análise de fourier
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Apresentação sobre Série de Fourier, Transformada Contínua e Discreta e suas propriedades.TRANSCRIPT
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Análise de FourierDia 1:
Filtragem no Domínio da FrequênciaDaniel Teixeira & Rafael Vieira
CRAb – Grupo de Computação Gráfica
Departamento de Computação
UFC
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Sumário
Histórico Fundamentos Série de Fourier Transformada de Fourier Contínua Transformada de Fourier Discreta Reconstrução de Imagens Amostragem, Alias e Interpolação Extensão 2D Propriedades:
Translação Rotação Periodicidade Espectro de Fourier e Ângulo de Fase Convolução em 2D
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0.1 Histórico
A Série de Fourier teve seus primeiros resquícios em 1807
Criada e Desenvolvida pelo francês Jean Baptiste Joseph Fourier
Em 1822, a publica em seu livro “La Théorie Analitique de la Chaleur”
Idéia inicialmente encontra ceticismo
Fourier, Jean B. J.
Em 1950, o francês Laurent-Moïse Schwartz ganha a medalha Fields pelo seu trabalho na teoria das distribuições
A teoria das distribuições expande a teoria da Transformada de Fourier
Schwartz consegue determinar a classe de funções ideais para a Transformada de Fourier - A classe Schwartz, em sua homenagem
Schwartz, Laurent-Moïse
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0.1 Histórico
Em 1965, os americanos Cooley e Tukey publicam um artigo com um algoritmo para a Transformada de Fourier Rápida – FFT, trabalhando no setor de pesquisas da IBM O algoritmo de FFT incluindo sua aplicação recursiva foi inventado em
1805 pelo alemão Carl Friedrich Gauss
Gauss não foi citado por Cooley e Turkey em seu artigo, mas foi descoberto anos mais tarde a cópia
Hoje, existem inúmeras versões para o algoritmo de FFT:
Prime-factor FFT algorithm Bruun's FFT algorithm Rader's FFT algorithm Bluestein's FFT algorithm
O algoritmo para FFT, que é uma aproximação para a DFT, é implementado em ferramentas como o Matlab e o Octave
Gauss, Johann Carl Friedrich
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0.2 Motivação e Aplicações
Motivação:
Aumenta o seu poder de análise sobre funções, analisamos uma função sobre dois domínios distintos o espaço e a freqüência
Certos atributos de um fenômeno físico ou digital podem ser analisados com mais exatidão no domínio da freqüência
Aplicações: Desenvolvedores de Circuitos Edição de Som Engenharia Espectrografia Cristalografia Comunicação e Sinais Digitais Teoria do Calor Processamento de Imagens
Foundations of Vision, Brian WendellDepartamento de Psicologia, StanfordAumente a frequência das linhas até ver verde.
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1.1 Fundamentos: Números Complexos
Os números complexos são uma extensão dos números reais. E portanto podem ser escritos da seguinte forma:
C(x,y) = R(x,y) + I(x,y), em que
R(x,y) denota a parte real
I(x,y) denota a parte imaginária
A parte imaginária possui um componente j, tal que:
Todo complexo possui seu conjugado de forma que:
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1.2 Fundamentos: Complexos: Forma Polar
Os complexos podem ser expressos também em coordenadas polares:
Em que, temos o módulo ou norma definida por:
E o ângulo definido por:
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1.3 Fundamentos: Complexos: Gráfico
Os complexos não podem ser representados no plano Cartesiano a não ser pelas suas normas.
