v erslo situacij ų k iekybiniai tyri mai

Verslo situacijų kiekybiniai tyrimai2013-01-05

Matematiniai metodai ekonomikoje

Operacijų tyrimas

Ekonometrija

Laiko eilutės

Regresiniai modeliai Matematinis

programavimas

Masinio aptarmavimo teorija

Tinklinis planavimas

Sprendimų priėmimo teorija

Lošimų teorija

Srendimų medžiai

Naudingumo teorija

Input-output Įvesties -išvesties Sąnaudų - rezultato

Statiniai balansiniai modeliai

Dinaminiai balansiniai modeliai

Matematiniai metodai ekonomikoje

Operacijų tyrimas

Ekonometrija

Laiko eilutės

Regresiniai modeliai Matematinis

programavimas

Masinio aptarmavimo teorija

Tinklinis planavimas

Sprendimų priėmimo teorija

Lošimų teorija

Srendimų medžiai

Naudingumo teorija

Input-output Įvesties -išvesties Sąnaudų - rezultato

Statiniai balansiniai modeliai

Dinaminiai balansiniai modeliai

Lygčių sistemos Matricos

Tikimybių teorija

Matematinė statistika

Mat. logika

Kiekybiniai verslo situacijų tyrimai

• Ekonometriniai metodai• Regresinė analizė• Optimizaciniai metodai• Gamybos planavimo uždaviniai• Dietos • Transporto uždaviniai

Regresinės analizės metodai

• Tiklas sudaryti regresinė modelį:

Regresinio modelio sudarymo etapai ir žingsniai• Ekonominis • Statistinis • Ekonometrinės analizės

1 etapas: EKONOMINIS

• Pirmas žingsnis: Ekonominės problemos formulavimas. • Analizuojamas verslo situacijos esminė problema ir tikslas. Sudaromas

galimai įtakojančių veiksnių sąrašas.• Rezultatas: Įvardinamas nagrinėjamas reiškinys ir jį įtakojantys veiksniai,

kurie yra būsimo modelio kintamieji.• Antras žingsnis: Ekonominių hipotezių iškėlimas• Analizuojamas kiekvieno iš veiksnių sąveikos su nagrinėjamu reiškiniu,

kryptis ir pobūdis. • Rezultatas: Užduodami reikalavimai matematinei modelio išraiškai

• Trečias žingsnis: Duomenų rinkimas• Rezultatas: Sudaromos nagrinėjamą reiškinį ir įtakojančius veiksnius

apibūdinančios duomenų lentelės.

2 etapas: STATISTINIS

• Ketvirtas žingsnis: Grafinė duomenų analizė. • Braižomos linijinės bei sklaidos diagramos

• Penktas žingsnis: Modelio matematinės išraiškos užrašymas• Rezultatas: Užrašoma matematinė modelio lygtis (lygtys)

• Šeštas žingsnis: Parametrų įverčių skaičiavimas• Excel skaičiuokle arba kitomis specialiomis programomis apskaičiuojami

modelio koeficientai. Užrašomas modelis su skaitiniais koeficientais • Septintas žingsnis: Veiksnių statistinio reikšmingumo analizė• Taikomos hipotezių tikrinimo procedūros. Atsakoma į klausimą, kurie

veiksniai reikšmingai veikia nagrinėjamą reiškinį. o kurių įtaka nėra reikšminga

• Aštuntas žingsnis: Viso modelio patikimumo tikrinimas• Tikrinamas modelio determinuotumas ir klasikinių modelio prielaidų

tenkinimas

3 etapas EKONOMETRINĖS ANALIZĖS • Devintas žingsnis: analizei taikomos apskaičiuotos modelio

rodiklių skaitinės reikšmės • Rezultatas. Modelio pagalba daromos ekonominės išvados,

kurių negalima būtų gauti, betarpiško stebėjimo ar kitu būdu. • Dešimtas žingsnis: Ekonominių scenarijų kūrimas,

prognozavimas.

1 etapas: EKONOMINIS

• Pirmas žingsnis: Ekonominės problemos formulavimas. • Priklausomas kintamasis • yduonos kaina– ruginės duonos 1 kg kaina,

• nepriklausomi kintamieji: • rugių kaina (xrugių kaina )• cukraus (xcukraus kaiana ),• elektra (xelektros kaina ), • dyzelinas (xdyzelino kaina ), • darbo užmokestis (xdarb užm ).

