analisa struktur lanjutan 2-libre

l,lsl'

l.Ll $lSLI K]LI R

L{,luuTl,f{

qa11;U spttuv)orL€I sus)lBf 's?J"rc00I 'oN e,(ug tqdug'11 '11

t - 1- n: .1

666r

,,?( ;:,.1!r { ,iJ:".j tii:) I ili.tl .,i

:?sBq?g qqv

uoslpory'ulsuoxrlY to t1Pnaq1*uuaau1&u g 1i rt13 I o toss atotT

kr.

7

NT I T,I :K

_290

Judul Asli : INTERMEDIATE STRUCTURAL ANALrS/S

Hak Cipta O 1983 dalam bahasa Inggris pada McGraw-Hill, Inc.Hak Terjemahan dalam bahasa Indonesia pada Penerbit Erlangga

Alih Bahasa

EditorKorektor

: Drs. L: Kusuma WirawanIr. Mulyadi Nataprawira

: Ir. Edi Harjadi: Fernando Pasaribu

Cetakan Pertama, 1989Cetakan Kedua, 1990Cetakan Ketiga, 1999

Dicetak oleh : P.1'. Gelora Aksara Pratarna

Buku ini disetting dan dilayout oleh Bagian Produksi penerbit Erlangga denganhuruf PR-l0-M

Dilarang keras mengutip, menjiplak, memfotocopy atau memperbanyak dalambentuk lain, baik sebagian atau keseluruhan dari buku ini serta memperjual-belikannya tanpa mendapat izin tertulis dari Penerbit Erlangga.

O IIAK CIPTA DILINDI-INGI OLEH UNDANG-UNDANG

rlt., i-,.-

ar' ' uursprrBtued

TEiuPg- lB{EqUog B{8u?ra) -rr?p

snsro^ u?nluel)eley 1?[sro( z.nluBp IB{IU0A-u?qe8 srs[suY I.]I

qEurnr

IBr0lB'I

lt

0,

{8,{uus-}8{-Surlrag elSuuray uessrleuu8uad turrlep Lrute{apuJd apo}aI4J } t qBfl

uBgll?.I sI'tI''' n?lseJg-ra11n;,q qnre8ua4Brueroel snsre^ ntuotryI sllels Eueleg-e13ueu >lntun qnreEue4 slreg ,l.tl

Lt ' ' ' ' ' ntual{?I srl?ls {oleg >lnlun n?lsorg-rem-1ru qnre8ue6 ?rueroel €I.e IS t ' ' ' ' ' nluol{Bl sr}?ts {opg {nlun qruuEue4 sueg (,I.El€€ . uueuel

sr1e1g Euelug-e48ue5 {n}un n?lserg-rom}ru qnrdue6 eueloel I I.EI

:,:l i11,*l ,:o* -,*o ,o;*|,^", ,.I,ffi'ffff$ or.€r

' ' ' ' 3ue1eg-?{EUBU uup rueqeqlel>lel rnsng

:,lrl.rfl1|*,:it Ip urnur${?1{ rn}url ueuroq Inlun unIIe}rI) 6'rrEuelug-el8uu5 uep ru?qoqral rnsng

-p; eped 3unqnq4r11 rp tuntu${Ery rnlurl uatuo;41 {nlun unrrelrry g.EInluepol sr1u1g Euelzg-e>Pueg 1n1un qrueEuad srruC L.tl

ntuaueJ, srlels {opg {nlun nglserg-ralllJl^l qnreEue4 ?tuaroaJ, 9.El' ' ' ?rrerpapes-{olBg eped ry1tnyg unurs{ery rnlue-I deuo61 S.tI' ' ' ?u?qJopes->1opg uped tunturs{El4l r4ua.l ueuor\l {nlun unrrelrry n.€.1

EuBqrep0s->1opg uped tunturs{Bry Euelurl-e,(ug nBlB r$[BeU {nlun unrrelrr)

SZ

TZ

OZ

LITI6

6Z

s(.

Z

I

I

XI

nlueuoJ sn?rs {oleg 1n1un qnrduod srr?C

luraSrcg uBqaB

qnretua; srrug $rrfiJaq

uup qruu8uad suBS

t't Iz'ttI't ttl qB8

?lB)IBJd

N

ISI UY.LJVO

vl

r4.3t4.4r4.514.6

45474852

5761

62

Pengandaian untukPengandaian untuk

Analisis Beban VertikalAnali sis Beban-Lateral

Metode PortalMetode Kantilever

14.7 Distribusi Momen dan14.8 PembandinganMetode

Gaya-Lintang Secara Silih-Berganti .

14.9 Latihan

15.1 lntroduksi Umum 6415.2 Momen Ujung-Terjepit untuk Unsur Balok dengan Momen Inersia

Tetap . 6515.3 Faktor Kekakuan dan Faktor Pemindah untuk Unsur Balok dengan

Momen Inersia Tetap . 7015.4 Momen Ujung-Terjepit untuk Unsur Balok dengan Momen Inersia

Variabel 7215.5 Faktor Kekakuan dan Faktor Pemindah untuk Unsur Balok dengan

Momen Inersia Variabel 7715.6 Momen di dalam Kerangka Berbentuk Segiempat dengan Satu Sumbu

Simetri 7915.7 Momen pada Kerangka Tertutup dengan Satu Sumbu Simetri 8915.8 Momen pada Kerangka Berkepala Segitiga dengan Satu Sumbu Simetri 9315.9 Momen pada Kerangka Berbentuk Segiempat yang Taksimetris . . . . . 9815.10 MomenpadaKerangkaTertutupTaksimetris 10615.1 I Latihan 112

,,,r.,, ..., I

16. 1 Gambaran Umum I 16

16.2 Struktur Paduan dengan Unsur Rangka-Batang dan Unsur Balok-Metode Gaya . ll7

16.3 Struktur Paduan dengan Unsur Rangka-Batang dan Unsur Balok-Metode Perpindahan 122

16.4 Struktur Paduan dengan Unsur Rangka-Batang dan Unsur KombinasiMetode Gaya . 126

16.5 Struktur Paduan dengan Unsur Rangka-Batang d.rn UnsurKombinasi - Metode Perpindahan 138

16.6 Latihan 149

17.1 Gambaran Umum 15217.2 MetodePenganalisisan.... 153L7.3 Penyelesaian untuk Persoalan Umum Kerangka-Dwimatra. 15517.4 Metode Iterasi - Dari Gaya Aksial Primer ke Momen Lentur Sekunder 16617.5 Metode Iterasi - Dari Momen l,entur Sekunder ke Gaya Aksial Ketiga 17417.6 Pembandingan Metode 17617.7 Latihan .......176

vf !; ' ' ' ' srlselg rsBpuoc ?wd 31o83uv nlBns uBJnluole) s{IrlBIl[ s'zzb!: ' IuBqaqIp>IBI uloSEuY nlBns s31?g Isrpuo) v'zz33; IBrsuoreJIC uEetuBsrod luntun u?Iesole,(uod t'zz_g; " " ' JES€C FIsueroJIC us?ru?slod z'zz_8; ""'tununuBrBqluB) l'zz

sgz . u?r{ue.I L.lzIgz r""' "'ueqBpurdrodepolew g'lzgL|. ' ' B[?C opolew s'17.

SLZ rntuo'I uorrro4 uetnpue-I depeqrel roso3 uelnpuo'I IqslN u?IlreJoqe) n'rc,jLZ. nluouoJ slluls >lolB{I resoc uslnpuo'I t'lz697, . {nluog ro}wc (..12ggz ulntun;e1uu8ue6 llz

992 .u€qIlB_I L.OZ

l9Z ' ' IeuorseioU uendunl ru8eqes n1e;1-qe8uelag ueSunqng ueudueuo6 9'OZgSZ " " u?qepurdra6 apoleyq S'OZ

ISZ ..'. ue{serelasralIdalra;-EuninuoruoN n.O(,

IgZ ue{s?relosral eloE8uy u?n{DIo) $lIrlBI I €'07,

6VZ ue{strelesJel eloE8uy uernluoley s{I4eI I Z'OZgrz lunlun uBrBqu?c l'02-1

sbz .uewl?_I s.6I

LEZ ' ' ' ' ' uerllund uep >loleg Isewquoy-rnsu1 ue8uap Ispt-lslx e1tuera11 V'61

tEZ efeg 1o1eg rnsun ue8uep IslI'lsl) u48ue:ey t6lItZ ' ' uusrslPue8uod opoleq Z'61

OtZ, ' ' ' ' IeluoslroH ISDI-ISI) elSuure; IsIuUoC I'6ti..' \i I

ri

LZZ UBqI}87

gZZ ' ' lrdehel ue8unlSuel eped rsep

-uoC ue{EreC uep '{nsnU u?)iepueulad 'ue1nsn.{ue4 'nqng qruu8ua4

tZZ " " ' log-uendurnl qenqos uep lpues ue

-ndun1 r{unqos ue8uop u^rn1 {nluoq:eg elo88uy uernluole) s{Il13I4l

817' " 'lldol-ra1-uendunl ue8uap B^ln) {Oueqrag ulo8Euy uernluole1 s>[Irle6

Zl(, " " ' s^rn) {nluoqlog eloS8uy uen{Dlo) s>llrlury

L6I ' ' ' ' slrtetuls4el trdeftel ue8mqSuel >1n1un qn;eEuod sIl?C

9gI slrlstuls lldetra; ueEunlSuel lntun qnruBued slleC

nU ' ' tuolo;-tSopuv epolo1,.q snsla^ sllselg'lesnd epolery

t8I " ' ildelre; ue8un18ue1 sISIIBUY

IgI'''' e^rn)>lnluoqreg u1o33uy{uuntldalra1-rsrpuo;1e,{.e5

6LI unlull u?reqluec

6Ll ' ' c,un),1 IniuaqJJil r1tl33uy u*8ttep nluy tllSutl'trv

IIA

.: I i)1lj,

I I'8I

O I'8I

6'8I

8'8 tt'8I9'81s'8 I,'8Ie '8I

z'8rI'8Ig I (irii

\

vurriii

22.6 Matriks Kekakuan suatu Anggota pada Fondasi Elastis22.7 Gaya-Lintang dan Momen Ujung Terjepit Akibat Beban Terbagi-Rata22.8 Gaya-Lintang dan Momen Ujung Terjepit Akibat Beban Berlentuk

Segitiga 2gsMatriks Lokal [S,4r] dan lASArl suatu Bagian di dalam Balok . . . . 296Penganalisisan Balok di atas Fondasi Elastis dengan Metode perpin-dahan .

22.11 kndutan, Gaya-Lintang, dan ordinat Momen di dalam potongan . . .

22.12 Latihan

,ro22.10

29r293

297301

304

\

f,'?--Eiet apoleur ltue:pleqreleleu tu?F dasuo>1-dauo{ ureppuaur BJsces -rureqptuetu qredSuzrrla E^rslseqBu'B[uunlaqes ssuru-?s?ru uetuep ur{tupusqlq'u?{reseJasrp l?dupge1al dqtuel BrBJas resaq ueun8ueq qenqas ueeslleuutuad u8tlulqas leqer{ uuDlruepqe1a1 .ralnduro{ 'nll tuldurus IO 'n1uapat rnD{ru}s ueEuap n1uaDlel Jnl{ruls ?re1ue

rrB)lBpequotu nlJod {?prl tue,('ueqepudrad epolaru eped uuue>1ouad tuoropuaur qe1a1

ralndurol >ludurzq 'rur unJaqes nlnq lnpn[ mflvqas ntualtlol sltzts tlurtruts ueeuntEuadugselu rIBIru :ruuaQpt srlels rnl{nJls leueEuaur r.IBIruBq ur(ulnluulas uep wuauat sgglsreuetuaru qsppe esugue eruelrad uequtln>Fad leuorsrperl BrBoes 'rgsoq ralndurorl etEuqnlss ratnduo{ Fep 'sluorl>1a1a ralnduro>1 e{ulncunu unloqas unrlel-unqut BpBd

'..upe Suer( wunEueq uped ny rr?r{ r{BIIn{ uuqeq uederauad ueultunrue{ pues

'apolsur IEtBqreq rJBp Qrlular) rqsru uBSunluna>1 uuSurpueqrad 'ueu1u1snda1 nule qtrefan

'uresap depeqlal esIIBlrB ue8unqnq tuelual tsn>{slp {n}un lre>punftp tedep sele{ Ip nDp^\

ry(ueq qrqal vtllurqas uasop uerln{Bfp Bsurq tuez( s11n1 ueded upud uesqnuad '?nuros

leprl undqsaru 'ederaqaq unllluettuetu ledup ru1 n>Inq LUEIEp Ip qoluoc'I{oluoJ3.

'1nqesra1 nlnq e101erd IrBp lBurllB)l qsnqes tueln 1ure4 uB{e lul }queg 'IuI ru{nq UBIBp

rp qnSot BrBJes ue{treqegadp de1a1 'reque8 uep rytaurnu qo}uoc 4efueq us4rpseur-au Suer( e{uuue,nautlsle{ :slunp qtunlas Ip repaJoq qBIa} lnqasre} nlng '9961 unt{u}

eped pg-,nerCcl l qeto u?{llqielp flue( ratrucruJs awulunappul ,fi1ncpo1g lnpn[reqEue,t sqnuad n>lnq sul? uel{reseplp Iq DInq UreIBp uBIIeq eStuad Bnp Wqal tuern;1

'enpa4 deqet

undnuru BuBuod duqel uuguqnlrad 4nlun >1nq ueluunfiP ludep 1uI n>{nq 'ueuntuuqEsrlerrB uequglnryad dzqel enp e{u8uernl-tuurruIes llruIltuaur sruuq tue{ e>lerour

feq'uegrurap unurBN 'qnrn1a,(uaur leJrsreq tuu.( uqeuaEuad drulecuaur Euef ruluetuaddeqel ue>lJraqlp q?lals 'uuunEueq sslJetrp puaEuaur u811a>1 uup enpal duqut uBqBIIrul

-rad lnlun s{al-n>{nq ntuqas ueluunttp {nlun {ococ 1u! qnq 'BfuuuarB{ qelo 'sBqeq

-lp {Bpl} ueuntuuq Fusurldo elrx'uegqelsa{ uBp DIIurBuIp 'enpa>1 deqel eslpuu 'seleq

esrleuB '(rn11ru1s) ueunEueq uBIIqB$a{ tlradas qnuf qtqal tuef {ldot tdelal 'leluu8uadn{nq {nlun ueqeq tuequn}a{ IJuIJel uep uretereq q1qa1 Ew,{ ueqeq dnlecuau !q ru{nq

'e,(ulry'qeEuauaur tnltql eped rn11nr1s ?slleue ueqt4nryad 4n1un uolnfnllp 1uI qng

E/"{,V.q\.e{d

i,Ij..\ K.\ L\

(force method) dan metode perpindahan (displacement method) analisa struktur, agarprogram-program komputer dapat digunakan secara seksama. Jadi, untuk membuatbuku ini sebagai risalah yang lengkap untuk kedua analisa tersebut, baik tertentu rnau-pun taktentu, beberapa pasal dan bab telah ditambahkan pada metode potongan dan-hubungan (oints and sections) untuk analisa rangka-batang, pada gaya geser dan momendi dalam balok tertentu, pada garis pengaruh dan muatan bergerak, serta pada metodependekatan analisa kerangka bangunan bertingkat.

Sisa sepertiga bagian buku ini, yang tidak terkandung di dalam Strukrur StatisTaktentu, adalah metode rnatriks-perpindahan (matrix displacenrent method). Dasar

metode ini mula-mula disajikan pada analisa rangka-batang (truss). Kemudian, contohrumerik yang sama dan yang telah diselesaikan dengan metode ubahan-sudut (slope-

deflection), istilah putaran-sudut juga sering digunakan untuk nama metode ini(Pener-

iemah), serta metode distribusi-momen akan diselesaikan juga dengan metode matriks-perpindahan dalam bentuk tulisan tangan, agar mahasiswa dapat memahami pulalangkah yang akan dilakukan komputer. Sebelumnya momen kedua di dalarn rangka

batang dengan hubungan kaku diselesaikan hanya dengan rnetode iterasi (iterationmethod) sambil menggunakan distribusimomen; sekarang penyelesaian masalah rangka-

batang dwimatra yang lebih umum dengan menggunakan komputer akan disajikan.Dulu lengkungan terjepit (fixed arch) diselesaikan secara tersendiri. sekarang hal terse-

but sudah menjadi bagian dari masalah keseluruhan yang mencakup suatu kurva darikerangka kaku yang rumit. Deformasi aksial di dalam kerangka kaku biasanya diabaikandi dalam analisa tanpa komputer demi penghematan pekerjaan; sebaliknya pencakupanmasalah tersebut justru banyak menyederhanakan proses pengumpulan data masukan(input) pada metode kekakuan langsung di dalam analisa dengan komputer. Kedua pen-

dekatan tersebut akan dilakukan selengkapnya di dalam metode matriks-perpindahanpada analisa kerangka dwimatra.

Empat bab terakhir, tentang kerangka kisi-kisi horisontal, hubungan setengah-kisi-kisi (semigrid), deformasi akibat gaya geser, dan balok di atas fondasi elastis merupakanhal-hal baru yang tidak terdapat dalam blkl Struktur Statis Taktentu. Tanpa komputer,penggunaan metode yang diajukan pada keempat bab tersebut di dalam dunia nyataadalah mustahil. Dewasa ini, penerapan hal tersebut ke dalam program komputer me"u-pakan pekerjaan "sepele".

Enam bab pertama bersifat mendasar: perihal balok statis tefientu, rangka-batarig,dan kerangka-kaku; dan tentang metode gaya untuk penganalisaan balok statis tertentu,rangka-batang, dan kerangka-kaku, terrnasuk persamaan tiga-momen. Pemilihan urutanbab boleh dilakukan menurut urutan yang disajikan, 1,2,4,6,3,5; atau 1,3,5,2,4.6;1,3,2,5,4,6 tergantung kemauan. Bab 7 dan 8 boleh dibalik urutannya; atau boleh juga

disingkirkan dari kurikulum, atau bagian terakhir dari kedua bab tersebut saja yang disingkirkan.

Bab 9 boleh dilewatkan jika para mahasiswa telah pernah mempelajari definisimatriks di dalam kuliah matematika. Bab l0 dan I I mencakup bahan dasar metodematriks-perpindahan pada rangka-batang dan analisa balok. Pembaca boleh juga langsung

meloncat ke Bab 17 yang berisi penganalisaan kerangka dwimatra umumnya dengan

mempertimbangkan adanya perubahan bentuk aksial, berdasarkan penganalisaan rangka-

batang dengan penghubung kaku. Urutan tersebut dapatlah mencakup bahan tentangmetode matriks-perpindahan.

Bab 12 dan 16 dianjurkan bagi mereka yang ingin menggali metode matriks-per-pindahan secara lebih mendalam. serta melihat bagaimana hubungan antara metode yanglebih baru tersebut dengan metode deformasi taat-asas (consistent-deformation), metodeubahan-sudut dan metode distribusimomen yang lebih kuno.

\

'8ueA^ "-{ .)

'Udrs ltu{e} eihsls?qutu >Juun rnl{ruNBsIIBTTB ueqellnryad urEIBp Ip dnlecrp lperu Euu.{ pq uopdmaur'lera8req uul?nru uep

qrue8ued sue8 Euelual '6I geg ruulsp Ip uur{sg'lrelnrn ruEuqlad ue8uap I{BBIalIp qoloq

Eue,{ueqequulednreu'Z7,vep'IZ'OZ'61'81:5I'?I'€I qeg'ru1e[er(uesp qeq-q?g

', !:;1;)i\:ii'l

r'tnlatl uoqaq wteq

-es uBlqsqruslrp uulnlEuesreq tuu/( dnprq-uuqaq rrBp nlueuel uulteqas 'uutryuap tuufsnsg{ ruslgp rq 'tde-e1ara1.uqe[ uelequref uped ufutuoqrat'Euoqrat ulrasaq Jllotuo{oluep er(er-uepf ueluqtgat eped >1nr1 rgadas IIBBI?pueI nule 'tgnpat rnl{ruN epud uuuud

-turs tuereq-twrug mlu 'tuero'u1tuz 'n[1us dn4ecuaur EueI 'dnpq uoqaq ]nq6lp n]F IpBp? )tupll ru18 ?p? sslq tuB/( uuqag 'uelnlEuBsreq Eue{ rn11rup eped 4e1aF4 8ue{ stuef

-os dulal uedel8uagsd uduraqaq nelu delal qesrurad-turpup leJeq ulltunur uBp ulpues

efurnl>1ru1s luraq dn>pcuelll nlulas ue{B tmt( 'ltnil uoqaq ue>luluuwp nlF Ip ?peroq

de1a1 zrucas tuuf ueqag .nDF,/l\ depuqral leqsrrE^ elod lunqutaur 'uelequaf nlBns sBlB

rp Eueplnpl ?slq uu?I?pue) 'ulBI leduel e1 ue4qepuldlp nBlB >Jrratreq usrq uudurlsrel

tuel tuereq-Eue.req nele Euer6 'uBulBIIsq twf n11u,tr upud nulu uetuaregreq Inotmu

ledep nfles uep uFuy .uprqJeq tued lsdual eptd Eunluettlueu BsIq u8l?[Erad '1uus

u,et iO .>praSlaq-ry1 qod ,repp Bpsreq srueueu-sruol BrBJes 'lesndral tue{ undnule

etur-Feqrot tuz{ 4eq 'rn11ru1s nluns upud ueqaq'u?qaq '1pefrel Eueruf'unure11'nufupp tuef rn11ru1s dePuq

-re1 srunpptal ufralaq tue{ .u1q JnlIruN dupuqral IS paI-Is)[8aI IIBp u?^\sl ue4edmau

B{arou turras q1qa1 n?13 .rrBlD{Euesroq Eue{ rnl{ru}s epud EunlueSlluatu 8ue[ uelelzrad

uduraqaq leraq edrueq uslq lesndrel ueqeg 'ufutunqnq-T]l] 1p uellusndral uuqaq ?nu

-as ,tueluq-nltuzr lqugap lgnueruetu ln1un'e[es nluel 'Il3]rl)ltuesraq tuu^ rrsun sel?

1p EunsEuel {?lelrel Euef epuaq n}?ns l?raq nB13 Irlpues ufurnp1rup-rnsun leroq IPIBpB

efuusaq eler tteqrel ueqeg ':pratreq>{ur tued ueqaq elod Inlun uDIn{Bgp qe1a1 'n1ua1

-{?1 slltls undneur nluaual sl181s luJlsreq 8uu[ ryuq 'rup4 ultuure{ u?p 'tu4eq'olEuur,1opq uup rsBuuoJep uep elet uuduElluel uunluauad Eueluol uesuqeqruad 'p1 qne[a5

YYII'iE:}U:Ifl NVggg NYO HfiUYSNSd SIUYS

SVTAII Y3I-I,at\,1

k,

i- 'i !.,U1-.1,1,i

Karena beban hidup bisa ada atau tidak ada di situ dan karena ia bisa membuatsembarang pola pada struktur yang bersangkutan, muncullah pertanyaan, kedudukanbeban-hidup. manakah yang paling kritis pengaruhnya pada siruktui tersebut. Tentusaja, masalah seperti ini tak akan muncul pada beban mati karena ia selalu berada di situ.Kunci jawabannya adalah dengan meninjiu dulu beban hidup yang melibatkan hanya se-buah beban terpusat tunggal sebesar I satuan berat, misalnya 1,0 kN. Lalu pengaruh daribeban satuan terpusat yang bergerak di sepanjang struktur yang diselidiki. sebagaicontoh, pengaruhnya terhadap gaya lintang di suatu titik terpilih pada balok atau penla-ruhnya terhadap salah sebuah reaksi pada balok bisa diselidiki. ika besar pengaruh inidiplot tepat di posisi beban-satuan terpusat bergerak tersebut, hasilnya adalah suatugaris pengaruh. Jadi, garis pengaruh merupakan peragaan grafis yang menunjukkanpengaruh dari beban'satuan terpusat bergerak pada suatu fungsi terpilih. Akan diiunjuk-kan bahwa garis pengaruh merupakan alat yang sangat diperlukan untuk menentukanposisi kritis suatu sistem beban-hidup yang lebih rumit, yang menimbulkan pengaruhmaksimum pada suatu struktur.

13.2 Caris Penglruh untuk Balok Statis 'ferlrrrtu

Garis pengaruh untuk reaksi, gaya-lintang, dan momen lentur pada balok statis tertentuselalu terdiri dari bagian-bagian yang lurus, karena fungsi tersebut merupakan akibat daribeban-satuan terpusat bergerak yang terletak pada jarak x dari suatu titik acuan, selalumcrupakan fungsi linier dari x. Tinjaulah balok-gantungABC pada.Gb. 13..2.1. Andai-kan bahwa persoalannya adalah menurunkan ekspresi untuk Ro, Rp, dan Mp sebagaifungsi dari x, posisi beban terpusat w yangbergerak. Sejauh rr*yu ..nyungkut Ro,

R{ '= -r-fYP Lrntrik o -- r :: L * rr ( 13.1. I )

(a)

W

tRr= +

W(b)

-

.:EttGambar 13.2.1 Reaksi, gaya-lintang, dan momen lentursebagai fungsi dari posisi beban.

Ru= +

R.= R,= ry

7

eped Tere8req l?sndrel uenles-u?qaq pep qnru8ued u?{Infunueu 8ue[ 1u>1gef ue

-eBered qeppe qrue8uad srre8 :qrue8ued sue8 IsrulJep Il?qtue{ 3ue1n8ue11'r7 e33u1q aZ'e'il reqrueg ?p?d s?qeq-epueq urer8erp depuqrel ueleure8ued

rqeleur qeloredrp l?dep rur ueefuqred-uee,(uelred depeqrel ueqernef 'ef?s ruuel

a, rp uenlus-u?qeq leqr{? a7 qeludereq 'g

a B'rp uEnles ueqeq leqpl? o11 ge4edeng 'p

i C.ueue{ r{elaqas rp srsred uenl?s-u?qeq Ngl\e qA qeledereg '6

L 0 \rlt1r{pleqes rp srsred u?nles-uBqeq :r,qtne oA qu4edereg '7

etrrp uenl?s-u?qeq leqple 07 qeledere8 'l: ln{rJeq ueu,(ueped-uee, ueged

dupeqrel ueqe.ref ueludrueur cZ'Z'tl ruqrrreC eped pqal lllll eur{o{ 'qoluocre8eqag'4 e38urq aZ'Z'El &qur?C uped uelrele8rp p uep 'g 'A 'V st1u1 rsrsod

lzdurea>1 r:ep derlas rp uequs-ueqeq In{Itueru Eue.( lopq rrep '(urulSurp ,tpoqeeq) seqeq-Bpueq urer8erp leduree>1 'rur uerpfteEueu {nlull 'srun1 srruS-sue8 uBAu

-ep ue>lSunqnqlp usqeleqesreq 3u3.{ {Ilrl Enures uulpntue{ uep p €BBuIq q1'Z'ElrBquBC eped pqel l$1tr ue8uep 1o1dtp uelnlSuesreq Suef qnre8uad sue8 eped srl-u{ Iefu-I?IIu rqel?p? q?pnur qtqal 8ue,{ er?J 'lnqesJa1 ueqeiuef qeloredureur 1n1unue18ueue.{uau 8ur1ed 8ue.,{ eruc q?peInq rur 'untueN 'G'Z't.l) ?A8unr (I'Z'€I)ue?uresJed ruelep Ip JeIuII uepruesred-ueeurestod uep ry;e6 re8eqas Suepuud z1

-p{ qaloq p eBEurq qT,'Z'€.1 r€qureg eped qrue8ued s.tru8 e3{1ey NVIVSA'IAANAd'Z'?'tl reqqeg eped ue:lluqpedrp 8uu[ SuniueSSueu-{opq lr?p qru uep

'ol'vA lngun qruz8ued srre?-srru8 qgert ?rBcas ue{lnlunl I'Z'tI qoluo]

.1ru{p0q

qoluoc ur?lep lp uqre1e31p ue>lu ?ueturcBuqes 'snrn1 suBS-su?E ueEuap lnqosrel slllr{{1111-{1111 uelSunqnq8uou uB8uop qme8ued sue8 qnrnles uopedepuaur u?Ipnua{ u?p

sfus B{usrlu{ Eusdureued-Suedueuad rp uelnlEuusloq 3u?.{ qruu8uad rcllu-tullu 8un1rg-Euau >1n1un uelSueuaXuaw q?Hlqol e.{u4e11erd uelep 'ulareu uep 1oldp ue1n18ues

-raq Suef qn[3uod slr?8 qrunles uep ua8uq rc8eq1ed u?Ipnluo>l wp nlnl{Bp ue{urunl-p tedup (t'Z't) uffiutq (t'Z'gt) uu?tu?sred Itrradas ueeruusrad-ueeurssrad undnlseyrg

'l'Z'tl requeC epud g {1111 Ipedas u,(ust1r:1 Suedureued-Euedureuad Ip nutuo)pptesrq Euu.('srun1 3uuf, uurSeq-uufeq Irep Irlptel ez(ueq nlualrel sllels loleq Ir?p de13ua1

qn;e8ued stre8 e,uquq uo{E}u,(u1p runlun urucas qulludup 's4e Ip u?seqeq IrB(l'q-r >luun n>lBlreq (q uep o2'7'21) ueeruesre6 enpal 'tur snsol tu?Pp I(l

i) +. 1 :;,y 1 Q >inrun .rir.:.!;^ .,, qrll - ortr

q =

.\ = o rnrirn {x - (l ).14 _. c1,- J-n; :

(r - ql..tt - q'H =- "r{e{?ur:OuBuB{ q?leqes Ip nele IrD{ qtleqos rp 4,1 tsrsod epeda4 Eunlue8req

Suef ueepeqred elnd ludeprel "oN :i.fiufi 'q=x {qun n{?lreq {?pp (q uep o7'7'E1) ue

-Eru?sred Bnpo{ Buorp{ g 1p stsred {B}elrel t$ ellq fu 1n1un eie.(u 8ue,,{ Iellu Bp? {epIJ

o +r=r-> q rnrur, G_ ]rrni;: ry - ri-,r

(/'- r =

0Inrun .o -,-1),r\ - = ,11 -'U = ,,,4

(qr'a't t )

(nt'z't I )

(qZ a'i I )

( 12 z'a'L I )

B{etu

ldBJ:eltep uBuel qEaqos rp nete IrD[ qeloqas tp /.1 {qun Bpaqreq n}l pq 'o1 4nuh

>I\ir{g9u3t{ NvB:{s iivo HnuvcNgd sluYc

Y{iI

III

4 ,l ii i '\\ ii

t,0

4Bcl-ffi r..-ll-" I,r.J ,1, I

(e) Beban-satuan dil(a) Balok yang ditinjau

-0,25 I I(D) Garis pengaruh untuk R4 0$25 0,i75

(f) Beban-satuan di D+0,625

t,0_ r=_. , i--o 17i -0.250 ,-.E

(c) Garis pengaruh untuk lzp lo II'o

Xl (s) Beban-satuan dia

r.o

/ ----\.-

-orio + t(d) Garispengaruh untuk ifp 0,25

(ft) Beban-satuan di C

', i:rn lxir t -l " l. 1 Garis pengaruh untuk balok pada Contoh I 3.2, l.

fungsi terpilih. Sebagaimana ditunjukkan oleh Gambar 13.2.3a, karena !r, !2,dan y3 adalah nilai-nilai dari fungsi akibat beban-satuan di tempat !r,!z,dany3diukur, maka akibat W t, Wz , dan Wx di tempat-tempat tersebut.

lril.r:, luitl.,t ,, ), I i r I -, .l .i ,

Di. lain pihak, iika terdapat beban terbagi-rata dengan panjang tertentu pada baloksebagaimana ditunjukkan pada Gambar 13.2.3b,

(o) (D)

(irr',:i,t; 1.1.2.,1 Penggunaangari$pengaruh untuk menghitung nilai fungsi.

1,25

q per panjang-satuan

,,*l

\

'z'z'€I qoruoJ lopq?p?d utntm$pru Is{Beu i. i i l ri1:.ij:,

uBusqegued Flsod (p)

s7 v+-.,6-0€

v vf^.,6--G0z sz

Epor uBqeg (r)

l"r,l| 'e ltzlo-----@--o

Nr 0€ N)t sz N{ 0z

fy >1uun qu?tuad sr.rB5 (q)sz'0-

re oz sz oe oo,t+

v V,-z oNre 0€ 9Z

v vfrrrreNI s'L- = #- = (seqaq-Bpueq lr?p) vu

NI S't - = (SZ'0-h€ = (76 3 = vy

'S IsFod \ntu1 'wnwlstlow !14oilau VY Q)

Nr 0r+ = CIE+crg = (ssqeq-Bpuaq I,,p) vu

N)r 0?+ = q)(0'r)02 +(o'r)sz = (76 3 = vy

.9 rsrsod 1n1un

N)t szt'€s + = Gro*&IirC = (seqeq-Bpuaq !rep)'u

(urnunsleur) NI SZt'tS+ = (t)(0't)02+(l)(0't)SZ+(0't)05 = (76 3 = vy

'g tstsod lnlun

NI 5l'6r+ = CIa*,*-" {suqaq'upuaq F?p)vU

Nr st'tr+ = (p(0'I)09 + (0't)sz = (41 3 = vv

'Z tslsod {nlun

Nr 0s+ = mElCkTCrG = (seqeq-Bpuoq IrEp) vu

Nr 0s+ = (p(o'r)oe + q)(0'r)sz + (d1)s7 = d11{ 3 = vv

'1 prsod {n}uq 'sp!r1 ptsod ueledrueur eslq euulred ueueqeg

-uad prsod leduraa4 uep nles qeles, 'wnulsrlow tttlsod YY @) tr'. i \ ! i I 'i.I. \" 1,1

'lnqasrel lopg eped :111eq-{Bloq :leroireq estq 3ue['uu:lluqgradrp euuu4eteqas lesndrel ueqeq e8rl leqpl? urnurls:Juur ;tle8au uep JIIIS-od vUue{n}uel'V'e-El rBqIu?CepedBunluetflueu-{olBq {n}un i'r f i llciuo"}

'(S'Z'e t) uep (t'Z'EI) uustupsred

1nl?laur qaloradrp tue{ gseq-gsuq lace8ueu {nlun uolnry[p INeu Iq 4tppral qBltucl'esurq (fpoq aary) seqaq-upueq epoleru uetuep Eun1p11p qnd ledup lnqa$el ptunJ IBIIU

"uzlludzpp lnqesral dnplq ueqaq npod qales 'e[es n1ual 'dnpg ueqaq luqpp p8un;

rrpp runum{Bu glutau-;ugu uup rrmulsletu gylpod p[u-IBIIU qaloradueru 1n1un eEn[

rdu1a1 'sr1rr1 Eugud qruetuad uellnqunuaur tuef dnpq uuqaq uulnpnpe{ ue>{n}ueuatu

>1n1un edueq uulnq E?iisuntlp ludep nll q?lraq Suert (g'7'91) uep (r'z'gI) ue?Irlesrad

nB[r4rlp 8u?d:loIBE (r)

6 ./ \N.1 LISIS slR liK'I u R l, \\JLir',\N

(c) Diskusi Apabila terdapat rangkaian beban terpusat bergerak yang pan-jang, pelbagai posisi pembebanan mesti dicoba. Di dalam Pasal 13.3, metodeuntuk mendapatkan posisi pembebanan yang paling kritis akan dibahas lebih lan-jut untuk balok-sederhana.

Contc,h I 3.2.3 Untuk balok-menggantung pada Gambar I 3.2.5, tentukanlah RA po-sitif dan negatif maksimum akibat beban terbagi-rata sebesar 6kN/m yang bisabekerja pada sembarang bagian atau bagian-bagian dari balok.

PtrNl'llLES,AIr\N (a) Rn positif maksimum. Untuk posisi 1,

Po : q kali Ar = 6(+4) = +24 kN

Re (dari benda-bebas) = itoltsl : + 24 kN

(b) Rn negatif mdksimum. Untnk posisi 2,

R, = q kali A: = 6(-0,25)= -l,5kN

Rr (dari benda-bebas) : -ry = - 1,5 kN

Contoh l-1.2.4 Untukbalok-menggantungpadaGambar l3.2.6,tentukanla}l,Vppo-sitif dan negatif maksimum akibat tiga beban terpusat sebagaimana diperlihatkan,yang bisa bergerak bolak-balik di atas balok tersebut.

+ 8m Az. I

--(a) Balok yang ditinjau (c) Posisi pembebanan No. I

+ 1,00ru

Tatn

tli

*0,25

(D) Garis pengaruh R4

Ganrhar 13.2.5 Reaksi maksimum pada balok Contoh

(d) Posisi pembebanan No

t3.2.3.

oo o_..

No. I

(a) Balok yang ditinjau

+0.625

No. 2

-0,375

(D) Garis pengaruh untuk Z,

20 kN 25 kN 30 kN

c__-o____-olz. I 3m I

l.-fF- il

(c) Badan roda

6 kN/m

6 kN/m

L.

Gambar 13.2.6 Gaya-lintang positif dan negatif maksimum pada balok Contoh I 3.2.4.

Z

'lnqesrel {ol?q sBl? rp {rIBq-{?Iog {Bretreq BsIq tuBd 'uE{-tsr{Iradrp euBunESeqes lBsndrel ueqeq e6I1 leqpp tunull$l?rll JIleSeu uep Jlltsodolg qeluelnluet 'g'Z'€ I reqrueg eped Sunluu8iluaur-{olBq {nlufl 9'Z'€ I qoluof,

'S'Z'€I qoluo) :1o1uq uped urnurs{sur Sle8eu uup ylrsod Suelur.yeAeD t'Z'tl rugtueg

ql 11n+un qnru8uad srreg (4)

Z 'oN uewqoqurad rsrso4 (p) sr€'0-9795'1+:zY 1--

9Z9S'o- =tVsz9'o+tulNl 9 U,/NI 9

'I 'oN u?ueqoqruadrsrso; (:)

uIlN{ 9

NI Sr8'r- =

8t - fu.lf-*G5Et = (e)e - vu = (sBqeq-?puoq IrBp) {A

N)t St8/r- : (SZ'0 - 9Z9S'0-)9 =€y vep t y r1u4 b = a1,

'g rsrsod \nlvy'wnutstlow !11oBau Ol Q)

N,I slt'6+ = #t= vu = (seqeq-epueq FBp) a,r

Nl 9t€'6+ : (SZ9S't +)9 :.V IIB{' b = ('A

'1 rsrsod >lrrwfi 'unwlstlow t111sod ol @) NvIVSA-TE-{Nad

'lnqesrel loleq Irep uer8eq-uu6eq nel? uBItPq tueruqures Bp?d ?frel-eg ?slq Suef ru/p19 roseqes eler-IEeqrel wqeq lsqple unutr$leur ;rleteu u?p Jtlls-od ql qelue>1n1ua1' L'L'€l rr-qvrag upud Sunluetiueu-r1opq {nlun S'Z'f I qoruo)

'lnqesrelsnse{ enpe{ tuelep Ip fcs{ qlqel Euuf Jepu ue{r.requau lngasrel tnBI Islsod 'CI lp Z?por uDlsdueued trep 8ue[ ue8uep etnl'7 lstsod lrep llssq uBp :O W ?, ?poJ uBled-ueued trep 3ue{ ue8uap uBISulpueqrp Ilseu I tslsod 1wp IISEH ?rt?+rfcr (r)

NI se'l I - : (0t + sA - (8)sz+Gloa = (sBq6q-3Pueq I'rBp) 01\

(lrreunu Brsces urnuqs{stu) NI SZ'II - = (Ste'0-)0€ = ('tr4 7= a I'g lsrsod 1n1un

Nr sze'01- : (02 + sz) - CIE+Tr*- = (s?qeq-?pueq Ir?P) dA

Nr sz9'01 - : ()(Ete'o-)sz+(sr€'0-)02 = (16 3 - o1

'E tsrsod )fnlun 'utnwtstlow ltto*au o 11q1

N)t sz+ : CriZiOG = (sgqaq-?Puas F?P) oA

(runurrsleur) N)t 9z+ : (:XSz9'0+)Sz + (SZ9'0+)0€ : (6 3 = or1

'Z rsrsod IIUUO

Nr sr8'lz+ : fen*f-r*= (sBqaq-Bpueq IJBP) oA

Nlt 9t81z+ : qxszg'0+)sz + (sz9'0+)02 = Q11 3 = or1

'1 tstsod {n1u0 'wnwlstlow lutsod o.,l (a) ' , i:j ;:: ii:. :!i!r

ru[uplp Sued {olEg (r)

87--,,,


AN.\ LISIS SI'R(I KI'TIR

30

I- ANJ U'TAN

(D) Garis pengaruh untuk r'lfp

20kN 25 kN 30kN

No. 3

No.4

(c) Beban roda (d) Posisi pembebanan

{..inllrr i3.2.8 Momenlenturpositif dannegatif maksimumpadabalokContoh 13.2..6.

Pl.\)'!'Ltr-\.i1,1r' (a) Mp positif maksimum. Sulitlah untuk melihat apakah ke-

tiga beban terpusat tersebut mesti mengangkang titik-puncak (+1,875) pada garis

pengaruh. Dari teori yang akan diuraikan di dalam Pasal 13.4, salah satu daribe-ban-beban terpusat tersebut harus terletak persis diD. Dalam kenyataannya, teoritersebut akan juga mengungkapkan beban yang mana dari beban-beban terpusattersebut mesti dikerjakan di D untuk menghasilkan Mp maksimum. Cobalah po-

sisi l.'l \.'1', !i '.',r '' l:., i:.-i'.

. " i : Untuk balok-menggantung pada Gambar 13.2.9,tentukanlahMp po-

sitif dan negatif maksimum akibat beban terbagi+ata sebesar 6kN/m yang bisa be-kerja pada sembarang bagian atau bagian-bagian dari balok tersebut.

(a) M o positif maksirnum. lJrrtuk posisi l,Mo = e kali Ar = 6(+7,5) = +45 kN.m

Mp (dari benda bebas) = Re(3) - lE(1,5) = 24{3) -27 = +45 kN.m

\

7

dupuqral uequ,re['rpu1 'Bnpe{ rsnod upud 3f ruepp rp Epureq t41 uuareltfl rluppe c1 eped (sso1) turrny'f/ Ip F{Bar rrerleqru?t qe1rzpe 7lz'rs9 'efuueulu{u-a{ tuBIBO 'qruuEued sFeE tuefuedas rp leratraq EueI lopq upud plo] ueqeq qBIBpB g:ueEuap '7lz-rsO qEI?p?, a>1 241 uulqupuilraru uetuap qaloradrp tue,l cA uped uequq-ue1 'a1'g'91 ruqu?C eped ueqeq nrsod unpe:1 ereluu ueturpuuqued o{ qequre)

'rzseq qrqal tuefJnlsd cA rr.qu uu4pseqtuour Uu>IB ,I'E'€l r?quIBC eped uu1ruruaq tuu{ uzqaq rsrcod

Bnpel u?p euuur tuul u?Inlueueru {nlun tunuellJ{ nl?ns ualurunuetu nlrad u{ueq u1r>1

'urnrun uuposred pEeqas'e{er{ ? dupuqrel srllolus )plalrol tue{ 4ltt nlens ueledn:erueuel',J rp unurtsrytu Jltpod tuetul ufut uetuep ?tu?s Ilseu , Ip urnrus{stu gtlutautuBluII edut u,rqeq IBqII ?lll 'art€,1 r?qruug rrup rrBqoq gspod uutuap uulEtnpuuq-lp pI'€'€I ruqlu?O rrep u?qaq rsrsod ugqudy 'pl't'tl requr?C eped '2 rp tuntuls{Bruylutau tuetul ufet uullnquluau tue,( uup ia1'g'g1 rcqIuBC uped uuryeq-rlradrp tuefrr?p nlps q?ps rIBIEps Ip?[ ?qq , rp unurs{eur yllsod Euelutl u{u8 ue4nqurtueur tuufueqaq $rsod'{Ipq-{EIoq leretraq usrq tue,( lesndral ueqaq edereqoq leql{B Dl't'tlruqu?C eped gV ewglepes-{opq IrBp , Ip tu?tu.rl e{ut epud qnrutuad qelnefurl

'?ueqrapes lopq uped unru6{etu tue1u11 edet nele $TBer uollnq-u4ueu tue{ uqmpuesraq tuuf uuqeq-ueqaq IrBp sl]IDI lstsod ue11ud?puau {nlunuul8uucuerlp ledep apolau nluns E^upq rut psud tuqpp Ip ue4qnfunlrp unly

'lnqesrel uuuqocrad eduraqeq

Irseq-[seq Irup pqururp u[uq11r1 rBIIU uep uolnlra&p uuetnpuod uderaqaq 'uugruraptuef snsel urul?p I11 'e1er-rteqrel u?qaq ?aequaur tuef tuoqrat-tuoqraE qalo pn11

-1p uelnlSuesreq tue{ Jl}oruo{ol Bpor-Bpor 'rdu-u1ere>1-uepf uelequref zpud Euoqrat-Buoqrat uetuap Jltoruo{ol snsaI urcpp Ip 'qne[ qlq{, Iapuad 3r1e1ar larutraq Eue{

lusndral ueqaq ledrua nelu utn rr?p qlqel ledepral e4f eure1rua1 '4era8raq lesndral ueq-aq ueplEuzr >1n1un e{qeq uepl1tuap qBpIBplJ 'sqrr1 tugud EuuI qruuEuad uellnqunu-eu r8llulqes edru uznltuapas ru?qaqrp Ilsour {opq nlens IJBp euuu tuuf uetEeq-uettequu4dultunEueu {n1ufl 1ep rctzqas eurndues lqlsraq qruzEuad qrut 'u1u.r-peqrel

dnpq uuqaq 1n1Euu{ueu zfuuq qnefas ?rrrr{uq lsqllral qelludup 'ruy runlaqas psed uuq

!:iliiilrJl);. !l-1!ftI1:5 irpnd ttintrr,!rit:lt Ir;r:11il'1 ?,{r:,\ nPJrr l\II.r'{ 'lrltr1r'-r tiiltu,iti.r}} ir'. i

ru.NI S'?- = (€)S't - = ([)vU- = (sBqeq-Bpuaq IJ?P) or4l

ru.NI S'r- = (St'0-)9 = zy IIE)I b = oY1

'Z Islsod \rgul'unuyqow !1g1sod qw (q)

'r'Z'€IqoruoC>lopqupedunu{sryurJp?SauuepJltlsodrnluelueuo14ll'1'Il rDqurr'i

utlN{ 9

I 'oN nPuPqaquad Flsod (r)

Z 'oN rnuuqequed rslsod (P)

VVffi-

orr,o_oN :{l:oun qn&8ued slrec (g)

st8'I +

ns[u$Ip tu"d lotBg (r)

rulN{ 9

:.{1. {jit L:.Iu Nvgga Nv(I Hn}IvDNqd sI1{v!

10

(a) Balok-sederhana

, L-a,L

(D) Garis pengaruh untuk /c

....4i.\l.illlS \ ! RI-\l llR i hNJl,i'j'A\

La;pl.-1.*l

fuazr-c er

(d) Posisi beban untuk Vs negattf

A ooo@rDr\ (-.ls,rls23l ^.i--.]!.--]

o@@ B

a-c l] (e) Posisibeban untuk lz'gpositif

(c) Posisi beban untuk Iz6 positif

Ganrbar 13.3.1 Gaya lintang maksimum pada balok-sederhana akibat bahan terpust bergerak.

persoalan, apakah Wr di C atau llz di C akanmenghasilkan Vc yan1lebih besar, adalah:

Tanrbahan = Osy-2lL Kurangan = I1l1

Jika tanibahan (kr-rrangan. ternpatkan W1 dl C 113.i la)Jika tlmbahan) kurangan. lentpatkan ll/2 d'i Cdan bandingkan dengan ll3 danC' (i-l.3.lbl

Di dalam kasus umum, beban roda yaflg pertarna mungkin lebih ringan sehingga penem-,patan W2 di C akan lebih bersifat kritis, tetapi kebutuhan untuk memindahkan Wt ke Cjarang timbul.

Untuk mendap4tkan reaksi maksimum di,4, Persamaan (13.3.14 dan D) juga

dapat digunakan, kecuali bahwa G di dalam persamaan itu tidak akan mengandung

l,l1 karena W1 telah keluar dari bentangan dan tak ada tambahan momen darinya

terhadap titik -B dalam perhitungan reaksi di,4.

Contoh 13.3.1 Untuk balok-sederhana pada Gambar 13.3.2a, tentukanlahreaksi maksimum di:4 akibat lintasan bolak-6atk dari lima beban roda yang diikutioleh beban teibagi-rata yang takterhingga panjangnya sebagaimana diperlihat-kan pada Gamb'ar 13.3.k.

PENYI.LESAIaN (a)Posrsi. Bandingkan W1 diA denlan W2 diA,

G(W t di A, tidak termasuk I/1 ) = 160 + l6(18 - 8) = 320

G(W2 di A, tidak termasuk I'tz1 ) = 160 + 16(18 - 6) : 352

Tambahan = Gsy2f L = (di antara 320 dan 352)(2)118= (di antara 35,6 dan 39,1)

Kurangan = llr =20.

Tambahan ) kurangan; 142 akan mengakibatkan R4ryang lebih besar ketimbangl,l) 1 di A.

\

7

OZ=rtll = uutuern;(9'S I uep 1'1 1 ereluu rp) -

8I/(Z) (80€ uep 9LZ ereluerp) = 7fz-ts7 - usqsgluel80€ = (9 - ?r)9r + 08r = (cw rn)cgLz=e-rr)9l +0Br = (JlP tM)g

,Jlp .M us8uep

)\p t/i.ue16urpueg 'J ry wnwtsyow l171sod 3uo1u17 otog @) NVIVSa-IaANAd'pt'E El rBqurBC epu d ue:llagredrp eueurye8eq

-es e^u8uefued e33urqre1>1e1 3ue,( eler-r8eqrel u?qaq qelo 4n{up Suef epor ueqaq

etuq uep >1rpq-{eloq u?se}url l?ql{? , rp unurs{eru ;rlu8eu uep ;rlrsod tu?1qlede8 qe1ue1n1ua1 'og'g'E1 rBqIueC eped euuqrepes-{olPq {nlun Z'€'€I qoluo]

N)t r0z : ,rr(zDOr iGZTr*l : (s?qeq-?pueq epoleur) vu

. NI'OZ:

o',(:i)(f)r, . (#)*-r €i),. 6h)*. (1)s7 = (qnlsaued-srwt epoleu) vu

'V W zM ue8uep 'Z'€'tl reqrueg epedel r8el nce8ue4 'unuls4Du vU (q)

.yry e44?uuq

-urrle{ reseq qrqel 8ue,{ vy uerllrseq8ueu ue{? Y W zil iue8uerrul > usq"qursl

}l=ztll = us8uBrn)(82 uep 97ew1uerp) -

8l/(Z) (80€ vepgLZ ereluerp) = 'lle-zs1 = u?q?qu?I9€.8 =G'b - 8I) 9 + OZI - (z7y-uep I/fl {ns?uuel 1ep$'V\p elDC

Zlt =@ - 8I) 9I + 0ZI = (cruuvp rl4{nsuurel 1epq'YW zy)g'yIp eh ue8uep Vlp zlt uE>IEulpusg

'I'g'€I qoluo3 1o1eq epud tunuqsl€trr Is{seU Z'€'€I requre}

{era8req u?qeg (r)

TUINI 9I N{ O' N)I O? NI O' NI O' NI OZ

lry 1nlun qnlz8ued streg (q)

BuBqrapes-{olsg (r)

i ul 8l

V

'i r}i.:ii. ri.iiri NVBEB NV.l F{nUVONgd 5-lUVC

o'l +

II

\\.1 tit \i.i

(D) Garis pengaruh untuk I/s

20 kN 40 kN 40 kN 40 kN 40 kN 16 kN/m

(d) Beban bergerak

t-ianrbar 1 3.3.3 Gaya lintang positif dan negatif maksimum pada balok Contoh 13.3.2.

Tambahan ) kurangan: ttt2 di c, akan menghasilkan zs yang lebih besar ketim-bangWl diC,

Bandingkan W2 di C dengan W., di C,

C (W, di C) = lEO + 16(14 - 6) = 308

G (W3di C)= lEo+ t6{14-4,5)=332

Tambahan - Gsz.tlL = (di antara 308 dan 332)(l,S)llg= (di antara 25,7 daln 27,7)

Kurangan = Wz= 40

Tambahan ( kurangan; w2 di c akan menghasikat vs yang lebih besar ketim-baag ril3 di C dengan W2 di C,

vc (metode garis-pengaruh) = m(-*)(i). ,*(jil(l#). ,.(i)(i{)(*)o,

(a) Balok-sederhana

.t4*IE

4-IE

.4'18

(c) Garispengaruh untuk lrt

2,0m ll,5 mll,5 mll,5 mlt,5 m

= + 130165 kN

7-

e{r/il +rf,e/h +ztztrl +t{t/U --t{tC @\ C1ry 1n1un qnretued qreC (r)

*TJf,[,T-'p>-lll)/'P'

ffio'r!,

trl4 zrtl 'A

zc tcttrl-r.lv'lcl Dv,@

qsIBpB J rp Inluel uetuoy[ 'I't'tI requug epud

gf su?qrepes-1opq epud €por uuqeq qnfnr lrup resep srsod uderaqaq WIrc[u1IJul tnTreq rurnu srleualeur u?urunuad 1np1eu pdeclp uu)p sruus tuel uc

lndunsaX'lnqesrol WIIdral >1111 1p slsrad efra1aq snruq uuln48uxraq 3w{ lesndral ueq-eq-uEqaq rJ?p nlss B,r\rPq uurllndunstp qelredep uEpllluap uuEueg 'uulmltuesreq tuufrnluel-ueuou ureferp 1o[od->1ofod ry e{ueq tpe$a1 ludep unu4s{Btu IBIIU n1ens ruI

snsol ruBIBp Ip ftrer('e[us snrnl Suud urfuq-ue$uq tmp IJIpre] ue>Is nplas lusndrol uuqaq

l?qDp rnluol-ueruoru urertep 'e{urstsod und uueu{eteg 'uetuuluaq tuefuedas Ip Wld-ral {1.rr nl?ns rp rBseqrel rrquel ueruoru uu:lqeqaz(uau U?)I? I{B{?uEIu tuu{ dnptq ueq-aq rqsod Wpps 1ncuntu tuuf ueposrad 'gdu-e1era4-uepf uelequtef nluns trep rquf dutl-as upud uureln (raprrt) ftrzdoued-1o1uq Bnpel epud nele 'ufur uqef uulequef 1e1d p1-puaur tuul pupnlFuol lopq uderaqaq eped pufrar tuu[ $radas 'Bueqropes-{opq sul?

Ip {IIBq-)fEoq lzretraq usrq tuuz( tuzluud tuuf lusndral u?qeq uupltuer upe qlqedy

Bueqrepas-{o1ug uped utnuFrle1g mlua.l uatuolU {qun tunpel!ry t'tl'Nr 99'0€ I +

usp NI 0I- Er?luu rsYtre^req ledsp e,(ute1tu '11eq-1qoq :pratreq tuef ueqaqugs?tql luq11u'uu4leqredrp 3 uped tue1ql-edut qnuf nlrteqag 'uDsoqDquad @)

N{01+ =Gt6l#ffitffi = vu = (seqaq-Bpueq epoleu) 'Jl

Nr 0r + = (iJ(i)*. (,XT)". (1t)* = (qnrutuad-ryua aporeu) 'J^

r,saq qrqer ew, cAuurslseqruaru *r, ,JgsH'fi:iltH;g iffiHlfl0Z=t/i=ugtugrnX

(9'SI ueP I'I I ErBluB IP) =

8ll@)bil uep 00I ereluz 1p) =1lz'ts9 = g?IPQTUBI

oil = cJ Ip z/tt) I 00t = cJ Ip r^1) 0

' p lp til uetuap ,C lp | il uulSutpuug ' ,3 lp unulsrlou tlllcod 3uo7u17 o4og 1q)

NI 99'o€l + = 0z -mzt +islri*orl+ltm = (sBqeq-epueq epoleru)'11

8t _! ii l.: \ 'j

14 ..\\,-\t_lsts!tltll(tljR [ANjUi,\N

Dapatlah ditunjukkan bahwa, asalkan garis pengaruh yang bersangkutan merupakan satubagian yang lurus, nilai fungsiDlly untuk beban-beban terpusat bisa diperoleh juga dariperkalian antara resultan beban pada bagian yang lurus tersebut dengan ordinat-penga-ruh di bawah resultan tersebut. Mengacu kepada Gambar 13.4.1b, ambillah momen-mo-men dari keempat gaya ll terhadap titik O dan samakan jumlahnya dengan momen dariGr,

G0t: Wrat* Wflz* Wpll_ Waaa

Kalikan setiap suku di dalam persamaan di atas dengan tan o1.

GrAr tan 01: W1o1 tan a1*Wgy tan o1 lWflt tan a1 lWaaa tan a1

daripadanya

GrIr : Wr)r * W:):+ Wryj+ Waya

Kembalikan ke kondisi dasar dari Persamaan (13.a. l);jika srstem beban yang ber-sangkutan bergerak dari kanan ke kiri sejauh dx yang kecil, Gr menuruni garis pengaruhdan Gz mendaki garis pengaruh. Tambahan bersihnya adalah

/11tr 1 '

{, , :i 1,

tr.r-:I

lt ;il -f i ).;rll

i

Dari pengamatan terhadap Persamaan (13.4.3), dapatlah dinyatakan bahwa, agar

momen lentur maksimum terjadi di C, posisipembebanannya haruslah sedemikian rupahingga beban G1 di dalam AC sama dengan Gaf L.Kesamaan ini jarang terjadi secara te-pat; namun, jika sebuah beban ditempatkan pesis di Q, sebagian nilainya dapat dianggap

sebagai beban yang terlbtak dalam AC, sehingga memungkinkan terpenuhinya syarat

Maka, secara praktis dapatlah dikatakan bahwa untuk menentukan posisi bebanyang menyebabkan momen lentur di C bernilai maksimum, lakukanlah langkah-langkahberikut :

l. Tempatkan sebuah beban di C, tentukan beban total G pada bentangan yang bersang-kutan, dan hitungGalL.

2. Ada dua nilai-mungkin dari beban G1 di dalam AC: nilai yang lebih kecit yang tidakmencakup beban di C dan nilai yang lebih besar yang mencakup beban di C.

3. Jika nilai Gr yang lebih kecil, nilai GafL, dan nilai Gr yang lebih besar berurut, be-ban di C yang tepat telah diperoleh untuk menghasilkan momen lentur maksimum diC.

Di dalam kasus yang rumit - seperti apabila secara serentak terdapat beban dir4,

tIf$2i.iI

I j ,'

l-

ru.N:l €€.5[9 =

(s'r)02 - (s'r)or - (r)ffi : (s?qeq-Bpueq apoleur) J,11

'Jlp ril u?Auaq

:tmllraq 1aqe1 eped UBITBIaEIp r?seq qrqel evet rg uplSunur-relru u?p fco{ qlqel SveA r g uPltunu-Iefu erelu? !p r-?lluraq Tlog ieEe , 1p ep

-orueludrueuadueeqocre6 ')lp unur$low tnlual uawoyl (o) , . ii t:i ll."l.--.i'pe'V'tl r?qrueC zped ue:11uqg

-redrp rpedas .efu8uefued e8tuqral4ul 8ue{ eler-rBegrel uugeq qelo r1n>1.up tuedspor uegeq ?Illrl rrep {Fq-{BIoq u?s?lul leql{B J rp tuntuls)tEtu rnluel ueluoruq?luelnluel 'DZ'l'El regtupg pp?d ?ueqrepes lolug Inlun : r i ,.. :i:!;,

'uuu?{ aI nfnuau tuuf uezrupualleqpl? J {lt!t 1p qaloradrp 3ue,( ueEuop ?rues rrr{ a{ nfnuetu 8uu{ ueerupuo{ lsqpls A?

{lllt Ip qeloradrp Euuf rep11 , {llll 4n1un prades ?{ur{Br? uurss Euu{ ueerepue{ t?q1xe'J {l1B depeqral srrlorus {?lelrel Euer( ue8uuluaq eped ', {llp rp {unur$[Bru rnlualuaruoru ue>lnlueuotu ue8uop uelolepuad uu>lruI?l Blpl nBIBI ue>l{Epntuetu qupIlqol 'uB-u?^rBIJeq tuez( qere e{ nfnuetu Eue,( urul usqeq uelsrs ssle{s u?{J?qrue8lluaur Euuqunl-e)'ueu?d\Blraq 8uu,{ q?JB rlrelsp efuurul unufls{?ru m[u q?nqas uep 'qereas e[usu1u11

-np1 uyqudu unrul$[Bru rBIIU q?nqas ledeprel 'uurus 3ue^ 2 rypdrar {I}11 {n}un'rr?c Blpl

Suzpes Suur( uuqe,ruf quppe reseqrol Eue.,( tupu uup tunlr-q1p INeu lnqosrel lsrsod unuss

{qun, rp rnlual uetuoru rrzp e,{uqn8Eunsas Eued rEIu-rEIru et8ur-qas (, p Wqel nBlE

ueln.rrueq Euul( epor.Bnp rrep nles qBIBs ue{ledrreuoru uetuap rqnuadlp BsIq '(r'r'€I)ue?ru?sJed ruBIEp rp uelelufup eu?rurut?qes '1nqesra1 rururollDl Euepol-EuepuX

'qe1oradry qul-qu1e1 ufuunu4ldo nele{Bcund tsgsod'qlsreq-uuEuerrq uulquqafuaru - ueuu4 a1 1p qnuf-as undnelu IrH e{ rp qnefas - ne[u111p Euepes tuef rsrsod 1n[ue1 qqel uuqupulurad e111

1i,! r : l). ! _ 'l

:ln{req r-Bteqes [?qual ue1e1e{r4p tedepElumt'(7'y'91) ueeuresra4'rzsep uueuresrad e>1 1€qure{ nples ledep BpuV - g tnp 'C

9I ,'ir'!1.]li1i:'lfl riVU1ti N n{1 l1a1?lv{rritd SItiVt,

ANALISIS SI' RLI KTUR I,ANJU'IAN16

(D) Garis pengaruh untuk .ilfg

(c) Garis pengaruh untuk MC,

20kN ,l0kN 40kN40kN40kN 16kN/m

(d) Beban bergerak

Gambar 13.4.2 Momen lentur maksimum pada balok Contoh 13.4.1.

(a) Balok-sederhana

2,0m ll,5 mll,5 mll,5 mll,5 m

Mc (metode saris-pengaruh)= rro(?X#).*(fl(?). r(fl(T).' ro(i)(f)(ff),'sr

= 579,33 kN.m

(b) Momen lentur maksimum di C

Dengan W, dic'.

Mc (metode benda-bebas) - totz's)'/z + tqLo,zs) + zo(to,s)(14) - 120(3) - 20(6,5)

= 490 kN.m

€fl rp {E}nru unu4slpu rn}ual uatuo1 l'9'[I rlrq.ueI)

( I :;'t- l )

(;'( r" i)

(t.t1 dcpcq]ot 1t1 rrep t,11 liri-.tirtit{)tlr) - r'\'H = t,11 lprt-

'(uer8urp fpoq aarS) stqeq-Bpuaq urerterp uuq'unurs{Blu IBIIureq

€4,1'qulu?ry1?4'tp rn1ue1 ualuoru u8llulqas udnr uenpurepos 'I'S'€I reqlue5 upud 'r tsts

-od unlledupueu {n}un w>Junrnllp ledup snurnr nl?ns 'efts lesndrel wqoq-uuqeq Feprrrprel u?ln{Euusraq Eue[ 4eraEreq uuqeq epqude 1ur1e{ 'snsnq4 snse>l LUBIBp IC

'e,(uEuefued uEtwqral44 Euuz( uler-feqreluuqaq qelo lln>lllp tuef epor ueqeq-ueqaq snse{ Luspp rp uu>pun8tp ledep 11 'utnurn

lBJIsJeq rtn rnpesoJd 'runurs{Bru Islureq snruq e[e>1aq rn ueqeq ltdual ry rn]ueluoruoru B^\rpq rsrpuo{ mplatu ue{Iepelaqp tuu,{ 'rnqu1e4p>p1 Euut( lpufueur IUI ueq-eq ppod wentue11 'nlF Ip umtuls{Btu rn1uol uotuotu uaIlnqu{uotu uop ueEuelueq

qe8ual-qeEuel p ueqleduralrp elrqtdu tuef ueqeq uu{nlueueu eurel'eurelred 'I{BIBpB

eserq Eue,t qalEuel uelnrn'uer4urap uutueq '1opq Eunfn uuBeq'uerteq rp rpufte1 ledupJ?soqJet Jnluol uauou B/rquq IIq?Nnu uep 'snrn1 Euef uefeq'uepeq trep utpral 1ed

-up e{ueq }ssndrel usqeq-uuqeq }Bqple uoruoru uerEup ?uoral IpEFal lul IBH '1esndra1

uuqeq q?^\sq 1p ue8ueluaq qe8ual-qeEual JBlples rp rpehal srueq 'uetuulueq Bped El(u

-1e1a1 und BuBru rp'1e11nur unurs{Bru Jntuel ualuoru 'lovnw wnw!$lout truual uawout

lnqasp Iul reseqret rnluel ueruory 'uulnltuesraq Suuz( >1o1eq upud 1pe[ra1 uqq Euu{

r?seqJol rnlual uatuotu ederaq L{BIBI ?pB qpuur Euef uzposred 1du1e1 'ue1n1ue11p nped

efuunurrs4eur rn]uel uetuoru Euuf ueEueluaq Euefuedes Ip lfiIfuel {I}ll ?pB {Bpl} 'd?}-a1 1u8a1 tuedureuadreq eues F e{ u?m{ruaq uup 4apuad Euuf zuuqrapas'{opq {ntun

eueqrapas-{o1eg uped IBIlnhi umtulslel^i rnlue'I uauohl S'EI

'ut'N{

t€'6LS nule '967 ueg €€'6LS er?lus Ip reseq qlqal tuef repu q?IBpP J rp Iunuls

-{Bru rn1uol ualuotu 'IPuf 'urN{ 06, qEepe 'IrPI qure a1 nfnuaur 8ue[ ueerepua>1

leqqe etnf ',r rp rpsaqrel rnluel ueruotu uup 'ur'p:1 €.8'6LS qPIspE I4{ rleru e{nfnuatu tue{ ueerepue{ lsqDIB, Ip resaqral rnluel uetuon 'uo1ndwlsay (c)

urN:I 06? =

G?(*)(,,!X?)r' . (rr'Xr.u)*. (#X$)r, :tu",,tued-sl*t aporaur) cv

-!-- -- 1) --'l

? qaloraduau {ntun su}u rp ueeuresrad ualmseles

(l:(r'; r- l)ft)'1ou uuEuep ue>letu?s uup x depeqre] sB]? Ip rserdslo uu{unrnl

(s,11 rir:per1-rc1 .,11 rrr:p I,11 trup rrtlr.r()lu.) - ta; . "*.rtar:

Lrtlgril er*l rrttttt zrUtrtt

LT xYu3!)ll38 NVASS NVo IinUVONgat SIUVC

18

Jarak G dari ujung kanan adalah

Bandingkan Persamaan (13.5.2) dengan Persamaan (13.5.3), dapatlah dikatakan bahwa

fu dan G mesti ditempatkan masing-masing pada jarak yang sama dari ujung kiri dankanan balok, agar momen lentur di I/3 bernilai maksimum.

I ' ,: , : Tentukanlah momen lentur maksimum di tengah-tengah bentang-an balok-sederhana pada Gambar 13.5.2a dan kemudian momen lentur maksimummutlak akibat lintasan bolak-balik lima beban roda yang diikuti oleh beban ter-bagi-rata yang takterhingga panjangnya sebagaimana ditunjukkan pada Gambar13.5.2d.

' , (a) Momen lentur maksimum di tengah-tengah bentangan.

r

Ii

- llr' :i'1 I l;r,:i

(a) Balok-sederhana

+4,5

(D) Garis pengaruh untuk ily'g

(c) Momen lentur maksimum mutlak di 5

20 kN 40 kN ztt) kN 40 kN,l() kN 16 kN/m

(d) Beban bergerak

Momen lentur maksimum mutlak pada balok Contoh 13.5 .'1 .

2m ll,5 mil,5mll,5 mlt,5m

'qnrueued-sue8 undnele s?gag-?puaq epoletu u?Buep tun11q1p tuef'ru'N{0SZ - ue8uelueq qe8ue1-qetuel gp y,g

'ue3uelueq qe8uel-qeSuet \p z il ueSueq'ueEuzlueg qetual-qe8uelrp ualefre>pp €il e{pe{ {oleq rrep rpnle{ q?lel 1,17 euarr-4'reseq qrqel tue,{ repu

uzlpseq8ueru psetu ue8uelueq rle8uel-qe8uel 1p cM e^qeq qqsqat 'urnrralrrlFlnuetrretu 'ueSuelueq qe8uel-qeBuetW e h undnele 244 'rsrsod enpel undolse;41

lil,l l.li ii)

'uoEuoluaq qoBuayqolual tp unu$yDu tnlual uawoq (o) I . :,

'pt' S'El .requreg eped

uol{nfunlrp eueure?eqas lesndrel u?qeq efil {lleq'-)Ploq u?selurl IPqDIB {?IlnurIununs{Bru rnluel ueurotu uelpnluo{ uBp ,€'s'€I reqtu?c Bped BuBqrepes-{oleq

u?3ue1ueq qe8uel-qe8uel Ip unurs{eru Jnlual ueluotll u?{nluel -

'dn>1nc rIBIqepns eles ue8uzlueq q?8uel-qe8uel Ip tuntuls{Blu rnluel uour

-our :lesJueurloq qeplepll {ellnru runur1s{Btu rnluel ueruoru qeloredureru eqesn

'uBr{rrrrep Suei( snszl {nlun'urN)tT'l6L e\ O6L \rep e,(ueq e.(utelru le{3uru-evt sll rp rn1uel ueurotr 'efuueue>1 Sunfn Ip NIt8't=(20€'g)91 reseqes lopquped eler-r8eqrel u?qeq qequleueru ue8uap e.&q?q 1?qllral qelledep 'ce'S'Elr?qrrr?C ue8uep 57,'g'tl r?qlu?g uelSurpuequreu u?8ueq 'tsn4stq (c)

ur.N>t z'l6t :

oot-(sol't)ffi=sztlIPflur 869'8 : r

0: zxt€ft't + xtt'6t -zz'87.t = rA,#frfi(s4.1 depuqrel tl1effivfl.l tilyep uoutotu)-

8I(9'9 + x - Br)oz + GT,'z+ x - 8I)091 + zl z$ - 9'9I)91

( s41 depeqrel nlL efi?vtq I M \rcp uoulotu) - rvy = s71 !p fll'tunruls{eur Isllureq s4.1 rp rn1ue1 ueurolu B8ilulqes

cZ'S'tl rpqur?C eped xu?{nluel ')lqlnu wnuts4out n1ua1 uauto147 (q)'ru'N{061 qelepe ue8uelueq qe8uel-qe8uel Ip runurs{Blu rnluel uetuotu e;I?IAI

'tu'N{061 = ue8ueluaq qe8uel-qe8uel tp ;,g

'qrue8ued-srre8 uep

seqeq-Bpueq :epoleu enpe4 ue8uep 'uu8u?lueq qe8ual-qe8ual lp sh ue3ue6

urN{ t8, - ue8ueluaq qe8uel-qe8uel 1p 7,9

'qnre8ued-spe8 uep (i(poq aerl)seqeq-?pueq :epoleu enpel ue8uep 'ue8uelueq qeiuel-qe8ual lp vfil ue8uaq

6I I't\:I. iil:11'Ill \Yi1'Jn \Y{] 1I1'rllYClllld Si)1 i

20

(a) Balok-sederhana

(c) Momen lentur maksimum mutlak di @

20 kN 40 kN 40 kN

o____@__o

G

(d) Beban bergerak

(b) Momen lenturW3,yaknix, adalah:

danjarak c adalah

c =E-5,6=2,4m

Gunakan Persamaan ( I 3. 5.2),

L- c lt-2.4t=i =7'Em

Dari diagram benda-bebas pada Gambar 13.5.3c,

:::,:: .. Momen lentur maksimummutlak pada balok Contoh 13.5.2

makEimum mutlak. Dari Gambar 13.5.3d, jarak G dari

_ 40(E) + 20fl2)i=-=r6m- 100

M di w! = R^(7,8) - 20(nl = fftz,t) - 80 = 25t kN.m

(c) Diskusi. Di dalam kasus ini, momen lentur maksimum mutlaknya adalah

258kN.m, sedangkan momen lentur maksimum di tengah-tengah bentangannya

adalah 250kN.m.

Pada tahun 1886 dan 1887 Muller.Breslau tampil dengan cara yang brilyan untuk me-

lukiskan dan mendapatkan garis pengaruh dari struktur statis tertentu dan taktentu.tPasal ini dibatasi kepada pembahasan balok statis tertentu.

tS. P. Timoshenko, Hisfory of Strength of Materials, McGraw-Hill Book Company, NewYork, 1953; hal.310.

(D) Garis pengaruh untuk Ms

'nlueuel sB€ls {opq Intrunnqserg-rellnrl qnESuad ?tueroel I'9'€I l?qulso

Crt {n}un qnre8uad srrzg (p)c

uentr?s 0'I: z0 + I0 ,,

c/ Inlun qnre8uad srruC (r)

Busqrapes-Iol3g (r)

'nqasot ts&un! qDJo wolop uop lnqasal tsaur{ ladwat WDlfuuD7uap Surn&uo1 uzltblaq Zuo t olotowostal uo ru os-uDqopq fua d uwilDqwa w

uDp ru! FSun! qap uo\qoqaslp SuDt uDSuulill unlsndoqSuaw uoauap qapodtp

wdop ruuauat sgzls yopq Dpod nnluglp Suort ls&un! ruDrc lruun qnnSuad slng

:ln1rJoq pEuqas uu>lelefulp ludep nluegal spsrs

{oleq {nlun nelserg-ralnw qnrutuad Btueroal wef 'qz'9'tl Isqtusc uped ueplnfunilpBuEurrBBBqas 'g3 eped etralaq Suel cW uap VC eped ufte1eq flue( cW uetuap qe.rea

tuseur-Eursuur z0 uep t B utEurqas edru uer4urap'Js z0 1 t 6 uenles-qere'ueqeqn uBIIJaq

:qz'g't l rBquIBC uped uu4rlnfunltp eueunetBqos '9, eped efre1eq BueA cl uep 73 eped

ufra>1aq flwA cA ueSuap qerees tuseur-Eurseur 'uelnltuesreq Suef Euolodral {I1l}-{lllu?IrlBsrueur tuet( uunles->pru[ tre4peq lvy ue8uap qureas Eue[ uunles-uuqtpudrad

lrg{rJe{ (7) uelpnurel iefuuaurour-uuuuqe} uulsndsq'Inluol uoluolu >1n1un ie^uEuzlut-ueu?q?1 tuolod'tueluq efet 4n1un lu{uuundurnl u?p Ioleq 1o1tue'Is{Bor Inlun (I):tI?lBpBlnqasrolsnsu>1 et11a1 uBI?plptutzelEue{lBH'pBJ l=zg+ I6e8Eurg}nqesral

rpuas le4tue8ueu uep, Ip Ipues qenqes tuesutuau uetuep qaloredrp ludep (p1'9'91 nq-ur?C)J rp rnlual uotuotu lnlun qnrutued suug 'gz2 uutueq re[efas de1a1 r37 ue>fiuep

-as u?nles nles luru[ zped qusrdroT z3 uep t3 uEEuIQ uet8eq enp tpuluaur ?{uu?{qssltu-aru u?pr lp 1opq Euotoureur ueSuap qeloredrp ledep (a1'9'91 ruqutg)P rp ree aB e{et

1n1un qrue8uad srrug .ql.g.tl rqurBc epzd uellrqgradrp uuuurp8eqes 'uenles nles

p$urles e,(uuendunl rrep efulu4tueEueu ue8uap qaloradrp pdep'o1'9'EI JequrBC IrEp

?lreqrepas-{opq eped tuedes'ts>1eat 1n1un qnreEued slre8 'nelselg-ra11n1,t1 lrunue6

vl

5

Yy ,tnlrn qnre8ued slru5 (q)

TZ xvugcuss Nvgsa Nvo HnuvcNsa sluvc

22 ANALISIS STRUKTUR LANJUTAN

Teorema ini dapat dibuktikan dengan menunjukkan bahwa nilai-nilai Y pada Gam-

bar 13.6.lb hingga d masing-masing sama dengan ,Ra, vc danMs pada Gambar 13.6.

20. Sehubungan dengan reaksi, sebutlah seluruh sistem gaya pada Gambar 13.6.?a me'

ngalami gerakan balok sebagai benda-kaku pada Gambar 13.6.1b. Kerja-semu totalnya

haruslah nol karena resultan sistem gaya tersebut bernilai nol'

W = Re(* 1,0) - 1,0(Y) + Rr(O) = 0

daripadanya

Sehubungan dengan 26,, sebutlah kedua sistem gaya yan1 bekerja pada bagian kiri dan

kanan dari Gambar 13.6.2b mengalami gerakan benda'kaku AC dan CB pada Gambar

13.6.Ic, maka

w : RA(o)+ vc(cc,)- "(#) + RB(o)- 1,0(Y)+ vc(cc:) - "(#)

: o

(a ) Balok-sederhana

Y:Re

Y=Mc

( 13.6.1)

( 13.6.3)

tR. v(

frur(

(b) Dua bagian dari balok-sederhana

FaedahteolemapengaruhMiiller.Breslauterletakpadakenyataanbahwagaris-garis pengaruh sebagaimani diperoleh dengan metode "titik tebal" yang diuraikan di

dalam Pasal 13.2, dapat ditinjau kembali secara visual dengan menerapkan teorema ini'

Contoh 13.6.1 Buatlah sketsa garis pengaruh untuk Re' Ra' Rs' dan Ms dail

balok statis tertentu pada Gambar 13.6.3a, dengan menerapkan teorema pengaruh

Miiller-Bres1au.

PENYELESAIAN Hasil-hasilnya ditunjukkan pada Gambar 13.6.3b hingga e. Di

dalam setiap kasus, kekangan yang disebabkan oleh fungSi yang bersangkutan dihapuskan, perpindahan-satuan yang berkaitan langsung dengannya diintrodusir da-

1,0 kN

l\+-! Gambar 13.6.2 Diagram benda bebas (free body) untuk ke-ffn

dua bagian balok-sederhana yang memikul beban-satuan.

daripadanYay = Vt. (13.6.2)

Sehubungan dengan M6" sebutlah pula kedua sistem gaya pada Gambar 13.6.2b menga-

lami gerakan benda-kaku AC dan CB pada Gambar 13'6'ld, maka

w : RA(o)- v(cc') + Mc(0r) + RB(0)- 1,0(Y)+ V(CC',) + M(0,) : 0

daripadanYa

uBqaq-u?qeq fiqr\B'€Tzn rpluB{?}?{ '3ue1eq urBlup Ip ?/tB8 {qun qnreEued IBIIU'IeIu'Z'L'el reqtu?C uped uelluqlpedrp 3ue,{ Iuedes uelequral 8ue1eq-z18uur >lnlun

'IEluel {oPq-IoIBq wp lu4rEuad {opq-Iopq InIBIotu e,(r.6unqnq {lgt'{It11 e4 uagepudlp B{areullnqes.ral ru?qoqral tuu,( Ewluq-apuer rnsng114 uped elro1eq {Bpll lP{osetuus el(u-rln4fuaur tue,( eler-r8eqrol wqaq uep Ior pfue8-pfueE ndunuau le4Euad lopq-{oPq'l L'tl ftqtu?C upud ue>plnlunlrp tue,{ rlredes rde-e1era1'uep[ uerequraf IrBp snsctr

nrBIEp IC 's4rnfnpl uetuep relefos rnfnqrel Euu,( lu4tuad {opq-{opq ndtunuatu e,(u

-uenp8 eped w1tre1 {opq-{opg 'u,ttfunqnq {I}Il-{1111 tp Psre^slr?r} rBtIrBt {opq-{opqndrunuaur rsrs durlas eped etueln Ernleq eltuer-e48uur 'uelequraf Euuleq'a$uer ln1uil'lr8ueylfuq rIu^\eq rp ue4ErmlueErp 8ue,{ uelelered pep 8ue.( tlredes eduEunqnq 4tp-4r1r1 eped Euns8uel ereces efte1eq esrq lesndral ueqoq-u?qoq 'de1e Eueleq'ulEuer 1n1u1

nluegel q1e1g Euulug-elEueg 1n1un qnretuad sFug '4'91

'enures lsls nl?s eped ledepral ei(uuenles

-rselor u?p rpues-uendtunl qalo ue{Ilue8rp e,(ulrdefrel-uendrunl' a €' 9' €l r?qureC

?pud 'u?nl?s I 63uqes u?{)tl?wp Irlpues ei(u1rdefte1-uendurnl 'pe'9'El r?qtu?C

eped emqeq ue{Ileqred 'e,{useleq rsrpuo{-Ispuol rnedureletu uduel pefte1 u?{JBIq

-rp ue6eq e34e1 lrep n{e{-?pueq uelere8 uep 'ue1n18uesraq 8ue.{ $6unJ qeJe urel

'I'9'gI t{oluoJIoleq ?p?d nqserg-relln4 qnruBuad

eulejoel ueuunSSuetr €'9'€I JBqurBS

Cy 1n1un qnre8uadspug (p)

E

D5

8Z

cr{/ {n}un qnru8ued srre5 (a)

sU' {nlun qn&Sued sueC (r)

Yy Inlun qnreEuedsu?C (q)

mfuqlp SuBd IoI?8 (r)

xv'usgugs Nvsss Nvo Hnuv9Ngd sllrY9

24 ANALISIS STRUKTUR LANJ TJTAN

Rangka-batang utamaBalok-pengikat

L2 L1 L4 Ls

(a) Rangka-batang yang ditinjau

canlal-rel ,f,RelrT\Balok-pengikat

Potongan transversal

Gambar I 3. 7, I Tataruang tipikal j embatan jalan-kereta-api.

yang bekeda secara langsung pada titik-titik hubungnya dapat secara mudah dihitungdan diplot sebagai titik-titik tebal pada gambar itu. Persoalan yang masih ada ialah me-

nentukan gaya di dalam batang ini akibat sepasang beban-satuan yang bekerja pada

balok-balok pengikat sejauh x di sebelah kanan La. Melalui proses pemindahan, baloklantai di Ia memikul sepasang gayayang sama, masing-masing sebesar (1,0) (p - x)lp;dan yang diI5, masing-masing sebesar (1,0) (x/p). Pada gilirannya, beban-beban diZa

u3u2ur

,rj

!q ,-)1----=_.-__--____=

/(D) Garis pengaruh untuk gaya di dalam batang {12L3

Gambar 13.7.2 Garis pengaruh di antara titik-titik hubung yang bersebelahan pada rangka-batang

urelep Ip Eue.( rlrodas '3uu1uq-e13uer nlens uep rlerrreq-rnsnqrlel eloSSue urepp rp e,(eg

Euuleg-ulEueg uBp rueqaqral-IBI rnsnq11sl eped Sunqnq4lll 1p unuF{BI4{ mlua.l ueuol4l lnlun unuelF) 6'tI

'ntr rnsnqllel elo8Eue ue8uep ue-depeqreq 3ue.,( Eunqnq-{1l1l Ip runturs{?tu rnluol uetuotu >1n1un tlradas eIUBS se}B-rnsnq-r1e1 uloffilue derles uulep rp resoqre] un1e1-e,{eE uelluqqeEueur Eue,{ ueqaq rsrsod uent-ueued {nlun turuJolr.r4 'e.,{ueuaru) 'ruBqoqrel 3uu,{ rnsnqlpl eped Sunqnq {l}l}-{l}l} Iprnlual uoruoru >1n1un 8ue,{ ueEuap Bdnros s?tr?-rnsnqrpl e1o33uu ledurael 4n1un qnre8u-ad sue8 uer>lrtuop uu8ueq 'rI'8'EI r?qtuBg eped ueEuolod epoleur ue8uep ueluuru8uedrnl?larrr ue{rl>lnqrp ledep eueurre8zqas '2212 ue?w4ue{ }npns qEIEpB p :ue8uap 'o ces

uuEuep u?{llu>lrp vep zTrn Euefuud ueEuap aq\p z7 Sunqnl{->J1llt Ip rntuel uoruotu

ue8uep et;u:es 'zO lr2 ruelep p Euef tlredes '.sele-lnsnqllel elo8Eue urelep p e.,(ug'ueppuop 8ue,( snsnl {nlun Frnt

->lruls rresrslleue8ued urel?p Inqunl uB>l? uelrrurue) 'ue>llrul t8uulnSSueueu ehalaq ue4e

3ue,( puoEurp nlus efueq '1nqesra1 ueluqurel Inplotu Eue,( 1de e1ere1 tlredes leqerrdn

'3ue1eq-e48uur eped e,{usegu rnsflq[?] e1o33ue u?1ep rp u,{r8 :1n1un qnreSued srrtC I'8'€ I ruqueC

z2 t2 Bueleq urulsp ?fBB {n}un qnruSued slre5 (q)

dnprq-ueqaq ulod-e1od 1uqr4z e.{u1p1 depas epzd 'uE8utqas 'Eutleq-ul8uer qe8uel-qutu-el rulDles 1p Sueprq-Euuprq zpud uuluun8tp ledup epueE puoEztpluuo8etp 'resaq Suefuelequraf 3ue1eq-e4Euer uEIBp tq 'uuEuuef eloEEuz I I uep 'quttuq-rnsnqqel uloEEue

ureue 'su1e-rnsnqrrcl uloffiue l?dua ?p? 'rI'8'€I rcquruC eped 3ue1eq-e>18uer {nlun'Euelug-qtua1 Irup 1uuqeq.tal

rnsnqIIBI upud Eunqnq{}lll 1p tuntur$pr{.rque.I ueulolt {qun unlrall.Dt 8'€I

'snrnl qBIsruBq 3ue1eq-e43uer nlsns IrBp uelpleqesreq Eue^( Eunqnq

{I}I}-{11} ?r?lus rp qruetuad sgeE'r IrBp r?awl ls8uq ue>pdrueru sule tp / lepu euorsx

(r'r'€ r)

'qZ'L'il reqru?, epzde4 ncuEueu ueEuep'e1uyr1'(dlx)(O't)uep dl@ - d) (O't) rFIspB Surseur-Surseur 8ue1eq-e13uer dertos uep s7 uup

('r{*) ro', l + (',()(-j-, - J (o' r ) : (

er90'r -

Suedureuad opolew (r)

-+l'Htzntnl I

n (zn tn)

nBfulllp 3uei( 3uz1eq-u>13ueg (a)

tu8r=tu8@9

9Z xvuscuss Nvsss Nv(I Houv9Nsd sluvc


hubung Uz dibagt dengan panjang U2L2. Asakan titik-titik hubung pada talibusur-atas

terletak vertikal di atas titik-titik hubung pada talibusur-bawah, bentuk garis pengaruh,

untuk momen lentur atau untuk gaya di dalam talibusur-bawah, tetap berbentuk segitiga

sederhana, dan metode untuk menentukan posisi pembebanan kritis dari beban-bergerak

yang bersangkutan sama seperti untuk momen lentur maksimum di titik-titik terpilihpada balok-sederhana.

Namun, apabila titik-titik hubung pada talibuzur yang takterbebani tidak terletak

vertikal di atas yang pada talibusur terbebani, bentuk umum garis pengaruhnya adalah

sebagaimana ditunjukkan padaGambar 13.9.1. Kasus yang biasa adalah bahwa titik-hu-bung yang takterbebani terletak di tengah-tengah di antara dua titik-hubung terbebani

yang bersebelahan. Inilah kasus yang akan dibahas di sini.

Garis pengaruh y-g diperlihatkan pada Gambar 13.9. I adalah untuk memon

lentur di titik-hubung pada talibusur yang takterbebani, dengan titik-hubung di sebelah

kirinya pada talibusur terbebani terletak sejauh z buatr bentangan dari tumpuan-kiri di

dalam rangka-batang bertentangan z buatr. Hal yang menarik di sini adalah, dapatlatr di-

buktikan bahwa perpanjangan AB dm DC berpotongan di titik E yang terletak persis di

bawah titik-hubung U3. Penurunan kriterium untuk posisi pembebanan kritis yang

mengakibatkan momen lentur maksimum di U3 akan dilakukan sekarang.

Tinjaulah posisi dasar dari rangkaian beban terpusat pada Gambar 13.9.1, dengan;

Gr terletak di sebelah kiri dari titik-hubung pada talibusur terbebani yang di sebelah

kirinya, G2 terletak di dalam bentangan yang berhadapan dengan titik-hubung pada tali-

busur takterbebani, dan G3 terletak di sebelah kanan dari titik-hubung pada tali-buzur

u3

IG2

IGl

IG3

Panjang bentangan =p

C.ambar 13.9.1 Garis pengaruh untuk momen lentur di titik-hubung pada tali takterbebani

ru.Nr ,tztlz :(t'98 + 9'te)91 + (6's + 9's + sg:i + s't)0, + I'doz: ( qruetued-suet epolau) cn \p w

u'NI i'ZilZ =

I,r,: _ (O)OZ - (S.S)OZI - (Zl)0U = ( EunsEwI ?$ces) = zn .[p N'''( s'9)0t + z/r( s )9 I

u.r. N)t ,.ZrtZ = lZ'tZZt + g' tgz)i = zn lp Nru.Nr z'€zzt : (tr)02 -(sr'8)09r -zlzc)gr -(8)0u - z7 Ip n

ru.N{ 9't9zz = (9)02 -(i)0}- (s't)0i-(8)ou = | 7 lp w' r 7 Ip n tU ue8uaq 'Z'6'El r?qureC eped qn:e8ued sue8 ue4leeJllelueu

neEuep (€) uep '27 vep I? Sunqnq-{rlll F"p Issereq \$Ed z7t7 ue8uelueq urepp

rp u?qoq-u?qeq B{etu 'rur snserl tuelsp Ip Atlr-A 'zn depeqrel ueluolu Euns8uel

ereces SunlrqSueur ueSuep (O:zl uq-p rT rp mluel ueluolu-uotuoul IJsp el?J-el?J

regu pqureEuetu ue8uep (l) :?rec e8rl ue8uep 8un1g;p pdep z2Ip rnluel uetuol\l

,tuplrLtZ*tgi+10

fflt *i3 081 =tD?'002-(8eelt'0=pr'0

ZIZ- z1i+tU

tV1 =.5 ofl * tDt1A

ul Ooe: r9i +,c

ozt *ie 0il =rsz'€6I = {ttei6'0: pt'0

mt:rri+,0{tgt * r:) 0Sl = rD

rili

WPTI89t = zri+ rD

gil =r5 00t -rCesr ={029)€'0=9f'0

ItI =.ri+rp911 =i9 09=rC

ti

uIIrJrellrI ?gl+', ^1=A" s't nn 'oi* lcr1 lpusqeg

6s1!!.st}.{qupqnuedrel

(r'a'sr)

'zn ry unulsyDu tnlual uawory (D) NYIVSg-IAlNgd'pZ'6't l requreg eped

ue>1>1nfun1rp Bu?tuJe8eqes B{uSuBtuBd e33urqre1>1u1 fluef' elertteqrel uegeq qolo

Ilqlp Suei( epor u?rleq Blurl {q?q-{eloq u?s?lull rygr4e'o7'6'9l ruqtu?C tuepprp 8ue1eq-e18uer zped z, rp tuntuls{etu rn1uel ueluotu u?{n}uel I'6'€I qoluof,

'trecp Euupes Eue..( rpq:pre1 tunurrslBlu Jnluel ueruoru

quppe efqtsuq ?npo>l IrBp resoq q1qe1 8ue[ plu uup 'p{Ip11es1p Ilsaru lul uuu113unuro1

?npo)'e,tuueuel qqaqas tp undnele e^,(uu14 IIEIoqes P'Wlelral EueI rueqaqrol Jnsoqllel

eped Eunqnq-{l}ll Ip ue{teduellp ueqoq r{Bnqes egqude e,(ueq ur46unur IuI pq iglet-au a4 ylsod rrep r{Bqnreq snruq (1'6'9 1) ueuruesra4 uq?p IP xpll4lp 'srlrr1 rslsod Inlun

(,c1 +'D - A : (,gi+,e) - (#) D : #'uu>pueqropos u?p sslu tp ueuuresrad ur?lep Ip te-'9-9 = e 9 qellnqag

v (#;)'c *

,p [(i - * - o#- q+ o

1 _ #t _ uf,c *,t (-:-- )' e - = Np

'ErylN';,O Dppueu €9 usp'gp pnrnueur z9

'qn.ruEuad suuE epud fgr runrnuau I, '11ce>l leEues Euuf rp qne[es lrpl o{ 1n[ue1 qqaluu4>1erafip ueln4Suesreq 3ue.{ ueqaq-uuqeq e>flf 'u.(uuuue>1 qeleqaslp 8ue[ ruuqagrel

LZ yvusS'uss Nvsss NYq HnuvSNsd sluvc

i{


u5

(c) Garis pengaruh untuk momen lentur di Ua

20 kN ,() kN 40 kN.m kN 40 kN 16 kN/m

(d) Beban bergerak

Gambr 13.9.2 Momen lentur maksimum di U2 pada rangka-batang Contoh 13.91.

Di dalam soal ini, dengan W4 di Lr beban terbagi-rata telah memasuki ben-tangan LrLz; oleh sebab itu, tak ada lagi beban terpusat yang dapat ditempatkandi Z2 untuk memenuhi kriterium dari Persamaan (13.9.1).

