análise de nusselt em um escoamento normal à uma placa isotérmica
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8/18/2019 Análise de Nusselt em um Escoamento Normal à Uma Placa Isotérmica
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1)A) Na posição em que =0,99:
= 5√
Logo:
= 5 = 5
Nas Notas de Aula 3, a espessura do deslocamento a espessura dodeslocamento (equação 95) é dada por:
= ∫ 1 0
Contudo, pelas equações da transformação de similaridade nas Notas de Aula 2:
=
Por isso:
=
Quanto aos limites de integração:Se = 0; = 0Se = ; = ∗
Substituindo na equação 95 das Notas de Aula 3:
= ∫ 1 0
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Ainda pelas Notas de Aulas 2, a equação 38:
=
Assim no limite superior da integral:
= 5 = 5
Logo:
= ∫ 1 50
Ainda pela transformação de similaridade na equação 22 das Notas de Aula 2:
, = ≡′ Substituindo a equação 22 das Notas de Aula 2 na equação de espessura e
deslocamento e ainda dividindo ambos os termos por
1 = ∫ 1 ′
= 15 ∫ 1 ′
Integrando: 1 = 15 lim→[ ]
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A partir das soluções para a transformação de similaridade:
= 5 = 3,2833 e = 0 = 0
Substituindo por valores numéricos:
1 = 15 lim→[ 5 0 3,28330] =0,344
Portanto:
1 = 0 , 2 l im→[ ] =0,344
1)B) A espessura de momentum é definida de acordo com a equação 96 das Notas de
Aulas 3
= ∫ 1
Utilizando as equações da transformação de similaridade já utilizadas no item 1)a)
=
E com os mesmo limites de integração:
Quanto aos limites de integração:
Se = 0; = 0Se = ; = ∗
Substituindo na equação de espessura do momentum:
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= ∫ 1 0
Já sabendo que:
= 5
= ∫ 1 50
Dividindo ambos os lados da equação por
2 = ∫ 1
= 15 ∫ 1
Também utilizando a transformação de similaridade das Notas de Aula 2:
, = ≡′ Logo a equação de espessura do momentum se torna:
= 15 ∫ ′ 1 ′
Calculando a integral numericamente a partir dos valores encontrados para e ′ no exercício 3 da Lista de Exercícios 2 é possível plotar o gráfico de pontos de ( 1 ) x e obter um polinômio que a descreva com uma boa precisão o
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comportamento da curva. No total foram utilizados 34 pontos. O gráfico pode ser visto a
seguir:
( 1
) x Gráfico 1 – Distribuição dos pontos de ( 1 )
Fonte: Autoria própria.
O polinômio obtido com o programa Microsoft Excel 2013 foi
= 0,000088 0,0022 + 0,01768 0,0427 0,0709 + 0,3188 + 0,00085 Plotando e calculando a integral nos devidos limites de integração com o uso do
programa Geogebra 5.0.2, tem-se que:
0
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0 1 2 3 4 5
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Gráfico 2 – Representação do cálculo numérico da integral a partir de um polinômio.
Fonte: Autoria própria.
Portanto calculando numericamente:
= 15 ∫ ( 1 ) ≈0,133186
Escrevendo em termos de 0
=0,40 ≈0,133
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1) Dada a equação 116 das Notas de Aula 3
+ 4 = 1314
Admitindo = =3²
= 3²
Substituindo na equação 116:
+ 4 ² 3² 1 = 1314
Rearranjando:
+ 43 = 1314
Observa-se que a equação 116 se tornou uma EDO de primeira ordem,
separando as variáveis: onde:
1 1314 1 =
34
Integrando em ambos os lados:
∫ 1 1314 1 = ∫ 34
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ln 1314 1 = l n − +
Elevando ambos os termos em
− =
Observa-se também que continua constante, adotando
=
1314 1 = −
Isolando
= 1314 1 + ³
Substituindo de volta = ³
³ = 1314 1 + ³
Aplicando a condição de contorno para calcular o valor da constante , quando: = → = 0 pois = 0
0 = 1314 1 + ³
Isolando
= 1314 1 ³
