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ANALISIS ESTRUCTURAL

Ing. HUGO MERCADO C.1

Facultad Nacional de Ingenierıa - UTOOruro-Bolivia

25 de Marzo del 2001

1Telf. 05253522

Indice

1 INTRODUCCION 11.1 GENERALIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 Trabajo de un Vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.2 Trabajo sobre Cuerpo Deformable W . . . . . . . . . . . 21.1.3 Trabajo Complementario Wc . . . . . . . . . . . . . . . . 41.1.4 Comportamiento Linealmente Elastico . . . . . . . . . . . 41.1.5 Densidad de la Energıa de Deformacion u . . . . . . . . . 51.1.6 Trabajo sobre un cuerpo rıgido . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 PRINCIPIO DEL TRABAJO VIRTUAL . . . . . . . . . . . . . 61.2.1 Planteamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.1.1 Trabajo de la tajada diferencial . . . . . . . . . 71.2.1.2 Trabajo del cuerpo . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.2 Trabajo Virtual de las Cargas Externas . . . . . . . . . . 91.2.3 Trabajo Virtual de las Cargas Internas . . . . . . . . . . . 9

1.2.3.1 Trabajo Virtual de la Fuerza Normal . . . . . . 91.2.3.2 Trabajo Virtual del Momento Flector . . . . . . 91.2.3.3 Trabajo Virtual de la Fuerza Cortante . . . . . 111.2.3.4 Trabajo Virtual del Momento Torsor . . . . . . 111.2.3.5 Trabajo Virtual acumulado de las Cargas Inter-

nas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.2.4 Expresion analıtica del Principio del Trabajo Virtual . . . 12

2 CALCULO DE LOS DESPLAZAMIENTOS 142.1 METODO DE LA CARGA UNITARIA . . . . . . . . . . . . . . 14

2.1.1 Planteamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.1.2 M. de la C. U. para estructuras Linealmente Elasticas . . 16

3 METODO DE LA FLEXIBILIDAD 183.1 Conceptos Relativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.1.1 Notacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.1.2 Concepto de Flexibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.1.3 Calculo de la Flexibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.2 Introduccion al Metodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.3 Aplicacion del Metodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

ii

INDICE iii

3.3.1 Las Redundantes son Reacciones de Apoyo . . . . . . . . 243.3.2 Las Redundantes son Cargas Internas . . . . . . . . . . . 27

3.3.2.1 Barras Biarticuladas . . . . . . . . . . . . . . . . 303.3.2.2 Barras con otros Vınculos . . . . . . . . . . . . . 303.3.2.3 Estructuras contınuas . . . . . . . . . . . . . . . 30

4 METODO DE LAS ROTACIONES ANGULARES 394.1 Conceptos relativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.1.1 Desplazamiento - Deformacion . . . . . . . . . . . . . . . 394.1.2 Rigidez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.1.3 Nudo - Barra - Apoyo - Vınculo . . . . . . . . . . . . . . 41

4.2 Introduccion al Metodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.2.1 Simplificaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.2.2 Desplazamientos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.2.3 Procedimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.2.3.1 Compatibilidad de Desplazamientos . . . . . . . 474.2.3.2 Condiciones de Equilibrio . . . . . . . . . . . . . 48

4.3 Grado de Desplazabilidad GD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

5 PRINCIPIOS GENERALES DE LA ENERGIA 495.1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5.1.1 Trabajo y Energıa en una Estructura . . . . . . . . . . . . 495.1.2 Estructuras Linealmente Elasticas . . . . . . . . . . . . . 51

5.2 Metodos de la Energıa de Deformacion . . . . . . . . . . . . . . . 535.3 Metodos de la Energıa Complementaria . . . . . . . . . . . . . . 53

5.3.1 Estructuras Linealmente Elasticas . . . . . . . . . . . . . 54

iv INDICE

Capıtulo 1

INTRODUCCION

1.1 GENERALIDADES

1.1.1 Trabajo de un Vector

El Trabajo W de un vector es el producto algebraico de su magnitud por el de-splazamiento de su punto de aplicacion proyectado sobre la direccion del vector.Sea entonces P una fuerza y M su punto de aplicacion, ver Fig. 1.1, donde Mse mueve entre los puntos A y B, siguiendo la trayectoria cualquiera mostrada.

Figura 1.1: Fuerza P actuando en M

Entonces por definicion:

dW = P ds cos φ

si P se mantiene constante durante el desplazamiento,

W = P

∫ B

A

cos φds = PAB cos θ

Que tambien puede ser escrita como el producto escalar

W = ~P • −−→AB

1

2 CAPITULO 1. INTRODUCCION

El trabajo es una magnitud escalar, tendra un valor negativo si el de-splazamiento se produce en sentido contrario al del vector, pudiendotambien tener un valor nulo si el punto M inicia su desplazamientoen A y despues de seguir cualquier trayectoria termina en el mismopunto A (A=B).

El mismo criterio sera aplicado en el caso de que el vector sea un momento.Como se sabe, la direccion del momento es una recta perpendicular al planoque contiene al par, siendo su efecto la rotacion alrededor del eje que es precisa-mente la recta direccion del momento. Entonces, el trabajo del momento serael producto escalar del vector momento M por el desplazamiento del vector ensu propia direccion, que en este caso corresponde al giro θ ver Fig.1.2, es decir:

W = ~M • ~θ

Figura 1.2: Momento M actuando en O

1.1.2 Trabajo sobre Cuerpo Deformable W

A continuacion sera analizado el trabajo de un vector fuerza actuando sobre uncuerpo deformable bajo las siguientes condiciones,ver Fig. 1.3:

• El cuerpo en cuestion es una barra recta.

• El vector actuante es una fuerza traccionante colineal con la barra, verFig. 1.3(a) . Esta fuerza aumenta constantemente de valor desde cerohasta P , siendo sus incrementos pequenos en el tiempo. Por tanto, puedeasumirse que en un instante ·t·, la fuerza Pt es estatica, no se producedinamicidad.

1.1. GENERALIDADES 3

Figura 1.3: Fuerza P actuando sobre Barra Recta

• El efecto de la fuerza es el de alargar la barra, no siendo necesariamentela deformacion de la barra linealmente proporcional a la fuerza (puedeno cumplirse la Ley de Hooke), ni ser el comportamiento perfectamenteelastico, ver Fig. 1.3(b).

En la Fig. 1.3(b), la lınea OAB corresponde a la curva esfuerzo-deformacionen la fase de carga, cuando Pt varıa entre 0 y P y la deformacion crece desde0 hasta δ, como se dijo, la relacion de crecimiento entre P y δ no es necesari-amente lineal. Igualmente la lınea BD corresponde a la misma relacion en lafase de descarga, cuando la fuerza decrece desde P hasta 0. Si bien el elementoalcanza la deformacion δ en la fase de carga, en la fase de descarga la mismava disminuyendo pero solo en la magnitud del segmento CD, que es la llamadaDeformacion Elastica, quedando definitivamente alargadas las fibras una lon-gitud DO, que por esto recibe el nombre de Deformacion Inelastica, Plasticao Remanente. Si se toma una tajada diferencial de la barra, ver Fig. 1.3(c),despreciando el trabajo realizado por el incremento de fuerza dP , por ser undiferencial de segundo orden, se tiene que el trabajo de la fuerza es:

dW = Ptdδ = Area rayada de la Fig.1.3(b)

Siendo por tanto el trabajo total de Pt + dP actuando sobre la barra

W =∫ δ

0

Ptdδ = Area︷︸︸︷OABCDO

Del trabajo total que se acaba de hallar, el area entre la curva OAB y la lınea

BD, area︷︸︸︷OABDO, corresponde al trabajo irrecuperable, perdido en forma de

temperatura, etc., en cambio, el area︷︸︸︷BCD es el trabajo que quedo almacenado

en la pieza como energıa de deformacion elastica y que ha sido recuperado aldescargar la barra.


Si se asume que el comportamiento del material es completamente elastico,es decir que en la fase de descarga la trayectoria de la curva esfuerzo deformacionsigue la lınea BAO, entonces todo el trabajo queda almacenado como energıade deformacion llamada U (no se pierde ni anade energıa), en cuyo caso se tratade un Sistema Conservativo, concepto aplicable tanto a materiales lineal ono linealmente elasticos. Entonces:

W = U =∫ δ

0

Ptdδ (1.1)

1.1.3 Trabajo Complementario Wc

Se define como Trabajo Complementario Wc:

Wc =∫ P

0

δt dP (1.2)

Que corresponde al area︷︸︸︷OABEO de la Fig. 1.3(b), si bien esta magnitud no

tiene el significado fısico de Trabajo.

1.1.4 Comportamiento Linealmente Elastico

Cuando el material de que esta hecha la barra cumple la Ley de Hooke, es decir,la deformacion es proporcional a la carga, entonces la lınea OAB es una rectaexpresada por la Ley de Hooke, entonces, despejando la carga Pt en funcion deldesplazamiento δt e integrando entre 0 y δ se tiene:

W = U =12P δ (1.3)

Wc = Uc =12P δ (1.4)

La ecuacion 1.3 recibe el nombre de TEOREMA DE CLAPEYRON (1799-1864) [2, Pag. 90], a partir de aquella es util expresar la energıa en funciondel maximo valor de la carga P y el diferencial de deformacion, de modo quecuando el comportamiento es linealmente elastico es posible escribir:

dW = dU =12P dδ (1.5)

Tambien sera util hallar la energıa en funcion de la carga o la deformacionunicamente, ası, por la mencionada Ley de Hooke:

δ =PL

AE⇒ P = δ

AE

L

Luego, reemplazando estas relaciones en las ecuaciones 1.3 y 1.4 se tiene:

W = U = Wc = Uc =P 2L

2AE(1.6)

W = U = Wc = Uc =δ2AE

2L(1.7)

1.1. GENERALIDADES 5

1.1.5 Densidad de la Energıa de Deformacion u

Se llama ası a la Energıa de deformacion por unidad de volumen, siendo V =AL, entonces para un comportamiento linealmente elastico,

u =σ2

2E(1.8)

u =ε2 E

2(1.9)

donde:

• σ =P

A= Esfuerzo normal asumido constante sobre el area A

• ε =δ

L= Deformacion unitaria

En este punto es conveniente dar a conocer dos definiciones importantes, a saber:

Modulo de Resiliencia ur es la Densidad de la E. de Deformacion cuando elesfuerzo ha alcanzado el Limite de Proporcionalidad, σLP

Modulo de Tenacidad ut es la Densidad de la E. de Deformacion cuando elesfuerzo ha llegado al Limite de Falla σu

Antes de seguir adelante, a modo de resumen, se deben diferenciar dos compor-tamientos distintos, a saber:

La carga varıa linealmente durante el desplazamiento , generalmente eneste caso el desplazamiento es causado por la carga (deformacion), en-tonces, por lo visto en 1.1.4:

W = U =12P δ

La carga permanece constante durante el desplazamiento , aquı se con-sidera que el desplazamiento no es causado por la carga, luego, segun sevio en 1.1.1:

W = U = P δ

1.1.6 Trabajo sobre un cuerpo rıgido

En este acapite se analiza el trabajo realizado por un Sistema de Fuerzas enequilibrio, actuando sobre una partıcula o un cuerpo rıgido (indeformable),cuando este se desplaza paralelamente a sı mismo una distancia ∆, llamadaDESPLAZAMIENTO VIRTUAL debido a que su causa no esta definida(ver la Fig. 1.4), como quiera que el cuerpo es rıgido, todos sus puntos tienen elmismo desplazamiento y por tanto todas las fuerzas, que actuan sobre algunos


Figura 1.4: Cargas sobre cuerpo rıgido

puntos del cuerpo, tendran tambien el mismo desplazamiento ∆. Toda vez quelas fuerzas mantienen su valor en todo momento, el trabajo realizado por unafuerza cualquiera es:

Wi = Pi∆ cos αi

Luego, sumando se obtiene el trabajo total del sistema, notese que ∆ es unicopara todas las fuerzas, ası:

W =n∑

i=1

Wi = ∆{ n∑

i=1

Pi cosαi

}

Pero, al estar el sistema en equilibrio el factor entre corchetes es nulo, y se puedeentonces expresar:

PRINCIPIO DEL DESPLAZAMIENTO VIRTUAL 1.- Sea un sistemade fuerzas en equilibrio actuando sobre un cuerpo rıgido o una partıcula, esnulo el trabajo de este sistema cuando el cuerpo sufre un desplazamientovirtual ∆, es decir: W = 0.

