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Análise Funcional

António Bento

Universidade da Beira Interior

2006/2007

António Bento (UBI) Análise Funcional 2006/2007 1 / 398

Bibliografia

Bachman, G. & Narici, L., Functional Analysis, Dover, 2000 (reedição daedição de 1966 da Academic Press)

Bollobás, B., Linear Analysis, Cambridge University Press, 1990

Conway J. B., A Course in Functional Analysis, Springer-Verlag, 2nd edition,1990

Giles, J.R., Introduction to the Analysis of Normed Spaces, CambridgeUniversity Press, 2000

Kreyszig, E., Introductory Functional Analysis with Applications, John Wiley& Sons, 1978

Kolmogorov, A. N. & Fomin, S. V., Elementos da Teoria das Funções e deAnálise Funcional, Editora Mir, 1982

Machado, A., Introdução à Análise Funcional, Escolar Editora, 1991

Michel, A.N. & Herget C. J., Applied Algebra and Functional Analysis,Dover, 1993 (reedição da edição de 1981 da Prentice Hall)

Taylor, A. E. & Lay, D. C., Introduction to Functional Analysis, KriegerPublishing Company, 1986


Índice1 Introdução

Espaços vectoriaisEspaços normados

2 Espaços métricosEspaços métricos: definição e exemplosConjuntos abertos e conjuntos fechadosFunções contínuas em espaços métricosSucessões em espaços métricosSucessões de Cauchy e espaços métricos completosCompletamento de um espaço métrico

3 Espaços normados e espaços de BanachPropriedades elementares dos espaços normadosOperadores lineares contínuosEspaços normados de dimensão finita

4 Espaços com produto interno e espaços de HilbertDefinição, propriedades elementares e exemplosComplemento ortogonal e projecções ortogonaisConjuntos ortonormadosFuncionais em espaços de Hilbert

5 Teoremas fundamentais da análise funcionalLema de ZornTeorema de Hahn-BanachTeorema de Banach-SteinhausTeoremas da aplicação aberta e do gráfico fechado
















§1.1 Espaços vectoriais

No que se segue K representa o corpo dos números reais ou o corpo dos númeroscomplexos.



Um espaço vectorial sobre K é um conjunto não vazio E onde estão definidasduas operações:

uma adição que a cada para de elementos (x, y) ∈ E × E faz corresponderum elemento designado por x+ y

uma multiplicação por um escalar que a cada par (λ, x) ∈ K× E fazcorresponder um elemento de E designado por λ.x, ou simplesmente λx

tais que

i) x+ y = y + x para cada x, y ∈ E;ii) x+ (y + z) = (x+ y) + z para cada x, y, z ∈ E;

iii) existe um elemento 0 ∈ E, designado por "zero", tal que, para cadax ∈ E, 0 + x = x+ 0 = x

iv) para cada x ∈ E, existe um elemento −x ∈ E tal quex+ (−x) = (−x) + x = 0;

v) λ (µx) = (λµ) x para cada λ, µ ∈ K e para cada x ∈ E;

vi) λ (x+ y) = λx+ λy para cada λ ∈ K e para cada x, y ∈ E;

vii) (λ+ µ)x = λx + µx para cada λ, µ ∈ K e para cada x ∈ E;viii) 1 x = x para cada x ∈ E.



Os elementos de E designam-se por vectores e os de K por escalares. É fácilprovar que

0.x = 0,

λ.0 = 0

e(−1)x = −x.



Exemplos 1.1.11) Os espaços Rn e Cn são espaços vectoriais com as operações usuais, ou seja,

para cada x = (x1, . . . , xn) , y = (y1, . . . , yn) ∈ Kn e para cada λ ∈ K temos

x+ y = (x1 + y1, . . . , xn + yn)

eλx = (λx1, . . . , λxn) .



Exemplos 1.1.12) Seja C[a, b] o conjunto das funções contínuas x : [a, b]→ K. Dadasx, y ∈ C[a, b] e λ ∈ K, definamos x+ y : [a, b]→ K e λx : [a, b]→ K por

(x+ y) (t) = x(t) + y(t)

e(λx) (t) = λ x(t),

respectivamente. Com estas operações, C[a, b] é um espaço vectorial.



Exemplos 1.1.13) Seja 1 ≤ p < +∞. Consideremos o conjunto das sucessões de números reais

ou de números complexos definido por

ℓp =

{

x = (xn)n∈N :+∞∑

n=1

|xn|p é convergente

}

.

Para cada x = (xn) , y = (yn) ∈ ℓp e para cada λ ∈ K definamos asseguintes operações

x+ y = (xn + yn) Está bem definido?

eλx = (λxn) .

Com estas operações ℓp é um espaço vectorial.



Exemplos 1.1.14) Seja ℓ∞ o conjunto das sucessões (reais ou complexas) limitadas.

Para cada x = (xn) , y = (yn) ∈ ℓ∞ e para cada λ ∈ K definamos asseguintes operações

x+ y = (xn + yn)

eλx = (λxn) .

Com estas operações ℓ∞ é um espaço vectorial.



Um subespaço (vectorial) de um espaço vectorial E é um subconjunto M ⊆ E talque

λx+ µy ∈Mpara quaisquer x, y ∈M e para quaisquer λ, µ ∈ K. Pode-se provar que se M éum subespaço de E, então M é ele próprio um espaço vectorial sobre K.

Dados vectores x1, . . . , xm ∈ E, onde E é um espaço vectorial, chama-secombinação linear de x1, . . . , xm a toda a expressão da forma

λ1x1 + · · ·+ λmxm

onde λ1, . . . λm são escalares.

Seja M um subconjunto de E. O conjunto de todas as combinações lineares deelementos de M chama-se subespaço (vectorial) gerado por M e representa-se por〈M〉. É fácil provar que 〈M〉 é, de facto, um subespaço de E.



Diz-se que os vectores x1, . . . , xm ∈ E são linearmente independentes se

λ1x1 + · · ·+ λmxm = 0

apenas se verificar quando os escalares λ1, . . . , λm são todos nulos, ou seja,

λ1 = · · · = λm = 0.

Aos vectores x1, . . . , xm que não são linearmente independentes chamamosvectores linearmente dependentes.

Um subconjunto M ⊆ E diz-se linearmente independente se qualquer númerofinito de vectores de M forem linearmente independentes.



Chamaremos base (ou base de Hamel) de um espaço vectorial E a todo osubconjunto B de E linearmente independente e tal que 〈B〉 = E.

Um espaço vectorial E diz-se de dimensão finita se existir uma base B ⊆ E talque B é um conjunto finito.

Os espaços que não são de dimensão finita dizem-se de dimensão infinita. Épossível provar que qualquer espaço vectorial possui uma base e num mesmoespaço vectorial todas as bases têm o mesmo cardinal.

Se E é um espaço vectorial de dimensão finita, então o número de elementos dequalquer base designa-se por dimensão de E e representa-se por dimE.









§1.2 Espaços normados

Seja E um espaço vectorial sobre K. Uma norma em E é uma aplicação que acada vector x ∈ E faz corresponder um número real ‖x‖ com as seguintespropriedades:

i) ‖x‖ = 0 se e só se x = 0 ;ii) ‖λx‖ = |λ| ‖x‖ para cada x ∈ E e para cada λ ∈ K;

(propriedade homogénea)iii) ‖x+ y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖ para cada x, y ∈ E.

(desigualdade triangular)

Chama-se espaço normado a um par (E, ‖ · ‖) onde E é um espaço vectorial e‖ · ‖ é uma norma em E.



Exemplos 1.2.11) Em R ou em C o valor absoluto |·| é uma norma, ou seja, (R, |·|) e (C, |·|)

são espaços normados.



Exemplos 1.2.12) Seja x = (x1, . . . , xn) um vector qualquer de Rn. Então

‖x‖1 =

n∑

i=1

|xi|,

‖x‖2 =

(n∑

i=1

|xi|2)1/2

e‖x‖∞ = sup

1≤i≤n|xi|

são normas em Rn. O único axioma de norma cuja demonstração não étrivial é a desigualdade triangular para ‖·‖2. ver



Exemplos 1.2.13) Em Rn ou em Cn podemos definir as seguintes normas

‖x‖p =

(n∑

i=1

|xi|p)1/p

se 1 ≤ p <∞,

sup1≤i≤n

|xi| se p = +∞.

O único axioma difícil de provar é a desigualdade triangular quando1 < p <∞ que necessita de algumas desigualdades auxiliares.Estes espaços generalizam os do exemplo anterior. Usa-se a notação

ℓnp =(

Kn, ‖·‖p)

.



Exemplos 1.2.14) Seja 1 ≤ p ≤ ∞. Em ℓp podemos definir a seguinte norma

‖x‖p =

( ∞∑

i=1

|xi|p)1/p

se 1 ≤ p <∞,

supi∈N|xi| se p = +∞.

Novamente, só a desigualdade triangular para 1 < p <∞ dá mais trabalho.Neste exemplo também temos uma desigualdade de Hölder e umadesigualdade de Minkowski .



Exemplos 1.2.15) Em C[a, b] podemos definir a seguinte norma

‖x‖p =

[∫ b

a

|x(t)|p dt]1/p

se 1 ≤ p <∞,

supt∈[a,b]

|x(t)| se p =∞.

Novamente, só a desigualdade triangular para 1 < p <∞ dá mais trabalho aprovar. Tal como no exemplo anterior necessitamos de uma desigualdade deHölder e de uma desigualdade de Minkowski para integrais.



Exemplos 1.2.16) Sejam (E, ‖ · ‖E) e (F, ‖ · ‖F ) espaços normados sobre o mesmo corpo K.

Então em E × F podemos definir, para quaisquer x ∈ E e y ∈ F , a seguintenorma

‖ (x, y) ‖E×F = ‖x‖E + ‖y‖F .Outras normas em E × F são as seguintes:

√

‖x‖2E + ‖y‖2Fe

max {‖x‖E, ‖y‖F} .Também podemos definir, para 1 ≤ p < +∞ as normas

(‖x‖pE + ‖y‖pF )1/p.



Dado um espaço normado (E, ‖·‖), definindo d : E × E → R por

d(x, y) = ‖x− y‖

temos as seguintes propriedades:

i) d(x, y) = 0 se e só se x = y;

ii) d(x, y) = d(y, x) para quaisquer x, y ∈ E;

iii) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) para quaisquer x, y, z ∈ E.

As três propriedades traduzem o facto de um espaço normado ser um espaçométrico e, por isso, vamos estudar espaços métricos no capítulo seguinte.


§1.1 Espaços vectoriaisA adição em ℓp está bem definida

Para provar que em ℓp a adição está bem definida temos de mostrar que se

∞∑

n=1

|xn|p e∞∑

n=1

|yn|p são convergentes,

então ∞∑

n=1

|xn + yn|p também é convergente.

Para isso basta observar que

|xn + yn|p ≤ (2 max {|xn| , |yn|})p

= 2pmax {|xn|p , |yn|p}≤ 2p (|xn|p + |yn|p) .

voltar


§1.2 Espaços normadosDesigualdade triangular

x

y

x+ y

‖x+ y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖

Desigualdade triangular

voltar


§1.2 Espaços normadosDesigualdade triangular para ℓn2

Seja y = (y1, . . . , yn) outro elemento de Rn. Como

‖x+ y‖22 =

n∑

i=1

(xi + yi)2 =

n∑

i=1

(x2i + 2xiyi + y2

i

)

=

n∑

i=1

x2i + 2

n∑

i=1

xiyi +

n∑

i=1

y2i = ‖x‖22 + 2

n∑

i=1

xiyi + ‖y‖22 ,

usando a desigualdade de Cauchy-Schwarz Dem.

n∑

i=1

xiyi ≤ ‖x‖2 ‖y‖2 ,

tem-se

‖x+ y‖22 ≤ ‖x‖22 + 2 ‖x‖2 ‖y‖2 + ‖y‖22 =

(‖x‖2 + ‖y‖2

)2

e, por conseguinte,

‖x+ y‖2 ≤ ‖x‖2 + ‖y‖2 .voltar


§1.2 Espaços normadosDesigualdade de Cauchy-Schwarz

Atendendo a que

n∑

i=1

(xi + yiλ)2 ≥ 0 onde λ é um número real qualquer temos

n∑

i=1

(x2i + 2xiyiλ+ y2

i λ2)≥ 0 e, portanto,

n∑

i=1

x2i + 2

(n∑

i=1

xiyi

)

λ+

(n∑

i=1

y2i

)

λ2 ≥ 0

pelo que fazendo C =

n∑

i=1

x2i , B = 2

n∑

i=1

xiyi e A =

n∑

i=1

y2i vem Aλ2 +Bλ+ C ≥ 0

para qualquer λ ∈ R. Assim B2 − 4AC ≤ 0 e, portanto,(

2

n∑

i=1

xiyi

)2

≤ 4

(n∑

i=1

x2i

)(n∑

i=1

y2i

)

o que é equivalente à desigualdade de Cauchy-Schwarz

n∑

i=1

xiyi ≤

√√√√

n∑

i=1

x2i

√√√√

n∑

i=1

y2i = ‖x‖2 ‖y‖2 .

voltar


§1.2 Espaços normadosDesigualdades auxiliares

Dado p ∈]1,+∞[ escolha-se q ∈]1,+∞[ tal que p e q sejam expoentes conjugados .

Desigualdade de Young

ab ≤ap

p+bq

q,∀a, b ≥ 0

Desigualdade de Hölder

n∑

i=1

|xiyi| ≤ ‖x‖p ‖y‖q ou

n∑

i=1

|xiyi| ≤

[n∑

i=1

|xi|p

]1/p [ n∑

i=1

|yi|q

]1/q

Desigualdade de Minkowski

‖x+ y‖p ≤ ‖x‖p + ‖y‖p ou

[n∑

i=1

|xi + yi|p

]1/p

≤

[n∑

i=1

|xi|p

]1/p

+

[n∑

i=1

|yi|p

]1/p

voltar


§1.2 Espaços normadosExpoentes conjugados

Dado p ∈]1,+∞[ escolha-se q ∈]1,+∞[ tal que

1

p+

1

q= 1.

Nestas condições p e q designam-se por expoentes conjugados. Daqui resulta que

q =p

p− 1e p =

q

q − 1

e, além disso,

1 =p+ q

pq, pq = p+ q e (p− 1) (q − 1) = 1.

voltar


§1.2 Espaços normadosDesigualdade de Young

A função f : [0,+∞[→ R definida por

f(t) =tq

q− at+ a

p

p,

onde a é um número positivo qualquer, tendo em conta que a sua derivada é

f ′(t) = tq−1 − a,tem em

f(

a1/(q−1))

=aq/(q−1)

q− aa1/(q−1) +

ap

p= 0

um mínimo. Assim, para cada b > 0 temos f(b) ≥ 0 e, por conseguinte, temos

ab ≤ ap

p+bq

q

para quaisquer a, b > 0 e para quaisquer p, q ∈]1,+∞[ tais que1

p+

1

q= 1. Esta

desigualdade é conhecida por desigualdade de Young e também é válida paraa = 0 ou para b = 0. voltar


§1.2 Espaços normadosDesigualdade de Hölder para somatórios

Dados x = (x1, . . . , xn) e y = (y1, . . . , yn) pertencentes a Rn ou a Cn e tais que

x 6= 0 e y 6= 0, fazendo ai =|xi|‖x‖p

e bi =|yi|‖y‖q

, temos pela desigualdade de

Young|xiyi|‖x‖p ‖y‖q

≤ |xi|p

p ‖x‖pp+|yi|qq ‖y‖qq

,

donde somando para i = 1, . . . , n resulta

n∑

i=1

|xiyi|

‖x‖p ‖y‖q≤

n∑

i=1

|xi|p

p ‖x‖pp+

n∑

i=1

|yi|q

q ‖y‖qq=

1

p+

1

q= 1

e, consequentemente, obtemos a desigualdade de Hölder

n∑

i=1

|xiyi| ≤ ‖x‖p ‖y‖q .


§1.2 Espaços normadosDesigualdade de Hölder para somatórios - continuação

A desigualdade de Hölder também é válida quando x = 0 ou quando y = 0. Adesigualdade de Hölder para p = 2 e, portanto q = 2, é a desigualdade deCauchy-Schwarz. Quando p = 1 ou p =∞ também existem desigualdades destetipo

n∑

i=1

|xiyi| ≤ ‖x‖1 ‖y‖∞

en∑

i=1

|xiyi| ≤ ‖x‖∞ ‖y‖1

cujas demonstrações são imediatas. Por isso, diz-se que 1 é o expoente conjugadode ∞ e que ∞ é o expoente conjugado de 1. voltar


§1.2 Espaços normadosDesigualdade de Minkowski para somatórios

Supondo que p ∈]1,+∞[, temos pela desigualdade de Hölder

‖x+ y‖pp =

n∑

i=1

|xi + yi|p =

n∑

i=1

|xi + yi| |xi + yi|p−1

≤

n∑

i=1

|xi| |xi + yi|p−1 +

n∑

i=1

|yi| |xi + yi|p−1

≤ ‖x‖p ‖x+ y‖p/qp + ‖y‖p ‖x+ y‖p/qp

=[‖x‖p + ‖y‖p

]‖x+ y‖p/qp

e a desigualdade

‖x+ y‖pp ≤[‖x‖p + ‖y‖p

]‖x+ y‖p/qp

implica

‖x+ y‖p ≤ ‖x‖p + ‖y‖p ,

desigualdade conhecida por desigualdade de Minkowski e que não é mais do que a

desigualdade triangular das normas ‖·‖p.voltar


§1.2 Espaços normadosDesigualdade de Minkowski para séries

Para provarmos a desigualdade triangular vamos utilizar a desigualdade deMinkowski do exemplo anterior. Assim, se x, y ∈ ℓp, temos

[n∑

i=1

|xi + yi|p]1/p

≤[n∑

i=1

|xi|p]1/p

+

[n∑

i=1

|yi|p]1/p

,

e fazendo n tender para infinito vem

[ ∞∑

i=1

|xi + yi|p]1/p

≤[ ∞∑

i=1

|xi|p]1/p

+

[ ∞∑

i=1

|yi|p]1/p

que dá a desigualdade triangular para 1 < p <∞ e à qual também se chamadesigualdade de Minkowski. voltar


§1.2 Espaços normadosDesigualdade de Hölder para séries

Se x ∈ ℓp e y ∈ ℓq, onde p e q são expoentes conjugados, então, como

n∑

i=1

|xiyi| ≤[n∑

i=1

|xi|p]1/p [ n∑

i=1

|yi|q]1/q

,

resulta quen∑

i=1

|xiyi| é convergente e fazendo n tender para infinito vem

∞∑

i=1

|xiyi| ≤[ ∞∑

i=1

|xi|p]1/p [ ∞∑

i=1

|yi|q]1/q

que é desigualdade de Hölder para séries e que pode ser escrita da seguinte forma

∞∑

i=1

|xiyi| ≤ ‖x‖p ‖y‖q .


§2.1 Espaços métricos: definição e exemplos

Um espaço métrico é um par ordenado (X, d) onde X é um conjunto não vazioe d : X ×X → R é uma aplicação com as seguintes propriedades:

(M1) d(x, y) = 0 se e só se x = y;

(M2) d(x, y) = d(y, x) para quaisquer x, y ∈ X ;

(M3) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) para quaisquer x, y, z ∈ X .

À aplicação d chamamos métrica ou distância e ao número real d(x, y)chamamos distância entre x e y (segundo a métrica d).

As propriedades (M1), (M2) e (M3) designam-se por separação, simetria edesigualdade triangular, respectivamente.



A propriedade (M3) é denominada desigualdade triangular pelo facto de numtriângulo o comprimento de qualquer lado ser menor do que a soma doscomprimentos dos outros dois lados:

x

y

z

d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z)



Observações 2.1.11) Se d : X ×X → R verifica as três propriedades (M1), (M2) e (M3), entãod(x, y) ≥ 0 para quaisquer x, y ∈ X . De facto,

0 = d(x, x) ≤ d(x, y) + d(y, x) = d(x, y) + d(x, y) = 2d(x, y),

o que mostra o pretendido.

2) Caso não haja perigo de confusão diremos que X é um espaço métrico em vezde (X, d) é um espaço métrico.



Exemplos 2.1.21) O conjunto dos números reais R munido com d(x, y) = |x− y| é um espaço

métrico. O conjunto dos números complexos C munido com a mesmamétrica também é um espaço métrico.



Exemplos 2.1.22) Os pares (Rn, dp) e (Cn, dp) são espaços métricos, onde

dp(x, y) = ‖x− y‖p =

(n∑

i=1

|xi − yi|p)1/p

se 1 ≤ p < +∞,

sup1≤i≤n

|xi − yi| se p = +∞.

Neste caso também se usa a notação ℓnp = (Kn, dp).



Exemplos 2.1.23) Seja ℓp, 1 ≤ p < +∞, o conjunto das sucessões (xn)n∈N tais que

+∞∑

i=1

|xi|p é convergente

e ℓ∞ o conjunto das sucessões limitadas. Definamos dp : ℓp × ℓp → R por

dp(x, y) = ‖x− y‖p =

( ∞∑

i=1

|xi − yi|p)1/p

se p <∞;

sup1≤i<∞

|xi − yi| se p =∞.

O par (ℓp, dp) é um espaço métrico.



Exemplos 2.1.24) Sejam a e b números reais tais que a < b e seja C[a, b] o conjunto das

funções contínuas x : [a, b]→ K e definamos dp : C[a, b]× C[a, b]→ R por

dp(x, y) = ‖x− y‖p =

(∫ b

a

|x(t) − y(t)|p dt)1/p

se p <∞;

supt∈[a,b]

|x(t) − y(t)| se p =∞..

O par (C[a, b], dp) é um espaço métrico.



Exemplos 2.1.25) Seja X um conjunto não vazio e definamos d : X ×X → R por

d(x, y) =

{

1 se x 6= y,0 se x = y.

O par (X, d) é um espaço métrico. Este espaço designa-se por espaçométrico discreto e d é a métrica discreta.



Exemplos 2.1.2

6) Se (X, d) é um espaço métrico, então (X, d′

) e (X, d′′

) também são espaçosmétricos onde

d′

(x, y) =d(x, y)

1 + d(x, y)

ed′′

(x, y) = min {1, d(x, y)} .



Exemplos 2.1.27) Se (X, d) é um espaço métrico e Y é um subconjunto não vazio de X , então

(Y, d) também é um espaço métrico.



Sejam (X, d) um espaço métrico, A um subconjunto não vazio de X e x ∈ X .Chama-se distância de x a A ao número real

d(x,A) = inf {d(x, a) : a ∈ A} .

b

ba

xA

d(x, a)

d(x,A)

Distância de um ponto a um conjunto



Observações 2.1.31) Pode ter-se d(x,A) = 0 sem que x pertença a A. Por exemplo, em R com a

métrica usual pondo A =]1, 2[ e x = 1 tem-se d(x,A) = 0 e 1 6∈ A.

