análise praxeológica das tarefas de área e perímetro ... · a teoria antropológica do...
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Análise praxeológica das tarefas de área
e perímetro
DÉBORA VIRGILIA CANNE
ANÁLISE PRAXEOLÓGICA DAS
TAREFAS DE ÁREA E PERÍMETRO
Débora Virgilia Canne
Profa Dra Cintia Ap. Bento dos Santos
ANÁLISE PRAXEOLÓGICA DAS
TAREFAS DE ÁREA E PERÍMETRO
Universidade Cruzeiro Do Sul
2015
© 2015
Universidade Cruzeiro do Sul
Pró-Reitoria de Pós-Graduação e Pesquisa
Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática
Reitor da Universidade Cruzeiro do Sul – Profa Dra Sueli Cristina Marquesi
PRÓ-REITORIA DE PÓS-GRADUAÇÃO E PESQUISA
Pró-Reitor – Profa. Dra. Tania Cristina Pithon-Curi
MESTRADO PROFISSIONAL EM ENSINO DE CIÊNCIAS E MATEMÁTICA
Coordenação – Profa. Dra. Norma Suely Gomes Allevato
Banca examinadora
Profa. Dra. Cintia Aparecida Bento dos Santos
Profa. Dra. Norma Suely Gomes Allevato
Prof. Dr. Barbara Lutaif Bianchini
FICHA CATALOGRÁFICA ELABORADA PELA BIBLIOTECA CENTRAL DA
UNIVERSIDADE CRUZEIRO DO SUL
C228a
Canne, Débora Virgilia.
Análise praxeológica das tarefas de área e perímetro / Débora
Virgilia Canne. -- São Paulo: Universidade Cruzeiro do Sul, 2015. 27 p. : il. Produto educacional (Mestrado em Ensino de Ciências e
Matemática). 1. Ensino de matemática 2. Área e perímetro (Grandezas e
medidas) 3. Matemática – Processo de ensino - aprendizagem. I. Título II. Série.
CDU: 51
Lista de Figuras
Figura 1 – Organização Praxeológica................................................................ 9
Figura 2 – Quadro resumo da praxeologia ...................................................... 12
Figura 3 – Exemplo de uma pré-análise .......................................................... 15
Figura 4 – Resolução da tarefa 3 .........................................................................................23
Lista de Quadros
Quadro 1 – Tarefa 1 (retirada do Caderno do Aluno, 6º ano, v. 2, p. 31) .......... 17
Quadro 2 – Tarefa 2 (retirada do Caderno do Aluno, 6º ano, v. 2, p. 33) .......... 19
Quadro 3 – Tarefa 3 .................................................................................................... 21
Sumário
1 APRESENTAÇÃO ..................................................................................................................5
2 ENSINO E APRENDIZAGEM DE ÁREA E PERÍMETRO ................................................6
3 A TEORIA ANTROPOLÓGICA DO DIDÁTICO .................................................................9
3.1 OBJETOS OSTENSIVOS E NÃO OSTENSIVOS ........................................................10
3.2 PRAXEOLOGIA ................................................................................................................11
3.3 PRAXEOLOGIA DIDÁTICA OU ORGANIZAÇÃO MATEMÁTICA .............................13
4 ANÁLISE DE TAREFAS......................................................................................................16
4.1 ATIVIDADE 1 .....................................................................................................................17
4.2 ATIVIDADE 2 .....................................................................................................................18
4.3 ATIVIDADE 3 .....................................................................................................................20
5 ORIENTAÇÕES AO PROFESSOR ...................................................................................24
6 CONSIDERAÇÕES FINAIS ................................................................................................25
REFERÊNCIAS .......................................................................................................................27
Débora Virgilia Canne
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Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática
1 APRESENTAÇÃO
Este produto educacional é fruto de nossa pesquisa de mestrado
(CANNE, 2015), que teve como título “Uma análise praxeológica das tarefas
referentes à abordagem de área e perímetro nos anos finais do Ensino
Fundamental”, defendida no mês de março de 2015.
O objetivo dessa pesquisa foi investigar como são institucionalizados os
conteúdos de área e perímetro nos Cadernos de Matemática do Aluno e do
Professor, elaborados pela Secretaria Estadual de Educação do Estado de São
Paulo.
A Teoria Antropológica do Didático (TAD) de Yves Chevallard (1992) foi
o principal aporte teórico que orientou a pesquisa, complementado pelos
Objetos ostensivos e Objetos não ostensivos, de Marianna Bosch e Yves
Chevallard (1999).
As praxeologias ou organizações matemáticas auxiliam o professor a
fazer análises mais detalhadas das tarefas (exercícios) antes de aplicá-las em
sala de aula para seus alunos, isto é, possibilita selecionar melhor as tarefas e
modificá-las de acordo com a necessidade dos educandos.