1 etapas: EKONOMINIS

• Antras žingsnis: Ekonominių hipotezių iškėlimas• Analizuojamas kiekvieno iš veiksnių sąveikos su

nagrinėjamu reiškiniu, kryptis ir pobūdis. Keliamos hipotezės apie veiksnių sąveiką • rugių kaina (xrugių kaina ) ↑ → yduonos kaina

• cukraus (xcukraus kaiana ) ↑ → yduonos kaina

• elektra (xelektros kaina ) ↑ → yduonos kaina

• dyzelinas (xdyzelino kaina ) ↑ → yduonos kaina

• darbo užmokest. (xdarb užm )↑→ yduonos kaina

1 etapas: EKONOMINIS

• Trečias žingsnis: Duomenų rinkimas• Rezultatas: Sudaromos nagrinėjamą reiškinį ir

įtakojančius veiksnius apibūdinančios duomenų lentelės.

Metai/M

ėnuo

Duonos

kaina, Lt/kg

Dyzelino

kaina, Lt/ltr

Rugių

kaina, Lt/t

Elektros

kaina, ct/kWh

Vid. Darbo

Užmokestis,

Lt/mėn.

Cukraus

kaina, Lt/kg

2009/03 4,50 3,22 238,87 23,54 1884,43 3,18

2009/04 4,51 3,12 244,12 23,54 1884,43 3,21

ir toliau Duomenys paimti iš : http://www.stat.gov.lt/lt/ bei http://www.lesto.lt/

2 etapas: STATISTINIS

• Ketvirtas žingsnis: Grafinė duomenų analizė. • Braižomos linijinės bei sklaidos diagramos

3.80

4.00

4.20

4.40

4.60

4.80

5.00

5.20 Duonos kaina

Duonos kainos kitimas

100.00 200.00 300.00 400.00 500.00 600.00 700.003.804.004.204.404.604.805.005.20 Duonos kainos priklausomybė nuo rugių

kainos

rugių kaina, Lt/l

18.00 20.00 22.00 24.00 26.00 28.00 30.00 32.003.804.004.204.404.604.805.005.20 Duonos kainos priklausomybė nuo

elektros kainos

elektros kaina, Lt/l

2.50 3.00 3.50 4.00 4.50 5.003.804.004.204.40

4.604.805.005.20

Duonos kainos priklausomybė nuo dyzelino kainos

dyzelino kaina, Lt/l

2 etapas: STATISTINIS

• Penktas žingsnis: Modelio matematinės išraiškos užrašymas• Rezultatas: Užrašoma matematinė modelio lygtis (lygtys)

1750.00 1800.00 1850.00 1900.00 1950.003.80

4.00

4.20

4.40

4.60

4.80

5.00

5.20

f(x) = 1.24365198515552 exp( 0.000699847695051169 x )R² = 0.169508952711996f(x) = 0.00321783521447968 x − 1.40652599290648R² = 0.166841225599376f(x) = 0.00027153490488032 x^1.29263970363053R² = 0.169641903226062

Duonos kainos priklausomybė nuo darbo užmokesčio

darbo užmokestis

Yduonos kaina =β0 + β1Xdyz kaina +β2Xrugių kaina

+β3Xelek kaina +β4Xdarbu užm

+ β5DPVM + ε

ln(Yduonos kaina )=β0 + β1ln(Xdyz kaina) +β2ln(Xrugių kaina) +β3 ln(Xelek kaina) +β4ln(Xdarbu užm ) +

β5DPVM + ε

2 etapas: STATISTINIS

• Šeštas žingsnis: Parametrų įverčių skaičiavimas• Excel skaičiuokle arba kitomis specialiomis programomis

apskaičiuojami modelio koeficientai. Užrašomas modelis su skaitiniais koeficientais

2 etapas: STATISTINIS • Šeštas žingsnis: Parametrų įverčių skaičiavimas• Excel skaičiuokle arba kitomis specialiomis programomis

apskaičiuojami modelio koeficientai. Užrašomas modelis su skaitiniais koeficientais