2) É óbvio qued(x, {a}) = d(x, a).



Teorema 2.1.4

Sejam A um subconjunto não vazio de um espaço métrico (X, d) e x, y ∈ X .Então

|d(x,A) − d(y,A)| ≤ d(x, y).



Demonstração do teorema 2.1.4.Para cada ε > 0, existe a ∈ A tal que d(y, a) ≤ d(y,A) + ε. Então

d(x,A) ≤ d(x, a) ≤ d(x, y) + d(y, a) ≤ d(x, y) + d(y,A) + ε.

Como ε é um número positivo qualquer

d(x,A) ≤ d(x, y) + d(y,A),

isto é,d(x,A) − d(y,A) ≤ d(x, y).

Analogamente, prova-se que

d(y,A)− d(x,A) ≤ d(y, x) = d(x, y).

Das duas últimas desigualdades resulta que

|d(x,A) − d(y,A)| ≤ d(x, y).



Tendo em conta que d(x, {z}) = d(x, z) temos o seguinte Corolário.

Corolário 2.1.5Para quaisquer elementos x, y e z de um espaço métrico (X, d) tem-se

|d(x, z)− d(y, z)| ≤ d(x, y).



Observação 2.1.6A desigualdade anterior é conhecida por segunda desigualdade triangular. Estenome provém do facto de num triângulo o comprimento de qualquer lado nãopode ter comprimento inferior à diferença entre os comprimentos dos outros doislados.



Um subconjunto não vazio A de um espaço métrico (X, d) diz-se limitado se osubconjunto

F = {d(x, y) : x, y ∈ A} ⊆ R

for limitado (em R). Se A não for limitado, diz-se que A é ilimitado.Se A for limitado, chama-se diâmetro de A ao número

δ(A) = sup {d(x, y) : x, y ∈ A} .Se A é um subconjunto ilimitado convenciona-se que δ (A) = +∞ e se A = ∅vazio convenciona-se δ (∅) = 0.

δ (A)

Diâmetro de um conjunto



Exemplos 2.1.7

1) O diâmetro de um conjunto singular A = {x} é zero.2) Em R com a métrica usual o diâmetro de um intervalo [a, b] é b− a.3) Em R2 com a métrica d ((x1, x2) , (y1, y2)) =

√

(x1 − y1)2 + (x2 − y2)2 odiâmetro de uma circunferência é igual ao dobro do seu raio.

4) Seja (X, d) um espaço métrico. Já vimos que

d′(x, y) =d(x, y)

1 + d(x, y)e d′′(x, y) = min {1, d(x, y)}

definem novas métricas em X . Com estas duas métricas tem-se que X élimitado. Em ambos os casos δ (X) ≤ 1.



Sejam A e B dois subconjuntos não vazios de (X, d). Chama-se distância de Aa B ao número real definido por

d(A,B) = inf {d(x, y) : x ∈ A, y ∈ B} .

d(A,B)A B

Distância entre dois conjuntos









§2.2 Conjuntos abertos e conjuntos fechados

Sejam a um ponto de um espaço métrico (X, d) e r um número real.

Chama-se bola aberta de centro a e raio r > 0 ao conjunto

Br(a) = {x ∈ X : d(x, a) < r}

Chama-se bola fechada de centro a e raio r ≥ 0 ao conjunto

Br[a] = {x ∈ X : d(x, a) ≤ r} .

O conjuntoSr(a) = {x ∈ X : d(x, a) = r}

designa-se por esfera de centro a e raio r ≥ 0.



Exemplos 2.2.11) Em R, com a métrica usual, temos

Br(a) = ]a− r, a+ r[,

Br[a] = [a− r, a+ r]

eSr(a) = {a− r, a+ r} .



Exemplos 2.2.1

2) Em R2, definamos, para quaisquer x = (x1, x2) , y = (y1, y2) ∈ R2, asseguintes métricas

d1(x, y) = |x1 − y1|+ |x2 − y2|

d2(x, y) =

√

(x1 − y1)2

+ (x2 − y2)2,

d∞(x, y) = max {|x1 − y1| , |x2 − y2|} .

As bolas de centro (0, 0) e raio 1 estão representadas na figura seguinte:

x1

x2

1

métrica d1

x1

x2

1

métrica d2

x1

x2

1

métrica d∞



Exemplos 2.2.12) (continuação)

S1((0, 0)) no espaço ℓ2p

p = 1

p = 1.5

p = 2

p = 3

p =∞



Exemplos 2.2.13) No espaço C[a, b] das funções contínuas definidas de [a, b] em R com a

métrica definida por

d∞(x, y) = supt∈[a,b]

|x(t)− y(t)| ,

as funções que pertencem à bola aberta de centro x0(t) e raio r > 0 são asfunções contínuas x : [a, b]→ R tais que

x0(t)− r < x(t) < x0(t) + r

para cada t ∈ [a, b]. A figura seguinte ilustra este facto.




a b

x0(t)

x0(t)+r

x0(t)−r

x(t)

A função x(t) pertence à bola aberta Br(x0(t)) do espaço (C[a, b], d∞)



Exemplos 2.2.1

4) Se (X, d) é o espaço métrico discreto, ou seja, d(x, y) =

{

1 se x 6= y,0 se x = y,

então, para qualquer a ∈ X ,

Br(a) =

{

{a} se 0 < r ≤ 1

X se r > 1,

Br[a] =

{

{a} se 0 ≤ r < 1,

X se r ≥ 1,

e

Sr(a) =

{a} se r = 0,

∅ se 0 < r < 1,

X \ {a} se r = 1,

∅ se r > 1.



Um subconjunto A de um espaço métrico (X, d) diz-se aberto

se para cada a ∈ A, existe ε > 0 tal que Bε(a) ⊆ A.

aa

Conjunto aberto



Diz-se que A é fechado se X \A for aberto, ou seja,

se para cada a ∈ X \A, existe ε > 0 tal que Bε(a) ⊆ X \A.

aa

Conjunto fechado



Exemplo 2.2.2Em qualquer espaço métrico as bolas abertas são conjuntos abertos. De facto,seja Br(a) a bola aberta centrada em a e de raio r > 0. Dado b ∈ Br(a), temosde provar que existe uma bola aberta centrada em b e contida em Br(a).

r abbε

Fazendo

ε = r − d(a, b) > 0,

vejamos que Bε(b) ⊆ Br(a). Seja x ∈Bε(b). Então

d(x, a) ≤ d(x, b) + d(b, a)

< ε+ d(b, a)

= r − d(a, b) + d(b, a)

= r

e, portanto, x ∈ Br(a). Logo Bε(b) ⊆ Br(a) pelo que Br(a) é um conjuntoaberto.



Exemplo 2.2.2 (continuação)

De forma análoga prova-se que X \Br[a] é um conjunto aberto e, portanto,Br[a] é um conjunto fechado:

r a

bbε

ε = d(a, b)− r > 0



Teorema 2.2.3

Seja (X, d) um espaço métrico.

a) Os conjuntos ∅ e X são conjuntos abertos.

b) Se A1 e A2 são subconjuntos abertos de X , então A1 ∩A2 é um subconjuntoaberto de X .

c) Se (Aα)α∈λ é uma família de subconjuntos abertos de X , então⋃

α∈λAα é um

subconjunto aberto de X .

Demonstração.a) O ∅ é aberto pois não tem elementos. Para cada a ∈ X , tem-se B1(a) ⊆ X ,o que mostra que X é um conjunto aberto.



Demonstração do teorema 2.2.3 (continuação).

b) Sejam A1 e A2 subconjuntos abertos de X e seja a ∈ A1 ∩A2. Então a ∈ A1

e a ∈ A2. Como A1 e A2 são conjuntos abertos, existem ε1, ε2 > 0 tais queBε1

(a) ⊆ A1 e Bε2(a) ⊆ A2. Fazendo ε = min {ε1, ε2} > 0 tem-se

Bε(a) ⊆ Bε1(a) ⊆ A1

eBε(a) ⊆ Bε2

(a) ⊆ A2,

o que implica Bε(a) ⊆ A1 ∩A2. Logo A1 ∩A2 é um subconjunto aberto deX .




c) Seja (Aα)α∈λ é uma família de subconjuntos abertos de X e seja a ∈ ⋃

α∈λAα.

Então existe α0 ∈ λ tal que a ∈ Aα0. Como Aα0

é aberto, existe ε > 0 tal que

Bε(a) ⊆ Aα0.

Deste modo,Bε(a) ⊆

⋃

α∈λAα

o que prova que⋃

α∈λAα é um subconjunto aberto de X .



Observações 2.2.4

1) Usando o princípio de indução matemática e a alínea b) do Teorema 2.2.3tem-se que se A1, . . . , An forem subconjuntos abertos, então

A1 ∩ . . . ∩An

é um subconjunto aberto.

2) A intersecção de uma infinidade de abertos não é necessariamente umconjunto aberto. Por exemplo, em R com a métrica usual se considerarmos osconjuntos abertos

An =]− 1/n, 1/n[,

n ∈ N, temos ⋂

n∈NAn = {0}

que não é um conjunto aberto.



Das leis de De Morgan para conjuntos resulta imediatamente o seguinte resultado.

Teorema 2.2.5

Seja (X, d) um espaço métrico.

a) Os conjuntos ∅ e X são conjuntos fechados.

b) Se F1 e F2 são subconjuntos fechados de X , então F1 ∪ F2 é um subconjuntofechado de X .

c) Se (Fα)α∈λ é uma família de subconjuntos fechados de X , então⋂

α∈λFα é um

subconjunto fechado de X .



Seja A um subconjunto de um espaço métrico (X, d). Um elemento a ∈ X diz-seponto interior a A

se existir ε > 0 tal que Bε(a) ⊆ A.

Diz-se que a é um ponto exterior a A se for um ponto interior a X \A, ou seja,

se existir ε > 0 tal que Bε(a) ⊆ X \A

(ou equivalentemente, se existir ε > 0 tal que Bε(a) ∩A = ∅).

Um ponto diz-se ponto fronteiro a A se não for ponto interior nem pontoexterior, isto é, a é um ponto fronteiro a A

se para cada ε > 0, Bε(a) ∩A 6= ∅ e Bε(a) ∩ (X \A) 6= ∅.



A figura que se segue ilustra estes três conceitos.

a

b

ca c

b

O ponto a é um ponto interior ao conjunto, o ponto b é um ponto exterior e oponto c é um ponto de fronteira.



O conjunto dos pontos interiores a A designa-se por interior de A e representa-sepor intA ou A◦.

O conjunto dos pontos exteriores a A chama-se exterior de A e representa-se porextA.

O conjunto dos pontos fronteiros de A diz-se a fronteira de A e representa-se porfrA.



Observações 2.2.6

1) Da definição resulta imediatamente que intA, extA e frA são conjuntosdisjuntos dois a dois e que

X = intA ∪ extA ∪ frA.

2) Outra consequência imediata da definição é o seguinte

extA = int (X \A) e frA = fr (X \A) .



Seja (X, d) um espaço métrico. Um ponto a ∈ X diz-se ponto aderente a umsubconjunto A ⊆ X

se para cada ε > 0, Bε(a) ∩A 6= ∅.

O conjuntos dos pontos aderentes de um conjunto A designa-se por aderência oufecho de A e representa-se por A.

Diz-se que a é um ponto de acumulação de A

se para cada ε > 0, Bε(a) ∩ (A \ {a}) 6= ∅.

O conjunto dos pontos de acumulação de um conjunto A representa-se por A′ edesigna-se por derivado. Aos elementos de A que não são pontos de acumulaçãode A chamamos pontos isolados de A.



Teorema 2.2.7As propriedades seguintes são válidas:

a) se A ⊆ B, então intA ⊆ intB e A ⊆ B;b) intA ⊆ A ⊆ A;c) intA é aberto e A é fechado;d) A é aberto se e só se A = intA;e) A é fechado se e só se A = A;f) se B é aberto e B ⊆ A, então B ⊆ intA;g) se B é fechado e A ⊆ B, então A ⊆ B;h) int (A ∩B) = intA ∩ intB;i) A ∪B = A ∪B;j) intA ∪ intB ⊆ int (A ∪B);k) A ∩B ⊆ A ∩B;l) as inclusões das alíneas j) e k) podem ser estritas.m) A = A ∪A′;n) A é fechado se e só se A′ ⊆ A;o) A = A ∪ frA = intA ∪ frA;p) A é fechado se e só se frA ⊆ A.



Um subconjunto A de um espaço métrico (X, d) diz-se denso em X se A = X .Um espaço métrico X diz-se separável se existir um subconjunto numeráveldenso.



Exemplos 2.2.81) O conjunto dos números reais com a métrica usual é separável pois Q é

numerável e Q = R.



Exemplos 2.2.82) Do mesmo modo, C com a métrica usual é separável. De facto fazendo

A = {a+ bi ∈ C : a, b ∈ Q}

tem-se que A é numerável e A = C.



Exemplos 2.2.83) O espaço métrico (Rn, d2) é separável pois o conjunto

A = {(a1, . . . , an) ∈ Rn : ai ∈ Q, i = 1, . . . , n}

é numerável e A = Rn.



Exemplos 2.2.84) O espaço métrico (ℓp, dp), 1 ≤ p <∞, é separável. Seja

An = {a ∈ ℓp : a = (a1, . . . , an, 0, 0, . . .) : a1, . . . , an ∈ Q}

e façamos

A =∞⋃

n=1

An

O conjunto A é numerável.Vejamos que A é denso em ℓp. Para isso basta mostrar que para cada x ∈ ℓpe para cada ε > 0, existe y ∈ A tal que

dp(x, y) < ε.



Exemplos 2.2.84) (continuação) Assim, sejam x = (x1, x2, . . . , xn, . . .) uma sucessão

pertencente a ℓp e ε um número positivo qualquer. Como∞∑

i=1

|xi|p <∞,

podemos escolher k ∈ N tal que

∞∑

i=k+1

|xi|p <εp

2.

Escolha-se agora ai ∈ Q tal que |xi − ai|p <εp

2kpara i = 1, . . . , k. Então

fazendoy = (a1, a2, . . . , ak, 0, 0, . . .)

temos

dp(x, y) =

[k∑

i=1

|xi − ai|p +

∞∑

i=k+1

|xi|p]1/p

<

[εp

2+εp

2

]1/p

= ε.









§2.3 Funções contínuas em espaços métricos

Sejam (X, d) e (Y, d′) espaços métricos e f : X → Y uma aplicação. Diz-se quef é contínua no ponto a ∈ X se para cada ε > 0, existe δ > 0 tal que

d′(f(x), f(a)) < ε para qualquer x ∈ X tal que d(x, a) < δ.

Simbolicamente, f é contínua em a ∈ X se e só se

∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀x ∈ X (d(x, a) < δ ⇒ d′(f(x), f(a)) < ε) .

Uma maneira equivalente de dizer que f é contínua em a ∈ X é dizer que paracada ε > 0, existe δ > 0 tal que

f(BXδ (a)

)⊆ BYε (f(a)).

A figura que se segue ilustra este conceito.



XY

f(X)f

af(a)f(a)ε

aδx

f(x)

Função contínua num ponto



A função f diz-se contínua em X se for contínua em qualquer a ∈ X .

Teorema 2.3.1

Sejam (X, d) e (Y, d′) espaços métricos e f : X → Y . As seguintes afirmaçõessão equivalentes:

a) f é contínua;

b) para qualquer subconjunto A de Y aberto,

f−1 (A) = {x ∈ X : f(x) ∈ A}

é um subconjunto aberto de X .


Demonstração do teorema 2.3.1.a)⇒ b)

X Y

f(X)f

A

f−1(A)

a f(a)f(a)εaδy f(y)



Demonstração do teorema 2.3.1.a)⇒ b) Suponhamos que f é uma função contínua e seja A um subconjuntoaberto de Y . Vejamos que f−1(A) também é aberto. Sem perda de generalidadepodemos supor que f−1(A) 6= ∅. Dado a ∈ f−1(A), tem-se f(a) ∈ A e, como Aé aberto, existe uma bola aberta Bε(f(a)) centrada em f(a) e tal que

Bε(f(a)) ⊆ A.Atendendo a que f é contínua, existe δ > 0 tal que

d(x, a) < δ implica d′(f(x), f(a)) < ε

para cada x ∈ X . Assim, dado y ∈ Bδ(a), como d(y, a) < δ, temosd′(f(y), f(a)) < ε, ou seja,

f(y) ∈ Bε(f(a)) ⊆ A,pelo que y ∈ f−1(A). Logo

Bδ(a) ⊆ f−1(A),

o que mostra que f−1(A) é aberto.




b)⇒ a) Suponhamos que a imagem inversa, f−1(A), de qualquer subconjuntoaberto A de (Y, d′) é um aberto de (X, d). Para cada a ∈ X e para cada ε > 0,consideremos o conjunto

A = {y ∈ Y : d′(y, f(a)) < ε} = Bd′

ε (f(a)).

O conjunto A é um aberto de Y pois é uma bola aberta. Por hipótese, f−1(A) éum aberto de X . Como f(a) ∈ A, tem-se a ∈ f−1(A) e, portanto, existe δ > 0tal que

Bdδ (a) ⊆ f−1(A)

e, por conseguinte,f(Bdδ (a)

)⊆ A = Bd

′

ε (f(a)).

Isto mostra que para cada a ∈ X e para cada ε > 0, existe δ > 0 tal que

d′(f(x), f(a)) < ε para qualquer x ∈ X tal que d(x, a) < δ.

Logo f é uma função contínua.


Demonstração do teorema 2.3.1.a)⇒ b)

X Y

f(X)f

a f(a)f(a)ε

f−1(Bδ(f(a)))

aδy f(y)









§2.4 Sucessões em espaços métricos

Seja (X, d) um espaço métrico. Uma sucessão de elementos de X é uma função

x : N→ X,

de domínio N, o conjunto dos números naturais, e com valores em X . Paradesignarmos o valor da função em n costuma usar-se a notação xn em vez dex(n). Aos valores

x1, x2, . . . , xn, . . .

chamamos termos da sucessão e ao valor xn chamamos termo de ordem n oun-ésimo termo da sucessão.Escreveremos

(x1, x2, . . . , xn, . . .),

ou (xn)n∈N, ou simplesmente (xn) para indicar a sucessão x. O conjunto

x(N) = {xn : n ∈ N}

designa-se por conjunto dos termos da sucessão (xn)n∈N.



Dados uma sucessão (xn)n∈N de elementos de um espaço métrico (X, d) ea ∈ X , dizemos que (xn) converge ou tende para a se para qualquer ε > 0,existe N ∈ N tal que

d(xn, a) < ε para todo o número natural n > N ,

o que é equivalente a para cada ε > 0, existe N ∈ N tal que

xn ∈ Bε(a) para todo o número natural n > N .

A figura que se segue ilustra este conceito.

aax1

x2

x3

x4 x5x6

x7

Sucessão convergente



Qualquer uma das notações

limn→∞

xn = a, limn→∞xn = a, limnxn = a, lim xn = a, xn → a

é usada para exprimir o facto de que a sucessão (xn) converge para a.

É de realçar que uma sucessão (xn) de elementos de um espaço métrico (X, d)converge para a ∈ X se e só se

d(xn, a)

converge para zero.



Uma sucessão (xn)n∈N diz-se convergente se existe um elemento a ∈ X tal que

xn → a.

Nestas condições, a diz-se o limite da sucessão. As sucessões que não sãoconvergentes dizem-se divergentes.



Exemplo 2.4.1Seja C[a, b] o espaços das funções contínuas x : [a, b]→ R munido com a métricadada por

d∞(x, y) = supt∈[a,b]

|x(t)− y(t)| .

Uma sucessão (xn)n∈N de elementos de C[a, b] converge para x ∈ C[a, b] se paracada ε > 0, existe N ∈ N tal que

d∞(xn, x) < ε para cada número natural n > N ,

ou seja, se para cada ε > 0, existe N ∈ N tal que

supt∈[a,b]

|xn(t)− x(t)| < ε para cada número natural n > N ,

o que por sua vez é equivalente a para cada ε > 0, existe N ∈ N tal que

|xn(t)− x(t)| < ε para cada t ∈ [a, b] e para cada número natural n > N .

Assim, no espaço (C[a, b], d∞) a convergência de uma sucessão é tão somente aconvergência uniforme de sucessões de funções!



Uma sucessão (xn)n∈N diz-se limitada se o conjunto

x(N) = {xn ∈ R : n ∈ N}

é um conjunto limitado, isto é, se existir um número real M tal que

d(xn, xm) ≤M para todo o n,m ∈ N,

ou, equivalentemente, se existir uma bola Br[a] tal que

xn ∈ Br[a] para todo o n ∈ N.



Se (xn) é uma sucessão e (nk) é uma sucessão de números naturais estritamentecrescente, isto é,

n1 < n2 < . . . < nk < nk+1 < . . . ,

a sucessão(xnk ) = (xn1

, xn2, . . . , xnk , . . .)

diz-se uma subsucessão de (xn).



Teorema 2.4.2

Sejam (xn) e (yn) duas sucessões num espaço métrico (X, d) e a, b ∈ X .

a) Se xn → a e xn → b, então a = b.

b) As sucessões convergentes são limitadas.

c) A sucessão (xn) converge para a se e só se para cada ε > 0, a bola Bε(a)contém todos os termos da sucessão excepto um número finito.

d) Se xn → a e yn → b, então d(xn, yn)→ d(a, b) em R.

e) Se xn → a e existem y ∈ X , N ∈ N e λ > 0 tal que d(xn, y) ≤ λ paraqualquer n > N , então d(a, y) ≤ λ.



Demonstração do teorema 2.4.2.a) Tendo em conta que

d(a, b) ≤ d(a, xn) + d(xn, b)

e observando qued(a, xn) e d(xn, b)

convergem para zero, temosd(a, b) = 0

o que implica a = b.




b) Seja (xn) uma sucessão convergente para a ∈ X . Então, para ε = 1, existe umnúmero natural N tal que xn ∈ B1(a) para todo o número natural n > N .Consideremos o conjunto finito

F = {d(x1, a), d(x2, a), . . . , d(xN , a), 1}

e seja M o máximo de F . Então

xn ∈ BM [a] para cada n ∈ N,

o que mostra que (xn) é uma sucessão limitada.




c) É consequência imediata da definição.




d) Usando a segunda desigualdade triangular tem-se

|d(xn, yn)− d(a, b)| ≤ |d(xn, yn)− d(a, yn)|+ |d(a, yn)− d(a, b)|≤ d(xn, a) + d(yn, b)

e, comod(xn, a) e d(yn, b)

convergem para zero, vemd(xn, yn)→ d(a, b).




e) Basta combinar a desigualdade triangular

d(a, y) ≤ d(a, xn) + d(xn, y)

com as hipóteses de d(a, xn) convergir para zero e de

d(xn, y) ≤ λ para qualquer número natural n > N .



