Análisis de Circuitos Eléctricos

Keony Jiménez 1 , Leon Serna2 .

1 keonij1@gmail.com 2leon.f91@gmail.com

Facultad de ingeniería Eléctrica.

Universidad de Antioquia. Calle 67 No. 53-108, Medellín, Colombia.

Resumen: Con la finalidad de aplicar los principios básicos de la teoría de circuitos , se hizo el montaje de un circuito RC y uno RCL, a través de lo cuales se ilustro el análisis circuital y las soluciones de las ecuaciones diferenciales características del sistema, con el fin de obtener las expresiones correspondientes a la constante de tiempo en circuitos de primer orden(tao) y a la frecuencia de resonancia en circuitos de segundo orden(f). Después de llegar a que tao y f dependen de los elementos del sistema, se realiza la medida practica de estos, para relacionarlos con los elementos y hallar la capacitancia en ambos casos, para luego comparar los resultado. Los resultados finales fueron satisfactorios, ya que las capacita ncias obtenidas por ambos métodos fueron muy cercanas a la real(0.22uf), por ejemplo, en el circuito RC se obtuvo que C=0.203uf y en el circuito RLC se obtuvo que C=0.2207uf.

Palabras claves: Circuito RC y RLC, Frecuencia de resonancia, constante de tiempo, Leyes de Kirchhoff.

Introducción

"El presente es de ustedes, pero el futuro, por el

que tanto he trabajado, me pertenece". Nikola Tesla

El estudio de la electricidad y electrónica, requiere

de modelos circuitales de diferentes dispositivos, los cuales contienen diferentes elementos que se

clasifican en dos grandes grupos: elementos pasivos (capacitores, resistencias e inductores) y activos (amplificadores operacionales, diodos, transistores, entre otros). Luego de la

interconexión de los diferentes elementos (dos o

más) se puede considerar circuito si contiene al menos una trayectoria cerrada, y el análisis de

ellos permite entender fenómenos concernientes a los fenómenos producidos por los campos

eléctricos y magnéticos .

Cuando se habla de análisis de circuitos

intrínsecamente se contemplan los diferentes métodos desarrollados por los grandes científicos

e ingenieros que ayudan a entender y razonar con mayor detalle los fenómenos inherentes de dichos

circuitos. Ésta teoría de circuitos esta basada sobre un principio, conocido como la ley de ohm,

de la cual se desprenden las leyes de Kirchhoff, con las que básicamente se puede resolver

cualquier circuito. En el desarrollo del presente trabajo de investigación se describirán, a partir de las leyes

fundamentales anteriormente mencionadas,

métodos de análisis teóricos de circuitos de primer y segundo orden, el concepto de

resonancia y la aplicación de estos en las medidas de tiempos, ganancias y tensiones. Lo anterior se

realizara con el fin de encontrar la capacitancia en un circuito RC y RLC, por medio del tiempo de

carga del capacitor y la frecuencia de resonancia,

respectivamente. Formulación Matemática Circuitos de primer orden: Los circuitos de primer orden son los circuitos más simples, ya que solo contiene un elemento almacenador de energía, por ejemplo , los capacitores e inductores ,que almacenan energía en forma de campo eléctrico y magnético respectivamente. Un circuito de primer orden se caracteriza por una ecuación diferencial de primer orden [1],

Figura 1: Circuitos de primer orden

a) Circuito RC b)Circuito RL

Para analizar el circuito RC mostrado en la figura

1-a se inicia planteando la ley de Kirchhoff, que establece que: La suma algebraica de las

corrientes que entran a cualquier nodo es cero [2], para esto se denota el nodo inferior como la

referencia o puesta a tierra, el nodo superior de la fuente como Vs y el nodo superior del capacitor

como V (t). Además la definición de corriente en un resistor y en un capacitor permite plantear la siguiente ecuación.

V(t) − Vs

R− C

d V(t)

dt= 0

A partir de la expresión anterior ordenando los términos, resolviendo las integrales y evaluando, nos permiten resolver la ecuación diferencial por

separación de variable, para llegar a (1).

V(t) = (V(0) − Vs)e−t

RC + Vs (1)

Se obtiene la repuesta al circuito denotado por la tensión en el capacitor, relacionado con su

energía almacenada en t=0, en cuyo preciso

momento ocurre un cambio en las condiciones del circuito, usualmente es modelado con la conmutación de un switche en el instante cero. Cabe señalar que el capacitor no admite cambios bruscos de tensión, es por esta razón que un instante de tiempo después de la conmutación del interruptor la tensión en el capacitor será idéntica, es por eso que:

V(0) = V0

Siendo V0 la tensión en el capacitor previa a la conmutación. De la ecuación (1) llamada también la respuesta completa se pueden deducir la solución transitoria y la solución del estado estable. La respuesta transitoria es la repuesta temporal del circuito, la cual se extinguirá con el tiempo [3]. Para el caso particular del circuito RC ,objeto de análisis, su repuesta natural, transitoria o temporal será:

Vt = (V0 − Vs)e−t

RC

De manera similar se tiene que, la respuesta en estado estable es el comportamiento del circuito

mucho tiempo después de aplicada una excitación externa [3], también denotada repuesta forzada,

particularmente.

