análise em frequência

Chedas Sampaio, Maro 2013 16-03-2013

Anlise em frequncia 1

por Chedas Sampaio

Maro 2013

Anlise em frequncia

Anlise em frequncia

1

ESTRUTURA DA APRESENTAO

Quantificao da vibrao

Vibrao peridica

Anlise em frequncia

Anlise em frequncia

2



QUANTIFICAO DA VIBRAO

Anlise em frequncia

3

Como quantificar a vibrao?

Anlise em frequncia


2 0 2 4 6 8 10

2

2

t

( )tx

4



PICO

Anlise em frequncia


Uma forma ser obviamente medir a maior amplitude devibrao ou PICO.

2 0 2 4 6 8 10

2

2

t

pico

Mas ser suficiente?

( )tx

5

PICO

Anlise em frequncia


Vejamos estas duas vibraes:

0 1 2 3 4 520

0

20

0 1 2 3 4 520

0

20

Pico=19.3

Pico=16.4

A

B

6



PICO

Anlise em frequncia


Vejamos estas duas vibraes:

0 1 2 3 4 520

0

20

0 1 2 3 4 520

0

20

Pico=19.3

Pico=16.4

A

B

De facto A apresenta um pico superior. Mas, tambm verdade que B apresenta valores superiores a maior parte do tempo.

Ento, como traduzir esta situao?

7

RMS

Anlise em frequncia


A soluo est no Root Mean Square ou valor eficaz:

x t( )

t

0 1 2 3 4 5 6

2

1

1

2

=T

dttxT

RMS0

2 )(1N

x

RMS

N

ii

=

=

1

0

2ou

8



RMS

Anlise em frequncia


A soluo est no Root Mean Square ou valor eficaz:

x t( )

t

0 1 2 3 4 5 6

2

1

1

2

N

x

RMS

N

ii

=

=

1

0

2

T

t [s]

x0

=x0

2

x1

+x12

x2

+x22

xi

...+xi2

xN-1

...+xN-12

N

9

RMSQuantificao da vibrao

Voltando ao nosso exemplo:

RMS=6.9

RMS=7.8

Pico=19.3

Pico=16.4

0 1 2 3 4 520

0

20

0 1 2 3 4 520

0

20

A

B

N

x

RMS

N

ii

=

=

1

0

2

Anlise em frequncia

10



Em que unidades de medida se medir a vibrao?

Anlise em frequncia


2 0 2 4 6 8 10

2

2

t

( )tx

11

Deslocamento

Anlise em frequncia


2 0 2 4 6 8 10

2

2

t

O deslocamento ser naturalmente a unidade mais bviapois aquela que mais se aproxima da ideia de oscilao emtorno de um ponto mdio. Mais vibrao pode significar,como do senso comum, maiores amplitudes dedeslocamento.

( )tx ( )[ ]m tx

12



Deslocamento

Anlise em frequncia


2 0 2 4 6 8 10

2

2

t

Mas, se a amplitude se mantiver e a frequncia aumentartambm costumamos considerar que h mais vibrao.Ento como descrever esta situao?

( )tx

13

Velocidade

Anlise em frequncia


2 0 2 4 6 8 10

2

2

t

Basta derivar uma vez a funo deslocamento e, comosabemos, obtm-se a velocidade. A velocidade j contminformao sobre a frequncia.

( )[ ]mm/s tx&( )tx&

14



Acelerao

Anlise em frequncia


2 0 2 4 6 8 10

2

2

t

Se medimos velocidade tambm podemos medir aacelerao. Esta obtm-se derivando uma vez a velocidadee duas vezes o deslocamento.

( )[ ] [ ]gou m/s 2tx&&( )tx&&

15

VIBRAO PERIDICA

Anlise em frequncia

16



Vibrao harmnicaVibrao peridica

A forma mais simples de vibrao a Vibrao Harmnicaque um caso particular de vibrao peridica.

Todas as outras formas de vibrao no so mais que a somade vibraes harmnicas.