Teorema 2.4.3

Sejam (X, d) um espaço métrico e A ⊆ X . As seguintes afirmações sãoequivalentes:

a) a ∈ A;

b) existe uma sucessão (xn) de elementos de A tal que xn → a;c) d(a,A) = 0.



Demonstração do teorema 2.4.3.

a)⇒ b) Suponhamos que a ∈ A. Então para cada ε > 0

Bε(a) ∩A 6= ∅.

Em particular, fazendo ε = 1/n, n ∈ N, existe xn ∈ A tal que xn ∈ B1/n(a), ouseja, existe xn ∈ A tal que d(xn, a) < 1/n. Assim, d(xn, a) converge para zero e,portanto, xn → a.




b)⇒ c) Suponhamos que existe uma sucessão (xn) de elementos de A tal quexn → a. Então

0 ≤ d(a,A) = inf {d(a, x) : x ∈ A} ≤ d(a, xn)

e, como d(a, xn) converge para zero, temos

d(a,A) = 0.




c)⇒ a) Suponhamos que d(a,A) = 0. Então, atendendo a que

d(a,A) = inf {d(a, x) : x ∈ A}

para cada ε > 0, existe x ∈ A tal que d(a, x) < ε. Assim,

Bε(a) ∩A 6= ∅

para cada ε > 0 e, por conseguinte,

a ∈ A.



Corolário 2.4.4

Sejam (X, d) um espaço métrico e A um subconjunto de X . Então A é fechadose e só se o limite de todas as sucessões convergentes de elementos de A pertencea A.



Teorema 2.4.5

Sejam (X, d) e (Y, d′) espaços métricos, f : X → Y uma aplicação e a ∈ X . Asseguintes afirmações são equivalentes:

a) f é contínua em a;b) para qualquer sucessão (xn)n∈N de elementos de X convergente para a, a

sucessão f (xn) converge para f(a).



Demonstração do teorema 2.4.5.Suponhamos que f é contínua em a e seja (xn) uma sucessão de elementos de X tal

que xn → a. Seja ε um número positivo qualquer. Então existe δ > 0 tal que

d′ (f(x), f(a)) < ε para qualquer x ∈ X tal que d (x, a) < δ.

Como xn → a, existe N ∈ N tal que d (xn, a) < δ para qualquer n > N . Assim,

d′ (f(xn), f(a)) < ε para qualquer n > N . Acabámos de provar que para cada ε > 0,

existe N ∈ N tal que

d′ (f(xn), f(a)) < ε para qualquer n > N .

Logo f(xn)→ f(a).Suponhamos agora que f não é contínua em a. Então existe ε > 0 tal que para cada

δ > 0, existe x ∈ X tal que d (x, a) < δ e d′ (f(x), f(a)) ≥ ε. Em particular, para

δ = 1/n, existe xn ∈ X tal que

d (xn, a) < 1/n e d′ (f(xn), f(a)) ≥ ε.

Assim, tem-se uma sucessão (xn) tal que xn → a e a correspondente sucessão (f(xn))não converge para f(a), o que conclui a demonstração.









§2.5 Sucessões de Cauchy e espaços métricos completos

Seja (X, d) um espaço métrico. Uma sucessão (xn) de elementos de um espaçométrico (X, d) diz-se uma sucessão de Cauchy ou uma sucessão fundamentalse para todo o ε > 0, existe N ∈ N tal que

d(xn, xm) < ε para quaisquer números naturais n,m > N .



Teorema 2.5.1

a) As sucessões convergentes são de Cauchy.

b) As sucessões de Cauchy são limitadas.

c) As sucessões de Cauchy que contêm uma subsucessão convergente sãoconvergentes.



Demonstração do Teorema 2.5.1.a) Seja (xn) uma sucessão convergente para a ∈ X . Dado ε > 0, existe N ∈ N

tal que

d(xn, a) <ε

2para todo o natural n > N .

Assim, para quaisquer n,m > N , temos

d(xn, xm) ≤ d(xn, a) + d(a, xm)

= d(xn, a) + d(xm, a)

<ε

2+ε

2= ε.

Acabámos de provar que para todo o ε > 0, existe N ∈ N tal que

d(xn, xm) < ε para todo o n,m > N .

Logo (xn) é uma sucessão de Cauchy.



Demonstração do Teorema 2.5.1 (continuação).

b) Seja (xn) uma sucessão de Cauchy. Para ε = 1, existe N ∈ N tal que

d(xn, xm) < 1 para quaisquer n,m > N .

Em particular,

d(xn, xN+1) < 1 para todo o n > N .

Assim, fazendo

r = max {d(x1, xN+1), . . . , d(xN , xN+1), 1} ,

temos

d(xn, xN+1) ≤ r para todo o n ∈ N.

Logo (xn) é limitada.



Demonstração do Teorema 2.5.1 (continuação).

c) Seja (xn) uma sucessão de Cauchy e seja (xnk) uma subsucessão de (xn)convergente para a. Dado ε > 0, existe N1 ∈ N tal que

d(xnk , a) <ε

2para qualquer nk > N1.

Como (xn) é uma sucessão de Cauchy, existe N2 ∈ N tal que

d(xn, xm) <ε

2para quaisquer números naturais n,m > N2.

Fazendo N = max {N1, N2} e escolhendo nk > N , tem-se

d(xn, a) ≤ d(xn, xnk) + d(xnk , a)

<ε

2+ε

2= ε

para qualquer n > N . Logo xn → a.António Bento (UBI) Análise Funcional 2006/2007 125 / 398


Os espaços métricos em que todas as sucessões de Cauchy são convergentesdesignam-se por espaços métricos completos.



Exemplos 2.5.21) Os espaços R e C com as métricas usuais são completos.



Exemplos 2.5.22) O espaço Q com a métrica do módulo não é completo. De facto, a sucessão

de termo geral

xn = 1 +1

1!+

1

2!+ · · ·+ 1

n!

é uma sucessão de Cauchy em Q, mas não converge para nenhum númeroracional.



Exemplos 2.5.23) O espaço métrico (Rn, d2) é completo. De um modo mais geral, os espaços

(Rn, dp) e (Cn, dp), 1 ≤ p ≤ +∞ são completos.



Exemplos 2.5.24) Os espaços (ℓp, dp), 1 ≤ p ≤ +∞, são completos. Seja (xn)n∈N uma

sucessão de Cauchy em ℓp, 1 ≤ p < +∞, e faça-se

x1 =(

ξ(1)1 , ξ

(1)2 , . . . , ξ

(1)n , . . .

)

x2 =(

ξ(2)1 , ξ

(2)2 , . . . , ξ

(2)n , . . .

)

...

xn =(

ξ(n)1 , ξ

(n)2 , . . . , ξ

(n)n , . . .

)

...



Exemplos 2.5.24) (continuação) Para cada ε > 0, existe N ∈ N tal que

dp(xn, xm) =

(+∞∑

k=1

∣∣∣ξ

(n)k − ξ

(m)k

∣∣∣

p)1/p

< ε

para quaisquer números naturais n,m > N . Isto implica que∣∣∣ξ

(n)k − ξ

(m)k

∣∣∣ < ε

para quaisquer números naturais n,m > N e para cada k ∈ N. Assim, para

cada k ∈ N,(

ξ(n)k

)

n∈Né uma sucessão de Cauchy (de números reais ou

complexos). Como R e C, com as métricas usuais, são espaços completos, a

sucessão(

ξ(n)k

)

n∈Né convergente para cada k ∈ N.



Exemplos 2.5.2

4) (continuação) Seja ak o limite da sucessão(

ξ(n)k

)

n∈Ne façamos

a = (a1, a2, . . . , ak, . . .) . Como para quaisquer números naturais n,m > N epara qualquer r ∈ N se tem

r∑

k=1

∣∣∣ξ

(n)k − ξ

(m)k

∣∣∣

p

< εp,

fazendo m→∞ obtém-ser∑

k=1

∣∣∣ξ

(n)k − ak

∣∣∣

p

≤ εp

Fazendo agora r →∞ obtemos+∞∑

k=1

∣∣∣ξ

(n)k − ak

∣∣∣

p

≤ εp,

o que mostra que xn − a ∈ ℓp.António Bento (UBI) Análise Funcional 2006/2007 132 / 398


Exemplos 2.5.24) (continuação) Como xn ∈ ℓp e a = (a− xn) + xn, temos a ∈ ℓp. Por outro

lado, atendendo a que provámos que

+∞∑

k=1

∣∣∣ξ

(n)k − ak

∣∣∣

p

≤ εp,

temos que dado ε > 0, existe N ∈ N tal que

dp(xn, a) ≤ ε

para qualquer número natural n > N , ou seja, xn → a. Logo (ℓp, dp),1 ≤ p <∞ é um espaço métrico completo.De forma análoga prova-se que (ℓ∞, d∞) é um espaço métrico completo.



Exemplos 2.5.25) O espaço (C[a, b], d∞) é um espaço métrico completo. Seja (xn) uma

sucessão de Cauchy em (C[a, b], d∞). Então para cada ε > 0, existe N ∈ N

tal qued∞(xn, xm) = sup

t∈[a,b]

|xn(t)− xm(t)| < ε

para quaisquer números naturais n,m > N . Assim, para cada t ∈ [a, b],tem-se

|xn(t)− xm(t)| < εpara quaisquer números naturais n,m > N e, por conseguinte, (xn(t))n∈N é,para cada t ∈ [a, b], uma sucessão de Cauchy em K. Como K é completo,para cada t ∈ [a, b], a sucessão (xn(t))n∈N é uma sucessão de números (reaisou complexos) convergente. Para cada t ∈ [a, b], defina-se a funçãox : [a, b]→ K por

x(t) = limn→+∞

xn(t).



Exemplos 2.5.25) (continuação) Deste modo, a sucessão de funções xn converge pontualmentex. Fazendo m→ +∞ em

|xn(t)− xm(t)| < ε

temos|xn(t)− x(t)| ≤ ε

para cada número natural n > N e para cada t ∈ [a, b], o que mostra que(xn)n∈N converge uniformemente para x em [a, b]. Como (xn)n∈N é umasucessão de funções contínuas, x também é uma função contínua e, portanto,

xn → x

em (C[a, b], d∞). Logo este espaço é completo.



Exemplos 2.5.26) Consideremos o espaço C[−1, 1] das funções contínuas x : [−1, 1]→ R

munido com a métrica d1 definida por

d1(x, y) =

∫ 1

−1

|x(t) − y(t)| dt.

Vejamos que este espaço métrico não é completo. Para isso consideremos asucessão (de funções) xn : [−1, 1]→ R definidas por

xn(t) =

0 se −1 ≤ t ≤ 0;

nt se 0 ≤ t ≤ 1/n;

1 se 1/n ≤ t ≤ 1.

Vejamos o gráfico destas funções.




1

1−1

x

y

x1x2x3x4



Exemplos 2.5.26) (continuação) Então, para n > m, temos

d1(xn, xm) =

∫ 1

−1

|xn(t) − xm(t)| dt

=

∫ 0

−1

|0− 0| dt+

∫ 1/n

0

|nt−mt| dt+

∫ 1/m

1/n

|1−mt| dt+

∫ 1

1/m

|1− 1| dt

= (n−m)

∫ 1/n

0

t dt+

∫ 1/m

1/n

1−mt dt

= (n−m)

[t2

2

]1/n

0

+

[

t−mt2

2

]1/m

1/n

= (n−m)

(1

2n2− 0

)

+1

m−m

2m2−

(1

n−m

2n2

)

=1

2n−m

2n2+

1

m−

1

2m−

1

n+m

2n2

=1

2m−

1

2n<

1

2m.



Exemplos 2.5.2

6) (continuação) Assim, dado ε > 0, escolhendo N >1

2ε, temos, para

n > m > N ,

d1(xn, xm) <1

2m<

1

2N< ε

e, portanto, (xn)n∈N é uma sucessão de Cauchy em (C[−1, 1], d1).



Exemplos 2.5.26) (continuação) Suponhamos que (xn)n∈N é convergente, ou seja, existex ∈ C[−1, 1] tal que xn → x. Então d1(xn, x)→ 0 quando n→ +∞, ouseja,

∫ 1

−1

|xn(t)− x(t)| dt→ 0 quando n→ +∞.

Assim,∫ 0

−1

|xn(t)− x(t)| dt→ 0 quando n→ +∞,

mas xn(t) = 0 para cada t ∈ [−1, 0] e, portanto,

∫ 0

−1

|x(t)| dt→ 0 quando n→ +∞.



Exemplos 2.5.26) (continuação) Só que

∫ 0

−1

|x(t)| dt

não depende de n e, consequentemente,

∫ 0

−1

|x(t)| dt = 0.

Como x é uma função contínua, temos de ter x(t) = 0 para cada t ∈ [−1, 0].



Exemplos 2.5.26) (continuação) Por outro lado, dado a ∈]0, 1], temos

∫ 1

a

|xn(t)− x(t)| dt→ 0 quando n→ +∞.

Escolhendo n suficientemente grande de modo que 1/n < a, tem-se

∫ 1

a

|1− x(t)| dt→ 0 quando n→ +∞

e, portanto,∫ 1

a

|1− x(t)| dt = 0,

pelo que x(t) = 1 para cada t ∈ [a, 1].



Exemplos 2.5.26) (continuação) Como a é um valor qualquer de ]0, 1[, tem-se

x(t) =

0 se t ∈ [−1, 0],

1 se t ∈]0, 1].

o que é absurdo pois x não é uma função contínua. Logo (xn)n∈N não éuma sucessão convergente e, por conseguinte, (C[−1, 1], d1) não é umespaço métrico completo.



Exemplos 2.5.27) O espaço (C[a, b], dp), 1 ≤ p < +∞, onde

dp(x, y) =

(∫ b

a

|x(t)− y(t)|p dt)1/p

,

não é um espaço métrico completo.



Teorema 2.5.3Sejam (X, d) um espaço métrico completo e M um subconjunto de X . Então(M,d) é completo se e só se M é um subconjunto fechado de X .

Demonstração.Suponhamos que (M,d) é completo. Seja (xn) uma sucessão de M convergentepara a ∈ X . A sucessão (xn) é uma sucessão de Cauchy em (X, d) e,consequentemente, também é uma sucessão de Cauchy em (M,d). Como (M,d)é completo, a sucessão (xn) converge para um elemento de M . Atendendo àunicidade do limite temos de ter a ∈M . Logo M é fechado.

Suponhamos agora que M é um subconjunto fechado de X e seja (xn) umasucessão de Cauchy de elementos de M . Então (xn) também é uma sucessão deCauchy em (X, d) e, como (X, d) é completo, (xn) converge para algum a ∈ X .Tendo em conta que M é um subconjunto fechado de X , tem-se a ∈M e,consequentemente, (xn) converge em (M,d). Logo (M,d) é completo.



Observação 2.5.4Já vimos, usando a definição, que Q com a métrica usual não é completo.Podemos concluir o mesmo usando o teorema anterior pois Q não é umsubconjunto fechado de R. Do mesmo modo, o intervalo ]0, 1[ não é completo.









§2.6 Completamento de um espaço métrico

Sejam (X, d) e (Y, d′) espaços métricos. Uma aplicação f : X → Y diz-se umaimersão isométrica se

d′(f(x), f(y)) = d(x, y) para quaisquer x, y ∈ X .

As imersões isométricas sobrejectivas designam-se por isometrias. O espaço Xdiz-se isométrico ao espaço Y se existir uma isometria de X para Y .



Teorema 2.6.1Seja (X, d) um espaço métrico. Então existem um espaço métrico completo(X, d

)e uma imersão isométrica

f : X → X

tal que f(X) é denso em X. Além disso, a menos de uma isometria, o espaço(X, d

)é único.

Ao espaço(X, d

)do teorema anterior chamamos completamento do espaço

(X, d).



Exemplos 2.6.2

1) O completamento de Q com a métrica usual é R com a métrica usual.

2) O completamento de ]0, 1[ com a métrica usual é [0, 1] com a métrica usual.

3) O completamento de (C[a, b], dp), 1 ≤ p <∞, denota-se por Lp[a, b]. Oespaço Lp pode ser identificado com conjunto das funções

x : [a, b]→ R

mensuráveis à Lebesgue e tais que |x|p é integrável à Lebesgue, sendonecessário identificar como sendo a mesma função funções iguais quase portoda a parte. A métrica em Lp[a, b] é dada por

dp(x, y) =

[∫

[a,b]

|x(t) − y(t)|p dt]1/p

,

onde o integral considerado é o de Lebesgue.


§3.1 Propriedades elementares dos espaços normados

Seja E um espaço vectorial sobre K. Uma norma em E é uma aplicação que acada vector x ∈ E faz corresponder um número real ‖x‖ com as seguintespropriedades:

i) ‖x‖ = 0 se e só se x = 0 ;

ii) ‖λx‖ = |λ| ‖x‖ para cada x ∈ E e para cada λ ∈ K;

iii) ‖x+ y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖ para cada x, y ∈ E.

Chama-se espaço normado a um par (E, ‖ · ‖) onde E é um espaço vectorial e‖ · ‖ é uma norma em E.



Num espaço normado pode-se definir uma métrica associada à norma da seguinteforma:

d(x, y) = ‖x− y‖.Assim, tudo o que foi estudado no capítulo anterior aplica-se aos espaçosnormados. A título de exemplo, tem-se ‖x‖ ≥ 0 para cada x ∈ E, pois

‖x‖ = ‖x− 0‖ = d(x, 0) ≥ 0.

Aos espaços normados completos chamamos espaços de Banach.



Exemplos 3.1.11) Em Rn ou em Cn podemos definir as seguintes normas

‖x‖p =

(n∑

i=1

|xi|p)1/p

se 1 ≤ p <∞,

sup1≤i≤n

|xi| se p =∞.

Com estas normas Rn e Cn são espaços de Banach.

Para estes espaços usa-se a seguinte notação ℓnp =(

Rn, ‖·‖p)

e

ℓnp =(

Cn, ‖·‖p)

.



Exemplos 3.1.12) No espaço ℓp, 1 ≤ p ≤ ∞, podemos definir a seguinte norma

‖x‖p =

[ ∞∑

i=1

|xi|p]1/p

se 1 ≤ p <∞;

supi∈N|xi| se p =∞.

.

Com esta norma ℓp é um espaço de Banach.



Exemplos 3.1.13) Sejam a e b números reais tais que a < b e seja C[a, b] o conjunto das

funções contínuasx : [a, b]→ K.

Neste espaço podemos definir a seguinte norma

‖x‖∞ = supt∈[a,b]

|x(t)| .

O par (C[a, b], ‖·‖∞) é um espaço de Banach.



Exemplos 3.1.14) No espaço C[a, b] podemos também definir, para cada p ∈ [1,+∞[, as

seguintes normas

‖x‖p =

[∫ b

a

|x(t)|p dt]1/p

.

Os espaços normados(

C[a, b], ‖·‖p)

, 1 ≤ p <∞, não são completos, ou

seja, não são espaços de Banach.



Exemplos 3.1.1

5) Vimos no capítulo anterior que se (X, d) é um espaço métrico que não é completo,

existe um espaço métrico completo(X, d

)e uma imersão isométrica f : X → X

tal que f(X) é denso em X. Além disso, e a menos de isometrias, o espaço(X, d

)

é único. Pode-se provar que se métrica d deriva de uma norma, então o mesmo

acontece à métrica d, ou seja, o completamento de um espaço normado é um

espaço de Banach.

O completamento de(C[a, b], ‖·‖p

), 1 ≤ p <∞, é um espaço de Banach que pode

ser identificado com as funções x : [a, b]→ K mensuráveis à Lebesgue e tais que

|x|p é integrável à Lebesgue munido com a norma dada por

‖x‖p =

(∫

[a,b]

|x(t)|p dt

)1/p

onde o integral considerado é o de Lebesgue e duas funções iguais quase por toda a

parte são identificadas como sendo a mesma função. Este espaço denota-se por

Lp[a, b].



Teorema 3.1.2

Num espaço normado E, o fecho de uma bola aberta Br(a) é a bola fechadaBr[a].



Demonstração do teorema 3.1.2.Atendendo a que, em qualquer espaço métrico, Br(a) ⊆ Br[a] e que Br[a] é umconjunto fechado, tem-se de Br(a) ⊆ Br[a].

Seja x ∈ Br[a] e façamos

xn = x− 1

n(x− a) .

Então temos

‖xn − x‖ =

∥∥∥∥− 1

n(x− a)

∥∥∥∥

=1

n‖x− a‖ ≤ r

n

o que mostra que (xn)n∈N converge para x. Por outro lado

‖xn − a‖ =

∥∥∥∥

(

1− 1

n

)

(x− a)∥∥∥∥

=n− 1

n‖x− a‖ ≤ n− 1

nr < r,

isto é, xn ∈ Br(a) para cada n ∈ N. Assim, x ∈ Br(a) e, consequentemente,Br[a] ⊆ Br(a).



Teorema 3.1.3Sejam (E, ‖ · ‖) um espaço de Banach e M um subespaço vectorial de E. Então(M, ‖ · ‖) é um espaço de Banach se e só se M é fechado (em E).



Exemplo 3.1.4Seja M o subconjunto de ℓ1 definido por

M = {(ξ1, . . . , ξn, 0, 0, . . . , 0, . . .) ∈ ℓ1 : n ∈ N} .É óbvio que M é um subespaço vectorial de ℓ1. Faça-se

x1 =

(1

2, 0, . . . , 0, . . .

)

x2 =

(1

2,

1

4, 0, . . . , 0, . . .

)

...

xn =

(1

2,

1

4, . . . ,

1

2n, 0, . . . , 0, . . .

)

...

e x =

(1

2,

1

4, . . . ,

1

2n,

1

2n+1, . . .

)



Exemplo 3.1.4 (continuação)Assim, tem-se

‖xn − x‖ℓ1 =

n∑

k=1

∣∣∣∣

1

2k− 1

2k

∣∣∣∣+

∞∑

k=n+1

∣∣∣∣0− 1

2k

∣∣∣∣

=∞∑

k=n+1

1

2k

=

1

2n+1

1− 1

2

=1

2n

que converge para zero quando n tende para infinito e, portanto, (xn)n∈Nconverge para x em ℓ1. Como xn ∈M para cada n ∈ N e x 6∈M , M não éfechado. Logo (M, ‖·‖1) não é um espaço de Banach.



