dft

Νοέµβριος 2005 ΨΕΣ 1

DFTDFT∆ιακριτός µετ/σµός FourierDiscrete Fourier Transform

Νοέµβριος 2005 ΨΕΣ 2

ΟρισµοίO διακριτός µετασχηµατισµός Fourier – DFT, αναφέρεται σε µία

πεπερασµένου µήκους ακολουθία N σηµείων και ορίζεται ως εξής:

10)()]([)(1

0−≤≤== ∑

−

=

NkWnxnxDFTkXN

n

nkN

N2j

N eWπ

−=«παράγοντα στροβιλισµού- twiddle factor»

Παράγει Ν φασµατικούς συντελεστές χρησιµοποιώντας τα Ν δείγµατα εισόδου και τον

Νοέµβριος 2005 ΨΕΣ 3

ο αντίστροφος µετασχηµατισµός (inverse DFT) :

10)(1)]([)(1

0−≤≤== ∑

−

=

− NnWkXN

kXIDFTnxN

k

nkN

∆ίνει µια φόρµουλα σύνθεση του αρχικού σήµατος µε τη χρήση των Ν φασµατικών συντελεστών

Νοέµβριος 2005 ΨΕΣ 4

Ανάλυση σε συναρτήσεις βάσεως

[ ]

[ ]

[ ]

n

nπj83nπ2j

83nπ2j

82nπ2j

82nπ2j

8nπ2j

8nπ2j

84nπ2j

85nπ2j

83nπ2j

86nπ2j

82nπ2j

87nπ2j

8nπ2j

87nπ2j

86nπ2j

85nπ2j

84nπ2j

83nπ2j

82nπ2j

8nπ2j

8knπ2j7

0k

)1)(4(X81

)8

3nπ2sin()]3(XIm2[)8

3nπ2cos()3(XRe281

)8

2nπ2sin()]2(XIm2[)8

2nπ2cos()2(XRe281

)8

nπ2sin()]1(XIm2[)8

nπ2cos()1(XRe281

)0(X81

e)4(X81e)3(*Xe)3(X

81e)2(*Xe)2(X

81e)1(*Xe)1(X

81)0(X

81

e)4(Xe)5(Xe)3(Xe)6(Xe)2(Xe)7(Xe)1(X)0(X81

e)7(Xe)6(Xe)5(Xe)4(Xe)3(Xe)2(Xe)1(X)0(X81

e)k(X81)n(x

−

+⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

+⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

+⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

+=

=+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡++

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡++

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡++=

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+++++++=

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+++++++=

==

−−−

=∑

Νοέµβριος 2005 ΨΕΣ 5

Το ψηφιακό σήµα των 16 σηµείων αναλύεται σε άθροισµα 9 συνηµιτονικών και 9 (7) ηµιτονικώνψηφιακών σηµάτων

Ανάλυση σε ηµίτονα και συνηµίτοναπαράδειγµαπαράδειγµα

Νοέµβριος 2005 ΨΕΣ 6

Ο DFT σε µορφή πίνακα

xDX N=

1Nk0W)n(x)k(X1N

0n

nkN −≤≤= ∑

−

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

− −−

−

)1N(x.....

)1(x)0(x

W.....W1............

W.....W11.....11

)1N(X......

)1(X)0(X

2)1(NN

1NN

1NN

1N

DN

Νοέµβριος 2005 ΨΕΣ 7

Ο ΙDFT σε µορφή πίνακα

XDx NN1 ∗=

Αντίστοιχα ο ορίζεται ως εξής:∗ND

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

−−−−

−−−∗

2)1(NN

)1N(N

)1N(N

1N

N

W.....W1............

W.....W11.....11

D

1NNNNN DD

N1

10000....0000100001

IDDN1 −∗∗ =⇔

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

==Αποδεικνύεται ότι

XDN1XDx N

1N

∗− ==Αρα

Νοέµβριος 2005 ΨΕΣ 8

Παράδειγµα :DFT δύο σηµείων x(n) = {xo x1 }, i.e. Ν=2

10)()(1

0

.2 ≤≤=∑

=

kWnxkXn

kn ππ

jjeeW −−

== 22

2

)1()0( )cos().1()0()1(1).0(

)1().0()()1(

1).1(1).0(

)1().0()()0(

1.12

1.02

1

0

12

0.12

0.02

1

0

0.2

xxxxexx

WxWxWnxX

xx

WxWxWnxX

jn

n

n

n

−=+=+=

+==

+=

+==

−

=

=

∑

∑

ππ

Νοέµβριος 2005 ΨΕΣ 9

1W2=-1π

πjj

eeW −−== 2

2

2

DFT δύο σηµείων σε µορφή πίνακα

⎯⎯→⎯

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

= =

−−

−2

11

11

2

1

1111

N

)(NN

NN

NNN

N

W.....W............

