analise sis lineares 1
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EN 2706- Análise de Sistemas Dinâmicos Lineares
Prof. Marat Rafikov Centro de Engenharia, Modelagem e
Ciências Sociais Aplicadas (CECS) E-mail: [email protected]
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EN2706 - Análise de Sistemas Dinâmicos Lineares
Recomendação: Instrumentação e Controle
Ementa:
1. Apresentação de sistemas dinâmicos lineares multivariáveis.
2. Descrição por equações de estado.
3. Extração dos autovalores e autovetores.
4. Estudo de estabilidade local e global.
5. Critérios de estabilidade de Lyapunov.
6. Linearização de sistemas dinâmicos não-lineares.
7. Matriz de transição de estados.
8. Observabilidade.
9. Controlabilidade.
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Monteiro, L.H.A. Sistemas Dinâmicos. 2-a Edição. São Paulo:
Editora Livraria da Física, 2006.
Ogata, K. Engenharia de Controle Moderno. 5-a Edição. São
Paulo: Pearson & Prentice Hall, 2010.
Zill, D.G. Equações diferenciais com aplicações em
modelagem. São Paulo: Thomson, 2003.
Bibliografia
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Sistemas Lineares: Introdução
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Sistemas Lineares: Introdução
Um sistema linear pode ser modelado por uma equação diferencial linear de ordem n ou por um sistema de equações lineares. A forma geral de uma equação diferencial linear de ordem n é seguinte:
)(... 012
)1(
1
)( tfxaxaxaxax n
n
n
(1)
A forma geral de um sistema de equações lineares:
)(tFAXX (2)
onde X e F são vetores de dimensão n, A é matriz de dimensão
nxn.
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Apresentação de sistemas dinâmicos lineares multivariáveis
Exemplo 1
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Apresentação de sistemas dinâmicos lineares multivariáveis
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Descrição por equações de estado
A equação diferencial linear de ordem n
)(... 012
)1(
1
)( tfxaxaxaxax n
n
n
(1)
pode ser reescrita na forma de um sistema de n equações
lineares
)(tFAXX (2)
introduzindo n novas variáveis que chamaremos de variáveis de
estado . A escolha destes variáveis não é única. Para a equação
(1) vamos definir as variáveis como:
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Descrição por equações de estado
xx 1
xx 2
. . . . . )1( n
n xx
Então, a equação (1) pode ser reescrita como
32
21
xx
xx
(3)
. . . . .
)(... 12110 tfxaxaxax nnn
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Descrição por equações de estado
Escrevendo em forma vetorial - matricial temos:
)(tFAXX
onde
nx
x
x
X...
2
1
,
110 ...
............
0...00
0...10
naaa
A,
)(
...
0
0
)(
tf
tF
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Descrição por equações de estado
yx 1
dtdyx /2
Então, a equação (4) pode ser reescrita como
mtumxbmxkdtdx
xdtdx
/)(///
/
212
21
(5)
Exemplo 1. Sistema massa-mola-amortecedor
(4)
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Descrição por equações de estado
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Descrição por equações de estado
Exemplo 2. Sistema de carrinhos interligados
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Descrição por equações de estado
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Descrição por equações de estado
Exercício 1. Considere o sistema mecânico,
apresentado na figura a direita.
Deduza o sistema de duas equações
diferenciais lineares da segunda ordem
que modela este sistema.
Introduzindo as variáveis de estado,
descrever o sistema
na forma de variáveis de estado.
Escrever o sistema em forma
vetorial – matricial.
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Descrição por equações de estado
Exercício 2.
Considere o sistema mecânico, apresentado na figura acima. Deduza o sistema de
duas equações diferenciais lineares da segunda ordem que modela este sistema.
Introduzindo as variáveis de estado, descrever o sistema na forma de variáveis de
estado. Escrever o sistema em forma vetorial – matricial.
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Estabilidade - Conceito
• O conceito de estabilidade pode ser dado a partir de uma PERTURBAÇÃO do sistema e observação da RESPOSTA do sistema e o ESTADO ESTACIONÁRIO.
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Estabilidade - Conceito
• O conceito de estabilidade pode ser ilustrado considerando-se um cone de seção reta circular colocado sobre uma superfície plana.
• Se o cone estiver repousando sobre a base e for deslocado ligeiramente, retornara a sua posição de equilíbrio original. Esta posição e resposta são ditas estáveis.