1.2 PRINCIPIO DEL TRABAJO VIRTUAL

1.2.1 Planteamiento

En la Fig.1.5(a) se ve un cuerpo deformable sometido a un sistema de cargas Pen equilibrio, que ha sufrido las deformaciones δP ocasionadas por aquel. En la

1Debe hacerse notar que muchos autores tratan con este mismo nombre el tema que sepresenta en el siguiente acapite §1.2

1.2. PRINCIPIO DEL TRABAJO VIRTUAL 7

Fig.1.5(b) se muestra una tajada diferencial del cuerpo que por definicion estaen equilibrio bajo la accion de una parte de las cargas exteriores actuantes ylas siguientes cargas internas o resultantes de esfuerzos ocasionados por elsistema de cargas P :

• Fuerza Axial N

• Fuerza Cortante V

• Momento Flector M

• Momento torsor T

Figura 1.5: a.- Deformacion del cuerpo: Por cargas δP y Virtual δi, b1.- De-splazamiento y rotacion del Elemento Rıgido, b2.-Deformacion del Elemento

En estas condiciones se aplica un Desplazamiento Virtual δi adicional al de-splazamiento δP existente, este desplazamiento es Virtual porque su causa noes necesario establecerla en este momento. A continuacion se hallara el mismotrabajo desde dos puntos de vista distintos:

1.2.1.1 Trabajo de la tajada diferencial

Analizando el cambio de posicion de la tajada, cualquiera sea la nueva posicion,siempre sera posible expresarla como la suma de:

Traslaciones y Rotaciones del elemento como cuerpo rıgido. Ver Fig.1.5(b1).


Deformacion del elemento diferencial, compatible con el desplazamiento vir-tual del cuerpo Ver Fig.1.5(b2).

Asociado con el desplazamiento del elemento como cuerpo rıgido, el conjuntode cargas antes mencionado producira el trabajo Wr. Del mismo modo, se pro-ducira un trabajo adicional durante la deformacion de la tajada, que llamaremosWd. Sumando estos trabajos se conseguira el trabajo total, ası:

W = Wr + Wd

Ahora bien, por lo visto en la Sec.1.1.6 Wr = 0, por lo tanto:

W = Wd

Pudiendo entonces inferir ”Durante la Deformacion Virtual, el trabajo realizadose produce solamente en la fase de deformacion de la tajada elemental”. En-tonces, si se trata de calcular este trabajo, como quiera que las cargas actuantesexternas permanecen inmoviles en la fase de deformacion que se trata, estasno realizan trabajo alguno. En cambio, solo las resultantes de esfuerzos cam-bian de posicion, realizando por ello el trabajo Wint, por tanto finalmente se hademostrado que:

Durante el desplazamiento virtual δi el trabajo total acumulado es elque corresponde a las cargas interiores o resultantes de esfuerzos.

W = Wint

1.2.1.2 Trabajo del cuerpo

Por otra parte, considerando ahora la barra completa, Fig.1.5(a) es obvio quesolo las cargas externas permanecen activas por cuanto las resultantes de esfuer-zos N, M, V y T se han anulado mutuamente actuando en secciones transversalesadyacentes, por tanto puede afirmarse que:

Durante el desplazamiento virtual δi el trabajo total acumulado es elque corresponde a las cargas exteriores actuantes.

W = Wext

Igualando las dos ultimas relaciones se tiene:

Wint = Wext (1.10)

PRINCIPIO DEL TRABAJO VIRTUAL (Johann Bernoulli, 1667-1748).-Si a una estructura deformada, en equilibrio bajo la accion de un sistemade cargas externas, se la somete a una deformacion virtual compatible conlas restricciones de borde de la misma, el trabajo virtual realizado poreste sistema de fuerzas externo es igual al trabajo realizado por las cargasinternas o resultantes de esfuerzos (Energıa de deformacion).


1.2.2 Trabajo Virtual de las Cargas Externas

Por lo visto en 1.1.1, este trabajo corresponde al producto de las cargas externaspor los desplazamientos virtuales δi en direccion de aquellas y toda vez que elvalor de las cargas no cambia durante el movimiento:

Wext =n∑

i

Pi δi (1.11)

1.2.3 Trabajo Virtual de las Cargas Internas

Siendo las cargas internas las resultantes de esfuerzos, los desplazamientos deestas corresponden a las deformaciones de las fibras. Se analizara independien-temente cada esfuerzo y su deformacion, para despues acumular los trabajos cor-respondientes, (Ver Fig.1.6), notese que, nuevamente, estas cargas permanecenconstantes durante el desplazamiento.

1.2.3.1 Trabajo Virtual de la Fuerza Normal

Con referencia a la Fig.1.6(a) se debe mencionar que la fuerza N corresponde ala suma de los esfuerzos normales σ, en tanto que la deformacion de las fibras enla direccion de esta solicitacion es el incremento de longitud ∆dz de la tajadadiferencial dz. Sean dζi el corrimiento de la seccion transversal izquierda sobreel eje z, y dζd el de la cara derecha, entonces,

∆dz = dζi + dζd

Por otra parte, el trabajo realizado por las fuerzas normales a izquierda y derechaes igual a:

dWint = (dζi)N + (dζd)(N + dN)

Despreciando el diferencial de segundo orden:

dWint = N ∆dz

Donde:

N es la fuerza normal, resultante de los esfuerzos normales producidos por lascargas externas P .

∆dz es el incremento de longitud de la tajada diferencial dz (desplazamientossobre el eje z), producido por la deformacion virtual δi impuesta al cuerpo.

1.2.3.2 Trabajo Virtual del Momento Flector

Como antes, en la Fig.1.6(b) se reconoce que M corresponde al momento de losesfuerzos normales σ, y que la deformacion de las fibras produce rotaciones delas secciones transversales de la tajada diferencial dz en direccion del momento


Figura 1.6: Deformaciones de la tajada diferencial

M (eje x), llamadas θ. Sean dθi la rotacion de la seccion transversal izquierda,y difθd el de la cara derecha, entonces,

dθ = dθi + dθd

Entonces, el trabajo realizado por los momentos flectores a izquierda y derechaes igual a:

dWint = (dθi)M + (dθd)(M + dM)


dWint = M dθ

Donde:

M es el momento flector, resultante de los esfuerzos normales producidos porlas cargas externas P .


dθ es el cambio de pendiente del eje del elemento, (rotaciones sobre el eje x)producido por la deformacion virtual δi impuesta al cuerpo.

1.2.3.3 Trabajo Virtual de la Fuerza Cortante

Una vez mas, en la Fig.1.6(c) se puede ver V que corresponde a la suma delos esfuerzos cortantes τ , en tanto que la deformacion de las fibras producedesplazamientos de las secciones transversales de la tajada diferencial dz endireccion del cortante V (eje y), llamados λ. Sean dλi el desplazamiento de laseccion transversal izquierda, y dλd el de la cara derecha, entonces,

dλ = dλi + dλd

Como antes, el trabajo realizado por las Fuerzas Cortantes a izquierda y derechaes igual a:

dWint = (dλi)V + (dλd)(V + dV )


dWint = V dλ

Donde:

V es la fuerza cortante, resultante de los esfuerzos cortantes producidos por lascargas externas P .

dλ es la desviacion del eje del elemento, (desplazamiento sobre el eje y) pro-ducido por la deformacion virtual δi impuesta al cuerpo.

1.2.3.4 Trabajo Virtual del Momento Torsor

Por ultimo, en la Fig.1.6(d) se muestra T que corresponde al momento de losesfuerzos cortantes τ , donde tambien se ve que la deformacion de las fibrasproduce rotaciones de las secciones transversales de la tajada diferencial dz endireccion del momento T (eje z), llamadas ϕ. Sean dϕi la rotacion de la secciontransversal izquierda, y dϕd la de la cara derecha, entonces,

dϕ = dϕi + dϕd

De modo que el trabajo realizado por los momentos torsores a izquierda yderecha es igual a:

dWint = (dϕi)T + (dϕd)(T + dT )


dWint = T dϕ

Donde:

T es el momento torsor, resultante de los esfuerzos cortantes producidos por lascargas externas P .

dϕ es la rotacion de la tajada diferencial del elemento, (rotacion sobre el eje z)producida por la deformacion virtual δi impuesta al cuerpo.


1.2.3.5 Trabajo Virtual acumulado de las Cargas Internas

Reuniendo los trabajos determinados en los acapites 1.2.3.1, 1.2.3.2, 1.2.3.3 y1.2.3.4, se obtiene finalmente el TRABAJO VIRTUAL DE LAS CARGASINTERNAS

Wi =∫

N ∆dz +∫

M dθ +∫

V dλ +∫

T dϕ (1.12)

1.2.4 Expresion analıtica del Principio del Trabajo Virtual

Habiendo determinado el trabajo virtual de las cargas externas (Ver 1.2.2) y delas cargas internas o resultantes de esfuerzos en (1.2.3), la expresion analıticadel Principio del Trabajo Virtual se halla entonces reemplazando las Ecuaciones1.11 y 1.12 en la ecuacion 1.10, ası se tiene:

n∑

i

Pi δi =∫

N ∆dz +∫

M dθ +∫

V dλ +∫

T dϕ (1.13)

Recordando que:

Cargas Externas P son cargas que actuan antes de la imposicion del de-splazamiento virtual, una cualquiera de ellas es Pi y que producen en lassecciones transversales internas del elemento las siguientes cargas internas:

• Fuerza Axial N

• Fuerza Cortante V

• Momento Flector M

• Momento torsor T

Desplazamiento Virtual es una deformacion muy pequena del elemento, com-patible con las restricciones del mismo, cuya magnitud, medida en di-reccion de la carga Pi, ha sido llamada δi. Este cambio de forma delelemento produce deformaciones en las fibras del elemento, que se reflejanen los siguientes desplazamientos de la seccion transversal:

• ∆dz, en direccion de N

• dθ, en direccion de M

• dλ, en direccion de V

• dϕ, en direccion de T

Antes de terminar a continuacion se recapitulan algunos aspectos importantes:

1. Este principio puede utilizarse en lugar de condiciones de equilibrio, todavez que en su desarrollo se presume el equilibrio del cuerpo.

2. Para establecer el principio no ha sido necesario plantear ninguna lim-itacion, por tanto su empleo es completamente general, se aplica a sistemasde comportamiento elastico o no.


3. El desplazamiento virtual asumido debe ser ”muy pequeno” y satisfacerlas restricciones impuestas por los vınculos externos (apoyos).

4. Se entiende que los desplazamientos δi corresponden o estan asociadasa las cargas Pi (tienen la misma direccion) y que estas ultimas pueden sertanto fuerzas como momentos, es decir:

- Si la carga Pi es una fuerza, entonces δi es un desplazamiento lineal,una longitud.

- Si la carga Pi es un momento, entonces δi es un desplazamiento rota-cional, un angulo.

Toda vez que se han tomado signos positivos para el trabajo de estas cargasexternas, se asume que los desplazamientos tienen tambien los sentidos delos vectores carga correspondientes.

Capıtulo 2

CALCULO DE LOSDESPLAZAMIENTOS

2.1 METODO DE LA CARGA UNITARIA

• METODO DEL TRABAJO VIRTUAL

• METODO DE LA CARGA SIMULADA

• METODO DE MAXWELL (1864) - MOHR (1874)

2.1.1 Planteamiento

Este metodo es empleado para el CALCULO DE DESPLAZAMIENTOSde las estructuras. Para calcular una deformacion cualquiera de una estructuracualquiera, sometida a un sistema de cargas Q, el metodo consiste en:

1. Crear una carga externa de valor unitario asociada con la deformacionbuscada.

2. Considerar que las deformaciones debidas a Q son desplazamientos vir-tuales

3. Aplicar el principio del Trabajo Virtual a la carga externa unitaria y losdesplazamientos virtuales antes mencionados.

Por ejemplo, se tiene la viga AB sometida a la accion de una carga uniforme-mente distribuida q, y se desea determinar la rotacion del eje de la viga en suextremo A (θA), entonces aplicando los pasos antes mencionados se tiene:

1. Se crea la carga unitaria asociada con θA llamada MA, es un momentoporque la deformacion buscada es una rotacion, ver Fig.2.1(b). Resolviendo

14

2.1. METODO DE LA CARGA UNITARIA 15

Figura 2.1: Calculo de la rotacion θA

la viga para esta carga unitaria se hallan las resultantes de esfuerzos encualquier seccion:

Nu = f1(z) = 0; Mu = f2(z); Vu = f3(z)

2. Considerando que la carga q ocasiona en esta oportunidad los desplaza-mientos virtuales, entonces θA equivale al desplazamiento virtual δi, esdecir:

δi = δio = θA

Por otra parte, como en el punto primero, se puede resolver la viga paraesta carga, hallando las resultantes de esfuerzos correspondientes, verFig.2.1(a):

No = f4(z) = 0; Mo = f5(z); Vo = f6(z)

Para mayor claridad, tambien se dara el subındice 0 a las deformacionesde la tajada diferencial, ocasionas por este estado de carga, es decir:

∆dz = ∆dzo; dθ = dθo; dλ = dλo; dϕ = dϕo

3. Aplicando la ecuacion 1.13 a las variables definidas antes:

(MA)︸︷︷︸1

θA =∫

Nu ∆dzo +∫

Mudθo +∫

Vudλo +∫

Tudϕo

16 CAPITULO 2. CALCULO DE LOS DESPLAZAMIENTOS

En la que Nu = Tu = 0, y por tanto solo se deben hallar las deformacionesdθo y dλo, ocasionadas por la carga q, para luego integrar y de este modohallar la incognita buscada θA. Del calculo de las deformaciones dθo y dλo

se tratara en el siguiente acapite.