(b') Momen lentur maksimum di Ua. Dengan mengacu kepada posisi pembe-banan pada Gambar 13.9.2c,

Gr:180+16(x-16) G::16(8):128 G:180+16x

Gantikan nilai-nilai di atas ke dalam Persamaan (13.9.1) dan samakan dengan nol,

? - ro,+ iG, = (!!t+aXfD - [r80 + 16(r - 16) + i(r28)] : 0

daripadanya,x:28,'75 m

Untuk posisi ini, R c = 326',3125kN, dan

M di L 4= R(8) - l6(8)'?/2 : 2098,5 kN.m

M di L3- Re(t6) - t6(1q'n: 3173,0 kN.m

M di ll4= l2Osa,S + 3173,0): 2635,75 kN.m

M di U4 (secara langsung) = Re(12) - t6(8X8) - j(l6X8X4) = 25,35,7t **.rn

5 @ 8 m=40m

(a) Rangka-batang yang ditinjau

(D) Garis pengaruh untuk momen lentur di U2

x= 28.75 m

(r'ole r)

'0ZZ 'pq'LS5I 'IroA map'r{ueduoS loog llrH-.,1\prCrgg'sa.fiDnrls to rOoaql ttoluawa1g\aqta'1 'f uep SueA 'x 'l tErlII 'uene1-puo8etp ueeunSSued 3ue1ue1 Icuual qlqal 3uu,{ ueseqeq In}un}

'n{Blreq Fq {epll (t'Ot'gt) ue?ruesred lur snse>1

LUBJBp rp EueA'27 {Ill} IleAaleu uaf? u?qeq ntens p,rrpq pcal uuurx8unure>J tuduprel'9 eynd u8r{nuep uep llou qnreEued-4tll rl?^\oloru Euu,( uuqeq enp nBle nles ledepratu113unur undrlelas 'e 7 Eunqnq-4r111 uedap rp u?qoq unuas dnlvcuau Ilsaur tg 'unue11'n1 .tequru8 eped uellnfunlrp uueurre8eqos q?pp? (t'Ot'Et) ueur.uBsrod r.uel?p rpuo;eunfip uap 8ue,( Tuup D lerel->1urel'aI'0I'tI rEqurEC eped unllnfunlrp efuqme8u-ed srreE Bue,\'€7zO Eueleq urul?p 1p tuntuls{Bru 4rre1-u^{eE {n1un 'w{Bunfip ledep

t'e I I?sBd ruBIBp rp ?ueqJopos-{opq uped rnluol ueruou {qun ue{rmrnlrp qe1e1 3ue,{

,..-u -*ProDgp

erues Eue,( tunlJallr>l' Euuleq'e13uer trep uu8ut-t

-e[ uloE8uu ruBIEp rp runurrs{?ru e{e8 4n1un tunlrollr{ 1n43uu,{ueur e.(uuq qnefag'rueqeqlp ueln48uusreq 3ue.{ Eueluq-elEuur ueuel uefeq

B4ra\ snbT upud rpu[re1 estq 3ue,( edu rlrodes eruus II?lBp? Iuuqeqlp uelnlEuesraq 3ue,{

3ue1eq-u18uur rrr>1 uer8eq Bgle1 .'ILn'qBIuu>IBl?{ 'epud rpe[re1 esrq Eue,{ ede 'o1e61

'e1o33ue dalas 4n1un'ue1n43uesreq 8ue,( Eueleq-u>1Eue: uuuu4 ueduq tuuqeqrueur 3uv1

-ep tuu.{ dnpnr ueqeq nufutuau nlred efutq e1t1 'und uesnrnf'unp uulequa[ {nlun Ue>I

-qeq 'ueurulreqBueA epuel ueEuep uufeq unp pflIuretu qnreBuad Euuprq qDIBdy'uuEuolod epoloru uu8uap Sunlrqrp Eue,( sr1rr1 qnre8uad lBuIpJo

ue1ede1e1 laceEuaur Inlun u?{uunEradrp ledep 1u1 uue1e.,(ua11 'uer8uq unp tpefuoru

Euulzq-e48uer qnrnlos us>lrlBsrueu 4n1un Euolodlp Ilsotu 8uu{ e}offiue efi1 uu4udnreur

nufuplp Eue^ uz8urrel eto8Eue elrlusraq Euu,( 'qeineq rnsnqlle] u?p s?le rnsnqll?l srEluu

Euolod-{1t I{E/r?q Ip IDIIuo^ {B}elrol Eue[ 4r1r1 ntens Ip ueEuolofueq a uBp pI'0I'€lrBqtuEC eped qrue8uad sueS-sueE psp srunl 8uu[ uEr1a1 u?p n]?sel s?nr B^tIIBq '4traurnuqoluoc-qoluoc ruel?p rp seEalradlp uelu eueuruEeqas 'ueltleqredrp 4n1un >llJ?uor\l

'a uep p1.01.t[ ruqure5 uped'p1tdr1Br?ces 'up>ll?qrtradrp ufuupl luuo8etp Euesed ?np uep Ie{Itro^ uloS8ue Suesedes 1n1unqrueEued sueS 'dnpru uuqoq l?qpF und Bde u,{e8 eulraueur ut>18unur {?pll nll qe8ua1

-qe8uol rp {?lolret Buefr e'IeO l?{rue^ eloSlluu'uu4eunErp >lupll luul(Elpuo8ep e>p1

'rI'0I'€I reqrueC eped ue>l4nfuntlp eueure8eqes LIEIEpB (sf n rrep) r7t11 SunlueE-Euad urepp rp u,,(eE >p1un qnre8uad srreg'SI'01'tI rBqIIr?C eped ue1luql1redlp euuur

-m8eqes 'qe,neq qslaqos rp e,(u4ecund ue8uep ?usqrapos e8tlt3as {nluaqrog (s7s2 nep)t2o7 Sunln-e1o38uu tuel?p rp efu8 lnlunqnre8uad suBB'uBBuuB[ u1offiue II-o{ I]B(I'prydr1 8ue1eq-el8uur mEuqes Euepuudrp qeloq B^Jn>l {ntueqraq u,(use1e-rnsnqqel uu8uap

uu8ueluaq tu?ue I{qlueur Euu.,( 8u4eq-e48uur 'uusulefuad uenfn1 1n1un'I'0I'EI rBqIuBC

epud uepln[un11p Euz[ rrup lrunr q1qa1 Euu,{ resaq Euuleq-alEuur 4e,{ueq undqsepq

Euuleg-u1Euu6 lrep ue8ugel eloEEuy urepp Ip tunuls{Bl4l ufug 1n1un utngelpy 6I'tI

'w'N>lt'ZiLZ qel?pe e?rl bA Ip tuntuls{etu rnluel uotuotu eleur'uu-srunf-?np ssluq-nlel ledeprel e>1tf 'unurup 'tu'N{St'S€92\eppe tn rp uep 'u'N{7'T,VLZ r1elepe z1? rp unufis{Blrr rnlual uetuotu eleur'ut4 e{ uPuP{ uep uesnrn[-nlps splrnl-nlBl uuprppue{ tnlepp ledep er(ueq rur uelequref e\q '$n48tQ (c)

'ur.N{ 9l's€92 =(szgsto'trt)9t +

Gz6'z + ;Ll'z + 9zo'z + sLg'lDot + GL6r0)02 : (Itrru?tued-srre3 apoletu) bn lp hl

6Z x\/ugcusa Nvsss Nvc HollvcNsiI sluvc


L, L4 L5

8 m=48 m

Rangka batang yang ditinjau

-|a= -r,1785

(D) Garis pengaruh untuk gaya di dalam batang Z6 U1

(c) Garis pengaruh untuk gaya di dalam batang U1L1

(d) Garis pengaruh untuk gaya di dalam batang U1L2

L

(e) Garis pengaruh untuk gaya di dalam batang U2L3

Gamba 13.10.1 Garis pengaruh untuk gaya di dalam anggotajaringan dari rangka-batang.

contoh l3.l0.l rentukan gaya-tarik maksimum dan gaya-tekan maksirrum di da-lam batang u2L3 dari rangka-batang jembatan pada Gambar 13.10.2a akibatlintasan bolak-balik lima beban roda yang diikuti oleh beban terl-ragi-rata yang tak-terhingga panjangnya sebagaimana ditunjukkan pada Gambar 13.lO.2d.

rltr*

ti,i

-ftffil'". a= -o,s76i

:-Jiuad sgp8 u?p ?ureln sIrBE uBI8Bq salpe{ u?tuefuedred-uetuefuedrad B/(q?q

-rie.iue1 uelrleqraduatu ueEuep u?{n{EIIp 1n[uu1 rpqel ue{ecetued 'e7?7 aep:-l:-? 8ueleq ueiuufuedred erelue Euolod-1pr1 depeqrel uaruoru Sunlrqlueur uetu-rp'ue8uolod apoleu ml?leru qeloredrp e{usr1lrq leurpro SueA'ay91'EI rBqIu?Cuep 3ue[ rgades ?ru?s qZ'SI'€I reqursg eped eTzp Euulzq u?pp 1p ede? >1n1

-un qru?8uod slreg '€Tzn wrlop tp wnu$1r)u 41.tot-o,(og (z) t{VfVSg'IAINAd

' I'0 I'€ [..rloluoJ ulepp Ip8ue1uq-u>18uur lrr-p €7Ln 3ue1e q ruzpp Ip unuqs{Brs u?Iel uup {u4 oi(?C egI'€I DqUtuC

4ere8.reg ueqes @)

urlN{ 9t Nt 00 Nr 0t Nr 0r N)t 0t NI 0z

E77n Sue.wqurepp p,(e8 lnlun qnrutuad sFeC (g)

nefqlp 3ue,( ftre1zq qBu?U (r)

l

r-t,,

tn,n

uS'tluf IluS'tluS'tl tu 0'Z

tn€Tfluratagruqup rp efet 1n1un qnre8ued slreC (r)

" aa.!t -

" c.rff- =" "qffill-

T8 xvuscusg Nvsea Nvc Eouv9Nsd sluvo


berpotongan di titik di bawah pusat momen yang digunakan di dalam metode po-tongan. Posisi pembebanan kritis pada alas segitiga pada bagian kanan dari garispengaruh diperoleh dari tabel berikut.

Bebandi L3

?ldatam L2L += "ffi:o,lreoc11 dalam L2L T

kriterium

Wt 0 0,1190(436):51,9 20 Tidak

Wz z0 0, il90(468) : 55,7 60 Ya

Wt 60 0,r 190(492): 58,5 100 Tidak

Dengan W2 di L3,

*o:16,r8f 12+ t$Q!- 2,25)+2oQO :8i,13

Beban titik-hubuns di ,, = -!:J:1:3IL-- = 58m

Hitung momen dari gaya-gaya pada penampang kiri terhadap titik-titik potongar:l,ara UzUx dan LzUs,

137t33(40)- 5(56) - U:L; cos 0(64) :0UzLr : 102,40 kN (tarkan)

u2lr(metode garis pengaruh)- 20(0'l 198) + 160(0'2832) + l6('(0'234375X18)

: 102,40 kN t,rriLtltl "

(b) Gaya-tekan maksimum di dalam LtU+. Garis pengaruh untuk gaya didalam batang LtUq yang diperlihatkan pada Gambar 13.10.2c dapat diperolehdengan pemikiran yang sebaliknya dari Gambar 13.10.2b. Posisi pembebanan

kritis pada alas segitiga pada bagian kanan dari garis pengaruh ini diperoleh daritabel berikut.

Bebandi La ) 1 dalam L3L. +: "H#=o,zzszc

ll dalam L3L, Terpenuhikakriterium?

Wt 20 0,2292(340) : 77 ,9 60 Tidak

Wr 60 0,2292(364) = 8t,4 100 Ya

Wt 100 0,2292(388) = 88,9 140 Tidak

Dengan W3 di La,

R0 - l6(11,5)'?/2+ 160(16- 0,75) + 20(16+ 3,5) - "l48

Beban titik-hubung di 1r:19C-4-141J) = 16,25

Hitung momen dari gaya-gaya pada penampang kiri terhadap titik-titik potongantara U3Ua dan L3La,

8 l(88) - 16,25(64) + Li Ur cos o (64) : 0

LrUr = - I 19,58 kN (negatif berarti tekanan)

erpenuhikahlztitotirrm ?

'rI' I I't I rBqtus0 urBlsp Ip c u?8uop ?IuBs rI' I I'€ I rBqurBC ur?t?p Ip ^'r'rrele

0 = (0'I ueqepuldra4) r +(,{) (6'1 e,(e9) -

rpefi1ou q?lsruBq rI'II'tI r?quBC Ir?p seJ?les w?p?e{ ur?lBp Ip uelnlEuusreq Eue{

B{erar,u ueqepudrad-ueqepurdied ue8uap s?1? ry lnqesJe} suqaq ?puoq-Bpueq 71-o1 eped

u traleq Bue tl e AeE Entuos eJ?lug uerp>pad IIBIun['nures-u Fo>1 dsuFd uuldere;'Eunqnq-{IU} delles 1n1un trnseur-Ernseur (selpoq ear;) seqaq'epuoq'Bpueq 71 rpe[uauul'I I'€ I&qur?g pep uetuuqunese{ rsrpuo{ lrerIrl?sltueru ue8uep 1n[ue1 r4qa1 uu4ulnqrp ledup

,I'I I'g requr?C tuspp Ip g uetuep ?tuus qI'I I'€I rcqtuug urBIBp Ip ,1 sarleg

' z' I 1p e tlet rnluel uoruoru \e>l H I I ue8uap uures ledal e 7 z 7 Etlr-pq tu?pp 1p

u,{eteuarul'p'l'g'tl JBquBC I{elo uB{sDlnpp eueurreEeqes zn Ip rnluel uauotu {n}unqnrutued suut ue8uap ue{Eulpu?qlp er epqedu Euulqure8 rpefuaur e7z7 Euuleq uupprp u,(ufl >1n1un qruetuad sFut I{BIBpB gI 'I I'€ I r?qur?C ?1r'qgg '(g=) twleq-elEuur rflllqtrteqlp nenlus g'g ue8uep ev,ns qZ'lI'gI ruqur?C eped zg 4 tp :ue8uap 'zn >{ytl rBll{es

e,{ueq sele e{ rnsnquau ledep ef,uqea?q'rnsnqls} eEihnqx }acuadral vr.lle 38772

u?u?{ r{Blsqes 1p efuurel wp zTxn uDI qBleqes rp n18s 'lnqesIe} trnluq-altuer ue6uq

snpe) .rrgnl3s 1 redecueur uBlsnrel 8E6qq gr uep c e,(et Eu6edes unpfratueur u?p u?

-1n>lEuesroq Euu,( 3uu1eq Suolouaru ueEuap qeloradp ledep a1 ' 1 I '€ I reqruuC eped 3ue1

uq-elEuur Vep E7z7 Eueleq ur?Iep Ip efuE 1n1un qnru8uad spuE'rsurpnlt teEuqa5

'uoryDs I Dsaqas (doYaao) uo

-1*na1 po!4 otrluttl o,(utuaq owos Suot( o,bt Suosodas uoSuap uotrru1?uostaq tuot(

tuolodtal ]unln-flunln Zuquau uop rutw11p Euot( tuoloq Suorcwaw uofluap qa1

-otadtp Suot( lunqaqpl nsnqlpt opod tunqml ,tl1l7-4llq 1n111oa-1s1sod lold gndas

Dtat)s ruuauat suots nuo\oq-o4?uot ttop &uo1oq woPp lp o,to? t1ruun qnmtuad s1n9

: ln{IJeq I?Eeqes ue1u1ufutp sslq nluepel sqep 8ut1eq

-elEuer {n}un nBlsarg-relllw qnreEued ?rueJoe} B^\r{Bq B>lor spuB ledup 'nlua1ra1 st1

-els >loleq depeqrel efuuederauad ur?lup lnqasrel Btueroel tunum 1u31s 11n46ua11'nlu01Iel sr131s

Eueluq-elEuer lml$uufuaur efuuq qnetas 'qnreEuad-euoJoa] epoletu Suequpel 1o13uts

qlqol'r'tI IBs?d tIrBI?p Ip unl1?rrup eueure8eqes 'Eunqnq->1t1t1 ledruel-ledrue1 p pEun;

rr?p IBqet {nl}-I$Il uolSunqnq8ueu uBSuop Euns8uq opoletu ?^\qBq uulndrulsel rcdec

-uetu Bsrq ?pue ,un psud ueteledtuolu q?leles 'nlualJel sr1u1s Eueleq-eltuer dupeqrel

efuuedereued ur?pp lnqosrel ?tueroel IruqBsqea>l un14nfunlp uur[B IUI psed uepp tq'nluoDlel srlels undntl? nluauol sllBls lsJlsroq tuer( Teq 'n1u1 alEuerol usp 'Euuluq

-elEuur ,1opq :rn14nr1s ?n1ges depuq;al ualdurelp ledep ut eESulqes efurunun nlfaqrur Brueloel 'eftruee1u,(ue{ u?lB(I 'nluollo} sllels >loleq qnru8uad sInE-suBE IBnSIA uJ?c

-es qeloredruetu {nlun erec rcEuqes lequ?Lrueg nulsalfl-Iell!}N qnre8uod sluoroel suetu

-reEeq uellntunlrp qe1e1 '1g'tl qoluo3 tuEIBp Ip Bur?1ru01 uup '9'€I IEsBd urepp IC

nluarel q1u1g Bueleg-e16uu5 {qun nelsarg'rellnru qnruEua; Bureroal I I'€I

'lere8req tuef lesndrel?por ueqeq-ueqeq qrue8ued 1n13ue[uau e{ueq qnefes '11>197'39 1 reseqes ryre1

-ez(u8 e1 N{8S'6II r?seqes ue1e1-ufe8 u?p q€qrueq BsIq tneT Auepq tuBIBp Ipnele E7?,n 8uu1eq ruBIBp Ip efe8 'uesrunf-?np u?luquel >lnlun '!sn4811 Q)

NI 8S'6tl-=D SOJ

88

@) + (0rxrs€r €.0-) + (02)(r r tzt'0-)(qnre8uad-sue8 opoleur) tn t'J

>rvussugs Nvges Nv(I HouvcNsd sluvc

1\N/t/L L L L


us

(a) Pemendekan lrZ, sebesar 1,0 satuan

Gamba l3.f 1.l Teorema pengaruh Miiller-Breslau untuk rangka-batang statis tertentu.

Contoh l3.ll.l Untuk rangka-batang statis tertentu pada Gambar 13.11.2a, per-tama-tama didapatkan garis pengaruh untuk gaya di dalam batang U2L3 melaluidefinisinya sendiri, dan kemudian tentukan lendutan vertikal semua titik-hubungpada talibusur-bawah akibat penyusutan sebesar 1,0 satuan pada panjang-batangUzLt.

PENYELESAIAN Garis pengaruh untuk gaya di dalam batang UrL3 yatgdisele-saikan melalui definisinya sendiri, ditunjukkan pada Gambar 13.11.2b. Lendutanvertikal semua titik-hubung pada talibusur-bawah, akibat pemanjangan sebesar

-1,0 satuan pada batang U2L3 saja, diselesaikan melalui merouj geometrik de-ngan menggunakan LoUl sebagai anggota acuan dan menerapkan persamaan per-pindahan titik-hubung, Persamaan (3.6.2). Hasil-hasilnya, sebagaimana ditunjuk-kan pada Gambar 13.ll.2c, sama dengan ordinat-ordinat pengaruh pada Gambart3.tt .2b.

u4u3u2ul

(D) Bentuk talibusur-bawah,01+ 0r= 1111

(c) Beban-satuan di titk-hubung Za

EsIq .rEseq wqal EuEr uEleqtuef BpBd 'rd?I 'Psro^su?I} 13ld ndunuauj B/(uw4IIE epsd

.?ue-i .suru11-qe1 ueEuap rulelos Eue^'purpn16uo1 {oleq'{opq leduprel efueq uqEunu

.tr!a{ Wqol Euel{ elter-uepf uuluquret {qun 'efudepuqrel srunDfeEol {Blelre} tuei( 1o1

-eq ndurnuaur ufuurnun eped Euedouad->1opq 'u,(usnsnq4 ilopq upedp?p reseq qlqel

Swdouad-1oFg s^\rIEq uB)t?l?{Ip qelledep 'Jr}BIer BrBcas 'Irlpues IJIpJeq tusutu'tup-eur egqede Euedoued-4oPq uep {ol?q ?r?luz e1u,(u ueepaqred epe >[Bpl] 'Btueued

'ruI lrullroq uulselafip ve>le Tuotn nutq uup twl-uDd u\Su7lual qeIIJq e.,(uuopunErp uesslY '..?III?]n B^In{-BAIn{.. IJep I4pIOl tdUl 'Sru

-n1 sueS-syreE ,.tueftred ue8ueluer-ue8ue1uor.. uep IJIpIol {EpIl nluoD{el sl181s Eledoued

-{opq ns}E >loleq {nlun qnru8ued stre8-streE 'n1ua1re1 sqeN IoPq:1n1un qradas {BpII

nluaplel snBls {ole{ 1n1un qnretuad slrug ZI'€I

'nulserg

-reII.r.lW qnre8ued eureroel uu8uep €.Tan ZuewgII'I"tBp lp e,(z8 1n1un qn're8ued sge5 Z'll'El Dqrlleo

e7z2 eped 0't - = a treqpl? Sunqnq-11111 ueq"purdred (,)

0'0050'0

0'0-gdl-:59Z'l+'0

802'0-'0zro'i:-00sz't+ '0 0'0

802'0-'08025:5

0'0

802'0+'8tz'0+ZW-t-=TEdtosc,'t+

,----q'O\sz'l+

929'0+'qLZ'0+sz9'o:-8tz5Tosz'l+ '0

Ltt'0+'0€€8-o:'00sz't+'0

Ltt'o-'8Lz'o+€€T-5:-8tz-o+0sz't+ '0

sz9'0+'0 Ltt'o-'osaT;n rrrG-d

Ltn'0-'8Lz'o+ 8oz'0-'8tz'GrLwE-aFo+ mZFEZmr

'0

eTzn flur-wq urEup Ip s,(z3 Inlun tlnreiued sreg (g)

'ne[up1p Sued tuuluq-e13uea (z)

zntn

Ltt'o-

929'O+

98 rvuscusa NYAgS NVO HOUVCNSd SIUV9


terdapat dua balok-penopang utama longitudinal, masing-masing pada setiap sisi jem-batan, yang menumpu balok-balok lantai yang ditempatkan pada jarak yang sama disepanjang bentangan utama. Balok-balok lantai tranwersal pada gilirannya akan me-nurnpu balok-balok longitudinal, yang sering disebut balok-pengikat, yang pada giliran-nya akan menumpu geladak jembatan. Pada jenis yang pertama, garis-garis pengaruhuntuk kasus statis taktentu akan berupa kurva kontinu di seluruh panjang balok (dise-but balok karena lak ada pembanding lain), sebagaimana ditunjukkan oleh kurva penuhpada Gambar 13.12.1b. Pada jenis yang belakangan ini, bagian-bagian pendek di antaratitik-titik hubung tempat balok-balok lantai bertumpu mestilah lurus, sebagaimana di-tunjukkan oleh garis terputus-putus pada Gambar l3.lZ.lb jadi garis pengaruh yangbersangkutan tidak memiliki "rentangan-rentangan panjang" garis-garis lurus, tapi me-reka terdiri dari bagian-bagian yang lurus dan pendek dalam bentuk "kurya-kurya uta-ma" di seluruh panjang balok-penopang (disebut balok-penopang karena ada balok-balok lantai yang masuk ke dalamnya).

Pembedaan antara garis pengaruh balok dan garis pengaruh balok-penopang telahdilakukan, persoalan berikutnya ialah menguraikan cara menentukan ordinat-ordinatpengaruh di titik-titik terpilih pada bentangan. Tentu saja, untuk balok-kontinu dua-

bentangan pada Gambar 13.12.1, ordinat-ordinat pengaruh di titik L, 2,4,5, dan 6 da-

pat diperoleh masing-masing melalui penganalisisan balok untuk lima kondisi pembeban-an, yang masing-masing mengandung beban-satuan tunggal di titik l, 2, 4, 5 dan 6. Peng-

analisisan ini dapat dilakukan dengan salah satu metode yang biasa, seperti metode per-samaan tiga-momen, ubahan sudut, distribusi-momen, atau metode matriksperpindah-an. Hanya di dalam metode yang terakhir kelima kondisi pembebanan tersebut dapatditangani sekaligus dengan menggunakan matriks empat persegi,panjang [P]. Metodelangsung ini boleh kita sebut metode deftn*i-gais-pengaruh.

,^12345614ffi

(a) Balok atau balok-penopang yang ditinjau

--- jika beban-satuan bekerja langsung pada balok--- jika beban-satuan bekerja pada balok-penopang hanya di titik-titik hubung

(b ) Garis pengaruh untuk momen lentur di IGambar 13.l2.l Garis pengaruh untuk balok atau balok-penopang statis taktentu.

Contoh 13.12.1 Untuk balok-kontinu dua-bentangan pada Gambar 13.12.2a,hi-tunglah ordinat-ordinat pengaruh pada setiap selang 2 m dan buatlah sketsa garis-garis pengaruh untuk R n, Ra, R c, M4, M s, dan M 5. Andaikan bahwa beban ber-gerak yang bersangkutan bisa bekerja langsung pada balok.

PENYELESAIAN Balok yang ditinjau dianalisis untuk lima kondisi pembebanan,masilg-masing mengandung beban-satuan di titik 1,2,4,5, dan 6, dengan metodematriks-perpindahan. Penganalisisannya sendiri tidak ditunjukkan: hanya hasil-hasitnya digelarkan pada Tabel 13.12.1. Apabila beban tersebut dikerjakan di,4,B, atat C, ia membebani langsung tumpuan, menghasilkan nilai +1,0 untuk reaksidi bawah beban tersebut tapi tidak menghasilkan sesuatu lainnya di dalam balokitu sendiri. Garisgaris pengaruh yang bersangkutan pada Gambar l3.l2.lb hing-ga g.

tuetauau '{ur1

Euntn rp (rudat Ernr( rqsru Brsrau ueurour rnEuap) T}s?Id ,,qruelruralaltueru ueEuep unuoleroqul tu?pp Ip qaloredlp IIDtos qspnu ,rrr*-1"arp otlZl.€tJ?q.'BC rr,p nr[]uo{-4opq eped I.y 4n1un qrue8uod sFeE .qoluoc re8eqa5 .quag-{81 srl?}s 40pq eped rs{Bor'rs{eer qrueEuad suuS pluau4radsla uenlueued *pp ,{rr"neFerg-ralJnw qnle8uad Duaroel uep. turluad qrqal Euur( srl4urd usuerad nsr{Ewreg

nluel{Bl srlu}S IolBfl {nltm nulserg-ra[nn qnre8ue; Bureroel t I .t

I

02908'0+ ut889't + SaLZL'O+1968r'0- 8€€29'0- s?srs'o-08t61'0+ 69t l€'o+ f.Lttz,0+0tl0t'0+ 80ezr'0+ z8t8t'0+0196t'0+ gtttt'o+ tsts6,0+tpt60'0- ,8S9t'0- 9{9f I '0-

916920:. . S86Ztt-6e61510-

'L6stil*l16?9'0* ?e185'0-i6i90'0' rr3r00-ifgt['0+ st$tz':s+.l9IS€10+ x698t'0+

.nrNvrtr

t.IYll

rp u?nl?s uuqrg

I'C I'€ I qoluoJ uped lopq {qun queftred leurprg I .Z

I .t I leqel

I'ZI'€I r{o}uoJ eped qoluq 1n1un qnruBuad srre5 9.71.91 .Equcg

8y r1n1un qnru8ued sueg (r)

aN \ntun qnre8uad srreg (,f)

ne[u11Jp 8tr?i( Io{eg (r)

I tu8=urZ@, ltu9=tuZ@flJy sa va

Y;,9 1n1un qnreSued srrug (a)&A

),^

Cy 1n1un qnru8uad srreg (p)

slry Inlun qn.rs8ued sueC (E)

utnlus 6'1 = rp + rg

a

I/y Inlun qnre8ued sFug (g)

uBn|?s Q'[ = 261 t6

tsn sy,t lsw

L8 xvueruss Nvsss NY(I HnuvcNad sluvg


titik-titik B dan C di antara paku-paku, dan kemudian mengangkat kelem tersebut se-

tinggi 1 satuan. Karena baloknya sendiri bersifat statis taktentu hanya berderajat dua,sekali lagi ketiga garis pengaruh untuk Ro, Rs, danRg, sebagaimana ditunjukkan padaGarnbar 13.12.2.b hingga di diperoleh dari pengukuran di laboratorium, kecocokan satu

sama lain di antara mereka dapat ditinjau-ulang.

Sejauh hanya menyangkut garis pengaruh untuk momen lentur di A, B, dan titik5, sebagaimana ditunjr,kkan pada Gambar 13.12.2e hingga g, metode Muller-Breslau

bersifat sama. Sebuah sendi dipasang di titik yang bersangkutan, kemudian sepasangM

dan M (dan sepasang V dan I/ untuk titik 5) dikerjakan hingga 01+02 sama dengan I ,0satuan. Maka teorema pengaruh Miiller-Breslau untuk balok statis taktentu dapat di-nyatakan persis seperti yang untuk balok statis tertentu. Namun, untuk pembuktiannya,tidaklah lagi mungkin kita terapkan prinsip kerja-semu terhadap satu atau dua benda-

kaku terbatas. Kondisi keseimbangan dari Gambar 13.12.20 harus dibagi-bagi menjadi

benda-benda bebas yang panjangnya kecil sekali yang banyaknya takterhingga. Kerja-

semulah, yang dilakukan oleh semua gaya tersamarata yang bekerja pada benda-bebas

ini, yang mengalami perpindahan-perpindahan yang bersangkutan dalam keadaan selaras

dari, katakanlah, Gambar 13.12.2c, yang disamakan dengan nol. Jadi,

+ (Rs) (perpindahan + 1,0) - (beban 1,0) (Y) = 0

Y padaGambar 13.12.2c =R6 pada Gambar 13.12.2a (r 3. I 3.1)

Kerja-semu yang dilakukan oleh semua gaya tersamarata adalair nol, karena hal ini selalu

terjadi secara berpasangan pada permukaan-permukaan yang bersebelahan dari dua

benda-bebas (free body) yang berurutan.

Bukti untuk Persamaan (l 3 .l 3 .l ) dapat juga dilakukan melalui penerapan teorema

kerja-semu timbal-balik sebagaimana telah dibuktikan di dalam ksal 4.3, dengan me-

nyebut Gambar 13.12.2a sebagai sistem P dan Gambar 13.12.2c sebagai sistem Q, yang

keduanya diterapkan pada balok tanpa tumpuan di B, meskipun lendutan di B pada

balok di dalam Gambar 13.12.2a tetap bernilai nol. Maka,

P*AQ:Q*Ap-(1,0)(y) + R6(1,0):0

Perhatikan bahwa kerja-semu yang dilakukan oleh gaya-gaya di dalam sistem Q yang

mengalami perpindahan-perpindahan di dalam sistem P adalah nol. Bukti yang sama

berlaku di antara sistem P dari Gambar 13.12.2^a dan sistem Q dari Gambar 13.12.k,yang keduanya diterapkan pada balok dengan sebuah sendi yang dipasang di titik 5,

meskipun garis singgung di titik 5 pada Gambar 13.12.2.q tetap kontinu.Ordinat-ordinat pada setiap dari keenam kurva elastis pada Gambar 13.12.? dapat

diperoleh baik dengan metode gaya ataupun metode perpindahan. Jika metode gaya di-gunakan untuk menentukan kurva elastis pada Gambar 13.12.2f . kita akan perlu menen-

tukan M, pada Gambar 13.13.14 yang menyebabkan ketakkontinuan garis singgung diB sebesar 1,0 rad. Jika metode perpindahan digunakan, persoalannya adalah mendapat-

kan kurva elastis terakhir mulai dengan salah satu dari dua kondisi terjepit pada Gambar13.13.1r. Jika metode gaya digunakan untuk menentukan kurva elastis dari Gambar13.12.25, M5 dan Vs pada Gambar 13.13.2a'mesti diselesaikan dari kondisi bahwa ter-

dapat ketakkontinuan kemiringan sebesar 1,0 rad tapi kekontinuan lendutan di titik5. Jika metode matriksperpindahan digunakan, matriks P harus ditentukan dari salah

satu dari dua kondisi terjepit pada Gambar 13.13.2b.

atau

Ip uenlEs Ieuorselor uPnurluol{elaI

'u?ndrunl ?p€d u?-n}€s leuoIsel uEnr4luo)plslal Inlun u?Iesal-ofued urq?p UIE apot?H I'eI'€I rBqtuuC

'IRrl SuEPquJes

{n}un uBr8seledued urE?p urE spolew z'€,|il t"qtu?c

tldefrel rsrpuo{ en( :usqsptndrad epo}eN (q)

+.=*^,#*:*^

=x,n::1-- =tow"I7Z'rd

pBr 0' I uEnurluo)I)lelei uelqBqei(uau Suel s A

td

vep s N :Bd?t epolal{ (r)

o'tj _

''tIgl

sA

\, \-/tw tw

'ueueqaquod rspuo{-rsrpuo4 uep durlas depeqral e>{I}B1s uederauad rnluloru qelo-redrp ledep u.{uute1 qnre8uad srie8-srre8 uep '<u??qocrad m1e1au undnele srlrlsuu ?r?ces

'nulserg-rellnry qnreEued BtueJoel rrep nlnr{Bp uultedeprp npad Eued 'Eueruques n1e-er enp e,(uesurq 'qnre8uod sue8 unp e{ueq 'ynp 1z[erepreq nluel{?} sll?ls {oIBq {ntunB/hqEq qepr e1e(u Ern,t pq'I I uep 'g'L'9 't q?g trrslBp Ip sBqBqlp tued ueqeq uuderau-ad 1n1un 4req 8ue,{ uarlrwl-u?qn?1 uequlpa.{ueru uBp sn{ruopelu ltuq luuuaru Bsrq rru-qupurdred epoloru uep e,{e8 opo}ou ue8uep Z'Z,l'tl J?qtueg uped s4se1e B rn{ usuee{qeuequflu ueresalafued uuBuep uetu{req 8ue.{ npquprel uessq?qued er4uarueg

sA

vJtE_

Itdafra] rslpuol mq :uequpurdod epota1 (q)

#h,. =ww:ffi+ =nn

-.-J-- =ZoW i=--t - =tiry,'IEN ''I3IZ

per 0' I u?nrn tu o)plqerl w {qB qef ueur,Y n* lr n*

^r, ep oleH ( r)

y':--Jlu1J,G Z48n sN

68

pe.rgil\J V'd it

€

xvugcugs Nvsas Nvcr HnuvcNsa sluv3

r{{{

I


13.14 Garis Pengaruh untuk Rangka-Batang Statis Taktentu versus TeoremaPengaruhMriller-Breslau

Teorema pengaruh Miiller-Breslau untuk rangka-batang statis taktentu, sejauh hanyamenyangkut gaya di dalam batang, dapat dinyatakan persis seperti yang untuk rangka-

batang statis tertentu. Keuntungan menggunakan teorema ini untuk memperoleh garis

pengaruh gaya di dalam suatu batang sembarang, ketimbang metode definisigaris-pe-ngaruh, tidaklah seberapa, terutama apabila rangka-batang yang bersangkutan masihmemiliki reaksi-reaksi kelebihan atau batang-batang kelebihan meskipun batang yanggaris pengaruhnya akan ditentukan telah dipotong.

Di dalam kasus rangka-batang yang bersifat statis taktentu hanya secara eksternal,akanlah memudahkan kalau garis-garis pengaruh, hanya untuk reaksi-reaksi kelebihan,ditentukan melalui teorema Miiller-Breslau. Kemudian, setiap garis pengaruh lainnyadapat diperoleh melalui penerapan statika terhadap setiap dari kondisikondisi pem-bebanan.

Contoh l3.f 4.l Uraikanlah suatu prosedur untuk memperoleh garis pengaruh B3dari rangka-rangka statis taktentu pada Gambar 13.l4.la.

PENYELESAIAN Kerjakan gaya-satuan ke atas di titik-hubung'3 dari rangka-batang statis tertentu tumpuan-antara. Lendutanlendutan vertikal semua titik-hubung pada talibusur-bawah ditunjukkan pada Gambar 13.l4.lb, dengan: 6;7

adalah lenclutan di titik-hubung ke+ akibat beban-satuan di titik-hubung ke7 pada

rangka-batang sederhana. Kemudian dapatkan garis pengaruh untuk R3 pada Gam'bar 13. 14.1c dengan membagi semua ordinat pada Gambar 13.l4.lb dengan 6 33.

Rtz

(a) Rangka-batang kontinu dua-bentangan

(D) l*ndutan vertikal akibat beban-satuan di titik3 dari rangka-batang sederhana

(c) Garis pengaruh untuk R3 pada rangka-batang dua-bentangan

Gambar 13.14.1 Garis pengaruh untuk reaksi pada rangka-batang kontinu dua-bentangan

I1,0 kN

0I'€I uep 9'€I uBqrlB'I g.sI.€I leqtupc

6'gI u?p s'tI usqrr?'J S'9I'tI I?gurBO

's?qeq-epueq !:.: - rr ::fl [

-neruqru?8ued-srrB8apoleu ue8uep {1uq 1ul r?lru-r?llu uerlledeq'rl't'€l rpi=?- r.-nrrrl

uu>11nfun1rp Bu?u{B8eqes ?l(utu?fusd e8:,ulqrel{€l 3u?^ Elpr-I3pqral ueqeq r:;: ---rr'rr:ll

8ue{ zpor u?qeq eturl {IIBq-{eIoq u?se}url Nqrne cN uep'cr, 'Yy Irep Issu?! :T.ilirr:.run

ue{nluel '8'SI'€I et6uq g'SI'€l r?qtueg eped eueqrapes-Ioleq {nlun 8'f t r r ;':

,'€I usqp".I t'sl'fl rvquBc lN ,?A,oN .oA./N.vd

t'gI u?qp?'I c'sl'EI rDquDg tN .rA,?N:1A o{

z'€I u?qrt?T z.sI.€I lgqurec )w tJA.vN,td

)-

I'€I usrlp?'I I'sI'€I Dqur8c )w,rN.:1A,8A

(poqleur ,{poq aerg) segeq-?pueq opolatu undnur -,fran,,<rnctepoleu ue8uap {1tg Iq r?1tu-relu ue{n1ue1, '4opq uer8eq-uer8eq nule :;riil: lryrumrl..rrum,

epud efreleq esrq Suud ur/N{8I r?seqes dnprq-uzqaq u?p loleq epe; = \-}L ,rruunruffi

rlolu-uuqeq ledeprel e4f ue1ru18uesreq Suef rsSun; urepp Ip Is?IrE.r :rim.u-, ulrrrrrlr

-fltr u?rpnue) 'runlu?cJel eueulu8eqas rs6un;-ts8un; >1n1un qnretued s--i+':ril urmunr

-ruB6'?'SI'€I e88uq 1'91'61 r?qtupg eped n1ue1rel srlels {oleq {ruu-l t:. : , 1l

uE{pq : -

XVUSCUSA NVSSS NV(I F r fi€it&! Nmufli

Iru8

T?

l7


24mGambar 13.15.7 Latihan 13.7

l0m

t- Gambar 13.f5.8 Latihan 13.8

13.9 danl3.10 Untuk balok-sederhana pada Latihan 13.5 dan 13.6, tentukan momen

ientur maksimum di pusat bentangan dan juga momen lentur maksimum mutlak akibatlintasan beban bergerak yang sama seperti yang digunakan di dalam Latihan 13.5 dan13.6.

13. I I dan 13. l2 Tentukan momen lentur maksimum mutlak pada balok-sederhana yangmasing-masing panjangnya 12 m (Lati[an 13.11) dan 18 m (Latihan 13.12), akibat lin-tasan empat beban terpusat yang sama, masing-masing sebesar 40kN. Jarak antara duabeban yang bersebelahan adalah 3 m.

13.13 s/d 13.16 Tentukan garis-garis pengaruh untuk balok statis tertentu di dalam La-tihan 13.1 hingga 13.4 dengan teorema pengaruh Mijller-Breslau.

13.17 dan 13.18 Tentukan momen lentur maksimum di U1 d,an U5 (Latihan 13.17)serta di Ug (Latihan 13.. l8) untuk rangka-batang di dalam Contoh 13.9.1 (Gambar 13.9.2) akibat pembebanan yang sama di dalam contoh itu. Tentukan momen lentur ini baikdengan metode garispengaruh maupun metode benda-bebas (free body method).

13.19 dan 13.20 Tentukan gaya-tarik maksimum dan gaya-tekan maksimum yang bisabekerja di dalam batang LsUl (Latihan 13.19) dan batang UtLz (Latlhan 13.20) untukrangka-batang di dalam Contoh l3.l0.l (Gambar 13.10.1 dan 13.10.2) akibat pembe-banan yang sama di dalam contoh itu. Tentukan gaya batang yang bersangkutan didalam setiap kasus baik dengan metode garis-pengaruh maupun metode benda-bebas.

13.21 dan 13.22 Tentukan garis-garis pengaruh untuk gaya di dalam batang UrL2 (l-a-tihan 13.21) dan di dalam batang UzLz (Latihan 13.22) dari rangka-batang di dalamContoh 13.11.1 (Gambar l3.l1.2), pertama-tama melalui definisi mereka sendiri dankemudian dengan teorema p engaruh Mii ller-Breslau.

13.23 sld 13.28 Tentukan setiap dari keenam garis pengaruh pada Gambar 13.12.2(atau pada tabel pengaruh dari Tabel 13.12.1) melalui teorema pengaruh Miiller-Bres-lau, dengan menggunakan metode gaya.

13.29 sld 13.34 Tentukan setiap dari keenam garis pengaruh pada Gambar 13.12.2 (atatpada Tabel 13.12.1) melalui teorema pengaruh Miiller-Breslau, dengan menggunakanmetode perpindahan.

'IEralBI rmdnrna

p{Iua^-uuqeq uesngeuuEued 1n1un uuleun8tp I}seu uB{B erues tuul rBsep 'Ir86eqr-qy1 3ue,( Eunqnq-{}I} reEeqes nelu eurndures-ruPl Eue.{ Eunqnq-{I}4 IBEBqes us{-npadrp u,(u8unqnq {I1}-11}l} IIeIos '?[es n]ual '02 qBB urEsp Ip s?qBqlp Uu>P m1r:l

-qetuales ue8unqnq ueEuap n1e1 e46uera{ sFII?uY 'ue1Eeqes undnul? sulndrues'uBn)P{-e1 ue>irepueEuaru tue{ slsryus lr?p u?{lIsBWp Euef uotuotu In4tuelu {n}un lrteseptp

ludep uro1o1-a>l-{oleq uuflunqnq 'uleq tslnrlsuo{ lu?lep tq 'e,{uresaq eures EUBI tse]or

ruele8ueru gDIB eures Eue,( Sunqnq->l111l Ip nualroq Euu,t uro1o1 uep {oleq Sunfn'3unfn

utlluqes :ru[B{ reueq-reueq 'stltlouotu lBJIsJoq Eue,f' 'e(v?unqnq {IlIl-{91 'Euelnlraq

uoloq lqrulsuo{ urEIEp tq 'uu6eqas-op4 zfulupllas ne}e 'rup1 Sunqnq'lllll pEBqes

uB{rBpu?Ip tlsaur e,{uEunqnl{ {lllt-T}r1 '1ern11nr1s uespryeue8uad uupp 'rroa1 urepp

Ip 'nll Euere) 'uolo{ uep >loleq ?r?lu? Ip uetuotu'u?I{e} EUB^ ueEunqnq ue{qunq-urau eEEulqes .efuurolol-ruolo{ Bped uetuotu uup 3uu1ur1 eAeE epe llsalu (InEus

lEqlt?

e{uuserq .prelBl u?qeq-uBqaq Inlm }d?I 'u[es prs>1u e[eE-eKeB ln)Irluatu uB{? uslpnlu

-a1 Euu,{ ,ruo1o4-ruo1o>1 epud ndunlraq Suef eueqrapas lolEq-{oPq ruSeqas uEsepIP

ledep pluosuoti {opq-{ol?q 'p{IUe^ ueueqaqued lnl8ue,tuaru e,{ueq qne[ag'1.1 nl r?queC epud ue>p1nfun1rp Ewl( 4redas

1u1Ern1-enp uep uutuulueq-uEr1 r4gwaru Eue,{ tunpaE e16uere1 q?PpB IsBJ}sqI {qtrnusql[d'Wqel nB]? ]B{EuIt 0, '0g uep lrlprq Eue,{ r8llurl uep uetueluaq rndelap et!h4r{

ruBue rrep urpral Eue,( reqol I4rgtualu BsIg Iu1 6tq} lq8u11req Sunpa8-EunpaE eltue-t-ay'uedep a>l rru-096I unrpl Irep lurnqru]s wsrqpuuEued *itp sunl Breres {luorqalarelndruol ueeun8flued tunleqes rpel'qn1nd enpe{ p?qB ueelnured 4efas un8uuqlp usP

'uluseplp 'srsqeuetp qqol '1fu?l-ru4ecuad lnqes1p Euues 'rffiut1 'resaq Eunpet-tunpag

4edueg-1u$u;peg u:puera; IrBP Iurarq usp turllpe1-uuqe{ slsIIBuV I'9I

YYANYg-IVXCNIIUggYXC|{YUSX NYSISITVNYCNSdIAIVTYC NYIYXgONgd flCOIgW

SVTflfl IYdI ISsvs


Gambu l4.l.l .Kerangkagedung yang memilikitiga-bentangan, dua-tingkat.

Sehubungan dengan kasus umum pengandaian semua titik-hubung pada kerangkabertingkat-banyak sebagai titik-hubung yang kaku-sempurna, analisis yang bersangkutandapat dilakukan dengan metode ubahan-sudut distribusimomen, atau metode perpin-dahan matriks. Karena kemudahan komputer elektronik, metode perpindahan matrikslebih disukai, meskipun metode distribusi-momen dapat juga diprogram pada komputer.Namun, selama bertahun.tahun, metode-metode tersebut di atas, disebut analisis elastisdengan metode eksak, barryak memakan waktu dalam penggunaannya, kecuali untuktinjauan terakhir struktur setelah beberapa percobaan dalam proses pendesainan atauuntuk kasus-kasus yang takbiasa. Meskipun demikian, telah ada metode-metode pende-katan yang dikembangkan dan berhasil digunakan, terutama untuk penganalisisan

bebanJateral. Inilah tujuan dari bab ini, menguraikan metode-metode pendekatan iniagar mereka bisa terus bermanfaat dalam pendesainan awal; mereka juga bisa membantupenganalisis dan pendesain untuk secara lebih lengkap mengerti dan memahami lembar-an-lembaran keluaran yang sangat banyak dari penganalisisan elastis pada komputer.

14.2 krajat Ketaktentuan versus Jumlah Pengandaian

Derajat ketaktentuan merupakan salah satu karakteristik yang dimiliki oleh suatu struk-tur; ia tidak tergantung kepada pengandaian (yang mana pun) yang digunakan dalampenganalisisan, seperti pengandaian panjang anggota yang tak bisa bertambah. Darisudut-pandang metode perpindahan, derajat ketaktentuan A? dari suatu kerangka kakusama dengan NF-NP, di mana Nf' sama dengan dua kali jumlah anggota dan ly'P adalahjumlah rotasi dan goyangan-ke-samping yang takdiketahui dari titik-hubung. Dasaruntuk pernyataan ini telah digelarkan di dalam Persamaan ( I I .3. 1).

Ringkasnya, untuk kerangka kaku seperti diperlihatkan pada Gambar 14. I . 1 , yangtakdiketahui bebasnya adalah momen-momen di ujung-ujung semua balok dan kolom,karena gaya-gaya aksial di dalamnya dapat diperoleh dengan persamaan-persamaan kese-

imbangan resolusi di titik-titik hubungnya. Dari ke-16 persamaan keseimbangan resolusiyang tersedia di kedelapan titik-hubungnya, 2 buah telah dipakai sebagai kondisigoyangan-ke-samping di dalam penyelesaian dengan metode perpindahan, tinggal 14

buah persamaan untuk ke-l4 gaya aksial yang takdiketahui. Dengan demikian, jumlahyang takdiketahui bebasnya sama seperti jumlah momen-ujungnya, atau 28. Jumlah per-pindahan titik-hubung tersamarata yang takdiketahui adalah 10, 8 buah dari antara-nya berupa rotasi dan 2 buah lainnya berupa goyangan-ke-samping. Derajat ketaktentu-an 1// adalah NF-NP = 28 - l0 = 18. Sesungguhnya, rumus umum untuk 1/1 bisa di-turunkan untuk kerangka bertingkat-banyak sebagai fungsi dari jumlah bentangan danjumlah tingkatnya.

Dari sudut-pandang metode gaya, derajat ketaktentuan adalah jumlah gaya ke-

iebihan tersamarata yang bekerja bersama-sama dengan beban pada struktur statistertentu dasar, yang diturunkan dari struktur statis taktentu yang ditinjau, dengan me-motong atau membebaskan di tempat-tempat kelebihan. Untuk kerangka kaku dariGambar 14.1.1, diulangi pada Gambar 14.2.1a, satu pilihan yang mungkin untuk struk-

\

rBdBp e{upos rrepsalarued B{Bru 'lnqesrol rnl{nlls u?p .,trut usEueluul.. uefuep uBll?>l

-raq lsflqlp ez(u4elueq euus Euef uurupueSued B){If 'IoIBq qBltun[ 11e1 g ueSuep ?ru?s

eluuun1ua14e1a4 leferap B^\qBq efuurnlaqos psed uepp tp uelseEelrp \ryPI 'Dltllrejur?D :p:g _TTrl.[un1rp

Eue,{ tuadas Inl?ret >p,{ueq-1e1Eur1req nfuero>l Inlun

, . , 1, ;:."., 'r' i r: r 'l ,P{lue^ IrBqeg slsllBuY tnlun uuppuuEue4 g'71I u,:r , ::j:1.: j.; -t illI )rlrrii ilL-*-

-

)

sN * gN *€ : [sN + sN * (t + slr)] - [(t + sf\i) *

'u,(uumleqes eueune8eqes

sN+sN*gNlz:dN-CN:IN

'ueqepurdred

epoleu {n}un .u?slsrleuuSuad urepp efet apoleu urp SunsEuel w{unJntrIp IUI snurnu

0'z'vt) SN*dN*€=1N:r{EIBpB rnleJel r8esred 4efueq-tel8utpaq elEuure{ n13ns IrBp 77\1 uen1ue11e1e1 lefur

-op E{Bru ite{3uti qelurnf re8eqas SA/ lrup ueEueluaq qeltunf m8uqes 5r1,r {eltnqeg'8I n?lu'e8Euor qulurnfrle>1 € qBIBpB t,{uuen1ua1>p1e>1

1elurep'rEe1 uelas'uetpnura>1 inlt requre8 eped dnlngel e33uor tu?ue 1BI{II eT1'Dl'Z'llr?q1ggc uped lrdalra1 uendrunl-uendurnl ereluu rp ue{qeqruglp u,(uresaq efiluqra14e1

Euur( rnlualuun{B>lo{ ueEuep p,(uq1-uloE:lue eE11 e411 'e8r1 1efureproq n]uetr>l?] sll?ls

lqlsJoq dnlnual EueleE-ne1t effluolrn14ruls nl?ns ?^\qeq uel4nfunltp uuly pt8unlu88uor nles treSuep dn1n1re1-ul8uBJo{ sNIIEIIB >lnlun {ococ Eue,l'e,le? apolotu qBI?pB

e,(u1o1od uped g1 q?g tuBIBp Ip ue>ll?rnlp ue4e 3ue,( uo1o1'tSopuB opolary '8I ru13

'Iol8qqEltunlW>t E q?IBpB uIBI 1el u,(uuenlual{Ble{ 1elurep 'u,(uuuere;1 'ut8uo]od tsrs

Bnpa{ rp eues Eue,{ p{lua^ u?lnpuel u?p pluosuoq slsq?uu uep ue8uuttue4 qelepe e,(u

-rrgsenlase{ rsrpuol ueEuap 'mrlete{lpryl Eue{ Suesed uE11 ledeprel ue8uolouad detlos

Bp?d'{opq enures qetual uefeq rull{os tp ue8uolourad-ue8uolotued ue8uap qlz'nlr8qrueC rrBp lB{luo^ re^ellluB>l rnl{nJls ludruael uBIl?qfleur JBs?p nluauo] sl1?]s rnl

'ei(z8 epoleu lnpns F?Pnuflq{p u"n}ue}Iutel plelcq y7'91 reqursg

'wqlqelal Suused 91 uep rrcqaq In4uretu3ue,( rusup nlueuel s[€ls rnunrls (q)

L,,L,, :r:L

9?

nu[u111p tuel rnl)InIls (r)q =t1 *_-JA_ @ =tE

---.-_u z--

. . . V)ICNVUAX NVSISI'IVNVCNSd IAIV'IVO NVI\rISCINAd SCOI:IYT


I

:

*nr, h"t'0,t46L t46L

(a) Kerangka yang ditinjau(b) Diagam momen optimum

(c) Tempat titik-belok yang diandaikan (d) Tumpukan kolom

Gdmbar 14.3. I Pengandaian untuk analisis beban-vertikal.

diselesaikan melulu dengan statika. Sejauh hanya menyangkut pembebanan terbagiratavertikal pada semua balok, diagram momen-lentur untuk setiap balok harus berbentukseperti pada Gambar l4.3.lb; hanya momen di ujung-ujungnya berupa yang takdiketa-hui. Untuk bentangan-dalam tipikal, kedua momen ujungnya mestilah hantpir sama,

dan, jika balok yang bersangkutan terbuat dari baja denganpenampang tegak yang tetap,distribusi-momen yang ekonomis di sepanjang bentangan akan menghasilkan momenpositif dan negatif yang sama, sebesar **L'. Di dalam kasus ini, titik-beloknya terletakpada jarak O)46L dari kolom. Untuk bentanganJuar, titik-belok di dekat kolom-luarbisa terletak pada jarak yang sedikit lebih kecil dari 0,146L darinya, dan yang di dekatkolom-dalam bisa terletak pada jarak yang sedikit lebih besar dariO,l46L darinya. Jikapenganalisis, dengan menggunakan intuisi atau pengalaman yang lampau, hendak menen-tukan tempat dua titik-belok secara sembarang pada setiap bentangan balok, derajat ke-taktentuan struktur yang bersangkutan dikurangi dengan 2 kalijumlah balok.

Akibat pembebanan vertikal, reaksi-reaksi horisontal di dasar-dasar kolom biasa-

nya bernilai kecil sehingga gaya-gaya aksial di dalam balokjuga bernilai kecil. Jika peng-

andaian lebih lanjut dilakukan, bahwa gaya aksial di setiap balok adalah nol, maka de-

rajat ketaktentuan struktur akan tereduksi lebih lanjut hingga noI, karena jumlah totalpengandaiannya kini adalah 3 kali jumlah balok.

Pengandaian-pengandaian terdahulu telah dibuat, bagian-bagian balok di antaratitik-titik belok dapat didesain sebagai balok-sederhana tanpa momen-momen ujung, dantumpukan-tumpukan kolom dapat didesain sebagai struktur kantilever sebagaimana di-tunjukkan pada Gambar 14.3.ld. Di dalam cara ini, suatu desain pendahuluan diperolehsehingga momen-momen inersia nisbi dari semua balok dan kolom akan tersedia sebagaimasukan dalam penganalisisan yang lebih ketat. Dalam kenyataannya, letak-letak titik-belok, juga besar gaya-gaya aksial, sebagaimana ditentukan dari analisis yang lebih ketattersebut, dapat dibandingkan dengan yang digunakan di dalam analisis pendekatan.Informasi seperti ini dapat dikumpulkan dan disimpan pada arsip di biro pendesainan,untuk penggunaan di kemudian hari.

I

0,146L=0tl46L

,k- l-lrQJq6L\ < o, t+et

+0,500v2

IErelEI wu?qaqured rulslzSueur 3u3d lBrtuPq-l?{SuQreg e{tu?Ie) I'r'rI luqu?c

Ie)IIdr} urolo) (r)

CI

\_tUI

Isralsl uEusqequad leqrls rsBrlroJep u3d?33u?J (r)te)fldll {otBg (q)

*q

_l_L,J

seleq ledurg 'rrcnluel{?lol 1efzrap ue8uep e,(u4e,{ueq erues 'uewpueEued g1 ?pE INaIU'ueqepurdrad nele e,(BB opolau qalo u?{ueqlp Eue{ uen{?{o)t urc1es'efus B{IlBls InlBJoIu

uu{n{BIIp I'r'rI reqtueg eped tlEuere4 {nlun Pretel-u?qoq uesnquueEuad refu'l?luosrroq uuruel tuuluq

-e,(e8 ueu4nurred szle Ip plol lurolsl ueqaq ueEuep BIUBs snr?q le>Fqt Bnpe{ uep

durlas uped uolo{ Bnues qumuq Eunln-Bunfn rp pluospoq uumel tuelug-ufu8 qupunl ';i(eloE8uu Euntn eped

e.(urs1e epeda4 nce8uau uelurnrefqerees uep ueIurnrelqure us^\31 uerpaEuad) urel

urruefqerees lopq-8unfn uetuou IIJeunu q?1urn[ ueEuep stuus snruq ueI unref qe:u

-uB^\EI ruolo>1-3un[n ueuroru >lrraulnu qEpun!'Sunqnq-{-Ill} uedelepa>1 Fep degtes IO 'I:ln{ueq rcEuqa

qBIEpB lnqesrol e{rle}s uueuesrad 0I-eX'uenlual>[e]o{ 1eferop m8eqas qunq g1 ue:pt-Surueur 'e41e1s ueuuresrad qenq 0I u,{wq rdel seqeq ml{elo{Ip>p1 Euu{ tunfn-uourourpnq gZ ledepral 'lynt rBqtuBD epud ue4eqllradrp tuel( e13uera1 {n}un

'1o1uq derlas upud loJaq'>1411 nlus 1udup.ra1

iu{uueue>1 8un[n-8un[n rp se1e a>l uep ulurrr4 tunfn-Eunfn Ip qezrreq a{ IETUo^ lreil\e1

Eue1u11-e,{e8 ue4psuqEuaru 'uref urnrel qeJsas leJlsroq lopq-Euntn uaurotu enuas '€.uolo{ derles eped loleq-T1l

nles ledepral iefuqemuq Eunln-8unfn Ip FI{ e{ u?u?{ Ir?p leluostrot{ ue,$e[ Euelurl

-e,{e8 uulpseqEuau'ursf unref qere uu8uep uBuBAtBIreq uro1o1-3un[n ueuour snuras':'IrDr IrBp 8u?rsp

Euu{ pra1u1 uuuuqaqurad r1n1un uref urnref qe.rees lsJlsreq Sunqnq {I}I1 ls?lor enue6

lse1e'1a1Eu1 a1 qemeq-1u1turl rr€p ledac luEu lnfrnuaur Euduns-e1-uetuur(o8 rusag 'I

: ?slo{s lrsp m{n)Islrp ledup tDlrreq wluuretuad 'I'n'vl requng rped

ue llntunlrp uueure8u qes'Jpeuen{ BrBc as ue>lsllnpp rede p IBr elsl u?us qequrad ruupfu-aur Eue,( rnleral >Jefuuq-te16ur1raq Eunpat e4Euere4 IrPp IszturoJap uzp efeE uudut8uel

IBrelrl-uuqafl slsguuv {n1un uqspuBiued ,'tl

LT . . . . YXCNV)IDI NVSISI'IVNVCNSd I^IVTVq NVIYIAONSd AOOIIX

r T

48 ANALISIS STRU KTUR LANJUTAN

dari pengandaian-pengandaian ini adalah bahwa titik-titik belok terletak di titik-tengah

dari semua kolom dan balok. Keempat pengandaian lainnya, dua buah untuk setiap ting-

kat, menyangkut nilai nisbi gaya-gaya-lintang di dalam balok. Ada tiga balok di setiap

tingkat, nilai-nilai nisbi di antaranya Eaya-gaya lintang di dalam mereka dapat berlaku

hanya untuk dua pengandaian bebas.

Secara umum, sebutlah -A/B sebagai jumlah bentangan dan 1/S sebagai jumlah ting-kat, jumlah balok adalah 1/B * 1/S, jumlah kolom adalah (,r/B + l) * r'/S, dan jumlah

titik-belok terciri (PO adalah

JumlahPl = (1/B *1/S) + (I/B + l) x i/S (r4.4.1)

Nilai nisbi gaya-gaya lintang balok di setiap tingkat memberikan (NB - l) buah peng'

andaian bebas per tingkat; maka jumlah pengandaian tambahan adalah

Jumlah pengandaian untuk gaya-lintang nisbi balok = (1/B - l) * NS (14.4.2)

Junrlah Persamaan (14.4.1\ dan (14.4.2),Jumlah total pengandaian = 3 x (1/B *1/S) (14.4.3)

yang sama seperti derajat ketaktentuan NI yang diekspresikan oleh Persamaan$a.2.1).

Telah ada dua metode pendekatan yang terkenal untuk analisis bebanJateral pada

kerangka bertingkat-banyak: metode portal dan metode kantilever. Metode portal di-

kemukakan oleh Albert Smith di dalam makalah "Wind Stresses in the Frames of Offi-

ce Building" di dalam Journal of the Western Society of Engineers (April l9l5). Me-

tode kantilever dikemukakan oleh A.C. Wilson di dalam makalahnya "Wind Bracing

with Knee Braces or Gusset Plates," Engineering Record (September 5, 1908). Peng-

andaian penempatan titik-titik belok di titik-tengah semua balok dan kolom dilakukan

di dalam kedua metode ini; perbedaannya adalah di dalam cara pemberian nilainilainisbi kepada gaya-gaya lintang di dalam balok. Di dalam dua pasal berikut, setiap meto-

de akan diuraikan dengan penjelasan tentang mengapa masing-masing dinamakan demikian.

14.5 Metode PortalDi dalam metode portal, semua gaya lintang di dalam balok dari tingkat yang sama dian-

daikan bernilai sama.

Kerangka berbentangan-tiga dan bertingkat-dua yang telah digunakan sebelumnya

untuk ilustrasi ditunjukkan lagi pada Gambar 14.5.la. Di sini garis-garis kolom ditandai

dengan A B, C, dan D, dan garis-garis balok dengan 1 dan 2. Diagram benda-bebas

diagram kerangka dari puncak kolom ke tengah-tengah tinggi kolom pada tingkat kedua

dan kesatu masing-masing ditunjukkan pada Gambar 14.5.lb dan c. Dari pengandaian

dasar bawah gaya-lintang tetap di sepanjang setiap garis-balok, kesimpulan lebih lanjut

dapat ditarik:l. Terdapat gaya aksial tarik dan tekan yang sama besarnya pada kolom'luar yang me-

nyongsong angin dan kolom-luar yang tidak menyongsong angin, tapi tak ada gaya

aksial di dalam kolom-kolom dalam.

2. Momen-momen ujung-balok, yang adalah perkalian antata gaya-lintang vertikal

dengan setengah bentangan balok yang bersangkutan, sebanding dengan bentangan

balok, seperti Lr lL2lh.3. Momen-momen ujung-kolom sebanding dengan Lt, Lr + L2, L2 + L'r,d,anLa,atau

dengan L r/2, (Lr + L)12, (L2 + L3/2, dan La, yang tak lain adalah perbandingan

.l31jod apoleurzp?d uBrupuuSued I's''I IBgur?g

n]?s eI lDISurl DpBd ulolol loleqIllll-IIlp depeqrel seqeq-epueq urBr8pr( (r)

(oA - toY, ne$ (zvY - t vA)

6 1o1eq-suu8 uep 8ue1ug-u,{e3 urur8erq

o=rJy

I

o=rsu

I

,ty

t'aH+

'enpa1 le>13ur1 Epsd tuolol loleq)illl}-)lllF depeqrel s?qeq-upueq uler8Er( (q)

1 lzoynele zvy

f f t rr orrq -r,. ;e-l, rp aun1!-FfnF r*SEo lt70{ O:zJy o=zsy lrd

,.r*! ,'u*! ,**!,,, *!llll__7 uep ; >1opq-srre8

:O ttep 'J'€r'yuolo{ sr.reo (r)

@o@aYYYYl'7t'11'71rilr

'uBl{flIrep erE-es Ingtrrrl 1o1tod apolaut BrrrBN 'ruelep-tuolo{ qenqes {n}un ue{npedrp uele uer{Blaqs-raq Suur{ ppod enp rus?p rp l€luosrror{ Js{Eer-ts{eeJ euarol Z'g'fil :eqtuzC rJ"p r{B^\Eq

-uetEeq eped ue41n[un1tp Eue{ plrod apuera>1 e&1 rrep rsrsodradns ruEeqas SuepueC-rp rnDlnJF qnrnlas e41f uelnlqrp led?p eurps Euel( usl?ru?Eued 'lunJ-tuolol tuEIBp rp

?ue,( ge>1enp q?lepe urulpp-urolo{ urulep Jp Euu}urJ-u.(eE'eurus e.(u1o1uq uuEueleq-ue8uer-ueq B>JI1 'Z/nTuep'Zlr7 + 7'D'ZlL7 + t7)'ZlrT ltap uu8urpueqrad tuupp uur8eq

luduro rpefueur 6eqlp IB]ot pre]q uuqaq :ueEuop'Z'g'Vl requr€C epud uuuurcEeqxuaplnfunlp ludup Suef snsnq{ 4ru EunpueEuou lnqesrol uelndunsal leduaoy

'wolo{ derlas depeqrol lutuosrroq Isuorurp-rsuoulp uep ueEulpueqred r{BIBpe urBI

>1e1Eue,{ 'Zlb7 uep'Zl(7 +..0'Zl(7 + 17)'Zlt7 ue8uap Eurpuuqas e8n[ etues

Euel( relEurl epud ruo1o1 q?^\eq Eun[n-Eunfn rp pluosrJorl uu,ne1 Euelurl er(uE-u{eg 'g'urolo)t derles depeqrel IeluosFor{ rsueturp-$ueurp u?p

' ' 'vxcNvua>I NvslsrrvNvcNsd r^rv'rvo NvJvxaoNsd sooJ,sri

qc

nd-z

q'

N6V

50

wz+

ANALISIS STRU KTUR LANJUTAN

l-ry' I oG,*r.,i*-__z---TLl

'*[._ *_l[_ *ll_*l Gambar 14.5.2 Konsep portal.

Penerapan metode portal di dalam soal numerik akan cukup sederhana apabilabentangan-bentangan baloknya tetap. Jika bentangan-bentangan baloknya berbeda-beda,dengan mengacu kepada Gambar 14.5.1, langkah-langkah berikut dapat diikuti :

l. Selesaikanlah untuk memperoleh Eayagaya aksial di dalam kolom-kolom luar dari se-

tiap tingkat dengan rnenerapkan persamaan momen terhadap setiap benda-bebas se-

bagaimana ditunjukkan pada Gambar 14.5.|b danc.2. Selesaikanlah untuk memperoleh momen-momen ujung-balok searah jarum jam di se-

panjang setiap garis-balok dengan mengalikan gayalintang yang tetap tersebut dengansetengah bentangan balok yang bersangkutah.

3. selesaikanlah untuk memperoleh momen-momen ujung-kolom lawan arah jarum jamdengan menggunakan kondisi bahwa jumlah numerikal momen-momen ujung-baloksearah jarum jam harus sma dengan jumlah numerikal momen-momen ujung-kolomlawan arah jarum jam untuk titik-hubung yang sama.

4. Selesaikanlah dari momen-momen ujung-kolom, untuk memperoleh gaya-gayalintanghorisontal pada semua kolom dan ceklah bahwa jumlah gaya-Eaya leintang lawanhorisontal pada kolom-kolom dari tingkat yang sama, sama dengan beban lateral totaldi atas permukaan itu.

Prosedur lain adalah dengan membalikkan keempat langkah tersebut, yakni de-ngan pertama-tama menentukan gaya-gaya lintang horisontal pada kolom-kolom danmenggunakan persamaan-persamaan momen yang disebutkan di dalam langkah pertamatersebut untuk pengecekan.

Contoh 14.5.1 Untuk kerangka bertingkat-banyak pada Gambar 14.5.3a, tentu-kan, dengan metode portal, semua momen ujung-kolom dan ujung-balok akibatbeban-beban laterai sebagaimana ditunjukkan.

PENYELESAIAN (c) Gaya aksial di dalam kolom-kolom luar. Mengacu kepadaGambar 14.5.3b,

(Re: atau Ro:XLr + Lz+ Li = WtHzl2

(Ra2 atau Ro:Xl8) = 16(1,8) Rr: : Ro: = 160 kN

Mengacu kepada Gambar 14.5.3c,

(Rer atau Ror)(Lr + Lt+ L): wr(ur+\)+ wfit2

(Rer atauRrrXl8): l6(6,3)+40(2,7) Rer : Ror : ll,60kN

(b) Gaya geser dan momen di dalam balok. Gaya-lintang di sepanjang garis-balok 2 adalah --R4 z = -1,60; gaya-lintang di sepanjang garis-balok I adalah

-(Rar - Rez) = -(11,6 -1,6) = 10,0. Sehubungan dengan gaya-gayalintangini, diagram momen yang bersangkutan diperlihatkan pada Gambar 14.5.4. Nilai-nilai momen di sepanjang garis-balok 2 adalah 1,60 (I 112), t,6O (L212), l,60(Ltl2); atau 3,84, 5,76,4,80. Nilai-nilai momen di sepanjang garis-balok I adalah1 0,0 (z r I 2), | 0,0 (L z I 2), t 0,0 (L z I 2) ; atau 24, 3 6, 3 0.

'Blrr?s tu€.{ Sunqnq-ry1p rp uzf urnrefqBrB u?irrel uo1o1-8unfn ueruoru-ueruotu qqurnf ue8uep ?ru?s'snruq tuef un.refqerees 1o1eq-3unfn uatuour-ueuroru qulurnf el\q?q rspuol ueleunSSuaur 'lrunl-lnrngeq ?rBces uu{l?salesrp Z uep I {o1eg-srre8 uped Sunqnq >111I1-{FI1 8q11l-eles rp ure f urnref q?JB uelr\?I uro1o4-8un[n uourour-ueluou u?Ipnue) 'og'g'tlrDquBC epEd uBlsrlnllp (C) uer8uq eped uB{ntruellp Sued uel unJBf r{?re-es {olsq 8un[n ueuroru-ueruoru elntu-elnru 'wo1ot1-Bunln uawory (c)

'Iolaq u?IBp rp ueuour uep 3ue1uq-u.{eg :p1rod epotan ,'S'}I [qursg

Z IoFq{rnC (r)

08'n gL'S ?8't

-+. o8', 9t'9 tc't

'rsnl tuolo{-tuotol urelep rp I€rsI€ e,{e5 :p1rod epo}e4 €'S'rI ruqu?C

(r)

gill:loy

I

@)

g'l=zoY 0 qtll*l *l *l

g(ll = rvu

t

9'l = lvy

t-s*l-Til.l rrtrtgt

Irrelq uBCIoq Inrgrueur SuBf {eIuuq-}313uqreq elSuerey (a)

-N,t Ol = ',1

NI 9l ='.flitll

63

ru0'9=i7

I9 ' \/X CNVUA)I NVSISI'IVNVCNAd I^IVIYC NVJVXSCNSd STIOTSI'i


3,84 3,E4 5,76 5.76 4,80 4,E0

^ ^,AI

--)I_\_ J\_

^,^_tr- \*/\- -)03,84 6f,60

U,,.24

(l)r,* il"55,44

I55,44

(io''o

1,,

25,20

I2s20

l*.,l=,, l-,, l*

l*,,, l*l-*,

L 24^ ^16

36^ ,+30 30-

----\/-- !/\- +/\- +5C

20,t6

I20116

50,40

I50,40

18.667

(a) Dari momen balok ke momen kolom (D)Dari rnomen kolom ke gaya-lintang kolom

Gambr 14.5.5 Metode portal: Gaya-lintang dan momen di dalam kolom.

(d) Gaya-lintang uiung-kolom: Gaya-gaya lintang lawan di ujung-ujungbawah kedelapan kolom dihitung dengan membagi momen-momen ujung-kolomdengan setengah tinggi tingkat yang bersangkutan. Nilai-nilai ini digelarkan padaGambar 14.5.5b. Perhatikan pengecekannya bahwa

dan

?,133 + 5,3t3 + 5,667 + 2,667 -- Wt = 16,000

7,46'7 + 18,66'7 r-20,533 +9,313 = W: .l Wr = 56,000

14.6 Metode Kantilever

Di dalam metode kantilever, Eaya-gaya aksial di dalam kolom diandaikan sebanding de-

ngan jarak mereka masing-masing dari titik-berat luas-luas kolom, menarik pada satu sisi

dan menekan pada sisi lainnya, dengan menganggap semua luas kolom sama.

Kerangka yang sama, berbentangan-tiga dan bertingkat-dua,yang digunakan dalampenyajian metode portal, diperlihatkan pada Gambar 14.6.1a. Pengandaian untuk va-

riasi linier gaya-gaya aksial di dalam kolom berarti bahwa nilai-nilai nisbi gaya-gaya

aksial di dalam kolom sama untuk semua tingkat, seperti ditunjukkan pada Gambar14.6.1b dan c. Pada gilirannya, nilai-nilai nisbi gaya-gaya lintang di dalam bentangan-balok yang sama untuk semua tingkat, juga ditunjukkan pada Gambar 14.6.lb dal:. c.

Nilai-nilai gaya lintang ini adalah yang terbesar secara numerik di bentangan atau ben-

tangan-bentangan tengah balok, berbeda dengan gaya-lintang yang tetap untuk semua

bentangan di dalam metode portal. Karenanya, momen-momen ujung-balok, dan juga

momen-momen ujung-kolom di dekat tengah-tengah lebar bangunan, relatif lebih besar

dari yang di dalam metode portal.

Penerapan metode kantilever di dalam soal numerik dapat dilakukan di dalam

langkah-langkah berikut :

l. Tentukan letak titik-berat kolom-kolom dengan mengandaikan bahwa semua kolommemiliki luas yang sama.

2. Selesaikan untuk memperoleh gaya-gaya aksial di dalam kolom-kolom dari setiap

tingkat dengan menerapkan persamaan momen terhadap benda-bebas dari puncak ke-

rangka ke titik-titik belok kolom pada tingkat itu.

.ta/ralrlusl epoletuBptd uerupu?8ued I.9.rI rEqurBC

nlEsaI l8{3ur} ?p?d ruolol{oleq-Il}lt dzpuqrel seqaq-spueq uelBurO (rr

(zotr _ tou)_ t"* -rsv)+(zvy- tr'r)l- (va _ t>N t_

g 1o1eq-srre8 uep Suulurt-e,{e8 ue.r8erq

Iuolo{-luolo{

,od

I

,nrno-rrorl)

IJy

I

t

'a2I

t

,'U

ItoH*>

enpel leq8ult eped u_ro1o1depeqral s?qaq-ppueq uz:3er6IOIEq-II]I1

'ou-

(q)

,ra _

ioY oatt'"H+[ ''r*l

zrY zrYtt

7 uep 1 1o1eq-srre3'q u?p '3 '€r 'y uololt-srr83 (r)

ruoror-ruoror irro-ro, )

@o@@-tJI,.Yt,'-tillr,tli

#z,h

89 . . VXCNVUS>I NVSISI"IVNVCNSd nvlv(I NVMSONXd gcloIstr

ANALISIS STRUKTUR LANJUTAN

3. Gambarkan diagram gaya-lintang untuk balok pada setiap tingkat dan dari merekahitunglah momen-momen ujung-balok searah jarum jam dari tingkat itu.

4. Selesaikan untuk memperoleh momen-momen ujung-kolom lawan arah jarum jam

dengan menggunakan kondisi bahwa jumlah momen ujung-kolom lawan arah jarumjam harus sama dengan jumlah momen ujung-balok searah jarum jam di setiap titik-hubung.

5. Selesaikan untuk memperoleh gayalintang lawan horisontal di ujung-ujung bawahsemua kolom pada setiap tingkat dan cek nilai totalnya terhadap beban lateral diatas permukaan itu.

Prosedur lain akan membalik urutan langkah 2 hngga 5 di atas, yang didalam kasus ini kita masih perlu menempuh langkah 2 tnngga 5, dengan pertama-

tama menggunakan hanya nilai-nilai nisbinya untuk mencapai angka-angka pem-

banding distribusi yang dapat digunakan untuk membagi beban lateral total men-

jadi gaya-gaya lintang lawan di dalam kolom-kolom.

Balok kantilever adalah balok yang terjepit di salah satu ujungnya dan bebas

di ujung lainnya; pula, distribusi tegangan di dalam balok bersifat linier, berubah

dari tarikan menjadi tekanan di titik-berat Penampang tegaknya. Sebagaimana di-tunjukkan pada Gambar 14.6.2a, kerangka gedung tinggi yang memikul beban la-

teral dapat dianggap sebagai kantilever vertikal; dan, dengan meninjau keseimbang-

an benda-bebas pada Gambar 14.6.2b, gaya aksial di setiap,kolom, karena kemirip-

annya dengan balok kantilever padat, boleh diandaikan sebanding dengan jaraknya

dari titik-berat semua luas kolom. Nana metode kantilever berasal dari konsep ini.

Contoh 14.6.1 Untuk kerangka bertingkat-banyak pada Gambar 14.6.3o, ten-tukan, dengan metode kantilever, semua momen-ujung-kolom dan ujung-ba-lok akibat beban-beban lateral sebagaimana ditunjukkan.

PENYELESAIAN (a) Titik-berat kolom. Mengacu kepada Gambar 14.6.3b, jarakf, vaknijarak-titik-berat kolom dari garis-kolom D adalah

x _ 1,0(6,0) + 1,0(11,2) + 1,0(18,0) = 9,3 m

4,0

(b) Gaya aksial di dalam kolom dari setiap tingkat. Gayaaaya aksial berupatarikan di dalam kolom-kolom yang menyongsong angin dan berupa tekanan didalam kolom-kolom yang tidak menyongsong angin, masing-masing sama dengan

(o)

Cambar 14.6.2 Konsep kantilever.

54

( titik-berat kolom-kolom

N{ ZZr'l : r),t'6 : zou NI 90s'0 : z{E'€ : zJu

N)t %S'0 : .),61 : :8U NI I€e 'l = .I/(8 : zYU

'e:[eyl

e6zsr'o=#Sl=.,

Q€'6 + ,t't + ,6'e + ,L'8)z\ = (8't )9t

'uolo{ lereq->{gp depeqrel uaruoru tunlrq uep cE'9'll ruqureg epeds?qaq-Bpueq ue{eung 'uolo{-tuolo{ lereq-Irlrl rrep eduleref qe>1 uelsuo{ nlpns

'ruolo{ rrlqep !p Iels{e eiet-eie):ra^ellluo{ epo}e €'9'tI Iuqurso

NI fl€.0t =rrl€(6 = toy

It

(p)

N)t 099'€ =rrtr€ = rruNI SZ€',r =

t)t6,8 = ts AN)t 8t9'6 =Irl'8

=

I t t

Nr zzr't = Nr gos'o=qt;'6=zoy tlE t=zcA1t*l *l

NI 96S(0= N)t It€.t =qtde =tsy z4L,B--:, ett*l *l{

-t-(.

et-d

Q_o

-e

-Il

qlSE

-u

-u

-e

IP

IPqr

'{tuu.r

3)i

N\

IIIolo{ s?nl-s?nl feraq {pII (q)

Ierelsl u?qeq lnlureu Suzd )p{uuq-}E{Suqraq ulSuurey (a)

+N:l 0t= -r

<_NI 9l ='-+r

u C'6 =x .l- I 0'l0,t=s?n.I dt=isen"1 i\

Irenq:1p1rl

oc ' "' vrcNvuax Nvsrs[IvNvcNa.r rlv"Ivo NvI\DIecNad scoJ,gx


Gunakan benda-bebas pada Gambar 14.6.3d, dan hitung momen terhadap titik-berat kolom-kolom,

16(6,3) + 40(2,7) = k'(8,72 + 3,92 + 331+ 9,32)

u,=trIH#@= r,roeo

Maka,

Rer:8,7kr = 9,648kN Rsr: 3,9kr :4,325 kN

Rcr : 3,3kr = 3,660 kN Roz = 9r3kr : 10,3-14 kN

(c) Gaya-lintang ddn rnomen di dalam balok. G'tnakan gaya-gaya lintang di

dalam kolom yang diperoleh pada bagian (D) dan ditunjukkan pada Gambar

14.6.3c dar- d, gaya-gaya lintang dan kemudian momen-momen dihitung dan di-

tunjukkan Pada Gambar 14.6-4.

(d)Momenuiungkolom.Momen-momenujungkolomlawanarah-jarumjam yang ditunjukkan pada Gambar 14.6.5a diperoleh dari kondisi bahwa jumlah

momen ujung-kolom lawan arah jarum jam harus sama dengan jumlah momen

ujung-balok searah jarum-jam untuk titik-hubung yang sama'

- 1,331 -1,927 - t t+LL

,,r_ u'Pl* o,3L--3,19 6,94 4,27

(a) Garis-balok 2

Gambar 14.6.4 Metode kantilever:

43,36

(D) Garis-balokl

Gaya-lintang dan momen di dalam balok.

3.19 3.19 6.94 6,94 4,21 4,27;+ '^ /-i -\/+ 1\_ </\_ g.! v

3, l9

.[

10. l3

oJ,

4rn{1,

J4,273,19 10,13

19,96 19,96 43,36 43,36 26,61 26,67)+ '- i --ri 1\- +./ \- r/ ! a,

l*^ l*,, l,*

l*" l*,,, l*

l-,

l*,_(D) Dari momen kolom ke gaya-lintang kolom

43,36

Gambr 14.6.5 Metode kantilever: Gaya-lintang dan momen di dalam kolom.

'4ueAreq-qIIs ?rBJas tu?1urr-e ^eA

uep

ueruotu rsnqlrlslp dasuoy I't'rI ruqureg

-NI Or

3NI 9:

?{EI [ 'Eue]url?.,(BE Isnqu]slp uB8uap '1ept1 ery[ iulpues e.{uE1o33u?-e1o33u? sped Bfrolaq

Eue,( ueqeq-ueqeq leql{? lrdefrel-Eunfn ueuoru-ueuou ledeprel B{I[ ueuour Isnqlrlsrp

ueBuap rclnurrp rlseur rlueEreq-r{rlrs eruces Sueluri-e.{uB uep uotuotu rsnqlrtslp epoleH'Dl' L'Vl reqtue5 uped ue41n[un1rp euuurret

-eqas 'ue1n>l8uesreq 8ue.{ u13uera1 eped tuolo:1 u?p loluq ?Isreul uetuotu lqslu IBIIU-IBIu

r{rlnuou nFad u1r1 'sr1se1e srsllsrrB uB{nrylelu >1n1un '(ueserBlose{ Iqnueueu Ispn9'rI u?p S'?I psed tuelep rp rre>lrurnrp 8uz,( uelelepued epo1a4) '..sllsqe sIsIIErrB..

rnl?loru ueser?lase{ undneur ue8uequrrasa>1 rqnuouotu uE8urqas udnr uerlturepes sIsIIBrr?

-lp ledep wp suleq uedelap 1eferepreq nluol{?t srlu}s leJrsroq pl';il requreg eped

uapln[un1rp uueureSuqes Isrolul ueqeq In>ntuotu Eue,( >1u[ueq-1u1tut1req ulSueray'lerolel uBqoq InTtuaur 3ue.,( ry,{ueq-lulEurpaq olSuera{ sISIpu? {n1rm

{o?oc leruu rur rlue8raq-qllls Brecos 3uu1u11 e^,(e8 uep uoruotu ISnqIJlsIp opolotu B^\qBq

ue>ppfun1rp us>[B (ru

lesed urupp rq 'rpe[ra1 ue{relqrp Eudues-a1-ue8ue^{o8 er?luetues

Eunqnq-Tlll ISBlor uerrun8uad ue8uep rlue8req-qrtrs qzEacrp e,(uEurduresal-ueEue.{o8

ereluoruos Sunqnq-T11l Iselor uessqequed ufuurelep rp 8ut.{ tlue8raq-q1n urucas EuulurJ

efie? uep ueruoru rsnqrrlsrp opotreu ue>Je4nure8ueur I{BIa} surol I u^\I{Bq 0I'8 IBsBd tuBIEp

lp e8n[ ue{lnqesrq 'mqstoTp ry1 3ue.,( Eunqnq-{ll} IsEIsII?rl Suurequres rcpu detlas

{nlun ueqsqruel uoruoru rsnqu}srp nlEs lrcrpnuo1 uup 'qe8ac1p Sunqnq-4}ll IsBlsu?rl-rs?lsuurl ereluetues uhalaq 8ue,( ueqeq-usqoq lEgpIB lrdaf-3un[n uetuolu-uoruoru {nlunuu>ln)ppp nlrad ueurotu lsnqulslp rtles '?uns?uo1 apotaw lnqo$p rplEtnres 'rul epoleuruBIBp IC 'up{relnrp qelal rnr{Blo4p>Iel Eue,{ Eunqnq-{-I4} ISBISuurl ue8uap nluel{€l sll?ts

n>Je1 elSuure{ srsll?ue epud ueurow-lsnqlrlslp epoleru uedereued '0I'8 I?sBd Lu?lep IC

puutrag-qrpg u.ruceg Eu4rn3-edug uup ueruon IsnqFlsIO l'rl

t/n + L/rl

=266'99 = 962'8 + S8L'17. + 00t'61 + llZ'9 q€lep? nl?se{ le{8ull eped qeluntuap' L 14 = 000'9 I = Z LE' Z + gT,T,' 9 + gZ9' S + 7, L L' I qepp? snpe{ lB{tql eped urol-ol qemeq-8un[n 3ue1ug-e,(e8 leduree>1 rrup qBILun[ 'uu1n18uesreq 8ue.( uro1o4 t33ur1

qe8uales uetuep og'9'Vl requreC ep?d tuef urnre! qere-ue,rel ruo1o1-8unfn ueurou-ueruorr rrep derles t8equreur ireSuep qeloredrp S9'9'nl requeC eped uerplnfunllpEue[ ruo1o1 qe.truq-8unfn 3ue1ur1 ele?-eteg 'wo1oy-Bun[n ?uo1ut1-otog (a)

L9 V)CNVUSY NVSISI'IVN1/CNAd I^IV'IVC NVIY>IAONSd AOOIAH

r58 ANALISIS STRU KTUR LANJUTAN

distribusi momen dan gaya-lintang akan berlangsung secara silih-berganti, dan proses ter-sebut berlangsung terus hingga semua perubahan nilai-nilai momen di dalam dua siklusyang berurutan berada di dalam toleransi yang dikehendaki. Secara urnum, proses ter-

sebut mesti berhenti pada akhir distribusi momen.

Contoh 14.7.1. Analisislah kerangka bertingkat-banyak pada Gambar l4.j.la de=ngan metode distribusi-momen dan gaya-lintang secara si_lih berganti.

PENYELESAIAN Bagianttas tabel distribusi. Tabel distribusi lengkap digelarkanpada Tabel 14.'7.1 . Titik-titik hubung pada Gambar 14.7 .la telah ditandai dari Ahingga.L, baris I hingga 4 di dalam tabel ini disusun seperti di dalam tabel distri-busi momen.

(b) Dist/ibuEi gaya-lintang pertatna, baris 5. Jika kedelapan titik-hubung di.kunci terhadap rotasi tetapi balok dibiarkan bergoyang ke kanan, sebagaimana di-tunjukkan pada Gambar 14.7.lb, nilai-nilai nisbi momen ujung-kolom mesti sama

seperti yang sebesar 6(EI\*NH2, atau hanya (I'l)- untuk Ldan H yang tetap.Jumlah keempat pasang momen ujung-kolom pada tingkat kedua mestilah W2H2

= 16(3,6) = 5'7,60 kN.m, yang jika dibagi 8 menghasilkanT,2O. Jumlah keempatpasang momen ujung-kolom pada tingkat kesatu mestilah (W1 + la/z) (Hr) =(16 + 40) (5,4) = 302,4,yangjika dibagi 8 menghasilkan 37,80. Nilai-nilaiinidi-mazukkan ke dalam baris 5. Perhatikan bahwa jika nilai-nilai kekakuan kelentur-an (EI)1o1 tidak sama, gaya-lintang total pada tingkat tersebut harus dibagikan diantara kolom-kolomnya dalam perbandingan nrlai-nilai EI meteka.

(c) Distibusi momen pertama, baris 6 dan 7. Titik-titik hubungnya dibiar-kan beiotasi; mereka diseimbangkan dan pemindahan dilakukan.

(d) Distribusi gaya-lintang kedua, baris 8. Karya gaya-lintang diseimbangkanuntuk tingkat kedua pada baris 5, momen ujung-kolom takdikehendaki yang di-tambah adalah (+2,88 + 7,10) + (14,21+ 1,44)+ (2,06 + 5,40)+(10,80 + 1,03)+(2,25 + 5,82) + (l 1,64 + 1,12) + (3,27 + 7,85) + ( I 5,70 + 1,64) = +94,21, yansjika dibaei 8 dan dibalik tandanya menghasilkan -11,78. Untuk tingkat kesatu,momen-momen ujung-kolom yang takdikehendaki pada baris 6 dan 7 adatah

(9,4'7 + 0) + (0 + 4,7 4) + (7,2O + 0) + (0 + 3,60) + (7,76 + 0) + (0 + 3,88) + (1 0,46+ 0) + (0 + 5,23) = +52,34, yang jika dibagi 8 dan dibalik tandanya melghasilkan

-6,54. Nilainilai -11,78 dan -6,54 ditempatkan pada ujung-ujung kolom yangbersangkutan pada baris 8.

(e) Distribusi rnomen dan gaya-lintang secara silih-berganti, bais t hingga 11,

12 hingga 14, 15 hingga 17, dan 18 hingga 20. Proses yang dilakukan pada baris 6hingga 8 diulangi di dalam keempat distribusi momen dan gaya{intang secara silih-berganti ini.

Qfi Berhenti pada distibusi momen, baris 21. Momen-momen pengimbangpada baris ini dianggap berada di dalam.toleransi sebesar 0,02 atau 0,01.

(g) Momen-momen uiung terakhir, baris 22. Nilai-nilai pada baris ini adalahjumlah-jumlah yang dari baris 5 hingga 2l .

(h) Momen uiung-terjepit akibat goyangan-ke-samping, baris 2-1. Nilainilaipada baris ini adalah jumlah-jumlah yang pada baris 5, 8, I l, 14, 17, dan 20.

(i) Pengecekan pada distribusi momen, baris 24 hingga 27. Prosedur penge-

cekan yang biasa untuk distribusi momen diterapkan untuk memperoleh rotasi-rotasi titik-hubung.

Q) Hasil dari keluaran komputer, baris 28. Nilai-nilai ini diambil dari keluar-an komputer dengan menggunakan program komputer yang disesuaikan untukanalisa kerangka-gedung yang tinggi dengan teknik jajaran, yang di dalamnya, in-vers terbesarnya tidak lebih dari jumlah titik-hubung pada setiap tingkat ditambah1.t Penyelesaian lengkapnya digelarkan pada Gambar 14.7.2.

tC.-K. Wang, Matix Methods of Structural Analysis, ed ke-Z., American Publishing Compa-ny, Madison, Wis., 1970, Bab 19 dan Apendiks P.,

.,|tcro

5{A

E

IG

lg

ocE

E

oa

Gc

GE

&

-c9 a-{ o o.D {

r,t'o

'E'

6

ssa$fh-:-9 - r- B;*J-t3Ei: .

<.{}.6

16rtfi>.> orl.<.8

ottf)>:> o

=E

e.I, n>>orla -

3:r

a.l, ,'!>.rl of- t: i'

E.B

.!3 p ri>.> oF. r:

=8

9.6r,.FrI

tr{ -ltlF,fi

GEoE

Fl

Tca&

sB

++ r +

J9P-{-e+

rgri

.o9o.i o

l+

_e.r .e++

oa".!'(a., -!,ts.ts

+6o

o

E-aa H

+. + I:*o

oo E*" k+

:s

cLL

-6

a B

'+ + t + I----*-6-l t -u L

I

\@

I ltp

-r5eoll

-o *QcE

$l.p..9o.&

+1.-o -6

+l

60

€$

*La E

I

\ €556€

l+.oa

rt+

::lxl+

ooao

+.1 + +l

t!_c

Ia

{ n

a)

'{iE r.-3,s:$ tl

a

lt

9P a

+ a+

p.e r-9

taL{ o

'!r

p+ + I.l

\+ _+ lr lL88JH rat *Q.,-. .-q!'€.. ,,4.

l... +C:,ii c

-e

co € r.t-t

\to

C:

'.11

9.-. -6rJ6iSiXESe

t -!'?

'i

-a,?JI

e'rG

9 -6'8,,t

.+.. I

9.i.l, t,S

*.J

-{ _{ { oO n

aB

.. .+: t.. 'r.,

+r. J...1

66-;lUE A 6 €

rla ,

1,. e8E400'EiE

.+.,_r1_.+

g-p ia66t

+_1. *

k.! c+ 1..

9A

.a

,..8

_a

ci

l,x3 Ek"sl+t, t',g:

(?,

.a::iri

J?:l6.i: ,F'rl'::rlli.st:_i. Bl:

+.... +..

l? "-e t.: +

?.," t+:,*r

'a}i,$

b

.{1

+i.* l':.+ tr:DAUil6-o'tz -* i. a

.t.,1

.3*r'.r

+r. Ii.a.,rc:t,bi.it:l

+:11 l

bbl eltlJP,.*€ J{

i+-...I . '':i,.

lj:i^q{il.

't*a

P,

:'.6...oira

I

'i: r:1i.iL:::{i :l.r:

x E k -s'i,6 ',:€91{E

i.:.'.i:rria{

:,'E

','r:E'

.r. nt

.a:.'

B

,.,r,t: .r:,l,,.i*iii.,Ji

â*-*xtshE'* i

.'.:tliJiit;..€Oot?'

,*.|.P-€,1d3{

.irj*,.

88,,r:li,.

.it:::.*l.:]t9

.1:

I

. . -' t.:,,*.- .r,-:

ô^îl-x g-=: -a

: t:: ,r.,:rii .

i.l::i':1":'.':',tt' i^B

:.. t

r'it.g:.*,1

'ili

'*,.o i.t

,.:

.:,*.'

., triii_t+ :r:

o*9-;s -*lrEs.g*,'t.;* .',,.,1. l,::

:,€6r r +:':

JP.O?n.,:,:r.+jr..

a..SS|i9L

'r t'l#.+e**

.,,,- I :ii." -q.:a, ::.,.{..,lE i-9T ':F

:j[

'''' YXCNVUSX NVSISTTVNVCNSd WVIVC NVIy)sONiId AqOJ,Sx69


-

60

&IL

x{ €Ert:ii;,';..

O6- .:*.:*,,,r9:-e,.&::e...*l:,1 L. :'*-,ri

6 *:6.f, 6-d

,{.'-:.1.rr.. rl l

q,&,,96:.6":6.

cJ 6€.do'd

'*,.i. II,r.J:

:a:.qii.t:i.,

6g*e6rr-nq.{c^!fl!*6

q-ql

:Eai

,tar :..&.:.Ots, ,*:i.6-

o'o.1., +'.i

{s8rgs'--+f o' d.

:.*r*. ..:.::j*i.

!:r::: it i.,:t:i: +ri+.:r' 'tr,

ir.!r-rrl.l

'ild,:lrt.' ,.ii*

-r,::l!,- &,r:.:';.$;:,:

:+.i, r::,,:.i*i:,::

4+:

'':{:i.

e- q -^--: +.....1:il+:.+.

a'+

:.&il

l,;',.;tti6d6

e^':1 t9=,eo@

i 1'-:.1.:. i..: .-:t.:

sr6r6?6'6*-ifdig''i.l + ri_ +:.+

F

:

s !.,8;.,ai,ir:a:r:1r3. -i+. i.l . +.

60r6: .i.6'i+tl.'

a,a.',4 l:,8 8.,8.I:.friii,:d:. .t:

q

+

:r.::.il q.r +.i I

kd +. '++ +t i*+l + i +$

!

I

I

LF

1+

-oo qT

1 I + l++

t-I

fJe a:.

++ ++ l+3A€ o-'

I +

r9--+ l++

I

*lL r

+j

+tO+S- EI

+

cq

E. t-*i* I

;x8+l+ l

aar'

I

t e-.1 !" 6-

l+t++ I

! rr t-

++o€

j 6

+ t 1++

o

!!

++;so- ci l+ o" o-

+

@_d. q. o_

it++

oa.

+

I l+-- .: a1

+t+ddd

I

6t

I

to ra 9- O_

+l +t +i

a

+ +1+i

6of+

ED

j4

i!

6

Na!

l{

Ji-l!

