analisa teoritis menghitung frekuensi pribadi balok
TRANSCRIPT
ANALISA TEORITIS MENGHITUNG FREKUENSI PRIBADI
BALOK LENTUR PADA TUMPUAN BERBEDA
Abstrak.
Tujuan penelitian ini adalah untuk menentukan nilai frekuensi pribadi getaran
balok lentur yang menggunakan tumpuan sederhana, jepit-jepit, dan kantilever.
Metode penelitian ini menggunakan balok lentur dengan ukuran panjang yaitu 850
mm dan lebar 25 mm, sedangkan ketebalannya bervarisi yaitu 10 mm, 12,5 mm,
dan 15 mm. Hasil penelitian menunjukkan bahwa untuk tumpuan yang sama,
makin tebal spesimen makin tinggi frekuensi pribadinya. Untuk jenis tumpuan
yang berbeda, frekuensi pribadi terbesar terjadi pada tumpuan jepit-jepit
(223,8209 rad/s, kemdian tumpuan sederhana (98,7346 rad/s), dan yang terkecil
tumpuan kantilever (35,1738 rad/s) pada ketebalan 15 mm.
Kata kunci : Jenis tumpuan, frekuensi pribadi, balok lentur.
I. PENDAHULUAN
Setiap benda atau sistem yang memiliki massa dan sifat elastisitas jika
diberi gangguan (ransangan), maka akan bergetar. Berdasarkan gangguan
(ransangan) yang diberikan pada sistem, getaran yang timbul dapat
diklasifikasikan sebagai getaran bebas dan paksa. Bila ditinjau kondisi getaran
bebas, maka struktur tidak diengaruhi oleh gaya luar dan gerakannya hanya
dipengaruhi oleh kondis awal. Gaya luar hanya diperlukan untuk menentukan
frekuensi pribadi sistem. Frekuensi pribadi adalah merupakan dasar (karakteristik)
yang dimiliki oleh sistem yang bergetar. Penentuan frekuensi pribadi sistem yang
mengalami getaran adalah sangat penting untuk mencegah terjadinya resonansi.
Kekuatan suatu material yang mengalami beban dinamis sangat
dipengaruhi massa dan sifat elastisitas serta gangguan yang bekerja padanya
Balok yang ditumpu kemudian mendapatkan beban dinamis akan mempengaruhi
nilai frekuensi pribadi suatu sistem. Untuk itu dilakukan penelitian untuk
mendapatkan hubungan antara pengaruh jenis tumpuan dengan nilai frekeuensi
pribadi pada getaran balok lentur. Hasil penelitian ini dapat dimanfaatkan sebagai
bahan informasi mengenai balok yang mengalami getaran lentur dengan berbagai
jenis tumpuan.
II. TINJAUAN PUSTAKA
II.1. Getaran Lentur dari Balok-balok seragam
Perlakuan balok yang mengalami getaran flexural didasarkan pada teori
“Lenturan Sederhana’ yang biasa digunakan dalam keperluan teknik. Metode
analisis ini dikenal dengan teori “Euler ( Euler Beam’s Equation )” yang
menganggap bahwa sebuah penampang melintang yang datar dari sebuah balok
akan tetap datar selama lenturan.
Fungsi dasar dari persaman – persamaan pada balok ( beam ) dari
mekanika kekuatan bahan ditunjukkan oleh persamaan – persamaan berikut :
y = deflection
slopex
y
momentMx
yEI
2
2
shearVx
yEI
3
3
ensityloadxwx
yEI int
4
4
II.2. Persamaan Gerak dalam Getaran Bebas
Pada gambar 1 di bawah ditunjukkan DBB (Free Body Diagram ) dari
sebuah balok seragam ( uniform beam ) yang mengalami lendutan, dan elemen
dari balok yang mempunyai panjang dx dan dibatasi penampang-penampang datar
yang tegak lurus sumbunya.
