anÁlise modal de guias de ondas com meios
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UNIVERSIDADE TÉCNICA DE LISBOA INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO
ANÁLISE MODAL DE GUIAS DE ONDAS COM MEIOS COMPLEXOS,
PARA MICROONDAS E FOTÓNICA
Paulo Duarte Delgado
Dissertação para obtenção do grau de Mestre em Engenharia Electrotécnica e de Computadores
Júri: Presidente: Professor Doutor José Manuel Bioucas Dias Orientador: Professor Doutor António Luís Campos da Silva Topa Vogal: Professor Doutor António Manuel Alves Moreira
Julho 2009
i
Agradecimentos
Ao Professor Doutor António Luís Campos da Silva Topa, meu orientador, pelo
imprescindível e valioso apoio prestado em todas as fases de execução desta
dissertação, o qual foi sempre pronto e frutuoso, a minha sincera gratidão e profundo
reconhecimento.
Ao Núcleo de Apoio aos Estudantes PALOP, pelos apoios e incentivos.
Aos meus colegas do Instituto Superior Técnico, e todos aqueles que, directa ou
indirectamente, contribuíram para a realização deste trabalho em especial ao Pita,
Mohamed e Alexandre.
Ao Instituto Superior Técnico, que forneceu o apoio necessário à realização deste
trabalho.
Aos meus irmãos, pelos incentivos e exemplos e, a minha namorada, pelo carinho e
companheirismo.
Por último (mas os últimos são sempre os primeiros), aos meus pais, pelo amor, vida e
educação, pela paciência e apoio, meus eternos agradecimentos.
ii
iii
Resumo
Este trabalho aborda o problema da propagação de ondas electromagnéticas em guias de
ondas contendo meios complexos. São revistas as principais equações de acordo com a
propagação electromagnética de cada meio. Aqui são analisados o uso de meios
anisotrópicos, das ferrites, dos meios quirais e dos meios ómega em guias de ondas.
Cada meio é analisado individualmente, onde se começa por analisar o caso mais
simples dos meios anisotrópicos. Estuda-se o comportamento de ondas
electromagnéticas em cristais uniaxiais e em seguida é analisado a anisotropia
magnética manifestada pelas ferrites. Em guias de ondas contendo ferrites aborda-se
tanto o caso do campo magnético aplicado ser transversal como também o caso em que
o campo magnético aplicado é longitudinal. Analisa-se também a influência da
anisotropia nos diferentes modos de propagação.
Depois prossegue-se com o estudo dos meios magneto-eléctricos (Quirais e ómega).
O conceito de guias contendo meios quirais, tem recebido muita atenção. Parte dessa
atenção é devido ao desempenho que estes têm na composição de materiais que são
quirais nas frequências ópticas. Por exibiram novas e interessantes características
analisa-se a influência da quiralidade nos modos de propagação. Para isso segue-se com
a dedução das equações modais e apresenta-se os respectivos diagramas de dispersão.
Finalmente analisa-se as características de propagação em guias contendo meios ómega.
Considera-se um guia Dieléctrico Não-Radiante pseudoquiral (Ω-NRD) em que a placa
dieléctrica convencional é substituída por uma lâmina pseudoquiral Ω. É feita uma
análise modal completa. Derivam-se as equações modais para os modos de Secção
Longitudinal Magnética (LSM) e de Secção Longitudinal Eléctrica (LSE). Apresenta-se
e analisa-se os diagramas operacionais, dando especial ênfase ao modo LSM01 por se
tratar do modo com melhores características de atenuação versus frequência.
iv
Abstract
This work addresses the problem of guided wave propagation in complex media
waveguides. The basic equations describing the electromagnetic propagation in each
type of media are reviewed. Here, the use of anisotropic media, ferrite, chiral and omega
media in waveguide is considered.
Each media is analyzed individually. We begin by analyzing the most simple case of
anisotropic media. The behavior of electromagnetic waves in biaxial crystals is studied
and then the magnetic anisotropy exhibited by ferrites is analyzed.
In waveguides containing ferrites, the case of a transversely applied external magnetic
field as well the case of a longitudinally applied magnetic field are both considered. The
influence of anisotropy in the dispersion of the different modes is analysed.
Then, one continues with the study of the magneto-electric media (chiral and omega).
The concept of chirowaveguide, which has received considerable attention in the
literature, is addressed. This topic is very interesting due to the possibility of making
composite materials that are chiral at microwave frequencies. The novel and interesting
properties due to electromagnetic chirality’s, lead to the study of the influence of the
chirality’s in the propagation modes. The derivation of the modal equations and the
respective dispersion diagrams are presents.
Finally, the propagation characteristics in waveguides containing omega media are
analysed.
It’s considered a non-radiative dielectric waveguide (Ω-NRD), where the common
dielectric slab is replaced by an omega media slab. A full-wave analysis is made for the
modal equation. The modals equations for the Longitudinal Section Magnetic (LSM)
modes and the Longitudinal Section Electric (LSE) modes are derived. The operational
diagrams are presented and analyzed, with special emphasis to the LSM01
modes, due to its best characteristic of attenuation versus frequency.
v
Palavras chave:
Meios complexos
Equações de Maxwell
Microondas
Fotónica
Guias de ondas
Meios Anisotrópicos
Ferrites
Quiral
Ómega
Keywords:
Complex media
Maxwell’s Equations
Microwaves
Photonic
Waveguides
Ferrites
Anisotropic media
Chiral
Omega
vi
vii
Índice Capítulo 1 Introdução ....................................................................................................................... 1 1.1. Tema da investigação ............................................................................................ 1 1.2. Motivações............................................................................................................. 3 1.3. Objectivos da dissertação ...................................................................................... 4 1.4. Organização do documento ................................................................................... 4 Capítulo 2 Guias Contendo Meios Anisotrópicos........................................................................... 7 2.1. Placa Dieléctrica Uniaxial Assente num Plano Condutor Perfeito....................... 8 2.1.1.Condições na Fronteira e Equação Modal.......................................................... 15 Capítulo 3 Guias Contendo Ferrites .............................................................................................. 21 3.1. Introdução........................................................................................................... 21 3.2. Placa de Ferrite Assente num Plano Condutor Perfeito com Campo Magnético Transversal ..................................................................................................................... 22 3.2.1.Condições na Fronteira e Equação Modal.......................................................... 26 3.3. Guia de Planos Paralelos com Campo Magnético Longitudinal ........................ 30 3.3.1.Condições na Fronteira e Equação Modal.......................................................... 35 Capítulo 4 Guias Contendo Meios Quirais ................................................................................... 39 4.1. Introdução........................................................................................................... 39 4.2. Guia Circular Metálico Quiral............................................................................ 40 4.3. Equação Modal ................................................................................................... 41 4.4. Resultados........................................................................................................... 44 Capítulo 5 Guias Contendo Meios Ómega .................................................................................... 47 5.1. Introdução........................................................................................................... 47 5.2. Guia Dieléctrico Não-Radiante (NRD) .............................................................. 48 5.3. Equações do Campo ........................................................................................... 49 5.4. Equações Modais................................................................................................ 53 5.3. Resultados Numéricos ........................................................................................ 56 5.4. Observações Finais ............................................................................................. 63
viii
Capítulo 6 Conclusão ...................................................................................................................... 65 6.1. Sumário............................................................................................................... 65 6.2. Direcções Futuras ............................................................................................... 66 Apêndice A Propagação em Ferrites ............................................................................................... 67 Apêndice B Propagação em Meios Quirais..................................................................................... 75 D.1. Relações Constitutivas......................................................................................... 75 D.2. Equação de Onda em Meios Quirais ................................................................... 79 D.3. Ondas características ........................................................................................... 81 Apêndice C Linha H .......................................................................................................................... 84 Referências ..................................................................................................................... 88
ix
Índice de Figuras Capítulo 2 Figura 2. 1. Placa dieléctrica uniaxial: (meio2) - placa dieléctrica uniaxial caracterizado por ( 0||μεε ⊥ ) e (meio1) - Ar caracterizado por ( 00με ) separados por um condutor perfeito.............................................................................................................................. 8 Figura 2. 2. Diagrama de dispersão dos Modos TM Pares............................................. 17 Figura 2. 3. Diagrama de dispersão dos Modos TE ímpares.......................................... 19 Capítulo 3 Figura 3. 1. Placa de Ferrite assente num plano condutor perfeito ................................ 22 Figura 3. 2. Diagrama de dispersão dos Modos TM pares ............................................. 29 Figura 3. 3. Guia rectangular contendo Ferrite com Campo Magnético Longitudinal .. 30 Figura 3. 4. Diagrama de Propagação de um guia de planos paralelos preenchido por ferrite com campo Magnético Longitudinal ................................................................... 37 Capítulo 4 Figura 4. 1. Secção transversal do guia circular metálico quiral, limitado por uma parede eléctrica, onde as componentes dos campos φE , ZE e RB são nulas. .......................... 40 Figura 4.2. Relação de Dispersão do Modo Fundamental 1,1HE e dos modos acima
1,0EH e 1,2HE no guia circular metálico quiral............................................................... 45 Capítulo 5 Figura 5. 1. Geometria de um guia (NRD) com uma lâmina dieléctrica isotrópica....... 48 Figura 5. 2. Guia Ω - NRD ou linha H em que a lâmina dieléctrica é um meio ómega. 49 Figura 5. 3. Orientação espacial pseudoquiral do Meio Ω uniaxial, composto por dois conjuntos de microestruturas condutoras em forma de, Ω ............................................ 49 Figura 5. 4. Diagrama operacional para os modos LSE01 e LSM01 de um guia Ω-NRD com uma lâmina pseudoquiral em que 2|| =ε , 3=⊥ε , 1|| =μ , 2=⊥μ e 1=Ω ............. 57 Figura 5. 5. Variação do parâmetro de corte cl λ/ com Ω para os primeiros modos LSMm1de um guia Ω .................................................................................................... 58 Figura 5. 6. Variação do parâmetro de corte b c/ λ com Ω para os primeiros modos LSMm1 de um guia Ω-NRD em que 2|| =ε , 3=⊥ε , 1|| =μ , 2=⊥μ e 2.1/ =lb . .......... 59 Figura 5. 7. Diagrama operacional para os primeiros modos LSMm1 de um guia Ω em que ||ε = 2, ⊥ε = 3, ||μ =1, ⊥μ =2 para diversos valores de Ω . .................................. 60 Figura 5. 8. Variação do número de onda longitudinal normalizado β com λ/l , para os primeiros modos LSM do guia Ω . As curvas a traço fino correspondem ao caso anisotrópico biaxial enquanto as curvas a traço grosso correspondem ao caso 0.1=Ω . 61 Figura 5. 9. Variação do número de onda longitudinal normalizado β com Ω para os primeiros modos LSM do guia Ω-NRD da Figura 4.12, quando 5.0/ =λl . .................. 62
x
xi
Abreviaturas e Símbolos
Abreviaturas GO Guias de Ondas
PCE Polarização Circular Esquerda
PCD Polarização Circular Direita
TE Transversal Eléctrico
TM Transversal Magnético
TEM Transversal electromagnético
LPP Linha de Planos Paralelos
LSM Longitudinal Section Magnetic
LSE Longitudinal Section Electric
NRD Non-Radiative Dielectric Símbolos
∇ Operador Gradiente
c Velocidade de Propagação no Vácuo
ω Frequência Angular
λ Comprimento de Onda
0λ Comprimento de Onda no Vácuo
k Número de Onda
0k Número de Onda no Vácuo
α Constante de Atenuação β Constante de Propagação Longitudinal ou de Fase
xii
ε Constante Dieléctrica
rε Constante Dieléctrica Relativa
0ε Constante Dieléctrica do Vácuo ε Tensor de Permeabilidade Eléctrica
μ Permeabilidade Magnética
μ Permeabilidade Magnética Relativa
0μ Permeabilidade Magnética do Vácuo
μ Tensor de Permeabilidade Magnética
ξ Parâmetro Quiral Adimensional (Quiralidade)
cξ Admitância Quiral
ξ e ζ Tensores magneto-electricos adimensionais
nJ Função de Bessel de primeira espécie de ordem n
Ω Parâmetro Pseudoquiral Adimensional
cΩ Admitância Pseudoquiral
ξ e ζ Tensores magneto-electricos adimensionais
B Densidade de Fluxo Magnético
D Densidade de Fluxo Eléctrico
E Vector Campo Eléctrico
zyx EEE ,, Componentes do Campo Eléctrico nas direcções x, y e z
H Vector Campo Magnético
zyx HHH ,, Componentes do Campo Magnético nas direcções x, y e z
1
Capítulo 1
Introdução
1.1 – Tema da Investigação Nos últimos anos tem havido um enorme interesse no estudo e análise de meios
complexos tanto para microondas como para fotónica.