*E}JJ

r>JJo<<

(JO6

E>J ..,1c<<

UES-]Jo<<U'OB

t>JJo<<(Je@

I}JJo<<U'OE

dilH=4== E{;.9 .ii 5 I-, Q o I dHO A O ;

o

9.

o.}a

6O-

a.l

an

bo

.o

b0Ho-o

ooo0

d

a€a0

o

E

-o

o

rrt

6)

G,H

tue,( re1ue1 ueelmured Euufuedas rp de1e1 Eue1ur1e,(ut-e,{eE 'p1rod epolor.u ruel?p IC' I'8'tI pqur?g IJBp rlztuztp Bilq loleq Euuluq-efu8 rqslu relru-ml1u uuEurpuequa4

'ul(ur88u4 Eg'guBp 'tS'0 ,ZS'O'US'O epud 'sz1e-ru1u?l u?Blnurad Euuqu41a1 iesep-tu1uu1 u??{nu-red uup qnef q1qe1 )plalrol ntBSO{ te>fiurl r.rup ruolo{-uo1o1 eped {oleq {BIl-{lllJ 't

'uBuBI 3urrcd Eue,( uro1o1

eped 1o1aq->1yy1 ledeprel 1epr1 'e.,(uuue1e.{ue1 urelup 'uep '.Irp{ IrBp uurelrod uro1o1

eEr1a1 4n1un ez(qEEup 6E'0 upp 'It'6 '9I'0 eptd'du1z Euuqunla>1 Br?1uB-I?luBI a)1?{ep Wqel leEues >1e1e1ret ?npe>l }BIEuIl epud ruo1o1-uro1o1 epud {oloq {IlIl-{}II 't

'ez(uue8ueluoq yg'g e33urq 79'g eped 'urBl?p-urolo{ 3uegun1a4 renl-ruolo{ rrep qnuf qrqol {4elro1 rrEEurd us8ue}ueq-ue8uulueq uped >1o1aq {Ilp-)gllJ 'a

'lp{1pos q1qe1 ueEuqal uuSuap IsIs e{ le>lap qtqey ry3u 'qeEuel-111y1

eI t?>Jap le8ues 1e1apa1 quEual-1o1?q lreSuBlueq-us8uetruoq uped >1o1aq Illp-)tlllJ 'l:Z' L'Vl rEqtuBC epud uu>ppfun1rp Eue,{ Eunfn'ueurour repu

-rBlru rr?p uB{n{BIIp ssrq }n{-uoq ueleue8ued 'uo1o1 uep loluq enuas qe8uer1.rtll Ipu?Tspu?rp Euu,( 4o1eq-qrtrl ludural y1-e4 rnl8uu,(uetu e,(ueq qnule5 'ues?relese{ rqnu-eruetu Eue[ uutesale.,(uod uep s{erou uuupaqrad upeda>1 eXuue4lelSuatu uu8uap {ntpBsIq lnqesrol uelulapuad epolour-epolaul urBIBp lp ue4eun8tp qu1a1 3ue,( uempuu8uad

selaquedulepo{'L'rI IBsBdurulupIpue{n{BIIpBue,(slselauestsqeueEuedpseqlseqteql-ew 'uB{nsBr.u reSuqas zfuurolo>1 u?p {opq Brsraur uaurotu rqsru rcpu-I?Ilu u?{nlreuaue,(usr1se1e uesrsqeueEuod iseleq uedelep 1efurepreq nluol>Iel sll?ls leJlsreq IUI unlaqetpsed-psed urpp Ip ue{rurnrp uuuurreSeqos enp-lnJ8ullraq 'e8g1-ue8ueluoqleq elSueray

apoloru uuturpuuque4 g'91

8€0'z r

,.,*f;,,.,,t

Jot'7.€

0ss

981'9l

rl),.,,I

(.b&'Le

858''

l.ots't I

t

JI

It

l

I

t

I

i

N

l

C

t/

otL'6 ott'6

rl----f -l

w'te

99'o

,rffl)

J

Z8'92

7V'L

ost's l'

,1,rs't t

Ls'lJ\

vd.l7-t )

I

u6''8

tor'€ tot'tU,98'r 6r'8

SI'II 60's€

\Zt'Z \Ze'Z

,l__t,\-,/ \JZZ'L 91,9

76'8/h+, 1rr0'9 l'

I

I

U08tl

n6{t te€'t

.l____J,\, \)eo's 96'n

il:

i)

8t8''

,l_tV'

qlsqe srsll?u? fisell z. L.tI l?qur83

269'01 w6'9r

.,rf)*',, *,*1r*''

JJ,t I'8€ ZE'rt

ors'f r

,l_06'62

T9 .' . . YXCNVUS)I NVSISI'IVNVCNSd IAIV'IVC NVIYXAONSd SOOIAW


1,331 - 1W- -1,422

ttlt.6 0

I9,648

tl l,6

t10,314

t12,038

I0

Metode portal

t3,660

I4,325

Metode kantilever

rtl16p44 t0,692 5.786

Analisis elastis

(a) G:aya aksial pada kolom dasar

Gambar 14.8.1 Pembandingan gaya aksial kolom dan gaya-lintang balok

sirma, yang berarti bahwa gaya-gaya aksial di dalam kolomluar yang menyongsong angin

dan yang tidak menyongsong angin sama secara numerik tetapi bernilai nol untuk ko-

lom-kolom dalam. Di dalam metode kantilever, gaya-gaya lintang balok secara numerik

lebih besar di dalam bentangan-bentangan tengah, karena pengandaian variasi linier gaya-

gaya aksial di dalam kolom-kolom terhadap titik-berat semua luas kolom. Namun, dari

analisis elastis, gaya-gaya lintang balok jenuh lebih kecil pada bentangan-bentangan te-

ngah, karena gaya-gaya aksial di dalam kolom bersifat menarik dan menekan secara silih-berganti mulai dari kiri. Sekilas pandang, seseorang akan mengira bahwa pengandaian

variasi linear gaya-gaya lintang di dalam metode kantilever sangat masuk akal, dan peng-

analisisan eksak struktur-kerangka (sekeleton structure) mesti memperkuat dugaannya,

tapi hal itu tidak demikian. Penulis telah membuat peringatan seperti "Pengertian biasa

berasal dari penumpukan pengetahuan"; barangkali inilah kasus yang mengena.

14.9 Latihan

14.1 Vd 14.27 Analisislah kerangka gedung empat persegi panjang pada Gambar 14.9.1.

hingga 14.9.3 dengan metode sebagaimana ditunjukkan pada Tabel 14.9.1

30kN+

Metode portal

I c.sm I t.z* I o.o'n Ir-_=-.r-

Analisis elastis

(D) Gaya geser di kolom balok

Gambar 14.9.1 Latihan 14.1 hingga 14.9.

o\o

5€

i5-@

l=

.LZ.tl pls grll u?rlpE'I €.6'rI IEqutlC

NI S'

NI OI.

N)t(E

'9I'?I E33wq oI'tI u?I{rl€'I Z'6'rI Iequl?9

NI O'

Nl@

r.s,

89

77 17z

71z

7'Iz

"I7z

77z

"I77z

77z

,I

7z

,Z'tI €E qq I'rt u€q11c'I {n}un uc{IlsBlu 8l8O I'6'?I IsqBI

z7

'l1

t7

,I

"t?.

I7 tIN

"tz

,I't. ,IN

'' ' 'vvcNvuav NVSISI'MVCNSd Nv'Iv(I Nvrvxs(N8d AOOrgrl

BAB

LIMA BELAS

METODE ANALOGI KOLOM

15.1 Introduksi Umum

Dua sumbangsih penting pada analisis struktural yang diberikan oleh Prof. Hardy Cross

dari University of Illinois adalah distribusi momen dan analogi kolom. Menguraikan se-

lengkapnya metode analogi-kolomf , secara bertahap dari kasus sederhana ke kasus yang

lebih rumit, lebih merupakan tujuan dari bab ini, ketimbang menurunkan teorema

umum dan menerapkannya pada semua kasus. Dalam kenyataannya, teorema umumyang bersangkutan digelarkan di dalam dua pasal terakhir dari bab ini.

Pertama-tama, metode analogi-kolom bermanfaat dalam penentuan momen-mo-

men ujung-terjepit, juga faktor-faktor kekakuan dan pemindahan, untuk unsur balokyang memiliki momen inersia tetap atau variabel. Kedua, ia bermanfaat dalam pengana-

lisaan lengkap kerangka kaku simetris atau taksimetris, baik yang memiliki dua tumpu-

an terjepit ataupun satu rongga tertutup. Meskipun contoh-contoh dan latihan-latihanyang digunakan di dalam bab ini bisa mengacu kepada unsur balok dengan hanya se-

jumlah kecil perubahan mendadak momen inersia di seluruh panjangnya, keuntungan

metode tersebut terletak pada penerapan prosedur yang sama terhadap unsur balokdengan banyak perubahan momen inersia untuk bagian'bagian yang sangat kecil di se-

luruh panjangnya, seperti unsur balok berpinggang pada Gambat 15.l .la. Demikian

pula, prosedur yang sama, yang digunakan untuk penganalisisan kerangka berbentuk

segiempat atau kotak pada Gambar 15.l.lb dan c ,dapat diterapkan terhadap strukturjembatan kerangka-kaku atau struktur-saniter berongga-tertutup, dengan: momen iner-

sianya dianggap tetap hanya untuk setiap bagian kecil di sepanjang sumbu kurva ke-

rangka yang bersangkutan. Prosedur yang digunakan untuk penganalisisan kerangka ber-

bentuk segi-empat taksimetris pada Gambar 15.1.\d dapat diterapkan terhadap leng-

iHardy Cross, "The Column Analogy," University of Illinois Engineering ExperimentStation, Bulletin 215, 1930; juga, Hardy Cross dan Newlin D. Morgan, Continuous Frames o1

Reinf orced Concrete, John Wiley & Sons, Inc., New York, 1932.

'I €6I')uo^ .t\aN "ruJ'stro,s

-flun[rueq {ol?q IJ?p ueluou urerEetq 'oI'Z'Sl rBqurEC eped uu4lnlunltp uueunefleqei

ruBgoqlp uup u.,(u8unIn enpel eptd lldo[ra] Bue,\, 'gy lopq 3un[n-3un[n 1p ehalaq 3w 'BW urp vy ydattet?un[n ueurou-uotuotu u?{nlueuou >lepuoq ?}pl u?>lIBpuY

'uelEuuqurellp UB B uulrulEuesroq 3w'.

rnsun epud uuqeq leqplu de1e1 ersreut uotuotu Dllftuetu 8ue, 1opq rnsun 1n1un tlCau

-re1-Eunfn uetuotu-uetuotu uplnluouo1u >lnlun uro1o4-tEopue opoleru ueeunEEued 'ru1-'q

dqal ursraul ueruol l uu8uap {olu{ rnsun >l$un lldaFel-Eunfn ueuo}\l z's t

'zures Euzr( ueleosrad uerx

-a1er{uad uu>lpseqtueru e.(ue,(Eo,(es erues EuB,( s?qeq-Bpuog ruerEetp'z[es n1ue1 'uo8re.rr;

lnqosrol epolelu enpel e.,(uue8unllqrad-rnpesord IIq>1e Suelefuaur e'{ueq ieures rtdtuex

ruolo1-r8opu? opololu u?p srls?le-l8snd apoleur'e.,(uuue1u.(ue{ uIBIsp 'err\qBq '8I qE8

tuspp rp ue41n[unIp uB>[v 'lrEl?qruaf etuelruel 'ltdeha] ueEun4tuel uBsIsIIsIrBEued rulr

-?p uolq?pntueru Eue,{ opolotu I?EEqes Puo{ry Btu?l qelol lsqsele-1esnd opo}e4'Bpx.

-Bpeqreq Euu,{ ersreur ueluotu ue8uep Eulseur-Eutsutu'Wqel nB}B ueFeq g1 rye[ueur €eqr;

16au uulnltuusreq 3uu.{ srrleturs{e1 ue8un{suol Bd\quq IIBnco{ 's1r1eruts1e1 usEunr

'ruo1o4-18opue ue8uap qsrpuu {ntun 1oJoc 8ue,{ m11n45 I'I'9I requrS

(p)

@)

Euu8tutdreq Suqnlraquolaq )1opg

Udnlnued 1qd ue8uep CA\ )iopg

q9 no'rox I50'rvNv EqoJglri

Tti

i

i

li


terjepit yang ditinjau tersebut merupakan jumlah diagram momen akibat beban yangbekerja, jika bekerja pada balok-sederhana AB, Gunbar 15.2.1b, dan yang akibat mo-men-momen ujung, Gambar 15.2.lc. Kondisi-kondisi keselarasannya, yang dapat diguna-kan untuk menentukan kelebrhanMa danMg, adalah sebagai berikut :

l. Beda kemiringan antara A d.an B = 0;atau jumlahJuas bidang momen di antuaAdan .B = 0 (karena EI tetap); atau luas diagram momen pada Gambar ll.Z.lb =luas diagram momen pada Gambar 15.2.lc;

2. kndutan di .B dari garis singgung di A = 0; atau jumlah momen dari luas bidangmomen di antara A dan B terhadap B = O; atau momen dari diagram momen padaGambar 15.2.1b terhadap.B = momen dari diagram momen pada Gambar 15.2.lcterhadap B.

Sekarang jika suatu kolom-khayal yang pendek dengan penampang tegak sebagai-mana ditunjukkan pada Gambar 15.2.le di-visual-kan sedemikian rupa sehingga pem-bebanan pada puncak kolomnya adalah diagram momen pada Gambar l5.2.lb dantekanan yang bekerja pada dasarnya adalah diagram momen pada Gambar 15.2.1c,jelaslah bahwa kolom tersebut berada dalam keseimbangan karena kedua kondisi yangtelah dinyatakan sebelumnya, yang tak lain adalah (l) beban total pada puncak samadengan tekanan total pada dasar, dan (2) momen dari beban terhadap .B sama denganmomen dari tekanan terhadap B. Makajika diagram pembebanan dari Gambar ls.z.lddiketahui, diagram tekanan dari Gambar 15.2.lf dapat ditentukan.

Suatu perjanjian tanda perlu ditetapkan untuk diikuti dalam pekerjaan berikut-nya. Dengan mengacu kepada Gambar 15.2.2, perjanjian tanda ini mencakup hal-halberikut :

1. Pembebanan pada puncak kolom berarah ke bawah jlka M, (momen statikal, ataumomen akibat pembebanan yang terjadi pada balok-sederhata AB sebagaimana d!tentukan oleh hukum-hukum statika) bernilai positif, yang berarti bahwa ia meng-akibatkan tekanan pada sisi-luar.

w per jarak satuanw2wl

)MR

l*-laT-,t-L I- t_

(f) Tekanan pada dasar kolomanalogi ; diagram M i, sarnaseperti (c)

E/ konsian


(D) Diagram momen akibatbeban yang bekerja,digam bar pada sisi-tertekan

(c)Diagram momen akibat momenujung, digambar pada sisi-tertekan

(d) Pembebanan pada puncakkolom aaalogi; diagram M'sama seperti (6)

I satuan(sangat kecil)

-j

;' )-a(e) Penampang tegak kolom

analogi

Gambar 15,2.1 Momen ujung-tedepit untuk unsur balok dengan momen inersia tetap.

(a) predes eures 'lTguzrterq:I3oFu? ruolo)t.rEsBp epud ueuelal (][)

rSoluue urolo>1

tB8el SuPdurEuod (a)

TI...lo

--IaTEl7l1/I

'rDsep nlueual sllEls rnl{ruls u[3] uBt{![il €'z'st mug'ue:1elral rsrs epud .req

-ureErp'B;,g uep By ueqrqel-eI loql{e (8r Ip s?qeq uBp

,'lp lldaFel) Bf reêFlu?){-1opq upud ueruour ur?r8wq (r)

'uB{euel-rsrs eped requlu8tp'efrelaq Euef

uBqeq leqrry (€r rp sBqeq uBpy rp lrdafel) grU reêlpu8l

-1opq uped ueurorr urBrSBK (q)

-\l-'- I__

_.1

rl--T-(Iroe{ l?8u?s)

uenlzs I

pradas eurgs'shl wefiew'rr"#ruo1o1 >pcund uped uuulaqure4 (p) nEfqllp 8ue,{ >1o1ug (a)

)'t,

-etu nlrod B/(uBrI ?lpl 'uulnlEuesraq 8ue,( rnsun spBd wqeq lBqplE dBlal ?IsJeIr ueuoEue8uep {oleq Jnsun {n}un lldeftel-Eunfn uauotu-uotuotu lru{nluaueur {nlun 'lp?f

'n>IBIraq dstal/effiurq p€'Z'Sl I?quIEC spBd uBIsplnIP sueu4BEBqas uolo,w-Foleus-tued 'lu1eI ErBJes pruil-rp spuel uBIfIIEfred {nlun IIBrn}B IIDIoS 'e.(u?uarE;

iefurunlaqas rlredas c vep qEZ'gI rBquEC EpBd uatuotu urBrSEIp dupzqral ue{dBla:-rp ledEp - 0 = E Ip Suntfiuls qre8 gep 8r Ip u?lnpuel (Z) trBp '0 =*8 wp Y ?r31uB Ip Itr-Euurura>1 ?paq ( I) - ?IIrBs tue,{ ueserulese{ FIpuoI Bnp 'unuBN ') uep qe'Z' S I ruqu-rP!

BpBd uauotu urerEelp-urur8up qelumf ue)Fdnreu uap nefu-qrp Eue,( lopq psp uauou:

ururterp 'rusep nlualrel sllBls >1opq reEeqas q{ldp g Ip wqaq uep P' p lrdefral Euu{ g1

roê[]u?{ lopq 'ueqlqaleq-e,(ut lmslslpusEued-apoleu uedsrauad tuepp tp 'e411

'renl-Frs eped uutre>lel IrD[]Bqp{BBuour BI e>IIIJIIlsod IBIIuJeq iuuf,'llry - tW = W

uu8uap erues n?[urlrp tuef lrda[a1-tunfruaq {oleq BpBd ry}t1 Euzruqures Ip uetuon ':Jrlrsod

I?lIuJeq (uzserelasel npuo{-Flpuo{ Flnuarrrotu {ntun ue{nluelry Ire{B 8ue{ ueqtqaJ

-e{-wqqele>l nB}B 'n}ue1>1el slluls ueuour) },g'uro1o>1 resep epud sBlE 3{ uBuDIaJ ':

,rlzru

u.ro1o1 ltopuu zped upuel ue1[ue[ra6 Z'Z'SI EqursC renl-lsls

tj urePp-PIS ;.| 4---------:--:--:--::-------.2--z rBnl-lsls

L9 wo'Iox I50'IvNv gCIo&ex


nentukan tekanan, atau Mi, di kedua ujungnya apabila kolom-analoginya dibebani de-

ngan diagram Mr;makaMa danMg akan sama denganM = M, - Mi.

Contoh 15.2.1 Tentukan momen-momen ujung-terjepit untuk balok pada Gambar

| 5.2.4a dengan metode analogi-kolom.

PENYELESAIAN (a) Diagram Mt dari balok-sederhana. Sebagaimana ditunjuk-kan pada Gambar 15.2.4b, diagram momen balok-sederhana akibat beban terbagi-rata dikerjakan sebagai beban ke bawah pada puncak kolom analogi karena momenini mengakibatkan tekanan pada sisi-luar (atau tepi-atas) balok. Tekanan di sepan-jang dasar kolom bernilai tetap di dalam kasus ini dan sama dengan beban total di-bagi luas kolom.

Mi:tekanan= ry=+Maka, di,4 atart B,

M-=o *,=*# Me=Ms=M"-Mt:t-#=-#

Tanda negatif untuk Ma (atau M3) menunjukkan bahwa Ma (atau Mg) berarahsedemikian rupa sehingga mengakibatkan tekanan pada.sisi-dalam (atau tepi ba-

wah) balok,4 (atau 8)(b) Diagram M, dari balok-kantilever. Sebagaimana ditunjukkan pada Gam-

bu 75.2.4c, diagram mOmen akibat beban terbagi-rata yang bekerja pada balok-kantilever yang terjepit di A dan bebas di I dikerjakan sebagai beban ke atas padapuncak kolom analogi karena momen ini mengakibatkan tekanan pad,a sisi-dalam(atau tepi bawah) balok. Tekanan di A dan B dapat diperoleh dengan rumus :

Mi = tekanan

68

PMcA_I


L----z--lr

wL2 {-rTTFITrFI-TTI ry_L:

12 illlLlllILlll12

(b) Penyelesaian pertama

Gambar 15.2.4 Balok Contoh 15.2.1

wL2 1,wL2,,, wL\2 +\ 11\ 2 \L'- 6l

IN I

I I lh*ilrirrrHt-;,=j

I satuan

w per jarak-satuan

wL28

l<SxLt=$

(c) Penyelesaian kedua

Bnps{ u"rEsalerued (r)

rm-t-ffi

uenl?s InBfulup 8uB,t )tolEg (r)

'qS'Z'g l r?queC zPed ue1

-1n[un11p suBuIleABqoS 'TuDqppas-rloPq yDp s1,t7 wotSotg (o) NVMA'IA1NSd'uro1o>1-rtopue epoleu ue8uep DS'7,'Sl rcqureC eped ue>11nfun1

-rp 3ue[ {opg {n}un lrdafrel-3unfn ueurou-ueurour LIBIUB{nlueL 7'Z'Sl qoluo3

'g p plpod ueu?{el uep }z 1p ;qe8au uurm{el ue>11eq11e8uetu

w?[ IIIru?f rIBJBes (lueuroru twlunueao) tuqunt-uetuolu- uelSuepas ';rleteuuBuu{al ue:lieqpluausu uolo{ lereq-{Illl 1p u[re:1aq ellgede uulnlSuesrag 8ue{

sElB e{ ueqaq 'g rrela Y rp !;g ueuelel uunluaued UreIBp BlYiI{?q u?>Illeqled

'z'z'sI qoluoJ IoFs s'z'gl tqrSeurelDd ua?sapi(ued (q)

'g {pP {nlu-l

'r{Ilp {uu:}

htol0>I Ico'rvNv gqo&srf69

7qDtt

uBtsuot Ia

?O ANALISIS STRUKTUR LANJUTAN

Beban ke bawah total pada kolom = diagram mome4 balok-sederha n^:*;o

Eksentrisitasr=j(i-,) i:ffi=ryMc _ (Wabl2\lirt-/z - all _ wab(LlZ - a\I = (D(LT6--:---'T-

Untuk titik,4, M" :0

*, : l- + = ry. w#-' = \#,, + L - 2a) = -ryM,=M,-Mi=o-(.#) =-ry

Untuk titik B,

M" =0

",=X.-+=wab -wab(Lt2- a =\#,r- L+2a)=.*r4

Ma=M,-Mi=o-(.Y+) =-ryTanda negatif untuk Ma (atat M3) menunjukkan bahwa Ma @ta'u Mg\

berarah sedemikian rupa sehingga mengakibatkan tekanan pada sisidalam (atau

tepi-bawah) batok di,4 (atau 8).(b) Diagram M, dari balok-kantilever' Sebagaimana ditunjukkan pada Gam-

bar 15.2.5c,

Beban ke atas total pada kolom = diagram momen balok-kantile u"' =Y

Eksentrisitas " =r_\ X: _H#: -YY.e : $ a'1 t?\)gf!-- at 3)

= $ o, -, ot

Untuk titik /,M'-- -Wa

", = *,- + : Y -Y#o' - 2o) : -Y:(zL -,)

Me: M" - Mi = -*" -l-Yor-,)] : -$tt -zta + a21 = ryUntuk titik B,

M. :0

*, = *,* Y : -Y.#(31 - 2o) = *$e,- + 3L - 2a) = .ryMs:M"-M,=o-(.Y4 =-ry

15.3 Faktor Kekakuan dan Faktor Pemindah untuk Unsur Balok dengan

Momen Inersia Tetap

Faktor kekakuan SA di A dari unsur balok ,48 telah terdefinisikan sedemikian rupa se'

hingga jika momen searah jarum jamMa yang sama dengan Sa@a dikerjakan di;4, rota'

si searah jarum jam garis singgung di,4 adalah @a apabila ujung B terjepit. Faktor pe-

mindah @on dari ,4 ke I adalah perbandingan antara momen di ujung-terjepit .B de-

ngan momen yang dikerjakan di,4 menunrt kondisi-kondisi di atas. Unsur balok dengan

momen inersia tetap ini ditunjukkan pada Gambar 15.3.1a hingga c, dengan: diagram

MIEI-nya merupakan beban pada balok-padanan, dengan @a serta nol adalah reaksi'

,Ni- =,0 h- :gtffi - q# = * -I :,^h: vw vsueruIu{el roulzc

'ovs :'oh=9ffff . ry# = *** :'^?,h = a s€llsuluaqg

V lp YO - urolo{ uped qeinuq e{ ueqeg

tgll =O) UAlt) = JSopue uro1o1 Euedurzued sunl

'e{upguep yrySnuteutrep g4rsod uerru{e1-u?ua1a1 pEuqes tunsEuq qaloradrp *dep ty, ,np vW uep1rtuop

uutuag'u?nlBs-rtl-ru lluu8fluad re8uqas pl1 wiluap uurus udu6opue luolo{ reqel 1nq6s

?lq nBIe{ rrp{r{upntuetu WIue>IB 'leffiwr1pl't'il r?quuC eped uqlntunlp euuunuEuq

-es JrluEau stluep Jppod v7q edanq Euns8uq Bslq g wp Y IP uetm{e1-uzuu>1a1 ruty'uetuequ4esa{ tu€IBp Bpureq detat wlru[Euusraq tuef urolo{ 6e1 ry1ed 1el 'uo1o4 resep

upud g4eteu uep yqrsod upu?{e1-uerr?>1a1 ptuqes dettuurp lglsl4l wp rulvw ruertep-tue.r8erp uep €opue uro1o1 eped (v@ ueqaq nlus ledupral elueq ufuqnB8unsas) rnqeg

rutuqes du8iluerp lnqesrel uuueped'1o1eq eped Iq?er'l$lear u4r[ tuure>1eg 'u,(up1ea:

'd4a1 ersreut ueluolu ueSuap :1o1eq rrsun

13opue uro1o4resep eped uuuelal (/)

€o1uue uo1o4 Swdueue4 (a)

Iuun qepuluIed uep uen{s{el ro}{Bc I't'9I Dqulc

uzuuped-1o1eqeped rs:peg (c)

ueueprd->1opqupud urwqequrad(g)

,FL! -r -tt

f = *qe1

13o1euu

uro1o1 lucund uped ueucqaqure;(p)

-rytht

(D)

u?tsuol ljr

TL hlo.rox I00'IvNv gooJ,ex

-


Tanda negatif untuk Mg berarti bahwa Mg dan M, memiliki tanda yang berlawanan

menurut perjanjian tanda yang digunakan di dalam metode analogi-kolom;atauMg dan

M1 mesti memiliki tanda yang siuna menurut perjanjian tanda yang digunakan di dalam

metode ubahan-sudut, distribusimomen, dan perpindahan matriks. Maka,

COF: *: +\Ma

I5.4 Momen Ujung-Terjepit untuk Unsur Balok dengan Momen Inersia Variabel

Metode analogi-kolom dapat digunakan, secara sangat memudahkan, untuk menentukan

momen-momen ujung-terjepit untuk unsur balok yang momen inersianya variabel se-

hubungan dengan beban yang dikerjakan pada unsur yang bersangkutan'

Andaikan kita perlu menentukan momen-momen ujung-terjepitMa darrMB yarrg

bekerja pada ujung-ujung unsur balok,4B yang momen inersianya variabel akibat pem-

bebanan yang terjadi pada Gambar 15.4.1a. Apabila metode gaya'kelebihan digunakan

dan jika balok-sederhana AB dipilih sebagai balok statis tertentu dasar, kondisi kesela-

rasan yang dapat digunakan untuk menentukan ;V/a d.an M e adalah sebagai berikut :

l. Beda kemiringan antara A dar. B = 0, atau luas Gambar 15.4.1b = luas Gambar

t5.4.tc;2. Lendutan di B dari garis singgun1 di A = 0, atau momen dari luas Gambar 15.4.lb

terhadap B = momen dari luas Gambar 15.4.lc terhadap B

un(A- e),,

1 variabel

(a) Balok ),ang ditinjau

(d)Pembebanan pada puncak kolomanalogi (e); Diagram M r/EI, satnaseperti (D)

(b-) Diaeram M I E I akibat pembebananyang terjadi, digambar pada sisi-ta-tekan.

,a lr-. 1T[ laylTt il,ltt"i >\L ,, )-v

(c) Diagram MIEI akibat momen-momen ujung, digambar pada

sisi-tertekan

(e) Penampang kolomanalogi

--1 !- d.llrurD'vB\A-L--Y -FI

(f) Tekanan pada dasar kolomanalogi (e); diagram M rf E I,sama seperti (c)

Gambu 15.4.1 Momen ujung-terjepit untuk unsur balok dengan momen inersia variabel

'l0q-elr?^ Ersreu uoruoru uB8uop lldeftel Eun[nraq lopq ru4uf,'tut Sutrzlas uuposrad uupprp eirl[teq eurgs n{elroq 'sy,g urer8elp re8eqas Br rp segaq usp ,, Ip lrdo[ra1 Suuf rare[r-ue>l-Ioleg upud efte1eq 8ue.{ ueqeq Is{e tBqDrc uoruoru tuur8utp ueeunSSued 1n43ue,(u-au 3ue,( 'n1r lused uelsp Ip uBs?q?q 'lnluei qrqel 'tBle{ erucas rlsqule{ I}n{pItseur 7'91 I?s?d urBIBp tp uu1e1e,,(utp uueure8eqos EruBS 8ue.{ epun uurluelre;

' B 747 uep v

tr41 ydalrc1-iu n [n uaurour- ueluotu uu11 u dupu au 1n1unuuleun8rp uulu l e33uq 3f V'Sl requre5 Irep ueuBqequred-Suudueuod-ueuu1a1 uolsrs

euorB{ n{?lreq rEe1 ry1ed

4e1 8wr( 'urues repuraq uelnlSuesreq Eue,( ruo1o1-uolo1 JBsBp rp xp uefieg Suuruques

dupuq;el sBlB o>l IS{Bar-IS{EaJ ?&q?q uu41n[unueur Inlun ue>lnlredp de1e1 a 'epaqraq

>1epr1 e88ulq Suep pyy'gI reqrmC u?p u?u?qoqurod urer8urp-ruerBetq 'l e88rnq 3f V'SlraqurcC uep Eue,( qalo gueStp pdep t z33uq pln'Sl rBqtuBC lrep ..ueueqaqurad-Eusdureued-uBuu{o}(. urer8utp B^\q?q uu41n[un1p uely 'e.{urunleqas ue4e1e.(up I{EIaI

Eue,( uesrrelaso>l ISrp{Io{ enpo{ Buat?{ uu8uequnesel tu?lup ?p?Jaq IW tuolo>l ?/tlrleq

qqselef '! uep p1t'SI J?qu?C epud Eur.seur-Eutsuru unplnlun1tp uueune8eqas u,{uresep

eped ueuzlal uup u,{ulecund zped uuqoq lmllurew aI'V'gI rBqLuBD epud uol4nlunl-rp eueune8eqas 1eEe1 Suedueuad ueEuap lapued 8uu,{ p,(eplurolo{ nl?ns s{If

(uotnluofl I'r'9I lugurs5 lyJ unt1ery :( r/) lSoleueruolol rEsBp zpud ueue>1e1 (1)

rSopueurolo1 Suedruuue; (v)

(4) ltrades euns'1 gfs 1,t1

uer8utp i(4) rSopue tuo1o1

lecund eped ueueqaqure6 (3)

! vep qt't's I 'rqc ruBl?p-'l f/uep aI'i's1'rqg uuJep-l

-]=L (uenles r,(,p,(#)_](f)t,rrtnrr

8[ NO'rO>I rCO'IVNV goorg?t

v


Contoh 15.4.1 Tentukan momen-momen ujung-terjepit untuk balok pada Gam-

bar 15.4.2a dengan metode analogi-kolom

PENYELESAIAN (a)K arakteristik penampang kolom analogi. Panjang penam-

pang kolom sama seperti panjang bentangan balok yang ditinjau, dan lebarnya

sama dengan llEI. Karcna ntlai EI bervariasi di sepanjang bentangan, maka lebarpenampang kolom analogi bervariasi pula, sebagaimana ditunjukkan pada Gambar

15.4.2b. Untuk mudahnya sebutlah EI" = 1 supaya penampang kolom yang di-

tunjukkan pada Gambar | 5 .4.2c dapat digunakan

Luas penampang kolom = i(r) + t(o) + kf) = q,s

_ _ 2(-4,5) + 6Lq)_+ l,s(+4,5) = _0,2368

la=Ir-Ar2

=2?r' + z<t's\' + $ +t's'91' + l '5(4'5)'? - e'5(0'2368f

= 90,967

atau

,o =2$+z4,s - o,zr8)'+ I + 6(0,2364)'?+!$ + 1,5(4,5 + 0,2368F

= 9O,967

Karakteistik penampang kolom analogi yang ditentukan di atas di-ikhtisar-kan pa-

da Gambar 15.4.3e dan 15.4.4e demi kemudahan penggunaannya'

(b) Diagtam Ms dari balok-sederhana. Balok-sederhana,4B dipilih sebagai ba-

lok statis tertentu dasar. Diagram-diagram Mr/EI-nYa ditunjukkan oleh garis€aris

penuh pada Gambar 15.4.3b. Perhatikan pula bahwa EI, dianggap sama dengan I

1 safuan

SebutE/c = 1

(c)Gambu 15.4.2 Penampang kolom analogidi dalam Contoh 15 .4.1.

ost =(0ZIX€)i =d otz =(o9txtx='dc

'$ =;;u -- FD{ uundurnl treP s2'1u1a'1

0r8€=(0f9XZr)E=sd

'S€'V'Sl r?qureg epud e2, uep d ueEuep 1epupllp Euef lrce>1 eqlpasenp rtuernlrp'g79 ueEuep eurus efulEtup uep ru 61 uu8uep eures ufusele tuedB8rlr8es Vep ed senl rz8eqas lesndral u?qaq leqple 1g/s14 uefierD qellnqes

8Zr L = $Z9Da -898'0r = @So)Z - Qt\O6Z:Dt =.;c,-t -_ozgl : 0z9l - 1rp1-uendurq u?p 'g' senl

6Stt rp (xxzrgg _ xz]r\of lBreq {t}1} BrB}ue {eI?[t!

0I8 = (rgr)! = td 080I = (rqD)t = 'd

0Z9t = xp(,x96 - rTgp; of

= ,qorrnltJ

'tu-€ uep 'ru-9''ut-€ tuedueued EpBd Autseur-Surseu PlBr-ISeqJel

uegaq leqpl? 1g/s?,tg :0u.et1erp-tuertulp sPnI IBABqes sd uBp 'zd 'rd qBllngas'q€'V'g 1 requreg eped

1g/s1,tJ we$erp spn1-senl qeppu 6opue ruolo{ {Bcund eppd ueqog-ueqag 'uen1es

'I't'sI qoluoS rrr?pp Ip rEssp nluelral srle1s 10pq re8eqes ?uegrepes-{oFs €'r'9I crltccr

foluueuro1o1 rJucund eped ueqe8 (r)

6t'LLzt

dolPuE uroJo)iresep epud uuuBIeI (,

urolo:1 ftredureuad{lsFal)lBI?X (a)

Lg6'c5=cIs'6 = sBnT

I

i=ctfi u?{euel-Fp

"ped requretp

'Ig/sNulf-frew(q)

96Zr

rusep nlualial spels IoIBg (r)

zL6

goluueuro1o1 >Jecund eped uuqeq (p)

ru S6't I ur S0? I tu SO'r l.u SO,;

oI8 = td SZtL=zd 080I = ra

IIr 89td9 \i I

8t9le

8e?zI1z I 't l'rs'r

N't otz

9L y\to10x Ico.IvNv soo,f,elr

240 kN

76

(a) Balok statis tertentu dasar

@ ffaa$arn, digambar pada

sisi tertekan (EI"=11

Pt--7992 Pz=E424 Pt=162

1,3581 mf3,7188mt 4,6731 m T22Sfn

(c) Beban pada puncak kolomanalogi


(d) Beban pada puncak kolomaaalogis

5,7632 m

Luas = 9,5Ic=9),967

(e) Karakteristikpenampang kolom

4805, I 2

(f) Tekanan pada dasarkolom analogi

Gam oar I 5.4.4 Balok-kantilever seb_agai b alokstatis tertentu di dalam Contoh15.4.1.

6

d.A

Sebagaimana ditunjukkan pada Gambar 15.4.3c dan d,

Beban total pada kolom = Pr* Pz* Pt- Pt* Ps- Pe

= 1080 + 7128 + 810 - 240 + 3840 - 180

= 12.4f8 ke bawah

Y;il"#",tf,li:*f'= 1080(5,7632 - t,ss) -7tzl(0,2368) - 810(6,2368 - r,e5)

-240(3,7632) + 3840(5,7632 - 5,3333) + 180(42368)

= 467;70 berlawanan arah jarunr jam

Untuk titik 24,M,=0

n.438 467.70$J632\Mt = +ff +w = + 1309,26+ 29,63 = + 1338,89

Mt = M"- M = 0- (+ 1338,89) : - 1338,89 kN'm

Untuk titik B,M, =0

Ms = M"- M = 0- (+ 1271,19) : - 1277,19 kN'm

17.898

6,2368 m

160

*ffi,,960

'lrqlJoq qoluos tu?tBp Ip uB)plnfun1lp uB13 Bu?tul?8sqos B/{uSoFtt{

uolo{ flu?duuued {I}slrel{erpl tlrBIBp Ip uDIuegBUadIp Idela} 'I wBuap ?IuBs lnqasr:

IEpl] {pq qlqel '1s 'tur snsul tuBIEp Io 'u?lsuo>l llri I u?8uep ?ru?s 6?l {?pll uep 'E '::-Suetued qnJnlos rp loqerru^ edmeq e,{u6opuu uro1o1 Suedueued ruqel ?rt\q?q lpnr::rldulel ursteut uetuotu sns6l tu?l3p Ip lpodes ?ru?s flue^ BIBo u?ftIop w>lnluellp ledep 1a:

-BrJeA BISIouI uoluoru DIIIItuotu 3ue,{ 1oluq rnsun {nlun qepurured IIBp u?n>Ie>Io{ Iol{El

IaqBIIBA BIsIeuI uauol{uB8uap {0188 rnsun {nlun I{BPI{urad rol{8J uBp uBn{B{ex rol{BJ s's I

'{spspuolu EJeces qeqnJeq elsreul ueurolu ledurel-1edue1 tp

rrelep-rpues enp ueSuop lrdefrel-Suninreq {ol?q 'uelqepnueu qlqol uB{qeq nel?

'.Z rp s?qoq u?p g Ip lrdefrel Bue,{ reaeplu?{-{oleq rlredes '.resep nluepel sl}Bls lol-Eq {nlun utel uuqlltd-ueqqrd 1edep.rel ?.tII?q uelllBqrodlp estg 'xsnqsxq (p)

ur.NI 0Z'lrZl - = $a' LLZI+) - 0 : tN - sN : 8N

0z'LLit -= 0i'reti r ?88r - = tsr##%iri -#L- = ^

0:'x'g {i111 {nlun

tx.NI 88'8€el - = (ZI'S08f-) - Wl9- : tN * tN : v7'l

zl'so8r- : 7,t' t267.- r88t - : (89#ffir9' * ffi - ='^

nnt9- :'N'v l.llll {n}un

urel runref qerees 9'161'99 :\862t'7)Ot +

(862r't)082t + (8e86't)zel - (ze8e'O)tzt8 + 0sot't)2661: "3r:'J?rH1Tl#,li}#hsel? eI868'll =

0t + 08zl + z9l + tzlS + z66L :td + td + id 124 +rd : 1rlolo{ eped 1e1o1 uuqeg

'p uep cb'V'9I rBqIueC eped ue>11nlun1rp eueurte8eqeg

or=(r)(08)i=u oszl =(r)(ore)i:'dgZ'Z=$)i: B Ir"P id IBI?I Z9l = (€XZ9I)i: ed

ItZ6'g: = I Iftp zd {?.refrp (xx.x[) I' 5J

wre: rxggtJ:2,

6li9'ol = '*t ,, = g ru,p rd r,rsfry(r)(,r€) l;' zrJ'

z66L = xp,ree ,,Jl

= ,a

'6oPur tuolo{ ?Ped u?qoq Ie8?qas sd uep

'nJ 'ed 'zd'rd qellnqes 'qV'n'gl rBqiusg eped qnuad srreS-srru8 qelo ue>11nfun1

1p etulllsW tuerABI( 'resBp nlueuel sllels >1o1eq te8eqes qudlp S rp s?qoq uep

f rp lrdefrel BueA gy ra^alllue -)loleg 'boafruoy-qoPq 1op sw ut'ot"*otq (c)

' I'0 I't qoluoJ ruelsp Ip 8ue,( ue8uep {ococ reueq-r?ueq s?tr? Ip IIs?q{IseH

LL wo'Io>I ICO'MV SCOrsvi

78 ANALISIS STRUKTUR LANJUTAfi

Contoh 15.5.1 Tentukan faktor kekakuan di:{ dan B, dan faktor pemindahan dar:A ke .B serta dari B ke A untuk unsur balok dengan momen inersia variabel se-

bagaimana ditunjukkan pada Gambar 15.5.Ia.

PENYELESAIAN (a) Karakteristik penampang kolom analogi. Dari bagian (a)pada Contoh 15.4.1,

Luas penampang kolom analogi = 9,5/EI,Jarak titik-berat dari A = 5,7632Jarak titik-berat dari B = 6,2368Momen inersia terhadap titik-berat =90,926/EI,

(b) Faktor kekokuan Sa dan faktor pemindahCa6 dariA ke B. Di dalam

Gambar I 5 .5 . 1 D , beban $a dikerjakan di tepi-kiri kolom analogi.

Me = Srde: tekanan di 24.

6e $;76326i$,7632): g,slEI,- n,g6ilEI"

= l#. WIT r ^ : 0,2632 + 4,3'tr* o

^

=s,wtffb^

6,c = l,o

ISa

4s,t$z6e

EI.s,6441(i)

(D) Untuk S/4 dan C13

Gambu 15.5.1 Faktor kekakuan dantoh 15.5.1.

Qa

t\6,2368d8

qeu1ff1

(c) Untuk Sg danCg4

pemindah untuk unzur balok di dalam Con-

da= 1,0

I

(a) Unsur balok yang ditinjau

G

G

i

6,2368 m

GI

-qeq qBI4B{ubl'0p [ce{ tnpns uB8uap d{1111 Ip.ssutu e{ B{nq!p.. 2.9'SI ruqurBg uped

IDJV eNr.\sInB ?T['nlnwp s8qeqrp uB{B ?rr?qropes 4rlatuoa8 uuposrad nleng'tuns?uo1 npasord rnluJaur

qoloradrp ledep elEuere>1 epud 11lltr Suurequros rp uatuoru 'tuo1o4-Eopuu epolaru uu8u-ap '.unrlreN'uullntuls ueutuesrad e8q ueresalefuad uerlnyeurolu uer{rqele{-u[eE epoleu.ruuEuap rur u13uura1 upsrsqpu?Eued 'e[re1aq Euuz( uuqaq-ueqaq lnlEuur(ueu >luprl rrup

uu1ru13uesraq 3uu^{ ulEuere{ {r}srropleJel 1n13ue{uaur rfueq ]nqesral u]eturs-nqtunsB^\r.l?q uafl]sl{red 'I'9'SI rBqrrrBC eped ue4lnfuqp 1ul uuleredsrad runuaurqu 8ue[p>Jrdr1 ludruefas ulEuure{ n}ens 'e[ra4aq 8ue[ uuqaq edu:aqeq Iqluraur uup 11def-ra1-uundurnl Bnp Dlrftueu lnqasJol rnl{nJls epqede lJleup-nquns nlus ueElrap ledua-r8as >lnluaqreq u43uure1 srsrpue?uaur )nlun m{eunErp ledep uro1o1-rtopue opolal{

gtauls nquns nleg ueEuap ledtua6ag {uuaqr?g elEuaay urBIBp Ip ueurol^l 9'St

86€ts'o+ =ffi* ="cueuou-Isnqrqslp epoletu urBIBp Ip eueup8eqes ?pu?l uBr[uBfrad r3e1 ueleung

'a#va&'t-=-^'t I r96'ffi s'61' 'rsL(z€9r'sx89tz'9)zr zt )

'IAIL%'6 _,tg19'6 _@IilaEsset6- --sT- =

7 !P uBus{e} = v;g

ft*w't:,s

'Q*uwoe\ =

,gfrrzrr,s + ztsz, l)= *+[dffi - #] =

'tglL96'M , "till9'6 _GtadelGFst€zD-- d-

B'IP ueuB)lel = soss = 8r4I

rSopue urolo{ usu?{-ldel Ip uu{?fte{rp Aq ueqaq'eI'g'SI reguru5ru?1ep r( 'v al g 1,op v89 qopltuad rcqo! uop Eg r.ronqo{aq nqDd (r)

zzsts'o+=ffi*=*"'e{utunfn enpa{ {n1un ;11rsod uaruou-ueurour wt

-eqes {ol?q rnsun eped efre4ag Suef ruel urnref qeraes ueuou-ueuotu qeldettuy

frn-l 'e- =

'e*<q.r,L'r -z€etl, =

v67l 196'M _s'61:' 'rsL(89€z'9xaegl'.stzt 7t l'tglL96'M 'IAIS'6

(Bt€z5mzeefd---i6- =

B'Ip u?us{el = srltl

fit ws='s

'Br?ru

HO10X r501VNV gqo.ler

'u{eI[

6L

r.


Gambr 15.6.1 Kerangka berbentuk segiempat dengan satu sumbu-simetri

dengan BT

C-ambar I 5.6.2 Perpindahan tersama-rata di ujung-ujung anggota berbentukkurva.

wa bidang PCB akan berotasi terhadap titik P melalui sudut d@ dalam arah lawan-arahjarum jam, sehingga menempati posisi baru PCA'. Jika sudut dQ sangat kecil, maka, de-ngan pengandaian orde-pertama, BB' dapat diandaikan tegaklurus terhadap PB. SebutlahLO, Lu, dan A, sebagai rotasi garis singgung, lendutan horisontal, dan lendutan vertikaldi B. Dapat terlihat bahwa

L6d,iB = dSlawanarahjarumjam

LH di B = BB' sin g = (PB dO sin 0 = (PB sin 0) d@

= (+"/) dQ = + y dQ ke kanan

4 diB = BB'cos 0 = (PB dilcos0 = (PBcos'l)dQ

= (-x) dQ = -x d@ (positif untuk ke atas)

(15.6.1a)

(1s.6.1D)

(1s.6.1c)

(ls.6.2b)

(ls.6.2c)

Perhatikan bahwa x dan 7 adalah koordinat-koordinat P dengan mengacu kepada .B se-

bagai titik-pangkalnya. Dengan demikian pada Gambar 15.6.2, x bernilai negatif danybernilai positif; maka - x, yang karenanya bernilai positif, mesti disubstitusikan untukPB cos 0 di dalam Persamaan (15.6.1c).

Sekarang andaikan garis kurva pada Gambar 15.6'.2 benar-benal sebagai anggotaberbentuk kurva yang kaku (takterdeformasi) kecuali untuk bagian ds yang sangat

kecil di P, yang padanya terdapat momen M yang bekerja. M dianggap positif jika iamengakibatkan tekanan pada sisi-luar (atau sisi-cembung). Anggota berbentuk kurva ter-sebut, yang tertekan pada sisi-luar di P pada bagian ds yang elastis, akan "terbuka keatas". Rotasi garis singgung di P, d0, sama dengan (M ds)lEl, menurut persamaan(2.12.1) yang diturunkan di dalam Bab 2. Dengan menggantikan dQ = (M ds)lEl ke da-lam Persamaan (15.6.Ia hingga c), ketiga perpindahan tersamarata di B akibat aksiMterhadap ds diP adalah:

LodiB

LH diB

Lv diB

__ My ds

EI

=- ! "!,EI

= * 4! (positif berarti lawan arah jarum jam) (15.6.2a)

(positif berarti ke kanan)

(positif berarti ke atas)

'uEslsll?uuSued urEIEp u?q!gale{-?/t33 epolal\l €'9'sI rEqusc

(c) @\

'lou q?lBp? slr83 nl?ns Iuqel '{I}BIuel?u BlBces :..su

-et Euuprq., rrep ..ue1epede1.. ue>plnfunuau {nlun 1e1e reSeqas efueq uu4uunStp pts tp

Isqol lnqosrp Euu.,t ede 'unuuN 79/1 ue8uep BurBs {I}B Eueruqruos Ip leqel rltllueur rdet

nefu111p 8ue,( rn11ru1s rlrades eurss 3ue,{ {nluaq rxlluaru Suez( 't8oJuuu uro1o1 Eued

-ureuad tsraq-{Ilp p8uqas uDIIspUapIp 'V'9'SI r?qureC eped 6 >gll} 'sqsela-tresnd'1ou uuEuep (a eE8rnq uy'9'SI\ uueluesred

ueeue.{uad rr?p IBsBroq 'or1 uep 'oH 'q14[ Uul{Iqele{-u?qlqal0{ ue{n1uouotu {n1un UEI

-uun8rp ledup Euuf 'uzserulasal rsrpuo>J e31la4 'e,(uuee1e,tue1 ruepq 'e,(qe43uud-1rt1t

ruteqes O upede{ nceEueu uuSuap u,{uleutproo>1'}?ulploo{ qeppe rf uBp x :u?8uap

(su]u aI qru.Ieq JqtJsod)

ru

o11

:l

(crg'sr)

(qr'9'sr )

(prq'sr)

[-:ow^v

J*:o'"v

spx(r!1 -f,oH+aW+'y{)(uuue1 e{ pmreq JrtIsoO

rusp ((xo1 - {oH + oI4l +'r4l)

ru(uref urnref qere Iruit\EI qrereq;tlrsod)

sp (x"A - (aH + olru + W) J+: o ru 'vqspp? C {pp 1p Iulol ul?l€tuesral ueqrputdraC

'g3gye4\uero{ qrunles depeqral uu4pr8alut uup (a e38uq oz'g'SI\ ue?trusred IuEIsf

o{ (€'9'SI) uuuruested ue{Ilu€C 'e13uera1 eped 4 tstsod snues 1n1un ;11e8au Isllur{(E'S'St) uBBIU?sred epud x'tut Euere4as snsu>l tuul?p Ip '?^\qeq UDIIl?I{red 'e,(qel8uei

-{lill p8eqas 6' epeda4 nce8uatu ue8uap dr leuJproo{-}sulprooI qelzpe ,t uep x :ue8uap

(e '9'91) (fl,1-(oH+or{)+'N:Naup r

uep D€'S'% ruqu?C uep elEuure4 luun 'u>JEIiI 'JBnl-IsIs epud ueuelel uulleqpp8uau

?{orau eryf g4rsod du8Euerp uauolu ?ntues E/rrr{Eg t8ul ue4qeqred 'n}uaual sl13}s re^eI1

-u?{-rnqnt}s epud s4e1s uaruotu nelE's14[ qEIBpB g€'9'SI requuC pep ulEuurel eped

drrp uetrrotrr q?pnqes pvep qtg'91 r€qurgD uup e13uere1 eped 7Ip ueulotu qelurni

ueEuap BruBs ?€'9'gI rzqru?C uup alfiuural epzd 4 44t1 Euurequos Ip uauo,\l ', IrsF

q€.g.Sl rcqtue3 eped ralapluel-ulEuure>1 Bnp IrEp qelurnfue8uep Brelos deSEuury qeloc

Dt'g'Sl r?qu?C riep nu[q11p 8ue{ el8uura>1 'wqtqe1a4-e,(uE ueststpuutuad-apoleu:

rrrelBp rp e,{uunleqas s?qeqlp qe1a1 eueu4e33q3s 'ruolo{-fopue opolsul ueSuap Dt'9's'.

rsquBc eped ludruel8os {n}uaqreq nlSuure:1 ssIlBuE nu[u4 e114 uu4e '8uera1og'' D€' g' 9 I r?quIBO eped q2gy ryec

-as ludtuefes {nluoqJeq 4o8!lu? depeqrel uoldurellp ledep 'e[us n1ue1 'zun4 {n}ueqIs.yloS8ue tunum snsu{ )inlun u?>[unrnlrp Suef '(e uEEqq q'9',9i uBBLrIBsJad 'u,(u1o$uei

-41q rcEuqas g epeda>1 nce8ueur ue8uep dlsulproo{-}eulproo{ qelepe /uep r :ue8uag

I8 no.rox rDo'rvNv sqoJer


Gambar 15.6.4 Penampang kolom analogi.

Sebutlah A, Ix, ly, d.an I* sebagai luas. kedua momen inersia, dan momen sentri-fugal (product of inertia) penampang kolom analogi terhadap sumbu x dany yang me-lalui titik-berat. Maka, melalui definisi,

o=l# ex:!ff:o et:[ff:or, = J%f : o $:'Iil#1j*'fi ffi|;i (,5 6 5)

''=l+',=l#sekarang jika suatu batang kaku oD yang'menghubungkan pusat-elastis o dan

tumpuan-terjepit D dicantelkan pada struktur yang ditinjau dari Gambar 15.6.5a, kitaperoleh struktur padanannya pada Gambar 15.6.50. Karena batang oD kaku (dengan:EI = taklerhingga) dan tidak dapat terdeformasi, ketiga perpindahan tersamarata di titikO juga sama dengan nol. Sebutlah Mo, Ho, dan Vs sebagai tiga kelebihan yang tak diketahui yang akan bekerja pada pusat elastisnya. Jika huruf D di dalam Persamaan(15.6.k hingga c) digantikan oleh huruf o dan kemudian ekspresi-ekspresi yang diper-oleh disamakan dengan nol.

Ad di o :*lW**"1#*r.[#-r.[#=o (r5.6.6c)

AH di o = *lryf * *.1#. ".[+- */otf : o

(15.6.6b)

Av di o =-l*#f'-r,l#-",J#+q\ff:o(15.6.6c)

HD

t),,I

VD

(o) <b\

Garnbar 15.6.5 Struktur-padanan dengan batang kaku.

(qot'q'sr)

(rorg'sr)

(o's'sr )

(r8'9'SI)

(qs'q'sr)

(D8'9'st)

(Pd, - {oH * oW) +'yrl = fIurEuop uur?s '.rs'9'SI requ?C

uped nelwlrp 3w,( rn11ru1s nele'qs'g'gl rEqIuEC eped ueuuped'rn11ru6 IrBp >11tll

Sutreques !p /,g ueruotu sti\qeq ue41nfunuaur 8ue,{ (g'9'91) uustuusJed ue4dera;

1I .'l -v:x^N' {*N' drEoprn tuolo{ resep upud ueue4el - !y11

: ue8uep

ly,r _'N= (;# _e_:_) +'N = N

'(O'S'St) u?Bruesred LrrBIBp a{ (e eEEuq 28'9'SI) u?eu?sred Ue>IIIuBC

(Ftaurfs-nqurnsue>pdnreu ^I , _o^/ nqruns e4f u,(ueq n4elleq) WT - 1r

(lrtauls-nquns ue>Jedn.raur 'I _ ott.{nqurns e4r[ufuuq n1e1.req) ,W- - rt

Y-=ond

rpeluaru (a e83urq DL'g'-g I) uueru?s-ratr ',f uep { nquns depuqral rul ueqaq IrBp uetuotu teEegas Sutsetu-Eursutu iy1 e1rcs xquep '6opue tuolo{ uped urqaq ru8eqas dr r{?linqes 'uerpntuoy '{ uep x nqurns depeq-;e1 pfsy4Jwer8erp uep uoruoru qul?ps Surseu-Butsutu (c uep q7'9'91) ueeurusre4 urupp

1p Suepqrued-8uegque4 'rSopue uolo{ 4ecund epud uuqaq te8eqes deSSuurp tuduper:rnl{nrts qrunles eped pf 141 uter8erp qeppe (pt'g'St) ueeurBsred uBI?p Ip Suepqura4'(e u8Eurq DL'9'SI) u??russred urel?p rp Euepqurad-Euzlrqured qquefqad Suure>1a5

(rrleurs-nqurns ue>pdruau ^I()L'9'91) trnq*n, e4te,(ueq n4eFaq) 4* = uA

sp x'r4l J

(rrleuns-nquns ue4ednrau 'lGL'9'sL) inq*n, e41te,(ueq n4eyraq) 4- = uH

spiw l(o t'g'st) :oNrul

SP'N J

rpu[ueu(a eE8urq ryq50 ueuru?srad t>I?It'(S'9'S1) ueeruesra4 epud fopue tuolo{ Suedureu-ed 4ts1rat1ele4 reEeqes FrulJeptol Suef ue8uap uures (a e83uq ry'9'Sl) ueuuusre6 upedoA uep'oH 'oW uBr{lqela{-u?q1qa1a1 Suaplaq p lzdupral Euuf pr8elulpr8alul

'g3gye4Euere1 qndlleu npad ufueq e.{ureuaqa

(a e88urq p9'9'SI) uzuruBsred urelsp Ip uelur8alur8uad unures 'eEEu1qre14u1 repureq

tnqesrol n1u1 Eurluq lrr 'unurBN 'OO DI?{ 8ue1uq eEnf uep OJgy elSuure>1 qrunles

rlndrJoru rlseu lnqesrel uepr8elufued-uepr8eluSued uep e,{uplEued-111p p8eqas 6srlsele-1usnd upede>1 nceSuaru ue8uep e,{ulvurprool-leurproo{ qelepe t uep x :ue8uap

88 wo'rox rco'IvN'r/ scroJex


Peng-analogian kolom yang bersangkutan secara gamblang ditunjukkan oleh Persamaan(15.6.10a dan D). Dengan peng-analogi-an ini, sekali karakteristik dan pembebasan pada

kolom analogi telah ditentukan, momen di titik-titik terpilih (sebanyak mungkin, se-

iring kehendak) pada struktur yang bersangkutan langsung diperoleh.Telah ditunjukkan di dalam Bab 4 bahwa dalam penerapan metode-penganalisisan

gaya-kelebihan, pada umumnya terdapat beberapa cara pemilihan struktur statis ter-tentu dasar. Suatu cara lain untuk mendapatkan struktur statis tertentu dasar dari ke-rangka berbentuk segiempat yang memiliki dua tumpuan-terjepit ditunjukkan pada

Gambar 15.6.fu hingga c; di dalam kasus yang demikian, kelebihan-kelebihannya adalahMe, Mo, dar, Hp dan kondisikondisi keselarasannya adalah 0.q. = O, 0 o = 0, dan As diD = O. Apabila sebuah batang kaku yang menghubungkan pusat-elastis dan tumpuan-ter-jepit D dipasangkan, terlihat bahwa Gambar 15.6.6d setara dengan Gambar 15.6.60,

Gambar L5.6.6e dengan Gambar 15.6.6b, dan Gambar 15.6.6f dengan Gambar 15.6.6ckarena pasti terdapat himpunan nilai untuk Mo, Ho, dan Vs yang dapat diperoleh sede-

mikian rupa sehingga momen di sembarang titik pada kerangka di dalam Gambar 15.6.6fsama seperti yang di dalam Gambar 15 .6.k . Karenanya, m omen M di sembarang titik pa-

dakerangkadidalamGambar 15.6.6d adalahjumlah dariMs didalamGambar 15.6.6edan(Ho + Hoy - Vox) di dalam Gambar 15.6.6f , dan dengan demikian metode analogi-ko-lom masih berlaku.

Ringkasnya, metode analogikolom dalam penganalisisan kerangka berbentuk segi-

empat dengan satu sumbu-simetri dan dua tumpuan-terjepit melibatkan langkahJangkahberikut :

l. Pembebanan pada puncak kolom analogi samB dengan diagramMrfEI, dengan: M,adalah momen statikal pada sembarang struktur statis tertentu dasar yang diturun-kan dari kerangka yang ditinjau. Pembebanan tersebut berarah ke bawah jtkaM,bernilai positif, yang berarti bahwa ia mengakibatkan tekanan pada sisi-luar.

2. Penampang tegak kolom analogi terdiri dari bidang-garis, yang bentuknya sama se-

perti bentuk kerangka yang ditinjau dan kepadatannya di sembarang titik sama de-

ngan llEI.3. Momen di sembarang titik pada kerangka yang ditinjau sama dengan14 = Mi - Mr,

dengan: M, adalah tekanan pada dasar kolom analogi di titik yang ditinjau.

U,C

+

P/q/

-ut"lI

Ho+

Gambar 15.5.6 Pilihan lain struktur statis tertentu dasar.

'o uep

.? -rp Jlrlsoa ueue{e}-ueu?Ial wp 'g uep Y rp;rle8eu ueuelel-u?ue>le1 ue{leqpl?-8ueru er rpef iuedep Ir"p 1?qryp epqede ulef urnref qere llredes >1e'le8raq *W 'C u'pg Ip Jllrsod usuu{el-ueu3{e} uep 'O tfip 7 rp Stle8eu ueus{e1-u?ue{et ue{trBqD{e

-auau: er rpefiueuel-rsrs rJ?p leq{Ip elqede urelunrefqere rtrredasrlereSreq rleuatpxyg '6opue uro1o1 eped {I1I1 ?nues rp '3r1e3eu duSSuutp 8uu'{ 'ue1tre1 ue{1?qDle

-3uau er pefise1e e1 >1ere8req d l?trol ueqeq 'qoluoc re3eqe5 'uws{irolued Inl?Ieu

ue{nluolrp */*nw uep 'x1l("x71tr 'Yld :nlq urelsp Ip IePu-I?lIu {n1un ?puel-epuetr

'rur 1eqe1 ?p?d'l'9'SI Ieq?I eped Sunlrqrp Ouep'J 'S 'Y \IlP Ip ,t IB1IU-IBIIN

lurdap utp tur{flIP) uruf urnrefqerees L'ZZte:O)(zL + (,Er) + (199' t)w : t N

(ueu€I uep leqgp) u.ref runref qeruas 1'199 :(st I't)rg - (s88'e)z/ + (s8t'l)z€, ='r{

sE13 eI 89S : ZL + ZW + t9 -- d

'1 snsey {nlun'uelrfzsrp u3{3 '.8'9'9 I r?qtus5 uped ue4lnfunlrp eueurreS?qes r?sep

n}ueuelsll?lsJnl{nJlse311ue1eun88ueru8uef.e^(udelSueluereselefued.Is?JlsnII>lrrlu1 'uuutDltaq SuoK.tDsDp nluartal sllzls rn14n4s o3!1 lrDp

s1'r7 tuo't8otg 1q1

'I'9 9I r{o}uo) 1nlun leduar8es In}ueqroq elSuere;1 t'9'SI ruqur?5

rSoltue uoiol Suedureue4 (q) n?fultlp 3u3,,{ e]8u€re) (r)

zLE= zo)G'n)z*fu: ^,

(1oco3) 98'9u :.(su't)€l -fits'llz+0:-(v -)sI:xl

(ucr?unc) t8'et I = [,,rrr',,r', . #-r)r+z(sll'€),

:'I. tICt t'C : .......'...--...............-......:: (

(s'rxs't)z + (o),

EI =(o)f+(6)i+(zl)i:v

'I?relBI Isueulp HIIIureur 1upr1 sue8 nl?ns sqlroel er?c

-eSeuoJs{.1ouue8uepetu?slnqesJel..srres..uesuepqereesSueflJlpuesefulereq-srre8 depeqrel srreS-Suuplq slsreul ueluolu ?"tlq?q uellluqred 'qL'9'91 r?qlu?C

eped ue4lntunlrp 'u?nl?s 1 ue8uep ewes c1g desSue8ueur ueEuep '13o1eue uo1

-o1 Buedtueued 't\o1ouo uto1o4 SundwDuad lltcLtallDtoN @) NVIVSA'I:IINgd

0L'9'SI l?queC ePed ledruer8es

98

' uroiol-r8o1eue oPoloul ue8ueP

{nluaqreq e13uere1 qelslslleuv I'9'SI goluof,

NI 'Z

WO'IOX ICO'IYNV gCOIgFi

24 kN

24 kN 11"3g51

r86 ANALISIS STRUKTUR LANJUTAN

8kN 8kN

144 kN.m

Kasui Z 24 kN

(a) Struktur statis tertentu dasar

Kasus 2

(D) DiagramM* digambar pada sisitertekan

Kasus 2

(c) Diagram nr', lEI, digambu pada sisi-tertekan

(Dengan menganggapEl, = 1)

Kasus 3

8kN

laa kN.m(; 77>17

t12 kN

t12 kN

E * X , =Sffiffin.**,-ffi] "re ;E -lHIH*ll*H'''\l

Kasus 3

Kasus 3Kasus 1

-t-

24 kN 24 kN

: =

t6-2,ffi,, FffiIE'"XHII"EII

Kasus I Kasus 2

(d) Beban pada puncak kolom analogi

Kasus I

32U

Kasus 3

Gambar 15.6,8 Tiga struktur statis tertentu dasar untuk Contoh 15.6.1.

l'9'sI qoruoJ urqEp Ip l?duerSas 4nluaqraq ?)lSusreIluun uBr?seleltuad 6.gsI r"quEg

sps?Ie ?^rnx (p) u?Is?JEesrp tu?{ ueuloul t,tr?JtsJ( (r)

ffiut, ffiut,uetuoru ul?lturc (q) p t6,8 s?qeq-epuaq urE6q( (r)

$ol:-idF.--t,=l

x 1,,*

Ji',ri

r'91

ItV

F'tl

L0'9

tl,

Lo'g

:tePG

lu@

,'t-

e9'z

z8'9rI €6'8

'uyurufre1 eduueps-eleIued ueludele>1 eEllulqas 'uer1nr1e1rp efuueserqasal uelece8ued u€p eselq e>IB

-e1s uelece8ued '6'9'5I rBqruBC eped ue>1:1nfun1rp eueurre8eqes ue{reqtueSp uepenures tunlrqrp sIlsDIe ?^rn>{ rr?p e uep 'C 'S 'V )llllt Ip Bl?reuresrel 6unqnq-ry1r1ueqepurdred uup'uetuotu ururEerp's?qaq-ppuaq ure.derp-ururte1p r1eletes

(rsnl.Fp epzd uutrulal) u.NI dzltz+ = or J

(ruslDplsF uped uuueqel) uI. Nt 00'82 - = rr^i

(urE?prsls epud ueuu:1e1) tu'NI Z8'9I - = 8I{

(urepp-1s1s epud uuuelal) ur.NI €S'ZI - = vr^J

:rIEI?p? e.{uueqe,tr-?f'uurllele{ s?luq-s?leq tuelep rp uel?{epreq dnrlnc lnqasrel uuurelreq tuefr?s?p nluepel srlels rnl{nrls ueqrpd e8rle>1 rrep qaloredrp 8ue{ gseq=pseg

'g:9'S I 1eqe1 eped Sunlrqrp O uep 'C 'V 'V >filll tp ,11 EIIU-IcIIN

luedap uzp lzqgJp) uref urnref qu.ru up,aE E Wll :Osg'o)ezt - (ts€'€)'9 + Oy'ilzt + O\(zL +zD = rN

(uuuq lrep r?qmp) uref urnref qurues 76'979 =(s88'I)zr - (sI t'eX8zl + f9 + z€) + (st9'I)zl = 'r4l

r#/r\eqeI 89€=8ZI +W+Zt+ZL+ZL: d'E snsB)J tn]url

'Z'9'Sl laqe; eped EuniHIp O uep 'C 'g 'V \llt 1p ,11 IEIIU-IuIN

(uedap Fep lzqgp) uref urnrefqerz ue \E €'S09S =(9)8r - (gxrzt + 98r) + (ee''o957, = ^N

(u"us{ F"p reqfip) ure[urruefgere u&$q 6a'SSZ =(ses'zDze - (Er r'o)s8r + (sr r'€Xgsz + %) + (sr r'z)8I = 'r4i

sEle e)t 08II =lzt+98t+992+lX+8I = d

I,t

.:L

'z sns?) {qun

HO.IO>r I001VNV SGO&8I

I

1,8

t6 ANALISTS STRU KTUR LANJUTAN

TltEl 15-5.1 Uomen di titik A, B, C, dan D pada kerangka berbentuk segi-rlgrr di drl.m 6oo,oh 15.5.1: Kasus I

Tabel 15.6.2 Momen di titik A, B, C, dan D pada kerangka berbentuk segi-empat di dalam Contoh 15.6.1: Kasus 2

Tiiik:.rr ,ffi f.A,

,.&1.,.. I;,.r' .. .

4e,c,.,Iv:: ,.M. *{

A s -ffg;,-*e'rr ;ffis,x*;;rzo .$;sr9;l4r + t?,52 -.12,52

B a,74 -90fl teoJl . ' :.11!

, - 16,t2

C nZl6 -fir77 : {3'Il5}=* 6,82 -ro-41-': -l8e,66:. -23'm

D ,:'!4{ + :..,:,{s!*ll=+1af,8;90:41 i168;S +2.[,:S

Tabel 15.6.3 Momen di titik A, B, C, dan D pada kerangka berbentuk segiempat didalam Contoh 15.6.1: Kasus 3

rt& M, Pr:-,a

&r.,t*.,:

!4{t,.t,

Mi &,

A ; lil4 -S-.rlr,e* ,tffits,ranl :34,1.1. -ffi-=:rJr llt,$ -!u}

B , !x: -43;69 +,:,'' ..":,,, $,lit}i.+ tE;l& :,i3*e i i:?g;IE .16I?

c 0 r43"69 f,: ...F.rtl5J 11,$,lq ,J3fe t }E,S -?8,@

D 6 :rl1;@ -.-.,. :.,.,:,..{5,&$ *,ir}d,1.?- *S3159 - 24129 +24,;e

TItT( t{; Pr::A

:i,'&IIr.

,...r..ifi*

IyMr h*

A 0 +$= +er;rl _ffir,**1-al7 +Sttrl+q,*r +rrys - l2J5

B +.ttt +28,3tr: 1:rr

"

ar' ' {}1115}* +18,09,' + 18141 +64,11_ -ql

C 0 *ZEJI + ,t3rlrl5),'.'|'1*j09 iIq,{l +t1,99 :Z7r*

D 0 +,28,31 . {5,SJ}= -:34,1? :.1lr4t -9121

,,,.8,,t.

- "'r/

' uusrslleue8ued ur?lep usqlqele>1-e,{t8 e p o1a;41 Z' t' S I rEqurBC

(r) (c) (r)

zd

I

I'yl

lu

I

'rrleuls-nqurns nles uu8uep 1t4dr1 dn1n1re1 elSuerey I'1.'SI rEquEC

@) (D)

lzu

zvn_tvn zv11 -tv11 zvyt11 :tv111

'e41u1s UBSBI? Buel

-e1 'u,(uuelup 1p 8ue,('qZ'L'Sl requrs3 eped uu44nlunltp uueruru8uqes I{31?pE zY uep

r Z{tn epud efra4eq Eue.,( ueuroru uup '8ue1uq-e[e8 '(tsruUt) lesap-t,(e8 ' LY uep I f ]nq

-esrp Surseu-Sursetu lnqosIal uu8uolod tsrs dutlas eped 41r1->p1ll uep F'1t14 Suurequras

1p Suolodrp nn nlEuure>1 E\II'tZ'L'91 reqtu?C eped dn1n1re1 e48uural qBInBF4I

'3uns3uo7 tnpesord rnluleul qeloredrp ledep elSuere>1 uped 41t1 Euerequres

rp ue1llotu'ruo1o>1-r3o1uu? epolelu ue8ueq 'Irlpues e{ualEuerel lrleluls-nqluns dupeqrat

sularurs ufinl ueplaqa>l lnqesrel lEuequn8uetu Euqes Eue,( wqoq-utqeq qI' L'SI requ?C

upud undplsatu 'e[re4aq Euu[ ueqaq-ueqeq upedel {BpI} uBp ulSuere>1 T}slJel>l?rul

epedel efueq nceSueur uelnlSuesreq 8ue.,( Ir]euls-nquns saqBq r3e1 ueltleqred epue

IlseN ' I 'L' S I rBqLueC eped ue4>1nfunllp IuI uelerufsred rlnuetuotu 8ue'( pTdrl dnlnlrel

elEuerel ?nc 'leurelqo rs{Ber-rs>luar qelo ndunllp BSIq nule 'tEuequrrEuetu flules 3ue{

ueqeq-wqoq In4truetu >1n1un uuln[n]lp lnqesrol u13uure4 epqede Ir]etuls-nquns nles

*arrp dnlnlra1 e13uure1 srsleueSuau {ntun uu{?un3rp ledep tuo1o1-t8opue opoleri

Fleuqs nquns n1u5 uu8uep dnlngal elEuula; uped ueuro;'q 4'91

'O trete 'D 'g 'Vrsu>1o1 leduea>1 rrup (efes eueur 8ue[) e8rl rp (e'tusnsel Surnes

'u?lep-rpuas nele r?nl-Ipuos) rpues qenq e8rl uelledureueur ue8uep qeloredrp etnt

l?d?p resep nlueuel sllels rnl{nJls nl?ns "'i\q?q

q?p?{r}eqred 'tsnqs''O Q)

Ivl

+tN

68 wo'Iov I90'IvNv sqo&slt


Sekarang jika posisi tiltk Ar dan arah garis singgung di,41 dipertahankan tetap (setelahbeban-beban dikerjakan), jelaslah bahwa LA, An, dan Ly di A2 relatif terhadap,4.1 mes-ti bernilai nol semua. Jadi, apabila metode-penganalisisan gaya-kelebihan digunakan, ke-lebihan-kelebihan Mar, Har, dar' Vo, d,apat ditentukan dari ketiga kondisi keselarasan-nya dengan menyamakan persamaan-persamaan yang serupa dengan Persamaan (15.6.khingga c) dengan nol, kecuali bahwa titik D di dalam Persamaan (15.6.4a hinggac) kinidigantikan oleh titik A2, dan M, Y,tni adalah momen statikal akibat beban yang bekerjapada kerangka-kantilever yang terjepit di,41 dan bebas di A2. Jrka suatu batang kakuyang menghubungkan tittk A2 dal pusat-elastis 0 dipasangkan pada kerangka dari Gam-bar 15.7.2b, kerangka-padanannya dari Gambar 15.7.2c diperoleh. Katena OA2 ad,alahbatang kaku dan tidak dapat terdeformasi, LO, Lr, dan Ly di titik 0 relatif terhadap ti-tik,41 juga bernilai nol semua. Kelebihan-kelebihanMe, f1o, dan Zs kini dapat ditentu-kan dui persamaan-persamaan yang serupa dengan Persamaan (15.6.6a hingga c), dansetiap dari ketiga persamaan tersebut mengandung hanya satu yang tak diketahui. Makadengan demikian, Persamaan (15.6.7a hingga c), (15.6.8c hingga c), dan (15.6.10a hing-ga D) berlaku semua untuk kasus kerangka tertutup sekarang ini. Jadi, metode analogi-kolom sebagaimana dilukiskarr untuk kerangka berbentuk segiempat di dalam pasalsebelumnya dapat diterapkan secara sama pada penganalisisan kerangka tertutup dengansatu sumbu-simetri. Dalam kenyataannya, apabila suatu kerangka tertutup memiliki duasumbu-simetri, posisi pusat+lastisnya didapatkan melalui pemeriksaan.

Bahasan yang menyangkut perjanjian tanda dan kemungkinan pemilihan strukturstatis tertentu dasar yang berbeda-beda, sebagaimana telah disajikan sebelumnya, dapatditerapkan terhadap kerangka tertutup dengan cara yang $rma.

Contoh 15.7.1 Analisislah kerangka tertutup berbentuk empat persegi panjangyang di{unjukkan pada Gambar 15.7 .3a dengan metode analogi-kolom.

PENYELESAIAN (a) Karakteistik penampang kolom analogL Penampang ko-lom analogi, dengan menganggap Ef" sama dengan I satuan, diperlihatkan padaGambar 15.7 .3b.

A:2(\(12)+2(ixe)= l7

I, : 2(4)(4 f)2 + z(4,, nq

: 222,7 s

ty -- z(4,s)(6)2 + 2@# = oo

l2kN 12 kN

(a) Kerangka yang ditinjau

C'arnhr 15.7.3 Kerangka tertutup untuk Contoh

(D) Penampang kolom analogi

15.7. l.

24 kN

_ _t__

cfst+ g+el- rr9r: ,0duI1 ti'il- 0 ,'tal

tfcz,- mtzl- sr.tt* .'71- )

%'el- ,df!.- Ifit+ 00'et:, it'rt, ''tc* I

96tel - ge'et + ref*+ 1,,6ffi61+ m'zr+=ffi+ se'il*=#- 0 v

fi ,:ft-ar;fr

xl

rfr vd "*

IG}II,

z snsBx :I'4'sIqoluof, urBIBp Ip dn1n1ra1 elEuura{ lrep O uap 5 'g 'Y 11llll Ip ueruor{ U'1'SI I.qBI

*#bt+ sfrr - 0f"!+ m.tz- Ee 'ot* 0 o

ste* 5t'62 + o1'l$+ oo't?+ 5€'0s- 0 )961er: 50t3 - oa:$!: m'rc+ It'05: 96* g

c6,tr- to:{6l; ,orti. *i * *,r-*ffi- st'os- -fi: ?*t: v

'fiI ,wlrrF

:II,(1,$.,

Yd ? ryu

I snse)I :I'l'sIqotuoJ ruulsp Ip dn1nlrel B{Euu.te{ up O ucp2 'g 'Y 1.l4t Ip uauol^l I'4'SI IeqEI

(runyrsrs zped ueuelal) tu'511 99'91 + : o141

(tustEPlsls eped ueue4el) tu'1r11 95'67- : :.141

(urEI?PIsIs eped ueuelel) ur.N{ S6rtl - : 8r I

(urelsPrsrs eptd ueue>1e1) tu'1114 96'91 - = v141

q?l

-upe e,(uuequl/.ef 'Z'L'Sl Ioq?I ?pBd Sunltqrp O ugp 'C 'S 'V 4ll\l Ip ,tr IgI}u-I?IIN(uudap u?p 1€qmp) uref urnre[ que uBAq ,'ltl I =

(9rsr - (z)8? - u99'0)8ZI + ft)Wt + o)ast = {N

(u"uu>{ Ixsp }"q$p) ruef unruf qere ue^\sl t6S =(E'rXBzr -Bn +wt) + (s'I)zgt + (s'€)8I = 'nlse1ed1. y17:8Zl-Z9l +t t +8t+8I - d

'7 snse11 {nlun

' ' 'd:::'#i,"1T*'H 1::i,::,::;r.H - I/t/I,rru-I?rIN

o)(7.1 + Z€t) + Q)882 + (lsD' dW = ( N

(u"uelllr?p tuq1lp) urufunrefqerees 88ll :G, ilW _ G,dZL + G,?)B$Z =,N

s?lu eI 9S8:887,+W+ZEt+ZL: d'.I snse) {qun

'ue{-rfusrp uele 'b'L'Sl requ?C eped ue>lluqrpedrp 8ue{ ?paqreq Eue{ resep nluelralsrl?ls rn1>lnrls enp ue4uunEilueur Eued 'zdude43ua1 ueresalsduad 'rserlsng u?n[n]

\teun'Dpaq,taq ?uo{"rDsop nluay?l sliz:,s tryqn.qt tttp Lnp sytl tuotSog (q)

I6 wo.Iox r00'rvNv goorax


Kasus I Kasus 2(a) Struktur statis tertentu dasar

$Kasus 1

(b) Diagram M", digambar pada sisi tertekan

Kasus 1 Kasus 2

(c) Diagram M, fEI, digambu pada sisi tertekan(Dengan menganggap E/" = l)

vKasus 2

(d) Beban pada puncak kolom analogi

Gambar 15.7.4 Dua struktur statis tertentu dasar untuk Contoh 15.7.1.

Setelah diagram-diagram benda-bebas, diagram momen, dan perpindahan-perpindahan tersamarata titik-hubung di titik A, B, C, dan D dari kurva elastisdihitung semua dan digambarkan sebagaimana ditunjukkan pada Gambar 15.7.5,pengecekan statika yang biasa dan pengecekan keselarasannya dilakukan untukmenjamin ketepatan penyelesaian.

%

144

l

I(

I

Kasus 2

4,667 mo+a-,,y

*r$S*'"ry',rff ,' g

l-v#," / -f-.$T+ i Ii(rsrf.rr;,(rssrrrr9ADmiD

H

rEnluauad ur?lBC 'lldeFol-u?ndr.unl Bnp uESuop l?dulorEos {quoqroq ?{Eu?Jo{ rued-as eruEs Ew,{ erec ue8uep uo1o1-rSopuu opo}eu ueEuep srs[euerp ledep 1.g.g1 rBqu?Ceped w>11n[unllP 8ue.,( Iuadas lrlauls-nquns nles ue8uep u3r1r3as epderyeq elEuere;

Irleuls nquns n1e5 ue8uep uEppag qudaryag qEutral eped uauroy,11 g'91

'I'l'gI qofuo) urqep Ip dnlnlrel u4Suere:1 lntun uurrsela,{ued S'l'gI r?qurg

sllsBla e^lnx (r) uetuotu ulErBuO (g)

'Sunqnq-1nn uep 4o33ue enuas s?qaq-epuaq ruur3e61 (o)

ZI7l

-*f '*1'-1"

,"-- '

F z[n

h+.El

Il-ilri"S zr'rt

tve

:i 8z'6

CIE+| o

=l

sr'sr3fzi'z zr'zf _)so'e

r

tffoffi'z

sr'oz"frz'oil- ,lJ-,fL 8Z'6

ffi,u,06'w

86

tt's -f

NO.TOX TCO.TVNV SCO&srt

94 ANALISIs STRUKTUR LANJUTAN

momen inersia penampang kolom analogi untuk kerangka berkepala segitiga, kita perlumenentukan momen inersia suatu bidang-garis terhadap garis-berat yang membentuksudut 0 dengan arah garis tersebut. Dari Gambar 15.8.2a,

t2 t2

dengan: A adalah luas total bidang garis. Demikian pula,

,, = rlo''' (bds)(s sin el' = []a.']'" ,in, o

_ (bLXL sin g)'? :4U

, AL?t,=17

ttr=# \,=#

(15.8.1a)

(15.8.2a dan D)

Gambar

(r5.8.1b)

15.8.1 Kerangka berkepala segitiga dengan satu sumbu-simetri.

(a) (D)

Gambar 15.8.2 Momen inersia bidang-garis yang miring.

Melalui teorema sumbu-sejajar, pada Gambar 15.8.2b,

contoh 15.8.1 Analisislah kerangka berkepala segitiga pada Gambar 15.g.3a de-ngan metode analogi-kolom. Perhatikan bahwa kerangka berkepala segitiga yangsama telah diselesaikan sebelumnya dengan metode ubahan-sudut, distribusi-momen, dan perpindahan-matiks.

PENYELESAIAN {a) Karakteistik penampang kolom analogi. penampang ko-lom analogi yang bersangkutan, dengan menganggap Er" sama dengan I satuan,diperlihatkan pada Gambar I 5.8.3r.

A = 2(i)(6) + 2(l)(e,zosz) = to,47z

.= _ 2(3X3) -2(2,236)(t,s)= 1,0783 m' 10,472

r, : 2 * ze)o,s2 t7 )2 + 2(2,8$# + 2(2,23 6) (2,sj s3), : T,24

dr+ tt'(,.,.,. ;6:11,;:.;;

-stttt- ,f,r€ti+ * 'ff,rii+" G

Wzt + oi.ir$.,-t., ,,.*'.,: ,:!(le6+,::'af.*

J

;t}{.J- tfffi+ @:tf,, - ;.1gga6l$.:r":: +,, ,.,F:ZtZ&,*.': 0 g

tl'f6 + ':,ttlfe .,: tr +;ffi+ 0 v

w 14I';,

,T

.,?sY.d 'r'tf. ?B!r.

'I'g's I rloluof, urqsp

1p u{11Eas epdelraq erlEuere{ IrBp Ar uep 'O 'J 'g 'y {$$ IP uatuol^l I'8'S I leqeI

(ruel?Flsrs rped ueuu>1e1) u.1111 95,(71a : ;;41

(rBnI-IsIs up?d u?uE{e}) u'NI tz'te I - : aN = 8N

(rBnl-Isls upud u?u?>lol) lu' NI l,t'66 + '- aN : vN

r{BIBp? e,(uueqemel 'uBuB>l q?leqes lr?p l?qllpeueure3eqes ur?[ urnrcf qereos uetuoru nele 'qerrreq e{ ueqeq Is{p ue{I?nsrlurauu€8uop qeloredrp IuI [eqp1 r;I-p x1l6x1al uep Vld rnfel eped uu8uqrq untues uedaprp ?pu?l-?pueJ ' I'8'9 I 1eqe1 eped Sunlrqtp g uep 'O 'J 'g 'V {1111 1p nr IBIIU-I?IIN

0: *r{(ueuzl r.rrp luqum) uref unref qErues 8'ZS8Z =

(€8to'r + ostg't)(ffi'zyilz ='Nq?^\uq aI 86's96:zd+rd = d 66'28?:(28019)(801)t=zd =td

't'8' g I reqr.u?C epedarlrlBqual nce8ue;41 '6o1eue uo1o1 uped suletuls 8ue.,( ueqeq-ueqog'uelpseq3uaurue4u e8n[ O uep 'C 'g rp urepp-rpues Sueseuaur ue8uep qeloredrp Suef resep n1ua1-rel slluls Jnl{ruls 'rSopue urolo>1 eped srrlaufis Euur( ueqeq-uugeq uurxruep ue?u-ep uep srrlelurs ?uef,s14J urer8erp ue{lrseqBueu Db'8'gl requre9 epud uellnfunlrp8ue,( resep nluelrel srlels rnplnr1s u?qrlld 'g uop 'e 'C 'g 'y tp uautoltl (q)

'I'8'SI qoluof, 4nlun uE;l1Bx epdaryaq elSuera) t'8'SI rsqureg

rSopuu uro1o1 Suudueual (g) rcfi4tlp 8ue,,( eISuBra) (r)

ee' 6ez = fi<s*'trc *,tex€)z ='*r

e7'21 = ,(E810'iZLt'Or - ft1lfz'Zlz * fu,= ,o' - oq = ,r()tocoJ)

96

rug / w92'7

1/r

NO'IOX r00TVNV ego&el


, Kr\ l0g kN(a) Struktur statis tertentu dasar

(c) Diagram 14, lEI, digambarpada sisi tertekan (de-

ngan menganggap EIc =1)

Garnbar 15.8.4 Beban pada kolom15.8.l.

(b) Diagwn M* digambarpada sisi tertekan

Pz= 482,99

2,25m 1 2,25m- -9- --v/

(d) Beban pada puncakkolom analogi

dari kerangka berkepala segitiga di dalam Contohanalogi

Diagram-diagram benda-bebas, diagram momen, dan kurva elastisnya telah disele-saikan di dalam Contoh 7.9.1.

contoh 15.8.2 Analisislah kerangka berkepala segitiga pada Gambar 15.8.5 dengananalogi-kolom. Perhatikanlah bahwa soal ini telah diselesaikan sebelumnya denganmetode ubahan-sudut, distribusi-momen, dan perpindahan matriks.

PENYELESAIAN (a) Karakteristik penampang kolom analogi. Penampang ko-lom yang bersangkutan sama seperti yang dari Contoh I 5.8. l.

I

z

ltttrrtzl'=:zal8 kN/mffi

Gambar 15,8.5 Kerangka berkepala segitiga untuk Contoh 15.8.2

-uo] urEIEp rp E8llr8es qtdalroq ?I8u8Je{ IJEp ISoteuE tuolol

rSoIPu? urolol{€cund ep?d uBq{I (p)

'z'8'sI qolBp?d usqa{ 9'8'SiI Isqul?c

'u€{etrJe}

rsrs epEd rEquje8rp'1g1s141 utetlerq (c)

u?IelJel tsts zpedreque8rp IsTg urer8ulq (q)

-r?selesrp q?Iol slls?le ?AJn>l u?p 'ueurour

(ren1-rsrs EPtd uuue{el)

(urBPP-rsIs ?P€d u?wIel)(urElEP-IsIs u?uB{al)

(run1-tsts ?Ped uuuu{al)

(tuBI?p-rsls BPtd uu uB{al)

'z'6'L ltroluoJ luBIBp Ip up{ru?rEBrp'.s?qeq-?pueq urerSslp-ul?.6elo

ru.NI 6l9t *=aNtu.NI6€'1, - =aNtu'N)ttl'tz -=rNru.NItt(,9 +=sNtu. NI 60' ItI - = vrt

r?s?p nlueu4 sBels rnunlls (r)

nUU.N1zU}tt.FI

H

qBI?pe E^uueq?/r?['z'8's I loqsl Epsd SunIqrp g vep 'o 'c 'g 'v {nll Ip ,.{ Ieliu-IulrN

(uEuDl u"p lsqflIp) ursr urnref LIErses 8't6zt = (S't)Ot'og + (9)s'9zs : ir{

(u?dap uep lDrIIp) uruf urnruf qaues g'Zril =(00sr'0 + €8t0' I )61'0€ - (€8r0' I - lEz6' !J9' 979 = -N

, s31? e{ 69'99S = 6I'0t + S'\ZS =td +rd = d

rrr<arnz- ;'gzs = I4{-uendunlo)t* o,Lv c - \S/qgl,oa - GZ')SI-'WS I y I'rreq-Illp rr?p {eref6l'0€ = (280r'9xs'tr)i = iv =.d

s'gLs = 9z'oz'sL'9t9: (€)(Sz'ozx - (6)(SZ'Z8l)i = tV = td

'.e{ew'19'8'SI rsqrueg ?ped ue)plnfun}Ip Bu?Iurc8eqes 'g u?u{ntu

-r-ed sele Ip Uce{ ?IoqBrEd uep snlnd-sntrndJel su?3 ue8uep s?nlredlp 8ue,t 1e1o1

u3r33rp ?rBluB qlsles reEuqes deSSuerp yg eped ueulotu luBJSsI( 'qBpnru ?Jsces

qaloredrp B^ul?req-{I1lt u?p s?nl ?83urqes igg uu8uep lldlllrreq 8ue[ 3 Ip AunEBuIs

srr?8 l{{Iuew 3g eped uetuour uerSerq'9'8'SI r?qlu?C eped uel4nfuulp Bu?Iu

-r?apqes 'Ar rp suqoq uep 7 Ip ll.datrel 8ue{ reae111up{-rn1{nrtrs qeppu s1,g tuur8glp

{trlun rPs?p nlueuel sll?ls rnl{nJls u?qllld 'g uop 'O 'C 'g 'V ry uauohl (Q)

tll.NI S'rgt

L6 wo.rox r501vNv sco,Lslr

s ANALISIS STRUKTUR LANJUTAN

Trhl 15.t.2 l{omen di titik A, B, C, D, dtnE dafi kerangka berkepala segitigafi dalrn Contoh 15.8-2

I5.9 Momen pada Kerangka Berbentuk Segiempat yang Taksimetris

Metode analogi-kolom dapat digunakan untuk menganalisis kerangka berbentuk segi-

empat yang taksimetris apabila kerangka tersebut memiliki dua tumpuan-tedepit dan di-tunjukan untuk memikul beberapa pembebanan tertentu. Penganalisisan kerangka ber-bentuk segiempat taksimetris pada Gambar 15.9.1 dengan metode gaya-kelebihan mem-butuhkan penyelesaian tiga persamaao simultan. Namun, dengan metode analogi-kolom,momen di sembarang titik pada kerangka yang bersangkutan dapat diperoleh melaluiprosedur langsung.

Masalah penentuan tekanan di sembarang titik pada suatu kolom yang memilikipenampang tegak taksimetris, akibat aksi-kombinasi dari beban langsung di titik-berat-nya dan dua momen lentur terhadap sepasang sumbu yang tegaklurus satu-sama-lainyang melalui titik-berat tersebut, akan dibahas terlebih dahulu. Tinjaulah kolom yangpendek pada Gambar 15.9.2,a.Ia memikul beban ke bawah Pr, Pr, P3, dan seterusnyadi titik-titik @r, V r), @r, /z), (xz,ls), dan seterusnya. Melalui prinsip-prinsip statika,beban-beban Pt, Pz, P3, dan seterusnya yang ditunjukkan pada Gambar 15.92t ter-sebut dapat digantikan olehP, M*,My yang ditunjukkan pada Gambar 15.9.2b.Maka,

P=Pr+P2+Pj+ =>P ke bawah (15.9. la)

M, = PJrI Pzlz* Prlr f ' ' = IPy searah jarum jam (15.9. lb)(dilihat dari kanan)

M, = P61 +P2x2+P3r3+ " ': IPx searah jarum jam (15.9. lc)(dilihat dari depan)

dengan: Pr, Pr, P3, dan seterusnya positif apabila bekerja ke bawah dan (xt, yt),(xz, yz), @2, yt) dan seterusnya adalah koordinat-koordinat titik-kerja Pt, P2, P1dan seterusnya dengan mengacu kepada titik-beratnya sebagai titik-pangkal.

rilft M".,- ?,....:.4

.',lt4i.r'

L.i't:{"'11 ui' M

A -364' 'jffi=-'r,,u*ffileirt=;eo.l+ -ffir--,,,,, ;221;*l -141,0|,

B - 40;5 -53,16 + rt,0z83!.: +?!?l - ls5,?3 + #,11

c 0. -t3,16, + 1{4,$l$tl=+*,11 $ + 27,17 - 27,17

D 0 :51.16 + 1,1,U7811=,r?tr;24 + .. (6) * +?3,31 + 41,39 - 41,39

E o '53.16 - {de?t?};-96,'94, + ' (6I:- +7111 ; ,6J9 +76;r9

Gambar 15.9,1 Kerangka berbentuk segiempat taksimetris

( c9'5'Sr )

(cs'e 'sr)

(qs'6'sr)

(rs'o'sr)

(t'o'sr)

(4), -*N=tN

(4), -'N =',r'r

; ue8uap

(De'6'sr) L=, L=, Y:o',W n,L\l d

'o vep 'q ? qeloraduraur 1n1un (e u8Eulq . S'O': t) uesruusrad uu>lreseles

*'rc + *lq :yp (Kxt + zxq + -", :l = G)(vp o\

,o,l = ^^

'lc + *'lq =

vP (,rt a t'xq + *q :[= ((XYP q )l :'^

Vo = yp gt a xq * 4 rol

= yp a ro!

: a

: ln{leq ueeuusred-usuuresrad qalorad u1r1

^t =yp rr rol u, =yp {* ro[ \ =vp r*

rof

o: vp, ,o,l o: rp * ,oJ v : vp 'l

[qu?s uBp '(e'o'st) u,EruBsrad urelsp a{ (z'o'st) usBruBsred ,}fi:rHl'i#,.lr#';

(€'6'Sl) t1a = 1x'1(yp d) ,o[ '1a1 = 1{,1(yp d) ,0,! O = rp o nol

'Iurpl( '?{Il?ls ueeurssrad uft1 uup rrc{n}uelrp ludep a u?p 'q ', uBlsuo>1 :ue8uaq

(z'o'st) {.c1-xq+o-dqalo ue1-lserdqep ledep (f 'x) XU Euereques rp duuuel;:

'>p8e1 Suudureued upud Bleroru Euel( uuuulal FnqlJlslp Euelual uurcpueEuad rreq

uerntuq rr.uEusueur uep Suns8uq ueqaq InTureu Suei( sul€urrsryt {?3a} Suedurcuad Z'6'5I fr'#,

i

66 wo'rox I00'IvNv scoJ,sn


(15.9.8a)

(15.e.8b)

(15.9.8c)

(15.e.e)

l'r:Ir('-+)ri:r,(,-*)

Gantikan Persamaan (15.9.6a dan b) ke dalam Persamaan (15.9.2),

. P 'Mi,x M|vp:o+ Dx*cy:A+ n *t (ls.9.7)

Persamaan (15.9.7) menghasilkan tekanan di sembarang titik pada kolom dengan pe-

nampang-tegak taksimetris akibat aksi-kombinasi dari beban langsung P dan dua momer.

lentur l.{, dan M, terhadap dua sumbu acuan yang melalui titik-berat.Penganalisaan kerangka berbentuk segiempat taksimetris pada Gambar 15.9.3r2 de-

ngan metode analogi-kolom akan dibicarakan sekarang.

Bahasan yang menyangkut kerangka berbentuk segienii:at dengan satu sumbu-si-

metri di dalam Pasal 15.6 berlaku juga pada persoalan kerarrgka berbentuk segiernpat

taksimetris sekarang ini, kecuali bahwa 1r, sekarang tidak sama dengan nol. Nyatakankembali Persamaan (15.6.6a) sambil mengacu kepada Gambar 15.9.3b,

Ad di O : *P * MoA+ Ho(0) - Vo(0):0

AH di O : *M, + Mo(0) + Hol, - VoI,, :0Av di O : -Mt- Mo(0)- IIoI,, * V6f, = 0

Selesaikan persamaan-persamaan di atas untuk memperoleh M6 , Hs, dan Vs.

(o) (b\

Gambar 15.9.3 Struktur-padanan dengan batang kaku.