Plano Cartesiano, usando as normas ao quadrado dos Complexos
(O espectro de energia: Power Spectrum)Plano Complexo ou Plano de
Argand
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1.4 Fundamentos:Fórmula de Euler
Fórmula de Euler:
Como conseqüência temos que:
E a identidade de Euler, considerada uma beldade da matemática:
Euler, Leonhard Paul
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1.5 Fundamentos: Função de Impulso
Função Delta de Dirac ou Impulso pode ser encarada
como um distribuição, tal qual definida por Schwartz:
Dirac, Paul
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1.6 Fundamentos: Função de Impulso - Propriedades
Demonstração:
f(x) é uma função qualquer
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1.7 Fundamentos: Trem de Impulsos(função de
amostragem ou combinação de Dirac)
Uma combinação de Dirac é uma distribuição de Schwartz periódica construída a partir de funções delta Dirac
T é o períodok varia de menos infinito a infinito
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1.8 Fundamentos: Convolução
f(t) e h(t) são duas funções quaisquer
“Gira e Desliza”
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1.9 Fundamentos: Teorema da Convolução
O teorema determina que uma filtragem no domínio da freqüência é equivalente a uma convolução no domínio do tempo e vice-versa.
h(t) e f(t) são duas funções quaisquer
F(u) é a transformada de Fourier de f(t)H(u) é a transformada de Fourier de h(t)
* Prova na página 210 do livro-texto.
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1.10 Fundamentos: Exemplo de Convolução 1D e Discreta
w(0) = 1w(1) = 2w(2) = 3w(3) = 2w(4) = 8
f(0)=0f(1)=0f(2)=0f(3)=1
g(x) é produto da convolução de w(x) e f(x):
g(2) = w(2-0)*f(0) + w(2-1)*f(1) + w(2-2)*f(2) + w(2-3)*f(3) + w(2-4)*f(4) = 2
f(4)=0f(5)=0f(6)=0f(7)=0f(8)=0
w(-0) = 1w(-1) = 2w(-2) = 3w(-3) = 2w(-4) = 8
Inverte-se w(x) e a desloca para alinhar-se com o 1º ponto de f(x),neste caso 0:
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1.11 Fundamentos: Teorema de Nyquist (ou Teorema da Amostragem)
A reconstrução de uma função
contínua limitada em [-B,B] é
realizável desde que o número
de amostras neste intervalo
seja maior que 2*B.
Isto é:
fs > 2*B
fs é a quantidade de amostras por segundo.
Nyquist, Harry Theodor
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1.12 Fundamentos: Funções Pares e Impares
• função par
• função ímpar
Exemplos: cosseno, |x|, x²
Exemplos: seno, x³, 1/x
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1.13 Fundamentos: Trigonometria
cos(A+B) = cosAcosB – senAsenB
sen(A+B) = senAcosB + senBcosA
cos²A + sen²A = 1
cos(t) = cos(t + 2π)
sen(t) = sen(t + 2π)
cosseno e seno são funções periódicas
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1.14 Fundamentos: Funções Periódicas
Um função é dita periódica, se:
T é o período da função
Exemplos: sinc, seno e cosseno
Relação entre período(T) e freqüência (f)
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1.15 Fundamentos: Oscilador Harmônico Simples
O movimento de um OHS pode
ser representado por uma senóide
As únicas funções nos reais cujas derivadas segundassão elas próprias invertidas são o seno e o cosseno.
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1.16 Fundamentos: Oscilador Harmônico Simples
O movimento de um OHS pode
ser representado por uma senóide
A : amplitude
n: frequência
α: ângulo de fase
Vejamos os três conceitos isoladamente e como atuam
na função.
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1.17 Fundamentos: Amplitude
Determina a magnitude de oscilação da função ou sinal:
sen(x) 4sen(x)
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1.18 Fundamentos: Freqüência
Determina o número de repetições de um sinal ou função em um intervalo dado:
sen(x) sen(2x)
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1.19 Fundamentos: Ângulo de Fase
Determina um ângulo de início e fim para a emissão do sinal, isto é, um deslocamento na medição no sinal.
sen(x) sen(x+0.5)
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1.20 Fundamentos: Somatórios de funções periódicas
Somatórios de senóides e cossenóides:
sen(2x) + sen(4x) + sen(6x)sen(2x) + sen(4x) + sen(6x) cos(x) + cos(3x) + cos(5x)cos(x) + cos(3x) + cos(5x)
sen(2x) + sen(4x) + sen(6x) + cos(x)sen(2x) + sen(4x) + sen(6x) + cos(x)cos(x) - cos(3x) + cos(5x)cos(x) - cos(3x) + cos(5x)
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2. Série de Fourier
É capaz de representar funções periódicas
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2.1 Exemplo de SF
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2.2 Gráfico de SF
SF de coeficientes k em [0,2] SF de coeficientes k em [0,15]
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3. Transformada de Fourier Contínua
É capaz de representar funções não periódicas.
