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AMPLIACION DE ECUACIONES

DIFERENCIALES

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Manuel Gonzalez Burgos, Dpto. de Ecuaciones Diferenciales y Analisis Numerico, Universidad de Sevilla

Indice general

1. Estabilidad de Sistemas Lineales-Perturbados 51.1. Introduccion. Repaso de resultados conocidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2. Motivacion del estudio de la estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3. Conceptos de estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.4. Estabilidad de sistemas lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.5. Aplicacion al caso de sistemas lineales de coeficientes constantes . . . . . . . . . . . 211.6. Estabilidad de perturbaciones de sistemas lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.7. Comentarios bibliograficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2. El Segundo Metodo de Liapunov 272.1. Introduccion. Funciones de Liapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.2. Condiciones suficientes de estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.3. Una condicion suficiente de inestabilidad. Teorema de Tchetaev . . . . . . . . . . . . 372.4. Resultados adicionales y comentarios bibliograficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3. Orbitas sistemas autonomos. Teoremas de LaSalle y Poincare-Bendixson 413.1. Concepto de orbita. Orbitas de sistemas lineales planos . . . . . . . . . . . . . . . . 413.2. Orbitas cıclicas y conjuntos lımite. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.3. Principio de Invarianza: El Teorema de LaSalle. Consecuencias . . . . . . . . . . . . 503.4. El caso particular de sistemas planos. El Teorema de Poincare-Bendixson . . . . . . 543.5. Comentarios bibliograficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4. Problemas de Contorno para S.D.O. Lineales 574.1. Problemas de contorno para s.d.o. lineales. Teorema de alternativa . . . . . . . . . . 574.2. El operador de Green. Nucleo de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604.3. El problema de contorno para una e.d.o. lineal de segundo orden . . . . . . . . . . . 644.4. El problema de Sturm-Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5. El Problema de Cauchy para E.D.P. de Primer Orden 715.1. Introduccion. Conceptos generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715.2. Formulacion del Problema de Cauchy para una EDP casi-lineal . . . . . . . . . . . . 735.3. Analisis del problema de Cauchy: El Metodo de las Caracterısticas . . . . . . . . . . 74

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4 INDICE GENERAL


Capıtulo 1

Estabilidad de Sistemas Lineales y

Sistemas Lineales Perturbados

Este capıtulo es el primero dentro del bloque dedicado al estudio de la estabilidad de ecuacioneso sistemas diferenciales ordinarios. En concreto, dedicaremos este primer capıtulo al estudio de laestabilidad de las ecuaciones y sistemas mas sencillos: los sistemas lineales y los sistemas linealesperturbados.

1.1. Introduccion. Repaso de resultados conocidos

La asignatura Amplicacion de Ecuaciones Diferenciales es una asignatura obligatoria delmodulo Ecuaciones Diferenciales que se imparte en el primer cuatrimestre del tercer curso delGrado en Matematicas. Consta de 6 creditos ECTS de los cuales, 4’5 son teoricos y 1’5 practi-cos. Se trata de una continuacion del estudio de la teorıa de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias(E.D.O.) comenzado en la asignatura tambien denominada Ecuaciones Diferenciales Ordina-rias. Esta ultima asignatura es impartida en el segundo cuatrimestre del segundo curso del Gradoen Matematicas. Ambas asignaturas constituyen el modulo Ecuaciones Diferenciales del citadoGrado.

Comenzaremos recordando algunos conceptos estudiados en la asignatura Ecuaciones Dife-renciales Ordinarias. De manera general, en esta asignatura se estudio el llamado Problema deCauchy o Problema de Valores Iniciales para un Sistema Diferencial Ordinario (S.D.O.) de primerorden. Este se puede escribir:

(PC)

y = f(t, y),

y(t0) = y0,

donde Ω ⊆ RN+1 es un abierto conexo (N ≥ 1 es un numero natural: numero de ecuaciones delsistema),

f : (t, y) ∈ Ω −→ f(t, y) ∈ RN ,

es una funcion que satisface f ∈ C0(Ω;RN )∩Liploc(y,Ω) y (t0, y0) ∈ Ω. Recordemos que Liploc(y,Ω)es el espacio de funciones definidas de Ω en RN que son localmente lipschitzianas respecto de lavariable y en Ω. Es decir, son las funciones f : Ω → RN que satisfacen: para cualquier (t0, y0) ∈ Ωexisten dos constantes ε > 0 y L ≥ 0 tales que B((t0, y0); ε) ⊂ Ω y

|f(t, y1)− f(t, y2)| ≤ L|y1 − y2|, ∀(t, y1), (t, y2) ∈ B((t0, y0); ε).1

1A partir de este momento utilizaremos | · | para representar la norma euclıdea de RN . Salvo que se especifique lo

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6 1.1. Introduccion. Repaso de resultados conocidos

En la asignatura de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias se estudio:

1. Algunos metodos elementales de integracion de E.D.O.

2. Resultados de existencia y de unicidad de solucion local del Problema de Cauchy (PC).Como resultado importante, se estudio el Teorema de Picard (que proporciona el resultadode existencia y unicidad de solucion local). En la prueba de este resultado se utilizo el Teoremade Banach del Punto Fijo, otro de los resultados importantes de la citada asignatura.

3. Resultados de existencia y unicidad de solucion global o solucion maximal ϕ(·; t0, y0) delProblema de Cauchy definida en el intervalo I(t0, y0) (intervalo de definicion de la solucionmaximal). En particular, la unicidad de solucion global de (PC) fue obtenida como conse-cuencia del Lema de Gronwall.

4. Criterios de prolongabilidad de soluciones y caracterizacion de soluciones maximales.

5. Ecuaciones y sistemas lineales.

En esta primera seccion recordaremos de manera mas precisa algunos resultados conocidos sobreel problema de Cauchy o problema de valores iniciales para un sistema diferencial ordinario. En estecapıtulo y en los dos siguientes utilizaremos la variable t (en lugar de x) para designar la variableindependiente del sistema.

De manera general, consideramos Ω ⊆ RN+1, con N ≥ 1 un entero, un conjunto abierto conexono vacıo, f : Ω ⊆ RN+1 −→ RN una funcion continua en Ω y (t0, y0) ∈ Ω un punto. Con estosdatos, consideramos el problema de Cauchy:

(1.1)

y = f(t, y)

y(t0) = y0.

Sean I ⊆ R, un intervalo no degenerado tal que t0 ∈ int (I), y ϕ : I ⊆ R −→ RN una funciondefinida en I. Recordemos que ϕ es solucion del problema de Cauchy (1.1) en I (o solucion localde (1.1) en I) si ϕ ∈ C1(I;RN ) y satisface

(i) (t,ϕ(t)) ∈ Ω, para cualquier t ∈ I,

(ii) ϕ(t) = f(t,ϕ(t)), para todo t ∈ I, y,

(iii) ϕ(t0) = y0.

El siguiente teorema da un resultado de existencia y unicidad de solucion local del problema deCauchy. Se trata del Teorema de Picard:

Teorema 1.1.1 (Teorema de Picard). En las condiciones anteriores, supongamos que

f ∈ C0(Ω;RN ) ∩ Liploc(y;Ω).

Entonces, para cada (t0, y0) ∈ Ω, existe δ > 0 tal que el problema de valores iniciales (1.1) tieneuna unica solucion ϕ en el intervalo Iδ = [t0 − δ, t0 + δ].

Pasamos a continuacion a recordar los resultados concernientes a la existencia y unicidad desolucion maximal o global. Comenzamos recordando un resultado de unicidad global. Se tiene:

contrario, esta sera la norma utilizada en RN . Es bien conocido que en RN todas las normas son equivalentes. Portanto, los conceptos desarrollados en esta asignatura no dependen de la norma elegida.


Tema 1. Estabilidad de Sistemas Lineales-Perturbados 7

Teorema 1.1.2 (de unicidad global). En las condiciones anteriores, supongamos que

f ∈ C0(Ω;RN ) ∩ Liploc(y;Ω),

y (t0, y0) ∈ Ω. Sean (I1,ϕ1) e (I2,ϕ2) dos soluciones del problema de Cauchy (1.1). Entonces,

ϕ1(t) = ϕ2(t), ∀t ∈ I1 ∩ I2.

Antes de enunciar el resultado de existencia de solucion maximal, recordemos ciertos conceptosque utilizaremos en este curso. Para cada (t0, y0) ∈ Ω, denotaremos

S(t0, y0) = (I,ϕ) : ϕ es solucion del problema de Cauchy (1.1) en I.

El Teorema de Picard en particular implica que S(t0, y0) = ∅.

Definicion 1.1.3. Consideremos (t0, y0) ∈ Ω e (I,ϕ) ∈ S(t0, y0).

(a) Diremos que la solucion (I,ϕ) de (1.1) es prolongable por la derecha, si existe una solucion(J,ψ) ∈ S(t0, y0) tal que I ⊂ J y sup I ∈ int (J).

(b) Diremos que (I,ϕ) es prolongable por la izquierda, si existe una solucion (J,ψ) ∈ S(t0, y0) talque I ⊂ J e ınf I ∈ int (J).

(c) Diremos que (I,ϕ) es prolongable, si es prolongable por la derecha o por la izquierda (o ambascosas a la vez).

(d) Finalmente, diremos que (I,ϕ) es una solucion maximal, o una solucion global, del problemade Cauchy (1.1) si (I,ϕ) no es prolongable.

Observacion 1.1. Si (I,ϕ) es una solucion del problema de Cauchy (1.1) prolongable por laderecha, y si (J,ψ) ∈ S(t0, y0) es tal que I ⊂ J y sup I ∈ int (J), entonces, como consecuencia delTeorema 1.1.2 (teorema de unicidad global), se tiene que ϕ y ψ coinciden en la interseccion de losintervalos, es decir, en I. En este sentido, la solucion ψ es una prolongacion de la funcion ϕ por elextremo derecho del intervalo I. Cabe hacer una observacion similar si (I,ϕ) es prolongable por laizquierda.

Recordemos el Teorema de prolongabilidad de soluciones locales del problema de Cauchy (1.1).Por comodidad, enunciaremos el resultado de prolongabilidad de la solucion por la derecha. Setiene:

Teorema 1.1.4. Supongamos que f ∈ C0(Ω;RN )∩Liploc(y;Ω). Sea (t0, y0) ∈ Ω e (I,ϕ) ∈ S(t0, y0)una solucion local del problema de Cauchy (1.1). Entonces, son equivalentes:

1. La solucion (I,ϕ) es prolongable por la derecha.

2. La semitrayectoria derecha

τ+ϕ = (t,ϕ(t)) : t ∈ I con t ≥ t0 ⊂ Ω

esta acotada y dist (τ+ϕ , ∂Ω) > 0.

Ya estamos en condiciones de enunciar el resultado de existencia y unicidad de solucion globaldel problema de Cauchy (1.1). Se tiene:



Teorema 1.1.5 (de existencia y unicidad de solucion global). Sean Ω un abierto conexo novacıo de RN+1 y f : Ω −→ RN una funcion tal que

f ∈ C0(Ω;RN ) ∩ Liploc(y,Ω).

Entonces, para cada (t0, y0) ∈ Ω, existe una unica solucion maximal o global del problema deCauchy (1.1). Ademas, el intervalo de definicion de la solucion maximal es abierto.

Observacion 1.2. Dado (t0, y0) ∈ Ω, utilizaremos la notacion (I(t0, y0),ϕ(·; t0, y0)) para denotar launica solucion maximal del problema de Cauchy (1.1). Del Teorema 1.1.4 podemos deducir cual esel comportamiento de la solucion maximal ϕ(·) ≡ ϕ(·, t0, y0) en los extremos del intervalo I(t0, y0).Razonando con el extremo superior, se tiene que, o bien que la semitrayectoria positiva τ+ϕ es noacotada, o bien dist (τ+ϕ , ∂Ω) = 0 (es decir, la semitrayectoria “toca” la frontera de Ω).

Pasemos ahora a recordar ciertos puntos de la teorıa de S.D.O. lineales de primer orden. Paraello, fijemos una funcion matricial y una funcion vectorial

A : t ∈ I −→ A(t) ∈ L(RN ) y b : t ∈ I −→ b(t) ∈ RN

definidas en I ⊆ R, un intervalo no degenerado, tales que A ∈ C0(I;L(RN )) y b ∈ C0(I;RN ).Consideremos el problema de valores iniciales para un sistema lineal no homogeneo

(1.2)

y = A(t)y + b(t),

y(t0) = y0,

donde t0 ∈ I e y0 ∈ RN . Observese que en este caso f(t, y) = A(t)y + b(t) es una funcion definidaen Ω = I × RN que, en principio, podrıa no ser abierto. En cualquier caso es posible aplicar lateorıa de existencia y unicidad de solucion maximal para el problema (1.2) y concluir:

1. Existe una unica solucion maximal ϕ(·; t0, y0) ∈ C1(I(t0, y0);RN ) del problema de valoresiniciales (1.2);

2. I(t0, y0) ≡ I, para cualquier (t0, y0) ∈ I × RN .

Es mas, se puede resolver “explıcitamente” el problema (1.2). Recordemos como hacerlo. Conside-ramos los s.d.o. lineales homogeneo y no homogeneo:

(1.3) y = A(t)y t ∈ I,

(1.4) y = A(t)y + b(t) t ∈ I.

Sean

(1.5)

W0 = ϕ : ϕ ∈ C1(I;RN ) es solucion de (1.3) en I,Wb = ϕ : ϕ ∈ C1(I;RN ) es solucion de (1.4) en I.

