verifiche secondo il metodo semiprobabilistico agli stati limite progetto di un elemento in c.a.p.:...
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Progetto di un elemento in C.A.P.:Verifiche secondo il Verifiche secondo il
Metodo Semiprobabilistico Metodo Semiprobabilistico agli Stati Limiteagli Stati Limite
Corso di Tecnica delle Costruzioni II - Teoria delle Esercitazioni Anno Accademico 2007/08
a cura di Enzo MartinelliBozza del 25/05/2008
SOMMARIOCorso di Tecnica delle Costruzioni II - Teoria delle Esercitazioni Anno Accademico 2007/08
a cura di Enzo MartinelliBozza del 25/05/2008
Stati Limite Ultimi:- Verifica a Flessione;Verifica a Flessione;- Verifica a Taglio.Verifica a Taglio.
Stati Limite di Esercizio:- Limitazione delle tensioni in esercizio;Limitazione delle tensioni in esercizio;- Fessurazione (Formazione delle Fessure);Fessurazione (Formazione delle Fessure);- Deformazione.Deformazione.
Verifiche allo S.L.U.: Combinazioni di Carico
Corso di Tecnica delle Costruzioni II - Teoria delle Esercitazioni Anno Accademico 2007/08
a cura di Enzo MartinelliBozza del 25/05/2008
g (gk+g’k)
q qk
Verifica allo S.L.U. per FlessioneCorso di Tecnica delle Costruzioni II - Teoria delle Esercitazioni Anno Accademico 2007/08
a cura di Enzo MartinelliBozza del 25/05/2008
Mentre nelle strutture in c.a. la verifica alle tensioni ammissibili avviene su sezione parzializzata così come la verifica a rottura e, quindi, il superamento delle sollecitazioni di servizio non comporta una modifica del meccanismo resistente, nelle sezioni precompresse, al crescere dei carichi esterni, la sezione passa dalla situazione integra a quella fessurata con una significativa variazione di inerzia e di modulo resistente.Ipotesi su cui si fonda la verifica allo S.L.U. per tensioni normali di un elemento in C.A.P.:- si assumono per il calcestruzzo e per l’armatura lenta gli stessi legami costitutivi e gli stessi valori di deformazione ultima considerati per le sezioni in c.a. ordinario (cu=0.0035, su=0.010);- per l’armatura presollecitata può ancora adottarsi un legame tra tensione e deformazione di tipo elastico-perfettamente plastico con limite elastico pari alla tensione limite elastica convenzionale di progetto fpd ;- la tensione di progetto si ottiene come per l’armatura lenta dividendo quella di snervamento caratteristica (fpyk, fp(0.2)k, fp(1)k a seconda dei materiali) per il m pari ad 1.15;- la deformazione ultima deve tener conto dello stato di deformazione relativa tra l’armatura presollecitata ed il calcestruzzo.
Verifica allo S.L.U. per FlessioneCorso di Tecnica delle Costruzioni II - Teoria delle Esercitazioni Anno Accademico 2007/08
a cura di Enzo MartinelliBozza del 25/05/2008
PRE- TENSIONE
s
sp
s
rvrilspi
s,decdec EEE0
La deformazione relativa iniziale dec,0 tra acciaio presollecitato e calcestruzzo è pari alla deformazione iniziale dovuta alla pre-tensione. A questo valore va sottratto quello relativo alle deformazione relativa acciaio-calcestruzzo che determina le cadute di tensione per effetti differiti:
POST- TENSIONELa deformazione relativa iniziale dec,0 tra acciaio presollecitato e calcestruzzo è pari alla deformazione iniziale è pari alla somma della deformazione di trazione nell’armatura e della deformazione di compressione del calcestruzzo sulla stessa fibra.
c
c
s
sp
s
rvril
c
cspi
s,decdec EEEEE
000
Anche in questo caso bisogna sottrarre la variazione relativa di deformazione che si traduce nella caduta di tensioni per effetti differiti:
ESEMPIO NUMERICO: TRAVE POST-TESA
Corso di Tecnica delle Costruzioni II - Teoria delle Esercitazioni Anno Accademico 2007/08
a cura di Enzo MartinelliBozza del 25/05/2008
Valutazione della deformazione di decompressione dec I valori delle tensioni nei cavi calcolati nella sezione di mezzeria al netto delle
cadute di tensione sono riportate nel seguito.