Meios complexos aqui referem-se a meios utilizados em dispositivos electrónicos, que
possuem propriedades extraordinárias não encontradas em meios comuns. De meios
comuns percebe-se, meios lineares nos seus efeitos de propagação de ondas
electromagnéticas e isotrópicas em termos de suas propriedades direccionais [1]. Meios
complexos electromagnéticos descrevem o estudo de campos electromagnéticos em
materiais com propriedades de resposta complicada [2].
Certas características, como anisotropia, dispersão temporal, dispersão espacial, e
quiralidade, que são todos observados em comprimentos de ondas ópticas, resultam da
estrutura microscópica dos átomos ou moléculas que constituem os materiais. Algumas
dessas características podem ser difíceis de observar fora da banda óptica. Em
frequências mais baixas o período da oscilação pode ser muito mais longo do que o
tempo de relaxamento atómico constante, excluindo os efeitos de retardação.
Realmente quando se quer controlar dispositivos de microondas, o uso de materiais
complexos anisotrópicos ou com propriedades não lineares é necessário. Da mesma
forma quando se deseja certos comportamentos direccionais baseados na propagação
não recíproca de ondas electromagnéticas, deve então ser encontrado um meio não
recíproco. Estes podem exibir anisotropia quando a acção não recíproca é obtida por
aplicação de um campo magnético controlado. A não-reciprocidade pode por exemplo
ser obtida em ferrites por aplicação de um campo magnético estático.
2
Desde o aparecimento de materiais ferro magnéticos de baixas perdas - as ferrites, a
propagação de ondas electromagnéticas em meios com anisotropia magnética tem
merecido atenção acrescido.
Van Trier [3] estudou o caso de guias de onda circulares preenchidos por ferrite
analisando a sua influência na direcção de propagação.
Kales [4] estudou o caso de guia de ondas circular preenchido com ferrite e com
magnetização na direcção de propagação.
Fix [5] e Arditi [6] concentraram-se no estudo sobre o uso de ferrites em linhas
impressas, sendo o primeiro, pioneiro no uso de uma lâmina de ferrites entre duas linhas
impressas (strip-line).
Os meios quirais são vulgarmente conhecidos como materiais que possuem actividade
óptica. A actividade óptica foi primeiro descoberta por Arago [7]. O físico e astrónomo
francês constatou, que os cristais de quartzo fazem girar o plano de polarização da luz
polarizada linearmente.
Em 1815, Biot [8] descobre que a actividade óptica não se limita a sólidos cristalinos
mas também aparece noutros meios, tais como terebintina, óleos e soluções aquosas.
Em 1822, Fresnell [9] mostra que, um raio de luz propagando ao longo do eixo de um
cristal de quartzo, separa em dois raios polarizados circularmente, com sentidos opostos
e velocidades de fase desiguais.
Em 1968, Jin Au Kong [10] introduziu pela primeira vez o conceito de meio
bianisotrópico. Estes meios para além de serem anisotrópicos exibem ainda a
propriedade de acoplamento magnetoeléctrico. Nos últimos anos a quiralidade
electromagnética e materiais quirais têm sido extensivamente investigados devido a um
grande número de aplicações nomeadamente no campo dos microondas e regimes
ópticos. Embora exista meios quirais na natureza, a maioria dos materiais usados em
dispositivos electrónicos são obtidos de forma artificial.
Em 1992, Saadoun e Engheta [11] apresentaram pela primeira vez os meios ómega ou
pseudo-quirais. Estes meios podem ser obtidos por “dopagem” de um meio dieléctrico
hospedeiro com microestruturas condutoras compostas por uma espira e dois fios
coplanares, resultando num acoplamento magneto eléctrico.
3
Portanto tanto o campo eléctrico como o campo magnético induz polarização, eléctrica
e magnética simultaneamente. Ao contrário dos meios quirais as polarizações, eléctricas
e magnéticas são perpendiculares entre si. Embora os meios ómega não sejam
opticamente activas têm recebido muita atenção pois as suas características especiais
conduzem a novas aplicações tais como: lamina retardadora recíproca, transformadores
de fase, guias de ondas etc.
1.2 – Motivações
A busca por materiais complexos para aplicações em engenharia electromagnética tem
sido um objectivo de investigação activa. Parte desta atenção é devido a possibilidade
de micro e nano-fabricação de dispositivos para microondas e ondas milimétricas. O
desenvolvimento da nanotecnologia permitiu grandes avanços tecnológicos e as novas
tendências fazem com que os investigadores desta área tenham novos desafios.
As ferrites são materiais ferro magnéticas de baixas perdas, para as quais facilmente o
spin dos electrões entra em ressonância. A descoberta destes materiais com anisotropia
magnética despertou um maior interesse na comunidade científica.
Os meios quirais constituíam há já algum tempo um tópico de grande importância. Um
meio quiral isotrópico pode ser obtido através de uma distribuição aleatória de hélices
num substrato isotrópico.
Os meios ómega surgem como uma alternativa aos meios quirais. A síntese de meios Ω
consegue-se devido a à inclusão de microestruturas condutoras Ω no seio do substrato
isotrópico.
Os meios Bianisotrópicos (ómega e quirais) são magneto-eléctricos diferenciando na
forma como se da o acoplamento. Os meios ómega ate possuem algumas propriedades
semelhantes as ferrites embora, ao contrário das ferrites, sejam recíprocos.
Surgem portanto uma variedade de novas características modais que podem ser
exploradas e aplicadas na elaboração de dispositivos electrónicos.
4
Assim como disse N. Engheta e M. Saadoun [14] [15] a motivação por trás deste estudo
é a potencial aplicação desses materiais no fabrico de novos dispositivos e componentes
para microondas e ondas milimétricas.
1.3 – Objectivos da Dissertação
Este Trabalho tem como objectivo o estudo e análise das características de propagação
de ondas electromagnéticas em meios complexos. Usando conceitos teóricos já
desenvolvidos quer a nível de materiais como da física analisa-se o comportamento de
ondas electromagnéticas em guias de ondas e o respectivo impacto em aplicações a
dispositivos de microondas. Considera-se Guias de Ondas (GO) contendo meios
Anisotrópicos, Ferrites, meios Quirais e meios Ómega ou pseudo-Quirais. Cada capítulo
assim como cada guia em cada capítulo contem um determinado meio. A partir das
equações de Maxwell e das propriedades do meio procura-se os modos de propagação,
as equações modais que os define e os respectivos diagramas de dispersão. Tratando-se
de meios complexos (não lineares) as equações modais a encontrar-se são também não
lineares pelo que se usa um método numérico de regressão não linear para encontrar as
soluções. A ferramenta de simulação que se vai utilizar é o matlab onde se pode
visualizar as soluções gráficas para cada meio e finalmente comparar os diferentes guias
em termos de suas estruturas de propagação. Convém salientar que os dados utilizados
nas simulações não são dados reais.
1.4 - Organização do Documento
No capítulo 2, estudam-se os guias preenchidos com Meios Anisotrópicos. Considera-se
uma placa de cristal uniaxial assente num plano condutor perfeito [secção 2.1]. Analisa-
se as possíveis estruturas de propagação obtendo-se as equações dos modos e os
respectivos diagramas de dispersão.
5
Os guias contendo Ferrites são abordados no capítulo 3. Na secção 3.1 analisa-se um
guia com o campo magnético transversal enquanto na secção 3.2 é abordado o caso em
que o campo magnético está orientado no sentido longitudinal. Para ambos os casos
analisa-se as equações modais. Obtém-se os diagramas de dispersão tanto para os
modos transversais eléctricos como também para os modos transversais magnéticos
analisando as características de propagação.
No capítulo 4, ocupa-se com o estudo dos Meios Quirais. Para isso começa na secção
4.1 por analisar um guia metálico quiral de secção circular como o objectivo de
desvendar as características de propagação. Prossegue-se na secção 4.2 com a dedução
da equação modal e obtém-se o diagrama de dispersão para os modos de propagação.
Na secção 4.3 analisa-se as características de propagação a partir dos diagramas de
dispersão.
Finalmente no capítulo 5, os guias contendo Meios Ómega ou pseudoquirais são alvos
de uma análise electromagnética completa com o objectivo de conhecer as possíveis
estruturas de propagação. Começa-se na secção 5.1 por estabelecer as equações das
componentes do campo, quer para os modos híbridos de Secção Longitudinal
Magnética (LSM) como para os modos de Secção Longitudinal Eléctrica (LSE).
Derivam-se as equações modais na secção 5.2 para que na secção 5.3 seja apresentada e
analisada os resultados numéricos.
6
7
Capítulo 2
Guias Contendo Meios
Anisotrópicos
Um meio diz-se dieléctrico quando a sua condutividade σ é desprezável, ou seja a suas
propriedades eléctricas e magnéticas são completamente determinadas pela
permeabilidade magnética (µ) e pela constante dieléctrica (ε).
O caráter da passagem da luz através de uma substância está determinado por suas
propriedades dielétricas nas freqüências ópticas.
Num meio isotrópico como o ar, as vibrações do campo eléctrico segundo x e y podem
ser quaisquer, dependendo das suas relações de fase e amplitude.
Pode se dizer que para os meios isotrópicos, a permeabilidade dielétrica ε e o
coeficiente de refração não depende da direção. O vector de indução elétrica dado por
Δ = ε E e o vector de intensidade do campo E coincidem na direção.
Para os meios anisotrópicos:
(2.1)
onde os εij são componentes do tensor de segunda ordem. A permeabilidade dielétrica e
o coeficiente de refração do meio anisotrópico dependem substancialmente da direção.
No caso geral, os vetores Δ e E não coincidem na direção ou seja, estes meios embora
possuem um arranjo regular de átomos e moléculas, suas propriedades ópticas não são
as mesmas em todas as direções(anisotropia óptica no espaço).
Neste capítulo considera-se o caso de guias preenchidos por meios anisotrópicos, em
especial por cristais uniaxiais.
jiji Eε=Δ
8
2.1 – Placa Dieléctrica Uniaxial Assente num Plano
Condutor Perfeito
Figura 2. 1. Placa dieléctrica uniaxial: (meio2) - placa dieléctrica uniaxial caracterizado por ( 0||μεε ⊥ ) e (meio1) - Ar caracterizado por ( 00με ) separados por um condutor perfeito.
Prossegue-se assim com o estudo de uma placa dieléctrica uniaxial assente num plano
condutor perfeito Figura 2.1, analisando a influência das características do meio nos
modos de propagação. Objectiva-se obter as equações características dos modos e os
respectivos diagramas de dispersão.
Assim, considerando que a propagação se efectue na direcção do eixo dos zz, na forma xjkxe− , que o guia tem uma estrutura infinita segundo o eixo dos yy, então as derivadas
segundo estes dois eixos são respectivamente:
(2.2)
(2.3)
jkz
−=∂∂
0=∂∂y
1
X
YZ
2
00με
0||μεε ⊥ d
9
0. =∇ D
As equações de Maxwell para um meio, uniforme e não magnético são:
(2.4.a)
(2.4.b)
(2.4.c)
(2.4.d)
Admite-se ainda que o meio 2 exibe anisotropia eléctrica ou seja o tensor dieléctrico
tem a forma de uma matriz diagonal:
(2.5)
e as relações constitutivas do meio são:
(2.6)
(2.7)
em que B representa a indução magnética e D o deslocamento eléctrico.
A partir das equações de Maxwell pode-se derivar uma relação definindo a propagação
das ondas do campo electromagnético – equação da onda. Assim aplicando o rotacional
a equação (2.4.c), recorrendo a equação (2.4.a) e usando a identidade vectorial:
(2.8)
0. =∇ B
HxjE r )(0μωμ−=×∇
HΒ 0μμ=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⊥
⊥
εε
ε
000000||
ε
ΕεD 0ε=
−−−∇−∇∇=×∇×∇ EEE 2).()(
ExjH r )(0εωε=×∇
10
obtém-se as equações de onda para o campo eléctrico:
(2.9)
Seguindo o mesmo raciocínio obtêm-se a equação da onda para o campo magnético:
(2.10)
Considerando os casos da classe dos modos transversais eléctricos (TE) e transversais
magnéticos (TM) com soluções gerais da forma [ ])(exp kzwtj − pode-se facilmente
deduzir as equações de onda para os respectivos modos.
