análise dinâmica linear joão yoshiyuki ishihara. sob controle?
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Análise Dinâmica Linear
João Yoshiyuki Ishihara
Sob Controle?
História: Revolução Industrial
Controle de velocidadeProblema: ventos erráticos
que alimentam os moinhos de vento
História: Revolução IndustrialSolução: Fly-ball governor [1788] Sir James Watt (1736 - 1819) Projeto para máquinas a vapor rotatórias.
Arte do controle: intuição, tentativa-e-erro
Nascimento da teoria matemática de controle: On governos 1868
James Clerk MaxwellBorn: 13 June 1831 in Edinburgh, ScotlandDied: 5 Nov 1879 in Cambridge, Cambridgeshire, England
História: I Guerra Mundial
Problema: controle para navegação de navios
Solução: invenção do
giroscópio [1910]
controladores PID [1922, Minorsky].
O controlador permite o navio ficar parado em um lugar sem uma âncora!
História: II Guerra Mundial
Problema: Aeronaves voavam rápido demais para a artilharia
AA manuais.
Solução: controladores PID Eletro-mecânicos permitiram artilharia
AA automáticas.
•Breve Resumo Histórico:
• James Watt: construção do regulador centrífugo para controle de velocidade de uma máquina a vapor no século XVIII • Minorsky, 1922: sistema de pilotagem de navios. Estabilidade - Equações Diferenciais
• Nyquist, 1932: procedimento para determinar estabilidade de sistemas em malha fechada
• Hazen, 1934: Introdução da termo “servomecanismo” para sistemas de controle de posição. Projeto de servomecanismos e relés capazes de seguir uma entrada variável.
• Década de 40: Métodos de resposta em frequência tornaram possível aos engenheiros projetar sistemas de controle lineares com realimentação.
• Coração da Teoria de Controle Classico, 1940-1950: Desenvolvimento do método do lugar das raízes em projeto de sistema de controle (SISO)
• Evolução para sistemas MIMO a partir de 1960
• Estado da arte: controle ótimo, utilização de computadores, sistemas com apredizado e treinamento, controle adaptativo, controle robusto.
Regras Básicas para Engenharia
Conheça a física envolvidaModele a físicaProjete o controladorSimule o controlador no modeloValide na realidade
Terminologia Básica
•Planta (Plant): Parte de um equipamento ou conjunto de partes de uma máquina que funcionam integrados como um sistema. No contexto deste curso estaremos usando o termo planta como qualquer objeto físico a ser controlado.
•Processo: Neste curso estaremos utilizando este termo para identificar qualquer operação a ser controlada
Perturbação (distúrbio): Sinal que tende a afetar adversamente o comportamento da saída do sistema. Uma perturbação pode ser externa, funcionando como uma entrada, ou interna ao sistema.
Sistema de controle realimentado: sistema que tende a manter uma relação prescrita entre a entrada e a saída, por comparação.
Servomecanismo: sistema de controle com realimentação no qual a saída pode ser uma posição, velocidade ou aceleração.
Sistema regulador automático: sistema no qual a entrada de referência, ou a saída desejada, ou é constante ou varia lentamente no tempo. O principal objetivo é manter a a saída real em um valor desejado, na presença de perturbações.
Introdução
2. BASE MATEMÁTICA - TRANSFORMADA DE LAPLACE
• Método operacional que pode ser usado para solução de sistemas de equações diferenciais lineares
• Características da Transformada de Laplace: • Operações como diferenciação e integração podem ser substituídas por
operações algébricas no plano complexo. • A solução da equação diferencial (ED) pode ser encontrada através de uma
tabela de transformadas de Laplace ou pelo uso de técnicas de expansão em frações parciais.
• Vantagens:• Permite o uso de técnicas gráficas para prever o desempenho de um sistema
sem necessidade de resolução do sistema de Eds.• Quando se resolve um Sistema de Equacões Diferenciais (SED) pode ser
obter simultaneamente as soluções correspondentes aos regimes transitório e permanente.
A transformada de Laplace é definida como
Teoremas das transformadas de Laplace
Definição Teorema da linearidade Teorema do deslocamento de frequênciaTeorema do deslocamento no tempo Teorema do fator de escala Teorema da derivação
Teorema da integração
Teorema do valor final1
Teorema do valor inicial2
Exercício Considere o sistema mecânico mostra na figura. Suponha que o sistema é acionado por uma impulso unitário. Determine a oscilaçõ resultante. Suponha que o sistema está inicialmente em repouso.
k
x
Impulso (t)
m
A EDO que representa o sistema é dada por
)t(kxmdt
xd 2
2
Onde (t) é a entrada impulsiva (excitação impulsiva). Note que a transformada de Laplace do impulso é L[(t) ]=1. Portanto
tsen)t(f)s(XsX
skXxsxsXms
mk
mkkms11
2
2
100
1-L
Exemplo: Determinar a transformada inversa de 213
ss
s)s(F
Expandindo em franções parciais: 2121
3 21
sa
sa
sss
)s(F
Usando a fórmula kk
k aps
)ps()s(A)s(B
1
22
213
21
121
3
2
1
ss
sss
a
ss
sss
a
Exemplo (Cont)
02
212
2
tee)t(f
ss
S)s(F)t(f
tt
LLL 1-1-1-
tpk
k
k keaps
a
1-LVimos que
Exemplo 2 : Achar a transformada inversa de Laplace de
)s)(s(sss
)s(G21
795 23
2)(s
2)1)(s(s
300
485795
23
23
s
ssssss
)s)(s(s
s)s)(s(
sss)s(G
213
221
795 23
Portanto
)s(A)s(B
Note que o o último termo à direita se refere ao exemplo anterior
Então
213
2 1111
sss
s)s(G)t(f L1LLL
tt ee)t()t(D)t(f 222 Portanto
02 2 tee)t(f tt
Cuja solução é