• Se o cone estiver apoiado sobre a geratriz e for deslocado ligeiramente, ele rola sem nenhuma tendência a abandonar o apoio sobre a geratriz. Esta posição e designada como a estabilidade neutra.
• Se o cone for apoiado sobre o vértice e abandonado, ele cai para um dos lados. Esta posição e dita instável [1].
• Se um sistema for instável, a resposta transitória e os erros de estado estacionário deixam de ter significado.
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Estabilidade - Conceito
estável neutro instável
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Estabilidade - Conceito
estável neutro instável
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Estabilidade - Conceito
estável neutro instável
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Estabilidade segundo Lyapunov
• A estabilidade e uma das características mais importantes dos sistemas dinâmicos
• Se o sistema é LINEAR e invariante no tempo, temos a disposição vários critérios de estabilidade. Entre eles o critério de estabilidade de Nyquist, o critério de Routh (no domínio da freqüência). Se o sistema e não linear, ou linear variante do tempo, esses critérios de estabilidade não podem ser usados.
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Estabilidade segundo Lyapunov
• O segundo método de Lyapunov (denominado método direto de Lyapunov) é o método mais geral para determinar a estabilidade de sistemas não lineares e/ou variantes no tempo.
• Também usado para determinar a estabilidade de sistemas lineares invariantes no tempo.
• Aplica-se para sistemas de qualquer ordem.
• Usando o segundo método de Lyapunov, podemos determinar estabilidade de um sistema sem resolver as equações de estado. Isto e uma vantagem porque a solução de equações de estado não lineares é geralmente muito difícil [2; 3].
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Estabilidade segundo Lyapunov
• Em 1892 A. M. Lyapunov apresentou dois métodos (chamados primeiro e segundo método) para determinar a estabilidade de sistemas dinâmicos descritos por equações diferenciais ordinárias.
• O primeiro método consiste em todos os procedimentos nos quais utilizam-se a forma explicita das soluções das equações diferenciais.
• O segundo método não requer as soluções das equações diferenciais.
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Estabilidade segundo Lyapunov
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Estabilidade segundo Lyapunov
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Estabilidade segundo Lyapunov
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Estabilidade segundo Lyapunov
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Estabilidade segundo Lyapunov
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Estabilidade segundo Lyapunov
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Estabilidade segundo Lyapunov
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Estabilidade segundo Lyapunov
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Estabilidade segundo Lyapunov
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Estabilidade segundo Lyapunov
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Estabilidade segundo Lyapunov
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A equação característica da equação diferencial linear de segunda ordem homogênea tem a seguinte forma:
0baλλ2 (4)
A equação (4) possui duas raízes 1 e 2 . Dependendo de valores das raízes existem
3 casos da solução geral da equação (3).
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Caso 1. As raízes 1 e 2 são reais, distintas.
A solução geral da equação (3) tem a seguinte forma:
tt
C 21 eeCx(t) 21
(5)
Analisando a solução (5) podemos concluir que a solução do sistema (3) é assintoticamente estável se as raízes da equação característica (4) são negativas. Neste caso a solução (5) tende a 0 quando t . Se pelo menos uma raiz é positiva, então, a solução do sistema (3) é instável.
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Para encontrar valores de constantes de integração
21 eC C temos que usar as condições iniciais
00 x(0)xexx(0) . Diferenciando (5), temos:
ttC 21 eeC(t)x 2211
(6)
Então, para t = 0 de (5) e (6) temos:
22110
210
Cx
Cx
C
C
(7)
de onde segue:
12
0102
12
0021
xx
xxC
C
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Exemplo 1. Considere a equação (3) com coeficientes a = -5 e b =
6. As raízes da equação característica neste caso são 21 e
32 . A solução tt 32 e813ex(t) da equação (3) é instavel.
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Exemplo 2. Considere a equação (3) com coeficientes a = 5 e b = 6. As
raízes da equação característica neste caso são 21 e 32 . A
solução tt 32 e1217ex(t) da equação (3) é estavel.
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Caso 2. As raízes 1 e 2 são reais, iguais 1 = 2 = .