Teorema 3.1.5

Sejam (E, ‖ · ‖) um espaço de Banach e M um subespaço vectorial de E. EntãoM é um subespaço vectorial fechado de E.



Demonstração do teorema 3.1.5.

Como M é fechado, basta mostrar que M é um subespaço vectorial de E. Paraisso basta provar que se x, y ∈M e para quaisquer λ, µ ∈ K, então λx+ µy ∈M.Sem perda de generalidade podemos supor que |λ|+ |µ| 6= 0. Dado ε > 0, comox, y ∈M , existem x′, y′ ∈M tais que

‖x− x′‖ < ε

|λ|+ |µ| e ‖y − y′‖ < ε

|λ|+ |µ| .

Então λx′ + µy′ ∈M e

‖λx+ µy − (λx′ + µy′)‖ ≤ |λ| ‖x− x′‖+ |µ| ‖y − y′‖≤ |λ| ε

|λ|+ |µ| + |µ|ε

|λ|+ |µ|= ε.

Logo λx + µy ∈M .



Teorema 3.1.6

Sejam (E, ‖ · ‖) um espaço de Banach e M um subespaço vectorial de E. Se M éum subconjunto aberto de E, então M = E.



Demonstração do teorema 3.1.6.Temos de mostrar que se x ∈ E, então x ∈M . Como 0 ∈M , podemos supor,sem perda de generalidade, que x 6= 0. Porque M é aberto e 0 ∈M , existe ε > 0tal que

Bε(0) ⊆M.Fazendo

z =ε

2 ‖x‖x,

temos‖z‖ =

ε

2< ε

e, portanto, z ∈M . Mas M é um subespaço vectorial de E e, consequentemente,

x =2 ‖x‖εz ∈M.



Seja (xn)n∈N uma sucessão de elementos de um espaço normado (E, ‖ · ‖). Paracada número natural n, seja

sn = x1 + · · ·+ xn.A sucessão (sn)n∈N designa-se por sucessão das somas parciais de (xn)n∈N. Sea sucessão (sn) for convergente para s ∈ E, dizemos que a série

x1 + · · ·+ xn + · · · =+∞∑

n=1

xn

é convergente e escrevemos

s =

+∞∑

n=1

xn.

Diz-se que a série+∞∑

n=1

xn é divergente se a sucessão (sn) for divergente. Uma

série+∞∑

n=1

xn diz-se absolutamente convergente se a série numérica+∞∑

n=1

‖xn‖ for

convergente.António Bento (UBI) Análise Funcional 2006/2007 169 / 398


Teorema 3.1.7

Seja (E, ‖ · ‖) um espaço normado. Então E é um espaço de Banach se e só setoda a série absolutamente convergente for convergente.



Demonstração do teorema 3.1.7Suponhamos que E é um espaço de Banach e seja (xn)n∈N uma sucessão deelementos de E tal que a série

+∞∑

n=1

xn

seja absolutamente convergente, ou seja, a série numérica

+∞∑

n=1

‖xn‖

é convergente. Seja ε um número positivo qualquer. Então existe N ∈ N tal que∣∣∣∣‖xm+1‖+ · · ·+ ‖xn‖

∣∣∣∣< ε

para quaisquer números naturais n > m > N .



Demonstração do teorema 3.1.7 (continuação)Assim, fazendo

sn = x1 + · · ·+ xntem-se

‖sn − sm‖ = ‖xm+1 + · · ·+ xn‖ ≤ ‖xm+1‖+ · · ·+ ‖xn‖ < ε

para quaisquer números naturais n > m > N , o que mostra que (sn) é umasucessão de Cauchy em E. Como, por hipótese, E é um espaço de Banach, (sn) é

convergente e, por conseguinte,+∞∑

n=1

xn é convergente.



Demonstração do teorema 3.1.7 (continuação)Suponhamos agora que, em E, as séries absolutamente convergentes sãoconvergentes e seja (xn) uma sucessão de Cauchy em E. Então existem númerosnaturais

n1 < n2 < . . . < nk < . . .

tais que∥∥xnk+1

− xnk∥∥ <

1

2k

para cada k ∈ N. Fazendo y1 = xn1e, para cada número natural k > 1,

yk = xnk − xnk−1temos

+∞∑

k=1

‖yk‖ = ‖xn1‖+

+∞∑

k=2

∥∥xnk − xnk−1

∥∥ ≤ ‖xn1

‖++∞∑

k=2

1

2k−1= ‖xn1

‖+ 1,

ou seja, a série+∞∑

k=1

yk é absolutamente convergente.




Por hipótese,+∞∑

k=1

yk converge para algum x ∈ E. Mas

y1 + · · ·+ yk = xnk

pelo que (xnk) converge para x e, portanto, a sucessão de Cauchy (xn) tem umasubsucessão convergente. Como as sucessões de Cauchy que têm umasubsucessão convergente são convergentes, a sucessão (xn) é convergente. LogoE é um espaço de Banach.









§3.2 Operadores lineares contínuos

Sejam E e F espaços normados (sobre o mesmo corpo K). Um operador linearde E em F é uma aplicação T : E → F tal que

T (λx+ µy) = λT (x) + µT (y)

para cada x, y ∈ E e para cada λ, µ ∈ K. É fácil mostrar que T (0) = 0.

O conjunto dos operadores lineares de E em F representa-se por L(E,F ) e é umespaço vectorial sobre K com as operações

(T1 + T2) (x) = T1(x) + T2(x)

e(λT ) (x) = λT (x)

onde T, T1, T2 ∈ L(E,F ) e λ ∈ K.

Habitualmente, usa-se a notação Tx em vez de T (x).



Dado T ∈ L(E,F ), o conjunto

N (T ) = {x ∈ E : Tx = 0}

designa-se por núcleo de T e

R (T ) = {Tx : x ∈ E}

designa-se por contradomínio de T ou imagem de T .

É fácil provar que N (T ) é um subespaço vectorial de E e R (T ) é um subespaçovectorial de F .



Exemplos 3.2.11) Seja E um espaço vectorial qualquer. A aplicação

I : E → E

definida porIx = x

é um operador linear.



Exemplos 3.2.12) Seja E e F espaços vectoriais sobre o mesmo corpo. Então

T : E → F

definido porTx = 0




Exemplos 3.2.13) No espaço ℓp, as aplicações

T1, T2 : ℓp → ℓp

definidas por

T1 (x1, x2, . . . , xn, . . .) = (λ1x1, λ2x2, . . . , λnxn, . . .) ,

onde (λn) uma sucessão limitada de escalares, e

T2 (x1, x2, . . . , xn, . . .) = (0, x1, x2, . . . , xn, . . .)

são operadores lineares.



Exemplos 3.2.1

4) Sejam C[a, b] o espaço das funções contínuas de [a, b] em R e C1[a, b] oespaço das funções de [a, b] em R com derivada contínua. A aplicação

T : C1[a, b]→ C[a, b]

definida por(Tx) (t) = x′(t)




Exemplos 3.2.15) No espaço C[a, b], definindo

T : C[a, b]→ C[a, b]

por

(Tx) (t) =

∫ t

a

x(s)ds

obtemos um operador linear.



Sejam E e F espaços normados. Um operador T : E → F diz-se limitado seexistir um número real M tal que

‖Tx‖F ≤M ‖x‖E

para todo x ∈ E.



Teorema 3.2.2

Sejam E e F espaços normados e T ∈ L(E,F ). As afirmações seguintes sãoequivalente:

a) T é contínuo;

b) T é contínuo em 0;

c) T é limitado.

Demonstração do teorema 3.2.2

a)⇒ b) É óbvio que a)⇒ b).



Demonstração do teorema 3.2.2 (continuação)

b)⇒ c) Suponhamos que T é contínuo em 0. Então, como T 0 = 0, existe δ > 0tal que

‖Tx− T 0‖F < 1 quando ‖x− 0‖E < δ.

Dado x ∈ E \ {0}, fazendo y =δ

2 ‖x‖Ex, tem-se ‖y‖E =

δ

2< δ e, portanto,

‖Ty‖F < 1. Mas‖Ty‖F < 1

é equivalente a

‖Tx‖F <2

δ‖x‖E .

Logo T é limitado com M =2

δo que prova que b)⇒ c).




c)⇒ a) Suponhamos agora que T é limitado, isto é, existe M > 0 tal que

‖Tx‖F ≤M ‖x‖E para qualquer x ∈ E

e seja ε um número positivo qualquer. Então, como para cada x, a ∈ E temos

‖Tx− Ta‖F = ‖T (x− a)‖F ≤M ‖x− a‖E ,

escolhendo δ =ε

Mtemos

‖Tx− Ta‖F < ε sempre que ‖x− a‖E < δ.

Logo T é contínuo em a. Como a é um elemento qualquer de E, T é contínuo oque prova que c)⇒ a).



Denotemos por

L (E,F ) = {T ∈ L(E,F ) : T é limitado} .

Para cada T ∈ L (E,F ) definamos

‖T ‖E,F = inf {M > 0 : ‖Tx‖F ≤M ‖x‖E para cada x ∈ E} .



Teorema 3.2.3

Sejam E e F espaços normados e T ∈ L (E,F ). Então

‖T ‖E,F = sup {‖Tx‖F : x ∈ E, ‖x‖E ≤ 1}= sup {‖Tx‖F : x ∈ E, ‖x‖E = 1}

= sup

{‖Tx‖F‖x‖E

: x ∈ E \ {0}}



Demonstração do teorema 3.2.3Sejam

A = sup {‖Tx‖F : x ∈ E, ‖x‖E ≤ 1} ,

B = sup {‖Tx‖F : x ∈ E, ‖x‖E = 1}e

C = sup

{‖Tx‖F‖x‖E

: x ∈ E \ {0}}

.

Obviamente B ≤ A.




Por outro lado, dado x ∈ E \ {0}, fazendo

y =1

‖x‖x,

tem-se ‖y‖ = 1 e, portanto‖Ty‖ ≤ B.

Assim‖Tx‖ ≤ B ‖x‖

para cada x ∈ E \ {0}. Logo ‖T ‖ ≤ B.




Além disso, dado ε > 0 qualquer, tem-se, para qualquer x ∈ E tal que ‖x‖ ≤ 1,

‖Tx‖ ≤ (‖T ‖+ ε) ‖x‖ ≤ (‖T ‖+ ε)

e, portanto, A ≤ ‖T ‖+ ε para qualquer ε > 0. Logo A ≤ ‖T ‖.Acabámos de provar as seguinte desigualdades

A ≤ ‖T ‖ , ‖T ‖ ≤ B e B ≤ A.

LogoA = ‖T ‖ = B.




Por outro lado, é evidente que B ≤ C e, como para cada x ∈ E \ {0}

‖Tx‖‖x‖ =

∥∥∥∥T

(1

‖x‖x)∥∥∥∥

e a norma de1

‖x‖x é um, também se tem C ≤ B.



Teorema 3.2.4

Sejam E e F espaços normados. Então(

L (E,F ), ‖·‖E,F)

é um espaço normado.



Demonstração do teorema 3.2.4Atendendo a que

‖T ‖ = 0 ⇔ sup

{‖Tx‖F‖x‖E

: x ∈ E \ {0}}

= 0

⇔ ‖Tx‖F‖x‖E= 0 para cada x ∈ E \ {0}

⇔ ‖Tx‖F = 0 para cada x ∈ E \ {0}⇔ Tx = 0 para cada x ∈ E \ {0}

e T 0 = 0, podemos concluir que ‖T ‖ = 0 se e só se Tx = 0 para cada x ∈ E.

Logo ‖T ‖ = 0 se e só se T = 0.




Para cada T ∈ L (E,F ) e para cada λ ∈ K, temos

‖λT ‖ = sup‖x‖=1

‖(λT )x‖

= sup‖x‖=1

‖λ.Tx‖

= sup‖x‖=1

|λ| . ‖Tx‖

= |λ| . sup‖x‖=1

‖Tx‖

= |λ| . ‖T ‖




Além disso, para cada T1, T2 ∈ L (E,F ) vem

‖(T1 + T2)x‖ = ‖T1x+ T2x‖≤ ‖T1x‖ + ‖T2x‖≤ ‖T1‖ ‖x‖+ ‖T2‖ ‖x‖= (‖T1‖+ ‖T2‖) ‖x‖

para cada x ∈ E e, por conseguinte, ‖T1 + T2‖ ≤ ‖T1‖+ ‖T2‖.

Logo(

L (E,F ), ‖·‖E,F)

é um espaço normado.



Exemplos 3.2.51) Seja E um espaço normado e consideremos novamente o operador

I : E → E

definido porIx = x.

Como‖Ix‖ = ‖x‖

tem-se que I é um operador linear limitado e que

‖I‖ = 1.



Exemplos 3.2.52) Se E e F são dois espaços vectoriais (sobre o mesmo corpo K ) e definirmos

T : E → F

porTx = 0,

então, atendendo a que, para cada x ∈ E, se tem

‖Tx‖F = ‖0‖F = 0,

T é um operador linear limitado e

‖T ‖ = 0.



Exemplos 3.2.53) Seja

T : ℓp → ℓp,1 ≤ p ≤ ∞, o operador definido por

T (x1, x2, . . . , xn, . . .) = (0, x1, x2, . . . , xn, . . .) .

Para 1 ≤ p <∞ e x = (x1, x2, . . . , xn, . . .), tem-se

‖Tx‖ℓp =

(

|0|p +

∞∑

n=2

|xn−1|p)1/p

=

( ∞∑

n=1

|xn|p)1/p

= ‖x‖ℓp

e, portanto, T é um operador limitado e

‖T ‖ℓp,ℓp = 1.

Quando p =∞, também se tem ‖T ‖ℓ∞,ℓ∞ = 1..



Exemplos 3.2.54) Sejam (λn) uma sucessão limitada de escalares e seja T : ℓp → ℓp,

1 ≤ p ≤ ∞, o operador linear definido por

T (x1, x2, . . . , xn, . . .) = (λ1x1, λ2x2, . . . , λnxn, . . .) .

Para cada x = (x1, x2, . . . , xn, . . .) ∈ ℓp, 1 ≤ p <∞, vem

‖Tx‖ℓp =

(+∞∑

n=1

|λnxn|p)1/p

≤(

+∞∑

n=1

supi∈N|λi|p |xn|p

)1/p

= supi∈N|λi|

(+∞∑

n=1

|xn|p)1/p

= supi∈N|λi| ‖x‖ℓp ,

o que mostra que T é limitado e que ‖T ‖ ≤ supi∈N|λi|.



Exemplos 3.2.54) (continuação) Por outro lado, se ei = (0, . . . , 0

︸︷︷︸

i−1 zeros

, 1, 0, 0, . . .), i ∈ N, tem-se

Tei = (0, . . . , 0︸︷︷︸

i−1 zeros

, λi, 0, 0, . . .)

e, como ‖Tei‖ℓp = |λi| e ‖ei‖ℓp = 1 para cada n ∈ N, temos

‖T ‖ℓp,ℓp = sup{

‖Tx‖ℓp : x ∈ ℓp, ‖x‖ℓp = 1}

≥ sup{

‖Tei‖ℓp : i ∈ N}

= supi∈N|λi| .

Logo ‖T ‖ℓp,ℓp = supi∈N|λi|, 1 ≤ p <∞.

Para p =∞ prova-se de forma semelhante que ‖T ‖ℓ∞,ℓ∞ = supi∈N |λi|.



Exemplos 3.2.55) Seja a, b números reis tais que a < b e seja C[a, b] o espaço das funções

contínuasx : [a, b]→ R.

Em C[a, b] considere-se norma dada por


|x(t)| .

Defina-se T : C[a, b]→ C[a, b] por

(Tx) (t) =

∫ t

a

x(s)ds.



Exemplos 3.2.55) (continuação) Então

‖Tx‖∞ = supt∈[a,b]

∣∣∣∣

∫ t

a

x(s)ds

∣∣∣∣

≤ supt∈[a,b]

∫ t

a

|x(s)| ds

=

∫ b

a

|x(s)| ds

≤∫ b

a

supt∈[a,b]

|x(t)| ds

= (b− a) supt∈[a,b]

|x(t)|

= (b− a) ‖x‖∞o que mostra que T é um operador limitado e que ‖T ‖ ≤ b− a.



Exemplos 3.2.55) (continuação) Por outro lado, se x0 : [a, b]→ R é a função definida porx0(t) = 1, como

‖x0‖∞ = supt∈[a,b]

|x0(t)| = 1

e

‖Tx0‖∞ = supt∈[a,b]

∣∣∣∣

∫ t

a

x0(s)ds

∣∣∣∣

= supt∈[a,b]

∣∣∣∣

∫ t

a

ds

∣∣∣∣

= supt∈[a,b]

|t− a| = b− a,

temos

‖T ‖ = sup {‖Tx‖∞ : x ∈ C[a, b], ‖x‖∞ = 1} ≥ ‖Tx0‖ = b− a

e, portanto,‖T ‖ = b− a.



Exemplos 3.2.5

6) Seja C1[a, b] o espaço das funções x : [a, b]→ R com derivada contínua eseja

T : C1[a, b]→ C[a, b]

o operador linear definido por

(Tx) (t) = x′(t).

Nos C1[a, b] e em C[a, b] usaremos a norma dada por


|x(t)| .



Exemplos 3.2.56) (continuação) Considerando a sucessão (xn)n∈N definida por

xn(t) =

(t− ab− a

)n

tem-se‖xn‖ = sup

t∈[a,b]

|x(t)| = 1

e

‖Txn‖ = supt∈[a,b]

|x′n(t)| = supt∈[a,b]

n

b− a

(t− ab− a

)n−1

=n

b− a ,

e, portanto,‖Txn‖‖xn‖

=n

b− a ,

o que mostra que T :(C1[a, b], ‖·‖∞

)→ (C[a, b], ‖·‖∞) não é limitado.



Exemplos 3.2.5

6) (continuação) No entanto, se em C1[a, b] usarmos a norma

‖x‖′ = supt∈[a,b]

|x(t)|+ supt∈[a,b]

|x′(t)|

temos

‖Tx‖∞ = supt∈[a,b]

|x′(t)| ≤ supt∈[a,b]

|x(t)| + supt∈[a,b]

|x′(t)| = ‖x‖′

o que mostra que

T :(C1[a, b], ‖·‖′

)→ (C[a, b], ‖·‖∞)

é limitado e ‖T ‖ ≤ 1.



Exemplos 3.2.56) (continuação) Usando a sucessão (xn) considerada anteriormente temos

‖T ‖ = sup

{‖Tx‖∞‖x‖′

: x ∈ C1[a, b] \ {0}}

≥ ‖Txn‖∞‖xn‖′

=

n

b− a1 +

n

b− a=

n

b− a+ n

e, comon

b− a+ nconverge para 1 quando n tende para infinito, temos

‖T ‖ ≥ 1.

Logo a norma de

T :(C1[a, b], ‖·‖′

)→ (C[a, b], ‖·‖∞)

é um.



Teorema 3.2.6Sejam E, F e G espaços normados, S ∈ L (E,F ) e R ∈ L (F,G). EntãoR ◦ S ∈ L (E,G) e

‖R ◦ S‖ ≤ ‖R‖ ‖S‖ .

Demonstração.Basta observar que para cada x ∈ E se tem

‖(R ◦ S)x‖ = ‖R (Sx)‖ ≤ ‖R‖ ‖Sx‖ ≤ ‖R‖ ‖S‖ ‖x‖

e, portanto, R ◦ S ∈ L (E,G) e

‖R ◦ S‖ ≤ ‖R‖ ‖S‖ ,

o que mostra o p retendido.

A composição R ◦ S costuma representar-se por RS em vez de R ◦ S.



Teorema 3.2.7

Sejam E um espaço normado e F um espaço de Banach. Então(

L (E,F ), ‖·‖E,F)

é um espaço de Banach.



Demonstração do teorema 3.2.7Basta provar que as sucessões de Cauchy em L (E,F ) são convergentes. Seja(Tn)n∈N uma sucessão de Cauchy em L (E,F ), ou seja, para cada ε > 0, existeN ∈ N tal que

‖Tn − Tm‖ < ε para quaisquer números naturais n,m > N .

Assim, para cada x ∈ N e para cada ε > 0, existe N ∈ N tal que

‖Tnx− Tmx‖ < ε ‖x‖ para quaisquer números naturais n,m > N

e, consequentemente, (Tnx)n∈N é, para cada x ∈ E, uma sucessão de Cauchy emF . Como F é um espaço de Banach, para cada x ∈ E, a sucessão (Tnx)n∈Nconverge para algum elemento de F .Seja T : E → F a aplicação que a cada x ∈ E faz corresponder o limite dasucessão (Tnx)n∈N, ou seja,

Tx = limn→+∞

Tnx.



Demonstração do teorema 3.2.7 (continuação)Para cada x, y ∈ E e para cada λ, µ ∈ K, tem-se

T (λx+ µy) = limn→+∞

Tn (λx+ µy)

= limn→+∞

(λTnx+ µTny)

= λ limn→+∞

(Tnx) + µ limn→+∞

(Tny)

= λTx+ µTy,

o que mostra que T é linear.Por outro lado, para cada x ∈ E, tem-se

‖Tnx− Tx‖ =

∥∥∥∥Tnx− lim

m→+∞Tmx

∥∥∥∥

= limm→+∞

‖Tnx− Tmx‖ ≤ ε ‖x‖ ,

desde que n,m > N , e isto implica que Tn − T ∈ L (E,F ) e ‖Tn − T ‖ < ε.



Demonstração do teorema 3.2.7 (continuação).Como

T = T − Tn + Tn,

tem-se queT ∈ L (E,F )

e, atendendo a que para cada ε > 0, existe N ∈ N tal que

‖Tn − T ‖ < ε para cada número natural n > N,

a sucessão (Tn)n∈N converge para T em L (E,F ).

Logo(

L (E,F ), ‖·‖E,F)

é um espaço completo.



O conjunto das aplicações lineares contínuas (ou limitadas) de um espaçonormado E em K, designa-se por dual (topológico) de E e representa-se por E∗.

Os elementos de E∗ designam-se por funcionais.

Do teorema anterior, tendo em conta que K é um espaço de Banach, resultaimediatamente o corolário que se segue.

Corolário 3.2.8O dual de um espaço de normado é um espaço de Banach.



Exemplos 3.2.91) No espaço C[a, b] das funções contínuas x : [a, b]→ R, munido com a norma

dada por‖x‖∞ = sup

t∈[a,b]

|x(t)|

consideremos a aplicação linear T : C[a, b]→ R definida por

Tx =

∫ b

a

x(t) dt.