Una vez comprendido el metodo, se puede entonces anotar la ecuacion generaldel Metodo de Carga Unitaria como sigue:

(Pu)︸︷︷︸1

δuo =∫

Nu ∆dzo +∫

Mudθo +∫

Vudλo +∫

Tudϕo (2.1)

Debe recordarse que esta ecuacion es la misma que la ecuacion del trabajovirtual, ver Ec.(1.13), por tanto tampoco tiene ninguna limitacion, en la que sehan hecho las siguientes adaptaciones propias del metodo de la C. U.

Carga Externa Pu = 1 , la unica carga externa a considerar es aquella cuyadireccion es la misma que la de la deformacion buscada, tiene valor uni-tario, de ahı el subındice ”u” y produce las siguientes cargas internas oresultantes internas:

• Fuerza Axial Nu

• Fuerza Cortante Vu

• Momento Flector Mu

• Momento torsor Tu

Desplazamiento Virtual es una deformacion muy pequena del elemento, com-patible con las restricciones del mismo, producida por la carga conocida Q(ESTADO DE CARGA ”O”), uno de cuyos valores (δuo) es buscado,y que para hallarlo se deben encontrar los siguientes desplazamientos queproduce Q en la seccion transversal:

• ∆dzo, en direccion de No

• dθo, en direccion de Mo

• dλo, en direccion de Vo

• dϕo, en direccion de To

2.1.2 M. de la C. U. para estructuras Linealmente Elasticas

Limitando el estudio a las estructuras que satisfacen los requisitos de linealidad,es decir:

a) Esta fabricada con materiales que cumplen la Ley de Hooke, existe lineal-idad del material, y

b) La estructura satisface las condiciones de linealidad geometrica.

2.1. METODO DE LA CARGA UNITARIA 17

En estas condiciones, la Resistencia de Materiales determina los valores de losdesplazamientos de la seccion transversal (Ver Fig.1.6), de la siguiente manera:

∆dzo =No

E Adz

dθo =Mo

E Idz

dλo =αs Vo

GAdz

dϕo =To

GItdz

Reemplazando estas relaciones en la ecuacion general del metodo, Ec.(2.1) setiene:

(pu)︸︷︷︸1

δuo =∫

Nu No

E Adz +

∫Mu Mo

E Idz +

∫Vu Vo

G Aαsdz +

∫Tu To

GItdz(2.2)

Capıtulo 3

METODO DE LAFLEXIBILIDAD

3.1 Conceptos Relativos

3.1.1 Notacion

Para la comprension mas facil del metodo es necesario sujetarse a una nomen-clatura clara, por tanto se pide analizar con cuidado la Fig.3.1, como ejemplo.En la Fig.3.1(a) se muestra una viga isostatica sometida a la accion de unmomento en el extremo A (P1) y a una fuerza puntual en el punto central C(P2), tambien se puede ver las deformaciones que estas ocasionan, de entre ellasse escogen: el desplazamiento rotacional de la viga en el extremo A (D1)y sudesplazamiento lineal en C (D2). Observese lo siguiente:

La letra P indica carga, indistintamente fuerza o momento.

La letra D indica desplazamiento, lineal o rotacional.

Los subındices 1 y 2 definen las rectas de accion de las cargas y las defor-maciones asociadas. Es decir, el numero 1 indica el punto A y una rectaperpendicular al papel que pasa por el. Esta recta es la direccion del vectormomento y del vector desplazamiento, que es una rotacion. Igualmente elnumero 2 representa la recta vertical que pasa por C y que es la direccionde la fuerza y su deformacion asociada.

Entre las cargas y los desplazamientos existe correspondencia, se dice que(P1) esta asociado con (D1) porque ambos vectores tienen la misma di-reccion, lo mismo sucede entre (P2) y (D2)

18

3.1. CONCEPTOS RELATIVOS 19

Figura 3.1: Nomenclatura

3.1.2 Concepto de Flexibilidad

Para analizar la deformacion de la viga mencionada se han separado las cargascomo se ve en las Figs.3.1(a) y (b), para aceptar esta superposicion de efectos seasume que el comportamiento de la viga es linealmente elastico. Al trabajarahora con dos estados de carga, se hace necesario utilizar un segundo subındicepara las deformaciones, ası por ejemplo, D1,2 significa el desplazamiento endireccion de la recta 1, debido a la accion de la carga P2 Fig.3.1(c), generalizandoDi,j define el desplazamiento en direccion de la recta i, debido a la accion de lacarga Pj . Con esta aclaracion las deformaciones son:

D1 = D1,1 + D1,2

D2 = D2,1 + D2,2 (3.1)

Por cualquier metodo conocido, el de la Carga Unitaria por ejemplo, se hancalculado las deformaciones antes mencionadas, ası:

D1,1 = (L

3EI)P1 = f1,1 P1

D2,1 = (L2

16EI)P1 = f2,1 P1

D1,2 = (L2

16EI)P2 = f1,2 P2

D2,2 = (L3

48EI)P2 = f2,2 P2

20 CAPITULO 3. METODO DE LA FLEXIBILIDAD

Como se ve, se ha reemplazado en cada caso el valor entre parentesis por el factorfi,j , llamado flexibilidad, entonces se esta planteando una primera definicion:

fi,j =Di,j

Pj(3.2)

fi,j =Desplazamiento en dir. de i, debido a Pj

Carga Pj

Reemplazando esto ultimo, en la Ec. 3.1, se tiene:

D1 = f1,1 P1 + f1,2 P2

D2 = f2,1 P1 + f2,2 P2 (3.3)

Generalizando las anteriores igualdades al caso en el que hubieran n cargasactuantes se puede escribir:

D1 = f1,1 P1 + f1,2 P2 + · · ·+ f1,n Pn

D2 = f2,1 P1 + f2,2 P2 + · · ·+ f2,n Pn

· · · · · ·Dn = fn,1 P1 + fn,2 P2 + · · ·+ fn,n Pn (3.4)

Es conveniente escribir las anteriores igualdades con la notacion matricial, asi:

D1

D2

· · ·Dn

=

f1,1 f1,2 · · · f1,n

f2,1 f2,2 · · · f2,n

· · · · · · · · · · · ·fn,1 fn,2 · · · fn,n

P1

P2

· · ·Pn

(3.5)

O abreviadamente:

{∆} = [F ] {Φ}Cuya lectura indica que: el vector desplazamiento {∆} es igual a la matriz deflexibilidad [F ] por el vector de cargas {Φ}.

3.1.3 Calculo de la Flexibilidad

Como se dijo antes, para hallar los coeficientes de flexibilidad es necesario cal-cular previamente las deformaciones, en este acapite se planteara esta determi-nacion por el Metodo de la Carga Unitaria.Segun se vio en el capıtulo anterior:

Pu︸︷︷︸1

δu,o =∫

Mu Mo

E Idz +

∫Nu No

E Adz +

∫Vu Vo

GAαsdz +

∫Tu To

E Itdz

En el empleo de esta ecuacion se hacen ciertas simplificaciones y/o particulariza-ciones, por ejemplo, en el caso de porticos planos no existen momentos torsores:


Tu = To = 0, y en general se desprecia el efecto de las fuerzas normales y cor-tantes en las deformaciones, tomando en cuenta solo el efecto de los momentosflectores, en estas circunstancias solo deberıa considerarse el primer terminode la anterior ecuacion. Por lo dicho, y para abreviar las demostraciones, enlo que sigue se procedera del modo indicado (tomar en consideracion solo elmomento flector), sin perjuicio de extender lo demostrado al caso de las otrassolicitaciones (cortante, normal y momento torsor). Tambien se practicara laapropiacion de la nomenclatura antes expuesta, entonces:

Pi︸︷︷︸1

Di,j =∫

Mi Mj

E Idz (3.6)

Donde:

Pi es una carga unitaria en la direccion i, que ha sido creada para hallar eldesplazamiento Di,j y que produce los momentos Mi.

Di,j es el desplazamiento buscado en la direccion i, debido a la carga Pj, lamisma que produce los momentos Mj .

Despejando el desplazamiento de la ecuacion anterior,

Di,j =1Pi︸︷︷︸1

∫Mi Mj

E Idz

Habiendo hallado el desplazamiento, es posible entonces hallar los coeficientesde flexibilidad, de la ecuacion (3.2):

fi,j =Di,j

Pj=

1Pi︸︷︷︸1

Pj

∫Mi Mj

E Idz (3.7)

Se recuerda que la carga Pj produce los momentos Mj y que el comportamientode la estructura es linealmente elastico, por tanto, cualquier incremento o decre-mento en Pj producira un cambio proporcional en Mj , de modo que la flexibil-idad fi,j sera exactamente la misma cualquiera sea el valor adoptado para Pj .Esta cualidad se aprovecha para usar un valor unitario para Pj en el calculo dela flexibilidad fi,j , ası la anterior ecuacion puede ser escrita:

fi,j =1

Pi︸︷︷︸1

Pj︸︷︷︸1

∫Mi Mj

E Idz

O tambien, eliminando definitivamente el primer factor, por ser su valor launidad, se tiene:

fi,j =∫

Mi Mj

E Idz

Por esta razon suele usarse la siguiente definicion:


La flexibilidad fi,j es la deformacion de un cuerpo en la direccion i ocasionadapor una carga unitaria(fuerza o momento), en la direccion j.

Se aclara que, aun cuando se esta usando la misma nomenclatura para Mj en lasultimas relaciones, tiene valores distintos, a saber, en la Ec.3.7 su magnitud esproporcional a la de Pj que puede ser cualquiera, en cambio, en las dos ultimasrelaciones, el valor de Mj es unico porque corresponde a una carga unitaria:Pj = 1. Ahora es interesante mostrar un aspecto importante referido a laflexibilidad, si se desea calcular la flexibilidad fj,i, siguiendo el procedimientoanterior se ve que es suficiente trasponer los factores:

fj,i =1

Pj︸︷︷︸1

Pi︸︷︷︸1

∫Mj Mi

E Idz

Lo cual lleva obviamente al mismo resultado, por tanto:

fi,j = fj,i

Este hecho trae consigo dos conclusiones, a saber:

La Matriz de Flexibilidad F es simetrica.

El Teorema de Maxwell expresa la relacion Carga Unitaria y Desplazamientoque se acaba de obtener, y dice:Sean i, j dos direcciones cualquiera, entonces el DESPLAZA-MIENTO en i, producido por una CARGA UNITARIA en j, esigual al DESPLAZAMIENTO en j, producido por una CARGAUNITARIA en i

Sobre este punto se insistira posteriormente.

3.2 Introduccion al Metodo

En la Fig. 3.2 se muestran cuatro dibujos que corresponden a la misma estruc-tura.

En la Fig.(a) puede observarse una viga empotrada en A y con un apoyoarticulado en B, tambien se ve la carga distribuida (representativa decualquier carga externa).

En la Fig (b) se han reemplazado los apoyos por las reacciones que estos gen-eran, manteniendo la carga q.

• R1,R2 en el apoyo B (articulacion fija),

• R3, R4 Y R5 en el apoyo A (empotramiento).

Para que los cuerpos en (a) y (b) sean identicos, las reacciones R1 a R5 en(b) deben ser de tal magnitud que los desplazamientos asociados a ellos,D1 a D5, sean nulos por condicion de apoyo.

3.2. INTRODUCCION AL METODO 23

Figura 3.2: Ejemplo de isostatizacion

En la Fig (c) las fuerzas X1 y X2 (consideradas como cargas actuantes ex-ternas, INCOGNITAS ), han reemplazado con su mismo valor a las reac-ciones de apoyo R1 y R2. En otras palabras, el cambio ha sido solamenteconceptual, siendo reacciones de apoyo han pasado a ser cargas externasactuantes de valor desconocido, llamadas redundantes hiperestaticas o sim-plemente redundantes. Los desplazamientos asociados deben seguir siendonulos.

En la Fig (d) para mayor claridad, se han reemplazado las reacciones de apoyoR3, R4 y R5 por el empotramiento en A, siguiendo el procedimiento in-verso al seguido entre las figuras (a) y (b).

Observese, ademas, que el numero de reacciones de apoyo que han quedadovigentes es de tres, haciendo la estructura (d) isostatica. Al estar presente elempotramiento se condiciona implıcitamente que los desplazamientos D3, D4 yD5 son cero, en cambio como en el punto B ya no hay apoyo, se debe condicionarexplıcitamente que sus desplazamientos lineales son nulos D1 = D2 = 0. Estasdos condiciones se convierten en dos ecuaciones para las dos incognitas X1 y X2.Una vez conocidos estos valores nos quedara por resolver la estructura isostaticaantes mencionada.El anterior procedimiento es en realidad un metodo general que se puede seguirpara resolver cualquier estructura hiperestatica, a saber:

Primer Paso.- Determinar el grado de hiperestaticidad de la estructura.