W.....W.....

D ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡= − 11

111

112 πje

D

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

10

10

1

0

1

02

1

0

xxxx

xx

1111

xx

DXX

Όπως φαίνεται ο DFT2 είναι το άθροισµα και η διαφοράτων σηµείων x0 ,και x1.

Νοέµβριος 2005 ΨΕΣ 10

Παράδειγµα :DFT Ν=4 σηµείων x(n) = {xo x1 x2 x4}

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

−−=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

j1j11111j1j11111

WWW1WWW1WWW11111

94

64

34

64

44

24

34

244D4=

Στην εύρεση των πινάκων αυτών εµφανίζονται οι διάφορες

δυνάµεις του παράγοντα στροβιλισµού

24

πjeW −=

34W

124 −=W

jW −=14

104 =W

Νοέµβριος 2005 ΨΕΣ 11

Παράγοντας στροβιλισµού –Twiddle Factor (TF)

Nπ2j

N eW −=

1W NN =

)Nmod()kn(N

knN WW = πχ. jWW 1

494 −==

ισχύει πάντα:

kjkN

Nπ2

eW −=

knN

2/NknN WW −=+

8kπ2jk

8 eW−

=12π/8

jW28 −=

18W

Νοέµβριος 2005 ΨΕΣ 12

Σχέση DFT - DTFT

∑∞

−∞=

−==n

nωjωi e)n(x)]n(x[DTFT)e(X

kωωj

Nπ

)e(X)k(X2=

=

∑∑−

=

−−

=

===1N

0n

knNπ2j1N

0n

knN e)n(xW)n(x)]n(x[DFT)k(X

Συµπέρασµα: Ο DFT προέρχεται από δειγµατοληψία του DTFT

Νοέµβριος 2005 ΨΕΣ 13

DFT - DTFT - DFS

n k

n

ω

x(n)

|X(ω)|

x(n)

X(k)

DTFT

DFS

DFT

Νοέµβριος 2005 ΨΕΣ 14

παραδείγµατα

Για το σήµα x(n)=[1,1,1,1] υπολογείστε: α)τον DTFT β) τον DFT4

ωjωj

ω4j

ω3jωj2ωj3

0n

nωjωj

23

e)2/ωsin(

)ω2sin(e1e1

eee1e)n(x)e(X

−

−

−

−−−

=

−

=−−

=

+++== ∑α) Ο DTFT :

β) Ο DFT4 :

0)3(X)2(X0j1j1)j()j()j()j()1(X

41111)0(XραΑ

jeW;3,2,1,0k,W)n(x)k(X

44

32104

4

4/π2j4

3

0n

nk44

===+−−=−+−+−+−=

=+++=

−==== −

=∑

34W

124 −=W

jW −=14

104 =W

Νοέµβριος 2005 ΨΕΣ 15

DFTDTFT

Νοέµβριος 2005 ΨΕΣ 16

Αύξηση της πυκνότητοςτου φάσµατος µε DFT

Αύξηση της πυκνότητας γίνεται µε ελάττωση του βήµατος ω=2π/Ν δηλ

µε αύξηση του Ν.

επιτυγχάνεται µε πρόσθεση στη ακολουθία µηδενικών (zero padding).

Η "πράξη" αυτή δεν αλλάζει την απόκριση συχνότητας (DTFT)

αλλά αυξάνει την συχνότητα δειγµατοληψίας του DTFT

Νοέµβριος 2005 ΨΕΣ 17

(5)X1.082e......(3)X

0(4)X(2)X(7)X2.61e......(1)X

.............................400001111(0)X

Αρα

7;0,1,2,3...kx(n)W(k)X

88

88

8j67.5

8

8

7

0

nk88

j22.5 ∗

∗−

=

===

=====

=+++++++=

==

−

∑

o

o

n

Γιά το σήµα x(n)={1,1,1,1,0,0,0,0}

υπολογίζουµε τον DFT8 (8 σηµείων) Χ8(k).