Vejamos que T é limitado. Atendendo a que |x(t)| ≤ supt∈[a,b]

|x(t)| = ‖x‖∞para cada t ∈ [a, b], vem

|Tx| =

∣∣∣∣∣

∫ b

a

x(t) dt

∣∣∣∣∣≤∫ b

a

|x(t)| dt ≤∫ b

a

‖x‖∞ dt = (b− a) ‖x‖∞ ,

o que mostra que T é limitado e que ‖T ‖ ≤ b− a.



Exemplos 3.2.91) (continuação) Por outro lado, considerando a função x0 : [a, b]→ R definida

por x0(t) = 1, temos

‖x0‖∞ = supt∈[a,b]

|x0(t)| = 1

e

|Tx0| =

∣∣∣∣∣

∫ b

a

x0(t) dt

∣∣∣∣∣

= b− a

e, portanto,

‖T ‖ = sup {|Tx| : x ∈ C[a, b], ‖x‖∞ = 1} ≥ |Tx0| = b− a.

Logo ‖T ‖ = b− a.



Exemplos 3.2.92) Sejam a = (a1, . . . , an) ∈ Kn e T : ℓn2 → K a aplicação linear definida por

Tx = a1x1 + · · ·+ anxn

para cada x = (x1, . . . , xn) ∈ ℓn2 . Se a = (0, . . . , 0), então T = 0 pelo queT ∈ (ℓn2 )∗ e ‖T ‖ = 0.Se a 6= (0, . . . , 0), então

|Tx| =

∣∣∣∣∣

n∑

i=1

aixi

∣∣∣∣∣≤n∑

i=1

|ai| |xi|

≤(n∑

i=1

|ai|2)1/2( n∑

i=1

|xi|2)1/2

= ‖a‖ℓn2

‖x‖ℓn2

e, portanto, T é limitado e ‖T ‖ ≤ ‖a‖ℓn2

.



Exemplos 3.2.92) (continuação) Além disso, observando que

|Ta| =

∣∣∣∣∣

n∑

i=1

ai ai

∣∣∣∣∣

=

n∑

i=1

a2i = ‖a‖2ℓn

2

,

temos

‖T ‖ = sup

{

|Tx|‖x‖ℓn

2

: x ∈ ℓn2 \ {0}}

≥ |Ta|‖a‖ℓn2

=‖a‖2ℓn

2

‖a‖ℓn2

= ‖a‖ℓn2

.

Logo ‖T ‖ = ‖a‖ℓn2

.



Exemplos 3.2.93) Tal como no exemplo anterior prova-se que se a = (a1, . . . , an, . . .) é uma

sucessão de ℓ2 e se definirmos T : ℓ2 → K por

Tx =

∞∑

i=1

aixi

para cada x = (x1, . . . , xn, . . .) ∈ ℓ2, então T é limitado e ‖T ‖ = ‖a‖ℓ2 .









§3.3 Espaços normados de dimensão finita

Lema 3.3.1

Sejam x1, . . . , xm vectores linearmente independentes de um espaço normado E.Então existe um número real C > 0 tal que

‖α1x1 + · · ·+ αmxm‖ ≥ C (|α1|+ · · ·+ |αm|) (*)

para quaisquer α1, . . . , αm ∈ K.



Demonstração do lema 3.3.1Façamos

s = |α1|+ · · ·+ |αm| .Se s = 0, então todos os αj são nulos e (*) verifica-se. Suponhamos que s > 0.Dividindo (*) por s, obtemos a desigualdade

‖β1x1 + · · ·+ βmxm‖ ≥ C

com

β1 =α1

|α1|+ · · ·+ |αm|, . . . , βm =

αm|α1|+ · · ·+ |αm|

.

Observando que |β1|+ · · ·+ |βm| = 1, conclui-se que para provar (*) basta provarque existe C > 0 tal que

‖β1x1 + · · ·+ βmxm‖ ≥ C (**)

para quaisquer β1, . . . , βm ∈ K tais que |β1|+ · · ·+ |βm| = 1.



Demonstração do lema 3.3.1 (continuação)

Suponhamos que (**) é falso. Então existe uma sucessão (yn) em E tal que

yn = β(1)n x1 + · · ·+ β(m)

n xm,

∣∣∣β

(1)n

∣∣∣+ · · ·+

∣∣∣β

(m)n

∣∣∣ = 1

para cada n ∈ N e ‖yn‖ converge para zero quando n tende para infinito. Como∣∣∣β(1)n

∣∣∣+ · · ·+

∣∣∣β(m)n

∣∣∣ = 1,

a sucessão(

β(j)n

)

n∈N, j = 1, . . . ,m, é limitada. Pelo Teorema de

Bolzano-Weierstrass,(

β(1)n

)

n∈Ntem uma subsucessão convergente. Sejam β(1) o

limite dessa subsucessão e(

y(1)n

)

n∈Na correspondente subsucessão de (yn)n∈N.



Demonstração do lema 3.3.1 (continuação)

Usando o mesmo argumento,(

y(1)n

)

n∈Ntem uma subsucessão

(

y(2)n

)

n∈Ntal que

a correspondente subsucessão de(

β(2)n

)

n∈Nconverge. Seja β(2) o limite de

(

β(2)n

)

n∈N. Continuando este argumento, ao fim de m passos, obtemos uma

subsucessão(

y(m)n

)

n∈Nde (yn)n∈N tal que

y(m)n = γ

(1)n x1 + . . .+ γ

(m)n xm,

∣∣∣γ

(1)n

∣∣∣+ · · ·+

∣∣∣γ

(m)n

∣∣∣ = 1

para cada n ∈ N e a

sucessão(

γ(j)n

)

n∈Nconverge para β(j)

para j = 1, . . . ,m.



Demonstração do lema 3.3.1 (continuação)Então fazendo

y = β(1)x1 + · · ·+ β(m)xm,

tem-se

∥∥∥y(m)n − y

∥∥∥ =

∥∥∥∥∥∥

m∑

j=1

(

γ(j)n − β(j)

)

xm

∥∥∥∥∥∥

≤m∑

j=1

∣∣∣γ(j)n − β(j)

∣∣∣ ‖xm‖

e, portanto,(

y(m)n

)

n∈Nconverge para y. Como∣∣∣γ(1)n

∣∣∣+ · · ·+

∣∣∣γ(m)n

∣∣∣ = 1,

fazendo n tender para infinito temos∣∣∣β(1)n

∣∣∣+ · · ·+

∣∣∣β(m)n

∣∣∣ = 1

e, como x1, . . . , xm são vectores linearmente independentes, tem-se y 6= 0.



Demonstração do lema 3.3.1 (continuação).De ∣

∣∣∣

∥∥∥y(m)n

∥∥∥− ‖y‖

∣∣∣∣≤∥∥∥y(m)n − y

∥∥∥ ,

concluímos que∥∥∥y

(m)n

∥∥∥ converge para ‖y‖ 6= 0 quando n tende para infinito, o

que contradiz o facto de ‖yn‖ convergir para zero quando n tende para infinito.Logo existe um número real C > 0 tal que

‖α1x1 + · · ·+ αmxm‖ ≥ C (|α1|+ · · ·+ |αm|)

para quaisquer α1, . . . , αm ∈ K.



Teorema 3.3.2

Todos os subespaços de dimensão finita de um espaço normado são completos.Em particular, todos os espaços normados de dimensão finita são completos.



Demonstração do teorema 3.3.2Sejam E um espaço normado, M um subespaço de E de dimensão m e (yn)n∈Numa sucessão de Cauchy em M . Façamos {e1, . . . , em} uma base de M . Então,para cada n ∈ N,

yn = α(1)n e1 + · · ·+ α(m)

n em.

Como (yn)n∈N é uma sucessão de Cauchy, tem-se que para cada ε > 0, existeN ∈ N tal que

‖yn − yr‖ < ε para quaisquer números naturais n, r > N .

Pelo lema anterior existe C > 0 tal que

ε > ‖yn − yr‖=∥∥∥

(

α(1)n − α(1)

r

)

e1 + · · ·+(

α(m)n − α(m)

r

)

em

∥∥∥

≥ C(∣∣∣α(1)n − α(1)

r

∣∣∣+ · · ·+

∣∣∣α(m)n − α(m)

r

∣∣∣

)

para quaisquer números naturais n, r > N .



Demonstração do teorema 3.3.2 (continuação)Então, para j = 1, . . . ,m,

∣∣∣α(j)n − α(j)

r

∣∣∣ ≤

∣∣∣α(1)n − α(1)

r

∣∣∣+ · · ·+

∣∣∣α(m)n − α(m)

r

∣∣∣ <ε

C,

o que mostra que, para cada j ∈ {1, . . . ,m}, a sucessão(

α(j)n

)

n∈Né uma

sucessão de Cauchy em K. Ora K é completo e, portanto, existeα(1), . . . , α(m) ∈ K tais que

(

α(j)n

)

n∈Nconverge para α(j),

j = 1, . . . ,m.



Demonstração do teorema 3.3.2 (continuação).Fazendo

y = α(1)e1 + · · ·+ α(m)em

temos

‖yn − y‖ =∥∥∥

(

α(1)n − α(1)

)

e1 + · · ·+(

α(m)n − α(m)

)

em

∥∥∥

≤∣∣∣α(1)n − α(1)

∣∣∣ ‖e1‖+ · · ·+

∣∣∣α(m)n − α(m)

∣∣∣ ‖em‖

e, como, para j = 1, . . . ,m, a sucessão(

α(j)n

)

n∈Nconverge para α(j), ‖yn − y‖

converge para zero quando n tende para infinito. Assim,

(yn)n∈N converge para y ∈M

e, portanto, M é completo.



Corolário 3.3.3Todos os subespaços de dimensão finita de um espaço normado são fechados.



Duas normas ‖·‖ e ‖·‖0 definidas num espaço vectorial E dizem-se equivalentesse existirem dois números reais positivos a e b tais que

a ‖x‖0 ≤ ‖x‖ ≤ b ‖x‖0para qualquer x ∈ E.



Teorema 3.3.4

Num espaço vectorial de dimensão finita quaisquer duas normas são equivalentes.



Demonstração do teorema 3.3.4Sejam E um espaço vectorial de dimensão m, {e1, . . . , em} uma base de E e ‖·‖ e‖·‖0 duas normas em E. Pelo lema anterior, existe uma constante C > 0 tal que

‖α1e1 + · · ·+ αmem‖ ≥ C (|α1|+ · · ·+ |αm|)

para quaisquer α1, . . . , αm ∈ K. Dado x ∈ E, existem escalares λ1, . . . , λm ∈ K

tais quex = λ1e1 + · · ·+ λmem

e, consequentemente,

‖x‖ = ‖λ1e1 + · · ·+ λmem‖≥ C (|λ1|+ · · ·+ |λm|)

= C

m∑

j=1

|λj | .



Demonstração do teorema 3.3.4 (continuação).Por outro lado, tem-se

‖x‖0 = ‖α1e1 + · · ·+ αmem‖0≤ |λ1| ‖e1‖0 + · · ·+ |λm| ‖em‖0

≤ Km∑

j=1

|λj | ,

onde K = max1≤j≤m

‖ej‖0. Logo

C

K‖x‖0 ≤ ‖x‖ .

Trocando os papéis de ‖·‖ e de ‖·‖0 obtemos, de forma análoga, a outradesigualdade.



Teorema 3.3.5

Se E é um espaço normado de dimensão finita, então todos os operadores linearesdefinidos em E são limitados.



Demonstração do teorema 3.3.5.Seja F um espaço normado e T : E → F um operador linear. Para cada x ∈ Edefinamos

‖x‖0 = ‖x‖E + ‖Tx‖F .É fácil verificar que ‖·‖0 define uma nova norma em E. Como E tem dimensãofinita, pelo teorema anterior, as normas ‖·‖0 e ‖·‖E são equivalentes. Emparticular, existe um número real positivo a tal que

‖x0‖ ≤ a ‖x‖

para cada x ∈ E, o que implica

‖Tx‖F ≤ ‖x‖0 ≤ a ‖x‖Epara cada x ∈ E. Logo T é um operador linear limitado.



Dois espaços E e F dizem-se isomorfos se existir T ∈ L (E,F ) bĳectivo e talque T−1 ∈ L (F,E).

Corolário 3.3.6Quaisquer dois espaços normados (sobre o mesmo corpo K) de dimensão finita ecom a mesma dimensão são isomorfos.

Demonstração.Sejam E e F dois espaços normados (sobre o mesmo corpo K) ambos dedimensão finita m. Escolhamos uma base {e1 . . . , em} de E e uma base{f1, . . . , fm} de F . O operador T : E → F definido por

T (λ1e1 + · · ·+ λmem) = λ1f1 + · · ·+ λmfm

é linear e bĳectivo. Pelo teorema anterior, T ∈ L (E,F ) e T−1 ∈ L (F,E). LogoE e F são isomorfos.



Sejam (X, d) um espaço métrico e K ⊆ X . Diz-se que K é compacto se paraqualquer família

{Aα : α ∈ λ}de subconjuntos abertos de X tal que

K ⊆⋃

α∈λAα

existem α1, . . . , αm ∈ λ tais que

K ⊆ Aα1∪ . . . ∪Aαm .



K ⊆⋃

α∈λAα



Teorema 3.3.7Num espaço métrico (X, d) as afirmações seguintes são equivalentes:

a) K é compacto;

b) qualquer sucessão de elementos de K tem uma subsucessão convergente paraum elemento de K;

c) qualquer subconjunto infinito de K tem um ponto de acumulação em K.



Lema 3.3.8

Num espaço métrico os subconjuntos compactos são fechados e limitados.

Demonstração.Seja K um subconjunto compacto de um espaço métrico (X, d). Seja (xn)n∈Numa sucessão de elementos de K convergente para x ∈ X . Como K é compacto,(xn)n∈N tem uma subsucessão convergente para um elemento de K. Ora todasas subsucessões de (xn)n∈N convergem para x e, por conseguinte, x ∈ K. LogoK é fechado.Por outro lado, se K fosse ilimitado existiria uma sucessão (xn)n∈N de elementosde K tal que

d(xn, x1) > n.

Então (xn)n∈N não tem nenhuma subsucessão convergente já que todas assubsucessões de (xn)n∈N são ilimitadas o que contradiz o facto de K sercompacto. Logo K é limitado.



Teorema 3.3.9

Num espaço normado de dimensão finita um subconjunto é compacto se e só se éfechado e limitado.



Demonstração do teorema 3.3.9Sejam E um espaço normado de dimensão m e K um subconjunto de E. Tendoem conta o lema anterior, basta provar que se K é um subconjunto fechado elimitado de E, então K é compacto.Suponhamos que K é um subconjunto fechado e limitado de E, consideremosuma base {e1, . . . , em} de E e seja (xn)n∈N uma sucessão qualquer de elementosde K. Então existem

λ(1)n , . . . , λ

(m)n ∈ K

tais quexn = λ(1)

n e1 + · · ·+ λ(m)n em,

n ∈ N. Porque K é limitado, a sucessão (xn)n∈N também é limitada, ou seja,existe r > 0 tal que

‖xn‖ ≤ r para qualquer n ∈ N.



Demonstração do teorema 3.3.9 (continuação).Já sabemos que existe C > 0 tal que

r ≥ ‖xn‖ =∥∥∥λ(1)n e1 + · · ·+ λ(m)

n em

∥∥∥ ≥ C

(∣∣∣λ(1)n

∣∣∣+ · · ·+

∣∣∣λ(m)n

∣∣∣

)

e, por conseguinte, as sucessões(

λ(j)n

)

n∈N, j = 1, . . . ,m, são limitadas.

Usando o mesmo tipo de argumentos da parte final da demonstração do Lema3.3.1, podemos concluir que

(xn)n∈N tem uma subsucessão convergente para algum elemento x ∈ E.

Mas K é fechado e, consequentemente, x ∈ K. Assim, toda a sucessão deelementos de K tem uma subsucessão convergente para um elemento de K, o quemostra que K é compacto.



Lema 3.3.10 (Lema de Riesz)

Sejam M e N subespaços de um espaço normado E. Suponhamos que M éfechado e que M $ N . Então para cada número θ ∈ ]0, 1[, existe z ∈ N tal que‖z‖ = 1 e

‖z − y‖ ≥ θ para qualquer y ∈M .



Demonstração do Lema de Riesz.Escolhamos v ∈ N \M e façamos

α = d(v,M) = inf {‖v − y‖ : y ∈M} .Dado θ ∈]0, 1[, existe y0 ∈M tal que

0 < α ≤ ‖v − y0‖ ≤α

θ.

Sejam z =v − y0‖v − y0‖

e c =1

‖v − y0‖, ou seja, z = c (v − y0). Então z ∈ N e

‖z‖ = 1. Além disso, para qualquer y ∈M , tem-se

‖z − y‖ = ‖c (v − y0)− y‖ = c∥∥v − (y0 + c−1y)

∥∥

e fazendo y1 = y0 + c−1y resulta que y1 ∈M e

‖z − y‖ = c ‖v − y1‖ ≥ cα =α

‖v − y0‖≥ αα/θ

= θ.

Isto prova que ‖z − y‖ ≥ θ para qualquer y ∈M .



Teorema 3.3.11

Se E é um espaço normado tal que a bola fechada e unitária

B = B1[0] = {x ∈ E : ‖x‖ ≤ 1}

é compacta, então E é um espaço de dimensão finita.



Demonstração do teorema 3.3.11Suponhamos que B é compacta e que E tem dimensão infinita. Escolhamos emE um vector x1 tal que ‖x1‖ = 1. O espaço M1 gerado por {x1} é um subespaçopróprio de E fechado e de dimensão um. Pelo Lema de Riesz, existe x2 ∈ E \M1

tal que ‖x1‖ = 1 e

‖x2 − x1‖ ≥ θ =1

2.

Os vectores x1 e x2 geram um subespaço próprio M2 de E fechado e de dimensão2. Pelo Lema de Riesz, existe x3 ∈ E \M2 tal que ‖x3‖ = 1 e

‖x3 − x1‖ ≥1

2e ‖x3 − x2‖ ≥

1

2.




Continuando este tipo de raciocínio, obtemos uma sucessão (xn)n∈N deelementos de B tal que

‖xn − xm‖ ≥1

2para m 6= n.

Assim, a sucessão (xn)n∈N não tem nenhuma subsucessão convergente, o que éabsurdo pois B é compacto.Logo E tem dimensão finita.


§4.1 Definição, propriedades elementares e exemplos

Dado um espaço vectorial H sobre K, uma aplicação

〈·, ·〉 : H ×H → K

diz-se um produto interno se para cada x, y, z ∈ H e cada λ ∈ K se tem

i) 〈x+ y, z〉 = 〈x, z〉+ 〈y, z〉 ;ii) 〈λx, z〉 = λ 〈x, z〉 ;iii) 〈x, y〉 = 〈y, x〉;iv) 〈x, x〉 ≥ 0;

v) 〈x, x〉 = 0 se e só se x = 0.

Aqui 〈y, x〉 designa o conjugado de 〈y, x〉. Um espaço vectorial com um produtointerno diz-se um espaço com produto interno.



Observações 4.1.11) As propriedades i) e ii) implicam que, para z ∈ H , a aplicação

〈·, z〉 : H → K

é uma aplicação linear.



Observações 4.1.1

2) Para cada x, y, z ∈ H temos

〈x, y + z〉 = 〈y + z, x〉 = 〈y, x〉+ 〈z, x〉 = 〈y, x〉+ 〈z, x〉 = 〈x, y〉+ 〈x, z〉 .

Para cada x, y ∈ H e para cada λ ∈ K temos

〈x, λy〉 = 〈λy, x〉 = λ 〈y, x〉 = λ 〈y, x〉 = λ 〈x, y〉 .

Assim, se H é uma espaço vectorial real, para cada z ∈ H , a aplicação

〈z, ·〉 : H → K

é linear e, portanto,

〈·, ·〉 : H ×H → K

é bilinear. Se K = C, então, para cada z ∈ H , a aplicação

〈z, ·〉 : H → K

não é linear.



Observações 4.1.13) Para qualquer x ∈ H ,

〈0, x〉 = 0 = 〈x, 0〉 .

4) Uma aplicação de H ×H para K que verifique as propriedades i), ii) e iii)diz-se uma forma hermítica. Uma forma hermítica diz-se semi-definidapositiva se verificar iv) e diz-se definida positiva se verificar iv) e v).Assim, um produto interno é uma forma hermítica definida positiva.



Exemplos 4.1.21) Os espaços Rn e Cn são espaços com produto interno dado por

〈x, y〉 =n∑

i=1

xiyi

e

〈x, y〉 =n∑

i=1

xiyi,

respectivamente, com x = (x1, . . . , xn) e y = (y1, . . . , yn).



Exemplos 4.1.22) Seja C[a, b] o conjunto das funções contínuas

x : [a, b]→ K.

Um produto interno em C[a, b] é dado por

〈x, y〉 =

∫ b

a

x(t) y(t) dt.



Exemplos 4.1.23) Seja ℓ2 o conjunto das sucessão (xn)n∈N de elementos de K tais que

+∞∑

i=1

|xi|2 é convergente.

Pode definir-se um produto interno em ℓ2 por

〈x, y〉 =

+∞∑

i=1

xi yi.



Exemplos 4.1.24) Se H1, . . . , Hn são espaços com produto interno, então em

H = H1 × · · · ×Hn

podemos definir o seguinte produto interno

〈(x1, . . . , xn) , (y1, . . . , yn)〉 = 〈x1, y1〉H1+ · · · 〈xn, yn〉Hn .



Teorema 4.1.3 (Desigualdade de Schwarz)

Seja H um espaço com produto interno. Para quaisquer x, y ∈ H tem-se

|〈x, y〉| ≤√

〈x, x〉√

〈y, y〉.

Além disso, a igualdade é satisfeita se e só se x e y são linearmente dependentes.



Demonstração da desigualdade de SchwarzSe y = 0, então 〈x, 0〉 = 0 e, portanto, a (des)igualdade verifica-se trivialmente.Supondo y 6= 0, tem-se para qualquer escalar λ ∈ K

0 ≤ 〈x− λy, x− λy〉= 〈x, x〉+ 〈x, −λy〉+ 〈−λy, x〉+ 〈−λy, −λy〉= 〈x, x〉 − λ 〈x, y〉 − λ 〈y, x〉+ λλ 〈y, y〉= 〈x, x〉 − λ 〈x, y〉 − λ

[〈y, x〉 − λ 〈y, y〉

].

Fazendo λ =〈y, x〉〈y, y〉 vem

0 ≤ 〈x, x〉 − 〈y, x〉〈y, y〉〈x, y〉 = 〈x, x〉 − 〈x, y〉〈x, y〉〈y, y〉 = 〈x, x〉 − |〈x, y〉|2

〈y, y〉 .