Segundo Paso.- Escoger las reacciones de apoyo que deben convertirse en car-gas externas (redundantes) para quedarse solo con las reacciones que cor-


responden a una estructura isostatica. Esta claro que cualquier reaccionpuede ser elegida redundante, la unica condicion a cumplir es, como seinsiste, que la estructura restante sea isostatica.

Tercer Paso.- Plantear un numero de ecuaciones de compatibilidad de de-splazamientos igual al numero de redundantes y que corresponden a susdirecciones.

Cuarto Paso.- Como se dijo, habiendo planteado una ecuacion de compati-bilidad por cada redundante, se puede resolver el sistema, hallando lasmencionadas redundantes.

Quinto Paso.- Toda vez que solo quedan por hallar las reacciones de apoyode la estructura isostatica, se hallan tales valores y luego se resuelven lassolicitaciones internas o resultantes de esfuerzos en cualquier seccion a lolargo de la estructura.

3.3 Aplicacion del Metodo

3.3.1 Las Redundantes son Reacciones de Apoyo

Para seguir con el ejemplo mostrado en la Fig. 3.2, toda vez que se han real-izado ya los pasos 1 y 2, se debe plantear el tercer paso, la compatibilidad dedesplazamientos a la estructura isostatizada Fig, 3.2(d).Para hallar las deformaciones de la mencionada viga, la carga se descomponeen los siguientes estados, (Ver Fig.3.3):

Estado 0 en que se consideran todas las cargas externas, en el caso presentesolo la carga uniformemente distribuida.

Estado 1 En el que participa unicamente la redundante X1

Estado 2 En el que participa unicamente la redundante X2

Estado n En el que participa la ultima redundante Xn. En el caso del ejemplo,el ultimo estado corresponde al Estado 2.

Entonces se pude escribir:

D1 = D1,0 + D1,1 + D1,2

D2 = D2,0 + D2,1 + D2,2 (3.8)

Donde:

D1,0 y D2,0 corresponden a los desplazamientos en las direcciones 1 y 2, re-spectivamente, hallados para el estado 0

Di,j para j ≥ 1 es la deformacion en la direccion i ocasionada por la redun-dante Xj , la que puede ser escrita tambien, por definicion de flexibilidad:

Di,j = fi,j Xj

3.3. APLICACION DEL METODO 25

Figura 3.3: Met. de la Flexibilidad, descomposicion de cargas

Por tanto:

D1 = D1,0 + f1,1 X1 + f1,2 X2

D2 = D2,0 + f2,1 X1 + D2,2 X2 (3.9)

Cuya interpretacion grafica se muestra en la Fig. (3.3), donde se ve la creacionde estados de carga para valores unitarios de las redundantes, con los cuales secalcularan las flexibilidades, segun lo visto en la seccion 3.1.3:

fi,j =∫

Mi Mj

E Idz

Pero tambien serviran para calcular el valor de los desplazamientos en el estado0, por el Metodo de la Carga Unitaria:

Pu︸︷︷︸1

δu,o =∫

Mu Mo

E Idz

Donde Pu seran sucesivamente las redundantes X1 = 1 y X2 = 1, quedando deeste modo:

Di,o =∫

Mi Mo

E Idz

Generalizando para el caso en el que se plantearan ”n” redundantes, la Ec.(3.9)se puede escribir:


Ecuacion General del Metodo de la Flexibilidad:

D1 = D1,0 + f1,1 X1 + f1,2 X2 + · · ·+ f1,n Xn

D2 = D2,0 + f2,1 X1 + f2,2 X2 + · · ·+ f2,n Xn

· · · · · ·Dn = Dn,0 + fn,1 X1 + fn,2 X2 + · · ·+ fn,n Xn (3.10)

Escribiendo esta ecuacion en notacion matricial:

D1

D2

· · ·Dn

=

D1,0

D2,0

· · ·Dn,0

+

f1,1 f1,2 · · · f1,n

f2,1 f2,2 · · · f2,n

· · · · · · · · · · · ·fn,1 fn,2 · · · fn,n

X1

X2

· · ·Xn

(3.11)

Con lo cual ha quedado establecido que para resolver una estructura hiper-estatica, por el metodo de las fFlexibilidades, solo es necesario conocer las fun-ciones del momento flector para una estructura formada isostatizando la estruc-tura inicial y sometida a distintos estados de carga. Debido a que las incognitasa determinar son las redundantes hiperestaticas, este metodo tambien recibe elnombre generico de METODO DE LAS FUERZAS.Entonces solo queda insistir en que los desplazamientos Di toman los valoresespecificados por las condiciones de borde impuestas. En el caso que se trata,donde se han elegido como redundantes las Reacciones de Apoyo, dichascondiciones de borde indican que en la direccion de las redundantes los desplaza-mientos deben ser nulos, porque precisamente los apoyos restringen completa-mente los desplazamientos en tales direcciones. Sin embargo, se deja abierta laposibilidad de aplicar otras condiciones, como se vera posteriormente.Aplicando la condicion anterior (el primer miembro es cero) a la ecuacion general3.11 se tiene:

−

D1,0

D2,0

· · ·Dn,0

=

f1,1 f1,2 · · · f1,n

f2,1 f2,2 · · · f2,n

· · · · · · · · · · · ·fn,1 fn,2 · · · fn,n

X1

X2

· · ·Xn

(3.12)


3.3.2 Las Redundantes son Cargas Internas

En la Fig. 3.4 se puede ver que han sido elegidas como redundantes algunasreacciones de apoyo (igual que en la seccion anterior), pero tambien han sidoconsideradas redundantes las cargas internas generadas al cortar la barra hori-zontal central (Seccion A-A), al respecto cabe destacar lo siguiente:

1. Como producto del corte ya mencionado se tienen dos estructuras inde-pendientes a ser analizadas. Sin embargo, el analisis sera el mismo enotros casos en los que el corte no implique tal separacion.

2. En las direcciones de las redundantes que corresponden a apoyos externosel tratamiento es el ya indicado, es decir, las condiciones de borde indicanque los desplazamientos son nulos. Estas direcciones son de la 1 a la j enla subestructura A y de la m a la n en la subestructura B.

3. En las direcciones de las redundantes j, k y l, que corresponden a las cargasinternas Xj Xk yXl (resultantes de esfuerzos que actuan en ambas sube-structuras), los desplazamientos no son necesariamente nulos, en este casolas condiciones de borde a ser impuestas consisten en igualar los de-splazamientos que se producen en ambos extremos de la seccioncortada, un extremo en cada subestructura.

4. Por las condiciones del Metodo empleado, los desplazamientos son posi-tivos cuando tienen el mismo sentido de la carga redundante correspon-diente, siendo que las redundantes tienen sentidos opuestos en los bordescortados, para cumplir la condicion mencionada en el punto anterior, losdesplazamientos del borde a la izquierda de la seccion cortada (Subestruc-tura A) tendran signos contrarios a los del borde a la derecha (Subestruc-tura B).

Planteando la ecuacion general del Metodo de la Flexibilidad (3.10) paraambas estructuras se tiene:SUBESTRUCTURA A:

DA1 = DA

1,0 + fA1,1 X1 + · · ·+ fA

1,i Xi + fA1,j Xj + fA

1,k Xk + fA1,l Xl

· · · · · ·DA

i = DAi,0 + fA

i,1 X1 + · · ·+ fAi,i Xi + fA

i,j Xj + fAi,k Xk + fA

i,l Xl

DAj = DA

j,0 + fAj,1 X1 + · · ·+ fA

j,i Xi + fAj,j Xj + fA

j,k Xk + fAj,l Xl

DAk = DA

k,0 + fAk,1 X1 + · · ·+ fA

k,i Xi + fAk,j Xj + fA

k,k Xk + fAk,l Xl

DAl = DA

l,0 + fAl,1 X1 + · · ·+ fA

l,i Xi + fAl,j Xj + fA

l,k Xk + fAl,l Xl

SUBESTRUCTURA B:

DBj = DB

j,0 + fBj,j Xj + fB

j,k Xk + fBj,l Xl + fB

j,m Xm + · · ·+ fBj,n Xn

DBk = DB

k,0 + fBk,j Xj + fB

k,k Xk + fBk,l Xl + fB

k,m Xm + · · ·+ fBk,n Xn

DBl = DB

l,0 + fBl,j Xj + fB

l,k Xk + fBl,l Xl + fB

l,m Xm + · · ·+ fBl,n Xn


Figura 3.4: Cargas Internas como Redundantes

DBm = DB

m,0 + fBm,j Xj + fB

m,k Xk + fBm,l Xl + fB

m,m Xm + · · ·+ fBm,n Xn

· · · · · ·DB

n = DBn,0 + fB

n,j Xj + fBn,k Xk + fB

n,l Xl + fBn,m Xm + · · ·+ fB

n,n Xn

En las ecuaciones anteriores las condiciones de borde indicadas arriba estipulanque:En las direcciones de movimiento restringido (apoyos)

DA1 = DA

i = DBm = DB

n = 0

En las direcciones de movimiento libre (bordes cortados)

DAj = −DB

j

Entonces:

DAj + DB

j = 0


Igualmente, en las otras direcciones:

DAk + DB

k = 0

DAl + DB

l = 0

Realizando la suma indicada en las tres ultimas igualdades, y recordando que enlas demas direcciones el desplazamiento debe ser nulo, resultara que, como enla ecuacion 3.12, los primeros miembros de las igualdades se anulan, pudiendoen consecuencia escribir en forma matricial:

−

DA1,0

DAi,0

DAj,0 + DB

j,0

DAk,0 + DB

k,0

DAl,0 + DB

l,0

DBm,0

DBn,0

= (3.13)

fA1,1 fA

1,i fA1,j fA

1,k fA1,l 0 0

fAi,1 fA

i,i fAi,j fA

i,k fAi,l 0 0

fAj,1 fA

j,i fAj,j + fB

j,j fAj,k + fB

j,k fAj,l + fB

j,l fBj,m fB

j,n

fAk,1 fA

k,i fAk,j + fB

k,j fAk,k + fB

k,k fAk,l + fB

k,l fBk,m fB

k,n

fAl,1 fA

l,i fAl,j + fB

l,j fAl,k + fB

l,k fAl,l + fB

l,l fBl,m fB

l,n

0 0 fBm,j fB

m,k fBm,l fB

m,m fBm,n

0 0 fBn,j fB

n,k fBn,l fB

n,m fBn,n

X1

Xi

Xj

Xk

Xl

Xm

Xn

Con relacion a la matriz de flexibilidad recien hallada se remarca que, aunsiendo dos subestructuras independientes, puede formarse la matriz de flexibili-dad como si se tratara de una sola, considerando las siguientes particularidades:

Las direcciones 1 a i pertenecen exclusivamente a la subestructura A, porlo tanto se tienen sus flexibilidades combinadas solo con las direccionesque pertenecen tambien a la misma (direcciones 1 a l). Notese que noaparece por ejemplo la flexibilidad fi,m, porque la carga en direccion mno pertenece a la estructura A y por lo tanto no influye en la deformacioni.

Las direcciones m a n tienen las particularidad de existir solo en la sube-structura B, por lo tanto es el mismo caso recien analizado, por ejemplo,el valor de la flexibilidad fm,1 es cero porque la carga X1 no afecta a ladeformacion en la direccion m.


En cada una de las direcciones j, k y l se tienen dos cargas, una actuandoen cada subestructura, por tanto, en esas direcciones se deben considerardos flexibilidades. Por ejemplo, la flexibilidad fA

k,j es la deformacion en ladireccion k que produce la carga Xj ambas de la subestructura A, a la quese debe sumar la flexibilidad fB

k,j que relaciona la carga y deformacion dela subestructura B. Se debe tambien notar que no aparece, por ejemplo, laflexibilidad fB

1,j , lo cual es explicable porque la carga Xj de la subestructuraB obviamente no afecta a la deformacion 1 de la subestructura A. Estoultimo sera importante tomar en cuenta en el analisis de un caso especialque se realizara posteriormente.

En el primer miembro de la Ec. 3.12 se puede ver algo semejante, obvi-amente no existen desplazamientos debidos al estado de cargas ”0” enciertas direcciones, cuando esas direcciones no pertenecen a la subestruc-tura, por ejemplo, no tiene sentido mencionar el desplazamiento DB

1,0 oDA

m,0, etc. Por el contrario, cuando la redundante en una direccion estapresente en ambas subestructuras, deberan sumarse los desplazamientosproducidos en cada una de ellas, por ejemplo, DA

k,0 + DBk,0.