Anlise em frequncia

17

Vibrao harmnica - propriedadesVibrao peridica

Anlise em frequncia

X

( )pi += ftXtx 2cos)(T T

f 1=

=

=

Xx

f

)0(arccos

ou

2

pi

18



Vibrao harmnica relao entre unidades de medidaVibrao peridica

( )pi += ftXtx 2cos)(

( )pipipipi &&& +=

++= ftXftfXtx 2cos

22cos2)(

1 derivada

( ) ( ) ( )pipipipi &&&&&& +=++= ftXftXftx 2cos2cos2)( 22 derivada

Anlise em frequncia

19

Para as amplitudes de pico e fases podemos tirar asseguintes relaes:


Anlise em frequncia

( )pi &&& += ftXtx 2cos)(

( )pi &&&&&& += ftXtx 2cos)(

( )XfX pi2=& 2pi

+=&

( ) XfX 22pi=&& pi +=&&

fXX

pi2=&

&&

20



Graficamente a relao entre as trs unidades de medida,para uma frequncia superior a 1 Hz, :


Anlise em frequncia

x t( )

x t( )

x t( )

t0 1 2 3 4

1

0.5

0

0.5

1

21

Deslocamento e acelerao para uma velocidade constantede 0.001 mm/s:


Anlise em frequncia

0.0012 pi. f.

0.001

0.001 2. pi. f.

9.8

f1 10 4 1 10 3 0.01 0.1 1 10 100 1 103

1 10 81 10 71 10 61 10 51 10 41 10 3

0.01

0.1

1

10

Frequncia, Hz

Ace

l, V

el, D

esl

22



Soma de duas vibraes com a mesma frequncia

Vibrao harmnica soma de duas vibraes harmnicasVibrao peridica

Anlise em frequncia

( ) ( )( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( )( ) ( )[ ]

( )

+=

=

+=

+=+

+==

tXttX

tXtXXttXtXtxtx

tXtxtXtx

cos

sinsincoscossinsincoscos

sinsincoscoscos)()(cos)( cos)(

221

2121

2211

sin2X

com

cos21 XX +

X

( ) ( )

+=

++=

cos

sinatan

e

sincos

21

2

22

221

XXX

XXXX

23

Soma de duas vibraes com a mesma frequncia


Anlise em frequncia

( ) +tX cos uma vibrao harmnica com a mesma frequncia

24



Soma de duas vibraes com diferentes frequncias


Anlise em frequncia

( ) ( )( )( ) ( )( )

( ) ( )( )[ ]

+=

++=

++=+

+==

ttX

ttXtXtXtxtxtXtxtXtx

2cos

2cos2

coscos

coscos)()(cos)( cos)(

21

21

no uma vibrao harmnica

25

Soma de duas vibraes com diferentes frequncias


Anlise em frequncia

+ ttX

2cos

2cos2

quando



Uma vibrao harmnica pode ser representada por umvector rotativo no Plano de Argand (Plano dos NmerosComplexos):

Vibrao harmnica representao vectorialVibrao peridica

Anlise em frequncia

27

Uma vibrao harmnica pode ser representada por umvector rotativo no Plano de Argand (Plano dos NmerosComplexos):


Anlise em frequncia

Im

Re

X t ( ) +tjXe

( ) ( ) ( ) +++=+ tjXtXXe tj sincosFoi Euler que demonstrou:

projeco real projeco imaginria

j-unidade imaginria

28



Unidades de medida:


Anlise em frequncia

( ) ( ) += tjeXtX rr

( ) ( ) ( ) +== tjeXjtXdtd

tXrrr

& ( ) ( )tXjtX rr& =

( ) ( ) ( ) +== tjeXtXdtd

tXrrr

&& 22

2 ( ) ( )tXtX rr&& 2=Im

Re

t( )tXr( )tXr&

( )tX&&

1 derivada

2 derivada

29

Unidades de medida:


Anlise em frequncia

( ) ( ) += tjeXtX rr Deslocamento

( ) ( )tXjtX rr& =

( ) ( )tXtX rr&& 2=Im

Re

t( )tXr( )tXr&

( )tX&&

( ) ( )( ) ( ) +== tXtXtX cosRe r

( ) ( )( )

++==

2cosRe pi tXtXtX

r&& Velocidade

( ) ( )( ) ( )pi ++== tXtXtX cosRe 2r&&&& Acelerao

30



A soma de vibraes harmnicas com a mesma frequncia muito mais fcil usando vectores:


Anlise em frequncia

Im

Re

t

( )tX1r

( )tX 2r

( ) ( ) += tjeXtX rr( ) ( )

( )

+=+

+==

tXtxtxtXtxtXtx

cos)()(cos)( cos)(

21

2211

( ) ( )

+=

++=

cos

sinatan

e

sincos

21

2

22

221

XXX

XXXX

31

Vibrao peridicaVibrao peridica

Anlise em frequncia

32



Tempo versus frequnciaVibrao peridica

+

+

=

+

+

=

Anlise em frequncia

33

Frequncia

fundamental

(FF)

FF=1/


Anlise em frequncia

34




Anlise em frequncia

Frequncia (Perodo)todos 0:40

11223

4567

8910

11

Fase1 comboio 2:00

Tempo2:002:403:204:004:405:206:00

Mesma informao

35

ANLISE EM FREQUNCIA

Anlise em frequncia

36



ObjectivoAnlise em frequncia

O objectivo da Anlise em Frequncia a determinao dasharmnicas (amplitude, frequncia e fase) que compem o sinal.Desta forma possvel saber quais as frequncias mais importantes(maiores amplitudes) presentes no sinal em anlise.

A Anlise em Frequncia tem mltiplas aplicaes como asComunicaes, a Acstica, o Diagnstico de Avarias de mquinasrotativas, a Deteco de Dano em estruturas, etc...

Anlise em frequncia

37

Transformadas de FourierAnlise em frequncia

Segundo Joseph Fourier (1768-1830), qualquer funo complexa,peridica ou no peridica, pode ser decomposta numa srie decomponentes harmnicas de diferentes frequncias. Esta tcnicabaseia-se nas conhecidas Transformadas de Fourier :

Anlise em frequncia

( ) ( ) dtetxfX ftj pi2

= ( ) ( ) dfefXtx ftj pi2

=

38



Transformadas discretas de FourierAnlise em frequncia

As Transformadas de Fourier assumem no processamento de sinaldigital a seguinte forma:

Anlise em frequncia

( ) ( ) dtetxfX ftj pi2

= ( ) ( ) dfefXtx ftj pi2

=

NikjN

iik exN

Xpi21

0

1

=

= NikjN

iki eXx

pi21

0

=

=

1..0 = Nk 1..0 = Ni 39


... sendo conhecidas como Transformadas Discretas de Fourier, ou DFT(discrete fourier transforms).

Anlise em frequncia

NikjN

iik exN

Xpi21

0

1

=

= NikjN

iki eXx

pi21

0

=

=

DFT Directatempo frequncia

DFT Inversafrequncia tempo

40




a DFT que permite o clculo do espectro de frequncia a partir dosinal no tempo:

Anlise em frequncia

NikjN

iik exN

Xpi21

0

1

=

=

Sinal no TEMPO Sinal na FREQUNCIA

41


... ou a reconstituio do sinal no tempo a partir do espectro:

Anlise em frequncia


NikjN

iki eXx

pi21

0

=

=

42



NikjN

iik exN

Xpi21

0

1

=

=

DFT directaAnlise em frequncia

Vejamos o significado de cada varivel da expresso matemtica daDFT directa:

Anlise em frequncia

0 1 2 3 4

2

2

Sinal no tempo amostrado

43



Anlise em frequncia

0 1 2 3 4

2

2NikjN

iik exN

Xpi21

0

1

=

=

Incio do tempo de amostragem

Fim do tempo de amostragem

Tempo de amostragem

T

44





Anlise em frequncia

NikjN

iik exN

Xpi21

0

1

=

=

N total de amostras

(normalmente uma

potncia de 2 por

convenincia e rapidez

do algoritmo de clculo

no computador)