Atendendo:
(2.11)
por analogia com o campo eléctrico e substituindo na equação (2.4.c) obtém-se o
seguinte conjunto de equações
(2.12)
(2.13)
(2.14)
zyxA ˆˆˆ0
ˆˆˆ~~~
xA
xAjkAjkA
AAA
jkx
zyx
yzxy
zyx
∂
∂+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
+−=
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−∂∂
=×∇
2
2
22
2 ),(1),(t
txEcx
txE∂
∂=
∂∂
2
2
22
2 ),(1),(t
txBcx
txB∂
∂=
∂∂
yrz
x Hxjx
EjkE )(0μωμ=∂
∂+
zry Hxj
xE
)(0μωμ−=∂
∂
xry HxjjkE )(0μωμ−=
11
Das equações (2.12 e 2.14) obtêm-se respectivamente:
(2.15)
(2.16)
Igualmente para o campo magnético, agora por substituição na equação (2.4.d) resulta:
(2.17)
(2.18)
(2.19)
A partir de (2.17) e de (2.19) obtêm-se respectivamente:
(2.20)
(2.21)
yr
x Ex
kH0)( μωμ
−=
xE
xjH y
rz ∂
∂=
0)(1
μωμ
xy EjjkH 0||εωε−=
yz
x Ejx
HjkH 0εωε ⊥−=∂
∂+
zy Ej
xH
0εωε ⊥−=∂
∂
yx HkE0||εωε
−=
xH
jE yz ∂
∂=
⊥ 0
1εωε
12
220
2 )( kkxk rx −= ⊥εμ
Substituindo as equações (2.15) e (2.16) na equação (2.18); as equações (2.20) e (2.21)
na equação (2.13) obtêm-se respectivamente para os modos TM e TE:
(2.22)
(2.23)
Estas equações podem ser reescritas como:
(2.24)
(2.25)
em que xk assume respectivamente(para TM e TE) as formas:
(2.26)
(2.27)
e
(2.28)
sendo que xk representa o número de onda transversal e 0k a constante de propagação
no vazio.
)( 220||
||
2 kkkx −= ⊥ μεεε
0022
0 μεω=k
0))(( 2202
2
=−+∂
∂⊥ yr
y EkkxxE
εμ
0)( 220||
||2
2
=−+∂
∂⊥
yy Hkk
xH
μεεε
022
2
=+∂
∂yx
y HkxH
022
2
=+∂
∂yx
y EkxE
13
Assumindo yy HE ,=φ , tem-se finalmente:
(2.29)
Usando o método de separação de variáveis, verifica-se que as soluções desta equação
diferencial, para ambos os modos são da forma:
(2.30)
com 211 DDC += e ( )122 DDjC += .
Para explorar melhor as características de propagação, para ambos os meios os modos
são analisados separadamente.
As soluções para o meio 2 são definidas através da componente suporte y ( yE e yH ),
baseando também no facto de não haver propagação para (x=0) por se tratar de um
condutor perfeito.
Assim sendo, para, ( ) 00 ==xE y quando 2C =0, obtêm-se soluções que apenas
caracteriza os modos transversais eléctricos impares (TE impares):
(2.31)
Analogamente, para, ( ) 00 ==xEz quando 1C =0, obtêm-se soluções que apenas
caracteriza os modos transversais magnéticos pares (TM pares):
(2.32)
( )xkCxE xy sin)( 1=
( )xkCxE xy cos)( 2=
( ) ( ) ( )xkCxkCeDeDx xxxjkxjk xx cossin 2121 +=+= −φ
( ) 022
2
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
∂∂ xkx x φ
14
Uma vez que só são aceitáveis as soluções que garantem a condição,
(2.33)
para o meio (1) fica:
(3.34)
Assumindo:
(2.35)
resulta então:
(2.36)
(2.37)
(2.38)
(2.39)
( ) xeDx αφ −= 1
⎩⎨⎧
>−<<
=dxj
dxhkx ,
0,α
( )( )
⎩⎨⎧
>
<<=
−− dxBedxhxA
H dxy 0cos
α
( )⎩⎨⎧
>−
<<=
∂
∂−− dx
0)cos(dx
y
BedxhxAh
xE
αα
( )( )
⎩⎨⎧
>
<<=
−− dxBedxhxA
Edxy α
0sin
( )⎩⎨⎧
>−
<<−=
∂
∂−− dxBehxAh
xH
dxy
αα
dx0 )sin(
15
⎩⎨⎧
>≤≤
=dx
dxxr
2
1 0)(
μμ
μ
2.1.1 Condições na Fronteira e Equação Modal
i) Modos Transversais Magnéticos (TM)
Substituindo a equação (2.39) na equação (2.19) obtêm-se:
(2.40)
Tendo em conta que a placa dieléctrica é caracterizada por:
(2.41.a)
(2.41.b)
resulta:
(2.42)
Considerando as condições na fronteira (c.n.f) e na superfície, isto é:
(2.43)
⎩⎨⎧
>≤≤
=dx
dxxr
2
1 0)(
εε
ε
( )( )⎩
⎨⎧
=
=
dxE
dxH
z
y
⎩⎨⎧
>−
<<−=
−−⊥ dxeB
dxhxhCExj
dxz
0)sin()(
)(2
0 ααεωε
⎪⎩
⎪⎨
⎧
>−
<<−=
−−
⊥
dxeB
dxhxhCEj
dxz
0)sin(
)(
2
0αα
εωε
16
condições essas que impõe a continuidade das componentes tangenciais dos campos
eléctricos e magnéticos obtém-se:
(2.44)
Reescrevendo sob a forma matricial vem:
(2.45)
Para que esta equação possua soluções não triviais anula-se o determinante ou seja:
(2.46)
(2.47)
Com alguma manipulação e com introdução de variáveis normalizadas:
(2.48)
(2.49)
a equação modal assume a forma final:
(2.50)
hdu =
dw α=
( ) ( )
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=−
=
−−
⊥
−−
)(2
2
)sin(
cos
dx
dx
eBhxhCBehxC
α
α
αε
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡×⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
−−
−−⊥
−−
00
)sin()cos( 2
)(
)(
BC
ehdhehd
dx
dx
α
α
αε
0)sin()cos( )()( =+− −−−−⊥
dxdx ehdhehd αααε
)cot(hddhd αε⊥=⇒
)cot(uwu ⊥= ε
17
A partir de 2.50 e por simulação numérica obtém-se o diagrama de dispersão para os
modos TM Pares que se represente na Figura 2.2.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.61
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
2
d/lambda
k/ko
TMpar 0TMpar 1TMpar 2TMpar 3
Figura 2. 2. Diagrama de dispersão dos Modos TM Pares
i) Modos Transversais Eléctricos (TE)
Para os modos TE ímpares substitua-se a equação (2.38) na equação (2.14) obtendo-se:
(2.51)
⎩⎨⎧
>−
<<=−
−− dxeBdxhxhC
Hxjdxzr
0)cos()(
)(2
0 ααμωμ
18
A equação (2.41b) permite reescrever (2.51) como:
(2.52)
As relações de continuidade nas interfaces do campo electromagnético transversal
conduzem a seguinte equação de dispersão:
(2.53)
pelo que para a equação matricial escreve-se:
(2.54)
Da mesma forma, para que a equação (2.54) possua soluções não triviais faz-se anular o
determinante ou seja:
(2.55)
Finalmente para a equação modal escreve-se:
(2.56)
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
>−
<<
=−−− dxeB
dxhxhC
Hjdx
z
0)cos(
)(
0
0
2
0αα
μ
μωμ
( ) ( )
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=
=
−−
−−
)(
00
2
2
)cos(
sin
dx
dx
eBhxhCBehxC
α
α
αμμ
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡×⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡ −−−
−−
00
)cos()sin( 2
)(00
)(
BC
ehdhehd
dx
dx
α
α
αμμ
)cot(uuw −=
0)cos()sin( )(0
)(0 =−−−− dxdx ehdhehd αα μαμ
19
1202
22
210 −=−= ndknnndkv
A frequência normalizada é dada por,
(2.57)
Trata-se de um parâmetro estrutural que serve para determinar os diversos modos de
propagação que o guia suporta.
0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.41
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
2
d/lambda
k/ko
TMimpar 0TMimpar 1TMimpar 2TMimpar 3
Figura 2. 3. Diagrama de dispersão dos Modos TE ímpares
As Figuras 2.2 e 2.3, representam respectivamente, os diagramas de dispersão dos
modos TM par e TE impar. Pelos gráficos nota-se pouca diferença no que diz respeito
ao comportamento entre esses modos de propagação.
20
Na Figura 2.2 verifica-se que a curva de dispersão do primeiro modo começa numa
frequência menor em comparação com a curva do primeiro modo da Figura 2.3. Isto
deve-se ao facto de obedecerem raízes de funções com paridades diferentes. Cada curva
representa um determinado modo de propagação, ou seja uma determinada configuração
de campos, com valores particulares de frequência de corte (fc). Portanto pode-se dizer
que a diferencia essencial está na frequência de corte. Recorda-se que aumentando a
frequência, aumenta também o parâmetro estrutural (v), parâmetro este que como já se
tinha referido determina quantos e quais os modos suportados por um determinado guia
de ondas.
21
Capítulo 3
Guias Contendo Ferrites
3.1 – Introdução Certos materiais com características especiais podem ser usados para absorver a energia
de ondas electromagnéticas, como aquelas emitidas por antenas de comunicações
móveis, circuitos electrónicos em cavidades ressonantes, bem como as emitidas por
radar.
As ferrites são materiais importantes com elevada resistividade eléctrica, boas
propriedades magnéticas (nomeadamente anisotropia magnética), com várias aplicações
tecnológicas pelo que se tem atraído muito a atenção nas últimas décadas. A fim de
satisfazer às exigências de equipamentos modernos geradores de microondas, o
interesse na caracterização e no desenvolvimento de técnicas de fabricação destes
materiais tem sido renovado.
Neste capítulo estuda-se a propagação de ondas electromagnéticas em guias contendo
ferrites. Numa primeira parte faz-se o estudo para quando o campo magnético é
transversal, objectivando se obter as equações características dos modos (TE e TM) e os
respectivos diagramas de dispersão. Também far-se-á o estudo para quando o campo
magnético é longitudinal onde os modos são híbridos.
22
3.2 – Placa de Ferrite Assente num Plano Condutor
Perfeito com Campo Magnético Transversal
Β
Figura 3. 1. Placa de Ferrite assente num plano condutor perfeito
Seguindo o mesmo raciocínio usado no capítulo 2, pode-se facilmente encontrar as
equações e os diagramas de dispersão para os modos TE e TM.
Considera-se que a propagação se efectue na direcção do eixo dos zz, na forma xjkxe− e
que o guia tem uma estrutura infinita segundo o eixo dos yy pelo que:
(3.1)
(3.2)
As equações de Maxwell podem assim ser desdobradas:
(3.3)
(3.4)
jkz
−=∂∂
0=∂∂y
HμEBE .0ωμjt
−=×∇⇔∂∂
−=×∇
EHDH .εωε ojt
=×∇⇔∂∂
=×∇
23
onde
(3.5)
Considerando o campo magnético transversal e que o meio exibe anisotropia magnética,
o tensor de permeabilidade magnética é dado por:
(3.6)
e as relações constitutivas definidas por:
(3.7)
(3.8)
Tendo em conta que:
(3.9)
Por analogia pode-se substituir o (A) pelo campo eléctrico (E) e as derivadas conhecidas
pelos seus valores, resultando:
(3.10)
zjkxx
ˆˆ −∂∂
=∇
⊥
⊥
−=
μμμ
μμ
000
0
||
x
x
j
jμ
ED εε 0=
zyA
xA
yz
AxAx
zA
yA
AAAzyx
zyx
A xyxzyz
zyx
ˆˆˆ
ˆˆˆ
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂
∂+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
+∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂+
∂∂
=∂∂
∂∂
∂∂
=×∇
zx
EyjkE
xExjkE
EEE
jkx
zyxy
xz
y
zyx
ˆˆˆ0
ˆˆˆ
∂
∂+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +
∂∂
−=−∂∂
=×∇ E
HμB ⋅= 0μ
24
De modo análogo obtém-se a equação de onda para o campo magnético:
(3.11)
Por comparação de (3.3) com (3.10) conhece-se o seguinte conjunto de equações:
(3.12)
(3.13)
(3.14)
Resolvendo as equações (3.12) e (3.14) em ordem a xH e zH obtém-se
respectivamente:
(3.15)
(3.16)
A equação (3.13) relaciona apenas yH com xE e zE pelo que deve existir modos TM
com componentes yE , xH e zH .
zx
yx HjEkH⊥⊥
−−=μμ
μωμ0
xxy
z Hjx
EjH
⊥⊥
+∂
∂=
μμ
μωμ0
1
zx
HyjkH
xHxjkH
HHH
jkx
zyxy
xz
y
zyx
ˆˆˆ0
ˆˆˆ
∂
∂+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +
∂∂
−=−∂∂
=×∇ H
( )zxxy HjHjjkE μμωμ +−= ⊥0
yxz HjjkE
xE
||0μωμ−=−∂
∂−
( )zxxy HHjj
xE
⊥+−−=∂
∂μμωμ0
25
De modo análogo, pode-se determinar as equações dos modos TE. Assim substituindo
(∇ ×H) da equação (3.11) pelo seu equivalente dado por (3.4) obtêm-se o seguinte
conjunto de equações:
(3.17)
(3.18)
(3.19)
A partir das equações (3.10), (3.12) e (3.19) obtém-se expressões para xE e zE , assim
definidas:
(3.20)
(321)
A equação (3.18) relaciona yE com xH e zH pelo que deve existir modos TE com
componentes yE , xH e zH .
