analisis de puentes

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Coruña, Oc

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2008

ISBN: 987-84-613-2352-4

ÍNDICE

CAPITULO 1

INTRODUCCIÓN .......................................................................................................... 1

1.1 Motivación y objetivos ........................................................................................... 1

1.2 Organización de la memoria-tesis........................................................................... 4

CAPITULO 2

METODOLOGÍAS AVANZADAS EN AEROELASTICIDAD DE PUENTES DE

GRAN VANO.................................................................................................................. 7

2.1 Introducción ............................................................................................................ 7

2.2 Fenómenos aeroelásticos ...................................................................................... 11

2.2.1 Divergencia torsional ..................................................................................... 11

2.2.2 Vibración inducida por desprendimiento de torbellinos................................ 11

2.2.3 Galope ............................................................................................................ 16

2.2.4 Flameo............................................................................................................ 17

2.2.5 Bataneo .......................................................................................................... 18

2.3 Métodos experimentales ....................................................................................... 19

2.4 Métodos híbridos .................................................................................................. 25

2.4.1 Fuerzas aerodinámicas ................................................................................... 27

2.4.2 Fuerzas aeroelásticas...................................................................................... 30

2.4.3 Fuerzas de bataneo......................................................................................... 35

2.4.4 Clasificación de los métodos híbridos según el tipo de análisis .................... 37

2.5 Métodos computacionales..................................................................................... 42

2.5.1 Ecuaciones de la mecánica de fluidos............................................................ 43

2.5.2 Modelos de turbulencia.................................................................................. 44

2.5.3 Métodos numéricos en la mecánica de fluidos computacional...................... 49

2.5.4 Aplicaciones en aeroelasticidad de puentes................................................... 53

2.6 Referencias............................................................................................................ 63

CAPITULO 3

ENSAYOS SECCIONALES DE TABLEROS DE PUENTES................................. 75

3.1 Introducción .......................................................................................................... 75

3.2 Ensayos aerodinámicos .........................................................................................76

3.2.1 Modelo seccional ...........................................................................................76

3.2.2 Sustentación del modelo seccional.................................................................78

3.2.3 Obtención de los coeficientes aerodinámicos ................................................80

3.3 Obtención de las funciones de flameo ..................................................................81

3.3.1 Estimación mediante la aproximación cuasi estática .....................................85

3.3.2 Cálculo a partir de ensayos seccionales con vibración forzada .....................87

3.3.3 Cálculo a partir de ensayos seccionales en vibración libre ............................93

3.4 Ensayos aeroelásticos en vibración libre.............................................................107

3.4.1 Modelo seccional .........................................................................................107

3.4.2 Sustentación del modelo seccional...............................................................109

3.4.3 Realización del ensayo con tres grados de libertad......................................119

3.5 Programa PCTUVI..............................................................................................123

3.5.1 Menú calibración..........................................................................................124

3.5.2 Menú ensayos...............................................................................................127

3.6 Ejemplos de ensayos seccionales ........................................................................132

3.6.1 Ensayos aerodinámicos ................................................................................134

3.6.2 Ensayos aeroelásticos...................................................................................136

3.7 Referencias..........................................................................................................150

CAPITULO 4

AVANCES EN EL ANÁLISIS DE LA INESTABILIDAD DE FLAMEO ...........155

4.1 Introducción ........................................................................................................155

4.2 Formulación matricial del flameo de puentes .....................................................156

4.3 Geometría deformada debida a la carga de viento estática .................................169

4.3.1 Perfil de viento en altura ..............................................................................171

4.3.2 Carga de viento estática ...............................................................................172

4.4 Análisis no lineal de la deformada debida a la carga de viento estática .............175

4.4.1 Método iterativo en rigidez y fuerzas (ΙKF) ................................................176

4.4.2 Método incremental en rigidez y fuerzas (∆KF)..........................................179

4.4.3 Método incremental-iterativo en rigidez y fuerzas (∆ΙKF)..........................181

4.4.4 Método incremental-iterativo en fuerzas (∆IF)............................................183

4.4.5 Comparación de los métodos ∆IKF y ∆IF ...................................................187

4.5 Influencia de la carga de viento estática en los modos y frecuencias naturales de

vibración ................................................................................................................... 199

4.6 Influencia de la carga de viento estática en la velocidad de flameo ................... 201

4.6.1 Ejemplo del puente sobre el estrecho de Messina ....................................... 201

4.6.2 Ejemplo del puente sobre el estrecho de Akashi ......................................... 206

4.7 Referencias.......................................................................................................... 225

CAPITULO 5

AVANCES EN EL ANÁLISIS DEL FENÓMENO DEL BATANEO................... 227

5.1 Introducción ........................................................................................................ 227

5.2 Definición del viento como proceso aleatorio .................................................... 229

5.2.1 Procesos estocásticos ................................................................................... 229

5.2.2 Descripción del viento turbulento................................................................ 238

5.3 Fuerzas de bataneo.............................................................................................. 245

5.4 Formulación del bataneo en el dominio de la frecuencia ................................... 249

5.5 Análisis del bataneo en el puente sobre el estrecho de Akashi........................... 253

5.5.1 Estructura ..................................................................................................... 253

5.5.2 Carga de viento ............................................................................................ 254

5.5.3 Respuesta estructural de movimientos......................................................... 259

5.6 Análisis del bataneo en el puente sobre el estrecho de Messina......................... 264

5.6.1 Estructura ..................................................................................................... 264

5.6.2 Carga de viento ............................................................................................ 264

5.6.3 Respuesta estructural de movimientos......................................................... 268

5.7 Referencias.......................................................................................................... 270

CAPITULO 6

MÉTODOS DE ANÁLISIS AEROELÁSTICO DE PUENTES EN EL DOMINIO

DEL TIEMPO ............................................................................................................. 273

6.1 Introducción ........................................................................................................ 273

6.2 Teoría de Theodorsen y las funciones de flameo................................................ 275

6.3 Teoría de Wagner y las funciones indiciales. ..................................................... 282

6.4 Obtención de las funciones indiciales a partir de funciones de flameo .............. 287

6.4.1 Método de mínimos cuadrados no lineales.................................................. 289

6.4.2 Método de integración directa ..................................................................... 290

6.4.3 Funciones indiciales de la placa plana ......................................................... 292

6.4.4 Funciones indiciales de la sección de un tablero de puente......................... 297

6.5 Respuesta en el tiempo mediante la transformada inversa de fourier (IFTR).....299

6.6 Formulación cuasi estática (QS) .........................................................................302

6.6.1 Deducción de la formulación de Scanlan a partir de la teoría cuasi estática.

...............................................................................................................................304

6.7 Método de superposición de bandas (BS)...........................................................312

6.7.1 Elección de las bandas .................................................................................313

6.7.2 Método de Superposición de Bandas con Frecuencia de Banda y

Aproximación Cuasi Estática (BSWbandQ).........................................................315

6.7.3 Método de Superposición de Bandas con Frecuencia Aeroelástica y

Aproximación Cuasi Estática (BSWdaQ).............................................................320

6.8 Simulación de las fluctuaciones de viento ..........................................................323

6.8.1 Método de Shinozuka-Deodatis ...................................................................323

6.8.2 Ejemplo de generación de fluctuaciones de viento ......................................327

6.9 Respuesta de un sistema en el dominio del tiempo mediante integración paso a

paso. ..........................................................................................................................335

6.9.1 Métodos paso a paso de Wilson-θ................................................................336

6.10 Ejemplos de aplicación .....................................................................................337

6.10.1 Respuesta de una placa plana con un grado de libertad .............................337

6.10.2 Puente sobre el estrecho de Akashi............................................................348

6.10.3 Puente sobre el estrecho de Messina..........................................................355

6.11 Referencias........................................................................................................361

CAPITULO 7

PROGRAMA NLAB...................................................................................................367

7.1 Introducción ........................................................................................................367

7.2 Instalación ...........................................................................................................369

7.3 Descripción del programa ...................................................................................371

00 Input .................................................................................................................371

01 Static Deformation ...........................................................................................392

02 Flutter Analysis (Laminar Flow)......................................................................396

03 IFTR (Laminar Flow).......................................................................................400

04 Spectral Analysis (Turbulent Flow) .................................................................403

05 IFTR (Turbulent Flow) ....................................................................................410

06 BsWband (Turbulent Flow) .............................................................................414

07 BsWda (Turbulent Flow) .................................................................................416

08 BsWbandQ (Turbulent Flow) .......................................................................... 419

09 BsWdaQ (Turbulent Flow) .............................................................................. 421

CAPITULO 8

CONCLUSIONES....................................................................................................... 425

8.1 Conclusiones generales....................................................................................... 425

8.2 Conclusiones sobre la realización de ensayos seccionales ................................. 428

8.3 Conclusiones relativas al cálculo de la deformada debida a la carga de viento

estática....................................................................................................................... 429

8.4 Conclusiones sobre el cálculo de la inestabilidad del flameo mediante análisis de

autovalores ................................................................................................................ 430

8.5 Conclusiones sobre el cálculo de la respuesta frente al bataneo en el dominio de la

frecuencia.................................................................................................................. 431

8.6 Conclusiones sobre el análisis en el dominio del tiempo ................................... 431

8.7 Líneas de investigación futuras........................................................................... 433

CHAPTER 8

CONCLUSIONS ......................................................................................................... 435

8.1 Conclusions......................................................................................................... 435

8.2 Conclusions about sectional tests........................................................................ 438

8.3 Conclusions about calculation of the deformed shape due to static wind forces 439

8.4 Conclusions about flutter instability analysis calculating aeroelastic eigenvalues

................................................................................................................................... 440

8.5 Conclusions about buffeting response analysis in frequency domain ................ 441

8.6 Conclusions about time domain analysis ............................................................ 441

8.7 Further work........................................................................................................ 442

ANEXO 1

FUNCIONES DE FLAMEO DEL PUENTE DE MESSINA SEGÚN EL

CONVENIO DE ZASSO............................................................................................ 445

ÍNDICE DE FIGURAS............................................................................................... 455

ÍNDICE DE TABLAS................................................................................................. 467

Equation Chapter 1 Section 1

1

CAPÍTULO 1

INTRODUCCIÓN

1.1 MOTIVACIÓN Y OBJETIVOS

Desde muy temprana edad, el hombre ha buscado salvar las barreras geográficas que

impedían la comunicación y el comercio entre distintos pueblos. De forma lenta pero

continuada ha mejorado la fiabilidad y la calidad de las soluciones a estas barreras

naturales convirtiéndolas en nexos fijos y directos en los cuales los puentes juegan un

papel fundamental. La evolución tecnológica en el campo de la ingeniería civil ha

permitido que estas estructuras aumenten de tal manera su tamaño, en especial la

longitud de los vanos, que generaciones anteriores las considerarían como

inconcebibles. La razón de estos avances ha sido en buena medida el coraje y el

esfuerzo de unos pocos ingenieros que supieron convencer a la sociedad de que era

capaz de alcanzar esos logros, gracias a la experiencia práctica y la profundización en el

estudio de los fenómenos físicos que afectan al comportamiento de estas estructuras.

El desconocimiento de los efectos del viento motivó numerosos problemas durante el

siglo XIX cuando el avance de la revolución industrial y la aparición de nuevos

materiales de construcción impulso a los ingenieros a aumentar la longitud de vano de

los puentes. El viento fue el causante de la destrucción del puente de Brighton (UK

1836), del puente del estrecho de Menai (UK 1839) y del puente de Wheeling (USA

1854). Sin embargo, el colapso que tuvo un mayor impacto sobre la ingeniería y la

sociedad fue el del puente sobre el estrecho de Tacoma ya en el siglo XX, en 1940,

cuando se creía que las técnicas de cálculo de este tipo de puentes estaban

suficientemente desarrolladas.

Capítulo 1 INTRODUCCIÓN

2

Una de las consecuencias del desastre de Tacoma fue la incorporación de la

aeroelasticidad a la ingeniería de puentes. Esta ciencia nació en el seno de la ingeniería

aeronáutica, en el análisis de los perfiles de alas de aviones y en general estudia el

comportamiento de un cuerpo deformable sumergido en un medio fluido en movimiento

y la interacción recíproca existente entre las fuerzas que ejerce el fluido y la

deformación del cuerpo. Los avances producidos en la aeroelasticidad desde el desastre

de Tacoma han traído consigo mejoras en el diseño de puentes como el empleo por

primera vez de una sección aerodinámica en el tablero del puente sobre el río Severn en

Inglaterra en 1966 con 1083 m de vano, y un gran aumento en la longitud de la distancia

entre torres como ha sucedido con el puente del Gran Belt (1998) de 1624 m o el puente

sobre el estrecho de Akashi, actual récord con 1991 m entre torres y tablero en celosía.

La distancia entre torres seguirá ampliándose en el futuro con la construcción del puente

sobre el estrecho de Messina cuya longitud de vano será de 3300 m, y con nuevas ideas

para salvar barreras naturales como el proyecto del puente en la bahía de Tokio (2250 m

de vano principal). En España también existen estudios de construcción de este tipo de

puentes de gran vano como el enlace Rías Altas, en donde se han proyectado dos

puentes de más de 2 km de vano principal.

Entre los fenómenos que aparecen por efecto de la interacción entre el viento y la

estructura de los puentes colgantes, el más peligroso por su carácter destructivo es el

flameo. El flameo se produce a partir de una cierta velocidad crítica haciendo que una

pequeña oscilación se amplifique hasta que la estructura colapsa. Existen distintas

técnicas para su estudio en un puente entre las cuales se encuentra la metodología

híbrida que se ha venido desarrollando a partir de los trabajos publicados por Scanlan en

1971. Se denomina así por que consta de una fase experimental en donde se trabaja con

túneles de viento, donde se ensayan modelos reducidos de segmentos de tablero, y de

una fase computacional que determina con precisión el comportamiento de la estructura

completa.

Otro fenómeno que aparece por efecto del viento sobre los puentes de gran vano es el

bataneo. El bataneo son las vibraciones generadas en la estructura como consecuencia

de la naturaleza turbulenta del viento. Las rachas de viento de carácter aleatorio deben

considerarse como una carga dinámica que actúa sobre la estructura reduciendo la


3

operatividad si las oscilaciones que produce son de gran amplitud. Estas oscilaciones

reducen el tiempo de servicio del puente ya que pueden obligar a restringir el tráfico

para evitar accidentes y disminuyen su vida útil produciendo fatiga en los materiales.

Los primeros métodos híbridos creados para el análisis del bataneo de los puentes de

gran vano se basaban en el cálculo en el dominio de la frecuencia y proporcionaban las

desviaciones típicas de las vibraciones producidas por el viento turbulento. Actualmente

se están desarrollando métodos que permiten visualizar el comportamiento de la

estructura en el tiempo permitiendo también la aplicación de técnicas de análisis no

lineal de estructuras.

El estudio de los efectos del viento sobre los puentes resulta más complejo que en la

teoría de los perfiles que se utilizan en aeronáutica, ya que su forma no se puede

considerar como completamente aerodinámica debido a la presencia de barandillas y

barreras de protección. Por ello las secciones transversales de puentes necesitan

caracterizarse empleando modelos reducidos en túneles de viento identificando las

denominadas funciones de flameo que sirven para obtener las fuerzas aeroelásticas a

partir de los movimientos del tablero. Existen muy pocos laboratorios en el mundo

capaces de obtener simultáneamente las 18 funciones de flameo. Uno de los objetivos

de la presente tesis ha sido la obtención de las 18 funciones de flameo a partir de

ensayos seccionales en el túnel de viento de la E.T.S.I. de Caminos, Canales y Puertos

de la Universidad de la Coruña.

Los puentes de gran vano son estructuras muy flexibles que sufren grandes

movimientos por efecto de la deformada producida por la carga de viento estática. Esta

deformada hace que el ángulo de ataque a lo largo del tablero varíe de forma notable

hasta el punto de modificar el comportamiento aeroelástico de la propia estructura. Por

ello otro objetivo de la esta tesis ha sido averiguar la influencia de dicha variación en el

análisis de los fenómenos de flameo y bataneo.

Por otra parte, el análisis en el dominio de la frecuencia basado en la teoría de Scanlan

se fundamenta sobre la hipótesis de que las vibraciones producen pequeños

movimientos en la estructura y de que su comportamiento es lineal. Los métodos en el

dominio del tiempo prometen aportar la forma de eliminar estas dos hipótesis lo que


4

permitiría aumentar la precisión de los cálculos y diseñar estructuras más complejas.

Con este fin se plantea en la tesis el objetivo fundamental de estudiar los métodos en el

dominio del tiempo, para compararlos buscando los más eficientes e intentar mejorar su

aplicabilidad.

1.2 ORGANIZACIÓN DE LA MEMORIA-TESIS

Tras la introducción que se lleva a cabo en el primer capítulo, el capítulo 2 de la

presente tesis describe los fenómenos aeroelásticos que se presentan en los puentes de

gran vano y las tres metodologías que existen para su estudio: la metodología

experimental, los métodos basados en la mecánica computacional de fluidos, y la

metodología híbrida. Se exponen las ventajas y desventajas de unas metodologías frente

a las otras y se acota el ámbito de aplicación de cada una. Además, dado que la

metodología empleada a lo largo de la presente tesis es la híbrida, se exponen sus

fundamentos con mayor profundidad.

En el capítulo 3 se desarrolla la metodología para la caracterización aerodinámica y

aeroelástica de modelos seccionales de tableros de puentes utilizando el túnel de viento

de la E.T.S.I. de Caminos, Canales y Puertos de la Universidad de la Coruña. En primer

lugar se describe el procedimiento para la obtención de los coeficientes aerodinámicos

con un ensayo seccional con el modelo fijo. A continuación se describen los distintos

métodos existentes para la obtención de las funciones de flameo, tanto de forma

aproximada a partir de los coeficientes aerodinámicos, como mediante ensayos

experimentales. Se explica cómo obtener las 18 funciones de flameo con un modelo

seccional en vibración libre para lo cual se ha desarrollado un software denominado

PCTUVI que controla el túnel, adquiere los datos de los ensayos y a partir de los

mismos obtiene las funciones de flameo.

El capítulo 4 se dedica al análisis del flameo mediante el cálculo de autovalores. Se

explica la formulación matricial del flameo y se estudia la influencia que tiene en estos

análisis la consideración del ángulo de ataque modificado por la deformada que produce

la carga de viento estática. Para ello ha sido necesario previamente cuantificar la

influencia de dicha variación en el propio cálculo no lineal de la deformada que produce


5

la carga de viento estática, y en la modificación que produce esta deformación en los

modos y frecuencias naturales de vibración de la estructura.

El quinto capítulo trata el estudio de la respuesta frente al viento turbulento mediante

análisis espectral en el dominio de la frecuencia. A partir del espectro del viento en la

zona donde se ubica el puente es posible calcular el espectro de las vibraciones que

ocasiona en la estructura teniendo en cuenta también las fuerzas autoexcitadas que

conducen a la inestabilidad por flameo, y a partir de él la desviación típica de las

oscilaciones del puente. En este capítulo también se analiza cómo modifica la respuesta

frente al viento turbulento la variación del ángulo de ataque que produce la carga

estática del viento.

El capítulo 6 se centra en el cálculo de la respuesta de un puente colgante en el dominio

del tiempo. Se exponen y se comparan en primer lugar los dos métodos clásicos de

aeroelasticidad para la obtención de las fuerzas aeroelásticas que se basan en la

hipótesis de pequeños movimientos: la teoría de Theodorsen y la teoría de Wagner. La

teoría de Theodorsen es la precursora de la teoría de Scanlan que emplea las funciones

de flameo que dependen de la frecuencia, mientras que la teoría de Wagner emplea las

denominadas funciones indiciales que dependen del tiempo. Se compararán los

resultados de ambos métodos y se desarrollarán los procedimientos para la obtención de

las funciones indiciales a partir de las funciones de flameo. A continuación se

expondrán las dos teorías que admiten la hipótesis de grandes movimientos: la

formulación cuasi estática y el método de superposición de bandas. Como paso previo a

la comparación de los métodos de análisis de puentes en el dominio del tiempo, será

necesario simular un historial de velocidad de viento turbulento de referencia. Esto se

hará partiendo de espectros conocidos de fluctuaciones de velocidad de viento. La

respuesta estructural de movimientos se obtedrá mediante la integración directa paso a

paso de las ecuaciones aplicando métodos numéricos conocidos. Todos estos métodos

se van a aplicar en primer lugar sobre un sistema de un grado de libertad suponiendo la

forma aerodinámica simple de una placa plana. Posterioremente se llevarán a cabo

análisis del puente del estrecho de Akashi y del futuro puente de Messina.


6

El último capítulo antes de las conclusiones consiste básicamente en la descripción del

software elaborado durante la investigación, que implementa todos los tipos de análisis

que se han estudiado, tanto en el dominio del tiempo, como en el dominio de la

frecuencia, y con el que se han obtenido la mayor parte de los resultados mostrados.

Finálmente en el capítulo 8 se describen las conclusiones resultantes del conjunto de

investigaciones realizadas y se indican líneas futuras de extensión de los trabajos a otras

disciplinas asociadas a esta.

Equation Chapter (Next) Section 1

7

CAPÍTULO 2

METODOLOGÍAS AVANZADAS EN AEROELASTICIDAD

DE PUENTES DE GRAN VANO

2.1 INTRODUCCIÓN

El último siglo ha sido testigo de una evolución espectacular en la longitud de vano de

los grandes puentes colgantes, como son el puente del Gran Belt en Dinamarca con

1624 m entre torres, el del estrecho de Akashi en Japón con 1991 m o el futuro puente

sobre el estrecho de Messina en Italia con 3300 m. Este incremento de longitud hace

que estas estructuras sean cada vez más sensibles a las acciones del viento. Por otra

parte, la gran flexibilidad de este tipo de puentes conlleva la aparición de movimientos

importantes ocasionados por efecto del viento que modifican a su vez el flujo de aire

alrededor de la estructura. Esta dependencia recíproca entre las deformaciones y las

fuerzas del viento que las causan es un caso de interacción fluido-estructura y es el

objeto de estudio de la aeroelasticidad. Esta disciplina se define por tanto como la

ciencia dedicada al estudio de los fenómenos de interacción entre las fuerzas producidas

por el viento y los movimientos de las estructuras.

La aeroelasticidad surge inicialmente en el seno de la ingeniería aeronáutica y más tarde

se extiende al campo de la ingeniería civil. Adquirió importancia en la ingeniería de

puentes a raíz del bien conocido derrumbamiento en 1940 del puente de Tacoma (Figura

2.1), un puente diseñado con las mejores técnicas y métodos de cálculo de su época que,

tras cuatro meses de servicio, falló por efecto de un viento de solo 64

Capítulo 2 METODOLOGÍAS AVANZADAS EN AEROELASTICIDAD DE PUENTES DE GRAN VANO

8

km/h (Washington State Department of Transportation [130]). El colapso del puente de

Tacoma constató el desconocimiento que había de las acciones de viento en puentes, ya

que, según el cálculo realizado por el proyectista, el puente debía ser capaz de soportar

velocidades de viento muy superiores. Además para mayor asombro, los 800 m de vano

no suponían un récord que por aquel entonces ostentaba el Golden Gate (1280 m). Sin

embargo, sí se diferenciaba este puente por la sección bijácena del tablero frente a la

sección en celosía de tres planos del Golden Gate. Por ello, tras el desastre de Tacoma,

se reforzó la sección de ese puente cerrando el tablero con un cuarto plano de celosía

por la cara inferior.

Figura 2.1 Derrumbamiento del Puente de Tacoma en 1940. Washington State Department of

Transportation [130].

Otras consecuencias del desastre de Tacoma fueron el estancamiento en la construcción

de puentes de tanta longitud y la rigidización de la sección transversal de los mismos

mediante la adopción de celosías cerradas de gran canto para el tablero de estas

estructuras (Figura 2.2). Por otra parte, el colapso de Tacoma incitó a los ingenieros a

realizar numerosos estudios enfocados a explicar los fenómenos que tuvieron lugar allí,

como por ejemplo el trabajo de Ammann [2] o el de Wyatt & Walshe [132]; incluso


9

artículos recientes como los de Larsen [66] de 1997 siguen dedicándose a explicar lo

que ocurrió. El artículo de Yusuf & Scanlan [133] destaca por insistir en que el colapso

de la citada estructura fue consecuencia de la aparición del fenómeno aeroelástico del

flameo o flutter en la terminología inglesa y no fue un caso de resonancia como

explican erróneamente algunos libros de física.

Figura 2.2 Segundo puente del estrecho de Tacoma terminado en 1950. Washington State

Department of Transportation [130].

Para la comprensión y predicción de los fenómenos físicos que aparecen por causa de

las interacciones entre el viento y las estructuras, los ingenieros han estudiado su cálculo

mediante tres metodologías distintas:

• Metodología experimental

• Metodología híbrida

• Metodología computacional

La metodología experimental consiste en ensayar modelos reducidos de las estructuras

en túneles de viento. De las tres, es la más antigua y desarrollada. Con ella se han

estudiado y siguen estudiándose numerosas construcciones. Sin embargo, también


10

requiere instalaciones muy costosas que deben ser manejadas por ingenieros

experimentalistas especializados en este tipo de ensayos.

La metodología híbrida se compone de una primera etapa experimental para caracterizar

el comportamiento del tablero frente al viento y una segunda etapa en la que esta

información se utiliza en cálculos computacionales de un modelo estructural del puente

completo. Las instalaciones necesarias son más simples pero los resultados que

proporciona presentan la misma garantía que en los métodos completamente

experimentales.

La metodología computacional tiene por objetivo llevar a cabo el estudio aeroelástico

mediante simulación numérica de forma exclusiva. Para ello emplea métodos de

mecánica de fluidos computacional (Computational Fluid Dynamics, CFD). Con estos

métodos se han logrado grandes avances en muchos campos de la ingeniería como en la

aeronáutica, hidráulica, termodinámica… La aeroelasticidad computacional de puentes,

que podría incluirse dentro de la aerodinámica de cuerpos obtusos con números de

Reynolds altos, se encuentra todavía en fase de desarrollo. Sin embargo a pesar de la

dificultad actual para su aplicación, la mecánica computacional de fluidos promete ser

una herramienta muy útil en el futuro.

En este capítulo se describen en primer lugar los fenómenos físicos que aparecen en la

naturaleza por la interacción entre el viento y las estructuras. A continuación se hace un

repaso del estado actual de los métodos experimentales y se introduce la metodología

híbrida sobre la cual trata esta tesis, distinguiendo entre los análisis basados en el

dominio del tiempo o en el dominio de la frecuencia. Finalmente se explican algunos

conceptos sobre los métodos basados en la mecánica de fluidos computacional y se da

abundante información bibliográfica sobre estas prometedoras técnicas.


11

2.2 FENÓMENOS AEROELÁSTICOS

La interacción fluido-estructura que tiene lugar al incidir el viento sobre un cuerpo que

sufre movimientos da lugar a varios fenómenos aeroelásticos como se explica en Simiu

y Scanlan [114], Dowel [29] o Meseguer [83]:

• Divergencia torsional

• Desprendimiento de torbellinos

• Galope transversal

• Galope inducido por la estela

• Flameo

• Bataneo

2.2.1 Divergencia torsional La divergencia torsional es una inestabilidad aeroelástica estática que se produce por el

aumento de la fuerza de momento aerodinámico debido al incremento del ángulo de

ataque por la deformación. Al aumentar el ángulo de ataque se modifica de nuevo el

momento, pudiéndose alcanzar un valor que no sea resistido por la estructura. Es un

problema más común en alas de avión que en tableros de puente para los cuales no suele

aparecer esta inestabilidad por su mayor rigidez a torsión.

2.2.2 Vibración inducida por desprendimiento de torbellinos La vibración inducida por el desprendimiento de torbellinos (Vortex Induced Vibration)

es el fenómeno que se produce cuando la frecuencia de las fuerzas oscilantes causadas

por los torbellinos que se forman a sotavento de un cuerpo inmerso en el flujo de un

fluido coincide con su frecuencia natural de vibración. Debido a la forma no

aerodinámica de las secciones de tableros de puentes, al aumentar la velocidad del flujo,

la capa laminar se separa del contorno formándose una estela de torbellinos a sotavento

(Figura 2.3). Este fenómeno sucede cuando las fuerzas de inercia son más importantes

que las viscosas, es decir, cuando el número de Reynolds Re es grande:


12

Re VBρµ

= (2.1)

donde V es la velocidad del fluido, ρ es la densidad (ρaire = 1.225 kg/m3), µ es la

viscosidad (µaire = 1.7894e-5 kg/ms a 20 ºC), y B es la dimensión significativa que se

emplee, normalmente el ancho del tablero. Para un determinado rango de números de

Reynolds, la generación de torbellinos se produce con sentidos de giro alternativos

generando fuerzas de variación armónica.

Figura 2.3. Desprendimiento de torbellinos en las islas Canarias. NASA [90].

Si la frecuencia de las fuerzas generadas por el desprendimiento de torbellinos es

similar a la frecuencia natural del sistema elástico del cuerpo sobre el que incide el

viento se producen mayores amplitudes de oscilación. Además, en esta situación, el

movimiento de la sección controla la frecuencia de desprendimiento. Por ello, existe un

rango de velocidades de viento en el que se produce el acoplamiento entre la vibración

del sistema y el desprendimiento de vórtices (lock-in region) como se muestra en la

Figura 2.4 (Diana et al. [26], Larsen et al. [64]).


13

Velocidad de viento

Frecuencia

Frecuencia Natural.

Resonancia

Frecuencia de

desprendimiento

Figura 2.4 Evolución de la frecuencia de desprendimiento de torbellinos.

En tableros de puentes las vibraciones inducidas por los torbellinos se producen

normalmente para velocidades bajas de viento (24-46 km/h) sin efectos catastróficos

para la seguridad pero si peligrosos por problemas de fatiga e inaceptables para el

usuario (véase Astiz [4]). Por ello es importante suprimir estas oscilaciones en cuanto se

detectan. Las vibraciones inducidas por el desprendimiento de torbellinos suelen

producirse en el tablero aunque este fenómeno puede afectar a otros elementos como ha

sucedido recientemente durante la construcción a principios del año 2006 del puente

sobre el río Tajo en el embalse de Alcántara (Astiz [5]). En este puente, cuando se había

colocado el primero de los dos arcos y antes de construir el tablero, aparecieron unas

vibraciones apreciables a simple vista en las cuales el arco se movía con una geometría

antimétrica y de forma alternativa a la altura de los riñones (Figura 2.5). Después de

estudiar el problema en el túnel de viento de la Universidad Politécnica de Madrid, se

decidió modificar provisionalmente la sección transversal del arco añadiendo unos

alerones para reducir las vibraciones mientras se construía el tablero, como se muestra

en la Figura 2.6.

Figura 2.5 Forma de las vibraciones del puente sobre el embalse de Alcántara.


14

Figura 2.6 Puente sobre el embalse de Alcántara (izda). Detalle de alerones en arco (dcha).

EIPSA [30]

Una de las primeras explicaciones del colapso del puente de Tacoma fue precisamente

la creencia de que la excitación por torbellinos pudo originar las grandes deformaciones

que se observaron en el puente antes de su destrucción. Sin embargo, Yusuf y Scanlan

[133] explicaron claramente que la verdadera causa fue la interacción de la deformación

con el flujo de viento y por tanto se debió al fenómeno aeroelástico de flameo. Ha

habido otros puentes colgantes que presentaron cierta sensibilidad frente al fenómeno de

desprendimiento de torbellinos después de su construcción, como por ejemplo el

Golden Gate, Mil Islas, Isla de Deer, Fykesund, el Bronx-Whitestone (Vincent [126] y

Wardlaw [129]) y en el del Gran Belt (Frandsen [37]). También existen ejemplos de

puentes atirantados que han tenido problemas de vibraciones en el tablero o en los

cables debidas al este fenómeno: el de Longs Creek, el de Kessock y el del río Adige

(Belloli et al. [7]).

La forma de evitar la aparición de vibraciones debidas al desprendimiento de torbellinos

consiste en estudiar cuidadosamente la aerodinámica de la sección durante la fase de

diseño. Es posible también variar las frecuencias naturales de vibración para evitar que

se produzca el lock-in, o mitigar sus efectos aumentando el amortiguamiento estructural

mediante la adición de amortiguadores de masa afinados (Tuned Mass Dampers o

TMDs) (Ogata [94]).

En el puente de Bronx-Whitestone proyectado por Othmar Ammann (Figura 2.7) se han

empleado algunas de estas soluciones. El puente fue abierto al tráfico en 1939 con una

sección bijácena y seis carriles con un firme de hormigón. En 1940, después del colapso


15

de Tacoma, se le añadieron cables diagonales para estabilizar el tablero frente a vientos

fuertes. En 1946 le incorporaron unas celosías laterales de 4 m de alto que aumentaban

fundamentalmente la rigidez vertical del tablero así como su masa y oposición al viento.

En 1986 se montaron unos amortiguadores de masa afinados en el centro del vano.

Finalmente, y después de analizar la solución en el túnel de viento de la universidad de

Western Ontario, en la última modificación entre los años 2003 y 2004 se eliminaron las

celosías verticales, se sustituyó el firme de hormigón por uno más ligero de acero y de

resina epoxi, y se añadieron unos apéndices triangulares de fibra de vidrio en los

laterales del cajón para mejorar la aerodinámica del mismo.

Figura 2.7 Puente de Bronx-Whitestone en el 2002 (arriba) y en el 2003 (abajo).

New York Roads [50]


16

2.2.3 Galope El galope transversal o galloping es una inestabilidad característica de estructuras muy

esbeltas, como por ejemplo cables de tendido eléctrico en zonas frías donde el hielo

puede hacer que la sección adquiera una forma parecida a una letra D. Suele darse a

frecuencias menores que la inestabilidad inducida por la generación de torbellinos y

produce oscilaciones en dirección perpendicular al flujo con amplitud hasta 10 veces

mayor que la sección, por lo que se trata de un movimiento de 2º orden con grandes

desplazamientos (Chabart & Lilien [19]).

El galope inducido por una estela o wake galloping es otra inestabilidad típica de los

cables de alta tensión, pero en este caso se produce en cables ubicados a sotavento de

otro. Debido a la estela de torbellinos que genera el cuerpo ubicado a barlovento, se

producen unas vibraciones siguiendo una órbita elíptica casi tangente a los límites de la

estela. Este fenómeno se ha observado en catenarias de ferrocarril y líneas eléctricas en

las que los cables se tienden paralelos unos a los otros.

Figura 2.8 Principales vibraciones aeroelásticas en cables de puentes. SRI Hybrid Limited [118]


17

Las vibraciones de cables en puentes atirantados (Figura 2.8) se suelen corregir

variando las frecuencias de vibración arriostrándolos en algún punto. También suelen

disponerse conexiones que permiten el giro en los extremos de los cables o

amortiguadores que absorben vibraciones (Figura 2.9). Conviene evitar estas acciones

sobre los cables ya que pueden llegar a causar la rotura frágil por fatiga.

Figura 2.9 Amortiguadores en los cables en el puente atirantado de Mannheim (Alemania).

2.2.4 Flameo El flameo, flutter en inglés, es una inestabilidad aeroelástica en la cual las fuerzas del

viento cambian a causa de los movimientos de la estructura. De esta forma el viento

modifica la rigidez y el amortiguamiento del sistema. Cuando el amortiguamiento se

hace negativo un pequeño movimiento oscilatorio se amplifica exponencialmente hasta

que se produce el colapso estructural. El flameo sucede cuando la energía que se

transfiere del fluido a la estructura es tan grande que el amortiguamiento mecánico no es

capaz de disiparla. Se diferencia del desprendimiento de torbellinos en que los

desplazamientos no están limitados por el amortiguamiento estructural y se amplifican

exponencialmente. Además, una vez rebasada la velocidad crítica de flameo, este

movimiento ya no desaparece y se incrementa hasta el colapso de la estructura, mientras

que el fenómeno de desprendimiento de torbellinos se produce a frecuencias cercanas a


18

las naturales de la estructura en la llamada región lock-in, y al incrementar la velocidad

y cambiar la frecuencia de torbellinos, las vibraciones de mayor amplitud desaparecen.

Según Simiu y Scanlan [114] existen diferentes variedades de inestabilidad por flameo:

• Flameo clásico: se produce a la vez en los grados de libertad vertical y de torsión. Es

típico de alas de avión muy delgadas.

• Flameo por pérdida de sustentación: se produce en las alas de avión cuando el

ángulo de ataque se encuentra cerca de la posición de pérdida de sustentación. Se

debe a características no lineales de la fuerzas aeroelásticas en esta situación.

• Flameo en un grado de libertad: es típico de cuerpos no aerodinámicos o cuerpos

obtusos (bluff bodies) en las que existen movimientos predominantes en una

dirección.

• Flameo de paneles: oscilaciones producidas por el paso de un flujo de aire a gran

velocidad alrededor de una estructura laminar. Es típico de las láminas de cohetes

supersónicos. También es típico de banderas y cubiertas tensas de lona.

Dada la importancia del fenómeno del flameo para la seguridad de estructuras como

puentes de gran vano, es importante emplear medidas correctoras en la fase de diseño

para aumentar la velocidad crítica de flameo. Tales medidas son la modificación de

frecuencias naturales, el aumento del amortiguamiento o el cambio de forma en la

sección transversal del tablero (Cobo & Bengoechea [22]). Normalmente una sección

más alargada en el sentido del flujo es menos favorable a la aparición de inestabilidades

como el flameo o las vibraciones inducidas por torbellinos.

2.2.5 Bataneo El bataneo, o buffeting, es el fenómeno que se produce por causa de la incidencia del

viento turbulento alrededor de una estructura esbelta. Este viento fluctuante puede

deberse a la formación de la estela de un cuerpo situado a barlovento, o al rozamiento

con una superficie que produzca una capa límite turbulenta (Simiu & Scanlan [114]). El

bataneo es un fenómeno más típico de las construcciones de ingeniería civil que de las

estructuras diseñadas en la ingeniería aeronáutica. Estructuras como puentes o edificios

de gran altura suelen estar sometidos a las turbulencias producidas por la orografía y las


19

edificaciones que le rodean. Las velocidades de viento fluctuantes que se originan en

estas situaciones deben analizarse como variables aleatorias en el espacio y en el tiempo

(Wirsching et al. [131] y Bocciolone et al. [10]). La respuesta de un puente de gran vano

frente al bataneo puede medirse en un túnel de viento de capa límite ensayando un

modelo completo que incluya la orografía colindante. También puede calcularse

computacionalmente utilizando análisis espectral para caracterizar la carga de viento

turbulento. Para ello se necesitan también datos experimentales obtenidos de ensayos

seccionales del tablero que definen su comportamiento aerodinámico y aeroelástico. El

estudio de fenómenos de flameo y bataneo es una parte fundamental de la presente tesis

por lo que se analizarán en capítulos sucesivos.

2.3 MÉTODOS EXPERIMENTALES

Como se ha mencionado anteriormente, los métodos experimentales se basan en el

empleo de modelos reducidos de estructuras completas ensayados en túneles de viento

para la obtención de la respuesta estructural frente a las acciones del viento. La historia

de los túneles de viento se remonta al siglo XIX. En aquel entonces no estaba tan claro

el modo en que debían ensayarse los objetos frente a la acción del viento. Sin embargo,

después la experimentación con brazos giratorios y otras máquinas en las cuales se

movía el cuerpo en lugar del aire, Frank H. Wenham construyó el primer túnel de viento

en 1871 en Inglaterra. Dicho túnel tenía una longitud de 3.6 m, una sección de 116 cm2,

y su ventilador estaba impulsado por un motor de vapor. En él midió la sustentación y el

arrastre de varias secciones, lo cual tuvo un gran impacto en la aeronáutica de la época.

Desde entonces hasta la actualidad los túneles de viento han aumentado en número,

tamaño y velocidad de viento, logrando su mayor aplicabilidad en el campo de la

ingeniería aeronáutica y aeroespacial (Figura 2.10). En Baals & Corliss [6] se expone de

forma más detallada la historia de los túneles de viento.


20

Figura 2.10 Tipos de túnel de viento según el rango de velocidades. Baals & Corliss [6]

Por otro lado, los túneles de viento se han aplicado también en la ingeniería naval, en

automoción y en ingeniería civil entre otros campos. El primer estudio con túnel de

viento aplicado a construcciones según Holmes [49] data de 1893. En ese año W. C.

Kernot empleó un túnel de viento para medir la fuerza del viento sobre edificios. Kernot

estudió las fuerzas de viento sobre cubos, cilindros e incluso cubiertas. Al año siguiente,

según Larose y Franck [62], Irminger estudió las presiones ejercidas por el viento sobre

algunos cuerpos simples colocándolos en el interior de una chimenea.

En cuanto se refiere a la experimentación con puentes en túneles de viento no se conoce

ningún estudio significativo hasta los ensayos del modelo completo del primer puente

de Tacoma realizados por Farquharson [32] y supervisados por Von Kárman en 1942.

Farquharson ensayó en el túnel de viento de la Universidad de Washington [124] un

modelo de puente completo a escala 1/200 y un modelo de la sección del tablero a

escala 1/20 (Figura 2.11). En estos ensayos se modelaban tanto las cualidades

aerodinámicas del puente, como las propiedades estructurales, consiguiéndose

reproducir la interacción entre el fluido y la estructura. Por ello, este trabajo sirvió para

sentar las bases de la aeroelasticidad experimental de puentes.


21

Figura 2.11 Ensayo del modelo completo del puente de Tacoma. Washington State Department

of Transportation [130].

Desde los estudios de Farquharson el método experimental se ha desarrollado e

implantado mundialmente como técnica para modelar la respuesta estructural de puentes

frente a la acción del viento. Existe un número apreciable de túneles de viento de capa

límite que se dedican a este tipo de estudios entre los que se destacan: el de la

Universidad de Western Ontario [1] (Canadá), el del Danish Maritime Institute [24], el

del Politécnico de Milán [41], y el del Ministerio de la Construcción japonés en

Tsukuba [99].

El túnel de la Universidad de Western Ontario, comandado por Alan G. Davenport [25],

ha servido para el diseño aerodinámico de un gran número de puentes en todo el mundo

como por ejemplo la última modificación del puente de Bronx-Whitestone. El diseño

del puente del Gran Belt en Dinamarca fue estudiado en el túnel de viento del Danish

Maritime Institute por Larsen [64]. El diseño preliminar de 1992 del puente sobre el

estrecho de Messina también se ensayó en este túnel, mientras que el modelo del

proyecto constructivo se ensayó en el túnel del Politécnico de Milán [8]. En el túnel de

viento del Ministerio de la Construcción japonés en Tsukuba se ensayó el modelo del

puente sobre el estrecho de Akashi (Figura 2.12). Para ensayar el puente colgante con

mayor vano del mundo hubo que construir el túnel de viento de capa límite de mayores


22

dimensiones del mundo. La escala era 1/100 y por tanto la cámara de ensayos tenía más

de 40 m de anchura. Según el experimento para una velocidad equivalente de 268 km/h

el puente tendría una flecha horizontal de 30 m y un giro de 4º.

Figura 2.12 Modelo completo del puente sobre el estrecho de Akashi. PWRI [99].

12

34

5

6


23

Los túneles de viento mencionados anteriormente son túneles de capa límite. Esto

significa que buscan simular la capa límite atmosférica de la zona en donde se ubica la

estructura. Para ello en una fase previa se modela el terreno a una escala pequeña

(1:2000 a 1:5000) para conocer las características estadísticas de la turbulencia que

afecta al puente (Meseguer [83]). Entonces se ensaya el puente a una escala más grande

que puede variar entre 1:100 y 1:300 (Simiu [113]), y se genera una capa límite con las

características turbulentas obtenidas de los ensayos mencionados anteriormente o sobre

el terreno real. Para generar esta capa límite se disponen rugosidades durante una

longitud suficiente previa a la ubicación del modelo. Para que se pueda desarrollar esta

capa límite es necesaria una cámara de ensayos de gran longitud pudiendo llegar a ser

de decenas de metros.

Los modelos completos así ensayados deben ser semejantes geométricamente al

prototipo y mantener también la escala de frecuencias y rigideces para modelar

simultáneamente los efectos aerodinámicos y aeroelásticos. Además la escala no puede

ser muy grande para que la diferencia en el número de Reynolds no invalide los

resultados, todo lo cual complica y encarece la realización de estos experimentos. Por

otro lado, esta metodología se puede extender a todo tipo de estructuras flexibles en

donde puedan aparecer fenómenos aeroelásticos, como pueden ser cubiertas de estadios,

edificios, antenas, etc. Además de los fenómenos de flameo y bataneo, pueden

estudiarse el desprendimiento de torbellinos o el galope, o estudiar el campo de

velocidades alrededor del puente empleando líneas de humo, velocímetros de imágenes

de desplazamiento de partículas (PIV) (Raffel et al. [100]) o velocímetros láser-doppler

(LDV) (George & Lumley [4] y Cogotti [23]) como el ejemplo que se muestra en la

Figura 2.13.


24

Figura 2.13 Flujo detrás de un retrovisor obtenido con un LDV. Cogotti [23]

Según el Committe on Wind Effects de la ASCE los ensayos de modelo completo en

túnel de capa límite presentan las siguientes ventajas:

• Se representa la interacción entre todos los elementos del puente.

• Se modelan las distorsiones del flujo debidas a la presencia del terreno.

• Si la escala es suficiente pueden reproducirse las turbulencias de la ubicación real

del puente.

Entre las desventajas figuran:

• El gran coste de los modelos e instalaciones.

• Resulta muy difícil mantener la proporcionalidad en la geometría y a la vez en las

propiedades mecánicas.

• Las modificaciones en los modelos son difíciles de realizar.

Otra ventaja de este tipo de ensayos según Mosquera [88] y Nieto [91] es que permiten

la identificación de reacciones, movimientos, inestabilidades aeroelásticas, así como una

clara visualización de la deformación del modelo. Por otra parte, para que los resultados

sean válidos la escala no debe ser menor de 1:300, lo que obliga a aumentar el tamaño

del túnel de viento a medida que se incrementa la longitud del puente a ensayar.


25

Existen otros métodos experimentales para el estudio aeroelástico de los puentes aunque

su precisión es menor que la del modelo completo. Por ejemplo en algunos laboratorios

se ensayan modelos de tira tensa o taut strip models (Tanaka & Davenport [120]), que

consisten en una porción de tablero sujeta por cables tesados de manera que se

reproducen las primeras frecuencias de vibración torsional, vertical y horizontal del

tablero. Estos modelos proporcionan resultados menos precisos que los modelos

completos ya que en ellos solo se emplean las primeras frecuencias y no se reproduce la

forma de los modos de vibración. Además no se modela el resto de elementos del

puente ni la capa límite.

Por último, cabe añadir que, junto a los ensayos enfocados a la obtención de la

estructura global del puente, puede ser necesario estudiar los efectos locales sobre

algunas partes como cables o barreras de viento (Jones et al. [52]). En estos casos no es

necesario un túnel de viento de tan grandes dimensiones ya que, además de no requerir

la simulación de la capa límite, los elementos a ensayar no requieren escalas grandes.

2.4 MÉTODOS HÍBRIDOS

Los métodos híbridos de aeroelasticidad en puentes se distinguen por emplear el cálculo

computacional para la simulación de la respuesta estructural, y los ensayos en túnel de

viento para la definición de las cargas de viento por unidad de longitud sobre el tablero.

En primer lugar, en el túnel de viento se ensaya un modelo seccional del tablero

obteniéndose los coeficientes aerodinámicos con los que se modela la carga estática, y

las funciones de flameo, que definen las fuerzas aeroelásticas. Por otro lado la

deformada ocasionada por la carga de viento estática y las tensiones en materiales se

obtienen computacionalmente analizando un modelo de elementos finitos. Estos

métodos de cálculo presentan importantes ventajas sobre el ensayo de modelos

completos en un túnel de capa límite. En primer lugar, no dependen de la longitud del

puente y no necesitan instalaciones tan grandes y costosas. Permiten también la

modificación sencilla de parámetros estructurales durante la fase computacional. Por

ejemplo se puede modificar la colocación de los cables (Jurado et al. [54], Hernández et

al. [48]). Incluso es posible la optimización de las propiedades mecánicas de la


26

estructura (Nieto [91], Jurado et al. [53], Mosquera et al. [89], Hernández et al. [44]).

Sin embargo, el ensayo proporciona menos información estructural que el otro método y

la visualización de la evolución de los movimientos del puente completo es imposible.

El grupo de Mecánica de Estructuras de la Universidad de la Coruña, salva esta última

desventaja empleando visualización avanzada por computador (Figura 2.14) para

representar los movimientos en el tiempo con datos precisos y alta calidad gráfica,

consiguiéndose de esta forma aunar las ventajas de los métodos experimentales y

computacionales (Hernández y Jurado [47]).

Figura 2.14 Visualización avanzada de la respuesta aeroelástica de un puente. Hernández [45].

La presente tesis emplea el método híbrido para el estudio de los fenómenos

aeroelásticos de flameo y bataneo de puentes de gran vano. Mediante métodos híbridos


27

es posible estudiar también el galope o el fenómeno de desprendimiento de torbellinos

en el tablero o en los cables (Diana et al. [26]). La base de los métodos híbridos está en

la modelización experimental de las fuerzas que produce el viento sobre el tablero. Éstas

se dividen en fuerzas estáticas o aerodinámicas fs debidas a las velocidades de viento

medias, fuerzas aeroelásticas fa inducidas por los movimientos del tablero, y fuerzas de

bataneo fb producidas por las turbulencias del flujo. Las distintas fuerzas se introducen

en la ecuación de equilibrio dinámico del tablero

· · · s a b+ + = + +M u C u K u f f f (2.2)

donde M, C y K son respectivamente las matrices de masa, amortiguamiento y rigidez

del sistema, y u el vector de desplazamientos.

2.4.1 Fuerzas aerodinámicas Las fuerzas aerodinámicas fs de arrastre Ds, sustentación Ls y momento Ms se modelan

empleando coeficientes adimensionales aerodinámicos CD, CL y CM . Estas fuerzas

cuyos sentidos se toman positivos según se indica en la Figura 2.15 se calculan en un

túnel de viento aerodinámico ensayando un modelo seccional de tablero fijo, con todos

los movimientos impedidos. Las fuerzas aerodinámicas dependen del ángulo de ataque

α que se define como el ángulo entre la dirección del viento medio y el eje horizontal de

la sección. Para un tablero de anchura B, con velocidad viento V y densidad del aire ρ

las fuerzas por unidad de longitud en forma vectorial son:

2

( )1 ( )2

( )

s D

s s L

s M

D CL V B CM BC

αρ α

α

⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪= = ⋅⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭

f (2.3)


28

V Ls

Ms α

Ds

Figura 2.15. Criterio de signos de las fuerzas aerodinámicas.

En la Figura 2.17 se muestran los coeficientes aerodinámicos obtenidos en el túnel de

viento de la E.T.S.I. de Caminos, Canales y Puertos de La Coruña para una sección

semejante al tablero del Gran Belt. Un ejemplo de ensayo seccional aerodinámico puede

observarse en la fotografía de la Figura 2.16.

Figura 2.16. Ensayo aerodinámico en el túnel de la ETSI de Caminos Canales y Puertos de La

Coruña.


29

0,00

0,20

0,40

-20 0 20

Ángulo de ataque (º)

Cd

-1,00

0,00

1,00

-20 0 20


Cl

-0,10

0,00

0,10

-20 0 20


Cm

Figura 2.17. Coeficientes aerodinámicos calculados de una sección semejante a la del Gran Belt

calculados por Rey [102].


30

Experimentalmente se comprueba que los coeficientes aerodinámicos de cuerpos

obtusos varían en función del número de Reynolds. En la Figura 2.18 se muestra la

evolución del coeficiente de arrastre de un cilindro al aumentar el número de Reynolds.

En función de la forma del flujo alrededor del cilindro y en la estela se distinguen varios

regímenes en los cuales los coeficientes aerodinámicos varían de forma distinta. El flujo

alrededor de las secciones de tableros de puentes se caracteriza por tener números de

Reynolds muy altos. Sin embargo en los túneles de viento convencionales no es posible

alcanzar estos números de Reynolds. Por ello cuando se obtienen los coeficientes

aerodinámicos es necesario comprobar que se ha alcanzado el régimen supercrítico en el

que los coeficientes aerodinámicos se estabilizan.

Figura 2.18. Coeficiente de arrastre de un cilindro en función del número de Reynolds.

2.4.2 Fuerzas aeroelásticas Para modelar las fuerzas aeroelásticas fa sobre el tablero de un puente existen dos

posibilidades: la primera es emplear unas funciones adimensionales, denominadas de

flameo, que dependen de la frecuencia y de la velocidad del viento; la segunda es

utilizar funciones indiciales que sirven para expresar el régimen transitorio que se

produce en las fuerzas aerodinámicas cuando se produce un cambio brusco en el ángulo

de ataque.


31

Modelo de funciones de flameo Las funciones de flameo fueron introducidas en 1971 por Scanlan [106] quien extendió

la teoría de Theodorsen para el flameo de una placa plana [122] a secciones de tableros

de puentes. Las fuerzas aeroelásticas por unidad de longitud linealizadas en función de

los movimientos y las velocidades del tablero según la teoría de Scanlan son las

siguientes (Figura 2.19):

* * * * * *

1 5 2 4 6 3* * * 2 2 * * *5 1 2 6 4 3* * 2 * * * 2 *5 1 2 6 4 3

1 1· ·2 2

al

a a

a

a a

D P P BP p P P BP pL VKB H H BH h V K H H BH hM BA BA B A BA BA B A

ρ ρα α

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= = + =⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎝ ⎠ ⎝ ⎠= +

f

C u K u

(2.4)

donde ρ es la densidad del aire, V es la velocidad media del viento, B es el ancho total

de la sección y Pi*, Hi

*, Ai* con i = 1…6 son las funciones de flameo o de Scanlan que

deben calcularse experimentalmente para un ángulo de ataque α. Estas funciones

dependen de la forma de la sección, y varían con la frecuencia de oscilación ω

expresada adimensionalmente como frecuencia reducida K = ωB/V = 2k (Jurado et al.

[58]).

V α

h La

Da p

Ma

Figura 2.19 Criterio de signos de Scanlan para desplazamientos y fuerzas en la sección del

tablero de un puente.

La expresión de las fuerzas aeroelásticas mediante las funciones de flameo (2.4) permite

el análisis de la condición de flameo empleando el cálculo de autovalores (Jurado [56]).


32

Suponiendo que sólo actúan las fuerzas aeroelásticas y escribiendo en forma matricial la

ecuación de equilibrio dinámico del tablero queda como

a a a+ + = = +Mu Cu Ku f C u K u (2.5)

donde Ka y Ca son respectivamente las matrices aeroelásticas de rigidez y

amortiguamiento que se calculan empleando las funciones de flameo. Como se verá en

el capítulo 4, a partir de (2.5) se llega a un problema de autovalores de la forma

( ) 0wIA =− teµµµ (2.6)

donde en la formación de la matriz A intervienen las matrices K, Ka, C y Ca. Cuando se

alcanza la velocidad crítica de flameo, alguno de los autovalores µ presenta un

amortiguamiento nulo, lo que es síntoma del umbral de la inestabilidad.

Este método para el cálculo del flameo no tiene en cuenta la influencia de las fuerzas

turbulentas en el fenómeno. Una posible mejora que se plantea en esta tesis es introducir

el ángulo de ataque dinámico en el cálculo de la respuesta, lo cual puede resultar

importante teniendo en cuenta que el flameo afecta directamente a la seguridad del

puente. En el capítulo 4, se analiza la influencia sobre el flameo del ángulo de ataque

debido a la deformada que produce la carga de viento estática empleando el cálculo de

autovalores. En el capítulo 6 se estudia mediante un análisis en el dominio del tiempo la

influencia del ángulo de ataque dinámico. El ángulo de ataque dinámico es el que forma

la línea media de la sección con la resultante de componer el vector de la velocidad

media del viento con la dirección instantánea de las fluctuaciones y del movimiento de

la sección.

Por otra parte, la obtención de las funciones de flameo es una tarea compleja ya que

dependen de la frecuencia de vibración. Existen tres formas diferentes de obtenerlas a

partir de ensayos de un modelo seccional en un túnel de viento. La primera es

imponiendo un movimiento armónico con un sistema de control activo como el

empleado en el túnel de viento del Politécnico de Milán [27]. La segunda es a partir de


33

la vibración libre de una sección inmersa en un flujo de viento. En este caso las

funciones de flameo se obtienen midiendo la variación de la rigidez y del

amortiguamiento al aumentar la velocidad del viento (Sarkar et al. [105], León et al.

[75] y [76]). Por último, existe la posibilidad de estimar el valor de las funciones de

flameo a partir de la respuesta de la estructura frente a una carga de viento aleatoria

como el trabajo realizado por Gu [43] o el de Zasso et al. [134].

En el capítulo 3 de la presente tesis se trata la obtención de las funciones de flameo

mediante ensayos seccionales en vibración libre (León et al. [78], Jurado et al. [57]). Se

ha desarrollado una metodología para la realización de ensayos de hasta tres grados de

libertad, y un software que obtiene los desplazamientos del modelo durante la

realización de los ensayos. Este software (León et al. [77] y Nieto et al. [92]) obtiene las

propiedades de rigidez y amortiguamiento del sistema con y sin viento empleando el

método en el dominio del Tiempo de Ibrahím Modificado (MITD) (Maia & Silva [81]).

Finalmente, a partir de la rigidez y amortiguamiento con y sin viento, obtiene las

funciones de flameo.

Modelo de funciones indiciales Por otra parte, en la teoría de Wagner [127] se emplean las funciones indiciales (Figura

2.20) que expresan la variación con el tiempo de la carga aerodinámica tras un cambio

brusco con el ángulo de ataque. Para la placa plana Wagner demostró que esta fuerza es

la mitad en el instante inicial y tiende al valor estático a tiempo infinito.

Figura 2.20. Funciones indiciales de Jones )(sφ y Garrick )(sψ para la placa plana.

s=2Vt/B

)(sφ )(sψ


34

Cuando se extiende esta teoría a secciones de tableros de puentes con tres grados de

libertad, las expresiones de las fuerzas aeroelásticas quedan como (Borri et al [11]):

( )

( ) )

2 ( ) ( )1 ˆ · (0) '( ) d ˆ ˆ2

( ) ( )(0) '( ) d

(0) ( ) '( ) ( ) d

sD s D sa D Dp Dp

D D

ss sDh Dh

s

D s D s

C p s C p sD s V BC Φ Φ

C V C V

h s h sΦ Φ

V V

Φ s Φ sα α

σρ σ σ

σσ σ

α σ α σ σ

−∞

−∞

−∞

⎛ ⎛ ⎞−= − −⎜ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎝ ⎠⎝

⎛ ⎞−+ + ⎜ ⎟

⎝ ⎠

+ + −

∫

∫

∫

( )

( ) )

2 ( ) ( )1 ˆ · (0) '( ) d ˆ ˆ2

( ) ( )(0) '( ) d

(0) ( ) '( ) ( ) d

sL s L sa L Lp Lp

L L

ss sLh Lh

s

L s L s

C p s C p sL s V BC Φ Φ

C V C V

h s h sΦ Φ

V V

Φ s Φ sα α

σρ σ σ

σσ σ

α σ α σ σ

−∞

−∞

−∞

⎛ ⎛ ⎞−= − −⎜ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎝ ⎠⎝

⎛ ⎞−+ + ⎜ ⎟

⎝ ⎠

+ + + −

∫

∫

∫

(2.7)

( )

( ) )

2 2 ( ) ( )1 ˆ · (0) '( ) d ˆ ˆ2

( ) ( )(0) '( ) d

(0) ( ) '( ) ( ) d

sM s M sa M Mp Mp

M M

ss sMh Mh

s

M s M s

C p s C p sM s V B C Φ Φ

C V C V

h s h sΦ Φ

V V

Φ s Φ sα α

σρ σ σ

σσ σ

α σ α σ σ

−∞

−∞

−∞

⎛ ⎛ ⎞−= − −⎜ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎝ ⎠⎝

⎛ ⎞−+ + ⎜ ⎟

⎝ ⎠

+ + −

∫

∫

∫

En estas ecuaciones, aparece la derivada de los coeficientes aerodinámicos con respecto

al ángulo de ataque α : ˆDC , ˆ

LC y ˆMC , el tiempo adimensional 2 /s Vt B= y las

funciones indiciales QΦ α , QhΦ , QpΦ (donde Q=L, M y D) que describen la evolución de

las fuerzas de arrastre, sustentación y momento respectivamente, debidas a un

incremento unitario en el ángulo de ataque ( )s sα , la velocidad vertical

( )( )sdh sh s

ds= , (2.8)

y la velocidad lateral


35

( )( )sdp sp s

ds= (2.9)

definidas como componentes relativas con respecto a la posición de equilibrio principal.

El operador “˙” indica que se trata de la derivada con respecto a s. Las expresiones

derivadas de la teoría de Theodorsen y las derivadas de la teoría de Wagner son

equivalentes como se muestra en el capítulo 6.

Figura 2.21. Esquema del ensayo para la obtención de funciones indiciales sometiendo al

modelo a un giro brusco. Caracoglia [15]

La forma más extendida de obtener las funciones indiciales es a partir de las funciones

de flameo (Caracoglia [16]). Otra posibilidad es obtenerlas directamente mediante

ensayos seccionales en túnel de viento como el esquematizado en la Figura 2.21

(Caracoglia [15]) aunque este método plantea serias dificultades por la presencia de las

fuerzas inerciales.

2.4.3 Fuerzas de bataneo Las otras fuerzas que quedan por reseñar son las fuerzas producidas por las turbulencias

del viento o fuerzas de bataneo fb. En la teoría de Scanlan estas fuerzas se calculan


36

empleando los coeficientes aerodinámicos, junto con las fluctuaciones de la velocidad

del viento

2

ˆ2

ˆ ( )2 ( )1( )( )2

ˆ2

D D

bvl L L D

b bv

bM M

C CV VD

u tC C Ct L V Bw tV V

MC CB BV V

ρ

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎧ ⎫ ⎜ ⎟ ⎧ ⎫+⎪ ⎪= = ⎜ ⎟⎨ ⎬ ⎨ ⎬

⎩ ⎭⎜ ⎟⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎜ ⎟

⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

f (2.10)

donde ρ es la densidad del aire, V es la velocidad media del viento, B es el ancho de la

sección del tablero, uv y wv son las velocidades de fluctuación en la dirección media del

viento y en dirección vertical, y CD, CL, CM, C D, C L, C M, son los coeficientes

aerodinámicos de arrastre, sustentación y momento y sus correspondientes derivadas

con respecto al ángulo de ataque α. Para considerar un valor más preciso de las fuerzas

de bataneo que tenga en cuenta la variación de la frecuencia de las fluctuaciones, es

necesario corregir los valores de los coeficientes aerodinámicos y sus derivadas

mediante las denominadas funciones de admitancia que se suelen denotar vDuχ ,

vLuχ ,

vMuχ , vDwχ ,

vLwχ y vMwχ . La razón de que las fuerzas de bataneo dependan de la

frecuencia de los torbellinos se debe a la relación entre la frecuencia y el tamaño de los

mismos. Cuanto mayor es el torbellino, menor es su frecuencia. Asimismo, los

torbellinos de tamaño mucho mayor que la sección del tablero, afectan a éste en su

conjunto, casi como si fuera un cambio estático de la velocidad media mientras que los

más pequeños afectan al tablero de forma localizada pudiéndose compensar entre sí las

presiones que ejerce cada torbellino.

Empleando las funciones de admitancia para modificar las fuerzas de bataneo (2.10) en

función de la frecuencia se obtiene la siguiente expresión (Simiu & Scanlan [114]):

2

ˆ2

ˆ ( )2 ( )1( )( )2

ˆ2

v v

v v

v v

D DDu Dw

bvl L L D

b b Lu Lwv

bM M

Mu Mw

C CV VD

u tC C Ct L V Bw tV V

MC CB BV V

χ χ

ρ χ χ

χ χ

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎧ ⎫ ⎜ ⎟ ⎧ ⎫+⎪ ⎪= = ⎜ ⎟⎨ ⎬ ⎨ ⎬

⎩ ⎭⎜ ⎟⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎜ ⎟

⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

f (2.11)


37

Por otra parte, al igual que con las funciones de flameo, existen equivalentes en el

dominio del tiempo de las funciones de admitancia (Lazzari [70]) análogas a las

funciones indiciales y que se pueden emplear junto con la teoría de Wagner.

2.4.4 Clasificación de los métodos híbridos según el tipo de análisis Una vez que se tienen las fuerzas aerodinámicas, las fuerzas aeroelásticas y las fuerzas

de bataneo, puede emplearse la teoría de cálculo dinámico de estructuras y el método de

elementos finitos (Figura 2.22) para calcular la respuesta estructural. Con el método de

los elementos finitos se obtienen las matrices de masa M, rigidez K y amortiguamiento

C del problema dinámico

· · · s a b+ + = + +M u C u K u f f f (2.12)

Si se conocen las fuerzas para cada instante de tiempo es posible obtener la respuesta

dinámica mediante técnicas de integración paso a paso. Este modo de proceder se

denomina análisis en el dominio del tiempo y tiene como principal inconveniente que

requiere un gran esfuerzo computacional tanto en términos de memoria como de

potencia de cálculo. Por ello se han desarrollado primero técnicas en el dominio de la

frecuencia para el análisis híbrido. El análisis en el dominio de la frecuencia se

fundamenta en la descomposición en armónicos de todos los términos de la ecuación

(2.12) mediante la transformada de Fourier. Al mismo tiempo para disminuir el número

de grados de libertad y con ello la dimensión del problema se emplea el análisis modal.


38

Figura 2.22 Modelo de elementos finitos de un puente colgante. MIDAS [84]

Análisis en el dominio de la frecuencia El análisis híbrido en el dominio de la frecuencia comienza por disminuir el número de

grados de libertad del sistema empleando análisis modal en la ecuación (2.12). El

análisis modal se basa en la descomposición de los movimientos u de la estructura en

una base vectorial =u Φq en donde la matriz de transporte Φ esta formada por los

modos propios de vibración de la estructura en columnas y el vector q se denomina

vector de participaciones ya que expresa la aportación de cada modo al movimiento.

Mediante esta transformación la ecuación (2.12) queda

( ) ( )· · ·a a b+ − + − =M Φq C C Φq K K Φq f (2.13)

donde Ka y Ca son las matrices aeroelásticas que se crean empleando las funciones de

flameo. Multiplicando por la izquierda por la transpuesta de la matriz de modos y

suponiendo que la solución es de la forma q = w·ei·ω·t, se llega a


39

( ) ( ) ( )Tbt tω =V q Φ f (2.14)

donde a la matriz V(ω)

( )( ) ( )2( ) T Ta aiω ω ω= − − + −V Φ K K Φ I Φ C C Φ (2.15)

se le denomina matriz de impedancia.

Para eliminar la variable temporal se lleva a cabo la transformada de Fourier de los dos

miembros con lo que el problema dinámico se reduce a resolver para cada frecuencia ω

un sistema de ecuaciones lineal de la forma

( )· ( ) ( )Tbω ω ω=V q Φ f (2.16)

donde ( ) i( )· tb b t e dtωω

∞ −

−∞= ∫f f es la transformada de Fourier de las fuerzas de bataneo,

( ) i( )· tt e dtωω∞ −

−∞= ∫q q es la transformada de Fourier de la respuesta de cada uno de los

modos de vibración.

Por otra parte, dado que las fluctuaciones del viento uv y wv son aleatorias,

habitualmente se describen mediante funciones de densidad espectral en lugar de series

temporales (Jurado et al. [55] y León et al [73]). Las funciones de densidad espectral o

espectros son la expresión de la energía que transporta cada una de las ondas en que se

puede descomponer una serie temporal. El espectro del viento en un lugar concreto

puede medirse in-situ o estimarse a partir de un modelo del terreno en un túnel de viento

de capa límite. Es posible también emplear expresiones empíricas proporcionadas por

distintos autores para distintos tipos de terreno como las que se muestran en la Figura

2.23. Como se explica en el capítulo 5, a partir de los espectros del viento es posible

calcular los espectros de las fuerzas de bataneo, y a partir de estas últimas los espectros

de respuesta de la estructura. Por último, con los espectros de respuesta es posible

estimar la desviación típica de las vibraciones de la estructura.


40

Figura 2.23. Espectro de Kaimal y del Nacional Building Code of Canada. Simiu [113].

Este método de análisis produce un ahorro importante en el coste computacional del

cálculo. Sin embargo, el análisis en el dominio de la frecuencia tiene como contra

partida la imposibilidad de incluir en el cálculo algunos efectos no lineales como la

variación del ángulo de ataque a cada instante.

Análisis en el dominio del tiempo El análisis aeroelástico en el dominio del tiempo consiste en la obtención paso a paso

(Clough [21]) de la respuesta de la estructura frente a la carga de viento. Los métodos

de integración paso a paso, como por ejemplo el de Euler-Gauss o los de Newmark,

permiten calcular los desplazamientos y sus derivadas en un instante a partir de los

desplazamientos y derivadas en un instante anterior. Para ello resuelven de manera

discreta la ecuación del equilibrio dinámico de la estructura

· · · s a b+ + = + +M u C u K u f f f . (2.17)

Estos métodos están muy extendidos en el cálculo dinámico de estructuras, sin embargo

su aplicación al análisis aeroelástico entraña la dificultad de la determinación de las

fuerzas aeroelásticas fa, ya que dependen de los movimientos de la propia estructura, y

de las fuerzas de bataneo fb, por depender de las fluctuaciones del viento que tienen un

carácter aleatorio. Por su parte, la respuesta frente a las fuerzas aerodinámicas fs suele

hacerse como paso previo mediante un cálculo estático que puede refinarse empleando

el perfil vertical de velocidades de viento y el ángulo de ataque de la estructura

deformada.


41

Como se describió en el punto 2.4.2 del presente capítulo, para la definición de las

fuerzas aeroelásticas fa pueden emplearse las funciones de flameo o las funciones

indiciales. Las funciones de flameo dependen de la frecuencia de los desplazamientos lo

que dificulta su utilización en el dominio del tiempo. Para resolver este problema es

posible recurrir a la descomposición en armónicos de la excitación o bien emplear las

frecuencias propias de vibración de la estructura como se explica en el capítulo 6 de la

presente tesis. Cuando se emplean funciones indiciales, las fuerzas aeroelásticas se

calculan en cada instante a partir de los desplazamientos en los instantes anteriores pero

no dependen de la frecuencia de la respuesta. Al requerir los movimientos de un periodo

de tiempo anterior suficientemente largo y no sólo del instante anterior como sucede

con el empleo de funciones de flameo, el uso de funciones indiciales demanda mucha

más memoria y además impide la variación del ángulo de ataque en cada instante de

tiempo.

Los métodos de análisis en el dominio del tiempo permiten la introducción de

numerosos efectos no lineales en el análisis aeroelástico. Ejemplos de estas no

linealidades son la variación de las propiedades mecánicas de la estructura por causa de

la deformación, la variación en el tiempo del ángulo de ataque debida a las turbulencias

de baja frecuencia, la inclusión de plastificación y contacto en el modelo de elementos

finitos, etc. Como inconveniente requieren más capacidad de cálculo y memoria que los

métodos en el dominio de la frecuencia.