Demonstração da desigualdade de Schwarz (continuação).Logo

|〈x, y〉|2〈y, y〉 ≤ 〈x, x〉

o que é equivalente a|〈x, y〉|2 ≤ 〈x, x〉〈y, y〉

e, consequentemente,

|〈x, y〉| ≤√

〈x, x〉√

〈y, y〉.

Além disso, temos igualdade se e só se y = 0 ou

y 6= 0 e 〈x− λy, x− λy〉 = 0,

e, portanto,x− λy = 0,

ou seja, x e y são linearmente dependentes.



Teorema 4.1.4

Seja H um espaço com produto interno. Então a aplicação ‖·‖ : H → R definidapor ‖x‖ =

√

〈x, x〉 é uma norma em H .



Demonstração do teorema 4.1.4Das propriedades do produto interno resulta imediatamente que

‖x‖ = 0 ⇔√

〈x, x〉 = 0

⇔ 〈x, x〉 = 0

⇔ x = 0

e que para cada x ∈ H e para cada λ ∈ K

‖λx‖ =√

〈λx, λx〉

=

√

λλ 〈x, x〉

=

√

|λ|2 〈x, x〉= |λ|

√

〈x, x〉= |λ| ‖x‖ .



Demonstração do teorema 4.1.4 (continuação).Além disso, para quaisquer x, y ∈ H temos

‖x+ y‖2 = 〈x+ y, x+ y〉= 〈x, x〉+ 〈x, y〉+ 〈y, x〉+ 〈y, y〉= 〈x, x〉+ 〈x, y〉+ 〈x, y〉+ 〈y, y〉= 〈x, x〉+ 2 Re〈x, y〉+ 〈y, y〉≤ 〈x, x〉+ 2 |〈x, y〉|+ 〈y, y〉 ,

pelo que usando a desigualdade de Cauchy Schwarz resulta

‖x+ y‖2 ≤ ‖x‖2 + 2 ‖x‖ ‖y‖+ ‖y‖2 = (‖x‖+ ‖y‖)2

e, por conseguinte,‖x+ y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖ .



Num espaço com produto interno é possível definir uma métrica usando a normareferida no teorema anterior.

Assim,d(x, y) = ‖x− y‖ =

√

〈x− y, x− y〉é uma métrica induzida pelo produto interno.

Os espaços com produto interno que são completos em relação à métrica induzidapelo produto interno designam-se por espaços de Hilbert.



Exemplos 4.1.51) Já vimos que em Kn podemos definir o produto interno

〈x, y〉 =n∑

i=1

xiyi.

Então

‖x‖ =√

〈x, x〉 =

√√√√

n∑

i=1

xi xi =

√√√√

n∑

i=1

|xi|2,

ou seja, Kn com este produto interno é o espaço ℓn2 . Este espaço é completoe por isso é um espaço de Hilbert.



Exemplos 4.1.52) Em ℓ2 definimos, para cada par de sucessões x = (xn)n∈N e y = (yn)n∈N , o

seguinte produto interno

〈x, y〉 =

+∞∑

i=1

xi yi.

Como

‖x‖ =√

〈x, x〉 =

√√√√

+∞∑

i=1

xi xi =

√√√√

+∞∑

i=1

|xi|2,

concluímos que este produto interno dá origem à norma habitual de ℓ2, coma qual já sabemos que o espaço é completo. Assim, este espaço é um espaçode Hilbert.



Exemplos 4.1.53) Em C[a, b], o espaço das funções contínuas definidas de [a, b] para K,

definimos o produto interno dado por

〈x, y〉 =

∫ b

a

x(t) y(t) dt.

A norma associada a este produto interno é dada por

‖x‖ =√

〈x, x〉 =

√∫ b

a

x(t) x(t) dt =

√∫ b

a

|x(t)|2 dt.

Já sabemos que este espaço com esta norma não é completo, pelo que não éum espaço de Hilbert.No entanto, o completamento deste espaço, o espaço L2[a, b], é um espaçode Hilbert. De um modo mais geral, o completamento de um espaço comproduto interno é um espaço de Hilbert pois a norma do completamentoderiva de um produto interno.



Teorema 4.1.6 (Igualdade do paralelogramo)Num espaço H com produto interno temos a seguinte igualdade para quaisquerx, y ∈ H

‖x+ y‖2 + ‖x− y‖2 = 2(

‖x‖2 + ‖y‖2)

.

Demonstração.Sejam x, y ∈ H . Então

‖x+ y‖2 = 〈x+ y, x+ y〉 = 〈x, x〉+ 〈x, y〉+ 〈y, x〉+ 〈y, y〉

e‖x− y‖2 = 〈x− y, x− y〉 = 〈x, x〉 − 〈x, y〉 − 〈y, x〉+ 〈y, y〉 .

Somando estas duas igualdades temos

‖x+ y‖2 + ‖x− y‖2 = 2 〈x, x〉 + 2 〈y, y〉 = 2(

‖x‖2 + ‖y‖2)

.



Num espaço normado em que a norma não verifica a igualdade do paralelogramo,a norma não deriva de um produto interno e, por conseguinte, o espaço não é umespaço com produto interno.



Exemplos 4.1.71) O espaço ℓp, para p 6= 2, não é um espaço com produto interno pois

considerando

x = (1, 1, 0, 0, . . .) e y = (1,−1, 0, 0, . . .)

temos‖x‖ℓp = ‖y‖ℓp = 21/p

e‖x+ y‖ℓp = ‖x− y‖ℓp = 2

e, portanto,‖x+ y‖2ℓp + ‖x− y‖2ℓp = 4 + 4 = 8

e2(

‖x‖2ℓp + ‖y‖2ℓp)

= 2(

22/p + 22/p)

= 4 22/p,

o que mostra que se p 6= 2 a igualdade do paralelogramo não se verifica e,consequentemente, o espaço não é um espaço com produto interno.



Exemplos 4.1.72) No espaço C[a, b] munido com a norma dada por ‖x‖∞ = sup

t∈[a,b]

|x(t)| não se

verifica a igualdade do paralelogramo. De facto, para as funçõesx, y : [a, b]→ R definidas por

x(t) = 1 e y(t) =t− ab− a,

t ∈ [a, b], temos ‖x‖∞ = ‖y‖∞ = 1,

‖x+ y‖∞ = supt∈[a,b]

∣∣∣∣1 +t− ab− a

∣∣∣∣

= 2 e ‖x− y‖∞ = supt∈[a,b]

∣∣∣∣1− t− ab− a

∣∣∣∣

= 1

e, portanto,

2(

‖x‖2∞ + ‖y‖2∞)

= 4 e ‖x+ y‖2∞ + ‖x− y‖2∞ = 5.

Logo a norma ‖·‖∞ não deriva de um produto interno.



Observação 4.1.8

É possível provar que num espaço normado, a norma deriva de um produto internose e só se verifica a igualdade do paralelogramo, sendo o produto interno dado por

〈x, y〉 =1

4

[

‖x+ y‖2 − ‖x− y‖2]

se o espaço vectorial é real e sendo dado por

〈x, y〉 =1

4

[

‖x+ y‖2 − ‖x− y‖2 + i(

‖x+ iy‖2 − ‖x− iy‖2)]

caso o espaço vectorial seja complexo.









§4.2 Complemento ortogonal e projecções ortogonais

Sejam H um espaço com produto interno e x, y ∈ H . Diz-se que x e y sãoortogonais, e escreve-se x⊥ y, se

〈x, y〉 = 0.

De modo semelhante, dizemos que x ∈ H é ortogonal a um subconjunto A deH , e usa-se a notação x⊥A, se

〈x, a〉 = 0 para cada a ∈ A.

Dois subconjuntos A e B de H dizem-se ortogonais, e escreve-se A⊥B, se

〈a, b〉 = 0 para cada a ∈ A e para cada b ∈ B.

Sejam H um espaço com produto interno e A um subconjunto de H . Designamospor complemento ortogonal de A o conjunto A⊥ formado pelos elementos de Hque são ortogonais a A, isto é,

A⊥ = {x ∈ H : x⊥A} .



Observações 4.2.1

1) O conjunto A⊥ é um subespaço vectorial fechado de H (mesmo que A nãoseja um subespaço).

2) Para qualquer subconjunto A de H tem-se

A ⊆(A⊥)⊥

= A⊥⊥.

3) Se A ⊆ B, então B⊥ ⊆ A⊥.

4) Para qualquer subconjunto A de H temos

〈A〉⊥ = A⊥

= 〈A〉⊥ = A⊥ e A ∩A⊥ =

{

{0} se 0 ∈ A;

∅ se 0 6∈ A.

5) Se H é um espaço com produto interno, então {0}⊥ = H e H⊥ = {0}.



Teorema 4.2.2 (Teorema de Pitágoras)

Sejam H um espaço com produto interno e {x1, . . . , xn}, n ≥ 2, um subconjuntode vectores de H ortogonais dois a dois. Então

‖x1 + · · ·+ xn‖2 = ‖x1‖2 + · · ·+ ‖xn‖2 .

Demonstração.A demonstração pode ser feita por indução matemática no número devectores.



O complemento ortogonal de um subespaço pode ser usado para caracterizar oselementos (se os houver) do espaço à menor distância de um vector dado.

Teorema 4.2.3

Sejam H um espaço com produto interno, M um subespaço de H , x ∈ H em0 ∈M . As afirmações seguintes são equivalentes

a) ‖x−m0‖ = inf {‖x−m‖ : m ∈M} = d(x,M);

b) x−m0 ∈ M⊥.



Demonstração do teorema 4.2.3a)⇒ b) Suponhamos que m0 verifica a). Pretendemos provar que

〈x−m0, m〉 = 0 para qualquer m ∈M .

Sem perda de generalidade, podemos supor que ‖m‖ = 1. Seja m1 = m0 + λm,com λ ∈ K. Obviamente, m1 ∈M e, portanto,

‖x−m0‖2

≤ ‖x−m1‖2

= 〈(x−m0)− λm, (x−m0)− λm〉= 〈x−m0, x−m0〉+ 〈−λm, x−m0〉+ 〈x−m0, −λm〉+ 〈−λm, −λm〉= 〈x−m0, x−m0〉 − λ 〈m, x−m0〉 − λ 〈x−m0, m〉+ λλ 〈m, m〉= ‖x−m0‖2 − λ 〈m, x−m0〉 − λ [〈x−m0, m〉 − λ] .




Fazendo λ = 〈x−m0, m〉, temos

‖x−m0‖2 ≤ ‖x−m0‖2 − 〈x−m0, m〉〈m, x−m0〉= ‖x−m0‖2 − 〈x−m0, m〉〈x−m0, m〉= ‖x−m0‖2 − |〈x−m0, m〉|2

o que implica |〈x−m0, m〉| = 0 e, por conseguinte, 〈x−m0, m〉 = 0.




b)⇒ a) Suponhamos que x−m0 ∈ M⊥. Então para qualquer m ∈M , tem-sem0 −m ∈M o que implica

(x−m0)⊥ (m0 −m) .

Pelo teorema de Pitágoras temos

‖x−m‖2 = ‖(x−m0) + (m0 −m)‖2 = ‖x−m0‖2 + ‖m0 −m‖2

e, consequentemente,‖x−m0‖2 ≤ ‖x−m‖2 .

Logo‖x−m0‖ = inf {‖x−m‖ : m ∈M} = d(x,M).



O teorema anterior não garante que existam elementos m0 nas condições referidas,apenas mostra uma equivalência. Para podermos garantir a existência de vectoresm0 nessas condições precisamos de introduzir o conceito de conjunto convexo.

Um subconjunto A de um espaço vectorial E diz-se convexo se para quaisquerx, y ∈ A e para qualquer λ ∈ [0, 1] se tem

(1− λ) x+ λy ∈ A.

b bx y

conjunto convexo

b b

x y

conjunto não convexo



Teorema 4.2.4

Sejam H um espaço com produto interno, K um subconjunto não vazio de H ex ∈ H . Se K é completo e convexo, então existe um e um só y0 ∈ K tal que

‖x− y0‖ = inf {‖x− y‖ : y ∈ K} = d(x,K).



Demonstração do teorema 4.2.4Por definição, existe uma sucessão (yn) de elementos de K tal que

‖x− yn‖ → d,

onded = inf {‖x− y‖ : y ∈ K} = d(x,K).

Usando a igualdade do paralelogramo temos

∥∥∥∥

(x− ym) + (x− yn)2

∥∥∥∥

2

+

∥∥∥∥

(x− ym)− (x− yn)2

∥∥∥∥

2

= 2

(∥∥∥∥

x− ym2

∥∥∥∥

2

+

∥∥∥∥

x− yn2

∥∥∥∥

2)

=1

2‖x− ym‖2 +

1

2‖x− yn‖2 .



Demonstração do teorema 4.2.4 (continuação)Além disso,

∥∥∥∥

(x− ym) + (x− yn)2

∥∥∥∥

2

=

∥∥∥∥x− yn + ym

2

∥∥∥∥

2

≥ d2

e ∥∥∥∥

(x− ym)− (x− yn)2

∥∥∥∥

2

=

∥∥∥∥

yn − ym2

∥∥∥∥

2

sendo a última desigualdade consequência do facto de K ser convexo e,

consequentemente,yn + ym

2∈ K. Assim,

∥∥∥∥

yn − ym2

∥∥∥∥

2

≤ 1

2‖x− ym‖2 +

1

2‖x− yn‖2 − d2.




Como ‖x− yn‖2 converge para d2 quando n converge para +∞ e ‖x− ym‖2converge para d2 quando m converge para +∞, podemos concluir que

‖yn − ym‖

converge para 0 quando n e m convergem para +∞. Logo (yn) é uma sucessãode Cauchy e, porque K é completo, existe y0 ∈ K tal que (yn) converge para y0.Então

‖x− y0‖ ≤ ‖x− yn‖+ ‖yn − y0‖ → d+ 0 = d.

Logo tem-se ‖x− y0‖ ≤ d e, como y0 ∈ K, tem-se

‖x− y0‖ = d = inf {‖x− y‖ : y ∈ K} = d(x,K).




Suponhamos que existem y0 e y′0 tais que y0 6= y′0 e ‖x− y0‖ = ‖x− y′0‖ = d.Usando a igualdade do paralelogramo temos∥∥∥∥

(x− y0) + (x− y′0)

2

∥∥∥∥

2

+

∥∥∥∥

(x− y0)− (x− y′0)

2

∥∥∥∥

2

=1

2‖x− y0‖

2 +1

2

∥∥x− y′0

∥∥

2= d2

e, portanto,∥∥∥∥x− y0 + y′0

2

∥∥∥∥

2

+

∥∥∥∥

y0 − y′02

∥∥∥∥

2

= d2.

Assim,∥∥∥∥x− y0 + y′0

2

∥∥∥∥

2

< d2

o que é absurdo pois d = d(x,K) e, porque K é convexo, temosy0 + y′0

2∈ K.

Logo y0 é único.



Observação 4.2.5Se H é um espaço de Hilbert, então podemos substituir K completo por Kfechado.



Teorema 4.2.6

Sejam H um espaço de Hilbert e M um subespaço fechado de H . Então

H =M ⊕M⊥.



Demonstração do teorema 4.2.6.Sendo H completo e M um subconjunto fechado de H , M também é completo.Além disso, por M ser um subespaço de H também é convexo. Pelo Teorema4.2.4, para cada x ∈ H , existe um e um só m0 em M tal que

‖x−m0‖ = inf {‖x−m‖ : m ∈M} = d(x,M).

Pelo Teorema 4.2.3, x−m0 ∈M⊥. Ora

x = m0 + (x−m0) ,

m0 ∈M e x−m0 ∈M⊥. Logo

H =M +M⊥.

Além disso, já vimos que se tem

M ∩M⊥ = {0} ,o que termina a demonstração.



Corolário 4.2.7Se M é um subespaço fechado de um espaço de Hilbert, então

M =M⊥⊥.

Demonstração.

Já vimos que M ⊆M⊥⊥. Provemos a inclusão contrária. Seja x ∈M⊥⊥. Peloteorema anterior temos

H =M ⊕M⊥

e, portanto,x = y + z

com y ∈M ⊆M⊥⊥ e z ∈M⊥. Mas então

x− y = z ∈M⊥⊥ ∩M⊥,

o que implica z = 0. Logo x = y ∈M .



Corolário 4.2.8Dado um subconjunto não vazio A de um espaço de Hilbert H , então osubespaço gerado por A, 〈A〉, é denso em H se e só se A⊥ = {0}.

Demonstração.

Seja x ∈ A⊥ e suponhamos que H = 〈A〉. Então x ∈ 〈A〉 e, portanto, existe umasucessão (xn) de elementos de 〈A〉 tal que xn → x. Como x ∈ A⊥ e A⊥⊥〈A〉,tem-se

0 = 〈xn, x〉 → 〈x, x〉quando n→ +∞. Assim, 〈x, x〉 = 0 e, portanto, x = 0. Logo A⊥ = {0}.Inversamente, suponhamos que A⊥ = {0}. Então 〈A〉⊥ = {0}. Pelo teoremaanterior temos

H = 〈A〉 ⊕ 〈A〉⊥ = 〈A〉.



Sejam H um espaço de Hilbert e M um subespaço fechado de H . O Teorema4.2.4 garante-nos que dado x ∈ H existe um e um só m0 ∈M tal que

‖x−m0‖ = inf {‖x−m‖ : m ∈M} = d(x,M).

Assim, podemos definir o operador

P : H → Htal que Px = m0 onde m0 é tal que

‖x−m0‖ = inf {‖x−m‖ : m ∈M} = d(x,M).

Este operador designa-se por projecção ortogonal de H sobre M . O teorema4.2.3 permite-nos afirmar que

Px = x para cada x ∈M e Px = 0 para cada x ∈M⊥.

Pelo Teorema 4.2.3 resulta que 〈x− Px, m〉 = 0 para qualquer m ∈M .Defina-se

Q : H → H por Qx = x− Px.António Bento (UBI) Análise Funcional 2006/2007 295 / 398


Teorema 4.2.9

Sejam H um espaço de Hilbert, M um subespaço fechado de H e P e Qdefinidos como anteriormente. Então

a) 〈Px, Qx〉 = 0 para cada x ∈ H ;

b) P e Q são aplicações lineares;

c) ‖Px‖2 + ‖Qx‖2 = ‖x‖2 para qualquer x ∈ H ;

d) 〈Px, y〉 = 〈x, Py〉 e 〈Qx, y〉 = 〈x, Qy〉 para quaisquer x, y ∈ H ;

e) ‖Px‖ ≤ ‖x‖ e ‖Qx‖ ≤ ‖x‖ para qualquer x ∈ H ;

f) ‖P‖ =

{

1 se M 6= {0}0 se M = {0} e ‖Q‖ =

{

1 se M 6= H0 se M = H

g) P 2 = P ◦ P = P e Q2 = Q ◦Q = Q;

h) N (P ) = R (Q) =M⊥ e N (Q) = R (P ) =M .



Demonstração do teorema 4.2.9a) Atendendo a que

Px = m0 ∈Me

Qx = x− Px = x−m0 ∈M⊥,temos

〈Px, Qx〉 = 0

para cada x ∈ H .




b) Sejam x, y ∈ H e λ, µ ∈ K. Fazendo

m0 = Px e m1 = Py,

temos pelo teorema 4.2.3

x−m0 ∈M⊥ e y −m1 ∈M⊥.

Como M⊥ é um subespaço vectorial, resulta que

λ (x−m0) + µ (y −m1) = λx+ µy − (λm0 + µm1) ∈M⊥.Atendendo a que λm0 + µm1 ∈M , usando novamente o teorema 4.2.3 tem-se

P (λx+ µy) = λm0 + µm1 = λPx+ µPy,

o que mostra que P é linear.Como

Q = I − P,onde I é a identidade de H , a aplicação Q é linear.




c) Na alínea a) mostramos que

〈Px, Qx〉 = 0.

ComoPx+Qx = Px+ x− Px = x,

temos pelo Teorema de Pitágoras

‖x‖2 = ‖Px+Qx‖2 = ‖Px‖2 + ‖Qx‖2 .




d) Para quaisquer x, y ∈ H temos Px, Py ∈M e x− Px, y − Py ∈M⊥. Então〈Px, y〉 = 〈Px, (y − Py) + Py〉

= 〈Px, y − Py〉+ 〈Px, Py〉

= 〈Px, Py〉

= 〈x− (x− Px) , P y〉

= 〈x, Py〉 − 〈x− Px, Py〉

= 〈x, Py〉

e〈Qx, y〉 = 〈x− Px, y〉

= 〈x, y〉 − 〈Px, y〉

= 〈x, y〉 − 〈x, Py〉

= 〈x, y − Py〉

= 〈x, Qy〉 .




e) Pela alínea c) sabemos que para cada x ∈ H temos

‖Px‖2 + ‖Qx‖2 = ‖x‖2

e isto implica, para cada x ∈ H ,

‖Px‖ ≤ ‖x‖

e‖Qx‖ ≤ ‖x‖ .




f) Da alínea anterior temos que ‖P‖ ≤ 1. Se M 6= {0}, então encolhendox0 ∈M \ {0} temos Px0 = x0 e, portanto, ‖P‖ = 1. Se M = {0}, então

Px = 0 para cada x ∈ H

e, consequentemente, ‖P‖ = 0.

Pela alínea anterior tem-se ‖Q‖ ≤ 1. Se M 6= H , atendendo a que

H =M ⊕M⊥,

resulta que M⊥ 6= {0}. Assim, escolhendo y0 ∈M⊥ \ {0}, temos Py0 = 0 e,portanto, Qy0 = y0 − Py0 = y0, o que mostra que neste caso ‖Q‖ = 1. Alémdisso, se M = H , então

Px = x para cada x ∈ H

e, consequentemente, Q = I − P = 0 o que implica ‖Q‖ = 0.




g) Para cada x ∈ H , tem-se Px ∈M e, portanto,

P (Px) = Px para cada x ∈ H ,

o que mostra que P 2 = P ◦ P = P .

Por outro lado, para cada x ∈ H , temos

Q(Qx) = Qx− P (Qx)

= x− Px− P (x− Px)= x− Px− Px+ P (Px)

= x− Px= Qx

o que mostra que Q2 = Q ◦Q = Q.




h) Da definição de P resulta que

Px = 0é equivalente a

x− 0 = x ∈M⊥

e, por conseguinte,N (T ) =M⊥.

Além disso, tem-se por definição

Px ∈M para cada x ∈ He

Px = x para cada x ∈M .

Logo R (P ) =M .

De modo semelhante mostra-se que N (Q) =M e que R (Q) =M⊥.









§4.3 Conjuntos ortonormados

Seja H um espaço com produto interno. Um conjunto

{eα ∈ H : α ∈ Λ}

diz-se ortonormado se para quaisquer α, β ∈ Λ se tem

〈eα, eβ〉 =

{

0 se α 6= β;1 se α = β.