Substituindo as equações (3.20) e (3.21) na equação (3.13), obtém-se para os modos
TM:
(3.22)
com
(3.23)
xy EjjkH εωε 0=
yz
x Ejx
HjkH εωε0=∂
∂+
yx HkEεωε 0
=
xH
jE yz ∂
∂−=
εωε 0
1
( ) 02||
202
2
=−+∂
∂y
y HkkxH
εμ
0022
0 μεwk =
zoy Ej
xH
εωε=∂
∂
26
Fazendo:
(3.24)
e reescrevendo a equação (3.22) resulta:
(3.25)
As características dos modos transversais magnéticos pares são obtidas a partir de (3.25)
sujeitas às condições apropriadas de contorno nas interfaces dos diferentes meios.
3.2.1 – Condições na Fronteira e Equação Modal Começa-se por resolver a equação diferencial que tem soluções da forma:
(3.26)
para BAC += e )( BAjD += .
Admite-se xk definido na forma paramétrica como:
(3.27)
Para tx > , xy AeHB α−=⇒= 0 , indicando uma onda atenuada exponencialmente.
Para x < t, o modo terá duas componentes em ressonância transversal. A componente
suporte definirá a paridade desses modos.
2||
20
2 kkkx −= εμ
022
2
=+∂
∂yx
y HkxH
( ) ( )xkDsenxkCHBeAeH xxyxjkxjk
yxx +=⇔+= − cosº
⎩⎨⎧
>−<
=txj
txhkx ,
,α
27
Assim para 00)0( =⇒== DxEz , obtém-se soluções que apenas caracteriza os modos
transversais magnéticos pares (TM pares).
De acordo com o exposto:
(3.28)
e a derivada:
(3.29)
Para uma dedução mais exaustiva da equação modal, é necessário contabilizar o
percurso de ( )xE z quando 0>x .
Para isso basta comparar a derivada de yH dada por (3.29) com a equação da mesma
derivada dada por (3.19) pelo que se escreve:
(3.30)
Contabilizando as propriedades características do meio resulta:
(3.31)
( )⎩⎨⎧
>
<<=
−− txSetxhxR
Htxy ,
0),cos(α
( )⎩⎨⎧
>−
<<−=
∂∂
−− txeStxxhRh
xH
txy
,0),sin(
αα
( )⎩⎨⎧
>−
<<−=
−− txeStxxhRh
xEjtxz ,
0),sin()(0 αα
εωε
( )⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
>−
<<−=
−− txeS
txxhhR
xEjtx
z
,
0),sin()(
2
10
α
εα
εωε
28
Para a mesma dedução exaustiva, é igualmente essencial impor a continuidade de yH e
zE .
Para isso impõe-se as condições na fronteira, )( txH y = e )( txEz = às equações (3.28)
e (3.31) pelo que se obtém:
(3.32)
(3.33)
Este resultado pode ainda ser representado na sua forma matricial como:
(3.35)
A equação característica para os modos de propagação no meio é obtida por
desenvolvimento da equação (3.35). Assim para que esta possua soluções não triviais
faz-se anular o determinante ou seja:
(3.35)
Introduzindo variáveis normalizadas:
(3.36)
(3.37)
a equação (3.35) toma a sua forma final:
(3.38)
( )txhtS −−= αRe)cos(
( )txeRhthS −−−=− α
εα
ε 21
)sin(
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−−
−−
−−
00
)sin()cos(
)(12
)(
RS
ehtheht
tx
tx
α
α
αεε
)tan()sin()cos(2
1)(2
)(1 hthttehthhte txtx =⇒−=− −−−−
εεαεαε αα
uht =
wt =α
)tan(2
1 uuw =εε
29
Finalmente representa-se na Figura 3.2 o diagrama de dispersão para os modos TM
pares.
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 11.5
2
2.5
3
d/lambda
k/k0
TMpar 0 TMpar 1TMpar 2TMpar 3
Figura 3. 2. Diagrama de dispersão dos Modos TM pares
Os efeitos de não reciprocidade associados aos modos TM estão presentes no diagrama
de dispersão da Figura 3.2. Estes efeitos podem ser controlados através da variação da
intensidade do campo externo aplicado. Olhando para a figura verifica-se que não existe
muita diferencia em termos de propagação face ao meio estudado no capítulo1 (Cristais
biaxiais) também eles anisotrópicos.
30
3.3 – Guia de Planos Paralelos com Campo
Magnético Longitudinal
Figura 3. 3. Guia rectangular contendo Ferrite com Campo Magnético Longitudinal
Considera-se agora um guia rectangular com campo magnético longitudinal, sendo as
estruturas de propagação híbridas.
Admite-se que a propagação se efectue na direcção do campo aplicado 0B (eixo dos
zz) na forma xjkxe− e que o guia tem uma estrutura infinita segundo o eixo dos yy.
Portanto relativamente aos eixos dos zz e dos yy as derivadas são respectivamente:
(3.39)
(3.40)
βjz
−=∂∂
0=∂∂y
31
Para o campo magnético longitudinal, o tensor de permeabilidade magnética é dado por:
(3.41)
e as relações constitutivas do meio dadas por:
(3.42)
(3.43)
em que ε representa a constante dieléctrica relativa e μ o tensor da permeabilidade
magnética relativa.
As equações de Maxwell podem ser desdobradas da seguinte forma:
(3.44)
(3.45)
onde
(3.46)
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
10000
μμμμ
x
x
jj
μ
ED εε 0=
HμB ⋅= 0μ
HμEBEBE .0ωμω jjt
−=×∇⇔−=×∇⇔∂∂
−=×∇
EHDHDH εωεω ojjt
=×∇⇔=×∇⇔∂∂
=×∇
zjkxx
ˆˆ −∂∂
=∇
32
De modo análogo ao que se procedeu na secção (3.1), a equação (3.9) fornece:
(3.47)
(3.48)
Das equações (3.45) e (3.48) obtêm-se por substituição:
(3.49)
(3.50)
(3.51)
Igualmente para o campo magnético, substituindo (3.44) em (3.47) resulta:
(3.52)
(3.53)
(3.54)
zt
EyEj
xExEj
EEE
jx
zyxy
xz
y
zyx
ˆˆˆ0
ˆˆˆ
∂
∂+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +
∂∂
−=−∂∂
=×∇ βββE
zt
HyHj
xHxHj
HHH
jx
zyxy
xz
y
zyx
ˆˆˆ0
ˆˆˆ
∂
∂+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +
∂∂
−=−∂∂
=×∇ βββH
xy EjHj εωεβ 0=
yz
x Ejx
HHj εωεβ 0=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
+−
zoy Ej
xH
εωε=∂
∂
( )yxxy HjHjEj μμωμβ +−= 0
( )yxxz
x HHjjx
EEj μμωμβ +−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
+− 0
zy Hj
xE
0ωμ−=∂
∂
33
De (3.49) e (3.51) obtém-se por substituição:
(3.55)
(3.56)
Igualmente de (3.52) e (3.54) obtém-se por substituição:
(3.57)
(3.58)
Substituindo as equações (3.55), (3.56) e (3.57) na equação (3.53); as equações (3.57) e
(3.58) na equação (3.50) obtêm-se respectivamente para os modos TM e TE:
(3.59)
(3.60)
Resolvendo (3.59) em ordem a yH obtém-se:
(3.61)
yx HEεωε
β
0
=
xH
jE yz ∂
∂−=
εωε 0
1
yx
yx HjEHμμ
μωμβ
−−=0
xE
jH yz ∂
∂=
0
1ωμ
yx
yxy EjHk
xH
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−+
∂
∂β
μμεωεβ
μμμε 0
220
22
2
2
( ) yx
yy HjEk
xE
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−+
∂
∂β
μμωμβεμ
μ 022
02
2 1
( )⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−+
∂
∂= y
y
xy Ek
xE
jH 22
02
2
0
11 βεμμβ
μμωμ
34
Por introdução de variáveis normalizadas:
(3.62)
(3.63)
(3.64)
(3.65)
e por substituição de (3.61) em (3.59) resulta:
(3.66)
Seja:
(3.67)
(3.68)
Começa-se por definir ( )xEy em função de ( )xAφ e ( )xBφ como sendo:
(3.69)
( )220
1 βεμμ
−= ka
βμμωμ xja 0'=
220
22
βμ
μμε −−
= kb x
μμεωε xjb 0' −=
( ) 0''' 2
2
2
2
=−+∂
∂−=
∂
∂y
yy EbaabxE
ab
xH
( ) ( ) ( )xhsenRxhx AAAA += cosφ
( ) ( ) ( )xhsenRxhx BBBB += cosφ
( ) ( ) ( )xBxAxE BAy φφ +=
35
Aplicando a derivada de segunda ordem a (3.69) resulta:
(3.70)
Introduzindo novamente variáveis normalizadas:
(3.72)
(3.73)
e substituindo (3.70) em (3.66) obtém-se:
(3.74)
Por derivação de (3.73) obtém-se:
(3.75)
3.3.1 – Condições na Fronteira e Equação Modal
Aplicando as relações de continuidade nas interfaces do campo electromagnético
longitudinal obtém-se:
para ( ) 00 ==xE y
(3.75)
( ) ( )xBhxAhxE
BBAAy φφ 22
2
2
−−=∂
∂
Aa
ha AA
2
21 −
=Γ
Ba
ha BB
2
21 −
=Γ
( ) ( ) ( )xxxH BBAAy φφ Γ+Γ=
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]xhsenxhRhxhsenxhRhx
HBBBBBAAAAA
y −Γ+−Γ=∂
∂coscos
0=+ BA
36
para ( ) 0== txE y :
(3.76)
Para ( ) 00 ==xEZ :
(3.77)
Para ( ) 0== txEZ :
(3.78)
Através das equações (3.76) e (3.78) resulta:
(3.79)
Finalmente para a equação modal obtém-se:
(3.78)
( ) ( )[ ] ( ) ( ) 0coscos =⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ΓΓ
−+− thsenhhthsenRthth B
BB
AAAABA
ABB
AABBBBAAA R
hhRRhRh
ΓΓ
−=⇒=Γ+Γ 0
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] 0coscos =Γ+Γ−Γ−Γ thsenhthsenhthhthhR BBBAAABAAAAAA
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( )thsen
hhthsen
thththhthhthsenhthsenh
BBB
AAA
BA
BAAAAA
BBBAAA
ΓΓ
−
−−=
Γ−ΓΓ+Γ coscos
coscos
( ) ( ) ( ) ( )[ ]1coscos212
−ΓΓ
=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ΓΓ
+ ththhhthsenthsen
hh
BABB
AABA
BB
AA
37
A partir 3.78 obtém-se o diagrama de propagação do guia de planos paralelos.
Figura 3. 4. Diagrama de Propagação de um guia de planos paralelos preenchido por ferrite com campo Magnético Longitudinal
Apresenta-se igualmente a constante de propagação β , para o modo quase TEM
calculada em função de λ/D e μμ /x . A curva λ/D =0.5 corresponde ao
comportamento de um guia de ondas com espaçamento entre os planos paralelos
de 2/λ em que λ é o comprimento de onda intrínseco associado à propagação no
material.
Para espaçamentos menores que 2/λ , a dependência de β com μμ /x aproxima-se a
uma curva circular: 122
=+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ βμμx .
Este resultado é útil no projecto de dispositivos uma vez que relaciona de forma simples
a constante de propagação e a anisotropia.
Para espaçamentos maiores (por exemplo λ/D = 1.6) esta tendência é invertida. A
constante de propagação cresce com a anisotropia em vez de diminuir. Esta particular
correspondência implica que o guia de ondas se comporta como uma estrutura de onda
lenta para espaçamentos elevados de onda rápida para estruturas com espaçamentos
pequenos.
38
39
Capítulo 4
Guias Contendo Meios Quirais
4.1 – Introdução
Meios Quirais são materiais macroscopicamente contínuos, composto de objectos
quirais equivalentes, uniformemente distribuídos e orientados de forma aleatória [21].
Um material quiral tem um enrolamento em volta da sua estrutura, resultante do
agrupamento de partículas ou moléculas que se espalhem como hélices. O sentido do
enrolamento pode ser voltado à esquerda ou à direita. A consequência electromagnética
disto é que ondas com polarização circular à direita propagam-se com diferentes
velocidades e absorção das ondas com polarização circular à esquerda.
Um objecto tridimensional quiral não pode ser posta em congruência com a sua imagem
de espelho por rotação ou translação [22].
Face a estas interessantes características tem havido recentemente um renovado
interesse nestes materiais, descobertos no século XIX.