• Yduonos kaina = 0,4180+0,065+Xdyz kaina +0,001Xrugių kaina

+0,005Xelek kaina

+0,001Xdarbu užm +0,231XCukrus+0,011DPVM+ ε

Koeficienta

i Standartinė paklaida t Stat P-reišmė

Apatinis rėžis 95%

Viršutinis rėžis 95%

Laisvasis narys 0,418 0,802 0,521 0,606 -1,222 2,059

Dyzelino kaina, Lt/ltr 0,065 0,092 0,702 0,488 -0,123 0,252

Rugiai, Lt/t 0,001 0,000 6,265 0,000 0,0006 0,0012

Elektros kaina, ct/kWh 0,005 0,008 0,630 0,533 -0,011 0,021

Vid. Darbo Užmokestis, Lt/mėn. 0,001 0,000 3,546 0,001 0,001 0,002

Cukraus kaina, Lt/kg 0,231 0,065 3,543 0,001 0,097 0,364

PVM pakeitimas 0,011 0,032 0,359 0,722 -0,053 0,076

Įverčių savybėsTiesiniai, nepaslinkti, efektyvūs suderinti

Prielaida Prielaidos simbolinė išraiška

I. Regresijos funkcija koeficientų ir paklaidų atžvilgiu yra tiesinė (tiesiškumas)

yi =+0+1x1i+…+nxni+i

I. Paklaidų vidurkis lygus nuliui (nulinis vidurkis) E(i) = 0I. Paklaidos neautokoreliuoja (likučių ne autokoreliacijos) ,

t.y, paklaidos tarpusavyje nėra susijusios ir nestebimi sklaidos dėsningumai.

Cov(i j) = 0, i,j / ij

I. Paklaidų dispersija yra pastovi (ne heteroskedastiškumas) Didėjant nepriklausomų kintamųjų reikšmėms, priklausomojo kintamojo sklaidos intervalas išlieka pastovus.

2(i) = konstanta

I. Nepriklausomi kintamieji nėra tiesiškai tarpusavyje susiję, t.y. nėra tiesinės vieni kitų tiesinės kombinacijos (ne multikolinearumas, neinterkoreliacija )

xi +jxj, i,j / ij

I. Paklaidos pasiskirsčiusios pagal normalųjį skirstinį (normalumas).

i ~ N (0, 2)

2 etapas: STATISTINIS

• Septintas žingsnis: Veiksnių statistinio reikšmingumo analizė• Standartinė įverčio paklaida

• Įverčių tikslumas • į analizę įtrauktų stebėjimų skaičius kiek galima didesnis, • įtakojančių veiksnių (nepriklausomų kintamųjų) reikšmės kuo

įvairesnės.

2 etapas: STATISTINIS

• Septintas žingsnis: Veiksnių statistinio reikšmingumo analizė• Parametro pasikliautini intervalai

• βj [bj tn-k-1,/2 SEbj]

• Įverčių tikslumas • Įverčio standartinė paklaida• Pasikliovimo lygmens

2 etapas: STATISTINIS

• Septintas žingsnis: Veiksnių statistinio reikšmingumo analizė• T-student statistika

• Įverčių tikslumas • Įverčio standartinė paklaida

2 etapas: STATISTINIS Septintas žingsnis: Veiksnių statistinio reikšmingumo analizė

• Regresinės analizės įverčių reikšmingumo tikrinimo procedūrą 1.žingsnis. Formuluojamos hipotezės: • H0 i = 0 (nepriklausomas veiksnys (xi) nedaro įtakos

priklausomam kintamajam t.y., koeficientas prie veiksnio gali būti lygus 0) • H1 i ≠ 0 (xi poveikis reikšmingas - regresijos koeficientas

prie veiksnio nelygus 0)• 2.žingsnis. Apskaičiuojama testo statistika. • Dydis t yra pasiskirstęs pagal Stjudento t-skirstinį su /2

reikšmingumo lygmeniu ir n-k-1 laisvės laipsniais. t.y t~ t/2(n-k-1)

2 etapas: STATISTINIS Septintas žingsnis: Veiksnių statistinio reikšmingumo analizė