cavo ei p c0 dec
[cm] [MPa] [MPa]
1 89.0 942.61 12.452 0.005074
2 99.0 936.80 13.041 0.005062
3 99.0 946.49 13.041 0.005110
ei
Dia
gra
mm
a
tensio
ni a
l TIR
O
co,i=13.63 MPa
co,s=0.69 MPa
c
c
p
sp
p
rvril
c
cspi
p,decdec
EE
EEE
0
00
MPa 345268f9500E 3/1ckc
MPa 200000Ep MPa 4.113015.1
1300fpd
Verifica allo S.L.U. per Flessione: ESEMPIO
Corso di Tecnica delle Costruzioni II - Teoria delle Esercitazioni Anno Accademico 2007/08
dec,i
Fase 1: Ricerca dell’asse neutroFase 1: Ricerca dell’asse neutro
0)y(N)y(N)y(N cpcscc
1a iterazione:
cm 39.5410220259.0d259.0yc
N 7.4597249
22208520'f)y(A)y(N cdccc
N 121650A)y(Ni
i,si,scs
p,1= -1130.435 MPa NP,1= -1260246.38 N
p,2= -1130.435 MPa NP,2= -1680297.1 N
p,3= -1130.435 MPa NP,3= -1680297.1 N
N 4620840A)y(Ni
i,pi,pcp
N 145241)y(N)y(N)y(N)y(N 1,cp1,cs1,cc1,c
mm 86.740.221108.0
145241'fb8.0
Ny
cdw
11,c
Livello As yi
i
i N
armatura [mm2] [mm] [MPa] [N]
1 678 35 0.003275 330.43 224035
2 226 80.8 0.002980 330.43 74678
3 226 124.8 0.002697 330.43 74678
4 226 230.8 0.002015 330.43 74678
5 226 490.8 0.000342 71.76 16217
6 226 750.8 -0.001331 -279.59 -63188
7 226 1020.8 -0.003069 -330.43 -74678
8 226 1290.8 -0.004806 -330.43 -74678
9 226 1550.8 -0.006479 -330.43 -74678
10 226 1810.8 -0.008153 -330.43 -74678
11 226 2039.1 -0.009622 -330.43 -74678
12 452 2165 -0.010432 -330.43 -149357
p,i
’
deformazione di congruenza
dec,1= 0.00511
p,1'= 0.0094 p,1= 0.01448
dec,2= 0.00515
p,2'= 0.0100 p,2= 0.01516
dec,3= 0.00519
p,3'= 0.0100 p,3= 0.01521
Verifica allo S.L.U. per Flessione: ESEMPIO
Corso di Tecnica delle Costruzioni II - Teoria delle Esercitazioni Anno Accademico 2007/08
dec
Fase 1: Ricerca dell’asse neutroFase 1: Ricerca dell’asse neutro
0)y(N)y(N)y(N cpcscc
2a iterazione:
cm 88.61d259.0yyy 1,c1,c2,c
N 4834916
0.22219300'f)y(A)y(N cd2,c2,cc
N 75773A)y(Ni
i,si,s2,cs
N 4620840A)y(Ni
i,pi,pcp
N 138302)y(N)y(N)y(N)y(N 2,cp2,cs2,cc2,c
p,1= -1130.435 MPa NP,1= -1260246.38 N
p,2= -1130.435 MPa NP,2= -1680297.1 N
p,3= -1130.435 MPa NP,3= -1680297.1 N
mc 22.58NNN
yyyy 1
12
1,c2,c1,c3,c
Livello As yi
i
i N
armatura [mm2] [mm] [MPa] [N]
1 678 35 0.003302 330.43 224035
2 226 80.8 0.003043 330.43 74678
3 226 124.8 0.002794 330.43 74678
4 226 230.8 0.002194 330.43 74678
5 226 490.8 0.000724 152.00 34352
6 226 750.8 -0.000747 -156.84 -35446
7 226 1020.8 -0.002274 -330.43 -74678
8 226 1290.8 -0.003801 -330.43 -74678
9 226 1550.8 -0.005272 -330.43 -74678
10 226 1810.8 -0.006743 -330.43 -74678
11 226 2039.1 -0.008034 -330.43 -74678
12 452 2165 -0.008746 -330.43 -149357
p,i
’
dec,1= 0.00511 p,1'= 0.0078
p,1= 0.01292
dec,2= 0.00515
p,2'= 0.0084 p,2= 0.01353
dec,3= 0.00519
p,3'= 0.0084 p,3= 0.01357
Verifica allo S.L.U. per Flessione: ESEMPIO
Corso di Tecnica delle Costruzioni II - Teoria delle Esercitazioni Anno Accademico 2007/08
dec
3a iterazione:
N 718994
0.22214040'f)y(A)y(N cd3,c3,cc
N 96676A)y(Ni
i,si,s3,cs
N 4620840A)y(Ni
i,pi,p3,cp
N 1473)y(N)y(N)y(N)y(N 3,cp3,cs3,cc3,c
1000H
mm 75.00.221108.0