M":-* ,.=-Y vo=*#

dengan: M'*,M'y, l'*, I'y adalah sebagaimana terdefinisikan di dalam Persamaan (15.9.60). Gantikan Persamaan (15.9.9) ke dalam Persamaan (15.6.9),

M : M,+(Mo+Ho)- vox): M,- G.ry.+) (15.e.10)

Jumlah ketiga suku di dalam kurungan dari Persamaan (15.9.10) terlihat serupa de-

ngan rumus di dalam Persamaan (15.9.7) untuk tekanan pada kolom apabila memikulP.M* dan M, Maka, dengan menyebut tekanan pada kolom-analogi sebagai Mi,Persamaan (l 5.9. I 0) menjadi

M: M,- M; ( 1s.e.l l)

'I'6'gI rloluoJ Inlun ledulolSes {n}ueqreq ?I8wre) t.6.sI rBquEc

rSoleuB-urolo{ Suedureu a4 (q)npluFlp 3w{ €I8u?Ie)J (r)

{ N{96

-nloso{ ErBces 1D8e}-Suedureuad lBreq srrBS-srreA e>l rlsqure{ ?1tuu?>lq?pnujetu aue,{nqruns Suesedes eI snlnl srre8 Sueprq deqes lereq srJeS-sr&8 uep e,{.uuulqupur-rueuru?8uep'enpo{ uep'ueqnrnlese{ Ercces 1e8e1-Suedueued lereq srreS-sFei e{ snrnlsrre8 Sueprq derles lereq su?8-sue8 uep e^uu?{qepunueur ueBuop 'eurelred :ereaenp ue8uep Sunlgqrp Surseu-Surseur "rx1 e8n[ uep'tI'x7 ersteur ueruol4l 'qn'6'glJBqureD epud ue>p1n[unlrp 'uenlBs 1 ue8uep eures'7g deBilueEueru uuEuap 'r8o1eue

urolo{ Suedu eua 6' 13 o 1ouo wo 1 o t1 S uo dutou a d l u s u a pl D tD N (o) NV IV S a'I g1Nad

'uroio{-r8ol?u? epoleru ue8uap DF' 6' g Ir?queC eped strlsurrs4el ledruer8es {nluaqraq elSuere>1 qelsrslleuv I'6'gI r{oluoJ

'x4 = t1y uep {J = 'I4l

e^\qeq u?Irleq:edruau u?8uap 'n'Iunp't'x'd 1n1un 1ede1 8rre,( epuel-epuet uB{-runlu?Juetu ru?lep rlurl-rler{Jeq snJuq e1r>J 'se1u rp snrunr enuras uude:auad urupq

-ti-*-J-*y=,nx)r4 ()r{ d

(t)'^ - 'N =', tN

(4)'^ -'tr :',tN: ueSuep

'!W- tW - y,g ueSuep eurus ne[ut1tp 8uef, e13uere1 eped ry1r1 Suuruquas Ip uotuo4

(#-r)',:r,: ue8uep 'n,l u*p '' I 'nI "{x, k,'z q?FpB e.{u>p1srre11erey, '(sr1se1+1esnd nete)

tuioq-{llll Inl?latu 8ue.{ 'epuu }nlnuatu uu{qBpnueur 3ue,( ,{ uep x nquns ue8uesed

upuda>1 nce8uetu uuSuep qelo:edrp ledep rSopuB-tuolo{ Suedureuad >plstro}>lerB) :'renl-rsrs uped ururlel ue1

-qeqe,{treru Br B,4 rIBq r}reroq 8uu,{'grtrsod rulrureq s,frtl uX[ qB,^ABq o{ lero8req e,tuue

-usqequrod ISIsW ruu:8urp ue8uap uurus 6opue-uolo>l >luound upud uurreqaqrua6

: ln\. -

-eq qe43ue1qe13ue1 ueryeqtleru lrdehel-uendunl unp ue8uep sulotus{el ledtuar::{nluoqreq e18uere1 uusrsrpue8ued urupp tuolo>1-r8oleue opoleu 'e,(use18urg

(+-r)rr:r,

IOI wo'Iolr rco"IvNv sooJS](

LO2 ANALISIS STRUKTUR LANJUTAN

ruhan. Perhitungan ganda ini akan lebih menjamin ketepatan hasil-hasilnya.

A=7,5+3+5=15,5

_ _ 7,5(0) + 3(3) + 5(6) = ?,_s 16 m

I 5,5

r _ 7,5(3,75) t J(0) + 5(2,5) = 2,621 m/ 15,5

,, =''t{f,' * r,5(1, r 29)2 + 3(z,ezg'z + $+ 5(0, r 2 l F

=75,815 (Dipergunakan)

I, = rac - 15,5(2,62D'1 -7 '5 'q.'''1 +s(fll - $,5(2,62\2

= 7 5,812 (Cocok)

t, = i,5(2,516)2* I * 3(0,484)2 + 5(3,4M)r = ili,87 (Dipersunalian)

I, = In- 15,5(2,516)2 = + - 5(6)'] - 15,5(2J 16): = il7,88 (Cocok)

I. = 0 + 7,5(+ 2,5 16)(+ 1,129) + 0 + 3(-0,484)(- 2,62 l) + 0 + 5(- 3,484X-0, I 2l)

= +27,218 ',

lpipergunakan)

I,y = fea-ac - 15,5(-2,516X+2,621)

= 5(-6)(+ 2,5) - I 5,5(-2,5 l6X +2,621)

= +27,214 (Cocok)

,-*=r-#ffi%r=o,er7roIl = 0,91710I, = 0,91710(75,815) = 69,53

I i -- 0,917 l0ly : 0,917 l0(l 17,87) = 108, l0

(b) Diagram M, dari dua struhtur statis tertenht. dasar yang berbeda Untukilustrasi, penyelesaian lengkapnya, yang menggunakan dua struktur statis tertentudasar yang berbeda sebagaimana ditunjukkan pada Gambar 15.9.5, akan disajikan.Di dalam kasus kerangka berbentuk segiempat dengan satu sumbu-simetri, pene-

kanan telah dilakukan pada penafsiran fisis apakah aksi dari beban langsung dan

kedua momen lenturnya akan mengakibatkan tekanan-tekanan positif atau nega-

tif pada kolomanalogi. Untuk kasus taksimetris, akanlah lebih memudahkan kalaukita ikuti secara ketat tanda-tanda yang tepat dari P, dari koordinat-koordinat xdany, dan darilrr, M*=Py danMr= Pr.

Untuk Kasus 1, beban-beban pada kolom-analoginya adalah sebagai ber-ikut:

'lil:,:, . i{iaP,

::itffi.:r"*:idl)lt*.r.,fW,'W

t,:,i.*i&,,,,,;y,$1$l&,:

,}i$.$l&)t.t i...i::j|.! | . | : t: 1

ir;w4979.*1;&l''.:,. :::a:. .:tt:.:.,

,*l:W;$,,+5434i6': y::

+rw'l+.Li{18'-,966;1::*:::::7+1*:*4*

M,, = M,- M,? = +3514,7 - (+6e84,0(##) = + rmr,a

M,,= M, - M,?= +6e84,8 - (+ 3st4,T(H#) = +szz3,0

'I'6'gI qoluoJ {nlun r?s?p n}uelrel sl}?ls rnllnjls En(I s'6'sI rPqtII"c

€ol?u?-ruolo{ {"cund EpBd ueqag (p)

uu:lelral-$rs upud requreirp 'rulswunfreIqQ)

z snss) I snss) 3

w{elral-Fls epud ruquru?rp 'sl,g ururSerg (g)

ftsep nlueuel sqels rulnrl5 (z)

I SnS?)

s,op3

p6

p

%lr*

- n i,l:oer+&t r68t+ 5

ogr+ \ zgr+

t.rt Z ru 0'l ru 0'l

{I

erz- fi 01

1 snsey p

80r y\to10x Ico'rvNv sqo.Lglrl

ANALISIS STRUKTUR LANJUTANr04

2rol

I

s!tI

F!

\o(.l

\o+

xt\ft

I

\otl

h

+

\a{':...

6

l.

hl

<t

t

I.fl

tn ,.|"-6$

I

€t-'lmEKld- I\o+t

(t\\D

t.-+ll

N\o{ai+

6h.\a.,

F

+It

i\r9id+

r\oI

llt\Fr

d.L

J11-.El*

Nint

rl ..

''',.11

..io..'YI.61

l'Ql^lra-l=fllc'ia tit+i-i

N.

iqi 1...

.1.,'8,.1,

.Nil: ..

a,!t.,eo

*':$':t:&

+-

,,.

lri,

r+

**11

l*.1&':t+

et

is?.6.

lli:r'f:,

iE,i'S,:'*t,:

rJ :l

.:.....

$+Gi

:1:l

:,::.,:a

ti*i:

:i1:

-&6Aalr

,.4

ort';f.L.-

..et:!oi.r.aI'.:+

6tL'.t{+

drt*:Nti''

x\o

N'.t I

\ctl?

$.s.$-.

t

:ii&tq.

+

ta

[i\) a

aD]

o

(,rioi')

tD

r

\*

o.Ai

D'

oA'

0q

A)

o

tD

ooao

.6A'

A'

3o

aoo)o,

oo

UI

:XA'

t'J

tr a B Dil

}f

+As5

+..l65

I.n)lJ!cr\

II'J

o\

Ip-.tg

"h,rrl+'$

.6ltJ

I.

$a.J

!O

o*!.)ar\

+Q

+60o

'trat*

+ql6rl{uts

fl*a3a

>l!

+5a5.ll

1

o&\o

+5s'&-

IIo.a6

I}.J

d\

rt

1

d6

-lloIu6tq

olt;I

J.'

.6.iI+_.1\o

*[<

Ip..j\olt

I

6!q{

I}JOl}.J

ll+{6\o

+t\)6tsJ

tl

+-t6\C)

I+al-Jolga tt-

l\OI

.F*{\oll

d\

l>

tv

I

o\p6\

+.-l

a

+}]._tG$.)

+

}Jarl{

3

+o\

o\

I..J

I5EN

,

so\-J

v\to.Ioll Ico.Iv Nv soo,Lsr4isoI

106

Nila-nilai M ditittkA,Untuk kasus 2,


B, C, dan D dihitung pada Tabel 15.9.1.beban-beban pada kolom-analoginya adalah sebagai berikut:

6m

,.P ,I ,:}. !&+-f*

+ 486{'548

:+t. ,164:

,*.: 189r

+ 1$9:

:l':-:::-+:,1:87.*:.

:2L16,:*!,51s::*tlJ'16-0J16t.l;!tE4

:,+.7 9,'

,,tl,Ul',,1.?J63r:

,+1621'''t?r04t'

:,,:-;$223:;

.ii16!S;41l::-.,.1:45;6.:

',.;.::'%51:',:l' :$ff.J

'?. 15,&

;.,91,,?*',726;*.*:,4246,* :495,4

+ 495,4

+t2!8,6

M',= M,- M,Ii= +1228,6-(-zets,8\(W)= *teot,r

M,,-- M, - M,+= -2et5,B-(+1228,6)(H#)= -rise,r

Nilai-nilai M di titlk A, B, C, dan D dihitung pada Tabel 15.9.2.Jawabannya, setelah merata-ratakan kesalahan-kesalahannya, adalah

M,r = -52,68 kN'm (tekanan pada sisidalam)

Mr = -41,84 kN.m (tekanan pada sisidalam)

Mc = -71,50 kN'm (tekanan pada sisidalam)

Mo = +65,25 kN'm (tekanan pada sisi-luar)

Diagram-diagram benda-bebas, diagram momen, dan kurva elastisnya telah disele-saikan di daltm Contoh 4.6.2.

15. l0 Momen pada Kerangka Tertutup Taksimetris

Metode analogikolom dapat digunakan untuk menganalisis kerangka tertutup taksime-

tris apabila kerangka yang demikian tersebut memikul beberapa pembebanan tertentu.Telah ditunjukkan di dalam Paqal 15.7 bahwa prosedur untuk penganalisisan kerangka

tertutup dengan satu sumbu-simetri serupa dengan yang untuk kerangka berbentuk segi-

empat taksimetris dengan satu sumbu-simetri dan dua tumpuan-terjepit, sebagaimana di-

uraikan di dalam Pasal 15.9, dapat diterapkan juga sama baiknya pada kerangka tertutuptaksimetris.

Contoh 15.10.1 Analisislah kerangka tertutup taksimetris pada Gambar 15.10. ladengan metode analogi-koIom.

24 kN

ffi2kN per meter horisontal

(a) Kerangka yang ditinjau

(D ) Penampang kolom-analogi

6m

B C31,

3I

21,

D

E

A

I-+-i

Gambar f5.l0.l Kerangka tertutup untuk Contoh 15.10.1

.IIBI

-rlesrp uBI?'Z'0I'SI rBqLueC Pp?d ue)plnfunllp Buelulet?qas ueulqreg tue^ resep

nluepel sllels ml{nrls enp u?{sun8Euau Eusd 'u[ude18ua1 uepselat(ued 'sur1snl>lntan'ut utoltaq Suotl .tosop t4ualal sllols tn14n4s ort'p yop s1,t1 tuot8olq 1q)

,9'0s, = (€I'Ilths9s5'0 ='r0s9s6'0 = {Iztngt = (ss'Irthssse'o = 'I0s996r0 ='iI

oses6,o=,%?ffy _,=#-,({oco3) 952'69- =

(w I L' E +\( L9l 9' I -\EZg' 8r -(s't+)(e-)€zl', * #W;- G'r+Xzt -)s'r =

(Wt L, E +)Ugt',E _)eZg,et _ rs - svl = (xt

(ue:Jeun8radlq) 862'69-=

(gsrr'€ +)(€e8t'o -\ea\ * 6ffi16- 19931/qt)(€€8t'9-)s'r+

(rrr t'€ -X€€8r' o -)t + (rt I L' o-)Og t s' s +)q + = "r()tocoJ) el'lLl =

,(Ler s's\Eze' Br - fu . fu +,(zr)s't =

,(l9Is's)€29'8t - av1 =41

(ue>Jzun8radrq) tt'lw=

z(€€Br,o)€2r,, *ffi*z(€€8r'0), + #i)t

+ ,(t€8t'9)s't + .(l9l s's)9 = 'r

(IoroJ) Li'lLl =

t(wrL.E)Ezs,Bt - ,G,L)€u,r + &p. fr*. &=,(wlt'il829'8t-rsr=rI

(uzluun8radrq) 8S'Itl:

,(gsldt)Ezrt+fu.

1t*r'o'ts'v+fi -a,.,,v,{wtt'o)9+,?1sn+,(wtteh=.t

wrilL't=ffi=rurrers's=ffi=r

EZ9' Br = 9't + s + Et r't +, = (6X + O)l + (59€'ZIX + (ZIX = v

'efury1uqas n31B usncu nqluns-nqurns e4 ez(u

-1ereq srruS-srre8 rrep SunsSuelreq ledep ez(uuequputurad'I?8nJI4ues uetuotu {nlunrefefes-nqurns ?uoroal ueeunSSued ue1e6 'leduee{ uep Enpe{ uPrpBnI urelep Ip

{elalrel er eryt;r1u8eu uep 'e8r1e>1 uep nlese{ uerp?n{ Iuelsp Ip {?lelrel q ?II! JIt-1sod '71 6eqrp lnqesrel srreB p{qre^ IrBp l?luoslroq rs4elord-rqeford uutuep urp

-uas efuspe*Suuprq s?nl Brplu8 uegerysd ueSuep {Feunu sJBcas ?ru?s plpues edu

-1ureq sueS-suetdepeqrel Surrur Sued sue?tulp\q,t'I Blr\qeg u?{ner{rad '{I'OI'SIrpqu?C eped uerl4nfunlrp'uanles 1 uu8uep uurus '7g deSSuetueur ue8uep 'Fopueuolo{ Sueduruue4' E olouowolotl Suodutoua d 4llslolrlorDx (z) NVMA1AANAd

t0r wo'Iox r9o'rvNY ssoJsv|i

108

24

I

tltl--___-\t, I,. I

f.IE]--]-l2 kN/m

Kasus 2

TII-fIE2 kN/m

Kasus 1

v

(a) Struktur statis tertentu dasar

(b) DiagramM' digambar pada sisi-tertekan

+

Kasus I Kasus 2

(c) Diagram M, lEI, digambar pada sisi-tertekan(Dengan menganggap EI, = 1)

tr 6-L;,Yr

I

tr

rC,

t-\I.

t+{tID

6m

3m

5,5 167 m

v

Kasus 1 Kasus 2

rEEmI-r----------l48- I*+48 I

-\_J

2mB

I-J-tr 6l

"l 4J

(d) Beban pada puncak kolom-analogi

Gambar 15.10.2 Dua struktur statis tertentu dasar untuk Contoh 15.10.1


Kasus 2

Kasus 2

FlA)

o

q

;

3(!

oA)

ro,I

F(D5

oe7io,

(D

o,

o

o09

.)

!h

fXA'

oj

,f

+o\5

+6r.5a

I

{

I

cl\J

I

$@6.

+{55

+{5}!

tTJt9@a

I I

$5=,

I

A{I

A{I

!{

ll-l-6[p

illi-wl€t6ll

I

5t{

+6sao

I+cc-u&

+-o,+egil+a_9p@

?

--l

lt

I&

AI+

^t=

:es]l

I

(}\Po

l>lk

ih)*a

I

h

?j,-,tA

il+It

+{55II

+E

l+.rlNul\ot@TlJs6d\

.t1

!lu5

t?lv

+

&\t

+

!\c)

Iil€a

I

-?,

I

*€I

'€5

I

5E

I

I ?

60r ilro'Iox Ico'IvNv s(Iorgt\

ANALISIS STRUKTUR LANJUTAN110

oloo(gv-V;

Q

"oEq

o

o,:i(!

a

Lq.)

jaoo

C!kIDv!o

(\,

Ua{

\&

EOJ

o2a-.1

ora

(u

6'F

i:lii$li

:h't!ir."l

l:r'8..1:,

xltsl*

. :!i:,::$l .'., r:l ., .

i: 'rfl.:i'ts\a.rtt'

.: ':{.:.::

$jg+lt

:ait'llt.l''::IL

It!.{r.'rS'r

,', i

&,,:r$..

,,.l:{i.'L{ir..

''.it.:i..fi,l&.1.irq:.ir\O ,

tt+ri

.:9.::':i:r.

'r+..1

-Su'.:lri:f&.,.'o&; .

Itfi l

' 1l9j,i.'+1.,

&l<c

.'Otrr..' .ff.t

'lt :'61

-{NEt'o.?161 l-

rrt:l:dr.'N,..6t.I{.

Oiti{fi

.1

..*'

8,lrl

' st.t*.'.

f \a

'l

\ol1"

i\0I

\l'

i'

a

!A&:c{,l'

{l{f:

+

itr+

!e'&.qi''{}:

.1..

}!'iO

rai:.l

E!t,..

ll.

at\o+.

.fa)

m!(\Atf

t.,',8.:

E qr E

------_>Jrz I

Pft1o'oe #=o,rs

/,--;-*-\\

'I'0t'SI rloluo3 urepp tp dntntral elSuera:1 1n1tm uzresele,(uod €.0I'SI rDqu:D

Is?urroJaprel rnUrutS (r) ueruour urar8"r( ({)

z8t'zt

"''ql,

:l,,fr{,

zqt'zl

1z -.-cu.Nrt t '

(Ipoq eer;) seqaq-spueq utl3sr6 (r)

UIINI Z

19s'1 m

,il:ot>---\ 8te'rr

ze;.'er -\.-b'8v Lgo'l

819'l i

ostQf+l]'l-lRI

:l8l*.#t'

8 19'il

I'0 I' g I 1eqel eped tunlnlm O uep' C' g' v r{.lJ:ll Ip I4r IgIp-!BIIN

c'oess+ = (#-)o€'Iss-) - 88'0t ts+ = 4'N -'N =tN

B6'tLt-= (t#)-8'0as+)-et'rrr- ={ ^ -'N =iN

'I sns?x {qun

llto.rox lcoTvNV SOOfan

88'oll.s +

s0'86, +

tt'991t +0?'90q +

9t'r ss -sl'oo9+,z'Llg-L|'tt s -

9Seo't -wlL'o+wtL't+

LglE'z-Lgls's -tgtt't-

o6'sozr -oo'rot -

r98 -wt-xd: ^N {d :'w d r d

TII

tt2 ANALISIS STRUKTUR LANJUTAN

Untuk Kasus 2,

P .x v M-=Py M": Px

-216- 49,48

- 162

-42'7.48

- 5,5 167

+0,4833+ 6,4833

+0,7144

- 3,7856

-0,7856

- 154,31

+ 187,30

+ 127,27

+ 160,26

+ I l9l,6l- 21,9t

- r050,29

+ ll7,4l

M',: M,- M,?: +160,26- (+tti,4t)(#): *rzs,on

. M'r:Mv-*,rb:+117,41-(+160,2o)(#):*nZ,le

Nilai-nilai M di titik A, B, C, dan D dihitung pada Tabel 15.10.2. Jawabannya ada-lah

Mt= - 8,50 kN'm (tekanan pada sisi-dalam)

Ms: - 14,90 kN'm (tekanan pada sisidalam)

Mc = - 19,49 kN'm (tekanan pada sisidalam)

Mo -- - 9,89 kN'm (tekanan pada sisidalam)

Setelah diagram-diagram benda-bebas, diagram momen, dan perpindahan-perpindahan tersamarata titik-hubung di titik A, B, C, dan D dari kurva elastisdihitung semua dan digambarkan sebagaimana ditunjukkan pada Gambar 15.10.3,pengecekan statika yang biasa dan pengecekan keselarasannya dilakukan agar ke-tepatan penyelesaian terjamin.

15.11 LatihanDua puluh satu latihan ditampilkan. Kecuali untuk Latihan 15.8 dan 15.9, terdapatlebih dari satu penyelesaian untuk setiap soal dengan menggunakan struktur statis ter-tentu dasar yang berbeda-beda. Latihan 15.6 hingga 15.9 dan 15.15 hingga 15.20telahdigunakan sebelumnya di dalam bab-bab sebelumnya.

EI konstan

Gambar 15.11. I Latihan 15.1

.81 konstan

Gambar 15,11,3 Latihan 15.3

E1 konstan

Gambar 15.11.2 Latihan 15.2

EI konstan

Gambar l5.ll.4 Latihan 15.4

w per jarak-satuaw per j arak-sa1

w perjarak sa

f1 konstan Gambar l5.ll.5 Latihan 15.5

zI'9I ueqllB.I zI.II.sI rBqurPc

usl

lI'sI ueqrl€'I II'II'SI I?gurBC 0I'9I uBqlle'I 0I.II'9I rEquDg

5'gI ueqrrE'I 6'II'SI Iequl?o 8'SI uEqrre'I 8'II'9I rEqur?9

wrz

,'sI urwlu'I l'II'9I rBqurBc 9'SI ueqp?'I 9II'9I rsqursC

'(Z t' t t'S t efflu1q 0I' I I'g I requrug) Irletuls

-nquns nl?s ITIIIueu 8wt( luduer8as Inluoqroq ul8uura4 l{elslslleuy ZI'SI pA 0I'SI'(O' t t'S t u?p g' I I'S I ruquru5) laquue,r BIsJeuI ueluotu DIII(uouI

8ue[ >1o1eq rnsun {ntun qeprnuted rot{eJ uep ueruP{a{ ro1>leJ uDIn}uoI 6'SI uup '8'S t

'(f 't t'S t. uep 9'I I'S I i?qluug) leqetrul ?Israu ueuou r:{rr

-ruetu Suef loluq rnsun >1n1un ltdafral-3unfn ua(uotu-ualuotu ue>lnluol l'SI uep 9'SI'(S't f 'Sf ESEqq I'I I'SI rsgr.uB3) du1a1 ?rsraur ueruour

1n1un 1rdofte1-8unfn uoruotu-uatuotu w{nluol S'SI p/s I'SII{IInuou Eue{ 4o1eq rnsun

8II

urlN)t z€

u?zur6 TU6 ru9

IZ 't 'tT.

--_._,ru6

NI 096

utlz 'rz

Nt 09€

wo.Iox Ico.IvNv gqoJ,sni


. lSma|.-_----___lc

32 kN/m

Gambar 15.11'13 Latihan 15'13


Gambar f5.11.17 Latihan 15.17

Gambar f5.11.14 Latihan 15.14


Gambar 15.11.f8 Latihan 15.18

z

+

9,6 kN,zm

%kN

Garnbar l5.ll.l9 Latihan 15.19

'fi7tl'St reqrueg) slrlluls>1e1 dnlnlrel e13uura1 q?lslslr?uY IZ'S I'(oz't t'st uep

6I'I I'E I ruqueg) suteuF-yul leduratSos {n}uoqreq B>lSuerel qelsstluuy 0Z'S I uep 6I'S I'(St't t'St u8Eurq SI'I I'SI requruS) u:

-orurs-ruquns nlss l)illltuotu Eue,{ eErlfos epda4raq e13utra1 I{slsIsI?uV 8I'SI pA St'SI'(t,t't t'St uup tI'I I'SI req

-ueg) ulaturs-nqtuns nles I{qlruaru 3ue,( dnlnpal elEuure4 I&lsEIIEuY ,I'SI uep €t'SI

IZ'SI uEr{rle'I IZ'II'SI DqurBC

ptuosrror{ raleur rad P191

0z'sI uewls'I 0r'II'sI Equruc

VIt.

l-lt

_ts

9II wo'rox Ico,IvNv sqo.Lsyr

BAB

ENAM BELAS

STRUKTUR PADUAN (COMPOSITE)DAN KERANGKA KAKU DENGAN

DEFORMASI AKSIAL

16.1 Gambaran Umum

Hingga di sini, telah kita tinjau tiga jenis struktur berbentuk kerangka (framed struc-tures), yang berbeda satu-sama lain: rangka-batang, balok, dan kerangka kaku. Pada

rangka-batang, setiap batang mengalami tarikan aksial atau tekanan aksial; panjangnya

akan bertambah atau berkurang karena kehadiran gaya aksial. Pada balok, setiap ben-

tangan, atau suatu bagian pendek di daiam bentangan, memikul gaya-lintang transversal

dan momen lentur. Deformasi geser tidak akan ditinjau hingga Bab 2l; deformasi len-

tur menyebabkan perubahan kemiringan, di separrjang dx, sebesar (M dxlEI). Pada ke-ranlka kaku, setiap batang, atau bagian pendek di Calam batang lurus, bisa memikulaksi-kombinasi dari gaya aksial, gayaJintang transversal, dan momen lentur. Sejauh inideformasi akibat gaya-lintang maupun gaya aksial telah diabaikan; hanya deformasi len-

tur yang ditinjau. Namun, harus anda perhatikan bahwa meskipun deformasi aksialdiabaikan dalam penentuan "tanggapan deformasi" dari suatu kerangka kaku, gaya

aksial harus diperhitungkan di dalam "tanggapan gaya", dan kekokohan anggota-

anggotanya harus didesain untuk kombinasi gaya aksial dan lenturan.Jika deformasi aksial dalam penganalisisan kerangka-kaku akan diperhitungkan,

hasil-hasilnya mestilah lebih "seksama" ketimbang yang diperoleh apabila deformasi

aksial diabaikan, tapi jika mereka tidak berbeda banyak, pertanyaan yang timbul ialahapakah penganalisisan yang lebih rumit itu tidak membuang tenaga. Hasilnya memangtidak berbeda banyak di dalam sebagian besar kasus, kecuali mungkin di dalam kasusgedung yang sangat tinggi, yang ketinggian tingkat-tingkatnya tidak teratur, yang dalam

hal ini deformasi aksial yang taksama pada kolom-kolom bawah yang bersebelahan ditempat berubahnya ketinggian tingkat secara tiba-tiba, akan menyebabkan rotasi sumbu-

sumbu balok-penopang. Namun, penganalisisan yang lebih rumit itu - dengan memper-

l

I

I

(

!

)

rr

tI

t

'uBqrqele{ PtPqes !r Ip F{Ber u?IPnueI u?p leqrueued-tueleq urepp Ip 1Fe1-edut Bur?1-?ruepad u?)pung 'B^et epoleu uetuep Dl'2,'91requ?C eped uelleqgradtp tuuf uunped Jnl{ru}s qBIsIsI?uV i i ',: :r,}j',ri'}

'IcelJel-?qtsn ?urerool ue4durauau ueEuap u?p 1e:11su uBnB[uIl Inleletu ue:l-ntuallp Bi(urrBsBr?lase)t Flpuo{ 'snse1 depas urupp rp iur4rl)l?[p uBuIBIraq tw/( uBqlqol-a:1 ueqlrd unp '(rser6n11 {nlun {ocoe 'n1es lufurapraq zfuuq nluoDlul s!1u]s tsJlsraq

uulnltuesraq tuef rn14rup undl4seu 'tue,! 1ru1paq qoluot urBlup KI 'IlJo{r3}-3qssn

Buaroel uoldurauau uuEuep nele'p1ysg uBnuluq InFIeu qalomdlp ludep e{ut epoleuur?Iup Ip ues?rqase)fsrpuol-Nrpuo) 'nlual)pl snuls rnD{nrts {n}un u?{n[n11p eluultof-es 'ueqyqalel-ur(eE apoleu nule 'er(uE epoleu 'qnu 4u[as unt?{nluo{p uueunuEuqag

,!";l(-. I {l i

'lul q?q tu?pp Ip s?I{BqIp stuBs-Blussreq w{B lnqssrel Ieq Bnp

-e{'IBIsry rseluroJap rurepEuatu tuef n1u1 ultuera4 slsllsuu uped utuus urecas unldural-rp l?d?p 'ueqeptndred nelu e{et opoleur uetuap 'uunped mtr{tu}s s$Wtre ?uaru) 'uu:l

-tunlqredrp qEInBlB u?{l?qulp uu>p er(qe1s4e I$urroJap ?ntues nBlB eduraqeq qopde

uelnlEuusraq Euuf utstsqeue8uad uuEuequtgad epedal Eunluutrag 'seutqurol-rnsrm>1n1un ituelug-e:puer uuslslluuutuad urupp uB{n{BIIp usetq tuef tlrades 'ua18un11qradtp

rlsaur ufquts{? IseturoJap 'uenpud rn1>lruls urBIEp Ip 8uu1uq-e48uuJ Jnsun {qun'uusrsqeue8uad urepp s{rpu-ueqepuldrad apolau tuelup Ip

uuleunfip sruzq Euu[ tqlpes Eupd Eue{ rnsun qqtunf 1n1tuz{ueur efuuq elurnsun qBI

-un[,snsu1 du11es urepp IC 'Isgutquo{-Insun qenq uE11 uep Eueleq-e>1Euel Jnsun qgngos

'cI'l'91 rBqurBC upud uep :lseulquo>l'Jnsun qenqes uup tueleq-u18uer rnsun qBnqes

'qI'I'9I rpqurB3 uped l1o1eq rnsun qunq efl1 uep 8ue1uq-eltuzr rnsun r{Enqes DIIlLu

-errr ,I'I'9I requeC uped rnp1m15 'ue1eun8ry uonpod truyruls etueu e{ueuer?{ :n>Iul1

elSuera>1 nege '>1opq '8ue1eq-e4tueJ lnqesp 1udep1u1 z1 'tnsun sruaf nles 1np qlqa1 tunp-ueEuaur u1Euu.re1 ln1ueqroq rnDIruls nluns qlqudy '(Eueleq'u4Euzr u?p {opq $?ulq-ruol rrsun nele) pouqwal npun$tges1p uurquel u?p IBI$I? er(ut tseutquo>l IDIIueu>1n1un uelnfnttp 8uel( wp:t1oyoq.lttsln lnqaslp 'u[us uernlual uup tuelrnlu{eE plnuou

1nlun uaJnfnrp Euez( !3uo7oq-aPuot,l/Bun lnqeslp 'e[es psle eIeE 1ru11uraur {$un uu:l

-n[nllp Euu[ :quof u81l ledepral 'prn1>1nr1s Jnsun'Jnsun 1n18ue[uaru ufueq qnefag'uzlnpadlp uqu qgdrat elofflue-u1offlue Ir?P rmuel

-u?rup{q lqslu IBIIu-ls11u efueq'e{u1r;uqac Prl urulsp q?qas '1z1sp peuuo;ap uu46uruq-raduau lnlun uuqzSacuad uu:pdrueru EsIq 1ul uetrnlunl 'ludal tuef slelerr puolsrod

-ord uetunqnq tu?pp ep?raq snreq lnqasrol uBruPIe{ spof snpe{ udulepnes nelu 'ue1

-euntp l6eur /!r rn1ual-u?ruplal u?p 7g pupqpuofu?qqo{ {?Dnur regu'rcgu'e{u-uB{ns?ru Bl?p ruslBp rc .snuouo{e qlqel uelqBq 1pe[-qe1oq n1e1-afueral uuslslluuu8uad

urBIBp I?Iq? I$uuoJap uunu[u1ued'urunuelu uml uuq uu.n1 8un11q-edaq euerr;1 're]nd

-uro>1 ruer8ord 4n1un sllerualsls qlqal ulucas u{uuelnsuru elup unsn{uaru uetuep ru1u,{

'1u1tr4s rgqatr tued nDlear ur?I?P uqruf?[p eslq urfuruuaqes 'P1s:tE IsBuuoJaP uoltunlg

1e>Jrd4wnpedrnl{n$S' r' "' I r"''

(o)

lequreued-turleg

LtI

luqureued-3ue1eg

118 AN,\I-ISIS S l l{t-r KrI R LANJUTAN

P['.NYELESAIAN (a) T sebagai kelebihan teorema usaho-terkecil. Terapkan sta-

tika terhadap balok ABCDE pada struktur dari Gambar 16.2.1b,

*' = Til r6i- il i:'+r ,i r ' '1'6s - 0"11

ls 11 qR. = rt (6r - ii {2.4' ri r = 1,72 - 0,6r

Energi regangan total pada balok dan batang-penambat adalah

I I rll i ;- ,tlr J.ttV. -:,1-,4. :,1 {,,i,

- I l'i2 . .1 , { l"' t,r,o* o 4r}.(tr .rYI E,A. lE,It lJ,,

t)- | l({.hR-0..1T)r- 6(x -4.5)lrdY

JJ,\

* I t,t.r: u,6 l'rrl:dr-t!

. f 't,r,-,

-().n, { - :,J(x t,l'dri

brtang-pctrmb.t bajr 0-12 mm,&prnjeng I 2 m

R,r=4,6E-0'4I Rr=3,72 -0,67= l0 kN/mm2= 200 kN/mm:

(o) (b)

E,l u

I

t97.605E,l o

t87,345E,l a

(c)

r-rl;4+r ! {r.},1 Metode gaya, I sebagai kelebihan, Contoh 16.2.1

t'

2r,06

Balok-padanan

Balok-padanan

I rp -ttC - xtt'Z * r.ru I 'f - , :ft "J

rP,(xqu), J

t

xp il(i't x)9 - x(02'Z - ,U*lltT *

rp Jx(oz,i+ ,u:)l ,,T] T!. ei;1,$f*, ; =

"t'3 fz,'y'3a ..

qBI?p" lequeuad-3uzleq uep {opq uIBIsp Ip Plo} uedueter rireug

t')l i o;'q = ,uit ,;rjt,; . Crfy - I

.6()i'; - rul = ir*,: frlr_*-'x'oZ'Z'gl rBquBC Ir?p rnpltuls eped gOCgV 1opq

depeqral B{I131s ue>1dere1'f ) aqrzy -Dqosn D utato ay'uoqtqal 2q toSoq a s s A Q)'(") u?I8Eq uped qeloradrp Suei( J {nlun ueeuresred ue8uep Bdrues 8uE,(

'Y'3 'l'g oI'A nsle

iirr-r = fi'ru s6'oor'!q

=. '! -''r(zt).t

?{Blu:l?qu€u-ed-8ue1eq uetuu[ueured ue8uep ?ru?s snreq zcy-lcV r{IsJeq q?a?q e{ uelnpue'I

"I'? .. 'r':-I Z qI'3 z,r

,-g.fg, (t',0' lrT - -' 16'

.19.:l - t

rIBI?p? l?q u?uad-tuelequrBIBp rp J ryrrz1 efut lBqpIB, {pp Ip z'y sele e{ uelnPuel 'Pl'Z'gl reqtueC IIEC

cI'g

s6m=

(s'rxr'r) #ri 1g;1e'p; lll{ i- orts'rr #+ i (6r{} = ''v

q?ppe 'ol7'91 requsC Bp?d

ueruoru ure€ep depuqrel ueueped->1opq BrEerool uedereued Wp 'gOCgY ,lopqeped etreleq Suef ueqeq Bnpe{ 1?qpp , Ipp 1p

pV ge^\?q e{ u?lnpuel 'uelsnd-eqrp e,iulequreued-tuuleq e41 's1,r.r/ uofanlacarl 'uoryqap4 Dtogas J (q)

^ uI'E ',l'l '!''3'=-r.grc*scoot-cru

eleur isele rp,qeuuesred ueleuuqrepeluaur uu8uep qaloradrp uesuqesa{ Flpuo)

o - {t, {re'0-)[(t -' x)]'i r( le'0 -;-'r)l,J -

xp (x9,0-)[x(.ry'o - ;r'trl '[ +

xp (xt'0-)[(S't - r)9 - t(Jt'0 - S,r'trl"[ -OJ

rP (x?'0-)lx(Jt'o - 89' 0rl cl'l 'V'', .Ie

'" r,JJ I "(zr)J = m'1ou ue8uep ue{?ru?s uep; depeqrel 44 ptsred ueurunl Eunry1

' NvgNao nvvx v>I9Nv'ttsx NVCI (sJlsodrlioc) Nvoovd lroJllniL6TI

t20 ANALISIS S RUKTUR LANJUTAN

n^=tar+z,zo

1.2

Arr pada Gb. 16.2.2b = Aru pada Gb. 16.2.2c

Pada Gambar 16.2.2b,

EEr = CC' = pemanjangan batang-penu*U.t =ffi=ffi,, = + . ;h,, (3) - i

"1i,, (;) = # - # (searah jarum jam )

Arr = EEr + ErEz* ,r"' =ffi+ee, *)ffi<tXsl124 ,1,35= E4"'E,h

Gambar 16.2,2. Metode gaya,Rg sebagai kelebihan, Contoh 16.2.1'

Samakan turunan parsial W terhadap R6' dengan nol,

{: t9.4:illx-ix tzr - =L { lt' [(iRr + ?,20).r](ir) d.x

iRr - I:.{ ,,1, iJ

' i' 1,tn. * l.l{l)r 6t t { ))lr.r , rir

';, r, )' -l, {RIr){rr ch ' J, IRrx - ].rrr " ttl'.ItJr

I

=,0

Sederhanakan persamaan di atas,

li4 l00Rr l,l.< 180R,

E,A. *

lE.^\, F;,I^ ' E.l. - "

(d) Rr sebagai kelebihan, keselarasan f'sls. Keselarasan fisisnya menghendaki

owL6b

I'Z'9I qoluo) uIslep rp Eunlue8ral nupuol-Iopq !ftp Is?turoJap uup B{!}e}S €'Z'9I rsqurB)

s6zl0'01 +

MTLL,T_

s9L€0'0-

(sdzr r'o-(sol8o'r+ otgzz'z+

pt

s9r€0'0

IlI

szLe(s=t )t

brur uD{aceSued .3^r[s?urroJep usSBrBIaSe{ dspPqJel u?{OceEued qenqas }?d?pIal

Ilseur'nlBS lBfBrapJeq ntuaDt?t stlBls lBJrsreq IuI rnl{ruls suarEx 'E'Z'91 Jeqursc

eped ue>llnfunllp lnqesrel {oIBq {nlun ualuolu uep tuelull-?fet uerSerq

ru r 01 x l6ttz'i - .).) -perr 0txil[0'11 =pe:, 0l x6060'6 .

per , 0l x 9(tZ'02+ -

)r:10

1.,

N,r ser€o'o = # # =w#H =,*

rIeIBpB sU {nlun rserds:{e '(p) uep (r) usr8eq trBC

Nrszr€r.e =rs$P!:-!3tlzt = rq?IBpe J {nlun

rserds4a '(q) uep (r) u?rtsg :ue1'uocz.t'olasaq uop o1fioys uoqacatua4 (a)'(r) wl&q epud qaloredlp tued ag' 1n1un ueeuesred uutuep edrues Suef

cltg ,v"gE qlg ,v'g,uoBI -ruml = sl.l-Tfj.

.ZsV uetuap IaV ueIBurBS

clg ,y"g€ _E[61--=OXsl ffi f + roe + ffi =,sts +tsts + tss =zav

#.#=€)n'#'i.*=*# = #& = lequruued-tuuleq uuTepuetued = ,CC = rgl

'eZ'Z'91 rBqurBC BpEd

' NV5Nf,CI nvvr YvgNYUSv NVo (s,llsodhloc) Nvoovd unJ>lnu].s

otvt6'9-

0tszz'z...t

TGI

I22 ANALISIS STRUKTLTR LANJUTAN

dapat dilakukan dengan (l) menghitung lendutan di C dari balok-sederhanaABCDE dan melihat bahwa lendutan ini sama dengan pemanjangan batang-penam-bat, atau (2) menggunakan pemanjangan batang-penambat sebagai lendutan di C

dan melihat bahwa kemiringan di C yar.g diperoleh dari diagram momen pad.a ACsama dengan yang diperoleh dari diagram momen pada CE. Pembaca mesti meme-

riksa benar-tidaknya rotasi-rotasi dan lendutanlendutan,dititik-hubung yang di-berikan pada Gambar 16.2.3.

16.3 Struktur Paduan dengan Unsur Rangka-Batang dan Unsur Balok-MetodePerpindahan

Persamaan dasar di dalam metode perpindahan terdiri dari dua susunan; yakni

{X} = [ASB]-'{P}

iF*): {r,} + tsBl{x}

(16.3. l)

( r 6.3.2)dan

Dalam penerapan metode peryindahan, pertama-tama struktur paduannya dipisahkanmenjadi unsur-unsur yang terhingga banyaknya yang dihubungkan di titik-titik hubung-

nya (atau titik-temu);setiap unsur tidak boleh memiliki gzyayarl1 tak diketahui yang

bekerja padanya. Derajat kebebasannya adalah jumlah dari banyaknya rotasi yang takdiketahui di titik-hubung dan banyaknya lendutan horisontal dan vertikal yang tak diketahui di titik-hubung; dengan kata lain, ia adalah jumlah total perpindahan tersama-

rata yanB tak diketahui di titik-hubung. Banyaknya gaya-dalam tersamarata yang takdiketahui yang bebas sama dengan I kali banyaknya unsur rangka-batang, 2 kali banyak-nya unsur balok, dan 2 atau 3 kali unsur-kombinasi, bergantung kepada apakah defor-masi aksial dari unsur-kombinasi yang ditinjau tersebut akan diabaikan ataukah diper-hitunfr-an.

Apiblia deformasi aksial pada setiap unsur-kombinasi akan diabaikan dalam peng-

analisaan, gaya aksial di dalam unsur ini tidak lagi merupakan gaya-dalam yang tak di-ketahui yang bebas dan dengan demikian tidak akan terdapat di dalam matriks {F}. Ka-

renanya, banyaknya lendutan horisontal dan vertikal yang tak diketahui akanlah I buahlebih sedikit daripada yang dalam hal sebaliknya, untuk setiap perubahan dari yang takdiketahui bebas ke yang tak diketahui tak-bebas. Maka haruslah kita berhati-hati untukmenetapkan perpindahan-perpindahan yang tak diketahui di titik-hubung hanya pada

lokasi-lokasi yang tepat. Dalam kenyataannya, bahasan di sini lebih mengait kepadaPa-sal 16.5 ketimbang pasal ini, karena contoh berikut hanya mengandung unsur rangka-

batang dan balok.

Contoh 16.3.1Analisislah struktur paduan di dalam Contoh 16.2.1 denganmetodeperpindahan, dengan memperhitungkan deformasi aksial di datam batang-bajanya.

PENI'ELESAIAX (a) Penomoran P-X dan F-e. Dari pengamatan terhadap struk-tur yang ditinjau yang ditunjukkan lagi pada Gambar 16.3.1a, jumlah terkecil titik-hubung yang mungkin untuk digunakan adalah empat, di A, C, E dan F. AC darrCE merupakan unsur-unsur balok dan CF merupakan unsur rangka-batang. Peno-moran P-X dan F-e ditunjukkan pada Gambar 16.3.lb dan c; jadi N/ = NF - NP =5 - 4 = 1. Perhatikan bahwa F5 adalah gaya-tarik di dalam batang-baja, dan tidakterdapat gaya aksial di dalam unsur l-2 dan 34.

(b) Matriks masukan. [Al , [Bl , {Sl , dan {Pi; Matriks statika [l ] ditentu-kan melalui baris-barisnya dari diagram benda-bebas titik-hubung pada Gambar16.3.ld; matriks deformasi [B] melalui kolom-kolomnya dari diagram perpindah-

7

I' €'9 I r{otuoJ'8un}ueSrel nq}uol-Iopq'uequpqdrad epolen i.f .9 I ruqurE i

__--_b._. .------ o+rxJ --\-.

Sunqnqlrlq suqaq-"pueq ure€ulg (p)

9

'.q +tr

-r,(, o!

td

g'd6

-\l ti.'(€.+-{Z ),,r* tJ-

/ Lt

aIv

g=lN'a-l$eJotuoued (r)

6zr+U

I(-s'r*' (J

a

l=dN tx-dIur-tououetr (g)

nefup1p 8ue,( rn11nr15 (a)

,tutu711>1 967 = sE

ztuuj/N{ 0l ='?

nderl uo 67 x E 1

8Zt ai \rl) N J cI i,Y VY v lI'-) i\i\j U.j ]1 liY O ( :{ JI SOd rNo S) NVn Cl\j.I U n'lx nu lq

L24

,-

(e) Diagram perpindahan

6

+6,75 + 1,8

-6,75 - I,8

AGaya kondisi terjepit

ii'1111i.1i1 ir'.,i.! .,',rlrtl;li;.

an pada Gambar 16.3.1e. Namun, perhatikan bahwa X4 + O tidak hanya menye-babkan rotasi-rotasi ujung el = €2 = -Xc19 dan e3 = e4 =+X416, tetapijugape-manjangan es = +X4.Isi matriks IS] adalah

2,4

,,t.

';.. .

.q,,:

4".

\tr.-

ll,i i *ii{rl

i,l

i

. {P}.', =!

ll

'i. iI

. + k,.;i-: i.\ ;t!

\t.. I

!1.1 .:lirr,{littt.11)r',: .

t! tt( i:;

.l),,i, -, . r:"ri: i :.,\.:. ,

{,i:i\; I rr,i..l<. il

\\. .

i

Isi matriks{P} didapatkan dari gqyaaaya kondisi-terjepit pada Gambar 16.3.1f.

t,

I

lI

j

I

I

I

i

,-lir..,i

\l

I

I

:

.Ii

I

1

_l

-lI

i.9 l'II

l

I

I i'

-:

i

.i 6,tt

- .1,9)

- l,li{.}

t)

'l

-1l

I

+'!.

'liitI

X1+0

[A]r's=

1

II

I

I

I '' = i'f[8sl

t;I

li

\

I ()ti'fi II ;

l

'l'z'91 rloluoJ urBlep Ip Edst epoleu IrBp llssq{ssrl uBtu-op {ocoo r?ueq-reuaq {X} [AS] + {o,{} = {*.{} rrep qaloradrp tupt( {*f } slul-e;,q 'udu)pprl-I?ueq fnlp { f } [ASf] = { d }ueuurusred uep '1'7'91 rlotuoC g'Z'9trBgueD uBp u?)nBdeplp {X} s4r1ery {*.{l uop lxl uoun|aT sqypw (t)

!= t4[Sl

= rxr[g]

\.i:1ii!r.i {lI! i\; i9Zr

126 A.NAI-ISIS ST Itti K'I U It i.A1.N J tl r A N

{X}0,' =

16.4 Struktur Paduan dengan Unsur Rangka-Batang dan Unsur Kombinasi-Metode Gaya

Tiga contoh akan digelarkan di dalam pasal ini. Contoh pertama melibatkan balok-kanti-lever dengan batang-batang yang miring yang menghubungkan ujung-luar balok dan titikyang terletak vertikal di atas tumpuan. Untuk struktur paduan ini, yang bersifat statistaktentu berderajat satu, dua penyelesaian pilihan ditinjau, yang satu menggunakan gaya-tarik di dalam batang-penambat sebagai kelebihan dan yang lain menggunakan momen-reaksi di tumpuan-terjepit sebagai kelebihan. Contoh kedua adalah yang biasa dikenal se-

bagai rangka-batang bertiang-tunggal (king-post truss), yang dalam hal ini, daya-pikul ba-lok kayunya dapat ditingkatkan hampir empat kali lipat dengan menambahkan sebuahtiang kayu yang pendek di bawah titik-tengah balok, dengan dua batang-baja yang meng-hubungkan ujung-bawah tiang tersebut ke ujung-ujung balok-kayu. Untuk soal ini, wajartampaknya kalau kita ambil gaya aksial di dalam tiang tersebut sebagai kelebihan. Con-toh ketiga melibatkan kerangka kaku yang berbentuk segiempat, yang ujung-bawahkolom-kirinya bersendi, ujung-bawah kolom-kanannya bertumpu pada tumpuan-rol,dan ujung-ujung bawah kedua kolomnya ditambat satu-sama-lain oleh suatu batang-baja.

Untuk ketiga contoh tersebut, ekspresi-ekspresi "bentuk-tertutup" untuk ke-lebihan diperoleh baik melalui keselarasan fisis maupun teorema usaha-terkecil, de-ngan maksud menunjukkan bahwa teorema usaha-terkecil tak lain adalah suatu caramatematikal untuk merumuskan syarat fisis bagi keselarasan deformasi. Ini merupakansifat-dasar metode gaya, sebagaimana ternyata dari ekspresi-ekspresi untuk kelebih-an tersebut, bahwa pengabaian deformasi aksial dari suatu unsur rangka-batang atausuatu unsur-kombinasi dengan mengsubstitusikan nilai takterhingga untuk kekakuanlongitudinal unsur itu merupakan masalah sederhana. Karena kekakuan longitudinalselalu muncul pada penyebut di dalam persamaan keselarasan, hasil-baginya (yang taklain adalah kelenturan longitudinal unsur) menjadi nol. Dengan demikian, pengaruhdari penijauan atau pengabaian deformasi aksial pada beberapa atau semua unsur dapat-lah ditentukan secara mudah.

Contoh 16.4.1 Dengan metode gaya, analisislah balok-kantilever dengan batang-penambat yang ditunjukkan pada Gambar 16.4.1o, dengan menggunakan pertama-tama gaya-tarik di dalam batang-penambat dan kemudian momen-reaksi di C se-bagai kelebihan.

PENYELESAIAN (a) T sebagai kelebihan, teorema usaha-terkecil. Terapkan sta-tika terhadap balokABC pada Gambar 16.4.1b,

Hc:0,8T Vc =24-0,67Mc = 24{2,5) - 0,6T(4) : 60 - 2,47

0,0m0

+ 6,9741

#.:(:)ffi=-" ffi*="vnule 'se1e ueuel

el pln'91 rBqruBC eped yy uelnpuel ':1opq eped efte1eq Suef ; e.{.e8 1eqtly

lg_ =r+\!g_ =,^v o=,Hve'Ltz \s'6l sa

uleru'su1u e{ I/V uBp ueuel e1 IHy q?lupe rl't'91 rPqurBC eped ,YYr{Bllnqos 'lequreued-Bueleq eduel :s1s1t uoson1asill 'uDqtqap4 pSDqas J (q)

- c|'g qlg cv,g 'y.3" s'znt rgg'L 9s'z ' Ls

'se1e rp lsards4e-rsards{e ue{susqropes

o = [* (re'o)[(s't -xhz-,rr'o]'l + xp (xe'6)(x1en,,,,1]T..'

qvtg _'v'g _ Jg

(rx8'o-XJ8'o-) (s)J l^e

'1ou uu8uep J dppBrlJel rt4 I?rsEd u?unml uE{BrueS

Ir, ,,,r'r - x/'l.rrs'o]''l+ xp z(rJ9'0),.,or]ry -t ' '' , ,1.r,r. ,g*)u,,a1= m(r),(J8'o-)r'(s)zJI

q?IBpD luqupued-tueleq wp {oIBg utelep Ip p1o1 uutuuter 6reug

'I'r'9I qoruoS'uzqrqelal re3eqas,6 'ede8 apolen I'r'9I ruqure5

(p)

tg'O - nz=)A

(Dl

zuulNI 002 = slr :zuItu/Ntl OI = '!r

q I'gZTA

@\

t9'0

t8'o=rH uc 0Z x SI nfBI

LGT ' ' ' ' NVCNso nxvx vrgNvusv Nvo (f,JISOdWOC) NVOCM1IOT:.


Kondisi fisis untuk keselarasan ialah bahwa komponon lendutan titik A dalamarah perpanjangan b-atang-penambat harus sama dengan pemanjangan 6atang-penambat; maka

-(As r + lr:X0,8) - t-!r r I li r)(t1,6) : - ;-"?

- (r.H) (o,B) - (- jrll. t#) (0,6) : * ;+Sederhanakan persamaan di atas,

;***,H- #-'#' n

yang serupa dengan persamaan untuk Iyang diperoleh pada bagian (a).(c) U" sebagai kelebihan, teorema usaha-terheciL Ketiga persamaan statika

diterapkan terhadap struktur pada Gambar 16.4.2a untuk mendapatkan T, Hg,da Vg sebagai fungsi dari kelebihan I1c.. Untuk 2M terhadap C = 0,

0,6T(4)+ U,=Za{Z,Sl f =25-iMc

Untuk EF, =0.

Untuk :F, =0,

Hc = 0,87 = 0,E(25 -t,n ) = m -lMc

Vc = 24 - O,6T = 2a - 0,i5(25 -*U.) = 9 + lMc

D

ur={e* lurt

(aa2, Ly2lA'-

A

(ol

A',_<:a_1(am' Ar'r)

(b)

{ iarirbar l6.4.2Metode gaya,Mg sebagai kelebihan, Contoh 16.4.1.

?frii-lrrra-@ =s6,62--G---6rtrslepe e{uueserqasel ueeurusrad .zr0 uetuap lcp ueleurug

ql -qv'96 -'v'gt?l _qlge -/{y'95 -'v?9[\ 2 =

'ilti-,ryrlli' ,Ns:'J =.IiI,i- \,,{et'InlZI/i-lrZ'V'gt reqursJ tuBIEp ususpsd\ - i =.ro\Iopq cpcd c lprrrq aI FIeeU / ' sslu eI r^V

qv'96 +'v'ggc = (s?rE ex r^v))Ngl' rN9Zl

'W =,t'01 ffi - tr oX sele e1 zae;

-i#e = o, 't*u"uad = (s'g)(Fl:l olzxv) - (9'0)(selu e1 z'rv;

tiffiP = 3gY ueiueru?uted =l,,r elrrv

'q'f 9l ruqu?C BPEd

1'A ryge .'v'elzl clg . lygt, 'l/'g€\ r-szgtz* 08 --@- =szgTz'\ ou€ - szg 17-

lqz'n'ilIequrBJ urslspuculpBd\ . t( W;;ilt;;*i;e,,;l )+1;*r,n *='Je

W.'#= (qe,neq er I^v)

ffi = o'o(ffi - (e'o) (q"aBq e1 laey

'#,= o, uu8uufuerued = (8'o) (uBuDI eI Ing; - (9'o) (qu^sq e1 lae;

W =ffi= *y uelepueued = uuuurt a1 Ilry

'q?'?'91 r?qruBC Gp?d

'J'Z't'gl JBquBC eped, zcg uIBf urnrf qer?es Felor uetuep ?uus snrsg qz'n'91

ruqru"g eged, tcg uref urnruf qsr? u?inq F?loJ B,$qBq qqq zluuuscrslesa{ F-puo) 'lpueeuunduml lpsfuaul 3 p 11defreyuendurnl qeqntueur utEuep qeloradlp

rBsep rguagat sllBls rnllruls 's1s{ uoson1asarl 'uoqqapl pSoqes cnl @)

^ crgt . crg cv36 . yge 'v'gwl . Y'azl$= ,N|-WM,- ,Nr - og - ,r{szt --F5---

, ,:1e 1p lserdsla uoleuBqrapes

{rr tq + 1 -1x1;111 +o) + rN -l {zl +

xp ({-Xr(cN? - sz)e.ot .,T} T.cv'g _L Y'a _JNe

CTGTffiT + oz=I I 641(cvry1=g) - -ztr

e

'1ou uetuap cW dePe\lc141 psred u?urunl uB{eIu?S

frr .tr(cry + o) + "n I ol

+rp ![r(rru? - szte'or,.,J] ff +

6;ffii.CIffii-";i=^qBppB luqruuuad-tueluq uup {opq uIBIsp Ip IBlol uutuetel preu!

6ZT t*lv$NAC fl>Ivlr vX$NvUAx NvCl (A.IISOdhloO) NvnoYd UnJIIOIIIS


yang serupa dengan persamaan untuk Mg yang diperoleh pada baglan (c).(e) Pengecekan statika dan heselarasaz. Ekspresi untuk I dari bagian (a)

dan (b), adalah

f t42,5lE tI,5/E.A" + 2,561 E,At + 7,681 E,lt

142.-5 x l0-l(0,3183 I + 0,00853 + 7,6E000) x l0-'

= 17,7973 kN

Untuk ungkapat Ms, bagian dari (c) dan.(d), adalah

62.s 80 , 20,625

DE,/"' 3E"Ar- EI"Mc= 115 - 4 * 4

144E,A,' 9E,At,' 3E,lt

(3,31-r73 + 0,08889 + 20,625) x lo-r(0,05526r+-;00t481 + r,3xx) xT0=17,2866 kN.m

Pengecekan keseimbangan dari keselarasannya kemudian dilakukan dengan meng-gunakan hasil-hasil di atas, sebagaimana ditunjukkan pada Gambar 16.4.3.

AH di A = +0, I 89E4 x l0 -r mr,.. diA = -9,69487 x l0 I m04- 10,42692x l0 r rad

-t7,2866

Gambar 16.4.3 Statika dan deformasi daritoh 16.4.1.

kantilever dengan batang-penambat di dalam Con-

contoh l6-4.2 Dengan metode gaya, analisislah struktur-bertiang-tunggal padaGambar 16.4.4a, dengan menggunakan gaya-tekan di dalam tiangnya sebagai ke-lebihan.

PENYELESAIAN (a) Gunakan teorema usaha-terkecil. Dengan menyebut s seba-gai gaya-tekanan di dalam tiang, diagram benda-bebas dari struktur yang ditinjautenebut menjadi yang ditunjukkan pada Gambar 16.4.4b. pada diagram ini tercan-

t3,3216

-t3,32t6

'Z'?'9I tloluoJ1?t8unl-SuBrueq rnt{nr}s 'ui(EB epolel J t'r'9I .EqurEC

<s)

IBIs{e ?i(B8-e,(BA r{eppe tunrol-epuel tu€l?p Ip lellu-IeMo

),"uJ"-,

(D)

zuu/Nl 002 = 5E :zlutulN>t ot :',s

N{t

INII

I

,"'r"t-' v

;*kuc \JZ

€r tur 0z x sl

N{ 0l

Ie{rgo^ u?lnpuel Inlun lpnca{ cf t'91 requt?C eped enwes Iou Ie1ttuaq Sunqnq-{1111 uelnpuel-uelnpuel uep IeIsIe eAeS-efieg '3uer1 uelepueued ueSuep urues

sue\ pf V'gl reqruuC eped g uep €r ?r?]ue 1u.re[ ueqeqtuel t8uern>1tp ?F't'91J?qrrr?g eped g uep 8r ?J?luB 1e:uf ue8uernl ?rtlqeq qeler e,(uuesuJulesa{ Islpuo)'pV'V'% ruqureg eped g e{e8 Suesedes qalo u?Tlue8rp rn11ru1s eped u,{urs1e

vep ct'l'gI rBqIuBC eped ue>Jsndergp SUBIJ 's1s1t uoson1asry uryDunC (q)

n . ol'gg *113 -.'v'a6 +qv'g}l 'ov'E'- sgzl s9t sffn tt sszt - sg

'se1e tp rsords{e ue{?uerlropas

rp (xr-)[(r- r)or -'(3-4] JT.,p (,r-)[,(f - 4] JT.,r *i-r[,(!-,)] JT.

"y'a _a _ ov'.g= _. _ ov'g _ sg

-

@c-@cr(0'l;GXsJ-4,1e'1ou ueBuap g depeqrel 44 lursred ueunrnl u?{Brues

,r,[r, -'ror -,(! - r)),'Jry t*,[,(3 -,)],'l ry.*.[,G-')] J ry.

E r;ffiar r(i)..ort"ffis=(i),.ffif =^qq?p?

ml{nrls ur?lep rp 1e1o1 ue8ue8er 6raug 'elotSuB urelep Ip 1ers1e efet-ede8 urnl

I8I .fivoNao nvvl{ v>rrNvu-Jv Nv(I (uusodhioc) Nvnovd lioJvnu-

rqo-o\Q,'

NI OI

/(0,0)

r32

D (0, 0)

Gaya aksial dan perpindahan titik-hubung

(c)

r(o,o) t-tl B(aasz,arrr) (-z*?) c(Arc2,o)

D(Ayp2, Lya)

Gaya aksial dan popindahan titik-hubung

6.25fr

titik A, yang dihitung dengan metode balok padanan sebagai

1i'.r irii,.,',,..,r'., 15'i''; ' i lt'rr,i:\". l1lf-:' lr,i, .'', 't,1.

Karena titik A beralih ke bawah dan titik D tidak beralih, kurangan jarak antara Idan D pada Gambar 16.4.4c adalah l65lB{b.

Dengan mengacu kepada Gambar 16.4.M, sebutlah &tgz,\tcz,dan Asp2sebagai lendutan horisontal ke kanan dari titik{itik B, C, darn D,' dan Aya dar

105E,It

45.5E,lt

59.5E,lt

625fr

2,5S

(d\

&

2l kN.m

(

s?. a*,

'S'r'9 t rpqureg BpBd uq{nfirnl[p 'O uup 'e ?:tpn r.np[Bralsrsod-rsrsod utnf uup 'C veg 'g .y

Ip uuEuuurelurEqryua; ;lg ue8ueluaq Inltmp, Ip ueturnrua:1 uu8uep BruBs yg uetuuluaq {nlun g rp udulluua{ EArqBq lwm-eru e[u4q1e uped uup pgy uped uaruou ure.6em ue:luunttueu eduul tunqnq-{qS uempuel snues uu{nluaueu (Z) nsfs 'q, usp A IBB tsISJa^ wlnpuel sp-eda1 sese-1epl lnqe$el tuerl uelapuarued e,trqeq lprllleu efu4q:p uped uupe,(rduerl ue:lepuaured uu>Jeuntllusur eduel tunqnq-{Ilrl uBlnpuel Bnuras u?{-nlueueur (I) wtuep upIrulBIIp gedep efuuessrBlasa{ uelecatua4 'S'r'9I r?qtusCeped enues ueryniunlyp rgf Inlun ueruoru egas tuu1q1-er(et uerSurp uep 'Cgyepud efralaq EueI ps.reirsuBrl e^EABI?t'elotlfue Bnutas urBIBp Ip tsFr1e ef,efl-e&eg-

:

qeJepe .(g)

usp (r) uertuq IrBp 'S :1n1un perdslig ltosotqasel uoP oqtp$ uoqetotued (c)'(r) uBlteq upud qeloradlp tue,( S {nlun ueeuresred ue?uap ednras tuef

qBIBpB rur:1'uAuueserulese{ FIpuo)I'q?Ar8q e{ or uElnpual ueP s31E e{ 8r

uslnpuel uup qeprnfqrype W'f gl rBqruEC eped g uep Er BrBluB:1ere[ueqequrel

'sels Ip ueeuresred ?npel uulleseleg

'q)wp OVtuvt-uq dupuqrel iupeur-tusuur (Z' S' O ttmqnq-1nFuuqepqtued uueutusred uulderel

i ,.

'O vep g {pF Lr?p sop a\ p)t!Ua^ u?lnpuel Teteqas acIAV

88r

l0

Ac6,s2842\B+G6,s2842)

t3 ,&

,/ e,szsqz ;t7

134

I0,91705

Gaya aksial

ANA I-ISIS STRI] KI'I IR L,A.NJt]TAN

0.t '' .l ,463 I i x l0 ' rad

t), . , u,GXlX.t .< l0 I rad

ir( .. 10,:.16S9 x ltl ' raitf/ diR , {),i0i181 :i i() r nr

lf diB. 1,1s96.1 r lo r mJ//diC. 0,ll16lxi0rml//di D, 0,lotiSl a t0 r m.-\r di, = 1,55.161 x l0 r m

-4,58525Gaya-lintang dan momen

Gambar 16.4.5 Statika dan deformasi struktur bertiang-tunggal di dalam Contoh 16.4.2.

Contoh 16.4.3 Dengan metode gaya, analisislah kerangka kaku dengan batang-pe-

nambat sebagaimana terlihat pada Gambar 16.4.6a, dengan menggunakan gaya-

tarik di dalam batang-penambat sebagai kelebihan.

PENYELESAIAN (4) Gunakan teorema usaha-terkecil. Sebutlah Tsebagai gaya-

tarik di dalam batang-penambat, diagram benda-bebas dari struktur yang ditinjauditunjukkan pada Gambar 16.4.6b. Gayaaayt aksial di dalam anggota-anggotanyadicantumkan pada diagram ini. Energi regangan total di dalam struktur adalah

tt0,91705 6,91705

,,,_ r(+T)lrE) l(-300)19), l(-240)19), r(-T)118)" -, EL -1 E* -1 EA* -, EA,

Q ) g v \filur. u eruoru uIerSBIo

'€'r'9I qoluoc'1?queued-tu?1eq ueEuep nryI e{8u?re)t'e/{?3 epolaN g.t.gl Dqur"5

(p)

(r)

,€r {nlun ueruoru uI?r3BI(qIa

fi9'tz

Sunqnq-1qq uuqepurdrad uep ptslu u{ug

Sunqnq-1pp uequpurdred uep IutsIE ?d?C I*,(o'o) F,

o.zoHv)o"r j {O.toHV) O (o'o) H

(z.J^v .zJHv\ J u_) (cAv .28H9\ g (tr^v .1,H9\ 3 (tc^v .tsHv) g

I

8Ips

@)FrsI? ef?8-BdEB qeppe

(r)

zuflu/N{ 002 =g

ur 8l

^ _ 'rg + qla + qlg.

_qvg. +'vg" 98, ' JSstI oot't6t J8I J8l

'se13 IP ueeuresrad uDIBuBqJePaS

0=

ry(rxxJ) '[E*rP(6-xJ6 -xttz.) '[Y*"! Z '-' or) I

xp G )06 -,ooer J f . 6,ffi; . rsl ffi-- = #

'1ou ue8uep; depuqrel 4 ppred ueutunl u?teIuBS

*p,<'D o

I (ru), + xP,( t6 - *wz\,,' I ff + xp .( t6 -'ooo "[ T *

wz

NI O'S

urur 97{ tequuuad-Eueleq

1 ,ruu 601 xOZ'l = -"1I zuu 000'8t ='7

,u[u 601 x gE' I = -eI 'l

zwwOAO'W=qV I

NI @S

98r NVTNSO nXY>I VXSNVUA>{ NVO (gJISOdhloc) Nvnovd un.LxnuJS

136 ANAI-ISIS srRtrKt'uR LANJUTAN

(b) 6 G unakan e keselarasan /rsiu. Batang-penam bat dihapuskan pada Gambari6.4.6c dan aksinya pada struktur digantikarr oleh sepasang gaya Tpada Gambar| 6.4.6d. Kondisi keselarasannya adalah

( r*:'"[l,flfl ) - ( r"il'd, l;#" ) = pe m anj an gan b a t an g- p e n am b at

Pada Gambar 16.4.6c,

arr,= H ke bawah t,r,=2# ke bawah

Kcmiringan talibusur B'C' = -rytr#30

= - EE (negatif berarti lanan arah janrm jam)

Dari diagram momen untuk 8C,

,,=*'b'#-# "=-ttdfl-#

Arar = eos = r(+#-#) ='Ef -# = o*,Aror = Arcr + 9(d" lawan arah jaum jam)

=(Y-#).,(#.#)=#

Pada Gambar \6.4.6d,

Ava:=Avc:=0

Dari diagram momen untuk BC,

e,=-|ffirre)=-H

e. = *ffi (Positif bcrarti searah jarum jam)

Aear ke kiri = 91 0g lawan arah jarum jam) + (momen dari luas bida;ng M/EI pad^ BA tarttadap A

=r(*fl.iH <no=ff+ffArrcr ke kiri= (Arerke kiri) + (pemendekan BA

729T 243T Tfl8)= Eh- EI"-dAror ke kiri = (Arczke kiri) + 9(0c searah jarunrjam) + (momen dari hus bidarrg MIEI

=H.#.gp.r(H).lffioxo vdacDtohadapD)

t45tT 4t5T ltT=E-E--eA,

Gantikan ekspresi-ekspresi untuk Agpl rtan A,sp2yarg baru sqia diperolehtersebut ke dalam kondisi keselarasan,

#-(-!gr.ff.#)=Hyang serupa dengan persamaan untuk T yang diperoleh pada bagian (a). ApabilaAsp1, pada Gambar 16.4.6c dan A,sp2 pada Gambar 16.4.6d telah ditentukan

'€'r'9I qoruoctrglp tp luqunued-tuupq ueiueprnlq e13uzra1 pup $sruroJep u?p ?rlpuls a'f,'gi r?qurer)

x,jg'n8 t5}9'tz8

(o'oHv)o

rus_ol ur?Iup tunqnq-{lltucqepu;dred uup uetuefueua; (g)

pqs>Je ui{eE uup F{saU (r)

'8Hvl g

NI O?Z

INl 00€

I

Ia ol .Va-,P-n ,J

*7I' s = '

t! , 0l x 29661'9 l+ ., ottfu, ol xtnu)9'o- = -)lvul r ot x Iotsl'oz+ .rHvur r 0i xumit'0- - srvur r ol )( Ig96f'oz+ - gil\-

pPj , 0i t{ gggii'sl ,.(/0

Perr 0lxZSS[6'6 =rBpe.l, ol rTgggE';1 + =.rgpe: , - 01 )< y)g LB'z- - t

e

uduel g uep 5 'g 'f Ip u?lnpual uep ue8utrrurel uu:lluduPueru Inlun ue>punttp

lFleuroat apolan' q L' y 9 | ruqulsg upud tunqnq-{Iryt uuqBpuldred-uuqeputtuedBUes u?p 'DL't'91 rBquBC eped uu>pgnfunllp Isls)t? efiet-e&el uup Is)PaJ-Is{eeU

N:t lllzg'16 =98'' + SZ0|Z + St€00'0 + 9,€[8I'0 -

8',9

(qlgl8slr) + ('vgl98t) + (qval8t) + ('yal8l) - r--qBppe'(q) uep

(r) uaeeq Irep J 1n1un perdqg 'uosonlasaq uoP olgots uoqacaEua4 (c)

n"le'( g'r'€) uep (t' 9' Z)ussruBsJad uu8unqet ue>lednreur 11saur 'urltuqlqredlp ue lE I?Is)lB IsuluroJepqlqudu 'u?nlus-ueqeq epolau {nlun ?fre{{nulnr 'u[Bs n1ue1, '[ce{re1-sq?sn ?ru

-eroe1 uuldzreueu qpal O = Jelile us?urBsred eped luduprel tue[ uetuap slues

tuuf pdelurqelored e1q uule 'uaruotu tusprq u"p uslrepud-:1opq ?ueroel uuluunt-tueu tuef Lrrleuroa8 epoleu rrtp quuttlued pteqes u?nlssuuqoq epolaur'uutuap

NI ODg

t8r NVgNSCI nyV>: YYCNYUS)i S,ltC {A.LISodhloC) NVnOrtd Utlrgnu-l


menggunakan pemanjangan batang-penambat. Pengecekan keselarasannya dilaku-kan dengan mengamati kesamaan antara lendutan horisontal di tumpuan-rol de-ngan pemanj angan batang-penambat.

16.5 Struktur Paduan dengan Unsur Rangka-Batang dan Unsur Kombinasi-Metode Per-

pindahan

Kali ini, seyogyanyalah telah anda amati, bahwa penerapan kedua rumus

{x}: [AsB]-'{P}

{F*}={Fo}+tSBl{X}

(r6.5.1)

( 16.5.2)dan

secara universal merupakan sifat metode perpindahan-matriks yang tidak berbelit-belit.

Karena inilah metode tersebut sangat cocok untuk penye-lesaian dengan komputer. Pro-

gram komputer yang menggunakan matriks global [,4 ], LSJ, dan {P } sebagai masukan-

nya dan menghasilkan matriks global {X} dan {F*} sebagai keluarannya bersifat lebih

mendasar dan karenanya lebih bersifat menuntun terhadap pemula, dan kadangkala le-

bih berguna di dalam masalah-masalah khusus dan takbiasa. Program komputer yang

membentuk matriks kekakuan global dengan memasukkan ke dalamnya matriks kekaku-

an-i-nAviauA dari setiap unsur rangka-batang, unsur balok, atau unsur-kombinasi lebihbersifat otomatis dan karenanya lebih disenangi dalam penerapan industri skala-besar.

Pendekatan yang belakangan ini, sebagaimana diterapkan pada persoalan umum peng-

analisisan kerangka-dwimatra dengan memperhitungkan deformasi aksial, akan dibahas

lebih lanjut di dalam Bab 17. Terdapat beberapa versi yang disederhanakan dari keduajenis program komputer yang dilukiskan di atas.t

Di dalam pasal ini, tiga contoh yang sama, yang telah diselesaikan dengan metodegaya di dalam Pasal 16.4, akan diselesaikan dengan metode perpindahan. Sekali lagi, un-

tuk tujuan ilustrasi, persamaan lPl = IASBI {I } dan {F'*} = {Fo } + [sa ]tX) diperiksa

benartidaknya dengan menggunakan nilai-nilai {X} yang terdapat pada pengecekan

statika dan keselarasan di dalam penyelesaian dengan metode gaya untuk soal-soal yang

sama. Namur,, akan terdapat bahasan lebih lanjut tentang penyelarasan yang manakahyang mesti dilakukan di dalam prosedur penyelesaiannya jika deformasi aksial di dalam

beberapa anggota yang kokoh akan diabaikan.

Contoh 16.5.1 Analisislah balok-kantilever dengan batang-penambat pada Gambar16.5.|a dengan metode perpindahan-matriks, dengan memperhitungkan deformasiaksial baik pada balok-kayu maupun pada batang-bajanya.

PENYELUSAIAN (a) Penomoran P-X dan F-e. Gunakan tiga titik-hubung danilua unsur (sebuah unsur rangka-batang dan sebuah unsur-kombinasi), penomoranP-X dan F-e dilakukan sebagaimana ditunjukkan pada Gambar 16.5.lb dan c, de-

ngan: N1 = NF - NP = 4 - 3 = 1. Perhatikan bahwa sepasangbilangan ganjildangenap yang berurutan digunakan untuk momen-momen ujung dari unsur yang

sama, diikuti oleh bilangan-bilangan berurutan berikutnya untuk gayagaya aksial.(b) Matriks mas.han tel, [a), ls), ao" {r}. Ketiga persamaan keseim-

bangan di dalam matriks lA1 dapat diamati dari diagram benda-bebas titik-hubungA pada Gambar 16.5.1d. Pengaruh perpindahan-perpindahan titik-hubung pada

rotasi-rotasi ujung e1 dan e2 dapat ditentukan dari diagram perpindahan pada

t Sebagai contoh, lihat C.-K. Wang, Matr* Methods of Strucrural Analysis,2ed., America:'Publishing Company, Madison, Wis., i970.

q?pp? [Sl q1r1etu FI /l 'E'91 rBqLuBC eped lrdefrel-Islpuo{ efeB-ef,eflrrep qaloredrp {a} s>pfeu IsI 'rre?s{rreured rnpilaur qeloradrp ba uep €a elo?Bueue8uefuurued-ue8uefueured eped efuqrue8ued ue8uep Suuf 'al'9'91 reqlu?C

'I'g'9I rloluof,'lequreuad-8ue1eq uefluap ra^afl]usl'ueqrpuldred epo]efi I'S'9I rBqurES

lrde fre1-rspuol ete1 (/) l=CN'a-luerououed (r)

uuqupuldred ururBerC (a) E=dN 'X-d uetouroua6 (q)

-----*.-----*91-4

tu/Nr6s.trrr:.a#*. = #E =.tur/Nt ooo's. = (ooz)fu nl = # = "t

.u.Nroot :&:rzs =zts

ftth t' ol YJoo-6stroiir= Wt: ;is = rrqtu.N:l 0001 :

y Sunqnr{-Inrl s?qeq-€pueq uer8etq (p) ne[uplp 8uu,t rnl{n4s (r)

zuu/Nl 002=? :zrulu/Nl 0l ='gt1

z! +'J I ,a,#h-o! rd

luc 0ZXSI nf?I

N)t rz

f68r NYrN:{O nIY}i VXDl{V d.{il iiYi (''iJ,lsodr roJ) Nvnclvd lIoJ}I-i:-

140

'.:1', I

i,. i

lAh,.= i i {Ph,r= ,

,., i

lBl.,r [S]r,r =

lsBl1'r=

I

i"I

ti

:'lAsBh,r= '

(c\ Matihs keluarun lxl dan {.F rt}. Matriks {x} diambil dari Gambar 16.4.3 Contoh 16.2.1, dan persamaan {P} = [,{SBJ {X} diperiksa benar-tidaknya.Matriks {f*} yang diperoleh dari {r*} = {.Fo} + tSBl {X} benar-benar cscok de-ngan hasil-hasil dari metode gaya di dalam Contoh 16.4.1.

! \. !. i t \\ i j' I

I I l-:ttiit

{FrL'r =' :.;.t:.i

i

t-

I

1

L*

l;

': i0.'il69l ^ i0 1

-.''-...'-r 0.i8984,: li) r

. .l: 9,69487 x l0 r

i

I

{Xh', =

'Z'S'9 I qoruoC 1e63un1-Buulraqmrtrruls'ueqsPrlld.red apolallf 'S'qI jgq l{ls{}

nu[u111p tuel rn1ryr15 (z)

zuu/N:l 967='!r:ruruTp:l oI ='s

'I=g-6=dN-CN=IN:uetuep'o aep qZ'S'9I ruqu?C ?pBd w)Hnfunlp euuuneEuqas Ue>In>I?Fp a-d uep

x-d u?roruoued '($eurquro{-msun enp UBP tueluq-eltuat rnsun etp) Jnsun ?ruIIuup tunqnq->1qq l?due u?{Bung 'a-l uop X-d uatououed (r) NVIVSS'ISAN:IiI

'?loetu? enures epedprs1p IseruroJep utltunlrqradureur w8uep 'ueqepugdred epoleu u?tuep rZ'g'91ruqu?C epud uulluqrpedrp tued p8ilunl-8uerlreq rnl{ruls slsryuv Z'S'9I rloluo3

'uuleun8rp srusq uu>Ie U qug u?IBp Ip sBrIBqIp tuei( seqeq

rarull uEsBqeqatlsfBraP EIUBTI u8{?unttuaur tuef epoleur uBp u3$qeqel-l?fuapnl?ns rBtuqas uolnluelrp l?dBp lnqosrel ufuunpe>1 IrBp n1ss qeles efuuq ettlulqes:qB&Bq e{ , u?p uBuB{ e{ g tutpuuquad-e1tuu tunpuetueur sn.lutl f 41fll IB{11

-ra^ uep Ieluoslroq u?lnPuel '(ugtunrml4 tuuf uzqgd nlens) ue>puqerp uu4e efuq

-Eueleq eped pplu Is?urroJap e:ilf unuuN 'Z rouou u?s?qeqa{-lBferep seputueur

nlred e3r1 'uelreqerp uele n{e1->1opq uped I3I$l? IsuurroJep E{II e,nqeq qupr e{u:qeqes 'qeps Sued llsuq{ser{ ue{reqrueu Bslg tuBf 'ruseq letues tuuf s€X u?p. z€,y 'Qtry 'zz, rBlru-lqlu ue{q?qeiueu u?{e rEsaq l?tu?s tu?^ ,}S IBIIU 'unurBN'1ede1 4duruq Suef €X uup IX IsIIu-rcIIu uep 1ou-4dureq tuef zX IEIIU UDIIISBq

-8ueru '[aSr] = [r] s4rtetu uqep IP rusaq lstuus eue( rzX repu uelquqafuauru?{B ruseq lutues tuef s€S FIIU'1uI tuureles 1eos luelep Ip'qoluoc luiuqag'qq"s I-eleseurs tuef gszqlpeq ue{q"q nBlB { x } lntm 1eI^I4 ueresele^uad ue:IlFuq8uauusrq q rdqel'e[ra>1eq tueperySuepul 1uI Xu:IaI 'ue:IIBq?Ip uerlu elqupl? IsuturoJ

-ap tuel msun durles.1n1rm 'talnduro{ ?uuelrp ludep tuef qltunur &seqes '(?t-turq-ra1:p1 llp{epuau) reseq lutuus XueA yg repu uu:pun83uau ue:1u srspuBtuadedereqeq'relndruo:1 ueresala{ued ruBIBp Ip elueltuel'unprmtlp uuqupurdred epol-eur B{r{ 'uuleuntlp luei eAeX epoleu ogf ettuqreplel uetuep Bruus nll rnsun

lrr-p yg luugpnlpuol UBn>Ie>Ia{ ufuuq uulppusfireu nlrad e1q 'ue>peqetp uele(EfBs Bueru tuef) rnsun nlBns BpBd IsI$l? rsElurosap qtqedy ?nSsKI (P)

o3xo:t

"">"-BndBI

I7I i i ,,rs(.t.iii.tlJ: \r'.i(li d iiil.i_}lllii_

142 AN,A.LISIS S'1 RU Kl LIK LANJ Uf AN

(c) Penomoran F<, NF=9

F,tF, +"i "+P.5'c t,; F. F. ,l ,l{'t -oK., -T_F_F,

Fr+ Fo

', P1

#A*-Fs

:U,1",

7,20 l0 4,80

)IT

(d) Diagram benrla-bebas (free body) titik-hubung.

3,52

0 -7,2O

(/) Gaya kondisi-terjepit

{r*r-,l,rr 16 "3.2 / i,ariutc n}

7 Xr+0

(e) Diagram PerPindahan

+4,80

I'0

_ _8

L

'0 s

8r'9- s

'0 t

08''- t

a?tL+ 7.

'0I

I x

ur Nr rf's// or =,-Tl,= ::: =6s =8ss,(ol )'ooi 'Y'3

ur fir rr.rrr.rr =,*#* = {6 = -s

ur,N,t 000 0e= mz,#rfi = + = ws' =,;s

tu.Nl00t = #={'S ='tS = ris = zrs

IIEBPB

[S] $Jur?ul FI /Z'S'9I .r?qureg uped lydefrel-Flpuo{ ef'e*e(et uup rlaloredlp

{a} s:lpteu FI 'aZ'S'9I ruqureg epud tunqnq-lpgguequpugrod ruurtulp-urerielp p-Bp lrB{nluellp ledep b2 ?teuru I, eloElluetrmfn $?lor-rs€lor epud sx. IrEp uep €Xe6:lurq tX Vep qruutued '.qppnu ereces rl?ruerp elo8llue ueEuufueued-u?euuf-uarrred eped, sX etilurq tX Aunqn)t-{lrl uBlnpuel-u?tnpuel uep qnre8uad ?r?luau-aS 'pZ'S'9I rBquBC upzd tungnq {pB-IBp seqaq-?pueq rue.6u1p FBp lm{n1uatrp[7] s{Irreu utBlep Ip efet uetuuqtulase{ uB?ru?sred eun1a1 uep uetuotu ue8ueq-uneso{ useuresred BSue)'{d} uop'lsf 'Igl'lyl uDlnsout. sq!4ory (q\

:,r8{d}

= e,e[V]

8'I NVSNSO nvV)r VX9NvlrgX NVO (SJISOdhtoC) NVnCrVd UnJ.XOUIS

,44

[B]g'e =

IS]q,r =

ANALISIS STRUK'I'UR LANJ UTAN

-* - l

I

----_l

I

--- -1

I-tlI_lI

-l

-tlI

---l3/vil I,-j3/V34 I

-J

i!

I

i

i

l

I

I

I

I-tI

--.1

I-'lI

i-lI.-iI

I-'- 1i

i

F

(c) Matriks keluaran \x\ aan {r*}. tr,tatriks {X} diamUit dari Gambar 16.4.5. Contoh 16.4.2, danpersamaan {p} = [eSfl {X} diperiksa benar-tidaknya. Ma-triks {r'it} vang diperoleh dari {r*i = iro}'* lsrl {x} benar-benar cocok de-ngan hasil-hasil dari metode gaya di dalam contoL 16.4.2. Hanya matriks {x} dan{..F*} yang ditunjukkan.

\xa\

I 2 3 4 5 6 7 E

I +l + l/5

2 +l + l/5

3 +l - l/5

4 +l * 115

5 +1.

6 - l. +l

7 +1. -l

8 +5|Vv. -3lv

9 rtN-il - 5l\/ 34 -3/

e

FI 3 4 5 6 1 I 9

Srr Srz

2 Sl Sz:

3 Srr Sr

4 Srr Ss

5 Slr

6 Sto

7 Sr

8 Sar

s Ss

,.1 _ gl _,*.._!u.\)t 999 o, = _ n, *0,

'.-ui.r xno;rt = lilr= ns - r,q

ur.f({ t€€ fi - -.#i = re\- = lts = ::.; = irs

6.-L=*t=;,s=:isi,:S'r)(00c)r 'tgt

rIBI?pB [s] qFreur IsI'./€'s'9I rPquEC

eped lrdefre1-Islpuo{ etlet:e1'el uep qqoredp {a} strteur FI 'Iou eped efuurel

X IBIIu pnlues ue{ueqelradureur Fqures IoDI?1 tpefuau X IBIIU q?nges lenqluetuuetuep u?{n}ualrp [g] s{Fleur ul?lsp Ip tuolo>1 deqes B/t\q?q ue4leqred ia6'9. 9 I rBqurBC ?ped uu{lerglredrp u1o8llue-tunfn rselor-rselor dupuqrel Sunqnq-{Illl

rrBlnpuol nsl? rsBlor uup qru?Eued uu4:p[unueur tued p1rd4 uequpurdred ure.6up

Bn61 'p€'S'9I rBqIrBg uped ttmqnq {pP-)t$F seqeq-?pueq uru6erp u?p ue{nluellp

[tr] qlrtBur ulBIBp Ip er(e8 ue8uuqtulase{ uB?tu?sred uu41e4 usp uellloul u33u?q

-*,"r.r1 ueBussred 1eduree11 'lal uop'[S] '[g] 'lvl uoqnsout sq#ow (q)' I = 6 - 0 I = dN - CN = 11tr :ueEuep', wp q€' S' 9I rBqurBC

uped ue:p1n[un11p uueurret?qes uB{n)lBIIp a-.{ u?p X-d u?rotuoued '(rsuutquorl

-msun rlBng u8n uep 3uu1ug-e4tuer msrm rlBnqes) rnsun qenq ledura uep tunq-nq-{p$ qenq ledure ue{Bung 'e-i uop X-d uDrcuouad (o) NYIYSS'IA.\NAd

'elo8tlue unures eped PrsTB Is?turoJep

uelSunlqradrueur uetuep'ueqepurdred epoleu ue8uap o€.'S'gl rsqru?C eped ue1

-leqqredrp tued leqtueued-8ue1uq ue8uep n:p:1 e18wre{ qBI?srPuV t S'9I qoluof,

'uueslpuu8uad urepp w:1eunt1p tuud

uerepueiued-uerepue8ued ?uerE{ ItrBgrueq u?{e {spB q:FlpIq Eue1l e{t4e;n ue1

-ednreu rnl{ruls uenluallele{ l?tBreo'I = S * 9 = dN -.fN = 711 ueryrseqtuetu

qnd '(e[uq tueleq-8ue1eq urulsp Ip prsrle ei(ui Bnp BUes Cg ueP gy eped Xur.frr

ueruotu ludue) 9 qBIPpB uluseqeq FIIEIoIIp :1e1 6uef ueppefet eftqefuequep (O nBlB B. I?{qlel uelnpuel usP 'O pluoslrol{ uelnpual 'C Ltep 'g 'f p tur,tqnq

-rlliri orro, esp) S qsppe efuuuseqeqe:1-1e[urep 'uoprmllqredlp uB{? tuef u[Es

uijqtueleq-Euuleqepudlul$lsFeturoJapqlf 'I = € - l=dN -j'N=lgutiluq-es 'rg uep gV eped Sunfn ueuou-uotuour qepfueq e{usegeq mqe1a4tp1e1 tuefurupp-efet uBp (, usp 'g 'y 1p Eunqnq-ry1q rsqor) € WIBp? ufuueseqaqel-1eferap.,rr1pqqp uele el0tilue enues epud tBI$l? IsBIIuoJap qIqBdY Tsnq*o (P)

ut.Nrt 999 901 =,, 91 x (o0l x0z

_.ryI__ *'il?l:

_ ottt8't-

__!"2_zt8t9'9-

___1 _

_!___1_

t

0 v

9ZS8S'r - f

szs8s'' + c

,0I

I\*gJ?\

= rx5{+c}= '4{xi

i 0l \ zgllz'o -

r 01 xt968t'l *

r 0l x 689€5'01 -

{,0t x00000'8 +

r-01 x iltg?'g -

97I NVTJNgO OXVII YvSNV',UglI NVfl (SrISOdI iOS) NVnOVd Un'tr.l! -

540 kN

Ao= 24.000 mm'Ir, =1,50x lOemmn

ra =18.000mm'.-1 t' = l,2o x loe mmr

batang-penambatS25 mm

L46 ANALISIS STRUKTUR LAN JUTAN

(d)Diaetarn

E= 200 kN/mm2

(a) Struktur yang ditinjau

(D) Penomoran P-X, NP=9

(e) Diagram popindahan tipikal

(c) Penomoran F-3, NF=10

314,81482 225,18518

A Gaya kondisi-terjepit

Gambar 16.5.3 Metode perpindahan, kerangka kaku dengan batang-penambat, Contoh 16.5.3.

S,. - -S". - :ll^ 13.r rr k\ rrrrQ

F-A lirL)( i B.0U0rs.- .- s_ - 1'.

,- . , = +i)0.000 kN/m

- E.{r :001:4.000).S.. - '9 = .-- -- --l-:L = ltr6.r'tr, k\/m

^ E,q, 100;(11.5)r.Sr,,r, = "1f = -""-1-'--':* - i454,1r4 k\/m

P6 Ft+F2I l8

P.l I&illlJ,r.+r._!l'6 ' I-l' F-r,.F,+ F,f-gf,*o,,

Fr+F, ps

--i#t F,+Fu

'rr*${r,benda-bebas titik-hubung

,- Xt+0

=6'0rIg]

=0'x5[v]

l-i-ltij lrltl:;i t- , '. i i,, 1 l', ir- --r i ;

,ltt'.

,^'r r lu,'-f i ,'rrr. i r'lr i i ;

rlrl- ' !ltl-

'r',,-: l-;,; I

tj'''iilll

, r I t- I1,,i,, ! * l . o i t i r '

I ' j - | I i .- i

8I/1 -

NY,tri:{O Il}t\i}l V}ICNVII3X \lV(1 (sJISOdl^'lOC) NVndVd UnJvnU]-:LVT

1,18

IS]ro,ro =

{Ph,, =

\1;1; ll:1.,,- rrrr:'1 i i')l j...rfitrl,,.:

:-;,.i,,1

':,riirl

,i- .;. ....f i

ll:

i'-i

I - .,

ii

I:i'i 'I

lal

:i

$.*

t$t

$.{.*.fli

'Bl(ul?TUe^ u??{nured tuefuedes rp s?qaq ?reces 4culle8Eueur usrq uB

-Sulges edru uerlrurepes resaq {olq nlens tuBIEp eI {ttselu Suef >1opq ueue>1-8un[n ngtur-elu Ilseu ei(qseraua8eprel rnl{uls '1u1 snse>1 ur?lEp IC 'u?qlqelo{ teSzqas i) Ip p{Itre^rsI?er ue>leunEtlueur uetuap I'r'9I qoluoJ r8el uelteseles 'eie8 epoleu ue8ueq g'91

'uerlrgolel rBBBqes ;t rp rqualueuoru uuluun8ilueru uetuep I'Z'9t ltroluo3 t8el ue>pesales 'e{e8 epoletu utSucq X'91

'u?qrqele{ rc3eqes y rprs{?er uoluunSSueur uetuap l'Z'91 tloluoC r8el ueryesales 'u,(e8 epoleu uetuaq 1'91

'(O'9t uep '8'91 'L'91 lruqllr1 {nlun DIBIraq Irn ?tuss Eue.{ ue.rnfue) snguesurelase{ undneur lco>lre}-?r{Bsn Bruoroel 4req uapuntiluaur uu8uep qaloredtp qsau

u?DIrruep Eue.( rsards4e-tserds4e 'e>IeIAI 'qotruoc-qoluoc urBIBp Ip ledepral 3ue[ dnlngal-{nluaq [s?q+s?q depuqral efulacaEuetu uep 'rnluelueo1nle{ u?p IsupnllEuol-ue-DIDIe)t uep tsEung teEuqas u.,(uuuqrqalal 1n1un dn1n1rotr-{queq tsardsla ue{unJnl BIIInep{ unlunuour lsJrsJeq qrqal r{BIue>tE '9'91 efl3untr I'9I uBqllBT uemsalaz(ued urepg

uBqIlrI g'gI

'l =9 - L = dN - JN =1,L1 eSSurqes !(lequreuad-3u?leq urPIEp rp 1rru1-e[e8uep 8un[n uetuotu ueue) t ue8uep etu?s u?ry efuseqeq Inqele{lp{e1 8ue{ urelep-efeE ui(ulefrreq u?p (1or-uendurnl Ip 1zluosuoq u?lnpuel uep '9 nele Br l?luosrroqu?lnpuel'Sunqng-r1r1r1 rselor ledure) 9 ?ttqq Is{nperel uule efuueseqeqa>1-1ufur

-ep 'uelrequrp ue{u ruolol-tuolo{ uep {opq uped prsle rseluroJep u{rf 'Ipues

-uendrunl ue8uep ewlas Bfulenqureu '1ou ue8uep sltres ue{? efulor-uundunl 1p

Iuluosuoq uulnpuel uep eE8ulqral{Bl Suef um{pla pllllrueru u?>lu lnge$el }ug-urzued-8ue1uq u?Dlrluep ue8uep ?uere{ 'lequiuuad-8uu1eq eped IBIS{B IselrrroJep

uB)tIEqB plpl nBIE){ I?I? {nsutu u?{? {3pI1 '1u1 leos {ntun ?s"?sto (p)

= rxor{*C}

':..f;*

.t;,c*'*j@&..* :3.

l*&*re6{,,1

'iggi;*

i:iill,'i'l:.l':li:i:;'' j.r,,

-:...,." . :

' ,'{. ., ',:'- '-: " " '".1

= ',e{x}

'ue>11nfun1rp {*f} uep {X} trttrl-eu ez(uu11 'Et'gl qoluo] ruqBp Ip efe8 apoleru u?p [s?q-Issq ue8uep lococreuaq-r?uaq {X} [gS] + {0.{} = {*J} rrep qeloredrp tuui(.{*J} s1g1ey1 'e,(u

-{eprl-&ueq es4rredrp lyl lgsvl = {7,} ueeuresred uep 'E't'91 qotuoJ 'L'V'91r?gruBC rrpp Irqururp {X} s:paeq :l*t\ uop \X\ uonn1aq sqyvq (2)

6tT ' NV,9NS(I nXVX VXCNVUSX NVO (SUSOdIIOC) NVnOVd Unr>Irllrrs

Vii.l


16.4 Dengan metode gaya, selesaikan lagi contoh 16.4.2 dengan menggunakan gaya-

tarik di dalam batang-baja kiri sebagai kelebihan.

15.5. Dengan metode gaya, selesaikan lagi contoh 16.4.2 dengan menggunakan momen

lentur di B sebagai kelebihan. Di dalam kasus ini, struktur terdegenerasinya akan me-

miliki titik-hubung berpasak di B yang menghubungkan tiga unsur-kayunya'

16.6 Dengan metode gaya, selesaikan lagi contoh 16.4.3 dengan menggunakan momen

lentur di lokasi beban pada balok sebagai kelebihan.

16.7 Dengan metode gaya, analisislah struktur bertiang-ganda (queen-post structurel

yang diperlihatkan pada Gambar 16.6.1 dengan menggunakan gaya-tekan di dalam tiang

kiri sebagai kelebihan.