El análisis en el dominio del tiempo de la respuesta aeroelástica de puentes es una

técnica joven por lo que existen muy pocos trabajos que traten el tema. Entre los más

recientes cabe destacar el de Caracoglia [17] del año 2000, y el de Rocchi [104] del

2004.


42

2.5 MÉTODOS COMPUTACIONALES

Los métodos computacionales de aeroelasticidad tienen por objetivo calcular la

interacción fluido-estructura prescindiendo de los ensayos en túnel de viento. Para poder

hacer efectivo su propósito, combinan el cálculo dinámico de estructuras y la mecánica

computacional de fluidos (Computacional Fluid Dynamics CFD). Hoy en día los CFD

se emplean profusamente en la ingeniería aeronáutica y otros campos, lo cual se

confirma por el gran número de programas comerciales que implementan esta

tecnología: AVL/FIRE, CFD-ACE+, EFDLab, CFD-FASTRAN, CFX y FLUENT de

ANSYS Inc., Coolit, FLOW-3D , KIVA, NUMECA, Phoenics, y STAR-CD. Con CFD

es posible modelar un gran número de problemas de fluidos: estacionarios o transitorios,

compresibles o incompresibles, con una o varias fases, con combustión, etc. Sin

embargo la simulación de flujo turbulento alrededor de cuerpos obtusos (bluff bodies)

con números de Reynolds altos, se encuentra en el límite de las posibilidades de los

CFD. La dificultad radica en que, en estas condiciones, el rango de tamaños del

fenómeno a simular es demasiado grande para las capacidades de cálculo actuales. Por

ello la mayoría de los ejemplos de aplicación que se encuentran en la literatura se

centran en geometrías sencillas como cilindros (Figura 2.24).

Figura 2.24. Vibración aeroelástica de un cable calculada mediante CFD. CERFAQS [18]


43

2.5.1 Ecuaciones de la mecánica de fluidos Los modelos CFD resuelven las ecuaciones de Navier-Stokes de continuidad y

momento (Polyanin et al. [97]). La ecuación de continuidad expresa el balance entre la

masa de fluido introducida en el sistema y la que sale de él. Su expresión simplificada

para fluidos incompresibles y en ausencia de fuentes externas es

0u v wx y z

∂ ∂ ∂+ + =

∂ ∂ ∂ (2.18)

donde u, v y w son las componentes cartesianas de la velocidad del fluido en cada punto

e instante de tiempo t. La ecuación de momento en forma matricial se obtiene a partir

del equilibrio dinámico de la segunda ley de Newton

( )· ·pt

ρ ρ τ ρ∂+ ∇ = −∇ + ∇ + +

∂v v v g f (2.19)

donde v es el vector velocidad de una partícula infinitesimal de fluido, ρ su densidad

que se supone constante, p es la presión, g es un vector de aceleración, f es un vector

que representa las fuerzas externas y por último τ es el tensor de esfuerzos viscosos

que se relacionan con los gradientes de velocidad mediante leyes constitutivas del

fluido. En coordenadas cartesianas cuando el fluido es isótropo y la densidad ρ y la

viscosidad µ son constantes, la ecuación de momento queda como

2 2 2

2 2 2 x xu u v w p u u uu v w g ft x y z x x y z

ρ ρ ρ ρ µ ρ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

+ + + = − + + + + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

2 2 2

2 2 2 y yv u v w p v v vu v w g ft x y z y x y z

ρ ρ ρ ρ µ ρ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

+ + + = − + + + + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ (2.20)

2 2 2

2 2 2 z zw u v w p w w wu v w g ft x y z z x y z

ρ ρ ρ ρ µ ρ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

+ + + = − + + + + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠


44

Cuando se desprecia la viscosidad (µ ≈ 0) se obtienen las ecuaciones de movimiento de

fluidos no viscosos. Estas ecuaciones se emplean para modelar flujos con números de

Reynolds extremadamente grandes como los que se dan alrededor de mísiles y obtener

una aproximación rápida de las fuerzas principales sobre el cuerpo.

2.5.2 Modelos de turbulencia Dependiendo del método específico que se emplee cuando se calculan flujos turbulentos

con CFD, es necesario resolver otras ecuaciones además de las ecuaciones de Navier-

Stokes.

Simulación Numérica Directa (DNS) El primer método ideado para resolver flujos turbulentos es la Simulación Numérica

Directa (Direct Numerical Simulation, DNS). Conceptualmente, es el método más

sencillo de todos ya que consiste en la resolución de las ecuaciones para todas las

escalas de turbulencia. Cuando un cuerpo obtuso o bluff body interfiere en un flujo, se

forman torbellinos en la parte posterior que se desplazan siguiendo la estela del cuerpo.

Estos torbellinos, a medida que viajan por la estela, van transmitiendo energía a

torbellinos más pequeños que producen turbulencias con frecuencias más bajas. Este

fenómeno se conoce como cascada de energía y puede observarse analizando el espectro

de las turbulencias en una estela (Figura 2.25). Cuanto mayor es la escala del torbellino

mayor es su número de Reynolds y mayor por tanto la importancia de los efectos

inerciales sobre los viscosos. Por el contrario, cuando el tamaño del torbellino es

suficientemente pequeño, las fuerzas inerciales se igualan a los efectos disipativos

viscosos (Re = 1) lo cual se manifiesta en el espectro como una caída abrupta de su

valor (Pope [98]).


45

Figura 2.25. PSD vs frecuencia espacial κ = 2π/λ

El tamaño de torbellino más pequeño se denomina escala de Kolmogorov [123] y puede

calcularse mediante la expresión

1

3 4νηε

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠ (2.21)

donde ν es la viscosidad cinemática del fluido y ε es la disipación de energía cinética

que depende del tamaño máximo de torbellino L y de su velocidad típica asociada u’:

3'u

Lε ≈ . (2.22)

De igual forma, la velocidad de los torbellinos más pequeños se denomina velocidad de

Kolmogorov v = (ν ε)1/4, y su periodo T = η/v. Si se desea simular la escala de

Kolmogorov, deben definirse N puntos de integración a una distancia h de manera que

se cumpla la condición (Nh < η). Teniendo en cuenta que el número de Reynolds de los

torbellinos es

pendiente=-5/3

disipación

viscosa

generación

de vórtices

rango inercial

Espe

ctro

de

pote

ncia

κ (cm-1)


46

'Re u Lν

= (2.23)

se deduce que la resolución de la malla de integración es proporcional a Re9/4

( 3 9/ 4ReN ≥ ). Según Blazer [9] y Folich et al. [39] esto equivale a que el tiempo de

CPU es proporcional a Re3 y, por consiguiente, la Simulación Directa no es aplicable

hoy en día a problemas ingenieriles. De todas formas, es una herramienta útil para el

desarrollo de otros modelos de turbulencia. En la Figura 2.26 se muestra el resultado de

un DNS de un cilindro.

Figura 2.26. DNS del flujo turbulento alrededor de un cilindro. CERFAQS [18]

Los programas comerciales normalmente no implementan la simulación directa. Sin

embargo, suelen implementar un modelo laminar que resuelve únicamente las

ecuaciones de Navier-Stokes. Este modelo está indicado para números de Reynolds

bajos (Re<1000) donde no hay efectos turbulentos. (Fluent Inc. [33] y Ansys Cfx [3]).

Métodos de ecuaciones de Navier promediadas (RANS) Una manera de evitar la simulación directa o DNS es trabajar con los valores medios de

las variables en lugar de trabajar con los valores instantáneos. En eso consisten los

métodos de ecuaciones de Navier promediadas o Reynolds Averaged Navier-Stokes


47

(RANS). A estas ecuaciones se llega introduciendo los cambios 'u u u= + , 'v v v= + ,

'w w w= + y 'p p p= + en las ecuaciones originales de Navier (2.18) y (2.20). Al

hacer esto, aparecen las correlaciones de las fluctuaciones o tensiones turbulentas ρ 2'u ,

ρ 2'v , ρ 2'w , ρ ' 'u v , ρ ' 'u w y ρ ' 'v w , que deben calcularse mediante ecuaciones

adicionales, y dependiendo de las ecuaciones que se empleen para modelar estas

tensiones, se tienen distintos tipos de métodos RANS, que se clasifican en modelos de

viscosidad de remolino o Eddy Viscosity Models (EVM) y modelos de tensiones de

Reynolds o Reynolds Stress Models (RSM). Los principales EVM son por orden de

complejidad los modelos de cero ecuaciones, Spalart-Allmaras, k-ε y k-ω. Los EVM se

basan en la hipótesis de Boussinesq [12] que afirma que las tensiones turbulentas son

proporcionales al gradiente de velocidades y que la turbulencia es isótropa. Por su parte

los modelos de Tensiones de Reynolds (RSM) resuelven una ecuación de transporte

análoga a la de continuidad para cada elemento del tensor de tensiones turbulentas. Los

RSM son más precisos que los EVM cuando la anisotropía de la turbulencia juega un

papel importante en el flujo principal. De todas formas requieren la resolución de

muchas más ecuaciones lo cual incrementa el coste computacional y dificulta la

convergencia. Los modelos RANS se emplean extensamente en aplicaciones

industriales ya que proporcionan resultados suficientemente precisos sin requerir

demasiados recursos computacionales. El problema de los RANS es que al trabajar con

velocidades medias son incapaces de predecir fenómenos de naturaleza aleatoria como

el desprendimiento de torbellinos (Liaw [79]).

Modelos de simulación de torbellinos grandes (LES) Otra forma de resolver flujos turbulentos con números de Reynolds altos es emplear

modelos de simulación de los torbellinos grandes denominados en la terminología

inglesa large eddy simulation (LES). Los LES consisten en resolver las ecuaciones de

Navier para los torbellinos de mayor tamaño y bajas frecuencias y emplear otras

ecuaciones para las escalas pequeñas. Las ecuaciones de los modelos LES se obtienen

filtrando las ecuaciones de Navier en el espacio. Con este filtrado las escalas pequeñas y

frecuencias altas, que son normalmente más disipativas e isotrópicas, se sustituyen por

viscosidades turbulentas µt que deben calcularse empleando un modelo de submalla. El

más popular es el modelo de Smagorinsky-Lilly (Smagorinsky [115] y Lilly [80])


48

basado en la hipótesis de Boussinesq [12] que calcula la viscosidad turbulenta a partir

de la longitud de mezcla. Esta longitud de mezcla la calcula como el producto de la

constante de Smagorinsky y la raíz cúbica del volumen del elemento. El problema de

este modelo de submalla funciona mal en las zonas laminares cerca de las paredes por lo

que se han desarrollado métodos para variar dinámicamente la constante de

Smagorinsky dentro del dominio (Modelo de Smagorinsky-Lilly dinámico). Otro

modelo de submalla es el modelo WALE, que se diseñó para flujo en tuberías, en el cual

se fuerza un perfil de velocidades en las zonas entre paredes. Por último está el Modelo

Dinámico de Energía Cinética que añade una ecuación de transporte para eliminar la

hipótesis de equilibrio local entre las distintas subescalas.

Simulación de remolinos separados (DES) Para terminar con los métodos con malla, el modelo más reciente para el cálculo de

flujos turbulentos es el modelo de torbellinos separados o Detached Eddy Simulation

(DES) que consiste en emplear RANS para las zonas cerca de las paredes y LES en la

estela donde el flujo es transitorio y caótico. En la Figura 2.27 se muestra un ejemplo de

división del dominio según se haya empleando RANS o LES para su cálculo en un

instante determinado. Con este tipo de simulación, el tiempo de CPU requerido se

reduce con respecto a un modelo LES puro, lo cual resulta muy importante cuando se

trata de simular fenómenos con números de Reynolds altos. Como contrapartida, la

precisión de los DES es peor que la de los modelos LES. Los modelos DES han sido

desarrollados principalmente por el grupo de Boeing (Spalart [117]) y por los creadores

de ANSYS-CFX (Ansys Cfx [3]). Los primeros emplean el modelo RANS de Spalart-

Allmaras mientras que Menter [82] emplea el modelo SST.


49

Figura 2.27. Modelo DES. Regiones calculadas mediante RANS (rojo) y LES (azul) en un

instante determinado. Liaw [79]

2.5.3 Métodos numéricos en la mecánica de fluidos computacional Para resolver las ecuaciones en derivadas parciales de los modelos anteriores hay que

recurrir a métodos numéricos. Los primeros en desarrollarse fueron los métodos con

malla: el método de las diferencias finitas (MDF), seguido por el método de los

elementos finitos (MEF), de los elementos de contorno (MEC) y el de los volúmenes

finitos (MVF). Por último, se han aplicado métodos sin malla a problemas de

turbulencia entre los que destaca el método de los vórtices discretos (MVD). Este

último método funciona de una manera radicalmente distinta a los otros métodos ya que

emplea una visión lagrangiana del proceso, esto es, en lugar de mantener un volumen de

control fijo como en los métodos anteriores, sigue el movimiento de las partículas del

fluido.

El método de los vórtices discretos está basado en la hipótesis de que para números de

Reynolds altos, el flujo se puede dividir en tres subdominios: el flujo libre irrotacional

lejos del cuerpo obtuso, el subdominio viscoso rotacional de la capa límite cercana a las

paredes del cuerpo y la estela rotacional. En este método no se define una malla del

dominio fluido. Sólo se definen los contornos y, comenzando desde los mismos, se traza


50

el transporte de la vorticidad mediante partículas. Además, resulta más fácil emplear

contornos móviles al no tener que modificar la malla. Las dificultades que entraña este

método están en la definición del radio del núcleo de cada partícula, de la circulación

que se desprende de cada elemento de contorno, de la distancia de desprendimiento y en

el coste computacional de la interacción entre partículas.

El método de las diferencias finitas se basa en emplear expansiones de Taylor para

resolver las ecuaciones en derivadas parciales mediante ecuaciones algebraicas cuyos

valores son los valores de las variables en los nodos de una malla. Es un método

sencillo y con él pueden alcanzarse resultados muy precisos. Sin embargo, requiere

mallas estructuradas lo que hace que sea complicado su empleo con geometrías

complejas.

El método de los elementos finitos divide el dominio en porciones llamadas elementos

de las cuales se estudian los valores en los vértices o nodos. Dentro de cada elemento,

los valores de las variables se interpolan a partir de los valores en los nodos con

diferentes funciones de forma que pueden ser lineales, cuadráticas, etc. Integrando las

ecuaciones en derivadas parciales en el dominio del elemento se obtienen unas

ecuaciones algebraicas que relacionan las variables en los nodos; y combinando varios

elementos se obtiene un sistema de ecuaciones que sirve para resolver el campo del

fluido en el dominio. Como contrapartida, su coste computacional es mayor que el del

método de las diferencias finitas y el de los volúmenes finitos.

El método de los volúmenes finitos divide el dominio en varios volúmenes de control.

En él las ecuaciones del fluido se integran y resuelven de forma iterativa para cada

volumen de control teniendo en cuenta las leyes de conservación. Este método permite

el empleo también de mallas no estructuradas y, dado que integra directamente las

ecuaciones, es más eficiente y fácil de programar que los elementos finitos.

Los dos métodos anteriores permiten, con ciertas modificaciones, la simulación de

contornos móviles. Es posible mover la malla como un sólido rígido o deformarla

durante la simulación en lo que se conoce como Arbitrary Lagrangian-Eulerian

approach (Nomura and Hughes [93], Tamura et al. [119] y Selvam et al. [107]). Para


51

ello, hay que incorporar a la ecuación (2.19) el movimiento de los nodos a la ecuación

de momento vg:

( ) ( ) ( )· ·g pt

ρ ρ τ ρ∂ ⎡ ⎤+ ∇ − = −∇ + ∇ + +⎣ ⎦∂v v v v g f (2.24)

Además, en los volúmenes finitos cabe la posibilidad de deslizar dos mallas con una

lámina de interpolación entre ambas (ver Figura 2.28 de sliding mesh Fluent Inc. [33])

Figura 2.28. Interface entre dos mallas. Fluent [34]

Cuando se aplican a problemas de turbulencia, tanto en el método de los elementos

finitos, como en el método de los volúmenes finitos, la definición de la malla es un paso

delicado y complejo ya que de ella depende por un lado el tiempo de computación y por

otro la convergencia. El número de elementos debe de ser el menor necesario para

representar el problema con el fin de limitar el tiempo de resolución. Por ello se suele

concentrar un mayor número de elementos donde el gradiente de las variables es mayor,

es decir, cerca de las paredes y en la estela. Asimismo, al mallar hay que cuidar varias

características de los elementos. Una es que la relación entre las dimensiones de los

lados del elemento denominada ratio de aspecto sea próximo a 1 y que el esviaje o

diferencia entre sus ángulos y los homólogos de un elemento equilátero y equiangular

sea casi nulo. Otra es que el tamaño entre celdas vecinas no debe variar más del 30 %

para que no se propague el error de truncamiento. Si no se tienen en cuenta estas

recomendaciones la interpolación de las variables en el dominio puede dar resultados

incorrectos.


52

Cuando se emplea un modelo LES ha de observarse el espectro de las turbulencias, para

comprobar que se ha llegado a representar el inicio de la cascada de energía, y que no se

ha truncado en la zona de generación de vórtices (ver Figura 2.29).

Figura 2.29. Función de densidad espectral de potencia simulada con LES y distintos pasos de

integración temporal.

Al definir el paso de integración, éste debe ser lo suficientemente pequeño para resolver

el problema. Además, debe permitir la simulación de los vórtices más pequeños del

fluido cuando se lleva a cabo un DNS. Cuando se emplean modelos LES en el paso

debe simularse la frecuencia máxima que marca el tamaño del elemento más pequeño

(Leo & Galli [72]). Por otra parte, el volumen del dominio y el tipo de condiciones de

contorno que se imponen también son importantes, y no deben escogerse

arbitrariamente. Para poder validar los resultados la solución ha de ser independiente del

mallado, las condiciones de contorno y el paso de integración. Por lo que en este tipo de

cálculos es imprescindible llevar a cabo un estudio paramétrico con varias mallas para

garantizar la consistencia de los resultados.

Finalmente, para realizar un mallado correcto hay que prestar especial atención a las

regiones cercanas a las paredes. Estas zonas se dividen en una parte laminar donde los

efectos viscosos son predominantes, una zona exterior donde los efectos inerciales son

Experimental Von Karman LES timestep 1/f1 LES timestep 1/f2

f2 f1


53

los más importantes, y una zona intermedia de transición (Figura 2.30). En los métodos

de malla hay dos maneras de tratar estas zonas: con funciones que impongan perfiles

logarítmicos o de otro tipo, o bien simulándolas para lo cual se aplica la hipótesis de

Boussinesq. Cuando se simula la capa límite y no se emplean funciones de pared es

importante comprobar que se han empleado suficientes puntos para interpolar la capa

límite (Figura 2.31). Lo mismo sucede en las zonas de inversión del flujo.

Figura 2.30. Subregiones de la zona cercana a la pared. Fluent Inc. [33]

Good Poor

Bad interpolation

Figura 2.31. Calidad de la interpolación de la capa límite (izquierda) y el contorno (derecha).

2.5.4 Aplicaciones en aeroelasticidad de puentes En lo escrito previamente se han comentado los distintos tipos de métodos CFD y las

dificultades que entraña su utilización. A continuación se hace un repaso de los trabajos

más importantes y sus logros en la aplicación a tableros de puentes. El primer estudio de


54

Mecánica Computacional de Fluidos en cuerpos obtusos es el estudio del flujo sobre un

cilindro hecho por Son & Hanratty [116] en 1969. En su trabajo, publicaron las

soluciones de las ecuaciones de Navier-Stokes en 2D para números de Reynolds hasta

Re = 500. Desde entonces hasta ahora, a medida que aumentaban los recursos

computacionales, se ha hecho posible el empleo de mallas más finas y números de

Reynolds más altos. Actualmente se ha llegado a resolver con éxito el flujo alrededor de

un cilindro 3D en la región crítica del arrastre (Re = 104) (Rocchi & Zasso [103], Liaw

[79]). Por otra parte se han desarrollado los modelos de turbulencia. En primer lugar

aparecieron los modelos RANS, después los LES y más recientemente los DES. En lo

que concierne a la aplicación de CFDs a secciones de puentes, el primer trabajo

relevante es el publicado por Fujiwara et al. [40] en 1993 empleando el método de las

diferencias finitas. Desde entonces, el número de trabajos en este campo es

relativamente pequeño. Además, la profundidad de los estudios y su reproducibilidad es

por regla general mucho menor que los trabajos en los que se tratan secciones simples

como los cilindros. La mayoría de estos trabajos no presentan los resultados completos

que garantizan la correcta simulación del fenómeno:

• Coeficientes estáticos adimensionales CD, CL y CM para diferentes ángulos de

ataque.

• Frecuencia de desprendimiento de torbellinos.

• Forma de los torbellinos desprendidos.

• Distribución de presiones medias.

• Fuerzas aeroelásticas.

• Independencia de los resultados respecto de pequeños cambios en el paso temporal,

el tamaño del dominio o la malla.

La mayoría de los trabajos encontrados en la literatura sólo cubren parte de estos

objetivos. No obstante, en los últimos años algunos trabajos han arrojado un poco de luz

a las capacidades actuales de los CFDs aplicados a cuerpos obtusos complicados como

los tableros de puentes. El primer trabajo de CFDs aplicado a tableros de puentes con

una densidad de malla razonable pertenece a Onyemelukwe [96] (1996). Onyemelukwe

resolvió un modelo laminar 2D con un IBM 486 calculando los valores instantáneos de

las fuerzas que oscilaban alrededor de las medias obtenidas experimentalmente. En


55

1997 aparecieron dos trabajos sobre métodos con malla aplicados a la aerodinámica de

tableros de puentes. El primero de ellos fue publicado por Kuroda [61] que empleó el

método de las diferencias finitas para resolver un modelo laminar 2D del tablero del

Gran Belt (Figura 2.32) que no incluía detalles de la sección como barandillas,

guardarraíles, etc. Los coeficientes estáticos presentados seguían la tendencia de los

resultados experimentales pero alejándose de estos hasta un 20%. Asimismo, no pudo

simular la frecuencia de desprendimiento de vórtices.

Figura 2.32. Mallado de Kuroda [61].

El segundo trabajo fue publicado por Lee et Al [71]. En él, mostraban una simulación

del flujo alrededor de una sección aerodinámica (puente de Namhae en Corea del Sur) y

otra con una sección en π (puente de Seohae del mismo país). Para ello emplearon el

método de los volúmenes finitos en 2D con un modelo RNG k-ε obteniendo

exitosamente los coeficientes estáticos solamente de la sección aerodinámica. Con la

otra sección emplearon un modelo laminar 2D y simularon el desprendimiento de

vórtices pero no lo compararon con la frecuencia de desprendimiento, ni ninguna otra

medición experimental. En 1998 Selvam et al. [111] presentaron el resultado de un LES

2D de la sección del puente del Gran Belt calculado mediante FEM. Los resultados

mostrados fueron el arrastre y el número de Strouhal, obtenido con la frecuencia de

desprendimiento de vórtices, y no coincidían con los resultados experimentales. De

todas formas, la malla empleada era muy tosca, sin barreras existentes en el puente y no

comprobaron la independencia con la distancia a los contornos o a la densidad de la

malla. En el 2001 Selvam publica una monografía en la Universidad de Arkansas [112]


56

en la cual se muestran los resultados de un LES 2D de la sección del Gran Belt con

cuatro mallas diferentes. Los resultados del arrastre y número de Strouhal varían

bastante con la malla pero son del mismo orden de magnitud de los resultados

experimentales. Con la malla que proporcionaba mejores resultados, realizó otra

simulación moviendo la sección y toda la malla como un sólido rígido. Dicho

movimiento se calculaba con un modelo estructural de dos grados de libertad y con este

método obtuvo la velocidad crítica de flameo de la sección. El defecto de este trabajo es

que en él no se especifican las propiedades mecánicas del sistema estructural, lo que

impide su comprobación. Tampoco muestra la sustentación y el momento para

diferentes ángulos de ataque ni la distribución de presiones en la superficie del tablero.

Por otro lado, emplea una geometría simplificada y controla la viscosidad numérica del

modelo con un parámetro θ que limita la convergencia del método.

En Bruno et al. [14] (1999) se estudia la influencia de los detalles en las propiedades

aerodinámicas de la sección del tablero del puente de Normandía (Francia). Para llevar a

cabo este trabajo, emplearon una malla 2D no estructurada de elementos trapeciales

resueltos con el software comercial FLUENT 5.0. Sus cálculos son estacionarios y

emplean los modelos k-ε y RNG con funciones de pared. En este artículo afirman que,

con el modelo k-ε, no es posible reproducir la separación del flujo en la parte posterior

del cuerpo obtuso. Con el modelo RNG y funciones de pared de no equilibrio se

simulaba adecuadamente la interacción entre la capa límite y la capa de cortante libre.

Además los perfiles de presiones simulados se adecuaban bien a los obtenidos

experimentalmente. Contrariamente, el error en los coeficientes estáticos era

significativo.

En el año 2003, Folch et al. [35] publicaron un trabajo hecho con su propio código FEM

llamado FANTOM. En este trabajo muestran los resultados obtenidos del flujo

alrededor de la sección del Gran Belt empleando un LES con el modelo de submalla de

Smagorinsky-Lilly y otro con el modelo de Spalart-Allmaras con un número de

Reynolds de 2·107. Sus resultados son sólo los coeficientes estáticos para 0º de ángulo

de ataque. Los coeficientes estáticos de arrastre y momento son similares a los

experimentales; sin embargo, el coeficiente de sustentación difiere en gran medida de

los resultados experimentales.


57

Braun & Awruch [13] presentaron un LES resuelto con FEM 2D y el método de la

pseudo compresibilidad. Los resultados son valores de velocidades críticas de flameo

calculadas para un sistema elástico de 2 grados de libertad del tablero del Gran Belt, y

sus resultados son sorprendentemente correctos. También parece difícil reproducir el

trabajo de Frandsen [37] (2004) quien consiguió valores precisos de los coeficientes

aerodinámicos y del número de Strouhal, además de una velocidad crítica de flameo.

Pero todos estos resultados fueron obtenidos con una malla muy basta (Figura 2.33), sin

modelar las barreras y empleando un modelo laminar 2D resuelto con el software

comercial Spectrum de Ansys Inc. Para conseguir el movimiento de los contornos

emplea el método Arbitrary Lagrangian-Eulerian (ALE) rotando y trasladando la malla

como un sólido rígido.

Figura 2.33. Mallado del Gran Belt de Frandsen [37].


58

Fuente Método VBRe ρµ

= 21

2

DD

FC

V Bρ=

212

LL

FC

V Bρ=

2 212

Mm

FC

V Bρ=

fDStV

=

Kuroda [61] FDM LAM 2D 3·105 0.072 -0.18 0.03 No freq.

Jenssen et al. [51] 0.0639 0.04 0.16

Enevoldsen et al. [31] 0.0724 0.08 0.17

Selvam A θ=0.3 [112] FEM LES 2D 105 0.0590 0.191

Selvam A θ=0.1 [112] FEM LES 2D 105 0.0577 0.177

Selvam B θ=0.3 [112] FEM LES 2D 105 0.0618 0.167

Selvam B θ=0.5 [112] FEM LES 2D 105 0.0620 0.140

Selvam B θ=0.3 [112] FEM LES 2D 105 0.0485 -

Selvam C θ=0.3 [112] FEM LES 2D 105 0.0524 0.193

Braun et al. [13] FEM LES 2D 3·105 0.085 0.04 0.03 0.18

Folch et al. [35] FEM 2D LES 2.1·107 0.085 -0.048 0.026 0.026

Folch et al. [35] FEM 2D RANS 2.1·107 0.092 -0.043 0.038 0.038

Frandsen [36] FEM 2D LAM 1.65·107 0.0596 -0.21 0.25

Morgental [86] FEM 2D LAM 8.3·107 0.7 0.15

Larsen et al. [66] DVM 0.061 0.1-0.168

Larsen et al. [67] DVM 0.0795 0.07 0.17

Taylor et al. [121] DVM 0.050 0.16-0.18

Frandsen [36] DVM ∞ 0.0809 0.09 0.09

Morgental [86] DVM ∞ 0.0596 0.08 0.19

Reinhold [101] Exp 0.08 0.04 0.03 0.15

DMI & SINTEF [28] Exp 0.0766 0.01 0.11-0.15

Larose [63] Exp.. Taut strip 0.1022 -0.08 0.11

Larsen et al [65] Exp. 1:80 0.081 -0.067 0.028 0.028

Larsen et al [65] Exp. 1:300 0.084 0.05 0.013 0.013

Morgenthal [86] Exp. túnel de humo 12400 0.19

Frandsen [36] Puente real 1.65·107 0.08-0.11

Tabla 2.1. Coeficientes aerodinámicos y número de Strouhal según distintos autores y métodos.


59

Para terminar con los trabajos que emplean métodos con malla hay que hacer mención

al reciente trabajo de Kai Faw Liaw [79] de Junio de 2005. Este trabajo destaca

favorablemente sobre los anteriores por su profundidad y por el tamaño de los modelos

empleados, aunque no llegue a hacer simulaciones con movimiento de los contornos.

Asimismo es el primero que emplea el modelo DES para simular el flujo alrededor de

tableros de puentes. La primera parte de este trabajo es el análisis del flujo alrededor de

cilindros circulares y rectangulares con números altos de Reynolds. Los coeficientes

estáticos, las medias de las presiones y los números de Strouhal obtenidos son

comparados exitosamente, siendo muy buenos los que procedían de modelos LES 3D,

aceptables los del DES 3D e inadecuados los de los ejemplos 2D. Liaw destaca además

la importancia de la tridimensionalidad de la turbulencia (Figura 2.34) con números

altos de Reynolds aludiendo a Kalro y Tezduyar [59]. Otros autores que mencionan esta

cualidad de la turbulencia son Rocchi & Zasso [103] y Selvam et al. [108] [109]. Con

respecto a los trabajos sobre tableros de puentes, Liaw realiza DES 3D del puente de

Kessock en Gran Bretaña con el modelo k-ε. La forma del tablero de ese puente es una

π y requirió para su modelado 3.1 millones de elementos y 21 días de simulación en un

cluster de 12 Pentium IV a 3 GHz. Realizó otras dos simulaciones con 1.9 y 2.7

millones de elementos respectivamente para comprobar la independencia de la solución

respecto de la malla. Y, finalmente, el coeficiente de arrastre obtenido tenía un 16 % de

error respecto de los resultados experimentales, el momento del 30 % y la sustentación

del 500%. Liaw justifica estas diferencias argumentando que los rigidizadores de la

parte inferior del tablero no estaban incluidos en la simulación. El error en el número de

Strouhal que obtuvo es solo del 8%, y los perfiles de presiones medias fueron bastante

similares a los experimentales. Finalmente, Liaw recomienda el uso de modelos DES

3D calibrados previamente con LES 3D.


60

Figura 2.34. Estructuras vorticosas coloreadas según la velocidad en un cilindro calculadas con

LES para Re = 1.4 105. Kim [60]

Hasta ahora se ha comentado solamente el estado del arte de los métodos con malla. El

mismo año que se presentaron los artículos antes comentados de Kuroda [61] y Lee

[71], se publicaron los trabajos de Larsen y Walter [128], [66] y [67] sobre el empleo de

los métodos de vórtice discreto que había desarrollado Chorin [20] en 1973. En estos

artículos se proporcionan coeficientes estáticos, funciones de flameo, velocidades

críticas de flameo y números de Strouhal para la sección del puente del Gran Belt que se

adecuan a los resultados experimentales. Las simulaciones fueron llevadas a cabo

mediante su propio software llamado DVMFLOW cuya entrada es únicamente la

geometría 2D y las propiedades físicas del fluido. Y no se menciona ningún tipo de

calibración del algoritmo. Con este programa, Larsen también calculó algunas funciones

de flameo del puente del estrecho de Gibraltar [69] y del de Messina [68] (Figura 2.35 y

Figura 2.36).

Figura 2.35 Estudio del flujo alrededor del tablero del puente de Messina empleando el

programa DVMFLOW. Larsen et Al. [68]


61

Figura 2.36 Funciones de flameo obtenidas a partir de resultados del programa DVMFLOW

comparadas con las obtenidas experimentalmente en túnel de viento. Larsen et Al. [68]

Los trabajos de Morgenthal [85], [86] y [87] son igualmente una buena guía para

profundizar en el método de los vórtices discretos. En el primero de ellos emplea la

teoría de flujo potencial o flujo no viscoso para calcular el transporte de las partículas, y

la interacción entre ellas y con los contornos se calcula una a una. Con este método

consiguió algunos resultados con grandes errores de coeficientes estáticos y número de

Strouhal para la sección del puente del Gran Belt. Además, para conseguir estos

resultados, necesitó calibrar el paso de tiempo para la integración, la distancia de

desprendimiento de los vórtices y el espesor de la región impenetrable alrededor de la

sección. En su último trabajo añadió al modelo viscosidad empleando el método de

movimiento aleatorio de Chorin [20]). Mejoró también la interpolación en los contornos

con una aproximación lineal en lugar de constante, cambió las funciones de núcleo de

las partículas, mejoró la interacción entre partículas, y añadió funciones para fusionar

partículas según se alejan del contorno. Por último, fijó el paso de integración con los

criterios de convergencia del método de Runge-Kutta. Con estas mejoras lleva a cabo la

simulación del flujo alrededor de varios cuerpos obtusos sin necesidad de recalibrar el

modelo. Consigue buenos resultados con las funciones de flameo de la placa plana, y

compara también los resultados de una simulación de la sección del viaducto del Millau

(Francia) y del viaducto de Neath, un puente de vigas Swansea (Gran Bretaña). Los


62

coeficientes estáticos obtenidos para la sección del viaducto sobre el Millau con valores

del ángulo de ataque de -3º, 0 y +3º son muy similares a los experimentales pero no así

las frecuencias predominantes. En el viaducto de Neath obtiene un perfil de presiones

semejante aunque con algunas discrepancias. Por último muestra una simulación del

lock-in en el Gran Belt sin aportar datos precisos de los resultados.

Existen otros trabajos que emplean DVM en tableros de puentes como el de Taylor &

Vezza [121] y [125]. Sin embargo no se conoce todavía la existencia de ningún trabajo

en que se empleen modelos de partículas de vórtice 3D en secciones de tableros de

puentes por el elevado coste computacional que implica calcular la interacción entre las

partículas.

En resumen, los métodos de Mecánica Computacional de Fluidos han mejorado mucho

en los últimos años pero todavía no se pueden considerar una herramienta universal y

fiable para el estudio de la aerodinámica de secciones de puentes. Es posible que el

modelo LES 3D, con el cual se han obtenido muy buenos resultados con el flujo

alrededor de cilindros, se convierta en un futuro cercano, en la solución definitiva para

la simulación de las fuerzas aeroelásticas sobre los tableros de puentes, el

desprendimiento de torbellinos, y la distribución de presiones.


63

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75

CAPÍTULO 3

ENSAYOS SECCIONALES DE TABLEROS DE PUENTES

3.1 INTRODUCCIÓN

Como se mencionó en el capítulo anterior, la primera etapa de los métodos híbridos es

la obtención experimental de las fuerzas por unidad de longitud producidas por el viento

sobre el tablero del puente. Estas fuerzas son de tres tipos:

1. Las aerodinámicas de carácter estático.

2. Las aeroelásticas, también llamadas autoexcitadas, que se deben a la variación de los

movimientos del tablero en el flujo de aire.

3. Las de bataneo, debidas a la naturaleza turbulenta del viento.

Este capítulo describe en primer lugar la obtención de los coeficientes aerodinámicos de

la sección transversal de tableros de puentes y posteriormente se centra en la obtención

de las 18 funciones de flameo a partir de ensayos seccionales. Se van a explicar las dos

posibilidades existentes para obtener las funciones de flameo a partir de ensayos

seccionales: trabajar en vibración libre o imponiendo vibraciones forzadas. Después se

expone la metodología seguida en el túnel de viento de la E.T.S.I. de Caminos, Canales

y Puertos de La Coruña para llevar a cabo los ensayos seccionales, donde se ha utilizado

la vibración libre considerando hasta tres grados de libertad simultáneos. Por último, se

recogen ejemplos de la identificación de las 18 funciones de flameo de modelos

seccionales del tablero del puente sobre el estrecho de Messina.

Capítulo 3 ENSAYOS SECCIONALES DE TABLEROS DE PUENTES

76

3.2 ENSAYOS AERODINÁMICOS

Los ensayos aerodinámicos de secciones de tableros de puentes consisten en la

medición de las fuerzas que produce el viento sobre un modelo fijo. A partir de los

resultados de estos ensayos es posible determinar los coeficientes aerodinámicos de la

sección de un tablero de puente. Estos coeficientes se emplean en el cálculo de la carga

de viento estática, en la aproximación cuasi estática de las funciones de flameo y en la

determinación de las fuerzas de bataneo.

3.2.1 Modelo seccional Para llevar a cabo este tipo de ensayos se construye en primer lugar un modelo

seccional a escala del tablero del puente cuya forma debe de ser lo más parecida posible

a la del prototipo. La masa no necesita guardar ninguna relación de escala con el puente

original ya que, al impedirse los movimientos, no van a existir fuerzas de inercia. Se

busca simular las condiciones de contorno reales que determinan el flujo del aire

alrededor del tablero. Es recomendable no obstante que el modelo pese lo menos posible

porque así el error en la medición de las fuerzas aerodinámicas es menor. Hay que tener

en mente que las fuerzas medidas con la instrumentación incluyen el peso de la maqueta

por lo que después debe restarse dicho peso. Por otra parte para que el flujo pueda

considerarse bidimensional se recomienda el empleo de modelos seccionales con una

relación largo/ancho mayor de 3.

Otro parámetro a tener en cuenta para la modelización del comportamiento de un fluido

es el número de Reynolds. El número de Reynolds es el ratio adimensional entre las

fuerzas inerciales y las fuerzas viscosas que viene dado por la expresión

Re VBρµ

= (3.1)

donde V es la velocidad del fluido, ρ es la densidad (ρaire,20º = 1.225 kg/m3), µ es la

viscosidad (µaire,20º = 1.7894e-5 kg/ms), y B es la dimensión significativa que se emplee,

normalmente el ancho del tablero. El comportamiento del flujo de aire cambia en


77

función del número de Reynolds por lo que debería emplearse el mismo número de

Reynolds en el modelo que en el prototipo real. Para mantener el mismo número de

Reynolds empleando un modelo a escala reducida habría que modificar las propiedades

del fluido (viscosidad µ o densidad ρ) o bien aumentar la velocidad del viento. En los

túneles de viento que se usan para aplicaciones de ingeniería civil, como el de la escuela

de ingenieros de Caminos de La Coruña sólo es posible alcanzar velocidades de viento

bajas con aire a la presión atmosférica. Por tanto, resulta difícil conseguir el mismo

número de Reynolds en el modelo y en el prototipo. Sin embargo habitualmente para

números de Reynolds suficientemente altos los coeficientes aerodinámicos no cambian

excesivamente. Los ensayos aerodinámicos que se llevan a cabo en este túnel de viento

se efectúan a la mayor velocidad de viento posible comprobándose previamente que se

ha alcanzado una zona de velocidad en la cual los coeficientes aerodinámicos no varían

apreciablemente, lo cual es un procedimiento habitual en este tipo de laboratorios

Figura 3.1.Túnel de viento de la E.T.S.I. de Caminos, Canales y Puertos de La Coruña.

Variador de potencia

Zona de expansión con rejillas

Contracción

Cámara de ensayos

Ventilador


78

En la Figura 3.1 se observa una fotografía del túnel de viento aerodinámico de la

escuela de Caminos de La Coruña. Tiene una longitud de 10 m por 3 metros de alto.

Está formado por un ventilador montado sobre una bancada de acero imprimado y

pintado. A continuación existe una zona de fibra de vidrio que sirve para adaptar la

sección circular del ventilador a una sección cuadrada. Unida a esta zona se encuentra

un tramo de expansión de madera y contrachapado fenólico con varias mallas que sirven

para reducir la turbulencia del flujo. El tercer tramo del túnel está realizado en fibra de

vidrio y sirve para contraer el flujo con una relación 5.76 a 1 con un perfil de 2

polinomios de 3er orden. Por último se encuentra la cámara de ensayos formada por

perfiles de aluminio y paredes laterales de metacrilato. El área de la sección de ensayos

es de 1 m2 y la velocidad máxima que se alcanza en ella es de 32 m/s.

3.2.2 Sustentación del modelo seccional Para identificar los coeficientes aerodinámicos CD, CL y CM se sujeta el modelo a las

células de carga mediante barras de aluminio como se muestra en el esquema de la

Figura 3.2. El enlace horizontal se realiza uniendo el modelo a las células de carga 1 y

2, y el vertical uniéndolo a las células 4, 5 y 6. Con esta configuración se obtienen las

fuerzas totales vertical D, lateral L y de momento M que ejerce el modelo sobre la

sustentación con el criterio de signos de la Figura 3.2 empleando las siguientes

expresiones:

1 2cel celD F F= + ; 4 5 6cel cel celL F F F= + + ; ( )5 6cel celM F F d= − . (3.2)

Fcel1, Fcel2, Fcel4, Fcel5 y Fcel6, son las fuerzas registradas por las células de carga y d es la

distancia de las células de carga 5 y 6 al centro del tablero. Las fuerzas aerodinámicas

Ds, Ls y Ms que ejerce el viento sobre el modelo se obtienen restando a las fuerzas

medidas con viento los valores medidos con velocidad nula.


79

Cel 2

Cel 1

Cel 3 Cel 4

Cell 5 Cel 6

dd

M

D

L

Figura 3.2. Esquema de la sustentación de un ensayo seccional aerodinámico.

El empleo de tres barras para la sustentación vertical permite medir tanto la fuerza

vertical, como el momento con un sistema isostático, lo cual, además de simplificar la

obtención de las fuerzas aerodinámicas, posibilita cambiar el ángulo de ataque α

variando solamente la longitud de las barras que se conectan a las células 5 y 6. El

criterio de signos para el ángulo de ataque y las fuerzas aerodinámicas obtenidas se

muestra en la Figura 3.3.

V Ls

Ms α

Ds

B

Figura 3.3. Criterio de signos de las fuerzas aerodinámicas.


80

3.2.3 Obtención de los coeficientes aerodinámicos Los coeficientes adimensionales aerodinámicos en función del ángulo de ataque se

pueden calcular a partir de las fuerzas aerodinámicas Ds, Ls y Ms mediante las siguientes

expresiones:

2( ) ;1

2

sD

DCV B

αρ

= 2

( ) ;12

sL

LCV B

αρ

= 2 2

( ) 12

sM

MCV B

αρ

= . (3.3)

En las figuras 3.4 a 3.6 se muestran los coeficientes aerodinámicos obtenidos en el túnel

de viento de la E.T.S.I. de Caminos, Canales y Puertos de La Coruña para una sección

semejante al tablero del puente del Gran Belt. El criterio de signos para las fuerzas y el

ángulo de ataque empleado se muestran en la Figura 3.3.

0,00

0,20

0,40

-20 0 20


Cd

Figura 3.4. Coeficientes aerodinámico de arrastre calculado de una sección semejante a la del

Gran Belt calculados por Rey [30].

-1,00

0,00

1,00

-20 0 20


Cl

Figura 3.5. Coeficientes aerodinámico de sustentación calculado de una sección semejante a la

del Gran Belt calculados por Rey [30].


81

-0,10

0,00

0,10

-20 0 20


Cm

Figura 3.6. Coeficientes aerodinámico de momento calculado de una sección semejante a la del

Gran Belt calculados por Rey [30].

Los coeficientes aerodinámicos dependen del número de Reynolds. Sin embargo se

suele comprobar que para números de Reynolds suficientemente altos la variación de

los coeficientes aerodinámicos es pequeña. Por ello para elegir la velocidad de viento

con la que obtener los coeficientes aerodinámicos se evalúan previamente con distintos

números de Reynolds como se muestra en la Figura 3.7, trabajando después en la zona

en que no sufren variación apreciable.

-1.00E-01

-8.00E-02

-6.00E-02

-4.00E-02

-2.00E-02

0.00E+00

2.00E-02

4.00E-02

6.00E-02

8.00E-02

1.00E-01

0.0E+00 2.0E+05 4.0E+05 6.0E+05 8.0E+05Re

CdClCm

Figura 3.7 Variación de los coeficientes aerodinámicos con el número de Reynolds.

3.3 OBTENCIÓN DE LAS FUNCIONES DE FLAMEO

Robert H. Scanlan (1914-2001), uno de los mayores impulsores de la aeroelasticidad en

puentes, extendió en 1971 [36] la teoría de placa plana de Theodorsen [41] a la


82

aeroelasticidad de puentes. Scanlan ideó una expresión de las fuerzas aeroelásticas

(Figura 3.8) en la cual se linealizan en función de los movimientos y velocidades del

tablero, de manera análoga a las fuerzas que aparecen en la teoría de Theodorsen. Las

expresiones para las fuerzas de empuje Da, de levantamiento La y momento Ma son:

( )

( )

2 * * 2 * 2 * * 2 *1 2 3 4 5 6

2 * * 2 * 2 * * 2 *1 2 3 4 5 6

2 2 *1

12

12

12

a

a

a

p p h hD V B KP KP B K P K P KP K PV V B V B

h h p pL V B KH KH B K H K H KH K HV V B V B

hM V B KA

αρ α

αρ α

ρ

⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + + + +⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + + + +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦

= ( )* 2 * 2 * * 2 *2 3 4 5 6

h p pKA B K A K A KA K AV V B V B

α α⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦

(3.4)

donde V es la velocidad media del viento, B el ancho de la sección, ρ es la densidad del

aire, K = ωB/V es la frecuencia reducida con ω=2πf la frecuencia en rad/s y Pi*, Hi

*, Ai*

con i = 1…6 son las funciones de flameo o flutter derivatives en la terminología inglesa,

que varían con la frecuencia reducida.

V

Ma α

h La

Da

p

Figura 3.8. Fuerzas aeroelásticas sobre el tablero del puente según Scanlan.

A parte de las funciones de flameo de Scanlan, existen otras formulaciones de las

fuerzas aeroelásticas menos extendidas como son la de Küsner (Szechenyi [40],

Virgoleux [42]) o la empleada en el Politécnico de Milán (Zasso [43]). Esta última

presenta algunas ventajas sobre las expresiones de Scanlan. En primer lugar la dirección

del eje vertical z es positiva y el sentido del giro, que se designa con la letra θ, coincide

con el del ángulo de ataque (Figura 3.9). Las funciones de flameo de esta formulación

(3.5) denominadas pi*, hi

*, ai* con i = 1…6, ajustan mejor el comportamiento


83

aeroelástico del puente a velocidades reducidas bajas (V* = V/fB o Vω* = V/ωB) y la

mayoría tienden a un valor constante cuando esta crece.

( )

( )

2 * * * * * *5 2 3 6 1 4*2 *2

2 * * * * * *1 2 3 4 5 6*2 *2

2

12 2 2

12 2 2

12

y

z

y y z zF V B p p B p p p pV V B V BV V

z z y yF V B h h B h h h hV V B V BV V

F V

ω ω

ω ω

θ

θ π πρ θ

θ π πρ θ

ρ

⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − + + − +⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦

⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − + + − +⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦

= ( )2 * * * * * *1 2 3 4 5 6*2 *22 2

z z y yB a a B a a a aV V B V BV Vω ω

θ π πθ⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − + + − +⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦

(3.5)

V z Fz

Fθ θ

Fy

y

Figura 3.9. Fuerzas aeroelásticas sobre el tablero del puente según el Politécnico de Milán.

Por el contrario las funciones de flameo de Scanlan tienden a sus valores cuasi estáticos

creciendo linealmente o cuadráticamente, y toman valores bajos para velocidades

reducidas pequeñas, donde se espera que sean más diferentes de los valores cuasi

estáticos. En la Figura 3.9 se muestra un ejemplo de la función de flameo H1* y su

homóloga h1* del puente sobre el estrecho de Messina obtenida en el túnel de viento del

Politécnico de Milán por Rocchi [31].


84

Figura 3.10. Función de flameo H1* del convenio de Scanlan comparada con su homóloga h1*

del convenio de Zasso.

Teniendo en cuenta los dos criterios de signos (Figura 3.8 y Figura 3.9) y las

expresiones de las fuerzas aeroelásticas (3.4) y (3.5) , se obtienen las siguientes

equivalencias entre las funciones de flameo de la formulación de Scanlan y la de la

formulación del Politécnico de Milán:

* ** *5

1 5 2p VP pK π

⎛ ⎞= − = − ⎜ ⎟

⎝ ⎠;

* ** *2

2 2 2p VP pK π

⎛ ⎞= − = − ⎜ ⎟

⎝ ⎠;

2* ** *3

3 32 2p VP pK π

⎛ ⎞= = ⎜ ⎟

⎝ ⎠;

* *4 6 2

P p π= ;

* ** *1

5 1 2p VP pK π

⎛ ⎞= = ⎜ ⎟

⎝ ⎠; * *

6 4 2P p π

= − ;

* ** *11 1 2

h VH hK π

⎛ ⎞= − = − ⎜ ⎟

⎝ ⎠;

* ** *22 2 2

h VH hK π

⎛ ⎞= = ⎜ ⎟

⎝ ⎠;

2* ** *33 32 2

h VH hK π

⎛ ⎞= − = − ⎜ ⎟

⎝ ⎠;

* *4 4 2

H h π= ;

* ** *55 5 2

h VH hK π

⎛ ⎞= = ⎜ ⎟

⎝ ⎠; * *

6 6 2H h π

= − ;

* ** *11 1 2

a VA aK π

⎛ ⎞= = ⎜ ⎟

⎝ ⎠;

* ** *22 2 2

a VA aK π

⎛ ⎞= − = − ⎜ ⎟

⎝ ⎠;

2* ** *33 32 2

a VA aK π

⎛ ⎞= = ⎜ ⎟

⎝ ⎠;

* *4 4 2

A a π= − ;

* ** *55 5 2

a VA aK π

⎛ ⎞= − = − ⎜ ⎟

⎝ ⎠; * *

6 6 2A a π

= ;

(3.6)

La obtención de las funciones de flameo es una tarea difícil por que se trata de medir

fuerzas sobre un modelo que debe tener movimientos a diferentes frecuencias. Existen


85

dos formas de obtener las funciones de flameo. La primera emplea ensayos seccionales

en vibración libre. En este tipo de ensayos se hace oscilar libremente el modelo con y

sin viento midiéndose la variación que se produce en la rigidez y el amortiguamiento del

sistema mediante métodos de análisis modal experimental (Maia et al. [21]). Los

pioneros en esta técnica fueron en 1967 Scanlan y Sabzevari [35]. Más recientemente,

varios autores han obtenido con este procedimiento las ocho funciones de flameo

relacionadas con el movimiento vertical y el giro empleando distintos métodos de

análisis experimental modal: Li et al. [20] con el método de Mínimos Cuadrados con

Peso de las Medias WELS, Gu et al. [7] con el método de los Mínimos Cuadrados

Unificantes ULS y Sarkar [32] con el método modificado de Ibrahím en el Dominio del

Tiempo MITD. Singh et al. [38] en 1995 y Chen et al [3] en 2002 obtuvieron las 18

funciones de flameo simultáneamente para lo cual emplearon el MITD y el método de

Mínimos Cuadrados Generales respectivamente.

Otra forma de obtener las funciones de flameo emplea ensayos seccionales con

oscilación forzada. En este tipo de ensayos el modelo se mueve armónicamente de

forma controlada mientras se miden las reacciones que produce en la sustentación con y

sin viento. La primera vez que se habló de este método fue en Ukeguchi et al (1966).

Actualmente, este método se emplea en el Politécnico de Milán (Diana et al. [5]) en

donde se obtuvieron las funciones de flameo del tablero del puente sobre el estrecho de

Messina durante las distintas fases de diseño (Politécnico Milán [6]). Otra técnica

similar es la que empleó Szechenyi [40] para el puente atirantado de Normandía en la

cual se obtienen las presiones en la superficie de la sección durante el ensayo y, a partir

de estas, se integran las fuerzas producidas por el viento.

3.3.1 Estimación mediante la aproximación cuasi estática La aproximación cuasi estática es de gran utilidad y ha sido muy empleada puesto que

permite estimar el valor las funciones de flameo de manera sencilla aunque poco

precisa. Por ejemplo, para el análisis del flameo del puente de Akashi (Figura 3.11) en

Japón, Miyata [23] empleó estimaciones cuasi estáticas de los parámetros H5*, A5

*, P1*,

P5*. En [11] Katsuchi empleó un valor aproximado de esta forma de la función P1

* para

el cálculo del bataneo del mismo puente.


86

Figura 3.11. Puente sobre el estrecho de Akashi. PWRI [28]

La teoría cuasi estática se acepta cuando la frecuencia del movimiento del tablero con

respecto a la velocidad del viento es muy baja, esto es, para velocidades reducidas

V*=2πV/ωB altas o frecuencias reducidas K = ωB/V bajas. En tales circunstancias, y a

velocidades de viento suficientemente elevadas, el fluido es capaz de adaptarse

instantáneamente a la posición del tablero de forma que el flujo se puede considerar

estacionario. El tiempo que tarda en atravesar el ancho del tablero B una partícula de

viento con velocidad V, dado por tv = B/V, es mucho menor que el periodo tstr del

movimiento del tablero dado por la expresión tstr = 1/f. Esta proporción coincide con el

valor de la velocidad reducida

*1str

V

t f Vt B V

= = (3.7)

Según la teoría cuasi estática linealizada las funciones de flameo se pueden obtener a

partir de los coeficientes aerodinámicos empleando las siguientes expresiones (Scanlan

[34], Lazzari [16] y Singh [39]):


87

* 01

2 DCP

K= − ; * 0

3 2

ˆDCP

K= ; * 0

5

ˆDCP

K= ;

* 01

ˆLCH

K= − ; * 0

3 2

ˆLCH

K= − ; * 0

52 LC

HK

= ;

* 01

ˆMCAK

= ; * 03 2

ˆMCA

K= ; * 0

52 MC

AK

= − ;

(3.8)

donde CD0, CM0 y CL0 son los coeficientes aerodinámicos mientras que 0ˆ

DC , 0ˆ

LC y 0ˆ

MC

sus derivadas respecto del ángulo de ataque α evaluadas en α =0. Para llegar a estas

expresiones se llevan a cabo las aproximaciones del tipo hV

α≈ − . Por ejemplo para

obtener la equivalencia de la función de flameo H1* se aproxima la fuerza asociada a

esta función haciendo

2 * 21 0

1 1 ˆ2 2 L

hV BKH V BCV

ρ ρ α= − (3.9)

En la aproximación cuasi estática todas las funciones de flameo son nulas para V*=0 y

las funciones P3*, H3

*, y A3* varían cuadráticamente con respecto a la velocidad

reducida V* = V/fB = 2π/K. Por el contrario todas las restantes funciones varían

linealmente. La identificación experimental de funciones de flameo está limitada por las

características de los ensayos y no se pueden obtener funciones de flameo para todas las

velocidades reducidas necesarias. En los casos en que se requiera extrapolar sus valores

para velocidades reducidas altas se hace siguiendo las tendencias de la aproximación

cuasi estática.

3.3.2 Cálculo a partir de ensayos seccionales con vibración forzada Una manera de obtener las funciones de flameo experimentalmente es a partir de las

fuerzas registradas en un modelo seccional sometido a vibración forzada en un túnel de

viento. Esto se consigue haciendo oscilar el modelo en uno o varios grados de libertad

con un movimiento sinusoidal de frecuencia ω, y midiendo las fuerzas en la sección

debidas a la acción del viento. Siguiendo la notación utilizada en el Politécnico de


88

Milán en donde se emplea este procedimiento, las expresiones de las fuerzas

aeroelásticas (3.10) contienen términos que dependen del tiempo t y de la frecuencia ω

se expresan mediante

( )

( )

2 * * * * * *5 2 3 6 1 4*2 *2

2 * * * * * *1 2 3 4 5 6*2 *2

1( , )2 2 2

1( , )2 2 2

y

z

y y z zF t V BL p p B p p p pV V B V BV V

z z y yF t V BL h h B h h h hV V B V BV V

ω ω

ω ω

θ π πω ρ θ

θ π πω ρ θ

⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − + + − +⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦

⎡ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − + + − +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎣

( )2 2 * * * * * *1 2 3 4 5 6*2 *2

1( , )2 2 2

z z y yF t V B L a a B a a a aV V B V BV Vθ

ω ω

θ π πω ρ θ

⎤⎢ ⎥

⎦⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − + + − +⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦

(3.10)

Si se lleva a cabo la transformada de Fourier de estas expresiones y se tiene en cuenta

que la transformada de la velocidad para cada grado de libertad y, z o θ, se puede

obtener como iq qω= , las fuerzas aeroelásticas quedan

* * *

2 * * *5 1 26 4 3*2 *2

* * *2 * * *5 1 2

6 4 3*2 *2

2 2

1( ) i i i2 2 2

1( ) i i i2 2 2

1( )2

y

z

p p p BF V BL p y p z p

V V VBV BV

h h h BF V BL h y h z h

V V VBV BV

F V B

ω ω

ω ω

θ

π πω ρ ω ω ω θ

π πω ρ ω ω ω θ

ω ρ

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + − + −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎢ ⎥⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= − + − + −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

=* * *

* * *5 1 26 4 3*2 *2i i i

2 2a a a B

L a y a z aV V VBV BV

π πω ω ω θ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

− + − + −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦

(3.11)

donde L es la longitud de sección, pi*, hi

* y ai* con i=1-6 son las funciones de flameo

que dependen de la velocidad reducida V* = V/(fB) o Vω* = V/(ωB), f es la frecuencia en

Hz y ω es la frecuencia en rad/s. Esto significa que si la sección oscila con un

movimiento armónico en un flujo constante, dicho flujo produce en él unas fuerzas de

arrastre Fy, sustentación Fz y momento Fθ armónicas con la misma frecuencia del

movimiento pero con amplitud y fase distintas. Puede encontrarse una deducción de la

forma de las fuerzas aerodinámicas de un cuerpo obtuso con movimiento armónico en

Larsen y Walther [13]. En la Figura 3.12 se muestra un ejemplo teórico en donde las

ecuaciones del desplazamiento u y la fuerza F tienen las siguientes expresiones


89

u= 0.5ei·2·2π·t + 0.5e-i·2·2π·t (3.12)

F = 0.9iei* 2·2π·*t - 0.9ie-i* 2·2π·*t (3.13)

t (s)

f (Hz) f (Hz) fe fe

mód

ulo(

F) (m

m y

N)

fase

( F) (

rad)

(mm

y N

)

Figura 3.12. Desplazamiento impuesto Fuerza registrada.

La Figura 3.12 muestra también la forma en el dominio de la frecuencia de las dos

funciones. El movimiento armónico se convierte en un pico para la frecuencia de la

oscilación forzada en el modelo ef , en este caso 2 Hz. El módulo de este pico es igual a

la amplitud del movimiento con valor 1 mm, y el ángulo coincide con la fase de dicho

movimiento igual a –π/2 rad. Por su parte la fuerza tiene un módulo de 1.8 N y una fase

de 0 rad.

En las ecuaciones que describen las fuerzas en el dominio de la frecuencia (3.11) puede

observarse que cada una de dichas fuerzas esta compuesta por varias componentes

correspondientes al movimiento impuesto en cada uno de los grados de libertad y, z y θ :


90

y yy yz y

z zy zz z

y z

F F F F

F F F F

F F F F

θ

θ

θ θ θ θθ

= + +

= + +

= + +

(3.14)

Si los movimientos impuestos al modelo en cada grado de libertad tienen distintas

frecuencias, es posible identificar cada componente de fuerza ya que al representarlas en

el dominio de la frecuencia aparecerán tres picos bien diferenciados. Las funciones de

flameo se obtienen a partir de las fuerzas medidas expresadas en el dominio de la

frecuencia mediante:

*6

2*2

Real 12 2

yyFp

V L yVω

πρ

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

, *5 Imag 1

2

yyFp

VBL yρ ω

⎛ ⎞⎜ ⎟

= − ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

,

*4

2*2

Real 12 2

yzFp

V L zVω

πρ

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

, *1 Imag 1

2

yzFp

VBL zρ ω

⎛ ⎞⎜ ⎟

= − ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

, (3.15)

*3

2Real 1

2

yFp

V BL

θ

ρ θ

⎛ ⎞⎜ ⎟

= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

, *2

2Imag 1

2

yFp

VB L

θ

ρ ωθ

⎛ ⎞⎜ ⎟

= − ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

,

*6

2*2

Real 12 2

zyFh

V L yVω

πρ

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

, *5 Imag 1

2

zyFh

VBL yρ ω

⎛ ⎞⎜ ⎟

= − ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

,

*4

2*2

Real 12 2

zzFhV L z

Vω

πρ

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

, *1 Imag 1

2

zzFhVBL zρ ω

⎛ ⎞⎜ ⎟

= − ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

, (3.16)

*3

2Real 1

2

zFhV BL

θ

ρ θ

⎛ ⎞⎜ ⎟

= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

, *2

2Imag 1

2

zFhVB L

θ

ρ ωθ

⎛ ⎞⎜ ⎟

= − ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

,


91

*6

2*2

Real 12 2

yFa

V BL yV

θ

ω

πρ

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

, *5

2Imag 1

2

yFa

VB L y

θ

ρ ω

⎛ ⎞⎜ ⎟

= − ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

,

*4

2*2

Real 12 2

zFaV BL z

V

θ

ω

πρ

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

, *1

2Imag 1

2

zFaVB L z

θ

ρ ω

⎛ ⎞⎜ ⎟

= − ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

, (3.17)

*3

2 2Real 1

2

FaV B L

θθ

ρ θ

⎛ ⎞⎜ ⎟

= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

, *2

3Imag 1

2

FaVB L

θθ

ρ ωθ

⎛ ⎞⎜ ⎟

= − ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Normalmente los ensayos seccionales se llevan a cabo con un número de Reynolds por

debajo de las condiciones reales del puente. Sin embargo, suele comprobarse que para

números de Reynolds suficientemente altos los coeficientes aerodinámicos no cambian

demasiado (Figura 3.13) lo que valida los resultados.

Figura 3.13.Coeficiente de arrastre de un tablero para distintos valores de Re. Leo et al. [17]

α(deg)

Re 5.3e-5

Re 6.6e-5 Re 7.9e-5 Re 9.2e-5


92

Para obtener las fuerzas que ejerce el viento sobre el tablero es necesario eliminar las

fuerzas inerciales y las fuerzas gravitacionales. Para ello ha de realizarse un ensayo sin

viento que debe muestrearse en los mismos instantes de tiempo que el ensayo con

viento. Además, con el fin de medir con precisión la amplitud y la fase de los

movimientos y de las fuerzas deben muestrearse al menos 20 ciclos enteros, siendo

también entero el número de intervalos por ciclo. Otro aspecto importante de los

ensayos seccionales es que el modelo debe pesar lo menos posible, ya que si las fuerzas

inerciales son muy grandes disminuye la precisión en la medida de las fuerzas del

viento.

Con este método Diana et al. [5] y [6] obtienen funciones de flameo de secciones de

tableros en el Politécnico de Milán. En sus ensayos, el modelo se sustenta verticalmente

con tres actuadores hidráulicos que deslizan horizontalmente sobre raíles por efecto de

un cuarto actuador. Para conseguir un movimiento armónico, los actuadores se manejan

mediante un control activo (Ogata [27]). Con este sistema de sustentación (Figura 3.14),

imponen movimientos entre 0.2 Hz y 4 Hz. El túnel del Politécnico es capaz de generar

velocidades de viento máximas de 14 m/s. De esta forma obtienen funciones de flameo

para velocidades reducidas que van desde 0.5 a 70. Las velocidades reducidas altas se

consiguen haciendo oscilar muy despacio el modelo (frecuencia reducida baja),

mientras que las velocidades reducidas bajas se consiguen con vibraciones a alta

frecuencia. La amplitud máxima de los movimientos oscilatorios está limitada por la

potencia del sistema hidráulico de control, pero normalmente se emplean giros de

amplitud entre 0.6º a 1º y desplazamientos lateral y vertical de 0.8 a 2 milímetros.


93

Figura 3.14. Sistema de sustentación hidráulico para los ensayos seccionales en el túnel de

viento del Politécnico Milán [6].

Para conseguir unas condiciones de contorno más parecidas a la situación real del

puente, emplean un modelo de tres metros de largo y solo miden fuerzas en el tercio

central (Figura 3.15). Además, como las fuerzas se miden según los ejes del modelo han

de proyectarse en los ejes globales.

Figura 3.15. Dinamómetros en un modelo seccional del Politécnico Milán [6].

3.3.3 Cálculo a partir de ensayos seccionales en vibración libre Los ensayos seccionales en vibración libre consisten en sustentar el modelo mediante

muelles y hacerlo oscilar libremente con y sin viento. A partir de los movimientos del


94

modelo es posible calcular mediante análisis modal experimental sus propiedades de

rigidez y amortiguamiento, y a partir de la variación que experimentan con el viento, se

obtienen las funciones de flameo. El proceso consta de los siguientes pasos:

1. Obtención de la respuesta oscilatoria del modelo bajo los efectos de un flujo de aire

constante en el túnel de viento. Esta señal oscilatoria puede medirse en

desplazamientos, velocidades o aceleraciones.

2. Ajuste de la señal obtenida, mediante un método de identificación de parámetros

modales en el dominio del tiempo o en el dominio de la frecuencia y recomposición

de las matrices de amortiguamiento y rigidez que definen el movimiento del

sistema.

3. Obtención de las funciones de flameo a partir de la diferencia entre las matrices

anteriores para una velocidad de viento dada y para velocidad nula.

Considerando el criterio de signos de la Figura 3.16 la expresión del problema mecánico

que contiene las fuerzas aeroelásticas siguiendo la notación de Scanlan es

( )( )

( )

21 1 1

22 2 2

23 3 3

2

2

2

a

a

x x x a

m v v v D

m w w w L

I M

ξ ω ω

ξ ω ω

ϕ ξ ω ϕ ω ϕ

⋅ + + =

⋅ + + =

⋅ + + =

(3.18)

donde los grados de libertad considerados son el movimiento lateral v, el movimiento

vertical w y el giro ϕx, m es la masa e I la inercia polar, ξi es el amortiguamiento y ωi la

frecuencia natural en rad/s de cada grado de libertad i. Finalmente, Da, La y Ma son las

fuerzas aeroelásticas de arrastre, sustentación y momento respectivamente. El criterio de

signos de las fuerzas aeroelásticas y de los desplazamientos se muestra en la Figura

3.16.


95

V

Ma ϕ x w La

Da v

Figura 3.16. Criterio de signos de las fuerzas aeroelásticas y de los movimientos.

Las fuerzas aeroelásticas según la formulación de Scanlan se expresan empleando las

funciones de flameo mediante las siguientes fórmulas:

2 * * 2 * 2 * * 2 *1 2 3 4 5 6

12

xa x

v v w wD V BL KP KP B K P K P KP K PV V B V B

ϕρ ϕ

⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − + − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦

2 * * 2 * 2 * * 2 *1 2 3 4 5 6

12

xa x

w w v vL V BL KH KH B K H K H KH K HV V B V B

ϕρ ϕ

⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + + − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦

2 2 * * 2 * 2 * * 2 *1 2 3 4 5 6

12

xa x

w w v vM V B L KA KA B K A K A KA K AV V B V B

ϕρ ϕ

⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + + − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦

(3.19)

En ellas ρ es la densidad del aire, V es la velocidad media del viento, B es el ancho de

la sección, L es la longitud del modelo seccional, K = ωB/ V es la frecuencia reducida y

Pi, Hi, Ai con i = 1…6 son las funciones de flameo.

Expresando el sistema (3.18) en forma matricial como

( ) ( ) ( ) ( ) ( )a at t t t t⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅M u C u K u C u K u (3.20)

donde M es la matriz de masa, C y K son respectivamente las matrices de

amortiguamiento y rigidez estructural, mientras que Ca y Ka son las matrices de

amortiguamiento y rigidez aeroelásticas que incluyen las fuerzas aeroelásticas Da, La y

Ma y que tienen las siguientes expresiones:


96

* * *

1 5 2* * *5 1 2* * 2 *5 1 2

1 ·2a

P P BPVKB H H BH

BA BA B Aρ

⎛ ⎞− −⎜ ⎟

= −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

C

* * *4 6 3

2 2 * * *6 4 3* * 2 *6 4 3

1 ·2a

P P BPV K H H BH

BA BA B Aρ

⎛ ⎞− −⎜ ⎟

= −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

K . (3.21)

Definiendo ( )1a

−= −C M C C y ( )1a

−= −K M K K el sistema queda como

0uKuCu =⋅+⋅+ )()()( ttt . (3.22)

Cuando la velocidad de viento es cero las fuerzas aeroelásticas Da, La y Ma desaparecen

y las matrices aeroelásticas Ka = Ca = 0. Entonces se cumple

0uKuCu =⋅+⋅+ )()()( ttt mechmech . (3.23)

Cuando la velocidad del viento es distinta de cero y existen fuerzas aeroelásticas se

cumple

0uKuCu =⋅+⋅+ )()()( ttt effeff (3.24)

Restando se pueden identificar los términos de las matrices aeroelásticas que contienen

a las funciones de flameo

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )eff mech eff mecha at t t t− ⋅ + − ⋅ = ⋅ + ⋅ =C C u K K u C u K u 0 (3.25)

de donde


97

*1 11 112

1

2( ) ( )eff mechmP K C CBρ ω

= − − *2 13 133

3


= + −

*3 13 133 2

3

2( ) ( )eff mechmP K K KBρ ω

= + − *4 11 112 2

1


= − −

*5 12 122

2


= + − *6 12 122 2

2


= + −

(3.26)

*1 22 222

2

2( ) ( )eff mechmH K C CBρ ω

= − − *2 23 233

3


= − −

*3 23 233 2

3

2( ) ( )eff mechmH K K KBρ ω

= − − *4 22 222 2

2


= − −

*5 21 212

1


= + − *6 21 212 2

1


= + −

(3.27)

*1 32 323

2

2( ) ( )eff mechIA K C CBρ ω

= − − *2 33 334

3


= − −

*3 33 334 2

3

2( ) ( )eff mechIA K K KBρ ω

= − − *4 32 323 2

2


= − −

*5 31 313

1


= + − *6 31 313 2

1


= + −

(3.28)

La determinación de los elementos de las matrices mechC , mechK , effC y effK se ha

llevado a cabo aplicando el método modificado de Ibrahím en el dominio del tiempo

MITD que se explica a continuación.