1473'fb8.0
Ny
cdw
33,c
mc 22.58NNN
yyyy 1
12
1,c2,c1,c3,c
p,1= -1130.435 MPa NP,1= -1260246.38 N
p,2= -1130.435 MPa NP,2= -1680297.1 N
p,3= -1130.435 MPa NP,3= -1680297.1 N
Livello As yi
i
i N
armatura [mm2] [mm] [MPa] [N]
1 678 35 0.003290 330.43 224035
2 226 80.8 0.003014 330.43 74678
3 226 124.8 0.002750 330.43 74678
4 226 230.8 0.002113 330.43 74678
5 226 490.8 0.000550 115.44 26089
6 226 750.8 -0.001013 -212.77 -48087
7 226 1020.8 -0.002636 -330.43 -74678
8 226 1290.8 -0.004259 -330.43 -74678
9 226 1550.8 -0.005822 -330.43 -74678
10 226 1810.8 -0.007385 -330.43 -74678
11 226 2039.1 -0.008757 -330.43 -74678
12 452 2165 -0.009514 -330.43 -149357
p,i
’ dec,1= 0.00511
p,1'= 0.0085 p,1= 0.01363
dec,2= 0.00515
p,2'= 0.0091 p,2= 0.01427
dec,3= 0.00519
p,3'= 0.0091 p,3= 0.01432
Verifica allo S.L.U. per Flessione: ESEMPIO
Corso di Tecnica delle Costruzioni II - Teoria delle Esercitazioni Anno Accademico 2007/08
Livello As yi
i
i Ni ei MR,sd,i
armatura [mm2] [mm] [MPa] [N] [mm] [Nmm]
1 678 35 0.003290 330.43 224035 1075.0 240837391
2 226 80.8 0.003014 330.43 74678 1029.2 76858866
3 226 124.8 0.002750 330.43 74678 985.2 73573023
4 226 230.8 0.002113 330.43 74678 879.2 65657127
5 226 490.8 0.000550 115.44 26089 619.2 16154269
6 226 750.8 -0.001013 -212.77 -48087 359.2 -17272797
7 226 1020.8 -0.002636 -330.43 -74678 89.2 -6661301
8 226 1290.8 -0.004259 -330.43 -74678 -180.8 13501830
9 226 1550.8 -0.005822 -330.43 -74678 -440.8 32918177
10 226 1810.8 -0.007385 -330.43 -74678 -700.8 52334525
11 226 2039.1 -0.008757 -330.43 -74678 -929.1 69383572
12 452 2165 -0.009514 -330.43 -149357 -1055.0 157571130
Nmk 85.774eA)y(Mi
ii,si,scsd,R
cavo ei
p
c0
dec
p Np,i MRp,i
[cm] [MPa] [MPa] [MPa] [N] [Nmm]
1 89.0 942.61 12.45 0.005074 -1130.435 -1260246.4 1121619275
2 99.0 936.80 13.04 0.005062 -1130.435 -1680297.1 1663494130
3 99.0 946.49 13.04 0.005110 -1130.435 -1680297.1 1663494130
Nmk 61.4448eA)y(Mi
ii,pi,pcpd,R
Nmk 65.4192'fyA)y(M cdc,Gcccd,R
Nmk 11.9416)y(M)y(M)y(M)y(M cd,Rpcd,Rscd,RccRd
yG,c
S.L.U. per Flessione - COMMENTICorso di Tecnica delle Costruzioni II - Teoria delle Esercitazioni Anno Accademico 2007/08
Nel calcolo che è stato mostrato la ricerca dell’asse neutro e la valutazione del momento MRd della sezione precompressa è stato valutato considerando anche il contributo dell’armatura non pre-sollecitata. Questo fatto si giustifica con l’opportunità in questa sede di mostrare il gioco dei vari contributi ed, in particolare, di far vedere come diversa sia la determinazione della deformazione delle armature presollecitate (per le quali bisogna sommare la deformazione di decompressione al valore che deriva dalla linearità del diagramma delle sollecitazioni) e di quella dolce che va considerata in maniera simile a quanto visto per il c.a. ordinario. In realtà si vede che il contributo dell’armatura “dolce” è molto limitato rispetto agli altri due (nel caso in oggetto è minore del 10% rispetto al totale).