Exemplos 4.3.11) Em ℓm2 o conjunto

{en ∈ ℓm2 : n = 1, . . . ,m} ,onde

en = (0, . . . , 0︸︷︷︸

n−1 zeros

, 1, 0, . . . , 0),

é um conjunto ortonormado.



Exemplos 4.3.12) No espaço ℓ2 o conjunto

{en ∈ ℓ2 : n ∈ N} ,

ondeen = (0, . . . , 0

︸︷︷︸

n−1 zeros

, 1, 0, 0, . . .),

é um conjunto ortonormado.



Exemplos 4.3.13) Em C[−π, π], o espaço das funções contínuas

x : [−π, π]→ R

munido com o produto interno

〈x, y〉 =

∫ π

−πx(t)y(t) dt,

o conjuntoA = {u} ∪ {vn : n ∈ N} ∪ {wn : n ∈ N} ,

com u, vn, wn ∈ C[−π, π] definidas por

u(t) =1√2π, vn(t) =

cos (nt)√π

e wn(t) =sen (nt)√π,

é ortonormado.



Teorema 4.3.2

Sejam H um espaço com produto interno, {e1, . . . , en} um subconjunto de Hortonormado e seja M o subespaço gerado por {e1, . . . , en}. Então

a) {e1, . . . , en} é uma base para M e, para cada x ∈M , tem-se

x =

n∑

k=1

〈x, ek〉 ek;

b) para cada x ∈ H , fazendo m0 =

n∑

k=1

〈x, ek〉 ek, tem-se

‖x−m0‖ = d(x,M),

ou seja, m0 é a melhor aproximação para x em M ; ou, de formaequivalente, x−m0 ∈M⊥;

c) para cada x ∈ H temosn∑

k=1

|〈x, ek〉|2 ≤ ‖x‖2 .



Demonstração do teorema 4.3.2a) Se x ∈M , então existem λ1, . . . , λn ∈ K tais que

x = λ1e1 + · · ·+ λnen =

n∑

k=1

λkek.

Então, para j = 1, . . . , n, vem

〈x, ej〉 =

⟨n∑

k=1

λkek, ej

⟩

=n∑

k=1

λk 〈ek, ej〉 = λj .

Logo x =n∑

k=1

〈x, ek〉 ek.

Por outro lado, seλ1e1 + · · ·+ λnen = 0,

então

λj = 〈0, ej〉 = 0, j = 1, . . . , n,

e, por conseguinte, {e1, . . . , en} é linearmente independente.




b) Para j = 1, . . . , n, temos

〈x−m0, ej〉 =

⟨

x−n∑

k=1

〈x, ek〉 ek, ej⟩

= 〈x, ej〉 −⟨n∑

k=1


= 〈x, ej〉 −n∑

k=1

〈x, ek〉〈ek, ej〉

= 〈x, ej〉 − 〈x, ej〉= 0

e, consequentemente, x−m0 ∈ {e1, . . . , en}⊥. Assim, x−m0 ∈M⊥ e peloteorema 4.2.3 tem-se ‖x−m0‖ = d(x,M).




c) Usando m0 definido como na alínea anterior, temos

0 ≤ 〈x−m0, x−m0〉

=

⟨

x−

n∑

k=1

〈x, ek〉 ek, x−

n∑

j=1

〈x, ej〉 ej

⟩

= 〈x, x〉−

n∑

j=1

〈x, ej〉〈x, ej〉−

n∑

k=1

〈x, ek〉〈ek, x〉+

n∑

k=1

〈x, ek〉

n∑

j=1

〈x, ej〉〈ek, ej〉

= ‖x‖2 −

n∑

j=1

|〈x, ej〉|2 −

n∑

k=1

〈x, ek〉〈x, ek〉+

n∑

k=1

〈x, ek〉〈x, ek〉

= ‖x‖2 −

n∑

j=1

|〈x, ej〉|2

o que mostra que

n∑

k=1

|〈x, ek〉|2 ≤ ‖x‖2.



Teorema 4.3.3

Seja {eα : α ∈ Λ} um conjunto ortonormado de um espaço com produto internoH . Para qualquer x ∈ H , o conjunto

S = {α ∈ Λ : 〈x, eα〉 6= 0}

é numerável.



Demonstração do teorema 4.3.3.Seja

Sn =

{

α ∈ Λ : |〈x, eα〉|2 >‖x‖2n

}

.

Da alínea c) do teorema 4.3.2 conclui-se que Sn não pode ter mais que n− 1elementos. Como

S =⋃

n∈NSn,

resulta que S é numerável.



Teorema 4.3.4

Sejam {eα : α ∈ Λ} um conjunto ortonormado de um espaço de Hilbert H e M ofecho do subespaço gerado por {eα : α ∈ Λ}, ou seja,

M = 〈{eα : α ∈ Λ}〉 .

Para cada x ∈ H temos

a)∑

α∈Λ

|〈x, eα〉|2 ≤ ‖x‖2 (desigualdade de Bessel);

b) x−∑

α∈Λ

〈x, eα〉 eα ∈M⊥.



Demonstração do teorema 4.3.4a) Pelo teorema 4.3.3 o somatório ou tem todos os termos nulos e é, portanto,nulo; ou tem um número finito de termo não nulos e o resultado já foidemonstrado no teorema 4.3.2/c); ou tem uma infinidade numerável de termosnão nulos e neste caso vai ser uma série convergente pois a sua sucessão dassomas parciais limitada por ‖x‖2 (ver teorema 4.3.2/c)). Assim, a série tambémvai ser limitada por ‖x‖2.




b) O conjuntoS = {eα ∈ H : 〈x, eα〉 6= 0}

é numerável, pelo que podemos ordenar os seus elementos e escrevê-los como umasucessão, ou seja,

S = {e1, e2, . . . , en, . . .} .

Façamos

sn =

n∑

k=1

〈x, ek〉 ek.



Demonstração do teorema 4.3.4 (continuação)Então, para m > n, tem-se

‖sm − sn‖2 =

∥∥∥∥∥

m∑

k=n+1

〈x, ek〉 ek∥∥∥∥∥

2

=

⟨m∑

k=n+1

〈x, ek〉 ek,m∑

j=n+1

〈x, ej〉 ej⟩

=

m∑

k=n+1

〈x, ek〉

m∑

j=n+1

〈x, ej〉〈ek, ej〉

=

m∑

k=n+1

〈x, ek〉〈x, ek〉

=m∑

k=n+1

|〈x, ek〉|2 .



Demonstração do teorema 4.3.4 (continuação)Já vimos que a série

∞∑

k=1

|〈x, ek〉|2

é convergente pelo quem∑

k=n+1

|〈x, ek〉|2

converge para zero quando n e m tendem para infinito. Portanto (sn) é umasucessão de Cauchy em H e, como H é completo, (sn) converge para algums ∈ H , ou seja,

s =

∞∑

k=1

〈x, ek〉 ek.



Demonstração do teorema 4.3.4 (continuação)Assim,

⟨

x−∞∑

k=1


= 〈x− s, ej〉

= 〈x, ej〉 − 〈s, ej〉= 〈x, ej〉 − 〈lim sn, ej〉= 〈x, ej〉 − lim 〈sn, ej〉= 〈x, ej〉 − lim 〈x, ej〉= 0

e, portanto,

x−∞∑

k=1

〈x, ek〉 ek ∈ {en ∈ H : n ∈ N}⊥ .



Demonstração do teorema 4.3.4 (continuação).Mas isto implica que

x−∑

α∈Λ

〈x, eα〉 eα ∈ {eα ∈ H : α ∈ Λ}⊥

e, portanto,x−

∑

α∈Λ

〈x, eα〉 eα ∈M⊥.



Um subconjunto ortonormado

{eα : α ∈ Λ}

de um espaço com produto interno H diz-se completo ou maximal se não forsubconjunto próprio de um outro subconjunto ortonormado de H .



Teorema 4.3.5

Sejam H um espaço de Hilbert e {eα : α ∈ Λ} um subconjunto ortonormado deH . As afirmações seguintes são equivalentes

a) {eα : α ∈ Λ} é completo (ou maximal);

b) se x ∈ {eα : α ∈ Λ}⊥, então x = 0;

c) para cada x ∈ H , x =∑

α∈Λ

〈x, eα〉 eα;

d) para cada x ∈ H , ‖x‖2 =∑

α∈Λ

|〈x, eα〉|2 (Igualdade de Parseval)



Demonstração do teorema 4.3.5a)⇒ b) Se b) não fosse verdade, então existiria x ∈ H \ {0} tal que

〈x, eα〉 = 0

para qualquer α ∈ Λ. Então

S = {eα : α ∈ Λ} ∪{x

‖x‖

}

seria um subconjunto ortonormado de H e {eα : α ∈ Λ} um seu subconjuntopróprio o que seria uma contradição pois

{eα : α ∈ Λ}

é maximal. Logo a)⇒ b).




b)⇒ c) Pelo teorema 4.3.4/b),

x−∑

α∈Λ

〈x, eα〉 eα

é ortogonal a eβ para qualquer β ∈ Λ. Logo

x−∑

α∈Λ

〈x, eα〉 eα = 0

e, portanto,x =

∑

α∈Λ

〈x, eα〉 eα.




c)⇒ d) Supondo quex =

∑

α∈Λ

〈x, eα〉 eα

temos

‖x‖2 =

⟨∑

α∈Λ

〈x, eα〉 eα,∑

β∈Λ

〈x, eβ〉 eβ⟩

=∑

α∈Λ

〈x, eα〉

∑

β∈Λ

〈x, eβ〉〈eα, eβ〉

=∑

α∈Λ

〈x, eα〉〈x, eα〉

=∑

α∈Λ

|〈x, eα〉|2 .




d)⇒ a) Se {eα : α ∈ Λ} não fosse maximal, existiria e ∈ H tal que

{eα : α ∈ Λ} ∪ {e}

seria ortonormado e, então, ter-se-ia

‖e‖2 =∑

α∈Λ

|〈e, eα〉|2 = 0,

o que é absurdo pois, como

{eα : α ∈ Λ} ∪ {e}

é ortonormado, temos de ter

‖e‖2 = 〈e, e〉 = 1.

Logo {eα : α ∈ Λ} é maximal.



Teorema 4.3.6

Um espaço de Hilbert H é separável se e só se qualquer subconjunto de Hortonormado completo é numerável.



Demonstração do teorema 4.3.6Se

{eα : α ∈ λ}é um subconjunto de H ortonormado e completo, então para cada α, β ∈ λ comα 6= β vem

‖eα − eβ‖2 = 〈eα − eβ, eα − eβ〉= 〈eα, eα〉 − 〈eα, eβ〉 − 〈eβ, eα〉+ 〈eβ, eβ〉= 2,

e, portanto,

B√2/2 (eα) ∩B√2/2 (eβ) = ∅.

Assim, dado S denso em H , cada bola B√2/2 (eα) intersectaria S em pelo menosum ponto pelo que S não é numerável se

{eα : α ∈ λ}não é numerável.



Demonstração do teorema 4.3.6 (continuação).Por outro lado, se

{e1, . . . , en, . . .}é um conjunto ortonormado completo, então, pelo teorema anterior,

S =

{

x ∈ H : x =

n∑

k=1

λkek, n ∈ N, λ1, . . . , λn ∈ Q

}

caso o espaço seja real, ou

S =

{

x ∈ H : x =

n∑

k=1

(αk + βki) ek, n ∈ N, α1, β1, . . . , αn, βn ∈ Q

}

caso o espaço seja complexo, é um subconjunto de H numerável e denso em H .Logo H é separável.









§4.4 Funcionais em espaços de Hilbert

Seja H um espaço com produto interno e z ∈ H . É fácil de ver a aplicaçãof : H → K definida por

f(x) = 〈x, z〉é linear e contínua, ou seja, é um funcional. Assim, é natural que nosinterroguemos se todos os funcionais são caracterizados desta forma. Nos espaçosde Hilbert isso acontece e o teorema que diz isso é conhecido como Teorema deRepresentação de Riesz.



Teorema 4.4.1 (Teorema de representação de Riesz)

Sejam H um espaço de Hilbert e f : H → K um funcional linear limitado. Entãoexiste um e um só z ∈ H tal que

f(x) = 〈x, z〉

para qualquer x ∈ H . Além disso,

‖f‖ = ‖z‖ .



Demonstração do teorema de representação de RieszSe f = 0, então fazemos z = 0 e temos

f(x) = 0 = 〈x, 0〉 para cada x ∈ H .

Se f 6= 0, então façamos

N = {x ∈ H : f(x) = 0}e escolhamos z0 ∈ N⊥ \ {0}. Para cada x ∈ H , fazendo

v = f(x)z0 − f(z0)x

temos

f(v) = f (f(x)z0 − f(z0)x)

= f(x)f(z0)− f(z0)f(x)

= 0

e, portanto, v ∈ N .



Demonstração do teorema de representação de Riesz (continuação)Assim,

0 = 〈v, z0〉= 〈f(x)z0 − f(z0)x, z0〉= f(x) 〈z0, z0〉 − f(z0) 〈x, z0〉

o que implica

f(x) =f(z0)

〈z0, z0〉〈x, z0〉

=

⟨

x,f(z0)

〈z0, z0〉z0

⟩

,

isto é, fazendo z =f(z0)

〈z0, z0〉z0, temos

f(x) = 〈x, z〉 para qualquer x ∈ H .



Demonstração do teorema de representação de Riesz (continuação)Vejamos agora que z é único. Se existissem z1, z2 ∈ H tais que

f(x) = 〈x, z1〉 = 〈x, z2〉

para qualquer x ∈ H , teríamos

〈x, z1 − z2〉 = 0

para qualquer x ∈ H e, por conseguinte,

〈z1 − z2, z1 − z2〉 = 0

o que implica z1 − z2 = 0, ou seja, z1 = z2. Logo z é único.



Demonstração do teorema de representação de Riesz (continuação).Se f = 0, então z = 0 e, consequentemente,

‖f‖ = 0 = ‖z‖ .

Se f 6= 0, então|f(x)| = |〈x, z〉| ≤ ‖x‖ ‖z‖

e, consequentemente, ‖f‖ ≤ ‖z‖. Por outro lado,

|f(z)|‖z‖ =

〈z, z〉‖z‖ =

‖z‖2‖z‖ = ‖z‖

o que implica ‖f‖ ≥ ‖z‖. Logo

‖f‖ = ‖z‖ .


§5.1 Lema de Zorn

Um conjunto parcialmente ordenado é um conjunto não vazio M onde estádefinida uma relação de ordem parcial, isto é, uma relação binária denotada por≤ e tal que

i) x ≤ x para cada x ∈M ; (reflexividade)

ii) se x ≤ y e y ≤ x, então x = y para cada x, y ∈M ; (simetria)

iii) se x ≤ y e y ≤ z, então x ≤ z; (transitividade)

Uma relação de ordem total ou uma cadeia é um subconjunto parcialmenteordenado M tal que para quaisquer x, y ∈M , x ≤ y ou y ≤ x.

Um majorante de um subconjunto N de um conjunto parcialmente ordenado Mé um elemento a ∈M tal que x ≤ a para qualquer x ∈ N .

Um elemento maximal de um conjunto parcialmente ordenado M é umelemento m ∈M tal que m ≤ x implica m = x.


§5.1 Lema de Zorn

Exemplos 5.1.11) O conjunto R com a relação de ordem habitual é um conjunto totalmente

ordenado. Além disso, R não tem elementos maximais.

2) Seja X um conjunto e consideremos o conjunto P(X) das partes de X . EmP(X) definamos a seguinte relação

A ≤ B se e só se A ⊆ B

onde A,B ∈P(X). Com esta relação de ordem P(X) é um conjuntoparcialmente ordenado.


§5.1 Lema de Zorn

Exemplos 5.1.13) Em Rn defina-se, para cada par de elementos de Rn, x = (x1, . . . , xn) ey = (y1, . . . , yn),

x ≤ y se e só se xi ≤ yi, i = 1, . . . , n.

O conjunto Rn com esta relação é um conjunto parcialmente ordenado.

4) O conjunto N com a relação

m ≤ n se e só se m divide n

é um conjunto parcialmente ordenado.


§5.1 Lema de Zorn

Lema 5.1.2 (Lema de Zorn)

Seja M 6= ∅ um conjunto parcialmente ordenado. Suponhamos que toda a cadeiaC ⊆M tem um majorante. Então M tem pelo menos um elemento maximal.

O Lema de Zorn é equivalente ao Axioma de Escolha e, por isso, nem todos osmatemáticos o aceitam. No entanto, vai ser o peça fundamental na demonstraçãodo Teorema de Hahn-Banach que apresentaremos na próxima secção.

Vejamos, a título de exemplo, como o utilizar para demonstrar que qualquerespaço vectorial E 6= {0} tem uma base de Hamel e que qualquer espaço deHilbert H 6= {0} tem um subconjunto ortonormado completo.


§5.1 Lema de Zorn

Teorema 5.1.3Todo o espaço vectorial E 6= {0} tem uma base de Hamel.

Demonstração.Seja M o conjunto de todos os subconjuntos de E linearmente independentes.Como E 6= {0}, existe x ∈ E \ {0} e por isso {x} ∈M , ou seja, M 6= ∅. Arelação de inclusão define uma relação de ordem parcial em M . Além disso, todaa cadeia C ⊆M tem um majorante; esse majorante é a união de todos oselementos de C. Pelo Lema de Zorn, M tem um elementos maximal B. Vejamosque B é uma base de Hamel.Seja Y = 〈B〉. Então Y é um subespaço de E e temos de ter Y = E, pois casocontrário, escolhendo z ∈ E \ Y teríamos que B ∪ {z} era um conjuntolinearmente independente diferente de B e com B ⊆ B ∪ {z} o que contradiz amaximalidade de M .Logo Y = E e consequentemente B é uma base de Hamel de E.


§5.1 Lema de Zorn

Teorema 5.1.4Todo o espaço de Hilbert H 6= {0} tem um subconjunto ortonormado completo.

Demonstração.Seja M o conjunto de todos os subconjuntos de H ortonormados. Como

H 6= {0}, existe x ∈ H \ {0} e, por conseguinte,

{x

‖x‖

}

é um conjunto

ortonormado, o que mostra que M 6= ∅. Além disso, com a relação de inclusão,M é um conjunto parcialmente ordenado em que toda a cadeia C ⊆M tem ummajorante que é a união de todos os elementos de C. Pelo Lema de Zorn, M temum elementos maximal B. Se B não fosse completo, pelo Teorema 4.3.5 existiria

z ∈ H tal que z ∈ B⊥ \ {0}. Então B ∪{z

‖z‖

}

seria um conjunto ortonormado

diferente de B e tal que B ⊆ B ∪{z

‖z‖

}

o que contradiz o facto de B ser

maximal. Logo B é um subconjunto de H ortonormado e completo.









§5.2 Teorema de Hahn-Banach

Seja E um espaço vectorial real. Uma aplicação p : E → R diz-se umasub-norma se

i) p(x) ≥ 0 para cada x ∈ E;

ii) p(λx) = λp(x) para cada x ∈ E e para cada λ ∈ [0,+∞[;

iii) p(x+ y) ≤ p(x) + p(y) para cada x, y ∈ E.

É fácil provar que

p(x) ≤ p(x− y) + p(y) e p(y) ≤ p(y − x) + p(x)

o que implica−p(y − x) ≤ p(x) − p(y) ≤ p(x− y)

e portanto|p(x)− p(y)| ≤ max {p(x− y), p(y − x)} .



Lema 5.2.1 (Lema da extensão)

Seja E um espaço vectorial real, M um subespaço próprio de E, p uma sub-normaem E e v ∈ E \M . Suponhamos que f :M → R é uma aplicação linear tal que

f(x) ≤ p(x) para cada x ∈M .

Então existe f :M ⊕ 〈{v}〉 → R linear e tal que

f(x) = f(x) para cada x ∈M

ef(x) ≤ p(x) para cada x ∈M ⊕ 〈{v}〉.



Demonstração do Lema da extensãoPara cada x ∈M ⊕ 〈{v}〉, existem m ∈M e λ ∈ R tais que x = m+ λv.Definindo, para um dado t ∈ R,

f(x) = f(m+ λv) = f(m) + λt

verifica-se facilmente que para qualquer t ∈ R, f :M ⊕ 〈{v}〉 → R é linear e

f(x) = f(x) para cada x ∈M.

Se λ = 0, então x ∈M ef(x) = f(x) ≤ p(x).



Demonstração do Lema da extensão (continuação)Se λ > 0, então

f(x) ≤ p(x) ⇔ f(m+ λv) ≤ p(m+ λv)

⇔ f(m) + λt ≤ p(m+ λv)

⇔ f(m

λ

)

+ t ≤ p(m

λ+ v)

⇔ t ≤ p(m

λ+ v)

− f(m

λ

)

e esta última desigualdade verifica-se desde que

t ≤ infz∈M

[p(z + v)− f(z)] .



Demonstração do Lema da extensão (continuação)Se λ < 0, então

f(x) ≤ p(x) ⇔ f(m+ λv) ≤ p(m+ λv)

⇔ f(m) + λt ≤ p(m+ λv)

⇔ f(

−mλ

)

− t ≤ p(

−mλ− v)

⇔ −f(m

λ

)

− p(

−mλ− v)

≤ t

e esta última desigualdade é válida desde que

t ≥ supw∈M

[−p(−w − v)− f(w)] .



Demonstração do Lema da extensão (continuação)Assim, para que

f(x) ≤ p(x) para cada x ∈M ⊕ 〈{v}〉é necessário escolher t de modo que

supw∈M

[−p(−w − v)− f(w)] ≤ t ≤ infz∈M

[p(z + v)− f(z)] .

Para isto ser possível temos de ter

supw∈M

[−p(−w − v)− f(w)] ≤ infz∈M

[p(z + v)− f(z)]

o que é equivalente a

−p(−w − v)− f(w) ≤ p(z + v)− f(z) para quaisquer w, z ∈M ,

ou equivalentemente,

f(z)− f(w) ≤ p(z + v) + p(−w − v) para quaisquer w, z ∈M .



Demonstração do Lema da extensão (continuação).Atendendo a que esta última desigualdade se verifica pois

f(z)− f(w) = f(z − w)

≤ p(z − w)

= p((z + v) + (−w − v))≤ p(z + v) + p(−w − v)

é possível escolher t ∈ R tal que

supw∈M

[−p(−w − v)− f(w)] ≤ t ≤ infz∈M

[p(z + v)− f(z)]

o que implicaf(x) ≤ p(x) para cada x ∈M ⊕ 〈{v}〉.