Inicialmente, faremos uma apresentação das pesquisas de Baltar e Lima
(2010) referentes à importância do ensino de Grandezas e Medidas, em
especial sobre os conteúdos de área e perímetro.
O objetivo deste produto educacional é apresentar a Teoria
Antropológica do Didático ao professor, numa linguagem mais simples,
permitindo ao mesmo entender e fazer futuras análises de exercícios ou
tarefas, antes de aplicar em sala de aula.
Débora Virgilia Canne
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Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática
2 ENSINO E APRENDIZAGEM DE ÁREA E PERÍMETRO
Área e perímetro são conceitos indispensáveis no ensino e
aprendizagem de Matemática e podem ser trabalhados associando-os a outros
conhecimentos matemáticos, ou seja, são utilizados como apoio para o ensino
de outros conteúdos.
A inclusão dos conteúdos de área e perímetro no Campo de Grandezas
e Medidas desde os anos iniciais do Ensino Fundamental se justifica pelas
seguintes razões: o uso social, suas utilizações nas técnicas e nas ciências, as
conexões com outras disciplinas escolares e as articulações com outros
conteúdos da Matemática. Atualmente, percebemos que nossos alunos não
conseguem relacionar as Grandezas e Medidas com as atividades do
cotidiano, por isso, reforçamos a importância do ensino dos conteúdos desse
bloco, conforme os documentos oficiais: Parâmetros Curriculares de
Matemática (1998), Currículo do Estado de São Paulo (2012).
Conforme os Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática
(BRASIL,1998), o professor pode aproveitar o fato de que, na Antiguidade,
muitas civilizações utilizavam partes do corpo e outros objetos para fazer
medições e também para abordar aspectos históricos nas atividades de
construção da noção de medidas.
Baltar e Lima (2010) afirmam que o estudante, mesmo antes de chegar
à escola, participa de situações do dia a dia nas quais ele próprio, seus colegas
ou familiares também lidam com essas noções matemáticas de Grandezas e
Medidas. Essa proposição pode ser presenciada nas próprias brincadeiras, nas
falas das crianças e, também nas falas dos adultos: “Quem está mais longe?”,
“Qual é a marca mais barata?”, “Quanto tempo demora para limpar o roçado?”,
“Quanto custa?”, “Quanto você pesa?”, “O meu carrinho é maior que o seu!”, “A
minha boneca é pequena”.
O trabalho com área e perímetro no Ensino Fundamental, segundo
Baltar e Lima (2010), por um longo período foi marcado pela ênfase no ensino
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de fórmulas relacionadas às áreas das figuras geométricas usuais (triângulo,
quadrado, retângulo, trapézio, paralelogramo e losango) e, também, das
conversões de unidades de medidas de área e comprimento (converter metros
(m) em centímetros (cm), metros (m) em quilômetros (km), converter resultados
obtidos de áreas e volumes). Com base nas leituras desses autores, é
perceptível a insistência na repetição de exercícios que valorizam a utilização
das fórmulas para os cálculos de área e conversões de unidades. Esses tipos
de exercícios têm se mostrado, na maioria das vezes, ineficazes e geradores
de entraves futuros para a aprendizagem dos alunos, causando uma grande
confusão entre as noções de área e perímetro. Os alunos tentam decorar as
fórmulas de cada figura, sem saber relacioná-la com os cálculos, confundem
área com o perímetro da figura, não sabendo diferenciar uma da outra, ou seja,
não há uma compreensão conceitual quanto a essas duas noções.
Baltar e Lima (2010) afirmam que no ensino e aprendizagem de
medidas é comum a confusão entre as noções de área e de perímetro por
parte dos alunos, pois, muitas vezes, eles empregam relações errôneas, como
ao compararem duas superfícies; concluem que aquela que possui maior área
necessariamente também terá maior perímetro e vice-versa. Uma das
possíveis justificativas para essas conclusões por parte do aluno pode ser a
ausência de situações-problema em que essas duas concepções estejam
presentes, ou seja, atividades que explorem situações de comparação em que
duas figuras tenham o mesmo perímetro e áreas diferentes, mesma área e
perímetros diferentes, ou perímetros e áreas iguais.
Baltar e Lima (2010) também atribuem a confusão entre área e
perímetro ao emprego das palavras no cotidiano com múltiplos sentidos, como,
por exemplo: “vende-se esta área”; “área de serviço”; “área da casa (varanda)”;
“grande área (campo de futebol)”; “área de atuação”. É indispensável ter muita
clareza sobre os sentidos matemáticos e sobre as possibilidades de os alunos
confundi-los com outros sentidos.
As análises praxeológicas, apresentadas nesse produto educacional,
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poderão auxiliar o professor tanto na escolha como na elaboração de novas
tarefas (exercícios), podendo evitar a repetição de exercícios que privilegiam
fórmulas, enunciados duvidosos ou incompletos.
