INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE LOS REYES

5IE

FRANCISCO M. GODINEZ FERNANDEZ

OSCAR SALVADOR PRADO VALENCIA

MARIO BARAJAS

ANDRES PONCE PULIDO

Materia:

Transferencia de calor

Tema:

Análisis de la distribución de la temperatura y transferencia de calor unidimensional en cilindros y esferas

CONDUCCION UNIDIMENCIONAL DE ESTADO ESTABLE

En un sistema unidimensional existen gradientes de temperatura a lo largo de una sola dirección coordenada y la transferencia de calor ocurre exclusivamente en esa dirección. El sistema se caracteriza por condiciones de estado estable si la temperatura en cada punto es independiente del tiempo. A pesar de su simplicidad inherente, los modelos unidimensionales de estado estable sirven para representar de forma precisa numerosos sistemas de ingeniería.

EL CILINDRO

Un ejemplo común es el cilindro hueco, cuyas superficies interna y externa se exponen a fluidos con diferentes temperaturas (figura 3.6). Para condiciones de estado estable sin generación de calor, la forma apropiada de la ecuación de calor.

1r

ddr (kr dT

dr )=0

Donde, por el momento, k se trata como una variable. El significado físico de este resultado se vuelve evidente si consideramos también la forma apropiada de la ley de Fourier. La rapidez a la que se conduce la energía a través de cualquier superficie cilíndrica en el sólido se expresa como

qr=−kAdTdr

=−k (2πrl ) dTdr

Donde A = 2π rL es el área normal a la dirección de la transferencia de calor. Como la ecuación 3.23 dicta que la cantidad kr (dT/dr ) es independiente de r, se sigue de la ecuación 3.24, que la transferencia de calor por conducción qr(no el flujo de calor qr ' ' ) es una constante en la dirección radial.Es posible determinar la distribución de temperaturas en el cilindro resolviendo la ecuación 3.23 y aplicando las condiciones de frontera apropiadas. Si se supone que el valor de k es constante, la ecuación 3.23 se integra dos veces para obtener la solución general

T (r )=c1lnr+c2Para obtener las constantes de integración C1 y C2, introducimos las siguientes condiciones de frontera:

T ( r1 )=T s ,1 yT (r2 )=T s , 2

Al aplicar estas condiciones a la solución general, se obtiene

T s ,1=C1 ln r1+C2 yT s , 2=C1ln r2+C2

Resolviendo para C1 y C2 y sustituyendo en la solución general se obtiene así

(3.23)

(3.24)

T (r )=T s , 1−T s ,2

ln (r 1/r 2)ln( rr2 )+T s ,2

Tenga presente que la distribución de temperaturas asociada con la conducción radial a través de una pared cilíndrica es logarítmica, no lineal, como lo es para la pared plana bajo las mismas condiciones. La distribución logarítmica se dibuja en el recuadro de la figura 3.6.

Si la distribución de temperaturas, ecuación 3.26, se usa ahora con la ley de Fourier, ecuación 3.24, obtenemos la siguiente expresión para la transferencia de calor:

qr=2πLk (t s , 1−T s ,2 )ln (r2/r1 )

De este resultado es evidente que, para la conducción radial en una pared cilíndrica, la resistencia térmica es de la forma

Rt ,cond=ln ( r2¿ r1 )2πLk

(3.28 )

Esta resistencia se muestra en el circuito en serie de la figura 3.6. Note que como el valor de qr, es independiente de r, el resultado precedente se pudo obtener con el método alternativo, es decir, integrando la ecuación 3.24.

Considere ahora el sistema compuesto de la figura 3.7. Si se recuerda cómo tratamos la pared plana compuesta y dejando de lado las resistencias térmicas de contacto interfacial, la transferencia de calor se expresa como

qr=T ∞,1−T∞ ,4

12π r1Lh1

+ln ( r2/r1 )2 πLk A

+ln (r3 /r 2)2 πLkB

+ln (r 4/r3 )2 πLkC

+ 12π r 4 Lh4

(3.29)

El resultado anterior también se puede expresar en términos de un coeficiente global de transferencia de calor. Es decir,

qr=T ∞,1−T ∞,4

Rtot

=UA (T ∞, 1−T ∞, 4 )

Si U se define en términos del área interior A1 = 2π r1L, las ecuaciones 3.29 y 3.30 se igualan y dan como resultado

(3.26)

(3.27)

U 1=1

1h1

+r1 ln (r2/r1 )

k A

+r1 ln (r3 /r 2)

k B

+r1 ln ( r4/r3 )

kC

+r1r4

1h4

(3.31)

Esta definición es arbitraria, y el coeficiente global también se define en términos de A4 o de cualquiera de las áreas intermedias. Observe que

U 1 A1=U 2 A2=U 3 A3=U 4 A4 ¿ (∑ Rt )−1 (3.32)

y las formas específicas de U2, U3, y U4 se infieren de las ecuaciones 3.29 y 3.30.