Entonces:

Proposicion 1.1.6. Bajo las condiciones anteriores, se tiene:

1. W0 es un subespacio vectorial de C1(I;RN ) con dimW0 = N .



2. Si b ∈ C0(I;RN ) es una funcion no identicamente nula, Wb es una variedad afın de C1(I;RN )con dimWb = N . De hecho, Wb = ϕb +W0 con ϕb una solucion particular en I del sistemano homogeneo (1.4).

Este resultado en particular afirma que dimW0 = N . Por tanto, las bases del espacio W0 tienenN elementos. Supongamos que ϕ1,ϕ2, . . . ,ϕN ⊂ C1(I;RN ) es una base de W0. Entonces tenemosque la matriz cuyas columnas estan formadas por los elementos de esta base, i.e., la matriz

F (t) = (ϕ1(t) |ϕ2(t) | · · · |ϕN (t)) ∀t ∈ I,

satisface F ∈ C1(I;L(RN )), sus columnas son linealmente independientes y F (t) = A(t)F (t) paracualquier t ∈ I. Esto nos lleva a la siguiente definicion:

Definicion 1.1.7. Se dice que F ∈ C1(I;L(RN )) es una matriz fundamental (m.f.) asociada alsistema (1.3) si las columnas de F son linealmente independientes en C1(I;RN ) y se satisfaceF (t) = A(t)F (t) para cualquier t ∈ I.

Ejemplo 1.1. Recordemos que en el caso particular de sistemas lineales de coeficientes constan-tes, se podıa calcular explıcitamente una m.f. Efectivamente, consideremos el sistema lineal decoeficientes constantes

y = Ay,

con A ∈ L(RN ) una matriz. Entonces, una m.f. asociada al sistema anterior esta dada por:

F (t) = etA =

n≥0

1

n!(tA)n, ∀t ∈ R.

Observese que de la propia definicion de matriz fundamental deducimos que sus N columnasson elementos del espacio W0 y forman una base de este. Ası, no es difıcil comprobar la igualdad:

W0 = ϕ : ϕ(t) = F (t)a ∀t ∈ I, con a ∈ RN.

Evidentemente, hay tantas m.f. asociadas al sistema (1.3) como bases del espacio W0. En estesentido, se tiene:

Proposicion 1.1.8. Sean F una m.f. asociada a (1.3) y F ∈ C1(I;L(RN )) tal que F (t) = A(t) F (t)para todo t ∈ I. Entonces, existe C ∈ L(RN ) tal que F (·) = F (·)C. Ademas, F es una nuevam.f. asociada a (1.3) si y solo si detC = 0.

Es posible dar una caracterizacion para m.f. asociadas a sistemas lineales. Se tiene:

Proposicion 1.1.9. Sea F ∈ C1(I;L(RN )) una funcion matricial tal que F (t) = A(t)F (t), parat ∈ I. Entonces, son equivalentes:

1. F es una m.f. asociada a (1.3).

2. detF (t) = 0, para cualquier t ∈ I.

3. detF (t) = 0, para cierto t ∈ I.

Volvemos de nuevo al problema de Cauchy (1.2). El conocimiento de una m.f. asociada al sistemahomogeneo (1.3) permite dar una formula explıcita de la solucion del problema (1.2):



Proposicion 1.1.10. Supongamos dados A ∈ C0(I;L(RN )), b ∈ C0(I;RN ) y (t0, y0) ∈ I × RN .Sea F ∈ C1(I;L(RN )) una m.f. asociada a (1.3). Entonces, la unica solucion maximal del problemade Cauchy (1.2) viene dada por:

(1.6) ϕ(t; t0, y0) = F (t)F (t0)−1y0 + F (t)

t

t0

F (s)−1b(s) ds, ∀t ∈ I.

Prueba: Para calcular la unica solucion maximal del problema (1.2) definida en I calcularemos enprimer lugar la solucion general del sistema no homogeneo (1.4). Observese que esta viene dada porϕ(·) = ϕb(·)+F (·)a, donde ϕb es una solucion particular de (1.4) en I y a ∈ RN . Calcularemos unasolucion particular ϕb de (1.4) utilizando el llamado metodo de Lagrange o metodo de variacion delas constantes. Buscamos

ϕb(t) = F (t)a(t), ∀t ∈ I,

donde a ∈ C1(I;RN ) es una funcion vectorial a determinar. Llevando ϕb a (1.4), no es difıcil verque ϕb es una solucion de (1.4) en I si y solo si

F (t)a(t) = b(t), ∀t ∈ I ⇐⇒ a(t) = F (t)−1(t)b(t), ∀t ∈ I.

Integrando esta ultima igualdad entre t0 y t encontramos una expresion de a y de ϕb. Ası, la soluciongeneral de (1.4) viene dada por

(1.7) ϕ(t) = F (t)a+ F (t)

t

t0

F (s)−1b(s) ds, ∀t ∈ I,

con a ∈ RN .Finalmente, imponiendo la condicion inicial de (1.2) a la expresion (1.7), obtenemos el valor de

a y la formula (1.6).

Observacion 1.3. En la prueba anterior hemos usado de manera fundamental la propiedad

detF (t) = 0, ∀t ∈ I,

que satisface cualquier matriz fundamental asociada al sistema homogeneo (1.3).

Dejamos de lado por ahora la teorıa de S.D.O. lineales y volvemos al problema de Cauchy (1.1).La siguiente cuestion que trataremos sera la dependencia de la solucion maximal de (1.1) respectode los datos iniciales. Sabemos que la solucion maximal ϕ(·; t0, y0) es continua (de hecho, derivable)en el intervalo I(t0, y0) respecto de la variable t. Podrıamos ver el dato inicial (t0, y0) ((t0, y0) ∈ Ω)tambien como una variable de la que depende la solucion maximal. Por tanto, la pregunta parecenatural: ¿Es la solucion maximal ϕ(·; ·, ·) continua respecto de t y respecto del dato inicial (t0, y0)?

Este resultado de continuidad de la solucion maximal respecto de los datos iniciales no ha sidoprobado en la asignatura de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. En cualquier caso, daremos suenunciado pero no daremos su prueba. Comenzamos por la siguiente definicion:

Definicion 1.1.11. Supongamos que se tienen las hipotesis del Teorema 1.1.5. Ası, se definen elconjunto

Θ := (t, t0, y0) ∈ RN+2 : (t0, y0) ∈ Ω y t ∈ I(t0, y0),

y la funcionϕ : (t, t0, y0) ∈ Θ ⊆ RN+2 → ϕ(t; t0, y0) ∈ RN .

La funcion ϕ(·; ·, ·) ası definida es denominada solucion (maximal) del problema de Cauchy (1.1)expresada en funcion de los datos iniciales.



Podemos ya enunciar el teorema de dependencia continua de la solucion maximal respecto delos datos iniciales. Se tiene:

Teorema 1.1.12 (Dependencia continua respecto de los datos iniciales). Bajo las condi-ciones del Teorema 1.1.5, se tiene que el conjunto Θ es un conjunto abierto de RN+2 y la solucionmaximal ϕ(·; ·, ·) del problema de Cauchy (1.1) expresada en funcion de los datos iniciales es con-tinua en Θ, es decir, ϕ ∈ C0(Θ;RN ).

Observacion 1.4. 1. La prueba del Teorema 1.1.12 es tecnicamente complicada. Existen variasposibles pruebas del resultado, aunque quiza la mas sencilla es la desarrollada en [13]. Parapruebas alternativas del resultado puede tambien consultarse [18].

2. Todos los resultados enunciados en esta seccion (salvo el ya mencionado Teorema 1.1.12) hansido probados en la asignatura Ecuaciones Diferenciales Ordinarias del segundo curso del Gra-do en Matematicas por la Universidad de Sevilla. En cualquier caso, pueden ser consultados,por ejemplo, en [15] y [13].

1.2. Motivacion del estudio de la estabilidad

Supongamos que estamos analizando un fenomeno fısico, biologico, ..., que evoluciona con elpaso del tiempo, y cuyo comportamiento se rige por un sistema diferencial ordinario o, por concretarun poco mas, por una e.d.o. de primer orden, junto con unas determinadas condiciones iniciales,que nos dicen cual es el comportamiento del sistema en el tiempo inicial t0. Este fenomeno puedeser por tanto modelado mediante el problema de Cauchy (1.1), con f y (t0, y0) satisfaciendo ciertascondiciones (ver Seccion 1.1).

Evidentemente, en la estimacion del estado inicial del sistema siempre se producen errores (erro-res humanos, de los aparatos de medida, ...). Por tanto, no conocemos el verdadero estado inicialy0 del sistema sino una aproximacion de ese estado inicial y0. Ası, la solucion que obtendrıamos alresolver el problema de Cauchy (1.1) es ϕ(·; t0, y0) en lugar de la solucion real (que serıa ϕ(t; t0, y0)).

Resulta fundamental conocer como afecta el pequeno error a la verdadera solucion del problemade Cauchy (1.1). Veamos que cuando el tiempo t recorre un pequeno intervalo acotado, las dossoluciones del problema de Cauchy (la real y la obtenida con el dato inicial erroneo) estan cerca.Obtendremos el resultado como consecuencia del Teorema 1.1.12 (continuidad respecto de datosiniciales).

En efecto, supongamos que f ∈ C0(Ω;RN ) ∩ Liploc(y;Ω), con Ω ⊆ RN+1 un abierto conexo novacıo, y sea (t0, y0) ∈ Ω. Entonces, la solucion maximal satisface ϕ(·; ·, ·) ∈ C0(Θ;RN ). Se tiene que(t0, t0, y0) ∈ Θ, por tanto, existe T > t0 y a0 > 0 tal que el compacto K satisface

K := [t0, T ]× t0×B(y0; a0) ⊂ Θ.

(Observese que la anterior inclusion en particular dice que si |y0 − y0| ≤ a0, entonces I(t0, y0) ⊃[t0, T ]). De la continuidad uniforme de ϕ en el compacto K, se deduce que dado ε > 0 existeδ ∈ (0, a0) tal que

|ϕ(t; t0,y0)− ϕ(t; t0, y0)| ≤ ε, ∀(t; t0,y0), (t; t0, y0) ∈ K satisfaciendo |t− t| ≤ δ, |y0 − y0| ≤ δ.

En particular, para |y0 − y0| ≤ δ se tendra que

|ϕ(t; t0, y0)− ϕ(t; t0, y0)| ≤ ε, ∀t ∈ [t0, T ].


12 1.2. Motivacion del estudio de la estabilidad

¿Que ocurrira con la diferencia anterior cuando t > T? ¿y cuando t → ∞? La teorıa de estabilidadque veremos en los proximos capıtulos dara respuesta a estas cuestiones.

En sus orıgenes, la estabilidad aparecio asociada a problemas de la mecanica cuando se querıaestudiar el comportamiento de los estados de reposo o equilibrio del sistema. Veamos como ejemploel movimiento del pendulo simple:

Ejemplo 1.2. Supongamos que tenemos un pendulo simple de masa puntual m que oscila en unplano suspendido de una cuerda inextensible y rıgida de longitud l. Supongamos que el pendulooscila sin rozamiento y que unicamente esta sujeto a la fuerza de la gravedad g (que supondremosconstante). Si x(t) es el angulo formado entre la posicion del pendulo y la posicion vertical en eltiempo t, entonces el movimiento del pendulo se modela mediante la e.d.o. no lineal de segundoorden:

x+ k senx = 0,

donde k > 0 es un parametro positivo que depende de g y de l. A esta ecuacion habrıa quecomplementarla con un dato inicial (que por comodidad tomaremos en t0 = 0) que fısicamentecorresponde a la posicion inicial x(0) y a la velocidad angular inicial x(0) (que supondremos nula):

x(0) = x0, x(0) = 0.

Desde el punto de vista fısico, hay dos posiciones de equilibrio del pendulo que corresponden ax0 = 0 y a x0 = π. Si x(t; t0, x0) denota, como siempre, la solucion maximal del problema deCauchy planteado mas arriba, se tiene I(0, 0) = I(0,π) = R y

ϕ0(t) = x(t; 0, 0) = 0, ϕ1(t) = x(t; 0,π) = π ∀t ∈ R.

En este modelo, la posicion de equilibrio ϕ0 es estable pues, si se produce una pequena desviacionde la posicion de equilibrio, el movimiento del pendulo sera oscilatorio alrededor de dicha posicion,manteniendose siempre muy cerca de ella. Sin embargo, la posicion de equilibrio ϕ1 resulta serinestable pues una pequena desviacion de dicha posicion hace que el pendulo se aleje de esa posicion.De hecho, podemos encontrar tiempos arbitrariamente grandes en los que la posicion del pendulose mantendra “alejada”de la posicion de partida.

Ejemplo 1.3. Consideremos ahora la e.d.o. de primer orden

y = y − y3.

Aplicando los resultados de la Seccion 1.1 podemos concluir que para cualquier (t0, y0) ∈ R2 elproblema de Cauchy asociado a esta ecuacion tiene una unica solucion maximal ϕ(·; t0, y0) definidaen el intervalo I(t0, y0). En lo que sigue supondremos que t0 = 0 (tiempo inicial igual a 0) pues, comoveremos, para esta ecuacion esto no supone ninguna restriccion (se trata de un sistema autonomo).

