisface.

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Ejemplo #4-) Probar que todos los enteros no negativos n (n ≥ 0) el enesimo término de la sucesión que cumple con: i-) V0 = 2, V1 = 3 y ii-) Para todo número natural k se cumple la relación ! Vk+1 = 3 Vk - 2 Vk-1 . esta dado por Vn = 2n + 1 De las hipóteisis sabemos que Vn = 2n + 1 se cumple para n = 0 y n = 1 Supongase que Vk-1 = 2k-1 + 1 y Vk = 2k + 1 se cumplen; entonces, utilizando la segunda hipótesis tenemos: Vk+1 = 3(2k + 1) - 2( 2k-1 + 1) Vk+1 = 3 (2k ) + 3 - 2 (2k-1) - 2 = 3 (2k ) + 3 - 2k - 2 De donde se tiene que ! Vk+1 = 2 (2k ) + 1 ; Por lo tanto Vk+1 = 2k+1 + 1 En ocaciones se desea probar una proposición para todos los valores de n mayores o iguales a algún entero m. Debemos probar que se cumple para n = m, algunos valores mayores y enseguida analizar la veracidad de la segunda condición. ____________________________________________________________________________ Ejemplo #5.-) ¿ Para que números naturales se cumple la siguiente desigualdad ? 2n > 2n + 1 para n = 1 ! 21 > 2(1) + 1 ! 2 > 3 Falsa para n = 2 ! 22 > 2(2) + 1 ! 4 > 5 Falsa para n = 3 ! 23 > 2(3) + 1 ! 8 > 7 Verdadera para n = 4 ! 24 > 2(4) + 1 ! 16 > 9 Verdadera para n = 5 ! 25 > 2(5) + 1 ! 25 > 11 Verdadera De los anteriores casos particulares podemos formular la siguiente hipótesis: 2n > 2n + 1 es válida para toda n ≥ 3. Condición 1.- Para n = 3 ! 23 > 2(3) + 1 ! 8 > 7 Verdadera

Para n = 4 ! 24 > 2(4) + 1 ! 16 > 9 Verdadera Condición 2.- Se supone que para n = k > 3 ! 2k > 2k +1 es verdadera. Probaremos que para 2k+1 > 2(k +1) +1 también se cumple. 2k+1 = 2k * 2 > (2k +1) * 2 para k ≥ 3 de donde 2k+1 > 4k + 2 = 2k +2 + 2k pero ya que 2k > 1, para toda k ≥ 3, entonces 2k+1 > 2k + 2 + 1 por lo tanto, 2k+1 > 2(k + 1) + 1 se satisface para toda k ≥ 3.

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Problemas Propuestos: Problema #1.-) Determine una fórmula que exprese el número Impar Vn en términos de su índice n. Problema #2.-) Hallar el término general de la sucesión de números Vn si V1 = 1 y si para todo número natural k > 1, se cumple la relación Vk = Vk-1 +3 . Problema #3.-) Demuestre la siguiente suma: n-1

Sn = 1 + 2 + 22 + 23 + 24 + . . . + 2n-1 = ∑ 2k . k =0 Problema #4.-) Demostrar que: ∞ ∑ 1/n2 = 1 + (1/4) + (1/9) + (1/16) + (1/25) + . . . = π2 / 6 n=1 Problema #5.-) Demostrar que: ∞ ∑ 1/(2n-1)2 = 1 + (1/9) + (1/25) + (1/49) + . . . = π2 / 8 n=1 Problema #6.-) Demostrar que: n n ( n + 1) ∑ k = 1 + 2 + 3 + 4 + . . . + n = k=1 2 Problema #7.-) Demostrar que: n n (n + 1) (2n + 1) ∑ k2 = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + . . . + n2 = k=1 6 Problema #8.-) Demostrar que: n n2 (n + 1)2 ∑ k3 = 1 + 8 + 27 + 64 + . . . + n3 = k=1 4

