1. INTRODUCCION

En la mecnica de los fluidos es posible obtener importantes resultados a partir de un enfoque dimensional del fluido. Las variables involucradas en cualquier situacin fsica real pueden ser agrupadas en un cierto nmero de grupos adimensionales independientes los cuales permiten caracterizar un fenmeno fsico.

La caracterizacin de cualquier problema mediante grupos adimensionales, se lleva cabo mediante un mtodo denominado anlisis dimensional. El uso de la tcnica de anlisis dimensional adquiere relevancia sobre todo en la planificacin de experimentos y presentacin de resultados adems se utiliza con frecuencia en estudios de tipo terico. Esencialmente, el anlisis dimensional es una tcnica que permite reducir el nmero y complejidad de las variables que intervienen en la descripcin de un fenmeno fsico dado. (Chaves, 2001) 2. DIMENSIONES Y UNIDADES

Una dimensin es una medida de una cantidad fsica (sin valores numricos), mientras que una unidad es una manera de asignar un nmero a dicha dimensin. Por ejemplo, la longitud es una dimensin que se mide en unidades como pie (ft), centmetros (cm), metros (m), kilmetros (km), etctera.

Existen siete dimensiones primarias (tambin llamadas dimensiones fundamentales): masa, longitud, tiempo, temperatura, corriente elctrica, cantidad de luz y cantidad de materia. Todas las dimensiones no-primarias se pueden formar por cierta combinacin de las siete dimensiones primarias. (Cengel, 2006)

Figura 1. Ejemplo dimensin y unidad

Por ejemplo, la fuerza tiene las mismas dimensiones que masa por aceleracin (por la segunda Ley de Newton). En consecuencia en trminos de dimensiones primarias:

Existe una ley matemtica fundamental para ecuaciones llamada la Ley de homogeneidad dimensional, la cual enuncia que todo trmino aditivo de una ecuacin debe tener las mismas dimensiones, esto aunque es evidente muchas veces y sobre todo en expresiones matemticas extensas se puede obviar generando respuestas y resultados incorrectos.

Si en alguna etapa de un anlisis se encuentra una situacin en la que dos trminos aditivos en una ecuacin tienen diferentes dimensiones, esto sera una clara indicacin de que se ha cometido un error en alguna etapa anterior de ste. Adems de homogeneidad dimensional, los clculos son vlidos slo cuando las unidades tambin son homogneas en cada trmino aditivo.

Figura 2. Ejemplo Homogeneidad Ec. Bernoulli

La Ley de homogeneidad dimensional garantiza que todo trmino aditivo en la ecuacin tiene las mismas dimensiones, entonces si cada trmino en la ecuacin se divide entre un conjunto de variables y constantes cuyo producto tenga estas mismas dimensiones, la ecuacin queda sin dimensiones. Si adems, los trminos adimensionales en la ecuacin son de orden de magnitud de uno, la ecuacin se llama normalizada.

Cada trmino en una ecuacin sin dimensiones es adimensional. En el proceso de adimensionalidad en una ecuacin de movimiento, con frecuencia aparecen parmetros adimensionales, la mayora de los cuales reciben su nombre en honor a un cientfico o ingeniero notable (por ejemplo, el nmero de Reynolds). (Cengel, 2006)

3. ANALISIS DIMENSIONAL Y SIMILITUD

En problemas complicados, los clculos algebraicos pueden llegar a ser complejos y en algunos casos no se podrn obtener resultados analticos por lo tanto se deben disear y realizar experimentos fsicos para obtener los resultados necesarios elevando notablemente los recursos econmicos y temporales. En tales casos, los parmetros adimensionales que se generan cuando se eliminan las dimensiones de las ecuaciones son extremadamente tiles y pueden ahorrar mucho esfuerzo y gastos a largo plazo.

Existen dos ventajas clave de la eliminacin de dimensiones:

Aumenta la comprensin acerca de las relaciones entre los parmetros clave. Reduce el nmero de parmetros en el problema.

Es tambin frecuente que en muchos experimentos para ahorrar tiempo y dinero las pruebas se realizan en un modelo a escala, en lugar de en un prototipo de tamao real. En estos casos, se debe tener cuidado de escalar adecuadamente los resultados. Es Aqu donde la tcnica llamada anlisis dimensional aparece.

Los tres propsitos principales del anlisis dimensional son:

Generar parmetros adimensionales que ayuden en el diseo de experimentos (fsicos y/o numricos) y en el reporte de los resultados experimentales.

Obtener leyes de escalamiento de modo que se pueda predecir el desempeo del prototipo a partir del desempeo del modelo.

Predecir las tendencias en la relacin entre parmetros. . (Chaves, 2001)

3.1 SIMILITUD: Existen tres condiciones necesarias para similitud completa entre un modelo y un prototipo:

a) La primera condicin es la similitud geomtrica, es decir el modelo debe tener la misma forma que el prototipo, pero se le puede escalar por algn factor de escala constante.

b) La segunda condicin es la similitud cinemtica, lo que significa que la velocidad en cualquier punto en el flujo del modelo debe ser proporcional (por un factor de escala constante) a la velocidad en el punto correspondiente en el flujo del prototipo Especficamente, para similitud cinemtica la velocidad en puntos correspondientes debe escalar en magnitud y debe apuntar en la misma direccin relativa. La similitud geomtrica se puede considerar como equivalencia en escala de longitud y la similitud cinemtica como equivalencia en escala de tiempo.

