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UNIVERSIDAD DE MÁLAGA
DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA CIVIL, DE MATERIALES Y FABRICACIÓN
TESIS DOCTORAL
DESARROLLO, INTEGRACIÓN Y OPTIMIZACIÓN EN EL ESTUDIO DE PROCESOS DE FORJA
MEDIANTE EL TEOREMA DEL LÍMITE SUPERIOR A TRAVÉS DEL MODELO DE
BLOQUES RÍGIDOS TRIANGULARES
FRANCISCO DE SALES MARTÍN FERNÁNDEZ
MÁLAGA, 2009
TESIS DOCTORAL
DESARROLLO, INTEGRACIÓN Y OPTIMIZACIÓN EN EL ESTUDIO DE PROCESOS DE FORJA MEDIANTE
EL TEOREMA DEL LÍMITE SUPERIOR A TRAVÉS DEL MODELO DE BLOQUES RÍGIDOS TRIANGULARES
FRANCISCO DE SALES MARTÍN FERNÁNDEZ
Ingeniero Industrial
ÁREA DE INGENIERÍA DE LOS PROCESOS DE FABRICACIÓN
DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA CIVIL, DE MATERIALES Y FABRICACIÓN
UNIVERSIDAD DE MÁLAGA
para la obtención del Grado de Doctor Ingeniero Industrial
Málaga, 2009
ÁREA DE INGENIERÍA DE LOS PROCESOS DE FABRICACIÓN
DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA CIVIL, DE MATERIALES Y FABRICACIÓN
UNIVERSIDAD DE MÁLAGA
DESARROLLO, INTEGRACIÓN Y OPTIMIZACIÓN EN EL ESTUDIO DE PROCESOS DE FORJA MEDIANTE
EL TEOREMA DEL LÍMITE SUPERIOR A TRAVÉS DEL MODELO DE BLOQUES RÍGIDOS TRIANGULARES
FRANCISCO DE SALES MARTÍN FERNÁNDEZ
Ingeniero Industrial
Director de la Tesis
Dr. D. LORENZO SEVILLA HURTADO
Málaga, 2009
E.T.T.S.I. Dpto. Ingeniería Civil, de Materiales de Fabricación. Campus de El Ejido. 29071 Málaga. Telfs: 952 13 13 71. Fax 952 13 13 71
UNIVERSIDAD DE MÁLAGA
Dpto. Ingeniería Civil, de Materiales y Fabricación
D. Lorenzo Sevilla Hurtado, Profesor Titular de Universidad del Área de Ingeniería de los Procesos de Fabricación de la Universidad de Málaga, en calidad de Director, AUTORIZA la presentación a trámite de la Tesis Doctoral del Ingeniero Industrial D. Francisco de Sales Martín Fernández, titulada DESARROLLO, INTEGRACIÓN Y OPTIMIZACIÓN EN EL ESUDIO DE PROCESOS DE FORJA MEDIANTE EL TEOREMA DEL LÍMITE SUPERIOR A TRAVÉS DEL MODELO DE BLOQUES RÍGIDOS TRIANGULARES. Málaga 17 de marzo de 2009
A Blanca y a Javier, por enseñarme a valorar mejor el tiempo.
A mi abuelo Juan, que siempre decía de mí que era ingeniero muchos años antes de que lo fuera.
AGRADECIMIENTOS
A través de estas líneas quiero mostrar mi profundo agradecimiento a todos aquellos, compañeros de trabajo y amigos (en muchos casos deforma simultánea) que me han alentado a realizar la presente tesis.
Un especial agradecimiento a mis padres, que con la culminación de este trabajo, reducen la constante preocupación
por todo lo que les ocurre a sus hijos y nietos. A Consuelo, porque sólo ella sabe del apoyo prestado para la ejecución de la presente tesis. A mis hermanos Mª del Carmen y Antonio L. y a mi sobrino Alberto por el interés mostrado en la
finalización de la tesis. A Miguel Ángel Sebastián, catedrático de la Universidad Nacional de Educación a Distancia, por el
impulso dado al presente trabajo y por el fundamental aporte tanto científico como personal en su realización.. A Lorenzo Sevilla, director de Tesis y amigo, por su dedicación en el desarrollo de la misma, y por soportar
estoicamente las constantes lecturas de borradores.
Se quietó y prosiguió su camino sin llevar otro que aquel que su caballo quería, creyendo que en aquello consistía la fuerza de las aventuras.
Miguel de Cervantes
Lo que necesitamos es imaginación. Hemos de descubrir una nueva visión del mundo
R. P. Feynman
Desde Popper sabemos que la única cosa verdaderamente cierta que se puede decir acerca de una teoría es que antes o después ésta se demostrará como falsa.
F. Di Trocchio
ÍNDICE GENERAL
Índice General
i
ÍNDICE GENERAL
Capítulo 1. GENERALIDADES
3
1.1 Ámbito de la tesis 3
1.2 Objetivo de la tesis 6
1.3 Estructura de la tesis 7
Capítulo 2. TEOREMA DEL LÍMITE SUPERIOR. EVOLUCIÓN Y DESARROLLO
13
2.1 Introducción 13
2.2 Conformado por deformación plástica. Evolución histórica 14
2.3 Procesos de conformado por deformación plástica mediante compresión
directa
18
2.4 Influencia del rozamiento en los PCDP 22
2.5 Métodos de análisis 29
2.5.1 Método de la deformación homogénea 32
2.5.2 Método del análisis local de tensiones 36
2.5.3 Método del campo de líneas de deslizamiento 39
2.5.4 Teoremas del límite 44
2.5.4.1 Teorema del límite inferior 46
2.5.4.2 Teorema del límite superior 48
Capítulo 3. METODOLOGÍA DE APLICACIÓN DEL TEOREMA DEL LÍMITE SUPERIOR MEDIANTE EL MODELO DE BLOQUES RÍGIDOS TRIANGULARES
57
3.1 Modelo de bloques rígidos triangulares 57
3.1.1 Modelo geométrico 59
3.1.2 Formulación 60
Francisco de Sales Martín Fernández
ii
3.1.3 Construcción del hodógrafo 66
3.2 Metodología de aplicación del modelo de BRT 67
3.3 Enfoques Modular y No Modular 68
Capítulo 4. METODOLOGÍA DE APLICACIÓN DEL TLS MEDIANTE EL
MODELO DE BRT BAJO ENFOQUE NO MODULAR
77
4.1 Enfoque No Modular 77
4.2 Placas planas paralelas con disposición inicial y rozamiento por
adherencia
78
4.2.1 Tres bloques rígidos triangulares 78
4.2.2 Cuatro bloques rígidos triangulares 82
4.2.3 Cinco bloques rígidos triangulares 85
4.3 Placas planas inclinadas con disposición inicial y rozamiento por
adherencia
88
4.3.1 Tres bloques rígidos triangulares 88
4.4 Combinación PPP-PPI con disposición inicial y rozamiento por
adherencia
95
4.5 Placas planas paralelas con rozamiento por adherencia 96
4.5.1 Tres bloques rígidos triangulares 96
4.5.2 Cuatro bloques rígidos triangulares 105
4.5.3 Cinco bloques rígidos triangulares 109
4.6 Placas planas inclinadas con rozamiento por adherencia y 3 BRT 116
4.7 Perfil combinado PPP-PPI 121
4.8 Consideración de rozamiento por deslizamiento 124
4.8.1 Placas planas paralelas con enfoque no modular, 3 BRT y
rozamiento por deslizamiento
124
4.8.2 Placas planas inclinadas con enfoque no modular, 3 BRT y
rozamiento por deslizamiento
130
Índice General
iii
Capítulo 5. METODOLOGÍA DE APLICACIÓN DEL TLS MEDIANTE EL
MODELO DE BRT BAJO ENFOQUE MODULAR
137
5.1 Enfoque modular 137
5.2 Placas planas paralelas con enfoque modular, 3 BRT sin módulo previo y
rozamiento por adherencia
140
5.3 Placas planas paralelas con enfoque modular, 3 BRT con módulo previo
y rozamiento por adherencia
145
5.4 Placas planas inclinadas con enfoque modular, 3 BRT sin módulo previo
y rozamiento por adherencia
149
5.5 Placas planas inclinadas con enfoque modular, 3 BRT con módulo previo
y rozamiento por adherencia
155
5.6 Combinación de módulos. Rozamiento por adherencia 161
5.7 Comparación entre alternativas 164
5.8 Otros casos tecnológicos 166
5.8.1 Rozamiento por deslizamiento 166
5.8.1.1 Placas planas paralelas con enfoque modular, 3 BRT sin módulo
previo y rozamiento por deslizamiento
166
5.8.1.2 Placas planas paralelas con enfoque modular, 3 BRT con módulo
previo y rozamiento por deslizamiento
170
Francisco de Sales Martín Fernández
iv
5.8.1.3 Placas planas inclinadas con enfoque modular, 3 BRT sin módulo
previo y rozamiento por deslizamiento
175
5.8.1.4 Placas planas inclinadas con enfoque modular, 3 BRT con
módulo previo y rozamiento por deslizamiento
179
5.8.1.5 Combinación de perfiles PPP-PPI con enfoque modular y
rozamiento por deslizamiento
183
5.8.1.6 Análisis comparativo de rozamiento por adherencia frente a
rozamiento por deslizamiento
186
5.8.2 Introducción del endurecimiento del material
186
5.8.2.1 Placas planas inclinadas con enfoque modular, 3 BRT, con
rozamiento y endurecimiento del material
188
5.8.3 Introducción del efecto de la temperatura 193
5.8.4 Consideración de independencia de la velocidad de entrada
196
5.8.4.1 Placas planas inclinadas con enfoque modular, 3 BRT, con
módulo previo, rozamiento por adherencia y Ve independiente
197
5.8.4.2 Placas planas inclinadas con enfoque modular, 3 BRT, con
módulo previo, rozamiento por deslizamiento y Ve independiente
201
Capítulo 6. ESTUDIO DE SENSIBILIDAD Y COMPARACIÓN DEL MÉTODO DEL TLS MEDIANTE MODELO DE BRT CON MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS.
209
6.1 Análisis de sensibilidad 209
6.2 Influencia de la altura final del segundo módulo para h3<h2 209
6.3 Influencia de la longitud del segundo módulo 212
Índice General
v
6.4 Influencia de la altura final del segundo módulo para h3>h2 213
6.5 Influencia de la longitud del primer módulo 215
6.6 Influencia de la longitud del segundo módulo 217
6.7 Influencia de la longitud del segundo módulo con h3>h2 219
6.8 Influencia de la longitud del segundo módulo con el primer módulo
inclinado
221
6.9 Influencia del desplazamiento de la matriz de estampación. Evolución del
proceso
222
6.10 Glosario de ecuaciones con modelo de bloques rígidos triangulares 227
6.11 Comparación TLS con modelo de BRT frente a MEF. Introducción 234
6.12 Aplicación del MEF 240
6.13 Análisis de resultados 244
6.14 Solución de von Karmann 259
6.15 Solución de Johnson y Mellor 261
6.16 Conclusiones 264
Capítulo 7. APLICACIONES
269
7.1 Aplicaciones 269
7.2 Perfil compuesto de módulos PPP-PPI-PPP, 15º en PPI 275
7.3 Perfil compuesto de módulos PPI-PPP-PPI, 5º en PPI´s 277
7.4 Perfil compuesto de módulos PPI con –10º, -8º y –6º 279
7.5 Perfil compuesto de módulos PPI con 10º, 5º y 3º 281
7.6 Perfil compuesto de módulos PPI con –5º, -10º y –5º 283
7.7 Aplicación del método a caso tecnológico 285
Capítulo 8. CONCLUSIONES
295
8.1 Introducción 295
8.2 Conclusiones generales 296
8.3 Conclusiones particulares 297
8.4 Líneas de desarrollo futuro 300
Francisco de Sales Martín Fernández
vi
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS 303
ANEXO A
316
A1.1 Introducción 318
A1.2 Enfoque no modular, disposición contraria para 3, 4, y 5 BRT 318
A1.3 Enfoque no modular. Combinación PPP-PPI con 5 BRT 325
A1.4 Enfoque no modular. Comparativa entre disposiciones 327
A1.5 Enfoque no modular nueva disposición 330
A1.6 Enfoque no modular disposición contraria comparativa con m variable 333
A1.7 Enfoque no modular nueva disposición, comparativa adherencia-
deslizamiento
336
A1.8 Enfoque no modular nueva disposición. Optimización de módulos 337
A1.9 Comparativa modular-no modular para PPP 349
A1.10 Comparativa modular-no modular para PPI 353
A1.11 Comparativa modular-no modular para perfil PPP-PPI 362
A1.12 Enfoque modular perfil 2 módulos 374
A1.13 Enfoque modular. Comparativa entre tipos de rozamiento. Perfil de 2
módulos
403
A1.14 Enfoque modular. Comparativa p con endurecimiento-grado de
deformación
408
A1.15 Enfoque modular. Comparativa p con endurecimiento-grado de
deformación para diferentes tipos de módulos
413
ÍNDICE DE FIGURAS Y TABLAS
417
CAPÍTULO 1
GENERALIDADES
No se puede desatar un nudo sin saber cómo está hecho.
Aristóteles
Capítulo 1
GENERALIDADES 1.1 Ámbito de la tesis
Los procesos de conformado por deformación plástica (PCDP) representan en
la actualidad la mejor opción para elaborar piezas dotadas de la gran variedad de
formas y tamaños exigidos por la industria, con la ventaja adicional de la
consecución de la mejora de las propiedades mecánicas y el refinamiento de la
estructura del material a conformar.
El conformado de piezas por deformación plástica es una de las grandes
familias de procesos empleadas para fabricar productos metálicos. Sin embargo, el
conformado plástico es quizás el más antiguo y el que ha soportado un mayor
desarrollo. Desde los inicios, en los que se trabajaban materiales como el oro y el
cobre mediante martillado alrededor del 8000 a.C. hasta nuestros días, la evolución
en el número de procedimientos para conformar el metal, y el profundo conocimiento
de los mismos, ha llevado a este tipo de conformación de materiales a ser uno de los
más extendidos en la industria.
De entre los procesos de conformado por deformación plástica se pueden
distinguir entre otros, aquellos que logran la deformación del material a partir de
esfuerzos de compresión directa. Dentro de este grupo, el proceso de forja será el
que constituya la base de aplicación del método desarrollado en la presente tesis.
Francisco de Sales Martín Fernández
4
Los procesos de forja pueden ser comprendidos con la ayuda de una serie de
acercamientos teóricos. La teoría de la plasticidad provee usualmente de una serie
de relaciones con las que determinar la fluencia del material, a la vez que
proporciona una estimación de las fuerzas y de la energía necesarias para lograr tal
deformación. Para estimar de una forma suficientemente precisa los citados
requerimientos de fuerzas y energía es fundamental una selección correcta del
coeficiente de rozamiento presente en el proceso de deformación.
En procesos de conformado plástico de metales como son los de forja, un
elemento simple es deformado plásticamente entre dos matrices hasta obtener la
configuración final deseada. Este tipo de conformado es clasificado usualmente en
dos categorías: por un lado aquellas operaciones que deforman piezas masivas, y
por otro las que se denominan como conformado de chapa para formas de espesor
reducido. En ambos tipos de procesos, las superficies del metal y las herramientas
están en contacto, teniendo el rozamiento existente entre ellos una influencia capital
en la fluencia del material [Semiatin, 1988].
Usualmente, la deformación se realiza a temperatura elevada, lo que
proporciona dos ventajas adicionales. Por un lado, el material, que en la presente
tesis se aplicará a los metales y con la inicial idealización de comportamiento rígido-
plástico perfecto, modifica su estructura produciéndose un ablandamiento del
mismo, por lo que la fuerza requerida para la deformación será menor. Por otra
parte, la recristalización del material se realiza a una mayor velocidad.
Entre las décadas de los años 60 y 90 del siglo pasado, la formulación de
sofisticados análisis matemáticos ha permitido el desarrollo de modelos de
comportamiento de los diferentes procesos de deformación, con lo cual se han
alcanzado productos de alta calidad a la par de incrementar la eficiencia en esta
tipología de industria mecánica.
Los modelos teóricos son tradicionalmente encuadrados en dos grandes
familias, la de los métodos numéricos por una parte, y la formada por los métodos
analíticos por otra. De entre los modelos que pertenecen a este segundo grupo, el
Generalidades. Capítulo1
5
método definido como teoría de campos de deslizamiento, es aplicado
frecuentemente para obtener información del estado de esfuerzos que origina la
deformación a partir del establecimiento de unos campos de fluencia del material
definidos previamente en base a la experiencia. Hasta la fecha, y debido a la
tradicional complejidad en la determinación de estos campos de velocidades se ha
extendido el uso, para modelizar la deformación, de métodos numéricos basados,
entre otros, en el empleo de elementos finitos.
La simplificación de estos campos posibilita la implantación de el método
analítico de análisis límite, y en especial en el de el límite superior, en el que se
asume un campo de velocidades compatible cinematicamente sin consideración del
estado de esfuerzos.
En general, los métodos teóricos utilizados para predecir fuerzas y otras
variables se basan en ciertas hipótesis simplificadoras (condiciones ideales) que
desvían en cierto grado la resolución de un problema real. Sin embargo, en cuanto la
pieza adquiere cierta complejidad, los métodos fallan. Por este motivo, normalmente
los valores calculados presentan notables discrepancias con los medidos de forma
experimental. Un motivo de esta variación es el relacionado con el gradiente de la
temperatura de trabajo desarrollado durante el proceso de deformación.
Por lo tanto, aunque a partir de estas consideraciones, se pueda establecer
que el conformado por deformación plástica tiene una importancia radical en la
industria, el grado de desarrollo de ciertos métodos analíticos teóricos no ha ido en
concordancia con el nivel de operatividad exigido en la fabricación.
Como ha sido mencionado con anterioridad, dentro del conjunto de los PCDP,
la línea de actuación a seguir por la presente tesis se centrará en aquellos en los
que por parte del material se establece un flujo de tipo no estacionario, es decir,
aquellos en los que la zona de contacto herramienta-pieza varía en función del
tiempo de ejecución del proceso, y de ellos, la forja. Trabajos paralelos y anteriores
a los de esta tesis han sido centrados en PCDP de tipo estacionario, por lo que el
Francisco de Sales Martín Fernández
6
método de cálculo propuesto pretende incardinarse dentro de un cuerpo de
soluciones de aplicación general en el conjunto de los PCDP.
1.2 Objetivo de la tesis
Definido el ámbito de la tesis donde se va a desarrollar el presente trabajo,
procederemos a establecer el objetivo que se persigue. Este objetivo será la
consecución de un método de análisis teórico con el que establecer, de una forma
sencilla y con amplia posibilidad de incorporación de parámetros significativos del
proceso de deformación, un valor mínimo de la carga aplicar para lograr la citada
conformación del material.
El desarrollo informático ha posibilitado en los últimos años, una evolución
muy profunda de los métodos de cálculo de tipo numérico, relegando a un segundo
plano a aquellos métodos analíticos en los que, debido a la complejidad de la teoría
de la plasticidad, se ha imposibilitado en cierta medida una mayor utilización. Si bien
las ventajas de los métodos numéricos son evidentes en cuanto a la correcta
adaptación en su cálculo a formas relativamente complejas de la pieza a deformar,
también presenta una serie de inconvenientes, como los derivados del alto coste
computacional y de la pérdida de una visión más profunda del proceso de
conformado, siendo en muchos casos muy difícil discriminar de una forma explícita
algunos de los parámetros que intervienen en el proceso.
El método analítico que se postula en la presente tesis como alternativa a los
métodos numéricos, está basado en el teorema del límite superior mediante una
aplicación configurada por una virtualización geométrica de bloques de material
rígidos triangulares. Este método analítico posibilita considerar, de forma
independiente, los efectos que introducen diferentes parámetros, entre los que
puede citarse la geometría de la fase de contacto herramienta-pieza, el tipo de
material (mediante la incorporación de la tensión de fluencia a cortadura), el
coeficiente de rozamiento, discriminando el tipo de rozamiento establecido (de
adherencia, deslizamiento o combinación de ambos), la temperatura del proceso, el
Generalidades. Capítulo1
7
endurecimiento del material cuando no se considere un comportamiento rígido-
plástico perfecto y la distorsión interna del mismo, de forma independiente o
mediante combinación de ellos, pudiendo estar presente de forma simultánea varios
de los mismos.
El método, ya iniciado en su estudio por trabajos clásicos [Kudo, 1960]
[Johnson, 1951], se extiende a configuraciones geométricas no limitadas por
superficies de las matrices paralelas entre sí, sino que es aplicable a superficies de
la estampa que representen un perfil de mayor complejidad.
La limitación en la aplicación del método expuesto para esta tesis proviene de
la consideración de establecerse para una deformación plana, sin ser óbice de que
en desarrollos posteriores se estime la adecuada aplicación del método para
procesos de deformación tridimensional.
1.3 Estructura de la tesis
Una vez fijado el objetivo de la tesis, se procederá a establecer la estructura
de la misma a fin de alcanzar el objetivo indicado.
En su primera parte (capítulo 2), el contenido de la memoria de la tesis se
dedicará a la introducción de los fundamentos teóricos que van a ser empleados en
el desarrollo de los posteriores capítulos, haciendo especial énfasis en el análisis del
teorema del límite superior siguiendo un modelo de aplicación basado en bloques
rígidos triangulares.
En este capítulo se efectuará un desarrollo del citado teorema con su
aplicación concreta al caso en estudio, es decir, restringido a procesos de forja bajo
la consideración de deformación plana. Una breve revisión histórica acerca de los
diferentes métodos de cálculo, tanto analíticos como numéricos, servirá de
complemento para situar las posibilidades y las ventajas que ofrece el modelo
propuesto como principal objetivo.
Francisco de Sales Martín Fernández
8
Los capítulos 3, 4 y 5 forman el núcleo esencial de la tesis, puesto que en
ellos se desarrolla la propuesta metodológica. Se analiza en estos capítulos,
siguiendo una exposición pormenorizada y cronológica de los estudios realizados,
las diferentes etapas que han tenido que ser afrontadas hasta alcanzar la solución
final de aplicación del método, evaluando en esta exposición cada uno de los casos
a los que se les ha dado un resolución, tanto de forma individual como combinada,.
Es en esta fase del análisis donde se contempla el conjunto los parámetros que
intervienen en el proceso, las diferentes tipologías geométricas que se contemplan, y
los dos enfoques con los que se ha abordado el estudio: de una parte el que se ha
denominado en este trabajo como el enfoque tradicional o No Modular (capítulo 4), y
el innovador enfoque con el que se logra la integración de todos los fenómenos
puestos en juego, esto es, el enfoque modular (capítulo 5).
Expuesta la metodología general en el capítulo 3, será el capítulo 6 el que
dará contenido a una comparación efectuada entre los resultados obtenidos con la
aplicación del teorema del límite superior (TLS) con modelo de aplicación de bloques
rígidos triangulares (BRT), método encuadrado dentro de los analíticos, frente a un
método numérico, como es el caso del método de los elementos finitos (MEF). La
comparación efectuada servirá, a falta de resultados obtenidos directamente de la
experimentación, como una pseudovalidación del método. Se complementa la citada
comparación entre métodos con las realizadas sobre soluciones analíticas aportadas
por diferentes autores. En este capítulo se dará cuenta de una comparación de
valores y evolución de los mismos, para, mediante unas conclusiones finales, reflejar
el grado de concordancia entre ambos métodos.
El capítulo 7 se compone de la aplicación del método propuesto sobre casos
específicos, en los que se modifican las condiciones, tanto geométricas como las del
proceso, y sobre perfiles de estampas no necesariamente paralelos, sino reflejando
situaciones asimilables a las condiciones tecnológicas usuales. Junto a estos casos
prácticos considerados, en el capítulo se adjunta un estudio de sensibilidad
mediante el que se muestran los rangos de óptima aplicación del método y las
singularidades que se presentan (en su mayoría de tipo trigonométrico).
Generalidades. Capítulo1
9
Concluye el cuerpo de la tesis con el capítulo 8, reservado a las conclusiones
y a las líneas de desarrollo futuro. En este octavo capítulo se presentarán tanto las
conclusiones particulares como las generales, en virtud de los diferentes aspectos
tratados, como son la metodología empleada, las ventajas y limitaciones del método
propuesto y el grado de aplicabilidad derivado del estudio de sensibilidad. Se
establecen en este apartado, tal y como ya se ha indicado anteriormente, las
posibles líneas futuras de actuación con las que poder aumentar el ámbito de
aplicación del método.
Finaliza la presente tesis con una exhaustiva relación de las referencias
utilizadas. El cuerpo expositivo de la Tesis Doctoral se complementa con un conjunto
de anexos que desarrollan partes que, por su extensión o contenido, podrían
dificultar el seguimiento lineal de la exposición, habiéndose segregado del cuerpo
central de los capítulos correspondientes donde se les hace referencia.
CAPÍTULO 2
TEOREMA DEL LÍMITE SUPERIOR. EVOLUCIÓN Y DESARROLLO
Este principio es tan absolutamente general que es imposible aplicarlo de alguna forma particular.
G. Polya
Capítulo 2
TEOREMA DEL LÍMITE SUPERIOR. EVOLUCIÓN Y DESARROLLO
2.1 Introducción
En este segundo capítulo se pretende situar al Teorema del Límite Superior en
referencia a unas coordenadas históricas, así como de exponer, de forma breve,
consideraciones sobre la forja, proceso de conformado por deformación plástica
sobre el que se desarrolla la tesis.
De igual forma, se trata la influencia del rozamiento en el proceso de
conformado, evaluando su fundamento y sus diferentes comportamientos en el
citado proceso.
La última parte de este capítulo realiza una somera visión de los diferentes
métodos analíticos concluyendo, con una mayor extensión, con el Teorema del
Límite Superior que representa la base teórica de aplicación del método
desarrollado.
Francisco de Sales Martín Fernández
14
2.2 Conformado por deformación plástica. Evolución histórica
La “Teoría de la plasticidad” puede definirse como aquella teoría en la que se
estudia, desde un tratamiento matemático, los esfuerzos y deformaciones
soportados por sólidos deformados plásticamente, especialmente en metales. La
relación de las propiedades plásticas y elásticas de metales en cuanto a sus
estructuras cristalinas y a sus fuerzas de unión (cohesivas) pertenece al tema
conocido como “Física de los metales”. La teoría de la plasticidad toma como punto
de partida ciertas observaciones experimentales del comportamiento macroscópico
de un sólido plástico bajo un estado de esfuerzos combinados [Calladine, 2000]
[Kalpkajian, 2000] [Kachanov, 2004] [Nadai, 1933].
El desarrollo de esta teoría puede seguir dos vertientes: la primera, aquella en
la que se construyen relaciones explícitas entre esfuerzos y deformaciones de
acuerdo con las observaciones de una forma tan cercana y minuciosa como sea
posible; la segunda, desarrollando teorías matemáticas para calcular distribuciones
no uniformes de esfuerzos y deformaciones sobre cuerpos deformados
permanentemente.
El inicio del estudio científico de la plasticidad de los metales puede ser
datado adecuadamente en el año 1864. En este año Tresca [Tresca,1864] publicó
unos datos preliminares de experimentos sobre conformado por deformación
plástica, en concreto, sobre extrusión, que le permitieron establecer la consideración
de que un metal fluye plásticamente cuando el máximo esfuerzo cortante alcanza un
determinado valor crítico.
El criterio para obtener la fluencia de sólidos plásticos ya había sido propuesto
con anterioridad por Coulomb (1773), y había sido aplicado por Poncelet (1840) y
Rankine (1853) en problemas tales como el cálculo de la presión sobre paredes,
aplicaciones que, sin embargo, no fueron demasiado determinantes en los primeros
estados de investigación sobre el comportamiento de los metales.
Teorema del Límite Superior. Evolución y Desarrollo. Capítulo 2
15
El criterio de Tresca fue aplicado por Saint-Venant [Saint-Venant, 1870] para
determinar los esfuerzos producidos sobre un cilindro metálico sujeto a torsión y en
tubos completos sometidos a presión interna. Saint-Venant elaboró a su vez un
sistema de ecuaciones con las que determinar los esfuerzos y las deformaciones en
fluencia bidimensional, es decir, en deformación plana, y reconociendo que no existe
una relación unívoca entre los esfuerzos y las deformaciones plásticas, se puede
inferir que las direcciones de las máximas deformaciones coinciden en cada
momento con las direcciones de los máximos esfuerzos cortantes. En 1870 Lévy
[Lévy, 1870], adoptando el concepto de material plástico ideal de Saint-Venant,
propuso las relaciones entre esfuerzos y deformaciones en el caso tridimensional.
No se produjeron avances significativos hasta finales del siglo XIX, cuando
Guest estudió la fluencia en cilindros huecos sometidos a una combinación de
presión interna y de esfuerzo axial, obteniendo resultados en consonancia con el
criterio de los esfuerzos cortantes máximos. Aproximadamente durante la década
posterior, un gran número de experimentos similares fueron elaborados,
principalmente en Inglaterra, con conclusiones ligeramente diferentes. Fueron
sugeridos diversos criterios de fluencia, aunque para la mayoría de los metales el
más satisfactorio fue el desarrollado por von Mises [von Mises, 1913] [von Mises,
1928], basado en consideraciones puramente empíricas y matemáticas, y que fue
interpretado físicamente por Hencky [Hencky, 1923] años después, indicando que la
fluencia del material tiene lugar cuando el tensor de esfuerzos alcanza un valor
crítico. von Mises también propuso, de forma independiente, ecuaciones similares a
las de Lévy.
En el período existente entre las dos Guerras Mundiales la teoría de la
Plasticidad fue desarrollada de forma muy activa por autores alemanes. En 1920,
Prandtl [Prandtl, 1920] mostró que el problema plástico en dos dimensiones tenía
una solución hiperbólica, y calculó las cargas necesarias para realizar una
indentación sobre una superficie plana y un punzón truncado en su extremo.
Paralelas experiencias de Nadai [Nadai, 1923] [Nadai, 1939] mostraron una
concordancia parcial con estos cálculos.
Francisco de Sales Martín Fernández
16
La teoría general bajo la que aportó Prandtl sus soluciones fueron
complementadas por Hencky en 1923, quién descubrió unas sencillas propiedades
geométricas de los campos de líneas de deslizamiento en estados de deformación
plana [Hill, 1956]. Posteriormente las ecuaciones que gobiernan las variaciones de
velocidad del flujo a lo largo de líneas de deslizamiento fueron obtenidas por
Geiringer [Geiringer, 1930].
En 1923 Nadai investigó tanto de forma teórica como experimental, las zonas
plásticas existentes en piezas prismáticas. Sin embargo, la efectiva aplicación de la
teoría plástica a procesos tecnológicos se inició en 1925, cuando von Karman [von
Karmann, 1925] analizó el estado de los esfuerzos en la laminación. En años
siguientes Siebel [Siebel, 1933] [Martín, 2008] y Sachs [Sachs, 1927], [Sachs, 1934]
trabajaron con teorías similares sobre procesos de estirado.
Pero no fue hasta 1926, cuando Lode [Lode, 1925] midió la deformación de
cilindros huecos de varios metales bajo tensiones combinadas y presión interna y
puso de manifiesto que las relaciones esfuerzos-deformaciones de Lévy–Mises eran
válidas en una primera aproximación. Sin embargo, los resultados de Lode
apreciaron ciertas discrepancias, que fueron confirmadas posteriormente, mediante
experimentos más precisos, por Taylor y Quinney [Taylor, 1931]. La teoría se había
desarrollado siguiendo dos importantes direcciones: la primera, seguida por Reuss
[Reuss, 1930] que adoptó la hipótesis de que el incremento de las componentes de
la deformación plástica es, en cada instante, proporcional a las correspondientes
tensiones desviadoras y cortantes, siguiendo una sugerencia de Prandtl, y la
segunda, seguida por Schmidt [Schmidt, 1932] y Odquist [Odquist, 1933], que
mostraron de diferente forma como el endurecimiento por deformación podía ser
incorporado en las ecuaciones de Lévy-Mises.
La primera generalización fue confirmada mediante experimentos por
Hohenemenser (1931-1932), y la segunda por investigaciones de Schmidt. Así, en
1932, se elaboró un nuevo modelo, reproduciendo las principales propiedades en
período plástico y elástico de un metal isotrópico a temperaturas ordinarias y que
sustancialmente estaba de acuerdo con las observaciones.
Teorema del Límite Superior. Evolución y Desarrollo. Capítulo 2
17
A partir de estas investigaciones no se realizaron más que pequeños avances
en la solución de problemas específicos. Paralelamente fue propuesta por Hencky
en 1924 una teoría que aprovechaba el desarrollo analítico en problemas donde las
deformaciones plásticas eran reducidas, eliminando la dificultad de no poder
establecer una relación unívoca y lineal entre esfuerzos y deformaciones. Esta teoría
fue ampliamente expuesta por Nadai [Nadai, 1931] en su publicación sobre
plasticidad, y posteriormente aplicada con profusión por la Escuela Rusa (alrededor
de 1935).
Con posterioridad a la publicación antes mencionada de Nadai, se editaron
diversas obras de carácter general sobre plasticidad y sus aplicaciones, que, como
indica Sebastián [Sebastián, 1999], pueden ser englobadas dentro de tres
generaciones:
o La primera, que corresponde a los años cincuenta del pasado siglo, en
donde se incluyen los textos de Hill [Hill, 1951][Hill, 1956], Drucker
[Drucker, 1951], Prager y Hodge [Prager, 1951], Bridgman [Bridgman,
1952], Hoffman y Sachs [Hoffmann, 1953], Sachs [Sachs, 1954] y Prager
[Prager, 1959].
o La segunda, encuadrada en la primera mitad de la década de los sesenta,
donde se incluyen obras como las de Prager [Prager, 1961], Dieter (1961)
[Dieter, 1986], Johnson y Mellor [Johnson, 1962], Rowe (1965) [Rowe,
1972] y Avitzur [Avitzur, 1968].
o Por último, una tercera, en los años setenta y ochenta, con la aparición de
textos como los de Johnson, Sowerby y Haddow [Johnson et al, 1970],
Lange (1972) [Lange, 1985], Rowe [Rowe, 1977] [Rowe, 1979], Slater
[Slater, 1977] y Szczepinski [Szczepinski, 1979].
A lo largo de las tres décadas que comprende la publicación de estos
manuales se han ido consolidando los conocimientos del conformado plástico de los
Francisco de Sales Martín Fernández
18
metales, principalmente en lo referente al diseño de elementos estructurales y al
análisis de los procesos de conformado por deformación plástica [Sánchez, 1983].
Algunos de estos métodos analíticos tienen en su desarrollo demasiadas
simplificaciones respecto a las geometrías y esfuerzos que se aplican en los
procesos industriales (Deformación Homogénea, Análisis Local de Tensiones).
Otros métodos que contemplan de una forma más precisa el fenómeno de la
deformación plástica son el del campo de líneas de deslizamiento, abordable, con
una complejidad moderada, sólo para casos de deformación plana. En los años
cincuenta y sesenta se han desarrollado diferentes campos de líneas de
deslizamiento para casos de compresión sin rozamiento [Green, 1951], de extrusión
[Green, 1954], de compresión con rozamiento por deslizamiento [Alexander, 1955],
así como de un elevado número de procesos de conformado por deformación,
recogidos por Johnson [Johnson, 1970].
En 1951, Drucker, Greenberg y Prager plantearon un nuevo método analítico
basado en la aplicación de los teoremas del límite, tanto superior como inferior,
desarrollados en un número extenso de ejemplos bajo deformación plana en el
trabajo de Johnson [Johnson, 1973].
2.3 Procesos de conformado por deformación plástica mediante compresión directa. Forja
Se denominan procesos de conformado por deformación plástica (PCDP), a
aquellos procedimientos de obtención de componentes mecánicos que se benefician
del comportamiento plástico de los metales, es decir, de la posibilidad de cambiar de
forma o de dimensiones mediante la aplicación de esfuerzos externos.
En los PCDP mediante compresión directa, son los esfuerzos de compresión
aquellos que manifiestan una principal influencia en la deformación del material, y
dentro de este grupo se pueden distinguir entre procesos específicos como la
Teorema del Límite Superior. Evolución y Desarrollo. Capítulo 2
19
laminación, la extrusión o la forja. De estos procesos, es sobre la forja donde la
presente tesis se desarrolla.
El proceso de forjado se remonta a los primeros registros escritos de la
especie humana. Hay evidencias de que el forjado era usado en el antiguo Egipto,
Grecia, Persia, China y Japón para hacer armas, joyería y otros implementos. En la
antigua Creta se usaban placas de piedra labrada como dados de impresión en el
martillado del oro y la plata, alrededor de 1.600 a.C. La natural evolución a la
fabricación de monedas por un proceso similar se llevó a cabo hacia el año 800 a.C.
El negocio de la herrería permaneció relativamente sin cambios hasta que se
introdujo el martinete de forja con pisón guiado a fines del siglo XVIII. Este desarrollo
trajo la práctica de la forja a la era industrial.
A diferencia de las operaciones de laminado o estirado, que en general
producen placas, láminas, alambres, o diversos perfiles, las operaciones de forja
producen piezas discretas. Entre los productos característicos del forjado están
tornillos y remaches, bielas, ejes de turbinas, engranajes, herramientas de mano y
piezas estructurales para maquinaria, aviones, ferrocarriles y una diversidad de
equipo de transporte.
El forjado en dado o matriz abierta es el proceso más sencillo de esta clase.
Aunque la mayor parte de las forjas realizadas con matriz abierta tienen un peso de
forma general de 15 a 500 kg., se han forjado piezas de hasta 300 toneladas.
Se puede describir el proceso con matriz abierta como aquel en el que una
pieza sólida es colocada entre dos matrices planas, reduciendo la altura de la pieza
debido a la compresión efectuada. Debido a que se mantiene el volumen constante,
toda reducción de altura aumenta las restantes dimensiones de la pieza forjada,
creando lo que se denomina un recalcado.
Las formas generadas por operaciones en matriz abierta son simples, como
discos y anillos. Las matrices en algunas aplicaciones tienen superficies con ligeros
contornos que ayudan a formar el material de trabajo. Éste, además, debe
Francisco de Sales Martín Fernández
20
manipularse frecuentemente (girándolo en cada paso, por ejemplo) para efectuar los
cambios de forma requeridos.
La forja es actualmente el método principal utilizado para conformar por
compresión piezas de fundición de gran tamaño y también para mejorar sus
propiedades metalúrgicas y mecánicas. Este método de deformación precisa de
grandes esfuerzos y potencias.
El forjado con matriz impresora o forja semicerrada es la denominada
estampación, donde la pieza adquiere la forma de las cavidades del dado, al forjarse
entre dos matrices con un perfil determinado. Algo del material fluye hacia el exterior
formando una rebaba. Esta rebaba tiene un papel importante en el flujo del material
en el estampado: es delgada, se enfría con rapidez y, por su resistencia a la fricción,
somete a grandes presiones al material en la cavidad de la matriz, promoviendo así
el llenado de la cavidad.
Teorema del Límite Superior. Evolución y Desarrollo. Capítulo 2
21
Figura 2.1 Detalle de forja por estampación
Con frecuencia se requieren varios pasos de formado en la estampación para
transformar la forma inicial en la pieza final deseada. Los pasos iniciales se diseñan
para redistribuir el metal en la parte de trabajo y conseguir así una deformación
uniforme y la estructura metálica requerida en las etapas siguientes. Los últimos
pasos le dan el acabado a la pieza final. Debido a la formación de rebaba y a las
formas más complejas de las piezas realizadas con estas matrices de estampación,
las fuerzas en este proceso son considerablemente mayores y más difíciles de
analizar que en la forja libre o abierta.
Un proceso de forja implica el siguiente orden de pasos.
1. Preparación de metal mediante palanquilla o preforma. Si es necesario, han
de limpiarse las superficies con métodos como el granallado.
2. Para forjado en caliente, calentamiento de la pieza en horno y, si es
necesario, eliminación de la cascarilla tras el calentamiento. Durante las etapas
iniciales del forjado también se puede efectuar la eliminación de la cascarilla.
Precalentamiento de las matrices en estampación en caliente, lubricación de las
mismas en forjado en frío.
3. Forjado mediante las matrices adecuadas, y en el orden correcto. Si es
necesario, eliminar todo exceso de material, como la rebaba.
4. Limpieza de la pieza forjada, comprobación de dimensiones y, si es
necesario, mecanización hasta dimensiones y tolerancias finales.
Francisco de Sales Martín Fernández
22
5. Operaciones adicionales como enderezado y tratamiento térmico, para
mejorar las propiedades mecánicas, así como las necesarias de acabado.
6. Inspección y detección de posibles defectos en la pieza forjada.
En los procesos de forjado se utilizan una diversidad de máquinas de forjado,
con distintas capacidades, velocidades y características de carrera. Estas máquinas
se clasifican, en general, en prensas y en martillos o martinetes. Las prensas
funcionan usualmente a velocidad constante y están limitadas por la carga. Se
transfiere una gran cantidad de energía a la pieza, mediante una carga constante
durante la carrera, cuya velocidad se puede controlar. Los martinetes obtienen su
energía de la energía potencial del ariete, que se convierte en energía cinética, por
consiguiente, son limitadas por la energía. A diferencia de las prensas, éstos
trabajan con grandes velocidades, y el tiempo de conformación minimiza el
enfriamiento de la forja en caliente. Las bajas velocidades de enfriamiento permiten
forjar formas complicadas, en especial las que tienen oquedades delgadas y
profundas. Para completar el forjado se suelen dar varios golpes sucesivos.
2.4 Influencia del rozamiento en los PCDP La consecuencia más evidente del rozamiento, en la experiencia general, es
la aplicación de un trabajo adicional que de otra forma no sería necesario. Cuanto
mayor es el rozamiento, mayor es la carga requerida para producir una deformación
determinada. En consecuencia, se ha dado una importancia capital al problema de
conseguir valores bajos de los coeficientes de rozamiento. Sin embargo, este
problema no es el fundamental en la elección del lubricante para el conformado de
metales; tiene una mayor relevancia la eliminación de toda posibilidad de deterioro
causado por la transferencia de metal desde la pieza a las herramientas.
Aparte del incremento de las fuerzas externas, la tensión de rozamiento tiene
una gran influencia sobre la fluencia del metal y puede ocasionar graves
Teorema del Límite Superior. Evolución y Desarrollo. Capítulo 2
23
heterogeneidades en el producto conformado así como grietas superficiales y otros
defectos.
La heterogeneidad aparece de dos formas diferentes. La tensión de
rozamiento produce una rotación de las direcciones de la tensión principal, que a su
vez determina cuáles de los posibles planos cristalográficos son los orientados más
favorablemente para que tenga lugar el deslizamiento atómico. La orientación
cristalográfica de las capas superficiales del material trabajado estará influenciada,
en consecuencia, por el rozamiento, como se puede demostrar por difracción de
rayos X.
Existe también una heterogeneidad macroscópica, observable mediante un
retículo trazado sobre la sección transversal del material antes de trabajarlo. Las
capas superficiales están apreciablemente retardadas, aún en presencia de un
lubricante, por la fuerza de rozamiento. La deformación de la superficie produce un
endurecimiento adicional e incluso agrietamiento.
El modelo general de deformación se puede alterar completamente con
variaciones del rozamiento. En las operaciones de forja, la fluencia puede estar
afectada considerablemente por el rozamiento, particularmente en la forja con matriz
abierta. El abarrilamiento producido por un rozamiento elevado derivado del
movimiento relativo en la zona de contacto herramienta-pieza puede producir
tensiones de tracción secundarias, que finalmente limitan la reducción de sección
permisible.
La consecuencia más grave de un elevado coeficiente de rozamiento es la
adherencia del metal de la pieza a la herramienta. Esta adherencia puede ocurrir con
más facilidad en algunos materiales que en otros, pero puede limitar seriamente el
intervalo posible de reducciones de sección por pasada. La transferencia metálica
puede tener lugar de dos maneras diferentes. Una está asociada, en primer lugar, a
las superficies rugosas de las herramientas. Si la película de lubricante se agota, el
metal de la pieza puede ser forzado a penetrar en las hendiduras de la herramienta,
de la misma forma que en una operación de acuñado se reproduce exactamente el
Francisco de Sales Martín Fernández
24
perfil de aquella. El movimiento tangencial posterior a lo largo de la cara de la
herramienta tiende a cizallar el metal blando que sobresale, dejando detrás
fragmentos sueltos. Esto proporciona normalmente un acabado defectuoso de la
superficie.
El otro tipo de transferencia es adhesiva y es mucho más grave. Se puede
originar por diversas causas, incluyendo pequeñas partículas de óxido o cascarilla
que quitan las películas protectoras superficiales, dejando el metal desnudo.
Si se ponen en contacto dos de estas superficies bajo la presión de trabajo,
tienden a soldarse, haciendo que un fragmento de la pieza se desgarre por
cizallamiento posterior y quede firmemente adherido a la herramienta. En la zona en
la que se ha arrancado el fragmento aparece una superficie nueva, que
normalmente sobresale de la película de lubricante que le rodea, de manera que la
adherencia se hace cada vez mayor. Con frecuencia este fenómeno impide la
operación de conformado. La adherencia depende, en condiciones reales, de la
naturaleza de los dos materiales. Se debe de recordar que muchas de las
operaciones del conformado de metales requieren inherentemente la formación de
un 40 a un 50% de superficie nueva de metal durante la deformación. Este metal
naciente se debe proteger de forma adecuada inmediatamente después de que se
forme, o se podrá adherir al material de la herramienta. La duración de las
herramientas, lo mismo que la calidad del producto, puede ser gravemente afectada
si tiene lugar la adherencia del metal.
En la teoría del conformado de metales se supone que la tensión tangencial τ,
en la superficie de la pieza, es directamente proporcional a la tensión normal p. Un
coeficiente de rozamiento puede, pues, definirse como μ=τ/p, expresión análoga a la
relación de las fuerzas tangencial y normal en física elemental. Sin embargo, la
tensión tangencial τ se limita a un valor igual al límite de fluencia por cizalladura k del
metal mismo. Puesto que el valor mínimo de la tensión normal que puede causar
deformación plástica es Y, tensión de fluencia uniaxial, el valor máximo del
coeficiente de rozamiento para condiciones de rozamiento de adherencia total viene
Teorema del Límite Superior. Evolución y Desarrollo. Capítulo 2
25
dado por la relación k/Y. Estas cantidades están, por supuesto, relacionadas de
acuerdo con el criterio de fluencia. Utilizando el criterio de Von Mises,
Yk 155,12 = (2.1)
Así, pues,
577,0max ==Ykμ (2.2)
El criterio de Tresca nos proporciona
5,0=máxμ (2.3)
La condición de coeficiente constante se conoce normalmente como
rozamiento de deslizamiento o rozamiento de Coulomb. El coeficiente de rozamiento
puede realmente variar durante una pasada de trabajo, ya que la lubricación se
deteriora debido a la delgadez de la película y a la extensión de la superficie.
Estudios experimentales indican, sin embargo, que este fenómeno es despreciable
para todas las operaciones bien lubricadas. Para cálculos prácticos se puede
suponer que la tensión de cizalladura τ en la interfase herramienta-pieza, para una
tensión normal p, viene siempre dada por
pμτ = (2.4)
siempre que τ < k. De otro modo, existe rozamiento de adherencia, y τ=k.
El resultado en la determinación del coeficiente de rozamiento puede estar
influenciado por diversos factores, y es esencial que las condiciones del ensayo de
la geometría de la superficie, las condiciones químicas, el espesor de la película del
lubricante, la temperatura, la velocidad, el medio ambiente y el grado de deformación
se deba parecer todo lo posible a las condiciones reales de la operación. Esto indica
que los únicos datos de rozamiento absolutamente útiles son aquellos obtenidos de
Francisco de Sales Martín Fernández
26
las medidas durante la operación considerada. Raramente existe una correlación
directa con los coeficientes de rozamiento bien conocidos, obtenidos en las pruebas
de laboratorio.
El valor local del coeficiente de rozamiento no se puede determinar con
facilidad. En las herramientas con una gran superficie es posible colocar dos
pequeñas cabezas medidoras, diseñadas de tal modo que una flexione por
cizalladura y la otra por compresión. Aun con esta disposición tan complicada, es
difícil conseguir que no se produzca ninguna alteración local. Todos los demás
métodos suponen la media de un coeficiente total o medio de rozamiento μ.
Para obtener una medida de la carga en un proceso de forja la teoría supone
el conocimiento de la tensión de fluencia, normalmente una tensión de fluencia
media. Esto puede ser una fuente de error, particularmente si se utiliza metal
recocido, ya que la velocidad inicial de endurecimiento por deformación es elevada.
En las operaciones de conformado en caliente el endurecimiento por deformación no
es tan importante, pero los resultados son probablemente mucho menos fiables, ya
que la tensión de fluencia normalmente depende de forma crítica tanto de la
temperatura como de la velocidad de deformación.
Hill ha propuesto un método en el cual una lámina rectangular plana, cuya
longitud b es mayor de diez veces la anchura a, se comprime entre plataformas
planas en voladizo. El rozamiento influye sobre la extensión en las dos direcciones
principales, y se puede deducir una relación simple entre el coeficiente de
rozamiento y el cambio de forma. Sin embargo, el ensayo es insensible para
coeficientes que sobrepasen el 0,05. Estos valores normalmente se encuentran sólo
cuando existe una apreciable contribución hidrodinámica para la lubricación. Por lo
tanto, no cabe esperar una correlación general entre los resultados de este ensayo y
la mayoría de los procesos de deformación.