• 3 žingsnis Apskaičiuota t statistikos reikšmė lyginama su teorine t-skirstino t/2(n-k-1) reikšme. • 4 žingsnis. Daromos išvados Jei apskaičiuotos |t|

reikšmės modulis yra didesnis už teorinę t-skirstinio reikšmę, tuomet nulinė hipotezė atmetama ir priimama alternatyvi hipotezė. Su 1- tikimybe (pvz., = 0,05, t.y., 95 proc. tikimybe. Priešingu atveju, kai t apskaičiuotos reikšmės modulis yra mažesnis už teorinę reikšmę t/2(n-k-1), negalime atmesti nulinės hipotezės,

2 etapas: STATISTINIS Septintas žingsnis: Veiksnių statistinio reikšmingumo analizė

• Nykščio taisyklės (orientaciniai kriterijai):• T-statistika didesnė už 2 (0,95 proc tikimybė)• P –reikšmė mažesnė už 0,05 • Į pasiklaurinus intervalus nepatenka 0 reikšmė

2 etapas: STATISTINIS Septintas žingsnis: Veiksnių statistinio reikšmingumo analizė

• Kintamieji gali būti statistiškai nereikšmingi dėl šių priežasčių:• Veiksniai iš tiesų nedaro įtakos nagrinėjamas

reiškiniui. • dėl laisvės laipsnių trūkumo „Nykščio taisyklė“ į

modelį įtrauktų stebėjimų skaičius bent 6 kartus turi būti didesnis už nepriklausomų kintamųjų skaičių“. • Tam tikri veiksniai netenkina interkoreliacijos

klasikinės prielaidos,

VU E

F V.

Karp

uški

enė

Multikolinearumo diagnostika Porinių koreliacijų matrica

r1

r2

r3

r4

rk

KyX =

1 r12 r13 … r1 k

r2 1 1 r23 ... r2k

r31 r32 1 r3k

rk 1 rk2 rk3 ... 1

KXX =

Koreliacijos koeficientų tarp Y ir Xj kintamųjų vektorius

Koreliacijos koeficientų tarp Xj

matrica

Yi=b0+ b1X1i+ b2X2i + …bkXki+ei

VU E

F V.

Karp

uški

enė

Multikolinearumo diagnostika Porinių koreliacijų matrica

Nykščio taisyklėJeigu porinės koreliacijos koeficientas |rij | yra didesnis

už 0.8, tuomet regresinis modelis pasižymi interkoreliacija tarp X i ir Xj veiksnių.

Multikolinearumo diagnostika Porinių koreliacijų matrica

Duonos kaina, Lt/kg

Dyzelino kaina, Lt/ltr

Rugiai, Lt/t

Darbo Užmokestis, Lt/mėn.

PVM pakeitimas

Elektros kaina, ct/kWh

Cukraus kaina, Lt/kg

Duonos kaina, Lt/kg 1,00Dyzelino kaina, Lt/ltr 0,92 1,00Rugiai, Lt/t 0,91 0,89 1,00Darbo Užmokestis, Lt/mėn. 0,41 0,15 0,18 1,00PVM pakeitimas 0,38 0,56 0,45 -0,32 1,00Elektros kaina, ct/kWh 0,54 0,75 0,66 -0,36 0,69 1,00Cukraus kaina, Lt/kg 0,82 0,87 0,59 0,44 0,21 0,27 1,00

Multikolinearumo tikrinimas

• Vieno ar kelių stipriai koreliuojančių veiksnių pašalinimas. • Papildomų stebėjimų įtraukimas. • Duomenų koregavimas.

Reikšmingų kintamųjų parinkimasBackward procedūra

• Pirmas žingsnis• Apskaičiuojame dauginę regresiją, įtraukdami visą

kintamųjų sąrašą = f(x1, x2, ...xk) • Surandame visų įverčių apskaičiuotas statistikas: 1tb1,

1tb2 ...1tbk

• Išrenkame mažiausią 1tbj statistiką

Palyginame gautą statistikos 1tbj reikšmę su teorine tn-k-1,α/2

reikšme Jeigu 1tbj tn-k-1,α/2 , j veiksnio į regresiją netraukiame

Y

• Antras žingsnis• Apskaičiuojame dauginę regresiją be veiksnio j = f( x1, x2 ....xj-1, xj+1, ...xk) • Apskaičiuojame visų įverčių statistikas 2tb1 ,