Gamba
r 1. Balok Seragam
Anggap massa per satuan panjang dari balok adalah γ, dan percepatan dari
elemen balok adalah 2
2
t
y , dan dengan menerapkan Hukum kedua Newton,
dxt
yF
y 2
2
dxt
ydx
x
VVV
2
2
)1.....(..........2
2
t
y
x
V, maka : 0
2
2
4
4
t
y
x
yEI
atau
)2.(....................02
2
4
4
2
t
y
x
ya , dimana
EIa
2 ,
Untuk mencari solusi dari persamaan diatas maka digunakan metode
pemisahan-variabel ( Separation-of-Variables Method), secara umum getaran
melintang ( transverse vibration ) pada balok ditunjukkan oleh persamaan :
)3...(....................).........()(),( tqxtxy ,
maka kita assumsikan sebuah solusi yang memiliki bentuk seperti pada persamaan
(3) yang menghasilkan dua persamaan
qdx
d
t
y
4
4
4
4
,
Dan
qdt
qd
t
y
2
2
2
2
,
substitusikan ke dalam persamaan (2),
)4.....(..............................1
4
4
2
q
q
dx
da
,
Karena sisi kiri dari fungsi bervariabel x dan fungsi pada sisi kanan
bervariabel t, kedua sisi harus sama dengan nilai sebuah konstanta.Melihat sisi
kanan persamaan diatas dan berpikir agar menjadi sebuah fungsi sinusoidal dan
juga turunannya, maka, ω2 cocok sebagai pilihan yang logis.Sehingga persamaan
diatas akan menjadi :
)5.....(....................02qq ,
)6(....................0
2
4
4
adx
d,
Persamaan (6) dapat dituliskan sebagai :
)7........(....................04
4
4
kdt
d, dimana
2
2
4
ak
Persamaa (4) mempunyai solusi :
q =A cos ωt + B sin ωt,........................... (8)
dan persamaan (7) kita asumsikan mempunyai penyelesaian :
)9..(..............................rx
e
agar persamaan (9) memenuhi persamaan (7) maka kita turunkan untuk
mendapatkan :
)10.......(....................4
4
4
rxer
dx
d
Substitusikan persamaan (9) dan persamaan (10) ke dalam persamaan (7)
untuk menghasilkan :
r4 – k
4 = 0
atau ( r4
– k4
)( r2 – k
2 ) = 0..............................(11)
Empat akar dari persamaan (10) yang memenuhi persamaan (9) dan (7)
adalah
r1,2 = ± k, dan r3,4 = ± jk ( j= 1 )
Solusi persamaan (7) dapat ditulis sebagai penjumlahan akar-akar diatas :
jkxjkxkxkxFeEeDeCe .................................(12)
dimana : a
k
Assumsikan E dan F sebagai konstanta kompleks yang mempunyai bentuk :
E = C3 – jC4
F =C3 + jC4
dan dengan menggunakan persamaan identitas :
kxkxekx
sinhcosh
kxkxekx
sinhcosh
kxjkxejkx
sinhcosh
kxjkxejkx
sinhcosh
Persamaan (12) dapat diubah ke dalam bentuk :
kxCkxCkxCkxC sincossinhcosh4321
dimana konstanta – konstanta C1,C2,C3,dan C4 adalah konstanta real dan
berhubungan kepada konstanta C, D, E, dan F dari persamaan (12) oleh :
C1 = C+D C3 = E + F
C2 = C – D C4 = j( E – F )
Kita dapat menulis solusi dari persamaan balok Euler sebagai :
tqkxCkxCkxCkxCtxy sincossinhcosh),(4321
.......................(13)
dimana q(t) adalah fungsi waktu yang diberikan oleh persamaan (8).
Mengingat kembali bahwa EI
kak22
,............................ (14)
bisa kita liha bahwa frekuensi pribadi ω diatas tergantung dari harga k. Karena k
muncul dalam fungsi Φ, harga k untuk balok diatas jelas tergantung pada jenis
tumpuan pada masing-masing ujung balok.Karena ada empat konstanta dalam
persamaan (13), empat kondisi batas diperlukan untuk mencari frkuensi pribadi
dan fungsi mode-normal dari balok.