Otro ensayo, sugerido por Kudo y Kunogi [Kudo, 1955] y desarrollado por
Cockcroft y Male [Male,1964] utiliza la compresión axial de un anillo entre
plataformas planas. Si no existe rozamiento, el anillo se deforma exactamente de la
Teorema del Límite Superior. Evolución y Desarrollo. Capítulo 2
27
misma manera que un disco, incrementando los diámetros tanto exterior como
interior proporcionalmente con su distancia al centro. Cuando existe un rozamiento
finito, la periferia exterior está sometida a una restricción mayor que la periferia
interna más corta, y con un rozamiento suficientemente grande es enérgicamente
favorable para que exista una deformación radial hacia el interior, de manera que
disminuya el diámetro interno. De esta forma, midiendo la relación de los diámetros
externo e interno después de la compresión axial de un anillo de dimensiones
normalizadas, es posible obtener una medida del rozamiento. Con una calibración
adecuada, el ensayo puede dar valores numéricos de μ.
Para comprender la lubricación se requiere algún conocimiento de la
naturaleza y las causas del rozamiento. El método más completo para resolver los
problemas generales del rozamiento es el de Bowden y Tabor [Bowden, 1950],
basado en la observación de que las superficies reales de los metales no son lisas.
Cuando dos de estas superficies se ponen en contacto bajo una carga ligera, se
tocan solamente en algunas asperezas relativamente aisladas de la superficie.
La presión local en estos contactos diminutos será muy elevada, y de hecho
se ha observado que es suficientemente grande como para provocar la deformación
plástica. A medida que la carga se incrementa, aumenta la extensión de estos
contactos apareciendo otros nuevos. Si se supone que el valor medio de las
tensiones de fluencia de todos los puntos de contacto en un instante dado, y bajo
una carga W, es p, entonces la suma de las áreas proyectadas de todos los puntos
de contacto vendrá dada por
∑ =WpAx_
(2.5)
En la formulación original se postuló que, cuando se utilizasen probetas de
metal sin lubricar, se podría dar lugar a una soldadura en frío, y que las uniones
soldadas así formadas tendrían una resistencia media a los esfuerzos cortantes s
aproximadamente iguales a la resistencia a la cizalladura del metal. Entonces la
resistencia de rozamiento resulta de la fuerza F que se requiere para cizallar estas
uniones.
Francisco de Sales Martín Fernández
28
∑ = FsAx_
(2.6)
Puesto que s y p están relacionadas con la tensión de fluencia por
cizallamiento k del metal, esto indica, de una forma inmediata, que F es proporcional
a W, de manera que el coeficiente de rozamiento μ se puede definir como:
Cp
sWF === _
_
μ (2.7)
Este planteamiento no tiene en consideración la interrelación existente entre
la tensión tangencial y la tensión normal según el criterio de fluencia. Si se aplica el
criterio de Von Mises a este tipo de unión por rozamiento, el resultado se modifica.
Puesto que la unión se deforma plásticamente por la aplicación inicial de la carga en
una dirección normal a la interfase, al aplicar una tensión tangencial adicional, por
pequeña que sea, se producirá una deformación adicional. Esta fluencia del material
hace que las probetas se acerquen más, aumentando la superficie de contacto. Por
lo tanto, si la carga permanece constante, la presión normal se reduce, pero
aumenta la fuerza tangencial que puede ser soportada. De este modo el proceso
continúa; un incremento de la superficie de contacto y una unión más resistente. La
carga original W no varía, pero la fuerza tangencial F puede alcanzar valores muy
elevados. La relación F/W, que no es estrictamente ya un coeficiente de rozamiento
puesto que F y W no están directamente relacionadas, puede llegar a valores muy
elevados, entre 10 y 100.
Aun cuando la transferencia adhesiva tenga lugar en el conformado de
metales, la superficie de contacto no puede incrementarse, de manera que el
coeficiente de rozamiento aparente está limitado al valor de “rozamiento de
adherencia” y no puede llegar a los grandes valores observados bajo cargas ligeras.
El rozamiento de adherencia puede surgir de la interacción mecánica o de la
interacción de películas resistentes, tales como óxidos, y no implica necesariamente
una transferencia adhesiva.
Teorema del Límite Superior. Evolución y Desarrollo. Capítulo 2
29
Otro factor importante en la lubricación es la temperatura de la superficie. El
trabajo necesario para vencer el rozamiento se genera de forma rápida en una capa
muy delgada, por lo que la temperatura de la interfase aumentará hasta un punto
que dependerá del rozamiento y de la conductividad térmica de los materiales.
La gran mayoría de operaciones de forjado se realizan a velocidades
relativamente reducidas, de forma que lo más probable es que el problema del
aumento extremo de la temperatura no sea excesivamente grave. Sin embargo,
habrá siempre un aumento adicional de temperatura debido al calor generado por la
deformación dentro del metal, que puede tener, o no, tiempo de difundirse a la
superficie durante la acción de la herramienta.
La importancia relativa de la influencia del rozamiento sobre la carga se
puede determinar aplicando el método analítico desarrollado en la presente tesis. Su
estudio, dependiendo del tipo de rozamiento considerado será contemplado en
capítulos posteriores.
2.5 Métodos de análisis
En este apartado van a repasarse brevemente, los métodos generalmente
utilizados en el estudio de cualquier proceso de deformación metálica citados
anteriormente. Nos referimos a los métodos analíticos. Se van a comentar sus
fundamentos y orígenes, así como sus respectivos campos de aplicación
[Kobayashi, 1960] [Wagoner, 2005].
Los métodos analíticos se establecen a partir de combinaciones operativas
entre los diferentes recursos teóricos disponibles y una serie de hipótesis
simplificadoras. La complejidad de los fenómenos físicos que tienen lugar durante
los procesos de conformado por deformación plástica en los materiales metálicos
hacen muy difícil tanto su tratamiento teórico como matemático. Las hipótesis más
usualmente adoptadas en los análisis de procesos de conformado plástico son la
Francisco de Sales Martín Fernández
30
aceptación de incompresibilidad del material; el comportamiento rígido-plástico sin
endurecimiento del mismo; la deformación homogénea; la consideración de
deformación plana, o en su caso, situaciones axisimétricas; ausencia de rozamiento,
y si es considerado, de valor constante; la consideración de homogeneidad en la
estructura y en el estado metalúrgico del material; y por último establecer como
despreciable el efecto causado por la velocidad de deformación.
No todas las hipótesis planteadas representan el mismo grado de alejamiento
de la realidad durante el proceso de deformación. Si bien unas son perfectamente
asumibles dentro de los rangos de aplicación de los procesos de deformación (véase
la incompresibilidad del material), otras son de difícil aceptación, como por ejemplo
la consideración de deformación homogénea, sobretodo en aquellos casos de
deformación severa, donde se pone de manifiesto de una forma relevante dos causa
de “no homogeneidad” como son la distorsión interna y el rozamiento externo.
Las soluciones a los problemas de conformado de metales pueden ser
obtenidas sólo si se siguen estrictamente las reglas siguientes:
a) Las ecuaciones diferenciales de equilibrio para el tensor de esfuerzos deben
de satisfacerse en todo punto del cuerpo deformado.
b) Debe de mantenerse la continuidad del flujo de material, es decir, el volumen
ha de mantenerse constante.
c) Las relaciones entre los esfuerzos internos y el flujo de material en los
materiales reales debe ser conocido. Dado que no son completamente
conocidas estas relaciones, normalmente se trabaja en el conformado de
metales siguiendo el comportamiento del material definido por von Mises.
Para estos materiales la relación entre el tensor desviador y las
deformaciones han de mantenerse.
d) Las condiciones de contorno deben ser satisfechas, incluyendo la influencia
del rozamiento sobre la superficie de contacto entre pieza y herramienta.
Teorema del Límite Superior. Evolución y Desarrollo. Capítulo 2
31
Cuando todas estas condiciones se cumplan, la solución completa y única determina
el estado de las tensiones y de los esfuerzos sobre la pieza al completo.
Como se ha indicado, la conjunción de herramientas matemáticas teóricas
para la modelización del continuo, la caracterización del comportamiento plástico de
los materiales metálicos, en nuestro caso, y la imposición de determinadas hipótesis,
conduce a la siguiente clasificación de métodos analíticos implicados en el estudio
de los procesos de conformado por deformación plástica [Sánchez-Pérez, 1983].
1. Método de deformación homogénea.
2. Método de análisis local de tensiones (slab method).
3. Método del campo de líneas de deslizamiento (slip-line field method).
4. Método del límite superior (upper bound method).
5. Método del límite inferior (low bound method).
En el estudio del comportamiento del material mediante el análisis por
deformación homogénea (supone que las secciones rectas antes de sufrir la
deformación permanecen rectas una vez producida esta) no resulta posible el
cálculo de esfuerzos que consideren los efectos de rozamiento. Para conocer estos
esfuerzos es preciso tener en cuenta expresiones que permitan cuantificarlos.
El método fundamentado en las ecuaciones de Hencky se utiliza con el fin de
poder calcular la contribución del fenómeno de la distorsión a la energía total del
proceso. Está basado en la teoría del campo de líneas de deslizamiento, y relaciona
la variación de la presión hidrostática a lo largo de estas líneas de deslizamiento con
la curvatura de las mismas.
Francisco de Sales Martín Fernández
32
Para su aplicación, este método necesita la definición previa de la geometría
de un campo de líneas de deslizamiento tal que cumpla las condiciones de
continuidad y velocidad en la zona en que tiene lugar el proceso de deformación.
En ellos cabe distinguir el método del límite superior, que se basa en la
consideración de un campo de velocidades cinemáticamente admisible o
independiente de las consideraciones tensionales; y del límite inferior que, por el
contrario, se basa en el establecimiento de unas consideraciones de tensión
estáticamente admisibles sin necesidad de aplicación de las restricciones del flujo en
la zona de deformación. El método del límite superior, inicialmente empleado por
Johnson, [Johnson, 1962a] en las aplicaciones a los procesos de conformado por
deformación plástica será el que se desarrolle con una mayor extensión en este
capítulo, puesto que es sobre él donde se basa la aplicación del modelo propuesto
en la presente tesis.
De los métodos antes citados, quizás el del límite inferior sea el que reviste un
menor interés. Este hecho es motivado por el bajo nivel de prestaciones en relación
con sus características de aplicación y en el hecho de que los dos métodos citados
en primer lugar (deformación homogénea y análisis local de tensiones) suelen
proporcionar resultados que igualmente acotan inferiormente los requerimientos
mecánicos de los procesos.
2.5.1 Método de la deformación homogénea
La forma más sencilla de deformarse un metal es la que se observa en un
ensayo de tracción. Cualquier elemento del metal, que sea originariamente un
pequeño cubo, se convierte en un paralelepípedo después de la deformación
plástica que tiene lugar en la tracción simple.
Toda la probeta, excepto los extremos (que siempre se ignoran en los
ensayos de tracción), es libre de deformarse sin estar restringida por ningún cuerpo
externo. Es un principio general que esta deformación homogénea requiere menos
trabajo y, en consecuencia, una carga menor que cualquier otro tipo de deformación.
Teorema del Límite Superior. Evolución y Desarrollo. Capítulo 2
33
De esta manera, el cálculo de la carga para una deformación homogénea
proporciona un límite inferior de la carga necesaria en cualquier otra operación que
produzca la misma variación final del área de la sección transversal de la pieza.
En algunas operaciones prácticas, la carga adicional originada por estas
restricciones por rozamiento y de tipo mecánico puede ser bastante pequeña. Por
ejemplo, el sistema de tensiones y la deformación en la compresión axial de un
cilindro de diámetro pequeño entre dos plataformas bien lubricadas se aproximan a
un sistema uniaxial ideal.
Un método general, aplicable a las condiciones sencillas de tracción o
compresión así como a procesos más complejos tales como la forja, es considerar el
trabajo realizado en la deformación de un pequeño elemento de la pieza, y entonces
integrarlo a lo largo de toda la región de deformación.
Así, para la tracción uniaxial, las tensiones principales para un punto
cualquiera son:
0,0, 321 === σσσ Y (2.8)
Donde Y es la tensión de fluencia instantánea para la deformación ε, que
corresponde al área de la sección transversal A y a la longitud l. El incremento de
trabajo realizado al aumentar la longitud de la probeta δl durante la deformación
viene dado por el producto de la fuerza y del desplazamiento:
lYAW δδ )(= (2.9)
Y como se supone que el volumen se mantiene constante, se integrará el
trabajo por unidad de volumen entre la longitud original l0 y la longitud final l1:
∫ ∫== 1
0
1
0
l
ldY
ldlY
VW ε
εε (2.10)
Francisco de Sales Martín Fernández
34
De esto se deduce que el trabajo realizado, por unidad de volumen, en una
deformación homogénea es igual al área de la curva tensión-deformación, entre los
valores de deformación adecuados. Esto se puede calcular directamente a partir del
cambio de dimensiones, suponiendo una tensión de fluencia media Y.
∫ == 1
0
0
1lnl
l ll
YldlY
VW (2.11)
La ecuación anterior, frecuentemente conocida como la fórmula de trabajo,
proporciona una aproximación razonable para un metal que se haya endurecido por
deformación plástica antes del estirado por tracción, de forma que Y no varíe mucho
durante el proceso. Esta ecuación es menos útil para un material recocido, donde Y
aumenta rápidamente con la deformación de manera que entonces es preferible,
integrar la curva tensión-deformación gráficamente. Este método se puede aplicar a
varias operaciones reales.
En la forja con grandes plataformas planas, el área en contacto con la pieza
aumenta continuamente durante la operación, de manera que resulta apropiada la
forma diferencial de la fórmula de trabajo. El incremento de trabajo llevado a cabo
por la fuerza (p A) para el instante en el que A = Ax es
dlApdW xx ⋅⋅= )( (2.12)
el trabajo para una deformación homogénea es
dlYAldlYVdW xx
x
x == (2.13)
Así, px = Yx,
Como una primera aproximación, el endurecimiento por deformación se
puede incluir en el problema usando un valor medio de s, considerando deformación
plana, también se puede calcular de una manera más exacta, derivando una
Teorema del Límite Superior. Evolución y Desarrollo. Capítulo 2
35
expresión analítica que se adapte a la curva tensión-deformación, y usando esta
expresión junto con la ecuación diferencial.
El análisis anterior se puede usar para algunas operaciones de forja. Por lo
tanto, supone un valioso medio para el cálculo de las cargas de trabajo y para el
examen de la influencia de las variaciones de los parámetros del proceso,
especialmente cuando se utiliza en su forma más compleja que considera el
endurecimiento por deformación.
En algunos casos se ha visto que el cálculo de las tensiones infravalora
seriamente las cargas de trabajo. La razón de este hecho es que el trabajo total
realizado tiene tres componentes, debido a la deformación homogénea (WH), la
resistencia por rozamiento externo (WF), y también a la distorsión interna que puede
tener lugar (WR).
Este cizallamiento adicional o redundante supone un trabajo, que en
consecuencia es conocido como trabajo adicional WR. El trabajo total WT gastado en
una deformación determinada se puede considerar como una suma de tres
componentes, WH, WF y WR, pero que no son completamente separables, ya que la
deformación estará influenciada por el rozamiento en la superficie de la herramienta,
de manera que WR dependerá de μ.
La deformación adicional también contribuye al endurecimiento por
deformación, de forma que la tensión de fluencia de un metal trabajado se ve que es
más alta que la que se calcularía a partir de la reducción de área medida y la curva
tensión-deformación básica.
Para calcular la influencia de la deformación del metal es necesario usar un
método más avanzado que tenga en cuenta la distribución de la deformación, así
como la distribución de las tensiones en la pieza. Para este fin se construyen los
campos de líneas de deslizamiento, si bien este método se puede aplicar solamente
a las condiciones de deformación plana.
Francisco de Sales Martín Fernández
36
2.5.2. Método del análisis local de tensiones
Como se dijo anteriormente, el método de análisis local de tensiones (slab
method) constituye una forma analítica de calcular las potencias requeridas ante una
deformación plástica.
Las principales hipótesis de carácter restrictivo, sobre la que se sustenta este
método analítico, entre otras, las siguientes:
- Se considera deformación homogénea
- Material deformable rígido-plástico perfecto
- Rozamiento débil
- Fluencia de material independiente de la velocidad de deformación y de la
temperatura
- Probetas de geometría tipificada
En el desarrollo teórico del método va a calcularse la carga por compresión
mediante plataformas planas y paralelas, y con deformación, de una probeta dada, a
partir de las tensiones locales que actúan. El análisis se hará para el caso de
deformación plana (pieza prismática) distinguiéndose el tipo de rozamiento existente
en la interfase pieza/plataforma.
Figura 2.2 Pieza a deformar
w h
b
Teorema del Límite Superior. Evolución y Desarrollo. Capítulo 2
37
Figura 2.3 Distribución de tensiones
Sea la figura 2.2; la pieza a la que se va a someter a una compresión entre
plataformas planas y paralelas. En la figura 2.3 se representa el croquis global de la
zona de deformación y las tensiones que actúan en un instante cualquiera sobre la
placa, ancha y delgada, al comprimirla.
Considerando el elemento diferencial a la derecha del plano x=0, debido a la
simetría existente, y estableciendo las condiciones de equilibrio, se obtiene para
cada dirección:
Según el eje x:
02)( =−⋅−+ dxhhd zxxxx τσσσ (2.14)
A la izquierda de la línea central
02)( =+⋅−+ dxhhd zxxxx τσσσ
(2.15)
Estas ecuaciones se pueden simplificar y combinar:
02 =dxdh zxx τσ m (2.16)
τzx p
τzx p
σz σz
h
x dx
σx
σx + dσx
b/2
Francisco de Sales Martín Fernández
38
Y, dado que el proceso responde a la hipótesis de rozamiento débil, se puede
realizar una hipótesis simplificadora adicional, que consiste en suponer conocidas
las direcciones principales y hacerlas coincidentes con los ejes. Así, la tensión
principal mayor σ1 tiene la dirección del eje X (σ1 = σx) y σ3 la del eje Z (σ3 = σz = -p)
Sustituyendo, y como pzx μτ = , se obtiene una relación entre p y σx
02 =dxpdph μm (2.17)
De donde, despejando e integrando:
Cxh
p +=μ2ln m (2.18)
La constante de integración se calcula a partir de la condición de que la
tensión horizontal es nula en ambos extremos, donde x = ± b/2. Así, para x = b/2,
hb
kecμ
+− = 2 (2.18)
Y a la derecha de la línea del centro x=0, la constante de integración tendrá el
mismo valor. Así, a medida que nos acercamos a la línea del centro, la presión se
incrementa exponencialmente desde el valor p=2k para ambos extremos. El valor
máximo, en el centro, es
hb
máx ekp μ
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
2 (2.19)
Hay que resaltar las siguientes consideraciones restrictivas adicionales al
desarrollo teórico del método expuesto. Por una parte, los resultados obtenidos, son
válidos, lógicamente, para las hipótesis de partida que se han reseñado, una de las
cuales es la de existencia de un rozamiento débil entre pieza y plataforma; hipótesis
Teorema del Límite Superior. Evolución y Desarrollo. Capítulo 2
39
que, por lo tanto, acota considerablemente la validez del método. La solución
aportada no considera , por tanto, el establecimiento de rozamiento por adherencia.
También se considera constante, en todo el proceso, el valor de la tensión de
fluencia del material, lo cual se obtiene solo para las forjas en caliente.
2.5.3. Método del campo de líneas de deslizamiento
Por desgracia no hay ningún método para calcular el trabajo adicional en
todas las aplicaciones comprendidas por el cálculo de las tensiones del modelo
anterior. Sin embargo, para las condiciones especiales de la deformación plana,
existe un método conocido como análisis del campo de las líneas de deslizamiento
que tiene una estrecha concordancia con la experiencia.
Aunque matemáticamente riguroso, este método depende del diseño de un
campo inicial basado en la experiencia. La deformación plana supone que no existe
ninguna deformación en una dirección (εz=0); todo alargamiento o contracción tiene
lugar en planos (X0Y) perpendiculares a esta dirección y es el mismo en todos estos
planos y, por lo tanto, puede ser representado en un diagrama de dos dimensiones.
En la deformación plana, toda la deformación es debida a un cizallamiento
puro y se supone que está producida por esfuerzos cortantes puros. Un campo de
líneas de deslizamiento es un diagrama vectorial de dos dimensiones que
representa las direcciones de los esfuerzos cortantes máximos, identificados con las
direcciones de deslizamiento, para cualquier punto [García, 1979]. En lugar de tratar
con desplazamientos incrementales, se trabaja con velocidades, obtenidas
dividiendo aquellos por el incremento de tiempo que puede considerarse un
parámetro y que no afecta al resultado, debido a la hipótesis de no considerar el
efecto del tiempo [Sánchez, 1999].
Siempre existen estas dos direcciones, puesto que, como ya dijimos
anteriormente, un esfuerzo cortante va siempre acompañado por un esfuerzo
cortante complementario a 90º. Así, por ejemplo, si un cubo de hormigón se
Francisco de Sales Martín Fernández
40
comprime hasta su rotura, cizallará a lo largo de sus diagonales, formando dos
pirámides.
El campo de líneas de deslizamiento es siempre una red de líneas que se
cruzan unas con otras en ángulo recto. Se construye mediante un proceso de tanteo,
basado en una experiencia anterior, comenzando con un conocimiento de las
condiciones de equilibrio en los contornos del campo, y debe satisfacer las
condiciones de continuidad y de velocidad dentro del metal que se deforma. Debido
a que la deformación se debe a un esfuerzo cortante puro, en el instante de la
deformación plástica, la tensión cortante a lo largo de la línea de deslizamiento tiene,
en cualquier lugar, un valor k igual a la carga de deformación permanente medida en
un ensayo de cizalladura pura.
El sistema de tensión en cualquier punto de la zona de deformación plástica
se puede considerar como una combinación de estas tensiones con una presión
hidrostática –p que no modifica la carga de deformación plástica. En efecto, las
tensiones principales σ1 y σ3 tienen los valores –(p + k) y –(p - k), respectivamente, y
actúan a 45º con las direcciones de los esfuerzos cortantes máximos que vienen
dadas por las direcciones de las líneas de deslizamiento. Por lo tanto, si se puede
determinar p, se podrán calcular las magnitudes y las direcciones de ambas
tensiones principales, a partir del campo de líneas de deslizamiento y de un
conocimiento de la carga de deformación permanente.
Considerando las condiciones de equilibrio y mediante la aplicación del círculo
de Mohr, se demuestra que el cambio de p entre dos puntos está directamente
relacionado con el ángulo de las tangentes a las líneas de deslizamiento en estos
puntos. En el ejemplo de compresión simple, las líneas de deslizamiento eran rectas,
y para esta condición la presión hidrostática es siempre constante. Para la mayoría
de las operaciones, el campo es más complejo y comprende líneas de curvatura
constante o variable. En este caso, el procedimiento para determinar la variación de
la tensión de un campo de líneas de deslizamiento dado, es establecer un punto de
partida en una zona del contorno del campo donde la magnitud de la presión
hidrostática se determine con facilidad; por ejemplo, mediante la condición de que
Teorema del Límite Superior. Evolución y Desarrollo. Capítulo 2
41
ninguna red de tensiones normales o tangenciales actúe sobre una superficie libre. A
continuación se determina con la ayuda del diagrama, la rotación de una línea de
deslizamiento desde este punto a otro sobre la cara de la herramienta dando aquél
el valor de p y de aquí los valores de σ1 y de σ3 en dicha cara.
Los valores de tensión que se encuentran por este método son, a veces,
mayores que dos veces los que se pueden calcular suponiendo una deformación
homogénea, pero las soluciones del campo de líneas de deslizamiento se ha visto
que siempre concuerdan bien con los experimentos efectuados para comprobarlos.
Su desventaja, aparte de la relativa complejidad en algunos casos, es que están
restringidos a la deformación plana, que raramente se presenta en los procesos de
conformado de metales.
Figura 2.4 Campo de líneas de deslizamiento
El cálculo elemental dado anteriormente indica el modo de poder utilizar el
conocimiento de las direcciones de los esfuerzos cortantes máximos junto con la
magnitud de las tensiones de fluencia debidas al esfuerzo cortante, para determinar
la carga de trabajo, que es el fundamento de las soluciones del campo de líneas de
deslizamiento. El diagrama del campo de líneas de deslizamiento se puede
considerar como un mapa, que muestra las direcciones de los esfuerzos cortantes
máximos en un punto cualquiera del cuerpo que se deforma. La figura 2.4 nos
muestra un campo de líneas de deslizamiento muy sencillo. Puesto que el esfuerzo
cortante debe ir siempre acompañado por un esfuerzo cortante complementario de
4545
Francisco de Sales Martín Fernández
42
igual magnitud y de sentido opuesto, para conservar el equilibrio rotacional, habrá
siempre dos direcciones de esfuerzos cortantes máximos mutuamente
perpendiculares en cada punto. En consecuencia, un mapa general que represente
estas direcciones consta de dos series de líneas mutuamente ortogonales.
En el ejemplo más sencillo, estas líneas serán todas rectas y formarán un
sistema cartesiano [Johnson, 1978]. Sin embargo, las líneas no tienen que ser
necesariamente rectas, y con frecuencia se utiliza un sistema de líneas radiales y de
círculos concéntricos que se asemeja a un sistema de coordenadas polares, como
se puede ver en la figura 4. Otros sistemas utilizan redes ortogonales en las cuales
las líneas de ambas series están curvadas.
El espaciado de las líneas se puede elegir libremente. En regiones rectas
carece de importancia. Cuando las líneas están curvadas, se obtiene una mayor
exactitud dibujando líneas con una separación angular pequeña. Los intervalos de 5º
dan normalmente toda la exactitud que se necesita en la práctica y con frecuencia se
pueden utilizar redes de 15º de intervalo angular.
Figura 2.5 Campo de líneas de deslizamiento con curvatura
En el sencillo ejemplo de compresión dado anteriormente, las tensiones se
pueden calcular directamente en función de los esfuerzos cortantes.
Las soluciones del campo de las líneas de deslizamiento siempre se refieren
a la deformación plana, y para esta condición, las tensiones principales para un
material incompresible e idealmente plástico están relacionadas mediante la
expresión:
Teorema del Límite Superior. Evolución y Desarrollo. Capítulo 2
43
2)( 1 III
II
σσσ
+= (2.20)
El círculo de tensiones de Mohr para las condiciones de deformación plana se
puede dibujar con un radio dado por
2)( IIII
máx
σστ
−= (2.21)
y con centro en σII. Puesto que el material es incompresible, la deformación
plana con εII=0 implica que dεIII = -dεI y la deformación debe ser por lo tanto, una
deformación pura debida al esfuerzo cortante. Se supone que ésta se produce por
una tensión de esfuerzo cortante pura. En consecuencia, la deformación permanente
tendrá lugar, como en cualquier proceso producido por un esfuerzo cortante puro,
cuando la tensión de esfuerzo cortante máxima alcance el valor k. No es necesario
usar ningún criterio de deformación, ya que k es justo el resultado de un ensayo de
esfuerzo cortante puro.
Así, el radio τmáx del círculo de tensiones de Mohr para la deformación plástica
plana es igual a k, y las tensiones principales son:
kk IIIIIIII +=−= σσσσ , (2.22)
Esta expresión puede venir dada en función de la presión hidrostática –p,
igual a σII :
kppkp IIIIII +−=−=−−= σσσ ,, (2.23)
Se sabe que la presión hidrostática no afecta a la deformación permanente. El
sistema completo de tensiones en deformación plana es, por lo tanto, un esfuerzo
cortante puro con una presión hidrostática superpuesta (es necesario considerar
únicamente el círculo principal de tensiones, ya que estamos interesados solamente
en el plano perpendicular a la dirección de la tensión principal intermedia σII).
Francisco de Sales Martín Fernández
44
Así, en la deformación plástica plana, k es siempre constante, para un metal
que no se endurece por acritud, pero p puede variar. El sistema de tensiones para
cualquier punto se puede determinar completamente si podemos encontrar la
magnitud de p y la dirección de k. Las líneas de deslizamiento nos indican
inmediatamente las direcciones de k para cualquier punto. Los cambios en p se
pueden deducir de la rotación angular de las líneas de deslizamiento entre un punto
y otro del campo, y la magnitud absoluta de p se calcula partiendo de algún punto
del entorno donde se conoce p0 a partir de las condiciones externas.
Para cualquier punto en un cuerpo que se deforma habrá dos direcciones de
tensiones mutuamente perpendiculares de esfuerzo cortante máximo, representados
mediante líneas de deslizamiento. Por convenio, se designan a estas líneas α y β de
tal manera que, si se consideran como un par de ejes de referencia a derechas
(como X e Y), la línea de acción de la tensión principal algebraicamente mayor se
halla en el primer (y tercer) cuadrante. Debe advertirse que las líneas α y β pueden
ser líneas curvas y que la tensión de valor numérico mayor no necesita ser la mayor
algebraicamente. Frecuentemente sucede que la tensión de mayor magnitud es de
compresión, y por lo tanto negativa, mientras que la tensión algebraicamente mayor
es en realidad cero.
Las ecuaciones de Hencky, obtenidas a partir de las premisas establecidas en
el párrafo anterior, permiten determinar la presión hidrostática para cualquier punto
del cuerpo que se deforma a partir de la curvatura de las líneas de deslizamiento,
siempre que el valor de la constante sea conocido. Esta se calcula a partir de las
condiciones de equilibrio en uno de los límites. Estas condiciones, como con la
teoría de la deformación homogénea, se aplican bajo la situación de deformación
plana.
2.5.4. Teoremas del límite
Las soluciones analíticas exactas para los procesos de deformación plástica y
sus operaciones son extremadamente difíciles de obtener, y, por lo tanto en la
Teorema del Límite Superior. Evolución y Desarrollo. Capítulo 2
45
actualidad la asunción de aproximaciones y simplificaciones son inevitables. Los
análisis límite son una alternativa analítica que está recibiendo una aceptación cada
vez mayor y están siendo utilizadas con un incremento notable en su uso.
Por lo tanto, el valor real estará presente entre los dos límites. Sin embargo,
no es extraño que aparezcan a veces discrepancias entre los resultados y que el
valor real no se encuentre entre estos dos límites, esto puede ser debido a entre
otras las siguientes razones:
1. Errores experimentales.
2. Los materiales reales no siguen el comportamiento de los definidos por
von Mises para los que se asumen las soluciones mediante límites.
3. La simplificación en la influencia del rozamiento del cual no se conoce una
completa formulación del problema.
La menor diferencia entre los dos límites se establecerá escogiendo el menor
de los límites superiores y el mayor de los inferiores de entre las diferentes
soluciones obtenidas.
Para muchas de las operaciones del conformado de metales no se han
encontrado las soluciones exactas. Siguiendo las orientaciones de Avitzur [Avitzur,
1980], se han desarrollado métodos, que permiten determinar los valores de la carga
que están por encima y por debajo del valor buscado. La carga real estará entre
estos límites superior e inferior, pero para fines de proyecto o de operación es más
importante conocer el valor por exceso, ya que éste asegurará que la operación
práctica se pueda realizar mediante la carga calculada. Este método tiene grandes
ventajas para la determinación de soluciones particulares. En el presente trabajo se
desarrollará con mayor extensión este método debido a la importancia que nos
ofrece para posteriores estudios siguiendo esta línea de investigación.
Francisco de Sales Martín Fernández
46
De estos métodos, resulta de mayor utilidad en la evaluación de la tensión de
trabajo en los procesos de deformación plástica de los metales, el del límite superior,
por ser su aplicación parecida, pero menos laboriosa, que la del campo de líneas de
deslizamiento. Además, es más interesante porque a la hora de diseñar equipos y
en estudios de carácter predictivo, resulta de gran utilidad el establecimiento de una
acotación superior más o menos precisa de la energía y de las tensiones de trabajo
del proceso.
Las soluciones del límite inferior son aquellas que nos garantizan un valor
para la energía total más baja o igual al valor real en cada caso. Cuando la
combinamos con la correspondiente solución por el límite superior, nos proveen de
un sistema de análisis límite donde el valor real está contenido entre ambos valores
límite. La solución del límite inferior es usualmente más difícil de obtener y por lo
tanto se han desarrollado nuevos métodos para calcularla.
2.5.4.1 Teorema del Límite Inferior
La idea de un límite inferior va asociada con el principio de trabajo máximo. La
distorsión causada por la aplicación de la tensión es tal que provocará una
disipación máxima de energía. Considerado de otra manera, el sistema tiende a
alcanzar el estado de energía mínimo compatible con las condiciones de equilibrio y
de deformación plástica.
En consecuencia, cualquier otro sistema de tensiones estáticamente
admisible producirá un incremento de trabajo, que como máximo será igual al
producido por el sistema real, y probablemente más pequeño. Así, cualquier sistema
que se obtenga a partir de las condiciones del equilibrio de las tensiones será o
suficiente o demasiado pequeño, como para llevar a cabo la operación. Esto nos
proporcionará un límite inferior.
Cuando aplicamos el límite superior, el primer paso de la investigación es
concebir un campo de velocidad para el cuerpo bajo deformación. Este campo es
vectorial y puede ser fácilmente imaginable y observable a partir de nuestras
Teorema del Límite Superior. Evolución y Desarrollo. Capítulo 2
47
experiencias. En la solución del límite inferior, sin embargo, el primer paso es la
formulación de un tensor de esfuerzos, que es más difícil de considerar y en la
experiencia real solo es posible medir de forma indirecta.
Las condiciones que necesariamente han de satisfacerse son las de
equilibrio, constancia de volumen, relaciones de esfuerzos-deformaciones, criterio de
fluencia y condiciones de contorno. Para una solución mediante límite inferior los
requerimientos no son tan exigentes y las siguientes condiciones no han de
cumplirse de forma estricta.
a) No es necesario mantener la compatibilidad
b) No es necesario satisfacer las relaciones esfuerzos-deformaciones
c) Las condiciones de contorno no tienen que ser satisfechas
Así pues, las ecuaciones de equilibrio, el criterio de fluencia y las condiciones
de contorno estáticas son los únicos requerimientos que deben ser satisfechos.
Incluso estos, en un sentido estricto, son difíciles de obtener.
Como presentaron Prager y Hodge [Prager, 1959], el teorema del límite
inferior establece lo siguiente: “De entre todos los campos de esfuerzos
estáticamente admisibles el real es aquel que maximiza la expresión”:
∫=SV ii dSVTW& (2.24)
donde W es la energía ejercida por la herramienta sobre las superficies en las
que la velocidad está definida, Ti son las componentes de tracción sobre las
superficies en las que la velocidad está definida (superficie de contacto herramienta-
pieza), y Vi es la velocidad de la herramienta. La energía real del proceso, W, nunca
será inferior a las que presenta el límite inferior.
Francisco de Sales Martín Fernández
48
La energía en el límite superior es la suma de un determinado número de
componentes individuales. Así, incluso cuando la expresión de W pueda ser en
algunos casos muy extensa, el cálculo puede simplificarse tomando los términos de
forma independiente. La expresión del límite inferior, sin embargo, no puede ser
estudiada de forma separada. Por ejemplo, el rozamiento es todavía considerado,
pero sus efectos están íntimamente ligados con la energía interna y una simple
expresión del límite inferior puede llegar a ser tan compleja que la evaluación
numérica y la representación gráfica debe ser estudiada de forma aislada para cada
efecto ó comparando diversas soluciones.
2.5.4.2 Teorema del Límite Superior
El estudio de los límites superiores implica el conocimiento de las condiciones
que se han de cumplir mediante los incrementos de deformación en un cuerpo
totalmente plástico y no se ocupa del equilibrio de las tensiones.
Aquí, el factor crítico es que el volumen plástico no debe cambiar, que el
material es incompresible. En este criterio se utiliza también el principio de trabajo
máximo; pero, desde el punto de vista de la deformación, un elemento se deforma
de tal manera que ofrece una resistencia máxima. Si, por lo tanto, deducimos el
sistema de tensiones a partir de cualquier deformación supuesta, que esté de
acuerdo con las condiciones cinéticas, el valor será mayor o igual al que realmente
opera.
El límite superior es, entre los teoremas del límite, el más valioso en el
conformado de metales, ya que proporciona un valor para la carga de trabajo que
es, por lo menos, suficiente para llevar a cabo la operación. En los problemas de
deformación plana, las soluciones se pueden obtener de una manera totalmente
gráfica.
Johnson y sus colaboradores han aplicado ampliamente unos métodos que
son más sencillos que la técnica del campo de líneas de deslizamiento y se pueden
aplicar a diversos problemas del conformado de metales para obtener estimaciones
Teorema del Límite Superior. Evolución y Desarrollo. Capítulo 2
49
de las cargas de trabajo. Este procedimiento consiste en determinar el límite inferior,
o sea, la carga que es demasiado pequeña para deformar el metal, y también en
determinar el límite superior, o sea, la carga demasiado elevada. La carga real debe
entonces estar entre estos dos límites, y la habilidad en la aplicación del método
descansa en la elección de los modelos de deformación que hacen que esta
diferencia sea lo más pequeña posible.
En cierto sentido, las soluciones del campo de líneas de deslizamiento son
soluciones de límite superior (por exceso), ya que se basan en el flujo o
deslizamiento del metal dentro de la pieza. Sin embargo, para los límites superiores
de la carga no es necesario utilizar el desarrollo total de los campos de líneas de
deslizamiento. Se puede obtener una aproximación dividiendo la zona plástica en
áreas cuyos lados están formados por líneas rectas, ignorando la ortogonalidad de la
red formada. Entonces se supone que todos los elementos del metal dentro de una
de estas áreas se mueven juntos sin cizalladura, y que esta está localizada en los
bordes entre las áreas.
Con frecuencia la solución del campo de líneas de deslizamiento se puede
usar como una guía para elegir el tipo de división más conveniente. A continuación
se dibuja el diagrama de velocidad correspondiente [Brayden, 1991], para
representar la velocidad en cualquier punto de la zona plástica. Con estos dos
diagramas se puede determinar la velocidad de deformación de la pieza por
cizalladura para la configuración de la deformación postulada.
La fuerza cortante para cualquier línea de deslizamiento es el producto de su
longitud s y de la tensión de deformación plástica por cizalladura, k. La distancia que
se mueve en la unidad de tiempo es el producto (k⋅ u⋅ s). La configuración que dé el
valor más bajo de la suma de estos productos para todas las líneas de
deslizamiento, esto es, aquella que requiera la relación de trabajo menor, es la
solución más probable. El valor más pequeño elegido se iguala a una expresión de
la velocidad, a la cual la fuerza externa realiza el trabajo. De esta sencilla ecuación
se deduce la carga necesaria. Por lo tanto, si se prueban distintas configuraciones,
Francisco de Sales Martín Fernández
50
los valores de las tensiones exteriores más próximos a los verdaderos serán los de
la configuración que da lugar a los valores más reducidos.
El análisis límite es una alternativa ante la ausencia de soluciones exactas. En
el límite superior, las condiciones de equilibrio, las relaciones esfuerzo-deformación
y las condiciones de contorno de los esfuerzos son las que no son cumplidas
estrictamente, mientras que la fuerza total aplicada sobre la superficie de
deformación sí es la única que ha de mantenerse de forma estricta.
Incluso con simplificaciones, sólo aquellos procesos con geometrías
simétricas que pueden ser reducidas a casos bidimensionales, es decir casos de
deformación plana, son los candidatos idóneos a estudiar mediante análisis límite.
En cualquier caso, el investigador debe tener mucha precaución en asegurar que su
solución es suficientemente cercana a la realidad.
Aunque el origen del análisis límite se remonta a Galileo [Galilei, 1638], los
teoremas básicos no fueron desarrollados hasta muy recientemente mediante los
resultados obtenidos, de forma independiente por Gtvozdev [Gtvozdev, 1938], Hill
[Hill, 1951] y Drucker [Drucker, 1951]. Una definición del teorema del límite superior
debida a Prager y Hodge [Prager, 1959] es la siguiente: “Entre todos los campos de
deformaciones cinemáticamente admisibles, la solución real es aquella que minimiza
la siguiente expresión”
∫∫ −=St iiV ijij dSVTdVkW )(**2 εε &&& (2.25)
W es la energía calculada por el límite superior. El primer término de la
derecha corresponde a la energía interna de deformación, y el segundo es la
energía necesaria para superar a los esfuerzos externos, Ti oponiéndose al proceso
de deformación. En este análisis se asume que el material es de tipo von Mises, así
utilizando el ensayo de tensión uniaxial (σ0) tendremos:
30σ
=k y la ecuación del límite superior será:
Teorema del Límite Superior. Evolución y Desarrollo. Capítulo 2
51
∫∫ −=St iiV ijij dSVTdVW )
21(
32
0 εεσ &&& (2.26)
En aplicaciones de conformado de metales, incluimos el concepto de
superficies de discontinuidades de velocidad, esta incorporación, presentada por
Drucker [Drucker, 1951] modifica la expresión a:
∫∫∫ −Δ+=St iiSvV ijij dSVTdSvdVW τεε
σ)
21(
32 0 &&& (2.27)
Las fuerzas de inercia pueden ser incorporadas sumando un término adicional
dSVg
dSVTdSvdVWSN iSt iiSvV ijji
30
21)
21(
32
∫∫∫∫ +−Δ+= &&&& ρτεεσ
(2.28)
donde
ρ = densidad del material
g = aceleración gravitatoria
Vi = velocidad del centro de masas del cuerpo
SN = área perpendicular a la dirección del flujo del material
Cuando ocurre la deformación plástica, la superficie exterior de la pieza
cambia de forma. Un cambio de la superficie de contacto pieza-herramienta viene
asociado con un cambio en la energía de la pieza o con la energía necesaria para
producir ese cambio.
En general, el análisis energético es evaluado mediante el establecimiento de
campos de velocidades cinemáticamente admisibles y a partir de ellos, calculando la
energía interna de deformación Wi, la energía debida al rozamiento Ws, la energía
debida a las fuerzas externas Wb, debidas a las fuerzas de inercia Wk, así como
otras que no son usualmente consideradas (energía por creación de nuevas
superficies, etc.).
Francisco de Sales Martín Fernández
52
kbSi WWWWW &&&&& +++= (2.29)
donde:
dViWV ijij∫= )
21(
32 0 εεσ
&&& (2.30)
dSvWSvS ∫ Δ= τ& (2.31)
∫=St iib dSVTW& (2.32)
dSVg
WSN ik
3
21
∫= && ρ (2.33)
De todos estos términos, los dos primeros son por definición siempre
positivos. El resto pueden ser positivos cuando se sumen a la energía necesaria, y
negativos cuando cedan energía.
Ocasionalmente, la geometría del proceso es tal que no es posible trabajar
con una simple ecuación matemática. Cuando esto ocurre, una poderosa
herramienta consiste en dividir el dominio de la pieza en un número de campos
separados por superficies de contorno comunes. El más común de las superficies de
discontinuidad adoptadas es la debida a la dirección de los esfuerzos cortantes tal y
como se describe en la figura 2.6, figura que corresponde al hodógrafo de la división
de bloques de la figura 2.7.
Teorema del Límite Superior. Evolución y Desarrollo. Capítulo 2
53
Figura 2.6. Hodógrafo de las superficies de discontinuidad.
Figura 2.7 División en zonas de pieza prismática.
Las superficies descritas implican que, tal y como se muestra en la figura 2.7,
el deslizamiento ocurre entre la región de BRT1 y BRT2, BRT2 y BRT3, así como
entre BRT3 y BRT4. La división en zonas es utilizada a menudo debido a su
simplicidad. Puede observarse un ejemplo en la citada figura para un cuarto de pieza
prismática de ancho igual a b1, y de altura (espesor) igual a h1. El cuarto de pieza en
estudio está dividido en cuatro zonas de comportamiento rígido, delimitados por
superficies de discontinuidad de velocidades V12, V23, y V34. Todos los bloques se
desplazan virtualmente como cuerpos rígidos.
Los trabajos pioneros en esta área fueron presentados por Tarnovski
[Tarnovski, 1959], Hill [Hill, 1951] y Johnson [Johnson,1959] siendo extensamente
desarrollado por Kudo [Kudo, 1960]. Más recientemente, numerosos estudios han
V1=0
V23 Vv
V12
V3
V2
V34
V4
b1
h2 h1
x1
B
Vv
BRT1
BRT2
BRT3
A C
E
D
θ1
BRT4
θ2
x2
F
α
Francisco de Sales Martín Fernández
54
adoptado y ampliado el uso del análisis límite al conformado de metales [González,
2007]. La lubricación hidrodinámica fue estudiada por Bedi y Hillier [Bedi et al.,
1967], y la fractura, los efectos de inercia y los efectos de la temperatura por Avitzur
[Avitzur, 1968], [Avitzur, 1974].
El término de la energía por rozamiento (Ws) está presente siempre que
exista una velocidad relativa entre dos sólidos, aparece pues, una resistencia a este
movimiento. La dirección del movimiento relativo no afecta a los resultados donde la
energía para superar el rozamiento es energía disipada y positiva.
∫ Δ=Ss dSVW τ& (2.34)
La aplicación del Teorema del Límite Superior permite discriminar la
incorporación de cada una de las tres componentes de la energía presentes en el
proceso de forja. Estas incorporaciones se efectúan sobre un campo de velocidades
virtual con un nivel de complejidad muy reducido respecto al que presentaría un
campo de líneas de deslizamiento, y con la posibilidad, como se verá más adelante,
de introducir diferentes parámetros influyentes en el proceso de forjado, como
pueden ser la temperatura y la resistencia a la propia deformación.
CAPÍTULO 3
METODOLOGÍA DE APLICACIÓN DEL TEOREMA DEL LÍMITE SUPERIOR MEDIANTE EL MODELO DE BLOQUES RÍGIDOS TRIANGULARES
You say you got a real solution, Well, you know, We´d all love to see the plan*
J. Lennon Y P. McCartney
Dices que has conseguido una auténtica solución, bueno ya sabes, a todos nos gustaría ver el plan. *
Capítulo 3
METODOLOGÍA DE APLICACIÓN DEL TEOREMA DEL LÍMITE SUPERIOR MEDIANTE EL MODELO DE BLOQUES RÍGIDOS TRIANGULARES
3.1 Modelo de Bloques Rígidos Triangulares
En el presente trabajo, se ha considerado una particularización geométrico-
cinemática del Teorema del Limite Superior (TLS), conocido como modelo de
Bloques Rígidos Triangulares (BRT) [Vela, 1983] [Rubio, 2004a, 2004b] [Martín,
2007] que permite alcanzar soluciones bastante precisas y con gran capacidad de
análisis, de los principales factores que influyen en un proceso de conformado por
deformación plástica por compresión directa, como es la forja [Bargueño, 1988]
[Billigmann, 1979].
El PCDP elegido (Forja) está sometido a una serie de restricciones entre los que
puede destacarse la consideración de establecer condiciones de deformación plana
[Rubio, 2003], la compleja alternativa que presentan otros métodos analíticos, el
valor del coeficiente de rozamiento, así como el tipo de rozamiento considerado
(deslizamiento o adherencia) y la incorporación de otros factores de gran interés que
tradicionalmente no se incluyen en los modelos teóricos como son la temperatura de
trabajo y la resistencia a la propia deformación (acritud).
Francisco de Sales Martín Fernández
58
El establecimiento de un modelo geométrico-cinemático formado por bloques
rígidos permite considerar que el efecto de cizalladura que provoca la deformación
del material sucede, únicamente, en las superficies planas que lo delimitan, ya que
es a lo largo de dichas superficies en el lugar donde existen discontinuidades de
velocidad. El resto de los puntos que conforman cada bloque se mueven a la misma
velocidad y con la misma dirección [Arenas, 1994] [Martín, 2005a, 2005b].
El estudio se realiza mediante la aplicación del Teorema del Límite Superior bajo
la hipótesis de deformación plana y por lo tanto las superficies de discontinuidad que
delimitan los bloques, se convierten en líneas rectas en el estudio bidimensional.
Las superficies de discontinuidad de velocidad (líneas rectas) representan las
zonas en las que aparecen velocidades relativas entre bloques contiguos, por lo que
será en estas zonas, y en las que crean la interfase herramienta-pieza donde se
incorporará el rozamiento en forma de coeficiente, de valor variable y con diferente
consideración si es de adherencia o de deslizamiento.
Las principales razones que han llevado a la elección de este método son:
a) Proporciona una cota superior de la potencia necesaria para llevar a cabo un
determinado proceso de forja.
b) Posibilita la discriminación de las distintas componentes de la energía, así
como la valoración del rozamiento en términos tecnológicos.
c) Permite la optimización de la geometría del modelo seleccionado compatible
con los criterios cinemáticos.
d) Admite la incorporación de diferentes modelos de rozamiento.
e) Permite la incorporación de los efectos producidos por el endurecimiento del
material y de la temperatura.
Metodología de aplicación del TLS mediante el modelo de BRT. Capítulo 3
59
Con ello se puede disponer de capacidad de análisis suficiente para la toma de
decisiones tecnológicas tales como selección de equipos y materiales,
determinación de potencias, cálculo resistivo de matrices y de elementos
involucrados en el proceso.
Una vez elegido el método de análisis, se procede a mostrar el modelo
geométrico que se empleará en el desarrollo de esta Tesis.
3.1.1 Modelo geométrico
El citado modelo geométrico elegido se basa en el estudio de una cuarta parte de
la pieza a deformar [Martín, 2005a, 2005b], condicionado por la imposición de una
doble simetría geométrica en el plano, puesto que el análisis, se encuentra
restringido a piezas macizas, y como se ha indicado con anterioridad, para
deformación plana. [Yeh, 2005] [Feneshteh-Saniee, 2004] [Kwan, 2002] (Fig. 3.1).