EJEMPLO 3.4

La posible existencia de un espesor de aislamiento óptimo para sistemas radiales lo sugiere la presencia de efectos que compiten asociados con un aumento en este espesor. En particular, aunque la resistencia de conducción aumenta al agregar un aislante, la resistencia de convección disminuye debido al aumento del área de la superficie exterior. Por ello puede existir un espesor de aislamiento que minimice la pérdida de calor al maximizar la resistencia total a la transferencia de calor. Resuelva este problema considerando el siguiente sistema.

1. Un tubo de cobre con pared delgada de radio ri se usa para transportar un fluido refrigerante de baja temperatura y está a una temperatura Ti que es menor que la del aire del medio a T∞ alrededor del tubo. ¿Hay un espesor óptimo asociado con la aplicación de aislante al tubo?

2. Confirme el resultado anterior con el cálculo de la resistencia térmica total por unidad de longitud del tubo para un tubo de 10 mm de diámetro que tiene los siguientes espesores del aislante: 0, 2, 5, 10, 20 y 40mm. El aislante se compone de vidrio celular, y el coeficiente de convección de la superficie externa es 5 W/m2⋅KSOLUCIÓNSe conoce: Radio ri y temperatura Ti de un tubo de cobre de pared delgada que se aislará del aire del ambiente.Encontrar:1. Si existe un espesor óptimo de aislamiento que minimice la transferencia de calor.2. La resistencia térmica asociada con el uso de aislante de vidrio celular de espesor variable.Esquema:Suposiciones:1. Condiciones de estado estable. 2. Transferencia unidimensional de calor en la direcciónradial (cilíndrica).3. Resistencia térmica insignificante de la pared del tubo.4. Propiedades constantes para el aislante.5. Intercambio de radiación insignificante entre la superficie externa del aislante y los alrededores.Propiedades: De la tabla A.3, el vidrio celular (258 K, supuesta): k = 0.055 W/m⋅K.Análisis:

1. La resistencia a la transferencia de calor entre el fluido refrigerante y el aire es dominada por la conducción en el aislante y la convección en el aire. Por tanto, el circuito térmico es como se muestra, donde las resistencias de conducción y convección por unidad de longitud se siguen de las ecuaciones 3.28 y 3.29, respectivamente. La resistencia térmica total por unidad de longitud del tubo es entonces

R ´tot=ln (r /r1 )2πk

+ 12πrh

Donde la transferencia de calor por unidad de longitud del tubo es

q '=T ∞−T 1R´tot

Un espesor óptimo de aislamiento estaría asociado con el valor de r que minimiza q o maximiza ′R’tot. Este valor se obtiene del requerimiento que

d R ´ totdr

=0

De aquí

12πkr

− 1

2π r2h=0 r= k

h

Para determinar si el resultado anterior maximiza o minimiza la resistencia total, debe evaluarse la

segunda derivada. De aquíd2R ´totd r2

= −12πk r2

+ 1π r3h

O, en r = k/h,

d2R ´totd r2

= 1

2πk (k /h )2+ 1

π ( k /h )3h= 1

π (k /h )2 (−12k

+ 1k )= 1

2π k 3/h2>0

Como este resultado siempre es positivo, se sigue que r = k/h es el radio de aislamiento para el que la resistencia total es un mínimo, no un máximo. Por ello no existe un espesor de aislamiento óptimo.

Del resultado anterior tiene más sentido pensar en términos de un radio de aislamiento crítico

rcr≡kh

Por debajo del cual q aumenta al aumentar ′ r y por arriba del cual q disminuye con el aumento de ′r.

2. Con h = 5 W/m2⋅K y k = 0.055 W/m⋅K, el radio crítico es

rcr=0.055

wm∗k

5w

m2∗k

=0.011m

De aquí rcr > ri, y la transferencia de calor disminuirá al agregar aislante por arriba de un espesor de

rcr−r 1=(0.011−0.005 )m=0.006m

Las resistencias térmicas que corresponden al espesor de aislamiento prescrito se calculan y grafican como se muestra en la figura más abajo.

Comentarios:1. El efecto del radio crítico se revela por el hecho de que, aun para 20 mm de aislante, la resistencia total no es tan grande como el valor para la ausencia de aislante.2. Si ri < rcr, como en este caso, la resistencia total disminuye y, por tanto, la transferencia de calor aumenta al agregar aislante. Esta tendencia continúa hasta que el radio exterior del aislante corresponde al radio crítico. La tendencia es deseable para el flujo de corriente eléctricaa través de un alambre, puesto que agregar aislante eléctrico ayudaría en la transferencia del calor disipado en el alambre hacia los alrededores. A la inversa, si ri > rcr, cualquier aumento de aislante incrementaría la resistencia total y, por tanto, disminuiría la pérdida de calor. Este comportamiento sería deseable para el flujo de vapor por un tubo, donde se agrega aislante para reducir la pérdida de calor hacia los alrededores.