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3.1 Exemplo de CFT
A função quadrado, também chamada de Filtro Ideal de Baixa Freqüência, pode ser definida como:f(t) = A, tal que -W/2 <= t <= W/2. A transformada de Fourier desta função, F(u), é obtida como segue:
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3.2 Gráfico de CFT
“É justo dizer que muitos EngenheirosElétricos vêem a função sinc em seus sonhos”- prof Brad Osgood
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4. Transformada de Fourier Discreta
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4.1 Exemplo de DFT
Todos os pontos da amostragem são usados para calcular cada ponto de sua Transformada e de sua Inversa
Transformada de Fourier:
Inversa da Transformada de Fourier:
gráfico da função original
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4.2 Gráfico de DFT
Função original Transformada da função
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5. Reconstrução de Imagens
Os pontos de uma transformada são obtidos através de interpolação entre todos os pontos da amostragem da função.
Uma baixa taxa de amostragem pode levar a conclusões errôneas
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6. Amostragem
Transformada de Fourier
Alta taxa de amostragem
Taxa de amostragem crítica
Baixa taxa de amostragem
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6. Amostragem
Extração de um período usando filtro ideal:
Alta taxa de amostragemBaixa taxa de amostragem
(Alias)
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7. Aliasing
Erro de amostragem. Jaggies é o nome popular dos artefatos gerados por aliasing.
Em um sistema digital 96x48, imagens de mesma dimensão com quadrados:
16x16, 6x6, AxA e BxB em que A < 1 e B < 0.5.
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8. Interpolação
Pontos amostraisInterpolação pelo vizinho mais
próximo
Interpolação Linear Interpolação Polinomial
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9. Padrões Moiré
Padrões criados por sobreposição de outros padrões na imagem
Imagens gerando padrão moiréPadrão moiré em Imagem de jornal
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10. Extensão para 2D
Em Processamento Digital de Imagens trabalhamos com 2 Dimensões. Precisamos, portanto, de novas definições.
Todas as definições que vimos até
agora podem ser expandidas facilmente para o domínio 2D sem perca de generalidade.
A imagem em si é vista como uma função de período M x N (M é a largura e N é a altura da imagem)
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10.1.1 CFT 2D
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10.1.2 Exemplo de CFT 2D
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10.1.3 Gráfico de CFT 2D
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10.2 Impulso 2D
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10.3 Trem de Impulsos 2D
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10.4 Convolução 2D
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10.5 DFT 2D
Para um imagem f(x,y) de dimensões M x N, em que M é a largura e N é a altura, as transformadas podem ser obtidas por:
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Propriedades da Transformada de Fourier
Discreta 2D
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1. Relações Entre Intervalo Espacial e de Frequência
• Supondo f(t,z) uma função contínua de uma amostra de uma imagem f(x,y) de tamanho MxN
• ∆T e ∆Z é a distância entre as amostras
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1. Relações Entre Intervalo Espacial e de Frequência
• A distância entre as amostras no domínio de frequência são inversamente proporcionais à distância espacial e o numero de amostras
∆u=1
M ∆T ∆ v=
1N ∆ Z
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2. Translação e Rotação
• Propriedades da Translação:
Multiplicando f(x,y) pelo exponencial, teríamos uma deslocação da origem da TFD para (u0,v0).
Multiplicando F(u,v) pelo exponencial negativo, teríamos uma deslocação da origem da f(x,y) para (x0,y0).
f x , y e j2u0 x /Mv0 y /N ⇔F u−u0 , v−v0
f x−x0 , y− y0⇔F u , v e− j2 x0u /M y0 v /N
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2. Translação e Rotação
Fazendo a=x-x0 e b=y-y0
x=a+x0 e y=b+y0
f x−x0 , y− y0⇔?