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3 A TEORIA ANTROPOLÓGICA DO DIDÁTICO
Yves Chevallard é um pesquisador francês da área de Educação
Matemática, que mostrou a necessidade de associar a análise do
conhecimento matemático com o estudo das práticas institucionais em que
seus elementos são criados, desenvolvidos, usados, ensinados e aprendidos.
Essa teoria considera os objetos matemáticos, não como existentes em
si, mas como entidades que emergem de sistemas de práticas que existem em
dadas instituições. Esses sistemas ou praxeologias são descritos em termos de
tarefas específicas (exercícios) daquele objeto, das técnicas que permitem
resolvê-las e através dos discursos que servem para explicar e justificar as
técnicas.
O ponto de partida dessa teoria é que “tudo é objeto”. O autor distingue,
porém, tipos de objetos específicos: instituições (I), pessoas (X) e as posições
que ocupam as pessoas nas instituições, de que trataremos mais adiante.
Segundo Chevallard (1992), para determinado tema de estudo deve-se
considerar, em primeiro lugar, a realidade matemática que pode ser construída,
a qual chama de Praxeologia Matemática ou Organização Matemática (OM);
em segundo lugar, a maneira como essa realidade pode ser estudada, que
será denominada Organização Didática (OD).
Figura 1 – Organização Praxeológica
Fonte: Autora
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3.1 OBJETOS OSTENSIVOS E NÃO OSTENSIVOS
Segundo a Teoria Antropológica do Didático, na cultura escolar, ocorre o
desenvolvimento de uma infinidade de atividades de estudo, onde é verificada
a existência de uma pluralidade de registros das mesmas. Esses registros
podem se apresentar sob a forma escritural, gráfica, verbal, gestual, etc., e são
denominados linguagens dos objetos ostensivos, visto que a Teoria
Antropológica assume o seu valor semiótico (simbólico). O modelo proposto
pela TAD estabelece uma distinção dentro do conjunto de objetos que
compõem os elementos das organizações matemáticas: as tarefas, as
técnicas, as tecnologias e as teorias são feitas de objetos ostensivos e de
objetos não ostensivos.
Segundo Bosch (1999), a palavra ostensivo tem sua origem na palavra
latina ostendere, que é tudo aquilo que se mostra, que se percebe, que se vê e
ouve, dotado de certa materialidade, como as escritas, os gráficos, os
desenhos, os experimentos, os sons, os gestos, os discursos, dentre outros; e
que faz parte da cultura humana corrente e que pode ser manipulado.
Os objetos não ostensivos são aqueles que existem institucionalmente,
mas que não podem ser percebidos, não se mostram por si mesmos. Exemplos
deles são as ideias, os conceitos, as crenças. Esses objetos emergem da
manipulação de objetos ostensivos, que será sempre controlada por objetos
não ostensivos.
A dialética entre os ostensivos e não ostensivos provavelmente é
conduzida pelo professor por meio dos registros oral e escrito; por exemplo, ao
registrar no quadro a//b, suponhamos que ele diga para os alunos que se trata
do conceito de paralelismo (não ostensivo) entre as retas a e b.
Conforme os teóricos, em uma determinada tarefa, os ostensivos
constituem a parte visível, que podem ser observados por qualquer pessoa,
especificamente pelos atores envolvidos diretamente com a tarefa. Em outras
palavras, esses objetos fazem parte do real empírico, acessível aos sentidos.
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A ostensividade que Bosch e Chevallard (1999) sustentam se refere,
mais geralmente, ao conjunto dos sentidos ou significações, no qual a visão e a
audição desempenham um papel fundamental. Chevallard utiliza o termo
manipulação para designar os diversos usos possíveis de objetos ostensivos
pelo homem. É através dessa manipulação concreta que se permite distinguir
os objetos ostensivos dos não ostensivos.
Podemos observar, através das ideias dos autores, que a Teoria
Antropológica do Didático (TAD) procura explicar a origem dos conceitos
matemáticos (não ostensivos) e sua relação com os objetos que representam
(ostensivos). De acordo com Bosch (2000), os conceitos surgem do trabalho
com os ostensivos, isto é, em resposta a certas questões e tarefas em um dado
entorno tecnológico-teórico.
3.2 PRAXEOLOGIA
O significado de praxeologia pode ser traduzido por: prática calcada em
conhecimentos, ou seja, na junção das palavras gregas práxis (prática, ação) e
logos (fundamentos, conhecimentos). Conforme a TAD, a práxis é constituída
pelas tarefas (questões/atividades) e pelas técnicas (maneira de fazer algo), e
o logos, pelo discurso matemático que justifica e interpreta a prática, sendo
denominados tecnologias e teorias (CHEVALLARD, 1996).