Figura 3.1 Disposición de pieza entre placas planas paralelas
Debido a esta última condición, la deformación de la pieza en la dimensión
perpendicular a la de trabajo se considera despreciable, por lo que no se considera
la simetría existente en el tercer plano tridimensional. La pieza se dispondrá entre
Plano de simetría
Plano de simetríaMordaza superior
Mordaza
Pieza
Francisco de Sales Martín Fernández
60
matrices o mordazas formadas por placas planas paralelas (en adelante PPP) o
inclinadas (en adelante PPI), según sea el caso [Lippmann, 1960], y con el objetivo
de poder disponer perfiles de herramienta formado por combinación de ambos tipos
de superficie (combinación de PPP con PPI).
Por lo tanto, según la Fig. 3.2, las superficies 1-2 y 2-4 tendrán impedida la
deformación y por ende, desplazamiento alguno, perpendicular a ellas, quedando las
superficies 1-3 y 3-4 como superficies de fluencia libre del material de forma vertical
en el primer caso, y horizontalmente en el segundo.
Figura 3.2 Condiciones de contorno de un cuarto de pieza.
3.1.2 Formulación
De una forma teórica, y bajo condiciones generales, el Teorema del Límite
Superior (en adelante TLS) puede enunciarse como sigue:
El trabajo realizado por las fuerzas superficiales de tracción (compresión)
reales sobre un cuerpo rígido-plástico perfecto es menor o igual que el realizado por
las fuerzas superficiales de tracción (compresión) correspondientes a cualquier otro
campo de velocidades admisible cinemáticamente
Johnson [Johnson, 1951] sugirió que en el supuesto de deformación plana
[Kudo, 1961a] [Kudo, 1961b] [Bramley, 2001] [Kwan, 2002] y de que el cuerpo se
represente por bloques virtualmente rígidos de material, que se mueven unos sobre
V
1
2
3
4
Metodología de aplicación del TLS mediante el modelo de BRT. Capítulo 3
61
otros a lo largo de las líneas de discontinuidad del campo de velocidad, se obtiene
que la expresión general, tras diferentes simplificaciones, será:
[ ]∫ ∫≤Sv S
DviiD
dSvkdSvT ** (3.1)
Siendo:
Ti Fuerzas exteriores aplicadas sobre la pieza a deformar
vi Campo real de velocidades
Sv Superficies de aplicación de las cargas exteriores
k Límite de fluencia por tensión cortante del material
v*i Campo de velocidades virtual y cinemáticamente admisible
S*D Superficies de discontinuidad, aplicación del campo virtual de velocidades
Tal y como se ha considerado con anterioridad, es de destacar que el TLS es
especialmente apto en su aplicación en cuanto a su mayor simplicidad cuando se
cumplen las condiciones de deformación plana, es decir, cuando sólo se considera
fluencia del material en dos de las direcciones principales, manteniéndose con un
valor constante la tercera dimensión de la pieza en estudio.
Así pues, el material opone su máxima resistencia a la deformación cuando la
tensión cortante en los lados opuestos de cada bloque adquiere un valor igual al de
la tensión de fluencia a cortadura pura del material analizado (τ=k). Por tanto, el
valor de la potencia disipada debido a la energía interna no puede exceder del valor
k · s · v*, siendo s la longitud de línea de discontinuidad de la velocidad tangencial.
El valor del trabajo realizado por las fuerzas exteriores, por unidad de longitud
del eje z (eje perpendicular a la sección de material en estudio), es:
*vskdtdE
dtdW
⋅⋅=≤ (3.2)
Donde E representa la energía interna disipada por unidad de longitud.
Francisco de Sales Martín Fernández
62
Para un campo de velocidades formado por líneas rectas de discontinuidad de
la velocidad tangencial se tiene
∑ ⋅⋅≤ *vskdt
dW (3.3)
Si la línea de discontinuidad fuera curva la expresión quedaría como sigue:
∫ ⋅⋅=≤S
dsvkdtdS
dtdW * (3.4)
Extendiendo la integral a lo largo de la longitud s de discontinuidad, donde la
magnitud de la discontinuidad puede variar en cada punto.
Es normal suponer que la mejor estimación para el límite superior es una
configuración particular con un campo de velocidades que origina el menor valor a
dE/dt. Sin embargo, como el proceso de disipación de energía por deformación
plástica es no conservativo, el principio de mínimo trabajo puede no cumplirse. Por
tanto lo más aconsejable es elegir un modo de deformación que se aproxime al real,
aunque no proporcione el mínimo de dE/dt.
Debe recordarse que en el análisis teórico expuesto se han supuesto
inexistentes otros tipos de fuerzas, como las de inercia y gravitacionales [Bhutta,
2001], así como el efecto de endurecimiento por deformación [Kudo, 1960a] [Kudo,
1960b] [Kudo, 1960c], siendo por tanto válido solamente para un proceso
cuasiestático de deformación plana [Sanjani, 2006] de un material rígido-plástico
perfecto.
Se pretende por lo tanto, obtener una cota superior para la potencia requerida
en un proceso de forja [Oyekanmi, 1992], cota que garantiza la efectiva realización
de la deformación que se pretende establecer.
Metodología de aplicación del TLS mediante el modelo de BRT. Capítulo 3
63
Para el estudio del proceso hay que encontrar un campo de discontinuidades
de velocidad que sea compatible con las condiciones de velocidad impuestas y que
determine una energía de deformación lo más baja posible. Lo más usual, por su
sencillez y por la consideración de una fluencia de material lo más cercano a la
situación real, es considerar una subdivisión en bloques rígidos triangulares. Esta
subdivisión y su ulterior desarrollo forman la base de las diferentes combinaciones
en la aplicación de los BRT. El análisis, como se explica en capítulos posteriores) se
establecerá bajo dos enfoques distintos, modular y no modular, y a partir de un
número mínimo de tres BRT en adelante.
El número mínimo de tres bloques viene determinado por la necesidad de que
exista al menos una superficie de contacto pieza-herramienta en la que pueda
introducirse el coeficiente de rozamiento que forme parte de un bloque rígido que no
se encuentre alojado de forma contigua a la condición vertical de simetría. Números
mayores de bloques rígidos vendrán determinados por la relación geométrica
existente entre la altura y el ancho de la sección de pieza analizada (factor de
forma).
Tal y como se ha indicado en la introducción de la presente Tesis, los
estudios precedentes, en esta disciplina se habían desarrollado en deformación
plana por parte de Kudo [Kudo, 1960a] y Johnson [Johnson, 1951] entre otros,
creando un campo de deformación virtual del material formado por bloques rígidos
no en todos los casos estrictamente triangulares (en ciertas ocasiones los bloques
son cuadrangulares), pero manteniendo en lo posible una regularidad en cuanto a la
forma geométrica de cada uno de ellos, por lo que se restringe la posibilidad de
adecuar la configuración del bloque rígido al conjunto sometido a deformación. En la
presente Tesis se postula la alternativa de imponer configuraciones con un número
variable de BRT [Qin, 1994], e incluso de formas triangulares diferentes entre ellos,
optimizando el valor del límite buscado.
En una primera fase de desarrollo del objeto de esta Tesis, se optó por
establecer un campo de bloques rígidos, en todo caso triangulares, pero elaborando
una ecuación para resolver el problema atendiendo a un número variable de
Francisco de Sales Martín Fernández
64
bloques. A este fin se planteó un análisis para configuraciones geométricas con 3, 4,
y 5 BRT formando todo un conjunto, en el que la inclinación de las zonas de
discontinuidad de velocidad resultaba optimizada en función de la posición de los
vértices inferiores o superiores de los BRT contemplados.
Las primeras consideraciones, en cuanto a la fluencia natural del material,
condujeron a determinar una disposición inicial de BRT en la que el bloque triangular
inicial estaba formado en su sección (consideración de deformación plana, y por lo
tanto de ancho teórico infinito), por un triángulo rectángulo con vértice en la
superficie inferior (Fig. 3.3), teniendo siempre presente que la pieza a considerar en
el análisis está formada por un cuarto de la sección total debido a una doble simetría
(vertical y horizontal).
Esta disposición geométrica será denominada en adelante disposición
contraria puesto que, por consideraciones que se analizarán con posterioridad, se
contemplará una configuración geométrica diferente.
Por otra parte, en referencia a los estudios de otros autores ya mencionados,
la deformación en forja es considerada bajo placas planas, siempre paralelas. La
presente tesis aborda la aplicación del TLS mediante el modelo de BRT, aportando
diversos elementos innovadores, siendo éste uno de ellos, es decir, efectuando
análisis a su vez de matrices con las que aplicar la deformación formadas por placas
planas no paralelas, con un determinado ángulo de inclinación [Stahlberg, 1980].
Figura 3.3 Sección de la pieza sometida a análisis.
h1
x1
b1
B
BRT1
BRT2
BRT3
A
CE D
Metodología de aplicación del TLS mediante el modelo de BRT. Capítulo 3
65
Se ha supuesto que la zona sobre la que se aplica el análisis es de anchura b,
altura h1 y profundidad w, y que está dividida, en una primera aproximación, por tres
bloques triangulares formados a partir de dos superficies de discontinuidad que
convergen en un vértice situado sobre el plano horizontal a una distancia x1 del
punto E, situado este último en la confluencia de los dos planos (ejes, al ser
deformación plana) de simetría (Fig. 3.3).
La relación b/h1 será la que más adelante se denominará como factor de
forma. Se ha elegido h1 como la altura más reducida entre la placa de la herramienta
y el plano de simetría, puesto que en cualquier otro caso la herramienta superior
podría “tocar” a la inferior en determinados valores de los factores de forma
(dependiendo del ángulo de inclinación de las placas en su caso y del ancho de la
pieza).
Se analizará, para cada configuración de bloques en estudio, el gráfico de
velocidades correspondiente, es decir, el hodógrafo adecuado [Keife, 1984]. El
hodógrafo o gráfico de velocidades, constituye una herramienta eficaz para
visualizar las velocidades relativas existentes entre bloques rígidos y las zonas que
forman las condiciones de contorno, así como entre cada uno de ellos. Dado que se
asume que cada BRT representa una zona de velocidad constante, ésta quedaría
representada en el hodógrafo por un punto.
Figura 3.4 Campo de discontinuidad de velocidades.
h2
B Vv
BRT1
BRT2
BRT3
A
CE D
Φ1θ1
Francisco de Sales Martín Fernández
66
3.1.3 Construcción del hodógrafo
A continuación se expresan las diferentes fases de formación de un hodógrafo
genérico para un campo de velocidades dado. Así, para una configuración dada de 3
BRT sobre un cuarto de pieza como la que se expone en la figura 3.4. En primer
lugar, se parte de la velocidad de aplicación de la carga, en este caso vertical, que
actúa sobre la superficie que se opone a la deformación, es decir, la superficie A-B
(Fig. 3.4). El BRT1, contiguo a la condición de simetría vertical no tiene posibilidad
alguna de desplazamiento, por lo que su velocidad tendrá un valor nulo (Fig. 3.5 a)).
a) b) c)
Figura 3.5 Fases de creación del hodógrafo.
A continuación, se sitúa el vector que identifica en dirección (ángulo θ1) y
magnitud, la velocidad relativa existente entre el BRT1 y el BRT2 denotada por V12.
El vector que “cierra” el triángulo de velocidades representa la velocidad (en este
caso con una dirección horizontal) absoluta del BRT2. (Fig. 3.5 b)).
El hodógrafo final para esta configuración geométrica básica, resultará de
incorporar la velocidad relativa entre los BRT2 y BRT3 (V23) y dar un cierre para el
nuevo triedro formado, mediante la velocidad absoluta del BRT3 (V3). Con estas
últimas incorporaciones se habrá formado el hodógrafo completo teniendo presentes
todas las velocidades, tanto absolutas como relativas, que gobiernan el modelo de
bloques rígidos triangulares para la sección de material contemplada.
V1=0
Vv V1=0 θ1
Vv V12
V2
V1=0 θ1
Vv V12
V3
V2
Φ1
V23
Metodología de aplicación del TLS mediante el modelo de BRT. Capítulo 3
67
3.2 Metodología de aplicación del modelo de BRT
El desarrollo del modelo, desde el punto de vista metodológico, presenta dos
variantes sustancialmente diferentes. Por una parte se efectúa la aplicación del
método bajo el denominado enfoque No Modular, en el que los BRT que componen
la sección a estudiar forman un conjunto tal, que la ecuación que da solución al
problema planteado, lo hace de forma global incorporando todos y cada uno de los
BRT considerados, elevando en gran medida la complejidad de la ecuación citada,
aún más si cabe al considerar las placas con inclinación (PPI). Por otra parte, el
segundo enfoque, considerado ahora como Modular está formado por módulos
compuestos de 3 BRT cada uno. Las ecuaciones responden a los diferentes tipos de
módulo en dependencia directa de la posición relativa que ocupan (contiguo o no a
condición de simetría vertical), de la inclinación de las placas (PPP o PPI), del factor
de forma y de otros parámetros (rozamiento, temperatura, acritud, etc.).
Las diferentes fases del estudio realizado han sido resumidas en los
diagramas de flujo que se presentan en las figuras 3.7 y 3.8, presentándose estos
diagramas acompañados de dibujos que muestran la configuración concreta a la que
se refiere cada fase de análisis.
Como se ha indicado con antelación y se aplicará en capítulos posteriores, el
efecto del rozamiento, ya sea por deslizamiento o por adherencia, se introduce en el
análisis mediante la incorporación del coeficiente oportuno en las ecuaciones de
cálculo desarrolladas. Cabría la posibilidad de considerar el rozamiento en todas las
superficies susceptibles de estudio, sin embargo en aquellas que conforman las
condiciones de contorno derivadas de la hipótesis de doble simetría, se ha
establecido un coeficiente de valor nulo, puesto que no existe desplazamiento
relativo del material entre el cuarto de pieza en estudio y los adyacentes [Hartley,
1980], puede apreciarse como tanto a la izquierda como inferiormente en relación al
cuarto de sección analizado el material o no se desplaza (primer caso), o lo hace de
forma solidaria sin aparición de velocidad, y por lo tanto al no existir esta, el
rozamiento es inexistente (se comportaría como un solo bloque de material conjunto
a ambos lados de la simetría impuesta (Fig. 3.6).
Francisco de Sales Martín Fernández
68
Figura 3.6 Superficies sometidas a rozamiento.
Por otra parte, en las superficies de discontinuidad de velocidades (las
superficies que conforman la separación entre bloques) no es considerado
rozamiento alguno (como rozamiento externo), puesto que el rozamiento presente
no es otro que el interno, reflejándose en la distorsión que produce el flujo de
material en el interior de la pieza, el cual viene delimitado precisamente por la
orientación de las superficies de discontinuidad indicadas [Hsu, 2003] [Feneshteh-
Saniee, 2004] [Ebraimi, 2004].
El método propuesto implica que la herramienta mantiene un contacto
permanente y continuo con la pieza a deformar, no considerándose en el estudio los
transitorios de llenado incompleto de la matriz [Ranatunga, 2001] [Lee, 1997] [Hou,
1997].
3.3 Enfoques Modular y No Modular
En el diagrama de la figura 3.7 aparece la evolución del análisis efectuado
bajo enfoque No Modular. Así pues, se inicia el estudio del modelo de BRT para una
configuración de 3, 4 y 5 BRT considerando placas planas paralelas (PPP) y
rozamiento por adherencia, ampliando el estudio a placas planas inclinadas (PPI)
con igual tipo de rozamiento. La elevada complejidad de las ecuaciones derivada de
la incorporación del ángulo de inclinación de la matriz, obliga a restringir el análisis a
un conjunto de sólo 3 BRT para PPI.
hBRT1
BRT2
BRT3
hBRT1
BRT2
BRT3
hBRT1
BRT2
BRT3
hBRT1
BRT2
BRT3
Metodología de aplicación del TLS mediante el modelo de BRT. Capítulo 3
69
En la siguiente fase se analiza un perfil combinado por PPP y PPI, dando
lugar al problema geométrico-cinemático derivado de la aparición de bloques rígidos
no triangulares que teóricamente se aleja del flujo natural de material. Esta dificultad
ha sido solventada mediante la inversión geométrica de la disposición de los BRT.
Se reinicia con esta nueva configuración el análisis, en las mismas
condiciones tecnológicas iniciales, con rozamiento por adherencia y para PPP con 3,
4 y 5 BRT. Continúa el estudio, igual que en el caso anterior, para PPI y para
combinación de perfil PPP-PPI.
Una vez resuelto el caso, se introduce un nuevo tipo de rozamiento, de
deslizamiento para 3 BRT solamente y para PPP y PPI de forma independiente. La
consideración de sólo 3 BRT cuando se introduce el rozamiento por deslizamiento
proviene del diferente tratamiento matemático empleado. La dependencia del
rozamiento de la carga aplicada se implementa en su resolución mediante la
aplicación de un método matemático iterativo y esto conlleva un aumento de la
complejidad de las ecuaciones, teniendo presente que en la convergencia de las
iteraciones obtienen mínimos muy próximos para 3, 4 y 5 BRT lo que indica que la
elección de 3 BRT para el resto de los diferentes análisis no desvirtúa el valor de las
soluciones finales.
Francisco de Sales Martín Fernández
70
Figura 3.7 Diagrama de flujo con enfoque No Modular.
ENFOQUE NO
MODULAR
PLACAS PLANAS PARALELAS
3 BRT
4 BRT
5 BRT ROZ. POR ADHERENCIA
PLACAS PLANAS INCLINADAS (PPI) 3 BRT
ROZ. POR ADHERENCIACOMPLEJIDAD DE
ECUACIONES
COMBINACIÓN PPP-PPI
PROBLEMAS EN ELHODÓGRAFO
PPP NUEVA CONFIGURACIÓN
3 BRT
4 BRT
5 BRT ROZ. POR ADHERENCIA
PLACAS PLANAS INCLINADAS (PPI) 3 BRT
ROZ. POR ADHERENCIA
COMBINACIÓN PPP-PPI 5 BRT ROZ. ADHERENCIA
PLACAS PLANAS PARALELAS 3 BRT
ROZ. POR DESLIZAMIENTO
PLACAS PLANAS INCLINADAS (PPI) 3 BRT
ROZ. POR DESLIZAMIENTO
COMPLEJIDAD DE ECUACIONES
INTRODUCCIÓN DE ROZ. POR
DESLIZAMIENTO
Metodología de aplicación del TLS mediante el modelo de BRT. Capítulo 3
71
La figura 3.8 resume el proceso de análisis bajo enfoque Modular. Este nuevo
modo de tratamiento en la aplicación del modelo de BRT en la aplicación del
Teorema del Límite Superior surge como respuesta a las limitaciones presentes bajo
el enfoque explicado en párrafos anteriores.
La máxima limitación en la modelización anterior proviene de la insuficiente
respuesta que ofrece ante una situación tecnológica en la que la matriz que origina
la deformación tenga una superficie formada por placas planas pero con zonas de
diferente inclinación e incluso combinadas con placas paralelas en un número tal de
zonas que obliguen a la utilización de un número de BRT elevado (mayor de 5).
También presenta limitaciones en aquellos casos en los que pueda resolverse la
disposición de BRT con 3, 4 o 5, pero en los que el factor de forma sea tal que la
distorsión de los bloques sea muy elevada, lo que conlleva unos valores de la carga
mínima necesaria muy elevados y alejados del mínimo.
Establecido el nuevo enfoque, en el que se divide la pieza a analizar en
módulos, estos estarán formados por tres BRT cada uno de ellos, y por lo tanto la
optimización proviene de la división de la pieza en el número necesario de módulos.
La posición relativa del módulo es un factor fundamental en el
comportamiento del mismo, por lo que hay que determinar si este es contiguo a la
superficie de simetría vertical y que será denominado en adelante como sin módulo
previo, y aquellos que tienen un módulo adyacente previo siguiendo el sentido de la
fluencia del material, y que se definirán como módulos con módulo previo.
Se inicia el análisis para módulos de 3 BRT con rozamiento por adherencia.
Para PPP y en las dos opciones (con módulo previo y sin módulo previo).
Posteriormente se amplia el mismo estudio para PPI y combinación de dos módulos
con superficies PPP y PPI de forma simultánea.
Se incorporan otros parámetros tecnológicos como la temperatura y la acritud
mediante la variación del valor de la tensión de fluencia a cortadura pura del material
Francisco de Sales Martín Fernández
72
en diferentes casos de PPP y PPI y con rozamiento tanto por adherencia como de
deslizamiento.
Por último, la velocidad de salida y entrada de material en cada módulo, que
sirve de nexo de unión en la influencia de la acción existente entre ellos es extraída
de la ecuación general para, de forma independiente poder ser incluida de una forma
simple en una solución general sin limitación en el número de módulos empleado.
Metodología de aplicación del TLS mediante el modelo de BRT. Capítulo 3
73
Figura 3.8 Diagrama de flujo con enfoque Modular.
ENFOQUE MODULAR
PLACAS PLANAS PARALELAS (PPP)
3 BRT sin módulo previo
ROZ. POR ADHERENCIA
PLACAS PLANAS INCLINADAS (PPI) ROZ. POR ADHERENCIA
COMBINACIÓN PPP-PPI 2 Módulos
OTROS CASOS TECNOLÓGICOS
ROZ. ADHERENCIA
3 BRT con módulo previo
3 BRT sin módulo previo
3 BRT con módulo previo
3 BRT sin módulo previo
ROZ. DESLIZAMIENTO
3 BRT sin módulo previo
PLACAS PLANAS INCLINADAS (PPI)
SOLUCIÓN GENERAL CON VELOCIDAD DE ENTRADA INDEPENDIENTE
ENDURECIMIENTO DEL MATERIAL
TEMPERATURA DEL MATERIAL
ROZ. ADHERENCIA ROZ. DESLIZAMIENTO
PLACAS PLANAS INCLINADAS (PPI)
3 BRT con módulo previo
3 BRT con módulo previo
3 BRT sin módulo previo
ROZ. ADHERENCIA ROZ. DESLIZAMIENTO
b2
CAPÍTULO 4
METODOLOGÍA DE APLICACIÓN DEL TLS MEDIANTE EL MODELO DE BRT BAJO ENFOQUE NO MODULAR
Todavía no he visto un problema, por complicado que fuera, que, al examinarlo correctamente, no se volviera aún más complicado.
P. Anderson
Capítulo 4
METODOLOGÍA APLICADA DEL TLS MEDIANTE EL MODELO DE BRT BAJO ENFOQUE NO MODULAR
4.1 Enfoque no modular
Los estudios realizados hasta la fecha sobre la aplicación del teorema del
límite superior mediante el modelo de bloques rígidos triangulares abordan este
problema elaborando una serie de diferentes disposiciones geométricas de los
bloques empleados.
Estas disposiciones geométricas conforman una serie regular de bloques,
dependiendo su número de la relación existente entre el ancho y la altura de la pieza
en estudio, siendo, salvo ocasiones específicas, series regulares en las cuales los
bloques triangulares mantienen la misma forma.
La primera de las diferencias entre las aplicaciones previas del método,
registradas en la bibliografía clásica y la que se muestra en la presente tesis, radica
en la intención de obtener una optimización en la disposición geométrica de los
Francisco de Sales Martín Fernández
78
bloques empleados, dependiendo de las condiciones de deformación (rozamiento,
endurecimiento del material ó temperatura [Moller, 2004], entre otras).
Por este motivo, se inicia el presente trabajo mediante el análisis de un cuarto
de pieza (doble simetría) en un proceso de forja bajo la consideración de
deformación plana, a partir de un elemento prismático limitado en su superficie
superior por una herramienta en forma de matriz compuesta de placa plana paralela.
4.2 Placas Planas Paralelas con disposición inicial y rozamiento por adherencia
4.2.1 Tres Bloques Rígidos Triangulares
El enfoque tradicional se denominará en adelante “no modular”, a diferencia
del planteado en ulteriores apartados y que seguirán una diferente filosofía de
aplicación.
Figura 4.1 Configuración geométrica contraria para 3 BRT en PPP.
El hodógrafo, ó gráfico de velocidades, para esta configuración será (Fig. 4.2):
Figura 4.2 Hodógrafo para 3 BRT en configuración PPP con disposición contraria.
h1
xb1
B Vv
BRT1
BRT2
BRT3
A
CE D
h2
Φθ1
V1=0 θ1
V23 Vv V12
V3
V2
Metodología de aplicación del TLS mediante el modelo de BRT bajo enfoque No Modular. Capítulo 4
79
Aplicando el TLS mediante este modelo de BRT:
[ ]( ) ( ) ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡++−⋅+⋅⋅⋅⋅
=⋅+⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅==
11
1
11
1111
23123221
coscoscos φφθθφθω
ω
VvhVvsen
xxbtgtgVvmk
VBDvBEmvBCAEmvvABkWdt
dW &
(4.1)
Y como por trigonometría tenemos que:
( ) 2
1
2
1
1
1
1
1
1
2
1
2
1
1
12
1
2
1
1
1
1
1
1
cos;
;cos;;
hxb
hh
xbtg
hxh
hxx
senhx
tg
+−=
−=
+=
+==
φφ
θθθ
(4.2)
y además
( ) ( )=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ +−+−+
+++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+⋅⋅⋅⋅
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
2
1
2
1
1
2
1
2
11
1
1
1
111
hhxbVv
hhxbh
hhxVv
xhxx
hxb
hx
Vvmkω
(4.3)
Tendremos:
( ) ( )[ ]=+−+++−⋅⋅⋅⋅= 2
1
2
1
2
1
2
11
2
1
hxbhxbxbmh
Vvkω (4.4)
( )[ ] bVvPbxbhxbxbmh
Vvk ⋅⋅⋅=−+++−⋅⋅⋅⋅= ωω1
22
1
2
11
2
1
222 (4.5)
Derivando respecto a x1 e igualando a cero:
( ) ( )2
2042024 111
1
+⋅=⇒=++⋅−⇒=−+−=∂∂ mbxxmbbxbm
xW& (4.6)
Y así:
Francisco de Sales Martín Fernández
80
( )[ ]=−+++−⋅⋅= 1
22
1
2
11
2
1
2222
12
bxbhxbxbmbhk
P (4.7)
( ) ( ) ( )=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡ +−++⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ++⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−⋅⋅=
4222
1622
42
21 2
22
1
2222
1
mbbhmbmbbmbh
(4.8)
kPhmbmmb
bh 22
21
846
21 2
1
222
1
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅⋅= (4.9)
Si m=0; b=2; h1=1 entonces p/2k=1
Si m=1; b=2 ; h1=1 entonces p/2k=19/8=2,37
Pero nosotros tomamos x1=b/2
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⋅=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⋅−+++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅−⋅⋅= 2
1
22
1
22
1
22
1
2222
12
224
222
12
hbbmbh
bbbhbbbbmbhk
P
(4.10)
Si m=0; b=2; h1 =1 entonces p/2k=1
Si m=1; b=2 ; h1 =1 entonces p/2k=3/2=1,5
Figura 4.3 Evolución p/2k para 3 BRT en configuración PPP con disposición inicial.
Evolución 3 BRT no Modular contrario
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
0 1 2 3 4 5 6b/h
p/2k
m=0 m=0,05 m=0,1 m=0,2 m=0,4 m=0,6 m=0,8 m=1
Metodología de aplicación del TLS mediante el modelo de BRT bajo enfoque No Modular. Capítulo 4
81
En la Fig. 4.3 se aprecia la evolución para diferentes factores de forma, de la
configuración de 3 BRT con disposición contraria en función del factor de forma y
para valores del coeficiente de rozamiento por adherencia diferentes. En todos los
casos se presentan valores de p/2k superiores a la unidad (Tabla 4.1), valor que
representa la contribución de la deformación homogénea. Se indican en rojo los
valores mínimos de p/2k para cada coeficiente de rozamiento, de los que se deduce
el factor de forma óptimo en cada caso.
Tabla 4.1 Resultados de p/2k para 3 BRT en configuración PPP con disposición
inicial.
b/h m=0 m=0,05 m=0,1 m=0,2 m=0,4 m=0,6 m=0,8 m=10,20 5,05 5,05 5,05 5,06 5,07 5,08 5,09 5,100,40 2,60 2,61 2,61 2,61 2,64 2,66 2,68 2,700,60 1,82 1,82 1,82 1,83 1,88 1,91 1,94 1,970,80 1,45 1,46 1,46 1,47 1,53 1,57 1,61 1,651,00 1,25 1,26 1,26 1,28 1,35 1,40 1,45 1,501,20 1,13 1,15 1,15 1,16 1,25 1,31 1,37 1,431,40 1,06 1,08 1,08 1,10 1,20 1,27 1,34 1,411,60 1,03 1,05 1,05 1,07 1,19 1,27 1,35 1,431,80 1,01 1,03 1,03 1,05 1,19 1,28 1,37 1,462,00 1,00 1,03 1,03 1,05 1,20 1,30 1,40 1,502,20 1,00 1,03 1,03 1,06 1,22 1,33 1,44 1,552,40 1,02 1,05 1,05 1,08 1,26 1,38 1,50 1,622,60 1,03 1,07 1,07 1,10 1,29 1,42 1,55 1,682,80 1,06 1,09 1,09 1,13 1,34 1,48 1,62 1,763,00 1,08 1,12 1,12 1,16 1,38 1,53 1,68 1,833,20 1,11 1,15 1,15 1,19 1,43 1,59 1,75 1,913,40 1,14 1,19 1,19 1,23 1,48 1,65 1,82 1,993,60 1,18 1,22 1,22 1,27 1,54 1,72 1,90 2,083,80 1,21 1,26 1,26 1,31 1,59 1,78 1,97 2,164,00 1,25 1,30 1,30 1,35 1,65 1,85 2,05 2,254,20 1,29 1,34 1,34 1,39 1,71 1,92 2,13 2,344,40 1,33 1,38 1,38 1,44 1,77 1,99 2,21 2,434,60 1,37 1,42 1,42 1,48 1,83 2,06 2,29 2,524,80 1,41 1,47 1,47 1,53 1,89 2,13 2,37 2,615,00 1,45 1,51 1,51 1,58 1,95 2,20 2,45 2,705,20 1,49 1,56 1,56 1,62 2,01 2,27 2,53 2,795,40 1,54 1,60 1,60 1,67 2,08 2,35 2,62 2,895,60 1,58 1,65 1,65 1,72 2,14 2,42 2,70 2,985,80 1,62 1,69 1,69 1,77 2,20 2,49 2,78 3,076,00 1,67 1,74 1,74 1,82 2,27 2,57 2,87 3,17
Francisco de Sales Martín Fernández
82
Mediante la aplicación del TLS se obtienen lo que se denominarán “fotos fijas”
del límite establecido en una situación concreta del proceso de forja, por lo que si se
desea representar la evolución del proceso habrá de recurrirse a representar el
decremento de la altura de la pieza en estudio y, debido a la constancia de volumen,
el aumento del ancho del cuarto de pieza, como puede apreciarse en el esquema y
en la gráfica de las figuras 4.4 y 4.5.
Figura 4.4 Esquema de evolución del proceso de forja con 3 BRT inicial y PPP.
Figura 4.5 Evolución de valores de p/2k para 3 BRT inicial y PPP.
La línea negra gruesa indica en la gráfica de la figura 4.5 los valores que
adopta la relación p/2k en un proceso de forja, partiendo de un factor de forma de
b/h=0,5 hasta un factor de forma final de b/h=3.
4.2.2 Cuatro Bloques Rígidos Triangulares
De modo similar al caso anterior, pero ahora para 4 BRT (Fig. 4.6):
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4 5 6
P/2k m=0
Metodología de aplicación del TLS mediante el modelo de BRT bajo enfoque No Modular. Capítulo 4
83
Figura 4.6 Configuración geométrica contraria para 4 BRT en PPP.
Y el hodógrafo para esta configuración (Fig. 4.7):
Figura 4.7 Hodógrafo para 4 BRT en configuración PPP con disposición inicial.
Así pues, obtenemos de las disposiciones anteriores y aplicando el TLS:
[ ]BCmVECVBEVFBVmFEVkWt
W ⋅⋅+⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅⋅==∂
∂334321222ω& (4.11)
;cos
;1
34
1
21
φφVvV
senxxb
EC =−−
= (4.12)
;;cos 23
2
αα senVvV
xBE == (4.13)
;cos
;1
12
1
1
θθVvV
senx
FB == (4.14)
V1=0 θ1
V23 Vv V12
V3
V2
V34
V4
b1
h2 h1
x1
B
Vv
BRT1
BRT2
BRT3
A C
E
D
θ1
BRT4
θ2
x2
F α
Francisco de Sales Martín Fernández
84
;1; 131 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⋅=−=
αθ
tgtgVvVxbBC (4.15)
Y por lo tanto:
( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⋅−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⋅+
−−++⋅⋅= mxb
tgtgVv
senxxbVvx
senVv
senxVvkW 11
1
21
1
2
1
1
1
1coscoscos α
θφφααθθ
ω&
(4.16)
Y como:
( )
( );;cos;;cos
;;cos;;
2
1
2
2
2
1
2
2
2
2
1
1
2
1
2
21
1
1
2
1
2
21
21
12
1
2
1
1
12
1
2
1
1
1
1
1
1
xh
tgxh
xxh
hsen
hxxb
hhxxb
xxbsen
hxh
hxx
senhx
tg
=+
=+
=+−−
=
+−−
−−=
+=
+==
αααφ
φθθθ
(4.17)
Se tendrá:
( ) ( ) ( ) ( )=
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−+
+−−−−+−−+
+++
+++
⋅⋅⋅=
mhx
hx
xbh
hxxbxxbh
hxxbh
xxhx
hxh
hhxVv
xhxx
VvkW
1
2
1
1
1
1
2
1
2
2121
1
2
1
2
211
2
2
2
2
12
1
2
2
2
1
1
2
1
2
1
1
2
1
2
11
ω&
(4.18)
( )[ ]21
2
1212121
22
2
2
1
2
1
1
222223 xxxbxbxmxxbxbxbxxhh
Vvk −−+++−−+++⋅⋅⋅= ω
(4.19)
y como en casos anteriores se optimiza a partir de derivar respecto a los
parámetros x1 y x2 e igualando a cero:
( ) 02224 2121
1
=−−++−=∂∂ xxbmxbx
xW& (4.20)
( ) 0224 112
2
=−++−=∂∂ xbmxbx
xW& (4.21)
Metodología de aplicación del TLS mediante el modelo de BRT bajo enfoque No Modular. Capítulo 4
85
Así que de ambas ecuaciones se obtiene:
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
=
43
41
2
2
1 mm
mbx (4.22)
( )4
22 112
bxbxmx
+−−= (4.23)
Resultando:
( )[ ]2121212121
222
21
21
1
2222232
12
xxxbxbxmxxbxbxbxxhbhk
P −−+⋅++−−+++⋅=
(4.24)
Por lo que si m=0 entonces x1 = x2 = b/3 y si m=1 entonces x1 = 3b/7 y x2 = b/7;
así, si m=0 obtendremos que p/2k = 13/12 = 1,083 y si m=1; p/2k = 41/36 = 1,139
4.2.3 Cinco Bloques Rígidos Triangulares
De modo similar al caso anterior, pero para 5 BRT (Fig. 4.8):
Figura 4.8 Configuración geométrica contraria para 5 BRT en PPP.
h1
x1
b1
Vv
BRT1
BRT2
BRT3
A C
E
D
h2 θ1
BRT4 Φ1
x2
BRT5
x3
B
G F
Francisco de Sales Martín Fernández
86
Y el hodógrafo para esta configuración (Fig. 4.9):
Figura 4.9 Hodógrafo para 5 BRT en configuración PPP con disposición inicial.
Así pues, obtenemos de las disposiciones anteriores y aplicando el TLS:
[ ]5345342312 VmCDBCmVVCEFCVVBFVBGkWt
W ⋅⋅+⋅⋅+⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅==∂
∂ ω&
(4.25)
Además, es conocido que:
;cos
;1
12
1
1
θθVvV
senx
BG == (4.26)
;;cos 23
2
αα senVvV
xBF == (4.27)
;cos
;1
45
1
321
φφVvV
senxxxb
CE =−−−
= (4.28)
;1; 1332 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⋅=+=
αθ
tgtgVvVxxBC (4.29)
;;cos 2
34
2
3
αα senVvV
xCF == (4.30)
V1=0 θ1
V23 Vv V12
V3
V2
V34
V4
V5
V45
Metodología de aplicación del TLS mediante el modelo de BRT bajo enfoque No Modular. Capítulo 4
87
;11;´2
15321 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+++⋅=−−−= φ
ααθ tg
tgtgtgVvVxxxbCD (4.31)
Y como:
( )
( )
;;;;
;cos
;;cos;;cos
;;cos;;
1
321
3
1
22
1
2
3
1
22
1
2
3
3
2
2
1
2
2
2
1
2
2
2
2
1
1
2
1
2
321
1
1
2
1
2
321
321
12
1
2
1
1
12
1
2
1
1
1
1
1
1
hxxxb
tgxh
tghx
hsen
hxx
xh
tgxh
xxh
hsen
hxxxb
hhxxxb
xxxbsen
hxh
hxx
senhx
tg
−−−==
+=
+=
=+
=+
=+−−−
=
+−−−
−−−=
+=
+==
φααα
αααφ
φθθθ
(4.32)
Tendremos, tras sustituir y operar:
( ) ( ) ( )[ ]=−−−+++++−−−++++⋅⋅⋅= mbxxxbxxxxxxxmxxxbxxxhVvkW 32132
223121
2
32123
22
21
214ω&
(4.33)
Además, diferenciando en función de los parámetros x1, x2 y x3 , para lograr la
optimización de la posición de los vértices de los BRT:
( ) 022222 322311
1
=−+++++−=∂∂ bxxmxxxbx
xW& (4.34)
( ) 0222222 2313122
2
=+−+++++−=∂∂ xbxxmxxxbx
xW& (4.35)
( ) 022222 212133
3
=−+++++−=∂∂ bxxmxxxbx
xW& (4.36)
Tras operar y resolver este sistema de tres ecuaciones resulta:
( ) ( )( )2
2
3
2
2 41244
mmmxmb
x−
−++−= (4.37)
Francisco de Sales Martín Fernández
88
( )12816
1272
24
3 −+−=
mmmbx (4.38)
( )4
222 32321
bxxxxbmx
+−−−−= (4.39)
Si m=0 entonces x3 = - b/4; algo sin sentido, puesto que los valores de x
siempre han de ser reales y por lo tanto positivos. Este es otro de los motivos por los
que se modificó la orientación de la disposición de los BRT.
( ) ( ) ( )[ ]mbxxxbxxxxxxxmxxxbxxxhbk
P32132
223121
2321
23
22
21
21
1
42
12
−−−+++++−−−++++⋅⋅
=
(4.40)
Con esta disposición no se ha podido alcanzar algún tipo de generalización,
de forma que se pudiera determinar para cualquier número de BRT, tanto la posición
de los vértices de los mismos, es decir, xi, y los valores de p/2k.
En el Anexo A vienen recogidas en las figuras A.1 a A.6 las curvas
correspondientes a la evolución de la relación adimensional p/2k para diferentes
relaciones del factor de forma (b/h) en virtud de la variación de la altura inicial (h) y
para coeficientes de rozamiento por adherencia con valores límites, es decir con
m=0 y m=1. Los valores que sirven de referencia a las citadas gráficas quedan
recogidas en las Tablas A.1 a A.6 del Anexo A.
4.3 Placas Planas Inclinadas con disposición inicial y rozamiento por adherencia
4.3.1 Tres Bloques Rígidos Triangulares
Una vez analizada la opción de que la matriz esté conformada por placas
planas paralelas, se va a estudiar el caso más genérico, no tratado con anterioridad,
de que las placas, también planas, formen un ángulo de inclinación respecto a la
horizontal. Ángulo que denotaremos por α (Fig. 4.10).
Metodología de aplicación del TLS mediante el modelo de BRT bajo enfoque No Modular. Capítulo 4
89
Figura 4.10 Configuración geométrica inicial para 3 BRT en PPI.
Y su hodógrafo (Fig. 4.11) resultará:
Figura 4.11 Hodógrafo para 3 BRT en configuración PPI con disposición inicial.
Aplicando el Teorema del Límite Superior se obtiene la ecuación de la
potencia siguiente:
( )13232212* mVEBVECmVDCVDEkwdt
dWW ⋅⋅+⋅+⋅⋅+⋅⋅==& (4.41)
Por otra parte obtenemos que:
⎭⎬⎫
⋅+=⋅=⋅+⋅
123213
13123
coscos
ϕααϕ
senVVVVsenVV
(4.42)
V1=0 θ1
V23 V V12
V3
V2
h1
b1
x
B Vv
BRT1
BRT2
BRT3 A
C
E
D
h2
Φθ1
α
Francisco de Sales Martín Fernández
90
⎭⎬⎫
⋅+⋅=⋅=⋅+⋅
123113
13123
coscos
ϕθααϕ
senVtgVVVsenVV
(4.43)
de donde
1
13
23 cosϕαsenVV
V⋅−
= (4.44)
y por lo tanto
( ) 113113 cos ϕαθα tgsenVVtgVV −+= (4.45)
y de aquí:
( )111
113 cos ϕαα
ϕθtgsen
tgtgVV
++
= (4.46)
( )( )
23
1111
111
1
1
111
11
23 coscoscos
coscos
Vsensen
sentgVsen
tgsentgtgV
VV =
+−
=+
+−
=αϕαϕ
αθαϕ
αϕαα
ϕθ
(4.47)
Así que estamos en disposición de calcular la potencia:
( ) WmVEBVECVDEkwdt
dWW && =⋅⋅+⋅+⋅⋅⋅== 132312 (4.48)
( )111
113
1
1
cos;
cos ϕααϕθ
α tgsentgtgV
Vxb
EB+
+=
−= (4.49)
12; θtgVVbDC == (4.50)
1
12
1
1
cos;
θθVV
senx
DE == (4.51)
Metodología de aplicación del TLS mediante el modelo de BRT bajo enfoque No Modular. Capítulo 4
91
( ) ( )111
11
1111
11123
1
1
cos1
coscoscos
;αϕϕ
αθαϕαϕ
αθαϕ tgsen
tgtgVsensen
sentgVV
senxb
EC+−
=+
−=
−= (4.52)
y tendremos pues:
( )( )
( ) =
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
++⋅
⋅−
+−
−⋅⋅
−
+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=
111
11
1
1
11
111
1
1
1
11
1
coscoscoscos
cos
ϕααϕθ
ααϕαθα
ϕ
θθθ
tgsentgtgVxbsentgV
senxb
mtgVbVsen
x
wkW& (4.53)
y como:
11
111
11
111
11 ;; α
αϕ
αθ tgxs
tgxhxb
tgtgxh
xsh
xtg =
+−
=+
=+
= (4.54)
obtendremos:
( ) ( ) 2
1
2
111
1111
2
1
2
111
11 cos;
xtgxh
tgxh
xtgxh
xsen
++
+=
++=
αα
θα
θ (4.55)
( ) ( ) ( ) ( )2
1
2
111
11112
1
2
111
11 cos;
xbtgxh
tgxh
xbtgxh
xbsen
−++
+=
−++
−=
ααϕ
αϕ (4.56)
por lo que:
( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( )
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+−
+
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
−+
+−+
−++
−+
−++
+
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
−−++
−−
+
++
++++
=
111
111
111
1
111
1
1
1
21
2111
11
21
2111
1111
1111
11
21
2111
1
1
111
21
2111
1
21
21111
coscos
cos
cos
ααα
ααα
α
α
α
αα
αα
αα
ααα
tgxhxb
sen
mtgxhxb
tgxhx
Vxb
xbtgxh
senxb
xbtgxh
tgxh
sentgxh
xV
xbtgxhxbxb
tgxhxtgxhV
xxtgxhx
wkW&
(4.57)
Francisco de Sales Martín Fernández
92
( ) ( ) ( )( )( ) ( )
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+−+
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−
+
+−++
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
−−+++
+++
=
111
111
111
1
1
111111
1111
11
21
2111
111
21
2111
coscos
cos
cos
ααα
αα
ααα
αα
αα
αα
tgxhxbsen
mtgxh
bxb
senxbtgxh
sentgxh
xxbtgxh
tgxhxtgxh
Vwk (4.58)
( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )
( ) ( )
=
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−++−
+
+−++
−+−+++
+++
=
1111111
1
111111
1111112
12
111
111
21
111
coscos
coscos
αααα
ααααααα
αα
senxbtgxhmbxb
senxbtgxhsenxtgxhxbtgxh
tgxhx
tgxhVwk
(4.59)
( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )
( ) ( )
=
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−++−
+
++−++
−+−+++
+++
=
1111111
1
111111111
1111112
12
111
111
21
111
coscos
coscos
αααα
αααααααα
αα
senxbtgxhmbxb
tgxhsenxbtgxhsenxtgxhxbtgxh
tgxhx
tgxhVwk
(4.60)
derivando respecto al parámetro x1 e igualando a cero:
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )( )( )
( ) ( )( )
( )
0
coscos
cos
2222cos
2cos2
cos
342
3422cos
2
1111
2
1211111111
221
211
123
11121
2111
133
11121111
21
21111
2311
11111112
1
121111111
122
1211
122
1111211
132
112
1111112
11
111
1211111
1
1
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+−
−−++++
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−−+++−+++
⋅
−++−
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−++++
⋅
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−−+
+++−
+
++
−++
=∂∂
ααα
ααααα
ααααααα
αααααααα
αα
ααααααα
ααα
α
bsenhbm
tgxtgbxbhxhsentgxh
tgxtghxhxsentgxtghxxbhhbhxhxtgh
tgxbtghsentgx
tgxtgbxbhxhsentgxh
tgxtghxhsen
tgxtghxhxbhtgh
tgxhtgxtgxhx
tg
xW
(4.61)
Metodología de aplicación del TLS mediante el modelo de BRT bajo enfoque No Modular. Capítulo 4
93
( )4
20240
22211
11
1
11
1
1
mbxbmbx
hbm
hx
hb
hx
xW +
=⇒=−−⇒=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−+−=
∂∂ (4.62)
La introducción del parámetro α1 (inclinación de las placas) hace que las
ecuaciones de partida eleven de forma notable su grado de complejidad, y se
alcancen unas ecuaciones implícitas de difícil resolución mediante determinados
programas de uso estándar, como hojas de cálculo, que sirven de gran ayuda a la
hora de efectuar gráficas y tendencias de los datos obtenidos. Por lo tanto hemos de
contar con programas de mayor poder de cálculo como Matemática [Mathemática,
2003] para determinar las soluciones requeridas.
La constatación de que aunque la complejidad de las ecuaciones se ha
elevado, se mantiene el camino correcto, proviene de comparar la ecuación obtenida
para un ángulo de inclinación de las placas de α1=0 con las resultantes de estudio
análogo anterior para placas planas paralelas.
Mediante el programa de cálculo antes citado, y tras simplificaciones
efectuadas con el comando Simplify entre otros, se obtiene la siguiente ecuación
para obtener el valor de x1 en cada caso (ecuación implícita):
Francisco de Sales Martín Fernández
94
donde “a”, debido a limitaciones de denominación del programa, representa al
ángulo α1.
El comando Table del programa Mathematica 5 no admite la utilización con un
número elevado de variables, como sucede en este caso, por lo tanto se ha optado
por utilizar el comando NSolve y traspasar, de forma manual, los datos obtenidos a
una tabla de EXCEL para su posterior tratamiento gráfico.
La solución anterior es una ecuación de segundo grado para x1, por lo que
aporta dos soluciones en la mayoría de los casos, de ellos se ha tomado como
criterio, escoger el mayor de ambos, pero en un número muy elevado de
situaciones, una de las dos soluciones es negativa, por lo que esta solución no es
coherente, y en estos casos, se elegirá la solución alternativa.
Para obtener p/2k, la ecuación resultante será:
( ) ( ) ( )( )( ) ( )
( )( )
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+−
+
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−
+
+−++
+−−++
++
++
=
αα
α
αα
ααα
αα
αα
αα
tgxhxbsen
tgxhbm
xb
senxbtgxh
sentgxh
xxbtgxh
tgxhxtgxh
bhkp
11
111
11
1
1
111111
1111
11
21
2111
111
22111
1
coscos
cos
cos*
21
2 (4.63)
Figura 4.12 Evolución p/2k para 3 BRT, configuración PPP y disposición inicial.
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4 5 6b/h
p/2k
a=0a=5a=10a=20a=30
Metodología de aplicación del TLS mediante el modelo de BRT bajo enfoque No Modular. Capítulo 4
95
Como puede observarse en la figura 4.12, los resultados obtenidos para un
ángulo de inclinación igual a cero coinciden con los resultantes de aplicar la
ecuación de 3 BRT para PPP. Por otra parte, los valores que ofrece la ecuación para
un α reducido son coherentes con la evolución del proceso, pero a partir de 10º de
inclinación, p/2k toma valores menores de la unidad, siendo este un mínimo que no
debe de superarse, puesto que representa la carga necesaria en el caso de
considerar deformación homogénea.
Las ecuaciones adquieren un carácter extremadamente complejo, siendo
inviable abordarlas para 4 y 5 BRT, por lo que la optimización de la situación de los
bloques (valores de xi) se vuelve inviable. A la posición no optimizada de xi se le
asignará un valor de bi/2, siendo bi el ancho b ce cada sección contemplada.
4.4 Combinación PPP–PPI con disposición inicial y rozamiento por adherencia
En análisis previos se planteó, tal y como se ha indicado, para el caso de PPP
la siguiente disposición para el cuarto de pieza, inicialmente con 3 BRT (Fig.4.13):
Figura 4.13 Disposición inicial de BRT en PPP.
Y sobre ella se realizaron estudios posteriores con 4, y 5 BRT en PPP y 3
BRT en PPI. Esta configuración presenta problemas en el encaje de la configuración
de los bloques cuando se presenta un caso de aplicación del modelo sobre un perfil
de las placas planas combinado, formado este, por una placa plana paralela y una
placa plana inclinada. Puede observarse en la Fig. 4.14, la no continuidad de los
BRT1
BRT2
BRT3
Francisco de Sales Martín Fernández
96
BRT, teniendo la necesidad de trabajar con un bloque rígido no triangular, lo que se
aleja del método propuesto.