F f x−x0 , y− y0=∑x=0
M−1
∑ y=0
N−1f x−x0 , y− y0e
− j2xu /M yv /N
F f x−x0 , y− y0=∑a=0
M−1
∑b=0
N−1f a ,be− j2ua /Mvb /N e− j2ux0/Mvy 0/N
f x−x0 , y− y0⇔F u , v e− j2x0u /M y0v /N
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2. Translação e Rotação
• A Translação não tem efeito na magnitude(espectro) de F(u,v)
• Usando coordenadas polares:
x = rcosΘ y=rsenΘ
u = wcosφ v=wsenφ
• Rotacionando f(x,y) em Θ, rotaciona F(u,v) no mesmo ângulo
• Rotacionando F(u,v) rotaciona f(x,y) no mesmo ângulo
f r ,ΘΘ0⇔F w ,φΘ0
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3. Periodicidade
• Como a Transformada de Fourier 2D é sempre periódica na direção u e v:
Onde K1 e K2 são inteiros
F u , v =F uK1M , v =F u , vK 2N =F uK1M , vK 2N
f x , y =f xK 1M , y =f x , yK 2N =f xK1M , yK 2N
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56
• Pela Transformada 1D:• Vamos deslocar a origem para o
ponto M/2, ou seja, u0=M/2
• Agora F(0) está no centro do intervalo [0,M-1]
f x e j2u0 x /M ⇔F u−u0
e j x=−1x
f x −1x⇔F u−M /2
3. Periodicidade
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3. Periodicidade
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58
• Pela Transformada 2D:• Vamos deslocar a origem para o
ponto (M/2,N/2), ou seja, (u0,v0)=(M/2,N/2)
• Agora F(0,0) está no centro do intervalo [0,M-1],[0,N-1]
e jx y =−1x y
f x , y e j2u0 x /Mv0 y /N ⇔F u−u0 , v−v0
f x , y −1xy ⇔F u−M /2 , v−N /2
3. Periodicidade
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3. Periodicidade
• No caso de 2D:
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4. Propriedades de Simetria
• Qualquer função real ou complexa, w(x,y), pode ser escrita como um somatório de uma parte Par e Ímpar (cada qual pode ser real ou complexa)– w(x,y) = wp(x,y) + wi(x,y)
• Onde:
w px , y ≡w x , yw −x ,− y
2w ix , y≡
w x , y −w −x ,− y 2
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4. Propriedades de Simetria
• Substituindo na formula vemos que:– wp(x,y) = wp(-x,-y)– wi(x,y) = -wi(-x,-y)
• Funções Pares são chamadas Simétricas e funções Ímpares são chamadas Anti simétricas
• Todos os índices da TFD e da sua inversa são positivos(em relação ao ponto central da sequência)
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4. Propriedades de Simetria
• Para evitar os termos negativos:– wp(x,y) = wp(M-x,N-y)– wi(x,y) = -wi(M-x,N-y)
• O produto de 2 funções pares é par.
• O produto de 2 funções ímpares é par.
• O produto de 1 função par e 1 ímpar é ímpar.
