analisi capacità processo
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Analisi di capacità del processo
Douglas C. Montgomery
Controllo statistico della qualità 2/ed
© 2006 McGraw-Hill
Insegnamento: Metodi ed Applicazioni StatisticheCorso di Laurea Specialistica in Ingegneria Gestionale
Facoltà di Ingegneria, Università di Padova
Docenti: Prof. L. Salmaso, Dott. L. Corain
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SOMMARIO
ANALISI DI CAPACITÀ DEL PROCESSO
L’ANALISI DELLA CAPACITÀ DI PROCESSO CON
ISTOGRAMMI O CARTE DI PROBABILITÀ
INDICI DI CAPACITÀ DEL PROCESSO
ANALISI DI CAPACITÀ DI PROCESSO CON LE
CARTE DI CONTROLLO
STUDI DI CAPACITÀ DI STRUMENTI E DI SISTEMI
DI MISURA
STIMA DEI LIMITI DI TOLLERANZA NATURALE DI
UN PROCESSO
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Per analisi di capacità del processo si intende l’attivitàgenerale volta alla valutazione della variabilità delprocesso, in relazione ai livelli nominali di specifica, finoalle operazioni dedicate alla eliminazione o almeno dellariduzione di detta variabilità.
La capacità del processo viene generalmente riferita allauniformità di comportamento del processo. Ovviamente, lavariabilità è una misura della uniformità della caratteristicadel prodotto in uscita. Ci sono due modi di interpretarequesta variabilità:
ANALISI DI CAPACITÀ DI PROCESSO
1. la variabilità naturale o inerente ad uno specificoistante, detta variabilità istantanea
2. la variabilità rispetto al tempo
Vedremo vari metodi per investigare entrambi questiaspetti della capacità di processo.
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È consuetudine assumere come misura della capacità delprocesso un intervallo di 6-sigma della distribuzione dellacaratteristica della qualità del prodotto. I limiti di tolleranzanaturale superiore e inferiore (UNTL e LNTL) sono cioèposti ai valori: UNTL = µ + 3σ , LNTL = µ − 3σ . Per ladistribuzione normale, l’intervallo tra i limiti di tolleranzanaturale corrisponde ad una probabilità del 99.73%, ovverovi è una probabilità del 0.27% di ottenere valori fuori daquesto intervallo. È opportuno ricordare i 2 seguenti punti:
ANALISI DI CAPACITÀ DI PROCESSO
1. non è detto che una probabilità dello 0.27% debbaessere comunque ritenuta piccola (corrisponde a 2700unità non conformi per milione)
2. se la distribuzione in uscita non è normale lapercentuale di elementi fuori dai limiti µ ± 3σ può
risultare considerevolmente diversa.
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Definiamo analisi di capacità del processo la procedura distima della capacità che viene effettuata con riferimentoalla forma della distribuzione di probabilità, alla sua mediae alla sua deviazione standard. In alternativa, è possibile
esprimere la capacità del processo come percentuale dielementi fuori specifica, anche se le specifiche nonnecessariamente sono da utilizzare per eseguire l’analisidella capacità di processo.
L’analisi della capacità di processo è parte vitale di unprogramma complessivo di miglioramento della qualità eha applicazione in più parti del ciclo di vita di vita di unprodotto, inclusa la fase di progettazione, quella di scelta
dei fornitori, di pianificazione della produzione e quelladella effettiva realizzazione del prodotto.
ANALISI DI CAPACITÀ DI PROCESSO
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L’analisi della capacità di processo impiega principalmentequattro tecniche:
ANALISI DI CAPACITÀ DI PROCESSO
L’USO DELL’ISTOGRAMMA
L’istogramma può essere utile per la stima della capacitàdel processo. Un vantaggio dell’istogramma è di fornireuna impressione visiva diretta della prestazioni delprocesso e di eventuali regioni di scarsa qualità dellostesso. Lo scopo è quello di valutare visivamente la“centratura” e la variabilità della distribuzione rispetto al
valore obiettivo ma anche di verificarne la normalità.