Vss = Vs

Las definiciones de respuesta natural y forzada

aplican en un gran contexto de las ciencias exactas y aplicadas, ya que no es exclusivo de los circuitos

eléctricos este tipo de comportamiento, aunque estas definiciones se usan ampliamente, es

necesario establecer un parámetro de medida de su duración en el tiempo, y es por eso que para sistemas de primer orden se nombra la constante de tiempo. La constante de tiempo τ constituye el

tiempo requerido para que la curva de respuesta disminuya hasta cero, si está aminora a una tasa constante igual a su tasa de decaimiento inicial [4], se asume que al pasar 5τ la respuesta

temporal desaparece y permanece la respuesta en

estado estable (si existe).

τ = RC En un circuito RC, la contante de tiempo es RC, e indica la velocidad de carga del condensador limitado por el flujo de corriente que la resistencia permite que fluya. Partiendo de la ecuación (1) y asumiendo que el condensador se encuentra

totalmente descargado, ósea V0=0, se presenta la ecuación que modela la carga de un capacitor.

V(t) = −Vse−t

RC + Vs (2)

De manera similar y asumiendo que la fuente se apaga, es decir que su tensión entre bornes es

cero la ecuación que modela la descarga es, recordando que V0 es la tensión que almacena el

capacitor y a la cual fue cargado dicho componente.

V(t) = V0e−t

RC (3)

Circuitos de segundo orden:

Figura 2: Circuito RLC de Segundo orden.

Analizando el circuito de la figura 2 que representa un circuito RLC, se parte del análisis de

mallas, Ley de Voltajes de Kirchhoff KVL que establece: La suma algebraica de las tensiones alrededor de cualquier trayectoria cerrada es cero[4], que de manera similar al caso anterior permite obtener la siguiente ecuación.

vs + Ri(t) + Ldi(t)

dt+

1

C∫ i(t)dt = 0

Organizando términos y derivando

d2i(t)

dt+

R

L

di(t)

dt+

1

L Ci(t) = 0 (4)

Con la ecuación (4) y similar al ítem anterior se pueden definir los sistemas de segundo orden, definidos físicamente por dos equivalentes de elementos que tienen la capacidad de almacenar energía. Para resolver la ecuacion caracteristica de estos sistemas , se realiza el cambio de la derivada al operador S de Laplace, lo cual simplifica la

solución, así:

S2 +R

LS +

1

L C= 0

Ejecutando la formula general

S1,2 = −R

2L± √(

R

2L)

2

−1

LC

Reemplazando

S1,2 = −α ± √α2 − ω02

Las raíces obtenidas se denominan frecuencias naturales, medidas en nepers por segundo (Np/s), porque se asocian con la respuesta natural del circuito; ω0 se conoce como frecuencia resonante, o más estrictamente como frecuencia natural no amortiguada, expresada en (rad/s), y α es la frecuencia neperiana o factor de amortiguamiento, expresada en nepers por segundo[5].

Resonancia

El circuito resonante es una combinación de

elementos R, L y C que tienen una característica de respuesta en frecuencia, la respuesta tiene un

máximo para la frecuencia de resonancia. En otras

palabras, para un intervalo particular de frecuencias la respuesta estará cercana o será igual al máximo. Las frecuencias alejadas hacia la izquierda o la derecha tienen niveles muy bajos de voltaje o corriente y, para todo fin práctico, poco efecto en la respuesta del sistema. Un receptor de radio o de televisión tiene una curva de respuesta de este tipo[5]. La frecuencia de resonancia en un circuito RLC serie está dada por:

ω0 =1

√LC

Para representar la respuesta en frecuencia de un

sistema se usan los diagramas de bode. Estos diagramas grafican ganancia o ángulo en función

de la frecuencia, debido a que las escalas para observar los cambios son grandes se usan los

decibeles, y la escala logarítmica, para una mejor visualización de los resultados.

Montaje Practico Para aplicar los conceptos anteriormente explicados, se hizo el montaje practicos un circuito RC y uno RCL, para hallar la capacitancia a partir del tiempo de carga del capacitor y de la frecuencia de resonancia, respectivamente. Para

tener un punto de referencia de la exactitud de la medida, se partieron de elementos conocidos , donde R=560 Ohm, C= 220nF y Inductor=100uH. Circuito RC: Despues de montar el circuito RC en la board, se obtuvo la curva de carga del capacitor, por medio del oscilocopio y con los cursores se obtuvo el tiempo en el que la tension en el capacitor aumento el 63% de la señal ,es decir, se hallo el tao del sistema(Figura 6).