Uma organização praxeológica sempre surge como resposta a uma
questão ou a um conjunto de questões. Desse modo, estabelece-se um
processo em que se deve buscar ou criar meios para respondê-la(s). Essa
questão é denominada, segundo a TAD, uma tarefa problemática ou não. A
praxeologia atua justamente nesse momento, tentando encontrar uma ou mais
formas de resolvê-la(s), regularmente e com sucesso. (CHEVALLARD, BOSCH
e GASCÓN, 2001)
Desse modo, estabelece-se um processo que para responder a uma
tarefa, ou a um tipo de tarefa, é necessário que a(s) resposta(s) seja(m)
segura(s), sistemática(s) e rotineira(s). Isso pode ocorrer por meio de uma ou
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mais técnicas. Elas devem parecer ao mesmo tempo corretas, compreensíveis
e justificáveis. Além disso, necessitam possuir uma tecnologia capaz de
compreender e validar a sua utilização, e uma teoria que fundamente essa
tecnologia (CHEVALLARD et al., 2001). Esses elementos, agrupados,
procedem a uma organização praxeológica (OP) na forma de um bloco prático-
técnico, no qual encontramos o tipo de tarefa e a técnica, e um bloco
tecnológico-teórico, através da tecnologia e da teoria (BOSCH e
CHEVALLARD, 1999).
Para Chevallard (1996), toda atividade humana consiste em quatro
conceitos básicos, que são: tarefa (Τ), técnica (𝜏), tecnologia (𝜃) e teoria (Θ).
Nesse sentido, pode-se dizer que toda atividade humana coloca em ação uma
organização envolvendo [Τ, 𝜏, 𝜃, Θ ], a qual Chevallard (1998) nomeia
praxeologia, ou organização praxeológica.
Conforme mostra a Figura 2, cada elemento da praxeologia é nomeado
por uma letra do alfabeto grego, a saber: o tipo de tarefa é representado pela
letra Τ (Tau maiúscula); a técnica, pela letra 𝜏 (tau minúscula); a tecnologia,
pela letra θ (theta minúscula); e a teoria, pela letra Θ (teta maiúscula).
Figura 2 - Quadro resumo da praxeologia
Fonte: Autora.
Uma organização praxeológica é composta de um bloco prático-técnico
[T/𝝉 ], identificado pelo autor como um saber fazer, e de um bloco
tecnológico- teórico [𝜽/𝚯], normalmente identificado como um saber. Nessa
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perspectiva, no estudo do conceito de área e perímetro, não se pergunta mais
o que é área ou o que é perímetro, mas sim, quais são os tipos de tarefas a
serem executadas e de técnicas envolvidas, e quais são as respectivas
justificativas tecnológicas e teóricas. O conceito de área e perímetro emerge
dessas praxeologias. A ideia de perímetro emerge quando precisamos saber a
medida do contorno de um determinado objeto, e a ideia de área, do espaço
ocupado por tal objeto.
É importante enfatizar que, conforme a TAD, o bloco tecnológico-teórico
viabiliza a compreensão da técnica utilizada, pois, a partir dele podem-se
agregar elementos para modificar a técnica empregada, se preciso for, ou até
mesmo produzir uma nova técnica. Salientamos, então, que a tecnologia
justifica e explica a técnica, e a teoria fundamenta a tecnologia. O bloco
tecnológico-teórico representa nesse contexto o saber, e o bloco prático-
técnico é denominado saber fazer.
O emprego da TAD, em particular, a organização matemática proposta
por Chevallard (1996) se justifica nesta pesquisa por ser uma teoria que tem
por objetivo fornecer princípios de base que podem ser empregados no estudo
dos conteúdos de Grandezas e Medidas, especificamente os de área e
perímetro, contidos nos Cadernos de Matemática do Aluno e Professor dos
anos finais do Ensino Fundamental.
3.3 PRAXEOLOGIA DIDÁTICA OU ORGANIZAÇÃO MATEMÁTICA
A praxeologia didática tem por objetivo permitir a existência de uma
praxeologia matemática relativa a um determinado saber, isto é, ela permite a
(re)construção de uma determinada praxeologia matemática, articulando-se
também em torno de tipos de tarefas, de técnicas, de tecnologias e de teorias.
De acordo com Chevallard (1998), as praxeologias didáticas ou
organizações didáticas (OD) são as respostas às questões do tipo: Como
realizar o estudo do objeto área e perímetro nos Cadernos de Matemática da
Rede Pública do Estado de São Paulo? Quais critérios se devem usar para
selecionar as tarefas de área e perímetro? Como podemos montar o quadro de
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análise para facilitar a compreensão dos dados mostrados?
Dessa forma, o que possibilita a realização do estudo de determinado
tema é o conjunto de tipos de tarefas, de técnicas e de tecnologias nessa
praxeologia didática.