16 El Binomio de Newton.-) Se ha visto que al multiplicar Polinomios, algunos productos pueden calcularse mediante una breve inspección, tal es el caso de multiplicar n binomios de la forma ( x + a ). Así, de los productos siguientes: (X + a)(X + b)(X + c) = X3 + (a + b + c)X2 + (ab + ac + bc ) X + abc (X + a)(X + b)(X + c)(X + d) = X4 + (a + b + c + d)X3 + (ab+ ac+ ad + bc + bd + cd) X2 + (abc + abd + acd + bcd) X + abcd Podemos hacer las siguientes observaciones: 1º-) El número de términos del desarrollo es n+1. 2º-) El exponente de la variable X en el primer término siempre es n y en cada uno de los demas es una unidad menor que el del término que le antecede. 3º-) El coeficiente del primer término es la unidad, el del segundo término es la suma de las letras a, b,c,...; el coeficiente del tercer término es la suma de los productos de las letras tomadas de dos en dos; el coeficiente del cuarto término es la suma de los productos de las letras tomadas de tres en tres y asi sucesivamente hasta el último término que estará formado por el producto de todas las letras. Ejemplo.-) Desarrollar el producto siguiente: (X + 2)(X - 1)(X + 4)(X - 3) (X + 2)(X - 1)(X + 4)(X - 3) = X4 + 2 X3 - 13 X2 - 14 X + 24 Suponga ahora que en el producto indicado anteriormente: (X + a) (X + b) (X + c) (X + d) = X4 + (a + b + c + d) X3 + (ab + ac + ad + bc + bd + cd) X2 + (abc + abd + acd + bcd) X + abcd hacemos b = c = d = a, entonces se obtiene (X + a)4 = X4 + 4 a X3 + 6 a2 X2 + 4 a3 X + a4 ---ec(1) Observamos que el coeficiente numérico del segundo término es 4, o sea, la potencia del binomio (X + a); en el tercero el coeficiente numérico es igual al número de combinaciones de las cuatro “a” tomadas de dos en dos; en el cuarto es el número de combinaciones de las cuatro “a” tomadas de tres en tres, y en el quinto es el número de combinaciones de las cuatro “a” tomadas de cuatro en cuatro.

17 Si nCr representa el número de combinaciones de n objetos tomados de r en r, la ecuación(1) puede escribirse como: (X + a)4 = 4C0 X4 + 4C1 a X3 + 4C2 a2 X2 + 4C3 a3 X + 4C4 a4 , o también, (X + a)4 = 4C0 X4-0 a0 + 4C1 X4-1 a1 + 4C2 X4-2 a2 + 4C3 X4-3 a3 + 4C4 X4-4 a4 ..ec(2) utilizando la notación de sumatoria, tenemos que: n=4

(X + a )4 = ∑ nCk X4-k ak k=0 parece que se puede obtener una generalización de la ec(2), la cuál tomaría el siguiente aspecto: n (X + a)n = ∑ nCk Xn-k ak ...ec(3) k=0 n es usual reemplazar el símbolo nCk por k , el cual está dado por: n = n! esta expresión permite calcular los coeficientes k k! ( n – k )! binomiales. En donde n! = n(n-1)(n-2)(n-3) . . . (3)(2)(1) es el factorial de un número n entero positivo; Tiene la siguiente propiedad: n! = n (n – 1)! Propiedad: para n = 1 ! 0! = 1 Demostraremos por Inducción Matemática la ec(3). La condición 1, se cumple para n = 1, ya que: (X + a ) = ∑ 1Ck X1-k ak = 1C0 X a0 + 1C1 X0 a = X + a Para la condición 2, suponemos que la ec(3) se cumple para algún n = k, o sea, suponemos que k

(X + a)k = ∑ mCk Xk-m am es verdadera, y si esta implica que m=0 k+1

(X + a)k+1 = ∑ mCk+1 Xk+1-m am , es verdadera, entonces la ec(3) es valida para m=0 todo n entero positivo.