Figura 4.14 Encaje irregular de BRT en PPP-PPI.
La imposibilidad de obtener un adecuado hodógrafo debido a la dificultad de
fluencia del material por la disposición de BRT establecida, admite una solución, en
cierto modo trivial, derivada de invertir respecto al eje horizontal, la disposición de
los BRT. Esta nueva disposición se denotará, en adelante, eliminando la
consideración de “inicial” en la definición del caso (Fig. 4.14).
Figura 4.15 Disposición definitiva de BRT en PPP.
4.5 Placas Planas Paralelas con rozamiento por adherencia
4.5.1 Tres Bloques Rígidos Triangulares
Partimos, pues, de la configuración de BRT establecida en el subapartado
anterior (Fig. 4.16):
BRT BRT
BRT
BRT
BRT
BRT
BRT1
BRT2
BRT3
Metodología de aplicación del TLS mediante el modelo de BRT bajo enfoque No Modular. Capítulo 4
97
Figura 4.16 Disposición definitiva de BRT en PPP.
Por lo que se ha modificado la disposición de los BRT, situando el vértice del
BRT sobre la superficie superior en la interfase herramienta-pieza (Fig 4.17).
Figura 4.17 Encaje de BRT en PPP-PPI.
Por lo tanto, los BRT dispuestos solucionan de forma satisfactoria la fluencia
de flujo de material producida por la deformación plástica de la pieza (Fig. 4.17).
Posteriormente podrá apreciarse que esta solución facilita abordar la aplicación del
método con un nuevo enfoque, que será denominado enfoque modular. Puede
observarse que con esta nueva disposición de BRT, el número de los mismos que
forman parte de una combinación dada disminuye en una unidad respecto a la
configuración inicial.
A continuación se procede a realizar el cálculo completo de la relación
adimensional p/2k (siendo p la presión aplicada sobre la pieza, y k la tensión de
fluencia a cortadura pura) para PPP con la nueva disposición de BRT en un número
de tres (Fig. 4.18).
BRT1 BRT3BRT4
BRT5
BRT2
BRT1
BRT2
BRT3
Francisco de Sales Martín Fernández
98
Figura 4.18 Configuración geométrica de 3 BRT sobre PPP.
Donde 0=⋅VvAE , por ser perpendiculares. El coeficiente de rozamiento
existente en el eje horizontal de simetría m2, adquiere un valor nulo, debido a la
simetría horizontal impuesta (no hay desplazamiento relativo de material entre las
mitades superior e inferior de la pieza sometida a deformación) (Fig. 4.19).
Figura 4.19 Simetría horizontal, ausencia de movimiento relativo.
El cálculo de las velocidades se obtiene a partir del hodógrafo
correspondiente (Fig. 4.20), que en este caso vendrá dado por:
:
Figura 4.20 Hodógrafo para 3 BRT en configuración PPP.
θ1 V23 Vv V12
V3
V2
V1=0
h1
x1 b1
B Vv
BRT1
BRT2
BRT3
A
CE D
h2 Φ1θ1
h2
b1
Metodología de aplicación del TLS mediante el modelo de BRT bajo enfoque No Modular. Capítulo 4
99
Además, sabemos que la velocidad de entrada de material en dirección
horizontal es nula. V1 = Ve = 0, y como:
1
12
1
1
cos;
θθVvV
senx
AD == (4.64)
121 ; θtgVvVbAB ⋅== (4.65)
1
23
1
11
cos;
φφVvV
senxb
DB =−
= (4.66)
Y por otra parte:
( ) ( );cos;;cos;;
211
22
212
1122
1112
121
112
121
11
1
11
xbh
h
xbh
xbsen
hx
h
hx
xsen
hx
tg−+
=−+
−=
+=
+== φφθθθ
(4.67)
Sustituyendo se tendrá:
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⋅⋅⋅+
−+⋅⋅ 11
1
11
11
1
coscosθ
φφθθω tgVbm
Vsen
xbVsen
xk v
vv (4.68)
( ) ( )( )
( )=
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡+
−+−
−+−+
++⋅⋅=
1
11
2
211
22
11
211
2211
1
21
21
1
21
211
hx
Vmbh
xbhVxb
xbhxbh
hxVx
hxxk v
vvω (4.69)
( )=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡ +−+++=
1
11
2
11
2
1
2
1
2
1
hxmbxbhhx
kVv ω (4.70)
( )=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+
−++
+=
1
11
2
2
11
2
2
1
2
1
2
1
hx
mbh
xbhh
hxkVv ω (4.71)
En este caso, al estar formado por superficies de contacto en la interfase
paralelas a la condición de simetría horizontal, h1 = h2.
Francisco de Sales Martín Fernández
100
[ ] =++−++= 112111
21
21
21
1
22 xmbxxbbhxhVk vω
(4.72)
( )[ ] WmxbbhxhVk v &=−+++= 222 11
21
21
21
1
ω (4.73)
Procederemos a optimizar la posición de los tres BRT a través de la
dimensión x1 que fija la posición del vértice inferior del segundo Bloque Rígido
Triangular.
( ) ( ) ( )1
11
111
1 42
42
024 xmbmb
xmbxxW =
−⋅=
−⋅−=⇒=−⋅+=
∂∂ &
(4.74)
Y sustituyendo:
( ) ( ) ( ) =⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−
−⋅⋅+⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ −⋅⋅++= 2
42
42
22min 1
1
2
12
1
2
1
1
mmb
bmb
bhhVvkW ω& (4.75)
De donde:
( ) ( ) =⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −−
++−⋅
++= 24
2844
22
1
2
1
22
12
1
2
1
1
mmbbmmb
bhhVvkW ω& (4.76)
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +−−++−++=4
244
2822
22
1
2
1
22
1
2
1
22
1
2
1
2
12
1
2
1
1
mbbmb
mbmbmbbbh
hVvkω
(4.77)
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+−+=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+−++=
2822
24822
21
221
212
11
21
21
2221
212
11
mbmbbh
hVvkmbbmmbb
hhVvk ωω (4.78)
VvbPmmbhhVvk ⋅⋅⋅=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−+= 1
22
1
2
1
1 28212 ωω
(4.79)
Metodología de aplicación del TLS mediante el modelo de BRT bajo enfoque No Modular. Capítulo 4
101
kPmm
bh
hbmmbh
hbkP
241
22
21
28212
21
2
2212
111
221
21
11
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−++=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−+= (4.80)
Si m=0; entonces:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +=2
22
12
2
121
11
bh
hbkP (4.81)
Y si m=1; se tendrá:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +=8
72
21
2
2
121
11
bh
hbkP (4.82)
Al igual que en casos anteriores, al analizar el caso de PPI con esta nueva
configuración se apreciará cómo la incorporación del ángulo α incrementa la
complejidad de las ecuaciones. Este problema se resuelve estableciendo la posición
de x1 mediante el establecimiento de un valor fijo, que en adelante será igual a b1/2,
y por lo tanto quedará:
( )[ ] ( )=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ −+++⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛=−+++2
22
22222
212
121
2
1
111
21
21
21
1
mbbh
bhVvk
mxbbhxhVvk ωω (4.83)
( ) =⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −++=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−+++=
22
2322
22
221
21
1
212
121
21
1
mbh
hVvk
mb
bhb
hVvk ωω (4.84)
12
12
1
1 212 bVvPmbh
hVvk ⋅⋅⋅=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++= ωω
(4.85)
Lo que implica que:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++=
212
21
22
1
2
1
11
mbhhbk
P (4.86)
Con m=0
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +=2
22
12
2
12
1
11
bh
hbkP
(4.87)
Francisco de Sales Martín Fernández
102
Con m=1
[ ]2
1
2
1
11
22
12
bhhbk
P += (4.88)
Resulta muy conveniente, en el estudio de los diferentes casos planteados,
utilizar ecuaciones en las que estén presentes los parámetros xi, para poder
introducir directamente el valor que sea de mayor interés en cada situación. La
evolución de este modelo es totalmente coherente, como puede apreciarse en la
figura 4.21.
Figura 4.21 Evolución de p/2k vs factor de forma en PPP con 3 BRT.
Al igual que en estudios previos, en la Tabla 4.2 se han resaltado en rojo
aquellas celdas en donde se encuentran los valores de p/2k mínimos para cada
coeficiente de rozamiento.
Evolución 3 BRT no Modular
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
0 1 2 3 4 5 6b/h
p/2k
m=0 m=0,05 m=0,1 m=0,2 m=0,4 m=0,6 m=0,8 m=1
Metodología de aplicación del TLS mediante el modelo de BRT bajo enfoque No Modular. Capítulo 4
103
Tabla 4.2 Resultados de p/2k para 3 BRT en configuración PPP.
La evolución del proceso se realizará como se indica en la figura 4.23.
Figura 4.23 Evolución de proceso de forja con disposición de 3 BRT y PPP.
b/h m=0 m=0,05 m=0,1 m=0,2 m=0,4 m=0,6 m=0,8 m=10,20 5,05 5,05 5,05 5,06 5,07 5,08 5,08 5,090,40 2,60 2,60 2,61 2,62 2,64 2,65 2,66 2,680,60 1,82 1,82 1,83 1,85 1,87 1,89 1,91 1,930,80 1,45 1,46 1,47 1,49 1,52 1,55 1,58 1,601,00 1,25 1,26 1,27 1,30 1,34 1,38 1,41 1,441,20 1,13 1,15 1,16 1,19 1,24 1,29 1,33 1,361,40 1,06 1,08 1,10 1,13 1,19 1,24 1,29 1,331,60 1,03 1,04 1,06 1,10 1,17 1,23 1,28 1,331,80 1,01 1,03 1,05 1,09 1,17 1,24 1,29 1,342,00 1,00 1,02 1,05 1,10 1,18 1,26 1,32 1,382,20 1,00 1,03 1,06 1,11 1,20 1,29 1,36 1,422,40 1,02 1,05 1,08 1,13 1,23 1,32 1,40 1,472,60 1,03 1,07 1,10 1,16 1,27 1,37 1,45 1,522,80 1,06 1,09 1,13 1,19 1,31 1,41 1,51 1,583,00 1,08 1,12 1,16 1,23 1,35 1,47 1,56 1,653,20 1,11 1,15 1,19 1,26 1,40 1,52 1,62 1,713,40 1,14 1,19 1,23 1,31 1,45 1,58 1,69 1,783,60 1,18 1,22 1,27 1,35 1,50 1,64 1,75 1,853,80 1,21 1,26 1,31 1,39 1,56 1,70 1,82 1,934,00 1,25 1,30 1,35 1,44 1,61 1,76 1,89 2,004,20 1,29 1,34 1,39 1,49 1,67 1,82 1,96 2,084,40 1,33 1,38 1,43 1,54 1,72 1,89 2,03 2,154,60 1,37 1,42 1,48 1,59 1,78 1,95 2,10 2,234,80 1,41 1,47 1,53 1,64 1,84 2,02 2,18 2,315,00 1,45 1,51 1,57 1,69 1,90 2,09 2,25 2,395,20 1,49 1,56 1,62 1,74 1,96 2,16 2,32 2,475,40 1,54 1,60 1,67 1,79 2,02 2,22 2,40 2,555,60 1,58 1,65 1,72 1,84 2,08 2,29 2,47 2,635,80 1,62 1,69 1,76 1,90 2,14 2,36 2,55 2,716,00 1,67 1,74 1,81 1,95 2,21 2,43 2,63 2,79
Francisco de Sales Martín Fernández
104
Figura 4.24 Valores de evolución de proceso de forja con disposición de 3 BRT y
PPP.
Figura 4.25 Valores de evolución modificado de proceso de forja para 3 BRT y PPP.
Tal y como se expresó en el capítulo previo, mediante la aplicación del TLS se
obtienen lo que denominaríamos “fotos fijas” del límite establecido en una situación
concreta del proceso de forja, por lo que si queremos mostrar la evolución del
proceso, recurriremos a representar el decremento de la altura de la pieza en
estudio, y debido a la constancia de volumen, el aumento del ancho del cuarto de
pieza, como puede apreciarse en el esquema y en la gráfica de las figuras 4.23 a
4.25. En particular, en la figura 4.25 se han eliminado valores de las curvas
definitivas (de color negro), para obtener una única curva resultado de la
combinación de las cuatro establecidas a partir de los resultados.
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
0 1 2 3 4 5 6
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
0 1 2 3 4 5 6
Metodología de aplicación del TLS mediante el modelo de BRT bajo enfoque No Modular. Capítulo 4
105
La línea negra gruesa indica en la gráfica de la figura 4.25 los valores que
toma la relación p/2k en un proceso de forja partiendo de un factor de forma de
b/h=0,5 hasta un factor de forma final de b/h=3.
4.5.2 Cuatro Bloques Rígidos Triangulares
De modo similar al caso anterior, pero para 4 BRT (Fig. 4.26):
Figura 4.26 Configuración geométrica para 4 BRT en PPP.
Y el hodógrafo para esta configuración (4.27):
Figura 4.27 Hodógrafo para 4 BRT en configuración PPP.
Así pues, obtenemos de las disposiciones anteriores y aplicando el TLS:
V1=0 θ1 V23
Vv V12
V3
V2
V34
V4
b1
h2
h1
x1
B Vv
BRT1
BRT2
BRT3
A C
E D
θ1 BRT4
θ2
x2
F
Francisco de Sales Martín Fernández
106
VvbPVvAFmVBCmVEDVFE
VmABVBDVEBVAEkW
dtdW
⋅⋅⋅=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅
+⋅⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅== ωω
4231
2342312& (4.89)
Y como tenemos que:
;; 1221 θtgVvVxxAB ⋅=+= (4.90)
;; 23
1
αα senVvV
senh
EB == (4.91)
;cos
;1
12
1
1
θθVvV
senx
AE == (4.92)
;1; 11421 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++⋅=−−= φ
αθ tg
tgtgVvVxxbBC (4.93)
;cos
;cos 1
34
1
1
φφVvV
hBD == (4.94)
Y además:
( );cos;;cos
;;;;
21
221
112
121
1
21
21
11
21
21
11
1
211
2
1
1
11
hxxb
hxh
hsen
hxh
hxx
senh
xxbtg
xh
tghx
tg
+−−=
+=
+=
+=
−−===
φαθ
θφαθ
(4.95)
Por lo tanto, obtenemos:
( ) ( )=
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++⋅⋅−−+⋅⋅⋅⋅++
+++
⋅⋅=
11211121
11
11
11
1
1
coscoscos
φα
θθ
φφααθθω
tgtg
tgVxxbtgVbmxx
VhsenV
senhV
senx
kW
vv
vvv
& (4.96)
Metodología de aplicación del TLS mediante el modelo de BRT bajo enfoque No Modular. Capítulo 4
107
( ) ( ) ( )
( )
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −−++⋅⋅−−+
+⋅⋅+++−−⋅
⋅+−−⋅
+
+++⋅
+++
⋅⋅=
1
21
1
2
1
121
1
121
1
21
221
1
21
2211
1
22
21
1
22
211
1
21
21
1
21
211
hxxb
hx
hx
Vxxb
hx
Vmxxh
hxxbVh
hxxbh
hxhV
hxhh
hhxV
xhxx
k
v
vv
vv
ω (4.97)
( ) ( ) ( )[ ]=−−⋅++⋅++−−++++⋅⋅⋅
= 212121
21
221
22
21
21
21
1
xxbbxxxmhxxbxhhxh
Vk vω (4.98)
( )[ ] =+⋅++−−+++⋅⋅⋅
= 21212121
222
21
21
1
2332232 xxxmxxbxbxbxhxh
Vk vω (4.99)
( )[ ] bVPxxxmxxbxbxbxhxh
Vkv
v ⋅⋅⋅=+⋅++−−+++⋅⋅⋅
= ωω21
212121
222
21
21
1
2332232 (4.100)
02234 2121
1
=+++−=∂∂ mxmxxbx
xW& (4.101)
0234 112
2
=++−=∂∂ mxxbx
xW& (4.102)
Despejando de las ecuaciones 4.101 y 4.102 y sustituyendo en 4.100 se
obtiene:
43
21
23
21 mm
mb
x−+
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅
= (4.103)
( )⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+⋅
+⋅=
434
2322 mm
mbx (4.104)
Si m=0 entonces:
Francisco de Sales Martín Fernández
108
232
3
1
bb
x == (4.105)
22 2126 xbbx === (4.106)
Si m=1 tendremos:
133
41
213
21
23
1
bb
x =−+
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⋅
= (4.107)
22 53
159 xbbx === (4.108)
Y por lo tanto;
( )[ ]21212121
222
21
21
1
23322322
12
xxxmxxbxbxbxhxhbk
P +⋅++−−+++⋅⋅⋅
= (4.109)
Así pues, si m=0, el valor de P/2k será:
kPbh
bhbbbbbbbbhb
hbkP
223
21
222
23
232
423
42
21
2
221
1
22
21
2
1
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+−−+++⋅
⋅⋅= (4.110)
Y con m=1:
( ) ( )
kPbh
bh
bbbbbbbbbbbhbhbk
P
2655
2518
169273
21
53
133
139
53
1332
533
13332
25923
1392
21
2
221
1
2
22
2212
2
1
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −+⋅+=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+++−−+++⋅
⋅⋅=
(4.111)
Como ejemplo, indicar que para b=2 y h1=h2=1 se obtiene con m=0 un
p/2k=1,25 y con m=1, un p/2k=1,553. En el Anexo A. Se recoge en el Anexo A,
(Figura A.13 y Tabla A.8), en forma de gráfica y en tabla resumen donde se
Metodología de aplicación del TLS mediante el modelo de BRT bajo enfoque No Modular. Capítulo 4
109
incorporan los valores que las crea, la evolución para un coeficiente de rozamiento
variable, la evolución de p/2k para una configuración de 4 BRT.
4.5.3 Cinco Bloques Rígidos Triangulares
En la misma línea de lo estudiado hasta el momento tendremos: (Fig. 4.28):
Figura 4.28 Configuración geométrica para 5 BRT en PPP.
Y el hodógrafo para esta configuración (Fig. 4.29):
Figura 4.29 Hodógrafo para 5 BRT en configuración PPP.
Así pues, obtenemos de las disposiciones anteriores y aplicando el TLS:
h1
x1
b1
Vv
BRT1
BRT2
BRT3
A C
E
D
h2 θ1 BRT4
Φ1
x2
BRT5
x3
B
G
F
V1=0 θ1 V23
Vv V12
V3
V2
V34
V4
V5
V45
Francisco de Sales Martín Fernández
110
( ) ( )=
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++⋅⋅⋅−−+⋅⋅⋅++
−−−+++
⋅⋅=
2121121
11
321
22
31
11
1
11
coscoscos
ααθθ
φφααααθθω
tgtgtgVmxxbtgVmxx
Vsen
xxxbsen
VxsenV
senhV
senx
kW
vv
vvvv
& (4.112)
Siendo:
;cos
;1
12
1
1
θθVvV
senx
AF == (4.113)
;11;2
1421 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++⋅=−−=
ααθ
tgtgtgVvVxxbBC (4.114)
;;2
34
2
3
αα senVvV
senx
BE == (4.115)
;; 231
αα senVvV
senh
BF == (4.116)
;; 1221 θtgVvVxxAB ⋅=+= (4.117)
y como:
( )
( )
;cos;cos;
;;;cos
;;;;
23
21
322
121
112
121
11
21
21
1
23
21
122
32121
11
2321
21
3211
3
12
2
1
1
11
xh
x
xh
h
xh
xsen
xhh
senxh
hsen
xxxbh
hxxxbh
xxxbsen
xh
tgxh
tghx
tg
+=
+=
+=
+=
+=
−−−+=
−−−+
−−−====
αθθ
ααφ
φααθ
(4.118)
tendremos:
Metodología de aplicación del TLS mediante el modelo de BRT bajo enfoque No Modular. Capítulo 4
111
( ) ( )( )
( ) ( )
( )
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++⋅⋅⋅−−+
+⋅⋅+++−−−⋅
⋅−−−
+−−−⋅−−−+
++⋅+⋅
+
+++⋅
+++
⋅⋅=
1
3
1
2
1
121
1
121
1
21
2321
321
21
2321321
1
23
21
3
23
213
1
22
21
1
22
211
1
21
21
1
21
211
hx
hx
hx
Vmxxb
hx
Vmxxh
hxxxbVxxxb
hxxxbxxxb
hxhVv
xxhx
hxhV
hxhh
hhxV
xhxx
k
v
vv
vv
ω
(4.119)
( ) ( ) ( ) ( )[ ]=++⋅−−⋅++⋅+−−−++++⋅⋅⋅
= 321212121
2321
23
22
21
21
1
4 xxxxxbmxxxmxxxbxxhxh
Vk vω
(4.120)
( ) =⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−−−−++⋅+++++−−−++++
⋅⋅⋅
=323121
22321
32312132122
322
21
21
1
2222222242xxxxxxxbxbxbxm
xxxxxxbxbxbxbxxhxh
Vk vω (4.121)
( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−−−−++⋅+++++−−−++++
⋅⋅⋅
=323121
22321
32312132122
322
21
21
11
22222222422
12 xxxxxxxbxbxbxm
xxxxxxbxbxbxbxxhxhbk
P (4.122)
y por lo tanto:
( ) 02224 32321
1
=−−⋅+++−=∂∂ xxbmxxbx
xW& (4.123)
( ) 022224 321312
2
=−−−⋅+++−=∂∂ xxxbmxxbx
xW& (4.124)
( ) 0224 2113
3
=−−⋅++−=∂∂ xxbmxbx
xW& (4.125)
despejando y sustituyendo:
Francisco de Sales Martín Fernández
112
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+⋅+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅
=
41
42
344
1
2
2
2
2
1 m
mmxmbx (4.126)
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−+−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−+⋅
=10
225
2222
23
23
2 mmm
mmmbx (4.127)
( )4
22 1213
xbbxxmx
−+−+⋅= (4.128)
Si m=0, entonces: x1=x2=b/5 y x3=2b/5 ; y si m=1, resulta: x1=0 y x2=x3=b/3
( )[ ] bVPmxbbhxh
Vkv
v ⋅⋅⋅=−⋅+++⋅⋅
ωω
222 112
12
121
1
(4.129)
Si conservamos de forma explícita a x1 en la ecuación final, obtendremos:
( )[ ]2222
12 11
21
21
21
1
−+++= mxbbhxbhk
P (4.130)
De igual forma que en los casos anteriores, se muestra en el Anexo A (Figura
A.14 y Tabla A.9) la evolución de p/2k para 5 BRT y con un coeficiente de
rozamiento por adherencia variable.
A partir de las gráficas mostradas en la figura 4.30 se puede valorar la leve
diferencia del valor de p/2k que surge de la aplicación de un x1 optimizado ó de un
valor de x1=b1/2, ofreciendo valores que en esta segunda opción se sitúan del lado
de la seguridad en cuanto son algo mayores que, como no podría ser de otra forma,
los que aporta la solución optimizada. Esta nueva consideración de x1=b1/2 hace que
en desarrollos futuros de configuraciones PPI se ofrezca la posibilidad de simplificar
las ecuaciones.
Metodología de aplicación del TLS mediante el modelo de BRT bajo enfoque No Modular. Capítulo 4
113
A partir de las gráficas de la figura 4.31 y con más detalle en la Fig. 4.32,
puede observarse como es apreciable que hasta para un valor de b/h cercano a 3 la
curva de 3BRT ofrece un valor mínimo (menor distorsión de los BRT), y solo para
factores de forma mayores de 3, el mínimo corresponde a 5 BRT, y en algunos
casos a 4 BRT.
El mínimo valor de la relación adimensional p/2k evoluciona siguiendo las
curvas de la figura 4.30 para diferentes valores del coeficiente de rozamiento por
adherencia en un rango de m=0 a m=1.
Francisco de Sales Martín Fernández
114
Figura 4.30 Comparativa evolución p/2k para 3 BRT con PPP.
Comparativa 3 BRT m=0
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
0 1 2 3 4 5 6b/h
p/2k
p/2k (b1/2)P/2k
Comparativa 3 BRT m=0,2
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
0 1 2 3 4 5 6b/h
p/2k
p/2k (b1/2)P/2k
Comparativa 3 BRT m=0,5
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
0 1 2 3 4 5 6b/h
p/2k
p/2k (b1/2)P/2k
Comparativa 3 BRT m=1
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
0 1 2 3 4 5 6b/h
p/2k
p/2k (b1/2)P/2k
Metodología de aplicación del TLS mediante el modelo de BRT bajo enfoque No Modular. Capítulo 4
115
Figura 4.31 Evolución con m variable para 3-4-5 BRT no Modular y PPP.
Figura 4.32 Evolución con m=0, 0.2, 0.5 y 1 para 3-4-5 BRT no Modular y
PPP.
m=0
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4 5 6b/h
p/2k
3BRT4BRT5BRT
m=0,2
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4 5 6b/h
p/2k
3BRT4BRT5BRT
m=0,5
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4 5 6b/h
p/2k
3BRT4BRT5BRT m=1
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4 5 6b/h
p/2k
3BRT4BRT5BRT
m variable; 3-4-5 BRT
0,8
1
1,2
1,4
1,6
1,8
2
2,2
2,4
2,6
2,8
0 1 2 3 4 5 6b/h
p/2k
m=0 m=0,1m=0,2 m=0,3m=0,4 m=0,5m=0,6 m=0,7m=0,8 m=0,9m=1
Francisco de Sales Martín Fernández
116
La comparativa completa para coeficiente de rozamiento por adherencia
desde m=0 a m=1 se muestra en las figuras A.14 a A.16 del Anexo A.
4.6 Placas Planas Inclinadas con rozamiento por adherencia y 3 BRT
Como ya se ha indicado anteriormente en apartados previos, una innovación
en la aplicación de los modelos analíticos proviene de tener la posibilidad de
considerar las placas de la matriz con un grado de inclinación determinado distinto
de cero. Se aplica, pues, esta incorporación del ángulo de inclinación (ángulo α) en
el cuarto de pieza estudiado. Se analiza en este apartado, de una forma similar al de
3 BRT con PPP, pero ahora para Placas Planas Inclinadas (PPI) y con rozamiento
por adherencia (Fig. 4.33):
Figura 4.33 Configuración geométrica de 3 BRT en PPI.
El hodógrafo para esta configuración (Fig. 4.34) es:
Figura 4.34 Hodógrafo para 3 BRT en configuración PPI.
h1
b1
x1
B Vv
BRT1
BRT2
BRT3
A
CE D
h2
Φ1
θ1
α
θ1 V23 Vv V12
V3
V2 V1=0 α
Φ1
Metodología de aplicación del TLS mediante el modelo de BRT bajo enfoque No Modular. Capítulo 4
117
Y aplicando el TLS:
[ ] VvbPvABmvDBvADkWdt
dW ⋅⋅⋅=⋅⋅+⋅+⋅⋅⋅== ωω 22312& (4.131)
αθθθ tgsenVvV
senx
AD+
==cos
; 12
1 (4.132)
( )αθφφ tgtgVvV
senxb
DB+
=−
=1cos
; 23
1 (4.133)
( )αθαθ
α tgtgtgVv
VbAB+
==1cos
;cos 2 (4.134)
αθαθ
coscos
212
212
VsenVsenVVVv
=+=
(4.135)
αθ
cos122
senVV = (4.136)
( )αθθααθθ tgsenVVvsensenVVVv +=⇒+= cos
coscos 121212 (4.137)
αθθ tgsenVvV
+=
cos12 (4.138)
( )αθαθ
tgtgtgVv
V+
=1cos2 (4.139)
( )αθφ tgtgVvV+
=1cos23 (4.140)
De lo que se obtiene:
Francisco de Sales Martín Fernández
118
( ) ( );cos;;cos;;
21
22
2
21
22
1
21
21
1
21
21
1
1
1
xbh
h
xbh
xbsen
hx
h
hx
xsen
hx
tg−+
=−+
−=
+=
+== φφθθθ (4.141)
Y por otra parte:
( ) ( ) VvbPtgtg
tgVvbmtgtg
Vsen
xbtgsen
Vsen
xkW vv ⋅⋅⋅=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+
++
−+
+⋅⋅= ω
αθαθ
ααθφφαθθθω
1coscos1coscos11&
(4.142)
Tendremos, pues:
( )⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−+++−⋅
+−+
++−+
−++
⋅=11211
22112
221
21
1
221
2
21
211
2
11211
21
21 22
21
2 hxhxbhbhhhhmx
bhx
bhhxh
hxbxbhxhxbh
bhbxk
P (4.143)
Si α=0, entonces:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⋅⋅+
−+⋅⋅⋅= θ
φφθθω tgVvmb
senxb
senx
VvkWcos
1cos
1 11& (4.144)
Y por lo tanto, con x1=b/2:
bVvPhbmb
b
hb
b
hbb
h
hb
b
hbb
VvkW ⋅⋅⋅=⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+++
+++
⋅⋅⋅= ωω1
21
221
2
1
21
221
2
22
4
2
424
2
42& (4.145)
Si b=2; h=1; m=0 entonces p/2k=1; y si b=2; h=1; m=1 entonces p/2k=1,5
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+
++
+⋅=
1
221
2
1
12
224
44
21
2 hmb
bhb
hhb
bkP (4.146)
Se observa en la figura 4.35 la evolución de p/2k para diferentes valores del
coeficiente de rozamiento m. Esta gráfica se ha desarrollado para un valor de α=0,
Metodología de aplicación del TLS mediante el modelo de BRT bajo enfoque No Modular. Capítulo 4
119
por lo que el módulo adquiere configuración de PPP, se puede confirmar de esta
manera la coincidencia con la ecuación desarrollada y aplicada en el caso de 3 BRT
para PPP y rozamiento por adherencia.
Figura 4.35 Evolución de p/2k para 3 BRT en configuración PPI con m variable.
Por otra parte, se analiza a continuación, cómo responde el modelo ante una
variación del valor del ángulo de inclinación, manteniendo constante el coeficiente de
rozamiento (m=0) y una altura del módulo igual a la unidad (figura 4.36), o tomando
un valor igual a 2 (figura 4.37). Es por este motivo por lo que, a partir de 35º de
inclinación, la altura de h2 toma valores negativos (cuando h1=1), y por lo tanto p/2k
no es calculable.
En el Anexo A (Figs. A.7 y A.8) se recogen las curvas que representan la
evolución de p/2k para 3 BRT modificando el valor del coeficiente de rozamiento por
adherencia, y haciendo variable el ángulo de inclinación de la placa inclinada.
m variablealpha=0
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4 5 6b/h
p/2k
m=0 m=0,1m=0,2 m=0,3m=0,4 m=0,5m=0,6 m=0,7m=0,8 m=0.9m=1
Francisco de Sales Martín Fernández
120
Figura 4.36 Evolución de p/2k para 3 BRT en PPI con α variable y m=0.
Para h1=2, es posible obtener resultados hasta para un ángulo de inclinación
igual a 70º (conforme se aumenta el ángulo de inclinación, el factor de forma ha de
reducirse para obtener valores)(Fig. 4.37)
Figura 4.37 Evolución de p/2k para 3 BRT en configuración PPI con m variable.
La complejidad de las ecuaciones impone la consideración de que a x1 se le
asigne un valor igual a b1/2.
h=1m=0
alpha variable
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4 5 6b/h
p/2k
alpha=0 alpha=5alpha=10 alpha=15alpha=20 alpha=25alpha=30 alpha=35
m=0 h=2
alpha vriable
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4 5 6b/h
p/2k
alpha=0 alpha=5alpha=10 alpha=15alpha=20 alpha=25alpha=30 alpha=35alpha=40 alpha=45alpha=50 alpha=60alpha=70
Metodología de aplicación del TLS mediante el modelo de BRT bajo enfoque No Modular. Capítulo 4
121
Por otro lado, por el mismo motivo, y para PPI se considerará una
configuración de 3 BRT, no tomándose en consideración las configuraciones de 4 y
5 BRT contempladas en casos anteriores.
4.7 Perfil combinado PPP–PPI
Una vez resuelto el problema de la continuidad de flujo de material, en cuanto
a la forma triangular impuesta para todos y cada uno de los bloques rígidos, tal como
se observó en el apartado 4.4 del presente capítulo, y establecidas las ecuaciones
para los casos de PPP y PPI de forma independiente, con 3 BRT en cada uno de
ellos, se procederá en este subapartado a elaborar el hodógrafo y las ecuaciones
correspondientes a un perfil combinado con PPP inicial y una superficie PPI
contigua.
Con esta configuración, la combinación estará formada por 5 BRT, en la que
no cabe optimización alguna en la situación del tercer bloque, puesto que viene
determinado por el punto de inicio de la zona inclinada (Fig. 4.38).
Figura 4.38 Configuración de 5 BRT para perfil PPP-PPI.
Y el hodógrafo correspondiente será (Fig. 4.39):
x1
b1
x2 x3
BRT1 BRT3BRT4
BRT5
BRT2 α
A
C
ED
θ1
Φ1
B
G F
b2
Francisco de Sales Martín Fernández
122
Figura 4.39 Hodógrafo para configuración de 5 BRT con perfil PPP-PPI.
( )
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++⋅⋅
⋅+⋅⋅⋅++
−+++
⋅⋅=
ααα
θ
αθ
φφααααθθω
sentgtg
tgVmb
tgVmxx
Vsen
xbsen
Vxsen
Vsen
hVsen
x
kWv
v
vvvv
211
2121
11
32
22
3
11
1
11
1
11
cos
coscoscos& (4.147)
Siendo:
;;cos 2
34
2
3
αα senVvV
xBE == (4.148)
;; 1221 θtgVvVxxAB ⋅=+= (4.149)
;cos
;1
12
1
1
θθVvV
senx
AF == (4.150)
;; 231
αα senVvV
senh
BF == (4.151)
(4.152)
V1=0 θ1 V23
Vv V12
V3
V2 V34
V4
V5
V45
α
;
11
;cos
21
42
ααα
θ
α sentgtg
tgVvV
bBC
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++⋅
==
Metodología de aplicación del TLS mediante el modelo de BRT bajo enfoque No Modular. Capítulo 4
123
y como:
( )
( )
;cos;cos;
;;;cos
;;;;
2
3
2
1
3
22
1
2
1
112
1
2
1
11
2
1
2
1
112
3
2
1
122
32
2
2
11
2
32
2
2
321
1
3
12
2
11
1
11
xhx
xhh
xhx
sen
xhh
senxh
hsen
xbh
hxbh
xxxbsen
xh
tgxh
tghx
tg
+=
+=
+=
+=
+=
−+=
−+
−−−====
αθθ
ααφ
φααθ
(4.153)
tendremos:
( ) ( )( )
( )
( )
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
⋅⋅⋅+⋅⋅++
++−⋅
⋅−−−
+−⋅−−−+
++⋅+⋅
+++⋅
+++
⋅⋅=
αα
ω
senhx
hx
hx
Vmb
hx
Vmxx
hhxbV
xxxbhxbxxxb
hxhVv
xxhx
hxhV
hxhh
hhxV
xhxx
k
vv
v
vv
1
3
1
2
1
1
2
1
121
2
21
232
321
21
232321
1
23
21
3
23
213
1
22
21
1
22
211
1
21
21
1
21
211
cos
(4.154)
=
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
++−+
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ++++⋅++++
⋅⋅⋅=2
22
3332
22
1
32221221
21
23
22
21
21 2cos
3
hhxxbb
hsen
xbxbxbxxxmxxhxVk v
ααω (4.155)
Y dado que x1=x2=b1/2 y x3=b2/2 nos quedará:
vv Vbph
hb
h
sen
bbbbmhb
Vk ⋅⋅⋅=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
++
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛+
+⋅++
⋅⋅⋅= ω
αα
ω2
22
22
1
21
21212
1
21
4cos
22
34
3
(4.156)
despejando y sustituyendo:
Francisco de Sales Martín Fernández
124
( )
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
++
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛+
+⋅++
+=
2
22
22
1
21
21212
1
21
4cos
22
34
3
2121
2 h
hb
h
sen
bbbbmhb
bbkP
αα
(4.157)
Siendo αtgbhh 212 −=
Figura 4.40 Evolución p/2k con 5 BRT y perfil PPP-PPI.
La figura 4.40 ofrece los resultados de la relación p/2k frente a b/h para un
perfil de herramienta (matriz) combinado con una zona inicial de PPP y una segunda
zona con PPI, en este caso con 10º de inclinación, con un h1 inicial de valor unidad y
en un rango suficientemente amplio de b/h hasta un valor igual a 4.
4.8 Consideración de rozamiento por deslizamiento
4.8.1 Placas Planas Paralelas con enfoque no modular, 3 BRT y rozamiento
de deslizamiento.
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4
b/h
p/2k
Metodología de aplicación del TLS mediante el modelo de BRT bajo enfoque No Modular. Capítulo 4
125
De modo similar al caso de 3 BRT, pero ahora con rozamiento por
deslizamiento: (Fig. 4.41):
Figura 4.41 Configuración geométrica de 3 BRT en PPP.
Y el hodógrafo para esta configuración (Fig. 4.42):
Figura 4.42 Hodógrafo para 3 BRT en configuración PPP.
Y aplicando el TLS:
[ ] VvbPvABPkvDBkvADWdt
dW ⋅⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅== 122312 ωμω& (4.158)
Y como:
1
12
1
1
cos;
θθVvV
senx
AD == (4.159)
h1
x1
b1
B Vv
BRT1
BRT2
BRT3
A
CE D
h2 Φ1θ1
θ1 V23 Vv V12
V3
V2
V1=0
Francisco de Sales Martín Fernández
126
1
23
1
11
cos;
φφVvV
senxb
DB =−
= (4.160)
121 ; θtgVvVbAB ⋅== (4.161)
( ) ( );cos;;cos;;
211
22
212
1122
1112
121
112
121
11
1
11
xbh
h
xbh
xbsen
hxh
hxx
senhx
tg−+
=−+
−=
+=
+== φφθθθ
(4.162)
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⋅⋅⋅+
⋅−+
⋅⋅= 11
1
11
11
1
coscosθμ
φφθθω tgVbP
kVsen
xbkVsen
xW v
vv& (4.163)
( ) ( )( )[ ] VvbPxbPkhxbkhxhVv ⋅⋅⋅=⋅+⋅+−+⋅+⋅⋅= ωμω
112
1
2
12
121
1
(4.164)
Entonces resultará:
( )[ ]11122
121
1
2221 xbPbxbhxkbh
P ⋅+−++⋅= μ (4.165)
( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +−++⋅=k
xPbbxbhx
bhkP 11
1
22
1
2
1
1
2222
12
μ (4.166)
Y operando:
11
1
22
1
2
1
22222
2 xbbhbxbhx
kP
μ−−++
= (4.167)
Por otra parte:
( )k
PkbxPbbkkxxW
42024 11
1
μμ −=⇒=+−=∂∂ &
(4.168)
Metodología de aplicación del TLS mediante el modelo de BRT bajo enfoque No Modular. Capítulo 4
127
Y sustituyendo nos queda:
( ) ( )( )Pbkbbhk
bbPhbkk
P222
22
242282
2 μμμ
+−−++= (4.169)
Sustituiremos antes de despejar p/2k:
( ) ( ) ( )=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡ −+⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ −⋅−++
−⋅
⋅k
PkbPbk
Pkbbbhk
PkbkhVv
42
4222
422
122
11
μμμμω (4.170)
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −+⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ −−++
−⋅
⋅=
kPbkPb
kPbkb
bhk
PbkkhVv
42
22
22
2 22222222
11
μμμμω (4.171)
bVvPkPbPbPbkhPbbk
hVv
⋅⋅⋅=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−+++−⋅
⋅= ωμμμμω
4222
2
2222221
1
(4.172)
Por lo que resulta:
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −++⋅=
kPbPbkhbk
kbhkP
42
21
2
22222
1
1
μμ (4.173)
Operando sobre esta ecuación:
( ) ( )⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−−=+
khPb
hbP
bhhbk
4112 22 μμ (4.174)
( ) ( )( )( )222 142 PbbhbkPhbk μμ +−−=+ (4.175)
Como no es coherente, vamos a eliminar el problema de la optimización
tomando x1=b/2
Si tenemos en x1 = b/2
Francisco de Sales Martín Fernández
128
21
21
2
21
21
2
244
2
22
2 bbhhb
bbh
hb
kP
μμ −+
=−
+= (4.176)
Si b=2; h=1; μ=0 entonces p/2k = 1
Si b=2; h=1; μ=1 entonces p/2k = ∞ (adherencia absoluta)
Si b=2; h=1; μ=0,577 entonces p/2k=2,366 a partir, de aquí valores de
adherencia absoluta.
Para resolver la ecuación 4.176 habrá que proceder de forma iterativa,
partiendo de un valor de p, e introduciéndolo en la ecuación para obtener una nueva
p más ajustada. Posteriormente hay que comprobar que el método converge. En las
figuras 4.43 y 4.44, se muestra la evolución de la aplicación del modelo con tres
opciones, en la primera (línea azul), no se ha aplicado ninguna iteración del valor de
p, en la segunda (línea rosa), se ha ajustado el valor de p/2k aplicando una iteración,
y por último, con la tercera opción (línea verde), el número de iteraciones efectuado
ha sido de dos.
Figura 4.43 Evolución de opciones de cálculo de p/2k para 3 BRT.
Figura 4.44 Evolución de opciones de cálculo de p/2k para 3 BRT.
3 BRT; mu=0,3
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4 5 6b/h
P/2k
P/2k
P/2k iter1
P/2k iter2
3 BRT; mu=0,2
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4 5 6b/h
P/2k
P/2k
P/2k iter1
P/2k iter2
3 BRT; mu=0,05
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4 5 6b/h
P/2k
P/2k
P/2k iter1
P/2k iter2
3 BRT; mu=0,1
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4 5 6b/h
P/2k
P/2k
P/2k iter1
P/2k iter2
Metodología de aplicación del TLS mediante el modelo de BRT bajo enfoque No Modular. Capítulo 4
129
La resolución de la ecuación 4.175 para un valor de μ=0 aporta, como no
podría ser de otra forma, los mismos resultados que en el caso de la curva obtenida
para el rozamiento por adherencia con m=0.
Figura 4.45 Evolución de p/2k, 3 BRT.con μ variable. sin iteración
Si bien, este hecho nos indica que no se han cometido errores en la
resolución de la ecuación, una vez que se le aportan diferentes valores de
coeficiente de rozamiento, se observa que a partir de un μ=0,33 aparecen
singularidades debidas al análisis trigonométrico, e incluso valores negativos para
p/2k, lo que indica que es necesaria, al depender del valor de la carga aplicada,
establecer la realimentación anteriormente indicada para el cálculo definitivo de la
relación adimensional buscada.
Se ha procedido pues, a realizar una y dos iteraciones, dando como
resultado, que si bien el método converge en prácticamente todos los casos, es
suficiente con una iteración para obtener resultados satisfactorios (Figs. 4.45 y 4.46).
3 BRT Coulomb
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4 5 6b/h
p/2k
mu=0 mu=0,1 mu=0,2 mu=0,3 mu=0,4 mu=0,5 mu=0,577
Francisco de Sales Martín Fernández
130
Figura 4.46 Evolución de p/2k, 3 BRT con μ variable y una iteración.
4.8.2 Placas Planas Inclinadas con enfoque no modular y 3 BRT con rozamiento por
deslizamiento
Igual que el caso anterior, pero ahora con rozamiento por deslizamiento
(Coulomb) (Fig. 4.47):
Figura 4.47 Configuración geométrica de 3 BRT en PPI.
h1
b1
x1
B Vv
BRT1
BRT2
BRT3
A
CE D
h2
Φ1
θ1
α
3 BRT Coulomb 1 iteración
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4 5 6b/h
p/2k
mu=0 mu=0,1 mu=0,2 mu=0,3 mu=0,4 mu=0,5 mu=0,577
Metodología de aplicación del TLS mediante el modelo de BRT bajo enfoque No Modular. Capítulo 4
131
Siendo el hodógrafo para esta configuración el mismo que en el caso anterior
(Fig. 4.48):
Figura 4.48 Hodógrafo para 3 BRT en configuración PPI.
Y aplicando el TLS:
[ ] VvbPvABPkvDBkvADWdt
dW ⋅⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅== ωμω 22312& (4.177)
αθαθ
coscos
212
212
VsenVsenVVVv
=+=
(4.178)
αθ
cos122
senVV = (4.179)
( )αθθααθθ tgsenVVvsensenVVVv +=⇒+= cos
coscos 121212 (4.180)
αθθθ tgsenVvV
senx
AD+
==cos
; 12
1 (4.181)
( )αθφφ tgtgVvV
senxb
DB+
=−
=1cos
; 23
1 (4.182)
( )αθαθ
α tgtgtgVv
VbAB+
==1cos
;cos 2 (4.183)
Y además:
( ) ( );cos;;cos;;
21
22
2
21
22
1
21
21
1
21
21
1
1
1
xbh
h
xbh
xbsen
hx
h
hx
xsen
hx
tg−+
=−+
−=
+=
+== φφθθθ (4.184)
Por lo que:
θ1 V23 Vv V12
V3
V2 V1=0 α
Φ1
Francisco de Sales Martín Fernández
132
( ) ( ) bVvPtgtg
tgVvbPtgtg
Vsen
xbk
tgsenV
senx
kW vv ωαθα
θα
μαθφφαθθθ
ω =⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+
++
−⋅+
+⋅⋅=
1coscos1coscos11&
(4.185)
Obteniéndose al depejar:
( ) ( )
( ) ⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+−
+−+
+⋅=
αθααθμ
αθφφαθθθ
tgtgtgbb
tgtgsenxb
tgsensenx
kP
1coscos
1coscos21
2
11
(4.186)
Con x1=b/2, y tras sustituir y operar en la ecuación anterior:
(4.187)
Si α=0; h1=h2 P/2k=1/(1-μ)
Si μ= 0 entonces P/2k=1
Si μ= 1 entonces P/2k=∞
Si μ=0,577 entonces P/2k=2,364
Al establecer la comparación oportuna con el caso de 3 BRT con rozamiento
por Coulomb, se aprecia, al igual que en el subapartado anterior, la extrema
coincidencia ante ambos planteamientos (figura 4.49) (Comparativa completa en
Anexo A. figura A.17).
( )( ) ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+
+⋅
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
++
++
⋅=btgbh
tgbh
htgbh
hbtgbhhb
bkP
μαααα
αα 12
12
12
22
2
1
21
2
2cos2cos
212
4244
21
2
Metodología de aplicación del TLS mediante el modelo de BRT bajo enfoque No Modular. Capítulo 4
133
Figura 4.49 Comparativa para 3 BRT en PPI m-μ.
m=0; mu=0
0
1
2
3
4
5
6
0 2 4 6
b/h
p/2k
P/2k(mu) P/2k (m)
m = mu = 0,05
0
1
2
3
4
5
6
0 2 4 6
b/h
p/2k
P/2k(mu) P/2k (m)
m = mu = 0,1
0
1
2
3
4
5
6
0 2 4 6
b/h
p/2k
P/2k(mu) P/2k (m)
CAPÍTULO 5
METODOLOGÍA DE APLICACIÓN DEL TLS MEDIANTE EL MODELO DE BRT BAJO ENFOQUE MODULAR
A menudo, un planteamiento adecuado representa más de la mitad del camino hacia la solución del problema.
W. Heisenberg
Capítulo 5
METODOLOGÍA APLICADA DEL TLS MEDIANTE EL MODELO DE BRT BAJO ENFOQUE MODULAR
5.1 Enfoque Modular
En este quinto capítulo va a contemplarse la aplicación del modelo de BRT
adoptando el enfoque Modular indicado en la metodología general del capítulo 3. A
diferencia de los estudios anteriores, y dado el carácter modular del nuevo enfoque,
sólo van a ser contemplados tres BRT en cada módulo. La composición de
diferentes módulos equipara en el cálculo a la optimización buscada en los trabajos
previos mediante el aumento del número de BRT. Este es, por lo tanto, uno de los
objetivos destacados de esta nueva metodología a emplear, ya que el carácter
modular del procedimiento posibilita que no se empleen ecuaciones en las que la
complejidad va en aumento progresivamente, puesto que de forma iterativa se irá
calculando el efecto de cada módulo. Cada uno de los módulos responden
geométricamente a una sección del perfil total de estampación considerado (Fig.
5.1).
Francisco de Sales Martín Fernández
138
Figura 5.1 Optimización mediante modulación
Con esta disposición geométrica, la optimización se plantea al realizar dentro
de la sección que constituya un módulo, una subdivisión en un número mayor de
módulos con la misma pendiente que pueden ser estudiados de forma separada y
conectados con la velocidad de flujo del material (Figuras A.19 a A.30 y Tablas A.10
a A.21 en Anexo A)
Figura 5.2 Optimización mediante modulación
Un ejemplo del exhaustivo estudio realizado sobre el rango adecuado de
aplicación de la optimización expuesta mediante la división en módulos en zonas de
elevado factor de forma se muestra en la figura 5.2. Se observa cómo para las
condiciones tecnológicas indicadas de rozamiento por adherencia igual a la unidad y
con disposición geométrica PPI, a partir de un factor de forma de 3,5, es más
Vv
BRT1
BRT2
BRT3
αMódulo
m=1; h1=1; alpha=0º
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4 5bi-bt
p/2k
media b1+b2bt=2b1
Vv
αMódulo1
Módulo 2
Módulo 3
Metodología de aplicación del TLS mediante el modelo de BRT bajo enfoque Modular. Capítulo 5
139
favorable disponer la división en dos módulos, puesto que los valores de p/2k
obtenidos son menores (media b1+b2), que en el caso de contemplar una zona de
ancho total igual a la suma del ancho de cada uno de ellos (bt=2b1).