De acordo com Chevallard (1999), qualquer que seja o caminho de
estudo, certo tipos de situações estão necessariamente presentes, que serão
chamadas de momentos de estudo ou momentos didáticos, porque qualquer
que seja o caminho seguido, o objetivo de ensinar deve ser concretizado.
A noção de momento foi introduzida por Chevallard (1999) para
descrever uma organização didática, e remete, apenas aparentemente, à
estrutura temporal do processo de estudo. O sentido da palavra “momento” é,
de início, multidimensional, um fator no processo multifatorial. Os momentos
didáticos são, primeiramente, uma realidade funcional do estudo, antes de
serem uma realidade cronológica. Segundo a Teoria Antropológica do Didático
(TAD), quando se pretende descrever uma organização didática em torno de
um objeto matemático, qualquer que seja o caminho desse estudo, certos tipos
de situações, momentos de estudo ou momentos didáticos podem ocorrer
simultaneamente, pois, como não existe uma sequência pré-definida para sua
ocorrência, podem-se repetir no decorrer do estudo.
A Figura 3 exemplifica como iniciar a análise praxeológica de uma tarefa
(exercício). Usamos a expressão “tarefa” para ficar mais próxima à Teoria
Antropológica do Didático (TAD), podendo representar um exercício ou um
problema. Chevallard (1996) usa a expressão “tarefa”, porém nada impede de
usar a expressão “exercício”.
Débora Virgilia Canne
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Figura 3 – Exemplo de uma pré-análise
Fonte: Autora.
Fazer uma análise praxeológica é muito mais do que está apresentado
na Figura 3. Uma praxeologia consiste em um discurso que será organizado
em uma escrita para garantir que todas as observações foram feitas e
descritas, permitindo ao professor novas observações e adaptações.
Apresentaremos a seguir algumas análises apresentadas por Canne
(2015) em sua dissertação.
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4 ANÁLISE DE TAREFAS
A palavra “tarefa” é usada neste texto para representar um exercício ou
um problema. Chevallard (1996) utiliza esse termo em sua TAD (Teoria
Antropológica do Didático), porém há pesquisadores que preferem usar a
expressão exercício. Com o recurso de análise de tarefas, tipos de tarefas, de
técnicas, tecnologias e das teorias aplicadas nessa abordagem, temos o
objetivo de descrever como se articulam as organizações matemáticas, as
quais constituem as praxeologias pontuais que modelam o estudo do nosso
objeto de pesquisa, que são as noções de área e perímetro. De acordo com a
Teoria Antropológica do Didático, a praxeologia matemática está diretamente
ligada ao saber-fazer no sentido de produzir; porém, a praxeologia didática se
refere ao fazer no sentido de agir. Nesse contexto, para elaborar uma
praxeologia matemática, o matemático ou a pessoa interessada precisa de
uma praxeologia didática (CHEVALLARD, 2001). Vale relembrar que os objetos
ostensivos e não ostensivos fazem parte das praxeologias e que esses objetos
ostensivos estão associados à tarefa e à técnica utilizada (linguagens da
praxeologia: escritural, figural, gráfica, verbal, gestual entre outras).
Bloco prático-técnico: nesse bloco, pretendemos mostrar quais técnicas
foram associadas para a resolução da tarefa. De acordo com Chevallard
(1999), uma praxeologia relativa à tarefa T precisa (em princípio) de uma
maneira de realizar, ou seja, uma forma de executar determinada tarefa.
Bloco tecnológico-teórico: é nesse bloco que justificamos as técnicas
empregadas para a realização de um determinado tipo de tarefa. Para
Chevallard (1999), uma tecnologia é um discurso racional, que tem como
primeira função justificar a técnica, de modo que ela permita executar tarefas
do tipo Ti. Assim, definimos o bloco tecnológico-teórico como sendo aquele que
justifica a técnica em uma tarefa.
De acordo com a Teoria Antropológica do Didático (TAD), os objetos
ostensivos são as ferramentas das técnicas, tecnologias e teorias, pois sem o
emprego dessas ferramentas a ação não pode ser realizada. A identificação
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dos objetos ostensivos (linguagem escritural, figural, gráfica) nas tarefas pode
ser percebida em seus enunciados, ou seja, pela forma como a tarefa é
apresentada. Os objetos não ostensivos estão relacionados aos conhecimentos
teóricos envolvidos na resolução de cada tarefa, ou seja, as ideias, os
conceitos, as noções. Todo discurso tecnológico se concretiza pela
manipulação de objetos ostensivos e não ostensivos. Os objetos ostensivos
permitem materializar as explicações e justificativas necessárias ao
desenvolvimento da tarefa.
A seguir apresentaremos a análise praxeológica de três tarefas
apresentadas em Canne (2015).