Tal como el factor de escala geomtrica puede ser menor que, igual a, o mayor que uno; del mismo modo puede ser el factor de escala de velocidad.

Figura 3 similitud geomtrica y cinemtica

c) La tercera condicin de similitud es la de similitud dinmica., la cual se logra cuando todas las fuerzas en el flujo del modelo se escalan por un factor constante a fuerzas correspondientes en el flujo del prototipo (equivalencia en escala de fuerza). Al igual que con las similitudes geomtrica y cinemtica, el factor de escala para fuerzas puede ser menor que, igual a, o mayor que uno.

Es importante aclarar que la similitud cinemtica es una condicin necesaria pero insuficiente para similitud dinmica, por lo tanto es posible para un flujo de modelo y un flujo de prototipo lograr tanto similitud geomtrica como cinemtica, pero no similitud dinmica. Para garantizar similitud completa deben existir las tres condiciones de similitud. (Cengel, 2006)

Se usa la letra griega mayscula pi () para denotar un parmetro adimensional. En un problema general de anlisis dimensional, existe una que se llama dependiente, a la que se le da la notacin 1. El parmetro 1 es, en general una funcin de otras varias que se llaman independientes. La relacin funcional es:

Donde k es el nmero total de .

Para garantizar la similitud completa entre modelo y prototipo, cada independiente del modelo (subndice m) debe ser idntico a la correspondiente independiente del prototipo (subndice p), es decir:

Para garantizar similitud completa, el modelo y el prototipo deber ser geomtricamente similares y todos los grupos independientes deben coincidir entre modelo y prototipo. Con estas condiciones se garantiza que la dependientes de modelo y prototipo se igualen ( ) . Matemticamente:

Si y y entonces

(Cengel, 2006)

3.1.1 EJEMPLO SIMILITUD ENTRE AUTOS MODELO Y PROTOTIPO

Se debe predecir la fuerza aerodinmica de arrastre de un auto deportivo nuevo a una velocidad de 50.0 mi/h a una temperatura de aire de 25C. Los ingenieros construyen un modelo a un quinto de escala del auto para probarlo en un tnel de viento. Es invierno y el tnel de viento se localiza en un edificio sin calefaccin; la temperatura del aire del tnel de viento es de slo 5C. Determine qu tan rpido deben correr los ingenieros el aire en el tnel de viento con la finalidad de lograr similitud entre el modelo y el prototipo.

SOLUCIN: Se utilizar el concepto de similitud para determinar la velocidad del aire en el tnel de viento.

Hiptesis: Se deben establecer unas condiciones mnimas para resolver el problema:

1. La compresibilidad del aire es despreciable2. Las paredes del tnel de viento estn lo suficientemente alejadas de modo que no interfieren con la fuerza aerodinmica de arrastre sobre el auto modelo. 3. El modelo es geomtricamente similar al prototipo.4. El tnel de viento tiene una banda mvil para simular el terreno bajo el auto, como en la figura 4. (La banda mvil es necesaria con la finalidad de lograr similitud cinemtica en todas las partes del flujo, especialmente bajo el auto.)

Figura 4. Disposicin modelo tnel de viento

Propiedades: Para el aire a presin atmosfrica y a T =25C, = 1.184 kg/m3 y = 1.849 x 10_5 kg/m s. De igual manera, a T = 5C, = 1.269 kg/m3 y = 1.754 x 10_5 kg/m s.

Anlisis Dado que en este problema slo existe una independiente, la ecuacin de similitud se sostiene si donde est dada por la ecuacin nmero de Reynolds:

Por lo tanto, se escribe:

Lo cual se puede resolver para la velocidad desconocida del aire en el tnel de viento para las pruebas del modelo Vm:

(Cengel, 2006)

4. EL MTODO DE REPETICIN DE VARIABLES Y EL TEOREMA PI DE BUCKINGHAM

Existen varios mtodos para generar los parmetros adimensionales, pero el mtodo ms popular y simple es el mtodo de repeticin de variables, popularizado por Edgar Buckingham (1867-1940). Se puede considerar a este como un procedimiento paso a paso o para obtener parmetros adimensionales. Existen seis pasos que se mencionan concisamente en la figura siguiente:

Figura 5.procedimiento paso a paso mtodo Buckingham (Cengel, 2006)

Para visualizar el teorema en cuestin se analizara un ejemplo.

4.1 EJEMPLO METODO PI BUCKUNGAM (PRESIN EN UNA BURBUJA DE JABN)

Se dese determinar la relacin existente entre el radio de la burbuja de jabn y la presin adentro de la misma. Se piensa que la presin adentro de la burbuja de jabn debe ser mayor que la presin atmosfrica y que el cascarn de la burbuja est bajo tensin, en gran parte como la piel de un globo, por lo que se intuye que la propiedad de tensin superficial debe ser importante en este problema.