18 Ejercicios Resueltos del capítulo #1 del Texto: "Análisis Matemático" , del autor Tom M. Apostol. Ejercicio 1- 4 ) Demuestre que si ∈x = 1 + X + (1 / 2! ) X2 + (1 / 3! ) X3 + . . . + (1 / n! ) Xn , entonces ∈ es un número irracional. Demostración: Probaremos que ∈ -1 es un irracional. La Serie para ∈ -1 es una serie alternativa cuyos términos decrecen uniformemente en valor absoluto. n Si Sn = ∑ (-1)K / k! , entonces tenemos la desigualdad siguiente: k = 0 0 < ∈ -1 - S2k-1 < 1/2k! , de la cual se obtiene : 0 < (2k - 1)! (∈ -1 - S2k-1 ) < 1 / 2k ≤ 1 / 2 ...(*) para cualquier entero k ≥ 1 Como (2k - 1)! S2k-1 es siempre un entero, entonces si ∈ -1 fuera racional podemos escoger un valor de k suficientemente grande, de tal manera que (2k - 1)! ∈ -1 fuese un entero pero de (*) vemos que la diferencia entre dichos dos números enteros (supuestamente), seria un número entre 0 y 1/2 , lo cual es imposible . En conclusión ∈ -1 no puede se racional, y en consecuencia ∈ (su reciproco) tampoco puede ser racional. Ejercicio 1- 5 ) Si el conjunto E consta de todos los números de la forma 1/n , en donde n = 1, 2, 3, . . . , determine el Supremo y el Infimo de E. Hagamos Y = 1 / n , para n = 1, 2, 3, . . . Y Y = 1 / n , tiene una máxima Cota Inferior Y = 0 ó sea, tiene un Inf (E) = 0. Y = 1 / n , No-tiene una mínima Cota Superior ó sea, Sup (E) = no existe . n

19 Ejercicio 1- 6 ) Si se tienen tres números reales a , X, Y que satisfagan la desigualdad siguiente: a ≤ X ≤ a + Y / n , para todo entero n = 1, 2, 3, . . . entonces necesariamente X = a . Demostración Por Inducción: Para n = 1 ! a ≤ X ≤ a + Y Para n = k ! a ≤ X ≤ a + Y / k ! a k ≤ k X ≤ a k + Y Para n = k + 1 ! a ≤ X ≤ a + Y / k+1 De donde tenemos ! a (k + 1) ≤ X (k + 1) ≤ a (k + 1) + Y Luego, tenemos ! a k ≤ k X + X - a ≤ a k + Y Luego, tenemos ! a k ≤ k X ≤ a k + Y Así, ! 0 ≤ X - a ≤ 0 Como X - a ≤ 0 y X - a ≥ 0 entonces necesariamente X = a . ______________________________________________________________________ Ejercicio 1- 7 ) Demostrar por Inducción Matemática, la siguiente generalización de la "desigualdad del Triángulo" : | X1 + X2 + X3 + . . . + Xn | ≤ | X1 | + | X2 | + | X3 | + . . . + | Xn | Demostración Por Inducción: Para n = 2 ! | X1 + X2 | ≤ | X1 | + | X2 | desigualdad del triángulo Suponemos validez para n = k , obteniendo: | X1 + X2 + . . . + Xk | ≤ | X1 | + | X2 | + . . . + | Xk | Ahora, probaremos validez para n = k + 1 | X1 + X2 + . . . + Xk + Xk+1 | ≤ | X1 | + | X2 | + . . . + | Xk | + | Xk+1 | ...(*) haciendo u = X1 + X2 + . . . + Xk en (*) , tenemos