16.8 Selesaikan lagi Latihan 16.7 dengan menggunakan gaya-tarik di dalam batang-baja

horisontal sebagai kelebihan.

16.9 Selesaikan lagi Latihan 16.8 dengan menggunakan momen lentur di dalam balok

pada puncak tiang-kiri sebagai kelebihan.

16.10 Balok kayu yang diperlihatkan pada Gambar 16.6.2 bertumpu pada tiga pegas

elastis yang bisa berdeformasi pada kelajuan 0,5 kN/mm. Analisislah dengan metode per'

pindahan, perlakuan setiap pegas sebagai suatu unsur rangka-batang dan gunakan jumlah

minimum titik-hubung yang mungkin. Tentukan matliks lXI melalui penyelesaian per-

samaan simultan pada komputer atau terlebih dulu melalui penyelesaian soal dengan

metode gaya.

l6.l I Selesaikan iagi Latiiran I 6.10 dengan metode perpindahan, dengan menggunakan

lima titik-hubung, empat unsur balok, dan tiga unsur rangka-batang. Kerjakan soal inihanya jika program komputernya tersedia.

16.12 Dengan metode perpindahan, selesaikan lagi Contoh 16.4.1, tapi perhitpngan de-

formasi aksial di dalam batang-bajanya. Cocokkan hasil-hasilnya dengan yang di dalam

Contoh 16.4. I dengan menganggap EAbalokkayu sama'dengan takterhingga.

15.13 Dengan metode perpindahan, selesaikan lagi Contoh 16.4.2,tapi perhitungkan d.e'

formasi aksial di dalam kedua batang-bajanya. Cocokkan hasil-hasilnya dengan yang di

dalam Contoh 16.4.2 dengan menganggap f,',4 balok kayu dan tiang sama dengan tak-

terhingga.

E,= l0 kN/mm2; E,=2m kN/mm2

Gambar 15.6.1 Latihan 16.7, 16.8' dan 16'9'

ri

irl

$

*;i

20 kN

kayu 15 x

"d''JPkayu 10 X 10 cm

baja O20 mm

E = l0 kN/mm2 Gambar 15.6.2 Latihan 16.10

'6'gI nBlB'8'9I 't'9I usrtr-Il?'I ruElpp Ipe^Bt apolal'u uBp lrssq-fs?q ue{Bun8:luetu u?Euep nel? ra}ndr.uo{ Bp€d uBllnulls usEruEs

-red ueruselefued rnl?leru,{x} trft re* ue{nlual'elottue enures eped pF)t? rsuluroJop

uu4Eunllqredtueur uetuep'L'9 I ueqIlB'I Irp{ruselos'uuqapqdred epoletu uetueq g 1'91'etllurqrellul u?3uep

eures efuurolo{-uolo{ uup {oIBq yg dettuetueur uetuep €'?'9I ltroluo3 urplep 1p tue,iue8uep ulupseqlrseq uelp{oco3'edulequruuad-Eueleq u?IBp rp IBrs{? IseruroJep efuequultunllqrad IdBt'€'t'9I qoluoJ 6e1 uelleselas 'ueqepuldred epolaur uetueq il'gl

I9I ' NVCNUO nlMr VX9NVUS>I NVCr (SUSOdWOC) NVOCTVd Un&XnUIS

BAB

TUJUH BELAS

MOMEN SEKUNDER DI DALAMRANGKA _ BATANG DENGAN

TITIK _ HUBUNG KAKU

l7.l Gambaran Umum

Rangka-batang baja yang biasa merupakan suatu struktur yang dibangun dari anggota.

anggota individu yang secara bersama-sama membentuk rangkaian segitiga. Titik-titikhubungnya bisa dipasak, dibaut, atau dilas. Namun, pada tahap pertama analisis struk-tural, titik-titik hubungnya diandaikan berfungsi sebagai sendisendi yang licin. Jikarangka-batang yang bersangkutan benar-benar dibangun secara demikian, maka anggota-

anggotanya akan ditujukan untuk memikul hanya gaya aksial tarik atau tekan dan tidakditujukan untuk memikul lenturan. Gaya aksial di dalam setiap anggota yang dihitungdemikian, baik untuk rangka-batang statis tertentu ataupun statis taktentu, disebutgaTa

aksial primer.Apabila panjang anggota-anggota berubah karena kehadiran Eaya-gaya aksial di

dalam mereka, titik-titik hubungnya (pasak-pasaknya) haruslah beralih ke posisi-posisyang baru untuk menyesuaikan diri mereka terhadap panjang-panjang baru anggota

yang bersangkutan. Perpindahan-perpindahan ini, disebut perpindahan titik-hubung.atau lendutan, haruslah diikuti oleh perubahan-perubahan sudut antara anggota-anggota

yang bersangkutan. Hal ini bisa terjadi secara mudah jika anggota-anggota yang lurus ter-

sebut dapat berorientasi secara bebas terhadap titik-titik hubung yang bersangkutan.

atau,dengan kata lain,jika titik-titik hubungnya dapat berfungsi secara sempurna sebagar

sendi-licin. Bahkan untuk rangka-batang yang titik-titik hubungnya dipasak, anggota-

anggotanya tidak bisa berputar secara bebas terhadap pasaknya karena gesekan yang

mungkin timbul. Pada rangka-batang yang dibaut, anggota-anggotanya hampir tidakmungkin berotasi pada titik-titik hubungnya kecuali untuk beberapa penyesuaian ter-

tentu, atau "permainan", akibat pengurangan daya gesek yang mungkin terjadi pada

sambungan bautnya. Pada rangka-rangka yang dilas, atau dalam rangka-batang beton

V

rseruroJep Bduul uep Eurdures ueEue,(oE eduel n4e1 elEuere>1 nlens reEeqes slsryrrEcueln>JEuusraq 8ue.( rn11nr1s 'rsurelr sesord rrep unpa>1 qu13u?l tu?pp rq 'uu1et-ra:p:

sueq )yZ'Ll'qg epud uuplnlun1rp uueurre8eqes lrdafral-8unln uotuolu-uatuoru 'qpq:-req w{qeloqradrp 1epr1 uloE8uu qer?-rpr? u>{lf 'lu1 IBr{ ureleq 'ue>ln]uolrp uelnltrm-req 8uq[ Sunqnq-{llp ueqepuldred-uequpurdred uu8uep erues-?rrrcsreq nruud Tuqo oiri-o,to?uup '>lesedrp uolreprrerp e.(u8unqnq {llp-{l}p '1sete1r sasord uep uuel;ad qa{3rryruBIBp Ip 'e,,(ueuere;r1 '>lesedrp ue{nq u?p n1u1 uqn4Suusraq Euu,{ Sunqnq {l}ll-{Jllt ei'j-I?puuos l?nl{? BrBJes InJunu repurules ueurou-uetuour eueunuSeq 8uu}uol e,(uunlaqa-.

lesed uep runrun uer?qure8 4rup8ueru Eue,( '1sere1r epolau qelepe eurulred 3ue1'(>1esed Sunqnq-ry1r1 ue8uap 8uu1eq-el8ue;

u?p u?1(?l re8eqas) ru1q Eunqnq {l}ll-{Ill} ITItueru Eue.{ 8ue1eq-u18uur srsrpueEc-otu >lnlun ueur?lreq 3ue.{ epoleru e8tl ledeprel 'sr1rroe1 eruces efu4upllos 'unurn Er?f,e(

uusrsrteuuEued apo1e6 g'1 1

'n1r e1o33uu sr1su,:

erun1 SunEBus srru8 e1 e1o33uu slnules-qere rrep lepued qeued-upue1 qelo ue11n[ur*-rp uuqnrnlese{ Bruces Sunqnq-41r1 derles tselor ruseq'I'I'rI 'qO ?p?d'I1eqnreq )sp::n1r Sunqnq-1n[ Ip nruouoq Eue,{ srlsple B^]n{-earn4 eped Sunffiurs streS-stre8 ereru:

tnpns ue{lesu u?r{runloso{ Brecos IsB}oreq esrq Sunqnq->1t1t1 dutles B/t\IIBq uu>ll}Eqrad'ufurusoq q?qrueq >ppr1 ulo8Eue 3un[tt-8unln Ip snselo B^rn{-s^rn{ eped EunSSuts sur:-srreE urelue lnpns eEEuqes snlnd-sn1ndre1 srre8 qelo uaplnlunlrp uueunu8eqes ruu:'-erlr Ilsoru ve4e ,v,) uep

"),9 "g,y

elo?flue-elo88ue uer>[tuep uuSuaq 'qeqnraq ledu;>luprl trnqesrel lnpns-lnpns uern1n e>pur 6n>Ie>I n1t u.,{u8unqnq >lpll-{llll u4tl'unure-1

2 Elntuos lnpns rr?p resaq qrqel rtseru /J lnpns ue>J8uepes '.Br uup y Blnuos lnpns-lnpnirrBp lrco{ qlqel rlseu Surseur-Sursutu ,g uep ,y }npns-}npns uzuqeq qepledurul'snrn1 dera:

\seur tYt) vep'p,g

"{,v eloflEue e3na1 u41 '(e,{uuendtun} Islpuo{ BuerB{ IEIuG

-rror{ uelnloqe{,gg uu8uop ltdurraq uelnleqGi ,V rrap V) 'J ' ,8 ' ,v e1 ue>lqupurdlpJ '8"

'p,3unqnq {llJl-IJ}ll'e.{uuto33uu e8rla4 Suufirnd uuqeqn.red leql)iv'l'l'll 'qD ppE:

1gV efltyflas {nlueqreq Euuleq-e18utr qelnefuq '1n[ue1 qlqel uDIselalueur 1n1un'ue>leun8rp rlseu u?>le 0Z qeg tuepp Ip ueltfesrp 8ue.{ epolau

'uur8uqes-n>1e4 e,(uEunqnq {l}l}-{lll} ullqedy '1ul qeq UBIBp Ip seI{BqIp ue4e n>1e>1 3un;-nr{ {11p-{IlB pllltuetu Eue,{ Eueluq-e4Euer ureiep Ip ropurules uotuoru u?nlueuod

'lnqesral e,(ue1o33u:

-e1offlue ruBIBp rp Inqu41 uulu 'raurlrd prqe e.(u8 depeqrel Dpurblas ualuow lngasr:eserq 8uu,( '6rnluol uaruoru-uoruotu '.e>IBW 'rnluolatu llsatu uB{? Irlpuos u,(ue1o33uu-eto:-8ue 'n1u>1 8uu.,( Sunqnq-41}l} snse{ UBIBp Ip lltadas lle{oseluss qu8ecry nele 'uut8uqa-n1e1 3ue,,( Sunqnr{-{I}lt snsol rrrulep rp tlredas u,{uqnuad tuyu tuducueur 1n1un 3ue>1a4:

rde1e1 qeqnreq {nlun Sunrepuec efueloSSue I{Br?-I{?re Br?lu? }npns-1npns epqedu '(unr-rpues snsu{ rpncal) sns?{ enrues uE?p IC 'IIB{osBtuBs L{eqnroq ledup 1epr1 efueto:-Eue-elo8Eue ?ruluu lnpns-1npns 'tu1e.{ in4q deEEuelp efu8unqnq >ll}p-{I}l} 'Eut1n1:a;

n1u1 Sunqnq-411r1 ue8uep e8n€as {ntueqraq SueleqdlEw1 I'I'lI r?qurg

V789T nxvx oNosnH-xrJrJ NvoNso cNvJvs-vxcNvn r4rv'Ivct Iq usclNoxss NsI rox


lD) (c)

Gamber 17.2.1 Metode iterasi.

aksial, tapi hanya memikul aksi momen-momen ujung-terjepit yang dibebaskan. Untukoperasi ini metode distribusi-momen paling sering digunakan, meskipun metode, ubahan-sudut atau matriksperpindahan dapat juga digunakan. Momen-momen pengimbang yangbekerja ke ujung-ujung anggota tak lain adalah yang disebut momen sekunder. Momen-momen ujung ini pada gilirannya memerlukan gaya-gaya lintang transversal yang bekerjadi ujung-ujung anggota untuk mempertahankan agar anggota-anggota tersebut tetap ber-ada dalam keseimbangan. Di dalam langkah ketiga dari proses iterasi, lawan gaya-gayalintang transversal pada ujung-ujung 'anggota mesti bekerja pada titik-titik hubungrangka-batang yang juga dipasak, menimbulkan apa yang boleh disebut gaya-gaya aksialketiga. Selauh sistem beban semula, seperti tt/r, Wz, W3 pada Gambar 17.2.la,melibat-kan hanya Eaya-gaya yang bekerja pada titik-titik hubungrya sendiri, gaya-gaya aksialketiga biasanya sangat kecil apabila dibandingkan dengan gaya-Baya aksial primer sehing-ga proses iterasi tak perlu lagi diteruskan.

Pilihan bagi metode iterasi ialah memperlakukan rangka-batang yang memilikititik-titik hubung kaku sebagai suatu "struktur paduan" atau sebagai zuatu "kerangkakaku dengan deformasi aksial", sebagaimana yang telah dibahas di dalam Bab 16.Apabila pendekatan ini digunakan, hasil-hasil analisis yang bersangkutan bersifat eksakdalam arti bahwa mereka mencakup seluruh iterasi yang takterhingga banyaknya didalam metode iterasi. trbih lanjut, apabila sistem bebannya melibatkan gaya-gaya selaingaya-gaya linier yang bekerja pada titik-titik hubung - seperti bobot anggota-anggotayang berat dan panjang, atau'peralatan berat yang tergantung pada anggota-anggota,atau momen-momen yang bekerja pada titik-titik hubung akibat eksentrisitas hubungananggota terhadap plat buhul (gusset plate) - pendekatan ini mungkin merupakansatu-satunya metode yang logis digunakan karena metode iterasi tidak dapat mencapaikonvergensi secara cepat.

Rangka-batang yang memiliki titik-titik hubung kaku, seperti struktur paduan,

be-rsifat statis taktentu. Karenanya, metode penganalisisan yang kedua dan ketiga adalah

+

-r1 ue{rupuerp 8ue1eq sruuos ?uorul rnqetoTp{el Euef Eunqnq-{}1l uelnpuel ledBpra:ue>{B {Bpr} 'qndr8el 'e[ia4eq Suef uuqeq-uegoq luqple lrde[ra1-3un[n ueruoru-ueuouiedeprel u?)tu I?pq 'ufu8unqnq 1pll-{l}ll rp ufueq e[.re>1eq rreqeq Bnruas e4r[ uuerrl'rut ru[u>l e16uere1 uesrsrpueSuad urepp prs{? rseuJoJap ue4uqe8ueu {n}un uBsBIB spr>luprJ'uur{Bpurdred-s4u1eu epoloru uu8uop srsrleu?rp Bsrq ?r u?r{nuep ue8uap uep '.n{sre13uere1 ue4uduau u.{urrueqes n1e1 Eunqnq {llll-{llt r1rlrruotu Euu^( 8ue1eq-e18urg

u4uur;,nq-e16uuJey runrun uBIBosJad {rqun usp!e1a{ue4 g' 1 1

-as w{r,rnrp u?{B rul,,I tunqnq >lpll-{pl} r{rluoru Eue,{ Bueleq-el8uur ,rr'ffffJt'J;>lnlun rssralr opoletu rcp ueqepudred epoleur'e,{ulnlrreq psed ederegeq u?Ipp IO

' t' Z' Ll'qg eped ue44nlunlrp'n1e1 Sunqnq {I1I}-{Illl Drlfuretu Suef eE46es {queqroq Euuleq-u13uer {ntun 'a-l velX-dr uBJotuoued 'qoluoc ru8eqa5 '9I q?g urBIBp Ip uB>lIBrnIp Suui( rnpesord rln)p8uatuIut apoleu uzderaue4'lell81p ralndurol u?nlu?q ue8uap etuelnrol'ue>luun8rp leue 8ue.iopoleu uelednreur's{irlutu rselou luBl?p ll?>lsnumrrp epqede'uuqepurd:ed opolaW

.lln

qBq urBIBp Ip lnfuBl qtqol us{rernrp u?{s {?pll Iul epo}e[Iou rlBlsnrBrl u,(uurc1 ue8uo:-od tsrs rp Blereru?sro1 ueqepurdred e8qal '1rda[.ra1 duB8uerp lnqesrel ue8uolod rsn ntes

qupselrf'e,(ur1rz:louq?lsnJerllnqesrel uu8uolod Ip Iqsp rs?lor uup'[E{r}ro^ uuqupuri-red 'pluosuoq ueqepurdred e,rqeq qupr e.{uueserulose>l Flpuo) 'lnqosJo} ue8uolod rsr-rsrs eped ue1ufte4p 'htruep'r1 '11 ruav( 'ueu?^\ulroq uep Bru?s Eue.,{ eleruureslel u?qrqa,-a>1 u,(u8 Suesed efiI')g 'TIBIUu>IBIe>I '3uufuudas Ip {llll Euereqruas lp uu8uolorued rqei-arrr nluolrel st1e1s uellpufip iudep e1 'eE4 leferepraq n1uol{B} srls}s leJrsreq Z'Z'Ll 'q,uped rn11nr1s 'qoluoc re8eqag 'uolderalp Uns rde1q 'puorsdosuo{ ereces un8Sue'ufr6-epole141 'uenpud-rnp1nrls rrcsrsrleueEuad urepp ueqepurdred epolew uep u,{u8 epolou:

6=lN:t=fVN'.9-L4,IEN: alrrEroruoued(q)

'uzqrpqdrad epolery EZ'Ll lrqwe1

9 =dN :€:SdN :t: ydN'X-dr ugJouroued (r)

uI?8 epotelll Z'Z'Ll IP,gltt?/rJ

9qI oxvx cNoaoH-TIJIJ NvcNscI oNVJva-vvgNylr wv'Ivct Iq uscrNoxss Nsr royr


dak berubah panjangnya. Dengan demikian, mustahillah bahwa suatu rangka-batang

yang memiliki titik-titik hubung kaku dapat dianalisis sebagai kerangka kaku tanpa de-

formasi aksial.

Apabila rangka-batang yang memiliki titik-titik hubung kaku dianalisis sebagai ke-

rangka kaku dengan deformasi aksial, maka prosedur penyelesaiannya akan mengikutipola untuk persoalan umum kerangka-dwimatra. Apabila metode ini digunakan, beban-

bebannya bisa bekerja tidak hanya di titik-titik hubungnya tetapi juga pada batang-

batangnya sendiri. Metode matriks-perpindahan untuk penyelesaian yang demikian se-

lalu melibatkan kedua persamaan.

dan

{X}: IASA,l-'{P}

{F*}: {Fo} + tSA.l{X}

(17.3.1)

(17.3.2)

Apabila suatu program komputer disusun untuk melaksanakan operasi-operasi di dalam

Pers. (17.3.1) dan (17.3.2), dua pendekatan boleh dilakukan.Dalam pendekatan yang pertama, matriks-matriks masukannya adalah matrik

global [A] (yang telah dicetak terhadap matriks global [B] melalui hubungan [B =

lA'l). matriks global [S], dan matriks-matriks global {Fr} serta {P} Matriks [S]terdiri dari beberapa submatriks 2x2 untuk bagian lentur dan sebuah matriks diagonal

untuk bagian aksial; karenanya, beberapa jalan-pintas dapat diupayakan di dalam pe'

rangkat-perangkat komputer. fDalam pendekatan yang kedua, ekspresickspresi untuk unsur-unsur di dalam ma-

triks [,4S,4r] diturunkan untuk anggota-tunggal yang miring pada kerangka kaku apa'

bila anggoti itu memikul kombinasi aksi dari gaya aksial dan lenturan. Matriks-matriks

[Al, lB1, [S] , (SB] , dan [,4S8] dari anggota yang demikian sebagaimana ditunjukkanpada Gb. 17.3.1 adalah

(a) Penomoran P-X, NP = 6

(b) Penomoran F-e, NF = 3

Gambu 17.3.1 Anggota tipikal dengan deformasi aksial pada kerangka kaku'

tSebuah program komputer yang demikian, terdapat di dalam C.K.Walrg, Matrk Methods of Struc-tural Analysis, ed ke-2, American Publishing Company, Madison, Wis., 1970, Apendiks H.

$

$

*,

&

T

(s's'rr)

(t'€'Lr)

(€'6'fl) - tvl

19,

.tt,.':*tii.til|;.].:i l ilf :l f;,r:,'

,l.ft r:.:

:i :.:'i:r:iil.l:.1:i r: )::.r i rl

:,.,:..,'l j:if,, .r. :,1 c

: tsl

: tsl

:,,$:, r :.{',

llffilt+ ,9 L

$ :.$ 'nlwl t

€ 4 I\aa\

ii:.trf

_-i!'ii.-'l

:$

***ffit i:&:.,. :l.l:

rl:iiilti:::::l:r:iii?:!:fil:li::r"-i!::*ir!:in'r:1-iE;1i:d!:3;iill:.:!i

ffi##

LgI nxvx gNnsAH-xrJrr NvcNsc oNvrvg-vxcNvlr wvlvcl'Io usqNnxss NsIIon

\xF\): 3 4 5 6

0i,.Ed i'.-t6.;!Qsc

jEA : -':-:t:$fi:{r 0

lrA*.,=?*eos rr ,EArT- srn a

2'. ,4EI.-E- 6EI+;r sln ai:6.EI-,':'r'?Treos I ,zEta-?: 6Et

:T?i.srn c 6EI+Trcos.

3zEI+-L

.6EIiTr $fl ei,68I".,,:, ,,

,:,T{csla 4EI*-T,

6EI::;-r $rn a .6EI+T:- cos.

.U

158

ISB]:

tAsBl:

ANALISIS STRUKTUR LANJUTr.\,

(17.3.6)

(17.3.i t

,, : +cosz c 12 = +sin o cos a 13: E| sin' a

rt:ff cos o6EII):,7srno

r6:#Lcos2 a 17 :ryLsin d cosc 18 :ff ,in, o

Di dalam cara ini, data masukan yang akan diperlukan untuk penyusunan matriks ke-kakuan global bagi setiap anggota hanyalah (1) keenam nomor derajat-kebebasan globalyang berkaitan dengan keenam nomor derajat-kebebasan lokalnya, (2)jarak-jarak',ber-gerak'l.H dan z (positif ke kanan dan ke atas) sebagaimana ditunjukkan pada Gb. lj .3.1a,dan (3) karakteristik anggota EA dan f/. Melalu ilup Do tunggal, dengan algoritma yangsemestinya, matriks lokal fasnT ] dari setiap anggota dimasukkan ke dalarnpetat-pltatyang semestinya di dalam matriks global IASAT]: Kemudian persamaan (tz.3.rjaryu-nakan untuk menghasilkan matriks-perpindahan {x} . Kemudian persamaan (17.3.2),atau Persamaan (17.3.6) di dalam kasus ini, diterapkan secara lokal untuk menghasilkangaya aksial dan momen-momen ujung bagi setiap anggota.t

tProgram komputer semacam ini terdapat di dalam buku yang sama, Apendiks K.

x,.P

l , 3 4 5 6

I +4.E,Ilf, +TJ :t4 +ZETI.L *T5 *T4,,2; '.&f, :r:U{m,-.,f?}:, +i?5 '.!{f,l,*.,?E}, :;{f,,e- ra3 -74 :+,{f2':-11'?) +.tTi'+,?6) -?4 r {f? ,;..:,r'1:7}i -1ft+ T6)

4 +twL *,T5 iT{ +{EljL *TJ +T4

5 -T5 *t"l + T8) -tT2; TA -T5 +(?1+ f8l +(T2* TTI

6 +T4 *(77.,,T7\ -(T3 i T6l +f* +172- 77, +(T3 + T6)

iealtnl:{a}

{ax}[?x] = iad]

uetuap 16'6'11) 'sta6

ue8uap (e'e'f t) 'sre4 uoJese.(p

qelo eX Bttqg IX usqepuldrad-rnquprn<Leduep ntun; r.etuqas uu4serdslarp pdep eily ?ttqq IaX uur{eprqdred+ruqupurdred uep

'ot'g'tt)

G't'tt\

(8'€'rr)

eX

sX

,xeX

zytX

ead

sad

oad

€ed

zad

rad

D SOC+ r' UIS- 0p urs+ D soc+ 0

0 0 I+000000

_000

000000000

DSOf,+ pUrS- 0p urs+ r0 soo+ 0

0 0 I+

o**ofi-

#.0o#*

esxssxEXeexzt11

Iax

,dsd

tded

z4

Id

tsd

rosoJ+ purs+ 0 0 0 0purs- r,soc+ 0 0 0 0

0 0 I+ 0 0 0

0 0 g osoc* purs+ 0

0 0 0 Durs- lrsoc+ 0

0 0 0 0 0 I+

I

qalo e fr4 effiu1q t,fur e[uE-e{et uep rstunS reEeqes unpsardulap redspqz't Ll'qg uped e4 eBEuru t4 e,Az?-etle? uelpntua) 'rl u88rqq cz'e'LI 'q9 uped seqaq

-Bpuoq uuferp w?uee{ dupeqrol ueleuuBuad Inpleu qeloradrp ?stq sele Ip us?unsJad

ead

sed

sed

zad

ted

ofr-oh.oeax

sax

,gx

tax

zrx

rax

,-I!+ruzt

0

z'I ,

Igg-e'r _

IqZI

0

z'I ,

rag-

o #*#- , #*

o h* #'-o fi-#.

#-ooo h* #r-

: lrullroq pEuqas esx BtllqnltsX lnp rsEun3 m8eqes uelsards4alp ledep (rnsun grereq uetrc{-rotuou eped gD ezd

e88qq rt4 eleE-eieB'q't tt 'qg epedol nce8uatu ue8ueq 'ue1n18uusraq 8uz,( rnsun

qere Eue[uedes rp luulprooI nquns nles ue8uep IB{ol Uen>Ie>Ia>I $[rlulu Wnqos u?p

rseruroJsu?rl sIrrl?ru enp ueluunEraduatu ueEuap TIEIBI Iu1 s>llrleu qeloraduraur 1n1unrrEI ?rEC 'l?urproo{ nquns Euesedes upede4 ncsEuau ue8uap '{opq uep Eueleq-o1tuurs?uquo{ rnsun rrzp IE{ol uBDIDIa{ qgl€ur }nqaslp qatoq (t'g'tt) uueuresre;

69I nxv>I cNnsnH-vrJrr NvgNsq DNvJvs-vxcNvu mv'rvq Iq usqNnxss Nstllor

V160 ANALISIS STRU KTUR LANJ UT.LX

Pa-xo

*o*,Po-Xo

Pz Xz_t,-

6!

_-+p

!"i e)vi*'v

Gamba 17.3.2 Penggunaan matriks transformasi untuk menurunkan matriks lokal [(] dari unsurkombinasi rangka-batang dan balok.

I

?pEd nryI Sunqnq {tlr-IItI}

'sl = lz - 6€ = dN - cN = IN rl?l?p? e,(uuen1ual1e1-e:1 lefe.rep 'uu8uges reEeges 'ueqepurdred epoleu urelop Ip uulnpadp r1epr1 und-Ii{sen'uBu?{ e{ IIDI rrpp ei(uenures rlE{qJeA e1o38uee1oE?u? u?p 'puoterpleuot-Erp 'qB^\Bq rnsnqlpl'splo rnsnqfl?l :IBrs{? el,e*e1,et uep Sunfn Blv\qeg u?{R?qJed'6€ = €I + 97, = IYN + WZN = CN ?{EIu i6g e8llwq Le Vep'efuelo8tue pruluelle*e(e8'.97 effiwq I rrep rJoruourp e{uulotElue-8unfn uoruoru-ueuo1 'IZ = tI+ 8 = SdN + UdN = dN ?{?lu:17 eEEwU 6 uup 'er(r6unqnq-{pB uBlnpuel-uBlnpuel:g etllqnl I u?p uouowp u,(utunqnq-{I}Il F?lor-rs?lo5 'r'€'LI r?qu?C uped uz1-1n[un11p a-g uep X-d u?roruoued 'a-i uop X-d uDtououad (r) HVrySA"IiIlNiId

'E t'Ll'q9 upud n1e1 Sunqnq

11}lt-{Ilp rIIFtuaIu Euez( ledur+ue8uelueqreq 11ur4 3ue1eq-e18uer uesrslleue8uad

ry1un {a} uep ' [s ] ' lsl ' lvl u?Insetu s{Irletu-slrrleur ue1>1nfun1 t't't I qo}uof,

'rlE{ nlES uellnfunllp u{ueq zfuuerenle;'uuqepurdred epoletu ueduraued ur?lBp (?1o83uu de4es Irzp teIol u?rulnlel s{rrtBuruedndunqSuad snsrea Iy] pqof $lrrturu uuuunE8ued) uule4epuad Bnpe{ {$un uoplnf-unlrp n>lell Eunqnq {Bp-{DI1 pJllruau 8ue{ ludura-uu8uuluaqreq 11er4 3ue1eq-er1Ew;uesrstpue8ued >1n1un ue4nyredrp 8ue.,( uelnseu el?p 'ln>Ilreq qoluoJ Enpe>l ?pud

(trt Lr) [,x][?x][n] = tgltsltyl(t't'tt)'sre; ue8uap (t t'e'f t) 'sra4 uelSurpuug

' ltyl = [g] uerl>lnquad rlredas eures u.{uuenlnqtued inuras-rfro4 dFur:irrep qerurele leqqe ueludnreu lnqasrel rszruroJsu?rl sIrrl?ru ?npoI Er?1ue rsururo-:

-sue:1 uu8unqnH 'rs?urroJsu?rl sIrrluru uB)Br.uuurp BIoJolu u,(wuerel l,{ zy} uuqeprni-red-uuqupurdrad rpefueu {X} ueqepurdred-uuqepurdred ua[s?ruroJsuerfiiuau [rgislu1eu u?p {d}efie?-efie8 rpefuaur {r4\ ete?-etu8 uelrseurro3suert8uau [g] sryrleq

(r r'€'rr) {x}[ru][?x][a]: {sx}['x][H] = {sa}[H] = {a}'1nqasra1 uueurBsred eEpel ualnped uerpntuel uei

{x}trrrl = {gx}ue8uep (Ot'e'f t) 'sled uer

I9I oxvx oNnsnH-)IIJrr NvgNqcr gNvrva-v>rcNvlr urv'rvo Io usoNoxas Nshlox

'I'€'lI qoluocue8uap ledure-ueSuelueqraq r1ur6 8uz1rq-r{AUEU €'€'l.I nquruC

.tuc/N:l 000'02 = 3'ur

Se I =/ :zruc gl = V :zlzn\nlufitw) A?ZE = I ;zw) ZL = V :t7e2 uep' Zh Inlun

rur 0?il =7 l,urc A7'99 = y :t227 uepz7tn Inlunrluu.) OOZL= l :zrur S'.Zl I = V :rTtn uup Ip071n1un

rur SIZt =l izwr Sl=y :,7t7uep't7 zt ':lt7 'lZoZ{nlun,ur, 009€ =/ :zuD 06 = V :t222 tIP-pz?tpargun

,nzntn

?$L62 ANALISIS STRUKTUR LANJUTAT

(b) Matriks masukan [1] . Unsur-unsur taknol di dalam setiap kolom dari ma-

triks [,4 ] dapat ditabelkan dan kemudian dimasukkan ke dalam komputer. Se-

bagai contoh, komponen-komponen efektif dari sistem gaya-dalam F11 dan F2spada Gambar 17.3.5, di sepanjang arah-arah positif derajat-kebebasannya, dican-

tumkan pada Tabel 17.3.1 . Perhatikan bahwa tidak terdapat derajat-kebebasan

vertikal di ujung !an! memikul F26

fi,,,

18 20

(a)Penomoran P'X; NPR = 8,,l/PS = 13,NP = 2l

(D) Penomoran F<; NEM = 26'NAF = 13'NF = 39

Gambar 17.3.4 Penomoran P-X dan F< untuk rangka-batang di dalam contoh

t7.3.1.

l4t2l0

A,+

4E ,,

/i<ri'"Jo,orto,,

'

('((-*0,,0r,,

t \7"0,075F,,

'.'12'ltr\ o,o75F)0\

i*H&

fr

(b)

Gambar 17.3,5 Unsur taknol di dalam kolom ketujuhbelas dan keduapuluh dar:

[,4] untuk rargka batang di dalam Contoh 17.3.1.

q@toz@d n u4t2

qoluo3 ur?l?p rp 8ue1eq u>13uer Inlun s?l€ rp u1o33ue

(r) (s)

IS?lOI-rSUlOr t'x lrep

'I'€ _

IoJ:I 9'€'lI luqur?3

(D)

ul8 _ =oz2=ht2t'x8'o

'e.{uueleceBued

1nlunued ueBuep rdelSuepp uurpnue{ qpp}seru [7] ueleqelued rrup ueleceSuedruolol 'Igl syrleur rrup ruolo{ entues tuelep-ru?lep ue{rrTruou srslleueSuad qe1e1

-eS 'Ip,] s{rr}Bru ueleqelued uped ue4ece8ued uro1o1 rrrBIBp Ip uu>11edtue1tp ludepQ't) V = (/'r)g ue>lece8ued >1nfunued errrquq ue>pleqredueur ue8uep ilenqrp nped>Wp\l Z't'Ll 1eqe1 'u.,{uqnSSunses Suef 1e1>prd tuelep p1r\qeq ulnd ue41eqre4.ErX 9,0- _ eEauep.€IX 9,0+ _sEa,€rX+ - szarBseqeseloSSuuue8uefueued ue1-qeqe,{ueur uule u8ni €rX'r?'9lEtX- = eza = sza uvp'€IX 001'0- = 8/€IX 8'.0-= oza = 6t2 tEry 00I.0- = glEtX g.0- = ar2 = 112 eleq .;rle8eu a ue>grseq8ueuurel r.unrBI qerees y 'A-X = a evefi>l '9't'Ll requreg uellnlunltp BueIuIEApqes

e1o88uu-nqurns rsuloJ u8rl uelqeqe,(ueur uele €IX Ilrodes Sunqnq-ry1t1 uulnpue'I'n1r Sunqnq-qllll ur?pp e{ {nsuur 8ue,t e1o33uu 8un[n enures rp ey ue8uap eures

3ue.{ rselor-ts?lor uu{quqe.tueur uele ey rgedes Sunqnq-41t1 IsBloU 'Z'€'tI Ioqeluped ue>lurnluecrp Ig] s{rrl?rrr rrep seleqB8rle{ uep ueuoa{ uolo{ IuelBp Ip Iou-{Btr rnsun-Jnsun'qoluoc rP8?qes ' I u] s{ulBtu uulequlued eped rElJ?p uBSuep u€{-{ococrp uulpnue{ upp ue?s{rrorued rnlqeur rllle} ?reces rluuerp ledep [g] s1tr1

-Eru rJ?p ruolo{ d?rles tuelep Ip lou{?l rnsun-rnsun 'Igl uDtltsotil s[tUDW Q)

.00t'0+ 0z l7

rtoio- ,& II:

{BI!0* OI at

'l+ 0r I

810i0- LI 8I

00I10+ II Lt

gl0'o+ LL hl

cl'fi)fr13!["r 00t'0* LI TI

{e:tr}a }"qn I+ Ll I

&*g $?tuap $3+looo3 {{ ?}v J !

I'€'lI qoluof,

'[f.] lrep qqndu npe:1 uep sqaqnfnle4

ulolol ruE?p Ip lou{sl rnsun 'I'€'lI loqsl

ru8 _e lxStoY!9 =ezat,X

lt

,,r/1

L;

89I nxvr oNnsnH-xrrr& NVcNso cNvrvs-vxcNvrr nY'Iv(I Iq usoNovss Nsllolt

164

w

ANALISIS STRUKTUR LANJUTA]{ I

l.rk::il ;:* s.(&i*

.r 3,, 6

*.::j ]]

,+,r:

.,161f fi

,1?,, r,iq.,

* ',.1i,:;:.:, :ar;:! j:ti;:r::1:i':j...:._:: ti i :ri.j:.:,ii.lri::;',:it.:r!, f :ai.!: ,:lli:llljrl t t.*::

iil#ii-ii:'i,1;::':iiii firig;,g**

iffi:i{#:;

.tr,': i;ia:ut:i i!.': .'... lil .:.:.r.; 1 i.r..,

,+.,i:.],]:li,ir,::::.}':riii,:iirri.r'i:,;

r$5:r.:il::.ii,:1i_!:i i::.i1:::i.:i;i::ii,.ra:. :i.

:...:1.:':r: ii'1::: rr,l.l.. :ja!,.{:Xr::j

:

Tabel I 7.3.2 Unsur taknol di dalam kolomkeenam dan ketigabelas dari [.8], Contoh17.3.1.

(d) Matriks mawkon [s] . tsi matriks [s] adalah +4EIlL dan +ZEIfL dalam len-turan dan +EAIL dalam pemanjangan aksial, sebagaimana ditunjukkan di bawahini secara khusus untuk momen-momen ujung l7 dan 18 serta gaya-gaya aksiat35,36, dan 37 .

G

F"11 l8 33 36 t7 ''

,7 1AflXro:' ?2S00,

IE ?KX}: l"imm,

,r,,.35 r!06rs

fi xll,t:,3'l .A*i

tst =

-roJap u?{ece8ued 'ue>lnFedrp reuaq-reueq eruu4rluls uelaceSuad ,rur snsel ureppIO' u8{DIBII p rlseu' ue q>1nfun{ p {e plf undrlseur.,B.{urserur ogiep ?)[I}els uulecotu-ed 6g-e1 uep B{rluls uelecaEuad 17-aa utuuotap uop uluDls urtlaca*ua4 1q)

N{65'SS€* =ur' r.ur.N{€r'l0l- =ezc ul3.NI€g'?lI- =r.c :E7inB1o33uv

NIZ€'l + =srC rur.Nlrl.t I =rzg rur.Nl Er,, + =ez:I izl.neloBiluvNIZd6fl+ =.eC tur.p159rgg11:zzg ur.N)tl,g.gzt + =tzl :r-Itnelot8uyNI 65(195- = 9fC urr.p1 1pr7g1- : ozg urr.Nl 92.g6 + =6Ul irltnelo8iuyNI 60'ZII+=trC ruo.p1 19.61 -=srg rur.NlLg(9€ +=ud:enz-Ielo88uyNL0''ZZ+:trd txr.Nl SS'l + =etC ruo.Nl 60'lC + -ttd :z'ItneloSilUv

N{ Zrr67t- = €tC rur.p1 gg.6y - = ilg uc.511 gg,3g1+ = e rg, :t1.1o7e1o88uy

NI I0{t€6+ : z€J rur.NI Lt.zst + : zrJ urr.Nl gz.gtz+ = lc :rTr7eloEauy

N:l f€'lE€+ :'rc urc.p1 57,191 - : org ruc.p1 47.91 - = og :f1.-Ie7o33uy

Nrlll'0LZ*:*, ruc.111 6g'17 -=rg rur.Nl€['tt +=rd ]'It'lelot$vyNI Ia'692+ = eC IIrr.NI 19'lrl - = U urc.p1 90'391 - = tC :I?o'Jelo88uy

NI 8S'tOt- = 8zg rur.Nl l9'ZZ + : tC urr.Nl 9€'.9t2+ = tC :€n.n BloSSuv

NI Ls'iot- = r.C rur.NI oS'.oSZ- : zC rur.NI €2.9t t - = rC :znrn ?lo8tuv

qelepe ralnduo{ qelo ue{rreqrp euuune8eq-es {*l} = {g} sryrleu ruBIBp rp rnsun-rraun '{*C} = lll uotoryatl s4luohl (t)

tuc 9slr9'0+ - I.Xruc 91991'9- = ozy ruc ag197,ga - ory

wtT1gggtg- =aty rur6619g,91 -aywt 19y79'n- =ery u, Sg€il.o+ =irxruc 1756919- =rty uro0'IgI'0+ =flXw) Le9Lt0- =ztx ruc 53699,6a = rrywcTgg6gtg- --ory u) LIL6EO+ =6X

purr_01 x0688Z'I- =tX pe.rr_0t x298S9.0- =lXper,-01 xZS06l'0+ =X perr_01 x Ig09/0+ =rXper r-Ot x 85,lxli(0+ = tX gur r_0I xgy76g'g- =eyper.-0I x gSggliga = zy per

r_01 x 11669'91 = ry

qPIPpe relnduo{ qalo uB{-ueqrp

"uerure8eqes {y} s{Irleru urslep Ip rnsun-rnsulf '\yl uoan1atl s1lttDl4t Ar)9€- = @d uLZ_ =et" 08I _ = ed

tunpuetuau {d} $Iu}Bur uep ({0J} 1ou sryrleur) Inqury Eue[ lrdafral-8unfnuauroru-ueruour ledepral {?pp '..n{s{ Sunqnq {Blf-{np uep Euuleq-e13uer.. 'rursnsnq{ Ipos urBIBp rp 'rnpuos Bl(uulo8eue-s]offlue eped efra>1eq Suef ueqeq-u?qoqSunduruueur ledep uEnt Iq tuntun epoleu undqsa1,t1 'lJ\ uottnsout syutDI4J @)

ruc/Nr oszz :Arffi-oz= # =.,t

urr/N)t s'zl8z=--9q!--= 1 ="g'"- (9'ZII)000'OZ vg

ru3/N{ sz'eorr =GzTffi0z= # = "tp'r/urt.Nr 000'rt= *,=.t{rs = sr-r.rs

per/ruc.Nl000'rrliorr#OzD:1ft = rrtrs = u+rg

99I nxvx gNngoH-xI&I& NvcNscl cNvrvg-v>roNvrr wvrvo ro uscrNAxss Ngr{ox

Y166 ANALISIS STRUKTUR LANJUT.{\

masinya, karena tiadanya beban yang bekerja di antara ujung-ujung anggota, ter-gantung hanya kepada ketepatan matriks [,S] .

Contoh 17.3.2 Sehubungan dengan analisis rartgka-batangyangmemiliki titik-titlkhubungan kaku di dalam contoh terdahulu dengan metode perpindahan, tunjuk-kanlah data anggota yang diperlukan sebagai masukan pada program komputeryang di dalamnya, matriks kekakuan globalnya disusun dengan menghimpun surn-bangsih kekakuan lokal dari setiap anggota.

PENYELESAIAN Sesuai dengan nomor-nomor dan arah-arah anggota yang ditu:r-jukkan pada Gb. l'l .3.7 , nomor-nomor derajat-kebebasan global pada Gb. l7 .3.4;nomor-nomor derajat-kebebasan lokal pada Gb. l7 .3.1a, dan dimensi-dimensi serr:karakteristik anggota pada Gb. l'7.3.3, data untuk ke-l3 anggota yang mesti d:-gunakan sebagai masukan ditunjukkan pada Tabel 17.3.3. Perhatikan bahwa pad.tempat terdapat kekangan, kita gunakan derajat-kebebasan global yang sama de-ngan derajat-kebebasan seluruh struktur ditambah 1; di dalam kasus ini, 22. Dalar.hal ini, baris kedua puluh dua dan kolom kedua puluh dua yang disediakan unruimatdks kekakuan global digunakan sebagai "tempat pemtiuangan" unsur-unsu:yang tak dikehendaki di dalam matriks kekakuan lokal dari anggota yang sama saja

Gambar 17.3.7 Arah-arah anggota untuk rangka-batang di dalam Contoh 17.3.2

Tabel 17.3.3. Data anggota untuk digunakan sebagai masukan di dalam metodekekakuan langsung: Contoh 17.3.2

Nomor NPI NP2anggota

NP3 NP5 H, cm V, cm A, cm2 I, cm'NP4

^,/l\, =

'r=l \(o

o. 90.. 36m.

0- 90. 36m_

o. 4J. t2r5.Q, . .45,. 1215,

. 0. 45. l2r50. 45. l2tJ.

+640: ,17,5 72m.-64&. ,

'6,25 t4/o.

*li{S- 56125 , I,140.

-540, tlzJ ?2Ur+ffi. 77. 32{[+6S. t8. lt5,+6{0. 12. }24{D.

l2 .. +480.

l4 +480.

16 +480.

tEr' ,. +4&!.

20 +480.

72 +4E0.

r0 +480,

lE +48A.

14 .. *{&"22 +4fl).lo 0.

12 'O.14 .0.

1 , I . '

r0 2 1l2211123133 4 22 22 "5 15

4 i 5 i .- 15. 16. .-., 6 .. 17.

5 ,5 '. t7 18 .,1 l967192082r742272t98 i 1: . , 9' 10.. r, 5 '119 ....,..6: :r: ..1?: 18. .,. ..r3, .. .13

103.l1I4,a2llt31516,t9tZ ',6.,, t7 1r.,...2 Il13. '..:7... '..:: :.1$. . .W, .:.:,.3r... . .13

17.4 Metode Iterasi - Dari Gaya Aksial Primer ke Momen Lentur Sekqnder

Jika rangka-batang denan titik-titik hubung kaku langsung menjadi rangka-batang statistertentu setelah titik-titik hubung kakunya tersebut digantikan oleh titik-titik hubungberpasak, gaya-gaya aksial primer dan perpindahan-perpindahan titik-hubung yang ber-

&

'3unqnq-1p11 urqepurdrad leqrlu qo88ue-nqruns rscto5 I','lI requreo

(x-

(ix -rx\

rulru-rulru ue8uap Supuuqes uap ufultdafra1-Eunln uotuolu-ualuoru 'Burss Eut.,( rs4o:-1npns ue8uap uBqnrnleso{ €recas rsu}oraq n>I?{ Sunqnq-4pprsq Eueluq-e18uer opf'rnrBr?ces u?rpflruad ue8ueg 'qaloradrp IIBIIlseu eures Eue.,( repurules ualuotu-uetuour 'sns

-B>l Bnruos urel?p KI 'szss-1?sl lrdaftel-Eunfn uoluoru uuundtutq uenluaued uepp 3uu1ec.

-u18uur Blntu?s {nluaq ue8uop uc}r?>lraq 3ue,{ 1s1sod Suurequres upud ue4ludtuellp qelotqepurdraq Eue,{ tueleq-elEuer Eunqnq {plt-)9111 effiurqes Sunqnq {1lt-11llt lreru{e>{er

EUsJu{ Inqql rapun>Jas rnluel uauoru-uetuotu ?,rq?q q?lBI BIuuBs?[v 'ueleun8lp qepc

Iec? ?r?ces qrldp Euer( uznce rlo8Eue Euerequas >1nlun eloSEue-nqums Iou tselor uuEuap

ue1m1:eq Etre.,t Eunqnq-1qr1 ueqepurdrad-ueqepudred'ue{ulelol4l '1or-uendtunl Iou Inlurp>lqJe^ uuqepurdred n?le rpues {nlun Iou uzqeprndred uredas 'l?uJel${e s?}sq FrDuor-Isrpuo{ qnuoruotu 3w,( e,(uqnSilunsas Euef ueqepurdrad ednraq nlred >ppt1 elottw-nqruns rsslor-6?tor Sunlq8uaur Inlun unl?unElp 8ue.( Eunqnq-1nrl uuqepurdra4

'ludal Eue,{ e,(uupur-

ru?Iep 'y {nlun {ueunu nards>1e uu>1tusa1e;(ueur uBIpruuel uilp 'quputdreq ufu8unF-Euntn Euef elo88ue dullas sr;urE ruquuE uullensr^uoru Iltpnru rlqol Breces ledep sr-geueEued'ue8uel ue8un1rq.rad urepq 'ue8usl uBgunlllred unpp ufus n16aq ue4euG-rp undnele ralndtuo>1 tuerEord nlens LuBI?p a1 uu13uun11P ledep (Z'V'tt) Ireulu"sr3d

Q'r'Lr)'t

;socfxlm D uls (rx - cx) + :zU -rU: U

'uurelred apro uurupuu8uad squ rr?{Iusepreq 'f y Ll'qg epud 1e:tldn eloEtru

1n1uq 'e,(rfun[n-Eun[n uequputdrad uep Sunlrqrp ledep y eloEEue-nquns Is?lou'8 qug u?lup Ip (I'g'g)'sra4 ur8uap udnres sulu !p snumg

(J'v'tt)ura9

: {oN - lol\I

u?D{rruop uu8uep l19 e1o38w rntuafu?Dlu{o{ u?p 'TeloEilue Euefuud 'y ruel tunrEqereaS eloEEu?-nquns rsslor rrup rs8un; uu4edn.raur '(Eunqnq-{n4 uulIBputdred-ueqepur-red euarel) rs?loJaq 8uu^,{ elo88ue nquns uu>lJerqruou ?Jqueues qeqruoq >1upq eloEtmEunfn-Eunfn tp srlsBle err:n1 eped Eun88urs sueE-susE reSe uelueqelraduraur {n}un rrEr

-nlradrp Eue.( '1rdefrat-Eunln ueruoru enpan'c1'7'71 'q9 epud uolleqlgadp u ueuretx-eS't qeg tuepp rp ue11[esp Eue[ apolotu ru8eqlad ue8uep rrelnlueltp ledep uuln$ru

,.9I oxvx cNnsnH-xr.Lrr NvgNsc cNvrva-vxoNVlt wv'Ivc rq usqNoxss Ngwor

+

-I

-I

i

iiitJI:

$

Hflr

ffi

168 ANALISIS STRUKTUR LANJUTAX

EIIL anggota-anggota yang bersangkutan, dan mereka akan dibebaskan pada siklus per-

tama dari distribusi momen, tanpa menghasilkan momen sekunder. Baru apabila ang-

gota-anggota tersebut dipaksa untuk mengalami rotasi-rotasi sumbu-anggota yane

berbeda-beda, anggota-anggota tersebut akan dengan sendirinya mengalami lenturan

untuk mempertahankan. sudut yang sama antara arah-arah anggota (atau garis-garis sing-

gung pada kurva elastis) yang bertemu di titik-hubung yang sama. Sumbu anggota ada-

lah garis lurus yang menghubungkan ujung-ujung anggota, sedangkan arah anggota me-

ngacu kepada garis singgung pada kurva elastis di suatu ujung anggota.

Mengikuti uraian pada alinea sebelumnya, rotasi-rotasi sumbu-anggota R dalam

kondisi primer bisa diperoleh dengan salah satu (yang mana saja) dari ketiga metode be-

rikut, setelah memilih secara acak suatu anggota untuk dijadikan anggota acuan dengan

rotasi sumbu-anggota nol. Tentu saja, sebagai suatu alternatif, rotasi-rotasi sumbu-ang-

gota yang sesungguhnya, yang memenuhi kondisi-kondisi batas, boleh digunakan. Ketiga

metode tersebut adalah sebagai berikut :

I . Dengan menggunakan Pers. (3 .5.Ia hingga c) di dalam metode beban-sudut, tentukanubahan semua sudut di dalam semua segitiga rangka-batang. Kemudian, sebagaimana

ditunjukkan pada Gb. 17.4.2a, jlka BE dipilih sebagai anggota acuan, nilai-nilaiRuntuk kedua sisi lainnya dari segitiga nomor 2 dapat diperoleh dengan menyusuri sisi

sisi segitiga tersebut dalam arah lawan arah iarum iam. Maka,

R untukBE = O

R untuk ED = (R untuk BE) + (tambahan ukuran sudut di E, LEz)R untuk DB = (R untuk ED) + (tambahan ukuran sudut di D, ADz)R untuk BI' = (R untuk BD) + (tambahan ukuran sudut di B, AJz) = 0.

Pada Gb. 17.4.2a, dengan R untuk BD yang diketahui, penyusuran sisi-sisi segitiga

nomor 1 dalam arah lawan arah jarum jam akan menghasilkan rotasi-rotasi sumbu-

anggota DA dan.4B. Demikian pula, penyusuran sisi-sisi segitiga nomor 3 dalam arah

lawan arah jarum jam menghasilkan rotasi-rotasi sumbu-anggota BC dan CE.

2. Dengan menggunakan sebuah ujung dari anggota acuan terpilih sebagai titik acuan.

dapatkan perpindahan-perpindahan titik-hubung dari semua titik-hubung melaluipenggunaan secara berturut-turut persamaan perpindahan titik-hubung, sebagaimana

dipaparkan di dalam Contoh 3.6.1 dan Gb.3.6.2b. Dengan perpindahan-perpindahan

ini, rotasi-rotasi sumbu-anggota dapatlah kemudian dihitung dengan menggunakan

konsep Gb. 17.4.1. Perhatikan bahwa translasi dan rotasi tidak diperlukan untuk me-

menuhi kondisi-kondisi batas eksternal yang sesungguhnya seperti pada Gb. 3.6.2d.

R untuk ED = R untuk 8E+AE2R untukBC=R untuk E8+483

(a)Ubahan sudut A8r, AEr, dst.

Gambr I 7.4.2 Rotasi-rotasi sumbu-anggota dari

Rotasi lD= ff searah jarumiam

(b) Titik-titik di atas diagram Williot: A' , D' , dst

ubahan-sudut atau dari diagram Williot.

Yfi,ti

:$

&

V

I'?'LI qoluof,

urEep Ip 3u4eq-z13uer SunqnrI-IIIR uuqrpuldred gep elo8fluu-nqtuns $?lo1 €'r'l,I rBqurBC

e 227 eloBiue Inlun U uuSunllqrod (g)

(o'o) Gz't-'ge'o+) zt

(t€'€+'zt'€-) (90'z+'9t'z-) tn

p?r E_gI urelep e1o38ue-nquns 1se1or

:qZ'g'e :r,qne1 rrep uur Sunqnr{-{Il uuqzpudre6 (a)

(09'6+'9s't+)r7

(gt'o+'gL'z+) (gz't-'96'o+) (08'0-'8t'0-) (w't+'26'l-)t7 z7 o7

(90'z+'9tlz-) (82't-'80'r-) (0'0)uBncs Irlrl

qoluoc ue8unlrqrs4 'DEV'Ll Jequr?9 uelnlSuesreq 3ue,( e1o33uu-u1o33ue eped

ue{sllnllp 'l'b'Ll ruqtueg desuo>1 ue>ldzreuaur ueSuep Sunlrgrp Suef 'e1o33ue

-nquns rs?lor-lseloU 'De'V'Ll reqrueC eped r8el ue>11n[un1tp uep I'9'€ l{oluoJ'qZ'9't rBquIeC uep 1rqtuelp 3ue.( uence e1o33ue re8eqes z7t2 uep uenc? {1I1re8eqes rr2 ueeunSSued uep uB{lIsBt{Ip 8ue,{ 'Sunqnq-Illll u8qEpurdred-ueqepurd

-n6'Sunqnq-4!1!l uDtllputdnd ttop o1o88uo-nqwns 8o1o[ (a) nVtVSatAlNAd'z't'Ll u?p I'€'II qoluoJ

ru?I?p rp n1e1 Sunqnq {Pll-{pll u?Auep ledu+ue8uuluageq llurd 3ue1eq-e$uer

eloB8ue Enrues tuel?p rp lepun{es rn}uel ueuoru-ueluotu qe18un1tg I't'L I qoruof,

'repun)los Jnlu;

uoruoru-uetuoul uB{Bdrueu uf,uEuequr8uad uauour-uoruo4 'uotuotu-IsnqlJ}Slp IoqE-

zped uelunlugcrp u?rpnuel 'Eunqnq-4lrl rstloJ-rs?lor qeloreduretu >lnlun e,{uuu1x

-a8ued ulresaq .uouloul rsnqrrlsro 'fi'v' t)'sred uelBunSSueur uuSuap Suqqtp e.{ultda,

-re}-8un[n ueruoru-ueruour .qeloradrp qe1a1 uloESue ?ntues IIsp ur IBIIU-IEIIU II8){oS

';tlrsod nele 'rue I runJe I qerBes

rlerrrelp Or {nlun A 'sL'r'Ll leql.ueC BpBd B{orotu uelnpuol-uB}npuol IrBp aL'n'Ll.qg eped ,o ue.p rz ur>lledruaueru u?Euep ly ueSuap 8lu3s O ltap Y elo8Suu 8un[n

.8un[n Iqsiu psreisuurl ueqeputdrad 'qz'f LI 'q5 eped ueplnfun1p uueune8eqas,qoluoc ruSeqa5 .ueBs{rJeruod rnlBlatu uDln}uolrp snrcq y elo88uu-nqutns Is?lor Bp

-uutr'rur sn5e{ gIBIep tq 'e1offlue-nquns Isg}oJ Iedpcueu e8fiulq eloEfiue Eln111os-!u3[

-ued ueSuep qupEeq uup elo88uu tunfn-8un[n ?r?]u? rp rqsru lesre^suer1 uequputdred

uDIlBd?p 'iqory-lolllA\ urer8ulp lr?p IoIIIIA\ u?FBq e{ueq uzrleun8tueu ut8ue( :

69I oxvy cNnsnH-xl&rI N\/gNsG CNVJ, -VXCNVIr WV'MI I(I USONnXgS NSIIOT

,i

ll

irli

fl

te88'0+

/,<,/s

000t'0+

h-tu992'O+'n

170 ANALISIS STRUKTUR LANJUTA.\

i untuk L2(lx, dengan menggunakan I sketsa pada Gb. l7 .4.3b,adalah

R dat- Lzut= - #- 3,#[0dq

= -0,5625 x loa

Tanda negatif di dalam ekspresi+kspresi di atas diperoleh dengan memeriksa Gb17.4.3b.

(b) Rotasi sumbu-anggota dari ubahan sadat Nilai-nila.i satuan regangan yaDtditunjukkan pada Gb. 17 .4.4 diambil dari Gb. 3.5.3c di dalam Contoh 3.5.1 . Ubah-an-ubahan sudut pada ketiga sudut-dalam dari keenam segitiga yang dirancang de'ngan nomor t hingga 6 dihitung dengan menggunakan Pers. (3.5.la hingga c). Per-

hitungan contoh untuk segitiga nomor 4 adalah sebagai berikut:

Ubahan sudut di L2 -- e0,225 - 0X0) + (-0,225 - 0,100xil : -0,243EUbahan sudut di IL = (0 + 0,225X0) + (0 - 0, loole't = -0, t f f fUbahan sudut di U, = (+0, 100 - O)C, + (+ O, tOO + O,22rG) : + 0.377 t

Perhatikan bahwa ubahan-ubahan sudutnya adalah dalam l0- 3 rad dan jumlah ke-

tiga ubahan pada segitiga yang sama adalah nol. Demi kejelasan, hanya ubahar-ubahan sudut untuk segitiga nomor 4 ditunjukkan pada Gb. 17.4.4. Denga:ubaha-ubahan sudut ini, nilai-nilaiR-nya dapat dihitung, mulai dari segitiga nomo:3 dengan menyamakan R dari U1L2 sama dengan nol, kemudian segitiga nomor -1

5, dan 6 ke arah kanan. Kemudian mulai dari segitiga nomor 2, menyusur ke kL--kita selesaikan segitiga nomor 1. NilainilaiR yang sama sebagaimana ditunjukka:pada Gb. l'7.4.3a diperoleh.

(c) Momen ujung-terjepit akibat rotasi sumbu-anggota. Persamaan (17.4.1menghasilkan kedua momen ujung-terjepit di ujung-ujung anggota. Untuk itu, re-lah terdapat rotasi sumbu-anggota, tetapi garis-garis singgung pada kurva elastis:-ujung-ujungnya tetap dalam arah sumbu-semula anggota. Rotasi-rotasi searah ja-

rurn jam sumbu-anggota dianggap positif, dan momen-momen searah jarum ja=yang bekerja pada ujung-ujung anggota bernilai positif; karenanya terdapat tanri.lnegatif di dalam Pers.(17.4.1). Momen-momen ujung-terjepit di ujung-ujung setia;anggota, apabila U1L2 diprlth sebagai anggota acuan, dihitung dengan menggunr-kan persamaan ini dan ditunjukkan pada Tabel 17.4.1.

ul -o,225 u2 -o,225 u1

""1f/ rul-llolA *I A

Ao

\o,\"\A\

+0,37 5+0,300

IL2L3

Regangan dalam 10-3 dari Gb. 3.5.3c

Lo ,4

t7 .4.1.Gambar 17.4.4 Regangan di dalam anggota-rangka-batang di dalam Contoh

w+f,+9tr9f,[I rtzl +09*r -8rs +0ll +0t*S9E IT{9 +olz -

stztstI{r}z{w7Lfitt,lsrlr00rtgtttslzlSI'I$eroaea{xtgf

000'{xr00q0I000'02000'020{m'02

000'0u000'0I000'04000'0t0Qo"0e

00s'02000Tu000'02

$9r'o-?81f0-0tr0'0+sLttt*tzgs'0-0000'000t'0+Z?M'I-Ezgt'0*ml'o+tf88'0+8t69'0-lggz'sr

0rg i'FtD.

0f9 .'mgig t'ra009 vl.frOos rncr008 z'ItI]008. tnn08, .Tnogt f'.'l$s? .Tlogt '-rrl

08' ' zntfi

urr.Nrt'7/ula9- TTJ.I ,ur/Nr'g pur, 0l 'U rur'7 elo8iluy

'ln'Ll tloluoJ:uenc? eloEEus re8eqes z7I-1

gqure8uaur uuEuap eloEEuu-nqruns lsBlor leqgxu ltdetrel-8unfn ueruo141 I'r'aI Ieqel

'uetuou $nqrJlslp ue>lece8uedsesord urelep rp Sunqnq-:11lrl rselor-rs?lor epeda>1 uslqequr?llp uence e1o33ue

rrep e,(uqnEtunses rsploJ up)[[?se 'eures Suez( efuqnSSunses Sunqnq-4r1rl rsBloJ-rselor eEn[ uep 'qeloredrp rlseu eures Suef Sueqtu6ued ueruoru-ueuroru 'sns?{sntrres ruplep IC 'I'9'€ qoluoJ pT,'9'E'qC eped e{uqnSSunsas 8ue,,( Sunqnq-:11r1ueqepudred-uyqepurdred uep u?{quel1p eueurre8eqes ufuqn5Sunsas Suez( elo8-3ue-nqruns rseloJ-rs?loJ ue>1eun88uaru ue8uep iete'27?n rlredes 'uence e1o33utre8eqes e.{uure1 eloE8ue Suerequres ueleunSSueur ue8uep ue{n{elp ledep tlue3-Jaq-qlls BJBcos ueluolll IsnqIJlsIC 'tluo3,taq-q9ps D.totas ualuout ,snq24s.2o (2)

'l'E Ll qoluoJ (j ue6eq tupl?p rp Suef uetuap uues qrqel Su?rnrI IuI rselor-rselou

per, 0l x 982't - :t'l lP 0pe:

r_01 x 899'0- --t'l rp 0pe:r_0I xrSl'0+ --z'llp 0

Per r-0[ x €09'0+ : '7 IP 0

pur, 0l x L66to+: 07 IP 0

per r_01 x s6s'0- = tn Ip 0

per r-01 x tsl.'o+ :21 tp 0

per, 0l x s0g'0+ : 'o IP 0

:ln{ueq rB8eqes qeIBpB 8ue1eq-e18uur uped efu-qniltunses Suez( n1e1 Sunqnq-1r1q Is?lor-rselor 'Z'V'Ll IeqBJ ue{eco8uad sasordru?Iep rp Sue. epedel rur rs?lor ue{q?qu?ueu ue8uaq 'uref urrue[ qer? tu?l?p

pe:,-or x8oz€'o =##6'(ot'n' LI reqtuug epedal

nce8ueru) reseqos '3ue1uq-uq8uel setrBq rsrpuo{-rsrpuo{ rqnueurotu {n1un '(Isel-oreq) relndreq z71n u1o88ue-nqurns u,(ureueqes '(rseloreq 4ep14 zTrn e1o33ue

-nqruns pIqBdB) e,(uBunqnq-4rlrl rsplor-Iselo-r qeloredrp 'u,{uuelece8ued sesord ue1-eq,'Z't' Ll leqel eped ue1.re1e8rp e.{uueurotu rsnqrrlsre 'uautout tsnquislq (p)

ILT n>rvx cNoanH-xIrIr NvcNscI cNvrvg-vxgNvlr htv'Ivc ro usclNnxss Nqwon

ANALISIS STRUKTUR LANJUTANt72

I

-.t R 38 o- o s:sQ.

)! t tr:

o 88r+

c+

ERSq.+ r++

f,

-J) Ilr

{n+l

t+

Ep$5

J

+leal+

EE 3S XR cI

Sstrar+tt

-JE SE

I

;ISal+rr

+lXB 6E!{

t+tl

t 6

+l l+Es+l l+ t+

pSFs-1+rl

J

i+rl

?8++ I ++

:uF3

)

) .-R{

r+ lr

*t+ ++

Jd r+ +

ESES+ t++

5I

+3E+1

I sf;!3s

!

jlou{

E

zEjl{

& a<jo<

OE!

96Jo<UE o<

U@

jo<UOJo<()E

Jo<UOJo<UE

6

a

;.;.2--!ayia,x

a

tr'-

o

o(Jv

()

oao!

qoal{t-

o3ctF F

6

{5hJ

a

?

a

r

{a

t

a

',*6I

F

0co

6

.tr

z3

ox-ltr ls: - l\

,.4 l4-:c a! lO

.<1r'9 i -ri,:l

6

sF+

pE

FlD,fgm

E,(sED

Eo

0e

sp?pD

"lEO I EO>ol>o-l-

++ l+ErrEa

*'[ssJ

*E*t

8lI oxvx cNogoH-xI.LrJ NvcNs<r oNvrvg-vvcNvlr wv'Ivct IC uscNnxas Nexo,r

t74 ANALISIS STRU KTUR LANJUT^{}

17.5 Metode Iterasi - Dari Momen Lentur Sekunder ke Gaya Aksial Ketiga

Dengan distribusi momen, kerangka kaku dalam bentuk rangka-batang yang memiliktitik-titik hubung kaku telah dianalisis untuk rotasi sumbu-anggota yang taksama yan:mesti terjadi pada kerangka kaku yang bersangkutan berdasarkan atas kekakuan long:-tudinal EA yl;ng takterhingga, artinya, dengan mengabaikan deformasi aksial. Demi ke.

seimbangan, momen-momen pengimbang yang bekerja di ujung-ujung anggota memerlu.kan gaya-gaya lintang transversal, yangjuga bekerja di ujung-ujung anggota, sebagaimaniditunjukkan pada Gambar 17 .5.|a. Pada gilirannya, kebalikan gaya-gaya lintang di ujung-ujung anggota ini akan bekerja di titik-titik hubung rangka-batang, sebagaimana ditur..jukkan pada Gambar 17.5.|b. Jika kebalikan semua Eaya-gaya lintang transversal yanrbekerja di semua ujung-ujung anggota tersebut dikumpulkan di titik-titik hubung yan;bersangkutan, himpunan gaya-luar yang bekerja pada titik-titik hubung dapatlah diper.oleh karena setiap pasang gaya lintang yang bekerja ada titik-titik hubung setara secar3

statis dengan jumlah semua momen ujung yang bekerja pada ujung-ujung anggota, darkarena jumlah semua momen ujung yang bekerja pada semua anggota ialah nol, mali.iresultan himpunan gaya titik-hubung yang menggantikan Eaya-gaya lintang tersebu:haruslah nol. Karenanya, tidak akan terdapat penyelarasan reaksi-reaksi eksternal pac:rangka-batang yang memiliki titik-titik hubung kaku.

Dalam hal ini, titik-titik hubung rangka-batang yang bersangkutan dianggap lagi se-

bagai pasak. Gaya-gaya aksial di dalam anggota akibat himpunan gaya titik-hubung yans

timbul dari gaya-gaya geser transversal dari momen-momen lentur sekunder dinamalar-gaya aksial ketiga. Hal yang selalu terjadi ialah, jika perpindahan-perpindahan primer r:.tik-hubung disebabkan oleh gaya-gaya luar yang bekerja hanya di titik-titik hubung, gayagaya aksial ketiga terdapat tapi bernilai sangat kecil apabila dibandingkan dengan gaya.gaya aksial primernya. Hal ini menunjukkan bahwa proses iterasi boleh dihentikan apa.bila momen-momen lentur sekundernya telah diperoleh. Di dalam contoh berikut, gaya.gaya aksial ketiganya dihitung untuk menunjukkan nilai-nilai mereka yang hampir tak.berarti.

(a) Bekerja pada anggota . (D) Bekerja pada titik-hubung rangka batang.

Gambar 17.5,1 Gaya-lintang tranwersal akibat momen lentur sekunder

Contoh 17.5.1 Hitunglah gaya-gaya aksial ketiga dari momen-momen lentur se-

kunder yang telah diperoleh di dalam Contoh 17.4.1.PENYELESAIAN (a) Gaya lintang transveisal. Momen-momen lentur sekunderyang positif jika bekerja searah jarum jam di ujung anggota diambil dari tabel dis-tribusi-momen di dalam Contoh 17.4.1 d,an ditunjukkan pada Gb. 17 .5.2a. Gaya-gaya lintang transversal sebagaimana mereka bekerja pada titik-titik hubung ditun-jukkan pada Gambar 17.5.2b, dengan meninjau diagram benda-bebas setiap ang-

gota'

\:t

/\t

t7

ss

t7 Ltl- 9II+ L6E88n- Irt

'I'S'rI qoruoJ urupp rp 8uu1uq-e18uer:1nlun eSPa{ IBrs)P sfBC Z'9'l,I Dqursg

N{ e-0I urqep e8rlerl 1u1s{e Ed?8 uep ue1e,rp1a Sunqng)flll} B{EC (r)

600t 9ZZ gLt

+l6ttn tzn+ .n 9€r+ tn

LZg 0s€ r 86r

'Sunqnl{-{P!l ePed zfralaq Suzd

N{ €4I urulep l"sralsu?rg 3uz1t41 e,(eg ({)

LZ Z0S

eL9

.1'g'11 qoruoc lrePurc.NI tust?p repunles rntuel uauoyq (a)

glz+'7 ,I 7.92

fl+ 7ODI -+

NJil"

+N{

l+osz+ ls

tn sz+ zn tST.-

o7j7

,n

gLT O>Ivx CNoaOH-XI,ttJ NvcNsC oNVJvA-VXCNVII Wv'M IC UScNnXSS Nelloi

L76

Gaya-gaya yang ditunjukkan padagaya-Eaya horisontal dan vertikal,cekan, jumlah horisontal, vertikal,Gb.17.5.2c mestilah nol; jadi

ANALISIS STRUKTUR LANJUTA\

Gb. 17 .5.2b, apabila ditransformasikan menja*,ditunjukkan pada Gb. 17.5.2c. Sebagai penge.

dan momen dari semua gaya titik-hubung pada

f, F, :0:!R=o:X MhinggaL6:0:

+904-904=0+2834 -2834 = 0

+16,302 - 16,302:0

(b) Gaya aksial ketiga. Dengan metode hubungan, gaya-gayz aksial (gaya-gaya

aksial ketiga) akibat himpunan gaya titik-hubung eksternal pada Gb. 17.5.2c dt-hitung, dengan jawabannya dituliskan pada anggota-anggota yang bersangkutar-pada Gb. 17.5.2c.

I 7.6 Pembandingan Metode

Rangka-batang Pratt sederhana berbentangan-empat dengan titik-titik hubung kaku te-

lah dialanisis untuk tiga beban vertikal yang taksama yang bekerja pada tiga titik-hubungtalibusur-bawah. Pertama-tama, rangka-batang yang memiliki titik-hubung kaku tersebu:

diperlakukan sebagai struktur paduan, yakni, kerangka kaku dengan deformasi aksidMetode matriks-perpindahan digunakan dan hasil-hasilnya diperoleh melalui suatu pro-gram komputer karena terdapat 21 persamaan simultan yang terlibat. Selanjutnya, metc-de iterasi digunakan dengan pertama-tama mengabaikan kekakuan titik-titik hubungrl'rtapi memperhitungkan hanya deformasi aksialnya, kemudian dengan mengabaikan de-

formasi kekakuan titik-titik hubungnya, dan akhirnya dengan mengabaikan kembali ke-

kakuan titik-titik hubungnya. Dapatlah ditunjukkan bahwa metode iterasi memberikar.

hasil-hasit yang hampir sama seperti metode perpindahan dalam penganalisisan struktur-paduan. Hal ini demikian karena aksiprimernya adalah aksirangka'batang, dan momen-

momen lentur akibat deformasi di dalam aksi primer tersebut bersifat selamder. Apabil.i

sistem bebannya melibatkan gaya-Eaya selain gaya-gaya linier yang bekerja pada titik-titik hubung, maka aksi primernya bukanlah lagi aksi rangka-batang dan metode iteras:-

nya tidak bisa konvergen. Untuk contoh sekarang ini, hasil-hasil yang diperoleh dengar

kedua metode tersebut hampir serupa; sebenarnya perbedaan bisa timbul akibat ke-

nyataan bahwa metode iterasi menggunakan angka-desimal yang lebih sedikit ketimbang

metode perpindahan komputer. Mesti Anda perhatikan bahwa metode iterasi dapat jug:disusun ke suatu program komputer.

Contoh 17 .6.1 . Bandingkan jumlah gaya aksial primer dan ketiga di dalam setia;anggota rangka-rangka di dalam Contoh 17.5.1 dengan gaya aksial dari metodtperpindahan di dalam Contoh' 17.4.1.

PENYELESAIAN Pembandingan tersebut digelarkan pada Tabel 17.4.2.

17.7 Latihan

17.1 Dengan menggunakan U2L2 sebagai anggota acuan, hitunglah momen lentur se.

kunder di dalam semua anggota rangka-batang dengan titik-titik hubung kaku di dalanContoh 11 .4.1.

L'Lt Eafli4tt g'Ll ueq\e1 l.t.t I rEqurBg

'g u?p tr rp lor-wndurnl r{Bnq Bnp uep J Ip lBluosrror{ rs{Bor wSuop [or-uBndunjr{Bnqos r{rlrlueu Euef ereles rnl>lruls nlBns qBlsrslleuB .rnr.IB]aTp{ef Eue,( u.{u1e(ueq rs

-{nper {nlun 'furs{B rsururoJap ueEuap oJel rl8uere4 reEzgas f L.LI ;r"qrteg eped n>1uv

Sunqnq {I}l}-{pp uu8uep 8ue1eq-u18uer '.1npns-u?rpqn epoteu ue8uap ,q?NrsrIBuV S.t I

!'usncu elo?Eue p8eqes rpoT uy4eun? $e7'g'y1 uu{IlB'I qBluu>lr?solos ,'/l'qe8ual p>llue 8uu1eq {n}un ,tuc 009 uup 'Sutdurus 1elt1rat 3ue1ec

-Eueleq >lnlun rtuc 969 'ureluu puo8erp-puo8erp 1n1un euc 00ZI '3un[n leuo8erpluuoi-Brp {nlun ruc 009€'qE/hBq-rnsnqll4 >[nlun ruc 008I 'su].8-rnsnqllE] >ln]un ruc 009i:ue>1uun3'u,(uelsrern ueruoru {ruun 'n4u4 e.(u3unqru{-{llli ?ntuos SuureIes BrAq?q llenl-0>l I'8't rBqtuEC eped ue>lleqqradrp 3ue,( Eueleq-e18uur e1o38ue Enr.ues urelep rp rep-un{es rnluel uo(uoru rplSun1rq 'uencu zloE8ue reSeqas zTcp ue4eunSSuau ue8uag g.41

't'n'Lt qoluo]urepp 1p n1e>J Sunqnq {np-{ltp uu8uap 3ue1eq-e13uur ulo88uz Bntuas urui?p lp lepurulasrntual uor.uou qqEunlq 'uence elo88ue ru8eqes t2o7 ueqeun88ueru ue8uog g'11

66'85gr rd*se +e€'t + (fr+Zso6Lt+ Zf6tt+6S'I9t* ,55f I9E*&'ell + t0:elr +t0'r{H+'; s$vzz+7'{:$9r- . let'6!f- .

10 tf,r"r '{o'Lt{+?t'L€f+: 9t'Ltt+ll'&ffi+ ,tl'olr+It'dsE+ l4las*+*f}0f- .8r:,w-&f?ry*''',' '':ggti&-

S[+ t-1tn0 .Tzn0BI+ t.Itn

EtC95.. t'II nt'zlt+ En'l9?Z+ zltllosf- tfi1

{ tts+ Fts'tg'Ltt+ e'Iu'l

0&+ t1t-l0ttr+ tfil,w: rntfisot-: tntn

ro 1*5t'I +8t'0-I6U+r?u*16'0r-,f0+6t'o-st'o-eI'0+sz'0-zt'$+,t'0+

uzgepwdradepoley\l

q?Iulnf etpe; reu4rd eloElluy'

F?retl epolsl I

'l'9'Ll qoluoJ 'prqu eduE-efet ueEurpuequrad Z.t'lt laqsl

LLI nxvx oNnSAH-)II.LII NvgNsq cNvrvs-vrcNvu r rvlvG rq usoNnxss Ngylof,

:!

,ll

,iirl

$l'

fi:.i1

$,lti,]lll

'*,rIlIin6

J zurr/N>l 000'02 = .?

r rnr o6t I

NI OOT

,ur3ots=1 !-wtgg:V

L78 ANALISIS STRU KTUR LANJUTAN

,E = 20.000 kN/cm'?

Gambr 17.7.2 Latif,ar. 17.8 hingga 17.10

masing-masing dengan reaksi vertikal. Ketiga perpindahan yang takdiketahui adalah per-pindahan vertikal C dan nilai-nilai mutlak perpindahan horisontal dan rotasi titik-hubung diA atau B.

17.6 Dengan menggunakan tiga derajat-kebebasan rotasional dan tiga derajat-kebebasan

linier, tentukan secara numerik matriks lAl, [81, [^S], {P}, [SBJ, dan [,4S8] dalampenganalisisan struktur di dalam t^atihan 17.5 dengan metode matriks-perpindahan. Gu-nakan jawaban-jawaban pada Latihan l7.5,ujilahbenar-tidaknya persamaan{P} = [r{Sf ]

{X} dan {F*} = {Fo} + {sB} {x};17.7 Analisislah rangka-batang dengan titik-titik hubung kaku di dalam Latihan 17.5

dan 17.6 dengan metode iterasi.

17.8 Siapkan secara numerik matriks-matriks masukan lAl, [B] , [SJ, dan {P} untukpenganalisisan rangka-batang dengan titik-titik hubung kaku pada Gambar 17.7.2.

17.9 Tunjukkan data anggota yang diperlukan sebagai masukan untuk penganalisisan

struktur pada Gambar 17.7 .2 dengan progam komputer, yang di dalamnya, matriks ke-kakuan globalnya dibuat dengan metode kekakuan langsung.

l7.10Analisislah rangka-batang dengan titik-titik hubung kaku di dalam latihan 17.8

dan 17.9 dengan metode iterasi.

b\,*rf

"n %\%"F\!/

E

8il

lt\A =30 cm2; /= 480 cma A = 3O cmz: / = 480 cma

'uup{epraq le8ues EuB,( w}nfBr-ue}nfuJ Intueqroq 8ue,{ ueunEusq ntens purpnlfuolqere urepp rntsrel Euelas-Buelas epud ueleun8tp usrq efeq uu8unlEual-ue8un18ual'{Bq}d ul?l rq 'uofunlrqradtir nlrad purpnlSuol qeru tuel?p uunlps-r?qol DIIIueuEue,( lnqasral uu8uru18ue1 rrup p4dr1 uerEeq e,(uuq'91'1'gI reqr.ueC eped uel4nfunlpeuzunuSeqes 'u?r{ruep Euez{ uuEun4Eual uesrsrpuetued urupq '1rdef:e1-uendrunl Bnp

I{Iptueru deSSuelp qoloq urpuos ntr uz8unlSuel eSSurqes I?srelsuuJl ue8ueluaq Sunfn-8unfn 1p 1un>1 8ue,( uelufid-ue1uftd eped ue{ueuelrp ledep 'ueun8ueq leurpnl8uol qErE

uepp de1al Isueunp r)flrtueru Euuf 'Euelnlreq uoleq dele uu8un4Suel 'efrs e,(uEunqnq

{l1l}-{1111 Ip ufuelueln uuEunlEuel enpe{ rrBp derles lucund e1 ue4lqelp lnqosre:uuluqure[ lupula8 uprd u?gag-ueqeg 'rI'I'8 I r?qu?C epu d uelluqlpedrp p4dr1 lrdafra:-uu8uh16ua1 uulegura[ n1un5 'dnpq uep ll?ur u?qoq qelo uu{ttqDlerp Eue,{ dypuqra:

;r1qer ueln4Suesreq Suef ue8unlSuel tu?pp rp ruseq dnlnc Eue,( uzpp e,,(r8-e,{e8 ue---

-lnqurueu e,{ueserq 'ue8un18ua1 uep sele a>1 ue8unqtuaca{ lBqDIe zpe 8ue,( uernluelareuelp{'uendurnl ueunrnued-ueunJnued'uuln18uesreq 8uu,,( rn14nr1s dnpq Bs?lij

srueles pcel leEues Suer( uendunl ueunrnued qtpueq8ueur 3ue,( tsenlts uelep 'urepp3ue,{ qequel rEueraqe.,(ueu Euef ue8ueluaq 3unfn-Eunln tp sepec IsBru]oJ eped ndtuntrr

ludup ?ue.t uelequal {nlun Ue>IIBBJU?Iup rleJol ue8unlSuel 'rs1nrlsuo1 ru?leq'?rsnuuru e43uera1 u?{r{E.

nelu '3ueqra1 lerrresad '[qou 'urseu uer8eq-trerSeq upud e,un1 {nlueqJeq elo38ue-etc!-3ur doJecuaur tue,{ uelrlerad srsIIBuB uepp eun8raq BLUBs ?r?cos uEIIBJnrp ut>p 8ur;epotreu Buere>l 1ns tp ueltun8p lnqosrol wntun EIUBN'Irlpues EAJn>l Inluoqreq eloE8ui

:eseq uerEeqes {nlun runun qrqel 3ue.( eureu ue4ednraru uo8untlSual eueu rplSuere;'lul qeq Jnpnf 4ntun qtlrdtp qqat Dttnq lruuaqtaq otoSSuo unrun etueu undr1sal1

untun uBrBqurBg I'El

vauox xoJ,NuflugflYIOSCNY NY9NS(Inxvx Yx9NYusx

SYTgfl NYdYTSOsvg


(a) J embatan lengkungan-terjepit

(c) Lengkungan atap baja yang memikul rangkaian beban

(d) Jembatan lengkungan-kontinu pada pilar elastis.

(e) Kerangka bangunan berbentangan-dua

Gambar 18.1.1 Lengkungan tipikal untuk jembatan dan atap,

(D) Lengkungan atap beton-bertulang


bertulang dengan garis-bentuk beton dan juga penulangannya merupakan variabel. Maka,terlepas dari sebagian besar kasus biasa, dalam kasus pbnampang tegak tetap pada suatusumbu lengkungan lingkaran atau parabola, rumus-rumus bentuk-tertutup untuk reaksi-reaksinya tidak dapat diperoleh. Prosedur-prosedur yang4kan diuraikan di dalam bab inidapat diterapkan apabila bentuk sumbu lengkungan maupun variasi momen inersianyatelah terdefinisi secara numerik dari titik ke titik.

Jika metode perpindahan digunakan, anggota berbentuk kurva pada Gambarl8.2.la digantikan oleh kerangka-kerangka kaku dengan bagian-bagiannya yang lurusyang pojok-pojoknya terletak pada sumbu lengkungan yang sesungguhnya. Karena setiapbagian dianggap memiliki penampang tegak yang tetap, maka semakin banyak bagianyang digunakan, akan semakin seksama pulalah hasil-hasilnya. Kerangka-kerangka kakuyang dihasilkan, sebagaimana terlihat pada Gambar 18.2.1b, dapat dianalisis denganmetode Bab 12 dengan mengabaikan deformasi aksial, atau dengan metode Bab 16

dengan memperhitungkan deformasi aksial. Metode Bab 12 tidak dikehendaki karenakesulitannya dalam memperoleh matriks [,4] dan [.8] untuk kerangka kaku yang tak-berbentuk empat persegi panjang tapi dengan derajat-kebebasan bergoyang ke sampingyang besar. Metode Bab l6 cocok untuk kasus-kasus di mana suatu program komputeryang menggunakan metode kekakuanJangsung tersedia, karena data masukannya akandapat secara mudah disiapkan, sebagaimana dilukiskan di dalam Contoh 17 .3.2 atau Ta-bel 17.3.3 sehubungan dengan momen-momen sekunder pada rangka-batang yang memi-liki titik-titik hubung kaku. Apabila pendekatan pertama digunakan, hanya nilai-nilai nisbimolnen inersia untuk bagian-bagian lurus tersebut diperlukan; tetapi jika deformasi

Pot+

o91,,,

(a) Anggota berbcntuk kurva

J

Pos

2r*

/

*il,,4

(D) Pcndekatan dengaa

w

li*-r./' \,#,, t\

kerangka kaku yang memiliki bagian-bagiar lurus.

I --#'\-,,/ \,#,, -*y

(c) Pendekatan dengan 'tiilang-titik" pada penampang kolom analogi.

Gmbu lE2.l Gaya kondisi'terjepit utrtuk anggota bqbentuk kurva.

,r,ot

'lldaftet u?Eunl8ue.I

eped hluep 7 '^,V:{nlun upwl uutluefrad I't'8I rsqu?C

.1rdefra1 u?Sun)IEuoI uesrsllBu8Euad urepp uul8ueue,tueu Surpd Ew,( apoleu

-epolor.u ueludrueru ,sr1se1e-1esnd epolau 'e,(urserrea uup 'uro1o>1-€ol?ue opolery 'eEtl-1ef

-?ropreq ntruol{?} srlBls lsJrsteq ue1ru18uusreq Suef lrdalral ueEunlEual '?tposlal B{I13}s

sBqaq u??tuesred ?EIl e,(uuq (,(poq ear;) suqeq-epueq nluns re8eqas elEueral qruqes

nefuruaul ueEuep'euerey'Inqu1e{Ip e{u}tdefrel-uendurnl unpe4 eped ts4ear ureueel zltfg>lrlels un>lnq-un{nq InlBIoIu uB)lnluotlp t{Epntu Br?cos l?d?p }lde[re] w8urul8uol nl?ns

Eusdueued Euereqtues rp uoruou uup 'Eue1ul1-u,(e3 '>psep-e,{e8 e,nquq qeple,(ura1'8uu1npeq uoloq uep nleq ueuntwq

ue8u?cuured uped eserq 3ue,( 1uq 'tur snsnq>1 Istnlls BpBd Jlflsod du8iluetp qe1a1 (ueualal

nule) lesap-e,{e8 e,nqeq ue{l}Btlrod 'Jl}lsod q?l?pe I'€'8 I reqtueC uped ue44n[un1p

ewurreEeqase,(uqure-qere'wwp '/ 11 {n}unBpuulr?ueEua61 '1uEa1 Euedueuedepud

g utra>1->11I1 depuqral plol ueuIotu qpl?p? J,lI uotuow 'Euedtueuad uetuap re[efas u[ra1

-aq Euu,{ e1o1 u,te8 q?IBp? 1Bueryr1-e1le5 'e.{ulereq-11}11 Ip tuedueuad dupuqrel snrnl

-ry6a1 e[ra>1eq Emr( p1o1 e,{e8 qBl?pu 'ue8uorop {nluog urepp e,{uuselq 'lrr {ssep-Breo.up{lgd?prp qqel lnqoslel ugfluplEuol-nq1llns depeqral srun14e8a1 Euzr( EueduIguod

tuerequres rp uotuotu IIBp'EueluU-e,(eE'4esep-e^{uE egqzdu delEuel sJeces sIsIlBIIBJol tplal,Idafrol ueSunlEuel nBlB ,lrdeFol-u?ndunl enp ueEuep B^Iru{ {nluoqraq ulottue n1rn5

lgdafra1 wEun>;6uar1 qslIBuV t'8I

'l?r$lu rseluJoJap qnretuad'qnretued uu1

-requ8uour 3uu,{ uep u?qlqelo)ru?qrqole{ qeloredureur >1n1un u?s?IBlosa{ tslpuo{-tslpuo{

ueluuntlluaur tue,( er(eE epole1lI rIBIsp? r4BI :lB1 tuolo)t-FoFlIs epolou B,ll\qBq Fqu?)[nluoilp snre11 'e,{u1n{gaq'lBsed urEpp Ip 1n[ue1 q1qa1 uqsuloflp uop efulcquar

rnpasord .)l.Z.gl reqrrrEC eped uu4lnfunltp euuunetBqos Trr/SV uztuep eulBs tuel'(.{r}r1 Eueprq.. n}?ns qolo {DIB^\Ip ledep lnqesrel rtopue urolo{ uurEuq rrep qrsEuuqurm

r{nJnles 'e,(ueueru;1 'Iflpuos e,(ulureq-suet depeqral lnqasle} srru8 tuuptq BIsIeur ueurcul

uB)plnsBruelu uBlpnua>l uep fiIlI J?qeles uep SV 8uefuedas suut tuzprq nlsns wT?Imt

-tuaur 'er(urEoPIIB luolo>l Euedrueued uerequreflEuad urepp 'nped qeppprl ufuledurzt

'e[ur1e[ueq w,(erunl Eued lepuad uer8eq-uepeq DIT[.nxour lnqesrel n1e1 opueraleue;g) .qfz-gl rBqurBC eped uulleqSradrp tuu.( ttdafral-uendunl snp g4tgureur twaru121 opueral sIsIIBrrB rteq 4ledtuls IBEuBS Erecas u{qr;p ue>plpa,{ueu S I qeg urBIEp IP

ue4frsrp Ern,( uro1o1-l8opue apolelu 'ueruoped ue4ednraur tued Iut DIIf 'Inlual ueurcu

q.1o urrllrqrXegp efuqnrnles xdureq lnqasJel IsBIluoJeP qEIuIEIB EIBces suercI '1tde[-rat

Flpub)t ehefl-etlel lqnrutuaduraur edereqas {?pn pI$lE ISEIuJoJap uunu[quad'u1nd 611.plnu4p uesrsrpueEuad urnleqas Eunllpp lle1lqepnluetu erecas ludup tuef utsraul uetuoul

rqsru l?lru-rBgu e,(uuq efuesurq 'ueurusapuad slpprd ISBn]Is_ BnIUoS tu?Pp Io'e.{uuulnseur ?}ep uEIBp Ip ledBPrel srusq UrrIR 'Ilr u?p

vg Bfilue ludal Euu.( {ueunu ueEunqnq e,(u4upqas nule 'ue>lnpedtp er(uursraut uotuoto

uaruoru undneu 1eEa1-Suedureuad senl IBIlnu plu'IBF-u 'uultunllqredtp efqup1r

ttr v^unv vn,LNssusa vro5gNv NVSNS(I nXVX V>ICNVliltI


Sebagaimana halnya dengan struktur statis taktentu yang mana pun, karakteristik

lengkungan terjepit haruslah didapatkan secara lengkap sebelum ia dapat dianalisis. Jadi,

sebelum suatu lengkungan dapat dianalisis, suatu model haruslah diandaikan. Dari hasil'

hasil penganalisisan berikutnya, model yang diandaikan tersebut dapat diselaraskdn, dan,

jika ferlu, dianalisis kembali. Proses ini mesti diulangi hingga model yang dipakai ter-

akhir dapat menahan gaya-gesek, gayalintang, dan momen di semua penampang sebagai'

mana yang diperoleh dalam penganalisisan terakhir.

Sementara suatu lengkungan terjepit bisa digunakan untuk ataP atau jembatan.

penganalisisannya dapat dilakukan sebaik-baiknya dengan membuat garis pengaruh

untut< reat<si-reaksi dan untuk momen-momen di penampang'penampang dalam jarak

tertentu yang sama. Biasanya posisi beban hidup untuk pengaruh kombinasi maksimum

di sembarang Penirmpang ditempatkan sedemikian rupa sehingga memenuhi kriterium

untuk momen maksimum, dan gaya-lintang serta gaya-desaknya kemudian didapatkan

untuk posisi pembebanan ini. Di dalam bab ini, pembahasannya dibatasi pada penentuan

garis pengarut untuk reaksi-reaksi dan momen'momen pada lengkungan tSliepit apabila

karakteristiknya diketahui. Dalam kenyataannya, untuk tujuan ini, hanya bentuk sumbu

lengkungan dan nilai-nilai nisbi momen inersia di pelbagai penampang di sepanjang

,u*bu lengkungan diperlukan. Kemudian pengaruh suhu, penyusutan, pemendekan

rusuk, dar lerakan fondasi akan dibahas. Dalam kasus yang belakangan, nilai-nila:

mutlak momen inersianya diperlukan.

18.4 Metode hrsat-Elastis versus Metode Analogi'Kolom

Sebagaimana telah dibahas di dalam Pasal 18.2, biasanya bentuk sumbu lengkungan dar-

variasi momen inersia di sepanjang sumbu lengkungan tidak mengikuti persamear

matematis yang mana pun. Dengan demikian anggota berbentuk kurva tersebut harur

dianggap terdiri dari bagian-bagian lurus yang terhingga banyaknya, masing'masin5

memiliki momen inersia yang tetaP. Semakin banyak pembagian yang dilakukan padr

lengkungan, akan semakin saksama pulalah hasil-hasilnya; biasanya delapan hinggt

sepuluh bagian cukup untuk lengkungan dengan kecembungan sedang. Bagian'baeb:

tersebut mesti memiliki panjang yang kira-kira sarn4 di sepanjang sumbu lengkungar'

meskipun di dalam contoh-contoh nunierik bagian-bagiannya dibuat memiliki proyeks-

proyeksi horisontal yang sama. Hal ini dilakukan sekedar untuk tujuan ilustrasi suPa)r

pembaca dapat secara mudah melakukan pengecekan pada segi'segi hitungan de-

contoh-contoh. Dalam kaitan ini, kerangka berbentuk segiempat dgngan dua tumpua-c-

terjepit dapat dipandang sebagai suatu "lengkungan yang disederhanakan" dengan hanlr

tiga anggota terhingga; dan kerangka berkepala segitiga berbentangan'tunggal, denF

empat anggota terhingga. Maka metode anaiogi-kolom yang disajikan di dalam Bab l:dapat diterapkan juga pada analisis lengkungan terjepit'

Kadang-kadang dikatakan bahwa terdapat dua metode penganalisisan lengkungn

terjepit: yakni, metode pusat-elastis dan metode analogikolom. Dalam kenyataar

kedua metode tersebut serupa dalam setiap rincian hitungannya dan hanya berbe'or

sedikit pada langkah terakhir ketika momen di sembarang penampang diperoleh' 1dalam metode pusat-elastis, gaya-gaya kelebihan I1o, Ho, dan I! sebagaimana ditunru

kan pada Gambar L8.4.lo didapatkan dahulu, dan momen rY di sembarang penamPaf,

dite;tukan sebagai momen lentur pada struktur kantilever ABCDEFGO yang terte'D'r

di .,{ dan bebas di pusat elastis O; atau

i.

