Anlisis de Torsin Uniforme Por Elementos FinitosEduardo Gianella PeredoFacultad de Tecnologa, Instituto de Investigacin de Tecnologa, Av.Busch s/n. Tlefax : 3584776 Santa Cruz, BoliviaPalabras calve: Torsin Uniforme, Elementos Finitos.ResumenEste trabajo presenta, de manera justificada y detallada, las ecuaciones que gobiernan el problema de torsin uniforme de barras prismticas con seccin transversal mltiplemente conexa. La formulacin de Prandtl es utilizada para la resolucin numrica del problema, mediante el Mtodo de los Elementos Finitos, y procesada a travs del Principio de los Trabajos Virtuales Complementarios para establecer la ecuacin variacional de partida.El elemento finito utilizado es el isoparamtrico bilinear cuadrangular de cuatro nodos, el cual cumple con los requisitosque garantizan la convergencia.Finalmente se presentan resultados del anlisis de secciones, realizado con el auxilio de un programa de computadora desarrollado por mi persona en el Instituto de Investigacin de Tecnologa de la Facultad de Tecnologa de la Universidad Autnoma Gabriel Rene Moreno.IntroduccinEl problema de torsin uniforme de barras prismticas, ha logrado ser resuelto, de manera exacta, para secciones transversales de forma simple [2]. Para formas complejas de secciones, la bsqueda de solucin analtica cerrada se torna impracticable, resultando conveniente utilizar mtodos numricos para la obtencin de soluciones aproximadas.Diferencias Finitas [3] y Elementos Finitos [4] han demostrado ser herramientas valiosas para el anlisis numrico de torsin. El Mtodo de los Elementos Finitos, sin lugar a dudas, es de mayor generalidad y potencia que el de las Diferencias Finitas, en la solucin numrica de Problemas de Valores de Contorno. Por esta razn fue seleccionado en esta publicacin.Finalmente, es importante resaltar que el aspecto central del anlisis presentado en este trabajo, es el tratamiento terico y numrico del problema planteado en la formulacin de Prandtl, por la seccin mltiplemente conexa. 1Hiptesis Bsicasfig.1.El problema de torsin uniforme en barras, ocurre cuando:1. La barra es prismtica.2. La carga est constituida por una distribucin de fuerzas superficiales actuando nicamente en las secciones extremas, y estticamente equivalente, en cada seccin, al momento torsor T.3. No existe en los extremos, restriccin al movimiento u en direccin del eje de la barra.Formulacin de Saint Venant Saint Venant utiliz, en el anlisis de torsin uniforme, un procedimiento conocido con el nombre de semi-inverso, consistente en la imposicin, a priori, de condiciones sobre el comportamiento estructural, y la posterior determinacin del problema correspondiente a estas condiciones. Las hiptesis establecidas por Saint Venant fueron:1. Las secciones transversales no se deforman en su plano,0 yz z y .2. Cada seccin transversal rota ) (x en torno a x, y se alabea con desplazamiento u.2x,uz,wy,vT TBaricentro de la seccin transversal

fig.2La figura 2 ilustra el movimiento de rotacin en el plano de una seccin transversal, y permite deducir sendas expresiones para las componentes de desplazamiento v y w.v = -rsen = -y(1) w = rcos = z (2)Estando todas las secciones solicitadas por el mismo momento torsor, puede inferirse que la deformacin en todas ellas es la misma, de modo que:u = u(y,z)y'x = constante.Imponiendo la condicin de contorno =0 en x=0, resulta =x.Introduciendo en (1) y (2) la expresin lineal de , resultan:v = -xz(3) w = xy (4)Para tener la componente u, al igual que v y w, proporcional a , Saint Venant introduce la funcin incgnita de alabeo de las secciones transversales (y,z), de manera que:u = (y,z)(5)3y,vz,wP(y,z)rw-vResumiendo:u = (y,z)(6)v = -xz(7)w = xy(8)constituyen el campo de desplazamientos de los puntos de la barra, obtenido en base a las dos condiciones asumidas por Saint Venant.La presente formulacin, sin lugar a dudas, sugiere laresolucin del problema por el mtodo de los desplazamientos.A partir del campo de desplazamiento, puede determinarse el campo de deformaciones:0xux; 0yvx; 0wxz; yw vyz+z = -x + x=0;+xvyuxy

