wielomiany jednej zmiennej
Post on 21-Jul-2015
844 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Tymoteusz Traczklasa 2G
LO nr 1 im. Mikołaja Kopernika w Jarosławiu
Liczby to współczynniki wielomianu.
Dwa wielomiany są równe, gdy dla każdej liczby rzeczywistej t mamy:
Jednomianem stopnia n jednej zmiennejrzeczywistej x nazywamy funkcję:
Jednomiany nazywamy podobnymi, gdy są tego samego stopnia i tej samej zmiennej .W zbiorze wielomianów jednej zmiennej określone są: dodawanie, odejmowanie, mnożenie.
Przykład:
Dodawanie:
Odejmowanie:
Mnożenie:
Pierwiastkiem wielomianu nazywamy taką liczbę rzeczywistą
*pierwiastek wielomianu – miejsce zerowe wielomianu
Jeżeli są wielomianami,to istnieją dwa takie wielomiany
albo stopień
(o rozkładzie wielomianu)
Wielomian nazywamy resztą z dzielenia przez
Jeżeli jest wielomianem zerowym, to mówimy,że wielomian jest dzielnikiem wielomianu .
Reszta z dzielenia wielomianu przezdwumian gdzie jest równa liczbie
Przykład:Dzielenie:
Liczba jest pierwiastkiem wielomianu ,wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian jest podzielny przez
Dowód: Jeżeli wielomian jest podzielny przez dwumianto istnieje taki wielomian
Podstawmy co oznacza, że jest pierwiastkiem wielomianu . Załóżmy teraz, że jest pierwiastkiem wielomianu . Wobec tego Podzielmy przez Mamy zatem , gdzie na podstawie twierdzenia o rozkładzie wielomianu , albo jest wielomianem stopnia zerowego.Wiemy, że z założenia mamy Zatem Stąd , co oznacza, że wielomian jest podzielny przez
Każdy wielomian można przedstawić w postaciiloczynu czynników co najwyżej drugiego stopnia.
(o rozkładzie wielomianu na czynniki).
Wielomian jednej zmiennej stopnia n ma co najwyżej n pierwiastków.Liczba jest k-krotnym pierwiastkiem wielomianu,jeżeli te wielomian jest podzielny przez
Jeżeli wielomian -n-tego stopnia ma n pierwiastków: ,to gdzie jest współczynnikiem przy
Twierdzenie :(o postaci iloczynowej wielomianu)
(o pierwiastkach wymiernych)
Jeżeli wielomian o współczynnikach całkowitych ma pierwiastek wymierny w postaci ułamka nieskracalnego to licznik tego ułamka jest dzielnikiem wyrazu wolnego, a mianownik dzielnikiem współczynnika przy najwyższej potędze zmiennej.
top related