Amostra 0

x3

30

x0

2

x2

1

x1

N-2

xN-2

N-1

xN-1

i=

T [s]

x(t) xi

t [s] [ ]s NTi

45



Anlise em frequncia

NikjN

iik exN

Xpi21

0

1

=

=

sincos jzzze j =Equao de Euler

46




Demonstrao da Equao de Euler:

Anlise em frequncia

Como a derivada nula, f(x)=constante, como conhecemos f(0)

Multiplicando ambos os lados da equao porixe

cqd

47



Anlise em frequncia

NikjN

iik exN

Xpi21

0

1

=

=

logo, o somatrio de N nmeros complexos um nmero complexo...

( ) ( ) jXXX kkk ImRe +=

48




Anlise em frequncia

NikjN

iik exN

Xpi21

0

1

=

=

Este nmero complexo pode representar um vector girante velocidade kque no instante t=0 da aquisio estava na posio angular k (fase):


kXk

Plano de Argand

Real

Imag

k

49


Anlise em frequncia

NikjN

iik exN

Xpi21

0

1

=

=

Ora um vector girante tem projeco imaginria de:


( ) )sin(Im kkkk tXX +=

kXkkt +

Plano de Argand

Real

Imag

50



kXkkt +

Plano de Argand

Real

Imag


Anlise em frequncia

NikjN

iik exN

Xpi21

0

1

=

=

e tem projeco real de:


( ) )cos(Re kkkk tXX +=

51


Anlise em frequncia

NikjN

iik exN

Xpi21

0

1

=

= ( ) ( ) jXXX kkk ImRe +=

Imaginrio

Real

)sin( kkk tX +

)cos( kkk tX +

52




Anlise em frequncia

NikjN

iik exN

Xpi21

0

1

=

= ( ) ( ) jXXX kkk ImRe +=Se analisarmos a DFT de qualquer sinal real verificamos que cada nmerocomplexo tem o seu conjugado, ou seja,

*

kkN XX =Qual ser o significado destes dois complexos conjugados?

53


Anlise em frequncia

NikjN

iik exN

Xpi21

0

1

=

= ( ) ( ) jXXX kkk ImRe +=Se analisarmos a DFT de qualquer sinal real verificamos que cada nmerocomplexo tem o seu conjugado, ou seja,

*

kkN XX =Qual ser o significado destes dois complexos conjugados? O que acontece seos somarmos?

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]( ) ( )[ ] [ ] ( )kkk

kkkkkk

XjXXjXXXXXX

Re20ReRe

ImImReRe*

***

=++=

+++=+

54




Anlise em frequncia

NikjN

iik exN

Xpi21

0

1

=

= ( ) ( ) jXXX kkk ImRe +=Ou seja:

Imaginrio

Real

)sin(0 kk t +

)cos(2 kkk tX +

55


Anlise em frequncia

NikjN

iik exN

Xpi21

0

1

=

= ( ) ( ) jXXX kkk ImRe +=Em concluso, cada par de nmeros complexos conjugados, obtidos pela DFT,representa uma harmnica presente no sinal cuja amplitude (pico) e fase sodados por:

( )( ) ( )( )22 ImRe22 kkk XXX += ( )( )

=

k

k

XReXIm

atank

56




Anlise em frequncia

NikjN

iik exN

Xpi21

0

1

=

=

Observando a expresso da DFT vemos que k varia de 0 at N-1, ou seja,calculamos N harmnicas presentes no sinal x.

Destas N harmnicas, a correspondente a k=0 representa a componentecontnua do sinal e a k=N/2 representa por si s uma harmnica pois um valorreal.

E como sabemos qual a frequncia de cada uma das harmnicas presentes nosinal?