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Substituindo na equação principal
³ = 1314 1 + 1314 1 ³ ³
= 1314 1 1 ³
= 1314 1 1
Modificando algebricamente para a equação 118 das Notas de Aula 3:
= 11,025/ 1 /
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2) Dada a equação diferencial de terceira ordem na forma
+ + 12 + [1 ] = 0
Com as condições de contorno necessárias
a) Condição de não-deslizamento na parede: y = 0, u = 0;
b) Condição de parede impermeável: y = 0, v = 0;
c) Na extremidade externa da camada limite
lim→ = l i m→
Para o caso de um escoamento normal sobre uma placa plana (m = 1), logo
+ + [1 ] = 0 Para resolver o problema numericamente, a EDO de 3ª ordem é calculada como um
sistema de EDO de 1ª ordem em que:
′ = 1; ′′ = 2; ′′′ = 2 [1 1] Com as devidas condições de contorno:
0 = 0 ; ′0 = 0 ; ′∞ = 1
Após a obtenção da função f, pode ser aplicada para o cálculo do campo de
temperaturas
Por transformação de similaridade:
( , )
( )W
T x y T
T x T
Dessa forma
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1'' Pr ' Pr ' 0
2
m f f
Para m = 1 (escoamento normal) e 0 (placa isotérmica):
'' Pr ' 0 f
Com as seguintes condições de contorno:
(0) 1
( ) 0
Sabendo que a distribuição do coeficiente de atrito a partir da linha de estagnação é dado
por:
1/2, 0
2 '' Re f x xC f
E a distribuição do Número de Nusselt a partir da linha de estagnação é dado por:
1/2' 0 Re
x x Nu
A partir dos valores obtidos numericamente para
0 e
′
0
0 =1,2319 ′0 =0,5 Substituindo para o coeficiente de atrito e Número de Nusselt respectivamente:
, =2,4638−/ =0,5/
Plotando os gráficos:
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Gráfico 3 – Distribuição do coeficiente de atrito a partir da linha de estagnação.
Gráfico 4 – Distribuição do Número de Nusselt a partir da linha de estagnação.
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O bloco de código usando o algoritmo de Rung-Kutta é mostrado a seguir:
/***************************************************************************/
h = 0.001; nii = 0:h:10;
m = 1; n = 0; Pr = 0.72; f(1) = 0; d1(1) = 0; d2(1) = 1.231892; teta(1) = 1; t1(1) = -0.5;
for i=1:20000
k12(i) = ((-0.5-0.5*m)*(f(i)*d2(i))-m*(1-(d1(i)^2)));
k22(i) = ((-0.5-0.5*m)*((f(i)+0.5*h*k12(i))*(d2(i)+0.5*h*k12(i)))-m*(1-((d1(i)+0.5*h*k12(i))^2))); k32(i) = ((-0.5-0.5*m)*((f(i)+0.5*h*k22(i))*(d2(i)+0.5*h*k22(i)))-m*(1-
((d1(i)+0.5*h*k22(i))^2))); k42(i) = ((-0.5-0.5*m)*((f(i)+h*k32(i))*(d2(i)+h*k32(i)))-m*(1-
((d1(i)+h*k32(i))^2))); d2(i+1) = d2(i)+(h/6)*(k12(i)+2*k22(i)+2*k32(i)+k42(i));
k11(i) = d2(i); k21(i) = d2(i)+0.5*h*k11(i); k31(i) = d2(i)+0.5*h*k21(i); k41(i) = d2(i)+h*k31(i); d1(i+1) = d1(i)+(h/6)*(k11(i)+2*k21(i)+2*k31(i)+k41(i));
k1(i) = d1(i); k2(i) = d1(i)+0.5*h*k1(i); k3(i) = d1(i)+0.5*h*k2(i); k4(i) = d1(i)+h*k3(i); f(i+1) = f(i)+(h/6)*(k1(i)+2*k2(i)+2*k3(i)+k4(i));
g11(i) = (Pr*d1(i)*(teta(i))*n-(0.5+0.5*m)*Pr*f(i)*t1(i)); g21(i) = (Pr*d1(i)*(teta(i))*n-(0.5+0.5*m)*Pr*f(i)*t1(i))+0.5*h*g11(i); g31(i) = (Pr*d1(i)*(teta(i))*n-(0.5+0.5*m)*Pr*f(i)*t1(i))+0.5*h*g21(i); g41(i) = (Pr*d1(i)*(teta(i))*n-(0.5+0.5*m)*Pr*f(i)*t1(i))+h*g31(i); t1(i+1) = t1(i)+(h/6)*(g11(i)+2*g21(i)+2*g31(i)+g41(i));
g1(i) = t1(i); g2(i) = t1(i)+0.5*h*g1(i); g3(i) = t1(i)+0.5*h*g2(i); g4(i) = t1(i)+h*g3(i); teta(i+1) = teta(i)+(h/6)*(g1(i)+2*g2(i)+2*g3(i)+g4(i));
end
t1zero = t1(1); d2zero = d2(1);
/**************************************************************************************************/
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REFERÊNCIAS
1. ALTEMANI, C. A. C. Notas de Aula 2. 2016
2. ALTEMANI, C. A. C. Notas de Aula 3. 2016