análise de tensão
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Analise de tensoesTRANSCRIPT
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Capítulo 2 – Análise de tensãoCapítulo 2 – Análise de tensão
2.1 – Conceito de tensão em um ponto qualquer de 2.1 – Conceito de tensão em um ponto qualquer de um membro arbitrariamente carregadoum membro arbitrariamente carregado
Considere um corpo submetido às cargas F1, F2, F3, Fn como mostra a figura 2.1.
figura 2.1
2.1 – Conceito de tensão em um ponto qualquer de um 2.1 – Conceito de tensão em um ponto qualquer de um membro arbitrariamente carregado membro arbitrariamente carregado
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A natureza da distribuição de tensão em um ponto “o” pertencente a um plano não é uniforme, porém, qualquer força distribuída sobre uma pequena área A em torno do ponto de interesse “o” pode ser substituída por uma força resultante Fn e um conjugado n estaticamente equivalente, como mostra a figura 2.1.
Note que as linhas de ação de Fn e de n pode não coincidir com a direção de n
figura 2.1
2.1 – Conceito de tensão em um ponto qualquer de um 2.1 – Conceito de tensão em um ponto qualquer de um membro arbitrariamente carregado membro arbitrariamente carregado
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As tensões resultantes no ponto “o” são dadas por:
0
nnn
A
Fσ lim
A
0
ntn
A
Fτ lim
A
Como a área A é muito pequena, o momento n tende a se anular quando a distribuição de tensão se torna mais uniforme.
Considere que a direção normal do plano seja a direção x como mostra a figura 2.2. Neste caso temos que:
0
nx
A
Fτ lim
A
figura 2.2
2.1 – Conceito de tensão em um ponto qualquer de um 2.1 – Conceito de tensão em um ponto qualquer de um membro arbitrariamente carregado membro arbitrariamente carregado
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Analisando-se a distribuição de tensão em outros planos perpendiculares a , através do ponto “o”, determinando-se um cubo elementar submetido a um estado triaxial de tensão como mostra a figura 2.3.
figura 2.3
2.1 – Conceito de tensão em um ponto qualquer de um 2.1 – Conceito de tensão em um ponto qualquer de um membro arbitrariamente carregado membro arbitrariamente carregado
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A convenção de índices para as tensões é a seguinte:
a)As tensões normais aqui representadas pela letra e que tem um único índice para indicar a direção normal do plano que atuam.
b)As tensões tangenciais aqui representadas pela letra grega seguida de dois índices, onde o primeiro índice indica a direção normal do plano que atuam e o segundo índice indica a direção dos mesmos.
2.2 – O estado plano de tensões2.2 – O estado plano de tensões
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Pode-se obter uma boa noção da natureza da distribuição de tensões examinando um estado de tensões conhecido como estado bi-dimencional ou estado plano de tensões. Para este caso, admite-se que duas faces paralelas do elemento infinitesimal da figura 2.4 estão livres de tensões. Para fins de análise, fazemos com que essas faces sejam perpendiculares ao eixo z. Assim, z = zx = zy = xz = yz = 0.
Neste caso, a representação do elemento num esquema bi-dimencional é mais conveniente (Fig. 2.4).
figura 2.4
2.3 – Tensões normal e de cisalhamento em um plano 2.3 – Tensões normal e de cisalhamento em um plano qualquer de um ponto sob um estado plano de tensõesqualquer de um ponto sob um estado plano de tensões
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Deseja-se obter as tensões normais e de cisalhamento n e nt referentes a um plano arbitrário (cuja normal está orientada a um ângulo em relação ao eixo de referência) que passa por um ponto com as tensões conhecidas x ,ye xy = yx
Considere o estado plano de tensões para a figura 2.5.a, onde a linha tracejada A-A representa o traço de um plano qualquer que passa pelo ponto.
Na Fig. 2.5.b têm-se o diagrama de corpo livre de um elemento na forma de cunha, no qual as áreas da face são A para a face inclinada (plano A-A), A cos para a face vertical e A senpara a face horizontal .
As forças ilustradas no diagrama de corpo livre (fig. 2.5.b) são decompostas segundo os eixos n e t.
figura 2.5
(a)
(b)
2.3 – Tensões normal e de cisalhamento em um plano 2.3 – Tensões normal e de cisalhamento em um plano qualquer de um ponto sob um estado plano de tensõesqualquer de um ponto sob um estado plano de tensões
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A Fig. 2.6.a ilustra as forças devido às tensões normais x ,ydecompostas segundo os eixos n e t. Enquanto que a fig. 2.6.b ilustra as componentes das forças devido às tensões de cisalhamento xy e yx onde
(a) (b)
Fig. 2.6
2.3 – Tensões normal e de cisalhamento em um plano 2.3 – Tensões normal e de cisalhamento em um plano qualquer de um ponto sob um estado plano de tensõesqualquer de um ponto sob um estado plano de tensões
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O somatório das forças na direção n fornece:
Uma vez que xy e yx:
ou, em termos de ângulo duplo:
O somatório das forças na direção t fornece:
da qual
ou, em termos de ângulo duplo:
2.1
2.2
2.3 – Tensões normal e de cisalhamento em um plano 2.3 – Tensões normal e de cisalhamento em um plano qualquer de um ponto sob um estado plano de tensõesqualquer de um ponto sob um estado plano de tensões
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As equações 2.1 e 2.2 fornecem um meio para determinação das tensões normal e de cisalhamento em qualquer plano cuja normal externa seja perpendicular ao eixo z e esteja orientada em um ângulo em relação ao eixo de referência.