1. istogrammi o carte di probabilità
2. indici di capacità del processo
3. carte di controllo
4. programmazione degli esperimenti
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USO DELL’ISTOGRAMMA
È necessario disporre di almeno 100 osservazioni, in mododa ottenere indicazioni sufficientemente stabili ed efficienti.Avendo accesso ai dati e alle procedure di rilevazione,prima della raccolta dati si dovrebbero seguire questipassi:
1. scegliere la/le macchina/e da utilizzare (rappresenta-tiva/e dell’intera popolazione)
2. selezionare le condizioni operative di riferimento
3. selezionare un operatore rappresentativo
4. controllare con cura il processo di rilevazione eregistrare l’ordine temporale di produzione delle unità
L’istogramma, assieme alla media campionaria e alla
deviazione standard campionaria S , fornisce informazionisulla capacità del processo.
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GRAFICI O CARTE DI PROBABILITÀ
Nello studio della forma, dispersione e valore centrale diuna distribuzione, i grafici di probabilità sono un’alternativaall’istogramma, rispetto al quale non presentano lo svan-taggio della suddivisione in intervalli del campo di varia-zione e forniscono risultati ragionevolmente accettabilianche per campioni poco numerosi.
Un grafico di probabilità, rispetto ad una data distribuzione(es. Normal Probability Plot), costituisce la rappresenta-zione grafica dei dati ordinati rispetto ai valori dellefrequenze campionarie cumulate. La scala delle ordinate èmodotale che, se la distribuzionedelle osservazioni corri-sponde a quella ipotizzata, ilgrafico delle frequenzecumulate ha un andamento
pressoché lineare.
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GRAFICI O CARTE DI PROBABILITÀ
Un ovvio svantaggio delle carte di probabilità è che noncostituiscono una procedura del tutto oggettiva. Per questaragione è prassi corredare la carta di probabilità conprocedure statistiche più formalizzate di verifica di ipotesidi adattamento.Anche la scelta della distribuzioni da adattare è un passofondamentale: è utile ricorrere alle conoscenze del feno-meno fisico, all’esperienza passata e anche agli indici diasimmetria e curtosi.
Occorre comunque prestaremolta una certa cautela nell’ado-perare le carte probabilità. Se idati non provengono dal tipo didistribuzione ipotizzato, le con-clusioni inferenziali possono es-sere seriamente distorte.
Fig. 9.5 p. 361
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INDICI DI CAPACITÀ DEL PROCESSO
La capacità del processo può essere sintetizzata in modosemplice dal seguente indice:
Cp=(USL-LSL)/(6σ)dove USL e LSL sono i limiti superiore ed inferiore dispecifica. Solitamente, non è nota σ che si deve stimare
opportunamente (attraverso S oppure ).Se Cp>1 il processo è capace perché la variabilità naturaleè inferiore a quella delle specifiche e questo garantisce cheil processo fornisca prodotti che soddisfino le specifiche(nel caso il processo non presenti un problema diposizione).Il valore (1/Cp)100 invece ci dice qual è la percentualedella banda di specifica usata dal processo.In caso di specifiche unilaterali (solo superiore o solo
inferiore): CU= (USL-µ)/(3σ) CL= (µ−LSL)/(3σ)
2/ R d
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corrispondenti tassi di difet-tosità. Inoltre, in base allecaratteristiche del processocoinvolto, è possibile fornirealcune raccomandazioni per derivare i valori minimi di Cp.
INDICI DI CAPACITÀ DEL PROCESSO
L’indice di capacità di processo è una misura dell’attitudinedel processo medesimo a costruire prodotti che soddisfinole specifiche.Assumendo che la caratteristica della qualità segua unadistribuzione normale e che la media del processo sia
posizionata esattamente al centro dell’intervallo dispecifica, è possibile calcolare alcuni valori di Cp e icorrispondenti
Tab. 9.4 p. 366
Tab. 9.3 p. 365
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INDICI DI CAPACITÀ DEL PROCESSO
L’indice Cp non tiene conto di dove è localizzata la mediadel processo rispetto alle specifiche. Per tenere piùaccuratamente conto della centratura del processo vienedefinito Cpk=Cpk non è altro che un indice unilaterale rispetto al limite dispecifica più vicino alla media.