DFT4

0 . 5 1 1.5 2

4

2

0

DTFT

DFT8

Νοέµβριος 2005 ΨΕΣ 18

Φάσµατα µεγάλης ανάλυσηςΗ διαδικασία του zero-padding αυξάνει την πυκνότηταδειγµατοληψίας αλλά σε καµία περίπτωση δεν µεταβάλλει τοφάσµα Η(ejω).Το φάσµα αυτό καθορίζεται για κάθε ω την στιγµή που δίνονταιτα Ν σηµεία x(n). O DFT βρίσκει τις τιµές Η(ejω) για τιµές τουω=2π/Ν και αύξηση του Ν αλλάζει τα σηµεία δειγµατοληψίας.Βελτίωση της διακριτότητας ανάλυσης (resolution)τουφάσµατος γίνεται ……

….από τη σχέση αβεβαιότητος µεταξύ συχνότητας και χρόνου

∆ω ≥ 2π/L∆ω είναι η διαφορά που πρέπει να έχουν δύο συχνότητες ω1 και ω2 γιανα γίνουν αντιληπτές από τον DFT και L είναι ο αριθµός των σηµείωνx(n).

Νοέµβριος 2005 ΨΕΣ 19

Το σήµα x(n) περιέχει 3 συχνότητες: f1/fs=2/10, f2/fs=2.5/10 και f3/fs=3/10 . x(n)=cos(2π2/10n)+cos(2π2.5/10 n)+cos(2π3/10n). Tα αποτελέσµατα του DFT δεικνύονται στο σχήµα για διάφορα L και Ν.Στη δεύτερη γραµµή λόγω αύξησης της ανάλυσης εµφανίζεται και τοτρίτο µέγιστο.

L=10Ν=64

L=10Ν=32

L=20Ν=64

L=20Ν=32

Νοέµβριος 2005 ΨΕΣ 20

Ιδιότητες του DFT

1Nk0W)n(x)]n(x[DFT)k(X1N

0n

nkN −≤≤== ∑

−

=

Γραµµικότητα: DFT[ax1(n)+bx2(n)] = aDFT[x1(n)] +bDFT[x2(n)]

Περιοδικότητα: Χ(k+N)=X(k)

Kυκλική αντιστροφή :Eάν ορίσουµε την αντιστροφή στο χρόνο:

Τότε ισχύει: ⎩⎨⎧

≤≤−=

=−1-Nn1νάε)nN(x

0nνάε)0(x))n((x N

⎩⎨⎧

≤≤−=

=−=−1-Nk1νάε)kN(X

0kνάε)0(X))k((X]))n((x[DFT NN

Νοέµβριος 2005 ΨΕΣ 21

α)η ακολουθία x(n)

β)η ακολουθία x(-n)

γ) η x(n) και η x(-n) παριστάνονται στηνπεριφέρεια σεαντίθετη φορά

δ) H x(-n) µε τηνκλασσική έννοια τηςαντιστροφής αλλά σεπεριοδική επέκτασητου σήµατος

0 1 2 3 4 5 6 7n

x(n)

0 1 2 3 4 5 6 7n

x(-n)

n

- n

(α) (β)

(γ)

0 1 2 3 4 5 6 7n

x(n) (δ)

Νοέµβριος 2005 ΨΕΣ 22

Παράδειγµα: η ακολουθία x(n)=10(0.8)n, 0≤n≤10, και οι ακολουθίες: x((-n))11 ,FFT{x(n)} και FFT{ x((-n))11}

x(n)=10(0.8)n , 0≤n≤10

x((-n))11

ReFFT{x(n)} ImFFT{x(n)}

ReFFT{x(-n)11} ImFFT{x(-n)11}

Νοέµβριος 2005 ΨΕΣ 23

Ιδιότητες του DFT (συνέχεια)

Συµµετρίες (για πραγµατικές σειρές)

X(k)=X*((- k))N =⎩⎨⎧

≤≤−=

∗

∗

1-Nk1νάε)kN(X0kνάε)0(X

Παρατηρήσεις:

Λόγω της συµµετρίας ο X(k) πρέπει να υπολογισθεί για τιµές του k=0, 1, … N/2 (για N άρτιο) ή (N-1)/2 (για Ν περιττό). Αυτό είναι απόλυτα λογικό διότι ο DFTΝείναι µιγαδικός αριθµός εποµένως έχει 2Ν τιµές. Επειδή όµως προέρχεται απόΝ σηµεία x(n) πρέπει να έχει Ν βαθµούς ελευθερίας.