Es obvio que existen tres soluciones constantes (tres puntos de equilibrio o de reposo): y0 = 0,y1 = 1 e y−1 = −1 (se tiene por tanto que I(0, y0) = I(0, y1) = I(0, y−1) = R y ϕ(t; 0, y0) = 0,ϕ(t; 0, y1) = 1 y ϕ(t; 0, y−1) = −1, para cualquier t ∈ R). Para analizar como es el comportamientode cualquier otra solucion, basta calcular la solucion maximal que pasa por (0, y0). Esto es posiblepues se trata de una ecuacion de variables separables (o tambien de Bernoulli). Se puede comprobarfacilmente que para cada y0 = 0,

ϕ(t; 0, y0) = sign (y0)

1

1−1− 1

y20

e−2t

,



con

I(0, y0) =

R si y0 ∈ [−1, 1],1

2ln

1− 1

y20

,∞

si |y0| > 1.

En consecuencia, se observa que

Si y0 < 0, entonces lımt→+∞

ϕ(t; 0, y0) = −1.

Si y0 > 0, entonces lımt→+∞

ϕ(t; 0, y0) = 1.

De este modo, todas las posibles soluciones de la ecuacion (i.e., todos las posibles trayectorias) obien son uno de los tres estados de reposo, o bien se acercan a los equilibrios y−1 = −1 o y1 = 1. Estose interpreta como que dichos estados de reposo son estables, mientras que el y0 = 0 es inestable.Todos estos conceptos seran vistos con detalle en la siguiente seccion.

1.3. Conceptos de estabilidad

En lo que sigue supondremos dados un abierto conexo no vacıo Ω ⊆ RN+1 y una funcion f ,satisfaciendo:

(1.8)

I ×Bρ ⊆ Ω,

f ∈ C0(Ω;RN ) ∩ Liploc(y;Ω) y f(t, 0) = 0, ∀t ∈ I,

donde I = (τ,∞) y Bρ = B(0; ρ) ⊆ RN con ρ ∈ (0,∞] y τ ∈ [−∞,∞). Por otro lado, consideramosel s.d.o.

(1.9) y = f(t, y).

De las hipotesis impuestas a Ω y a f , se tiene que la funcion nula ϕ0 definida por

ϕ0 : t ∈ I −→ ϕ0(t) = 0 ∈ RN ,

es solucion del sistema diferencial (1.9) en I. De hecho, si consideramos el correspondiente problemade Cauchy (1.1) para la funcion f y dato inicial (t0, 0) ∈ I ×Bρ, se tiene,

I(t0, 0) ⊇ I y ϕ(t; t0, 0) = ϕ0(t) ∀t ∈ I.

Se dice en ese caso que ϕ0 es un punto crıtico del s.d.o. (1.9), o un equilibrio del sistema.Las definiciones de estabilidad que vamos a ver a continuacion fueron establecidas por el ma-

tematico ruso Aleksandr Mijailovich Liapunov (1857–1918). Comenzamos por la definicion deequilibrio estable o inestable:

Definicion 1.3.1. Se dice que la solucion ϕ0 de (1.9) es estable en el sentido de Liapunov (osimplemente que ϕ0 es un equilibrio estable de (1.9)) si para cualesquiera t0 ∈ I y ε ∈ (0, ρ), existeδ = δ(t0, ε) ∈ (0, ρ) tal que, si |y0| ≤ δ, se tiene:

(a) I(t0, y0) ⊃ [t0,∞) y

(b) |ϕ(t; t0, y0)| ≤ ε, para cualquier t ∈ [t0,∞).

En caso contrario, se dice que la solucion ϕ0 de (1.9) es inestable.


14 1.3. Conceptos de estabilidad

Observacion 1.5. Es inmediato comprobar que el concepto de estabilidad de la Definicion 1.3.1es equivalente a:

“Se dice que la solucion ϕ0 de (1.9) es estable (en el sentido de Liapunov) si para cualesquierat0 ∈ I y ε ∈ (0, ρ), existe δ = δ(t0, ε) ∈ (0, ρ) tal que, si |y0| ≤ δ, se tiene:

(1.10) |ϕ(t; t0, y0)| ≤ ε, ∀t ∈ I(t0, y0) ∩ [t0,∞)”.

Es claro que la Definicion 1.3.1 implica la precedente. Veamos la implicacion contraria. Para ello,basta comprobar la condicion (a) de la Definicion 1.3.1. Efectivamente, la acotacion |ϕ(t; t0, y0)| ≤ ε,valida para cualquier t ∈ I(t0, y0)∩ [t0,∞), implica que la solucion ϕ(·; t0, y0) no llega a la fronterade Ω ni explota en tiempo finito. Al tratarse de la solucion maximal y no ser prolongable por laderecha, debe ser I(t0, y0) ⊃ [t0,∞). Esto demuestra la equivalencia.

Observacion 1.6. Observese que el concepto de inestabilidad puede ser reescrito de manera equi-valente como:

“Se dice que la solucion ϕ0 de (1.9) es inestable si existen t0 ∈ I y ε ∈ (0, ρ) tal que, paracualquier δ ∈ (0, ρ) existe y0, con |y0| ≤ δ, para el que se tiene:

|ϕ(t; t0, y0)| > ε, para cierto t ∈ I(t0, y0) ∩ [t0,∞)”.

Siguiendo con las definiciones, introduzcamos ahora el concepto de estabilidad uniforme:

Definicion 1.3.2. Se dice que la solucion ϕ0 del s.d.o. (1.9) es uniformemente estable cuandoel valor δ del concepto de estabilidad en la Definicion 1.3.1 no depende de t0, es decir, si paracualesquier ε ∈ (0, ρ), existe δ = δ(ε) ∈ (0, ρ) tal que, si t0 ∈ I e |y0| ≤ δ, se tiene:

(a) I(t0, y0) ⊃ [t0,∞) y

(b) |ϕ(t; t0, y0)| ≤ ε, para cualquier t ∈ [t0,∞).

Pasemos a definir el concepto de atractividad:

Definicion 1.3.3. Se dice que la solucion ϕ0 de (1.9) es (un equilibrio) atractivo si para cualquiert0 ∈ I, existe γ = γ(t0) ∈ (0, ρ) tal que, si |y0| ≤ γ, entonces se tiene:

(a) I(t0, y0) ⊃ [t0,∞) y

(b) lımt→∞

|ϕ(t; t0, y0)| = 0.

Podemos escribir tambien el concepto de atractividad uniforme:

Definicion 1.3.4. Se dice que la solucion ϕ0 de (1.9) es (un equilibrio) uniformemente atractivosi existe γ ∈ (0, ρ) tal que si |y0| ≤ γ, se tiene:

(a) I(t0, y0) ⊃ [t0,∞), para cualesquiera t0 ∈ I;

(b) para cualquier ε > 0, existe Tε > 0 verificando |ϕ(t; t0, y0)| ≤ ε, para cualesquiera t0 ∈ I yt ≥ t0 + Tε.

Finalmente,

Definicion 1.3.5. 1. Se dice que la solucion ϕ0 de (1.9) es (un equilibrio) asintoticamenteestable si es estable y atractivo.



2. Se dice que la solucion ϕ0 de (1.9) es (un equilibrio) uniformemente asintoticamente establesi es uniformemente estable y uniformemente atractivo.

Observacion 1.7. Las distintas definiciones de estabilidad y atractividad dadas mas arriba hansido planteadas para la solucion nula ϕ0 de (1.9) (con f satisfaciendo (1.8)). Sin embargo, es posibledar las mismas definiciones en el caso de cualquier solucion no nula ϕ1 de (1.9) que este definidaen un intervalo infinito. Supongamos dada ϕ1, una solucion de (1.9) definida en el intervalo I =(τ,∞) (τ ∈ [−∞,∞) dado). Supongamos tambien que existe ρ ∈ (0,∞] tal que, en lugar de lahipotesis (1.8), se tiene

(1.11)

(t, y) : t ∈ I, y ∈ B(ϕ1(t); ρ) ⊆ Ω,

f ∈ C0(Ω;RN ) ∩ Liploc(y;Ω).

Entonces, realizando el cambio de variables z = y − ϕ1(t), con t ∈ I, el s.d.o. (1.9) se transformaen el siguiente

z = y − ϕ1(t) = f(t, y)− f(t,ϕ1(t)) = f(t, z + ϕ1(t))− f(t,ϕ1(t)) := F (t, z).

Es facil comprobar que F satisface las condiciones (1.8) para un nuevo abierto Ω y ademas z0 ≡ 0es un punto crıtico o equilibrio del nuevo sistema que se corresponde con la solucion ϕ1 medianteel cambio de variables.

Observacion 1.8. En la siguiente seccion veremos que los conceptos de estabilidad y atractividaddados anteriormente son distintos, pues en el caso de sistemas lineales equivalen a propiedadesdistintas.

Observacion 1.9. Las definiciones anteriores han sido dadas para la solucion nula del s.d.o. (1.9).Es posible escribir las anteriores definiciones en el caso de la e.d.o. de orden n:

y(n) = g(t, y, y, y, . . . , y(n−1)),

con g definida en el abierto conexo no vacıo Ω ⊆ Rn+1. Supondremos de nuevo que la funcion nulaes solucion de la ecuacion en I = (τ,∞) (τ ∈ [−∞,∞)), es decir, g satisface g(t, 0, 0, 0, . . . , 0) = 0para todo t ∈ I. Supongamos ademas,

g ∈ C0(Ω) ∩ Liploc((y, y, . . . , yn−1),Ω;R) e I ×Bρ ⊆ Ω,

para ρ ∈ (0,∞] (Bρ = B(0, ρ) ⊂ Rn).Las definiciones de caracter estable, atractivo, ... de la ecuacion anterior se refieren a los corres-

pondientes conceptos para la solucion nula del sistema diferencial ordinario equivalente asociado ala ecuacion.

Definicion 1.3.6. Sea D ⊆ RN un abierto conexo no vacıo. Se dice que el s.d.o. (1.9) es unsistema autonomo si se tiene

f(t, y) = f(y), ∀t,

para una funcion f : D ⊆ RN −→ RN tal que f ∈ C0(D;RN )∩Liploc(D). En este caso, el sistematiene la forma

(1.12) y = f(y),

y el dominio maximal de existencia y unicidad esta dado por Ω = R×D.


16 1.3. Conceptos de estabilidad

Observacion 1.10. Observese que, debido a que la funcion f no depende de la variable t (casoautonomo), la condicion f ∈ Liploc(D) en particular implica que f ∈ C0(D;RN ). Ası, para asegurarla existencia y unicidad de solucion maximal del problema de Cauchy asociado a f , basta escribirf ∈ Liploc(D).

En el caso del sistema autonomo (1.12), la hipotesis (1.8) se transforma en

(1.13) Bρ ⊆ D, f ∈ Liploc(D) y f(0) = 0,

con ρ ∈ (0,∞].La gran importancia del caso autonomo consiste en que los conceptos de estabilidad y atrac-

tividad y estabilidad y atractividad uniforme son equivalentes. Deduciremos la equivalencia comoconsecuencia del siguiente resultado.

Proposicion 1.3.7. Consideremos el sistema autonomo (1.12) con f ∈ Liploc(D). Para t0 ∈ R ey0 ∈ D, sea ϕ(·; t0, y0) la solucion maximal del problema de Cauchy asociado a (1.12). Entonces,

1. I(t0, y0) = t0 + I(0, y0).

2. ϕ(t; t0, y0) = ϕ(t− t0; 0, y0), para cualquier t ∈ I(t0, y0).

Prueba: Para demostrar esta afirmacion, consideremos en primer lugar la funcion

ψ : J = t0 + I(0, y0) −→ RN

definida como ψ(t) = ϕ(t − t0; 0, y0), para t ∈ J . Obviamente, esta funcion ψ esta bien definida yes derivable en J .

Es inmediato comprobar que (J,ψ) es solucion del sistema (1.12) y satisface la condicion inicialψ(t0) = y0. Por tanto, (J,ψ) es una solucion local del problema de Cauchy

y = f(y),

y(t0) = y0.

Como (I(t0, y0),ϕ(·; t0, y0)) es la solucion maximal de dicho problema, entonces se tiene I(t0, y0) ⊇t0 + I(0, y0), y ambas funciones coinciden en el intervalo J = t0 + I(0, y0).

Reciprocamente, definamos ahora φ : J = I(t0, y0) − t0 −→ RN como φ(t) = ϕ(t + t0; t0, y0),para t ∈ J . Razonando de modo similar, se comprueba facilmente que ( J,φ) es una solucion localdel problema de valores iniciales

y = f(y),

y(0) = y0.

Ası, se tiene que I(0, y0) ⊇ I(t0, y0)−t0, y φ coincide con ϕ(·; 0, y0) en el intervalo J = I(t0, y0)−t0.Deducimos ası los puntos i) y ii) del enunciado. Esto finaliza la prueba.

Ejercicio 1.1. Usando la Proposicion 1.3.7, demuestrese que para el sistema autonomo (1.12) losconceptos de estabilidad, atractividad y estabilidad asintotica equivalen, respectivamente, a losconceptos de estabilidad uniforme, atractividad uniforme y estabilidad asintotica uniforme.



1.4. Estabilidad de sistemas lineales

En esta seccion estudiaremos las propiedades de estabilidad de los s.d.o. mas sencillos: lossistemas lineales. Se trata del caso mas sencillo, pues veremos que las propiedades de estabilidaddel sistema lineal equivalen a ciertas propiedades de las matrices fundamentales asociadas. Comoen la Seccion 1.3, nos ocuparemos del estudio de las propiedades de estabilidad de la solucion nuladel sistema lineal. Ası, el sistema a estudiar es un sistema lineal homogeneo.