4.1 ATIVIDADE 1
O Quadro 1 apresenta a pré-análise de uma organização matemática ou
praxeologia matemática. Em seguida apresentamos a análise praxeológica
separada em dois blocos: saber fazer (tarefa, técnica) e saber (tecnologia e
teoria).
Quadro 1- Tarefa 1 (retirada do Caderno do Aluno, 6º ano, v. 2, p. 31)
Tarefa (Τ)1
Geral: Geometria e frações com Geoplano ou malha quadriculada.
Técnica (𝜏)
Ostensivos
Desenhar em uma malha quadriculada ou geoplano figuras que
ocupam 4 quadradinhos.
Linguagem1: escritural e figural.
Tecnologia (𝜃) Manipulação de malha quadriculada ou geoplano.
Não ostensivos
Teoria (Θ) Fração. Conceito de área.
Fonte: Autora
1 Linguagem dos objetos ostensivos: De que forma a tarefa é apresentada e como pode ser resolvida.
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Discurso prático-técnico [T1,𝜏1]: tarefa T1 faz uso da malha quadriculada
para que o aluno desenhe figuras geométricas, ocupando apenas 4u². Para
que esta tarefa seja realizada com sucesso, é necessário mobilizar o conceito
de área (ou espaço ocupado), conhecer diferentes figuras geométricas
possíveis de ser desenhadas com área igual a 4 e deduzir que a diagonal
divide a área de um “quadradinho” ao meio; do contrário, de nada adiantaria a
tecnologia empregada na tarefa. De acordo com a praxeologia matemática, o
conjunto tecnologia-teoria deve justificar a técnica.
Discurso tecnológico-teórico [𝜃1, Θ1]: na resolução do tipo de tarefa T1, o
gênero da tarefa é “desenhar” e emprega o conceito de área já estudado em
anos anteriores, articulado com o estudo de frações, pois nem todas as figuras
ocupam um quadradinho inteiro, surgindo, então, a ideia de metade. É aplicada
apenas uma técnica, que é a utilização da malha quadriculada, com base no
fato de que ela seja suficiente para a visualização das frações. Os objetos
ostensivos e não ostensivos garantem a existência da tecnologia e teoria nesta
T1, pois, além de mobilizarem seus conhecimentos referentes às figuras
geométricas para poder reproduzi-las, devem evocar o conceito de área e
frações (ou a ideia de metade) para não limitar a resolução.
4.2 ATIVIDADE 2
No Quadro 2, a análise praxeológica deve contemplar todas as sub-
tarefas (itens de cada tarefa). Essa análise refere-se à tarefa 3 presente na
dissertação, mas para seguir a sequência, será considerada aqui como tarefa
2.
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Quadro 2- Tarefa 2 (retirada do Caderno do Aluno, 6º ano, v. 2, p. 33)
Tarefa (Τ)2
Geral: Geometria e frações com Geoplano.
Técnica (𝜏)
Ostensivos
Desenhar em uma malha quadriculada ou geoplano polígonos
como retângulo, triângulo, hexágono, com as medidas dadas em
u² para cada um.
Linguagem: escritural e figural.
Tecnologia (𝜃) Identificar cada polígono pedido e desenhar cada um com a área
solicitada em uma malha quadriculada.
Não ostensivos
Teoria (Θ) Polígonos e Área.
Fonte: Autora
Na resolução do tipo de tarefa T2 (conjunto de tarefas) apresentada no
Caderno do Aluno, são empregados também conceitos de área de polígonos
regulares, com a ideia de espaço ocupado. Identificamos ainda que é aplicada
apenas uma técnica para resolver a tarefa.
Discurso prático-técnico [Τ2, 𝜏2]: discurso racional aplicado na resolução
deste tipo de tarefa T2 mobiliza o conceito de área a partir da ideia de espaço
ocupado. Isso pode garantir a representação correta da figura solicitada com
sua respectiva área em u². Ao empregar essa técnica, o aluno deverá ficar
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atento às medidas solicitadas, pois o triângulo, o paralelogramo e o hexágono
ocupam metade de alguns quadradinhos. O emprego dessa técnica deve levar
o aluno a deduzir posteriormente a fórmula para calcular a área. A aplicação
dessa técnica mostra que para calcular a área de um retângulo, por exemplo,
deve-se multiplicar a medida do comprimento pela largura, e que a área de um
triângulo corresponde à metade da área de um retângulo ou paralelogramo.
Outro modo de executar a tarefa T2 é contar a quantidade de quadradinhos e
perceber que a metade de um quadradinho mais a metade de outro
quadradinho corresponde a um inteiro.
Discurso tecnológico-teórico [𝜃2, Θ2]: o discurso que fundamenta o tipo
de técnica 𝜏3 baseia-se no fato de que a área ocupada por cada polígono
corresponde à quantidade de quadradinhos que compõem a figura, aplicando-
se os conhecimentos já adquiridos para cada polígono apresentado.