A solução geral da equação (3) tem a seguinte forma:
tt
tC
eeCx(t) 21 (8)
Neste caso
0e
1lim
elim)e(lim
tttt
t
t
tt
Analisando a solução (8) podemos concluir que a solução do
sistema (3) é assintoticamente estável se as raízes da equação
característica (4) são negativas. Neste caso a solução (5) tende a 0
quando t .
Se as raízes são positivas, então, a solução do sistema (3) é
instável.
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Exemplo 3. Considere a equação (3) com coeficientes a = -10 e b
= 25. As raízes da equação característica neste caso são 1 52 .
A solução tt t 55 e235ex(t) da equação (3) é instavel.
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Exemplo 4. Considere a equação (3) com coeficientes a = 10 e b
= 25. As raízes da equação característica neste caso são
1 52 . A solução tt t 55 e275ex(t) da equação (3) é estavel.
![Page 44: Analise Sis Lineares 1](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013122/55cf9982550346d0339dba71/html5/thumbnails/44.jpg)
Caso 3. As raízes 1 e 2 são complexas conjugadas a seguinte
forma:
j
Neste caso a solução geral da equação (3) tem a seguinte forma:
tCt tt senecoseCx(t) 21 (9)
Levando em conta que as funções cos e sen em (9) são limitadas
e não influem na estabilidade, podemos concluir que a solução do
sistema (3) é assintoticamente estável se a parte real das raízes da
equação característica (4) é negativa. Neste caso a solução (9)
tende a 0 quando t .
Se a parte real das raízes é positiva, então, a solução do sistema
(3) é instável.
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Exemplo 5. Considere a equação (3) com coeficientes a = -4 e b
= 53. As raízes da equação característica neste caso são
j721 j722 . A solução )7sen1429.17cos5(ex(t) 2 ttt da
equação (3) é instavel.
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Exemplo 6. Considere a equação (3) com coeficientes a =
4 e b = 53. As raízes da equação característica neste caso
são j721 j722 . A solução
)7sen1429.17cos5(ex(t) 2 ttt da equação (3) é estável.
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A equação diferencial de ordem n homogênea tem a seguinte forma:
0... 012
)1(
1
)(
xaxaxaxax n
n
n (10)
Sua equação característica tem a seguinte forma:
0... 01
2
2
1
1
aλaλaλaλ n
n
n (11)
A equação (11) possui n raízes nii ,...,1, .
Se as partes reais de todas as raízes são negativas, então, a solução do sistema (11) é estável. Se pelo menos uma parte real das raízes é positiva, então, a solução do sistema (11) é instável.
Estabilidade da equação diferencial de ordem n homogênea
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AXX (1) Para um sistema de dimensão 2 temos:
2
1
x
xX ,
2221
1211
aa
aaA (2)
A equação característica:
02221
1211
aa
aa (3)
Calculando determinante, obtemos:
0)( 211222112211
2 aaaaaa (4) As raízes de (4) são:
j (5)
Sistema de equações diferenciais lineares homogêneas
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Extração dos autovalores e autovetores
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Sistema de equações diferenciais lineares homogêneas
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Sistema de equações diferenciais lineares homogêneas
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Sistema de equações diferenciais lineares homogêneas
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Método Indireto de Lyapunov
Considere o seguinte sistema não-linear:
)(xfx (6) onde x e f são vetores de dimensão n. O seguinte sistema chama-se linearizado:
xAx (7) onde A é matriz jacobiana:
Estabilidade de sistemas não-lineares
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n
nnn
n
n
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
A
...
............
...
...
21
2
2
2
1
2
1
2
1
1
1
. (8)
Então, denotando com i os autovalores de A (i = 1, ..., n),
podemos concluir: - A origem é assintoticamente estável se 0Re , para todo i .
- A origem é instável se 0Re , para um ou mais autovalores de A.
Estabilidade de sistemas não-lineares
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Bibliografia
• [1] R. C. Dorf, R. H. Bishop, Sistemas de Controle Modernos, LTC, Brasil, 2001.
• [2] K. Ogata, Engenharia de Controle Moderno, Pearson & Prentice Hall, Brasil, 2008.
• [3] A. S. Lordelo, Notas de aula: Instrumentação e controle, UFABC, 2009.
• [4] Meza, M.E.M. Notas de Aula: Instrumentação e Controle, UFABC, 2009.
• Agradecimentos aos professores doutores Alfredo Del Sole Lordelo e Magno E.M. Meza que gentilmente disponibilizaram as suas Notas de Aula
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