57


Anlise em frequncia

NikjN

iik exN

Xpi21

0

1

=

=

Tal como no tempo, tambm em frequncia o sinal discreto com Ncomponentes (k=0..N-1). Se o sinal adquirido em T segundos torna-se bvioque a frequncia mais pequena que pode ser identificada 1/T hertz. Estafrequncia corresponder a k=1. Assim, as restantes frequncias do espectrosero dadas por k/T:

No tempo, o intervalo entre amostras :

[ ]rad/s 122T

kfkk pipi ==

[ ]s NTdt =

Na frequncia, o intervalo entre componentes : [ ]Hz 1T

df =58




Anlise em frequncia

Como sabemos que a componente k=0 corresponde componente contnua f=0, acomponente k=N/2 harmnica de frequncia f=df N/2 e as restantes com osrespectivos pares conjugados s (N/2)-1 harmnicas, o espectro ter ento (N/2)+1linhas de frequncia igualmente espaadas de df hertz. Isto claro, contando com afrequncia 0 hz.

Componentes da DFT

02N 1N2N3N1 2 3 k kN

conjugados pares

02N1 2 3 k

Componentes do espectro

59


Anlise em frequncia

Ento, para obtermos o espectro de frequncia, s precisamos de calcular asprimeiras componentes de1

2+

NkX

++++=

NNj

NN

jN

jN

jexexexex

NX

0)1(2

1

202

2

102

1

002

00 ...1 pipipipi

NikjN

iik exN

Xpi21

0

1

=

= 2..0Nk =

++++=

NNj

NN

jN

jN

jexexexex

NX

1)1(2

1

212

2

112

1

012

01 ...1 pipipipi

++++=

NkNj

NN

kjN

kjN

kjk exexexexN

X)1(2

1

22

2

12

1

02

0 ...1 pipipipi

60




Anlise em frequncia

O espectro de frequncia ser, ento:

NikjN

iik exN

Xpi21

0

1

=

= 2..0Nk =

k=0

2|X3|

32

2|X2|

1

2|X1|

N/2

2|XN/2|

f [Hz]

|X0|

Tdf 1=

TNf 12max

=

][1 HzT

k

61


Anlise em frequncia

Resumindo, ao adquirirmos um sinal, temos de definir o perodo deamostragem, T , e o nmero de amostras, N, dessa aquisio.

Com estes dois parmetros definidos ficamos logo a saber que o nossoespectro ter N/2+1 frequncias, que a 1, diferente de zero, 1/T hz,a ltima (N/2)(1/T) e todas sero espaadas de 1/T hz.


62




Anlise em frequncia

Assim as amplitudes das componentes harmnicas que existirem nosinal coincidentes com k(1/T) aparecero no espectro, enquanto queas no coincidentes se dividiro pelas frequncias do espectro maisprximas.


63


Anlise em frequncia

EXEMPLOSuponhamos um sinal constitudo pelas seguintes harmnicas:

Amplitude Frequncia Fase1 1 pi/30.5 2 pi/63 3 pi/3

Adquiramos este sinal durante T=3 s e comN=256 amostras.

Como T=3 s e N=256 amostras, o espectrode frequncia ter N/2=128 frequncias,espaadas de df=1/T=0.333 Hz e a primeirafrequncia ser 1/T=0.333 Hz:

N de ordem dafrequncia

Linha doespectro (Hz)

1 0.3332 0.6673 14 1.3335 1.6676 27 2.3338 2.6679 310 3.333

128 42.667

64




Anlise em frequncia



Podemos vr que o espectro tem as linhasde frequncia exactas do nosso sinal:

Logo, aplicando a DFT, o espectro defrequncia apresentar com rigor acomposio harmnica deste.



1 0.3332 0.6673 14 1.3335 1.6676 27 2.3338 2.6679 310 3.333

128 42.667

65


Anlise em frequncia



Tk 1

66




Anlise em frequncia

EXEMPLOSuponhamos outro sinal constitudo pelas seguintes harmnicas:

Adquiramos este sinal durante T=3 s e comN=256 amostras.