• Na adição o único meio de uma função ser ímpar é o resultado ser 0
∑ x=0
M−1
∑ y=0
N−1w p x , y wix , y =0
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4. Propriedades de Simetria
• Exemplo em 1D:– f = { f(0) f(1) f(2) f(3) } M=4– = { 2 1 1 1 }
• Condição para ser Par: f(x)=f(M-x), logo:– f(0)=f(4), f(2)=f(2), f(1)=f(3), f(3)=f(1)– f(4) está fora da área examinada– Para os outros ponto é válida a
condição, logo, f é Par
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4. Propriedades de Simetria
• Exemplo em 1D:– g = { g(0) g(1) g(2) g(3) } M=4– = { 0 -1 0 1 }
• Condição para ser Ímpar:
g(x)=-g(M-x), logo:– g(0)=-g(4), g(2)=-g(2)– g(1)=-g(3), g(3)=-g(1)– g(4) está fora da área examinada– Para os outros ponto é válida a condição,
logo, g é Ímpar
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4. Propriedades de Simetria
• Nas funções Ímpares o termo central é sempre 0
• No caso de 2D:– A função é Ímpar– Ao adicionar um linha e
coluna de zeros iremoster um resultado nem Par nem Ímpar
– Máscara de Sobel
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4. Propriedades de Simetria
• O Conjugado Simétrico de uma função real, f(x,y), será:– F*(u,v) = F(-u,-v)
• O Conjugado Anti Simétrico de uma função imaginária, f(x,y), será:– F*(-u,-v) = -F(u,v)
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4. Propriedades de Simetria
F* u , v =[∑x=0
M−1
∑ y=0
N−1f x , y e− j2ux /Mvy /N ]
*
F *u , v =∑x=0
M−1
∑ y=0
N−1f * x , y e j2ux /Mvy /N
F *u , v =∑
x=0
M−1
∑ y=0
N−1f x , y e− j2−ux /M−v y /N
F *u , v =F −u ,−v
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4. Propriedades de Simetria
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5. Exemplo das Propriedades:
• Na propriedade 3:– Parte real: {10 -2 -2 -2} - par– Parte imaginária: { 0 2 0 -2} - ímpar
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5. Exemplo das Propriedades:
• Propriedade 6:
• Por causa de Periodicidade:– f(-x, -y) = f(M-x, N-y)– Fazendo: m=M-x e n=N-y
ℑ{f −x ,− y}=∑x=0
M−1
∑ y=0
N−1f −x ,− y e− j2ux /Mvy /N
ℑ{f −x ,− y}=∑m=0
M−1
∑n=0
N−1f m,ne− j2uM−m /Mv N−n/N
ℑ{f −x ,− y }=∑m=0
M−1
∑n=0
N−1f m,ne− j2u M /Mv N /N
∗e− j2u−m/Mv −n/N
e j∗−2uM /Mv N /N =−1−2uv =1
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5. Exemplo das Propriedades:
ℑ f −x ,− y =∑m=0
M−1
∑n=0
N−1f m,ne j2um /Mvn/N
ℑ f −x ,− y =F −u ,−v
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6. Espectro de Fourier e Ângulo de Fase
• Como a Transformada de Fourier é Complexa em geral, nós podemos expressar ela na forma polar:
• Onde a Magnitude é:
• A Magnitude é também chamada de de Espectro de Fourier ou Espectro da Frequência
∣F u , v∣=R2u ,v I 2u ,v1 /2
F u , v =∣F u , v ∣e ju , v
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6. Espectro de Fourier e Ângulo Fase
• O Ângulo Fase é:
• O arctan tem que ser computado nos quatro quadrantes para obtermos ângulos entre [-π,π]
u , v =arctan [ I u , v R u , v ]
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6. Espectro de Fourier e Ângulo Fase
• Ex: atan(1/1)=45°, atan(-1/-1)=45°, porém atan2(-1,-1)=135°
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6. Espectro de Fourier e Ângulo Fase
• Por ultimo a Intensidade do Espectro:
• A transformada de uma função real é o conjugado simétrico. Isso é, o Espectro é simétricamente par em relação a origem
Pu , v=∣F u , v ∣2=R2u , v I 2 u , v
∣F u , v∣=∣F −u ,−v ∣
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6. Espectro de Fourier e Ângulo Fase
• Ângulo Fase é simetricamente ímpar em relação a origem:
• Sabendo que:
u , v =−−u ,−v
F 0,0=∑x=0
M−1
∑ y=0
N−1f x , y
e− j2ux/Mvy /N =e− j20x /M0y/N
=e− j20=1
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6. Espectro de Fourier e Ângulo Fase
• Fazendo pela média de f(x,y):
• F(0,0) é chamado de Componente DC da transformada
• DC significa direct current
F 0,0=MN1MN
∑x=0
M−1
∑y=0
N−1f x , y
F 0,0=MN f x , y
∣F 0,0∣=MN∣f x , y∣