Método de Ibrahím en el dominio del tiempo (ITD) El método de Ibrahím en el dominio del tiempo es un método de identificación de

parámetros modales que consigue ajustar el movimiento de un sistema libre

amortiguado que para n grados de libertad responde a la siguiente ecuación diferencial


98

0uKuCu =⋅+⋅+ )()()( ttt (3.29)

donde CMC 1−= y KMK 1−= siendo M, C y K las matrices de masa,

amortiguamiento y rigidez del sistema respectivamente. Para resolver esta ecuación

diferencial se supone una solución de la forma

tet λpu =)( . (3.30)

Introduciendo este movimiento en (3.29) y utilizando la siguiente expresión que emplea

la matriz unitaria I

0IpIp =− λλ (3.31)

se convierte en un problema de autovalores y autovectores de la forma

λλ

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎧ ⎫− =⎨ ⎬⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎩ ⎭⎣ ⎦

0 I I 0 p0

K C 0 I p (3.32)

Resolviéndolo se obtienen 2n autovectores complejos por pares conjugados (p λp)T

asociados a 2n autovalores complejos conjugados λ que forman 2n soluciones

independientes. La solución a la ecuación (3.29) es una combinación lineal de todas

ellas:

2

1

( ) jn

tj

j

t eλ ⋅

=

= ⋅∑u p . (3.33)

Esta solución deberá ser válida para cada instante ti, esto es

2

1( ) j i

nt

i jj

t eλ ⋅

=

= ⋅∑u p (3.34)

o lo que es lo mismo


99

1

2

1 1,1 1,2

,1 ,2

( )( )

( )

i

n i

ti n

it

n i n n n

u t p p et

u t p p e

λ

λ

⋅

⋅

⎡ ⎤⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

u . (3.35)

Ensamblando una matriz con la respuesta para L instantes de tiempo

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

Ln

L

nn t

t

t

t

t

t

nnn

n

L

e

e

e

e

e

e

pp

ppttt

2

1

22

21

12

11

2,1,

2,11,1

21 )()()(λ

λ

λ

λ

λ

λ

… uuu (3.36)

que escrito en forma matricial queda

LnnnLn ×××⋅=

220 ΛPX (3.37)

donde

[ ])()()( 210 LLn

ttt uuuX …=×

(3.38)

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

×

nnn

n

nnpp

pp

2,1,

2,11,1

2P (3.39)

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

×Ln

L

nn t

t

t

t

t

t

Lne

e

e

e

e

e

2

1

22

21

12

11

2λ

λ

λ

λ

λ

λ

Λ (3.40)

y trasladando 0X 2N veces un incremento de tiempo t∆ se obtiene la expresión


100

[ ]2 1 2 2 2 2( ) ( ) ( )N Lt N t t N t t N t= + ∆ + ∆ + ∆ =X u u u…

1 1 2 1 2 2 1 2

2 1 2 2 2 2 2 2

( ) ( ) ( )1,1 1,2

( ) ( ) ( ),1 ,2

L

n n n L

t N t t N t t N tn

t N t t N t t N tn n n

p p e e e

p p e e e

λ λ λ

λ λ λ

⋅ + ∆ ⋅ + ∆ ⋅ + ∆

⋅ + ∆ ⋅ + ∆ ⋅ + ∆

⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= =⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

1 2 1 1 1 2 1

2 2 2 1 2 2 2

2 2 2 1 2 2 2

1,1 1,2

,1 ,2

0 00

00 0

L

L

n n n n L

N t t t t

n N t t t t

n n n N t t t t

e e e ep p

e e e e

p pe e e e

λ λ λ λ

λ λ λ λ

λ λ λ λ

⋅ ∆ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ∆ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ∆ ⋅ ⋅ ⋅

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(3.41)

Esta última expresión puede escribirse de forma matricial como

Ln

N

nnnnLnN ×××

×

⋅⋅=2222

2

2Λ∆PX (3.42)

donde la nueva matriz es

1

2

2

2 2

0 00

00 0 n

t

t

n n

t

ee

e

λ

λ

λ

∆

⋅∆

×

⋅∆

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

∆ (3.43)

Análogamente se puede trasladar 12 NN + incrementos de tiempo t∆ la matriz 0X

quedando

Ln

NN

nnnnLn

NN ×

+

×××

+ ⋅⋅=2222

12

12Λ∆PX (3.44)

A continuación se ensamblan 0X , 2NX y

12 NN +X obteniendo las matrices

LnnnN

NLn ×××=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

222

0

2 22

ΛQΛP∆

PXX

Y (3.45)


101

Ln

N

nnnnnnNN

N

NN

N

Ln ××××+

+×==⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

22222222

1

21

1

21

1 ˆˆ Λ∆QΛQΛP∆

P∆X

XY (3.46)

También se cumple que

1ˆ ˆ ˆ

f−= = =Q QI QQ Q T Q (3.47)

Combinando (3.46) y (3.47) se obtiene

1

2 22 2 2 22 2

Nf n nn n n nn n

×× ××

− =T Q Q ∆ 0 (3.48)

La anterior expresión es idéntica al siguiente problema de valores propios

( )1j N tf jeλ ∆− =T q 0 (3.49)

donde 1j N teλ ∆ son sus valores propios y

1j

jN tj

jeλ ∆

⎧ ⎫⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

pq

p (3.50)

son los vectores propios del problema. Por tanto, la resolución de (3.49) permite obtener

los λj de (3.32) pero con la ventaja de que la matriz Tf se construye fácilmente a partir

de la medición en el tiempo de los desplazamientos en los distintos grados de libertad

del sistema. Para ello se elimina Λ entre (3.45) y (3.46), y, teniendo en cuenta (3.47) se

llega a que

1ˆˆ

f−= =Y QQ Y T Y (3.51)

de donde se puede despejar Tf aplicando mínimos cuadrados de dos formas


102

( )( ) 1ˆ ˆ ˆT Tf

−=T YY YY (3.52)

( )( ) 1ˆ T Tf

−=T YY YY (3.53)

Para obtener una aproximación mejor de Tf se combinan ambas formas haciendo la

media

( )( ) ( )( )1 11 ˆ ˆ ˆ ˆ2

T T T Tf

− −⎡ ⎤= +⎢ ⎥⎣ ⎦T YY YY YY YY (3.54)

De los valores propios a + bi de Tf se obtienen la frecuencia ωj y el amortiguamiento ξj

de cada grado de libertad. Teniendo en cuenta que

( )1 21i exp i 1j N t

j j j ja b e N tλ ξ ω ω ξ∆ ⎡ ⎤+ = = − − − ∆⎢ ⎥⎣ ⎦ (3.55)

se tiene

( )1

ln imóduloj

a bN t

ω+⎡ ⎤

= ⎢ ⎥∆⎣ ⎦ (3.56)

( )( )

1 2Im ln i

1Re ln ij

a ba b

ξ−

⎛ ⎞+⎡ ⎤⎣ ⎦= +⎜ ⎟⎜ ⎟+⎡ ⎤⎣ ⎦⎝ ⎠ (3.57)

1dj

barctga

N tω

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠=

∆ (3.58)

También se puede trasladar la función con t∆ negativos con lo que en lugar de (3.48) se

obtiene

1

2 22 2 2 22 2

ˆ ˆ Nb n nn n n nn n

−

×× ××− =T Q Q ∆ 0 (3.59)


103

En este caso se define 1ˆb

−=T QQ con lo que se llega al siguiente problema de valores

propios:

( )1j N tb je λ− ∆− =T q 0 (3.60)

La matriz Tb se construye a partir de los desplazamientos en los distintos grados de

libertad mediante

( )( ) ( )( )1 11 ˆ ˆ ˆ ˆ2

T T T Tb

− −⎡ ⎤= +⎢ ⎥⎣ ⎦T YY YY YY YY . (3.61)

La relación entre los ratios de amortiguamiento y frecuencias continúa siendo la de la

expresión (3.55). Se hace la media de los resultados del problema de valores propios

con t∆ positivo y con t∆ negativo para conseguir una mayor precisión.

Por último para obtener los vectores p, una vez calculada la matriz Λ , debe resolverse:

LnnnLn ×××⋅=

220 ΛPX . Como Λ es una matriz de números complejos la forma de resolver esta

ecuación empleando mínimos cuadrados es

( ) ( )( ) 1

0 conjconj−

⋅⋅⋅= TT ΛΛΛXP (3.62)

Método modificado de Ibrahím en el dominio del Tiempo (MITD) El método de Ibrahím no funciona bien cuando ajusta señales que contienen un nivel de

ruido alto, por ejemplo cuando el flujo de aire en el túnel de viento tiene una intensidad

de turbulencia considerable. Para solucionar este defecto Sarkar [32] propuso una

modificación del método de Ibrahím que consiste en reconstruir los movimientos )(tu

del sistema usando el ITD de forma iterativa hasta alcanzar la convergencia de los

parámetros modales.


104

I) Siguiendo el método (ITD), se construye primero las matrices X0, XN1, XN2, y XN1+N2 a

partir de los movimientos medidos del sistema; se ensamblan Y e Y ; se calculan los

valores propios de las matrices

( )( ) ( )( )1 11 ˆ ˆ ˆ ˆ2

T T T Tf

− −⎡ ⎤= +⎢ ⎥⎣ ⎦T YY YY YY YY (3.63)

( )( ) ( )( )1 11 ˆ ˆ ˆ ˆ2

T T T Tb

− −⎡ ⎤= +⎢ ⎥⎣ ⎦T YY YY YY YY (3.64)

y después de obtener los vectores pj mediante (3.62) se tiene un primer ajuste

estimado de los movimientos que se denota mediante u*(t) a través de (3.33).

II) Con u*(t) se construyen las matrices modificadas ******0

ˆ , , , , ,2121

YYXXXX nnnn + y se

combinan con las iniciales para obtener unas nuevas matrices

( )( ) ( )( )1 1* * * *1 ˆ ˆ ˆ ˆ2

T T T Tf

− −⎡ ⎤= +⎢ ⎥⎣ ⎦T YY YY YY YY (3.65)

( )( ) ( )( )1 1* * * *1 ˆ ˆ ˆ ˆ2

T T T Tb

− −⎡ ⎤= +⎢ ⎥⎣ ⎦T YY YY YY YY (3.66)

que se utilizan para ajustar los nuevos movimientos del sistema u*(t).

III) Los pasos I y II deben repetirse empleando los movimientos nuevos estimados u*(t)

hasta que se alcanza la convergencia de los valores propios λj. Es importante para la

convergencia del método escoger unos coeficientes 2N y 1N apropiados. Sarkar

recomienda utilizar 121 ±= NN siendo 1N la parte entera de dividir la frecuencia de

muestreo entre cuatro veces la mayor de las frecuencias de las señales.

Una vez obtenidos los vectores propios de los problemas (3.48) y (3.59) que se

almacenan en Q y sus correspondientes valores propios almacenados en ∆, es necesario

calcular la matriz de rigidez KMK 1−= y la de amortiguamiento CMC 1−= . Para ello

se parte de la expresión (3.32) que se puede reescribir como


105

λλ λ

⎧ ⎫ ⎛ ⎞ ⎧ ⎫=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎜ ⎟− −⎩ ⎭ ⎝ ⎠ ⎩ ⎭

p 0 I pp K C p

(3.67)

Los autovectores p se ensamblaban en columnas en la matriz P (3.39) que se puede

obtener de Q (3.45). Los autovectores λ se obtienen a partir de ∆ (3.43) aprovechando

que ( )1j jjLn

tλ =

∆∆ . De esta forma, si se emplean todos los autovectores y autovalores

al mismo tiempo, la expresión (3.67) queda como

( ) ( ) ( )1

1 1LntLn Ln

t t

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −∆ ⎝ ⎠∆ ∆⎣ ⎦ ⎣ ⎦

P P0 I∆

K C∆ P ∆ P (3.68)

que puede expresarse de forma compacta como

2 22 22 2 2 2L n nn nn n n n

λ λ××× ×⋅ = ⋅P Λ A P (3.69)

En ella

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

PΛP

PL

λ (3.70)

y

( )∆Λ LntL ∆

=1 (3.71)

donde ∆ es la matriz diagonal con los autovalores del problema (3.48) y (3.60)

elevados a 1/N1 y –1/ N1 respectivamente. De esta expresión se puede obtener la matriz

A multiplicando ambos miembros por la matriz λP -1:


106

1

2 2 2 22 2 2 2Ln n n nn n n n

λ λ−

× ×× ×

⎛ ⎞= ⋅ ⋅ = ⎜ ⎟− −⎝ ⎠

0 IA P Λ P

K C (3.72)

Una vez obtenida la matriz A sólo resta identificar términos para calcular las matrices

K y C . La expresión trigonométrica del movimiento para el caso del modelo

bidimensional con grados de libertad horizontal, vertical y giro torsional es

)cos()cos()cos()()cos()cos()cos()(

)cos()cos()cos()(

333*33322

*32311

*31

233*23222

*22211

*21

133*13122

*12111

*11

332211

332211

332211

φωφωφωϕφωφωφωφωφωφω

ωξωξωξ

ωξωξωξ

ωξωξωξ

+++++=+++++=+++++=

−−−

−−−

−−−

teCteCteCtteCteCteCtwteCteCteCtu

dt

dt

dt

x

dt

dt

dt

dt

dt

dt

ddd

ddd

ddd

(3.73)

Se pueden despejar las amplitudes iniciales *ijC y las fases ijφ de cada componente a

partir de los vectores propios pj y los autovalores jλ según el razonamiento siguiente.

Cogiendo un par conjugado de autovectores con sus autovalores asociados al problema

(3.32)

( ) ( )2 2

1 21 i 1 i

11 12 11 12n n n nt tt tp e p e p e p e

ξω ω ξ ξω ω ξλ λ − + − − − −+ = + =

( ) ( )i i11 12

n d n dt tp e p eξω ω ξω ω− + − −= + =

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )11 12cos isin cos isinn nt td d d dp e t t p e t tξω ξωω ω ω ω− −= + + − =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )11 12 11 12cos i sinn nt td dp p e t p p e tξω ξωω ω− −= + + − =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =−= −− teCteC dt

dt nn ωφωφ ξωξω sinsincoscos 11

*1111

*11

( ) ( )11*11 cos φωξω += − teC d

tn

(3.74)

Entonces

( )11*111211 cos φCpp =+ (3.75)

( )*11 12 11 11i( ) sinp p C φ− = − (3.76)


107

de donde

( )11 1211

11 12

i p parctg

p pφ

− −⎛ ⎞= ⎜ ⎟+⎝ ⎠

(3.77)

( )11

1211*11 cos φ

ppC += (3.78)

lo cual puede extenderse a todos los *ijC y ijφ .

Siguiendo este método se identifican las matrices de rigidez y amortiguamiento de

modelos seccionales en el túnel de viento de la E.T.S.I. de Caminos, Canales y Puertos

de Coruña. Para ello, el método ha sido implementado en el programa PCTUVI para el

control de dicho túnel con el cual se pueden identificar las 18 funciones de flameo

simultáneamente.

3.4 ENSAYOS AEROELÁSTICOS EN VIBRACIÓN LIBRE

En este apartado se describe el procedimiento seguido en la realización de los ensayos

aeroelásticos seccionales en vibración libre encaminados a la obtención de las 18

funciones de flameo. En primer lugar se presentan las características requeridas en el

modelo seccional. Como ejemplo se utiliza el modelo del tablero del puente sobre el

estrecho de Messina. Luego se explica el diseño y funcionamiento de la sustentación

mediante muelles. La última parte describe el procedimiento para realizar los ensayos

aeroelásticos con tres grados de libertad con el fin de obtener las 18 funciones de flameo

simultáneamente.

3.4.1 Modelo seccional Un modelo seccional requiere menos condiciones de similaridad que un modelo

reducido de un puente completo. Lo más importante es que se mantenga la similitud

geométrica. La forma de la maqueta debe ser proporcional a la sección del tablero del

cual se desea conocer sus funciones de flameo. Además se recomienda que la longitud


108

del modelo sea tres veces su anchura para que el modelo pueda considerarse

bidimensional. Es preciso también que sea suficientemente rígido para que no se

deforme por acción del viento.

Los valores de masas e inercias del modelo no son importantes en el ensayo aunque es

recomendable que sean pequeños para que no introduzcan errores en la medición de las

fuerzas del viento. Con esto se quiere decir que no es necesario respetar ninguna escala

de masas derivada del análisis adimensional ya que se busca cuantificar la acción del

viento en función de los movimientos de la estructura. Esta flexibilidad en el diseño de

los ensayos seccionales no sucede cuando se trata de reproducir la interacción

aeroelástica mediante ensayos con un modelo de puente completo. En ese caso, una vez

se ha fijado la escala de longitudes, se fija también la de frecuencias, esto es, el modelo

debe vibrar con unas frecuencias naturales relacionadas con las del prototipo por el

número de Strouhal. Puede encontrarse una explicación más extensa del cálculo

adimensional de los ensayos aeroelásticos de puentes en León [18] y en Rey [30].

Como acaba de comentarse, a la hora de fabricar el modelo reducido para un ensayo

seccional importa únicamente su geometría, la cual debe ser similar a la del prototipo.

Es importante que se incorporen al modelo todos los apéndices longitudinales

significativos como barreras antiviento, barandillas, barreras bi-onda, etc. Incluso los

cables principales pueden influir de forma importante en la aerodinámica de la sección

en el centro del vano. En Katsuchi [11] se afirma que dichos cables influyen en la forma

de las funciones de flameo mientras la separación entre ésta y el tablero es menor de

1/10 el ancho total del tablero. También es importante emplear una porosidad

equivalente (área de huecos/área de sólido) de las rejillas o muros traslúcidos al viento

entre el modelo y el prototipo. En cuanto al tamaño del modelo se recomienda no

emplear escalas más pequeñas de 1/100. En la Figura 3.17 se muestran varios ejemplos

de modelos seccionales de tableros de puentes ensayados en el túnel de viento de la

escuela de Ingenieros de Caminos de La Coruña.


109

Figura 3.17. Modelos seccionales del tablero del puente del Gran Belt, del estrecho de Akashi, y

del estrecho de Messina.

3.4.2 Sustentación del modelo seccional La sustentación es el conjunto de elementos que soporta elásticamente el modelo

seccional. En los ensayos del presente trabajo, el modelo se une a las células de carga

mediante hilo de acero de 0.5 mm y ocho o doce muelles: cuatro u ocho verticales y

cuatro horizontales (Figura 3.18).


110

K3

K2.1

K4

K6 K5

K1.1

K2.2

K1.2

K5.2 K6.2

K5.1

K3.1

K2.1

K4.1

K6.1

K1.1

K2.2

K1.2

K3.2

Figura 3.18. Esquema de la sustentación del modelo seccional con ocho (izquierda) y con doce

muelles (derecha).

Los muelles se definen por su rigidez, su longitud y la carga máxima a la cual

plastifican. La carga máxima ha de ser lo mayor posible para garantizar la linealidad de

las fuerzas con los movimientos durante los ensayos. La longitud debe ser suficiente

para que el recorrido del muelle permita todo el movimiento necesario durante el

ensayo, pero no excesiva para que no supere el espacio disponible. La rigidez ha de ser

tal que las frecuencias naturales de vibración del modelo sean las deseadas. Estas

frecuencias ωn, junto con la velocidad del túnel de viento V y el ancho del modelo B,

determinan el rango de velocidades reducidas (3.79) para las cuales es posible obtener

funciones de flameo.

V* = 2π V/ωB (3.79)

El rango de velocidades del túnel de viento de la Escuela de Ingenieros de Caminos de

La Coruña es de 0 a 30 m/s. No obstante, a velocidades de viento mayores que 20 m/s

se producen unas vibraciones en la cámara de ensayos que hacen que las señales de

fuerzas medidas por la instrumentación tengan un ruido inadmisible. Por último es

aconsejable que los muelles en reposo, se encuentren cargados a más de 700 gr (7 N)

para limitar el ruido relativo medido por las células de carga. Por esta misma razón es

aconsejable que su constante de elasticidad sea superior a 10 N/m.


111

Para el diseño de la sustentación es necesario definir previamente la rigidez de los

muelles a partir de unas frecuencias naturales deseadas. El sistema de la Figura 3.18 se

puede reducir a un sistema de tres grados de libertad como el que se muestra en la

Figura 3.19 donde Kv es la rigidez horizontal, Kw es la rigidez vertical y Kϕ es la rigidez

a torsión.

Kw

Kv Kϕ

Figura 3.19. Esquema del sistema dinámico equivalente de 3 gdl.

Si se emplea un esquema de sustentación de ocho muelles, la rigidez horizontal Kv está

formada por la rigidez aportada por los muelles horizontales colocados en paralelo, y

por el movimiento como péndulo del modelo al encontrarse colgado de los muelles

verticales.

Kv = (K1.1 + K1.2 + K2.1 + K2.2) + Kvpéndulo (3.80)

Para obtener la rigidez inducida por el movimiento pendular se hace la descomposición

de fuerzas de la Figura 3.20, también descrito en la Figura 3.21:


112

Figura 3.20. Fuerzas horizontales debidas al movimiento pendular.

m m

Lw m·g

v

m·g·v/Lw

m·g

Figura 3.21. Esquema de las fuerzas horizontales debidas al movimiento pendular.

Cuando se desplaza el modelo de su posición de equilibrio una distancia horizontal v,

aparece una fuerza recuperadora de valor (m·g/Lw)·v, o lo que es lo mismo Kvpéndulo·v.

Si además se supone que los cuatro muelles horizontales tienen la misma constante de

elasticidad, la rigidez horizontal resultante será


113

Kv=4·K1.1 + m·g/Lw (3.81)

donde K1.1 es la rigidez de los muelles horizontales en N/m, m es la masa del modelo

en kg y g es la constante de la gravedad 9.81 m/s2.

Cuando además se empleen muelles verticales inferiores, hay que añadir otro término a

la rigidez del sistema. Suponiendo que se tensen los muelles verticales inferiores con

una fuerza Tw (Figura 3.22) y todos los muelles verticales tengan la misma longitud Lw,

cuando se desplaza el modelo de su posición de equilibrio una distancia horizontal v

aparece una fuerza recuperadora de valor 8 (Tw/Lw)·v = KvTw v. Sumando todos los

términos la rigidez horizontal del modelo sustentado por doce muelles (Figura 3.18

dcha) queda

Kv=4·K1.1 + m·g/Lw + 8 (Tw/Lw) (3.82)

K3.1

K3.2

2·Tw·w/Lw

Tw

v

Lw

Tw

Figura 3.22. Esquema de las fuerzas verticales debidas al tesado de los muelles horizontales.


114

Por otra parte la rigidez vertical Kw está formada por la rigidez aportada por los muelles

verticales colocados en paralelo, y por la rigidez inducida por el tesado de los muelles

horizontales Tv.

Kw=(K3+K4+K5+K6) + KwTv (3.83)

Para obtener la rigidez inducida por el tesado de los muelles horizontales se hace de

nuevo la descomposición de fuerzas (Figura 3.23 y Figura 3.24).

Figura 3.23. Fuerzas verticales debidas al tesado de los muelles horizontales.

K1.1 K1.1

2·Tv·w/Lv Tv

w

Lv

Tv

Figura 3.24. Esquema de las fuerzas verticales debidas al tesado de los muelles horizontales.

A partir de esta descomposición de fuerzas la rigidez vertical que se obtiene es

Kw=4·K3.1 + 4·Tv/Lv + 4 K3.2 (3.84)

2·Tv


115

donde K3.1 es la rigidez de los muelles verticales superiores y K3.2 la de los inferiores

en N/m. Tv es la fuerza de tesado de los muelles horizontales en N.

La rigidez a torsión Kϕ se obtiene a partir de la fuerza producida por los muelles

verticales dispuestos en paralelo por el brazo d correspondiente. El valor de la rigidez

con la sustentación de 12 muelles es

Kϕ = 4·(K3.1·d2) + 4·(K3.2·d2) (3.85)

donde K3.1 es la rigidez de los muelles verticales superiores y K3.2 la de los muelles

inferiores (Figura 3.25). Si se emplean sólo 8 muelles, K3.2 se asume 0.

K3.1 K3.1

d d

K3.2 K3.2

Figura 3.25. Separación entre muelles verticales.

Una vez que se tienen las rigideces vertical, lateral y torsional, las frecuencias naturales

del modelo se calculan mediante las siguientes expresiones

v

vHznv m

Kf

π21

= ; (3.86)

w

wHznw m

Kf

π21

= ; (3.87)

ϕ

ϕϕ π I

Kf

Hzn 21

= ; (3.88)

donde mv, mw e Iϕ son la masa lateral, la masa vertical y la inercia polar torsional

respectivamente. La masa vertical y la masa lateral son distintas ya que en ellas se


116

incluye una parte del peso de la sustentación. De todas formas, en general puede

asumirse que v wm m≈ .

Las ecuaciones anteriores se emplean para diseñar la sustentación obteniendo la rigidez

de los muelles verticales y horizontales, así como la separación de los muelles verticales

y la fuerza de tesado de los muelles horizontales. Se decide primero la frecuencia

horizontal necesaria fnv requerida (Hz), que ha de ser mayor que la frecuencia natural como

péndulo (fnv (Lw)). Conociendo la masa horizontal del modelo mv y empleando la

ecuación (3.86) en combinación con (3.81) se obtienen las constantes de rigidez de los

muelles horizontales K1.1. Esta rigidez K1.1 deberá ser mayor de 10 N/m y deberá

poderse fabricar un muelle con esta rigidez y un tamaño compatible con el espacio

disponible. Una vez determinado K1.1, se calcula la constante de rigidez de los muelles

verticales K3 mediante las expresiones (3.87) y (3.84). Finalmente se define la

excentricidad de los muelles verticales para una fnϕ requerida y una inercia polar del

modelo Iϕ teniendo en cuenta las expresiones (3.88) y (3.85). El proceso se esquematiza

en la Figura 3.26.

K1.1

T mínima mw ∼ mv fnw requerida

K3 d

fnv requerida > fnv (Lw) mv K1.1>10 N/m Espacio disponible para el muelle. fnϕ requerida

Iϕ

Figura 3.26. Diagrama de diseño de la sustentación.

Los fabricantes de muelles clasifican sus productos según la calidad y grosor del

alambre, así como del ancho de espira. Cuanto más grueso es el alambre, mayor es la

rigidez por metro y la carga máxima. Cuanto mayor es el ancho de la espira, menor es la

rigidez por metro. Los fabricantes dividen también los muelles según funcionen a

tracción o a compresión. Los muelles empleados para soportar el modelo son muelles de

tracción.


117

A partir de una longitud genérica de muelle, se corta la que se necesita para conseguir la

rigidez deseada. Cuanto más corto es un muelle mayor es su rigidez. La rigidez del

muelle cortado podría calcularse a partir de la extensión estática de dos masas

conocidas. Sin embargo, es preferible calcularlo a partir de la frecuencia de oscilación

de una masa suspendida del muelle por alcanzarse de esta forma mayor precisión. Este

procedimiento consiste en hacer oscilar libremente una masa conocida y medir el

tiempo que tarda en realizar un número n de ciclos suficientemente alto, o bien emplear

el MITD.

Para conseguir frecuencias de vibración bajas es posible añadir masa al modelo. Una

vez fabricados los muelles pueden aproximarse más las frecuencias naturales de

vibración del modelo a las deseadas mediante el siguiente procedimiento. A partir de la

masa del modelo mvmin y de la rigidez de los muelles verticales K3 y horizontales K1.1,

se calcula una nueva masa horizontal mv mayor, con la cual se consigue la frecuencia de

vibración natural horizontal deseada fnv requerida. Para obtener esta masa, se lastra el

modelo con pesos. Entonces se calcula la nueva masa vertical y la fuerza de tesado de

los muelles horizontales para conseguir la frecuencia vertical deseada fnw requerida. Por

último se calcula la inercia polar del modelo y, a partir de esta y de la frecuencia a

torsión deseada fnϕ requerida, la excentricidad de los muelles verticales d. En la Figura 3.27

se esquematiza este proceso.

K1.1 K3 mvmin fnv requerida

mv T

mw fnw requerida

d

Iϕ fnϕ requerida

Figura 3.27. Diagrama de montaje del ensayo.

Como se puede ver en los diagramas anteriores la posibilidad de conseguir la frecuencia

horizontal está condicionada a que la frecuencia natural requerida sea mayor que la

frecuencia que tendrá el modelo oscilando como péndulo (3.89) que depende de la

longitud del cable o cables de los que cuelga. En caso de que la frecuencia requerida

fuera menor o igual que la frecuencia como péndulo, no podrían añadirse los muelles


118

horizontales, y por lo tanto no se podrían medir los desplazamientos horizontales a

partir de las mediciones en las células de carga.

wv

vpéndulo

Hznvpéndulo Lg

mK

fππ 21

21

== (3.89)

Otra parte necesaria de la sustentación del modelo son los actuadores neumáticos y el

armazón metálico sobre el cual se encuentran (Figura 3.28 y Figura 3.29). Los

actuadores neumáticos son unos cilindros con un vástago que sale o entra en función de

la presión de aire del circuito neumático al cual está conectado. Los actuadores

neumáticos del túnel de la E.T.S.I. de Caminos, Canales y Puertos de la Universidad de

La Coruña están conectados al circuito de aire comprimido a través de una

electroválvula con la cual se controla la apertura simultánea de los actuadores. Cuando

los actuadores están abiertos su vástago se encuentra fuera del cilindro. Este vástago se

emplea para sujetar el modelo fuera de la posición de equilibrio como se explica en el

siguiente apartado.

Figura 3.28. Actuadores neumáticos para sujetar el modelo fuera de la posición de equilibrio.

Actuadores neumáticos


119

Figura 3.29. Armazón metálico para sustentar los actuadores neumáticos.

3.4.3 Realización del ensayo con tres grados de libertad Una vez que se dispone de los muelles la manera de montar el modelo dentro de la

cámara de ensayos ha de seguir un procedimiento determinado. En primer lugar se

abren las paredes del túnel y se introduce el modelo quedando sujeto por las mismas. A

continuación se suspende de los muelles verticales y estos a su vez de las células de

carga verticales. La unión de los muelles con las barras metálicas se lleva a cabo

empleando cuerda de piano de 0.5 mm. Los muelles se unen a las células de carga

empleando tensores. Para colocar los muelles, el modelo se fija en primer lugar con los

actuadores neumáticos en la que será su posición de reposo. A continuación se instalan

los muelles verticales superiores. Si sólo se emplean muelles verticales superiores, se

cuelga del muelle la cuarta parte del peso del modelo y se fija la longitud de la cuerda

de piano prensándola entre dos tuercas (Figura 3.30). Si se emplean también muelles

verticales inferiores se añade más peso para que dichos muelles tengan un tesado inicial

cuando el modelo se encuentra en su posición de reposo (Figura 3.31).

Actuadores neumáticos

Electroválvula


120

Figura 3.30. Montaje de los muelles verticales superiores para el ensayo aeroelástico.

Figura 3.31. Montaje de los muelles verticales superiores e inferiores.

Cuando la maqueta está situada en la posición definida en el párrafo anterior colgada de

los muelles verticales, es el momento de colocar los muelles horizontales. Esto se hace

uniendo en primer lugar los muelles anteriores a los posteriores mediante cuerda de

piano. De esta forma el muelle K1.1 está unido al K1.2 y el K2.1 al K2.2. Cada par de

muelles se une a una de las células de carga horizontales mediante un tensor y se tensa

con una masa igual en los dos casos colgada a continuación de la polea. Es importante

que la fuerza de tesado a ambos lados sea la misma para que el movimiento del modelo

sea bidimensional. Por ello la masa se cuelga a continuación del muelle posterior a

Muelle vertical superior

¼ del peso del modelo

Tuerca para aprisionar el cable

Muelle vertical superior

¼ del peso del modelo

Tw

Muelle vertical inferior

Tw Tuerca para aprisionar el cable


121

través de una polea. Finalmente, el modelo se fija a los muelles horizontales ya tensados

a través de arandelas que abrazan el hilo de acero entre cada par de muelles. Para llevar

un ajuste fino de la posición inicial se pueden emplear los tensores que conectan los

muelles a las células de carga. De esta forma el modelo está dispuesto para comenzar a

realizar los ensayos.

Figura 3.32 Tesado de los muelles horizontales.

Figura 3.33. Unión de los muelles horizontales al centro de gravedad del modelo.

Cada uno de estos ensayos, ya sea con viento o sin él, consta de los siguientes pasos:

K2.2

Polea


122

• Colocar el modelo con el ángulo de ataque deseado midiendo dicho ángulo con

un inclinómetro digital de precisión 0.1º (Figura 3.34a).

• Medir las fuerzas que ejerce sobre las células de carga cuando se encuentra en la

posición de equilibrio

• Separarlo de su posición de equilibrio estático sujetándolo con los vástagos de

los actuadores neumáticos (Figura 3.34b).

• Comienza la captura de datos e inmediatamente se libera la maqueta apagando la

electroválvula para que se retraigan los vástagos de los actuadores neumáticos,

el modelo oscila libremente (Figura 3.34c y d) y el programa de control registra

los movimientos del mismo a través de la señal adquirida por las células de

carga.

• Con los movimientos registrados durante el ensayo se obtienen las matrices de

rigidez y amortiguamiento del sistema elástico empleando el MITD.

Para obtener las funciones de flameo, este proceso se ejecuta diez veces sin viento y a

continuación, con velocidades de viento crecientes como se indica en León [18]. La

finalidad de repetir los ensayos sin viento es obtener una media de las matrices de

rigidez y amortiguamiento y con ello mejorar la precisión de las funciones de flameo.

Los ensayos con viento se realizan incrementando la velocidad en el túnel desde un

valor en el cual se espera que el número de Reynolds no afecte a los resultados hasta la

velocidad máxima. Además se efectúan empleando varios grupos de muelles que

proporcionan frecuencias de vibración naturales distintas para poder obtener funciones

de flameo en un rango mayor de velocidades reducidas. Por otra parte, para mantener la

posición y el ángulo de ataque a medida que aumenta la velocidad del viento, debe

modificarse la longitud de los muelles acortando y alargando los tensores.


123

a b

c d

Figura 3.34 Secuencia del ensayo aeroelástico.

Una vez que se han medido los desplazamientos de la vibración libre del modelo con y

sin viento, hay que calcular las matrices de rigidez y amortiguamiento ajustando con el

MITD dichos movimientos para obtener a continuación las funciones de flameo a partir

de dichas matrices como se ha explicado en el apartado 3.4.

3.5 PROGRAMA PCTUVI

PCTUVI es el programa de control del túnel de viento de la ETS de Ingenieros de

Caminos, Canales y Puertos de la Universidad de la Coruña. El programa está dividido

en dos partes fundamentales. La primera realiza la adquisición de datos y usa Microsoft

Visual Basic versión 6.0 como leguaje de programación. La segunda realiza el análisis

computacional de los datos adquiridos y está programada con el código de

programación técnica Matlab 6.5. Cuando se llama al programa PCTUVI, aparece la

ventana principal que se muestra en la Figura 3.35. Esta ventana contiene un menú con


124

cuatro opciones: Calibration (calibración), Flow generation (generación de flujo), Tests

(ensayos) y Help (ayuda).

Figura 3.35 Ventana principal de PCTUVI.

3.5.1 Menú calibración Este menú se usa para la calibración de la instrumentación del túnel. Tiene cuatro

opciones. La primera es Voltage-Velocity Rate que se emplea para establecer la relación

entre la tensión suministrada a la turbina del túnel y la velocidad de flujo de aire

conseguida en la cámara de ensayos. Las otras opciones: Load Cell, Accelerometers y

Spring Supporting, sirven para calibrar respectivamente las células de carga, los

acelerómetros y los muelles de la sustentación. La ventana para calibrar la velocidad de

viento en la cámara de ensayos se muestra en la Figura 3.36. El procedimiento consiste

en construir una curva voltaje-velocidad de viento. El usuario debe proporcionar los

parámetros atmosféricos: temperatura, presión atmosférica y humedad. Posteriormente

se obtienen varios puntos de la curva de forma automática o en los valores de voltaje


125

indicados por el usuario. La relación obtenida permite al programa conseguir

automáticamente la velocidad deseada en el túnel.

Figura 3.36 Ventana de calibración de la relación voltaje-velocidad.

La calibración de las 6 células de carga se lleva a cabo mediante la ventana mostrada en

la Figura 3.37. Para cada célula se establece la relación entre la fuerza cargada y el

voltaje registrado en tres mediciones de pesos distintos. La instrumentación tiene

también tres acelerómetros que se calibran con la ventana mostrada en la Figura 3.38a.

La medida en vacío (offset) se establece registrando el voltaje de salida para una

aceleración nula, que es la que miden en posición vertical. Finalmente el sistema de

sustentación se calibra usando la ventana de la Figura 3.38b. El usuario debe chequear

todas las fuerzas medidas en la posición de equilibrio del modelo seccional para

asegurar la simetría.


126

Figura 3.37 Ventana de calibración de las células de carga.

(a) (b)

Figura 3.38.Ventanas para calibrar los acelerómetros y el sistema de sustentación.


127

3.5.2 Menú ensayos El programa permite dos tipos de ensayos, el aerodinámico y el aeroelástico.

Ensayo aerodinámico La ventana de la Figura 3.39 permite llevar a cabo un ensayo aerodinámico para obtener

los coeficientes aerodinámicos de arrastre CD, sustentación CL y momento CM

producidos por la acción del viento sobre la sección fija del tablero de puente. La

ventana consta de tres apartados. El apartado de propiedades (Properties) sirve para

introducir los valores de las variables de estado temperatura (Temperature), presión

atmosférica (Atmospheric pressure) y humedad relativa (Relative humidity) que utiliza

el programa para calcular la densidad del aire (Air density) y la viscosidad (Air

viscosity). En este apartado deben introducirse también la anchura del modelo B (Model

width), necesaria para llevar a cabo la adimensionalización de las fuerzas, y la

separación entre las células de carga verticales C5 y C6, que se emplea para calcular el

momento torsor sobre el modelo.

En el apartado de mediciones (Measurements) se muestra la velocidad (Velocity) y los

registros instantáneos de la instrumentación: células de carga (Cell), acelerómetros

(Accelerometer)y sonda pitot (Pitot tube).

El tercer apartado llamado coeficientes aerodinámicos (Aerodynamic coefficients), sirve

para la obtención de los coeficientes aerodinámicos con distintas velocidades (Velocity)

y ángulos de ataque (Attack angle). Para ello en primer lugar hay que ubicar la maqueta

con el ángulo de ataque deseado y sujetarla a las células de carga según el esquema que

se muestra en la propia ventana. A continuación el usuario escribe el ángulo de ataque y

la velocidad en las cajas de texto correspondientes. En la caja de texto “No Wind Offset

Time” se marca durante cuánto tiempo se medirán las fuerzas que ejerce el modelo sin

viento. En “Velocity Stabilization Time” se escribe el tiempo entre la medición sin

viento y el tiempo de medición con viento necesario para que se estabilice la velocidad

del flujo dentro de la cámara. La caja de texto “Measurement Time” sirve para definir el

tiempo durante el cual se miden las fuerzas con viento.


128

Una vez que se han rellenado estos campos el usuario pulsa el comando “Calculate”

para que el programa mida las fuerzas sin viento D0, L0 y M0, genere la velocidad de

viento deseada, mida las fuerzas con viento D, L y M, y muestre los coeficientes

aerodinámicos. Cuando termina de llevar a cabo el ensayo, el programa muestra

también el número de Reynolds y la velocidad media registrada durante el mismo

(Velocity during the test). Por último, junto a al comando “Calculate” se encuentra una

caja de texto que indica el número de veces que ha sido pulsado sin variar ninguna otra

caja de texto.

Figura 3.39 Ventana correspondiente al ensayo aerodinámico.

Luego se cambia el ángulo de ataque hasta completar el ensayo para el intervalo de α

deseado, que normalmente corresponde al rango (-10º,10º). Los resultados de esta

ventana se almacenan en el archivo aerodynamictest.txt con el formato que se muestra

en la Figura 3.40.


129

Figura 3.40. Archivo de resultados aerodynamic.txt.

Ensayo aeroelástico Una característica del programa PCTUVI, quizás la más importante, es su capacidad

para obtener simultáneamente todas las funciones de flameo que determinan el

comportamiento aeroelástico de un tablero de puente. Esta función se lleva a cabo

mediante el siguiente proceso: Utilizando la ventana de la Figura 3.41, el usuario define

los grados de libertad activos en el ensayo, la masa y el momento polar de inercia,

algunas condiciones de sustentación como la rigidez y la distancia de separación de los

muelles, la frecuencia de muestreo con que se leen las señales y finalmente, algunos

parámetros atmosféricos. Seguidamente, se evalúa la posición de equilibrio del modelo

que se toma como referencia del sistema de coordenadas. Después se registran los

movimientos del modelo en vibración libre desde unas condiciones iniciales fijas y con

velocidad de viento nula en el túnel. Con estos datos se evalúan las matrices de rigidez

Km y amortiguamiento Cm del sistema. Este paso debe repetirse varias veces para

obtener la media de los valores de estas matrices. Posteriormente se realizan una serie

de ensayos donde se obtiene esas mismas matrices pero incrementando en cada uno de

ellos paulatinamente la velocidad de viento en el túnel. Cada uno de estos ensayos

corresponde con un punto de las curvas que definen las funciones de flameo. El

programa permite considerar uno, dos o tres grados de libertad durante los ensayos.

Algunas funciones pueden obtenerse usando diferente número de grados de libertad, lo

que resulta de utilidad para chequear sus valores.

Date: 25/01/07 ; Hour: 12:11:31 velocidad (m/s); Reynolds; angulo ataque; CD; CL; CM 1;42487.7607722454;0;-2.56871780110281E-02;-8.49844723573117E-03;9.7243575763908E-03 1.5;63731.641158368;0;5.38293497566184E-03;3.85610670067728E-02;1.16889050236469E-02 2;84975.5215444907;0;1.93037862989755E-02;0.031755724956118;1.58321093260648E-02 2.5;106219.401930613;0;2.59930479656008E-02;2.34974013460655E-02;0.01701421765596 3;127463.282316736;0;2.95393060350522E-02;1.95096948563688E-02;1.71755018343425E-02 3.5;148707.162702859;0;3.11744431543005E-02;1.58948990589568E-02;1.70913641219763E-02 4;169951.043088981;0;3.25386662294378E-02;1.72883814744188E-02;0.017969375943963 4.5;191194.923475104;0;3.29245853578282E-02;1.70076657459801E-02;1.83754589074219E-02


130

Figura 3.41 Ventana para identificar las funciones de flameo.

Activando el comando “get flutter derivatives”, se muestran gráficas de la variación

temporal de los movimientos de cada ensayo (Figura 3.42). El usuario tiene que

seleccionar el intervalo de muestreo seleccionando el origen de datos en una de las

gráficas y establecer los segundos que dura el ensayo. El programa utiliza entonces el

método MITD y representa los movimientos ajustados en gráficas como las de la Figura

3.43. Se representan los movimientos medidos y sus ajustes en la parte superior,

mientras que debajo aparece la diferencia entre ambas y el nivel de ruido en porcentaje.

Al mismo tiempo, en una ventana como la de la Figura 3.44, se muestran los valores de

las matrices aeroelásticas obtenidas a partir de la diferencia de las obtenidas con un

viento V y con viento nulo.


131

Figura 3.42 Ventana para ajustar el intervalo de muestreo.

Figura 3.43 Ventana que muestra los resultados de las señales ajustadas.


132

Figura 3.44 Ventana que muestra las matrices aeroelásticas del ensayo.

3.6 EJEMPLOS DE ENSAYOS SECCIONALES

En este apartado se muestran los resultados de los ensayos realizados con la sección del

puente sobre el estrecho de Messina. El modelo se ha construido a escala 1/100 con la

geometría que se muestra en las figuras 3.45 y 3.46. En la Figura 3.45 se muestra una

foto del modelo ensayado dentro del túnel de viento.

Figura 3.45. Modelo seccional del tablero del puente del estrecho de Messina.

La estructura de la maqueta está formada por tres barras de acero formando una H a la

cual se sujetan después los muelles de la sustentación. El resto de piezas, exceptuando

las rejillas se hizo de láminas de P.V.C. y de metacrilato. Estas piezas se cortaron

mediante una fresa controlada por ordenador que tomaba la línea de corte directamente

de archivos de CAD. Los cajones estaban formados por rigidizadores interiores de

metacrilato y planchas de P.V.C. en la cara exterior vista, que se han unido mediante

acetato de vinilo. Para conseguir darle la forma curva, las láminas exteriores se

calentaron con aire a la vez que pegaban a los rigidizadores interiores. Finalmente se


133

unieron los tres cajones con las vigas transversales que estaban hechas de metacrilato y

se pintó la maqueta.

Figura 3.46. Plano general del modelo a escala 1/100. Cotas en centímetros.


134

Figura 3.47. Plano de detalle del modelo a escala 1/100 de la sección del tablero. Cotas en

centímetros.

3.6.1 Ensayos aerodinámicos Se han obtenido los coeficientes aerodinámicos mediante un ensayo de modelo fijo

(Figura 3.48). En primer lugar se calcularon los coeficientes aerodinámicos para

distintos números de Reynolds para los ángulos de ataque -4º, 0º y 4º (Figura 3.49). En

esta gráfica se aprecia que los coeficientes obtenidos presentan valores estables para

números de Reynolds superiores a 33500 que se corresponden a una velocidad de viento

de 8 m/s.


135

Figura 3.48. Ensayo aerodinámico.

-1.50E-01

-1.00E-01

-5.00E-02

0.00E+00

5.00E-02

1.00E-01

1.50E-01

0.0E+00 1.0E+05 2.0E+05 3.0E+05 4.0E+05 5.0E+05 6.0E+05 7.0E+05 Re

Cd_-4Cd_0Cd_4Cl_-4Cl_0Cl_4Cm_-4Cm_0Cm_4

Figura 3.49. Coeficientes aerodinámicos al variar el número de Reynolds.

Los coeficientes aerodinámicos definitivos que se muestran en la Figura 3.50 , se

obtuvieron para una velocidad de viento de 11 m/s que se corresponde con un número

de Reynolds Re = 46000.

0.0 2.0 4.0 6.0 8.0 10.0 12.0 14.0 16.0 V


136

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

-15 -10 -5 0 5 10 15α

Figura 3.50. Coeficientes aerodinámicos de la sección del puente de Messina.

Para un ángulo de ataque nulo el valor de los coeficientes aerodinámicos CD, CL y CM y

de sus derivadas con respecto al ángulo de ataque ˆDC , ˆ

LC y ˆMC se muestran en la

siguiente tabla.

CD CL CM

0.0762 -0.1014 0.0231 ˆ

DC ˆLC ˆ

MC 0.4496 0.3245 0.2543

Tabla 3.1. Valor de los coeficientes aerodinámicos y sus derivadas con respecto al ángulo de

ataque α para α = 0.

3.6.2 Ensayos aeroelásticos Se ha llevado a cabo la obtención de las dieciocho funciones de flameo del modelo del

tablero del puente sobre el estrecho de Messina. Para ello se han realizado cuatro tipos

de ensayos con distintos muelles consiguiéndose así variar las frecuencias naturales del

CdCl10Cm


137

modelo y abarcar un rango mayor de velocidades reducidas. En los tres primeros

ensayos se permiten los grados de libertad vertical, horizontal y de giro, mientras que en

el cuarto sólo se permite el giro. La sustentación del primero de todos estaba formada

por doce muelles: ocho verticales y cuatro horizontales. La del segundo y tercer ensayo

constaba de ocho muelles como se muestra en la Figura 3.51 derecha. Para llevar a cabo

el cuarto ensayo, el movimiento vertical y lateral se ha impedido con dos barras a cada

lado del modelo como se esquematiza en la Figura 3.52.

K3

K2.1

K4

K6 K5

K1.1

K2.2

K1.2

K5.2 K6.2

K5.1

K3.1

K2.1

K4.1

K6.1

K1.1

K2.2

K1.2

K3.2

Figura 3.51. Esquema de la sustentación del modelo seccional con doce (izquierda) y ocho

muelles (derecha).

K3

K2.1

K4

K6

K5

K1.1

K2.2

K1.2

Figura 3.52. Sustentación para 1 gdl torsional.


138

La rigidez de los muelles empleados y las fuerzas de tesado inicial de los mismos Tv y

Tw así como la distancia al centro de giro d se muestra en la siguiente tabla para cada

uno de los ensayos.

K1.1 (N/m) K3.1 (N/m) K3.2 (N/m) Tv (N) Tw (N) d(m) Ensayos 1 300 600 135 31.3 11.85 0.47 Ensayos 2 600 193 0 31.3 0 0.47 Ensayos 3 80 129 0 19.5 0 0.3 Ensayos 4 0 80 0 0 0 0.2

Tabla 3.2. Definición de la sustentación de cada uno de los tipos de ensayo.

La masa del modelo es 7.47 kg, su inercia frente al giro torsional es 0.35 kg m2, y las

frecuencias naturales del sistema para cada sustentación son las siguientes.

fv(Hz) fw(Hz) fϕx(Hz)

Ensayos 1 2.2 2.9 6.8 Ensayos 2 2.8 1.7 3.5 Ensayos 3 1.3 1.4 2.0 Ensayos 4 0 0 1.14

Tabla 3.3. Frecuencias naturales de los ensayos.

Los ensayos se han realizado para velocidades de viento entre 6 y 20 m/s, por lo que

teóricamente las velocidades reducidas mínimas y máximas con que se pueden obtener

funciones de flameo con estos ensayos son las que se muestran en la Tabla 3.4. Con los

ensayos con tres grados de libertad se obtienen las 18 funciones de flameo

simultáneamente, mientras que con el ensayo en el que únicamente se permite el giro,

sólo es posible identificar las funciones de flameo A2* y A3*.

(A5*, A6*, H5*, H 6*, P 1*, P 4*)

(A1*, A4*, H1*, H4*, P5*, P6*)

(A2*, A3*, H2*, H3*,P2*, P3*)

V*(fv) min V*(fv) max V*(fw) min V*(fw) max V*(fϕx) min V*(fϕx) max Ensayos 1 4.521 15.07 3.40 11.34 1.45 4.85 Ensayos 2 3.54 11.79 5.82 19.41 2.82 9.39 Ensayos 3 7.62 25.38 7.22 24.09 4.90 16.34 Ensayos 4 - - - - 8.68 28.95

Tabla 3.4. Rango teórico de velocidades reducidas de las funciones de flameo.


139

A medida que aumenta la flexibilidad de la sustentación, es más difícil identificar los

parámetros modales del sistema y las funciones de flameo por varias razones. En primer

lugar muelles más rígidos suponen valores mayores en la fuerza registrada en las células

de carga para una misma amplitud del movimiento del modelo lo cual aumenta la

precisión de las mediciones. Esto permite identificar la rigidez y el amortiguamiento del

sistema a partir de la vibración libre con amplitudes de movimiento menores

aproximándose así a la hipótesis de pequeños movimientos de la teoría de Scanlan. En

segundo lugar junto con las fuerzas aeroelásticas aparecen las fuerzas aerodinámicas

que producen una deformada estática en el modelo. Esta deformada varía al aumentar la

velocidad media del viento y hay que corregirla acortando o alargando la unión entre los

muelles y las células de carga de forma que la posición de reposo sea siempre la misma.

Cuanto menos rígidos son los muelles que se emplean para la sustentación, mayor es la

magnitud de la deformada producida por las fuerzas estáticas y más difícil de corregir.

A continuación se muestran las funciones de flameo obtenidas. Se ha preferido emplear

el convenio de Scanlan para su representación por ser el convenio más extendido. Con

estas funciones de flameo y el criterio de signos que se muestra la Figura 3.53, las

expresiones de las fuerzas aeroelásticas por unidad de longitud son las siguientes:

2 * * 2 * 2 * * 2 *1 2 3 4 5 6

12

xa x

v v w wD V B KP KP B K P K P KP K PV V B V B

ϕρ ϕ⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − + − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦

2 * * 2 * 2 * * 2 *1 2 3 4 5 6

12

xa x

w w v vL V B KH KH B K H K H KH K HV V B V B

ϕρ ϕ⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + + − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦

2 2 * * 2 * 2 * * 2 *1 2 3 4 5 6

12

xa x

w w v vM V B KA KA B K A K A KA K AV V B V B

ϕρ ϕ⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + + − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦

(3.90)


140

V

Ma ϕ x w La

Da v

Figura 3.53 Criterio de signos de la Universidad de la Coruña.

En el anejo 1 se representan también las funciones de flameo según el convenio de

Zasso escogido por la sociedad Stretto di Messina en el pliego de condiciones técnicas

para el proyecto de este puente.

Conjuntamente con los valores obtenidos a partir de los ensayos se traza una curva

continua que representa el valor más verosímil de cada función de flameo. Para llegar a

este valor se han eliminado las discrepancias en los valores obtenidos en los distintos

ensayos, conservando aquellos que se han obtenido con una sustentación más rígida y

por lo tanto un número de Reynolds mayor.


141

Figura 3.54. Funciones de flameo P1

* y P2* de la sección del puente de Messina.

V*=2π V/ωB

V*=2π V/ωB


142

Figura 3.55. Funciones de flameo P3* y P4

* de la sección del puente de Messina.

V*=2π V/ωB

V*=2π V/ωB


143

Figura 3.56. Funciones de flameo P5

* y P6* de la sección del puente de Messina.

V*=2π V/ωB

V*=2π V/ωB


144

Figura 3.57. Funciones de flameo H1

* y H2* de la sección del puente de Messina.

V*=2π V/ωB

V*=2π V/ωB


145



V*=2π V/ωB

V*=2π V/ωB


146



V*=2π V/ωB

V*=2π V/ωB


147

Figura 3.60. Funciones de flameo A1

* y A2* de la sección del puente de Messina.

V*=2π V/ωB

V*=2π V/ωB


148

Figura 3.61. Funciones de flameo A3

* y A4* de la sección del puente de Messina.

V*=2π V/ωB

V*=2π V/ωB


149



V*=2π V/ωB

V*=2π V/ωB


150

3.7 REFERENCIAS


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155

CAPÍTULO 4

AVANCES EN EL ANÁLISIS DE LA INESTABILIDAD DE

FLAMEO

4.1 INTRODUCCIÓN

En el capítulo 2 se define el flameo como una inestabilidad aeroelástica en la cual las

fuerzas del viento cambian a causa de los movimientos oscilatorios de la estructura

modificando de esta forma la rigidez y el amortiguamiento de la misma. Cuando por

causa de esta interacción el amortiguamiento se hace negativo una oscilación de

pequeña amplitud se amplifica exponencialmente hasta que se produce el colapso

estructural. La inestabilidad frente al flameo es una de las condiciones de diseño más

importantes en puentes de gran vano, puesto que, en caso de aparecer significa la ruina

de la estructura. Actualmente los grandes puentes colgantes se diseñan para que sean

estables frente al flameo con velocidades de viento que pueden llegar a ser de 270 km/h

y períodos de retorno de 200 años (POLIMI [3] Ástiz & Martínez [1]).

Como se menciona también en el capítulo 2 existen varias metodologías para el análisis

de esta inestabilidad. En este capítulo se emplea la metodología híbrida consistente en

un cálculo computacional que utiliza las funciones de flameo o funciones de Scanlan

[17] que se obtienen experimentalmente. En este método se han producido varias

mejoras desde sus inicios. Al comienzo el cálculo de la velocidad de flameo se hacía

para cada modo de vibración por separado, posteriormente Jain [9] desarrolló la

formulación del flameo multimodal, Katsuchi [11] en 1997 fue uno de los primeros

investigadores en incluir las funciones de flameo laterales Pi*, más recientemente,

Jurado [10] desarrolló una formulación matricial que facilita la comprensión del método

y su programación. En este capítulo se continúa avanzando en la mejora de este método

Capítulo 4 AVANCES EN EL CÁLCULO DE LA INESTABILIDAD DE FLAMEO

156

híbrido para el análisis de la inestabilidad de flameo en puentes. El principal avance

consiste en estudiar el efecto que tiene considerar la variación del ángulo de ataque a lo

largo del tablero producida por la deformada de la carga de viento estática sobre el

puente.

El presente capítulo comienza explicando la formulación matricial del análisis del

flameo, a continuación se describen los métodos de cálculo no lineal de la deformada

debida a la carga de viento estática de un puente colgante, y por último se muestran

ejemplos con dos puentes: el del estrecho de Messina y el puente sobre el estrecho de

Akashi.

4.2 FORMULACIÓN MATRICIAL DEL FLAMEO DE PUENTES

El cálculo de la respuesta de un puente frente a las acciónes del viento y en particular de

la condición del flameo requiere la elaboración de un modelo estructural del puente

consistente normalmente en un modelo de elementos barra como el de la Figura 4.1.

Empleando el modelo estructural se llevan a cabo análisis estáticos y dinámicos que

incluyen las fuerzas de distinta naturaleza que produce el viento.

Figura 4.1. Modelo de elementos barra del puente sobre el estrecho de Messina generado con

ABAQUS 6.5 mostrando la geometría deformada.


157

La formulación matricial para el cálculo de la velocidad crítica del flameo parte de la

definición de las fuerzas aeroelásticas que provienen de la interacción entre la estructura

en movimiento y el flujo de aire, según la teoría de Scanlan [20]. Se supone que dichas

fuerzas actúan unicamente en los elementos barra del tablero en el modelo estructural

del puente, ya que es la parte de la estructura que interacciona con el viento cuando se

produce la inestabilidad aeroelástica. (Hernández, Jurado & Mosquera [6], [7] y [10]).

V

Mϕ ϕ w Lw

Dv v

Figura 4.2. Convenio de signos empleado en el análisis de la inestabilidad por flameo.

Las fuerzas aeroelásticas por unidad de longitud según el convenio de signos de la

Figura 4.2 y expresadas empleando las funciones de flameo de Scanlan son:

* * * * * *

1 5 2 4 6 3* * * 2 2 * * *5 1 2 6 4 3* * 2 * * * 2 *5 1 2 6 4 3

1 1· ·2 2

a

a

a x x

D P P BP v P P BP vL VKB H H BH w V K H H BH wM BA BA B A BA BA B A

ρ ρϕ ϕ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − − −⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= − + −⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(4.1)

donde ρ es la densidad del aire, V es la velocidad media del viento, B es el ancho de la

sección, K=ωB/V se denomina frecuencia reducida, ω es la frecuencia de la oscilación y

Pi, Hi, Ai con i = 1…6 son las funciones de flameo. Expresando (4.1) en forma matricial

se tiene

a a a= +f C u K u (4.2)

en donde se pueden identificar las matrices aeroelásticas de amortiguamiento Ca y

rigidez Ka.


158

La obtención de las matrices aeroelásticas para el tablero completo consta de los

siguientes pasos:

1. Particularizar las funciones de flameo para la velocidad reducida V* (4.3) que se

requieren en cada fase del proceso de cálculo de la velocidad crítica de flameo.

* 2 2VVB K

π πω

= = (4.3)

1a). Interpolar el valor de las funciones de flameo en la V* requerida entre

los dos valores más próximos para los que se ha obtenido su valor

experimentalmente.

1a). Extrapolar en el caso de que la función se necesite en una V* superior a

los valores para los que se ha obtenido experimentalmente. La

extrapolación que se emplea es lineal excepto con las funciones de

flameo *3P , *

3H y *3A para las cuales se emplea una extrapolación

cuadrática acorde con la teoría cuasiestática.

2. En el caso de que las funciones de flameo se necesiten para un ángulo de ataque

α distinto del empleado en los ensayos seccionales en el túnel de viento, se debe

interpolar su valor entre los valores que toma con los ángulos de ataque superior

e inferior para los que se han realizado ensayos experimentales.

3. Al ser las fuerzas aeroelásticas expresadas en (4.1) fuerzas por unidad de

longitud, se deben integrar a lo largo de los elementos barra del tablero en el

modelo estructural.

4. Finalmente, las matrices aeroelásticas globales Ca y Ka cuyas dimensiones

coínciden con los grados de libertad del tablero se obtienen ensamblando

matricialmente los valores que toman para cada uno de los elementos barra del

tablero.


159

Una vez que se tienen las matrices aeroelásticas del tablero completo Ka y Ca, se

formula el sistema de ecuaciones que gobierna el fenómeno del flameo (Jurado,

Mosquera & Hernández [6] [7] [15]) como

a a a+ + = = +Mu Cu Ku f K u C u (4.4)

donde M es la matriz de masas, C es la matriz de amortiguamiento, y K la matriz de

rigidez de la estructura. Para resolver el sistema de ecuaciones obteniendo los

movimientos y la velocidad crítica de viento a partir de la cual se produce la

inestabilidad por flameo, se utiliza el análisis modal. Con ello los movimientos del

tablero se expresan como combinación lineal de los modos de vibración más

importantes:

1( ) ) ( )

r n

r rr

t q (t t=

=

= =∑u Φqφ (4.5)

A la matriz Φ se le denomina matriz modal por estar constituida por los modos de

vibración agrupados en columnas. Si se emplean los modos de vibración normalizados

respecto a la masa se cumple

T =Φ MΦ I (4.6) T =Φ KΦ K (4.7)

La matriz de rigidez K es una matriz diagonal compuesta por los cuadrados de las

frecuencias naturales de vibración.

Sustituyendo (4.5) en (4.4) se obtiene

0qKqCqI =++ RR (4.8)

en donde


160

T=I Φ MΦ (4.9)

( )TR a= −K Φ K K Φ (4.10)

( )TR a= −C Φ C C Φ (4.11)

La solución a este sistema se supone en forma de oscilaciones amortiguadas

exponencialmente y se expresan como

q(t) = weµt (4.12)

en donde µ y w son valores complejos, por lo que la ecuación (4.8) se puede escribir:

( )2 tR R eµµ µ+ + =Iw C w K w 0 (4.13)

Aprovechando la identidad –µIw+µIw = 0, la ecuación anterior se transforma en

0=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ tRR eµµµµ

ww

0IKC

ww

I00I

(4.14)

y denominando ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−=

0IKC

A RR y µ

µ⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠

ww

w el sistema queda como un clásico

problema de valores propios

( ) 0wIA =− teµµµ (4.15)

su solución proporciona 2n valores propios complejos µ, siendo n el número de modos

de vibración con los que se trabaja. A la parte real de cada autovalor se le denomina α y

a la parte imaginaria β.

ij j jµ α β= + nj 2,...,1= (4.16)


161

En un problema de autovalores, si un valor propio es complejo, también lo es su

complejo conjugado

ij j jµ α β= − (4.17)

A cada par de valores propios complejos conjugados le corresponde un par de vectores

propios complejos conjugados entre sí, de dimensión 2n.

iR Iµ µ µ= +w w w (4.18)a

iR Iµ µ µ= −w w w (4.18)b

Cada pareja de vectores propios conjugados junto con sus correspondientes valores

propios conjugados define una forma de oscilación amortiguada del tablero, que se

expresa como

( ) ( )ii j jj ttR Ie e α βµ + ⋅= = +u Φw Φ w w (4.19)

donde w es un vector de dimensión n que se obtiene de la definición de wµ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

ww

wµ

µ (4.20)

Separando las partes real e imaginaria se obtiene

( ) ( )( ) ( ) ( )( )cos i cosj jt tR j I j R j I jt sen t e sen t t eα αβ β β β⋅ ⋅= − + +u Φ w w Φ w w (4.21)

La parte real de esta expresión puede compararse con las oscilaciones en régimen libre

de un oscilador lineal con un grado de libertad

( ) ( )( )tBsentAet aata ωωωξ += − cos)(u (4.22)


162

donde A y B son constantes que dependen de las condiciones iniciales de la oscilación, 21 aa ξωω −= es la frecuencia de la respuesta amortiguada y ξa es el amortiguamiento.

Observando las expresiones (4.21) y (4.22) se puede establecer el siguiente paralelismo.

La parte imaginaria de los valores propios βj asume el papel de la frecuencia

amortiguada ωa del oscilador lineal, y la parte real de los valores propios αj se asocia al

producto ( )aξ ω− . Por lo tanto a partir de cada par de valores αj, βj se puede identificar,

en un tablero excitado con cargas aeroelásticas, los parámetros característicos de la

respuesta del sistema:

a) La frecuencia de respuesta j-ésima jaj βω = (4.23)

b) El coeficiente de amortiguamiento j-ésimo

22jj

ja

βα

αξ

+

−= (4.24)

Para resolver el problema de autovalores (4.15) que proporciona las frecuencias,

amortiguamientos y modos de vibración aeroelásticos hay que tener en cuenta que en la

construcción de la matriz A intervienen las funciones de flameo, que dependen de la

frecuencia reducida del sistema Kj = Bωaj/V. Esta frecuencia reducida K está asociada a

la frecuencia de cada modo ωaj ≡ βj la cual no se conoce hasta que se ha resuelto el

problema de valores propios. Por ello para resolver el problema hay que recurrir a un

procedimiento iterativo. Este procedimiento se esquematiza en el diagrama de flujo de

la Figura 4.3 y consta de los siguientes pasos:

1) Para el modo de vibración j se toma un valor de partida βjp de la frecuencia

que debería coincidir tras el cálculo iterativo con la parte imaginaria de un

valor propio ωaj ≡ βjp si fuera el valor correcto.

2) Se resuelve el problema de valores propios [A(βjp)-µI]wµ = 0, donde se está

indicando que A depende de βjp.

3) De los 2n valores propios (µl = αl ± βl i, l = 1,…,n) que se obtienen, se

trabaja con el que hace mínima la diferencia respecto al valor con el que se ha


163

construido A(βjp). Este valor se denota con βmd y hace mínima la diferencia

| βjp - βl|.

4) Si esta diferencia es menor que una tolerancia establecida se considera que

tanto este valor propio µj = αj+ βj i, como su complejo conjugado µj = αj-βji,

son los correspondientes al modo j y se verifican las ecuaciones [A(βjp)-

(αj± βj i) I]wµ = 0. En caso contrario, cuando la diferencia es mayor que la

tolerancia, se vuelve al paso (2) tomando como frecuencia de partida el βmd y

se repite el proceso hasta la convergencia.

5) Los pasos (2) a (4) se repiten para cada modo de vibración hasta que se

calculan n parejas de valores propios complejos conjugados µj = αj± βji con

j=1,…,n.

Los diferentes significados de los valores de β utilizados son:

βjp: Valor de partida para la frecuencia de vibración del modo j.

βl: Parte imaginaria de uno cualquiera de los 2n valores propios obtenidos con

[A(βjp)-µI]wµ = 0.

βmd: Parte imaginaria del valor propio que hace mínima la diferencia ljp ββ − .

βj: Frecuencia de respuesta del modo j obtenida después de la convergencia. Este

valor cumple [A(βjp)-(αj± βj i) I]wµ = 0.


164

j=j+1

jpβ = mdβ

Figura 4.3 Diagrama de flujo para la obtención de la respuesta aeroelástica.

j=1

jpβ

( )jp µβ µ⎡ ⎤− =⎣ ⎦A I w 0

( )( )

i 1,...,

il l

l l

l nα βα β

+=

−

mdβ

dif=min ljp ββ − l∀

dif<tol NO

SI ij md

j jj md

β βα β

α α= ⎫

+⎬= ⎭

dif<tol

( )( )

i 1,...,

i

j j j

j j j

j nµ α β

µ α β

= +=

= −

Que cumplen

( ) ( )ijp j j µβ α β⎡ ⎤− + =⎣ ⎦A I w 0

( ) ( )ijp j j µβ α β⎡ ⎤− − =⎣ ⎦A I w 0

NO

SI

SI


165

Si todas las partes reales αj de cada uno de los valores propios complejos obtenidos de

(A-µI)wµ = 0 son negativas para una velocidad de viento, el amortiguamiento efectivo

del tablero es siempre positivo según la relación (4.24) y por lo tanto se tiene una

respuesta aeroelástica que se atenúa exponencialmente tendiendo a la estabilidad. La

condición crítica para la cual se produce el fenómeno del flameo se corresponde a la

velocidad de viento más baja con la cual se obtiene un valor propio complejo con parte

real nula. El flameo comienza cuando se produce la transición entre amortiguamientos

positivos (oscilaciones atenuadas) y amortiguamientos negativos (oscilaciones de

amplitud creciente) lo cual se manifiesta en el cálculo de autovalores como el paso de

negativo a positivo de la parte real de algún valor propio complejo. Por tanto, αj = 0

identifica la condición crítica de flameo. El proceso para calcular la velocidad de viento

crítica de flameo de un puente Vf es el siguiente:

1) Se toma una velocidad de partida V lo suficientemente baja como para que no

exista inestabilidad por flameo.

2) Se resuelve el problema no lineal de valores propios [A(βjp)-µI]wµ = 0, ya

explicado en el apartado anterior, obteniéndose parejas de valores propios

complejos conjugados de la forma

i 1,..., 2

ij j j

j j j

j nµ α β

µ α β

= +=

= − (4.25)

3) Se busca el valor propio con menor amortiguamiento ξmin = min(ξaj), j =

1,...,n con 22jjjaj βααξ +−=

4) Si ξmin es positivo, no hay inestabilidad por flameo y se repiten los pasos (1) a

(3) con una velocidad de viento mayor V = V +∆ V, hasta que ξmin se anule.

Cuando se alcanza esta situación se ha llegado a la velocidad crítica de

flameo V f . La parte imaginaria βj del valor propio, cuya parte real αj es nula,

es la frecuencia de vibración con la cual se producen las oscilaciones en el

flameo. Por su parte, el módulo de cada componente del autovector wµ indica

la participación de cada modo en la vibración de flameo, mientras que la fase

indica el ángulo entre la vibración de uno y otro modo (Katsuchi [11]).


166

En la Figura 4.4 se representa un diagrama de flujo con el proceso de obtención de la

velocidad de flameo de un puente.

V

j=1

( )jp µβ µ⎡ ⎤− =⎣ ⎦A I w 0

=minξ min ( )ajξ ,

con ( ) 2/122jjjaj βααξ +−=

V = V +∆V

0min ≈ξ NO

SI

( )( )

i 1,...,

i

j j j

j j j

j nµ α β

µ α β

= +=

= −

Flameo V f= V

minβω ≈f

Figura 4.4. Diagrama de flujo para la obtención de la velocidad de flameo.

En este proceso es muy importante elegir adecuadamente los valores de partida de las

frecuencias βjp de cada modo para cada velocidad de viento V. Una buena opción es

tomar las frecuencias naturales de vibración de cada modo para el primer cálculo con

velocidad de viento V baja


167

,jp V jβ ω= (4.26)

y, para velocidades sucesivamente incrementadas Vi = Vi-1+∆V, tomar valores

extrapolando linealmente las frecuencias de los dos pasos anteriores

, , 2, ,

aj V V aj V Vjp V aj V V V

Vω ω

β ω −∆ − ∆−∆

−= + ∆

∆ (4.27)

En los gráficos de la Figura 4.5 y la Figura 4.6 se muestran ejemplos del tipo de gráficas

que se pueden construir con las evoluciones de las partes reales α e imaginarias β de los

valores propios en función de la velocidad de viento V.

Figura 4.5. Evolución de la parte real α de los valores propios en un ejemplo en el que se trabaja

con 4 modos.

Figura 4.6. Evolución de la parte imaginaria β de los valores propios en un ejemplo en el que se

trabaja con 4 modos.