Como T=3 s e N=256 amostras, o espectrode frequncia ter N/2=128 frequncias,espaadas de df=1/T=0.333 Hz e a primeirafrequncia ser 1/T=0.333 Hz:



1 0.3332 0.6673 14 1.3335 1.6676 27 2.3338 2.6679 310 3.333

128 42.667

Amplitude Frequncia Fase1 1.2 pi/30.5 2.4 pi/63 3.6 pi/3

67


Anlise em frequncia


As linhas do espectro sero as mesmas doexemplo anterior e, como podemos vr,nenhuma coincide exactamente com asfrequncias do sinal amostrado.

A consequncia disto o espectroseguinte:



1 0.3332 0.6673 14 1.3335 1.6676 27 2.3338 2.6679 310 3.333

128 42.667


68




Anlise em frequncia



Tk 1

69


Anlise em frequncia

EXEMPLO de notar que as componentes do sinal aparecem nas linhas doespectro mais prximas de 1.2, 2.4 e 3.6, ou sejam 1.333, 2.333 e3.667, respectivamente. Aparecem muitas componentes falsas deamplitude reduzida. Tambm, as amplitudes do EF so mais pequenasque as do sinal. como se cada componente derretesse para asvizinhas. Este problema conhecido como leakage.

70



DFT directa. Clculo do RMSAnlise em frequncia


Relembrando o Valor Eficaz ou RMS altura de introduzir a sua formade clculo a partir do espectro de frequncia:

Anlise em frequncia

N

x

RMS

N

oii

=

=

12 ( )

2

22/

1

2

20

=+=

N

kkX

XRMS71

DFT directa. Clculo do RMSAnlise em frequncia

DEMONSTRAOPor definio, a mdia quadrtica de um sinal harmnico contnuo dada por:

Anlise em frequncia

( ) ( )

( ) ( )24

2sin24

2sin2

sin

22

0

2

2

0

2

0

lim1lim

1lim1lim

AT

TAttA

dttAdttxMQ

T

T

T

T

T

T

T

T

TT

=

=

=

==

AAMQRMS 707.02

Logo2

===

cqd

Como o sinal composto por (N/2)+1 harmnicas:2

2/2

=

=

N

okkA

RMS

72



Fast Fourier TransformAnlise em frequncia

Vimos como se calcula a DFT ou o espectro de frequncia de um sinal.Cada uma das N/2+1 linhas do espectro calculada pela expresso:

Anlise em frequncia

...ou seja, necessrio efectuar N multiplicaes e N somas paracalcular cada amplitude de cada linha do espectro. Como so N/2+1linhas, ao todo so (N/2+1)*N*N operaes, o que muito quandopensamos em N=1024 ou superior.

++++=

NkNj

NN

kjN

kjN

kjk exexexexN

X)1(2

1

22

2

12

1

02

0 ...1 pipipipi

73


Nos anos 60 desenvolveu-se um algoritmo matemtico que permitiucalcular a DFT de forma muito mais rpida. A esse algoritmo chamou-se TRANSFORMADA RPIDA DE FOURIER ou FFT (fast fouriertransform). Hoje todos os analisadores de vibraes implementamesta tcnica. Falar em DFT ou FFT passou a significar o mesmo.

Anlise em frequncia

74




FFT

IFFT


A Fast Fourier Transform permite determinar quais as harmnicas(amplitude, frequncia e fase) que compem a vibrao medida.

Anlise em frequncia

75


A FFT, pelo facto de se aplicar a sinais temporais discretos, introduzalguns erros que de alguma forma deturpam a verdade dos valoresobtidos no espectro de frequncia.