Teorema 5.2.2 (Teorema de Hahn-Banach em espaços vectoriais reais)

Seja E um espaço vectorial real, M um subespaço próprio de E e p umasub-norma em E. Suponhamos que f :M → R é uma aplicação linear tal que

f(x) ≤ p(x) para cada x ∈M .

Então existe f : E → R linear e tal que


ef(x) ≤ p(x) para cada x ∈ E.



Demonstração do teorema de Hahn-Banach (versão real)

Seja N o conjunto de todas as extensões lineares g : D(g)→ R de f tais que

g(x) ≤ p(x) para cada x ∈ D(g),

ou seja, g ∈ N se g : D(g)→ R é uma aplicação linear tal que D(g) é umsubespaço vectorial de E que contém M ,

g(x) = f(x) para cada x ∈M e g(x) ≤ p(x) para cada x ∈ D(g).

É claro que N não é vazio pois f ∈ N . Em N podemos definir a seguinte relação

g ≤ h se e só se h é uma extensão linear de g,

isto é, g ≤ h se e só se D(g) ⊆ D(h) e h(x) = g(x) para cada x ∈ D(g). Estarelação é uma relação de ordem parcial em N .



Demonstração do teorema de Hahn-Banach (versão real) (cont.)Para cada cadeia C de elementos de N definimos o funcional linear g da seguinteforma:

D(g) =⋃

g∈CD(g)

eg(x) = g(x) se x ∈ D(g).

Repare-se que g está bem definido pois se x ∈ D(g1) ∩D(g2) para g1, g2 ∈ Ctemos g1(x) = g2(x) pois g1 ≤ g2 ou g2 ≤ g1 já que C é uma cadeia. É óbvio queg ∈ N e que g ≤ g para cada g ∈ C, isto é, g é um majorante de C. Logo toda acadeia de elementos de N é majorada. Pelo Lema de Zorn, N tem um elementomaximal f .



Demonstração do teorema de Hahn-Banach (versão real) (cont.).

Vejamos que D(f) = E. Se D(f) 6= E, então escolhendo v ∈ E \D(f), pelo

Lema de extensão, existe ˜f : D(f)⊕ 〈{v}〉 → R linear e tal que

˜f(x) = f(x) para cada x ∈ D(f)

e˜f(x) ≤ p(x) para cada x ∈ D(f)⊕ 〈{v}〉,

o que contradiz o facto de f ser um elemento maximal de N . Logo D(f) = E e,portanto, tem-se

f(x) = f(x) para cada x ∈Me

f(x) ≤ p(x) para cada x ∈ Eo que demonstra o teorema.



Para obtermos uma versão do Teorema de Hahn-Banach que inclua espaçosvectoriais complexos precisamos do conceito de semi-norma.

Seja E um espaço vectorial. Uma aplicação p : E → R diz-se uma semi-normase

i) p(λx) = |λ| p(x) para cada x ∈ E e para cada λ ∈ K;

ii) p(x+ y) ≤ p(x) + p(y) para cada x, y ∈ E.



Teorema 5.2.3 (Teorema de Hahn-Banach generalizado)

Sejam E um espaço vectorial, M um subespaço próprio de E e p uma semi-normaem E. Suponhamos que f :M → K é uma aplicação linear tal que

|f(x)| ≤ p(x) para cada x ∈M .

Então existe f : E → K linear e tal que


e∣∣f(x)

∣∣ ≤ p(x) para cada x ∈ E.



Demonstração do teorema de Hanh-Banach generalizadoSe E é um espaço vectorial real, atendendo a que

f(x) ≤ |f(x)| ≤ p(x)

e a que uma semi-norma é uma subnorma, pela versão real do Teorema deHahn-Banach, existe f : E → R tal que

f(x) = f(x) para cada x ∈M e f(x) ≤ p(x) para cada x ∈ E.

Como para cada x ∈ E, f(x) ≤ p(x) e

−f(x) = f(−x) ≤ p(−x) = |−1| p(x) = p(x),

tem-se∣∣f(x)

∣∣ ≤ p(x) para cada x ∈ E,

o que demonstra o teorema no caso real.



Demonstração do teorema de Hanh-Banach generalizado (cont.)Se E é complexo, então designemos por ER e MR os espaços vectoriais E e M ,respectivamente, encarados como espaços vectoriais reais e defina-se

g :MR → R

porg(x) = Re f(x),

onde Re designa a parte real de um complexo (sendo a parte imaginária designadapor Im). Então g :MR → R é uma aplicação linear. Além disso, para cadax ∈M , temos

g(ix) = Re(f(ix)) = Re(if(x)) = − Im(f(x))

e, portanto,f(x) = g(x)− ig(ix)

para cada x ∈M .



Demonstração do teorema de Hanh-Banach generalizado (cont.)Atendendo a que

g(x) ≤ |g(x)| = |Re(f(x))| ≤ |f(x)| ≤ p(x),pela primeira parte desta demonstração, existe

g : ER → R

linear tal que

g(x) = g(x) para cada x ∈MR e g(x) ≤ p(x) para cada x ∈ ER.

Definamos f : E → C por

f(x) = g(x) − ig(ix).É óbvio que para quaisquer x, y ∈ E temos

f(x+ y) = f(x) + f(y).



Demonstração do teorema de Hanh-Banach generalizado (cont.)Além disso, como

f ((a+ bi)x) = f (ax+ bix)

= g (ax+ bix)− ig (i (ax+ bix))

= ag (x) + bg (ix)− ig(iax+ bi2x

)

= ag (x) + bg (ix)− ig (iax− bx)= ag (x) + bg (ix)− iag (ix) + big (x)

= (a+ bi) g (x)− i (a+ bi) g (ix)

= (a+ bi) (g (x)− ig (ix))

= (a+ bi) f(x)

tem-se que f : E → C é linear. Por outro lado, é óbvio que

f(x) = f(x) para cada x ∈M .



Demonstração do teorema de Hanh-Banach generalizado (cont.).Falta apenas mostrar que

∣∣f(x)

∣∣ ≤ p(x) para cada x ∈ E.

Para isso, recordemos que para qualquer número complexo na formatrigonométrica

z = a+ bi = ρ (cos θ + i sen θ) = ρ eiθ

o que implica|z| = ρ = e−iθ z.

Daqui resulta∣∣f(x)

∣∣ = e−iθ f(x) = Re

(e−iθ f(x)

)= Re

(f(e−iθ x)

)= g(e−iθ x)

≤ p(e−iθx) =∣∣e−iθ

∣∣ p(x) = p(x).



Teorema 5.2.4 (Teorema de Hahn-Banach em espaços normados)

Sejam E um espaço normado e M um subespaço vectorial de E. Suponhamos que

f :M → K

é um funcional linear limitado. Então existe um funcional linear limitado

f : E → K

tal quef(x) = f(x) para cada x ∈M

e ‖f‖E,K = ‖f‖M,K, onde

‖f‖E,K = sup{|f(x)| : x ∈ E, ‖x‖ = 1

}

e‖f‖M,K = sup {|f(x)| : x ∈M, ‖x‖ = 1} .



Demonstração do Teorema de Hahn-Banach em espaços normados

Se M = {0}, então f = 0 e a extensão é f = 0. Suponhamos que M 6= {0}.Para todo o x ∈M temos

|f(x)| ≤ ‖f‖M,K ‖x‖ .

Definindo p : E → R por p(x) = ‖f‖M,K ‖x‖ verifica-se facilmente que p é uma

semi-norma em E. Pelo Teorema 5.2.3 existe f : E → K linear tal que


e∣∣f(x)

∣∣ ≤ p(x) para cada x ∈ E,

ou seja,∣∣f(x)

∣∣ ≤ ‖f‖M,K ‖x‖ para cada x ∈ E.



Dem. do Teorema de Hahn-Banach em espaços normados (cont.).

Logo f é limitado e‖f‖E,K ≤ ‖f‖M,K .

Atendendo a que M ⊆ E também se tem

‖f‖E,K = sup{|f(x)| : x ∈ E, ‖x‖ = 1

}

≥ sup {|f(x)| : x ∈M, ‖x‖ = 1}= ‖f‖M,K .

Logo‖f‖E,K = ‖f‖M,K .



Corolário 5.2.5

Sejam E um espaço normado e x0 ∈ E \ {0}. Então existe um funcional linearlimitado f : E → K tal que

‖f‖ = 1

ef(x0) = ‖x0‖ .



Demonstração do Corolário 5.2.5.Seja M = 〈{x0}〉 e defina-se g :M → K por

g(λx0) = λ ‖x0‖ .

Então g é um funcional linear e limitado com ‖g‖ = 1. Pelo teorema anteriorexiste um funcional f : E → K tal que

f(x) = g(x) para cada x ∈M e ‖f‖ = ‖g‖ = 1.

Além disso,f(x0) = g(x0) = g(1.x0) = ‖x0‖ ,

o que prova o pretendido.



Corolário 5.2.6

Seja E um espaço normado. Para cada x ∈ E tem-se

‖x‖ = sup

{ |f(x)|‖f‖ : f ∈ E′, f 6= 0

}

.



Demonstração do Corolário 5.2.6.Se x = 0, então o resultado é trivial.Dado x ∈ E \ {0}, seja f0 : E → K o funcional do corolário anterior que verifica oseguinte

‖f0‖ = 1 e f0(x) = ‖x‖Assim,

sup

{ |f(x)|‖f‖ : f ∈ E′, f 6= 0

}

≥ |f0(x)|‖f0‖

= ‖x‖

Por outro lado, para qualquer f ∈ E′ tem-se |f(x)| ≤ ‖f‖ ‖x‖ o que implica

sup

{ |f(x)|‖f‖ : f ∈ E′, f 6= 0

}

≤ sup

{‖f‖ ‖x‖‖f‖ : f ∈ E′, f 6= 0

}

= ‖x‖ .

Logo

‖x‖ = sup

{ |f(x)|‖f‖ : f ∈ E′, f 6= 0

}

.









§5.3 Teorema de Banach-Steinhaus

Para demonstrarmos o Teorema de Banach-Steinhaus precisamos do Teorema daCategoria de Baire.

Seja A um subconjunto de um espaço métrico (X, d). Diz-se que A é raro ounenhures denso se A não tem pontos interiores, ou seja, intA = ∅.

Dizemos que A é de primeira categoria se A puder ser escrito como a reuniãonumerável de subconjuntos raros.

Se A não puder ser escrito como a reunião numerável de subconjunto raros,dizemos que A é de segunda categoria.

Teorema 5.3.1 (Teorema da Categoria de Baire)

Os espaços métricos completos são de segunda categoria.



Demonstração do Teorema da Categoria de BaireSeja X um espaço métrico completo e suponhamos que X é de primeiracategoria. Então

X =

+∞⋃

n=1

An

com intAn = ∅, n ∈ N. Como intA1 = ∅, A1 6= X e, portanto, X \A1 6= ∅ é umsubconjunto de X não vazio e aberto. Escolhamos x1 ∈ X \A1 tal que

Bε1(x1) ⊆ X \A1.

Por hipótese A2 é raro, ou seja, A2 não contém nenhum subconjunto de X abertoe não vazio. Em particular, não contém Bε1/2(x1), isto é,Bε1/2(x1) ∩X \A2 6= ∅. Como Bε1/2(x1) ∩X \A2 é um subconjunto de Xaberto e não vazio, existe x2 ∈ X tal que

Bε2(x2) ⊆ Bε1/2(x1) ∩X \A2 e ε2 ≤

ε12.



Demonstração do Teorema da Categoria de Baire (continuação)

Por indução, existe uma sucessão (xn) de elementos de X e uma sucessão (εn) denúmeros reais positivos tais que

Bεn+1(xn+1) ⊆ Bεn/2 (xn) ∩X \An+1 e εn+1 ≤

εn2.

A sucessão (xn) é uma sucessão de Cauchy pois Bεn+1(xn+1) ⊆ Bεn (xn) e

εn+1 ≤ε12n

e, como X é completo, existe x ∈ X tal que xn → x. Além disso,temos para n > m

Bεn (xn) ⊆ Bεm/2 (xm)

e, portanto,

d(xm, x) ≤ d(xm, xn) + d(xn, x) <εm2

+ d(xn, x) −→εm2.



Demonstração do Teorema da Categoria de Baire (continuação).

Logo x pertence a toda a bola Bεm (xm). Mas

Bεm (xm) ⊆ X \Am para cada m ∈ N

e isto implicax 6∈ Am para cada m ∈ N

e, por conseguinte,

x 6∈+∞⋃

m=1

Am = X

o que é absurdo.Logo X é de segunda categoria.



Teorema 5.3.2 (Teorema de Banach-Steinhaus)

Sejam E um espaço de Banach, F um espaço normado e (Tn)n∈N uma sucessãode operadores lineares contínuos de E em F . Suponhamos que para cada x ∈ E,existe Cx > 0 tal que

‖Tnx‖ ≤ Cx para qualquer número natural n.

Então a sucessão (Tn)n∈N é limitada em L (E,F ), ou seja, existe C > 0 tal que

‖Tn‖ ≤ C para qualquer número natural n.



Demonstração do Teorema de Banach-SteinhausPara cada número natural k, definamos

Ak = {x ∈ E : ‖Tnx‖ ≤ k para cada número natural n} .

EntãoAk =

⋂

n∈N{x ∈ E : ‖Tnx‖ ≤ k} =

⋂

n∈NT−1n

(BEk [0]

)

o que prova que os conjuntos Ak são fechados. Como para cada x ∈ E, existeCx > 0 tal que

‖Tnx‖ ≤ Cx para qualquer número natural n,

vem queE =

⋃

k∈NAk.



Demonstração do Teorema de Banach-Steinhaus (continuação)O Teorema de Baire garante-nos que existe um número natural m tal que Am teminterior não vazio. Assim, existem x0 ∈ E e r > 0 tais que

Br(x0) ⊆ Am.

Para cada x ∈ E \ {0}, definamos

x′ = x0 +r

2 ‖x‖x.

Então‖x′ − x0‖ =

r

2

e, portanto,x′ ∈ Br(x0) ⊆ Am

o que implica‖Tnx′‖ ≤ m para cada n ∈ N.



Demonstração do Teorema de Banach-Steinhaus (continuação).

Assim, para cada x ∈ E \ {0} vem

‖Tnx‖ =

∥∥∥∥Tn

(2 ‖x‖r

(x′ − x0)

)∥∥∥∥

=2 ‖x‖r‖Tn (x′ − x0)‖

≤ 2 ‖x‖r‖Tn (x′)‖+

2 ‖x‖r‖Tn (x0)‖

≤ 2 ‖x‖rm+

2 ‖x‖rm

=4m

r‖x‖

o que mostra que

‖Tn‖ ≤4m

rpara qualquer n ∈ N.









§5.4 Teoremas da aplicação aberta e do gráfico fechado

Para demonstrarmos o Teorema da aplicação aberta precisamos do lema que sesegue.

Lema 5.4.1

Sejam E e F dois espaços de Banach e T : E → F um operador linear limitado esobrejectivo. Então T

(BE1 (0)

)contém uma bola aberta de F centrada 0.



Demonstração do Lema 5.4.1Seja B a bola aberta de E de centro 0 e raio 1/2, ou seja,

B = BE1/2(0).

Para cada x ∈ E, existe um número k tal que

x ∈ BEk/2(0) = kB

e, portanto,

E =

+∞⋃

k=1

kB.

Atendendo a que T é sobrejectivo vem

F = T (E) = T

(+∞⋃

k=1

kB

)

=

+∞⋃

k=1

kT (B) =

+∞⋃

k=1

kT (B).



Demonstração do Lema 5.4.1 (continuação)Como F é completo, pelo Teorema da Categoria de Baire, tem-se que um dosconjunto kT (B) tem interior não vazio e, por conseguinte, contém uma bolaaberta. Atendendo a que

kT (B) = kT (B),

T (B) também contém uma bola aberta, isto é, existe y0 ∈ T (B) tal que

BFε (y0) ⊆ T (B).

Isto implica que

BFε (0) = {−y0}+BFε (y0) ⊆ {−y0}+ T (B).

Vejamos que BFε (0) ⊆ T (BE1 (0)). Para isso basta mostrar que

{−y0}+ T (B) ⊆ T (BE1 (0)).



Demonstração do Lema 5.4.1 (continuação)

Seja y ∈ {−y0}+ T (B). Então

y + y0 ∈ T (B)

e, como y0 ∈ T (B), existem sucessões (wn)n∈N e (zn)n∈N de elementos de Btais que

un = Twn → y + y0

evn = Tzn → y0.

quando n→ +∞. Então

‖wn − zn‖ ≤ ‖wn‖+ ‖zn‖ <1

2+

1

2= 1

e, portanto, wn − zn ∈ BE1 (0).



Demonstração do Lema 5.4.1 (continuação)Atendendo a que

T (wn − zn) = Twn − Tzn = un − vnvem que

T (wn − zn)→ yquando n→ +∞ e, portanto,

y ∈ T (BE1 (0)).

LogoBFε (0) ⊆ T (BE1 (0)).



Demonstração do Lema 5.4.1 (continuação)Podemos agora provar que

BFε/2(0) ⊆ T (BE1 (0)).

Comecemos por observar que

Bε/2n(0) =1

2nBε(0)

⊆ 1

2nT (BE1 (0))

=1

2nT (BE1 (0))

= T

(1

2nBE1 (0)

)

= T (BE1/2n(0))




Seja y ∈ BFε/2(0). Então y ∈ T (BE1/2(0)) e, portanto, existe v ∈ T (BE1/2(0)) talque

‖y − v‖F < ε/4.Como v ∈ T (BE1/2(0)), existe x1 ∈ BE1/2(0) tal que v = Tx1 e, portanto,

‖y − Tx1‖F < ε/4.

Assim,y − Tx1 ∈ BFε/4(0) ⊆ T (BE1/4(0))

e, consequentemente, existe x2 ∈ BEε/4(0) tal que

‖y − Tx1 − Tx2‖F ≤ ε/23

pelo quey − Tx1 − Tx2 ∈ BFε/23 (0) ⊆ T (BE1/23(0)).




Por indução prova-se que existe uma sucessão (xn)n∈N tal que

xn ∈ BEε/2n+1(0) e

∥∥∥∥∥y −

n∑

k=1

Txk

∥∥∥∥∥F

<ε

2n+1.

Seja zn = x1 + · · ·+ xn. Então para n > m temos

‖zn − zm‖E = ‖xm+1 + · · ·+ xn‖E≤ ‖xm+1‖E + · · ·+ ‖xn‖E

≤n∑

k=m+1

1

2k+1

o que mostra que (zn) é uma sucessão de Cauchy. Como E é completo, (zn)converge para algum x ∈ E.



Demonstração do Lema 5.4.1 (continuação).Além disso,

‖x‖E =

∥∥∥∥∥

∞∑

k=1

xk

∥∥∥∥∥E

≤∞∑

k=1

‖xk‖E ≤∞∑

k=1

1

2k+1=

1

2< 1,

ou seja, x ∈ BE1 (0). Por outro lado, tem-se

‖y − Tzn‖F =

∥∥∥∥∥y − T

(n∑

k=1

xk

)∥∥∥∥∥F

=

∥∥∥∥∥y −

n∑

k=1

T (xk)

∥∥∥∥∥F

<ε

2n+1,

o que mostra que a sucessão (Tzn) converge para y. Como T é contínuo, (Tzn)tem de convergir para Tx pois (zn) converge para x. Logo y = Tx e, atendendo aque x ∈ BE1 (0) vem que y ∈ T

(BE1 (0)

). Logo

BFε/2(0) ⊆ T (BE1 (0)),

o que termina a demonstração.



Teorema 5.4.2 (Teorema da aplicação aberta)

Sejam E e F espaços de Banach e T : E → F um operador linear limitado esobrejectivo. Então T é uma aplicação aberta, ou seja, a imagem por T de umaberto de E é um aberto de F .



Demonstração do Teorema da Aplicação AbertaSejam A um aberto de E e y ∈ T (A). Então existe x ∈ A tal que

y = Tx.

Como A é aberto, existe r > 0 tal que

BEr (x) ⊆ A.

Pelo lema anterior, existe ε > 0 tal que

BFε (0) ⊆ T (BE1 (0)).



Demonstração do Teorema da Aplicação Aberta (continuação)

Vejamos que BFrε(Tx) ⊆ T (BEr (x)) ⊆ T (A). Seja z ∈ BFrε(Tx). Então

‖z − Tx‖F < rε

o que implica ∥∥∥∥

z

r− Txr

∥∥∥∥F

< ε,

isto é,z

r− Txr∈ BFε (0) ⊆ T (BE1 (0)).



Demonstração do Teorema da Aplicação Aberta (continuação).Mas isto implica que

z − Tx ∈ rT (BE1 (0))

o que é equivalente az ∈ Tx+ T (rBE1 (0))

o que por sua vez é equivalente a

z ∈ T (BEr (x)) ⊆ T (A).

Logo T (A) é aberto o que demonstra que T é uma aplicação aberta.



Corolário 5.4.3Sejam E e F espaços de Banach e T : E → F um operador linear limitado ebĳectivo. Então T−1 : F → E é um operador linear limitado.

Demonstração.

Como T transforma abertos de E em aberto de F , T−1 é uma aplicaçãocontínua. Ora T−1 : F → E é linear e, por conseguinte, T−1 é um operador linearcontínuo.



Sejam E e F espaços de Banach. Em E × F define-se uma norma da seguinteforma:

‖(x, y)‖E×F = ‖x‖E + ‖y‖F .Com esta norma E × F é um espaço de Banach.

Se T : E → F é uma aplicação linear (não necessariamente contínua), define-se ográfico de T como sendo o conjunto

G(T ) = {(x, Tx) ∈ E × F : x ∈ E} .

Teorema 5.4.4 (Teorema do gráfico fechado)Sejam E e F espaços de Banach e seja T : E → F uma aplicação linear. Se ográfico de T é fechado em E × F , então T é contínua.



Demonstração do Teorema do gráfico fechado.Como G(T ) é um subconjunto fechado de E × F , G(T ) é completo. Além disso,G(T ) é um subespaço vectorial de E × F e, consequentemente, G(T ) é umespaço de Banach. Seja π : G(T )→ E a aplicação de projecção canónica definidapor π(x, Tx) = x. O operador π é obviamente linear e contínuo pois

‖π(x, Tx)‖E = ‖x‖E ≤ ‖x‖E + ‖Tx‖F = ‖(x, Tx)‖E×F .

Também é fácil ver que π é sobrejectivo. Logo π−1 é contínuo, ou seja, existeC > 0 tal que

‖(x, Tx)‖E×F ≤ C ‖x‖Epara cada x ∈ E. Então

‖Tx‖F ≤ ‖x‖E + ‖Tx‖F = ‖(x, Tx)‖E×F ≤ C ‖x‖Epara cada x ∈ E, o que mostra que T é contínuo.


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