3.3.2.1 Barras Biarticuladas

Cuando se elijan como redundantes las cargas internas producidas al cortar unabarra biarticulada, conviene recordar que para cualquier tipo de carga actuanteen estas, las dos condiciones de vınculo imponen la existencia de momento nuloen cada articulacion, lo que nos permite encontrar siempre las cortantes actu-antes en cada articulacion. Por tanto, si el corte se lo realiza precisamente enla articulacion (cualquiera de las dos), de las tres cargas internas resultantesdel corte (Momento, Cortante y Normal), solo nos queda por conocer la fuerzaNormal, el Cortante se lo puede calcular y el Momento es nulo; de este modoquedarıa por plantear a cada lado del corte solo una redundante.

3.3.2.2 Barras con otros Vınculos

El criterio expuesto lıneas arriba es extensible a otros tipos vınculos que pudieranpresentar las barras. Por ejemplo, en una barra contınua en un extremo yarticulada en el otro, si se pretende elegir como redundantes las cargas internas,convendra producir el corte sobre la articulacion, por cuanto es ahı donde seconoce que el momento es nulo, toda vez que no se puede llegar a conocer laNormal ni el Cortante como en el caso anterior, se tiene la posibilidad de usaresas dos redundantes.

3.3.2.3 Estructuras contınuas

Si luego de haberse producido el corte de una barra persiste la continuidad dela estructura, por cuanto existirıan otras barras no cortadas, aun en este casoprevalece el analisis realizado hasta ahora, bajo las siguientes consideraciones:


Existe una estructura unica , por lo tanto todas las direcciones estan pre-sentes en la misma.

En las direcciones de las cargas internas cuando estas son consideradasredundantes, la suma de las flexibilidades corresponde al efecto que pro-ducen cada una de aquellas cargas actuando a cada lado del corte. Amodo de ejemplo, se debe sumar fA

k,j +fBk,j , la deformacion en la direccion

k debido a la carga Xj actuando sobre la izquierda del corte (”A”) mas ladeformacion en la misma direccion k pero debida a la carga Xj actuandosobre el otro borde cortado (”B”) de la misma barra en la estructura unica.

En todas las otras direcciones se deben eliminar los superındices A y B porcuanto pertenecen a la misma estructura.

Los desplazamientos del estado ”0” en las direcciones de las redundantes,como antes, se deben sumar dichos desplazamientos producidos en cadauno de los bordes cortados.

Para la determinacion de las flexibilidades y desplazamientos relacionados concada pareja de las redundantes, en este caso no deberıa considerarse la accion deellas por separado, toda vez que el principio de superposicion permite analizaral mismo tiempo cada par de redundantes, una en cada borde cortado.


EJEMPLO No 1.- La Fig. 3.5(a) muestra una estructura plana que debeser analizada por el Metodo de la Flexibilidad, entonces como primer paso seestablece el grado de hiperestaticidad (GH), que en el caso presente es GH = 4.Como puede verse en la Fig. 3.5(b) existen seis reacciones de apoyo externo orestricciones al movimiento, siendo 3 el grado de libertad de una estructura enel plano, el grado de hiperestaticidad externo es GHE = 6− 3 = 3.Toda vez que el grado de hiperestaticidad total es la suma de las hiperestati-cidades externa e interna GH = GHE + GHI, se tiene que el grado de hiper-estaticidad interno es GHI = GH −GHE = 4− 3 = 1.

Figura 3.5: Ejemplo 1

Por cuanto GH = 4, se deben elegir cuatro redundantes para isostatizar laestructura, sobre la que se planteara la ecuacion de la flexibilidad vista anteri-ormente (Ec. 3.10). Con objeto de clarificar el procedimiento, a continuacionse desarrollan algunas alternativas para la eleccion de tales redundantes.

ALTERNATIVA ”1A”.- Como se ve en la Fig.3.6(b) se han elegido comoredundantes:

• Dos reacciones de apoyo fijo

• Una reaccion de apoyo elastico

• Una barra biarticulada

El tratamiento de cada tipo de redundante es como sigue:

Las reacciones de apoyo R4 y R5 , en los nudos 5 y 2 se han convertido enlas redundantes X1 y X3, respectivamente, comparar las Figs. 3.5(b)y 3.6(b), por esta razon en la estructura isostatizada (ESTRUCTURA AFig. 3.6(a)), en lugar de los apoyos anulados aparecen las redundantesque los reemplazan, comparar tambien las Figs. 3.5(a) y 3.6(a).


Figura 3.6: Ejemplo de isostatizacion ”1A”

La reaccion de apoyo elastico (resorte helicoidal) en el nudo 6 restringeparcialemente el desplazamiento del nudo y solo lo hace en la direcciondel resorte (horizontal), no ası en la direccion vertical ni la rotacion, portanto la unica reaccion que se produce es una fuerza horizontal (R6),misma que ha sido reemplazada por la redundante X4.A diferencia del caso anterior, al separar el resorte de la estructura se haaislado un cuerpo elastico llamado ESTRUCTURA B, ver la Fig. 3.6(c),debiendo entonces incluirse en la ecuacion tanto el desplazamiento DB

4,0

como las flexibilidades fBi,j como se discutira a continuacion.

La barra biarticulada genera un grado de hiperestaticidad, como se indicaen 3.3.2.1, entonces, para ser retirada de la ESTR. A debe ser reemplazadapor las redundantes X2 actuando en los extremos donde se vinculaba labarra con la estructura. Como en el caso anterior, cuando la barra esremovida genera la existencia de un cuerpo elastico, en este caso la ES-TRUCTURA C como se ve en la Fig. 3.6(d). En dicha figura se muestrael tratamiento general a seguir en este caso:

• La fuerza desconocida (en cada articulacion) se descompone en dosdirecciones: una perpendicular y otra colineal con la barra (cortantey normal).

• Para calcular estas cuatro fuerzas se cuenta con solo tres condiciones


de equilibrio (ecuaciones), de este modo se explica el porque unabarra biarticulada genera un grado de hiperestaticidad en la estruc-tura, debiendo entonces ser reemplazada por una redundante.

• Para calcular el valor de las fuerzas V3 y V4 se emplea las condicionesde equilibrio

∑M3 = 0,

∑M4 = 0

• Asumiendo como incognita la normal en 3 (X2), la otra normal en 4podra ser determinada utilizando la ultima condicion de equilibrio

∑FN = 0

como puede verse en la figura mencionada.

• Siendo estas fuerzas las acciones que la estructura A impone sobrela barra, por el principio de accion/reaccion, las mismas fuerzas (conel sentido cambiado) deberan actuar sobre los nudos 3 y 4 de dichaestructura A.

En tal circunstancia, considerando que se han creado las estructuras A, By C, y existen cuatro redundantes: X1, X2, X3 y X4, el primer miembro de laEcuacion General de flexibilidad es:

−

DA1,0+DB

1,0+DC1,0

DA2,0+DB

2,0+DC2,0

DA3,0+DB

3,0+DC3,0

DA4,0+DB

4,0+DC4,0

Y la correspondiente matriz de flexibilidad:

A B C︸︷︷︸

1

A B C︸︷︷︸

2

A B C︸︷︷︸

3

A B C︸︷︷︸

4

ABC←1

ABC←2

ABC←3

ABC←4

fA1,1+fB

1,1+fC1,1 fA

1,2+fB1,2+fC

1,2 fA1,3+fB

1,3+fC1,3 fA

1,4+fB1,4+fC

1,4

fA2,1+fB

2,1+fC2,1 fA

2,2+fB2,2+fC

2,2 fA2,3+fB

2,3+fC2,3 fA

2,4+fB2,4+fC

2,4

fA3,1+fB

3,1+fC3,1 fA

3,2+fB3,2+fC

3,2 fA3,3+fB

3,3+fC3,3 fA

3,4+fB3,4+fC

3,4

fA4,1+fB

4,1+fC4,1 fA

4,2+fB4,2+fC

4,2 fA4,3+fB

4,3+fC4,3 fA

4,4+fB4,4+fC

4,4

Debiendo ahora particularizarla al presente problema considerando que:

En la estructura A participan todas las redundantes, dicho de otro modo, enesta estructura existen las rectas de accion de X1, X2, X3 y X4, por tanto,en el primer miembro de la ecuacion aparecen todos los desplazamientosy en el segundo las flexibilidades correspondientes.


En la estructura B solo existe la redundante X4, entonces no tiene caso con-siderar las flexibilidades fB

i,j para cualquier i 6= 4 o j 6= 4, luego, enel segundo miembro debe aparecer solamente fB

4,4. Ahora bien, como laestructura B es un resorte, su flexibilidad es la inversa de la llamada ”Con-stante del Resorte” o rigidez.

Del mismo modo, solo debe considerarse en el primer miembro DB4,0, es

mas, debido a que la carga externa es nula en el resorte (en el estado”0” no se toma en cuenta la redundante), el desplazamiento es nulo en ladireccion 4 en dicho estado de cargas: DB

4,0 = 0.

En la estructura C solo existe la redundante X2, siendo ası, como en el casoanterior, no tiene sentido considerar las flexibilidades fC

i,j para cualquieri 6= 2 o j 6= 2, por tanto en el segundo miembro debe aparecer solamentefC2,2. Como la estructura C es una barra biarticulada, esta flexibilidad es la

suma de los desplazamientos de los nudos 3 y 4 en la direccion 2, debidosa cargas unitarias en los mismos puntos y direccion, dicha suma puedecalcularse facilmente por cualquier metodo o simplemente utilizando laley de Hooke:

fC2,2 = L/EA

Asimismo, en el primer miembro solo debe considerarse DB2,0, cuyo valor

sera calculado con la carga externa Ph, por cuanto Pv no tiene influencia enla deformacion sobre la direccion 2, esto es valido tambien para cualquiercarga distribuida de direccion perpendicular a la barra o momento.

Tomando en cuenta el analisis que antedede, el primer miembro de la EcuacionParticular de flexibilidad es:

−

DA1,0

DA2,0 + DC

2,0

DA3,0

DA4,0 + DB

4,0

Y la correspondiente matriz de flexibilidad particularizada:

A︸︷︷︸

1

A C︸︷︷︸

2

A︸︷︷︸

3

A B︸︷︷︸

4

A ←1

AC←2

A ←3

AB←4

fA1,1 fA

1,2 fA1,3 fA

1,4

fA2,1 fA

2,2 + fC2,2 fA

2,3 fA2,4

fA3,1 fA

3,2 fA3,3 fA

3,4

fA4,1 fA

4,2 fA4,3 fA

4,4 + fB4,4


ALTERNATIVA ”1B”.- Como se ve en la Fig.3.7(b) se han elegido comoredundantes:

• Dos reacciones de apoyo fijo

• Se han introducido dos libertades al interior de la estructura

Figura 3.7: Ejemplo de isostatizacion ”1B”

Analizando cada tipo de redundante se tiene:

Las reacciones de apoyo R3 y R4 en los nudos 1 y 5 se han convertido enlas redundantes X1 y X4, respectivamente, comparar las Figs. 3.5(b)y 3.7(b), entonces, en la estructura isostatizada (ESTRUCTURA A Fig.3.7(a)), sustituyendo las restricciones anuladas se introducen las redun-dantes que las reemplazan: el momento X1 (por el empotramiento) y lafuerza X4 (por el apoyo guiado), comparar tambien las Figs. 3.5(a) y3.7(a).

La continuidad en los nudos 5 y 6 existente en la estructura original, hasido interrumpida por las articulaciones introducidas en la estructura iso-statizada, ESTRUCTURA A de la Fig. 3.7(a).Como una articulacion corresponde siempre a una libertad, estas dos lib-ertades mas las dos del ıtem anterior completan las cuatro redundantesque debıan ser elegidas. Puede verse que dicha estructura isostatizadatiene como grado de hiperestaticidad externo GHE = 1 (cuatro reac-ciones de apoyo en los nudos 1, 2 y 6), e internamente es hipoestaticaGHI = −1 por tener una restriccion (la barra biarticulada) y dos lib-ertades internas (las articulaciones introducidas en los nudos 5 y 6), portanto GH = GHE + GHI = 1− 1 = 0.Toda vez que una articulacion impide la transmicion de momentos (y


rotaciones) entre los elementos que se unen a ella, al introducir una artic-ulacion en cualquier elemento se elimina el momento que existe en dichaseccion, por eso en la presente estructura isostatizada se introducen di-chos momentos como las redundantes X2 y X3 en ambas caras de lassecciones cortadas.

Ahora bien, considerando que al isostatizar la estructura no se ha aisladoningun cuerpo elastico (a diferencia de la alternativa anterior), solo se debenconsiderar los desplazamientos y las flexibilidades de la ESTRUCTURA ”A” yamencionada y la ecuacion de la flexibilidad a considerar sera del tipo mostradoen la Ec. 3.12, con las explicaciones hechas en la Sec. 3.3.2.3.