A compreenso destes erros fundamental para percebermos overdadeiro significado do espectro obtido. Existem trs errosconhecidos por:

Anlise em frequncia

Aliasing

Windowing ou leakage

Picket fence effect

76



AliasingAnlise em frequncia

Claude Shannon e Harry Nyquist provaram que, para no se perder ainformao contida num sinal amostrado, necessrio que afrequncia de leitura ou amostragem (N de leituras/Perodo deamostragem) seja pelo menos o dobro da maior frequncia deinteresse contida no sinal. A esta frequncia usual chamar-sefrequncia de Nyquist:

Anlise em frequncia

Nyquista ffTNf == max2

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Vejamos o seguinte exemplo. Suponhamos que pretendemos adquirirum sinal que por acaso s tem uma frequncia de 4 hz:

Anlise em frequncia

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

1

1

fsinal=4 hz

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Se a frequncia de amostragem, fa, for igual frequncia do sinal,pensaremos que o sinal medido contnuo:

Anlise em frequncia

fa=4 hz fsinal=4 hz

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

1

1

79


Se a frequncia de amostragem, fa, for superior frequncia mximado sinal mas inferior ao seu dobro (freq.Nyquist), pensaremos que osinal medido tem uma frequncia inferior verdadeira:

Anlise em frequncia

fa=6 hz fsinal=4 hz

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

1

1

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Se a frequncia de amostragem, fa, for igual ou superior ao dobro dafrequncia mxima do sinal (freq.Nyquist), ento sim obteremos umaleitura correcta da frequncia presente:

Anlise em frequncia

fa=8 hz fsinal=4 hz

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

1

1

81


Por aliasing, entende-se o erro de confundir uma frequncia mais altapor outra mais pequena. Este erro s acontece quando a frequncia deamostragem inferior frequncia de Nyquist (2x fmxima presenteno sinal).

Anlise em frequncia

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Anlise em frequncia

Nos analisadores espectrais, ou colectores de dados, evita-se este errocom um filtro analgico passa-baixa. Como o filtro no evita aatenuao de algumas frequncias um pouco antes da frequncialimite, por causa do efeito de roll-off, usual a apresentao dasprimeiras N/2.56 linhas de frequncia e no as N/2 anteriormentereferidas.

Filtro passa-baixa ideal Filtro passa-baixa real

roll-off

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Assim, para as seguintes amostragens calcula-se o nmero de linhas defrequncia dos EF FFT:

N=2048 linhas de frequncia=2048/2.56=800

N=1024 linhas de frequncia=1024/2.56=400

Anlise em frequncia

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Nos analisadores espectrais, quando se pretende definir um espectroFFT, no se costuma escolher o perodo de amostragem, T, mas sim afrequncia mxima, fmx, e o nmero de amostras, N:

Anlise em frequncia

N amostras, N 1024 2048

Freq. mx, fmx 500 Hz 1000 Hz

N linhas espectro, N/2.56 400 800

Resoluo em frequncia,

df=fmx/(N/2.56)

1.25 Hz 1.25 Hz

Perodo de amostragem, T 0.8 s 0.8 s

Frequncia de amostragem, fa=N/T 1280 Hz 2560 Hz

Resoluo no tempo, dt=T/N 0.00078 s 0.00039 s

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Windowing (leakage)Anlise em frequncia

Na prtica nada nos garante que, quando medimos uma vibrao, operodo de amostragem escolhido coincida com um nmero inteiro deciclos. Alm disso, a vibrao real das mquinas normalmentecomposta por variadas contribuies a diferentes frequncias e fases.

Anlise em frequncia

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Anlise em frequncia

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EXEMPLOSPerodo de amostragem coincidente com um nmero inteiro de ciclos(harmnica de amplitude 1, fase 0 radianos e frequncia 8 hz):

0 0.5 1

1

1

0 10 20 30 400

1

2


Anlise em frequncia

EXEMPLOSPerodo de amostragem no coincidente com um nmero inteiro deciclos (harmnica de amplitude 1, fase 0 radianos e frequncia 8 hz):

0 0.5 1

1

1

0 10 20 30 400

1

2

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Anlise em frequncia

EXEMPLOSPerodo de amostragem no coincidente com um nmero inteiro deciclos da harmnica de maior frequncia:

0 0.5 1

5

5

0 10 20 30 400

1

2

Como podemos vr, a no existncia de um nmero inteiro de ciclos no sinalamostrado provoca no espectro FFT o aparecimento de falsas componentes defrequncia assim como a amplitude frequncia verdadeira surge mais pequena.Este efeito chama-se windowing, ou efeito de janela.