Consideremos el s.d.o. lineal homogeneo

(1.14) y = A(t)y,

donde A ∈ C0(I;L(RN )) e I = (τ,+∞), con τ ∈ [−∞,∞). Observese que el sistema (1.14) satisfacela hipotesis (1.8) para ρ = ∞ y Ω = I×RN . Ası, tiene sentido plantearse la estabilidad de la solucionnula de (1.14). Se tiene:

Teorema 1.4.1. Sea F (·) una matriz fundamental para el sistema (1.14). Se tiene:

(a) ϕ0 es un equilibrio estable de (1.14) si y solo si para cada t0 ∈ I, se cumple que

(1.15) supt∈[t0,+∞)

F (t)s < ∞.

(b) ϕ0 es un equilibrio de (1.14) asintoticamente estable si y solo si

(1.16) lımt→∞

F (t)s = 0.

(c) ϕ0 es un equilibrio de (1.14) uniformemente estable si y solo si existe una constante M > 0 talque

(1.17) F (t)F (t0)−1s ≤ M, ∀t0 ∈ I, ∀t ≥ t0.

(d) ϕ0 es un equilibrio de (1.14) uniformemente asintoticamente estable si y solo si existen cons-tantes C > 0 y α > 0 tales que

(1.18) F (t)F (t0)−1s ≤ Ce−α(t−t0), ∀t0 ∈ I, ∀t ≥ t0.

Observacion 1.11. Antes de hacer la prueba de este resultado, hagamos las siguientes puntuali-zaciones:

1. Hemos enunciado el Teorema 1.4.1 utilizando la norma espectral · s en el espacio L(RN ):

Bs = maxx∈RN\0

|Bx||x| , con B ∈ L(RN ).

Evidentemente, todas las normas en L(RN ) son equivalentes y, ası, el resultado sigue siendovalido si consideramos cualquier otra norma en este espacio.

2. El resultado anterior y las formulas (1.15)–(1.18) no dependen de la matriz fundamental Fasociada al sistema lineal (1.14) elegida.

Ejercicio 1.2. Demuestrese el segundo punto de la Observacion 1.11.


18 1.4. Estabilidad de sistemas lineales

Prueba: Recordemos que, dada una matriz fundamental F asociada a (1.14), la solucion maximalde este sistema correspondiente al dato inicial (t0, y0) ∈ I × RN esta dada por

ϕ(t; t0, y0) = F (t)F (t0)−1y0, ∀t ∈ I(t0, y0) ≡ I.

Observese en particular que la expresion anterior proporciona la siguiente propiedad a la solucionmaximal:

(1.19) ϕ(·; t0,αy0,1 + βy0,2) = αϕ(·; t0, y0,1) + βϕ(·; t0, y0,2), ∀t0 ∈ I, ∀y0,1, y0,2 ∈ RN ,

i.e., la solucion maximal del sistema lineal (1.14) es lineal respecto de la ultima componente y0.Esta propiedad sera utilizada a lo largo de la prueba.

Probemos el resultado:

(a) Supongamos en primer lugar que se satisface (1.15) y veamos que el equilibrio ϕ0 de (1.14)es estable, es decir, satisface (1.10). Para ello, fijemos t0 ∈ I y ε > 0. Utilizando la formula de lasolucion maximal asociada al dato de Cauchy (t0, y0), podemos escribir

|ϕ(t; t0, y0)| ≤ F (t)sF (t0)−1s|y0| ≤

supt≥t0

F (t)sF (t0)

−1s|y0| ≤ MF (t0)−1s|y0|,

para cualquier t ∈ [t0,∞). Ası, si tomamos |y0| ≤ δ, con δ = ε/MF (t0)−1s

, deducimos (1.10).

Veamos la implicacion contraria. Supongamos que ϕ0 es una solucion estable de (1.14). De estemodo, fijados t0 ∈ I y tomando ε ≡ 1, existe δ > 0 tal que

|ϕ(t; t0, y0)| = |F (t)F (t0)−1y0| ≤ 1, ∀t ∈ [t0,∞) e y0 : |y0| ≤ δ.

Si ahora tomamos z0 ∈ RN \ 0 arbitrario, podemos aplicar la desigualdad anterior a y0 = δz0|z0|

y deducir |F (t)F (t0)−1y0| ≤ 1, para cualquier t ∈ [t0,∞). De manera equivalente,

|F (t)F (t0)−1z0| ≤

|z0|δ

, ∀t ∈ [t0,∞), z0 ∈ RN \ 0.

Finalmente, de esta desigualdad llegamos a

F (t)s = maxx∈RN\0

|F (t)x||x| = max

x∈RN\0

|F (t)F (t0)−1F (t0)x||x| ≤ 1

δmax

x∈RN\0

|F (t0)x||x| =

1

δF (t0)s.

Se tiene por tanto (1.15) y la prueba del punto (a).

(b) Supongamos que se tiene (1.16) y veamos que el equilibrio ϕ0 de (1.14) es asintoticamenteestable. Dado t0 ∈ I, es facil demostrar que (1.16) implica la condicion (1.15). Usando el apartado(a) probado anteriormente, deducimos que ϕ0 es un equilibrio estable de (1.14). Veamos ahora queϕ0 es una solucion atractiva de (1.14). Sea t0 ∈ I. Se tiene

|ϕ(t; t0, y0)| = |F (t)F (t0)−1y0| ≤ F (t)sF (t0)

−1s|y0|.

Basta tomar lımt→∞

en la expresion anterior y tener en cuenta (1.16) para deducir que la solucion ϕ0

de (1.14) es atractiva.

Veamos la implicacion contraria. La solucion ϕ0 de (1.14) es asintoticamente estable y, enparticular, es atractiva. Deducimos de aquı que, dado t0 ∈ I, existe γ = γ(t0) > 0 tal que



lımt→∞ |ϕ(t; t0, y0)| = 0 cuando |y0| ≤ γ. Tomemos z0 ∈ RN \ 0 arbitrario. Podemos aplicar

la propiedad anterior a y0 = γz0|z0|

y, de (1.19), llegamos a

lımt→∞

|ϕ(t; t0, z0)| = 0, ∀z0 ∈ RN .

Por tanto, cualquier solucion del sistema (1.14) satisface la propiedad anterior. Sin mas que teneren cuenta que las N columnas de la matriz fundamental F (·) son soluciones del sistema diferen-cial (1.14), obtenemos la propiedad (1.16).

Observacion 1.12. Antes de seguir con la prueba del Teorema 1.4.1, precisemos que, en los puntos(a) y (b) en realidad hemos probado lo siguiente: Hemos visto que si la solucion ϕ0 de (1.14) esatractiva, entonces se tiene (1.16). Por otro lado, tambien hemos visto que (1.16) implica (1.15) y,usando el apartado (a) del teorema, tambien ϕ0 es un equilibrio estable de (1.14). En definitiva,hemos visto que para el sistema lineal (1.14) se satisface la propiedad

“Si la solucion ϕ0 de (1.14) es atractiva, entonces ϕ0 es un equilibrio estable de (1.14)”.

Por otro lado, es facil dar un contraejemplo de sistema (lineal) cuya solucion nula es estable yno es atractiva. Basta considerar el sistema lineal y = 0 en I = R. Esta claro que una matrizfundamental asociada es F (·) ≡ Id y esta satisface (1.15) y no (1.16).

(c) Veamos la prueba del tercer punto. Esta va a seguir los pasos de la prueba de (a). Comencemossuponiendo que F (·) satisface la propiedad (1.17) y veamos que ϕ0 es un equilibrio uniformementeestable de (1.14). Efectivamente,

|ϕ(t; t0, y0)| = |F (t)F (t0)−1y0| ≤ F (t)F (t0)

−1s|y0| ≤ M |y0|, ∀t0 ∈ I, ∀y0 ∈ RN , ∀t ≥ t0.

Basta tomar δ = ε/M para deducir la propiedad |ϕ(t; t0, y0)| ≤ ε para cualesquiera t0 ∈ I y t ≥ t0,siempre que |y0| ≤ δ.

Supongamos ahora que ϕ0 es un equilibrio uniformemente estable de (1.14) y veamos (1.17).Fijado ε = 1, existe δ > 0 tal que

|ϕ(t; t0, y0)| ≤ 1, ∀t0 ∈ I, ∀t ≥ t0 y ∀y0 : |y0| ≤ δ.

Como anteriormente, si ahora tomamos z0 ∈ RN \ 0, podemos aplicar la acotacion anterior a

y0 = δz0|z0|

. Aplicando de nuevo la propiedad (1.19) deducimos

|ϕ(t; t0, z0)| = |F (t)F (t0)−1z0| ≤

|z0|δ

, ∀t0 ∈ I, ∀t ≥ t0 y ∀z0 ∈ RN ,

y de aquı,

F (t)F (t0)−1s = sup

z0∈RN\0

|F (t)F (t0)−1z0||z0|

≤ 1

δ, ∀t0 ∈ I, ∀t ≥ t0.

Tenemos ası (1.17).

(d) Veamos este ultimo punto. Supongamos en primer lugar que se tiene (1.18) y probemos que lasolucion nula de (1.14) es uniformemente asintoticamente estable, es decir, que ϕ0 es uniformementeestable y uniformemente atractiva. Claramente, la estimacion (1.18) implica (1.17) y, usando elpunto (c), deducimos que ϕ0 es un equilibrio de (1.14) uniformemente estable.


20 1.4. Estabilidad de sistemas lineales

Probemos la atractividad uniforme de ϕ0, es decir, comprobemos la segunda propiedad de la

Definicion 1.3.4. Sea ε > 0 y supongamos que ε < C . Si tomamos γ = 1 y Tε =1

αlog

C

ε

, es

facil comprobar que se verifica:

|ϕ(t; t0, y0)| = |F (t)F (t0)−1y0| ≤ F (t)F (t0)

−1s|y0|≤ Ce−α(t−t0) ≤ ε, ∀t0 ∈ I, ∀y0 : |y0| ≤ 1 y ∀t ≥ t0 + Tε.

Observese que si C ≤ ε, la desigualdad anterior serıa valida para cualquier t ≥ t0. Tenemos ası queϕ0 es un equilibrio de (1.14) uniformemente atractivo.

Supongamos ahora que ϕ0 es un equilibrio de (1.14) uniformemente asintoticamente estable. Enparticular, ϕ0 es uniformemente estable y la matriz fundamental F satisface la propiedad (1.17).Por otro lado, ϕ0 es uniformemente atractiva y, ası, existe γ > 0 para el que se tiene la segundapropiedad de la Definicion 1.3.4. Si aplicamos esta propiedad para ε = γ/2, deducimos que existeT = Tγ/2 tal que

|ϕ(t; t0, y0)| ≤γ

2, ∀t0 ∈ I, ∀y0 : |y0| ≤ γ y ∀t ≥ t0 + T.

Si ahora tomamos z0 ∈ RN \ 0 arbitrario, usamos la propiedad anterior para y0 = γz0/|z0| y,como anteriormente, aplicamos la propiedad (1.19), obtenemos

|ϕ(t; t0, z0)| = |F (t)F (t0)−1z0| ≤

1

2|z0|, ∀t0 ∈ I, ∀z0 ∈ RN \ 0 y ∀t ≥ t0 + T,

de donde

F (t)F (t0)−1s = sup

z0∈RN\0

|F (t)F (t0)−1z0||z0|

≤ 1

2, ∀t0 ∈ I y ∀t ≥ t0 + T.

Sean t0 ∈ I y t ≥ t0. Entonces, existe n ∈ N (n ≥ 0) tal que t ∈ [t0 + nT, t0 + (n + 1)T ).Teniendo en cuenta (1.17) y aplicando sucesivamente la propiedad anterior, podemos escribir

F (t)F (t0)−1s = F (t)F (t0 + nT )−1F (t0 + nT )F (t0 + (n− 1)T )−1 · · ·F (t0 + T )F (t0)−1s≤ F (t)F (t0 + nT )−1sF (t0 + nT )F (t0 + (n− 1)T )−1s · · · F (t0 + T )F (t0)−1s

≤ M

1

2

n

.

Como t ∈ [t0 + nT, t0 + (n+ 1)T ), en particular n ≥ 1

T(t− t0)− 1. Volviendo a la desigualdad

anterior, obtenemos

F (t)F (t0)−1s ≤ M

1

2

n

≤ M

1

2

1T (t−t0)−1

= 2Me−log 2T (t−t0),

es decir, hemos obtenido (1.18) con C ≡ 2M y α ≡ log 2

T. Esto finaliza la prueba del punto (d) y

del teorema.

Observese que en el Teorema 1.4.1 hemos probado que, para el sistema lineal (1.14), la esta-bilidad asintotica uniforme de la solucion nula ϕ0 equivale a la propiedad (1.18). En el caso desistemas no lineales como (1.9), serıa posible dar una nueva definicion de estabilidad donde seponga de manifiesto la citada propiedad. Esta definicion serıa:



Definicion 1.4.2. Bajo las condiciones (1.8), se dice que la solucion ϕ0 de (1.9) es (un equilibrio)exponencialmente asintoticamente estable si existen constantes C > 0, γ ∈ (0, ρ) y α > 0 tales que

(a) I(t0, y0) ⊃ [t0,∞), para cualesquiera t0 ∈ I e |y0| ≤ γ;

(b) |ϕ(t; t0, y0)| ≤ C|y0|e−α(t−t0), para cualesquiera t0 ∈ I, |y0| ≤ γ y t ≥ t0.