Vf


168

El valor crítico Vf para el cual comienza el fenómeno de flameo coincide con la

velocidad de viento más pequeña en la que una de las curvas de la Figura 4.5 corta al eje

de abscisas. Pueden enconstrarse representaciones parecidas de los parámetros que

determinan el flameo de un puente en el artículo publicado por Bonyapinyo V., Miyata

T. y Yamada H [2].

Un resultado que puede aparecer en el cálculo de la velocidad de flameo de un puente,

es que varias de las curvas que representan a la parte real de los valores propios αj

(relacionada con el amortiguamiento) corten simultáneamente al eje de abscisas. La

Figura 4.7 muestra un posible caso en el que aparecerían dos valores propios distintos

cuyas partes reales se anulan simultáneamente para la misma velocidad de viento. Sin

embargo, la parte imaginaria de dichos valores sería diferente, lo que indicaría que

existen dos posibles frecuencias de respuesta en el flameo.

Figura 4.7. Ejemplo de aparición de frecuencias simultáneas de flameo.


169

Este fenómeno se asemeja a los problemas dinámicos de obtención de frecuencias y

modos naturales de vibración en los que a distintos modos de vibración les corresponde

la misma frecuencia natural. En estos casos se habla de frecuencias de vibración

repetidas y ocurren cuando en el correspondiente problema de valores propios 2

nω⎡ ⎤− =⎣ ⎦K M 0φ , al igualar a cero el determinante de la matriz de coeficientes

2ω⎡ ⎤− =⎣ ⎦K M 0 , se obtienen raíces múltiples para los valores de ω2. El caso de un

problema aeroelástico en el que hay frecuencias simultáneas de flameo no implicaría

necesariamente valores propios repetidos, sino que se produciría cuando, para la misma

velocidad de flameo, existen varios valores propios complejos µj = αj± βj i con sus

partes reales αj nulas y diferentes partes imaginarias βj. Una situación con valores

propios repetidos puede aparecer en el problema de obtención de las cargas y modos de

pandeo de una estructura, que también corresponde a un problema de autovalores y

puede dar en algunos casos modos de pandeo múltiples, según muestra Khot [12]. Para

ampliar este tema de análisis aeroelástico híbrido se puede consultar Jurado [10].

4.3 GEOMETRÍA DEFORMADA DEBIDA A LA CARGA DE

VIENTO ESTÁTICA

En el apartado anterior se explicaba el método de cálculo de la velocidad de viento a

partir de la cual se produce el flameo. En dicho proceso se considera el ángulo de ataque

con el que incide el viento sobre el tablero. Para ello se deben tomar las funciones de

flameo según este ángulo. En el presente apartado se explica la manera de obtener la

geometría deformada de un puente de gran vano por efecto de la carga estática del

viento. Esta deformada produce un giro en el eje del tablero que hace variar

considerablemente el ángulo de ataque a lo largo del mismo y que por tanto puede tener

influencia en los valores que toman las funciones de flameo.

El cálculo estático de la respuesta frente al viento de puentes de gran vano se realiza

resolviendo el sistema de ecuaciones que relaciona las fuerzas sobre la estructura y los

movimientos que causan. La matriz de rigidez K se expresa como suma de las matrices


170

de rigidez elástica KE y geométrica KG(u) por lo que este sistema se expresa

matricialmente como

( )· ( ( ))s=K u u f α u (4.28)

donde tanto la matriz de rigidez K como las cargas externas debidas a la acción del

viento fs dependen de los movimientos u. Las cargas fs dependen del ángulo de ataque y

este depende del giro del tablero alrededor de su eje longitudinal, es decir, depende

también de los movimientos u. Habitualmente se había venido despreciando esta

dependencia al emplear la carga de viento estática que considera un ángulo de ataque

constante a lo largo del tablero y por lo tanto solo se tiene en cuenta la no linealidad

geométrica existente en el cálculo de la rigidez de la estructura:

( )· ( )s cteα= =K u u f (4.29)

La no linealidad geométrica consiste en la modificación de la rigidez de la estructura

por causa de los movimientos K = K(u). Esta no linealidad es muy importante en los

puentes de gran vano en los que los esfuerzos de tracción de los cables principales

aportan una gran rigidez a la estructura. Esta variación en la rigidez se aprecia

notablemente en los cálculos de la deformada frente a cargas estáticas, así como en la

obtención de modos y frecuencias naturales de vibración. Los programas de elementos

finitos comerciales suelen incorporar esta no linealidad en sus rutinas de cálculo.

La no linealidad geométrica se analiza mediante un cálculo en el cual la carga se aplica

incrementalmente lo que da lugar a los distintos métodos de control de la convergencia.

Uno de ellos es el control por fuerzas que aumenta progresivamente la carga sobre la

estructura. Otro es el control en desplazamientos que incrementa los movimientos y

obtiene las fuerzas necesarias para que estos se produzcan. Por último, se puede llevar

un control a lo largo de la curva que relaciona movimientos y fuerzas. Este método se

denomina control por longitud de arco.


171

4.3.1 Perfil de viento en altura Una cuestion importante a tener en cuenta a la hora de calcular la deformada debida a la

carga estática del viento en puentes de gran vano es la variación con la altura que se

produce en la velocidad media del mismo. Esta variación se produce por causa del

rozamiento de la atmósfera en movimiento con la superficie terrestre.

La atmósfera de la tierra se divide según la dinámica de la misma en atmósfera libre o

parte superior donde el aire circula sin generar turbulencias, y capa límite o capa

inferior en contacto con la superficie.

Figura 4.8. Perfil de viento en la capa límite atmosférica.

En la parte inferior de la capa límite o capa superficial, donde suelen situarse las obras

de ingeniería civil, se supone habitualmente una distribución de velocidades medias

V(z) de tipo logarítmico al variar la altura z (Figura 4.8)

*0

1( ) ln zV z uk z

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠ (4.30)

donde k = 0.4 es la constante de Von Karman, * 0 /u τ ρ= se denomina velocidad de

fricción, τ0 es la tensión tangencial sobre el terreno, ρ es la densidad del aire, z0 es la

rugosidad del terreno (Tabla 4.1). En la Figura 4.8 aparece también la altura de la capa

superficial zl = b·u*/fC en donde b es una constante que toma valores comprendidos entre


172

0.015 y 0.03 y, finalmente, fC=2ωTsin(φ) es el parámetro de Coriolis con φ la latitud y

ωT la velocidad de rotación de la Tierra.

Superficie 0z

Arena 0.01-0.1Nieve 0.1-0.6 Hierba corta 0.1-1 Hierba baja, estepa 1-4 Campos de cultivo 2-3 Hierba alta 4-10 Monte bajo 10-30 Bosque de pino 15 m, 1 a 3 cada 10 m2 90-100 Suburbios espaciados 20-40 Suburbios densos 80-120 Centro de grandes ciudades 200-300

Tabla 4.1. Valores de la rugosidad z0 para distintas superficies.

Para el cálculo de la velocidad media de cada elemento del puente se suele emplear la

expresión logarítmica (4.30). En ingeniería del viento suele emplearse como velocidad

de referencia para el perfil logarítmico la velocidad del viento a 10 m del suelo, sin

embargo cuando se estudian puentes de gran vano se utiliza la velocidad que incide en

el tablero en el centro del vano principal.

4.3.2 Carga de viento estática El cálculo de la carga de viento estática sobre cada elemento del puente se lleva a cabo

empleando los coeficientes aerodinámicos adimensionales que se obtienen previamente

en un túnel de viento. En el caso del tablero se obtienen siguiendo el convenio de signos

de la Figura 4.9. Las fuerzas aerodinámicas de arrastre Ds, sustentación Ls y momento

Ms por unidad de longitud en cada elemento barra del tablero se calculan en función del

ángulo de ataque mediante las siguientes expresiones:

21 ( )2s DD V BCρ α= 21 ( )

2s LL V BCρ α= 2 21 ( )2s MM V B Cρ α= (4.31)


173

V Ls

Ms α

Ds

B

Figura 4.9. Criterio de signos de las fuerzas aerodinámicas sobre un tablero de puente.

En estas expresiones aparece la densidad del aire ρ, la velocidad media del viento que

incide sobre el elemento V, la anchura del tablero B, y los coeficientes aerodinámicos

adimensionales de arrastre CD, sustentación CL y momento CM. Estos coeficientes

dependen del ángulo de ataque α con el que incide el viento.

En el apartado 2 del capítulo 3 se explica el procedimiento empleado para la obtención

de los coeficientes aerodinámicos de un tablero de un puente. Al igual que en el tablero,

en el resto de elementos de puente se definen unas fuerzas aerodinámicas con

expresiones análogas a (4.31). En la Figura 4.10 se muestra un ejemplo de los

coeficientes aerodinámicos de los distintos elementos del puente sobre el estrecho de

Messina. En la Figura 4.11 se muestran los coeficientes aerodinámicos de la sección A4

(POLIMI [3]) del tablero del mismo puente.

Una vez que se conocen las fuerzas aerodinámicas por unidad de longitud de cada uno

de los elementos del modelo, se integran en la longitud de cada elemento y se aplican en

los nudos para obtener así el vector de fuerzas fs.


174

Figura 4.10. Coeficientes aerodinámicos de los distintos elementos del puente del estrecho de

Messina en Italia (Larose et al. [13]).

Figura 4.11. Coeficientes aerodinámicos de la sección A4 del tablero del puente sobre el

estrecho de Messina en Italia.


175

Figura 4.12 Geometría de la sección A4 del tablero del puente sobre el estrecho de Messina.

4.4 ANÁLISIS NO LINEAL DE LA DEFORMADA DEBIDA A LA

CARGA DE VIENTO ESTÁTICA

En el apartado anterior se describe el método de cálculo de la deformada considerando

la carga del viento constante de un puente colgante. En él se tiene en cuenta que la

aparición de tensiones y deformaciones importantes en los cables principales y en el

tablero hacen variar la rigidez estructural. Sin embargo no se tiene en cuenta que los

coeficientes aerodinámicos cambian debido a la variación del ángulo de ataque que

ocurre cuando se deforma y gira el tablero alrededor de su eje. Para velocidades de

viento altas, cercanas a la velocidad de flameo, el centro del tablero puede llegar a rotar

varios grados con lo que el valor de los coeficientes aerodinámicos en esa zona cambia

considerablemente como se aprecia en la Figura 4.13, no siendo cierto que tenga un

valor uniforme en todo el tablero.


176

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

-15 -10 -5 0 5 10 15α

Figura 4.13. Coeficientes aerodinámicos del tablero del puente sobre el estrecho de Messina

ensayado en el túnel de viento de la ETSI de Caminos, Canales y Puertos de la Coruña.

Las dos técnicas que se pueden emplear para calcular la deformada a una velocidad de

viento V son aplicar la carga de viento de forma incremental y llevar a cabo un cálculo

iterativo. A continuación se explican distintos métodos basados en la aplicación de estas

técnicas.

4.4.1 Método iterativo en rigidez y fuerzas (ΙKF) Este método busca la deformada del puente para una velocidad de viento V sin

considerar la historia de deformación a velocidades de viento inferiores. El proceso

comienza partiendo de la geometría deformada por las cargas de peso propio.

0 0( )· ( 0)s V= =K u u f (4.32)

Con los movimientos u0 obtenidos se calcula el ángulo de ataque α0(u0) en cada punto

del tablero y, en función de este, el vector de fuerzas fs(V, α0(u0)) para una velocidad de

viento V. Entonces se resuelve:

1 1 0 0( )· ( , ( ))s V=K u u f α u (4.33)

CD CL 10xCM


177

obteniéndose unos movimientos en el tablero u1. Este paso se repite calculando de

nuevo los ángulos de ataque α1(u1) y el nuevo vector de fuerzas fs(V, α1(u1)). En este

paso se resuelve

2 2 1 1( )· ( , ( ))s V=K u u f α u (4.34)

y se obtienen los movimientos de la estructura para la segunda iteración u2.

Los movimientos definitivos para la velocidad V se obtienen cuando en la iteración k-

ésima se resuelve

1 1( )· ( , ( ))k k k k

s V − −=K u u f α u (4.35)

y el ángulo de ataque en cada punto del tablero es prácticamente idéntico al del paso

anterior.

1 1( ) ( )k k k k− −≈α u α u (4.36)

Los movimientos definitivos del tablero para una velocidad de viento V son por tanto

u = uk (4.37)

A continuación se muestran un diagrama de flujo (Figura 4.14) y un gráfico

esquemático del proceso anterior (Figura 4.15).


178

k=0

0 0( )· ( 0)s V= =K u u f

u0

α0(u0)

k=k+1

( )( )1 1( )· ,k k k ks V − −=K u u f α u

αk ≈ αk-1 NO

SI

u=uk

α=αk

uk

αk(uk)

Figura 4.14. Diagrama de flujo del método iterativo ΙKF.

Figura 4.15. Gráfico esquemático del método iterativo ΙKF.

V

α

α1

V

fs (V, α0)

α2

αk-1

fs (V, α1)

fs(V, αk-1) αk


179

4.4.2 Método incremental en rigidez y fuerzas (∆KF) Este método calcula la deformada del puente para una velocidad de viento Vi

considerando la historia de deformación a velocidades de viento inferiores pero no la

variación de la deformación debida al último incremento de velocidad. Se parte del

modelo de la estructura deformada por el peso propio.

0 0 0( )· ( 0)s V= =K u u f (4.38)

Con los desplazamientos u0 obtenidos se calculan el ángulo de ataque α0(u0) en cada

punto del tablero y, en función de este, el vector de fuerzas fs(V1, α0(u0)) para una

velocidad de viento pequeña V1. Si la velocidad de viento V1 es suficientemente

pequeña, se puede asumir que el incremento de la deformación será pequeña y por tanto

α1 ≈ α0. Entonces se resuelve

1 1 1 0 0( )· ( , ( ))s V=K u u f α u (4.39)

se obtienen unos movimientos en el tablero u1 que se suponen correctos y con ellos, los

nuevos ángulos de ataque α1(u1).

Seguidamente se calculan las fuerzas aerodinámicas para una velocidad de viento V2 un

poco mayor que V1 con los ángulos de ataque α1(u1) obtenidos en el paso anterior:

2 1 1( , ( ))s Vf α u . (4.40)

Con estas fuerzas se resuelve

2 2 2 1 1( )· ( , ( ))s V=K u u f α u (4.41)


180

Los movimientos u2 obtenidos en (4.41) se presuponen ciertos siempre que la diferencia

entre V2 y V1 sea pequeña. Este paso se repite incrementando la velocidad de viento

hasta alcanzar el valor deseado resolviéndose en un paso i

1 1( )· ( , ( ))i i s i i iV − −=K u u f α u . (4.42)

El proceso se representa esquemáticamente a continuación.

0iV =

0 0 0( )· ( 0)s V= =K u u f

u0 α0(u0)

i=i+1

( )( )1 1( )· ,i i s i i iV − −=K u u f α u

ui

αi(ui)

u = ui

α = αi(ui)

i=0

1i iV V V−= + ∆

iV V>

SI

NO

Figura 4.16. Diagrama de flujo del método incremental ∆KF.


181

Figura 4.17. Gráfico esquemático del método incremental ∆KF.

4.4.3 Método incremental-iterativo en rigidez y fuerzas (∆ΙKF) Combinando los dos métodos anteriores se consigue una solución en la cual la

deformación obtenida depende de las deformaciones para velocidades de viento

inferiores y la variación de la deformación debido al último incremento de velocidad de

viento. El proceso se resume mediante el diagrama de flujo y el gráfico que se muestra a

continuación.

V

α

α1

α2

V1 V2

fs(V2, α1)

fs(V1, α0)


182

i=0 k=0

0 00 0 0( )· ( 0)s V= =K u u f

u00

α00(u0

0)

1i iV V V−= + ∆

( )( )1 1

( )· ,k kk k

i i s i i iV− −

=K u u f α u

k=1

αik ≈ αi

k-1

SI

NO

u = ui

α = αi(ui)

0iV =

i=i+1

iV V> NO

SI

ui0= ui-1

k

αi0(ui

0)= αi-1k(ui-1

k)

uik

αik(ui

k) k=k+1

Figura 4.18. Diagrama de flujo del método incremental-iterativo ∆ΙKF.


183

Figura 4.19. Esquema incremental-iterativo ∆ΙKF.

4.4.4 Método incremental-iterativo en fuerzas (∆IF) El método anterior requiere la resolución de un modelo estructural considerando la

variación de la rigidez debida a la no linealidad geométrica en cada iteración. Esta tarea

puede llevarse a cabo con un código propio o con un software comercial que permita la

entrada y salida interactiva de datos. En el presente apartado se describe una forma

aproximada de calcular la deformada frente a la carga de viento estática que elimina la

necesidad de resolver el modelo estructural de forma reiterada. Este método trabaja con

la matriz de rigidez que resulta al aplicar cargas de peso propio sin tener en cuenta la

acción del viento, pero realiza un cálculo iterativo variando en cada paso las fuerzas de

viento estático al considerar la variación del ángulo de ataque debido a la deformada del

paso anterior. Lo que se expresa matricialmente mediante

0· ( ( ))V s= =K u f α u (4.43)

Una manera de evitar tener que trabajar con la matriz de rigidez de la estructura

completa y de reducir la dimensión del problema es aplicar análisis modal. Suponiendo

V

α

αi

αi+1

Vi Vi+1

fs(Vi+1, αi+11),…

fs(Vi, αi) fs(Vi+1, αi)

fs(Vi+1, αi+1k)

fs(Vi+2, αi+2k)

fs(Vi+2, αi+21),…

fs(Vi+2, αi+1)

αi+2

Vi+2


184

que los movimientos de la estructura se pueden expresar como combinación de los

modos de vibración

=u Φq (4.44)

Donde q es el vector de participaciones y Φ es la matriz modal. Sustituyendo (4.44) en

(4.43) y premultiplicando por Φ T queda

T T ( , ( ))s V=Φ KΦq Φ f α u (4.45)

o de forma más compacta

T ( , ( ))s V=Kq Φ f α u (4.46)

donde la matriz K es una matriz diagonal con los términos de las frecuencias naturales

al cuadrado.

21

22

2

0 00 0

0 0 n

ωω

ω

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

K (4.47)

Esta matriz es fácil de almacenar lo que simplifica el cálculo considerablemente.

El diagrama de flujo para el procedimiento incremental-iterativo en fuerzas se muestra

en la Figura 4.20 y sigue unos pasos muy semejantes al procedimiento incremental-

iterativo en rigidez y fuerzas pero sin modificar la rigidez estructural que siempre se

toma sin considerar la carga de viento.


185

i=0 k=0

0 00 0 0( )· ( 0)s V= =K u u f

u00

α00(u0

0)

1i iV V V−= + ∆

( )( )1 1T· ,k kk

i s i i iV− −

=K q Φ f α u

k=1

αik ≈ αi

k-1

SI

NO

u = ui

α = αi(ui)

0iV =

i=i+1

iV V> NO

SI

ui0= ui-1

k

αi0(ui

0)= αi-1k(ui-1

k)

uik

αik(ui

k)

k = k+1

φr

ωr

Φ T=K Φ KΦ

k ki i=u Φq

( )0 20( ) · 0r rω− =K u M φ

Figura 4.20. Diagrama de flujo del método incremental-iterativo ∆ΙF.


186

Para reducir la dimensión del problema no se emplean todos los modos de vibración

sino solamente los primeros. El número de modos necesarios normalmente se encuentra

alrededor de los 100, aunque para asegurarse de que se está representando

correctamente la respuesta conviene comenzar con un número de modos menor e ir

aumentando hasta que se aprecie que la cantidad de modos escogidos no afecta al

resultado.

Además, como el objetivo de este cálculo es obtener la respuesta del tablero, se

disminuye el tamaño del problema empleando únicamente los modos de vibración φr en

los que los movimientos de este son importantes. De esta forma, cuando se obtienen los

movimientos del tablero según la expresión equivalente a (4.44)

1

r n

r rr

q=

=

= ∑u φ (4.48)

se prescinde de los φr que no constituyen una parte significativa de la respuesta frente a

la carga estática.

En la obtención de la fuerza generalizada de viento TsΦ f sobre el puente, unos

elementos influyen más que otros. Esto permite eliminar componentes en los vectores

de los modos de vibración. En concreto, se toman únicamente los grados de libertad del

tablero y de los cables principales. Por el contrario se eliminan:

1. Las péndolas, ya que las fuerzas aerodinámicas sobre ellas son despreciables en

comparación con las del tablero y las de los cables principales debido al

reducido diámetro de las mismas. Por ello al operar TsΦ f no se obtienen

términos significativos. Esto es equivalente a eliminar de Φ los movimientos de

las péndolas.

2. Las torres, ya que sus movimientos en los modos de vibración φr son pequeños

debido a su gran rigidez, por lo que su influencia en TsΦ f es despreciable.


187

4.4.5 Comparación de los métodos ∆IKF y ∆IF

Se ha comparado el método incremental iterativo en rigidez y fuerzas ∆ΙKF, que se

puede suponer a priori el más preciso, con el método incremental iterativo en fuerzas

∆IF y con el cálculo con un modelo que evalúa la fuerza de viento estática considerando

un ángulo de ataque nulo (α=0). En esta comparación se ha obtenido la deformada del

puente sobre el estrecho de Messina debida a la carga estática del viento para

velocidades comprendidas entre 0 y 100 m/s a 70 m de altura que es la altura del

tablero.

Modelo estructural El puente colgante sobre el estrecho de Messina (Figura 4.21) es una de las obras de

ingeniería más audaces que se van a realizar en todo el mundo en los próximos años.

Con una distancia entre torres de 3300 m, superará en más del 60 % el actual récord de

vano.

Figura 4.21. Visualización del puente sobre el estrecho de Messina. (Visualización Realizada

por F. Bravo y A. Baldomir)


188

Figura 4.22. Planos generales del diseño preliminar del puente sobre el estrecho de Messina.

Stretto di Messina S.p.A [19]

Para llevar a cabo los cálculos aerodinámicos y aeroelásticos del puente sobre el

estrecho de Messina, se ha empleado el modelo de elementos finitos generado con el

programa ABAQUS 6.5 (Figura 4.23), en base a las características geométricas y

mecánicas que se resumen en la Tabla 4.2. Con este modelo se ha calculado en primer

lugar la geometría deformada por la carga de peso propio, y también el cálculo de los

movimientos causados por la carga estática del viento suponiendo que el ángulo de

ataque no varía con dicha deformada (α=0). Además, empleando un archivo de


189

comandos de Matlab que llama a ABAQUS se ha llevado a cabo el cálculo de la

deformada mediante el método incremental iterativo en rigidez y fuerza ∆ΙKF.

Figura 4.23. Modelo de elementos finitos del puente sobre el estrecho de Messina.

Longitud total del tablero (m) 3666

Longitud del vano central (m) 3300

Longitud de los vanos laterales (m) 183

Distancia torre-anclaje lado Sicilia (m) 960

Distancia torre-anclaje lado Calabria (m) 810

Área cajón central (m2) 0.39

Momento de inercia a flexión vertical del cajón central Iy (m4) 0.301

Momento de inercia a flexión lateral del cajón central Iz (m4) 2.12

Momento de inercia a torsión del cajón central J (m4) 0.738

Masa por unidad de longitud del cajón central (T/m) 8.79

Momento de inercia polar por unidad de longitud del cajón central (Tm2/m) 1112.93

Área cajones laterales (m2) 0.495

Momento de inercia a flexión vertical de los cajones laterales Iy (m4) 0.451

Momento de inercia a flexión lateral de los cajones laterales Iz (m4) 8.404

Momento de inercia a torsión de los cajones laterales J (m4) 1.039

Masa por unidad de longitud de los cajones laterales (T/m) 7.28

Momento de inercia polar por unidad de longitud de los cajones laterales (Tm2/m) 590.34

Anchura entre cables (m) 52

Anchura total del tablero (m) 61.13

Tabla 4.2. Principales propiedades geométricas y mecánicas del puente de Messina.


190

Para llevar a cabo el cálculo de la deformada empleando el método incremental iterativo

en fuerzas ∆ΙF, se han empleado los 182 primeros modos de vibración que movilizan el

tablero. A continuación se muestra una tabla con las cincuenta primeras frecuencias

naturales del modelo creado en ABAQUS. Sólo se emplearon los modos sombreados

que son los que movilizan el tablero en dicha tabla que se representan en la Figura 4.24.

Modo Frec (Hz) Modo Frec (Hz) Modo Frec (Hz) Modo Frec (Hz) Modo Frec (Hz)

1 0.030941 11 0.10064 21 0.15992 31 0.19132 41 0.25412

2 0.056619 12 0.10866 22 0.16006 32 0.19199 42 0.25861

3 0.060441 13 0.11167 23 0.16253 33 0.20101 43 0.26090

4 0.081815 14 0.12762 24 0.16517 34 0.20768 44 0.26397

5 0.082770 15 0.13027 25 0.16724 35 0.20878 45 0.27811

6 0.083044 16 0.13150 26 0.17178 36 0.21729 46 0.27920

7 0.091310 17 0.13999 27 0.17265 37 0.22345 47 0.28602

8 0.093344 18 0.14017 28 0.17766 38 0.22753 48 0.28837

9 0.099310 19 0.15202 29 0.18025 39 0.22835 49 0.29164

10 0.10026 20 0.15920 30 0.18198 40 0.23787 50 0.30395

Tabla 4.3 Frecuencias de los cincuenta primeros modos de vibración. Los modos sombreados

son aquellos que movilizan el tablero.


191

Figura 4.24. Modos de vibración del puente sobre el estrecho de Messina normalizados a la

masa. Desplazamientos ▬ lateral, – · –vertical y ···· torsional.


192




193




194




195




196

Carga de viento estática Las velocidades medias del viento sobre la estructura se han definido mediante el perfil

de velocidades del pliego de condiciones para la realización del proyecto [19]:

0

( ) ln 0.01·ref rzV z u k zz

⎛ ⎞= +⎜ ⎟

⎝ ⎠ (4.49)

en donde

z es altura sobre el nivel del mar o sobre tierra siempre mayor de 2 m,

z0 es la rugosidad del terreno. (z0 = 0.01 m),

kr el coeficiente de rugosidad (kr = 0.17) y

uref es valor de referencia de la velocidad media (uref = 29m/s a 10 metros en un suelo

con rugosidad z0ref = 0.05 m para un período de retorno de 50 años).

Figura 4.25. Coeficientes aerodinámicos empleados para los distintos elementos del puente.

Stretto di Messina S.p.A [19].


197

Para la obtención de las fuerzas aerodinámicas del tablero se han empleado los

coeficientes aerodinámicos obtenidos en el túnel de viento de la E.T.S.I. de Caminos,

Canales y Puertos de La Coruña que se muestran en el capítulo 3. Para el resto de

elementos se han empleado los coeficientes aerodinámicos de la Figura 4.25. Los

coeficientes empleados en la torre se obtuvieron de Larose et al. [13].

Resultados En la Figura 4.26 se muestran los resultados de este cálculo mediante los tres métodos

mencionados. Como puede observarse, los movimientos a partir de una cierta velocidad

de viento V a 70 m de altura teniendo en cuenta la variación del ángulo de ataque con

los métodos ∆ΙKF y ∆ΙF son muy distintos a los que se obtienen mediante el cálculo

considerando el ángulo de ataque nulo (α=0).

De los tres tipos de cálculo, el que tiene en cuenta un mayor número de no linealidades

es el ∆ΙKF por lo que ha de ser el que más se aproxime a la realidad. Sin embargo el

método ∆ΙF proporciona unos resultados muy similares a dicho método con un coste

computacional y de programación mucho menor. Por ello este es el método escogido

para determinar el ángulo de ataque en los cálculos aeroelásticos del fenómeno del

flameo.


198

Figura 4.26. Movimientos a lo largo del tablero con 60 m/s y del nudo central al variar la

velocidad, considerando el ángulo inicial de ataque nulo (α=0), aplicando ∆IKF y ∆IF.


199

4.5 INFLUENCIA DE LA CARGA DE VIENTO ESTÁTICA EN LOS

MODOS Y FRECUENCIAS NATURALES DE VIBRACIÓN

En el presente apartado se lleva a cabo un estudio de la variación de los modos y

frecuencias de vibración de un puente de gran vano por efecto de la carga de viento

estática. Para ello se ha calculado el puente sobre el estrecho de Messina empleando el

método incremental iterativo en rigidez y fuerzas ∆ΙKF, y en cada escalon de velocidad

de viento se ha realizado un cálculo de los modos y frecuencias naturales con la matriz

de rigidez correspondiente a dicha velocidad de viento.

Como se puede apreciar en la Figura 4.27 la variación de las frecuencias propias al

aumentar la velocidad de viento es muy pequeña y no se puede apreciar hasta que se

alcanzan velocidades superiores a 70 m/s. La frecuencia natural que sufre un mayor

cambio es la correspondiente al modo 4 que disminuye un 6% a 100 m/s de velocidad

de viento.

Figura 4.27 Evolución de las frecuencias naturales ω del puente sobre el estrecho de Messina

con la velocidad del viento V por efecto de la deformada por la carga estática de viento.

En el caso de los los modos de vibración (Figuras 4.28 a 4.30) la variación que se

produce tampoco es suficientemente grande como para justificar el empleo de los

ω (r

ad/s

)

V

Modo 3 (vertical)

Modo 2 (lateral)

Modo 4 (vertical)

Modo 6 (torsional)

Modo 10 (torsional)


200

modos y frecuencias de la estructura considerando la carga de viento estática en los

cálculos aeroelásticos. Por ello en los cálculos que se exponen en los siguientes

apartados se han empleado siempre los modos y frecuencias de vibración de la

estructura sin carga de viento.

Figura 4.28. Modo 1 (lateral simétrico). Modo 2 (lateral antimétrico).

++ 0 m/s y ** 85 m/s.

Figura 4.29. Modo 3 (vertical antimétrico). Modo 4 (vertical simétrico).

++ 0 m/s y ** 85 m/s.

Figura 4.30. Modo 6 (Torsión antimétrico). Modo 10 (Torsión simétrico).

++ 0 m/s y ** 85 m/s.

v (m

) w

(m)

ϕ x (r

ad)

x x

x x

x x

v (m

) w

(m)

ϕ x (r

ad)


201

4.6 INFLUENCIA DE LA CARGA DE VIENTO ESTÁTICA EN LA

VELOCIDAD DE FLAMEO

En el presente apartado se estudia la influencia de la carga de viento estática en el

análisis del flameo de puentes mediante la consideración del ángulo de ataque variable a

lo largo del tablero que se tiene en cuenta en la evaluación de las funciones de flameo.

Esto es, los cálculos que aquí se presentan se llevan a cabo considerando que las

funciones de flameo *iP , *

iH y *iA con i = 1…6 dependen de la velocidad reducida V* y

del ángulo de ataque α que resulta en la deformada debida a la carga de viento estática.

La evaluación de α se realiza en cada nudo del tablero.

4.6.1 Ejemplo del puente sobre el estrecho de Messina

Datos estructurales y aeroelásticos Para llevar a cabo el cálculo del flameo en el presente ejemplo, se han empleado los

modos y frecuencias de vibración obtenidos a partir del modelo de elementos finitos

generado con el programa ABAQUS considerando la carga de peso propio y mostrados

en la Figura 4.26. Para designar a los modos se emplea la siguiente nomenclatura: L

significa lateral, V vertical, T torsional, A antimétrico y S simétrico. De todos los

modos de vibración expuestos en el apartado anterior se han empleado los laterales 1 LS

y 2 LA, los verticales 3 VA, 4 VS, 7 VA, 12 VS y 14A, los torsionales 6 TA, 10 TS, 16

TS, 20 TA y los seis primeros modos lateral-torsionales 5 LS TA, 11 LA TA, 13 LS TS,

15 LA TA, 17 LA TA y 19 LA TA. El amortiguamiento estructural empleado es ξ =

0.00318 definido en el pliego de condiciones para el proyecto [18].

Se han empleado las funciones de flameo obtenidas en el túnel de viento de la E.T.S.I.

de Caminos, Canales y Puertos de La Coruña que se muestran en el capítulo 3,

interpoladas en cada nudo a lo largo del tablero con el ángulo de ataque modificado por

la carga de viento estática que se ha calculado mediante el método incremental iterativo

en fuerzas ∆IF.


202

Resultados El análisis del flameo, se ha llevado a cabo en primer lugar sin tener en cuenta la

variación del ángulo de ataque y con una distribución de viento uniforme en todo el

tablero mediante el programa NLAB, el cual se describe con detalle en el capítulo 7. La

velocidad de flameo es 99.5 m/s.

En la Figura 4.31 se muestra el valor del amortiguamiento adimensional de los modos

de flameo al aumentar la velocidad de viento. Puede apreciarse que el modo 2 y el modo

10 disminuyen su amortiguamiento adimensional -α/β = ξ/(1−ξ2)0.5 al aumentar la

velocidad del viento y acercarse a la de flameo. Por el contrario los modos 3 y 4

aumentan su amortiguamiento a medida que aumenta la velocidad del viento. También

se muestra la evolución de la parte imaginaria β de los valores propios que se

corresponde con las frecuencias de vibración. Como se puede apreciar, en general la

frecuencias se mantienen casi inalteradas por efecto del viento exceptuando los modos

de flameo con componentes torsionales que disminuyen apreciablemente. El modo que

sufre un descenso en la frecuencia más acusado es el modo 5 para el cual se produce el

flameo.


203

Figura 4.31. Flameo calculado para 0º de ángulo de ataque y viento uniforme con el programa

NLAB. Parte real α de los modos de vibración (arriba). Parte imaginaria β de los modos de

vibración (centro). Amortiguamiento adimensional -α/β (abajo) .


204

Posteriormente se ha llevado a cabo el cálculo del flameo empleando el perfil de

velocidades del pliego de condiciones para el proyecto del puente, y las funciones de

flameo para el ángulo de ataque modificado por la deformada que produce la carga

estática de viento. El resultado de este cálculo arroja una velocidad de flameo de 134.6

m/s muy superior a la que se había obtenido mediante el cálculo simplificado (99.5

m/s). El flameo se sigue produciendo para el modo 5, los modos verticales 3 y 4

aumentan en gran medida su amortiguamiento, y el modo torsional 10 disminuye su

amortiguamiento al acercarse a la velocidad de flameo.

La variación que se produce en la parte imaginaria de los autovalores, esto es en la

frecuencia de vibración, es similar a la del cálculo anterior, aunque dado que se llevan a

cabo cálculos de flameo para velocidades superiores, esta diferencia se puede apreciar

mejor.


205

Figura 4.32. Flameo calculado con el programa NLAB empleando el ángulo de ataque

modificado por la carga estática de viento para interpolar las funciones de flameo y el perfil de

viento para la velocidad media. Parte real α de los modos de vibración (arriba). Parte imaginaria

β de los modos de vibración (centro). Amortiguamiento adimensional -α/β (abajo) .


206

4.6.2 Ejemplo del puente sobre el estrecho de Akashi El puente sobre el estrecho de Akashi es un puente colgante situado en la ruta que une

las islas de Honshu y Shikoku en Japón. Su construcción comenzó en 1988 y duró diez

años. Cuando se inauguró se convirtió en el puente colgante con el vano más largo del

mundo sobrepasando en más del 40 % al puente sobre el río Humber (Inglaterra) cuyo

vano central es de 1410 m. El puente de Akashi que se diseñó inicialmente con un vano

central de 1990 m, se extendió un metro más debido al gran terremoto de Kobe en 1995.

En la Figura 4.34 se muestra información gráfica del puente sobre el estrecho de Akashi

y en la Tabla 4.4 sus principales propiedades geométricas y mecánicas.

Figura 4.33. Puente sobre el estrecho de Akashi. NIFTY [16]


207

Figura 4.34. Planos generales del puente sobre el estrecho de Akashi HSBA [5].

Longitud total del tablero (m) 3910

Longitud del vano principal (m) 1990

Longitud de los vanos laterales (m) 960

Altura de las torres (m) 297

Anchura entre los cables (m) 35.5

Anchura total del tablero (m) 35.5

Canto del tablero (m) 14

Sección de cada cable principal (m2) 0.79

Momento de inercia a flexión Iy (m4) 24

Momento de inercia a flexión Iz (m4) 130

Momento de inercia a torsión J (m4) 17.8

Masa del tablero (T/m) 28.7

Momento polar de inercia del tablero (Tm2/m) 5800

Tabla 4.4. Principales propiedades geométricas y mecánicas del puente del estrecho de Akashi


208

Datos estructurales y aeroelásticos Con el fin de verificar la formulación desarrollada en los apartados anteriores y su

implementación, se ha llevado a cabo un cálculo de la respuesta frente a flameo del

puente sobre el estrecho de Akashi y los resultados se han comparado con los obtenidos

para el mismo puente por Katsuchi [11] con una formulación similar. Dicho documento

validaba sus resultados con el modelo a escala completa que se ensayó en el túnel de

viento del ministerio de obras públicas de Japón en Tsukuba realizado bajo la

supervisión de investigadores de la Universidad de Yokohama.

Para llevar a cabo este cálculo, los datos de partida que definen el comportamiento

mecánico del puente y las acciones del viento sobre el mismo se han obtenido en su

mayoría de Katsuchi [11], aunque algunos parámetros han sido estimados al no

encontrarse ninguna fuente.

Los modos de vibración del puente se obtuvieron por ese investigador quien a su vez los

extrajo de HSBA [4]. Estos modos se calcularon mediante un modelo de elementos

finitos de 863 nudos. El modelo incluía el tablero, la torre, los cables principales y las

péndolas. No obstante, para el cálculo aeroelástico se han utilizado solamente las

componentes del tablero ya que las fuerzas aeroelásticas no actúan en el resto de

elementos. Los modos empleados en el presente ejemplo toman los valores en 101

puntos a lo largo del tablero. En la formulación empleada por Katsuchi se trabaja con

modos de vibración adimensionalizados y normalizados a la unidad en lugar de modos

normalizados a la masa. La ecuación del movimiento en coordenadas modales en dicha

formulación es

( ) ( )T T T· ·ae ae b+ − + − =Mq C V C V q K V K V q V f , (4.50)

donde V es la matriz de modos de vibración normalizados a la unidad y T=M V MV es

una matriz diagonal formada por las inercias generalizadas de cada modo. Para obtener

los modos normalizados a la masa hay que dividir cada modo por su correspondiente

inercia. Además las inercias generalizadas proporcionadas por Katsuchi tienen unidades

de kg·s2/m, por lo que además de multiplicar por el ancho del tablero B los movimientos


209

laterales y verticales de cada modo, hay que multiplicar la inercia generalizada por la

aceleración de la gravedad g = 9.81 m/s2. Por tanto las componentes de los modos

normalizados a la masa se han obtenido mediante

· ii

i

B pv gI

= , · ii

i

B hw gI

= y ixi

i

gIαϕ = , (4.51)

siendo vi, wi y ϕxi las componentes laterales, verticales y torsionales de los vectores

normalizados a la masa, pi, hi y αxi las componentes de los modos dados en Katsuchi

[11], B = 35.5 m el ancho del tablero e Ii el valor de la inercia generalizada

correspondiente al modo i.

A continuación se muestran los modos 1 a 7, 10 a 14, 22, 23 y 25 a 27 que se han

empleado en el cálculo aeroelástico del puente de Akashi.


210

Figura 4.35. Modos de vibración del puente sobre el estrecho de Akashi normalizados a la masa.

Desplazamientos ▬ lateral, – · – vertical y ··· torsional.


211




212




213

Las frecuencias naturales asociadas a los modos mostrados en las páginas anteriores se

han obtenido del mismo documento y se muestran en la Tabla 4.5.

Modo fn (Hz) Modo fn (Hz)

1 0.03881 12 0.1551

2 0.06517 13 0.16382

3 0.07527 14 0.17138

4 0.07703 22 0.18022

5 0.07832 23 0.18027

6 0.07849 25 0.21137

7 0.08497 26 0.22117

10 0.12169 27 0.22463

11 0.1271

Tabla 4.5 Frecuencias naturales del puente sobre el estrecho de Akashi obtenidas mediante un

modelo de elementos finitos en HSBA [4].

Los amortiguamientos adimensionales ξ empleados fueron los del pliego de condiciones

técnicas del proyecto del puente: 0.3183% para modos torsionales y 0.4775% para

verticales y laterales.

La carga estática debida al viento se ha calculado empleando los coeficientes

aerodinámicos de Katsuchi [11] (Figura 4.36). Los valores numéricos de dichos

coeficientes y sus derivadas con respecto al ángulo de ataque se muestran en la Tabla

4.6.


214

α CD CL CM*10

-10 0.509 -0.23 -0.242

-9 0.489 -0.205 -0.21

-8 0.472 -0.179 -0.189

-7 0.449 -0.144 -0.179

-6 0.436 -0.112 -0.149

-5 0.419 -0.076 -0.111

-4 0.402 -0.041 -0.081 α C D C L C M

-3 0.4 0 -0.036 -3 -0.372 2.148 0.252

-2 0.389 0.034 0.007 -2 -0.315 1.862 0.283

-1 0.389 0.065 0.063 -1 -0.085 1.661 0.266

0 0.386 0.092 0.1 0 0 1.904 0.271

1 0.383 0.117 0.148 1 0.171 1.403 0.237

2 0.386 0.141 0.183 2 0.085 1.260 0.217

3 0.386 0.161 0.224 3 0.286 1.346 0.243

4 0.396 0.188 0.268

5 0.400 0.21 0.296

6 0.412 0.233 0.337

7 0.426 0.254 0.367

8 0.449 0.266 0.387

9 0.466 0.278 0.402

10 0.466 0.281 0.404

Tabla 4.6 Coeficientes aerodinámicos del puente sobre el estrecho de Akashi.

Figura 4.36. Coeficientes aerodinámicos del tablero del puente sobre el estrecho de Akashi.

α

CD

10·CM

CL

CD

CL,

CM

,


215

Las funciones de flameo que se han empleado en el cálculo del flameo son las ocho que

aparecen representadas en las figuras 4.37 a 4.39. Estas funciones se obtuvieron en

Japón mediante ensayo seccional de movimiento impuesto en un túnel de viento. En el

cálculo del flameo Katsuchi consideró un valor nulo de la función P1*. El resto de

funciones de flameo no representadas en la Figura 4.37 se consideraron nulas.


216

Figura 4.37. Funciones de flameo para α = -3 deg empleados por Katsuchi [11] para el cálculo

del flameo del puente sobre el estrecho de Akashi.


217

Figura 4.38. Funciones de flameo para α = 0 deg empleados por Katsuchi [11] para el cálculo



218

Figura 4.39. Funciones de flameo para α = +3 deg empleados por Katsuchi [11] para el cálculo



219

Resultados El cálculo se ha llevado a cabo con el programa NLAB, que implementa el método

explicado en el apartado 4.2. En primer lugar se ha hecho el cálculo empleando las

funciones de flameo para el ángulo de ataque de 0º y un perfil de viento constante

trabajando con los 10 modos que se indican en la Figura 4.40. La velocidad crítica de

flameo obtenida es 88.87 m/s que resulta muy similar a la obtenida por Katsuchi de 87.8

m/s.

En la Figura 4.40 se muestran los resultados del cálculo del flameo del puente sobre el

estrecho de Akashi proporcionados por el programa NLAB. En dicha gráfica se muestra

la parte real α e imaginaria β de los autovalores obtenidos para cada velocidad de viento

V. Se muestra además el amortiguamiento adimensional δ = -α/β = ξ/(1−ξ2)0.5 al

aumentar la velocidad del viento.

Figura 4.40. Resultados del cálculo del flameo del puente del estrecho de Akashi obtenidos con

programa NLAB con perfil de viento uniforme y funciones de flameo para α = 0º. Parte real α e

imaginaria β de los modos de vibración (arriba). Amortiguamiento adimensional -α/β (abajo) .

.


220

Cuando se tiene en cuenta la variación del ángulo de ataque a lo largo del tablero

causada por la carga estática de viento para la interpolación de las funciones de flameo,

y se utiliza un perfil logarítmico para el cálculo de la velocidad media los resultados del

cálculo del flameo varían apreciablemente.

Para llevar a cabo el cálculo de la deformada frente a la carga estática de viento se

emplean los 17 modos de vibración y los coeficientes aerodinámicos que se mostraron

anteriormente. Como Katsuchi no aporta la información de los movimientos de los

cables principales en los modos de vibración, se ha supuesto que su desplazamiento

lateral en los modos de vibración es el mismo que el del tablero. El coeficiente de

arrastre empleado en dichos cables ha sido CD = 1 y su diámetro es 1.122m.

En la Figura 4.41 se muestran los movimientos lateral v, vertical w y torsional ϕx a lo

largo del tablero para 70 m/s con un viento horizontal teniendo en cuenta o no la

variación del ángulo de ataque por la propia deformación.

En la Figura 4.42 se muestran las mediciones del modelo completo ensayado en el túnel

de viento de Tsukuba en Japón. Las deformadas que se han obtenido a partir de los

modos de vibración son algo distintas de las que se midieron experimentalmente. Esto

se debe probablemente a que se está empleando un número de modos de vibración

insuficiente y a las limitaciones de escala que conlleva cualquier ensayo experimental.


221

Figura 4.41. Deformada frente a carga de viento estática calculada para ángulo de ataque nulo

(α cte) − o modificado por la propia deformada (α variable) - - .

α cte α variable

α cte α variable

α cte α variable

α cte α variable

α cte α variable

α cte α variable


222

Figura 4.42. Deformadas debidas a la carga estática medida en el modelo de puente completo

mostradas en Katsuchi [11]. La escala de velocidades de viento es 1/10.


223

Teniendo en cuenta el ángulo de ataque de la estructura deformada por la carga de

viento estática, se ha llevado a cabo el cálculo aeroelástico mediante el programa

NLAB. La velocidad de flameo obtenida mediante este cálculo ha sido de 77.74 m/s,

inferior a los 88.87 m/s del cálculo simplificado realizado empleando un perfil de viento

uniforme y las funciones de flameo de 0º de ángulo de ataque. Este valor inferior de la

velocidad crítica de flameo indica que es importante considerar la variación del ángulo

de ataque a lo largo del tablero como consecuencia de la carga de viento estática, ya que

de no considerarse pueden obtenerse valores peligrosamente superiores. En la Figura

4.43 se muestra la variación del amortiguamiento adimensional o decremento

logarítmico δ = -α/β = ξ/(1−ξ2)0.5 del modo 12 en el que se produce el flameo.

Figura 4.43. Cálculo del flameo con el programa NLAB teniendo en cuenta el perfil de viento y

la variación del ángulo de ataque a lo largo del tablero. Parte real α e imaginaria β de los modos

de vibración (arriba). Amortiguamiento adimensional -α/β (abajo) .


224

El efecto de tener en cuenta la variación del ángulo de ataque a lo largo del tablero

debida a de la carga estática de viento es distinto en el puente sobre el estrecho de

Akashi y en el puente sobre el estrecho de Messina. En el primer caso la velocidad de

flameo disminuye mientras que en el caso del puente sobre el estrecho de Messina

aumenta. Esto se debe al empleo de geometrías muy distintas en la sección transversal

del tablero de uno y otro puente ya que la forma de la sección determina el valor de las

funciones de flameo. Si se lleva a cabo un cálculo de la inestabilidad frente al flameo

con ángulo de ataque constante a lo largo de todo el tablero se observa que la velocidad

de flameo aumenta en el puente del estrecho de Messina cuando se emplean las

funciones de flameo de -3º y +3º. Sin embargo la velocidad de flameo del puente sobre

el estrecho de Akashi disminuye si se emplean las funciones de flameo de +3º y

aumenta cuando se emplean las funciones de flameo de -3º. A continuación se muestra

una tabla con los resultados de velocidades de flameo.

-3 0 3 Akashi 90.69 m/s 88.88 m/s 77.60 m/sMessina >110 m/s 99.56 m/s >110 m/s

Tabla 4.7. Velocidades de flameo del puente de Akashi y del puente de Messina empleando las

funciones de flameo de varios ángulos de ataque.


225

4.7 REFERENCIAS

[1] Astiz M. Á., Martínez A., (1996) El puente de Gibraltar Revista de Obras Públicas.

No 3355.

[2] Boonyapinyo V., Miyata T., Yamada H., (1999) Advanced aerodynamic analysis of

suspension bridges by state-space approach, Journal of Structural engineering, Vol

125, Nº 12, December, 1357-1366.

[3] Dipartimento di Meccanica. Politecnico de Milano., (2003) Approfondimento del

comportamento aerodinamico e aeroelastico dell’impalcato. II Fase. (Geometría


[4] Honshu-Shikoku Bridge Authority (HSBA) and CRC Corporation (1995). Report

on flutter analysis of long-span suspension bridges.

[5] The Akashi-Kaikyo Bridge. Design and Construction of the World’s longest

Bridge. Honshu-Shikoku Bridge Authority. JAPAN. 1998

[6] Hernández S., Jurado J. Á. & Mosquera A. (2003) Virtual wind tunnels for

aeroelastic design of cable supported bridges. International Conference on Wind

Engineering. Lubbock, Texas, USA.

[7] Hernández S., Jurado J. Á., (2002) Performance based design of long span bridges

under severe wind loadings. Structures Congress and Exposition ASCE. Denver,

Colorado, USA.

[8] Howroyd G. C. and Slawson P. R., (1975) The characteristics of a laboratory

produced turbulent Ekman layer, Bound. Layer Meteorol, 8 201-219.

[9] Jain A., (1996) Multi-mode aeroelastic and aerodynamic analysis of long-span

bridges. A dissertation submitted to The Johns Hopkins University in conformity

with the requirements for the degree of Doctor of Philosophy. Baltimore, Maryland.

[10] Jurado J. A. (2001) Análisis aeroelástico y de sensibilidad del fenómeno de flameo

en puentes soportados por cables. Tesis presentada en la Escuela Técnica Superior

de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos de la Universidad de la Coruña.

[11] Katsuchi, H., (1997) An analytical study on flutter and buffeting of the akashi-

kaikyo bridge. An essay submitted to The Johns Hopkins University in conformity

with the requirements for the degree of Master of Science in Engineering.

Baltimore, Maryland.


226

[12] Khot N. S., (1984) Optimal design of a structure for system stability for a

specified eigenvalue distribution, New Direction in Optimum Structural Design.

John Wiley & Sons Ltd, 75-87.

[13] Larose G.L., Damsgaard A., Diana G. and Falco M. Wind tunnel investigations of

the tower for the Stretto di Messina Bridge. Journal of wind engineering and

industrial aerodynamics 48. 379-393 Elsevier.



Mecánica de Estructuras de la Universidad de la Coruña. E.T.S.I. Caminos,

Canales y Puertos

[15] Mosquera A., Hernández S. & Jurado J. Á., (2003) Analytical sensitivity analysis

of aeroelastic performance of suspension bridges under construction.


[16] NIFTY http://homepage.nifty.com

[17] Scanlan R. H., Tomko J. J., (1971) Airfoil and bridge deck flutter derivatives, J.

Eng. Mech. Div., ASCE, 97, Nº EM6, diciembre, 1717-1737.

[18] Stretto di Messina S.p.A. (2004), Design criteria and expected performance for

the bridge structure, bridge over the Messina Strait. Engineering definitive and

final design. GCG.F.04.01.

[19] Stretto di Messina S.p.A. (2004), Specifiche tecniche per il progetto definitivo e il

progetto esecutivo dell’opera di attraversamento. Requisiti e linee guida per lo

sviluppo della progettazione. GCG.F.05.03



http://homepage.nifty.com/

227

CAPÍTULO 5

AVANCES EN EL ANÁLISIS DEL FENÓMENO DEL

BATANEO

5.1 INTRODUCCIÓN

La velocidad de viento en la capa límite atmosférica tiene una naturaleza turbulenta y

presenta por tanto fluctuaciones que dan lugar a rachas en las que la velocidad

instantánea varía respecto a la velocidad media.

Las fluctuaciones de la velocidad del viento provocan sobre las estructuras esbeltas de

los puentes de gran vano excitaciones de carácter aleatorio que dan lugar a vibraciones.

Este fenómeno se conoce con el nombre de bataneo y su análisis se realiza en el

dominio de la frecuencia. En el proyecto de un puente se debe garantizar que los

movimientos y aceleraciones producidos al vibrar la estructura como consecuencia del

fenómeno de bataneo se encuentren por debajo de unos valores límite admisibles que

garanticen un grado de confort aceptable.

El bataneo se puede estudiar de forma experimental en túneles de viento de capa límite,

tal y como se explica en el capítulo 2. Los ejemplos más representativos de esta

metodología de estudio son los ensayos realizados en el túnel de

viento de Western Ontario por Davenport [1] y los ensayos realizados en el túnel de

viento del Instituto de Investigación Pública del Ministerio de Construcción en Tsukuba

(Japón) [19]. Este último es el túnel de viento de capa límite dedicado a la ingeniería

civil más grande del mundo con 41 m de anchura en la cámara de ensayos (Sumitomo

[25]). En él se llevaron a cabo los ensayos con el modelo completo del puente sobre el

Capítulo 5 AVANCES EN EL ANÁLISIS DEL FENÓMENO DE BATANEO

228

estrecho de Akashi en Japón, que es actualmente el puente con el vano más largo del

mundo.

Existe otra posibilidad para el análisis de la respuesta frente al bataneo de un puente de

gran vano que consiste en aplicar métodos híbridos es decir, métodos que tienen un

planteamiento computacional pero que operan con funciones y parámetros obtenidos de

ensayos seccionales de tableros. Los precursores del método híbrido son los

componentes del grupo de investigación creado por Scanlan en la Johns Hopkins

University de Baltimore. En este grupo surgieron los trabajos de Jain [12] en 1996 y

Katsuchi [14] en 1997 sobre análisis de bataneo multimodal. Jain presentó la

formulación del flameo multimodal y del bataneo en el dominio de la frecuencia.

Katsuchi comparó los resultados de aplicar la metodología híbrida de Jain con los

resultados obtenidos en el ensayo del modelo completo del puente sobre el estrecho de

Akashi en el túnel de viento de Tsukuba. Además realizó algunas mejoras en el cálculo

como, por ejemplo, incluir funciones de flameo laterales Pi* en el cálculo aeroelástico.

En relación a los experimentos del puente de Akashi en el túnel de Tsukuba, en el grupo

de investigación del Departamento de Ingeniería Civil de la Universidad de Yokohama

surgieron también trabajos sobre bataneo multimodal (Miyata & Yamada [18], Minh et

al. [17]).

Otro grupo de investigación en donde se han desarrollado trabajos importantes sobre el

estudio híbrido del bataneo es el del Departamento de Mecánica del Politécnico de

Milán (Diana et al. [7]) en donde se efectuaron diversos estudios sobre el proyecto

preliminar del futuro puente sobre el estrecho de Messina.


229

5.2 DEFINICIÓN DEL VIENTO COMO PROCESO ALEATORIO

Las cargas que produce el viento considerando su naturaleza turbulenta y denominadas

fuerzas de bataneo son aquellas producidas por las fluctuaciones de la velocidad del

viento alrededor de la velocidad media V. Estas fluctuaciones se definen en tres

direcciones independientes: uv en dirección del viento, vv en dirección horizotal

perpendicular al viento y wv en dirección vertical; y tienen un carácter aleatorio por lo

que su estudio se lleva a cabo empleando conceptos de vibraciones aleatorias.

En este apartado se incluyen en primer lugar algunas definiciones empleadas en el

tratamiento estadístico de las fluctuaciones de la velocidad de viento y en segundo lugar

la explicación de la formulación híbrida del bataneo.

5.2.1 Procesos estocásticos Se define como proceso estocástico aquel que contiene variables aleatorias dependientes

del tiempo. La velocidad del viento en un punto cualquiera en una dirección concreta

puede considerarse una variable aleatoria. Si se realizan mediciones de dicha velocidad

durante períodos de tiempo determinados se observa que en cada uno de los registros

temporales los datos de velocidad son diferentes asumiéndose entonces que la velocidad

del viento es una variable aleatoria.

Una vez realizada la medición de la variable que constituye la velocidad del viento

aleatoria durante un tiempo de registro determinado, pueden estimarse sus propiedades

estadísticas, como la media, la varianza, etc. Cuando las propiedades estadísticas de las

variables aleatorias que constituyen un proceso estocástico no dependen de la duración

temporal del registro en que se miden se dice que el proceso estocástico es estacionario.

Por otro lado, cuando cualquiera de los registros o mediciones efectuadas de las

variables que constituyen un proceso estocástico estacionario constituyen una muestra

representativa de dicho proceso por tener las mismas propiedades estadísticas se dice

que el proceso es ergódico.


230

A continuación se van a definir algunas propiedades estadísticas de las variables

aleatorias que constituyen los procesos estocásticos.

Media µX

Dada una variable aleatoria X(t) cuyos datos se miden durante un tiempo de duración T

se define la media de su valor como

/ 2

/ 2

1lim ( )T

X TTX t dt

Tµ

−→∞= ∫ (5.1)

Figura 5.1. Muestreo de una variable X(t) con una duración T.

Varianza σ2X

La varianza es la esperanza de los cuadrados de las diferencias entre los valores de la

variable y su media.

( )/ 2 22

/ 2

1lim ( )T

X XTTX t dt

Tσ µ

−→∞= −∫ (5.2)

A partir de una variable aleatoria X(t) y de su media puede definirse la variable aleatoria

x(t) = X(t) − µX, cuya media resulta nula µx = 0. La velocidad total de viento en una

dirección puede asociarse a la variable aleatoria X(t), mientras que la fluctuación de la

velocidad alrededor de su valor medio provocada por su naturaleza turbulenta se asocia

a la variable x(t). Para esta variable así definida se cumple que

T

X(t)

t

t


231

22 2 2( ) ( )X x x

E x E xσ µ µ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − = =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (5.3)

Función de autocorrelación Rx

Otro concepto interesante es la función de autocorrelación que expresa la

interdependencia de los valores de la variable aleatoria en dos instantes distintos

separados un tiempo τ. Se obtiene mediante

( )/ 2

/ 2

1lim ( ) ( )T

x TTR x t x t dt

Tτ τ

−→∞= +∫ (5.4)

x(t)

τ T t

Figura 5.2. Retraso τ entre dos muestras distintas.

Función de densidad espectral Sx

La función de densidad espectral o espectro de potencia se define mediante

1( ) ( )2

ix xS R e dωτω τ τ

π∞ −

−∞= ∫ (5.5)

también se cumple que

( ) ( ) ix xR S e dωττ ω ω

∞

−∞= ∫ (5.6)


232

Como se observa, las funciones Sx y Rτ constituyen un par de funciones transformadas

de Fourier.

Una propiedad interesante de la función de densidad espectral es que a partir de ella se

puede obtener la media de los valores al cuadrado de la variable aleatoria. Este valor

coincide con la varianza si la media de la variable aleatoria es nula, como en el caso de

las fluctuaciones de la velocidad del viento que definen la turbulencia. Para demostrarlo

se observa que

( )/ 2 2

/ 2

10 lim ( ) ( 0)T

x xTTR x t x t dt

Tσ

−→∞= + =∫ (5.7)

Como la autocorrelación también se puede expresar mediante la transformada de

Fourier de Sx

0(0) ( ) ( )ix x xR S e d S dωω ω ω ω

∞ ∞

−∞ −∞= =∫ ∫ (5.8)

Igualando ambas expresiones se llega a

2 ( )x xS dσ ω ω∞

−∞= ∫ (5.9)

Esta relación se utiliza para obtener la varianza de un movimiento de la estructura una

vez que se conoce el espectro de respuesta para ese movimiento.

La función de densidad espectral se puede relacionar con la transformada de Fourier de

la variable aleatoria cuya expresión es

( ) ( ) i tx x t e dtωω∞ −

−∞= ∫ (5.10)

Para ello se escribe Sx en función de Rx, desarrollando ésta última función según su

definición queda (Wirsching et al. [26] o Clough [5])


233

/ 2

/ 2

1( ) ( )21 1lim ( ) ( )

21 1lim ( ) ( ) ·

2

ix x

T i

TT

i

T

S R e d

x t x t dt e dT

x t x t dt e dT

ωτ

ωτ

ωτ

ω τ τπ

τ τπ

τ τπ

∞ −

−∞

∞ −

−∞ −→∞

∞ ∞ −

−∞ −∞→∞

= =

⎡ ⎤= + =⎢ ⎥⎣ ⎦

= +

∫

∫ ∫

∫ ∫

(5.11)

Efectuando el cambio de variable t + τ = θ queda

1 1( ) lim ( ) ( )2

i t ix T

S x t e dt x e dT

ω ωθω θ θπ

∞ ∞ −

−∞ −∞→∞= ∫ ∫ (5.12)

La expresión anterior también puede escribirse de forma compacta como

( ) ( )( ) lim

2x T

x xS

Tω ω

ωπ→∞

−⎡ ⎤⎣ ⎦= (5.13)

Teniendo en cuenta la propiedad de simetría de las funciones transformadas de Fourier,

se cumple que ( ) ( )*x xω ω− = , donde el símbolo ( )*x ω es el valor complejo

conjugado de ( )x ω . Por lo tanto la anterior expresión se puede escribir

( ) ( )*( ) lim

2x T

x xS

Tω ω

ωπ→∞

⎡ ⎤⎣ ⎦= (5.14)

Esta última expresión es de gran utilidad en el análisis de la respuesta de sistemas en el

dominio de la frecuencia como se verá más adelante.

Función de correlación cruzada Rxy

Las funciones anteriores se aplican en la definición de la turbulencia del viento en un

punto considerando la fluctuación de la velocidad en una dirección determinada. Sin

embargo en el estudio de los efectos que tiene la acción del viento turbulento en un


234

puente de gran vano resulta necesario estudiar las fluctuaciones de la velocidad de

viento en todas las direcciones posibles así como su variación en puntos situados a lo

largo del tablero. Para ello es necesario utilizar la denominada función de correlación

cruzada entre dos variables aleatorias x(t) e y(t) que se define mediante

( )/ 2

/ 2

1lim ( ) ( )T

xy TTR x t y t dt

Tτ τ

−→∞= +∫ (5.15)

Existe una segunda función de correlación cruzada entre las dos mismas variables

aleatorias expresada por

( )/ 2

/ 2

1lim ( ) ( )T

yx TTR y t x t dt

Tτ τ

−→∞= +∫ (5.16)

Función de densidad espectral cruzada Sxy

La transformada de Fourier de la función de correlación cruzada determina la función

de densidad espectral cruzada entre las dos variables aleatorias x(t) e y(t). Su expresión

es por tanto

1( ) ( )2

ixy xyS R e dωτω τ τ

π∞ −

−∞= ∫ (5.17)

Hay una segunda función de densidad espectral cruzada entre las dos variables definida

por

1( ) ( )2

iyx yxS R e dωτω τ τ

π∞ −

−∞= ∫ (5.18)

También se puede escribir una expresión para el espectro cruzado en función de la

transformada de Fourier de las variables aleatorias. Véase Whirsching [26].


235

( ) ( )*( ) lim

2xy T

x yS

Tω ω

ωπ→∞

⎡ ⎤⎣ ⎦= (5.19)

Función de coherencia γ2xy

La función de coherencia entre dos variables aleatorias se define mediante

( )( ) ( )

2

2 ( ) xyxy

x y

SS S

ωγ ω

ω ω= (5.20)

Se cumple que 0 < γ2xy < 1. La coherencia proporciona una medida adimensional de la

dependencia lineal existente entre x(t) e y(t) para cada frecuencia ω. Si γ2xy = 1 para

todas las frecuencias se cumple

( ) ( ) ( )xy x yS S Sω ω ω= (5.21)

se dice que las variables están totalmente correlacionadas. El otro caso límite es cuando

las variables están totalmente descorrelacionadas y se da cuando el valor de la función

de coherencia es nulo γ2xy = 0.

Puede suceder, como en el caso del viento turbulento, que lo que se conozca sea la

función de densidad espectral de cada variable y la función de coherencia entre las

mismas. En ese caso se obtiene la función de densidad espectral cruzada mediante

( ) ( ) ( ) ( )2xy x y xyS S Sω ω ω γ ω= ⋅ (5.22)

Matriz de densidad espectral Sx

Cuando se están estudiando n variables aleatorias de un proceso estocástico denotadas

de forma compacta mediante el vector


236

1

n

x

x

⎧ ⎫⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

x (5.23)

se puede definir una matriz de densidad espectral de dimensión n x n en la forma

1 1 2 1

2 1 2 2

2 2

, ,

, ,

, ,

n

n

n n n

x x x x x

x x x x xx

x x x x x

S S S

S S S

S S S

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

S (5.24)

Los términos de la diagonal representan las funciones de densidad espectral de cada

variable aleatoria, y fuera de la diagonal se encuentran las funciones de densidad

espectral cruzada entre cada par de variables aleatorias.

Densidad espectral de la respuesta de un sistema

Sea un sistema de n grados de libertad solicitado por un sistema de n fuerzas

excitadoras que constituyen variables aleatorias. La respuesta de movimientos del

sistema será también un conjunto de variables aleatorias. Supoeniendo que está definido

en el dominio de la frecuencia el vector de variables aleatorias que representan las

fuerzas excitadoras ( )ωf y el vector que representa las respuestas en los n grados de

libertad del sistema ( )ωu ,

( )( )

( )

1

n

f

f

ωω

ω

⎧ ⎫⎪ ⎪

= ⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

f ( )( )

( )

1

n

u

u

ωω

ω

⎧ ⎫⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

u (5.25)

la relación entre ambos viene dada por una matriz de transferencia ( )ωH en la forma

( ) ( ) ( )ω ω ω=u H f (5.26)


237

Conocida la matriz espectral de las fuerzas Sf(ω), y utilizando la expresión que relaciona

la función de densidad espectral cruzada con las dos variables aleatorias en el dominio

de la frecuencia( ) ( )*

( ) lim2xy T

x yS

Tω ω

ωπ→∞

⎡ ⎤⎣ ⎦= , se puede escribir también

( ) ( )( )*( ) lim

2

T

f T T

ω ωω

π→∞

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦=f f

S (5.27)

La matriz de densidad espectral de las n variables aleatorias que constituyen la respuesta

del sistema se obtiene por tanto mediante

( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

*( ) lim

2

* *lim

2

* *lim

2

T

u T

T

T

T T

T

T

T

T

ω ωω

π

ω ω ω ω

π

ω ω ω ω

π

→∞

→∞

→∞

⎡ ⎤⎣ ⎦= =

⎡ ⎤⎣ ⎦= =

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦⎣ ⎦=

u uS

H f H f

H f f H

(5.28)

en consecuencia se cumple

( ) ( )( ) ( ) *T

u fω ω ω ω= ⎡ ⎤⎣ ⎦S H S H (5.29)

Esta relación resulta fundamental en el análisis de la respuesta frente al viento

turbulento de un puente de gran vano. La razón es que la turbulencia del viento viene

definida por las funciones de densidad espectral de las fluctuaciones de la velocidad en

cada dirección, a partir de las cuales se construye la matriz de densidad espectral de las

fuerzas de bataneo que excitan la estructura. Con una relación análoga a la anterior se

puede calcular la matriz espectral de la respuesta en movimientos de la estructura y de

forma consecutiva las varianzas de dichos movimientos que son los resultados que se

buscan en este tipo de análisis.


238

5.2.2 Descripción del viento turbulento Las fluctuaciones del viento debidas a la turbulencia son procesos aleatorios. Cuando

estas fluctuaciones tienen la misma dirección y sentido del viento medio se denominan

uv, si tienen dirección vertical wv y si llevan la dirección transversal a la del viento vv

(Figura 5.3).

Figura 5.3. Ejes de coordenadas del viento y del tablero del puente. (Visualización realizada por

F. Bravo y A. Baldomir)

Intensidad de turbulencia Para cada una de las direcciones de fluctuación se define la intensidad de turbulencia

como

2E[ ( )]( )

( ) ( )v

v

uvu

u zI z

V z V zσ

= = (5.30)a

z, w

x, u

y, v

yv, vv

zv, wv

xv, uv


239

( )( )

v

v

vvI z

V zσ

= (5.30)b

( )( )

v

v

wwI z

V zσ

= (5.30)c

donde E[ ] es el valor esperado de la función, σ es la desviación típica y, finalmente,

V(z) es la velocidad media del flujo principal.

La varianza de la fluctuación uv en el eje xv depende de la velocidad de fricción u* y de

la rugosidad del terreno z0 a través del coeficiente β mediante la expresión

2 2

*·vu uσ β= (5.31)

La Tabla 5.1 muestra la correspondencia entre β y z0 obtenidas de Simiu y Scanlan [24].

z0(m) 0.005 0.07 0.30 1.00 2.50

β 6.50 6.00 5.25 4.85 4.00

Tabla 5.1. Valores de β correspondientes a varios valores de rugosidad z0.

Escala de turbulencia Las fluctuaciones del viento se deben a los torbellinos existentes en el flujo de aire.

Cada torbellino viaja con el flujo de aire a velocidad V(z) y da lugar a una fluctuación

de la velocidad del viento con frecuencia en radianes ω = 2π f. Por tanto, la longitud de

onda de la fluctuación λ= V /f es una medida del tamaño del remolino. Otra medida del

tamaño medio de los torbellinos en el flujo de aire es la escala de turbulencia que se

define para la fluctuación uv como

2 0R ( )v

v v

v

xu u

u

VL dτ τσ

∞= ∫ (5.32)

en donde R ( )vu τ es la función de autocorrelación de ( , )vu x t


240

/ 2

/ 2

1R ( ) lim ( ) ( )v

T

u v vTxu t u t dt

Tτ τ

−→∞= +∫ . (5.33)

De manera análoga a (5.32) se definen el resto de escalas de turbulencia ,v

v

yuL

,v

v

zuL ,v

v

xvL ,v

v

yvL ,v

v

zvL ,v

v

xwL v

v

ywL y v

v

zwL . La escala de turbulencia así definida representa la

distancia a partir de la cual las fluctuaciones de velocidad no están correlacionadas.

Espectros de fluctuaciones de viento Existen varias funciones empíricas de diferentes autores para aproximar los espectros de

potencia de las fluctuaciones de viento. A continuación se exponen varios ejemplos de

espectros empleados para definir la turbulencia del viento.

• Espectro en el rango inercial. Aceptable para frecuencias altas y velocidades superiores a 20 m/s.

2/32

*S( , ) 0.26( )

u fzz ff V z

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠ (5.34)

en donde f es la frecuencia en Hz, ( )V z es la velocidad media del viento, *u es la

velocidad de fricción y z es la altura con respecto a la cota de referencia a la cual se

supone viento nulo.

• Kaimal. Sobreestima las fluctuaciones.

2*

5/3

200( )S( , )

1 50( )

fzu V zz ff fz

V z

=⎛ ⎞

+⎜ ⎟⎝ ⎠

Para rugosidades z0 > 0.3. (5.35)

• Davenport (código canadiense). Promedia en el eje vertical z por lo que no refleja la variación con la altura.

( )2 2*

4/32

4S( )1

u xff x

=+

con 1200· / (10)x f V= (5.36)


241

• Von Karman. Apropiado para considerar los efectos de las frecuencias bajas.

2*

5/32

4( )S( , )

1 70.8( )

xu

xu

fLu V zz ff fL

V z

β=

⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟+ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

(5.37)

• Simiu.