Guias de ondas preenchidos com meios quirais apresentam um grande número de
características especiais favorecendo diversos tipos de aplicações, nomeadamente no
campo de microondas como também nos sistemas de comunicações ópticas [11].
Este capítulo tem com objectivo o estudo das características de propagação de ondas
electromagnéticas ao longo de guias preenchidos com meios quirais.
Apresenta-se de seguida a análise modal de um guia metálico quiral a partir da qual será
possível representar os diagramas de dispersão das estruturas de propagação.
40
4.2- Guia Circular Metálico Quiral
cξμε ,, 11
Figura 4. 1. Secção transversal do guia circular metálico quiral, limitado por uma parede eléctrica, onde as componentes dos campos φE , ZE e RB são nulas.
Considera-se um guia de ondas de raio R, limitado por um condutor eléctrico perfeito
Figura 4.1 preenchido com um meio quiral homogéneo com permeabilidade relativa
escalar 11 =ε , permeabilidade magnética 11 =μ e admitância quiral msc 1=ξ .
Na dispersão como nas hélices, a incidência de um campo eléctrico induz um momento
magnético paralelo ao campo eléctrico, assim como o momento eléctrico; e vice-versa.
Isto fornece termos adicionais às relações constitutivas que podem ser escritas (ver
apêndice D) como:
(4.1)
(4.2)
em que o parâmetro χ representa a quiralidade do meio. Quiralidade é assim a
generalização do fenómeno mais familiar - actividade óptica.
HED 000 μεχεε i+=
EHB 000 μεχμμ i−=
41
Um meio quiral é recíproco, justificando-se o porque do parâmetro χ aparecer em
ambas as equações constitutivas.
Modos híbridos existem se ou 0≠zH . Designam-se neste caso modos
híbridos HE ou EH, dependendo de ZE ou ZH respectivamente, terem a maior
contribuição para o campo transversal.
Como todos os modos de um guia de ondas metal quiral são híbridos [13], [14] a
designação nmEH é aqui usada para representar cada modo híbrido que degenera num
modo nmTM no caso aquiral e nmHE é usado para designar os modos híbridos que
degeneram em modos nmTE no caso aquiral. Quando ordenados por aumento da
frequência de corte, o índice n implica uma variação azimutal de φjne , e o índice m
indica a ordem do modo.
4.3- Equação Modal As propriedades dos campos eléctricos e magnéticos dentro e fora do guia podem ser
encontradas olhando para as soluções apropriadas das equações de Maxwell. As
condições de contorno nas interfaces são usadas para determinar as características de
propagação dos modos.
Conforme descrito em [14] e [15] (ver também Apêndice B) para um guia de ondas
quiral as componentes longitudinais do campo ZE e ZH podem ser expressas em
termos as funções +U e −U como:
(4.3)
(4.4)
e
(4.5)
(4.6)
−−++ += UpUpEz
−−++ += UqUqH z
02 =+∇ +++ UpUt
02 =+∇ +++ UpUt
0≠ZE
42
onde:
(4.7)
(4.8)
(4.9)
(4.10)
(4.11)
(4.12)
(4.13)
(4.14)
em que +k e −k são os números de onda das ondas características com polarização
circular direita e esquerda, respectivamente.
Para descrever o comportamento das soluções +U e −U no interior do guia, isto é, para
R<ρ , faz-se uso, de coordenadas cilíndricas ( )z,,φρ . Assume-se também que o
condutor eléctrico é perfeito.
( )22 β−= ++ kp
( )22 β−= −− kp
( )( )cj
pkkqξμω 22
22
4+−+
+−
=
( )( )cj
pkkqξμω 22
22
4−−+
−−
=
( )22cc kk ωμξωμξ ++±=±
μεω=k
rμμμ 0=
rεεε 0=
43
Assim:
(4.15)
(4.16)
onde nJ representa a função de Bessel de ordem n, 1A e 2A são constantes a
determinar.
Levando em conta as condições de continuidade nas interfaces entre os meios, isto é
R=ρ , vem:
(4.17)
A partir das expressões de φE em função de zE e zH em conjunto com as expressões
de (4.1) a (4.14) e após algumas manipulações chega-se a um conjunto de equações,
que passa-se a representar na sua forma matricial:
(4.18)
para:
(4.19)
( ) ( )
( )
( )( )( )
( )( )
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
+
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
−
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
+
++
=
−−−−
++++
−−
+++
+−
qpjbqRpp
qpjbqRpp
RpqjapRpjnJ
RpqjaqRpJp
RpJpRpJp
Q
n
n
n
n
nn
'
'
J
J
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡00
2
1 QAA
( ) φρ jnn epJAU +=+ 1
( ) φρ jnn epJAU −=− 2
( ) ( )RzRz EEEEE
==−=++×=
ρφρφρρ φzzφρ0
44
onde:
(4.20)
(4.21)
(4.22)
(4.23)
são constantes [16]. Para que se obtenha uma solução não trivial, é necessário impor:
(4.24)
onde [ ]A é a matriz de coeficientes.
4.4- Resultados
Apresenta-se na Figura 4.2 os resultados obtidos para os diagramas de propagação do
guia circular metálico quiral da Figura 4.1.
Como já se sabia inicialmente todos os modos encontrados num guia de ondas circular
contendo meios quirais são híbridos, mesmo que o número angular do modo, n = 0.
Cada modo quiral é dividido em dois ramos com diferentes constantes de propagação
dependendo do sinal de n, mantendo-se no entanto iguais as frequências de corte.
( )[ ] ( )( )2222
222 2/
−+
−+
−−−+
=kk
kkaββ
ββ
( )( )( )[ ]2222
22
−+ −−
+=
kkk
bββ
βωμ
( )( )[ ]2222
222
−+ −−=
kkp c
βββξμω
( )( )( )[ ]2222
22
−+ −−+
=kk
kq c
βββωμξ
[ ] 0det =A
45
Para n=0 existe apenas um ramo. Uma outra característica importante encontrada nesses
guias é que o meio quiral restringe os modos guiados cuja polarização é oposta ao seu
próprio sentido.
Conforme aumenta a frequência de funcionamento, ou diminui a ordem dos modos, as
características de dispersão são mais facilmente influenciadas no interior do guia do que
nas fronteiras. A razão disso é que com o aumento da frequência de funcionamento a
energia das ondas fica mais concentrada na área central.
1.5 2 2.5 30
0.5
1
1.5
KoR
Bet
a/K
o
k+/k-HE 1,1HE-1,1EH 0,1HE 2,1HE-2,1
Figura 4.2. Relação de Dispersão do Modo Fundamental 1,1HE e dos modos acima 1,0EH e
1,2HE no guia circular metálico quiral
A razão axial de polarização tende para 1 a medida que a admitância quiral cξ aumenta.
Nas altas frequências, para 0>cξ a constante de propagação aproxima-se de +k (PCD)
enquanto para 0<cξ , a constante de propagação aproxima-se de −k (PCE) isto num
meio quiral ilimitado. Pode-se verificar esta característica na Figura 4.2 onde
445.1/ ≈+ okk .
46
Invertendo a direcção de propagação e fazendo nn −→ , a amplitude das constantes de
propagação mantém-se, pois trata-se de um meio recíproco. Fica claro também a
importância da relação entre a direcção de propagação e o sinal de n.
Finalmente assim como para meios preenchidos por ferrites, estes não recíprocos, existe
uma região onde a velocidade de fase e de grupo tem sinais oposto.
Para os resultados discutidos considera-se a admitância quiral cξ positiva e negativa.
Uma conclusão importante é que se houver uma mudança de sinal por parte da
admitância, todas as características relacionadas com um ramo HE vai afectar também o
ramo EH e vice-versa.
47
Capítulo 5
Guias Contendo Meios Ómega
5.1 – Introdução
Entre os vários meios complexos, alguns já estudados em capítulos anteriores, existem
os meios ómega ou pseudoquirais. Os meios ómega foram propostos em 1991 por N.
Engheta e M. Saadoun [3] como uma variante aos meios quirais. Os materiais
pseudoquirais podem ser obtidos dopando um meio isotrópico hospedeiro com
microestruturas condutoras compostas por partículas ómega (uma espira e dois fios
coplanares - Ω ) ordenadas ao longo de uma direcção preferencial. O campo eléctrico
induz não só polarização eléctrica como magnética e vice-versa, resultando num
acoplamento magneto-eléctrico. Os meios ómega diferenciam-se dos meios quirais pela
forma como se dá o acoplamento. Enquanto nas hélices de um meio quiral estas
polarizações são paralelas, no caso das microestruturas em forma de Ω essas
polarizações são perpendiculares entre si. Portanto, embora o conceito de meios ómega
tenha surgido a partir dos meios quirais e de partilharem relações constitutivas
similares, a verdade é que em termos de iteração com ondas electromagnéticas são
consideravelmente diferentes.
Uma análise adequada da propagação e do espalhamento de ondas electromagnéticas
em meios complexos permite investigar potenciais aplicações. Recentemente tem-se
verificado que a iteração de ondas electromagnéticas com os meios pseudoquirais
favorece muitas aplicações nomeadamente lâminas retardadoras recíprocas [15], guias
pseudoquirais entre outros dispositivos ópticos.
48
5.2 - Guia Dieléctrico Não-Radiante (NRD)
O guia dieléctrico não-radiante foi proposto por Yoneyama e Nishida [24] para
aplicações de microondas. Desde então esta tecnologia tem sido largamente usada em
vários dispositivos tais como: filtros, acopladores, guias de ondas etc. Devido a
características excepcionais como por exemplo baixas perdas de transmissão, esta
tecnologia tem sido bastante solicitado em guias dieléctricas como forma de minimizar
as perdas por radiação nas secções curvas ou descontinuidades transversais destes guias.
O NRD é basicamente constituído por uma lâmina dieléctrica isotrópica entre dois
planos condutores como mostra a Figura 1. A distância entre os planos condutores
perfeitos é menor que meio comprimento de onda. Esta constitui a principal diferencia
entre um guia NRD e uma linha-H (Apêndice C) [23]. A distribuição de campo é
confinada dentro do material dieléctrico decaindo exponencialmente no mecanismo de
ar. Esta propriedade permite ao NRD suprimir radiação indesejada reduzindo os
fenómenos de interferência nas descontinuidades do guia.
Figura 5. 1. Geometria de um guia (NRD) com uma lâmina dieléctrica isotrópica
Neste capítulo aborda-se o estudo da propagação de ondas electromagnéticas num guia
dieléctrico não-radiante, em que se substitui a lâmina isotrópica por um meio Ω . Este
guia é conhecido no domínio das altas frequências como guia Ω - NRD. Suporta modos
de secção longitudinal magnética (LSM - longitudinal-section magnetic) e de secção
longitudinal eléctrica (LSE – longitudinal-section electric). Apresenta-se de seguida
uma análise electromagnética completa derivando as equações modais tanto para os
modos LSM como para os LSE. Apresenta-se os diagramas operacionais como tambem
as curvas de dispersão para os primeiros modos.
49
5.3 – Equações do Campo
A estrutura a ser analisada está representada na Figura 5.2. Trata-se de uma lâmina
ómega disposta entre dois planos condutores perfeitos ( Ω - NRD).
Ω
Figura 5. 2. Guia Ω - NRD ou linha H em que a lâmina dieléctrica é um meio ómega.
Em vez de se incluir apenas um conjunto de microestruturas em forma de Ω , considera-
se apenas o caso de um meio Ω uniaxial em que se inclui num substrato dois conjuntos
de microestruturas com orientação ortogonal (ver Figura 5.3). A designação de meio
ómega uniaxial [17], [18] deve-se ao facto de não existir direcção preferencial no plano
YZ.
Figura 5. 3. Orientação espacial pseudoquiral do Meio Ω uniaxial, composto por dois conjuntos de microestruturas condutoras em forma de, Ω .
As relações constitutivas do meio ómega uniaxial, tratando-se de um meio
bianisotrópico devem ser escritas na forma [25]:
(5.1)
(5.2)
HD ⋅+⋅= ξε E
HB ⋅+⋅= μζ E
50
Agora, os tensores da permitividade eléctrica e da permeabilidade magnética relativos
são dados da seguinte forma uniaxial:
(5.3)
(5.4)
Os tensores magneto-eléctricos adimensionais ξ e ζ assumem a seguinte
representação diádica [7]:
(5.5)
(5.6)
Tratando-se de um meio recíproco, verifica-se nestas condições, T
ξζ −= .
