analisis de sistemas electronicos

8/14/2019 Analisis de Sistemas Electronicos

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ANÁLISIS

DE SISTEMAS ELECTRÓNICOS

REALIMENTADOS

DESVANECIMIENTO

J.M. Milá de la Roca P.

EDITORIAL MIL CARACAS

2006



II

Esta obra se encuentra revisión; cualquier observación que UD tengase le agradece comunicarla al autor.

[email protected]



V

PREFACIO

Motivado por las inquietudes de los estudiantes de la Escuelade Ingeniería Eléctrica de la Universidad Central de Venezuela

me propuse exponer en este pequeño trabajo el resultado de mi

dedicación personal en electrónica básica; específicamente, se-

gún mi opinión, sobre uno de los temas fundamentales y de im-

portancia capital que se abordan en los estudios de electrónica:

la realimentación. Hablando en forma restringida con relación

a la electrónica, la realimentación es una necesidad en todos los

equipos electrónicos, sin ella no es posible el funcionamiento

adecuado de los innumerables equipos electrónicos que rodeanal ser humano en la actualidad. De aquí su importancia; de

hecho, todos los textos de electrónica básica la tratan y propo-

nen una metodología para el análisis de los circuitos que la po-

seen. En este trabajo se plantea un nuevo procedimiento para el

análisis de las estructuras realimentadas que se denominó des-

vanecimiento.

En primer lugar se introduce el concepto de la realimentación

como un hecho físico y se estudian las influencias que sobre lascaracterísticas y propiedades de los sistemas ejerce; luego se

expone un procedimiento cerrado de solución analítica para el

análisis de estructuras electrónicas realimentadas. El procedi-miento descrito es general; o sea, no se requiere de la clasifica-

ción previa de la estructura bajo observación. Tal proceder es

único, siempre el mismo, independiente de la topología de la

estructura. Posteriormente, se interpretan las expresiones, que

son obtenidas con la metodología planteada, para relacionarlas

con las características y propiedades que se obtienen al reali-mentar un sistema electrónico. Por último, se elabora un con-

junto de ejercicios, totalmente resueltos, con el fin de orientar al

estudiante sobre la metodología y procedimientos definidos.

El autor espera que los esfuerzos realizados por los lectores al

emprender la lectura de las presentes páginas les sea una tarea



VI

agradable y, lo más importante, sus aspiraciones sobre el tema

satisfechas. Así mismo les da las gracias por invertir su invalo-

rable tiempo en la lectura de las mismas.

La dedico a los estudiantes de la Escuela de Ingeniería Eléctrica

de la Universidad Central de Venezuela, cuyo entusiasmo y cu-

riosidad me han inspirado, y cuyas preguntas y sugerencias me

han enseñado.

J.M. Milá de la Roca.



VII

CONTENIDO

1 INTRODUCCIÓN................................................................. 1

2 ESTRUCTURA GENERAL DE LOS CIRCUITOSREALIMENTADOS ............................................................. 3

2.1 CONSIDERACIONES GENERALES.........................................3

2.2 COMPORTAMIENTO DE LOS SISTEMASREALIMENTADOS....................................................................6

3 PROPIEDADES DE LA REALIMENTACIÓN .................. 19

3.1 EFECTO SOBRE LA GANANCIA ...........................................19

3.2 INFLUENCIA DE LA REALIMENTACIÓN EN LARELACIÓN SEÑAL RUIDO DE UN AMPLIFICADOR .............21

3.3 INFLUENCIA SOBRE EL ANCHO DE BANDA .......................23

3.4 EFECTO SOBRE LA LINEALIDAD .........................................27

3.5 DISTORSIÓN EN ESTRUCTURASREALIMENTADAS. .................................................................33



VIII

4 ANÁLISIS DE SISTEMAS REALIMENTADOS ............. 37

4.1 ANÁLISIS DE SISTEMAS REALIMENTADOS. AMPLIFICADORES ........................................................... 37

4.2 ANÁLISIS DE SISTEMAS REALIMENTADOS.

ESTRUCTURAS DIFERENCIALES ..................................414.3 ANÁLISIS DE SISTEMAS MÚLTIPLEMENTE

REALIMENTADOS ............................................................44

4.4 ANÁLISIS DE LA CONDICIÓN DE LINEALIDADPARA LOS SISTEMAS REALIMENTADOS ......................65

4.5 CONSIDERACIONES SOBRE LA RESPUESTA DEFRECUENCIA DE ESTRUCTURASREALIMENTADAS ............................................................68

4.6 ESTRUCTURAS LINEALES A TROZOS .......................... 70

5 IMPEDANCIA ENTRE DOS PUNTOS DE UNSISTEMA REALIMENTADO........................................... 75

5.1 IMPEDANCIA ENTRE DOS PUNTOS ARBITRARIOS DE UN AMPLIFICADORREALIMENTADO ..............................................................75

5.2 IMPEDANCIA ENTRE DOS PUNTOS ARBITRARIOS DE UN SISTEMAREALIMENTADO. AMPLIFICADOR DIFERENCIAL ........78

5.3 IMPEDANCIA ENTRE DOS PUNTOS ARBITRARIOS DE UN SISTEMAMÚLTIPLEMENTE REALIMENTADO................................ 80

5.4 MODIFICACIÓN DE LA IMPEDANCIA ENTRE DOSPUNTOS DE UNA ESTRUCTURA.................................... 84

6 OSCILADORES LINEALES ........................................... 89

6.1 OSCILADORES. ESTRUCTURA GENERAL ................... 90

6.2 DETERMINACIÓN DE LAS CONDICIONES DEOSCILACIÓN.....................................................................92

6.3 OSCILADORES POLIFÁSICOS........................................ 95

6.4 ESTABILIDAD EN FRECUENCIA .................................... 96

6.5 ESTABILIDAD EN AMPLITUD Y DISTORSIÓN ............... 99



IX

7 ESTRUCTURAS REALIMENTADAS QUEPRESENTAN HISTÉRESIS ............................................ 103

7.1 CONSIDERACIONES GENERALES..................................... 103

7.2 COMPARADORES. ESTRUCTURA GENERAL .................. 105

7.3 REALIMENTACIÓN AGREGADA A ESTRUCTURASCON HISTÉRESIS ................................................................110

8 EJEMPLOS. DISPOSITIVOS ACTIVOSDISCRETOS.................................................................... 127

8.1 AMPLIFICADOR DE DOS ETAPAS......................................127

8.2 AMPLIFICADOR DE ACOPLAMIENTO DIRECTO ...............136

8.3 AMPLIFICADOR DE UNA ETAPA. BJT ............................... 138

8.4 AMPLIFICADOR DE UNA ETAPA. FET............................... 140

8.5 AMPLIFICADOR DIFERENCIAL. BJT.................................. 141

8.6 AMPLIFICADOR COMPUESTO. FET BJT............................ 143

8.7 AMPLIFICADOR DIFERENCIAL. FET ................................. 147

8.8 RESPUESTA DE FRECUENCIA...........................................149

8.9 COMPARADOR DE LAZO CERRADO ................................. 152

8.10 AMPLIFICADOR DE TRES ETAPAS (EC, BC, EC)DOBLEMENTE REALIMENTADO.........................................154

8.11 AMPLIFICADOR DE TRES ETAPAS (EC, EC, EC)

DOBLEMENTE REALIMENTADO.........................................157 8.12 AMPLIFICADOR DE DOS ETAPAS ACOPLAMIENTO

DIRECTO. ESTABILIDAD DE LA TENSIÓN DESALIDA ..............................................................................162

8.13 FUENTE DE TENSIÓN CONTROLADA PORCORRIENTE .........................................................................164

8.14 AMPLIFICADOR DE TRES ETAPAS (EC, EC, EC)RESPUESTA DE FRECUENCIA...........................................166

8.15 AMPLIFICADOR COMPUESTO. FET BJT.RESPUESTA DE FRECUENCIA...........................................169

8.16 AMPLIFICADOR DE TRES ETAPAS (EC, EC, EC)REALIMENTADO POR RESISTENCIA COMÚN ..................174

8.17 AMPLIFICADOR DE POTENCIA REALIMENTADO .............177

8.18 AMPLIFICADOR COMPUESTO. TRANSISTORESCOMPLEMENTARIOS..........................................................182

8.19 MODIFICACIÓN DEL NIVEL DE IMPEDANCIA.................... 189



X

9 EJEMPLOS. AMPLIFICADORESOPERACIONALES ........................................................199

9.1 AMPLIFICADOR OPERACIONAL REAL.........................199

9.2 FUENTE DE CORRIENTE .............................................. 204

9.3 LIMITADOR REALIMENTADO........................................ 206

9.4 RECTIFICADOR DE MEDIA ONDA ................................ 212

9.5 RECTIFICADOR DE ONDA COMPLETADESPLAZADO................................................................. 215

9.6 ESTRUCTURA LINEAL A TROZOS................................ 218

9.7 ESTRUCTURA LINEAL A TROZOS INVERSORA.......... 221

9.8 GENERADOR DE DIENTES DE SIERRA.......................226

9.9 GENERADOR DE DIENTES DE SIERRA II .................... 228

9.10 AMPLIFICADOR COMPUESTO...................................... 231 9.11 FILTRO DE 2º ORDEN. MÚLTIPLES

REALIMENTACIONES.................................................... 235

9.12 AMPLIFICADOR MULTIETAPAS....................................239

9.13 AMPLIFICADOR MULTIETAPAS II ................................. 241

9.14 AMPLIFICADORES COMPUESTOS.MULTIETAPAS................................................................244

9.15 AMPLIFICADORES COMPUESTOS II.MULTIETAPAS................................................................246

9.16 OSCILADOR TRIFÁSICO................................................ 250 9.17 OSCILADOR PUENTE WIEN.......................................... 253

9.18 OSCILADOR SINTONIZADO DE BAJAFRECUENCIA ................................................................. 256

9.19 COMPARADOR DE LAZO CERRADO.OPERACIONAL............................................................... 261

9.20 FORMAS DE ONDAS DE SALIDA .................................. 264

9.21 GENERADOR DE ONDA CUADRADA ........................... 269

9.22 GENERADOR DE FUNCIONES. FORMAS DE

ONDAS TRIANGULARES Y CUADRADAS .................... 274 9.23 GENERADOR DE ONDAS. CICLO DE TRABAJO

VARIABLE ....................................................................... 277

9.24 GENERADOR DE PULSO............................................... 281

9.25 GENERADOR DE PULSO II............................................ 286



XII



1

1 INTRODUCCIÓN

La realimentación es un concepto físico y no una definición ma-temática; tal vez, esta es la razón por la cual este tema presenta cier-tas singularidades para su estudio. El concepto físico consiste en to-mar información de un punto de un sistema cualquiera e introducir esta

información en otro punto anterior, con relación al discurrir del proce-so; lográndose de esta manera que forme parte de la información queprocesa el sistema e intervenir en la salida. El hecho de tomar infor-mación de un punto e introducirla en otro punto, requiere que la ener-gía disponible en el punto de origen de la información sea mayor queen el punto de destino. Por lo tanto, los sistemas susceptibles de serrealimentados deben poseer un mecanismo que incremente la energíade la información a medida que fluye por el sistema; de otra forma larealimentación no puede realizarse. El objetivo fundamental de la re-

alimentación es modificar la salida del sistema y en lo posible hacerlaindependiente de algunos parámetros del propio sistema. De está for-ma, lograr controlar al sistema con más facilidad; o sea, el valor de lasalida dependerá de la entrada y de un menor número de parámetrosdel propio sistema.



2

Las estructuras electrónicas poseen el requisito indispensablepara establecer un flujo de información en sentido contrario al quenormalmente fluye por ellas; o sea, en su seno encontramos elemen-tos activos que son los responsables del incremento de energía de lainformación. Específicamente, estos elementos son las fuentes con-troladas que poseen los modelos de los dispositivos activos.

En los sistemas electrónicos la realimentación permite que ca-racterísticas como por ejemplo la ganancia de tensión de un amplifica-dor sea prácticamente independiente a las variaciones que presentanlos parámetros de los dispositivos activos que lo constituyen. En lapráctica, la realimentación juega un papel de tal importancia que todoslos sistemas reales la poseen; y de hecho, se puede decir que su fun-cionamiento dejaría mucho que desear si no estuviera controlado porla realimentación. En general se requieren de tantos lazos, caminos

de reinyección de la señal, como características se desean controlar.

En estas páginas se estudiará la realimentación que se le añadea una estructura que posee uno o varios amplificadores electrónicospara controlar sus características. Analizaremos conceptos generales,aplicables a todos los circuitos realimentados. Se planteará un proce-dimiento general para el estudio de los circuitos realimentados; tal mé-todo no requiere de la clasificación previa de la estructura para mode-larla y proceder de una cierta forma que dependa del modelo obtenido

para la estructura; el procedimiento propuesto es siempre el mismo,aplicable independientemente de la topología del sistema realimentadoque se analiza. Adicionalmente se contemplan un conjunto de ejem-plos resueltos para ilustrar los procedimientos y definiciones que plan-tea el método general propuesto para el análisis de sistemas realimen-tados.



3

2 ESTRUCTURA GENERAL DE

LOS CIRCUITOS REALIMEN-TADOS

En este capítulo se plantea la configuración mínima que permi-te que una estructura sea realimentada. Adicionalmente se determi-nan los modelos para estudiar el comportamiento de los sistemas re-alimentados.

2.1 CONSIDERACIONES GENERALES

En nuestro caso un amplificador básico representa la parte delsistema al cual se le añadirá realimentación para controlar su caracte-rística entrada salida. El amplificador básico, o sin realimentar, sepuede representar por medio de un diagrama de bloques, como el dela figura 2.1.1. Una señal de entrada e X es aplicada a la entrada delamplificador , que procesa la entrada y suministra la señal de salida

o X ; ambas señales, e X y

o X pueden representarcorrientes o tensiones. Porsimplicidad asumiremosque las señales poseen lamisma dimensión.

A AMPLIFICADOR

X e X o

FIGURA 2.1.1 AMPLIFICADOR BÁSICO.



4

Para añadir reali-mentación al amplifica-dor básico se debe to-mar parte de la informa-ción de la salida y su-marla con la señal pro-

cedente del exterior yformar así la señal deentrada al amplificador.Este proceso se realiza entre la entrada y la salida del amplificador,dado que estamos suponiendo que éstos son los únicos puntos ase-quibles del circuito. En general, cuando se disponen de otros puntoséstos se pueden emplear para realizar la realimentación.

En el diagrama de bloques de la figura 2.1.2, donde se represen-

ta la estructura mínima que debe poseer el sistema realimentado, sepuede identificar los tres bloques fundamentales que lo forman:

a.- El amplificador básico; amplifica la señal aplicada a su entrada,incrementando la energía de la información.

b.- El bloque β ; permite la transferencia de información de la salidadel amplificador a una de las entradas del sumador.

c.- Sumador; a su salida se encuentra la información de entrada alamplificador básico, constituida como la suma de la entrada al sis-

tema realimentado y la salida del bloque β .Notar que la ausencia de cualquiera de los tres bloques mencio-

nados implica que la estructura no se encuentra realimentada.

La salida del amplificador o X sigue siendo igual a la entrada delpropio amplificador multiplicada por su ganancia, o sea:

X X Ao e= ⋅ ..........(2.1.1)

pero en este caso la señal e X es la señal directamente aplicada a laentrada del amplificador y no es la de entrada al sistema realimentado.

La señal de salida o X alimenta tanto a la carga como al bloque

β , mediante el cual se canaliza la información proveniente de la salidapara reinyectar, por medio del sumador, una fracción de la misma a la

e o

β

iΣ

+

+

A

AMPLIFICADOR

FIGURA 2.1.2 SISTEMA REALIMENTADO.



5

entrada del amplificador. La muestra que se reinyecta f X se relacio-

na con la salida mediante:

X X f o= ⋅ β ......... (2.1.2)

La señal de entrada al amplificador básico e X es la salida del blo-

que sumador, como se puede ver en la figura 2.1.2. Específicamente:

X X X e i f = + ......... (2.1.3)

Por lo tanto, al sustituir el valor de f X dado por (2.1.2) se tiene:

β ⋅+= oie X X X ......... (2.1.4)

relación que permite observar la modificación que sufre la señal de

entrada del amplificador básico.Sustituyendo la relación (2.1.4) en la expresión de la salida del

amplificador dada por (2.1.1) se tiene:

A ) X X ( X oio β ⋅+= ......... (2.1.5)

En la ecuación anterior se puede notar que la salida del sistemadepende de ella misma. Propiedad inherente a la trayectoria de reali-mentación; que reinyecta información de la salida a la entrada. La

ecuación (2.1.5) se puede reagrupar: A X ) A1( X io ⋅=⋅− β ......... (2.1.6)

de donde despejando la ganancia del sistema realimentado se tiene:

A1

A

X

X

i

o

⋅−=

β ......... (2.1.7)

A la relación io X / X se le llama ganancia del sistema realimenta-do o ganancia de lazo cerrado; generalmente, en la literatura se denotapor b f A , como lo hizo el ingeniero Harold Black en 1928, cuando traba-

jando para la compañía Wester Electric inventó el amplificador realimen-tado. El producto β ⋅ A recibe el nombre de ganancia de lazo; denomi-nación que se deriva del hecho que la información recorre una trayecto-



7

mo se puede constatar de lagráfica al obtener el valor de laganancia de lazo cerradocuando el producto β ⋅ A esnulo. En los casos que la ga-nancia del amplificador básico

fuera negativa, simplemente elcambio ocurre en sentido con-trario, de menos a más infinito.

Para el estudio del com-portamiento de la ganancia delazo cerrado de una estructurareal describiremos una situa-ción física. Sea una estructura

realimentada, tal que el produc-to β ⋅ A sea negativo, y tiene aplicada una tensión de entrada constan-te. En tal estructura asumimos que el amplificador básico se encuentraformado por elementos reales activos, no es un ente hipotético, poseetodas las limitaciones físicas de un amplificador real. Las restriccionesmás importantes del amplificador para la presente situación la consti-tuyen: en primer término, la disponibilidad de energía finita; y en se-gundo lugar, que su característica de ganancia en función de la señalde entrada pasa de un valor muy pequeño a un valor máximo y luego

disminuye, sin cambiar de signo; todos estos cambios en la magnitudde la ganancia ocurren en forma continua, para una señal de entradavariable entre un mínimo y un máximo. Un gráfico de la característicade transferencia del amplificador se encuentra en la figura 2.2.2; laganancia del amplificadorbásico, que se obtiene comola derivada de la tensión desalida con respecto a la deentrada, para la característicade la figura 2.2.2 no cambiade signo y es positiva comose observa en el gráfico 2.2.3.

Introduzcamos unaalteración en la estructura

FIGURA 2.2.2 CARACTERÍSTICA TRANS-FERENCIA. AMPLIFICADORBÁSICO.

FIGURA 2.2.3 GANANCIA DEL AMPLIFICA-DOR BÁSICO.



8

realimentada que emplea como elemento activo el amplificador con laslimitaciones indicadas; el cambio consiste en aumentar progresiva-mente el valor del producto β ⋅ A , aumentando el valor de β , de talforma que durante el cambio realizado se pretenda cruzar la asíntotavertical. En estas condiciones, la tensión de salida tiende en formacontinua a un valor muy grande, de hecho tiende a infinito cuando el

valor del producto es unitario; posteriormente, la tensión de salida enforma abrupta presentaría un cambio infinito o discontinuidad en suvalor. Tal cambio infinito requeriría de energía infinita por parte delsistema; dado que ningún sistema físico puede suministrar energíainfinita, la discontinuidad en la tensión de salida del sistema realimen-tado no toma lugar; la tensión se mantiene en el nivel más alto quepueda suministrar el amplificador. Tal comportamiento no se encuen-tra descrito completamente por la relación (2.2.1); la relación no des-cribe el hecho físico que la salida del amplificador se mantiene en elnivel más alto. Por lo tanto, la justificación del comportamiento de laestructura realimentada para todos los valores del producto β ⋅ A sedebe realizar estudiando su salida en ambos lados de la asíntota verti-cal. Esto es equivalente a plantear dos modelos diferentes; cada uno deellos válido en uno de los semiplanos limitados por la asíntota vertical.

En el semiplano de la izquierda; o sea, para aquellos valoresde β ⋅ A menores que 1, la tensión de salida presenta un comporta-miento continuo y además incluirá el comportamiento del sistemapara el valor particular de β = 0 ; por lo tanto, el modelo es lineal porser lineal el amplificador básico. El modelo de la estructura realimen-tada será simplemente la expresión de la ganancia de lazo cerradorestringida en un intervalo de validez:

1 A

A1

A

X

X

i

o

≤⋅

⋅−=

β

β ..........(2.2.2)

El proceder del sistema realimentado para el otro semiplano, osea su modelo, se puede interpretar tomando como base el compor-tamiento de su tensión de salida. Cuando el producto β ⋅ A toma valo-res mayores que la unidad, la tensión de salida se puede describircomo una serie de infinitos términos. La tensión de salida es equiva-lente a la suma de la serie de valores que toma la salida, cuando a la



9

entrada de la estructura aplicamos un incremento de tensión, y susefectos se propagan por el sistema en forma secuencial. O sea, enprimer lugar se provoca un cambio a la entrada del sistema; el cual sepropaga a la entrada del amplificador, reflejándose posteriormente asu salida; por lo tanto, como el cambio provocado a la entrada del sis-tema está presente, la entrada al amplificador estará formada por dos

contribuciones: una proporcional a la salida del propio amplificador y laotra contribución es la entrada aplicada al sistema; continuando el pro-ceso de esta forma hasta obtener el enésimo término de la serie. Dela relación (2.1.4) se tiene que la entrada al amplificador básico es:

eie X A X X ⋅+= β ......... (2.2.3)

Los términos de la serie se obtienen introduciendo el efecto se-cuencial en los cambios aplicados al amplificador básico y calculando lasalida:

∆ ∆ ∆ X n X n A X ne i e( ) ( ) ( )= + ⋅ − β 1 ......... (2.2.4)

donde:∆ X ne( ) : Entrada al amplificador correspondiente al término n

de la serie.

∆ X ne( )− 1 : Entrada al amplificador correspondiente al término

n − 1 de la serie.

∆ X ni ( ) : Entrada al sistema correspondiente al término n de

la serie.Por lo tanto, considerando que el cambio aplicado a la entrada

es constante; o sea, el mismo para todos los n términos, se tiene quelos términos de la serie serán:

∆ ∆ X X e i( )1 =

∆ ∆ ∆ X X X Ae i i( )2 = + ⋅ β

∆ ∆ ∆ ∆ ∆ X X X X A A X A Ae i i i i( ) ( ) ( )3 1 2 2= + + ⋅ ⋅ = + ⋅ + ⋅ β β β β

siendo el término enésimo de la serie de la forma:

∆ ∆ X n X A A Ae in n( ) ( )= + ⋅ + ⋅ + + ⋅− −1 2 2 1 1 β β β L ......... (2.2.5)

La tensión de salida del sistema realimentado, que es la propiasalida del amplificador, se obtiene multiplicado la relación (2.2.5) por laganancia del amplificador:



11

que satisface la relación (2.1.7); o sea:

X X A

Ai o min=

− ⋅1 β ....... (2.2.11)

Por lo tanto, al aumentar la entrada al amplificador como conse-cuencia del incremento en el valor de la entrada al sistema, también lo

hace la ganancia del amplificador, ver el gráfico 2.2.3; cuando se satis-face la condición de conmutación, β ⋅ > A 1 , de la relación (2.2.11), con

X o min < 0 se obtiene que el signo de la señal de entrada al sistema es

positivo. O sea, la entrada al sistema realimentado es mayor que cerocuando su salida presenta la discontinuidad o conmutación.

0 X

1 A y

dotanaumeni X connconmutacio

i >

>⋅ β

....... (2.2.12)

Algo similar ocurre cuando la señal de entrada al sistema reali-mentado cambia disminuyendo desde un valor muy grande. La entradapara la cual ocurre la conmutación en este caso resulta negativa. O sea:

0 X

1 A y

uyendomindisi X connconmutacio

i <

>⋅ β

....... (2.2.13)

Por lo establecido en estos puntos se puede decir que el modelo

para representar la estructura realimentada, cuando el producto β ⋅ A es mayor que la unidad, posee una característica salida entrada condos discontinuidades; cada una de ellas ocurre cuando los cambios dela variable de entrada poseen un sentido y valor dado. En consecuen-cia el modelo presenta histéresis en la característica que describe larelación entre la salida y la entrada; por lo tanto el sistema no se com-porta como un amplificador en esta región, es un sistema no lineal,cuya característica salida entrada es similar al gráfico de la figura2.2.4. Se debe resaltar que la trayectoria presenta dos discontinuida-des y que su recorrido posee un sentido específico que depende delsigno de la ganancia del amplificador básico. El sentido del recorridode la trayectoria para un amplificador cuya ganancia sea positiva, co-mo la del presente planteamiento, se encuentra en la figura 2.2.4. Elvalor de la entrada al sistema dado por la relación (2.2.12), cuando lavariable independiente crece y ocurre la conmutación en la salida, se



12

denomina encendido;el otro valor, el dadopor (2.2.13) se conocecomo apagado; comose especifican en lasrelaciones (2.2.14) y

(2.2.15) respectiva-mente; el recorrido dela trayectoria se cono-ce con el nombre deciclo de histéresis. Enla figura 2.2.5 se re-produce la caracterís-tica de salida que pre-senta el sistema reali-

mentado cuando el signo de la ganancia del amplificador básico esnegativo; notar que el sentido en el cual se recorre ciclo de histéresises contrario al caso anterior.

X X i aumentando y A

i encendido β ⋅ >

= >1

0 ........(2.2.14)

X X i disminuyendo y A

i apagado β ⋅ >

= <1

0 ........(2.2.15)

Un modelo lineal a trozos del comportamiento de los sistemasrealimentados, cuando el producto β ⋅ > A 1 , se puede obtener em-pleando la información que sobre el proceder de su salida se encuen-tra resumido en las figuras 2.2.4 y 2.2.5. Tal modelo permitirá estudiarsistemas más complejos, en los cuales estos sistemas realimentadosse encuentren contenidos.

Específicamente se planteará el modelo para el caso cuyo com-

portamiento se encuentra en el gráfico de la figura 2.2.4; o sea, para laganancia del amplificador básico positiva, A > 0 . Del gráfico se puedeapreciar que el sistema posee tres comportamientos diferentes; de-pendiendo de los valores que tome la señal de entrada, i X .

a.- Para valores de X i menores que el nivel de apagado, ver (2.2.15),la salida de la estructura realimentada es una fuente equivalente

o

i

i de encendidoi de apagado

o de saturación +

o de saturación -

FIGURA 2.2.4 CARACTERÍSTICA SALIDA-ENTRADA

DEL SISTEMA REALIMENTADO PARA

> 0 Y β ⋅ > A 1 .



14

tuación se encuentran en las relaciones (2.2.18) y (2.2.19).

X X X

X X

X X

i inicial i apagado i

o o saturacion

o o saturacion

X i X i encendido

X i X i encendido

< >

=

=

−

+

<

≥

y ∆ 0

........(2.2.18)

X X X

X X

X X

i inicial i encendido i

o o saturacion

o o saturacion

X i X i apagado

X i X i apagado

> <

=

=

+

−

>

≤

y ∆ 0

........(2.2.19)

Nótese que basándose en todo lo expuesto anteriormente seconcluye que en un amplificador real el producto β ⋅ A nunca pasa a

ser mayor que la unidad, puesto que la saturación del amplificador selo impide; y además, durante el tránsito entre los valores de saturaciónel amplificador responde a la expresión dada por la relación (2.1.1);pero en este caso la relación es no lineal por ser la ganancia funciónde la tensión de entrada:

X X A X o e e= ⋅ ( ) ........(2.2.20)

Por todas las consideraciones anteriores; cuando en una estruc-

tura realimentada se emplea como elemento activo un dispositivo conlas limitaciones físicas inherentes a los amplificadores reales, el com-portamiento de la ganancia en lazo cerrado no se puede describir conun modelo válido para todo el plano. La asíntota vertical impone unafrontera de validez para un modelo lineal, el dado por la relación(2.2.2) y válido en el semiplano de la izquierda; en el otro semiplano lasalida no es proporcional a la entrada, de hecho es un nivel constante,impuesto por las limitaciones físicas del amplificador, cuyo valor de-pende tanto del valor pasado como el actual de la señal de entrada; es

una región de operación no lineal de la estructura realimentada. Elcomportamiento de la estructura para todo el plano se esquematiza enla figura 2.2.6; a la izquierda de la asíntota se representa la gananciarealimentada de la estructura y a la derecha se simboliza por medio deun esquema el comportamiento no lineal que posee la estructura.



15

Las aplicacioneslineales del sistema re-alimentado se restringi-rán al semiplano dondeel producto β ⋅ A sea

menor que la unidad;

como se indica en elgráfico de la figura 2.2.6.En la zona de operaciónlineal del sistema reali-mentado; a su vez, sedistinguen claramentedos regiones. Una deellas, donde el módulode la ganancia del sis-tema realimentado esmenor que el módulo dela ganancia del propio amplificador empleado, se dice que la realimen-tación introducida al amplificador es negativa dado que disminuye elmódulo de la ganancia del sistema realimentado con relación a la queposee el amplificador básico. La realimentación que ubica al sistemaen la otra región de operación lineal, donde el módulo de la gananciarealimentada es mayor que la del propio amplificador básico, se de-

nomina realimentación positiva, aumenta el módulo de la ganancia delsistema; estas zonas se encuentran claramente identificadas en el grá-

fico de la figura 2.2.6 con los signos y .

Cuando la realimentación del sistema es negativa, por medio dela relación (2.1.4) podemos ver que la entrada al amplificador básicoes menor que la entrada aplicada al sistema. De (2.1.4) se tiene:

ieeioie X ) A1( X ) A( X X X X X =⋅+⇒⋅−+=⋅+= β β β

0 A

ie

A1 X X

>⋅⋅+

=

β β ....... (2.2.21)

expresión que evidentemente corrobora que el valor de la entrada alpropio amplificador básico es menor al que posee la entrada del sis-tema; la señal realimentada se resta de la señal de entrada al sistema

fb

β A

LINEAL O LINEAL

1 0

FIGURA 2.2.6 GANANCIA DE LAZO CE-

RRADO EN FUNCIÓN DE LA

GANANCIA DE LAZO. A > 0



16

para formar la propia entrada al amplificador, por tal razón esta condi-ción de operación se designa como realimentación negativa.

En aquellos casos que la realimentación sea positiva ocurre todolo contrario. Como la ganancia de lazo es positiva, pero menor que launidad por estar el sistema operando linealmente, de la relación(2.1.4) se tiene:

ieeioie X ) A1( X A X X X X X =⋅−⇒⋅+=⋅+= β β β

1 A0

ie

A1

X X

<⋅<⋅−

=

β β

........(2.2.22)

La expresión (2.2.22) indica que la señal de entrada al amplifica-dor básico en este caso es mayor que la entrada al sistema.

En la figura 2.2.7 se encuentran representadas simultáneamentelas regiones de operación de una estructura que posea amplificadorescuya ganancia sea positiva o negativa. A la izquierda de la asíntotavertical, zona de operación lineal, se representa el valor de la gananciade la estructurarealimentada; nó-tese que las zonasde la región deoperación lineal

definidas comozonas de reali-mentación positivay negativa nocambian cuandose invierte el signode la ganancia delamplificador bási-co; se encuentran

definidas con rela-ción al producto β ⋅ A . A la derecha

de la asíntota, laregión no lineal,se encuentra un

fb

β A

LINEALO LINEAL

- A(A)

( - A)

FIGURA 2.2.7 GANANCIA DE LAZO CERRADO EN

FUNCIÓN DE LA GANANCIA DE LA-

ZO. Y COMPORTAMIENTO NO LI-

NEAL.



17

esquema representativo del ciclo de histéresis que posee la estructurarealimentada cuando el producto β ⋅ A es mayor que la unidad; en el

esquema se indica el sentido del recorrido del ciclo de histéresis, quedepende del signo de la ganancia del amplificador básico; sentidohorario cuando la ganancia es negativa y anti horario para positiva.

En electrónica lineal se usa tanto la realimentación negativa co-mo la positiva; cada una de ellas tiene aplicaciones específicas. Larealimentación negativa en general se emplea para modificar una omás de las características del sistema; como por ejemplo:

a.- Desensibiliza la ganancia del sistema; esto es, el valor de la ga-nancia es menos sensible al valor de los parámetros del circuitoque constituye el amplificador básico.

b.- Reduce el efecto del ruido o señales indeseables generadas en elpropio circuito.

c.- Extiende el ancho de banda del amplificador.

d.- Reduce la distorsión no lineal; o sea, la ganancia del sistema re-alimentado tiende a ser independiente del nivel de la señal.

La realimentación positiva es útil en aplicaciones como:

a.- Diseño de osciladores sinusoidales.

b.- Filtros activos.

c.- Permite controlar los niveles de impedancia entre dos puntos del

circuito realimentado; inclusive puede alterar su signo.Los sistemas realimentados que operan en la zona no lineal son

ampliamente utilizados; constituyen la base fundamental de práctica-mente toda la electrónica no lineal activa. Empleando tales estructu-ras se obtienen diversos bloques funcionales; entre los cuales se en-cuentran:

a.- Comparadores de lazo cerrado.

b.- Generadores de formas de ondas periódicas no sinusoidales.

c.- Circuitos con memoria; base fundamental de los sistemas digitalessecuénciales.



18



19

3 PROPIEDADES DE LA REALI-

MENTACIÓN

El efecto de la realimentación sobre las propiedades o caracte-rísticas del amplificador básico fueron mencionados en el punto ante-rior. En esta sección, para estructuras realimentadas que operan li-nealmente, se estudiarán los efectos que introduce en el sistema larealimentación empleada.

3.1 EFECTO SOBRE LA GANANCIA

Cuando en un sistema se emplea realimentación la gananciaqueda alterada como se indica en la ecuación (2.1.8):

A1

A A b f

⋅−=

β

En general, el amplificador básico empleado en el sistema estáconstruido por dispositivos reales; todos ellos, presentan característi-cas que poseen un valor medio y una incertidumbre o tolerancia. Estaparticularidad en las características de los componentes trae comoresultado que dos amplificadores construidos con elementos reales delmismo tipo posean diferente ganancia. Por medio de la relación que



20

expresa la ganancia realimentada se puede estudiar el cambio espe-rado en la ganancia del sistema realimentado cuando el amplificadorbásico posee una ganancia cuyo valor se encuentra acotado entre doslímites.

Supongamos que β es constante. O sea, es la misma para to-

dos los amplificadores, fue construida con elementos que se puedenconsiderar ideales. Calculando el diferencial total de la ganancia re-alimentada, dada por relación anterior se tiene:

2b f ) A1(

dAdA

⋅−=

β ..........(3.1.1)

Dividiendo la relación (3.1.1) por la relación (2.1.8) se obtiene:

A

dA

A1

1

A

dA

b f

b f

⋅−

=

β

..........(3.1.2)

relación que destaca el efecto de la realimentación ante la presenciade cambios en la ganancia del amplificador básico. Empleando laecuación (3.1.2) se puede observar que el cambio, expresado comofracción, de la ganancia del sistema realimentado es el cambio de laganancia del amplificador básico dividido por el factor 1 − ⋅ β A , o factorde realimentación. Por lo tanto, la realimentación en el sistema produ-ce un efecto diferente según el tipo de realimentación empleado:

a.- Realimentación negativa. En este caso, el producto β ⋅ A es nega-tivo y por lo tanto el cambio esperado en la ganancia realimentadaes menor al que posee el amplificador básico; tanto menor cuantomayor sea el factor de realimentación.

b.- Realimentación positiva. Con este tipo de realimentación ocurretodo lo contrario al caso anterior: cuanto más alto sea el valor dela realimentación positiva, mayor será el cambio esperado en laganancia del sistema realimentado.

Del análisis anterior se concluye que la realimentación negativadesensibiliza la ganancia del sistema para cambios en la ganancia delamplificador básico, independientemente del origen de los cambios enla ganancia.

Cuando la ganancia del amplificador básico es muy grande, en



21

presencia de realimentación negativa, el factor de realimentación esmuy grande y el cambio en la ganancia realimentada tiende a cero,como se puede obtener de la relación (3.1.1) cuando se evalúa ellímite para A → ∞ :

0 ) A1(

Ad Ad

A2b f

=⋅−

=∞→ β

......... (3.1.3)

y la ganancia del sistema realimentado, dada por la relación (2.1.8) será:

β β

1

A1

A A

A

b f =⋅+

=∞→

......... (3.1.4)

como se tiene que β es constante la ganancia del sistema no depen-de de las variaciones de ; nótese que, una vez considerado el límite,la expresión resultante de la ganancia del sistema realimentado esindependiente de la ganancia del amplificador básico; como se indicaen (3.1.4). En estas condiciones, el valor de la ganancia realimentadaes el inverso de β .

3.2 INFLUENCIA DE LA REALIMEN-

TACION EN LA RELACIÓN SEÑALRUIDO DE UN AMPLIFICADOR

En este aparte se estudiará el efecto de la realimentación en larelación señal ruido para un amplificador que cumpla ciertas condicio-nes; en estos casos, la re-alimentación puede em-plearse con el fin de dismi-nuir la relación señal ruido.

En la figura 3.2.1 seindica el esquema de unamplificador el cual posee

A1

X n o= X i⋅ A1 + X n⋅ A1

X iΣ

+

FIGURA 3.2.1 AMPLIFICADOR. MODELO

DEL RUIDO.



22

una señal de entradai X . El amplificador es

afectado por una señalextraña, de origen inter-no o externo, que deno-minamos ruido o señal

no deseada. Esta señalde ruido se propaga porel amplificador y formaparte de la salida; suefecto se puede modelar como una fuente de ruido equivalente aplica-da a la entrada del amplificador, y la denominamos n X .

La relación señal ruido a la salida del amplificador será:

n

i

1n

1i

no

io X X

A X A X

X

X

N S === ..........(3.2.1)

Nótese que cuanto mayor sea la relación (3.2.1) menor será lainfluencia del ruido a la salida.

Modifiquemos la estructura del amplificador de la figura 3.2.1para incluir realimentación. La alteración consiste en colocar en cas-cada un preamplificador A2 , condicionado a que no fuera afectado por

las causas que originan las señales de ruido en 1 A ; y realimentemospor medio del bloque β el circuito formado por la cascada 12 A A . Unesquema del circuito realimentado de esta forma se indica en la figura3.2.2; notar que la señal de entrada equivalente al ruido no se cambiade lugar.

Del circuito del sistema realimentado e indicado en la figura3.2.2, aplicando superposición se tiene que la salida será:

211n

2121io

A A1

A X

A A1

A A X X ⋅⋅−+⋅⋅−

⋅= β β ........(3.2.2)

De la expresión anterior se obtiene la relación S N / de la estruc-tura realimentada:

A1

X n

o X iΣ

+

+

A2Σ

β

+

+

FIGURA 3.2.2 SISTEMA REALIMENTADO. MODE-

LO DEL RUIDO.



23

n

i2

1n

21

21

21i

no

io

X

X A

A X

A A1

A A1

A A X

X

X

N

S =

⋅

⋅⋅−

⋅⋅−

⋅⋅==

β

β .........(3.2.3)

De (3.2.3) se puede concluir que la relación señal ruido de unsistema realimentado se altera en el factor 2 A . Se debe aclarar queesto es sólo posible si disponemos de un amplificador 2 A que no sea

influenciado por las condiciones que originan la señal de ruido en elamplificador 1 A .

Dado que los cambios en la relación señal ruido de la estructurarealimentada son proporcionales al valor de 2 A se debe estudiar suvalor. Admitiendo que el signo de la realimentación se controla cam-biando el signo del producto 1 A⋅ β , que la ganancia del amplificador 2 A es positiva y su magnitud es tal que mantiene constante la amplitud dela señal deseada a la salida de la estructura independientemente de la

magnitud y signo de la realimentación. Manteniendo el nivel de la com-ponente deseada a la salida, para realimentación negativa se tiene:

1 A2 > y la relación (3.2.3) aumentará; en los casos que se introduzcan

realimentación positiva 1 A2 < y la relación señal ruido disminuye.

3.3 INFLUENCIA SOBRE EL ANCHO

DE BANDA

Consideremos el esquema de un amplificador realimentado, co-mo el indicado en la figura3.3.1, en donde el amplifi-cador básico posee una

ganancia dependiente dela frecuencia; mientras quelos otros dos bloques, redde realimentación y suma-dor, son constantes. Ladependencia de frecuencia

X e X o

β

X i

Σ

+

+

A(s)

AMPLIFICADOR




24

del amplificador básico posee, a lo sumo, un cero en cero, un polosimple en baja frecuencia y un polo dominante en alta frecuencia; talesque el amplificador básico se puede catalogar como un amplificador debanda ancha que presenta puntos de potencia mitad, denominadasesquina de baja Bw , y esquina de alta frecuencia Aw ; que pueden serestudiadas por separado dada la aproximación de banda ancha. Nó-

tese que esta aproximación consiste en admitir que los elementos reser-vorios de energía del circuito que forman el amplificador básico no seencuentran relacionados entre si.

Empleando la aproximación de banda ancha para la respuestade frecuencia del amplificador; o sea, cuando se cumple: A B ww << , sepuede estudiar la influencia de la realimentación en la respuesta defrecuencia del sistema, considerando los efectos de baja y alta fre-cuencia por separado y luego superponerlos para obtener el compor-

tamiento completo.La dependencia en frecuencia del amplificador básico es:

A

A

B w s

w

w s

s Am ) s( A

++= ..........(3.3.1)

en donde: Am : Ganancia a frecuencias medias del amplificador.

Bw : Frecuencia de corte inferior.

Aw : Frecuencia de corte superior. Admitiendo que el amplificador del diagrama de bloques de la

figura 3.3.1 posee solamente limitaciones en baja frecuencia; la de-pendencia en frecuencia del amplificador será de la forma:

Bw s

s Am ) s( A

+= ..........(3.3.2)

por lo tanto, la ganancia del sistema realimentado se obtiene sustitu-

yendo (3.3.2) en la relación (2.1.7):

β

β β

⋅−+

⋅−=

+−

+=

Am1

w s

s

Am1

Am

w s

s Am1

w s

s Am

) s( A B

B

B f



25

f B f f

w s

s Am ) s( A

+= ......... (3.3.3)

De esta forma el sistema realimentado tendrá una ganancia ca-racterizada por:

β ⋅−= Am1

Am

Am f ......... (3.3.4)

β Am1

ww B

f B−

= ......... (3.3.5)

en donde:m : Ganancia a frecuencias medias del amplificador bási-

co.

1 − ⋅ Am β : Factor de realimentación.

f Am : Ganancia a frecuencias medias del sistema realimen-tado.

Bw : Frecuencia de corte inferior del amplificador básico.

f Bw : Frecuencia de corte inferior del sistema realimentado.

En forma similar se procederá para determinar un modelo de laganancia de la estructura realimentada en función de la frecuencia,válido para las regiones de media y alta frecuencia. En este caso,considerando que la ganancia del amplificador es:

A

A

w s

w Am ) s( A

+= ......... (3.3.6)

de la relación (2.1.7) se tiene:

A A

A

A

A

A

A

f

w Amw s

w Am

w s

w Am1

w s

w Am

) s( A⋅⋅−+

=

+−

+=

β β

) Am1( w s

) Am1( w

Am1

Am ) s( A

A

A f

β

β

β ⋅−+

⋅−

⋅−=



26

f A

f A f f

w s

w Am ) s( A

+

= ..........(3.3.7)

) Am1( ww A f A β ⋅−= ..........(3.3.8)

donde:

m A : Ganancia a frecuencias medias del amplificador bási-co.

β ⋅− Am1 : Factor de realimentación.

f m A : Ganancia a frecuencias medias del sistema realimen-

tado. Aw : Frecuencia de corte superior del amplificador básico.

f Aw : Frecuencia de corte superior del sistema realimentado.

La influencia de la realimentación en la respuesta de frecuenciadel sistema se puede apreciar en el gráfico de la figura 3.3.2, donde semuestra el diagrama de Bode en magnitud para el sistema realimentado.

Por medio del análisis de las relaciones (3.3.4), (3.3.5), (3.3.7) y(3.3.8) se encuentra que:

a.- Cuando la ganancia de lazo, evaluada a frecuencias medias, esnegativa el ancho de banda del sistema se extiende en ambos ex-tremos en la misma proporción que disminuye la respuesta a fre-cuencias medias. La frecuencia de corte inferior disminuye y au-menta la superior.

w A fb (- )

m fb(+)

m

m fb(-)

w B fb (- ) w B w B fb (+ ) w Aw A fb (+ )

1 > β A > 0

β A = 0

β A < 0

(dB)

(log)

FIGURA 3.3.2 RESPUESTA DE FRECUENCIA DEL SISTEMA REALIMENTADO.



27

b.- Todo lo contrario ocurre cuando la ganancia de lazo es positiva.La ganancia a frecuencias medias aumenta y los polos de la fun-ción de transferencia se acercan entre si. O sea, la frecuencia in-ferior se incrementa y la esquina de alta disminuye; afectados am-bos cambios en frecuencia por el mismo factor que incrementa laganancia del sistema a frecuencias medias.

La respuesta en función de la frecuencia para la estructura re-alimentada, considerando baja y alta frecuencia, es de la forma:

f A

f A

f B f f

w s

w

w s

s Am ) s( A

++= ......... (3.3.9)

3.4 EFECTO SOBRE LA LINEALIDAD

La característica de transferencia de un amplificador ideal es cons-tante; o sea, independiente de la magnitud de la señal de salida; encambio, para un amplificador real esto no se cumple; su característicade transferencia es continua pero no lineal, tal característica siempre sepodrá aproximar por una constante y el comportamiento promedio delamplificador real se aproximará al ideal. En un amplificador real su ca-

racterística de transferencia presenta un aspecto como el indicado en lafigura 3.4.1; de la cual sepuede apreciar que la ganan-cia posee un valor máximo enla zona central y luego dismi-nuye hasta alcanzar un valornulo cuando la salida toma losvalores de saturación, los cua-les son impuestos por las

condiciones de polarizacióndel amplificador.

Emplearemos un amplifi-cador básico, con una caracte-rística similar a la indicada enla figura 3.4.1, para formar un

FIGURA 3.4.1 CARACTERÍSTICA DE TRANS-FERENCIA PARA UN AMPLI-FICADOR REAL.



28

circuito realimentado. Porsimplicidad consideremosuna aproximación lineal atrozos, como la indicada enla figura 3.4.2 para su carac-terística de transferencia, la

cual presenta zonas condiferentes valores de la ga-nancia. La ganancia delsistema realimentado cam-biará según la variable desalida se encuentre en lasdiferentes zonas de la carac-terística de transferencia delamplificador. Si la β del

sistema se considera constante; la ganancia realimentada para cadauna de las tres regiones donde el amplificador posee diferente gananciaes:

1

11 fb

A1

A A

⋅−=

β ..........(3.4.1)

2

22 fb

A1

A A

⋅−=

β ..........(3.4.2)

3

33 fb

A1 A A

⋅−=

β ..........(3.4.3)

donde:

jión Re j

o j

dX

dX A = ..........(3.4.4)

Al evaluar (3.4.4) para las dos regiones donde la ganancia sedenomina A3 se obtiene como resultado que la respuesta del sistema

realimentado es nula; dado que la propia ganancia del amplificador esnula. El amplificador se encuentra saturado; por lo tanto, en estascondiciones no se obtienen cambios en la señal de salida.

Un comportamiento diferente se obtiene en las regiones donde laganancia posee un valor diferente al nulo. En estas condiciones, elcambio relativo de la ganancia del sistema se puede evaluar por medio

o

e

A3

A2

A1

A1

A2

A3

FIGURA 3.4.2 MODELO LINEAL A TROZOS

PARA LA CARACTERÍSTICA DETRANSFERENCIA DE UN AM-PLIFICADOR REAL.



29

del cociente de las relaciones (3.4.1) y (3.4.2):

1

2

2

1

2

2

1

1

2 fb

1 fb

A1

A1

A

A

A

A1

A1

A

A

A

⋅−

⋅−=

⋅−

⋅−=

β

β β

β ......... (3.4.5)

La ecuación (3.4.5) permite estudiar el efecto de la realimenta-

ción en la linealidad de la salida, dependiendo del valor de la gananciade lazo; existiendo, en general, tres comportamientos:

a.- Sin realimentación; o sea, el producto j A⋅ β es nulo, por ser nulo

el factor β . La relación (3.4.5) es una medida de la no linealidaddel amplificador básico. Nótese que para un amplificador ideal larelación es unitaria dado que no presenta cambios en su ganan-cia.

2

1

2 fb

1 fb

A

A

A

A

= ......... (3.4.6)

b.- Cuando la realimentación es negativa; el producto j A⋅ β menor

que cero, se tiene:

1

2

2

1

0 j A2 fb

1 fb

A1

A1

A

A

A

A

⋅−

⋅−=

<⋅ β

β

β ......... (3.4.7)

Dado que β es constante y 21 A A > , ver el gráfico de la figura3.4.2, se tiene que la relación (3.4.7) es menor que (3.4.6); por lotanto, la realimentación negativa provoca que el sistema realimen-tado presente mayor linealidad que el amplificador básico.

Se podría decir que:

11 F 12

1

0 j A2 fb

1 fb

F

1

A

A

A

A

><⋅=

β ......... (3.4.8)

c.- Introduciendo realimentación positiva en el sistema; para β cons-tante y 21 A A > se tiene:

12

F 2

2

1

1

2

2

1

1 j A02 fb

1 fb F

A

A

A1

A1

A

A

A

A

><⋅< =

⋅−

⋅−=

β

β

β ......... (3.4.9)



30

El resultado anterior permite concluir que la realimentación posi-tiva acentúa la no linealidad del amplificador básico en la respuesta delsistema.

Desde otro punto de vista. El efecto de la realimentación sobrela no linealidad de la ganancia del amplificador también se puede es-tudiar por medio de la relación (3.1.2):

A

dA

A1

1

A

dA

fb

fb

⋅−=

β

sólo debemos admitir que el cambio en la ganancia del amplificadorbásico es debido a la magnitud de la señal de salida. La gananciacambia entre un valor máximo, para valores pequeños de la tensión desalida, y un valor nulo en saturación. En este caso, la variación de laganancia de un sistema realimentado se puede estudiar por la relación

anterior, por no ser la ganancia del amplificador básico la misma paratodos los valores de la tensión de salida. Nótese que la relación per-mite calcular cuanto cambia la ganancia del sistema realimentado paracambios en la ganancia del amplificador, no importando el origen delos cambios de la ganancia. Para un amplificador básico ideal, que laganancia no presente variaciones, el sistema no presentará cambio;en aquellos casos donde el amplificador no sea ideal, directamente dela expresión se tiene que la realimentación negativa da como resultadoun amplificador cuya ganancia realimentada presenta mayor lineali-dad. Para realimentación positiva el efecto es todo lo contrario, acentúala no linealidad del amplificador básico. Cuando interpretamos la rela-ción (3.1.2) estando el amplificador básico en la zona de saturación,debemos tener presente que en este caso el amplificador básico poseeuna no linealidad infinita y cualquier valor finito del factor de realimenta-ción no la cambiará.

El efecto de la realimen-tación sobre la linealidad de un

amplificador se puede modelarde otra forma. Para una señalde entrada sinusoidal la nolinealidad del amplificador bá-sico provoca a su salida la pre-sencia de armónicas de la se-

X r

o X iΣ

+

A1

FIGURA 3.4.3 MODELO DEL AMPLIFICA-DOR NO LINEAL.



31

ñal de entrada; el conte-nido de armónicas de-penderá de las no linea-lidades del amplificador ypor lo tanto el cocienteentre la fundamental y la

suma de todas las armó-nicas también estarárelacionado directamentecon la no linealidad delamplificador; o sea, la relación aumenta o disminuye con la no lineali-dad. Las no linealidades de un amplificador se pueden modelar comose indica en el diagrama de bloques de la figura 3.4.3. Como se pue-de ver en la figura: el amplificador real se sustituye por uno ideal, to-talmente lineal; a la salida del amplificador ideal se suma una señal

artificial r X , equivalente a la suma de todas las armónicas presentesen la salida del amplificador real. La señal de salida será:

r 1io X A X X += ....... (3.4.10)

Empleando como amplificador básico el indicado en la figura3.4.3 se forma un sistema realimentado; como se encuentra en la figu-ra 3.4.4; en cuya salida la tensión será:

X X A

A X

Ao i r =

− ⋅ +

− ⋅1

1 11

1

1 β β ....... (3.4.11)

Para el análisis de la relación (3.4.11) se debe imponer que lamagnitud de la componente fundamental de la señal de salida del sis-tema sea la misma en todos los casos. Al introducirle realimentaciónal sistema se debe modificar convenientemente la señal de entrada paramantener constante laamplitud de la funda-mental a la salida; laseñal de entrada se

debe multiplicar porun factor 2 A ; comose muestra en la figu-ra 3.4.5. Bajo estascondiciones la salidaserá:

A1

X r

X iΣ

+

+

Σ

β

+

+

X e

FIGURA 3.4.4 SISTEMA REALIMENTADO. MODE-

LO DEL AMPLIFICADOR NO LI-NEAL.

X r

o X i

Σ

+

+

Σ

β

2+

+

X e

1

FIGURA 3.4.5 SISTEMA REALIMENTADO. SEÑAL DE

ENTRADA MODIFICADA.



32

1r

1

12io

A1

1 X

A1

A A X X

⋅−+

⋅−=

β β ........(3.4.12)

Imponer la condición de mantener constante la magnitud de lafundamental a la salida, dada por (3.4.10), es equivalente a:

1

1

2i1i A1

A A X A X

⋅−

= β

de donde:

) A1( A 12 ⋅−= β ........(3.4.13)

sustituyendo (3.4.13) en la relación (3.4.12):

1r 1io

A1

1 X A X X

⋅−+=

β ........(3.4.14)

a.- Para el caso de realimentación nula, 0= β , la señal de salida será:

r 1io X A X X += ........(3.4.15)

Por lo tanto se tiene la fundamental y el peso de todas sus armóni-cas.

b.- Cuando la realimentación del sistema es negativa:

X X A X Ao A i r β β ⋅ <

= ++ ⋅0 1

1

1

1 ........(3.4.16)

relación de donde se tiene que el término que representa las ar-mónicas disminuye con relación a su valor dado por (3.4.15),cuando el sistema no posee realimentación; nótese que el factorque multiplica a la contribución de las armónicas es menor que launidad.

c.- Imponiendo que la realimentación sea positiva se obtiene:

1r 1i

1 A0o

A1

1 X A X X

⋅−+=

<⋅< β β ........(3.4.17)

en este caso, el peso de las armónicas en la señal de salida se in-crementa.



33

3.5 DISTORSIÓN EN ESTRUCTURAS

REALIMENTADAS

Idealmente, la señal de salida de un amplificador posee la mismaforma de onda que la señal de entrada. Cuando existen cambios en laforma de onda de salida, éstos son atribuidos a la distorsión que po-see el amplificador. Generalmente, la onda de salida de un amplifica-dor real no es exactamente una replica de la onda de entrada debido ala distorsión causada por las no linealidades de las característicasentrada salida de los elementos activos o por la influencia de los circui-tos asociados a estos. La distorsión se puede clasificar en tres catego-rías o tipos diferentes: distorsión no lineal, distorsión de frecuencia ydistorsión de retardo de fase. Para una estructura específica, la distor-sión presente a la salida de un amplificador puede ser causada por unode los tipos mencionados; o bien, por la contribución de todos ellos si-multáneamente.

Una estructura activa presenta distorsión no lineal cuando a lasalida de un amplificador se generan componentes de frecuencia queno se encuentran presentes en el espectro de la señal de entrada;ésta también es llamada distorsión armónica. La causa principal de la

distorsión no lineal es la no linealidad entre la señal de entrada y lasalida de la fuente controlada del modelo del dispositivo activo presen-te en el amplificador. En general, es ocasionada por una gran excur-sión dinámica de cualquiera de las señales, de entrada o de salida , ode ambas.

Cuando las no linealidades existen, la salida de la fuente contro-lada se puede expresar por una serie de potencias de la señal de en-trada, ver (3.5.1)

L++++= 3i

2ii00 X c X b X a _ X X ......... (3.5.1)

donde:

0 X : Valor constante, depende de las condiciones de pola-rización del elemento activo empleado.



34

a b c, , ,L : Coeficientes que dependen de las no linealidades dela fuente controlada.

ji X : Señal de entrada elevada a la potencia j

Asumiendo que la señal de entrada es sinusoidal, dada por:

X X wt i i= $

sen , sustituyendo en (3.5.1):L++++= wt sen X ˆ cwt sen X ˆ b senwt X ˆ a

_ X X 33

i22

ii00

LL +−+−++= )wt 3 senwt sen3( 4

X ˆ c )wt 2cos1(

2

X ˆ b senwt X ˆ a

_ X X

3i

2i

i00

L+−−+++= wt 3 sen4

X ˆ c3wt 2cos

2

X ˆ bwt sen )

4

X ˆ c3 X ˆ a(

2

X ˆ b _

X X

3i

2i

3i

i

2i

00

..........(3.5.2)La salida expresada por la relación (3.5.2) contiene componen-

tes de frecuencias que no existen en la entrada; éstas son: la compo-

nente de frecuencia cero de magnitud2

X ˆ b 2i , la segunda y tercera ar-

mónica con amplitudes de2

X ˆ b 2i y

4

X ˆ c3 3

i respectivamente; y también,

se encuentra presente la correspondiente a la frecuencia de la señal

de entrada, cuya magnitud es4

X ˆ c3 X ˆ a

3i

i + .

Cuando la señal de entrada al amplificador contiene más de unafrecuencia el espectro resultante es más complejo, el número de fre-cuencias introducidas por la no linealidad es mayor; en este caso, seencuentran presentes las frecuencias correspondientes a las señales deentrada, su suma y diferencias, y las armónicas de todas las anteriores.

Los otros dos tipos de distorsión, de frecuencia y por retado defase, que pueden estar presente a la salida de una estructura activaempleada como amplificador, son consecuencia de la dependencia defrecuencia de la ganancia del amplificador equivalente. Cuando en unamplificador la carga asociada con la fuente controlada posee compo-nentes reactivos; entonces la ganancia de la estructura es un númerocomplejo cuya magnitud y ángulo depende de la frecuencia; en estos



35

casos, la dependenciacon la frecuencia de lamagnitud de la gananciaintroduce distorsión defrecuencia, dado que lasdiferentes componentes

de frecuencia de la se-ñal son amplificadaspor un factor diferente;o sea, la estructuraintroducirá distorsión defrecuencia para los in-tervalos de frecuenciadonde la ganancia nosea constante. La dis-

torsión de retardo, tam-bién llamada distorsiónde corrimiento de fase,resulta por el efecto dela dependencia con lafrecuencia del ángulode fase de la gananciadel amplificador. Ambostipos de distorsión pro-vocan cambios en la forma de onda de la señal; en la figura 3.5.1 seilustra un caso particular de distorsión por frecuencia y por corrimientode fase; la forma de onda de la entrada contiene la fundamental y latercera armónica. En la ilustración, para el caso de distorsión por fre-cuencia, la fundamental es amplificada por un factor que correspondeal 80% de la amplificación que afecta a la tercera armónica; en cambiocuando la distorsión es por corrimiento de fase el único efecto con-templado es un desplazamiento de 180º en la fase de la tercera armó-

nica. En ambos casos, como se puede ver en la figura para el ejemploparticular, se tiene un cambio en la forma de onda, siendo más apre-ciable cuando la distorsión es causada por corrimiento de fase.

En general, al realimentar una estructura de la cual forme parteun elemento activo real; la distorsión de la estructura realimentada esafectada por el factor de realimentación como se estableció en los

DISTORSIÓN DE FRECUENCIA

DISTORSIÓN POR RETARDO DE FASE

FIGURA 3.5.1 DISTORSIÓN POR EFECTO DE LADEPENDENCIA DE LA GANANCIA DEUN AMPLIFICADOR CON LA FRE-CUENCIA.



36

puntos 3.3 y 3.4.

La realimentación negativa disminuye simultáneamente los trestipos de distorsión. Al incrementar el ancho de banda de la estructurarealimentada disminuye la distorsión de frecuencia y por retardo defase; y también, para una magnitud de la señal de salida dada, dismi-nuye el contenido de armónicos presentes en la señal de salida comoconsecuencia de presentar la estructura realimentada menor depen-dencia de la ganancia con la amplitud de la salida.

La realimentación positiva simplemente incrementa la distorsiónde la salida; de hecho, acentúa los tres tipos de distorsión que poseanlos amplificadores de la estructura.



37

4 ANÁLISIS DE SISTEMAS REA-

LIMENTADOS

En este punto se planteará un procedimiento general para elanálisis del sistema realimentado bajo estudio. El procedimiento se

denomina desvanecimiento y es clasificado como general por no re-querir de un análisis previo del sistema para luego asignarlo a unaclasificación por su estructura. Utilizando el procedimiento propuestopara todos los sistemas se procede de la misma forma, independien-temente de la topología que posea el sistema realimentado.

4.1 ANÁLISIS DE SISTEMAS REALI-

MENTADOS. AMPLIFICADORES

El sistema bajo estudio se representa por medio de una red;donde se identifican los puertos de entrada y salida del sistema, verdiagrama de la figura 4.1.1.

Se anula la señal de

entrada y se inspecciona elcircuito equivalente del sis-tema a fin de reconoceruna trayectoria cerrada porla cual pueda fluir informa-ción; o sea, se identifica latrayectoria de la realimen-

SISTEMAei

(entrada)

eo

(salida)

FIGURA 4.1.1 SISTEMA BAJO ESTUDIO.



38

tación; en caso de noencontrarla el siste-ma no estará reali-mentado. Pertene-ciente a la trayectoriay delimitada por tres

nodos se seleccionauna estructura unidi-reccional y se susti-tuye por su modeloequivalente de tensión o de corriente; ver ANEXO 3. El modelo detensión consta de una fuente dependiente y sus impedancias de entra-da y salida; también se definen los puntos correspondientes al nododonde se aplica la variable de control, que se denomina 1; y el nodo desalida de la fuente dependiente del modelo, que se identifica como 3.

El modelo de corriente se caracteriza por la fuente controlada de co-rriente y la rama por la cual circula la corriente de control, esta rama yla de salida se denominan 1 y 3 respectivamente. Ver figura 4.1.2;también es posible que la estructura unidireccional posea una fuentede tensión controlada por corriente o de corriente controlada por ten-sión; lo esencial es la unidireccionalidad. La deducción del métodopara todos los modelos de fuentes controladas es similar; en particularse deducirán las relaciones seleccionando, reconociendo y extrayendoun modelo de tensión controlado por tensión. Para la ilustración de losotros modelos de las fuentes controladas se emplearán algunos de losejemplos de aplicación en los capítulos 8 y 9.

De la red que representa al sistema se extrae la fuente depen-diente del modelo equivalente, así como también los puntos definidos;dejando dentro las impedancias de entrada y salida del modelo. Contodo esto, la red inicial querepresenta al sistema con unaentrada y una salida se con-

vierte en otra equivalente queposee dos entradas y dos sali-das, como se muestra en lafigura 4.1.3. Nótese que en elsistema modificado el puntodefinido como 1 corresponde a

e1 e3

Z entrada

Z salida

+

-e3 = e1 A

1 33

c

ba

i1 i3

i3 = i1 K

1 3

Y iY o

a b

c MODELO DE TENSIÓN MODELO DE CORRIENTE

FIGURA 4.1.2 ESTRUCTURA UNIDIRECCIONAL. MODE-LO EQUIVALENTE.

SISTEMA

MODIFICADO

ei eo

e1 +

-

e3

1 3

oi⋅ e1

FIGURA 4.1.3 SISTEMA MODIFICADO.



39

una salida cuyo valor e1 debe hallarse en función de las entradas ei

y e3 ; el punto 3 es una entrada al sistema.

Por medio del sistema modificado se pueden establecer lasecuaciones circuitales que relacionan las entradas con las salidas; porlo tanto:

=

+=

+=

A

X X

X X

13

3131ii1

o33oiio

eeeeeeee

......... (4.1.1)

donde:

0 X

0 X

i3

oo3

3i

ooi ee

eee

e=

==

=

0 X

0 X

i3

131

3i

11i eeeeee =

==

=

dada la unidireccionalidad del modelo reconocido y extraído de la red;en el sistema de ecuaciones (4.1.1) la tensión de salida de la fuentecontrolada 3e puede ser nula por dos razones: por ser nula la variableque la controla o por serlo la constante de proporcionalidad. En nues-tro desarrollo emplearemos la última razón, anularemos la constantede proporcionalidad, haciendo nula la ganancia del amplificador; o sea,

el amplificador se desvanece; de allí el nombre del método. Esto sepuede interpretar como el condicionamiento requerido para calcular losdos parámetros relacionados con la entrada, o sea:

=

+=

+=

A

X X

X X

13

3131ii1

o33oiio

eeeeeeee

......... (4.1.2)

donde los parámetros ahora serán definidos como:

0 X

0 X

0 A X

0 A X

i3

131

i3

oo3

i

11i

i

ooi ee

eee

eee

ee

==

==

==

==

para resolver el sistema; sustituyendo la tercera ecuación del sistemaen las otras dos:



40

⋅+=

+=

1311ii1

o31oiio

X A X

X A X

eeeeee

..........(4.1.3)

de la segunda ecuación de (4.1.3):

1ii311 X ) X A1( ee =⋅−

31

1ii1

X A1

X ee

⋅−= ..........(4.1.4)

sustituyendo la relación (4.1.4) en la primera ecuación dada por(4.1.3), se obtiene la salida del sistema en función de la entrada.

o331

1iioiio X A

A X 1

X X eee

⋅−+= ..........(4.1.5)

relación mediante la cual se puede obtener la función de transferenciadel sistema realimentado:

o331

1ioi31

o31ioi f

i

o X

A X 1

A X X

A X 1

X A X X Ae

e⋅−

⋅+=

⋅−

⋅⋅+== ..........(4.1.6)

Un diagrama de bloques equivalente a la relación (4.1.6) semuestra en la figura 4.1.4. Donde se puede ver que la estructuraunidireccional reconocida en la red original y modelada por un am-

plificador es totalmente equivalente al amplificador básico; al cual sele añadió realimentación para formar el sistema realimentado. El

i 3

eoei

Σ

o1 X i1 Σ

31

X i o

3o

FIGURA 4.1.4 DIAGRAMA DE BLOQUES EQUIVALENTE. SISTEMA REALIMENTA-DO.



42

puertos de entrada a la salida del amplificador diferencial; notar quelas ganancias 1 A y 2 A deben permanecer constantes; o sea, al reali-zar el análisis de una de ellas, esta debe ser independiente de lascondiciones que se le impongan a la entrada de la otra fuente contro-lada.

Del sistema modificado, donde se reconoce la estructura delamplificador diferencial, figura 4.2.1, se puede plantear el sistema:

+=

+=

+=

+=

22113

3232ii2

3131ii1

o33oiio

A A

X X

X X

X X

eeeeeeeeeeee

..........(4.2.1)

donde para que e3 0= independientemente de 1e y 2e debe ser

0 A A 21 == :

0i3

oo302 A1 A

i

ooi e X X e

eee

=== ==02 A1 Ai

11i e

e X

===

0i3

131

e X e

e=

= 0i3

232

02 A1 Ai

22i

e X X e

eee

=====

la salida del sistema en función de la entrada es:

o3131232

22i11ioi

i

o X A X A X 1

A X A X X ee ⋅−⋅−⋅+⋅+= ..........(4.2.2)

dado que:

2

A A A

2

A A A c

d 2c

d 1 +−=+=

donde:

d A : Ganancia modo diferencial del amplificador reconoci-do.

c A : Ganancia modo común del amplificador reconocido.

la relación (4.2.2) en función de la ganancia diferencial y común delamplificador es:



44

Lim A

X X

X X

ee

o

i d i o

i d

d o→ ∞

= −3

3 ..........(4.2.6)

Nótese que en este caso se debe imponer una restricción adi-cional a los amplificadores reconocidos. Las ganancias 1 A y 2 A de losamplificadores serán independientes; esto es, el valor de cada una de

ellas no dependerá de las condiciones impuestas en los terminales delotro amplificador.

4.3 ANÁLISIS DE SISTEMAS MÚLTI-

PLEMENTE REALIMENTADOS

En general, los circuitos electrónicos poseen múltiples reali-mentaciones. Se introducen tales realimentaciones para lograr quelos circuitos se comporten de manera prefijada, independiente de lasvariaciones en los valores que pueden presentar los elementos em-pleados. En una estructura generalmente se requiere de un lazo derealimentación por cada una de las características que se desea in-sensibilizar con relación a algunos de los parámetros que la definen;de esta forma, el valor de la característica dependerá de un númeromenor de parámetros y seleccionándolos adecuadamente se asegu-

ra el valor deseado para la característica.

El procedimiento planteado en el punto 4.1 permite realizar elanálisis de estructuras múltiplemente realimentadas; bastaría conplantear reiteradamente el procedimiento para calcular cada uno delos parámetros pq X definidos. Notar que al reconocer y modelar una

estructura unidireccional perteneciente a una trayectoria y ser la es-tructura original múltiplemente realimentada cada uno de los paráme-tros pq X son a su vez funciones definidas en un sistema realimenta-

do. Tal procedimiento se repetiría hasta lograr interceptar todas lastrayectorias, sólo bajo estas condiciones se podrán evaluar de maneradirecta los parámetros y luego sustituirlos en la última relación (4.1.6)o equivalente planteada; una vez obtenidos los nuevos parámetros

pq X sustituirlos en la relación, repitiendo el mismo procedimiento has-



45

ta obtener la respuestadeseada. En algunoscasos, dependiendo dela topología de la estruc-tura, se podrá seleccio-nar un punto común a

todas las trayectorias derealimentación; mode-lando tal punto se rompe-rán todas las trayectorias simultáneamente; en estos casos basta conaplicar una sola vez el procedimiento para lograr la respuesta.

El procedimiento planteado en el punto 4.1, para el análisis deestructuras simplemente realimentadas, se puede generalizar para elcaso de n lazos de realimentación manteniendo la restricción de una

entrada y una salida del sistema.Sea un sistema múltiplemente realimentado como el indicado en

la figura 4.3.1. Procediendo de manera similar a lo planteado en elpunto 4.1, se anula la señal de entrada y se inspecciona el circuitoequivalente del sistema a fin de reconocer las trayectorias cerradas ydiferentes entre si por las cuales pueda fluir información; o sea, seidentifican las trayectorias de la realimentación; notar que una trayec-toria será diferente cuando en ella exista al menos una sección de latrayectoria que no se encuentre contenida en las otras trayectoriasreconocidas. Sean n el número de trayectorias identificadas. Perte-necientes a cada una de las trayectorias se seleccionan, modelan yextraen n estructuras unidireccionales. Los modelos de las estructu-ras unideccionales notienen que ser del mis-mo tipo; o sea, para elanálisis de un sistemaparticular se puedenemplear simultánea-mente modelos defuentes de tensión ycorriente, controladosambos por tensión opor corriente indistinta-mente. El circuito equi-

SISTEMAei

(entrada)

eo

salida

FIGURA 4.3.1 SISTEMA MÚLTIPLEMENTE REALI-MENTADO.