,_

zy (9)+xwzuxz ,_

+yz(10)Asumiendo el material homogneo, istropo y elstico lineal:0 yz z y x xy= G

,_

zy (11)xz = G ,_

+yz(12) fig3Las tensiones resultantes, deben satisfacer las condiciones de equilibrio en el dominio y 4dAxzxyyyzzen el contorno.En el dominio:0zyxxzxyx++, considerando las expresiones de las tensiones tangenciales, se obtiene 0zy2222+ (13).Las restantes ecuaciones de equilibrio se reducen a identidades.En el contorno:Considerando que la pared cilndrica de la barra esta libre de fuerzas superficiales ( 0 tn ) ,y que el vector unitario (n) normal a esta superficie es perpendicular al eje de la barra (x); se obtiene, en esta parte del contorno, la siguiente expresin0 n n z xz y xy +, introduciendo la funcin de Saint Venant se llega ay n z n nznyz y z y +. Finalmente utilizando la notacin correspondiente a derivada direccional se obtiene y n z ndndz y (14).En las secciones transversales ubicadas en los extremos de la barra, las condiciones de equilibrio establecen lo siguiente D0 dydz Qxy y D0 dydz Qxz z[ ] Ddydz z - y xy xzTLas dos primeras corresponden a identidades, mientras que la tercera permite la determinacin de la constante, mediante la siguiente expresin =tTGI (15).Siendo It la Inercia a torsin de la barra, determinada por 1]1

+ + Ddydz zy- yzz y I2 2t (16).Form ulacin de Prandtl 5Prandtl enfoca el problema por el mtodo de las fuerzas, asumiendo una funcin de Tensin (y,z) como incgnita bsica , definida de modo que las tensiones obtenidas satisfacen las ecuaciones de equilibrio en el dominio.xyz (17)xzy (18)Ecuacin de compatibilidad de las deformaciones

fig.4La funcinu(y,z),que determinael alabeo de las secciones en torsin uniforme,debe preservar la continuidad de cadaseccin transversal. Estacondicinsecumpleeneldominio,si apartirdeunpuntoP,para todocamino cerrado C, es verificada la siguiente igualdad: u=C0 du (19)Diferenciando u(y,z) e introduciendo las distorsiones angulares, se obtiene:dzzudyyudu+6P(y,z)zyn2n1C1C2C0n0Cnsdzxw dyxv duxz xy

,_

+ ,_

(20)Insertando la ley de Hooke y la funcin de Prandtl en (20), resulta:dzxwGdyxvGduxzxy

,_

+

,_

dz y 'y G1dy z 'z G1du

,_

+ ,_

+ (21)Reemplazando (21) en (19), se obtiene: 0 dz y 'y G1dy z 'z G11]1

,_

+ ,_

+C (22) fig.5dy= -dsnz =-ds.sen( ) (23)dz=dsny =ds cos( )

(24)Introduciendo (23) y (24) en(22), se llega a:( ) ( ) 0 ds yn G ds n z G ds nyds nz1y'z'y z)'1]1

+ CG (25)Usandoel teorema de la divergencia, (25) se transforma en: 7zyndsdz-dyC0 dS GyGz1'22'221]1

++ + SG (26)Donde S es la regin del dominio encerrada por la curva C.Finalmente, recordando que la curva C es arbitraria, se concluye a partir de (26) que:'22222Gz y + (27)La expresin (27) constituye la ecuacin de compatibilidad de las deformaciones en el dominio.La condicin (19) se impone tambin al contorno de la seccin, resultando las siguientes ecuaciones asociadas a cada curva Ci del mismo.Reemplazandoen(25) losfactores deG , por susexpresionesentrminos delas coordenadas y,z, dados por (23) y (24), se obtiene:( ) 0 ydz G zdy G ds nyds nz1' 'y z)'1]1