Figura 4: Tensión en el capacitor, Frente a una excitación escalón en un circuito RC

En la figura 4 se puede ver que el delta de timepo

entre los cursores es de 227us, pero este tiempo se debe dividor por dos, ya que la señal de

entrada no inicia en 0. Despues de aplicar la definicion de la constante de tiempo y con los

datos que se tienen, se llega a que:

C =227us

560 ∗ 2= 0.203uf

Para corroborar el resultado obtenido experimentalmente y con el fin de tener un punto de referencia, se hizo la simulación del circuito RC

en el software LtSpice, donde se obtuvo que el tao es de 133.9us (Figura 5).

Figura 5: Carga del capacitor

Con los resultados obtenidos en la simulación se

llega a que la capacitancia es de 0.239uf , valor que esta por encima del real (0.22uf) , pero no deja de estar cercano a éste. El valor obtenido en la practica también es muy cercano al real, y la diferencia se puede admitir, ya que teniendo en cuenta los errores sistemáticos y la no idealidad del sistema reales, los resultados son muy acertados.

Circuito RLC: Después de realizar el montaje del circuito RLC, se midió la tensión en la resistencia variando la frecuencia, con el fin de identificar

para que frecuencia la salida era igual a la entrada, lo cual indica que las impedancias

correspondientes a C y L se anulan, lo cual sucede en la frecuencia de resonancia. Al procesar los datos medidos, los resultados no eran los esperados, lo cual fue producto de la mala regulación de la fuente de alimentación, ya que la tensión de salida variaba con la frecuencia. Lo anterior represento un impedimento, ya que la

respuesta en frecuencia (bode) esta definida para entradas constantes.

Para sortear este problema y poder visualizar lo

esperada, se hizo la simulación del circuito RLC en el software LtSpice, el cual permite hacer un

barrido en frecuencia (figura 6) y así obtener la frecuencia de resonancia.

Figura 6: Barrido en frecuencia (Circuito RLC).

En la figura 6 la linea punteada es la respuesta en frecuencia de la fase de la señal, pero en nuestro caso la señal de interes es la representada por la

linea continua, que representa la ganancia con

respecto a la frecuencia. Recordemos que si llegamos a la frecuencia de resonancia la salida es igual a la entrada, por lo cual no hay ganancia, es decir la frecuencia de resonancia en la figura 6 esta dada por el punto mas cercano a los 0dB. Lo anterior se hizo en la simulación, ya que el programa me proporciona el maximo de la señal y en que frecuencia sucede, lo cual en nuestro caso sucedió en 33.87kHz , por lo que la capacitancia es:

ω0 = 2 ∗ pi ∗ 33.87kHz =1

√LC

C = 0.2207uf

Vemos que en este caso la respuesta es aun mas cercana que en el caso anterior, lo cual se debe a

que el programa da el punto exacto donde hay menos ganancia, lo cual aumenta la precisión y

por otro lado el simulador en cierta medida es

ideal, lo cual permite despreciar factores que en la realidad podrían afectar la medida. Conclusiones A partir de los principios basicos de la teoria de circuitos, se pueden obtener expresiones simples, que permiete predecir el comportamiento de un sistema, lo cual se puede corroborar experimentalmente. En este caso estas expresiónes fueron de gran utilidad para hallar indirectamente, el valor de la propiedad de los capacitores, la capacitancia, que en este caso presentaron un buen comportamiento, ya que los mismo capacitores tienen una tolerancia en la capacitancia, la cual no fue superada por los datos obtenidos. A la hora de hacer un barrido en frecuencia exprimentalmente, es importante garantizar que la entrada siempre este constante, ya que si no es el caso la ganancia nunca sera respecto a una referencia igual, lo cual implica que el analisis por bode no sea posible.

Los instrumentos de medición como el oscilocpio son aparatos muy potentes, que facilitan la medición y visualización de la tension, que e suna varaible fisica a partir de la cual se puede analizar el comportamiento del sistema. Referencias

[1] Matthew. Sadiku, Charles. Alexander, Fundamentos de circuitos eléctricos, tercera edición (2006) Editorial McGraw-Hill [2] William. Hayt, Análisis de circuitos en ingeniería, séptima edición (2007) Editorial McGraw-Hill [3] Robert. Boylestad, Introducción al análisis de circuitos, décima edición (2003) Editorial Prentice Hall [4] Dorf-Svobada, Circuitos eléctricos, quinta edición. [5] Joseph A. Edminister, Circuitos Eléctricos, segunda edición.