analisis iii

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INTRODUCCION

El presente trabajo muestra el desarrollo de ejercicios de integrales dobles y triples en el

programa Matlab. Este programa es un avanzado software de trabajo matemtico, ideado con

la finalidad de mejorar las habilidades cientfico- tcnicas del estudiante. Es importante agregar

adems que Matlab es un potente lenguaje industrial, orientado a la resolucin de problemas

del mundo real, pertenecientes al entorno de la ingeniera y a la investigacin bsica.

En este sentido, usando el programa Matlab, se presentar la solucin de diez ejercicios

diversos sobre integrales dobles y triples, demostrando as la gran utilidad de dicho programa

para solucionar problemas del curso de Anlisis Matemtico III.

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OBJETIVOS

Afianzar los conocimientos sobre el tema de integrales dobles y triples.

Mostrar mtodos para calcular integrales dobles y triples en Matlab

Profundizar en el conocimiento y uso de Matlab

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EJERCICIOS DE INTEGRALES DOBLES Y TRIPLES USANDO MATLAB

I. INTEGRALES DOBLES

1. Calcular la integral 18 + + 36

Donde R: 2 + 18 = 1 ; 362 + 2 = 1

Graficos

clear

clc

x= -4:0.1:4;

y=-5:0.1:5;

[X,Y] = meshgrid(x,y);

f1= (X.^2)+(18*Y.^2)-1;

plot3(X,Y,f1);

surf (X,Y,f1);

hold on

x1= -4:0.1:4;

y1=-5:0.1:5;

[X1,Y1] = meshgrid(x1,y1);

f1= (36*X1.^2)+ (Y1.^2)-1;

plot3(X1,Y1,f1);

surf (X1,Y1,f1);

4

Solucion

clear

clc

syms x y;

5

f= input ('Digite funcin a integrar=');

F= inline (char(f)) ;

a = input ('desde (y):');

b = input ('hasta (y): ');

a1 = input ('desde (x): ');

b1 = input ('hasta (x):');

F = int (int(f,y,a,b),x,a1,b1)

2. Calcular la integral doble 3 + 3dydx

1

0

Grafica

clear

clc

x= -4:0.1:4;

y=-5:0.1:5;

[X,Y] = meshgrid(x,y);

f1= (X.^3)+(Y.^3);

plot3(X,Y,f1);

hold on

6

Solucin

clear

clc

syms x y;








7

3. Calcular el rea bajo la curva 2y= x ; x+y = 3, y=0

Grfico

x = -4:0.01:4;

f1=(x.^2)./2;

plot(x,f1)

hold on

f2=(3-x);

plot(x,f2)

f3=0;

plot(x,f3)

hold on

8

Solucion

clear

clc

syms x y;








9

Simplificando

F= 12.3468

4. Calcular el rea bajo la curva = + ; = ; =

Grfico

Clc

Clear

x = 0:0.1:4;

f1=x.^2+a;

plot(x,f1)

hold on

f2=8;

plot(x,f2)

x = 0:0.1:5;

f3=0;

plot(f3,x)

10

Solucion

clear

clc

syms x y;








11

5. Calcular la integral definida por 2 + 2 , sabiendo que

0

12

Solucion

clear

clc

syms x y z;







a2= input ('desde (z):');

b2= input ('hasta (z):');

F = int(int (int(f,y,a,b),x,a1,b1),z,a2,b2)

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6. Calcular el volumen del solido por debajo del paraboloide: z= x+y

Encima del plano xy y debajo del cilindro x+y=2x

Grfico

[x,y]=meshgrid(0:.1:10,0:.1:10);

z1=sqrt(2.*34.*x-x.^2);

plot3(x,y,z1,'b')

hold on

z2=sqrt(x.^2+y.^2);

plot3(x,z2,y,'y')

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Solucin

Calculamos la integral del volumen generado por las superficies:

syms y z

I=int(int(sqrt(34.^2-y.^2)+34-sqrt(z.^2-y.^2),y,0,z),z,0,34)

ans =

I= (19652*pi)/3 + 19652/3

(19652*pi)/3 + 19652/3

ans =

2.7130e+004

2.7130e+004

ans =

27130

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7. Calcular

2+2+(2) donde D es el cilindro x+y 1 , -1 z 1.

Grfico

>> cylinder (1,40); axis square; colormap([.0 1.0 .0])

Solucion

Pasando a coordenadas cilndricas

X= rcos()

Y= rsen()

Z=z

J(r,,z) =r

D : { (r,,z)/ 0 r1 ; 0 2pi ; -1z1}

Calculando la integral usando Matlab

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Simplificando:

F= 3.675

8. Encontrar el momento de inercia respecto al eje Z del slido homogneo dentro del

paraboloide x+y= z, p es la densidad del volumen constante K slug/p

Iz = (2 + 2)

Transformando a coordenadas cilndricas

X= rcos()

Y= rsen()

Z=z

J(r,,z) =r

Iz =

Donde:

R

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Entonces

F= k

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9. Si D es la regin limitada por dos planos x=1 , x=2 y poe los cilindros y+z=4 , y+z=9

Calcular exp ()2 + dydz

Grfico

>> cylinder (2,40); axis square; colormap([.0 1.0 .0])

>> hold on

>> cylinder (3,40); axis square; colormap ([.0 .5 .0])

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Solucin

Pasando a coordenadas cilndricas

y= rcos()

z= rsen()

x=x

J(r,,z) =r

La integral nueva sera

exp () drd

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Conclusiones

Despus de resueltos los ejercicios, se puede observar la versatilidad del software Matlab ya que

los problemas aqu resueltos se han tratado tanto por ventanas de script ejecutables en funcin

como por funcin directamente (en general, para los grficos). Igualmente, se puede agregar

que se ha aprendido ms sobre cmo grficar funciones en 2D y 3D. Por ejemplo, se observa

que para graficar funciones en tres dimensiones se utiliza el comando plot3 y para graficar

funciones en 2D se emplea solamente plot.

Por otro lado, tambin se ha podido observar ciertas limitaciones de Matlab en el

comando int de integracin, ya que ciertas integrales no arrojaban un resultado cuando se

digitaban en el programa. Por este motivo, se recurri a la transformacin a coordenadas

cilndricas, afianzando as los conocimientos del curso Analisis Matemtico III.

analisis iii

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