+ CG (28)Introduciendo en (28) la notacin de derivada direccional, resulta[ ] i iC Cddydz zdy G ds'n(29.a)Considerando las expresiones (23) y (24), se obtiene[ ]ds yn zn G dsy z' + i iC Cddn(29.b)Laintegral del ladoderechode(29) esigual a2Ai, siendoAiel readelaregin encerrada por la curva Ci.Por lo tanto (29.b) se transforma en8iCAddi'G 2 ds n (30)expresinquerepresentalaecuacindecompatibilidadquedebecumplirseencada curva Ci del contorno de la seccin.Equilibrio en el contornoEn la pared cilndrica de la barra debe cumplirse la condicin de equilibrio:0 n n z xz y xy + (31)Introduciendo en (31) la funcin resulta:0 nynzz y (32)observando las relaciones en el contorno indicadas en la figura 5, la ecuacin (32) puede escribirse como: 0dsdyy dsdzz+ (33)Utilizando la regla de la cadena se llega finalmente a:0dsd(34) Expresin que representa la condicin (31) y expresa que es constante en el contorno de la seccin transversal. Sin perdida de generalidad, puede asumirse que =0 en C0 y =i en Ci. con i0.En las secciones transversales de extremo en la barra, las condiciones de equilibrio establecen lo siguiente:9 D0 dydz Qxy y D0 dydz Qxz z[ ] Ddydz z - y xy xzT(35)Las dos primeras corresponden a identidades, mientras que la terceraestablece una relacin entre el momento torsor T y la funcin de tensin de Prandtl .Introduciendo en (35) las expresiones (17) y (18), se llega adydz zzyy 1]1

D T(36)Manipulando algebraicamente (36), se obtiene( ) ( ) +1]1

+ D Ddydz 2 dydz zzyy T(37)Mediante la aplicacin del teorema de la divergencia, (37) se transforma en( ) ( ) [ ] + + CiCi Ddydz 2 ds z n y ni z i y T(38)Siendo i constante respecto a la variable de integracin, (38) puede expresarse como [ ]+ CiCiiDds z n y n dydz 2z y T (39)Recordando que[ ]iCAi2 ds yn zny z +;i0.(40)Siendo Aiel rea de la regin encerrada por la curva Ci. El signo que aparece en (40) es debido a que el sentido del recorrido de Cies contrario al definido en la curva C, mostrada en la figura 5.Introduciendo (40) en (39), se encuentra la expresin final de la relacin procurada10 + Cii iDA 2 dydz 2 T(41)Formulation Variacional del problema Para su resolucin numrica por el mtodo de los Elementos Finitos, el problema requiere deunaformulacinvariacional, enestetrabajoseutilizael PrincipiodelosTrabajos Virtuales Complementarios.Este principio expresa, en el caso particular de barras de seccin mltiplemente conexa sometidas a torsin uniforme, lo siguiente ; CeCiW W ' +iC iiA d ' 2 G snG 2z y'2222 Donde es una variacin de , que genera T y xy, xz en equilibrio, tanto en el dominio como en el contorno; ciW es el trabajo virtual complementario interno y ceW es el trabajo virtual complementario externo.En virtud de este principio, podemos resolver el problema utilizando la ecuacin del lado izquierdo de la equivalencia.L ' WciT (42)11En el dominio DEn la curva de contorno Ci[ ] d y d zGG L d y d z L WDx zx zx yx yDx z x z x y x yci 1]1

+ + (43)En las expresiones (42) y (43), L es la longitud de la barra.Igualando ambas expresiones, resultaT D1]1

+ d y d zGG'x zx z'x yx y (44)Introduciendo en (44) y , se obtienei iDA + 11]1

,_

+

,_

DC2 2i'G2dydz'G12 dxdyy y 'G1z z 'G1(45)Definiendo 'G y 'G (46)Colocando este nuevo par de funciones en (45), se llega a + 1]1

+Cii iD DA 2 dydz 2 dydzyyzz(47) Esta es la ecuacin de partida para la resolucin numrica del problema por medio del Mtodo de los Elementos Finitos, y el elemento utilizado es el isoparamtrico bilinear cuadrangular de cuatro nodos, que se describe a continuacin. 12Elemento Finito Isoparamtrico bilinear cuadrangular de cuatro n odos

y=y( , )z=z( , )