Quando forem usadas essas equações, as convenções de sinal utilizadas em seu desenvolvimento devem ser seguidas rigorosamente; caso contrário, pode-se obter resultados errados.
As convenções de sinal podem ser resumidas de seguinte maneira:
1 – As tensões trativas são positivas, as tensões compressivas são negativas;2 – Uma tensão de cisalhamento é positiva se estivera apontada para cima no
lado direito, no estado plano de tensões. Caso contrário serão negativas.
2.3 – Tensões normal e de cisalhamento em um plano 2.3 – Tensões normal e de cisalhamento em um plano qualquer de um ponto sob um estado plano de tensõesqualquer de um ponto sob um estado plano de tensões
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3 – Um ângulo medido no sentido anti-horário a partir do eixo de referência x é positivo. Inversamente, os ângulos medidos no sentido horário a partir do eixo de referência x são negativos.
2.4 – Tensões principais: máxima e mínima tensão 2.4 – Tensões principais: máxima e mínima tensão normal normal
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As equações 2.1 e 2.2 de transformação para o estado plano de tensões fornecem um meio de se determinar a tensão normal n e a tensão de cisalhamento nt em planos diferentes que passam por um ponto de um corpo sujeito a um carregamento.
Tensão normal n :
Tensão de cisalhamento nt :
(2.1)
(2.2)
As maiores tensão possíveis (tanto normal quanto de cisalhamento) e os planos em que atuam são de particular interesse, uma vez, que, geralmente, estão diretamente ligadas a uma falha estrutural.
2.4 – Tensões principais: máxima e mínima tensão normal2.4 – Tensões principais: máxima e mínima tensão normal
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Plotando as curvas de n e nt sob um mesmo gráfico verifica-se que a tensão de cisalhamento é nula para sobre planos que estão sujeitos ao valor máximo e mínimo de tensão normal, conforme exemplo da figura 2.7:
O valor máximo e mínimo (planos principais) ocorrerão para valores de para os quais dn/d = 0, resultando em:
(2.3)
figura 2.7
Os planos livres de tensão de cisalhamento são conhecidos como planos principais e as tensões normais que ocorrem nesses planos são as tensões principais.
ou
nx y xy
d( )sen2 2 cos2 0
d
σσ σ θ τ θ
θ
2.4 – Tensões principais: máxima e mínima tensão 2.4 – Tensões principais: máxima e mínima tensão normalnormal
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Como tg = tg(2 +180), existem dois valores de 2p que atendem à Eq. 2.3, conforme fig. 2.8. Portanto, os dois valores de p são defasados de 90º, e os planos das tensões máxima e mínima são mutuamente perpendiculares.
fig. 2.8
A duas tensões principais podem ser determinadas a partir da Eq. 2.3, conforme segue abaixo:
(2.4)
Pode ser demonstrado que 1 + 2 = x + y = + ( + 90º), ou seja, que a soma das tensões normais que atuam em planos ortogonais entre si, é constante.
2.4 – Tensão de cisalhamento máximo no ponto2.4 – Tensão de cisalhamento máximo no ponto
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A tensão de cisalhamento máxima no plano xy, p ocorre sobre os planos localizados pelos valores de para os quais dnt/d = 0, resultando em:
(2.5)ou
ntx y xy
d( )cos2 2 sen2 0
d
τσ σ θ τ θ
θ
A tensão de cisalhamento máxima podem ser determinadas a partir da Eq. 2.5, conforme segue abaixo:
Outra relação importante é obtida fazendo a subtração das tensões principais, 1 - 2 da equação 2.4 e comparando com equação 2.6, conforme segue:
(2.6)
(2.7)
2.4 – Tensão de cisalhamento máximo no ponto2.4 – Tensão de cisalhamento máximo no ponto
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Outra relação importante é obtida relacionando as Eq. (2.5) e Eq. (2.3):
p
1tg2
tg2τθ θ → o
p2 2 90τθ θ op 45τθ θ →
O que indica que os planos de cisalhamento máximo estão defasados de 45º.
Para um estado plano de tensão, a terceira tensão principal é nula, ou seja, 3 = 0.
Existem 3 casos a serem analisados. Conforme descrito nos slides seguintes.