1n

SISTEMA

MODIFICADOei eo

e11

+

-

e31

oi

+

-

e1ne3n

A1 e11 An e1n11

31 3n

FIGURA 4.3.2 SISTEMA MÚLTIPLEMENTE REALI-

MENTADO. ESTRUCTURA MODIFI-CADA.



46

valente de la estructura modificada al extraer las n fuentes dependien-tes se indica en la figura 4.3.2; en este caso para simplificar la nota-ción, todas las estructuras unidireccionales son modeladas como fuen-tes de tensión controladas por tensión.

Empleando el sistema modificado se pueden establecer lasecuaciones circuitales que relacionan las entradas con las salidas; porlo tanto:

e e e ee e e e

e e e ee e

e e

o i i o o n n o

i i n n

n i i n n n n n

n n n

X X X

X X X

X X X

A

A

= + + +

= + + +

= + + +

=

=

, , ,

, , ,

, , ,

31 31 3 3

11 11 31 31 11 3 3 11

1 1 31 31 1 3 3 1

31 11 1

3 1

L

L

M M

L

M M

..........(4.3.1)

donde cada uno de los parámetros X p q, se encuentran definidos, apli-

cando el teorema de superposición, como el cociente entre la variabledependiente y la variable independiente correspondiente, anulando lasrestantes variables independientes:

0

jh

h3i j3

oo , j30

k

k 3i

oo ,i ee X e X e

eee

=====

≠∀

0

jh

h3i j3

k 1k 1 , j30

k

k 3i

k 1k 1 ,i ee

X e X ee

ee

=====

≠∀

Al aplicar el teorema de superposición se debe tener presente,como en el caso de un lazo de realimentación, que anular la salida delos amplificadores es equivalente a desvanecer el amplificador; esto sepuede interpretar como:

0

jh

h3i j3

oo , j3

n

0n Ai

oo ,i e X X ee

eee

=

≠

=

∀

= ==321



47

0

jh

h3i j3

k 1

k 1 , j30

n

ni

k 1

k 1 ,iee

X A X ee

ee

===

==

≠∀

El sistema de ecuaciones dado por (4.3.1) se puede expresarcomo un sistema de matrices:

[ ] [ ] [ ]1 x1n

k 3

i

1n x1n x1

o , j31 x1

o ,i

1 x1

o eee X X

++

= ......... (4.3.2)

[ ] [ ] [ ]1 x1n

k 3

i

1n xnn xn

k 1 , j3

1 xn

k 1 ,i1 xn

k 1 eee X X

++

= ........ (4.3.3)

[ ] [ ] [ ] [ ]1 xn

k 1

n xn1 xn

k 1

n xnn

1

1 xn

k 3 eee A A0

0 A=

= ......... (4.3.4)

de la relación (4.3.4):

[ ] [ ] [ ]k 31

k 1 ee A −= ......... (4.3.5)

sustituyendo en (4.3.3):

[ ] [ ] [ ] [ ][ ]

=−

k 3

ik 1 , j3k 1 ,ik 3

1

eee X X A ......... (4.3.6)

particionando el segundo miembro:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]k 3k 1 , j3ik 1 ,ik 31 eee X X A +=− ......... (4.3.7)

agrupando:

[ ] [ ][ ] [ ] ik 1 ,ik 3k 1 , j31 ee X X A =−− ......... (4.3.8)

despejando:

[ ] [ ] [ ][ ] [ ] ik 1 ,i1

k 1 , j31

k 3 ee X X A −− −= ......... (4.3.9)

sustituyendo (4.3.9) en la relación (4.3.2) y factorizando la señal deentrada:



48

[ ][ ][ ] [ ][ ] [ ]

i

k 1 ,i

1

k 1 , j31

o , j3o ,io e1

e X X A

X X

−

=−−

LLLLLLLLLLLLM ........(4.3.10)

De donde se puede encontrar la función de transferencia de la

estructura realimentada:

[ ] [ ][ ] [ ] [ ]

11n1nk 1 ,i

1

nnnnk 1 , j3

1n xn

1n1n1o , j311o ,i

i

o

x

x x

x

x x x

X X A

X X

1

ee

+

−−+

−

= LLLLLLLLLLLLM

........(4.3.11)

relación que se puede expresar en forma compacta como:

[ ][ ] [ ][ ] [ ]

11n1n E

1

nnnn R1

n xn A

1n1S i

o

x

x x

x

x

M M M

M

1

ee

+

−−+

−

= LLLLLLLLLLLL

donde:

S M : Matriz de salida; matriz fila de dimensiones 1 1 x n + .

A M : Matriz de ganancias; matriz cuadrada de n x n .

R M : Matriz de realimentación; matriz cuadrada n n .

E M : Matriz de entrada; matriz columna de dimensionesn x 1 .

i 3j

eoei

Σ

o1j

X i,1j Σ

3j,1k

X i o

3j,o A

FIGURA 4.3.3 DIAGRAMA DE BLOQUES. SISTEMA MÚLTIPLEMENTE REALIMENTADO.



49

En la figura 4.3.3 se encuentra un diagrama de bloques repre-sentativo de la relación (4.3.11); en ella se debe tener presente que

todas las líneas representan vectores, exceptuando las de entrada ysalida, tanto del sistema como las del bloque oi X . En la figura 4.3.3-a

se puede ver un diagrama de bloque detallado para el caso de unaestructura realimentada que posea tres fuentes controladas.

La función de transferencia del sistema múltiplemente reali-mentado en su forma explícita se encuentra en la relación (4.3.12):

32,11

33,12

31,12

A1Σ

i,11

11 31

31,11

31,13

2Σ i,12

12 32

i

ei

32,13

32,12

3Σ i,13

13 33

33,13

33,11

33,0

31,0

32,0

o

eo

Σ

i,0

FIGURA 4.3.3-a DIAGRAMA DE BLOQUES DETALLADO. SISTEMA MÚLTIPLEMENTE

REALIMENTADO, TRES FUENTES CONTROLADAS.



50

[ ] [ ]ee

o

i

i o o o n o

A

A

A

n

n

n n n n

X X X X

X X X

X X X

X X X n

=

•

•

−

M L

L

L

M M L M

L

L

L

M M L M

L

LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL

31 32 3

1

1

1

31 11 32 11 3 11

31 12 32 12 3 12

31 1 32 1 3 1

1

1

2

0 0

0 0

0 0

, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

−

111

12

1

X

X

X

i

i

i n

,

,

,

M

........(4.3.12)

Al desarrollar (4.3.12) y expresarla en forma de sumatorias de pro-ductos de términos ordenadas de acuerdo al número de términos que los

forman, se obtiene la expresión conocida en el área de sistemas de con-trol como fórmula de ganancia de Mason para gráficos de flujos de señal.

Particularizando la relación (4.3.11) para n = 1 se obtiene larespuesta de un sistema con un lazo de realimentación en su formamatricial:

[ ] [ ] [ ] [ ] =

−

=

−

=11 ,i

11 ,31

o ,31oi11 ,i

11 ,31 A1

o ,31oi

i

o X

X A1

A X X X

X

1 X X

11

e

e

[ ]11 ,31

o ,3111 ,ioi

11 ,31

11 ,io ,31oi X A1

X X A X

X A1

X A X X

1

−+=

−

=

El hecho físico de la existencia o no de la realimentación de unaestructura se puede comprobar por medio de la relación (4.3.12); para

esto basta con analizar el valor de los elementos de la matriz de reali-mentación R M . Por ser cada elemento de la matriz de realimentaciónla representación de un trozo de las trayectorias cerradas de realimen-tación, el externo a los amplificadores que completan cada trayectoria,se puede concluir que un elemento nulo en la matriz anulará la trayec-toria correspondiente.



51

En general existen diversas situaciones en las cuales la es-tructura posee múltiples realimentaciones. Cuando se tienen ele-mentos de la diagonal principal no nulos y los restantes elementosde R M son nulos; la estructura posee realimentación local, tantoslazos como elementos diferentes de cero se tengan el la diagonal

principal. En aquellos casos que se tengan elementos no nulos tan-to en la diagonal principal como en la región triangular superior de lamatriz R M la estructura posee múltiples trayectorias de realimenta-ción y se denomina estructura con lazos anidados; nótese que si loselementos no nulos se encuentran ubicados en la diagonal principaly la región triangular inferior la estructura simplemente posee reali-mentación local, al igual que el caso anterior. Existe una terceraposibilidad para que la estructura sea múltiplemente realimentada;corresponde a la condición en la cual todos los elementos de la di-

agonal principal son nulos y existen simultáneamente elementos nonulos tanto en la región triangular superior como inferior.

Como se planteó anteriormente, dependiendo de la distribuciónde los elementos nulos y no nulos en la matriz de realimentación exis-ten diversas posibilidades. Se especifican algunas de ellas que pre-sentan interés particular y se ilustran para el caso de una estructurarealimentada que posea dos o tres fuentes controladas. En general, seanalizan y determinan las condiciones para que una estructura no po-

sea realimentación; y también, aquellas que condicionando elementosde los vectores o de las matrices, ver relación (4.3.12), se obtienendiferentes estructuras multietapas que poseen características particu-lares, apropiadas para aplicaciones especificas.

a.- Todos los elementos de la matriz R M son nulos. Simplementela estructura no posee realimentación. Su salida es la suma pesadade n + 1 contribuciones; una por cada amplificador y la correspon-diente a la propia entrada de la estructura. Como se expresa por la

relación (4.4.13) y se indica en el diagrama de bloques la figura4.3.4, para el caso de tres fuentes controladas:



52

[ ]

−

−

=

13 ,i

12 ,i

11 ,i

A1

A1

A1

o ,33o ,32o ,31oii

o

X

X

X

1

000

000

000

00

00

00 X X X X

3

2

1

1

ee

operando:

13 ,i3o ,3312 ,i2o ,3211 ,i1o ,31oii

o X A X X A X X A X X ee

+++= ........(4.3.13)

b.- Todos los elementos que forman la matriz de realimentación R M nulos excepto los que forman la región triangular inferior; en este

caso, la salida también es la suma pesada de n + 1 contribuciones; laestructura no posee realimentación. Particularizando para una es-tructura de tres amplificadores; el primer elemento no nulo de la re-gión triangular inferior es X 31 12,

; la salida estará formada por: los pe-

sos correspondientes a los dos último amplificadores alterados por elefecto en cascada de los amplificadores que lo preceden; las restan-tes contribuciones son iguales al caso anterior. La salida para la es-tructura se expresa por (4.3.14) y su representación en diagrama debloques es la figura 4.3.5:

A1Σ 31,0i,1111 31

A2Σ 32,0i,12

12 32

A3Σ 33,0i,13

13 33

Σ o

eoi

ei

i,0

FIGURA 4.3.4 DIAGRAMA DE BLOQUES. SISTEMA DE TRES AMPLIFICADORES Y

MATRIZ DE REALIMENTACIÓN NULA.



53

[ ]

−

−

=

13 ,i

12 ,i

11 ,i

13 ,3213 ,31

12 ,31

A1

A1

A1

o ,33o ,32o ,31oii

o

X

X

X

1

0 X X

00 X

000

00

00

00 X X X X

3

2

1

1

ee

) X A X X A A X X A A( X

) X A X X A A( X X A X X

13 ,i312 ,i13 ,323211 ,i13 ,3131o ,33

12 ,i211 ,i12 ,3121o ,3211 ,i1o ,31oii

o

ee

+++

++++=

....... (4.3.14)

c.- Todos los elementos de la matriz R M nulos excepto los que for-man la región triangular superior, cuyo primer elemento es 11 ,32 X ; este

caso es similar al anterior, la salida es la suma pesada de n + 1 contri-buciones; la distribución de los elementos no nulos de la matriz es talque en la estructura no se forma una trayectoria cerrada por la cualfluya la información, por lo tanto no posee realimentación. Cuando laestructura la forman tres amplificadores, a su salida se tiene el pesocorrespondiente a los primeros dos amplificadores que se encuentranalterados por el efecto en cascada de los amplificadores posteriores;las restantes contribuciones que forman la salida son iguales al caso

31,12

A1Σ

11 31

31,13

31,0i,11

o

eo

Σ 2Σ i,12

12 32

i

ei

32,13

32,0

A3

Σ i,13

13 33

33,0

i,0

FIGURA 4.3.5 DIAGRAMA DE BLOQUES. SISTEMA DE TRES AMPLIFICADORES. REA-

LIMENTACIÓN NULA.



54

anterior. La salida para la estructura se expresa por (4.3.15) y su re-presentación en diagrama de bloques es la figura 4.3.6:

[ ]

−

−

=

13 ,i

12 ,i

11 ,i

12 ,33

11 ,3311 ,32

A1 A

1

A1

o ,33o ,32o ,31oii

o

X

X

X

1

000

X 00

X X 0

00

00

00 X X X X

3

2

1

1

ee

) X A X X A A X X A A( X

) X A X X A A( X X A X X

11 ,i112 ,i11 ,322113 ,i11 ,3331o ,31

12 ,i213 ,i12 ,3332o ,3213 ,i3o ,33oii

o

ee

+++

++++=

........(4.3.15)

d.- Existe otra posibilidad teórica para que la estructura no posea lascaracterísticas definidas por la realimentación. Como se establece enel capítulo 3, todas las propiedades de las estructuras realimentadasdependen del factor de realimentación dado por 1 − ⋅ β A , expresión quese puede interpretar como 1 − T ; por lo tanto, bastará con imponer queT sea nulo para anular los efectos de la realimentación en la estructura.

1Σ

11 3131,0i,11

32,11

o

eo

Σ 2Σ i,12

12 32

i

ei

32,0

3Σ i,13

13 33

33,11

33,0

i,o

33,12

FIGURA 4.3.6 DIAGRAMA DE BLOQUES. SISTEMA DE TRES AMPLIFICADORES.

REALIMENTACIÓN NULA.



55

Tal condición no es más que igualar a la unidad el determinante de la

matriz diferencia de dos matrices, R1

A M M −− , de la relación (4.3.12):

1

X X X

X X X

X X X

00

00

00

n1 ,n3n1 ,32n1 ,31

12 ,n312 ,3212 ,31

11 ,n311 ,3211 ,31

A1

A1

A1

n

2

1

=

−

LMLMM

L

L

LMLMM

L

L

....... (4.3.16)

particularizando la relación anterior para el caso de tres fuentes con-troladas tenemos:

1

X X X

X X X

X X X

13 ,33 A1

13 ,3213 ,31

12 ,3312 ,32 A

112 ,31

11 ,3311 ,3211 ,31 A1

3

2

1

=

−−−

−−−

−−−

operando:

0 A A A ) X X X X X X X X X

X X X X X X X X X (

A A ) X X X X ( A A ) X X X X (

A A ) X X X X ( A X A X A X

32112 ,3311 ,3213 ,3111 ,3213 ,3212 ,3113 ,3312 ,3211 ,31

13 ,3311 ,3212 ,3112 ,3313 ,3211 ,3111 ,3312 ,3213 ,31

3212 ,3313 ,3213 ,3312 ,323111 ,3313 ,3113 ,3311 ,31

2111 ,3212 ,3112 ,3211 ,31313 ,33212 ,32111 ,31

=−−−

−+++

+−+−+

+−+−−−

..... (4.3.17)

Por lo tanto, dado que las matrices M R y M A posee 9 y 3 ele-mentos respectivamente, que se pueden considerar como variablesindependientes, para encontrar la condición que anula el efecto de larealimentación en la relación (4.3.17) se deben asignar el valor de 11de las variables presentes y despejar el otro. En general, la relación(4.3.17) siempre tiene solución puesto que todos los elementos que

forman la matriz pueden ser de valor arbitrario e independiente. Lascondiciones obtenidas para anular la realimentación en la estructurason de carácter teórico. En una estructura real, el pequeño factor deenvejecimiento que poseen los componentes y las no linealidades delos amplificadores provocan perturbaciones en las condiciones im-puestas a la estructura; tales cambios en los valores de los elementos



56

que forman la estructura provocan que su respuesta dinámica no co-rresponda al caso de realimentación nula.

e.- Cuando todos los elementos de la diagonal principal de la matriz M R son nulos; en la salida se tienen presentes n + 1contribuciones; lacontribución de la propia entrada y las correspondientes a cada una de

las n salidas de los amplificadores. Las contribuciones de los amplifi-cadores son afectadas por las realimentaciones cruzadas, las que pro-vienen de las salidas de los otros amplificadores. Imponiendo algunasrestricciones adicionales a estas estructuras se obtienen comportamien-tos cuyas características son interesantes; como lo puede ser: una es-tructura que posea redundancia con relación a los elementos activos,esto es equivalente a mantener la ganancia de la estructura cuando unamplificador falla por alguna razón. Por lo tanto, en la presente situaciónla realimentación es usada para aumentar la confiabilidad de la estructu-

ra; nótese que tal uso para la realimentación es un concepto nuevo yexclusivo de las estructuras múltiplemente realimentadas. El número deredundancia que se obtiene de una estructura dada es igual al númerode amplificadores menos uno.

Considerando la relación (4.3.12), las restricciones para obtenerredundancia, o sea mejorar la confiabilidad de la ganancia de la estruc-tura empleando la realimentación múltiple son: imponer que todos losamplificadores posean la misma ganancia y sea negativa; anular el ter-mino

oi

X de la matriz S M y los correspondientes a la diagonal principal

de matriz de realimentación; que los restantes elementos de la matriz R M sean iguales entre si y su valor igual al modulo del inverso de la

ganancia asignada a los amplificadores; así mismo; también deben seriguales entre si los valores de los elementos de cada una de las matri-ces S M y E M de la relación (4.3.12).

En la figura 4.3.7 se encuentra un diagrama de bloques para unaestructura de dos amplificadores, donde se imponen las condiciones men-

cionadas: anular oi X y los elementos de la diagonal principal. Para tal es-tructura se demostrará la invariancia de su función de transferencia conrelación a la ganancia de los amplificadores. La función de transferencia es:



58

transformadores se obtienen sumadores pasivos que son prácticamente

unidireccionales en la banda pasante. Nótese que al producirse un cortoa la salida de un amplificador de tensión, causado por una falla y no serunidireccionales los sumadores, la salida de la estructura restante cam-bia de valor; por la razón expuesta se emplean amplificadores de corrien-te.

f.- Para el caso de una estructura de dos fuentes controladas; anu-lando los elementos: X X X i i , , ,; ;0 12 31 0 la estructura resultante es una

cascada realimentada de dos etapas, y cada una de las etapas poseeuna realimentación local como se puede ver en la figura 4.3.8, dondese encuentra un diagrama de bloques de la estructura. La realimenta-ción local introducida controla determinado comportamiento en cadauna de las etapas por separado; en cambio, la realimentación globalde la cascada altera la sensibilidad del comportamiento entrada salidade toda la estructura con relación a determinados parámetros.

Particularizando la relación (4.3.12) mediante los condicionamien-tos impuestos se obtiene la función de transferencia de la estructura:

[ ]

−

=−

0

X

X X

X X

0

0 X 0011 ,i

1

12 ,3212 ,31

11 ,3211 ,31

A1

A1

0 ,32i

o

2

1

1

ee

i

ei

Σ

3111

Σ X i,11 31,o

eo

o

Σ X i,11

32

Σ

12

X i,12 32,o

31,12

32,11

A1

2

FIGURA 4.3.7 DIAGRAMA DE BLOQUES. SISTEMA REALIMENTADO DE DOS AM-

PLIFICADORES CON REDUNDANCIA DE AMPLIFICADORES.



59

[ ]

−

−=

0

X

X X

X X 1 X 00 11 ,i

11 ,131 A

112 ,31

11 ,3212 ,322 A

1

0 ,32i

o

1

ee

∆

operando:

) X X X X ( A A X A X A1

A A X X X X X X

12 ,3211 ,3111 ,3212 ,312111 ,31112 ,322

2112 ,3111 ,i0 ,3212 ,3111 ,i0 ,32

i

o

ee

−−−−==

∆

.......(4.3.21)

g.- En aquellos casos donde en la estructura realimentada se condi-cionen: el signo de la ganancia de los amplificadores; el valor de X 32 11 ,

y anulando algunos de los elementos de los vectores; para una estruc-

tura formada por dos amplificadores, como la indicada en la figura4.3.9, donde los condicionamientos son: A1 0< ; A2 0> ; X A32 12

12 , = ;

X i ,0 = X i ,12 = X 31 11 , = X 31 0 , = 0 la función de transferencia será:

[ ]

−

=−

0

X

X X

X 0

0

0 X 0011 ,i

1

12 ,3212 ,31

11 ,32

A1

A1

0 ,32i

o

2

1

1

ee

operando:

e o

o

i

e i

i,11 32,o

32,11

11

Σ

31

31,12

12

Σ

32,12

32

1 2

FIGURA 4.3.9 DIAGRAMA DE BLOQUES. SISTEMA REALIMENTADO DE DOS AMPLI-FICADORES. 0 A;0 A 21 >< 0 X X X X 0 ,3111 ,3112 ,i0 ,i ====

2 A1

12 ,32 X =



60

11 ,3212 ,312112 ,322

2112 ,3111 ,i0 ,3212 ,3111 ,i0 ,32

i

o

X X A A X A1

A A X X X X X X e

e−−

==∆

....... (4.3.22)

Al imponer en la relación (4.3.22) el valor de X A32 121

2 , = resulta:

e

e

o

i

i X

X

X = − ,

,

,

11

32 11

32 0 ....... (4.3.23)

De la expresión(4.3.23) se concluyeque la función detransferencia de laestructura realimen-tada es independientede los amplificadores

empleados. Obsérve-se que esto es así,siempre y cuando sepueda asegurar elcondicionamientoimpuesto al elemento X 32 12 , . De la figura 4.3.9 se puede apreciar que

la ganancia de lazo local ( X A32 12 2 , ) toma el valor unitario y por lo tanto

la ganancia equivalente del segundo amplificador realimentado local-

mente tiende a infinito; con este valor la ganancia de la cascada reali-mentada globalmente también tenderá a infinito. Bajo tales condi-ciones la función de transferencia de toda la estructura se puede obte-ner del diagrama de bloques de la figura 4.3.10; para lo cual se debeevaluar el límite:

0 ,3211 ,32

11 ,i0 ,32

equi11 ,32

equi11 ,i

equi Ai

o X X

X X

A X 1

A X Lime

e−=

−∞= →

h.- Empleando tres fuentes controladas para construir la estructurarealimentada y condicionando algunos elementos de la relación(4.3.12) se obtienen funciones de transferencias empleadas en la sín-tesis de filtros activos.

El diagrama de bloques de la figura 4.3.11 se conoce como am-plificador de realimentación anidada. Al imponer en los elementos de

i

ei

X i,11 Σ

32,11

eo

o

32,o Ae ui

FIGURA 4.3.10 DIAGRAMA DE BLOQUES. SISTEMAREALIMENTADO DE DOS AMPLIFICA-DORES. ESTRUCTURA EQUIVALENTE.



61

la relación (4.3.12) las condiciones:

X X X X X X X X X

X X

i i i , , , , , , , , ,

, ,

0 12 13 31 0 32 0 31 11 31 13 32 11 32 12

31 12 32 13

0

1

= = = = = = = = =

= =

se tiene que la relación salida entrada de la estructura es:

[ ]

−

=

−

0

0

X

X 10

X 01

X 00

00

00

00

1

X 000 11 ,i

1

13 ,33

12 ,33

11 ,33

A1

A1

A1

0 ,32i

o

3

2

1

ee

.......(4.3.24)operando:

11 ,3332112 ,323213 ,333

32111 ,i0 ,32

i

o

X A A A X A A X A1

A A A X X

ee

−−−= .......(4.3.25)

Otra estructura de tres amplificadores que también se empleapara la realización de filtros activos se encuentra en la figura 4.3.12.En este caso a los elementos de la relación (4.3.12) se les imponen:

X X X X X X X X

X X X X

i

i i

, , , , , , , ,

, , , ,;

0 31 0 32 0 31 11 31 13 32 12 32 13 33 13

31 12 32 13 12 13

0

1 0

= = = = = = = =

= = = =

por lo tanto, la relación salida entrada de la estructura es:

11 31

31,12

12

Σ

33,12

33,11

o

eo

33,o32,13

13

Σ

33,13

33

i

ei

i,11 Σ

32

1 2 3

FIGURA 4.3.11 DIAGRAMA DE BLOQUES. REALIMENTACIÓN ANIDADA.



62

[ ]

−

=

−

0

0

X

010

X 01

0 X 0

00

00

00

1

X 000 11 ,i

1

12 ,33

11 ,32

A1

A1

A1

0 ,32i

o

3

2

1

ee

....... (4.3.26)

operando y simplificando la expresión (4.3.26) se obtiene la función detransferencia de la estructura realimentada:

11 ,322112 ,3332

32111 ,i0 ,32

i

o

X A A X A A1

A A A X X

ee

−−= ....... (4.3.27)

El análisis algebraico de las relaciones (4.3.25) y (4.3.27) per-mite concluir que con tales estructuras realimentadas se pueden ob-tener funciones de transferencias en las cuales se pueden asignarde manera independiente los coeficientes del polinomio del denomi-nador; condición que facilita la síntesis de filtros activos, en tal hechose fundamenta la importancia de ambas estructuras.

En algunas ocasiones en el análisis de una estructura multieta-pas se puede sustituir una de las etapas por un circuito equivalente,

independientemente que la etapa sustituida posea o no realimenta-ción local; y de esta manera, para el comportamiento entrada salidade la estructura multietapas modificada, perder información sobre las

1131

31,12

12

Σ

33,12

32,11

o

eo

33,o32,13

13

Σ

33

i

ei

i,11 Σ

32

1

2 3

FIGURA 4.3.12 DIAGRAMA DE BLOQUES. ESTRUCTURA ADICIONAL.



63

características internas del bloque sustituido. Realizando un análisisen la estructura multietapas modificada, la realimentación local per-teneciente al bloque sustituido no se encontraran presentes en laexpresión; sus efectos fueron considerados al sustituir la etapa por elcircuito equivalente.

En aquellos casos que la matriz R M presente algunos elemen-tos nulos en la diagonal principal se tendrá que durante el análisis dela estructura se consideraron como independientes trayectorias ce-rradas de realimentación que no lo son; esto quiere decir que sepuede plantear una nueva matriz de realimentación cuya dimensiónsea tanto menor como ceros se tengan en la diagonal principal; osea, para definir la matriz A no es indispensable considerar las

fuentes controladas que no poseen realimentación local. En general,tales fuentes controladas, las no realimentadas localmente, formaránparte de los parámetros X pq , o podrán ser absorbidas por un modelo

equivalente que incluya otra fuente controlada realimentada local-mente. En estos casos; al disminuir la dimensión de la matriz de re-alimentación algunas de las nuevas trayectorias estarán formadaspor la suma de dos o más contribuciones, dependiendo del númerode filas y columnas eliminadas en la matriz originalmente planteada.En otras palabras, algunos elementos de la nueva matriz de reali-mentación estarán formados por la suma de varios términos; y cada

uno de ellos se obtiene aplicando el teorema de superposición.La expresión (4.3.12) puede extenderse a los casos para los

cuales algunas o todas las estructuras unidireccionales reconocidas yextraídas del sistema múltiplemente realimentado sean amplificadoresdiferenciales ideales; o sea, posean una ganancia diferencial arbitrariay su ganancia modo común sea nula. Para realizar el cambio, basán-dose en (4.2.5), basta con redefinir los parámetros q p X que se rela-

cionan con las entradas de los amplificadores diferenciales; y denotar

la respectiva ganancia de la estructura unidireccional como diferencial.La relación (4.3.28) es un caso particular del procedimiento; para suelaboración, de los n amplificadores de la estructura, se consideraronlos dos primeros amplificadores como diferenciales ideales, los restan-tes de una entrada:



64

[ ] [ ][ ]

−

•

•=

−

n1 ,i

13 ,i

2d ,i

1d ,i

n1 ,n3n1 ,33n1 ,32n1 ,31

13 ,n313 ,3313 ,3213 ,31

2d ,n32d ,332d ,322d ,31

1d ,n31d ,331d ,321d ,31

A1

A1

A1 A

1

o ,n3o ,33o ,32o ,31oii

o

X

X

X X

X X X X

X X X X

X X X X X X X X

000

000

000

000

X X X X X

1

n

3

2d

1d

1

ee

M

L

MLMMM

L

LL

L

MLMMM

L

L

L

LM

LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL

........(4.3.28)donde:

pd A : Amplificador diferencial denominado p.

h A : Amplificador de una entrada denominado

h.

21 pd , j3 X X X −= : Señal diferencial en los puertos de entra-

da del amplificador p producida por la sa-lida del amplificador i .

21 pd ,i X X X −= : Señal diferencial en los puertos de entra-

da del amplificador p producida por la se-ñal de entrada a la estructura.

En general, de acuerdo a la definición física de la realimentación,dada en la introducción: “La realimentación consiste en tomar informa-ción de un punto de un sistema cualquiera e introducir esta informa-ción en otro punto anterior, con relación al discurrir del proceso; lo-grándose de esta manera que forme parte de la información que pro-cesa el sistema e intervenir en la salida” y emplear la herramienta ma-

temática, desarrollada en el presente numeral, para el análisis de es-tructuras múltiplemente realimentadas se deben tener presentes lascondiciones necesarias para que la estructura posea realimentación yno simplemente corresponda con una manipulación algebraica de laexpresión para obtener algo similar a lo dado por la relación (2.1.18).Las condiciones necesarias para que la estructura posea realimenta-



65

ción son la presencia de las fuentes controladas y el factor de reali-mentación equi ) A( 1 ⋅− β . La existencia o no de tal factor se debe a una

o varias condiciones impuestas a la matriz de realimentación, ver rela-ción (4.3.11). La existencia de un elemento no nulo en la diagonalprincipal asegura que la estructura posea realimentación; en este casose dice que la estructura posee realimentación localizada en una fuen-te controlada. Admitiendo que todos los elementos de la diagonalprincipal de la matriz de realimentación son nulos, bastará con la exis-tencia de los restantes elementos de una diagonal secundaria, lasperpendiculares a la diagonal principal, para que la estructura posearealimentación; En general, el análisis de la estructura por un procedi-miento donde se incluyan todas las fuentes controladas de la estructuraes la única forma de obtener una expresión analítica que incluya de ma-nera explícita el efecto de todas las realimentaciones presentes; de otraforma, la expresión es correcta como relación entre los terminales de laestructura, e incluye en forma implícita los efectos de algunos lazos dela realimentación.

4.4 ANÁLISIS DE LA CONDICIÓN DE

LINEALIDAD PARA LOS SISTE-

MAS REALIMENTADOS

En general, al representar el comportamiento de un sistema re-alimentado, simple o múltiplemente, por las funciones de transferenciaque se encuentran definidas por las relaciones (4.1.6), (4.2.4) o(4.3.12) se debe comprobar que la estructura se encuentra operandoen la zona lineal; de otra forma, las expresiones no tienen ningún sen-tido físico; o sea, el comportamiento de las estructuras es otro, no co-rresponde al predicho por las relaciones; ver figura 2.2.7. La condiciónde linealidad o no, se puede comprobar desarrollando y manipulandoalgebraicamente la función de transferencia hasta obtener una expre-sión equivalente a la (2.1.7); o sea, una fracción cuyo denominador seencuentra formado por una diferencia; luego se procede de forma aná-loga a lo establecido en el numeral 2.1. La función de transferencia



66

será manipulada algebraicamente hasta obtener la expresión equiva-lente; en ésta, tanto el numerador como el denominador dependeránde los parámetros pq X de la estructura realimentada y de las ganancias

A i de los modelos unidireccionales extraídos de la estructura al aplicarel método de desvanecimiento. La expresión equivalente será de la

forma:

) A , X ( T 1

) A , X ( N

i pq

i pq

i

o

ee

−= ..........(4.4.1)

Para comprobar la linealidad de la estructura realimentada bastacon estudiar el polinomio del denominador de la relación (4.4.1).

En aquellos caso que tanto los pq X como las i A sean indepen-

dientes de la frecuencia, el comportamiento de la estructura realimen-

tada será lineal cuando se cumpla:

1 0− >T X A pq i( , ) ..........(4.4.2)

La expresión (4.4.2) presenta un aspecto algebraico diferente de-pendiendo del tipo de amplificador modelado o del número de ellos.Siendo un amplificado el modelado; la relación (4.4.2) corresponde di-rectamente con el denominador de las relaciones (4.1.6) y (4.2.3) paramodelos de una entrada y el amplificador diferencial respectivamente:

1 031− ⋅ > X A ........(4.4.3)

1 031 32 2 31 32− − − + > A X X X X d

Ac( ) ( ) .........(4.4.4)

1 03 3− − > A X A X d d c c ...... (4.4.4-a)

En los casos de las estructuras múltiplemente realimentadas laexpresión equivalente a (4.4.2) depende del número de realimentacio-nes independientes consideradas; formalmente corresponde al produc-to del determinante de la partición que se encuentra invertida y formadapor una diferencia de dos matrices en la relación matricial (4.3.12), por elproducto de las ganancias de todos los amplificadores, Ai . Al desarro-llar tal producto se obtiene la expresión que algebraicamente presentael aspecto de (4.4.2). La expresión equivalente para el caso de tresamplificadores desvanecidos es:



67

0 A A A ) X X X X X X X X X

X X X X X X X X X (

A A ) X X X X ( A A ) X X X X (

A A ) X X X X ( A X A X A X 1

32112 ,3311 ,3213 ,3111 ,3213 ,3212 ,3113 ,3312 ,3211 ,31

13 ,3311 ,3212 ,3112 ,3313 ,3211 ,3111 ,3312 ,3213 ,31

3212 ,3313 ,3213 ,3312 ,323111 ,3313 ,3113 ,3311 ,31

2111 ,3212 ,3112 ,3211 ,31313 ,33212 ,32111 ,31

>−−−

−+++

+−+−+

+−+−−−

.........(4.4.5)

Para los casos en donde el modelo de la estructura realimentadaposea dos amplificadores unidireccionales, la expresión equivalente sepuede obtener de la relación (4.4.5) realizando el límite cuando A3 tendiendo a cero; de (4.4.5) obtiene:

0 A A ) X X X X ( A X A X 1 2111 ,3212 ,3112 ,3211 ,31212 ,32111 ,31 >−+−− .........(4.4.6)

En aquellos casos que la función de transferencia en lazo ce-

rrado de la estructura realimentada, dada por (4.4.1) dependa de lafrecuencia bastará comprobar que todas las raíces del polinomio deldenominador de la expresión, o sea los polos de la función, quedenen el semiplano izquierdo; el polinomio del denominador es conoci-do como polinomio característico de la función de transferencia enlazo cerrado de la estructura realimentada. Solo se requiere quealgunos de los términos pq X o de las i A de la relación (4.4.1) sean

función de la frecuencia para que la función de transferencia en lazo

cerrado dependa de ella. Para proceder con la prueba se debe ex-presar la función de transferencia como un cociente de polinomiosen s y luego calcular las raíces del polinomio del denominador, verrelación (4.4.7); o sea:

ee

o

i

pq i

pq i

mm

mm

nn

n s X s A s

X s A s

N s

D s

a s a s a s a s

s d s d s d s

N

T ( )

( ), ( )

( ), ( )

( )

( )

( )

( )= = =

+ + + +

+ + + +−−

−

−−1

11

1 00

11

1 00

L

L

los polos serán las raíces de:

D s s d s d s d snn

n( ) = + + + + =−−

11

1 00 0L ......... (4.4.7)



68

4.5 CONSIDERACIONES SOBRE LA

RESPUESTA DE FRECUENCIA DE

ESTRUCTURAS REALIMENTADAS

En general, en una estructura realimentada para obtener ladependencia de frecuencia de la relación salida entrada basta conconsiderar que cada uno de los términos de las relaciones (4.1.6), (4.2.4) ó (4.3.12) son funciones de frecuencia:

ee

o

ii o

i o s X s

X s A s X s

X s A s( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )= +

⋅ ⋅

− ⋅

1 3

311 ..........(4.5.1)

ee

o

ii o

d i d c i c

d d c co s X s

A s X s A s X s

A s X s A s X s X s( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )= +

⋅ +

− −1 3 33

..........(4.5.2)

[ ] [ ][ ]ee

o

i

i o o o n o

n

n

n

n n

s X s X s X s X s

A s

A s

A s

X s X s X s

X s X s X s

X s X s X

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

= •

•

−

−

31 32 3

1

2

31 11 32 11 3 11

31 12 32 12 3 12

31 1 32 1 3

10 0

0 0

0 0

1

L

L

LM M M M

L

L

LM M L M

L n n

i

i

i n s

X s

X s

X s,

,

,

,( )

( )

( )

( )1

11

12

1

1

−

M

..........(4.5.3)

Racionalizando las relaciones (4.5.1), (4.5.2) y (4.5.3) se obtie-ne la función de transferencia de la estructura realimentada expresadacomo un cociente de polinomios de s, de la forma:

ee

o

i

mm

mm

nn

n s N s

D s

a s a s a s a s

s d s d s d s( )

( )

( )= = + + + +

+ + + +

− −

−−

11

1 00

11

1 00

L

L ..........(4.5.4)

donde: m n≤



69

Expresando el numerador y denominador de (4.5.4) en formade producto se obtiene la función de transferencia de la estructurarealimentada en función de sus polos y ceros:

ee

o

im

m

n

s a s z s z s z

s p s p s p( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )=

− − −

− − −1 2

1 2

L

L ......... (4.5.5)

donde:

ma : Coeficiente de m s del numerador.

i z : Raíces del polinomio numerador.

i p : Raíces del polinomio denominador.

En general, cuando la función de transferencia bajo estudio seaadimensional y la estructura realimentada posea un sólo elementodependiente de frecuencia; la ubicación del polo de la función detransferencia siempre se podrá determinar como el inverso de la cons-tante de tiempo asociada con elemento reservorio de energía y la re-sistencia Thévenin que ve el elemento en la estructura realimentada; osea, aplicando las relaciones (5.1.6), (5.2.12) o (5.3.1) según el casoparticular bajo estudio, para calcular la resistencia. En cambio, el efec-to de la realimentación sobre la ubicación del cero solamente puedeser determinado por medio de un análisis completo, ver relación(4.5.5).

En aquellos casos que se desea considerar la aproximación debanda ancha en la estructura. O sea, considerar los efectos en baja yalta frecuencia por separado; y luego combinar las dos expresionespara obtener la función de transferencia total. Tal proceder debe con-ducir a relaciones para baja y alta frecuencia de la forma:

ee

o

im

b b

b b

sbaja

a s z s z

s p s p( )

( )( )

( )( )=

− −

− −1 2

1 2

L

L ......... (4.5.6)

ee

o

im

a a

a a

salta

a p p

s p s p( )

( )( )=

− −1 2

1 2

L

L ......... (4.5.7)

Expresiones que combinadas permiten obtener la respuesta defrecuencia completa:



70

ee

o

im

b b

b b

a a

a a

s a s z s z

s p s p

p p

s p s p( )

( )( )

( )( ) ( )( )=

− −

− − − −1 2

1 2

1 2

1 2

L

L

L

L ..........(4.5.8)

Obtener expresiones que posean la estructura algebraica dadapor (4.5.6) y (4.5.7) a partir de las expresiones (4.5.1), (4.5.2) ó (4.5.3)

requiere que el término ) s( X oi sea nulo; de otra forma es imposiblefactorizar en las expresiones (4.5.6) y (4.5.7) el mismo factor am ; factorcomún requerido para obtener la respuesta completa dada por la rela-ción (4.5.8).

4.6 ESTRUCTURAS LINEALES A TRO-

ZOS

Conceptualmente todos los dispositivos electrónicos son no linea-les; en la mayoría de los casos, para su uso se polarizan en un puntodado de sus características, llamado punto de polarización o trabajo, yluego su comportamiento se representa por un modelo lineal, que esvalido en un entorno del punto de operación. En aquellos casos en loscuales las variables que intervienen son de una magnitud tal que la va-

riación del punto de trabajo sea relativamente amplia y como conse-cuencia el modelo lineal no sea valido; el análisis de la estructura serealiza empleando relaciones no lineales, generalmente llamado res-puesta a gran señal. En general, el dispositivo electrónico que más fre-cuentemente se encuentra operando para gran señal en una estructuraes el diodo; en muchos casos, para evitar el análisis no lineal de la es-tructura, estos dispositivos pueden ser representados por modelos linea-les a trozos continuos. También es común emplear estos modelos, linea-les a trozos continuos, para representar la característica entrada salida

de las fuentes controladas y de esta forma representar las limitacionesque en su comportamiento imponen las fuentes de polarización emplea-das.

Todos los conceptos y procedimientos descritos en los anterio-res numerales pueden ser empleados cuando en la estructura analiza-da se incluyen dispositivos no lineales, cuyos modelos se puedan re-



71

presentar por un conjun-to de segmentos linea-les a trozos sin disconti-nuidades; como porejemplo el modelo de undiodo. En estos casos,

la solución general delsistema será la super-posición adecuada delas soluciones de laestructura considerandotodos y cada uno de losposibles circuitos equi-valentes de la estructu-ra; estos circuitos se

obtienen al tomar cada uno de los segmentos lineales de los modelosy sus combinaciones. Tal procedimiento se conoce como solución li-neal a trozos (piece-wise lineal) y es sumamente útil ya que permite,dada una forma de onda de entrada, hallar la correspondiente formade salida. Estas estructuras generalmente son empleadas para obte-ner una característica de transferencia especifica, definida por un conjunto de segmentos rectos en el plano formado por la variable de sali-da tomada como depen-diente y como indepen-diente la de entrada,como se indica en lafigura 4.6.1.

Se debe aclararque la presencia defuentes controladas,amplificadores, en laestructura permite obte-

ner características detransferencias cuya sa-lida posea discontinui-dades; dando comoresultado una caracte-rística como se muestra

o

i

FIGURA 4.6.1 CARACTERÍSTICA DE TRANSFE-

RENCIA LINEAL A TROZOS.

X vi = 1

X i

X o

X vi = =1 0

FIGURA 4.6.2 CARACTERÍSTICA DE TRANSFE-

RENCIA LINEAL A TROZOS DIS-CONTINUA.



72

en la figura 4.6.2. Lademostración de talaseveración se realiza-rá para una estructurarealimentada que po-sea dos diodos, cuyos

modelos se represen-tará por dos rectas quese corten y sean vali-dos solo en las semi-rrectas que represen-tan el estado de con-ducción o no de cada uno de ellos; tal particularidad no restringe lageneralidad de la demostración. En estas condiciones la estructurapose tres entradas: dos de ellas consideradas constantes y denomina-

das X a y X b, que en general corresponden a los niveles de tensión o co-rriente obtenidos de los modelos de los diodos; la otra entrada, llamada X i y considerada como la variable independiente de la característica detransferencia que se desea obtener al representar en un plano la sali-da de la estructura X 0 en función de la entrada X i ; como se indica, de

forma general, en la figura 4.6.3. Al sustituir los 2 diodos por cada uno

de sus modelos lineales, se obtienen los 22 posibles circuitos equiva-lentes de la estructura; o sea, en cada uno de los circuitos equivalen-

tes se contemplará el modelo correspondiente a uno de los segmentosde rectas, con los cuales se representa el modelo lineal de cada diodo.Para todos los circuitos equivalentes se identifica la misma estructuraunidireccional; o sea el mismo amplificador. Consideremos dos estruc-turas modificadas equivalentes al sistema original, y procedamos co-mo se establece en los numerales anteriores. Un diagrama de bloquespara las estructuras modificadas se encuentra en la figura 4.6.4.

Bajo tales condiciones, se obtiene la variable de salida de am-

bas estructura; las cuales serán de la forma indicada por la relación4.6.1:

−++

−++

−+=

m ,13

m ,03m ,1bm ,0bb

m ,13

m ,03m ,1am ,0aa

m ,13

m ,03m ,1im ,0iim ,o

X A1

X A X X X

X A1

X A X X X

X A1

X A X X X X

......... (4.6.1)donde:

ESTRUCTURA REALIMENTADAELEMENTOS NO LINEALES

MODELOS LINEALES A TROZOSCONTINUOS

i

ao

b

O

O

FIGURA 4.6.3 ESTRUCTURA REALIMENTADA QUEPOSEE ELEMENTOS NO LINEALESMODELADOS COMO LINEALES ATROZOS CONTINUOS.



73

m ,0 X : Variable de salida de la estructura denominada m .

i X : Entrada considerada como variable independiente.

m : Índice del circuito equivalente obtenido al representarlos estados de los elementos no lineales por la com-binación denominada m .

m ,k j X : Parámetro k j X determinado en la estructura modifi-cada denominada m .

a X , b X : Entradas consideradas constantes. A : Estructura unidireccional identificada.

Del análisis la relación (4.6.1) se tiene que la suma de los dosúltimos términos corresponde al término independiente de la recta querepresenta la característica de transferencia para estructura modifica-da denominada m . Para un valor dado de la variable independiente,

k X i = , admitamos que cambia de estado un elemento no lineal; alcambiar de estado el elemento no lineal; o sea, de modelo, se tendráque estudiar otra estructura que denominaremos m + 1 ; resultando delanálisis una expresión similar a la (4.6.1) para describir el comporta-miento de la salida 1m ,0 X + ; en donde los parámetros 1m ,q p X + pueden

ser diferentes, por ser diferente el circuito equivalente de la estructuraal incluir el nuevo modelo del elemento no lineal que cambio de estado.

Considerando lo expuesto anteriormente, basta que la suma delos últimos dos términosde los segundos miem-bros de las expresionestomen un valor diferentepara obtener una dis-continuidad vertical enla característica detransferencia; siempre y

cuando la conmutacióno cambio de estado delelemento no lineal noocurra para el valor dela variable independien-te donde las dos expre-

3

0

Σ 01

Σ

i o,m

i 1,m

3 1 m

3 o,m

i

i

a

aa 1,m

b

bb 1 m

a o,m

b o m

FIGURA 4.6.4 DIAGRAMA DE BLOQUES. SISTEMALINEAL A TROZOS.



76

dos puntos arbitrarios a y a' entre los cuales sedesea calcular la impe-dancia. El sistema conlos puntos a y a' identi-ficados se reproduce en

el diagrama de bloquesde la figura 5.1.1; dondepor claridad del dibujo seomiten los puertos deentrada y salida origina-

les. Entre los puntos a y a' se coloca una fuente de corriente ai co-

mo excitación, la tensión av se considerará como la salida del siste-

ma; nótese que la impedancia deseada no es más que la relación en-

tre la salida del sistema y la excitación aplicada.

De una manera similar a la empleada para obtener el sistemade ecuaciones (4.1.2) se tiene:

=

+=

+=

A

X X

X X

13

3131ia1

o33ioaa

eeeieeiv

..........(5.1.1)

Del sistema (5.1.1) se obtiene:

A X 1

X A X X

31

o31iio

a

a

iv

⋅−

⋅⋅+=

A X 1

X X A1

X 31

X

X 1i31

io

a

a io

o3

iv

⋅−

−−

= ..........(5.1.2)

En el circuito de la figura 5.1.1 hagamos que la tensión de sali-da sea nula; para esto unimos los puntos a y a' . Del sistema (5.1.1):

+=

+=

3131ia1

o33ioa

X X

X X 0

eieei

..........(5.1.3)

SISTEMA

MODIFICADO

e1 +

-

e3⋅ e

va

iaa’

a

FIGURA 5.1.1 IMPEDANCIA ENTRE DOS PUNTOS

DE UN SISTEMA REALIMENTADO.



77

despejando ia de la primera relación y sustituyéndola en la segunda,

del sistema anterior, se tiene:

io

o31i31

3

1

X

X X X e

e−= ..........(5.1.4)

Relación que por definición es 31 X , evaluada con los puntos a y a' en cortocircuito; por lo tanto:

io

o31i31

cerradocircuito' a ,a31

X

X X X X −= ..........(5.1.5)

sustituyendo (5.1.5) en (5.1.2) e imponiendo las condiciones de lospuntos se tiene:

abiertocircuitoen' a ,a31

cerradocircuitoen' a ,a31

ioa

a

X A1

X A1

X iv

⋅−

⋅−

=

que por definición es la impedancia deseada:

caen' a ,a31

ccen' a ,a31' aa f ' aa

X A1

X A1 Z Z

⋅−

⋅−= ..........(5.1.6)

donde:

f ' aa Z : Impedancia entre los puntos a y a' del

sistema realimentado.

' aa Z : Impedancia entre los puntos a y a' con

el amplificador A desvanecido.

ccen' aa A X 1 31 ⋅− : Factor de realimentación del sistema con

los puntos a y a' en corto circuito.

caen' aa A X 1 31 ⋅− : Factor de realimentación del sistema con

los puntos a y a' en circuito abierto.

La ecuación (5.1.6) representa la impedancia entre los puntosa y a' del circuito realimentado y se conoce en la teoría de circuitoseléctricos como la relación de Blackman.



79

la salida del sistema en función de la entrada es:

vi

a

a

ioi i

o X X A X A

X A X A X = +

⋅ + ⋅

− ⋅ − ⋅1 1 2 2

32 2 31 1

31

..........(5.2.2)

v

ia

a

io

i io

io

X

X A X A X A X A X

X

X A X A=

− ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅

− ⋅ + ⋅

1

1

32 2 31 1 1 1 2 23

32 2 31 1

( ) ( )

( ) ..........(5.2.3)

vi

a

a

io

i

io

oi

io

o

X

A X X

X X A X

X

X X

X A X A=

− − − −

− ⋅ + ⋅

1

1

2 322

3 1 311

3

32 2 31 1

( ) ( )

( ) ..........(5.2.4)

Al imponer que la tensión va sea nula; o sea, uniendo los pun-

tos a y a' se tiene:

0 3 3

1 1 3 31

2 2 3 32

3 1 1 2 2

= += +

= +

= +

i ee i ee i ee e e

a io o

a i

a i

X X

X X

X X

A A

..........(5.2.5)

del sistema (5.2.5) se obtiene:

ee X

X

X X X o

io

i a a en cc

1

3

313

1 31= − ≡'

..........(5.2.6)

ee X

X

X X X o

io

i a a en cc

2

3

323

2 32= − ≡'

..........(5.2.7)

sustituyendo (5.2.6) y (5.2.7) en (5.2.4) se tiene:

vi

a

a

io

a a en ca

a a en cc

X

X A X A

X A X A

=− ⋅ + ⋅

− ⋅ + ⋅

1

1

32 2 31 1

32 2 31 1

( )

( )

'

'

..........(5.2.8)

la relación (5.2.8) por definición es la impedancia entre los puntos a ya' .



80

caen' aa131232

ccen' aa131223

' aa f ' aa

) A X A X ( 1

) A X A X ( 1

Z Z

⋅+⋅−

⋅+⋅−

= ..........(5.2.9)

dado que:

X X X A A A A A A X X X d d c d c c31 32 3 1 212 31 32 32 2− = = + = − + + =/ / ( )

de (5.2.9):

Z Z A X X X

A X X X aa f aa

d d A

a a en cc

d d A

a a en ca

c

c' '

, '

, '

( )

( )=

− ⋅ − +

− ⋅ − +

1

1

3 2 31 32

3 2 31 32

........(5.2.10)

Z Z A X A X

A X A X aa f aa

d d c c a a en cc

d d c c a a en ca' '

, '

, ' =

− ⋅ −

− ⋅ −

1

1

3 3

3 3

........(5.2.11)

Cuando la ganancia modo común se pueda despreciar se tiene:

Z Z A X

A X aa f aa

d d a a en cc

d d a a en ca' '

, '

, ' =

− ⋅

− ⋅

1

1

3

3

........(5.2.12)

cada uno de los términos de las dos relaciones anteriores se encuen-tran definidos en los puntos anteriores.

5.3 IMPEDANCIA ENTRE DOS PUNTOSARBITRARIOS DE UN SISTEMAMÚLTIPLEMENTE REALIMENTADO

Para evaluar la impedancia entre dos puntos arbitrarios en unaestructura múltiplemente realimentada basta con obtenerla por defini-ción. Para lo cual se puede utilizar la expresión (4.3.12 ), empleando

como excitación una fuente de corriente, conectada entre los puntosque se desea conocer la impedancia. En la figura 5.3.1 se encuentrala estructura modificada del sistema múltiplemente realimentado; a la

cual entre los puntos a y a' , se le aplica como excitación la fuente de

corriente de prueba ia ; así mismo, se define av como la salida del

sistema. Por lo tanto, al particularizar la ecuación (4.3.12) para la es-



81

tructura considerada seobtiene la impedanciadeseada y dada por(5.3.1). Notar que para lailustración consideradaen la figura 5.3.1, donde

todas las estructurasunidireccionales son mo-deladas como fuentes detensión controladas portensión, todos los ele-mentos de la expresiónmatricial relacionadosentre la entrada al sistema y todas las salidas de la estructura modifi-cada poseen dimensión de impedancia; la presente ilustración es un

caso particular, en cada caso planteado se debe tener presente lasdimensiones de los elementos de la expresión matricial.

[ ] [ ][ ]V X X X X

X X X

X X X

X X X

X

X

X

a

a

i o o o n o

A

A

A

n

n

n n n n

i

i

i

i

n

= •

•

−

−

31 32 3

1

1

1

31 11 32 11 3 11

31 12 32 12 3 12

31 1 32 1 3 1

11

12

11

2

0 0

0 0

0 0

1

, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

,

,

L

L

L

M M L M

L

L

L

M M L M

L

M

,1n

..........(5.3.1)

Analizando los términos que forman el resultado de la relación(5.3.1) y representa la impedancia entre los puntos a y a' , se puedendeterminar las condiciones para las cuales la realimentación presenteen la estructura no la alteran. El elemento oi X del vector fila M S repre-

senta la impedancia entre los puntos cuando todas las fuentes controla-das son anuladas; por lo tanto, la tensión entre sus extremos es exclusi-vamente función de la fuente independiente empleada como excitación,y por definición es la impedancia entre los puntos sin realimentación.Dado que la estructura es realimentada la matriz diferencia de la rela-ción (5.3.1) será no nula; en consecuencia, los restantes elementos del

+

-

SISTEMA

MODIFICADOia

va

e11

e31

a’

a

e3n

+

- A1 e11

e1n

An e1n+

-

FIGURA 5.3.1 IMPEDANCIA ENTRE LOS PUNTOS

a y a' . SISTEMAMÚLTIPLEMENTE REALIMENTADO.ESTRUCTURA MODIFICADA.



82

vector fila M S , o todoslos del vector columna

M E , deben ser nulospara que la impedan-cia entre los puntos a y a' no cambie con la

realimentación.

Considerando el sentido del fluir la información en la estructurarealimentada, se presentan dos situaciones para las cuales la impe-dancia entre dos puntos no es alterada por la realimentación; o sea, esindependiente de ella. Cuando en el vector fila M S son nulos los elemen-

tos diferentes al oi X , los puntos a y a' se encuentran más adelante

que las salidas de todas las fuentes controladas; como ocurre con laimpedancia de salida de una estructura realimentada que posea una

última etapa unidireccional no realimentada localmente; ver figura 5.3.2.

Para los casos donde el vector columna M E de la relación (5.3.1)

es nulo; puntos a y a' se encuentran en una etapa unidireccional norealimentada que precede la estructura realimentada; ver figura 5.3.3.

Nótese que en general, cuando la impedancia entre dos puntosarbitrarios a y a' no es modificada por la realimentación; los paráme-tros circuitales contenidos en el elemento oi X del vector fila de la rela-

ción (5.3.1) no se encuentran en ningunos de los elementos que formala matriz de realimenta-ción; o sea, la realimenta-ción es independiente dela impedancia propia quepresenta la estructuraentre los puntos arbitra-rios a y a' , cuando seanulan las fuentes contro-

ladas.

Para estas estructuras, múltiplemente realimentadas, la relaciónde Blackman se puede obtener de manera similar a la utilizada en losanteriores numerales y demostrar por inducción; la cual resulta largapara incluirla. La expresión toma la forma general dada en (5.3.2), don-de los términos fueron definidos anteriormente.

ULTIMA

ETAPA ESTRUCTURA

REALIMENTADA

va

a’

aia

FIGURA 5.3.2 IMPEDANCIA DE SALIDA NOALTERADA POR LA

REALIMENTACIÓN.

ESTRUCTURA

REALIMENTADA ETAPA

PREVIA

va

a’

aia

FIGURA 5.3.3 IMPEDANCIA DE ENTRADA NOALTERADA POR LAREALIMENTACIÓN.



83

caen' a ,ak 1 , j3

1

ccen' a ,ak 1 , j3

1

' aa f ' aa X A

X A

Z Z −

−

=−

−

.........(5.3. 2)

Para el caso particular que se consideren tres amplificadores en

la estructura múltiplemente realimentada, desarrollando los determinan-tes de la expresión (5.3.2) y simplificando se tiene:

caen´ aa32112 ,3311 ,3213 ,3111 ,3213 ,3212 ,3113 ,3312 ,3211 ,31

13 ,3311 ,3212 ,3112 ,3313 ,3211 ,3111 ,3312 ,3213 ,31

3212 ,3313 ,3213 ,3312 ,323111 ,3313 ,3113 ,3311 ,31

2111 ,3212 ,3112 ,3211 ,31313 ,33212 ,32111 ,31

ccen´ aa32112 ,3311 ,3213 ,3111 ,3213 ,3212 ,3113 ,3312 ,3211 ,31

13 ,3311 ,3212 ,3112 ,3313 ,3211 ,3111 ,3312 ,3213 ,31

3212 ,3313 ,3213 ,3312 ,323111 ,3313 ,3113 ,3311 ,31

2111 ,3212 ,3112 ,3211 ,31313 ,33212 ,32111 ,31

´ aa f ´ aa

A A A ) X X X X X X X X X

X X X X X X X X X (

A A ) X X X X ( A A ) X X X X (


A A A ) X X X X X X X X X

X X X X X X X X X (

A A ) X X X X ( A A ) X X X X (


Z Z

−−−

−+++

+−+−+

+−+−−−

−−−

−+++

+−+−+

+−+−−−

⋅=

..........(5.3.3)

En los casos que la estructura posea dos amplificadores, paraobtener la expresión correspondiente, simplemente realizamos el límitede (5.3.3) cuando 3 A tiende a cero:

caen´ aa2111 ,3212 ,3112 ,3211 ,31212 ,32111 ,31

ccen´ aa2111 ,3212 ,3112 ,3211 ,31212 ,32111 ,31

´ aa f ´ aa A A ) X X X X ( A X A X 1

A A ) X X X X ( A X A X 1 Z Z

−+−−

−+−−⋅=

..........(5.3.4)

Considerando un amplificador unidireccional se obtiene comoresultado del límite la relación (5.1.6).



84

5.4 MODIFICACIÓN DE LA IMPEDAN-CIA ENTRE DOS PUNTOS DE UNAESTRUCTURA

Alterar el nivel de la impedancia entre dos nodos, pertenecientesa una estructura que contenga fuentes controladas, se puede realizarempleando los conceptos establecidos en los numerales anteriores.En estos casos, la realimentación es utilizada para modificar la impe-dancia entre dos puntos de la estructura; generalmente los nodos co-rresponden con los de salida o entrada de la estructura y el efecto quese pretende obtener al añadir la realimentación es la idealización de

los parámetros pasivos que permiten definir a la estructura resultantecomo un cuadrípolo activo. Como por ejemplo; modelando toda la es-tructura resultante como un amplificador de tensión, la realimentaciónañadida incrementará la impedancia de entrada y disminuirá la de sa-lida; si el modelo corresponde con un amplificador de corriente, elefecto que ejerce la realimentación es todo lo contrario, disminuye lade entrada y aumenta la de salida.

En general, para modificar n impedancia en una estructura seránecesario añadir n lazos independientes de realimentación en la es-

tructura original. Sin embargo, existen estructuras cuyas topologíasson tales que basta un solo lazo de realimentación para modificar si-multáneamente las impedancias de entrada y salida en el sentido de-seado; estas topologías son particulares y ampliamente utilizadas.

Por lo establecido en los numerales anteriores, la impedanciaentre dos nodos que se quiere modificar corresponderá con el término

aa Z de las relaciones (5.1.6), (5.2.9) ó (5.3.1); términos que son equi-

valentes al oi X de la estructura modificada con el propósito de inter-

pretar la impedancia como una función entrada salida de la estructurarealimentada y realizar su análisis empleando los procedimientos es-tablecidos en los numerales mencionados. También se establece quela realimentación modificará los niveles de impedancia cuando todos oalgunos de los elementos circuitales que intervienen en oi X se en-



85

cuentran presente en el argumento de los elementos de la matriz R M

o su equivalente. Adicionalmente, dado que la estructura es suscepti-ble de ser realimentada, que posee fuentes controladas, siempre se lepodrá asignar a parte de la estructura original, delimitada por tres no-dos, la característica de unidireccionalidad indispensable para aplicarel procedimiento; concepto que se puede extender a un punto de una

rama interior a la región delimitadas por los tres nodos, con la condi-ción que por ella circule toda la información que es transferida de laentrada a la salida del equivalente delimitado por los tres nodos; y enconsecuencia la expresión para la impedancia entre dos nodos de unaestructura siempre podrá ser evaluada mediante la relación (5.1.6),donde se le asigne a la ganancia del amplificador modelado el valorunitario que resulta al modelar un punto de una rama con la propiedadmencionada, como se indica en la relación (5.4.1):

caen' a ,a31

ccen' a ,a31oi f ' a ,a X 11

X 11 X Z ´

⋅−⋅−= .............................(5.4.1)

Analizando la estructura algebraica de la relación (5.4.1) se pue-de concluir que al añadir un lazo de realimentación en una estructura,con el fin de alterar el nivel de impedancia entre dos nodos, que si bienel término oi X es alterado, la influencia o efecto de la realimentación

se manifiesta fundamentalmente en el cociente formado por los facto-

res de realimentación de la estructura; por lo tanto, la realimentaciónañadida debe ser tal que el valor de los términos 13 X , con los puntos a

y á condicionados adecuadamente, sean tales que propicien el resul-

tado; o sea, para aumentar la impedancia el término ccená ,a13 X debe

mayor que caená ,a13 X , puesto que la ganancia A del modelo unidirec-

cional reconocido es constante y la estructura opera linealmente. Enaquellos casos en los cuales el cambio deseado sea disminuir el nivelde la impedancia, la relación entre los valores de los parámetros

13 X

será todo lo contrario. La modificación extrema en los niveles de impe-dancia entre los puntos a y á, cuando se desea que la impedancia seanula o infinita, se puede lograr imponiendo en las relaciones (5.4.1) elvalor cero o infinito, dado que el término oi X puede ser muy grande o

muy pequeño pero acotado. Considerando la relación (5.4.1), lo ex-



86

puesto anteriormente es equivalente a condicionar los parámetros 13 X

según el valor deseado de la impedancia.

Para ∞=′ f aa

Z ´

=⋅−

≠⋅−

⇒∞=⋅−

⋅−

0 X 11

0 X 11

X 11

X 11

caen' a ,a31

ccen' a ,a31

caen' a ,a31

ccen' a ,a31

por lo tanto, considerando que la estructura opera linealmente se tie-ne:

=

<

1 X

1 X

caen' a ,a31

ccen' a ,a31 .............................(5.4.2)

Para 0 Z f aa = , procediendo de manera similar se obtiene:

<

=

1 X

1 X

caen' a ,a31

ccen' a ,a31 .............................(5.4.3)

En aquellos casos que los niveles de la impedancia deseada nocorrespondan con los niveles extremos, los parámetros 13 X corres-

pondientes deben seguir la tendencia impuesta por las relaciones(5.4.2) y (5.4.3) según el caso, pero no alcanzar el valor definido en las

relaciones respectivas.Para una estructura particular, los lineamientos generales descri-

tos anteriormente permiten establecer el recorrido externo al amplifica-dor, aquel que completa el lazo para la realimentación añadida a laestructura; o sea, establecer en la estructura original cuales son losdos nodos por los cuales se cierra el lazo que satisface las condicio-nes necesaria para obtener el cambio en el nivel de la impedancia; ycalcular de esta forma la expresión del 13 X correspondiente, en fun-

ción de los elementos del circuito. Una vez obtenida la expresión literaldel parámetro 13 X , basta con determinar el valor de los elementos

añadidos para cerrar el lazo que satisfacen las relaciones establecidaspor las relaciones (5.4.2) o (5.4.3). Generalmente por ser éste un casotípico de diseño, donde se tienen más incógnitas que ecuaciones, elprocedimiento plantea un sistema de ecuaciones indeterminado con



87

infinitas soluciones; asignando el valor de algunos parámetros circuita-les se podrá obtener una solución particular. Estos lineamientos gene-rales permiten establecer las siguientes relaciones:

Independiente de las condiciones que se impongan a los puntosa y á, por encontrarse la estructura operando linealmente se tendrá:

1 X 31 < .............................(5.4.4)

Para disminuir la impedancia entre los puntos a y á se debecumplir con:

ccen' a ,a31caen' a ,a31 X X < .............................(5.4.5)

Cuando el efecto deseado sea aumentar la impedancia entre lospuntos a y á se debe cumplir con:

ccen' a ,a31caen' a ,a31 X X > .............................(5.4.6)

Analizando la topología de una estructura particular e imponerque se satisfagan las relaciones (5.4.4), (5.4.5) o (5.4.6) y simultánea-mente incluir el hecho que algunos de los elementos circuitales queconstituyen la impedancia entre los puntos a y á de la estructura origi-nal, la que se realimentará para obtener el cambio en el nivel de impe-dancia, se encuentren como argumento en los parámetros 31 X , permi-

te seleccionar los nodos de la estructura original entre los cuales se

colocarán los elementos añadidos para cerrar el lazo. Al modelar unpunto como estructura unidireccional, los propios terminales de todoslos elementos activos de la estructura original serán los nodos aptosde utilizar para la realimentación; aquellos terminales que por su ubi-cación se encuentren más adelante que el amplificador modelado, conrelación al fluir de la información en la estructura, son elegibles comonodos fuentes, de donde fluye la información hacia otro nodo que pre-ceda al amplificador considerado. Al calcular la expresión del término

31 X correspondiente e imponer la condición de linealidad, relación

(5.4.4), quedarán excluidas algunas alternativas. Imponiendo la condi-ción establecida por una de las relaciones (5.4.5) o (5.4.6), según elcaso, se obtienen todos los posibles pares de nodos entre los cualescolocando uno o varios elementos circuitales se consigue el cambio deimpedancia deseado.



88



89

6 OSCILADORES LINEALES

En este capítulo se estudiará el comportamiento de una estructu-ra realimentada capaz de suministrar por sus propios medios una se-ñal de salida sinusoidal.

Tal estructura es denominada oscilador lineal; en ella se encuen-tran tres partes funcionales que establecen las líneas generales y

hacen posible su funcionamiento:a.- Desplazador de fase; determina la frecuencia de oscilación.

b.- Amplificador; compensa las perdidas que sufre la señal al reco-rrer la trayectoria de realimentación.

c.- Limitador; acota la amplitud de la señal de salida.

En general, las estructuras que forman un oscilador no se en-cuentran diferenciadas de manera clara en las partes mencionadas; talclasificación es conceptual. Por ejemplo, el propio amplificador puedecontribuir al desplazamiento de fase; y en algunos casos también con-forma el limitador, empleado para esta función la dependencia de suganancia con la magnitud de la tensión de salida.



91

β ⋅+==

A X X X eiCte X

eo

..........(6.1.4)

La solución de la relación (6.1.4), condicionada a mantener lasalida constante es:

1 A

0 X A X X X

iei

Cte X e

o =⋅

=

→⋅+== β β ..........(6.1.5)

O sea, asignar al pro-ducto A ⋅ β un valor unitario es

equivalente a mantener lamisma señal de salida dadapor (6.1.2). Nótese que paraeste valor del producto A ⋅ β

no se requiere señal de entra-da al sistema realimentado; osea, se puede disponer desalida en el sistema sin apli-carle entrada; como se indica en la figura 6.1.2. El sistema generauna señal de salida con las mismas características que tenia antesde ser modificado. En general, los bloques que constituyen el siste-ma realimentado poseen dependencia de frecuencia; por tal razón lasolución de la relación (6.1.5) es una solución compleja y como tal se

debe resolver considerando la solución simultánea de sus partes,real e imaginaria. Será equivalente al sistema:

=⋅

=⋅

0 β )(A Im

1 β )(A Re ..........(6.1.6)

Generalmente la solución de la parte real del sistema (6.1.6) suministra la información requerida para determinar bajo cuales condi-

ciones el sistema es capaz de suministrar la energía que lo mantieneoscilando; en otras palabras, compensar las perdidas que ocasionanlos elementos disipativos que se encuentran en la trayectoria de reali-mentación. Por otro lado, la parte imaginaria impone la frecuencia dela señal de salida para la cual ocurre la condición anterior.

X e X o

β (s)

Σ

+

f

A(s)

AMPLIFICADOR


ENTRADA NULA.



92

6.2 DETERMINACIÓN DE LAS CONDI-CIONES DE OSCILACIÓN

Para que el comporta-miento de una estructura re-alimentada como la indicadaen la figura 6.2.1 se comportecomo un oscilador basta condeterminar bajo cuales res-tricciones se cumplen lascondiciones impuestas por larelación (6.1.6). En general,

como se indica en la figura6.2.1 cada uno de los términos del producto A ⋅ β son funciones de

frecuencia; por lo tanto, el producto se podrá expresar como:

) s( D ) s( D

) s( N ) s( N

sd sd sd sd

sn sn sn sn

) s( D

) s( N ) s( A ) s(

i p

i p

001

1n1n

nn

001

1m1m

mm

+

+=

++++

++++==⋅

−−

−−

L

L β .....(6.2.1)

donde: ) s( N p : Parte par del polinomio del numerador.

) s( N i : Parte impar del polinomio del numerador. ) s( D p : Parte par del polinomio del denominador.

) s( Di : Parte impar del polinomio del denominador.

Imponer las condiciones dadas por (6.1.6) a la relación (6.2.1) es:

[ ][ ][ ][ ]

[ ][ ]1

2 2=

+

+ =

+ −

+ − =

+ −

−

N s N s

D s D s

N s N s D s D s

D s D s D s D s

N s N s D s D s

D s D s

p i

p i

p i p i

p i p i

p i p i

p i

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

N s D s N s D s

D s D s

N s D s N s D s

D s D s

p p i i

p i

i p p i

p i

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

−

− =

−

− =

2 2

2 2

1

0

..........(6.2.2)

X e X o

β (s)

A(s)

AMPLIFICADOR

FIGURA 6.2.1 OSCILADOR LINEAL.



94

En el capítulo 4 se determinó que el producto β ⋅ A de un sis-

tema realimentado es siempre equivalente a una expresión; además,que dicha expresión se encuentra totalmente definida por los procedi-mientos planteados en el capítulo. La forma algebraica de tal expre-sión cambia de acuerdo al tipo de amplificador unidireccional recono-cido y modelado para el análisis del sistema realimentado. Cuando

simplemente es un amplificador la expresión algebraica posee la for-ma:

A X A 31 ⋅=⋅ β ..........(6.2.8)

en cambio, cuando el amplificador es diferencial la equivalencia pre-senta una estructura algebraica diferente, corresponde con:

c3cd 3d X A X A A −=⋅ β ..........(6.2.9)

Por lo tanto, las equivalencias dadas por (6.2.8) y (6.2.9) pueden

ser empleadas para encontrar el cociente de polinomios, ver (6.2.1), yaplicar directamente las relaciones (6.2.6) ó (6.2.7) según sea el caso.