O parâmetro pseudoquiral adimensional Ω que aparece nas equações (5.5) e (5.6) dos
tensores magneto-eléctrico pode relacionar-se com a admitância pseudoquiral
cΩ através de:
(5.7)
Consideram-se coordenadas cartesianas e assume-se que a propagação se efectue
segundo o eixo dos zz na forma exp( )− ′j zβ . Para o operador gradiente tem-se:
(5.8)
( )zzyyxx ˆˆˆˆˆˆ|| ++= ⊥εεε
( )zzyyxx ˆˆˆˆˆˆ|| ++= ⊥μμμ
( )yzzy −Ω= jξ
( )yzzy −Ω= jζ
0YcΩ
=Ω ⊥μ
51
A partir das equações de Maxwell e por substituição das equações dos tensores (5.3),
(5.4), (5.5) e (5.6) nas relações constitutivas (5.1) e (5.2), consegue-se obter um
conjunto de equações que relaciona as componentes dos campos na lâmina dieléctrica
ómega e que se passa a escrever:
(5.9.i)
(5.9.ii)
(5.9.iii)
(5.10.i)
(5.10.ii)
(5.10.iii)
Pode mostrar-se que com esta geometria e com os parâmetros característicos do meio, o guia Ω - NRD apenas suporta modos híbridos LSE ( )0=xE e LSM ( )0=xH .
Desta forma para os modos LSM, tomando 0=xH em (5.9), (5.10) e preferindo yH
como a componente de suporte do campo, consegue obter-se facilmente a seguinte equação diferencial:
(5.11)
( ) xyzy Ejj ||εβ∂ =+− ′ HH
zyxzx jEjj HHH Ω+=+ ⊥′ εβ∂ )(
yzxyyx jEj HHH Ω−=∂−− ⊥′′ ε∂ )(
( ) xyzy EjEj H||μβ∂ =+′
( ) zyxzx EjEjEj Ω+=+− ⊥′ Hμβ∂
( ) yzxyx EjEEyj Ω−=− ⊥′′ Hμ∂∂
yyyyx HHH ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−Ω−−=+ ⊥
⊥⊥′⊥
′2
||
22
||
2 βεεμε∂
εε∂
52
yyyyx EEE ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−Ω−−=+ ⊥
⊥⊥′⊥
′2
||
22
||
2 βμμεμ∂
εε∂
( )yyyx EE 22
||'
1 ββμ
−∂−=H
Para obter as restantes componentes do campo em função da componente suporte, basta
impor 0' =∇ B , pelo que resulta:
(5.12)
(5.13)
(5.14)
(5.15)
Analogamente ao caso dos modos LSE, tomando 0=xE em (5.19) e (4.10) e
escolhendo yE como componente de suporte do campo, resulta na seguinte equação
diferencial:
(5.16)
Da mesma forma para obter as restantes componentes do campo em função da
componente suporte, basta impor 0' =∇ D , pelo que resulta:
(5.17)
(5.18)
(5.19)
(5.20)
yyz j HH ′−= ∂β1
)(1 22
||yyyxE HH β
βε−∂−= ′
( )yyyxyyE HH ′′′⊥
Ω−= ∂∂∂βε
1
( )yyxz jE HH Ω−−= ′⊥
∂ε1
yyz EjE '
1∂−=
β
( )yyyxyy EE '''
1∂Ω+∂∂−=
⊥βμH
( )yyxz EEj Ω−∂=⊥
'
1μ
H
53
5.4 – Equações Modais
Procede-se de um modo geral ao estudo dos modos LSE mn e LSM mn . Começa-se por
analisar os modos LSM mn onde se exprime yH como um produto de duas funções com
vista a obtenção das equações modais. Assim:
(5.21)
tais que:
(5.22.i)
(5.22.ii)
onde:
(5.23.i)
(5.23.ii)
Por substituição de (5.22) em (5.11), obtém-se facilmente as relações entre os números
de onda normalizados ou seja:
( )h y2 2 2 2+ + = −⊥
⊥ ⊥εε
β β ε μ||
Ω (5.24)
e
− + + =α β β2 2 2 1y (5.25)
( ) ( ) ( )zjygxfy ′−′′= βexpH
( ) 022 =′+′ xff xx β∂
( ) 022 =′+′ ygg yy β∂
0/ kk xx =β
0/ kk yy =β
54
( ) ( )'' sin yGyg yβ=
Tendo em conta as condições na fronteira, as componentes do campo, à superfície dos
planos condutores perfeitos, devem satisfazer:
( ) 0,0 '' == byEx (5.26.i)
( ) 0,0 '' == byEz (5.26.ii)
pelo que é plausível escrever:
(5.27)
para (n=1, 2, 3, …) e
(5.28)
sendo
bkb 0' = (5.29)
O índice n representa o número de meios comprimentos de onda no interior do guia,
segundo a coordenada y. A partir das equações (5.14) e (5.15) verifica-se que as
componentes do campo eléctrico yE e zE são assimétricas em relação ao plano de
simetria geométrica do guia ( 0' =x ).
'bny
πβ =
55
( ) 222
||
2 Ω−=++ ⊥⊥⊥ εμββ
μμ
yh
Deste modo escreve-se:
( )
[ ]
( )[ ]
( )[ ]⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
′>′−′−
′<′<′+′
′−<′′+′
=′
lxlxF
lxxhRxhF
lxlxF
xf
,exp
0,sin)cos(
,)(exp
3
2
1
α
α
(5.30)
em que ′ =l k l0 .
Impondo a continuidade das componentes tangenciais do campo em ambos os planos
'' lx −= e '' lx = obtém-se a equação modal. Tendo em conta (13) e (15), esta
imposição conduz as seguintes relações:
(5.31)
(5.32)
Para os modos LSM obtém-se finalmente, a seguinte equação modal:
(5.33)
tratando-se portanto de uma equação par em Ω .
Procedendo-se da mesma forma pode-se facilmente deduzir a equação modal para os
modos LSE. Agora o numero de onda transversal normalizado no interior da lâmina
pseudoquiral vem dado por:
(5.34)
( ) ( )[ ] ( )+−−
⊥
±=∂=±=Ω−±=∂ ''''''''
1 lxflxflxfxxε
( ) ( )+− ±==±= '''' lxlxf
( )[ ] ( )[ ] 0tancot 2'' =Ω+−⋅+ ⊥⊥ αεαε hlhhlh
56
Neste caso a imposição das condições na fronteira ao invés de (5.35) conduzem a
seguinte equação:
(5.35)
a partir da qual se obtém a seguinte equação modal para modos LSE:
(5.36)
tratando-se igualmente de uma equação par em Ω .
As condições na fronteira (5.31) e (5.32) são esclarecedores relativamente a não
existência de qualquer acoplamento entre os modos híbridos LSE e LSM. No entanto
convêm referir que as condições na fronteira podem ser satisfeitas separadamente por
cada um dos modos. Cada conjunto de inteiros (m, n) que aparece nos símbolos LSE mn
e LSM mn define um modo de propagação ou seja uma certa configuração de campos
com valores particulares de constante de propagação, frequência de corte etc.
O índice m (com m=0, 1, 2, …) fornece uma indicação sobre a ordenação das soluções
das equações modais (5.33) e (5.36). Quando 0→Ω , estas mesmas equações modais se
convertem num produto de duas equações modais elementares correspondentes a modos
pares e impares do caso isotrópico. O plano 0' =x neste caso converte-se num plano de
simetria electromagnética e as estruturas de propagação LSE e LSM podem dividir-se
em modos pares e ímpares.
5.3 – Resultados Numéricos As soluções das equações modais (5.33) e (5.34) em conjunto com as relações entre os
números de onda transversais dadas por (5.24) e (5.25) ou (5.25) e (5.34) conduzem a
resultados numéricos a ser apresentados e analisados.
( ) ( )[ ] ( )+−−
⊥
±=∂=±=Ω+±=∂ ''''''''
1 lxflxflxfxxμ
( )[ ] ( )[ ] 0tancot 2'' =Ω+−⋅+ ⊥⊥ αεαμ hlhhlh
57
Antes de definir os parâmetros convêm saber que quando se inserem estruturas Ω no
seio de um meio isotrópico a permeabilidade e permitividade relativa aumenta de
acordo com as direcções laterais.
0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.50
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
b/lamda
l/lam
da
LSE01LSM01
Figura 5. 4. Diagrama operacional para os modos híbridos LSE01 e LSM01 de um guia Ω-NRD com uma lâmina pseudoquiral em que 2|| =ε , 3=⊥ε , 1|| =μ , 2=⊥μ e 1=Ω .
Os diagramas operacionais, permitem saber quantos modos se propagam, como também
quais os modos que se encontram acima do corte.
Assim segundo a figura 5.3 espera-se ||εε >⊥ e ||μμ >⊥ .
O ponto de cruzamento que se vê entre as curvas corresponde aos dois modos, o que
mostra a não existência, de qualquer acoplamento entre as duas estruturas de
propagação.
58
A figura 5.5. representa a variação do parâmetro de corte cl λ com o coeficiente Ω
para os primeiros modos 1mLSM , considerando 4.0=λb .
0 0.5 1 1.5 2 2.50
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Omega
l/la
mbda
c
LSM01LSM11LSM21LSM31
Figura 5. 5. Variação do parâmetro de corte cl λ/ com Ω para os primeiros modos LSMm1de
um guia Ω com ||ε = 2, ⊥ε = 3, ||μ =1, ⊥μ =2, e λ/b = 4.0.
Para este caso o corte de cada modo é imposto pela condição de corte dos guias
fechados ( 0=β ). Existe um valor crítico ( 2≈Ωc ), a partir do qual deixa de haver
propagação guiada na estrutura. Este valor consegue-se a partir de:
(5.37)
2
||yc β
εεμε ⊥
⊥⊥ −=Ω
59
A equação 5.3 fornece yβ para n = 1.
Na figura 5.6 apresenta-se a variação do parâmetro de corte b c/ λ com Ω para os
mesmos representados na figura anterior.
0 50 100 150 200 2500.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
0.55
Ómega
b / l
ámbd
a c
..........LSM01LSM11LSM21LSM31LSM41
Figura 5. 6. Variação do parâmetro de corte b c/ λ com Ω para os primeiros modos LSMm1 de um guia Ω-NRD em que 2|| =ε , 3=⊥ε , 1|| =μ , 2=⊥μ e 2.1/ =lb .
A linha mais inferior representa o valor mínimo de b c/ λ , sendo que este ocorre para
β = 0 , quando h → 0 , e é obtido a partir de:
(5.38)
( )2||2
1/Ω−
=
⊥⊥⊥
μεεε
λcb
60
Na figura 5.7 apresenta-se o diagrama operacional do guia pseudoquiral para diversos
valores do parâmetro Ω .
0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.60
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
b/lambda
l / la
mbd
a
LSM21
LSM11
LSM01
Figura 5. 7. Diagrama operacional para os primeiros modos LSMm1 de um guia Ω em que
||ε = 2, ⊥ε = 3, ||μ =1, ⊥μ =2 para diversos valores de Ω .
As curvas a traço mais fino representam o caso em que Ω anula-se, passando o meio a
ser anisotrópico biaxial. Supondo que os modos LSE não são excitados, a largura de
banda do regime monomodal no guia Ω-NRD está limitada inferiormente pelo corte do
modo LSM01 e superiormente pelo corte do modo seguinte, i.e., o modo LSM11, ou pela
condição de supressão de radiação (b / .λ < 0 5 ). Mesmo após a inclusão de
microestruturas Ω, o modo principal mantém uma frequência de corte nula para
5.0/ >λb . Portanto, à excepção do modo LSM01, todos as outras estruturas sofrem um
incremento na frequência de corte devido à pseudoquiralidade.
61
A largura de banda do regime monomodal pode ser determinada a partir da Figura 5.8.
Convém salientar que em certos casos, essa a largura de banda pode ser estendida.
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
l / lámbda
Bet
a
LSM01
LSM11
LSM21
Figura 5. 8. Variação do número de onda longitudinal normalizado β com λ/l , para os primeiros modos LSM do guia Ω . As curvas a traço fino correspondem ao caso anisotrópico biaxial enquanto as curvas a traço grosso correspondem ao caso 0.1=Ω .
Assim, para um certo ponto de funcionamento P0, essa largura de banda é proporcional
à distância entre as curvas do modo LSM01 e do modo LSM11, medida sobre a recta que
une a origem das coordenadas e o ponto P0.
A variação do número de onda longitudinal normalizado β com l / λ para 0=Ω e
1=Ω , quando b / .λ = 0 4 , pode ser visualizada na Figura 5.10.
As curvas a traço fino correspondem ao caso anisotrópico biaxial ou seja de não-
pseudoquiralidade ( 0=Ω ).
62
( ) 22||max yβμε
εε
β −Ω−= ⊥⊥⊥
0 0.4 0.8 1.2 1.6 20
0.4
0.8
1.2
1.6
2
Ómega
Bet
a
LSM01LSM11LSM21LSM31
Figura 5. 9. Variação do número de onda longitudinal normalizado β com Ω para os primeiros modos LSM do guia Ω-NRD da Figura 4.12, quando 5.0/ =λl .