.

ii1

M : M,+ Mo+ Hoy - Vd (rt.4 I

-v-Hri'tl

'ruoIoI-IEoPuu epoleu snsre^ spselo-lBsnd epolew I't'8I llqoq,

I'lIolol-rSolBuu epoler\l (g) spsPla-}?snd apolew (r)

Pr1- {99+o1rg+'W=WlN-'w:w

'u[qe18ued-4t1t1 tuEeqa

srlsule-l?snd Bp?dal noe8ue1ll u?8uep {Illl-Eueplq }Blrlproo{'}?ulproo{ = (,t 'x) : usSuaF

#mK:^n NfuK:,T\Itg

sv-nr S = d

ffi<:t .ftK=*r ffi<=, #K:o'srr1arurs1e1 uu8uopual undneu syleu4s ue8urultual {nlun

:IuI r{B,treq tp €uqntp SI qeg

urepp Ip uu1uun31p uep u?{uunlp .q?lel Eue( snunr-snurnr 'uequpnuo{ Itueq'eures>1as letrm

Br?ces u?In>lBpp npad Eue.,( lnqasrel uetu4 ue8unlqrad qeruerEord wrIBIBse{ {Br-slalll {n}un ue4uunttp tue,t qoluoc IBos urBIEp rp e,(ueq ileuSueurreq q?H?pI} delSuer

uetunllqrad 'unsnslp uzle ralnduol urerEord nluns epqude 'qerurzlu erecag '1golol

-6opue opoleu uelep Ip tW-"[ = y'f uB?tuBSrad uup Ipque{ Eunlrqlp 't. uep Z I{u>IEU?I

epzd qelored1p qelai Eue[ ueuel usp Iryl uendtunltp 8uu{ uEnf uup 'S qqEuel uped

qaloredrp qu1a1 Suef rntual ueruo1ll IslIu-IBIIu (S) uup iseqeq-epuaq nlens rcEeqas uutunl-Eua1 uuuel ue6uq undnele rrq uu$eq nefurueur uuSuap tun11q1p ueturupual nquns

upud q1ptua1 {lln-Tlll Ip DlspuaqeTp Euut( rn}uel uatuotu plu-IBIIU (g) isuqaq-upuaq

nlens reEeqas n1q Eueleq uduel uuEunlEuel qrunlas nefulueur ueEuep >{uotunu BJ?3

-os {ecrp eduue8uequresa{ rrpBru?sred eErla>1 (7) lseqeq-epuoq nlens rcEeqas tnpues u,(u

-n1q 8ue1eq nehnuaur uuEuep Eunlrqrp ueuel-uundurq Ip B)Far I?Eu-IBIIU (g) :(Ipoqear3) seqaq-upueq n1?ns rcEeqes Dl'V'81 ruqIrEC re^e[]u3{-rnUru1s qunles nufqnt

-eur ue8uep Eunlqlp u11-uendurnl Ip r5:per IBIIU'IBI-ru (7) isqsela'1esnd epoleu qalo

u?{Brpesry Eue,( snunr.snunr ue8uap tunlqp oA urp to, 'oy IBIIu'EIru ([) : uetuap

uu8uz1 uuEunllqred urBl?p us{Bun8lp >p1un u?Tu8r8srp uerndurec rnpesord nlens'popue tuolo{ urBIBp Ip

uz1a1-ue8ue6el q?lBpB ly4J uep z{uurnlaqas Isluuepral euuu4e8eqas I{BIBpB s;,g : ueEuap

(z't'st) lN -tN: N

ueeuresrad trep Euns8uul

Brecos uu>lnluatlp Euedureued Eurrequres p ,t/ ueruotu iotl ,np tH 'IN ueqlqols{

e(f,-efte| ueeunElluod undneu m1u1 Eueleq u,(uepe ue:llnqoslp 1ep4 'tuo1o1-poluue

opolour nrBlep Io .efqopuud-11111 reEeqes qlsqa lusnd upudal ncE8ueru uuEuap

'uuEuru18ue1 nquns eped efre1aq p1 le&:nl T]Il leulpJootl?ulproo{ ltBIBp? / euas

r uep (yne8au efuesutq) zfre1aq tue,( ueqoq l?qlip rnlual uoruolu qsl?pE s7g : ueBuap

98r v^uox >In.LNssusa v,LoccNv NvcNsc nrvx Yx9Nvugx

186

Untuk lengkungan simetris,

atau M: M,- Mi

dengan:


,o = -'A ruo: -* vr: *+M : M, + Mo + Hoy - VA (metode pusat-elastis)

(metode analogi-kolom)

*,=*,.Y.ryUntuk lengkungan taksimetris,

M',r= M, -", (?) M',: M,-* (?)

r;:r,(,-t) r;=r,(,-t)

H.:-Y u.:*YPA

atau

dengan:

Mo:

M : M, + Mo + Hol - V6x (Metode pusatclastis)

M : M, - Mi (metode analogi-kolom)

*,=*,.+.ry

18.5 Garis Pengaruh untuk Lengkungan Terjepit Simetris

Garis pengaruh untuk beberapa reaksi, gaya-lintang, dan momen di dalam lengkunrrcterjepit simetris tipikal dihitung dan ditunjukkan pada Contoh 18.5.1. Dari hasil-ha-si.

nya, perlu kita perhatikan bahwa, secara umum, (1) pembebanan terhadap tiga per &,rpan bentangan pada bagian kiri dan lima perdelapan bentangan pada bagian kr,o'masing-masing menyebabkan momen lentur negatif dan positif di tumpuan-kiri: iposisi pembebanan yang sama ini masing-masing menyebabkan momen lentur pcrs:dan negatif di titik seperempat bentangan;(3) pembebanan terhadap kedua bagian;urtiga perdelapari bentangan dan seperempat bentangan pada bagian tengah masing.m..mTmenyebabkan momen lentur negatif dan positif di puncak lengkungan. Dengan u:o,:ukeras, ketiga kesimpulan ini dapat direka melalui penafsiran secara fisis perilaku tangn"an sebelum penganalisisan, meskipun seseorang dapat merasionalkan dan merasa belrnan terhadap hasil-hasil penganalisisannya. Maka, pengetahuan ini menjadi berguna ru*gai panutan akal-sehat untuk menentukan, misalnya, bagian mana dari atap yane:!Emdibebani oleh salju yang paling hebat pengaruhnya pada pelbagai titik pada lengk,-,rq,

Contoh 18.5.1 Untuk lengkungan tedepit parabolis simetris pada Gambar li -',&gambarkan garisgaris pengaruh untuk (1) reaksi horisontal di tumpu"t:r.{c"(2) reaksi vertikal di tumpuan-kiri, (3) gaya-lintang vertikal di puncak, (4 t =:unrdi tumpuan-kiri, (5) momen di titik seperempat bentangan horisontal. jr" ihfrr

momen di puncak.

'I'S'8I rloruoC urqrp gp sracuir.s qdafr4 uudunfue.l I'g8I lqung

uB6?q-u"rts8 (q)

rl

nzfuprp tue,( ltdeFel uu8un:fu.-l (Dl

iwx,o'

'l I urp'x 7'V lyedas edupopueurolo>1 Euedurzuad 1r1srra11ere1 eped lnqai(uad reteqes Incunu :4sauo )Jg u?J?seqD^\q?q u?)fl?qrad '(rtrEA?q rp ueplnfunlp O, uqrt?q Inlun qoluoc utaunlrurod)I'g'8I Iaq?I eped uelrele8rp eueune8eqas Sunlqrp Fopue uro1o1 Suudureued

11lqrel{BJel{ 'rur uen1ua1e1 ue8uaq 'ue8unq3uel nquns ?ped {plelrel edusn-ralasvep 'O ? 'g 'V IrIl tr?lueures efusruales uep 'O, ?g 'Sv sn.tnl-srreE Euefuedru3eqas de88uerp uur8eq derlas lr?p t(SV) Suefue6'uetun13ue1 nquns epud 4e1e1ra18ue( zfusrueles uep'€'Z'l ry1r1 eped uelledrualrp q wp :8 ettulq | = t'(Idu)/l(gy) ueSuap ernBs rSopue uro1o1 Sueduruuad eped 414-Sueplq derlag '1nqasre1

ua8eq-uer8eq :1n1un edusn:eles uup <cJev 01cv ''lIa epraul uauotu Sunlrqgueu

{n1un uoleun8rp e{usnreles uPp'€'C'l :11lll Ip ueSunltual {nsnJ 1eqel u?p ''^I

lnqosrp '.? 111}11 '>lecund InlBIeu tue[ tuBdureued srsteur uaruolt ' q I ' S' 8 I r?qru?Ceped edusn:alas usp ' €. 'e ' | rylll rp8eqas lelsclp 1uI luteq {!II1-ITIIJ 'e,(u4r1eru1rru

ue8unllqrad wr{BpnuaI Iurep u?{rblupp u8nf tue{'er(upluosrroq rsle{ord qetuel->11lll Ip Euequnlel uer8zq dules IrBp BIuqn88unses Suefued q"3uel-{Ilq rp lereq-ry1r1 ue4ledrueueu {req q?Igqe1 'e1nd uel{Iue( 'pluostrotl Eleces u?Im[?llpui(uuer8equred 'ue8unlrq usnefuruad tu?lpp ?c?qtued uuqupnuel rurep rde1al

'lrpues e,(unqurns 3ueluudes rp elu8uefued eurss Suef uerSeq-uur8uq rpefueuue8unlSuel {nsru r3€guretu Teq WIqIqeI 'e{uu:nleqas l?lecrp euuu4e8uqe5'qlS'gI r€qur?g eped efusnrales uep 'O) ')g 'gy ue?uep u?{sp{nJrp euerura8uq-es'srues l?luosFoq rolei(ordraq uer8eq uudqep qelo Suereques ?r?ces uerlaue8ypuu8unlSuel lnsng 'rSoJazb tuolo4 Suodwouad 4usuat4o,toy (r) NVTVSS'I1IANEd

u0l tu 0I ttl0l ur0I i tu0l tu 0I rs oI lu 0I

siur t lu utl rus

c

II

: _Jl

s UI us

o

lu, s urg Iul rxs

c

rs rus

a

:us s

H

-n d A_

t8r v^lrov xnJNsaugg vJoccNV Nv9Nsq nxvy vll9riYEt


ra€

o

oI6!,€Ea

(,

a

A!)o

t!o0E.vaoE(,

v,EI,o0o6!l

Eoo&o0

cA!,

!)o.

I0i,xoau

ra€c,!ali

il::iriJ;

iilj

&

'u€ue{ qsleqes €'s'8 I r?qurBcppsd uE{lsqllredrp tuB{ s?qeq-?pueq uPrtBIp-ul?I8elp ueryunfflueut uetuep {ectpO = W3 uep'0 = ^lZ, '0 = !r3 ueEuequrrese:1 useuesrad eBtle:1 'e.(ur1qle u?q'g {-rll1 tp ue8unlSuel eped zfre>1eq up{e g {IlIl depeqral 0A uep ' o/ir 'or;tr rnluelueruolu iBures Euef qere uep reseq ue8uep ueuel-uendunl eped ufta>1eq de1e1

s1se1+1esnd eped ufrs:1aq ?ued plBrea usp Ieluosuoq e&e*-eie3- 'ueue1-uendurnl

a{srlwla-lesnd epad ufre>laqEuei( efefl-etet usrlBpurued qepfueq uu>1nlredp tueflue>Jrequretrp nlrad >1epr1 lnqesral n1er1 tueleq-Sueleq Inlun qesrdrel sBgeq-epuoqurer8erpuerEerp 'unue51 'sEqeq-Bpuaq reteqes eIun1e:1-Eueleq ue>leunttueuruetuap qsloredrp ledup 'ueue1 qelaqes €'S'81 requr?C Bped seqeq-?puaq ruerterp-tuerSerp eped us{{nfun11p 3ue{ 'ueue1-uendurnl rp rs{per-Is:paX 'tunlrqlp lrlrtuendurnl rp rs{per-lsrya.r 'ru1 seqaq Bpuaq-Bpueq depuqral O = WZ uep'g = frgg

'0 = 'C3 uedereued nlelan 'ur{ rleloqes €'g'8t requrBs epud uelluqqredtp Eue[ssqeq-?pueq urer8srpure.dep rdu4tualeu {nlun ueletmEtp (g) ue6eg Irep Is?q-ltsep'uoulrl uop !4rt uondwru p lsqDil qa1otadutaut t1ruun uo?uwttpaT Q)

'O, snrq srret rleuroeg Z'g8I ruqureg

w sL'€

'sBlE e{ qepr;rlrsod orl uep 'uzue4 o{ TIBIeI

yglrsod og 'uref unref qere.uetuep uBuslr\Blreq nlref ;rlrsod oy4J ex4eq u?:1rlurlred'sr1se1e-1esnd eped efre:1eq EueI teqrqela>1 e[u3-u{ut 8un11q?ueur >1n1un ue>punttp

fi* =',r fi- =', \- ='w

snIuru'Z'g'gl Ieq?I sele uepeq epe6 'rtoluue tuolo{ Iecund eped (su1e a:J) yrleiau

lesndrel ueqaq-usqeq uu>pdnraur uB{B B{oreur W{ sru '1t1r1 senl-senl qBIBp?

(?tSu)lSV EuorBX '€'S'8I rBgIu?C eped uerplnfunlp BuetulB8eqes 'efuqlsep-1esnd 1p ssgeq uep f Ip lldeftet-uendurnl ue8uep re^efluq-rnltru$ u?Wdru-evJ'sN r?[u-I€[u uu:lludepueur {nlun ue>leunftp AuEd'efuresep nlue1rel sr}Bls

rnl)tuls 'g uvp 'O 'J 'g traueqequrad rsrsod-1srcod {ruun '(ururac-ue8uei(eq) ei(u-uesrJleu[sa{ rrB}nlunl 1rlnuerueu '9 rp epereq u?nl?s-ueqeq E{Ilet upl-uendurnllp Eued rlredes ?ruus uo{B , Ip Bpereg uenles-ueqaq DIr}e{ ueu?{-uendunl rprslBer-r$leer'qoluoc teSeqes lue:p1redry {Bp!f 11 u?p 'g dr ususgequred lsrsodusneftrrued'ueq.r1eu4sa>1 euere; 'H uep 'g '.{ 'g 'O 'C 'g Islsod lrunl-lunuaqerecas lleduaueur tuBd u?nles-ueqeq IBABqos u?{nluefp w{B DPpuaqeLrp tuu,(qrue8ued sr.ret-srre8 eped 11Ut->1111 L.oA uop'oH 'oN ywun uotuntlgad (D

ru €['I + = l8'z-tt't = 6 {Ru u8p (

wtt'e-=ffi- =,r

00e'z =,(#) =,(+) = iiffiiff =+ ='

,u8e'or=;ilfix:;;u! r8'z- = (02)zQ)- = (0zLq)- = E:[S$ peP,(

: (Z' g'g I r?qru?C lpr{Il) O, uo1aoq qruun qouoc uoturu1qn4

68r v^unx xoJNgausa v.Loo9Nv Nv9Nsq nrvx vx9NvElr

ANALISIS STRU KTUR LANJUTAN190

A()()

eo

,rao0

otr

€q,u

ol)

rc

o

tr

o

tr

€oo.lq)

(go

E

ruru

,l(

F0)ru.v

E6

d^oo;,o.:9

^oEq€€va.2ox'6 l:t4'd

U=dIoco

<lalEl

rr+ +

€@

+

a@

+il

@r3+ll

HIA.il ax<l--:t16

I

il

o. l<I

il

2

€a.

I

il

HldI

ll

at*I

il

C

N

-o+il

nl-=lr+l-

+il

al\+il

.3

@

+ +

qo

+

a

+II

e

<l-{lb'Jal

NJ

I

r

1

€a

I

@a

I

tl

L

eI I

q

d

o

N

+

€N

+

N

+lt

2

+I

99 lN

^lxt16

I

lla. l<

I

lio

a

+lt

@l€N'lr+ i-

+il

fl.+il

N

+

€-N

+

aN

+il

@

I

a

I

@

I

il

I

u

d

o

}(sd

E

o&*oJ'd6V

< ll!d

€{r.i

6trr'

daaiqilllll< J'a

r

I

ra

I +

€

+

I

NI I I

=dli!

m€EA

UE U

r{

-T

l!oclpi,rtD

I

X lrl -lx

+ I

I

@

+i5

I

@

oI

I I

.o

a

:l I

8t":pl-ll

I

1,6

>l'u

I

@ail

I

-t9f.J

s

+

il

+o@

rl+€tral-Nl'a

I

J^-o\II

I

I.'p

lv

+

I+

ll

-l*Olu$lp@16

I

5lt

I

5

-l<lx

I

po\

+po\{

I

@€ F

+po\

IoN6{

I

6

a

op

ro

x lrj ,.]

,l

+o

I

o

I

o

+

5

I

@

I

No

I

!F

I

{@

-l I-el.FNl@

ilI

5{@

>l!

I

ll

I!:{

+_5

sil

+No

-613Nl.

I

_6

il

I{:'{

+tI+

I

ol-qt-{t-@l'6

I

EllI

!!

-t<IX

I

{€+I6

I

$@

g

+{@

Io I

-O.

{

v^lro>t XII,LNSSUSS VrOgoNv NvcNso Axvx V)ISNVAAT16I


qtu.F()

tr6,ootr&utrru

(t(lav

coo

Eo

o

()EoEtr6EaaCB

o(,q

qEtrG'

3()oxEE-csO ':l

.a l')Eod

d=DOY

ei'E \JktOHar -Eq€od '15

EBG,tr?'6

r{

€dpoto

ql<l?la>t

N@6r+

N

d+

o-d€

\o

I

\NN@+

t:NNa+ll

Ivt-'+lt

R.ls\oIaK

rl-I

Ia.l<

I

I

ad

3I

il

Flt+l-I

ll

gl{I

lt

E

xt5

+il

3leOli^frlo+l-

+I

$r+fl

<ttll{>t

IoiIN+

rr+

iNa+

rr+

6€d+

s.6€N+I

s

;l-€r

I

r9P

I

N\o-

€I

?.

I

acl€N

I

€d6N

I

llA.

xI

dI I I

a€6,pt)E

€+ +

rNI

r@€+

r€€+ll

a\oVI

+ll

9l^.il8rl-

I

ll

a.l<I

il

I€d

I

fi

?la

?t$.I

il

sl{I

ll

E

ad

+I

3leo li^;lci+l-

+I

>l{+Io

3r+

o

+

@

+

€N

+

\od

+ll

a

<l*Hl*

1I

dd

!I

NI

€d

I

od

I

il

NI I

.Eb

o6H

ooJbocdAtrdoAJ

oJ.66v

<ll!Io

€$rd

€ 6ro-r

a,l @Odrqoi"?H606t-:[ilI

(.I*r

r

I

r€

I +

a_

+

I

NI I I

HEF< .o

d !

dbod

!oa Ue a

Qao

i:liill.*ii,

*

x Gl ,J

,t

+t oIt

I

't+55

I

&a

o oI

o F

I

o\

I

6

ul I

8lJ.'pl6lt

I

P6

>l!

I

t66llI

o

+5

fi+

I

staPl'o

I

J.IilI

-a

..15

+til+

{N

oI

-l+olaqlo-lx

I

oilI

{p

I

L{+ot

IN6-a6

E

+

{IIE

I

\o

oD5Atr

odsAh:

n llr Fi

r

+t cI

!

I

h

+5!

I

s

O oI

5 F

I{fi

I{.H

slJEl-H

I{i>l!

I

gll

I

9t)o\

+55I+

-s!Jo\t.J

SIE',"|tI

'ts

tl

I

o\

}Jo\

ilFlY

+0I+B

ii

oIc

t+olv!'qlBdl-!TeIIpo"E

-l<llr

I

{N

I

Ft

I5{p

s

+-lN

+It

+l,{N

v^lrox >In&NA SUSS VJO9CNV NVCNSG nXVX YXCNT-IE86r

L94

6,116(/ to,9ffi

0,4851 , I.JXA


s,6n()t0,E675

s,on(110,8675

,,rrn()l0,7M7

0,8J%

0.l.tOS

u,,,ucy' |0,9666

(a) Beban di8

0,4857

Mc= +1,106Mr = -o,267Mc= -0,230

Mi = +4,1+5Mr = -0,633Mc = -0,855

Mc = +0,121Mr = -0,M3Mc= -l,6ll

0.1409<+

f J',,,u0,0334

0-€5-<-:'f c''.'

0, I 325

i\( . o'trh

tJ,,.'q2e33

*YJ=tJ,--

0,5000

(b) Beban di C

0,8596 ^ ,/+<AA

r,rre(/ t0,7067

tru(, I0,5000

t,m(l

I

.i

(c) Beban diD

t,02\114

rn(, I0,5000

0,5000

(d) Beban di E

Gambar 18.5.3 Diagram benda-bebas (free body diagram) untuk pelbagai posisi pembebanan di da.:-:Contoh 18.5.1.

(d) Perhitungan untuk momen lentur di titik seperempat kiri, puncak, *-titik seperempat kanan. Momen-momen lentur di tiga lokasi ini dihitung deng.:menggunakan diagram-diagram benda-bebas pada Gambar 18.5.3 sebelah kan-Hasil-hasilnya juga ditunjukkan di situ.

{e) Penerapan rumus analogi-kolom M = M, - Mi. Tanpa menggunakan n:-.:--nilai Ms, H6, dan 26, mom€n lentur di sembarang titik pada sumbu lengkung.-dapat dihitung secara langsung dengan menggunakan rumus

+-tsil()

M = M,- Mi ",=l.Y.Y

I.r--gl qoluo) urqsp rp srrterurs rfdoftel uutunrt8uot Inun qnre8ued sgeg g.g.g1 raqursC

ryerund eped Jerlllra Suelurt-e{e81n1un (a)

urq-uendurnl eped p4lra,r Is)iper {n}un (q)

t4:1-uundurq eped pluosrroq IsIper Inlun (r)

't'g'g I rsql,uec eped eueunrSeqes u?{JequeSrp uelpnua>1I{epueqe{Ip 8ue,( qrue8ued srreS-srreg'uu?s4retued InIEeur ueuu{ q?leqes €'g'8IrBqu?C ?pBd s?qeq-?pueq"uruferp-ure.6em rI?p qeloredrp ledup I/ uep ', d. fpu?nles u?qeq-ueqeq {n}un qtus3uad I?IIU-relIu eueurreBeq ue{rl?qred ' €'s'8 I Iaq"Ieped ue4unlueclp euarlrle8uqes qnre8uad loqel nlens lenq Elr{ e.,(u{reqes 'e.,(uqru-e8uad srreS-srre8 loldurau unleqes 'qruD8uad stto? uop qruotuad PqaJ (3)

'leqBl {n}ueq Iuelsp u8{8uEn}rp q?pnu ureces ludup 'ru1s tp ue1-tunluuclp 1upr1 undrlseu 'IuI ue8unlrqtad-ueBunlrqra; 'ei(u1e13ued->1r1ttr re8eqes

y epede>1 nce8ueur ue8uep i {Ill1 lgqproo{-lsuproo)t qBI?p? !t uep lr : ue8uap

+oN€

IIa{

o

a

'IA,u ), ^ 'lg.'u to=,sv..T,ru + u=Evw+

'e{eln{ ;r uep y IIII1 eJeluu rp '(a e88urq 4'9' 9l) ueetuesrod

rgedes 'elzteurzsrel ueruour-Sueprq slueroel efilel ue{derol E1rI uep 3 e3ttr.n4

I {llll Ip rnluel uaruoru-ueluoru 3un11q u1r1 qelnlred 'rqnuedral eduuesereles

-e{ rslpuo{-tstpuo{ B^lq?q ururelueur {nlu11 'uosDtDlasill uotlaca?ua4 U)'efuueszrelesa>1 uef eq

urruefueur runleq undplseru 'e,(uer1nu1s uefeq uuruselaz(ued ueledelarl ururefueur

'€'E'BI reqtup3 ueuerl uer8uq e{ ue{{nseunp q?le1 '(p) uer8eq rrep 8ue.{ ueluepeu?sraq rurs 1o 3un1r3pp 3ue,( rlq{eJel rnlual uatuoru-ueruol{ 'Z'9'8t Ieq?I qeaeque6?q ?pud ue{leqollp eueune8eqas X vep 'g 'r, >11lll {nlun ue{n{?Fp ,uI IeH

96I v^unx xoJ,Nsausg YfocSNv Nv9NscI nxvx YlI9Nv&l}

196 ANALISIS STRUKTUR LAN'UTAN

(d) Untuk momcn pada tumPuan-kLi

(f) Untuk momen Pada Puncak

Gambar 18.5.4 (laniutan)

Tabel 18.5.3 Tabel pengaruh untuk lengkungan terjepit simetris didalam Contoh 18.5.1.

JarakBoban di dariA Ht

(e) Untuk momen pada titik rcperempat bentangan

r:ur eruces pfre{eq Eued uenles uuqeq-uuqeq : uuueqeqursd -rqPuoI uudelep :1n1un

$rsTprrerp lnqa$el ryde[re1 ue8unltuel 'otl 'oH 'oy4J t1nyun uotunqad (q)sr?ruolo ereces rpefta1 ue{u IEItrIsep UPI{qrueE nele 'uedulep 'qnfn1 e8tuq uql11el

-a1 'efes n1ue1 'ue:pun3redrp relnduro>1 elqedy 'uulrnfuerp q?Ile8u?s uetuepq

"nuas uplep Ierulsep lsdua wls eErl ueleun8iluelu uB?s?Ige:1 'tfuqntEunsas 3ue^

Erpsap uoleosred urep6'qesrdrel erecas e[re>1aq Sued u€n1es u?qsq-ueqaq l?gDI?

ueln4Suesreq tuef e>lereur IBIIU-relu r{Blurnl IIBIBpP lrrq {?l usnlss-u?geq entues

u?p u?llnrrrs rs{B }BqDI? uetuotu-ueuolu uDp Is{?er-Is{Ber eA\q?q ue{{nfunueuredur.uple eped 6uel( 'qeloradrp ledep ryeq tue[ uerleca8ued nlens reie uu>Jn:1epp

IuI '?52rq >p1 3uu,( ugrl11elo{ leferep uped ue:p:1upp eduutEunlrqred enures 'turqoluoc u?Iep Ip ?lr\qeg uelrleqred epue ledeq 'I'9'8I 1eqel eped ue4rele8rp e,(u

-ueSunlrqred SueL '6opu? uolo{ {nslreptera1 eped lnqadued reteqes Incunurlseur '7g lserdslg 'fe{ TU}-Ewplq Fe>{ol rp ue8unlSuel Ieqel sBlE uelressptp

3ue[ r-er1 uer8eq ersreul ueluour ItrePpB cllu ue4BuePes 'lecund rp slsraul ueuourqelepe ,7 'rapl II?{oS 'eures tue^ pluoslroq luledord sele u?{resepreq uB{mIDIrp

uerSequred e,nqeq uetunllqred oy8o1 pn4tueu ledep ecequed ruSe uBqspnua{rruep rBpa{es 't8ueln rurey 'lecund Iglp{es W .'ig q?IuB{?ls{ 'ue13eq rrep Euefued

qrqey qnef 'erues ?uel( pluo$roq rs4eford uetuep gY uet6eg euers{ 1uI snse{

urepp Ip ue:1deraryp lDdBp qrqel u?{rtr?q 'ue3un13ue1 nqruns Euefusdes rp efu-tuefued eures tue/( uer8eq-uerSuq uu:1eun8lluetu 1u)1e/( lqnsp q1qe1 3ue,( uB{?pu-Il

tuzluel '(r) ue6eq ur?Iep Ip uBsBqBq 'I'E'8 I qoluo3 Inlrm u?IEsalefued urPIBp IC'ql'9'8I irq,urg eped edtsnrelos uep 'o) ')g'gy qelo uelruquretrp euuuneteq

-es .eures Isluosuoq rs>lafordreq uq6Bq uedqep qelo tuzrequres slBces uqnwtp

uetun>1tua1 >1nsng .l3olzzv uolol tuoduouad 1ltsyaPPnx (r) UV1VSS'MANAd

'uuueq-uendurnl Ip uauou (t) uep 'rpcund;p ueulout (9)'leluosrroq ue8uelueq ledurerades {IlP Ip uetuolu (9) 'I4:l-uendurnl IP ueruolu

(9) '>lucund tp p{Iue^ tuelurl-ei(ut (6) 'rn1-uundurnl Ip IB{Iue^ -lsryer (Z) 'I4{-uendurnl rp I?luoslJoq rqeer (1) >Jn1un qnretued srre*srret ueryeque8 'zI'9'8IrEquEC uped srrleurs:p1 srloqered lrde[re] ueEun4tuel {n}un I'9'8I lloluoJ

1or-uendurnl qenqas uei

rpuae tnndtuq qgnqes llrytuetu tuer( resup quepel sllug Inl{uls IIsp qaloradlp tnc

-asra1 s;,gregu-r?[uBIIqB& rE{qEq ruplreq eurus tuef. uesE&D 'rlEl){Iutep 8ue[ rn11mr

ue:punSuour uBSuep uB{urunllp wIFl ol uEp '? 'o1,g >1qun sruuru{nturu saIIBq wr'*,(ue4 qalo ue{qeqslp !q 'sllsele-1esnd rp s?qeq uup e[uu1>1'tun[n Ip lldeft4 Eued ra'ra

{luu{-JnDIruls upud ue>lderellp sruBq qrseru (rnuu1'utndurnl Ip Isryar el(u8 euaa ueluoa

rrep nsqss-ueqeq) t t/ uelsrs qrunlae eped eAeE-eAeE qBqtuerlp st1e1o'1esnd apolxj

,prd ,.,Ill--rnturu uup qqoradrp twi 01 tWp'oH'o7,g ueq1qa1o1 eleE'u1(u8 tnsnn

uelteqrad uB{nlJelreu {Bplf uolol-ttopue epoleu eped !14-s11 = ,li{ snturu uueu:i

-tuad uepp undllsau'uet4luap tue{ snsel ursPp !C 'u?n}Bs-ueqeq wun[ tlBlaqas :]

+Ur tueplq-auuplq Ip sy,g nguppu qaloraduaur {nlun In>I Ip seqaq uup uerru:I IP tr're

-.rat tuef reâpIre{-rn}>1ru6 ue4uun88uau ledep e1t4 Jm1'trendurnl 8uequry1el u?sr}

-uendurnl a)t lo1ep rnqal ufutrenles'uuqaq e4f 'e1nd UBI{1ureg 'uelle>[ Ip ueqaq trm

t4{ Ip Ude[;t tue^ reêlnue{'rnt{ruls IrBp s;g repu'repu uelludup e1r>1 qep{uzftc'"r

:*rlr1-uend.,rn1 tuuqurlta>1 pryuendrunl a{ le)top Wqal sûlruqes'u?qaq zgqudy'tuo1o1'rtopue ePolau tuqs: .r'

rrEp srlsele lDsnd epoleu tll€Fp o,,1 uep'?'o7g w4edepuau {n}un ueleunftp sr:r:'1ou 1ir1 >1epp el(u-b1 ueEuap 'suleuqs{B} snsu{ {nlun snurnrsnultu e.'lrlpq uep 'ude-u.q'qriurj* rtul uelnq ,uetuelueq qrunle. Inl,lotu leretraq smuq ufuuenlus'u'q{ :tr

Ip{ s/f.rPq [pnce{ "rr1"*r1rl

rldatrat ueSunltuel :1n1un u6nf-n{Blraq slrlou[s ilda;e

uetun:Pua1 1n1un qnruEued suet*uet tuelual ue>IBIB{Ip qu1a1 tuu{ g?p resaq ugdr"ur

slJlauqstpJ. lda[rel uEEunSu{ {nlun quBtuad slrEg qI

vûnx xor,Nssuss v&o99NV NV9NSO nllvx vll9liYum16r


Puncak

Titikseperempal

\,lro,** #r.

Bentangan = 80 m

(a) Lengkungan terjepit yanC ditinjau

-x

(b) Bagian-bagian

Gambox 18.5.1 Lengkungan terjepit taksimetris di dalam Contoh 18.6.1.

demi satu di B, C, D, E, F, G, atau ll dan kemudian beban-beban satuan )'a3ibekerja secara bersama-siuna di ketujuh titik tersebut. Sebagaimana diperlihatir:pada Gambar 18.6.2 sebelah kiri, untuk beban-beban satuan yang bekerja se;;:.satu demi satu di B, C, D, atau d nilainilai Mr-nya diambil dari struktur dersyang terjepit di ,4 dan bebas di r(; tapi untuk beban-beban satuan yang bekt--bersama-sama di ketujuh lokasi tersebut, struktur dasarnya memiliki tump',j.Lr-sendi di-4 dan tumpuan-rol di8. Pada bagian atas dari Tabel 18.6.2 hingga 16.:.-"rumus-Iumus

*"= -*, H": -Y v"-- nY

digunakan untuk menghitung gaya-gaya kelebihan yang bekerja pada pusat-eks:rGaya-gaya kelebihan dalam arah mereka yang sesungguhnya hi ditempatkan ;arrrdiagram-diagram benda-bebas yang diperlihatkan pada Gambar 14.0.2 sebela-h izaPerhatikan secara khusus di sini himpunan Eaya-gaya yang saling mengimba.g l

'l l''il5 6

/l- E --Jr

II

D

5m m 5n

v

m rT m 5m r

8

5

C

5m

1

5nA

5

B

5n

I0m l0m I0m l0m l0m l0m l0m l0m

v

rlr:

il,'i

$.

JE'do

909XAT

a)xon

n(D

e

poenoo

D'

at

oFctx(D

oaxa0atr

(!

(DE

t9*0o

oBpEE

ololol5l-lrlo\l.t:

>II

r5d\

ll

I

Fl-

It

}J&-J

I^i

lt

t

Fl-

I

o

p

4\t{s{ilo\6s-J(+'

xit I trtal'!, U

EIot)

s.) >t! $mp

6 { 6 U

{€pIa& & Q

66{IN

Nq6

?]p

r

oob a o

_{ :-l

&$\o

sr

xs@

s.IJ

Hg

a\a6

lo\o

n-l:

&6

N{56*6

q

{*p{{6p a

.N{AaN

6a6a

l

EEg"ixi

:rI$Le{p

+p + + t I iu t t& lr

I

56IN

I{*a

I

p'66l

I

p U

I

s6N

i

r)6br

l

p

I

N

s

l

s

al

ta{B

6

6N

+

\o

I

\p

I

65p

I

aJ

N

{ I

n'h6{

t!l>

I

5

E

I

u:L6E

I

*

rlrt

NINplN

9l€

t

a

I

N

5a€

I

*I

I

\.t{os

+N€6s

+€6{p

+\66{$

I

pp*

I

H6

Ipa

N

I

s6

I

sNa

l+

,:

g

B

+

a.{9

+I!+{

*{-l

+

6a{

I

a&u6

.tNoasa

at.Go.s

M6\ab

R6\{B

.i:II&?

a&{6i**

N

}'u

ErlP

+.M.I

{6

I*ag{o

t

b,14

'+

g_*

E

I

5p.

I

{PuI

*&{bx

+

sbsL

+t!lrli.8

.x.!C,.:,,

EB

$L

c,atp I*

l)

ss,

H

'6&I&

FtptsI

.sr*

:'g,Ls. Elr

fi

IJ*r-,t()b

(:)(,1}J*af

lt{.-tF.{^r

v^lrox xnrNssuss YJOSCNV NV9NSO n)Ivx vxoNvllg>l66r

2OO ANALISISSTRUKTURLANJUTAN

dalam seluruh sistem Mradalah Gambar 18.6.2e hinggag, dan pencantuman reaksivertikal di tumpuan-rol pada diagram benda$ebas Gambar 18 .6.2h.

(c) Perhiungan untuk reaksi di tumpuan kiri dan lwnan. Reaksi-reaksi ditumpuan kiri diperoleh dengan menerapkan persamaan DFx = 0,DFy = -0, dan

2M = 0 terhadap diagram-diagram benda-bebas pada Gambar 18.6.2 s"ebelah kiri.Reaksi-reaksi di tumpuan kanan dihitung dengan menggunakan penjumlahan gaya-

gaya horisontal, gayagaya vertikal dan momen-momen terhadap titik I darisemua gaya yang bekerja pada batang kaku.di antara pusat-elastis dan titik Bsebagaimana ditunjukkan pada Gambar 18,6.2 sebelah kanan. Kemudian penge-

cekan-pengecekannya dilakukan dengan menerapkan }Fx = 0, DFv = 0, dan

2M = O pada seluruh lengkungan sebagai suatu benda-bebas tanpa batairg kaku.

(d) Perhrtungan untuk momen lenrur di titik seperempat kiri dan puncak.

Karena pernyataan soal menghendaki hanya garis pengaruh untuk momen di titikseperempat kiri, tidak seperti lengkungan simetris, momen di titik seperempat

kanan tidak perlu dihitung karena dalam kenyataannya beban-beban satuan

bekerja di semua lokasi dari satu ujung ke ujung lainnya. Momen-momen lentur dititik seperempat kid dan puncak dihitung dengan menggunakan diagram-diagrambenda-bebas pada Gambar 18.6.2 Sebelah kanan. Juga hasil-hasilnya diperlihatkandi situ.

(e) Penerapan rumus arwlogi-kolom M = M t - M i. Tanpa menggunakan nila!ntlai Mo, Ho, dan Zp, momen lentur di sembarang titik pada sumbu lengkungandapat dihitung secara langsung dengan rnenggunakan rumus

M = M,-Mi M'=X+ry++

Ini dilakukan untuk titik-titlk A, C, F, danr( sebagaimana ditabelkan pada bagianbawah dari Tabel 18.6.2 hingga 18.6.5. Momen-momen lentur terakhir yang

dihitung di sini dengan yang dari bagian (d),yang telah dimasukkan pada Gambar18.6.2 bagian kanan, menjamin ketepatan penyelesaian bagian statikanya, meski-pun belum menjamin bagian keselarasannya.

(fl Pengecekan keselarasan. Untuk menjarnin bahwa kondisi-kondisi ke-selarasannya terpenuhi, perlulah bahwa momen-momen lentur di titik I hingga E

dihitung dan ketiga teorema bidang-momen tersamarata [Persamaan (15.6.2,hingga c)l diterapkan di antara titik /4 dan.r(. Maka,

$Mas,_n $tw,y,as ^ +MriAsr+ *EI" =" + "EL

=o 4 *EI" =u

dengan: x; dan !; adalah koordinat-kordinat titik i dengan mengacu kepada Isebagai titik-pangkalnya. Perhitungan-perhitungan.ini, meskipun tidak dicanturn-kan di sini, dapatlah secara mudah dituangkan dalam bentuk tabel.

(g) Pengecekan stperposisl. Pengaruh total pada lengkungan terjepit dacbeban-beban yang bekerja secara satu demi satu di B, C, D, E; F, G, atau 11 harursama seperti pengaruh dari beban-beban yang bekerja secara bersama-sama d:ketujuh lokasi tersebut. Verifikasi pengaruh ini bertindak sebagai suatu pengecel-an lain terhadap ketepatan penyelesaiannya. Pembandingan-pembandingan untuhHa, Va, Mt,Mc, Mp, dan M6 dicantumkan pada Tabel 18.6.6. Ternyatala}bahwa karakteristik penampang kolom analogi, terutama lokasi pusat-elastis, perlu

dihitung hingga enam atau tujuh desimal agar pengecekan yang teliti dan memuiskan dapat diperoleh.

(h) Tabel pengaruh dan garis pengaruh. Tabel pengaruh, yang mengandung

semua nilai yang diperlukan untuk memplot garis-garis pengaruh yang dikehendak'

a

aa

rt

a

a

I

a

!

a

I

a

a!tI

a

TIaaI

ael

I

e'

:i

r'!

I

r!CI

sl

-l

E-ttsr

F-oti't

F

o..A:B:-tE-tsI=o=Yto,6:9iH=

7ta

a

Il

iEt

t

f

t

q

G

B

-

,a

E

af

E

l-l,i Flf,: i >lt I IIll+ + sj:

-e f +a-A

E H isx

xoE

'tlc5

tnit Ull,

oU

Eo CE

wpms

xF'E],lo

,roD

trmxoo

d,3po

otl

6 -l o\ 5 N

dlgo t;:ts le.+ l--

+h.J\o!6-IN

+lo56-J}J

+)o5O{p

I

N@

I

o|.J6

I

hJ

N)o

I

-o

hJ6

It|.J6

x

I

J'N6

+

ir.{-.t

+5

-l{

+-5{-.t

+

o\{-t

I

t-.)6

I

P6NO

Ipe!.J6

P-t5o

5

6

{{@tJ

-Jo-t@N

5o@

N-l56

tJ

&o\@o\

trll>

ililll+tl

:lR :lR >lrltililt

ul Ial+ {l+ -l{qlu .*t8 alkd|g SI-= HIB5tc) sto

llIti ++lo,9 -o ietsGss

Ill++

o\-lu{utsJ O\tl++o\D{U {O\ l..J

\-p\oo€A\6illl++p\o6 6'o\OOoo

I F

todttilob

!I\t

O5o

I

-_l€5t>

F,lF\l>lq

F+

{{sN

+

-.1-l5N

t?,r?, I T(*l>

F

+o\

o\

+o\

o\

rnlq<*l>

ooo[illl+ll

:lR :13 >lrII

illl l

+ I al I

al+ {l+ -loO\l- {la -!la5lo @lu ul'^'il"d rls *lH

ilil++tao:^i?-i g60 o

[[++tsJ6q _\O

{o8:r ,1.i+€gp{o6--t L

o\ie\oo6\6Ilt++&u-t!N\Tqu

I I

F

odD

ro

tI

t,I@

I

-,1\o

I

Nj,N€

o,IF\l>

F

+p

s{B

+

.-:

6

+\o

p1..)o\

l<lnlir-l>

F

+

.8N

-:

+

\oL@

+5Ft€

l=EIQ-l>

v^?rnx roeNsausa vroccNv Nv9NEq oxvx YxcNvugxto?

!

\oI + I +

xr€

I

sqi

I

\o@o\

+

r8^

I

>l*

o\a-.i-

I

lt

€N

tI

nl;rlx'€l++ l\o

rr

I

il

@d

NI

\oN

+il

Nr€s++

ro\

+I

NF.€9-.t+

<t

I

ll

€rN

I

F:lrr.+ l-16le+lr

o\IN

I

tl

€€rj

I

€N

+it

d$a$_

+

8d

x

\€-

a.l<

€-i

I

il

99lto

6'lt-l--

@

I

€

I

*

2 NI

€r_€N

I

€@\

I

N$€t{+

*r

€N

nt

I

€dv1

NI

Nr€$-s+

rxq-

J1

U


r8.

Urc

d

o

o\o\N

\oI + I +

*-a.

st--ri

I

@

I

N

o+

o\o\

I

xlsl*

r

I

il

€6lVl

!I

99 laNIG+16

\oo\

I

il

€6lVl

NI

F-

+ll

Nr€$$+

+il

Nr-6ti+

^lat

d

l

il

€\\oN

I

Qltr-lir8lg+lr

\t€I

il

6@r

I

r

+ll

N.+€!+.t+

+aI

I&r

I

o.l<

o\\tN

i

I3ls€-l'+r l-itt6

o\s.'lI

o\vN

I

o\$NI

I

o

6\or,dN

I

€\or

I

d.t€i_t+

@\or

I

6N

I

€dvl

dI

Nt---€'+.!t

+

dr€!-t+

l(

Fr U Y

ac

!d€o

cq

€ct

a,oc3oIx

cta{)

ru

o

o

o

cl

qoCB

a)

€aa

gsrs

fdo!E oJZ:

iUtr-Egcg

i't,EU

dt,\a=6a

ocgOE.!FAa

;:,

t*:iI:

&E

{i

{fii

fi

fiilil

&

tr-E.f

B,Crb6E'-g-lDa

oiF!:

GOrrD=ts-

=oOrln

o!9r

?

I

E

tBD

&

3

?

q

t

=

,?

l

=t

l-li Fl.|:: >il ll llllll+ + a{aI a{-"; t s-re5 ; 550\*o\

EX

oE B F,

oU

tro E p

Gs

X6D,lo

xEoFD

E

0a

'r.oo

sDo

q3.

6 { o\ pdi6-ia,f

+NJo56-.tp

+\o5a{N

+

L6{N

I

N6

I

_u

pO

I

!i'q

N6

I

N6

Iq-uN)6

l(

I

J'p€

+

b.{\t

+5{{

+

-s{-J

+

a{{

I

po

I

6p@

Ip

-p@

p{@

5

@

{{ap

{{a

5

a

N{5aN

Oo\@a

t",l >

coolllrll+ll

-13 *13 !l!<-l-: '-l'- llllllt+ | ul I

al+ {l* -laqle ;ls il::;lf sl"E Hlsrri+tNbiE\o{u\oa50

fl[++N--*l

-\o6a6*6

tt++rN*{6€€a\OHa{

{u\oor\ou{o\all il++O.660a \c)56

I I Ip ?

wodgaU

I

6

\oN

I

{5o

I

N{

I

\oN

t?rnlF\l>

lb

+NJ{{+

@-\o

+p@

65

+\opNo\p

+

o6\

t<'FIIT<

l>la

+5{

+

Nj-J5a

+G

,a{6

l>Elq'l>

oooilllll+ll

:lR :13 >ltorYr.|*,xr ll1*T I

ni* .*i* ;l"eiIE TE IIE

,1* tt ll

"l++HqsEiA I'JNJa

ll il++@ -.1t-.J \oa!J"5 "OO5ll++{6\opOA50

{u\ooeEo\6il[

H{

o\6N!

@E

I I I

NI

F

t!oD

o.|r:

I

o\-.t

I

I

!iu5p

I5N)N}J

I

\o

I

$E

-lF\l>lq

F+5€l.J

5

+N

+a5

{

+

{o\

+pNN5\o

l=Gl!'t>

l4

F

+{\o$.,I

I

-5s

+

-1\i

+

AJao\\o

+

55\o

l<F,la'l>

lq

v^uo>I voJNsauss vroDcNv NVcNso n>Ivx vxcNvusv802

nr--

+

NF

I

NF-6lo

I

FI

+,

tir-

nF

tI

o\F-N6

I

NF-No+

t-(,l

I

xlsli

I

I6at

iI

6lhNlr'-li\O I\O- l\O

\0€\o

I

lt

€cl

NI

€€o

+I

6!t-€.+?+

N\o

6+il

NF6!tt'+

1l

>l-

@N€6N

I

il

Q\o\\oC.l

I

6lF- :to

Flr

N€t-\o

I

I6\oE:\o

I

o\trt+I

N.q@!+!c

+

c.l@r6

I

Io\ord

I

el<

aI

il

s.lnElr-rl-

I I I

*a ttI

oN

I

o

€\ot:\oN

I

@\oF.\o

I

a.li€.+t+

€€r:€

I

€c.l

iI

@ar

NI

alF.€ii+

dFGIn

J

li (J rq Y


lrl€cd!oco

a€E:Lpota

ecca*cIIt)Ix

T

C'e{)

t{)

o

Lo

o

!,'Eooata)

60A

ESct

6-iEE.pS

+.dE€j55'oOoc,IO].(J,4E6l,E €sEElq.=rEA'E(nEq.g6--!i €!H-c .rF€

a IN

I

oie+

66r

I

o\ot++

=

F.qFN

I

t

I

€N

+

€\o!i+

I

)<l

>l-

a'.1

tI

il

€N

"It

I

3lq-ilr-iolS\ol6

ctI

I6GI

NI

\o$o+I

alr@t$+

FNcri+It

6lr@{!+

>l

=l{

o\\o\N

I

il

6\or,dN

I

alxAldtEIF

N

I

I€\orr6

I

€t+il

cr.c@tt+

oa:

I

il

€\oF-\o

I

ql{

sN

I

I8lH:ls6l-'tlo

sN

I

sd

I

$N

I

xI I

o

a\or-.6N

I

€\oF\o

I

ar.c6$++

@\or-\O'

I

@N

.cI

@cr

clI

Nl'-€!tt'+

6li-.6t++

J

F Q lI. r(

Iil1r'ce,Eg*;ris5,rPt!E

r=F-5'

cirrEr.Foatrrgr9(1Eo,!,,ri=o a

9.Eor5

A

caaitI

a

,

o

E!tsmD:t

a

a

t

;l

tl

, ilr

t;ittt

it,

i;111

I

fi

f;

i Tili

x o B trt.lt trEt I E

e' ExEl!Fo

f.ttEoIt;tEfrlroo563e.oG

O { o\ t p E.36r

+p1oa{N

+rotN

+10t{_u

I

9so

I

Ipo

I

.Bp6

I

-tNO'

I

Fui

I

po

+.a{{

+.!{{

+I

{{

+

6{j

I

LpC

I

I6p6

IpaoNo

|J{56

aoO

{b{ON

{b{ON

aoa

p{!6

Nbo

6Itrrl >

o(oEslll I+ltrl| ;:l{ ti"+ I l,

-lr -rl + 9l^:

IFH EI$ hl:ll r+

E EU

lIlt

!Eir^ltti

bx{{xxio

9BaoIIt+o{Pi,at

iN

I I F

t!o6pEA\

tI

a{{

I

.e{op

I

Or

aNI

I

\e

rlF\l>

5I

6pL{

IpoN

b

I

N

F66

I

{6li

trrll-lD

FIp

E{

+pp6

II

o(>{

I

5{I

<.FEovun[[+ll

;L{ ;:lF ol'1ll l

$i lF-F-sEE

I11t+aol.b6q

tt+toa'6 J')<x-6{p€oAOililt+6\

EE

I I F

IEo6Boo

!Ia{t

I

pNN

INI5p

rlFilr

iI

6

O

I

p

p

I

.3rl;-l>

+cPo\o

+

:J

I

t.

at

t<lt,lq'tD

v^unx rnrNgsuss v.togcNv NvcNeq oxv:I v)rgNvuex902


N

€++ i

I

+

ra

I

ad

I +

Ij

I I

xlilj

N

I+I

@N

-l!ql3j19il"

aI9'+il

€3d

j

d

I

lt

dr€

+

o

aI

lt

dr€nt'+

>l-

9t'I

II

a€\€N

I

s^l*

=lr

a

I

il

aIr€

I

+lt

d6.?'

+

t€

I

il

@€ts€\t.

a. l<

BI

il

p.t;€l-'tla

4I

II

{I

c o oNI

O\oF.dN

I

o€rd

I

d

?-

+

a6F€

I

x

€d

tI

ad

dI

dF€1+

dr6tt++

J'

F Q l& x

U€cdpo!a

g6+

r6

I

as+

a

I

aE"Ii

rx+

€*.

I

€6\N

I

-'{- ->l*

d

tN+il

@drl

I

stsTIU

Ndt+il

€d

NI

ar.i

I

il

Nr€1+

FrNod

I

il

Nr€s+

>l*

N6t'N

I

il

@IrdN

I

xt:h'lirSIP+1ts

dI

I@

€rd

I

art'+lt

d

(t+

II

il

€r€

I

{l<

a6flI

ll

ilsB11rlo

66dn'

I

6€dI

aI

I

j o o oI

€€r€d

I

oIF€

I

d

T*f+

aIFI

I

€d

sI

6d

dI

NF6

+

NF€.f+

J

Fr (J lr Y

\tdpo

ca

:t

:;

&

206

6,€{)!&E

&

qtq

0)

Etr!,Eo

.

{)

oE

ql!

.2qc?8.-as.- .tltE'-shva

5eg€l)-&-EOc .!i!5X€o!lEI6

i€aE3 rrvhEEE5E

rJa€9\6.rH'tJ

- 5E-6,EE

\rarCggEo63aE ir.

Fo-E=se?EctDo3Eel, I

Erg(D

igrFgHE(!=e--cF*irDg

o.*g;EP

t1E-=4

9s903o\OE5

(D

o(D

(D

rott

x

,icr(!cr$

8D

r

\lF -lFE\>''f ',I -,iii u

6{a5 ; q-*;p { --u!4q : xlH@6

x o i6 l!

'll frta Eo E

XtrIro

,lo

D

oe,(o

o5poE.

@ 6d

'-lOrlOB

+I

{N

+€6{N

+€@{N

I

N

I

p€

I

N@

p

I

FN6

I

Na

+

J

J

+

{{

+

{{

+

{{

i

N@

I

p

Ipo@N

{s{{6 {

6{6

N 'ii66a

G,l>

cooilll il+ll

*lR rl< >l!Y-L: '-tr: ilItltt

- + I ul IaJ l .J+ --l-Orla --'il- al-u{16 ;la ulJ--l{ -i to ata(lE Fl: 'lorr '1.- ;iil.:.,/o I -a-o I u.tJ-aau6 o

It+ou!^iau9rt^^l+iab!^ !i{raap€

-9{N98a@ililt+{oLiONa

II

IDo6$o\

I

P{t(

{o

*lF"lr

I

6io€It

-q6I

I?rrli*l>

F+

{p

+

{p

t<NIQ

I>

111*l= *l= >l!v-Li x-lr:

illl il

^rrrl,Eilo r- ul.-!

:l: dl; EIfril llii lu'l{llill tEl.sEgE

Illl+{{

lt+t{{'6 i.6ixxs'-o{pEO6@IIt+t=J9NN {

+{ +{ +a{ +{{ +{{ +

6j.J

+{1j

+{ FTEodB3"tr-a-b_t!

5-o

s:,\

!

+6

-8e

+

s.g

+

IJ't

+

{{{6

+

6

a

+

a€

+

aLa{

+

€.!,{o

+

p{5o

rlF*l>

I{6

+

aI6

+6opao

+

N{{

I

NooN

I

{iJo

I

6

t

Ip€NI

I

No{

t<rtrlL-iD

F

+N{$ea

I

5I

+

NapNp

+

Eli.E

+N6o

N

+

Np6

I

o\JI

I

o\oo

I

{{{

t<Erlq*l>

pts.D

v^unlr xoJ,Neauss v&occNv NvcNtrc nxYx YxcNvllgllLOZ


d

+d

+

o.t+

cd

+

x N

I

or@

+

otsF+

oat

I

-al-->l*

!+lt

€d

sI

N1

8txrl"

N+I

6N

NI

r?!'

I

I

r6

+

r6

I

INF6

!+

at

3oF:

I

I€IF

dI

ilx:tr;tr

€rd

I

ll

a€rI

I

rar+lt

dt6!d+

Erd

I

lt

@Ir€

I

o.l<

8I+il

E.IH€l!

EI;

tE+

InII+

I3+

x o E+

r+

o

@

€r6N

I

@I\€

I

N

$t'+

a€t:I

I

aN

I

aN

NI

Nr@

!'+

drE!+

xFr Q q. Y

\trd!o

tr.'

tll

ci\)qi€cd-o

Fa

F6

+

Fado

I

cd+

eI

x sI

FaN

+

oo'

I

g$

I

-ril-,>l*

di+lt

aN

I

=lxF'l *i

Tls

ora+il

GN

NI

6N

oI

{Nr6a++

FN

NI

il

dF6tt'+

>l-

a+

I

il

@IrId

I

€t!Ntts\lFrot66lr-lr

€

I

Ia€rI

I

r+I

N€n'+

\o

I

il

6IF6

I

{l<

rid

I

I3lHrlaFil t-t-'

r

I

F

ctI

r*I

o oI

€€r€N

I

a€r6

I

N

sn+

a€r6

I

@N

riI

@N

NI

NF6{+

dra++

L

t-r U l( X

\io

dsopq

tq,,oc)3,La

I

qlrEo1, arrs9Str'5ESrD \O

E=E-treSct€o(Jq-qct

-o9E3EloE(d.-*g:

EE5'r4;:JtD --+€trCGHs5-oE'0 i,-gE€.! tur€EE-tgc36EotrtGli'o.;=FEooerJ(

tgU]E9\OO .xF'El

oaqo=,:E

'I'9,gI r.IoluoJ urelep rp u?qeq Ispod p8eqled Iqun sBqeq-spueq urer8elq Z'98I rsqun5

9 tp ueqe6 (,/)

80LZ'0

Wg'O+ = rWg0I'I- =rN

zLz'o- = rntzL't- =)vt a

lgz'l- = rNo€t'o+ =rW

986'0- = rNt6g1+ =)w

l1'"'tN*srgs'o

la,,rn

drlp ucqeg (r)

glp ueqe{ (P)

SLSL'O

NLI,E

ez00't

x

OIP utqeg (r)

9006'0

ogLL'0

x

p rp ueqeg (c)

6tL6'O

l-'',*'\{ai-ru'o

oo€s'o

9L9L'0

6tL6'0

89?'n

09LL

,660'0

x

Igzo'o

x100't

00tt'0

x

grp ueqcg (z)

z966'o

gsz'g

ztzl'o

eou'orryo,r

lY?'e+ = rwLn5'l- =3lN

d*'

t90'z

29(6'0

6lz'o

602 v^lrox rn,rNgarlss vlocSNv NvoNeq nyvr vr9Nvuss


I$

ll

0.r680 r

,,9lr,o,u T,,680

(e) Beban difl

Mc= -0,291Mr. = +0,013

1ll

Mc = + 1,250Mr = +1,250

5,900

0,1680?(4

1,59?Y

0,9267

0,0733

,,ro|,251

4,5000

(ft) Beban diB, C, D, E, F, G, daa H

Tabel 18.6.6 Pengecekan superposisi' untuk lengkunganterjepit taksimetris di dalam Contoh 18.6.1

Gambar 18.6.2 (laniuton)

Jumlah nilai-nilai akibatbeban-satuan yang bekerjasatu demi s€tu di B, C, D,E, F, G, atalu H

Nilai kombinasi akibatbeban-satuan. yang bekerjabetsama-sama di B, C, D,E. F, G, dan H ,:,

li

:i

{

t*iY;r&jr&:bf,r

Ivlx

4;[email protected]:.,,

1,239,.: r

l;25r 1

1.259

41ff00r

4;5ffit;2tl'':1,2501i50 I

l'250

dibuat sebagaimana ditunjukkan pada Tabel 18.6.7. Garis-garis pengaruh yangdikehendaki digambarkan pada Gambar 18.6.3.

Tabel 18.6.7 Tabel pengaruh untuk lengkungan terjepit taksimetris di dalam Contoh18.5.1.

JarakBebandi dafiA He Ve Vr Mt Mc Mr Mx

0l02S

304S

50

601&

80

ABC0Er'

oHx

0 r l'0000,124 0,9960,430 0,9?:fii37-6'' 0,901,,w2 0,7580,932 0,530

0,568 Q,271

0,168 0,07300

00:-0,@4 t -6,?6-0,0?8 -6,14-0,0s *2,{N

-0,7s2 +3,17:0i.4?0 +6,{S+0,530+0,27, +4183+0,07 + 1,600$

000+ I,18, -0,32 +0,96*4,69 -0;99 +3,01+0,43 ^l,z* *4t7-1,72 -0,n +3,13*1,95 +tl1 -0,15

-1,10 +0;63 -4S6-0,30 +0,01 -5.90000

I.9'BI qoru€) trr?Pp $tlaurs:I4 ldafrer uufunltual tntun qnrclfued s;reg g98I lrlut9

*rrund tp uoruotutrnluo (,

Ip ucurotu )lnrun (r)

ZL,I_

gr'0+ gl'l +

uq-uendrunl !p u.tuotu $run (P)

60'9+

lucund 1p luryrrair 3ue1u1-u,(e3:ppn (c)

r41-uundrunl rp.I?{Rre^ I$Fer lnruq (g)

mluendrunl !p pluoslror{ rslEer Inlun (r)

tzt'0

200'l

59ir+

0€9'0+

TIZ v^un)r xorNsausg vfocsNv NVCNSO O>IVX VXSNVUSX

2L2 ANALISIS STRUKTUR LANJUTAN

-,1160 _5,s

G) Untuk momcn di tumPuan'kanan

Gambar 18.6.3 (laniutan)

18.7 Matriks Kdskuan Anggota Berbentuk Kurve

Andaikan bahwa anggota berbentuk kurva pada Gambar 18.7.1 adalah komponen dari

suatu kerangka kaku yang besar. Ujung-ujung / dan I dari anggota berbentuk kurva inibisa mengalami rotasi X1 dan Xa, perpindahan horisontal X2 dan Xs, sorta perPindahan

vertikal X3 dan Xo, yutg ditunjukkan semua dalam arah positif mereka pada Gambar

18.7.1. Matriks kekakuan [I(] perlu diturunkan (dengan mengabaikan deformasi aksial)

untuk anggota berbentuk kurva ini yang memenuhi persamaan

{P}e,r = [Kle,c{X}e"r (18.7.1)

Pext

AI'Pr-X, Gurtbrr 18.7.1 Anggota berbcntuk kurva pada ruatu kerangka kalu.

Metode pusat-elastis dapat digunakan. secara menyenangkan untuk memperoleh isi

matriks [(], sebuah kolom pada setiap kalinya

fir{aulah struktur-kantilever statis tertentu yangditunjukkan pada Gwrbar 18.'l .2a.

Akibat ketiga gaya tersamarata Mo, Ho, dn Yo yang bekerja pada ujung-bebasnyr(identis dengan pusat-elastis), momen M di P (x, y), dengan memperhatikan perjanjian

tanda pada Gambar 18.7.2b, adalah

{=Mr-Hol+Va 0r.7.2)

Akibat rotasi searatr Jarum jam X1, perpindahan horisontal X2 ke kanan, dan perpindah-

an vertikal X3 ke atas, yang semuanya terjadi di titik.,{, ketiga perpindahan tersamaratr

di pusat-elastisnya adalah

prxl

Pr'xrL

' 0s = *Xr (searah jarum jam)

Aro : -y7,X1* X2 (ke kanan)

Avo = +r^Xr + X3 (ke atas)

(18.7.3o)

(1r.7.3b)

(1E.7.3c)

dengan: (xe, yn) adalah koordinat-koordinat titk A dengan mengacu kepada pusat-

elastis sebagai tiiik-pangkatnya. Perpindahan sesungguhnya adalatr @' akibat X1 sebagai

mana ditunjukkan pada Gambar 18.7.2c. Hasil-hasilnya yang tePat, baik besar mauPutr

tandanya, dapat diperoleh dengan tanda negatif di depan ltXt pada Perumarn(18.7.3b) dan tanda'positif di depan xaXl pada Persamaan (18.7.3c). Akibat Xz dzrX3, tentu saja, batang-kakunya hanya mengalami translasi sedeihana pada setiap krsl

,i

(rs.f.gl) *pA + ^'log- : ^IoA + ^'log - (O)onf + =tX +txvx+

sv (x0'I +xx"A + (uH - t N)17_.\-

#^K:'x +txvx+:6nv

ulo1 _,IoH: *lo1 -*log + (O)of4f - :.X +,Xo( -(qs'r'sr)

ru 7 :zY +rxv{- : oHVS5-Futw r\ - I

(rs'r'gt) voN = (o)oa + (o)orr - vow : tx

#<=*fuK='x=oo'sI q?g

ruel?p Ip u?{l$uuepret euetutu8uqes ftr uup '*,1 '\ 'tul '*I'p. fopue tuolo>l Suudueu

-ad ry1sFe11urDl trsp .ueqeprndrad EunlqBueur 1n1un uenles-u?q3q epoleu IIB>lBun3

SV ((0'I -XlpA + ,(oFI - oW)ry_.\-

(r'r'st) rQ'lf =Au.r (0'I-- rur 0'I+:eulr{BIBpB J{I}I1 Ip ueuou-ueuour ,f effiutll pZ' L'81

rBqruBC uped 1eqrye1 etreune8eqas uBnlBS wqeq-uzqeq uelelre8ueur udueq

.efes uduuuwl-8unfn Ip lldafrel-uendrunl qenqss wSuep ?^rn{ {oueqreq u1o33uy Z'l'8I ruqursC

o rp lqnre,r uentts edzg (; O Ip Pluoslrott u?nl?s e,(?C (r)

g rp uenles-uouroN (p) V tp I X t?q!ry O rp uuqupurdrsl (a)

V

I

I

J,[{nlun Ppuel uBlfuefrea (g)

xotr 1 r(.og -o7a1=7a1

,(

\^

otp oA wp 'oH 'ow @)

8TZ v^un)I xn.lNssusa vJ,occNv NvcNeo nvvx vxcNvusx

ziaSelesaikan ketiga persamaan simultan (18.7.5a hingga c), c),


(18.7.6c)

(18.7.6b)

(18.7.6c)

uo=**., _ X,[- y^ + xa(I,r/Ir)] + Xz + Xr(I,r/Ir)no=-

I',

,, _ Xr[xo- y^(I,,/I,)]+X{I,,/I,)+ X,tar:

Ketiga kolom pertama dari matriks f(l di dalam Persamaan (18.7.1) dapat

ditentukan dengan menyebut Xr, Xz, dan X3 masing-masing sama dengan I satuan didalam Persamarrn (18.7.& hingga c), menghitung nilai-nilai Ms, Hs, dan Vs, mengerja'

kan mereka pada diagram benda.bebas Gambar 18.7.2a, dan kemudian menentukan

reaksi-reaksi diA dan B.Selanjutnya, tinjaulah struktur-kantilever statis tertentu yang ditunjukkan pada

Gambar 18.7 .3a. Akibat ketiga gaya tersamarata Mo, Ho, dan Vo yang bekerja di ujung

bebasnya (identis dengan pusat-elastis), momen di.(x, y), dengan memperhatikan Per-janjian tanda pada Gambar 18.7.3b, adalah

M=-Mo*IIo)-VA (1E.7.7)

(a)Mo Ho,datVodio

(c) Perpindahan di O akibatXa, di B

(d) Momcn-satuan di O

(e) Gaya*atuan horisontal di O (fl Gaya*atuan vertikal di O

M = -Mo+ Hoy - Vor

(D) Pcrjanjiut tanda untukM

Gambar 18.7.3 Anggota berbentuk kuwa dengan sebuah tumpuan-terjepit di ujung-kirinya saja.

g wp r Ip rs>lBar-Is>Per uB>lnl-uouo(u u?rpnue{ uep 'ot'L'gl rBqtuEc s?qeq-?puoq urBrSerp-uErE?Ip ?ped ?>leJetu u3{-elra8ueu 'o.A uep'oH 'oNlellu-relu Eunll$ueur '(a e8Eqq

"I I't'gI) u?Er.rresrad ureI?prp uenl?s 1 uuEuap eures Sursetu-Eutseu eXuep'9X'nX 1nqa,{ueur ut8uep uoln}uelrpredep 11't't1) ueuuresre; urelpp Ip [y] sllrlzru lr?p nrp[pro] urolo>J e8na)

(ct t't'gt )

(qrrlst)

(o r rrgr)

^,1 - o t_1I

(^lflt)'x + tx + [(Î/^1I)"x + sd -]oX:oH

V**=uN

'Blaraur uupesoles

ueSuep ednres rtdruzq (a ut8ulq rcI'Z'8I) useulesJad

,IoA + *'IoH - (O)ol,lt+ : sy ar;ax4

,r7

l(a u88uq DS';gl\ utsruesred

(aOt't'gt) *lo1 + *'log- :ru

sv (r0'I -xr{,A - doII + oN -)t7_.\-

ffiK:'x ioxax+: o^v

(q0t't'BI) uIgA -'toH : *'f A -'PH + (o)orar-

ta@

(nouer)

(r8'r'8I)(qs'r'gr)(rs'r'gr)

: r * rxrd_

ry_.\-

ffiK: tX +rXqK- = oHV

vohl = (o)oa + (o)og - vow :txru K=ffiK=,x:ooSV (0.I_XlpA _ doH +oN_)

l8opuu ruolo{ Euedueuad TFIrol-IBr?)t uep ueqepurdred-ueqepurdrad SunlqEueur {n1un uunl?s-u?qoq epol?tu u?I?unC

G'f'St) x0'I- = ûl (0'I+ -'ur 0'I- - erl

r&Iepe d{ltl1 Ip ueruoru-ueruou JeSllugq pE' tglrBqurEC uped uu4r1n[unl1p uuuuneEeqes usnles ueqeq-u?qeq uelefraEuaur uu8uaq

'snsu1 derles epud eueqrepes Iselsusrl grep?ueu e{ueq u,(un1u1'8uu1eq'sbs n1ua1

'sx wp ? teqp{v'(as'r'st) u?Blu?srad eped vy82, uzdep rp gppod epuel uetuep

uep (C8'l'8I) ue?ruusred eped vye,( vedop tp yleEau epuul uti8uap qalorsdrp ludup'ei(u-epuel undneu resaq lreq'ledel tuel e,&rgseq-LrseH 'r€'r'8I rBqurBO eped leqnral eueu:

-m8r qas ty tuqge ,OO WVpe u,(uqnB8unses ueqepurdred 'e{up1€ue d->18I1 p€eqes sUsup

-1esnd rpedarl .,ce-tueru ueEuap g {1I} leuproo{-13ulproo{ I{Bppe (t 'sx) :ue8uap

(se1e e1) ,X +,X,r- : o^V

(ueueu e>1) sy atya{,- = oHV

(uref uruef qureas) vy + = o0

q?ppu ufususel+1usnd Jp

Blereru?srel uuqupurdred z8pal 'g >1pyl Ip IpEFal uûenuos tue.{ 'se1e e4 ey p>1pra,r u-qupudrad uup 'u?rru{ e{ sX luluoslroq uequprnd nd 'b X unf umref qerues Bu]or lsqp1t'

gtz vûn}I vn,rNasues vJoc9Nv Nv9Ngo nxvx \rxcNvm

2L6 ANALIS$STRUKTURLANJUTAN

Contoh 18.7.1 Tentukan secara numerik matriks kekakuan 6 x 6 dari suatuanggota berbentuk kurva yang memiliki karakteristik senrpa dengan lengkunganterjepit parabolis taksimetris di dalam Contoh 18.6. l.PENYELESAIAN (a) Karokteristik petumpang kolom onologi. Lokasi pusat-elas-tis yang ditunjukkan pada Gambar 18.7.4a dan Gambar l8.7.sa diambil dari con-toh 18.6.1. Karakteristik lain dari penampang kolom analogi yang diambil dariContoh I 8.6.1 adalah sebagai berikut:

.o = ",fi:' ,, -778.3L4m3 r;=(n7.4m'

f = r,zlso l=olwt(b) TiSa kolom pertana dari *otrf*s keluhtan. Gunakan persamaan

(18.7 .6a hingga c),

Mo = + * = + =-J+: = +31,793xtx to-rEl.A 3t.45361Et,.

Ho _ X l- y

^ + xAIryl I)_,+ X2 + X{I,yl Iy)

_ Xr[+26,7658 - 45,5128(0,20978)] + X: + Xr(0,20978)778,1741E,t,

= (22,,121X1+ 1,285X2+ 0,270X, x lo-rEl.

IT, r, _ x(x^- y^l,rll,)_! xdl,rll,)+ x,ri

_ xr[-45,5t28 + 26,7558(1,79t56)] + Xdl,79156) + X3ffi1,541El,

= (0,367 X t + 0,270 X z + 0,150X3) x l0-38I.

34.4812€\or

22,t21

Jt94,tl0,361

22.12t

*r,,uCio,367

(a) AkibatX, = + 1,0 rad

t.285+ I .285

),,,,,,1,2E5 i),,,*,0,270 0,270

,,,,,,Ci0,270

(D)Akibatxr= +tp mm: , ft,i,,o,!ro'""" o''4 o,iso

0,367\ I

0,1 50(c)AkibatXr= +t,Om

Gambar 18.7.4 Tiga kolom pertama dari matriks kekakuan di dalam Contoh 18.7.1.

uSBruSsJed

uPp Jsseg

\t :OA'gX + ('Il"I)tx + ('Il"Is,( - sxl'X

'rgr-01 x ("x'LZ' o + sxs}z' I +,x LB6' Ll) :. "tg ltL|'8LL

=

,,1

=oH(YrI),X + sX r (^I/^'I8r + s( -),X'talgest,tt v ^- .'Igr ol x rxt6L' lE+ : - r**=: * : *+ : oN

'(a e33utq ,I I'r'8 I )u?Burusred uBIBunC 'uonqnlil! $llaDu uDp 4tplDal uto1otl o3t1 (a)

'ue{

lndunryp I'l'8I IeqBI eped ue4urnluecrp tuei( u?n{B{o{ s{uleru Irep eruepadruoyol efitre1 efuepedrrup 'ueu?1 q?leqes ?'t'8I ,pqtueg eped uellnfunlrpg uep V rp rs{Ber-rs{pe1 'uD[ r1eleqes ]'f,'8l requreg epud qesldrel ereces

uelluqrpedrp'0'I+ = €X uep 'O'[+ = zX'O'l+ = IX teql{e sslg Ip useuesradetrle:1 uep qayoredrp 3uel( 'el(ureueqes 6uuf oA urp 'oH 'oW reseq uep t{BrV

'I'l'gI r{oluof, ur?pp Ip u?n:l?Iel s:1.ul?ul tr"p 4rg?rel urogorl eft1 gl'8l rsqurs5

ru6'1+ =e,y1eqr:1y(r)0sr'0

ueplnfunlrp '0'I+ =u8rle{ rrBp rleloJedrp

' s8z'r

perg'1+ =?reqqv(e)

I IO,I

ex lep'0'I+ = sx'O'I+ = nX leql{e sel? rpSuei( 'elursueqas Suef orl unp 'og 'o74J qew

"Mr-ot x (txost'0 + sxo LZ'\ + tX ll0' D :"tgl?s'Lwg :

urO,t+ =sXteqq$(4)

oLz'o

'0 ^0t)I oLz

0sr

0rz'0

+l)rzr'zz llrztzz

I IO'/

t-;,,'*, h','#rsrir r

IEL.{a@

LTZ v^uox >IofNgsuas v,[oc9NY Nvcltlsq oxvx vI9Nvusx

2t8 ANALISIS STRUKTUR LANJUTAN

secara terpisah pada Gambar 18.7.5 sebelah kiri. Reaksi-reaksi di,4 dan B di-tunjukkan pada Gambar 18.7.5 sebelah kanan, daripadanya ketiga kolom terakhirdari matriks kekakuan pada Tabel 18.7.1 dikumpulkan.

Tabel 18.7.1 Matriks kekakuan anggota berbentuk kurva di dalam Contoh 18.7.1

K I 2 3 4 5 6

t +160I,16 *n.r2l +0.S? + Ir*4,11 *4.,*t '0,36?

1 + 2V;121 + 1,285 +,0;270 l*- 1?-98? ' ilrz8, *0,?7s

;1,...i3i. +, ,Q.367 '+ 0,270 +0,150 * '7;grl - 0,270, -S',150

4 :- 194.I I *17,ffil :7,Sll +'395,29 + 11987 +7,01I

5 - 22;l2l * 1.28' *8,270 + 1?:!87 + 1,:85. +0,270

6 * &367 --'$,21fr ::&l5S :,*,',..7,,011 + 0,270 +0,150

(d) Sifat simetri dari matriks kelukuan. Dapatlah terlihat bahwa matriks

[K] bersifat simetris, sebagaimana seharusnya ia, menurut hukum gaya timbal-balik yang diuraikan di dalam Pasal 10.10. Selain itu, dalam ketidakhadiran gaya

yang bekerja di antara ujung-ujung unsur berbentuk kurva, terdapat tiga persama-

an statika takbebas di dalam matriks [K] . Dengan demikian, rank matriks 6 x 6

tersebut hanyalah 3, dan matriks kekakuan unsurnya sendiri tidak memiliki invers.

18.8 Matriks Kelenturan Anggota Berbentuk Kurva dengan Tumpuan-Terjepit

Di dalam pasal terdahulu, matriks kekakuan anggota berbentuk kurva dalam kenyataan-

nya diperoleh melalui penginversan dua matriks kelenturan 3 x 3. Pertama-tama, Per-

sarnunn (18.7 .5a hingga c) diselesaikan secara simultan, dan kemudian Persamaan

(18.7.10a hingga c) diselesaikan secara simultan. Melalui penggunaan pusat-elastis.

jawaban untuk Mo diperoleh secara langsung, dan jawaban untuk I/, dan Vo dihasilkan

dari penyelesaian kedua persamaan simultannya; namun, untuk unsur berbentuk kurva

simetris, I ,, sama dengan nol dan pelsamaan-persamaan untuk F/o dan V o terlepas satu'

sama-lain. Keistimewaan ini mencirikan hakekat keuntungan dari penggunaan pusat-

elastis.Dengan kemudahan yang disediakan oleh kalkulator-tangan elektronik, jangan bi

lang. komputer yang mempunyai kapasitas lebih besar, penyelesaian ketiga persamaan simultannya tidak lagi merupakan pekerjaan yang melelahkan" Tinjaulah unsur berbentuk

kurva dengan sebuah tumpuan-terjepit di ujung-kanannya, bebas di ujung-kirinya, dan

tanpa batang-kaku, sebagaimana terlihat pada Gambar 18.8.1. Sebutlah X r,, X r, dan X 3

sebagai perpindahan-perpindahan di ujung-kiri dalam arahPr, Pr, dan P3. Dengan mene'

rapkan metode beban-satuan,

x, : ) U+# - 2 (Pr - P:Y + lrxX+l'0) AS

(18.8.1c t

(18.8.1b)

tKt = * EIc

: *PrA - PzAj +.hA/-v s, Mrnz AS s (Pr - Pzy + P:xX- 1,0y) ASZ'I 2 EI Z' EI

: _P,AY.I PZI,- PJ.,

{fx.l,: :ilt1ll :!It?x .tI'x l?x, I

,!rlI '1),r rlxT

f z I

(e '8'sr)

(z'8'8r)

: txl

tIEIpp? (Z'g'S l) u?Btu?sred sre^u uep

,,*1I. :,:tl

r.'rr+:. ,:S}., l ,'.:.:,{:,

6v;'fX...,.

I

= [o]

nBtB '(, uttqq ,I'8'8I) tru

-suesxad sIIIleIu {nluaq ue>1udruaur Ea1ml {ntueqlaq Insun nlens ut1-tun[n rp gequputd

-rad-uequpurdrad 1n1un € x € uBrnluale{ s{I4?r.u 3{BIl[ '7 {pU lnlBleul tuef luurproo:1

nquns Eussedas epeda>1 ?nluas ncstuau 1t\ tt ot) uup 'u{qe>puud':g1l1 tuEuqes

y epeda>1 metuau uetuap qtsela-1esnd.1?ulprool'lstrlproo{ TIBPpE (f ?) :ue8uap

(ct'g'gt) *l,d + ^'I'd - trVtd.+ =

ffiK=r#tK=',x'ufes e,(uueuuatunfn p

Udalret-uundrrnl qBnqed uetuep e,rm:1 Imueqreq eloffluz u?mlutlel s{rl?}tl I'8'8I rEqusC

x1't+ =tu (P\ {g'1- =zu (cl

i'

U U+O0't+ = Iur (g)

U*t4+{zd-t=n @)

r.-'-+?-,,U'6rz v^lroll xnrNggugE vfoD9Nv NvcNsG oxvx vxcNvuex


(18.8.4a)

(18.8.4b)

(18.8.4c)

yang tak lain adalah submatriks dari matriks 6 x 6 Persamaan (18.7.1).Demikian pula, dengan mengacu kepada Gambar 19.8.2,

&=)w:>w= *PtA- PsAj + P6AX.x,=)w:>ry: -PrAj * Psl,- PoI,,

rz _ S Mmo AS _ (-Pr+ P5y - P6x)(- l,0x) ASao-L EI - EI: *PtAI - PsI,y + P6I,

(a) M: -Pn+Pry-Pux

A* ,/a../1,1.(c) mt: a1,9, (d) m6= -l,Ox

Gambar 18.8.2 Matriks kelenturan anggota berbentuk kurva dengan sebuah tumpuan terjepitdi ujung-kirinya saja.

dengan: @, y) adalah koordinat-koordinat pusatclastis dengan mengacu kepada Isebagai titik-pangkalnya, dan (I*, Iy, I*r) men9acu semua kepada sepasang sumbukoordinat yang melalui titik .8. Maka matriks kelenturan 3 X 3 untuk perpindahan-per-pindahan di ujung-kanan suatu unsur berbentuk kurva merupakan bentuk matriks Per-samaan (18.8 .4a hingga c), atau

(b) mo= -1,9

\Px\ 4 5 6

4 +A -As +Ai

5 -Ai +I - I*,

6 +Ai - Iry *I'

tDl = (r8.8.5)

V

'IAIS'0SS'0?+ = rrl ,IflS'€0g'St= rI 'IfllfMf€Z ='l'tslgest\e =v

geppu efuqelunl

qBIBpB udupltued {pH-{IfBretuqes yryl$ epudel ncetueut u?tuap E{ereru luurproo{-leurproo{ uup {Bq senl-sen1'1t1t1-tun!n 1p uryopuldnd lryun uanrualal srlttory (a) tWfVSg'IiIANiId

'l '9'8I qoluoC urepp Ip suletuls{Bl sloqered 1tdefta1 uu8unl-tue1 uep uulSuequrelp 3ueI earn>1 {queqreq elo8tuu u?ItB{ UBP up4-Eunfn rp ue

-qepurdred-uuqepurdrad {n1un € X € uernluele)t s{ulBlrt ue:11udeq I'8'8I t{oluoC

'tz'g'gl u?p ,I'8'gI requreg epud

$qeq-Bpueq dupeqral u4nltuesreq Euuz( uutuequflesa{ ueeu?srad uEqe>1 uu>ldurauauuutuep tunlqlp lNeru UE)I? BÎDJ {nluaqreq rnsun uen)p{e{ s{pl?ru tusl?p rp sul?-u?uDI !p u?p TIB,trBq-F.n{ 1p € x € $[r]Burqns 'uu>Jeuntrp 1uI epoleur e11['unuep

'(t'f'gt) u??rrrusrod 9 x 9 $[Irluru u?p s{Irlur.uqns r1upp? uel >1e1 Euef

(e'8'8r)

ii$*li i:ffii*#*{#i

,:i:::.:ir'

ii;j:*

il,ffi ,u,tg1r:;.:

= [x]

rlet?ps (g'g'gt) uuer.uusred sraû usp

vûnx xn,f,Nesues vJoccNv NvcNgc nxvx vxcNv2rextzz

222

Penggantian nilai-nitai di ataskelenturan yang dikehendaki.


ke dalam Persamaan (18.8.2) menghasi.lkan matrils

T

fl

#

#

H

4

$i

IEI,

ffi ;!: ;:r.i.;..t:.:ait:,lal;!.f l

..: --r :: 1 :" i

1r i.r,ii'i:r, :itj ::i-!:1.:|.1.: i;llii ti;:r,l-?rr'.,:::ali

;t,',i"'

1 *?3$ry1r'

Invers matriks di atas didapatkan serupa dengan hasil-hasil dari Clcntoh 18.7 .l .(b) Matriks kelenturan untuk pqpindahan di uiung-ktr1an. Luas-luas titik

dan koordinat-koordinat lokasi mereka, dengan mengacu kepada titik g sebagaititik-pangkalnya, adalah

,r:di I .X,:: y

) ,lfst5$a|;. ;{S l

.1.''*,': dtSS/Sf,,: ',+*5,. +tS;9S7,$,'

'.?.:fl ?{$rr -t5',. .,,*.$d37'

,''.?i.#8 ., ,::.*':.:$43c5'

,:i',; +,15j::1.

.8::,l i:,'5:.:' *,1_{;$6*$:

Jumlahnya adalah

A = 31,45361El,

r, -_ 2686,881E,1"

Penggantian nilai-nilai di atas

kelenturan yang dikehendaki

tDl=

tDl=

Ai = -fi8a,751Et,Iy=4E.W,2lEI,

ke dalam Persamaan

At : +212,8091Et,

& = -5105,0UEI.

( I 8.8.5) menghasilkan matriks

i$ :.6

e,., : IS{,75

:.rb':;qgr-ofSli,

,H:,;.:,

IEI,

Invers matriks di atas didapatkan serupa dengan hasil-hasil dari contoh lg.7.l.

(cro'sr) #3'r*gfuigu+fifuaK,c=IA

SV (€ul)(€C€ttl + zlzut + Idr ur) !=ra

(e r'o'sr)

SV (zuxtCtu +zdzw +tC,w) K:,,(Dr'6'8r) #*3'r**fira3'r*ffi3'.r:

rl-z:te@

.g)[Et^l

'O'T+ = EC uep 'O'I+ = zl'O'l'+ = lg leqg:p tursuru-tr4suur'e,rrn1 lquaqrog m$mepudryl*suenquos,r'1H',l,*1r'rH;s"h1l,,1,Tr'iurl,j,j#,y,;i'.[H;'1,r.,,

slureruBsral uepp efuE-e{ut ue8uap uBlIBIreq Eue{'ueuu>1-tm[n Ip Burus ErBJes rru{.rs-rugeprel Eue,{..ea lnpns uep '(lnqasral B^rn>[ {nlueqreq rnsun qrunlos F?p n:Irl[-Bpueq F-Blor {ns?rurel rypp) ur(qr.Dl-Eun[n rp sIlsBIe ?arDI upud tunEllurs-suut a>1 Jnsun Elnruesrpre rr?p za rsnt urnrefqureas tnpns 'ueuerl uep prytunfn efiltn re ryruf ueqequnl'Z'6gI rBquEC eped urlleqqred;p euuune8uqes 'ufuueuel-8unfn 1p 1or-uundrunl rlunqasuep z{r441-Bun[n 1p ryues-uundunl rpnqes rre>llreqtuou uu8uep qeloradrp redep g1'6't,ruqureg uped unppfrmgp tued eNnI {nlueqreq rnsun uemlualol sry}Ef^t

'eduuernfuola:I $[r}?ur sre^ur rIBIspB.IrI

€ x € msun u?rup{o{qlr}sn'uu{que11p nlrad ?armt {quaqreq msun 1rup [S] sryrlurirefueq lg'11 Fsed urBIBp Ip ue>llslruoprel tued uu8qep ednras [Sl usp [f.] s4rtEt

?^m{ Inluaqreq ftrsim p)iol }Jr u"p x-dlrurououad I'5'gI ttluttlc

F?lruoJep usp sBqeq uIq?p?XBg (q) I?:lol rr?s?qeqeplufereq (a)

txf,d

(t'o'st) tsllsllyl = [x]npletu qeloradlp tedep [y] 1u>lol uBqu>Iet $luluur Fl1 snsol ruupp tued

'I'6'Bt rsqure5 uped 1eq11:a1 rueu4uluqas sond-snlndrel srunl rnsrm qelo Jlplu,tuolwryuIeq4rp ledup lnqesrel euml {n}uogroq rnsun 'eftueuaqes 'suru[ {nluaqreg ms-rm nluns urppp Ip spqeq rnqula{lp{sl tuer( urepp-e{u8 etrl ledeprol usq u{uuq e/.upqa{or Bprre ledup utilu.ntrCI l€ ttutBt B,trml tnluoqreq msun nlsns F?p 9x9 rrunryIelsilrl?ru {rrer s,rrryq uu>Ielelnlp'(p) uegSeq uped'I't'8I rloluoJ r.npp tuulefue111

1oX-uundrunl qsnqa6uep pues-uunduml qenqa5 uutuap BAInX Intueqrag eottuy uemluep) srgrlu1q 6'8I

ffiKu+ifuKu+Effi*K,s =

ru

exsd

gGG v^unI xo,LNssuss v,roc9Nv NvcNEIc Axv:I vIlor{vm:r

2U

(a) mr= a1,gY'

IDI =

ANALISIS STRUKTUR LAN'UTAN

(b) mr= +t,o- tf1

(18.9.2)

(c) mr= -fx'c;mbG 18'92 Ekspresi untuk tfit, ffi2, dan m3akibat gaya-satuan tersamiuata.

It{atriks kelenturan dari unzur-khayal }urus, yang sepadan dengan anggota berbentukkurva, merupakan bentuk matriks plrsamaan'(ia.i.ta-,inga r), -"t",

,::;i-:i,:ri,ia:l.t,. r,!,tirr;.r::.

-:.:i::!i1]::;ii:::.ii:;r.,i'i:

jl;:iL;:

ti::ai.i.1l:'..ri::i;:t:1,;l:,.r::.,:;,i.'-'; ,i..:,:

i?,t_:r 1: :.,".

i.i:.r!:1: ::!l!:j1.;a ji,:.!:::li.::,i i.,:i!:.i.,:. ',r i:::.';. r'

* ,.l:1:*".r.;,:,:;:ir*''ii, iqi.i;,:r. ji *i:a

sesungguhnya, Persamaan (18.9.2) membawakan metode umum untuk menentukanmatriks kelenturan dari sembarang jenis unzur takkontinu.

contoh lE.g.l selesaikan lagi contoh lgJ.t dengan menggunakan [(] =lr{ltsl[Bl , yang di dalamnya, matriks [gJ adalah yang dari anggota luruspadanan yang menghubungkan ujung-ujung anggota berbentuk kurva.PENYELESAIAN Dengan mengacu kepada Gambar 1g.9.2 dan 1g.9.3,

sinc:l/VU cosc=41y'frx'= x coso *y sina ),= _x sinc + y cosa

mr = +1,0y'= +);gy - x,1vr1' '

,,=+r,o-$: r,o_S,,=-+I=-%l

'rIeIoJedlp

I'r'8I qoluoJ rr?lup Ip Buuur.ret?q6 [rfr] tSl tfl = [r] sures tue,( s>1lrluru

.i- --" ,

r*6#lr

',r.,nli'nttli.j $il::.

rr:iLi.it:- ":,::."iit.:i ,l:;.,a']].:'.i,*.lii:rI.i

-..j i

:lii:ii,itii;ii:.t:iit

= tvl

't'1, I Fsed UruIBp Ip ue1rs.nqJeprel uuerup8eqes [ 7] sry1uu uB:IBIrnC

"Ifl t = tsl

gappz eluslaaul tuuz(

r1s1upc e{uuuuupud snml elofilue usrnluelal sl!4s}tl

'lA H ,., 'Ig H ,7 'IA H t7S$ir/zur S W= = SFE'u S 0Z60EI+ = Sv?ur"r, S

ffi = svla S 0s6r!Fe+ = sv lra s tffiLl+ = SE;1, s

't'8'8I rloluoJ ue{-unllruclp (z) uB.rtuq upud uepsapluad tuuf (/ 'r) uBp I1ISV lB11u-p11u u?TBunC

'le-l

Itol

#ffiffi i$#ffi

i:,.:l$ir:.:t:. ;:r'i,:a:11s.eff i#ffi

;ils *$:, *:$fiiffiti{W,,,trjr i'" -"'l'. s.i

9A VAIIAX Xn&NeSUeA V.LOOONV NvOtitgq nXVX VX9NVSg:N

v

1-

(l\t

228 ANALISIS STRUKTUR LANIUTAN

Gambar 18.9.3 Koordinat-koordinat baru akibatrotasi sumbu.

1 8.10 Penganrh Suhu, Penyusutan, Pemendekan Rusuk, dan Gerakan Fondasipada l-engkungan Terjepit

Setiap struktur, baik yang bersifat statis tertentu ataupun statis taktentu, akan me-nanggung gaya-gaya dalarn yang timbul di dalamnya apabila memikul beban. Suatustruktur yang takterbebani, jika ia bersifat statis tertentu, tidak akan terkena gaya-lgayadalam sebagai hasil dari perubatran zuhu atau gerakan tumpuan, tapi struktur statis taktentu akan mengalami tegangan akibat gangguan-gangguan semacirm itu. Karenalengkungan terjepit bersifat statis taktentu berderajat-ltga, n akan mendapat raksi-reaksi yang saling mengimbangi sa{u-sama.lain akibat perubahan suhu atau gerakantumpuan, yang bisa berupa gerak-rotasional, perpindahan horisontal, atau perpindahanvertikal.

Jika lengkungan .terjepit yang bersangkutan dibangun dari beton-bertulang,penganrh penyusutannya perlu diselidiki. Dapaflah kita pikfukan bahwa pengaruh daripenyusutan setara dengan yang dari penurunan suhu. Biasanya besar penyusutandianggap sama seperti yang akibat penurunan 8 hingp 10"c, tergantung pada karak-teristik campuran betonnya. Reaksi-reaksi yang timbul pada tumpuan kiri dan kanandari suatu lengkungan terjepit akibat perpindahan-perpindahan (roiasi, perpindahan ho-risontal, atau perpindahan vertikal) tumpuan-tumpuannya dapat diperoleh melalui pe-ngalian kolom-kolom yang semestinya di dalam matriks kekakuan anggota berbentukkurva, yang mewakili lengkungan tersebut, dengan perpindahan tumpuan yang diketahuiatau telah dihitung besamya. Di dalam kasus kenaikan suhu pada kekangan dari tumpu-an-turnpuan terjepit, pertama-tama dapat anda visualkan gambaran dari Gambar 18.10.Iayang dalam hal ini lengkungan yang bersangkutan tidak memiliki kekangan dan karena-nya bebas memuai. Dari Gambar 1 8 .10. la hingga D, kondisi batas pada tumpuan-terjepitkiri teqpenuhi, tetapi tidak pada tumpuan-kariannya. Dengan demikian pengaruh-darikenaikan suhu setara dengan peryindahan yang harus terjadi pada tumpuan kanan sebe-sar BB' cos c ke kiri dan B/ siir o ke bawah, sedangkan Bd s;:imadengan perkalian daripanjang garis lurus.4.B kali kenaikan suhu kali koefisien muainya.

(o) (b)

Gambor 18.10.1 Pemuaian rusuk lengkungan akibat kenaikan suhu.ii

&

'g'gl' l'gl'g'gl'z'gl usqpr"I rII.gI tqu.c

ut 08 = u?tuslue8

^o$ooE

3q.&g

i-tffi*''or=X

uauotu (4 uep'lucund rp ueruotu (f;'pluoqroq uetuulueq luduraredas {IlIf Ip ueruoru(a) 'ur+u?ndun1 Ip uaurou (p) 'lucund Ip pTUa^ tue1q1-edet (a)l '14:g-uundurnlllpIsIIUe^ Isryer (q) 'yUluundurnl rp l?luo6uortr Is{?ar (r) :p1un qn-ru8uad suut+rret w1-requret'Z'I I'8I rBgIusC upud ry1au4s:p1 uerultql 11de[a1 wtun:;tue;arJ Tnlun Z'8I

S'8I Ir'8I '€'gI 'I'8I rr€qpl.l I'II.8I rsqure

ut 08 = n?Suslueg

''7 B'xAu,"oct

)@r-0.

'ueFeq dsltesssleq {Jt!l-{JIl u"p luluoqroq ?recas uztunltuel:1nsn: qutuel-{6ual 1p H/SV. 1llp s"nlue11edua1 ugp ?urcs leluoslroq .rs1e{ordraq uerteq uadulep rpufueur lngesrel uetunltuel:1nsnr qepteg ':pcund Ip uetuoru $) uep'pluoqroq uefluuguaq ledruaradas :1J{1 muetuotu (a)i'I41-uendunlpp u.ruour (p) 'lecund Jp prygaa tuelugl-zfet (r) lJp1-u?ndunlIp Iu{IUe^ pleer (g) 'pp1-uendurnl Ip pluoslrorl !$per (r) {nlun qruetuad sue&Eretu"{reqtrrst 'I'II'8I requ?C epsd srrleuqs uB.rBrFqI lrdefrel uz8rmltuel ryfun t'gl

uErIBrI II'gI

zfuuolaq u?sl]s?loe{ snlnporu q?ppe ,fl wpuetrmltuel rJrsru eped elerete, ue:Ja1-uetrntel rpppo ct :uz?uap 'cflfct rnEuap eutwe{ulnsns-uepgeol uetuep er{uurrplrad efflu.qc udnr uq4urapo6 mlns uurmrnued uu:1.eunttluaur uutuap ue{Ierqeqp ludzp 1q {rnru nnlepueued qnre8ued 'nqm upurunuad

Fep tuuf uaEuap ureles uetun$uE {mru eped uler-e1ur uo1e1-u[eE gep qnretuad uo1-umpedueur:1qun trmrapuec qsgzuuSued ederaqeq'uz1edz1o1 fure( 1uI quq qrun{slp nufu.qrp unleq ud8rmltiral >Jnsnr pls>le FguroJop : u?:tnurfed zpue eluqply

LZZ v.{\uox ]In&Nasues v&oc9Nv NVSNIIO nXVX VXCNVUXX

228 ANALTSTSsTRUKTURLANTuTAN

di tumpuan-kanan. Bagilah rusuk lengkungan tersebut menjadi delapan bagian ber-proyeksi horisontal sama dan tempatkan luas titik AS,/EI di tengah-tengah rusuklengkungan secara horisontal dari titik-titik batas setiap bagian.

18.3 Dengan menggunakan metode pusat-elastis, tentukan secara numerik matrikskekakuan 6 x 6 anggota berbentuk kurva yang bentuk dan variasi momen inersianyaserupa dengan lengkungan terjepit lingkaran taksimetris dari ktihan lg.l.18.4 Selesaikan Latihan 18.3 melalui pencarian invers matriks kelenturan untukperpindahan-perpindahan di setiap ujung anggota berbentuk kurva sementara ujung lain-nya terjepit.

lE.S Selesaikan Latihan 18.3 dengan menggantikan anggota berbentuk kurva tqrsebutdengan anggota lurus khayal dan menggunakan persamaan t(l = t/ltsl[J]. perhati-kan bahwa [S] adalah invers matriks kelenturan untuk deformasi-deformasi bebasapabila sebuah ujung dari anggota berbentuk kurva tersebut bertumpuan-sendi danujung lainnya bertumpuan-rol.

18.5 Selesaikan Latihan 18.3, tapi andaikan anggota berbentuk kurva tersebut terwakilioleh lengkungan terjepit lingkaran taksimetris pada Gambar l g. I I .2.