Generalmente las estructuras múltiplemente realimentadas querequieran de un análisis tal que sea pertinente obtener una relaciónsimilar a la dada por (4.3.12) no son empleadas para construir oscila-dores; no obstante el procedimiento es aplicable para tales expresio-nes. En las estructuras empleadas como osciladores que poseen másde una trayectoria cerrada algunas de ellas son locales y las restantes

se anulan al desvanecer una fuente controlada. Las trayectorias loca-les son para controlar las especificaciones de una estructura activaque forma parte del amplificador del oscilador y las restantes, son larealimentación que establece las condiciones de operación del oscila-dor; esta trayectoria de realimentación puede estar formada por variostérminos aditivos.

En los osciladores reales se puede considerar que el proceso deoscilación comienza debido a la señal de ruido presente en todo circui-to. Por ser tal señal ruido blanco, contendrá una componente cuya

frecuencia coincide con la de oscilación; componente que inicia el pro-ceso El sistema realimentado amplifica predominantemente tal com-ponente y rechaza las restantes. En general, el amplificador real po-see una característica de salida limitada en amplitud; tal característicalimitadora es la que determina la magnitud de la tensión de salida delos osciladores.



95

6.3 OSCILADORES POLIFÁSICOS

Osciladores polifásicos son estructuras realimentadas con varias

salidas; estas estructuras son capaces de suministrar, en ausencia deexcitación, formas de ondas sinusoidales que guardan entre sí deter-minada relación, una forma de onda por cada salida definida en la es-tructura. Generalmente, cada una de las formas de ondas de salida seencuentra desfasada un ángulo que depende del número de salidas.Por cada una de las salidas deseadas; se impone, en la estructurarealimentada que constituye el oscilador, la existencia de una fuentecontrolada con la finalidad de asegurar la independencia de funciona-miento del oscilador de las características de la carga.

Dado que la condición de oscilación, ver relación (6.1.6), es úni-ca para toda la estructura se concluye que las fuentes controladasdeben formar parte de la trayectoria cerrada; o sea, el producto A ⋅ β

equivalente de todo el sistema es una estructura que se encuentra co-nectada en cascada y debe poseer tantas secciones como salidas secontemplen para el oscilador; en cada una de las secciones debe existiral menos una fuente controlada. Asociada con cada una de las fuentes

controladas se ubica una parte de la red de realimentación; en general,es la parte de la estructura que asegura el cambio de fase entre dossalidas consecutivas.

En la figura 6.3.1 se encuentra un diagrama de bloques para unoscilador trifásico; se identifican las tres salidas, los tres amplificadoresy las tres secciones que completan la trayectoria de realimentación yaseguran la dife-rencia de fase en-tre las salidas. Enel caso particularque las salidasposean la mismaamplitud y se en-cuentren desfasa-das una de otra en

o1,e2 A1

o3,e1

A2 X o2,e3 A3

eo1 eo2 eo3

FIGURA 6.3.1 DIAGRAMA DE BLOQUES. OSCILADORTRIFÁSICO.



96

o120 los productos parciales )1i( e ,ioi X A + de la estructura serán igua-

les. Para el caso trifásico considerado, la relación (6.2.1) equivalentees de la forma:

0 j1 ) ) s( X ) s( A( A 3

e ,o +==⋅ β ..........(6.3.1)

Las condiciones de oscilación para tales estructuras se obtie-nen al considerar una salida cualquiera y proceder con lo establecidoen la sección 6.2.

Para aquellos ca-sos donde el osciladorposea dos salidas desfa-

sadas o90 y sus ampli-

tudes sean iguales, co-

nocidos con el nombregenérico de osciladoresde cuadratura, un dia-grama de bloques seindica en la figura 6.3.2. En general el producto 22e ,1o A X ⋅ es un inte-

grador, que a la frecuencia de operación del oscilador introduce el des-

fasaje de o90 requerido entre las dos salidas.

Considerando la ganancia de lazo de la estructura y procediendocon lo establecido en la sección 6.2, se obtienen las condiciones deoscilación:

0 j1 ) s( X ) s( A ) s( X ) s( A A 1e ,2o22e ,1o1 +==⋅ β ..........(6.3.2)

6.4 ESTABILIDAD EN FRECUENCIA

Una de las características más relevantes de los osciladores essu frecuencia de operación. La frecuencia de la señal de salida debeser constante; independiente de los cambios que las condiciones am-bientales y el uso provoquen en los componentes de la estructura queforma el oscilador.

X o1,e2 A1

o2,e1

A2

eo1 eo2

FIGURA 6.3.2 DIAGRAMA DE BLOQUES.OSCILADOR DE CUADRATURA.



97

Las perturbaciones provocadas en los componentes de la estruc-tura por la temperatura, que es el principal factor ambiental, puedenser minimizado por la selección adecuada de los componentes; talselección consistirá en utilizar componentes que presenten un coefi-ciente de temperatura nulo, o su efecto se anulen entre ellos; de estaforma, sus valores serán independientes de los cambios que sufra la

temperatura del ambiente donde funcione el oscilador. Al emplear ta-les elementos la frecuencia de la señal de salida tiende a ser constan-te; adicionalmente a las perturbaciones causadas por la temperaturaexisten otras perturbaciones, como pueden ser: cambios de valor delos componentes por envejecimiento, dependencia del punto de ope-ración de los parámetros del amplificador, cambios en los parámetrosdel amplificador al sustituir los elementos activos que lo forman, yotros. Cuando se estudia la estabilidad de la frecuencia de la señal desalida de un oscilador se debe aclarar que tal estudio se refiere a las

perturbaciones que no se pueden eliminar por selección de los com-ponentes de la estructura.

En general, se puede decir que la frecuencia de la señal de sali-da de un oscilador es función de los componentes que lo forman, ypuede cambiar ante cambios de los mismos, independientemente delorigen de tales cambios.

Dado que a la frecuencia de oscilación se requiere que la estruc-tura introduzca un corrimiento de fase nulo para mantener la oscila-

ción; al ocurrir una pequeña alteración en algún componente de laestructura, la frecuencia de oscilación cambiará hasta obtener que eldesplazamiento de fase total vuelva a ser nulo. Por tal razón, la estruc-tura del oscilador tendrá buena estabilidad de frecuencia cuando ladependencia de la fase con relación a la frecuencia sea grande; de talforma que se requiera un pequeño cambio en la frecuencia para co-rregir cualquier corrimiento de fase, provocado por los cambios en losvalores de los elementos, y restaurar que la ganancia de lazo poseauna fase igual a cero. La condición ideal para la estabilidad de fre-cuencia es cuando la dependencia de la fase con relación a la fre-cuencia sea infinita, como se indica en la relación (6.4.1):

∞== 0wwwd

d ϕ ..........(6.4.1)

La condición dada por la relación (6.4.1) es imposible de lograr



98

en una estructura real. Para un oscilador cualquiera el valor de la de-pendencia de la fase con relación a la frecuencia permite estableceruna medida de su estabilidad de frecuencia intrínseca, y puede serempleada para comparar dos estructuras diferentes, bien sea por to-pología o por los valores asignados a los componentes.

En general, las estructuras que forman un oscilador tendrán unaestabilidad de frecuencia alta a medida que el eqiQ definido en la ga-

nancia de lazo sea más alto. Por lo tanto, se tendrá alta estabilidad defrecuencia empleando filtros de banda estrecha como parte de la es-tructura; este hecho denota la gran estabilidad de frecuencia que po-seen los osciladores construidos con ciertos materiales cristalizados,como el cuarzo, cuyos circuitos eléctricos equivalentes correspondencon un filtro pasa banda estrecho con un Qeqi que puede ser tan gran-

de como 500.000 .

Para calcular el ángulo de fase que introduce la estructura deloscilador se pueden emplear las relaciones dadas por (6.2.2); el co-ciente de las relaciones define la tangente del ángulo de fase:

) s( D ) s( N ) s( D ) s( N

) s( D ) s( N ) s( D ) s( N jtag

ii p p

i p pi

−

−−=ϕ ..........(6.4.2)

que puede escribirse con una notación más simple:

) s( B ) s( A jtag −=ϕ ..........(6.4.3)

donde: ) s( D ) s( N ) s( D ) s( N ) s( A i p pi −=

) s( D ) s( N ) s( D ) s( N ) s( B ii p p −=

diferenciando la relación (6.4.3) se tiene:

sd

) s( B

) s( A

s

) s( B

) s( B

1

s

) s( A jd sec

2

2

−−=⋅

∂

∂

∂

∂ ϕ ϕ ..........(6.4.4)

Dado que se desea estudiar la estabilidad de frecuencia en lavecindad de la frecuencia de resonancia se tendrá que:

0 ) s( A1 sec0tag ww 2o ==== ϕ ϕ

sustituyendo en (6.4.4) y multiplicando ambos miembros por la variable



99

s se tiene:

sd ) s( B

s

s

) s( A j sd

∂

∂ ϕ −=

de donde:

) s( B

s

s

) s( A j

s sd

d

∂

∂ ϕ

−= ..........(6.4.5)

evaluando la relación anterior en la frecuencia de oscilación:

0

0

0 w j s ) s( B

s

s

) s( A j

wwd

d

=−=

∂

∂ ϕ ..........(6.4.6)

Relación que mide la estabilidad de frecuencia de la estructura.

6.5 ESTABILIDAD EN AMPLITUD YDISTORSIÓN

Las mismas razones que afectan la frecuencia de la señal de

salida de un oscilador alteran la ganancia del amplificador que cierra ellazo de realimentación. Por lo tanto, el valor de la ganancia de lazopude caer por debajo de la unidad, y el circuito dejará de oscilar. En lapráctica, normalmente los osciladores se diseñan con un valor de laganancia de lazo a la frecuencia de oscilación ligeramente superior ala unidad, alrededor del 5%. A medida que el valor de la ganancia delazo sea mayor también lo es la magnitud de la salida; este incrementoen la amplitud de salida provoca que la excursión del punto de opera-ción del dispositivo activo recorra un mayor intervalo; y por lo tanto, los

parámetros que definen su modelo incremental no sean constantes.En definitiva, un incremento en la salida del amplificador aumentará elcontenido de armónicos, que se traduce en un incremento de la distor-sión presente.

Básicamente existen dos formas conceptualmente diferentes decontrolar la amplitud de la salida de un oscilador. Una de ellas es con-



100

trolando la propia magnitud de la salida y la otra es alterando la ga-nancia del amplificador de tal forma de mantener constante la magni-tud de la salida. Ambos procedimientos son realizados por circuitos nolineales agregados a la estructura básica del oscilador.

Una manera de controlar la amplitud de la señal de salida deloscilador es añadiendo al amplificador un circuito no lineal que impon-ga una gran dependencia negativa de la ganancia del amplificador enrelación con la amplitud de la señal, a partir de una amplitud dada; osea, para la condición ideal:

∞−=≥ .Cte X X d

Ad

00

.......... (6.5.1)

En la práctica son factibles de construir circuitos no lineales queposeen un comportamiento que se aproximan al indicado por la rela-

ción (6.5.1), lográndose una fuerte dependencia negativa, pero nuncainfinita. Como ilustración se puede mencionar un circuito limitador

lino X colocado en paralelo con el bloque 1 ,3 X que define la realimen-

tación local y fija la ganancia realimentada de todo el amplificador, verfigura 6.5.1; en este caso, se supone que al alcanzar 0 X un determina-

do valor el bloque no lineal cambia la realimentación de tal manera quela ganancia realimentada disminuye, limitando la magnitud de 0 X .

La otra forma de regular la amplitud de la señal de salida es con-trolar la propia señal de salida cambiando suavemente la ganancia delamplificador. En este caso, admitiendo que la señal de entrada al am-plificador es constante y que su salida cambia de valor por un cambioen la ganancia del amplificador, se mide la variable de salida del am-plificador todo el tiempo y enbase a su valor promedio cua-drático se actúa sobre algunade las variables de la realimen-

tación local que determinan laganancia del amplificador; laalteración sobre la ganancia serealiza de manera adecuada, talque se logre mantener constan-te la amplitud de la salida, comose indica en la figura 6.5.2. Ge-

Σ X i,1

i

no li

X 3,1

31

0

FIGURA 6.5.1 CONTROL DE AMPLITUDDE SALIDA.



101

neralmente se utiliza como sen-sor de la magnitud de la salidauna resistencia dependiente detemperatura; tal resistencia debetener una constante de tiempotérmica apropiada, debe ser

mucho mayor que el período dela señal de salida. Al aumentarel promedio de la señal de sali-da se incrementa la potenciadisipada en la resistencia y porlo tanto su temperatura; el incremento de temperatura trae como conse-cuencia un cambio en el valor de la resistencia, que es utilizado paraalterar la ganancia del amplificador y mantener constante el valor pro-medio de la salida. Nótese que con tal mecanismo de control se mantie-

ne constante la salida del amplificador independiente del origen de laalteración.

En algunas ocasiones es deseable comparar el efecto que pro-ducen diferentes redes de realimentación, que forman parte de un os-cilador, con relación al contenido de armónicos. Admitiendo que laseñal de entrada aplicada a un amplificador es constante y conside-rando que su salida también lo sea, se tendrá que el contenido de ar-mónicos generado es independiente de la red de realimentación; el

contenido de armónicos es una característica de las no linealidadesdel propio amplificador. Cada una de las componentes armónicas dela salida al propagarse por la red de realimentación se modifica por elvalor de la función de transferencia evaluada a la frecuencia de la ar-mónica respectiva; Por lo tanto:

11 ,3

n1 ,3

X

X

−

− ..........(6.5.2)

donde:

n1 ,3 X − : Corresponde al término 1 ,3 X de la estruc-

tura realimentada evaluado a la frecuen-cia de la armónica n del espectro de laseñal de salida.

11 ,3 X − : Equivalente al término 1 ,3 X de la estruc-

Σ X i,1

i

no li

X 3,1

31

0

FIGURA 6.5.2 CONTROL DE LA GANAN-CIA DEL AMPLIFICADOR.



102

tura realimentada evaluado a la frecuen-cia fundamental de la señal de salida.

La relación (6.5.2) es una medida del porcentaje de distorsión ala entrada del amplificador, para un circuito dado. Cuando la magnitudde la relación tiende a cero la distorsión es nula.

En general, en una estructura realimentada; cuando la mismasalida se obtiene empleando dos redes de realimentación diferente yconsiderando que el contenido de armónicos generado por el amplifi-cador es el mismo; la componente n de los armónicos es afectada porel factor de realimentación evaluado a la frecuencia del armónico, co-mo se indica en la relación (6.5.3).

n1 ,3n

X A1

1 H

−⋅−= .......... (6.5.3)

Este factor, n H , es una medida del contenido del armónico n ala salida del amplificador por efectos de la dependencia de frecuenciade la red de realimentación empleada.

Multiplicado las dos últimas relaciones se obtiene un factor quemide la magnitud de la componente n como consecuencia de la redde realimentación utilizada.

n1 ,311 ,3

n1 ,3

X A1

1

X

X

−−

−

⋅− .......... (6.5.4)

Analizando los resultados obtenidos en el presente punto y en elnumeral anterior se concluye que la pureza de la forma de onda desalida de un oscilador se encuentra íntimamente relacionada con laestabilidad de la frecuencia de su salida. O sea, a medida que se au-mente el eqiQ en aquella parte de la estructura que impone la condi-

ción dependiente de frecuencia, se obtendrá una mejor estabilidadpara la frecuencia del oscilador y será menor el contenido de armóni-

cos en la forma de onda de la salida.



103

7 ESTRUCTURAS REALIMENTA-DAS QUE PRESENTAN HIS-TÉRESIS

En este capítulo se estudian las características generales de

las estructuras realimentadas que por ser el producto β ⋅ A mayor que

la unidad presentan en su característica de transferencia un ciclo dehistéresis. También se estudian aquellos casos en los cuales se añadeun lazo de realimentación externo a las estructuras que posen un ciclode histéresis.

7.1 CONSIDERACIONES GENERALES

En la sección 2.2 sedemuestra que en una es-tructura realimentada donde

el producto β⋅ A sea mayorque la unidad el sistema esno lineal, y su característica

de transferencia presenta unciclo de histéresis; caracte-rística similar a la indicada enla figura 7.1.1 donde se indi-can los dos posibles ciclosde histéresis que se puedenpresentar en la estructura,

o

i

i de encendidoi de apagado

o de saturación +

o de saturación -

A positiva

A negativa

FIGURA 7.1.1 CARACTERÍSTICA DE

TRANSFERENCIA. CICLO DEHISTÉRESIS.



104

dependiendo del signo de laganancia del amplificador.Notar que el ciclo se recorreen el sentido del reloj cuandola ganancia del amplificador esnegativa y en sentido contrario

para amplificadores de ganan-cia positiva. De la figura tam-bién se observa que con laseñal de entrada aumentando se denomina nivel de encendido al valorque provoca la conmutación de la salida; y cuando la salida conmutacon la señal de entrada disminuyendo el nivel de la señal de entradacorrespondiente se denomina apagado. El nivel de la señal de entra-da para el encendido siempre será mayor que el de apagado.

Por otro lado; cuando se analizan estructuras que presentenciclos de histéresis se debe tener presente que los niveles de satura-ción de la salida del amplificador se encuentran definidos por su pola-rización; y adicionalmente, que el nivel de saturación positiva es siem-pre mayor que el negativo. Por lo tanto, al modificar la polarización delamplificador podemos desplazar verticalmente el ciclo de histéresis.

Los niveles de la entrada a la estructura de la figura 7.1.2 queprovocan conmutación en su salida se obtienen mediante la aplicaciónde la relación (2.2.11); en la cual se asigna como salida los dos nivelesde saturación:

A

A1 X X saturacion1nconmutacioi

⋅−= − β

..........(7.1.1)

A

A1 X X saturacion2nconmutacioi

⋅−= + β

..........(7.1.2)

Para el caso particular de un amplificador con ganancia positivay considerando que el nivel de la salida de saturación positiva essiempre mayor que el de la negativa, los niveles de encendido y apa-gado para la estructura de la figura 7.1.2 son:

A

A1 X X saturacionencendidoi

⋅−= − β

..........(7.1.3)

A

A1 X X saturacionapagadoi

⋅−= + β

..........(7.1.4)

e X o

β

X iΣ

++

A

AMPLIFICADOR




105

Nótese que en la estructura de la figura 7.1.2 el amplificador quese realimenta es el único bloque que presenta restricciones por satu-ración, el resto de los bloques: la malla de realimentación y el sumadorse consideran exentos de tal restricción y bajo tales condiciones seobtienen los niveles de encendido, apagado y los correspondientesniveles de salida de la estructura. Se debe tener presente que en al-

gunas oportunidades, cuando alguno de los bloques q p X o los suma-

dores son estructuras activas, los niveles de saturación del amplifica-dor pueden ocasionar que a su vez la salida de los bloques o sumado-res activos alcance sus propios niveles de saturación; en estos casos,se debe considerar tal hecho para efectuar los cálculos relacionadoscon los niveles mencionados. En general, cuando se tienen bloquesque introducen saturaciones propias la estructura presenta un compor-tamiento a trozos; o sea, intervalos de funcionamiento lineales y otros

no lineales. Los cambios en el funcionamiento de la estructura soncausados por los niveles de las señales que provocan la saturación delos bloques, que no son el bloque unidireccional considerado.

7.2 COMPARADORES. ESTRUCTURAGENERAL

Para analizar la estructura general de un comparador por losprocedimientos descritos en el capítulo 4 se debe seleccionar comoamplificador la etapa de la estructura que por sus condiciones de polari-zación impone losniveles de saturación.Luego se define unasalida auxiliar en lapropia salida del am-plificador reconocido yextraído de la estruc-tura. Notar que talamplificador es el re-alimentado y su salida

i A

3

o X i

Σ o1

X i1 Σ

31

X i o

3o

X o*

FIGURA 7.2.1 DIAGRAMA DE BLOQUES EQUIVA-LENTE. SISTEMA REALIMENTADO.



106

sólo puede tomar losvalores dados por lasaturación; por lotanto, para calcular lasalida de la estructu-ra original se le asig-

na a la salida auxiliartales valores y seprocede a su cálculopor superposición dela entrada al sistemay la salida auxiliardefinida. En unaestructura real, los niveles correspondientes a la saturación del ampli-ficador realimentado pueden a su vez ocasionar, en el bloque de sali-

da o en el sumador, que la magnitud de su salida alcance los nivelesimpuestos por la saturación propia, ver figura 7.2.1, y tales niveles deseñal se propagan hasta la salida de la estructura. Dependiendo delos niveles de la señal de salida auxiliar y los niveles de la polariza-ción de los circuitos involucrados, o3 X y sumador, el nivel de la salida

de la estructura tomara su valor, o simplemente se encuentra acota-do a su propia saturación; esta última situación es muy común, dadoque en las estructuras reales generalmente se emplea los mismos

niveles para las fuentes de alimentación de toda la estructura, dehecho es una sola fuente de alimentación para toda la estructura.

Como primer paso se determina si el comportamiento de la estruc-tura realimentada es o no lineal. El sistema será no lineal si se cumple:

A X ⋅ >31 1 ..........(7.2.1)

La salida auxiliar en función de la entrada se obtiene por mediode la relación (4.1.5) convenientemente modificada para la presentesituación:

A X 1

A X X X

311ii

*o

⋅−= ..........(7.2.2)

despejando la señal de entrada:

i

a

A3

o X i

Σ

o1 X i1 Σ

31

X i o

3o

X o*

X a o

X a1

X a

FIGURA 7.2.2 DIAGRAMA DE BLOQUES EQUIVA-LENTE. ENTRADA ADICIONAL.



107

A

A X 1

X

1 X X

31

1i

*oi

⋅−= ..........(7.2.3)

al asignar en la relación (7.2.3) como salida los dos niveles de satu-ración se obtienen los valores de la señal de entrada que provocan laconmutación del amplificador; el nivel de encendido será el mayor de

los dos resultados obtenidos.La salida del sistema realimentado se calcula como la contribución

de la salida del amplificador y la entrada al sistema, ambas señales pro-pagadas a la salida de la estructura; de la figura 7.2.1 se obtiene:

o3*ooiio X X X X X += ..........(7.2.4)

Analizando la relación (7.2.4) se concluye que la salida posee untérmino constante, la contribución correspondiente al nivel de satura-

ción; y otro término que es proporcional a la entrada del sistema reali-mentado.

En general, una entrada adicional, considerada constante, puedeestar presente en la estructura realimentada; su valor modificará losniveles de encendido y apagado del comparador. La figura 7.2.2 re-presenta tal situación; en este caso, la salida del amplificador conside-rado, la llamada salida auxiliar será:

A X 1

A

X X A X 1

A

X X X 311aa311ii

*

o ⋅−+

⋅−=

..........(7.2.5)

Los dos niveles de conmutación se obtienen al sustituir los valo-res máximo y mínimo de la salida y despejar, para cada caso, la entra-da correspondiente de la expresión (7.2.5):

1i

1aa

31

1i

*oi

X

X X

A

A X 1

X

1 X X −

⋅−= ..........(7.2.6)

La estructura algebraica de la relación (7.2.6) demuestra que laentrada adicional al sistema realimentado afecta los niveles de con-mutación del comparador; y su efecto se puede interpretar como undesplazamiento horizontal en la característica de transferencia delsistema. En otras palabras, se podrá ubicar el ciclo de histéresis enuna posición arbitraria del eje que representa la entrada considerada



108

como variable en la caracte-rística de transferencia. Sucaracterización se completaestableciendo el sentido enel cual se recorre el ciclo dehistéresis; como se estable-

ció en el numeral anterior, elciclo se recorre en el sentidodel reloj cuando la gananciadel amplificador es negativay en sentido contrario paraamplificadores de gananciapositiva.

La figura 7.2.3 ilustra el

efecto que sobre la ubicacióndel ciclo de histéresis ejercela entrada adicional de valorconstante considerada; parala elaboración del gráfico seselecciono un amplificador detensión cuya ganancia espositiva y la entrada adicionales una fuente de tensión po-

sitiva constante.

En aquellas oportuni-dades donde la estructuraunidireccional reconocidasea un amplificador diferencial, como se muestra en la figura 7.2.4; elsistema será no lineal si se cumple la condición:

1 ) X X ( ) X X ( A 23312

A2331d

c >−−− ..........(7.2.7)

La salida auxiliar, la del propio amplificador diferencial reconoci-do y modelado, se encuentra definida por una relación similar a(4.2.3); y al incluir una entrada adicional se tiene:

V o*

V i

V i de encendidoV i de apagado

V o de saturacion +*

V X

X a

a

i

1

1

V o de saturacion −*

FIGURA 7.2.3 AMPLIFICADOR DE TENSIÓN.DESPLAZAMIENTO DEL CICLODE HISTÉRESIS.

2

1

COMPARADOR

ESTRUCTURA

MODIFICADA

i

o

e1

e3

e2

a

X 0*

13

o

a

i

2

FIGURA 7.2.4 COMPARADOR DE LAZOCERRADO. ESTRUCTURADIFERENCIAL.



109

) X X ( ) X X ( A1

) X X ( ) X X ( A X

) X X ( ) X X ( A1

) X X ( ) X X ( A X X

32312

A3231d

2a1a2

A

2a1ad a

32312

A3231d

2i1i2

A

2i1id i

*o

c

c

c

c

+−−−

++−+

+−−−

++−=

..........(7.2.8)

c3cd 3d

cacd ad a

c3cd 3d

iccd id i

*o

X A X A1

X A X A X

X A X A1

X A X A X X

−−

++

−−

+= ..... (7.2.8-a)

Los niveles de conmutación se obtendrán despejando de (7.2.8) laseñal de entrada y sustituyendo los niveles de saturación como salida:

) X X ( ) X X ( A

) X X ( ) X X ( A X

) X X ( ) X X ( A

) X X ( ) X X ( A1 X X

2i1i2

A2i1id

2a1a2

A

2a1ad a

2i1i2

A2i1id

32312

A

3231d *oi

c

c

c

c

++−

++−−

++−

+−−−=

..........(7.2.9)

cicd id

cacad d a

cicd id

c3cd 3d *oi

X A X A X A X A X

X A X A X A X A1 X X

+−−

+−−= ...... (7.2.9-a)

Cuando la ganancia diferencial se pueda considerar muy grandese evalúa el límite de la relación anterior:

X i

o

o

Σ 3o3

X 0*

A1

Σ 2

32

X a o

A2

Σ 1

X a

X a2

i

X a1

31

X i o

X i1

X i2

a

FIGURA 7.2.5 DIAGRAMA DE BLOQUES EQUIVALENTE. ESTRUCTURA DIFERENCIAL.



110

2i1i

2a1aa

2i1i

3132*oi

X X

X X X

X X

X X X X

−

−−

−

−= ........(7.2.10)

d i

d aa

d i

d 3*oi

X

X X

X

X X X −−= .....(7.2.10-a)

Para calcular la salida del sistema realimentado se consideranlas contribuciones de las dos entradas y la propia salida del amplifica-dor diferencial, como se indica en el diagrama de bloques de la figura7.2.5. En general, la salida se encuentra definida por una relación queposee tres términos, de la forma:

oaaoiio3*oo X X X X X X X ++= ........(7.2.11)

El comparador quedará completamente determinado al definir elsentido en el cual se recorre el ciclo de histéresis. Nótese que la es-

tructura unidireccional realimentada es un amplificador diferencial yque para compararlo con un amplificador de una sola entrada bastacon determinar el signo de la relación que establece la contribución dela variable de entrada a la estructura en los puertos del amplificador:

−

+=−

horario

horarioanti X X Sign 2i1i ........(7.2.12)

O sea, en aquellos casos que el resultado de (7.2.12) sea positi-vo, equivalente a un amplificador de una entrada no inversor, el reco-rrido será en sentido contrario a las agujas del reloj; y sentido horariocuando el signo es negativo.

7.3 REALIMENTACIÓN AGREGADA AESTRUCTURAS CON HISTÉRESIS

En general, al plantearse el estudio de una estructura que de-penda de la frecuencia y posea múltiples realimentaciones se debeproceder como lo establecen los numerales 4.3.3 y 4.4. En aquelloscasos, que al aplicar la relación (4.4.7) resulte que el comportamientode la estructura sea no estable y simultáneamente se obtenga uncomportamiento lineal al evaluar la expresión (4.4.2) equivalente de la



111

estructura imponiendo la condición 0w = en la relación; el comporta-

miento no lineal de toda la estructura se podrá estudiar al dividir sutopología en dos partes relacionadas entre si. Una de ellas, delimitadapor tres nodos, que no incluya elementos dependientes de la frecuen-cia y cuyo comportamiento sea no lineal, comparador de lazo cerrado;la otra parte de la estructura original, la exterior a los tres nodos referi-

dos anteriormente, tenga un comportamiento estable y la interrelaciónde ambos bloques constituyan un lazo cerrado de realimentación. Elestudio del comportamiento de la estructura original se puede realizarplanteando la realimentación del comparador mediante el bloque linealque dependa de la frecuencia; es de notar que la presencia del com-parador impone que el comportamiento de toda la estructura será li-neal a trozos. Nótese que forzosamente la estructura no lineal recono-cida y limitada por los tres nodos, posee por lo menos una fuente con-trolada realimentada localmente, tal que se satisfagan las condiciones

establecidas en los numerales 7.1 y 7.2; adicionalmente, se debe tenerpresente que en la realimentación local considerada, para establecerel comportamiento no lineal, se deben incluir todas las trayectoriascerradas que se encuentren en el circuito delimitado por los tres no-dos: La parte delimitada por los tres nodos también puede estar for-mada por una estructura múltiplemente realimentada, que contengamás de un amplificador y no incluya elementos dependientes de lafrecuencia.

En aquellos casos, que procediendo como se estableció; o sea,el comportamiento de toda la estructura sea no estable y simultánea-mente se obtenga un comportamiento lineal al imponiendo 0w = en la

relación (4.4.2 ), y adicionalmente que la estructura original se puedadividir en los bloques mencionados, pero estos bloques no formen unlazo de realimentación el comportamiento de toda la estructura sim-plemente será la respuesta de la cascada de los dos bloques; y por lotanto, su análisis será a trozos. En general, su estudio se realizará porprocedimientos de redes eléctricas, puesto que las relaciones estable-

cidas por el método de desvanecimiento para obtener la función detransferencia de la estructura no son validas, por ser no estable sucomportamiento.

Comprobada la no estabilidad de la estructura original y su com-portamiento lineal cuando 0w ⇒ , se procede a reconocer y dividirla en



112

dos bloque relacionados entresi. Siempre se podrá caracteri-zar el comportamiento de laestructura no lineal, la limitadapor los tres nodos, indepen-dientemente de como este

constituida el resto de la es-tructura. Tal caracterización omodelo consiste en determinarlos niveles de saturación de la salida, los valores de la entrada queprovocan la conmutación de la salida y el sentido en el cual se recorreel ciclo de histéresis; todos ellos, condiciones o valores, determinadosexclusivamente por elementos circuitales de la estructura delimitadapor los tres nodos.

En el punto anterior se caracterizaron las estructuras básicasque constituyen un comparador; desde el punto de vista de su salida,estas estructuras presentan dos modelos diferentes; correspondiendocada uno de los modelos con la señal presente en la entrada, su sen-tido de variación y el modelo de la salida anterior. Un símbolo generalpara los comparadores se indica en la figura 7.3.1; en ella la única en-trada considerada variable es la denominada i X ; si existen otras serán

consideradas constantes y denotadas en la figura por a X ; también se

debe considerar que la salida

*

0 X definida en la figura para el bloque nolineal coincide con la fuente controlada que alcanza los niveles de satu-ración impuestos por su pola-rización; y por último, en elmismo símbolo se indica elsentido en el cual se recorreel ciclo de histéresis que ca-racteriza al comparador.

En general, añadiendoun lazo de realimentaciónexterna que dependa de lafrecuencia a un bloque nolineal como el indicado en lafigura 7.3.1 se obtienen es-tructuras capaces de gene-

Com

X a

X i

1

a 0 *

X 0*

FIGURA 7.3.1 SÍMBOLO PARA UN COM-

PARADOR.

X P

0

X 0*

Com

X a

X i

1

a

0*

X ext Red de Realimentación

Externa (s)

ext

FIGURA 7.3.2 GENERADOR DE FUNCIÓN.DIAGRAMA DE BLOQUES.



113

rar formas de ondas periódicas no sinusoidales; tales estructuras sondenominadas generadores de funciones. Un diagrama de bloques dela estructura no lineal realimentada externamente se encuentra en lafigura 7.3.2; donde se pone de manifiesto que la red de realimentaciónexterna posee dos entradas y dos salida; una de las entradas y una delas salidas son empleadas para realizar la realimentación al compara-

dor, completar la trayectoria cerrada; o sea, la entrada de la red co-nectada a la propia salida *

0 X y su salida a la entrada i X del compa-

rador. Uno de los terminales adicionales, identificado como ext , per-mite añadir una señal de entrada independiente a la propia red de re-alimentación, denominada ex X ; y el otro terminal, denominado p en la

figura, permite definir una salida adicional de la estructura llamada P 0 X . El punto p pertenece a la red de realimentación externa y su ubica-

ción es arbitraria, entre la entrada y la salida de la red. En muchas oca-

siones la ubicación del punto p coincide con los puntos extremos; o sea,

la salida adicional P 0 X coincide con la entrada o la salida del propio

comparador.

Para el análisis de la estructura total, comparador y red depen-diente de frecuencia, se admitirá que tanto la entrada auxiliar al com-parador, a X , como la externa, ex X , poseen un valor constante e inde-

pendiente. La a X afectará exclusivamente los niveles de conmutación

del comparador, permite realizar una translación horizontal del ciclo dehistéresis como lo establecen las relaciones (7.2.6) y (7.2.9); la otraseñal ex X , por ser un valor constante puede ser tratada de la misma

forma que las condiciones iniciales presentes en los elementos de-pendientes de frecuencia; o sea, su efecto se manifiesta sobre las ca-racterísticas temporales de las formas de ondas generadas por la es-tructura, alargando o recortando el tiempo requerido por la señal desalida de la red en alcanzar determinado valor; y por lo tanto, altera eltiempo en el cual la señal de entrada al comparador i X recorre las

trayectorias horizontales del ciclo de histéresis.

La señal P 0 X será una forma de onda periódica cuando la sali-

da *0 X del comparador alcance sucesivamente sus dos posibles valo-

res. La señal *0 X al ser retardada y aplicada a la entrada del propio



114

comparador, por medio de la red realimentación, provoca los cambiosde estados. Por lo tanto, la amplitud y la fase de la señal aplicada ala entrada del comparador deben ser tales que se alcancen los niveles

de conmutación en forma sucesiva; o sea, la señal *0 X , aplicada a la

entrada de la red externa de realimentación, impone en su salida unrecorrido completo del ciclo de histéresis por cada periodo de la formade onda de salida.

Para calcular la señal realimentada a la entrada del comparador

se debe tomar en cuenta que la salida *0 X del propio comparador es

una función lineal a trozos, que sólo puede tomar dos valores constan-tes y determinados por las condiciones de polarización de la estructu-ra; o sea, se deben considerar las condiciones iniciales en los elemen-tos dependientes de la frecuencia y la presencia o no de la señal ex-

terna ex X . Por lo tanto, de la figura 7.3.2 se tiene que la transformadade Laplace de la entrada aplicada al comparador será:

) s( X E ) s( X *i ,0

*i 0

⋅= .......... (7.3.1)

donde:

) s( X i : Transformada de Laplace de la entrada

del comparador.

*0 E : Transformada de Laplace de la excitación

total; consiste en la transformada de la ex-

citación aplicada, s

*0 X

, y las contribuciones

convenientemente expresada de las con-diciones iniciales que no dependan de laexcitación aplicada, e incluyendo la equi-

valente de la señal externa s

ex X .

X si0 − ( ) : Transformada de Laplace de la función

de transferencia de la red de realimenta-ción.

Partiendo de uno de los niveles de conmutación, denominado

1com X − , y considerando la relación (7.3.1), para asegurar las condicio-

nes que permiten alcanzar en un tiempo finito la conmutación del



115

comparador se requiere que la señal aplicada a su entrada cambie enla magnitud y el sentido impuesto por el ciclo de histéresis del propiocomparador. Para el caso general, ambas condiciones, signo y magni-tud, se obtienen operando sobre la transformada inversa de Laplacede la relación (7.3.1); o sea, de la función de tiempo de la forma deonda a la salida de la red de realimentación:

) s( X E ) s( X )t ( X *i ,0

*1i

1i 0

L L ⋅== −− ..........(7.3.2)

Empleando la expresión de X t i ( ) se determina su valor extremo,

el cual corresponderá con el máximo o el mínimo de la función, que

denotaremos comoextmoi )t ( X . Luego se evalúa el valor inicial de

)t ( X i ; el cual se encuentra definido por uno de los valores de conmuta-

ción del comparador, que denominaremos 1com X − .

El cambio máximo que se puede esperar de la señal a la entradadel comparador en un tiempo arbitrario será:

1comextmoiiextmoi X )t ( X )0( X )t ( X −−=− ..........(7.3.3)

por lo tanto, considerando que las condiciones de conmutación de uncomparador definen un intervalo de valores que posee signo y magni-tud; las condiciones necesarias y suficientes para asegurar la conmu-tación del comparador se obtienen al comparar el signo y la magnitud

de la relación (7.3.3) con el signo y la magnitud del recorrido respecti-vo en el ciclo de histéresis del comparador considerando:

1com2com1comextmo

i X X Sign X )t ( X Sign −−− −=

− ..........(7.3.4)

1com2com1comextmoi X X X )t ( X −−− −≥

− ..........(7.3.5)

donde:

extmoi )t ( X : Valor extremo del nivel que puede alcan-

zar la variable de entrada al comparadoren un tiempo arbitrariamente grande.

1com X − : Corresponde con el nivel inicial de la varia-



116

ble de entrada al comparador al recorrer elsector del ciclo de histéresis considerado.

2com X − : Corresponde con el nivel final de la varia-

ble de entrada al comparador al recorrer elsector del ciclo de histéresis considerado.

Para una estructura real, se deben tener presente las limitacio-nes que imponen las fuentes controladas con relación a los niveles delas señales que de ellas se pueden obtener; o sea, al evaluar el ex-tremo de la señal )t ( X i el resultado teórico puede ser superior al límite

impuesto por las condiciones de polarización de las fuentes incremén-tales de donde provienen; por lo tanto, en estos casos en la expresión(7.3.3) se debe emplear como valor extremo )t ( X i el impuesto por las

condiciones particulares de polarización.

En general, la dependencia en función del tiempo de la forma deonda de salida de la estructura se obtiene por medio de la transforma-da inversa de Laplace de la función definida en un punto cualquiera dela red de realimentación denominado p. Por consiguiente:

21

* p ,0

*1 P 0

1 P 0

t t )( t

) s( X E ) s( X )t ( f 0

L L

≤≤+

⋅== −−

.......... (7.3.6)

donde:

)t ( f

P

0 : Forma de onda de la salida, considerandoel punto p como salida.

) s( X P 0 : Transformada de Laplace de la función

de salida definida.*0 E : Transformada de Laplace de la excitación

total; consiste en la transformada de la

excitación aplicada, s

*0 X

, y las contribu-

ciones convenientemente expresada delas condiciones iniciales que no depen-dan de la excitación aplicada, e incluyen-

do la equivalente de la señal externa s

ex X .

) s( X *

p ,0 : Transformada de Laplace de la función



117

de transferencia entre la salida del propiocomparador y el punto p definido comosalida.

21 t t )( t ≤≤+ : Lapso de validez de la forma de onda.

El límite 2t del intervalo de validez, que es el mismo para todas

las formas de onda, se calcula empleando la función inversa de la se-ñal realimentada al comparador, dada por (7.3.2), evaluada en el valorfinal del recorrido horizontal del ciclo de histéresis considerado:

22com1

i1 t ) X ( f ))t ( X ( f == −

−− ..........(7.3.7)

donde:

))t ( X ( f i1− : Función inversa de )t ( X i .

)t ( X i : Forma de onda de la salida, considerando

la entrada al comparador como salida.

2com X − : Valor final del recorrido horizontal del

ciclo de histéresis considerado.

2t : Instante de tiempo en el cual la señal

realimentada alcanza el valor definido porla condición de conmutación; límite delrecorrido horizontal considerado.

Nótese que el procedimiento descrito debe ser realizado paracada uno de los dos recorridos horizontales necesarios para completarel ciclo de histéresis.

Dado el funcionamiento de la estructura realimentada, la forma deonda obtenida en la salida del comparador siempre será un tren de pul-sos rectangulares; ocasionalmente, el tren de pulsos puede tener sobreimpuesto un nivel constante; cuya amplitud se regula por medio de lapolarización de la fuente controlada que constituye la salida del compara-dor. Para una red de realimentación dada, el tiempo de duración de los

pulsos y su período de repetición pueden ser alterados por medio delvalor asignado a la señal auxiliar a X , puesto que su valor altera los nive-

les de conmutación del comparador, como lo establecen las relaciones(7.2.6) y (7.2.9). Cambiando la función de transferencia de la red de re-alimentación, o definiendo como salidas otros puntos a lo largo de ella, seobtienen diferentes formas de ondas, todas ellas con el mismo período.



119

ex2*01

extmoi X K X K )t ( X += ..........(7.3.8)

donde:

1 K y 2 K K 2

: Constantes que dependen de la estructu-

ra del circuito.

*0 X : Valor de la variable de salida del compa-rador para el sector del ciclo de histéresisconsiderado.

ex X : Valor de la señal externa.

Partiendo de uno cualquiera de los niveles de conmutación, de-nominado 1com X − , y considerando la relación (7.3.8), para asegurar las

condiciones que permiten alcanzar en un tiempo finito la conmutacióndel comparador se requiere que la señal aplicada a su entrada cambieen la magnitud y el sentido impuesto por el ciclo de histéresis del pro-pio comparador. Ambas condiciones se obtienen de manera similar alcaso anterior; o sea, partiendo del nivel de conmutación 1com X − se

tiene que el máximo recorrido que puede realizar la señal realimentadaes:

1comex2*01 X X K X K −−+ ..........(7.3.9)

por lo tanto, las condiciones necesarias y suficientes para asegurar la

conmutación del comparador se obtienen al comparar el signo y lamagnitud de la relación (7.3.9) con el signo y la magnitud del recorridorespectivo en el ciclo de histéresis del comparador:

1com2com1comex2*01 X X Sign X X K X K Sign −−− −=−+ ........(7.3.10)

1com2com1comex2*01 X X X X K X K −−− −=−+ ........(7.3.11)

donde:

1com X − : Corresponde con el nivel inicial de la va-

riable de entrada al comparador al reco-rrer el sector del ciclo de histéresis consi-derado.

2com X − : Corresponde con el nivel final de la variable



120

de entrada al comparador al recorrer el sec-tor del ciclo de histéresis considerado.

En estos casos, la dependencia en función del tiempo de laforma de onda de la señal realimentada externamente, )t ( X i , se cal-

cula directamente en el dominio tiempo; como la respuesta exponencialde un sistema de primer orden a una excitación que sea un escalón detensión. Cuando el pasa bajos lo forman una resistencia y un conden-sador, la expresión temporal de )t ( X i es:

C R

t

B A )t ( X Thi e

−

+= ........ (7.3.12)

donde las constantes A y B son determinadas considerando los valo-res tanto de la variable de salida del comparador como de la señalexterna aplicada, asumidas constantes; y las condiciones temporales

extremas de la tensión en el condensador:

Thex2*01t ct i V X K X K )t ( v )t ( X A =+=== ∞→∞→

1com0t c0t i X )t ( v )t ( X B A −→→ ===+

Th1com V X B −= −

donde:

ThV : Tensión Thévenin entre los extremos del condensador eva-

luada cuando en tiempo tiende a infinito.por lo tanto:

C R

t

)V X ( V )t ( v ThTh1comThc e

−

−+= − ........ (7.3.13)

El límite 2t del intervalo de validez se obtiene al evaluar

(7.3.13) en el valor final del recorrido horizontal del ciclo de histéresis,que hemos denominado genéricamente como 2com X − :

2comTh

2

Th1comTh2c X C R

t

)V X ( V )t ( v e −− =

−

−+=

despejando:

Th2com

Th1comTh2

V X

V X LnC Rt

−

−=

−

− ........ (7.3.14)



121

Cuando sea un pasa bajos de primer orden formado por unaresistencia y una inductancia, la respuesta exponencial se obtiene deforma similar; resultando que la expresión temporal de la tensión deentrada al comparador es:

L

Rt

) X K X K X ( X K X K )t ( X

Th

ex2

*

011comex2

*

01i e

−−−++= − ..(7.3.15)

Al evaluar (7.3.15) en el valor final del recorrido horizontal delciclo de histéresis, denominado X com − 2 , se obtiene el límite de validez

t 2 para la forma de onda:

2com L

Th R

2ex2

*011comex2

*012i X

t ) X K X K X ( X K X K )t ( X e −− =

−−−++=

de donde:

ex2*012com

ex2*011comTh2

X K X K X

X K X K X Ln

L

Rt

−−−

−−=−

− ........(7.3.16)

Los generadores de funciones descritos anteriormente puedenser modificados para lograr estructuras cuyas salidas sean formas deondas que evolucionen en el tiempo durante un tiempo dado, y luegode manera espontánea volver a las condiciones iniciales; todo estocomo respuesta a un estímulo externo. En este caso, la estructura es

llamada generador de pulso. En general, tal comportamiento se obtie-ne al añadir en la red de realimentación, la externa al comparador, undispositivo no lineal dependiente de tensión o corriente, como porejemplo un diodo. Elestímulo externo o exci-tación es introducida ala estructura como partede la señal a X , y gene-

ralmente es de forma

impulsiva; un diagramade bloques para los ge-neradores de pulsos semuestra en la figura7.3.3.

X P

0

X 0*

Com

a

i

1

a

0*

Red de Realimentación

Externa (s)

Dispositivo

no Lineal

FIGURA 7.3.3 GENERADOR DE PULSO.DIAGRAMA DE BLOQUES.



122

Admitiendo que durante mucho tiempo el dispositivo no linealse encuentra en un estado tal que imposibilita a la señal realimentadaalcanzar una de las condiciones de conmutación, la estructura se en-contrará en una condición inicial de reposo. Al aplicarle al generadorde pulso un estímulo externo adecuado, por medio de la variable a X ,

se obliga la condición de conmutación en el comparador; la misma

condición que era inhibida por el dispositivo no lineal; lo cual provocaque la salida del comparador adquiera el estado contrario del que po-seía previamente, en el estado de reposo. Este cambio en la salida delcomparador se propaga por la red de realimentación para dar lugar auna variación en la señal i X ; satisfaciéndose en la estructura las con-

diciones para la conmutación, dadas por las relaciones (7.3.4) y (7.3.5); transcurrido un tiempo dado, un segundo cambio de estado ala salida toma lugar; posteriormente, al transcurrir otro período de

tiempo, la forma de onda propagada por la red de realimentación oca-siona que el elemento no lineal imposibilite nuevamente a la señal deentrada al comparador alcanzar la condición de conmutación; a partirde este momento toda la estructura tendrá las mismas condicionesprevias a la excitación; o sea, las que tenia en el estado de reposo.Nótese, que tanto la magnitud como el signo del estímulo que inducela conmutación inicial del comparador deben ser adecuados; así comotambién, que las condiciones iniciales de los elementos que forman lared de realimentación requeridas para calcular la evolución en función

del tiempo de la forma de onda de la salida son impuestas por el ele-mento que inhibir el funcionamiento propio de la estructura; además,posterior a la segunda conmutación se requiere de un lapso de tiempopara que todos los elementos que forman la red de realimentaciónexterna alcancen las mismas condiciones que poseían inicialmente, antesde aplicar el estímulo, llamado tiempo de recuperación.

En general, una forma de onda impulsiva constituye el estímuloexterno; el cual es aplicado directamente o indirectamente a la entradade la fuente controlada que constituye el comparador. Por lo tanto, lascondiciones de signo y magnitud del estímulo requerido para la genera-ción de un pulso de salida de la estructura se pueden establecer consi-derando: la entrada donde es aplicado el estímulo, los niveles que po-sen las entradas del amplificador en las condiciones iniciales del gene-rador de pulso y el valor necesario para la conmutación. Admitiendo que



124

da externamente al comparador.

) s( X i : Transformada de Laplace de la entrada

realimentada al comparador.

NL*0

E : Transformada de Laplace de la excitación

total; consiste en la transformada de la ex-

citación aplicada, s

*0 X

, y la contribución

convenientemente expresada de las con-diciones iniciales que no dependan de laexcitación aplicada; considerando la con-dición de operación del elemento no lineal.

) s( X i0− : Transformada de Laplace de la función

de transferencia de la red de realimenta-

ción.

DT t )( 0 ≤≤+ : Intervalo de validez de la forma de onda.

El tiempo de duración del pulso de salida, DT , se calcula em-

pleando la función inversa de la señal realimentada al comparador,dada por (7.3.7), evaluada en el valor final del recorrido horizontal delciclo de histéresis considerado:

D2com1

i1

T ) X ( f ))t ( X ( f == −− ........ (7.3.20)

donde:


DT : Duración del pulso de salida; definido por

el instante de tiempo en el cual la señalrealimentada alcanza el valor dado por lacondición de conmutación; límite del reco-rrido horizontal considerado.

Para calcular el tiempo de recuperación de la estructura se de-be encontrar la expresión de la señal realimentada, )t ( X i , consideran-

do las condiciones iniciales impuestas por el recorrido horizontal delciclo de histéresis respectivo y como condición final la operación del



125

elemento no lineal. El procedimiento es similar al descrito anterior-mente:

R

*i ,0

*1i

1i

T t )( 0

) s( X E ) s( X )t ( X 0

L L

≤≤+

⋅== −−

........(7.3.21)

El tiempo de recuperación de la estructura, RT , no es otra cosaque el tiempo que tardan los elementos dependientes de la frecuenciaen alcanzar las condiciones de energía impuestas por la operación delelemento no lineal añadido, y que imposibilita que se logre la condiciónde conmutación. Se obtiene empleando la función inversa de la señalrealimentada al comparador, dada por (7.3.18), evaluada en el valorimpuesto por la operación del elemento no lineal:

Rinh1

i1

T ) X ( f ))t ( X ( f == −− ........(7.3.22)

donde:


)t ( X i : Forma de onda de la salida, considerando

la entrada al comparador como salida.

inh X : Nivel impuesto por el elemento no lineal que

impide la operación propia de la estructura.

RT : Tiempo de recuperación de la estructura.

Dado el funcionamiento descrito anteriormente; para obtenercomo salida del circuito una secuencia de pulsos, cuya duración siem-pre sea la misma y la separación entre ellos corresponda con la esta-blecida por los estímulos externos, se debe imponer una condición a lafrecuencia de los estímulos aplicados. El tiempo mínimo entre dosestímulos consecutivos debe permitir que todos los elementos depen-dientes de la frecuencia del circuito alcancen las condiciones energéti-

cas que poseían inicialmente, las previas al primer estímulo; por lotanto, la frecuencia máxima de los estímulos será:

R Dimamax

T T

1 f

+= ........(7.3.23)

donde:



126

imamax f : Frecuencia máxima de la señal externa

empleada como estímulo del generadorde pulso.

DT : Tiempo de duración del pulso de salida.

RT : Tiempo de recuperación.

En aquellas oportunidades que no se cumpla la restricción im-puesta por (7.3.23) la duración de los pulsos de salida será irregular;puesto que dependerá de las condiciones energéticas alcanzadas porlos elementos dependientes de la frecuencia que pertenezcan a la redde realimentación. Las condiciones energéticas serán las adquiridasdurante el lapso de tiempo transcurrido entre el final del último pulsoconsiderado y el instante de tiempo correspondiente al siguiente estí-mulo; estos cálculos se realizan por medio de un procedimiento similar

al descrito anteriormente y resumido en las ecuaciones (7.3.19) y(7.3.22).



127

8 EJEMPLOS. DISPOSITIVOS ACTIVOS DIS-CRETOS

En esta sección se plantearan diversos problemas y se obten-drán sus soluciones con el fin de ilustrar los conceptos teóricos ex-puestos. En la solución de los problemas se emplearán las relacionescircuitales de los dispositivos activos discretos y los procedimientosque se encuentra en los ANEXOS.

8.1 AMPLIFICADOR DE DOS ETAPAS

Para el amplificador de dos etapas de la figura 8.1.1 y a frecuen-cias medias calcular la ganancia de tensión, resistencia de entrada y lade salida. Se puede suponer que los transistores son iguales, y sus

parámetros: 50h fe = ; Ω k 1hie = y 0hh oere == .

Con el fin de destacar las diversas alternativas de las cuales sedisponen al abordar el análisis de una estructura realimentada, la ex-presión de la ganancia de tensión de la estructura se obtendrá porcuatro alternativas; las expresiones resultantes en apariencia son dife-rentes, pero con algún trabajo algebraico se puede encontrar que to-



129

serían válidospara el circuitooriginal.

Los valo-res que carac-terizan el ampli-ficador recono-cido y extraídodel circuito sepuede calculardirectamentedel circuito dela figura 8.1.1:

ie

7 fe7 sal ie6 5ent

h Rh A R Rh|| R|| R R ⋅−===

Aplicando la relación (4.1.2) se tiene:

=

+=

+=

A

X X

X X

i3

3131ii1

o33ioio

eeeeeeee

donde:

0 X

0 X

0 A X

0 A X

i3

131

i3

oo3

i

11i

i

oio ee

eeee

ee

ee

==

==

==

==

directamente de la figura 8.1.2 se encuentran las cuatro relacionesrequeridas para calcular la ganancia de tensión del amplificador reali-mentado y definidas anteriormente.

sal 9

sal

sal 910 feie

sal 910 fe

i

oio

R R

R

) R R( || R )1h( h

) R R( || R )1h(

0 A X

e

e

++⋅++

+⋅+=

==

) R R( || R )1h( h

R|| Rh

0 Ae

e X

sal 910 feie

ent 3 fe

i

11i

+⋅++

⋅−=

==

1h

h109 sal

1h

h109

i3

oo3

fe

ie

fe

ie

|| R R R

|| R R

0ee

e X

+

+

++

+=

==

FIGURA 8.1.2 AMPLIFICADOR DE DOS ETAPAS MODIFICADO.



130

109

3

109

10

3

3

131

||)1(

||

0 R Rhh

R Rh

R R

R X

ee

e X

feie

ent fe

o

i ⋅++

⋅

+=

==

Por lo tanto la ganancia de tensión del circuito será:

Ah R R R

h h R R R

R

R R

h R R R h

h h R R R

h R

h

R R

R R R

R R

R R

v f

fe

ie fe

fe ie

ie fe

fe

ie

h

h

h

h

h

h

ie

fe

ie

fe

ie

fe

= + ⋅ +

+ + ⋅ + + +

+

− ⋅

+ + ⋅ + −

⋅ +

+ +

−+

+ +

+

+

+

( ) ||( )

( ) ||( )

|| || ||

( ) ||( )( )

||

||

||

1

1

11

1

10 9 7

10 9 7

7

9 7

3 5 6

10 9 7

7 9 10 1

7 9 10 1

9 10 1

7 9 R

R

R R

h R R R h

h h R R

h R

hh

h

fe ie

ie fe

fe

ieie

fe10 1

10

9 10

3 5 6

9 10

7

11

||

|| || ||

( ) ||( )

+ +

⋅

+ + ⋅ −

⋅

Para calcular las resistencias de entrada y salida del amplificadorde dos etapas se debe aplicar la fórmula de Blackman. En el circuito

de la figura 8.1.2 se imponen las condiciones. Esto es, para la resis-tencia de entrada: el punto i se cortocircuita a tierra o simplemente sedeja en circuito abierto; y para cada una de las condiciones se calculala ganancia de lazo. Un procedimiento análogo se realiza para deter-minar la resistencia de salida.

Imponiendo las condiciones en el punto i se obtiene la gananciade lazo. Para la condición de cortocircuito, la ganancia de lazo es lamisma que la calculada para obtener la ganancia de tensión:

109 feie

ie6 53 fe

109

10

h1

h1097

h1h

109

cortoen'

3

131

R|| R )1h( h

h|| R|| R|| Rh

R R

R

|| R R R

|| R R

i ,ie

e X

fe

ie

fe

ie

⋅++

⋅

+++

+==

+

+

dejando el punto i en circuito abierto se tiene:

21109 feie

ie6 53 fe

109

10

h1

R|| Rh1097

h1

R|| Rh109

abiertoen'

3

131

R|| R R|| R )1h( h

h|| R|| R|| Rh

R R

R

|| R R R

|| R R

i ,ie

e X

fe

21ie

fe

21ie

+⋅++

⋅

+++

+==

+

+

+

+

adicionalmente se requiere calcular la resistencia de entrada al circuitocon el amplificador desvanecido:

R A

R R h h R R Ri i ie fe' || ||( ( ) ||( ))

= = + + ⋅ +0

11 2 10 9 7

La resistencia de entrada se obtiene aplicando la relación



131

(5.1.6):

R R A X i i en cc

A X i i en caent f ii=

− ⋅

− ⋅'

, '

, '

1

1

31

31

R R R h h R R R

h Rh

R R

R R R R

R Rh R R R h

h h R R

h R

h

R R

R R R

ent f ie fe

fe

ie

h

hh

h

fe ie

ie fe

fe

ie

h R R

h

h R

ie

fe

ie

fe

ie

fe

ie

= + + ⋅ + ⋅

⋅

+ ⋅

⋅+

+ + +

⋅

+ + ⋅

+ ⋅

⋅+

+ +

+

+

+

+

+

1 2 10 9 7

7 9 10 1

7 9 10 1

10

9 10

3 5 6

9 10

7 9 10 1

7 9 10

1

11

1

1 2

( ( ) ( ))

||

|||| || ||

( ) ||

||

|| 1 2

1

10

9 10

3 5 6

9 10 1 21 R

h

fe ie

ie fe fe

R

R R

h R R R h

h h R R R R+

+

⋅

+ + ⋅ +

|| || ||

( ) ||

Para la resistencia de salida se procede de la misma forma.Imponiendo la condición de cortocircuito la ganancia de lazo es nula;en cambio, para circuito abierto es la misma que la obtenida para el

cálculo de la ganancia de tensión:

X e

e o o en corto31

1

3

0= =, '

X e

e o o

R R

R R R

R

R R

h R R R h

h h R Ren abierto

h

h

h

h

fe ie

ie fe

ie

fe

ie

fe

311

3

9 10 1

7 9 10 1

10

9 10

3 5 6

9 101= =

+

+ + +

⋅

+ + ⋅

+

+,

||

||

|| || ||

( ) ||'

R A

R R Roo

h

h

ie

fe' ||( || )=

= + +0 7 9 10 1

Aplicando la relación (5.1.6):

R R R Rh

h

h R

h

R R

R R R

R

R R

h R R R h

h h R R

salt f

ie

fe

fe

ie

h

h

h

h

fe ie

ie fe

ie

fe

ie

fe

= ++

⋅

⋅

++

+ + +

⋅

+ + ⋅

+

+

7 9 10

7 9 10 1

7 9 10 1

10

9 10

3 5 6

9 10

1

1

11

| | ( | | )

| |

| |

| | | | | |

( ) | |

Las tres alternativas restantes para el análisis de la estructuraservirán para utilizar el concepto relacionado con un punto pertene-ciente a una estructura unidireccional, al cual se le puedan asignar laspropiedades de unidireccionalidad. En algunas oportunidades; al re-conocer una estructura unidireccional se puede escoger un punto de latrayectoria como lo son los puntos identificados como A y B en la figura



132

8.1.1; para talespuntos se podrárealizar un modeloequivalente queposee las propie-dades unidireccio-

nales. En cadauno de estos ca-sos se puede ob-tener dos modelosequivalentes dife-rentes. Uno deellos caracterizadocomo un amplifi-cador de ganancia

unitaria, impedancia de entrada infinita e impedancia de salida igual ala impedancia Thévenin que se ve en sentido contrario al de la infor-mación que fluye por la trayectoria, desde el punto en cuestión. En elotro caso, el modelo será un amplificador de ganancia unitaria, impe-dancia de salida nula y como impedancia de entrada la Thévenin quese ve desde el punto hacia la dirección en la cual fluye la informaciónpor la trayectoria; ver ANEXO 3. Estos modelos son de utilidad cuandopor alguna razón se reconoce la trayectoria pero no se puede calcularuna de las dos impedancias.

Como ilustra-ción, en el ejemploanterior pertene-ciente a la trayecto-ria: colector de Q1 y

el amplificador for-mado por Q2 , esco-

jamos un punto A,ubicado en la uniónentre el colector deQ1 y las resisten-

cias R5 y R6 . En

este caso el modelo

FIGURA 8.1.3 AMPLIFICADOR DE DOS ETAPAS.1ª AL-TERNATIVA PARA EL MODELO DEL PUNTO A DE LA TRAYECTORIA.

FIGURA 8.1.4 AMPLIFICADOR DE DOS ETAPAS. 2ª AL-TERNATIVA PARA EL MODELO DEL PUNTO A DE LA TRAYECTORIA.



133

del punto de la trayectoria se caracterizará con la impedancia de salidadel transistor Q1 y un amplificador de ganancia unitaria. Los valores de

los parámetros para el modelo equivalente del punto de la trayectoriason:

13 === ∞ A R R R sal ent

El circuito del amplificador realimentado incluyendo el modelo delpunto A se muestra en la figura 8.1.3

La ganancia de tensión del sistema se obtiene por la relación(4.1.6); para lo cual se deben calcular los parámetros del sistema re-alimentado:

X A

h R R R

h h R R R

R

R Rio

o

i

fe

ie fe

e

e=

= =

+ ⋅ +

+ + ⋅ + +0

1

1

10 9 7

10 9 7

7

9 7

( ) ||( )

( ) ||( )

X

e

e A

h R

h h R R Ri

i

fe

ie fe

11 3

10 9 7 0 1= = = −

⋅

+ + ⋅ +( ) ||( )

X e

e e

h R R R

h R R R

R R

R R Ro

o

i

fe

h

h

ie

ie

fe

3

3

7 9 10 1

3 5 6

5 6

5 6 30

==

= −⋅ +

+ +

+||( || )

|| ||

||

||

X e

e e X

R

R R

h R

h h R Ri

o

fe

ie fe

311

3

310

9 10

3

9 100 1

==

=+

⋅

+ + ⋅( ) ||

La ganancia de tensión del circuito será:

A h R R Rh h R R R

R R R

h R

h h R R R

h R R R

h R R R

R R

R R R

h R R R

v f

fe

ie fe

fe

ie fe

fe

h

h

ie

fe

ie

fe

= + ⋅ ++ + ⋅ + +

+

+

− ⋅

+ + ⋅ + −

⋅ +

+ +

− −⋅ +

+

( ) ||( )( ) ||( )

( ) ||( )( )

||( || )

|| ||

||

||

( )|| (

11

1 1 1

1 1

10 9 7

10 9 7

7

9 7

3

10 9 7

7 9 10 1

3 5 6

5 6

5 6 3

7 9 10 1

3 5 6

5 6

5 6 3

10

9 10

3

9 1011

|| )

|| ||

||

|| ( ) ||

h

h

ie

fe

ie fe

ie

fe

h R R R

R R

R R R

R

R R

h R

h h R R

+

+ + +

⋅

+ + ⋅

Por un simple, pero laborioso, procedimiento algebraico se encuen-

tra que la expresión anterior es idéntica a la obtenida con el modelo delamplificador formado por Q2 .

La segunda alternativa para el modelo del punto A es:

ie6 5ent h|| R|| R R = 0 R sal = 1 A =

El circuito del amplificador modificado se encuentra en la figura



134

8.1.4. Directamente de la figura se calculan los cuatro parámetros y pormedio de la relación (4.1.6) se obtiene la ganancia de tensión del ampli-ficador. Para lo cual:

7 9

7

7 910 feie

7 910 fe

i

oio

R R

R

) R R( || R )1h( h

) R R( || R )1h(

0 Ae

e X

++⋅++

+⋅+=

==

X ee A

h R R R hh h R R R

i

i

fe ie

ie fe

11 3 5 6

10 9 7 0 1= = = −

⋅

+ + ⋅ +|| || ||

( ) ||( )

X e

e e

h R R R

ho

o

i

fe

h

h

ie

ie

fe

3

3

7 9 10 1

0=

= = −

⋅ + +||( || )

X e

e e X

R

R R

h R R R h

h h R Ri

o

fe ie

ie fe

311

3

310

9 10

3 5 6

9 100 1

==

=+

⋅

+ + ⋅

|| || ||

( ) ||

por lo tanto la ganancia de tensión es:

Ah R R R

h h R R R

R

R R

h R R R h

h h R R R

h R R R

h

h R R R

h

R

v f

fe

ie fe

fe ie

ie fe

fe

h

h

ie

fe

h

h

ie

ie

fe

ie

fe

= + ⋅ +

+ + ⋅ + + +

+

− ⋅

+ + ⋅ + −

⋅ +

− −⋅ +

+

+

( ) ||( )

( ) ||( )

|| || ||

( ) ||( )( )

||( || )

( )||( || )

1

1

1 1 1

1 1

10 9 7

10 9 7

7

9 7

3 5 6

10 9 7

7 9 10 1

7 9 10 1 10

R R

h R R R h

h h R R

fe ie

ie fe9 10

3 5 6

9 1011

+

⋅

+ + ⋅

|| || ||

( ) ||

El cuarto procedimiento planteado para obtener la expresión dela ganancia de la estructura de la figura 8.1.1 se realiza apoyándonosen el punto B; eneste caso, el úni-co modelo que sepuede encontrares el caracteriza-do con la impe-dancia de salida.

Notar que el pun-to correspondecon la frontera desalida de unaestructura unidi-reccional; como FIGURA 8.1.5 AMPLIFICADOR DE DOS ETAPAS. MODELO

DEL PUNTO B DE LA TRAYECTORIA.



135

se puede probar al calcular la tensión de Thévenin que se ve a la de-recha del punto B, en el sentido del flujo de la información y no resultarnula; por lo tanto, no es unidireccional y el modelo no se puede definir.Los valores de los parámetros para el modelo valido del punto, el rea-lizado en el sentido contrario del flujo de información, serán:

1 A R R R 7 sal ent === ∞

Por un procedimiento análogo al anterior, de la figura 8.1.5 se

calcula la respuesta del sistema:

7 9

7

7 910 feie

7 910 fe

i

ooi

R R

R

) R R( || R )1h( h

) R R( || R )1h(

0 A X e

e++⋅++

+⋅+=

==

ie

7 fe

7 910 feie

ie6 53 fe

i

11i

h

Rh )1(

) R R( || R )1h( h

h|| R|| R|| Rh

0 A X e

e ⋅−

+⋅++

⋅−=

==

1h

h1097

1h

h109

i3

oo3

fe

ie

fe

ie

|| R R R

|| R R

0e X e

e+

+

++

+=

==

ie

7 fe

109

10

910 feie

ie6 53 fe

30

i3

131

h

Rh )1(

R R

R

R|| R )1h( h

h|| R|| R|| Rh X

0e X

ee ⋅

−+⋅++

⋅==

=

sustituyendo:

Ah R R R

h h R R R

R

R R

h R R R h

h h R R R

h R

h

R R

R R R

R R

R R

v f

fe

ie fe

fe ie

ie fe

fe

ie

h

h

h

h

h

h

ie

fe

ie

fe

ie

fe

= + ⋅ +

+ + ⋅ + + +

+

− ⋅

+ + ⋅ + −

⋅ +

+ +

−+

+

+

+

+

( ) ||( )

( ) ||( )

|| || ||

( ) ||( )( )

||

||

||

1

1

1 1 1

1

10 9 7

10 9 7

7

9 7

3 5 6

10 9 7

7 9 10 1

7 9 10 1

9 10 1

7 9 +

⋅

+ + ⋅ + −

⋅

+ R

h R R R h

h h R R

R

R R

h R

hh

h

fe ie

ie fe

fe

ieie

fe10 1

3 5 6

10 9

10

9 10

7

1 1 1

||

|| || ||

( ) ||( )



136

8.2 AMPLIFICADOR DE ACOPLA-MIENTO DIRECTO

En este ejemplo anali-zaremos la ganancia de ten-sión e impedancias de saliday entrada del amplificador deacoplamiento directo cuyocircuito se encuentra en lafigura 8.2.1. Los valores delas resistencias son los indi-cados, se puede suponer quelos transistores son iguales, ysus parámetros son: h fe = 50 ;

h k ie = 11 , Ω y.

En el diagrama del lafigura 8.2.1 se encuentraidentificado el punto A de latrayectoria unidireccional; elmodelo del punto debe serrepresentado con la impe-dancia de salida del transis-tor Q1 ; puesto que la tensión

Thévenin, evaluada en elsentido del flujo de la infor-mación, no es nula; el punto

A es la frontera de salida dela estructura unidireccional.El modelo del punto A es:

1 A R R R 1 sal ent === ∞

Por medio del circuito del amplificador, que incluye el modelo del

FIGURA 8.2.1 AMPLIFICADOR DE ACO-PLAMIENTO DIRECTO.

FIGURA 8.2.2 AMPLIFICADOR DE ACO-PLAMIENTO DIRECTO. ES-

TRUCTURA MODIFCADA.



137

punto A, de la figura 8.2.2 se determinan los cuatro parámetros reque-ridos por la relación (4.1.6) para calcular la ganancia de tensión delamplificador; éstos son:

X A

h R

h R h R h R R

R R h

R R R h

R

R Rio

o

i

fe

ie fe ie

ie

ie

ee

==

= ⋅

+ + + +

+

+ + +0 1

2

1 4 5 3

3 5

4 3 5

3

3 5( )( || )||

( )||

( )||

X A

h R

h

R R h

R R R hi

i

fe

ie

R hh ie

R h

h ie

e

e

ie fe

ie

fe

11 1 3 1 5

4 3 1 50

1

1=

= = −

⋅ +

+ +

++

+

+

( || )||

( || )||

X e

e e

h R

h R h R R R ho

o

i

fe

ie fe ie

3

3

2

1 3 5 40 1

==

= − ⋅

+ + + +( ) ||( || )

X e

e e

h R R R h

h R h R R R h

h R

h R R

R

R Ri

fe ie

ie fe ie

fe

ie

311

3

3 5 4

1 3 5 4

1

4 5

4

4 50

1

11=

= =

+ +

+ + + + −

⋅

+ +

( ) ||( || )

( ) ||( || )( )

||

A h Rh R h R h R R

R R h R R R h

R R R

h R

h

R R h

R R R h

h R

h R h R R R

v f

fe

ie fe ie

ie

ie

fe

ie

R h

h ie

R h

h ie

fe

ie fe

ie

fe

ie

fe

= ⋅+ + + +

++ + +

+

+

− ⋅ +

+ + −

⋅

+ + + +

+

+

+

+

2

1 4 5 3

3 5

4 3 5

3

3 5

1 3 1 5

4 3 1 5

2

1 3 5 4

1

1 11

1

1

( )( || )||( )||

( )||

( || )||

( || )||( )

( ) ||( || )

( ) ||( || )

( ) ||( || )( )

||

h

h R R R h

h R h R R R h

h R

h R R

R

R R

ie

fe ie

ie fe ie

fe

ie

11

1 1

3 5 4

1 3 5 4

1

4 5

4

4 5

− + +

+ + + + −

⋅

+ +

Para calcular las resistencias de entrada y salida del amplificadorde acoplamiento directo se emplea la fórmula de Blackman; por lo tanto,se deben imponer condiciones de corto y circuito abierto en los puntos i

y o, ver la figura 8.2.2.