2.4 – Tensão de cisalhamento máximo no ponto2.4 – Tensão de cisalhamento máximo no ponto
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1)1implica em máx e mín
max min 2max
2max
0
2 2
2
σ σ στ
στ
(2.8)
Atuando em planos defasados de 45º dos planos de direção principal 3 e 2. Nestes planos atua uma tensão normal dados pela Eq. 2.9.
max min 2n2,3
2n2,3
0
2 2
2
σ σ σσ
σσ
2.4 – Tensão de cisalhamento máximo no ponto2.4 – Tensão de cisalhamento máximo no ponto
)1implica em máx1 e mínonde
max min 1 2max 2 2
σ σ σ στ
Atuando em planos defasados de 45º dos planos principais 1 e 2. Nestes planos existem tensões normais dadas por:
x y1 2n1,2 2 2
σ σσ σσ
2.4 – Tensão de cisalhamento máximo no ponto2.4 – Tensão de cisalhamento máximo no ponto
)1implica em máx1 e mínonde
max 1max
0 0
2 2
σ στ
Atuando em planos defasados de 45º dos planos principais 1 e 3. Nestes planos existem tensões normais dadas por:
1 3 1n1,3 2 2
σ σ σσ
1max 2
στ →
2.4 – O círculo de Mohr para o estado plano de tensões2.4 – O círculo de Mohr para o estado plano de tensões
O círculo de Mohr consiste em um círculo onde as coordenadas de cada ponto deste círculo representam as tensões normais e tangenciais em um plano que passa pelo ponto submetido a tensões e onde a posição angular do raio fornece a orientação do plano.
Para entender como funciona o círculo de Mohr. reveja as Eq. 2.1 e 2.2:
(2.1)
(2.2)
Elevando as Equações ao quadrado, somando as expressões obtidas e simplificando, obtém-se
(2.3)2 2
x y x y2 2n nt xy2 2
σ σ σ σσ τ τ
2.4 – O círculo de Mohr para o estado plano de tensões2.4 – O círculo de Mohr para o estado plano de tensões
Percebe-se que a eq. 2.3 se trata da equação de círculo, conforme comparação abaixo.
Fig. (2.9)
2.4 – O círculo de Mohr para o estado plano de tensões2.4 – O círculo de Mohr para o estado plano de tensõesPara efeito de análise consideremos os componentes de tensão mostrados na Fig 2.10(a) com x maior do que y e plotando na Fig. 2.10(b) os pontos que representam as tensões dadas.
Fig. (2.10)
(a)
(b)
2.4 – O círculo de Mohr para o estado plano de tensões2.4 – O círculo de Mohr para o estado plano de tensões
Façamos algumas observações:
• Os planos vertical e horizontal são determinados pelos pontos V e H da fig. 2.10(a), respectivamente.
• O ponto H é determinado pelas tensões sobre o plano horizontal que passa pelo ponto.
• A linha CV representa o plano vertical da Fig. 2.10(a) que passa pelo ponto submetido a tensões a partir do qual o ângulo é medido, ou seja, estabelece a referência zero para o ângulo. No sentido horário é negativo e no sentido anti-horário é positivo.
• As coordenadas de cada ponto do círculo representam n e nt para um plano particular de tensão.
• A intersecção do círculo com os eixos das abcissas, determina as tensões principais.
2.4 – O círculo de Mohr para o estado plano de tensões2.4 – O círculo de Mohr para o estado plano de tensões• A abcissa representa n e a ordenada representa nt para demonstrar essa afirmação, desenhe qualquer raio CF na Fig. 2.10(b) a um ângulo 2, no sentido anti-horário a partir do raio CV. Da figura Fica aparente que: OF’ = OC + CF cos(2p – 2)
E como CF é igual à CV, a equação anterior reduz-se a:
OF’ = OC +CV cos2p cos2 + CV sen2p sen2
Com referência à fig. 2.10(b), observe que:
Portanto,
Esta expressão é idêntica à Eq. 2.1, portanto F’F = nt .
2.4 – O círculo de Mohr para o estado plano de tensões2.4 – O círculo de Mohr para o estado plano de tensões
Como a coordenada horizontal de cada ponto do círculo representa a tensão normal n em algum plano que passa pelo ponto, a tensão normal máxima do ponto é representada por OD, e seu valor é:
Que está de acordo com a equação 2.4.
2.4 – O círculo de Mohr para o estado plano de tensões2.4 – O círculo de Mohr para o estado plano de tensõesProcedimento para desenhar e usar o ciclo de Mohr para obter informações específicas sobre as tensões pode ser resumido da forma que segue: 1. Escolha um conjunto de eixos de referência x-y.
2. Identifique as tensões x, y , e xy = yx.
3. Desenhe um conjunto de eixos de coordenadas -com e positivos para a direita e para cima, respectivamente.
4. Plote o ponto (x, – xy) e chame-o de ponto V (plano vertical).
5. Plote o ponto (y, xy) e chame-o de ponto H (plano Horizontal).
6. Desenhe uma linha entre V e H. Essa linha determina o centro C e o raio R do círculo de Mohr.
7. Desenhe o círculo
8. Uma extensão do raio entre C e V pode ser identificada como o eixo x ou a linha de referência para as medidas de ângulos (i.e., = 0o).