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| u + Xk+1 | ≤ | u | + | Xk+1 | , que tiene validez por la desigualdad del triángulo. Así, tenemos que | X1 + X2 + . . . + Xk + Xk+1 | ≤ | X1 | + | X2 | + . . . + | Xk | + | Xk+1 | también es válida ; de donde, finalmente se tiene que | X1 + X2 + X3 + . . . + Xn | ≤ | X1 | + | X2 | + | X3 | + . . . + | Xn | ___________________________________________________________________________ Ejercicio 1- 8 ) Demostrar la "Desigualdad de Cauchy - Schwarz" : Si a1 a2 a3 . . . an y b1 b2 b3 . . . bn son números reales arbitrarios, tenemos que n n n ( ∑ ak bk )2 ≤ ( ∑ ak )2 ( ∑ bk )2 k=1 k=1 k=1 más aun, si algún ai ≠ 0 , la igualdad se cumple, si y sólo si existe un número real X tal que ak + X = 0 , para toda k = 1, 2, 3, . . . n Demostración: como una suma de cuadrados siempre es positiva, podemos establecer: n ∑ ( ak X + bk )2 ≥ 0 ; para todo real X, con igualdad si y sólo si, cada término k=1 es cero. Esta desigualdad se puede expresar en la forma: A X2 + 2 B X + C ≥ 0 ; en donde A = ( ∑ ak )2 ; B = ∑ ak bk ; C = ( ∑ bk )2 Si A > 0 , hacemos X = - B / A para obtener B2 - A C ≤ 0 , que nos conduce a n ∑ ak 2 bk 2 - ( ∑ ak )2 ( ∑ bk )2 ≤ 0 k=1 de donde se obtiene: n n n ( ∑ ak bk )2 ≤ ( ∑ ak )2 ( ∑ bk )2 k=1 k=1 k=1 Si A = 0 , la demostración es trivial

21 Ejercicio 1- 9 ) Demostrar la "Desigualdad de Cauchy - Schwarz" por medio del principio de "Inducción Matemática". n n n ( ∑ ak bk )2 ≤ ( ∑ ak )2 ( ∑ bk )2 k=1 k=1 k=1 1º - ) para n = 1 ! (ak bk )2 ≤ (ak )2 (bk )2 ; se cumple la igualdad (ak bk )2 = (ak )2 (bk )2 2º - ) suponemos validez para n = j j j j ( ∑ ak bk )2 ≤ ( ∑ ak )2 ( ∑ bk )2 k=1 k=1 k=1 3º - ) probaremos validez para n = j + 1 j+1 j+1 j+1 ( ∑ ak bk )2 ≤ ( ∑ ak )2 ( ∑ bk )2 k=1 k=1 k=1 j j j ( ∑ ak bk )2 (ak+1 bk+1)2 ≤ ( ∑ ak )2 ( ak+1)2 ( ∑ bk )2 ( bk+1 )2 , de donde tenemos: k=1 k=1 k=1 j j j ( ∑ ak bk )2 (ak+1 bk+1)2 ≤ ( ∑ ak )2 ( ∑ bk )2 ( ak+1

bk+1 )2 , k=1 k=1 k=1 j j j ( ∑ ak bk )2 ≤ ( ∑ ak )2 ( ∑ bk )2 k=1 k=1 k=1 Como es válida para n = j , tenemos que n n n ( ∑ ak bk )2 ≤ ( ∑ ak )2 ( ∑ bk )2 k=1 k=1 k=1 la "Desigualdad de Cauchy - Schwarz" es válida.

22 Ejercicio 1. 10 -) Demuestre que no existe un número primo mayor que todos los demas. Demostración ( Por reducción al absurdo) Supongamos lo contrario, que si existe un número primo Xi mayor que todos los demas; es decir : 1 < P1 < P2 < P3 < P4 < . . . < Pi < Xi pero de acuerdo con el teorema 1.24 sabemos que 1 < Pi < n teniendose entonces también que 1 < Xi < n dado que Xi es primo; por lo cual concluimos que no existe un número primo mayor que todos los demas. _____________________________________________________________________________ Ejercicio 1- 11 ) Demuestre la Desigualdad de Bernoulli: Para todo entero positivo n y para cualquier número real a ≥ -1 se verifica que: ( 1 + a )n ≥ 1 + n a Demostración por Inducción: Para n = 1 ! (1+ a)1 ≥ 1 + (1) a ! 1 + a = 1 + a Para n = 2 ! (1+ a)2 ≥ 1 + (2) a ! 1 + 2 a + a2 > 1 + a , para toda a ≥ -1 Dado que a2 > 0 ( se cumple ) Suponemos valides para n = k > 0 ( a ≥ - 1 ) Luego, probaremos validez para n = k + 1 > 0 ( a ≥ - 1 ) (1+ a)k ≥ 1 + k a (1 + a)k ( 1 + a ) ≥ (1 + k a ) (1 + a ) dado que 1 + a ≥ 0 ( a ≥ - 1 ) ( 1 + a )k+1 ≥ (1 + a ) k a (1 + a ) ( 1 + a )k+1 ≥ 1 + ( k + 1 ) a + k a2 Se cumple para todo valor de k = 1, 2, 3, . . . Para k = 1 ( 1 + a )2 = 1 + 2 a + a2 . Para k = 2 ( 1 + a )3 ≥ 1 + 3 a + 2 a2 . Y asi sucesivamente.