II.3. Balok pada Tumpuan engsel (Pinned-pinned Beam)
Pertama kita akan melihat pada balok tumpuan sederhna ( pinned-pinned
beam ).Dapat dilihat bahwa defeksi y dan M bernilai nol pada kedua ujung dari
balok untuk semua harga t.Keempat kondisi batas dari balok pada gambar 2 di
bawah adalah :
(1) y(0,t) = 0 (3) y(l,t) = 0
(2) 0,02
2
EI
Mt
t
y (4) 0,
2
2
EI
Mtl
t
y
Gambar 2. Balok tumpuan sederhana ( pinned-pinned beam )
Dengan menerapkan kondisi batas pertama dan kedua pada persamaan
(13), dan turunan parsial kedua terhadap x, maka :
C1 + C3 = 0
C1 – C3 = 0,
Dengan mencari solusi persamaan diatas didapat bahwa ,
C1= C3=0
Menggunakan kondisi batas ketiga dan keempat pada persamaan (13)
dengan cara yang sama kita mendapatkan bahwa :
C2 sinh kl + C4 sin kl = 0
C2 sinh kl – C4 sin kl = 0
Karena kl=0 menunjukkan sebuah solusi trivial dan sinh kl=0 hanya pada kl=0,
kita lihat bahwa C2=0 dan
Sin kl = 0
Maka,
kil = iπ i =1,2,3,..........
dan frekuensi pribadi pada persamaan (14) :
EI
l
iak
ii 2
22
2rad/s
atau EI
l
if
i
i 2
22
22Hz i =1,2,3,...........................
II.3. Balok pada Tumpuan Jepit-engsel (Pixed-pinned Beam)
Sekarang kita akan meninjau balok yang ada pada gambar 3 dibawah yang
mempunyai empat kondisi batas:
(1) y(0,t) = 0 (3) y(l,t) = 0
(2) 0,0 tx
y (4) 0,
2
2
EI
Mtl
x
y
(15)
Gambar 3. Balok tumpuan jepit-sederhana ( fixed-pinned beam )
Menggunakan kondisi batas pertama dan kedua pada persamaan (13), kita
mendapat :
C1 + C3 = 0
C2 + C4 = 0
dimana
C3 = - C1
C4 = - C2
Dengan cara yang sama , menggunakan kondisi batas ketiga dan keempat
pada persamaan (13),
C1( cosh kl – cos kl )+C2( sinh kl – sin kl ) = 0
C1( cosh kl + cos kl )+C2( sinh kl + sin kl ) = 0
Karena persamaan aljabar ini sama ( homogenous ), persamaan frekuensi
ditentukan dengan menerapkan determinan │D│ pada koefisien – koefisien dari
C1 dan C2 sama dengan nol,kita memperoleh persamaan :
kl
kl
kl
kl
cosh
sinh
cos
sin atau tan kl = tanh kl ............................... (16)
Salah satu metode untuk mendapatkan akar-akar dari persamaan (16)
adalah dengan mensketsakan grafik dari tan kl dan tanh kl pada jarak yang
mungkin ( logis ) seperti yang ditunjukkan pada gambar 4 dibawah ini,untuk
memperoleh nilai akar-akar yang mendekati, dan selanjutnya dengan trial and
error pada rentang nilai akar-akar yang mendekati ini dengan menggunakan
kalkulator kita dapat menentukan nilai yang akurat.Menggunakan cara ini, tiga
akar-akar pertama dapat ditentukan :
k1l = 3,926602 k2l = 7,068583 k3l = 10,210176
Selanjutnya dari persamaan (14) kita mendapatkan :
EI
l21
4182,15 rad/s,
EI
lf
2
1
1
4539,2
2 Hz
Gambar 4. Grafik dari tan kl dan tanh kl
EI
l22
9651,49 rad/s
EI
lf
2
2
2
9522,7
2 Hz
EI
l23
2461,104 rad/s
EI
lf
2
3
3
5913,16
2 Hz
III. METODE PENILITIAN
Penelitian ini dilakukan pada balok lentur persegi panjang yang diletakkan
pada dua jenis tumpuan yaitu sederhana dan jepit-engsel. Tumpuan sederhana
adalah tumpuan yang terdiri dari tumpuan engsel dikedua ujungnya. Tumpuan
jepit-engsel dimana ujung yang satu dijepit dan ujung yang lain diberiengsel.