Cpk=Cpprocesso centrato
Cpk < Cp processo noncentrato rispetto all’intervallodi specifica
( ) ( )( )U Lmin(C ,C ) min USL 3 , LSL 3 µ σ µ σ = − −
Cp misura della capacitàpotenziale del processo
Cpk misura della capacità
effettiva del processo
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INDICI DI CAPACITÀ DEL PROCESSO
Molti autori consigliano di evitare un uso di routine edacritico degli indici di capacità, raccomandandone uninterpretazione con estrema cautela. Il motivo è che essicostituiscono una indicazione estremamente semplificatadi fenomeni spesso molto complessi. Gli aspetti critici degliindici di capacità del processo sono:1. eccessiva semplificazione perché combinano le
informazioni sia di locazione che di variabilità
2. richiedono l’assunzione di normalità
3. sono virtualmente inutilizzabile se calcolati da campionicon bassa numerosità campionaria
In relazione al secondo punto, nel caso di distribuzione nonnormale, un approccio utile è quello di trasformare i dati in
modo che nella nuova metrica essi presentino distribuzionenormale.
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INDICI DI CAPACITÀ DEL PROCESSO
Anche se sviluppato per trattare processi non centrati, ilsolo Cpk risulta anch’esso inadeguato come misura dicentratura del processo. Si consideri i due processirappresentati in figura hanno entrambi Cpk=1. Il processo Bperò non è centrato. Infatti Cp=1 nel primo caso, 2 nelsecondo.
Questo è un caso in cui Cpk si rivela inadeguato come
misura di centratura del processo.
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INDICI DI CAPACITÀ DEL PROCESSO
Un indice migliore della centratura è dato da
Cpkm = (USL − LSL)/6τ
dove τ è la radice quadrata della deviazione attesa rispettoal valore di riferimento T = (USL + LSL)/2:
τ 2 = E [( X − T )2] = σ 2 + (µ − T ) 2
quindi Cpkm può essere riscritto come
Una stima adeguata di Cpkm è
Per il processo A, risulta Cpkm=1, per B invece Cpkm=0.63.
p
pkm2 2 2
CUSL-LSLC , dove
6 ( ) 1
T µξ
σ σ µ T ξ
−= = =
+ − +
p
pkm2
CC , dove
1
T xV
S V
−= =
+
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INTERVALLI DI CONFIDENZA PER GLI INDICI DI CAPACITÀ
Molti degli utilizzi industriali, così come dei softwareapplicativi, si limitano al calcolo degli indici di capacitàdimenticando che si tratta solo di stime puntuali e, cometali, sono soggetti a variabilità accidentale. Una alternativache dovrebbe diventare pratica comune consiste nelcalcolare gli intervalli di confidenza per gli indici dicapacità.
Se la distribuzione della caratteristica della qualità segueuna legge normale, allora gli intervalli di confidenza al100(1−α )%, esatto di Cp e approssimato di Cpk, sono datida
2 2
p 1 / 2, 1 p p / 2, 1ˆ ˆC ( 1) C C ( 1)α n α n χ n χ n− − −− ≤ ≤ −
pk / 2 pk pk / 22 2
pk pk
1 1 1 1ˆ ˆC 1 C C 1ˆ ˆ2( -1) 2( -1)
9 C 9 C
α α Z Z n n
n n
− + ≤ ≤ + +
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TEST DI IPOTESI PER GLI INDICI DI CAPACITÀ
Una pratica che si sta diffondendo nelle applicazioniindustriali è di richiedere al fornitore, come clausolacontrattuale, di dimostrare la capacità del proprio processo.Diviene quindi sempre più necessario dimostrare chel’indice di capacità del processo soddisfa, o eccede, unparticolare valore di riferimento Cp0. Questo problema puòessere formulato come un tipico problema di verificastatistica delle ipotesi
0 p p0
1 p p0
H :C C , (ovvero il processo non ha capacità)
H :C C , (ovvero il processo ha capacità)
≤ >
Per agevolare la soluzionea questo problema si puòricorrere a opportuni valoricritici, in funzione dellanumerosità campionaria.
Tab. 9.5 p. 374
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ANALISI DI CAPACITÀ DI PROCESSO CON LE CARTE DI CONTROLLO
Gli istogrammi, i grafici di probabilità e gli indici di capacitàsono tutti strumenti utili a riassumere in sintesi leprestazioni di un processo, ma comunque non idonei adescrivere la capacità potenziale del processo, in quantonon legati al concetto di controllo statistico, secondi cui
occorre identificare i comportamenti sistematici dellevariabili in uscita del processo, che una volta eliminatiprodurrebbero un diminuzione significativa della variabilitàdella qualità del processo stesso. A tale proposito, le cartedi controllo sono uno strumento assai efficace edovrebbero essere viste come tecnica primaria per l’analisiddella capacità del processo. Sia le carte per il controllo per attributi che per variabili possono essere usate, tenendo
presente alcune indicazioni.