Para la impedancia de entrada se tiene:

4ie1h

h R35ii

Rh|| )|| R R( 0 A

R fe

ie1' ++=

= +

+

54

4

54ie

1 fe

ie453 fe1ie

ie453 fe

cortoen' ii31

R R

R

R|| Rh

Rh )1(

)h|| R R( || R )1h( Rh

)h|| R R( || R )1h( X

++

⋅−

++++

++=

5ie

1 fe

ie53 fe1ie

ie53 fe

abiertoen' ii31

Rh

Rh )1(

)h R( || R )1h( Rh

)h R( || R )1h( X

+

⋅−

++++

++=

caen' i ,i X A1

ccen' i ,i X A1 R R

31

31' ii f ent

⋅−

⋅−=



138

sustituyendo se obtiene la expresión para la impedancia de entrada delamplificador de acoplamiento directo.

De forma análoga se procede para la impedancia de salida;directamente de la figura 8.2.2 se tiene:

2' oo R

0 A

R =

=

54

4

54

1

4531

453

31||

)1()||(||)1(

)||(||)1(

' R R

R

R Rh

Rh

h R R Rh Rh

h R R Rh

cortoenoo X

ie

fe

ie feie

ie fe

++

⋅−

++++

++=

54

4

54

1

4531

453

31||

)1()||(||)1(

)||(||)1(

' R R

R

R Rh

Rh

h R R Rh Rh

h R R Rh

abiertoenoo X

ie

fe

ie feie

ie fe

++

⋅−

++++

++=

como son iguales las dos ganancias de lazo, la resistencia de salidano cambia; por lo tanto:

R R A X o o en cc

A X o o en ca R salt f oo= − ⋅

− ⋅ ='

, '

, '

1

1

31

31

2

El resultado anterior era de esperar puesto que el lazo de re-alimentación no incluye la resistencia de salida, y no será modificadapor efecto de la realimentación.

8.3 AMPLIFICADOR DE UNA ETAPA. BJT

Para ilustrar el empleo de losmodelos de fuente de corriente con-trolada se analizará el amplificadoremisor común de una etapa, reali-mentado por medio de una resisten-cia en el emisor; mostrado en la figu-ra 8.3.1. Determinar la ganancia detensión e impedancias de entradadel circuito, admitiendo que los pa-rámetros h re .y hoe son nulos.

FIGURA 8.3.1 AMPLIFICADOR DEUNA ETAPA.



139

La estructura unidireccio-nal en este circuito la constituyela propia fuente de corrientecontrolada del modelo equiva-lente del transistor; por lo tanto,es conveniente emplear un mo-

delo de corriente. El circuitomodificado se encuentra en lafigura 8.3.2; donde se identifica:la rama 1 , por donde circula la corriente de control para la fuente de-pendiente y la rama 3 , formada por la propia fuente de corriente con-trolada del modelo del transistor.

La fuente controlada de corriente es:

i K i h i fe3 1 1= ⋅ = − ⋅

Del circuito de la figura 8.3.2 se obtiene los parámetros reque-ridos por la relación (4.1.6) para calcular la ganancia de tensión delamplificador; estos son:

00 K

X i

oio e

e=

==

4iei

11i Rh

1

0 K

i X e +

==

=

3i3

oo3 R

0ei

e X =

==

ie4

4

i3

131

h R

R

0ei

i X

+=

==


Ah R

h

h R

h R hv f

h R fe

fe

R

h R

fe

ie fe

ie

ie

= − ⋅

+ = −

⋅

+ +

+

+

13 3

4

4

4

4

1

1 1

( )

( )

La impedancia de entrada se obtiene aplicando la formula deBlackman:

R K

R R h Rii ie' || ||( )

= = +0 1 2 4

X

i i en corto

R

R hie

314

4'

=+ X

i i en abierto

R

R R R hie

314

4 1 2' ||

=+ +

R R K X i i en cc

K X i i en ca R R h R

h

h R R h R hent f ii ie

fe

R

h R

fe

R

R R R h

ie fe

ie

ie

= − ⋅

− ⋅ = +

+

+ = + +

+

+ +

'

||

, '

, '|| ||( ) || || ( )

1

1

1

11

31

31

1 2 4 1 2 4

4

4

4

4 1 2

FIGURA 8.3.2 AMPLIFICADOR DE UNAETAPA. MODELO.



140

8.4 AMPLIFICADOR DE UNA ETAPA.FET

A frecuencias medias calcular laexpresión de la ganancia de tensión delcircuito de la figura 8.4.1; donde el dispo-sitivo activo posee un modelo caracteri-zado por una fuente de corriente contro-lada por tensión y una resistencia de sa-lida; ver ANEXOS.

Sustituyendo el FET por su modeloequivalente se obtiene el circuito de lafigura 8.4.2. De la figura, al anular laentrada se reconoce la trayectoria cerra-da por la cual puede circular información,

formada por la fuente y las tresresistencias. Perteneciente a latrayectoria cerrada se encuentra lafuente de corriente controlada

s g e gm ⋅ , que será la estructura

unidireccional que consideraremospara aplicar el procedimiento des-crito en el capítulo 4.

La estructura modificada seencuentra en la figura 8.4.3; de ellase determina la expresión alge-braica de los cuatro parámetros requeridos por la relación (4.1.6) paraencontrar la ganancia de tensión de la estructura, la cual es:

K X 1 X K X X

vv

31

o31 so s

s

o

⋅−⋅⋅+= ..........(8.4.1)

Directamente de la figura 8.4.3 se obtienen los parámetros:

1 X 0 X 0 K

1 s0 K

o s ====

FIGURA 8.4.1 AMPLIFICADORDE UNA ETA-PA. FET .

FIGURA 8.4.2 AMPLIFICADOR DEUNA ETAPA. CIRCUITOEQUIVALENTE.



141

232d

d

0vo3 R

R Rr

r X

s ++=

=

332d

d

0v13 R

R Rr

r X

s ++=

=

dado que el modelo de la estruc-tura unidireccional reconocida secaracteriza por:

gs1 ee gm K =−=

sustituyendo en la relación(8.4.1) se obtiene:

)r gm1( R Rr

r R gm

R gm1

R gm1

v

v

d 32d

d 2

3 R Rr

r

2 R Rr

r

s

o

32d

d

32d

d

⋅+++

−=

⋅+

⋅⋅−=

++

++ ......... (8.4.2)

8.5 AMPLIFICADOR DIFERENCIAL. BJT

Para el amplificador de la figura 8.5.1, a frecuencias medias cal-

cular la resistencia de entrada, salida y la ganancia de tensión admi-tiendo que la ganancia de corriente de los transistores tiende a infinito.

Por estar polarizado el amplificador diferencial mediante una fuen-te de corriente constante ideal laganancia modo común de la es-tructura diferencial es nula. Adi-cionalmente se debe tener pre-sente que por tender a infinito laganancia de corriente de lostransistores, la ganancia de ten-sión base emisor es unitaria y laganancia de tensión emisor co-lector no depende de la resisten-cia asociada a la base. Por lotanto, únicamente bajo estas

FIGURA 8.4.3 AMPLIFICADOR DE UNAETAPA. ESTRUCTURAMODIFICADA.

FIGURA 8.5.1 AMPLIFICADOR DIFE-RENCIAL. BJT .



142

condiciones, para una estructuradiferencial formada por transistores BJT se puede seleccionar la estruc-tura diferencial como el amplificadorunidireccional y aplicar el procedi-miento descrito por la ecuación

(4.2.5). En la figura 8.5.2 se encuen-tra el circuito modificado; notar quela resistencia de salida del amplifi-cador diferencial posee un valor da-do por la propia resistencia de salidade los transistores.

Los parámetros del amplificador diferencial:

R R K h A salida fed == ∞=entrada R

De la figura 8.5.2 se tiene:

1 X 0 X id io == 1 X R R

R1 X o3

21

1d 3 =

+−=

Aplicando la relación (4.2.5) se tiene:

1

21

21

1 fe

fe

fe

o3d 3d

id d io

i

o

R

R R1

R R

R K h1

1 K h

h

Lim X X A1

X A X v

v +=

+⋅+

⋅

∞→

=⋅−

⋅+=

La resistencia de entrada tiende a infinito de la misma forma quela ganancia de corriente de los transistores. En cambio, la resistenciade salida se calcula aplicando la relación (5.2.12); por lo tanto:

caen' a ,ad 3d

ccen' a ,ad 3d ' aa f ' aa

X A1

X A1 Z Z

⋅−

⋅−=

donde:

fe

ie

h1

h R12' aa ) R R( Z

+

++=

21

1

R R

Rcaen' a ,ad 3ccen' a ,ad 3 X 0 X

+−==

Z Lim

h

R R R h

R R h R hh K

R

R R

aa f

fe

ie

fe ie fe

'

( )( )

( )( )=

→ ∞

+ +

+ + + ++

+

=2 1

2 1 1

1 2

1

1

1

0

FIGURA 8.5.2 MODELO AMPLIFI-CADOR DIFEREN-CIAL.



143

8.6 AMPLIFICADOR COMPUESTO.FET BJT

Para la estructura de la figura8.6.1 calcular la ganancia de tensión.Los parámetros de los transistorespueden considerarse como:

Q gm r d 1 , → ∞

Q h h h h fe ie oe re2 0 0, , ,= = .

Con el fin de ilustrar el hecho

que en una estructura realimentadase pueden reconocer diferentes fuen-tes controladas unidireccional paraaplicar el método de desvanecimien-to planteado y de esta forma obteneruna determinada característica de laestructura, se plantean varias alter-nativas.

Anulando la señal de entradase reconoce una trayectoria cerrada;pertenecientes a la trayectoria, seescoge un punto del conductor queune el drain de Q1 con la base de Q2 .

Como a tal punto se le puede asignarla unidireccionalidad, ver ANEXO 3,escogemos como modelo para laestructura unidireccional el obtenido

al efectuar el Thévenin en el sentido contrario del fluir de la informa-ción; siendo los parámetros del modelo:

A R R Rent sal = = ∞ =1 2

En la figura 8.6.2 se encuentra el circuito incremental de la estruc-tura modificada. Directamente de la figura 8.6.2, empleando las relacio-

FIGURA 8.6.1 AMPLIFICADOR

COMPUESTO. FETy BJT.

FIGURA 8.6.2 ESTRUCTURAMODIFICADA.



144

nes que se encuentran en los ANEXOS 1.1 y 1.2 particularizadas para elcircuito, se calculan los parámetros q p X necesarios para aplicar la rela-

ción (4.1.6) y así obtener la expresión de la ganancia de tensión:

X gm R

gm Ri o, =

+4

41 X

gm R

gm Ri , 1

2

41= −

+ X

h R

R h R h

f e gm

ie f e

3 0

41

2 3 1= −

+ + +( )

X X Ah R

R h R h

R gmv

f e gm

ie f e

3 1 3 0 3 2 1

41

2 3

2

1 1= = −

+ + +−( )

sustituyendo en la relación (4.1.6):

v

v

gm R

gm R

gm R

gm R

h R

R h R h

h R

R h R h

R gm

o

i

f e gm

ie f e

f e gm

ie f e

=+

+

−+

−+ + +

+ −

+ + +

4

4

4

4

41

2 3

41

2 3

21

11 1

1

1 1 1

1 1

( )( )

( )

( )

v

v

gm R

gm R

h R

gm R R h R h h R

gm R

gm R

R h R h

o

i

f e

ie f e f e

ie f e

=+

++ + + +

++ + + +

4

4

4

4 2 3 4

4

2

2 3

11

1

1

1

1

11 1

( )

( )

simplificando:

[ ]

v

v

gmR

gmR

h R

gmR R h R h h R gm R

o

i

f e

ie f e f e

=

+

+

+ + + + +

4

4

4

4 2 3 4 21

1

1 1( ) ( )

Otra de las posibles alternativas es reconocer como estructuraunidireccional el amplificador formado por Q2 , como se muestra en la

figura 8.6.3. Los parámetros del modelo para el amplificador son:

Ah R

h R h R h R h R R

fe

ie fe

ent ie fe sal = −+ +

= + + =4

3

3 41

1( )

( )

Directamente de la figura 8.6.3 se determinan los parámetros:

X gm R

gm R

gm R

gm Ri o

sal

sal

, =+

=+1 1

4

4

X gm R R

gm Ri

ent

, 1

2

41= −

+



145

X R gm R

o

gm

gm sal

3

1

14

1

1=

+ =

+

X R R gm

R gm

ent

3 1

2

41=

+

sustituyendo los parámetros an-teriores en la relación (4.1.6) seobtiene la expresión para la ga-nancia de la estructura realimen-tada:

v

v

gm R

gm R

gm R R

gm R A

gm R

A gm R R

gm R

o

i

ent

ent

=+

+

−+ +

− +

4

4

2

4 4

2

4

1

1

1

1

1 1

remplazando las expresiones para A y ent R se tiene:

[ ]

[ ]v

v

gmR

gmR

gm

gmR

R h R h

R h R h

h R

h R h gmR

h R

h R h

gm

gmR

R h R h

R h R h

o

i

ie f e

i e f e

f e

ie f e

f e

ie f e

ie f e

ie f e

=+

+ +

+ +

+ + + + + +

++ + +

+ +

+ + +

4

4

4

2 3

2 3

4

3 4

4

3 4

2 3

2 3

1

1

1

1 1

1

1

11 1

1

1

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

simplificando:

[ ]v

v

gmR

gmR

h R

gmR R h R h h R gmR

o

i

f e

ie f e f e

=+

++ + + + +

4

4

4

4 2 3 4 21

11 1( ) ( )

Como tercera posibilidad tomaremos como fuente unidireccionalla fuente de corriente controlada del transistor 2Q , como se indica en

la figura 8.6.4; donde se identifican las ramas por donde circulan lacorriente de control y la controlada, denominadas 1 y 3 respectivamen-

te. Los parámetros de la estructura unidireccional son: )h1( Rh Rhk fe3ieent fe ++=−= ∞= sal R

En este caso, analizando el circuito de la figura 8.6.4 se determi-nan los parámetros:

FIGURA 8.6.3 ESTRUCTURA MODIFI-CADA. 2ª ALTERNATIVA



146

4

4o ,i

R gm1

R gm X

+=

ent 4

ent 2

ent 112v1 ,i

R

1

R gm1

R R gm

R

1 A X

+−== −

4

4

gm1

4o3 R gm1

R R X

+== ent 230132v3013 R gmR X A X X == −

sustituyendo los parámetros en la relación (4.1.6) se obtiene la expre-sión para la ganancia de la estructura realimentada:

ent 24

4

4

4

ent 4

ent 2

4

4

i

o

R R gm R gm1

R K 1

R gm1

R K

R

1

R gm1

R R gm

R gm1

R gm

v

v

+−

++−

++

=

remplazando las expresiones para K y ent R se tiene:

[ ] )h1( Rh R

)h1( Rh R gm

R gm1

Rh1

R gm1 Rh

)h1( Rh1

)h1( Rh R )h1( Rh R

R gm1 gm

R gm1

R gm

v

v

e f 3ei2

e f 3ei2

4

4e f

4

4e f

e f 3eie f 3ei2

e f 3ei2

4

4

4

i

o

+++

++

++

++++++++

++

+=

simplificando:

[ ]

+++++

++

=

24e f e f 3ei24

4e f

4

4

i

o

R gm Rh )h1( Rh R ) R gm1(

Rh1

R gm1

R gm

v

v

Analizando el desarrollo al-gebraico de cada una de las alter-nativas podemos concluir que re-quieren un número de pasos simi-lares para obtener la expresión deganancia en forma compacta. Engeneral, se podría decir que serequerirán menos esfuerzos alge-braicos para calcular los paráme-tros X p q cuando la estructura unidi-

reccional reconocida y modeladarepresente un mayor número deelementos de la estructura original.

FIGURA 8.6.4 ESTRUCTURA MODI-FICADA. 3ª ALTERNA-TIVA



147

8.7 AMPLIFICADOR DIFERENCIAL.FET

Para la estructura dife-rencial de la figura 8.7.1 calcu-lar la ganancia de tensión.

Notar que para el análi-sis del amplificador realimenta-do no se puede hacer uso delconcepto de bisección puestoque el circuito no presenta sime-

tría. El circuito de la figura 8.7.1puede ser modelado por el mos-trado en la figura 8.7.2; en elcual se ha modelado como fuen-te unidireccional un punto del

conductor que une eldrain de Q2 con la sali-

da; el modelo se realiza

incluyendo la resistenciade carga. El modelo dela estructura modificadase indica en la figura8.7.2; donde directamen-te se identifican los pa-rámetros requeridos porla relación (4.1.6), em-pleada para calcular la

ganancia de tensión delcircuito realimentado.

0 X io = 2321131i Av Av X −− ⋅= 1 X o3 = 212

21

231 Av

R R

R X −

+=

FIGURA 8.7.1 AMPLIFICADOR DIFE-RENCIAL. FET .

FIGURA 8.7.2 MODELO PARA EL AMPLIFICADOR

DIFERENCIAL. FET .



148

Aplicando las relaciones del ANEXO 2 se obtienen las diversasganancias de tensión definidas anteriormente y referidas al circuito dela figura 8.7.2:

)r gm1( || R Rr

|| Rr gm

Av

d d r gm1

)2 R1 R( || D Rd r S Dd

d r gm1

)2 R1 R( || D Rd r

S d

113

+

++

=

+++

+

++

−

) R R( Rr

)r gm1( ) R R( || R Av

21 Dd

d 21 D232

++

++=−

)r gm1( || R ) R R( || Rr

r gm ) R R( || R Av

d d r gm1

D Rd r

S 21 Dd

d 21 D212

+

+++

+−=

+

+−

Los parámetros serán:

) R R( || Rr

)r gm1( ) R R( || R

)r gm1( || R Rr

|| Rr gm

X 21 Dd

d 21 D

d d r gm1

)2 R1 R( || D Rd r

S Dd

d r gm1

)2 R1 R( || D Rd r

S d

1i++

++

+

++

=

+

++

+

++

)r gm1( || R ) R R( || Rr

r gm ) R R( || R

R R

R X

d r gm1

Rr S 21 Dd

d 21 D

21

231

d

Dd +

+++

+

+−=

+

+

Por lo tanto; la ganancia de tensión del circuito realimentadopara este caso particular:

1 X 1

11 X

31

1i

i

o

v

v

⋅−

⋅⋅=

sustituyendo los parámetros:

)r gm1( || R ) R R( || Rr

r gm ) R R( || R

R R

R1

) R R( || Rr

)r gm1( ) R R( || R

)r gm1( || R Rr

|| Rr gm

d r gm1

Rr

S 21 Dd

d 21 D

21

2

21 Dd

d 21 D

d r gm1

) R R( || Rr

S Dd

r gm1

) R R( || Rr

S d

i

o

d

Dd

d

21 Dd

d

21 Dd

vv

+

+++

+

++

++

++

+

++

=

+

+

+

++

+

++



149

8.8 RESPUESTA DE FRECUENCIA

Empleando la a-proximación de banda

ancha determinar lasesquinas de baja y altafrecuencia para la estruc-tura de la figura 8.8.1.Los transistores se pue-den considerar iguales, yposeen una frecuenciade corte infinita, f T = ∞ ;

sus parámetros son:h fe = 100 , Ω k 2 ,2hie = ,

0hh oere == .

Anulando la señal de entrada al circuito de la figura 8.8.1 se identi-fica una trayectoria de realimentación. En la trayectoria se encuentra eldivisor de tensión formado por 7 R y 8 R ; y la cascada de dos amplifi-

cadores conformados por 1Q y 2Q . Dada la estructura de la trayecto-

ria, sólo un amplificador de tensión que incluya la unidireccionalidad de

2Q se puede emplear para el análisis de la estructura realimentada.

Notar que 1Q no puede ser modelado por un amplificador de tensión ya

que comparte sus terminales; en

1Q se mezclan la información de

la señal de entrada y la que fluyepor la trayectoria de reali-mentación; o sea, su modeloposee dos entradas y una salida.

En la figura 8.8.2 se en-cuentra la estructura modificadadel circuito original; en ella eltransistor 2Q se sustituyó por el

modelo de un amplificador y seidentifican los puntos 1 y 3 . La

FIGURA 8.8.1 AMPLIFICADOR. RESPUESTA DEFRECUENCIA.

FIGURA 8.8.2 AMPLIFICADOR. ES-TRUCTURA MODIFICADA.



150

ganancia de tensión del modelo incluye la dependencia de frecuencia queintroducen los condensadores 1C y 2C presentes en el circuito original, que

actúan en baja y alta frecuencia respectivamente; tal dependencia se calculaconsiderando la aproximación de banda ancha y tomando en cuenta las re-sistencias Thévenin vista por los terminales 1 y 3 ; el circuito para evaluar lasesquinas de baja y alta frecuencia se encuentra en la figura 8.8.3:

5 ,29 )h R R R( C

1 s

ie4311b =

+= 641300

R RC

1 s

e52a ==

La expresión de la ganancia de tensión en función de la frecuen-cia es de la forma:

a

a

bm

s s

s

s s

s A ) s( A

++= ..........(8.8.1)

donde:

18 ,418h

Rh Aie

5 fem −=−=

En primer lugar, dado quese desea aplicar el criterio debanda ancha, se debe comprobarque el término io X del modelo

que representa el comportamien-to de la estructura realimentada

es nulo, o al menos se puedadespreciar con relación a la ga-nancia de la estructura realimen-tada a frecuencias medias; de otra forma, los cálculos realizados sonincorrectos, como se plantea en la sección 4.5. Notar que en general elvalor de io X es arbitrario, puesto que depende de la estructura del cir-

cuito y de los valores de los componentes, que se calculan de maneraindependiente.

Para frecuencias medias, empleando las relaciones del aparte4.1, se encuentran los parámetros q p X que describen el comporta-

miento del circuito de la figura 8.8.2:

543 ,0 R R

R

) R R( R )1h( h

) R R( R )1h( X

58

5

587 feie

587 fe

io =++++

++=

FIGURA 8.8.3 AMPLIFICADOR. CAL-CULO DE A(s).



151

763 ,11 ) R R( R )1h( h

R Rh X

587 feie

in1 fe

1i −=+++

−= 339 ,0

R R R

R R

X

fe

ie

fe

ie

h1

h7 85

h1

h7 8

o3 =

++

+

=

+

+

084 ,0 R R R

R

) R R( R )1h( h

R Rh

R R R

R X X

87 5

7

587 feie

in1 fe

87 5

7 1i31 =

+++++=

++−=

La ganancia a frecuencias medias se obtiene utilizando la rela-ción (4.1.6), donde se particulariza la ganancia del amplificador, dadapor (8.8.1), al valor que toma a frecuencias medias:

16 ,46 543 ,0 A X 1

X A X X

v

v

m31

o3m1iio

i

o +=⋅−

⋅⋅+= ......... (8.8.2)

Comparando los valores de los términos del segundo miembrode la relación (8.8.2) se puede concluir si es o no aplicable la aproxi-

mación de banda ancha para la estructura realimentada estudiada.Dado que en este caso la relación de los términos es de 0 011 , admiti-

remos la validez de la aproximación para calcular la respuesta de fre-cuencia de la estructura realimentada.

Por tener el modelo del amplificador un polo en alta, un polo enbaja frecuencia, un cero en cero y otro en infinito; y además por sertodos los parámetros q p X independientes de la frecuencia podemos

aplicar las relaciones (3.3.5) y (3.3.8) para evaluar las esquinas de

baja y alta frecuencia:8 ,0

13 ,351

5 ,29

X Am1

s s

31

B f B =

+=

−= ......... (8.8.3)

6 31 A A 1019 ,22 )13 ,351( 3 ,641 ) X Am1( s s

f ⋅=+=−= ......... (8.8.4)

Utilizando la aproximación para el valor de la ganancia a fre-cuencias medias como el segundo término del segundo miembro de larelación (8.8.2) y sustituyendo los valores dados por (8.8.3) y (8.8.4) en la relación (3.3.9) se obtiene la ganancia de tensión de la estructurarealimentada en función de la frecuencia:

6

6

f A

f A

f B f f

1019 ,22 s

1019 ,22

8 ,0 s

s16 ,46

s s

s

s s

s Am ) s( A

⋅+

⋅

+=

++= ......... (8.8.5)



152

8.9 COMPARADOR DE LAZO CERRA-DO

En el circuito de la figura8.9.1, que se denomina compara-dor de lazo cerrado, determinarlas relaciones entre las diferentesresistencias del circuito de tal ma-nera que su comportamiento seano lineal. La ganancia de corrien-te de los transistores se puedeconsiderar infinita, la tensión baseemisor constante y la tensión desaturación colector emisor nula.

El comportamiento de unaestructura realimentada será no lineal cuando el producto β ⋅ A o su

equivalente sea mayor que la unidad. Analizando el circuito del com-parador de lazo cerrado se concluye que la ganancia de la estructura es positiva; así mismo, anulando la señal de entrada se reconoce unatrayectoria cerrada por la cual puede fluir información. Perteneciente a

la trayectoria se encuentra el punto denominado A , ver figura 8.9.1,que por estar precedido deltransistor 1Q se puede consi-

derar unidireccional. El modelodel punto es un amplificadorde tensión cuya ganancia esunitaria; por ser la ganancia decorriente de los transistores infini-

ta no se requiere modelar la re-sistencia de salida.

La relación 13 X A calcula-

da en el circuito de la figura8.9.1 es equivalente al producto β ⋅ A . Del circuito se obtiene:

FIGURA 8.9.1 COMPARADOR DELAZO CERRADO.

eo

ei

ei de encendidoei de apagado

eo de saturación +

eo de saturación -

FIGURA 8.9.2 CARACTERÍSTICA DESALIDA. COMPARADORDE LAZO CERRADO.



153

4

1Q23Q3113

R

R1 Av Av X

12== ......... (8.9.1)

relación que es positiva; luego multiplicándola por la ganancia del ampli-ficador modelado e imponiendo la condición de no linealidad se obtiene:

1 R

R

1 AX 4

1

13 >⋅= ......... (8.9.2)

Por ser la ganancia de toda la estructura positiva el comporta-miento de la salida corresponde a la de un circuito no lineal y será simi-lar a la descrita en el capítulo 7. La característica de salida del circuitose reproduce en la figura 8.9.2. Dado que la alimentación del circuito esuna batería positiva los niveles de saturación y corte del amplificadorformado por 2Q serán positivos, tal amplificador constituye el bloque

o3 X de la estructura realimentada; por lo tanto el ciclo de histéresis se

encuentra definido en el primer cuadrante; donde se pone en evidenciaque la tensión de encendido es mayor que la de apagado; condición queunida a los niveles relativos de la salida permite concluir que al imponera la señal de entrada el nivel cero el transistor 1Q se encuentra en corte

y el transistor 2Q en saturación; o sea:

apagadoencendido ee >

cortado2QQ EQ BE saturado2QQ EQ BE 11 V V V V −− +>+

551

cc BE 5

54231

cc BE R

R R

V V R

R R R ) R R(

V V

++>

++++

5154231 R R

1

R R R ) R R(

1

+>

+++

5154321231

321

R R

1

) R R( ) R R R( R ) R R(

R R R

+

>

+++++

++ ......... (8.9.3)

Las relaciones (8.9.2) y (8.9.3) forman un sistema de inecua-

ciones. Una solución es: 21 R2 R = y 221

4 R R =



154

Los valores de R , 3 R y 5 R no son críticos; un valor razonable

sería asignarles el mismo valor de 4 R ; o sea: 221

53 R R R R ===

8.10 AMPLIFICADOR DE TRES ETAPAS(EC, BC, EC) DOBLEMENTE RE-ALIMENTADO

Para la figura 8.10.1, donde se anularon las fuentes externas depolarización, se muestra el circuito de un amplificador formado por tresetapas conectadas en cascada, calcular la ganancia de tensión y la im-

pedancia de entrada a la estructura. Para los cálculos se admite que laganancia de corriente de los transistores tiende a infinito, los parámetroshre y hoe son nulos y todas las resistencias son del mismo valor.

Anulando la excitación y analizando la estructura se encuentrandos posibles trayectoria cerradas por las cuales puede fluir la informa-ción; una de ellas constituida por la cascada de los amplificadoresformados con los transistores Q1 y Q2 , un divisor de tensión entre R1 y

R4 ; la otra, también la cascada de dos amplificadores y un divisor de

tensión, los amplificadores formados con los transistores Q2 y Q3 , eldivisor de tensión por R6 y R7 . Por lo tanto, se deben reconocer dos

estructuras unidirec-cionales para aplicarel procedimiento descri-to en la sección 4.3 yresumida por la relación(4.3.12). Por medio de

la figura 8.10.1 se pue-den identificar las dosestructuras unidireccio-nales requeridas: elamplificador formadopor Q1 y las resistencias FIGURA 8.10.1 AMPLIFICADOR DE TRES ETAPAS.



155

R2 y R3 ; para la otra fuente controlada seleccionamos un punto de la rama

que une el colector de Q2 con la base de Q3 . Los parámetros de los mode-

los de cada una de las estructuras unidireccionales son:

2 salidaentrada3

21 R R R

R

R A =∞=−=

0 R R1 A salidaentrada2 =∞== notar que para el modelo de la segunda estructura unidireccional seescoge como modelo el obtenido en el sentido que fluye la informa-ción, evitando algunos cálculos; de otra forma se requiere calcular laimpedancia Thévenin desde el punto, en sentido contrario al fluir de lainformación y tal es-tructura es realimen-tada.

La estructuramodificada incluyendolos puntos identificadoscomo: 11, 12, 31, y 32 se encuentran en lafigura 8.10.2.

En vista de serla estructura múlti-plemente realimenta-da y no ser evidente su comportamiento lineal; en primer lugar se debecomprobar si opera o no linealmente. La corroboración de la operaciónlineal se obtiene al satisfacer la relación (4.4.6); para lo cual se debecalcular la matriz de realimentación:

X R R

R R

R

R R X

R R

R R3111

1 4

2 5

1

1 43112

1 4

2 5

1

21 , ,=

+

+ + = =

+

+ =

X R

R R

R R

R R

R

R R

X R

R R

R R

R R

32 116

6 7

1 4

2 5

1

1 4

32 126

6 7

1 4

2 5

1 1

4

1 1

2

, ,= −+

+

+ + = − = −

+

+

+ = −


( ) ( )1 1

21 1

1

21 1

1

41 1

9

4

1

42 0+ + − ⋅ ⋅ ⋅ = − = >

por lo tanto el sistema realimentado es lineal y su salida, en función de

FIGURA 8.10.2 AMPLIFICADOR DE TRES ETAPAS.ESTRUCTURA MODIFICADA.



156

la entrada, se puede representar por una expresión similar a la dadapor (4.3.12). Previamente, de la figura 8.10.2, se calculan los otrosparámetros pq X requeridos:

1 X 1 X 0 X 12 ,i11 ,i0 ,i === 2

3

) R R( R

R X 0 X

7 6 9

80 ,320 ,31 −=

+−==

ee

o

i

= −

−

−

−

−

= −

−

0 0 3

2 1 0

0 1

1

2

1

4

1 1

2

1

1

3

8

11

La impedancia de entrada a la estructura se calculará por defini-ción; o sea, con la señal de entrada aplicada se define la corriente deentrada a la estructura como salida. Dado que la estructura es la mis-ma, las trayectorias también lo serán; como consecuencia los amplifica-dores modelados para evaluar la ganancia pueden ser utilizados paraevaluar esta nueva función. Resultando varios parámetros pq X iguales;

entre ellos todos los que forman la matriz de realimentación; como semantiene la misma señal de entrada los parámetros relacionados conlas entradas de la estructura y los amplificadores también serán igualesa los calculados para la ganancia. Por lo tanto, bastará con encontrar los

pq X relacionados con la salida de corriente definida; o sea, desde todas

las entradas de la estructura modificada a la salida de corriente: o ,i X ,

o ,31 X y o ,32 X .

En la figura8.10.3 se encuentra elcircuito de la estructu-ra con la salida decorriente definida; deella se pueden deter-minar las expresionespara los tres paráme-tros requeridos ennuestro caso particu-lar: FIGURA 8.10.3 AMPLIFICADOR DE TRES ETAPAS.

IMPEDANCIA DE ENTRADA.



158

Anulando la señalde entrada y analizando laestructura se encuentrandos posibles trayectoriasindependientes y cerradaspor las cuales puede fluir

la información; una deellas constituida por lacascada de los amplifica-dores formados con lostransistores Q1 y Q2 , un

divisor de tensión entrelas resistencias R3 y R5 ;

la otra trayectoria, la cas-

cada de los tres transisto-res de la estructura y el divisor de tensión formado por R4 y R1 . Por lo

tanto, se deben reconocer dos estructuras unidireccionales para a-plicar el procedimiento descrito en la sección 4.3 y resumida por larelación (4.3.12). Por medio del circuito de la figura 8.11.1 se puedenidentificar las dos estructuras unidireccionales requeridas: el amplifica-dor formado por Q2 y las resistencias R6 y R7 ; para la otra fuente con-

trolada seleccionamos un punto de la rama que une el colector de Q2

con la base de Q3 . Los parámetros de los modelos de cada una de las

estructuras unidireccionales son:

6 salidaentrada7

6 1 R R R2

R

R A ==−=−= ∞ 0 R R1 A salidaentrada2 === ∞

La estructura modificada incluyendo los puntos 11, 12, 31, y 32 identificados se encuentran en la figura 8.11.2.

En primer lugar se deben calcular los elementos de la matriz derealimentación:

X R

R R X R

R R3111

2

5 6 3112

5

5 6

1

2

1

2 , ,=

+ = =

+ =

X R R R

R

R

R R

R

R R R32 11

8 1 4

9

1

1 4

2

3 5 6

1

2 ,

( )

( )=

+

+ + =

FIGURA 8.11.2 AMPLIFICADOR DE TRES ETAPAS.ESTRUCTURA MODIFICADA.



159

X R R R

R

R

R R

R

R R32 12

8 1 4

9

1

1 4

6

6 5

1

6 ,

( )= −

+

+ + = −

sustituyendo en la relación (4.4.6) se comprueba la linealidad:

( ) ( ) , , , ,1 1 031 11 1 32 12 2 31 12 32 11 1 2− − − > X A X A X X A A

( ) ( )1 1

22 1

1

6 1

1

2

1

22 1 0+ + + ⋅ ⋅ >

por lo tanto el sistema realimentado es lineal y su salida, en función dela entrada, se puede repre-sentar por una expresiónsimilar a la dada por(4.3.12). Previamente, de lafigura 8.11.2, se calculan los

otros parámetros pq X :

X R

R R Ri ,0

8

1 4 8

1

3=

+ + =

X R R

R R R

R

R R Ri ,

( )11

4 8

1 4 8

2

3 5 6

1= − +

+ + + = −

X R R

R R R

R

R R1 12

4 8

1 4 8

6

5 6

1

3 , =

+

+ + + = X 31 0 0 , = X

R R R

R32 0

8 1 4

9

2

3 ,

( )= −

+= −

sustituyendo:

e

e

o

i

= −

−

−

−

−

= −

−

1

3

0 2

3

1

2 0

0 1

1

2

1

21

2

1

6

1

13

1

17

11

Las impedancias de entrada y salida a la estructura se calcula-rán por definición; o sea, con la señal de entrada aplicada se define lacorriente de entrada a la estructura como salida; ver figura 8.11.3.

FIGURA 8.11.3 AMPLIFICADOR DE TRES ETA-PAS. CALCULO DE LA IMPE-DANCIA DE ENTRADA.



160

Dado que la estruc-tura es la misma,las trayectoriastambién lo serán;por lo tanto, losamplificadores mo-

delados para eva-luar la gananciapueden ser utiliza-dos para evaluaresta nueva función.Resultando variosparámetros pq X

iguales; entre ellostodos los que for-man la matriz derealimentación.

Para evaluar la impedancia de entrada se tiene la misma señalde entrada; por lo tanto, los parámetros relacionados con las entradasa la estructura modificada también serán iguales a los calculados parala ganancia. Por lo tanto, bastará con encontrar los pq X relacionados

con la salida de corriente definida; o sea, desde todas las entradas de

la estructura modificada a la salida de corriente:

X R R R R

X X R R R

R R R Ri , , , (

( ) )0

1 4 831 0 32 0

8 1 4

9 1 4

1 1

30 1

1 1

3=

+ + = = = − −

+

+ =

sustituyendo:

R17 3

7

31

1

6

1

2

1 2

1

2

1

10

02

1

R3

10

R3

1i1

i

o

1

e ⋅

=

−

−−

−

−=

−

al invertir se obtiene la impedancia de entrada a la estructura realimen-tada:

FIGURA 8.11.4 AMPLIFICADOR DE TRES ETAPAS. CAL-CULO DE LA IMPEDANCIA DE SALIDA.



161

R7

17 3

i R

o

ientrada

e ⋅==

La impedancia de salida de la estructura realimentada se calculaen forma similar, por definición; pero en este caso la excitación seráuna fuente de corriente. En el modelo incremental de la estructura

realimentada se aplica como señal de entrada una fuente de corrienteentre los terminales que se desea calcular la impedancia, ver figura8.11.4. Todos los términos q p X de la estructura realimentada serán

iguales a los obtenidos para evaluar la ganancia de tensión, excep-tuando los relacionados con el punto de entrada; notar que de estaforma todos los puntos de la estructura modificada son los mismosexceptuando el punto de entrada a la estructura.

De la figura 8.11.4 se calculan los términos correspondientes a la

entrada:

X R R R R X R

R R R R

R

R R R Ri i , ,( )

( )0 8 1 4 11

8

1 4 81

2

3 5 6

2

3

1

2= + = = −

+ + + = −

X R

R R R R

R

R R Ri,12

8

1 4 81

6

5 6

1

6 =

+ + + =

sustituyendo y operando:

R R R

R

R salidao

i

ei

= = −

−

−−

−

=

−

2

30

2

312

0

0 1

1

2

1

21

2

1

6

1

21

6

8

17

11



162

8.12 AMPLIFICADOR DE DOS ETAPASACOPLAMIENTO DIRECTO. ES-TABILIDAD DE LA TENSIÓN DESALIDA

En algunas oportunidadesla realimentación negativa seemplea para mejorar el factor deestabilidad de una estructuramultietapas cuya polarizaciónsea de acoplamiento directo;

evitando de esta forma, que laamplitud máxima de la tensiónde salida que puede entregar laestructura se vea alterada, alcambiar la temperatura del am-biente donde opera el amplifica-dor. Para el circuito de la figura8.12.1, donde el efecto predomi-nante de la temperatura se en-

cuentra caracterizado por loscambios en la tensión del diodobase emisor de los transistores, evaluar el cambio de la tensión de sali-da para un cambio unitario de la temperatura ambiente. La tensión um-

bral del diodo base emisor cambia a razón de − 2 5 , / mV C o . Los transisto-

res son iguales, con parámetros: h fe = 300 , h k ie = 5 Ω y h hre oe= = 0 ; la fuen-

te de alimentación V V cc = 12 ; las resistencias: R R R k 1 2 5 10= = = Ω ;

R k 3 2= Ω ; R k 4 1= Ω .

De la figura 8.12.1 se puede ver que la polarización de los dostransistores que forman la estructura es dependiente una de otra; yademás, la dependencia es tal que analizando la estructura se puedeestablecer una trayectoria cerrada; o sea, la polarización se encuentradeterminada por una realimentación negativa; y por lo tanto la tensión de

FIGURA 8.12.1 AMPLIFICADOR DE DOSETAPAS. ESTABILIDAD DE

LA TENSIÓN DE SALIDA.



163

colector tierra del tran-sistor Q2 dependerá

en menor grado de lascaracterísticas de lostransistores que cuan-do no exista la reali-

mentación.

Admitiendo quelos transistores sonafectados por losmismos cambios detemperatura, la in-fluencia térmica en el circuito puede modelarse como una fuente in-cremental asociada en serie con cada una de las bases de los transis-

tores; de esta forma se puede evaluar los cambios en la tensión decolector tierra como la contribución de las perturbaciones de las ten-siones de base emisor de cada uno de los transistores al cambiar latemperatura de operación, utilizando las relaciones de la gananciarealimentada para corriente continua de la estructura, ver figura 8.12.2;en la figura se incluye el modelo del amplificador reconocido y la iden-tificación de los nodos respectivos.

La estructura unidireccional la conforma el transistor Q1 y la re-

sistencia R2 , su modelo es:

Ah R

h R R k R h k

fe

ie sal ent ie1

2

2600 10 5= − = − = = = =Ω Ω

El calculo de los parámetros comunes a las dos entradas, X 3 1 , y

X 3,o se obtienen del circuito de la figura 8.12.2 anulando ambas entra-

das:

X

R R R h h

R h R R R h h

R h

R h R

ie fe

ie ie fe

ie

ie3 1

4 5 1

2 4 5 1

1

1 5

1

1 0 237 ,

( )( )

( )( ) ,=

+ +

+ + + + + =

X h R

R h R R R h h

fe

ie ie fe

3 0

3

2 4 5 1 12 034 ,

( )( ) ,= −

+ + + += −

Los parámetros relacionados con las entradas equivalentes son:

FIGURA 8.12.2 AMPLIFICADOR DE DOS ETAPAS.ESTRUCTURA MODIFICADA.



164

X h

h R R Ri V

ie

ie R h

h

beie

fe

,

( )

,1

1 5 4 1

12

0 499−+

+

− = −

+ +

= −∆

0946 ,0 R R

R

) R R( Rh

) R R( R

)h1( )h R R( Rh R

Rh X

54

4

541ie

541

feie154ie2

3 feV 0 ,i 1be

=+++

+

++++=

−−∆

X R h

R R h

R R R h h

R h R R R h hi V

ie

ie

ie fe

ie ie fe

be ,

( )( )

( )( ) ,1

1

5 1

4 5 1

2 4 5 1

2

1

10 237 − −

= −+

+ +

+ + + += −∆

034 ,2 )h1( )h R R( Rh R

Rh X

feie154ie2

3 feV 0 ,i 2be

=++++

=−−∆

Por lo tanto la variación de la tensión de colector tierra del se-gundo transistor de la estructura es:

∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆V V X X A X

A X X X cQ BE i o V i o V

oi V i V be be be be− − − − −= + +

− +

− − − −21 3

1 311 11 2 1 21 , , , ,( )

sustituyendo y evaluando:

C / V 010 ,0 )237 ,0499 ,0(

237 ,06001

034 ,2600034 ,20944 ,00025 ,0V O

2cQ =

−−

⋅−

⋅++−=−∆

8.13 FUENTE DE TENSIÓN CONTRO-LADA POR CORRIENTE

Considerando la figura 8.13.1, donde se muestra el circuito deuna estructura realimentada formada por tres etapas emisor comúnconectadas en cascada; la señal de entrada a la estructura es unafuente de corriente y como salida se define la tensión de colector tierrade la última etapa. Admitiendo que los transistores son iguales, su ga-nancia de corriente tiende a infinito, los parámetros hre y hoe son nu-



165

los y el valor de las resis-tencias son los indicados.Determinar si el funciona-miento del circuito reali-mentado es o no lineal; encaso afirmativo evaluar la

relación V o i / y la resisten-cia de entrada a la estruc-tura.

Anulando la entrada,abriendo la fuente de co-rriente, se reconoce comoperteneciente a la trayecto-ria de realimentación al

amplificador formado por eltransistor Q2 . El circuito de

la estructura modificada seencuentra en la figura8.13.2; donde se encuentrael modelo unidireccional eidentifican los nodos deentrada y salida del mode-lo. Las características demodelo son:

A R R Rentrada salida= − = =∞1

2

En primer lugar sedetermina el término 31 X , para lo cual se anula la señal de entrada. De

la figura 8.13.2 se encuentra que el término 31 X posee dos contribu-

ciones:

X R

R R

R

R31

21

2

3

2

1

21= − + = − + = −

Al evaluar la relación (4.4.3) se comprueba que la estructuraposee un comportamiento lineal; sustituyendo en la relación:

FIGURA 8.13.1 FUENTE DE TENSIÓN CON-TROLADA POR CORRIENTE.

FIGURA 8.13.2 FUENTE DE TENSIÓN CON-TROLADA POR CORRIENTE.ESTRUCTURA MODIFICADA.



166

1 1 11

2

1

231− ⋅ = − = X A

De forma análoga se evalúan los restantes parámetros:

R )2

5

2

3( R

R2

R R3

R

R R X

52io −=−=+−= R4 )

2

9

2

1( R

R2

R R

R

R R3 X

321i −=−=+−=

22

1

2

5

R2

R

R

R X

52o3 −=+−=+−=


V R

R Ro

i = − −

− = −

4 2

1 19

12

12

Para calcular la resistencia de entrada se requiere la resistencia

de entrada con el amplificador desvanecido y la ganancia de lazo conlos terminales de entrada en cortocircuito:

R Rentrada A= =0 3 X R

R R

R

Ra y a en corto31

2

21

2

1

3' =

+ =


R R Rentrada realimentada = +

− =3

1

1 17

12

1312

8.14 AMPLIFICADOR DE TRES ETAPAS(EC, EC, EC) RESPUESTA DE FRE-CUENCIA

Para el circuito de la figura 8.14.1 determinar la ganancia de tensión

en función de la frecuencia de la estructura. Todos los transistores se pue-den considerar iguales y sus parámetros: Rhie = , ∞= feh , =oeh hre = 0 ;

adicionalmente se puede considerar que todas las resistencias y los con-densadores son del mismo valor e iguales a R y C respectivamente.



167

Analizando el circuitode la figura 8.14.1 se en-cuentra que posee dos con-densadores y por lo tantosu respuesta de frecuenciadebe estar formada a lo

sumo por la influencia dedos ceros y dos polos. Porser unidireccional el ampli-ficador formado con el tran-sistor Q3 ; la influencia que

introduce C 2 en la respues-

ta de frecuencia de la es-tructura se encuentra no

relacionada con la influen-cia del otro condensador; yse podrá evaluar directa-mente del circuito. El con-densador C 1 , que también

contribuye con un polo y uncero en la respuesta de fre-cuencia de la estructura, seencuentra ubicado en el

seno de un circuito reali-mentado; por lo tanto, larealimentación afectará suinfluencia. Notar que el ceroque introduce 1C no se en-

cuentra ubicado en frecuen-cia cero y por lo tanto nopodrá emplear la relación(3.3.3); la influencia de larealimentación sobre la ubicación del cero y el polo que produce C 1 se

debe estudiar en forma general, mediante una relación similar a la dadaen (4.5.1).

En general, la expresión algebraica de la ganancia de la estruc-tura en función de la frecuencia será de la forma:

FIGURA 8.14.1 AMPLIFICADOR DE TRES ETA-PAS. RESPUESTA DE FRE-CUENCIA.

FIGURA 8.14.2 AMPLIFICADOR DE TRES ETA-PAS. ESTRUCTURA MODIFICA-DA.



168

A s A s f sT f ( ) ( ) ( )= ⋅ ⋅1 2

donde:

A s f ( ) : Ganancia en función de la frecuencia de la porción

realimentada de la estructura.

f s2 ( ) : Efecto en función de la frecuencia introducido por elcondensador C 2 .

El efecto del condensador C 2 se obtiene directamente del circui-

to de la figura 8.14.1:

f s s

s R R C

2

7 9 2

1( )

( )

=+

+

Perteneciente a la trayectoria de realimentación, se reconoce ymodela la estructura unidireccional formada por el transistor Q2 ; la

ganancia del modelo unidireccional es función de la frecuencia; y es:

A s R

R

s

s

R C

R R C

( ) = −+

+3

4

1

15 1

4 5 1

En la figura 8.14.2 se encuentra la estructura modificada paraevaluar los parámetros requeridos por la relación (4.5.1); en ella seincluye el efecto del condensador C

2

. Los parámetros X pq

son:

X R R

R f sio = 1

7 9

6 2 ( ) X

R

R Ri1

1

2 6

= − X R R

R R f so3

7 9

6 82= − ( ) X

R

R31

1

6

1=

sustituyendo en la ecuación (4.5.1):

) s( f R R

R R

s

s

R

R

R

R

1

s

s

R

R

R R

R ) s( f

R

R R ) s( 2

86

97

C R R1

C R1

4

3

6

1

C R R

1

C R1

4

3

6 1

12

6

47

i

o

154

15

154

15

ee

+

+

+

+

+

−=

introduciendo los valores de los elementos y operando:



169

ee

o

i

s

s

s

s RC

RC

RC RC RC

s s

s

s

s

s

s

s

s

RC

RC

RC

RC

( ) = −+

+

= − +

+

+ = −

+

+

+

+

+

1

22

1

1

22

2

1

2

1

2

1

2

12

1

3 12

32

Nótese que para los valores particulares del problema la realimen-tación introduce un polo y un cero; el cero anula el polo definido por

2

C

y el polo determina la esquina de alta frecuencia de la estructura.

8.15 AMPLIFICADOR COMPUESTO.FET BJT. RESPUESTA DE FRE-CUENCIA

Para la estructura de la figura 8.15.1 determinar la expresión enfunción de la frecuencia para la ganancia de tensión. Asuma que losparámetros de los transistores son:

Q gm r d 1 , → ∞ Q h h h h fe ie oe re2 0 0, , ,= = .

Analizando el circuito de la figura se encuentran varias condicio-nes. En primer lugar que los condensadores 1C y 2C no están relacio-

nados; por lo tanto, su efecto en función de la frecuencia de la señal

de entrada puede ser evaluado por separado. El condensador 1C in-troduce un cero en la funciónde transferencia de la estruc-tura, ubicado en la frecuenciacero; por lo tanto, su efectoserá en baja frecuencia. Elcondensador 2C anula la se-

ñal de salida cuando la fre-cuencia de la información

tiende a infinito; o sea, 2C

introduce un cero en infinito.Por otro lado; La estructura esrealimentada y 1C se encuen-

tra fuera del lazo de realimen-

FIGURA 8.15.1 AMPLIFICADOR COMPUES-TO. FET BJT. RESPUESTADE FRECUENCIA.



170

tación; en cambio, 2C se

encuentra ubicado en el in-terior de la trayectoria derealimentación.

Por lo establecido an-

teriormente la función detransferencia de la estructuraserá una expresión como:

) s( A ) s( F ) s( v

v f B

i

o = ........(8.15.1)

donde ) s( F B es la depen-

dencia de frecuencia que

introduce 1C en la respuestade la estructura y ) s( A f es la ganancia realimentada en función de la

frecuencia del resto de la estructura. En la figura 8.15.2 se encuentrauna estructura que representa el comportamiento de la relación(8.15.1).

11

B

C R

1 s

s ) s( F

+

= ........(8.15.2)

La expresión de la ga-nancia realimentada en fun-ción de frecuencia será de laforma indicada por la rela-ción (4.5.1), particularizadapara la estructura de la figura8.15.2. Analizando la estruc-tura la figura 8.15.2 se puedereconocer e identificar el

amplificador formado por 2Q ,

3 R y 4 R ; que pertenece a la

trayectoria de realimentación, el modelo del amplificador es:

)h1( Rh

Rh A

fe3ie

4 fe

++−= 4 salt fe3ieent R R )h1( Rh R =++=

FIGURA 8.15.2 AMPLIFICADOR COMPUES-TO. FET BJT. CIRCUITO IN-CREMENTAL.

FIGURA 8.15.3 ESTRUCTURA MODIFICADA.CALCULO DE A s f ( ) .



171

En la figura 8.15.3 se encuentra la estructura modificada; Los pa-rámetros pq X requeridos por la relación (4.5.1) serán dependientes de

la frecuencia y se obtienen aplicando las relaciones de los ANEXOS:

) R gm1( s s

s R gm

C R

R gm1

sC R

R gm

R gm1

R gm ) s( X

4a

a4

24

4

24

4

4C s1

4C s1

o ,i

2

2

++=

+

+

=+

=

) R gm1( s s

s s

R gm1

R R gm

C R

R gm1 s

C R

1 s

R gm1

R R gm

C R

1 s

C R

1 s

R gm1

R R gm ) s( X

4a

a

4

ent 2

24

4

24

4

ent 2

2 gm1

4

24

4

ent 21 ,i

++

+

+−=

++

+

+−=

+

+

+−=

) gmR1( s s

s

C R

R gm1 sC R

1

R ) s( X

4a

a

24

424

gm1

C s1

4

gm1

C s1

0 ,3

2

2

++=

++

=+

=

X s X s gm R R s

s s gm R gm R Rent

s

a

ent 3 1 3 0 2

4

21

, ,( ) ( )( )

= =+ +

Sustituyendo los parámetros en la relación (4.5.1) se obtiene laexpresión requerida:

A s gm R s

s s gm R

gm R R

gm R

s s

s s gm R

h R

R

s

s s gm R

h R

R

s

s s gm R gm R R

f a

a

ent a

a

fe

ent

a

a

fe

ent

a

aent

( )( )

( ) ( )

( )

=+ +

+ +

+

+ + + +

++ +

4

4

2

4 4

4

4

4

42

1

1 1 1

1 1

=+ +

+ +

+

+ +

++ +

gm R s

s s gm R

R R

gm R

s s

s s gm R

h

R

h R

R

s

s s gm R gm R R

a

a

ent a

a

fe

ent

fe

ent

a

a

ent

4

4

2

4 4

4

4

2

11

1 1

11

( )

( )

( )

[ ] [ ] [ ]

=+ +

+ + + +

+ + + + + +

gm R s

s s gm R

R R s s h R s s gm R

gm R s s gm R R R s s gm R h R gm R R s

a

a

ent a fe ent a

a ent ent a fe ent a

4

4

2 4

4 4 4 4 21

11

1 1 1( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

[ ] =

+ + +

+

+ + + +

gm R s

s s gm R

R R s s h

gm R R s s gm R h R gm R R s

a

a

ent a f e

ent a fe ent a

4

4

2

4 4 4 21

11 1( )

( )

( ) ( )

[ ] [ ]

=+ +

+ + + + + +

+ + + +

gm R s

s s gm R

gm R R s s gm R h R gm R R s R R s s h

gm R R s s gm R h R gm R R s

a

a

ent a fe ent a ent a f e

ent a fe ent a

4

4

4 4 4 2 2

4 4 4 21

1 1

1 1( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )



172

[ ] [ ][ ] [ ]

+++

+++++

++=

4ent 2 fe4ent aent

4ent 2 fe4ent ae f ent 2ent

4a

a4

R gm R Rh ) R gm1( R s R s

) R gm1( R Rh ) R gm1( R sh R R R s

) R gm1( s s

s R gm

[ ][ ]

[ ]

+++

+

++++

+

++=

ent

4ent 2 fe4ent a

e f ent 2ent

4ent 2 fe4ent a

ent

e f ent 2ent

4a

a4

R

R gm R Rh ) R gm1( R s s

h R R R

) R gm1( R Rh ) R gm1( R s s

R

h R R R

) R gm1( s s

s R gm

[ ]

+++

+++

++=

ent

4ent 2 fe4ent a

4a

ent

e f ent 2ent

4a

a4

R


) R gm1( s s

R

h R R R

) R gm1( s s

s R gm

[ ]

++

+

+=

ent

4ent 2 fe4ent aent

e f ent 2ent a4

R


1

R

h R R R s R gm

sustituyendo el valor de a s :

[ ]

+++

+=

ent

4ent 2 fe4ent

24

ent

e f ent 2ent

244 f

R

R gm R Rh ) R gm1( R

C R

1 s

1

R

h R R R

C R

1 R gm ) s( A

........(8.15.3)

Por lo tanto, la función de transferencia de la estructura se obtie-ne al multiplicar la relación (8.15.3) por la función ) s( F B que aporta el

condensador 1C y dada por (8.15.2):

++++

+==

ent

4ent 2 fe4ent

2411

ent

e f ent 2ent

244 f B

i

0

R

R gm R Rh ) R gm1( R

C R

1 s

1

C R

1 s

s

R

h R R R

C R

1 R gm ) s( A ) s( F ) s(

v

v

........(8.15.4)

Otra alternativa para calcular la frecuencia de corte en alta, quesólo depende de un condensador y esta influenciada por la realimen-tación presente en la estructura, es utilizar la relación (3.3.8); o direc-tamente evaluar el inverso de la constante de tiempo del condensador

2C que se encuentra dentro del lazo de realimentación; para lo cual se

debe calcular la resistencia vista entre los terminales del condensador



173

empleando la relación deBlackman (5.1.6). Ambasalternativas requieren deevaluar la ganancia de lazo afrecuencias medias; la es-tructura modificada para los

cálculos a frecuencias me-dias se indica en la figura8.15.4; se indican los puntosa y a' entre los cuales sedebe calcular la resistencia.

Para aplicar la relación(3.3.8) se debe calcular la constante de tiempo del condensador 2C

anulando el amplificador ; o sea, la resistencia vista entre los puntos

a y a' de la figura 8.15.4:

4

4 gm

14' aa

gmR1

R R R

+==

por lo tanto, la frecuencia sin realimentación es:

42

4a

RC

gmR1w

+=

El factor de realimentación a frecuencias medias:

ent

4e f

4

ent 2

ent

4e f ent 2

gm1

4

gm1

1 ,3 R

Rh

R gm1

R R gm1

R

Rh R R gm

R1 A X 1

++=

++=−

Por medio de la relación (3.3.8) obtenemos la frecuencia de es-quina de la estructura realimentada:

[ ]

++

=

++

+

=−=ent

4 feent 24ent

42ent

4 fe

4

ent 2

4241 ,3a f a

R

Rh R R gm ) R gm1( R

RC

1

R

Rh

R gm1

R R gm

1 RC

R gm1 A X 1ww

....... (8.15.5)

La relación de Blackman requiere de la ganancia de lazo de laestructura condicionando los puntos a y a' de la figura 8.15.4; asícomo la resistencia vista entre los puntos anulando la ganancia del

FIGURA 8.15.4 ESTRUCTURA MODIFICADA.FRECUENCIAS MEDIAS.



174

amplificador. Uniendo los puntos la ganancia de lazo en nula; en cam-bio, para circuito abierto corresponde con la determinada en la alterna-tiva anterior. La resistencia entre los puntos también es la calculadaanteriormente. La resistencia entre los puntos de la estructura reali-mentada será:

ent

4 fe

4

ent 24

4acen' a ,a31

ccen' a ,a31' aa f ' aa

R

Rh

R gm1

R R gm1

1 R gm1

R X A1

X A1 R R

++

+=⋅−

⋅−=−

++=

++

+==

− ent

4 feent 24ent

42ent

4 fe

4

ent 2

42

4

f ' aa2 f a

R

Rh R R gm ) R gm1( R

RC

1

R

Rh

R gm1

R R gm1

RC

R gm1

RC

1w

........(8.15.6)

Las expresiones (8.15.5) y (8.15.6) son iguales y corresponden

con la frecuencia de corte en alta frecuencia en la relación (8.15.4).

8.16 AMPLIFICADOR DE TRES ETAPAS(EC, EC, EC) REALIMENTADO PORRESISTENCIA COMÚN

Considerando la figura 8.16.1, donde se muestra el circuito deuna estructura realimentada formada por tres etapas emisor comúnconectadas en cascada. La realimentación se introduce mediante unaresistencia común a los emisores de las tres etapas. Admitiendo quelos transistores son iguales, su ganancia de corriente tiende a infinito,los parámetros hre y hoe son nulos y todas las resistencias poseen el

mismo valor. Determinar si el funcionamiento del circuito realimentado

es o no lineal; en caso afirmativo evaluar la función de transferencia detensión de la estructura.

Anulando la entrada y considerando como locales la realimenta-ción introducida por cada una de las resistencias ubicadas en los emi-sores de los transistores; se reconocen tres trayectorias cerradas. Unade ellas la constituye la cascada de los amplificadores base común y



175

colector común formados porlos transistores Q1 y Q2 , cie-

rra la trayectoria el nodo deunión de las resistencias

2 R , R4 y R5 . El segundo lazo

cerrado presenta una estruc-tura similar a la anterior, lacascada de los amplificadoresformados por Q2 y Q3 , y el

nodo definido por la unión delas resistencias R4 , R5 y R7 .

La tercera trayectoria no esmas que la cascada de lostres amplificadores formados

por los transistores Q1 , Q2 yQ3 y el nodo de unión de las

cuatros resistencias: R2 , R4 , R5 y R7 .

De la figura 8.16.1 se puede observar que al anular el flujo deinformación en la primera y segunda trayectoria definidas, como con-secuencia de suprimir latransferencia de informaciónentre el colector de la base de

los pares de transistoresQ Q1 2− y Q Q2 3− , automáti-

camente se anula la terceratrayectoria cerrada. Por lotanto para determinar la fun-ción de transferencia bastacon modelar dos puntos; per-tenecientes cada uno de ellos

al conductor que une cada parde transistores.

En la figura 8.16.2 seencuentra el diagrama circuitalde la estructura modificada,incluyendo los modelos de los

FIGURA 8.16.1 AMPLIFICADOR DE TRESETAPAS. REALIMENTADOPOR RESISTENCIA COMÚN.

FIGURA 8.16.2 AMPLIFICADOR DE TRESETAPAS.. ESTRUCTURAMODIFICADA.



176

puntos:

A A R R R Rentrada entrada salida salida1 2 1 2 1 21 0= = = = = =∞

Directamente del circuito de la figura 8.16.2, empleando las expre-siones del ANEXO 1 se obtienen los parámetros X pq .

X R

R R R R

R R

R R R R Ri o

i

=+ + =

=1 1

4

6

7 2 4 5

4 5

2 4 5

X R

R R R R

R R

R R R R Ro

i31

6

7 2 4 5

2 5

4 2 5

1 1

4 , =

+ + = =

X

R

R R R R R Roi

32

6

7 2 4 51

3

4 , = − + = = −

X R

R R R R R Ri

i , 11

1

2 4 5 7

3

4= −

+ = = −

X R

R R R R

R R

R R R R Ri

i , 12

3

4 2 5 7

5 7

2 5 7

1 1

4=

+ + = =

X

R

R R R R

R R

R R R R Ri31 11

1

2 4 5 7

5 7

4 5 7 1

1

4 , = + + = =

4

3

R R R R R R

R X

i7 524

312 ,31 −=

=+−=

4

1

R R R R R

R R

R R R R

R1 X

i547

54

7 542

111 ,32 =

=++=

4

11

527

52

7524

3

12,32 ==++= R R R R R

R R

R R R R

R X

i

Aplicando la expresión (4.4.6) se comprueba si la estructura po-see un comportamiento lineal:

0)1()1(2111,3212,31212,32111,31

>−−− A A X X A X A X



177

para la estructura analizada se tiene:

( ) ( )11

41 1

1

41

3

4

1

41 1

3

4

3

4

3

16

3

4− − + ⋅ = + =

Dado el resultado anterior la estructura realimentada presenta uncomportamiento lineal.

La función de transferencia de la estructura se obtiene particula-rizando la relación (4.3.11); para lo cual se requiere realizar previa-mente algunas operaciones:

[ ] [ ][ ]

−=

−−

=−

−

−−

33

13

12

4

10

01 X A

1

41

43

41

41

1 j1 ,i3

1

32

4

14

3

33

13

3

143

41

41

1

eei

o −=

−

−

−=

8.17 AMPLIFICADOR DE POTENCIAREALIMENTADO

Los amplificadores de salida de los equipos utilizados para re-producir audio generalmente son una estructura similar a la indicadaen la figura 8.17.1-a; la cual es realimentada negativamente para dis-minuir apreciablemente la distorsión que presentan las etapas de po-tencia; la estructura posee un diagrama de bloques similar al indicadoen la figura 8.17.1-b. Generalmente el amplificador de potencia loconstituyen dos transistores complementarios conectados como se-guidores de emisor polarizados en clase B y denominada push-pull ; talpolarización ocasiona que la característica de transferencia de tensiónpresente una no linealidad conocida como distorsión de cruce por cero



178

(crossover ). El esquema y un modelo para la estructura interna delamplificador de potencia se encuentran en la figura 8.17.1-a, donde seincluyen diodos ideales y fuentes de tensión constantes para modelarla distorsión de la etapa de potencia. El preamplificador A1 , incluido en

la figura 8.17.1-b, permite la realimentación negativa de la estructura yademás mantiene o aumenta el modulo de la ganancia de tensión dela estructura realimentada, dependiendo del valor asignado a las resis-tencias R1 y R2 . Con el fin de comparar la distorsión de cruce por ce-

ro; en el presente problemalos valores de las resistencias R1 y R2 fueron asignados

para obtener aproximadamen-te el mismo módulo de la ga-nancia de tensión. Determinarlas características de transfe-rencia de tensión tanto delamplificador de potencia como

de la estructura realimentada.

Para encontrar la fun-ción de transferencia del am-plificador de potencia de lafigura 8.17.1-a basta con con-siderar que la tensión sobre la

FIGURA 8.17.1 AMPLIFICADOR DE POTENCIA REALIMENTADO.

(a) ESQUEMA Y MODELO PARA EL AMPLIFICADOR DE PO-TENCIA.

(b) ESTRUCTURA REALIMENTADA.

V o

V en

V d

-V d

1

1

FIGURA 8.17.2 FUNCIÓN DE TRANSFEREN-CIA DE TENSIÓN DEL AM-PLIFICADOR DE POTENCIA.



179

resistencia de entrada a la etapa de salida del amplificador es nula silos diodos se encuentran cortados. Para que alguno de los diodosconduzca se requiere que la tensión de entrada supere la tensión de lafuente V d ; una vez que la tensión de entrada supera tal valor, entra en

conducción uno de los diodos; en estas condiciones la entrada neta ala etapa de salida será la entrada más la tensión de la fuente constan-

te V d , que se encuentra en oposición a la tensión de entrada; la expre-

sión será:

V o V en

V d

=≤

0 V V V o en d V en

V d

= −≥

Un gráfico que representa las relaciones anteriores se encuentraen la figura 8.17.2. Para la construcción del gráfico se consideraron lacondición de conducción de los diodos y la señal de entrada a la etapade potencia.

Al emplear como estructura unidireccional el preamplificador A1

se forma un circuito cuyo diagrama se indica en la figura 8.17.3, dondese identifican los puntos 1 y 3.

Para el análisis de la estructura realimentada se debe considerarque el amplificador modelado presenta un intervalo de la señal de en-trada para el cual su ganancia es nula, como se indica en su funciónde transferencia. De la función de transferencia del amplificador, verfigura 8.17.2, se encuentra que los puntos definidos para las tensionesde entrada V d y −V d pertenecen a las dos trayectorias de la tensión de

salida, aquella cuya pendiente es unitaria y para la trayectoria conpendiente nula; por tal razón analizaremos la estructura realimentadae impondremos interva-los de valides de la res-puesta obtenida.

La tensión de sali-da del circuito de la figu-

ra 8.17.3 se obtiene con-siderando las dos seña-les de entrada: V in y V d .

Los parámetros X pq se

obtienen directamente

FIGURA 8.17.3 ESTRUCTURA MODIFICADA DELAMPLIFICADOR REALIMENTADO.



180

del circuito de la figura 8.17.3. Aquellos parámetros no relacionadoscon las entradas serán los mismos, en cambio los relacionados con lasentradas son diferentes:

X X R R

R R Ro

in

in3 3 1

1

1 2

1= =+

para la entrada V in :

X R R

R R R X i

in

ini o1

2

2 1

0=+

=

para la entrada equivalente a la tensión umbral de los diodos, V d :

X R R

R R R X i

in

ini o1

1

1 2

1 1=+

=

Para valores negativos de V in la tensión de salida del amplifica-dor realimentado será:

V V X

A X X V X

X

A X X o in

i

o d i o

i

o=−

+ +−

1

3 13

1

3 13

1 1

+−

+++

+−

+= 1

R R R

R R A1

A R R R

R R

1V 1

R R R

R R A1

A R R R

R R

V V

21in

1in

21in

1in

d

21in

1in

12in

2in

ino

+

+

+−

= d 12in

2inin

21in

1ino V A

R R R

R RV

R R R

R R A1

1V

(( (

V R R R R R

R R R A R RV

R R

R R R R R A V o

in in

in in

inin

in in

d = + +

+ + − + + +

1 2 1

2 1 1

2

2 1 21

)

) ( ) )

((

(V V R R

R R R A R R A V

R R R R R

R R R A R Ro in in

in in

d

in in

in in= + + − +

+ +

+ + −2

2 1 1

1 2 1

2 1 11 1 ) ( )

)

) ( )

0in

V d 2in1o V k V k V ≤

+=

En general; por ser la ganancia del amplificador negativa y su



181

módulo mayor que la unidad se tiene que k 1 es una constante negati-

va cuyo módulo es mayor que la unidad; en cambio k 2 es una cons-

tante positiva menor que la unidad. En aquellos casos donde se em-plee un amplificador cuya ganancia sea muy grande, la expresión de latensión de salida tiende a:

V R R

V o in= − 2

1

Relación que permite concluir que aumentando el factor de re-alimentación de la estructura la distorsión en la tensión de salida dis-minuye; cuando la ganancia del amplificador A1 tiende a menos infinito

la distorsión es nula, como se desprende de la relación anterior.

Particularizando para los valores considerados en el planteamien-to del problema la tensión de salida de la estructura realimentada es:

0in

V d ino V 023 ,0V 976 ,0V ≤

+−=

Para construcción de la gráfica de la función de transferencia dela estructura realimentada basta con tomar en cuenta que para el in-tervalo de valores de la entrada correspondientes a la zona muerta losdiodos se encuentran cortados y por lo tanto la salida del amplificadorserá nula; y para valores positivos de la señal de entrada la salida serásimilar a la obtenida. La función de transferencia de tensión se en-

cuentra en la figura8.17.4.

Comparando losgráficos de las figuras8.17.2 y 8.17.4, para losmismos niveles de la ten-sión de salida en amboscasos, se puede concluirque el amplificador reali-

mentado presenta menordistorsión que el amplifi-cador de potencia.

V o

V in0,0236 V d

-0,0236 V d

-0,976

- 0,976

FIGURA 8.17.4 FUNCIÓN DE TRANSFERENCIADE TENSIÓN DEL AMPLIFICADORREALIMENTADO.



182

8.18 AMPLIFICADOR COMPUESTO.TRANSISTORES COMPLEMENTA-RIOS

Para la estructura de la figura8.18.1 calcular la ganancia de tensióny las impedancias de entrada y salida.Los transistores pueden considerarsecomplementarios y sus parámetrosson: h f e = 100 , h k ie = 4 Ω , hre y hoe

son nulos.

Con el fin de ilustrar que unaestructura realimentada siempre podráser analizada empleando varias alter-nativas, la expresión de la ganancia detensión se obtendrá reconociendo dife-rentes tipos de fuentes controladas y procediendo a emplear las relacio-nes apropiadas a cada caso.