Observacion 1.13. 1. Observese que el apartado (d) del Teorema 1.4.1 permite probar la si-guiente equivalencia para el sistema lineal (1.14):

“El equilibrio ϕ0 de (1.14) es uniformemente asintoticamente estable si y solo si ϕ0 esexponencialmente asintoticamente estable”.

2. En el caso de sistemas no lineales como (1.9) que satisfacen las hipotesis (1.8), es facil com-probar la siguiente implicacion:

“Si el equilibrio ϕ0 de (1.9) es exponencialmente asintoticamente estable, entonces ϕ0 esuniformemente asintoticamente estable”.

Veremos que, en general, la implicacion contraria es falsa (salvo, como hemos visto, en el casode sistemas lineales).

Ejercicio 1.3. Pruebense los puntos 1 y 2 de la observacion anterior.

Observacion 1.14 (Sistemas lineales no homogeneos). Terminemos esta seccion comentandocuales son las condiciones equivalentes a la estabilidad cuando consideramos el s.d.o. lineal nohomogeneo:

(1.20) y = A(t)y + b(t),

donde A ∈ C0(I;L(RN )), b ∈ C(I;RN ) e I = (τ,+∞), con τ ∈ [−∞,∞). En este caso nospodrıamos plantear la estabilidad de cualquier solucion ϕ1 ∈ C1(I;RN )de (1.20) en I:

ϕ1(t) = A(t)ϕ1(t) + b(t), ∀t ∈ I.

Como vimos en la Obervacion 1.7 basta hacer el cambio z = y − ϕ1(t) y estudiar la estabili-dad de la solucion nula ϕ0 del nuevo sistema. Evidentemente, este nuevo sistema es el sistemahomogeneo (1.14).

En conclusion, la estabilidad, atractividad, etc., de cualquier solucion ϕ1 de (1.20) equivale a lacorrespondiente propiedad de la solucion nula ϕ0 del sistema homogeneo asociado, sistema (1.14).Esta es la razon por la que, por abuso de lenguaje, se habla de la estabilidad, atractividad, etc.,del sistema (1.14) (o de (1.20)) sin hacer referencia a ninguna solucion del citado sistema.

1.5. Aplicacion al caso de sistemas lineales de coeficientes cons-

tantes

En esta seccion estudiaremos el caso particular de sistemas lineales de coeficientes constantes.Consideremos, por tanto, el sistema lineal

(1.21) y = Ay,


22 1.5. Aplicacion al caso de sistemas lineales de coeficientes constantes

donde A ∈ L(RN ) esta dada. Evidentemente el sistema anterior es un sistema autonomo. Por tanto,sabemos que los conceptos de estabilidad equivalen a los correspondientes conceptos uniformes. Elobjetivo de esta seccion es reescribir el Teorema 1.4.1 en el caso del sistema (1.21). Veremos quelos conceptos de estabilidad equivalen en este caso a ciertas propiedades de los autovalores de A.De nuevo, enunciaremos el resultado para la solucion nula ϕ0 de (1.21) en I = R. Se tiene:

Teorema 1.5.1. Sea λi1≤i≤n ⊂ C el conjunto de autovalores distintos de la matriz A ∈ L(RN ).Entonces, se tiene:

(i) La solucion ϕ0 de (1.21) es uniformemente asintoticamente estable si y solo si (λi) < 0para todo i : 1 ≤ i ≤ n.

(ii) La solucion ϕ0 de (1.21) es uniformemente estable si y solo si (λi) ≤ 0 para todo i : 1 ≤ i ≤ ny, si para j : 1 ≤ j ≤ n se tiene (λj) = 0, entonces las cajas de Jordan asociadas a λj tienendimension 1 (la multiplicidad geometrica y la multiplicidad algebraica de λj coinciden).

Observacion 1.15. Teniendo en cuenta que (1.21) es un sistema autonomo, podemos escribir quesu solucion nula ϕ0 es inestable (es decir, no es estable) si y solo si ϕ0 no es uniformemente estable.Del apartado (II) del Teorema 1.5.1 deducimos:

“La solucion ϕ0 de (1.21) es inestable si y solo existe λj, con 1 ≤ j ≤ n, tal que, obien (λj) > 0, o bien (λj) = 0 y λj tiene asociada una caja de Jordan de dimensionmayor o igual a dos.”

Prueba: La clave de la demostracion esta en hallar una matriz fundamental de (1.21) y aplicar elTeorema 1.4.1. Recordemos que, si J es la forma canonica real de A, entonces existe P ∈ L(RN ),con det P = 0, tal que A = P J P−1. En este caso, una matriz fundamental de (1.21) viene dadapor la exponencial matricial

F (t) = etA = PeJt P−1, ∀t ∈ R,

o bienF (t) = F (t) P = Pe

Jt, ∀t ∈ R.Por ultimo, aplicaremos el Teorema 1.4.1 con la norma matricial

M := P−1Ms

en lugar de la norma matricial · s (debido a que det P = 0, es facil ver que son equivalentes).

Por tanto, todo se reduce a estudiar F (t) = e Jts.Es facil deducir el resultado sin mas que tener en cuenta que los elementos de e

Jt son de laforma

tje(λi)t [aij sen ((λi)t) + bij cos ((λi)t)] ,

con aij , bij ∈ R, 1 ≤ i ≤ n y j ≥ 1, siendo j menor o igual que la mayor dimension de las cajas deJordan asociadas a λi.

Para finalizar esta seccion, analicemos el caso particular de la e.d.o. lineal de orden n y coefi-cientes constantes:

(1.22) yn) + a1yn−1) + · · ·+ an−1y

+ any = 0 en I = R,

con ai ∈ R, 1 ≤ i ≤ n. Recordemos que las raıces µi1≤i≤m ⊂ C del polinomio caracterıstico

p(µ) = µn + a1µn−1 + · · ·+ an−1µ+ an

proporcionan un sistema fundamental para (1.22). Se tiene:



Teorema 1.5.2. Sea ϕ0 la solucion nula en R de (1.22). Entonces:

(a) La solucion ϕ0 de (1.22) es exponencialmente asintoticamente estable si y solo si (µi) < 0para todo i : 1 ≤ i ≤ m.

(b) La solucion ϕ0 de (1.22) es uniformemente estable si y solo si (µi) ≤ 0 para todo i : 1 ≤ i ≤ my, si para j : 1 ≤ j ≤ m se tiene (µj) = 0, entonces µj es simple.

La prueba del teorema es una simple aplicacion del Teorema 1.5.1.

1.6. Estabilidad de perturbaciones de sistemas lineales

Una vez estudiadas las propiedades de estabilidad de la solucion nula ϕ0 del s.d.o. lineal (1.14)veamos que ocurre con las propiedades de estabilidad de sistemas no lineales. En concreto, en estaseccion estamos interesados en sistemas no lineales que se escriben como suma de una parte linealmas una “pequena” (en algun sentido que precisaremos) perturbacion no lineal de ese sumandolineal. Como suele ocurrir en otras ocasiones, veremos que si la perturbacion es suficientemente“pequena”, las propiedades de estabilidad de la solucion nula del problema lineal son heredadaspor ϕ0 como solucion del sistema no lineal. Veamos cual es el marco en el que trabajaremos:

Consideremos el s.d.o. no lineal

(1.23) y = A(t)y + g(t, y),

donde A ∈ C0(I;L(RN )) y g ∈ C0(Ω;RN ) ∩ Liploc(y;Ω) para un intervalo I y un abierto conexono vacıo Ω ⊆ RN+1 que satisfacen

I ×B(0; ρ) ⊆ Ω ⊆ I × RN ,

para I = (τ,∞), con τ ∈ [−∞,∞) y ρ ∈ (0,∞].Supongamos ademas que g(t, 0) = 0 para cualquier t ∈ I. Como en ocasiones anteriores, esta

ultima propiedad asegura que la funcion ϕ0(t) = 0 es solucion del sistema (1.23) en I. Evidente-mente, ϕ0 es tambien solucion en I del sistema lineal homogeneo (1.14) asociado.

Se tiene:

Teorema 1.6.1 (Teorema de estabilidad en primera aproximacion). Bajo las condicionesanteriores, se tiene:

(a) Supongamos que

lım|y|→0

|g(t, y)||y| = 0,

uniformemente en I, es decir, para cualquier ε > 0, existe µ ∈ (0, ρ) tal que si |y| ≤ µ se tiene|g(t, y)| ≤ ε|y|, para todo t ∈ I. Ası, si ϕ0 es un equilibrio uniformemente asintoticamenteestable del sistema lineal (1.14), entonces ϕ0 es un equilibrio exponencialmente asintoticamenteestable del sistema no lineal (1.23).

(b) Supongamos que |g(t, y)| ≤ α(t)|y|, para cualesquiera (t, y) ∈ I × B(0; ρ), con α ∈ C0(I)satisfaciendo ∞

τα(t) dt < ∞.

Ası, si ϕ0 es un equilibrio uniformemente estable del sistema lineal (1.14), entonces ϕ0 es unequilibrio uniformemente estable del sistema no lineal (1.23).


24 1.6. Estabilidad de perturbaciones de sistemas lineales

Prueba: Nos centraremos en la prueba del apartado (a). La demostracion del apartado (b) siguelas mismas ideas de la prueba del apartado (a).

Ejercicio 1.4. Pruebese el apartado (b) del Teorema 1.6.1.

(a) De las hipotesis del enunciado deducimos que, fijado (t0, y0) ∈ Ω, el problema de valores inicialesasociado al sistema (1.23) admite una unica solucion maximal ϕ(·; t0, y0) definida en el intervaloI(t0, y0). Nuestro objetivo sera comprobar que la solucion maximal ϕ(·; t0, y0) satisface las doscondiciones de la Definicion 1.4.2, es decir, que existen constantes C > 0, γ ∈ (0, ρ) y α > 0 talesque

(i) I(t0, y0) ⊃ [t0,∞), para cualesquiera t0 ∈ I e |y0| ≤ γ;

(ii) |ϕ(t; t0, y0)| ≤ C|y0|e−α(t−t0), para cualesquiera t0 ∈ I, |y0| ≤ γ y t ≥ t0.

Sea F ∈ C1(I;L(RN )) una matriz fundamental asociada al sistema lineal (1.14). Como lasolucion ϕ0 de (1.14) es uniformemente asintoticamente estable, podemos aplicar la caracteriza-cion (1.18) del Teorema 1.4.1 y deducir que existen dos constantes positivas α y C tales que

F (t)F (t0)−1s ≤ Ce−α(t−t0), ∀t0 ∈ I, ∀t ≥ t0.

Para probar (i) y (ii) usaremos la siguiente idea: si (t0, y0) ∈ Ω, la solucion maximal ϕ(·; t0, y0)del problema de Cauchy asociado a (1.23) y condicion inicial (t0, y0) satisface

ϕ(t; t0, y0) = A(t)ϕ(t; t0, y0) + g(t,ϕ(t; t0, y0)), ∀t ∈ I(t0, y0),

ϕ(t0; t0, y0) = y0.

Si introducimos la funcion b(t) = g(t,ϕ(t; t0, y0)), con t ∈ I(t0, y0), entonces, b ∈ C0(I(t0, y0);RN ).Ademas, podemos ver la funcion ϕ(·; t0, y0) como la solucion en I(t0, y0) del problema de Cauchypara el sistema lineal no homogeneo

y = A(t)y + b(t), en I(t0, y0),

y(t0) = y0.

Usando la formula (1.6) para la funcion b anterior, deducimos

ϕ(t; t0, y0) = F (t)F (t0)−1y0 +

t

t0

F (t)F (s)−1g(s,ϕ(s; t0, y0)) ds, ∀t ∈ I(t0, y0).

Fijemos (t0, y0) ∈ I × B(0; ρ) tal que |y0| ≤ γ, con γ ∈ (0, ρ) a determinar. Por otro lado,fijemos ε > 0 (tambien a determinar). Aplicando la hipotesis del enunciado, existe µ ∈ (0, ρ) talque

(1.24) |g(t, y)| ≤ ε|y|, ∀t ∈ I y ∀y0 : |y| ≤ µ.

Nuestro objetivo sera probar que podemos elegir γ ∈ (0, ρ) y ε > 0 tal que si |y0| ≤ γ se tiene:

u(t) := |ϕ(t; t0, y0)| ≤ µ, ∀t ∈ I(t0, y0) ∩ [t0,∞).

Efectivamente, en primer lugar, se tiene

u(t0) = |y0| ≤ γ < µ



siempre que impongamos la desigualdad γ < µ .

Por reduccion al absurdo, supongamos ahora que existe t∗ ∈ I(t0, y0)∩ [t0,∞) tal que u(t∗) > µ.Utilizando que la funcion u satisface u ∈ C0(I(t0, y0) ∩ [t0,∞)), deducimos que existe T ∈ [t0, t∗)tal que

u(T ) = µ y u(t) < µ, ∀t ∈ [t0, T ) ⊂ I(t0, y0) ∩ [t0,∞).

Sea t ∈ [t0, T ]. Nuestra proxima tarea sera acotar u(t). Para ello, utilizaremos la expresion deϕ(t; t0, y0) deducida anteriormente y la hipotesis sobre la matriz fundamental F (·). Ası,

u(t) = |ϕ(t; t0, y0)| ≤ F (t)F (t0)−1s|y0|+

t

t0

F (t)F (s)−1s|g(s,ϕ(s; t0, y0))| ds,

≤ Ce−α(t−t0)|y0|+ C

t

t0

e−α(t−s)|g(s,ϕ(s; t0, y0))| ds.

