xử lý số tín hiệu -chuong 4

ChChương 4ương 4::BIBIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG TRONG ỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG TRONG

MIỀN TẦN SỐ RỜI RẠCMIỀN TẦN SỐ RỜI RẠC

BÀI 1 KHÁI NiỆM DFT

BÀI 2 BIẾN ĐỔI FOURIER RỜI RẠC (DFT)

BÀI 3 CÁC TÍNH CHẤT DFT

BÀI 4 BiẾN ĐỔI FOURIER NHANH (FFT)

BÀI 1 KHÁI NIỆM DFTBÀI 1 KHÁI NIỆM DFT

X(X(ωω) có các hạn chế khi xử lý trên thiết bị, máy tính:) có các hạn chế khi xử lý trên thiết bị, máy tính:

Tần số Tần số ωω liên tục liên tục

Độ dài x(n) là vô hạn: Độ dài x(n) là vô hạn: nn biến thiên - biến thiên -∞ đến ∞∞ đến ∞

Biến đổi Fourier dãy x(n): ∑−∞

∞=

−=n

njenxX ωω )()(

Khi xử lý X(Khi xử lý X(ΩΩ) trên thiết bị, máy tính cần:) trên thiết bị, máy tính cần:

Rời rạc tần số Rời rạc tần số ωω -> -> ωωKK

Độ dài x(n) hữu hạn là N: Độ dài x(n) hữu hạn là N: nn = 0 = 0 ÷÷ N -1 N -1

⇒⇒ BBiến đổi Fourier của dãy có độ dài hữu hạn theo tần iến đổi Fourier của dãy có độ dài hữu hạn theo tần số rời rạc, gọi tắt là số rời rạc, gọi tắt là biến đổi Fourier rời rạc – DFT biến đổi Fourier rời rạc – DFT (Discrete Fourier Transform)(Discrete Fourier Transform)

BÀI 2 BIBÀI 2 BIẾẾN N ĐỔIĐỔI FOURIER RỜI RẠC - DFT FOURIER RỜI RẠC - DFT

DFTDFT của của x(n) có độ dài N định nghĩa:x(n) có độ dài N định nghĩa:

−≤≤

= ∑−

=

−

: 0

10:)()(

1

0

2

k

NkenxkX

N

n

knNj

π

còn lại

rN

rNjmNr

NjmNr

N WeeW ===−+−+

ππ 2)(

2)(

−≤≤

= ∑−

=

: 0

10:)()(

1

0

k

NkWnxkX

N

n

knN

còn lại

Nj

N eWπ2−

=

WWNN tuần hòan với độ dài tuần hòan với độ dài N:N:

X(k) biểu diễn dưới dạng modun & argument:)()()( kjekXkX ϕ=

Trong đó:Trong đó:)(kX - phổ rời rạc biên độ- phổ rời rạc biên độ

)](arg[)( kXk =ϕ - phổ rời rạc pha- phổ rời rạc pha

IDFT:

−≤≤

= ∑−

=

: 0

10:)(1

)(

1

0

2

n

NnekXNnx

N

k

knNj

π

còn lại

−≤≤=

−≤≤=

∑

∑−

=

−

−

=

10:)(1

)(

10: )()(

1

0

1

0

NnWkXN

nx

NkWnxkX

N

k

knN

N

n

knN

Cặp biến đổi Fourier rời rạc:

Ví dụ 1: Tìm DFT của dãy: 4,3,2,1 )(↑

=nx

∑=

=3

04)()(

n

knWnxkX jWWjeWj

=−=−==− 3

42

44

21

4 ;1;π

10)3()2()1()0()()0(3

0

04 =+++== ∑

=xxxxWnxX

n

22)3()2()1()0()()1( 34

24

14

3

04 jWxWxWxxWnxX

n

n +−=+++== ∑=

2)3()2()1()0()()2( 64

44

24

3

0

24 −=+++== ∑

=WxWxWxxWnxX

n

n

22)3()2()1()0()()3( 94

64

34

3

0

34 jWxWxWxxWnxX

n

n −−=+++== ∑=

BÀI 3. CÁC TÍNH CHẤT DFTBÀI 3. CÁC TÍNH CHẤT DFT

a) Tuyến tính

NDFT

N kXnx )()( 11 →←

NNDFT

NN kXakXanxanxa )()()()( 22112211 + →←+

Nếu:Nếu:

Thì:Thì:

NDFT

N kXnx )()( 22 →←

b) Dịch vòng:

)()( NDFT

N kXnx →←Nếu:Nếu:

)()( 00 N

knN

DFTN kXWnnx →←−Thì:Thì:

Với:Với: (n)rect)(~)( N00 NN nnxnnx −=−gọi là dịch vòng của x(n)N đi n0 đơn vị

21 21 xx LNNL =≠=Nếu:Nếu: Chọn:Chọn: ,max 21 NNN =

Ví dụ 1: Cho:

a) Tìm dịch tuyến tính: x(n+3), x(n-2)

b)Tìm dịch vòng: x(n+3)4, x(n-2)4

4,3,2,1 )(↑

=nx

x(n)x(n)

nn

0 1 2 30 1 2 3

44332211

a)

nn

x(n-2)x(n-2)

0 1 2 3 4 50 1 2 3 4 5

44332211nn

x(n+3)x(n+3)

-3 -2 -1 0-3 -2 -1 0

44332211

b)x(n)

nn

0 1 2 30 1 2 3

44332211

N

x(n-1)4

nn

0 1 2 3

44332211

x(n+1)x(n+1)44

nn

0 1 2 30 1 2 3

44332211

c) Chập vòng:

NDFT

N kXnx )()( 11 →←

NNDFT

NN kXkXnxnx )()()()( 2121 →←⊗

Nếu:Nếu:

Thì:Thì:

NDFT

N kXnx )()( 22 →←

∑−

=−=⊗

1

02121 )()()()(

N

mNNNN mnxmxnxnxVới:Với:

Chập vòng 2 dãy x1(n) & x2(n)

21 21 xx LNNL =≠=Nếu:Nếu: Chọn:Chọn: ,max 21 NNN =

Chập vòng có tính giao hóan:Chập vòng có tính giao hóan:

NNNN nxnxnxnx )()()()( 1221 ⊗=⊗

)()(~)( 22 nrectmnxmnx NNN −=−Và:Và: Dịch vòng dãy x2(-m) đi n đ/vị

Ví dụ 1: Tìm chập vòng 2 dãy

30:)()()()()(3

04241424143 ≤≤−=⊗= ∑

=nmnxmxnxnxnx

m

4,max4,3 2121 ==⇒== NNNNN

Đổi biến n->m:

Xác định x2(-m)4:

Chọn độ dài N:

mm

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

44332211

)(~2 mx −

xx22(m)(m)

mm

0 1 2 30 1 2 3

44332211

xx22(-m)(-m)

mm

-3 -2 -1 0-3 -2 -1 0

44332211

mm

0 1 2 3 0 1 2 3

44332211

)()(~)( 4242 nrectmxmx −=−

mm

0 1 2 3 0 1 2 3

44332211

)()(~)( 4242 nrectmxmx −=−

Xác định x2(n-m) là dịch vòng của x2(-m) đi n đơn vị

n>0: dịch vòng sang phải, n<0: dịch vòng sang trái

xx22(1-m)(1-m)44

mm

0 1 2 30 1 2 3

44332211

xx22(2-m)(2-m)44

mm

0 1 2 30 1 2 3

44332211 mm

0 1 2 30 1 2 3

44332211

xx22(3-m)(3-m)44

mm

0 1 2 3 0 1 2 3

44332211

x2(-m)4

30:)()()(3

0424143 ≤≤−= ∑

=nmnxmxnx

m

n=0:

Nhân các mẫu x1(m) & x2(n-m)

và cộng lại:

26)0()()0(3

0424143 =−= ∑

=mmxmxx

n=1: 23)1()()1(3

0424143 =−= ∑

=mmxmxx

n=2: 16)2()()2(3

0424143 =−= ∑

=mmxmxx

n=3: 25)3()()3(3

0424143 =−= ∑

=mmxmxx

Vậy:

BÀI 4. BiẾN ĐỔI FOURIER NHANH FFTBÀI 4. BiẾN ĐỔI FOURIER NHANH FFT

1. KHÁI NiỆM BiẾN ĐỔI FOURIER NHANH FFT1. KHÁI NiỆM BiẾN ĐỔI FOURIER NHANH FFT

Vào những năm thập kỷ 60, khi công nghệ vi xử lý phát triển chưa mạnh thì thời gian xử lý phép tóan DFT trên máy tương đối chậm, do số phép nhân phức tương đối lớn.

DFT của x(n) có độ dài N: 10 :)()(1

0

−≤≤= ∑−

=NkWnxkX

N

n

knN

Để tính X(k), với mỗi giá trị k cần có N phép nhân và (N-1) phép cộng, vậy với N giá trị k thì cần có N2 phép nhân và N(N-1) phép cộng.

Để khắc phục về mặt tốc độ xử lý của phép tính DFT, nhiều tác giả đã đưa ra các thuật tóan riêng dựa trên DFT gọi là FFT (Fast Fourier Transform).

2. THUẬT TOÁN FFT CƠ SỐ 2 2. THUẬT TOÁN FFT CƠ SỐ 2

a. THUẬT TOÁN FFT CƠ SỐ 2 PHÂN THEO THỜI GIAN a. THUẬT TOÁN FFT CƠ SỐ 2 PHÂN THEO THỜI GIAN

Thuật tóan dựa trên sự phân chia dãy vào x(n) thành các dãy nhỏ, do biến n biểu thị cho trục thời gian nên gọi là phân chia theo thời gian.

∑−

==

1

0

)()(N

n

knNWnxkX ∑∑

−

=

−

=+=

1

3,5...,1n

1

2,4...,0n

)()(N

knN

NknN WnxWnx

∑∑−

=

+−

=++=

1)2/(

0r

)12(1)2/(

0r

2 )12()2()(N

rkN

Nkr

N WrxWrxkX

Thay n=2r với n chẵn và n=2r+1 với n lẽ:

Giả thiết dãy x(n) có độ dài N=2M, nếu không có dạng lũy thừa 2 thì thêm vài mẫu 0 vào sau dãy x(n).

X0(k) – DFT của N/2 điểm ứng với chỉ số n chẵn

X1(k) – DFT của N/2 điểm ứng với chỉ số n lẽ

∑−

==

1)2/(

0r2/0 )2()(

NkrNWrxkX ∑

−

=+=

1)2/(

0r2/1 )12()(

NkrNWrxkXĐặt:

)(.)()( 10 kXWkXkX kN+=

Lấy ví dụ minh họa cho x(n) với N=8

∑∑−

=

−

=++=

1)2/(

0r2/

1)2/(

0r2/ )12(.)2()(

NkrN

kN

NkrN WrxWWrxkX

krN

krNjrk

Njrk

N WeeW 2/2/

22

22 ===

ππ

Do:

DFT

N/2

điểm

x(0)

x(2)

x(4)

x(6)

X(0)

X(1)

X(2)

X(3)

DFT

N/2

điểm

x(1)

x(3)

x(5)

x(7)

X(4)

X(5)

X(6)

X(7)

W0

W1

W2

W3

W4

W5

W6

W7

X0(0)

X0(1)

X0(2)

X0(3)

X1(0)

X1(1)

X1(2)