In via semplificata esso potrebbe essere trascurato; nei casi in cui sia noto il centro di degli sforzi di trazione allo S.L.U. (come quando le armature presollecitate sono concentrate in una zona limitata) e quello delle tensioni di compressione (il baricentro dell’ala superiore) il valore del momento ultimo può essere facilmente stimato come segue: Nmk 64.90102/200205084.46202/sdfA)y(M pdpcd,R Nel caso in esame, la stima del momento flettente tramite la formula semplificata comporta un errore minore del 5% rispetto al valore ottenuto tramite il procedimento rigoroso.
N.B.: nell’esempio numerico il valore di fpd è soltanto indicativo. Valori più realistici si ottengono da fptk/s ( 1800/1.15).
VERIFICHE A TAGLIO – SISTEMA POST-TESOVERIFICHE A TAGLIO – SISTEMA POST-TESO
Corso di Tecnica delle Costruzioni II - Teoria delle Esercitazioni Anno Accademico 2007/08
a cura di Enzo MartinelliBozza del 18/05/2008
Effetti benefici della precompressione sulla resistenza a taglio della trave:
Riduzione della caratteristica tagliante (per
effetto del tracciato curvilineo del cavo)
Tensioni principali di trazione ridotte per la presenza dello
stato di sollecitazione di compressione
Minore inclinazione delle bielle
compresse di calcestruzzo per
effetto dell’azione di compressione
C.A.O.
C.A.P.
22 421
2
VERIFICHE A TAGLIO – SISTEMA POST-TESOVERIFICHE A TAGLIO – SISTEMA POST-TESO
Corso di Tecnica delle Costruzioni II - Teoria delle Esercitazioni Anno Accademico 2007/08
a cura di Enzo MartinelliBozza del 18/05/2008
0, 0.02 ckjR
1, 0.02 ckR
0, 0.08 ckjR
1, 0.06 ckR
Limiti in termini di tensione principale di trazione
bI
ST
x
xyy
yIM
yI
eNAN
tg
zbS
S
tgSNst
zbtgzbnnN sbststst
La tensione principale di trazione deve essere calcolata sulle fibre dove è massima la o è minima la :-la fibra baricentrica;-la fibra di attacco tra anima ed ala superiore (tiro) o inferiore (esercizio).
VERIFICHE A TAGLIO – SISTEMA POST-TESOVERIFICHE A TAGLIO – SISTEMA POST-TESO- esempio numerico-- esempio numerico-
Corso di Tecnica delle Costruzioni II - Teoria delle Esercitazioni Anno Accademico 2007/08
a cura di Enzo MartinelliBozza del 18/05/2008
Rck= 500 kg/cm2
Ec= 345253 kg/cm2
EP= 2000000 kg/cm2
c0= 240 kg/cm2
c0t= 40 kg/cm2
c1= 190 kg/cm2
c1t= 30 kg/cm2
Corda 1
Corda 2
Corda 3
0,02Rck= 10 kg/cm2
0,24Rck= 120 kg/cm2
Limitazione su Limitazione su ::
Limitazione su Limitazione su ::
VERIFICHE A TAGLIO – SISTEMA PRE-TESOVERIFICHE A TAGLIO – SISTEMA PRE-TESO
Corso di Tecnica delle Costruzioni II - Teoria delle Esercitazioni Anno Accademico 2007/08
a cura di Enzo MartinelliBozza del 18/05/2008
Effetti benefici della precompressione sulla resistenza a taglio della trave:
Riduzione della caratteristica tagliante (per
effetto del tracciato curvilineo del cavo)
Tensioni principali di trazione ridotte per la presenza dello
stato di sollecitazione di compressione
Minore inclinazione delle bielle
compresse di calcestruzzo per
effetto dell’azione di compressione
I cavi hanno generalmente
tracciato rettilineo
