analisis de sistemas de tiempo continuo

7/28/2019 Analisis de Sistemas de Tiempo Continuo

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ANLISIS DE SISTEMAS DE

TIEMPO CONTINUOCARLOS ZEPITA


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PRELIMINARES

Introduccin a los conceptos bsicos y mtodosde anlisis de SLIT continuos.

Todo sistema puede ser representado por lafuncin de transferencia o funcin del sistema,

(). Los polos y ceros gobiernan el funcionamiento de

un sistema.

Ejemplos del uso de la TdL para determinar ZIR yZSR. Respuesta al impulso.

UNIVERSIDAD CATOLICA BOLIVIANACARLOS ZEPITA


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DEMOSTRACIN DE

Una seal puede ser representada como lasuma infinita de exponenciales complejosapropiadamente escalados.

Escribamos la TdL como una suma de Riemann(tcnica de integracin numrica):


() = 12

+

() 12

= ()


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= 12

+ =12

+()

DEMOSTRACIN (cont.)

Ya sabemos que los exponenciales complejosson eigenfunciones para un sistema SLITContinuo.

Utilizando esta propiedad podemosdesarrollar

():

SLIT


= ()

() 12


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() es la transformada inversa de (). Por lo que queda demostrado que:

= ()

DEMOSTRACIN (cont.)



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() caracteriza completamente al sistema.

Si se conoce () para todos los valoresposibles de se puede encontrar la respuestaa todas las posibles entradas exponencialescomplejas.

Con la TdL cualquiera seal puede serrepresentada como la suma de exponencialescomplejas; dado

(), se puede encontrar la

salida (respuesta) a cualquier seal deentrada posible.



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ESO SIGNIFICA QUE:

Conocida () y la(), la salida puede serobtenida de la siguiente relacin:

= ()H(s)


()

()

=()()


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Sea:

polinomio de s de orden mpolinomio de s de orden n

Donde () se denomina ECUACIN CARACTERSTICA:sus races (polos) caracterizan el comportamiento delsistema.

=()()

()

()


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POLOS

Singularidades, en los que la funcin detransferencia tiende a INFINITO.

Depende del denominador de ().


=


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CEROS

Singularidades, en los que la funcin detransferencia tiende a CERO.

Depende del numerador de ().


=


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EJEMPLO 1

= 1

=()()

= 1

= 1

= 10 0.01 10 0.01 1

= 0.1

0.1 1 = 10 =

Si consideramos = 0, esmas sencillo calcular los

pares ordenados de:

, ()

= 10, = 0.01


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= 1

= 0 = 0

La respuesta del sistema anterior a = es infinita.

La respuesta del sistema anterior a = (DC) tiende a cero.



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DIAGRAMA DE POLOS Y CEROS

Se destaca la posicin de un polo con una X. Se destaca la posicin de un cero con un O. Los X y O pueden ocurrir en cualquier punto del plano

s. Los polos y ceros:

Son las races de polinomios con coeficientes reales. Fuera del eje real siempre ocurren en pares de conjugadas

complejas.

Puede haber ms de un polo o cero en la mismalocalizacin Un polo y un cero en el mismo lugar se cancelan.



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DADO EL DIBUJO DE POLOS Y CEROSENCONTRAR H(s)


2 ceros en = 0.2 polos en = 1

=

( )( ) (1 ) (1 ) = 1 1 =

1 = 2 2


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DADO EL DIBUJO DE POLOS Y CEROSENCONTRAR H(s)


= 2 2


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DIBUJOS DE POLOS Y CEROS

El nmero de polos en un sistemacorresponde al nmero de variables de estadoindependientes en el sistema, esto define

cuantas condiciones iniciales se debenespecificar.

El nmero de polos es conocido como elorden el sistema.

El numero de ceros no afecta el orden delsistema.



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ED A FUNCIONES DE TRANSFERENCIA

Una ED es una forma de describir sistemas.