X1(3)

n chẵn

n lẽ

Phân chia DFT- N điểm -> 2 DFT- N/2 điểm;

Qui ước cách tính X(k) theo lưu đồ:

- Nhánh ra của 1 nút bằng tổng các nhánh vào nút đó

- Giá trị mỗi nhánh bằng giá trị nút xuất phát nhân hệ số

Sau đó đánh lại chỉ số theo thứ tự các mẫu x(n), tiếp tục phân chia DFT của N/2 điểm thành 2 DFT của N/4 điểm theo chỉ số n chẵn và lẽ và cứ thế tiếp tục phân chia cho đến khi nào còn DFT 2 điểm thì dừng lại.

Ví dụ X0(k) được phân chia:

∑∑−

=

−

===

1)2/(

0r2/

1)2/(

0r2/0 )()2()(

NkrN

NkrN WrgWrxkX

∑∑−

=

−

=+=

1)2/(

...5,3,1r2/

1)2/(

...4,2,0r2/ )()(

NkrN

NkrN WrgWrg

∑∑−

=

−

=++=

1)4/(

0l4/2/

1)4/(

0l4/ )12()2(

NklN

kN

NklN WlgWWlg

)(.)( 012/00 kXWkX kN+=

Phân chia DFT- N/2 điểm -> 2 DFT- N/4 điểm của X0(k)

DFT

N/4

x(0)

x(4)W0

N/2

W1N/2

X00(0)

X00(1)

X0(0)

X0(1)

DFT

N/4

x(2)

x(6)

X0(2)

X0(3)

X01(0)

X01(1)W2

N/2

W3N/2

Phân chia X1(k) tương tự: )(.)()( 112/101 kXWkXkX kN+=

DFT

N/4

x(1)

x(5)W0

N/2

W1N/2

X10(0)

X10(1)

X1(0)

X1(1)

DFT

N/4

x(3)

x(7)

X1(2)

X1(3)

X11(0)

X11(1)W2

N/2

W3N/2

Lưu đồ DFT dãy x(n) sau 2 lần phân chia với N=8

DFT

N/4

x(0)

x(4)

x(2)

x(6)

X(0)

X(1)

X(2)

X(3)

x(1)

x(5)

x(3)

x(7)

X(4)

X(5)

X(6)

X(7)

W0

W1

W2

W3

W4

W5

W6

W7

DFT

N/4

DFT

N/4

DFT

N/4

W0

W2

W4

W6

X00(0)

X00(1)

X01(0)

X01(1)

X10(0)

X10(1)

X11(0)

X11(1)

W0

W2

W4

W6

x(0)

x(4)W0

N = 1

WNN/2 =-1

X00(0)

X00(1)

Lưu đồ DFT 2 điểm:

Lưu đồ DFT dãy x(n) sau 3 lần phân chia với N=8

x(0)

x(4)

x(2)

x(6)

X(0)

X(1)

X(2)

X(3)

x(1)

x(5)

x(3)

x(7)

X(4)

X(5)

X(6)

X(7)

W0

W1

W2

W3

W4

W5

W6

W7

W0

W2

W4

W6

W0

W2

W4

W6

-1

-1

-1

-1

Xm(p)

Xm(q)-1

Xm+1(p)

Xm+1(q)Wr

N

Xm(p)

Xm(q)

Xm+1(p)

Xm+1(q)

WrN

WN(r+N/2) = - WN

r

Lưu đồ DFT dãy x(n) sau 3 lần phân chia với N=8

x(0)

x(4)

x(2)

x(6)

X(0)

X(1)

X(2)

X(3)

x(1)

x(5)

x(3)

x(7)

X(4)

X(5)

X(6)

X(7)

W0

W1

W2

W3

-1

-1

-1

-1

W0

W2

-1

-1

-1

-1

W0

W2

-1

-1

-1

-1

Đảo bít

Với N=2M -> M lần phân chia

Số phép nhân = số phép cộng = NM/2=(N/2)log2N

Chæ soá töï

nhieân

Soá nhò phaân chöa ñaûo (n2,n1,n0)