ALTERNATIVA ”1C”.- De la Fig.3.7(b) se rescata que esta vez han sidoelegidas como redundantes:

• Tres reacciones de apoyo fijo

• Una restriccion interna, la barra biarticulada

Figura 3.8: Ejemplo de isostatizacion ”1C”

Analizando el tratamiento de cada tipo de redundante se tiene:

Algunas reacciones de apoyo elegidas son ahora tratadas como redundantes.Como indican las Figs. 3.5(b) y 3.8(b):


• El apoyo articulado movil en el nudo 5 (reaccion R4) ha sido reem-plazado por la redundante X1.

• El apoyo articulado movil en el nudo 2 (reaccion R5) ha sido reem-plazado por la redundante X3.

• La restriccion a giro del nudo 1 ha sido anulada, convirtiendose elempotramiento en apoyo articulado fijo, el momento reaccion R3 hasido reemplazado por la redundante X4.

La barra articulada ha sido retirada de la estructura, generandose la necesi-dad de analizar la ESTRUCTURA ”A” (Fig. 3.8(a)) y la ESTRUCTURA”B” (Fig. 3.8(d)), como se explico cuando se trataba la Alternativa ”1A”.Se llama la atencion al hecho de que en este caso se ha elegido comoincognita X2 a la componente normal de la fuerza en el Nudo 4, a difer-encia de lo visto en dicha alternativa ”1A”, el unico efecto observable esla posicion de la equilibrante de Ph, que ahora actua en el Nudo 3. Nat-uralmente este cambio de posicion implica cambios en los valores de losdesplazamientos y la flexibildad de ambas estructuras ”A” y ”B”.

Quedando de este modo la ESTRUCTURA A con los siguientes grados dehiperestaticidad:

GHE = 0 GHI = 0 GH = 0

Nuevamente se recomienda comparar las Figs. 3.5(a) y 3.8(a) para notar elcambio entre los apoyos y las correspondientes redundantes.

Siguiendo el mismo razonamiento explicado en la primera alternativa, puedededucirse que la Ecuacion de Flexibilidad Particular de este caso se componebasicamente de los desplazamientos y flexibilidades del ESTRUCTURA Ade la Alternativa C amalizada (Fig. 3.8(a)), a la cual deben incrementarse losdesplazamientos y flexibilidad de la ESTRUCTURA B (Fig. 3.8(d)), en estecaso se hace referencia a: D2,0 y f2,2 unicamente, por cuanto los demas terminosde desplazamiento y flexibilidad de esta estructura son nulos, como se explicoen la primera alternativa estudiada.

Capıtulo 4

METODO DE LASROTACIONESANGULARES

4.1 Conceptos relativos

Existe un metodo de calculo que se utiliza en el analisis de estructuras, hiper-estaticas o no, que plantea como incognitas iniciales los desplazamientos deciertos lugares de la estructura, recibiendo por tanto el nombre de METODODE DESPLAZAMIENTO, cuando este es aplicado a estructuras linealmenteelasticas sufre simplificaciones que llevan a ecuaciones especıficas, entonces elmetodo es llamado METODO DE RIGIDEZ [2, Pag. 684], sin embargo,debe decirse que muchos autores no reconocen esta clasificacion y usan indistin-tamente el nombre de Metodo de Rigidez o Desplazamiento.Debido al gran numero de incognitas a determinar, cuando el uso de los mediosautomaticos de calculo no estaban disponibles, tuvieron que hacerse todavıaotras simplificaciones adicionales, que no implicaban gran perdida de exactitud,quedando ası definido el METODO DE LAS ROTACIONES ANGU-LARES y otros metodos en los que las ecuaciones eran resueltas por iteracionessucesivas (Cross, Takabeya, etc.).Como una introduccion al estudio de los metodos de rigidez, se juzga conve-niente comenzar por conocer el mencionado metodo de las Rotaciones Angu-lares (M.R.A.), para cuyo desarrollo se deben establecer ciertas definiciones ynomenclatura.

4.1.1 Desplazamiento - Deformacion

En lo que sigue del texto, siempre que de otro modo no haya posibilidad deconfusion, se respetaran las siguientes definiciones casi arbitrarias:

39

40 CAPITULO 4. METODO DE LAS ROTACIONES ANGULARES

Desplazamiento es el cambio de posicion de una parte de la estructura, de unpunto de la misma, de una seccion transversal, etc., que pudiera estar ono acompanado por una deformacion (movimiento como cuerpo rıgido).

Deformacion es el cambio de forma de la estructura o de una parte de ella,por ejemplo la elongacion de sus fibras, etc.Casi siempre las deformaciones van acompanadas por esfuerzos, salvo elcaso de las deformaciones que produce un cambio de temperatura sobreuna estructura isostatica.

4.1.2 Rigidez

Con el proposito de establecer el concepto de RIGIDEZ se apelara a lo visto enla Sec. 3.1 del capıtulo anterior, para lo cual se copia nuevamente la ecuacion3.5, que expresa la relacion entre desplazamientos y cargas en una estructuralinealmente elastica, con la nomenclatura y significados que allı se anotan:

D1

D2

· · ·Dn

=

f1,1 f1,2 · · · f1,n

f2,1 f2,2 · · · f2,n

· · · · · · · · · · · ·fn,1 fn,2 · · · fn,n

P1

P2

· · ·Pn

(4.1)

Si en las igualdades (4.1) anteriores se suponen conocidos los desplazamientosDi y desconocidas las fuerzas Pi, resolviendo el sistema de ecuaciones que ahorarepresentan esas igualdades, se pueden obtener valores para las incognitas Pi,que tendrıan la siguiente forma:

P1 = k1,1 D1 + k1,2 D2 + · · ·+ k1,n Dn

P2 = k2,1 D1 + k2,2 D2 + · · ·+ k2,n Dn

· · · · · ·Pn = kn,1 D1 + kn,2 D2 + · · ·+ kn,n Dn (4.2)

Analizando los segundos miembros se comprende que cada uno de sus terminoscorresponden a una porcion de la fuerza total, ası por ejemplo, el primer terminodel segundo miembro de la primera ecuacion:

P1,1 = k1,1 D1

corresponde a la carga en la direccion 1 que ocasiona una deformacion D1 (enla direccion 1), generalizando este concepto, la componente:

Pi,j = ki,j Dj

no es otra que la carga en la direccion i, que ocasiona una deformacion Dj (enla direccion de j).


Ahora bien, despejando ki,j se obtiene un valor constante, invariante de la es-tructura llamado RIGIDEZ :

ki,j =Pi,j

Dj(4.3)

que es el concepto inverso al de flexibilidad, es decir:

ki,j =Carga en la dir. de i que ocasiona Dj

DesplazamientoDj

Como se hizo en el caso de la flexibilidad, si Dj tuviera el valor de uno, entoncesse llega a la segunda definicion de rigidez:

La Rigidez ki,j es la carga en la direccion i que produce una deformacionunitaria Dj = 1

Hasta aquı se han considerado a las cargas como la causa de los desplazamien-tos, ”la carga que produce el desplazamiento”, pero es necesario extender esteconcepto y admitir que un desplazamiento podrıa producir una carga en el ele-mento, por ejemplo, considerese una viga biempotrada sin carga externa, si unode los empotramientos sufre un desplazamiento por el que la viga se desnivela,se sabe que en los apoyos se desarrollaran momentos de empotramiento, siendopor tanto cargas producidas por desplazamientos, este criterio sera ampliadoposteriormente.

4.1.3 Nudo - Barra - Apoyo - Vınculo

Para fines consiguientes, a continuacion se definen y describen los conceptosarriba mencionados:

Nudo.- Si se representan los elementos unidimensionales de la estructura comolıneas, entonces un nudo puede ser cualquier punto de esas lıneas. Sin em-bargo, suele escogerse como nudos aquellos puntos donde se desean conocerlos desplazamientos, o donde exista cambio de seccion transversal, en lospuntos de discontinuidad en el eje del elemento, donde se cruzan los ejes dedos o mas elementos, etc. Se deberıa crear la menor cantidad de nudos quepermita rapidez y facilidad en la solucion, por cuanto cada nudo planteaun numero de incognitas igual al grado de libertad del nudo.Un nudo creado por cualquiera de los motivos ya mencionados, fısicamentees un volumen con dimensiones reales, sin embargo, para fines de calculo,estas dimensiones quedan definidas de distinto modo segun el grado de ex-actitud de la solucion deseada. En general en lo que continua se consideranlos nudos como paralelepıpedos de dimensiones muy pequenas. Concibi-endo al nudo como un cuerpo, es entendible la posibilidad de que puedadesarrollar desplazamientos lineales y rotacionales como cuerpo rıgido.Este volumen limita y esta vinculado por lo menos a una barra, en algunoscasos lo estara tambien a un apoyo externo, en cuyo caso se lo denominaNudo Externo.


Barra.- Como se ha adelantado, es un elemento unidimensional (que tienedos de sus dimensiones mucho menores que la tercera), componente dela estructura. Esta representada por una lınea llamada eje del elementoque es el lugar geometrico de los puntos de la seccion transversal donde seacumulan las cargas internas o resultantes de esfuerzos.Cada barra debe estar limitada por un nudo en cada extremo y debevincularse con estos nudos por medio de conexiones que aıslen o transmitanlos desplazamientos del nudo a la barra y viceversa.

Apoyo.- Se asume que toda estructura debe descansar en la Tierra por mediode nudos y apoyos, teoricamente, la Tierra puede restringir cualquier de-splazamiento. Entonces, todo nudo que este unido a un apoyo externotendra todas sus libertades restringidas, a menos que intencional-mente se dispongan vınculos entre nudo y apoyo que aıslen estos de-splazamientos, de modo que al nudo no le pueda llegar la infinita re-striccion que significa un apoyo externo. Tal es el caso de los conocidosapoyos articulados, guiados, articulado movil, etc.

Vınculo.- Como ya se ha mencionado, se entiende por vınculo a la forma enque estan unidos los nudos con las barras o con los apoyos. Solamenteexisten dos tipos de vınculo:

• Un vınculo de continuidad es aquel que trasmite el desplazamientoentre el nudo y la barra o entre el nudo y el apoyo.

• Un vınculo de aislamiento impide la transmision de tales desplaza-mientos.

Notese que al aislar un desplazamiento tambien se aısla la carga asociadacon el, es decir que si no transmite giro, por ejemplo, tampoco podratransmitir la carga asociada, en este caso un momento. La representaciongrafica de los vınculos aisladores es casi universal,

• Un pequeno cırculo (articulacion) significa que las rotaciones puedendesarrollarse independientemente entre los elementos ası vinculados.Como no pueden transmitirse giros, tampoco los momentos de inter-accion pueden existir.

• Dos pequenas lıneas representan la posibilidad que tienen los itemsunidos de desplazarse independientemente entre sı sobre un planoparalelo al de las lıneas. Obviamente, al no poder desarrollarse la mu-tua restriccion, tampoco se desarrolla ninguna carga entre elementos(fuerza en direccion del plano de desplazamiento, en este caso).

• Para mostrar la comunicacion en giro y el aislamiento en desplaza-miento lineal, al mismo tiempo, el vınculo se muestra como un pequenoembolo/cilindro, los elementos vinculados se mueven independiente-mente sobre la direccion del embolo, pero, de haber rotacion, debenrotar al mismo tiempo embolo y cilindro.


Figura 4.1: Nudos, Barras, Apoyos y Vınculos


Estos conceptos son mejor explicados a continuacion. En la figura 4.1 (a) puedeverse una estructura plana corriente en la que los nudos y las barras han sidonumerados, el indicador de nudos esta encerrado en un cırculo y el de barrasen un triangulo. A objeto de clarificar el concepto de vınculo entre barras ynudos o entre nudos y apoyos, en la Fig. 4.1(b) los nudos han sido graficadoscomo pequenos cuadrados que pueden rotar y desplazarse linealmente. Comose dijo, cada barra esta limitada por nudos en sus extremos, los movimientos delos nudos pueden o no ser transmitidos a las barras en funcion al tipo de vınculoque lige nudo/barra, como se explica a continuacion.

Entre los nudos 4, 6 y 7 y las barras adyacentes el vınculo es de continuidad,por tanto no se coloca ningun sımbolo entre los nudos y las barras, cualquierdesplazamiento de tales nudos debe tambien presentarse en la secciontransversal extrema de las barras unidas a tales nudos.

En cuanto al nudo 5 solo tiene vınculos de continuidad con las barras 2, 4 y6 (no aparece ningun sımbolo aislante), el mismo giro y desplazamientolineal presente en el nudo lo estara tambien en dichas barras, en cambio,entre el mismo nudo 5 y la barra 7 esta interpuesto un aislador de giros(el pequeno cırculo insertado), por tanto el posible giro del nudo es inde-pendiente del que pudiera estar presente en la seccion transversal extremade la barra 7 mencionada, no puede haber tampoco transmision de mo-mentos, el momento entre el nudo 5 y la barra 7 vale cero. No ocurre lomismo con los desplazamientos lineales, si el nudo se mueve sobre cualquierrecta, el mismo movimiento se presenta en la barra, existe una fuerza queinteractua entre nudo y barra.