Para ∞→λ/l (isto no limite das altas frequências), 0→h , pelo que número de onda
logitudinal converge para o seu valor mais alto que se obtém a partir:
(5.39)
Para o modo LSM11, o incremento verificado no valor do parâmetro de corte l c/ λ faz
com que a região de operação monomodal seja maior relativamente ao caso não-
pseudoquiral conseguindo assim uma maior largura de banda.
63
Na Figura 5.12, apresenta-se a variação de Ω com β, quando 4.0/ =λb e 5.0/ =λl . Para
cada modo existe um limite máximo para a amplitude do parâmetro pseudoquiral Ω, a
partir do qual a estrutura de propagação entra ao corte.
5.4 – Observações Finais
Neste capítulo analisou-se a propagação de ondas electromagnéticas em guias de ondas
pseudoquirais. Apresentou-se o guia dieléctrico não-radiante pseudoquiral (Ω- NRD).
Este guia consegue-se por substituição da lâmina isotrópica no guia NRD, por uma
lâmina ómega. Características únicas de propagação associadas a esta estrutura foram
apresentadas. Demonstrou-se que este guia suporta os modos híbridos LSE e LSM.
Apresentou-se uma análise electromagnética completa derivando as equações modais
tanto para os modos LSM como para os modos LSE. Verificou-se que para qualquer
modo LSM, existe um certo valor para a amplitude do parâmetro pseudoquiral acima do
qual o modo atinge o corte e um valor acima do qual em que deixa mesmo de haver
propagação guiada no meio.
A estrutura analisada é semi-aberta pelo que o corte pode ser determinado pela condição
de corte dos guias abertos ou fechados, dependendo do valor de b / λ .
No modo de operação do guia NRD, os planos condutores paralelos estão separados por
uma distancia menor que meio comprimento de onda. Com efeito o corte é determinado
pela condição de corte de um guia fechado.
O aumento da pseudoquiralidade na região 5.0/ >λb provoca geralmente um aumento
nas frequências de corte dos modos de ordem superior, sendo que isto não se verifique
apenas para o modo fundamental LSM01. De qualquer forma mostrou-se que a inclusão
de microestruturas condutoras Ω, faz aumentar a largura de banda do modo
fundamental.
64
65
Capítulo 6
Conclusão
6.1 – Sumário Neste trabalho forneceu-se uma análise modal completa no que diz respeito a
propagação de ondas electromagnéticas em guias de ondas preenchidos com
determinados meios complexos. Também destacou-se a importância das características
de propagação destes meios na elaboração de dispositivos para microondas e ondas
milimétricas.
No Capítulo 1 discutiu-se a propagação de ondas electromagnéticas em meios
anisotrópicos nomeadamente em cristais biaxiais. Para isso considerou-se uma placa
dieléctrica anisotrópica assente num plano condutor perfeito. A partir das propriedades
do meio e das equações de Maxwell derivou-se as equações modais apresentando os
diagramas de dispersão para os modos TE e TM.
Ainda acerca dos meios anisotrópicos analisou-se no capítulo 2 o comportamento de
ondas electromagnéticas em meios que apresentam anisotropia magnética – as ferrites.
Recorda-se que estes materiais ferromagnéticos, são não-recíprocos sendo que a
anisotropia pode ser manifestada através da aplicação de um campo magnético
controlado. Assim começou-se por analisar o caso em que o campo magnético aplicado
é transversal. Calculou-se as equações modais analisando as principais características de
propagação para os modos TE e TM. Seguidamente considerou-se um Guia de Planos
Paralelos com Campo Magnético Longitudinal. Ficou claro que quando o campo
aplicado é longitudinal as estruturas que se propaguem são híbridas.
A propagação de ondas electromagnéticas em guias contendo meios quirais foi
analisada no capítulo 4.
Deduziu-se as equações modais onde foi possível mostrar que os modos TE e TM se
degeneram em estruturas híbridas EH e HE com frequências de cortes similares.
66
Nota-se portanto a ausência de qualquer modo transversal puro. A partir das equações
modais efectuou-se uma simulação numérica onde se pode comprovar os resultados.
Finalmente analisou-se as características de propagação dos meios ómega. Para este
estudo considerou-se um guia dieléctrico não-radiante (NRD). Derivou-se as equações
modais e apresentou-se os diagramas operacionais. Verificou-se que só se pode ter
estruturas híbridas de propagação.
6.2 – Direcções Futuras
A partir das equações de Maxwell e conhecendo as propriedades dos materiais foi
possível derivar as equações modais dos possíveis modos de propagação. Fez-se uma
simulação numérica no Matlab dando maior credibilidade aos resultados encontrados.
Na prática ainda não existe aplicações para todos os meios aqui analisados. Entretanto
com este estudo é possível elaborar estes materiais de forma artificial e usa-los como
meios de propagação em guias de ondas. O trabalho fica de certa forma limitado por
falta desta componente experimental mas o que foi feito constitui uma boa base para
trabalhos futuros. O número de materiais que se pode estudar é variado. Ultimamente
tem-se falado muito em meios matemateriais. Demonstrações experimentais recentes,
destes materiais, compostos com índice de refracção negativo, abrem um novo caminho
no projecto de novos tipos de dispositivos. Pode-se dizer que o futuro para os meios
complexos promete ser brilhante.
67
Apêndice A
Propagação em Ferrites
Geralmente, num meio anisotrópico, as ondas características são por definição as únicas
que conservam a sua polarização durante a propagação.
Segue-se o estudo da propagação de ondas electromagnéticas planas monocromáticas
numa ferrite considerada como meio ilimitado, supondo que se encontra imersa num
campo aplicado de indução magnética estático e uniforme tal que:
aa BzB ˆ= (A.1)
Admite-se também que a ferrite pode ser escrita nestas circunstâncias pelas seguintes
relações constitutivas:
ED εε 0= (A.2)
HμB ⋅= 0μ (C.3) (A.3)
onde, μ (tensor da permeabilidade magnética relativa) é dado pela seguinte matriz:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−= ⊥
⊥
||0000
μμμμμ
x
x
jj
μ (A.4)
68
Considera-se ainda, 0// =∂∂=∂∂ yx e βjz −=∂∂ / o que faz zβj−=∇ .
Começa-se por escrever as equações de Maxwell sem fontes no campo e no domínio da
frequência:
BE ωj−=×∇ (A.5)
DH ωj=×∇ (A.6)
( ) 00 =⋅∇=⋅∇ ED εε (A.7)
( ) 00 =⋅⋅∇=⋅∇ HμB μ (A.8)
Por substituição das equações (A.2), (A.3) nas equações de Maxwell (A.5), (A.6),
obtém-se:
HμE ⋅−=×∇ 0ωμj (A.9)
EH εωε 0j=×∇ (A.10)
É possível entender muitos fenómenos em ondas electromagnéticas complexas
estudando o caso simples de uma onda plana que se propaga num meio ilimitado.
Supondo que a propagação de tal onda se efectue segundo o eixo dos zz, os campos
eléctricos e magnéticos podem respectivamente ser escritos (na forma complexa) como:
( )[ ]ztj βω −= exp0EE (A.11)
( )[ ]ztj βω −= exp0HH (A.12)
0E e 0H , representam as amplitudes complexas dos campos eléctrico e magnético respectivamente. Estas amplitudes podem ser decompostas nas suas componentes rectangulares:
zyxE ˆˆˆ 000 zoyx EEE ++= (A.13)
zyxH ˆˆˆ 000 zoyx HHH ++= (A.14)
69
O termo zt βω − representa a fase da onda, enquanto zβ é o desfasamento relativamente a distância z.
Portanto as Equações (A.9) e (A.10) podem ser reescritas como:
( )00
0ˆ HμEz ⋅=×β
ωμ (A.15)
00ˆ EHz
βεωε
−=× (A.16)
De (A.13) e (A.14) verifique-se:
0ˆ 0 =⋅ Ez (A.17)
( ) 0ˆ 0 =⋅⋅ Hμz (A.18)
A partir de (A.17) e (A.18) deduz-se que 00 =zE e 00 =zH . O mesmo pode ser verificado através de:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡+−
+=⋅ ⊥
⊥
z
yxx
yxox
HHHj
HjH
0||
00
0
0
μμμ
μμHμ (A.19)
Verifica-se então, que as ondas planas e monocromáticas que se propagam na ferrite são
ondas TEM com 000 == zz HE .
A partir de (A.14) escreve-se:
( ) ( )00
0 ˆˆˆ EzHzz ×−=××β
εωε (A.20)
70
Pela regra do produto externo:
( ) ( ) ( ) 000 ˆˆˆˆˆˆ HHzzzHzHzz −=⋅−⋅=×× o (A.21) Por substituição de (A.21) em (A.20) obtém-se:
( )0ˆ EzH ×=β
εωε oo (A.22)
Substituindo (A.15) em (A.22) e com alguma manipulação resulta:
(A.23)
Recorda-se que:
(A.24)
pelo que (A.23) pode assim ser reescrita:
(A.25)
Introduzindo a variável normalizada ξ tal que:
20
2
kεβξ = (A.26)
e substituindo-a em (A.25) obtém-se finalmente a equação de valores próprios:
00 HHμ ξ=⋅ (A.27)
00
2
2
HμH ⋅=ooεεμω
β
λπωμεω 2
000 ===c
k
020
2
HμH ⋅=ok εβ
71
A partir desta equação determina os valores próprios ξ e os vectores próprios 0H do
tensor μ .
Os valores próprios são as soluções da equação característica:
( ) 0det =− Iμ ξ (A.28)
Levando em consideração que 00 =zH a equação (A.27) pode ser escrita na forma reduzida
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
−
⊥
⊥
00
0
0
y
x
x
x
HH
jj
ξμμμξμ
(A.29)
Para que a equação possua soluções não triviais faz-se anular o determinante:
( ) 022 =−−⊥ xμξμ (A.30)
Verifica-se a existência de dois valores próprios ±= ξξ tais que:
xμμξ ±= ⊥± (A.29)
Estes dois valores próprios correspondem a duas ondas características cujas constantes de
propagação são ±= ββ pelo que a partir de (A.26) escreve-se:
( ) 2
02 kxμμεβ ±= ⊥± (A.30)
Para conhecer as polarizações correspondentes aos valores próprios faz-se a substituição
dos mesmos na equação (A.29) obtendo-se:
±⊥
±⊥
−=
−=
ξμμ
μξμ x
xox
oy jjHH
(A.31)
72
Verifica-se portanto que:
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+=⇒=
−=⇒=
−
+
jHH
jHH
x
y
x
y
0
0
0
0
ξξ
ξξ (A.32)
Ao valor próprio += ξξ associa-se um vector de Jones correspondente a uma polarização circular direita (PCD):
( )yxR ˆˆ2
1ˆ j−= (A.33)
Analogamente ao valor próprio −= ξξ associa-se um vector de Jones correspondente a uma polarização circular esquerda (PCE):
( )yxL ˆˆ2
1ˆ j−= (A.34)
O campo total que se propaga na ferrite é geralmente uma combinação linear das duas
ondas características com constantes de propagação +β e −β respectivamente,
assumindo a forma:
( ) ( ) ( )⎣ ⎦ ( )tjzjAzjAtz LR ωββ expexpˆexpˆ, −+ −+−= LRE (A.35)
73
Exemplo Seja
( ) ( )tjAtz ωexpˆ,0 0xE == (1) a equação de uma onda, verifica-se que:
( ) ( ) ( )tjAtz ωexpˆˆ2
,0 0 LRE +== (2)
Deste modo, 20A
AA LR == .
Calcula-se o campo eléctrico em dz = , introduzindo os seguintes parâmetros
( )d−+ −= ββψ21 (3i)
( )d−+ += ββφ21 (3ii)
para ψφβ +=+ d e ψφβ −=− d . Resulta portanto para z = d:
( ) ( )( ) ( )tjjAtdz ωψφ expsinˆcosˆexp, 0 yxE −Ψ−== (4)
A chamada rotação de Faraday é evidenciada nesta equação. Para z = 0, a polarização
linear na direcção x , através da propagação na ferrite, converta-se numa polarização
linear segundo um ângulo ψ em dz = , descrita pela razão de polarização:
ψtan−=x
y
EE
74
75
Apêndice B
Propagação em Meios Quirais
D.1 – Relações Constitutivas Um meio material é caracterizado pelas seguintes relações constitutivas
PED += 0ε (B.1)
( )MHB += 0μ (B.2)
Na descrição da polarização P e a magnetizaçãoM pode-se distinguir a contribuição
dos campos E e H , ficando
me PPP += (B.3)
me MMM += (B.4)
Pelas equações (B.3) e (B.4) verifica-se a dependência de E e H simultaneamente nos
campos de indução eléctrica D e magnética B .
Em meios isotrópicos, a indução eléctrica D e o campo magnético B apenas
dependem, respectivamente, de E e do campo induzido H . Equivalentemente, pode-se
afirmar que 0=mP e 0=eM .