Sin saber algo ms de fsica, se decide enfrentar el problema con el uso del anlisis dimensional. Establezca una relacin entre la diferencia de presin P = Padentro - Pafuera, el radio de la burbuja de jabn R y la tensin superficial ss de la pelcula jabonosa.

Figura 6. Ejemplo burbuja de jabn

SOLUCIN: La diferencia de presin entre el interior de una burbuja de jabn y el aire exterior se analizar mediante el mtodo de repeticin de variables.

Hiptesis: Se deben establecer unas condiciones mnimas para resolver el problema:

1. La burbuja de jabn est neutralmente flotante en el aire, y la gravedad no es relevante.2 En este problema no son importantes otras variables o constantes.

Anlisis: Se emplea paso a paso el mtodo de repeticin de variables planteado en la figura 5.

Paso 1: Existen tres variables y constantes en este problema; n = 3. Con las mismas se hace una lista en forma funcional y la variable dependiente se menciona como una funcin de las variables y constantes independientes:

Paso 2: Se hace una lista con las dimensiones primarias de cada parmetro.

Paso 3: Como primera suposicin j se hace igual a 3, el nmero de dimensiones primarias representadas en el problema (m, L y t).

Reduccin (primera suposicin): j = 3

Si este valor de j es correcto, el nmero esperado de es k = n - j = 3-3 = 0. Pero cmo se puede tener cero? En momentos como ste es necesario primero regresar y cerciorarse de que no se est despreciando alguna variable o constante importante en el problema.

Dado que se est seguro que la diferencia de presin debe depender slo del radio y la tensin superficial de la pompa de jabn, el valor de j se reduce por uno:

Reduccin (segunda suposicin): j 2

Si este valor de j es correcto, k =n- j = 3- 2 =1. Por ende, se espera una, que fsicamente es ms realista que cero.

Paso 4: Es necesario escoger dos parmetros repetitivos porque j =2. Cuando se siguen los lineamientos de la Tabla 7-3, las nicas opciones son R y ss, porque P es la variable dependiente.

Paso 5: Estos parmetros repetitivos se combinan en un producto con la variable dependiente P para crear la dependiente:

Ecuacin 1

Se aplican las dimensiones primarias del paso 2 en la ecuacin 1 y se fuerza a la a ser adimensional

Se igualan los exponentes de cada dimensin primaria para resolver a1 y b1:

Por fortuna, los primeros dos resultados concuerdan uno con otro y, por lo tanto la ecuacin 1 se convierte en:

Ecuacin 2

El parmetro adimensional establecido ms similar a la ecuacin 2 es el nmero de Weber, que se define como presin (rV2) por una longitud dividida entre tensin superficial. No hay necesidad de manipular ms esta.

Paso 6: Se escribe la relacin funcional final. En el caso a la mano, slo existe una, que es una funcin de nada. Esto slo es posible si la es constante.

Ecuacin 3

ste es un ejemplo de cmo en ocasiones se pueden predecir tendencias con anlisis dimensional, inclusive sin saber mucho de la fsica del problema. Por ejemplo, se conoce a partir del resultado que, si el radio de la pompa de jabn se duplica, la diferencia de presin disminuye por un factor de 2. De manera similar, si el valor de la tensin superficial se duplica, P aumenta por un factor de 2. El anlisis dimensional no puede predecir el valor de la constante en la ecuacin 3; un anlisis ulterior (o un experimento) revela que la constante es igual a 4. (Cengel, 2006)

5. CONCLUSIONES

El anlisis dimensional es un parmetro importante en la resolucin de problemas de ingeniera, debido a que permite la deteccin de errores de clculos del mismo y tambin puede ser herramienta y vehculo fundamental para plantear soluciones acertadas aun sin tener conocimientos profundos acerca del tema de inters gracias a manejos y suposiciones algebraicas relativamente simples.

El mtodo de repeticin de variables, el cual se plantea de manera lgica siguiendo unos pasos e instrucciones establecidas se convierte en una poderosa herramienta que reduce la posibilidad de cometer errores al utilizar el anlisis dimensional en la solucin de problemas de ingeniera.

6. BIBLIOGRAFIA

[1] Cengel, Junus A. Cimbala, John M. Mecanica de fluidos, Fundamentos y aplicaciones. Mcgraw Hill. 2006.

[2] Rivera chaves, Emilio. Anlisis dimensional y similitud Fsica- Apuntes de clase. Recurso web, disponible en:http://erivera-2001.com/files/ANALISIS-DIMENSIONAL-SIMILITUD.pdf

ANALISIS DIMENSIONAL

JORGE IVAN OVALLE CASTILLOMAURICIO ALEJANDRO NARVAEZ GUZMAN

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIAFACULTAD DE INGENIERIAPROGRAMA DE INGENIERIA CIVILMECANICA DE FLUIDOSBOGOT D.C.DICIEMBRE DE 2014