=(y,z) = (y,z) Coordenadas nodales normalizadasCoordenadas nodales cartesianas1=(-1,-1)1=(x1,y1)2=(1,-1) 2=(x2,y2)3=(1,1)3=(x3,y3) 4=(-1,1) 4=(x4,y4)Funciones de FormaN1( , )=0.25 (1- )(1- )N2( , )=0.25 (1+ )(1- )N3( , )=0.25 (1+ )(1+ ) N4( , )=0.25 (1- )(1+ )13234 1234 1zyInterpolacin de coordenadas del elementoy= N1( , )y1+N2( , )y2+ N3( , )y3+ N4( , )y4z= N1( , )z1+N2( , )z2+ N3( , )z3+ N4( , )z4 Interpolacin de la funcin incgnita y su variacin. ( , )= N1( , )1+N2( , )2+ N3( , )3+ N4( , )4(48) ( , )= N1( , ) 1+N2( , ) 2+ N3( , ) 3+ N4( , ) 4 (49) donde i y i representan los valores nodales de ( , ) y su variacin ( , ).Son de inters las derivadas e integrales respecto a las coordenadas cartesianas y,z.Aplicando regla de la cadena:yyy+ (50)zzz+ (51)No se tienen expresiones explcitas para las derivadas de y,z respecto a , , sin embargo las expresiones de las derivadas de ,respecto a y,z son fcilmente deducibles.Aplicando una vez ms la regla de la cadena:zzyy+ (52)zzyy+ (53)Representando (52) y (53) matricialmente:1111]1

1111]1

1111]1

zyzyzy(54)14Definiendo la matriz de transformacin J=1111]1

zyzy, de coordenadas X=1111]1

4 43 32 21 1z yz yz yz yyGradiente de N;N=1111]1

NNNNNNNN4 3 2 14 3 2 1 , puede escribirseJ= NX (55)resultando1111]1

zy=J-11111]1

(56)Respecto a las reas de integracin en el elemento dA=dydz=det(J)d d (57)Utilizndose las siguientes matrices =1111]1

zy (58) =1111]1

zy (59) la expresin (47) resulta:15( ) + Cii i A 2 dydz 2 dydzDTD (60)Siguiendo la notacin clsica en Elementos Finitos se define B de modo que: =Be donde erepresenta la matriz columna de los valores nodales de (x,y) en el elemento 1111]1

4321e(61)B= J-1N (62)Note que la matrizN es utilizada en el clculo de J y tambin en el de B.Finalmente la expresin (60) queda expresada mediante: + Cii i A 2 dydz 2 dydzDT T e eTDT eN ) ( B B ) ( (63)donde N=[N1,N2,N3,N4] es la matriz de funciones de forma.Anotando p y p como las matrices columna de incgnitas nodales de la malla y su variacin respectivamente, y definiendo la matrizde ai para cadahueco i, mediante pj=aip, donde pj es la variable que representa el valor i en el hueco i.Utilizando la matriz aede incidencia cinemtica del elemento y las matrices ya definidas, se transforma (63) en( ) ( ) + )'11]1

1]1

CiiTeeeTeAia a a a 2 dydz 2 dydzTDTeTTDTp) ( N p) ( p B B p) ( (64)Siendo la variacion p arbitraria, la igualdad (64) resulta( ) ( ) + )'11]1

1]1

CiiTeeeTeAia a a a 2 dydz 2 dydzDTeTDN p B B(65)Continuando con la notacin tradicional :16ke=dydz B BTD(66)Matriz de rigidez del elementofe =DTN dydz 2 (67); CiiAia 2 (68)Matriz de fuerzas nodales equivalentes del elemento; y aporte de los huecos al lado derecho del sistema de ecuaciones.Debido a la complejidad de las integrales, estas son resueltas numricamente usando cuadratura de Gauss, con dos puntos de integracin en cada direccin. Ejemplos de aplicacin n 1 Seccin transversal rectangular llenaa=6cm; b=3 cm.E=21000 KN/cm2. =0.3T=250000 KNxcm.Solucin analtica conocida, dada por1111]1

,_

1,3,5,... n5 53tn2antanhb 192a13(2b) (2a)I17zyb baay=0z=b( )

,_

1111]1

,_

,_

,_

1111]1

,_

,_

2ansen2ancosh2ancosh1n1a 16G6y2ancos2ancosh2ansenhn1) (a 16G6z1,3,5,... n21)/2 (n2xz1,3,5,... n21)/2 (n2xy