En lo que hace al nudo 8 puede verse que las barras 5 y 8 que concurren ael tienen rotaciones independientes, por tanto podrıa pensarse en vınculosaisladores entre este nudo y las dos barras mencionadas, en cuyo casotuvieramos un problema fısico: el nudo no estuviera ligado a ningun ele-mento de la estructura en lo referente a la rotacion, por tanto cualquiermomento externo actuando en el mismo producirıa rotacion permanentedel nudo, tambien se presentarıa un problema matematico por cuanto larigidez del nudo serıa nula, presentandose una igualdad imposible de sat-isfacer numericamente. Por tanto, es imprescindible dar continuidad alnudo por lo menos con una barra, de ahı que se eligio darle continuidadcon la barra 5 en la Fig. 4.1(b), alternativamente tambien se pudo conec-tarlo con la barra 8, pero no con ambas a la vez.

En lo que hace a los nudos 1, 2 y 3 estos estan vinculados a apoyos exter-nos, son nudos externos.

El nudo 3 tiene un vınculo de continuidad tanto con la barra como con elapoyo, esta claro que el apoyo restringe todo desplazamiento del nudo yal ser este contınuo tambien con la barra, esta tampoco puede desarrollarningun desplazamiento. El apoyo genera la fuerza y el momento necesariospara controlar todo desplazamiento.


Analizando el nudo 1 en la Fig. 4.1(b) se observa que el apoyo esta impi-diendo todo desplazamiento del nudo, este no se desplaza, en cambio, alestar el nudo vinculado mediante un aislador de giro con la barra (ver elpequeno cırculo interpuesto), la barra rotara independientemente de la re-striccion impuesta al nudo. Esto implica que no se genera momento deinteraccion entre nudo y barra y por equilibrio de momentos en el nudo,tampoco es necesario desarrollar ningun momento entre el nudo y el apoyo:no hay momento en el nudo. El mismo efecto serıa alcanzado en caso deque dispusieramos el aislador entre el nudo y el apoyo, ver Fig. 4.1(c),en la cual el cırculo pequeno se interpone entre nudo y apoyo, al estar elnudo aislado del apoyo, este no puede impedir que el nudo gire libremente.Tampoco se generan momentos de interaccion apoyo/nudo, entonces, porequilibrio de nudo, no habiendo este momento, tampoco existe el momentonudo/barra: no hay momento en el nudo. Como se ha demostrado, en am-bos casos se ha llegado al mismo resultado de momento en nudo igual acero, pero por caminos distintos. Obviamente, siendo contınuo el conjuntobarra/nudo, ambos pueden rotar al mismo tiempo y con el mismo valor.Resumiendo, en el primer caso el nudo no rota y la barra rota libremente,en el segundo caso el nudo y la barra rotan libremente el mismo angulo,pero en ambos el momento sobre el nudo es cero.

Para el nudo 2 un analisis semejante vale aquı, pero esta vez son dos las liber-tades de movimiento a considerar: el desplazamiento lineal horizontal y elgiro. En la Fig. 4.1(b) los aisladores (un pequeno cırculo y dos lıneas par-alelas) se han interpuesto entre el nudo y la barra, pero existe un vınculode continuidad entre el nudo y el apoyo, entonces, el nudo no puede de-splazarse porque el apoyo restringe completamente sus movimientos, encambio estas restricciones no pueden transmitirse a la barra por cuantola misma esta aislada del nudo, la barra rota y se mueve horizontalmentecon libertad. No se genera momento ni fuerza horizontal entre el nudo yla barra y por tanto tampoco entre nudo y el apoyo. En las Figs. 4.1(d) y(e) se aprecian otras alternativas de vinculacion, en la Fig. (d) el nudo norota pero desplaza horizontalmente con libertad en tanto que la barra rotay desplaza libremente, en la Fig. (e) el nudo y la barra (que son contınuos)rotan y desplazan libremente porque el nudo esta aislado del apoyo y esteno puede transmitir sus restricciones al nudo. En los tres casos se llega almismo resultado: no se genera fuerza horizontal ni momento en el nudo.

4.2 Introduccion al Metodo

Cuando una estructura esta sometida a cargas externas u otras solicitaciones(cambios de temperatura, etc.) todos sus elementos constitutivos (barras) cam-bian de lugar, se desplazan y deforman. Si en la Ec. 4.2 se asumen conocidos losdesplazamientos Di de los nudos extremos de una barra cualquiera, usando esasrelaciones de rigidez de la barra se pueden determinar las cargas Pi, que vienen


a ser precisamente las Cargas Internas de interaccion entre los nudos y la barra,y son las resultantes de los esfuerzos desarrollados en las secciones extremas dela barra, donde esta se une con los nudos. Conocidas las Cargas Internas en losextremos, la estatica permite calcular las solicitaciones en cualquier seccion dela barra, y por lo mismo sus deformaciones, quedando de este modo terminadoel analisis de la estructura.En este metodo, las cargas Pi que se analizan son los momentos que cada nudoejerce sobre la(s) barra(s) a que esta unido, siendo los desplazamientos Di anal-izados a continuacion. En cuanto a las ecuaciones mencionadas (4.2), cuandoson definidas para dichas cargas y desplazamientos, constituyen las llamadasEcuaciones Generales del M.R.A., a ser determinadas oportunamente.

4.2.1 Simplificaciones

En lo que continua sera seran contempladas las siguientes particularidades delas estructuras:

• El metodo analiza los llamados Porticos Planos, aquellas estructuras enlas que sus cargas y la estructura deformada pertenecen a un plano.

• En el analisis se considera que las deformaciones longitudinales de lasbarras son tan pequenas que pueden ser consideradas nulas: La distanciainicial entre los nudos de una barra no cambia, no se alarga ni acorta, yasea debido los esfuerzos normales o debido a la curvatura que ocasiona laflexion.

4.2.2 Desplazamientos

Queda dicho entonces que para resolver una estructura es suficiente determinarlos desplazamientos de sus nudos, por tanto se debe establecer con claridad elsignificado de estas incognitas. Si el nudo es un cuerpo rıgido, cualquiera seasu desplazamiento, este puede ser descompuesto en dos vectores [5, Pag. 27]),a saber:

Vector de Desplazamientos Lineales δ , describe el movimiento que real-iza el nudo paralelamente a sı mismo, siendo una longitud medida en elespacio, esta puede ser analizada como un vector con tres componentes,segun tres ejes cartesianos que definen el espacio.

Vector de Desplazamientos Rotacionales θ , expresa la rotacion que sufreel nudo sin modificar su forma inicial y puede tambien ser analizado ensus tres componentes. Considerando al nudo como un paralelepıpedo, serafacil relacionar estas tres componentes con las rotaciones que sufren cadauno de los tres planos que definen las caras del cuerpo indeformable.


4.2.3 Procedimiento

Cuando se trata de analizar cualquier estructura, se consideran dos fases en sucomportamiento:

1. Primero se sujeta la estructura hasta inmobilizarla, mediante apoyos fic-ticios en los nudos libres, a esta condicion se llamara EST I. En estaestructura seran aplicadas todas las cargas externas existentes, mismasque generaran reacciones en los apoyos reales y ficticios.

2. Luego se sueltan los nudos (EST D) para que sus desplazamientos Di

produzcan cargas Pi que equilibren las reacciones generadas en los apoyosficticios de la EST I, siendo de este modo cumplidos los requisitos deEquilibrio y Desplazamiento.

4.2.3.1 Compatibilidad de Desplazamientos

Estas condiciones son cumplidas automaticamente toda vez que se adoptan val-ores unicos para los desplazamientos de cada nudo, tanto rotacionales comolineales, y por tanto de todas las barras unidas a ellos, tomando en consid-eracion el tipo de vınculo que exista entre nudo y barra.Por otra parte, este metodo se aplica solo a estructuras contenidas en un plano(cargas y desplazamientos), entonces deben contemplarse las siguientes partic-ularidades:

Desplazamientos Lineales.- Son tres las componentes del vector en el es-pacio, sin embargo, como el analisis se limita a un plano, este vector sedescompone en dos direcciones, una colineal con la barra que se analizay otra perpendicular. Como se dijo, no existe cambio de distancia entrelos nudos de la barra, por lo tanto, solo quedara por tomar en cuenta enel analisis la componente del desplazamiento lineal en direccion perpen-dicular a la barra, en otras palabras: el desnivel entre ambos nudos de labarra.Si bien en principio se admite que cada barra puede desarrollar un desnivelentre sus nudos, generandose por tanto una incognita de desplazamientolineal por barra, cuando se analiza el comportamiento conjunto de la es-tructura se vera que la interdependencia entre barras y apoyos condicionaautomaticamente la posibilidad o imposibilidad de que se desarrolle taldesnivel en todas las barras, de modo que no es cierto que exista necesari-amente una incognita por barra como se admite de partida. El numeroefectivo de desplazamientos lineales libres (incognitas) es llamado Gradode Desplazabilidad de la Estructura GD y su determinacion seraestudiada oportunamente.

Desplazamientos Rotacionales.- Nuevamente son tres sus componentes enel espacio, pero si la estructura esta contenida en un plano, el nudo debepermanecer en el mismo despues de la rotacion, de modo que la direcciondel vector (perpendicular al plano de rotacion) es perpendicular al plano


de la estructura.Naturalmente, se debe diferenciar entre nudos que pueden rotar (nudoslibres) y aquellos imposibilitados de hacerlo por estar ligados a restric-ciones impuestas por Apoyos Externos (nudos externos), entonces, si encada nudo libre se admite una sola rotacion, esta claro que el numerode incognitas de desplazamiento rotacional es igual a la cantidadde nudos libres que exista en la estructura.

4.2.3.2 Condiciones de Equilibrio

Las condiciones de equilibrio son planteadas en dos grupos:

Equilibrio de Momentos.- Una vez determinadas las ecuaciones del metodopara cada una de las barras (4.2), que definen los momentos N/B, soloqueda sumar los mismos en cada uno de los nudos, de este modo se tendrantantas ecuaciones como incognitas de desplazamiento rotacional tenga laestructura.

Equilibrio de Fuerzas.- De acuerdo a lo visto anteriormente, si el Gradode Desplazabilidad (GD) es nulo o negativo, la estructura no admiteincognitas de desplazamiento lineal, en este caso son suficientes las condi-ciones de equilibrio de momentos para resolver la estructura. CuandoGD ≥ 1 es necesario necesario plantear una ecuacion por cada GD, comosera descrito posteriormente.

4.3 Grado de Desplazabilidad GD

Capıtulo 5

PRINCIPIOSGENERALES DE LAENERGIA

5.1 Introduccion

Habiendo estudiado algunos fundamentos teoricos, usados en el planteamientode metodos para el calculo de deformaciones y el analisis hiperestatico, em-pleando materiales linealmente elasticos, en este capıtulo se presentan otrosprincipios generales que derivan en la formulacion de metodos de analisis quepermiten su aplicacion en condiciones mas generales, como es el caso de mate-riales que no satisfacen la Ley de Hooke (no linealidad del material), etc.En todo texto de analisis estructural se pueden encontrar enfoques distintosy demostraciones diferentes de los teoremas y principios referidos al tema dela energıa. A continuacion se transcriben algunos conceptos expresados en [2,paginas 670 y siguientes].

5.1.1 Trabajo y Energıa en una Estructura

Considerese una estructura cualquiera, por ejemplo la mostrada en la Fig. 5.1(a)(55), en la cual el sistema de cargas P1, P2, . . . , Pn produce los desplazamien-tos δ1, δ2, . . . , δn, recordando que los subındices 1 a n definen rectas sobre lasque actuan las cargas y donde se miden los desplazamientos asociados. Porcomodidad la estructura esta formada por un solo elemento, lo cual no restageneralidad a los planteamientos que siguen; por otro lado, aunque las cargasmostradas son fuerzas y los desplazamientos son segmentos de recta, el conceptode carga es mas amplio e incluye:

Momentos, en cuyo caso el desplazamiento asociado es un giro, cuyo vectorse mide sobre la misma recta de accion del momento.

49

50 CAPITULO 5. PRINCIPIOS GENERALES DE LA ENERGIA

Un par de fuerzas colineales, siendo entonces el desplazamiento la suma delos desplazamientos de los dos puntos de accion de las fuerzas, en la di-reccion de las mismas, en otras palabras es el desplazamiento relativo.

Un par de momentos, como en el caso anterior se considera entonces el de-splazamiento relativo, la suma de los giros correspondientes.