Por otro lado, como t ∈ [t0, T ], tambien se tiene u(s) = |ϕ(s; t0, y0)| ≤ µ para cualquier s ∈ [t0, T ].Podemos utilizar tambien la acotacion (1.24) y deducir:

u(t) ≤ Ce−α(t−t0)|y0|+ Cε

t

t0

e−α(t−s)u(s) ds,

y de aquı,

eαtu(t) ≤ Ceαt0 |y0|+ Cε

t

t0

eαsu(s) ds, ∀t ∈ [t0, T ].

Observese que podemos aplicar el Lema de Gronwall a la funcion v(t) = eαtu(t) (funcion continuay positiva) en el intervalo [t0, T ]. Llegamos de este modo:

eαtu(t) ≤ Ceαt0 |y0|eCε(t−t0), ∀t ∈ [t0, T ],

y, de aquı,u(t) ≤ C|y0|e−(α−Cε)(t−t0), ∀t ∈ [t0, T ].

Finalmente, si tomamos ε =α

2Cdeducimos la acotacion para u(t) = |ϕ(t; t0, y0)|:

(1.25) u(t) := |ϕ(t; t0, y0)| ≤ C|y0|e−α2 (t−t0), ∀t ∈ [t0, T ].

Aplicando la desigualdad anterior en el punto t = T y teniendo en cuenta que |y0| ≤ γ, inferimos

µ = u(T ) ≤ C|y0|e−α2 (T−t0) ≤ Cγ < µ,

siempre que elijamos γ ∈ (0, ρ) y γ < µ/C . Llegamos de esta manera a un absurdo.

Resumiendo, hemos tomado ε =α

2Cy hemos impuesto tres condiciones sobre γ. Ası, tomando

0 < γ < mınρ, µ,

µ

C

,

llegamos a que u(t) =: |ϕ(t; t0, y0)| ≤ µ ∈ (0, ρ), para cualquier t ∈ I(t0, y0) ∩ [t0,∞). Comohemos visto en otras ocasiones, esto implica que [t0,∞) ⊂ I(t0, y0). Ademas, podemos repetir elmismo razonamiento anterior cambiando el intervalo [t0, T ] por el intervalo [t0,∞) y deducir que laacotacion (1.25) es valida en el intervalo [t0,∞). Hemos demostrado, por tanto, las dos condicionesde la Definicion 1.4.2. Esto termina la prueba del apartado (a).


26 1.7. Comentarios bibliograficos

1.7. Comentarios bibliograficos

Como dijimos anteriormente, los resultados enunciados en la Seccion 1.1 pueden ser consultadosen [13], [15] o [18].

Por otro lado, hemos seguido principalmente la referencia [14] en lo concerniente a los conceptosde estabilidad, estabilidad de sistemas lineales y estabilidad de sistemas lineales perturbados.


Capıtulo 2

El Segundo Metodo de Estabilidad de

Liapunov

En este capıtulo daremos una introduccion al llamado segundo metodo de estabilidadde Liapunov, tambien llamado metodo directo de Liapunov. El uso de esta nomenclaturaquedara claro en lo que sigue: los resultados que presentaremos en el capıtulo nos permitiran hacerun estudio de las propiedades de estabilidad de las soluciones del s.d.o. considerado, sin tener quecalcular las soluciones maximales del sistema en cuestion.

2.1. Introduccion. Funciones de Liapunov

Los resultados de estabilidad que presentamos en este capıtulo relacionan la existencia de de-terminadas funciones reales V (definidas en Bρ = B(0, ρ), con ρ ∈ (0,∞)) con las propiedades deestabilidad del sistema diferencial considerado (metodo directo). El inconveniente de este metodoradica en que no hay procedimientos generales que permitan calcular las llamadas funciones deLiapunov, aunque en los casos de s.d.o. con origen fısico, estas funciones estan relacionadas conla energıa asociada al sistema. De manera general, veremos que si la funcion V “decrece”(es decir,la energıa asociada al sistema decrece), entonces la solucion nula es estable (el sistema evolucionahacia la solucion nula).

En el estudio que llevaremos a cabo, nos restringiremos, por comodidad, al caso de sistemasdiferenciales autonomos, aunque la mayor parte de los resultados que veremos son facilmente ge-neralizables al caso no autonomo. Finalmente, es interesante resaltar que muchos de los sistemasdiferenciales que modelan fenomenos reales son autonomos.

A lo largo de este capıtulo consideremos el s.d.o. autonomo (1.12):

y = f(y),

con f : D −→ RN y D ⊆ RN un abierto conexo no vacıo. Supondremos tambien que f y Dsatisfacen (1.13) para cierto ρ ∈ (0,∞) (recordemos que Bρ = B(0; ρ)). Como dijimos mas arriba,podemos considerar Ω = R×D como abierto maximal de existencia y unicidad asociado al sistema.Por otro lado, la hipotesis f(0) = 0 en particular implica que la funcion nula ϕ0 ≡ 0 es solucion enI ≡ R de (1.12). Por ultimo, recordemos que, al tratarse de un sistema autonomo, las propiedadesde estabilidad de la solucion ϕ0 de (1.12) equivalen a las correspondientes propiedades uniformes.

Comencemos viendo algunas definiciones.

27

28 2.1. Introduccion. Funciones de Liapunov

Definicion 2.1.1. Sean ρ ∈ (0,∞) y V ∈ C0(Bρ) una funcion real. Se dice que V es definidapositiva en Bρ si V (0) = 0 y V (y) > 0 para cualquier y ∈ Bρ \ 0. Del mismo modo, se dice queV es definida negativa en Bρ si −V es definida positiva en Bρ.

Ejemplo 2.1. Es facil comprobar que la funcion V (y) =N

i=1

y2i es definida positiva en cualquier

bola Bρ.Por otro lado, es facil ver que la funcion de R3 dada por V (y1, y2, y3) = y21 + y22 no es definida

positiva (ni negativa) en ninguna bola Bρ, con ρ > 0.

Ejemplo 2.2. Como ejemplo, veamos el caracter definido positivo de una importante clase defunciones V . Fijemos B ∈ L(RN ) una matriz cuadrada y consideremos la funcion

V (y) = yTBy =N

i,j=1

bijyiyj , ∀y ∈ RN ,

(yT representa el vector -fila- transpuesto de y). Observese que V ∈ C0(Bρ), para cualquier ρ > 0,y V (0) = 0. Es facil deducir la siguiente propiedad

“La funcion V es definida positiva en Bρ, con ρ > 0, si y solo si la matriz B es definidapositiva.”

Ejercicio 2.1. Pruebese la propiedad anterior.

Ejemplo 2.3. Sea ρ ∈ (0, 2π) y consideremos la funcion V : Bρ ⊂ R2 −→ R dada por

V (y1, y2) =1

2y22 + k(1− cos y1), ∀y = (y1, y2) ∈ Bρ,

con k > 0 un numero real. Veamos que V es definida positiva en Bρ. Efectivamente, se tiene queV ∈ C0(Bρ) y V (0) = 0. Por otro lado, los dos sumandos de V son positivos, por tanto, V (y) = 0si y solo si y2 = 0 y cos y1 = 1, es decir, si y solo si y = (2nπ, 0) con n ∈ Z. Por ser ρ ∈ (0, 2π),concluimos

V (y) > 0, ∀y ∈ Bρ \ 0.

Tenemos que V es definida positiva en Bρ, siempre que ρ ∈ (0, 2π).

Continuamos con las definiciones introduciendo el concepto de funcion de Liapunov para als.d.o. autonomo (1.12):

Definicion 2.1.2. Sea V : Bρ −→ R una funcion tal que V ∈ C1(Bρ) (ρ > 0).

(a) Se denomina derivada respecto del sistema autonomo (1.12) a la funcion V : Bρ −→ R dadapor

V (y) =N

i=1

∂V

∂yi(y)fi(y), ∀y ∈ Bρ.

(b) Se dice que V ∈ C1(Bρ) ∩ C0(Bρ) es una funcion de Liapunov en Bρ para el sistema autono-mo (1.12) si V es definida positiva en Bρ y

V (y) ≤ 0, ∀y ∈ Bρ.


Tema 2. El Segundo Metodo de Liapunov 29

Observacion 2.1. Supongamos que ϕ es una solucion del sistema (1.12) en un intervalo J ⊂ Rque verifica que ϕ(t) ∈ Bρ para cualquier t ∈ J . Entonces, tiene sentido la funcion compuestaE(·) = V (ϕ(·)) definida en J y satisface E ∈ C1(J) y (regla de la cadena)

E(t) =d

dt[V (ϕ(t))] =

N

i=1

∂V

∂xi(ϕ(t))ϕ

i(t) =N

i=1

∂V

∂xi(ϕ(t))fi(ϕi(t)) = V (ϕ(t)), ∀t ∈ J.

Observese que si ademas V es una funcion de Liapunov para el sistema (1.12) en Bρ, entoncestendrıamos

E(t) = V (ϕ(t)) ≤ 0, ∀t ∈ J,

es decir, E(t) es una funcion no negativa y decreciente en J .

2.2. Condiciones suficientes de estabilidad

En esta seccion presentaremos el resultado de estabilidad de la solucion nula del sistema autono-mo (1.12) usando el metodo directo de Liapunov. Se tiene:

Teorema 2.2.1 (Condiciones suficientes de estabilidad de Liapunov). Sean ρ > 0, tal queBρ ⊆ D, y V ∈ C1(Bρ)∩C0(Bρ) una funcion de Liapunov en Bρ para el sistema (1.12). Entonces,se tiene:

(a) La solucion ϕ0 de (1.12) en R es uniformemente estable.

(b) Supongamos ademas que V es definida negativa en Bρ. Entonces, la solucion ϕ0 de (1.12) enR es uniformemente asintoticamente estable.

(c) Finalmente, supongamos que existen constantes c1, c2, c3 > 0 tales que

(2.1) c1|y|2 ≤ V (y) ≤ c2|y|2 y V (y) ≤ −c3|y|2, ∀y ∈ Bρ.

Entonces, la solucion ϕ0 de (1.12) en R es exponencialmente asintoticamente estable.

Prueba:

(a) Comencemos observando que, al tratarse de un sistema autonomo, la estabilidad uniforme dela solucion nula de (1.12) equivale a la estabilidad de la misma solucion. Por otro lado, utilizandola Proposicion 1.3.7, basta comprobar la Definicion 1.3.1 (en realidad, la Observacion 1.5) parat0 = 0, es decir, hay que probar que para cualquier ε ∈ (0, ρ), existe δ ∈ (0, ρ) tal que, si |y0| ≤ δ,se tiene

(2.2) |ϕ(t; 0, y0)| ≤ ε, ∀t ∈ I(0, y0) ∩ [0,∞).

Antes de empezar la prueba, hagamos la siguiente observacion: Dado y0 ∈ Bρ ⊆ D, podemosplantear los problemas de Cauchy para el sistema (1.12):

(PC)

y = f(y) en Ω = R×D,

y(0) = y0

y

(PC)

y = f(y) en Ω = R×Bρ,

y(0) = y0.


30 2.2. Condiciones suficientes de estabilidad

Evidentemente, las hipotesis impuestas a f y D permiten afirmar que (PC) admite una unica

solucion maximal, denotada ϕ(·; 0, y0), definida en I(0, y0). Tambien se tiene que (PC) tiene unaunica solucion maximal, ahora denotada ϕ(·; 0, y0), definida en I(0, y0). Es facil comprobar que(I(0, y0), ϕ(·; 0, y0)) es solucion local de (PC) y, ası,

(2.3) I(0, y0) ⊆ I(0, y0) y ϕ(t; 0, y0) = ϕ(t; 0, y0), ∀t ∈ I(0, y0).

Comencemos probando (2.2) con ϕ(t; 0, y0) e I(0, y0) en lugar de ϕ(t; 0, y0) e I(0, y0).Fijemos ε ∈ (0, ρ) y tomemos

λ(ε) = mınε≤|y|≤ρ

V (y).

De las hipotesis del enunciado, deducimos que λ(ε) > 0. Por otro lado, de la propia definicion deλ(ε) es facil comprobar la siguiente propiedad:Propiedad (P): “Sean ε ∈ (0, ρ) e y ∈ Bρ tales que V (y) < λ(ε). Entonces, |y| < ε”.

Efectivamente, si en las condiciones de la propiedad (P) se tuviera |y| ≥ ε, entonces,

y ∈ y ∈ RN : ε ≤ |y| ≤ ρ.

De la definicion de λ(ε) se deducirıa λ(ε) > V (y) ≥ mınε≤|y|≤ρ V (y) = λ(ε) y llegarıamos a unabsurdo.

Probemos ya el primer apartado del teorema. Como V es continua y V (0) = 0, obtenemos queexiste δ = δ(ε) ∈ (0, ε) tal que

V (y) < λ(ε), ∀y : |y| ≤ δ.

Sea y0 ∈ Bρ con |y0| ≤ δ y consideremos E(t) = V (ϕ(t; 0, y0)), con t ∈ I(0, y0). Observese

que tiene sentido la composicion y, de hecho, E ∈ C1(I(0, y0)). Repitiendo el calculo hecho en laObservacion 2.1 deducimos

E(t) = V (ϕ(t; 0, y0)) ≤ 0, ∀t ∈ I(0, y0),

es decir, la funcion E es decreciente en I(0, y0). Por tanto,

V (ϕ(t; 0, y0)) = E(t) ≤ E(0) = V (y0) < λ(ε), ∀t ∈ I(0, y0) ∩ [0,∞).