2 31 1 12

2*2 2 2

2/3

si S( , ) si

0.26· si

m

m s

s

a b duz f c a bf

φ φ φ φ φφ φ φ φ φ

φ φ φ−

⎧ + + ≤⎪= + + ≤ ≤⎨⎪ ≤⎩

(5.38)

siendo sφ el límite inercial inferior ( 0.2sφ ), mφ la referencia que permite cambios en

la forma de la curva espectral en el rango sφ φ< , y ( )fz

V zφ = .

14 ( )x

uL zaz

β= (5.39)

2/31 0.26· sβ φ −= (5.40)

( ) ( ) ( ) ( )

1 1

22 2 2

1 7 ln3 3

5 1 2 2 ln6 2

sm

m

sm s m s m s m s s m

m

ab

φφ β βφ

φφ φ φ φ φ φ φ φ φ φφ

⎛ ⎞⎛ ⎞+ + −⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠=⎛ ⎞

− + − + − + − ⎜ ⎟⎝ ⎠

(5.41)

2 22 ma b φ= − (5.42)

( )211 1 23

22

mm s

m

ad bφ β φ φφ

⎡ ⎤= − + −⎢ ⎥⎣ ⎦ (5.43)

11 11.5

2 mm

ab dφφ

−= − (5.44)

22 1 2 2s sc a bβ φ φ= − − (5.45)


242

• Stretto di Messina S.p.A. Especificaciones técnicas para el proyecto definitivo y el proyecto de ejecución del puente sobre el estrecho de Messina [22].

2

5/3

6.868· · · ( )S ( , )

1 10.302( )

u uu

u

L I V zz ffL

V z

=⎛ ⎞⎛ ⎞

+⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

(5.46)

2

5/3

9.434· · · ( )S ( , )

1 14.15( )

v vv

v

L I V zz ffL

V z

=⎛ ⎞⎛ ⎞

+⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

(5.47)

2

5/3

6.103· · · ( )S ( , )

1 63.181( )

w ww

w

L I V zz ffL

V z

=⎛ ⎞⎛ ⎞

+⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

(5.48)

Los valores de intensidad de turbulencia y de escala de turbulencia empleados en las

expresiones anteriores son los siguientes:

0

1( )ln( / )uI z

z z= , ( ) 0.75· ( )v uI z I z= , ( ) 0.50· ( )w uI z I z= , (z0 = 0.05 m), (5.49)

0.5

( ) 300200u

zL z ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

, ( ) 0.25· ( )v uL z L z= , ( ) 0.10· ( )w uL z L z= , (5.50)

y V(z) es la velocidad media de viento.

• Honshu-Shikoku Bridge Authority (HSBA). Especificaciones técnicas para el proyecto del puente del estrecho de Akashi [10].

Para la dirección principal del viento se empleó el espectro de Hino: 5/ 622

S ( , ) 0.4751· 1uu

fz f σβ β

−⎛ ⎞⎛ ⎞

= ⎜ + ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ (5.51)

donde (2 3) 1

3 1031.718·10

10

mr

u

k V zI

ααβ− −

− ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠


243

α = 18

es el exponente del perfil de la velocidad de viento,

kr = 0.0025 es el coeficiente de rugosidad de la superficie,

m = 1 es un factor de modificación para la forma del espectro asociado a la escala de

turbulencia,

V10 = 46 m/s es la velocidad de viento de referencia de diseño a una altura de 10 m

sobre el nivel del mar,

f es la frecuencia en Hz,

·u uI Vσ = es la desviación típica de la turbulencia,

Iv = 9.5% y Iw = 6.8% son las escalas de turbulencia y

V es la velocidad media del viento.

Para la fluctuación vertical se empleó el espectro de Busch & Panofsky:

2 max5/3

max

/S ( , ) 0.632··1 1.5·

w wz fz f

f zVf V

σ=⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥+ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

(5.52)

donde fmax = 0.3.

Funciones de coherencia de fluctuaciones de viento A continuación se exponen varios ejemplos de funciones de coherencia empleadas para

definir la turbulencia del viento.

• Función de coherencia exponencial.

Su expresión para dos fluctuaciones X e Y en dos puntos distintos i, j del tablero tiene la

siguiente expresión:

( ) XYXY f e ϑγ −= (5.53)


244

2 2 22 2 22( )

( ) ( )v v v v v v

vi v j

u x vi v j u y vi v j u z vi v ju u

vi v j

f c x x c y y c z zf

V z V zϑ

− + − + −=

+

2 2 22 2 22( )

( ) ( )v v v v v v

vi v j

v x vi v j v y vi v j v z vi v jv v

vi v j


V z V zϑ

− + − + −=

+ (5.54)

2 2 22 2 22

( )( ) ( )

v v v v v v

vi v j

w x vi v j w y vi v j w z vi v jw w

vi v j


V z V zϑ

− + − + −=

+

donde f = ω/2π es la frecuencia en Hz. En estas expresiones sólo se dan coherencias

directas. Los términos cruzados vi v ju vϑ ,

vi v ju wϑ , vi v jv uϑ ,

vi v jv wϑ , vi v jw uϑ y

vi v jw vϑ tienen

expresiones análogas aunque habitualmente se desprecian. Para adaptar la función

exponencial a las condiciones de turbulencia reales se emplean las constantes de

decaimiento c. Para el puente sobre el estrecho de Akashi el valor de todas las

constantes c es 8. Los valores de las constantes de decaimiento c para el puente sobre el

estrecho de Messina figuran en la Tabla 5.2..

v vu xc v vu yc

v vu zc v vv xc

v vv ycv vv zc

v vw xcv vw yc

v vw zc

3 10 10 3 6.5 6.5 0.5 6.5 3

Tabla 5.2. Valor de las constantes c de la función de coherencia para el proyecto del puente

sobre el estrecho de Messina.

• Funciones de coherencia de Roberts & Surry [20]

Para las fluctuaciones en dirección del viento:

( ) ( ) ( )11/ 6

5/ 65/ 6 1/ 60.994· ·K K

2i j

uu u u u uf ηγ η η η

⎛ ⎞= −⎜ ⎟

⎝ ⎠ (5.55)

donde

( )

2

·0.747 1 70.7492

yu

u yu i j

f LdL V V

η⎛ ⎞⎜ ⎟= +⎜ ⎟+⎝ ⎠

,


245

( ) ( ) ( )2 2 2

i j i j i jd x x y y z z= − + − + − ,

5/ 6K y 1/ 6K son las funciones modificadas de Bessel de segunda especie y

yuL es la escala de turbulencia.

Para las fluctuaciones en dirección vertical:

( ) ( ) ( )

( )

11/ 61/ 65/ 6

5/ 6 2

K0.994· ·K

·1 188.663·2

i j

w ww w w w

yw

i j

ff L

V V

η ηγ η η

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟+

⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠⎝ ⎠

(5.56)

donde ( )

2

·0.747 1 70.7492

yw

w yw i j

f LdL V V

η⎛ ⎞⎜ ⎟= +⎜ ⎟+⎝ ⎠

.

5.3 FUERZAS DE BATANEO Las fuerzas de bataneo por unidad de longitud se expresan habitualmente en el método

híbrido mediante las ecuaciones (5.57) (Simiu y Scanlan [24]). La deducción de estas

ecuaciones que se desarrolla detalladamente en el capítulo 6 se basa en la teoría cuasi

estática linealizada en la cual todas las fuerzas que ejerce el viento sobre el tablero se

expresan en función de los coeficientes aerodinámicos.

21 ˆ22

v vb D D

u wD V B C CV V

ρ ⎡ ⎤⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

( )21 ˆ22

v vb L L D

u wL V B C C CV V

ρ ⎡ ⎤⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ (5.57)

2 21 ˆ22

v vb M M

u wM V B C CV V

ρ ⎡ ⎤⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

En estas expresiones, al igual que en las de las fuerzas aerodinámicas y aeroelásticas,

aparece la presión dinámica del viento 1/2·ρ V 2 y el ancho del tablero B, además de las

fluctuaciones del viento en la dirección del arrastre uv y en dirección vertical wv, junto


246

con los coeficientes aerodinámicos CD, CL y CM, y sus derivadas C D, C L y C M con

respecto al ángulo de ataque α.

Las fuerzas de bataneo expresadas en (5.57) son fuerzas por unidad de longitud,

independientes de la frecuencia, lo cual es cierto cuando la escala de turbulencia es

mucho mayor que el ancho del tablero y por lo tanto dichas turbulencias afectan a toda

la sección del tablero en su conjunto. Sin embargo, en las condiciones atmosféricas esta

hipótesis deja de ser válida, ya que también aparecen fluctuaciones de velocidad de

viento con frecuencias altas cuya longitud de onda es menor que el ancho del tablero.

Para tener en cuenta la dependencia de las fuerzas de bataneo respecto de la frecuencia

ω se emplean unas funciones denominadas admitancias χ (ω) que tienen diferentes

expresiones según el autor (Davenport [6], Kumarasena [15] y Sarkar [21]). De esta

forma las expresiones de las fuerzas de bataneo en el nudo i-ésimo quedan como

2 2

ˆ ˆ2 2

ˆ ˆ ( )2 ( ) 2 ( )1 1( )(2 2

ˆ ˆ2 2

v v v v

v v v v

v v v v

D D D DDu v Dw v Du Dw

vL L D L L Db i Lu v Lw v Lu Lw

v

M M M MMu v Mw v Mu Mw

i i

C C C Cu wV V V V

u tC C C C C Ct V Bl u w V Blw tV V V V

C C C CB u B w B BV V V V

χ χ χ χ

ρ χ χ ρ χ χ

χ χ χ χ

⎧ ⎫ ⎛ ⎞+ ⎜ ⎟⎪ ⎪

⎜ ⎟⎪ ⎪⎜ ⎟⎪ ⎪+ +⎪ ⎪= + = ⎜ ⎟⎨ ⎬⎜ ⎟⎪ ⎪⎜ ⎟⎪ ⎪

+ ⎜ ⎟⎪ ⎪ ⎜ ⎟⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎝ ⎠

f)

i

⎧ ⎫=⎨ ⎬

⎩ ⎭

·bi bi= P w (5.58)

Para secciones de tableros de puentes las funciones de admitancia se miden mediante

ensayos en túnel de viento. Sin embargo, en ausencia de estos ensayos, es posible

emplear las admitancias teóricas de los perfiles aerodinámicos delgados denominadas

funciones de Sears (Borri & Costa[3]) o la fórmula de Davenport, como se especificaba

en el pliego de condiciones del puente sobre el estrecho de Akashi (Honshu- Shikoku

Bridge Authority [10]).


247

0.01

0.1

1

10

0.001 0.01 0.1 1

0.01

0.1

1

10

0.001 0.01 0.1 1

Figura 5.4. Admitancias empleadas en el pliego de prescripciones técnicas del puente sobre el

estrecho de Akashi.

Katsuchi [14] muestra cómo las admitancias χL(f) y χM(f) obtenidas en el ensayo del

modelo completo del puente de Akashi en el túnel de viento de Tsukuba (Japón)

difieren mucho de las funciones de Sears proporcionadas en el pliego para el proyecto

del puente. Por ello Katsuchi emplea en sus cálculos admitancias χL(f) = χM(f) = 1 que

resultan más conservadoras.

Es posible medir funciones de admitancia en túnel de viento mediante dos métodos

distintos. El primero consiste en emplear análisis estadístico en un ensayo seccional en

el cual se coloca una rejilla delante del modelo seccional que produce un flujo

turbulento (Figura 5.5) como se explica en Gu et al. [9]. La otra posibilidad es generar

un flujo sinusoidal controlado mediante una pared de perfiles aerodinámicos paralelos

que giran simultáneamente (Figura 5.6). Este último es el metodo empleado para

obtener admitancias en el túnel de viento del Politécnico de Milán (Diana et al. [7]

Cigada et al. [4]).

χ L(f)

χ M(f)

f(Hz) = ω/2π f(Hz) = ω/2π


248

Figura 5.5. Ensayo para la obtención de las admitancias de forma directa Gu et al. [9].

Figura 5.6. Sistema de alas vibrantes para generar turbulencias en el túnel de viento del

Politécnico de Milán. Politecnico di MIlano.[8]


249

5.4 FORMULACIÓN DEL BATANEO EN EL DOMINIO DE LA

FRECUENCIA

La respuesta estructural frente a las fuerzas de bataneo se resuelve teniendo en cuenta

también las fuerzas aeroelásticas que se producen al considerar los movimientos

oscilatorios en el tablero y que producen la inestabilidad por flameo. El problema

dinámico global se expresa mediante un sistema de ecuaciones diferenciales con la

forma

· · · a b+ + = +M u C u K u f f (5.59)

En él M, C y K son, respectivamente, las matrices globales de masa, amortiguamiento y

rigidez del sistema, a a a= +f C u K u es el vector de fuerzas aeroelásticas y bf el vector

las fuerzas de bataneo. Nótese que las matrices aeroelásticas son función de las

funciones de flameo las cuales dependen de la frecuencia de vibración ω. El problema

de la ecuación (5.59) puede transformarse de la siguiente manera

( ) ( )· · ·a a b+ − + − =M u C C u K K u f (5.60)

Escribiendo los movimientos como combinación de los modos de vibración más

importantes u=Φq queda:

( ) ( )· · ·a a b+ − + − =M Φq C C Φq K K Φq f (5.61)

en donde Φ es la matriz modal y q es el vector con la participación de cada modo.

Multiplicando la expresión (5.61) por la transpuesta de la matriz modal se obtiene

( ) ( )T T T T· · ·a a b+ − + − =Φ M Φq Φ C C Φq Φ K K Φq Φ f (5.62)


250

Si los modos se normalizan respecto a la masa se puede escribir

( ) ( )T T T· ·

R R

a a b+ − + − =C K

Iq C Φ C Φ q K Φ K Φ q Φ f (5.63)

en donde I es la matriz identidad, C y K son matrices diagonales con iiC = 2·ξiωi y

iiK = ωi2 respectivamente, siendo ξi el amortiguamiento modal y ωi la frecuencia

natural. Suponiendo que la solución al sistema de ecuaciones diferenciales es de la

forma q = qo·ei·ω·t y sustituyendo en la expresión (5.63) queda como

( )2 Ti ( ) ( )R R bt tω ω⎡ ⎤− + =⎣ ⎦K I C q Φ f (5.64)

Aplicando la transformada de Fourier al sistema para trabajar con todas las variables en

el dominio de la frecuencia y eliminar la variable tiempo queda

( )2 i T ii ( )· ( )·t tR R bt e dt t e dtω ωω ω

∞ ∞− −

−∞ −∞⎡ ⎤− + =⎣ ⎦∫ ∫K I C q Φ f (5.65)

lo que conduce a

( )2 i T ii ( )· ( )·t tR R bt e dt t e dtω ωω ω

∞ ∞− −

−∞ −∞⎡ ⎤− + =⎣ ⎦ ∫ ∫K I C q Φ f . (5.66)

De esta forma el sistema de ecuaciones tiene la siguiente forma en el dominio de la

frecuencia

( )2 Ti ( ) ( )R R bω ω ω ω⎡ ⎤− + =⎣ ⎦K I C q Φ f (5.67)

en donde ( )ωq es la transformada de Fourier de q(t) y ( )b ωf es la transformada de

fb(t). Para resolver ahora el sistema de ecuaciones (5.67) planteado como


251

T( )· ( ) ( )bω ω ω=V q Φ f (5.68)

sólo hay que llevar a cabo la operación algebraica

( ) 1 T T( ) ( ) · ( ) ( )· ( )b bω ω ω ω ω−= =q V Φ f H Φ f (5.69)

La matriz V(ω) suele denominarse matriz de impedancia, mientras que a su inversa

H(ω) se le suele llamar matriz de transferencia. Cada componente Hij(ω) de la matriz de

transferencia representa la amplitud y la fase de la respuesta de la estructura en el modo

i frente a una excitación armónica de frecuencia ω en el modo j. El aspecto de cada

|Hij(ω)| se representa en la Figura 5.7.

Figura 5.7. Ejemplo de |Hij(ω,V)| correspondiente al desplazamiento vertical de un punto del

tablero del puente sobre el estrecho de Messina situado al 25% de la longitud del vano central.

Η ij

(ω

,V)


252

Normalmente no se dispone de los datos de velocidades de viento en cada instante y en

cualquier posición sino que los datos existentes se describen mediante parámetros

estadísticos como las escalas e intensidades de turbulencia, los espectros de fluctuación

y las funciones de coherencia. Con estos parámetros es posible ensamblar la matriz de

densidad espectral de las fluctuaciones de viento Sw a partir de la cual se obtiene la

matriz de densidad espectral de las fuerzas de bataneo Sfb. La matriz de densidad

espectral Sw se obtiene ensamblando las submatrices de densidad espectral cruzada Swij

de las fluctuaciones de viento en dos nudos i y j.

vi vj vi vj

vi vj vi vj

u u u w

wijw u w w

S S

S S

⎛ ⎞⎜ ⎟=⎜ ⎟⎝ ⎠

S (5.70)

Para obtener la matriz de densidad espectral de las fuerzas de bataneo Sfb se lleva acabo

la transformada de Fourier de ·bi bi bi=f P w obteniendo ·bi bi bi=f P w y se aplica entonces

la propiedad (5.27).

*T

*T *T·lim · ·2b

bi bjf ij bi bj bi wij bjT Tπ→∞

⎡ ⎤= =⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦

w wS P P P S P (5.71)

Una vez conocida la matriz de densidad espectral de las fuerzas de bataneo, se obtiene

la matriz de densidad espectral de la respuesta sabiendo que u=Φq y empleando las

expresiones (5.69) y (5.29):

T *T TbU fN M M M M N N M M M M NN N N N

× × × × × ×× ×

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠S Φ H Φ S Φ H Φ (5.72)

Para simplificar el cálculo de la matriz de densidad espectral de los desplazamientos de

la estructura se trabaja solamente con los M primeros modos de vibración, reduciendo

así las dimensiones de la matriz de transferencia. Los términos de la diagonal de SU(f)

son las funciones de densidad espectral del movimiento en cada grado de libertad a


253

partir de los cuales se obtienen las desviaciones típicas. Teniendo en cuenta que los

movimientos se han considerado

0i ftu u e π= (5.73)

202 2i ftu i fu e i fuππ π= = (5.74)

2 2 2 204 4i ftu f u e f uππ π= − = − (5.75)

se cumplen las siguientes relaciones entre los espectros *

2 2lim 42u uT

fT

ππ→∞

= =u uS S (5.76)

e integrando los mismos se obtiene

2

0S

i i iu u u dfσ+∞

= ∫ (5.77)

2 2 2

04 S

i i iu u uf dfσ π+∞

= ∫ (5.78)

2 4 4

016 S

i i iu u uf dfσ π+∞

= ∫ (5.79)

donde u es el movimiento en dirección x en el nudo i. Para el resto de grados de libertad

de la estructura se opera de forma análoga.

5.5 ANÁLISIS DEL BATANEO EN EL PUENTE SOBRE EL

ESTRECHO DE AKASHI

5.5.1 Estructura Para la realización del cálculo de la respuesta frente al bataneo del puente sobre el

estrecho de Akashi mediante el análisis espectral se emplean los modos y frecuencias

naturales que se especifican en el ejemplo de análisis del flameo del capítulo 4. Los

modos empleados en este cálculo son los modos 1 a 7, 10 a 14, 22, 23 y 25 a 27 que se

muestran en la Figura 4.35, cuyas frecuencias se encuentran en la Tabla 4.5.


254

5.5.2 Carga de viento Los coeficientes aerodinámicos y las funciones de flameo son las mismas que se usaron

en el cálculo del flameo (Figura 4.36 y Figuras 4.37 a 4.39) excepto que en el cálculo

del bataneo se ha empleado también la expresión cuasi estática de la función P1*

*1

2· DCPK

= − (5.80)

Los parámetros referidos al viento son varios. Como ejemplo demostrativo se ha

considerado la velocidad media constante a lo largo del tablero e igual a 60 m/s. Los

espectros en la dirección media del flujo Suv y en la dirección vertical Swv se han

calculado según las expresiones de las especificaciones técnicas para el proyecto del

puente del estrecho de Akashi [10]. Para la dirección principal del viento se ha

empleado el espectro de Hino:

5/ 622

S ( , ) 0.4751· 1v

v

uu

fz fσβ β

−⎛ ⎞⎛ ⎞

= ⎜ + ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ (5.81)

donde (2 3) 1

3 1031.718·10

10v

mr

u

k V zI

ααβ− −

− ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

α = 18

es el exponente del perfil de la velocidad de viento,

kr = 0.0025 es el coeficiente de rugosidad de la superficie,

m = 3 es un factor de modificación para la forma del espectro asociado a la escala de

turbulencia,

V10 = 46 m/s es la velocidad de viento de referencia de diseño a una altura de 10 m

sobre el nivel del mar,

f es la frecuencia en Hz,

·v vu uI Vσ = es la desviación típica de la turbulencia,

vuI = 9.5% y vwI = 6.8% son las escalas de turbulencia y

V es la velocidad media del viento.


255

Para la fluctuación vertical se ha empleado el espectro de Busch & Panofsky:

2 max5/3

max

/S ( , ) 0.632··1 1.5·

v vw wz fz f

f zVf V

σ=⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥+ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

(5.82)

donde fmax = 0.4

Los espectros anteriores (5.81) y (5.82) para una altura de 80 m desde la superficie del

mar y para una velocidad media de 60 m/s tiene la forma que se indica en las siguientes

gráficas

Figura 5.8. Espectro de las ráfagas en dirección del viento Suv empleado en el presente ejemplo.

σuv= 5.21m/s

S uv (

m2 /s

)

f (Hz)


256

Figura 5.9. Espectro de las ráfagas en dirección vertical Swv empleado en el presente ejemplo.

Los espectros cruzados Suvwv se obtienen empleando las funciónes (5.83) a (5.85) igual

que Katsuchi con una velocidad de fricción u* = Vref ·Kr ·= 0.046:

( ) ( ) ( ) ( )S i· · ·vi v j vi v j vi v j vi v j vi v ju w u w u w u u w wf C Q f fγ γ= + (5.83)

( ) ( ) ( ) ( )S i· · ·vi v j vi v j vi v j vi v j vi v jw u u w u w u u w wf C Q f fγ γ= − (5.84)

donde v vu wC se denomina coespectro:

( )( )( )

( )

*

2.4

14· 2 ·

·1 9.62 2

vi v j vi v j

i ju w w u

i j

i j

z z uC C

V V f zV V

+= = −

⎛ ⎞+⎜ ⎟+⎜ ⎟+⎝ ⎠

(5.85)

σwv= 3.07 m/s S w

v (m

2 /s)

f (Hz)


257

en donde la parte imaginaria v vu wQ se denomina espectro de cuadratura, que Katsuchi

supone nulo.

Figura 5.10. Espectro cruzado de las ráfagas de viento Suvwv empleado en el presente ejemplo.

La función de coherencia empleada ha sido la función de Roberts y Surry simplificada

(5.86) y (5.87), propuesta por Katsuchi. Las escalas de turbulencias empleadas son Luv

y

= 70 y Lwv

y = 40.

( ) ( )

2·0.747exp 1 70.8·

2 2v

vi v j

v

yu

u u yu i j

f Ldf cL V V

γπ

⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= − +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

(5.86)

( ) ( )

2·0.747exp 1 70.8·

2 2v

vi v j

v

yw

w w yw i j

f Ldf cL V V

γπ

⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= − +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

(5.87)

A continuación se representan gráficamente dichas funciones para la distancia entre el

nudo central y el contiguo situado a 39.8 m de distancia.

σuvwv= 0.04 m/s S u

vwv (

m2 /s

)

f (Hz)


258

Figura 5.11. Función de coherencia γuvuv empleada para una distancia de 39.8 m.

Figura 5.12. Función de coherencia γwvwv empleada para una distancia de 39.8 m.

Las funciones de admitancia se definen para este puente por la expresión de Davenport

(5.88) para la admitancia del arrastre χD, mientras que el resto se toman unitarias χL =

χM = 1. Katsuchi no empleó las funciones de Sears que indicaba el pliego para χL y χM,

porque se ajustaban mal a los datos recogidos en el túnel de viento del Instituto de

Investigación Pública del Ministerio de Construcción en Tsukuba (Japón).


259

( )( )2

22( ) · ' 1 exp( · ')

· 'D f c f c fc f

χ⎛ ⎞

= − + −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

(5.88)

5.5.3 Respuesta estructural de movimientos A continuación se muestran los resultados del cálculo de bataneo. En primer lugar se

muestran los espectros de los desplazamientos lateral v, vertical w y torsional ϕx del

nudo central del vano principal, calculados para un ángulo de ataque nulo (Figura 5.13).

Los resultados se comparan con los obtenidos por Katsuchi [14] mediante cálculo

multimodal y mediante cálculo con un solo modo combinando las respuestas como la

raíz cuadrada del la suma de los cuadrados (SRSS) de las obtenidas para cada uno de los

17 modos utilizados (5.89).

2 2 21 2 17...SRSS σ σ σ= + + + (5.89)

Los resultados obtenidos han sido casi coincidentes con aquellos correspondientes al

análisis multimodal llevado a cabo por Katsuchi. En el caso del espectro de

movimientos verticales y en el de movimientos torsionales aparecen dos picos alrededor

de los 0.2 Hz que no aparecen en los resultados de Katsuchi. Esta diferencia entre

resultados podría deberse al amortiguamiento modal empleado en los modos 25 o 26

distinto del de Katsuchi, o a una falta de simetría en dichos modos proveniente de la

obtención a partir de gráficas escaneadas. Sin embargo a pesar de estas pequeñas

diferencias en los resultados, al realizar la integral para obtener la varianza del

movimiento el resultado es el mismo.

Los valores de desviación típica con ángulo de ataque nulo obtenidos integrando los

espectros de los desplazamientos en cada nudo que se muestran en las gráficas de la

izquierda de la Figura 5.14, coinciden con los mostrados en Katsuchi [14] (Figura 5.15).

Las pequeñas diferencias que se aprecian pueden deberse a que los modos se obtuvieron

a partir de las gráficas escaneadas de Katsuchi [14].


260

Los cálculos de la desviación típica se han realizado también teniendo en cuenta la

variación del ángulo de ataque por efecto de la deformada estática y los resultados se

muestran en las gráficas de la derecha de la Figura 5.14. En estos cálculos se han

empleado los coeficientes aerodinámicos CD, CL y CM, sus derivadas respecto del

ángulo de ataque C D, C L y C M, así como las funciones de flameo Pi*, Hi

* y Ai*,

interpolados para el ángulo de ataque de la situación deformada por efecto de la carga

estática en cada punto del tablero. Comparando estos resultados con los obtenidos para

un ángulo de ataque nulo en todos los puntos del tablero, se observa que la desviación

típica obtenida en los dos casos es muy similar. Los movimientos vertical y torsional

son inferiores, mientras que el desplazamiento lateral es más grande. Además, la

diferencia entre unos y otros resultados es mayor en el caso del desplazamiento lateral

por la mayor variación que se produce en el valor de la derivada del coeficiente de

arrastre ˆDC a lo largo del tablero.


261

Figura 5.13. Espectro S del movimiento lateral v, vertical w y torsional ϕx en el centro del vano

principal. Izquierda: Katsuchi Multimodal ▬ SRSS - - . Derecha: León Multimodal - · -.


262

Figura 5.14. Desviación típica del desplazamiento lateral σv, vertical σw y al giro torsional σϕx a

lo largo del tablero al aumentar la velocidad de viento con el ángulo de ataque nulo (izquierda)

y con el ángulo de ataque modificado por la carga estática de viento (derecha).


263

Figura 5.15. Desviación típica (RMS) del desplazamiento lateral σv, vertical σw y giro torsional σϕx.

-○- Multimodal y -□- SRSS obtenidos por Katsuchi [14].


264

5.6 ANÁLISIS DEL BATANEO EN EL PUENTE SOBRE EL

ESTRECHO DE MESSINA

5.6.1 Estructura En este apartado se muestran los resultados del cálculo de la respuesta frente al bataneo

mediante análisis espectral del puente sobre el estrecho de Messina. Se emplean los

mismos modos, frecuencias naturales y amortiguamientos del capítulo 4 que se

muestran en la Figura 4.24 y en la Tabla 4.3.

5.6.2 Carga de viento Los coeficientes aerodinámicos empleados son los que se muestran en POLIMI [8]

(Figura 5.16) y las funciones de flameo las obtenidas en el túnel de viento de la escuela

de ingeniería de Caminos, Canales y Puertos de la Universidad de la Coruña que se

mostraban en las Figuras 3.54 a 3.62.

Figura 5.16. Coeficientes aerodinámicos de POLIMI [8].

Para la obtención de la velocidad media del viento V se ha empleado el perfil de viento

definido en el pliego de condiciones para la redacción del proyecto del puente de

Messina[23]. Para la obtención de los espectros en las distintas direcciones se han

empleado las expresiones que aparecen también en [23]:


265

2

5/3

6.868· · · ( )S ( , )

1 10.302( )

v v

v

v

u uu

u

L I V zz f

fLV z

=⎛ ⎞⎛ ⎞

+⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

(5.90)

2

5/3

9.434· · · ( )S ( , )

1 14.15( )

v v

v

v

v vv

v

L I V zz f

fLV z

=⎛ ⎞⎛ ⎞

+⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

(5.91)

2

5/3

6.103· · · ( )S ( , )

1 63.181( )

v v

v

v

w ww

w

L I V zz f

fLV z

=⎛ ⎞⎛ ⎞

+⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

(5.92)

Los valores de intensidad de turbulencia y de escala de turbulencia empleados en las

expresiones (5.90) a (5.92) son los siguientes:

0

1( )ln( / )vuI z

z z= , ( ) 0.75· ( )

v vv uI z I z= , ( ) 0.50· ( )v vw uI z I z= , (z0 = 0.05 m), (5.93)

0.5

( ) 300200vu

zL z ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

, ( ) 0.25· ( )v vv uL z L z= , ( ) 0.10· ( )

v vw uL z L z= , (5.94)

Las funciones de densidad espectral anteriores para una altura de 70 m sobre el nivel del

mar y una velocidad de 54 m/s tienen la forma que se indica en las siguientes gráficas.


266

1.E-04

1.E-03

1.E-02

1.E-01

1.E+00

1.E-02 1.E-01 1.E+00 1.E+01 1.E+02

Figura 5.17. Función de densidad espectral de las fluctuaciones en el eje x del viento.

1,E-04

1,E-03

1,E-02

1,E-01

1,E+00

1,E-03 1,E-02 1,E-01 1,E+00 1,E+01 1,E+02

Figura 5.18. Función de densidad espectral de las fluctuaciones en el eje y del viento.

Suv S u

v ·f/

σ wv2

f·L uv /V

Svv

S vv ·f/

σ vv2

f·L vv /V


267

1,E-04

1,E-03

1,E-02

1,E-01

1,E+00

1,E-03 1,E-02 1,E-01 1,E+00 1,E+01 1,E+02

Figura 5.19. Función de densidad espectral de las fluctuaciones en el eje z del viento.

La función de coherencia empleada en el pliego de prescripciones técnicas en el

proyecto del puente sobre el estrecho de Messina es de tipo exponencial:

( ) XYXY f e ϑγ −= (5.95)

donde ϑ en dos puntos i, j del tablero queda como

2 2 22 2 22( )

( ) ( )v v v v v v

vi v j

u x vi v j u y vi v j u z vi v j

u uvi v j


V z V zϑ

− + − + −=

+

2 2 22 2 22( )

( ) ( )v v v v v v

vi v j

v x vi v j v y vi v j v z vi v j

v vvi v j


V z V zϑ

− + − + −=

+ (5.96)

2 2 22 2 22( )

( ) ( )v v v v v v

vi v j

w x vi v j w y vi v j w z vi v j

w wvi v j


V z V zϑ

− + − + −=

+

En estas expresiones la frecuencia f = ω/2π se introduce en Hz y el subíndice v indica

que las coordenadas x v, y v, z v se miden en los ejes del viento cuyas direcciones

Swv

S wv ·f/

σ vv2

f·L wv /V


268

coinciden con uv, vv y wv. Sólo se dan coherencias directas, es decir, los términos

cruzados vi v ju vϑ ,

vi v ju wϑ , vi v jv uϑ ,

vi v jv wϑ , vi v jw uϑ y

vi v jw vϑ son cero o lo que es lo mismo, las

fluctuaciones en ejes distintos no están correlacionados. Los valores de las constantes de

decaimiento c para el puente sobre el estrecho de Messina figuran en la Tabla 5.3. Por

último, en el presente ejemplo no se ha empleado función alguna para la descripción de

las admitancias, tomando por lo tanto un valor igual a la unidad en todos los casos.

v vu xc v vu yc

v vu zc v vv xc

v vv ycv vv zc

v vw xcv vw yc

v vw zc 3 10 10 3 6.5 6.5 0.5 6.5 3

Tabla 5.3 Valor de las constantes c de la función de coherencia para el proyecto del puente

sobre el estrecho de Messina.

5.6.3 Respuesta estructural de movimientos A partir de los datos anteriores se ha llevado a cabo el cálculo mediante análisis

espectral de la respuesta frente al bataneo del puente sobre el estrecho de Messina. En el

pliego de prescripciones técnicas para el proyecto [23] se especifica que deben

obtenerse los espectros de las aceleraciones a lo largo del tablero. La desviación típica

de estas aceleraciones no deberá superar las limitaciones expresadas en la siguiente

tabla para un índice de turbulencia del 7%.

R.M.S. de la aceleración Horizontal Vertical Torsional 5 m/s< V < 40 m/s <0.15 m/s2 <0.25 m/s2 <0.12 m/s2 40 m/s < V <Vmax =54 m/s <0.3 m/s2 <0.5 m/s2 <0.25 m/s2

Tabla 5.4 Máximas desviaciones típicas de la aceleración del tablero.

Las aceleraciones torsionales se miden como aceleraciones verticales en el borde del

tablero, esto es, si se miden en rad/s deben multiplicarse por el semiancho del tablero

para transformarlas en aceleraciones verticales.

En las siguientes figuras se muestran los R.M.S. de movimientos y aceleraciones

laterales, verticales y de giro torsional resultantes del cálculo a lo largo del tablero


269

realizados teniendo en cuenta la variación del ángulo de ataque a lo largo del tablero por

efecto de la carga estáica de viento (Figura 5.20). Como se puede comprobar los valores

de R.M.S. cumplen las limitaciones de las condiciones de proyecto.

Figura 5.20. Desviaciones típicas de movimientos y aceleraciones a lo largo del tablero al

aumentar la velocidad del viento teniendo en cuenta la variación del ángulo de ataque debida a

la carga de viento estática.


270

5.7 REFERENCIAS

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Faculty of Engineering, London, Ontario, Canada.


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Náprstek & C. Fischer (eds); ITAM AS CR, Prague, Paper #279.

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turbulent wind: a new approach. Journal of Wind Engineering and Industrial

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function role in buffeting response of a bridge deck. Journal of Wind Engineering

and Industrial Aerodynamics vol:90 pp:2057-2072.

[8] Dipartimento de Meccanica. Politecnico de Milano (2003). Approfondimento del

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[10] Honshu-Shikoku Bridge Authority (HSBA) (1990). Wind resistant design code of

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[11] Honshu-Shikoku Bridge Authority (HSBA) and CRC Corporation (1995). Report

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[13] Jurado J. A. (2001) Análisis aeroelástico y de sensibilidad del fenómeno de flameo

en puentes soportados por cables. Tesis ETSICCP, Universidad de la Coruña.

[14] Katsuchi, H. (1997) An analytical study on flutter and buffeting of the Akashi-




[15] Kumarasena, T., (1989) Wind response prediction of long-span bridges. Thesis

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of Philosophy, The Johns Hopkins University, Baltimore, MD, USA.

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272

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progetto esecutivo dell’opera di attraversametnto. Requisiti e linee guida per lo

sviluppo della progettazione. GCG.F.05.03


[25] Sumitomo Heavy Industries, Ltd., Akashi Kaikyo Bridge and advanced

technology: dream becomes reality in the world’s longest suspension bridge.

http://www.sumitomo.gr.jp/english/discoveries/special/74_04.html

[26] Wirsching P. H., Paez T. L., Ortiz H., (1995) Random vibrations, John Wiley &

Sons, Inc.


http://www.sumitomo.gr.jp/english/discoveries/special/74_04.html

273

CAPÍTULO 6

MÉTODOS DE ANÁLISIS AEROELÁSTICO DE PUENTES

EN EL DOMINIO DEL TIEMPO

6.1 INTRODUCCIÓN

Los métodos de análisis más utilizados para estudiar las cargas dinámicas que produce

el viento en puentes de grandes vanos son los que trabajan en el dominio de la

frecuencia, como por ejemplo el método explicado en el capítulo anterior para el

análisis del fenómeno de bataneo. Sin embargo, con la potencia de cálculo que ofrecen

los ordenadores en la actualidad es viable realizar análisis aeroelásticos en el dominio

del tiempo. Este tipo de planteamiento resuelve el sistema de ecuaciones diferenciales

que define el fenómeno aeroelástico mediante la integración directa paso a paso. La

respuesta estructural se evalúa para una serie de incrementos de tiempo. Las ecuaciones

de movimiento se establecen al comienzo de cada intervalo y la respuesta del sistema

durante el intervalo se determina de forma aproximada a partir de una serie de hipótesis.

La gran ventaja que ofrecen los métodos de integración en el dominio del tiempo es que

permiten analizar las posibles no linealidades del problema aeroelástico ya que se

evalúan las propiedades al principio de cada intervalo de tiempo. Así por ejemplo se

puede definir sin dificultad el ángulo de ataque instantáneo que forma el tablero con la

dirección del viento en función del giro de torsión que ha resultado en el instante

anterior. De acuerdo con ese valor de ángulo se definen también las fuerzas

aerodinámicas para el siguiente intervalo de tiempo.

Capítulo 6 METODOS DE ANÁLISIS AEROELÁSTICO DE PUENTES EN EL DOMINIO DEL TIEMPO

274

La principal dificultad que se encuentra al intentar utilizar la integración directa en el

dominio del tiempo para analizar la respuesta dinámica que produce un viento

turbulento es la modelización de las fuerzas que dependen de la frecuencia. Es el caso

de las fuerzas aeroelásticas, o autoexcitadas por los movimientos del tablero, que se

encuentran definidas habitualmente por funciones de flameo dependientes de la

frecuencia. También aparece este problema al incorporar al análisis las fuerzas de

bataneo definidas mediante espectros de frecuencia.

Para resolver este problema de modelización de las fuerzas aeroelásticas se utilizan las

denominadas funciones indiciales, que dependen del tiempo. Estas funciones se

determinan a partir de las funciones de flameo y es frecuente utilizar para ello formas

exponenciales ajustando sus índices, por lo cual se denominan indiciales. Al igual que el

análisis en el dominio de la frecuencia el método supone que los movimientos de

oscilación son de pequeña amplitud, es decir sólo se puede estudiar de esta manera el

fenómeno del flameo en sus momentos iniciales. En los últimos años han aparecido

diversos trabajos en la aplicación de esta metodología como son los de Borri et al. [6],

Costa et al. [13], Scanlan et al. [41] a [46] y Caracoglia [7] a [9], Lazzari et al.[29] y

[30], Minh et al. [36], Zhang et al. [56] y de Chen et al. [10].

Otro posible método de llevar a cabo un análisis en el dominio del tiempo es modelar

las fuerzas de viento como cuasi estáticas con los correspondientes coeficientes

aerodinámicos, pero considerando el ángulo de ataque real que forma el flujo de viento

turbulento con el tablero en cada momento. Esto es válido cuando los torbellinos que

constituye el viento turbulento son de baja frecuencia y el valor de la frecuencia

reducida K=ωB/V resulta pequeño. En esa situación se supone que el flujo de viento se

adapta instantáneamente a la posición del tablero. Recientemente, Diana [18] y [19], y

Rocchi [38] han ideado un método denominado método de superposición de bandas en

el cual la acción del viento se descompone en diferentes rangos de frecuencia,

analizando las frecuencias bajas mediante este procedimiento, mientras que la parte de

respuesta que producen las componentes de viento de frecuencias altas se considera con

las expresiones de las fuerzas aeroelásticas y de bataneo en función de la frecuencia. El

análisis de la carga de viento turbulento como fuerzas cuasi estáticas conlleva la

aparición de fuerzas a frecuencias distintas de las que poseen las fluctuaciones de la


275

velocidad de viento. Como la fuerza estática depende del cuadrado de la velocidad, si

consideramos la velocidad total como suma de la velocidad media más las componentes

de fluctuación en cada frecuencia ωi, al elevar al cuadrado se obtienen términos de

segundo orden donde aparecen componentes con el doble de la frecuencia 2ωi de las

fluctuaciones y con la suma ωi+ωj o diferencia ωi-ωj entre dos frecuencias cualesquiera.

( )( ) ( ) ( )( )

Primer orden2

2

1 1

2

1 1 1

Segundo orden

sin( ) 2 sin( )

1 1 cos(2 ) cos ( ) cos ( )2

n n

i i i ii i

n n n

i i i j i j i ji i j i

V v t V V v t

v t v v t t

ω ω

ω ω ω ω ω

= =

= = = +

⎛ ⎞+ = + +⎜ ⎟⎝ ⎠

+ − + − − +

∑ ∑

∑ ∑ ∑

(6.1)

Las expresiones de las fuerzas aeroelásticas y de bataneo en función de la frecuencia

desprecian los términos que contienen productos cuadráticos de las componentes de la

turbulencia vi vj. Por el contrario sí pueden considerarse en la teoría cuasi estática que

trabaja en el dominio del tiempo.

En este capítulo se establecen primero las relaciones entre las funciones indiciales y las

funciones de flameo explicándose previamente la teoría de Theodorsen y la teoría de

Wagner para el flameo de una placa plana de las cuales se derivan. Se desarrolla en

profundidad la teoría cuasi estática así como el método de superposición de bandas. Por

último se muestra un ejemplo teórico trabajando con una placa plana y dos ejemplos de

puentes, en concreto el puente del estrecho de Akashi y el futuro puente del estrecho de

Messina.

6.2 TEORÍA DE THEODORSEN Y LAS FUNCIONES DE FLAMEO. La teoría de Theodorsen [53] resuelve el problema de un ala inmersa en un flujo

bidimensional (Figura 6.1) oscilando armónicamente alrededor de un eje que pasa por

su centro. Este perfil aerodinámico se desplaza a velocidad horizontal uniforme V desde

la posición de inicio hasta la posición que ocupe transcurrido un tiempo t. El perfil se

supone con una cuerda de longitud 2b y con ángulo de ataque infinitesimal α.


276

V

V

Figura 6.1. Movimiento de un perfil aerodinámico.

Se considera un tipo de movimiento con dos grados de libertad: una traslación vertical h

que provocaría flexión del ala y un giro de cabeceo α alrededor de un eje localizado a

una distancia ab de la mitad de la cuerda del ala. En la Figura 6.2 se muestran estos

movimientos considerando un perfil plano.

L

h

α V

c=2b b

ab

Eje elástico

M

Figura 6.2. Fuerzas aeroelásticas sobre la placa plana de Theodorsen.

Esta teoría supone además que los desplazamientos de la placa son de tipo oscilatorio

h=hoeiωt, α= αoeiωt , donde ho y αo son números complejos que determinan las

amplitudes y fases de cada oscilación, y ω es la frecuencia circular de oscilación.

Utilizando una variable de tiempo adimensional /Vt bτ = , los movimientos se escriben

de la forma ( )h h eikτ τ= 0 y ( )α τ α τ= 0eik , donde k b Vω= es la frecuencia reducida de

respuesta. Con esta notación y suponiendo pequeñas amplitudes de oscilación tales que

baste con considerar términos de primer orden, la fuerza aeroelástica de sustentación L y

el momento torsor M sobre la placa plana, según la teoría de Theodorsen resultan:


277

( ) ( )2 2 010 0 0 0 02

1 12 )2 2

ikhiL b V F iG kh a ik k a ik eb b

τπ ρ α α α α ⎫⎧ ⎛ ⎞⎡ ⎤= + + + − − − +⎨ ⎬⎜ ⎟⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎝ ⎠⎩ ⎭ (6.2)

( )( ) ( )

( )

2 2 1 10 0 02 2

22 0 1

0 0 02

2

12 8

ik

iM b V a F iG kh a ikb

h kk a a a ik eb

τ

π ρ α α

α α α

⎧ ⎡ ⎤= + + + + −⎨ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎩⎫⎛ ⎞− − + − + ⎬⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎭

(6.3)

Donde V es la velocidad media del viento incidente, ρ la densidad del aire y F y G son

respectivamente la parte real y la parte imaginaria de la función de Theodorsen

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )C k F k iG kH k

H k iH kK ik

K ik K ik= + =

+=

+1

2

12

02

1

0 1 (6.4)

siendo H y K respectivamente las funciones de Hänkel y las funciones de Bessel

modificadas. Las partes real ( )F k y la parte imaginaria ( )G k de C k( ) se representan en

la Figura 6.3.

Figura 6.3 Parte real F(k) e imaginaria G(k) de la función circulatoria de Theodorsen [53].

Los fenómenos aeroelásticos en tableros de puentes colgantes o atirantados se modelan

matemáticamente con las mismas ecuaciones que rigen el flameo de una placa plana.

Sin embargo la geometría con la que se diseñan las secciones de los tableros de puentes

no puede ser considerada una forma aerodinámica como las de una placa plana,

resultando imposible una formulación analítica completa. Por esto se recurre a expresar

las fuerzas aeroelásticas de forma lineal en función de los mismos dos movimientos

F(k) G(k)

k = ωB/(2V) k = ωB/(2V)


278

considerados en la teoría de Thedorsen, multiplicados por unos coeficientes llamados

coeficientes de flameo, en la terminología técnica inglesa “flutter derivatives”. El

modelo resultante, como se observa en la Figura 6.4, es por lo tanto bidimensional.

V

Ma α

h La

Figura 6.4 Grados de libertad, y fuerzas aeroelásticas para un modelo bidimensional..

Los coeficientes que multiplican a los grados de libertad h y α o a sus primeras

derivadas no se pueden obtener analíticamente, pero sí experimentalmente mediante

ensayos en túneles de viento, según explican Scanlan y Tomko [46] y en Scanlan y

Jones [44]. Las dos fuerzas son, la de elevación L y el momento de giro a torsión M, y

se definen mediante

2 * * 2 * 2 *1 2 3 4

2 2 * * 2 * 2 *1 2 3 4

12

12

a

a

h B hL V B KH KH K H K HV V B

h B hM V B KA KA K A K AV V B

αρ α

αρ α

⎛ ⎞= + + +⎜ ⎟

⎝ ⎠⎛ ⎞

= + + +⎜ ⎟⎝ ⎠

(6.5)

donde los parámetros **, ii AH son los coeficientes de flameo.

A diferencia de lo que sucede en la teoría de Theodorsen, en el estudio aeroelástico de

puentes de grandes vanos se utiliza la dimensión completa de la sección B=2b, y la

frecuencia reducida se expresa por tanto como / 2 / 2K B V b V kω ω= = = . También se

utiliza la variable tiempo sin adimensionalizar. Para poder comparar las fuerzas

aeroelásticas según la teoría de Theodorsen con la formulación propuesta por Scanlan y

obtener los coeficientes de flameo de la placa plana, se deben transformar las


279

ecuaciones de (6.5), expresándolas en función de las nuevas variables. Operando los

números complejos se llega a

2

22

2 2 2

22

1 4 12 1 22 2 2

1 42 12 4 2

1 1 1 1 1 2 12 2 2 2 2 2 4

1 122 4 8

h G BL V B F a FV K V

K a G hF a GK KK B

h G BM V B F a a a F aV K V

K a F

πρ π α

ππ α

πρ π α

π

⎧ ⎡ ⎤⎛ ⎞= + + + −⎨ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦⎩⎫⎡ ⎤ ⎪⎛ ⎞ ⎡ ⎤+ − − + − + ⎬⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ⎪⎣ ⎦ ⎭

⎧ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + − + − + + −⎨ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎩

⎛ ⎞+ + +⎜ ⎟⎝ ⎠

22 1 1 2

2 4 2 2 2K a ha GK a a GK

Bπα

⎫⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + − − + + ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎪⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎭

(6.6)

En estas expresiones las funciones F y G siguen evaluándose en k = K/2. Para el caso de

a = 0 como ocurre en los tableros de sección simétrica, los coeficientes de flameo de la

placa plana pueden obtenerse relacionando las expresiones (6.5) y (6.6), quedando

*1

2 FHKπ

= − *1 2

FAK

π=

*2 2

1 42

G FHK K K

π ⎛ ⎞= − + +⎜ ⎟⎝ ⎠

*2 2

12 4 4

G FAK K K

π ⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎝ ⎠

*3 2

2F GHK K

π ⎛ ⎞= − −⎜ ⎟⎝ ⎠

*3 22 4

F GAK K

π ⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

*4

2GHK

π ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

*4 2

GAK

π= − (6.7)


280

Para valores bajos de frecuencia reducida K el término 1/K puede despreciarse en

comparación con 1/K2. Las ecuaciones (6.7) quedan entonces simplificadas de la forma:

*1

2 FHKπ

= − *1 2

FAK

π=

*2 2

2GHK

π ⎛ ⎞≅ − ⎜ ⎟⎝ ⎠

*2 22

GAK

π ⎛ ⎞≅ ⎜ ⎟⎝ ⎠

*3 2

2FHK

π ⎛ ⎞≅ − ⎜ ⎟⎝ ⎠

*3 22

FAK

π ⎛ ⎞≅ ⎜ ⎟⎝ ⎠

*4

2GHK

π ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

*4 2

GAK

π= − (6.8)

Los coeficientes de flameo para una placa plana se obtienen analíticamente a través de

las expresiones (6.8) y suelen representarse gráficamente (Figura 6.5 y Figura 6.6) en

función de la velocidad de viento reducida V/nB, siendo n la frecuencia en Hz. Los

coeficientes de flameo de un puente se obtienen experimentalmente mediante ensayos

seccionales en túneles de viento y también se representan con el mismo tipo de gráficas.

El objeto de hacerlo así es comparar con facilidad la variación de cada coeficiente de

flameo con los valores ideales que tienen para la forma aerodinámica de la placa plana.


281

Figura 6.5 Funciones de flameo Hi* de la placa plana.

Figura 6.6 Funciones de flameo A i* de la placa plana.

V* = 2πV/(ωB) V* = 2πV/(ωB)

V* = 2πV/(ωB) V* = 2πV/(ωB)

V* = 2πV/(ωB) V* = 2πV/(ωB)

V* = 2πV/(ωB) V* = 2πV/(ωB)


282

Por último, en la aeroelasticidad de perfiles aerodinámicos no suele tener importancia el

movimiento lateral. Por el contrario cuando se estudia el comportamiento aeroelástico

de tableros de puentes este grado de libertad adquiere una mayor importancia en el

fenómeno. Atendiendo al criterio de signos de la Figura 6.7, la expresión matricial de

las fuerzas aeroelásticas por unidad de longitud teniendo encuenta los tres grados de

libertad queda de la siguiente manera:

* * * * * *

1 5 2 4 6 3* * * 2 2 * * *5 1 2 6 4 3* * 2 * * * 2 *5 1 2 6 4 3

1 1· ·2 2

al

a a

a

D P P BP p P P BP pL VKB H H BH h V K H H BH hM BA BA B A BA BA B A

ρ ρα α

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= = +⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎝ ⎠ ⎝ ⎠

f (6.9)

donde Pi*, Hi

*, Ai* con i = 1…6 son las funciones de flameo de Scanlan.

V

Ma α

h La

p

Da

Figura 6.7 Criterio de signos del convenio de Scanlan.

6.3 TEORÍA DE WAGNER Y LAS FUNCIONES INDICIALES. La teoría de Wagner [54] estudia el movimiento arbitrario de un ala de perfil delgado

simétrico en un flujo incompresible por medio de la solución al problema de un cambio

repentino en el ángulo de ataque partiendo de la posición horizontal y utiliza la función

de Heavyside:

0 0( )

0o

tt

tα

α<⎧

= ⎨ >⎩ (6.10)


283

El desplazamiento instantáneo debe considerarse desde la posición de sustentación nula

paralela al flujo hacia un valor finito del giro a torsión αo suficientemente pequeño para

que se pueda aplicar la aproximación de primer orden a todas las variables físicas. Con

estas condiciones, la sustentación L (Figura 6.8) media o estática se calcula como

212 LL V BCρ= (6.11)

L

h α M

V

B

h θ

D p

Figura 6.8 Cambio en el ángulo de ataque debido a la velocidad vertical.

Si el ángulo de ataque varía levemente y de forma lenta, se supone un estado cuasi

estacionario y la fuerza de sustentación puede aproximarse por el primer término del

desarrollo en serie de Taylor:

21 ˆ2 LL V BCα ρ α= (6.12)

en donde dˆd

LL

CCα

= . Si se produce un giro infinitesimal instantáneo de valor oα

aparecerá una fuerza de sustentación Lα que varía con el tiempo adimensional s =

2Vt/B y que tiende al valor de cuasi estacionario de (6.12). Para modelar esta fuerza no

estacionaria, Wagner [54] emplea una forma normalizada empleando la función

indicial de crecimiento de la sustentación ( )LΦ sα :

21 ˆ( ) ( )2 L o LL s V BC Φ sα αρ α= (6.13)


284

en donde la función indicial tiende a 1 para que tienda al valor estacionario. Esta

expresión se puede generalizar para un giro cualquiera partiendo de s = 0 mediante la

integral de convolución o de Duhamel, véase Bisplinghoff et al. [2]:

( )21 ˆ( ) ( ) '( )d2

s

L LL s V BC Φ sα αρ η α η η−∞

= −∫ (6.14)

en donde la notación (·)’ indica la derivada con respecto al tiempo adimensional s.

Aplicando a esta expresión el cambio de variable σ = s - η, se obtiene

( )2

0

1 ˆ( ) ( ) '( )d2 L LL s V BC Φ sα αρ σ α σ σ

∞= −∫ (6.15)

Integrándola por partes y teniendo en cuenta que ( 0) 0sα ≤ = se tiene la expresión de la

fuerza aeroelástica de sustentación que produce el giro:

( )2

0

1 ˆ( ) (0) ( ) '( ) ( )d2

s

L L LL s V BC Φ s Φ sα α αρ α σ α σ σ= + −∫ (6.16)

La expresión de la sustentación no estacionaria que proviene del movimiento vertical se

obtiene identificando el ángulo relativo θ entre el flujo y la placa debido a la velocidad

vertical h (Figura 6.8).

hV

θ = (6.17)

Siguiendo un procedimiento análogo al aplicado para la fuerza de sustentación que

produce el giro se obtiene la siguiente expresión para la fuerza de sustentación

producida por la velocidad vertical.

2

0

1 ( ) ( )ˆ( ) (0) '( ) d2

s

h L Lh Lhh s h sL s V BC Φ ΦV V

σρ σ σ⎛ ⎞−

= +⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ (6.18)


285

Para el caso de la sustentación debida al movimiento horizontal la velocidad del viento

efectiva es igual a V – p . Sustituyendo en (6.11) y despreciando los términos de

segundo orden p 2 queda

21 1 22 2p L LL V BC VBC pρ ρ= − (6.19)

La fuerza correspondiente a un escalón de velocidad lateral es por lo tanto

1( ) ( )2p L LpL s VBC pΦ sρ= − (6.20)

Nótese que en al pasar de (6.19) a (6.20) se ha incorporado el 2 a la función indicial. Por

ello esta función tiende a 2 cuando s tiende a infinito cumpliéndose que el valor de la

sustentación tienda al valor estacionario. Empleando la integral de convolución se

obtiene la expresión de la sustentación aeroelástica debida al movimiento lateral

2

0

1 ( ) ( )( ) (0) '( ) d2

s

p L Lp Lpp s p sL s V BC Φ ΦV V

σρ σ σ−⎛ ⎞= − +⎜ ⎟⎝ ⎠∫ (6.21)

Las fuerzas aeroelásticas de arrastre Da y momento Ma que producen el giro, la

velocidad vertical y la velocidad lateral pueden obtenerse de manera análoga a las

fuerzas anteriores (Scanlan [41] y Crawley [14]). Sumando la aportación de cada una de

ellas se obtienen las fuerzas aeroelásticas según la teoría de Wagner.

( )

( ) )

2 ( ) ( )1 ˆ · (0) '( ) d ˆ ˆ2

( ) ( )(0) '( ) d

(0) ( ) '( ) ( ) d

sD s D sa D Dp Dp

D D

ss sDh Dh

s

D s D s

C p s C p sD s V BC Φ ΦC V C V

h s h sΦ ΦV V

Φ s Φ sα α

σρ σ σ

σσ σ

α σ α σ σ

−∞

−∞

−∞

⎛ ⎛ ⎞−= − −⎜ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎝ ⎠⎝

⎛ ⎞−+ + ⎜ ⎟

⎝ ⎠

+ + −

∫

∫

∫

(6.22)


286

( )

( ) )

2 ( ) ( )1 ˆ · (0) '( ) d ˆ ˆ2

( ) ( )(0) '( ) d

(0) ( ) '( ) ( ) d

sL s L sa L Lp Lp

L L

ss sLh Lh

s

L s L s

C p s C p sL s V BC Φ ΦC V C V

h s h sΦ ΦV V

Φ s Φ sα α

σρ σ σ

σσ σ

α σ α σ σ

−∞

−∞

−∞

⎛ ⎛ ⎞−= − −⎜ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎝ ⎠⎝

⎛ ⎞−+ + ⎜ ⎟

⎝ ⎠

+ + + −

∫

∫

∫

(6.23)

( )

( ) )

2 2 ( ) ( )1 ˆ · (0) '( ) d ˆ ˆ2

( ) ( )(0) '( ) d

(0) ( ) '( ) ( ) d

sM s M sa M Mp Mp

M M

ss sMh Mh

s

M s M s

C p s C p sM s V B C Φ ΦC V C V

h s h sΦ ΦV V

Φ s Φ sα α

σρ σ σ

σσ σ

α σ α σ σ

−∞

−∞

−∞

⎛ ⎛ ⎞−= − −⎜ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎝ ⎠⎝

⎛ ⎞−+ + ⎜ ⎟

⎝ ⎠

+ + −

∫

∫

∫

(6.24)

La forma de las funciones indiciales ( )Φ s para una placa plana y sus características

limitantes fueron demostradas teóricamente por Wagner y cumplen que 5.0)0( =Φ y

1)(lim =∞→

sΦs

. Sin embargo )(sΦ no puede expresarse mediante funciones conocidas y

deben buscarse aproximaciones como la utilizada por Garrick [21] que presentó en 1938

la siguiente expresión racional

2( ) ( )4

sΦ s ss

ψ +≅ =

+ (6.25)

Otro tipo de funciones son las propuestas por Jones [24] [25]:

0.0455 0.3( ) ( ) 1 0.165 0.335s sΦ s s e eφ − −≅ = − − (6.26)

Estas dos funciones y sus derivadas se emplean en las expresiones (6.22) a (6.24). En la

Figura 6.9 se representan las funciones de Jones )(sφ y Garrick )(sψ .


287

Figura 6.9 Funciones indiciales aproximadas de Jones )(sφ y Garrick )(sψ .

La fórmula de Jones puede generalizarse para cualquier tipo de perfil, como la sección

de un tablero de puente, añadiendo más términos exponenciales y un término

estacionario ao para representar:

1

( ) jn

b so j

j

Φ s a a e−

=

= − ∑ (6.27)

Las funciones indiciales que hacen referencia al movimiento vertical h y al giro α están

normalizadas para que a tiempo infinito la carga de viento sea la estática. Con esta

condición, analizando las expresiones (6.22) a (6.24) se deduce que a0,Dh, a0,Lh, a0,Mh,

a0,Dα, a0,Lα y a0,Mα son iguales a 1 mientras que a0,Lp, a0,Mp, a0,Dp deben tomar valor 2.

6.4 OBTENCIÓN DE LAS FUNCIONES INDICIALES A PARTIR

DE FUNCIONES DE FLAMEO

Supóngase una placa plana con un movimiento armónico α = α 0eiks=α 0eiωt.

Sustituyendo en (6.16) se obtiene la siguiente expresión (Scanlan et al [41]):

( ) ( )2 i i 2 i0 00

1 1ˆ ˆ(0) '( ) e d e (0) '( ) e2 2

s k ks ksL L L L L LL V BC Φ Φ V BC Φ Φ kσ

α α α α αρ σ σ α ρ α−= + = +∫(6.28)

)(sφ )(sψ


288

en donde '( )Φ k es la transformada de Fourier de '( )Φ σ . El valor de la expresión entre

paréntesis se puede separar en su parte real y su parte imaginaria :

'( ) (0) ( ) i ( )L L L LΦ k Φ F k G kα α α α+ = + (6.29)

Por otro lado, tomando la parte de la sustentación que depende del movimiento torsional

en las expresiones de Scanlan (6.5) y sustituyendo α = α 0 eiωt queda

( )2 2 * 2 * i3 2 0

1 i e2

tL V B K H K H ωα ρ α= + (6.30)

Igualando las expresiones (6.28) y (6.30) se obtiene la ecuación que relaciona las

funciones indiciales de la sustentación asociadas al giro con las funciones de flameo

correspondientes.

( ) ( )2 2* *3 22 i 2

'( ) (0) ( ) i ( ) ˆL L L LL

k H k HΦ k Φ F k G k

Cα α α α

++ = + = (6.31)

De manera análoga pueden obtenerse las restantes relaciones entre las funciones

indiciales y las funciones de flameo que resultan:

( ) ( ) ( )* *4 12 2 i 2

' ( ) (0) ( ) i ( )Dp Dp Dp DpD

k P k P kΦ k Φ F k G k

C

⎡ ⎤−⎣ ⎦+ = + = −

( ) ( ) ( )* *5 62 2 i 2

' ( ) (0) ( ) i ( ) ˆDh Dh Dh DhD


C

⎡ ⎤−⎣ ⎦+ = + =

( ) ( ) ( )2 * *3 22 2 i 2

' ( ) (0) ( ) i ( ) ˆD D D DD


Cα α α α

⎡ ⎤+⎣ ⎦+ = + =


289

( ) ( ) ( )* *6 52 2 i 2

' ( ) (0) ( ) i ( )Lv Lv Lv LvL

k H k H kΦ k Φ F k G k

C

⎡ ⎤−⎣ ⎦+ = + =

( ) ( ) ( )* *1 42 2 i 2

' ( ) (0) ( ) i ( ) ˆLh Lh Lh LhL


C

⎡ ⎤−⎣ ⎦+ = + = −

( ) ( ) ( )2 * *3 22 2 i 2

' ( ) (0) ( ) i ( ) ˆL L L LL


Cα α α α

⎡ ⎤+⎣ ⎦+ = + = −

( ) ( ) ( )* *6 52 2 i 2

' ( ) (0) ( ) i ( )Mp Mp Mp MpM

k A k A kΦ k Φ F k G k

C

⎡ ⎤−⎣ ⎦+ = + = −

( ) ( ) ( )* *1 42 2 i 2

' ( ) (0) ( ) i ( ) ˆMh Mh Mh MhM


C

⎡ ⎤−⎣ ⎦+ = + =

( ) ( ) ( )2 * *3 22 2 i 2

' ( ) (0) ( ) i ( ) ˆM M M MM


Cα α α α

⎡ ⎤+⎣ ⎦+ = + =

(6.32)

6.4.1 Método de mínimos cuadrados no lineales

Habitualmente se emplean las series de funciones exponenciales 1

( ) jn

b so j

j

Φ s a a e−

=

= − ∑

como funciones indiciales ajustando los parámetros aj y bj para que se cumpla la

equivalencia con las funciones de flameo del apartado anterior. Introduciendo este tipo

de funciones indiciales en la ecuación

'( ) (0) ( ) i ( )Φ k Φ F k G k+ = + (6.33)

se obtienen las expresiones de F y G :

2

2 21

2 21

( )

( )

nj j

o jj j

nj j

j j

a bF k a a

b k

a bG k k

b k

=

=

⎛ ⎞= + − +⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠

⎛ ⎞= − ⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠

∑

∑ (6.34)


290

La identificación de aj y bj en estas funciones modelo puede hacerse minimizando el

error cuadrático. Un ejemplo de los residuos a minimizar mediante este procedimiento

sería:

2 2* *

2 1 4

1 1

( ) (2 ) ( ) (2 )min min ˆ ˆ2 2

M MLw l l Lw l l

ll l l lL L

F k H k G k H kRk kC C= =

⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎡ ⎤−⎪ ⎪= − + −⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎪ ⎪⎩ ⎭

∑ ∑ (6.35)

donde l=1,...,M son los puntos en que se conocen las funciones de flameo que no tienen

por qué estar equiespaciados. La minimización de esta función de error puede realizarse

mediante métodos de optimización incondicionada como el método de Gauss-Newton

(Hernández [23], Sen A. y Srivastava [48] y Gallant [20]). En el presente trabajo se ha

empleado el método de Gauss-Newton con el algoritmo de Levenberg-Marquardt [31]

[32].

6.4.2 Método de integración directa Otra manera de obtener las funciones ( )Φ s es llevando a cabo la transformada de

Fourier inversa de '( )Φ k mediante integración numérica directa de su expresión

relacionada con las funciones de flameo (6.32). Por ejemplo para obtener '( )MΦ sα hay

que efectuar la siguiente integral

( ) ( ) ( )2 * *3 2i i

0 0

2 2 i 21 1'( ) '( ) e d (0) e dˆks ks

M M MM

k A k A kΦ s Φ k k Φ k

Cα α απ π∞ ∞ ⎛ ⎞⎡ ⎤+⎣ ⎦⎜ ⎟= = −

⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ ∫ (6.36)

Para llevar a cabo numéricamente la integración que supone realizar la transformada

inversa de Fourier se ha empleado la regla del trapecio corrigiendo posteriormente el

error que produce el fenómeno de Gibbs. Para corregir este error, en primer lugar se

obtiene una función triangular mediante la transformada inversa y se compara con su

expresión analítica (Figura 6.11 y Figura 6.11). La función triangular analítica vale 1

cuando el tiempo adimensional s = 0 y es nula cuando s es igual a la longitud total S de

la función indicial.


291

( )i i2 0

1 1( ) 1 1 e i e dSk sksTri s kS kS Skπ

∞ −⎛ ⎞= − = − −⎜ ⎟⎝ ⎠ ∫ (6.37)

Figura 6.10 Función triangular exacta y aproximada mediante transformada inversa de Fourier.

Figura 6.11 Detalle de función triangular exacta y aproximada mediante transformada inversa

de Fourier.

Se calcula el error entre la aproximación de la función triangular y su expresión

analítica, y se utiliza este error para corregir el resultado de la función ( )Φ s (6.36).

Una vez que se ha paliado el fenómeno de Gibbs mediante este procedimiento, se

realiza un suavizado calculando la función '( )MΦ sα definitiva como la media de las

Función triangular Tri(s)

Aproximación

S=350

Función triangular Tri(s)

Aproximación

Tri(s

)

Tiempo adimensional s

Tri(s

)

Tiempo adimensional s


292

envolventes superior e inferior. En la Figura 6.12 se representa la función obtenida

integrando con la regla del trapecio junto con la envolvente superior, la inferior y la

media de ambas que queda como función indicial definitiva.

Figura 6.12 Corrección de la función indicial calculada mediante transformada inversa.

6.4.3 Funciones indiciales de la placa plana Mediante el procedimiento de mínimos cuadrados, se han obtenido las funciones

indiciales de la placa plana a partir de las 8 funciones de flameo asociadas a los grados

de libertad vertical y giro torsional. Los datos de las funciones empleadas son los

valores para 100 velocidades reducidas comprendidas entre 0 y 30. Las funciones

indiciales obtenidas fueron

- - Función corregida con el error de la triangular

···· Envolvente superior ···· Envolvente inferior Función corregida y suavizada

s


293

Φ Lh = 1 – 0.18203 e-0.059002s – 0.29293 e-0.27179s (6.38)

Φ Lα = 1 – 0.16204 e-0.053468s – 0.30367 e-0.24570s (6.39)

Φ Mh = 1 – 0.18203 e-0.059002s – 0.29293 e-0.27179s (6.40)

Φ Mα = 1 – 0.16204 e-0.053468s – 0. 30367 e-0.24570s (6.41)

Estas funciones se representan en la Figura 6.13.

Figura 6.13 Funciones indiciales obtenidas a partir de las funciones de flameo de la placa plana

(ecuaciones (6.4), (6.8) y Figura 6.6).

Φ Lh Φ Lα

Φ Mh Φ Mα

s s

s s


294

Figura 6.14 Funciones de flameo de la placa plana analíticas — comparadas con las obtenidas a

partir de las funciones indiciales exponenciales ···· (6.38) a (6.41).

∞ 0.31 0.16 0.10 k=π/V*

∞ 0.31 0.16 0.10 k=π/V*

∞ 0.31 0.16 0.10 k=π/V*

∞ 0.31 0.16 0.10 k=π/V*

∞ 0.31 0.16 0.10 k=π/V*

∞ 0.31 0.16 0.10 k=π/V*

∞ 0.31 0.16 0.10 k=π/V*

∞ 0.31 0.16 0.10 k=π/V*

V*=2πV/Bω V*=2πV/Bω





295

Al representar en la Figura 6.14 las funciones de flameo originales junto con sus valores

obtenidos a partir de las funciones indiciales obtenidas mediante mínimos cuadrados se

observa una buena concordancia. Sin embargo, si en lugar de intentar ajustar las

funciones de flameo para valores de velocidad reducida entre 0 y 30 se emplea un rango

mayor, la diferencia entre la expresión aproximada y la función de flameo es mayor

como se ve en la Figura 6.14. Por lo tanto las funciones indiciales exponenciales ajustan

mal las frecuencias reducidas bajas. Si se obtienen los valores de las funciones ( )Φ s

mediante transformada de Fourier inversa esto no sucede.

Figura 6.15 Funciones de flameo de la placa plana analíticas — comparadas con las obtenidas a

partir de las funciones indiciales exponenciales ····.

Para comparar la calidad las funciones indiciales obtenidas con aproximación

exponencial y las obtenidas mediante integración directa, se han calculado el momento

aeroelástico que produce un movimiento armónico mediante la integral de convolución:

( ) *min( , ) 2 *2302 2

( ) 1(0) '( ) ' ( ) ( )d ˆ1 ˆ2

s slim

M MM

M

M t BAΦ s Φ s K K AVCV B C

αα αα σ α σ σ α α

ρ

⎛ ⎞= + − = +⎜ ⎟

⎝ ⎠∫

(6.42)

∞ 0.31 0.16 0.10 k=π/V*

∞ 0.0031 0.0016 0.0010

k=π/V*



296

Figura 6.16 Función indicial 'Φ Mα de la placa plana (izquierda) y el error relativo de las

funciónes indiciales exponenciales (derecha).

Dicho momento se ha calculado para un valor del desplazamiento impuesto α(t) =

sin(2·π·0.003·t) (rad), un ancho de placa B = 30 m y una velocidad de viento V = 8 m/s.

La integral de convolución teóricamente debe realizarse para todo el historial de tiempo,

sin embargo, en la práctica se lleva a cabo sólo hasta un límite denominado slim a partir

del cual se considera que la aportación al valor de la integral es despreciable. Para

calcular dicho límite se ha seguido la recomendación de Borri et Al [6] interrumpiendo

la integración cuando el valor de la función 'MΦ α es casi nulo (1e-4). Se han simulado

20 ciclos con mil puntos por ciclo de los cuales se muestra el último en la Figura 6.17.