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Anlise em frequncia

A razo deste nome deve-se a que a parte amostrada do sinal sejacomo a parte do sinal real que vimos atravs de uma janela:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

5

5

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Anlise em frequncia

O erro de windowing pode ser reduzido se escolhermos a janelaadequada. At aqui usmos a janela rectangular mas existem outrasjanelas que, consoante o tipo de sinal, so aconselhadas pois reduzemsubstancialmente os erros de windowing.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

5

5

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Anlise em frequncia

Uma das janelas mais usadas na medio de vibraes peridicas emManuteno a janela Hanning. O objectivo desta janela conseguirque as amplitudes do espectro sejam mais prximas dos seus valoresverdadeiros e reduzir o nmero de componentes falsas do espectro.

0 0.5 1

10

10

0 10 20 30 400

1

2 ghn

gn

1 cos2 pi n dt

T

:=

92




Anlise em frequncia

No tempo verifica-se uma atenuao do sinal amostrado nos extremose, na frequncia, podemos constatar que a amplitude da maiorfrequncia se aproximou mais do seu valor real (X=2) e o nmero defalsas componentes diminuiu apesar das que restaram aumentaremem amplitude.

0 2 4 6 8 10

5

5

93


Anlise em frequncia

94(ref: Bruel & Kjaer BA 7683-11.28 )




Anlise em frequncia



Anlise em frequncia





Anlise em frequncia


Picket fence effect Anlise em frequncia

Anlise em frequncia

O picket fence effect, ou efeito de cerca, um erro da FFT que tem quever com a amostragem na frequncia, ou seja, com a escala defrequncia escolhida ou com o tempo de aquisio. Se determinadafrequncia do sinal no tem representao exacta no espectro entoaparecer na linha mais prxima.

Este erro pode ser atenuado aumentando o tempo de aquisio. Parano alterar a frequncia mxima do espectro poder aumentar-se onmero de amostras na mesma proporo do tempo.

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Picket fence effect Anlise em frequncia

Anlise em frequncia

O seu nome advm do facto de que quando olhamos algo e temosuma cerca de permeio, s conseguimos vr as partes que so visveispor entre as tbuas que formam essa cerca. Ficamos pois com umaimagem deformada da realidade. Quanto mais estreitas forem astbuas melhor ser a imagem pois teremos mais aberturas por ondeespreitar.

101

Picket fence effectAnlise em frequncia

Anlise em frequncia

Fazendo o paralelismo com a figura, as tbuas mais largas sero porexemplo o caso de um perodo T=1 s que originar um espectro com asfrequncias 1,2,3,...Hz e as tbuas mais estreitas seria o caso de umperodo T=5 s que originaria um espectro com as frequncias 0.2, 0.4,0.6, 0.8, 1,...Hz.

muro

Obviamente que neste ltimocaso obteremos muito maispormenor do contedo emfrequncia do sinal. No entanto,para um mesmo N o espectro dosinal amostrado em 1 s seria 5vezes mais largo que o espectrodo sinal amostrado em 5 s.

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Anlise em frequncia

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Erros da DFTAnlise em frequncia

(ref: Bruel & Kjaer BA 7683-11.28 )

Anlise em frequncia

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Erros da DFTAnlise em frequncia




Anlise em frequncia

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Analisador FFTAnlise em frequncia


Anlise em frequncia

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Anlise em frequncia

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Anlise em frequncia

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Analisador FFT - Anlise em tempo real Anlise em frequncia




Anlise em frequncia

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Anlise em frequncia

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FIM

Anlise em frequncia

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análise em frequência

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