Anulando la señal de entrada se reconocen dos trayectorias ce-

rradas. Pertenecientes a las trayectorias se encuentran dos fuentescontroladas; una de ellas la propiafuentes controlada del modelo deltransistor 2Q , que rompe el lazo de

realimentación formado por 2Q , 2 R

y 4 R ; el modelo de un punto co-

rrespondiente a la unión entre elcolector de 2Q y el emisor de 1Q

constituye la segunda fuente con-trolada. Las dos fuentes controla-das permiten realizar el análisis dela estructura empleando la relación(4.3.12), en la figura 8.18.2 se en-cuentra la estructura modificada,

FIGURA 8.18.1 AMPLIFICADORCOMPUESTO.

FIGURA 8.18.2 ESTRUCTURA MODI-

FICADA I.



183

donde la constante de proporcionalidad de la fuente controlada decorriente será:

e f hk −= .

Directamente de la figura 8.18.2 se encuentran los parámetros

q p X :

)h1( Rh R

Rh X

e f 31ei1

4e f 0i

+++−=

)h1( Rh R

Rh X

e f 31ei1

4e f 0 ,31

+++= 40 ,32 R X −= 0 X 11 ,i =

2ei2

2

e f 31ei1

e f 12 ,i

h R

R

)h1( Rh R

h X

++++−=

0 X 11 ,31 = 2ei2

2

e f 31ei1

e f 12 ,31

h R

R

)h1( Rh R

h X

++++= 311 ,32 R X = 0 X 12 ,32 =


++++−

++++

−

•

•

−

++++++−=

−

2ei2

2

e f 31ei1

e f

1

2ei2

2

e f 31ei1

e f

3

4e f 31ei1

4e f

e f 31ei1

4e f

S

o

h R

R

)h1( Rh R

h0

0h R

R

)h1( Rh R

h

R0

k

10

01

1

R )h1( Rh R

Rh

)h1( Rh R

Rh

v

v

....... (8.18.1)

operando:

++++−

−

=

++++

−

k

1

h R

R

)h1( Rh R

h

R1

0h R

R

)h1( Rh R

h

R0

k

10

01

2ei2

2

e f 31ei1

e f

3

2ei2

2

e f 31ei1

e f

3

++++

=

++++−

− −

1h R

R

)h1( Rh R

h

Rk

1

1

k

1

h R

R

)h1( Rh R

h

R1

2ei2

2

e f 31ei1

e f

31

2ei2

2

e f 31ei1

e f

3

∆



184

donde:2ei2

32

e f 31ei1

e f

h R

R R

)h1( Rh R

h

k

1

++++−=∆

++++−

++++−

=

=

++++−

++++

2ei2

2

e f 31ei1

e f

2ei2

2

e f 31ei1

3e f

2ei2

2

e f 31ei1

e f

2ei2

2

e f 31ei1

e f

3

h R

R

)h1( Rh R

h1

h R

R

)h1( Rh R

Rh1

h R

R

)h1( Rh R

h0

1h R

R

)h1( Rh R

h

Rk

1

1

∆

∆

∆


++++

++++•

•

−

++++++−=

2ei2

2

e f 31ei1

e f

2ei2

2

e f 31ei1

3e f

4e f 31ei1

4e f

e f 31ei1

4e f

S

o

h R

R

)h1( Rh R

h1

h R

R

)h1( Rh R

Rh11

R )h1( Rh R

Rh

)h1( Rh R

Rh

v

v

∆

∆

considerando que los parámetros de los transistores son iguales, ope-

rando y simplificando se tiene:

[ ] )h R( )h1( Rh R R Rhh

)h R Rh( Rh

v

v

ei2e f 3ei132e f e f

ei22e f 4e f

S

o

+++++

++−= ........(8.18.2)

Una segunda alternativa para calcular la ganancia de tensión seplantea reconociendo y modelando como estructuras unidireccionaleslas fuentes controladas de corriente de los propios transistores, 1Q y

2Q ; tal alternativa, permite poner en evidencia todos los lazos de re-

alimentación de la estructura. En la figura 8.18.3 se encuentra la es-tructura modificada, considerando las fuentes controladas de corrientede ambos transistores como fuentes unidireccionales.

De la figura 8.18.3 se obtienen los parámetros q p X :

1e f 1 hk −= 2e f 2 hk −= 0 X 0i = 40 ,31 R X =



185

40 ,32 R X −= 0 X 12 ,i =

31ei1

311 ,31

Rh R

R X

++=

2ei2

212 ,31

h R

R X

+

=

31ei1

311 ,32

Rh R

R X

++−=

0 X 12 ,32 =

sustituyendo en la relación(4.3.12):

[ ]

++

+

++−

++−

•

•−=

−

0

h R R

R

0h R

R

h R R

R

h R R

R

k

10

0k

1

1

R R0v

v

1ei31

3

1

2ei2

2

1ei31

3

1ei31

3

2

1

44S

o

....... (8.18.3)

operando:

+−

++++−

=

+

++−

++−

22ei2

2

1ei31

3

1ei31

3

1

2ei2

2

1ei31

3

1ei31

3

2

1

k

1

h R

R

h R R

R

h R R

R

k

1

0h R

R

h R R

R

h R R

R

k

10

0k

1

++−+

++−

∆

=

+−

++++−

−

131

3

122

2

131

3

2

1

222

2

131

3

131

3

1

1

1

1

1

1

eiei

ei

ei

eiei

h R R

R

k h R

R

h R R

R

k

k h R

R

h R R

R

h R R

R

k

donde:2ei2

2

1ei31

3

1ei31

3

12 h R

R

h R R

R )

h R R

R

k

1(

k

1

++++

++−=∆

FIGURA 8.18.3 ESTRUCTURA MODIFICADA II



186

+++

++=

++

++−

+

++−

1ei31

3

2ei2

2

1ei31

3

21ei31

3

1ei31

3

12ei2

2

1ei31

3

2

h R R

R

h R

R

h R R

R

k

1

1

0

h R R

R

h R R

R

k

1

h R

R

h R R

R

k

1

1

∆∆

sustituyendo en (8.18.3) y considerando los parámetros de los transis-tores iguales, operando y simplificando se tiene:

[ ] )h R( )h1( Rh R R Rhh

)h R Rh( Rh

v

v

ei2e f 3ei132e f e f

ei22e f 4e f

S

o

+++++

++−= ........(8.18.4)

Dada la presencia de un ele-mento nulo en la diagonal principalde la matriz de realimentación R M

obtenida al plantear la segunda al-ternativa de análisis, se puede ase-gurar que existe una opción paracalcular la expresión de ganancia dela estructura reconociendo y mode-lando una sola fuente unidireccional,la que posee realimentación local; yque tal fuente controlada interrumpelos dos lazos de realimentación si-

multáneamente. En este caso lafuente unidireccional es la fuente decorriente controlada del modelo deltransistor 1Q . En la figura 8.18.4 se tiene la estructura modificada

considerando la propia fuente de corriente del transistor 1Q como

fuente unidireccional; el efecto que sobre el comportamiento de la es-tructura ejerce la fuente controlada de 2Q no considerada en éste

planteamiento se manifiesta al formar parte de los parámetros q p X ,

específicamente algunos de ellos dependerán de 2e f h o 2ieh . Los pará-

metros del modelo para la estructura unidireccional reconocida 1Q son:

1ie1e f hhk −= .

Directamente de la figura 8.18.4 se encuentran los parámetros X pq :

FIGURA 8.18.4 ESTRUCTURAMODIFICADA III.



188

respuesta de la estructura; en la primera alternativa, se emplea el recur-so de un circuito equivalente, el cual enmascara en la solución uno delos elementos de la matriz, como se establece en el capítulo 4.

Para evaluar la impedancia de entrada basta con aplicar la rela-ción (5.3.1). En la figura 8.18.5 se encuentra la estructura modificada ycondicionada para los cálculos; directamente de la figura se obtienen

los parámetros:

31ei10i Rh R X ++= 30 ,31 R X −= 30 ,32 R X = 1 X 11 ,i = 0 X 12 ,i =

0 X 11 ,31 = 2ei2

212 ,31

h R

R X

+= 0 X 11 ,32 = 0 X 12 ,32 =


[ ]

+−

•−++=

−

0

10

h R

R00

k

10

0k

1

1

R R Rh Riv

1

2ei2

2

2

13331ei1i

o

operando se tiene:

2ei2

322e f 1e f 1ei1

2ei2

221331ei1

i

o.ent

h R

R Rhhh R )1

h R

Rk k ( R Rh R

i

v R

+++=−

++++==

........(8.18.6)

La impedancia de sali-da de la estructura es eviden-te que resulta ser 4 R ; por ser

nulos los parámetros q p X

relacionados con la entrada ylas ramas de control de cadauna de las fuentes de corrien-

te controlada empleadas enla estructura modificada, verfigura 8.18.6; las fuentes con-troladas de corriente se abrenpara calcular los parámetros.Nótese que la resistencia 4 R

FIGURA 8.18.6 ESTRUCTURA MODIFICADA.IMPEDANCIA DE SALIDA.



189

queda fuera de todos los lazos de realimentación de estructura, comose puede ver en la matriz de realimentación, todos sus elementos sonindependientes de R4 . Por lo tanto:

4i

o. sal R

i

v R == ....... (8.18.7)

8.19 MODIFICACIÓN DEL NIVEL DEIMPEDANCIA

Para el amplificador de dos etapas cuyo circuito se encuentra enla figura 8.19.1, admitiendo que todos los transistores son iguales, conparámetros 0hh ,600h ,100h:Q

reoeie fe

==== Ω ; y los valores de las

resistencias son: 1 ,0 R1 = ; 22 R2 = ; 2 ,2 R3 = ; 5 ,1 R4 = ; 56 ,0 R5 = , todos

expresados en Ω k . Determinar los nodos que colocando una resisten-

cia entre ellos permite modificar el nivel de la resistencia de entrada osalida de la estructura; así mismo, encontrar la expresión en funciónde los parámetros circuitales para las resistencias de entrada y salidade la estructura modificada y su tendencia en relación con el valorasignado a la resistencia para establecer la realimentación añadida.

Considerando la figura 8.19.1 y analizando el circuito incrementalde la estructura se determina que los nodos identificados como 1 E ,

1 B , 2 B , 2 E y 2C , ver figura

8.19.2, se pueden emplearpara realimentar la es-tructura y alterar de éstaforma el nivel de la impe-dancia de entrada o salida,según los nodos designa-

dos. El punto 2C correspon-

de con un nodo de origen;los denominado 1 E y 1 B

sólo pueden ser usados co-mo puntos finales para laparte externa de la realimen-

FIGURA 8.19.1 AMPLIFICADOR DE DOS ETAPASMODIFICACIÓN DE IMPEDANCIA.



190

tación añadida a laestructura cuando en-tre los puntos de ori-gen y final se agregauna resistencia F R .

En cambio, los no-

dos 2 B y 2 E pueden

ser usados como pun-tos de origen o finalpara la trayectoriaexterna. Seleccionan-do los nodos 2 B y 2 E

como origen es preci-so tomar los nodos 1 E y 1 B como puntos finales de la trayectoria. Nó-

tese que las señales en 2 B y 2 E poseen la misma fase; y por lo tanto,al tomar 2 B o 2 E como nodo de origen para la realimentación el com-

portamiento obtenido será equivalente.

Examinando la estructura de la figura 8.19.2, para estudiar loscambios en el nivel de la impedancia de entrada, se reconoce que porla rama que une el colector de 1Q con la base de Q2 fluye toda la in-

formación que procesa la estructura; por lo tanto, al modelar un puntode ella, en sentido contrario del fluir de la información, se obtiene laestructura modifica-da de la figura8.19.3, ver ANEXO3. En relación a lacondición que impo-ne que la expresiónde 13 X debe incluir

en su argumento

algún elemento cir-cuital presente en elparámetro oi X ; se

puede constatar queempleando los no-dos 1 E y 1 B como

FIGURA 8.19.2 ESTRUCTURA MODIFICADA. NODOS

1 E , 1 B , 2 B , 2 E y 2C .

FIGURA 8.19.3 ESTRUCTURA MODIFICADA. IMPEDAN-CIA DE ENTRADA.



191

puntos finales para el recorrido externo de la realimentación, existenelementos comunes en sus argumentos; para su demostración, bastacon notar que desvaneciendo el amplificador modelado y utilizar cual-quiera de los dos nodos para cerrar el lazo de realimentación; la resis-tencia F R se encuentra presente en el argumento, tanto de la impedan-

cia de entrada a la estructura como de la ganancia de tensión que sumi-

nistra el transistor 1Q , ver ANEXO 1.

Uniendo mediante la resistencia F R los nodos 2C y 1 B e impo-

ner la condición de circuito abierto en los terminales de entrada a laestructura se tiene:

0 K Av Av X 121221caen' a ,a31 == −− .......................... (8.19.1)

expresión que resulta nula, por ser nula la ganancia que suministra 1Q

cuando su emisor se encuentra al aire, como lo imponen las condicio-nes establecidas para los terminales de entrada.

Uniendo los puntos a y á se tiene:

F 2

2

e f 1ei F 2

3e f

e f 5ei3

1h

h R

2 F 4e f

ccen' a ,a31 R R

R

)1h( Rh R R

Rh

)1h( Rh R

R R Rh

K Av Av X e f

ei1

121221+++++++

==

++

+

−−

.......................... (8.19.2)

Expresión que es positiva; asignando a la resistencia F R

losvalores infinito y cero, al evaluar la relación (8.19.2) se tiene:

0 X

F Rccen' a ,a31 =

∞=

38 ,2 X 0 F Rccen' a ,a31 =

=

Considerando que ccen' a ,a31 X es una expresión de F R formada

por el cociente entre una función lineal y una cuadrática, con todos suscoeficientes positivos, se puede decir que ccen' a ,a31 X es una función

cóncava hacia arriba. Por lo tanto, dado los valores que toma

ccen' a ,a31 X para los valores extremos de F R se puede asegurar que

existe un valor de F R para el cual la estructura realimentada satisface



192

la condición establecida por (5.4.3); o sea 1 X ccen' a ,a31 = . Valor que se

calcula despejándolo de la relación (8.19.2), resultado para este caso:Ω k 365 R F = , con este valor se tiene:

=

=

0 X

1 X

caen' a ,a31

ccen' a ,a31 ..........................(8.19.3)

En consecuencia la impedancia de entrada a la estructura seránula; en cambio, asignándole a F R valores mayores la impedancia de

entrada simplemente disminuye de valor. Para valores de F R menores

que Ω k 365 no se satisface la condición de linealidad y la estructura

no se comportará como un amplificador.

La alternativa de unir 2C con 1 E por medio de una resistencia

F R da como resultado una expresión del tipo:

K Av Av X 12122131 −−−= ..........................(8.19.4)

en donde todos los términos son positivos y la constante K cambia devalor dependiendo del condicionamiento impuesto a los terminales deentrada. Por ser negativo el parámetro 31 X se satisface la condición

de linealidad para todo valor de F R . La realimentación propuesta se

puede emplear para alterar el nivel de la impedancia de entrada, sin

considerar valores particulares para F R . En estos casos los paráme-tros 31 X serán:

F 1

1

e f F 1ei2

3e f

e f 5ei3

f

ei21 F 4e f

ccen' a ,a31 R R

R

)1h( R Rh R

Rh

)1h( Rh R

1eh

h R R R Rh

X +++++++

+

++

−=

..........................(8.19.5)

)1h( Rh R

Rh

)1h( Rh R

1e

h

h R

R Rh

X e f F ei2

3e f

e f 5ei3

f

ei2

F 4e f

caen' a ,a31++++++

+

+

+=

− ..........(8.19.6)

se puede demostrar que independientemente de los valores de lasresistencias, las relaciones anteriores son tales que:



193

ccen' a ,a31caen' a ,a31 X X < .......................... (8.19.7)

Dado que se satisface la relación (5.4.5) la impedancia de entra-da disminuirá, pero no podrá anularse puesto que no existe valor de

F R que haga ccen' a ,a31 X igual a la unidad.

Colocando la resistencia F R entre los nodos 2 E y 1 B se tiene:

K Av Av X 12123131 −−−= .......................... (8.19.8)

Condicionando los terminales de entrada solamente se altera lamagnitud del término 121 Av − , por lo tanto siempre se satisface la con-

dición de linealidad dada por (5.4.4). Para el presente caso, del circuitode la figura 8.9.3 se tiene:

0 X caen' a ,a31 = .......................... (8.19.9)

por resultar nulo el factor121

Av − cuando la resistencia Thévenin del

emisor de 1Q tiende a infinito.

Uniendo los terminales de entrada se tiene:

F 2

2

e f 1ei F 2

3e f

e f

ei12 F 5e f ei3

e f

ei12 F 5e f

ccen' a ,a31 R R

R

)1h( Rh R R

Rh

1h

h R R R R )1h( h R

1h

h R R R R )1h(

X ++++

+

+++++

+

+++

−=

........................ (8.19.10)

Comparando (8.19.9) con (8.19.10) se concluye que empleandolos nodos 2 E y 1 B , como puntos inicial y final para el recorrido externo

de la realimentación, el valor de la impedancia de entrada aumenta;dado que se cumple la relación (5.4.6):

ccen' a ,a31caen' a ,a31 X X > ........................ (8.19.11)

Como otra alternativa para modificar la impedancia de entradase tienen los nodos 2 E y 1 E ; empleados como punto inicial y final del

recorrido externo respectivamente, ver figura 8.19.3. La forma generalde 31 X es:

K Av Av X 12123131 −−= ........................ (8.19.12)



194

relación que posee todos sus términos positivos, puesto que al cambiarlas condiciones de los terminales sólo cambia la magnitud de sus facto-res. Considerando el signo positivo de (8.19.12) para comprobar la con-dición de linealidad se debe estudiar su magnitud, ver relación (5.4.4).

)1h( Rh R Rh

1e

h

h R R R )1h( h R

1e

h

h R R R )1h(

X e f F ei2

3e f

f

ei2

F 5e f ei3

f

ei2

F 5e f

caen' a ,a31+++

+

+++++

+

+++

=

........................(8.19.13)

F 1

1

e f F 1ei2

3e f

f

ei21 F 5e f ei3

f

ei21 F 5e f

ccen' a ,a31 R R

R

)1h( R Rh R

Rh

1eh

h R R R R )1h( h R

1eh

h R R R R )1h(

X ++++

+

+++++

+

+++

=

........................(8.19.14)

Para ∞= F R la realimentación es nula; o sea, 0 X 31 = ; en cam-

bio, para el otro valor extremo, 0 R F = , se tiene que al evaluar

(8.19.13) y (8.19.14) ambos resultan mayor que la unidad. Por lo tanto,dado que las expresiones son funciones de F R que presentan conca-

vidad hacia arriba, existirán valores para los cuales se satisface lacondición de linealidad.

Para todo valor de F R , desarrollando y comparando las relacio-

nes (8.19.13) y (8.19.14) se tiene que:

)1h( Rh R

Rh

1eh

h R R R )1h( h R

1eh

h R

R R )1h(

R R

R

)1h( R Rh R

Rh

1eh

h R R R R )1h( h R

1eh

h R R R R )1h(

e f F ei2

3e f

f

ei2 F 5e f ei3

f

ei2

F 5e f

F 1

1

e f F 1ei2

3e f

f

ei21 F 5e f ei3

f

ei21 F 5e f

+++

+

+++++

+

+

++<

<++++

+

+++++

+

+++

........................(8.19.15)

Resultado que permite confirmar que existen valores de F R con



195

los cuales se satis-face la condicióndada por (5.4.6); osea, el nivel de laimpedancia de en-trada aumenta aña-

diendo realimenta-ción a la estructuraoriginal.

Nótese que to-mar el nodo 2 B co-

mo origen para elrecorrido externo es equivalente a toma 2 E , solo se altera el valor de

la resistencia F R requerido para obtener un cambio dado en la impe-

dancia de entrada.

Para estudiar el efecto que sobre la impedancia de salida ejercela realimentación añadida nos apoyaremos en primer lugar en el circui-to de la figura 8.19.4, procediendo de una forma similar a la empleadapara la impedancia de entrada. Las dos alternativas que partiendo delnodo 2 E permiten realizar la realimentación, pueden ser descartadas

directamente puesto que en el argumento de 31 X no se encuentra

ningún elemento circuital que forme parte del argumento del parámetro

oi X , evaluado para el circuito de la figura 8.19.4.

Para la alternativa que resulta de unir mediante la resistencia F R

los nodos 2C y 1 E se tiene que el parámetro 13 X con los terminales de

salida en circuito abierto es:

F 1

1

e f F 1ei2

3e f

5e f ei3

e f

ei21 F 4e f

caen' a ,a31 R R

R

)1h( R Rh R

Rh

R )1h( h R

1h

h R R R Rh

X +++++++

+

++

=

−

........................ (8.19.16)

Al unir los puntos a y á , la ganancia de 2Q se anula, por lo tanto:

0 X ccen' a ,a31 = ........................ (8.19.17)

FIGURA 8.19.4 ESTRUCTURA MODIFICADA. IMPEDANCIADE SALIDA.



196

resultados que implican satisfacer las condiciones de linealidad; alcomparar las relaciones anteriores se tiene:

caen' a ,a31ccen' a ,a31 X X > ........................(8.19.18)

La expresión (8.19.18) coincide con (5.4.5), hecho que denotaque la impedancia de salida de la estructura realimentada disminuye

con relación a la impedancia de la estructura original.Una opción más para modificar la impedancia de salida, em-

pleando el modelo planteado en la figura 8.19.4, se tiene al relacionarlos nodos 2C y 1 B mediante la resistencia F R . Al igual que el caso

anterior y por la misma razón, el parámetro ccen' a ,a31 X resulta nulo.

Cuando los terminales se dejan en circuito abierto se tiene:

F 2

2

e f 1ei F 2

3e f

5e f ei3

e f

ei1

2 F e f

caen' a ,a31 R R

R

)1h( Rh R R

Rh

R )1h( h R

1h

h R R R

4 Rh

X +++++++

+

++

=

........................(8.19.19)

Se debe analizar los valores que puede tomar la relación(8.19.19) al asignar diferentes valores para la resistencia F R . Para el

valor infinito de F R la estructura se encuentra en lazo abierto y el pa-

rámetro caen' a ,a31 X será nulo y cuando el valor de F R es nulo la expre-

sión es mayor que la unidad; por lo tanto, considerando la concavidadde la expresión existirá un valor de F R para el cual caen' a ,a31 X sea

unitario. Con tal valor de F R se satisfacen tanto la condición de lineali-

dad como también la relación (5.4.2); y en consecuencia de éstos doshechos la impedancia de salida de la estructura realimentada tenderáa infinito. Para un valor de F R mayor que el anterior el parámetro

caen' a ,a31 X será positivo; satisfaciéndose la relación (5.4.6) se tiene

como resultado que la impedancia de salida aumenta, sin llegar a ser

infinito. Para el circuito propuesto, el valor de F R con las condicionesdadas en (5.4.2) se obtiene al igualar (8.19.19) a la unidad; resultando

Ω k 4 ,45 R F = .

Analizando el circuito modificado de la figura 8.19.2 se comprue-ba que 2 B no puede ser utilizado como nodo de origen para alterar la



197

impedancia de sali-da; basta con notarque al asignar comofinal un nodo que loanteceda, como 1 E o

1 B , el lazo de reali-

mentación no inclui-ría ningún elementocircuital que formeparte del argumentodel parámetro oi X ,

por efecto de aisla-miento que ejerce la fuente controlada de 2Q .

Como última alternativa para estudiar el cambio de la impedanciade salida de la estructura se puede emplear 2 B como nodo final y utili-

zar 2C como punto de origen; este análisis se realiza apoyándonos en

la estructura modificada de la figura 8.19.5. Del circuito se evidenciaque existen elementos circuitales comunes a los argumentos de lasexpresiones de los parámetros oi X y 13 X , con lo cual se satisface una

condición necesaria. Uniendo los puntos a y á se tiene:

0 X ccen' a ,a31 = ........................ (8.19.20)

Para los terminales a y á en circuito abierto, de la figura 8.19.5

se tiene:

F 43

3

e f 1ei

e f caen' a ,a31

R R R

R

)1h( Rh )4

R F

R( 3

R

4 Rh

X +++++

=+

− ...... (8.19.21)

Para ∞= F R la realimentación es nula; o sea, 0 X 31 = ; en cam-

bio, para el otro valor extremo, 0 R F = , se tiene un valor negativo; re-

sultado que implica satisfacer la condición de linealidad; y la impedan-cia de salida se puede disminuir, pero para ningún valor de F R será

nula, nótese que se satisface la relación (5.4.5).

FIGURA 8.19.5 ESTRUCTURA MODIFICADA 2. IMPE-DANCIA DE SALIDA.



199

9 EJEMPLOS. AMPLIFICADORES OPE-

RACIONALES

En este apartado se plantearán las soluciones a diversos pro-blemas de sistemas realimentados que en su estructura contienen

amplificadores operacionales y dispositivos discretos; todo esto paradarle una mayor ilustración a los conceptos teóricos expuestos y almétodo de desvanecimiento planteado para calcular las relacionesbásicas que rigen el comportamiento de un sistema realimentado.

9.1 AMPLIFICADOR OPERACIONAL

REAL

Para el circuito de lafigura 9.1.1 calcular la ganan-cia de tensión que se obtienedel circuito para cada una delas señales de entrada y laresistencia que presenta elcircuito a las fuentes de seña-les; resistencia de salida y unaaproximación del polo domi-nante en alta frecuencia delcircuito.

FIGURA 9.1.1 AMPLIFICADOR OPERA-CIONAL REAL.



200

El AO y los parámetros del circuito se encuentran caracteriza-do por:

A A R

R M R M w r s

d c

in d in c a

= ⋅ = =

= = =

5 10 5 100

1 500 2 10

4

0 Ω

Ω Ω π /

R k R k R k 1 2 31 10 1= = =Ω Ω Ω

Este problema tiene comoobjetivo justificar numéricamentelas aproximaciones que con mu-cha frecuencia se realizan en uncircuito realimentado; cuando seemplea como amplificador básicoun amplificador operacional real.O sea, un circuito real, integrado o

no, que se conoce con esta deno-minación. En el planteamiento seutilizan las especificaciones de un

O de propósito general; en laactualidad prácticamente todos los AO disponibles en el mercado sa-tisfacen ampliamente las características asignadas.

Dado el alto valor de la resistencia modo común de entradacon relación a los valores de las resistencias asociadas al AO suefecto se desprecia. El modelo del circuito realimentado mostradoen la figura 9.1.2 permite calcular las expresiones requeridas paraevaluarlas numéricamente. Utilizando el teorema de superposiciónse puede evaluar cada una de las ganancias de tensión del circuito;basta con evaluar las relaciones definidas en el apartado 4.2:

a.- Tomando V 2 0= :

X R

R R

R R R R

R R R R Rio

o

o

o in

o in

−−=

+

+ +

+ + + = ⋅1

2

2 3

1 2 3

39 10( ) ( )

( ) ( )

X R

R R

R R R R

R R R R Ri

in

in o

in o

1 13

3

3 2

3 2 1

0 000908− =+

+ +

+ + + =

( ) ( )

( ) ( ),

X R R R R

R R R R Ri

in o

in o

2 1

3 2

3 2 1

0 909084− = + +

+ + + =

( ) ( )

( ) ( ),

FIGURA 9.1.2 MODELO PARA ELSISTEMA REALIMEN-TADO.



201

( ) ( )

( ) ( ) 908176 ,0

R R R R R

R R R R

R R

R X

1o33in

o33in

3in

in1id −=

+++

++

+−=−

b.- Haciendo V 1 0= :

X R

R R

R R R

R R R R Rio

o

o

o

o in

−−=

+

+

+ + +

= ⋅2

2

1 2

1 2 3

6 8 10( )

( )

X R R R R

R R R R Ri

in o

in o

1 2

1 2

1 2 3

0 999002− = + +

+ + + =

( )

( ),

X R R R

R R R R Ri

o

in o

2 2

1 2

1 2 3

0 000908− = +

+ + + =

( )

( ),

X

R

R R R R Rid

in

in o− = + + + =

21 2 3

0 998094( ) ,

El resto de los términos es común a las dos entradas

X R

R R

R R R

R R R R Rin

in

in o

313

3

1 3

1 3 2

6 90 10=+

+

+ + + = ⋅ −( )

( )

X R R R

R R R R R

in

in o

32

1 3

1 3 2

0 090008= +

+ + + =

( )

( ),

X R R R R R R

R R R R

d in

in o in

3

1 3 2

1

1 3

0 089918= −+ + + + +

= −( )

,

X R R R R

R R R R Ro

in

in o

3

1 3 2

1 3 2

0 990990= + +

+ + + =

( )

( ),

Para calcular la ganancia de tensión basta con aplicar la rela-ción (4.2.4) para cada entrada:

e

eo

iio

d id

A

i i

d d A o

X A X X X

A X X X X

c

c

= + ⋅ + +

− − +

2 1 2

3 2 31 3231

( )

( )

V

V X

A X X X

A X X X X o

iod id

A

i i

d d

A o

c

c1

11 2 1 1 2 1

3 2 31 1 32 1

31

= + ⋅ + +

− − +−

− − −

− −

( )

( )

V

V

A

A A

o d

d

A

A

d

Ac

c

c1

3

2

6

2

2

6 9 10

0 908186 0 99099

1 0 089918 90 10 0 090008

0 000908 0 909084 0 99099

1 0 089918 90 10 0 090008= ⋅ −

⋅ ⋅

+ − ⋅ ++

+ ⋅

+ − ⋅ +

−

− −

, ,

, ( , )

( , , ) ,

, ( , )



202

V

V

o

1

3 6 9 10 10 00748 5 10= ⋅ − + ⋅− −, ..........(9.1.1)

V

V X

A X X X

A X X X X o

iod id

A

i i

d d

A o

c

c2

22 2 1 2 2 2

3 2 31 2 32 2

3

1= +

⋅ + +

− − +−

− − −

− −

( )

( )

V V

A A A

o d

d

A

A

d

Ac

c

c2

6

2

2

2

8 10 0 998094 0 990991 0 089918 0 090098

0 999002 0 000908 0 990991 0 089918 0 090098

= ⋅ + ⋅ ⋅

+ − + + ⋅

+ −− , ,

, ,( , , ) ,

, ,

V

V

o

2

6 58 10 10 9982 55 10= ⋅ + + ⋅− −, ..........(9.1.2)

Por medio de los resultados numéricos de las relaciones (9.1.1) y (9.1.2) se justifican las aproximaciones que con mucha frecuencia serealizan, la cual consiste en aproximar el resultado al segundo términode las relaciones; o sea, despreciar el camino directo entre la entrada

y la salida; y por otro lado, suponer que la ganancia modo común del AO es nula.

El cálculo de las resistencias se realiza por medio de la relación(5.2.10); para lo cual, se deben calcular las resistencias con el amplifi-cador desvanecido y en cada caso condicionar los puntos a y a' paradeterminar los respectivos parámetros. Notar que para el cálculo delas resistencias de entrada, cuando se cortocircuitan los puntos a y a’ los parámetros tienen el mismo valor que los calculados para la ga-

nancia; algo similar ocurre con los parámetros en circuito abiertocuando se desea determinar de la resistencia de salida. Del circuito dela figura 9.1.2:

a.- Resistencia vista por la fuente V 1 :

Z R R R R R k aa en o in' ( ) ( ) ,− − = + + + =1 2 3 1 10 999 Ω

con los puntos a y a' en circuito abierto:

X R

R R R Rin o

313

3 2

6 989 10=+ + +

= ⋅ −

X R R

R R R R

in

in o

323

3 2

0 990011= +

+ + + = ,

989022 ,0 R R R R

R X

o2in3

ind 3 −=

+++−=



203


Z A

Ak aa f V

d

A

d

A

c

c' ,, ,

, ,,− =

+ ⋅ −

+ ⋅ − =

110 999

1 0 089918 0 090098

1 0 989022 0 9999011000

2

2

Ω

b.- Resistencia vista por la fuente V 2 :

Z R R R R R k aa en o in' ( ) ,− − = + + + =2 2 1 3 1001 910 Ω

con los puntos a y a' en circuito abierto los parámetros son:

X R

R R Ro

311

1 2

0 090090=+ +

= , X R

R R Ro

321

1 2

0 090090=+ +

= , X d 3 0=

Z A

M aa f V

d

A

A

c

c' ,

, ,

,− =

+ ⋅ −

− =

21001 910

1 0 089918 0 090098

1 0 1801881982

2

Ω

c.- Resistencia de salida:

En este caso, los parámetros con los puntos a y a' en circuitoabierto son los obtenidos para el cálculo de la ganancia; en cambiocolocando un corto entre los puntos los parámetros son nulos. Por lotanto, para aplicar la relación (5.2.10) sólo falta por evaluar la resisten-cia entre la salida del amplificador y el nodo de referencia cuando elamplificador se encuentra desvanecido:

[ ] Z R R R R Raa sal o in' ( )− = + + =2 1 3 99 Ω

aplicando la relación:

Z A

aa f sal

d

Ac', ,

,− =+ ⋅ −

=99 1

1 0 089918 0 0900980 022

2

Ω

Para estimar la esquina de alta frecuencia del sistema reali-mentado, admitiendo que X io = 0 y que el cero de la ganancia de ten-

sión modo común es mucho mayor que el polo de la ganancia diferen-

cial; por lo tanto, consideraremos la ganancia modo común indepen-diente de la frecuencia. Para obtener la respuesta de frecuencia de laestructura basta con aplicar las relaciones (3.3.7) y (3.3.8); relacionesque deben ser convenientemente modificadas para la estructura dife-rencial empleada como elemento unidireccional; esto es:



205

resultados del problema 9.1 no tomaremos en cuenta para los cálculosla resistencia de salida y las resistencias de entrada del AO :

caen' a ,ac3cd 3d

ccen' a ,ac3cd 3d ' aa f ' aa

X A X A1

X A X A1 R R

−⋅−

−⋅−=

del circuito de la figura 9.2.1 se tiene: R R R Ra a' ( )= +3 4 5

con los puntos a y ′a en cortocircuito:

X 31 0= X R

R R32

1

1 2

=+

X R

R Rd 3

1

1 2

= −+

con los puntos a y ′a en circuito abierto:

X R R R R

315

3 4 5

=+ +

X R R R

321

1 2

=+

X R R R R

R R R

d 35

3 4 5

1

1 2

=+ +

−+

por lo tanto:

R R R R

A R

R R A

R

R R

A R

R R R

R

R R A

R

R R R

R

R R

aa f

d c

d c

' ( )= +

++

−+

−+ +

−+

−

+ + +

+

3 4 5

1

1 2

1

1 2

5

3 4 5

1

1 2

5

3 4 5

1

1 2

11

2

11

2

......... (9.2.1)

El comportamiento del circuito será él de una fuente de corrien-te cuando la resistencia de salida tienda a infinito; para lo cual, el de-nominador de la relación (9.2.1) debe tender a cero:

1 05

3 4 5

1

1 22

5

3 4 5

1

1 2

−+ +

−+

−

+ + +

+

= A

R

R R R

R

R R

R

R R R

R

R Rd

Ac ....... (9.2.2)

En aquellos casos que se tome como nula la ganancia modocomún, de (9.2.2) se tiene:

1 05

3 4 5

1

1 2

−+ +

−+

= A

R

R R R

R

R Rd ......... (9.2.3)

de donde:



206

A R R R R R

R R R R Rd =

+ + +

− +

( ) ( )

( )

1 2 3 4 5

2 5 1 3 4

..........(9.2.4)

Si ganancia diferencial tiende a infinito, evaluando el límite de(9.2.1), la resistencia de salida de la estructura será infinita cuando eldenominador de la expresión del límite sea nulo:

R R

R R R

2

1

3 4

5

= + ..........(9.2.5)

condición que posee múltiples soluciones.

Una forma sencilla para calcular la corriente de salida enfunción de la tensión de entrada es considerar que el circuito es unafuente de corriente; y por lo tanto, la corriente por la carga se puedecalcular para cualquier valor de Rl diferente de infinito. Aplicando

superposición en el circuito de la figura 9.2.1 con Rl = 0 la corriente

por el cortocircuito será:

i i i sal = +1 2

i i R

R RV

R

R R

R R

R R R RV 1

2

1 3

1 24

4 5

1 2

1 3 4 5

2

1 1 1= − =

+

++

+

Admitiendo como solución de (9.2.5):

R R R R R R R R1 5 2 3 42= = = ⋅ = =

se obtiene que la corriente de salida es:i sal V V

R= − −( )1 2

2

9.3 LIMITADOR REALIMENTADO

Para el circuito limitador de la figura 9.3.1 encontrar la caracte-rística de la tensión de salida en función de la tensión V i ; consideran-

do un comportamiento del diodo lineal a trozos como se indica en lafigura 9.3.2; la ganancia del O puede considerarse infinita.



207

Debido a la presencia deldiodo, este circuito se debe anali-zar tomando por separado los dosposibles modelos del diodo. Estoes, en primer lugar se admite queel diodo es un circuito abierto, y se

resuelve el circuito; luego, el pro-cedimiento se repite para el casoque circule corriente por el diodo,sustituyendo en cada caso el dio-do por su modelo. Por último, sim-plemente es necesario encontrarel punto de intersección de lasdos características, o punto deruptura del limitador.

El análisis del circuito cuando por el diodo no circula corrientese realiza directamente de la figura 9.3.1; el circuito simplemente secomporta como un inversor con la salida dada por:

V R

RV o i= − 2

1

......... (9.3.1)

Del circuito de la figura 9.3.1 sepuede concluir que por el diodo no circu-

lará corriente siempre y cuando la ten-sión en su cátodo sea mayor que sutensión umbral; puesto que el AO alestar realimentado, por efecto de R2 ,

mantendrá el ánodo a cero tensión.

El punto de ruptura de las trayec-torias corresponde a la tensión de salidapara la cual el diodo comienza a condu-

cir; o sea, cuando la tensiónV

a se igualeal umbral del diodo invertida de signo, ver figura 9.3.1. En estas condi-ciones se puede plantear la condición:

V V V R

R RV

R

R Ra d ref o= − =

+ +

+4

3 4

3

3 4

......... (9.3.2)

FIGURA 9.3.1 LIMITADOR REALIMEN-TADO.

FIGURA 9.3.2 CARACTERÍSTICADEL DIODO.



208

sustituyendo (9.3.1) en la relación anterior se tiene:

− =+

−+

V V R

R RV

R

R

R

R Rd ref i

4

3 4

2

1

3

3 4

de donde se obtiene la tensión de entrada que determina el punto deruptura:

V R

RV

R

RV

R R

Ri rup ref d − = + +

1

2

4

3

3 4

3

..........(9.3.3)

La segunda trayectoria se analiza sustituyendo el diodo por sumodelo en el estado de conducción, como se indica en el circuito de lafigura 9.3.3; en la cual sepuede apreciar que la tensiónde salida es función tanto dela tensión de entrada V i como

de las dos fuentes de tensiónconstantes V d y V ref . Para

determinar la característica desalida del circuito basta calcu-lar la tensión de salida de uncircuito realimentado, el cualposee tres entradas. Aplican-do superposición se tiene:

V V V V o o v o v o vi d ref = + +− − −

donde:

V V v vo v o

d ref i− =

= = 0 V V

v vo v oi ref

d − == = 0

V V v v

o v o

i d ref − =

= = 0

En una estructura realimentadala ganancia de lazo es única, indepen-diente de donde se apliquen las entra-das y cuantas sean ellas; por lo tanto, eltérmino X d 3 será el mismo para todas

las entradas; adicionalmente como la

FIGURA 9.3.3 LIMITADOR REALIMENTADO.DIODO EN CONDUCCIÓN.

FIGURA 9.3.4 CÁLCULO DE X 3d .



209

salida de la estructura coincide con la salida del AO , que posee unaimpedancia de salida nula, el parámetro X o3 será unitario y el X i o nulo

para las tres expresiones que representan las componentes de la ten-sión de salida.

X X o i o3 1 0= =

Para calcular el parámetro X d 3 se plantea el circuito de la figu-

ra 9.3.4; de donde:

[ ][ ]

X R R R R r R R

R R R R r R r R R R Rd

d

d d

3

1 3 2 4 3 4

3 4 1 2 2 3 4 1 2

= − + + +

+ + + + +

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ......... (9.3.4)

En la figura 9.3.5 se encuentran los modelos de la estructurarealimentada que permite calcular las componentes de la tensión desalida y la característica salida entrada del limitador. Directamente dela estructura de la figura 9.3.5-a se obtiene el parámetro X i d −1 :

[ ][ ] [ ]

X R r R R

R R r R R

R r R R R R

R R r R R R R R r R R R Rid

d

d

d

d d

− = − +

+ + = −

+ +

+ + + + + +1

2 3 4

1 2 3 4

2 3 4 3 4

1 2 3 4 3 4 2 3 4 3 4

( )

( )

( )

( )( ) ( )

......... (9.3.5)

De los circuitos que se muestran en las figuras 9.3.5-b y 9.3.5-cse obtienen los dos parámetros X id restantes, necesarios para encon-

trar las otras dos componentes de la tensión de salida:

[ ] X

R R

R R r R R

R R R R

R R R R R R r R R R Rid

d d

− = −+ +

= − +

+ + + + +2

1 2

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4 1 2 3 4 3 4

( )

( ) ( ) ( ) ......... (9.3.6)

[ ]

X R R

R R r

R r R R

R r R R R

R R

R R r R R

R R R R r

R R R R r R R R R R R r

id

d

d

d

d

d

d d

− = −+

+

+ + =

= −+ +

+ +

+ + + + + +

3

1 2

1 2

4 1 2

4 1 2 3

1 2

1 2 1 2

4 1 2 1

4 1 2 1 3 1 2 1 2 4

( )

( )

( )

( )( )

( )( ) ( )( )

..... (9.3.7)

Para calcular la tensión de salida basta con aplicar la relación(4.2.4) para cada una de las señales de entrada; y luego evaluar ellímite cuando Ad → ∞ ; resultando una relación de la forma:



210

FIGURA 9.3.5 MODELOS PARA LA ESTRUCTURA REALIMENTADA Y CARACTERÍSTI-CA SALIDA-ENTRADA DEL LIMITADOR.

(a): MODELO PARA CALCULAR LA CONTRIBUCIÓN DE V i .

(b): MODELO PARA CALCULAR LA CONTRIBUCIÓN DE V d .

(C): MODELO PARA CALCULAR LA CONTRIBUCIÓN DE V ref .(d): CARACTERÍSTICA SALIDA ENTRADA DE LA ESTRUCTURA.

V o

V i V i-rup

Diodo abierto

Diodo conduciendo



212

V V R R

R R Ro v ii− = −

+2 4

1 2 4( ) ........(9.3.11)

V V R R R

R R Ro v d d − = −

+

+2 3 4

3 2 4

( )

( ) ........(9.3.12)

V V R R

R R R

o v ref ref − = −

+

2 4

3 2 4( )

........(9.3.13)

Notar que tal aproximación es válida para valores de la resisten-cia r d que sean despreciables con relación al paralelo de R3 y R4 .

9.4 RECTIFICADOR DE MEDIA ONDA

Para el circuito de la figu-ra 9.4.1 encontrar la característi-ca de transferencia, tomandocomo variable independiente laseñal denominada ent v ; considere

el nivel de la tensión de referen-cia ref v positivo y tanto los dio-

dos como el AO ideales.

La presencia de los dio-dos en la estructura implica quese debe estudiar la posibilidad deun comportamiento no lineal dela estructura para una combinación de los modelos de los diodos, verrelación (4.4.3); en este caso, para ninguna de las cuatro posibles es-tructura que se forman al sustituir los diodos por sus modelos resulta

una estructura no lineal. Por ser todas las estructuras resultantes li-neales, la característica de transferencia se encuentra determinadapor la intersección de las cuatro rectas que se forman al sustituir losdiodos por sus diferentes modelos.

En algunas oportunidades, dependiendo de la ubicación de losdiodos en la estructura, es imposible una combinación dada de los

FIGURA 9.4.1 RECTIFICADOR DE ME-DIA ONDA.



213

estados de los diodos, talescombinaciones de los estadosno se deben considerar. Para laestructura de la figura 9.4.1, losdos diodos abierto implicaríaque el AO se encontrara en lazo

abierto y bastaría un cambio enla señal de entrada que tienda acero para forzar a un diodo aconducción, dependiendo delsigno del cambio conduciría unou otro diodo; cuando el signo espositivo 1 D conduciría, en cam-

bio conduce el diodo 2 D si el

signo es negativo. Por otro lado; al estar unidos de una manera directael cátodo de 1 D con el ánodo de 2 D , y sus otros dos terminales relacio-

nados directamente con un mismo nodo de la estructura, es imposibleque se encuentren conduciendo simultáneamente. Por lo expuesto an-teriormente; para obtener la característica de transferencia de la es-tructura bastará considerar las dos estructuras equivalentes resultan-tes de sustituir los diodos por sus modelos, cuando se encuentran ensus estados complementarios.

Realizando un Thévenin equivalente desde el puerto inversor

del AO hacia las entradas se tiene:

V v R

R Rv

R

R RTh ent ref =

+ +

+3

3 1

1

1 3

R R R

R RTh =

+1 3

1 3

Asumiendo una combinación factible de los estados de los dio-dos se obtiene una estructura equivalente. En la figura 9.4.2 se tiene laestructura formada cuando 1 D conduce y 2 D se encuentra abierto;

corresponde con una estructura realimentada; en ella también se indi-can los puntos 1 y 3 para su análisis. Su salida será:

−=

−+=

∞→ 13

031ioiTh

13

031ioiTh

Ao

X

X X X V

A X 1

X A X X V v lim ......... (9.4.1)

Los parámetros son:

1 X 1 X 0 X 0 X 03131ioi ====

FIGURA 9.4.2 ESTRUCTURA EQUIVA-LENTE. D1 CERRADO D2 ABIERTO.



214

sustituyendo en la relación (9.4.1) se tiene que la característica desalida coincide con el eje horizontal del plano.

01

100V v Tho =

⋅

−= ..........(9.4.2)

Para la otra combinaciónde los estados de los diodos, seforma la estructura equivalentede la figura 9.4.3. Su salida secalcula por medio de la relación(9.4.1) utilizando los parámetros

q p X obtenidos de la figura 9.4.3:

Th2

2

1ioi R R

R X 0 X

+

==

1 X R R

R X 03

2Th

Th13 =

+=

Th

2

31

1ref

31

3ent

Th

2Th

Th2

2Tho

R

R

R R

Rv

R R

Rv

R

R R

R R

RV v

++

+−=

+

+−=

sustituyendo Th R :

3

2ref 1

2ent o R Rv

R Rvv −−= ..........(9.4.3)

La caracte-rística de salida seobtiene al dibujaren una misma grá-fica las rectas de-finidas por las re-laciones (9.4.2) y (9.4.3) y seleccio-nar el intervalo devalidez de cadauna de las rectas;o sea determinarla región para ca-

FIGURA 9.4.3 ESTRUCTURA EQUIVA-

LENTE. D1 ABIERTO D2 CERRADO.

v o

v ent

− v R

Rref

2

3

− v R

Rref

1

3

D Dcond abierto1 2− −

D Dabierto cond 1 2− −

FIGURA 9.4.4 CARACTERÍSTICA DE TRANSFERENCIA.



215

da estado de los diodos. Admitiendo que la señal ent V es positiva y

arbitrariamente grande el diodo 1 D conduce; por lo tanto, la relación

(9.4.2) será valida para los valores de la variable de entrada mayoresal valor correspondiente al punto de intersección entre las dos rec-tas; punto que corresponde con el cambio de estado de los diodos.La característica de transferencia de la estructura se indica en lafigura 9.4.4.

9.5 RECTIFICADOR DE ONDA COM-

PLETA DESPLAZADO

Para el circuitode la figura 9.5.1 en-contrar la característi-ca de transferencia,tomando como varia-ble independiente laseñal denominada

ent v ; considere el nivel

de la tensión de refe-rencia ref v positivo y

tanto los diodos comolos AO ideales.

El amplificador operacional 2 A en unión a las resistencias aso-

ciadas, tanto a sus puertos de entrada como a su salida, forman un

sumador inversor. Para plantear su salida, en forma general, se debedisponer del equivalente Thévenin para cada una de sus entradas; o

sea, un modelo que las represente. Denominando *ent v a la señal pre-

sente en el extremo izquierdo de 3 R ; los modelos para cada una de

las señales aplicada al inversor son:

FIGURA 9.5.1 RECTIFICADOR DE ONDA COMPLETADESPLAZADO.



216

0 RvV ref Thref ref Th == −−

0 RvV ent Thent ent Th == −−

Para realizar el Théveninequivalente a la señal denomi-

nada

*

ent v

previamente se debeconsiderar el comportamientodel circuito de donde proviene.

Analizando la estructura de lafigura 9.5.1 se concluye que la

señal *ent v es el resultado de

procesar la señal ent V por el circuito lineal a trozos formado por 1 A , las

resistencias asociadas y los diodos, 1 D y 2 D . Por lo tanto, el Thévenin

equivalente dependerá de los estados de los diodos; en la figura 9.5.2se encuentra el circuito asociado con el amplificador 1 A que permitirá

establecer el comportamiento lineal a trozos. De forma similar al proce-dimiento utilizado en el ejemplo 9.4 se tiene:

Cuando la señal de entrada ent V es mayor que cero; 1 D se en-

cuentra abierto y 2 D conduce; el modelo para su salida será:

0 R R

RvV 0v Th

1

2ent *

ent vThent =−=⇒>−

Para la otra combinación de los estados de los diodos:

2Th*ent vThent R R0V 0v ==⇒<

−

Por lo tanto la salida de la estructura original, figura 9.5.1, serála de un sumador inversor; en ella se debe considerar que una de lasentradas posee un modelo que depende del signo de la variable con-siderada independiente. La característica de salida será lineal a trozos;para valores positivos de la señal de entrada:

6

4ent

5

4ref

3

4

1

2ent

6

4ent

5

4ref

3Th

4

0v

vTh0 R Rv

R Rv

0 R R

R Rv

R Rv

R Rv

R R Rv

ent

*ent 0ent v

v −−+

=−−+

−=

>−>

simplificando:

FIGURA 9.5.2 CIRCUITO LINEAL A TRO-ZOS.



217

5

4ref

6

4

3

4

1

2ent 0

0v0

R

Rv

R

R

R

R

R

Rvvv

ent

−

−=>

......... (9.5.1)

Cuando la entrada sea menor que cero se tiene:

6

4ent

5

4ref

23

4

6

4ent

5

4ref

3Th

4

0v

vTh0ent v

0

R

Rv

R

Rv

R R

R0

R

Rv

R

Rv

R R

Rv

ent

*

ent

v −−

+

=−−

+

−=

<−<

simplificando:

5

4ref

6

4ent 0v0

R

Rv

R

Rv

ent v −−=< ......... (9.5.2)

La caracte-rística de transfe-rencia de la es-

tructura se obtieneal dibujar las rela-ciones (9.5.1) y (9.5.2) en unagráfica; como seindica en la figura9.5.3. Nótese quela tensión de refe-rencia provoca un

desplazamientovertical del puntode intersección delas característicasde salida, las dadas por las relaciones (9.5.1) y (9.5.2). Alterando losvalores de las resistencias se puede imponer una condición dada en laspendientes de la característica de transferencia; para el caso particularque posean el mismo modulo; o sea, que la estructura de la figura 9.5.1se comporte como un rectificador de onda completa desplazado, se de-be plantear la condición:

6

4

6

4

3

4

1

2

R

R

R

R

R

R

R

R=− ......... (9.5.3)

Una de las soluciones de (9.5.3) es: R R2 R R R R R 36 5421 ======

v o

v ent

− v R

R

ref 4

5

− v R

Rref

6

5

v R

R

R R R

R R R R R Rref

4

5

1 3 6

2 4 6 1 3 4−




218

9.6 ESTRUCTURA LINEAL A TROZOS

Para el circuito

de la figura 9.6.1 encon-trar la característica detransferencia, tomandocomo variable indepen-diente la señal denomi-nada ent v ; considere el

nivel de ref v positivo y

tanto los diodos como

los AO ideales.El comporta-

miento del circuito asociado con el amplificador 1 A es lineal a trozos

por la presencia de los diodos 1 D y 2 D ; corresponde al establecido

para la etapa de entrada en el ejemplo 9.5. O sea, su salida se en-cuentra caracterizada por dos Thévenin equivalentes, dependiendo de

la polaridad de la señal de entrada; denominando *ent v a la tensión de

salida de la etapa, los Thévenin equivalentes serán:

0 R R

RvV 0v Th1

2ent *

ent vThent =−=⇒>−

2Th*ent vThent R R0V 0v ==⇒<

−

Por lo tanto, la tensión desalida de la estructura será lasuperposición de efecto de lasentradas a la salida del amplifi-

cador formado por 2 A y las re-sistencias asociadas; la estructu-ra equivalente se indica en lafigura 9.6.2. Calculando la salidase tiene:

FIGURA 9.6.1 ESTRUCTURA LINEAL A TROZOS.

FIGURA 9.6.2 ESTRUCTURA EQUIVA-LENTE.



219

+

++

++

+

++

++

+−=

−

−

−

−

−−

3ent Th

43ent Th

6 5

5ent

3ent Th

43ent Th

6 5

6 ref

3ent Th

4ent Tho

R R

R R R

R R

Rv

R R

R R R

R R

Rv

R R

RV v

agrupando:

++

+

+

+++

+−=

−

−

−−

6 5

5ent

6 5

6 ref

3ent Th

43ent Th

3ent Th

4ent Tho

R R

Rv

R R

Rv

R R

R R R

R R

RV v ....... (9.6.1)

Sustituyendo en la relación (9.6.1) los dos modelos dados porlos Thévenin equivalente obtenemos las dos rectas que definen la ca-racterística de transferencia de la estructura; estas son:

++

+

+

+++

+=

> 6 5

5ent

6 5

6 ref

3

43

3

4

1

2ent

0vo

R R

Rv

R R

Rv

R0

R R0

R0

R

R

Rvv

ent

agrupando y simplificado:

3

43

6 5

6 ref

6 5

5

3

43

3

4

1

2ent

0vo

R R R

R R Rv

R R R

R R R

R R

R Rvv

ent

++

+

+++=

>

....... (9.6.2)

La otra recta se obtiene de forma similar:

++

+

+

+++

+−=

< 6 5

5ent

6 5

6 ref

32

432

32

4

1

2

0vo

R R

Rv

R R

Rv

R R

R R R

R R

R

R

R0v

ent

simplificado:

32432

6 56 ref

6 55

32432ent

0vo

R R

R R R

R R

Rv R R

R

R R

R R Rvv

ent +

++

++++

++

=<

......... (9.6.3)

La característica de transferencia de la estructura se obtiene aldibujar las relaciones (9.6.2) y (9.6.3) en una gráfica; como se indicaen la figura 9.6.3. Nótese que la característica de transferencia poseeuna discontinuidad para el valor de la variable tomada como indepen-diente que provoca la conmutación de los diodos, como lo establece larelación (4.6.2). La ecuación (4.6.2) adecuada a la estructura de lafigura 9.6.2 toma la forma:

0ent d 3d

03d d a0a

A0ent

d 3d

03d d a0a

A v X A1

X A X X lim

v X A1

X A X X lim

d d <

∞→>

∞→

−+≠

−+



220

0ent d 3

03d a0a

0ent d 3

03d a0a

v X

X X X

v X

X X X

<>

−≠− ..........(9.6.4)

Directamente de la figura 9.6.2 se obtienen los parámetros q p X

requeridos por la relación anterior; para lo cual la entrada auxiliar a X

corresponde a ref v :0 X X

0ent 0ent voavoa ==<>

1 X X 0ent 0ent vo3vo3 ==

<>

432

32vd 3

43

3vd 3

R R R

R R X

R R

R X

0ent 0ent ++

+−=

+−=

<>

56

6 vd avd a

R R

R X X

0ent 0ent +==

<>

Por ser todos los parámetros q p X iguales excepto uno de ellos

se comprueba la desigualdad establecida por la relación (9.6.4); por lotanto, la característica de transferencia de la estructura presenta unadiscontinuidad cuando la señal de entrada toma el valor nulo.

− +

+ + +v

R R R R

R R R R R R R Rref

1 3 4 6

2 4 5 6 1 3 3 4

( )

( ) ( )

v o

v R

R R

R R

Rref

6

5 6

3 4

3+

+

23

432

6 5

6 ref

R R

R R R

R R

Rv

+

++

+

− + +

+ + + + +v

R R R R

R R R R R R R Rref

( )

( )( ) ( )

2 3 4 6

2 3 4 5 6 5 2 3




221

9.7 ESTRUCTURA LINEAL A TROZOS

INVERSORA

Para el circuito de la figura 9.7.1 encontrar la característica detransferencia, tomando como variable independiente la señal denomi-nada ent v . Considere que los valores de las resistencias y los niveles

de las tensiones son los indicados.

La presencia de los diodos en la estructura implica que se debeestudiar la posibilidad de un comportamiento no lineal de la estructurapara una combinación de los modelos de los diodos; en este caso,para ninguna de las 16 posibles estructura que se forman al sustituir

los diodos por sus modelos resulta una estructura no lineal. Por sertodas las estructuras resultantes lineales, la característica de transfe-rencia se encuentra determinada por la intersección de las 16 rectasque se forman al sustituir los diodos por sus diferentes modelos. En elcircuito formado por 1 A y sus elementos asociados solo son posibles

dos de las combinaciones de los modelos de los diodos 1 D y 2 D , ver

ejemplo 9.4; Para los diodos 3 D y 4 D solo son posibles tres de sus

cuatro modelos equivalentes; por su posición es imposible que los dos

diodos se encuen-tren conduciendosimultáneamente.Por lo tanto, parael análisis de laestructura solo serequieren de 6modelos.

El compor-tamiento del circui-to asociado con elamplificador 1 A es

lineal a trozos porla presencia de los FIGURA 9.7.1 ESTRUCTURA LINEAL A TROZOS INVER-

SORA.



223

3

4

3

1vv ent

0vo

ent

+−=>

para signo negativo de la señal de entrada:

22v R

R Rv

R

R

R

R Rvv ent

3

431ref

3

4

1

21ent

0vo

ent

+−=+

++

−= −<

Cuando el diodo 3 D se encuentre cerrado y 4 D abierto, para la

etapa de salida se tiene el circuito equivalente de la figura 9.7.3; lasalida será:

+

+++−

+−=

−

−−−

−−

53ent Th

6 453ent Th1ref

5

6 42ref

3ent Th

6 4ent Tho

R ) R R(

R R R ) R R( v

R

R Rv

R R

R RV v

......... (9.7.2)sustituyendo cuando la señal de entrada es positiva:

532

6 45321ref

5

6 42ref

32

6 4ent

0vo

R ) R R( R R R ) R R( v

R R Rv

R R R Rvv

ent +

+++−+

−= −−>

33

34

33

1vv ent

0vo

ent

+−=>

para signo negativo de la señal de entrada:

53

6 4531ref

5

6 42ref

3

6 4

1

21ent

0vo

R R

R R R Rv

R

R Rv

R

R R

R

R Rvv

ent

++−

+−= −−

<

11

3

11

2vv ent

0vo

ent

+−=<

Para calcular la salida en la otra condición de los diodos, D3

abierto y D4 cerrado, se emplea el circuito de la figura 9.7.4:

+

++++

+−=

−

−−−

−−

83ent Th

7 483ent Th1ref

8

7 42ref

3ent Th

7 4ent Tho

R ) R R(

R R R ) R R( v

R

R Rv

R R

R RV v

......... (9.7.3)

para la señal de entrada positiva:

+

++++

+−= −−

> 832

7 48321ref

8

7 42ref

32

7 4ent

0ent vo

R ) R R(

R R R ) R R( v

R

R Rv

R R

R Rvv



224

33

100

33

1v

33

40

11

20

33

1vv ent ent

0vo

ent

+−=++−=>

cuando la señal de entrada sea negativa:

+

+++

−= −−<

83

7 4831ref

8

7 42ref

3

7 4

1

21ent

0ent v

o R R

R R R Rv

R

R Rv

R

R R

R

R Rvv

11

34

11

2v

11

14

11

20

11

2vv ent ent

0vo

ent

+−=++−=<

La característica de transfe-rencia de la estructura se defineal dibujar las relaciones de la ten-sión de salida obtenidas ante-riormente, se deben considerarlas restricciones de cada una. Enla figura 9.7.5 se encuentra lagráfica de la característica detransferencia de la estructura; enella se observa la discontinuidadque introduce la conmutación delos diodos 1 D y 2 D de la primera

etapa y que dos de las caracterís-

ticas obtenidas no forman partede la característica de transferen-cia; puesto que cada una de ellasno intercepta a las otras dos en el semiplano que impone la restriccióndel signo de la señal de entrada. Nótese que estando los diodos 3 D y

4 D en circuito abierto, al conmutar los diodos 1 D y 2 D cambia de valor

la resistencia Thévenin a la salida de la primera etapa; por lo tanto, laentrada 1ref v − , aplicada a la segunda etapa, es amplificada por un

factor que depende de la mencionada resistencia; tal situación es des-crita por la relación (4.6.2), que particularizada a la estructura de lafigura 9.7.2 toma la forma:

0ent d 3d

03d d a0a

A0ent

d 3d

03d d a0a

A v X A1

X A X X lim

v X A1

X A X X lim

d d <

∞→>

∞→

−+≠

−+

FIGURA 9.7.4 CIRCUITO EQUIVALEN-TE III DE LA SALIDA.



226

9.8 GENERADOR DE DIENTES DE

SIERRA

La señal de entrada a laestructura de la figura 9.8.1 es untren de pulsos rectangulares cuyaamplitud impone que el transistor

1Q pase de saturación a corte

cuando la señal de entrada cam-bia de su valor máximo al mínimo.Considerando el valor de C

1

muy

grande; A1 , 1 D y 1Q como idea-

les determinar )t ( vo .

Para el análisis de la es-tructura se puede considerar que tanto el transistor 1Q como el diodo

1 D poseen un modelo lineal a trozos que corresponden a dos rectas

que se cortan en ángulo recto; son dos modelos lineales a trozos con-tinuos; por lo que la estructura posee cuatro circuitos equivalentes. El

modelo de 1Q cambiará dependiendo de la señal de entrada; en cam-bio, el diodo conmutará cuando su corriente pase por cero. Dada laubicación del diodo y 1Q en la estructura se pueden eliminar, para su

estudio, las combinaciones de susmodelos que correspondan aldiodo cerrado y 1Q abierto y vice-

versa. Por lo tanto, los circuitosequivalentes que se deben anali-

zar de la estructura son dos.

Una de las estructurasequivalentes, donde 1 D y 1Q se

encuentran cerrados se indica enla figura 9.8.2; de ella se deduce

FIGURA 9.8.1 GENERADOR DE DIEN-TES DE SIERRA.

FIGURA 9.8.2 ESTRUCTURA EQUIVA-LENTE. Q1 y D1 CERRA-DOS.



227

que el condensador 1C se carga a

la tensión ref v y la tensión de sali-

da de la estructura es nula.

Cuando la señal de entra-da provoca que 1Q cambie de

estado, la tensión de salida delamplificador comienza aumentar;tal incremento se propaga por 1C

causando que el diodo 1 D se

corte. Para estas condiciones laestructura equivalente es la mostrada en la figura 9.8.3; en ella seincluyen los puntos 1 y 3 requeridos para aplicar la relación (4.1.6) mediante la cual se encontrará la tensión de salida de la estructura,

como causa de la tensión ref v que posee el condensador 1C .

Directamente de la figura 9.8.3 se tiene:

1 sC R

1 X 0 X

211vov ref ref +

== 1 X 1 sC R

1 X X 03

211v13 ref

=+

==

La tensión de salida será:

sC R

1

s

v

1 sC R11

1 sC R

1

s

v

A X 1

X A X X

s

v ) s( v

21

ref

21

21ref

13

031v

ovref

oref

ref

=

+−

+=

−

+=

La expresión para la tensión de salida de la estructura en eldominio tiempo es:

t C R

1v )t ( v

21ref o =

La representación de los pulsos de entrada y salida de la es-

tructura en función del tiempo se encuentra en la gráfica de la figura9.8.4. Nótese que el máximo valor de 1T se encuentra limitado por el

valor asignado a 1C , que debe ser muy grande con relación a 2C para

que durante el tiempo definido por 1T su descarga sea despreciable.

FIGURA 9.8.3 ESTRUCTURA EQUIVA-LENTE. Q1 y D1 ABIER-TOS.



228

9.9 GENERADOR DE DIENTES DE

SIERRA II

Con el fin de aumentar considerablemente el tiempo de dura-ción de los pulsos de salida del generador de diente de sierra pro-puesto en el problema 9.8 se emplea la estructura de la figura 9.9.1;la cual incluye un zener que sustituye el condensador que realimentala estructura, cuyo valor debeser muy grande con relación alcondensador que interviene enla pendiente de los pulsos desalida, ver figura 9.8.1. La es-

tructura funcionará adecuada-mente siempre que el zener seencuentre polarizado y de estaforma establecer una tensión deentrada constante a la estructu-ra. Para el circuito propuesto

vent

t

t

vo

1T

FIGURA 9.8.4 TENSIÓN DE ENTRADA y TENSIÓN DE SALIDA EN FUNCIÓN DEL

TIEMPO.

FIGURA 9.9.1 GENERADOR DE DIEN-TES DE SIERRA II.



229

determinar la tensión de salida y la expresión de la duración máximapara los pulsos de salida en función de los parámetros de la estructura.

La estructura de la figura 9.9.1 posee dos modelos equivalen-tes que permiten su análisis; estos corresponden a los dos estados deltransistor 1Q , puesto que el diodo zener siempre se encuentra polari-

zado y no cambiará de modelo.

Durante los intervalos de tiempo que la señal de entrada se en-cuentra en alto; la señal de salida será nula y por 2 R circula una co-

rriente que será:

2

z ref R

R

vvi

2

−= ............ (9.9.1)

la corriente que circula por la resistencia R1 se encuentra determinada

por la tensión del diodo zener:

1

z R

R

vi

1= ............ (9.9.2)

Cuando la señal de entrada a la estructura cambia a un valortal que 1Q se corte, el circuito equivalente es el mostrado en la figura

9.9.2; de donde se puede evaluar la tensión de salida como la contri-bución de las dos entradas que posee la estructura realimentada.

Identificando el amplificador de ganancia unitaria como estructura uni-direccional, cuya resistencia de entrada es infinita y nula la de salida,definiendo los puntos 1 y 3; pormedio de la relación (4.1.6) sepuede encontrar la expresiónpara la tensión de salida; lospuntos referidos se incluyen enla figura de la estructura equiva-lente. Directamente de la figura

9.9.2 se obtienen los parámetrosq p X requeridos; nótese que por

ser dos las entradas, los relacio-nados con ellas serán cuatro:

0 X 0 X 1vov ref ref ==

FIGURA 9.9.2 ESTRUCTURA EQUIVA-LENTE. Q2 CORTADO.



230

1 sC R

1 X 0 X

211vov z z +

== 1 X 1 sC R

1 X 03

2113 =

+=

dado los valores nulos de los parámetros q p X concernientes con la

entrada ref v su contribución a la salida será nula; por lo tanto, la salida

será función únicamente de la tensión del modelo del zener:

sC R

1

s

v

1 sC R

11

1 sC R

1

s

v

A X 1

X A X X

s

v ) s( v

21

z

21

21 z

13

031vov

z o

z

z =

+−

+=

−+= .(9.9.3)

que en el dominio del tiempo corresponde a:

t C R

1v )t ( v

21

z o = .............(9.9.4)

La corriente por la resistencia 2 R es la suma de las corrientes

por el zener y la resistencia 1 R . La máxima duración del pulso de sali-

da será aquella que anule la corriente del zener; de donde:

z R R iii12

+=

2

o z ref R

R

)t ( vvvi

2

+−= .............(9.9.5)

1

z

1

oo z

1

o z R

R

v

R

)t ( v )t ( vv

R

v )t ( vvi

1=−+=−+= − .............(9.9.6)

Cuando los pulsos de salida sean de duración máxima se tiene:

1

z

2

maxo z ref R R

R

v

R

)T ( vvvii

12=

−−⇒=

de donde, sustituyendo )T ( v maxo por el valor obtenido mediante la re-

lación (9.9.4) y despejando se tiene:

−−= 1 R

R

v

vC RT

1

2

z

ref 21max ........(9.9.7)



231

9.10 AMPLIFICADOR COMPUESTO

En la figura 9.10.1 seencuentra el esquema incre-mental de un amplificadorcompuesto; donde el AO sepuede considerar con ganan-cia infinita y el transistor secaracteriza por sus paráme-tros. Calcular la tensión desalida en función de las en-tradas, la resistencia vistapor cada una de las fuentesde entradas y la resistenciade salida del amplificador.

De la figura se reco-noce el propio AO comoestructura unidireccional; dado que su ganancia tiende a infinito apli-camos la relación (4.2.6); tomando como nula la resistencia de salidadel AO e infinito como la de entrada. En la misma figura 9.10.1 se

indican los puntos requeridos para aplicar la relación. La tensión desalida se obtiene aplicando superposición:

2o1oo V V V +=

−= o3

d 3

d iioioi X

X

X X V V ....... (9.10.1)

Para el cálculo de los parámetros se requiere de las relacionesdefinidas en el ANEXO 1:

El primer término de la tensión de salida, 1oV se obtiene aplican-

do la relación (9.10.1) cuando V 2 es nulo:

) R R( )] Rh( h )h1( )h1( [ Rhh ) Rh1( h

R ] )1h( hhh[ Av

0 AV

V X

432ieoere fe2re fe2oeie

2re feieoeQ32

d 1

oio

+++−++−+

−−==

== −

....... (9.10.2)

FIGURA 9.10.1 AMPLIFICADOR COMPUESTO.