Tabla 5.1 Valores optimización mediante modulación.
En segundo lugar, es de destacar el hecho de que el módulo inclinado (que
en adelante será contemplado como módulo I) tiene la superficie vertical derecha (la
superficie libre de fluencia de material en los anteriores estudios) con una altura
menor que la superficie izquierda (disposición contraria a la de los anteriores
trabajos), de tal forma que la geometría inversa será establecida cuando se
disponga de ángulos de inclinación negativos.
Por último, indicar que el módulo limitado por placas planas paralelas (módulo
P) es considerado como un caso particular del módulo I donde el ángulo de
inclinación será igual a cero. (α=0).
Una vez indicadas las diferencias conceptuales empleadas respecto a los
anteriores estudios, estableceremos lo que en esencia va a constituir la metodología
del presente análisis.
Se pretende calcular la energía necesaria a aplicar para garantizar la
realización de un proceso de forja establecido a través de módulos geométricos
sometidos a entrada y salida de material por superficies opuestas y con
desplazamiento vertical descendente por parte de la matriz de estampación.
p/2k Módulo1 p/2k Módulo2 bi media b1+b2 bt=2b1 tita bi phi bi tita bt phi bt bt5,10 5,20 1,00 5,15 1,97 5,71 5,71 16,70 16,70 2,002,70 2,90 1,50 2,80 1,50 11,31 11,31 26,57 26,57 3,001,97 2,27 2,00 2,12 1,41 16,70 16,70 34,99 34,99 4,001,65 2,05 2,50 1,85 1,46 21,80 21,80 41,99 41,99 5,001,50 2,00 3,00 1,75 1,55 26,57 26,57 47,73 47,73 6,001,43 2,03 3,50 1,73 1,68 30,96 30,96 52,43 52,43 7,001,41 2,11 4,00 1,76 1,83 34,99 34,99 56,31 56,31 8,001,43 2,23 4,50 1,83 1,99 38,66 38,66 59,53 59,53 9,001,46 2,36 5,00 1,91 2,16 41,99 41,99 62,24 62,24 10,001,50 2,50 5,50 2,00 2,34 45,00 45,00 64,54 64,54 11,001,55 2,65 6,00 2,10 2,52 47,73 47,73 66,50 66,50 12,001,62 2,82 6,50 2,22 2,70 50,19 50,19 68,20 68,20 13,001,68 2,98 7,00 2,33 2,89 52,43 52,43 69,68 69,68 14,001,76 3,16 7,50 2,46 3,07 54,46 54,46 70,97 70,97 15,00
Francisco de Sales Martín Fernández
140
Por lo tanto, se busca eliminar las limitaciones de estudios anteriores, en los
que la geometría condicionaba las ecuaciones a aplicar. Con el planteamiento
presente se calculará el parámetro elegido para un perfil complejo de estampación
configurado por una serie de módulos genéricos, sea cual fuere la disposición
geométrica de cada uno de ellos.
A partir de este capítulo, el tratamiento en la aplicación del TLS mediante BRT
difiere de los anteriores, puesto que se contemplan módulos de 3 BRT que irán
acoplándose unos con otros ajustándose a la relación de forma de la pieza a
deformar, y por lo tanto diferenciando aquellos módulos iniciales (sin módulo previo)
y consecuentemente sin fluencia de entrada de material, de aquellos otros, a partir
del segundo módulo, que serán denominados con módulo previo en los que el
material ya proviene de la fluencia de un módulo anterior [Ranatunga, 2006]. En la
aplicación se considerará también las características geométricas que determinan
que se encuentre en una situación PPP ó PPI y el tipo de rozamiento.
5.2 Placas Planas Paralelas con enfoque modular, 3 BRT sin módulo previo y rozamiento por adherencia
Se inician estas consideraciones sobre el módulo ya fijado de 3 BRT, sin
módulo previo, es decir, en contacto con la condición de contorno de simetría
horizontal definido en la superficie AE y con un rozamiento por adherencia. (Fig.
5.3):
Figura 5.3 Configuración geométrica de 3 BRT en PPP.
h1
x1 b1
B Vv
BRT1
BRT2
BRT3
A
CE D
h2 Φ1θ1
Metodología de aplicación del TLS mediante el modelo de BRT bajo enfoque Modular. Capítulo 5
141
Y el gráfico de velocidades para esta configuración será (Fig. 5.4):
Figura 5.4 Hodógrafo para 3 BRT en configuración PPP.
Aplicando el TLS, se define la ecuación de la energía puesta en juego,
determinada por el producto de las velocidades relativas existentes entre zonas
rígidas y las de las mismas zonas, por las superficies de discontinuidad de las
citadas zonas de comportamiento rígido:
[ ] VvbPVvAEvEDmmvDCvABmvDBvADkWdt
dW ⋅⋅⋅=⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅+⋅⋅⋅== 1122322312 ωω&
(5.1)
Siendo V1=Ve=0 (Ve es definida como la velocidad de entrada del material en
el módulo estudiado; Vs será la velocidad de salida del mismo)
1
12
1
1
cos;
θθVvV
senx
AD == (5.2)
1
23
1
11
cos;
φφVvV
senxb
DB =−
= (5.3)
121 ; θtgVvVbAB ⋅== (5.4)
Y como:
θ1 V23 Vv V12
V3
V2
V1=0
Francisco de Sales Martín Fernández
142
( ) ( );cos;;cos;;
211
22
212
1122
1112
121
112
121
11
1
11
xbh
h
xbh
xbsen
hx
h
hx
xsen
hx
tg−+
=−+
−=
+=
+== φφθθθ
(5.5)
Tendremos:
(5.6)
( ) ( )( )
( )=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⋅⋅⋅+
−+−
−+−+
++⋅⋅⋅=
1
11
2
1122
11
112211
1
21
21
1
21
211
hx
Vbmh
xbhVxb
xbhxbh
hxVx
hxxk v
vvω
(5.7)
Hay que tener en cuenta que en nuestro caso de PPP, la altura inicial y la
altura final del módulo es la misma (el ángulo de inclinación es nulo), así h1=h2 , y
por lo tanto:
( )[ ]=⋅⋅+−+++⋅⋅= 1
2
1
2
2
2
1
2
1
1
xbmxbhhxh
Vvkω (5.8)
[ ]112
2
1
2
1
1
222 xbmbxbhxh
Vvk ⋅⋅+−++⋅⋅= ω (5.9)
( ) ( )4
202424 111
1
mbxmbxmbbxxW −=⇒=−+=+−=
∂∂ &
(5.10)
Y sustituyendo:
( ) ( ) ( )=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ −⋅⋅+
−−⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ −⋅⋅++=
42
422
4222min
222
121
21
1
mbmmbmbbh
hVvkW ω& (5.11)
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⋅⋅⋅+
−+⋅⋅= 11
1
11
11
1
coscosθ
φφθθω tgVbm
Vsen
xbVsen
xkW v
vv&
Metodología de aplicación del TLS mediante el modelo de BRT bajo enfoque Modular. Capítulo 5
143
bVvPhmmbhVvkbmhmbb
hVvk
⋅⋅⋅=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−++= ωωω 2
1
22
1
2221
22
1
24
128
222
(5.12)
Obtenemos la misma ecuación desarrollada en 3 BRT, PPP con rozamiento
por semi-adherencia (se mantiene el coeficiente de rozamiento m).
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −++=
41
22
21
2
222
1
1
mmbhbhk
P (5.13)
Pero vamos a tomar x1=b/2; así, de la ecuación 5.9:
( ) ( )k
Ph
mbbh
mbhbhk
P24
112
22
12 1
12
2
1
1
=++=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ++= (5.14)
Los valores límite de p/2k serán aquellos que vienen determinados para
valores del coeficiente de rozamiento de valores igual a ero en el caso inferior y de
valor unidad en el superior, por lo tanto:
Si m=0; b=2; h1=1 entonces p/2k = 1
Si m=1; b=2; h1=1 entonces p/2k = 1,5
La velocidad de salida del módulo será: (V1=Vv)
;cos 123 VV =φ (5.15)
12323 φsenVVV += (5.16)
;cos
123 φ
VV = (5.17)
Y como
Francisco de Sales Martín Fernández
144
;;1
1
1
1
hx
tgh
xbtg =
−= θφ (5.18)
Por otra parte:
θθ tgVVVV
tg 12
1
2 =⇒= (5.19)
De donde
( ) ;cos 3
11
1
1
1
111
113 V
hbV
hxb
hx
VtgtgVsenV
tgVV ==⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+=+=+= φθφ
φθ (5.20)
Figura 5.5 p/2k para 3 BRT en configuración modular PPP.
Como en análisis anteriores, la gráfica de la figura 5.5 muestra la evolución de
p/2k para un proceso en el que se va modificando la relación de b/h, manteniendo,
como no podría ser de otra forma, el área constante.
Puede observarse como en la figura 5.5, la gráfica mayor está determinada
para áreas de deformación muy reducidas, representando cada uno de los
segmentos de la curva azul oscuro, áreas de 0,2, 0,4, 0,6 y 0,8 mm2 de izquierda a
derecha. Sin embargo, el parámetro que define de una forma correcta el
comportamiento de p/2k es la relación b/h, así pues, en la gráfica reducida se puede
0
1
2
3
4
5
6
0 1 2 3 4 5 6
0
1
2
3
4
5
6
0 2 4 6 8 10 12 14 16b (mm)
p/2k
Metodología de aplicación del TLS mediante el modelo de BRT bajo enfoque Modular. Capítulo 5
145
apreciar como, manteniendo áreas de trabajo de 40, 50, 60 y 70 mm2, las curvas
alcanzadas son muy similares.
5.3 Placas Planas Paralelas con enfoque modular, 3 BRT con módulo previo y rozamiento por adherencia
Aparece en este subapartado el módulo previo que interviene en el análisis a
través de la incorporación de la velocidad de salida del material del anterior módulo,
que conformará la denominada velocidad de entrada en el módulo presente (Fig.
5.6).
Figura 5.6 Configuración geométrica de 3 BRT en PPP.
Y el hodógrafo para esta configuración (Fig. 5.7):
Fig. 5.7 Hodógrafo para 3 BRT en configuración PPP.
Y aplicando el TLS:
h2
x2
b2
B Vv
BRT4
BRT5
BRT6
A
CE D
h3 Φ2θ2
Ve
θ2 V45 Vv V56
V5
Ve
Φ2
V6
Francisco de Sales Martín Fernández
146
[ ] VvbPvABmvDBvADkWdt
dW ⋅⋅⋅=⋅⋅+⋅+⋅⋅⋅== 255645 ωω& (5.21)
Y además:
;cos
;2
145
2
2
θθV
Vsen
xAD == (5.22)
;cos
;2
156
2
22
φφV
Vsen
xbDB =
−= (5.23)
;; 2152 θtgVVeVbAB ⋅+== (5.24)
Y como:
( ) ( );cos;;cos;;
222
23
322
2223
2222
222
222
222
22
2
22
xbh
h
xbh
xbsen
hx
h
hx
xsen
hx
tg−+
=−+
−=
+=
+== φφθθθ
(5.25)
( ) ( )( )
( )⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⋅⋅+
−+−
−+−+
++⋅⋅⋅=
2
212
3
2223
22
222322
2
22
22
2
22
222
hx
VVebmh
xbhVxb
xbhxbh
hxVx
hxxkW vvω&
(5.26)
( )⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡++⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ +⋅= 2122
2
2
2
22
224
22
12
bbmb
hb
hbkP (5.27)
La velocidad de salida del segundo módulo (V6) vendrá determinada
por la velocidad de entrada y su evolución dentro del módulo situado en segunda
lugar:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
−+
⋅=
=++⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
⋅=⋅+⋅+=
221
111
22
12
2
1
1
1112562456
1
coscos1
φθθαφθ
φφ
θθθα
φθφθ
tgtgtgtgtgtg
V
senV
senV
tgtgtgtg
VsenVsenVVeV
(5.28)
Metodología de aplicación del TLS mediante el modelo de BRT bajo enfoque Modular. Capítulo 5
147
La velocidad de entrada procedente de un módulo P es:
1
11 h
bVVe ⋅= (5.29)
Y la velocidad de entrada procedente de un módulo I es:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
+⋅=
1
111 1 θα
φθtgtgtgtg
VVe (5.30)
De este segundo tipo, si α=0 nos quedaría:
1
11
1
1
1
1
1 1 hb
Vh
xbhx
VVe ⋅=
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛ −+
⋅= (5.31)
Es decir, encontramos la misma situación para un módulo PPP y uno PPI con
una inclinación nula de su superficie superior. Tomaremos esta segunda ecuación,
como caso genérico.
Como en este caso el segundo módulo es PPP h2=h3
( )=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
+−
−++
+−+
+⋅⋅⋅=
2
2
1
1
2
11
1
1
22
23
222
2
22
22
2
1 hx
hxtg
hxb
hx
mbh
hxbh
xhkVW
αω& (5.32)
Y como x1=b1/2; x2=b2/2
Francisco de Sales Martín Fernández
148
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
+−
++
++
+⋅⋅⋅=
2
2
1
1
2
1
1
1
22
22
22
2
222
2
2 22
1
2244
hb
hbtg
h
b
h
b
mbh
hb
h
bhkVW
αω& (5.33)
Y operando sobre esta ecuación:
( )21
2
11
2112
22
22
2
2
22
242 bVP
b
tgbh
hhbmbh
bh
kVW ⋅⋅⋅=
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⋅
⋅⋅= ω
α
ω& (5.34)
( )
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −++
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⋅=
11
1
11
1221122
2
22
22
2
224
22
12 α
α
tgbh
tgbhbhhbmb
hb
hbkP (5.35)
Será pues, el valor de p/2k para el segundo módulo PPP con módulo previo
genérico (figura 5.7).
Si α=0; entonces :
( )⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡++⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ +⋅= 2122
2
2
2
22
224
22
12
bbmb
hb
hbkP
(5.36)
Como ya se ha indicado anteriormente, la influencia geométrica viene
determinada por el factor de forma (b/h), por lo que al ser una relación adimensional
no está afectada de forma determinante por las unidades de trabajo. La relación
buscada es p/2k, también adimensional, la evolución de las soluciones responden a
gráficas iguales, sólo afectadas por la diferente escala de los ejes (véase las gráficas
de la figura 5.7). En todo caso la unidad dimensional considerada será el milímetro,
Metodología de aplicación del TLS mediante el modelo de BRT bajo enfoque Modular. Capítulo 5
149
dado que en estudios posteriores se incorpora la tensión de fluencia con unidad de
N/mm2.
Si b1=b2=2; h1=h2=1; entonces p/2k=1
Otro ejemplo:
Si b1=2; b2=3; h2=2 y m=1; entonces p/2k = 1,917
Figura 5.8 p/2k para m=0 y α=0 para 3 BRT en PPP Modular.
Las curvas presentan mínimos para aquellas situaciones en las que la
distorsión de los bloques rígidos es mínima, lo que implica una distorsión menor del
flujo de material establecido. La gráfica menor de la figura 5.8 responde a iguales
factores de forma que los que aparecen en la otra gráfica, pero con áreas de
deformación mayores, sin embargo la evolución de p/2k es prácticamente la misma,
lo que confirma la dependencia de ésta con la relación geométrica entre el ancho (b)
y la altura (h) de la pieza.
5.4 Placas Planas Inclinadas con enfoque modular, 3 BRT, sin módulo previo y con rozamiento por adherencia
Tratamiento análogo al subapartado anterior, pero con PPI, y rozamiento por
adherencia (Fig. 5.9):
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4 5 6
0
1
2
3
4
0 5 10 15 20 25 30
Francisco de Sales Martín Fernández
150
Figura 5.9 Configuración geométrica de 3 BRT en PPI.
Y el hodógrafo para esta configuración es el mismo que en el caso anterior
(Fig. 5.10):
Figura 5.10 Hodógrafo para 3 BRT en configuración PPI.
Y aplicando el TLS:
[ ] VvbPVvAEvEDmmvDCvABmvDBvADkWdt
dW ⋅⋅⋅=⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅+⋅⋅⋅== 1122322312 ωω&
(5.37)
1
2112
1
1
cos;
θα
θsenVV
Vsen
xAD
+== (5.38)
h1
b1
x1
B
Vv
BRT1
BRT2
BRT3
A
CE D
h2 Φ1
θ1 α
θ1 V23
Vv V12
V3
V2 V1=0
α
Φ1
Metodología de aplicación del TLS mediante el modelo de BRT bajo enfoque Modular. Capítulo 5
151
1
2123
1
11
cos;
φα
φsenVV
Vsen
xbDB
+=
−= (5.39)
1
1
1
1
1
21
cos;
coshx
sen
hx
VV
bAB
ααα −== (5.40)
1122
11221
coscos
θαθα
senVVVsenVV
==+
(5.41)
1
212
cosθ
αsen
VV = (5.42)
1
1
221 cos
cosθ
θα
αsen
VsenVV =+ (5.43)
1
112 cos θαα
θtgsen
tgVV
−= (5.44)
Por otra parte, y según la configuración angular del hodógrafo:
( )11
3
1
23
1
12
22φθθπφπ +
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
senV
sen
V
sen
V (5.45)
( )11
3
1
23
1
12
coscos φθθφ +==
senVVV
(5.46)
112123 coscos θφ VV = (5.47)
1
11223 cos
cosφ
θVV = (5.48)
Francisco de Sales Martín Fernández
152
1112211
112212323 coscos
coscos
coscos φθαφφθαθα tgVVsenVVsenVVV +=+=+= (5.49)
Y como:
1122 cos θα senVV = (5.50)
( )1111211121123 coscos φθθφθθ tgsenVtgVsenVV +=+= (5.51)
Además;
1
21
1211221 coscos
θα
θαsenVV
VVsenVV+
=⇒=+ (5.52)
23
1
2123 cos
VsenVV
V =+
=φ
α (5.53)
Por lo que V3, velocidad de salida del módulo será:
( ) ( )( ) =++=++
= 1121111
1
21
3 coscos
φθαφθθθ
αtgtgsenVVtgsen
senVVV (5.54)
( ) 31
11111
1
111 1cos
Vtgtgtgtg
Vtgtgsentgsen
tgVV =⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
+⋅=+⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
+=θαφθφθα
θααθ (5.55)
Y de la expresión de la potencia (Ec. 5.37):
[ ] VvbPVvAEvEDmmvDCvABmvDBvADkWdt
dW ⋅⋅⋅=⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅+⋅⋅⋅== 1122322312 ωω&
tras sustituir y tomar x1 en el punto medio x1=b/2 nos queda:
Metodología de aplicación del TLS mediante el modelo de BRT bajo enfoque Modular. Capítulo 5
153
( ) ( )( ) ( )
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−++−
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−+
−+−−
+
++⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−+
+⋅
⋅⋅=
1
1
1
11
22
21
2
1
1
1
11
1
1
22
211
21
21
1
1
1
1
11
1
1
21
211
coscos
cos
cos
hxsen
hxV
mbhxbh
sen
hxsen
hxV
V
xbhxbxb
xhh
sen
hxsen
hxV
V
xxhx
k
ααα
ααα
ααα
ω
(5.56)
( )=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−+
−
+−+
−
+⋅⋅⋅=
1
1
1
1
1
12
22
21
1
11
21
21
1
coscoscos
cos
cos
cos
hxsen
hx
mb
hxsenh
hxb
hxsenh
xhkV
ααααα
α
αα
αω
(5.57)
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−+
−
++−+
−
+⋅⋅⋅=
1
1
1
2
22
222
1
1
221
1
2cos
2cos
2cos
cos4
2cos
cos4
hbsen
hb
mb
hbsenh
hbbb
hbsenh
bhkV
ααααα
α
αα
αω
(5.58)
bVPmbhh
bh
h
bh
btghkV
⋅⋅⋅=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+⋅⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛ ++
+⋅
−⋅⋅
= 12
2
1
2
22
2
1
22
1
1
1
cos244
2ω
ααω
(5.59)
De lo que resulta:
( )⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+⋅⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛ ++
+⋅
−⋅= mbh
h
bh
h
bh
btghbkP
αα 2
2
1
2
22
2
1
22
1
1 cos244
221
2 (5.60)
Si α=0 entonces h1=h2 y tendremos:
Francisco de Sales Martín Fernández
154
( )( )
kP
hmb
bh
mbhh
bh
h
bh
bhbkP
241244
0221
2 1
121
2
222
1
221
1
=+⋅
+=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+⋅⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛+
++
⋅⋅−⋅
= (5.61)
Ecuación idéntica a la obtenida para PPP 3 BRT modular sin módulo previo y
rozamiento por adherencia, y expresada en la gráfica de la figura 5.10.
Se muestra en la figura 5.11 la curva de evolución de p/2k para áreas
constantes (color negro), formada por la unión de diferentes puntos de igual área de
la serie de curvas correspondientes a diferentes alturas iniciales del módulo.
Figura 5.11 p/2k para 3 BRT en configuración modular PPI.
m=0,05 alpha=15º
0
2
4
6
0 1 2 3 4 5 6
Metodología de aplicación del TLS mediante el modelo de BRT bajo enfoque Modular. Capítulo 5
155
5.5 Placas Planas Inclinadas con enfoque modular, 3 BRT, con módulo previo y rozamiento por adherencia
Tratamiento análogo al subapartado anterior, pero con PPI (Fig. 5.12):
Figura 5.12 Configuración geométrica de 3 BRT en PPI.
Y el hodógrafo para esta configuración es el mismo que en el caso anterior
(Fig. 5.13):
Figura 5.13 Hodógrafo para 3 BRT en configuración PPI.
Y aplicando el TLS:
[ ] 1255645 VbPvABmvDBvADkWdt
dW ⋅⋅⋅=⋅⋅+⋅+⋅⋅⋅== ωω& (5.62)
h3
h2
b2
x2
B
Vv
BRT4
BRT5
BRT6
A
CE D
Φ2
θ2 α2
Ve
θ2
V56
Vv V45
V5
Ve
α
Φ2
V6
Francisco de Sales Martín Fernández
156
Además:
;cos
;2
25145
2
2
θα
θsenVV
Vsen
xAD
+== (5.63)
;cos
;2
25156
2
22
φα
φsenVV
Vsen
xbDB
+=
−= (5.64)
;cos
1;
cos 222
11
11
21
52
2
2
θααθα
φθθ
α tgsentgtg
tgtgtgV
Vbb
AB−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
++
== (5.65)
Por otra parte, V5 ha sido obtenida de las siguientes ecuaciones:
245251 cosθα VsenVV =+ (5.66)
24525 cos θα senVVeV += (5.67)
La velocidad genérica de un módulo previo PPI:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
+⋅=
1
111 1 θα
φθtgtgtgtg
VVe (5.68)
Así, de la Ec. 5.66: ;cos 2
25145 θ
αsenVVV
+= (5.69)
en la Ec. 5.67: 2
2
25125 cos
cos θθ
αα sen
senVVVeV
++= (5.70)
2252125 cos θαθα tgsenVtgVVeV ⋅⋅+⋅+= (5.71)
Metodología de aplicación del TLS mediante el modelo de BRT bajo enfoque Modular. Capítulo 5
157
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
+⋅+⋅=−
1
111212225 1
cosθαφθ
θθααtgtgtgtg
VtgVtgsenV (5.72)
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
++⋅=−
1
11212225 1
cosθαφθ
θθααtgtgtgtg
tgVtgsenV (5.73)
( )222
1
11
21
5 cos1
θααθαφθθ
tgsentgtgtgtg
tgVV
−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
++⋅
= (5.74)
Por otra parte:
( )22
1
11
16
2
45
2
561
22φθ
θαφθ
φπθπ +
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
+⋅−
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
sentgtgtgtg
VV
sen
V
sen
V (5.75)
( )22
1
11
16
2
45
2
561
coscos φθθαφθ
φθ +
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
+⋅−
==sen
tgtgtgtg
VVVV
(5.76)
Y teniendo en cuenta que:
( ) ( );cos;
;cos;;1;;
222
23
322
2223
222
22
22
222
222
22
2
11
1
11
2
22
xbh
h
xbh
xbsen
hx
h
hx
xsen
hxb
tghx
tghx
tg
−+=
−+
−=
+=
+=
−===
φφ
θθφθθ
(5.77)
( )
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
++⋅⋅⋅+
+−+
+⋅⋅=
222
1
1121
2
2
2
251
2
22
2
51
2
2
cos1
coscoscos θααθαφθθ
αφα
φθα
θω
tgsentgtgtgtgtgV
bm
senVVsen
xbsenVVsen
xkW& (5.78)
Francisco de Sales Martín Fernández
158
( ) ( )( ) ( ) 21
222
1
1121
2
21
2
2
2223
3
2222
1
1121
1
22
222322
22
22
2
2222
1
1121
1
2
22
222
cos1
cos
cos1
cos1
bVP
tgsentgtgtgtgtgV
hx
VVebm
xbhh
sentgsen
tgtgtgtgtgV
V
xbxbhxb
hxh
sentgsen
tgtgtgtgtgV
V
xhxx
kW ⋅⋅⋅=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
++⋅⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⋅
⋅+
+−+−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
++⋅+
−−+−
+
++−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
++⋅+
+⋅
⋅⋅= ω
θααθαφθθ
α
αθαα
θαφθθ
αθαα
θαφθθ
ω&
(5.79)
( )
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
++⋅
⋅+
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
+++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +−+
+⋅=
222
1
112
2
22
222
1
112
3
23
222
2
22
22
2 cos1
coscos1
121
2 θααθαφθθ
αα
θααθαφθθ
tgsentgtgtgtgtg
bmsen
tgsentgtgtgtgtg
hhxb
hhx
bkP
(5.80)
Si α1=α2=0; x2=b2/2 y x1=b1/2 entonces h1=h2=h3
p/2k del segundo módulo PPI con un módulo previo genérico (PPI) ó (PPP)
( ) ( ) ( )[ ]12222
22
2212
2
2
2
22
22
2
22
22
2
244
1224
44
421
2bbbmhb
hbbb
hbm
hhb
hhb
bkP
+⋅⋅++⋅=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+⋅
⋅+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ++
+⋅= (5.81)
Si b1=b2=2; h1=h2=1; m=0; entonces P/2k=1
Si b1=2; b2=3; h2=2; m=1 entonces P/2k=1,917
La velocidad de salida (V6) será:
( )2224522
2452452562456 cos
coscos φθθφ
φθθφθ tgsenVVesenVsenVVesenVsenVVeV ++=++=++= (5.82)
Metodología de aplicación del TLS mediante el modelo de BRT bajo enfoque Modular. Capítulo 5
159
( )2222
222
21
1121
1
1
1116 cos
coscos
1
1φθθ
θθαα
αθαφθθ
θαφθ
tgsentgsen
tgtgtgtgtgtgV
V
tgtgtgtg
VV +−
⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
++
++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
+= (5.83)
( )
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−
⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
++++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
+= 22
22
21
112
1
1116 1
11
1φθ
θα
αθαφθθ
θαφθ
tgtgtgtg
tgtgtgtgtgtg
tgtgtgtg
VV (5.84)
Si 11
11
1 θαφθ
tgtgtgtg
A−
+= entonces:
( ) ( ) ( ) 62222
2122
22
2216 1
11
1 Vtgtgtgtg
tgAAVtgtg
tgtgtgAtg
AVV =⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
⋅++=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
⋅+++= φθ
θααφθ
θααθ (5.85)
En la figura 5.14 se aprecia la evolución de p/2k para la disposición
establecida en este apartado para un ángulo de inclinación nulo. La figura siguiente
(Fig. 5.15) aporta exactamente la misma evolución, que es la que se produce
cuando se considera la configuración PPP Modular (α=0).
Figura 5.14 p/2k para m=0 y α=0 para 3 BRT en PPI Modular con α1=α2=0º.
0
1
2
3
4
0 1 2 3
Francisco de Sales Martín Fernández
160
Figura 5.15 p/2k para m=0 y 3 BRT en PPI Modular con α1=15º y α2=0º
La variación que se produce entre ambas situaciones es mínima, debido a
que las condiciones de contorno son muy similares; el coeficiente de rozamiento por
adherencia toma el mismo valor (m=0), el segundo módulo está formado por una
superficie de contacto herramienta-pieza con inclinación nula, y sólo es el primer
módulo, el que presenta una variación en forma de inclinación (15º) en uno de los
dos casos.
La figura 5.16 presenta la superposición de las gráficas mostradas en las
figuras 5.14 y 5.15, observándose la similitud existente entre ellas ya indicada.
Figura 5.16 Composición de gráficas; Modular; 3 BRT; m=0; PPP-PPI (con α1=15º y
α2=0º)
0
1
2
3
4
0 1 2 3
0
1
2
3
4
0 1 2 3
0
1
2
3
4
0 1 2 3
Metodología de aplicación del TLS mediante el modelo de BRT bajo enfoque Modular. Capítulo 5
161
5.6 Combinación de módulos. Rozamiento por adherencia
Uno de los objetivos fundamentales de la aplicación del método del TLS con
el modelo de BRT es alcanzar la posibilidad de adaptación a cualquier perfil de las
matrices que se corresponda con los utilizados en casos tecnológicos. Por ello, y
anticipándonos a los estudios que se realizarán en el capítulo 7, en donde se
efectuará una serie de aplicaciones sobre diversos perfiles, se procede en este
subapartado a una primera combinación de dos módulos, uno con PPP y el siguiente
con PPI (Fig. 5.17).
Sobre estos dos módulos, que responden a un perfil concreto recogido en la
figura 5.17, se va a calcular, bajo el presente enfoque modular, el valor que adquiere
la relación adimensional p/2k en diferentes instantes, que responden a diferentes
factores de forma del conjunto, es decir, por la variación geométrica que se genera
al descender el perfil completo, y que será determinado a partir de la disminución del
valor de la altura del módulo inicial (h1).
Estos dos módulos, considerados de forma independiente, responden a las
ecuaciones obtenidas en los apartados 5.2 a 5.5, la vinculación en la combinación
de ambos con la consideración del perfil propuesto vendrá dada por las velocidades
de salida del módulo previo y de entrada del módulo posterior (Fig. 5.18)
En el segundo módulo, las condiciones de contorno también se modifican,
puesto que sí existe en esta ocasión entrada de material, es decir, fluencia del
mismo, y por lo tanto la velocidad de entrada Ve será distinta de cero.
Francisco de Sales Martín Fernández
162
Figura 5.17 Módulos independientes para PPP y PPI.
Esta velocidad de entrada Ve será calculada como velocidad de salida del
módulo previo, es la denominada en las ecuaciones del primer módulo como V3, y
que se calcula a partir de la siguiente expresión:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
+⋅=
1
1113 1 θα
φθtgtgtgtg
VV (5.86)
Figura 5.18 Combinación de módulos en un perfil PPP-PPI
h1
x1 b1
B Vv
BRT1
BRT2
BRT3
A
C E D
h2 Φ1 θ1 h2
h1
b1
x
B
Vv
BRT1
BRT2
BRT3
A
CE D
Φ
θ1α
h1
x1
b1
Vv
BRT1
BRT2
BRT3
C
h2 Φ1θ1
b2
x
Vv
BRT1
BRT2
BRT3
h3 Φ
θ2α
Metodología de aplicación del TLS mediante el modelo de BRT bajo enfoque Modular. Capítulo 5
163
Figura 5.19 Resultados de p/2k para 2 módulos.
En la figura 5.19 y tabla 5.1 se muestra el resultado para diferentes factores
de forma del valor de p/2k del primer y segundo módulo. Ciertamente, y dado que el
segundo módulo es calculado en función de la fluencia de material del primero, es el
valor de este segundo módulo, el que corresponde al conjunto del perfil en estudio.
La inclinación del segundo módulo es de 15º, la altura h1 igual a 2 mm., y el
coeficiente de rozamiento m=0,1.
Tabla 5.1 Resultados de p/2k para 2 módulos.
0
1
2
3
4
5
6
0 1 2 3 4 5 6b/h
p/2k
p/2k Módulo1p/2k Módulo2
p/2k Módulo1 p/2k Módulo20,20 20,01 20,270,40 10,03 10,290,60 6,71 6,970,80 5,06 5,331,00 4,07 4,351,20 3,42 3,701,40 2,95 3,251,60 2,61 2,911,80 2,35 2,662,00 2,14 2,462,20 1,97 2,302,40 1,83 2,182,60 1,72 2,082,80 1,62 2,003,00 1,54 1,933,20 1,47 1,883,40 1,41 1,843,60 1,36 1,813,80 1,31 1,794,00 1,28 1,774,20 1,24 1,764,40 1,21 1,764,60 1,19 1,774,80 1,16 1,785,00 1,14 1,795,20 1,13 1,815,40 1,11 1,835,60 1,10 1,865,80 1,09 1,896,00 1,08 1,93
Francisco de Sales Martín Fernández
164
5.7 Comparación entre alternativas
El enfoque Modular se basa en el desarrollo de cuatro tipos de módulos que
permiten ser combinados entre sí hasta alcanzar cualquier configuración geométrica
que responda al perfil tecnológico a estudio.
Se han contemplado por lo tanto bajo este enfoque modular (considerando
una división del perfil de la herramienta formada por una combinación de módulos)
cuatro posibilidades claramente diferenciadas en cuanto a la configuración
geométrica y a la posición relativa de cada módulo. Así, tendremos las alternativas
de uso de módulos PPP o PPI, en ambos casos sin módulo, o con módulo previo.
En los cuatro casos planteados hasta el momento se mantiene inicialmente la
consideración de rozamiento por adherencia (en el Anexo A se encuentran
diferentes comparativas con la incorporación de rozamiento por deslizamiento
(Figuras A.18, A.73 a A.89 y Tablas A.74 a A.90)), y no se consideran los efectos de
la temperatura y el endurecimiento del material, que serán planteados en posteriores
apartados.
A modo de resumen de lo planteado hasta el momento en el estudio con
enfoque modular, se presenta en la figura 5.20 la gráfica resultante de las cuatro
diferentes opciones posibles para módulos de 3 BRT con rozamiento por adherencia
en perfiles de placas planas paralelas y planas inclinadas con las dos alternativas de
tener fluencia previa de material (con módulo previo), y sin velocidad de entrada de
material (sin módulo previo).
Metodología de aplicación del TLS mediante el modelo de BRT bajo enfoque Modular. Capítulo 5
165
Azul: PPP adh. sin Mód. Rojo: PPI adh. sin Mód.
Marrón: PPP adh. con Mód. Negro: PPI adh. con Mód.
Figura 5.20 Comparativa de 3 BRT Modular
Puede observarse como, tanto para PPP como para PPI, la gráfica que
responde a valores para un segundo módulo presenta una mayor pendiente debido
a la influencia que sobre él ejerce el primer módulo.
Si la comparación se realiza entre segundos ó primeros módulos, se advierte
que en ambos casos la opción de PPI mantiene valores más elevados de la relación
p/2k, lo cual resulta coherente con la situación de mayor distorsión que presentan los
BRT en módulos de este tipo. Cómo es fácilmente deducible, en un módulo PPI con
un ángulo de inclinación positivo (como es este caso), la velocidad de salida del
material del segundo módulo es mayor que el que tendríamos en el caso de estudiar
un caso de PPP (ocurre lo contrario, en el caso de que el módulo PPI tenga una
inclinación denominada por nosotros como negativa, es decir, la que configura que
la altura del módulo en la zona de salida del material (derecha) es mayor que la
altura en la zona de entrada (izquierda)).
0
1
2
3
4
5
6
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5
Francisco de Sales Martín Fernández
166
5.8 Otros casos tecnológicos
Se tratarán en este apartado aquellos otros casos no recogidos con
anterioridad, en los que se contemplan incorporaciones de parámetros que afectan
de forma relevante en el establecimiento del valor de p/2k buscado. Estos
parámetros no son otros que el rozamiento por deslizamiento (Coulomb), el
endurecimiento del material debido a la propia deformación (acritud), y el efecto que
produce la temperatura de forja.
Todos estos nuevos casos contemplados se mantendrán dentro del enfoque
modular y, por lo tanto, con módulos en diferentes configuraciones y posiciones
relativas, además de contemplar el hecho de que los módulos estarán compuestos
de tres bloques triangulares cada uno de ellos, y de que el valor de x1 será igual a la
mitad del ancho del módulo contemplado (b1/2).
5.8.1 Rozamiento por deslizamiento
5.8.1.1 Placas Planas Paralelas con enfoque modular, 3 BRT sin módulo
previo y rozamiento por deslizamiento
Se continúa la aplicación con el enfoque modular, en este caso para PPP sin
módulo previo, y a diferencia de estudio anterior, con rozamiento de Coulomb (Fig.
5.21).
Figura 5.21 Configuración geométrica de 3 BRT en PPP.
h1
x1 b1
B Vv
BRT1
BRT2
BRT3
A
CE D
h2 Φ1θ1
Metodología de aplicación del TLS mediante el modelo de BRT bajo enfoque Modular. Capítulo 5
167
Y el hodógrafo para esta configuración (Fig. 5.22):
Figura 5.22 Hodógrafo para 3 BRT en configuración PPP.
Y aplicando el TLS:
[ ] VvbPvABPvDBkvADkWdt
dW⋅⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅== 122312 ωμω& (5.87)
Siendo V1=Ve=0
1
12
1
1
cos;
θθVvV
senx
AD == (5.88)
1
23
1
11
cos;
φφVvV
senxb
DB =−
= (5.89)
121 ; θtgVvVbAB ⋅== (5.90)
( ) ( );cos;;cos;;
211
22
212
1122
1112
121
112
121
11
1
11
xbh
h
xbh
xbsen
hx
h
hx
xsen
hx
tg−+
=−+
−=
+=
+== φφθθθ
(5.91)
Tendremos:
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⋅⋅⋅+
−+⋅= 111
1
1
11
1
1
1
1
coscosθμ
φφθθω tgVbPk
Vsen
xbk
Vsen
xW& (5.92)
θ1 V23 Vv
V12
V3
V2
V1=0
Francisco de Sales Martín Fernández
168
( ) ( )( )
( )=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⋅⋅⋅+
−+−
−+−+
++⋅⋅=
1
111
2
11221
11
112211
1
21
211
1
21
211
hx
VbPkh
xbhVxb
xbhxbk
hhxV
xhxx
μω
(5.93)
( ) ( )( )[ ]=⋅⋅+⋅−++⋅+⋅
= 1
2
122
21
21
1
1 xbPkxbhkhxh
Vμ
ω (5.94)
h1=h2 en nuestro caso de PPP
( )[ ] 111122
121
1
1 222 bVPxbPkbxbhxh
V⋅⋅⋅=⋅⋅+⋅−++
⋅= ωμ
ω (5.95)
como x1=b1/2
11
22
1
22
1
1
22
2bVPbbPkbhbb
hV
⋅⋅⋅=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⋅⋅+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −++
⋅ωμ
ω (5.96)
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⋅
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⋅
= 1
1
2
1
22
212
12
hh
b
hPb
kP
μ (5.97)
De donde:
( )Phbhhb
kP
μ−⋅+
=11
2
1
2
224
2 (5.98)
Si b=2; h=1; μ=0 entonces p/2k = 1
Si b=2; h=1; μ=1 entonces p/2k = ∞
Metodología de aplicación del TLS mediante el modelo de BRT bajo enfoque Modular. Capítulo 5
169
Hay que tener en cuenta que a partir de μ=0,557 la adherencia es absoluta,
por lo que para un valor unidad de este tipo de coeficiente es lógico que el valor de
p/2k sea infinito (singularidad).
Si b=2; h=1; μ=0,5 entonces p/2k=2
Hasta este nivel de análisis se ha contemplado exclusivamente el rozamiento
por adherencia (o de Tresca). A partir de este momento, en apartados posteriores se
considerará un nuevo tipo de rozamiento, el rozamiento por deslizamiento, también
denominado de Coulomb.
El rozamiento por deslizamiento está afectado por el valor de la propia carga
aplicada, por lo que la incorporación de este tipo de rozamiento en las ecuaciones
que resuelven los diferentes casos proporciona una mayor complejidad, puesto que
sólo afecta a las superficies externas, mientras que las internas (superficies de
discontinuidad de velocidades) se mantienen con el coeficiente de rozamiento de
adherencia m.
La resolución de este tipo de ecuaciones recurrirá a un tratamiento
matemático iterativo, en el que se parte de una carga inicial con la que se calcula,
una vez despejada, la nueva carga necesaria a aplicar. En la figura 5.23 se ofrece
una comparativa de resultados entre la evolución presentada por esta configuración
sin ninguna iteración (sólo despejando el valor de p en la ecuación de partida), y la
que se presenta con una y dos iteraciones (resultados idénticos en los últimos dos
casos, puesto que se ha estimado un coeficiente de rozamiento nulo).
Francisco de Sales Martín Fernández
170
Figura 5.23 Evolución de p/2k para 3 BRT PPP Coulomb sin mód. previo y μ=0
Puede observarse (Fig. 5.23) como las iteraciones permiten establecer un
valor de p/2k más reducido (optimizado), por lo que se muestra la bondad del
tratamiento matemático empleado. Por otra parte, las iteraciones aplicadas
convergen rápidamente, de forma que la aplicación de una segunda iteración no
aporta ventajas sustanciales (incluso coincide en su valor cuando el coeficiente de
rozamiento es nulo (μ=0), por este motivo sólo se aplicará una iteración en el
desarrollo del modelo de BRT.
5.8.1.2 Placas Planas Paralelas con enfoque modular, 3 BRT con módulo
previo y rozamiento por deslizamiento
Aparece en este subapartado el módulo previo que interviene en el análisis a
través de la incorporación de la velocidad de salida del material del anterior módulo,
que conformará la denominada velocidad de entrada en el módulo presente (Fig.
5.24).
3 BRT PPP Coulomb sin mód. previo
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4 5 6
b/h1
P/2k
P/2k
p/2k iter1
p/2k iter2
Metodología de aplicación del TLS mediante el modelo de BRT bajo enfoque Modular. Capítulo 5
171
Figura 5.24 Configuración geométrica de 3 BRT en PPP.
Y el hodógrafo para esta configuración (Fig. 5.25):
Figura 5.25 Hodógrafo para 3 BRT en configuración PPP.
Y aplicando el TLS, y sabiendo que:
;cos
;2
145
2
2
θθV
Vsen
xAD == (5.99)
;; 2152 θtgVVeVbAB ⋅+== (5.100)
;cos
;2
156
2
22
φφV
Vsen
xbDB =
−= (5.101)
h2
x2
b2
B Vv
BRT4
BRT5
BRT6
A
CE D
h3 Φ2θ2
Ve
θ2 V45 Vv V56
V5
Ve
Φ2
V6
Francisco de Sales Martín Fernández
172
( ) ( );cos;;cos;;
222
23
322
2223
2222
222
222
222
22
2
22
xbh
h
xbh
xbsen
hx
h
hx
xsen
hx
tg−+
=−+
−=
+=
+== φφθθθ
(5.102)
Y además:
( ) ( )( )
( )⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⋅⋅+
−+−
−+−+
++⋅⋅=
2
212
3
2223
22
222322
2
22
22
2
22
222
hx
VVebPkh
xbhVxb
xbhxbk
hhxV
xhxx
W vv μω&
(5.103)
Y como:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
−+
⋅=
=++⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
⋅=⋅+⋅+=
221
111
22
12
2
1
1
1112562456
1
coscos1
φθθαφθ
φφ
θθθα
φθφθ
tgtgtgtgtgtg
V
senV
senV
tgtgtgtg
VsenVsenVVeV
(5.104)
Y teniendo presente que:
1
11 h
bVVe ⋅= (5.105)
la velocidad de entrada procedente de un módulo P es:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
+⋅=
1
111 1 θα
φθtgtgtgtg
VVe (5.106)
Y la velocidad de entrada procedente de un módulo I es:
1
11
1
1
1
1
1 1 hb
Vh
xbhx
VVe ⋅=
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛ −+
⋅= (5.107)
De este segundo tipo, si α=0 nos quedaría:
Metodología de aplicación del TLS mediante el modelo de BRT bajo enfoque Modular. Capítulo 5
173
( )21
2
11
2112
22
22
2
2
22
24
2 bVpb
tgb
h
hhbpbkh
bh
VW ⋅⋅⋅=
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
+
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⋅
⋅= ω
αμ
ω& (5.108)
Es decir, el mismo caso que si hubiéramos contemplado PPP en el módulo
previo:
Tomaremos este segundo caso más genérico, y como en PPP la altura inicial
y final del módulo coinciden (h2=h3):
( )
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
+
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⋅
+⋅⋅−
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛ +⋅
=
2
2
1
1
12
211
2
2
2
2
2
2
22
1
22
21
2
hb
tghb
hh
hhb
h
hb
b
kP
αμ
(5.109)
Y como x1=b1/2; x2=b2/2, actuando sobre esta ecuación:
( )=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
+−
−+
++−
++
⋅⋅=2
2
1
1
2
11
1
1
2
2
2
3
2
22
2
2
2
2
22
1 hx
hx
tg
hxb
hx
Pbkh
hxbk
hxh
VWα
μω& (5.109b)
Operando se obtiene:
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
+−
++
++
+⋅⋅=
2
2
1
1
2
1
1
1
22
22
22
2
222
2
2 22
1
2244
hb
hbtg
h
b
h
b
Pbkh
hb
kh
bhVW
αμω& (5.110)
Francisco de Sales Martín Fernández
174
Y como α1=0; tendremos que h1=h2, entonces:
( )( )2122
2
2
2
2
2
21
22
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
2444
22
1
44
21
22
21
2 bbhbhb
hbb
hbhb
hb
hb
h
hb
b
kP
+−+
=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +⋅−
+
=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⋅−
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛ +⋅
=μ
μμ (5.111)
Figura 5.26 Evolución de p/2k con μ=0,05 y α=15º.
En la figura 5.26 se aprecia, al igual que en otros casos anteriormente
explicados, las fuertes pendientes que desarrollan las curvas cuando el factor de
forma implica una elevada distorsión de los BRT dentro del módulo considerado, en
este caso para condiciones en las que está presente un coeficiente de rozamiento
de deslizamiento de valor igual a 0,05 (valor reducido) y con un ángulo de inclinación
de las matrices del primer módulo, de 15º.
0
1
2
3
4
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5
Metodología de aplicación del TLS mediante el modelo de BRT bajo enfoque Modular. Capítulo 5
175
5.8.1.3 Placas Planas Inclinadas con enfoque modular, 3 BRT sin módulo
previo y rozamiento por deslizamiento
Se inicia estas consideraciones sobre el módulo ya fijado de 3 BRT, sin
módulo previo y, ahora, rozamiento por deslizamiento (Fig. 5.27):
Figura 5.27 Configuración geométrica de 3 BRT en PPI.
Y el hodógrafo para esta configuración (Fig. 5.28):
Figura 5.28 Hodógrafo para 3 BRT en configuración PPI.
Y aplicando el TLS:
[ ] VvbPvABPvDBvADkWdt
dW ⋅⋅⋅=⋅⋅+⋅+⋅⋅⋅== 122312 ωμω& (5.112)
h1
b1
x1
B
Vv
BRT1
BRT2
BRT3
A
CE D
h2 Φ1
θ1α
θ1 V23
Vv V12
V3
V2 V1=0
α
Φ1
Francisco de Sales Martín Fernández
176
1
2112
1
1
cos;
θα
θsenVV
Vsen
xAD
+== (5.113)
1
2123
1
11
cos;
φα
φsenVV
Vsen
xbDB
+=
−= (5.114)
1
1
1
1
1
21
cos;
coshx
sen
hx
VV
bAB
ααα −== (5.115)
1122
11221
coscos
θαθα
senVVVsenVV
==+
(5.116)
1
212
cosθ
αsen
VV = (5.117)
1
1
221 cos
cosθ
θα
αsen
VsenVV =+ (5.118)
1
112 cos θαα
θtgsen
tgVV
−= (5.119)
Por otra parte, y según la configuración angular del hodógrafo:
( )11
3
1
23
1
12
22φθθπφπ +
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
senV
sen
V
sen
V (5.120)
( )11
3
1
23
1
12
coscos φθθφ +==
senVVV
(5.121)
112123 coscos θφ VV = (5.122)
Metodología de aplicación del TLS mediante el modelo de BRT bajo enfoque Modular. Capítulo 5
177
1
11223 cos
cosφ
θVV = (5.123)
Y como:
1122 cos θα senVV = (5.124)
Además:
1112211
112212323 coscos
coscoscoscos φθαφ
φθαθα tgVVsenVVsenVVV +=+=+= (5.125)
( )1111211121123 coscos φθθφθθ tgsenVtgVsenVV +=+= (5.126)
1
21
1211221 coscos
θα
θαsenVV
VVsenVV+
=⇒=+ (5.127)
23
1
2123 cos
VsenVV
V =+
=φ
α (5.128)
Por lo que V3; velocidad de salida del módulo será:
( ) ( )( ) =++=++
= 1121111
1
21
3 coscos
φθαφθθθ
αtgtgsenVVtgsen
senVVV (5.129)
( ) 31
11111
1
111 1cos
Vtgtgtgtg
Vtgtgsentgsen
tgVV =⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
+⋅=+⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
+=θαφθφθα
θααθ (5.130)
Y de la expresión de la potencia:
111
11
1
21
1
1
1
21
1
1
coscoscoscosbVP
tgsentgV
PbksenVV
senxb
ksenVV
senx
W ⋅⋅⋅=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
++−
++
⋅= ωθαα
θμαφ
αφθ
αθ
ω& (5.131)
Francisco de Sales Martín Fernández
178
y desarrollando para x1=b1/2 se obtiene:
( ) 1111
2
2
11
1
2
222
1
221
1 2cos2244 bVP
tgbhPbk
tgbhh
h
bh
h
bhVW ⋅⋅⋅=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−⋅+⋅⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
⋅⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛+
++
⋅⋅= ωαα
μα
ω& (5.132)
( )⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
⋅⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛ ++
+⋅
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⋅
−⋅=
11
1
2
22
2
1
22
1
111
2
2244
2cos12
12 α
ααμ tgbh
hh
bh
h
bh
tgbhbb
kP (5.133)
( )[ ]( )[ ] 2111
2
1
2
2121
2
22cos2cos8
2 hbtgbhbhhhhb
kP
⋅−−⋅⋅⋅++⋅
=μαα
α (5.134)
Figura 5.29 Evolución p/2k para μ=0,05 y α=15º.
