xiii jornades d’educaciÓ matemÀtica de la …
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XIIIJORNADESD’EDUCACIÓMATEMÀTICADELACOMUNITATVALENCIANA
INNOVACIÓITECNOLOGIAENEDUCACIÓMATEMÀTICA
Alacant,19-20d’octubrede2018
Universitatd’Alacant
COMITÉEDITOR-MAQUETACIÓ
JoséAurelioPinaRomero(SEMCV)
FernandoArenasPlanelles(SEMCV)
ÒscarFornerGumbau(SEMCV)
JuliaMuñozMartínez(SEMCV)
COMITÉORGANITZADOR
FernandoArenasPlanelles(SEMCV)
ÒscarFornerGumbau(SEMCV)
JoséAurelioPinaRomero(SEMCV)
FerranVerdúMonllor(UA)
JoséAntonioMoraSánchez(SEMCV)
COMITÉCIENTÍFICFernandoArenasPlanelles(SEMCV)
ÒscarFornerGumbau(SEMCV)
MaríaGarcíaMonera(SEMCV)
AmparoMonederoMira(SEMCV)
COMITÉTÈCNIC
Dissentdelcartell:JoséFernandoJuanGarcía
Pàginaweb:JuanFernandoLópezVillaescusa
Plataformad’inscripció:JuanManuelCouchoudPérez
REVISIÓDELTEXT
MariaTeresaNavarroMoncho
ISBN:978-84-09-14773-1
Primeraedició:setembrede2019
Editor:InstitutdeCiènciesdel’Educació(ICE)delaUniversitatd’Alacant
Qualsevolformadereproducció,distribució,comunicaciópúblicaotransformaciód’aquestaobranoméspotserrealitzadaambl’autoritzaciódelseustitulats,llevatdelesexcepcionsprevistesperlallei.Adreceu-vosaCEDRO(CentroEspañaoldeDerechosReprográficos,www.cedro.org)sinecessiteufotocopiaroescanejaralgunfragmentd’aquestaobra.
NOTAEDITORIAL:Lesopinionsicontingutsdelstextospublicatsenaquestaobrasónderesponsabilitatexclusivadelsautors.
COL·LABORADORS
XXIIIJORNADESD’EDUCACIÓMATEMÀTICA
1
EDITORIAL 3
CONFERÈNCIES 7
CONFERÈNCIA:L’AVENTURAD’INNOVARENL’ENSEYAMENTDELESMATEMÀTIQUES. 7
TALLERS 21
T-01.LACALCULADORACIENTÍFICAAL’AULADEMATEMÀTIQUES. 21T-02.INVESTIGACIONESENCLASEDEMATEMÁTICASCONGEOGEBRA 41T-03.EDPUZZLE:UNRECURSOPARAELFLIPPEDCLASSROOM 55T-04.CREANDOVÍDEOSPARALAENSEÑANZAYELAPRENDIZAJEDELASMATEMÁTICAS. 63T-05.TEOREMA"DOBLARYCORTAR":UNEJEMPLODEINVESTIGACIÓNMATEMÁTICA. 79T-06.SUPERFICIESSECCIONADAS 89T-07.LACALCULADORACOMARECURSDIDÀCTICAL’EDUCACIÓPRIMÀRIA. 101T-08.LOSCALENDARIOSMAYAS. 113T-09.INNOVACIÓNSINPERDERLOSPAPELES 123T-10.MANIPULANDOZ. 135
COMUNICACIONS 155
C-01.ANÀLISIDELACOMPRENSIÓENESTUDIANTSDEBATXILLERATDELCONCEPTEDELÍMITD’UNAFUNCIÓENUNPUNT. 155C-02.EMMA,ESTÍMULDELTALENTMATEMÀTICCOMARCAL. 173C-03.JUGANTAMBGEOGEBRA. 181C-04.APRENDIZAJEBASADOENPROYECTOSEN2ºPMAR. 189C-05.TAULES,PARÀMETRESIGRÀFICSESTADÍSTICSRÀPIDSAMBGEOGEBRAPERAL'AULAD'ESO. 201C-06.APPRENDIENDOMATEMÁTICASCONJUEGOSMÓVILES. 241C-08.TRASLAPISTA.(A2/0B11). 257C-08.PROBLEMASRICOSENSECUNDARIACOMODETECTORDECAPACIDADMATEMÁTICAALTA. 273C-9ANÀLISID’UNOBSTACLEDIDÀCTIC:CONVEXITATICONCAVITATD’UNAFUNCIÓENUNINTERVAL. 287C-10.LASSIMETRÍASDELPLANOPARA6ºDEE.PRIMARIAENFORMATODEIBOOK. 301C-11.LAVÍDEOCONFERENCIAENTREESTUDIANTESDETALENTOENUNTALLERDEMATEMÁTICAS. 315
TALLERS
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T-05. TEOREMA "DOBLAR Y CORTAR": UN EJEMPLO DE INVESTIGACIÓN
MATEMÁTICA.