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ANALISI DI CAPACITÀ DI PROCESSO CON LE CARTE DI CONTROLLO
Le carte per media e range, rispetto alle carte per attributisono le più indicate, in quanto
offrono potenza e quantità di informazione permettono di studiare il processo senza riferimento alle
specifiche consentono di analizzare la variabilità istantanea
(capacità del processo di breve periodo) e la variabilitànel tempo (capacità di lungo periodo)
A volte l’analisi di capacità indica che il processo è fuoricontrollo. Non è sicuro stimare la capacità del processo intali casi, in quanto per produrre una stima affidabile ilprocesso deve essere stabile. Quando si è uno stato difuori controllo in fase iniziale dell’analisi di capacità, il
primo obiettivo è di eliminare i fattori specifici e portare ilprocesso in stato di controllo.
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ANALISI DI CAPACITÀ DI PROCESSO CON LE CARTE DI CONTROLLO
Consideriamo i dati di resistenza a rottura di contenitori per bevande gassate, raccolti attraverso 20 campioni di 5osservazioni ciascuno.
Dato che la resistenza a rottura è un parametro disicurezza, la capacità del processo è inadeguata, pur se ilprocesso opera in stato di controllo. Si necessita di un
intervento strutturale volto al miglioramento del processo.
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ANALISI DI CAPACITÀ DI PROCESSO CON ESPERIMENTI PROGRAMMATI
La programmazione degli esperimenti (Design of
Experiments − DoE) è un approccio sistematico cheprevede la variazione delle variabili controllabili in ingressoe quindi l’analisi degli effetti di queste in uscita per valutarea quale livello queste variabili possono contribuireall’ottimizzazione delle prestazioni del processo. Il DoE èquindi utile in problemi produttivi più generali di quelli distima della capacità del processo. Uno degli impieghiprincipaliprincipali del DoE è nell’isolamento estima delle cause di variabilità di unprocesso. Ad esempio, la variabilità diun prodotto finito σ B
2 può dipenderedalla variabilità tra le macchine (M ), tra
le testate (H ) e da quella analitica dimisura ( A): σ B2 = σ M 2 + σ H
2 + σ A2.
Fig. 9.12 p. 379
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STUDI DI CAPACITÀ DI STRUMENTI E DI SISTEMI DI MISURA
Un obiettivo importante perseguito durante la realizzazionedi molti sistemi di controllo statistico di processo è quello diassicurare un’adeguata capacità degli strumenti e deisistemi di ispezione. In ogni problema legato a proceduredi misura, parte della variabilità dei risultati può esseredovuta alla variabilità dei prodotti ma anche alla variabilitàderivante dagli strumenti di misura:
σ 2totale = σ 2prodotto + σ 2strumento
Le carte di controllo e altre metodologie statistichepossono essere usate per separare queste componenti divariabilità e per dare indicazione della capacità deglistrumenti di misura.
È pratica comune confrontare la stima della capacità dellostrumento con l’ampiezza della banda di tolleranza o di
specifica (USL−LSL) sulla parte oggetto di misurazione.
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STUDI DI CAPACITÀ DI STRUMENTI E DI SISTEMI DI MISURA
Il rapporto tra e la banda di tolleranza è spessochiamato rapporto precisione-tolleranza o indice P /T :
P /T = / (USL−LSL)
Valori di P /T maggiori o uguali a 0.1 sono spesso
interpretati come sintomo di capacità inadeguata dellostrumento. Tuttavia, dovremmo porre una certa cautelanell’adottare questa regola empirica in ogni occasioneperché in generale uno strumento dovrebbe essere capacedi misurare con sufficientemente accuratezza e precisioneda permettere all’analista di assumere le decisioni corrette.