23 Ejercicio 1- 12 ) Demuestre que el conjunto de los números Racionales Q, es "Denso en si mismo", en el sentido de que entre dos números racionales siempre hay otro. Demostración: Sean a , b∈Q ; Q = { x / x = p / q ; p, q∈Z , con q ≠ 0 } , tales que a ≠ b . Si consideramos primero que a < b , entonces existirá un número racional q1 = ( a + b ) / 2 , tal que a < q1 < b , dado que a < b ! a + a < a + b ! 2 a < a + b , de donde a < ( a + b) / 2 . Si consideramos ahora, que b < a , entonces existirá un número racional q2 = ( a + b ) / 2 , tal que b < q2 < a , dado que si b < a ! a + b < a + a ! a + b < 2a , de donde ( a + b ) / 2 < a . Por lo cual podemos concluir que entre todo par de números racionales a y b ; con a ≠ b siempre existe otro racional. _________________________________________________________________________ Ejercicio 1- 13 ) Demuestre que el conjunto de los números Racionales Q, es un "Conjunto Denso en el Sistema de los Números Reales". Es decir si "X" y "Y" son números reales arbitrarios, con X < Y , pruebe que existe al menos un número racional q, tal que X < q < Y , y por lo tanto un número infinito de dichos números. Demostración: Como uno de los números reales es menor que el otro X < Y , entonces si "X" es negativo y Y es positivo, entonces el número racional 0 está entre ellos dos, es decir X < 0 < Y . 1º-) Haremos la demostración para el caso en que ambos números "X" y "Y" sean positivos como X < Y significa que Y - X es positivo ( Y - X > 0 ) . Luego, de los números naturales tenemos que existe a∈N tal que 0 < (1 / a) < (Y- X) Nota: recordemos que si a > 0 ! ( 1 / a ) > 0 . o sea, X + (1 / a ) < Y , pero 0 < X < X + (1/a) ; luego entonces, X < ( ( a X + 1 ) / a ) < Y , considerando que para alguna X > 0 ! a X + 1 es entero, y haciendo q = ( a X + 1 ) / a (número racional) , tendremos que:

24 X < q < Y , por lo tanto existe al menos un número racional q entre dos números reales "X" y "Y" positivos. 2º-) Ahora, haremos la demostración para el caso en que ambos números "X" y "Y" sean negativos, con X < Y < 0 . entonces tenemos que - X > - Y > 0 ; entonces ( - X ) - ( -Y ) > 0 o sea , ( - X ) - ( -Y ) es positivo , es decir Y - X > 0 luego, como para cualquier a > 0 ! ( 1 / a ) > 0 , entonces existe un entero a∈N tal que 0 < (1 / a) < ( Y- X ) y siguiendo el mismo proceso anterior, para el caso Positivo, se llega también a X < q < Y , por lo tanto existe al menos un número racional q entre dos números reales "X" y "Y" positivos. ___________________________________________________________________________ Ejercicio 1- 14 ) Demuestre que la Suma de un número racional q= a / b , con b≠ 0 , y de un número irracional X es siempre un número irracional. Demostración: Sea q un número racional con representación decimal fínita : q = ao + a1 /10 + a2 / 102 + a3 / 103 + . . . + an / 10n , en donde ao es entero > 0 , y a1 a2 a3 . . . an son enteros que satisfacen 0 ≤ ai ≤ q . y sea X un número irracional ( no tiene representación decimal fínita ) entonces, q + X = ( ao + a1 /10 + a2 / 102 + a3 / 103 + . . . + an / 10n ) + X = ( ao + X ) + a1 /10 + a2 / 102 + a3 / 103 + . . . + an / 10n ( usando la propiedad asociativa) Pero ( ao + X ) seria un irracional dado que ( ao ) es entero > 0 , y X es Irracional ; por lo cual el número (q + X ) no cumple con la propiedad de tener representación decimal fínita , de la forma : q + X = ( bo + a1 /10 + a2 / 102 + . . . + an / 10n ) dado que bo + X no seria entero.