Puede apreciarse que las funciones indiciales obtenidas mediante la transformada

inversa de Fourier discreta proporcionan valores de fuerzas aeroelásticas mucho mejores

que las funciones indiciales exponenciales. En concreto, para el ejemplo expuesto el

error en la amplitud de las funciones exponenciales es del 6% mientras que las

funciones indiciales obtenidas por transformada inversa exceden solo 0.7% a las fuerzas

aeroelásticas exactas.

Error %

s s

Φ ’Mα

Integración directa

Exponenciales


297

Figura 6.17. Momentos aeroelásticos obtenidos para la placa plana considerando las funciones

de flameo A2* y A3

* y giro impuesto a(t) que los causa.

6.4.4 Funciones indiciales de la sección de un tablero de puente Los dos métodos para la obtención de funciones indiciales se han empleado también con

las funciones de flameo A2* y A3* del puente sobre el estrecho de Messina. Estas

funciones se muestran en la tabla 6.1 y se representan en la Figura 6.18 según el

convenio de signos de Zasso [55] cuya equivalencia con el convenio de Scanlan es la

siguiente:

* ** *22 2 2

a VA aK π

⎛ ⎞= − = − ⎜ ⎟

⎝ ⎠

2* ** *33 32 2

a VA aK π

⎛ ⎞= = ⎜ ⎟

⎝ ⎠ (6.43)

Para obtener los puntos de integración de la transformada de Fourier inversa, se han

interpolado linealmente estas funciones. Como se observa en la expresión (6.32)

también es necesario conocer la derivada del coeficiente de momento de la sección que

es ˆMC =0.175.

Fuerzas aeroelásticas

α(t)

-· - Mα obtenido con funciones de flameo.

- - Mα obtenido con integración directa

···· Mα obtenido con

funciones exponenciales.

α (deg) ;

2 2

( )1 ˆ2 M

M t

V B Cα

ρ


298

Figura 6.18. Funciones de flameo a2* y a3* representadas según el convenio de Zasso.

V* a2* a3* V* a2* a3* 0 0 0 9.76 -0.2315 0.164549

2.69 0 0.141833 10.75 -0.2241 0.1549932.97 -0.1157 0.105995 13.02 -0.2285 0.1703733.02 -0.125 0.100722 19.39 -0.2244 0.1582093.14 -0.1328 0.089198 23.4 -0.2345 0.1708893.5 -0.1437 0.061557 24.34 -0.2278 0.161982

3.87 -0.1691 0.073865 29.58 -0.2241 0.1672084.72 -0.1806 0.101909 48.58 -0.2166 0.1664394.91 -0.2018 0.108174 58.87 -0.2141 0.175 5.94 -0.2107 0.121836 59.48 -0.2128 0.175 8.11 -0.217 0.163293 12250000 -0.2128 0.175 Tabla 6.1. Valores de las funciones de flameo a2* y a3*.

Empleando el método de mínimos cuadrados no lineales con las funciones de flameo a

velocidades reducidas entre 0 y 60, se ha obtenido la siguiente función indicial

exponencial:

-0.139098 -1.879454=1-0.036735e -4.305749es sMαφ (6.44)

Las fuerzas aeroelásticas obtenidas para el mismo movimiento impuesto, velocidad de

viento V y ancho B que en el ejemplo anterior se muestran en la Figura 6.19. Se observa

que el error en las fuerzas aeroelásticas obtenidas mediante funciones indiciales es

bastante alto tanto en fase como en módulo. No obstante, el error que se produce cuando

se emplean las funciones indiciales exponenciales es muy superior al de las fuerzas

aeroelásticas calculadas con las funciones indiciales obtenidas mediante integración

directa.


299

Figura 6.19. Fuerzas aeroelásticas de la placa plana considerando las funciones de flameo A2

* y

A3* del tablero del puente de Messina.

6.5 RESPUESTA EN EL TIEMPO MEDIANTE LA

TRANSFORMADA INVERSA DE FOURIER (IFTR).

Un análisis espectral en el dominio de la frecuencia, como el explicado en el capítulo

para el fenómeno del bataneo en puentes, trabaja con la matriz espectral de las

fluctuaciones de velocidad del viento Swb. Partiendo de dichos espectros se construyen

las matrices espectrales de las fuerzas de bataneo Sfb y con ellas la respuesta del sistema

también en forma de funciones de densidad espectral Su como puede verse en las

expresiones (5.71) y (5.72). Este planteamiento no tiene como objetivo determinar

exáctamente los valores de los movimientos del puente en cada instante sino

simplemente cuantificar la desviación típica de los mismos respecto a los valores

medios que producen las cargas estáticas. De hecho las funciones de densidad

espectrales no proporcionan los ángulos de fase de cada componente armónica por lo

que no se puede construir una función temporal (Figura 6.20).


α(t)

···· Mα obtenido con funciones exponenciales.

-· - Mα

obtenido con funciones de flameo.

- - Mα

obtenido con integración directa.

α (deg) ;

2 2

( )1 ˆ2 M

M t

V B Cα

ρ


300

Figura 6.20 La transformada inversa de Fourier (IFT) de la función de densidad espectral Su no

es la señal en el dominio del tiempo.

Una posibilidad de obtener funciones temporales de la respuesta en movimientos del

puente es trabajar a partir de una señal en el tiempo que constituya la velocidad de

viento turbulento { }( ) ( ) Tb v vu t w t=w , aplicar la transformada de Fourier para obtener

las fluctuaciones de velocidad del viento en el dominio de la frecuencia ( )b ωw analizar

el sistema en el dominio de la frecuencia definiendo las fuerzas de bataneo ( )b ωf y

resolver

( ) · ( )· ( )Tbω ω ω=u Φ H Φ f (6.45)

Obteniéndose los movimientos en el dominio de la frecuencia. La transformada inversa

discreta de Fourier de ( )ωu (IFT) proporciona la respuesta en el tiempo de los

movimientos del puente ( )tu . Al llevar a cabo la transformada discreta de Fourier de

una función temporal, se está considerando implícitamente que la función es periódica,

con período el tiempo total en el que se encuentra definida. Por tanto al trabajar con la

transformada de Fourier se está considerando una situación estacionaria en donde tanto

la excitación definida por la fluctuación de velocidad de viento, como la respuesta del

sistema se repite periódicamente de forma indefinida.

El método también está suponiendo que las propiedades estructurales como la matriz de

rigidez o de amortiguamiento permanecen invariables en el tiempo. Tampoco se puede

considerar la no linealidad que supone la variación del ángulo de ataque en cada instante

Su

ω t

u


301

de tiempo y su influencia en los coeficientes aerodinámicos y en las funciones de

flameo.

A pesar de estas hipótesis consideradas también en el capítulo 5 para el análisis del

bataneo, este es un método válido para obtener la respuesta en el tiempo frente al

fenómeno del bataneo siempre que se esté trabajando con una velocidad media de

viento inferior a la crítica de flameo.

En la Figura 6.21 se muestra la representación de un impulso periódico, que aparece a

intervalos iguales. La respuesta a cada aparición de esta acción se representa con color

distinto para cada una de ellas en la Figura 6.22. Seguidamente la Figura 6.23 muestra

la respuesta completa de todos los impulsos contenidos en ese período de tiempo.

Figura 6.21. Impulsos periódicos separados por una zona de calma..

Figura 6.22. Respuestas amortiguadas de los impulso dibujadas superpuestas.

Figura 6.23. Respuesta amortiguada total resultante de todos los impulsos.

Esto es así cuando el amortiguamiento total efectivo formado por el estructural y el que

añade la carga de viento es positivo. En la situación de inestabilidad por flameo el

amortiguamiento efectivo pasa a ser negativo por lo que las oscilaciones no desaparecen

u(t)

u(t)

u(t)

t

t

t


302

después del primer ciclo y la respuesta se suma a la que ocasiona el siguiente pulso de

carga como se aprecia en la Figura 6.25. Este efecto hace que la respuesta temporal a

velocidades superiores a la de flameo no sea la correcta.

Figura 6.24. Respuestas divergentes de los impulsos debujadas superpuestas.

Figura 6.25. Respuesta total resultante de todos los impulsos.

6.6 FORMULACIÓN CUASI ESTÁTICA (QS)

La formulación cuasi estática establece que la fuerza que ejerce el viento sobre el

tablero se puede expresar en función de coeficientes aerodinámicos que dependen del

ángulo que forma el tablero con el flujo de viento turbulento en cada instante,

denominado ángulo de ataque dinámico. Véase Diana et al. [16], Lazzari et Al [28] y

Mendes et al. [34]. El ángulo de ataque dinámico αd se define como suma del giro del

tablero que provoca la carga estática de viento θst, el giro instantáneo alrededor de la

posición de equilibrio que provocan los movimientos oscilatorios del tablero θ y el

ángulo de incidencia del flujo de viento ψ , considerando la velocidad de viento

aparente, es decir, la velocidad relativa entre el viento turbulento que contiene

fluctuaciones de velocidad uv y wv y la velocidad de oscilación del tablero

{ }Tv w θ=u .

d stα θ θ ψ= + + (6.46)

t

t

u(t)

u(t)


303

V

Fz

Fθ θst

vv

wv

y

z 1 1 1, ,y zB B B θθ θ θ

ψ

Fz’

Fy’ ψ

Vr

z

y Fy

θ

Figura 6.26. Criterio de signos para la teoría cuasi estática.

Las fuerzas sobre el tablero se expresan entonces:

( )2'

12y ry D dF V BCρ α= ; ( )2

'12z rz L dF V BCρ α= ; ( )21

2 r M dF V BCθ θρ α= . (6.47)

siendo ρ la densidad del aire, B el ancho del tablero, CD, CL y CM los coeficientes

aerodinámicos de arrastre sustentación y momento. Vr la velocidad de viento resultante:

( ) ( )2221,ri v v iV V v y w B zθ= + − + − − (6.48)

en donde V es la velocidad media del viento, vv es la fluctuación del viento en la misma

dirección que la media, wv es la fluctuación en la dirección perpendicular, y , z y θ

son las velocidades de los movimientos del tablero en los tres grados de libertad, y B1,i

es un coeficiente corrector del ancho del tablero B que varía con la velocidad reducida y

que sirve para tener en cuenta la separación entre el centro de giro y el centro

geométrico de la sección. Este coeficiente corrector se puede obtener a partir de las

funciones de flameo (Rocchi [38]) mediante:

* * *2 2 2

1, 1, 1,* * *1 1 1

; ;y zp h aB B B B B Bp h aθ= = = . (6.49)


304

Aparte, es necesario conocer el ángulo ψ para poder proyectar las fuerzas sobre los ejes

globales:

1,atan v ii

v

w B zV v y

θψ

⎛ ⎞− −= ⎜ ⎟⎜ ⎟+ −⎝ ⎠

(6.50)

Una vez que se tienen las fuerzas en los ejes del viento efectivo, se pueden proyectar

sobre los ejes de equilibrio estático de forma que las fuerzas de arrastre, sustentación y

momento quedan como:

' 'cos( ) sin( )y y y z yF F Fψ ψ= −

' 'sin( ) cos( )z y z z zF F Fψ ψ= + (6.51)

6.6.1 Deducción de la formulación de Scanlan a partir de la teoría

cuasi estática.

Aproximando los coeficientes aerodinámicos por el primer término de su desarrollo en

serie de Taylor alrededor de la posición de equilibrio inicial αd0 se obtiene:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0ˆ ˆ·D d D d D d y D D yC C C C Cα α α θ ψ θ ψ+ + = + +

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0ˆ ˆ·L d L d L d z L L zC C C C Cα α α θ ψ θ ψ+ + = + + (6.52)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0ˆ ˆ·M d M d M d M MC C C C Cθ θα α α θ ψ θ ψ+ + = + +

( )22 2 22 2 1 2 2riv yV V v y V Vv Vy VV V

⎛ ⎞+ − + − = + −⎜ ⎟⎝ ⎠

(6.53)

1, 1,i ii

w B z w B zV v y V

θ θψ

− − − −+ −

, cos(ψi) = 1, sin(ψi) =ψi (6.54)

donde C D = dCD(α)/dα, C L = dCL(α)/dα, C M = dCM(α)/dα, C D0 = C D (0), C L0 = C L

(0), C M0 = C M (0). Empleando estas simplificaciones en (6.47) y (6.51) se llega a


305

( )( )

( )( )

20 0

20 0

1 ˆ1 2 22

1 ˆ1 2 22

y D D y

L L y y

v yF V B C CV V

v yV B C CV V

ρ θ ψ

ρ θ ψ ψ

⎛ ⎞= + − + +⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞− + − + +⎜ ⎟⎝ ⎠

( )( )

( )( )

20 0

20 0

1 ˆ1 2 22

1 ˆ1 2 22

z D D z y

L L z

v yF V B C CV V

v yV B C CV V

ρ θ ψ ψ

ρ θ ψ

⎛ ⎞= + − + +⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞+ + − + +⎜ ⎟⎝ ⎠

(6.55)

( )( )20 0

1 ˆ1 2 22 M M

v yF V B C CV Vθ θρ θ ψ⎛ ⎞= + − + +⎜ ⎟

⎝ ⎠

Finalmente, despreciando los términos de segundo orden (2Vv - 2Vy ) C D0 (θ + ψy) 0,

(2Vv - 2Vy) C L0 (θ + ψy) 0, (2Vv - 2Vy ) CL0 ψy 0 y C L0 (θ + ψy) ψy 0, las

expresiones de la fuerza de arrastre debidas a la acción del viento quedan como

( )20 0 0

1 ˆ1 2 22y D L y D y

v yF V B C C CV V

ρ ψ θ ψ⎛ ⎞⎛ ⎞+ − − + + =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

( )20 0 0 0 0 0

1 ˆ ˆ2 22 D D D D L D y

v yV B C C C C C CV V

ρ θ ψ⎛ ⎞= + − + − −⎜ ⎟⎝ ⎠

( ) ( ) ( )1,20 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 ˆ ˆ ˆ ˆ2 22

yD D L D L D D D D L

Bz y v wV B C C C C C C C C C CV V V V V

θρ θ

⎛ ⎞− − − − + − + + −⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠(6.56)

Para las fuerzas de sustentación y momento se opera de manera análoga, quedando las

expresiones cuasi estáticas de las tres fuerzas debidas al viento como

( ) ( ) ( )1,20 0 0 0 0 0 0 0 0 0

EstáticaAeroelástica Bataneo

1 ˆ ˆ ˆ ˆ2 22

yy D D L D L D D D D L

Bz y v wF V B C C C C C C C C C CV V V V V

θρ θ

⎛ ⎞⎜ ⎟− − − − + − + + −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

( ) ( ) ( )1,20 0 0 0 0 0 0 0 0 0


1 ˆ ˆ ˆ ˆ2 22

zz L L D L D L L L L D

Bz y v wF V B C C C C C C C C C CV V V V V

θρ θ

⎛ ⎞⎜ ⎟− + − + + − + + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

1,2 20 0 0 0 0 0 0


1 ˆ ˆ ˆ ˆ2 22 M M M M M M M

Bz y v wF V B C C C C C C CV V V V V

θθ

θρ θ

⎛ ⎞⎜ ⎟− − + − + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

(6.57)


306

En las ecuaciones (6.57) se puede distinguir la parte estática de la fuerza del viento, la

parte aeroelástica o debida al movimiento del tablero, y la parte de bataneo debida a las

rachas de viento. Además se pueden comparar directamente con las expresiones de las

fuerzas de la teoría de Scanlan, que según el convenio del Politécnico de Milán de la

Figura 6.27 (Zasso [55]) eran:

( )

( )

2 * * * * * *, 1 2 3 4 5 6*2 *2

2 * * * * * *, 1 2 3 4 5 6*2 *2

12 2 2

12 2 2

ae y

ae z

a

z z y yF V B p p B p p p pV V B V BV V

z z y yF V B h h B h h h hV V B V BV V

F

ω ω

ω ω

θ π πρ θ

θ π πρ θ

⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − + + − +⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦

⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − + + − +⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦

( )2 2 * * * * * *, 1 2 3 4 5 6*2 *2

12 2 2e

z z y yV B a a B a a a aV V B V BV Vθ

ω ω

θ π πρ θ⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − + + − +⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦(6.58)

2, , ,

2, , ,

2 2, , ,

121212

b y y v y w

b z z v z w

b v w

v wF V BV Vv wF V BV V

v wF V BV Vθ θ θ

ρ χ χ

ρ χ χ

ρ χ χ

⎡ ⎤= +⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤= +⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤= +⎢ ⎥⎣ ⎦

(6.59)

V z Fz

Fθ θ

Fy

y

Figura 6.27. Fuerzas aeroelásticas sobre el tablero del puente según el Politécnico de Milán.

De esta manera las equivalencias entre una y otra teoría serían las siguientes:


307

( )*1 0 0

ˆD Lp C C= − ( ) 1,*

2 0 0ˆ y

D L

Bp C C

B= − *

3 0ˆ

Dp C= *5 0

ˆ2 Dp C=

( )*1 0 0

ˆL Dh C C= + ( ) 1,*

2 0 0ˆ z

L D

Bh C C

B= + *

3 0ˆ

Lh C= *5 02 Lh C=

*1 0

ˆMa C= 1,*

2 0ˆ

M

Ba C

Bθ= *

3 0ˆ

Ma C= *5 02 Ma C=

(6.60)

, 02y v DCχ = ( ), 0 0ˆ

y w D LC Cχ = −

, 02z v LCχ = ( ), 0 0ˆ

z w L DC Cχ = +

, 02v MCθχ = , 0ˆ

w MCθχ =

(6.61)

En Scanlan [42], Lazzari [30] y Singh [51] se muestran expresiones de la teoría cuasi

estática linealizada más simplificadas que las que se han demostrado anteriormente:

* 01

2 DCP

K= − * 0 0

2

ˆD LC CP

K−

= − * 03 2

ˆDCP

K= * 0 0

5

ˆD LC CP

K−

=

* 0 01

ˆL DC CH

K+

= − * 0 02

ˆL DC CH

K+

= * 03 2

ˆLCH

K= − * 0

52 LC

HK

=

* 01

ˆMCAK

= * 02

ˆMCAK

= − * 03 2

ˆMCA

K= * 0

52 MC

AK

= −

(6.62)

Como se deduce de las expresiones (6.61), la aproximación cuasi estática de las

funciones de flameo es constante cuando se emplea el convenio de Zasso. Por el

contrario, cuando el convenio empleado es el de Scanlan, la forma cuasi estática de las

funciones de flameo es lineal respecto a la velocidad reducida V* = 2π/K con ordenada

nula en V* = 0 excepto para las funciones P3*, H3

*, y A3*. Para estas tres funciones la

variación con respecto a la velocidad reducida V* = V/fB es cuadrática.


308

Cuando los métodos experimentales de obtención de funciones de flameo no permiten

obtener valores de los mismos para todas las velocidades reducidas necesarias, se

extrapolan tendiendo hacia los valores de la aproximación cuasi estática. La teoría cuasi

estática se acepta cuando la frecuencia del movimiento del tablero ft con respecto a la

velocidad del viento es muy baja, esto es, para velocidades reducidas V*=V/ftB altas o

frecuencias reducidas K = 2π ftB/V bajas. En tales circunstancias, dada la alta velocidad

relativa del viento el fluido es capaz de adaptarse instantáneamente a la posición del

tablero de forma que el flujo se puede considerar estacionario. El tiempo que tarda en

atravesar el ancho del tablero B una partícula de viento con velocidad V, dado por B/V,

es mucho menor que el ciclo del movimiento del tablero.

Si se atiende a las fuerzas de bataneo para unos torbellinos de frecuencia fb la longitud

de onda o escala de los torbellinos λ=V/fb es mucho mayor que el ancho B del tablero.

En ese caso el torbellino afecta a todo el ancho del tablero casi simultáneamente. Por el

contrario, cuando la frecuencia es mayor y, por consiguiente, la longitud de onda menor

las variaciones en la velocidad del viento no alcanzan simultáneamente a todo el ancho

del tablero, con lo que la formulación cuasi estática deja de ser aplicable.

Por otra parte, en las expresiones de las fuerzas aeroelásticas cuasi estáticas no aparecen

términos para llevar a cabo la equivalencia con las funciones de flameo con índices 4 y

6. La explicación a esta ausencia es que estos términos provienen de las fuerzas

inerciales que produce la masa de aire que arrastra consigo el tablero del puente en su

movimiento y que son despreciables cuando la frecuencia del movimiento es muy baja.

Un aspecto importante de la formulación cuasi estática es que tiene en cuenta la no

linealidad de los coeficientes aerodinámicos. Para una variación pequeña en el ángulo

de ataque se emplea únicamente el primer término del desarrollo de Taylor (formulación

cuasi estática linealizada (6.57)). Sin embargo, el viento al que está sometido el tablero

de un puente pueden dar lugar a variaciones del ángulo de ataque que pueden alcanzar

hasta ±10º (Bocciolone et al. [3]). Con estos rangos de variación en el ángulo de ataque,

los coeficientes aerodinámicos no pueden aproximarse mediante la primera derivada y

han de tenerse en cuenta términos de orden superior, sobre todo en el coeficiente de

arrastre ya que éste suele ser el menos lineal de todos:


309

0 0ˆ( )D D DC C Cα α= + → 2 3

0 0 0 0

ˆ1 1ˆ ˆˆ ˆ ˆ( ) ...2 6D D D D DC C C C Cα α α α= + + + + (6.63)

Cuando el movimiento del propio tablero, o las fluctuaciones del viento hacen variar el

ángulo de ataque α mediante una ley armónica α = Α sin(ωt) el valor del coeficiente de

arrastre en cada instante queda como:

[ ]

[ ]

2

0 0 0

3

0

1 ˆˆ ˆ( ) sin( ) 1 cos(2 )2 2

ˆ1 ˆ 2sin( ) cos( ) cos(3 )6 4

D D D D

D

AC t C C A t C t

AC t t t

ω ω

ω ω ω

= + + − +

+ − +

(6.64)

De la expresión anterior se deduce que en el coeficiente aerodinámico instantáneo

aparece una parte con el doble de la frecuencia y otra con el triple que pasa totalmente

desapercibida cuando se lleva a cabo la aproximación lineal del coeficiente. Además

cuando el ángulo de ataque está formado por dos armónicos α(t) = Α1 sin(ω1t) + Α2

sin(ω2t), en la forma del coeficiente aerodinámico aparecen armónicos con la suma y la

diferencia como se deduce a continuación

[ ]

[ ] [ ]

21 1 2 2

2 21 2

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

sin( ) sin( )

1 cos(2 ) 1 cos(2 ) cos( ) cos( )2 2

A t A t

A At t A A t t A A t t

ω ω

ω ω ω ω ω ω

+ =

= − + − + − − +(6.65)

A modo de ejemplo se han calculado mediante la formulación cuasi estática las fuerzas

sobre un tablero con unos coeficientes aerodinámicos (Figura 6.28) que cumplen las

siguientes expresiones:

CD(α) = 0.0847 + 0.24 α + 4.9242 α2 – 18 α3

CL(α) = -0.0436 + 0.77 α (6.66)

CM(α) = 0.011 + 0.175 α


310

Figura 6.28.Coeficientes aerodinámicos

El estudio se realiza por unidad de longitud y un ancho B de 1 m. La velocidad media

del viento es V = 11.5 m/s, y las fluctuaciones de viento verticales w (Figura 6.29)

tienen una amplitud de 0.65 m/s y una frecuencia de 0.4 Hz. De esta manera el ángulo

de ataque tiene una amplitud máxima de atan(0.65/11.5) = 3.2º.

Figura 6.29. Turbulencia vertical.

Las fuerzas obtenidas mediante las expresiones (6.47) a (6.51) se representan en la

Figura 6.30. Las fuerzas de sustentación y momento están formadas por un único

armónico a la misma frecuencia de la turbulencia vertical, mientras que en la fuerza de

arrastre puede observarse armónicos a 0.8 y 1.2 Hz.

|w| (

m/s

)

f (Hz)


311

Figura 6.30. Fuerzas cuasi estáticas generadas: arrastre Fy, sustentación Fz y momento Fθ.

Si se lleva a cabo el mismo ejemplo con una turbulencia con varios armónicos, en la

fuerza de arrastre, pueden observarse también armónicos con la diferencia y la suma de

frecuencias. En la Figura 6.31 se muestra un ejemplo en el cual la turbulencia vertical

está formada por un armónico de amplitud 0.65 m/s a 0.5 Hz y otro armónico de 0.18

m/s a 1.2 Hz. La fuerza de arrastre generada tiene componentes importantes a 0.5 Hz y

1.2 Hz, a sus duplos 1 Hz y 2.4 Hz, y además en la diferencia y la suma 0.7 Hz y 1.7

Hz.

f (Hz) |F

y| (N

)

f (Hz) f (Hz)

|Fz|

(N)

|Fθ|

(Nm

)


312

Figura 6.31. Turbulencia vertical dos armónicos (izda). Arrastre generado (dcha).

En las expresiones (6.66) correspondientes al ejemplo descrito, sólo aparecen no

linealidades en las fuerzas de arrastre. No obstante, en general también pueden aparecer

no linealidades en las fuerzas de sustentación o en el momento. Esta variación no lineal

hace que las oscilaciones en el ángulo de ataque debidas a las turbulencias del viento o

al movimiento del tablero generen fuerzas armónicas a frecuencias distintas de las

causas que las generan. En la formulación cuasi estática se simulan estos armónicos, sin

embargo en la formulación lineal de Scanlan no, por lo que dicha formulación puede

eliminar solicitaciones para aquellas secciones cuyos coeficientes aerodinámicos no son

lineales.

6.7 MÉTODO DE SUPERPOSICIÓN DE BANDAS (BS)

Hasta ahora se han explicado las formulaciónes basadas en las funciones de flameo y

sus equivalentes en el dominio del tiempo, y la formulación cuasi estática. Las dos

primeras formulaciones tienen en cuenta la dependencia de la frecuencia que presentan

las fuerzas aeroelásticas y de bataneo. Sin embargo estas formulaciones están limitadas

a pequeños desplazamientos o variaciones en el ángulo de ataque. Por el contrario, la

formulación cuasi estática posibilita variar el ángulo de ataque durante la simulación

aunque es válida solamente cuando la relación entre la velocidad de viento y la

frecuencia del movimiento es muy alta.

f (Hz)

|Fy|

(N)

|w| (

m/s

)

f (Hz)


313

Recientemente Diana [18] y [19], y Rocchi [38] han ideado una forma de combinar

ambas formulaciones mediante un método que simula el fenómeno físico mejor que

cualquiera de los otros dos. Este método ha sido bautizado como método de

Superposición de Bandas ya que se basa en la separación del fenómeno en varios

intervalos de armónicos. Para las frecuencias más bajas (banda B0) se emplea la

formulación cuasi estática resolviendo la respuesta estructural en el dominio del tiempo.

A continuación, con el ángulo de ataque dinámico instantáneo obtenido en la banda B0

se interpolan tanto las funciones de flameo como las admitancias para calcular las

fuerzas aeroelásticas en las bandas superiores. Finalmente, sumando la respuesta frente

a todas las bandas se tiene la respuesta total.

A la hora de aplicar el método de Superposición de Bandas existen dos formas de

interpolar las funciones de flameo en las bandas superiores. La primera es emplear la

frecuencia de cada banda lo que se ha denominado en esta tesis como método de

Superposición de Bandas con Frecuencias de Banda y Aproximación Cuasi Estática

(BSWbandQ). La segunda opción es resolver el movimiento modo a modo y emplear la

frecuencia de cada modo aeroelástico para interpolar las funciones de flameo. Esta

opción se ha denominado método de Superposición de Bandas con Frecuencia

Aeroelástica y Aproximación Cuasi Estática (BSWdaQ) y es la empleada por Rocchi

[38]. A continuación se explica detalladamente cada uno de los submétodos.

6.7.1 Elección de las bandas Como paso previo a la ejecución del método de Superposición de Bandas debe elegirse

el número de bandas y las frecuencias que las delimitan. La manera de llevar a cabo esto

es observando la representación gráfica de las funciones de flameo con el convenio de

Zasso como en el ejemplo mostrado en la Figura 6.32. Empleando esta forma de

representación, las funciones de flameo con subíndices 1 a 3 y 5 presentan una

tendencia asintótica al valor cuasi estático a medida que aumenta la velocidad reducida

V*, es decir, cuando la frecuencia tiende a cero. Esta zona asintótica se corresponde a la

banda B0. La velocidad reducida inferior de esta banda denominada velocidad reducida

de corte varía para cada tipo de sección de tablero; sin embargo con la mayoría de las

secciones se puede aceptar *0BV = 20. Para determinar los valores de de las velocidades


314

reducidas de corte que delimitan las bandas superiores se fija una variación máxima del

valor de las funciones de flameo entre una y otra banda.

Figura 6.32. División en bandas de la función de flameo h3

*.

A partir de las velocidades reducidas de corte *BlV y de la velocidad de viento con la que

se está haciendo la simulación se obtienen las frecuencias de corte de las bandas Blω

haciendo:

*2BlBl

VBV

ω π= (6.67)

Para los parámetros o funciones que deban tomar valores constantes dentro de cada

banda se emplea una frecuencia media de la banda. Esta frecuencia se define como:

1

2Bl Bl

Blω ωω −+

= (6.68)

A continuación se obtienen las amplitudes |vvk| y |wvk| y fases ϕwk y ϕvk de las

turbulencias para cada frecuencia ωk empleando la Transformada de Fourier Discreta

banda B0 band

a B

1 ba

nda

B2

band

a B

3

*0BV

*1BV

*2BV

*3BV


315

(FFT). Estas amplitudes y fases se emplean más adelante para definir las turbulencias de

cada banda.

Además para poder obtener la respuesta en el dominio del tiempo hay que definir las

condiciones iniciales de la estructura. Las condiciones iniciales (0)u , (0)u y (0)u

cuando la velocidad de viento V es nula son el reposo. Cuando la velocidad del viento se

mantiene durante mucho tiempo se alcanza un estacionario en el que las condiciones

son distintas a la del reposo. En los ejemplos que se muestran en la presente tesis, se

emplea como condiciones iniciales las mismas que utiliza el método IFTR, que además

coincide también con la respuesta en el último instante que se obtiene con dicho

método.

6.7.2 Método de Superposición de Bandas con Frecuencia de Banda y

Aproximación Cuasi Estática (BSWbandQ) Conocidas las condiciones iniciales de la estructura (0)u , (0)u y (0)u el primer paso

es calcular el valor de las fuerzas del viento para la banda B0. Para ello se calcula el

valor de la turbulencia en el instante t1 sumando los armónicos que se encuentran dentro

de dicha banda:

, 0

( )( )

vbi B

v i

v tw t

⎧ ⎫= ⎨ ⎬

⎩ ⎭w ; (6.69)

( )0

0 1 1 ,0

( ) cosB

B k k v kk

v t v tω ϕ=

⎡ ⎤= +⎣ ⎦∑ ; (6.70)

( )0

0 1 1 ,0

( ) cosB

B k k w kk

w t w tω ϕ=

⎡ ⎤= +⎣ ⎦∑ . (6.71)

A continuación se calculan las fuerzas que produce el viento empleando la teoría cuasi

estática. Estas fuerzas se explicaron en el apartado 6.6 y tienen la forma:

( )2' ,

12y ry D d yF V BCρ α= , ,d y s yα θ θ ψ= + + ,

( )2' ,

12z rz L d zF V BCρ α= , ,d z s zα θ θ ψ= + + , (6.72)


316

( )2,

12 r M dF V BCθ θ θρ α= , ,d sθ θα θ θ ψ= + + .

donde

( ) ( )2221,ri iV V v y w B zθ= + − + − − (6.73)

1,atan ii

w B zV v y

θψ

⎛ ⎞− −= ⎜ ⎟⎜ ⎟+ −⎝ ⎠

(6.74)

* * *2 2 2

1, 1, 1,* * *1 1 1

; ; y zp h aB B B B B Bp h aθ= = = . (6.75)

Una vez que se tienen las fuerzas de arrastre, sustentación y momento en los ejes del

viento instantáneo, se proyectan sobre los ejes globales:

' , ' ,cos( ) sin( )y y d y z d yF F Fα α= −

' , ' ,sin( ) cos( )z y d z z d zF F Fα α= + (6.76)

Ensamblando a lo largo del tablero las fuerzas cuasiestáticas de la banda B0 en el vector

fs se obtiene la respuesta 0 1( )B tu , 0 1( )B tu y 0 1( )B tu que producen dichas fuerzas en el

primer paso de tiempo empleando el método de Wilson-θ para resolver:

0 1 0 1 0 1( ) ( ) ( )B B B st t t+ + =Mu Cu Ku f (6.77)

Seguidamente se resuelve la respuesta debida a las turbulencias de la banda B1

empleando la teoría de Scanlan. Para ello se calculan primero las turbulencias de la

banda:

( )1

1 1 1 ,0

( ) cosB

B k k v kk B

v t v tω ϕ=

⎡ ⎤= +⎣ ⎦∑ ; ( )1

1 1 1 ,0

( ) cosB

B k k w kk B

w t w tω ϕ=

⎡ ⎤= +⎣ ⎦∑ (6.78)

que se ensamblan en el vector de fluctuaciónes de velocidad de viento:


317

, 1

( )( )

vbi B

v i

v tw t

⎧ ⎫= ⎨ ⎬

⎩ ⎭w (6.79)

Las fuerzas de bataneo por unidad de longitud se calculan mediante las expresiones de

Scanlan utilizando la frecuencia de la banda 1Bω según la expresión (6.68):

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

, , 1 , , , 1

1 1, 1 1 , , 1 , , , , 1

1 1

, , 1 , , , 1

ˆ2 , ,( )1 ˆ( ) 2 , ,( )2

ˆ2 , ,

v

v

v

D d y Du d y B D d y y w d y B

Bb B L d z Lu d z B L d z D d z z w d z B

B

M d Mu d B M d w d B

C Cv t

t VB C C Cw t

B C BCθ θ θ θ θ

α χ α ω α χ α ω

ρ α χ α ω α α χ α ω

α χ α ω α χ α ω

⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎧ ⎫⎜ ⎟⎡ ⎤= + ⎨ ⎬⎣ ⎦⎜ ⎟ ⎩ ⎭⎜ ⎟⎝ ⎠

f

(6.80)

Las fuerzas aeroelásticas se ensamblan en las matrices aeroelásticas de rigidez y

amortiguamiento que se extraen de las matrices de rigidez y amortiguamiento del

sistema mecánico. Estas matrices se calculan empleando las expresiones de Scanlan:

, 1 , 1 , 1a B a B a B= +f C u K u (6.81)

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

* * *1 , 1 5 , 1 2 , 1

* * *, 1 5 , 1 1 , 1 2 , 1

* * 2 *5 , 1 1 , 1 2 , 1

, , ,1 · , , ,2

, , ,

d y B d z B d B

a B d y B d z B d B

d y B d z B d B

P P BP

VKB H H BH

BA BA B A

θ

θ

θ

α ω α ω α ω

ρ α ω α ω α ω

α ω α ω α ω

⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

C (6.82)

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

* * *4 , 1 6 , 1 3 , 1

2 2 * * *, 1 6 , 1 4 , 1 3 , 1

* * 2 *6 , 1 4 , 1 3 , 1

, , ,1 · , , ,2

, , ,

d y B d z B d B

a B d y B d z B d B

d y B d z B d B

P P BP

V K H H BH

BA BA B A

θ

θ

θ

α ω α ω α ω

ρ α ω α ω α ω

α ω α ω α ω

⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

K (6.83)

en donde las funciones de flameo Pi*, Hi

* y Ai* con i=1-6 se interpolan para el ángulo

dinámico αd (t1) de cada grado de libertad y la frecuencia de la banda 1Bω .

Por otra parte las fuerzas de bataneo y flameo así obtenidas tienen la dirección de los

ejes instantáneos del viento. Por ello han de proyectarse a los ejes globales:


318

, , , 1,

, 1, , , , 1, , 1,

, 1,

cos( ) sin( ) 0sin( ) cos( ) 0 ·

0 0 1

d y d y b B y

b B i d z d z b B z b B i

b B

FFF

ψ

θ

ψ ψψ ψ

⎛ ⎞−⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= =⎜ ⎟⎜ ⎟

⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

f T f (6.84)

11 1 11,, 1, , 1,a B i a B i

ψ−=C T C T y 11 1 11,, 1, , 1,a B i a B i

ψ−=K T K T . (6.85)

Teniendo las fuerzas de bataneo y las matrices aeroelásticas de la banda B1 se puede

calcular la respuesta de la estructura 1 1( )B tu , 1 1( )B tu y 1 1( )B tu frente a dichas fuerzas en

el primer instante de tiempo t1 empleando el método de Wilson-θ para resolver:

1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( )B B B st t t+ + =Mu Cu Ku f (6.86)

Para la banda B2 y las bandas superiores se repite el proceso obteniéndose las

respectivas respuestas en el instante t1. Para obtener la respuesta completa del puente en

el instante t1 se suman las respuestas de todas las bandas:

1 1 1 1 1 10 0 0

( ) ( ), ( ) ( ) y ( ) ( ).Bn Bn Bn

l l ll B l B l B

t t t t t t= = =

= = =∑ ∑ ∑u u u u u u (6.87)

El proceso se repite para el instante de tiempo t2 y sucesivos comenzando por la banda

B0 para calcular el ángulo de ataque instantáneo αd(t2) que se emplea al interpolar los

coeficientes aerodinámicos, las funciones de flameo y las admitancias de las bandas

superiores. De esta manera se obtiene la respuesta en el dominio del tiempo aplicando el

método de Superposición de Bandas con Frecuencia de Banda y Aproximación Cuasi

Estática (BSWbandQ). En la Figura 6.33 se muestra el diagrama de flujo de este método

y en Figura 6.34 un esquema ilustrativo del mismo.

Si se emplea la teoría de Scanlan para la obtener la respuesta en la banda B0 en lugar de

emplear la teoría cuasi estática, se tiene el método de Superposición de Bandas con

Frecuencia de Banda (BSWband). Si además se emplean tantas bandas como

frecuencias el método es equivalente al método de Respuesta en el Tiempo mediante la

Transformada Inversa de Fourier (IFTR).


319

*0BV , *

1BV , *2BV ,…

Vry(wb,B0); Vrz(wb,B0); Vrθ(wb,B0)

0Bω , 1Bω , 2Bω ,…

j = 0

Bjω

banda B0

t < tfinal SI

0 0 0 , 0( ) ( ) ( )B B B s Bt t t+ + =Mu Ku Cu fAnálisis Modal y Wilson-θ

αd

banda Bj

( ) ( ), , ; ,a Bj a d Bj a d Bjα ω α ω⎡ ⎤⎣ ⎦f K C

vv (t), wv(t). *ip , *

ih y *ia .

|vv|(ωk), ϕv(ωk), |wv|(ω k) y ϕw(ωk)

t = 0, t∆ , (0), (0) y (0).u u u

Elección de bandas,

condiciones iniciales y

filtrado de las turbulencias.

FFT

t = t + t∆

αd = 0; t = t∆ .

( )( )( )

212

21, 0 2

212

ry D d

s B rz L d

r M d

V BCV BCV BCθ

ρ αρ αρ α

⎧ ⎫⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

f

Fluctuaciones de velocidad Banda Cero

Velocidad relativa de viento

0

0

0

( )( )( )

B

B

B

ttt

uuu

j = j +1

wb,B0


Bjω , wb,Bj

( ), , ,,b Bj b Bj d Bj b BjP α ω=f w

, ,( ) ( ) ( )Bj Bj Bj a Bj b Bjt t t+ + = +Mu Ku Cu f f Análisis Modal y Wilson-θ

( )

( )

( )

Bj

Bj

Bj

t

t

t

u

u

u

αd

j < n SI

0 0( ), ( ), ( )

n n

Bj Bj Bjt t t∑ ∑ ∑u u u

NO

Fuerzas de bataneo

Fuerzas aerodinámicas Banda Cero

Figura 6.33 Diagrama de flujo del método de superposición de bandas con la frecuencia de cada

banda BSWbandQ.


320

w

w (t,ω1)

w (t,ω 2)

w (t,ω n)

…

u (t,ωΒ0)

u(t,ωΒ1)

u(t,ωΒn)

u(t)

…

( )0Bω+ + =Mu Cu Ku f

( )( ) ( )( ) ( )1 1 1a B a B b Bω ω ωΜ + − + − =u C C u K K u f

( )( ) ( )( ) ( )a Bn a Bn b Bnω ω ωΜ + − + − =u C C u K K u f

Figura 6.34. Esquema del método de Superposición de Bandas con Frecuencia de la Banda y

Aproximación Cuasi Estática.

6.7.3 Método de Superposición de Bandas con Frecuencia Aeroelástica

y Aproximación Cuasi Estática (BSWdaQ) Este es el método ideado por Diana [18] y [19], y Rocchi [38] similar al explicado en el

apartado anterior. Comienza calculando la respuesta de la banda B0 con la teoría cuasi

estática. Sin embargo la forma de resolver la respuesta para las bandas superiores es

distinta ya que las funciones de flameo se interpolan empleando la frecuencia natural

amortiguada ωdaj del modo aeroelástico que corresponde a cada participación modal

construyendo entonces cada término i,j de las matrices aeroelásticas en coordenadas

modales como

, , da j

Ta i j i a jω=C Cφ φ y

, , da j

Ta i j i a jω=K Kφ φ . (6.88)

Con ello se evita tener que construir las matrices aeroelásticas para cada banda. Esta

forma de escoger las frecuencias de las funciones de flameo se basa en la hipótesis de

que cada modo vibra con la frecuencia aeroelástica amortiguada lo cual es cierto cuando

la estructura vibra libremente. Sin embargo, en un estado estacionario la respuesta de un

sistema frente a una excitación con una única frecuencia tiene la misma frecuencia de la

excitación, lo que es coherente con el método BSWbandQ en el cual las funciones de

flameo se interpolan empleando la frecuencia de la excitación. Como contrapartida, fijar


321

así la frecuencia para generar las matrices aeroelásticas puede implicar velocidades

reducidas muy altas en las bandas bajas que provoquen inestabilidad en la simulación

haciendo que aparezcan respuestas transitorias divergentes a velocidades de viento

menores que la de flameo. Este problema limita el rango de velocidades en el cual se

puede emplear el método BSWbandQ.

En la Figura 6.36 se muestra un diagrama de flujo del método BSWdaQ. Simplificando

este método resolviendo la banda B0 también con la teoría de Scanlan se obtiene el

método BSWda.

w

w (t,ω1)

w (t,ω 2)

w (t,ω n)

…

u (t,ωΒ0)

u(t,ωΒ1)

u(t,ωΒn)

u(t)

…

( )0Bω+ + =Mu Cu Ku f

( )( ) ( )( ) ( )1a da a da b Bω ω ωΜ + − + − =u C C u K K u f

( )( ) ( )( ) ( )a da a da b Bnω ω ωΜ + − + − =u C C u K K u f

Figura 6.35. Esquema del método de Superposición de Bandas con Frecuencias Aeroelásticas y

Aproximación Cuasi Estática.


322

*0BV , *

1BV , *2BV ,…

Vry(wb,B0); Vrz(wb,B0); Vrθ(wb,B0)

0Bω , 1Bω , 2Bω ,…

j = 0

banda B0

t < tfinal SI

0 0 0 , 0( ) ( ) ( )B B B s Bt t t+ + =Mu Ku Cu fAnálisis Modal y Wilson-θ

αd

banda Bj

( ) ( ), ; ,a a d s a d sα ω α ω⎡ ⎤⎣ ⎦f K C

vv (t), wv(t). *ip , *

ih y *ia .

|vv|(ωk), ϕv(ωk), |wv|(ω k) y ϕw(ωk)

t = 0, t∆ , (0), (0) y (0).u u u

Elección de bandas,

condiciones iniciales y

filtrado de las turbulencias.

FFT

t = t + t∆

αd = 0; t = t∆ .

( )( )( )

212

21, 0 2

212

ry D d

s B rz L d

r M d

V BCV BCV BCθ

ρ αρ αρ α

⎧ ⎫⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

f

Fluctuaciones de velocidad Banda Cero

Velocidad relativa de viento

0

0

0

( )( )( )

B

B

B

ttt

uuu

j = j +1

wb,B0


Bjω , wb,Bj

( ), , ,,b Bj b Bj d Bj b BjP α ω=f w

, ,( ) ( ) ( )Bj Bj Bj a Bj b Bjt t t+ + = +Mu Ku Cu f f Análisis Modal y Wilson-θ

( )

( )

( )

Bj

Bj

Bj

t

t

t

u

u

u

αd

j < n SI

0 0( ), ( ), ( )

n n

Bj Bj Bjt t t∑ ∑ ∑u u u

NO

Fuerzas de bataneo

Fuerzas aerodinámicas Banda Cero

( )( )*, , , ,T

R r s r a s d s s Rk Vα= − ⇒K K Kφ φ

( )( )*, , , ,T

R r s r a s d s s Rc Vα= − ⇒C C Cφ φ

Figura 6.36 Diagrama de flujo del método de superposición de bandas con la frecuencias

aeroelásticas BSWdaQ.


323

6.8 SIMULACIÓN DE LAS FLUCTUACIONES DE VIENTO

En el presente apartado se explica el método empleado para la generación de

fluctuaciones de viento a partir de espectros y funciones de correlación. Estos historiales

de viento son utilizados para la obtención de las fuerzas de bataneo en el dominio del

tiempo. El método escogido es el de Shinozuka-Deodatis que se basa en la expansión en

senos para hacer la transformada inversa de Fourier. Existen otros métodos para la

generación de fluctuaciones de viento como los métodos auto regresivos (AR) o de

medias móviles (MA) y su combinación (métodos ARMA) (Samaras [40] y Rossi et al.

[39]). Por otro lado es posible también generar directamente presiones de viento

mediante otros métodos lo cual permite ajustar mejor las características estadísticas de

la carga. Estos métodos están basados en la correlación-distorsión (Gioffré et al. [22]),

en las redes neuronales (Borri & Facchini [4] y [5]) y también en la superposición de

ondas (Nielsen et al. [37]). Sin embargo, son difíciles de aplicar por requerir la

recolección de muchos datos en el túnel de viento, lo cual los hace excesivamente

costosos. Por el contrario, los datos necesarios para la generación de historiales de

viento y su posterior transformación en fuerzas de bataneo mediante coeficientes

aerodinámicos y admitancias son más fáciles de recopilar y de encontrar en la literatura.

6.8.1 Método de Shinozuka-Deodatis El método empleado aquí para la generación de series temporales a partir de matrices

espectrales es el propuesto por Shinozuka en 1970 [49] y modificado por Deodatis en

[50] y [15]. Este método parte de la generalización de las técnicas de transformada

inversa de Fourier y, por lo tanto, está basado en la superposición de un número de

armónicos. Para su desarrollo emplea la propiedad de la función de densidad espectral o

espectro de potencia (PSD) por la que integrando el área de dicha función en un

intervalo de frecuencias, se obtiene la energía que contiene la señal en ese rango de

frecuencias. Comparando esta integral con la expresión de la energía de una onda

sinusoidal se obtiene la expresión de la amplitud que debe tener esa onda. De esta forma

se pueden generar series temporales de una variable a partir de espectros mediante la

expresión


324

( )1

( )( ) cos2

Nl

l ll

Su t tω ω φπ=

= +∑ (6.89)

en donde ωl con l=1…N son las frecuencias que se tienen en cuenta para la generación

de la serie temporal, S(ωl) es la función de densidad espectral de potencia de la señal

generada y φl son fases de cada onda generadas como un número aleatorio

uniformemente distribuido entre 0 y 2π. La señal generada, además de tener por

espectro la función S(ωl), tiene media nula µu=0 y su distribución es normal cumpliendo

el teorema central del límite.

Es importante especificar la definición de la función de densidad espectral referida a la

función de correlación que se está empleando en el presente documento que en todos los

casos es

iS ( ) R ( )U U e dωτω τ τ+∞ −

−∞= ∫ (6.90)

i1R ( ) S ( )2U U e dωττ ω ωπ

+∞

−∞= ∫ . (6.91)

En estas expresiones U(t) es un proceso aleatorio cuya media es nula y de varianza

σ2=RU(0), ω = 2πf es la frecuencia en rad/s.

El método de Shinozuka-Deodatis consiste en una generalización de la fórmula anterior

(6.89) para procesos multivariable definidos por una matriz espectral SU(ω) definida

positiva. En primer lugar se lleva a cabo la descomposición de Cholesky de SU(ω)

*T( ) ( ) ( )U U Uω ω ω=S H H (6.92)

en donde HU(ω) es una matriz triangular inferior de dimensiones Np × Np. A partir de

esta matriz se generan las series temporales uj en cada punto mediante la expresión:

( )1

,0 1

2( ) ( ) cos( ( ) )2

frN j

j U jm ml ml jm ml mll m

u t H tω ω ω θ ω φπ

−

= =

∆= − +∑ ∑ (6.93)


325

En esta expresión Nfr es el número de frecuencias o armónicos que se emplean en la

simulación, ∆ω es la diferencia entre dos frecuencias consecutivas, ωml = (l + m/Np)

∆ω son las frecuencias a las cuales se calcula HU, |HU,jm| y θjm = atan( Im(HU,jm) /

Re(HU,jm)) son respectivamente el módulo y el argumento del elemento jm de la matriz

HU. En este caso θjm = xm / V(zm) – xj / V(zj) siendo V el valor del viento medio, y xm, xj

las coordenadas x de los puntos m y j. Por último, en la expresión (6.93) φml es el

elemento ml de una matriz de dimensión Np×Nfr de números aleatorios uniformemente

distribuidos entre 0 y 2π. Las series temporales así generadas, además de cumplir la

matriz de densidad espectral S, tienen una distribución normal y son ergódicas como se

demuestra en Shinozuka [49].

Pese a todo, la aplicación directa de la expresión (6.93) es muy costosa

computacionalmente. Deodatis [50] introdujo una serie de modificaciones encaminadas

a poder aplicar la transformada inversa rápida de Fourier al algoritmo. Para demostrarlo

se comienza por transformar la expresión (6.93) en

1 i ( )

,1 0

2( ) Re ( ) e2

fr jm ml mlp

mNj l t tN

j U jm mlm l

u t Hω ω θ ω φω ω

π

⎛ ⎞− ⎜ ∆ + ∆ − + ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

= =

⎛ ⎞⎛ ⎞∆ ⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠∑ ∑ (6.94)

o lo que es lo mismo

( )( )1 i

i ( ) i,

1 0

( ) Re ( ) e e efr

jm ml ml p

mNj tNl t

j U jm mlm l

u t Hω

θ ω φ ωω ωπ

− ∆− + ∆

= =

⎛ ⎞⎛ ⎞∆ ⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

∑ ∑ (6.95)

A continuación se denomina a Bl,jm a

( )i ( ), , ( ) e jm ml ml

l jm U jm mlB H θ ω φω − += (6.96)

y Ajm(t) a


326

1i

,0

( ) efrN

l k tjm l jm

lA k t B ω

−∆ ∆

=

∆ = ∑ (6.97)

en donde se ha discretizado el dominio del tiempo en k = 1,…,Nfr instantes de tiempo.

La expresión anterior puede resolverse mediante una transformada inversa rápida de

Fourier (IFFT de Coley & Turkey [12]) en lugar de calcularse directamente, lo cual

reduce el tiempo de cálculo al pasar de un problema Nfr2 a un problema Nfr log2(Nfr).

Además Ajm(k∆t) es una función periódica de período T1 = Nfr ∆t = 2π / ∆ω, lo que

permite emplear

( ) 0,..., 1

(( ) ) ,..., 2 1( )

(( ) ) ( 1) ,..., 1

jm fr

jm fr fr frjm

jm p fr p fr p fr

A p t p N

A p N t p N NG p t

A p N N t p N N N N

∆ = −⎧⎪

− ∆ = −⎪∆ = ⎨⎪⎪ − ∆ = − −⎩

(6.98)

en

i

1( ) Re ( ) e p

mj p tN

j jmm

u p t G p tωω

π

∆ ∆

=

⎛ ⎞⎛ ⎞∆ ⎜ ⎟⎜ ⎟∆ = ∆⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

∑ (6.99)

De esta última expresión o bien de (6.95) se puede deducir que la señal uj(k∆t) es

periódica de período T0 = Np Nfr ∆t = Np 2π / ∆ω. Por lo tanto p toma valores de 0 a Np

(Nfr-1).

Queda por mencionar que debe cumplirse el teorema de Nyquist para evitar la aparición

de aliasing. El teorema de Nyquist-Shannon afirma que para que toda la información de

una onda quede recogida en una señal discreta, la frecuencia de muestreo debe ser el

doble que la de la frecuencia más aguda contenida en la onda es decir

1 2 22

us uf f

tωπ

= ≥ =∆

(6.100)


327

Por lo tanto habrá una frecuencia ωu ≤ π / ∆t que se denomina frecuencia de corte a

partir de la cual se considerará que el espectro es igual a 0. De esta manera se evita la

aparición de aliasing en las series generadas. En Shinozuka y Deodatis [50] puede

encontrarse una manera de estimar un valor válido de ωu.

6.8.2 Ejemplo de generación de fluctuaciones de viento Para verificar la implementación del algoritmo de Shinozuka-Deodatis se han generado

los historiales de viento en tres puntos colocados en vertical a 10, 30 y 70 metros de

altura, y de tres puntos a cota 70 m espaciados horizontalmente 30 y 40 metros (Figura

6.37).

10m 30m

70m

30m 70m

Pt 2

Pt 1

Pt 3 Pt 4 Pt 5

Figura 6.37 Ubicación de los puntos en donde se genera viento.

El perfil de viento empleado y la matriz de densidad espectral se corresponden con el

del estado límite de estabilidad SLIS del puente sobre el estrecho de Messina [52]. Las

series temporales generadas están generadas a intervalos de tiempo separados un ∆t =

0.7854 s. Teniendo en cuenta la condición de Nyquist, la frecuencia de corte será ωu=4

rad/s. El número de instantes generados es 12288; por lo tanto el número de armónicos

Nfr = 12288/Np = 4096. El intervalo de muestreo entre frecuencias es ∆ω = 2π / (Nfr ∆t)

= 0.001953125 rad/s.


328

Para poder medir la bondad del método se han calculado una serie de parámetros

integrales:

1. Intensidad de turbulencia

( )( )

v

v

uuI z

V zσ

= (6.101)

2. Escala de turbulencia

2 0R ( )v

v v

v

xu u

u

VL dτ τσ

∞= ∫ (6.102)

3. Valores esperables máximo y mínimo

2

0

0

( )max 0.577con 2 ln( ) y =min 2ln( ) ( )

f S f dfKK T

K T S f df

µ συ υ

µ σ υ

∞

∞

= += +

= −∫∫

(6.103)

A continuación se muestran los resultados de obtenidos al generar viento para los

puntos 1, 2 y 3. En la Figura 6.38 se muestran las series temporales generadas para

dichos puntos. En la Tabla 6.2 se muestran los parámetros integrales del viento

generado comparados con los teóricos. En la Figura 6.38 y en la Figura 6.39 se

muestran las funciones de correlación y las funciones de densidad espectral

correspondientes. Puede observarse que los resultados son muy adecuados.


329

Figura 6.38 Viento generado en los puntos 1, 2 y 3.

σ Iuv Luv Max Min

Pt1 7.745 0.168 114.1 32.57 -32.57

Pt2 7.679 0.143 186.8 32.09 -32.09

Teór

ico

Pt3 7.692 0.128 275.5 31.97 -31.97

Pt1 7.746 0.168 114.8 28.54 -29.08

Pt2 7.680 0.143 184.3 29.54 -31.17

Shin

ozuk

a-

Deo

datis

Pt3 7.693 0.128 267.0 30.11 -29.28

Tabla 6.2 Comparación de parámetros integrales entre la señal generada y los valores teóricos.

104

104

104

u1(t)

u2(t)

u3(t)


330

Figura 6.39 Funciones de autocorrelación y de densidad espectral de los puntos 1, 2 y 3.

R11(τ)

R22(τ)

R33(τ)

S11(τ)

S22(τ)

S33(τ)


331

Figura 6.40 Funciones de correlación cruzada y sus correspondientes funciones de densidad

espectral cruzada (puntos 1, 2 y 3).

R12(τ)

R13(τ)

R23(τ)

S12(τ)

S13(τ)

S23(τ)


332

A continuación se muestran los resultados obtenidos al aplicar el algoritmo a la

generación de viento en los puntos 3, 4 y 5.

Figura 6.41 Viento generado en los puntos 3, 4 y 5.

σ Iuv Luv Max Min

Pt1 7.692 0.128 275.5 31.97 32.67

Pt2 7.692 0.128 275.5 31.97 33.00

Teór

ico

Pt3 7.692 0.128 275.5 31.97 29.82

Pt1 7.695 0.129 266.9 -31.97 -31.02

Pt2 7.695 0.129 266.9 -31.97 -28.18

Shin

ozuk

a-

Deo

datis

Pt3 7.695 0.129 267.2 -31.97 -29.19

Tabla 6.3 Comparación de parámetros integrales entre la señal generada y los valores teóricos.

104

104

104

u3(t)

u4(t)

u5(t)


333

Figura 6.42 Funciones de autocorrelación y de densidad espectral de los puntos 3, 4 y 5.

R33(τ)

R44(τ)

R55(τ)

S33(τ)

S44(τ)

S55(τ)


334

Figura 6.43 Funciones de correlación cruzada y sus correspondientes funciones de densidad

espectral cruzada (puntos 3, 4 y 5).

R34(τ)

R35(τ)

R45(τ)

S34(τ)

S35(τ)

S45(τ)


335

6.9 RESPUESTA DE UN SISTEMA EN EL DOMINIO DEL TIEMPO

MEDIANTE INTEGRACIÓN PASO A PASO.

Una vez que se tienen las herramientas para la obtención de las fuerzas aeroelásticas en

el dominio del tiempo a partir de una historia de desplazamientos cualquiera, se necesita

un método para la simulación de la respuesta estructural. A la hora de obtener la

respuesta dinámica de una estructura frente a una excitación cualquiera existen varias

alternativas. Suponiendo que la estructura se comporta linealmente en todo momento, se

puede realizar un análisis en el dominio del tiempo empleando la integral de

convolución de Duhamel, o bien obtener la respuesta en el dominio de la frecuencia

multiplicando la matriz de transferencia por la transformada de Fourier de la excitación.

Estos dos métodos se basan en el principio de superposición característico de los

sistemas lineales. Sin embargo cuando se trata de calcular la respuesta de estructuras

que presentan no linealidades hay que recurrir a los métodos de integración paso a paso.

Estos métodos evalúan la solución para unos instantes separados un incremento de

tiempo ∆t. Las ecuaciones de equilibrio dinámico se establecen al comienzo de cada

intervalo de tiempo y el movimiento del sistema durante él se determina de forma

aproximada a partir de una serie de hipótesis adicionales. Para calcular la respuesta

completa se utilizan recursivamente los desplazamientos y velocidades calculadas al

final de cada intervalo como valores iniciales para el siguiente.

En la presente tesis se ha empleado el método de Wilson-θ que obtiene la respuesta de

un sistema mediante integración directa paso a paso suponiendo que la variación de la

aceleración en cada paso es lineal, la variación de la velocidad es cuadrática y la del

desplazamiento cúbica. A continuación se expone la formulación del método de Wilson-

θ . Puede encontrarse una explicación más detallada de los métodos paso a paso en

Clough [11].


336

6.9.1 Métodos paso a paso de Wilson-θ.

Supongamos un sistema cuya ecuación de equilibrio dinámico en un instante cualquiera

i sea:

· · ·i i i i+ + =M u C u K u p (6.104)

donde M, C, y K son respectivamente las matrices de masa, amortiguamiento y rigidez,

y p es el vector de fuerzas. El método de Wilson-θ calcula el vector de desplazamientos

1i+u , el de velocidades 1i+u y el de aceleraciones 1i+u en un instante i+1 resolviendo

primero la ecuación de equilibrio estático efectivo incremental:

ˆ ˆ ˆ·∆ = ∆K u p (6.105)

donde

2

3 6ˆi iτ τ

= + +K K C M (6.106)

6ˆ 3 32i i i i iτ

τ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∆ = ∆ + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

p p M u u C u u (6.107)

y 1,37· tτ = ∆ (Clough [11]), siendo t∆ el paso entre el instante i y el instante i+1. Una

vez resuelto este sistema se obtiene el incremento de aceleraciones, velocidades y

desplazamientos en el paso que se está calculando mediante las siguientes expresiones:

2

1 6 6ˆ 31,37 i iτ τ

⎛ ⎞∆ = ∆ − −⎜ ⎟⎝ ⎠

u u u u (6.108)

·2itt ∆

∆ = ∆ + ∆u u u (6.109)

2 2

·2 6i it tt ∆ ∆

∆ = ∆ + + ∆u u u u (6.110)


337

Finalmente se calculan los vectores de aceleraciones, velocidades y desplazamientos

como 1i i+ = +∆u u u , 1i i+ = +∆u u u y 1i i+ = +∆u u u respectivamente.

6.10 EJEMPLOS DE APLICACIÓN

En este apartado se muestran tres ejemplos en los que se emplean los distintos métodos

explicados en el presente capítulo. En primer lugar se aplican a un sistema de un grado

de libertad consistente en una placa plana. Con ello se comprueba el funcionamiento de

los métodos con un problema para el cual se tienen soluciones analíticas y que es

fácilmente reproducible. A continuación se calcula la respuesta en el dominio del

tiempo de dos puentes, el puente sobre el estrecho de Akashi y el puente sobre el

estrecho de Messina, que destacan por su gran longitud de vano y de los cuales existen

numerosos estudios del efecto del viento sobre los mismos.

6.10.1 Respuesta de una placa plana con un grado de libertad

Sea un sistema de un grado de libertad de giro ϕ con las siguientes propiedades de

inercia Iϕ, amortiguamiento c y rigidez k:

I ϕ = 1 kg m2.

c = 0.2 kg m2/s

k = 25.2661872 kg m2/s2.

Esto implica que la frecuencia natural del sistema es \n I kϕω = = 5.026 rad/s o lo que

es lo mismo fn = 0.8 Hz, y su constante de amortiguamiento viscoso es ξ = 0.020106.

Supóngase una placa plana con un ancho B = 1.2 m, una densidad del aire ρ = 1.23

kg/m3, y las funciones de flameo de giro a torsión de la placa plana A2* y A3

*.

Oscilación sin viento Con objeto de chequear los métodos numéricos programados para la obtención de

respuestas en el dominio del tiempo en concreto, la transformada rápida de Fourier

(IFTR) y los métodos de integración directa paso a paso se han chequeado dos casos

con solución analítica para este sistema de un grado de libertad. El primero consiste en


338

una excitación en forma de impulso de valor M1=800 N·m partiendo de la condición

inicial 0ϕ = 0ϕ = 0ϕ = 0 la solucición analítica es (véase Clough [11]).

( ) ( )1( ) sin ( ) e t tD

D

M tt t tI

ξω

ϕ

ϕ ωω

− −∆∆= − ∆ (6.111)

y se representa en la Figura 6.44 junto con los resultados obtenidos mediante IFTR y el

método de integración directa en el dominio del tiempo Beta-Newmark. Se aprecia en la

figura una perfecta coincidencia de los resultados.

Figura 6.44 Excitación (izquierda) y respuesta al impulso de la placa plana (derecha).

El otro caso chequeado es el de una excitación armónica de la forma:

0 sin( )I c k m tϕ ϕϕ ϕ ϕ ω+ + = (6.112)

con mϕ 0 = 1 Nm, y 2 2 ·1.6nω ω π= = rad/s. Se han supuesto las condiciones iniciales 0ϕ

= 0ϕ = 0ϕ = 0.

La solución analítica de este problema se encuentra en los libros de análisis dinámico

como Clough [11] y coincide perfectamente con lo que se obtiene empleando la

transformada rápida de Fourier y el método de integración directa Wilson-θ , como se

observa en las figuras 6.45 a 6.47

t (s)

M1

t(s)

M(N

m)

ϕ (r

ad) Analítica

---- IFTR ···· Wilson-θ


339

Figura 6.45 Excitación armónica.

Figura 6.46 Respuesta calculada mediante transformada de Fourier.

Figura 6.47 Detalle de respuesta transitoria frente a una excitación armónica.

t (s)

t (s)

ϕ (r

ad)

Mϕ

(Nm

)

ϕ (r

ad)

Analítica ---- IFTR ···· Wilson-θ

75 77 79 81 83 84

t (s)


340

Oscilación libre bajo viento uniforme Cuando la placa se encuentra inmersa en un flujo de viento sus propiedades de rigidez y

amortiguamiento se modifican dependiendo de la velocidad del viento y la frecuencia de

oscilación que se consideren.

R RI c k Mϕ ϕϕ ϕ ϕ+ + = (6.113)

donde cR=c-ca, (6.114)

kR=k-ka, (6.115)

( ) 3 *2

12a ac c VB KAω ρ= = , (6.116)

( ) 2 2 2 *3

12a ak k V B K Aω ρ= = (6.117)

y K = ωB/V. (6.118)

La función de transferecia de este problema tiene la siguiente expresión:

( ) ( )( ) ( )( ){ } 12 ii a i i i a ih k k c cω ω ω ω ω

−⎡ ⎤= − − + −⎣ ⎦ (6.119)

Este fenómeno, hace que, a medida que aumenta la velocidad, la función de

transferencia (6.119) deje de tener la forma de un sistema lineal. Además, como puede

apreciarse en la Figura 6.48, la diferencia es más pronunciada en la zona de frecuencias

bajas ya que se corresponden a velocidades reducidas más altas con valores mayores en

el amortiguamiento y rigidez aeroelásticos ca y ka.


341

Figura 6.48 Función de transferencia del sistema al aumentar la velocidad.

El manejo de rigideces y amortiguamientos aeroelásticos que dependen de la frecuencia

hace difícil su empleo para la obtención de la respuesta transitoria. Para resolver este

problema se pueden fijar para una frecuencia determinada quedando una función de

transferencia aproximada. La frecuencia de las matrices aeroelásticas es la frecuencia

del movimiento. En el caso de la oscilación libre, ésta coincide con la frecuencia

amortiguada ωda del sistema. Otra posibilidad es emplear la frecuencia natural de

vibración del sistema ωn obtenida a partir de la rigidez k, como hace Rocchi [38].

En la Figura 6.49 se muestra el módulo y la fase de la matriz de transferencia obtenida

con la fórmula (6.119) en la cual el valor de las matrices kR y cR cambia con la

frecuencia. Se muestra además la función de transferencia obtenida fijando el valor de la

frecuencia en el valor de la frecuencia natural naω que es de 0.8 Hz, y empleando la

frecuencia amortiguada aeroelástica daω . La frecuencia amortiguada aeroelástica se

obtiene de forma iterativa resolviendo las ecuaciones:

( )na a dak kω ω= − (6.120)

( )2

a daa

na

c c ωξ

ω−

= (6.121)

21da na aω ω ξ= − (6.122)

f (Hz) f (Hz)

mod

(h) (

m/N

)

fase

(h) (

rad)


342

El valor al que se llega es de fda = ωda /2π = 0.3548 Hz. De la observación de las

gráficas de la Figura 6.49 se deduce que empleando la frecuencia amortiguada

aeroelástica para generar las matrices aeroelásticas se obtiene una mejor aproximación.

Figura 6.49. Función de transferencia a 4 m/s empleando frecuencia variable ω , la frecuencia

amortiguada aeroelástica ωda y la frecuencia natural del sistema inicial ωn.

A continuación, se han comparado las respuestas frente a un impulso del sistema con

viento de 4 m/s mediante la respuesta transitoria analítica de sistemas con matrices

aeroelásticas con la frecuencia natural ωn, y con la frecuencia amortiguada del sistema

aeroelástico ωda. Estas soluciones aproximadas, se contrastan con la solución obtenida a

través de la transformada rápida de Fourier considerando que las matrices aeroelásticas

varían con la frecuencia de la respuesta. También se ha obtenido la respuesta empleando

integrales de convolución con las funciones indiciales para calcular fuerzas aeroelásticas

deducidas en el apartado 6.4 para la placa plana.

f (Hz) f (Hz)

mod

(h) (

m/N

)

fase

(h) (

rad)

h(ω) ---- h(ωda) ···· h(ωn)

h(ω) ---- h(ωda) ···· h(ωn)


343

Figura 6.50 Respuesta frente al impulso con viento de 4 m/s empleando las matrices

aeroelásticas con frecuencias ωn y ωda, mediante la transformada rápida de Fourier y empleando

funciones indiciales.

Los movimientos obtenidos multiplicando la función de transferencia por la

transformada de la excitación ( IFTR) y los obtenidos por integración paso a paso

empleando la función indicial MΦ α (····· Wilson-θ con indiciales) son idénticos. Además

son los más precisos ya que se emplea la matriz aeroelástica correspondiente a cada

frecuencia. La solución empleando las matrices aeroelásticas con la frecuencia

amortiguada aeroelástica (···· Analítica (ωda)) se acerca más a la solución del problema

que la que emplea la frecuencia natural del sistema con velocidad de viento cero ωn (----

Analítica (ωn))

Excitación armónica bajo viento uniforme Cuando se lleva a cabo la excitación de la placa plana sometida a la acción de un viento

de velocidad constante, sus matrices de rigidez y amortiguamiento varían con la

frecuencia como se ha dicho anteriormente. Si además se ejerce una fuerza armónica

con la forma:

t (s)

ϕ(ra

d) ---- Analítica (ωn)

···· Analítica (ωda) IFTR ····· Wilson-θ con indiciales


344

0( ) sin( )M t M tω= (6.123)

donde M0 = 1 Nm, 2 2 ·1.6nω ω π= = rad/s y condiciones iniciales de reposo total, la

forma de la respuesta que se obtiene es la que se muestra en la Figura 6.51. Dicha

respuesta está formada por una parte transitoria que se amortigua en los primeros

segundos, y una parte estacionaria con la misma frecuencia que la excitación ω . La

parte transitoria tiene componentes en todas las frecuencias. Las soluciones analíticas

que emplean las matrices aeroelásticas fijadas en la frecuencia natural ωn o en la

frecuencia amortiguada aeroelástica ωda no reproducen de forma exacta la respuesta

transitoria ni la respuesta estacionaria. La primera por mantener las matrices

aeroelásticas constantes con la frecuencia y la segunda porque ninguna de las

frecuencias escogidas ωn y ωda coincide con la frecuencia de la excitación ω .

Figura 6.51 Respuesta frente a una carga armónica y viento de 4 m/s empleando las matrices


funciones indiciales.

Excitación bajo viento turbulento Para concluir con el modelo de un grado de libertad de una placa plana se ha analizado

con una carga de viento turbulento. Para una velocidad de viento media de 4 m/s se ha

t (s)

ϕ(ra

d) ---- Analítica (ωn)

···· Analítica (ωda) IFTR ····· Wilson-θ con indiciales


345

generado un viento aleatorio durante 84 s con una frecuencia de muestreo de 95.5 Hz.