Como en apartados anteriores, la figura 5.29 expresa los resultados obtenidos
para un coeficiente de rozamiento μ=0,05 y un ángulo de inclinación de las matrices
tanto del primer como del segundo módulo, de 15º.
Los valores de p/2k aumentan es este caso, en el que se ha considerado el
módulo previo como en el caso anterior con una inclinación de 15º, pero aquí el
segundo módulo, sobre el que se calcula la relación adimensional, también está
formado por placas planas con igual inclinación. El material es deformado en mayor
medida, por lo que la distorsión del flujo del mismo es mayor. El modelo es sensible
p/2k
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4 5 6
Metodología de aplicación del TLS mediante el modelo de BRT bajo enfoque Modular. Capítulo 5
179
a este hecho, y responde, aumentando el valor de la carga necesaria para lograr la
deformación, de ahí las pendientes más evidentes en las curvas de diferente valor
de altura inicial (h1).
5.8.1.4 Placas Planas Inclinadas con enfoque modular, 3 BRT, con módulo
previo y rozamiento por deslizamiento
Tratamiento análogo al realizado en subapartado anterior, pero con
rozamiento de tipo Coulomb (Fig. 5.30):
Figura 5.30 Configuración geométrica de 3 BRT en PPI.
Y el hodógrafo para esta configuración es el mismo que en el caso anterior
(Fig. 31):
Figura 5.31 Hodógrafo para 3 BRT en configuración PPI.
Y aplicando el TLS:
h3
h2
b2
x2
B
Vv
BRT4
BRT5
BRT6
A
CE D
Φ2
θ2 α2
Ve
θ2
V56
Vv V45
V5
Ve
α
Φ2
V6
Francisco de Sales Martín Fernández
180
[ ] 1255645 VbPvABPkvDBkvADWdt
dW ⋅⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅== ωμω& (5.135)
Y como:
;cos
;2
25145
2
2
θα
θsenVV
Vsen
xAD
+== (5.136)
;cos
;2
25156
2
22
φα
φsenVV
Vsen
xbDB
+=
−= (5.137)
;cos
1;
cos 222
11
11
21
52
2
2
θααθα
φθθ
α tgsentgtg
tgtgtgV
Vbb
AB−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
++
== (5.138)
Por otra parte, V5 ha sido obtenida de las siguientes ecuaciones:
245251 cosθα VsenVV =+ (5.139)
24525 cos θα senVVeV += (5.140)
y la velocidad V6 para un módulo genérico previo PPI
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
+⋅=
1
111 1 θα
φθtgtgtgtg
VVe (5.141)
de la Ec. 5.139 ;cos 2
25145 θ
αsenVVV
+= (5.142)
y en la Ec. 5.140 2
2
25125 cos
cos θθ
αα sen
senVVVeV
++= (5.143)
2252125 cos θαθα tgsenVtgVVeV ⋅⋅+⋅+= (5.144)
Metodología de aplicación del TLS mediante el modelo de BRT bajo enfoque Modular. Capítulo 5
181
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
++⋅=−
1
11212225 1
cosθαφθ
θθααtgtgtgtg
tgVtgsenV (5.145)
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
+⋅+⋅=−
1
111212225 1
cosθαφθ
θθααtgtgtgtg
VtgVtgsenV (5.146)
( )222
1
1121
5 cos1
θααθαφθθ
tgsentgtgtgtg
tgVV
−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
++⋅
= (5.147)
Por otra parte:
( )22
1
11
16
2
45
2
561
22φθ
θαφθ
φπθπ +
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
+⋅−
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
sentgtgtgtg
VV
sen
V
sen
V (5.148)
( )22
1
11
16
2
45
2
561
coscos φθθαφθ
φθ +
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
+⋅−
==sen
tgtgtgtg
VVVV
(5.149)
( )
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
++⋅
⋅⋅++−
++
⋅=222
1
1121
2
2
2
251
2
22
2
51
2
2
cos1
coscoscos θααθαφθθ
αμ
φα
φθα
θω
tgsentgtgtgtgtgV
bPk
senVVsen
xbk
senVVsen
xW&
(5.150)
Y teniendo en cuenta que:
( ) ( );cos;
;cos;;;;
222
23
322
2223
222
22
22
222
222
22
2
111
1
11
2
22
xbh
h
xbh
xbsen
hx
h
hx
xsen
hxb
tghx
tghx
tg
−+=
−+
−=
+=
+=
−===
φφ
θθφθθ
(5.151)
Francisco de Sales Martín Fernández
182
( )
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
++⋅
+⋅
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−
⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
+++⋅⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +−+
+⋅⋅=
222
1
112
2
2
222
21
112
3
23
222
2
22
22
1 cos1
coscos1
1θααθαφθθ
αμ
θαα
αθαφθθ
ωtgsentgtgtgtgtg
bPk
tgsen
sentgtgtgtgtg
hhxb
hhx
VW&
(5.152)
( )
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
++−⋅
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−
⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
+++⋅⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +−++
=
222
1
112
22
222
21
112
3
23
222
2
22
22
cos1
cos12
cos1
1
2
θααθαφθθ
αμ
θαα
αθαφθθ
tgsentgtgtgtgtg
b
tgsen
sentgtgtgtgtg
hhxb
hhx
kP (5.153)
Si α=0º; b1=b2=2; h1=h2=h3=1, entonces P/2k=4.
Figura 5.32 Evolución de p/2k de h1=2 a h1=0,4
Puede observarse en la figura 5.32 como evoluciona el valor de p/2k para
unas condiciones de μ=0,05, α1=15º, α2=0º y desde un estado inicial de h1=2 mm. se
deforma el material hasta una altura del módulo de h1=0,4 mm.
Las curvas presentan un comportamiento similar a las expresadas con las
mismas condiciones tecnológicas y geométricas, pero con rozamiento por
adherencia, aunque este hecho es posible porque el valor del coeficiente de
0
1
2
3
4
5
6
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5
Metodología de aplicación del TLS mediante el modelo de BRT bajo enfoque Modular. Capítulo 5
183
rozamiento es reducido (μ=0,05). Un mayor valor de μ proporciona una evolución
diferente de los valores de p/2k.
Una vez analizados los módulos de forma individual (teniendo presente las
influencias de los módulos previos sobre los segundos módulos), procederemos a
contemplar perfiles PPP-PPI ahora con rozamiento por deslizamiento.
5.8.1.5 Combinación de perfiles PPP-PPI con enfoque modular y rozamiento por
deslizamiento
Al igual que en el análisis efectuado con anterioridad para combinación de
módulos con rozamiento por adherencia, en este apartado la combinación de
módulos se efectuará con la incorporación de rozamiento de deslizamiento. La
combinación de módulos vendrá configurada por dos módulos de los estudiados con
anterioridad bajo el presente enfoque modular. En concreto, un módulo inicial con
geometría PPP, y uno situado a continuación con disposición PPI (Fig. 5.33).
Figura 5.33 Módulos independientes para PPP y PPI.
La vinculación en la combinación de ambos con la consideración del perfil
propuesto vendrá dada por las velocidades de salida del módulo previo y de entrada
del módulo posterior (Fig. 5.34)
h1
x1 b1
B Vv
BRT1
BRT2
BRT3
A
CE D
h2 Φ1θ1 h2
h1
b1
x
B
Vv
BRT1
BRT2
BRT3
A
CE D
Φ
θ1α
Francisco de Sales Martín Fernández
184
Figura 5.34 Combinación de módulos en un perfil PPP-PPI.
En el segundo módulo, las condiciones de contorno también se modifican,
puesto que sí existe en esta ocasión entrada de material, es decir, fluencia del
mismo, y por lo tanto la velocidad de entrada Ve será distinta de cero. En la figura
5.35 y tabla 5.2 se muestra el resultado para diferentes factores de forma del valor
de p/2k del primer y segundo módulo. Ciertamente, y dado que el segundo módulo
es calculado en función de la fluencia de material del primero, es el valor de este
segundo módulo, el que corresponde al conjunto del perfil en estudio. La inclinación
del segundo módulo es de 15º, la altura h1 igual a 2 mm, y el coeficiente de
rozamiento μ=0,1.
Figura 5.35 p/2k frente a b/h para 2 módulos en un perfil PPP-PPI
h1
x1
b1
Vv
BRT1
BRT2
BRT3
C
h2 Φ1θ1
b2
x
Vv
BRT1
BRT2
BRT3
h3Φ
θ2α
0
1
2
3
4
5
6
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6b/h
p/2k
p/2k Módulo1p/2k Módulo 2
Metodología de aplicación del TLS mediante el modelo de BRT bajo enfoque Modular. Capítulo 5
185
Tabla 5.2 Resultados de p/2k para 2 módulos en un perfil PPP-PPI.
.
Puede observarse como el segundo módulo toma valores más elevados que
el módulo previo para p/2k, y cómo, de forma adicional, van incrementándose éstos
con mayor rapidez en función del factor de forma (b/h). Las dos acciones vienen
refrendadas por el hecho de que el módulo previo es determinante en la deformación
de la pieza y del comportamiento de módulos posteriores, puesto que al segundo
módulo le alcanza un flujo de material con la misma dirección, pero de mayor
velocidad, determinado por el campo de velocidades impuesto.
b/h1 p/2k Módulo1 p/2k Módulo 20,05 10,04 20,450,1 5,05 10,46
0,15 3,40 7,150,2 2,58 5,51
0,25 2,09 4,530,3 1,77 3,88
0,35 1,54 3,430,4 1,38 3,10
0,45 1,25 2,850,5 1,15 2,66
0,55 1,08 2,510,6 1,01 2,39
0,65 0,96 2,300,7 0,92 2,23
0,75 0,89 2,170,8 0,86 2,13
0,85 0,84 2,110,9 0,82 2,09
0,95 0,80 2,091 0,79 2,09
1,05 0,78 2,101,1 0,77 2,12
1,15 0,77 2,151,2 0,76 2,19
1,25 0,76 2,231,3 0,76 2,29
1,35 0,76 2,351,4 0,76 2,42
1,45 0,76 2,511,5 0,77 2,60
Francisco de Sales Martín Fernández
186
5.8.1.6 Análisis comparativo de rozamiento por adherencia frente a
rozamiento por deslizamiento
Se procede a establecer una comparación entre los resultados ofrecidos por
las ecuaciones que gobiernan el cálculo de la relación p/2k en módulos
independientes de configuración PPI con un coeficiente de rozamiento igual a 0,1
(en ambos casos).
Como era de esperar, la curva debida al deslizamiento, dado que depende de
la carga aplicada, muestra una pendiente mayor que la de adherencia, indicando un
incremento más elevado en la carga aplicar para lograr una deformación dada.
Figura 5.36 Comparativa adherencia-deslizamiento.
Los valores contemplados en la comparación que se muestra en la figura 5.36
corresponden a un ángulo de inclinación de 5º, un valor de h1=1 y un coeficiente de
rozamiento de 0,1. Una exhaustiva comparación de ambas situaciones (adherencia-
deslizamiento) se encuentra recogida en el Anexo A. en las figuras A.85 a A.89 y
con valores correspondientes indicados en las Tablas A.76 a A.80.
5.8.2 Introducción del endurecimiento del material
Un segundo parámetro que nos permite incluir la aplicación del método del
TLS mediante BRT es la incorporación de la acritud.
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4 5b/h
p/2k
adh Módulo1adh. Módulo2desli. Módulo1desliz. Módulo2
Metodología de aplicación del TLS mediante el modelo de BRT bajo enfoque Modular. Capítulo 5
187
Se ha determinado al inicio de este capítulo como una de las principales
ventajas de la aplicación del modelo de BRT en la aplicación del TLS, la posibilidad
de considerar la aportación de diferentes parámetros en el cálculo de la relación
adimensional p/2k que nos sirve de referencia. Entre otros parámetros, han sido
fijados el coeficiente de rozamiento en sus dos comportamientos (adherencia y
deslizamiento), o el factor de forma. Se procederá a continuación a mostrar la
evolución de los resultados del proceso de forja, siempre bajo la consideración de
deformación plana, con la introducción del endurecimiento por deformación del
material (acritud).
La determinación, de forma simplificada, de la curva de fluencia es factible a
partir de ecuaciones como σf(φ)=φ0+Cφn , donde C y n son constantes específicas
del material (n es el coeficiente de endurecimiento por deformación). El material
considerado no puede considerarse en esta situación como rígido-plástico perfecto
debido a la incorporación de la acritud, por lo que prescindiremos en este apartado
de la hipótesis de partida correspondiente. La ecuación puede ser calculada sólo
cuando las constantes C y n son conocidas. Para este propósito se adjuntan en la
tabla 5.3 valores de las constantes para diferentes materiales metálicos.
Tabla 5.3 Valores de C y n para diferentes metales o aleaciones.
Material (DIN)
C (N/mm2)
n
St 38 730 0,10
St 42 850 0,23
St 60 890 0,15
20 Mn Cr5 950 0,15
100 Cr6 1160 0,18
Al 99.5 110 0,24
Al Mg3 390 0,19
Cu Zn40 800 0,33
15 Cr3 850 0,09
16 Mn Cr5 810 0,09
Francisco de Sales Martín Fernández
188
5.8.2.1 Placas Planas Inclinadas con enfoque modular, 3 BRT, con
rozamiento y endurecimiento del material
La aplicación del método se realizará de forma similar a los casos ya tratados
con anterioridad, es decir, bajo enfoque modular y con módulos de configuración PPI
(Placas Planas Inclinadas), puesto que la configuración PPP (Placas Planas
Paralelas) se considera como un caso particular de PPI con un ángulo de inclinación
de valor nulo.
De forma adicional, y siempre presente, se incluye el tipo y el valor del
coeficiente de rozamiento adecuado, ya sea este de adherencia o de deslizamiento.
La diferencia sustancial en la aplicación del modelo proviene de la
consideración de que el material va endureciéndose conforme progresa la
deformación, por lo que en lugar de obtener la relación p/2k para un valor de la
tensión de fluencia a cortadura pura k determinado, ésta va modificándose conforme
progresa el proceso de deformación. Para contemplar esta variación, se irán
calculando en etapas sucesivas de la deformación, el valor de la presión a aplicar,
teniendo presente cual es el valor de la tensión a cortadura pura k en cada instante.
Figura 5.37 3 BRT adh.+endurecimiento. Al995. Curva de proceso. h1=2 a 0,4; m=0.
0
200
400
600
800
1000
1200
0 1 2 3 4 5 6
Metodología de aplicación del TLS mediante el modelo de BRT bajo enfoque Modular. Capítulo 5
189
En la figura 5.37 se expresa, por tanto, el valor necesario de la presión
(N/mm2) para realizar el proceso de deformación sobre una aleación de Aluminio
(Al99.5) con valores de las constantes C=110 N/mm2 y n=0,24 para una
configuración sin módulo previo (se contempla un solo módulo). La matriz presenta
una Inclinación de 5º, y el rozamiento por adherencia de valor nulo.
Se observa en la citada figura la “foto fija” del valor de p para diferentes
situaciones geométricas (variación del factor de forma), por lo que la gráfica es
similar a las calculadas en apartados anteriores, dado que la modificación proviene
sólo del hecho de alterar el valor de la tensión de fluencia k.
Figura 5.38 3 BRT desliz.+endurecimiento. Al995. Curva de proceso. h1=2 a 0,4;
μ=0,05.
En la figura 5.38 se expresa, al igual que en la anterior, el valor de la presión
(N/mm2) necesario para realizar el proceso de deformación, pero aquí en este para
un coeficiente de rozamiento por deslizamiento de coeficiente μ=0,05,
manteniéndose inalterados los otros parámetros.
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
2000
0 1 2 3 4 5 6
Francisco de Sales Martín Fernández
190
Figura 5.39 3 BRT adherencia + endurecimiento. Al995. h1=2 a 0,4; m=0,05.
En las figuras 5.39 y 5.40 se muestran situaciones análogas a las anteriores,
con una modificación sustancial, en la que se contempla un módulo previo, si bien,
éste mantiene lamisca inclinación de 5º que presenta el segundo módulo. La figura
5.39 expone el caso de rozamiento por adherencia y la figura 5.40 el de rozamiento
por deslizamiento.
Figura 5.40 3 BRT deslizamiento + endurecimiento. Al995. h1=2 a 0,4; μ=0,05.
Las diferentes pendientes que se presentan por parte de las curvas de p/2k
en las gráficas 5.37 a 5.40 responden a lo analizado en cada uno de los apartados
desarrollados al efecto para el estudio de las diferentes situaciones geométrico-
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
0 1 2 3 4 5 6
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
Metodología de aplicación del TLS mediante el modelo de BRT bajo enfoque Modular. Capítulo 5
191
tecnológicas. Más interesante se considera estudiar la evolución de los valores de la
presión necesaria para lograr la deformación en un proceso completo. La figura 5.41
muestra esta solución para la misma aleación de aluminio contemplada en los casos
anteriores, partiendo de una altura inicial del módulo de 30 mm. y con variación del
ancho (b) del módulo en función del grado de deformación sufrido por la pieza. El
estudio indicado se refleja para diferentes ángulos de inclinación del módulo en un
rango de valores de α de 0º a 10º.
Figura 5.41 Adh.+ endurec. Al995. p con endurecimiento-grado deformación.
Tabla 5.4 Valores Adh.+ endurec. Al995. p con endurecimiento-grado deformación.
p con endurecimiento (Al99.5)h1=30 mm.; m=0; Área variable (mm2); b1= variable alpha variable
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50grado de deformación (%)
p co
n en
dure
cim
ient
o (N
/mm
2)
0º 2º 4º
6º 8º 10º
ángulo alphagrado deform. (%) 0º 2º 4º 6º 8º 10º
1,68 174 180 188 197 210 2263,39 183 190 198 209 224 2435,13 189 197 206 219 235 2576,90 194 202 213 227 246 2718,70 198 208 220 236 257 286
10,54 202 213 226 244 268 30112,40 206 218 233 253 280 31814,31 210 224 240 262 293 33716,25 215 229 248 273 307 35918,23 219 235 256 284 324 38320,25 224 242 265 297 342 41222,31 230 249 275 310 362 44624,42 235 257 286 326 386 48626,57 242 265 297 343 414 53428,77 248 275 311 363 445 59331,02 256 285 326 386 483 66833,31 264 296 342 411 528 76435,67 273 309 361 441 582 89138,08 282 323 382 476 648 106940,55 293 338 406 516 732 133243,08 305 355 433 564 839 175845,68 318 375 464 622 981 256948,34 332 396 500 693 1178 469051,08 347 421 542 781 1469 24383
Francisco de Sales Martín Fernández
192
Puede apreciarse en la figura 5.41 como va aumentando el valor de la presión
necesaria al aumentar el grado de deformación de la pieza, y en relación directa, a
su vez, con el coeficiente de rozamiento. Es evidente que los valores alcanzados
(Tabla 5.4) lo son, derivados de la modificación del valor de la tensión de fluencia.
Se ha acompañado la tabla 5.4 de dos columnas en las que se indican el
factor de forma (con una inclinación de 15º) y el valor de p/2k para cada factor de
forma, datos ambos que se representan en la figura 5.42.
La forma de las curvas de la figura 5.41 responde al efecto de compensación
que se ejerce por parte del menor valor de k respecto a la mayor distorsión que se
produce en la pieza cuando el factor de forma es muy reducido (valores menores a
la unidad). La combinación del aumento de k junto a factores de forma elevados
(superiores a 2) componen la pendiente de la zona derecha de las curvas de la
figura indicada, en mayor medida cuando aumenta la inclinación de la superficie de
la zona de contacto pieza-herramienta.
a) b)
Figura 5.42 Adh.+ endurec. Al995. p/2k frente a b/h.
La figura 5.42.a muestra la relación de p/2k en cada instante frente al factor
de forma a partir de los datos indicados en la tabla 5.4. esta gráfica sirve como
elemento de comparación con la estudiada bajo enfoque modular de un caso PPI sin
0
1
2
3
4
0 1 2 3b/h
p/2k
0
1
2
3
4
0 1 2 3
b/h
p/2k
Metodología de aplicación del TLS mediante el modelo de BRT bajo enfoque Modular. Capítulo 5
193
módulo previo y con un ángulo de inclinación de 5º (Fig. 5.42.b), resultando ambas
curvas idénticas.
5.8.3 Introducción del efecto de la temperatura
En los procesos de conformado por deformación plástica, tanto la
deformación interna del material como el rozamiento entre pieza y herramienta
contribuyen a una generación de calor que se traduce en un aumento de la
temperatura del proceso.
Hay que tener presente que la elevación de temperatura no ha de ser
excesivamente elevada, de tal forma que influya decisivamente en las propiedades
del material a deformar. En todo proceso de deformación, la magnitud y distribución
del incremento de temperatura depende, sobre todo, de la temperatura inicial del
material y de las estampas; de la generación de calor debida al movimiento
molecular interior de la pieza debido a la deformación; y de las transferencias de
temperaturas entre el material deformado y las matrices utilizadas para la
deformación, así como del material de la pieza y el entorno ambiental que la
envuelve.
Por lo tanto, la temperatura del proceso en cada momento, vendrá dada por la
ecuación:
ERdi TTTTT +++= (5.154)
Siendo
T = Temperatura del material en un momento determinado.
Ti = Temperatura inicial del material.
Td = Incremento de Tª debida a la deformación molecular.
TR = Incremento de Tª debida al rozamiento en la interfase.
TE = Incremento de signo negativo, debido a las transferencias de calor.
Francisco de Sales Martín Fernández
194
En la mayoría de los casos puede comprobarse que se compensan las
acciones de los términos TR y TE, por lo que la igualdad que determina el efecto de la
temperatura queda como sigue:
di TTT += (5.155)
El incremento de la temperatura debido a la deformación Td, toma un valor a
partir de la ecuación:
e
d pcJYT
⋅⋅⋅⋅= βε (5.156)
Donde:
Y (N/mm2) = Tensión de fluencia del material.
ε (cal/gr. ºC) = Calor específico del material.
pe (gr/mm3) = Peso específico del material.
J (4.17 J/cal) = Factor de conversión de energía mecánica en térmica.
La tensión de fluencia Y para procesos a temperatura constante vienen
determinadas, para diferentes materiales, por Bargueño [Bargueño, 1988]:
Tabla 5.5 Valores de Y para diferentes materiales.
Aluminio UNE
38115
ε (grado de deformación)
Temperatura
(ºC)
0,25 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7
0 114,1 120,5 131,6 148,8 156,1
200 68,3 71,2 76,2 80 82,7 84,2
400 28,7 29,3 29,8 30,3 30,6 31
Metodología de aplicación del TLS mediante el modelo de BRT bajo enfoque Modular. Capítulo 5
195
Acero F1110 UNE 36011
ε (grado de deformación)
Temperatura
(ºC)
0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7
0 523,2 548,5 567 582 594,4 605
200 406 429,6 447,3 461,5 473,4
600 254 280 276 272,6
Acero inox. F3507
UNE 36016 ε (grado de deformación)
Temperatura
(ºC)
0,25 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7
0 851,2 898,2 977,8 1044,3 1102 1153
200 567 596,4 646 687,4 723,1 754,8
400 434,4 457,1 495,3 527,1 554,6 579
A partir de los valores de la tensión de fluencia para diferentes materiales,
recogidos en la tabla 5.4, se puede obtener un polinomio interpolador de Lagrange,
con el que calcular el valor de la tensión de fluencia del material antes citada para
una determinada temperatura y grado de deformación, que para el caso del Aluminio
UNE 38115 será:
4002000 )200400()0400()200()0(
)400200()0200()400()0(
)4000()2000()400()200()( YTTYTTYTTTY ⋅
−⋅−−⋅−
+⋅−⋅−
−⋅−+⋅
−⋅−−⋅−
= (5.157)
. El valor de la presión p a aplicar se calcula en virtud del área de la pieza a
deformar, dado que se trabaja bajo deformación plana en un proceso de
deformación plástica considerado de volumen constante, por lo que será este área la
que habrá de mantener la citada constancia.
Francisco de Sales Martín Fernández
196
La figura 5.43 muestra la evolución de la carga a aplicar para un ejemplo de
deformación sobre aleación de Aluminio UNE 38115, con coeficiente de rozamiento
igual a 0,1, y sobre un perfil geométrico tal, que será estudiado mediante el modelo
de BRT bajo enfoque Modular con una composición de dos módulos, presentando
ambos una misma inclinación de 5º. Este ejemplo se considerará para los cuatro
casos derivados de diferentes combinaciones en el tipo de rozamiento de cada
módulo y de la consideración de que exista o no velocidad de entrada en la dirección
horizontal, de material procedente de un módulo previo.
Figura 5.43 3 BRT Endurecimiento + Temperatura. Coef. Roz.=0,1
5.8.4 Consideración de independencia de la velocidad de entrada
Una última consideración en el desarrollo del enfoque modular, que se
presenta en esta Tesis como cuerpo fundamental de la innovación en la aplicación
del método de los Bloques Rígidos Triangulares, es la de contemplar la velocidad de
entrada de material horizontal en los módulos de forma explícita de las ecuaciones
resultantes, por lo que se podrá definir la misma como un parámetro, que puede ser
fijado de una forma más simple, y por lo tanto, aumentar las posibilidades en la
simulación de casos.
Área variable; Grado def. 25%; h1=3mm.; Tª=0º
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
0 1 2 3 4 5 6Área
p co
n en
dure
cim
ient
o a
Tª c
te.
adh. Módulo1Desliz. Módulo1Adh. Módulo2Desliz. Módulo2
Metodología de aplicación del TLS mediante el modelo de BRT bajo enfoque Modular. Capítulo 5
197
Las soluciones aportadas hasta este apartado son perfectamente aplicables
con una relativa sencillez cuando se presenta el caso de un solo módulo o una
combinación formada por dos módulos, dado que la expresión que define a la
velocidad de salida del primer módulo (V3) ha sido incorporada en la ecuación
general. En todos aquellos casos en los que la complejidad del perfil de la
herramienta obliga a efectuar combinaciones de módulos en un número mayor o
igual a tres sería difícil establecer la continuidad de los diferentes módulos, puesto
que no se puede incorporar de forma explícita las velocidades de entrada y salida de
cada uno de los módulos implicados.
En esta última solución, que podríamos considerar como definitiva, el término
Ve queda claramente delimitado, por lo que la resolución de la ecuación pasa por el
cálculo previo de estas velocidades (a partir de ecuaciones diferentes, según sea el
caso del modelo previo existente) y su ulterior incorporación en la expresión general.
5.8.4.1 Placas Planas Inclinadas con enfoque modular, 3 BRT, con módulo
previo, rozamiento por adherencia y Ve Independiente
El presente análisis considera la Ve de una forma independiente, extrayéndola
de la ecuación general, de tal forma que podrá incluirse su valor concreto calculado
como valor de velocidad de salida del módulo previo. (Fig. 5.44).
Figura 5.44 Configuración geométrica de 3 BRT en PPI.
h3
h2
b2
x2
B
Vv
BRT4
BRT5
BRT6
A
C E D
Φ2
θ2 α2
Ve
Francisco de Sales Martín Fernández
198
Y el hodógrafo para esta configuración es el mismo que en el caso anterior
(Fig. 5.45):
Figura 5.45 Hodógrafo para 3 BRT en configuración PPI.
Y aplicando el TLS:
[ ] 1255645 VbPvABmvDBvADkWdt
dW ⋅⋅⋅=⋅⋅+⋅+⋅⋅⋅== ωω& (5.158)
( ) ( );cos;
;cos;;1;;
222
23
322
2223
222
22
22
222
222
22
2
11
1
11
2
22
xbh
h
xbh
xbsen
hx
h
hx
xsen
hxb
tghx
tghx
tg
−+=
−+
−=
+=
+=
−===
φφ
θθφθθ
(5.159)
Y tenemos:
;cos
;2
25145
2
2
θα
θsenVV
Vsen
xAD
+== (5.160)
;cos
;2
25156
2
22
φα
φsenVV
Vsen
xbDB
+=
−= (5.161)
;cos
1;
cos 222
11
11
21
52
2
2
θααθα
φθθ
α tgsentgtg
tgtgtgV
Vbb
AB−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
++
== (5.162)
θ2
V56
Vv V45
V5
Ve
α
Φ2
V6
Metodología de aplicación del TLS mediante el modelo de BRT bajo enfoque Modular. Capítulo 5
199
La velocidad del 5º bloque rígido (BRT5) V5. ha sido obtenida de las siguientes
ecuaciones:
245251 cosθα VsenVV =+ (5.163)
24525 cos θα senVVeV += (5.164)
genérico del módulo previo PPI
de 5.163 ;cos 2
25145 θ
αsenVVV
+= (5.165)
en 5.164 2
2
25125 cos
cos θθ
αα sen
senVVVeV
++= (5.166)
2252125 cos θαθα tgsenVtgVVeV ⋅⋅+⋅+= (5.167)
( ) 212225 cos θθαα tgVVetgsenV ⋅+=− (5.168)
( )222
215 cos θαα
θtgsen
tgVVeV
−⋅+
= (5.169)
Y así:
( )=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−
⋅+⋅⋅+
+−+
+⋅⋅=
222
21
2
2
2
251
2
22
2
51
2
2
coscoscoscos θααθ
αφα
φθα
θω
tgsentgVVeb
msenVV
senxbsenVV
senx
kW& (5.170)
( ) ( )( ) ( ) =
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−⋅+
⋅⋅
+
+−+−
⋅++
−−+−
+
++−
⋅+++⋅
⋅⋅=
222
21
2
2
2223
3
2222
211
22
222322
22
22
2
2222
211
2
22
222
coscos
cos
cos
θααθ
α
αθαα
θ
αθαα
θ
ω
tgsentgVVebm
xbhh
sentgsen
tgVVeV
xbxbhxb
hxh
sentgsen
tgVVeV
xhxx
kW& (5.171)
Francisco de Sales Martín Fernández
200
Por lo que:
( )21
222
21
2
2
2222
211
3
23
2222
2
22
22
coscos
cosbVP
tgsentgVVebm
sentgsen
tgVVeV
hhxb
hhx
k ⋅⋅⋅=
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−⋅+
⋅⋅
+
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
⋅++⋅⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +−+
+
⋅⋅= ω
θααθ
α
αθαα
θ
ω (5.172)
Y así:
( )⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−⋅+
⋅⋅
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
⋅++⋅⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +−+
+⋅=
222
21
2
22
222
211
3
23
222
2
22
22
12 coscoscos21
2 θααθ
αα
θααθ
tgsentgVVebm
sentgsen
tgVVeV
hhxb
hhx
VbkP
(5.173)
En la figura 5.46 se ofrece una comparativa del comportamiento de esta
configuración modular con introducción de forma externa de la velocidad de entrada,
para distintos valores del ángulo de inclinación de la matriz, manteniendo constante
una coeficiente de rozamiento por adherencia de 0,05 y una altura inicial del módulo
de 2 mm.
Se ha establecido un módulo previo de altura inicial, a su vez de valor 2 mm. y
con disposición PPP.
Figura 5.46 Comparativa segundo módulo.
m=0,05; h1=2
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4 5 6b/h
p/2k
alpha=0 alpha=5alpha=10 alpha=15alpha=20
Metodología de aplicación del TLS mediante el modelo de BRT bajo enfoque Modular. Capítulo 5
201
En la siguiente gráfica (Fig. 5.47) se muestra el comportamiento del primer
módulo indicado en el párrafo anterior, ambos módulos tienen un ancho b variable,
puesto que la altura se mantiene constante.
Figura 5.47 Comparativa primer módulo.
El comportamiento de estas ecuaciones son identificables con aquellas
soluciones desarrolladas para cada uno de los casos anteriores bajo enfoque
Modular, con la ventaja adicional en este nuevo tratamiento de que sólo es
necesario conocer la velocidad de salida del módulo previo (la dirección del flujo
siempre es horizontal, derivada de las condiciones de contorno).
5.8.4.2 Placas Planas Inclinadas con enfoque modular, 3 BRT, con módulo
previo, rozamiento por deslizamiento y Ve Independiente
Al igual que en el subapartado anterior, ahora, el análisis considera la Ve de
una forma independiente, extrayéndola de la ecuación general, de tal forma que
pueda incluirse su valor concreto calculado como valor de velocidad de salida del
módulo previo. (Fig. 5.48).
m=0,05; h1=2
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4 5 6b/h
p/2k
alpha=0 alpha=5alpha=10 alpha=15alpha=20
Francisco de Sales Martín Fernández
202
Figura 5.48 Configuración geométrica de 3 BRT en PPI.
Y el hodógrafo para esta configuración es el mismo que en el caso anterior
(Fig. 5.49):
Figura 5.49 Hodógrafo para 3 BRT en configuración PPI.
( ) ( );cos;
;cos;;1;;
222
23
322
2223
222
22
22
222
222
22
2
11
1
11
2
22
xbh
h
xbh
xbsen
hx
h
hx
xsen
hxb
tghx
tghx
tg
−+=
−+
−=
+=
+=
−===
φφ
θθφθθ
(5.174)
;cos
;2
25145
2
2
θα
θsenVV
Vsen
xAD
+== (5.175)
h3
h2
b2
x2
B
Vv
BRT4
BRT5
BRT6
A
CE D
Φ2
θ2 α2
Ve
θ2
V56
Vv V45
V5
Ve
α
Φ2
V6
Metodología de aplicación del TLS mediante el modelo de BRT bajo enfoque Modular. Capítulo 5
203
;cos
1;
cos 222
11
11
21
52
2
2
θααθα
φθθ
α tgsentgtg
tgtgtgV
Vbb
AB−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
++
== (5.176)
;cos
;2
25156
2
22
φα
φsenVV
Vsen
xbDB
+=
−= (5.177)
Y aplicando el TLS:
[ ] 1255645 VbPvABPkvDBkvADWdt
dW⋅⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅== ωμω& (5.178)
( )=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−
⋅+⋅⋅+⋅
+−+⋅
+⋅=
222
21
2
2
2
251
2
22
2
51
2
2
coscoscoscos θααθ
αμ
φα
φθα
θω
tgsentgVVeb
PksenVV
senxb
ksenVV
senx
W&
(5.179)
( ) ( )( ) ( ) =
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−⋅+
⋅⋅
+
+−+−
⋅++
−−+−
⋅+
++−
⋅+++⋅
⋅
⋅=
222
21
2
2
2223
3
2222
211
22
222322
22
22
2
2222
211
2
22
222
coscos
cos
cos
θααθ
αμ
αθαα
θ
αθαα
θ
ω
tgsentgVVebP
xbhh
sentgsen
tgVVeV
xbxbhxb
k
hxh
sentgsen
tgVVeV
xhxx
k
W& (5.180)
Y tenemos:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
+⋅=
1
111 1 θα
φθtgtgtgtg
VVe (5.181)
24525 cos θα senVVeV += (5.182)
245251 cosθα VsenVV =+ (5.183)
Francisco de Sales Martín Fernández
204
( )222
215 cos θαα
θtgsen
tgVVeV
−⋅+
= (5.184)
V5 ha sido obtenida de las siguientes ecuaciones:
1152115 cos θαθα tgsenVtgVVeV ⋅⋅+⋅+= (5.185)
( ) 212225 cos θθαα tgVVetgsenV ⋅+=− (5.186)
genérico del módulo previo PPI
de 5.185 ;cos 2
25145 θ
αsenVVV
+= (5.187)
en 5.186 2
2
25125 cos
cos θθ
αα sen
senVVVeV
++= (5.188)
Y así:
( )
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−⋅+
−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
⋅++⋅⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +−+
+
⋅=
2222
211
2222
211
3
23
222
2
22
22
2
coscos
cos21
2α
μθαα
θ
αθαα
θ
ptgsen
tgVVeV
sentgsen
tgVVeVh
hxbh
hx
bkp (5.189)
Figura 5.50 Comparativa segundo módulo.
mu=0,05; h1=2
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4 5 6b/h
p/2k
alpha=0 alpha=5alpha=10 alpha=15alpha=20
Metodología de aplicación del TLS mediante el modelo de BRT bajo enfoque Modular. Capítulo 5
205
En la figura 5.50 se ofrece una comparativa del comportamiento de esta
configuración modular con introducción de forma externa de la velocidad de entrada,
para distintos valores del ángulo de inclinación de la matriz, manteniendo constante
una coeficiente de rozamiento, ahora de tipo Coulomb, de valor igual a 0,05 y una
altura inicial del módulo de 2 mm.
Se ha establecido un módulo previo de altura inicial, a su vez, de valor 2 y con
disposición PPP.
En la siguiente gráfica (Fig. 5.51) se muestra el comportamiento del primer
módulo indicado en el párrafo anterior, ambos módulos tienen un ancho b variable,
puesto que la altura se mantiene constante.
Figura 5.51 Comparativa primer módulo.
En resumen, respecto a las ventajas que aporta esta nueva consideración en
la aplicación de las ecuaciones, es de destacar que, manteniendo los mismos
comportamientos de los anteriores desarrollos, y por tanto expuesta a las mismas
hipótesis y restricciones ofrece un elevado potencial de aplicación a perfiles de
herramienta de uso tecnológico, puesto que no hay que ir acoplando de forma
recursiva los diferentes tipos de ecuaciones dependientes de los módulos
mu=0,05; h1=2
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4 5 6b/h
p/2k
alpha=0 alpha=5alpha=10 alpha=15alpha=20
Francisco de Sales Martín Fernández
206
considerados, sino que en estas ecuaciones se incluye el valor de la velocidad de
salida del módulo previo, sirviendo éste de nexo de unión (en las condiciones
tecnológicas) entre cada uno de los módulos considerados. Los aspectos definidos
como no tecnológicos (geométricos) se incluirán en las distintas ecuaciones en virtud
de los parámetros geométricos que los definen.
CAPÍTULO 6
ESTUDIO DE SENSIBILIDAD Y COMPARACIÓN DEL MÉTODO DEL TLS MEDIANTE MODELO DE BRT CON MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS
Parece que si se obra para tener armonía en una ecuación, y realmente se tienen ciertas intuiciones, se está sobre el buen camino. Si no hay un completo acuerdo entre los resultados del trabajo y la experimentación, uno no debería desalentarse, pues la discrepancia puede deberse a detalles menores que se analizaron incorrectamente y que se aclararán con el posterior desarrollo de la teoría.
P. A. M. Dirac
Capítulo 6
ESTUDIO DE SENSIBILIDAD Y COMPARACIÓN DEL MÉTODO DEL TLS MEDIANTE MODELO DE BRT CON MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS
6.1 Análisis de sensibilidad
Una vez obtenidas las expresiones matemáticas que conducen al cálculo de
la relación adimensional p/2k, tanto para módulos aislados como para la
combinación de ambos, se va a proceder a mostrar los resultados obtenidos
mediante gráficas, estableciendo un estudio comparativo que refleje la evolución y el
comportamiento de las citadas ecuaciones.
En cada uno de los casos analizados se considerará la modificación de un
único parámetro diferente (longitud de los módulos, altura de los mismos, ángulo de
inclinación, etc.).
6.2 Influencia de la altura final del segundo módulo (h3) para h3<h2
En el caso de estudio que sigue a continuación, se considerará que la altura
h3 del segundo módulo (Fig. 6.1) es la que presenta variación (modificando por lo
Francisco de Sales Martín Fernández
210
tanto el ángulo de inclinación del segundo módulo), manteniéndose constante el
resto de parámetros.
El módulo inicial está formado por placas planas paralelas:
Figura 6.1 Configuración de 2 módulos y variación de la altura final del segundo
módulo
Figura 6.2 Comparativa de p/2k para primer y segundo módulo con m=0.
b1 b2
h1
h3 h2
m=0; b1=b2=1; h1=h2=1
0
1
2
3
4
5
0,10,20,30,40,50,60,70,80,91 h3
p/2k Módulo1
Módulo2
Estudio de sensibilidad y Comparación del método del TLS mediante modelo de BRT frente a MEF. Capítulo 6
211
Figura 6.3 Comparativa de p/2k para primer y segundo módulo con m=1.
Tabla 6.1 Resultados Comparativa de p/2k para primer y segundo módulo.
Ante estos resultados, recogidos en las tabla 6.1 y en la figuras 6.2 y 6.3, se
hace patente el hecho de que cuanto mayor es la inclinación del segundo módulo (h3
menor), se hace necesaria una mayor carga para ejecutar la deformación necesaria,
hecho que mantiene una coherencia elevada con la aplicación del método, puesto
que los BRT presentan una distorsión geométrica mayor. Por otra parte, el valor
resultante del primer módulo se mantiene constante dado que no se aplica ninguna
modificación geométrica sobre él.
Se han tomado valores extremos de rozamiento (m=0 y m=1) para expresar
con una mayor claridad la influencia de este efecto sobre la carga necesaria. Puede
observarse cómo, al aumentar la inclinación de la cara superior, aumenta la
superficie de trabajo en la que actúa el rozamiento por semiadherencia, por lo que el
valor de la carga mínima necesaria irá aumentando de forma consecuente.
m=1; b1=b2=1; h1=h2=1
0
1
2
3
4
5
0,10,20,30,40,50,60,70,80,91 h3
p/2k
Módulo1Módulo2
m=0 m=1b2 Módulo1 Módulo2 b2 Módulo1 Módulo2
1 1,25 1,25 1 1,50 2,000,91 1,25 1,38 0,91 1,50 2,170,82 1,25 1,53 0,82 1,50 2,380,73 1,25 1,70 0,73 1,50 2,630,63 1,25 1,90 0,63 1,50 2,940,53 1,25 2,15 0,53 1,50 3,340,42 1,25 2,51 0,42 1,50 3,920,3 1,25 3,11 0,3 1,50 4,84
0,16 1,25 4,70 0,16 1,50 6,90
Francisco de Sales Martín Fernández
212
6.3 Influencia de la longitud del segundo módulo
En este otro caso, es la longitud b2 del segundo módulo genérico la que se
modifica, estableciéndose un mínimo (elipse en las figuras 6.5 y 6.6) para aquella
configuración geométrica que se aproxima en mayor medida a la disposición óptima
de los BRT. El primer módulo se mantiene constante (figura 6.4).
Figura 6.4 Configuración dos módulos y variación de longitud final del segundo
módulo
Figura 6.5 Comparativa de p/2k para primer y segundo módulo con m=0.
b1 b2
h1
h3 h2
m=0; b1=1; h1=h2=1; h3=0,5
0
1
2
3
4
5
0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 2,2 2,4 2,6b2
p/2k
Módulo1Módulo2
Estudio de sensibilidad y Comparación del método del TLS mediante modelo de BRT frente a MEF. Capítulo 6
213
Figura 6.6 Comparativa de p/2k para primer y segundo módulo con m=1.
Tabla 6.2 Resultados Comparativa de p/2k para primer y segundo módulo.
6.4 Influencia de la altura final del segundo módulo (h3) para h3>h2
Con este nuevo análisis se pretende mostrar cómo, introduciendo el valor
adecuado de inclinación que provoca el cambio del valor de la altura h3 del segundo
módulo (Fig. 6.7) -en este caso, aunque también podría aplicarse sobre el primer
módulo, como se verá más adelante-, se van obteniendo valores mayores de p/2k
(figuras 6.8 y 6.9 y tabla 6.3), al igual que ocurre con la inclinación inversa ya
estudiada con anterioridad.
m=1; b1=1; h1=h2=1; h3=0,5
0
1
2
3
4
5
0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 2,2 2,4 2,6b2
p/2k
Módulo1Módulo2
m=0 m=1b2 Módulo1 Módulo2 b2 Módulo1 Módulo2
0,8 1,00 2,68 0,8 1,50 3,981 1,00 2,25 1 1,50 3,50
1,2 1,00 2,03 1,2 1,50 3,281,4 1,00 1,92 1,4 1,50 3,201,6 1,00 1,87 1,6 1,50 3,191,8 1,00 1,86 1,8 1,50 3,22
2 1,00 1,87 2 1,50 3,292,2 1,00 1,91 2,2 1,50 3,382,4 1,00 1,95 2,4 1,50 3,48
Francisco de Sales Martín Fernández
214
Figura 6.7 Configuración dos módulos y variación altura final del segundo módulo
Figura 6.8 Comparativa de p/2k para primer y segundo módulo con m=0.
Figura 6.9 Comparativa de p/2k para primer y segundo módulo con m=1.
m=0; b1=b2=1; h1=h2=1
0
1
2
3
1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8b2
p/2k
Módulo1Módulo2
m=1; b1=b2=1; h1=h2=1
0
1
2
3
1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8b2
p/2k
Módulo1Módulo2
b1 b2
h1
h3
h2
Estudio de sensibilidad y Comparación del método del TLS mediante modelo de BRT frente a MEF. Capítulo 6
215
Tabla 6.3 Resultados Comparativa de p/2k para primer y segundo módulo.
6.5 Influencia de la longitud del primer módulo
Se modificará, en este nuevo estudio, la longitud del primer módulo (Fig.
6.10), de placas planas paralelas, poniendo de manifiesto su influencia sobre la
carga calculada (Figuras 6.11 y 6.12 y tabla 6.4).
El ángulo de inclinación del segundo módulo se mantiene constante e igual a
10º. Sin embargo puede apreciarse que, aunque no se modifica geométricamente el
segundo módulo, éste no mantiene un valor constante, prueba de la influencia que
ejerce el primer módulo sobre el segundo, que viene dada por las velocidades de
flujo del material entre los módulos.
Figura 6.10 Configuración dos módulos y variación longitud inicial del primer módulo
b1 b2
h1
h3 h2
m=0 m=1b2 Módulo1 Módulo2 b2 Módulo1 Módulo2
1 1,25 1,25 1 1,50 2,001,08 1,25 1,12 1,08 1,50 1,841,17 1,25 0,99 1,17 1,50 1,711,27 1,25 0,87 1,27 1,50 1,581,36 1,25 0,75 1,36 1,50 1,471,47 1,25 0,62 1,47 1,50 1,361,58 1,25 0,49 1,58 1,50 1,261,7 1,25 0,34 1,7 1,50 1,17
1,84 1,25 0,18 1,84 1,50 1,08
Francisco de Sales Martín Fernández
216
Figura 6.11 Comparativa de p/2k para primer y segundo módulo con m=0.
Figura 6.12 Comparativa de p/2k para primer y segundo módulo con m=1.
Tabla 6.4 Resultados Comparativa de p/2k para primer y segundo módulo.
m=0; b2=1; h1=h2=1
0
1
2
3
1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8b2
p/2k
Módulo1Módulo2
m=1; b2=1; h1=h2=1
0
1
2
3
4
1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8b2
p/2k
Módulo1Módulo2
m=0 m=1b2 Módulo1 Módulo2 b2 Módulo1 Módulo2
0,4 2,60 2,79 0,4 2,70 3,110,6 1,82 2,03 0,6 1,97 2,520,8 1,45 1,69 0,8 1,65 2,36
1 1,25 1,53 1 1,50 2,381,2 1,13 1,47 1,2 1,43 2,501,4 1,06 1,47 1,4 1,41 2,701,6 1,02 1,51 1,6 1,42 2,961,8 1,00 1,60 1,8 1,45 3,25
2 1,00 1,72 2 1,50 3,60
Estudio de sensibilidad y Comparación del método del TLS mediante modelo de BRT frente a MEF. Capítulo 6
217
6.6 Influencia de la longitud del segundo módulo
Ahora será la longitud del segundo módulo genérico la que va a ser modificada,
manteniendo inalterable el primer módulo, en este caso también genérico (inclinado)
(Fig. 6.13). El mínimo de p/2k para este segundo módulo se presenta cercano a la
relación b/h de valor unidad (círculos de las figuras 6.14 y 6.15).
Figura 6.13 Configuración dos módulos y variación longitud del segundo módulo
Figura 6.14 Comparativa de p/2k para primer y segundo módulo con m=0.
b1 b2
h1
h3 h2
m=0; b1=2; h1=1
0
1
2
1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 2,2 2,4b2
p/2k
Módulo1Módulo2
Francisco de Sales Martín Fernández
218
Figura 6.15 Comparativa de p/2k para primer y segundo módulo con m=1.
Tabla 6.5 Resultados Comparativa de p/2k para primer y segundo módulo.
Aparece, de igual modo, el valor mínimo obtenido para aquella configuración
que optimiza la posición de los BRT, y se aprecia que toman el mismo valor de la
carga p/2k aquellas geometrías que mantienen el mismo factor de forma
(proporcional) y un rozamiento nulo (puesto que la aparición del rozamiento afecta a
los valores absolutos de las dimensiones), aún con distintas dimensiones (Figs 6.14
y 6.15) (Tabla 6.5). Hay que tener en cuenta que, aunque el ángulo de inclinación va
disminuyendo (en el primer módulo es constante y de valor igual a 10º), el aumento
de la longitud de la superficie superior implica el aumento de la carga necesaria para
efectuar la deformación.
m=0 m=1b2 Módulo1 Módulo2 b2 Módulo1 Módulo2
0,8 1,27 1,43 0,8 1,89 2,371 1,27 1,31 1 1,89 2,34
1,2 1,27 1,28 1,2 1,89 2,381,4 1,27 1,28 1,4 1,89 2,471,6 1,27 1,31 1,6 1,89 2,591,8 1,27 1,36 1,8 1,89 2,72
2 1,27 1,42 2 1,89 3,862,2 1,27 1,48 2,2 1,89 3,012,4 1,27 1,56 2,4 1,89 3,17
m=1; b1=2; h1=1
0
1
2
3
4
1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 2,2 2,4b2
p/2k
Módulo1Módulo2
Estudio de sensibilidad y Comparación del método del TLS mediante modelo de BRT frente a MEF. Capítulo 6
219
6.7 Influencia de la longitud del segundo módulo con h3>h2
De igual forma que en el caso estudiado con anterioridad en el que se
presentaban variaciones en la altura h3 y, por lo tanto, el ángulo de inclinación se
veía modificado, aquí se presenta igualmente esta disposición geométrica con
inclinación inversa. Así, aunque lo que se modifica es la longitud del segundo
módulo (Fig. 6.16), en todas las situaciones el material libre “diverge”, y por lo tanto
aparecen valores negativos en el segundo módulo para p/2k (Figuras 6.17 y 6.18 y
tabla 6.6), por lo que las condiciones en las que fluye el material se asemeja a una
cuasi-indentación que provoca el anómalo comportamiento indicado. Cuando
aparece el rozamiento, éste compensa en gran medida los valores negativos del
efecto de la divergencia y, por lo tanto, cambia la pendiente de la curva.