Επειδή Χ(0)=Χ*((-0))Ν=Χ*(0) Χ(0) = πραγµατικός

Εάν Ν=άρτιος τότε και ο Ν/2 όρος είναι πραγµατικός:

Χ(Ν/2) =Χ*(N-Ν/2) = X*(N/2)

Νοέµβριος 2005 ΨΕΣ 24

» X=fft(x)

Χ(5)- Πραγµατικός

Χ(0) - Πραγµατικός

X(0)= 44.6313X(1)= 9.1126 -12.1461iX(2)= 5.8657 - 5.9285iX(3)= 5.2159 - 3.1819i X(4)= 5.0107 - 1.4304iX(5)= 4.9590X(6)= 5.0107 + 1.4304iX(7)= 5.2159 + 3.1819i X(8)= 5.8657 + 5.9285iX(9)= 9.1126 +12.1461i

x = 10.0000 8.0000 6.4000 5.1200 4.0960 3.2768 2.62142.0972 1.6777 1.3422

N=10

Νοέµβριος 2005 ΨΕΣ 25

Ιδιότητες του DFT (συνέχεια)

Κυκλική Μετατόπιση

Οταν µια ακολουθία Ν σηµείων πρέπει να µετατοπισθείακολουθούµε τα εξής βήµατα:

µετατρέπουµε την ακολουθία x(n) σε περιοδική

µετατοπίζουµε κατά m δείγµατα :

κρατάµε µία περίοδοRN είναι ένα ορθογώνιο παράθυρο που έχει Ν µόνο µη µηδενικές τιµές(και =1).

για τον DFT έχουµε:

DFT[x((n-m))NRN(n)]=WNkmX(k)

N))n((x)n(x~ =

N))mn((x)mn(x~ −=−

NR)mn(x~ −

Νοέµβριος 2005 ΨΕΣ 26

α) η ακολουθία x(n)=10x0.8n για 0≤n≤10 (11 σηµεία)β) περιοδική επέκτασηγ) µετατόπιση αριστερά κατά τέσσερα σηµεία x((n+4))11R11δ) µετατροπή σε µία ακολουθία 11 πάλι σηµείων

αγ

β δ

x(n+4)

n=4

Νοέµβριος 2005 ΨΕΣ 27

Ιδιότητες του DFT (συνέχεια)

ΚυκλικήΚυκλική ΣυνέλιξηΣυνέλιξηΒάσει της κυκλικής µετατόπισης, η κυκλική συνέλιξη ορίζεται ως εξής:

Για τον DFT της κυκλικής συνέλιξης ισχύει η εξής βασική ιδιότητα:

DFT[x1(n)⊗x2(n)]=X1(k) X2(k)

N2

1N

0m121 ))mn((x)m(x)n(x)n(x −=⊗ ∑

−

=

Νοέµβριος 2005 ΨΕΣ 28

κυκλική συνέλιξη - Παράδειγµα

Για τις ακολουθίες x1={1,2,2} και x2={1,2,3,4} Να υπολογισθεί η κυκλική συνέλιξη 4 σηµείων: x1(n) ⊗ x2(n)

Επειδή η x2 είναι ακολουθία 4 σηµείων τροποποιούµε:x1(n) ={1,2,2,0} , x2(n)={1,2,3,4}Στη συνέχεια στο πεδίο του χρόνου υπολογίζουµε:

n=0 x1(m)x2(-m) = {1,2,2,0}T•{1,4,3,2}=15

n=1 x1(m)x2((1-m))4 = {1,2,2,0}T•{2,1,4,3}= 12

n=2 ………………………… =9n=3 ………………………… =14Αρα x1(n) ⊗ x2(n) = {15,12,9,14}

∑=

3

0m

∑=

3

0m

Νοέµβριος 2005 ΨΕΣ 29

κυκλική συνέλιξη - Παράδειγµα (συνέχεια)

Αντίστοιχα στο πεδίο των συχνοτήτων (DFT) έχουµε:DFT{x1(n)}= { 5, -1-2j, 1, -1+2j}

DFT{x2(n)}= {10, -2+2j, -2, -2-2j}

X1(k) X2(k)={50, 6+2j, -2, 6-2j}

IDFT{X1(k) X2(k)} = x1(n) ⊗x2(n) ={15, 12, 9, 14}

Νοέµβριος 2005 ΨΕΣ 30

κυκλική συνέλιξη - Παράδειγµα - (συνέχεια)

Γραφική αναπαράσταση των ακολουθιών του παραδείγµατοςx1={1,2,2,0} και x2={1,2,3,4}