El espectro que se ha empleado es el de turbulencia vertical wv del puente sobre el

estrecho de Messina definido por las siguientes expresiones:

2

5/3

6.103· · · ( )S ( , )

1 63.181( )

w ww

w

L I V zz ffL

V z

=⎛ ⎞⎛ ⎞

+⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

(6.124)

0.5

( ) 300200u

zL z ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

, ( ) 0.10· ( )w uL z L z= , (6.125)

0

1( )ln( / )uI z

z z= , ( ) 0.50· ( )w uI z I z= ,(z0 = 0.05 m) (6.126)

Con este espectro y el algoritmo de Shinozuka-Deodatis ha generado la siguiente

fluctuación de velocidad vertical del viento.

Figura 6.52. Viento vertical generado.

A partir de ella se ha generado un momento de bataneo con la siguiente expresión

definida por Scanlan:

2 21 ˆ2

l vb M

wM V B CV

ρ= (6.127)

Con estas fuerzas se ha obtenido la respuesta mediante cinco métodos:

IFTR: emplea la transformada al dominio de la frecuencia para obtener la respuesta y se

considera la solución más precisa ya que tiene en cuenta una variación contínua de la

frecuencia en la construcción de las matrices aeroelásticas.

t (s)

w (m

/s)


346

····· Wilson-θ con indiciales: es el método de integración directa paso a paso las funciones

indiciales para el cálculo de las fuerzas aeroelásticas y el resultado es equivalente al método

IFTR.

---- BSWn: método de Superposición de Bandas sin Aproximación Cuasi Estática empleando la

frecuencia natural para interpolar las funciones de flameo y tantas bandas como frecuencias.

···· BSWda: método de Superposición de Bandas sin Aproximación Cuasi Estática empleando

la frecuencia amortiguada aeroelástica para interpolar las funciones de flameo y tantas

bandas como frecuencias. ---- BSWband: método de Superposición de Bandas sin Aproximación Cuasi Estática

empleando la frecuencia de cada banda para interpolar las funciones de flameo y tantas

bandas como frecuencias.

Las figuras 6.53 y 6.54 muestran la respuesta obtenida mediante cada uno de métodos.

El método BSWband se ajusta a la solución IFTR en la parte estacionaria. Sin embargo,

en los primeros instantes que coinciden con la parte transitoria hay diferecias respecto a

la solución IFTR porque las matrices aeroelásticas se construyen con la frecuencia de

excitación de cada banda que es distinta de la de la respuesta. Las soluciones obtenidas

fijando las matrices aeroelásticas en la frecuencia natural de la estructura BSWn y en la

frecuencia amortiguada aeroelástica BSWda son las que se ajustan peor a la solución.

Figura 6.53. Respuesta de la placa plana frente a las fuerzas de bataneo.

t (s)

ϕ(ra

d)

IFTR ····· Wilson-θ con indiciales ---- BSWn ···· BSWda ---- BSWband


347

Figura 6.54. Respuesta de la placa plana producida por el momento de bataneo durante los

instantes iniciales.

En la Figura 6.55 se muestra el error cometido empleando los tres métodos paso a paso

aproximados. Cuando la frecuencia de las matrices aeroelásticas es la de la excitación

BSWband, se reproduce bien la parte estacionaria. Cuando la frecuencia de dichas

matrices se fija en la frecuencia natural del sistema mecánico o en la frecuencia

amortiguada aeroelástica, la solución se aleja de la aproximada tanto en la parte

transitoria como en la estacionaria. El error cometido empleando la frecuencia

amortiguada aeroelástica que resulta que es de media un 0.089 % que es un poco menor

que cuando se utilizan las frecuencias naturales que es del 0.091 %.

Figura 6.55. Error de las soluciones paso a paso con matrices aeroelásticas constantes con la

frecuencia y de la superposición de armónicos.

t (s)

ϕ(ra

d)

t (s)

ϕ(ra

d)

---- Error BSWn ···· Error BSWda ---- Error BSWband

IFTR ····· Wilson-θ con indiciales ---- BSWn ···· BSWda ---- BSWband


348

Sin embargo, el empleo de matrices aeroelásticas fijadas en ωn y ωda tiene como ventaja

que se controla la estabilidad de la respuesta. En el método de superposición de

armónicos, al contener matrices aeroelásticas con el valor de las primeras frecuencias

conllevar el uso de velocidades reducidas altas que provoquen la inestabilidad por

flameo de la simulación.

6.10.2 Puente sobre el estrecho de Akashi En primer lugar se muestran los resultados de un cálculo con viento laminar. El sistema

mecánico que incluye las matrices aeroelásticas se excita con un impulso inicial para

sacarlo de la posición de equilibrio. Analizando si la respuesta a este impulso se

amortigua o no al avanzar el tiempo, es posible determinar si el sistema presenta

inestabilidad por flameo.

Posteriormente se muestra la respuesta del tablero frente a un viento turbulento obtenida

mediante cinco métodos distintos:

• IFTR: obtención de la respuesta en el dominio del tiempo a traves de la

transformada de Fourier.

• BSWband: método de Superposición de Bandas con la Frecuencia de la banda

sin Aproximación Cuasi Estática.

• BSWda: método de Superposición de Bandas con la Frecuencia Amortiguada

Aeroelástica sin Aproximación Cuasi Estática.

• BSWbandQ: método de Superposición de Bandas con la Frecuencia de la banda

con Aproximación Cuasi Estática.

• BSWdaQ: método de Superposición de Bandas con la Frecuencia Amortiguada

Aeroelástica con Aproximación Cuasi Estática..

Propiedades estructurales y carga de viento Los datos de partida empleados para llevar a cabo las simulaciones en el dominio del

tiempo cuyos resultados se muestran a continuación han sido los mismos con los que se


349

realizó el cálculo del bataneo mediante análisis espectral en el capítulo 5. En particular

se han empleado los mismos modos de vibración, frecuencias naturales y

amortiguamientos estructurales, así como el mismo perfil y espectro de viento,

coeficientes aerodinámicos y aeroelásticos.

Para la realización del cálculo del bataneo en el dominio de la frecuencia en el capitulo

5 se muestreó el espectro de respuesta en frecuencias equiespaciadas 0.0012984 Hz

entre 0 y 1.0374 Hz. Esto se corresponde en el dominio del tiempo con 1600 instantes

muestreados a 2.0374 Hz, es decir 13 minutos de simulación. Con el método de

Shinozuka-Deodatis se ha generado un viento con esta duración a partir de la matriz de

densidad espectral del puente.

La simulación de la respuesta frente a un impulso inicial con viento laminar se ha hecho

empleando el método IFTR con la misma duración que los cálculos frente a viento

turbulento. Para tener la certeza de excitar todos los modos de vibración, se ha

empleado un vector de velocidad inicial en cada nodo calculado sumando todos los

modos de vibración y normalizando el vector resultante para que velocidad nodal

máxima de 1 m/s. De esta manera se tiene una distribución de velocidades iniciales en la

que ningún modo de vibración tiene una aportación nula.

En los métodos de superposición de bandas se han empleado 8 bandas para llevar a cabo

el cálculo siendo la velocidad reducida de corte de la primera banda B0 *0BV = 20. Las

restantes 7 bandas se han repartido equiespaciadas.

En las simulaciones con viento turbulento se han tomado como condiciones iniciales las

resultantes del método IFTR que proporciona una respuesta periódica. Así se pueden

comparar los resultados con los que proporciona el IFTR.

Respuesta con viento uniforme En primer lugar se ha llevado a cabo el cálculo de la respuesta con viento uniforme

mediante el método IFTR confirmando el resultado obtenido para el flameo en el

capítulo 4. En la Figura 6.56 se muestra la respuesta frente al impulso que se ha

obtenido en el centro de vano para velocidades de viento de 60 m/s y de 95 m/s. A 60


350

m/s la respuesta en todos los modos de vibración se amortigua al transcurrir el tiempo.

Por el contrario cuando la velocidad del viento es de 95 m/s, un impulso inicial genera

una respuesta que se hace cada vez más grande en lugar de amortiguarse con el tiempo.

Estudiando la respuesta por separado de cada uno de los modos para esta velocidad de

viento, se observa que precisamente es la respuesta del modo 12 presenta un aumento de

la respuesta mayor (Figura 6.57). La respuesta de los modos 2 y 10 también aumenta

con el tiempo pero de una forma menos apreciable que la del modo 12.

Figura 6.56. Respuesta en el centro del vano principal a un impulso con viento uniforme.


351

Figura 6.57. Respuesta del modo de los modos de vibración 2, 10 y 12.

Respuesta con viento turbulento

El segundo cálculo en el dominio del tiempo que se ha llevado a cabo es el de la

respuesta frente al viento turbulento. En primer lugar se ha generado con el método de

Shinozuka-Deodatis un viento cuya matriz de densidad espectral se define con las

expresiones del apartado 5.5.2. A partir de este viento se han obtenido las fuerzas

aeroelásticas y de bataneo, y posteriormente la respuesta de la estructura en el dominio

del tiempo mediante los cinco métodos.

En la Figura 6.58 se muestran los desplazamientos y aceleraciones a lo largo del tiempo

del nudo central del tablero obtenidos mediante estos cinco métodos pero para su mejor

comprensión se han obtenido gráficas de las desviaciones típicas o RMS a lo largo del

tablero que se muestran en la Figura 6.59. En estas gráficas se observa que las

desviaciones típicas obtenidas con los tres métodos que no emplean la teoría cuasi


352

estática son similares entre sí y muy parecidas a las obtenidas en el dominio de la

frecuencia como se explica en el capítulo 5. Por el contrario los dos métodos que

emplean la teoría cuasi estática para calcular la respuesta frente a las frecuencias bajas

proporcionan resultados notablemente distintos. En primer lugar la desviación típica de

las vibraciones laterales es un 40 % menor. En el caso del movimiento vertical los

métodos con aproximación cuasi estática proporcionan resultados un 10 % por debajo

del valor resultante de los métodos que no emplean esta aproximación y un giro por

torsión un 15 % menor. Las diferencias en las respuestas obtenidas en los movimientos

verticales y torsionales no son especialmente significativas para este tipo de cálculos

aunque sí la de los movimientos laterales que resultan bastante más pequeños.


353

Figura 6.58. Desplazamientos y aceleraciones en el centro del vano para una velocidad de viento

de 60 m/s a 70 m de altura.

IFTR BSWband BSWda BSWbandQ BSWdaQ







354

Figura 6.59. Desviaciones típicas de los movimientos calculados mediante los distintos

métodos.








355

Katsuchi [26] comparó el resultado de sus cálculos de la respuesta frente al bataneo

empleando el análisis espectral con las mediciones del modelo de puente completo del

túnel de viento del Ministerio de la Construcción en Tsukuba (Japón). Los resultados de

desplazamiento vertical y giro a torsión obtenidos por Katsuchi se aproximaban bien a

las mediciones experimentales. Sin embargo en el caso del desplazamiento lateral,

obtuvo una desviación típica dos veces más grande de lo esperado. Katsuchi achacaba

estas discrepancias entre sus cálculos y los resultados experimentales al empleo de

funciones de flameo laterales aproximadas en lugar de funciones de flameo medidas

mediante un ensayo seccional. También apuntaba a que la causa posible de este error

inesperado en los resultados pudiera provenir de que la estimación de la varianza de las

vibraciones del modelo de puente completo se hiciera con períodos de tiempo más

cortos de lo necesario. Para el cálculo de las desviación típica de los desplazamientos

del modelo completo, se emplearon mediciones de los desplazamientos de un tiempo en

el túnel de viento equivalente a 10 minutos en el puente real. Teniendo en cuenta que el

período del primer modo de vibración del puente sobre el estrecho de Akashi es de 26

segundos, el tiempo de medición eran 23 períodos de oscilación.

Con los métodos que emplean la teoría cuasi estática para la excitación a frecuencias

bajas se obtiene una desviación típica para los desplazamientos laterales más cercanos a

los resultados experimentales.

6.10.3 Puente sobre el estrecho de Messina

Propiedades estructurales y carga de viento Para el presente ejemplo se han utilizado los modos de vibración, frecuencias naturales

y amortiguamientos estructurales, coeficientes aerodinámicos y aeroelásticos del

apartado 5.6.

Se han empleando también el perfil y espectro de viento que se definían en este mismo

apartado muestreadas a intervalos de 0.0012984 Hz entre 0 y 1.0374 Hz. A partir de la

matriz de densidad espectral obtenida para estas frecuencias se ha generado viento

empleando el método de Shinozuka-Deodatis con una duración de 12 minutos y 49

segundos. Esta duración se considera suficiente dado que la estabilidad frente al flameo


356

y la respuesta frente al bataneo se estudia normalmente en los ensayos de modelo

completo para periodos de viento equivalentes de diez minutos.

Para la obtención de la respuesta con viento laminar se emplea un impulso inicial que

produce una velocidad inicial máxima de 1 m/s igual que en el ejemplo anterior. La

velocidad reducida a partir de la cual se ha empleado la aproximación cuasi estática en

el método de superposición de bandas ha sido 20. Las velocidades reducidas entre 0 y

20 se han dividido en 8 bandas iguales.

Respuesta con viento uniforme En primer lugar se presentan los resultados de la respuesta frente a un impulso con

viento laminar. Los resultados confirman la velocidad de flameo obtenida con el análisis

de autovalores del ejemplo que se muestra en el capítulo 4. En la Figura 6.60 se

muestran los desplazamientos lateral v, vertical w y torsional ϕx del nudo central del

vano principal del puente del estrecho de Messina. Para una velocidad media a 70 m de

altura de 60 m/s los movimientos se amortiguan. Por el contrario cuando la velocidad es

de 140 m/s, superior a la velocidad de flameo, los desplazamientos se amplifican al

transcurrir el tiempo. El movimiento que más rápido crece es el movimiento vertical,

pero los movimientos lateral y torsional crecen también al avanzar la simulación.


357

Figura 6.60. Respuesta frente a un impulso con viento laminar. Movimientos en el centro de

vano.


358

Respuesta con viento turbulento

A continuación se ha llevado a cabo el cálculo de la respuesta frente al bataneo en el

dominio del tiempo generando un historial de viento cuyas propiedades estadísticas se

ajusten a las requeridas para el proyecto y calculando la respuesta estructural para este

viento. Se presentan los resultados de los cinco tipos de cálculo que se mencionaron

anteriormente.

En la Figura 6.61 se representan los desplazamientos y aceleraciones del nudo central

del tablero a lo largo del tiempo obtenidos mediante estos cinco métodos. Para

cuantificar los resultados se han comparado las desviaciones típicas o RMS a lo largo

del tablero. Igual que en el ejemplo del puente sobre el estrecho de Akashi, los

resultados obtenidos mediante los métodos que no emplean la aproximación cuasi

estática son prácticamente equivalentes. Por el contrario los métodos que resuelven la

respuesta frente a las fuerzas de bataneo de frecuencias bajas difieren ostensiblemente

de los del otro tipo de métodos. En la Figura 6.62 se observa que las desviaciones

típicas de los tres métodos que no emplean la teoría cuasi estática difieren en menos de

un 5 %. Sin embargo, los resultados de los otros dos métodos son muy distintos. Los

desplazamientos laterales que resultan de emplear la teoría cuasi estática en la banda 0

son un 45 % menores. Asimismo, el movimiento vertical es un 20 % más pequeño

mientras que el giro por torsión es un 30 % menor.

En el presente ejemplo se han empleado los coeficientes aerodinámicos y las 18

funciones de flameo de la misma sección obtenidas mediante las técnicas existentes más

actuales en el túnel de viento de la E.T.S.I. de Caminos, Canales y Puertos de La

Coruña. Por ello las discrepancias entre los resultados entre emplear o no la

aproximación cuasi estática para la excitación a bajas frecuencias no se pueden achacar

a los parámetros obtenidos en el laboratorio. Sin embargo, dado que no se tienen los

resultados de un modelo de puente completo, no es posible dictaminar cuál de los

diferentes tipos de métodos se acerca más a la realidad.


359

Figura 6.61. Movimientos y aceleraciones en el nudo central durante la simulación completa.








360

Figura 6.62. Desviación típica de los desplazamientos y aceleraciones a lo largo del tablero.








361

6.11 REFERENCIAS


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367

CAPÍTULO 7

PROGRAMA NLAB

7.1 INTRODUCCIÓN

En este capítulo se describe el funcionamiento del nuevo software desarrollado durante

la elaboración de la presente tesis denominado NLAB, acrónimo que hace referencia al

siguiente título en inglés: Non linear Aeroelasticity in Bridges. El software NLAB ha

sido creado con el lenguaje de programación técnica MATLAB en su versión 6.5.

Empleando este software se han obtendido todos los resultados mostrados en los

ejemplos de los capítulos precedentes, es decir, permite obtener la deformada del puente

considerando el ángulo de ataque variable a lo largo del tablero, permite el análisis del

flameo y del bataneo y permite obtener la respuesta en el dominio del tiempo por los

métodos explicados en el capítulo 6. El programa NLAB consta de una ventana

principal (Figura 7.1) que sirve para ejecutar las rutinas de cálculo y de un sistema de

carpetas y archivos (Figura 7.2) en donde se introducen los datos de entrada y se

almacenan los resultados. En los siguientes apartados se explican detalladamente los

diez comandos de la ventana principal junto con el sistema de carpetas y archivos del

programa.

Capítulo 7 PROGRAMA NLAB

368

Figura 7.1. Ventana principal del programa NLAB.

Figura 7.2. Sistema de carpetas del programa NLAB.


369

7.2 INSTALACIÓN

El software NLAB se distribuye como un archivo comprimido con winrar. Al

descomprimirse este archivo se crea la carpeta NLAB, un archivo de ayuda

Instrucciones.txt y el programa mglinstaler.exe como se muestra en la Figura 7.3.

Figura 7.3. Resultado de descomprimir el archivo NLAB.rar.

El programa mglinstaler debe ejecutarse primero para que se instalen las librerías que

requiere NLAB para su correcto funcionamiento. Las librerías se descomprimen en una

carpeta designada por el usuario cuya ruta deberá añadirse a la variable de entorno de

windows llamada Path. Para ello hay que:

- Pulsar con el botón derecho sobre el icono de mi pc y darle a propiedades del

sistema.

- A continuación pulsar el botón variables de entorno (Figura 7.4).

- Ejecutar después el botón modificar con el cursor sobre la variable Path (Figura

7.5).

- Añadir la ruta de la carpeta donde se descomprimieron los archivos del

programa mglinstaler.exe y guardar.


370

Figura 7.4. Ventana de Propiedades del sistema.

Figura 7.5. Ventana de Variables de entorno.


371

Para el correcto funcionamiento del programa se recomienda emplear para separador

decimal la coma y para separador de miles el punto. Las características mínimas

requeridas y recomendadas para el funcionamiento son:

Configuración mínima

Configuración recomendada

Sistema Operativo Windows 98 Windows XP CPU 1,5 GHz 3 GHz Memoria 256 Mb 1 Gb Espacio en disco duro 300 Mb 2 Gb

7.3 DESCRIPCIÓN DEL PROGRAMA Seguidamente se describen cada uno de los comandos de la ventana principal.

00 Input

El primer comando de la ventana NLAB denominado 00 Input que se señala en la

Figura 7.6 sirve para:

• Almacenar datos en memoria.

• Prepararlos para los diversos tipos de análisis.

• Elaborar gráficas con los datos proporcionados.


372

Entrada de datos

Figura 7.6. Botón de entrada de datos.

Para ello, el usuario debe preparar una serie de archivos de texto con nombres y

extensiones adecuadas y almacenarlos en la carpeta 00Input según se muestra en la

Figura 7.7.


373

Figura 7.7. Carpeta de entrada de datos 00Input.

El usuario además debe definir una serie de funciones que describen las características

del viento a través de varias librerías que se encuentran en la carpeta principal.

00.1 Archivos de datos

Archivo bridge.str

El archivo bridge.str es un archivo de texto que debe escribirse con el formato de la

Figura 7.8 y contiene diversos datos geométricos y estructurales del puente:

• B(m): Ancho del tablero en metros.

• Bcat(m): Diámetro de los cables principales en metros.

• Chi: Amortiguamiento adimensional de la estructura ξ.

• Nodes: Número de nudos en una línea central del tablero y de los cables

principales en el modelo estructural. En la Figura 7.9 se muestra cómo deben

numerarse los nudos del tablero de forma correlativa. En ese ejemplo el número

de nudos del tablero es 7.

• Modesflutter: Número de modos que se emplean en el cálculo del flameo.


374

• Modesbuffeting: Número de modos que se emplean en el cálculo del bataneo.

• quarter_span_node: Número del nudo en un cuarto del vano principal.

• mid_span_node: Número del nudo en el centro del vano principal.

Figura 7.8. Archivo bridge.str.

1 2

3 4 5 6 7

Figura 7.9. Nudos en una línea central del tablero.

Archivo bridge.wnd

En este archivo se definen las condiciones de viento que afectan al puente como se

enumera a continuación.

• ro(T/m^3): densidad del aire considerada. Entre paréntesis aparecen las unidades

en que debe introducirse obligatoriamente este dato.

• Vini(m/s): velocidad mínima del viento para la cual se desea conocer la

respuesta del puente. Se emplea en el cálculo de la demormada estática, de la

velocidad de flameo y en el cálculo del bataneo en el dominio de la frecuencia.


375

• Vfin(m/s): velocidad máxima del viento a la que se lleva a cabo el cálculo de la

deformada estática, de velocidad de flameo y en el cálculo del bataneo en el

dominio de la frecuencia.

• Vinc(m/s): incremento de velocidad de viento durante el cálculo de la deformada

estática, de la velocidad de flameo y del cálculo del bataneo en el dominio de la

frecuencia.

• Vtdm(m/s): velocidad de viento a la cual se llevan a cabo los cálculos en el

dominio del tiempo.

• zref(m): altura a la cual se considera la velocidad de viento.

Figura 7.10. Archivo bridge.wnd.

Archivo bridge.ana

El programa NLAB tiene un módulo para el análisis espectral de la respuesta de un

puente colgante frente al bataneo. También permite el análisis en el dominio del tiempo

con un viento laminar y con viento turbulento. Estos análisis requieren de los siguientes

datos almacenados en el archivo bridge.ana de la carpeta 00Input (Figura 7.11).

Figura 7.11. Archivo de entrada de datos bridge.ana.

• ffin: es la frecuencia máxima para la cual se calculan los espectros de viento, los

de fuerzas de bataneo y los de la respuesta en movimientos de la estructura, así


376

como la frecuencia máxima de la matriz de transferencia. La frecuencia mínima

es 0 Hz.

• finc: es la separación entre frecuencias a las cuales se lleva a cabo el cálculo.

• Nband: es el número de bandas en que se divide el rango de frecuencias del

problema cuando se realiza un análisis en el dominio del tiempo mediante el

método de superposición de bandas.

• VsteB0: es la velocidad reducida V* límite que separa la Banda 0 que contiene

las frecuencias bajas del resto de bandas con frecuencias altas.

• timetransit(s): es el valor del tiempo inicial en segundos a partir del cual se

calcula la desviación típica de los movimientos durante la simulación. Sirve para

eliminar la parte transitoria de una simulación en el dominio del tiempo.

• fps: es el número de imágenes por segundo con el que se genera un video con el

movimiento de la sección central y la sección a un cuarto de vano.

• Speed(X): es el multiplicador de la velocidad del video que se genera. Las

vibraciones del tablero tienen frecuencias muy bajas por lo que conviene

visualizarlas a mayor velocidad de la real.

Archivo bridge.sec

Una vez obtenida la respuesta del puente en el dominio del tiempo el programa NLAB

genera un video con los movimientos de la sección central y de la sección a un cuarto

del vano. Con el fin de que la forma de la sección sea la del puente que se está

analizándo, deben escribirse las coordenadas de los vértices de dicha sección en el

archivo bridge.sec. El formato de este archivo se muestra en la Figura 7.12 y está

formado por dos columnas con las coordenadas x y de los vértices en metros.

Figura 7.12. Archivo bridge.sec.


377

Archivos naturalmodes.mod y naturalmodescat.mod

Los archivos naturalmodes.mod y naturalmodescat.mod sirven para proporcionar la

forma de los modos naturales del tablero y de los cables principales al programa NLAB.

Los modos se escriben consecutivamente. Cada modo comienza con una línea que

contiene en primer lugar la numeración del modo y en segundo lugar la frecuencia

natural en rad/s. A continuación se escriben tantas filas como nudos tenga el tablero o

los cables principales según se trate de uno u otro archivo. En la primera columna se

escribe la numeración del nudo. En las columnas 2 a 4 se escriben los desplazamientos

de los modos en los ejes x, y y z, mientras que las columnas 5 a 7 sirven para introducir

los giros ϕx, ϕy y ϕz.

Figura 7.13. Archivo naturalmodes.mod.

Figura 7.14. Archivo naturalmodescat.mod.

Archivos xyzcoord.nod y xyzcoordcat.nod

Los archivos xyzcoord.nod y xyzcoordcat.nod sirven para definir las coordenadas de los

nudos del tablero y de los cables principales respectivamente. Estas coordenadas se

emplean en las subrutinas de cálculo para definir las condiciones de viento. Las

coordenadas se ordenan por filas siguiendo la numeración de los nudos de un extremo al

otro del puente igual que en los archivos naturalmodes.mod y naturalmodescat.mod. En

el archivo xyzcoordcat se proporcionan primero las coordenadas de todos los nudos de

uno de los cables principales y a continuación todos los del otro. En la primera columna


378

se escriben las coordenadas x, en la segunda las coordenadas y, y en la tercera las

coordenadas z.

Figura 7.15. Archivo xyzcoord.nod.

Figura 7.16. Archivo xyzcoordcat.nod.

Archivo selmodes.mod

En este archivo se indican los modos en los que el tablero tiene movimientos.

Figura 7.17. Archivo selmodes.mod.

Archivo stcoef.clm

En este archivo se introducen los valores de los coeficientes aerodinámicos para los

distintos ángulos de ataque. En la primera columna se introduce el ángulo de ataque en

grados. En las siguientes columnas se introducen los coeficientes CD, CL y CM.


379

Figura 7.18. Archivo stcoef.clm

El sentido positivo del ángulo de ataque α y de las fuerzas aerodinámicas se muestran

en la Figura 7.19.

V

Ls

Ms α

Ds

Figura 7.19. Criterio de signos de las fuerzas aerodinámicas y del ángulo de ataque.

Archivos angles.txt y fluder_

Las funciones de flameo para los distintos ángulos de ataque deben guardarse en la

carpeta fluder que se encuentra en la carpeta 00Input como se observa en la Figura 7.20.

La manera de indicarle al programa NLAB los ángulos de ataque para los cuales se

tienen funciones de flameo es escribiéndolos en el archivo angles.txt como se muestra

en la Figura 7.21. El criterio de signos para el ángulo de ataque es el mismo que se

emplea para los coeficientes aerodinámicos. Las funciones de flameo deben

almacenarse en archivos de texto con el nombre fluder_ seguido del ángulo de ataque y

de la extensión del archivo. Por ejemplo la función de flameo *2a con -3º de ángulo de

ataque se almacena en el archivo fluder_-3.a2. Esta extensión es el nombre de la

función de flameo que se almacena en dicho archivo. Si se dispone de las funciones de

flameo para un único ángulo de ataque deben duplicarse con otro distinto para simular

de esta manera que no varían con el ángulo de ataque.


380

Figura 7.20. Carpeta fluder.

Figura 7.21. Archivo angles.txt.

Cada archivo que contiene los valores de una función de flameo tiene el mismo formato

que se muestra en el ejemplo de la Figura 7.22. La primera columna contiene la

velocidad reducida V*=2πV/(ωB). La segunda columna contiene el valor de la función

de flameo según el convenio de Zasso. A partir de los valores de las funciones de

flameo que se proporcionan en estos archivos el programa interpola linealmente para las

velocidades reducidas que necesita, y extrapola manteniendo el último valor cuando se

requiere un valor de función para una velocidad reducida V* mayor de la que contiene el

archivo. Para evitar la aparición de errores numéricos todos los archivos de funciones de

flameo deben comenzar con el valor finito en el origen.


381

Figura 7.22. Archivo con la función de flameo a1

*.

Las fuerzas aeroelásticas según el convenio de signos de Zasso que aparecen en la

Figura 7.23 son:

( )

( )

2 * * * * * *5 2 3 6 1 4*2 *2

2 * * * * * *1 2 3 4 5 6*2 *2

1( , )2 2 2

1( , )2 2 2

y

z



ω ω

ω ω

θ π πω ρ θ

θ π πω ρ θ

⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − + + − +⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦

⎡ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − + + − +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎣

( )2 2 * * * * * *1 2 3 4 5 6*2 *2

1( , )2 2 2


ω ω

θ π πω ρ θ

⎤⎢ ⎥

⎦⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − + + − +⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦

(7.1)

V z Fz

Fθ θ

Fy

y

Figura 7.23. Criterio de signos de Zasso.

00.2 Modificación de librerías

El programa NLAB necesita los datos que caracterizan la naturaleza del viento, como

pueden ser las matrices de densidad espectral, las funciones de admitancia, la función de

coherencia o el perfil de viento en altura. La definición de estos datos se realiza

mediante funciones programadas en código Matlab que el usuario puede modificar a su

criterio. Estas funciones deben compilarse como librerías dinámicas con extensión .dll


382

mediante el comando de Matlab mcc –x nombredelarchivo.m y almacenarse en la

carpeta principal del programa NLAB como se muestra en la Figura 7.24. La primera

vez que se ejecuta este comando en MATLAB se requiere identificar el compilador a

emplear. Se recomienda utilizar el compilador que se suministra con el propio

MATLAB: Lcc versión 2.4. Para seleccionar este compilador hay que ejecutar en la

línea de comandos de MATLAB mbuild –setup.

Figura 7.24. Carpeta principal del programa NLAB.

Librería doVz.dll

El archivo doVz.dll se emplea para la introducción del perfil de viento en el programa

NLAB. Las variables de entrada de esta función son:

• z: vector columna con las cotas de los nudos.

• Vzref: Velocidad media de referencia.

• zref: Cota en la que se mide la velocidad media de referencia.


383

Esta función devuelve un vector columna “Vz” con la misma dimensión que “z” con el

valor de las velocidades medias a las cotas solicitadas. A continuación se muestra un

ejemplo del código fuente doVz.m:

function [Vz]=doVz(z,Vzref,zref) %-------------------------------------------------------------------------- % Calculating the wind velocity at each node. Messina. %-------------------------------------------------------------------------- % This subroutine calculates the mean wind speed for each node of the % bridge deck. % % INPUT % [z] : Vertical coordintates of the nodes. % [Vzref]: Reference mean wind speed at zref. % [zref]: Heigh of reference. % % OUTPUT % [Vz] : Vector with the mean wind at each node. % % OTHER VARIABLES % [alfad]: Wind direction factor. % [alfar]: Return factor, associated with the checking level. % [z0]: Standard roughness length. % [kr]: Roughness coefficient. % format long; z0=0.01; kr=0.17; alfad=1; %alfar=1.00; %SLS1 %alfar=1.07; %SLS2 alfar=1.21; %SLU % %alfar=1.35; %SLIS if (Vzref/(alfad.*alfar))<(0.01.*zref) Vz=zeros(size(z)); else Vref=(Vzref/(alfad.*alfar) - 0.01.*zref)./(kr.*log(zref./z0)); Vz=alfad.*alfar.*(Vref.*kr.*log(z./z0)+0.01.*z); end return

Librería doSund.dll

Las funciones que definen el espectro del viento se encuentran en el archivo doSund.dll.

Las variables de entrada de esta librería son:

• V: un vector con el valor de las velocidades medias en cada uno de los nudos del

tablero.

• z: un vector con el valor de la altura con respecto al suelo de cada uno de los

nudos del tablero.

• f: el valor de la frecuencia en Hz para la cual se desea conocer el valor del

espectro.


384

En este archivo se definen también todos los valores de intensidad de turbulencia,

rugosidad, etc. que se necesiten para obtener los espectros del viento. La función

doSund.m devuelve una matriz Sund que almacena las submatrices 2x2 del espectro del

viento en cada uno de los nudos ordenadas en columnas:

T

1 2

( ) v v v v v v v v v v v v

v v v v v v v v v v v v

u u w u u u w u u u w uund

u w w w u w w w u w w w n

S S S S S Sf

S S S S S S

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

S (7.2)

A continuación se muestra un ejemplo de código fuente doSund.m

function [Sund]=doSund (U,z,f,Nodes) %-------------------------------------------------------------------------- % Calculating the value of the power espectral density function. Messina. %-------------------------------------------------------------------------- % This subroutine calculates the power espectral density functions for each % node of the deck of the bridge. % % INPUT % % [U]: Velocity of the wind at each node. % [z]: Height of each node. % [z0]: Standard roughness length % [omega]:Frecuency in rad/s % % OUTPUT % % [Su]: Power espectral density matrix for each node. Su is a matrix % with dimensions 3 X (3*number of nodes) % % [Su]'=|Suu Swv| |Suu Swv| ... |Suu Swv| % |Svw Sww|1 |Svw Sww|2 |Svw Sww|last node % % format long; z0=0.05; Sund=zeros(2*(Nodes),2); Iu=1./log(z./z0); Iv=0.75*Iu; Iw=0.50*Iu; Lu=300*(z./200).^0.5; Lv=0.25*Lu; Lw=0.10*Lu; % Suu Sund(1:2:2*Nodes,1)=(6.868.*Lu.*(Iu).^2.*U)./((1+10.302.*((f.*Lu)./U)).^(5/3)); % Error Pliego? % Sww Sund(2:2:2*Nodes,2)=(6.103.*Lw.*(Iw).^2.*U)./(1+63.181.*(((f.*Lw)./U)).^(5/3)); if f==0 Sund(1:2:2*Nodes,1)=zeros(Nodes,1); Sund(2:2:2*Nodes,2)=zeros(Nodes,1); end return

Librería doGamma.dll


385

La función de coherencia se introduce en la librería doGamma.dll que se encuentra en la

misma carpeta. Las variables de entrada de esta función son:

• V: vector con las velocidades medias en cada nudo del tablero.

• x, y, z: vectores con las coordenadas de los nudos del tablero.

• f: el valor de la frecuencia en Hz para la cual se desea conocer el valor de la

coherencia.

En el código doGamma.m de la librería doGamma.dll se definen las escalas de

turbulencia y otras constantes que se necesiten para definir las funciones de coherencia.

La función devuelve una matriz de dimensiones 2n x 2n donde n es el número de nudos

del tablero. Esta matriz se divide en n x n submatrices de 2 x 2. Cada submatriz ij está

formada por las coherencias entre las direcciones de viento uv y wv de dos modos ij. La

forma de esta matriz es la siguiente:

11 12 1

21 22

1



v v v v v v v v

v v v v v v v v

v v v v v v v v

v v v v v

u u u w u u u w u u u w

w u w w w u w w w u w w n

u u u w u u u w

w u w w w u w w

u u u w u u u w

w u w w wn

γ γ γ γ γ γ

γ γ γ γ γ γ

γ γ γ γ

γ γ γ γ

γ γ γ γ

γ γ γ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟Γ = ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ v v vu w w nn

γ

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

(7.3)

Un ejemplo de código fuente doGamma.m es:

function [Gamma]=doGamma (Nodes,x,y,z,Vz,f); %-------------------------------------------------------------------------- % Function that creates a matrix with the coherences. Messina. %-------------------------------------------------------------------------- % This subroutine calculates a matrix of dimension 2*Nodes X 2*Nodes that % contains the values of the coherences Gamma. % % INPUT % % [Nodes*:Number of nodes in the bridge deck. % [x,y,z]:Coordinates of the nodes % [c]: Matrix with the decay constants c. % [Vz]: Velocity of the wind at each node. % [f]: Frecuency in Hz % % |cuy cwz| % [c]= |cuy cwz| %


386

% OUTPUT % % [Gamma]: % % % format long; c=[6.5,3,6.5;10,3,10;6.5,0.5,3]; %Decay constants for coherence matrix. Messina. Gamma=zeros(2*Nodes,2*Nodes); [xi,xj]=meshgrid(x,x); incx2=(xi-xj).^2; clear('xi','xj'); [yi,yj]=meshgrid(y,y); incy2=(yi-yj).^2; clear('yi','yj'); [zi,zj]=meshgrid(z,z); incz2=(zi-zj).^2; clear('zi','zj'); [Ui,Uj]=meshgrid(Vz,Vz); sumU=(Ui+Uj); clear('Ui','Uj'); c=c.^2; Gamma(1:2:2*Nodes,1:2:2*Nodes)=((c(2,1)*incx2 +c(2,2)*incy2 +c(2,3)*incz2).^0.5) ./sumU; Gamma(2:2:2*Nodes,2:2:2*Nodes)=((c(3,1)*incx2 +c(3,2)*incy2 +c(3,3)*incz2).^0.5) ./sumU; Gamma=exp(-2.*f.*Gamma); return

Librería doGi.dll

Las funciones de admitancia se introducen en la librería doGi.dll. La rutina de cálculo

principal le envía a esta función un vector con las velocidades en cada nudo V, el ancho

del tablero B, y la frecuencia f. La función doGi.dll devuelve una matriz formada por las

submatrizes 3x2 de la siguiente forma:

T

21

1 2

1Gi( )2

v v v v v v v v v

v v v v v v v v v

Du Lu Mu Du Lu Mu Du Lu Mu

Dw Lw Mw Dw Lw Mw Dw Lw Mw n

f B Vχ χ χ χ χ χ χ χ χ

ρχ χ χ χ χ χ χ χ χ

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

(7.4)

Ejemplo de código fuente doGi.m de la librería doGi.dll:

function [Gi]=doGi(N,Nodes,B,Vz,f); %-------------------------------------------------------------------------- % Calculating Akashi Admitances. %-------------------------------------------------------------------------- % This subroutine calculates a matrix with the same structure of Pb which % contains the value of the admitances for the frequency f. % % INPUT % % [N]: Total number of degrees of freedom. % [Nodes]: Number of points to represent the bridge deck. % [B]: Bridge deck width. % [D]: Bridge dech height % [Vz]: Wind velocity for each node. % [c]: Matrix with the decay constats of the turbulence in each % considerated axis. % [f]: Frequency for which we want the admitances. % % OUTPUT %


387

% |Gi1| | Xd Xd| % [Gi]=|Gi2| Pbi= 1/2*ro*U^2*B | Xl Xl| % | ... | | Xm Xm|i % |Gin| % format long; % Defining variables. a=0.1811; c=8*ones(2,2); %Decay constants for coherence matrix. Akashi. D=14; % Height of the deck. % Admitance of Davenport for drag. fp=f.*D./Vz; if fp==0 Gid=0; else Gid=(2./(c(1,1).*fp).^2.*(c(1,1).*fp-1+exp(-c(1,1).*fp))).^.5; end % Admitance of Sears for lift and moment. fpp=pi.*f.*B./Vz; Gil=ones(size(Vz)); Gim=Gil; % Assembling Gi. Gi=zeros(3*Nodes,2); Gi(1:3:N,1)=Gid; Gi(1:3:N,2)=Gid; Gi(2:3:N,1)=Gil; Gi(2:3:N,2)=Gil; Gi(3:3:N,1)=Gim; Gi(3:3:N,2)=Gim; return

Librería doPb.dll

La librería doPb.dll es utilizada por el programa NLAB para la creación de la matriz Pb

para cada nudo considerado en el cálculo.

2

ˆ2

ˆ2 ( )12

ˆ2

v v

v v

v v

D DDu Dw

L L Dbi Lu Lw

M MMu Mw

i

C CV VC C CV BlV VC CB BV V

χ χ

ρ χ χ

χ χ

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟+

= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

P (7.5)

No es necesario modificar esta librería mientras se trabaje con la teoría de Scanlan. En

cualquier caso se presenta a continuación el código de la librería que viene con el

programa.

function [Pb]=doPb_Messina(Nodes,N,B,alfa,Lbarras,ro,Vz,Cd,Cl,Cm); %-------------------------------------------------------------------------- % Calculating the matrix Pb. %-------------------------------------------------------------------------- % This subroutine calculates the matrix Pb which is needed to transform the % cross espectral matrix of wind into the cross espectral matrix of % buffeting forces.


388

% % INPUT % % [Nodes]: Number of points to represent the bridge deck. % [N]: Total number of degrees of freedom. % [B]: Bridge deck width. % [alfa]: Angle of attack of bridge deck at each node (deg). % [Lbarras]: Vector (N/6-1)x1 with the length of the bars of the % bridge deck. % [ro]: Density of the air in [kg/m3]. % [Vz]: Wind velocity for each node. % [Cd,Cl,Cm]: Matrixes which contains the aerodynamic coeficients for % diferent angles of attack. % % OUTPUT % % |Pb1| | (2Cd/U) 2(Cdp/U) | % [Pb]=|Pb2| Pbi= 1/2*ro*U^2*B | (2Cl/U) 2(Clp+Cd)/U | % |...| | B·(2Cm/U) B·2(Cmp/U) |i % |Pbn| % format long; % Interpolating the coeficients for an angle of attack. [Cdi,Cdpi,Cli,Clpi,Cmi,Cmpi]=aerodynprima(Cd,Cl,Cm,alfa); % Obtaining effective bar length. Lbtribut=[Lbarras;0]/2+[0;Lbarras]/2; % Calculating Pb. Pb=zeros(3*Nodes,2); Pb(1:3:N,1)=(2*Cdi.*Vz).*Lbtribut; Pb(1:3:N,2)=(Cdpi.*Vz).*Lbtribut; Pb(2:3:N,1)=(2*Cli.*Vz).*Lbtribut; Pb(2:3:N,2)=((Clpi+Cdi).*Vz).*Lbtribut; Pb(3:3:N,1)=-(B*2*Cmi.*Vz).*Lbtribut; Pb(3:3:N,2)=-(B*Cmpi.*Vz).*Lbtribut; %Different sign criteria for forces in wind and structure. Pb=1/2*ro*B*Pb; return

00.3 Adquisición y representación gráfica de los datos Una vez preparados los archivos y compiladas las librerías como se describe en los

apartados anteriores, debe ejecutarse la rutina de entrada de datos pulsando el comando

00 Input de la ventana principal de NLAB. Con ello se cargan los datos en memoria

para poder realizar los cálculos con el resto de comandos.

El software ofrece la posibilidad de representar gráficamente gran parte de los datos de

entrada definidos. El programa genera imágenes en formato jpg en la subcarpeta plots

(Figura 7.25) que se encuentra dentro de la carpeta 00Input. En primer lugar se dibuja el

movimiento del tablero de cada uno de los modos de vibración en un archivo cuyo

nombre está formado por la palabra mode más el número del modo (Figura 7.26). En los

archivos modecat (Figura 7.27) se dibuja el movimiento de los cables principales en los

modos de vibración. Las funciones de flameo las almacena en archivos que comienzan


389

por la palabra fluder (Figura 7.28). También dibuja los coeficientes aerodinámicos en el

archivo Stcoef.jpg (Figura 7.29) y sus derivadas con respecto al ángulo de ataque en el

archivo Stcoefp.jpg (Figura 7.30).

Figura 7.25. Subcarpeta plots con las gráficas de las variables de entrada.

Figura 7.26. Representación del modo 1 del tablero normalizado a la masa en el archivo

mode001.jpg. Desplazamientos ▬ lateral, – · – vertical y ··· torsional.


390

Figura 7.27. Representación del modo 1 de las catenarias en el archivo modecat001.jpg.

Figura 7.28. Archivo fluder_a_1.jpg en el que se representa la función de flameo a1

*.


391

Figura 7.29. Archivo Stcoef.jpg para los coeficientes aerodinámicos.

Figura 7.30. Ejemplo de archivo Stcoefp.jpg para las derivadas de los coeficientes

aerodinámicos respecto del ángulo de ataque.

El programa representa también los espectros del viento en el nudo central del tablero y

las funciones de coherencia almacenando dichas gráficas en la carpeta 00input\plots.

Los espectros del viento en el nudo central se almacenan en los archivos Suu1_2.jpg,

Suw1_2.jpg y Sww1_2.jpg (Figura 7.31). Las funciones de coherencia del nudo central

con el nudo contiguo se almacenan en los archivos gammauu1_2.jpg, gammauw1_2.jpg

y gammaww1_2.jpg (Figura 7.32).


392

Figura 7.31 Archivo Suu1_2.jpg con el espectro de fluctuaciones de viento en el nudo central

del tablero.

Figura 7.32. Archivo gammauu1_2.jpg con las funciones de coherencia.

01 Static Deformation

Una vez que se han adquirido los datos de entrada tras pulsar el comando 00 Input, debe

calcularse la deformada provocada por la carga estática que produce el viento. La razón

es que el programa NLAB conozca el ángulo de ataque efectivo entre el viento y el

tablero en el resto de cálculos. Para ello se pulsa el comando 01 Static Deformation

como se indica en la Figura 7.34 ejecutándose la rutina que calcula la deformada

mediante el análisis no lineal en donde la rigidez estructural se toma a velocidad nula y


393

las cargas de viento fs estáticas se consideran variables en función del ángulo de ataque

α.

0· ( ( ))V s= =K u f α u

Figura 7.33. Comando 01Static Deformation que calcula la deformada estática del puente. .

El programa calcula la deformada u debida a la carga estática para cada velocidad de

viento Vref empleando los coeficientes aerodinámicos en la obtención de las fuerzas

aerodinámicas fs de dos formas distintas. En la primera se emplean los coeficientes

aerodinámicos para 0º de ángulo de ataque. Por el contrario en la segunda los

coeficientes se interpolan para el ángulo de ataque resultante de componer la dirección

del viento (0º) con la deformación del tablero. Por tanto la fuerza depende de la

deformación por lo que el programa recurre a un proceso iterativo denominado en el

apartado 4.3 como método incremental-iterativo en fuerzas ∆IF.

El programa genera una serie de archivos que se almacenan en la carpeta 01Staticdef

(Figura 7.34). En primer lugar se generan imágenes en formato jpg de la evolución con

la velocidad de viento de los movimientos lateral y, vertical z y torsional ϕx (Archivos


394

Lateral_midspan.jpg, Vertical_midspan.jpg y Torsional_mispan.jpg, ver Figura 7.35).

Se generan además los archivos Lateral_Vtdm.jpg, Vertical_Vtdm.jpg y

Torsional_Vtdm.jpg (Figura 7.36) que contienen gráficas de las deformaciones estáticas

para la velocidad de viento a la cual se el usuario quiere obtener la respuesta en el

dominio del tiempo. Estas seis gráficas se almacenan también en archivos con extensión

“.fig” que se pueden abrir y manipular con Matlab, lo cual permite componer varias

gráficas, realizar anotaciones, extraer los datos, etc. Además cada una de las gráficas

muestra los resultados del cálculo por duplicado considerando y sin considerar la

variación del ángulo de ataque por la deformación del tablero.

Figura 7.34. Carpeta de resultados de la deformada debida a la carga de viento estática

01Staticdef.


395

Figura 7.35. Archivos Lateral_midspan.jpg, Vertical_midspan.jpg y Torsional_mispan.jpg con

los movimientos en la mitad del vano. Linear no considera variación con α. Non linear

considera la variación con α.

Figura 7.36. Lateral_Vtdm.jpg, Vertical_Vtdm.jpg y Torsional_Vtdm.jpg. Movimientos a lo

largo del tablero. Linear no considera variación con α. Non linear considera la variación con α.

Por otra parte, en la carpeta 01Staticdef el programa NLAB genera también un archivo

de texto llamado Static_deformation.sdf que contiene el valor de la deformada en los

nudos del tablero calculada teniendo en cuenta la variación del ángulo de ataque por

efecto de la propia deformada. Los valores de la deformada se proporcionan para cada

una de las velocidades de viento solicitadas por el usuario como se muestra en la Figura

7.37.

Figura 7.37. Archivo Static_deformation.sdf.


396

02 Flutter Analysis (Laminar Flow)

Pulsando el comando 02 Flutter Analysis como se indica en la Figura 7.38 el programa

NLAB comienza a calcular la velocidad crítica de flameo mediante el método explicado

en el capítulo 4. Este cálculo se realiza teniendo en cuenta la variación que se produce

en el ángulo de ataque por efecto de la carga de viento estática para la interpolación de

las funciones de flameo en cada uno de los elementos que componen el tablero. Por ello

debe ejecutarse previamente el comando 00Input y el comando 01StaticDeformation.

Como se recordará el cálculo consiste en resolver un problema no lineal de valores

propios definido por ( ) 0wIA =− teµµµ donde la matriz A contiene las propiedades

estructurales de rigidez y amortiguamiento y su alteración debida a las fuerzas

aeroelásticas. La solución consiste en un conjunto de valores propios complejos

ij j jµ α β= + y de vectores propios µw .

( )jp µβ µ⎡ ⎤− =⎣ ⎦A I w 0

Figura 7.38. Comando 02 Flutter Analysis dentro del apartado Laminar Flow.


397

Cuando el cálculo de la velocidad de flameo ha concluido, el programa genera en la

carpeta 02 Fluttereig (Figura 7.39) los siguientes archivos:

• Archivos alfa: contienen las gráficas de la evolución con la velocidad de viento

de la parte real αj de los autovalores del problema de valores propios

mencionados que, como se recordará, está relacionada con el amortiguamiento

de la respuesta. En el archivo alfa.txt se almacenan en columnas el valor de los

αj al aumentar la velocidad. En el archivo alfa.jpg se representa gráficamente

dichos valores como se muestra en la Figura 7.40.

• Archivos beta: contienen las gráficas de la evolución con la velocidad de viento

de la parte imaginaria βj de los autovalores del problema de valores propios que

representa la frecuencia de vibración de la respuesta. Igual que en el caso de los

archivos alfa, el programa genera un archivo beta con extensión .txt con el valor

de los βj al aumentar la velocidad y representa gráficamente estos valores en el

archivo beta.jpg como aparece en la Figura 7.41.

• Archivos ratioalfabeta: contienen la evolución del amortiguamiento

adimensional ξj=- αj/βj de cada uno de los valores propios (Figura 7.42).

• Archivo Resultsflutter.txt: contiene el valor la velocidad crítica de flameo.

• Archivos de texto alfa, beta y ratioalfabeta: almacenan los resultados numéricos

que se representan en las gráficas con el mismo nombre. En la Figura 7.43 se

muestra un ejemplo del formato de uno de estos archivos. En la primera

columna se almacena la velocidad del viento a la cota de referencia zref, y en el

resto de columnas el valor de la variable para cada uno de los modos.


398

Figura 7.39. Carpeta de resultados 02Fluttereig.

Figura 7.40. Archivo alfa1.jpg.


399

Figura 7.41. Archivo beta1.jpg.

Figura 7.42. Archivo ratioalfabeta1.jpg.

Figura 7.43. Archivo beta.txt.


400

03 IFTR (Laminar Flow)

El programa NLAB permite obtener la respuesta en el dominio del tiempo de la

vibración libre de la estructura del puente considerando como excitación un impulso y

teniendo en cuenta un viento laminar. Para ello realiza un análisis modal operando con

la matriz de modos de vibración Φ y se trabaja en el dominio de la frecuencia

resolviendo ( ) · ( )· ( )Tω ω ω∆=u Φ H Φ f . Seguidamente emplea la transformada inversa de

Fourier para obtener los movimientos u(t) en el dominio del tiempo. Como se explica

detalladamente en el capítulo 5, la matriz ( )ωH es la matriz de transferencia del sistema

que depende de las matrices de amortiguamiento y rigidez estructurales y aeroelásticas a

la frecuencia considerada. El vector fuerzas externas en el dominio de la frecuencia

( )ω∆f contiene un impulso inicial que actúa sobre todos los modos de vibración de la

estructura.

Este tipo de cálculo es útil para comprobar el resultado de la velocidad crítica de flameo

calculado mediante el análisis de autovalores. Para ejecutarlo, el usuario debe pulsar el

comando 03 IFTR dentro del apartado Laminar Flow de la ventana principal como se

muestra en la Figura 7.44. Dado que en este cálculo se tiene en cuenta la deformada

estática del puente deben pulsarse previamente los botones 00Input y

01StaticDeformation.


401

( ) · ( )· ( )Tω ω ω∆=u Φ H Φ f

Figura 7.44. Comando 03 IFTR dentro del apartado Laminar Flow.

Los resultados de estos cálculos se almacenan en la carpeta 03Flutterifft (Figura 7.45).

En primer lugar el programa crea gráficas en formato jpg de los movimientos lateral v,

vertical w y de giro ϕx de los nudos en el centro del vano y a un cuarto. En la Figura

7.46 se muestran ejemplos de estas gráficas.


402

Figura 7.45. Carpeta 03Flutterifft.

Figura 7.46. Ejemplos de archivos v1_2.jpg, w1_2.jpg, fi1_2.jpg en laparte superior y v1_4.jpg,

w1_4.jpg, fi1_4.jpg en la parte inferior.

Proporciona también imágenes de las vibraciones en cada uno de los modos de

vibración en archivos numerados “q” siguiendo el ejemplo de la Figura 7.47.


403

Figura 7.47. Ejemplos de archivos q_6.jpg y q_10.jpg.

Este comando genera otros dos archivos que son el archivo resultTdmlinear.mat en el

cual almacena los valores de los movimientos de todos los nudos, y el archivo

Htdm.mat que contiene la matriz de transferencia correspondiente a la velocidad de

viento con que se hace el cálculo Vtdm.

04 Spectral Analysis (Turbulent Flow)

Pulsando el comando 04 Spectral Analysis de la ventana principal del programa NLAB

como se indica en la Figura 7.49 se invoca la rutina que lleva a cabo el cálculo del

bataneo mediante análisis espectral. Para ello el programa obtiene en primer lugar la

matriz de densidad espectral de las fuerzas de bataneo Sfb. A partir de ésta, y trabajando

con la matriz modal Φ y la de transferencia H según la expresión

( ) *( ) ( ) ( ) ( )b

T T TU ff f f f=S ΦH Φ S Φ H Φ desarrollada en el capítulo 5, se obtiene la

matriz de densidad espectral US . Por último a partir de los valores de la diagonal de esta

matriz obtiene las desviaciones típicas de desplazamientos, velocidades y aceleraciones

en los nudos del tablero y los almacena en diversos archivos dentro de la carpeta

04Buffetingspec y sus subcarpetas como se muestra en la Figura 7.49. Para poder

realizar este cálculo con el programa NLAB, es necesario ejecutar anteriormente la

entrada de datos con el comando 00Input, y calcular la deformada estática del puente

con el comando 01StaticDeformation.


404

( ) *( ) ( ) ( ) ( )b

T T TU ff f f f=S ΦH Φ S Φ H Φ

Figura 7.48. Comando 04 Spectral Analysis dentro del apartado Turbulent Flow.

Figura 7.49. Carpeta 04Buffetingspec.


405

En primer lugar el programa almacena gráficas en formato jpg como los mostrados en la

Figura 7.50 y en archivos de Matlab con extensión “.fig” de la estimación de la

desviación típica o RMS de los movimientos y aceleraciones a lo largo del tablero al

aumentar la velocidad de viento. El nombre de todos estos archivos comienza con la

palabra sigma. A continuación le sigue la dirección del movimiento o giro que puede ser

y, z o ϕx, y cuando en la gráfica se representa una aceleración, el nombre se continúa

con las letras “pp” que indican que se trata de la segunda derivada con respecto al

tiempo. Por último, en la carpeta 04Buffetingspec se almacenan en el archivo rms.mat el

valor de las variables representadas en estas gráficas.

Figura 7.50. Ejemplos de archivos sigmay.jpg, sigmaz.jpg, sigmafix.jpg en la parte superior y

sigmay_pp.jgp, sigmaz_pp.jpg y sigmafix_pp.jpg en la parte inferior.

El programa genera gráficas de las variables intermedias que pueden resultar de interés

para validar el cálculo y las almacena en subcarpetas dentro de la carpeta

04Buffetingspec. Por ejemplo en la subcarpeta 1TransferMatrix_H que se aparece en la

Figura 7.51 se almacenan imágenes de los elementos de la matriz de transferencia del

nudo central del vano principal y del nudo a un cuarto de vano para la velocidad de

viento a la cual se realiza el cálculo en el dominio del tiempo. En la Figura 7.52 se

muestran ejemplos de estas gráficas. Además se almacenan los valores de las matrices

de transferencia en los archivos Hgrande.mat y Htdm.mat.


406

Figura 7.51. Subcarpeta 1TransferMatrix_H.

Figura 7.52. Ejemplo de valores de la matriz de transferencia en el nudo del centro de vano

almacenadas en los archivos Hv1_2.jpg, Hw1_2.jpg y Hfi1_2.jpg.

En la subcarpeta 2SpecMatrixBuff_Sb (Figura 7.51) se almacenan las siguientes

gráficas:

• Suu1_2, Suw1_2 y Sww1_2: valor de la matriz de densidad espectral de las

fluctuaciones del viento en el centro del vano.

• gammauu1_2, gammauw1_2 y gammaww1_2: valor de la coherencia al variar la

frecuencia.

• Gid1_2, Gil1_2 y Gim1_2: valor de las admitancias al variar la frecuencia.

• Sbdrag1_2, Sblift1_2 y Sbmoment1_2: valor de los espectros de las fuerzas de

arrastre, sustentación y momento.


407

Además se almacena el valor de la matriz de densidad espectral de las turbulencias en el

centro del vano en el archivo Sb1_2.mat.

Figura 7.53. Subcarpeta 2SpecMatrixBuff_Sb.

Figura 7.54. Ejemplos de archivo Suu1_2.jpg, Suw1_2.jpg y Sww1_2.jpg.

Figura 7.55. Ejemplos de archivo gamma1_2.jpg, gamma1_2.jpg y gamma1_2.jpg.


408

Figura 7.56. Ejemplos de archivo Gid1_2.jpg, Gil1_2.jpg y Gim1_2.jpg.

Figura 7.57. Ejemplos de archivo Sbdrag1_2.jpg, Sblift1_2.jpg y Sbmoment1_2.jpg.

En la subcarpeta 3SpecMatrixResp_Sresp que aparece en la Figura 7.58 se almacenan

los espectros de respuesta del puente en el nudo central y a un cuarto del vano para la

velocidad de viento del análisis en el domino del tiempo Vtdm. En los archivos con

encabezamiento Sv, Sw y Sfi se se representan los espectros de los movimientos vertical,

lateral y de torsión respectivamente, y en los que comienzan por Svpp, Swpp y Sfipp

aparecen las aceleraciones. El nombre se completa con 1_2 cuando se trata del nudo

central y con 1_4 cuando las variables representadas corresponden al nudo situado en un

cuarto del vano. En la Figura 7.59 se mustran ejemplos de estas gráficas. Los valores de

estas matrices se almacenan en el archivo Sxxw.mat en la misma subcarpeta.


409

Figura 7.58. Subcarpeta 3SpecMatrixResp_Sresp.

Figura 7.59. Ejemplo de archivos Sv1_2.jpg, Sw1_2.jpg, Sfi1_2.jpg en la parte superior y

Svpp1_2.jpg, Swpp1_2.jpg y Sfipp1_2.jpg en la parte inferior.


410

05 IFTR (Turbulent Flow)

Este comando realiza el cálculo de la respuesta mediante la transformada inversa de

Fourier IFTR. Para ello genera en primer lugar un historial de viento en todos los nudos

del tablero cuya matriz de densidad espectral sea la definida por el usuario con las

librerías doVz.dll, doGamma.dll, y do Sund.dll. Este historial de viento se genera

empleando el método de Shinozuka-Deodatis. Una vez que el programa tienen el

historial de viento pasa la fuerza al dominio de la frecuencia definiendo bf y resuelve

( ) · ( )· ( )Tbω ω ω=u ΦH Φ f . Finalmente lleva a cabo la transformada de Fourier inversa

para obtener la respuesta u(t) en el dominio del tiempo almacenando los resultados en la

carpeta 05Buffetingifft como se muestra en la Figura 7.61.

( ) · ( )· ( )Tbω ω ω=u Φ H Φ f

Figura 7.60. Comando 05 IFTR dentro del apartado Turbulent Flow.


411

Figura 7.61. Carpeta de resultados 05Buffetingifft.

Los resultados que proporcionan cada una de estas subrutinas de cálculo en sus

respectivas carpetas son los siguientes:

• Gráficas de la evolución en el tiempo de los desplazamientos y aceleraciones en

el nudo central 1_2 y a un cuarto 1_4. El nombre de los archivos que contienen

estas gráficas comienza con el tipo de movimiento: lateral v, vertical w o de giro

torsional ϕx. Cuando se trata de aceleraciones, el tipo de movimiento va seguido

de las letras “pp” que indican que se trata de la segunda derivada. En la Figura


• Gráficas de las desviaciones típicas o RMS de los movimientos y aceleraciones

a lo largo del tablero como las mostradas en la Figura 7.63. La forma de

designar a los archivos es la misma que en el caso anterior aunque con el prefijo

“sigma”.


412

• El archivo resultBuffettingtdm.mat que contiene los valores de las variables

representadas.

• El archivo 2Ddisplacement.avi con una animación de los movimientos a lo largo

del tablero.

• Los archivos 2Dsection1_2.avi y 2Dsection1_4.avi con animaciones de las

secciones central y a un cuarto del vano. La geometría de la sección que se

anima es la que se introduce en el archivo bridge.mat.

Figura 7.62. En la parte superior ejemplo de archivos v1_2.jpg, w1_2.jpg y fi1_2.jpg. En la parte

inferior ejemplo de archivos vpp1_2.jpg, wpp1_2.jpg y fipp1_2.jpg.


413

Figura 7.63. En la parte superior ejemplo de archivos sigmay.jpg, sigmaz.jpg y sigmafix.jpg. En

la parte inferior ejemplo de archivos sigmaypp.jpg, sigmazpp.jpg y sigmafixpp.jpg.

Figura 7.64. Animación de los desplazamientos a lo largo del tablero. Archivo

2Ddisplacement.avi.


414

Figura 7.65. Animación de la sección central. Archivo 2Dsection1_2.avi.

06 BsWband (Turbulent Flow)

El comando 06 BsWband que se señala en la Figura 7.66 calcula la respuesta frente al

viento turbulento que se genera con el comando 05 IFTR descomponiéndolo

previamente en bandas con distintas frecuencias. Para cada banda se obtiene la

respuesta resolviendo paso a paso en el dominio del tiempo el sistema con las matrices

aeroelásticas y las admitancias obtenidas con la frecuencia de la banda. La respuesta

final es la suma de las respuestas de las distintas bandas. Este cálculo puede expresarse

mediante la fórmula ( )( ) ( )( ) ( )a Bj a Bj b Bjω ω ωΜ + − + − =u C C u K K u f en la que se

indica que las matrices aeroelásticas y las fuerzas de bataneo están construidas

considerando la frecuencia de cada banda Bjω . Los resultados se almacenan en la

carpeta en 06BsWband que se muestra en la Figura 7.67 en archivos con el mismo

nombre que los generados por el comando 05 IFTR. En la Figura 7.68 y en la Figura



415

( )( ) ( )( ) ( )a Bj a Bj b Bjω ω ωΜ + − + − =u C C u K K u f

Figura 7.66. Comando 06 BSWband dentro del apartado Turbulent Flow.

Figura 7.67. Carpeta de resultados 06BsWband.


416





07 BsWda (Turbulent Flow)

El comando 07 BsWda que se señala en la Figura 7.70 calcula la respuesta frente al

viento turbulento que se genera con el comando 05 IFTR descomponiéndolo

previamente en bandas con distintas frecuencias. Para cada banda se obtiene la

respuesta resolviendo paso a paso en el dominio del tiempo el sistema con las matrices


417

aeroelásticas construidas empleando las frecuencias amortiguadas daω obtenidas en el

problema de autovalores del análisis del flameo que se lleva a cabo al ejecutar el

comando 02 Flutter Analysis. Este método se expresa mediante la fórmula

( )( ) ( )( ) ( )a da a da b Bjω ω ωΜ + − + − =u C C u K K u f . Las admitancias se obtienen

utilizando la frecuencia de la banda igual que con el comando 06 BsWband. La

respuesta final, obtenida como suma de las respuestas de las distintas bandas, se

almacena en la carpeta en 06BsWband que se muestra en la Figura 7.71 en archivos con

el mismo nombre que los generados por el comando 05 IFTR.

( )( ) ( )( ) ( )a da a da b Bjω ω ωΜ + − + − =u C C u K K u f

Figura 7.70. Comando 07 BSWda dentro del apartado Turbulent Flow.


418

Figura 7.71. Carpeta de resultados 08BsWda.




419



08 BsWbandQ (Turbulent Flow)

Ejecutando el comando 08 BsWbandQ como se muestra en la Figura 7.74 el programa

calcula la respuesta en el dominio del tiempo de forma similar a la del comando 06

BSWBand diferenciándose en que la respuesta de la banda 0, que está formada por las

frecuencias bajas, se resuelve empleando la teoría cuasi estática lo que se expresa

mediante ( )0Bω+ + =Mu Cu Ku f . Para las bandas superiores con j > 0 se opera como

anteriormente resolviendo ( )( ) ( )( ) ( )a Bj a Bj b Bjω ω ωΜ + − + − =u C C u K K u f . Además

las funciones de flameo de las bandas superiores se interpolan en cada instante para el

ángulo de ataque dinámico obtenido en la banda 0. Los resultados se almacenan en la

carpeta 07BsWbandQ como aparece en la Figura 7.75 en archivos con el mismo nombre

que los generados por el comando 05 IFTR. En la Figura 7.76 y en la Figura 7.77 se

muestran ejemplos de archivos generados con este comando.


420

( )0Bω+ + =Mu Cu Ku f ( )( ) ( )( ) ( ); 0a Bj a Bj b Bj jω ω ωΜ + − + − = ∀ >u C C u K K u f

Figura 7.74. Comando 08 BSWbandQ dentro del apartado Turbulent Flow.

Figura 7.75. Carpeta de resultados 07BsWbandQ.


421





09 BsWdaQ (Turbulent Flow)

El comando 09 BsWdaQ que se señala en la Figura 7.78 calcula la respuesta en el

dominio del tiempo de forma similar a la del comando 07 BSWda diferenciándose en

que la respuesta de la banda 0 se resuelve empleando la teoría cuasi estática. Además las

funciones de flameo de las bandas superiores se interpolan en cada instante para el


422

ángulo de ataque dinámico obtenido en la banda 0. Siguiendo la notación que se viene

utlilizando este comando se expresaría mediante la fórmula ( )0Bω+ + =Mu Cu Ku f

cuando se está resolviendo la banda 0 y mediante

( )( ) ( )( ) ( )a da a da b Bjω ω ωΜ + − + − =u C C u K K u f para las bandas superiores con j > 0.

Los resultados se almacenan en la carpeta 09BsWdaQ como aparece en la Figura 7.79

en archivos con el mismo nombre que los generados por el comando 05 IFTR. En la

Figura 7.80 y en la Figura 7.81 se muestran ejemplos de archivos generados con este

comando.

( )0Bω+ + =Mu Cu Ku f ( )( ) ( )( ) ( ); 0a da a da b Bj jω ω ωΜ + − + − = ∀ >u C C u K K u f

Figura 7.78. Comando 09 BSWdaQ dentro del apartado Turbulent Flow.


423

Figura 7.79. Carpeta de resultados 09BsWdaQ.




424



425

CAPÍTULO 8

CONCLUSIONES

8.1 CONCLUSIONES GENERALES

En la actualidad, la construcción de puentes de gran vano sigue incorporando avances

tecnológicos que les permiten batir sus propios récord dando lugar a estructuras cada

vez más esbeltas. Por esta razón los efectos del viento sobre estos puentes son cada vez

más importantes a la hora de determinar su seguridad estructural y su viabilidad durante

la fase de servicio. La presente memoria es el resultado de varios años de

investigaciones que han abarcado tanto la parte experimental como la parte

computacional de los métodos de análisis más avanzados para el estudio de los

fenómenos aeroelásticos provocados por el viento sobre los puentes de gran vano. Se ha

llevado a cabo un extenso estudio del estado actual del arte, se ha trabajado en las partes

experimental y teórica, y se han aplicado los métodos estudiados a ejemplos de puentes

reales. Todo este trabajo ha dado lugar a las siguientes conclusiones generales.

La interacción entre el viento y la estructura da lugar a distintos fenómenos

aeroelásticos. La presente tesis se ha centrado en el análisis del flameo y del bataneo del

tablero de puentes de gran vano. El análisis de la estabilidad frente al flameo es el más

importante como caso de carga límite último ya que, en caso de aparecer, supone la

ruina de la estructura. El análisis de vibraciones inducidas por el bataneo sobre el

tablero de estas estructuras es fundamental como cárga límite de servicio ya que puede

disminuir el número de días útiles al año de estas estructuras y acarrear problemas de

fatiga en los materiales.

Capítulo 8 CONCLUSIONES

426

Las metodologías experimental, computacional e híbrida proporcionan información

complementaria a la hora de analizar la interacción entre el viento y la estructura. Sin

embargo la metodología híbrida destaca por su bajo coste frente a la puramente

experimental y su fiabilidad frente a la basada en la mecánica de fluidos computacional,

que está todavía en fase de desarrollo y ofrece de momento resultados imprecisos.

Destaca también por la facilidad con que permite la modificación de parámetros

aerodinámicos y estructurales durante la fase de diseño.

Existen tres métodos para la obtención de las funciones de flameo a partir de ensayos

seccionales: a partir de los coeficientes aerodinámicos mediante la aproximación cuasi

estática, lo que resulta muy impreciso para formas no aerodinámicas como la de los

tableros de puentes a partir de las fuerzas registradas durante ensayos con vibración

forzada, lo que requiere de instalaciones de las que el autor no ha podido disponer, y a

partir de la variación de la rigidez y el amortiguamiento de un modelo con oscilación

libre. Se ha desarrollado una metodología para la obtención de los coeficientes

aerodinámicos y para la obtención de las funciones de flameo con ensayos de vibración

libre en el túnel de viento de la E.T.S. de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos de

La Coruña. Para la identificación de los parámetros modales de los ensayos en vibración

libre se ha empleado el método modificado de Ibrahím en el dominio del tiempo MITD

que se ha implementado en el programa de control del túnel de viento PCTUVI. Esto se

ha aplicado a la sección del puente sobre el estrecho de Messina a partir de un modelo

seccional a escala 1/100.

El cálculo de la condición de flameo en el análisis híbrido se lleva a cabo comúnmente

mediante la obtención de los modos de vibración aeroelásticos en el cual las matrices de

rigidez y amortiguamiento estructurales se ven modificadas por las matrices de rigidez y

amortiguamiento aeroelásticas. En la presente tesis se ha analizado el efecto que

produce en este cálculo la modificación del ángulo de ataque por efecto de la deformada

producida por la carga de viento estática, observándose que influye considerablemente a

velocidades elevadas. También se ha analizado el efecto de dicha deformada en los

modos de vibración naturales, quedando demostrado que no tiene demasiada

importancia su efecto en este caso.


427

El método híbrido clásico para el cálculo de la respuesta frente al bataneo emplea el

análisis espectral que permite extrapolar las fluctuaciones del viento a condiciones

extremas. Al igual que en el caso de la inestabilidad frente al flameo, la variación del

ángulo de ataque debida a la deformada producida por la carga de viento estática

modifica la respuesta de la estructura frente a las rachas de viento.