18.7 Selesaikan Latihan 18.4, tapi andaikan anggota berbentuk kurva tersebut terwakilioleh lengkungan terjepit lingkaran taksimetris pada Gambar l8.l1.2.I 8.8 Selesaikan Latihbn I 8.5 , tapi andaikan anggota berbentuk kurva tersebut terwakilioleh lengkungan terjepit lingkaran taksimetris pada Gambar l8.l1.2.

lE.9 Untuk lengkungan terjepit taksimetris pada Gambar 18.11.3, hitunglah reaksi-reaksi di A darl E akibat beban vertikal 1,0-kN yang bekerja di c, dengan metode pusat-elastis. Cek dengan struktur statis tertentu dasar yang berbeda. Luas titiknya adalahAt =3 m/EI, Az = 8 m/EI, At = 5 m/E16, dan Aa = 4 m/EI"

Guiber l8.l13 Latihan 18.9.

18.10 Tentukan kolom pertama dan kedua dari matriks kekakuan unsur anggota me-nyiku pada Gambar 18.1 1.4, pertama-tama dengan sembarang metode konvensional(misalnya, metode distribusi-momen), dan kemudian cek dengan,metode pusat+lastistaksimetris.

r 9m r

Pt-Xz

2ml2ml 3m I 3m I 3m I 3m l2m

EN

E!t

Pr'Xt

-J Prxs

lJ-*otPeXe

Gurbrr 18.11.4 Iatihan 18.10.

T

'zI'8I rr?qlle'I 9II'8I rqurc

'lnqo$al srunl {B} rnsun IIEP

gx 9 u?n:F)te{ s)[IrlBlu uB)Inluel 'prn1:1nr1s slottue q?nqas p8eqes 9'II'8I rBqIuBC

eped OC7V ue>1n1e1redurau uBP srr$ele-lesnd apoleru uelzuntiluaru uetueq 71'31

'II'8I rr?qFg.l 9II'8I rsqurE9

'sulaluls{B} s11se1a-1usnd epoleu uetuap ufugseq-pseq ueledela:1 qepfn 'pr wnd-urn1 Ip L?/rur.tr11 0O0I &soqes uref urnre[rlerues puolselor->pret uetuep uetunqnqas

S'I I'8I reqrireg epud n1o1 ulEuurel qelslilryue 'uetuotu FnqIrFIp epoleu uetueq 11'31

6ZZ v^lrox xnfNsausa v&oc9Nv NvoNu(I nrvx vxcNvllsx

BAB

SEMBILAN BELAS

KISI.KISI HORISONTALMETODE PERPINDAHAN DALAM

PENGANALISISAN KERANGKA

l9.l Definisi Kerangka Kisi{risi Horisontd

Kerangka kisi-kisi horisontal yang ditujukan untuk memikul pembebanan vertikalbiasanya terdiri dari dua himpunan balok sejajar, yang satu tegaklurus terhadap yang

lain. Setiap balok dapat ditumpu hanya pada ujung-ujungnya, atau terjepit untukmelawan rotasi terhadap sumbu longitudinalnya. Jika sebuatr himpunan balok terletak

secara langsung di atas himpunan yang lain, maka terdapat hanya interaksi vertikal diantara kedua titik pertemuannya. Sebagai contoh, ketig balok timur-barat pada

Gambar 19.l.la terletak secara langsung di atas ketiga balok utara-selatan, membentuk

kisi-kisi horisontal (/akni, dalam bidang horisontal) yang terdiri dui 12 buah tumpuan-dasar dan 24 buah unsur-balok.

Di lain pihak, jika kedua himpunan balok tersebut terletak semua pada ketinggian

yang sama dan jika titik-titik hubung pertemuannya bersifat kaku (baja yang dilas atau

beton-bertulang monolitis), sebagaimana ditunjukkan pada Gambar lg.l.lb, setiap dari

ke.24 unsur tersebut akan mampu menahan puntiran (torsion) sebagaimana juga momen

lentur dan gaya-lintang. Suatu unsur yang dapat menganggulangi puntiran dan lenturan,

dengan mengandalkan sambungan-sambungan ujungnya, dinamakan unsur'kombinasi

balok dan puntir. Ke-12 tumpuan pada Gambar lg.l.lb dapat didesain dan dibangun

untuk menanggulangr reaksi vertikal saja, atau reaksi vertikd bersama-sama dengan

tahanan-puntir, atau dengan tahanan momen, atau lebih disukai dengan keduanya.

Suatu tumpuan yang dirancang secara khusus diperlukan untuk menanggulangi puntirandan reaksi vertikal tanpa memiliki tahsnan momen-lentur.

Kerangka kisi-kisi horisontal pada Gambar l9.l.lc merupakan struktur beronSSa

(cellular structure) dengan 40 unsur-kombinasi balok dan puntir, yang ditumpu oleh

empat buah tumpuandasar di keempat pojoknya. Struktur kisi-kisi seperti itu mungkin

' uu8uecuurad s esord urepp uz1du1a1p

e.,(uesutq rrlund-ueuour punuou IEIIu nlens 'uepl.nuep Eued snsnl urepq 'uznlund

:esaq tuulual >1n[un1ad lrB{lraqtuetu >1epr1 rdul lr4npuol IrBp uBrque.l {nlun IEI? {IrsBU3uu,{ ueqeaaut uagrseq8uaur tue[ uz>Ispllq nluns 'uer11und uolpquEuou I{BI?pB Bs?Iq

Euu{ uurcpuuEuad e4e61 'uu1d4a1rp 1[ns qlqal e,(uuuserelese{ FIpuo{-Flpuol uup ffupluEuus rpufueur e,{uuen1ue14u1a1 lefurap 'uuslslluuutuad urepp 3{ ue)plnsetulp IlsoIIJ uBp

ug>I?p?rp usrq rrlund-uBueqBl egqedy 'BuIBs tIsFnI?q und uueur Eue,( lopq ueundulnl

Irep uu{l$?Wp tue,( uenuelred {pp-Ipp Ip lu>llue^ uelnpu0l-u?1npu0[ ?^\qeq WPpBe{uuusurulesa{ Flpuo{ ueEuep'uuqrqalo4-uuqqelo{ rctuqas w>leunErp ledep e{uuenrual-rad>14r1->1r1p rp p{IUeA I$[BlaluI uBllquroso{:?ueqropes-{olBq uermduuq Bnp u?p l4prelol'l' 6l r?queC epud tstl-tsty 'z{uraurFd Inqule4p{sl 3uu[ teEeqes uB4qolo{-wqlqela{

u?{BuntEuotu uz8uap 'u1e,( 'e,(u8 epolau ue8uap sIsIFIIPIp 'rtlund zduul 'efes lopqrnsun-Jnsun ueEuap leluospoq Ispl-Fpl elEuera4 'lncunur {uoJl{olo relndurol tunloqas

ueqqpuutua; apoler{ Z'6I

.u{u1n1ueq esElq {el 3ue,( qeuel Sueplqas eped dule n$uura1 rcEuqss uu4zunftp qaloq

pI'I'61 rBqr.uBC eped el8uura>1 'qoluoc reEeqag 'Fpt-lsl1 otl?uotaq lnqeslp esq ru8e

n4fueur nples suBq {Bprl lnqesral ueEuolodroq 3ue,{ rnsun-Insun 'z[uruuaqoS'rrlund uep {o1eq Iseuqtuol-rnsun undnel? {oluq rnsun 4eq tunp

-ueEuaul 3ue,{'1u41ral eleces luuqeqlal P}uosuoq IsH-Ispl u4Euere>1 reEuqas slslBu?Ip

rlsaur tuB,( Eurlued uep sllurd Jn11;111ls :p{ueq up1llp111xa11r ledup ecequed 'IIsIuB}

nlens uped n4edrat-n{q dete rn}{nrls Isfleqos unluzqrp 'resaq letues 3t 'uDltununele ,1ereq le8ues EuB,( ueqaq Buelnfflueuour llsalu uep efzq uep lenqJol 'gca1 lu8ues

'Ietuoqroq tsl)t-$r:l ?ISuureX I'I'6I r"qucC

4trmd ueP loPqF?r4qurotrnsun 0t (r)

4lund ueP loPqIsEulquol-rnsun ,I (p)

TtrDtrtrtrtrtrtrtrtrtrNtrTtr

4lund uzp:1oPqIseqqurolmsul nZQ) )toFq rnsun ,Z (r)

UT\_rrUT

trutrIT8Z ' NV.IVC NVHVG NrdUSd SqO,Lgn'MNOSTIIOH ISIX'ISIX

V

232 ANALTSTSSTRUKTURLANJUTAN

Dengan kemudahan dalam penerapan metode matriks-perpindahan pada komputer,masalah penganalisisan kerangka kisi-kiri horisontal, dengan atau tanpa puntiran, men-jadi lebih sederhana sejauh menyangkut penyusunan masukannya. Persamaan dua-susunstandarnya.

dan

{x} = [AsB]-'{P}

{F*}: {Fo}+ ISBl{X}

(te.2.t)

(te.2.2)

dapat secara mudah diprogram dengan menggunakan matriks [r{], [S], {.Fo} dan {P}global, atau dengan memasukkan matriks [.,a.98] lokal dari setiap unsur ke dalammatriks [/asB] $obal. Kedua versi program komputernya tersebut.t Di dalam tekstingkat menengah ini, pendekatan pertama akan diuraikan dan diilustrasikan dengan

beberapa contoh; karena pendekatan kedua lebih merupakan latihan perangkat lunak.Bagian penting dari metode perpindahan adalah penandaan P-X dan Fe dengan

bilangan. Sejauh hanya menyangkut derajat-kebebasan, setiap titik-hubung dapat me-

miliki kemiringan dalam dua arah acuan (rotasi-rotasi, masing-masing terhadap sumbutimur-barat dan utara-selatan) dan lendutan vertikal, sehingga jumlah maksimum perpin-dahan tersamarata yang takdiketahuinya adalah tiga. Dengan tiga sumbu ortogonal -sumbu x positif ke arah timur, sumbu y positif ke arah utara, dan sumbu z .positif ke arah

bawali - ketiga derajat-kebebasan pada suatu titik.hubung tipikal ditunjukkan pada

Gambar 19.2.1a, yang dalam hal ini, notasi vektor "aturan tangan-kanan" dalam tandapanah ganda digunakan untuk rotasi. Dengan notasi vektor yang sama, diagram behda-

bebas unsur-kombinasi balok dan puntiran tipikal dalam arah timur-barat diperlihatkanpada Gambar l9.2.lb; dan dalam arah utara-selatan, pada Gambar 19.2,1c. Dengandemikian, untuk suatu unsur balok, banyaknya gaya-dalam yang takdiketahui bebasnya

adalah dua (F; dan F); untuk suatu unsur-kombinasi balok dan puntiran, ialah tiga(Fi, Fi, dan Fs).

Untuk kerangka kisi-kiri Gambar 19.l.la, terdapat 30 kemiringan yang takdiketa-hui dan 9 lendutan yang takdiketahui'sehingga derajat-kebebasannya, A?, sama dengan

39;ke-24 unsur baloknya membutuhkan 48; dengan demikian derajat ketaktentuannyaadalah 1// = NF-NP = 48-39 = 9, sebagaimana dinyatakan sebelum dalam kaitannyadengari metode gaya konvensional. Dengan mengandaikan tumpuan-tumpuannya ter-jepit secara sempurna, derajat-kebebasan kerangka kisi-kisi pada Gambar l9.l.lD adalah

3 kali 9 titikpertemuan,atau NP =27, sedangkan.try'F samadengan72untukke-24unsur-kombinasi balok dan puntiran; sehingga.l// = 72 - 27 = 45. Kerangka kisi-kisi ter-tutup pada Gambar 19.l.lc memiliki hanya empat kekangan vertikal; sehinggaderajat-

Fj

Fl

4/

,r/l'lp (c)

v

(**I Fi+ Fj-'T- Fi+ Fj---L-

(r)

:f

il*,

$.|}

{

fifl

fr

&

Gambar 19.2.1 Titik-hubung tipikal dan unsu!-unsur pada kisi*isi horisontal.

f Lihat C.-K Wang, Matrix Methods of Sttuctural Analysis. ed ke-2., American Publishing Comp -

ny, Madison, Wis., 1970. Apendiks H dan L.t,

.ffi.Prxt

ru.Nrorer?- =m#h" -=oN

,(€I).GX8)t6[rr'r

tu.Nr 68u,e,s_ = ;rgffir*ffi _ = "^ru.N:r s6€sz,r - = re#k" * ffi - =,^

'uresapued epuel uerfuulred Bn>11 uep 1rdefte1-Eunfn ueurotu-uetuoru {nlun ?un8req tueL snruru-snuru ue>1eunt 'uapnura;1

N:I T6€TI,I = U

u80t88[0'0 = USItl€r0'0 - 9{9t 60'0

'lnqesJel gV - gV ue:pures

u8ot88€o'o = **ffi = oJ :toPQ "P?d

3v

u8r€r.€r0'0 - 9091160'0 =

l(s'r)e - (s'txs'tt)e - (s'rtXs'Ir)er f.ffi = sv ropq eped ay

'cl'€'61 requr?C epud snurnr u?{?ung'qlE'61ruqueg uped ueplnfunllp eueuneEuqas '63r lopg uped tuef uetuep Eru?s rlsaugv \o1'l"q upud g 1p p{pre^ uelnpuel BAguq qqspe uduueserqese{ rslpuo) 'uB-qlqalal reteqes Ie8ilurgel qrseur Euef 'y '{oleq rulrru Is)prelul e{ueq 'edueueru;tr'cl'E 6l rEgruBC epud lrdetrsl-Eunfnreg {opq {n1un snturu qelo ue:lsndeqrpqu1a1 efuueqrqelel ledtua 'eru11-luferepteq nluel {Bl srlsls l?Jrsraq p1 e43uere1undp1sa11 'ruI IBos uer?seleduad urepp ue>luuntrp uep , I ' €'6 I rBqruBC e ped 6uqnmlnqesrel Ferdsle 'ueqepnuro{ rrueq'lesndrel rreqeq nl?s In{ruraru tuel >1opq eped

1r1r1 tuurequres rp u?lnpuel {n1rm pardsle uelueqrueru unlunuad-n1nq uderaqeq

'Isulor u?A\BIeru {nlun lrdefral O uep 'J 'g'y uendurnl-uendunl vep '(D Iol?q s?18 rp Eunstuq ?reces )felalrel grf {oIBq1ttl prtr tuupp tuef 'Dl'€.'61 rBqruBC zped pluosuoq rql-r${ u16uera1 qelsrslleu?

'uequpurdred epoleu uutuap u?rpnue{ uep ui(et opoleu ueEueq I'g'6I rloluof,

'ln{uaq qoluoc urEpp Ip uE{sDInIrp ?tr?ru-nEeqas 's1u1eu {nluaq ul?lup lnpns-uerluqn epo}eu uelleduaueru u{ueq uequpurdrad-s{rrleru epolepqeloredrp uelnpuefuBtnpuel uup uutul4ural-uetur4ural ufuupudpup'uu11nurs uesurBsrad-ueuuresred qeloraduaur eEturq eruseloJtuetu uup ufulnpns-uBrl?qnueeurusrad Bnpo{ unlsrlnuau uetuap ue>punSrp qaloq lnpns-uurpqn apolau 'sryr1eurrselou-Iselou ue>leuntfluaru snreq uduel 'uuqupuldrad-epolau 1oduo1a1 tu?Iep untrleg'uBqqelo{-uBr11qele{ rctuqas uapunBtp uol8ueuaduaur erecas ledep eduuunurouad {-rlp-Tlp !p IBIIUaTT $[sJalu-r BuarB{ 'ueleuntradrp }udep tuud opolaur uapdruaur qpuuefet epolaur '1opq rnsun-rnsun u{uzq tunpuztueru Is.DI-Ispl u4Euural nlens qrqudy

efes {opg rnsu;l uutuap FpflsDt uliuu.rey g'51

'pme ryfas 41d-rp sru?q ntl 6,r edu:pdueq tuef u?wqele{-uBqlqalal 'e,(e6 apoleur ur?l?p Ip qBIBr(u?q

iuetugas uu4edrueur 71g uunluoryu1a>l 1uferap 'uuqupurdrad epo]eu UBIBp Ip 'e[us n1ua1'6t =ZE-yS -.f1Vuup:tS = (tt)g =gN:ZE = [t-(Zt)e] =dll {epp? ufuuusegaqa:1

ru.N) I8€S['t - = - -- rtv

882 ' -nv.Ivq NvHvqNlirugd sco&er{ lvJ.NosluoH rslx-Isrx

!,

il

$

iJit

fif#,tl

234

o,: ffi oot - 3ax - bx), untukx< a

o,= H#,untukx=a(c) Rumus-rumus yang berguna

lA}'e =

EI umtrk AB = 600 kN.m2 (pend. pipa std. 4-in.)E/ untuk CD = 250 kN.m2 (pend. pipa std. 3-in.)

(a) Kerangka kisi-kisi yang ditunjauW

ANALISIS STRUKTUR LANJI,JTAN

lR

'ffio(b) AB dan CD sebagai benda-bebas

Gambar 19.3.1 Metode gaya, kerangkakisi.kisi Contoh 19.3.1.

(b) Metode perpindahan. Karena tidak bisa terdapat gayayar.g takdiketahuiyang bekerja pada unsur yang mana pun, jumlah minimum unsur yang harus digu-nakan adalah empat. Penomoran P-X digelarkan pada Gambar 19.3.2b, dengan:

X1 adalah kemiringan lawan arah jarum jam di E pada balok CD apabila dipan-dang dari kanan ke YJlri, X2 adalah kemiringan searah jarum jain di E pada balokAB apabila dipandang dari depan ke belakang, dan X3 adalah lendutan E ke ba-

wah. Penomorar. F-e dicantumkan pada Gambar 19.3.2c, dengan: semua momenujungnya berarah jarum jam apabila dipandang dari kanan ke kiri atau dari depan

ke belakang.Ketiga persamaan keseimbangan di titik-hubung .8, sebagaimana teramati

dari diagram benda-bebasnya pada Gambar 19.3.td, diekspresikan dalam barisbaris matriks lAl yane dicantumkan di bawah ini:

x t 2 .i3il { 5 6 7 ,.8

I -,1.0 * lr0

2 +I,0 +r$

t : ,,lr'.,,...

"'7,6';,:

::..'a.,1.

. 1r5. ]** .l+$..' -!':tt.I,,,8,,

*l +:i

Sejauh hanya menyangkut isi matriks [A] , akibat X1 lawan arah jarum jamdipandang dari kanan ke kiri, €o = -Xr dan e, = -X1 ; akibat X2 searah jarumjam dipandang dari depan ke belakang, €2. = *Xz dan e3 = +X2. Diagram-diagramperpindahan akibat X3 dicantumkan pada Gambar 79.3.2e, dengan: e adalahrotasi-rotasi searah jarum jam dari sumbu anggota terpindahkan ke garis-singgungkurva-elastisnya; maka

Xt .Xqet= ez= -13 q= e4: +76

Xt .Xte5: e6= -V et: ee= +i

3kN

5fl* ,i-,

SFJr,:

,#*,;-,'.

S:1:

0{r{ {o#l+ dI+

',:.fi::

*l$l- srf$?r*

al:i::.,..i t: L I

= 8xe[g]

rl?I?pB [g] s{rrFru 's4r1eur {nlueq rllel?p u?{tunluBcro

I'€'6I qoluo3 lsp1-Fpt e13uera1 Iuuqupurdred epo1e11 Z'g'6I reqrusg

I = CN'a-l vetouroued (r)

lldefrel rspuol e(eg $)u,(uqn6Sunses tu?d q?re uruJup qeued-upue1

9t0'I+EriFtt+

,16'I+ETF

€X leqrxd u?qspqdrad ur?$qq (r)

s?qaq-Epueq letuqes g Sunqnq-4111 1p1

€ = dN 'X-J wroruoued (g)

mfunlrp Eu?,( t$trsrl ?fu?reX (r)

('rq-g 'pfs zdrd'puad) zu'NI 092 = O, ryrun 13l('rn-, 'pls e{d 'pued) zu'NI 009 = gV youn lg

ot eiI+ tJ

"r"r,| .r,,;ru1! + Lf-

N{e

r[ 0l / tt s'L

982 ' wv.rvo NvHvoNrdusd scrofsfl .Iv.LNosIlIoH rsl)rlsrx

236 ANALISISSTRUKTUR LANJUTAN

Isi matriks [,S] adalah 4EIIL dan 2EIf L dalam kilonewton-meter per radian; maka

lSh,o =

x t' 3 4']... s li, l

f }ffii ,$s.

2 't# ,:ffi

.* ,:!iS,::' ':r:l&;

,-{. ''Im

j' !ffi,q] {&{,.

1:

,:.*, .: ,:ffii

Dari Gam bar I 9.3 .2f , Eay a- Eay a k on disi-terj epitnya a dalah

For= -4,32kN'm Fol= +2,EtkN'm

Rol = - 1,944 kN Ror = - 1,056 kN

Maka isi matriks {P} adalah

Pr=0 pr=-(Fa+For)=+432 pr:-(Rn+Rlr)=+194,4

Dari kedua persamaan: Persamaan (19.2.1) dan (19.2.2), matriks keluaran{X} dan {F*} adalah

{X}r,' =

{F*}s'r =

I

I

'- t.,:ir,, tf.*i:ii.ir,i|". 1i,;..r,:ra:,'ri:rr{',::.ri:.!ritjir:.:_:.::t i::i1. ;rr:-ri

iiffi,ffi

llt

.

l::::.*F::* .$ffi

'u?nlund lu?I?Sueru8ue,{ msun In}un }lde[ro] IsIpuo)I I't'6I ruqurs5

7:Dl

7 -qi.qt- t

de]3t IgWro-rffi-rg

-ednroru InIEI Blpl eles ru?q 8ue,( ueseqeg 'Btues qelsnreq 'ra^olllue{ derlas t:ep qeloredlp

8ue.( nlrs Ip IB{I}ro^ ue}npuel u8n[ uep ',( uep x nqwns depeqral g p ryEa1 Euedueued

rs?1or-rs?1or B.{,\qBq r&lepe e.(uuBsBrulose{ ue?luBsred ueJrqurasay 'seqeq Euu.{ Inqe}o)l-lp{et 8ue,{ ueqrqele{ uulrquos leduprel 'g Sunqnq-4}Il :n uuEuequlese{ ueuuesrad

e8rlo{ il{nuouretu sruBl{ lnqosre} rnqeloIlp>lel Eue,{ 31-e>1 Eu6;?)'P{lUa,r e,{eE qunq-es uep'.rnlueyueurou qenqos 'ttlund-uaurou 9'rnqas :mr{etre>IJp{el tuef, e8rl leduprel're,reglue1 durlos Eunfn Eped 'nluolrel slluls is3lsreq Sutseur-Suseur 3ue.,( 'reaalrue>1

ledrua rpe[uetu uB>I.IBsIdIp ledep lngesrel ne[tn1tp 8ue,( rn1>ln4s '/fl uuqoq In>Ilueruefuuapsrrlp Eue.{ ltdafrel-uendurnl ledure ue8uep e13uere1 uup .? uunure]rad 41111

eped uurusreq sEIIp Z'?'6I r?qtue9 eped efuq edrd Buedru?uad ludueal ue>llspuY'urqeputdred-s>llJ1etu epoletu ue8uep sISrI?uB

-lp 4saul uerrlund ueSuep Fpl-ppl el8uetel 'lesreiuun ereces ldtueq 'rut; 's4tr1eur tsul

-ou ruelep npedrel elod t1n1€ueur ue8uap relndruo4 uped sasordp rulB slleruelsls BrBc

-os uulresaleslp tedup lrlpues rut ueuuresrad-ueeuestad 'u,(e8 apolotu tuBIBp Ip Euuf uup

reseq qrqal Euupe>1-Euepu{ nulu resaqos ?slq ueqBpurdred apoleur urBIEp Ip u?{Isseloslp

n1:ed 3uz,{ uBllntuF ueeurusied ufu1u,(ueq undqsell 'u?Wqelo>l-usqlqele{ uup efta1eq

3ue,( ueqaq-ueqeq qelo u?{leqplelp Suef rseuro3op u?r?saq 1e,(ueq uenluaued ue>1n1

-retueru e.,(ueserq e.{e8 apolau uBIBp u?s?r?lose{ $Ipuo>l-Islpuol ttup 'Ftt4t le8ues Euer{

u?nlueDlgle{ lulurep DJIInuoru 'uurllund elllopuetu Eue.( euzqrapas nDI-Isp{ ulEuerelue>il{?g 'delo} e..(uruund-ueru1n1al uDIIBSB 'I'l'61 rBqurBC uped ue11n[unl!p Bugru

-reBuqes r{BIuu>Iu ufulrdefrel $Ipuo{ tuelsp Iq?er rtlund ueurou-ueuou 'upatu uepuq-ue6eq eped rpzlre1 ru1ze1 Euel( eueune8eqes 'e,{uEuefued l{nrnles tp lesndrel 4lund-ueruoru In{luratu 4n}un uolnlnllp ?Furnsun e1lI'ql1'61 Equr?C eped ue11uq1ped1p

euuurreEuqas qBIue>IE efuseqaq-epueq urerEerp 'e,tuEunfn-Eunln tp luncel Iugqaqral{gl

rrrpues u{urnsun sIIf 'u?Inlue1 llredes e,(upeq surus Brucos uertlund 6ue1n3llueuaur

ludep u,(uEunqnq >fl1I1-T111 ?reluu Ip rnsun derlas 'stqouotu ?rucos rocp Euu,{ qnln

Euelngeq-uo1aq cqtuere>1 nule eft6unqnq-{}11 eped supp SueI uleq edtd uderaqeq snsel

ruepp qredes 'm1u1 leytsroq Fpl'Isp{ el8uerel nlens eped tunqnq {I111-Tlll epqedy

ueqlund u?p {opg Isuuquo)-rnsun uu6uap FltlsrJ opuera; 7'61

'ue>ln)plp q?lal Iui uelaca8ued-ue>1ece8uad 'ue:lurnluectp 1epr1 undtlseyl

G'z'6r)

I'u -

llu -

eE8urqas edru uerlruapes'(q vep DV'l I'I I) uep (€'tI'I I)u?Brrr?sJed r1n:p8uatu suuq ei(ursetuJoJap ue{ece8ue6 'tseuro;ep ue>lace8uad ued

-?Iep u?p ?{B?ls uuleca8uad etrl epu srueq 'ertuuerenlel laceEuetu Inlu1

{::}t;t ; l{l'xl

-I

LgZ ' nvlv(I NvHvoNIaIuga gqoJsl{'rvrNosllroH IsIv-IsI>I

Y


(a) Struktur yang ditinjau (r) Struktur yang ditinjau dipisahkanrnenjadi empat kantilever

Gambar 19.4.2 Penganalisisan kerangka kisikisi sederhana dengan metode gaya.

kan ilustrasi tentang metode-penganalisisan gaya, yang menghendaki agar penganalisis

memikirkan metode yang sesuai untuk pemecahan setiap persoalan khusus yang manapun. Penganalisisan kerangka pada Gambar 19.4.2 dengan metode perpindahan akan di-cantumkan kini.

Contoh 19.4.1 Dengan metode perpindahan, analisislah kerangka kisikisi horison-tal pada gambar 19.4.3a, yane dalam ha' ini empat penampang pipa dilas pada ti-tik E, dan empat tumpuan-terjepitny r terdapat di A, B, C, dar^ D.

,-, \?/"z1 y)/F)n

'"J 4,4'uJ*'o'i + -To-

F5+ F6---E-

(d) Titik-hubung .E sebagai,trenda-bebasAB: El=600 kN.m2: GJ=480 kN;m2(pipa std.4-in.)cD:Et= 250 kN.m2; cJ=zoo tu.m: (fifa sta. l-in.i

(a) Kerangka kisikisi yang ditinjau --*-_E- ---'

-''--=-l:-'(e) Diagram perpindahan akitut X3

Tanda-panah dalam arah sesungguhnya

(c) Penomoran F-e, NF = L2 (f) Gaya kondisi terjepil

Gam'Uar 19.4.3 Kerangka kisi-kisi dengan momen-puntir, Contoh 19.4.1.

3kN

(D) Penomoran P-X, NP =3kN

+l,2

(c) Penomoran F-e, NF = L2

Y_

= ztxzr[s]

b x, p,r o'e* qrne r;"fi ;fi 'T] i;T'Jl#:JJ;' 3/{?'ffi Y",T,;"i: i'f;ffi i

o'I - zt

',. o'l + II

0:l* OI

6!I + 6

E z I x

= fxzr[9,]

Iur l?os :1n1un [g] s4rleur. LUBIBp rpuep ;rlrsod tta 'tX qnrz8uad lyrle8au

u?r{Bqu?l srreq leduraeloIa uep grlrsod 6a edrueq

I{?IBp?

urp11 ';rleBeq zI2uele Iy qnre8ue4

= zrxt[v.]

t

0lr * o't + L

01- olt+ I

'zt II OI 6 Xlpefueru [/] s>1r4?uI tuulsp Ip ue>11ndurn4rp egqude tuu{

0:€d zrC-iljJ+=zd orC-6J+=rd

qelepe zrg e33uq 63r qelo r8uelntEluegp lzdup ?uei 4 eie$-efiil'pE V'61 rBqIreC

IIBO ' I'€'6 I qoluo3 1n1un Suef 1r$qelaur ueqeqlu?l tuolo>1 ledura DIIItuetu Ilseurur I?os {nlun [y] sTr1ery 'tfll uop'[Sj '[g] '[7] uotrsou slt0ow (q)

'6 = IN'7,1 = ,LN'€ = 4,r 'lul IBos Inlun 'e1e;41 '>pre1-e{zt tuesedes rnptue{ ueBuep ednres eIurol4a,r-ro1>lal tue{ llund-ueurour SuBsedes uqlEqIleutul eilAu1r\ 6.{ Fep derles iry'E 6I r?qureC uped 3uet( ueSuep edntes c€'V'61

requeC eped a-g eurelred uerouroued uedelepey 'qesrdral Suef lopq uped zpereq

Eulseu-Surseur ?ueru{ I4?I-Blu?s-nles sedepel zX uep IX nll qoluoc tuepp Ip IdBl'qZ't'61 requ?C eped 8ue[ ue8uap edn:es efuuet?qflal S€.'b'6l rBgIu?C eped y-4uerououed .?{eleq sr}Foel le}Isreq g InFIeu 8ue,( 1e3a1 Suedueued uzp tueqnFaq

edrd-edrd ruelsp Ip I?lalral A {llll 'ufuueulelual urel?C '€X q?l?pe Inqe}e{pry}tue{ 1erp1ra,r u?lnpuel uep ?'X uep IX quppu efulu8al Suedueuad mqu1e4rp1u1

tuz,( rselor-rselor g Sunqnq-{Rll IC 'a-l uDp X-d uDtowouad (o) HVfVSgfSLNAa

0, 7t

9Z II

8t OI

w 6

ZI II OI 6 \ca\

682 ' nrv'rl/c NvHvqNldltsd Ecorsw'IVINOSIUOH ISIX'ISDI

\LcP\ I

I 0.

2 +4,32

3 +1,944

24O ANALTSTSsTRUKTUR LANJUTAN

Matriks {P) sama seperti yang di dala{ {&ntoh 19.3.1 :

[P]r,r =

(c) Matriks keluaran lxl dan { F*}. ttt"trit. keluaran {X} dan(F*} adalah

{Xh,' =

LCx I

I +Q0035903 rad

2 +0,008E344 rad

3 +0,M29l2rad

{F*}r2,, :

\LcF*\ t

I -t,332U

2 +0,08065

3 -0,65493

4 +5,48494

5 -1,23013

6 - |,45453

7 + 1.85664

8 +2,2156'l

9 +0,22978

l0 -0,17233

It +0,22086

t2 -0,35338

(d) Pengecekon statika dan deformasl. Untuk soal ini, akanlah terdapat tigapengecekan statika dar. 12 pengecekan deformasi. Meskipun tidak dicantumkaniengecekan-pengecekan ini telah dilakukan.

(e) Diskusi. Penampang-penampang pipa tersebut secara relatif memilikitahanan-puntir yang lebih besar ketimbang penampang-penampang terbuka lain-nya karena nilai-nilai GJ ad,alah 80 persen dari nilai-nilai ^81 apabila angka-

X derles rrep ueuoduo{-ueuodtuo{ re}Jsp lenq e1r{ qelnlJed Sunstuel {Bl Breces

'epue8 qeuud epu?l ruelep IseloJ-rselor rlsl?po X ery1 'ei(uurolo{-uolo{ InIBIeIx

un{r?selesrp ledep e8n[. [gr] uolns?ur sTrlBII '[gl uo4rsow st1ulo74J Q)

8'0+ =.,rO !'g- = zt+y

'[+: tt*O 'l-: tr.zy

'I1 =6ey 'I- =6tyg'0+ = sy ++ = /6y

'l- =eLv 'l- =ttvl-:edv 't+:cey

8'0- = zt+o

'I - = ol'Iv

$+=eV9'o+ = 'eY

l_:^v'l+:ztY

9'0+ = zt-c,

'l * = otsY

9'0+ : eoo

8t0+ = rrY

'l+ =BV'l+=tzY

qeppe Iy] s{lrleru urBIEp rp lou{Bl rnsun-rnsun 'Bûurolo{-uolo{ InlBIeu

Iy] s{lrlBru ue{r?solefueru uep 1eluatu or?ces nll uersqur?E-ueleqtue8 lonqtuatu

ledep 3ueroeses ip7.7.61 rsqlupc epud uelleqllredrp aus1( Iuedes ruertBlp Bnrues

us$pqrustSuetu nlrad qol{epl} ue{q?q 'urnurn Preces '8'!0+ = zr-e9r usp '9'0-= zt-s {.9,0- = zt-ty'9'gq = ct-e pr qeppe IVl VeP s?laqBnpe{ uolo{ luelsp rp

Iou )tel rnsun-rnsun u:1ep'eTSuefuudes 1p 2r.48'O+ uep's73uefu?des Ip zt.{9'O-'n4 Sueluedes Ip ?IJ8(0- '€d Suefuudss rp 2r.19'O+ qeppe e.i(.uues?qeqe{

-l?tBrop Suetuedes \p pn'V'61 reqlu?C eped ztl enpa{ II?P ueuodtuo:1-ueuodtuoy'0I/I+ = L6y uep'9'0+ = LeV'8'0+ = Lsy qelepe [fr] Fup qn[n1e>1 uolo{ru?Iup rp Iou {El rnsun-rnsun u?I{Iurep u?8ueq ' L.tOt I I qspp? 62r run:nueur Suel

61/rg uauoduro{ uep l eg Suefuedes 1p t.{9'0+ 's7 Buufutdes Ip td8'0+ q?lup?

rJrpuas tg usuodtuo:1-ueuoduroy'e{uueseqeqa>1-lefurap qBrB tu?lep W'i'61requ?O dr ulelsls urelep Ip BlBreuresrel s1(BE 3tl1a{ 1J!-p tlltlata ueuodtuo{-ueuodtuo>1 u?{?duau qe1ue:p [7] sryr1eu trep qnfnlel uolo{ ur?1ep rp

rnsun-rnsun 'u.fueuetey '4 etefl udereqeq rtuequntuaur ndumut qn ue,trul edet-e{e8 iru1 rnsun Sunfn-Eunfn Ip Sunqnq >111l1-{llll eped e[re:1aq ue{E rur e1urelrres

-rel eIuB Btrle{ ue^\el 'W'n'61 reqIuBC uped seqaq ?ued t'g ruelsls qepe[u11'efuurolo>1-urolo{ rnlelalu efuuelnluauau rlEIspB ledal tu?f [7] sry1eur'uu1-lud?puaul {nlun sueqrepes turpd tuei( erec 'untue11 'utltunu Euuqrapeses lnqes-rel desuo{ uBIB/r?queul :1n1un 'Eunqnq-{Iill ssqeq-?puaq uerturp depuqrel ue

-leuretuad IrBp ue{nlualrp tut{ '?{I}Els ueeutesrad nluns ue:pdnlau I f] s{u}euruBIEp !p sueq du11es ?^rqeq ue{us{e{p WIoI 'lyl uotlnsow srlluDru (q)

't= IN uup'ZI = lN'6 -2r1,r: uu8uep'cuep qp'y6I rBquEC

eped uqln[unllp BuelurcS?qes uB{n>IEIp a-d uep X-d uerotuoue4 'ttmqnq-:1pp

ledua uep rnsun ]edue ludepral 'a-l uop X-d uototuouad (2) NYIVSA'IAANAd

'ur/NI 9'0 resaqas efusele-rda1 EpBd ?1er-rteqrel uugeg Inrytuetu>1n1un ueln(nllp uep ?rutuell etq eped ndurnlp ?uvf,''oP'9'6l rBqurEC Bp?d

dnlnlel rsrl-rsl{ uqtuurel qBIsIsIsuP 'ueqeputdrad epoleu wtueq Z't'6t qoluoC

'ue{n{-?Irp qelrlsetu uurrlund uup {oteg rsculquo{-Jnsun ueleuntllueu uetuap de{8ueluBBslleuetuad '4o1ug 1s1s nl?s L{Elos eped n4s-n)[ts Prellr8red BpBd Bfte{aq 3ue/(

lBsndrel u?qeq lens rlredes 'I?uJels{a ereces e$a1aq tuef rpund ueurolu-ueuour

ledeprel qntlluns-qn8iluns 6ueri snse{{nse{ urstep IP i uetuequ4red qnued uetuapu?{nryIlp q?lsnjPrl efes n1ua1 '8uu1ngeq-uo1eq uuSuecuurad urepp ufuturzul '1r4 ue

-{spull 'usrlBqruBl t?8Bqas I?uluou 41und-ueqo4ole{ uB{lrequeu rl?lpntue{ uBp

sqrlouour ereces untuuqrp 3ued pluosgotl lq{{q{ e{tuerol ueeqpue8uad uruppuerrlund up{pqeeueu ssrleu?tued 1efueq 'Irurnluel lnltuedueur e[ueq qnefes

'edetueru ?ûuesel? qsful '11ce{ dn:1nc er(u4lund ueutou-uoutotu uap '?IuEs

tue{ re1ru fe:flull EpEd ?p€req aûunutn rnlual ueurou-ueuron 'uu:ltungqred

-rp Bfurlund-u?uBrlel egqude w Zl6CtO'O eI €€rtrg'O IrBp urunueu uduuq g 4t1-rl rp uptnpuel'uul{ruep undlryep '17 = t uep'SZ'0 qqupe rl uosslod tutpuuquad

T?Z ' ' ,rlv'rvq NvHvoNralusd sqo.Lsn lv,LNosluoH ISIX'ISIX

0,6 kN/m


4,, \

(d) Sistem tr' tipikal

G.I konstan = 480 kN.m'?

(Untuk pendekatan pipa std.4-in.)

(a) Kerangka kisikisi yang ditinjau

(D) Penomoran P-X. NP = 9

Tanda panah dalam arah sesungguhnya

(e) Gay a6ay a kondislterjepit

(c) Penomoran F-e, NF = 12

Gambar 19.4.4 Metode perpindahan, kerangka kisi-kisi tertutup, Contoh 19.4.2.

di sepanjang arah-arah e, yang juga dalam tanda panah ganda. Sebagai contoh.komponen-komponen X a ad,alah +1,0 X a, di sepanjang e 2, +0,6 X a di sepanj ang eg .

dan -0,8Xa di sepanjang e 12. Maka unsur-unsur taknol di dalam kolom keempatdari [B] adalah B2a = +1,0, Baq = +0,6, dan Bn-c = -0,8. Sejauh hanyamenyangkut pengaruh-pengaruh dari Xs, ia cenderung untuk memutar sumbu

{

o=6126't+6126'l-0 - ?l6}'t - El6O't +

o:6116'l - 6Ll6't+0 = z0zt'8 - (8'o\rLqL'E+ 0'0Ds0I0'6+

0 = 6Lr6' y - o'o)rrgt'€ - (8'0)s0r 0'6 +

o = $'o),4g/E- LLB6'r + (g'o)sola't +

,Q = 8829'€ -o'DrLsL't+ (8'0)S0Il.'t +

0=€t60't-€t60'r+0=8829'[-8829'€+

'6d fttefuedes IC (6)

'8dr 8uefu?des rO (g). r2, Euefuudas rq (1)

'? Suutu?des rC (9)

'ed Euefu?des rO (S)

"g Suefuudes rq (7)

'ed. euetu?dec I( (€)

'z2r Suefuedes rq (7)

' rd Eu?Iu?des rd (t)

: ln{IJeq reSsqes qelepB ?^,(uu3{acaEuad ueyquresex' ?s' t' 6 IJeqruec rpud ue4leqrFedrp uurnluel uuauep uE8unqnqes rnsun-Jnsun sBqeq

-ppuaq IlI?Spr( 'p^uups?qeqerl-1e[erep uBFqurese{ Euefuedes Ip B{q?ls trel0cetuedu?[quas ledeprel qBlrlseur 'rur leos ut?pp Io 'qlws unlacatua4 (t)

9191'5+ =z!J €160'r+ = IC 6115'r- =olt 8SZ9'€- = [CS0II'I + = $C S010'6+ = iC 6Lt6'r+ = l,t 8829'€+ = lCZOZ?'8- = It ,I60't- = [c LL86'l + = lC €160 t+ : I,C

Se996t'0+ =5X}9,0LZl'0+ =8x LotLN',}+ = Lx I0€t0I'0+ = ex 9Z8E€0'0- = sx

686110'0- = 'x 99020I'0- = rX' 518850'0+ = 'X 99|9ZO'O- ='tX'q ueP os't'6[ rBquEc sPBd ei(uqnt

-Sunses e{ereru qBJB-qerB ruulup uB)plnfun1rp uep rrn q?ihuq rp ue{unlu?clp {*.d},i"p {X} s{Irtreru ruel?p rp rnsun-rnsun 'eIuuerenlal s{rrlBru {ocetueu eueun:e?e{

uEp B^uuB{ns?ru s{!J1?ru€{u1?u l?nqrueu BuEunBE?q uDplnfunueur qqqIrn qoluoc uenfnl'Z'5I l?s?d urepp Ip uB{lnqesrp tuu{ ralnduro{ tusrtord IJ?pqeloredrp efuuerenls>1 $Irrluur-s{rrl?n '{*/} uDp {Xl uoonlaq srtupry A

8'0+ = 8d Z'E+ =Ld

0,9- = td 0't- =ed

'0=zru '0=rr{d'

0'S+ =sd 0'S- =4d8'0+ = mc 8'0- = tu

Z'l+ =6d

Z'Z+ =ed 0'l+ = td

0'S+ = zd Z'e- = td

'0 = oric '0 = oc

Z'E+:nt Z'e- =nt9+ = aC S- =roC

u?p

qElepe f dl uep { oC} s)tulslu tuBIBp tp rnsun-rnsull 'at't'61 rBqtuPC

eped ueryunlueclp el(ulldefrel-rsrpuol efet-edeg 'ldl uotlnsow sttl,tlDry @)

g, - zr-zrs 0g = il-l's 0zI = or{rs g? = 6s

0tZ=6S 0ZI=.8$ 0ZI=&S WZ=uSfi)€ = es OsI = es OsI = ss 0Q[ = srg

009=rs 00€=f's 00€=trs 009=€€s

o?Z=aS 0ZI = rzS Q!1 = ztg Ofl: ttg

I{BIBW [S] s{lrlBtu rrrBIPp Ip IouTpl rnsun-rnsuo 'fgl uotlnsou frtlttoru (p)'ltV1 = [g] s,rrlI?q IrBrluPIBfeu {nlun uP{

-n{BIIp nplas sruBq ueleceEuad n}Bns '8[Bs n1ua1 '91/0x. uPSuap 8a uPp ta (lnBI-Jntull qsJB a:1 Suepuedp etn$ urut runr?f qBrges Jnlual rsBloJ-rsBlor Psagredueruetilqqes l(mu1-mun1 rIBrB oI tuepuedrp) uruf urnwf rIBrP u?^\q I{BIB urepp 8-Lrnsun nquns JBlnrueru >1n1un trmrapuec stnr er iplay:uetuep ,a usp €a ure[ urnr-?f qsrBes rnlual rsBlor-rsplor rs{npereru eStqqes 'ure[ urnraf quJ? ut?Isp ,-€ msun

8VZ ' ' ,{vIvc NvHvcNrdusd e(IoJexl lv.LNosllloH IsIx-rsI]I


Dari Gambar 19 .4.5c, reaksi-reaksi diA, B, dan D adalah

Rt = 1,3279 + 2,3921 = 3,72 kN

i: :1;il,iii:ll1 I = l:fr IXKetiga reaksi ini akhirnya diperoleh di dalam metode perpindahan sebagaimanadigelarkan di sini. Sebenarnya, untuk soal ini, mereka dapat ditentukan sejak awaldengan meninjau seluruh kerangka kisi-kisi tersebut sebagai suatu benda-bebas danmeninjau keseimbangan sistem gaya tak sebidang tersebut. Maka ketaktentuannyaberada semua di dalam kerangka tertutup tersebut.

(h) Pengecekan deformasi. Mesti terdapat tiga pengecekan deformasi untuksetiap unsurnya, atau seluruhnya berjumlah duabelas pengecekan deformasi.Ketiga pengecekan deformasi untuk unsur 7-8 apabila dipandang ke arah timur-laut akanlah dicantumkan. Untuk puntiran, sudut-puntir di titik 7 denganvektorke arah luar dari unsur ditambah yang di titik 8 juga dengan vektor ke arah luar dariunsur harus sama dengan puntiran total di sepanjang 7-g;sehingga dari Gambar19.4.5a dan b,

[0, 10730 I (0,8) + 0,033326(0,6)] + t0,04 I 989(0,8) - 0, 102066(0,61r : ffi-!9)0,078488 = 0,078488 (Cocok)

o,t27w

0,007407

0,058875. 0,041989

E$

(a) Rotasi dan lendutan titik-hubung

a'@ra6tP$}ts)8'a202

t+4,3279 1,9279

KUe\*/

(D) Momen lentur dan puntir diujung-ujung unsur

ar6 ,1 Nr:f

or+-g

r,orr:((d) Pengecekan deformasi

di titik 7 dan 82,392t 3,fi79

(c) Dagram benda-bebas (hanya beban transversal)Gambar 19.45 statika dan deformasi kerangka kisi*isi tertutup di dalam contoh 19.4.2.i

t

8,4202

4,0913 t,9877

'z'6l!trP-p I'5I uBqIl"'I I's'6I IsqUr?C u?lsuolI3r qnmles

ue{Bun38ueu uBBueO '?^u}BJ?q-Jnufi} {opq e8r1e4 qeneq rp SunsEuel ?Jeces lelelreleduueleles-zreln {ol?q efup>1 '7'9'51 reqtueg Bp?d IsI>l-IsI{ e13uere1 tu?lep IO €'6I

'Iou rIqBpB 'e[uuelnpual uelng undqseu 'n1p rp ue8uuuerl 'I4eurrs-sfiBaepud Euesedrp Sunqnq-ry1ll n1?ns

"fq?dv 'rnsun ledule uep Sunqnq-{Ilp euII ueSuep

'rn11nr1s rlnrnles rrep ledrueredes er(uuq nefuttr epue qelledep 'epue8 uesrrleulse{?uerey 'ueqepurdred epoleu ue8uep I'6I u?q-IlB'I ISI{-FI{ e>ituerel qelslsrlBuY Z'5I

'Btues uern{nreq ?fu>IoleqBnrues uBp Ip{IUe^ ue3ue{e{ edueq ueLrrequeur e.,(uuendurnl uedelepe{ P^\q?q u?>l

-Iepuy'{ol?q Enures eped leluosroq lerefrad eures 3ue.( eler-t3eqre1 ueqeq 1n1un er(23

epolatu ueiuep qelsrslleue 'ueqrqelel ru8eqas u,(uuenureged Tltl nles qBIBs Ip Is{?leluruapunSSueur ue8ueq 'e,(ulereq-rnur1 {oleq ?npe{ qB/\\Bq rp Suns8uel ?reces >lelelrelui(uuu1e1as-er?1n {ol?q enpel '1'g'5I rcqI'uBC eped rsnl-tst1 e13uere1 ur?I?p rO I'5I

uErIrlB'J s'6I

r

({ocoJ) €6IrS0'0- = €6It90'0-(009)e (009)9 (00e)?z

ioil(sorr'iD * (oilGoroF) -&il0t - e

(aa#m -) - [(e'0x8or0'0 - (8'0)ee0z0r'0-]

#.#r-* Tslu- (8 {It!ltp tnetrnurl qzr,

({ocol) tL69g0'O-€a6980'0

(oop)s (009)€ . (oo9)rz =

(0-rlc0 iZ1 +l - (0-m0 fi t + )',(0r )et''

Gas5 -) - t(s'o)szsse o'0 - (s'o)roe ror'01

#-ffi.^a T s|u - (r xllt Ip lnelrnurt r{?re e{ a ro11en)

UPDIITrlop ue8uep:!g uep fd 3un[n ueruoru-ueruour uep efre1aq 8ue,( eler-r3uqre1 ueqeq lBqI{P ?uBq

-Jepes-Iol?q Sunfn rselor-rsploJ IJ?p ue{nluellp euerure8eqes 3ue.( ue8uep ?tu?s rlsl-sruBq X rEIIu-rBIIu Fep ue{n1uo1rp eueurru8eqes pS't'6I rEquBC eped 8a uep L2

ruel urnret r{ereos Is?lor-lselor ?aqeq l{e1ep" efuure1 IseruroJep ue>lece8ued enpey

e1 y roqen)

u?p

9?Z .' fiIV'IYq NVHVCINIdUAd SCIOJ,gW'IVJNOSI'IIOH ISIX.ISI>I


Seluruh Ef konstan Gambar 195.2 Latihan 19.3 dan i9.-+.

empat buah interaksi kelebihan (sebuah di pusat, sebuah di pojok, masilg-masing sebuah

di tengah-tengah balok-balok pinggir dalam arah utara-selatan dan timur-baral). analisis-

lah dengan metode gaya untuk beban terbagi-rata yang sama per jarak satuan pada

semua balok. Andaikan bahwa ke-12 tumpuannya memberikan hanya kekangan vefiikaldan semua baloknya berukuran sama.

19.4 Analisislah kerangka kisi-kisi Latihan 19.3 dengan metode perpindahan. Karenakesimetrisan ganda, dapatlah anda tinjau hanya seperempat dari seluruh struktur,dengan delapan titik-hubung dan delapan unsur. Balok pada garis-simetri akan memilikisetengah dari momen inersia dan memikul setengah dari beban terbagi-rata. Titik-hubung pojok pada kerangka seperempat tersebut (pusat seluruh kerangka) akan me-

miliki rotasi nol terhadap kedua sumbu dan lendutan nol. Titik-hubung pada garis-sime-

tri akan memiliki rotasi nol terhadap sumbu yang tegaklurus terhadap arah balok.

19.5 Kerangka kisi-kisi tertutup yang diperlihatkan pada Gambar 19.5.3 memiliki ke-kakuan-lentur tetap EI dan kekakuan-puntir tetap GJ, dan ditumpu pada keempatpojoknya dengan kekangan vertikal saja. Dengan menggunakan momen lentur di ujungsalah satu unsur sebagai kelebihan, analisislah dengan metode gaya untuk beban terbagi-rata yang sama yang bekerja pada keempat unsumya.

19.6 Analisislah kerangka kisi-kisi tertutup Lalihan 19.5 dengan metode perpindahan,

dengan menggunakan empat titik-hubung dan empat unsur. (Derajat-kebebasannya

masihlah 8, barangkali lebihlah bersifat menuntun kalau anda periksa ketepatan matriks-

matriks masukannya dengan menggantikan jawaban Latihan 19.5 ke dalam persamaan

dua-susun metode perpindahan.

E/ dan G"I konstan

Gambar 195.3 Latihan 19.5 dan

El dan G"Ikonstan

L

t9.6. Gambar 195.4 Latihan 19.7 dan 19.8.

T

'ueq?puldred epoletll ueEuep I I'6I uErIrlB'I tnpn^uau-B{Arr?re{ qplsrslleuv ZI'6I

?npue{r,qrraurBrures,pnlueue}sr}ersrn;f fi:i"rHl'"l;T'.1ffiii;:'J1Hffi'#}euJndures er?cas Iueuplral lnqesrel ud14 'p8ilunl 1usnfue1 ueqaq >lnlun efut epolaurue8uep 9'9'61 ruqureC ?ped ue4luqqradrp Sued lnpn{ueu-eltuera>1 qelsrsryuv II'OI

'ueqepurdred epoletu uu8uep 6'6I ueqpe"I T-{nlueqreq eltuere>1 rlelsrsypuy 0I'(I'eIulofod epzd edrd uu8uoloued rn1eloru re^eplup>J ?np uB{leglleru

e{uresep nluepel srl?ls Jnl{nrls eE8urqes ednr uer>lnuepes lnqasJel ueqelaqasreq tuedSurpurp-Eurpurp eped eulndruas pr?ces tueu?lrel lnqesrol edr4 'p33un1 l?sndJel u?qaq

1n1un ei(e? epolelu ueSuap S'9'61 r?qule5 eped ?-{nluaqroq e13uera1 qplslslpuy 6'6I

'ueqepudred apolaur unsns-pnp ueeurssrodruul?p o{ L'61 ueqqel eped uuqua.lef ue>pluut8ueur ue8uep e.,(uue4nseu sTrl?u-s{rJl?tu ueludela>1 us4rred ?pue nele{ unlunuau leJrsJeq qelqlqel qelSue.req '6 qelqrseure{uueseqeqel-lufereq) 'lnsun ludure uup Sunqnq-1r1r1 ledure ue>1eun33ueur ue8uapueqepurdrad epolatu ue8uap t'61 ueryle"I dn1n1ra1 Isll-lq{ e>fuere>1 q?Frsrleuy 8'6I

'efurnsun ledueel epud epe4eq 8ue.rt eures Auei etet-r8eqrel ueqeq {qun zi(eB epoleru uuauop r{?lsrsrleue 'eduuegrqelal z8r1e1 retuqes et(u

{?ITUOA rs{Pre}ur EUeS I?rs)prq rs{BJe}U uoruoru-ueluou ur>leunESueu u?p eluqndurnl-ral {Bl 4o[od 1p ]nqesrel e{8uere{ Suoloueur ue8ueq 'eles 1e41rea uetuu>1er1 ueEuep,e,{u>lolod e8rl rp ndutnllp uep 'Ig du1e1 rtlund-uen{?{e{ uep Ig de1e1 rn1ue1-u?n{?{e{r{{rurau t'S'61requeg eped uelleqrpadrp Suui( dn1n1re1 ?ue,{ tsrl-tst>1 elSuerey 1'5,1

'zI'61 uep II'6I ueqllrl g.g5l l?qusc

zu.N)t 08t=/C :,tu.111;1 969=79

'0I'6I u?p 6'6I uuqn€'I 996I r?qurBo

zu.N)t 08i=rc :,ur.111 669=7!'

qu^\Eq e{ |pl 0I

L'Z hIV'IVCI NYHVqNIiIUgd AOOTSW TVINOSIIIOH ISIX.ISIX

BAB

DUAPUL-UH

KERANGKA KAKU DENGAI'iHUBUNGAN SETENGAH-KAKU

20.1 Gambaran Umum

Dalam pembangunan kerangka baja, hubungan balok-ke-kolomnya boleh didesain se-

bagai hubungan kaku, sederhana, atau setengah-kaku. Suatu hubungan kaku akan mem-pertahankan agar sudut-sudut semula di antara anggota-anggota yang berpotongan tidakberubah; suatu hubungan sederhana akan membiarkan ujung balok berotasi secara bebas

akibat beban gaya-berat; suatu hubungan setengah-kaku memiliki daya-pikul momen de-

ngan kemampuan menengah di antara hubungan sederhana dan kaku.Sebuah model tipikal balok dengan hubungan-hubungan ujung setengah-kaku di-

tunjukkan pada Gambar 20.1.1 , yang dalam hal ini ujung-ujungnya tersebut dibaut pada

dua buah plat yang terjepit untuk melawan translasi dan rotasi. Andaikan bahwa baut-bhut tersebut tidak mengisi secara rapat lubang-lubangnya; karenanya, momen Mi alauM1 yan1 bekerja pada sambungan tersebut bisa mengakibatkan kurangnya gesekan dan

dengan demikian terjadilah gerak-rotasional dalam arah ujung balok tersebut yang sama

dengan gi atau U1. Dapatlah anda reka bahwa, untuk hubungan setengah-kaku yang

sama, momen Mi yan1 lebih besar akan mengakibatkan sudut-gelinciryang lehih besar.

Meskipun hubungan mutlaknya dapat diperoleh hanya dari percobaan laboratorium,suatu variasi linier yang tersederhanakan dapat diekspresikan dalam bentuk

Mi= (20.1. la)

(20.1.1b)

Penggunaan panjang Z dan kekakuan lentur EI dari anggotanya sendiri di dalam Per-

s4maan (2O.l.la dan b) hanyalah merupakan suatu cara untuk memperoleh besaran tak-

R,T*,

M, = RiT*i

'n{€I-qe3ue}as Sunfn ue8unqnq ue8uap e}o88us rseruroJop u?p u{r}els IZ.OL raaqure1

rseurroyeq (g)

u{Ile}s (r)

8uu.,{ uef tunref qerBas lnpns-lnpns r{BI}nqeS 'y tuel runref qBrBOs tnpns ue8uep /gr,ye\ gy rrBp rs?loreq lnqosrel BloSSue nquns e88urqas ednr uer4urepes r{Bl?pe lnqosrel1u1d unpe>1 rqsru lesrolsuBr] u?rlepurdred-uuqepurdred uep '90 t:r-p Vg wel utnref qure-os lnpns rnlularu rseloreq lnqosrol g vep V lp 1u1d-1e1d qelinqes'!y uep I7g reEeqas 1nq-esrel eloSSue 3un[n-Eun[n eped elre1eq 3ue,{ rueI tunreI r{u]Bes uoruoru qBI}nqoS '/y ue-n{B{e{ 4nfunued uuEuap g Ip l?ld rlenqos us8uop uep .ty uun>le>lo{ 1n[unued ueluep yIp luld r{Bnqos ue8uep uulSunqnqrp lZ'OZ lr-qweg eped ue>puqrlredrp Ew,\ gy elo8Euy

us{sBrBIesJaI uloE8uy uurnluelo) $lIrlBI4l Z.0Z

'n>p4-qe8uales elo8Eue-Eunlnue8unqnq-ueEunqnq rrrlrtuow Eue,( nry4 u4Euere>1 .srslleu?Eueru >ln]un uelteunErp tedepEuef rnposord-rnpesord uBp srl?rueleru ueuuresiad-ueeuresred ue>JrernEueru UI qeg

'e33urqre1>p1 rulruraq /y o !y'n4u1 uu8unqnq {n}un :1ou reluraq /ynelu !y'?uer{repas ue8unqnq >lnlun 'uDnyoryaq qntunuad }nqosrp uule /y nele ry e,{u-?uaJB{ iefuueEunqnq uun>Ie>Io{ 1elurep ueru{?l uuledrueut lue,\'ly nele iy rsueurpreq

'n1u1-qe8ualas Sunfn ue8unqnq uuSuap 1o1eq ue8uuluag I.I.0Z ruqurug

('w

oOO OOO

6VZ nxvr-HvSNsrss NvcNngoH NvDNgq ox.vx VISNVUSX

25O ANALISIS STRUKTUR LANJUTAN

diukur dari sumbu-baru anggota A'B' ke arah-arah baru plat di A dan.B sebagai fi.danfi;maka

di :oa-R (20.2.1a)

Ai:0e-R (20.2.1b)

Sudut-sudut gelincir rlt;dan rJt1, sebagaimanadiekspresikanolehPersamaan(20.1 .ladan b), adalah sudut lawan arah jarum jam yang diukur masing-masing dari arah-arahbaru plat di ,4 dan B ke arah-arah kurva elastis di,4 dan.B. Perhatikan bahwa rJt; dan t!1

harus diukur berlawanan dengan arah jarum jam dari arah-arah plat karena momen-mo-men M; dan M1 bekerja berlawanan dengan arah jarum jam pada plat-plat tersebut.

Matriks kelenturan anggota terselaraskan [D] untuk anggota dengan hubungansetengah-kaku mengekspresikan rotasi-rotasi ujung anggota Q; dan fi, sebagaimana ter-definisi pada Gambar 20.2.1 , sebagai fungsi dari momen-momen ujung-anggota M; danM1;maka

(20.2.2)

Ekspresi untuk unsur-unsur di dalam matriks [D] akan diturunkan sekarang.Dengan teorema balok:padanan, yang menyatakan bahwa sudut-sudut antara

sumbu baru anggota dan arah-arah kurva elastis pada ujung-ujung balok sama denganreaksi-reaksi pada balok-sederhana yang dibebani oleh diagram Mf EI,

{fi}: tD1{il}

M,L M,Lei-Vi:*3EI- 6frM'L M,LQi-Vi:-eEI*tfr

Gantikan ekspresi-ekspresi untuk 0i dar' 01 di dalam Persamaan (20.1.1a dan D) kedalam Persamaan(2O.2.3a dan D),

* _W _,luI,L_We,- &.sI: * lu 6EI

. M,L M,L M'Lo,-&rl:-6EI*TilSederhanakan,

*,: (+-'+)(#).(-*)(#)

r,:(L)(W)-'(1.+)(#)

(20.2.3a)

(20.2.3b)

(20.2.4a)

(20.2.4b)

Dari persamaan (20.2.4a dan D), matriks kelenturan anggota terselaraskan [D] sebagai-

mana terdefinisi oleh Persamaan (20.2.2) menjadi

I l1r_l'3P, 6 I-* .+lu:hl!i, l:l:h (20.2.5a)

7

-es'.r01[rrup !oWeserq lrdefrel-Eunfn uetuotu-uoruour pep rstung ruSeqes ,ql.yo(, DqurBDqa1o.rn1>1n[un1rp zueureEuqes ' j$y,guep $$y,gue4serelesrol lrdafra1-tunln uouour-uouou{qun sntunr-snrunr ueunrnued quleseru ludeprel qrsel/{'ru{e{-qe8ueles Eunfn uutunqnqplryruoru 3ue,{ eloE8uu-eloE8uu {n}un u?>leunftp rlsaur (p e33uq of tO() useru?sredqalo uelrserds>lerp Bueu[BEeqas uelserelasro] eloE8ue u?ru{e>Ia{ s{rr}Bru rnsun-rnsun

{n}un snturu-smuru 'e.{urq luserq Euz,( erec ueEuep qeloradrp ludep n1q-qu8ualasue8unqnq D{Ilrtuetu 3uz.( u1u1 oJEuera>J nlens rrBp lfiSyl leural$lo uun>Ie>le{ qlr1?I4[

ue{seJ?lasreJ lrdel.ra1-Eunf1 uauroll[ r'OZ

'qu1-qe8ualas uloEEue-tunfn uu8unqnq pl111ruoru Suer{ n1u1 e13uera1 rresrs{?ne-Eued urepp ueqeprndred opoloru urplep Ip uulnpedrp ue1e '(p effiurq Dl't'OZ) uuerrrus-rod r{olo uulrse.rdslerp eueune8eqes ' [g] uulserulasrel elo8Eue wn>Ie>[o{ s>lrrlel l

@t't'oz)

(crs'oz)

Grt'oz)

(ts'z'oz)

{qs'z'oz)

| - ({dtd)lv

9

stlr - (dtddlr: t{g : {tg

2l - ttltt : lts

| - (tdtd)1, _gi'lt - (td,ddlt _'dlzt (tdillt : Its

9lr

t - (tdtd)lv _9t lr - (td'ddlt _--ldtu - ---TFtn -

uersre,rur8uedrnr,ro,uqeloredrp,,J;'ilT'rT::3;!?:il,1,1.':".Tr'Ji:i',lfl#u"*

(ot't'oz)

'sqoqluls eJ

-BcoS 'srls?lo B^rn>l r{Bre-qeJe o{ ue{nq '1e1d ruuq qel?-qetp e.\ F,V eloEEuz nJ?q nqunsrr?p rrulnrp Eue,( uel umref qerues lnpns-]npns qepp? 'f Z'OZ, reqruu, uped ue>p1nfun1-ry euuurw8zqes /p uep !4 uar'quq ue>lrleqred 'tq uep t@ e1o83ue-Eunln rsulor-rselor Ireprs8ung ru8eqes {W wp lq elo1frue-Bunln uetuou-uoruotu uurysardsle8uatu n4e1-qe8uel-as 8un[n ueEunqnq ue8uep elo8Eue >1n1un [g] u?{serelesrel e1o33ue uuru1u>Io{ $[r]BI^[

uDIsBrEIesreI uloEEuy uurulqe)I s{lrlul4l t'02

' e,{uuu4eun33uau {nlun utesepuad

uu{llepntuoru qlqol BI 'uesred 961 e88uq 0 rrep rseup^Jeq r4ueuad rol>lsJ euarc) 'uasrad

00I q?lepe u.{unlueued ToDIEJ u?p u33urqra14e1 r1epps efuuen4ole>1 1nlunuad '(sepp

'e,{qusur) n1u1 ue8unqru{ {uun rdel ilou relruraq e,(uuenlueuad ro11eg undneru ufuue-rr>Ie>le{ rlntunuad {req '.rpues ue8unqnq >ln1un 'nJuauad rc14o! lnqosrp qaloq /d uep ld

t;[]ti:: ;::l+: [fi]rsr :

t,#]

'ff:'* '1ri, :,,

Iu/€+t_,, ru/€+t:rdII

'ur(u:11uqas 'uep

: ueEuap

NVCNSCI OXVX V>ICNV',USXtgz oxvx-HvcNa.Lgs NvcNnanH


a)',*rrt

(a) Momen ujung-terjepit Mol dan M4 sebagaimana biasa digurukan

..:rt

(b) Momen ujung-terjepit terselaraskan.+ff a"n At';R

Cambar 20.4.1 Diagram benda-bebas anggota yang dihubungkan dengan dua plat terjepit diujung-ujungrya.

bagaimana ditunjukkan oleh Gambar 20.4.1a. Transformasinya dapat dilakukan sebagai

fungsi dari faktor-faktor penentu pi dan pi ataupun penunjuk-penunjuk kekakuan R,dan Ri karena mereka dapat dieskpresikan satu-sama-lain oleh Persamaan (20.2.5b dan c).

Ekspresiekspresi tipikal untuk momen-momen ujung-terjepit biasa Mg, dan M61

untuk anggota pada gambar 20.4.la adalah

uo, = -SaL'' -wgt

uo,:*iq1-,*W

(20.4.1a)

(20.4.1b)

oo ooo

E

68/s'I =3| - t' t(oJ,ol-Qr'o)1/t -',

ssre,o = $ - I - I(0s'0-X0t'0)l/t : !!s = !s

7co7,t =6t _ I - [(09'oxot'o)l/t _,,stz 0s'0/zl

'ltsU?p'tls = t's "ts SUnUH (Q)

,I.Nr o'z€+ : &#H* : .rar

ru.N)t0,9l -: r-Lrs)eoa-

="^t

g'1 = la = ?d. e4tl loq uep lol,U 8unlrH (z) NVtVSaf iIINAd

'uuueped {opq epoleuueiuap uetuotu ruer8erp rrep 3un11qrp eueurrcSeqes slls?le e Jn{ Sunin ue8urrrurel-ue8urnurel depeqrel 1uI IEr-u-Iellu 1e3 '8unfn ueuroru uep u?ru{e{e>1 lnfunuedErEluB rerurl ue8unqnq Fep 14 uep r41 ncuqet lnpns-1npns u?{nlueJ'6g'g = Id uep

0?'0 = !d nlueued ,o1>leJ ue{eun88ueu ue8uep 'Z'V'OZ JeqIrBC eped trul>1ntun1

-rp euuure8eqes n1e>1-quEueles ue8unqnq-uuEunqnq ueEuep elo88ue >1n1un j$rvupp i$r{ u?>ls?rBlesrel lrdetlra1 Sunfn ueurou-ueruoru u?{nluel I'?'02 qoruo3

Gv-v.od I0r{('rse - ttsf +) + 'or{(rtsi + {rs?-) : u|3/4r

(oV'V'Od lort(lrs! + !'s?-) + loI4l(r's? - rlsf +) : ,.sru

e,tuepuduep

'(t'V'OZ) 'sred ul?lup a1 (q uep eZ'i'OZ) 'sled uu{Iluu3

Gv'oo {;l$-}rt**urelesral) t, :

t;6#}

e4eut'!og uep Io0 rldefuel-Eunln rselor-rsutror ll?qrue{ u?>llouueru ledep eleretu uSSutqes udn.r uetlturepos t[Blllsetu'DI'?'O?. reqtue3 epedjlW ueO*fht 'uelserulosrel }rdaftetr-3unln uoruotu-uetuol\l

'/oB uep log rs?lor-rselor ue>Jpseq8ueu u?>le {oy41 uep tory uE$eI '.lou o{ rleqruol[o g uep lo0 ?s>l?uretu 4nlun uendueuo{ r{lpuotu {oyJ uep rol4/'ISIuIJep Inploru'euoru)J

@z.v.oz) ^^# -,oyylle a : nE

(oz'v'Oz) ^^T a,oyllt-t - : ,04,

Ig uep rop ure[ uruul qerees rs,lo,-rs,ror 'e.{uaun[n ,nrrrt ,rTJTJr'.;^rXlTHH?#

892 nxvx-HvcNerss NvDNosnH NvcNscr oxvx v>rgNvusx

{1,#i1;,#+;}t::: ll:l : {$#}


0.50Pi= 0,40

Yi:-

Hitung Mff danuff:Mff = (+isr -*s,t)Mo, t(-lsii +lsir)Moi

17"6UEI

Gambar 20.4.2 Momen ujung-terjepitterselaraskan, Contoh 20.4.1.

(c)

= (.qP - ry!}-,o,or * (-q]?. qf!)r*:z,or

= -9,262kN'm

ivrff : (-ls,i + lsii)Moi + (lsii - lsr)Mor

= (-qq. qi!!)r-'o,or * (.q!2 - qI!}* rzor

= +17,684kN'm

Perhatikan bahwa, karena hubungan ujung setengah-kaku, nilai-nilai mutlak mo-men ujung-terjepitnya menurun masing-masing dari -16,0 dan +32,O ke -9,262dan+17,684.

(d) Hitung {i dm rlti.

R, : '3P' - 3(0'40) -, n

| - o,- I - q4n- ''". M 9.262 83-36.-_ ,v= n,,nw:-TdEI|TB= --r r(N'm-

R = r-e2L,= lQ'5E:3.0

MJ- : * =tl # == ale$Je 1p.r'v' = n Et t t

: * 3 p EIl l 8-

= * -Ea

Qys'oz)

(ot's'oz)

IiBIBp B tur ueeuesr ed-uueurBsred : (qZ' S' OZ wp(Ct'S'OZ) 'sJed rrBp Eunlrqrp euurure8eqas rur ?rues tue,{ lnpns-1npns ue8uap '(oZ'S'OZ)trlp (ol'g'OZ)'sra4 uup Eunlqrp uueureEeqas l*O r:r-p !ud) tnpns-tnpns ue13r4pwq-ureur ueEuep u?{n{?Fp ludep ulo8Eue dstles Intun IseturoJep uelacaEuad enpa)

.Us)I

{BJ?lesJel elo8Eue u?n>le{e{ sryrl?tu rnsun-rnsun uup uu>{ssrulesrel lldsfrat Etmfn uaur-oru-uotuoru uuEu?l-ueEunlrqred (ralndurol ue.6ord urelep e{ uapuunlp ledep mpuas

pg sasord 'e[zs nluol) sesord urepp uB{DI?[rp ludep ueqqese{'u?q?pse{ Buore>{ IUB

-req r{ElrIqel e,(ursuurrogep uelaceEued 'ru1e)1-qe8uelos Eunfn ue8unqnq uuEuap elo8tue-elo88ue 1n1un 'unure51 'ra1nduo1 us{nsutu luelup e{ ledel ereces uDPInsBLmp qBlal

e,tueloE8ue Bsurq uerup{e{ s{rrleu uep eselq 11defta1- Eunfn uotuolu-uoruotu qnpdeeped Sunlue8req ?1eru-?leruos e{eralu Buere>I'ueqlqalreq qel4eEe rur uelacaEued-ue1ac-e8ued 'n>1e>1 8un[n ue8unqnq pselq sns?>l-snsal ruulsp tq 'e.(uuloB8ue deqas >lnlun Uu>I

-ace8usd qenq Bnp ledepral g?11Naur'tseurroyap uulace8ued ueEuep ue8unqnqag'nlnqep ue>In>Iullp rlsou u?sBqoqa>1-leferep ueEuap uuus u,(u1e.,(ueq 3ue,{ es?Iq B{I}Bls IrB

-lace8uad 'qaloredrp {*-{} uep t/} ls1r'u-lu11u- rlelo}es rrrpl?rol uuleceEued {nlun'ueruotu urer8ep eped ueuupud->loluq stueroetr uederaued mlqour

qoloredrp uueuru8eqes srls?lo e^rDI 3un[n ueEuunue4-uuEuurura>1 ueEuep u?DIoJocIp

ludep rur .re1nd lnpns-1npns uerpnuey 'Eunfn uoruoru uep u?DI?{01 1n[unuad ereltre

raru11 ue8unqnq rrep /4 *p lfr rrcurle8-1npns EunlnlSueur ueEuap B>loretu uuledale>1 >1ac

upue efulepueq'Eun1n18ueru ue8uep ?>lerotu ue1ude1e1 >lac BpuB u.(ulzpueq 'Sunlptnp

ualsuJulasretr tldafrel-Eunfn uouolu-uouour qe8ueles 'ue8uel uu8unllqred UrBIB(I

'uu4eun8rp r1s eru '(p eEEuq DI' t' OZ) 'srod qolo

ue{rroqry eueureSeqes [g] uu>1sere1es.re1 e1o33ue ITBDpIaI s{IJlBru uup '(tutuouts uu4-edn:eru W $ep C B,r\qeq uelneqred) (g uep on'V'OZ) 'srod l{olo lre>llraqlp uuuureSuqes

JBg ,np jfg ue>lserqasrel lrdefrat-Eunfn uatuoru-uetuoru 'n1e1 qeEualas ue8unqnq-uuEunqnq pgnuaur 3ue,,( uloE8uu-eloffiue unruBu iue>luun8rp nseu {X} hUSl + {oC}

= {*C} uep {d} r-l;ySYl = {y} userq ueuuresred-ueeuresred 'n4e4-quEu4es Eunqnq

{pp-{llll ue8uep n1e>1 ulSuure>1 uestsrpuu8uad urupp uequpurd.red opolotu ur?pp IC

uuqupmdrel apolen S'OZ

'wo!

utnto! rlotoasqelepe srtrsele ?Arn{ e{ p}uosuoq qer? rr?p rs?lor t{Bre e:y[;4rsod re1

-IuJeq ?)iareu ?1{\qBq q?Fp? s 0 urp vB >1n1un epuel uerfue[rad etrqeq uB{IlBqrad

(rocor) .*.N,r #;i- '= #- #,* *Fr- = ,t

({ocof,) ,*.N,r#.€8L+ =#-#- ^E^*

="

'Z'b'OZ roqrueg tusl?p uu{{nlrtrlqp ru/W ure.6erp etr1e1e83uru ueueped-1opq epoleru uedereue4 '!e *p !B ue8ur4ure4 3un1rg (a;

'uto! wn,m! qDn UDMDI qel?pe

srlsele B^rn{ e1 (rur snsel IuBIBp Ip pluosrroq) pld qere u?p rselor qere elrf ;ursodr-Blruroq e{ereu e}\q?q qeppp rd ,rnp ,4 ,l.tr.* zpuel uertuefred ear'qeq ue{tr?Itrred

Ig9 Ig.L_.!- !06 _ !ud)

W-u-'o =t,lt-y-r6:ruf

992 nx\/>I-HvcNsJss NvcNognH NvcNscI nxvx vxSNvusx


(20.5.2a)

(20.s.2b)

0^; : 0i- R - {, : 0i - R - *-ry-*

Q^i=ooi-W.WSebagaimana ditunjukkan oleh Gambar 20.5.1, Q*i dN Qm1 adalah putaran-putaran se-

arah jarum jam dari sumbu baru anggota masing-masing ke garis-garis singgung padakurva elastis di ujung-ujung ke-i dan kel. 0; dan @, adalah putaran-putaran searah jarumjam plat, dan, sebagaimana telah diketahui, mereka diambil dari nilai-nilai keluaran {X}.R adalah rotasi searah jarum jam dari sumbu semula anggota ke sumbu baru anggota;juga, ini dapat diperoleh dari nilai-nilai yang bersangkutan di dalam matriks {X}. Sudut-sudut gelincir ry'; dan rltl adalah putaran-putaran lawan arah jarum jam dari arah-arahbaru plat ke garis-garis singgung pada kurva elastis;mereka dapat dihitung dari nilainilaiterakhir momen-momen ujung dan penunjuk-penunjuk kekakuan. Persamaan (20.5.1a)dan (20.5.?a) dapat diuji benar-tidaknya melalui pemeriksaan fisis terhadap geometripada Gambar 20.5.1 .

Sejauh hanya menyangkut Pers. (20.5.1b\ dm (20.5.2b), mereka merupakan pe-nerapan sederhana metode balok-padanan, dengan; @oi dm Qo1 adalah rotasi-rotasiujung arali jarum jam beban-beban yang bekerja pada anggota yang kedua ujungnyabersendi. Suku-suku yang masih ada di dalam persirmaan-persamaan ini hanyalah putar-an-putaran ujung arah jarum jam akibat momen-momen ujung terakhi r Ul dan Ml , yangtak lain adalah unsur-unsur di dalam matriks keluaran {F *},

Gambar 20.5.1 Geometri pengecekan deformasi.

Contoh 20.5.1 Dengan metode perpindahan, analisislah selengkapnya kerangkakaku yang diperlihatkan pada Gambar 20.5.2n. Faktor-faktor penentu padahubungan-hubungan ujung-anggota nomor t hingga 6 ditunjukkan pada Gambar20.5.2c. Gambarkan diagram momen dan gaya-lintang terakhirnya. Juga tunjuk-kan sudut-sudut gelincir di semua hubungan ujung setengah-kaku pada kurvaelastis terakhirnya.

PENYELESAIAN (a) Anggota 1 - 2. Dengan mengacu kepada bagian (b) dan (c)dari penyelesaian untuk Contoh 20.4.1, koefisien-koefisien kekakuan terselaras-kan untuk anggota ini adalah s11 = 1,2632, srz = szr = 0,3158, dan s22 = 1,5789;momen-momen ujung terjepit terselaraskannya adalah

Arah plat asli

f'o'I : -g,ZeZ tN'm Fff : + 17,684 kN.m

7T

[1ffi:3 ;::?:3] . "H : dhl8:;::8 ff::t1 = Kr

zesrz:#=##=-'oele'g=!/t?=ses=ets

t Ls6, 0 __€/fi _ r - (q8_'g)q€'0)l/, _ s,s

ts

'08'0 = e d: O€,'O - s d'g-S otoSSuy Q)HIAIq

6z'gtz' Lz't\z' 008

-14+* Ja:= -,,q :'uE7J8C 7xr8C

(IocoO) w'L;t

({ococ) &.=#-#-oo3E*=lgg _ Igt +€od : r(o7#C 7,'3d

ts uzltsz uzltg,u.w'L|t' wtst+ J8ctg _o|,figs't _ozfigtd _,^

*ut- ,'8J - -'''

'ueurotu ruer8erp uep qeloredrp tuef (e,{uBunfn-6un[n rp srlsqe sAJn{ e{e1o33ue nquns rrep uref urnref qerees e4r[ ;4rsod) er(u8unfn ueturnuel-uetqr-lu-eq ue8uap (ufutunfn-3unfn 1p srlsele ?^rn{ e{ 'I?luosuor{ qer? nel? '1tde[ra1 1e1d

uep uref runrefqere uenel e>1r[;rlrsod) rcu11ee lnpns-lnpns ue>lSulpuequreur ue8u

-ep u?{ruFIIp ludep uelserelesral lrdefrel-8unfn uetuour-ueuou eped uu>1aca8ue4

z=#:H#=,u s'r=H#:'uIU'NI |tl.'St+ :986'82 + 808'9+ :

(08 +)(0€8€b2- - #.)+ ror -(ffi . ffi -) : *utu'NI 082'19- = 078'91 - 096'St- :

tor*r(ffi* #fr)+(08-)(osh-rh+) = *,r.u.N{ 08+ : roc tu.Nr 08- =

r-Lt*VZ- -- *,

[:f:;:3 ffit:8].* =#[#fi:i iiii:i] =rsr

eeLZ't=W=##=-'

oe1t'o=ry:€,s ='€s

6il6, | :€/1t _ I - (ql'91_('?'0)y' = €rs

.o,t = za u,p o,z= ,, ur',o,f"o,iJ#1i,9; il ,n:f{';IJil .*,

lii?:,!, ?ff::31 .,, : ffi[f:i:,| ::;::?] = tsr

rpefuaur etro8Eue UBn>Ie>Ie{ sIIr}?N

LgZ nxvx-Hvc NgIss Nvc NnsnH Nv9NscI nxvy rf,xcNv.us>I


Pt=0,4OPt=0,50Pt=0'@P4:0'40Ps = 0,30

P6 = 0,80

(a) Kerangka kaku yang ditinjau (b) Penomoran p- X, Np = 3 (c) penomoran F-e, NF = 6Gambar 20.5.2 Kerangka kaku dengan titik-hubung setengah-kaku, contoh 20.s.1.

R,=#iffi:t,zlsi n.:ffi= rz

(d) Matriks mosukan IAl ,lBl, [S] , dan { f }. Matriks-matriks masukannyaadalah sebagai berikut:

IAI:.e =

lBlo,r =

\FP\I 2 3 4 5 6

+,I +l

2 +l +l

3I

- t8I- 18

I-i3 It5

Y?\

I 2 3

I 1- tt

2 +l l_- l8

3 +l

4 +l

5 +l I- l-5

6 I-ii

\'F\2 3 4 5 6

0,2 t05 0,0526

2 0,0526 0,2632

l 0,4787 0,0958

4 0,0958 0,3192

5 0,1276 0,05 r I

6 0,05 I I 0,3404

lSlo,u = * EI.

T(yo3ol) 'Ig _ _'Ig _ 'Ig _'Ig + _

EZ'9t Z€'8 t6'tL ?9'('le)gg _ ('l€)96 -'Ig ! _ lg9 _ Igt +rod,: rrd

GIX?' z€5+) - (8msde-a:) - w - -'rl. i'lg 'lg 'la

f,st-=eB'oII'ZitZI-=,Jffiy - ffi-'o =,4 -z,u -,o =,&O

'7-1e1ottue {ntun '(q uep r(,'S'OZ)?Ues (q uep o1'9'97)'sre4 ue>leuntEueur uep €'S'02 r?qur?g upeda>1 ncetuaruuuEuap w{n{spp ludep peurro;ep uerlecetue4 'poutolap uo4aca?ua4 (t1

'9-9 elo8ilueepud g {11} Ip N{-S60r'9 3uu1ug-ei(e8 ue8uep elues ,-€ e1o33ue uelpnua{ u?p

7-1 elofltae usp u?{nluelrp eueurre8uqes , IpIl Ip N{-S60t'9 Eun[n ue:1e1e,ft3B/AWq t'S'02 rDqIu?C eped 1u1ucre1 lnqasrel ue>lecetued e6r1e>1 1n1un '0'0 = J{Ilp 1p 'g < (E) u?p:0'0 =;,1 +lC (Z) :O'O = f/ + *d fi) gqei( iuluuus?qeqe{-1u[erep t6rle:1 Eue[uedes 1p uetuequrese{ depuqrel ueleuretued FIEeur ue{nls11p

ledep g = 2r1,r efurlelueq SueI e{Iluls uelece8ue; 'Dtltlots uoryacaSua4 Q[1

ru.1q:t 888?9- = 888'29 - '0+ = tCru.N)t 55Z'6I- = SSZ'E€, -'0+ = lC

ru.N{tSZ'€€+ =61'Z-WL'S€+ = I,{ru.NI sz€'8- = 9s6'zs + o8z' 19- = tcu!.N)trZ€'8+ =991€'6-tt9'LI+ = l.{

ru.NI €S6'9€- = t69'LZ-Z9Z'6- = tCu?p

'Ifllrtu' 11;1 l'lZeZ+ = eX

'rillzu''NI z9'€l- =zX

'Ialru'111:1 99'6ll+ = tX

lu:re.t {X}[-uZS]+{031} = {*.1} upp {d} r-l.r,VSVl = {y} ue8uer-uetrmlrqred szredo'rserado

InIEeur nule '1e1rdr1 relnduro>1 ue.6ord nlens ue>1eun38uaur ue8uep qeloredpledep{*jr} uep {X} u?r?nle{ s{FlelI 'l*t} uop lyl uo"on1ay sqtttory @)

Nr 619r'8+ -- 8t l(Z9Z'6 - t89'4) + 8 :(S :lfg epsd sete IrDt Isl?er) + (Z lpq eprd ssl€ Fpl Isl?er) = td

ru.NI ffr'sr- : (0+7,t'sg+)- : (Jsd + #d)- = zd

ru.Nr 96s'Er+ : (082'19 - rs9'tt+)- = (Jsc + b-fc)- : Id

uep qeyoredrp {a} "rprt-BIt'&(ulepn reueq rfnrp ltVl = [g] rcelrodsuerl ue8tmqnq uep rnq ?ru?s nles

s?qeq erBces u?{nluellp sru?q [g] uep []'l s{IIlBu emqeq 'r3e1 IIB{es uelrlBqred

6L9r'8 + i

WL,ST- z

96S'tr+

I d)'t

= 'xr{d}

692 oxv >r-HvcNg.Ls s Nv9 NnanH Nv9Nso nxvx vxcNvusx


2,4 kN/m

260

36,953 kN.m

bo:^@iJ

a,=

vE

'}a!

-|

x

_l[' [fu.

.(

uilu

3

8,324

6,W5

,{

5905

36,951

dJ1J4

J

-I

.\,LJ3'zss

'i?r,,

I

,lt:;Gambar 20.5,3 Pengeceka n statika dan deformasi, Contoh 20.5.1.

g^z = oz - Rn - {z = +ryf - ft,,r"44}

- ffi-, I 19,35 129,12 t6,65 26,42=- Er. -r8EI.- Er,=- Et,

t _ t FIL , FrL 80 (-36,953X18) , (+8,324X18)qd2= e02- 6EI

* 3EI

: -EI. - 6E(xJ * 3E(xJ

=_#.H -#:_r# (cocok)

IL

t\J62,8E8 kN.m

6,4095 kN

25,24tt kN

2,4 kN/m

22,7536 kN

il

dm

o

-a{ rra{?dnJeur rrnlnq rur Fq rde1e} 'ue>Jqequrulry nsau Eue,( puorseloJ-utndurnl e,(u-lefuuq qelo uapelSurlrp u4nl6uesraq 3uz.( rnl{ruls uss?qoqe>l-le[urep e,rquq ue{{n[-ururp qBIu?{V 'n4e1-qe8uales uu8unqnq de4es uped epu deffiuery u?Dlruep Etre, uend-tun1 q?nqas 's1sleue uenfn1 urap u^\rpq'uuryqrdrp rIEIlBdBp 'b1eyg 'uu1n13uesraq EuefrsBlor lnpns uep e,(uuenlB{o{ rrBp ue4e1-red uu8uep eues e.(wped e[re>1aq 8ue,{ ueuroru

'lq pq urepp Eue,t 'lzuorsulor uundurnl pep 3uu,( ue8uap edruas rpeluetu u,(unluprad

q,frta : rys ,4*,a:,w

'1uF Ip Fuelnrp Eue,(

(q r'rep q'lOZ)'srod r{elo ue44n[un1p euuune8eqes'rtcut1a8-1npns uep e[re4aq Eueluoruou BrEluB Jeru{ uuEunqnq uu>1;u1eB8ueu ru1e1-quEueles ue8unqnq nlens eltqedy

Ieuolsulo1 uundurnl reiuqas qu;-quEualeg uu8unqql uuuetuuue4 9'61

()ocoJ) 'F -: 'tE - '11 * =99'St I ZZ'L;t LS'tt

elt)at . ?ta\ag _.^_ tgt _ tgg _n6(e rxs8s'Zg-) ' (sr)(ssz'esJ-'0 = ffi +:-%E =ewQ

,ru ,ET "rutr-st-:E6t-i*st-:

stl('tz'tgzt (st)'Ia=ffi - 16-'0 = e4 -eiu -e0 = euq

'ru "ru 'ru

-+--=t;'t t9'81 ''l'€8(>loroJ)

etdag CIOat _ *.0 = Iqg _ tlt +r0o = sooGD(ssz't€,- v - 1lt-'ltJa'-Y -

,IE ,IA ,IE,

6'eil' t6'tst zg'et

sll('tdaLssz't GIPE _ 'Ia _ : s/i _esx _rg =,uq-s;zdt€- -

- -littz - dEr- - '1' - 'a -'

(roroJ) 4-- =E*!l*lr-': t uloEEuu >1nlu61

I I '01 I t€.'tt 99'9 091

('Is)a€ ('rs)a9 'ru rut . Iag na_nu^

'la 'ru 'Ig€rorr -

: Ew- zs'€?- =

W# - o - ffi-='/,, -xu -'o :,uo

(xocor) "!s *:4-J1--"tE + =t[gzt L\'ZZ 0t'il 09t

('rs)ag ('rs)E€ ,'ru , rsg rgt , ,^^ ,wa@Wdill- (04(szd8--) -oer - -'rl"c-'ru i-'Y -' Y

'li] "Ia 'ru.sL'gzt ' }t'L' 9t'6u'

uzlel)gs't . 'tg"-, )_j=1r -' _.0 _ ::ii_+ = rrl _rru _q = twes4t E- sL 6t I

7-6 uloEiluu {ntun

nxv>I-HV9Ng,LAS NVCNnSOH NVCNSCI nXVX V>I9NVUS>I

'Igm

tgz,


rugian besar jika suatu komputer digunakan. Tentu saja, keuntungannya terletak padakenyataan bahwa tidaklah lagi perlu kita hitung momen-momen ujung kenyataan bahwatidaklah lagi perlu kita hitung momen-momen ujung-terjepit terselaraskan dan matriks-matriks kekakuan anggota terselaraskan.

Gambar 20.6.1 menggelarkan analogi perilaku antara tumpuan-linier, tumpuan-rotasional, dan hubungan setengah-kaku, yang dalam hal ini, momen yang bekerja pada-nya merupakan fungsi linier dari sudut-gelincir. Sebagaimana ditunjukkan pada Gambar20.6.1a, tumpuanJinier berperilaku persis seperti anggota pada suatu rangka-batang;pemanjangan e sama dengan Xz-Xr, dengan: X1 dan X2 adalah perpindahan ujung-ujungnya. Untuk tumpuan rotasional yang diperlihatkan pada Gambar 20.6.1 b,gaya-gayadalam .F dan .F tak lain adalah momen-momen (gaya tersamarata); deformasi-dalam ejuga sama dengan Xz-Xr, tetapi X1 dan X2 adalah rotasi searah jarum jam pada ujung-ujung kumparan. Pada hubungan setengah-kaku yang diperlihatkan pada G ambar 20.6.lc .

X 1 adalah kemiringan baru searah jarum jam sumbu plat, X2 adalah kemiringan baru se-

arah jarum jam sumbu anggota, dan e = Xz-Xt adalah rotasi nisbi searah jarum jamsumbu anggota terhadap yang dari plat. Deiinisi yang belakangan ini penting untuk me-nunjukkan perjanjian-tanda yang tegas untuk pasangan-pasangan momen yang bekerjapada tumpuan rotasional padanan.

Kerangka kaku pada Gambar 2O.5.2 mengandung tiga buah anggota dan enam

buah hubungan setengah-kaku. Jika pendekatan yang melibatkan momen ujung-terjepitterselaraskan dan matriks kekakuan anggota terselaraskan digunakan, derajat-kebebasan,n/P adalah 3 dan banyaknya gaya-dalam tr/F adalah 6. Sekarang jika enam tumpuan-rotasional ditambahkan pada keenam hubungan setengah-kaku yang bersangkutan, dera-jat-kebebasannya akan ditambah dengan 6 hingga NP = 9 banyaknya gaya-dalam juga

e= Xz- Xr

(a) Tumpuan linier

r=oc{o+r=o

F=&

F=&e=Xz-Xt

(b) Tumpuan-rotasional

,=\,=*

e=Xz-Xt

(c) Hubungan setengalr-kaku

Gambar 20.6.1 Analogi perilaku antara tumpuan-linier, tumpuan-rotasional, dan hubungans:tengah-kaku.

l+ I+ 6

l+ I+ 8

l+ I+ L

l+ I+ 9

I+ l+ s

l+ I+ b

fl-T

fl-T 8l-r 8l-T c

't- I_ Z

I_ t-

ZI II OI 6 8 L 9 S ? t z I\,{\

'H slpuedv'0t6I''sl{t'uoslpBl^l'ru?d-r.uoJ Sulqsllgnd uucrreruv 'Z-eI :pa 'sptQouy ptrycru$ lo spotfiaw xulo1t1J,Bve17 )- f, feql.I+

= [v]

'ue{eco8ued nlens re8?qas uuleun8rp snrer{ [J€r] = [tr] IslsodsuBJlue8unqnq e^\qeq ue{rleqre4 'ue1n48u?sreq 8ue{ ?{oreu rsrurJop Ir?p r{elorodlpr{?ABqrp u?{trrnlu?crpAue,( [g] u?p If] s{rrlElI'[S] uep [y] $tltlDw @)

'er(uqe1

-eqes rp 1e1d uep Suud depuqrel elo8tue nqruns ue[ runref q?Jeas rgsru rselor up{-leqyrle8ueur ue{e leuors?lor uandurnl derles eped ;rlrsod ueuoru u?Suesed B/(qBqu?{rleq.Ied '7y eflSurq l usp Lrouourp leuorselor uendurnl-uendu.rnl eped ueuourue8uesud-ue8uesed lp7'9'gz rr-ql.;le1 eped a-i roruou qelo uu1>lnftmlrp Bueru-reE?qes'9 u3?uq I uep rrouourp u1o33ue-3un[n ueurour-ueurour 'utues ?uur( erucuBBueC 'IZ'7'OZ r?qrue5 eped 6 eflBult4 y \np X-d ror.uou-rorrrou ue8uep repuul-1p Iq nurol {Illl->lltl} rp uetumura4-ue8urnural lefuueEuep uetunqnqreq tuulB1o33u? 8un[n uep puors?]or-u?ndun1 duqes erelue rp Bpe ue{rupuelp usrluqurelnuel-{rlrl qenqes 'Z'g'07, requr?C eped Sued uz8uap runses u?{n{etrp cZ'g'O(,regru?C Bp?d etueped X-d ve;ovroved e8r1a4 'l;OZ qoluoJ tu?pp 1p qelorod-lp qqel 3ue,{ uu8uep ue>lSurpueqrp u?{3u?ue{ueru ?Jecos l?dup rw 1eos ruEeplpqeloredrp Suef ueqepurded-ueqeputdred re8y 'a-l uDp y-4 uotoutoua1 (q)

rd_l-d =',

.(

-e- ntueued rotleJ-rol{eJ u?p 'un}rqrp

qe",l qZ'9'O(.req,,,BC ,rr, ;:ilil::,J-ip 8ue,( uen{e{e{ >lnlunued-lniurllred 'uDn)lblat1 1n[unua4 (r) XV1VSatgANad

'q uep DZ'9'OZ requre5 eped rBuelnrp uulrreqrp flueAeyq'ueuepedIeuors?1or-u?ndurnl qenqes ue8uep uziun>1e1-qe8ueles ueSunqnq durles ue>p1uet-8uetu ue8uep I'S'02 qoluol n{B{ e4Suere>1 Ileque{ qBISISII?uV I'9'02 rtoluof,

'pffilun1-rnsun elo8llue ueop{e1 ueEuep e,(uuru1 tue.( uup

7 y 7 eloflEw UBn>IB Io>l slrrluru ue8uop r{Bnqos Euu^{ 'urepp-e,(e8 sruel unp Sundureueur

ledep Euuf'{tu>[dll relnduro>1 ur?JEoJd nlens uu4uun88uour ueEuel uu8uap UrlIn>I?1p

ledup lnqesral ue8unlrqred qrunles 'ue1n>fuusreq 3ue,( uloSSuE uEr1a4 tun[n derlas rpeloE8ue nquns uep e,(uqnffiunses Eu?^ ruuf urnrc[ r{EJ?as ue8urrrruel-uuErnrrue>1 pEuqos

Il?urBIp sru?q tnqesrel Sunqnq-1llll uer{Bqur?1 ueqepurdrad ureuaal'ru1u4-rpEuelasue8unqnq durlas pzp rsrs durtr epuq Buoloq 8ue,( ueurour-ueluoru us{Bdnretu selaf lnges-Je1 ueq?quu+ urelep ?.,(eE uuueo{ ereluetuos 'ZI = gN u8auq 9 rrebuap r{Bqurs}p us{e

892 nxv>r-HvcNcJss NvcNnsnH NvsNso oxvx vvSNvue}l

trlit'

264 ANALISIS STRUKTUR LANIUTAN

tBl =

(d) Matriks [S]. Koefisien-koefisien kekakuan-lentur biasa, 4 dan 2, harusdigunakan untuk anggota-anggota l-2,34, dan 5-6. Untuk setiap tumpuan rotasi-onal, kekakuan unsur tunggalnya tak tain adalah RiEIlL.