() es otra forma de describir sistemas. Debera ser sencillo convertir de una representacin a

otra. Para lograrlo se utiliza la TdL a ambos lados de la ED,

manipulando el resultado se puede encontrar:

()= () La ED puede ser recuperada aplicando unprocedimiento parecido con la Transformada inversa.



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EJEMPLO


2 3 5 = 10 7Considerando que todas las condiciones iniciales son cero:

2 3 5 = 10 7 2 3 5 = 10 7

=()()= 10 72 3 5


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ZIR

Termino dado a la salida de un sistema cuandola seal de entrada es cero.

ZIR corresponde a la manera en la quecualquier condicin inicial presente secomporta.


= 10, = 0.01= 5, = 5


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CMO SE ENCUENTRA LA ZIR?

Dado que: = () Si = 0 = 0?, NO! Un valor de

= 0cuando

= 0slo es

posible si () es infinitamente largo,significando que la seal () contiene unafrecuencia compleja que es un polo de ().

As ZIR slo contiene frecuencias que son polosde (), estas frecuencias son conocidas comofrecuencias naturales del sistema. Porque elsistema tender a oscilar o decaer en esasfrecuencias en ausencia de una seal de entrada.


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COMO SE ENCUENTRA LA ZIR?

Para encontrar la ZIR de un sistema expresado enun cociente de polinomios siga los siguientespasos:

1. Encuentre el denominador de ()2. Haga 1/denominador3. Realice la transformada inversa, obtendr la

forma del ZIR

4. La ZIR se encuentra dadas las condicionesiniciales para despejar las constantesdesconocidas



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EJEMPLO

Encuentre el denominador de ()

denominador = 20 10



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EJEMPLO (cont)

Haga 1/denominador

Encuentre la transformada inversa

Conocidas las condiciones iniciales se puedendespejar A, B y C.


1 20 10=

20

10

10

= 20 10

10

= ()


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ZSR

La ZSR es la salida del sistema en presencia deuna seal de entrada, asumiendo que todasotras las variables de estado estn en cero (ej.

Capacitores, Inductores sin carga). La forma ms directa de encontrar la ZSR es

resolviendo la ED o encontrando la

transformada inversa del sistema.


= = = ()


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EJEMPLOEncontrar la

()(ZSR) si se conoce

(): 3 = 4, = sin 6 3 = 4

=()()= 4 3

= 6 36

= = 24( 3)( 36)

=

3

36

36 3 3 = 24 3 36 3 = 24

= 0; 3 = 0; 3 = 24

=815 ; = 815 ; =85

=8/15 3 8/15 36

8/5 36

= 815 815 cos 6 415 sin(6)

=

=


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0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t

(8/15) exp(-3 t)-(2/3) cos(6 t)+(4/15) sin(6 t)El termino exponencial

de la ZSR parece ser untermino de la ZIR, estono es una coincidencia.La entrada del sistemaes una onda sinusoidal(que aparece en t=0), el

sistema comienza en unacondicin inicial que

comienza a decaer talcomo lo hace la ZIR.Despus de un largoperiodo de tiempo la

seal de entrada es unafuncin estable y lasalida es otra funcinestable.



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RESPUESTA AL IMPULSO

La seal de salida de un sistema cuando laseal de entrada es una funcin impulso(delta de Dirac) tiene un significado especial

en teora de SLIT.

H(s) = () ()

= = = 1 = ()


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RESPUESTA AL IMPULSO

Si () caracteriza al sistema, entonces ()es la seal caracterstica del sistema cuando

= () Podemos asignar a esta respuesta (()) comola respuesta del sistema al impulso.

() Se puede encontrar la funcin detransferencia con:

= ()


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EN RESUMEN

Ahora sabe:

Dibujar diagramas de polos y ceros.

Llevar una ED a funcin de transferencia.

Encontrar la ZIR y ZSR de un sistema.

Encontrar la respuesta al impulso de un sistema.



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