RobertoSelvaGomis
IESMiguelHernándezdeAlicante-problemate@gmail.com
Modalitat:TalleriTaula
Nivelleducatiu:Primària,Secundària,Batxillerat,Universitat
Paraulesclau:Geometría,Simetría,Rompecabezas,Divulgación
Resum:
El Teorema de Doblar y Cortar (Fold and Cut Theorem) (Eric Demain et al.,
1999)afirmaqueparacualquierconjuntodelineastrazadasenunplanoexiste
unaformadedoblarelplanotalqueconunúnicocortepodríamoscortaresas
líneasynadamás.Eltipodeproblemasdedoblarycortaresmuyvariado,yla
demostraciónproponeunsistemasencilloparaconstruir las lineasdedoblado
quefuncionaenlamayoríadeocasiones,yunsistemamuchomáscomplejopara
las ocasiones difíciles. Trataré de presentar cómo se puede interesar a los
alumnos en la resoluciónde los casos sencillos, y cómo enfocar los casosmás
generales,asícomolosproblemasabiertosasociadosaéste.
TALLERS
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Haceunosaños,buscandomaterialparaunaclaseconungrupodealumnosque
sequedabaconmigoparadarunaclaseextra,tropecéconunvídeoenelqueuna
aficionadaalasmatemáticasrecortabalasletrasdelalfabetodoblandounpapel
ycortandoconunúnicocortecadaunadeellas.Recuerdoquealprincipionome
llamóexcesivamentelaatención,ylodejéparamencionarloalfinaldeunaclase
enlaquehablabadematemáticasypapiroflexia.
Sin embargo, con el tiempo, pensé en las implicaciones que podría tener el
doblarycortarconunúnicocorte,ysemeocurrióplantearestasituacióncomo
unretoparamisalumnos,unasfigurasquedebíancortarusandounaúnicavez
lastijeras.
Peroparaconstruirestosretos,debíasabercómofuncionabaelteorema,asíque
de nuevo busqué el vídeo al que hago referencia antes, y a partir de ahí, el
teorema.Encontré lapáginawebdelautororiginaldel teorema,puestoquees
un resultado reciente, y me di cuenta que tenía un vídeo con presentación
incluida que duraba más de una hora. Evidentemente, no tenía tanto tiempo
paradedicarle,asíquelodejécomoactividadparaelverano,entretantasotras
cosas.
Sinembargo,cuandovolvíateneralgodetiempo,laideacontinuabarondando
micabeza,asíquevi losprimerosquinceminutosdelvideoymedicuentade
queconesoyapodíaplantearalgunosdelosretos,yquelacosaseponíamuy
interesante.
Deestamanera,meplanteérealizarunaactividaddoble.Porunlado,ampliarla
intuicióngeométricademialumnadoconlosretos,y,porotrolado,explicarles
cómo crean los matemáticos un resultado nuevo, desde hacer observaciones,
crear conjeturas, establecer un método de construcción, búsqueda de
contraejemplos,creacióndemétodosalternativos,y finalmenteunresumende
la demostración que pueda quedar al alcance de un estudiante de secundaria.
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Tambiénsepuedenaportarmétodosdeaplicaciónacasosdiversos,yproblemas
abiertosderivadosdelresultado.