Dimensi balok yang digunakan dengan panjang 850 mm dan lebar 25 mm,
sedangkan tebal(t) balok divariasikan yaitu 10 mm dan 15 mm. Massa persatuan
panjang tergantung pada tebal balok. Nilai elastisitas balok E= 2,819x1010
N/m2.
IV. HASIL DAN PEMBAHASAN
Hasil perhitungan yang diperoleh bahwa getaran balok lentur yang
mempunyai panjang dan lebar yang sama dengan ketebalan yang bervariasi untuk
setiap spesimen yang ditumpu jenis tumpuan yang berbeda diperoleh nilai
freukensi pribadi untuk 3 mode pertama pada tabel berikut:
NO t (mm) γ (kg/m)
Tumpuan engsel (pinned-pinned beam)
rad/s
Tumpuan jepit-engsel (fixed-pinned beam)
rad/s
ω1 ω2 ω3 ω1 ω2 ω3
1. 10 3,084 29,80 119,20 268,20 93,10 301,726 629,51
2. 15 3,225 53,54 214,16 481,87 167,28 542,16 1131,05
Frekuensi pribadi pada balok getaran lentur untuk tumpuan engsel dan
jepit-engsel, dengan tebal 10 mm,dan 15 mm mempunyai harga yang berbeda-
beda. Nilai frekuensi pribadi dari variabel ketebalan, dapat dikatakan bahwa
semakin tebal suatu spesimen maka frekuensi pribadi juga semakin besar.
Frekuensi pribadi terbesar terjadi pada ketebalan 15 mm dan frekuensi pribadi
terkecil pada ketebalan 10 mm.
Berdasarkan jenis tumpuan (ketebalan sama), frekuensi terbesar terjadi
pada tumpuan jepit-engsel pada mode ketiga (1131,05 rad/detik) dan terkecil pada
tumpuan engsel mode pertama ( 53,54 rad/detik) pada ketebalan 15 mm. Adanya
perbedaan frekuensi pribadi pada kedua jenis tumpuan ini disebabkan oleh kondisi
tumpuan yang berbeda, dimana freukensi pribadi merupakan fungsi dari
kekakuan. Semakin besar kekakuan suatu spesimen maka semakin besar frekuensi
pribadinya karena lebih mampu menahan getaran. Kekakuan terbesar terjadi pada
tumpuan jepit-engsel, ini disebabkan karena pada salah satu ujungnya dijepit
sehingga tidak terjadi perpindahan baik perpindahan translasi maupun perputaran
sudut. Tumpuan sederhana dimana pada setiap tumpuan tidak terdapat
perpindahan translasi tetapi terjadi perputaran sudut.
V. KESIMPULAN
Pada tumpuan yang sama getaran lentur yang terjadi pada balok dengan
dimensi panjang 850 mm, lebar 25 mm, dan tebalnya bervariasi, 10mm dan 15
mm, serta nilai elastisitasnya ( Modulus Young ) 2,819x1010
N/m2 diperoleh nilai
frekuensi pribadi semakin besar untuk 3 mode pertama, dengan bertambahnya
ketebalan spesimen.Sedangkan pengaruh tumpuan terhadap nilai frekuensi pribadi
spesimen ( ketebalan sama ), frekuensi terbesar terjadi pada tumpuan jepit-engsel
( 1131,05 rad/s, mode 3 ) dan terkecil terjadi pada tumpuan engsel-engsel ( 53,54
rad/s, mode 1 ) pada ketebalan 15 mm.
VI. DAFTAR PUSTAKA
1. Thomson, W.T.1986.Theori of Vibration with Aplication.New
Delhi.Prentice
2. James, M.L./Smith, G.M. and Wolford,J.C./Whaley, P.W.1989.Vibration
of Mechanical and Structural System.New York.Harper and Row
Publisher, Inc.
3. Hibbeler, R.C.2005.Mechanics of Materials.New York.Prentice-Hall, Inc.