Soá nhò phaân ñaûo (n0,n1,n2)

Chæ soá

ñaûo

0 0 0 0 0 0 0 01 0 0 1 1 0 0 42 0 1 0 0 1 0 23 0 1 1 1 1 0 64 1 0 0 0 0 1 15 1 0 1 1 0 1 56 1 1 0 0 1 1 37 1 1 1 1 1 1 7

Bảng mô tả qui luật đảo bít:

Ví dụ 1: Hãy vẽ lưu đồ và tính FFT cơ số 2 phân theo t/g

x(0)

x(2)

x(1)

x(3)

X(0)

X(1)

X(2)

X(3)

W0

W1

-1

-1 -1

-1

k=0: X(0) = [x(0) + x(2)] + W0[x(1) + x(3)] = 10.

k=1: X(1) = [x(0) - x(2)] + W1[x(1) - x(3)] = - 2 + j2.

k=2: X(2) = [x(0) + x(2)] - W0[x(1) + x(3)] = - 2.

k=3: X(3) = [x(0) - x(2)] - W1[x(1) - x(3)] = - 2 - j2.

b. THUẬT TOÁN FFT CƠ SỐ 2 PHÂN THEO TẦN SỐ b. THUẬT TOÁN FFT CƠ SỐ 2 PHÂN THEO TẦN SỐ

Thuật tóan dựa trên sự phân chia dãy ra X(k) thành các dãy nhỏ, do biến k biểu thị cho trục tần số nên gọi là phân chia theo tần số.

∑−

==

1

0

)()(N

n

knNWnxkX ∑∑

−

=

−

=+=

1

2/n

1)2/(

0n

)()(N

N

knN

NknN WnxWnx

∑∑−

=

+−

=++=

1)2/(

0n

)2/(1)2/(

0n

)2/()(N

NnkN

NknN WNnxWnx

∑∑−

=

−

=++=

1)2/(

0n

2/1)2/(

0n

)2/()(N

knN

kNN

NknN WNnxWWnx

[ ]∑−

=+−+=

1)2/(

0n

)2/()1()(N

knN

k WNnxnx

Với k chẵn, thay k=2r:

[ ]∑−

=++=

1)2/(

0n2/)2/()()2(

NrnNWNnxnxrX

Với k lẽ, thay k=2r+1

[ ] ∑−

=+−=+

1)2/(

0n2/)2/()()12(

NrnN

nN WWNnxnxrX

)2/()()( );2/()()( NnxnxnhNnxnxng +−=++=Đặt:

∑−

==

1)2/(

0n2/)()2(

NrnNWngrX [ ]∑

−

==+

1)2/(

0n2/)()12(

NrnN

nN WWnhrX

X(2r) – DFT của N/2 điểm ứng với chỉ số k chẵn

X(2r+1) – DFT của N/2 điểm ứng với chỉ số k lẽ

Phân chia DFT N=8 điểm -> 2 DFT N/2= 4 điểm

k chẵn

k lẻ

DFT

N/2

điểm

x(0)

x(1)

x(2)

x(3)

X(0)

X(2)

X(4)

X(6)

DFT

N/2

điểm

x(4)

x(5)

x(6)

x(7)

X(1)

X(3)

X(5)

X(7)

W0

W1

W2

W3

g(0)

g(1)

g(2)

g(3)

h(0)

h(1)

h(2)

h(3)

-1

-1

-1

-1

Sau đó đánh lại chỉ số theo thứ tự các mẫu X(k), tiếp tục phân chia DFT của N/2 điểm thành 2 DFT của N/4 điểm theo chỉ số k chẵn và lẽ. Tiếp tục phân chia cho đến khi nào còn DFT 2 điểm thì dừng lại.