No Caderno do Professor, não identificamos outras técnicas para a
resolução das tarefas, mas sim, sugestões de como explorar as figuras para
somar e subtrair frações, através da malha quadriculada e posteriormente
relacionar os eixos (x, y).
4.3 ATIVIDADE 3
A terceira e última análise apresentada nesse produto educacional refere
à tarefa 16 descrita em Canne (2015).
A tarefa apresenta um erro na figura que pode induzir o aluno ao erro.
As informações, descritas no enunciado da tarefa, confirmam que se trata de
um polígono, no caso, uma caixa de pizza.
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Quadro 3 - Tarefa 3
Tarefa (T)3
Geral: Relações métricas no triângulo retângulo e Teorema de
Pitágoras.
“Uma embalagem de pizza tem a forma de um prisma
hexagonal regular de 3 cm de altura, tendo o lado do hexágono
da base de 18 cm. Qual é a área de papelão para construir a
parte de baixo da caixa em que a pizza vem acomodada?”
Técnica (𝜏)
Ostensivos
Calcular a área de um triângulo equilátero. Encontrar a área de
um prisma de base hexagonal a partir da área de um triângulo
equilátero.
Linguagem: escritural, algébrica e figural.
Tecnologia (𝜃) Aplicar as relações métricas entre as medidas dos elementos de
um triângulo retângulo.
Não ostensivos
Teoria (Θ)
Prisma. Área do triângulo equilátero. Relações métricas em um
triângulo retângulo.
Fonte: Autora
Na resolução do tipo de tarefa T3, emprega-se a noção de prisma,
articulada ao conceito de área por meio das relações métricas em um triângulo
retângulo. O Caderno do Professor apresenta apenas uma técnica de
resolução, que é a aplicação das relações métricas já apresentadas
anteriormente aos alunos.
Discurso prático-técnico [T3,𝜏3]: o discurso racional aplicado na
resolução deste tipo de tarefa T3 , mobiliza diversos conceitos matemáticos a
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Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática
fim de garantir o emprego da aplicação do Teorema de Pitágoras no triângulo
equilátero que forma o hexágono representado pelo fundo da caixa de pizza. O
emprego dessa técnica leva à dedução da fórmula da altura de um triângulo
equilátero: 𝑙√3
2, necessária para calcular a área do triângulo. A aplicação dessa
técnica mostra que é possível calcular a área de um hexágono regular através
da área de um triângulo equilátero, ou seja, essa área é seis vezes o valor da
medida da área de um de seus triângulos. A lateral total da caixa é formada por
seis retângulos, já que a figura é um prisma. A área total do fundo da caixa é a
soma da área do hexágono regular com a área da lateral.
Discurso tecnológico-teórico [𝜃3, Θ3]: o discurso que fundamenta o tipo
de técnica 𝜏 baseia-se no fato de que todo hexágono regular possui seis
triângulos equiláteros em sua formação. Conhecendo a medida do lado desse
triângulo, com a aplicação do Teorema de Pitágoras, encontra-se a medida da
altura para calcular a área de um triângulo. O procedimento é necessário para
calcular a área da figura hexagonal. As laterais da caixa de pizza são formadas
por retângulos, cujas dimensões foram dadas no enunciado da tarefa. Nesse
sentido, esse Teorema representa o discurso racional e justifica a técnica, a
qual garante a realização da tarefa.
A tarefa mobiliza diversos conhecimentos matemáticos, é aconselhável
que o professor certifique-se que os conteúdos já foram trabalhados em sala de
aula. Outro caminho é promover um desafio aos alunos e identificar se falta
algum conteúdo específico para resolver a tarefa ou se é possível resolver
utilizando outras técnicas. As técnicas devem ser justificadas pelas tecnologias
e teorias.
A Figura 4 apresenta a resolução dessa tarefa, retirada do Caderno de
Matemática do Professor, elaborado pela Secretaria Estadual de Educação do
Estado de São Paulo (2014).
Débora Virgilia Canne
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Figura 4 – Resolução da tarefa 3 Fonte: Caderno do Professor, 2014, v.2, p. 36
Débora Virgilia Canne
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5 ORIENTAÇÕES AO PROFESSOR
O nosso objetivo nesse produto educacional foi apresentar ao professor
a Teoria Antropológica do Didático (TAD) de Yves Chevallard (1996) e sua
aplicação em uma análise de determinado conteúdo matemático.
A análise praxeológica permite ao professor refletir sobre cada tarefa
(exercício) a ser trabalhado, com isso podendo selecionar e modificar essas
tarefas para adaptar ao conteúdo trabalhado ou às dificuldades de seus alunos.
O exercício da análise praxeológica contribui para a mudança de postura
do professor em sala de aula, pois possibilita observar com mais atenção as
dificuldades de seus alunos ao resolver uma determinada tarefa ou se os
caminhos (técnicas) escolhidos por eles estão adequados.