25 Ejercicio 1- 15 ) Demuestre que entre dos números irracionales distintos, existe un número racional. Demostración: Sean X , Y, dos números irracionales cualesquiera. 1º-) Si X < 0 y Y > 0 , entonces existe al menos X < Y , el número racional cero (0 ) ; es decir , X < 0 < Y . 2º-) Si ambos son positivos X > 0 y Y > 0 , pero X < Y , entonces Y - X > 0 , y podra existir un cierto ε > 0 tal que 0 < ( Y - X ) < ( Y + ε ) es decir 0 < X < Y < ( X + Y + ε ) , pero del Teorema 1-39 , se tiene que rn < Z < rn + 1 / 10n seria una representación decimal fínita del número real racional Z > 0, entonces sumando ambas desigualdades miembro a miembro, tenemos que 0 < ( X + rn ) < (Y + Z ) < ( X + Y + ε + rn + 1 / 10n ) , de donde 0 < ( X - Y + rn ) < Z < ( X + ε + rn + 1 / 10n ) , como I1= X - Y + rn es irracional dado que "X" y "Y" lo son, y como I2= X + ε + rn + 1 / 10n también es irracional , pero Z es racional, entonces tenemos que I1 < Z < I2 , para toda Z racional. Queda demostrado que entre dos irracionales existe un racional. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ejercicio 1- 16 ) Encuentre el número racional cuya expresión decimal es: 0.3344444 . . . Solución: 0.3344444 . . . = 0 + (3 /10 ) + (3 / 102 ) + (4 / 103) + (4 /104) + (4 /105) + . . . 3x105 + 3x104 + 4x103 + 4x102 + 4x10 + 4 = 1x 106 . 334444 1672222 836,111 P = = = = --- 1x 106 500000 250000 q Así, tenemos una representación racional, dado que P = 836,111 y q = 250,000 Son números enteros.

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Ejercicio 1- 17 ) Demuestre que √ n - 1 + √ n + 1 es irracional, para todo entero n ≥ 1 . Demostración: Si hacemos m = n - 1 , como n ≥ 1 entonces m ≥ 0 . ______ ___ Así, tenemos que √ n - 1 = √ m seria irracional para toda m > 0 que no sea cuadrado perfecto ( Teorema 1.29 ) Luego, si hacemos P = n + 1 , como n ≥ 1 entonces P ≥ 2 ______ ___ Así, tenemos que √ n + 1 = √ P también seria irracional para toda P que no sea cuadrado perfecto. Conclusión, la suma ______ ______ ___ ___ √ n - 1 + √ n + 1 = √ m + √ P nos daria un número irracional para toda m y P que no sean cuadrados perfectos. Justificación: (por inducción) Para n = 1 ! X1 = √ 0 + √ 2 = √ 2 es irracional Para n = 2 ! X2 = √ 1 + √ 3 = 1 + √ 3 es irracional Para n = 3 ! X3 = √ 2 + √ 4 = √ 2 + 2 es irracional Porque se demostró ( Teorema 1.14 ) que la suma de un número racional con un número irracional, genera un número irracional. Suponemos validez para n = k , ______ _______ X = √ k - 1 + √ k + 1 es irracional Probaremos validez para n = k + 1 , _________ __________ ___ ______ X = √ (k+1) - 1 + √ ( k+1) + 1 = √ k + √ k + 2 Pero √ k es irracional para toda k que no sea cuadrado perfecto; o bien, √ k+2 es irracional, para toda (k + 2) que no sea cuadrado perfecto. Entonces, en cualquiera de los dos casos, X sería irracional, de acuerdo con el Teorema 1.14 anteriormente probado.