En la actualidad los métodos de análisis en el dominio del tiempo comienzan a aplicarse

al estudio de los efectos de viento sobre tableros de puentes. Existen varias formas de

obtener la respuesta en el dominio del tiempo del tablero. Una posibilidad es calcular las

fuerzas del viento con los coeficientes aerodinámicos con la teoría cuasi estática que

supone que el movimiento de la estructura interacciona con el flujo de aire. La opción

más utilizada es emplear la teoría de Scanlan llevando a cabo la transformada de Fourier

de las fluctuaciones de viento, calculando la respuesta en el dominio de la frecuencia y

haciendo la transformada inversa de esta respuesta. Este método tiene en cuenta la

influencia del movimiento de la estructura en el flujo de viento, pero se basa en la

hipótesis de pequeños desplazamientos y variaciones del ángulo de ataque. Otra opción

consiste en emplear las expresiones en el dominio del tiempo de las funciones de

flameo: las funciones indiciales. Quizás la mejor alternativa es el método de

superposición de bandas, que combina la teoría cuasi estática y la teoría de Scanlan para

superar la hipótesis de pequeños desplazamientos y variaciones del ángulo de ataque. Se

han expuesto los cuatro métodos y comparado con el análisis espectral en el dominio de

la frecuencia. En este documento se han utilizado todos estos métodos, comparándolos

entre si y aplicándolos en el estudio de estructuras reales de puentes.

Para la obtención de la respuesta en el dominio del tiempo se requiere conocer el valor

instantáneo de la velocidad de viento en distintos puntos del puente durante un período

de tiempo determinado. El viento es un proceso aleatorio y como tal se suele

caracterizar por su matriz de densidad espectral. Por ello, para obtener estas velocidades

de viento, hay que emplear un método de generación de series temporales. En este

trabajo se ha empleado el método de Shinozuka-Deodatis para generación de series

temporales a partir de espectros. Para la obtención de la respuesta estructural en el

dominio del tiempo a partir de las fuerzas sobre la misma se han empleado métodos de

integración paso a paso.


428

El cálculo de la deformada producida por la carga de viento estática, el análisis del

flameo mediante cálculo de los modos de vibración aeroelásticos, el análisis espectral

del bataneo, y los distintos tipos de análisis en el dominio del tiempo, se han

implementado en el programa NLAB y se han aplicado al puente con el vano más largo

del mundo, el puente de Akashi con 1991 m de vano, y al futuro puente sobre el

estrecho de Messina que tendrá una distancia entre torres de 3300 m es decir un 60%

más grande que la del puente de Akashi.

8.2 CONCLUSIONES SOBRE LA REALIZACIÓN DE ENSAYOS

SECCIONALES

La conclusión más importante de este apartado es que la obtención de los coeficientes

aerodinámicos y de las funciones de flameo debe realizarse con números de Reynolds

suficientemente altos para poder extrapolar los resultados al puente real, y que debe

comprobarse la independencia de los resultados con respecto a dicho parámetro.

En cuanto a la obtención de funciones de flameo a partir de ensayos seccionales en

vibración libre se destacan los siguientes problemas:

• La carga estática del viento modifica la posición y el ángulo de ataque al

aumentar la velocidad de viento durante los ensayos. Esta deformada debe

corregirse modificando la fuerza de sustentación, lo que disminuye la precisión

del método.

• Cuando el número de Reynolds del ensayo no es suficientemente alto, pueden

aparecer vibraciones estacionarias debidas al desprendimiento de vórtices que

dificultan la obtención de las funciones de flameo a partir de la vibración

transitoria.

• Los dos problemas anteriores son más importantes cuanto más flexible es la

sustentación. Para alcanzar velocidades reducidas altas, hay que disminuir las

frecuencias propias del modelo lo cual requiere emplear una sustentación más

flexible. Por ello la obtención de funciones de flameo a velocidades reducidas

altas mediante este método es difícil.


429

• Las funciones de flameo de la teoría de Scanlan se basan en la hipótesis de

pequeños desplazamientos y ángulos de ataque. Durante los ensayos en

vibración libre la amplitud de las oscilaciones es variable. Si esta amplitud es

suficientemente pequeña, las funciones de flameo obtenidas son validas. Cuando

la sustentación es muy flexible es más difícil llevar a cabo ensayos con

amplitudes pequeñas por requerir una instrumentación más precisa.

Como ventaja los ensayos seccionales en vibración libre requieren una instrumentación

más sencilla que los ensayos con vibración forzada por lo que tienen un coste mucho

menor. Además, la realización de ensayos con frecuencias de vibración altas y

velocidades reducidas bajas es más sencilla que en los ensayos de vibración forzada ya

que para aumentar la frecuencia en estos últimos hay que aumentar la potencia y

precisión del sistema de control.

Para obtener las 18 funciones de flameo en un amplio rango de velocidades reducidas a

partir de ensayos seccionales en vibración libre, debe trabajarse con varios conjuntos de

muelles de diversas rigideces. Además para aprovechar mejor las capacidades de la

instrumentación y aumentar la precisión en la medición de las fuerzas que ejerce el

viento sobre el modelo seccional, éste debe ser lo más ligero posible ya que la

instrumentación está midiendo estas fuerzas en todo momento sumadas a las fuerzas

inerciales del modelo.

Por último las funciones de flameo a velocidades reducidas altas teóricamente deben

ajustarse a la aproximación cuasi estática por lo que es más importante su obtención

para velocidades reducidas bajas.

8.3 CONCLUSIONES RELATIVAS AL CÁLCULO DE LA

DEFORMADA DEBIDA A LA CARGA DE VIENTO ESTÁTICA

A la hora de llevar a cabo el cálculo de la deformada producida por la carga de viento

estática en el tablero de un puente debida a la acción del viento es importante tener en

cuenta la matriz de rigidez geométrica por los esfuerzos de peso propio. La propia

deformada frente a las acciones del viento estáticas hace variar la matriz de rigidez


430

geométrica, que influye en el cálculo de aquella y de los modos y frecuencias naturales

de la estructura. Sin embargo su efecto no es importante hasta que se alcanzan

velocidades de viento muy altas que en el caso de los puentes estudiados eran superiores

a 70 m/s.

La deformada generada por la carga de viento estática hace variar el ángulo de ataque.

Esta variación es significativa a la hora de calcular dicha geometría ya que los

coeficientes aerodinámicos cambian de forma sustancial con el ángulo de ataque.

El método empleado en la presente tesis para calcular esta deformada estática con un

coste computacional razonable y manteniendo la precisión en los resultados consiste en

emplear los modos de vibración de la estructura indeformada con las fuerzas estáticas

del viento de la estructura deformada en un cálculo no lineal.

8.4 CONCLUSIONES SOBRE EL CÁLCULO DE LA

INESTABILIDAD DEL FLAMEO MEDIANTE ANÁLISIS DE

AUTOVALORES

La deformada del tablero producida por la carga estática del viento produce una

variación en el ángulo de ataque del viento sobre el mismo que hace variar la velocidad

crítica de flameo de forma significativa como se vio en el ejemplo del puente de

Messina y en el puente del estrecho de Akashi. Sin embargo debido a la diferente

configuración del tablero estas discrepancias no ocurren siempre en el mismo sentido:

en unos puentes aumenta la velocidad crítica como en el caso del puente sobre el

estrecho de Messina y en otros la disminuye como ocurre en el puente del estrecho de

Akashi.

Para una definición más precisa de las funciones de flameo que permita la

reproducibilidad de los cálculos entre distintos autores, se recomienda representarlas

según el convenio de Zasso, el uso de una interpolación lineal y de una extrapolación

según la teoría cuasi estática.


431

8.5 CONCLUSIONES SOBRE EL CÁLCULO DE LA RESPUESTA

FRENTE AL BATANEO EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA

Se ha desarrollado una formulación matricial compacta del cálculo del bataneo

mediante análisis espectral que facilita la comprensión del mismo y su implementación

en programas de cálculo. Con estos programas se han obtenido unos resultados para el

puente de Akashi equivalentes a los obtenidos anteriormente por Katsuchi.

Al igual que en el fenómeno del flameo, la variación del ángulo de ataque por efecto de

la deformada frente a las cargas de viento estáticas influye en la amplitud de las

vibraciones producidas por las rachas. Sin embargo, en este caso las diferencias no son

tan notables como en el caso del flameo.

En los ejemplos del puente del estrecho de Messina y del puente del estrecho de Akashi

realizados para la presente tesis, las mayores diferencias entre los dos tipos de cálculo se

han encontrado para el movimiento lateral.

8.6 CONCLUSIONES SOBRE EL ANÁLISIS EN EL DOMINIO DEL

TIEMPO

Las funciones indiciales exponenciales tienen dificultades para ajustar las frecuencias

reducidas bajas de las funciones de flameo. Se ha propuesto un nuevo método,

denominado método de integración directa, para la obtención de funciones indiciales

que proporciona un ajuste mejor de las funciones de flameo y de las fuerzas

aeroelásticas simuladas mediante la integral de convolución. La simulación de las

fuerzas aeroelásticas en el dominio del tiempo mediante integrales de convolución y

funciones indiciales, se basa en la hipótesis de pequeños movimientos al igual que el

empleo de las funciones de flameo. Por ello los resultados de uno y otro cálculo son

equivalentes, como se demuestra en los ejemplos del capítulo 6.


432

La teoría cuasi estática se basa en la obtención de las fuerzas estáticas, de flameo y de

bataneo, como si se tratara de las fuerzas estáticas con un viento instantáneo sobre la

sección calculadas combinando la velocidad media del viento con los movimientos de la

sección y con las fluctuaciones del viento. A partir de esta velocidad de viento

instantánea se generan las fuerzas sobre la sección empleando los coeficientes

aerodinámicos. La simulación en el tiempo de la respuesta de la estructura empleando la

teoría cuasi estática sólo es válida para velocidades reducidas altas en las cuales el

movimiento de la sección no afecta al flujo del viento y se puede considerar

estacionario. Sin embargo no puede considerarse válido para velocidades reducidas

bajas en donde la teoría de Scanlan tiene una precisión mayor.

El método de superposición de bandas emplea la teoría cuasi estática para el cálculo de

la respuesta a frecuencias bajas y las funciones de flameo y admitancias del ángulo de

ataque instantáneo para simular las fuerzas aeroelásticas y de bataneo con frecuencias

altas. Por tanto este método se queda con lo mejor de los otros dos ya que tiene en

cuenta la dependencia de las fuerzas respecto de la frecuencia como hace el método de

Scanlan, y también incluye las grandes variaciones que se producen en el ángulo de

ataque como hace la teoría cuasi estática.

A la hora de aplicar el método de superposición de bandas hay que definir la frecuencia

de interpolación de las funciones de flameo en cada una de las bandas. En el método

original ideado por Rocchi se emplean las frecuencias propias de los modos de

vibración. En la presente tesis se ha empleado también la frecuencia de la excitación

coherente con el cálculo de la respuesta frente a una carga estacionaria de un sistema

elástico comprobándose que los resultados son similares a los obtenidos empleando las

frecuencias propias de los modos de vibración.

Se ha demostrado con ejemplos de puentes completos que los resultados obtenidos al

aplicar el método de superposición de bandas difieren mucho de los resultantes de la

teoría lineal de pequeños movimientos, acercándose a los resultados experimentales en

el caso de las vibraciones laterales.


433

8.7 LÍNEAS DE INVESTIGACIÓN FUTURAS

Es posible avanzar en el estudio de los efectos del viento sobre los puentes de gran vano

por muchos y diversos caminos. En la parte experimental del análisis híbrido una

mejora sería la obtención de las funciones de flameo también mediante el método

forzado o la obtención de las funciones de admitancia. Estas últimas podrían obtenerse

generando un flujo turbulento aleatorio a barlovento del modelo o un flujo coherente

mediante el movimiento armónico de una pared de alerones

Es posible además, llevar a cabo el estudio de otros fenómenos de interacción entre el

viento y la estructura de un puente como son el galope o las vibraciones en cables, el

fenómeno de desprendimiento de vórtices o vortex shedding. Estos fenómenos tienen

una gran importancia a velocidades reducidas bajas y aparecen con bastante frecuencia

produciendo vibraciones que reducen el confort y la seguridad de los vehículos, y

ocasionan fatiga en los materiales con los que está construida.

A pesar de los éxitos conseguidos en otros campos, en la actualidad, los métodos de

mecánica computacional de fluidos o CFD no son lo suficientemente fiables y precisos

como para aplicarse directamente a estudios aeroelásticos de puentes. Esto supone un

gran reto para los investigadores que deben esforzarse por mejorar estas técnicas

tomando como referencia los resultados obtenidos en ensayos realizados en túneles de

viento o los datos obtenidos diréctamente de los puentes a estudiar. El túnel de viento

aerodinámico de la escuela de Caminos de La Coruña ofrece la posibilidad del análisis

del flujo alrededor de secciones de tableros de puentes tanto en ensayos aerodinámicos

como aeroelásticos mediante técnicas experimentales como líneas de humo,

velocímetros láser doppler, también llamados de imágenes de partículas, o mediante la

medición de las presiones en la sección. Estas técnicas pueden emplearse para validar y

mejorar los modelos de CFD.

Los métodos de análisis de la respuesta frente al bataneo en el dominio de la frecuencia

y en el dominio del tiempo podrían paralelizarse para disminuir el tiempo de cálculo de

varias maneras, como las que se proponen a continuación:


434

• En el análisis del bataneo en el dominio de la frecuencia podría obtenerse en

paralelo las columnas de la matriz de transferencia o las columnas de la matriz

de densidad espectral de las fuerzas de bataneo ya que son dos operaciones que

requieren la mayor parte del tiempo de cálculo. También se podrían llevar a cabo

las integrales de los movimientos y giros para la obtención de las RMS de forma

paralela.

• En los análisis en el dominio del tiempo mediante los métodos de superposición

de bandas con frecuencia aeroelástica es posible obtener en paralelo la respuesta

para cada modo de vibración en las distintas bandas. En el método de

superposición con frecuencia de la banda, la mayor parte del tiempo de cálculo

se emplea en la construcción de las matrices aeroelásticas en cada instante de

tiempo. La construcción de estas matrices podría llevarse a cabo en paralelo por

columnas disminuyendo así el tiempo total del cálculo.

El análisis del bataneo en el dominio de la frecuencia podría emplearse para introducir

condiciones en la optimización de puentes de gran vano correspondientes a estados

límite de servicio. Ello supondría aumentar las capacidades actuales que ya incluyen el

flameo como condición en el proceso de optimización.

Por último, los métodos para el cálculo de la respuesta en el dominio del tiempo pueden

servir para el cálculo de la respuesta en régimen transitorio, con choques y contacto, con

amortiguadores de masa afinados o para la inclusión de sistemas de control activo.

435

CHAPTER 8

CONCLUSIONS

8.1 CONCLUSIONS

In this day and age, the construction of long span bridges keeps generating new

technological advances which has been breaking their own records resulting in more

slender structures. Therefore, wind effects within these bridges become more important

as they seriously affect their structural safety and functionality while they are in service.

The present PhD thesis is the result of several years of investigations, which have

developed both the experimental and computational parts of the most advanced methods

of analysis for the aeroelastic phenomena which wind causes on long span bridges. First

of all, extensive state of the art research has been done, then the research has been

focused on experiments and theory developments, and finally these studies have been

applied to examples of real bridges. All of this work results in the following general

conclusions:

Wind-structure interaction in bridges outcomes diverse aeroelastic phenomena. The

present thesis is focussed on flutter and buffeting analysis of long span bridge decks.

Futter instability is the most important final load as it produces the destruction of the

structure. Since buffeting may decrease the working days per year of these structures

and produces metal fatigue, the analysis of buffeting induced vibrations over their decks

is essential as a working load.

Chapter 8 CONCLUSIONS

436

Experimental, computational and hybrid methodologies give us complementary

information when trying to analyze wind-structure interaction. However, hybrid

methodology stands out because of its low cost in comparison to the purely

experimental methodology, and because of its reliability comparing it to the purely

computational methods which do not have enough accuracy for this kind of calculations

as it is still under development.

There are three methods to get flutter derivatives from sectional tests. The first one

obtains flutter derivatives from aerodynamic coefficients by using the quasy steady

theory. This approximation becomes too inaccurate for bluff bodies such as bridge

decks. The second way to get flutter derivatives employs the measurement of wind

forces over a bridge deck model that moves harmonically under a stationary flow in the

wind tunnel. This type of test requires an active control system to move the model

which was not available for the author during this research. The third method, which is

used in this faculty, measures the change in the stiffness and damping of a bridge deck

model vibrating without any other forces than the force of gravity and the ones

produced by the smooth flow in the wind tunnel. In the present work the chosen

methodology to determine flutter derivatives works with free vibrations of a bridge deck

model in the wind tunnel of the Civil Engineering faculty of the University of La

Coruña. The Modified Ibrahim Time Domain method has been implemented in the wind

tunnel control software called PCTUVI to identify modal parameters from free vibration

tests and this program has been applied to identify flutter derivatives of Messina Strait

Bridge by using 1/100 scale sectional model.

In the hybrid method, flutter condition is computed usually by calculating aeroelastic

eigenvalues. This calculus is performed assembling stiffness and damping aeroelastic

matrices together with mechanical ones. In the present PhD thesis the effect of the

change in the attack angle produced by the structural deformation due to aerodynamic

forces has been analysed finding a remarcable influence for high wind velocities.

Similarly the influence of this deformation over natural frequencies and mode shapes

has been studied during this research and the results showed that it does not affect very

much.


437

The classical hybrid method for the buffeting response calculations uses spectral

analysis which allows extrapolating wind gusts in extreme conditions. As present work

shows, the change in attack angle due to aerodynamic forces modifies wind gust

structural response remarkably.

Nowadays, time domain analysis methods are starting to be applied to the evaluation of

wind effects in long span bridge decks. There are several ways to get bridge deck

response in time domain. One option is to calculate wind forces by using aerodynamic

coefficients together with quasy steady theory which stems from the hypothesis that

structural movements do not interact with air flow. The most common option is to apply

the theory of Scanlan computing Fourier Transform of wind fluctuations, calculating

bridge response in frequency domain and then computing Inverse Fourier Transform of

the response to get it in time domain. This method takes into account wind structure

interaction and the variation of aeroelastic forces with frequency but it is based on small

movement hypothesis and does not take into account the change in attack angle caused

by movements and wind. Another option is to employ time domain expressions of

flutter derivatives called indicial functions which are used in convolution integrals to

calculate aeroelastic wind forces. Last alternative exposed here is the one called band

superposition which combines quasy steady theory and Scanlan’s theory taking into

account frequency dependency of wind forces and large movements as well as

variations in attack angle. All of these methods have been explained and compared to

each other together with the results of spectral analysis in frequency domain.

In order to obtain time domain response of a bridge exposed to wind gusts,

instantaneous velocity at each time and in every part of the bridge must be known for a

long period of time. Since wind is a random process, usually it is characterised by its

spectral density matrix. For this reason, the way to get these instantaneous velocities is

to apply a method for generation of time series from spectral density matrices. In the

present work Shinozuka-Deodatis method has been used for this issue. Once the wind is

generated, it must be transformed into wind forces and at that point structural response

may be calculated by using step by step integration methods.


438

The analysis of the deformed shape due to static wind load, flutter analysis by means of

eigenvector calculus, buffeting spectral analysis and the different time domain methods

of analysis have been implemented into NLAB software. Afterwards all these methods

have been applied to the Akashi Straits Bridge with the longest span in the world which

is 1991 m long, and to the projected Messina Straits Bridge that will have a 3300 m

length span which is 60 % longer than the Akashi Bridge one.

8.2 CONCLUSIONS ABOUT SECTIONAL TESTS

The main conclusion of this subject is that aerodynamic coefficients and flutter

derivatives procurement must be done under a high enough Reynolds Number in order

to be able to extrapolate the results to bridge prototype. Besides Reynolds Number

independency of the results must be checked.

With regard to flutter derivatives extraction from free vibration bridge deck sectional

tests remarks on the following difficulties must be made:

• Static wind forces noticeably modify bridge deck position and attack angle as

wind velocity increases during the sectional tests. This deformed shape may be

corrected by modifying the no wind forces of the springs despite this correction

reducing the accuracy of the method.

• When the Reynolds number is not high enough, stationary vibrations may

appear due to vortex shedding phenomenon which hides transient signal and

makes modal parameter estimation more difficult.

• Both former problems become more important as the springs become more

flexible. Nevertheless, with the purpose of reaching higher reduced velocities or

what are the same lower natural frequencies, more flexible springs must be

installed. Therefore flutter derivatives extraction at highly reduced velocities

with this method is an arduous task.

• Flutter derivatives of Scanlan’s theory are based on the small movements and

attack angle variation hypothesis. Throughout free vibration bridge deck tests

execution, the amplitude of oscillations varies. If this amplitude is small enough,

flutter derivatives accomplished are valid. Conversely, when the bearing system


439

is too flexible registering forces of these tests with small amplitudes becomes

more complicated because more accurate instrumentation is needed.

An advantage of free vibration sectional tests is that they require less expensive

instrumentation and equipment than forced vibration tests. Moreover, since in force

vibration tests accuracy and power of control system must be increased to get flutter

derivatives at low reduced velocities and high Reynolds Number, free vibration tests

performance is easier in these cases.

In order to get 18 flutter derivatives simultaneously from free vibration tests within a

wide range of reduced velocities, a number of spring sets must be used. Additionally,

with the aim of making the most of instrumentation capacities and increasing wind force

measurement precision, sectional model must be as light as possible since the

instrumentation measures both wind forces and model weight together.

As a final point, flutter derivatives at highly reduced velocities must adjust theoretically

the quasy steady approximation. Consequently their extraction in aeroelastic tests is

more necessary for low reduced velocities where the free vibration method gives its best

results.

8.3 CONCLUSIONS ABOUT CALCULATION OF THE

DEFORMED SHAPE DUE TO STATIC WIND FORCES

The most important thing to take into account when calculating the deformed shape of a

cable stayed bridge or a suspension bridge is the geometric stiffness matrix. The stresses

produced by the dead load in these kinds of structures increases their rigidity and that

increment is considered with this matrices. Likewise the stresses induced by static wind

forces modify the structure rigidity and thus its natural frequencies and mode shapes.

However the effect of static wind forces in the rigidity of the bridge is not so important

unless for very high wind velocities which were higher than 70 m/s for the cases studied

in this work.


440

On the other hand, deformed shape due to static wind loads modifies remarkably the

attack angle. This variation in the attack angle represents a significant part of the static

response since aerodynamic coefficients change substantially with attack angle.

In the present thesis the method applied to compute static deformed shape due to wind

is decomposed in the following steps. First of all the stiffness matrix of the structure is

reduced to the natural mode shapes calculated including the geometric matrix of the

dead loads. Then the deformed shape produced by the static wind forces is achieved by

means of a non linear calculation which takes into account the variation of static wind

forces with the change in attack angle

8.4 CONCLUSIONS ABOUT FLUTTER INSTABILITY ANALYSIS

CALCULATING AEROELASTIC EIGENVALUES

As mentioned before, the deformed shape of the deck due to static wind loads changes

the attack angle of the wind and consequently modifies the value of the flutter

derivatives. For this reason critical flutter velocity varies significantly as it was seen in

Messina Bridge and Akashi Bridge examples. In contrast, due to the different shape of

the bridge deck, these disagreements do not appear in the same direction: in some cases

it may increase the critical wind velocity such as in the case of Messina Strait Bridge,

and in other cases it may diminish as it happens in the Akashi Strait Bridge.

Finally, even though the Scanlan’s flutter derivatives are widespread, in this thesis

Zasso’s convention is recommended to define more accurately the flutter derivatives at

low and reduced velocities. To apply with aeroelastic analysis of any kind, it is also

recommended to use linear interpolation and to extrapolate according to the quasy

steady theory.


441

8.5 CONCLUSIONS ABOUT BUFFETING RESPONSE ANALYSIS

IN FREQUENCY DOMAIN

A new compact matrix formulation has been developed for calculating the buffeting

response using spectral analysis and it has been implemented in a set of computer

programs. With this software, buffeting response of Akashi Strait Bridge equivalent to

the one acquired by Katsuchi has been achieved.

Analogously to flutter phenomenon, the variation of attack angle caused by the static

wind forces deformation influences the amplitude of the vibration produced by wind

gusts. In spite of this, the disagreements are not as relevant as in the case of flutter.

In the examples of Messina Strait Bridge and Akashi Strait Bridge which appear in this

thesis, the biggest differences between them considering or not considering this non

linearity were found in the lateral movements.

8.6 CONCLUSIONS ABOUT TIME DOMAIN ANALYSIS

Exponential indicial functions have troubles to represent flutter derivatives at low

reduced velocities. For this reason, a new method called Direct Integration Method has

been developed to calculate more accurate indicial functions from flutter derivatives.

This method has been applied and its results have been compared to the ones given by

exponential indicial functions concluding that the adjustment of the new ones to the

flutter functions is much better as well as the aeroelastic forces simulated with them

using the convolution integral. aeroelastic forces simulation in time domain by means of

convolution integrals and indicial functions is based on the small movements hypothesis

as it happens with flutter derivatives. Hence the results of one and the other calculus are

equivalents as chapter 6 shows.

Quasy steady theory consists of calculating wind static forces as well as flutter and

buffeting forces like they depend only on the aerodynamic coefficients and the


442

decomposition of the relative movements. This means that the only forces that produce

the wind may be computed for an instant combination of mean wind velocity with

instantaneous movements and velocities of the section and wind gusts. Stemming from

this, instantaneous wind velocity forces are generated over the section with the same

direction of the wind applying the aerodynamic coefficients to the static wind forces

expression. Time domain simulation of the structural response using quasy steady

theory is only valid for highly reduced velocities for which sectional movement does

not modify wind flow and thus it may be considered stationary. In contrary it cannot be

considered correct for low reduced velocities where Scanlan’s theory is more accurate.

Band superposition method applies quasy steady theory for response calculus at highly

reduced velocities and flutter functions and admittances with the instantaneous attack

angle to simulate forces at low reduced velocities. Therefore this method takes the

advantage of former ones since it takes into account frequency dependency like

Scanlan’s theory and also modeless big changes in attack angle of the wind as quasy

steady theory does.

When applying band superposition method the interpolation frequency of flutter

derivatives must be defined for each band. In the original method developed by Rocchi

natural frequencies of the structure without wind loads were used. In the present thesis,

the aeroelastic frequencies have been used which has been called band superposition

method with aeroelastic frequency and quasy steady approximation. Analogously to the

buffeting analysis in frequency domain, the frequencies of each band have been used in

other sub method called band superposition method with band frequency and quasy

steady approximation. Both methods were implemented and their results were found to

be very similar to each other but quite different from the ones that do not apply the

Quasy Steady Approximation. In fact, for the case of Akashi Bridge the results with

these two methods were closer to the experimental ones.

8.7 FURTHER WORK

The results presented in this thesis indicate that the future for hybrid method in

aeroelasticity of long span bridges is extremely promising. Several avenues of


443

investigation in the experimental part are immediately suggested. The implementation

of the forced vibration method in the wind tunnel of the Civil Engineering faculty of the

University of La Coruña would offer an improvement in the flutter derivatives

identification at highly reduced velocities. In the same way the development of tests for

acquiring admittance functions at the wind tunnel would improve wind gust modelling

capacity. This last subject could be performed generating an upwind turbulent flow with

a grid or generating a coherent harmonic flow by means of a wall of rotating wings.

It is also possible to carry out the analysis of other wind-structure interactions of bridges

different from the ones analysed here such as galloping or cable vibrations, or such as

vortex shedding phenomenon. These phenomena gain a great importance at low reduced

velocities and appear quite frequently reducing travellers comfort and vehicles security,

at the same time that produce metal fatigue to the structure.

Though the great achievements in other fields achieved by Computational Fluid

Dynamics or CFD, so far these methods are not reliable and accurate enough to be

applied directly to aeroelastic analysis of bridges. That is why a big challenge is waiting

to be solved by the researchers who must do an effort to improve these techniques

taking as a reference the results acquired in wind tunnel tests or using real data for this

issue. The wind tunnel of the Civil Engineering faculty of the University of La Coruña

offers the possibility to analyse the flow around bridge deck sectional models in static

or aeroelastic tests using experimental techniques such as smoke lines, lasser-doppler

velocimeters, or measuring surface pressure of the model which would be very useful to

validate and improve CFD models.

Buffeting response methods of analysis in frequency domain and in time domain would

be paralleled to diminish the time of each calculation in several ways as it is proposed in

the following points:

• In frequency domain buffeting analysis, the columns of the transfer matrix and

the columns of the spectral density matrix could be computed in parallel doing

that much faster since these two operations require the main part of the

computing time. The calculation of RMS of movements and rotations by means

of integrals could be also paralleled.


444

• The method of band superposition with aeroelastic frequency can become faster

by calculating in parallel the response for each mode shape in each band. In the

band superposition method with frequency of the band, the biggest part of the

computing time is spent during the construction of aeroelastic matrices. This

operation may be calculated in parallel to reduce the time of each.

Buffeting analysis in frequency domain may be used to insert optimisation conditions of

long span bridges corresponding to service loads. That would mean to increase current

capacities which already include flutter conditions in the optimisation process.

To conclude, time domain methods to calculate structural response of bridges may be

applied to calculate the response to transient loads such as contact or collisions, or to

design tuned mass dampers or active control systems.

445

ANEXO 1

FUNCIONES DE FLAMEO DEL PUENTE DE MESSINA

SEGÚN EL CONVENIO DE ZASSO

En el presente anejo se muestran las funciones de flameo de la sección del puente sobre

el estrecho de Messina. Estas funciones son equivalentes a las mostradas en el capítulo

3 salvo que en este caso se emplea la notación de Zasso. En ella las funciones de flameo

se denominan con letras minúsculas pi*, hi* y ai*. Las fuerzas aeroelásticas están

relacionadas con los movimientos y las citadas funciones de flameo mediante las

siguientes expresiones donde se utiliza el criterio de signos de la Figura A1.1.

( )

( )

2 * * * * * *5 2 3 6 1 4*2 *2

2 * * * * * *1 2 3 4 5 6*2 *2

1( , )2 2 2

1( , )2 2 2

y

z



ω ω

ω ω

θ π πω ρ θ

θ π πω ρ θ

⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − + + − +⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦

⎡ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − + + − +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎣

( )2 2 * * * * * *1 2 3 4 5 6*2 *2

1( , )2 2 2


ω ω

θ π πω ρ θ

⎤⎢ ⎥

⎦⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − + + − +⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦

(A1.1)

V z Fz

Fθ θ

Fy

y

Figura A1.1 Criterio de signos del convenio de Zasso.

Anexo 1 FUNCIONES DE FLAMEO DEL PUENTE DE MESSINA SEGÚN EL CONVENIO DE ZASSO

446

Figura A1.1. Funciones de flameo p1

* y p2*.

V*=2π V/ωB

V*=2π V/ωB


447


* y p4*.

V*=2π V/ωB

V*=2π V/ωB


448


* y p6*.

V*=2π V/ωB

V*=2π V/ωB


449

Figura A1.4. Funciones de flameo h1

* y h2*.

V*=2π V/ωB

V*=2π V/ωB


450


* y h4*.

V*=2π V/ωB

V*=2π V/ωB


451


* y h6*.

V*=2π V/ωB

V*=2π V/ωB


452

Figura A1.7. Funciones de flameo a1

* y a2*.

V*=2π V/ωB

V*=2π V/ωB


453


* y a4*.

V*=2π V/ωB

V*=2π V/ωB


454


* y a6*.

V*=2π V/ωB

CD

ÍNDICE DE FIGURAS Figura 2.1 Derrumbamiento del Puente de Tacoma en 1940. Washington State Department of

Transportation [130]....................................................................................................................................8 Figura 2.2 Segundo puente del estrecho de Tacoma terminado en 1950. Washington State Department of

Transportation [130]....................................................................................................................................9 Figura 2.3. Desprendimiento de torbellinos en las islas Canarias. NASA [90].........................................12 Figura 2.4 Evolución de la frecuencia de desprendimiento de torbellinos. ...............................................13 Figura 2.5 Forma de las vibraciones del puente sobre el embalse de Alcántara.......................................13 Figura 2.6 Puente sobre el embalse de Alcántara (izda). Detalle de alerones en arco (dcha). EIPSA [30]

....................................................................................................................................................................14 Figura 2.7 Puente de Bronx-Whitestone en el 2002 (arriba) y en el 2003 (abajo). ...................................15 Figura 2.8 Principales vibraciones aeroelásticas en cables de puentes. SRI Hybrid Limited [118] .........16 Figura 2.9 Amortiguadores en los cables en el puente atirantado de Mannheim (Alemania). ..................17 Figura 2.10 Tipos de túnel de viento según el rango de velocidades. Baals & Corliss [6] .......................20 Figura 2.11 Ensayo del modelo completo del puente de Tacoma. Washington State Department of

Transportation [130]..................................................................................................................................21 Figura 2.12 Modelo completo del puente sobre el estrecho de Akashi. PWRI [99]...................................22 Figura 2.13 Flujo detrás de un retrovisor obtenido con un LDV. Cogotti [23].........................................24 Figura 2.14 Visualización avanzada de la respuesta aeroelástica de un puente. Hernández [45]............26 Figura 2.15. Criterio de signos de las fuerzas aerodinámicas. ..................................................................28 Figura 2.16. Ensayo aerodinámico en el túnel de la ETSI de Caminos Canales y Puertos de La Coruña.

....................................................................................................................................................................28 Figura 2.17. Coeficientes aerodinámicos calculados de una sección semejante a la del Gran Belt

calculados por Rey [102]. ..........................................................................................................................29 Figura 2.18. Coeficiente de arrastre de un cilindro en función del número de Reynolds. .........................30 Figura 2.19 Criterio de signos de Scanlan para desplazamientos y fuerzas en la sección del tablero de un

puente. ........................................................................................................................................................31 Figura 2.20. Funciones indiciales de Jones )(sφ y Garrick )(sψ para la placa plana.........................33

Figura 2.21. Esquema del ensayo para la obtención de funciones indiciales sometiendo al modelo a un

giro brusco. Caracoglia [15] .....................................................................................................................35 Figura 2.22 Modelo de elementos finitos de un puente colgante. MIDAS [84] .........................................38 Figura 2.23. Espectro de Kaimal y del Nacional Building Code of Canada. Simiu [113].........................40 Figura 2.24. Vibración aeroelástica de un cable calculada mediante CFD. CERFAQS [18]...................42 Figura 2.25. PSD vs frecuencia espacial κ = 2π/λ ....................................................................................45 Figura 2.26. DNS del flujo turbulento alrededor de un cilindro. CERFAQS [18].....................................46 Figura 2.27. Modelo DES. Regiones calculadas mediante RANS (rojo) y LES (azul) en un instante

determinado. Liaw [79]..............................................................................................................................49 Figura 2.28. Interface entre dos mallas. Fluent [34] .................................................................................51

Figura 2.29. Función de densidad espectral de potencia simulada con LES y distintos pasos de

integración temporal. .................................................................................................................................52 Figura 2.30. Subregiones de la zona cercana a la pared. Fluent Inc. [33] ...............................................53 Figura 2.31. Calidad de la interpolación de la capa límite (izquierda) y el contorno (derecha). .............53 Figura 2.32. Mallado de Kuroda [61]. ......................................................................................................55 Figura 2.33. Mallado del Gran Belt de Frandsen [37]..............................................................................57 Figura 2.34. Estructuras vorticosas coloreadas según la velocidad en un cilindro calculadas con LES

para Re = 1.4 105. Kim [60] ......................................................................................................................60 Figura 2.35 Estudio del flujo alrededor del tablero del puente de Messina empleando el programa

DVMFLOW. Larsen et Al. [68]..................................................................................................................60 Figura 2.36 Funciones de flameo obtenidas a partir de resultados del programa DVMFLOW comparadas

con las obtenidas experimentalmente en túnel de viento. Larsen et Al. [68] .............................................61 Figura 3.1.Túnel de viento de la E.T.S.I. de Caminos, Canales y Puertos de La Coruña..........................77 Figura 3.2. Esquema de la sustentación de un ensayo seccional aerodinámico........................................79 Figura 3.3. Criterio de signos de las fuerzas aerodinámicas.....................................................................79 Figura 3.4. Coeficientes aerodinámico de arrastre calculado de una sección semejante a la del Gran Belt

calculados por Rey [30]. ............................................................................................................................80 Figura 3.5. Coeficientes aerodinámico de sustentación calculado de una sección semejante a la del Gran

Belt calculados por Rey [30]......................................................................................................................80 Figura 3.6. Coeficientes aerodinámico de momento calculado de una sección semejante a la del Gran

Belt calculados por Rey [30]......................................................................................................................81 Figura 3.7 Variación de los coeficientes aerodinámicos con el número de Reynolds. ..............................81 Figura 3.8. Fuerzas aeroelásticas sobre el tablero del puente según Scanlan. .........................................82 Figura 3.9. Fuerzas aeroelásticas sobre el tablero del puente según el Politécnico de Milán..................83 Figura 3.10. Función de flameo H1* del convenio de Scanlan comparada con su homóloga h1* del

convenio de Zasso. .....................................................................................................................................84 Figura 3.11. Puente sobre el estrecho de Akashi. PWRI [28]....................................................................86 Figura 3.12. �� Desplazamiento impuesto � � Fuerza registrada........................................................89 Figura 3.13.Coeficiente de arrastre de un tablero para distintos valores de Re. Leo et al. [17] ..............91 Figura 3.14. Sistema de sustentación hidráulico para los ensayos seccionales en el túnel de viento del

Politécnico Milán [6]. ................................................................................................................................93 Figura 3.15. Dinamómetros en un modelo seccional del Politécnico Milán [6]. ......................................93 Figura 3.16. Criterio de signos de las fuerzas aeroelásticas y de los movimientos. ..................................95 Figura 3.17. Modelos seccionales del tablero del puente del Gran Belt, del estrecho de Akashi, y del

estrecho de Messina. ................................................................................................................................109 Figura 3.18. Esquema de la sustentación del modelo seccional con ocho (izquierda) y con doce muelles

(derecha). .................................................................................................................................................110 Figura 3.19. Esquema del sistema dinámico equivalente de 3 gdl...........................................................111 Figura 3.20. Fuerzas horizontales debidas al movimiento pendular. ......................................................112 Figura 3.21. Esquema de las fuerzas horizontales debidas al movimiento pendular. .............................112

Figura 3.22. Esquema de las fuerzas verticales debidas al tesado de los muelles horizontales. .............113 Figura 3.23. Fuerzas verticales debidas al tesado de los muelles horizontales. ......................................114 Figura 3.24. Esquema de las fuerzas verticales debidas al tesado de los muelles horizontales. .............114 Figura 3.25. Separación entre muelles verticales. ...................................................................................115 Figura 3.26. Diagrama de diseño de la sustentación...............................................................................116 Figura 3.27. Diagrama de montaje del ensayo. .......................................................................................117 Figura 3.28. Actuadores neumáticos para sujetar el modelo fuera de la posición de equilibrio.............118 Figura 3.29. Armazón metálico para sustentar los actuadores neumáticos.............................................119 Figura 3.30. Montaje de los muelles verticales superiores para el ensayo aeroelástico. ........................120 Figura 3.31. Montaje de los muelles verticales superiores e inferiores. ..................................................120 Figura 3.32 Tesado de los muelles horizontales. .....................................................................................121 Figura 3.33. Unión de los muelles horizontales al centro de gravedad del modelo.................................121 Figura 3.34 Secuencia del ensayo aeroelástico. ......................................................................................123 Figura 3.35 Ventana principal de PCTUVI..............................................................................................124 Figura 3.36 Ventana de calibración de la relación voltaje-velocidad. ....................................................125 Figura 3.37 Ventana de calibración de las células de carga. ..................................................................126 Figura 3.38.Ventanas para calibrar los acelerómetros y el sistema de sustentación. .............................126 Figura 3.39 Ventana correspondiente al ensayo aerodinámico...............................................................128 Figura 3.40. Archivo de resultados aerodynamic.txt. ..............................................................................129 Figura 3.41 Ventana para identificar las funciones de flameo. ...............................................................130 Figura 3.42 Ventana para ajustar el intervalo de muestreo....................................................................131 Figura 3.43 Ventana que muestra los resultados de las señales ajustadas..............................................131 Figura 3.44 Ventana que muestra las matrices aeroelásticas del ensayo. ...............................................132 Figura 3.45. Modelo seccional del tablero del puente del estrecho de Messina. .....................................132 Figura 3.46. Plano general del modelo a escala 1/100. Cotas en centímetros. .......................................133 Figura 3.47. Plano de detalle del modelo a escala 1/100 de la sección del tablero. Cotas en centímetros.

..................................................................................................................................................................134 Figura 3.48. Ensayo aerodinámico. .........................................................................................................135 Figura 3.49. Coeficientes aerodinámicos al variar el número de Reynolds.............................................135 Figura 3.50. Coeficientes aerodinámicos de la sección del puente de Messina.......................................136 Figura 3.51. Esquema de la sustentación del modelo seccional con doce (izquierda) y ocho muelles

(derecha). .................................................................................................................................................137 Figura 3.52. Sustentación para 1 gdl torsional........................................................................................137 Figura 3.53 Criterio de signos de la Universidad de la Coruña. .............................................................140 Figura 3.54. Funciones de flameo P1

* y P2* de la sección del puente de Messina. ..................................141

Figura 3.55. Funciones de flameo P3* y P4* de la sección del puente de Messina. .................................142

Figura 3.56. Funciones de flameo P5* y P6

* de la sección del puente de Messina. ..................................143 Figura 3.57. Funciones de flameo H1

* y H2* de la sección del puente de Messina. .................................144

Figura 3.58. Funciones de flameo H3* y H4

* de la sección del puente de Messina. .................................145 Figura 3.59. Funciones de flameo H5

* y H6* de la sección del puente de Messina. .................................146

Figura 3.60. Funciones de flameo A1* y A2

* de la sección del puente de Messina...................................147 Figura 3.61. Funciones de flameo A3

* y A4* de la sección del puente de Messina...................................148

Figura 3.62. Funciones de flameo H5* y H6

* de la sección del puente de Messina. .................................149 Figura 4.1. Modelo de elementos barra del puente sobre el estrecho de Messina generado con ABAQUS

6.5 mostrando la geometría deformada. ..................................................................................................156 Figura 4.2. Convenio de signos empleado en el análisis de la inestabilidad por flameo. .......................157 Figura 4.3 Diagrama de flujo para la obtención de la respuesta aeroelástica........................................164 Figura 4.4. Diagrama de flujo para la obtención de la velocidad de flameo. .........................................166 Figura 4.5. Evolución de la parte real α de los valores propios en un ejemplo en el que se trabaja con 4

modos. ......................................................................................................................................................167 Figura 4.6. Evolución de la parte imaginaria β de los valores propios en un ejemplo en el que se trabaja

con 4 modos..............................................................................................................................................167 Figura 4.7. Ejemplo de aparición de frecuencias simultáneas de flameo................................................168 Figura 4.8. Perfil de viento en la capa límite atmosférica. ......................................................................171 Figura 4.9. Criterio de signos de las fuerzas aerodinámicas sobre un tablero de puente. ......................173 Figura 4.10. Coeficientes aerodinámicos de los distintos elementos del puente del estrecho de Messina en

Italia (Larose et al. [13]). ........................................................................................................................174 Figura 4.11. Coeficientes aerodinámicos de la sección A4 del tablero del puente sobre el estrecho de

Messina en Italia. .....................................................................................................................................174 Figura 4.12 Geometría de la sección A4 del tablero del puente sobre el estrecho de Messina...............175 Figura 4.13. Coeficientes aerodinámicos del tablero del puente sobre el estrecho de Messina ensayado en

el túnel de viento de la ETSI de Caminos, Canales y Puertos de la Coruña............................................176 Figura 4.14. Diagrama de flujo del método iterativo ΙKF. ......................................................................178 Figura 4.15. Gráfico esquemático del método iterativo ΙKF. ..................................................................178 Figura 4.16. Diagrama de flujo del método incremental ∆KF. ...............................................................180 Figura 4.17. Gráfico esquemático del método incremental ∆KF.............................................................181 Figura 4.18. Diagrama de flujo del método incremental-iterativo ∆ΙKF. ...............................................182 Figura 4.19. Esquema incremental-iterativo ∆ΙKF..................................................................................183 Figura 4.20. Diagrama de flujo del método incremental-iterativo ∆ΙF. ..................................................185 Figura 4.21. Visualización del puente sobre el estrecho de Messina. (Visualización Realizada por F.

Bravo y A. Baldomir) ...............................................................................................................................187 Figura 4.22. Planos generales del diseño preliminar del puente sobre el estrecho de Messina. Stretto di

Messina S.p.A [19] ...................................................................................................................................188 Figura 4.23. Modelo de elementos finitos del puente sobre el estrecho de Messina................................189 Figura 4.24. Modos de vibración del puente sobre el estrecho de Messina normalizados a la masa.

Desplazamientos ▬ lateral, – · –vertical y ···· torsional. .........................................................................191 Figura 4.25. Coeficientes aerodinámicos empleados para los distintos elementos del puente. Stretto di

Messina S.p.A [19]. ..................................................................................................................................196 Figura 4.26. Movimientos a lo largo del tablero con 60 m/s y del nudo central al variar la velocidad,

considerando el ángulo inicial de ataque nulo (α=0), aplicando ∆IKF y ∆IF. .......................................198

Figura 4.27 Evolución de las frecuencias naturales ω del puente sobre el estrecho de Messina con la

velocidad del viento V por efecto de la deformada por la carga estática de viento. ................................199 Figura 4.28. Modo 1 (lateral simétrico). Modo 2 (lateral antimétrico). ..............................................200 Figura 4.29. Modo 3 (vertical antimétrico). Modo 4 (vertical simétrico). ...........................................200 Figura 4.30. Modo 6 (Torsión antimétrico). Modo 10 (Torsión simétrico)..........................................200 Figura 4.31. Flameo calculado para 0º de ángulo de ataque y viento uniforme con el programa NLAB.

Parte real α de los modos de vibración (arriba). Parte imaginaria β de los modos de vibración (centro).

Amortiguamiento adimensional -α/β (abajo) . .........................................................................................203 Figura 4.32. Flameo calculado con el programa NLAB empleando el ángulo de ataque modificado por la

carga estática de viento para interpolar las funciones de flameo y el perfil de viento para la velocidad

media. Parte real α de los modos de vibración (arriba). Parte imaginaria β de los modos de vibración

(centro). Amortiguamiento adimensional -α/β (abajo) . ..........................................................................205 Figura 4.33. Puente sobre el estrecho de Akashi. NIFTY [16] ................................................................206 Figura 4.34. Planos generales del puente sobre el estrecho de Akashi HSBA [5]...................................207 Figura 4.35. Modos de vibración del puente sobre el estrecho de Akashi normalizados a la masa.

Desplazamientos ▬ lateral, – · – vertical y ··· torsional. ........................................................................210 Figura 4.36. Coeficientes aerodinámicos del tablero del puente sobre el estrecho de Akashi. ...............214 Figura 4.37. Funciones de flameo para α = -3 deg empleados por Katsuchi [11] para el cálculo del

flameo del puente sobre el estrecho de Akashi. ........................................................................................216 Figura 4.38. Funciones de flameo para α = 0 deg empleados por Katsuchi [11] para el cálculo del

flameo del puente sobre el estrecho de Akashi. ........................................................................................217 Figura 4.39. Funciones de flameo para α = +3 deg empleados por Katsuchi [11] para el cálculo del

flameo del puente sobre el estrecho de Akashi. ........................................................................................218 Figura 4.40. Resultados del cálculo del flameo del puente del estrecho de Akashi obtenidos con

programa NLAB con perfil de viento uniforme y funciones de flameo para α = 0º. Parte real α e

imaginaria β de los modos de vibración (arriba). Amortiguamiento adimensional -α/β (abajo) ...........219 Figura 4.41. Deformada frente a carga de viento estática calculada para ángulo de ataque nulo (α cte) −

o modificado por la propia deformada (α variable) - - . .........................................................................221 Figura 4.42. Deformadas debidas a la carga estática medida en el modelo de puente completo mostradas

en Katsuchi [11]. La escala de velocidades de viento es 1/10. ................................................................222 Figura 4.43. Cálculo del flameo con el programa NLAB teniendo en cuenta el perfil de viento y la

variación del ángulo de ataque a lo largo del tablero. Parte real α e imaginaria β de los modos de

vibración (arriba). Amortiguamiento adimensional -α/β (abajo) . ..........................................................223 Figura 5.1. Muestreo de una variable X(t) con una duración T...............................................................230 Figura 5.2. Retraso τ entre dos muestras distintas. .................................................................................231 Figura 5.3. Ejes de coordenadas del viento y del tablero del puente. (Visualización realizada por F.

Bravo y A. Baldomir)................................................................................................................................238 Figura 5.4. Admitancias empleadas en el pliego de prescripciones técnicas del puente sobre el estrecho

de Akashi. .................................................................................................................................................247

Figura 5.5. Ensayo para la obtención de las admitancias de forma directa Gu et al. [9].......................248 Figura 5.6. Sistema de alas vibrantes para generar turbulencias en el túnel de viento del Politécnico de

Milán. Politecnico di MIlano.[8] .............................................................................................................248 Figura 5.7. Ejemplo de |Hij(ω,V)| correspondiente al desplazamiento vertical de un punto del tablero del

puente sobre el estrecho de Messina situado al 25% de la longitud del vano central. ............................251 Figura 5.8. Espectro de las ráfagas en dirección del viento Suv empleado en el presente ejemplo. ........255 Figura 5.9. Espectro de las ráfagas en dirección vertical Swv empleado en el presente ejemplo. ...........256 Figura 5.10. Espectro cruzado de las ráfagas de viento Suvwv empleado en el presente ejemplo.............257

Figura 5.11. Función de coherencia γuvuv empleada para una distancia de 39.8 m.................................258

Figura 5.12. Función de coherencia γwvwv empleada para una distancia de 39.8 m................................258

Figura 5.13. Espectro S del movimiento lateral v, vertical w y torsional ϕx en el centro del vano

principal. Izquierda: Katsuchi Multimodal ▬ SRSS - - . Derecha: León Multimodal - · -. .....................261 Figura 5.14. Desviación típica del desplazamiento lateral σv, vertical σw y al giro torsional σϕx a lo largo

del tablero al aumentar la velocidad de viento con el ángulo de ataque nulo (izquierda) y con el ángulo

de ataque modificado por la carga estática de viento (derecha). ............................................................262 Figura 5.15. Desviación típica (RMS) del desplazamiento lateral σv, vertical σw y giro torsional σϕx. -○-

Multimodal y -□- SRSS obtenidos por Katsuchi [14]...............................................................................263 Figura 5.16. Coeficientes aerodinámicos de POLIMI [8]. ......................................................................264 Figura 5.17. Función de densidad espectral de las fluctuaciones en el eje x del viento..........................266 Figura 5.18. Función de densidad espectral de las fluctuaciones en el eje y del viento..........................266 Figura 5.19. Función de densidad espectral de las fluctuaciones en el eje z del viento. .........................267 Figura 5.20. Desviaciones típicas de movimientos y aceleraciones a lo largo del tablero al aumentar la

velocidad del viento teniendo en cuenta la variación del ángulo de ataque debida a la carga de viento

estática. ....................................................................................................................................................269 Figura 6.1. Movimiento de un perfil aerodinámico. ................................................................................276 Figura 6.2. Fuerzas aeroelásticas sobre la placa plana de Theodorsen..................................................276 Figura 6.3 Parte real F(k) e imaginaria G(k) de la función circulatoria de Theodorsen [53]................277 Figura 6.4 Grados de libertad, y fuerzas aeroelásticas para un modelo bidimensional..........................278 Figura 6.5 Funciones de flameo Hi* de la placa plana. ..........................................................................281 Figura 6.6 Funciones de flameo A i* de la placa plana. ..........................................................................281 Figura 6.7 Criterio de signos del convenio de Scanlan. ..........................................................................282 Figura 6.8 Cambio en el ángulo de ataque debido a la velocidad vertical..............................................283 Figura 6.9 Funciones indiciales aproximadas de Jones )(sφ y Garrick )(sψ . ...................................287

Figura 6.10 Función triangular exacta y aproximada mediante transformada inversa de Fourier. .......291 Figura 6.11 Detalle de función triangular exacta y aproximada mediante transformada inversa de

Fourier. ....................................................................................................................................................291 Figura 6.12 Corrección de la función indicial calculada mediante transformada inversa. ....................292 Figura 6.13 Funciones indiciales obtenidas a partir de las funciones de flameo de la placa plana

(ecuaciones (6.4), (6.8) y Figura 6.6). ....................................................................................................293

Figura 6.14 Funciones de flameo de la placa plana analíticas — comparadas con las obtenidas a partir

de las funciones indiciales exponenciales ···· (6.38) a (6.41). ..................................................................294 Figura 6.15 Funciones de flameo de la placa plana analíticas — comparadas con las obtenidas a partir

de las funciones indiciales exponenciales ····. ..........................................................................................295 Figura 6.16 Función indicial 'Φ Mα de la placa plana (izquierda) y el error relativo de las funciónes

indiciales exponenciales (derecha)..........................................................................................................296 Figura 6.17. Momentos aeroelásticos obtenidos para la placa plana considerando las funciones de

flameo A2* y A3

* y giro impuesto a(t) que los causa. ................................................................................297 Figura 6.18. Funciones de flameo a2* y a3* representadas según el convenio de Zasso. ......................298 Figura 6.19. Fuerzas aeroelásticas de la placa plana considerando las funciones de flameo A2

* y A3* del

tablero del puente de Messina. .................................................................................................................299 Figura 6.20 La transformada inversa de Fourier (IFT) de la función de densidad espectral Su no es la

señal en el dominio del tiempo. ................................................................................................................300 Figura 6.21. Impulsos periódicos separados por una zona de calma.. ....................................................301 Figura 6.22. Respuestas amortiguadas de los impulso dibujadas superpuestas. .....................................301 Figura 6.23. Respuesta amortiguada total resultante de todos los impulsos. ..........................................301 Figura 6.24. Respuestas divergentes de los impulsos debujadas superpuestas........................................302 Figura 6.25. Respuesta total resultante de todos los impulsos.................................................................302 Figura 6.26. Criterio de signos para la teoría cuasi estática...................................................................303 Figura 6.27. Fuerzas aeroelásticas sobre el tablero del puente según el Politécnico de Milán. .............306 Figura 6.28.Coeficientes aerodinámicos..................................................................................................310 Figura 6.29. Turbulencia vertical. ...........................................................................................................310 Figura 6.30. Fuerzas cuasi estáticas generadas: arrastre Fy, sustentación Fz y momento Fθ. ................311 Figura 6.31. Turbulencia vertical dos armónicos (izda). Arrastre generado (dcha). ..............................312 Figura 6.32. División en bandas de la función de flameo h3

*...................................................................314 Figura 6.33 Diagrama de flujo del método de superposición de bandas con la frecuencia de cada banda

BSWbandQ. ..............................................................................................................................................319 Figura 6.34. Esquema del método de Superposición de Bandas con Frecuencia de la Banda y

Aproximación Cuasi Estática. ..................................................................................................................320 Figura 6.35. Esquema del método de Superposición de Bandas con Frecuencias Aeroelásticas y

Aproximación Cuasi Estática. ..................................................................................................................321 Figura 6.36 Diagrama de flujo del método de superposición de bandas con la frecuencias aeroelásticas

BSWdaQ. ..................................................................................................................................................322 Figura 6.37 Ubicación de los puntos en donde se genera viento. ............................................................327 Figura 6.38 Viento generado en los puntos 1, 2 y 3. ................................................................................329 Figura 6.39 Funciones de autocorrelación y de densidad espectral de los puntos 1, 2 y 3. ....................330 Figura 6.40 Funciones de correlación cruzada y sus correspondientes funciones de densidad espectral

cruzada (puntos 1, 2 y 3). .........................................................................................................................331 Figura 6.41 Viento generado en los puntos 3, 4 y 5. ................................................................................332 Figura 6.42 Funciones de autocorrelación y de densidad espectral de los puntos 3, 4 y 5. ....................333

Figura 6.43 Funciones de correlación cruzada y sus correspondientes funciones de densidad espectral

cruzada (puntos 3, 4 y 5). .........................................................................................................................334 Figura 6.44 Excitación (izquierda) y respuesta al impulso de la placa plana (derecha). .......................338 Figura 6.45 Excitación armónica.............................................................................................................339 Figura 6.46 Respuesta calculada mediante transformada de Fourier.....................................................339 Figura 6.47 Detalle de respuesta transitoria frente a una excitación armónica. ....................................339 Figura 6.48 Función de transferencia del sistema al aumentar la velocidad. .........................................341 Figura 6.49. Función de transferencia a 4 m/s empleando frecuencia variable ω , la frecuencia

amortiguada aeroelástica ωda y la frecuencia natural del sistema inicial ωn. ........................................342 Figura 6.50 Respuesta frente al impulso con viento de 4 m/s empleando las matrices aeroelásticas con

frecuencias ωn y ωda, mediante la transformada rápida de Fourier y empleando funciones indiciales..343 Figura 6.51 Respuesta frente a una carga armónica y viento de 4 m/s empleando las matrices


funciones indiciales. .................................................................................................................................344 Figura 6.52. Viento vertical generado. ....................................................................................................345 Figura 6.53. Respuesta de la placa plana frente a las fuerzas de bataneo. .............................................346 Figura 6.54. Respuesta de la placa plana producida por el momento de bataneo durante los instantes

iniciales. ...................................................................................................................................................347 Figura 6.55. Error de las soluciones paso a paso con matrices aeroelásticas constantes con la frecuencia

y de la superposición de armónicos. ........................................................................................................347 Figura 6.56. Respuesta en el centro del vano principal a un impulso con viento uniforme.....................350 Figura 6.57. Respuesta del modo de los modos de vibración 2, 10 y 12..................................................351 Figura 6.58. Desplazamientos y aceleraciones en el centro del vano para una velocidad de viento de 60

m/s a 70 m de altura. ................................................................................................................................353 Figura 6.59. Desviaciones típicas de los movimientos calculados mediante los distintos métodos.........354 Figura 6.60. Respuesta frente a un impulso con viento laminar. Movimientos en el centro de vano. .....357 Figura 6.61. Movimientos y aceleraciones en el nudo central durante la simulación completa. ............359 Figura 6.62. Desviación típica de los desplazamientos y aceleraciones a lo largo del tablero...............360 Figura 7.1. Ventana principal del programa NLAB.................................................................................368 Figura 7.2. Sistema de carpetas del programa NLAB..............................................................................368 Figura 7.3. Resultado de descomprimir el archivo NLAB.rar. ................................................................369 Figura 7.4. Ventana de Propiedades del sistema. ....................................................................................370 Figura 7.5. Ventana de Variables de entorno. .........................................................................................370 Figura 7.6. Botón de entrada de datos.....................................................................................................372 Figura 7.7. Carpeta de entrada de datos 00Input. ...................................................................................373 Figura 7.8. Archivo bridge.str..................................................................................................................374 Figura 7.9. Nudos en una línea central del tablero. ................................................................................374 Figura 7.10. Archivo bridge.wnd. ............................................................................................................375 Figura 7.11. Archivo de entrada de datos bridge.ana. ............................................................................375 Figura 7.12. Archivo bridge.sec...............................................................................................................376

Figura 7.13. Archivo naturalmodes.mod..................................................................................................377 Figura 7.14. Archivo naturalmodescat.mod. ............................................................................................377 Figura 7.15. Archivo xyzcoord.nod. .........................................................................................................378 Figura 7.16. Archivo xyzcoordcat.nod. ....................................................................................................378 Figura 7.17. Archivo selmodes.mod. ........................................................................................................378 Figura 7.18. Archivo stcoef.clm ...............................................................................................................379 Figura 7.19. Criterio de signos de las fuerzas aerodinámicas y del ángulo de ataque............................379 Figura 7.20. Carpeta fluder. ....................................................................................................................380 Figura 7.21. Archivo angles.txt. ...............................................................................................................380 Figura 7.22. Archivo con la función de flameo a1

*...................................................................................381 Figura 7.23. Criterio de signos de Zasso. ................................................................................................381 Figura 7.24. Carpeta principal del programa NLAB. ..............................................................................382 Figura 7.25. Subcarpeta plots con las gráficas de las variables de entrada............................................389 Figura 7.26. Representación del modo 1 del tablero normalizado a la masa en el archivo mode001.jpg.

Desplazamientos ▬ lateral, – · – vertical y ··· torsional. ........................................................................389 Figura 7.27. Representación del modo 1 de las catenarias en el archivo modecat001.jpg. ....................390 Figura 7.28. Archivo fluder_a_1.jpg en el que se representa la función de flameo a1

*. ..........................390 Figura 7.29. Archivo Stcoef.jpg para los coeficientes aerodinámicos. ....................................................391 Figura 7.30. Ejemplo de archivo Stcoefp.jpg para las derivadas de los coeficientes aerodinámicos

respecto del ángulo de ataque. .................................................................................................................391 Figura 7.31 Archivo Suu1_2.jpg con el espectro de fluctuaciones de viento en el nudo central del tablero.

..................................................................................................................................................................392 Figura 7.32. Archivo gammauu1_2.jpg con las funciones de coherencia................................................392 Figura 7.33. Comando 01Static Deformation que calcula la deformada estática del puente. . ...............393 Figura 7.34. Carpeta de resultados de la deformada debida a la carga de viento estática 01Staticdef. .394 Figura 7.35. Archivos Lateral_midspan.jpg, Vertical_midspan.jpg y Torsional_mispan.jpg con los

movimientos en la mitad del vano. Linear no considera variación con α. Non linear considera la

variación con α. .......................................................................................................................................395 Figura 7.36. Lateral_Vtdm.jpg, Vertical_Vtdm.jpg y Torsional_Vtdm.jpg. Movimientos a lo largo del

tablero. Linear no considera variación con α. Non linear considera la variación con α........................395 Figura 7.37. Archivo Static_deformation.sdf. ..........................................................................................395 Figura 7.38. Comando 02 Flutter Analysis dentro del apartado Laminar Flow......................................396 Figura 7.39. Carpeta de resultados 02Fluttereig.....................................................................................398 Figura 7.40. Archivo alfa1.jpg. ................................................................................................................398 Figura 7.41. Archivo beta1.jpg.................................................................................................................399 Figura 7.42. Archivo ratioalfabeta1.jpg...................................................................................................399 Figura 7.43. Archivo beta.txt....................................................................................................................399 Figura 7.44. Comando 03 IFTR dentro del apartado Laminar Flow.......................................................401 Figura 7.45. Carpeta 03Flutterifft............................................................................................................402

Figura 7.46. Ejemplos de archivos v1_2.jpg, w1_2.jpg, fi1_2.jpg en laparte superior y v1_4.jpg,

w1_4.jpg, fi1_4.jpg en la parte inferior. ..................................................................................................402 Figura 7.47. Ejemplos de archivos q_6.jpg y q_10.jpg............................................................................403 Figura 7.48. Comando 04 Spectral Analysis dentro del apartado Turbulent Flow. ................................404 Figura 7.49. Carpeta 04Buffetingspec. ....................................................................................................404 Figura 7.50. Ejemplos de archivos sigmay.jpg, sigmaz.jpg, sigmafix.jpg en la parte superior y

sigmay_pp.jgp, sigmaz_pp.jpg y sigmafix_pp.jpg en la parte inferior.....................................................405 Figura 7.51. Subcarpeta 1TransferMatrix_H. .........................................................................................406 Figura 7.52. Ejemplo de valores de la matriz de transferencia en el nudo del centro de vano almacenadas

en los archivos Hv1_2.jpg, Hw1_2.jpg y Hfi1_2.jpg................................................................................406 Figura 7.53. Subcarpeta 2SpecMatrixBuff_Sb.........................................................................................407 Figura 7.54. Ejemplos de archivo Suu1_2.jpg, Suw1_2.jpg y Sww1_2.jpg. ............................................407 Figura 7.55. Ejemplos de archivo gamma1_2.jpg, gamma1_2.jpg y gamma1_2.jpg. .............................407 Figura 7.56. Ejemplos de archivo Gid1_2.jpg, Gil1_2.jpg y Gim1_2.jpg. ..............................................408 Figura 7.57. Ejemplos de archivo Sbdrag1_2.jpg, Sblift1_2.jpg y Sbmoment1_2.jpg. ............................408 Figura 7.58. Subcarpeta 3SpecMatrixResp_Sresp...................................................................................409 Figura 7.59. Ejemplo de archivos Sv1_2.jpg, Sw1_2.jpg, Sfi1_2.jpg en la parte superior y Svpp1_2.jpg,

Swpp1_2.jpg y Sfipp1_2.jpg en la parte inferior......................................................................................409 Figura 7.60. Comando 05 IFTR dentro del apartado Turbulent Flow. ...................................................410 Figura 7.61. Carpeta de resultados 05Buffetingifft. ................................................................................411 Figura 7.62. En la parte superior ejemplo de archivos v1_2.jpg, w1_2.jpg y fi1_2.jpg. En la parte inferior

ejemplo de archivos vpp1_2.jpg, wpp1_2.jpg y fipp1_2.jpg. ...................................................................412 Figura 7.63. En la parte superior ejemplo de archivos sigmay.jpg, sigmaz.jpg y sigmafix.jpg. En la parte

inferior ejemplo de archivos sigmaypp.jpg, sigmazpp.jpg y sigmafixpp.jpg. ...........................................413 Figura 7.64. Animación de los desplazamientos a lo largo del tablero. Archivo 2Ddisplacement.avi....413 Figura 7.65. Animación de la sección central. Archivo 2Dsection1_2.avi. .............................................414 Figura 7.66. Comando 06 BSWband dentro del apartado Turbulent Flow. ............................................415 Figura 7.67. Carpeta de resultados 06BsWband. ....................................................................................415 Figura 7.68. En la parte superior ejemplo de archivos v1_2.jpg, w1_2.jpg y fi1_2.jpg. En la parte inferior


inferior ejemplo de archivos sigmaypp.jpg, sigmazpp.jpg y sigmafixpp.jpg. ...........................................416 Figura 7.70. Comando 07 BSWda dentro del apartado Turbulent Flow. ................................................417 Figura 7.71. Carpeta de resultados 08BsWda. ........................................................................................418 Figura 7.72. En la parte superior ejemplo de archivos v1_2.jpg, w1_2.jpg y fi1_2.jpg. En la parte inferior


inferior ejemplo de archivos sigmaypp.jpg, sigmazpp.jpg y sigmafixpp.jpg. ...........................................419 Figura 7.74. Comando 08 BSWbandQ dentro del apartado Turbulent Flow. .........................................420 Figura 7.75. Carpeta de resultados 07BsWbandQ. .................................................................................420

Figura 7.76. En la parte superior ejemplo de archivos v1_2.jpg, w1_2.jpg y fi1_2.jpg. En la parte inferior

ejemplo de archivos vpp1_2.jpg, wpp1_2.jpg y fipp1_2.jpg.....................................................................421 Figura 7.77. En la parte superior ejemplo de archivos sigmay.jpg, sigmaz.jpg y sigmafix.jpg. En la parte

inferior ejemplo de archivos sigmaypp.jpg, sigmazpp.jpg y sigmafixpp.jpg. ...........................................421 Figura 7.78. Comando 09 BSWdaQ dentro del apartado Turbulent Flow. .............................................422 Figura 7.79. Carpeta de resultados 09BsWdaQ.......................................................................................423 Figura 7.80. En la parte superior ejemplo de archivos v1_2.jpg, w1_2.jpg y fi1_2.jpg. En la parte inferior

ejemplo de archivos vpp1_2.jpg, wpp1_2.jpg y fipp1_2.jpg.....................................................................423 Figura 7.81. En la parte superior ejemplo de archivos sigmay.jpg, sigmaz.jpg y sigmafix.jpg. En la parte

inferior ejemplo de archivos sigmaypp.jpg, sigmazpp.jpg y sigmafixpp.jpg. ...........................................424 Figura A1.1. Funciones de flameo p1

* y p2*..............................................................................................446

Figura A1.2. Funciones de flameo p3* y p4

*..............................................................................................447 Figura A1.3. Funciones de flameo p5

* y p6*..............................................................................................448

Figura A1.4. Funciones de flameo h1* y h2

*..............................................................................................449 Figura A1.5. Funciones de flameo h3

* y h4*..............................................................................................450

Figura A1.6. Funciones de flameo h5* y h6

*..............................................................................................451 Figura A1.7. Funciones de flameo a1

* y a2*..............................................................................................452

Figura A1.8. Funciones de flameo a3* y a4

*..............................................................................................453 Figura A1.9. Funciones de flameo a5

* y a6*..............................................................................................454

ÍNDICE DE TABLAS Tabla 2.1. Coeficientes aerodinámicos y número de Strouhal según distintos autores y métodos.............58 Tabla 3.1. Valor de los coeficientes aerodinámicos y sus derivadas con respecto al ángulo de ataque α

para α = 0. ...............................................................................................................................................136 Tabla 3.2. Definición de la sustentación de cada uno de los tipos de ensayo. .........................................138 Tabla 3.3. Frecuencias naturales de los ensayos. ....................................................................................138 Tabla 3.4. Rango teórico de velocidades reducidas de las funciones de flameo. .....................................138 Tabla 4.1. Valores de la rugosidad z0 para distintas superficies..............................................................172 Tabla 4.2. Principales propiedades geométricas y mecánicas del puente de Messina.............................189 Tabla 4.3 Frecuencias de los cincuenta primeros modos de vibración. Los modos sombreados son

aquellos que movilizan el tablero. ............................................................................................................190 Tabla 4.4. Principales propiedades geométricas y mecánicas del puente del estrecho de Akashi...........207 Tabla 4.5 Frecuencias naturales del puente sobre el estrecho de Akashi obtenidas mediante un modelo de

elementos finitos en HSBA [4]..................................................................................................................213 Tabla 4.6 Coeficientes aerodinámicos del puente sobre el estrecho de Akashi. ......................................214 Tabla 4.7. Velocidades de flameo del puente de Akashi y del puente de Messina empleando las funciones

de flameo de varios ángulos de ataque.....................................................................................................224 Tabla 5.1. Valores de β correspondientes a varios valores de rugosidad z0. ...........................................239 Tabla 5.2. Valor de las constantes c de la función de coherencia para el proyecto del puente sobre el

estrecho de Messina..................................................................................................................................244 Tabla 5.3 Valor de las constantes c de la función de coherencia para el proyecto del puente sobre el

estrecho de Messina..................................................................................................................................268 Tabla 5.4 Máximas desviaciones típicas de la aceleración del tablero. ..................................................268 Tabla 6.1. Valores de las funciones de flameo a2* y a3*. .........................................................................298 Tabla 6.2 Comparación de parámetros integrales entre la señal generada y los valores teóricos..........329 Tabla 6.3 Comparación de parámetros integrales entre la señal generada y los valores teóricos..........332

analisis de puentes

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