O professor pode fazer as seguintes perguntas ao escolher uma tarefa:
Envolve o conhecimento (conteúdo) para resolver a tarefa?
As outras tarefas envolvem o mesmo gênero ou técnica, ou seja,
são semelhantes utilizando apenas valores diferentes?
A tarefa valoriza o conteúdo trabalhado?
A tarefa apresenta algum problema no enunciado envolvendo o
conteúdo?
Qual técnica, tecnologia e teoria estão associadas à tarefa?
As técnicas escolhidas são justificadas pelas tecnologias e
teorias?
Débora Virgilia Canne
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Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática
6 CONSIDERAÇÕES FINAIS
Nossa pesquisa obteve alguns resultados relevantes para o
conhecimento do professor, as quais passamos a descrever.
Quanto à análise das organizações matemáticas e das organizações
didáticas, permitiu-nos identificar que no estudo do objeto de pesquisa, os
autores desses Cadernos de Matemática apresentam esse conteúdo com
diferentes abordagens, pois as escolhas didáticas aplicadas na resolução das
tarefas contidas nesses Cadernos se diferenciam quanto aos tipos de técnicas
(𝜏), tecnologias (𝜃) e teorias (Θ), o que privilegia o estudo desse objeto de
pesquisa com a aplicação de diferentes tipos de praxeologias pontuais
[T,𝜏, 𝜃, Θ].
Nossa análise foi realizada em torno dessas praxeologias pontuais, as
quais modelam o estudo do conteúdo de área e perímetro nos Cadernos de
Matemática do 6º ao 9º ano do Ensino Fundamental. A análise se deu em torno
desses Cadernos de Matemática do Aluno e do Professor, uma vez que foram
esses os materiais disponibilizados para professores e alunos das Escolas
Públicas Estaduais do Estado de São Paulo.
A análise das tarefas presentes no Caderno do Aluno nos permitiu
observar algumas tendências:
o foco da maioria das discussões envolve a medida, trazendo
uma lacuna nas discussões envolvendo as grandezas.
o campo numérico é o mais privilegiado no 6º e 7º anos, apesar
de percebermos indícios de melhora nos tipos de tarefas
envolvendo a interação com outros campos.
as situações de comparação ainda permanecem com um
quantitativo preocupante, principalmente se essas situações não
envolvem medida.
Débora Virgilia Canne
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Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática
há erros nas escritas das resoluções das tarefas no Caderno do
Professor.
há ênfase nas aplicações algébricas envolvendo o cálculo de área
de retângulos e quadrados.
Quanto às organizações matemáticas e didáticas, entendemos que são
apresentadas de forma clara e bem definida, e são pertinentes na constituição
das praxeologias pontuais aplicadas no estudo de área e perímetro. Quanto às
técnicas aplicadas, são elaboradas, fidedignas e confiáveis no cumprimento
das tarefas (T) analisadas. Quanto às tecnologias utilizadas nas justificativas
dessas técnicas em seus argumentos matematicamente válidos, podem
conduzir à elaboração de novas técnicas para resolver essas tarefas, pois, de
acordo com a TAD, toda organização praxeológica é formada por um conjunto
de técnicas, de tecnologias e de teorias articuladas por objetos ostensivos na
resolução de um tipo de tarefa.
Débora Virgilia Canne
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Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática
REFERÊNCIAS
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NACIONAIS: Matemática/Secretaria de Educação Fundamental – Brasília:
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CANNE, D. V. Uma análise praxeológica das tarefas referentes à
abordagem de área e perímetro nos anos finais do Ensino Fundamental.
2015. 161 f. Dissertação (Mestrado em Ensino de Ciências e Matemática) –
Universidade Cruzeiro do Sul, São Paulo, 2015.
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Rochelle. 1998, p. 91-118
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trazidas por uma abordagem antropológica. In: BRUM, Jean (Org.). Didática
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apportées par une aproche anthropologique. Recherches em didatique
des mathématiques. Paris, 1992, p. 73-112.
CHEVALLARD, Y.; BOSCH, M. e GASCÓN, J. Estudar Matemáticas: o elo
perdido entre o ensino e a aprendizagem. Porto Alegre, Artmed Editora,
2001.
SÃO PAULO. Secretaria de Estado da Educação. Coordenadoria de Estudos e
Normas Pedagógicas. Caderno de Matemática do Professor e Caderno do
Aluno.(6º ao 9º ano). São Paulo: SEE/CENP, 2014-2017.
SÃO PAULO. Secretaria de Estado da Educação. Coordenadoria de Estudos e
Normas Pedagógicas. Currículo de Matemática e suas Tecnologias do
Estado de São Paulo. São Paulo: SEE/CENP, 2012.