“[…] Nella verifica a taglio delle travi la cui armatura sia ancorata per aderenza non si dovrà tenere contodella precompressione nel tratto terminale compreso fra la testata ed una sezione posta a distanza dellatestata stessa pari a settanta volte il maggior
diametro (effettivo od equivalente) sia per i fili ad aderenza
migliorata sia per trecce o trefoli.In questo tratto, nei riguardi delle sollecitazioni
tangenziali e del calcolo delle staffe e delle eventualiarmature longitudinali aggiunte, valgono i criteri adottati per le opere in conglomerato cementizio
armatonormale di cui al punto 3.1. […]”
Verifica allo S.L.U. per TAGLIOCorso di Tecnica delle Costruzioni II - Teoria delle Esercitazioni Anno Accademico 2007/08
Resistenza in assenza di armature
Verifica allo S.L.U. per TAGLIOCorso di Tecnica delle Costruzioni II - Teoria delle Esercitazioni Anno Accademico 2007/08
Esempio numerico
200k 1 1.309
2100 3/ 2 1/ 2 3/ 2 1/ 2
min ck0.035 k f 0.035 1.30 40 0.329
3P
cp ck2
N 0.9 4045 106.20 MPa 0.2 f 0.2 40 8.0 MPa
A 6528 10
1/ 3l ck
Rd cp
100 fV 0.18 1.302 0.15 80 2100 553.23 kN
1.5
k k kEd
1.3 g g' 1.5 qV L 0.9 N sin
21.3 16.32 5.40 1.5 14
32 0.9 480 356.09 kN2
Nel caso preteso il contributo dello sforzo di precompressione deve essere trascurato in prossimità degli appoggi e per una distanza di 70 diametri.
Verifica allo S.L.U. per TAGLIOCorso di Tecnica delle Costruzioni II - Teoria delle Esercitazioni Anno Accademico 2007/08
Esempio numerico
Verifica allo S.L.U. per TAGLIOCorso di Tecnica delle Costruzioni II - Teoria delle Esercitazioni Anno Accademico 2007/08
Progetto dell’armatura trasversale
2cd
cwRcdctg1
ctgctg
2
fbd9.0V
sinctgctgfs
Ad9.0V sd
swRsd
Resistenza di calcolo con armatura trasversale
cp
cp cd cp cdc
cd cp cd
cd cp cdcp cd
1 per 01 f per 0 0.25f
1.25 per 0.25f 0.5f
per 0.5f f2.5 1 f
Rcd EdV V 1.0 ctg 2.5
swst,max sd
Ed
Ap s 0.9 d f ctg
V
Verifiche allo S.L.E.: Combinazioni di Carico
Corso di Tecnica delle Costruzioni II - Teoria delle Esercitazioni Anno Accademico 2007/08
a cura di Enzo MartinelliBozza del 25/05/2008
Verifica allo S.L.E. di FORMAZIONE delle FESSURE: ESEMPIO
Corso di Tecnica delle Costruzioni II - Teoria delle Esercitazioni Anno Accademico 2007/08
cfmi
fess
i
fW
M
WeN
AN
icfmifess W
eNAN
fWM 2.1
WeN
AN
WeN
AN
f
M
M
itc
icfm
max
fess
1
MPa 44.04030.02.1f30.02.1f 3/23/2ckcfm
N= 3850 kN A= 6528 cm2
e= 96.29 cm Wi= 381559 cm2
2.127.1M
M
max
fess
La normativa impone che risulti:
dove:
Assumendo i seguenti valori numerici:
si ottiene:
Verifica allo S.L.E. di Limitazione delle Tensioni in Esercizio nel conglomerato
Corso di Tecnica delle Costruzioni II - Teoria delle Esercitazioni Anno Accademico 2007/08
Le tensioni normali di esercizio non devono superare a compressione i seguenti valori limite:
a) in ambienti poco aggressivo e moderatamente aggressivo
per combinazione di carico rara: 0,60 fck;
combinazione di carico quasi permanente: 0,45 fck.
b) in ambiente molto aggressivo:
per combinazione di carico rara: 0,50 fck;
combinazione di carico quasi permanente: 0,40 fck.
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