De la desigualdad anterior y utilizando la propiedad (P) deducimos

|ϕ(t; 0, y0)| ≤ ε, ∀t ∈ I(0, y0) ∩ [0,∞).

Finalmente, como hicimos en la Observacion 1.5, de esta ultima desigualdad deducimos

I(0, y0) ⊃ [0,∞) y |ϕ(t; 0, y0)| ≤ ε, ∀t ∈ [0,∞).

Sin mas que utilizar (2.3) deducimos (2.2). Esto prueba el apartado (a).

(b) Supongamos ahora que V ∈ C1(Bρ) es una funcion de Liapunov en Bρ para el sistema (1.12)que, ademas, satisface que V es definida negativa en Bρ. En particular, podemos aplicar el apartado(a) y deducir que la solucion nula ϕ0 de (1.12) es uniformemente estable. Ası, dado ε = ρ/2, existe

γ = δ(ρ/2) ∈ (0, ρ) tal que si |y0| ≤ γ se tiene

I(0, y0) ⊃ [0,∞) y |ϕ(t; 0, y0)| ≤ρ

2, ∀t ≥ 0.



Demostraremos que si |y0| ≤ γ, entonces lımt→∞ |ϕ(t; 0, y0)| = 0. Teniendo en cuenta la Propo-sicion 1.3.7, deducimos que ϕ0 es uniformemente atractiva y, por tanto, es uniformemente asintoti-camente estable.

Como en el apartado (a), podemos considerar E(t) = V (ϕ(t; 0, y0)), con t ∈ [0,∞) y deducirque E esta bien definida y satisface E ∈ C1([0,∞)) y

E(t) = V (ϕ(t; 0, y0)) ≤ 0, ∀t ≥ 0.

En particular la funcion E es positiva y decreciente en [0,∞). De aquı deducimos que existe

lımt→∞

E(t) = lımt→∞

V (ϕ(t; 0, y0)) = α ≥ 0.

Veamos en primer lugar que α = 0. Por reduccion al absurdo, supongamos que α > 0. Enparticular se tiene

V (ϕ(t; 0, y0)) >α

2, ∀t ∈ [0,∞).

Por otro lado, como V ∈ C0(Bρ) y V (0) = 0, tambien deducimos que existe µ ∈ (0, ρ) tal que

V (y) ≤ α

2, ∀y : |y| ≤ µ.

Comparando las dos ultimas desigualdades, llegamos a que

(2.4) |ϕ(t; 0, y0)| > µ, ∀t ∈ [0,∞).

Tenıamos como hipotesis que V es definida negativa en Bρ. Volviendo a la funcion E(·) yutilizando (2.4) obtenemos

E(t) = V (ϕ(t; 0, y0)) ≤ maxµ≤|y|≤ρ

V (y) = −b(µ) < 0, ∀t ∈ [0,∞).

Si tomamos t ∈ [0,∞) e integramos la desigualdad anterior en el intervalo [0, t], conseguimos

E(t)− E(0) ≤ −b(µ)t, ∀t ∈ [0,∞).

Tomando lımite en esta ultima desigualdad

0 < α = lımt→∞

E(t) = lımt→∞

V (ϕ(t; 0, y0)) = −∞,

lo que, evidentemente es absurdo. Por tanto, lımt→∞ V (ϕ(t; 0, y0)) = 0.Para acabar, veamos que existe lımt→∞ ϕ(t; 0, y0) = 0 y para ello fijemos ε ∈ (0, ρ). Considere-

mos de nuevo la expresionλ(ε) = mın

ε≤|y|≤ρV (y) > 0.

Como lımt→∞ V (ϕ(t; 0, y0)) = 0, obtenemos que existe Tε > 0 tal que

0 ≤ V (ϕ(t; 0, y0)) < λ(ε), ∀t ≥ Tε.

Utilizando de nuevo la propiedad (P) podemos concluir que

|ϕ(t; 0, y0)| ≤ ε, ∀t ≥ Tε.

En definitiva, lımt→∞ |ϕ(t; 0, y0)| = 0 y la solucion ϕ0 de (1.12) es uniformemente atractiva.



(c) Probemos a continuacion el tercer punto del resultado. En primer lugar, las hipotesis (2.1) enparticular implican que V es una funcion de Liapunov en Bρ para el sistema autonomo (1.12).Tenemos ası que la solucion nula es (uniformemente) estable. Razonando como en el apartado (b),dado ρ/2 > 0, existe µ ∈ (0, ρ) tal que si |y0| ≤ µ se tiene

I(0, y0) ⊃ [0,∞) y |ϕ(t; 0, y0)| ≤ρ

2, ∀t ≥ 0.

Tomemos por tanto |y0| ≤ γ. Siguiendo el razonamiento del apartado (b) tambien deducimos quela funcion E(t) = V (ϕ(t; 0, y0)) esta bien definida en [0,∞) y, utilizando las hipotesis (2.1),

(2.5) E(t) = V (ϕ(t; 0, y0)) ≤ −c3|ϕ(t; 0, y0)|2 ≤ −c3c2V (ϕ(t; 0, y0)) = −c3

c2E(t), ∀t ≥ 0.

Utilizamos ahora el Lema de Gronwall (este resultado fue estudiado en la asignatura Ecuacio-nes Diferenciales Ordinarias; ver tambien [15], p. 121) para deducir

(2.6) E(t) ≤ E(0)e− c3

c2t= V (y0)e

− c3c2

t ≤ c2|y0|2e− c3

c2t, ∀t ≥ 0.

Hacemos un alto en la demostracion del apartado (c) pues merece la pena recordar como seobtiene la desigualdad (2.6) de (2.5). Reescribimos (2.5) como

E(t) +c3c2E(t) ≤ 0, ∀t ≥ 0.

Si multiplicamos esta desigualdad por ec3c2

tobtenemos

d

dt

e

c3c2

tE(t)

≤ 0, ∀t ≥ 0.

Basta con integrar esta desigualdad en el intervalo [0, t] para deducir (2.6).Continuemos con la prueba. De la desigualdad (2.6) y de las hipotesis (2.1) tenemos:

|ϕ(t; 0, y0)|2 ≤1

c1V (ϕ(t; 0, y0)) =

1

c1E(t) ≤ c2

c1|y0|2e

− c3c2

t, ∀t ≥ 0,

es decir,

|ϕ(t; 0, y0)| ≤ C|y0|e−αt, ∀t ≥ 0,

con C =c2/c1 > 0 y α = c3/(2c2). Sin mas que tener en cuenta la Proposicion 1.3.7, de la

desigualdad anterior deducimos que para cualesquiera t0 ∈ R e |y0| ≤ µ se tiene que I(t0, y0) ⊇[t0,∞) y

|ϕ(t; t0, y0)| ≤ C|y0|e−α(t−t0), ∀t ≥ t0.

Tenemos que la solucion ϕ0 de (1.12) es exponencialmente asintoticamente estable. Esto finaliza laprueba.

Ejemplo 2.4. Volvamos a considerar el ejemplo del pendulo sin rozamiento introducido en elEjemplo 1.2:

(2.7) x + k senx = 0,



donde k > 0 es un parametro positivo. Veamos las propiedades de estabilidad de la solucion nulade esta e.d.o. Podemos reescribir de manera equivalente esta e.d.o. como el sistema

(2.8)

y1 = y2,

y2 = −k sen y1,

y las propiedades de estabilidad de la solucion nula de la ecuacion equivalen a las propiedadesde estabilidad de la solucion nula ϕ0 del sistema (2.8). Observese que la funcion f que define els.d.o. anterior satisface las condiciones (1.13) para D = R2. Apliquemos el Teorema 2.2.1 a estesistema para

V (y1, y2) =1

2y22 + k(1− cos y1), ∀y = (y1, y2) ∈ Bπ

(ρ = π). Claramente V es definida positiva en Bπ (Ejemplo 2.3) y ademas

V (y) = (k sen y1) y2 + y2 (−k sen y1) = 0, ∀y ∈ Bπ.

Como consecuencia del Teorema 2.2.1 (a) deducimos que la solucion nula del sistema (y de lae.d.o) es uniformemente estable.

Ejemplo 2.5. Consideremos ahora el caso del pendulo simple con rozamiento. En este caso elmovimiento del pendulo se modela mediante la e.d.o.

x + βx + k senx = 0,

donde k,β > 0 son dos parametros positivos. La anterior ecuacion es equivalente al sistema:

(2.9)

y1 = y2,

y2 = −βy2 − k sen y1.

Podemos aplicar de nuevo el Teorema 2.2.1 (a) con la funcion V (y1, y2) =1

2y22 + k(1 − cos y1),

definida en Bπ, obteniendo en este caso

V (y) = (k sen y1) y2 + y2 (−βy2 − k sen y1) = −βy22 ≤ 0, ∀y ∈ Bπ.

Deducimos que la solucion nula de (2.9) es uniformemente estable.Observese que, desde el punto de vista fısico, parece razonable que se pueda probar que la

solucion nula es uniformemente asintoticamente estable (el rozamiento hace que el pendulo tiendaa pararse cuando el tiempo tiende hacia infinito). Sin embargo, no es posible aplicar a esta funcionV el apartado (b) del Teorema 2.2.1 puesto que la funcion V no es definida negativa en ningunabola Bρ para ningun ρ > 0. Veremos en el proximo tema que, utilizando un resultado distinto,es posible obtener la estabilidad asintotica uniforme de la solucion nula del pendulo simple conrozamiento utilizando la funcion V anterior.

Acabaremos el ejemplo del pendulo simple con rozamiento probando que la solucion nula esexponencialmente asintoticamente estable. Utilizaremos para ello el Teorema 1.6.1. Efectivamente,aislando por un lado los terminos lineales y por otro los no lineales del sistema (2.9), este se reescribecomo y = Ay + g(y) con

A =

0 1−k −β

y g(y1, y2) =

0

−k(sen y1 − y1)

.



Es facil comprobar que los autovalores de la matriz A tienen parte real negativa (para cualquiervalor de los parametros k,β > 0) y ası, la solucion nula del sistema lineal y = Ay es uniformementeasintoticamente estable (Teorema 1.5.2). Por otro lado,

lım|y|→∞

|g(y)||y| = 0,

(evidentemente, uniformemente en t) y ası, la solucion nula del sistema no lineal y = Ay+ g(y) esexponencialmente asintoticamente estable (Teorema 1.6.1).

El gran inconveniente de la aplicacion al sistema (1.12) del metodo directo de Liapunov formu-lado en el Teorema 2.2.1 radica en la busqueda de una funcion de Liapunov V asociada al sistema.En sistemas diferenciales que tienen un claro significado fısico (como ocurre en los Ejemplos 2.4y 2.5), estas funciones pueden ser calculadas a partir de la funcion energıa asociada al sistema(ver [14]). En cualquier caso, no existen metodos generales para la construccion de una funcion deLiapunov asociada al sistema (1.12) y muchas veces hay que aplicar la intuicion y el ingenio.

Veamos algun ejemplo mas.

Ejemplo 2.6. Comenzamos analizando la llamada ecuacion de Newton

x = −kf(x),

donde k > 0 es una constante real y f ∈ C1(R) es una funcion dada tal que, para ρ > 0, se tiene

(2.10) xf(x) > 0, ∀x ∈ [−ρ, ρ] \ 0 y f(0) = 0.

Observese que la ecuacion considerada coincide con la ecuacion del pendulo cuando f(x) = senx.Escribamos la ecuacion de segundo orden como un s.d.o. de primer orden

y1 = y2,

y2 = −kf(y1).

Claramente este sistema satisface (1.13) para D ≡ R2 y podemos analizar las propiedades deestabilidad de la solucion nula ϕ0 ≡ 0.

Al igual que en la ecuacion del pendulo podemos considerar una funcion de Liapunov (energıatotal del sistema) dada por:

(2.11) V (y) =1

2|y2|2 + kF (y1) con F (y1) =

y1

0f(s) ds.

En la expresion anterior el primer sumando representa la energıa cinetica del sistema, mientrasque el segundo proporciona la energıa potencial del fenomeno modelado. Gracias a las hipotesisimpuestas a la funcion f es facil comprobar que V es una funcion definida positiva en la bola Bρ.Ademas,

V (y1, y2) = kF (y1)y2 + y2(−kf(y1)) = kf(y1)y2 + y2(−kf(y1)) = 0, ∀y ∈ Bρ.

Deducimos por tanto que V es una funcion de Liapunov del sistema en la bola Bρ. Del apartado (a)del Teorema 2.2.1 podemos concluir que el equilibrio ϕ0 es uniformemente estable.

Un razonamiento parecido al anterior permite estudiar la estabilidad de la solucion nula de laecuacion de Newton con friccion:

x + βψ(x) = −kf(x)



donde k,β ∈ R son constantes positivas y f,ψ ∈ C1(R) son funciones que satisfacen (2.10) yψ(x)x > 0 para cualquier x ∈ [−ρ, ρ] \ 0 (ρ > 0).

En este caso podemos escribir el sistema como

y1 = y2,

y2 = −kf(y1)− βψ(y2).

Si consideramos la funcion de energıa V dada por (2.11), deducimos que V es definida positivaen Bρ. Ademas, podemos calcular la derivada de V respecto del sistema considerado, obteniendo

V (y1, y2) = −βy2ψ(y2) ≤ 0, ∀(y1, y2) ∈ Bρ.