Dữ liệu ra X(k) được sắp xếp theo thứ tự đảo bít, còn dữ liệu vào được sắp theo thứ tự tự nhiên.

Số phép nhân và phép cộng trong lưu đồ phân theo tần số bằng với số phép nhân và cộng trong lưu đồ phân theo thời gian.

Lưu đồ DFT dãy x(n) sau 3 lần phân chia với N=8

x(0)

x(1)

x(2)

x(3)

X(0)

X(4)

X(2)

X(6)

x(4)

x(5)

x(6)

x(7)

X(1)

X(5)

X(3)

X(7)

W0

W1

W2

W3

-1

-1

-1

-1

W0

W2

-1

-1

-1

-1

W0

W2

-1

-1

-1

-1

Đảo bít

k=0: X(0) = [x(0) + x(2)] + [x(1) + x(3)] = 10.

k=2: X(2) = [x(0) + x(2)] - [x(1) + x(3)] = - 2.

k=1: X(1) = [x(0) - x(2)] + W1[x(1) - x(3)] = - 2 + j2.

k=3: X(3) = [x(0) - x(2)] - W1[x(1) - x(3)] = - 2 - j2.

Ví dụ 2: Hãy vẽ lưu đồ và tính FFT cơ số 2 phân theo t/s

x(0)

x(1)

x(2)

x(3)

X(0)

X(2)

X(1)

X(3)

W0

W1

-1

-1-1

-1

3. THUẬT TOÁN FFT VỚI N=N3. THUẬT TOÁN FFT VỚI N=N11NN22

Giả thiết dữ liệu vào được sắp xếp vào trong mảng theo thứ tự từng cột với số cột N1 và số hàng N2:

Giả thiết độ dài dãy x(n) có thể phân tích N=N1N2, nếu độ dài không thể biểu diễn dưới dạng trên thì thêm vài mẫu 0 vào sau dãy x(n).

nn2 nn11 00 11 …… NN11-1-1

00 x(0)x(0) x(Nx(N22)) …… x[Nx[N22(N(N11-1)]-1)]

11 x(1)x(1) x(Nx(N22+1)+1) …… x[Nx[N22(N(N22-1)+1]-1)+1]

…… …… …… …… ……

NN22-1-1 x(Nx(N22-1)-1) x(2Nx(2N22-1)-1) …… x[Nx[N11NN22-1]-1]

Lấy ví dụ sắp xếp dãy x(n) với N=12, chọn N1=3 và N2=4

n2 n1 0 1 2

0 x(0)x(0) x(4)x(4) x(8)x(8)

1 x(1)x(1) x(5)x(5) x(9)x(9)

2 x(2)x(2) x(6)x(6) x(10)x(10)

3 x(3)x(3) x(7)x(7) x(11)x(11)

Các chỉ số n của x(n), k của X(k) xác định:

n = n1N2 + n2

0 ≤ n1 ≤ N1

0 ≤ n2 ≤ N2

k = k1 + k2N1

0 ≤ n1 ≤ N1

0 ≤ n2 ≤ N2

DFT N điểm dãy x(n) được phân tích:

∑ ∑−

=

−

=

+++=+=1

0

1

0

))((212121

2

2

1

1

212121)()()(N

n

N

n

NnnNkkNWNnnxNkkXkX

∑ ∑−

=

−

=+=

1

0

1

0

2212

2

2

1

1

21211222111)(N

n

N

n

NNknN

NknN

NknN

knN WWWWNnnx

1;;:Do 212122122

2

11

1

211 === NNknN

knN

NknN

knN

NknN WWWWW

∑ ∑−

=

−

=

+=⇒

1

0

1

0212

2

2

22

2

121

1

11

1)()(

N

n

knN

knN

N

n

knN WWWNnnxkX

∑−

==

1

012

2

2

22

2),()(

N

n

knNWknGkX

∑−

=+=

1

021212

1

1

11

1)(),(

N

n

knNWNnnxknF

12).,(),( 1212kn

NWknFknG =

Đặt:

Các bước tiến hành thuật tóan:Các bước tiến hành thuật tóan:

Sắp xếp dữ liệu vào theo thứ tự từng cột, mảng x

Tính DFT theo từng hàng mảng x, được F(n2,k1)

Tính mảng hệ số WNn2k1

Nhân mảng F(n2,k1) với WNn2k1, được G(n2,k1)

Tính DFT theo từng cột mảng G(n2,k1), được X(k)

Đọc dữ liệu ra theo thứ tự từng hàng X(k).

Ví dụ 1: Nêu các bước tính và vẽ lưu đồ thuật tóan FFT dãy x(n) với N=N1N2=12, chọn N1=3 và N2=4

Sắp xếp dữ liệu vào theo thứ tự từng cột như bảng:

nn2 nn11 00 11 22

0 x(0)x(0) x(4)x(4) x(8)x(8)

1 x(1)x(1) x(5)x(5) x(9)x(9)

2 x(2)x(2) x(6)x(6) x(10)x(10)

3 x(3)x(3) x(7)x(7) x(11)x(11)

Tính DFT theo từng hàng mảng x, được F(n2,k1):

nn2 kk11 0 1 2

00 F(0,0)F(0,0) F(0,1)F(0,1) F(0,2)F(0,2)

11 F(1,0)F(1,0) F(1,1)F(1,1) F(1,2)F(1,2)

22 F(2,0)F(2,0) F(2,1)F(2,1) F(2,2)F(2,2)

33 F(3,0)F(3,0) F(3,1)F(3,1) F(3,2)F(3,2)

∑−

=+=

1

021212

1

1

11

1)(),(

N

n

knNWNnnxknF

Tính mảng hệ số WNn2k1

nn2 kk11 0 1 2

00 WWNN00 WWNN

00 WWNN00

11 WWNN00 WWNN

11 WWNN22

22 WWNN00 WWNN

22 WWNN44

33 WWNN00 WWNN

33 WWNN66

Nhân các phần tử mảng F(n2,k1) với các hệ số của

mảng WNn2k1 tương ứng, được G(n2,k1) :

nn2 kk11 0 1 2

00 G(0,0)G(0,0) G(0,1)G(0,1) G(0,2)G(0,2)

11 G(1,0)G(1,0) G(1,1)G(1,1) G(1,2)G(1,2)

22 G(2,0)G(2,0) G(2,1)G(2,1) G(2,2)G(2,2)

33 G(3,0)G(3,0) G(3,1)G(3,1) G(3,2)G(3,2)

Phần tử: G(ni,kj) = F(ni,kj). WNnikj

Tính DFT theo từng cột mảng G(n2,k1), được X(k):

kk2 kk11 0 1 2

00 X(0)X(0) X(1)X(1) X(2)X(2)

11 X(3)X(3) X(4)X(4) X(5)X(5)

22 X(6)X(6) X(7)X(7) X(8)X(8)

33 X(9)X(9) X(10)X(10) X(11)X(11)

∑−

==+=

1

012211

2

2

22

2),()()(

N

n

knNWknGkNkXkX

Đọc dữ liệu ra theo thứ tự từng hàng X(k)

Lưu đồ FFT dãy x(n) N=N1N2, với N1=3, N2=4:

DFTN1

điểm

x(0)

x(4)

x(8)W0

W1

W2

DFTN1

điểm

x(1)

x(5)

x(9)

DFTN1

điểm

x(2)

x(6)

x(10)

DFTN1

điểm

x(3)

x(7)

x(11)

W0

W2

W4

W0

W3

W6

DFTN2

điểm

DFTN2

điểm

DFTN2

điểm

X(0)

X(3)

X(6)

X(9)

X(1)

X(4)

X(7)

X(10)

X(2)

X(5)

X(8)

X(11)