Piuttosto che il rapporto P /T , una espressione piùsignificativa della capacità dello strumento, in quantoindipendente dall’ampiezza dei limiti di specifica è datadall’espressione
strumentoˆ6σ
strumentoˆ6σ
2 2
strumento prodottoˆ ˆ( / ) 100σ σ ×
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UN ESEMPIO
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UN ESEMPIO
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UN ESEMPIO
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STUDI DI CAPACITÀ DI STRUMENTI E DI SISTEMI DI MISURA
È anche possibile progettare studi di capacità di unostrumento per analizzare due specifiche componentidell’errore di misurazione: ripetibilità e riproducibilitàdello strumento. Si definisce riproducibilità la variabilitàdovuta alla diversità degli operatori che usano lo stesso
strumento (in differenti momenti, o ambienti o, in generalecondizioni); la ripetibilità riflette invece la precisioneintrinseca dello strumento di misura, cioè
Fin qui abbiamo studiato principal-mente la precisione di uno strumen-to, non l’accuratezza. Quest’ultimasi riferisce all’attitudine di misurarecorrettamente, in media, il vero valo-re. Spesso può essere modificatamediante appropriata calibrazione.
Fig. 9.14 p. 385
2 2 2 2
errore di misurazione strumento ripetibilità riproducibilitàˆ ˆ ˆ ˆσ σ σ σ = = +
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• Gauge R&R studies are usually conducted with a factorial experiment
Variance
Components
GAUGE R&R STUDIES
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• This is a two-factor factorial experiment
• ANOVA methods are used to conduct the R&R analysis
GAUGE R&R STUDIES
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GAUGE R&R STUDIES
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GAUGE R&R STUDIES
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GAUGE R&R STUDIES
Negative estimates of a variance component would lead
to filling a reduced model, such as, for example:
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GAUGE R&R STUDIES
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STIMA DEI LIMITI DI TOLLERANZA NATURALE DI UN PROCESSO
In molto processi produttivi è pratica comune pensare allatolleranza naturale come all’intervallo che contiene unacerta frazione prefissata, 100(1−α )%, dei possibili risultati.Se la distribuzione dei valori della caratteristica di qualitàfosse completamente nota, ad es. sulla base di una lunga
serie di osservazioni del processo, allora i limiti ditolleranza si potrebbero determinare in maniera agevole ediretta. In molti problemi applicativi forma e parametri delladistribuzione non sono però sempre noti, sebbene iparametri possono essere stimati dai dati campionari.Se si suppone che la v.c. x sia N (µ ,σ 2), una procedura distima dei limiti di tolleranza naturale µ ± Z
α /2 σ si ottiene da
che è una espressione imprecisa, specie per basse
numerosità.
/ 2α Z S ±
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STIMA DEI LIMITI DI TOLLERANZA NATURALE DI UN PROCESSO
Per rendere più affidabile la stima, migliore sarebbeconsiderare la distribuzione t di Student oppure unaopportuna procedura approssimata.
Sempre basandosi sull’ipotesi di normalità, è anche
possibile specificare limiti di tolleranza unilaterali.Si ricordi che esiste una fondamentale differenza tra limiticonfidenza e limiti di tolleranza. I limiti di confidenzasono usati per costruire una stima intervallare deiparametri di una distribuzione, mentre i limiti di tolleranzasono usati per indicare i limiti tra i quali ci si può attenderecada una proporzione specifica di una popolazione. Si notiche al divergere di n la lunghezza dell’intervallo diconfidenza tende a zero, mentre i limiti di tolleranza si
avvicinano a quelli teorici, corrispondenti all’interapopolazione.
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STIMA DEI LIMITI DI TOLLERANZA NATURALE DI UN PROCESSO
È possibile costruire limiti di tolleranza non parametrici (odistribution-free) validi per ogni tipo di distribuzionicontinue. Questi intervalli sono basati sulla distribuzionedei valori estremi (il massimo e il minimo dei daticampionari) di un campione estratto da una genericadistribuzione continua. Per i limiti di tolleranza bilaterali,
deve essere prelevato un numero di osservazioniapprossimativamente pari a
in modo che sia g la probabilità che 100(1−α )% delladistribuzione cada tra le due osservazioni estreme. Ingenerale però essi un valore pratico limitato, dal momentoche sono richiesti campioni solitamente molto numerosi ein alcuni casi proibitivi. Potendo specificare la forma delladistribuzione è inoltre possibile costruire intervalli di
tolleranza più stretti rispetto all’approccio non parametrico.
2
1 ,41 2
2 4
γ χ αn
α
−− +