232

El parámetro id X será el divisor de tensión entre la entrada y el

puerto no inversor del O invertido de signo; o sea:

42ieoere fe

2re fe2oeie

3

2ieoere fe

2re fe2oeie3

4Q333

Q333

d 1

d id

R ) Rh( h )h1 )( h1(

Rhh ) Rh1( h R

) Rh( h )h1( )h1(

Rhh ) Rh1( h R

R Z R

Z R

0 AV

e X

+++++

−++

++++

−++

−=++

+−=

==

−

−

........(9.10.3)

los otros dos parámetros se calculan de manera similar:

⋅−=+

−==

= − 4Q1343

4

13

d d 3 R Av

R R

R

0V e

e X

) R R( ] ) Rh( h )h1( )h1( [ Rhh ) Rh1( h

) Rhh1(


2oe fe

+++−++−+

++⋅

........(9.10.4)

) R R( ] ) Rh( h )h1( )h1( [ Rhh ) Rh1( h

R ) R R( hh Av

0V

V X


243oe feQ12

13

oo3 e +++−++−+

+−−==

== −

........(9.10.5)

La expresión deseada se obtiene al sustituir los parámetros da-dos por (9.10.2), (9.10.3), (9.10.4) y (9.10.5) en la relación (9.10.1).En aquellos casos donde sean nulos oeh y reh del transistor; los pará-

metros modificados del amplificador compuesto para aplicar la expre-sión (4.2.5) se obtienen por medio del límite de cada uno de los anterio-res, estos son:

) R R )( h1( h

Rh

0hh X

43 feie

2 fe

reoeio

+++=

== ........(9.10.6)

ie fe43

ie fe3

fe

ie43

fe

ie3

reoeid h )h1 )( R R(

h )h1( R

h1

h R R

h1

h R

0hh X

+++

++−=

+++

++

−===

.....(9.10.7)

)h1( ) R R( h

)h1( R

0hh X

fe43ie

fe4

reoed 3

+++

+−=

== ........(9.10.8)



233

) R R( )h1( h

Rh

0hh X

43 feie

2 fe

reoeo3

+++−=

== ....... (9.10.9)

De la relación (9.10.1) se obtiene la componente 1oV :

+

++

++++==∞→

== )h1( R

h )h1( R

1 ) R R( )h1( h

Rh

V V fe4

ie fe3

43 feie

2 fe

1

d A

0rehoeh1o ..... (9.10.10)

en aquellos casos que adicionalmente se considere que la gananciade corriente del transistor tienda a infinito la contribución de la entrada

1V en la salida es:

4

21

h A

0hh1o R

RV V

fed

reoe==

∞→=

== ..... (9.10.11)

El segundo término de la tensión de salida, 2oV se obtiene apli-

cando la relación (9.10.1) cuando 1V es nulo y se procede de manera

similar. Notar que sólo basta con calcular los dos parámetros relacio-nados con la entrada 2V , los otros dos serán iguales a los obtenidos

para evaluar el efecto de la entrada 1V :

00 AV

V X

d 2

oio =

== ..... (9.10.12)

10 AV

e X

d 2

d id =

== ..... (9.10.13)

La contribución en la tensión de salida es:

) Rhh1(

) R R( hh

R

RV V

2oe fe

43oe fe

4

222o

++

+−−= ..... (9.10.14)

En aquellos casos donde sean nulos los parámetros oeh y reh del

transistor la contribución del segundo término en la tensión de salida es:

)h1(

h

R

RV V

fe

fe

4

222o

+−= ..... (9.10.15)

Cuando la ganancia de corriente del transistor también tienda ainfinito se tiene:



234

4

222o

R

RV V −= ......(9.10.16)

Para evaluar las resistencias se debe aplicar la relación (5.2.11) cuando Ad tiende a infinito; o sea evaluar el límite.

caen' a ,ad 3

ccen' a ,ad 3' aa

caen' a ,ad 3d

ccen' a ,ad 3d ' aa

d f ' aa

X

X Z

X A1

X A1 Z

A

Lim Z =⋅−

⋅−

∞→= ......(9.10.17)

Para el cálculo de la resistencia de salida de la estructura con elamplificador desvanecido se emplearán las relaciones del ANEXO 1:

re fe43ieoe

43ieoere feie2Q222aa hh ) R Rh( h

) R R( hh )h1 )( h1( h R Z R Z '

−++

++−++== ......(9.10.18)

el parámetro d 3 X evaluado en circuito abierto es igual al calculado

para obtener la tensión de salida y dado por la relación (9.10.4):

) R R )]( Rh( h )h1 )( h1( [ Rhh ) Rh1( h

) Rhh1( R X


2oe fe4acd 3

+++−++−+

++⋅−= ..(9.10.19)

de la relación anterior se puede obtener d 3 X con los puntos a y ′a en

corto evaluando el límite de la relación cuando R2 tiende a cero:

) R R ]( hh )h1 )( h1( [ h

)h1( R X

43ieoere feie

fe4ccd 3

++−++

+⋅−= ......(9.10.20)

sustituyendo en (9.10.17) se obtiene la resistencia de salida. En aque-llos casos que los parámetros reh y oeh del transistor sean nulos se

tiene que la resistencia de salida es:

2

feie

fe4

feie

fe4

2 f 0 R

)h1( h

)h1( R

)h1( h

)h1( R

R R =

++

+⋅−

++

+⋅−

= ......(9.10.21)

Este resultado era de esperar puesto que en este caso la salidadel circuito se encuentra fuera del lazo de realimentación. El mismo resul-tado se obtiene cuando la ganancia de corriente del transistor tiende ainfinito.

Para calcular la resistencia que presenta la estructura realimen-



236

Para el a-nálisis de la estruc-tura realimentadano se consideraráel lazo de reali-mentación local

que poseen losamplificadores o-peracionales. Anu-lando la entrada sereconocen dos po-sibles trayectorias de realimentación:

a.- El divisor de tensión formado por las resistencias R3 y R2 , y la

cascada de los amplificadores formados con a A y b A .

b.- La cascada de los tres amplificadores constituidos por los tresoperacionales.

Dos de lasposibles estructu-ras unidirecciona-les que se puedenmodelar las consti-tuyen los dos inte-

gradores formadoscon b A y c A . Sus

modelos equiva-lentes, los puntos11, 12, 31 y 32 iden-tificados en el circuito original; así como el resto del circuito se indicanen la figura 9.11.2; donde las ganancias de las estructuras unidireccio-nales son:

sC R1 A

sC R1 A

26 2

151 −=−=

Directamente del circuito de la figura 9.11.2 se tiene:

0 X 02 A1 A

e

s s ,e e

e==

== 0 X

032eee31

s s ,31 e

e==

== 1 X

032eee31

s s ,32 e

e==

==

FIGURA 9.11.1 FILTRO DE 2º ORDEN.

FIGURA 9.11.2 FILTRO DE 20 ORDEN. ESTRUCTURAMODIFICADA. DOS TRAYECTORIAS.



237

4

41

32

3

02 A1 Ae

1111 ,e

R

R R

R R

R X e

e +

+==

==

0 X 0 A Ae

1212 ,e

21ee

====

4

41

32

2

02 Aee31

1111 ,31

R

R R

R R

R X e

e +

+==

==

4

1

01 Aee32

1111 ,32

R

R X e

e−==

== 1 X

02 Aee31

1212 ,31 e

e==

==

0 X

01 Aee32

1212 ,32 e

e==

==

Empleando las ganancias definidas y los parámetros calcula-dos se obtienen las matrices requeridas por la relación (4.3.12):

[ ] [ ] M S = 0 0 1 [ ]

=−

2

1

A1

A1

1

0

0 A

[ ]

−

+

+=

01

R

R

R

R R

R R

R

M 4

1

4

41

32

2

R

[ ]

+

+=

0

R

R R

R R

R

M 4

41

32

3

E

Al sustituir:

[ ]

= +

+

1

100

ee

se

24 R

4 R1 R

3 R2 R

3 R

A1

1

∆

donde:

43221

412132121324

R ) R R( A A

) R R( R A ) R R( R A A ) R R( R

+

+−+++=∆

operando y simplificando:

) R R( R

) R R( R

) R R( R A ) R R( R A A ) R R( R

R ) R R( A A

324

413

412132121324

43221

e

s

e

e

+

+

+−+++

+=

6 5214

1

324

412

51

2

6 521

324

413

R RC C 1

R

R

) R R( R

) R R( R

RC 1 s s

R RC C 1

) R R( R

) R R( R

e

s

ee

++

+++

+=

El cero en la diagonal principal de la matriz R M implica que para

el análisis del sistema realimentado podemos disminuir una trayectoria;por lo tanto, la función de transferencia se puede obtener modelandouna sola fuente controlada, el integrador formado por b A . Modelando



238

el integrador comose indica en lafigura 9.11.3 sepuede obtener lafunción de transfe-rencia del sistema

considerando unasola trayectoria derealimentación;dicha trayectoriaestará formada porla suma de dostérminos. Nóteseque el integrador denominado 2 A , reconocido como estructura unidi-

reccional en la primera alternativa, con éste nuevo planteamiento for-ma parte de los parámetros q p X . En este caso los parámetros son:

0 X s ,e = 2 s ,31 A X = 4

41

32

311 ,e

R

R R

R R

R X

+

+=

4

41

32

2

4

1211 ,31

R

R R

R R

R

R

R A X

+

++−=

sC R

1 A

15

1 −= sC R

1 A

26

2 −=

Aplicando la expresión matricial para una estructura simple-mente realimentada:

[ ]

+

+

+

+−+

= −

4

41

32

31

4

41

32

2

4

12

1

2e

s

R

R R

R R

R

R

R R

R R

R

R

R A

A1 A0

1

e

e

simplificando:

6 5214

1

324

412

51

2

6 521

324

413

R RC C 1

R

R

) R R( R

) R R( R

RC 1 s s

R RC C 1

) R R( R

) R R( R

e

s

ee

++

+++

+=

FIGURA 9.11.3 FILTRO DE 20 ORDEN. ESTRUCTURAMODIFICADA. UNA TRAYECTORIAS.



239

9.12 AMPLIFICADOR MULTIETAPAS

Admitiendo quetanto la ganancia dife-rencial de los AO co-mo la de corriente deltransistor 1Q del cir-

cuito cuyo modeloincremental se en-cuentra en la figura9.12.1 tienden a infini-

to, calcular la ganan-cia de tensión de laestructura. Todas lasresistencias son igua-les.

Anulando la señal de entrada en la figura 9.12.1 se reconocenmúltiples trayectorias de realimentación. Modelando un punto ubicadoa la salida de 2 A y antes del nodo de salida se logra interrumpir de

manera simultáneatodas las trayectoriasde realimentación;por lo tanto para eva-luar la ganancia detensión se puedeemplear la relación(4.1.6). La estructuramodificada se en-

cuentra en la figura9.12.2; la gananciadel amplificador re-conocido es unitaria,su resistencia desalida es nula por ser

FIGURA 9.12.1 AMPLIFICADOR MULTIETAPAS.

FIGURA 9.12.2 ESTRUCTURA MODIFICADA. AMPLI-FICADOR MULTIETAPAS.



240

nula la del AO ; notar que el amplificador 2 A queda en lazo abierto al

extraer el amplificador modelado. La ganancia de tensión de la estruc-tura realimentada será:

1 X 1

X 1 X X

V

V

31

o31ioi

i

o

⋅−

⋅⋅+= ........(9.12.1)

De la figura 9.12.2, desvaneciendo el amplificador extraído seencuentra que:

0 X oi = ........(9.12.2)

Para evaluar el parámetro 1i X se deben calcular dos contribu-

ciones: una contribución por el puerto inversor del amplificador 2 A y la

otra por el puerto no inversor del mismo amplificador. Para evaluar laúltima contribución se puede emplear las relaciones (9.10.11) y

(9.10.21) obtenidas en la solución del ejemplo 9.10, particularizadasconvenientemente. El parámetro será:

21

8

983

3

54

522

98

8

1

9832

54

51i A

6

1

R

R

R R R

R

R R

R A A

R R

R

R

) R R( R A

R R

R X −=

+++

+−=

+

++

+−=

........(9.12.3)

Por un procedimiento similar se encuentra que el parámetro X 31 posee tres contribuciones:

2983

93

6

7 298

8

1

983

1110

11254

413 A R R R

R R R R A

R R R

R ) R R( R

R R R A

R R R X

++ +−+

+

+−+−=

simplificando:

2983

93

6

7

1

8

983

3

1110

11

54

4213 A

3

4

R R R

R R

R

R

R

R

R R R

R

R R

R

R R

R A X −=

++

++

++++

+−= ....(9.12.4)

Directamente del circuito de la figura 9.12.2 se encuentra queel parámetro o3 X es unitario:

1 X o3 = ........(9.12.5)

Para evaluar la ganancia de tensión de la estructura realimen-tada se debe considerar que 2 A tiende a infinito, para lo cual se susti-

tuyen las expresiones de los parámetros expresados por (9.12.2),



242

(4.2.6). La estructura modificada se encuentra en la figura 9.13.2; dedonde, directamente se puede concluir que por coincidir la salida de laestructura realimentada con el terminal de salida de la fuente controla-da modelada, los parámetros 0i X para ambas entradas son nulos.

Los parámetros relacionados con la fuente modelada son:

21

R R R

R R R

R R1

R R R

R R R

R R X X X

54

4

98

8

1

2

1110

11

98

9

6

7 3213d 3 −=

+−

+

+

++

+−=−=

1 X 03 =

Los parámetros relacionados con las entradas 1V y 2V son:

2

10

R R

R

R

R1

R R

R X X X

98

8

1

2

1110

102i1i1d i =−

+

+

+=−=−

10 R R

R R R1 X X X

98

9

6

7 2i1i2d i =−

+

+=−=−

por lo tanto, al emplear la relación (4.2.6) la tensión de salida será:

21

212

21

21

103d 3

2d 1203

d 3

1d 110 V 2V 1

1V 1V X

X

X V X

X

X V V +=

−−

−−=−−=

−−

El análisis de la estructura para calcular la tensión de salidatambién puede ser realizado reconociendo y modelando el amplifica-

dor no inversor formadopor 2 A , cuya ganancia de

tensión es 2 ; para tal situa-ción, la estructura modifi-cada se encuentra en lafigura 9.13.3, y las compo-nentes de la tensión desalida se evalúan mediante

la relación (4.1.6). Directa-mente de la figura se ob-tiene:

1 X 03 =

FIGURA 9.13.3 ESTRUCTURA MODIFICADA.AMPLIFICADOR NO INVERSOR.



243

02

1

2

1

R R

R

R

R1

R R

R

R R

R

R

R X

98

8

1

2

1110

11

98

9

6

7 13 =+−=

+

+

++

+−=

Los parámetros relacionados con las entradas V 1 y V 2 son:

2

1

R R

R

R

R1

R R

R X

98

8

1

2

1110

1011i =

+

+

+=− 1

R R

R

R

R1 X

98

9

6

7 21i =

+

+=−

La tensión de salida será:

21221

10331

21i203

31

11i10 V 2V 1

1

21V 1

1

2V X

A X 1

A X V X

A X 1

A X V V +=

⋅+

⋅=

⋅−

⋅+

⋅−

⋅=

−−

Otra forma alterna para obtener la tensión de salida es emplearla relación (4.3.28), que permite considerar todas las realimentacionespresentes en la estructura múltiplemente realimentada. Directamente dela figura 9.13.1, absorbiendo 1Q , se definen los tres amplificadores co-

mo diferenciales ideales y se calculan los parámetros necesarios, consi-derando que los relativos a las entradas de la estructura son dobles:

Para la entrada 1V :2

11d ,i X = , 0 X 2d ,i = , 0 X 3d ,i = ; para la en-

trada 2V : 0 X 1d ,i = , 0 X 2d ,i = , 21

3d ,i X = .

Los parámetros comunes para las dos entradas:

0 X 0 ,31 = , 1 X 0 ,32 = , 0 X 0 ,33 = 21

1d ,31 X −= , 21

1d ,32 X = , 0 X 1d ,33 =

212d ,31 X = , 212d ,32 X −= , 212d ,33 X = 0 X 3d ,31 = , 213d ,32 X −= , 213d ,33 X −=

Empleando la relación (4.3.28) se tiene:

[ ] +

−−

−

−

−

•=

−

0

0

0

0

00

00

000100V V 2

1

21

21

21

21

21

21

21

A1

A1

A1

10

1

3d

2d

1d

1LLLLLLLLLLLLLLLLL



244

[ ]

−−

−

−

−

•+

−

1

0

0

0

0

00

00

000100V

1

2

1

2

121

21

21

21

21

A

1

A1

A1

2

3d

2d

1d

1LLLLLLLLLLLLLLLLL

operando y realizando el límite para la expresión cuando la gananciadiferencial tiende a infinito se obtiene:

210 V 2V V +=

Para cualquier topología; de los resultados obtenidos se con-cluye que en una estructura múltiplemente realimentada, el único pro-cedimiento que asegura comprobar la existencia o no de la realimen-

tación, es un procedimiento que considere todos los amplificadoressimultáneamente; de no ser este el procedimiento empleado para elanálisis de la estructura, la realimentación puede quedar enmascaradaen los modelos empleados. Todo depende de la selección de los mo-delos equivalentes; como ocurre en el segundo procedimiento em-pleado para calcular la tensión de salida. Nótese que todos los análisisdarán el resultado correcto, pero solo el procedimiento que contempletodos los amplificadores presentes en la estructura pone de manifiestotodos los lazos de realimentación existentes, como se asegura en el

capítulo 4.

9.14 AMPLIFICADORES COMPUESTOS.

MULTIETAPAS

En la figura 9.14.1 se encuentra el esquema de una estructura

multietapas, formada por dos amplificadores compuestos y realimen-tada. Admitiendo que tanto la ganancia diferencial de los AO como la decorriente de los transistores del circuito tienden a infinito, calcular la ga-nancia de tensión de la estructura, las impedancias de entrada y salida.Todas las resistencias son iguales, de valor R , exceptuando la denomi-nada R2 cuyo valor es 2 ⋅ R .



245

Anulando la señal de entrada enla figura 9.14.1 se reconoce una tra-yectoria de realimentación global; par-te de la trayectoria la forman el AO A2

y 2Q ; estos dispositivos y las resisten-

cias4

R ,7

R y5

R constituyen un ampli-

ficador compuesto. Utilizando los re-sultados del problema 9.10 se puedeplantear que el amplificador compues-to es una estructura unidireccional y sumodelo es:

4 salidaentrada5

4 R R R R

R K ==−= ∞

El circuito modificado de la es-tructura, donde se incluye el modelodel amplificador compuesto, se en-cuentra en la figura 9.14.2; en ella seidentifican los puntos requeridos paracalcular la ganancia de la estructuraempleando la relación (4.1.6).

La ganancia de tensión de laestructura realimentada será:

K X 1

X K X X

V

V

31

o31ioi

i

o

⋅−

⋅⋅+=

.......... (9.14.1)

De la figura 9.14.2, empleandolas relaciones deducidas para el ampli-ficador compuesto en el problema 9.10y desvaneciendo el amplificador extraído se encuentra que los pará-metros

q p

X que son:

2 R

R R

R X X

2 R

43

21ioi −=−=−== ....... (9.14.2)

2 R

R

R R

R

R R

R X X

4

2

43

3

43

213o3 ==

+== ....... (9.14.3)

FIGURA 9.14.1 AMPLIFICADORES

COMPUESTOS.

FIGURA 9.14.2 ESTRUCTURAMODIFICADA.



246

sustituyendo:

3

2

11

R R

R

X K 1

X K 1 X

V

V

4

2

5

4

4

2

5

4

R

R

R

R

R

R

R

R

43

3

o3

o3oi

i

0 −=

+

−+−=

−+= ........(9.14.4)

Las impedancias se calculan por medio de la relación (5.1.6),

condicionando en cada caso los puntos apropiados.

Por ser ideales los AO , la impedancia de entrada a la estructu-ra con el amplificador desvanecido es infinita y el factor de realimenta-ción es independiente de las condiciones impuestas al nodo de entra-da. Por lo tanto, la impedancia de entrada será infinita.

Para evaluar la impedancia de salida de la estructura realimen-tada se requiere calcular la impedancia con el amplificador desvaneci-do; la cual es:

R2 R Z 2 salida ⋅== ........(9.14.5)

El parámetro 31 X con los terminales de salida en circuito abier-

to es el mismo empleado para calcular la ganancia; por lo tanto, elfactor de realimentación requerido es:

321 R

R

R

R1 X K 1

4

2

5

4caen' a ,a31 =+=⋅+=⋅− ........(9.14.6)

Cortocircuitando la resistencia 2 R en el circuito de la figura

9.14.2 se obtiene que el parámetro 13 X es nulo.

La impedancia de salida de la estructura será:

R3

2

3

01 R2 R salida =

−= ........(9.14.7)

9.15 AMPLIFICADORES COMPUESTOS

II. MULTIETAPAS

En la figura 9.15.1 se encuentra el esquema incremental de unaestructura multietapas. Admitiendo que tanto la ganancia diferencial delos AO como la de corriente de los transistores del circuito tienden a



247

infinito, calcular la ga-nancia de tensión de laestructura, las impedan-cias de entrada y salida yla impedancia Théveninentre los puntos a y b.

Todas las resistenciasson iguales de valor R ,exceptuando la denomi-nada R7 cuyo valor es de

2 ⋅ R .

Anulando la señalde entrada en la figura9.15.1 se reconocen

múltiples trayectorias de realimentación; en donde, adicionalmente alas que se pueden considerar locales se encuentran otras dos; la defi-nida por el divisor de tensión entre 7 R y 1 R , y la trayectoria donde se

encuentran 3 A y 4 A . Considerando los resultados del problema 9.10,

se puede concluir que la estructura del amplificador compuesto, consti-tuido por 1 A , 1Q y las resistencias 6 R , 8 R y 2 R , es unidireccional y

posee una impedancia de salida cuyo valor es 2 R . Por lo tanto, mode-

lando un punto ubicado a la salida del amplificador compuesto se logra

interrumpir de manerasimultánea las dos tra-yectorias de realimenta-ción globales menciona-das; dado que el puntoen cuestión se encuentraa la salida de la estructu-ra, para realizar su mo-delo se debe considerar

una ganancia unitaria,impedancia de entradainfinita y tomar comoimpedancia de salida

2 R ; esto último, por ser

la impedancia vista en el

FIGURA 9.15.1 AMPLIFICADORES COMPUESTOS II.

FIGURA 9.15.2 AMPLIFICADORES COMPUESTOS II.ESTRUCTURA MODIFICADA.



248

sentido contrario al flujo de información, como lo establece el procedi-miento contemplado en el ANEXO 3. El modelo propuesto e indicadoen la figura 9.15.2 permite evaluar la ganancia de tensión de la estruc-tura y las impedancias mediante las relaciones (4.1.6) y (5.1.6); hechoque simplifica los cálculos.

La ganancia de tensión de la estructura realimentada será:

1 X 1

X 1 X X

V

V

31

o31ioi

i

o

⋅−

⋅⋅+= ........(9.15.1)

De la figura 9.15.2, desvaneciendo el amplificador extraído seencuentra que:

4

1

R R2 R

R

R R R

R X

37 1

3oi =

++=

++= ........(9.15.2)

Para evaluar el parámetro1i

X se deben calcular dos contribucio-

nes; una contribución por el puerto no inversor del amplificador 1 A y la

otra por el puerto inversor del mismo amplificador. Empleando de mane-ra apropiada los resultados del problema 9.10, las relaciones (9.10.16) y (9.10.11) respectivamente, se tienen cada una de las contribuciones:

14

1

4

3

R

R

R

R

R R R

R

R

R

R R R

R R X

6

2

4

5

7 31

3

6

2

7 31

7 31i −=−−=

++−

++

+−= ........(9.15.3)

Por un procedimiento similar se encuentra el parámetro X 31 ,

que también posee dos términos:

14

1

4

3

R

R

R

R1

R

) R R( R

R

R

R R

R

R

) R R( R X

6

2

4

5

2

7 13

6

2

7 1

1

2

7 1313 −=−−=

+−

+

+−= ........(9.15.4)

Directamente del circuito de la figura 9.15.2 se encuentra queel parámetro o3 X corresponde con la ganancia del amplificador com-

puesto formado con 2 A y 2Q :

4

3

R

) R R( R

X 2

7 13

o3 =

+

= ........(9.15.5)

Sustituyendo en la relación (9.15.1):

8

1

2

1

4

3

4

1

111

11

4

1

1 X 1

X 1 X X

V

V 43

31

o31ioi

i

o −=−=⋅+

⋅⋅−+=

⋅−

⋅⋅+= ........(9.15.6)



249

Las impedancias se calculan por medio de la relación (5.1.6),condicionando en cada caso los puntos apropiados.

a.- La impedancia de entrada; los parámetros requeridos son:

La impedancia de entrada al circuito con el amplificador desva-necido es:

R4 R R R Z 37 1entrada ⋅=++= ....... (9.15.7)

El factor de realimentación con los terminales de entrada en cor-tocircuito se obtiene empleando el parámetro 31 X utilizado para la ga-

nancia de tensión, ya que son las mismas condiciones las impuestasen ambos casos a los terminales. El factor será:

211 R

R1

R R

R

R

R

R

) R R( R11 X A1

4

5

7 1

1

6

2

2

7 13ccen' a ,a31 =+=

++

+⋅+=⋅− ..... (9.15.8)

El factor de realimentación con los terminales de entrada encircuito abierto se calcula imponiendo las condiciones en el circuito dela figura 9.15.2:

321 R

R1

R

R

R

R11 X A1

4

5

6

2

2

3caen' a ,a31 =+=

++=⋅− ....... (9.15.9)

sustituyendo en (5.1.6) se tiene la resistencia de entrada a la estructura:

R3

8

3

2

R4 Rentrada =⋅= ..... (9.15.10)

b.- Impedancia de salida; procediendo de manera similar se tiene:

R4

3 ) R R( R Z 7 13 salida =+= ..... (9.15.11)

El parámetro 31 X con los terminales de salida en circuito abier-

to es el mismo que se empleo para calcular la ganancia; por lo tanto,el factor de realimentación requerido es:

211 R

R1

R R

R

R

R

R

) R R( R11 X A1

4

5

7 1

1

6

2

2

7 13caen' a ,a31 =+=

++

+⋅+=⋅− ... (9.15.12)

Cortocircuitando los terminales de salida del circuito de la figura9.15.2, se obtiene que el parámetro 13 X es nulo.

La impedancia de salida de la estructura será:



250

R2

3

01

2 R

4

3 R salida =

−= ......(9.15.13)

c.- Impedancia Thévenin entre los puntos a y b. En este caso sola-mente cambia el parámetro 13 X en la condición de cortocircuito entre

los puntos; cuando los puntos se encuentran en circuito abierto, el

parámetro corresponde al empleado para evaluar la ganancia. En es-tas condiciones los factores de realimentación son:

211 R

R11

R

R

R

R R11 X A1

4

5

6

2

2

13ccenb ,a31 =+=

+⋅+=⋅− ......(9.15.14)

211 R

R1

R R

R

R

R

R

) R R( R11 X A1

4

5

7 1

1

6

2

2

7 13caen' a ,a31 =+=

++

+⋅+=⋅− ...(9.15.15)

La impedancia Thévenin entre los puntos a y b con el amplifica-

dor desvanecido es: R ) R R( R Z 317 ba =+= ......(9.15.16)

Evaluando la impedancia entre los puntos a y b:

R2

2 R R f b ,a == ......(9.15.17)

9.16 OSCILADOR TRIFÁSICO

Determinar la topología deuna estructura mínima ylos valores de los paráme-tros circuitales empleados

para obtener en tres nodosde la estructura formas deondas senoidales de ten-sión, desfasadas entreellas 120 o e igual magni-tud.

o1,e2 A1

o3,e1

A2 o2,e3 A3

eo1 eo2 eo3

FIGURA 9.16.1 DIAGRAMA DE BLOQUES. OSCI-LADOR TRIFÁSICO.



251

Por las condicio-nes de simetría impues-tas a las salidas de laestructura, el diagrama debloques del circuito co-rresponde al indicado en

la figura 9.16.1; donde laganancia de los amplifi-cadores es la misma y también las características de los bloques quese encuentran entre ellos. Aplicando la relación (6.3.1) se tiene que elproducto β ⋅ A equivalente de la estructura será:

3e ,o ) ) s( X ) s( A( A =⋅ β ....... (9.16.1)

La condición de mínima topología impone que los términos e ,o X

posean un solo elemento dependiente de la frecuencia. Asignando,para estos términos, una red de retardo de fase formada por una resis-tencia y un condensador; el circuito de la estructura es como el indica-do en la figura 9.16.2.

De la figura 9.16.2 se evalúan los términos de la relación (9.16.1) e imponiendo la condición de oscilación se tiene:

11 sRC 3C R s3C R s

A

)1 RCs(

1 A

222333

3eqv

3

3eqv =

+++=

+ ....... (9.16.2)

Identificando en la expresión dada por (9.16.2) las partes par eimpar del numerador y denominador se tiene:

3eqv p A ) s( N = 0 ) s( N i =

1C R s3 ) s( D 222 p += sRC 3C R s ) s( D 333

i +=

imponiendo la condición dada por (6.2.6):

=+

=+−

11C R s3

A

0 ) sRC 3C R s( A

222

3eqv

3333

eqv ....... (9.16.3)

despejando la frecuencia de oscilación de la primera ecuación del sis-tema (9.16.3):

FIGURA 9.16.2 OSCILADOR TRIFÁSICO. ES-TRUCTURA MÍNIMA.



252

RC

3w

C R

3 s0 )3C R s( sRC A

22

22223eqv =⇒−=⇒=+−

sustituyendo en la segunda ecuación:

A s R C R C

R C Aeqv eqv

3 2 2 2

2 2

2 23 1 3 3

1 8 2= + = − + = − ⇒ = −

Dado que el amplifica-dor obtenido debe invertir yademás no debe afectar lostérminos e ,o X , cada amplifi-

cador estará formado por lacascada de un no inversor yun inversor como se muestraen la figura 9.16.3.

Con el fin de estudiar la posibilidad de disminuir el número de O empleados para la construcción del oscilador; cambiemos la red de re-tardo de fase por una red de adelanto; también formada por una resis-tencia y un condensador. En este caso la expresión algebraica de la rela-ción (9.16.1) cambia y al imponer la condición de oscilación se tiene:

11 sRC 3C R s3C R s

C R s A

)1 RCs(

C R s A

222333

3333eqv

3

3333eqv =

+++=

+ ........(9.16.4)

Identificando las partes par e impar de los polinomios del nu-merador y denominador en (9.16.4) se tiene:

0 ) s( N p = 3333eqvi C R s A ) s( N =

1C R s3 ) s( D 222

p += sRC 3C R s ) s( D 333i +=

para este caso se debe imponer la condición dada por (6.2.7):

=+

=+

1 sRC 3C R s

C R s A

0 )1C R s3( C R s A

333

3333eqv

2223333

eqv ........(9.16.5)

despejando la frecuencia de oscilación de la primera ecuación del sis-tema (9.16.5):

FIGURA 9.16.3 CIRCUITO DEL AMPLIFICADOR Aeqv.



253

RC

1

3

1w

C R

1

3

1 s0 )1C R s3( C R s A

22

22223333eqv =⇒−=⇒=+

sustituyendo en la segunda ecuación:

2 A811

C R3

C R

3 A1

C R s

3 A sRC 3C R s )1 A( eqv

22

22

3eqv222

3eqv

3333eqv −=⇒−=+−=⇒+=⇒=−

Utilizan-do la red deadelanto de fa-se, el número deelementos em-pleados en laestructura dis-minuye como se

aprecia en lafigura 9.16.4.Nótese que la resistencia de la red de adelanto de fase se utiliza parados propósitos: en la red de adelanto y como parte del sumador deentrada del amplificador inversor.

9.17 OSCILADOR PUENTE WIEN

Para el oscilador de la figu-ra 9.17.1, denominado Puente deWien, encontrar las condiciones deoscilación y evaluar la cifra de mé-rito para la estabilidad de frecuen-cia de la señal de salida. Emplean-do la cifra de mérito realice la asig-

nación apropiada de los valoresrelativos entre los elementos de lamisma clase para lograr mejorar laestabilidad de la frecuencia.

Analizando el circuito de lafigura 9.17.1 se encuentra:

FIGURA 9.16.4 OSCILADOR TRIFÁSICO. CIRCUITO MÍNIMOPARA LA ESTRUCTURA.

FIGURA 9.17.1 OSCILADOR PUENTEDE WIEN.



254

b

a

R

R1 A += ........(9.17.1)

1 s )C RC RC R( sC C R R

sC R

R R

R

X

2212112

2121

12

sC 1

1 sC 1

2

sC 1

2

1 ,3

12

2

++++=

++= ......(9.17.2)

De donde se tiene:

0 ) s( N p = sC AR ) s( N 12i =

1 sC C R R ) s( D 22121 p += s )C RC RC R( ) s( D 221211i ++=

Aplicando (6.2.7) se encuentran las condiciones de oscilación:

2121

02

212112C C R R

1w0 )1 sC C R R( sC AR =⇒=+ ........(9.17.3)

1

2

2

1

221211

12

C

C 1

R

R A1

s )C RC RC R(

sC AR++=⇒=

++ ........(9.17.4)

Para evaluar la cifra de mérito relacionada con la estabilidad defrecuencia se tiene la relación (6.4.6); previamente se deben obtenerlos polinomios ) s( A y ) s( B :

)1 sC C R R( sC AR ) s( A 2212112 +=

s )C RC RC R( sC AR ) s( B 22121112 ++−=

los términos requeridos por la relación (6.4.6):

122

1221

22 C AR s RC C AR3

s

) s( A+=

∂

∂

)C RC RC R( s

1 sC C R R3 j

)C RC RC R( sC AR

sC AR s RC C AR3 j

d

221211

22121

2212112

12

123

1221

22

s sd ++

+=

++

+=

ϕ

221211

2121

221211

2121

21212121

wwd C RC RC R

C C R R2

)C RC RC R( C C R R

1

1C C R R

1

C C R R3d

0

0 ++−=

++

+−=

ϕ

........(9.17.5)



255

Para estudiar la estabilidad de frecuencia en función de los va-lores relativos de los componentes y mantener la misma frecuencia deoscilación imponemos que:

α α C 2121 C C C R R R R ====

por lo tanto, sustituyendo en la relación que representa el factor de

mérito, (9.17.5):

α α

ϕ

+−=

++−=

2

2

C RC RC R

C C R R2d

0

0w

wd ....... (9.17.6)

de la relación anterior se tiene que α debe ser mínima para obtener la

máxima estabilidad en la frecuencia de salida del oscilador; nótese queno puede ser cero. Asignando un valor pequeño para α , como 0,1, se

tiene:

952 ,01 ,02

22

2d

0

0w

wd −=+

−=+

−=α

ϕ

Para esta asignación de los valores relativos, la ganancia delamplificador se debe calcular por la relación (9.17.4):

212

11

11

C

C 1

R

R A

1

2

2

1 =+=++=++=α α α

por lo tanto, la relación de las resistencias que definen la ganancia del

amplificador utilizado se obtiene aplicando (9.17.1):

bab

a R20 R21 R

R1 A ==+=

Asignando el mismo valor, tanto a los dos condensadores co-mo a las dos resistencia, el factor que los relaciona será igual a la uni-dad; o sea, α = 1 . En este caso, la cifra de mérito para la estabilidad de

frecuencia resulta ser:

666 ,012

22

2d

0

0w

wd −=+−=+−=α

ϕ

Considerando el valor unitario resultante para α , y procedien-

do de manera similar al caso anterior, se obtiene la ganancia del am-plificador:



256

ba1

2

2

1 R2 R3111C

C 1

R

R A =⇒=++=++=

Estos resultados implican que dependiendo de los valores rela-tivos que se asignen a los elementos de la misma clase la estabilidadde frecuencia del oscilador cambia; lográndose, para el caso particular

analizado, una mejora en la estabilidad del 43%. Nótese que es prácti-camente imposible alcanzar un factor de estabilidad substancialmentemejor; tal restricción es propiedad intrínseca de la topología de la redde realimentación.

9.18 OSCILADOR SINTONIZADO DE

BAJA FRECUENCIA

Un filtro pasa banda, decualquier naturaleza, de alto Q

puede ser empleado como red derealimentación en la construcciónde un oscilador lineal con el obje-tivo de lograr alta estabilidad en

su frecuencia de salida; compara-da con la obtenida en osciladoresque emplean como redes de re-alimentación asociaciones C R ;

estas asociaciones RC son co-

múnmente empleadas en oscila-dores de baja frecuencia, meno-res que 100 kHz . En el circuito de

la figura 9.18.1 se encuentra laestructura básica de un osciladorde baja frecuencia que emplea unfiltro activo de banda estrecha de2º orden como red de realimenta-ción; también se indican los pun-tos 1 y 3 necesarios para el estu-

FIGURA 9.18.1 OSCILADOR SINTONI-ZADO.



257

dio de la estructura realimentada. Considerando las limitaciones queposeen los dispositivos reales, que afectan el funcionamiento de loscircuitos electrónico cuando operan a frecuencia menores a 10 Hz ; en

la construcción de osciladores de estas frecuencias se debe tener pre-sente el factor de estabilidad de frecuencia de la señal de salida. Enestos casos es importante emplear redes de realimentación cuyas

características favorezcan la estabilidad de frecuencia; o sea, debenpresentar un eqvQ alto. Con filtros activos se pueden obtener Q del

orden de 100 con relativa facilidad, inclusive para frecuencias del or-den de fracciones de Hz . Recordar que se pretende atenuar los efec-tos que sobre la señal de salida del oscilador ejercen las no linealida-des de los elementos reales empleados en el oscilador.

Directamente del circuito de la figura 9.18.1 se encuentra:

b

a R R A −= ....... (9.18.1)

2121212

11

C C R R1

C 1

C 1

R12

C R1

1 ,3 s )( s

s X

+++−=

Dada la expresión algebraica de la función de transferencia delfiltro activo, se tiene que su factor de calidad se puede calcular comouna relación de los coeficientes del polinomio del denominador:

21

21

1

2

212

2121eqv

C C

C C

R

R

)C

1

C

1(

R

1

C C R R

1

Q+

=

+

= ....... (9.18.2)

La ganancia de lazo cerrado será:

A

s )( s

s A X

2121212

11

C C R R1

SC 1

C 1

R12

C R1

1 ,3

+++

−=

De donde se tiene:

0 ) s( N p = sC R

1 A ) s( N

11i −=



258

2121

2 p

C C R R

1 s ) s( D += s )

C

1

C

1(

R

1 ) s( D

212i +=

Aplicando (6.2.7) se encuentran las condiciones de oscilación:

)1C

C (

R

R A1

s )(

1

C R

s A

2

1

2

1

C

1

C

1

R

111

212

+−=⇒=+

− ........(9.18.3)

2121

2

2121

2

11 C C R R

1 s0 )

C C R R

1 s(

C R

As−=⇒=+− ........(9.18.4)

La cifra de mérito relacionada con la estabilidad de frecuenciase calcula por la relación (6.4.6); previamente se deben obtener lospolinomios A s( ) y B s( ) :

)C C R R

1

s( C R

As

) s( A 2121

2

11 +−= )C

1

C

1

( R

1

C R

As

) s( B 21211

2

+=

los términos requeridos por la relación (6.4.6):

121211111

2

C C R RC R

A

C R

As3

s

) s( A−−=

∂

∂

)C

1

C

1(

R

1 s

C C R R

1 s3

j )

C

1

C

1(

R

1

C R

As

C C R RC R

As

C R

As3

j ) s( B

s s

) s( A

j

d

212

2121

2

21211

2

21211111

3

s sd

+

+

=+

+

=−=

∂

∂

ϕ

de donde, al sustituir:2121 C C R R

10 j jw s == se obtiene:

21

2122121

2121

2122121

21212121

wwd C C

C C RC C R R

C C R R

2

)

C

1

C

1(

R

1

C C R R

1

C C R R

1

C C R R

13

d

0

0 +−=

+

+−

=ϕ

eqv21

21

1

2

21

212

2121wwd

Q2C C

C C

R

R2

C C

C C R

C C R R

12

d

0

0

−=+

−=+

−=ϕ

........(9.18.5)



259

En general, para una aplicación practica los condensadores seasignan del mismo valor; en estas condiciones el modulo del factor deestabilidad para la frecuencia corresponderá con el eqvQ asignado.

Admitiendo que los condensadores sean iguales y tomando 20 comovalor para eqvQ del filtro activo, de la relación (9.18.2) se obtiene:

12 R1600 R = por lo tanto, el valor de la ganancia del amplificador empleado se en-cuentra mediante la expresión (9.18.3):

800

1 )1

C

C (

R1600

R )1

C

C (

R

R A

1

1

2

1

2

1 −=+−=+−=

por ser el amplificador un inversor se tendrá:

ab

b

a R800 R

R

R

800

1=⇒−=−

y por último, la expresión para la frecuencia de oscilación en funciónde los valores asignados para los componentes es:

C R40

1

C C R1600 R

1

C C R R

1w

11112121

0 ===

Tomando 10 k Ω y 10 µ F como los valores base de la resistenciay condensador respectivamente, los componentes empleados y la fre-

cuencia de oscilación resultan ser:

F 10C C M 16 Rk 10 R M 8 Rk 10 R 2121ba Ω Ω Ω Ω ======

sr

4

1w0 =

En algunas ocasiones, por con-sideraciones que tienen su fundamentoen el comportamiento de los amplifica-

dores reales, se deben limitar los valo-res de las resistencias empleadas, nosobrepasar determinado valor. Parareducir la relación de los valores de lasresistencias empleadas en este tipo deoscilador, los obtenidos cuando se de-

FIGURA 9.18.2 CIRCUITO T

EQUIVALENTE.



260

sean eqvQ elevados, se puede susti-

tuir en el filtro activo la resistenciadenominada 2 R por un circuito de

tres resistencias que forman una T ,como se indica en la figura 9.18.2.

La modificación debe ser tal que abY del circuito modificado correspondacon el inverso de la resistencia 2 R ;

de una manera similar se puede pro-ceder con la resistencia b R del am-

plificador de la estructura realimen-tada; esto último no es tan importan-te dado que el AO se encuentra re-alimentado por a R , cuyo valor es

arbitrario. La estructura del osciladormodificado se encuentra en la figura9.18.3.

De la figura 9.18.2:

54354

4ab

R R R

1

R R

RY

++=

por lo tanto, al invertir, operar e igualar a2

R se tiene:

54

5332 R

R

R R R R ++= ....... (9.18.6)

El factor de calidad equivalente y la frecuencia de oscilación dela estructura modificada se obtienen al sustituir (9.18.6) en las respec-tivas relaciones:

21

21

1

5 R

R3

eqvC C

C C

R

R )1( RQ 5

4

+

++=

215 R R

31

0

C C R )1( R R

1w

5

4

++

=

La asignación de los valores para las tres resistencias que for-man el cuadripolo equivalente se realiza por ensayo y error, con lacondición de minimizar sus valores. Un procedimiento adecuado es

FIGURA 9.18.3 OSCILADOR ES-TRUCTURA MODI-FICADA.



261

establecer las siguientes relaciones entre las resistencias, tomandocomo base el valor de 1 R :

α α 1

415312 R

R R R R R K R ====

por lo tanto de la relación (9.18.6) se tiene:

1311 R 1111 R R2 R R

R R R K 1

α α α α

α α

α

+=++=

de donde se tiene:

0 K 23 =−+ α α ....... (9.18.7)

El valor de α se obtiene por la solución de (9.18.7), ver ANEXO6; o empleando un procedimiento numérico, en este caso nótese quela solución de (9.18.7) es un poco menor que la raíz cubica del terminoindependiente.

En el caso del ejemplo numérico anterior; o sea, para 20Qeqv =

y K = 1600, empleando (9.18.7) se obtiene:

64 ,11=α

asignando, como en el caso anterior, Ω k 10 R1 = resultan los valores:

Ω k 4 ,116 R R 53 == y Ω 1 ,859 R4 = ; valores que evidentemente son me-

nores. Nótese que en este caso la resistencia Thévenin que ve elpuerto inversor del amplificador empleado en el filtro activo es del or-den de Ω k 117 , que es 137 veces menor que en el caso anterior.

9.19 COMPARADOR DE LAZO CERRA-

DO. OPERACIONAL

Para la estructura de la figura 9.19.1; donde la ganancia del

AO tiende a infinito y su tensión de salida se encuentra acotada entrelos valores +

S V y −S V ; comprobar que la estructura se puede compor-

tar como un comparador de lazo cerrado. Imponiendo las condicionespara tal comportamiento calcular las tensiones de conmutación e histé-resis cuando aV es una tensión constante mayor que cero.



262

El funcionamiento nolineal de una estructura reali-mentada se tiene si el producto β ⋅ A , o su equivalente, tienden

a un valor mayor que la uni-dad; por lo tanto se debe ana-

lizar el circuito para determinarla expresión equivalente alproducto β ⋅ A . En la estructu-

ra propuesta el amplificadorempleado es un diferencial;por lo tanto, podemos emplearla expresión (7.2.7) para com-probar la no linealidad de la estructura y deducir las relaciones que

deben cumplir las resistencias asociadas con el amplificador para quese satisfaga el comportamiento no lineal de la misma:

1 ) X X ( ) X X ( A 23132

A2313d

C >−−− ........(9.19.1)

De la relación (9.19.1), considerando que Ad ⇒ ∞ , se encuen-

tra que la estructura realimentada será no lineal cuando 0 X X 3231 >− ,

por lo tanto:

3231 X X > ........(9.19.2)

En el circuito de la figura 9.19.1, anulando las dos entradas seobtienen los dos parámetros requeridos por (9.19.2):

21

132

43

331

R R

R X

R R

R X

+=

+=

imponiendo la condición de no linealidad se tiene:

X X R

R R

R

R R

3 1 3 23

3 4

1

1 2

> ⇒+

>+

........(9.19.3)

de donde se obtiene:

41322

1

4

3 R R R R R

R

R

R>⇒> ........(9.19.4)

Imponiendo a los elementos de la estructura las condiciones

FIGURA 9.19.1 COMPARADOR DE LAZOCERRADO. OPERACIONAL.



263

dadas por (9.19.4) y aplicando la ecuación (7.2.10) se obtienen lastensiones de conmutación:

2e1e

2a1aa

2e1e

3132oe

X X

X X V

X X

X X V V

−

−−

−

−= ....... (9.19.5)

de la figura 9.19.1 se calculan los parámetros:

0 X R R

R X

R R

R X 0 X 2a

43

41a

21

22e1e =

+=

+==

sustituyendo en (9.19.5), imponiendo las restricciones dadas por (9.19.4),reemplazando la tensión de salida por sus valores extremos y conside-

rando el hecho que por definición −+S S V >V se obtienen los valores de la

tensión de encendido y de apagado del comparador; para lo cual:

21

2

43

4

21

2

43

3

21

1

R R

R

R R

R

a

R R

R

R R

R

R R

R

S 1c V V V +

+

+

+++

− −−−

−

= 21

2

43

4

21

2

43

3

21

1

R R

R

R R

R

a

R R

R

R R

R

R R

R

S 2c V V V +

+

+

++−

− −−−

−

=

) R R( R

) R R( RV

) R R( R

R R R RV V

432

214a

432

3241S 1c

+

++

+

−−= +

− ....... (9.19.6)

) R R( R

) R R( RV

) R R( R

R R R RV V

432

214a

432

3241S 2c

+

++

+

−−= −

− ....... (9.19.7)

al considerar (9.19.4) las

expresiones anteriores sepueden escribir como:

2o1S 1c K V ) K ( V V +−−= +−

2o1S 2c K V ) K ( V V +−−= −−

donde 1 K y 2 K son los mó-

dulos de los coeficientes delas relaciones (9.19.6) y(9.19.7) evaluados con losvalores asignados a lascuatro resistencias del cir-cuito.

2a1S 1c K V K V V += +− ....... (9.19.8)

V R R R

R R Ra 4 1 2

2 3 4

( )

( )

+

+

V s

V e

V e de encendidoV e de apagado

V s de saturación+

V s de saturación -

V de histeresis

FIGURA 9.19.2 CARACTERÍSTICA ENTRADASALIDA DEL COMPARADOR.



264

2a1S 2c K V K V V += −− ........(9.19.9)

Por medio de la comparación entre las relaciones (9.19.8) y(9.19.9) se concluye que la tensión de encendido es la definida por(9.19.8); dado que la tensión de encendido debe ser mayor que la deapagado:

) R R( R ) R R( RV

) R R( R R R R RV V

432

214a

432

4132S encendidoe

+++

+−= +

− ......(9.19.10)

) R R( R

) R R( RV

) R R( R

R R R RV V

432

214a

432

4132S apagadoe

+

++

+

−= −

− ......(9.19.17)

Para obtener la tensión de histéresis basta con calcular la dife-rencia de las tensiones de conmutación:

) R R( R

R R R RV

) R R( R

R R R RV V

432

4132S

432

4132S histeresis

+

−−

+

−= −+ ......(9.19.18)

El sentido en el cual se recorre el ciclo de histéresis se obtieneal estudiar el signo de (7.2.12), para este caso:

−=

+−=−

21

22i1i

R R

R0Sign X X Sign

Por lo tanto, el ciclo de histéresis se recorre en el sentido hora-rio, como se indica en el gráfico de la figura 9.19.2 donde se encuentra

la característica entrada salida del comparador.

9.20 FORMAS DE ONDAS DE SALIDA

En la estructura de la figura 9.20.1 determinar las formas deondas de )t ( V 2 , admitiendo que la resistencia 1 R puede tomar los dos

valores indicados, y que tanto los diodos como los AO son ideales. Laestructura posee dos señales aplicadas como entrada; una de ellasdenominada RV , es una fuente de tensión constante; la otra entrada

iV es una tensión variable cuya forma de onda es periódica e indicada

en la figura 9.20.2; donde también se incluye su derivada en funcióndel tiempo.



265

Directamente, el análisis del circuito de la figura 9.20.1 permiteinferir que la presencia de 3 A y sus elementos asociados imponen un

comportamiento lineal a trozos para la estructura; similar al descrito enel ejemplo 9.4. El comportamiento es tal que la forma de onda de )t ( V 2

es la salida de 2 A invertida de signo y multiplica por la relación 7 8 R / R ,

siempre y cuando )t ( V b sea menor que cero; o sea:

>

<−=

0V ;0

0V ; R

RV V

b

b7

8b

2 ....... (9.20.1)

Analizando el circuito formado por 1 A y las cuatro resistencias

asociadas, se concluye que pueden formar un comparador de lazocerrado, comportamiento que dependerá de los valores de los elemen-tos. La condición de linealidad del circuito se determina por medio dela relación (4.4.4-a) considerando que la ganancia diferencial tiende a

infinito. Asignando la numeración de los terminales como correspondea un amplificador diferencial y se indica en la figura 9.20.1, se tiene:

d 3d C 3C C 3C d 3d X A X A10 X A X A1 >−⇒>−−

realizando el límite para d A tendiendo a infinito, la estructura será li-

neal cuando se satisfaga:

FIGURA 9.20.1 ESTRUCTURA PARA CALCULAR LAS FORMAS DE ONDAS DE SALI-DA.



266

0 X d 3 < ........(9.20.2)

anulando las entradas, de la figura 9.20.1:

43

3

21

12313d 3

R R

R

R R

R X X X

+−

+=−= ........(9.20.3)

considerando los dos valores de R1 se tiene:

⇒−=−== 452 ,02

1

5 ,10

5 ,0

k 5 ,0 R X 1d 3 Ω linealidad

⇒=−==

0238 ,02

1

21

11

k 11 R X

1d 3

Ω no linealidad

Dados los resultados anteriores, la estructura presenta uncomportamiento completamente diferente al cambiar el valor de la re-sistencia 1 R .

Para Ω k 5 ,0 R1 = ; 1 A y sus elementos asociados se comportan

como un amplificador, cuya tensión de salida aV se obtiene aplicando

superposición, con el fin de considerar las dos entradas a la estructu-ra, y la relación (4.2.6). Directamente de la figura 9.20.1 se calculanlos parámetros X pq :

452 ,0 X 1 X 0 X X d 3030 R0i −====

FIGURA 9.20.2 SEÑAL DE ENTRADA Y SU DERIVADA.



267

500 ,0 R R

R X ;952 ,0

R R

R X

43

4d R

21

2d i −=

+−==

+=


V V t V V t V a i R i R= −−

+ −−

= +( ) ,

,

,

, , ( ) ,0

0 952

0 4520

0 500

0 4522 01 1 11

La salida de A2 simplemente será:

V t R C d V

d t b

a( ) = − 5 ....... (9.20.4)


<

>⋅=

<

>=

0V ;0

0V ; R

R

t d

)t ( V d C R01 ,2

0V ;0

0V ; R

R

t d

)t ( V d C R

V

i

i7

8i5

a

a7

8a5

2

....... (9.20.5)

Empleando la forma de onda de la derivada de la señal de entradaal aplicar la relación (9.20.5) se obtiene tensión de salida de la estructuracuando R k 1 0 5= , Ω . La forma de onda se encuentra en la figura 9.20.3.

Cuando la resistencia 1 R posee el valor de 11 k Ω la estructura

es no lineal, como se deduce al aplicar la relación (9.20.3). El compor-tamiento del amplificador A1 y sus elementos asociados corresponde

con el de un comparador de lazo cerrado; cuyos niveles de conmuta-ción se obtienen al aplicar la relación (7.2.10). Considerando que losniveles de saturación del AO corresponden con los de alimentación ycalculando los restantes parámetros q p X requeridos para aplicar la

relación, se obtienen los niveles de conmutación del comparador; di-rectamente de la figura 9.20.1:

FIGURA 9.20.3 FORMA DE ONDA DE LA SEÑAL DE SALIDA, V2(t) PARA

R K 1 0 5= , Ω .



268

500 ,020

10

R R

R X 476 ,0

21

10

R R

R X

43

4d a

21

2d i −=−=

+−===

+=

por lo tanto:

65 ,1476 ,0

5 ,01

476 ,0

0238 ,012

X

X X

X

X X X

d i

d aa

d i

d 3*0encd i =+=−−=−

45 ,0476 ,0

5 ,01

476 ,0

0238 ,012

X

X X

X

X X X

d i

d aa

d i

d 3*0apag i =+−=−−=−

Para describir completamente el comparador se requiere el sen-tido en el cual se recorre el ciclo de histéresis; el cual se obtiene por larelación (7.2.12):

+=−=− 0476 ,0 sign X X sign 2i1i

por lo tanto, el ciclo de histéresis se recorre en sentido contrario al reloj.

Los niveles de conmutación del compardor se añadieron en lafigura 9.20.2 donde se encuentra la forma de onda de la señal de en-trada y su derivada.

Tomando en cuenta el funcionamiento del compardor de lazocerrado; cada vez que la forma de onda de la señal de entrada alcan-za el nivel de encendido con pendiente positiva, la salida de A1 con-

muta y adquiere el nivel de saturación positiva; y cuando cruza conpendiente negativa el nivel de apagado la salida de A1 conmuta y ad-

quiere el nivel de saturación negativa. A la salida del circuito derivadorse obtienen impulsos de signos alternos cada vez que la salida delcomparador cambie de estado; al actuar el circuito rectificador formadopor A3 y sus elementos asociados, se tienen a la salida de la estructu-

FIGURA 9.20.4 FORMA DE ONDA DE LA SEÑAL DE SALIDA, V2(t) PARA

R K 1 11= Ω .



269

ra impulsos positivos, cuya amplitud coincide con el nivel de satura-ción positiva, en cada instante de tiempo que la señal de entrada al-canza el nivel de encendido con pendiente positiva, como se indica enla figura 9.20.4.

Por la forma de onda obtenida a la salida del comparador delazo cerrado, tren de pulsos rectangulares, como respuesta de unaforma de onda arbitraria con determinadas característica de amplitudsurge el nombre que recibe tal aplicación para un comparador de lazocerrado: conformador de formas de ondas. En tales circuitos, a susalida se obtiene un tren de ondas rectangulares en los cuales suscaracterísticas temporales se encuentran directamente relacionadascon los tiempos que tarda la señal de entrada en cruzar los niveles deconmutación del comparador.

9.21 GENERADOR DE ONDA CUADRA-

DA

Comprobar que la estructura no lineal de la figura 9.21.1 secomporta como un oscilador no lineal; determinar los valores límites ylas características relacionadas con el tiempo de las formas de ondas de

las variables denominadas )t ( X *

0 y )t ( X i . Los niveles de saturación del AO se pueden considerar simé-tricos y su ganancia de tensióninfinita.

Aplicando la relación(4.4.7) se evidencia que elcomportamiento de toda la es-tructura no es estable, puesto

que:

01Cs R

1

R R

R X

321

1d 3 =

+−

+=

por tanto, se tiene: FIGURA 9.21.1 GENERADOR DE ONDACUADRADA.



270

0C R

1

R

R s

31

2 >=

adicionalmente, considerando0w = el comportamiento de toda

la estructura en lineal puesto

que:

0 X R R

R X d 3

21

1d 3 <−

+= ⇒∞

Por lo tanto, para el estudio del comportamiento de la estructu-ra se puede proceder a modelarla como lo establece el numeral 7.3.Directamente de la figura 9.21.1, se reconoce que el AO y las resisten-cias 1 R y 2 R forman la estructura no lineal que presenta histéresis; así

como también que la red de realimentación externa es el divisor entre

el condensador y la resistencia 3 R . Dado que la entrada al compara-dor se encuentra definida directamente en el puerto inversor del AO, elsigno de (7.2.12) será negativo; por lo tanto, el ciclo de histéresis serecorre en el sentido de las agujas del reloj. Los niveles de conmuta-ción se calculan por la relación (7.2.10), considerando nula la entrada

a X . Directamente de la figura 9.21.1 se obtienen los parámetros nece-

sarios.

Los modelos para la salida del comparador son: +=S

V X *o y

−=S

V X *o , dependiendo del estado de la salida considerado.

Los parámetros q p X , los niveles de conmutación del compara-

dor y la función de transferencia de la red de realimentación externa alcomparador son:

1 X 0 X 0 X R R

R X 2i1i32

21

131 ===

+=

21

1

S apagadoi21

1

S

R R R

S encendidoi R R

RV X

R R

RV

1V X 21

1

+=

+=

−

−= −

−+++

−

1Cs R

1

R ) s( X

33 sC 1

sC 1

*i ,o

+=

+=

Com

X i

2

0*

X 0*

X S i0

* , ( )

FIGURA 9.21.2 DIAGRAMA DE BLOQUES.



271

Un diagrama de bloque de la estructura se encuentra en la figura9.21.2. La comprobación del comportamiento de la estructura es verifi-car que se cumplen las relaciones (7.3.10) y (7.3.11) particularizadaadecuadamente; 1 K 1 = y 0 X ex = .

1com2com1com*0 X X Sign X X Sign −−− −=− ....... (9.21.1)

1com2com1com*0 X X X X −−− −≥− ....... (9.21.2)

En primer lugar comprobaremos las condiciones para la trayec-toria superior del ciclo de histéresis:

21

1S 2com

21

1S 1comS

*0

R R

RV X

R R

RV X V X

+=

+== +

−−

−+

+

−

+

=

+

−=− −+−+−

21

1S

21

1S

21

1S S 1com

*0

R R

RV

R R

RV Sign

R R

RV V Sign X X Sign

....... (9.21.3)

21

1S

21

1S

21

1S S 1com

*0

R R

RV

R R

RV

R R

RV V X X

+−

+≥

+−=− −+−+

−

....... (9.21.4)

para la trayectoria inferior del ciclo de histéresis se tiene:

21

1S 2com

21

1S 1comS

*0

R R

RV X

R R

RV X V X

+

=

+

== −−

+−

−

+−

+=

+−=− +−+−

−21

1S

21

1S

21

1S S 1com

*0

R R

RV

R R

RV Sign

R R

RV V Sign X X Sign

....... (9.21.5)

21

1S

21

1S

21

1S S 1com

*0

R R

RV

R R

RV

R R

RV V X X

+−

+≥

+−=− +−+−

−

....... (9.21.6)

por ser los niveles de saturación del amplificador simétricos, las cuatrocondiciones, establecidas por las últimas relaciones, se satisfacen; porlo tanto, a la salida de la estructura se tiene un tren de pulsos periódicos.Por ser la red de realimentación invariante y los niveles de saturación delamplificador simétricos, los pulsos serán cuadrados de promedio nulo.



272

El periodo de ambas for-mas de ondas, la obtenida a lasalida del comparador y la formade onda de la señal realimentadason los mismos; y se obtiene aldeterminar el tiempo requerido

por la señal realimentada enrecorrer el intervalo de valoresdefinido por una de las trayecto-rias horizontales del ciclo de his-téresis; en este caso particular, por las características de simetría men-cionadas anteriormente, el período será el doble del tiempo calculadoempleando la relación (7.3.7). Previamente se obtendrá la forma de on-da de la señal realimentada, dada por (7.3.2). De la figura 9.21.1, consi-derando la trayectoria horizontal superior del ciclo de histéresis, para

definir las condiciones iniciales del condensador, se obtiene el circuitoequivalente transformado, que se encuentra en la figura 9.21.3; de dondeaplicado superposición:

C R1

321

1S

21

1S

C R1

3

S i

33S

1

C R

1

R R

R

s

V

R R

R

s

V

S

1

C R

1

s

V ) s( X

++−

++

+=

−−+

s

1

R R

RV

) s( s

1

R R

R

C R

V

C R

V ) s( X

21

1S

C R1

21

1

3

S

3

S i

3

++

+

+−=

−−+

s

1

R R

RV

s

1

s

1

R R

RV V ) s( X

21

1S

C R1

21

1S S i

3

++

+−

+−= −−+

cuya transformada inversa es:

21

1S

C 3 R

21

1S S i

R R

RV

t

1 R R

RV V )t ( X e

++

−−

+−= −−+

simplificando:

C 3 RS

21

1S S i

t

V R R

RV V )t ( X e

−

−+

+= +−+ ........(9.21.7)

Empleando la función (9.21.7) evaluada para 2t e igualándola

FIGURA 9.21.3 CIRCUITO EQUIVALENTETRANSFORMADO.



273

al valor de la conmutación,2com X , se obtiene el semiperíodo de las

formas de onda:

C 3 R

2

S 21

1S S

21

1S 2i

t

V R R

RV V

R R

RV )t ( X e

−

−+

+=+

= +−++

de donde:

+

−+ −+=

S 2

1S S 2132

V R

RV V ) R R( LnC Rt ....... (9.21.8)

por ser )t ( X *0 una onda cuadrada, su periodo es el doble del calculado

por (9.21.8); y es el mismo para las dos formas de onda de salida:

+

−+ −+⋅=⋅=

S 2

1S S 2132

V R

RV V ) R R( LnC R2t 2T ....... (9.21.9)

En el esquema de la figura 9.21.4 se representa las formas de

onda de las señales )t ( X *0 y )t ( X i e indican los puntos de mayor inte-

rés. En muchas ocasiones, dependiendo de la estructura de la red derealimentación añadida al comparador, cuando posean un solo ele-mento dependiente de la frecuencia, como en el presente caso, la de-pendencia con relación altiempo y el periodo de lasformas de onda se pueden

encontrar por un procedi-miento menos laborioso;la forma de onda a la en-trada del comparador,

)t ( X i , será una exponen-

cial; pudiéndose determi-nar sus característicasutilizando sus valores ini-ciales y finales, que sonconocidos. Para este casoparticular:

C 3 Ri

t

B A )t ( X e−

+= ..... (9.21.10)

donde las constantes A y B son determinadas con las condiciones limi-

T

T

2

V apag

V encd

X i

V S

−

t

V S

+

T 2

T 2T 1

T

X i

X 0*

FIGURA 9.21.4 FORMAS DE ONDAS.



274

tes de operación del circuito:

+=∞→

= S i V )t ( X t

lim A −

+=

→=+ S

21

1i V

R R

R )t ( X

0t

lim B A +− −

+=−+= S S

21

1 V V R R

R A B A B


C 3 RS

21

1S S

C 3 Ri

t

V R R

RV V

t

B A )t ( X ee −

+−+

−

−

++=+= ......(9.21.11)

expresión que es idéntica a la dada por (9.21.7).

9.22 GENERADOR DE FUNCIONES.

ONDAS TRIANGULARES Y CUA-

DRADAS

En la figura 9.22.1, donde todas las resistencias son de valor R excepto R3 que es de valor 2 ⋅ R , determinar las características funda-

mentales y las formas de ondas de las tensiones )t ( V a y )t ( V b .

Al realizar las pruebas con las relaciones (4.4.7) y (4.4.2) seobtiene que la estructura es no estable y su comportamiento a fre-

cuencia nula es lineal; por lo tanto, su estudio se puede realizar comose establece en el numeral 7.3. Analizando el circuito formado por 1 A y

las cuatro resistencias aso-

ciadas, R1 , R2 , R3 y R4 se

concluye que forman uncomparador. Los niveles deconmutación del compara-dor se calculan por mediode la relación (7.2.10), en

donde a la tensión de sali-da del AO se le asignan losdos valores de saturación;para el circuito de la figurase tiene:

FIGURA 9.22.1 GENERADOR DE FUNCIONES.



275

43

4

21

1

43

3

R R

R

R R

R

R R

R

*0i X X

+

++ −

= ..........(9.22.1)

evaluando (9.22.1), para los dos valores de saturación:

−−++ −==== S S apag S S encd

V 2

1

2

1V V V

2

1

2

1V V

Dado que la señal realimentada externamente es aplicada al puertono inversor del AO el signo de la relación (7.2.12) es positivo; lo que im-pone que el ciclo de histéresis se recorra en sentido contrario del reloj,como se indica en la figura 9.22.2.

La red de realimentación ex-terna es el circuito asociado con

2 A ; o sea, un integrador; por lo

tanto, los valores extremos quetoma su salida se encuentran defi-nidos por la saturación que imponeel amplificador 2 A . Para comprobar

las condiciones de funcionamientode la estructura como generador deonda se pueden utilizar las relacio-nes (7.3.10) y (7.3.11) particulari-zadas para la estructura, 1 K

1 = y

0 X ext = ; y los niveles de conmutación calculados anteriormente.

Para la trayectoria superior del ciclo de histéresis:

encd apag encd S 1comextmo V V SignV V Sign X X Sign −=−=− −− ....... (9.22.2)

X X V V V V extmo com S encd apag encd − = − ≥ −−−

1 ....... (9.22.3)

De forma similar se obtienen las condiciones para el recorrido

inferior: apag encd apag S 1comextmo V V SignV V Sign X X Sign −=−=− +− ....... (9.22.4)

apag encd apag S 1comextmo V V V V X X −≥−=− +− ....... (9.22.5)

X 0*

i

V apag V encd

V S

+

V S

−

FIGURA 9.22.2 CARACTERÍSTICA DETRANSFERENCIA.



276

Los resultados indican que se satisfacen las condiciones im-puestas de signo y magnitud, por lo tanto, la estructura de la figura9.22.1 se comporta como un generador de ondas no sinusoidales.

Considerando la función de transferencia del integrador y apli-cando la relación (7.3.2) se obtiene la expresión general para )t ( X i :

1com5

*0i V t C R

X )t ( X −+−= 1 ........(9.22.6)

Dadas las condi-ciones de simetría quepresentan tanto los nive-les de saturación de A1

como los de conmuta-ción del comparado la

forma de onda )t ( V a esuna onda periódica cua-drada de promedio nulo;por lo tanto, )t ( V b será la

integral invertida de sig-no de )t ( V a , resultando una onda triangular de promedio nulo cuya am-

plitud corresponde con el nivel de conmutación del comparador y desfa-

sada 180 0 con relación a la onda cuadrada; en la figura 9.22.3 se presen-

ta un esquema de ambas formas de onda. Particularizando la relación(9.22.6) para el recorrido horizontal inferior, equivalente a (7.3.7), se de-termina el semiperíodo de las formas de ondas:

encd 15

S apag 1b V t

C R

V V )t ( V =+=

+

despejando el tiempo que tarda señal V t b( ) en recorrer el segmento

inferior del ciclo de histéresis:

C RV

C R

V 2

1

V 2

1

V

C R

)V V ( t 5S

5S S

S

5apag encd 1 =

+=−= +

+−

+

El período de las formas de onda es:

C R2t 2T 51 =⋅=

T 1V apag

V encd

T 2

V b(t)

V a(t)V S

+

V S −

t

FIGURA 9.22.3 FORMAS DE ONDAS DE LAS SALIDAS.



277

9.23 GENERADOR DE ONDAS. CICLO

DE TRABAJO VARIABLE

Para el circuito de lafigura 9.23.1, los AO puedenconsiderarse ideales y susniveles de saturación simé-tricos. Admitiendo que lasentradas aplicadas a la es-tructura r V y mV son cons-

tantes determinar las carac-terísticas que definen las

formas de ondas de las se-ñales )t ( V a y )t ( V b .

Al realizar las prue-bas con las relaciones (4.4.7) y (4.4.4) se obtiene que la estructura esno estable y su comportamiento a frecuencia nula es lineal; por lo tan-to, su estudio se puede realizar como se establece en el numeral 7.3.Directamente del circuito de la figura se concluye que la estructuraformada por 1 A y las resistencias 1 R y 2 R forman un comparador; cu-

ya ventana de histéresis se encuentra afectada por en nivel de la señalr V y se recorre en sentido contrario al reloj por estar la entrada )t ( X i

asociada con el puerto no inversor. Los niveles de conmutación delcomparador se calculan con relación (7.2.10), asignando como tensiónde salida del AO los dos valores de saturación; o sea, para el circuitode la figura se tiene:

1

21r

1

2*0

R R

Rr

R R

R

R R

R

*0i

R

R RV

R

R X

10V

0 X X

21

1

21

1

21

2

++−=

−−

−=

++

+ ....... (9.23.1)

evaluando, para los dos valores de saturación:

1

21r

1

2S apag

1

21r

1

2S encd

R

R RV

R

RV V

R

R RV

R

RV V

++−=

++−= +− ....... (9.23.2)

En la figura 9.23.2 se encuentra un esquema de la característi-

FIGURA 9.23.1 GENERADOR DE ONDAS. CI-CLO DE TRABAJO VARIABLE.



278

ca entrada salida del comparador;para realizarlo se asigno una ten-sión positiva como señal r V .

La red de realimentación ex-terna es el circuito asociado con el

2 A ; específicamente es un sumadordependiente de la frecuencia querealiza la suma de la señal de salida

del comparador, *0 X , con la señal

externa mV aplicada a la red de re-

alimentación. El circuito de la figura 9.23.3 permite obtener la expre-sión general para la señal ) s( X i en régimen permanente. De la figura:

sCI

CR s11

sV

CR s1

s X ) s( X

3

m

3

*

0i +

++−=

Empleando la transformada inversa de Laplace se obtiene laexpresión en el dominio tiempo:

CI V t CR

X V )t ( X m

3

*0m

i ++−

= ........(9.23.3)

Particularizando adecuadamente la relación (9.23.3) se obtie-

nen las expresiones validas, en régimen permanente, para los recorri-dos horizontales del ciclo de histére-sis; para cada recorrido se debensustituir tanto la salida del compara-dor como los valores de las condi-ciones iniciales del condensador.Previamente se deben deducir losvalores de las condiciones inicialesconsiderando la continuidad de la

tensión en el condensador durantela conmutación. Las CI para cadauno de los recorridos horizontales seobtienen por medio de la relación(9.23.3) evaluada en cero y asignan-do el valor particular de la salida del

V r

R R

R1 2

1

+

X 0*

i

V apag V encd

V S

+

V S

−

FIGURA 9.23.2 CARACTERÍSTICADEL COMPARADOR.

FIGURA 9.23.3 RED DE REALI-MENTACIÓN.