Figura 6.16 Configuración dos módulos y variación longitud del segundo módulo con
h3>h2
b1 b2
h1
h3 h2
Francisco de Sales Martín Fernández
220
Figura 6.17 Comparativa de p/2k para 1º, 2º módulo y combinación de ambos
Figura 6.18 Comparativa de p/2k para 1º y 2º módulo con m=1.
Como en casos anteriores, los mínimos se muestran enmarcados con círculos
de color (Figs. 6.17 y 6.18), estando aproximadamente alrededor del valor unidad.
Tabla 6.6 Resultados Comparativa de p/2k para primer y segundo módulo.
m=1; b1=2; h1=1
0
1
2
3
4
0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 2,2 2,4b2
p/2k
Módulo1Módulo2
m=0; b1=2; h1=1
0
1
2
0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 2,2 2,4b2
p/2k
Módulo1Módulo2
m=0 m=1b2 Módulo1 Módulo2 b2 Módulo1 Módulo2
0,8 1,27 1,43 0,8 1,89 2,371 1,27 1,31 1 1,89 2,34
1,2 1,27 1,28 1,2 1,89 2,381,4 1,27 1,28 1,4 1,89 2,471,6 1,27 1,31 1,6 1,89 2,591,8 1,27 1,36 1,8 1,89 2,72
2 1,27 1,42 2 1,89 3,862,2 1,27 1,48 2,2 1,89 3,012,4 1,27 1,56 2,4 1,89 3,17
Estudio de sensibilidad y Comparación del método del TLS mediante modelo de BRT frente a MEF. Capítulo 6
221
6.8 Influencia de la longitud del segundo módulo con primer módulo inclinado
En el caso presente, lo que es modificado es la longitud del segundo módulo
inclinado (Fig. 6.19) -igual que en el caso anterior-, si bien en este segundo módulo
analizado la geometría de los mismos realiza un efecto de “convergencia” respecto a
la fluencia del material y, por lo tanto, serán positivos todos los valores obtenidos
para p/2k (figuras 6.20 y 6.21 y tabla 6.7) -la inclinación del primer módulo es de 10º-
.
Figura 6.19 Configuración dos módulos y variación longitud del segundo módulo con
h3<h2
Figura 6.20 Comparativa de p/2k para primer y segundo módulo con m=0.
b1 b2
h1
h3 h2
m=0; b1=2; h1=1
0
1
2
3
4
5
0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 2,2 2,4b2
p/2k
Módulo1Módulo2
Francisco de Sales Martín Fernández
222
Figura 6.21 Comparativa de p/2k para primer y segundo módulo con m=1.
Tabla 6.7 Resultados Comparativa de p/2k para primer y segundo módulo.
6.9 Influencia del desplazamiento de la matriz de estampación -evolución del proceso-
Como último caso se presentará una combinación de dos módulos, el primero
de placas planas paralelas y el segundo de placas planas inclinadas, en donde la
variación se va a manifestar en la reducción simultanea de la altura de ambos
módulos (Fig. 6.22), por lo que se expresa la evolución “real” del proceso de
estampación de forma que las placas irán descendiendo verticalmente y el material
sobrante deberá ir fluyendo por la superficie libre, análoga en estas disposiciones al
cordón de rebaba (Figuras 6.23 y 6.24 y tabla 6.8).
m=1; b1=2; h1=1
0
1
2
3
4
5
6
7
0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 2,2 2,4b2
p/2k
Módulo1Módulo2
m=0 m=1b2 Módulo1 Módulo2 b2 Módulo1 Módulo2
0,8 0,87 4,32 0,8 1,31 6,341 0,87 3,43 1 1,31 5,16
1,2 0,87 2,95 1,2 1,31 4,541,4 0,87 2,68 1,4 1,31 4,201,6 0,87 2,52 1,6 1,31 4,011,8 0,87 2,43 1,8 1,31 3,92
2 0,87 2,39 2 1,31 3,892,2 0,87 2,38 2,2 1,31 3,902,4 0,87 2,39 2,4 1,31 3,94
Estudio de sensibilidad y Comparación del método del TLS mediante modelo de BRT frente a MEF. Capítulo 6
223
Figura 6.23 Configuración dos módulos y desplazamiento de la matriz de
estampación. (variación en altura)
Figura 6.24 Comparativa de p/2k para primer y segundo módulo con m=0.
Figura 6.25 Comparativa de p/2k para primer y segundo módulo con m=1.
h2
h1 h3
b1 b2
b1=b2=2
0
1
2
3
0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2b2
p/2k
Módulo1Módulo2
b1=b2=2
0
1
2
3
4
5
6
0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2b2
p/2k
Módulo1Módulo2
Francisco de Sales Martín Fernández
224
Tabla 6.8 Resultados Comparativa de p/2k para primer y segundo módulo.
Es reseñable que, de forma natural, una reducción de la altura de los módulos
implica una variación de p/2k, debido al diferente grado de distorsión de los BRT
contemplados en el módulo implicado, alejándose cada vez en mayor medida de la
disposición geométrica que aporta el mínimo óptimo. Este hecho se observa con
más intensidad en el caso de la presencia de rozamiento con adherencia completa
(m=1).
Este caso evidencia, a diferencia de los anteriores, una historia de la carga a
aplicar por medio de una matriz que descienda a velocidad constante. Tiene, por lo
tanto, un carácter “dinámico”, a diferencia de las disposiciones geométricas
“estáticas” y a su vez diferentes a las que se presentan en todos los casos
previamente contemplados. El valor de partida de h1=h2 es igual a la unidad.
Una vez analizados todos los resultados expresados en tablas anteriores, es
de destacar el comportamiento coherente que ofrece el nuevo enfoque modular, que
permite calcular de forma iterativa la carga mínima necesaria para obtener la
deformación plástica de una pieza sometida al desplazamiento de un perfil de
estampación complejo previamente determinado.
Se establece, a partir de los resultados anteriores, un análisis de sensibilidad
general de la influencia de los diferentes factores que entran en juego:
m=0 m=1b2 Módulo1 Módulo2 b2 Módulo1 Módulo2
2 1,25 1,53 2 1,50 2,381,8 1,18 1,49 1,8 1,45 2,441,6 1,11 1,46 1,6 1,42 2,551,4 1,06 1,47 1,4 1,41 2,741,2 1,02 1,54 1,2 1,43 3,05
1 1,00 1,72 1 1,50 3,600,8 1,02 2,19 0,8 1,65 4,67
Estudio de sensibilidad y Comparación del método del TLS mediante modelo de BRT frente a MEF. Capítulo 6
225
a) Manteniendo el módulo inicial constante:
a.1. Para módulos iniciales con disposición de placas planas paralelas y con
factor de forma b/h=1, el mínimo de p/2k para el segundo módulo se obtiene
con una disposición idéntica de módulo PPP (ángulo de inclinación de valor
nulo), y en algún caso con el mismo valor de p/2k, como puede apreciarse en
las configuraciones geométricas indicadas en las figuras 6.2 y 6.3.
a.2. En caso de que el segundo módulo sea inclinado (PPI), el valor de p/2k
de este segundo módulo presenta un mínimo para factores de forma de
b/hinicial=1,8 (con m=0) y b/hinicial=1,6 (para m=1) -véase figuras 6.5 y 6.6-,
factores de forma que establecen un compromiso en la inclinación de las
superficies de contacto entre los bloques que conforman el módulo,
ajustándose a un valor de aproximadamente 40º sin rozamiento, y alrededor
de los 35º con rozamiento por adherencia, en la inclinación de las dos
superficies.
a.3 En módulos iniciales inclinados (PPI) con inclinación positiva (mayor altura
inicial del módulo), y con segundo módulo inclinado también con ángulo
positivo, aparecen valores del ancho b2 que establecen un mínimo de p/2k, si
bien en este caso para b2=1,2 (con m=0) y b2=1 (para m=1). Este hecho es
producido por la menor cantidad de material que fluye procedente del módulo
previo.
En el caso de que el segundo módulo inclinado tenga la inclinación negativa,
se mantiene la aparición de un mínimo con m=1 para b2=1, y para m=0, de b2=1,2.
Para módulos iniciales inclinados con inclinación negativa y con segundos
módulos inclinados con inclinación positiva, se mantiene la aparición de un mínimo
que, con la disposición geométrica estudiada, se concentra en un b2=2,2 (con m=0) y
b2=2 (para m=1).
Francisco de Sales Martín Fernández
226
b) Manteniendo constante el segundo módulo inclinado y con inclinación positiva.
Como en los casos anteriores, es notable la presencia de un mínimo en el
estudio de la influencia del otro módulo. En esta ocasión, el mínimo queda fijado
para un valor de b2=1,4 (con m=0) y de b2=0,8 con (m=1), confirmándose el efecto
que produce el rozamiento en sentido contrario respecto al ejercido por el factor de
forma.
Estudio de sensibilidad y Comparación del método del TLS mediante modelo de BRT frente a MEF. Capítulo 6
227
6.10 Glosario de ecuaciones con modelo de BRT
Enfoque No Modular
1. Placas Planas Paralelas con enfoque no modular y 3 BRT
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −++=
41
22
21
2
22
12
1
11
mmb
hhbk
P (6.1)
con( )421
1mb
x−⋅
= (6.2)
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++=
212
21
22
1
2
1
11
mbhhbk
P (6.3)
con x1 = b1/2.
2. Placas Planas Paralelas con enfoque no modular y 4 BRT
( )[ ]21212121
222
21
21
1
23322322
12
xxxmxxbxbxbxhxhbk
P +⋅++−−+++⋅⋅⋅
= (6.4)
con
43
21
23
21 mm
mb
x−+
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅
= (6.5)
y ( )
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+⋅
+⋅=
434
2322 mm
mbx (6.6)
Francisco de Sales Martín Fernández
228
3. Placas Planas Paralelas con enfoque no modular y 5 BRT
( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−−−−++⋅+++++−−−++++
⋅⋅⋅
=323121
22321
32312132122
322
21
21
11
22222222422
12 xxxxxxxbxbxbxm
xxxxxxbxbxbxbxxhxhbk
P (6.7)
con
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+⋅+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅
=
41
42
344
1
2
2
2
2
1 m
mmxmbx (6.8)
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−+−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−+⋅
=10
225
2222
23
23
2 mmm
mmmbx (6.9)
( )4
22 121
3
xbbxxmx
−+−+⋅= (6.10)
4. Placas Planas Paralelas con enfoque no modular y 3 BRT con disposición
contraria
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅⋅= 2
1
222
1
221
846
21
2hmbmmb
bhkP (6.11)
Con ( )
22
1
+⋅= mbx (6.12)
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⋅−+++⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ ⋅−⋅⋅= 21
22
1
221
22
1
2222
12
224
222
12
hbbmbh
bbbhbbbbmbhk
P (6.13)
Con x1=b1/2
Estudio de sensibilidad y Comparación del método del TLS mediante modelo de BRT frente a MEF. Capítulo 6
229
5. Placas Planas Paralelas con enfoque no modular y 4 BRT con disposición
contraria
( )[ ]2121212121
222
21
21
1
2222232
12
xxxbxbxmxxbxbxbxxhbhk
P −−+⋅++−−+++⋅= (6.14)
con
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
=
43
41
2
2
1 mm
mbx (6.15)
( )4
22 112
bxbxmx
+−−= (6.16)
6. Placas Planas Paralelas con enfoque no modular y 5 BRT con disposición
contraria
( ) ( ) ( )[ ]mbxxxbxxxxxxxmxxxbxxxhbk
P32132
223121
2321
23
22
21
21
1
42
12
−−−+++++−−−++++⋅⋅
=
(6.17)
( )4
222 3232
1
bxxxxbmx
+−−−−= (6.18)
( ) ( )( )2
2
3
2
2 41244
mmmxmb
x−
−++−= (6.19)
( )12816
1272
24
3 −+−=
mmmbx (6.20)
Francisco de Sales Martín Fernández
230
7. Placas Planas Paralelas con enfoque no modular, 3 BRT y rozamiento de
deslizamiento
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −++⋅=
kPbPbkhbk
kbhkP
42
21
2
22222
1
1
μμ (6.21)
Con ( )
kPkbx
42
1
μ−= (6.22)
2
1
2
1
2
244
2 bbhhb
kP
μ−+
= (6.23)
Con x1=b1/2
8. Placas Planas Inclinadas con enfoque no modular y 3 BRT, rozamiento por
adherencia
( )⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−+++−⋅
+−+
++−+
−++
⋅=11211
22112
221
21
1
221
2
21
211
2
11211
21
21 22
21
2 hxhxbhbhhhhmx
bhx
bhhxh
hxbxbhxhxbh
bhbxk
P (6.24)
9. Placas Planas Inclinadas con enfoque no modular y 3 BRT con rozamiento por
deslizamiento
( ) ( )
( ) ⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+−
+−
++
⋅=
αθααθμ
αθφφαθθθ
tgtgtgb
b
tgtgsenxb
tgsensenx
kP
1coscos
1coscos21
2
11
(6.25)
Estudio de sensibilidad y Comparación del método del TLS mediante modelo de BRT frente a MEF. Capítulo 6
231
( )( ) ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+
+⋅
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
++
++
⋅=btgbh
tgbh
htgbh
hbtgbhhb
bkP
μαααα
αα 12
12
12
22
2
1
21
2
2cos2cos
212
4244
21
2 (6.26)
Con x1=b1/2
Enfoque Modular
10. Placas Planas Paralelas con enfoque modular, 3 BRT sin módulo previo y
rozamiento por adherencia
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −++=
41
22
21
2
222
1
1
mmbhbhk
P (6.27)
( )1
1
41
2 hmb
bh
kP ++= Con x1=b1/2 (6.28)
11. Placas Planas Inclinadas con enfoque modular, 3 BRT, sin módulo previo y con
rozamiento por adherencia
( )⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+⋅⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛ ++
+⋅
−⋅= mbh
h
bh
h
bh
btghbkP
αα 2
2
1
2
22
2
1
22
1
1 cos244
221
2 (6.29)
con x1=b1/2
12. Placas Planas Paralelas con enfoque modular, 3 BRT con módulo previo y
rozamiento por adherencia
( )
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −++
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⋅=
11
1
11
1221122
2
22
22
2
224
22
12 α
α
tgbh
tgbhbhhbmb
hb
hbkP (6.30)
Francisco de Sales Martín Fernández
232
con x1=b1/2 y x2=b2/2
13. Placas Planas Inclinadas con enfoque modular, 3 BRT, con módulo previo y
rozamiento por adherencia
( )
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
++⋅
⋅+
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
+++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +−+
+⋅=
222
1
112
2
22
222
1
112
3
23
222
2
22
22
2 cos1
coscos1
121
2 θααθαφθθ
αα
θααθαφθθ
tgsentgtgtgtgtg
bmsen
tgsentgtgtgtgtg
hhxb
hhx
bkP
(6.31)
14. Placas Planas Paralelas con enfoque modular, 3 BRT sin módulo previo y
rozamiento por deslizamiento
( )Phbhhb
kP
μ−⋅+
=11
2
1
2
224
2 (6.32)
15. Placas Planas Inclinadas con enfoque modular, 3 BRT sin módulo previo y
rozamiento por deslizamiento
( )[ ]( )[ ] 2111
2
1
2
2121
2
22cos2cos8
2 hbtgbhbhhhhb
kP
⋅−−⋅⋅⋅++⋅
=μαα
α (6.33)
16. Placas Planas Paralelas con enfoque modular, 3 BRT con módulo previo y
rozamiento por deslizamiento
( )( )2122
2
2
2
2
2444
2 bbhbhb
kP
+−+
=μ
(6.34)
Estudio de sensibilidad y Comparación del método del TLS mediante modelo de BRT frente a MEF. Capítulo 6
233
17. Placas Planas Inclinadas con enfoque modular, 3 BRT, con módulo previo y
rozamiento por deslizamiento
( )
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
++−⋅
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−
⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
+++⋅⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +−++
=
222
1
112
22
222
21
112
3
23
222
2
22
22
cos1
cos12
cos1
1
2
θααθαφθθ
αμ
θαα
αθαφθθ
tgsentgtgtgtgtg
b
tgsen
sentgtgtgtgtg
hhxb
hhx
kP (6.35)
18. Placas Planas Inclinadas con enfoque modular, 3 BRT, con módulo previo,
rozamiento por adherencia y Ve Independiente
( )⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−⋅+
⋅⋅
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
⋅++⋅⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +−+
+⋅=
222
21
2
22
222
211
3
23
222
2
22
22
12 coscoscos21
2 θααθ
αα
θααθ
tgsentgVVebm
sentgsen
tgVVeV
hhxb
hhx
VbkP
(6.36)
19. Placas Planas Inclinadas con enfoque modular, 3 BRT, con módulo previo,
rozamiento por deslizamiento y Ve Independiente
( )
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−⋅+−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
⋅++⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +−++
⋅=
2222
211
2222
211
3
23
222
2
22
22
2
coscos
cos21
2α
μθαα
θ
αθαα
θ
ptgsen
tgVVeV
sentgsen
tgVVeVh
hxbh
hx
bkP (6.37)
Francisco de Sales Martín Fernández
234
6.11 Comparación TLS con modelo de BRT frente a MEF. Introducción
Si bien en puridad la validación real de un método requiere la comparación de
resultados frente a los obtenidos de forma experimental, en el presente capítulo, y a
la espera de llevar a cabo los experimentos pertinentes, se procede a realizar una
comparación de resultados obtenidos en esta Tesis con aquellos obtenidos mediante
un método matemático alternativo, de naturaleza sustancialmente diferente [Choi,
1998] [Lin, 1997] [Wang, 1995] [Lin, 1998].
En concreto, el grado de aplicabilidad del modelo desarrollado se establecerá
mediante una comparación de resultados entre el método analítico propuesto de
aplicación del Teorema del Límite Superior aplicando el modelo de Bloques Rígidos
Triangulares frente a un método de análisis numérico actualmente muy utilizado, el
método de elementos finitos (MEF) [Alfozan, 2003] [Moller, 2004]. Tras esta
comparación, se someterá a discusión los resultados obtenidos por ambos
procedimientos.
Frente a los métodos analíticos, el MEF se desarrolló inicialmente al final de la
década de los cincuenta, con la intención de resolver problemas estructurales
surgidos de los avances que, en su momento, experimentó la tecnología
aeronáutica. Con posterioridad dio lugar a una profunda evolución en ingeniería civil,
y en la actualidad su uso está ampliamente extendido en tecnologías
correspondientes a disciplinas muy diferentes. La aplicación del MEF [Hartley, 1979]
[Kobayashi, 1989] se basa en la discretización del continuo o estructura objeto de un
estudio en un conjunto de elementos interconectados en nodos, y en la utilización de
unas funciones matemáticas que gobiernan el elemento mediante un principio
integral de carácter energético para cada uno de ellos.
El MEF ha sido extendido al tratamiento no lineal a partir de Wilson y Felippa
[Wilson, 1963] [Fellippa, 1966]. Posteriormente, en trabajos de Pope y Marcal, se ha
aplicado en la resolución de problemas elastoplásticos [Pope, 1966] [Marcal, 1967].
En fechas posteriores se han realizado numerosos trabajos de aplicación del MEF al
estudio de los procesos de deformación plástica sobre metales, entre los que cabe
Estudio de sensibilidad y Comparación del método del TLS mediante modelo de BRT frente a MEF. Capítulo 6
235
destacar los de Ryutaro, Jun, Oñate, Sánchez y Sebastián [Ryutaro, 2008] [Jun,
2007] [Oñate, 1980] [Sánchez-Pérez, 1980] [Sebastián, 1980].
La simulación se ha realizado con el programa de elementos finitos
ABAQUS/Standard [Hibbitt, 2003].
ABAQUS es un programa de simulación de gran potencia, basado en el
método de elementos finitos, que permite la resolución de problemas de todo tipo,
tanto lineales como no lineales. Este programa se puede extender a todo tipo de
material, así como a cualquier tipo de trabajo estructural y simular problemas de
diversas áreas, como transferencia de calor, difusión de masa, acústica, etc.
El sistema de elementos finitos ABAQUS se compone de varios paquetes:
o ABAQUS/Standard. Es el módulo utilizado en este trabajo, es de propósito
general e integración implícita, incluyendo todas las capacidades de
análisis, excepto el dinámico no lineal. Resulta por tanto adecuado para
simular procesos de conformado por deformación plástica, como la forja.
o ABAQUS/Explicit. Es el módulo de cálculo de elementos finitos dinámico
no lineal, de sólidos y estructuras mediante integración de tiempo explícita.
o ABAQUS/CAE. Es el módulo interactivo para crear modelos de elementos
finitos, análisis de trabajos y evaluación de resultados. Está compuesto por
el preprocesador y por el postprocesador, permitiendo definir geometrías,
materiales y mallados automáticos, así como condiciones de contorno y de
carga para cada análisis.
Dado que los procesos de conformado por deformación plástica son procesos
cuasiestáticos, se ha eligido un análisis con ABAQUS/Standard, permitiendo simular
procesos tanto dinámicos como estáticos.
Francisco de Sales Martín Fernández
236
El programa ABAQUS hace distinción entre cuerpos deformables y cuerpos
rígidos. El cuerpo deformable es aquel que se analiza a través del MEF, mientras
que el cuerpo rígido no es analizado.
Por otra parte, ABAQUS tiene una gran librería de elementos finitos,
permitiendo resolver gran variedad de problemas.
Cada elemento se determina por las siguientes características clasificatorias:
• Familia
• Grados de libertad
• Número de nodos
• Formulación
• Integración
Cada elemento recibe un único nombre, en el que vienen caracterizados los
cinco aspectos citados anteriormente.
Familia. Cada familia (Fig. 6.26) se caracteriza por su tipo de geometría,
diferenciándose de esta manera de las otras. Hay una gran variedad de familias,
pero las más comunes son: elementos continuos, elementos de barra, elementos
membrana, elementos planos o elementos de viga.
Figura 6.26 Diferentes tipos de familias
El nombre con el que se designa a cada elemento está compuesto por letras y
números. La primera letra indica a la familia a la que pertenece, así en C3D8I, la C
expresa que pertenece a un elemento continuo.
Elemento continuo o sólido Elemento membrana Elemento barra
Estudio de sensibilidad y Comparación del método del TLS mediante modelo de BRT frente a MEF. Capítulo 6
237
Grados de libertad. Los grados de libertad son las variables obtenidas durante el
análisis, así el desplazamiento serán las traslaciones de cada nodo.
Número de nodos. Los desplazamientos, rotaciones, temperaturas y otros grados de
libertad son calculados en los nodos del elemento. Para calcular una variable global
del modelo, ésta se obtiene por medio de una interpolación de las variables de los
nodos.
El orden de interpolación viene condicionado por el número de nodos definido
en el elemento, pudiendo ser esta:
- Interpolación lineal: Únicamente hay nodos en los vértices del elemento. A
estos elementos se les denominan elementos de primer orden (Fig. 6.27).
Figura 6.27 Elementos de primer orden
- Interpolación cuadrática: Además de tener nodos en los vértices del
elemento también hay nodos en el medio de las aristas de cada lado. A
estos elementos se les denomina de segundo orden (Fig. 6.28).
Figura 6.28 Elementos de segundo orden
Francisco de Sales Martín Fernández
238
Una variación de esta segunda, consiste en que el elemento en lugar de ser
cuadrado es triangular, recibiendo los elementos el nombre de elementos
modificados de segundo orden.
Formulación. Se refiere a la teoría matemática utilizada para definir su
comportamiento. Se emplean tres tipos: Lagrangiana, Euleriana y una combinación
de ambas.
La formulación Lagrangiana se basa en que los elementos de la malla se
deforman conjuntamente con el material. En la formulación Euleriana los elementos
de la malla permanecen fijos en el espacio mientras que el material fluye a través de
ellos. La combinación de ambos métodos consiste en permitir el movimiento de los
elementos de la malla con independencia del movimiento del material.
Todos los elementos utilizados en ABAQUS utilizan formulación Lagrangiana,
a excepción de lo elementos denominados híbridos, que cuentan con una
formulación adicional y son familias de ABAQUS/Standard.
Integración. ABAQUS utiliza varias técnicas para integrar el volumen de cada
elemento a la hora de hallar los resultados. Calcula la respuesta en puntos interiores
de cada elemento, denominados puntos de integración, respecto de las cargas
externas. La técnica más utilizada en ABAQUS es la cuadrática Gaussiana,
evaluando la respuesta del material en cada uno de los puntos de integración del
elemento.
Algunos elementos continuos, pueden utilizar integración reducida o
integración completa (Fig. 6.29).
Si el elemento es de integración reducida, se le denomina con una letra R al
final del nombre, por ejemplo: CAX4R.
El programa consta de una serie de módulos a partir de los cuales se
construirá nuestro modelo. A continuación se presentan los pasos a seguir.
Estudio de sensibilidad y Comparación del método del TLS mediante modelo de BRT frente a MEF. Capítulo 6
239
Figura 6.29 Tipos de integración en función del tipo de elemento
En resumen, y para el caso que se ha estudiado, la pieza se ha modelado
como sólido deformable, mientras que la plataforma plana se ha considerado una
superficie rígida analítica, lo que da lugar a un modelo más sencillo a la hora de
realizar los cálculos. Por otro lado, se ha asumido un modelo de material rígido–
plástico perfecto para la pieza, cuyas principales propiedades mecánicas
(correspondientes a una aleación de aluminio) se presentan en la Tabla 6.9.
Tabla 6.9 Características del material en estudio
El mallado de la pieza se ha realizado mediante el tipo de elemento CPE4R,
perteneciente a la librería de elementos del programa ABAQUS. Concretamente, se
trata de un elemento continuo, de deformación plana, interpolación lineal e
integración reducida, apto para el tipo de análisis que se va a llevar a cabo.
En la Fig. 6.30 se muestra la disposición del mallado y la simulación
efectuada por el método de los elementos finitos para una deformación del 50%.
E (Pa) ν Y (Pa)
2.1011 0,3 7.108
Integración reducida
Integración completa Integración reducida
Integración completa
Francisco de Sales Martín Fernández
240
Figura 6.30 Mallado mediante MEF
También se puede observar en la Fig. 6.31 las distribuciones de tensiones y
deformaciones plásticas equivalentes para b/h=0,5 con b=0,5, una deformación del
25% y un coeficiente de rozamiento por deslizamiento μ = 0,3.
Figura 6.31 Distribuciones de tensiones y deformaciones mediante MEF
6.12 Aplicación del MEF
En la Tabla 6.10 se ofrecen los datos resultantes de aplicar el MEF para una
altura de un cuarto de pieza de valor unidad h=1 y diferentes grados de deformación
(r). Se ha procedido a calcular el valor de la relación adimensional p/2k, siendo p la
presión media aplicada sobre la pieza en estudio para un grado de deformación
dado, y k, la tensión de fluencia a cortadura pura del material.
El programa ABAQUS impone la condición de que el tipo de rozamiento
considerado sea de deslizamiento, que es también conocido como rozamiento de
Coulomb.
Estudio de sensibilidad y Comparación del método del TLS mediante modelo de BRT frente a MEF. Capítulo 6
241
Serán estos datos de la tabla 6.10 los que van a servir de modelo de
comparación con los que se calculen con el modelo alternativo propuesto en esta
Tesis. Las condiciones de contorno y los parámetros fijados serán los mismos; así,
las configuraciones geométricas serán idénticas, manteniendo los mismos factores
de forma en el proceso, hasta conseguir los grados de deformación pertinentes.
Tabla 6.10 Valores de p/2k tras aplicación del MEF
b/h = 0,5
µ = 0,05 µ = 0,1 µ = 0,2 µ = 0,3 µ = 0,4
r = 5% 1,04 1,04 1,04 1,04 1,04
r = 25% 1,16 1,15 1,15 1,15 1,15
r = 50% 1,88 1,98 1,81 1,86 1,93
b/h = 1
µ = 0,05 µ = 0,1 µ = 0,2 µ = 0,3 µ = 0,4
r = 5% 1,07 1,08 1,08 1,09 1,09
r = 25% 1,38 1,43 1,52 1,50 1,49
r = 50% 2,16 2,42 2,72 2,99 3,14
b/h = 2
µ = 0,05 µ = 0,1 µ = 0,2 µ = 0,3 µ = 0,4
r = 5% 1,11 1,17 1,27 1,36
r = 25% 1,43 1,54 1,80 2,00
r = 50% 2,43 2,99 4,27 5,08
b/h = 4
µ = 0,05 µ = 0,1 µ = 0,2 µ = 0,3 µ = 0,4
r = 5% 1,17 1,30 1,59 1,83
r = 25% 1,57 1,90 2,64 3,14
r = 50% 3,02 4,65 7,77
b/h = 6
µ = 0,05 µ = 0,1 µ = 0,2 µ = 0,3 µ = 0,4
r = 5% 1,24 1,47 2,00 2,38 2,55
r = 25% 1,74 2,31 3,67 4,29
r = 50% 1,16
Francisco de Sales Martín Fernández
242
b = Ancho de un cuarto de pieza;
μ = coeficiente de rozamiento por deslizamiento (Coulomb).
Por otra parte, tal y como se ha indicado anteriormente, el tipo de rozamiento
contemplado por parte del MEF será de deslizamiento, aunque en los procesos de
forja en caliente la naturaleza primordial del rozamiento es la considerada por
adherencia. Este compromiso, debido a la imposición por parte del MEF utilizado,
entendemos que aleja de la realidad en cierta medida, a los resultados obtenidos,
teniendo presente además que el modelo de los BRT presenta un comportamiento
más coherente con esta condición. En la comparación, y para cubrir un mayor rango
de posibilidades, por parte del modelo de BRT se va a contemplar tanto la condición
de adherencia como la de deslizamiento bajo los dos enfoques diferentes expuestos
en el capítulo metodológico, es decir, los enfoques modular y no modular.
El resto de parámetros, como el endurecimiento del material, o la consideración
de la temperatura del proceso, no han sido contemplados en esta intercomparación,
con la intención de que posibles acciones de estas condiciones pudieran desvirtuar
los resultados finales.
Las ecuaciones del modelo de BRT que van a intervenir en esta comparación
con el MEF aparecen resumidas a continuación:
1. Placas Planas Paralelas con enfoque no modular y 3 BRT
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++=
212
21
22
1
2
1
11
mbhhbk
P (6.38)
2. Placas Planas Paralelas con enfoque no modular, 3 BRT y rozamiento de
deslizamiento
Estudio de sensibilidad y Comparación del método del TLS mediante modelo de BRT frente a MEF. Capítulo 6
243
2
1
2
1
2
244
2 bbhhb
kP
μ−+
= (6.39)
3. Placas Planas Paralelas con enfoque modular, 3 BRT sin módulo previo y
rozamiento por adherencia
( )1
1
41
2 hmb
bh
kP ++= (6.40)
4. Placas Planas Paralelas con enfoque modular, 3 BRT con módulo previo y
rozamiento por adherencia
( )
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −+++⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ +⋅=
1
1
1
1
1
12211
22
2
2
2
22
2
224
22
12
α
α
tgb
h
tgb
hbhhbmb
hb
hbkP
(6.41)
5. Placas Planas Paralelas con enfoque modular, 3 BRT sin módulo previo y
rozamiento por deslizamiento
( )( )2122
2
2
2
2
2444
2 bbhbhb
kP
+−+
=μ
(6.42)
6. Placas Planas Paralelas con enfoque modular, 3 BRT con módulo previo y
rozamiento por deslizamiento
( )Phbhhb
kP
μ−⋅+
=11
2
1
2
224
2 (6.43)
Hay que tener presente que las opciones 3 y 4 se combinan en una solución
única, al igual que ocurre con las ecuaciones de las opciones 5 y 6 (la aplicación de
esta combinación ha quedado explicada en el capítulo 5 de desarrollo metodológico
bajo enfoque Modular).
Francisco de Sales Martín Fernández
244
6.13 Análisis de resultados
La comparación se ha establecido entre el citado MEF y las cuatro variantes
de aplicación del método del TLS mediante BRT anteriormente indicadas. Estas
cuatro diferentes aplicaciones son las resultantes de combinar los enfoques Modular
(Mod.) y No modular (No Mod.) con las contribuciones del rozamiento de
deslizamiento (Desliz.) y de semiadherencia (Adh.).
Se determina, al igual que en la Tabla 6.10, los valores de p/2k para las
cuatro alternativas, considerando tres grados de deformación diferentes (5%, 25% y
50%), diferentes valores en el coeficiente de rozamiento que toma valores de 0.05,
0.1, 0.2, 0.3, y 0.4, y factores de forma con relaciones de b/h= 0.5, 1, 2, 4, y 6 [Lin,
2003].
Se presentarán los resultados siguiendo dos criterios distintos: en el primero
(figuras 6.32 a 6.36) en el que la evolución del valor de p/2k se aprecia al mostrar
como variable el grado de deformación; en la segunda opción (figuras 6.37 a 6.41)
es el factor de forma el que se muestra como variable.
Por último, se estima la variación porcentual entre el MEF y las distintas
opciones del BRT en determinadas situaciones seleccionadas para, de una forma
exhaustiva, exponer todas las posibilidades estudiadas en el anexo de cálculo. Los
resultados obtenidos para este último estudio se recogen gráficamente en las figuras
6.32 a 6.36.
Estudio de sensibilidad y Comparación del método del TLS mediante modelo de BRT frente a MEF. Capítulo 6
245
Figura 6.32 Evolución de p/2k MEF versus BRT para factor de forma b/h=0,5
Es de destacar que la elevada discrepancia que se presenta en la gráfica de
la figura 6.32 responde al hecho de que el factor de forma es muy reducido, por lo
que los BRT que componen el módulo están fuertemente distorsionados, y por lo
tanto alejados del valor límite mínimo.
Tabla 6.11 Resultados de p/2k MEF–BRT para b/h=0,5
b/h=0,5
0
1
2
3
4
0,05 0,05 0,05 0,1 0,1 0,1 0,2 0,2 0,2 0,3 0,3 0,3 0,4 0,4 0,4Coef. Rozamiento
P/2k
MEF No Mod. Desliz. Mod. Desliz. No Mod. Adh. Mod. Adh.
Deformación Coef. Roz. MEF No Mod. Desliz. Mod. Desliz. No Mod. Adh. Mod. Adh.5% 0,05 1,04 2,38 3,80 1,96 3,70
25% 0,05 1,16 1,97 2,78 1,49 2,6750% 0,05 1,88 1,74 2,08 1,19 1,95
5% 0,1 1,04 2,43 3,81 1,96 3,7125% 0,1 1,15 2,03 2,80 1,49 2,6850% 0,1 1,98 1,82 2,11 1,20 1,96
5% 0,2 1,04 2,50 3,82 1,98 3,7225% 0,2 1,15 2,13 2,83 1,51 2,7050% 0,2 1,81 1,97 2,16 1,23 1,99
5% 0,3 1,04 2,55 3,84 1,99 3,7425% 0,3 1,15 2,21 2,86 1,53 2,7250% 0,3 1,86 2,08 2,22 1,26 2,02
5% 0,4 1,04 2,59 3,86 2,01 3,7525% 0,4 1,15 2,26 2,89 1,55 2,7450% 0,4 1,93 2,15 2,27 1,29 2,05
Francisco de Sales Martín Fernández
246
Figura 6.33 Evolución de p/2k MEF versus BRT para factor de forma b/h=1
Tabla 6.12 Resultados de p/2k MEF–BRT para b/h=1
b/h=1
0
1
2
3
4
0,05 0,05 0,05 0,1 0,1 0,1 0,2 0,2 0,2 0,3 0,3 0,3 0,4 0,4 0,4Coef. Rozamiento
P/2k
MEF No Mod. Desliz. Mod. Desliz. No Mod. Adh. Mod. Adh.
Deformación roz MEF No Mod. Desliz. Mod. Desliz. No Mod. Adh. Mod. Adh.5% 0,05 1,07 1,52 1,49 1,20 1,45
25% 0,05 1,38 1,40 1,21 1,05 1,2050% 0,05 2,16 1,38 1,07 1,03 1,10
5% 0,1 1,08 1,61 1,54 1,21 1,4725% 0,1 1,43 1,51 1,29 1,07 1,2250% 0,1 2,42 1,55 1,19 1,06 1,13
5% 0,2 1,08 1,75 1,63 1,24 1,5025% 0,2 1,52 1,72 1,44 1,11 1,2750% 0,2 2,72 1,84 1,41 1,12 1,19
5% 0,3 1,09 1,86 1,71 1,27 1,5425% 0,3 1,5 1,87 1,56 1,15 1,3250% 0,3 2,99 2,06 1,59 1,17 1,26
5% 0,4 1,09 1,93 1,78 1,29 1,5725% 0,4 1,49 1,98 1,65 1,19 1,3650% 0,4 3,14 2,21 1,73 1,23 1,32
Estudio de sensibilidad y Comparación del método del TLS mediante modelo de BRT frente a MEF. Capítulo 6
247
Figura 6.34 Evolución de p/2k MEF versus BRT para factor de forma b/h=2
Tabla 6.13 Resultados de p/2k MEF–BRT para b/h=2
b/h=2
0
1
2
3
4
0,05 0,05 0,05 0,1 0,1 0,1 0,2 0,2 0,2 0,3 0,3 0,3 0,4 0,4 0,4Coef. Rozamiento
P/2k
MEF No Mod. Desliz. Mod. Desliz. No Mod. Adh. Mod. Adh.
Deformación roz MEF No Mod. Desliz. Mod. Desliz. No Mod. Adh. Mod. Adh.5% 0,05 1,11 1,16 1,01 1,03 1,10
25% 0,05 1,43 1,21 0,97 1,14 1,1250% 0,05 2,43 1,34 1,04 1,39 1,29
5% 0,1 1,17 1,33 1,14 1,06 1,1325% 0,1 1,54 1,44 1,16 1,18 1,1750% 0,1 2,99 1,68 1,32 1,45 1,36
5% 0,2 1,27 1,62 1,38 1,12 1,1925% 0,2 1,8 1,85 1,50 1,26 1,2650% 0,2 4,27 2,26 1,81 1,56 1,49
5% 0,3 1,36 1,83 1,57 1,17 1,2625% 0,3 2 2,15 1,78 1,34 1,3550% 0,3 5,08 2,70 2,22 1,67 1,62
5% 0,4 1,98 1,72 1,23 1,3225% 0,4 2,37 2,01 1,41 1,4450% 0,4 3,00 2,55 1,78 1,75
Francisco de Sales Martín Fernández
248
Figura 6.35 Evolución de p/2k MEF versus BRT para factor de forma b/h=4
Tabla 6.14 Resultados de p/2k MEF–BRT para b/h=4
b/h=4
0
1
2
3
4
0,05 0,05 0,05 0,1 0,1 0,1 0,2 0,2 0,2 0,3 0,3 0,3 0,4 0,4 0,4Coef. Rozamiento
P/2k
MEF No Mod. Desliz. Mod. Desliz. No Mod. Adh. Mod. Adh.
Deformación roz MEF No Mod. Desliz. Mod. Desliz. No Mod. Adh. Mod. Adh.5% 0,05 1,17 1,12 0,97 1,38 1,29
25% 0,05 1,57 1,31 1,13 1,80 1,6150% 0,05 3,02 1,60 1,42 2,45 2,14
5% 0,1 1,3 1,46 1,26 1,44 1,3525% 0,1 1,9 1,78 1,55 1,88 1,7050% 0,1 4,65 2,28 2,02 2,56 2,27
5% 0,2 1,59 2,03 1,77 1,55 1,4825% 0,2 2,64 2,59 2,28 2,04 1,8850% 0,2 3,43 3,07 2,79 2,53
5% 0,3 2,46 2,19 1,66 1,6125% 0,3 3,20 2,88 2,19 2,0650% 0,3 4,31 3,94 3,01 2,78
5% 0,4 2,76 2,52 1,77 1,7425% 0,4 3,63 3,35 2,35 2,2450% 0,4 4,91 4,62 3,23 3,04
Estudio de sensibilidad y Comparación del método del TLS mediante modelo de BRT frente a MEF. Capítulo 6
249
Figura 6.36 Evolución de p/2k MEF versus BRT para factor de forma b/h=6
Tabla 6.15 Resultados de p/2k MEF–BRT para b/h=6
b/h=6
0
1
2
3
4
0,05 0,05 0,05 0,1 0,1 0,1 0,2 0,2 0,2 0,3 0,3 0,3 0,4 0,4 0,4Coef. Rozamiento
P/2k
MEF No Mod. Desliz. Mod. Desliz. No Mod. Adh. Mod. Adh.
Deformación roz MEF No Mod. Desliz. Mod. Desliz. No Mod. Adh. Mod. Adh.5% 0,05 1,24 1,23 1,13 1,89 1,68
25% 0,05 1,74 1,52 1,43 2,57 2,2350% 0,05 1,94 1,90 3,58 3,08
5% 0,1 1,47 1,73 1,58 1,97 1,7725% 0,1 2,31 2,23 2,07 2,68 2,3750% 0,1 2,95 2,82 3,75 3,27
5% 0,2 2,59 2,37 2,14 1,9725% 0,2 3,44 3,20 2,92 2,6450% 0,2 4,68 4,43 4,08 3,66
5% 0,3 3,24 3,02 2,30 2,1625% 0,3 4,36 4,12 3,15 2,9150% 0,3 5,99 5,76 4,42 4,05
5% 0,4 3,69 3,52 2,47 2,3525% 0,4 5,00 4,84 3,39 3,1950% 0,4 6,90 6,80 4,75 4,44
Francisco de Sales Martín Fernández
250
El primer dato a tener en consideración proviene del hecho de que con el
MEF se presentan situaciones en las que no hay una respuesta coherente, es decir,
el método no converge, y no aporta un resultado al problema, mientras que con el
método analítico propuesto no se presentan estos casos. Como puede observarse,
en aquellos casos en los que no se obtiene valor con el MEF es obvio que esta
impedido el cálculo de la variación porcentual respecto a este método.
Es de destacar que se han contemplado tres BRT para cada uno de los
casos, ya sea bajo enfoques modular o no modular, por lo que la respuesta del
método analítico planteado es más aceptable en aquel rango de valores del factor de
forma para el que los BRT están sujetos a una menor distorsión (factores de forma
de 1 a 2). En capítulos posteriores se realiza un análisis de sensibilidad con el que
determinar el ángulo óptimo en la disposición de los BRT.
La evidencia de la importante influencia del rozamiento sobre la carga a
aplicar en la deformación del material se pone de manifiesto en ambos métodos,
observándose como aumenta la pendiente de las curvas que representan los
diferentes casos. Tal y como se indicó con anterioridad, el MEF utilizado aporta
soluciones para el tipo de rozamiento por deslizamiento, mientras que el TLS
permite determinar soluciones tanto para este tipo de rozamiento como en
rozamiento por adherencia, mostrándose ambas situaciones en el presente análisis.
En ninguna de las dos opciones de la aplicación del TLS, las soluciones aportadas
por dicho método para rozamiento por adherencia han generado situaciones
excepcionales como las que se han comentado previamente (valores
extremadamente altos de p/2k, e incluso valores negativos) fruto de singularidades.
Este hecho es manifiestamente favorable a la aplicación del método, puesto que
posibilita la incorporación de una forma natural del rozamiento por adherencia, tipo
de rozamiento principal en la deformación plástica generada por un proceso de forja.
Se puede apreciar en las gráficas anteriores cómo, a partir de
aproximadamente un factor de forma de valor unidad (variable según coeficiente de
rozamiento), los valores del BRT se sitúan por debajo del MEF, incluso cuando se
realizan grandes deformaciones (50%).
Estudio de sensibilidad y Comparación del método del TLS mediante modelo de BRT frente a MEF. Capítulo 6
251
Por otra parte, las pendientes de las diferentes opciones del BRT son más
suaves que las del MEF, lo que nos indica una mayor robustez del método
propuesto frente al de elementos finitos, puesto que ante modificaciones en el grado
de deformación, la variación en su comportamiento es menor.
En cuanto a las diferentes opciones planteadas dentro de la aplicación del
TLS mediante BRT, se observa cómo el enfoque modular, tanto para rozamiento de
deslizamiento como de adherencia, y a partir de relaciones de forma superiores a la
unidad, es más favorable, puesto que establece un valor del límite ligeramente
menor. Este aspecto viene acompañado de otras ventajas en la aplicación de este
enfoque, las cuales se identifican en diferentes capítulos de la presente tesis, como
puede ser, la mayor facilidad de aplicación en disposiciones geométricas
Estos comportamientos, que han podido apreciarse mediante su
representación frente a los diferentes coeficientes de rozamiento, se expresan en las
figuras 6.36 a 6.40 en función del grado de deformación aplicado en el proceso de
conformado (5%, 25% y 50%).
También es de destacar, como se aprecia en las figuras 6.37 a 6.41, la
extrema coincidencia de las pendientes en la aplicación del MEF y de BRT para
deslizamiento en un número elevado de situaciones.
Francisco de Sales Martín Fernández
252
Figura 6.37 Evolución de p/2k MEF versus BRT para factor de forma b/h=0,5
Tabla 6.16 Resultados de p/2k MEF–BRT para b/h=0,5
b/h=0,5
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
0,05 0,1 0,2 0,3 0,4 0,05 0,1 0,2 0,3 0,4 0,05 0,1 0,2 0,3 0,4Coef. Roz.
p/2k
MEF No Mod. Desliz. Mod. Desliz. No Mod. Adh. Mod. Adh.
Def. 5% Def. 50%Def. 25%
b/h=0,5Deformación Coef. Roz. MEF No Mod. Desliz. Mod. Desliz. No Mod. Adh. Mod. Adh.
5% 0,05 1,04 2,38 3,80 1,96 3,705% 0,1 1,04 2,43 3,81 1,96 3,715% 0,2 1,04 2,50 3,82 1,98 3,725% 0,3 1,04 2,55 3,84 1,99 3,745% 0,4 1,04 2,59 3,86 2,01 3,75
25% 0,05 1,16 1,97 2,78 1,49 2,6725% 0,1 1,15 2,03 2,80 1,49 2,6825% 0,2 1,15 2,13 2,83 1,51 2,7025% 0,3 1,15 2,21 2,86 1,53 2,7225% 0,4 1,15 2,26 2,89 1,55 2,74
50% 0,05 1,88 1,74 2,08 1,19 1,9550% 0,1 1,98 1,82 2,11 1,20 1,9650% 0,2 1,81 1,97 2,16 1,23 1,9950% 0,3 1,86 2,08 2,22 1,26 2,0250% 0,4 1,93 2,15 2,27 1,29 2,05
Estudio de sensibilidad y Comparación del método del TLS mediante modelo de BRT frente a MEF. Capítulo 6
253
Figura 6.38 Evolución de p/2k MEF versus BRT para factor de forma b/h=1
Tabla 6.17 Resultados de p/2k MEF–BRT para b/h=1
b/h=1
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
0,05 0,1 0,2 0,3 0,4 0,05 0,1 0,2 0,3 0,4 0,05 0,1 0,2 0,3 0,4Coef. Roz.
p/2k
MEF No Mod. Desliz. Mod. Desliz. No Mod. Adh. Mod. Adh.
Def. 5% Def. 50% Def. 25%
b/h=1Deformación Coef. Roz. MEF No Mod. Desliz. Mod. Desliz. No Mod. Adh. Mod. Adh.
5% 0,05 1,07 1,52 1,49 1,20 1,455% 0,1 1,08 1,61 1,54 1,21 1,475% 0,2 1,08 1,75 1,63 1,24 1,505% 0,3 1,09 1,86 1,71 1,27 1,545% 0,4 1,09 1,93 1,78 1,29 1,57
25% 0,05 1,38 1,40 1,21 1,05 1,2025% 0,1 1,43 1,51 1,29 1,07 1,2225% 0,2 1,52 1,72 1,44 1,11 1,2725% 0,3 1,50 1,87 1,56 1,15 1,3225% 0,4 1,49 1,98 1,65 1,19 1,36
50% 0,05 2,16 1,38 1,07 1,03 1,1050% 0,1 2,42 1,55 1,19 1,06 1,1350% 0,2 2,72 1,84 1,41 1,12 1,1950% 0,3 2,99 2,06 1,59 1,17 1,2650% 0,4 3,14 2,21 1,73 1,23 1,32
Francisco de Sales Martín Fernández
254
Figura 6.39 Evolución de p/2k MEF versus BRT para factor de forma b/h=2
Tabla 6.18 Resultados de p/2k MEF–BRT para b/h=2
b/h=2
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
0,05 0,1 0,2 0,3 0,4 0,05 0,1 0,2 0,3 0,4 0,05 0,1 0,2 0,3 0,4Coef. Roz.
p/2k
MEF No Mod. Desliz. Mod. Desliz. No Mod. Adh. Mod. Adh.