EntrelosresultadoshistóricosenlosquesefijóErikDemaine,elautororiginal
delteorema,figuranvariospasatiemposenlosqueunafigurasedebecortarcon
un único corte doblando el papel. En particular cita un libro japonés del año
1721,yunaleyenda, ladeBetsyRoss,acercade lacapacidaddeunacosturera
paradoblartelay,conunúnicocorte,conseguirlaestrelladecincopuntasdela
banderaamericana.Por lovisto,unnúmeroderivadodeesta leyenda formaba
partedelespectáculodemagiaqueHoudini representabasobre losescenarios
americanos.
Apartirdeahí,Eriky sus colaboradores seplanteanpreguntasde claroperfil
matemático. ¿Qué tipos de figuras podrán dibujarse para crear problemas
similares? ¿Qué métodos se deben probar ensayar para resolver estos
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problemas?¿Decuántasformasdiferentessepuedenresolver?¿Cuáleslaforma
óptimadehacerlo?
Trabajandosobre losmétodosmássencillos, encuentraunmétodoqueparece
funcionar bien. A partir del trabajo con el triángulo, y razonando a través del
conocidométododeaprendercosasdeunahipoteticasoluciónexistente,llegaa
laconclusióndequehayalgunaslíneasclavesatravésdelascualessepuede,si
sehaconseguidolasolución,almenosnoalterarla.Yconcluyequesisedoblaa
lolargodeestaslíneas,elproblemaestaráresuelto.
Las líneas (que podemos apreciar en el dibujo) serían las bisectrices y sus
prolongaciones, y las perpendiculares a los lados del triángulo que pasan por
incentro, lugar de corte de las bisectrices. El motivo por el que usamos esas
líneasdebesercomprendidoapelandoasuintuicióngeométrica,oimaginando
líneasparalelassobreelpapelyaplegadoaun ladoyotrode la líneadecorte,
queunavezdesplegadoserán figurasde ladosparalelosa laoriginal,bienpor
dentro,bienporfuera.Laslíneasquenospermitendoblarlosenesemomentose
apreciancomolasseñaladas.
Evidentemente, los triángulos en general son sencillos de doblar, pero ¿será
posibleadaptarloaotrasestructuras?
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Elcaminoparademostrarquecualquierestructuraabasedelineasrectas(grafo
recto) se puede plegar con las condiciones requeridas se inicia a partir del
métodoquefuncionaparalostriángulos.Sitrazamoslasbisectriceshastaquese
corten con las más próximas, y unimos estos puntos de corte, se forma una
estructuradepolígonosquedivideelplanoqueErikDemainellama«esqueleto
recto»delgraforectoinicial.Encadaunodeesospolígonosquedaráúnicamente
untrazorecto,quesifueseposibleplegarutilizandolosbordesdeeseesqueleto
recto,quedaríanalineadossobreunamismarecta.
Sinembargo,lomásfrecuenteesquenopodamosusarestaslíneasdeplegado.
Los investigadoresusanotro resultado, el llamadoTeoremade laPapiroflexia,
que caracteriza los casos en los que puede ser doblado un grafo. Si trazan
perpendiculares al
graforectoinicialdesde
los vértices del
esqueleto recto, se
consiguen satisfacer los
requisitos para el
plegadosinmodificarla
línea sobre la que se
pliegaelgrafoinicial.
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Se elabora entonces una conjetura. Cualquier grafo recto será plegable, en el
sentidoquedeterminaelproblema,sobreunarecta.
En este momento, los investigadores piensan que el camino está a punto de
terminar, pero no consiguen una demostración definitiva, pese a tener un
métodosumamenteeficazenmuchoscasos(todos losqueplantean).¿Porqué
noencuentranunamaneraenlaquecerrarelproblemageneral?Porquedeben
demostrarlafinituddelacantidaddelíneasnecesarias.
Diseños sencillos, sobre planos grandes, ponen demanifiesto que no hay cota
superior al número de pliegues necesarios. A partir de ahí los investigadores
construyenuncontraejemplo.Unafiguraapartirdelacuallasperpendiculares
que atraviesan las zonas del esqueleto recto trazan una espiral infinita, que,
evidentemente,jamásseterminaríadedoblar.