279

comparador:

mapag erior inf erior inf m3

smapag erior inf i V V CI CI V 0

CR

V V V )0( X −=⇒++

−==

−

(9.23.4)

mencd erior superior supm3

smencd erior supi V V CI CI V 0

CR

V V V )0( X −=⇒++

−==

+

(9.23.5)

por lo tanto, las expresiones de )t ( X i validas para cada recorrido serán:

1

apag 3

smerior inf i

T t 0

V t CR

V V )t ( X

≤≤

+−

=−

....... (9.23.6)

2

encd 3

smerior supi

T t 0

V t CR

V V )t ( X

≤≤

+−

=+

....... (9.23.7)

Las funciones de tiempo dadas por (9.23.6) y (9.23.7) permitencomprobar las condiciones de funcionamiento de la estructura comooscilador no lineal. Para lo cual, considerando el recorrido inferior delciclo de histéresis, al aplicar la relación (7.3.4) se tiene la condición designo; operando con el primer miembro:

apag S apag 3

S m1com

extmoi V V SignV

CR

V V Sign X )t ( X Sign −=

−−

=

− +−

− ∞

Nótese que el máximo valor que puede alcanzar la señal X t i ( ) lo

impone la saturación de 2 A ; por lo tanto el signo de la relación anterior

será positivo para: −> S m V V . Operando con el segundo miembro de la

relación (7.3.4) se obtiene:

+=

+−=−=− +−−−

1

2S

1

2S apag encd 1com2com

R

RV

R

RV SignV V Sign X X Sign

por medio de la relación (7.3.5) se comprueba la condición de magnitud:

apag encd apag S 1comextmo

i V V V V X )t ( X −≥−=

− +−

Operando de manera similar para el recorrido superior del ciclode histéresis se comprueba que la estructura conmuta para la condi-



280

ción +< S m V V . Por lo tanto, se puede concluir que el circuito de com-

portará como un generador no lineal para aquellos valores de la señalexterna mV que satisfagan las restricciones:

+− << S mS V V V

Evaluando las relaciones (9.23.6) y (9.23.7) para los extremosde los intervalos 1T y 2T e igualándolas a los niveles de conmutación

de encendido y apagado respectivamente, se obtienen las expresionesen función de los parámetros para 1T y 2T :

3

sm

apag encd 1apag 1

3

smencd erior inf 1i CR

V V

V V T V T

CR

V V V )T ( X

−

−

−

−=⇒+

−== ......(9.23.8)

3

sm

encd apag 2encd 2

3

smapag erior sup2i CR

V V

V V T V T

CR

V V V )T ( X

+

+

−

−=⇒+

−== ......(9.23.9)

El periodo de las formas de ondas y su ciclo de trabajo serán:

−

−+

−

−=+=

+−S m

encd apag

S m

apag encd 321

V V

V V

V V

V V CRT T T ......(9.23.10)

+−

+

+−− −

−=

−

−

−+

−

−

−

−==

S S

S m

S m

encd apag

S m

apag encd

S m

apag encd 1

V V

V V 1

V V

V V

V V

V V

V V

V V

T

T D ...(9.23.11)

Por ser simétricos los niveles de saturación, de la relación(9.23.11) se tiene:

−=

−

−=

−

−==

+−+

+

+−

+

S

m

S S

mS

S S

S m1

V

V 1

2

1

V V

V V

V V

V V

T

T D ......(9.23.12)

La expresión anterior pone de manifiesto que la señal externa

mV controla linealmente el ciclo de trabajo de las formas de ondas;

cuando mV recorre el intervalo comprendido entre +S V y −

S V el ciclo de

trabajo varia entre 0 y el 100%.Considerando las condiciones de simetría que presentan tanto

los niveles de salutación de los AO como los de conmutación del com-parador se tiene que )t ( V a es una onda rectangular periódica de pro-

medio no nulo; cuya amplitud es fija y establecida por los niveles desaturación de la fuente controlada que constituye la salida del compa-



281

rador. La otra salida de laestructura, )t ( V b , es una

onda triangular de prome-dio no nulo, cuyos valoresmáximos y mínimos sondeterminados por los nive-

les de conmutación delcomparador; y se encuen-

tra desfasada 180 0 con re-

lación a la onda rectangu-lar. La amplitud de la ondatriangular puede ser alterada, como se expresa en la relación (9.23.2),por medio de la entrada auxiliar r V aplicada directamente al compara-

dor. El ciclo de trabajo es modificado entre 0 y el 100% al actuar sobre

el valor de la entrada mV , como lo establece (9.23.12); correspondién-dole el 50% cuando la señal de control es nula. En la figura 9.23.4 seencuentra un esquema de las formas de onda de salida; para su ela-boración se supone que los niveles de las dos señales de entrada r V y

mV son positivos.

9.24 GENERADOR DE PULSO

Para el circuito de la figu-ra 9.24.1, determinar la amplitudmínima y la frecuencia máximade un tren de impulsos positivos,

est X , que aplicado en el puerto

no inversor del AO por medio del

condensador 1C , cuyo valor es

muy pequeño, provoca a la salidadel O una serie de pulsos sin-cronizados con los estímulosaplicados como entrada. Todaslas resistencias son iguales; el

T 1

V apag

V encd

T 2 T 1 T 2

V b(t)

V a(t)V S +

V S

−

t

FIGURA 9.23.4 FORMAS DE ONDAS DE LASSALIDAS.

FIGURA 9.24.1 GENERADOR DE PULSO.



282

diodo puede ser considerado ideal y posee una de tensión umbral DV .

La presencia del diodo en la estructura impone un comporta-miento a trozos. Admitiendo que el diodo conduce, por medio de larelación (4.4.4) se tiene:

0 R R

R X

21

1d 3 >

+

=

que denota un comportamiento no lineal de la estructura; o sea, uncomparador, que en ausencia de señal de entrada su salida se man-tiene en un estado cualquiera. En cambio, con el diodo abierto, al rea-lizar las pruebas con las relaciones (4.4.7) y (4.4.2) se obtiene que laestructura es no estable y su comportamiento a frecuencia nula eslineal; por lo tanto, su estudio se puede realizar como se establece enel numeral 7.3.

Directamente de la figura se reconoce que la estructura funcio-na como un comparador realimentado externamente; el comparador loforman el O y las resistencias 1 R y 2 R ; por estar la señal )t ( X i apli-

cada al puerto inversor el ciclo de histéresis se recorre en sentidohorario. A la salida de la red externa de realimentación se encuentrael diodo D ; elemento no lineal que por su posición imposibilita que latensión realimentada al puerto inversor del AO sobrepase la tensión

umbral del diodo. En la figura 9.24.2 se encuentra la característicasalida entrada del comparador; en ella se indican los niveles de con-mutación y el valor impuesto por la conducción del diodo. Por mediode la relación (7.2.10), en donde a la tensión de salida del AO se le

asignan los dos valores de saturación, se obtienen los niveles de con-mutación; particularmente para el circuito de la figura 9.24.1 se tiene:

1 X X 21

1

R R

R

*0i

+= ........(9.24.1)

++ == S S encd V

2

1

2

1V V +− −== S S apag V

2

1

2

1V V

La condición de reposo de la estructura, la que adquiere demanera espontánea, se deduce de la característica de salida entradaindicada en la figura 9.24.2. Tomando en cuenta el sentido del recorri-do del ciclo de histéresis y considerando que la salida del amplificador

se encuentra en el nivel −S V en la figura se observar que la señal re-



283

alimentada externamente, )t ( X i no

podrá disminuir del valor impuestopor el diodo, que se encuentra con-duciendo por ser negativa la salidadel amplificador; por lo tanto, no sealcanza la condición de conmuta-

ción definida por la tensión de apa-gado.

Al ser aplicado directamentea la entrada no inversora del O ,por medio de 1C , un impulso de

características apropiadas, )t ( X est ,

se alcanza la condición de conmu-tación y la salida del comparador

cambia al nivel V S + ; las condiciones de signo y magnitud del impulso se

obtienen por las relaciones (7.3.12) y (7.3.13); nótese que para el casoparticular del ejemplo tratado los impulsos que ocasionan la conmuta-ción del circuito son aplicados al puerto no inversor; y por lo tanto, sedebe invertir la condición de signo dada por la relación (7.3.12), equi-valente a tomar K 1 1= − :

+⇒

+−−=+−=−−= −− DS Dapag inhinhcomestm V V

2

1SignV V Sign X X Sign X Sign

....... (9.24.2)

DS Dapag estm V V 2

1V V X +−=+≥ − ....... (9.24.3)

Los resultados de las relaciones anteriores indican que se sa-tisfacen las condiciones admitiendo que la magnitud del estímulo co-rresponde con (9.24.3).

Por ser la red de realimentación un pasa bajos de primer orden;

la forma de onda de la señal realimentada externamente, )t ( X i , secalculará directamente en el dominio tiempo:

C 3 Rt

i e B A )t ( X

−

+= ....... (9.24.4)

donde las constantes A y B son determinadas con las condiciones limi-tes del circuito:

−V D

V V apag S = −1

2

X 0*

i

V S

+

V S

−

V V encd S = +1

2




284

DiS i V )t ( X 0t

lim B AV )t ( X

t

lim A −=

→=+=

∞→= +

++ −−=−−=−+= S DS D V V V V A B A B


C

3

Rt

S DS

C

3

Rt

i ee V V V B A )t ( X

−++

−

+−=+= ........(9.24.5)Para calcular

la duración de cadapulso de salida, DT ,

se emplea la ecua-ción (7.3.20). Igua-lando la relación(9.24.5) a la condi-

ción de conmutacióndefinida por el nivelde encendido y eva-luando para DT t = ,

se despeja la expresión para el tiempo de duración de los pulsos:

C 3 R DT

S DS C 3 R

t

S encd ee V V V B AV 2

1V

−++

−+ +−=+==

despejando:

+

+

++

+ +=−

+=S

S D3

S 21

S

S D3 D

V

V V 2 LnC R

V V

V V LnC RT ........(9.24.6)

Para la expresión del tiempo de recuperación se procede demanera similar; las condiciones iniciales y finales son establecidas por

el nivel de apagado y el estado −S V de la salida del amplificador: consi-

derando que el recorrido horizontal inferior del ciclo de histéresis seencuentra acotado por la tensión umbral del diodo; o sea:

+− ==→

=+=∞→

= S encd iS i V 2

1V )t ( X 0t

lim B AV )t ( X t

lim A

+++−+ =+=−=−+= S S S S S V 2

3V V

2

1V V

2

1 A B A B

sustituyendo:

V apag

V encd

X 0*

X i

−V D

X vi = −

X vestm + +

V S

−

t

V S

+

T D T R

v+




285

+−+−=+=−

+=

−++

−C 3 R

t

S C 3 R

t

S S C 3 R

t

i eee2

31V V

2

3V B A )t ( X (9.24.7)

El tiempo de recuperación del generador de pulso se obtiene aligualar (9.24.7) a la tensión de conducción del diodo:

DC 3 R R

T

S V 2

31V e −=

+−−+

el tiempo de recuperación es:

DS

S 3 R

V V

V

2

3 LnC RT

−=

+

+

....... (9.24.8)

Por último, empleando los tiempos dados por (9.24.6) y (9.24.8)

en la relación (7.3.21) se obtiene la expresión para la frecuencia má-xima de los impulsos de entrada:

DS

DS 3 R D

imamax V V

V V 3 LnC RT T

f

1

−

+=+=

+

+

Las características generales de las formas de ondas se en-cuentran en la figura 9.24.4; se indican en forma representativa: eltiempo de duración de los pulsos DT ; el tiempo de recuperación de la

estructura T R ; los niveles: saturación, conmutación y el nivel que im-pone la operación del elemento no lineal, señaladas como +

S V , −S V ,

encd V , apag V y DV respectivamente; también se encuentran identifica-

das las señales )t ( X *0 , )t ( X i ; las tensiones en los puertos de entrada

del AO que forma el comparador v+ . −v y se ilustra el efecto aditivo

del estímulo externo en la tensión del puerto no inversor del O .



286

9.25 GENERADOR DE PULSO II

Para el circuito de la fi-

gura 9.25.1, determinar lastensiones 0V , 1V y 2V . Los ni-

veles de saturación del AO sonsimétricos y su ganancia infini-ta; el diodo D que es ideal secaracteriza por la tensión um-bral DV . En el instante t = 0 un

impulso positivo de amplitud

Restm V V >

es aplicado al circuito.Demuestre que la estructura secomporta como un generador depulso, calcule su duración, eindique en un esquema las for-mas de ondas )t ( V 0 , )t ( V 1 y )t ( V 2 .

La estructura posee un compor-tamiento a trozos dada la presencia deldiodo. Para el diodo abierto, el compor-tamiento de la estructura es no estable,puesto que su polinomio característico,ver relación (4.4.7), posee una raíz encero y para 0w = se tiene una estructu-

ra lineal de ganancia infinita; por lotanto, para este estado del diodo, elcomportamiento de la estructura se puede tratar de manera similar a laestablecida en el numeral 7.3. Para el otro estado del diodo, conducien-

do, la estructura simplemente es un amplificador de ganancia infinita.Para t < 0 , la diferencia de tensión en los puertos del O, 0V 1 =

y R2 V V −= , aseguran que la salida se encuentre en V S

+ .

El circuito formado por el AO y la fuente RV − constituye un

comparador de lazo abierto. Esta estructura no presenta histéresis en

FIGURA 9.25.1 GENERADOR DE PULSO II.

FIGURA 9.25.2 COMPARADOR.



287

su característica de transferencia, pero sí un cambio abrupto; tal cam-bio permite efectuar un análisis similar al realizado para un compara-dor con histéresis. Por medio del esquema de la figura 9.25.2 y utili-zando la formula (7.2.10); donde Ra V X −= , se tiene:

0 X 1 X 1 X 0 X 0 X 0 X 2i1i2a1a3231 ======

de la relación (7.2.10):

R R*0i V

01

10V

01

00 X X −=

−

−+

−

−= ....... (9.25.1)

dado el resultado de (9.25.1) lastensiones de conmutación seránlas mismas, como se encuentra enla característica de transferenciade la figura 9.25.3. Conceptual-

mente se puede interpretar que: )( V V )( V V Rapag Rencd −−=+−=

De esta forma, el análisisdinámico de toda la estructurapuede ser realizado aplicando losconceptos relativos a los genera-dores de pulsos tratados en elcapítulo 7.

La asociación R y C for-man la red externa de realimenta-ción; el diodo D limita la tensiónmáxima en la entrada de la estruc-tura no lineal. La función ) s( X i se

obtiene del circuito transformadode la red de realimentación, verfigura 9.25.4:

RC 1

*0i

s

1 )CI X ( ) s( X +

−=

de donde:

RC

t

)CI X ( )t ( X e*0i

−−= ....... (9.25.2)

−V R

X 0*

i

V S

+

V S

−


FIGURA 9.25.4 CIRCUITO TRANS-

FORMADO.



288

La estructura responderá al estímulo externo con un cambio denivel a la salida cuando se cumplan las condiciones establecidas porlas relaciones (7.3.12) y (7.3.13); de la figura 9.25.2 se tiene que

1 K 1 −= y dado que la red es un pasa altos 0 X inh = :

0V SignV Sign Restm −−=− ........(9.25.3)

0V V Restm −−≥− ........(9.25.4)

Por lo tanto, la salida de laestructura cambia al nivel de satu-ración negativo como respuesta alestímulo externo. El cambio sepropaga por la red causando per-turbación en la entrada del compa-rador; si se satisfacen las relacio-

nes (7.3.4) y (7.3.5) tendrá lugar unnuevo cambio a la salida; comple-tándose un pulso. Previamente sedebe calcular los valores extremosque puede tomar la salida de la redde realimentación cuando se reco-rre el ciclo de histéresis. Conside-rando (9.25.2), para el recorrido

inferior, +−= S *0 V X y += S V CI :

++− −=−

−= S extremoS S extremoi V 2 RC

t

)V V ( )t ( X e ........(9.25.5)

aplicado las relaciones (7.3.4) y (7.3.5):

)( V )( V Sign )( V V 2Sign R R RS −++−=−+− + ........(9.25.6)

)( V )( V )( V V 2 R R RS −++−>−+− + ........(9.25.7)

para el recorrido superior se tiene: += S *0 V X , −= S V CI ; en este caso el

valor extremo será:

+−+ =−

−= S extremoS S extremoi V 2 RC

t

)V V ( )t ( X e ........(9.25.8)




289

y se tendrá:

)( V )( V Sign )( V V 2Sign R R RS ++−−=+++ ....... (9.25.9)

)( V )( V )( V V 2 R R RS ++−−>+++ ..... (9.25.10)

Dado los resultados anteriores la estructura reacciona ante el

estímulo con un pulso negativo a la salida del AO . Para el instante dela segunda conmutación, cuando finaliza el pulso de salida, la señal enel puerto no inversor tiende a tomar el valor dado por las relaciones(9.25.9) y (9.25.10), el diodo D actúa, al ser nula la resistencia aso-ciada el condensador adquiere las condiciones finales instantánea-mente; luego el tiempo de recuperación de la estructura es nulo. En lafigura 9.25.5 se encuentran las características generales de las formasde ondas: )t ( V 0 , )t ( V 1 , )t ( V 2 .y )t ( V estm .

La duración del pulso de salida se obtiene mediante (7.3.17),considerando (9.25.2) particularizada en la trayectoria inferior del ciclo

de trabajo, o sea: +−= S *0 V X , += S V CI

C R

T

)V V ( V )T ( X

D

S S R Di e−

−−=−= ++

R

S D

V

V 2 Ln RC T

+

= ..... (9.25.11)

9.26 GENERADOR DE ONDAS

Para el circuito de la figura9.26.1, determinar )t ( V 0 indicando

sus características. La alimenta-ción de la estructura es simétrica,

entre ccV y ccV − ; la señal ent X esuna tensión constante negativa,cuyo valor es V − . Puede conside-

rar los diodos y el AO ideal.

En la estructura se en-

FIGURA 9.26.1 GENERADOR DE ONDAS.



290

cuentran 4 diodos que imponenque su comportamiento sea a tro-zos. Los diodos zener simplemen-te acotan los valores máximo ymínimo de la salida del amplifica-dor cuando el diodo 2 D se en-

cuentre conduciendo. Los diodos

1 D y 2 D imponen que la estructu-

ra posea cuatro circuitos equiva-lentes, dependiendo del estado enel cual se encuentren, que se indi-can en las figuras 9.26.2 a la9.26.5.

Previo al análisis del com-

portamiento temporal de la estruc-tura de deben establecer las con-diciones de operación de los cua-tro modelos equivalentes. Para losmodelos de las figuras 9.26.2 y9.26.3 su comportamiento es el deun amplificador; el primero de ellosno tendrá salida por ser nula suentrada. Para el circuito de la figu-

ra 9.26.4 se deben emplear lasrelaciones (4.4.7) y (4.4.4):

( ) 0 R R1 sC R

R

R R

R X

121

1

43

3d 3 =

++−

+=

de donde:

C R R R

R R R R s

132

3241 −=

21

1

43

3d 3 R R

R R R

R0w

X +

−+

==

Asignando el valor de lasresistencias tales que el comportamiento de la estructura no sea esta-ble, que los polos del polinomio característico se encuentren en el se-miplano derecho; o sea:

FIGURA 9.26.2 CIRCUITO EQUIVALEN-TE. D1 Y D2 ABIERTOS.

FIGURA 9.26.3 CIRCUITO EQUIVALEN-

TE. D1 CERRADO Y D2 ABIERTO.

FIGURA 9.26.4 CIRCUITO EQUIVALEN-TE. D1 Y D2 CERRADOS.

FIGURA 9.26.5 CIRCUITO EQUIVALEN-TE. D1 ABIERTO Y D2 CERRADO.



291

4

3

2

1

R

R

R

R>

también se obtiene un compor-tamiento lineal de la estructuracuando 0w = . Por consiguiente,

el análisis del circuito equivalen-te de la figura puede plantearsecomo se establece en el numeral7.3.

Con relación al modelo dela figura 9.26.5 corresponde conun comparador de lazo cerradocuyos niveles de conmutación

son simétricos dada la alimentación del amplificador; por no tener en-trada aplicada su salida puede estar en cualquiera de los dos estados.

El análisis temporal de la estructura partirá en el momento quese encienda la alimentación en el instante t = 0 ; en consecuencia elcondensador se encuentra descargado y todos los diodos abiertos,correspondiendo con el circuito equivalente de la figura 9.26.2. En elinstante )0( t + el condensador tiende a cargarse negativamente, el dio-

do D1 conmuta e implica que el comportamiento de la estructura co-

rresponde con la figura 9.26.3; de la cual se tiene que:

1

2

1

2ext 0

R

RV

R

R X V =−=

La tensión de salida obliga a 2 D a conducir y el comportamien-

to del circuito corresponder con el circuito equivalente de la figura9.26.4; o sea, un comparador cuyo ciclo de histéresis se recorre ensentido horario. Después de la conmutación de 2 D en t ( )0+ las tensio-

nes de los puestos de entrada del operacional serán:

v V R

R RV

R

R

R

R R+ =

+ =

+0

3

3 4

2

1

3

3 4

0v =−

dado que el circuito equivalente corresponde con un comparador y en

ese instante se cumple −+ > vv la salida será += s0 V V ; como se muestra

en la figura 9.26.6 donde se encuentra la gráfica en función del tiempo

V R

R

2

1

V encd

X 0*

X i

t = 0

v v t C − = ( ) v+

t

V S

+

T 1

T 2




292

de las formas de ondas.

La red externa de realimentación al comparador, formada por

1 R , 2 R y 1C posee una señal externa ext X constante de valor −V . Las

condiciones de conmutación se determinan por las relaciones (7.3.10) y (7.3.11). La tensión de encendido del comparador y la Théveninequivalente entre los extremos del condensador son:

43

3 Z encd

R R

RV V

+=

21 Z 21

Z 21

1

21

2Th VR RV

R R

1V

R R

RV

R R

RV −

+=

++

+−=

Para que se satisfagan las condiciones de conmutación se de-be cumplir:

−+=

−−+ 0 R R

R

V Sign0VR RV R R

1

Sign 43

3

Z 21 Z 21 ........(9.26.1)

0 R R

RV 0VR RV

R R

1

43

3 Z 21 Z

21

−+

≥−−+

........(9.26.2)

Admitiendo que se cumplen con las condiciones establecidas porlas relaciones anteriores se puede evaluar el tiempo que requiere laseñal de entrada al comparador, )t ( X i , para alcanzar la condición de

conmutación; o sea, evaluar la relación (7.3.14), convenientemente

adecuada a la presente situación, la señal de entrada comienza acambiar de valor con el condensador descargado:

43

3 Z 21 Z

21

21 Z 21

21encd Th

ThTh1

R R

RV VR RV

R R

1

VR RV R R

1

LnC R RV V

V LnC RT

+−−

+

−+

=−

=

........(9.26.3)

El cambio de estado de la salida del comparador provoca la

conmutación simultánea de los diodos 1 D y 2 D ; por lo tanto, el circuitoequivalente de la estructura en tales condiciones será el de la figura9.26.2. La tensión de salida se anula y el condensador tenderá a des-cargarse. En el instante que la tensión del condensador sea nula ocu-rre algo similar a lo contemplado en el instante de encendido del equi-po. El tiempo que tarda el condensador en anular su tensión se evalúa



293

por medio de la relación de descarga de un condensador que poseecomo condición inicial encd V :

V

V R R

RV

LnC RT 43

3 Z

12

++

= ....... (9.26.4)

Para que se satisfagan las condiciones de conmutación dadaspor (9.26.1) y (9.26.2) se deben imponer determinadas condiciones alos valores de los componentes que forman la estructura. Una de lasfactibles asignaciones en los valores es:

1V

V Z < 24 R R = 1n R

Rn

V

V

1

2 Z

>=

nm;1m1m

R R 4

3>>−

=

9.27 GENERADOR DE ONDA DE TRES

NIVELES

Para el circuito de la figura 9.27.1, determinar la forma de ondaen función del tiempo de 0V . Los O y los diodos pueden ser conside-

rados ideales, los niveles de saturación del operacional son simétricos

correspondiendo a S V ± . Las señales V y −V pueden ser consideradastensiones constantes.

La estructura posee dos diodos que imponen un comportamientoa trozos; los cuatro circuitos equivalentes que dependen del estado delos diodos se encuentran enlas figuras 9.27.2 a la 9.27.5.Previo al estudio del compor-tamiento temporal de la estruc-

tura de deben establecer lascondiciones de operación delos cuatro modelos equivalen-tes. El circuito de la figura9.27.2, posee la entrada flo-tando y en estas condiciones FIGURA 9.27.1 GENERADOR DE ONDAS DE

TRES NIVELES.



294

la estructura es lineal y su salidanula. Los circuitos de las figuras9.27.3 y 9.27.4 poseen un com-portamiento similar; y se debeemplear las relaciones (4.4.7) y(4.4.4) para establecer su com-

portamiento. Considerando elcircuito de la figura 9.27.4 setiene:

( ) 0 R R1 sC R

R

R R

R X

131

1

45

5d 3 =

++−

+=

de donde se tiene:

C R R R

R R R R s

153

5341 −=

32

2

45

5d 3

R R

R

R R

R

0w X

+−

+=

=

Asignando el valor delas resistencias tales que elcomportamiento de la estructu-ra no sea estable, que los polosdel polinomio característico se

encuentren en el semiplanoderecho; o sea imponer que:

4

5

3

2

R

R

R

R>

también se obtiene un compor-tamiento lineal de la estructuracuando 0w = . En consecuencia

el análisis del circuito equiva-lente de la figura puede plan-tearse como se establece en elnumeral 7.3; o sea, un compa-rador de lazo cerrado realimen-tado por medio de una estructu-ra lineal dependiente de frecuencia. Para el comportamiento del circui-

FIGURA 9.27.2 CIRCUITO EQUIVALENTE I. D1 Y D2 ABIERTOS.

FIGURA 9.27.3 CIRCUITO EQUIVALENTE II. D1 ABIERTO Y D2 CERRADO.

FIGURA 9.27.4 CIRCUITO EQUIVALENTE III. D1 CERRADO Y D2 ABIERTO.

FIGURA 9.27.5 CIRCUITO EQUIVALENTE III. D1 Y D2 CERRADOS.



295

to de la figura 9.27.3 simplemente se sustituye 2 R por 1 R . Con rela-

ción al modelo de la figura 9.27.5 simplemente es un sumador inversorque dado la simetría de los valores su salida es nula.

En cada una de las figuras 9.27.3 y 9.27.4 se reconoce uncomparador cuya característica de transferencia se recorre en el sen-

tido horario, similar al de la figura 9.24.2; en donde las tensiones deconmutación son:

54

5S encd

R R

RV V

+= +

54

5S apag

R R

RV V

+= −

El análisisde la estructurapartirá en elmomento que seencienda la ali-mentación en elinstante t = 0 ;por lo tanto, loscondensadoresse encuentrandescargados ylos diodos abier-tos, correspon-

diendo con elcircuito equivalente de la figura 9.27.2; por alguna razón, como puedeser: diferencias en la respuesta transitoria de las fuentes que suminis-tran las tensiones externas, V y −V , el condensador 2C se carga mas

rápidamente que 1C ; por lo tanto, en el instante )0( t + cambia de esta-

do el diodo 2 D e implica que el comportamiento de la estructura co-

rresponde con la figura 9.27.3. En estas condiciones el circuito es un

comparador y su salida conmuta, por ser +− < vv , pasando a +S V como

se indica en la figura 9.27.6 donde se encuentra la gráfica en función deltiempo de la forma de onda de la salida.

La red externa de realimentación al comparador, formada por 2 R ,

3 R y 2C posee una señal externa ext X constante de valor V − . Las condi-




296

ciones de conmutación se determinan por las relaciones (7.3.10) y (7.3.11).La Thévenin equivalente entre los extremos del condensador 2C es:

32S 32

S 32

2

32

3Th VR RV

R R

1V

R R

RV

R R

RV

2−

+=

++

+−= ++

Satisfacer las condiciones de conmutación implica cumplir:

+−

+=

+−−

+−+−+

54

5S

54

5S

54

5S 32S

32 R R

RV

R R

RV Sign

R R

RV VR RV

R R

1Sign .....(9.27.1)

54

5S

54

5S

54

5S 32S

32 R R

RV

R R

RV

R R

RV VR RV

R R

1

+−

+≥

+−−

+−+−+ ......(9.27.2)

Admitiendo que se cumplen con las condiciones establecidas porlas relaciones anteriores, se puede evaluar el tiempo que requiere la se-ñal de entrada al comparador, )t ( X i , para alcanzar la condición de con-

mutación; o sea, evaluar la relación (7.3.14), convenientemente adecua-da a la presente situación; en éste caso, partiendo de una tensión nula:

54

5S 32S

32

32S 32

232encd Th

Th

2Th1

R R

RV VR RV

R R

1

VR RV R R

1

LnC R RV V

V LnC RT

2

2

2

+−−

+

−+

=−

=++

+

........(9.27.3)

Durante el intervalo de tiempo 1T el condensador 1C ha adquiri-

do la tensión:

)1( V )T ( V 1C 1 R1T

111C e−

−= ........(9.27.4)

sustituyendo 1T por (9.27.3):

−= − encd V 2ThV

2ThV Ln

1C 1 R2C 2Th R

11C e1V )T ( V 1

........(9.27.5)

Transcurrido el tiempo 1T , dado por (9.27.3), el comparador

conmuta nuevamente; su salida pasa a −S V provocando el cambio de

estado de los diodos 1 D y 2 D ; 1 D se cierra y 2 D se corta. En estas

condiciones el circuito equivalente de la estructura corresponde con la



297

figura 9.27.4; el condensador 1C posee la tensión dada por (9.27.5) y

tiende a cargarse al Thévenin equivalente; 2C , cuya tensión es la de

encendido, tiende a V . La tercera conmutación de la estructura sedará si se satisfacen las condiciones requeridas por el comparadorfigura 9.27.4 partiendo de la tensión de 1C . La tensión 2C también

cambiará tendiendo a V −

durante el intervalo de tiempo que le lleve alcondensador 1C en adquirir el valor de la tensión de conmutación. Las

condiciones para que la tensión en 1C provoque la conmutación serán:

+−

+=

+−+

++−+−

54

5S

54

5S

54

5S 1S 3

31 R R

RV

R R

RV Sign

R R

RV RV VR

R R

1Sign . (9.27.6)

54

5S

54

5S

54

5S 1S 3

31 R R

RV

R R

RV

R R

RV RV VR

R R

1

+−

+≥

+−+

++−+− . (9.27.7)

Admitiendo que se cumplen con las condiciones establecidas porlas relaciones anteriores, se puede evaluar el tiempo que requiere laseñal de entrada al comparador, )t ( X i , para alcanzar la condición de

conmutación; o sea, evaluar la relación (7.3.14), convenientementeadecuada a la presente situación:

1S 3

3154

5S

1S 331

11C

131Thapag

Th11C

11Th2

RV VR

R R

1

R R

RV

RV VR R R

1 )T ( V

LnC R RV V

V )T ( V LnC RT

1

1

11

−−

−

++

−+

++

−

=−

−=

....... (9.27.8)

Durante el intervalo de tiempo 2T la tensión en el condensador

2C en función del tiempo es:

2C 2 R

encd 22C

t

)V V V )t ( V e−

++−= ....... (9.27.9)

Al final del intervalo de tiempo 2T , la tensión sobre el condensa-

dor 2C en función de los parámetros del circuito es:

2C 2 R

2T

54

5S 222C eV

R R

RV V )T ( V

−

++

+−= + ..... (9.27.10)

sustituyendo la expresión de T 2 dada por (9.27.8):



298

1ThV apag V

1ThV )1T ( 1C V Ln

2C 2 R

1C 1Th R

encd 222C eV V V )T ( V −

−−

++−= ......(9.27.11)

Si la tensión 0 )T ( V 22C > , en el instante de la conmutación se

abre el diodo 1 D y 2 D se mantiene abierto; en estas condiciones el

circuito equivalente de la estructura corresponde con la figura 9.27.2.La tensión de salida del amplificador es nula y la tensión de los con-densadores 1C y 2C tiende a V y V − respectivamente. La expresión

en función del tiempo para la tensión en 2C corresponde con la rela-

ción (9.27.9); en cambio, para el condensador 1C será:

1C 1 Rt

apag 31C e )V V ( V )t ( V −

−+= ......(9.27.12)

La estructura se mantendrá en estas condiciones hasta que latensión sobre el condensador 2C sea tal que el diodo 2 D entre en

conducción; en nuestro caso esto corresponde a tensión nula. El inter-valo de tiempo durante el cual la salida del amplificador es nula co-rresponde con el tercer nivel de salida de la estructura; que terminaráen el instante que la tensión sobre el condensador 2C sea cero, con lo

cual conduce el diodo 2 D y la estructura cambia al circuito equivalente

de la figura 9.27.3. Este ciclo se repite hasta que el funcionamiento

adquiere las condiciones de régimen permanente. Nótese que duranteel primer intervalo de tiempo definido como 1T el condensador 1C par-

tiendo de una tensión nula adquiere una tensión que denominamos 1V ,

que empleamospara comprobarla evolución dela estructura; enrégimen per-manente la ten-

sión inicial delcondensador

1C no puede

ser cero; dehecho es nega-tiva. FIGURA 9.27.7 FORMAS DE ONDAS. RÉGIMEN PERMANENTE.



299

Considerando régimen permanente, tal como se indica en la figura9.27.7, las expresiones para la tensión en los condensadores serán:

11Th

1Th11Th111C

C R

t

)V V ( V )T ( V e

−

−+= ..... (9.27.13)

11apag 21C

C R

t

)V V ( V )t ( V e−

−+= ..... (9.27.14)

)C Rt

1( V )t ( V 222Th12C e

−−= ..... (9.27.15)

22encd 22C

C Rt

)V V ( V )t ( V e−

−+−= ..... (9.27.16)

donde:

311Th31

1S 3

1Th R R R R R

RV RV V =+

+= − 322Th32

32S

2Th R R R R R

RV RV V =+

+= +

las restricciones para la operación de la estructura:

encd 2Th V SignV Sign = ..... (9.27.17)

encd 2Th V V ≥ ..... (9.27.18)

apag 1Th V SignV V Sign1

=− ..... (9.27.19)

apag 1Th V V V 1 ≥− ..... (9.27.20)

0 )T ( V 2 B2C > ..... (9.27.21)

0 )T T ( V 2C B2C =+ ..... (9.27.22)

0 )T ( V 2C 1C < ..... (9.27.23)

encd 2 AC 1C V )T T ( V <+ ..... (9.27.24)

Para una forma de onda en donde la duración de los niveles de

la tensión de salida sean iguales y además se cumpla que:

S 21321 V V C C R3 R R ====

del circuito de la estructura se tiene:



300

3ThThThTh R4

3 R RV

2

1V V

2

1V

2121===−=

De la relación (9.27.15) igualada a encd V se obtiene AT :

54

5423 A

R R

R R LnC R

4

3T

−

+= ......(9.27.25)

análogamente de (9.27.13) igualada a apag V se obtiene BT :

−

+=

+ 5 R4 R5 R

21

21

1

13 B

V

V V LnC R

4

3T ......(9.27.26)

Como se desea que los niveles tengan la misma duración, igua-lando (9.27.25) a (9.27.26) se deduce que la tensión inicial de 11C )t ( V

debe ser nula; o sea, 1V cero.

Empleando la relación (9.27.16) y considerando (9.27.22), porser los niveles de la misma duración, se debe cumplir:

0 )V V ( V )T 2( V )T T ( V 2C 2 R AT 2

encd 2 A2C 2C B2C e =−+−==+

−

sustituyendo y despejando:

45

4523 A

R R R R2 LnC R6 T

++= ......(9.27.27)

igualando a (9.27.25) se obtiene una relación no lineal entre 4 R y 5 R ,

que empleando un procedimiento numérico permite encontrar una soluciónfactible:

Ln R R

R R Ln

R R

R R

5 4

4 5

5 4

5 4

8 2+

− =

+

+ ......(9.27.28)

Para nuestro ejemplo una solución es: 54 R1.1 R ≈



301

9.28 GENERADOR CONTROLADO POR

TENSIÓN I

Para el circuitode la figura 9.28.1,determinar la forma deonda en función deltiempo de 0V y 1V . Los

O , el transistor 1Q y

el diodo zener puedenser considerados idea-

les y la alimentaciónde los amplificadoreses asimétrica, entre

ccV y cero. La señal

ent V es una tensión

constante positiva.

En vista que los niveles de alimentación de los O no son si-métricos y estos son ideales, sus niveles de saturación no serán simé-

tricos: CC S V V =+ y 0V S =− .

En general, la estructura posee tres amplificadores interrelacio-nados, dos de ellos los operacionales 1 A y 2 A ; el tercer amplificador lo

forman el transistor 1Q y las resistencias asociadas a los terminales de

la base y el colector; adicionalmente se encuentra que posee dos en-tradas de tensión constate: ent V y ref V . Anulando las entradas se loca-

lizan tres trayectorias cerradas, dos de ellas que podemos considerar

locales y la otra formada por los tres amplificadores 1 A , 2 A y el tran-sistor 1Q . Reconociendo el amplificador 2 A como estructura unidirec-

cional podemos estudiar el comportamiento dinámico del circuito em-pleando las relaciones (4.4.7) y (4.4.4):

( ) s RC

K

R R

R

s RC

1 K

R R

R X

6 6 5

5

6 6 5

5d 3 −

+=

−−−

+=

FIGURA 9.28.1 GENERADOR CONTROLADO PORTENSIÓN I.



302

donde K es una constante equivalente al modulo de la ganancia detensión del amplificador formado por 1Q y las resistencias asociadas a

sus terminales, entrando por base y saliendo por colector. Conside-rando que la ganancia diferencial de 2 A tiende a infinito, del polinomio

característico de la estructura se tiene:

( ) ( )45

6 56 545

RC 1

R R R K s0 R R K s RC R +=⇒=+−

admitiendo que 0w = , de la relación (4.4.4):

00w

X A K R R

R

0w X d 31

6 5

5d 3 <

=⇒−

+=

=

En consecuencia, el comportamiento de la estructura será noestable por estar ubicados los polos del polinomio característico en elsemiplano derecho y para 0w = presenta un comportamiento lineal.

Por lo tanto, el comportamiento dinámico de toda la estructura se po-drá estudiar como se establece en el numeral 7.3 al dividirla en dosbloques relacionados; uno de ellos no lineal, un comparador y el otrobloque lineal dependiente de frecuencia

Observando la estructura de la figura 9.28.1 se reconoce queposee un comparador, formado por el amplificador 2 A y las resisten-

cias asociadas 5 R y 6 R ; también posee una entrada auxiliar, ref V , y

dada la ubicación de la señal realimentada X i su característica de trans-ferencia se recorre en sentido contrario del reloj, como se indica en lafigura 9.28.2. El bloque lineal y de-pendiente de frecuencia, la red derealimentación externa, esta forma-do por el transistor 1Q y el circuito

asociado con el amplificador 1 A ,

que a su vez posee una entradaconstante ent V . Dada la presencia

de 1Q y su forma de operar, entre

corte y saturación, la red externa derealimentación, que lo incluye, ten-drá un comportamiento a trozos.

Los niveles de conmutación

X 0*

i

V apag V encd

V S

+

V S

−




303

del comparador se calculan por medio de la relación (7.2.10), en dondea la tensión de salida del AO se le asignan los dos valores de saturación;para el circuito de la figura se tiene:

6 R5 R5 Rcc

6 R5 R5 R*

06 R5 R

5 R

ref 6 R5 R

5 R

*0i

2

V X

1V

1 X X

++

+++=

−−

−−= ....... (9.28.1)

evaluando (9.28.1), para los dos valores de saturación:

cccc

S apag cccc

cccc

S encd V 4

1

2

1

2

V V

2

1V V

4

3

2

1

2

V V

2

1

2

1

2

V V

2

1V =+−==+=+= −+

La red de realimentaciónexterna es el transistor 1Q y el

circuito asociado con 1 A . El

transistor 1Q se saturará cuan-

do la salida del comparador seamayor que la tensión umbral delzener y se cortará en caso con-trario; por lo tanto, se obtienendos circuitos equivalentes parala red de realimentación exter-na, dependiendo del estado dela salida del comparador.

El circuito equivalente dela red de realimentación externacuando la salida del compara-

dor sea ccS *o V V X == + se mues-

tra en la figura 9.28.3. Directa-mente se obtiene la expresiónpara 1i ) s( X ; o sea, la entrada al

comparador cuando 1Q se encuentra conduciendo:

s

CI

sC R R

11

R R

R

s

V

sC R

1

s

V ) s( X 1

14123

3ent

11

ent 1i +

++

+−=

sustituyendo y simplificando:

FIGURA 9.28.3 CIRCUITO EQUIVALENTE

I. Q1 SATURADO.

FIGURA 9.28.4 CIRCUITO EQUIVALENTE

II. Q1 CORTADO.



304

s

CI

s2

V

s RC

V

2

1 ) s( X 1ent

21

ent 1i ++=

de donde:

1ent 1

ent 1i CI V

2

1t

RC

V

2

1 )t ( X ++= ...............(9.28.2)

Para el otro estado de la salida del comparador, 0 X *o = , el

transistor 1Q se encuentra cortado; el circuito equivalente de la red de

realimentación externa se encuentra en la figura 9.28.4. Directamentede la figura se obtiene 2i ) s( X :

s

CI

sC R

11

R R

R

s

V

sC R

1

s

V ) s( X 2

1123

3ent

11

ent 2i +

++

+−=

simplificando:

s

CI

s2

V

s RC

V

2

1 ) s( X 2ent

21

ent 2i ++−=

la expresión en el dominio del tiempo es:

2ent 1

ent 2i CI V

2

1t

RC

V

2

1 )t ( X ++−= ...............(9.28.3)

Las CI para cada uno de los recorridos horizontales se obtienen

por medio de las relaciones (9.28.2) y (9.28.3) evaluadas en cero y asig-nando el valor particular de 1com X − del recorrido horizontal considerado:

ent apag 1apag 1ent 1i V 2

1V CI V CI V

2

1 )0( X −=⇒=+=

ent encd 2encd 2ent 2i V 2

1V CI V CI V

2

1 )0( X −=⇒=+=

Sustituyendo las condiciones iniciales en las relaciones tempora-les se tiene:

apag 1

ent 1i V t

RC

V

2

1 )t ( X += ..........(9.28.4)

encd 1

ent 2i V t

RC

V

2

1 )t ( X +−= ..........(9.28.5)



305

Para compro-bar las condicionesde funcionamiento dela estructura comogenerador de onda sepueden utilizar las

relaciones (7.3.4) y(7.3.5) particulariza-das para la estructuray los niveles de con-mutación calculadosanteriormente; tam-bién se debe considerar que la tensión de entrada a la estructura ent V

es positiva.

Para la trayectoria superior del ciclo de histéresis: apag encd S apag apag S 1comextmo V V SignV SignV V V Sign X X Sign −==−+=− ++

−

....... (9.28.6)

apag encd S 1comextmo V V V X X −≥=− +− ....... (9.28.7)

De forma similar se obtienen las condiciones para el recorridoinferior:

encd apag S 1comextmo V V SignV Sign X X Sign −==−

−

− ....... (9.28.8)

encd apag S 1comextmo V V V X X −≥=− −− ....... (9.28.9)

Los resultados indican que se satisfacen las condiciones im-puestas de signo y magnitud, por lo tanto, la estructura de la figura9.28.1 se comporta como un generador de ondas no sinusoidales.Nótese que la condición de los signos se satisface por ser la señal deentrada positiva.

Para evaluar los tiempos necesarios por la señal )t ( X i para re-

correr el ciclo de histéresis se utilizan las relaciones (9.28.4) y (9.28.5), particularizadas en los valores extremos de los respectivos recorridos:

apag encd ent

11apag 1

1

ent encd 11i V V

V

RC 2T V T

RC

V

2

1V )T ( X −=⇒+==

V apag

V encd

V t o ( )

V t 1 ( )T 1

V S

− = 0t

T 2

V V S cc+ =




306

sustituyendo:

ccent

11 V

2

1

V

RC 2T = ......(9.28.10)

empleando la relación (9.28.5) y de forma similar se obtiene T 2 :

ent

cc

12 V

V

RC T =

......(9.28.11)

La frecuencia de la señal de salida se obtiene al invertir la ex-presión de su periodo, que no es más que la suma de T 1 y T 2 :

cc

ent

1ent

cc121

V

V

RC 2

1 f

V

V RC 2T T T =⇒=+=

9.29 GENERADOR CONTROLADO PORTENSIÓN II

Para el circuito de la figura 9.29.1, determinar la expresión parala frecuencia de las formas de ondas de salida. Todos los elementosque forman la estructura pueden ser considerados ideales y su alimen-tación simétrica.

Para unanálisis general dela estructura, lapodemos dividir endos bloques rela-cionados; el circui-to formado por 1 A

los tres transisto-

res y los cuatrodiodos constituyendos fuentes de co-rriente, cuyas sali-das son comple-mentarias, I y I − , FIGURA 9.29.1 GENERADOR CONTROLADO POR TEN-

SIÓN II.



307

que cargan o descargan el condensador C según la polaridad de la

salida de 3 A y la operación de la compuerta analógica constituida por

los cuatro diodos. A la derecha del condensador, el otro bloque, seencuentra el circuito formado por 2 A y 3 A . Observando la figura

9.21.1 se localizan tres trayectorias cerradas, dos de ellas que pode-mos considerar locales y el lazo donde se encuentran en cascada

2 A y

3 A , que se cierra por la compuerta de diodos. Nótese que la tensión

2V se propaga hacia el condensador como una corriente, por efecto

de operación de la compuerta de diodos; por lo tanto, esto es equiva-lente a multiplicar la tensión por una constante dimensional K , cuyas

dimensiones corresponden aΩ

1 . Reconociendo el amplificador 3 A

como estructura unidireccional podemos estudiar el comportamientodinámico del circuito empleando las relaciones (4.4.7) y (4.4.4):

sC

K

R R

R

sC

K

R R

R X

7 8

8

7 8

8d 3 −

+=−

+=

considerando K positiva, del polinomio característico de la estructurase tiene:

( )C

K

R

R R s0 R R K sC R

8

7 87 88

+=⇒=+−


00w

X 0

K

R R

R

0w X d 3

7 8

8d 3 <

=⇒−

+=

=

Dado los resultados anteriores, el comportamiento de la estruc-tura será no estable por estar ubicados los polos del polinomio carac-terístico en el semiplano derecho; y cuando 0w = presenta un compor-

tamiento lineal.

Analizando la estructura de la figura 9.29.1 se reconoce queposee un comparador, formado por el amplificador

3 A y las resisten-

cias asociadas 8 R y 7 R ; dado que los niveles de alimentación de los

AO son simétricos y estos son ideales, sus niveles de saturación se-

rán simétricos: CC S V V = .

Los niveles de conmutación del comparador se calculan pormedio de la relación (7.2.10), en donde a la tensión de salida del AO



308

se le asignan los dos posibles valores de saturación; para el circuito dela figura se tiene:

7 R8 R

8 R*0

7 R8 R8 R

*0i X

1 X X

+

+=

−−= ........(9.29.1)

evaluando (9.29.1), para los dos valores de saturación:−+

+=

+= S

7 8

8apag S

7 8

8encd V

R R

RV V

R R

RV

Dado que al evaluar el signo de (7.2.12), para el comparadorformado por 3 A , es negativo, el recorrido del ciclo de histéresis será

en el sentido horario, como se indica en la figura 9.29.2; donde se en-cuentra su característica de transferencia.

La red de realimentación externa esta formada por los amplifica-dores 1 A y 2 A , tres transistores y una compuerta analógica formada por

cuatro diodos. La red externa posee una entrada de tensión constantedenominada ent V , cuyo valor corresponde al divisor de tensión formado

por las resistencias 2 R , 1 R y la alimentación positiva. El amplificador 1 A ,

los tres transistores, las resistencias asociadas y la tensión ent V como

señal de entrada, constituyen dos fuentes de corriente complementa-rias, cuyas salidas son los colectores de 2Q y 3Q . Los cuatro diodos

forman una compuerta analógica, controlada por la salida del compara-dor y que permite la carga y descarga del condensador C a corrienteconstante. Estando la salida del comparador en saturación positiva losdiodos 1 D y 3 D se encuentran cor-

tados y tanto 2 D como 4 D condu-

ciendo; por lo tanto, el condensadorse cargará con la corriente suminis-trada por 2Q . Cuando la salida del

comparador es saturación negativa,el estado de los diodos es comple-mentario al anterior, y el condensa-dor se descargará con la corrientede salida de 3Q ; nótese que la salida

de las fuentes de corriente fluyen

X 0*

i

V apag V encd

V S

+

V S

−

FIGURA 9.29.2 CARACTERÍSTICASALIDA ENTRADA.



309

constantemente, cargan o des-cargan el condensador, de-pendiendo de la fuente, o circu-lan hacia la salida del compa-rador; en ningún caso se que-dan en circuito abierto. El am-

plificador 1 A , que se encuentrarealimentado negativamente,fija la corriente que circula por

5 R en base a la diferencia de

tensión entre la alimentación yla señal de entrada, o sea ent V ;

esta corriente corresponde conla que fluye hacia la carga; en

cambio, al ser 6 5 R R = y43 R R = el transistor 3Q posee

un comportamiento complementario a 2Q ; o sea, una fuente de co-

rriente que drena corriente desde la carga.

La expresión de la corriente de salida para cada fuente será:

) R R( R

RV

R

V V

R

V V

R

V V I

215

1cc

5

1 R

2 R

2 R

cccc

5

ent cc

5

2 E cc

2Q+

=

−

=−

=−

= +−

) R R( R

RV I

216

1cc3Q

+−=

El circuito equivalente de la red de realimentación externa

cuando la salida del comparador sea ccS *o V V X == + se muestra en la

figura 9.29.3; la salida del comparador polariza los diodos de tal formaque 1 D y 3 D se encuentran cortados, mientras que 2 D y 4 D condu-

ciendo; por lo tanto, el condensador se cargará con la corriente sumi-

nistrada por 2Q . Directamente se obtiene la expresión para 1i ) s( X :

s

CI

sC

1

s

1

) R R( R

RV ) s( X 1

215

1cc1i +

+=

de donde:

FIGURA 9.29.3 CIRCUITO EQUIVALENTE I.+= s

*o V X .

FIGURA 9.29.4 CIRCUITO EQUIVALENTE II.

X V o s*

= − .



310

1215

1cc1i CI t

) R R( C R

RV )t ( X +

+= ........(9.29.2)

Para el otro estado de la salida del comparador, ccS *o V V X −== − ,

los estados de los diodos se invierten y el transistor Q3 drena corriente

del condensador. El circuito equivalente de la red de realimentación

externa se encuentra en la figura 9.29.4. Directamente de la figura seobtiene 2i ) s( X :

s

CI

sC

1

s

1

) R R( R

RV ) s( X 2

216

1cc2i +

+−=

la expresión en el dominio del tiempo es:

2216

1cc2i CI t

) R R( C R

RV )t ( X +

+−= ........(9.29.3)

Las CI para cada uno de los recorridos horizontales se obtienenpor medio de las relaciones (9.29.2) y (9.29.3) evaluadas en cero y asig-nando el valor particular de 1com X − del recorrido horizontal considerado;

o sea, los niveles de encendido y apagado de la característica de entra-da del comparador. Las relaciones temporales serán:

apag 215

1cc1i V t

) R R( C R

RV )t ( X +

+= ........(9.29.4)

encd 216

1cc2i V t

) R R( C R RV )t ( X +

+−= ........(9.29.5)

Para comprobar las condiciones de funcionamiento de la es-tructura como generador de onda se pueden utilizar las relaciones(7.3.4) y (7.3.5) particularizadas para la estructura y los niveles deconmutación calculados anteriormente; también se debe considerarque el valor extremo de la tensión de salida del amplificador 2 A lo im-

pone su nivel de saturación.

Para la trayectoria superior del ciclo de histéresis:

apag encd S apag apag S 1comextmo V V SignV SignV V V Sign X X Sign −==−+=− ++−

........(9.29.6)

apag encd S 1comextmo V V V X X −≥=− +− ........(9.29.7)



311

De forma similar se obtienen las condiciones para el recorridoinferior:

encd apag S 1comextmo V V SignV Sign X X Sign −==− −− ..... (9.29.8)

encd apag S 1comextmo V V V X X −≥=− −− ....... (9.29.9)

Los resulta-dos indican que sesatisfacen las con-diciones impuestasde signo y magni-tud, por lo tanto, laestructura se com-porta como un ge-

nerador de ondasno sinusoidales.

Para eva-luar los tiemposnecesarios por laseñal )t ( X i para recorrer el ciclo de histéresis se utilizan las relaciones

(9.29.4) y (9.29.5), particularizadas en los valores extremos de los res-pectivos recorridos:

cc

apag encd

1

2151apag 1

215

1ccencd 11i

V V V

R ) R R( C RT V T

) R R( C R RV V )T ( X −+=⇒+

+==

cc

apag encd

1

216 2encd 2

216

1ccapag 21i

V

V V

R

) R R( C RT V T

) R R( C R

RV V )T ( X

−+=⇒+

+−==

sustituyendo los niveles de conmutación:

cc

S S

7 8

8

1

2151

V

V V

R R

R

R

) R R( C RT

−+ −

+

+=

cc

S S

7 8

8

1

216 2

V

V V

R R

R

R

) R R( C RT

−+ −

+

+=

La frecuencia de la señal de salida se obtiene al invertir la ex-presión de su periodo, que no es más que la suma de 1T y 2T :

−+ −+

+

+=

S S

cc

6 58

7 8

21

1

V V

V

) R R( R

R R

) R R( C

R f

V apag

V encd

V t 2 ( )

V t 1( )T 1

V V S cc

− =

t

T 2

V V S cc

+ =




312

Las dos formas de ondas de salida poseen las mismas caracte-rísticas temporales; la denominada )t ( V 1 , que corresponde con la sali-

da de 2 A , es la forma de onda de carga y descarga de un condensa-

dor a corriente constante, una onda triangular. La otra salida es la deun comparador; por lo tanto, será una onda rectangular. En la figura9.29.5 se encuentran las formas de ondas; para la realización del dibu-

jo se consideraron las condiciones de simetría que presenta la estruc-tura, tanto de la corriente de carga y descarga como de los niveles desaturación de los amplificadores

9.30 GENERADOR DE ESCALERA

Para el circuitode la figura 9.30.1,determinar la forma deonda en función deltiempo de )t ( V 0 . Los

O , el transistor 1Q y

los diodos pueden ser

considerados ideales;la alimentación de losamplificadores es si-métrica, entre ccV y

ccV − .

La estructura dela figura 9.30.1 se pue-de dividir en dos circui-

tos diferentes relacionados por medio del diodo 3 D . El circuito forma-do por el amplificador 1 A y los dispositivos asociados forman un gene-

rador de onda rectangular cuyo funcionamiento es similar al establecidoen el ejemplo 9.21; el funcionamiento del generador es tal que el periodode la forma de onda de salida y el intervalo de tiempo que se encuentraen el nivel alto son:

FIGURA 9.30.1 GENERADOR DE ESCALERA.



313

3 Ln RC T 3 Ln ) R R( C T 11211 =+= ∆ La parte no considerada de

la estructura se puede asociar conla operación de los AO 2 A , 3 A , el

transistor 1Q , los diodos 4 D , 5 D ,

6 D y el resto de los dispositivosasociado a sus terminales, todosellos relacionados. En esta parte selocalizan tres trayectorias cerradas,dos de ellas que podemos conside-rar locales y la formada por los tresamplificadores 2 A , 3 A y el transis-

tor 1Q ; la presencia del diodo 4 D en esta trayectoria impone que su

análisis debe realizarse con cada uno de los modelos del diodo. Reco-nociendo el amplificador 3 A como estructura unidireccional podemos

estudiar el comportamiento dinámico del circuito empleando las rela-ciones (4.4.7) y (4.4.4):

s RC

K

R R

R

s RC

1 K

R R

R X

equi87

8

equi87

8d 3 −

+=

−+

+=

donde K y equi R dependen del estado de 4 D . K es una constante

positiva, cuyo valor es unitario cuando el diodo conduce y mayor quela unidad cuando no conduce; en relación a equi R ésta puede tomar

dos valores: 6 equi R R = para el diodo conduciendo y 5equi R R = en caso

contrario. Nótese que por la forma que se encuentran interconectados

1Q y 4 D es imposible que ambos dispositivos se encuentren simultá-

neamente conduciendo o no conduciendo.

De la relación anterior, considerando lo expuesto y que 3 A

tiende a infinito, se tiene que las raíces del polinomio característico dela estructura serán las que satisfacen:

( ) ( )

equi8

87 87 equi8

RC

1

R

R R K s0 R R K s RC R

+=⇒=+−


X 0*

i

R

RV Z

8

7

V V S Z

+ =

V V S Z

− = −

− R

RV Z

8

7




314

( ) 00w

X A K R R

R

0w X d 32

87

8d 3 <

=⇒−+

+=

=

En consecuencia, el comportamiento de la estructura será noestable por estar ubicados los polos del polinomio característico en elsemiplano derecho y para 0w = presenta un comportamiento lineal;

por lo tanto, el comportamiento de toda la estructura se puede estudiarcomo se establece en el numeral 7.3

La parte no considerada de la estructura se puede asociar conun comparador de lazo cerrado que a su vez se encuentra realimenta-do por una estructura externa formada por 2 A , 1Q , 4 D , 5 R , 6 R y 2C .

El amplificador 3 A , las resistencias R , 7 R y 8 R , los diodos 5 D y 6 D

constituyen el comparador; cuyos niveles de saturación son simétricosde magnitud Z V ; por lo tanto, los niveles de conmutación también se-

rán simétricos; el recorrido del ciclo de histéresis será en sentido con-trario al reloj dado que al evaluar el signo de (7.2.12) resulta positivo;como se indica en la figura 9.30.2 donde se encuentra su característi-ca de transferencia.

Dado que el modulo de los niveles de saturación de 1 A son

mayores que los del comparador formado por 3 A , la condición de con-

ducción del diodo D3 la establece la salida del generador de onda rec-

tangular, )t ( V 1 ; el diodo se encontrará en conducción cuando el nivel

de )t ( V 1 sea saturación negativa.

La presencia del diodo 4 D en

la estructura externa que realimentaal comparador impone que su fun-cionamiento sea lineal a trozos. Porlo tanto, si la salida del comparadorse encuentra en su nivel alto, el cir-cuito equivalente de la red externaserá el indicado en la figura 9.30.3.Nótese que el diodo 4 D se encuen-

tra en conducción independiente delestado del diodo 3 D , en cambio el

transistor 1Q se encuentra polariza-

FIGURA 9.30.3 CIRCUITO EQUIVA-LENTE I. X V o Z

* = .



315

do inversamente. La expresión de la salida del amplificador 2 A ; o sea

1i ) s( X , que en estas condiciones corresponde con el recorrido hori-

zontal superior del ciclo de histéresis, será:

s

CI

s RC

1

s

X ) s( X 1

6 2

*o

1i +−=

en el dominio del tiempo:

16 2

Z 1i CI t RC

1V )t ( X +−= ....... (9.30.1)

Siempre que la salida delcomparador se encuentre en satura-ción negativa, Z V − , el diodo 4 D se

encuentra abierto independientemen-

te del estado del diodo 3 D . El tran-sistor 1Q se encuentra polarizado en

corte para los intervalos de tiempoque 3 D se encuentre conduciendo;

dado que la tensión de saturaciónnegativa de 1 A impone en el transis-

tor 1Q : Z S S G V V V −= − , que admitimos

menor que P V de 1Q ; en cambio, si

el diodo 3 D se corta 1Q se encuentra

polarizado con 0V S G = asegurando que por 5 R circule DSS I siempre

que el valor de 5 R satisfaga con: P 5 DSS Z V R I V >− . En estas condi-

ciones los valores de la tensión de salida del amplificador 2 A recorren

el tramo horizontal inferior del ciclo de histéresis; su expresión será:

s

CI

sC

1

s

I ) s( X 2

2

DSS 2i +=

22

DSS 2i CI t

C

I )t ( X += ....... (9.30.2)

El cambio de tensión a la salida de 2 A durante el tiempo que el

diodo 3 D se encuentre cortado por efecto de la salida en alto del ge-

nerador de onda rectangular será:

FIGURA 9.30.4 CIRCUITO EQUIVA-LENTE II. X V o Z

* = −



316

n1n1i1n11n1i1i CI )t ( X CI )t ( X )t ( X −−+−+− +−+=∆

considerando que las condiciones iniciales del intervalo n + 1 son lascondiciones finales del intervalo n se tiene:

1n1in1n1in1n1i1n1i1i )t ( X CI )t ( X CI )t ( X )t ( X )t ( X +−−−−−+− =+−++=∆

sustituyendo:

3 LnC RC

I t

C

I )t ( X 11

2

DSS

2

DSS 1i == ∆∆ ........(9.30.3)

El comparador formado por 3 A conmutará si se satisfacen las

relaciones (7.3.4) y (7.3.5), donde se interpretará el cambio en 1i )t ( X

producido durante n intervalos de tiempo de carga del condensador

2C , dado por (9.30.3), como el valor extmoi )t ( X en las relaciones:

apag encd apag 112

DSS 1comextmo V V SignV 3 LnC R

C

I nSign X X Sign −=

−=− −

........(9.30.4)

apag encd apag 112

DSS V V V 3 LnC R

C

I n −≥− ........(9.30.5)

Admitiendo la igualdad de la relación (9.30.5) se obtiene el núme-

ro n de intervalos requeridos para alcanzar la condición de conmutación:

1

2

17

8

DSS

Z

1

2

1 DSS

encd

C

C

3 Ln R

1

R

R

I

V

C

C

3 Ln R

1

I

V n == ........(9.30.6)

El tiempo que tarda la señal 1i )t ( X en alcanzar la conmutación

será:

211

2

17

8

DSS

Z 21

1

2

17

8

DSS

Z 211 R R

C

C

R

1

R

R

I

V 3 Ln R R

C

C

3 Ln R

1

R

R

I

V 3 Ln R RnT +=+=+=

........(9.30.7)Empleando la relación (9.30.1) se evalúa el tiempo requerido

por la salida del amplificador A2 en alcanzar la condición de conmuta-

ción del recorrido horizontal superior:



317

encd 26 2

Z 126 2

Z 12i V T RC

1V CI T

RC

1V )T ( X +−=+−=

sustituyendo y despejando:

6 27

8

2

RC R

R2T =

De forma similar a la empleada para el recorrido horizontal infe-rior se comprueban las condiciones de conmutación para el recorridosuperior; empleando la relación (9.30.1) y considerando que su valorextremo se encuentra acotado por el nivel de saturación del amplifica-dor:

encd apag encd S 1comextmo V V SignV V Sign X X Sign −=−=− −− ....... (9.30.8)

encd apag encd S 1comextmo V V V V X X −≥−=− −− ....... (9.30.9)

Los resultados indican que se satisfacen las condiciones im-puestas de signo y magnitud; por lo tanto, la estructura se comportacomo un generador de ondas, cuya forma se indica en la figura 9.30.5.

V V R

Rapag Z = − 8

7

V V R

Rapag Z = − 8

7

t

R C Ln1 1 3

V t o( )

R C Ln2 1 3

T n R R C Ln T = + +( )1 2 1 23

FIGURA 9.30.5 FORMA DE ONDA.



318

9.31 GENERADOR DE ONDAS DE DU-

RACIÓN VARIABLE

Para el circuito de la figura 9.31.1, determinar la duración mí-nima y máxima de los pulsos de salida. Puede considerar todos losdispositivos ideales, los diodos y el transistor poseen una tensión um-bral DV . La señal de entrada V R es una tensión que se puede conside-

rar constante, dado que la compo-nente alterna posee una frecuenciamuy baja comparada con la funda-mental de los pulsos de salida.

Directamente de la figura sereconoce que el funcionamiento de laestructura es a trozos. Los diodos D1 y

D2 se encuentran colocados de talforma que es imposible que se en-cuentren polarizados en estados com-plementarios; o sea, los dos se encon-trarán encendidos o apagados y sucondición dependerá de la salida de

A2. La condición de operación de Q1 dependerá de los diodos; cuando losdiodos conducen la salida de A2 tieneque ser menor que cero, y el transistorse encontrará activo; en cambio estarácortado cuando los diodos no condu-cen. Durante el transito de Q1 por lazona activa de operación, del estado

de corte al de conducción, la estruc-tura formada por Q1, A1 y A2 constituyeun comparador de lazo cerrado que asu vez se encuentra realimentadoexternamente mediante la asociaciónserie R1 y C ; el comparador formadoposee una entrada auxiliar V R, consi-

FIGURA 9.31.1 GENERADOR DE

ONDAS DE DURA-CIÓN VARIABLE.

FIGURA 9.31.2 COMPARADOREQUIVALENTE.



319

derada constante, que define sus nivelesde conmutación; dado el estado de con-ducción del transistor Q1, la señal de en-trada V R es invertida de signo por A1 yaplicada directamente en el puerto noinversor de A2 determinando directamente

el nivel de conmutación del comparadorequivalente. En la figura 9.31.2 se encuen-tra el esquema de la estructura en talescondiciones.

Cuando la salida de A2 es mayorque cero impone el estado de no conduc-ción de los diodos y corte en el transistorQ1; en estas condiciones, A2 y la asociación serie R1 y C forman una

estructura lineal cuya salida obedece a la relación de un amplificador:V A v vo = −+ −( ) ....... (9.31.1)

teniendo como tensión en el puerto no inversor la señal de entradaprocesada por el amplificador A1 y sus elementos asociados; o sea,en el puerto no inversor de A2 se tiene una señal igual a la señal deentrada. El circuito equivalente de la estructura en estas condicionesse encuentra en la figura 9.31.3

El análisis de la estructura partirá en el momento que se en-

cienda la alimentación en el instante t = 0 ; por lo tanto, el condensadorse encuentra descargado, la tensión aplicada al puerto inversor de A2 será igual a la señal de entrada; por medio de la relación (9.31.1) seobtiene tensión de salida, que tiende a V S

+ por ser positiva la señal de

entrada. Los diodos y el transistor se encuentran cortados; el conden-

sador C que se encuentra descargado se cargara según:

)

t

1( V

t

B A )t ( V C 1 R

S C 1 R

111C ee −

+−

−=+= ....... (9.31.2)

Transcurrido un tiempo denominado T 1 el condensador alcan-za la tensión aplicada al puerto no inversor y la salida de A2 cambiade estado, imponiendo que los diodos y el transistor entren en con-ducción; por lo tanto, la estructura se comportará como un compara-dor de lazo cerrado como el indicado en la figura 9.31.2.

FIGURA 9.31.3 ESTRUCTURALINEAL EQUI-VALENTE.



320

El intervalo de tiempo T 1 se evalúa al igualar las tensiones enlos puertos de A2, o sea, por medio de la relación (7.3.14) adecuada ala presente condición:

RS

S 11

V V

V LnC RT

−=

+

+

........(9.31.3)

El pulso positivo obtenido a la salida de A2 corresponde al com-portamiento inicial de la estructura; el cual no se repetirá puesto quelas condiciones iniciales del condensador son diferentes a las adquiri-das durante el funcionamiento en régimen permanente, como se esta-blece en el numeral 7.3.

Partiendo de una condición inicial de tensión, V R, el condensa-dor tenderá a cargarse a la tensión V S

− ; de donde se concluye que la

realimentación externa al comparador satisface la condición de signo;

por lo tanto, al alcanzar el nivel de apagado, impuesto por la salida de A1 se satisface la condición de magnitud; dando como resultado laconmutación de la salida de A2. El primer intervalo de tiempo del régi-men permanente será el requerido por la señal X i, realimentada alcomparador, para alcanzar el valor de conmutación; la expresión tem-poral de la variable realimentada es:

C 1 RS RS i

t

)V V ( V )t ( X e−

−− −+= ........(9.31.4)

Al igualar (9.31.4) con la tensión aplicada al puerto no inversorde A2, - V R, se obtiene la duración del primer semiperíodo de régimenpermanente:

RS

S R

1

S R

S R12

V V

V V LnC R

V V

V V LnC RT

−

+=

−−

−=

−

−

−

−

........(9.31.5)

Una vez ocurrida la conmutación anterior, los diodos y el tran-sistor cambian de estados; la salida de A1 cambia de signo siendo V R yla estructura equivalente será lineal e indicada en la figura 9.31.3; su

salida será +S V al considerar las tensiones de los puertos de entrada

del amplificador y efectuar el limite de la relación (9.31.1) cuando laganancia del amplificador tiende a infinito. La variable realimentada al

puerto no inversor de A2 tiende a +S V partiendo del valor - V R; por lo



322

la onda seno adquiera su mínimo valor, -1; y el máximo cuando sea 1:

1V

1V LnC R2T

S

S 1 MIN P

−

+=

+

+

........(9.31.9)

3V

3V LnC R2T

S

S 1 MAX P

−

+=

+

+

......(9.31.10)

9.32 ESTRUCTURA MULTIPLEMENTE

REALIMENTADA I. COMPORTA-

MIENTO.

Para el circuitode la figura 9.32.1,donde puede conside-rar los amplificadoresideales y su alimenta-ción simétrica. Deter-minar su comporta-miento y la forma de

onda de V o(t) al cam-biar una de las resis-tencias 2 R o 3 R , con

relación a las otrasresistencias que soniguales y de valor R .

En la estructura de la figura se reconocen cinco lazos de reali-mentación. Tres de los cuales se pueden considerar locales, los pro-

pios de los tres AO ; y los otros dos lazos incluyen dos AO ; uno deellos, formado por los circuitos asociados a los amplificadores 1 A y 2 A ;

el otro lazo abarca a 2 A y el integrador constituido por 3 A y sus ele-

mentos asociados. Para el estudio del comportamiento dinámico de laestructura tomaremos como base el propio AO 2 A y consideramos las

relaciones (4.4.7) y (4.4.4). De (4.4.7):

FIGURA 9.32.1 ESTRUCTURA MULTIPLEMENTE RE-ALIMENTADA. COMPORTAMIENTO.



323

++

+−

+−−=−

43

4

1

2

43

3

6 5

52i pq

R R

R

R

R

R R

R

R R

R

sC R

1 ) s( A ), s( X A1 )( T 1

considerando que 2 A tiende a infinito, se tiene que las raíces del poli-

nomio característico de la estructura serán las que satisfacen:

( ) ( ) ( )( )( ) 0 sC R R R R R R

sC R R R R R sC R R R R R R R R R

6 5431

6 5426 5315431 =++

+++−+−

de donde:

( )( )

( )3142

431

6 5

5

R R R R

R R R

R R

R

C R

1 s

−

+

+=

sustituyendo el valor de las resistencias que son iguales:

( )32

3

R R

R R

2

1

C R

1 s

−

+= ....... (9.32.1)

De la relación anterior se puede concluir que el comportamien-to de la estructura dependerá del valor relativo asignado a 2 R o 3 R ,

dados que sus valores determinan la ubicación de los polos del poli-nomio característico.