27 Ejercicio 1- 18 ) Determine el Supremo y el Infimo de cada uno de los Siguientes Conjuntos de números reales: A-) Conjunto Sa formado por todos los números de la forma: Sa = {X / X = 2-P + 3-q + 5-r } , en donde p , q , r pueden tomar sólo valores enteros positivos. B-) Conjunto Sb formado por todos los números de la forma: Sb = { X : 3X2 - 10 X + 3 < 0 } C-) Conjunto Sc formado por todos los números de la forma: Sc = { X : (X - a) (X - b) (X - c) (X - d ) < 0 } Respuestas: A-) Conjunto Sa formado por todos los números de la forma: Sa = {X / X = 2-P + 3-q + 5-r } , en donde p , q , r pueden tomar sólo valores enteros positivos. 1º-) Para valores grandes de p , q , r ; esto es p , q , r ! ∞ , tenemos que: 2-P + 3-q + 5-r ! 0 dado que 2-

∞ + 3- ∞ + 5-

∞ ! 0 entonces, el conjunto Sa tiene una Cota inferior en cero; es decir Infimo(Sa) = 0 . 2º-) Para valores pequeños de p , q , r ; esto es p , q , r ! 0 , tenemos que 20 + 30 + 50 ! 3 así, tenemos que la Cota superior ( ó el Supremo ) del conjunto Sa es = 3 Supremo(Sa ) = 3 . Nota: Para valores diversos de P , q , r (positivos) , se pueden obtener otros valores para el Supremo y el Infimo del conjunto Sa ; pero la "Mínima Cota Inferior" sería cero y la "Máxima Cota Superior" sería 3 .

28 B-) Conjunto Sb formado por todos los números de la forma: Sb = { X : 3X2 - 10 X + 3 < 0 } 3X2 - 10 X + 3 < 0 multiplicando por (1 / 3) tenemos: X2 - (10 / 3 ) X + 1 < 0 Completando un trinomio cuadrado perfecto, tenemos: ( X2 - (10 / 3 ) X + ( 25 / 9 ) ) + 1 - ( 25 / 9 ) < 0 ( X - 5/3 ) 2 - (16 / 9 ) < 0 de donde se obtiene : [ ( X - 5/3 ) - (4 / 3) ] [ ( X - 5/3 ) + (4 / 3) ] < 0 ( X - 3 ) ( X - ( 1 / 3)) < 0 TABLA de EULER Intervalos ! Factores Signo

(- ∞ , 1/3 )

( 1/3 , 3 )

( 3 , + ∞ )

( X - 3 )

-

+

+

( X - ( 1 / 3) )

-

-

+

Producto !

+

-

+

La Solución es : X ∈ ( 1/3 , 3 ) valores que satisfacen la desigualdad Todas las X < 3 y X > (1/3)

29 C-) Conjunto Sc formado por todos los números de la forma: Sc = { X : (X - a) (X - b) (X - c) (X - d ) < 0 } TABLA de EULER Intervalos! Signos Factores

(- ∞ , a )

(a , b )

(b , c )

(c , d )

(d , + ∞ )

( X - a )

-

+

+

+

+

( X - b )

-

-

+

+

+

( X - c )

-

-

-

+

+

( X - d )

-

-

-

-

+

Producto !

+

-

+

-

+

La Solución es : X ∈ ( a , b )^(c , d ) valores que satisfacen la desigualdad Documento elaborado por: M.C. Héctor Isaias Escobosa Iribe Profesor Titular "C" del I.T.C. ( Profesor – Jubilado del Instituto Tecnológico de Culiacán ) Culiacán, Sinaloa, México Año 2014