1

2

3

4

1

2

2

0 1

4

3

2

x2(-m)

x1(m)

x2(1-m)

Οι δύο εσωτερικοί κύκλοι παριστάνουν τις κυκλικές ακολουθίες x1(m) καιx2(-m). Στον εξωτερικό κύκλο δεικνύεται η x2(1-m)

Νοέµβριος 2005 ΨΕΣ 31

Ιδιότητες του DFT (συνέχεια)

Γραµµική συνέλιξηΣτηριζόµενοι στην κυκλική συνέλιξη, µπορούµε να υπολογίσουµε και τη γραµµική συνέλιξηΈστω x1(n) µία ακολουθία N1 σηµείων και

x2(n) µία ακολουθία N2 σηµείων.H γραµµική συνέλιξη είναι x3(n) = x1(n) ∗x2(n) =

Η ακολουθία x3(n) είναι µία ακολουθία N= N1+N2–1 σηµείων. Επιλέγοντας Ν= Ν1+Ν2-1 σηµεία υπολογίζεται η κυκλική συνέλιξη x4(n)

x4(n) = x1(n) ⊗ x2(n) = x3(n) για 0 ≤ n ≤ N-1

Που ισούται βέβαια µε την γραµµική συνέλιξη.

)kn(x)k(xN

−∑−

2

1

01

1

Νοέµβριος 2005 ΨΕΣ 32

Ιδιότητες του DFT (συνέχεια)

ΠαράδειγµαΝα υπολογισθεί η γραµµική και κυκλική συνέλιξη για τα σήµαταx1(n)={1,2,2,1} και x2(n)={1,-1,-1,1}

x1=[1 2 2 1];x2=[1 –1 –1 1];x3=conv(x1,x2)= 1 1 –1 –2 -1 1 1Επιλέγοντας N=4+4-1=7 και εκτελώντας κυκλική συνέλιξη προκύπτει το ίδιο αποτέλεσµα

Για την γραµµική συνέλιξη, από το Matlab λαµβάνουµε:

Νοέµβριος 2005 ΨΕΣ 33

Kυκλική και γραµµική συνέλιξηΓραφική αναπαράσταση

h[n]

y[n]

1 περίοδος ( N )

0 nΚυκλική (περιοδική) Συνέλιξη

x[n] x[n]

h[n]

y[n]

nΓραµµική (µη περιοδική) Συνέλιξη

Για να έχουµε σωστό αποτέλεσµα συνέλιξης πρέπει κάθε ακολουθία να έχει 7+5-1=11 σηµεία

Νοέµβριος 2005 ΨΕΣ 34

Ταχεία συνέλιξη (Fast Convolution)

Η συνολική διαδικασία φιλτραρίσµατος µε FFT περιλαµβάνειτην εύρεση των δύο FFTs δηλ. της κρουστικής απόκρισης h(n) και τουσήµατος εισόδου x(n)την εύρεση του γινοµένου των δύο FFTs.την αντιστροφή (υπολογισµός του IFFT)

Η συνολική αυτή διαδικασία έχει την ονοµασία ταχεία συνέλιξη (fast convolution)

FFT

FFT

Πολλαπλασιασµός

ΙFFT

x(n)

h(n)

y(n)

Νοέµβριος 2005 ΨΕΣ 35

Ταχεία συνέλιξη (γραφικά)

h(n)

1 64

x(n)

1 128

y(n)=x(n) ∗h(n)

X(k)

|H(k)| |H(k)| |X(k)|

IFFT

Νοέµβριος 2005 ΨΕΣ 36

Συνέλιξη κατά τµήµατα (block convolutions)

Μέθοδος επικάλυψης – πρόσθεσης (overlap and add)

Μέθοδος επικάλυψης – αποθήκευσης (overlap and save

- select and save)

x(n)

h(n)

y(n)

h(-n)

Νοέµβριος 2005 ΨΕΣ 37

x(n)

h(n)

y0

y1

y2

y(n)

Συνέλιξη µε τηνµέθοδοεπικάλυψης-πρόσθεσης

Νοέµβριος 2005 ΨΕΣ 38

x(n)

h(n)

y0

y1

y2

y(n)

Συνέλιξη µε τηνµέθοδο επικάλυψης-αποθήκευσης . Ηεπικάλυψη είναι 3 σηµεία. Τα 3 πρώταδείγµατα σε κάθε επιµέρους συνέλιξηαπορρίπτονται.