2tb2 ...2tbk

• Randame mažiausią 2tbs statistiką

• Palyginame gautą 2tbs su teorine statistikos tn-k-1, /2 reikšme

• Jeigu 2tbs tn-k-1 α/2 , s veiksnį pašaliname iš regresijos

Y

Reikšmingų kintamųjų parinkimasBackward procedūra

• Backward procedūra baigiama: kai visos apskaičiuotos įverčių t statistikos didesnės už teorinę

reikšmę tn-k-1 ,α/2

Reikšmingų kintamųjų parinkimasBackward procedūra

Regresijos patikimumas

• Pakankamas determinuotumas • Tenkinamos prielaidos

Regresijos determinuotumas

Bendrieji regresija paaiškinta nepaaiškinta svyravimai dalis dalis (TSS) (ESS) (RSS)

Determinacijos koeficientas

Autokoreliacijos problemos esmė

Autokoreliacijos priežastys: • nagrinėjamo reiškinio inertiškumas• Netiksliai parinkti nagrinėjamą reiškinį

įtakojantys veiksniai • Neteisingai parinkta veiksnių priklausomybės

matematinė išraiška

Autokoreliacijos problemos esmė

Kodėl autokoreliacija yra blogai • MKM apskaičiuotas determinacijos koeficiento R2 yra didesnis

už tikrąjį • MKM apskaičiuotos įverčių standartinės paklaidos SEbj yra

mažesnės • Negalima tikrinti hipotezių nei t-stjudento nei F kriterijaus

pagalba

Autokoreliacijos diagnostika

• Grafinis būdas • Durbin-Watson testas• Ženklų kriterijus

Autokoreliacijos diagnostika Grafinis būdas

Studentų ūgių regresijos paklaidų grafikas

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

0 20 40 60 80 100 120

Autokoreliacijos diagnostika Grafinis būdas

Standartizuotų paklaidų sklaida

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

0 20 40 60 80 100 120

Autokoreliacijos diagnostika Grafinis būdas

Paklaidų sklaida vėjuojančių paklaidų atžvilgiu

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

-15 -10 -5 0 5 10 15 20ei-1

ei

Autokoreliacijos diagnostika

Yi=b0 + b1X1i + b2X2i + b3X3i ...+ bkXki + ei

Pirmos eilės autokoreliacija

ei= ρ·ei-1 + ui , kur ρ - koreliacijos koeficientas tarp ei ir ei-1

Antros eilės autokoreliacija

ei= ρ·ei-2 + ui

...

n

ii

n

iii

e

ee

2

21

21

-1 ρ 1

Autokoreliacijos diagnostika Grafinis būdas

Observation

Predicted Studento

ūgis ResidualsStandard Residuals

1 182,5138 11,48623 2,1036222 184,9394 0,060561 0,0110913 182,1637 -5,163739 -0,9457034 183,3766 -3,376572 -0,6183965 182,5649 7,435142 1,3616956 182,4797 4,520282 0,8278587 181,5658 1,434163 0,2626578 181,6169 -10,61692 -1,9444159 183,7266 -1,726607 -0,31621610 183,7607 -0,760663 -0,13931

Autokoreliacijos diagnostika Durbin-Watson kriterijus

n

ii

n

iii

e

eedDW

2

2

2

21)(

d 2 (1- ρ )

ρ =0 d = 2

ρ = -1 d = 4

ρ = 1 d = 0

Durbin -Watson statistika

Autokoreliacijos diagnostikaDurbin-Watson testas

• H0 : autokoreliacijos nėra , t.y, ρ =0

• H1 : autokoreliacija yra t.y, | ρ | 1• Apskaičiuojame d statistiką • išvados: Jeigu

• dU d 4 - dU H0

• d dL arba d 4 - dL H1

• dL d dU arba 4- dU d 4 - dL neapibrėžtas rezultatas

Autokoreliacijos diagnostikaDurbin-Watson kriterijus

40 dL 4-dUdU 4-dL

autokoreliacijos

nėra

Teigiama autokoreliacija

Neigiama autokoreliacija

Neapibrėžtumo sritys

2

Autokoreliacijos problemos sprendimo būdai

1. Įtraukti naujus veiksnius • laiko veiksnys• vėluojantis priklausomas kintamasis

2. Peržiūrėti modelio matematinę išraišką

3. Tranformuoti duomenis. • Skaičiuoti pokyčių, o ne absoliučių dydžių

regresiją: Yt - Yt-1 = b1(Xt - Xt-1) + …… ui