Al existir un contraejemplo, los investigadores se centran en, por lo menos,
caracterizarloscasosenlosquesísepuedanconseguir,algodesanimadosporel
hechodequeunmétodoenelquehabíandepositadosuconfianza,noresultara
de aplicación a todos los casos. Y dejan aparcada una solución más general,
temporalmente.
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Porque la solución llega, al final. Regresando a la solución para triángulos,
empiezan a mirar el diseño de otra forma. Al fin y al cabo, las bisectrices se
puedenconsiderarradiosdeunsectorcircular,yesposibledibujarunaseriede
circunferenciastangentesentresíquedeterminenlaslíneasdedoblado.
De esta forma, se generaliza esta situación para crear un método nuevo de
encontrarlaslíneasporlasquedoblar.Seconsideraunempaquetadoabasede
discos de las regiones que determina el grafo recto inicial. Este empaquetado
debecumplirdoscondiciones.Laprimeraesqueelgrafoinicialdebeserradios
dealgunosde losdiscos.La segundaesdejarelespacio fuerade losdiscosen
contactoconúnicamentecuatrootresdiscos.
Evidentemente,laprimeracondiciónesmuysencilladecumplir.Lasegundase
puede demostrar (por inducción) que es possible cumplirla con el suficiente
número de discos. La idea es que si una zona está rodeada por cinco o más
discos,entoncessebuscalostresmáspróximosysesitúauncírculotangentea
tresdeellos.Evidentemente,elpeordeloscasossedivideenzonasquetienenal
menosuncírculomenos rodeándolas.Poco poco llegaremosa tener todas las
zonasconcuatrootresdiscosrodeándolas.
Yporúltimo,esposiblecrearungrafo,usandoradiosdeestoscírculos,quesea
plegableyquedejeenlamismalínealosradiosqueformanelgrafoinicial.
TALLERS
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Sin embargo, el método es mucho más complejo que el que se describió
anteriormente, de forma que el primero es el que uso para crear los
rompecabezasquepongodeejemplos.
Aúnnomehetropezadoaccidentalmenteningúngrafoenelqueseanecesarioel
uso del método alternativo, y tengo pendiente un intento de creación de un
plegadoporesemétodo.
La creación del teorema tuvo, por tanto, un final feliz, y fue aceptada la
publicación,yelautorademásescribióunlibroenelquedetallatodoelproceso
y las aplicaciones, que tienen usos industriales (es de aplicación al cálculo de
movimientosdebrazosarticulados,alcortedepiezasyavarioscamposmás).
En cuanto a los nuevos problemas a los que abre la puerta este resultado,
algunos sonevidentes y (según la informacióndequedispongo) aúnno están
resueltos.
Uno sería encontrar cotas al número de plegados según las aristas del grafo
inicial,asícomolasoluciónóptima,quesóloestáclaraencasosmuyconcretos.
Otro, extender el resultado a tres dimensiones, para conseguir encontrar las
líneasdeplegadoparatransformarfiguraspoliédricasenplanos, loquepodría
sermuyútilparadiseñarformasdeplegadoderecipientesinnovadoras.
Este es, por tanto, el trabajo que se expuso en las jornadas. No tiene tal vez
mucho de aplicación de nuevas tecnologías en el aula, pero sí es una
introducción de resultados nuevos y poco conocidos, y su uso paramotivar a
nuestros alumnos a comprender mejor los métodos y el trabajo de los
matemáticos.
Referenciasbibliográficas
Demaine, E., O'Rourke, J. (2007). Geometric Folding Algorithms: Linkages,Origami,Polyhedra.EstadosUnidos:CambridgeUniversityPress.
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Demaine,E.(2016).TheFold-and-CutProblem.http://erikdemaine.org/foldcut/Consultado1/08/2018
Steckles, K. (2015). Fold and Cut Theorem – Numberphile.https://www.youtube.com/watch?v=ZREp1mAPKTM&t=506s Consultado1/04/2016
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