Considerando 6 trminos en la serie, para la evaluacin de la inercia a torsin, resultaIt= 592.7685 cm4.Considerando 11 trminos en las series, para la evaluacin de las tensiones tangenciales, en las coordenadas y=0,z=b; se obtienen: xz=0. xy=2357.729 KN/cm2.Solution por elementos finites1.1 La primera aproximacin corresponde a una discretizacin de 12 elementos.18yzIt=509.5945 cm4.xz=0.xy=1876.532 KN/cm2.1.2 La segunda aproximacin corresponde a una discretizacin de 48 elementos.It=571.2579 cm4.xz=0.xy=2033.539 KN/cm2.19yz 1.2 La tercera aproximacin corresponde a una discretizacin de 192 elementos.It=587.3163 cm4.xz=0.xy=2169.741 KN/cm2.20yz1.2 La cuarta aproximacin corresponde a una discretizacin de 432 elementos.It=590.3257 cm4.xz=0.xy=2225.291 KN/cm2.Las siguientes tablas muestran los resultados de Inercia a torsin, tensiones y los errores relativos porcentuales, respecto a los valores exactos.n. disc. Inercia Torsinerror relativo%1a. 509.5945 14,032a. 571.2579 3,6321yz3a. 587.3163 0,924a. 590.3257 0,41n. disc.xyerror relativo%1a. 1876.532 20,412a. 2033.539 13,753a. 2169.741 7,974a.2.225.291 5,62Ejemplos de aplicacin n 2 Seccin transversal rectangular con un huecoSe considera como valor de inercia a torsin exacto, el obtenido mediante el programa de calculo estructural Robot Millenium.It= 584.861 cm4.22Solucinpor elementos finitos 2.1. La primera aproximacin corresponde a una discretizacin de 11 elementos.It=507.8291 cm4.23yz2.2.La segunda aproximacin corresponde a una discretizacin de 44 elementos.It=562.4056 cm4.24yz2.3.La tercera aproximacin corresponde a una discretizacin de 176 elementos.It=577.4084 cm4.La siguiente tabla muestra los resultados de Inercia a torsin y los errores relativos porcentuales, respecto alvalor exacto.n. disc. Inercia Torsinerror relativo%1a. 507,8291 13,170975672a. 562,4056 3,8394421923a. 577,4084 1,27425148925yzConclusionesA travs de los resultados numricos obtenidos en los ejemplos de prueba, se confirma que el tratamiento analtico y numrico dado al problema de la seccin mltiplemente conexa, es correcto.Por otra parte, el programa utilizado puede mejorar sustancialmente, si se incorpora un elemento finito mas avanzado.Finalmente, queda planteado el reto de ampliar los aspectos tericos y numricos, presentados en este trabajo, con la finalidad de avanzar hacia la solucin del problema de torsin no-uniforme. BibliografaK. Washizu, Variational Methods in Elasticity and Plasticity, 3rd Edn. Pergamon Press, New York,(1982).1. S. P. Timoshenko and J. N. Goodier, Theory of Elasticity, 3rd Edn. McGraw-Hill,New York(1987).2. J. F. Ely and O. C. Zienkiewicz, Torsion of compound bars-a relaxation solution, Int. J. Mech. Sci. 1, 356-365, (1960).3. A. K. Noor and C. M. Andersen, Mixed isoparametric elements for Saint Venant torsion , Comput. Meth. Appl. Mech. Engng. 6, 195-218 (1975).4. O. C. Zienkiewicz, R. L. Taylor, The Finite Element Method,Vol I,II, 3rd Edn. McGraw-Hill (1991). 5. L. O. Berrocal , Elasticidad, 3rd Edn. McGraw-Hill (1998).6. R. T. Chandrupatla, A. D. Belegundu, Introduccin al Estudio del Elemento Finito en Ingenieria, 2rd Edn. Prentice-Hall (1999).7. E. Gianella, Anlisis de Torsin por el Mtodo de los Elementos Finitos, Reporte IIT (2003).8. D. V. Schwenk, Anlisis general de Torsin en Barras, Trabajo Final de Grado, UPSA, (1994).26