De nuevo, del apartado (a) del Teorema 2.2.1 podemos concluir que el equilibrio ϕ0 es uniformemen-te estable. Al igual que en el caso del pendulo con rozamiento, de los resultados del siguiente temaaplicados a V , deduciremos que la solucion nula de la ecuacion es uniformemente asintoticamenteestable (lo que parece fısicamente razonable)

Resultados parecidos pueden ser obtenidos en el caso de la ecuacion que modela el movimientode una masa m sujeta a un resorte de constante k, en un medio que ofrece un amortiguamiento decoeficiente C:

mx + Cx + kx = 0

donde C ≥ 0, k > 0.

Ejemplo 2.7. Consideremos el sistema

y1 = −y1 − y2 + y22y2 = y1 − y2 + y31 cos y2.

De nuevo, si trabajamos en D ≡ R2, el sistema satisface las condiciones (1.13). Veamos que esposible aplicar el tercer apartado del Teorema de Liapunov (Teorema 2.2.1 (c)) para la funcion

V (y) =1

2

y21 + y22

, ∀y ∈ R2.

Claramente V es una funcion definida positiva en cualquier bola Bρ (ρ > 0). De hecho, V satisfacela primera parte de las hipotesis (2.1) para c1 = c2 = 1/2.

Calculemos la derivada de V respecto del sistema considerado, V , en RN :

V (y) = y1−y1 − y2 + y22

+ y2

y1 − y2 + y31 cos y2

= −

y21 + y22

+G(y)

= −y21 + y22

1− G(y)

y21 + y22

, ∀y ∈ RN , y = 0,

donde G(y) = y1y22 + y31y2 cos y2. Es facil comprobar que la funcion G satisface

lım|y|→0

G(y)

y21 + y22= 0,

de donde deducimos la existencia de ρ > 0 tal que

−1

2≤ G(y)

y21 + y22≤ 1

2, ∀y ∈ Bρ.



Volviendo a la expresion de V , de la desigualdad anterior deducimos

V (y) = −y21 + y22

1− G(y)

y21 + y22

≤ −1

2

y21 + y22

, ∀y ∈ Bρ.

Esta ultima desigualdad prueba la segunda condicion en (2.1). Por tanto, aplicando el Teore-ma 2.2.1 (c) obtenemos que la solucion nula ϕ0 del sistema considerado es exponencialmenteasintoticamente estable.

Al igual que en el Ejemplo 2.5, podemos llegar a la misma propiedad de ϕ0 aplicando el Teore-ma 1.6.1 (pruebese como ejercicio).

Ejemplo 2.8. Consideremos el sistema

y1 = −y1 − αy2 − y21 sen y2

y2 = βy1 − y2 + y2y1,

con α,β > 0 dos constantes positivas. De nuevo podemos trabajar en D ≡ R2 y claramente elsistema satisface las condiciones (1.13). Ahora aplicaremos el Teorema 2.2.1 para una funcion Vligeramente distinta a la considerada en el Ejemplo 2.7:

V (y) =1

2

ay21 + by22

, ∀y ∈ R2,

donde a y b son dos constantes positivas que elegiremos convenientemente. Observese en primerlugar que V es una funcion definida positiva en Bρ para cualquier ρ > 0. De hecho, si llamamosC1 = mına, b y C2 = maxa, b, se tiene que

C1

2|y|2 ≤ V (y) ≤ C2

2|y|2, ∀y ∈ RN .

Tenemos por tanto la primera parte de (2.1).Calculemos la derivada de V respecto del sistema:

V (y) = ay1−y1 − αy2 − y21 sen y2

+ by2 (βy1 − y2 + y2y1)

= −ay21 − by22 + (bβ − aα)y1y2 +G(y),

donde G(y) = by1y22 − ay31 sen y2.De nuevo, nuestro objetivo sera elegir ρ > 0 y constantes positivas a y b para que V satisfaga

la ultima hipotesis de (2.1). En primer lugar, tomamos a y b tal que bβ − aα = 0, p.e., a = β yb = α. Con esta eleccion tenemos

V (y) =1

2

βy21 + αy22

, ∀y ∈ R2,

y

V (y) = −βy21 − αy22 +G(y) = −βy21 + αy22

1− G(y)

βy21 + αy22

, ∀y ∈ R2.

Como en el ejemplo anterior podemos escribir

lım|y|→0

G(y)

βy21 + αy22= 0,



y de nuevo, existe ρ > 0 tal que

G(y)

βy21 + αy22

≤1

2, ∀y ∈ Bρ.

Volviendo a la expresion de V , se tiene

V (y) ≤ −1

2

βy21 + αy22

≤ −1

2mınα,β

y21 + y22

, ∀y ∈ Bρ.

Tenemos ası probada la ultima parte de la hipotesis (2.1). De la aplicacion del Teorema 2.2.1 (c)inferimos que la solucion nula ϕ0 del sistema considerado es exponencialmente asintoticamenteestable.

Como en ejemplos anteriores, podemos llegar a la misma propiedad de ϕ0 aplicando el Teore-ma 1.6.1 (ejercicio).

2.3. Una condicion suficiente de inestabilidad. Teorema de Tche-

taev

En esta seccion estudiaremos el Teorema de Tchetaev. Este resultado da una condicion suficienteque permite establecer la inestabilidad de la solucion nula ϕ0 de (1.12). Se tiene:

Teorema 2.3.1. Supongamos que existen ρ > 0 y V ∈ C1(Bρ) tales que Bρ ⊆ D y

(a) V (0) = 0,

(b) V es definida positiva en Bρ,

(c) Para cualquier σ ∈ (0, ρ) existe yσ ∈ Bσ tal que V (yσ) > 0.

Entonces, la solucion nula ϕ0 de (1.12) es inestable.

Prueba: Razonaremos por contradiccion. Supongamos que el equilibrio ϕ0 de (1.12) es estable. Enparticular, si tomamos ε = ρ/2 > 0, existe δ = δ(ρ/2) ∈ (0, ρ) tal que si |y0| ≤ δ se tiene

I(0, y0) ⊃ [0,∞) y |ϕ(t; 0, y0)| ≤ρ

2, ∀t ≥ 0.

Si utilizamos la condicion (c) con σ = δ deducimos la existencia de yδ ∈ Bδ tal que V (yδ) > 0 .

A partir de ahora y para llegar a una contradiccion, trabajaremos con yδ. De la propiedad anterior,podemos definir

E(t) = V (ϕ(t; 0, yδ)), ∀t ∈ [0,∞),

funcion que esta bien definida en [0,∞) y satisface E ∈ C1([0,∞)).Utilizando la condicion (b), tenemos que V es definida positiva en Bρ. Como en ocasiones

anteriores, es facil comprobar

E(t) = V (ϕ(t; 0, yδ)) ≥ 0, ∀t ≥ 0.

Ası, la funcion E(·) es creciente en [0,∞), es decir

(2.12) V (ϕ(t; 0, yδ)) = E(t) ≥ E(0) = V (yδ) > 0, ∀t ≥ 0.


38 2.3. Una condicion suficiente de inestabilidad. Teorema de Tchetaev

Utilizamos ahora que V ∈ C0(Bρ) y que V (0) = 0. Dado V (yδ) > 0, existe α ∈ (0, ρ) tal que

V (y) ≤ 1

2V (yδ), ∀|y| ≤ α.

Si comparamos esta ultima desigualdad con (2.12), deducimos

|ϕ(t; 0, yδ)| > α > 0, ∀t ≥ 0.

Volviendo a la expresion de E, tenemos

E(t) = V (ϕ(t; 0, yδ)) ≥ mınα≤|y|≤ρ

V (y) = a(α) > 0, ∀t ≥ 0.

Integrando esta ultima expresion entre 0 y t llegamos a E(t)−E(0) ≥ a(α)t, para cualquier t ≥ 0,es decir,

V (ϕ(t; 0, yδ)) ≥ V (yδ) + a(α)t, ∀t ≥ 0.

Observese que esta ultima desigualdad dice que la funcion V (ϕ(t; 0, yδ)) no esta acotada en [0,∞).Pero esto es absurdo, pues si hacemos M = max

y∈Bρ/2

V (y), se tiene

0 ≤ V (yδ) + a(α)t ≤ V (ϕ(t; 0, yδ)) ≤ M, ∀t ≥ 0.

Por tanto la solucion ϕ0 de (1.12) no puede ser estable. Tenemos ası la prueba del resultado.Veamos algun ejemplo de aplicacion del Teorema de Tchetaev.

Ejemplo 2.9. Comencemos viendo que la solucion estacionaria ϕ1(t) = π, t ∈ R, del pendulo(ver (2.7)) es inestable. En primer lugar, hagamos el cambio de variable z = x − ϕ1(t) = z − πen (2.7), obteniendo la e.d.o.

z − k sen z = 0 (con k > 0).

Nuestro objetivo sera probar que la solucion nula de esta ecuacion es inestable. Para ello aplicaremosel Teorema 2.3.1. Podemos escribir la ecuacion en forma de sistema como

y1 = y2,

y2 = k sen y1 = ky1 + k (−y1 + sen y1) .

Para aplicar el Teorema de Tchetaev, trabajemos con la funcion

V (y1, y2) =1

2

αy21 + βy22

+ γy1y2,

con α,β, γ ∈ R tres constantes a determinar. Veamos que es posible elegir las constantes para queV satisfaga los puntos (a), (b) y (c) del Teorema 2.3.1. Evidentemente V ∈ C1(R2) y satisface lahipotesis (a). Veamos que tambien se tiene (b). Comencemos calculando V :

V (y1, y2) = γky21 + (α+ βk) y1y2 + γy22 + k (−y1 + sen y1) (γy1 + βy2) .

Elijamos, por ejemplo, α = k, β = −1 y γ = 1. Con esta eleccion obtenemos

V (y1, y2) = ky21 + y22 + k (−y1 + sen y1) (y1 − y2) =ky21 + y22

[1 +G(y1, y2)] ,

donde G es la funcion

G(y1, y2) =k (−y1 + sen y1) (y1 − y2)

ky21 + y22,



funcion que claramente satisface lım|y|→0G(y1, y2) = 0. Recordemos que nuestro objetivo es com-probar el apartado (b) del Teorema 2.3.1. Ası, tomando ε = 1/2, existe ρ > 0 tal que

−1

2≤ G(y1, y2) ≤

1

2, ∀(y1, y2) ∈ Bρ.

Volviendo a la expresion de V obtenemos

V (y1, y2) ≥1

2

ky21 + y22

, ∀(y1, y2) ∈ Bρ,

y por tanto, V es definida positiva en Bρ. Tenemos ası el apartado (b) del Teorema 2.3.1.Finalmente, se tiene V (y1, 0) = k

2y21, de donde es facil deducir que V satisface tambien el

apartado (c) del Teorema de Tchetaev.Podemos concluir que la solucion estacionaria ϕ ≡ π de la e.d.o. (2.7) es inestable.

Ejercicio 2.2. Demuestrese que la solucion estacionaria ϕ1(t) = π, t ∈ R, del pendulo con roza-miento

x + βx + k senx = 0,

donde k,β > 0 son dos parametros positivos, es inestable.

Terminemos el capıtulo con otro ejemplo de aplicacion del Teorema 2.3.1.

Ejemplo 2.10. Consideramos el sistema plano

y1 = −y1

y2 = y2 + y22.

Se puede comprobar que el sistema satisface las condiciones (1.13), con D ≡ R2, y que ϕ0 ≡ 0es solucion en R del sistema. Estudiemos sus propiedades de estabilidad. En este caso, nuestroobjetivo va a ser aplicar el Teorema de Tchetaev para probar que ϕ0 es inestable. Consideremos

V (y1, y2) =1

2

−y21 + y22

,

que claramente satisface V ∈ C1(R2) y V (0) = 0. Comprobemos el resto de condiciones de Teore-ma 2.3.1:

V (y1, y2) = y21 + y22 + y32 =y21 + y22

1 +

y32y21 + y22

=

y21 + y22

[1 +G(y1, y2)] .

Se tiene lım|y|→0 |G(y1, y2)| = 0 y, ası, como en ocasiones anteriores, dado ε = 1/2, existe ρ > 0 talque

−1

2≤ G(y1, y2) ≤

1

2, ∀(y1, y2) ∈ R2.

Volviendo a la expresion de V deducimos

V (y1, y2) ≥1

2

y21 + y22

, ∀(y1, y2) ∈ R2.

Hemos comprobado por tanto el apartado (b) del Teorema 2.3.1.Finalmente, se tiene que V (0, y2) = y22/2 de donde deducimos el ultimo punto del Teorema de

Tchetaev. Como consecuencia, se tiene que la solucion nula del sistema considerado es inestable.


40 2.4. Resultados adicionales y comentarios bibliograficos

2.4. Resultados adicionales y comentarios bibliograficos

En la redaccion de este tema hemos vuelto a seguir la referencia [14] pero tambien de maneraimportante la referencia [18]. En estos dos libros aparecen varios ejemplos de e.d.o. y s.d.o. conorigen en Fısica y otras Ciencias a los que se le pueden aplicar los resultados del tema.

Por otro lado, hemos presentado el segundo metodo de estabilidad de Liapunov en el casodel sistema autonomo (1.12). Sin embargo, no es difıcil generalizar los resultados de estabili-dad/inestabilidad vistos en este tema al caso de un sistema general como (1.9). Para el lectorinteresado, veanse por ejemplo [14] y [18].


ampliacion de ecuaciones´ diferenciales · de existencia y unicidad de solucion local). en la...

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