76
Desprezando-se a dispersão espacial, tem-se para meios isotrópicos e lineares,
( ) ( ) ( )∫∞−
=t
e dttttt '''0 , EPe χε (B.5)
( ) ( ) ''',)( dtttttt
m HMm ∫∞−
= χ (B.6)
onde eχ e mχ são, respectivamente, a susceptibilidade eléctrica e magnética. Os limites
de integração de (B.5) e (B.6) expõem que a polarização de um meio não é uma reposta
instantânea, sendo consequência da sua historia. Considerando ainda que o meio é
invariante no tempo
( ) ( )'', tttt −= χχ (B.7)
e causal
( ) ( ) 00 ,'
, =⇔=− τχχ meme tt para 0<τ (B.8)
os limites das expressões (B.5) e (B.6) podem-se alargar, obtendo-se as expressões de
convoluções temporais
( ) ( ) ( )∫+∞
∞−
−= τττχε dtt e EPe 0 (B.9)
( ) ( ) τττχ dtt m −= ∫+∞
∞−
HMm )( (B.10)
77
Que no domínio da frequência passam a
( ) ( ) ( )ωωχεω EPe e0= (B.11)
( ) ( ) ( )ωωχω HMm m= (B.12)
Assim, as relações constitutivas (B.1) e (B.2) dum meio isotrópico linear, invariante no
tempo e casual podem ser reescritas como
( ) EED εεχε 00 1 =+= e (B.13)
( ) HHB μμχμ 00 1 =+= m (B.14)
Para um meio biisotrópico, as susceptibilidades cruzadas não são nulas, existindo a
polarização mP devida ao campo induzido H e a magnetização eM devida ao campo
eléctrico E. Este acoplamento magnetoeléctico permite a actividade óptica destes meios.
Para os meios quirais, também eles biisotrópicos, e segundo Kong, esses termos de
acoplamento podem ser descritos por:
HPm 00μεχi= (B.15)
0
00
μμεχ E
Me
i−= (B.16)
onde o parâmetro χ se assume como a quiralidade do meio (adimensional).
78
Agora, nas expressões (B.3) e (B.4) deixa de haver elementos nulos sendo,
HEP 000 μεχχε ie += (B.17)
HE
M m
iχ
μμεχ
+−=0
00 (B.18)
Que aplicadas nas equações (B.1) e (B.2) levam às relações constitutivas dos meios
quirais,
ki HED 000 μεχεε += (B.19)
EHB 000 μεχμμ i−= (B.20)
Kong escreveu ainda estas relações explicitando a impedância no vácuo
001
00 εμ== −YZ tomando então a forma
( )HED χεε 00 iZ+= (B.21)
( )EHB χμμ 00 iY−= (B.22)
Estas relações aplicam-se a meios compostos por quaisquer objectos quirais,
isotrópicos, recíprocos e sem perdas.
Este modelo não destaca a dispersão espacial. No entanto, recordando as equações de
Maxwell-Faraday e Maxwell-Ampère, no domínio da frequência e na ausência de fontes
BE ωi=×∇ (B.23)
DH ωi−=×∇ (B.24)
79
Que utilizando as relações constitutivas (B.22) e (B.21), respectivamente, aparecem
como
( )EHE χμωμ 00 iYi −=×∇ (B.25)
( )HEH χεωε 00 iZi +−=×∇ (B.26)
Os termos E×∇ e H×∇ mostram uma relação não espacial entre os campos,
explicitando a chamada dispersão espacial. Isto significa que o comportamento do meio
não resulta unicamente dos campos E e H instantâneos num determinado ponto,
dependendo dos seus valores na vizinhança desse ponto.
D.2 – Equação de Onda em Meios Quirais
Na dedução da equação de onda num meio quiral assume-se como relações constitutivas
do meio as expressões (B.20) e (B.21) com χ , ε e μ constantes. Considera-se ainda a
propagação de ondas planas monocromáticas ( )[ ]ti ω−rk.exp onde k representa o vector
de onda e r o vector posição. Como o meio é isotrópico, não existe direcção de
propagação privilegiada.
As equações de Maxwell podem ser escritas no domínio da frequência e na ausência de
fontes como:
0=⋅∇ D (B.25)
0=⋅∇ B (B.26)
BE ωi=×∇ (B.27)
DH ωi−=×∇ (B.28)
80
Substituindo as relações constitutivas (B.21) e (B.20) nas equações (B.25) e (B.26)
respectivamente, vem
( ) 000 =⋅∇+⋅∇ HE χεε iZ (B.29)
( ) 000 =⋅∇−⋅∇ EH χμμ iY (B.30)
Que corresponde na forma matricial a
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⋅∇⋅∇
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡− 0
0
000
000
HE
μμχμχεεε
YiZi
(B.31)
Caso tenha determinante não nulo, a sua única solução passa por ter
0=⋅∇ E (B.32)
0=⋅∇ H (B.33)
Evidenciando que os campos E e H são solenoidais.
Recorrendo agora as equações de Maxwell (B.27) e (B.28), nas quais se substitui
também as relações (B.21) e (B.20), respectivamente, chega-se a
( )EHE χμωμ 00 iYi −=×∇ (B.34)
( )HEH χεωε 00 iZi +−=×∇ (B.35)
Onde se retira por manipulação matemática as seguintes expressões para E e H
μωμμχ
00
EEH ×∇−= iiY (B.36)
εωεεχ
00
HHE ×∇+= iiZ (B.37)
81
Após a substituição de (B.36) em (B.37) e vice-versa, chega-se às equações de onda
( )⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
×∇+⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
×∇×∇HE
HE
HE
χχεμ 020
2 2kk (B.38)
Em que 000 μεω=k .
Atendendo que EEEE 22 −∇=∇−⋅∇∇=×∇×∇ devido ao carácter solenoidal de E já
referenciado, a expressão (B.38) passa a
( ) 02 020
22 =⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
×∇+⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−+⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
∇HE
HE
HE
χχεμ kk (B.39)
D.3 – Ondas características A incidência de uma onda polarizada linearmente num meio quiral gera duas ondas
características de diferente constante de propagação. Sucede-se agora a determinação
dessas constantes, assim como a demonstração do sentido da polarização, que as
distingue já que ambas têm polarização circular.
Considerando uma onda plana monocromática ( )[ ]ti ω−⋅rkexp , pode-se adoptar a
derivação em ordem ao espaço
ki=∇ (B.40)
Em que k representa o vector de onda. Assim, introduzindo-se a diádica identidade I, a
equação de onda (B.39) fica na forma
( )[ ] 02 020
22 =⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⋅×+−+−HE
IkII χχεμ ikkk (B.41)
82
Pode-se simplificar a expressão anterior utilizando uma outra diádica
( )[ ] IkIW ×−−−= χχεμ 020
22 2ikkk (B.42)
Ou seja, a equação de onda (B.41) aparece no formato elementar
0=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=HE
W (B.43)
As constantes de propagação das ondas características são alcançadas através das
soluções não triviais da anulação do determinante da diádica W, ( ) 0det =W . Para obter
essas soluções torna-se útil escrever W como
IuIW ×+= λ (B.44)
Onde aplicaram as substituições
( ) 20
22 kk χεμλ −−= (B.45)
ku χ02ik−= (B.46)
As soluções não triviais de:
( ) ( ) 0det 2 =⋅+= uuW λλ (B.47)
São, obviamente,
0=λ (B.48)
02 =⋅+ uuλ (B.49)
83
Como as soluções expressas por (B.48) não têm significado físico, retiram-se as
constantes de propagação da equação (B.49).
Assim, as duas ondas características têm constantes de propagação dadas por
( ) 0kk χεμ ±=± (B.50)
As constantes +k e −k correspondem, respectivamente, às ondas com RCP e LCP.
Como os campos são solenoidais, conclusão retirada das expressões (B.32) e (B.33),
aplica-se a derivação espacial (B.40):
00 =⋅⇒=⋅∇ EkE (B.51)
00 =⋅⇒=⋅∇ HkH (B.52)
Ou seja, as ondas características são TEM. Pode-se assim, sem perda de generalidade
devido à isotropia do meio, atribuir-lhes um sentido de propagação zk ˆk= , tendo os
campos apenas as componentes segundo x e y
( ) ( )ikzEEEE yxyx expˆˆˆˆ 00 yxyxE +=+= (B.53)
( ) ( )ikzHHHH yxyx expˆˆˆˆ 00 yxyxH +=+= (B.54)
Substituindo (B.53) na equação de onda (B.41) chega-se ao quociente
( ) 220
20
0
2kk
kkiEEp
y
ox
−−==
χεμχ (B.55)
Apêndice C
Linha H
A linha H é constituída por uma lâmina dieléctrica, uniforme na direcção longitudinal z,
limitada no plano transversal xy por uma linha de planos condutores paralelos (LPP).
As propriedades constitutivas no interior do meio são caracterizadas por 0μμ = e por
uma constante dieléctrica relativa ( )xrε tal que:
(C1)
Neste meio só se propaga modos híbridos. Em guias de ondas (abertos ou fechados)
com preenchimento heterogéneo só se propaga modos TE ou TM quando as condições
na fronteira não conduzem ao acoplamento entre as componentes dos campos. Quando
variam em y ou seja para zE e zH não nulos só existem modos híbridos. De facto o
campo electromagnético varia sobre as interfaces lx ±= (também podem existir modos
0pTE mas não modos 0pTM ). Aqui vai-se considerar apenas modos híbridos LSM com
0=xH , isto é:
(C.2)
(C.3)
(C.4)
(C.5)
(C.6)
( )⎪⎩
⎪⎨⎧
>
<=
lxn
lxnxr ,
,22
21ε
( ) ( ) ( )ygxfkdy
gdxfEx2
2
2
+−=
dydg
dxdfEy =
dxdfyjkgEz )(−=
( ) ( ) ( )ygxkfxH ry εωε 0=
( ) ( )dydgxfxjH ry εωε 0−=
85
A existência de planos condutores em by ±= , conduz a
(C.7)
Uma solução possível é:
(C.8)
onde:
(C.9)
Em que m = 0, 1, 2, … Considerar apenas o caso em que m = 0 ⇒ bk y 2/π= . Uma vez que o plano x = 0 é simétrico os modos podem ser pares ou ímpares.
Assim quando x = 0 é um plano magnético, os modos são pares e quando x = 0 é um
plano eléctrico os modos são ímpares. Neste estudo vai-se levar em conta apenas o caso
dos modos pares. Portanto consideração a simetria da estrutura tem-se,
(C.10)
Assim, de acordo com (C.9) tem-se ( ) 00 ==xf e, trivialmente, 0== zy HH em
0=x (isto é, o plano 0=x é, na verdade, um plano magnético). As condições fronteira
em lx = impõem a continuidade de zyy EEE ,, e zH .
Desta forma tem-se:
(C.11)
( ) ( ) 0=±==±= byEbyE yx
)cos()( ykGyg y=
bmky 2
)12( π+=
( )⎩⎨⎧
>
<<=
− lxeF
lxhxFxf lx ,
0),sin()(
2
1α
( ) ( )+− === lxfnlxfn 22
21
86
(C.12)
A partir de (C.9) e (C.10) vem:
(C.13)
onde se definiu novamente:
hlu = , alw =
A existência de soluções não triviais implica:
(C.14)
ou seja
(C.15)
Que corresponde a equação modal dos modos pares desta estrutura. A equação (C.16)
por si só, não é suficiente para determinar u (ou v ). Vem,
(C.16) (C.17)
Atendendo a (C12) e tendo introduzido a variável normalizada
(C.18)
( ) ( )+− === lxdxdflx
dxdf
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡− 0
0sin
cos
2
122
21 F
Fnunwuu
0cossin 22
21 =+ uunwwn
uunnw cot2
1
22−=
( ) ( ) 2220
21
2 aulknkl −−=
( ) ( ) 2220
22
2 awlknkl −+=
bla
2π
=
87
De acordo com (8) onde 0=m . Desta forma introduzindo ainda a frequência normalizada:
(C.19)
Resulta de (15) que:
(C.20)
A equação (C.14) em conjunto com (C.18), permite, então calcular u (ou v ). Definindo o índice de refracção modal 0/ kkneff = é possível calcular effn a partir da
equação (C.15) vindo então:
(C.21)
Uma vez que ck //2 00 ωλπ == . Além disso, vem:
(C.22)
(C.23)
levando em consideração que:
(C.24)
Sabe-se que, um modo híbrido obtido através da (C.14) é um modo LSM par. Em geral
estes modos designam-se por modos pqrLSM , onde o índice q refere-se à variação do
campo segundo x, e o índice r tem a ver com a variação do campo segundo y. O
primeiro modo pqrLSM é o modo pLSM 11 também designado por pHE11 .
22
210 nnlkv −=
222 vwu =+
( )222
02
2au
lnn +⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−=
πλ
ng0λλ =
ncv f =
fg vk //2 ωλπ ==
88
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