Con referencia a la relacion carga/deformacion se debe remarcar que a cadacarga le corresponde una deformacion unica de la estructura, es decir, si en unaoportunidad una cierta magnitud de carga produjo una deformacion dada, repi-tiendo la experiencia con el mismo valor de carga se debera obtener exactamentela deformacion anterior, valiendo tambien la relacion inversa.Aunque se considera un comportamiento elastico, lo anterior no implicaque dicha relacion sea necesariamente lineal, pudiendo definirse diagramascarga/deformacion de la estructura semejantes a la curva mostrada en la Fig.1.3(b), pagina 3, siendo posible expresar los desplazamientos como una funcionmatematica de las cargas y viceversa.Por otra parte, debe quedar claro que el desplazamiento total en cualquier di-reccion δi sera la acumulacion de los efectos que ocasionan todas las cargasactuantes. Tambien se asume que las cargas son aplicadas paulatinamente, almismo tiempo y de modo que los incrementos estan en la misma proporcionpara todas ellas.En este marco, el Trabajo de las Cargas Externas (Sec. 1.1.2) y el TrabajoComplementario (Sec. 1.1.3) de las mismas puede expresarse como:

W =n∑

i=1

∫ δi

0

Pt dδ Wc =n∑

i=1

∫ Pi

0

δt dP (5.1)

Donde Pi y δi son los valores maximos de la carga y el desplazamiento en ladireccion i respectivamente, tambien, Pt y δt son los valores intermedios de esasmismas cantidades en un instante t, ver Fig. 1.3.Segun lo dicho, cuando el comportamiento de la estructura es elastico se tiene unsistema conservativo, siendo por tanto el Trabajo W y el Trabajo Complemen-tario Wc respectivamente iguales a la Energıa de Deformacion U y la EnergıaComplementaria Uc de la estructura:

W = U y Wc = Uc (5.2)

Dado que usualmente la relacion entre carga y deformacion de la estructurase conoce recien cuando ha terminado el analisis, generalmente se calculan laEnergıa de Deformacion y la Complementaria de la estructura sumando lasenergıas de los elementos componentes, determinadas a partir de las cargasinternas y la relacion esfuerzo/deformacion de la barra.Al respecto cabe senalar que la Energıa de Deformacion de la estructura Ues igual a la suma de las energıas de las barras Um, para un comportamientoelastico, lineal o no:

W = U = Um (5.3)

5.1. INTRODUCCION 51

Sin embargo, en lo que hace a la Energıa Complementaria de la estructura Uc,esta es igual a la suma de las E. Complementarias de las barras Um

c solo cuandola estructura es geometricamente lineal (pudiendo ser el comportamiento delmaterial lineal o no lineal):

Wc = Uc = Umc (5.4)

cuando no sea cumplida la condicion indicada lıneas arriba, Uc > Umc , como se

demuestra en [2].

5.1.2 Estructuras Linealmente Elasticas

En este acapite se determinara la Energıa de Deformacion desarrollada por unaestructura que se comporta linealmente (y por tanto es elastica), sumando lostrabajos realizados por las cargas internas, para lo cual se empleara el Teoremade Clapeyron, Sec. 1.1.4 Ec. 1.5.

dW = dU =12P dδ

Donde:

P representa la carga interna o resultante de esfuerzos

dδ representa la deformacion asociada con P y producida por esta misma.

En lo que continua se hara referencia a la Fig. 1.6 Pag. 10, estableciendo clara-mente que si bien en tal figura los desplazamientos eran virtuales (no debidosa las cargas internas), se reitera que en presente analisis las deformaciones sonproducidas por los esfuerzos cuyas resultantes son las cargas internas, siguiendoentonces el mismo enfoque pero con la diferencia recien puntualizada, se tiene:

Trabajo (Energıa) de la Fuerza Normal Aplicando la Ec. 1.5,

dUN =12N ∆dz

Donde la deformacion ocasionada por la carga N vale:

∆dz =N

E Adz

por tanto,

dUN =N2

2 E Adz

Trabajo (Energıa) del Momento Flector Como antes:

dUM =12M dθ


Y la deformacion que causa el momento M es:

dθ =M

E Idz

luego,

dUM =M2

2 E Idz

Trabajo (Energıa) de la Fuerza Cortante Del mismo modo:

dUV =12V dλ

Siendo la deformacion debida a V:

dλ =V

GAαs dz

entonces,

dUV =V 2

2 GAαs dz

Trabajo (Energıa) del Momento Torsor Igualmente:

dUT =12T dφ

Donde la deformacion ocasionada por el momento T es:

dΦ =T

G Itdz

por tanto,

dUT =T 2

2 GItdz

ENERGIA DE DEFORMACION TOTAL Sumando las energıas reciencalculadas e integrando:

U =b∑1

[∫N2

2 E Adz +

∫M2

2 E Idz +

∫V 2

2 GAαs dz +

∫T 2

2 GItdz

](5.5)

Notese que la suma se extiende a los b elementos constitutivos de la estructura,extendiendose cada integracion a toda la longitud de cada uno de ellos.

5.2. METODOS DE LA ENERGIA DE DEFORMACION 53

5.2 Metodos de la Energıa de Deformacion

Con referencia a la Fig. 5.1, y bajo las consideraciones indicadas en la Sec. 5.1.1,se conoce que la Energıa de Deformacion U es igual al Trabajo de las cargasexternas W . Tambien se ha establecido que es posible conocer una relacionentre la Carga (Pi) y el Desplazamiento (δi) de la estructura, asumiendo quepuede ser expresada como una funcion matematica.En tal circunstancia, reemplazando en la Ec. 5.1 las cargas Pi en funcion de losdesplazamientos δi e integrando, es teoricamente posible establecer una relacionmatematica que exprese la Energıa U = W como funcion de los desplazamientos,exclusivamente. Entonces esta claro que una variacion de los desplazamientosse refleja en un cambio en la Energıa de Deformacion U .Utilizando esta dependencia, si el desplazamiento (δi) sufre un cambio diferencial(dδi), la variacion de la Energıa se puede expresar matematicamente:

dU =∂U

∂δidδi (5.6)

Por otra parte, si solamente se ha producido la variacion dδi, manteniendose losdemas desplazamientos constantes, el cambio en el trabajo de las cargas externasse reduce al trabajo realizado por la unica carga que ha cambiado de posicion,(Pi); como dU = dW se tiene:

dU = Pi dδi

igualando las ultimas relaciones:

Pi =∂U

∂δi(5.7)

Esta ecuacion, llamada PRIMER TEOREMA DE CASTIGLIANO dice:

Si la energıa de deformacion esta expresada como funcion de losdesplazamientos, la primera derivada de tal funcion con respecto aldesplazamiento en una direccion dada, es igual a la carga aplicadaen tal direccion.

Como queda indicado en [2, pagina 683 y siguientes] y en otros textos deanalisis estructural, este teorema es empleado como base en el estudio de losMetodos de Desplazamiento, que, cuando las estructuras se comportan lin-ealmente son llamados Metodos de Rigidez.

5.3 Metodos de la Energıa Complementaria

Nuevamente se hace referencia a las consideraciones hechas en la Sec. 5.1.1, allıse establece que la Energıa Complementaria Uc es igual al Trabajo complemen-tario de las cargas externas Wc. Igualmente se ha visto la posibilidad de hallaruna relacion Carga (Pi) Vs. Desplazamiento (δi) de la estructura (o su inversa),


y se asume que puede ser expresada como una funcion matematica.Si se realiza un procedimiento semejante al de la anterior seccion 5.2, reem-plazando en la expresion de Trabajo Complementario (Ec. 5.1) los desplaza-mientos en funcion de las cargas y luego integrando, se puede llegar a establecerla Energıa Complementaria como funcion de las cargas exclusivamente.Ahora bien, considerando una variacion pequena en cualquiera de las cargasdPi, manteniendose las demas constantes, el cambio en la Uc estara dado por:

dUc =∂Uc

∂PidPi (5.8)

Por otra parte, como se indico en la Sec. 1.1.3, dWc = δ dP , tomando en cuentaque en el caso actual la unica carga que varıa es Pi, se tiene que el cambio de laenergıa en toda la estructura es debido solamente a dicho incremento de carga,o sea:

dUc = δi dPi

Que igualada con la ecuacion anterior define:

δi =∂Uc

∂Pi(5.9)

Esta es la expresion matematica del TEOREMA DE CROTTI - ENGESSER,en honor del Ing. Francesco Crotti (1878) y del Ing. Friedrich Engesser (1889)que la establecieron independientemente y dice:

La derivada parcial de la Energıa Complementaria con respectoa cualquier carga Pi es igual al desplazamiento δi asociado, acondicion de que aquella se exprese en funcion a las cargas.

Cuando la estructura se comporta linealmente, U = Uc, entonces la ecuacionanterior adopta la forma mas conocida como SEGUNDO TEOREMA DECASTIGLIANO:

δi =∂U

∂Pi(5.10)

Ambos teoremas son utiles a la hora de presentar los conceptos fundamentalesde los llamados METODOS DE FUERZAS, que cuando corresponden a estruc-turas lineales son conocidos como METODOS DE FLEXIBILIDAD [2, Pag.701]. Tambien es posible [2] utilizarlos en la demostracion de la ecuacion delMETODO DE LA CARGA UNITARIA para el calculo de los desplazamientos,que ha sido presentado con un enfoque distinto en la Sec. 2.1.

5.3.1 Estructuras Linealmente Elasticas

Como una forma de repasar los conceptos de energıa, a continuacion se presentauna demostracion alternativa del Segundo Teorema de Castigliano para estruc-turas linealmente elasticas [1].

5.3. METODOS DE LA ENERGIA COMPLEMENTARIA 55

Figura 5.1: Nomenclatura

En la Fig. 5.1(a) se muestra una estructura cualquiera sometida gradualmente alsistema de cargas P1, P2, . . . , Pn que produce los desplazamientos δ1, δ2, . . . , δn

(ESTADO 1), estando presentes dichas cargas se anade paulatinamente un in-cremento dPi (ESTADO 2), que produce los incrementos de desplazamiento dδi

como se ve en la Fig. 5.1(b).Empleando el Teorema de Clapeyron, Sec. 1.1.4, el trabajo realizado por lascargas externas en el ESTADO 1 es:

W =12P1 δ1 + · · ·+ 1

2Pi δi + · · ·+ 1

2Pn δn =

12

n∑

i=1

Pi δi

En el ESTADO 2, durante el incremento de carga dPi se produce un aumentodel trabajo dW , donde:

dW =12dPi dδi

︸︷︷︸≈0

+P1 dδ1 + · · ·+ Pi dδi + · · ·Pn dδn =n∑

i=1

Pi dδi

Debe notarse que el factor 1/2 no es aplicable a partir del segundo terminopor cuanto las cargas Pi estan presentes con todo su valor cuando se producenlos incrementos dδi, lo que no ocurre con el trabajo de dPi, que aparece como


primer termino y es despreciado por ser diferencial de segundo orden. Entoncesel trabajo total para el ESTADO 2 es:

W + dW =12

n∑

i=1

Pi δi +n∑

i=1

Pi dδi

Determinando el trabajo para el ESTADO 2, debido al sistema de cargasPi y el incremento dδi, actuando simultaneamente (sin considerar un orden decarga), se tiene:

W + dW =12

[P1(δ1 + dδ1) · · ·+ (Pi + dPi)(δi + dδi) · · ·+ Pn(δn + dδn)]

Reordenando y despreciando los diferenciales de orden superior:

W + dW =12dPi δi +

12

n∑

i=1

Pi δi +12

n∑

i=1

Pi dδi

Igualando el trabajo total obtenido de las dos formas anteriores y simplifi-cando se obtiene:

n∑

i=1

Pi dδi = dPi δi

Recordando que∑n

i=1 Pi dδi = dW = dU finalmente se llega a reproducir elSEGUNDO TEOREMA DE CASTIGLIANO:

δi =dU

dPi

Lista de Figuras

1.1 Fuerza P actuando en M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Momento M actuando en O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Fuerza P actuando sobre Barra Recta . . . . . . . . . . . . . . . 31.4 Cargas sobre cuerpo rıgido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.5 Desplazamiento Virtual δi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.6 Deformaciones de la tajada diferencial . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.1 Calculo de la rotacion θA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.1 Nomenclatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.2 Ejemplo de isostatizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.3 Met. de la Flexibilidad, descomposicion de cargas . . . . . . . . . 253.4 Cargas Internas como Redundantes . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.5 Ejemplo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.6 Ejemplo de isostatizacion ”1A” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.7 Ejemplo de isostatizacion ”1B” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.8 Ejemplo de isostatizacion ”1C” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.1 Nudos, Barras, Apoyos y Vınculos . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5.1 Nomenclatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

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Bibliografıa

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[2] J. M. Gere - S. P. Timoshenko; Mecanica de Materiales, 2da Edicion; GrupoEditorial Latinoamerica; Mexico, D.F.; 1986

[3] T. R. Chandrupatla - A. D. Belegundu; Elemento Finito en Ingenierıa, 2daEdicion; Pearson (Prentice Hall)

[4] R. L. Ketter - G. C. Lee - S. P. Prawel,Jr.; Structural Analysis and Design;McGraw Hill Book Company, Inc.; USA, 1979

[5] Manuel Vasquez; Resistencia de Materiales, Segunda Edicion; EditorialNOELA; Madrid, 1991

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