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6. Espectro de Fourier e Ângulo Fase
• Espectro de uma imagem:
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79
6. Espectro de Fourier e Ângulo Fase
• Para centralizar o espectro basta multiplicar a imagem por:
−1xy
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80
6. Espectro de Fourier e Ângulo Fase
• Para aumentar os detalhes da imagem, vamos aplicar a Transformação log:
1log∣F u , v∣
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81
6. Espectro de Fourier e Ângulo Fase
• O Espectro é insensível a Translações na imagem
• Se a imagem for Rotacionada em um dado ângulo, o Espectro será rotacionado no mesmo angulo
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6. Espectro de Fourier e Ângulo Fase
![Page 83: Análise de Fourier](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081720/557de9f1d8b42ac4128b4d0a/html5/thumbnails/83.jpg)
83
6. Espectro de Fourier e Ângulo Fase
• Arrays dos Ângulos Fase:
Imagem original
Imagem transladada
Imagem rotacionada
![Page 84: Análise de Fourier](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081720/557de9f1d8b42ac4128b4d0a/html5/thumbnails/84.jpg)
84
6. Espectro de Fourier e Ângulo Fase
• Os componentes do Espectro da transformada determinam as amplitudes da senóides que combinam para formar a imagem
• Uma pequena amplitude implica numa baixa senóide presente na imagem
• Uma a grande amplitude implica num destaque na senóide de frequência na imagem
![Page 85: Análise de Fourier](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081720/557de9f1d8b42ac4128b4d0a/html5/thumbnails/85.jpg)
85
6. Espectro de Fourier e Ângulo Fase
• Imagem normal
• Ângulo Fase da imagem
• Usando somente o ângulo fase na inversa da fórmula:
F u , v=∣F u , v ∣e ju, v⇒ e ju ,v
![Page 86: Análise de Fourier](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081720/557de9f1d8b42ac4128b4d0a/html5/thumbnails/86.jpg)
86
6. Espectro de Fourier e Ângulo Fase
• Usando somente o Espectro na inversa da fórmula:
• Usando o Espectro do retângulo e o Ângulo Fase da mulher na inversa da fórmula
• Usando o Espectro da mulher e o Ângulo Fase do retângulo na inversa da fórmula
F u , v=∣F u , v ∣e ju, v⇒∣F u , v∣
![Page 87: Análise de Fourier](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081720/557de9f1d8b42ac4128b4d0a/html5/thumbnails/87.jpg)
87
7. Sumário das Propriedades da Transforma Discreta 2D de Fourier
![Page 88: Análise de Fourier](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081720/557de9f1d8b42ac4128b4d0a/html5/thumbnails/88.jpg)
88
7. Sumário das Propriedades da Transforma Discreta 2D de Fourier
![Page 89: Análise de Fourier](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081720/557de9f1d8b42ac4128b4d0a/html5/thumbnails/89.jpg)
89
7. Sumário das Propriedades da Transforma Discreta 2D de Fourier
Ver Tabela da Propriedades de Simetria
![Page 90: Análise de Fourier](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081720/557de9f1d8b42ac4128b4d0a/html5/thumbnails/90.jpg)
90
7. Sumário das Propriedades da Transforma Discreta 2D de Fourier
![Page 91: Análise de Fourier](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081720/557de9f1d8b42ac4128b4d0a/html5/thumbnails/91.jpg)
91
Referências Bibliográficas
• Weaver, Joseph - Applications of Discrete and Continuous Fourier Analysis – 1983
• Osgood, Brad – Lectures Notes for the Fourier Transforms and Applications
• Sodré, Ulysses - Transformadas de Fourier 2003
• Gonzalez, Rafael & Woods, Richards - Digital Image Processing – 2008
• Wikipédia
![Page 92: Análise de Fourier](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081720/557de9f1d8b42ac4128b4d0a/html5/thumbnails/92.jpg)
92
Próxima aula
• Bases da filtragem no domínio da frequência
• Suzavização de imagens empregando filtro de domínio da frequência
• Realce de imagens empregando filtro de domínio da frequência
• Filtragem seletiva
• Detalhes de implementação