Será estable; o sea un amplificador, cuando:

=>

=<

R Rcon R R

R Rcon R R

23

32 ....... (9.32.2)

La estructura tendrá un comportamiento no estable cuando laasignación sea:

=≤

=≥

R Rcon R R

R Rcon R R

23

32 ....... (9.32.3)

En aquellos casos que el comportamiento sea el de un amplifi-cador, se satisface (9.32.2), la expresión para ganancia dependerá delnodo donde se aplique la entrada. Una vez establecida la entrada pro-

cediendo como lo establece el capítulo 4 se obtiene la expresión parala ganancia. Admitiendo que la señal de entrada es una fuente de ten-sión aplicada en el extremo izquierdo de 5 R , asignando R R3 > y mo-

delando 2 A como estructura unidireccional, se tiene:



324

6 5

6 d ioi

R R

R X 0 X

+==

43

4

1

2

43

3

6 5

5d 3o3

R R

R

R

R

R R

R

R R

R

sC R

1 X 1 X

++

+−

+−==


( )( )

6 5

5

4231

4316 5

5

4231

431

d 3

d i

2i

o

R R

R

R R R R

R R R

sC R

1 s

s

R R

R

R R R R

R R R

X

X

AV

V

+−

+++−

+=−=

∞⇒

de donde, sustituyendo:

R R

R R

2

1

sC R

1 s

s

R R

R R

2

1

V

V

3

33

3

i

o

−

++−

+=

Cuando se le asigne a las resistencias 2 R y 3 R un valor tal que

satisfaga la relación (9.32.3), el comportamiento de la estructura seráno estable. En estos caso; sí la estructura cumple con los requisitosexigidos en el numeral 7.3 su comportamiento dinámico se podrá es-tudiar por lo establecido en dicho numeral. O sea, comportamiento noestable y al considerar 0w = la estructura satisfaga la relación (4.4.4);

adicionalmente que toda la estructura se pueda dividir en dos bloquesrelacionados. Uno de estos bloques debe ser un comparador de lazo

cerrado y el otro presentar un comportamiento lineal dependiente defrecuencia.

Admitiendo que (9.32.3) se satisface por ser R R3 ≤ y R R2 = , al

aplicar la relación (4.4.4) se tiene:

0 A

A R R

R

R R

R

R

R

R R

R

0w X

33

6 5

5

43

4

1

2

43

3d 3 <

∞⇒+−

++

+−=

=

relación que se cumple para cualquier valor asignado a 3 R , por tender

la ganancia del operacional a infinito; en consecuencia la estructurasatisface la condición de linealidad para 0w = .

El circuito de la figura 9.32.1 se puede dividir en dos bloquesinterrelacionados; uno de ellos el integrador formado por 3 A , que re-

alimenta a la estructura que incluye a los AO 1 A y 2 A e indicada en la



325

figura 9.32.2. Por ser el integrador un bloque lineal, dependiente de lafrecuencia, bastará con demostrar que el comportamiento del otro blo-que corresponde con un comparador de lazo cerrado para satisfacer loexigido en el numeral 7.3. Modelando 2 A como estructura unidireccio-

nal se tiene:

0 R R

R

R

R

R R

R

X 43

4

1

2

43

3

d 3 >+++−=

de donde, la relación anterior se satisface sí:

3142 R R R R > ....... (9.32.4)

Por lo tanto, para el valorasignado a 3 R , se cumple la con-

dición de operación para un com-parador de lazo cerrado y por con-

siguiente el análisis del comporta-miento dinámico de toda la estruc-tura se puede realizar como esta-blece el numeral 7.7.3. Este com-parador es una estructura múlti-plemente realimentada, en la cuallos bloques que la forman puedenpresentar saturaciones propias; ypor lo tanto, la estructura presentar un funcionamiento a trozos, inter-

valos de operación lineales y otros no lineales

Dado que los niveles de saturación de los amplificadores 1 A y

2 A son simétricos y que además los valores de 1 R y 2 R son iguales,

para determinar los niveles de conmutación se puede emplear direc-tamente la relación (7.2.10); de otra forma, para estos cálculos se de-bería considerar que la contribución de 1 A en la tensión del puerto

inversor de 2 A se encuentra limitada a la saturación del propio amplifi-

cador 1 A , nótese que esta contribución no depende de la ganancia de la

etapa. Para aplicar (7.2.10) previamente de la figura 9.32.2 se calculanlos parámetros q p X :

R R

R R

R R

R

R

R

R R

R X

2

1

R R

R X

3

3

43

4

1

2

43

3d 3

6 5

5d i

+

−=

++

+−==

+=

FIGURA 9.32.2 BLOQUE FORMADO

POR 1 A Y 3 A .



326

aplicando (7.2.10) se obtiene:

2 R R

R R X

X

X X X

3

3*o

d i

d 3*oi

+

−−=−=

Sustituyendo los dos posibles valores de *o X se tienen los nive-

les de conmutación:

+

−−=

+

−=

+

+

R R

R RV 2 X

R R

R RV 2 X

3

3S apag

3

3S encd

........(9.32.5)

Al estar asociada la entrada al comparador, realimentación ex-terna, al puerto no inversor de 2 A , el signo de (7.2.12) resulta positivo;

en consecuencia, el ciclo de histéresis se recorre en sentido contrariodel reloj, como lo indica la característica de transferencia de la figura9.32.3.

La evolución temporal de lasalida de 2 A , comportamiento di-

námico de la estructura de la figura9.32.1, se comprueba por medio delas relaciones (7.3.4) y (7.3.5), paralos dos recorridos horizontales delciclo de histéresis de la figura9.32.3. Dado que el valor extremode la tensión de salida del integra-dor se encuentra acotada por susaturación; para el recorrido hori-zontal superior se tiene:

+

−−=

+

−−=− +−−

− S 3

3

3

3S S 1comextmo V

R R

R R2Sign

R R

R RV 2V Sign X X Sign

........(9.32.6)

+−−−

+

−−≥

+

−−=− S

3

3

3

3S S 1comextmo V

R R

R R2

R R

R RV 2V X X ........(9.32.7)

De forma similar se procede para obtener las expresiones co-rrespondientes a la trayectoria inferior del ciclo de histéresis:

X 0*

i

V apag V encd

V S

+

V S

−




327

+

−=

+

−+=− +++

− S 3

3

3

3S S 1comextmo V

R R

R R2Sign

R R

R RV 2V Sign X X Sign

....... (9.32.8)

+++−

+

−≥

+

−+=− S

3

3

3

3S S 1comextmo V

R R

R R2

R R

R RV 2V X X ....... (9.32.9)

Como se satisfacen las cuatro condiciones impuestas de signoy magnitud la salida )t ( V o será una señal que evoluciona periódica-

mente. Considerando la función de transferencia del integrador y apli-cando la relación (7.3.2) se obtiene la expresión general para X t i ( ) :

1com*0i V t

C R X )t ( X −+−=

1 ..... (9.32.10)

Dadas las con-diciones de simetríaque presentan tanto losniveles de saturaciónde los amplificadorescomo los de conmuta-ción del comparado, laforma de onda de sali-da, )t ( V o , es una onda

periódica cuadrada depromedio nulo; por lotanto, )t ( X i será su

integral invertida de signo, resultando una onda triangular de promedionulo cuya amplitud corresponde con el nivel de conmutación del com-

parador y desfasada 180 0 con relación a la onda cuadrada; en la figura

9.32.4 se presenta un esquema de ambas formas de onda. Particulari-zando la relación (9.32.10) para el recorrido horizontal superior, equiva-

lente a (7.3.7), se determina el semiperíodo de las formas de ondas:

apag 1S

encd 1i V t C R

V V )t ( X =−=

+

sustituyendo los niveles de conmutación, dados por (9.32.5), y despejando el tiempo que tarda señal )t ( X i en recorrer el segmento supe-

T 1

V apag

V encd

T 2

X i(t)

V a(t)V S

+

V S −

t

FIGURA 9.32.4 FORMAS DE ONDAS DE LAS SALIDAS.PARA R R3 > y R R2 =



328

rior del ciclo de histéresis:

R R

R RC R2

V

C R

R R

R RV 2

V

C R )V V ( t

3

3

S 3

3S

S

apag encd 1+

−=

+

−=−=

++

+

Por la simetría que posee la forma de onda de salida su perío-do es:

R R

R RC R4t 2T 3

31

+−== ........(9.32.9)

En aquellos casos que se desee obtener de la estructura ungenerador de onda, cumpliendo con la otra alternativa establecida porla relación (9.32.3); o sea R R2 ≥ con R R3 = , Para estos valores el

comparador de lazo cerrado se encuentra formado por una estructuraque posee dos amplificadores múltiplemente realimentados; la des-igualdad anterior es equivalente a forzar que la ganancia de lazo de la

cascada formada por los amplificadores 1 A , 2 A y sus elementos aso-

ciados, sea mayor que la unidad; o sea:

1 K R

R

R

KR

R

R

R

R

3

4

1

2 >==

siendo K un número positivo mayor que la unidad. Considerando quelos niveles de saturación de los dos amplificadores son iguales y reali-zar tal asignación, el amplificador formado por 1 A tendrá una ganancia

cuyo modulo es superior a la unidad, presentará un comportamientotemporal tal que el lazo de realimentación del cual el forma parte seanula; imponiendo que la cascada formada por los dos amplificadorespresente un comportamiento lineal. Este lapso de tiempo de compor-tamiento lineal corresponde con el tiempo que le lleve a la salida de

1 A en alcanzar justo el nivel de tensión para provocar en la salida de

2 A la saturación; en esta condición de operación lineal coinciden las

tensiones en los puertos del amplificador 2 A . Para este nivel de la

salida de 2 A , el lazo de realimentación se cierra nuevamente y ocurrela conmutación. Adviértase que por ser la salida de 2 A el nivel satura-

ción, la salida de 1 A tiende a un valor que sobrepasa dicho nivel, con-

dición que no puede ocurrir ya que el valor de salida se encuentra aco-tado por la propia saturación de 1 A . Por todo lo dicho anteriormente la



329

estructura tendrá uncomportamiento atrozos; similar almostrado en la figu-ra 9.32.5, donde seencuentra un es-

quema de las for-mas de ondas de lastensiones en cuatronodos de la estruc-tura: los puertos deentrada y la salidadel amplificador 2 A ,

así como también laseñal de salida delintegrador, denomi-nada i X .

Dado que los niveles de saturación de los amplificadores sonsimétricos y además los valores de 1 R y 2 R no son iguales, para de-

terminar los niveles de conmutación se debe tomar en consideraciónque la estructura será un comparador cuando el bloque formado por

1 A salga de saturación; o sea, que el nivel de la señal a su entrada

sea justa la necesaria para colocar su salida al borde de la zona lineal,nivel de saturación. Por lo tanto la amplitud de la salida del compara-dor que se desea modelar será:

2

1S

*o

R

RV X +±= ..... (9.32.10)

De la figura 9.32.2, identificando a 2 A como unidireccional se

obtienen los parámetros q p X :

43

3

43

4

1

2d 3

R R

R

R R

R

R

R X

+−

+=

6 5

5d i

R R

R X

+=

Sustituyendo los valores de las resistencias, considerando(9.32.10) y aplicado (7.2.10 ) se tiene que los niveles conmutación son:

FIGURA 9.32.5 FORMAS DE ONDAS DE LAS SALIDAS R R2 ≥ Y R R3 =



330

2

2S

5

6 5

431

3142S

d i

d 3*ocomt i

R

R RV

R

R R

) R R( R

R R R RV

X

X X X

−=

+

+

−±=−= ++

m

por lo tanto:

−−=

−=

+

+

2

2S apag

2

2S encd

R R RV X

R

R RV X

......(9.32.11)

Dado el comportamiento a trozos de la estructura su compor-tamiento dinámico abarca los intervalos de tiempo denominados aT y

bT . El análisis del comportamiento dinámico partirá al inicio del interva-

lo denominado aT . Durante este tiempo el amplificador 2 A se encuen-

tra saturado, fuera de la zona lineal; o sea, += S o V V . Considerando el

ciclo de histéresis, para tal nivel de la tensión de salida el comporta-miento de la estructura se encontrará recorriendo la trayectoria supe-rior del ciclo; en estas condiciones la salida del integrador será:

sS

i CI sC R

1

s

V ) s( X +−=

+

en el dominio tiempo se tiene:

2

2S S encd S i

R

R RV t

C R

1V X t

C R

1V )t ( X

−+−=+−= +++ ......(9.32.12)

El intervalo de operación correspondiente a aT finaliza cuando

el amplificador 2 A se encuentra justo en el borde de la zona lineal; por

lo tanto, el intervalo terminará en el momento que las tensiones en lospuertos de entrada de 2 A sean iguales. Durante todo el intervalo aT la

tensión en el puerto inversor del amplificador 2 A es:

) R R(

R R

V

R R

RV

R R

RV 43

43

S

43

4S

43

3S v −

+

=

+

+

+

=−

+−+ ......(9.32.13)

Sustituyendo los valores de las resistencias en la relación ante-rior se tiene que la tensión en el puerto inversor del amplificador esnula para todo el intervalo aT . La expresión para aT se obtiene em-

pleando las relaciones (9.32.12) y (9.32.13) e imponer que las tensio-nes en los puertos sean iguales:



331

) R R( R2

V

R

R RV aT

C R

1S V

R2

RS

2

2S vv −

−+

−−−=+

++ =

⇒

de donde:

2

2a

R

R RC RT

−= ..... (9.32.14)

Durante el lapso detiempo bT , que )t ( V o es

variable, ver figura 9.32.5, elfuncionamiento de la estruc-tura corresponde con lacondición en la cual el lazode realimentación del circui-to de la figura 9.32.2 se inte-rrumpe; por lo tanto, no seráun comparador. El amplifi-cador 1 A permanece en esta

condición hasta que )t ( V o

disminuya de valor y alcance el nivel establecido por la relación(9.32.10); la estructura formada por 2 A y 3 A constituyen un amplifica-

dor realimentado, cuya entrada es la salida de 1 A , que es −S V como se

indica en la figura 9.32.6. Adicionalmente, para determinar la expre-sión de )t ( V o valida para el intervalo bT se debe considerar que el

integrador posee condiciones iniciales, las cuales corresponden con elvalor que toma la salida de 3 A al final del intervalo aT , nivel de tensión

expresado la relación (9.32.12) evaluada en aT t = ; por lo tanto:

−−

=−

+−= +++a

2

2S

2

2S aS T T

C R

1

R

R RV

R

R RV T

C R

1V CI

b

De la figura, identificando a 2 A como unidireccional se obtie-

nen los parámetros q p X :

43

4d i

R R

R X

+−=

6 5

5CI d i

R R

R X

Tb +=−

43

3

6 5

5d 3

R R

R

R R

R

sC R

1 X

+−

+−=

FIGURA 9.32.6 BLOQUE LINEAL FORMADO

POR 2 A Y 3 A .



332

sustituyendo los valores de las resistencias:

2

1 X d i −=

2

1 X

TbCI d i =−

+−= 1 sC R

1

2

1 X d 3

como ∞⇒2 A :

d 3TBd iTbd iS o

X 1 X

sCI X

sV ) s( V

+−= −

−

por lo tanto:

1 sC R

sC R2

2

1T

C R

1

R

R R

s

V

2

1

s

V ) s( V a

2

2S S o

+

−−

+−=+−

sustituyendo aT por el valor expresado en (9.32.14) y simplificando:

C R1 s

1

V ) s( V S o +−=

−

)

que en el dominio tiempo:

C R

t

V )t ( V eS o

−

−= − ......(9.32.15)

La duración de bT se tiene al imponer que la relación anterior

sea igual al nivel establecido por (9.32.10):

1

2b

b

S 2

1S

R

R LnC RT

C RT

V R

RV e =⇒

−−=− −−

sustituyendo valores:

R

R LnC RT 2

b = ......(9.32.16)

Tomando en cuenta la simetría de los niveles de saturación de

los amplificadores, el periodo de )t ( V o será el doble de la suma lostiempos establecido por (9.32.14) y (9.32.16):

) R

R Ln

R

R R( C R2 )T T ( 2T 2

2

2ba +

−=+= ......(9.32.17)

En general, cuando se tiene un comparador de lazo cerrado



333

formado por una estructura múltiplemente realimentada, que poseados o más amplificadores interrelacionados, el circuito tendrá un com-portamiento a trozo; cuya representación corresponderá con los nive-les de saturación y adicionalmente segmentos en cuales el funciona-miento de la estructura es lineal. Para obtener una forma de onda rec-tangular como salida del comparador, es recomendable satisfacer

(9.32.2) con las resistencias asociadas al amplificador donde se definela salida del comprador; en este caso particular el amplificador 2 A . Un

esquema de la forma de onda a la salida de 2 A en tales condiciones

se encuentra en la figura 9.32.4, En caso contrario, cuando se satisfa-cer (9.32.2) con las resistencias asociadas a otro amplificador, dondeno se encuentra definida la salida, la forma de onda de salida )t ( V o

posee un intervalo de tiempo que se encuentra relacionada con la for-ma de onda )t ( X i ; para este caso particular, funcionamiento lineal de

2 A y las resistencias asociadas. Nótese que durante ese lapso detiempo 2 A y 3 A forman un amplificador realimentado que tiene como

entrada un nivel constante, la saturación de 1 A .

9.33 ESTRUCTURA MULTIPLEMENTE

REALIMENTADA II. COMPORTA-

MIENTO.

Para el circuito de la figura 9.33.1, donde puede considerar losamplificadores ideales y su alimentación simétrica. Determinar la for-ma de onda de )t ( V o para diferentes valores de 6 R con relación a R .

Los valores de las resistencias son: R R R R 7 51 === ; 2 R R3 = y

R2 R R 42 == .

En la estructura de la figura se reconocen tres lazos de reali-mentación que se pueden considerar locales, los propios de los tres AO ; y otros dos lazos que incluyen dos AO ; uno de ellos, formado por

los circuitos asociados a los amplificadores 1 A y 2 A ; el otro lazo abar-



334

ca a 2 A y el integrador constituido por 3 A y sus elementos asociados.

Para el estudio del comportamiento dinámico de la estructura tomare-mos como base el propio 2 A identificándolo como una estructura unidi-

reccional y consideramos las relaciones (4.4.7) y (4.4.4); de (4.4.7):

++

+−

+−

+−=−

21

2

5

6

21

1

43

4

43

3

2i pq R R

R

R

R

R R

R

R R

R

sC R

1

R R

R ) s( A ), s( X A1 )( T 1

como la ganancia de 2 A tiende a infinito, las raíces del polinomio ca-

racterístico de la estructura serán:

( )( ) ( )( )516 2432153

5421

R R R R R R R R R R

R R R R

C R

1 s

−+++

+=

sustituyendo los valores de la resistencias:

R2 R10 R12

C R1 s

6 −= ........(9.33.1)

De la relación anterior se puede concluir que el comportamien-to de la estructura dependerá del valor relativo asignado a 6 R . Será

estable, un amplificador, cuando R51 R6 < , por estar ubicados los

polos del polinomio caracterís-tico en el semiplano izquierdo;y no estable cuando se impon-ga que R51 R6 ≥ .

El comportamiento de laestructura cuando R51 R6 < se

realiza como se establece en elnumeral 4.3 para una estructu-ra múltiplemente realimentada.

Cuando se le asigne a

6 R un valor tal que satisfaga ladesigualdad R51 R6 ≥ el com-

portamiento de la estructuraserá no estable. En estos caso;sí la estructura cumple con losrequisitos exigidos en el nume-

FIGURA 9.33.1 ESTRUCTURA MULTIPLE-MENTE REALIMENTADA II.COMPORTAMIENTO.



335

ral 7.3 su comportamiento dinámico se podrá estudiar por lo estableci-do en dicho numeral. O sea, ser no estable su comportamiento y quetoda la estructura satisfaga la relación (4.4.4) al tomar 0w = ; y que

simultáneamente se pueda dividir la estructura en dos bloques relacio-nados. Uno de estos bloques debe ser un comparador de lazo cerradoy el otro presentar un comportamiento lineal dependiente de frecuen-

cia.

Para el amplificador 2 A ; al aplicar la relación (4.4.4) se tiene:

0 A

A R R

R

R R

R

R

R

R R

R

R R

R

0w X

33

43

4

21

2

5

6

21

1

43

3d 3 <

∞⇒+−

++

+−

+=

=

relación que se satisface para cualquier valor asignado a 6 R , por ten-

der la ganancia del operacional a infinito.

El circuito de la figura9.33.1 se puede dividir en dosbloques interrelacionados; unode ellos el integrador formadopor 3 A , que realimenta a la es-

tructura que incluye a los AO 1 A

y 2 A e indicada en la figura

9.33.2. Por ser el integrador un

bloque lineal dependiente de lafrecuencia, bastará con demos-trar que el comportamiento delotro bloque corresponde con uncomparador de lazo cerradopara satisfacer lo exigido. De la figura 9.33.2, identificando 2 A como

estructura unidireccional se tiene:

521

6 251

43

3

21

2

5

6

21

1

43

3d 3

R ) R R(

R R R R

R R

R0

R R

R

R

R

R R

R

R R

R X

+

−>

+

⇒>

+

+

+

−

+

=

al sustituir los valores de las resistencias:

5

R R

R3

R2 R

R22 R

2 R6

6 >⇒−

>+

FIGURA 9.33.2 BLOQUE COMPARADOR.



336

Por lo tanto, para el valor asignado a 6 R , se satisface la condi-

ción de operación de la estructura como un comparador de lazo cerra-do y por consiguiente el análisis del comportamiento dinámico de todala estructura se puede realizar como establece el numeral 7.7.3. Parael análisis dinámico se debe considerar que el comparador se encuen-tra formado por un circuito múltiplemente realimentado, que posee

bloques cuyas fuentes controladas entran en saturación de maneraindependiente una de la otra, causando un comportamiento a trozosde toda la estructura.

Dado que los niveles de saturación de los amplificadores 1 A y

2 A son simétricos y además que los valores de 5 R y 6 R no son igua-

les, para determinar los niveles de conmutación se debe tomar enconsideración que la estructura será un comparador cuando el amplifi-

cador formado por 1 A salga de saturación; o sea, que el nivel de laseñal entrada sea justa la necesaria para tener a su salida saturación.Por lo tanto, La amplitud de la salida del comparador que se deseamodelar será:

6 S

6

5S

*0

R

RV

R

RV X

++ ±=±= ........(9.33.2)

Directamente de la figura 9.33.2 se tiene que:

51

R3 R R2

R R R

R ) R R( R R R R X

54

R3 R R X 6

43

3

521

516 2d 3

4

4d i +−=

++

+−==

+=

aplicando (7.2.10) se obtienen:

6

6 S

6

6 S

d i

d 3*oi

R12

R2 R10V

4

5

5

1

R3

R R2

R

RV

X

X X X

−=

+−

=−= ++mm

de donde, los niveles de conmutación son:

−−=

−=

+

+

6

6 S apag

6 6 S encd

R12

R2 R10V X

R12

R2 R10V X

........(9.33.3)

Por estar asociada la entrada al comparador, realimentación



337

externa, al puerto no inversor de

2 A , el signo de (7.2.12) resulta posi-

tivo; por lo tanto, el ciclo de histére-sis se recorre en sentido contrariodel reloj. La característica de trans-ferencia se indica el la figura 9.33.3.

La evolución temporal de lasalida de 2 A , comportamiento di-

námico de la estructura de la figura9.33.1, se comprueba por medio delas relaciones (7.3.4) y (7.3.5), paralos dos recorridos horizontales del ciclo de histéresis de la figura9.33.3. Dado que el valor extremo de la tensión de salida del integra-dor se encuentra acotada por su saturación; para el recorrido horizon-tal superior se tiene:

−

−=

−

−=− ++−−

6

6 S

6

6 S S 1comextmo

R12

R2 R10V 4Sign

R12

R2 R10V 2V Sign X X Sign

....... (9.33.4)

6

6 S

6

6 S S 1comextmo

R12

R2 R10V 4

R12

R2 R10V 2V X X

−−≥

−−=− ++−

− ... (9.33.5)

De forma similar se obtienen las expresiones para la trayectoriainferior del ciclo de histéresis:

−

=

−

+=− +++−

6

6 S

6

6 S S 1comextmo

R12

R2 R10V 4Sign

R12

R2 R10V 2V Sign X X Sign

....... (9.33.6)

6

6 S

6

6 S S 1comextmo

R12

R2 R10V 4

R12

R2 R10V 2V X X

−≥

−+=− +++

− ....... (9.33.7)

Como se satisfacen las cuatro condiciones impuestas de signo

y magnitud, la salida )t ( V o será una señal que evoluciona periódica-mente. Un esquema para la forma de onda de la tensión en variosnodos de la estructura se encuentra en la figura 9.33.4; el comporta-miento dinámico de la estructura es a trozos y abarca los intervalos detiempo denominados aT y bT ; nótese que la salida del amplificador 1 A

es simplemente una onda rectangular relacionada con )t ( V o . El análi-

X 0*

i

V apag V encd

V S

+

V S

−




338

sis del comportamientodinámico partirá al iniciodel intervalo denomina-do aT . Durante este

intervalo el amplificador

2 A se encuentra satu-

rado, fuera de la zona

lineal; o sea, += S o V V .

Para tal nivel de la ten-sión de salida, el com-portamiento de la es-tructura se encontrarárecorriendo la trayecto-ria superior del ciclo de

histéresis; la salida del integrador en estas condiciones es:

sS

i CI sC R

1

s

V ) s( X +−=

+


6

6 S S encd S i

R12

R2 R10V t

C R

1V X t

C R

1V )t ( X

−+−=+−= +++ ........(9.33.8)

El intervalo de operación correspondiente a aT finaliza cuando

el amplificador 2 A se encuentra justo en el borde de la zona lineal; por

lo tanto, el intervalo terminará en el momento que las tensiones en lospuertos de entrada de 2 A sean iguales. Durante todo el intervalo aT la

tensión en el puerto inversor del amplificador 2 A es:

3

1V ) R2 R(

R3

V ) R R(

R R

V

R R

RV

R R

RV S

S 21

21

S

21

2S

21

1S v +

++−+ −=−=−

+=

++

+=−

........(9.33.9)

La tensión en el puerto no inversor será la contribución de lasalida del integrador y la del propio amplificador 2 A :

5

1V

5

4

R12

R2 R10V t

C R

1V

R R

RV

R R

R )t ( X S

6

6 S S

43

3S

43

4iv ++++ +

−

+−=+

++

=+

......(9.33.10)

FIGURA 9.33.4 FORMAS DE ONDAS PARA R51 R6 ≥



339

La expresión para aT se obtiene empleando las relaciones (9.33.9)

y (9.33.10) e imponer que las tensiones en los puertos sean iguales:

3

1V

5

1V

5

4

R12

R2 R10V T

C R

1V S S

6

6 S aS

++++ −=+

−

+−

de donde:

+−

=3

2

R12

R2 R10C RT

6

6 a ..... (9.33.11)

Al finalizar el intervalo aT el

amplificador 2 A pasa a operación

lineal y se mantiene en esta condi-ción hasta finalizar el semi periododel comportamiento dinámico de la

estructura; o sea, todo el intervalobT . Durante el funcionamiento lineal

de 2 A , el circuito formado por 2 A y

el integrador constituyen una estruc-tura lineal realimentada con unaentrada constante, el nivel de satu-ración de 1 A , que para el recorrido

superior del ciclo de histéresis es −S V , como se indica en la figura 9.33.4.

Adicionalmente se debe considerar que el integrador posee condicionesiniciales; las cuales corresponden al valor de su salida al finalizar el inter-valo anterior, aT , y su valor se obtiene evaluando (9.33.8) en aT t = :

−−

=−

+−= +++a

6

6 S

6

6 S aS T T

C R

1

R12

R2 R10V

R12

R2 R10V T

C R

1V CI

b

Directamente de la figura 9.33.5, reconociendo a 2 A como uni-

direccional y considerando la condición inicial que posee el condensa-

dor, se calculan los parámetros q p X :

3

1

R R

R X

21

2d i −=

+−=

5

1

R R

R X

43

4CI d i =

+=−

sC R15

12 sC R2

sC R

1

5

4

3

1

5

1

R R

R

R R

R

sC R

1

R R

R X

21

1

43

4

43

3d 3

+−=−−=

+−

+−

+=

FIGURA 9.33.5 ESTRUCTURA LINEAL.



340

considerando que la ganancia de 2 A tiende a infinito se tiene:

d 3CI id id

S 0

X

1 X

s

CI X

s

V ) s( V

+−= −

+

12 sC R2

sC R15

T C R

1

R12

R2 R10

s

V

3

1

s

V

) s( V a6

6 S S o +

−

−

+−=

++

)C R12 s( 2

15V T

C R

1

R12

R2 R10

3

1 ) s( V S a

6

6 o

+

−−

+−= +

sustituyendo aT por la expresión (9.33.11):

)C R12 s( 2

15V ) s( V S o

+= +

y en el dominio tiempo se tiene:

C R

12t

2

15V )t ( V eS o

−

= + ......(9.33.12)

La expresión anterior tendrá validez hasta que su valor alcanceel nivel que ubica la salida del amplificador 1 A justo en el nivel de sa-

turación, el establecido por la relación (9.33.2). Por lo tanto, de la rela-

ción (9.33.12), evaluada para bT t = se puede determinar el tiempo deduración de esta condición:

6 S

b

S bo R

RV

C R

12T

2

15V )T ( V e ++ =

−

=

despejando:

R2

R15 Ln

12

C RT 6

b

= ......(9.33.13)

El periodo de la forma de onda de salida de la estructura será eldoble de la suma de los dos intervalos calculados anteriormente:

++−

=+= R2

R15 Ln

12

1

3

2

R12

R2 R10C R2 )T T ( 2T 6

6

6 ba ......(9.33.14)



341

9.34 GENERADOR DE ONDAS EXPO-

NENCIALES DE FORMA VARIA-

BLE

Para el circuito de la figura 9.34.1, donde puede considerar losamplificadores ideales y su alimentación simétrica, determinar la formade onda de V o(t) para diferentes valores de R1 con relación a R.

La estructura de la figura 9.34.1 se puede dividir en dos circui-tos diferentes relacionados entresi. El amplificador 1 A y las dos

resistencias asociadas a su puertono inversor constituyen un compa-rador de lazo cerrado que a su vezse encuentra realimentado por elresto de la estructura original.

Dados los niveles de ali-mentación simétricos de los ope-racionales el comparador forma-

do por 1 A posee niveles de con-mutación simétricos de valor

2V V S conm ±= . Por estar la re-

alimentación externa aplicadadirectamente en el puerto inversorde 1 A , al determinar el signo de

(7.2.12) resulta negativo; por lotanto, el ciclo de histéresis se re-

corre en el sentido del reloj. Lacaracterística de transferencia seindica el la figura 9.34.2.

La estructura formada porel amplificador 1 A y los elementos

asociados realimenta externamen-

FIGURA 9.34.1 GENERADOR DE ON-DAS EXPONENCIALESDE FORMA VARIABLE.

i X

o X

+S

V

−S V

encd V

apag V

FIGURA 9.34.2 CARACTERÍSTICA DETRANSFERENCIA



342

te al comparador de lazo cerrado; la estructura se puede representarpor el circuito equivalente de la figura 9.34.3. Por ser ésta estructuraexterna realimentada localmente para su análisis se identifican: el am-plificador y los puntos requeridos. Directamente de la figura 9.34.3 seobtiene la expresión para la ganancia realimentada; o sea, la relación(4.1.6):

13

o31ioi f

X 21

X 2 X X A

−+= ........(9.34.1)

De la figura 9.34.3:

1 X 0 X o3oi ==

)1 RCs( R R

R

R R

R X

11Cs1

Cs1

1i++

=+

= )1 sC R( R R

R

R R

R

X 11

1

sC

1

1

sC 1

1

13++

=+

=

Sustituyendo en (9.34.1):

−+

=

C RR

R R sC R

2 A

1

11

f ........(9.34.2)

Analizando el denominador de la expresión anterior se encuentraque tal estructura será estable cuando la resistencia 1 R satisfaga con:

R R1 ≤ ........(9.34.3)

Admitiendo que 1 R satisface

la condición dada por (9.34.3); laevolución en el tiempo para V o(t) secomprueba por medio de las rela-ciones (7.3.4) y (7.3.5), para los dosrecorridos horizontales del ciclo dehistéresis de la figura 9.34.2. Dado

que el valor extremo de la tensiónde salida del amplificador 1 A se

encuentra acotada por su satura-ción; para el recorrido horizontalsuperior se tiene:

FIGURA 9.34.3 CIRCUITO EQUIVA-LENTE. ESTRUCTURAEXTERNA.



343

−=

−=−−+−

+−

2

V

2

V Sign

2

V V Sign X X Sign S S S

S 1comextmo ....... (9.34.4)

2

V

2

V

2

V V X X S S S

S 1comextmo

−+−+

− −≥−=− ....... (9.34.5)

De forma similar se obtienen las expresiones para la trayectoriainferior del ciclo de histéresis:

−=

−=−+−+

−−

2

V

2

V Sign

2

V V Sign X X Sign S S S

S 1comextmo .. (9.34.6)

2

V

2

V

2

V V X X S S S

S 1comextmo

+−+−

− −≥−=− ....... (9.34.7)

Como se satisfacen lascuatro relaciones anteriores V o(t) será una señal que evolucionaperiódicamente en el tiempo. Sudependencia temporal se obtienemediante la relación (7.3.6) parti-cularizada para el circuito trans-formado de la figura 9.34.4; para

la trayectoria superior se tiene:

+

+

+

=−−

+

C 1 RR1 R R

1

1 sup

C 1 RR1 R R

1

S supo

sC R R

sC R R2

s

CI

sC R R

R2

s

V ) s( V

+

+

+

=−−

+

C 1 RR

1 R R

sup

C 1 R R

1 R R1

S supo

s

I C 2

sC R

2

s

V ) s( V ....... (9.34.8)

Aplicando transformada inversa se tiene:

FIGURA 9.34.4 CIRCUITO TRANS-

FORMADO. ESTRUC-TURA EXTERNA.



344

t

CI 2t

1 R R

V R2 )t ( V

C 1 R R

1 R R

supC 1 R R

1 R R

1

S supo e

e

−−−

−+

+

−−= ........(9.34.9)

El valor de supCI se obtiene al considerar la continuidad de la

tensión en el condensador durante la conmutación:

4

V CI

S sup

−

=


t

2

V 2

t

1

R R

V R2 )t ( V

C 1 RR

1 R R

S C 1 RR

1 R R

1

S supo ee

−−−

−−+

+

−−

=

simplificando:

+

−−

−=

−−

+t

2

1

R R

R

R R

RV 2 )t ( V

C 1 R R

1 R R

11

S supo e ......(9.34.10)

La expresión temporal de la tensión de salida para el recorridoinferior se obtiene considerando las características de simetría que po-see el comparador formado por A1 y sus resistencias asociadas; o sea,

sustituir en (9.34.10) la tensión de saturación positiva por la negativa:

+

−−

−−=

−−

+t

2

1

R R

R

R R

RV 2 )t ( V

C 1 R R

1 R R

11

S supo e ......(9.34.11)

En aquellos casos que la resistencia R1 sea igual R, de la rela-ción (9.34.8) se tiene:

s

CI 2

sC R

2

s

V

) s( V

sup

1

S supo +=

+

......(9.34.12)


−=+= +−

+

2

1t

C R

2V

2

V t

C R

2V )t ( V

1S

S

1S supo ......(9.34.13)



345

para la trayectoria inferior:

−−= +

2

1t

C R

2V )t ( V

1S inf o ..... (9.34.14)

Cuando a 1 R se le asigna un valor que no satisface la condi-

ción de estabilidad del amplificador formado por 1 A y sus elementosasociados; o sea: R R1 > , la tensión de salida del amplificador debe ser

evaluada directamente del circuito transformado, sin emplear la rela-ción (9.34.1) puesto que no es valida. Del circuito de la figura 9.34.4,considerando que la tensión de salida del amplificador es el doble dela tensión aplicada a su entrada, y que las condiciones iniciales delcondensador equivalen al nivel de conmutación dividido por la ganan-cia del amplificador, para el recorrido superior del ciclo de histéresis setiene:

s

1

4

V

sC

1

R

) s( V

R

1 ) s( V

s

V ) s( V S supC

1S C

S supC

−+

+

+

−=

s

1

4

V

Cs R

V

RCs

1

Cs R

11 ) s( V S

21

S

1 supC

−+

+=

−+

despejando y simplificando:

C 1 R R1 R R

S

1

S supC

s

1

4

V

s

1

C R

V ) s( V

−−+

+

+= ..... (9.34.15)

Considerando que la tensión de salida es dos veces la del con-densador y aplicando transformada inversa:

+

−−=

−−−−

−+t

4

V t

1 R R

RV 2 )t ( V

C 1

RR

1 R R

S C 1 RR

1 R R

1

S supo e

e

simplificando y agrupando:



346

−

−+

−−=

−

+t

4

1

R R

R

R R

RV 2 )t ( V

C 1 R R

R1 R

11S supo e ......(9.34.16)

Para obtener la expresión temporal de la tensión de salida co-rrespondiente a la trayectoria inferior del ciclo de histéresis basta conconsiderar las condiciones de simetría del comparador; para lo cualsólo se requiere invertir el signo de la relación (9.34.16):

−

−+

−−−=

−

+t

4

1

R R

R

R R

RV 2 )t ( V

C 1 R R

R1 R

11S inf o e ......(9.34.17)

La evolución en el tiempo de las formas de onda de la tensión

de salida de la estructura será permanente si se satisfacen las relacio-nes (7.3.4) y (7.3.5) aplicadas a las tensiones dadas por las expresio-nes (9.34.16) y (9.34.17 ); dado el carácter exponencial de ambas, elmodulo de sus valores extremos es infinito. O sea, consideraremos losniveles de saturación respectivos para evaluar (7.3.4) y (7.3.5); con locual se satisface la condición de modulo para ambas trayectorias. Lacondición de signo se cumplirá imponiendo que el coeficiente del tér-mino exponencial de las expresiones sea positivo; de otra forma latensión de salida no evolucionará permanentemente. Imponiendo el

signo positivo para el coeficiente del término exponencial se tiene:

R5 R R

R0 R R4

1

R R

R

11

11

<>

→>>

−−

Lo cual es equivalente a:

R5 R R 1 << ......(9.34.18)

La expresiones para la tensión de salida, relaciones (9.34.10),

(9.34.11), (9.34.13), (9.34.14), (9.34.16) y (9.34.17); cuando se satis-face la restricción dada por (9.34.18), corroboran que la forma de ondadel generador se modifica al cambiar el valor de la resistencia R1 conrelación al asignado a R. Para 1 R .< R la salida es la suma de expo-

nenciales decrecientes de signos alternados. Cuando los valores asig-nados a las resistencias son iguales se obtiene una onda triangular.



347

Asignándole a 1 R un valor que satisface (9.34.18) la forma de onda de

la salida corresponde con exponenciales crecientes. En cambio, la

forma de onda de salida presenta un comportamiento transitorio alaplicar la alimentación a la estructura cuando se satisface 1 R > 5R; la

tensión de salida es una exponencial creciente que alcanza el limite desaturación impuesto por A2 ; la magnitud de la tensión a la salida de

A2 será creciente o decreciente, dependiendo del estado inicial que

adquiera la salida del comparador en el instante de encendido de lafuente de alimentación. O sea, se imponen las condiciones dadas por(9.34.19):

X V V V

X V V V

S S

S S

0

0

0

0

*

*

( ) ( )

( ) ( )

= ⇒ ∞ =

= ⇒ ∞ =

+ −

− + ..... (9.34.19)

Nótese que para estas condiciones, la señal realimentada alcomparador satisface las condiciones de magnitud pero no las de sig-no; por lo tanto, no se alcanzan los niveles de conmutación y la ten-

V o(t)

t

V encd

V apag

R1 < R V o(t)

t

V encd

V apag

R1 = R

V o(t)

t

V S +

R1>5R

V o(t)

t

V encd

V apag

R < R1<5R X V S 0 0*( ) = −

X V S 0 0*( ) = +

V S −




348

sión de salida de los amplificadores no presentan un comportamientoperiódico.

En la figura 9.34.5 se encuentra un esquema de las formas deondas de la tensión de salida para diferentes valores de 1 R .



349

ANEXOS

ANEXO 1 AMPLIFICADOR COMPLETA-

MENTE CARGADO. BJT

En este resumen seplantean las relaciones ter-minales para un amplificadorde una etapa que empleacomo elemento activo untransistor BJT modelado

tanto por sus parámetros h ,como por los correspondien-tes al modelo híbrido π; eindicados en las figuras A-1.2 y A-1.3, respectivamen-te.

En el amplificador, el circuito externo a cada uno de los tres ter-minales del transistor es representado por su Thévenin equivalente;

obteniéndose de está forma el amplificador completamente cargadocomo se muestra en la figura A-1.1. Nótese que en el circuito de lafigura, utilizando el teorema de superposición, se pueden definir todaslas relaciones terminales requeridas en un caso particular.

FIGURA A-1.1 AMPLIFICADOR COMPLETA-MENTE CARGADO.



350

ANEXO 1.1 AMPLIFICADOR COMPLETA-MENTE CARGADO. BJT MODELOHÍBRIDO

Empleando los pa-rámetros h , correspon-dientes a la configuraciónemisor común, como fre-cuentemente se encuen-tran en los manuales de

transistores que se deno-minan hi e , hr e , ho e y h f e ;

las expresiones para eltransistor completamentecargado son:

IMPEDANCIAS:

Z hh h h Z Z h h Z

h Z Z ie

fe re oe fe re

oe

11

2 3 2

2 3

1 1

1= +

+ − + −

+ +

[( ) ( ) ]

( )

Z h Z h h h h Z Z

h h Z Z h h

ie fe re oe ie

oe ie fe re

22

1 1 3

1 3

1 1=

+ + + − + +

+ + −

[( ) ( ) ( )]

( )

Z h Z h Z h h Z h h h h Z Z ie oe fe re

fe re oe ie

331 2 2

1 2

11 1

= + + −+ − + + +( ) ( )

( ) ( ) ( )

FIGURA A-1.2 BJT. PARÁMETROS h .



351

GANANCIA DE TENSIÓN; ENTRANDO POR BASE:

Saliendo por colector:

Av

v

V

h h Z Z

h Z h Z h h Z h h h h Z Z Z

fe oe

ie oe fe re fe re oe ie12

2

1

3 2

1 2 2 1 2 31 1 1= = −

−

+ + − + + − + + +

( )

( )( ) [ ( )( ) ( )]

Saliendo por emisor:

Avv

V

h h Z Z


fe oe


3

1

2 3

1 2 2 1 2 3

1

1 1 1= =

+ +

+ + − + + − + + +

( )

( )( ) [ ( )( ) ( ) ]

GANANCIA DE TENSIÓN; ENTRANDO POR COLECTOR:Saliendo por base:

Avv

V

h h Z Z


re oe


1

2

3 1

1 2 2 1 2 31 1 1= =

−

+ + − + + − + + +

( )

( )( ) [ ( )( ) ( ) ]


Av

v

V

h h Z h h Z


oe ie re fe


3

2

1 3

1 2 2 1 2 3

1

1 1 1= =

+ − +

+ + − + + − + + +

[ ( ) ( ) ]

( )( ) [ ( )( ) ( ) ]

GANANCIA DE TENSIÓN; ENTRANDO POR EMISOR:

Saliendo por base:

Avv

V

h Z h Z


oe re


1

3

2 1

1 2 2 1 2 3

1

1 1 1= =

+ −

+ + − + + − + + +

( )

( )( ) [ ( )( ) ( ) ]


Avv

V

h h Z h h Z


oe ie fe re


2

3

1 2

1 2 2 1 2 3

1

1 1 1= =

+ − −

+ + − + + − + + +

[ ( ) ( ) ]

( )( ) [ ( )( ) ( ) ]



352

GANANCIA DE CORRIENTE; ENTRANDO POR BASE:


Aii

i

h h Z

h Z Z

fe oe

oe12

2

1

3

2 31= =

−

+ +( )


Ai i

i

h h Z

h Z Z

fe oe

oe13

3

1

2

2 3

1

1= = −

+ +

+ +( )

GANANCIA DE CORRIENTE; ENTRANDO POR COLECTOR:

Saliendo por base:

Aii

i

h h Z

h h Z Z h h

re oe

oe ie fe re21

1

2

3

1 3

= = − +

+ + −( )


Aii

i

h h h h Z

h h Z Z h h

re fe oe ie

oe ie fe re23

3

2

1

1 3

1= =

+ − +

+ + −

( ) ( )

( )

GANANCIA DE CORRIENTE; ENTRANDO POR EMISOR:

Saliendo por base:

Aii

i

h h Z

h h h h Z Z

re oe

fe re oe ie31

1

3

2

1 2

1

1 1= =

− −

+ − + + +( )( ) ( )


Aii

i

h h h h Z

h h h h Z Z

fe re oe ie

fe re oe ie32

2

3

1

1 2

1

1 1= =

− − +

+ − + + +

( ) ( )

( )( ) ( )



353

Dado los avances tecnológicos en la actualidad, el valor de laganancia de corriente h fe para un dispositivo real se encuentra com-

prendido entre 200 y 500 ; considerando tales valores se pueden obte-ner aproximaciones para las expresiones del transistor completamentecargado evaluando el límite de las obtenidas anteriormente. Las apro-ximaciones permiten obtener en los circuitos que posean tales elemen-

tos activos expresiones que si bien son aproximadas son mucho mássimples; para la mayoría de los casos sus resultados son muy cerca-nos a la realidad. Tales expresiones simplificadas son:

IMPEDANCIAS:

Z 11 = ∞ Z h Z

h

re

re22

31= − −( ) Z

h Z

hre

re

332

1= −

−


Saliendo por colector: Saliendo por emisor:

) Z Z ( h Z Z

V vv

32re3

2

1

212 A

+−−== ) Z Z ( h Z Z

V vv

32re3

3

1

313 A

+−==

GANANCIA DE TENSIÓN; ENTRANDO POR COLECTOR:

Saliendo por base: Saliendo por emisor:

Av v

V 21

1

2

0= = Av v

V

h Z

Z h Z Z

re

re23

3

2

3

3 2 3

= = −− +( )



354


Saliendo por base: Saliendo por colector:

Av v

V 31

1

3

0= = ) Z Z ( h Z

Z )1h(

V

vv

32re3

2re

2

323 A

+−

−−==



Ai i

i12

2

1

= = ∞ Ai i

i13

3

1

= = −∞



Ai i

i21

1

2

0= = i23 1= −



Ai i

i31

1

3

0= = Ai i

i32

2

3

1= = −



355

En muchas oportunidades algunos parámetros del transistor sepueden aproximar a cero; en estos casos, para encontrar las nuevasrelaciones, simplemente se obtiene el límite correspondiente. Admi-tiendo que hre =0 y hoe = 0 las relaciones simplificadas son:

IMPEDANCIAS:

Z h h Z ie fe11 31= + +( ) Z 22 = ∞ Z h Z

h

ie

fe

331

1=

+

+

( )

( )



Av v

V

h Z

h Z h Z

fe

ie fe12

2

1

2

1 31= = −

+ + +( ) Av

v

V

h Z

h Z h Z

fe

ie fe13

3

1

3

1 3

1

1= =

+

+ + +

( )

( )



Av v

V 21

1

2

0= = Av v

V 23

3

2

0= =



3 fe1ie

1

3

131

Z )h1( Z h

Z

V

vv A

+++== Av

v

V

h Z

h Z h Z

fe

ie fe32

2

3

2

1 31= =

+ + +( )



356



Aii

i h fe12

2

1

= = Ai i

ih fe13

3

1

1= = − +( )



Ai i

i21 1

20= = Ai

i

i23 3

20= =



Aii

i h fe

311

3

1

1

= = −

+

Aii

i

h

h

fe

fe32

2

3 1

= = −

+



357

ANEXO 1.2 AMPLIFICADOR COMPLETA-MENTE CARGADO. BJT MODELO

HÍBRIDO

Cuando el modeloempleado para el transis-tor es el híbridoπ, ver figu-ra A-1.3, las relaciones seobtendrán de manera

aproximada. La aproxima-ción consiste en:

r r x r xπ

=

IMPEDANCIAS:

Z r r

gmr r

r r

gmr

r

Z Z gmr r

r

Z

r

gmr

r Z Z

x11

0

2 3 2

0

2 3

1 1 1 1

1 1 1

= + +

+ − + + +

−

+ + +

+π

π π

µ

π

µ

π π

µ

π

µ

[( )( ) ( ) ]

( )( )

Z

r r Z gmr r

r r

gmr

r r r Z Z

r

gmr

r r r Z Z gmr

r

r

x x

x

22

1

0

1 3

0

1 3

1 1 1 1

1 1=

+ + + + − + + +

+ +

+ +

+ + + −

π π π

µ

π

µ

π

π

µ

π π π

µ

[( )( ) ( )( )]

( )( )

Z

r r Z r

gmr

r Z gmr

r

r Z

gmr r

r r

gmr

r r r Z Z

x

x

33

1

0

2 2

0

1 2

1 1 1

1 1 1 1

=

+ + + + +

−

+ + + + +

+ + +

( ) ( )

( )( ) ( )( )

π π

µ

π π

µ

π π

µ

π

µ

π

FIGURA A-1.3 BJT. MODELO HÍBRIDO .



358



Av v

V

gmr r

gmr

r Z Z

r r Z r

gmr

r Z gmr

r

r Z gmr

r

r r

gmr

r r r Z Z Z x x

12

2

1

0

3 2

1

0

2 2

0

1 2 3

1 1

1 1 1

1 1 1 1

= =

− − + +

+ + + + +

− + + − + + + + + +

π π

µ

π

π

µ

π

π

µ

π

π

µ

π

µ

π

( )

( ) ( ) ( )( ) ( )( )


Av v

V

gmr r

gmr

r Z Z

r r Z r

gmr

r Z gmr

r

r Z gmr

r

r r

gmr

r r r Z Z Z x x

133

1

0

2 3

1

0

2 2

0

1 2 3

1 1 1

1 1 1

1 1 1 1

= =

+ + + +

+ + + + +

− + + − + + +

+ + +

π π

µ

π π

µ

π π

µ

π π

µ

π

µ

π

( )

( ) ( ) ( )( ) ( )( )


Saliendo por base:

Av v

V

r

r r

gmr

r Z Z

r r Z r

gmr

r Z gmr

r

r Z gmr

r

r r

gmr

r r r Z Z Z x x

211

2

0

3 1

1

0

2 2

0

1 2 3

1 1

1 1 1

1 1 1 1

= =

+ +

+ + + + +

− + + − + + +

+ + +

π

µ

π

µ

π π

µ

π π

µ

π π

µ

π

µ

π

_ ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )( )


Av v

V

r

gmr

r r r Z

r

r gmr Z

r r Z r

gmr

r Z gmr

r

r Z gmr

r

r r

gmr

r r r Z Z Z

x

x x

2 33

2

0

1 3

1

0

2 2

0

1 2 3

1 11

1 1 1

1 1 1 1

= =

+ +

+ + − +

+ + + + +

− + + − + + +

+ + +

( )( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )( )

π

µ

π π

µ

π

π π

µ

π π

µ

π π

µ

π

µ

π



359


Saliendo por base:

Av

v

V

r

gmr

r Z

r

r Z

r r Z r

gmr

r Z gmr

r

r Z gmr

r

r r

gmr

r r r Z Z Z x x

3 1

1

3

0

2 1

1

0

2 2

0

1 2 3

1 1 1

1 1 1

1 1 1 1= =

+ + +

−

+ + + + +

− + + − + + +

+ + +

( )

( ) ( ) ( )( ) ( )( )

π

µ

π

µ

π π

µ

π π

µ

π π

µ

π

µ

π


Av v

V

r

gmr

r r r Z gmr

r

r Z

r r Z

r

gmr

r

Z gmr r

r

Z gmr r

r r

gmr

r

r r Z Z Z

x

x x

322

3

0

1 2

1

0

2 2

0

1 2 3

1 11

1 1 1

1 1 1 1

= =

+ +

+ + −

+ + + + +

− + + − + + +

+ + +

( )( ) _ ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )( )

π

µ

π π π

µ

π π

µ

π π

µ

π π

µ

π

µ

π



Ai i

i

gmr r

gmr

r Z

r

gmr

r Z Z

122

1

03

0

2 3

1 1

1 1 1

= =

− + +

+ + +

+

π

π

µ

π

µ

( )

( )( )


Ai i

i

gmr r

gmr

r Z

r

gmr

r Z Z

133

1

0

2

02 3

1 1 1

1 1 1

= = −

+ + + +

+ + +

+

π π

µ

π

µ

( )

( )( )



360


Saliendo por base:

Ai i

i

r

r r

gmr

r Z

r gmr r

r r Z Z gmr r r

x

211

2

0

3

0

1 2

1 1

1 1

= = −

+ + +

+ + + + + −

π

µ

π

µ

π

µ

π π π

µ

( )

( )( )


Ai i

i

r

r gmr

r

gmr

r r r Z

r

gmr

r r r Z Z gmr

r

r

x

x

233

2

0

1

0 1 2

1 1 1

1 1= =

+ − + +

+ +

+ +

+ + + −

π

µ

π π

µ

π

π

µ π π

π

µ

( ) ( )( )

( )( )


Saliendo por base:

Ai ii

r

r r

gmr

r

Z

gmr r

r r

gmr

r r r Z Z x

311

3

0

2

0

1 2

1 1 1

1 1 1 1= =

− − + +

+ − + + +

+ + +

π

µ

π

µ

π π

µ

π

µ

π

( )

( )( ) ( )( )


Ai i

i

gmr r

r r

gmr

r r r Z

gmr r

r r

gmr

r

r r Z Z

x

x

322

3

0

1

0

1 2

1 1 1

1 1 1 1

= =

− − + +

+ +

+ − + + +

+ + +

π π

µ

π

µ

π

π π

µ

π

µ

π

( ) ( )( )

( )( ) ( )( )



361

Admitiendo que el parámetro r µ tiende a infinito, las relaciones

son:

IMPEDANCIAS:

Z r r

gmr r

Z Z

r Z Z

x110

2 3

0

2 3

1 1

1 1

= + ++ +

+ +π

π [ ]

( )

Z

r r Z gmr r

r r Z Z

r r r Z Z

x x

x

22

1

0

1 3

0

1 3

1 1

1=

+ + + + + + +

+ + +

π π π

π

[ ( )]

( )

Z

r r Z r

Z

gmr r

r r Z Z

x

x

33

1

0

2

0

1 2

1 1

1 1

=

+ + +

+ + + + +

( )

( )

π

π π



Av v

V

gmr r

Z Z

r r Z r

Z gmr r

r r Z Z Z x x

122

1

0

3 2

1

0

2

0

1 2 3

1

1 1

1 1

= =

− −

+ + +

+ + + + + +

π

π π π ( ) ( ) ( )


Av vV

gmr

r

Z Z

r r Z r

Z gmr r

r r Z Z Z x x

133

1

0

2 3

1

0

2

0

1 2 3

1 1

1 1

1 1

= =

+ +

+ + +

+ + + + + +

π

π π π ( ) ( )



362


Saliendo por base:

Av

v

V

r Z Z

r r Z r

Z gmr r

r r Z Z Z x x

21

1

2

0

3 1

1

0

2

0

1 2 3

1

1 1

1 1

= =

+ + +

+ + + + + +

_

( ) ( )π π π


Av v

V

r Z r r Z

r r Z r

Z gmr r

r r Z Z Z

x

x x

233

2

0

3 1

1

0

2

0

1 2 3

1

1 1

1 1

= =

+ +

+ + +

+ + + + + +

( )

( ) ( )

π

π π π


Saliendo por base:

Av v

V

r Z Z

r r Z r

Z gmr r

r r Z Z Z x x

3 11

3

0

2 1

1

0

2

0

1 2 3

1 1

1 1

1 1

= =

+

+ + +

+ + + + + +

( ) ( )π π π


Av v

V

r r r Z gmr Z

r r Z r

Z gmr r

r r Z Z Z

x

x x

3 22

3

0

1 2

1

0

2

0

1 2 3

1

1 1

1 1

= =+ + +

+ + +

+ + + + + +

( )

( ) ( )

π π

π π π



363



Ai i

i

gmr r Z

r Z Z 12

2

1

0 3

0 2 3

= = −

+ +π


Ai i

i

r gmr r Z

r Z Z 13

3

1

0 0 2

0 2 3

= = − + +

+ +π


Saliendo por base:

Ai ii

Z r r Z Z x

211

2

3

1 3= = − + + +π


Ai i

i

r r Z

r r Z Z

x

x

233

2

1

1 3

= = − + +

+ + +π

π


Saliendo por base:

Ai i

i

r Z

r gmr r r r Z Z x

311

3

0 2

0 0 1 2

= = − +

+ + + + +π π


Ai i

i

gmr r r r Z

r gmr r r r Z Z

x

x

322

3

0 1

0 0 1 2

= = − + + +

+ + + + +π π

π π

( )



364

ANEXO 2 AMPLIFICADOR COMPLETA-MENTE CARGADO. FET

En este caso se procede de manera similar al procedimiento em-pleado en el ANEXO 1. El modelo del FET se indica en la figura A-2.1.La nomenclatura se refiere al amplificador completamente cargado de lafigura A-2.2; solamente se indicarán las relaciones de impedancia y ga-nancia de tensión.

IMPEDANCIAS:

Z 11 = ∞ Z r gmr Z d d 22 31= + +( ) Z r Z

gmr

d

d

332

1=

+

+

FIGURA A-2.2 AMPLIFICADOR COMPLE-TAMENTE CARGADO.

FIGURA A-2.1 MODELO PARA UNFET.



365

GANANCIA DE TENSIÓN; ENTRANDO POR GATE:

Saliendo por drain: Saliendo por source:

Av v

V

gmr Z

r Z Z gmr

d

d d 12

2

1

2

2 3 1= = −

+ + +( ) Av

v

V

gmr Z

r Z Z gmr

d

d d 13

3

1

3

2 3 1= =

+ + +( )

GANANCIA DE TENSIÓN; ENTRANDO POR DRAIN:

Saliendo por gate: Saliendo por source:

Av v

V 21

1

2

0= = Avv

V

Z

r Z Z gmr d d

233

2

3

2 3

1= =

+ + +( )

GANANCIA DE TENSIÓN; ENTRANDO POR SOURCE:

Saliendo por gate: Saliendo por drain:

Av v

V 31

1

3

0= = Av v

V

Z gmr

r Z Z gmr

d

d d 32

2

3

2

2 3

1

1= =

+

+ + +

( )

( )



366

ANEXO 3 ESTRUCTURAS UNIDIRECCIO-NALES

Se plantean losprocedimientos genera-les y condiciones paradeterminar si parte deuna red, limitada delresto de la estructurapor tres nodos, es unidi-

reccional.Sea una red lineal

que posea fuentes, unade ellas consideradaindependiente y lasotras fuentes sean con-troladas. En tal red se identifica una parte de ella que en su interiorposea al menos una fuente controlada y no contenga la fuente consi-derada independiente; la parte identificada se encuentra limitada delresto de la red por tres nodos denominados a, b y c, como se indica enla figura A-3.1.

Tomando uno de los nodos como referencia se procede a sustituirla parte identificada por doscircuitos Thévenin equiva-lentes, de tal forma de noalterar el funcionamiento dela red. Los Thévenin son

realizados hacia el interiorde la porción identificada yentre cada par de nodos.Notar que al sustituir la par-te identificada y limitada dela red por los Thévenin res-

RED

a

b

c

PARTE

IDENTIFICADA

Thévenin ac Thévenin bc

vi

v : Fuente inde endiente

FIGURA A-3.1 RED. ESTRUCTURA UNIDIRECCIO-NAL.

RED

a b

c

Z Th ac

V Th ac

Z Th bc

V Th bc

V i

FIGURA A-3.2 RED MODIFICADA.



367

pectivos, el comportamiento de la red es idéntico a la red original; por lotanto, lo será con relación a fuente considerada como independiente. Lared modificada al sustituir parte de ella por los Thévenin se indica en lafigura A-3.2.

La parte identificada y limitada por los tres nodos será unidirec-cional cuando una de las fuentes Thévenin sea nula. Los nodos deentrada a la estructura unidireccional corresponderán con aquelloscuya tensión Thévenin es nula; y su salida los otros dos nodos.

Una vez comprobada la unidireccionalidad de la parte de la redidentificada se debe modelar por un cuadripolo activo unidireccional.Las impedancias de entrada y salida del cuadripolo corresponden a lasimpedancias de Thévenin evaluadas anteriormente; siendo la de en-trada la correspondiente al circuito Thévenin donde se encontró nula lafuente, y la de salida la otra. Para calcular el valor de la constante de

proporcionalidad de la fuente controlada del cuadripolo basta con eva-luar en la parte identificada de la red original la ganancia; o sea, larelación entre la variable de salida y la de entrada al propio cuadripolo.Un modelo de tensión para el cuadripolo activo unidireccional recono-cido se muestra en la figura A-3.3; para su elaboración se supuso quela fuente Thévenin nula fue la asociada al circuito Thévenin entre losnodos a y c. Partiendo del modelo obtenido, fuente de tensión contro-lada por tensión, y utilizando los teoremas de conversión de fuentes seobtienen los otros modelos para la estructura unidireccional; o sea,fuentes de corriente controladas por tensión o por corriente.

En aquellos casos que la parte de la red identificada como unidi-reccional posea uno o máselementos activos, y estosformen más de un circuitounidireccional conectadosen cascada, se podrá mode-lar un punto perteneciente a

una rama intermedia a ele-mentos activos como estruc-tura unidireccional; general-mente es conveniente esco-ger un punto de un conduc-tor y sustituirlo por un mode-

+

- Z Th ac

Z Th bc

K vac

vac

a

c

b

FIGURA A-3.3 CUADRIPOLO ACTIVO UNIDI-

RECCIONAL, MODELO DE TEN-SIÓN.



368

lo que posea una fuente controlada de tensión. La constante de pro-porcionalidad de la fuente controlada del modelo será unitaria y el re-sto del modelo lo forma una de las dos impedancias Thévenin vista encualquiera de las dos direcciones con relación al flujo de información,la otra impedancia será nula o un circuito abierto dependiendo del ca-so. Cuando el Thévenin es realizado en el sentido del flujo de informa-

ción, la impedancia será la de entrada del modelo y la de salida nula;en cambio, cuando el Thévenin se realiza en sentido contrario del fluirde la información la impedancia será la de salida del modelo y la deentrada un circuito abierto. Notar que en ambos casos el comporta-miento de la estructura modificada es equivalente a la estructura origi-nal. El punto considerado debe ser parte de una rama por donde fluyatoda la información que procesa la estructura unidireccional, nóteseque en el planteamiento se establece una estructura en cascada. Elprocedimiento descrito puede desplazarse hacia la entrada o la salida

de la estructura unidireccional identificada inicialmente. Al correr elpunto hasta la entrada o salida solamente se puede obtener un únicomodelo para cada caso, aquellos que se encuentren en el interior de laestructura delimitada por los tres nodos; dado que corresponden a loscasos límites. Los otros dos modelos, los externos, no poseen la con-dición de unidireccionalidad.



369

ANEXO 4 MULTIPLICACIÓN E INVERSIÓNDE MATRICES

En este anexo se incluyen las principales expresiones requeridaspara la multiplicación e inversión de matrices.

ANEXO 4.1 MULTIPLICACIÓN DE UNA MA-TRIZ POR UN ESCALAR

El producto de una matriz y un escalar, es una matriz en la cualcada elemento de la matriz se encuentra multiplicado por el escalar;como se indica en la relación (A-4.1.1) para una matriz [ ] A y un esca-

lar k :

[ ]k A

k a k a k a

k a k a k a

k a k a k a

n

n

n n nn

=

11 12 1

21 22 2

1 2

L

M M M

L

......(A-4.1.1)

ANEXO 4.2 MULTIPLICACIÓN DE UNA MA-TRIZ POR UNA MATRIZ

La multiplicación de una matriz por otra matriz es posible sola-mente entre matrices conformables; o sea, el número de columnas dela primera matriz es igual al número de filas de la segunda. En otracondición, la multiplicación de matrices no está definida.



370

Sea [ ] A una matriz n x m y [ ] B una matriz de m x p. Entonces el

producto [ ] [ ] A B , que se denomina: [ ] A posmultiplicada por [ ] B ; o [ ] B

premultiplicada por [ ] A , se define como:

[ ] [ ] [ ] A B C C a b

i n j p

i j i k k jk

m

= = =

= ==

∑( )

( , , , ; , , , )

1

1 2 1 2L L

...... (A-4.2.1)

La matriz producto [ ]C posee la misma cantidad de filas que [ ] A

y la misma cantidad de columnas que [ ] B ; por lo tanto [ ]C es una

matriz de n x p. Se debe notar que aún cuando [ ] A y [ ] B sean con-

formables para [ ] [ ] A B , pueden no ser conformables para el producto

[ ] [ ] B A , en cuyo caso el producto no está definido.

ANEXO 4.3 INVERSIÓN DE UNA MATRIZ

Para definir el inverso de una matriz previamente se requiere de

algunas definiciones:a.- Menor M ij : Se forma quitando la i-ésima fila y la j-ésima columna

de una matriz [ ] A de dimensiones n x n; la matriz resultante es

una matriz de (n-1) x (n-1 ). El determinante de esta matriz de (n-

1) x (n-1) se llama menor M ij de la matriz [ ] A .

b.- Cofactor Aij : Se define el cofactor Aij del elemento aij de la ma-

triz [ ] A como el resultado de la ecuación:

A M i ji j

i j= − +( )1 ...... (A-4.3.1)

Es decir, el cofactor Aij del elemento aij es ( )− +1 i j veces el de-

terminante de la matriz formada al quitar la fila i-ésima y la co-



371

lumna j-ésima de la matriz [ ] A .

c.- La traspuesta de una matriz [ ] A de dimensión n x m es el resul-

tado de cambiar las filas por las columnas; se designa como

[ ] A T y sus dimensiones son m x n.

[ ] A

a a a

a a a

a a a

a a a

a a a

a a a

T

m

m

n n nm

T n

n

m m nm

=

=

11 12 1

21 22 2

1 2

11 21 1

12 22 2

1 2

L

M M M

L

L

M M M

L

......(A-4.3.2)

d.- Matriz adjunta [ ]adj A : La matriz adjunta de [ ] A es la transpues-

ta de la matriz cuyos elementos son los cofactores de [ ] A ; se

designa como [ ]adj A y por definición es:

[ ]adj A

A A A

A A A

A A A

n

n

n n nn

=

11 21 1

12 22 2

1 2

L

L

M M M

L

......(A-4.3.3)

La matriz inversa de [ ] A se denota por [ ] A −1 y se define como:

[ ] [ ] Aadj A

A

−=

1 ......(A-4.3.4)

Por lo tanto, la inversa de una matriz [ ] A es la matriz [ ]adj A

dividida por el determinante de la matriz [ ] A . Notar que solo es posi-

ble invertir una matriz cuadrada.

Se incluyen las fórmulas detalladas para hallar las matrices in-

versas para los casos que las matrices sean de dimensión 2 x 2 y 3 x 3:

[ ] Aa b

c d =

siendo ad bc− ≠ 0

[ ] Aad bc

d b

c a

−=

−

−

−

1 1 ......(A-4.3.5)



372

sea:

[ ] A

a b c

d e f

g h i

=

siendo: ∆ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ≠a e i d h c g b f g e c a h f d b i 0

[ ] A

e f

h i

b c

h i

b c

e f

d f

g i

a c

g i

a c

d f

d e

g h

a b

g h

a b

d e

−=

−

− −

−

1 1

∆ ...... (A-4.3.6)



373

ANEXO 5 TRANSFORMADA DE LAPLACE.

En este anexo se incluyen algunas de las propiedades de latransformada de Laplace y una breve tabla de transformadas; así co-mo también los circuitos equivalentes transformados para los paráme-tros eléctricos de una red, considerando las condiciones iniciales.

ANEXO 5.1 PROPIEDADES SELECCIONADASDE TRANSFORMADAS DE LA-

PLACE

f t ( ) F s( ) cf t ( ) c F s( )

f t f t 1 2( ) ( )+ F s F s1 2( ) ( )+

d f t d t ( ) sF s f ( ) ( )− 0

d f t

d t

n

n

( )

s F s s f s f

s f f

n n n

n n

( ) ( ) ( )

( ) ( )

'

'' ( )

− −

− − −

− −

− −

1 2

3 1

0 0

0 0L

f d t

( )τ τ 0∫

F s

s

( )

f d t

( )τ τ −∞∫

F s

s

f d ( )

( )+−∞∫ τ τ 0

e at f t − ( ) F s a( )+

f t u t ( ) ( )− −τ τ e st F s− ( )

f g f g t d t

∗ = −∫ ( ) ( )τ τ τ 0

F s G s( ) ( )



374

f ct c( ) , > 0 1

c F

s

c

t f t ( ) − d F s

d s

( )

t f t nn ( ) , ≥ 0 ( ) ( )( )−1 n n F s

f t

t

( ) F s ds

t

( )0∫

f t f t T ( ) ( )= + f t e dt

e

st T

sT

( ) −

−

∫−

0

1

ANEXO 5.2 PARES SELECCIONADOS DETRANSFORMADA DE LAPLACE

[ ] f t L F s( ) ( )= −1 [ ] F s L f t ( ) ( )=

δ ( )t 1 u t ( ) 1

s

e a t − 1

s a+

t 12 s

sen kt k

s k

2 2

+

cos k t s

s k 2 2+

t e at − 1

2( ) s a+



375

)at e1( a

1 −− 1

s s a( )+

e a t kt − sen k

s a k ( )+ +2 2

e

a t

kt

−

cos

s a

s a k

+

+ +( )2 2

t nn ; , , ,= 1 2 3 K n

sn

!+1

K ,3 ,2 ,1n;! )1n(

t t a1n e=

−

−−

n )a s(

1

+

ba );( ab

1 t bt a ee ≠−−

−− )b s( )a s(

1

++

ba; )ba( ba

1 t bt a ee ≠−−

−− )b s( )a s(

s

++

11

2aa t e at ( )− + −

12

s s a( )+

sen ( )kt + θ s k

s k

sen cosθ θ +

+2 2

cos( )kt + θ s k

s k cos senθ θ −

+2 2

ww t n w t

ne n

11

2

2

−−

−

ς ς

ς sen

w

s w s w

n

n n

2

2 22+ +ς

−

−− −

= −

−

−

1

11

1

2

2

12

ς ς ϕ

ϕ ς

ς

ς e w t n

n w t

tan

sen( )

s

s w s wn n

2 22+ +ς



376

ANEXO 5.3 CIRCUITOS EQUIVALENTES DEPARÁMETROS TRANSFORMADOS

Usando transformación de fuentes los circuitos anteriores seconvierten en:

FIGURA A-5.3.1 CIRCUITOS EQUIVALENTES TRANSFORMADOS.

FIGURA A-5.3.2 TRANSFORMACIÓN DE FUENTES CIRCUITOS EQUIVALENTES.



377

ANEXO 6 SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DETERCER GRADO.

Se incluye la expresión más común para la fórmula de Cardano-Tartaglia que permite obtener la solución de la ecuación cúbica general.

Sea la ecuación:

a x b x c x d 3 23 3 0+ + + = .........(A-6.1)

Haciendo:

xa

y b= −1

( )

reemplazando el valor de x en (A-6.1) se tiene:

y H y G3 3 0− + = .........(A-6.2)

en la que:

H b a c= −2 G a d a bc b= − +2 33 2

Hagamos ahora

A G

H B G

H G G= −

+ − = −

− −2 2

2 2

4

334

33

los valores de y serán:

y A B A B j A B A B j A B= + − + + − − + − −; ( ) ( ) , ( ) ( )1

2

3

2

1

2

3

2

Si a, b, c, d son reales y si el discriminante G H

2 2

4− es positivo,una de las raíces es real y las otras dos serán valores imaginarios con- jugados; si G H 2 24− es igual a cero, las tres raíces son reales y dosde ellas serán iguales entre sí; cuando el discriminante sea negativo,las tres raíces son reales y desiguales entre sí.

analisis de sistemas electronicos

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