3. Para sistemas radiales, el problema de reducir la resistencia total a través de la aplicaciónde aislante existe sólo para alambres o tubos de diámetro pequeño y para coeficientes de convección pequeños, tales que rcr > ri. Para un aislante típico (k ≈ 0.03 W/m⋅K)y convección libre en aire (h ≈10 W/m2⋅K), rcr = k/h ≈ 0.003 m. Ese valor tan pequeño indica que, normalmente, ri > rcr y no necesitamos preocuparnos por los efectos de un radio crítico.4. La existencia de un radio crítico requiere que el área de transferencia de calor cambie en la dirección de transferencia, como para la conducción radial en un cilindro (o en una esfera). En una pared plana, el área perpendicular a la dirección del flujo de calor es constante y no hay espesor crítico de aislamiento (la resistencia total siempre se incrementa al aumentar el espesor del aislante).

La esferaConsideremos ahora aplicar el método alternativo para analizar la conducción en la esfera hueca de la figura 3.8. Para el volumen diferencial de control de la figura, la conservación de la energía requiere que qr = qr+dr para condiciones unidimensionales de estado estable sin generación interna de calor. La forma apropiada de la ley de Fourier es

qr=−kAdTdr

=−k (4 π r2 ) dTdr

(3.33)

Donde A = 4π r2 es el área normal a la dirección de la transferencia de calor.Aceptando que qr es una constante, independiente de r, la ecuación 3.33 se expresa en la forma integral

qr

4 π∫r1

r2dr

r2=−∫

T s ,1

T s ,2

k (T )dT (3.34)

Si se supone que k es constante, entonces

qr=4 πk (T s , 1−T s ,2 )

(1/r1 )−(1 /r 2)(3.35)

Recordando que la resistencia térmica se define como la diferencia de temperaturas dividida entre la transferencia de calor obtenemos

Rt ,cond=14 πk ( 1r1− 1

r2 ) (3.37)

Advierta que la distribución de temperaturas y las ecuaciones 3.35 y 3.36 se obtienen mediante el método estándar, que inicia con la forma apropiada de la ecuación de calor. Los compuestos esféricos se pueden tratar de la misma forma que las paredes compuestas y los cilindros, donde es posible determinar formas apropiadas de la resistencia total y del coeficiente global de transferencia de calor.

EJEMPLO 3.5

Un contenedor metálico esférico de pared delgada se utiliza para almacenar nitrógeno líquido a 77 K. El contenedor tiene un diámetro de 0.5 m y está cubierto de un aislante reflector al vacío compuesto de polvo de dióxido de silicio. El aislante tiene un espesor de 25 mm, y la superficie externa se expone al aire del ambiente a 300 K. Se sabe que el coeficiente de convección es 20 W/m2⋅K. La entalpía de vaporización y la densidad del nitrógeno líquido son 2×105 J/kg y 804 kg/m3, respectivamente.1. ¿Cuál es la transferencia de calor al nitrógeno líquido?2. ¿Cuál es la velocidad a la que se evapora el nitrógeno?

SOLUCIÓNSe conoce: El nitrógeno líquido se almacena en un contenedor esférico aislado y expuestoal aire del ambiente.Encontrar:1. La transferencia de calor al nitrógeno.2. La velocidad de evaporación del nitrógenoEsquema:Suposiciones: 1. Condiciones de estado estable.2. Transferencia unidimensional en la dirección radial.3. Resistencia insignificante a la transferencia de calor a través dela pared del contenedor, y del contenedor al nitrógeno.4. Propiedades constantes.5. Intercambio de radiación insignificante entre la superficie externa del aislante y los alrededores.Propiedades: De la tabla A.3, polvo de dióxido de silicio al vacío (300 K): k=0.0017W/m⋅K.

Análisis:1. El circuito térmico incluye una resistencia de conducción y una de convección en serie y es de la forma como se muestra, donde, de la ecuación 3.36,

Rt ,cond=14 πk ( 1r1− 1

r2 )y de la ecuación 3.9

Rt ,conv=1

h4 π r22

La transferencia de calor al nitrógeno líquido es entonces

q=(T∞, 2−T ∞,1 )

(1/4 πk ) [ (1/r1 )−(1/r2 ) ]+(1 /h4 π r22 )

En consecuencia

q=[ (300−77 ) K ]+[ 1

4 π (0.0017 wm∗K )(

10.25m

− 10.275m )+ 1

(20 wm2∗k ) 4π (0.275m )2 ]

q= 22317.02+0.05

W=13.06W

2. Al llevar a cabo un balance de energía para una superficie de control alrededor del nitrógeno, se sigue de la ecuación 1.12 que

Eent−E sale=0Donde Eent=q y E sale=m hfg se asocia con la pérdida de energía latente debido a la evaporación.

De aquíq−m hfg=0

y la velocidad de evaporación m es

m=qh fg

=13.06

js

2×105jkg

=6.53×10−5kgs

La pérdida por día es

m=6.53×10−5 kgs×3600

sh×24

hdi a

=5.64 kgdia

o sobre una base volumétrica

V=mρ=5.64

kgdia

804kg

m3

=0.007m3

dia=7 litros /dia