\eF\5 6

5 8Er./15 4Et,lt5

6 4EI.l1s 8Er,lt5

tsl =

- 2,0E(3I.) EI, - 3,0E(3r.) EI,t,: lg :3 "r= lg :2

^ 4'58(51') : r,tttEr, s,.: 2'oII5t) =

EJ'Jn = 20

: trt/)t lc ,>to: 29 :

2

,,,:llq#glg) =o,t|t43ilt, ,,,:!O#4 = t,6Er,

(d Matriks {Pl Unsur-unsur di dalam matriks {P} adalah

Pr:O. Pz=O. P::8,8889kN

Pr = + 16,0 kN'm Ps = -32,0 kN'm Po = +80,0 kN'm

Pz: -80,0 kN'm Pa:0. Ps:0.

t

\xe\

I 2 3 4 5 6 7 8 9

1-18 +l

2I

-18 +l

3 +l

4 +l

5I

-i5 +l

6 1- t5 +l

7 +l

8 -l +l

9 -l +l

l0 -t +l

lt -1 +l

12 +l

\eF\

I 2

I 2Er"ll El,l3

2 EI"Il 2Er.t1

\eF\

3 4

3 EI, Et,l2

4 EI.I2 EI,

-r

'uB1n>l3u8sreg

Suef e1o33uu 3un[n ruuueel rp e.{uqnt8unses Bue,{ spsele ue8ur.rnuel-ue8urnrualuu>lednreu 6X eflButt4 uy repu-re1ru ?ue&{ I'S'02 qoluol ru?Iep rp erues Bue.{uelace3ued-ue>1ece8ued Suequrle>1 Iur sns?{ tuelep rp uu{n{elrp >1n1un uelSueu-efuaur qrqel qnef d =.iN efulefuuq 8ue.{ rseurro;ep uelece8ued, uep 6 - dNe,(ur1e,(ueq 8uu.( e1r1e1s uelece8ue6 'tsow,to!ap ulp DltlDls uotlaca7ua4 (t1

68'29+:r,, 9Z'Et+--rr, gL'tt-:otgZ{g+ : 6g Zt'8- : 8C 56,9t+ : ,g

68tzg- = 6g'29- OIO = U +$C : l.{sz't€- = sz'et - 0'0 = u + sotl = lc

9Z'tt+ = sl'9t - 0'08+ : u +'oc = igZt'B- :89'lt + 0'08- : t{ + toC : &d

z€'8+ : 99'eZ-}'Zi.+:zl +zol : lcS6'9€- = S6'02 -0'91 - : Id +'oC : +d

'I1 l}E 6t + : 5X 't& l6t'09t + = 8X "Ig lzt'}It - : LX

'Iill?L'gzl+=eX'IAIO'ZO!+:sX "IAlg}'Ott+=rx"rglt'tz,z+:tx'Ialz9'tt-=zx "tgls€.'6tt+:tx

qeloredrp WIel I S'02 qoluof, ru?lep rp eueruteSeqeseutes 8ue.{ uerusela,(ued ?l\q?q ue{rleqJed 'rur qe,,rneq rp up{runluuJrp e,(uue-ren1-o{s{rJ}err-$Jrrleu {d} + {0C} = {*C}uep {X}[JZS] = {A} {a} ,_ lr,VSVl= {X} ueeruesred u?{Bung {"-{} uDp {j} {Xl uDnnlay s114o14J {g

'n1r1-qu8uelas Sunqnq-{Brl ue8uep n1e1 el8uerey Z.7-OZ wqute1

ZI =,iIN'.a-C uerououetr (p) 6 = dN: X-d urroiuoue;. (:)

uenle{e{ 4nfunued uepn?lulllp 8uu,( nlueued ro]IDC (g)

z

nzfupp 8ue,{ n4z1 ulSuurey(a)

o'z: ta

Ol0= td I

ls8z't : su

992 oxvx-HvcNgJ,as NvcNnsnH NvSNgCI nXVX VXCNVUSI


20.7 Latihan

20.1 untuk balok yang dihubungkan dengan dua plat terjepit yang diperlihatkan padaGambar 20.'7.1 , hitunglah momen-momen ujung terselaraskannya dan lakukan keduapengecekan deformasinya untuk menunjukkan bahwa hasilhasil benar.

20.2 Selesaikan Latihan 20.1 dengan metode matriks perpindahan telah memasangsebuah tumpuan-rotasional untuk hubungan terjepit-sebagian.

E1 konstan Gambar 2O.7.1 Latihan 20.1 dan 20.2

Gambar 2O.7.2 Latihan20.3 dan20.4

7 Fret \-r,.?t'

-

,\P= 1; r\F= 3

40 kN

Gambar 20.7.3 Latiharr 20.5

Gambar 2O.7.4 Lanhan 20.6

t-

40 kN

.El konstan

B per jarak satuan

E/konstan20qo Penentu

12

50qo Penentu

Gambar 2d.7.5 Latihan 20.'7.

r

'u?q?purd-red-sr,lrJtretu epolerrr ruelBp rp rnq?leIrp{el 8ue,( re8eqes g Ip leld Is?tror uelsunSSueurue8uep'g'L'OZ reqrueg ep?d u?{leqrpadrp Suei('I-{nluaqraq e13uere1 qplsrsq?uy l'02

'(E =.{ru'Z = dN) e^(urrr1-3un[n rp Ieuorselor-uendurnl r{Bnqes Suesuu.r

-aur (a) uap'(Z = CN'l = dr4) Ior-u?ndurnl qenqes Bp?d isploreq seqeq 8uu.{ 'uesred 961nlueued rol{eJ u?8uep 1e1d eped uelSunqnqrp efuueuel-8unfn unqeq ue4epue8ueur (q)'1ou nlueued rol{?J ue8uap }rdefiel 1e1d eped uelSunqnqrp u,(uueuel-3unfn elrquq ue1

lepue8ueru (z) ueSuap V'L.OZ wqweg eped ue>11eq11redrp 8ue.( 1o1eq qelsrslpuv 9'02'ueqepurdred

-s{rJ}eru epoleu ruelep rp uelrunlueJrp euururu8eqes a-l uep X-d rouou-roruou ue4eun8-8ueru ue8uep e8nf u?>1reseles 'u?{s?JelesJel lrdefrel-8unfn ueuroru {nlrm snrunJ-snru-nr ue>1eun38ueur ue8uep g vep V ry mluel ueruo{u-ueurou u?{nlue}'E ;Oe r?qtuegeped uelluqrpedrp Suef 4opq eped g 1p 0S'0 r?seqes nluaued ro1>1u; ue8ueq g'OT.

'e1oE8ue

Sunfn uep lrdefrel 1qd erelue Ip 3u$eu-3urs?ur '?i(uueueped leuorselo.ruandunl unpue8ueseured qelales'uuqepurdred s{rrleru epo}eu ue8uep t'OZ ueq1z-l ue>ll?selas ,'02'e.(u8unfn-Buntn rp srlsele ea:n1 ue8urrrual-ueBurrruel ue41niun1 uep '1nqesre1 ?lo8:luu

{nlun ueruotu u?p 3ue1u11-e,{e8 urer8erp-urer8erp q?lu?{nluetr 'ue{serslesrel lrde[re1-8unfn ueuroru epoleru ueluunSSuaur ue?ueq 'ueue1-3unfn rp uesred OZ uep rrr>1-8unfnrp uas;ed 69 deSSuerp ledep e.(unlueuad ro11e; eSSurqes edru uer4nuepes Suzouerrp

lnqesrel uu8unqnq ?.,rrrleq ue{r?puy 'n{BI 8ue.{ Surpurp nlens eped lrdefrel 3ue[ 1e1dq?nqes ueSuep e,(u8un[n derlas rp ln?q €3r1 qelo uelSunqnqrp u?p 1q>1 gy lesndrol ueqeq

In{rtrretrr Z';OZ fiqureg eped uellzqrlredrp 8ue,( ul g'i1 Suufuedes e1o33uy 9.96

LgZ oxvx-HvcNa,Lgs NVCNnAOH NVCNA(I OXVX VX9NVUSX

BAB

DUAPULUH SATU

PENGARUH DEFORMASI GAYA-LINTANG

21.1 Pengantar Umum

Definisi yang biasanya disepakati untuk kurva elastis suatu balok adalah bahwa rotasi

penampang tegak dan lenturannya adalah akibat momen lentur semata-mata. Dengan

dasar ini, rotasi nisbi d0 antaru dua penampang tegak yang terpisah sejauh dx (Gambar

2l.1.la) telah dicantumkan sebagai

(2l.l.l)

dengan; M adalah momen lenturnya dan EI adalah kekakuan lenturnya. Namun, teganE-

an geser di dalam penampang tegak yang bersangkutan, seharusnya juga mengakibatkan

beberapa perubahan luar yang cukup berarti pada posisi balok. Akibat gaya-lintang saja.

penampang-penampang tegak yang bersebelahan seharusnya saling bergeser relatif satu

terhadap yang lainnya secara vertikal (ika sumbu balok semula horisontal), tanparotasi.Berdasarkan hal ini, lendutan geser A, (Gambar 21.1.1b) akibat beban yang bersangkut-

an akan sama dengan lla alau Tzb, dengan:7r dan 72 merupakan perpindahan vertikal

nisbi di antara dua buah penampang tegak yang bersebelahan yang terpisah satu satuan.

Sebenarnya, di dalam kasus-kasus yang biasa dengan perbandingan lebar terhadap tinggisama dengan sepuluh atau lebih, lendutan geser A" tidak berarti ketimbang lendutan

akibat momen lentur A6. Namun apabila balok tinggi dalam dan balok dengan perban-

dingan biasa bekerja bersama-sama di dalam rakitan yang lengkap, pemasukan pengaruh

deformasi geser di dalam proses penganalisisannya boleh jadi akan menghasilkan manfaatyang berbeda pada penyelidikannya.

Tujuan bab ini adalah untuk menyajikan metode teoritis yang memungkinkan

pencakupan pengaruh deformasi geser di dalam balok kontinu dan kerangka kaku.

or:H*

7

z4t/'u/

G'z'tz)

T_

r{Bl?pe urslsp/l urupp ue8uuEar Frouo'elereu Eue,t resat ue8ue8el rsnqulsp {n1un

(z'z'tz) 'vP Ai="n1llqeppe (1'7'19 ruqurug) gsgVeped

rn4e[ra1rpflue('enr/l rBnl ?r{BsO'g'1ut8uep?Lu?sqBIBpur]{quoq rc14e1 '(qy7'lZ ng-ureg) elerau lBJIsJeq Sue8al Suedureued nluns uped rasa8 uu8uuEal Bnqlrlslp ?{If

' urelep ustueEar-6reue ueEuap

J?nlsqesn ?J?lu? uBuruuso{ sBzB ue>1eun88uatu uuEuap qeloredrp pdep {q urp DI'Z'lZ)ueuure'srad uped ntugeprel euerureEuqas {nlueq ro14e3 'eunrelP ledep raseE ueSueEal

rsnqrJlsrp qeles 'uurryruep unul?N 'I${nr}suo{ uup ueEuecuur urBIEp Ip Irnlqntnglp Eue,(

uBrlllete>{ selBq uBIBp uulelepuad uzlednreur qup.{ueq uel{Bq e>IIUE>lau Euuluel resup

n{nq-n>lnq epud ue4festp Euef resa8 ueSue8al sntunr u?p rnluol snunl{ 'uffiunru 1up-lt r{?lzpe ue8ueEer depeq:4 ue8ue8al ue8unqnq uep e.(useleq Flpuo{ depeqral del8uel

ueqnuerued'sula[Eue[ i1r1ns uup ltunr 8ue.{ u?sBquq 1o1od nluns ue>lednreu se}Isl}s?le

r:oe1 ue8uep srlsela lepud spueg nluns rc8eqas >1opq eped 1?10{ qlqol 3ue,{ uesrsquuefiue4

*pY+:<.taUfotl=

i**ro).uffi -v''*prl

VD,An

xp L:'yp

ue8uap

w8eqas uellsardslerp BsIq lu1 ue8unqnq B,!\qBq

uu4luqpedrp ludep luelnlEuesraq Suef 4e8e1 Euedureued urBIBp Ip rasa8 ue8ue8el

rsnqrJlsrp rrep rs8un; ue4udruatu ?ue,\ n {ruueq ToDIBJ u?p '9 raseE sullsllselo snlnporu'V4e*al Eusduruuod senl 7 3uu1u11-e,(e8 rrtp ts8ung uolednreur xp >1erulrcg Eue,( ueqel-oqasroq 8uu.( 4e8a1 Sueduuued Bnp Brelue W (Di'Z 17 ;equug) "Vp Iqsp ueqeputdra4

{nluag rollsc z'Iz

'Ioleq q€nqos u?lnpuo.J I'I'Iz r?glu"c 3ue1u1 t.{z8 {oJA (q)

rnluel uetuotx IaJg (r)

(qt'z'tz)

(ot'z'tz)

xp

ffi</----+-\ -' -\

ep/\'l

692 CNVINI'I-VAVC ISVNU O.{ACI HNUVCNXd

270 ANALISIS STRU KTUR LANJUTAN

A

,l

B

@1=# (b) Dstribusi tegangan (c) Dstribusi tegangan geseJgeser;0= 1,0 bersifat parabolis; a = 1,2

Gambar 21.2.1 Lendutan geser dA, di antara dua buah penampang tegak bersebelahan yangberjarak dx.

Samakan usaha luar dari Persamaan (21.2.2) dengan energi regangan dalam dari Persama-an (21.2.3),

at, = fiaxApabila persamaan di atas dibandingkan dengan Persamaan (21 .2.1), dapat anda liharbahwa faktor bentuk q.yang bersangkutan adalah 1,0.

Untuk penampang tegak empat persegi panjang dengan lebar b dan tinggi d,yangdistribusi tegangan gesemya bersifat parabolis sebagaimana terlihat pada Gambar 2l .2.1cfaktor bentuk a yang bersangkutan adalah 1,2. Di dalam keadaan demikian, usaha luaryang bersangkutan lagi-lagi ditentukan dari Persamaan (21.2.2) narrun energi regangandalam I/64"* adalah

wd^,am:)c {.*.'lr,t}(,- fi)f'a at a.

= +,|i,.'"[','X(' - #)]' b d, d,

yang, setelah pengintegrasian terhadap y, menjadi

==lv/Al

(21.2.4)

Sanrakan usaha luar dari Persamaan (21 .2.2) dengan energi regangan dalam dari Persa-maan (21.2.4).

at,:l{ a*

Apabila persamaan-persamaan di atas dibandingkan dengan Persamaan (21 .2.1), dapatanda lihat bahwa faktor bentuk a yang bersangkutan adalah I,2.

21.3 Lendutan Geser Balok Statis Tertentu

l.endutan geser balok statis tertentu dapat diperoleh baik dari pengarnatan ujud nyatageometri deformasinya maupun melalui metode beban satuan. Sementara tidak ter-dapat rumus umum untuk pendekatan ujud nyata, metode yang disebut belakangan

||d^t^^:ff a-

I

l,-

7

uslsuo{ IJ?Eued {nlun llence{'ue1ru13uesreq Euef ute.6e1p ueruou ueEuap ednressrrlauroe8 eruces rase8 uelnpuel urer8urp .uueqrepes {oleq {nluq .I {}1g Irepq?puer qrqel {BleIJel Z {rlr} n?}B';rlrsod e8nf I"V - z"V;rlrsod tW - zW epl?/t\q?g u?{rlpqrad 'lngosrel Euedureued Hlpa{ EJ?lue (edurnluel ueuoru usq?qn-rad) ueln4Suesreq Suer( rese8 uer8erp sBnI IIu>I yglo veeuap eures eluresaq 6uef

1,v 1 -,1ry1ff = *p A,',1+= "v J.rleled

ue8uap eru"s q"Iep? tuerequras Suedureued Enp ?J?lup Ip 1Blol rqsru rrelnpuel

*pY!:xpL-,jp,AN

qpppe xp aelcllc,q SuuI Suedureuad qenq?np IrBp Iqsru uulnpual BuerBX 'o1otu-pnln uqzyapuad (p) NVfVSA-IA;N1Id

]ry{ u8-ndun1 Irep ru 1 1 4eretreq 3ue,{. Suedrueued nlens Eped lese8 uelnpuel qe18un1rq'T(,'t'lZ r?queC eped uelleqrpadrp 8uu[ ?ueqrepas {opq {nlun I'€'IZ qo}uof,

'rese8 uelnpual Inlun u?nles u?qeq epola;41 I'€.IZ ruqruug

uqEI?qI u?ntusueqeq ueupeey (g) e,(uruuaqes Sued serulas u?Bp?e) (r)

A

'G.'t'rz)uEBruBSJed dupeqrel (Z't'tZ) u??ru?stod ug?ure.{uod rr?p r{olorodrp (I'€'IZ) rrgeur?sred

(t t'tz) *pfllt - ren;t4t

r{PIepB qI't'lz r?qruec ?p?d rre-lnlEuesreq Suef uuqupurdred uep ol.t IZ rBqtuBC eped 11 urupp Euelurl-e,{e8 ueqe>pe;

Q't'tz) "V * otl -*evglll

rleppe rI'€'Iz r?qu?c uped ue-lnlEuusreq Eue,{ ueqepurdred uep qI't IZ ftqurcC eped ,1 urepp 3ue1rrye,(eE uenopa;'(g'y pse4 teqll) {lluq-lBqrurl nues-efre{ Bruoroel epud ueryesuplp uB{B (t'E tZ) u?Br.u?s-Jod ueunJnueg ';esa8 UBn>IB{a{ qEIBpe yg rrup }tnluaq rol{BJ qBlBpB o 'uep.(eq4 uenlesuuqaq Euequrlos uu?pue>l uup e,{ureueqas Eue,( surelos rrBBpBo{ urBIEp rp 3ue1u11-e,{uE qe1-upe o uep,.1 'Suuduruued nluns eped qepuaqa>1rp Euu.{ rese8 uelnpual qBIBpB sy :ue8uep

fi'e'rc) .o#n[: 'v * otl

sntunr rnl?letu ue>1uie,(qp ledep

CNYINI'I.VAVC ISVWUOJAC HNUVCNAdTLZ

20 kN

272

Rr :25'2 kN Rz= l8'

(o) Balok yang ditinjau

r1( )

(c) Diagram momen

Gambar 21.3.2 Balok sederhana Contoh 21.3.1.


0,55 kN

-o ss

(e) Keadaan beban-satuan khayalan

Y# ,#(d) Lendutan geser

alGA. Dengan demikian, dari Gambar 21 .3.2d, lendutan geser dari penampang

yang berjarak I 1 meter dari tumpuan kirinya adalah

o' = #(*ffiil:#h-) = *tros'o* r'2(3)r = Sf r'N'

(b) Metode beban satuan Jika alGA adalah konstan untuk seluruh balok,

rumus metode beban satuan menjadi

r,o * A" : filv, a,

Dengan menggunakan diagram V dan a dari gambar 2l .3.2b dan e,

o" = #[f,. 25.2-ix)\+0,451dr + fr+ t.2)(+0,4st dx

*/'t*,,rx-0,55) dr + fr-,t,rx-o,r:l *]

= +-$ 47,52 + 1,62 - 1,98 + 62,04).GA

:$f **,n (cocok)

Contoh 21.3.2 Hitunglah lendutan geser pada ujung bebas balok kantilever seperti

terlihat pada Gambar 27.3.3a.

PENYELESAIAN (a) Pendekatan uiud nyata. Karena lendutan nisbi.di antaradua penampang sembarang adalah sama dengan otlGA kah luas geser di antara ke-

dua penampang yang bersangkutan, dan karena lendutan gesernya sama dengan

I

1,0 kN

T7

!2-- a rrele ;r g gp sB'n L'z

qelored e111 e,(urreP 'lV't'tZr?qrueD eped ue>lleqrpedrp ?uei( rese8 uelnpuel IIseH 'u?Iqtqurellp qelsnreq 'Z

uefeq'rese6 uelnpuel nep aV'E' IZ lsqurcD rJep n{B>l ?pueq Iselor'lou snreq O

rp uelnpuel 8/r\q3q sBlPq Islpuo{ fl{nuallroru {nlun 'vcfn ue$uo4 1e8ued >1n1un

rJsnca{ 'ue1n13uesreq ?uB,{ ueuour ue.x8erp depeqrel lrrleuroe8 ereces edrues e.(rr

-ienqure* ueguep qelore dW pV. t I Z t,qr.ue' rrep '1 ue6eq 'reseg uelnpual 'nefurltp

-rp tuef 8un1ue88ueur {oluq {nlun c uep qV't I Z Eqru?C eped rese8 ez(e8 uep ueur

-our ururBerp ue>1o1ed u?{res?preg 'o1otu pnln uDlD4apuad (') NYIVSA'IAANgd'DV't' rz

requreg eped 1eq1pe1 eueurre8eqes 8un1uu88ueru 1o1eq eped g ttep '3 'g {I}11-{1111

,p ur1npr.1 uep (>1e8e1 Suedureued rselor) resei rs.elor qelSunllH €'€'IZ qoluoJ

({ocoJ) * N{# :Otz+eezlff:

t ' -8€+) o[*'p1s'111's-"-'J]# =.'HI='o

L'p to't *)(*e -' 'o'J

a uep qt-t rz tz(l

-trr?C uep lvep /l uer8erp uz4etmSSueu qe8ueq 'uDntDS uoqaq apolal\ (q)

*.Nr # = "v

qelepe efuseqeq Sunfn-8unfn eped sy rese8 uelnpuel 6ue'{ 'p€'E'l(, requreg eped

ue>lletppedrp rul er?c ueEuep qaloradrp Euu[ rese8 uelnpual .rs?Ire1 'Suuduruuad

Suerequras eped rese8 u?lnpuel uelledepuetu >1n1rm e'tuseqeq Sunfn Irep IFAeIpSuef rase8 senl ueryser8elufueu nlred er(ueq e1q 'raleplue{ wqeq Sunfn rp 1ou

'Z't'IZ tloluoJ uped reireplue:1 )toPS €'€'IZ requ'q")

'uqe,(uut u?ntEs uuqeq uEupeex (a)

uetuoru we.6elc (r)

99t-

o't + o'l +

N{ O(I

rese8 uuderq 1q1

nefurllp 3ue,{ 1o1eg 1a1

99+

NI 59=zU

JZ

-FIa5JexzI

N)l 8 N)t SI

CNVINI'I.VTVC ISVWUOJSO HNUYCNSd8LZ

20 kN

274

Rr = 16,l kN R: = 45'9 kN


-27,9(b) Diagram geser

-54,0(c) Diagram momen

(d) Lendutan geser, bagian 1


(/) Lendutan geser

kN 2oIkN

I-m I-fr(g) Keadaan momen satuan khayalan di B

-0,3(h1 Keadaan beban satuan

khayalan di B

1,0 kN

(e) Lendutan geser,.bagian 2

-0,3

Gambar 21.3.4 Balok menggantung pada Contoh 21.3.3.

dan

" 2.7a"- cT\ |WGA

A, diB :W

-0,6 _0,6

(r) Keadaan beban satuanklnyalan di C

1,0 kN

1,3 kN

+ 1,0

-o1U) Keadaan beban-satuan

khayalan di I'

a, dic=.l.%# A" di.E =70,2&

I

1,0 kN.m

+96,6

1,0 kN

G'v'tz) ,(i),,: (fX$Xf) rz',,ffi :(fxYx?)"#=(#x##) :+

y08 s-,o-lhl v

IAYSE :qvr'IhlS

'11 eleu?eqtal ueqoq BtrrJopueu 8uel.'7 e.,(uuu8uelueq uepp e,luf.?ur1Euu.,( uueqrapes 8uufuud pasred ledrue 4opq Suelueq qe8uel-qu8ual 61

'Il'0 =, B/v\r{eq uerepue8ued W/'\?q\p'Z'l = o :ue8uep'Suefued r8esrad ledue >lnluaqreq efu8uedureued Eue,{ eueqrep-es >loleq nluns Euelueq qu8uel-qe8uel p 4y dupuqrel sy ue8urpueqred uuplnfunuaut

lylZ pqel'7 depuqral p uu8rnpueqred uuqequelrad uu8uep Eurrres ruseq q1qe1 rpul-ueur {V depuqral sy ueEurpueqre4'qnlndasredas relrxes epuroq 7 uu8uelueq dupeqrelp 63qt ueEurpueqred qrqedu uasrad g e33qq 7 ue?uelvat ur?lep Ip BpBJeq ey rn1ua1

uulnpuol depeqral sy resaE uelnpuel ue8upueqred B^\rIEq uo14n[un1rp ledeq 'rn]ueluetuotu u?lnpuol depeqrel rese8 uelnpuel rqsru uenrureqo{ rulruetu qred u1q 'ue4de1a1-lp qelol Euuluq-u.(e8 leqr{B rselor uup uB}npuel ualnlueuetu >lnlun epoloru uzp r?sEO

rnlue.I ueuol,ll uu1npurl dupuqral reseg uqnpua.I lqslN uBIUBJeqe) ,'[Z

({ocof,) #=(,s+9I'8t +zyL+8682-)W =

['o,o', +xrE+)J +

xp (E'I-)GE - 6'e )'l+ ry (s'0-x6'g -t"l + rn (e 'o-)(r'lr +),[]# : r ,, ,o

({ocof,) #h: (zt'sL+st'6-ts'telf; =

Ir, ,r'o-ur, - 6'€-)J + rp (r'0+x6'r -l ,of

* ,o (r'o+)(r'er +lJ]# : , * "o

(>tocof,) "Y*:

otst+zo' t+zs' Ls)Y* =

Ir, ,r'o-,,r, - a'rt'l+ xp (r'0-x6'r -t'l + ,o (r'o+)(r'lr +)J]Y = , * 'o

u,rnpuer' ! uep qv' t' I z wqwe',rr, ;llH'rl 11TT T:;';f X: 3;[;.,r'ffi;r:lew 'q uep qb't'lC, rBqruBC rr?p d uep 1 wefreyp ue>lermB8ueur ueEueq

rnq os,e I 1eB e1 Eue drueued rsel or r pe r . n{prreq rr;};[l ;fjTiil'-ts"HJ Jff 3;eAeE wefrerp 'e.(uure1 {EI} Ip r.et:- g yp ueryfre>1p uenlss ueruou lnpred :1epr1

(ure[ runre[ gerees) #. = Gt g + Lt,t a gg,,v-1ff :

[*(f-)t,' -o't-t'l+

,r (f -)tet -)'[ *'p (f -) r''r, .rJ]* =,0 ffi [ : *'n ",

-u?c usp dtrep Aueraerp ueleuntaueur ueaueq 'uDnlDs uoqrqt fr!r;;'€'Iz r?q

9LZ CNVINI'I.VAVC ISVWUOJAC HNUVCNAd

276 ANALISIS STRUKTUR LANJUTAI\_

Untuk balok sederhana yang serupa, tetapi yang menderita beban terpusat tl di tengahbentangnya,

. wLlA -_^o - 4BEI

. WLau' - 4GA-

il:ffi)(ffi):f"(8)(*)(+): f;r,,a(fr)(#X+) :,(f)' (2r.4.2)

Nilai di dalam Tabel 21.4.1 diperoleh melalui penerapan Persamaan (21.4.1) dan(21.4.2).

Tabel 21.4.1 Perbandingan lendutan geser A* hingga lendutanlentur 46

Perbandingan A, hingga 46 di tengah, a= I,2. G = 0,48

Perbandingan pertam-bahan d terhadap

bentangan L

Beban terPusatBeban terbagi-rata di tengah

-Lt2L

t0I8

16!4

0,016660,024000,037500,066660, I 5000

0,020830,030000,046880,083330, l 8750

21.5 Metode Gaya

Untuk balok statis taktentu dan kerangka kaku, pemasukan pengaruh deformasi geser

akan mengakibatkan beberapa perubahan pada besaran gaya dan momen kelebihannya,yang pada gilirannya akan berpengaruh terhadap besaran semua gaya-dalam dan perpin-dahan titik hubungrya. Jika metode perpindahan yang digunakan, kita dapatkan bahwaekspresi baru untuk momen ujung terjepit dan matriks kekakuan anggota haruslatr diturunkan dengan memasukkan pengaruh deformasi geser yang bersangftutan. Namundemikian, dipercaya bahwa penanganan dengan metode gaya akan meningkatkan pe-

ngertian metode perpindahan sebagaimana yang akan dibahas pada pasal berikut.Pada contoh-contoh berikut, balok kontinu yang terletak di atas tiga tumpuan

akan dianalisis. Tentu saja salah satu dari ketiga reaksi tersebut, atau momen lentur ditumpuan tengah, dapat digunakan sebagai kelebihannya. Penyelesaian yang mengguna-

kan reaksi pusat sebagai kelebihannya akan dicantumkan secara terinci.Setelah nilai kelebihan tersebut diperoleh dari kondisi keselarasan, keseimbangan

balok statis taktentu yang sedang kita tinjau menjadi diketahui seluruhnya; ketertutup-an diagram momen dan gaya-lintang menjamin kecocokan statikanya. l,alu rotasi penam-

paag tegak di ujung kiri dan kanan dari bentangan sebelah kiri, sepertiju1ayarrg terletakdi ujung kiri dan di ujung kanan dari bentangan sebelah kanan, dihitung dengan metode'

balok padanan yang nyaman itu. Kesamaan rotasi di ujung kanan dari bentangan kiriturhadap rotasi di ujung kiri dari bentangan kanan menjamin kecocokan dalam hal ke-selarasannya.

t

'V+cV=8U(T+ca)r

uessr?Iese>l upeutBsred rrep qeloradrp ledup 'g Ip rs:leer nqu'ufuueqrqelal rellg 'uosaqlasarl uDouDsad ltop uDqtqepl uonluaua4 (c)

(se1e e1) #9-*.#= B tp("s + ce)

uer{ruep ue8uep 'rnluol uatuoru uep 8ue1uq-e[e8 leqqe g

ffi='ro"*ei(uepedFep pl g'17, reqursC eped uerlleqgredlp 33nf efurese8 uqnpuel ure.64q

({ocof,) #=t(sxst)(sze's)t-(sl)s'€6'0€tf = aln's

Hnftsz= t(€)G)(sze'sx - (6)szes'e€lf = E IP

qe

qupps g Ip eg rnlual uetnp-uel'pl'g'lZ rBqIuBC epede>1 ncutueur yqures 'ueueped lopq epoletu uuSueq'pl'g'I1, rBqurEC uped ue>peqllredrp aU uunles ueqeq leqpfe resep ?ueqrepas

{opq uetrrorrr rue.6u16 'sA uonps uDqaq Pqtlo tosDp ouoqopat t1o1og (q)

(rIB^\Pq e{) ffi.;*= s rp ('v + cv)

'r{eppe u?ppruep ue8uep 'resat uep rnluel uatuotu lsqPI? g Ip lelol u4npue'I

#fr: s tP 'v

rtslupe g Ip 'V rase8 uelnpuallqls'l(, r?qrueg eped rn1ue1 uetuou urerSelp dep

-eqre1 8o1eue leJlsreg clS'lZ rBqurBC eped leqgpel 8ue[ raset lrelnpuol ururSerq

(1oco31 eZ#-rr=(€x6xs'eszx - o)G)u6z)1 - or )168 - (sr )r r szlf : a n'v

ez9'rrr-=

t(r xr)(s'esz)i - (zxrxsrz)i - (s )ezt - {o)ottzlf = & IP qv

qplupe Br rp 4y rn1ue1 uetuour l?ql{u uulnpuel'qyS'lZreqursC upedel nce8ueur Suei( 'ueueped {opq epoleu ueBueq 'qyS'IZ JequI?C

uped ue>lluqrgedrp ef:e1eq tuef ueqeq leql{e rusep eu?qrepes 1o1eq 8ue1uq'e[e8

uBp uetrrorlr urer8erq 'uoqaq lDqltlo tosDp DuoqDpac LolDg (r) NVMS.ISANAiI

'efue{uels uup Ir?ser?Iese1 dupuqrel der13ue1 ue>leca8uad ue{n:[e'I'ufuueqtqelalreteqes qetuel Is)per ue{Bun8tueur uu8uep qEuDIIBseIeS 'efet epoleur uetuep

Dl'g'l1. ruqurpg epud leqqrel rlrades uendurnl qunq efl1 sels Ip 1e1epe1 Sued

nmluo{ {opq qelslslpue 'lese8 IsuluroJep qnrefued ue{{nsel\l I'S'IZ qo}uoC

q?IBP3

Ip plol uslnpuo'I

LLZ cNvJNrr-vIVc IsvnuoJeo HnuvcNed


(c) A, dan A, dan balokdasar akibat beban

I 9m I lsm r

-

.E/ konstan dan GA


36 kN

36 kN

2349 729_ET TI(b) Balok

t782 891EI EI

akibat'beban

54 kN

l45E_ET

dasar

25ltEI

+,10,5

-49,5

rv r.orN I0,625 kN ' 0,375 kN

(d) Balok dasar akibatreaksi safuan

Gambar 21.5.1 Metode gaya analisisdari balok kontinu.

Dengan menggunakan nilai 46 t A, dan 6u + 6, yang telah diperoleh pada bagian(o) dan (b), dan sambil mengingat kembali P = dEIlGA,

D _ _ 16,3E2,25 + 256,5 B _ 2912,4 + 45,68""- 253,125+5,625p - 45+g

Nilai R6 dan R6, dapat diperoleh dengan mensuperposisikan nilai-nilai pada gam-

bar 21.5.1b, yakni. Rs kali nilai-nilai yang bersangkutan pada Gambar 21.5.1d; se-

hingga

Rr=,r0,5 -o,ezszuffi&

Rc =4e,5 -Wlsz))ffilp

Diagram momen lentur dan gayalintang dalam bentuk akhir diperlihatkanpada Gambar 21.5.2. Tertutupnya diagram gaya-lintang tersebut menunjukkanbahwa ia memenuhi persamaan ZFy = 0 untuk seluruh balok. Ordiuat pada dia-gram momen dihitung dari penjumlahan luas gaya{intang; ketertutupan diagrammomen tersebut menunjukkan ia memenuhi persamaan 2M = O untuk seluruhbalok. Diagram lendutan geser bersifat analog terhadap diagram momen lentur dandiperlihatkan pada Gambar 21 .5.2.

253.125

I

r'uBuEped {oIBq epoleu uB{?unEtueu uE8uep uBp €'S'IZ

r?gru?c e{ Iequra{ ncBSuelu ustueo 'cg uep g.y uBtrrElueq-u?8uElueq ?pBd

JrlBAeu uerrrotu ru?.6elp pq elunles tuef uep 'Cg trep gr7 veflvelueq-uutuulueqepud Srlrsod ueruoru ure.6erp leqFI? FE efunles Suuf 'ue1n13uesreq tue^ rasetuelnpuel u?IrseslleJleueu {nlun g. Ip eJu1es uendurnl u?unrnued rrep nlus Sued:pq et11 ueqelunfuad uup 3un1g1p pdep'(p7'9' IZ r?qru?C eped leqgJrel qredas8ueluq-e.(e8 tuelep rselor epe )teprl) efes rn1ue1 ueruoru legl{e ', uep g 'f Ip {e8eltuedureuad rsglou '€'S'IZ rggru?C uped leqqrel urades 'qer\?q e{ qsru ur?pp 'Bl(u-r{Blurnf eruss 3ueli mlual uetuotu l?qpl? wlnpuel ledeprel qulsnrsq 'Z'S'lZ fiq-tueg eped leqllrel euerup8eqes 'g.tp sele e{ rese8 rrelnpuel ledeprel ?uers)I

'ueu?{ q?Ieqas ue8uuluaq FBp IrpI Eun[n p pufra1 3ue[ uetuap sur?s rypllnBlB ?rues efuFpl ue8ueluaq uep trm[n 1p IpBFaf u[uuq 3ue[ rn1ual uotuotu leqple4eta1 Euudtueued nulor qe4ede l?qleur uetuep ue{ru1?Ip l?dup ruI lru{acetuad'e,{uuasureleso{ uu{ocetued qupfueq w{n{eflp nlred tu?^ 'n1es 1uferepreq n1uel

{81 srl?ls lqrsroq nsfqllp 6uu/( >1opq EuarB)I 'aoso$psul uo4aca8ua4 (p)

'I'S',It :{oluoJ'sFl[?ue F.SBH z's'Iz Eqursc

rasai ualnpuel (p)

ueluour uefq( (o)

, d+st ,\TI'BiI',_

, g+st )+'dt't6l+I'2t89'

raset ruefqq (g)

, g+st \_tdfrrttTt l'

<d&\*, d+sl r*tgg'tz+ s9'p6zt' '

nefup;p 8ue,( :1olug 121

=ra

NI 9T

cNvrNl'r-vlvc IwwuoJ3o HnuvcNed6LZ

g + Sr -.).,di1iiiiTut- d

NI 'S


0t= |ttl- 0n- 0n

=#h.;(#)-i(#xiF?fl,= nd* r-u3i,.sp

+u*o+ tup-72ss,62s)

= r;1d1,5-lls'62s + 6Er'75P\

qst: qatr - Qsp* 9att

=ffi6''JH.i(#Xfi#)o,= nd* r-u

37,.sp -8100- l80p + 14.51e,25)

: Ad;A'*rs2s + 3s7'7 s B)

Oan = -Oanr i 0sr:- 0anr

= -affir,- *(#) - 3(#X##), ",-- A#Ar322,6s8+ 30'618 + 680,48 -24'tes,75)

: nfrrr*ls,25 + isT,is\) (cocok)

RB


(D) Kemiringan ujung, pada bagian ketiga

Gambar 21.5.3 Pengecekan keselarasan, Contoh 21-5.1.

36 kN

0or.

L-

r's1?r-r3?qrel u?qeq F{Iureu Suef lrdefral tunfn 1o1eq $ans rnluel uup reseS $?turoJeq I '9'I Z ruqurBg

(r) (c) @)

fu* ='^

@t'g'tz)

(ot'g:.tz)

fu.: N+:toI/'I

h- = N-:tot\[

'resat rszuuo;ap qnruEuod uulEunlqredtuaur uuEuap 'rpu1

zt _ o+uaorL _z'0+"0 _,^,,1^= oTTrudlAA: ss *or: rt

uutuep etuss q?l-epe Wvetqqolal uer.uotu'l'9'lZ r?qr.uuC epud uelluqpadlp Euel( rlredag .rasat neuro;-ep qelo qnrutuedral rypr1 e>Iaretu eaquq uu>ppfun11p uz>yu ''e1ur-6eqra1 uBqaq Blrrop-ueur Euud elo8ilue nlens eped lrdalret Eunfn uauoru 1n1Euu{uau 3ue{ qnufeg

'ueqepurdrad

epolaru ruelup Ip ue4uunfip 1n1un uelnlEuesraq tuef elot8ue ueru[e>lo{ s{rrluru u?pufultdaftel Eunln uu4ensefueu uu8uep uu>In{BIIp ludep rur I?H 'nll luBcctuos eloEtluerrep resaE rseruroJep qnretued uelEunlqredueur ryprl nule unpunpqradruou >1n1un

rlJlltueur qaloq s$rlurr?tuad 'Euernl nele 'V'9 'g qulunlelol 'llcel Euet( reqal depeqrel

F8rqt ue8qpueqrad Dll[urew n1e1 elEuerel n?1? nu.rluol lopq elotEue nl?ns epqudy

uuqupuldrag apolel l 9' IZ

'qeloredpludep efur1r1rl rsulor anures reee aa e vep "s0 u?Euep qepnu ereces 6un11q-rp e{ar-eru rurs rq 'uuser?Iese:1 uelece8ued {nlun uelnlredrp >1epr1 c 0 uBp vg pUN

(dsz'oor r - szs'z6s'zz)(d + !')ra -

GLe'ffi'zt + dg'LLL-26'w - dsg'zzt'r(d + 5r)ra -

,.,r( d + sv\(Isz\q-l ra \sl -(d+ sr)Ygsl- -""\sl.'6€8r./\ t /t'\sstt/8 st'6€gr. -t)0 +7r0 _t)0_ = )0

,tt 6=trg+|+

T8Z cNvrNrr-vlvc Isvwuocsc HnuvcNsd


Momen ujung terjepit pada anggota yang memikul beban terpusat, apabila peng-

aruh deformasi geser diperhitungkan, dapat diperoleh melalui perkalian ekspgesi biasadengan faktor penyesuai seperti yang diperlihatkan pada Gambar 21.6.2a. Faktor perrye-

suai tersebut dapat diturunkan dari kondisi keselarasan seperti yang diterapkan terhadapbalok sederhana dasar. Perlu ditekankan bahwa rotasi penampang tegak dari arah ver-

tikallah, dan bukan kemiringan gabungan dari kurva momen lentur dan lendutan geser

yang harus sama dengan nol di setiap kedua ujung terjepit tersebut.

. Terapkan metode balok padanan pada diagram momen lentur dari Gambu21.6.2b,

(21.6.2)

Diagram lendutan geser dari Gambar 2l .6.2b adalah serupa secara geometris dengan dia-

grirm momen lentur; jadi

0i"r:0 dan 0;.1 :0 (21.6.3)

- Wab(L+ b)o'or: ==ifrf dan

- Wab(L* al!--vibt - 6LEI

uo,=-Y(*.-)

*,=*T(+d(a)

Moi

)

Mto,t,

'*',=o orrl=o 1*r lw -T-

ry-',-rr,.rtffi"

+

,"affi;i@ryI o,=s''- GA

(b)

i

I

t_

Gambar 21.6.2 Deformasi geser dan lentur dari suatu balok ujung terjepit yang memikul bebanterpusat.

Mioitt

[,snturMiq,ot Mioio,

Lentur

M,ouz

7T

tplerrp tuuf pseq IrBC 'r0 uep tO unf urnre[ qeruos tunfn pelor tntuap lN *p tW ,niurmu[ qereas tun[n uaurour eruluu uutunqnq uuryserdsletuaur qluurqrd elotllue nlensu?tt>Ie{el wp wrnluele>l $lrrlplu'E g'lZ reqr.usC upud wlleqlpadrp 8ue{ rlradag

(qor.q.rz) ffi: a

(ror.s.rz) ffi= o

tffilfu-:\41q:'oY1l rlllz! +tf ,a _ - t1,11_ - toy11;

L5illdg + t),qo14

q'9'IZ rBqruBC eped luqqral rlradas lory *p,o7g 4n1un epuel uer[uufrad ueleunttuauue8uap tnp 'lN wp tN {Bllntu uussaq lnlun (g wp D6'7'IT) u?Bruesrad us{rcselas

(qe'g rz) @ffiR : (,* * ff)'^. (Y -T)'^(oe'g'rz) kffifr=(ry-ff)'^.(Y#*T)'^

'({ uepq'ytd upBuresrad urelep eI Q'ytd etllur-q (Z'S'1Z\ uu?ruusrad sardsla rrB{puBC

'rur qu,req rp w1{usrp tuz{uradas uBs?JBIeseI ueeuresrad enpal sntrp4es ue:1resa1efuaur ue8uap qeloradm ledup'p eilBurtq qz'g'lZ r?qtuuC epud 1eq1pa1 rlradas 'lIN rnp l4r >1q1nur rrzJBsaq-u?rBseg

'u?ququrul leJlsJeq rurs rp ue4[us1p tuer( srsg uesqefued luenlus uuqaq epoleuruetuap qaloredrp u8n[ ledup (t'S'td uup (9'9'IZ) rnBruesred IrBp IFBr{ 'e[es n1ua1

(q8'e'rz)

(Ds'9'rz)

(t'g'tz)

(s's'rz)

G'g'tz)

O'g'tz) H19:'otg u,p Hie :r*g

rcl6 : (€r!g yen!g)!ya1+ (zslg -.ct1)tyrsrp = (€s!0 -ect1)!N * (zst, * zug)ty11

ff :ns u'p E9

:'o,s

n2o, =€sI^ - €s!0

'p(,'9'lZ ruqueC rrup rrurru{ undneu 141 Eunfn !p'u?p

O2o' =zst1 -zsr1

'q,.9'lz rBquBc uEp

ueuel trmfn undneru pq tunfn 1p {utor Eueduuuad rs4or edruaq tue.{ er4uaures 1uq-p1u uetuap 'u{uuutrul Eunfn rp Hupuaqe{rp lupn tuu,{ Irutnpuq qslo rtsIlBr}eutp

ledup up1 uendurnl depuqral {oIBq r{runlas rrBp Dl?{-epuaq reEeqes IsBloU 'nmued-rol r.lululnlaq 'lou uBlnpual Iu>IBl( 'ueu?{ Wleqas uendunl rp setsq FIpuoI s/r\q?q q?l-sslaf'BurBS tuef ludural Ip {eEar Suedueuad rselor eEnf rdelal e{uuendum} !+l q?leqas

rp rasat u?lnpuel {nlun Iou rc[u ueluer{elradureur efuuq w>1nq Eue,t tnlupull sBlB rru:I

-Jss?preq u?{nluelrp p wp )Z'9'lZ reqtueC epud leqrpq Eue,( rasaE u?lnpual urerEerq

Irep rnluel ueruour ururterp

882

'p trup cz'9'lT rBqutBcdepuqral tursuu-tuneu uuuepud {opq apoteu uelderel

cNvrNl'r-v/\vc IsvwuoJsq HnuvcNsd

M,

C

A'

284

pada sisi kiri Persamaar (21.6.9a danhatikan pengaruh deformasi geser akan


Gambar 21.6.3 Anggota prismatis yang menderirapada ujung momennya.

D), matriks kelenturan anggota, sambil memper-berbentuk

(21.6.11)

Penginversian matriks [D] sebagaimana terlihat di dalam Persamaan (21.6.11)mengha-silkan matriks kekakuan anggota, sambil memperhatikan pengaruh deformasi geser, se-

bagai

rDr=[.]+.#^) -ffi-#)lL-\or, -LA .(#-#)l

,",:[*T(##) .?(##)lLvI }+ff#) .?(##)j

.aElBD___L* - L'GA- L'(2r.6.12)

Ekspresi untuk momen ujung terjepit yang telah disesuaikan, ditunjukkan di da-lam Persamaat (21.6.1a dan D) untuk beban seragam terbagi-rata di dalam Persamaan(21.6.1U dan D) untuk beban terpusat, dan ekspresi untuk matriks kekakuan yang telahdisesuaikan, ditunjukkan di dalam Persamaan (21 .6.12), merupakan semua hal yang diperlukan untuk memasukkan pengaruh deformasi geser pada sembarang anggota ter-tentu di dalam metode perpindahan pada penganalisisan balok kontinu atau kerangkakaku.

Contoh 21.6.1 Dengan menggunakan hasil penganalisisan balok kontinu denganmetode gaya sebagaimana diperlihatkan pada Gambar 21.5.2, perisalah secara nu-meris benar tidaknya persamaan.

{M*}2,,= {Moh,r + [S]z,z{dh,r

pertama-tama anggota AB darr kemudian untuk anggota BC.

PENYELESAIAN (a) Anggota AB. Dai Gambar 2l .5.2, momen ujung akhir di u4

dan .B dari anggota AB adalah

MX:0

u*= +ff (searah jarum jam pada BA)

Momen ujung terjepit yang telah disesuaikan adalah

M^. _ _36(6x3)'z ( t+68t27 \ _ _72(s+28)

*, =*qfiq(#ffi)=]#i;?

f,.

rF*0

fl

$

3

'I'IZ uslIB?.I I'I'IZ r8quoC

TOdrr3 ll',, s

Nr zl 'e{uueqrqelerl

ruEeqes efuueuel uendrunl rs)per uplpunSllueru ue8uep q?Isrsrleuu 'rese8 rseurroJep rIru-e8ued uelSuequnlrad'SZ'0 uossrod ueturpuuqred e13ue ue8uep 'urc 0ZI r8turl uep urc

0€ reqel 'qel?pB a'L'lZ lr-qureg eped ue4leqrlradrp 3ue[ lopq >1e8e1 Suedureued Z.lT,'euciN>{

€01 X S0'I =flu?p Xl'O=, ue{Bun0'srrl-euoe8 epoleu uup u?nlus uuqeq epolau uu8uep uelnlSuesreq 3ue{ uelnpuel uerEeq-ue-6uq qups4re4 '3ue1ur1-ei(e8 uep rnlual uaurou 1uqr1e eiuseqaq Sunfn rp uclnpuel qBI-Bunlg'l'L'lZ rBqu?C eped uu>lleqgredrp 8ue,( rlrodes tunluzSllueur {oleq {ntuq I'IZ

uBqpq l,'Iz

'Iilerunu BtecesrBuaq?1?{uJal J4'JrS!+sosrs+ror{i:*r^JuBpJOrsS+a+sss+sory:qtw ueBruBsjed

6 +9y119 _ rad.f,sorl - szs*6tzz - - - v

@ + 9v71sdfrdsz.'frtw='E

rI?IBp? s{erau:t'S'tZ qoluoJ eped (p) uepuq pep UquIBIp Srmfn elo8iluu rsulo1

a#.#^.=(###)&i8*.:-^dt+st _lszaldat + I\ zst _ _ 8o,^,

idTElsTs€- :

\s/-de + r )M- : ""^q?l?pu u?{lunsosrp tuef rqle Sunln uouro4

0 = irll

(Sgeped tuef urruef qe.re u?^\q) ff**- =f^r{BIBp? Cgr elo8ilue

usp C uep Er rp rpple tunfn ueurour 'Z'S'yZ r?qu?C IIBC '39 tyo8fluy (q)'ua{rsnsesrp Suuf uunlu4e{ ql.q?ur u?p up{rensoslp Suei(

1rdefre1 8un[n ueurou {nlun uu{unrnlrp tuef snurnr ueJeuaqe:1 depeqrel Bsedqrqel pefueur ue4e tueroases Bue&{ euntreg tuepuudrp nll IBrtr lm(ueu nn uB?$lF-auad tuepp rp leqrlrel tue{ ue8unlrqred leAueg 'slJelunu erecas reuaq elzr(u-$l sfsss + vQvss + sory = a*ytr uep sfsvs + IrQvrls + WN = f71r ueeuusre4

@ +sr)rudsi.l'r;ffAw=

aa

(d+gv)tg -v^dy'1gga979'61*- ''

qq?p? B{ereru : t' S' tZ qo}uoJ Eped (p) ue6eq Fep Ilqtuqp 8rm[n elotEluu rsulog

[-/ts/dzr*rt o nltdzt+r\ 6'l| \leE€ + r /rar- \ls/d-eL / rsz L^,I lrsldzr+lt o ltltdzt+A e l-tDrL\l8/d-t- r / rsz \ r8/d-€. r / rErl

rIEI?p? u?{r?nsasrp qe1e1 tuu,t wn{u1e{ s{Irl?W

982 cNvINrT-VM TSVnUOCSC HnUVCNSd

40 kN

v

286 ANALISIS STRUKTUR LANJUTA}i

Gambar 21.7.2 I-anhan 21,2 Can 21.3.

Gambar 21.7.3 Latthan 21.4

Gambar 21.7.4 l-atihan 21.5.

Gambar 21.7.5 Latihan 21.6.

21.3 Setesaikan Latihan 21.2 dengan metode matriks-perpindahan dengan mengguna-

kan (a) satu unsur 7,5 m, dan (b) dua unsur 3 m dan 4,5 m.

21.4 Untuk batok kantilevernya yang diperlihatkan pada Gambar 21.7.3, tentukanlahekspresi kemiringan dan lendutan di ujung bebasnya sebagai fungsi dan I = odllG,l',dengan menggunakan diagram momen lentur dan gaya-lintang dari statika. Analisalah

balok kantilever tersebut dengan metode matriks-perpindahan dengan menggunakan

satu unsur 5-m. Tunjukanlah bahwa kemiringan dan lendutan di ujung bebas yang diper-oleh sebelumnya memenuhi persamaan {P} = t, SBl {x} oan {F*} + ISsl {X}.21.5 Dengan mempertimbangkafl deformasi geser dan menggunakan konstan 9= aEIlGz{, turunkanlah suatu ekspresi untuk reaksi di tumpuan kanan dari balok pada Gambar2l .7 .4 dengan metode gaya. Periksalah penyelesaian tersebut dengan metode metriks-perpindahan dan dengan menggunakan bilangan-bilangan P-X dan F-e sebagaimana ter-tera.

21.6 Dengan mempertimbangkan deformasi geser dan dengan menggunakan konstan

P = oEIlGA, analisislah balok yang diperlihatkan pada Gambar 21.7.5 (a) dengan meng-gunakan reaksi ditumpuan kanannya sebagai kelebihannya, (D) dengan menggunakanreaksi di tumpuan kirinya sebagai kelebihannya, dan (c) dengan menggunakan satu

unsur l2-m pada metode matriks-perpindaha.

l.l4 kN

NP=l: NF=2

40 kN

Is.

rlnqesJol snsBr ru?lBp rp 'lsr u?nlBs nd

".ie? u?IBp uB{ueqp lnqesJel tlInlDetu IJBp rrs)lalsnppotu Euepel'Euepex 'senl uunles red u,(uE urupp rrqn1p ,sr1se1a

.rsspuoJ wruIe{a>lsqnpou WtEps 2 :ueEuap .1ure[ uenlus tad ,$1 Esaqes s?l? e{ etle?-et|.Ilt urp ryre[uenl?s rod at'quqn-quqnroq Euu{ rlB^r?q e{ ueqoq In>{Ituoru qC .1.Z.ZZ, ruqureg epedl?qllrel Suef eueurcteges $y ui(ususula B^rru{ rrBp g7 rnqirrls elofflue rrE)lllBqrad

J?sso lBFuareJlg usstuusred z.zz

n ardol+F ards4e'rur qsq ur?pp rc .u?rup{e{ :fr#:IT#'[Lt':J;1ff lHf,:Hf8s?rq lBsre^su?rl u4Bnru-rrBl?nu 18qp{? uoruoru upas efqldatrE tunfn F{B3r-r$l8eJ{nlun u?p e{uzlo8tuu u?DJDJe{ s{rJlBru 4n1rm nerdsla-rserds4a efes pse ue4uuntpdu1a1 ludup uequpurdred epoletu uesrsrpue8uad 'sr1se1a r$puoJ $Bns rl6lo tuefunlrp udu-ueuumelred 8uu{'n4e1 nltuero4 ru}? nurluo{ >1opq e1offiue edureqaq pq uTBIBO

'srlsula rsupuoJ sBlB Ip JnDIruls ulotlluseped ufre1aq Ewl( rnqula4p>lul tuei( I?sre^srrcrl uelnpuel uep tuolo{ued uzqeq Fep..u?n{Dle{ snlnporu.. rr?p UBrIB{Jed ue8uap eurBs Eu?^ ,rnq?}e{Ip{ul Eu?1( IEsreAsuule(efl-e&e? ?pB usDlrr.uep uutueg .srNele ?puoq sel? Ip {utetrat tuu{ rsupuoJ {opq qBIppBlnqosJel I?q IrBp r.un(un qoluoc nluns llusrarrsu?4 rrqnpual depuqrq Suroueqas u?rrB,lt?I-red rn4upadusu Suer 'sgsnp lsopuo! u?>t?ruuulp edr4n[ue1es .suods

llredas wq?qsel? rp {qelrol Euef qeppu ufuurc1 sruaf rn11ru1s elottuz nlus qBI?S .1rda[ra1

Flpuo{uepp 'u{u4oEEue dunes tunln enpal uped ue4qupqdp lnqasral IBsJa^srrBJl eftet-efisa'ueqepurdrad epoletu epud uesrsgeuuEuad urepq 'rnqele{Ip tuef psramuun e/let-efietBlFepuetu Sued eped.rs?l?qp q?lel Jnl{nJls ulo8tuu-eloE8ue uuuetu?uad 'nnr e8tuH

umlun uuJBqruBg I'zz

SIISYTS ISYONO.{ SYIY IC XOTYfl

VNC HNTNdYNOsvs

288

,ctGambar 22,2.1 Atggota struktur di atas fondasi elastis.

modulus kekakuannya merupakan perkalian dari modulus tekan dengan lebar anggota

struktur yang bersangkutan.Dari persamaan keseimbangan resolusi dan rotasi suatu potongan anggota struktur

yang kecil sekali,

dv-:

lcv - l?dx

dM _,,E_'dengan arah positif dari gaya-lintangY darr momen lenturMsepertipadaGambat22.2.l.Perubahan kemiringan di antara dua buah titik berurutan yang berjarak dx sembarang

adalah sama dengan

.dv Md -d*: - EI'l* (22.2.3)

tanda negatif tersebut adalah akibat kenyataan bahwa kemiringan yang bersangkutan

semakin mengecil dalam lengkungan positif atau cekung. Penggabungan Persamaan

(22.2.1) dengan (22.2.3) menghasilkan persamaan diferensial dasar dari kurva elastis

tersebut, yakni

davkw-L-

ar: +-dXA'EIJ EI

(22.2.4)

dan

dan

yang penyelesaian umumnya adalah


(22.2.1)

(22.2.2)

(22.2.s)

(22.2.6)

(22.3.r)

ldxlH

m ll2,;."

I

t-

gaya-lintang dan momen lentur yang bersangkutan menjadi

V:_H{1ax-

22.3 Penyelesaim Umum Persamaan Diferensial

Apabila tidak ada muatan transversal yang bekerja pada anggota, persmaan diferensial

dasar (22.2.4) menjadi

u : -Et 4'r,dx'

#.#,:o

!: A.o.f r cosh L* *r cosf x sinhf x

*Csinf ,cort *,r*osinf xsinhf x Q2.3.2a)

@rs'zz)

uep ? 'g 'y Buewqutas uetsuol lzduae4 rrup rsEun; rcBuqas uululefurp rcdep yp.77rpqlueD eped uu4rsrur3eprp 8ue,,( euaurrcSeqes lrl *p ,rr1 ,!W ,17ry u[e8 u?lBseq lrduael'@ qsoc uup @ soc '0 quls '@ urs >1n1un ,c r;r-p ,c ,rs ,s

loquns-logurs uu{Bun88ueur uuEuec

snsEg rsgpuog upud 4oE8uy rqgns uarnluele) qr.[BI,{ s.ZZ

uu 1e 1 ep u e d w p ., x r u?r ",r

n r o q r,J^ I,f, f,Tfi ::; lXffi ,:'#1T*1'#rX,' :r,,,,',1uelpsuq8ueur trele uurelrad uulelapuad uuzunE8ued Bmqpq u?{{nfunlp ue>1y

'q?les u?p sqoc ?r?c rnl?lelu u?>lnluol-rp snI8q e,{u3uo1o,{uad ueqeq rr?p s?qeq rpufuaur Bue,( ue6uq .lnqosro] q?lBs?r.u rrrDJB

uuresalafued uped pe[re1 Iu] I?q uEp ue{r{eloqradrp'>1epq u?{rr?l erJrl .u4rupuesreq

tuef urnrpetu depuqrel tuetedraq delueur erecas uulnl8uusreq tue,{ rnl{nJls 4oEEuuq?lo-qBloes >IIre1 undnutu tuorop vf,e?-efiuz >1req uelpzrFuoru {nlun ndursru w{Ispu?-Ip qqel lnqesJel srlsBle rsspuoJ ?^\q?q l4BJIp n;rad 'rur ueEunqnq uj?l?o .l.tzz teq-ureg uped 1zqryp ledep r{?re 'IV 'tV '{0 't0 {nlun uep , ,, lhl ,t1y

4n1un3r1rsod qery'fV 'rV lgsra^suerl u?lnpuol wp t6 ,tg ueturrnuel-uzEurrrural uerrcuad (Z) nete it uep t8un[n 4r1r1-4tgW tA'tr1 nsafl efeS-e,lel uep'l^'tyy mlualueuou ueucued (1) quppuurnr.un uelelepuad qBnq ?nO 'lnqesral u?lsuo>1-uslsuo{ uB>lnlueuolu >lnlun uu4nFedrysBlsg rsrDuo>l ludtua'tuereques u?lsuo{ ledure EunpuuEueu srlsela rsBpuoJ s?13 rp {el-epe1 Euu.,( u?qeqrp{el eloffiue >lnlun prsuereJrp uuerrresrod urnun ueluselefuad ?uore)

ruuqeqry{Bl elo8iluy nluns sslsg Islpuo) ,.ZZ

'0't'Zd u??ruesred ru?Fp a{ (Z't'Zd u??ruusred rI?pupunrnl uelllueEEueru uzEuap eqrradp ledup lnqesrel uurusala.,(uad u4edaley

(O,cc -J,s, - €[,rs + V,tt) #Z+ :

(r:.'n#ru-):qo#-:(o:x\e#ru-)=,w

:ln{rroq rc3eqes g

lg?L _:/\ 'I: Q uuEuop4lr

SIJSV'IA ISYCNOC SVIV IO XO,IVS

(ot's'zz)

@z't'zz)

682

'rntln4s vlo?Bue nlens ssiuq rstpuoy l.l.ZZ lr<quuie1


v, = (-.u # ur- : o) = *'ry@ - c) (22.5.1c)

v,: (-u# u,.: r): .'zry[(sc'+ cs')A + (ss'* cc')B + (ss'- cc')C +(sc'- cs')D]

(22.s.1d)

Sebaliknya, keempat konstan senbarang A, B, C, dan D dapat dinyatakan sebagai

fungsi dari keempat besaran M;, Mi, V;, dan V1 dengan menyelesaikan keempat persama-

an simultan (22.5.1); sehingga,

A : + rfr#-... [-,r'' + s')M * Zss'Mi

* f rr, - s'c')v, -trrrr' - "tr%]

B = *rEl#-o[*r" * s'c')Mi- (sc'+ cs')Mi

+fi r''v,+ | t"'l%]

c : + rEI#" -\ [+tsc + s'c')Mi- (sc'+ cs')M

*l "v,+ f

t"'l%]

D=*{-r*e*,1

Namun keempat besaran deformasi 0;, 01, L;, dan A; dapat dinyatakan sebagai

fungsi dari keempat konstan sembarang oleh

,, : (* fiu, t= o): *to * cl (22.5.3a)

r,:(-*di ,: L)

: *t[(sc'- cs')A + (ss'- cc)B - (ss'+ cc)C -(sc'+ cs)D, ,rr.r.ro,

(22.5.2a)

(22.s.2b)

(22.5.2e)

(22.5.2d\

(22.5.3c)

(22.s.3d)

Ai : (-y. di .r :0): -AA; : (*) di t : L) : lcc'A* cs'B * sc'C * ss'D

Akhirnya keempat besaran deformasi 0;, 01, Li dan A; dapat dinyatakan sebagai

fungsi dari keempat besaran gaya M;, Mi, Vt dan \ dengan memasukkan Persamaan

(22.5.2) ke dalam Persamaan (22.5.3); hasilnya dapat disusun dalam bentuk matriks

sebagai berikut:

a

(ot'g'zz) !v-=y

' uerlrruep ue8uap : (t' S' Zd rmt Jnursueeurss-rad ledueol ue>1rcse1afuatu tre8uep '!v 'tv '!e 're rwuilogap ueresaq ludrua-o>l rJEp rstung re8uqes uulelefup pdep q wp ,J ,g ,y Buetegrues rrBlsuo>l ledureey

sBsEIiJ ls?puoJ upud qo8tuy n1sns usutnlql srll4fi 9.ZZ

(ct'g'zz) .[,o{,t, +,rs)-,v(,e,s + os) -,0+-, ,h] d# + = )

Gt'yzd [,ot,r, +,rs) + ,v(,r,s + rs) + ,0 +.,. n #] +d + : g

'0

: !V '0 :,V 'H-t * :,t '"-' * = t0 ,1+ =tA ,1* :,A .I + = lIN ,0: tN (y,)

uEp

:g

: rv '0 :'v 'E9 * : t0 '+ + :'0 '1- :,A '+ -: ,,1 '0 : 1N 'r+ : .ru (r)

ru1e,( uqEuntu Eus[ sr]Bls u?Burusrad rsrpuo4 Bnp BpB efueq euaral

G's'zz)

rpefueur rsereue8epleq [6r] ueinl-uela>l s>JulBlu 'ueryrurap snse{ Iu?Ipp Io '0 = @ e>pu '1ou ue8uep BtU?s lnqosrol srlsBlatunrpetu uep ,1 uen{e{e{ snlnpou epqudy .snsele

Is?puoJ upud elot8uu nluns uern1uol-eI s>Julsru r{?Ieps (t'S'ZZ; ue?ruBsrod qelo uu4e1e,{rnp BuuX rlredes [6rl sryriuyq

@'s'zz)

(,r -,,rl.$tez(Js -,r,s)rJ

(.s ;z,s)r+Ig_( _

(.sr -,rs)rz{rs - rflrQIA +

,ss.T!p

cs -,,s\,+Lgzttr=;tJ +(rs,,- r,slrolgz -(rs -,r,sL?

(t -",,qLfrg _,ss;-I

(.s - 2,3).9IAZ -(zs + z,st?rv

(,s -,,r)+rs(,r,$ + rsh !0

(,s -,,slfre,++,sf.T

{rs * r,s)+It *(,r, +,rs).r

,e

tA :rrt *s w

= rrr[o]

T6Z SIISV'IA ISVANOJ SVJV IC )IO'IYS

292

D = *r+ [*i,,. - s'c')o;

+ (s'2 + s)A, + 2ss'Ai]


* f trr'- cs')g;

Matriks kekakuan [S] suatu anggota pada fondasi elastis dapat diperoleh dengan

menggantikan Persamaan (22.6.1) ke dalam Persamaan (22.5.1); sehingga:

(22.6.1d)

(22.6.2)IS]+"a:

0i 0i A. A1

Mi +TEMP1 -TEMP2 _TEMP5 -TEMP6

M1 _TEMP2 +TEMPI +TEMP6 +TEMP5

V; _TEMP5 +TEMP6 +TEMP3 +TEMP4

V1 _TEMP6 +TEMP.5 +TEMP4 +TEMP3

ai@:6

di 0:0

di +:0

dengan

rEMPr - * 20f,,1;,"1 +: .+ di @:6

di f :grEMp2 - * 2ol:ir ;i'

)

+ :.+TEM'3 _ * +d3(-s=c_ll'c') #: .ryrEMp4= *ffif{ #:.ryrEMP5 - -zo,lliio 'i= *YrEMP6=*#+'#=*Y dio:o

Nilai-nilai yang terdegenerasi dari TEMP1 hingga TEMP6 pada @ = 0 adalah koefi-

sien kekakuan dari anggota prismatis biasa sebagaimana yang didefinisikan di dalam

Bab 11 dan 12. Nilainilai yang membatasi pada 0 = 0 di sini diperoleh secara beba'

dengan menggunakan ekspansi deret sin @, cos @, sinh @ dan cosh @, yang berupa

sin{:

cos{=

sinh @ =

cosh rf =

o-,.$- #., _o' -60 _Qu -. . .' 2r.' 4t. 6! '

o*n*$* #.r+$+#.#-

lp..

V'ul?8?res u?qoq l?qH? lrdefrel Sunfn

ueruoru u?p 8u?lr4t-?dec r L.zz ,eglJuir,}

6't'zz)

qqppe I L'ZZ requre9 upud uellnfunlrp Euef lrdelra18un[n lopq Inlun lursuoroJrp u?ur.uusred (p.Z.Zd rreeuusled a1 ncuEuau uuEueq'e1er-r8uqrel u?qaq {n}un us{urunlrp uDIe srlsBle r$puoJ sulB rp eloEEuu nlens >1n1un 1rd-a[rel Eunfn uoruotu-ueruour uep Euuluryetlef-e(eE,rur psed uBI?p IC .0

= fo uup g = f'O = !0 'O = !0'q?Ipp? e.,{useleq rsrpuo{-rsrpuo{ .wplluep uuEueq .1ou uu8uep euesuu>luequlredrp u,(r.6unfn ?npor ry u4npuol uep uuEulrrural epqede 6rnq4o{rp

lpsre^su?tlu?qeq-u?qoq lBqrxB rnl{nr1s elo8Suu Eunln eped e.{ulrde[rel Sunln ueurotu-uoruoruuep 3ue1u1-e.,{u8-e.(e8 uecrp nFed'ueqepurdrad epoletu uesrsrpueEued uedereuad ruepq

elrg-6uqra1 uuqeg lBqDIv 11da[a1 8un[n ueurop urp Euulurl-u te1 tZZ

e8Eurq s - @ uu8uap edhrar eE8ulq rdr^raill,:;.zJ#HHJHiffi'H*','^',X'j t =*

' uay lri b-l = 0 u?8uop uEn)I€{eIuersueol \seIreL l'9'zz rBqru?c

'uB{eJ-e8ued nluns eEeqes ue>lrulelrp q?let lnqo$ol u?rlu>lrod .r-re>11ntun1rp

I?pB undqsoru'u?nl?soI $lIJlBIu uulednratu snm4(7'9'77) weurus,re4 ruepp p [g] uzn1e1a1 s{rrtur.uuep (n'S'ZZ) rru?ruusrod tuepp rp [6r] uernlualal s{u}eru uuplred ules nlueJ

ff*: *+. r,eo

862 SIJSV'IS ISVCINOI SVJ,V IC )O'IVS


dengan q adalah suatu konstan. Penyelesaian persamaan diferensial tersebut mencakupbukan hanya bagian umum dari Persamaan(22.3.2a) narnun juga bagian tertentu dariyo = +qf k;1adi,

)=Acosf r"o.t t,*n"o.f ,sinhfx

+Csinfrcost tx+osinfx sinnfx+f, e2.7.2o)

dengan

6:LTIE (22.',7.2b\

Terapkan kondisi batasnya

,, : (* ff o, *= o) = +to + c) = o (22.7.3a)

e,:(-ffdi*=r): .I[(sc'- cs')A+ (ss'- cc')B -(ss'+ cc')C -(sc' * cs')D].: Q

A :(-) di x=o):-A -ffi=o iiXliilAt: (*y di x: L)

: lcc'A+ cs'B * sc'C * ss'D +ffi:Odan selesaikan keempat konstan integrasinya,

A: -?

B:+Hf-- c'-cq\---s'+tE

D=*t,-tg.s'* .s k

Jika ekspresi untuk,4., B, C, dwt D pada Persamaan (22.7.3) disubstitusikan ke da-lam Persamaan (22.5.1), ekspresi untuk momen-momen dan gaya-lintang ujung terjepitMoi, Moi, Yo;, dan I/o; (Gambar 22.7 .l) dapat diperoleh sebagai berikut:

ffi;:Mq;:-zq.ffiqr'

Voi:-Yoi:+ffirtDi dalam kasus terdegenerasi dari 0 = 0

Mo,:Mr,:-SqL2

Voi:-Vsi:*lqL

(22.'7.3d\

(22.7.4a)

(22.7.4b)

(22.'t.4c)

(22.7.4d)

(22.7.5a)

(22.7.sb)

(22.7.6a)

(22.',t.6b)

!\

dan

w

@t's'zz)

(cv'e'zz)

Gt's'zz)

(ov'g'zz\

@EB'zz)

(re'g'zz)

@e's'zz)

(ote'zz)

@z'e'zz)

#t ,s -,,sd q,ssz-(c-,cXs+,s)' -"Ql ,s-r,s --^d (,cs +,sc)Q - zf + Is - - \r

0{ ,s - -.sd 1,cslJ4$1p -,. ps-r : fl

0:Y'efunu.6e1ur u?1suo{ ledurea>1 {nlun usrlrusales rrcp

o :ry+o,ss + J,rs + g,s, +vtrc+ : (l :r rp (a) : ry

0: V_ : (0: x rp (_): ry

o = ry- [o(,sc +,rs) -)(,cc +,ss) - g(,cc -,ss) + y(,s, -,cs;1 fr

+ =

(r:*nlf-) ='e

o=ff+(r + il$+: (o =, n ffi*) ='e

efus4eq Flpuo{ uaJdura;

#l:'r=euu8uep

fl*:ffi*=,^(oz'8'zz)

: r1?lep? '(oZ.t ZZ) u??ruusrad lr?p tuntun uersala.{uad depeqrel uequq-ru4 reteqes IgrsuoroJrp ueetuusrad snsnq{ uercsela{ua4 .uulsuo{ quns qBIBpB d ueEuep

'e3r1r8as Inlueqraq u?qeq lzqr{B ydafral Bunfn ueuroru uep ftrelug.edeg yg.77 rrzqud

,OA

)'o^

(.:''e'zz) Ifl?*=tE*'lPxd 4 {rP

eped urrlreqqredrp Eue{ euuunugeqes rrdelrer tunfn >Jopq ,nrun Hl',1r1.1fl1'#,1Tn?eftyEeg-lnlueqrag uBqag lsqHv 11dapa1Eunft uaurop uup Eu4uq-eir.J g.ZZ

962 SIJ,SV'IA ISVONOJ SVIV IC XO'IVS

296 .ANALISIS

STRUKTUR LANJUTAN

Jika ekspresickspresi untuk 24, B, C, dan D di dalam Persamaan (22.8.4) disubstitusikanke dalam Persamaan (22.5.1), ekspresi-ekspresi untuk momen ujung terjepit dan gaya

lintarngMq;, Moi, Voi, dan Vq (Gambar 22.8.1) dapat diperoleh sebagai berikut:.

Moi--#(.$]-ffi)or'ivoi:-;6=(ifr.5+ o)or,

vo,:* #1.$+-4s,ffi]r.voi= -;Tl5=.4$i5to],'

D dalam kasus terdegenerasi dari @ = 0,

(22.8.5o)

(22.8.sb)

(22.8.5c)

(22.8.sd)

(22.8.6a)

(22.8.6b\

(22.8.6c)

(22.8.6d)

Msi = -$pL2Msi = -LnpL2

Vsi: lafrpL

Vs; = -$pL

22.9 Matriks Lokal [S/"] dan[ASArl suatu Bagian di dalam Balok

Ekspresi untuk matriks kekakuan suatu anggota pada fondasi elastis yang berukuran4 X 4, sebagaimana terlihat pada Persamaan (22.6.2), diperlukan dalam menetapkanmatriks lokal [S,4r] dan IASAT] pada penerapan kekakuan langsung sembarang darimetode matriks-perpindahan. Di dalam pasal ini penerapan khusus akan dilakukan pada

kasus yang anggota strukturnya berupa bagian suatu balok. Dari hubunganP-X dan F-euntuk bagian semaciln itu sebagaimana yang terlihat pada Gambar 229.1, matriks

PsXr

(iPrX, Fret

.}GFz-ez

l)

IPrXt

llPo-Xo Ft-et

Gambar 22.9.1 Hubungan P-X dan F-e untuk suatu bagian di dalam balok.

statika [,4J dan matriks deformasi [B] adalah sebagai berikut:

IFn'€ o

\FP\ 2 3 4

I +l 0 0 0

2 0 -l 0 0

3 0 0 -t 0

4 0 0 0 +l

!\.

f.At= (22.9.1)

7

urupp e{ I,VSV] p>[ol qrr]B.u u?{s?{Eurreu (1) dqecuau lnqesrot quqEuq u?trnrn'Eunsfuel uen>lu>leI ep oloul uup eselq Euef ge4Euel uelnrn r1n1t8uaru n1r ureceues uu8uci

4u,tueq ueEuap {opq uBsIsIIBueEuad eped uuqeprnfuad epoleru 'l'6'ZZ IBsBd urelsp Ip

lrVSVl u?P [-rlS] P{ol ${Irlctu Iq?pu sI}sBIo ISBpuo.I ssl? Ip lopq uer3eq nl,ns u?pa-l leurctw r?lru-relru uu8uep X-d lerxols{a u?rBseq-uerusaq uelSunqnqEuau r{BIeloS

uuqupudrel epolan uutuap srlsulg Isupuof suls rp {olug uuslsfluueEua; 91'77

'uuue>I tunfn rp qe,lazq e1 3ue1u1-u.,(e8 unp uep rrq 8un[n Ip s?18 a1 8ue1ur1-qfa? 'nl vep€C uup iqulruq o{ u?trnpuel 'bX ,sep ey'.antt unru[ qurees >lpn rseloJ 'zy uep ,X iqem-zq e>1 e[re1aq Euel e(eB-e,le?'bd wp eTiuelnlSuusreq 3uu,( 4opq uu8uolod pep uurnluep rrpl tunln rp urzf unruf qereas ufra1eq Eu?^ uotuoru qeppe 7d u?p Id '(V'e ZZ)aap (t'6'Zd u??ruesred eped e,nqeq ryquo{ letur e1q r{EpllBq'IuIs Ip rcdureg

'T'9'ZZ JBqtuBC upud 1o1dtp qe1a1 Eue,t ltrJedos e,{uuetsgeo>1-ualsgoo{ u?p

9'ZZWsed, uEIEp Ip tpedes ue>llsluuoprel gdlI1IJ e8Eurq IdI [gJ IBIIU tu?uoe{ ue8uap

b'e'zi)

(E 6'ZZ)

Q'e'zz)

e{*'{!tI* la frl- ilI,{S}* 9r{I{!I:t': ?

?dsH.L,: {aifill.L+ garr[aJ+ tdll[s[+ e

Eilli{g&; gdfttrJ{t r, rdrt[s}+ z{ng:Li z

IdI,IAI+ I

i t c I X

{{$[a}+ ?d$[EIT- sd$Iar- gdfi[A{- i

.tdiltEJ+' '1 ,.f{BEII* ,gdRI-gA- : !dI{&I+: f r.l

gdns&+ '9dr{![tr* fdlrlffI: ed.r{H.r- Z

9d$[A&. Ed$laJi ,:{d}![itriL]-,:: ldra{il}i; l:

? t 7 I X

= [rysy]

= [rys]

'(Z'S'Zd useruesrad FBp [S] $llrtulu ue>luunE8uetu uuEuap

= [g]

I+ o ,o 0 r

0 t- 0 s].:, '$' l

0 $ li. j.:{}'.:l ,,.2

q .fi 0 .,tr+ I

I ,;,;8:,a x t

L6Z srJsv'ra IsvoNoil svrv IC xo'Ivs


bentuk matriks kekakuan luar dari struktur keseluruhan; (2) mengumpulkan momen-momen ujung dan gaya-lintang akibat muatan tranwersal yang bekerja pada setiappotongan, sebagai tambahan terhadap gaya-gaya terpusat yang bekerja pada titik-titlkujung di antara bagian-bagian, untuk membentuk matriks [P] , (3) menghitung matriks-perpindahan [X] dari

[X]Np,Nrc: tAsArlntp,Np[P]rvp*Nrc (22.10.1\

dengan A? dan Iy'ZC masing-masing adalah derajat kebebasan dan banyaknya kondisipembebanan; dan ( ) menentukan momen ujung akhir dan gaya-lintang yang bekerjapada setiap bagian dari

[F*]r,Nrc : [Fo]r"rvrc + [SAr]4x4[X]4xNrc (22.10.2)

Meskipun rincian perhitungannya sebaiknya ditangani melalui program komputerumum, namun diperlukan juga ilustrasi konsep umum tersebut melalui contoh numerissederhana.

Contoh 22.lO.l Analisislah balok di atas fondasi elastis pada Gambar 22.lO.la de-ngan metode perpindahan. Modulus tekan medium elastisnya adalah 0,03 2 kN/cm3 ,

150 cm

E= 1200 kN,zcm2

k = 0,8 kN,zcm2r_25(Lof = 5orffi

cmn


PrXta\

Pz-Xz

(b) Diagram P-X

(c) Diagram F

(d) Dagram.Fs

Gambu 22.10.1 Balok di atas fondasi-elastis untuk Contoh 2Z.LO.L.

0,96 kN/cm

t\

7 --T:

N{ see'02- = (0sr)(%'0) lffi-ffi .] ff - = "*

- :":::::xx

ori<z#'l,,,+m. ffi -l ff * = ^tNr 8€'6Be- =,(0srxe6'0) (ffi -#:.) Y - = ",

ruc.Nr00,8ror_ =,(osr)o6.0) [ffi.ffi_] y_ =*,

e'rlr' es {nl un ue{ pun'rp 1e d ep ra n r

",1"r"#:,HX:i' ffi;l,. :"J."|'$T:*ff f8ue[ e8rldas uegaq {nlun u?>luruntrp (S'y'ZO uep (yg1d ueuru?sred undulsery

?7St'Z =lc eAZt|:1s

os'r =92lzlP(oozU^ *,=#A

tuc/1i11 69'697a =

'(€dWgD+ =(1,'OWd [rysy] IsqolE: (y,y\ eped [rVSV] FlotN{ TI?'ZI _ =

'(SdWAI)_ = (I ,Z) "pd [rysy] IEqotE = (Z ,p) eged [rysy] pto.r

NI II?'ZI _ =I(SdI^[AD-:(Z'I) W"n [rysy] IsqotE= (t'Z\ Wed [rVSVl tr}tot

ruc.NI 00s'108+ =

'(IdI^IAD+ = (1 '1) uped [rysy] I"qotE = (1,'Z) epea [rvsvl tP)to'I

e33u1qas :(V'6eO ue?ru?sred Irep (, 't) uep '(Z'il ,G,d ,e,,2,)

rnsun udn.req ue4e [rygy] pqoF stuluru depuqrel eurelred ueFeq qFtuequrn5

NI 016'SI-:'od

Nr 0r 6.s r + = (n,r)k€' o\z 16r.0 + : toor ){ze,ol ${f + =,ou

tur.NI Sr'r9Z- = zog

uro.N:t sl'r9z- = ,(0orXze'o)se L1(o',o- =.{ootXSg'6; (Il]l)i9! - = ,0,

'G' t'ZZ) u?Buresred ueermSSue4

0€t9'I : ,, zgLt'I:ls €0rs'0 = tr E1y3'jg = rs

'0 qsof, =,qu?p'f qurs :,s .+ sor = c .Q urs : s B{tu?-e{tue ueeun6Elue4

00'I =

'eurelred uedeq >1n1un

zur/N:l S'O : (Zeg'g)SZ = rt

e8turqas !ue>1e1 snlnpourue8uep {oleq reqel uzp uerplred qel?pu ,/ uen{?{e{ snlnpo4 NVIySATSINAd

'1rde[re1 rsrp-uo{ trr?l?p 80Cr ?33wq IoC Insuurre} 'fdr eSSultI Jg urepp e(e?-eie? elias zX. uupIX rcnl ueqepurdre d gelup? elururp Suea .

zuc/N{ 002I eduselrsrls?le snlnpouueEuep r33ur1 urc 0Z uep reqel ruc 96 qeppe ue1ru18uesraq Suud nfe:1 {opq uep

L0L0'O =rc St66'0 = zs

z-I =zQ

'Bnpe{ ue6eq >1n1un

662 SIISV'IX ISVCINOC SVIV IC XOTVS

ANALISIS STRU KTUR LANJUTAN

Sumbangsih potongan kedua terhadap matriks global IASAT ] akan berupa unsur-unsur di (1, l), (1,3), (3, 1) dan (3,3) dari Persamaan (22.9.a);sehingga

Lokal [ASAr] pada (1, l) = global [ASAT] pada (1, l): +(TEMPI),

= +558.200 kN'cm

Lokal [ASAT] pada (1, l): global tASATl pada (1,2) = +(TEMP5)z

: +6249,0 kN

Lokal [ASAT] pada (3, l) = global IASAT] pada (2,1) = +(TEMP5)z

= +6249,0 kN

Lokal [ASAT] pacta (3, l) = global [ASAI] pada (2,2): +(TEMP3),

= +lt4,82kN/cm

Matriks VSnrl dari struktur secara keseluruhan adalah, dengan superposisi,

rAsArr = l,lo+srqqiT, ,l]?;iil j,\T?r,]

xP

I 2

I + 1.365.7fl) kN'cm -616E kN

2 - 6l68kN + 3&4,42kN/cm

Matriks IASArl-1 diperoleh melalui eliminasi Gauss-Jordan yakni

IASAr)-'=

\PN t 2

+ 0,7894 x 10-6 rad/kN'cm + 12,ffix 10-6rad/kN

2 +12,ffi x 10-6cm/kN.cm +2E04,6x l0-6 cm/kN

Unsur di dalam matriks (P) adalah:

Pr = *Foz - Fos= +(-264,75) - (- 1048,00): +783,25 kN'cm

Pz: - Fu* Fu = -(r 15,910) + (+49,384) : +65,294 kN

Dari Persamaat (22.1 0.1),

Xt: +1445,4x l0-5rad

Xz= +193.050x l0-5cm

Dari Persamaar (22.9.3) dar. (22.10.2),

[Fil IF,,.| [+(rEMP2), -(rEMP6h-lj"l [_ ] r, [ *l -trruPl)r +(rEMPs)'

I Ix'llril l",l I -GEMP6), +creuPr)r

I lxzjIrll Ir*J L-oPuPs)' +(rEMP3hJ

r -264,15 I [+394.300 - ll.755l

l-zu,ts | . | -soz.soo + 12.417 l1+o,mrasa1=l + rs,no [*l - rr.zss +2zs,B2 ll*o,rrloso I[ - ls,gto ] l- n.tn +269,fi )

F7(ot'tt'zz)

'fruur. fr.oo *E * 'fru.o, ,fr'o, -o . (+) -a

* (1- r) +. # * : ^

r{?IEpB (I'il'ZZ rcqulr"1) srlsqe B^rn>l ueeruusrad'ju, uel 'il 'it 't*l 'ad '7d b 7 'f 'g it rsBun; rcEeqas 7 Euuluq-e.(e? uep 'y

ueruoru '/ uelnpuel >lnlun ue?r.uesred uelurunuaur n1;ed BII) 'I'I r.'ZZ rcgu:r-1 eped w>1-1eqr1:edrp Bue, eueunuEuqos srlsele rsepuoJ eped p4rdr1 lopq uer8uq ue{qeqred

'lou UBDIDIo{ ry snlnpou uu8uep rrrpuosretr uel}?qnlens te8eqes ssle o>l uBlnpuol ludeprel e.,(uurepp rp Eue,{ leref ua1n1e1-redu-reur ueEueprl?quJo{ srslleu?rp qelsruBr{ lnqosro} >loluq 'w{upualradrp >ppr1 e,{uurnrpow qolo {ol?que4rreued u4r['e.(usnsnpl iuresap uenlnl 1n1un uolnpadrp u,{uuserq ue€eq derles uelep8ue1q1-ufuE uep 'ueuou 'uelnpuel rsuu?,r 'u?r4tuop unureN 'ue8uolod derl-der1 urulepeures >p;e[roq 8ue,( 4r1r1 edereqaq 'ue>lulu] Ip {Bpl} rdel 'uet8uq-uerEeq erelue Sunq-nq {lqt rp Euuluq-e^{u8 uep uelnpuol 'uu8uurtual edruaq qu1e,{ueq 'e.{urunleqas lesedurel?p Ip uaIsDlnlrp Eue,{ eueune8eqes 'uesrsrleue8ued eped ueqepurdred epoleru pseg

ue8uolo4 ruulep Ip uaruol^l lBuIprO uup'Euqur.1-udug' ue1npue1 1,1' gg

'N{ 981'8I+ = tdrBBnf uep N{ 681'81+ = nd

qelepe e1e,(urel eru?s 8ue.t ue8uolod eped 3ue1u11-e.[u8 (Z) uep ur3.N{ 6l'996+ =iJ eAni uup rrrr.N{ 6I'gg6+ = 7l qeqpe u1e,(ure1 }nqesretr ue8uolod enpel Sunfn

Ip rnluel ueruour (t) pq 'tuepp lococ elefurel ?{rlels uelece8ued znpey

, fi uul. , fr

u,.*q + xfrusoc rfru,. *3 +

90s'8€ - I

98I'8t * It-LO,;Lil_

I

6t's96 + J

899'02 - Iygt'6t * I

l:8€'68e - |

oo'sror -l

f Lt9'zr

l r.,',,I ur'rrr,-L u,'r,or*

899'02

vxE'6t +g€'689 -00'8t0I -

_t i::-l*J*,*.1 [*,

I Nr 68l'81 + II Nr ssz'sl + I

1 *".*ru,'rru * l=["'*, il'r%t-)

fffi'w *l 10l6'sl -1lstt'tz +l lorr'sr+l

lr:*;l:l.li|x-l=r08 SIISVTS ISVONO.{ SVJV IC YO'IVS

302

F4

Gambar 22.ll.l Bagian balok tipikal di atas fondasi elastis.

dengan

4ln-o:L \i4Er


(22.tt.tb)

(22.1r.2c\

(22.11.2d)

Konstan sembarang A, B, C, dan D dapat diperoleh dari nilai-nilai yang telah diketahuiyakni ,F1, Fz, Ft, dan Fa dari Persamaan (22.5.2), dari notasi-notasiM;. Mi. V,. dm V,telah digunakan untuk Fr, Fz, .F,3 dan,Fa;sehingga, dengan s = sin @, c = cos 0. s'=sinh @, dan c' = cosh 0,

12n* : +1E*{y:75[-tr"* s)Ff + 2ss'Ff -l{r'r' - sc)Ff -'6trr' - cs)Ft]

(22.11.2a)

B* = + 2EI6#E=-O|*1.. * s'c')Ff - (sc'+ cs)Ff +Lrs''?Ft+ ftss)rI]

n* - - L2 [-rr.^ - o,n,\F* - /cn

(22'll'2b)

v , 28r62(s, - ,) [*(r"

* s'c')Ff - (sc'+ cs')F] + ]s'zri + ftss)rt]

12o*= +fut-FflDari Persamaan (22.2.5) dan (22.11.1),

V:_EI{1dx-

: *'lr+[(sc,+ cs,)A* + (ss,+ cc,\B*+ (ss,- cc,)C** (sc,- cs,)D*](22.rr.3)

D"ri P.rru*u an (22.2.6) dan (22.11.1),

u = -EI4't,dx'

.'-t+(ss'A* + sc'B* - cs'C* - cs'D*) (22.11.4)

Ringkasnya, lendutan gaya-lintang, ordinat momen di dalam bagian tersebut dapatdiperoleh dengan pertama-tama menghitung konstan sembarang dari Persamaan (22.11.2)dan kemudian dengan menggunakan masing-masing Persamaan (22.11.1),(22.11.3),dan(22.1r.4).

aIi

uL'?t6t - 00s'8t -00'1oil- tz\'Le-w'9t8 - tz6'9t-0s'8ze - B6'zt-0S'1tl + 800'62-06'9fs + t$o'tz-0B'rE8 + 9€l'81 -0r's[0] + 9t0'U -06'08il + wtz -0s'lsll+ zt6'9 +0l'S9(i + 881'81+

881?l + t0€6t'0+806'61 + legLl'O+081'lZ+ glg9l'0+tzg'tz+ giael'o+t90'92+ 8zt0l'0+80s'82+ 9fl80'0+zsl'l€+ 9ll.s0'0+886't€+ 86re0'0+,86'99+ 98910'0+tol'0t+ 99t00'0+z6z'tt+ 0

0

200t0'0+,8Se0'0+0zlt0'0+0€0t l'0+t6Ltl'0+096il'0+?Lloz'o+88t IZ'0+98802'0+,0€6t'0+

0l'996 +W,?LL +0t'99S +09'8tt +0€'68 +0r'€8t -0s't8? -0l't08 -08't9r l -0z'L?9t -0I't961 -

0't6'08'0L,O

9'0s'0,'0€'07.'0

l'00

urr.Nl fi NI /1 ruJ'(

'ueBu-e1 ue8unllqred uelep u?r1{el{epr1e{ leqpls qBIepE lnqosrel uu>1rlesrp Buef 1e4rr-atrrnu reTru urq?p Ip gce>1 ue8uedurrs edereqeg .l ll.ZZ 1eqe1 uped ueryqe8rp uepO"WZ) u?p '(€'IIZO '(l'11'77) ueeuesred u?p tunlr-qrp lnqesret w8uolodenpelepudqnlndese>1qr1r1 durles rp uoruour uep .Buuluryez(e8,ue1npue1 rep51

wc7197'g-: *gur) 8?lz'0+ : *Jtuc y669.6+ : *gurf,8900'I-: *y

k'll'(d u?Btuesred rr?C

NIS0S'8€-:Ic N{98I'.8l+:fCrur.Nt t0.St6I _ :;.{ ujr.NI 6I,596+ :;C

tzgtz: ,c E6Z1,Z =,s t010,0 : r sr66.0 = s

0 : ud tur/Nl 96'0 = 7d 0 = b

zur.NlsOI x}Z= IZ ur.0SI =7 0S.I = 0

anperl ue6eq 1n1unruc g16y'91 = *gw)71?s'0- = *cuto 71yg'91 : *gruf, 000,t'0- = *y

'k' 1 t' ZZ\ u?euesred rrBC

NI 68r '8r + : jc N{ 982'.€?+ : jcrur.NI 61,S96+ : jC uro.NI SI,196I _ =ld

o€ts't =,r zsLt't: /s t0ts.0 = , slt8,0 = s

0 = ud 0 = zd ur./NI z€.0 = b

zuc.N{ cOI xuZ = lZ rur 001 = 7 00,1 = +'uuelrad uu6eq >1n1un NVIVSA'IiIlNAiI

.efu8unqnq {lq}->11}ll

eped 3ue1ur1-e.{u8 uep ueruour rcIu-rBlru u?p u?{nluelrp Bue,( ueueqaqrued rrepfi'1y'Zz requ?C nule) l.6l.ZZtloluoJ {opq ruBl€p rp uer?eq enpe>1 epud qnlnd-ese{ {rlrl derles rp uetuour uup ,8ue1ur1-efe8 ,ue1npue1 qepunlrg I l.Z.T. qoluoJ

tur.Nl fi NI' ruc.(

l'Ol'27. rEquBC usp ueurour IoIBq uup.Eue1u11-efe8,uetnpue,J I.II.ZZ IegBI

808 SIJSV'I3 ISVCINOJ SVIV IC XO'IYS

i-

S STRUKTUR LANJUTAN

22.12 Lou,,o^,'

22) .tnngga 22.5 Balok kayu sebagaimana diperlihatkan pada Gambar 22.12.1 brngga

22.i5 adalah 25 cm lebar dan 20 cm tinggi, dengan E = l20O kN/cm2. Balok-balok

tersebut diletakkan di atas tanah dalam arah memanjang; modulus tekanan tanah dapat

diambil sama dengan 0,032 kN/cm3. Analisislah setiap balok dengan metode matriks-

pgrpindahan dengan memperlihatkan diaglam beban-bebasnya, diagram gaya lintangnya,

dan diagram momen, dan kurva elastisnya. Derajat kebebasannya adalah 2 untuk Latih-

at 22.1 dan 22.3; 4 untuk Latihan 22.2 darr 22.4;4 untuk Latihat 22.5; dan 6 untukLatil:ran 22.6.

Gambar 22,12.1 Latthan 22.1. Ganibar 22.12.2 Latihan 22.2.

I l50cm I

Gambar 22.12.4 Latihan 22.4.Gambar 22.12.3 Latihan 22.3.

Gambar 22.12.5 Latihan 2.2.5.

i i u: \! I

[ 1 5 ;. I

t'I r ''] IIi

tL_.-" _

0,32 kN/cm

Q96 kN/cm

0,32 kNlcm

Gambar 22.12.6 Latihan 22.6.

analisa struktur lanjutan 2-libre

Documents