Def. 5% Def. 50% Def. 25%
b/h=2Deformación Coef. Roz. MEF No Mod. Desliz. Mod. Desliz. No Mod. Adh. Mod. Adh.
5% 0,05 1,11 1,16 1,01 1,03 1,105% 0,1 1,17 1,33 1,14 1,06 1,135% 0,2 1,27 1,62 1,38 1,12 1,195% 0,3 1,36 1,83 1,57 1,17 1,265% 0,4 1,98 1,72 1,23 1,32
25% 0,05 1,43 1,21 0,97 1,14 1,1225% 0,1 1,54 1,44 1,16 1,18 1,1725% 0,2 1,80 1,85 1,50 1,26 1,2625% 0,3 2,00 2,15 1,78 1,34 1,3525% 0,4 2,37 2,01 1,41 1,44
50% 0,05 2,43 1,34 1,04 1,39 1,2950% 0,1 2,99 1,68 1,32 1,45 1,3650% 0,2 4,27 2,26 1,81 1,56 1,4950% 0,3 5,08 2,70 2,22 1,67 1,6250% 0,4 3,00 2,55 1,78 1,75
Estudio de sensibilidad y Comparación del método del TLS mediante modelo de BRT frente a MEF. Capítulo 6
255
Figura 6.40 Evolución de p/2k MEF versus BRT para factor de forma b/h=4
Puede observarse como las situaciones tanto Modulares como No Modulares
en las que impera el rozamiento por deslizamiento presentan pendientes similares a
las del MEF. Este hecho viene motivado porque el MEF es contemplado a su vez por
este tipo de rozamiento.
Tabla 6.19 Resultados de p/2k MEF–BRT para b/h=4
b/h=4
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
0,05 0,1 0,2 0,3 0,4 0,05 0,1 0,2 0,3 0,4 0,05 0,1 0,2 0,3 0,4Coef. Roz.
p/2k
MEF No Mod. Desliz. Mod. Desliz. No Mod. Adh. Mod. Adh.
Def. 5% Def. 50% Def. 25%
b/h=4Deformación Coef. Roz. MEF No Mod. Desliz. Mod. Desliz. No Mod. Adh. Mod. Adh.
5% 0,05 1,17 1,12 0,97 1,38 1,295% 0,1 1,30 1,46 1,26 1,44 1,355% 0,2 1,59 2,03 1,77 1,55 1,485% 0,3 1,83 2,46 2,19 1,66 1,615% 0,4 2,76 2,52 1,77 1,74
25% 0,05 1,57 1,31 1,13 1,80 1,6125% 0,1 1,90 1,78 1,55 1,88 1,7025% 0,2 2,64 2,59 2,28 2,04 1,8825% 0,3 3,14 3,20 2,88 2,19 2,0625% 0,4 3,63 3,35 2,35 2,24
50% 0,05 3,02 1,60 1,42 2,45 2,1450% 0,1 4,65 2,28 2,02 2,56 2,2750% 0,2 7,77 3,43 3,07 2,79 2,5350% 0,3 4,31 3,94 3,01 2,7850% 0,4 4,91 4,62 3,23 3,04
Francisco de Sales Martín Fernández
256
Figura 6.41 Evolución de p/2k MEF versus BRT para factor de forma b/h=6
Tabla 6.20 Resultados de p/2k MEF–BRT para b/h=6
b/h=6
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
0,05 0,1 0,2 0,3 0,4 0,05 0,1 0,2 0,3 0,4 0,05 0,1 0,2 0,3 0,4Coef. Roz.
p/2k
MEF No Mod. Desliz. Mod. Desliz. No Mod. Adh. Mod. Adh.
Def. 5% Def. 50% Def. 25%
b/h=6Deformación Coef. Roz. MEF No Mod. Desliz. Mod. Desliz. No Mod. Adh. Mod. Adh.
5% 0,05 1,24 1,23 1,13 1,89 1,685% 0,1 1,47 1,73 1,58 1,97 1,775% 0,2 2,00 2,59 2,37 2,14 1,975% 0,3 2,38 3,24 3,02 2,30 2,165% 0,4 2,55 3,69 3,52 2,47 2,35
25% 0,05 1,74 1,52 1,43 2,57 2,2325% 0,1 2,31 2,23 2,07 2,68 2,3725% 0,2 3,67 3,44 3,20 2,92 2,6425% 0,3 4,29 4,36 4,12 3,15 2,9125% 0,4 5,00 4,84 3,39 3,19
50% 0,05 1,94 1,90 3,58 3,0850% 0,1 2,95 2,82 3,75 3,2750% 0,2 1,16 4,68 4,43 4,08 3,6650% 0,3 5,99 5,76 4,42 4,0550% 0,4 6,90 6,80 4,75 4,44
Estudio de sensibilidad y Comparación del método del TLS mediante modelo de BRT frente a MEF. Capítulo 6
257
Las Fig. 6.42 a 6.45 muestran, entre otras (véase la relación completa de
gráficas en Anexo A), la variación porcentual relativa de la aplicación de los BRT
frente a la utilización del MEF para cada uno de los tres grados de deformación
contemplados (5%, 25% y 50%) y para una relación de forma b/h determinada.
Puede observarse cómo las mayores discrepancias aparecen para pequeñas
deformaciones en el caso de una b/h=0,5 y para grandes grados de deformación y
coeficientes de rozamiento; así mismo, los valores más próximos, es decir, aquellos
que muestran un porcentaje de desviación menor (0,6%), se dan para un factor de
forma b/h=0,5 y un grado de deformación del 50%, así como en el caso del 5% de
grado de deformación, b/h=6 y un rozamiento por adherencia de valor m=0,05.
Figura 6.42 Grado de variación de modelos de BRT frente a MEF para b/h=0,5.
Figura 6.43 Grado de variación de modelos de BRT frente a MEF (b/h=0,5 y r=50%).
b/h=0,5
-40
0
40
80
120
160
200
240
280
0,05 0,1 0,2 0,3 0,4 0,05 0,1 0,2 0,3 0,4 0,05 0,1 0,2 0,3 0,4Coef. Roz.
% V
aria
ción
sob
re M
EF
No Mod. Desliz. Mod. Desliz. No Mod. Adh. Mod. Adh.
Def. 5% Def. 50% Def. 25%
b/h=0,5, Def.=50%
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
0,05 0,1 0,2 0,3 0,4
Coef. Roz.
% V
aria
ción
MEF
No Mod. Desliz. Mod. Desliz. No Mod. Adh. Mod. Adh.
Francisco de Sales Martín Fernández
258
Figura 6.44 Grado de variación de modelos de BRT frente a MEF (b/h=0,5 y r=50%).
La gran semejanza de valores se presenta para aquellos casos en los que
fundamentalmente se acerca la disposición geométrica a la relación de forma
cercana a la unidad. Este resultado también se da en aquellos casos en los que,
partiendo de un factor de forma menor, el grado de deformación efectúa un
acercamiento del factor de forma final al valor ya mencionado.
Figura 6.45 Grado de variación de modelos de BRT frente a MEF para b/h=1.
0,050,1
0,2
0,3
0,4
-40
-30
-20
-10
0
10
20
% v
aria
ción
fren
te a
MEF
Coef. Roz.
b/h=0,5; Def.=50%
No Mod. Desliz. Mod. Desliz. No Mod. Adh. Mod. Adh.
b/h=1
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
0,05 0,1 0,2 0,3 0,4 0,05 0,1 0,2 0,3 0,4 0,05 0,1 0,2 0,3 0,4
Coef. Roz.
% v
aria
ción
sob
re M
EF
No Mod. Desliz. Mod. Desliz. No Mod. Adh. Mod. Adh.
Def. 5% Def. 25%
Def. 50%
Estudio de sensibilidad y Comparación del método del TLS mediante modelo de BRT frente a MEF. Capítulo 6
259
Un dato de interés, que se desprende del análisis de las gráficas anteriores,
es que la relación b/h=1 y b/h=2 son las que determinan las configuraciones de la
pieza que aportan valores más próximos en la aplicación de ambos métodos, siendo,
por tanto, las configuraciones en las que (en valores absolutos) el límite superior
obtenido es menor en cuanto a la diferencia respecto al MEF (para valores medios
de la evolución completa del proceso).
6.14 Solución de von Karmann
Como corolario a la comparación de resultados efectuada entre el MEF y el
modelo de BRT, se ha estimado una segunda comparación, de menor envergadura
en cuanto a las alternativas y rango de aplicación contemplados, realizada con la
solución aportada por von Karmann [Chakrabarty, 1987].
Esta solución de von Karmann es una solución aproximada para el límite
superior en el caso de compresión con deformación plana entre placas parcialmente
rugosas (con rozamiento), que según Chakrabarty, puede ser obtenida asumiendo el
deslizamiento instantáneo de bloques rígidos (BRT) sobre superficies de
discontinuidad con una igual inclinación respecto a la superficie de la placa. El
número de discontinuidades en un cuadrante (doble simetría) se denota por “m”.
La velocidad de cada bloque triangular viene determinada por la condición de
que la componente de su velocidad en la dirección de la tracción resultante es
constante sobre la superficie de la placa, consideración compatible con material
elasto-plástico sometido a grandes deformaciones.
Se infiere que los vértices inferiores de la velocidad de los bloques
triangulares deben de seguir una línea recta inclinada respecto a la horizontal un
ángulo de valor λ=1/tgμ.
Francisco de Sales Martín Fernández
260
La magnitud de la velocidad de las discontinuidades que cruzan las líneas
tiene un punto típico en el eje de simetría de 2
2
1hd+ resultando finalmente, tras el
desarrollo de von Karmann:
μμω
μμω
μμμω 21ln
21ln1
411
41
2
2
≥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
hcon
hh
kq
(6.44)
μμω
μω
μω
21ln1exp
2≤⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
hconh
kq h (6.45)
Con ω=ancho; h=alto; μ=coef. rozamiento
La intercomparación efectuada en este caso ofrece unos resultados que se
muestran en la figura 6.46, de la que se desprende que los valores de p/2k están
muy próximos para factores deforma contemplados entre 1 y 4 (para 1,5 < b/h < 3,
el grado de coincidencia es muy elevado).
La limitación fundamental en la solución de von Karmann proviene de la
imposibilidad de discriminar entre un tipo u otro de rozamiento, además de no
considerar efectos de temperatura o endurecimiento, pero sobre todo por la
imposibilidad de contemplar una cierta inclinación de las placas de la herramienta.
Chakrabarty [Chakrabarty, 1987] introduce el rozamiento modificando la
inclinación de líneas del hodógrafo con un ángulo λ=1/tgμ, siendo μ el coeficiente de
rozamiento por deslizamiento; si bien esto ocurre con triángulos de igual inclinación.
Este método de cálculo aporta resultados no coherentes.
Estudio de sensibilidad y Comparación del método del TLS mediante modelo de BRT frente a MEF. Capítulo 6
261
Figura 6.46 Comparativa de 3 BRT no modular-von Karmann.
6.15 Solución de Johnson y Mellor
Estudios de Johnson y Mellor [Johnson, 1962a] fueron pioneros en establecer
ecuaciones que gobiernan la evolución de la carga a aplicar sobre las piezas
sometidas a deformación plástica. En concreto, y siguiendo éstos, se considera una
pletina metálica rectangular de espesor 2h, comprimida entre dos mordazas en
forma de pletinas planas y paralelas de ancho 2w, desplazándose con una velocidad
de valor unidad, de forma similar a la disposición de material a deformar que se ha
utilizado al inicio de este trabajo (Fig. 6.47).
Figura 6.47 Pieza a deformar según Johnson.
0,6
0,7
0,8
0,9
1
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5
P/2k von Karmann
P/2k (3BRT)
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
0 1 2 3 4 5 6
P/2k von Karmann
P/2k (3BRT)
2 w
C
F
A
D
E
B
2 h θ
V
V
Francisco de Sales Martín Fernández
262
Las líneas rectas representan líneas de discontinuidad que mantienen
ángulos θ iguales respecto a las pletinas. Se considera una cuarta parte del sistema,
y de acuerdo con el hodógrafo de la Fig. 6.48 correspondiente a la velocidad
u=cosec θ y a una longitud AB de valor igual a s=w secθ /n, donde n es el número de
intersecciones de las líneas de discontinuidad sobre la línea central horizontal de la
pieza. La relación entre 2w y 2h viene dada por 2h=2w tg θ/n.
¡Error!
Figura 6.48 Hodógrafo según Johnson.
Siguiendo las ecuaciones de la potencia e igualando con la del ritmo de
deformación de la pieza se obtiene:
22cot
21
2y
nn
ytgg
senkP +
≤+
≤≤θθ
θ (6.46)
donde y = w/h
La variación de p/2k respecto a w/h se presenta en la figura 6.49 para el
modelo de Johnson y en la figura 6.50 para elmodelo de BRT con enfoque No
Modular y disposición contraria.
Figura 6.49 Evolución de p/2k según Johnson.
E´
B´
A´ C´
D´
u u u θ θ θ
Modelo BRT
0,9
0,95
1
1,05
1,1
0 1 2 3 4 5b/h
p/2k
Estudio de sensibilidad y Comparación del método del TLS mediante modelo de BRT frente a MEF. Capítulo 6
263
Figura 6.50 Evolución de p/2k para modelo de BRT.
Puede observarse la total coincidencia existente entre el comportamiento de
la ecuación propuesta por Johnson y Mellor (Tabla 6.21), y los desarrollos
empleados en la fase inicial de este trabajo donde era considerado un enfoque No
Modular y con una disposición de bloques contraria a la empleada con posterioridad
y en el enfoque Modular.
Tabla 6.21 Valores de la evolución de p/2k en Johnson y en modelo de BRT
Modelo Johnson
0,9
0,95
1
1,05
1,1
0 1 2 3 4 5b/h
p/2k
n b/h Johnson(2) 3 triángulos Johnson(3) 4 Triángulos Johnson(4) 5 Triángulos Johnson(5) 6 Triángulos2 0,1 10,03 10,03 3 0,1 15,02 15,02 4 0,1 20,01 20,01 5 0,1 25,01 25,012 0,2 5,05 5,05 3 0,2 7,53 7,53 4 0,2 10,03 10,03 5 0,2 12,52 12,522 0,3 3,41 3,41 3 0,3 5,05 5,05 4 0,3 6,70 6,70 5 0,3 8,36 8,362 0,4 2,60 2,60 3 0,4 3,82 3,82 4 0,4 5,05 5,05 5 0,4 6,29 6,292 0,5 2,13 2,13 3 0,5 3,08 3,08 4 0,5 4,06 4,06 5 0,5 5,05 5,052 0,6 1,82 1,82 3 0,6 2,60 2,60 4 0,6 3,41 3,41 5 0,6 4,23 4,232 0,7 1,60 1,60 3 0,7 2,26 2,26 4 0,7 2,94 2,94 5 0,7 3,64 3,642 0,8 1,45 1,45 3 0,8 2,01 2,01 4 0,8 2,60 2,60 5 0,8 3,21 3,212 0,9 1,34 1,34 3 0,9 1,82 1,82 4 0,9 2,33 2,33 5 0,9 2,87 2,872 1 1,25 1,25 3 1 1,67 1,67 4 1 2,13 2,13 5 1 2,60 2,602 1,1 1,18 1,18 3 1,1 1,55 1,55 4 1,1 1,96 1,96 5 1,1 2,38 2,382 1,2 1,13 1,13 3 1,2 1,45 1,45 4 1,2 1,82 1,82 5 1,2 2,20 2,202 1,3 1,09 1,09 3 1,3 1,37 1,37 4 1,3 1,70 1,70 5 1,3 2,05 2,052 1,4 1,06 1,06 3 1,4 1,30 1,30 4 1,4 1,60 1,60 5 1,4 1,93 1,932 1,5 1,04 1,04 3 1,5 1,25 1,25 4 1,5 1,52 1,52 5 1,5 1,82 1,822 1,6 1,03 1,03 3 1,6 1,20 1,20 4 1,6 1,45 1,45 5 1,6 1,72 1,722 1,7 1,01 1,01 3 1,7 1,17 1,17 4 1,7 1,39 1,39 5 1,7 1,64 1,642 1,8 1,01 1,01 3 1,8 1,13 1,13 4 1,8 1,34 1,34 5 1,8 1,57 1,572 1,9 1,00 1,00 3 1,9 1,11 1,11 4 1,9 1,29 1,29 5 1,9 1,51 1,512 2 1,00 1,00 3 2 1,08 1,08 4 2 1,25 1,25 5 2 1,45 1,452 2,1 1,00 1,00 3 2,1 1,06 1,06 4 2,1 1,21 1,21 5 2,1 1,40 1,402 2,2 1,00 1,00 3 2,2 1,05 1,05 4 2,2 1,18 1,18 5 2,2 1,36 1,362 2,3 1,01 1,01 3 2,3 1,04 1,04 4 2,3 1,16 1,16 5 2,3 1,32 1,322 2,4 1,02 1,02 3 2,4 1,03 1,03 4 2,4 1,13 1,13 5 2,4 1,28 1,282 2,5 1,03 1,03 3 2,5 1,02 1,02 4 2,5 1,11 1,11 5 2,5 1,25 1,252 2,6 1,03 1,03 3 2,6 1,01 1,01 4 2,6 1,09 1,09 5 2,6 1,22 1,222 2,7 1,05 1,05 3 2,7 1,01 1,01 4 2,7 1,08 1,08 5 2,7 1,20 1,202 2,8 1,06 1,06 3 2,8 1,00 1,00 4 2,8 1,06 1,06 5 2,8 1,17 1,172 2,9 1,07 1,07 3 2,9 1,00 1,00 4 2,9 1,05 1,05 5 2,9 1,15 1,152 3 1,08 1,08 3 3 1,00 1,00 4 3 1,04 1,04 5 3 1,13 1,132 3,1 1,10 1,10 3 3,1 1,00 1,00 4 3,1 1,03 1,03 5 3,1 1,12 1,122 3,2 1,11 1,11 3 3,2 1,00 1,00 4 3,2 1,03 1,03 5 3,2 1,10 1,102 3,3 1,13 1,13 3 3,3 1,00 1,00 4 3,3 1,02 1,02 5 3,3 1,09 1,092 3,4 1,14 1,14 3 3,4 1,01 1,01 4 3,4 1,01 1,01 5 3,4 1,08 1,082 3,5 1,16 1,16 3 3,5 1,01 1,01 4 3,5 1,01 1,01 5 3,5 1,06 1,062 3,6 1,18 1,18 3 3,6 1,02 1,02 4 3,6 1,01 1,01 5 3,6 1,05 1,052 3,7 1,20 1,20 3 3,7 1,02 1,02 4 3,7 1,00 1,00 5 3,7 1,05 1,052 3,8 1,21 1,21 3 3,8 1,03 1,03 4 3,8 1,00 1,00 5 3,8 1,04 1,042 3,9 1,23 1,23 3 3,9 1,03 1,03 4 3,9 1,00 1,00 5 3,9 1,03 1,032 4 1,25 1,25 3 4 1,04 1,04 4 4 1,00 1,00 5 4 1,03 1,032 4,1 1,27 1,27 3 4,1 1,05 1,05 4 4,1 1,00 1,00 5 4,1 1,02 1,022 4,2 1,29 1,29 3 4,2 1,06 1,06 4 4,2 1,00 1,00 5 4,2 1,02 1,022 4,3 1,31 1,31 3 4,3 1,07 1,07 4 4,3 1,00 1,00 5 4,3 1,01 1,012 4,4 1,33 1,33 3 4,4 1,07 1,07 4 4,4 1,00 1,00 5 4,4 1,01 1,012 4,5 1,35 1,35 3 4,5 1,08 1,08 4 4,5 1,01 1,01 5 4,5 1,01 1,012 4,6 1,37 1,37 3 4,6 1,09 1,09 4 4,6 1,01 1,01 5 4,6 1,00 1,002 4,7 1,39 1,39 3 4,7 1,10 1,10 4 4,7 1,01 1,01 5 4,7 1,00 1,002 4,8 1,41 1,41 3 4,8 1,11 1,11 4 4,8 1,02 1,02 5 4,8 1,00 1,002 4,9 1,43 1,43 3 4,9 1,12 1,12 4 4,9 1,02 1,02 5 4,9 1,00 1,002 5 1,45 1,45 3 5 1,13 1,13 4 5 1,03 1,03 5 5 1,00 1,00
Francisco de Sales Martín Fernández
264
Johnson contabiliza en su expresión el número de intersecciones de las líneas
de discontinuidad de velocidad con la línea horizontal central, mientras que en el
estudio aquí desarrollado, es el número de bloques triangulares el que se utiliza. Así
pues, cuatro BRT corresponden a tres intersecciones con la línea central por parte
de las líneas de discontinuidad de velocidades.
Si bien con esta comparación se llega a la conclusión de que la dirección
seguida es la correcta, no se habría obtenido ninguna ventaja sobre los métodos de
cálculo ya existentes si no aportase avances adicionales.
Una de las limitaciones de Johnson que ha sido superada con el modelo de
BRT es la posibilidad de incorporación de parámetros tales como el rozamiento o el
efecto del endurecimiento por deformación. La ecuación de Johnson y Mellor es
válida, y concuerda con nuestros estudios para el caso de rozamiento por
adherencia entre herramienta y pieza, con un valor nulo de su coeficiente, es decir,
sin rozamiento alguno.
6.16 Conclusiones
Tras el análisis de los resultados realizado en el apartado inmediatamente
anterior (comparación con MEF, von Karmann, Johnson), se ha constatado de forma
adicional que el método aplicado ofrece valores suficientemente válidos en la
obtención del límite superior.
El análisis efectuado sobre los resultados alcanzados en este trabajo
establece, tal y como se desprende del análisis anterior, que el rango óptimo de
utilización de este método se presenta en torno a relaciones de forma b/h de valor
cercano a 1.5, siendo el menor valor en cada caso, el valor establecido del límite
superior. Los valores obtenidos mediante el TLS se sitúan en la mayoría de los
casos (salvo para reducidas b/h, sensiblemente menores a la unidad) por debajo de
los obtenidos por el MEF, este hecho debería ser validado experimentalmente.
Estudio de sensibilidad y Comparación del método del TLS mediante modelo de BRT frente a MEF. Capítulo 6
265
En cuanto al grado de deformación, los mejores resultados se obtienen de
media para aquellos que acercan el factor de forma a 1.5. En lo que respecta al
coeficiente de rozamiento, la mejor aplicación del método aparece para valores de
0.05 a 0.2 (bajo rozamiento) dentro de las zonas de óptima utilización.
Hay que tener presente que en el enfoque Modular se han considerado un
total de dos módulos, para cubrir el perfil de placas planas paralelas considerado,
por lo que en las relaciones de forma extremas (b/h=0.5 y b/h=6) los tres bloques
que componen cada uno de los módulos se encuentran fuertemente distorsionados,
y por lo tanto, alejados de la configuración de deformación ideal bajo una carga
mínima, de estos datos se desprende el comportamiento tan alejado que muestra el
modelo de BRT frente al MEF en la figura 6.32 y la falta de datos aportada por el
MEF en la figura 6.36.
De las dos opciones de tipo de rozamiento contempladas por el modelo de
BRT (adherencia y deslizamiento), es el modelo con rozamiento por deslizamiento el
que se asemeja en mayor medida al modelo del MEF, presentando pendientes
similares en las curvas de las figuras 6.38 a 6.41. Hay que reiterar que el MEF se ha
implementado bajo condiciones de rozamiento por deslizamiento.
También se desprende del presente análisis que la aplicación del método aquí desarrollado
es más sensible a la incorporación del efecto del rozamiento en el caso de rozamiento por
deslizamiento, como no podría ser de otro modo, puesto que este rozamiento depende de la
carga aplicada, produciéndose una realimentación derivada del método de cálculo iterativo
empleado. Por otra parte esta influencia se mantiene de una forma muy estable cuando es
de adherencia el rozamiento considerado. Este rozamiento por adherencia es el modelo de
rozamiento más aplicable en los procesos de deformación plástica en forja estudiados.
CAPÍTULO 7
APLICACIONES
No hay error más común que suponer que porque se hayan realizados precisos y prolongados cálculos matemáticos, la aplicación del resultado a algún hecho de la naturaleza es absolutamente cierta.
A. N. Whitehead
Capítulo 7
APLICACIONES
7.1 Aplicaciones
El objetivo fundamental de la presente tesis, tal y como se indicó en el
capítulo 1 de esta memoria, es la consecución de un método de análisis teórico con
el que establecer el valor mínimo de la carga a aplicar para lograr la deformación de
un material en un proceso de forja.
De forma adicional, y para representar una verdadera alternativa a otros
métodos ya suficientemente desarrollados, se ha exigido a este método una serie de
requisitos. Estos no son otros que, por un lado posibilitar la incorporación de un
número amplio de parámetros que actúan con notable influencia en el proceso de
conformado, de los que algunos de ellos presentan ciertas complicaciones de
aplicación en los métodos alternativos, como pueden ser el endurecimiento del
material o la temperatura, y por otro, si cabe de mayor repercusión, la adaptación en
las soluciones aportadas a perfiles de deformación (superficies de las matrices) no
restringidos a placas planas paralelas, sino abierto a cualquier perfil
tecnológicamente factible.
Francisco de Sales Martín Fernández
270
Por ello, el presente capítulo consta de una serie amplia de casos prácticos
de aplicación del método del TLS mediante BRT, iniciándose el estudio para una
superficie combinada y descompuesta en dos módulos, seguida de varios estudios
sobre perfiles formados por tres módulos, para los que se ha calculado el valor de la
relación adimensional p/2k en cada uno de ellos, recogiendo los valores en las
tablas 7.1 a 7.5 y su evolución gráfica, así como la composición de módulos, en las
figuras 7.3 a 7.14.
La figura 7.1 refleja la evolución básica de deformación contemplada en este
análisis, esto es, cómo un cuarto de una pieza prismática reduce su altura a costa de
aumentar su longitud (deformación plana).
Figura 7.1 deformación de módulo de PPP.
Los módulos tipo, ya suficientemente estudiados en capítulos anteriores, son
los de PPP y PPI, los cuales se reproducen a continuación en la figura 7.2.
Estudio de sensibilidad y aplicaciones. Capítulo 7
271
Figura 7.2 Configuración de 2 módulos y variación de la altura final del segundo
módulo.
En las aplicaciones planteadas en este capítulo se contempla, para todos los
casos, rozamiento por adherencia, con un valor moderado de, sin inclusión de
efectos tales como la acritud o la temperatura. Con ello se busca principalmente
poner de manifiesto las diferentes evoluciones que presenta la carga aplicada,
dependiendo del perfil de aplicación de la deformación.
En todos los módulos estudiados en cada una de las diferentes aplicaciones
contempladas se ha considerado que b1=b2=b3 y que la altura del primer módulo
adquiere un valor inicial h1=3.
Consecuentemente al enfoque modular, cada uno de los módulos está
compuesto de 3 BRT.
El resultado de la combinación de dos módulos proporciona un primer paso
para la obtención del valor buscado de la carga necesaria para conseguir la
deformación plástica en el proceso de forja, definido geométricamente con los
módulos implicados.
El objetivo final del análisis consiste en ampliar de forma variable el número
de módulos que intervienen en la definición de la geometría de estampación. Para
h1
x1 b1
B Vv
BRT1
BRT2
BRT3
A
CE D
h2 Φ1θ1 h1
b1
x1
B
Vv
BRT1
BRT2
BRT3
A
CE D
h2Φ1
θ1α
Francisco de Sales Martín Fernández
272
ello será necesario obtener una generalización completa de la ecuación
adimensional total pT/2k:
( )( )
=++++
+++⋅
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
++
+++
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
= ...
22
22
2 4321
4321321
32121
21
bbbb
bk
Pbbb
bbb
bk
Pbb
bb
bk
Pb
kP
kP
D
C
BA
T (7.1)
( )=
+++
⋅+⋅+⋅+⋅⋅= ...2
1
4321
4321
bbbb
bPbPbPbPk DCBA
(7.2)
∑
∑= i
i
i
ii
h b
bP
kkPT
1
1
21
2 (7.3)
siendo i = 1, 2, 3 ...
La generalización de aplicación del método se forma a través de la obtención
de una media ponderada en la que los “pesos” de cada uno de los módulos vienen
determinados por el ancho bi de cada uno de ellos.
Estudio de sensibilidad y aplicaciones. Capítulo 7
273
Figura 7.3 Configuración de módulos PPP y PPI.
El primer perfil considerado se compone de dos módulos, uno inicial PPP,
seguido a continuación de uno PPI con una inclinación de 15º positivos, por lo que la
altura de la zona de salida del material (derecha) será menor que la altura de
entrada (izquierda).
Figura 7.4 Evolución de p/2k de primer, segundo módulo y perfil combinado.
Ha de observarse que, debido a la estructura de las ecuaciones, en los
resultados de p/2k para el segundo módulo están implícitamente incorporado el
0
1
2
3
4
5
6
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3b/h
p/2k
Módulo1
Módulo2
Total Módulos
h1
x1
b1
Vv
BRT1
BRT2
BRT3
C
h2 Φ1θ1
b2
x
Vv
BRT1
BRT2
BRT3
h3Φ
θ2α
Francisco de Sales Martín Fernández
274
efecto que produce la existencia del módulo previo, en cuanto a su geometría, por lo
que no sería necesario, bajo esta única consideración, realizar una combinación de
los valores de p/2k de ambos módulos. Sin embargo, dadas las peculiaridades de la
aplicación del TLS mediante BRT, el problema cinemático se encuentra desacoplado
respecto al dinámico, por lo que las ecuaciones de las velocidades de entrada y
salida de material son independientes de los parámetros que afectan a la interfase
herramienta-pieza, e incluso de factores tales como la temperatura o el
endurecimiento, que sin embargo sí presenta una influencia directa en el valor de la
relación p/2k. Por ello resulta necesario establecer una combinación de los
diferentes valores de esta relación en cada uno de los módulos implicados,
combinación en la que cada módulo impondrá su mayor efecto en función del ancho
b de cada uno. El valor resultante de esta ponderación representará la carga a
aplicar sobre el perfil completo.
Una vez contemplado una primera combinación de dos módulos, que será la
base de los diferentes estudios que den cuerpo al análisis de sensibilidad realizado
al final de este capítulo, van a ser analizados diferentes perfiles tecnológicos
relativamente simples, pero ajustados a secciones reales de trabajo y
descompuestos en tres módulos de placas planas no necesariamente paralelas.
En todos los casos contemplados el rozamiento incorporado es de adherencia
y con un valor de m=0,1. Por otra parte, hay que tener presente que los perfiles
propuestos responden a un cuarto de la pieza real, debido a la doble simetría
impuesta, indicada en el capítulo 2.
Estudio de sensibilidad y aplicaciones. Capítulo 7
275
7.2 Perfil compuesto de módulos PPP-PPI-PPP; 15º de inclinación en el módulo PPI
Figura 7.5 Configuración de 3 módulos PPP-PPI-PPP.
Figura 7.6 Evolución de p/2k para 3 módulos PPP-PPI-PPP.
Se aprecia como el primer módulo PPP modera su influencia para factores de
forma próxima a 2 (ligeramente modificado por la presencia del rozamiento),
mientras que el segundo módulo sí es especialmente sensible, incrementándose el
valor de la carga en virtud del aumento del factor de forma. El conjunto del perfil, y
dado que el tercer módulo es de placas paralelas, modera su definitivo valor para
p/2k. La curva obtenida de la media de los tres módulos se asemeja notablemente a
la del tercero de ellos, puesto que la influencia geométrica, tal y como se ha
indicado, ya está integrada en la solución modular.
h
0
1
2
3
4
5
6
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3b/h
p/2k
Módulo1
Módulo2
Módulo3
Total Módulos
Francisco de Sales Martín Fernández
276
Tabla 7.1 Resultados de p/2k para 3 módulos PPP-PPI-PPP.
Módulo1 Módulo2 Módulo3 Total Módulos0,1 5,03 15,43 14,76 11,740,2 2,55 7,95 7,28 5,250,3 1,73 5,48 4,81 3,610,4 1,33 4,26 3,59 2,800,5 1,10 3,54 2,87 2,320,6 0,95 3,08 2,40 2,010,7 0,85 2,76 2,07 1,800,8 0,78 2,53 1,84 1,650,9 0,73 2,36 1,67 1,54
1 0,69 2,24 1,54 1,461,1 0,66 2,15 1,44 1,411,2 0,64 2,08 1,36 1,361,3 0,63 2,04 1,31 1,331,4 0,62 2,02 1,27 1,321,5 0,61 2,00 1,24 1,311,6 0,61 2,01 1,23 1,311,7 0,61 2,02 1,22 1,321,8 0,61 2,04 1,23 1,331,9 0,62 2,08 1,24 1,35
2 0,63 2,12 1,26 1,372,1 0,63 2,18 1,29 1,402,2 0,64 2,24 1,32 1,442,3 0,65 2,31 1,36 1,482,4 0,66 2,40 1,41 1,532,5 0,67 2,49 1,46 1,582,6 0,69 2,59 1,52 1,642,7 0,70 2,71 1,59 1,702,8 0,71 2,84 1,67 1,782,9 0,73 2,98 1,75 1,85
3 0,74 3,14 1,85 1,94
Estudio de sensibilidad y aplicaciones. Capítulo 7
277
7.3 Perfil compuesto de módulos PPI-PPP-PPI; 5º de inclinación en cada uno de los módulos PPI
Figura 7.7 Configuración de 3 módulos PPI-PPP-PPI.
Figura 7.8 Evolución de p/2k para 3 módulos PPI-PPP-PPI.
Incluso con solo 5º de inclinación en los módulos PPI, la influencia es decisiva
en este tipo de configuraciones (véanse las líneas correspondientes al primer y
tercer módulo -líneas magenta y azul-), y por lo tanto se observa el ascenso (leve en
este caso) que se produce en los valores de p/2k para los módulos afectados.
h
h
0
1
2
3
4
5
6
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3b/h
p/2k
Módulo1
Módulo2
Módulo3
Total Módulos
Francisco de Sales Martín Fernández
278
Tabla 7.2 Resultados de p/2k para 3 módulos PPI-PPP-PPI.
Módulo1 Módulo2 Módulo3 Total Módulos
0,1 5,05 14,94 15,11 11,700,2 2,57 7,46 7,64 5,010,3 1,75 4,98 5,17 3,370,4 1,35 3,76 3,95 2,550,5 1,12 3,03 3,23 2,080,6 0,97 2,56 2,76 1,760,7 0,87 2,22 2,43 1,550,8 0,80 1,98 2,20 1,390,9 0,75 1,80 2,02 1,28
1 0,72 1,66 1,89 1,191,1 0,69 1,55 1,79 1,121,2 0,68 1,46 1,72 1,071,3 0,66 1,39 1,66 1,031,4 0,66 1,33 1,62 1,001,5 0,66 1,29 1,59 0,971,6 0,66 1,25 1,58 0,961,7 0,66 1,23 1,57 0,941,8 0,67 1,20 1,57 0,941,9 0,68 1,19 1,58 0,93
2 0,69 1,18 1,59 0,932,1 0,71 1,17 1,61 0,942,2 0,72 1,17 1,64 0,942,3 0,74 1,17 1,67 0,952,4 0,75 1,17 1,70 0,962,5 0,77 1,17 1,75 0,972,6 0,79 1,18 1,79 0,992,7 0,82 1,19 1,84 1,002,8 0,84 1,20 1,90 1,022,9 0,86 1,21 1,96 1,04
3 0,89 1,23 2,02 1,06
Estudio de sensibilidad y aplicaciones. Capítulo 7
279
7.4 Perfil compuesto de módulos PPI con ángulos de inclinación de -10º, -8º y -6º respectivamente en cada uno de los módulos
Figura 7.9 Configuración de 3 módulos PPI-PPI-PPI con inclinación negativa.
Figura 7.10 Evolución de p/2k para 3 módulos PPI-PPI-PPI.
Los tres módulos presentan una inclinación negativa, cada vez más
moderada, y compensan con esta inclinación el aumento de la velocidad de fluencia
de material, este hecho origina la pendiente suavemente descendente de las curvas
de la figura 7.10.
0
1
2
3
4
5
6
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3b/h
p/2k
Módulo1
Módulo2
Módulo3
Total Módulos
Francisco de Sales Martín Fernández
280
Tabla 7.3 Resultados de p/2k para 3 módulos PPI-PPI-PPI.
Módulo1 Módulo2 Módulo3 Total Módulos0,1 5,00 14,99 15,13 11,710,2 2,52 7,51 7,65 5,010,3 1,70 5,02 5,17 3,360,4 1,30 3,79 3,94 2,550,5 1,07 3,06 3,21 2,060,6 0,92 2,57 2,73 1,740,7 0,81 2,23 2,39 1,520,8 0,74 1,97 2,14 1,360,9 0,68 1,78 1,94 1,23
1 0,64 1,62 1,79 1,131,1 0,61 1,50 1,67 1,051,2 0,59 1,39 1,56 0,991,3 0,57 1,31 1,48 0,941,4 0,56 1,23 1,41 0,891,5 0,54 1,17 1,35 0,861,6 0,54 1,12 1,29 0,831,7 0,53 1,07 1,25 0,801,8 0,53 1,03 1,21 0,781,9 0,53 0,99 1,17 0,76
2 0,53 0,95 1,14 0,742,1 0,53 0,92 1,11 0,732,2 0,53 0,90 1,09 0,712,3 0,53 0,87 1,06 0,702,4 0,53 0,85 1,04 0,692,5 0,54 0,83 1,03 0,682,6 0,54 0,81 1,01 0,672,7 0,55 0,79 0,99 0,672,8 0,55 0,77 0,98 0,662,9 0,56 0,76 0,97 0,66
3 0,56 0,74 0,95 0,65
Estudio de sensibilidad y aplicaciones. Capítulo 7
281
7.5 Perfil compuesto de módulos PPI-PPI-PPI con ángulos de inclinación de 10º, 5º y 3º respectivamente para cada uno de los módulos
Figura 7.11 Configuración de 3 módulos PPI-PPI-PPI.
Figura 7.12 Evolución de p/2k para 3 módulos PPI-PPI-PPI.
Este caso, opuesto en cierto sentido al anterior, muestra una pendiente
ascendente más acusada puesto que la inclinación positiva de los módulos acumula,
de forma creciente, el aumento de velocidad de fluencia de cada uno de los
módulos, por ello, el tercer módulo (azul) presenta la mayor pendiente.
h
h
h2
0
1
2
3
4
5
6
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3b/h
p/2k
Módulo1
Módulo2
Módulo3
Total Módulos
Francisco de Sales Martín Fernández
282
Tabla 7.4 Resultados de p/2k para 3 módulos PPI-PPI-PPI.
Módulo1 Módulo2 Módulo3 Total Módulos0,1 5,06 14,98 14,87 11,640,2 2,58 7,50 7,39 5,040,3 1,77 5,02 4,92 3,400,4 1,37 3,80 3,70 2,580,5 1,14 3,08 2,98 2,110,6 0,99 2,61 2,52 1,800,7 0,89 2,28 2,20 1,590,8 0,83 2,04 1,97 1,430,9 0,78 1,86 1,80 1,32
1 0,75 1,73 1,67 1,241,1 0,73 1,63 1,58 1,181,2 0,71 1,55 1,52 1,131,3 0,71 1,50 1,47 1,101,4 0,71 1,46 1,45 1,081,5 0,71 1,43 1,44 1,071,6 0,72 1,41 1,44 1,061,7 0,73 1,40 1,45 1,071,8 0,74 1,41 1,48 1,071,9 0,76 1,42 1,52 1,09
2 0,78 1,43 1,56 1,112,1 0,80 1,46 1,62 1,132,2 0,83 1,49 1,70 1,162,3 0,85 1,53 1,78 1,192,4 0,88 1,58 1,88 1,232,5 0,92 1,63 2,00 1,272,6 0,95 1,69 2,13 1,322,7 0,99 1,76 2,29 1,372,8 1,03 1,83 2,46 1,432,9 1,07 1,92 2,67 1,49
3 1,11 2,01 2,90 1,56
Estudio de sensibilidad y aplicaciones. Capítulo 7
283
7.6 Perfil compuesto de módulos PPI-PPI-PPI con inclinación negativa de -5º, -10º, y -5º respectivamente para cada módulo
Figura 7.13 Configuración de 3 módulos PPI-PPI-PPI con inclinación negativa.
Figura 7.14 Evolución de p/2k para 3 módulos PPI-PPI-PPI con inclinación negativa.
El aumento creciente en la inclinación negativa de los módulos hace que no
sólo no se compense la velocidad de fluencia del material sino que el valor de p/2k
incluso disminuya dado que hay una fluencia no natural del material.
0
1
2
3
4
5
6
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3b/h
p/2k
Módulo1
Módulo2
Módulo3
Total Módulos
Francisco de Sales Martín Fernández
284
Tabla 7.5 Resultados de p/2k para 3 módulos PPI-PPI-PPI con inclinación
negativa.
Módulo1 Módulo2 Módulo3 Total Módulos0,1 5,02 14,84 15,11 11,660,2 2,54 7,36 7,64 4,950,3 1,72 4,88 5,16 3,300,4 1,32 3,65 3,93 2,480,5 1,08 2,92 3,20 2,000,6 0,93 2,43 2,72 1,680,7 0,83 2,09 2,38 1,460,8 0,76 1,84 2,12 1,300,9 0,70 1,64 1,93 1,17
1 0,67 1,49 1,78 1,081,1 0,64 1,36 1,66 1,001,2 0,61 1,26 1,56 0,941,3 0,60 1,17 1,47 0,891,4 0,59 1,10 1,40 0,841,5 0,58 1,04 1,34 0,811,6 0,57 0,98 1,29 0,781,7 0,57 0,94 1,25 0,751,8 0,57 0,89 1,21 0,731,9 0,57 0,86 1,18 0,71
2 0,57 0,82 1,15 0,702,1 0,57 0,79 1,12 0,682,2 0,58 0,76 1,10 0,672,3 0,58 0,74 1,07 0,662,4 0,59 0,72 1,05 0,652,5 0,60 0,69 1,04 0,652,6 0,60 0,67 1,02 0,642,7 0,61 0,65 1,01 0,632,8 0,62 0,64 0,99 0,632,9 0,63 0,62 0,98 0,62
3 0,64 0,60 0,97 0,62
Estudio de sensibilidad y aplicaciones. Capítulo 7
285
7.7 Aplicación del método a caso tecnológico
Si en los casos estudiados con anterioridad se han contemplado tres módulos
estableciendo diferentes combinaciones entre ellos, se va a proceder en esta
ocasión a aplicar el método propuesto del TLS mediante el modelo de bloques
rígidos triangulares para un perfil más próximo a los dispuestos en la industria
(importante es considerar la existencia de la hipótesis de deformación plana, como
elemento que aleja al modelo de la realidad).
La vinculación existente entre módulos viene determinada por las velocidades
de salida del material de un primer módulo que se convierte en la velocidad de
entrada del material en el módulo siguiente. Esta relación de velocidades queda
recogida en los capítulos 3, 4 y 5 dedicados a la metodología de aplicación del
método (Fig. 7.15)
Figura 7.15 Velocidad del material entre módulos.
Por lo tanto, se va a considerar el perfil de la figura 7.16 compuesto
inicialmente por 6 módulos, pero sobre el que es posible aplicar la optimización
pretendida con los BRT bajo enfoque Modular. De esta forma, el módulo 3, que
presenta un factor de forma (relación b/h) elevado se subdividirá en dos módulos
PPP con igual ancho (b3=b4 en este caso), y el perfil total estará compuesto de 7
módulos en esta segunda opción.
Francisco de Sales Martín Fernández
286
Se analizará cual es el factor de forma (del perfil total) a partir del cual es más
favorable calcular p/2k por uno u otro camino.
a) b)
Figura 7.16 a) Sección de la pieza de trabajo b) División Modular.
Dado que se va a contemplar en el análisis un cuarto de pieza (figura 7.17),
se indican las cotas de cada una de las dimensiones a tener en consideración en el
cálculo:
Figura 7.17 Dimensionamiento cuarto de pieza.
Los valores de partida son:
h1=6; b1=3; b2=2; b3=6; b4=2; b5=2,5; b6=1,5; α1=0; α2= 50; α3=0; α4= -40; α5=0;
α6=35
h1
b5 b3 b2 b4 b1 b6
α1 α2 α3
Estudio de sensibilidad y aplicaciones. Capítulo 7
287
El análisis que se pretende realizar es aquel que de respuesta a la
deformación de la pieza de la figura 7.16, por lo que hay que considerar que la altura
h1 inicial del módulo irá disminuyendo conforme progresa la deformación, este
descenso de la matriz superior implica el hecho de que los factores de forma (b/h) de
cada módulo se van alterando, más concretamente, van aumentando, puesto que el
ancho de cada módulo se mantiene constante, pero la altura de cada uno de ellos
disminuye (Fig.7.18).
Figura 7.18 Descenso de la matriz superior.
Se establece, como ya se ha indicado una primera subdivisión en 6 módulos
PPP y PPI según sea el caso como se muestra en la figura 7.19.
Figura 7.19 División en 6 Módulos.
La segunda opción dispone que el BRT3 se subdivida en dos módulos de
ancho igual a 3 cada uno, con lo que se obtendrá (Fig. 7.20). Puede observarse en
la figura 7.21 la evolución de las relaciones de forma de cada módulo conforme
BRT1
BRT4 BRT2
BRT3
BRT6 BRT5
Francisco de Sales Martín Fernández
288
progresa la deformación, lo que determinará el instante en el que la segunda opción
sea más favorable que la primera en virtud de una menor distorsión de los BRT
(recluidas en las líneas rojas) que conforman cada uno de los módulos.
Figura 7.20 División en 7 Módulos.
Figura 7.21 Modificación del factor de forma debida a la deformación.
Realizadas estas consideraciones se procede a mostrar la evolución de la
relación adimensional p/2k frente al factor de forma del cuarto de pieza completo,
donde se aprecia la evolución para cada uno de los módulos (en el primer caso
formado por 6 Módulos), así como la del conjunto de todos ellos, y que representa la
establecida para el cuarto de pieza en estudio (línea Total Módulos) en la figura
7.22.
BRT1
BRT5 BRT2
BRT3
BRT7 BRT6
BRT4
Estudio de sensibilidad y aplicaciones. Capítulo 7
289
Figura 7.22 p/2k frente bTotal/h para 6 Módulos.
Tabla 7.6 Valores p/2k frente bTotal/h para 6 Módulos.
De igual forma se obtiene la evolución de p/2k para una disposición de 7
Módulos (Fig.7.23 y Tabla 7.7):
0
1
2
3
4
5
6
7
8
3 4 5 6
Módulo1Módulo2Módulo3Módulo4Módulo5Módulo6Total Módulos
bTotal/h1 h1 Módulo1 Módulo2 Módulo3 Módulo4 Módulo5 Módulo6 Total Módulos2,83 6,00 2,19 5,51 1,57 -0,77 2,67 6,18 2,442,93 5,80 2,13 5,45 1,59 -0,84 2,61 6,08 2,403,04 5,60 2,07 5,39 1,62 -0,91 2,56 5,97 2,373,15 5,40 2,01 5,34 1,66 -0,98 2,50 5,87 2,343,27 5,20 1,95 5,29 1,71 -1,05 2,45 5,78 2,323,40 5,00 1,89 5,25 1,77 -1,12 2,40 5,68 2,303,54 4,80 1,83 5,22 1,85 -1,19 2,36 5,60 2,293,70 4,60 1,78 5,20 1,95 -1,25 2,31 5,52 2,293,86 4,40 1,72 5,19 2,07 -1,32 2,27 5,44 2,314,05 4,20 1,67 5,20 2,23 -1,39 2,24 5,38 2,334,25 4,00 1,61 5,24 2,43 -1,47 2,21 5,33 2,384,47 3,80 1,56 5,30 2,71 -1,55 2,19 5,30 2,464,72 3,60 1,51 5,41 3,08 -1,66 2,17 5,28 2,585,00 3,40 1,46 5,59 3,61 -1,82 2,17 5,29 2,765,31 3,20 1,42 5,89 4,42 -2,08 2,18 5,34 3,055,67 3,00 1,38 6,40 5,78 -2,57 2,20 5,45 3,546,07 2,80 1,34 7,43 8,47 -3,70 2,24 5,64 4,49
Francisco de Sales Martín Fernández
290
Figura 7.23 p/2k frente bTotal/h para 7 Módulos.
Tabla 7.7 Valores p/2k frente bTotal/h para 7 Módulos.
La solución al problema de optimización queda resuelta al comparar las
curvas de evolución de p/2k para 6 y 7 módulos manteniendo como comunes los
factores de forma (Fig.7.24).
h1 bTotal/h1 Módulo1 Módulo2 Módulo3 Módulo4 Módulo5 Módulo6 Módulo7 Total Módulos6,00 2,83 2,19 5,51 1,86 1,86 -0,08 2,53 5,98 2,585,80 2,93 2,13 5,45 1,83 1,83 -0,15 2,47 5,87 2,535,60 3,04 2,07 5,39 1,81 1,81 -0,23 2,40 5,76 2,475,40 3,15 2,01 5,34 1,79 1,79 -0,31 2,34 5,66 2,425,20 3,27 1,95 5,29 1,78 1,78 -0,38 2,28 5,57 2,385,00 3,40 1,89 5,25 1,78 1,78 -0,45 2,23 5,48 2,344,80 3,54 1,83 5,22 1,79 1,79 -0,53 2,17 5,39 2,304,60 3,70 1,78 5,20 1,81 1,81 -0,60 2,12 5,31 2,274,40 3,86 1,72 5,19 1,85 1,85 -0,67 2,07 5,25 2,264,20 4,05 1,67 5,20 1,91 1,91 -0,74 2,02 5,19 2,254,00 4,25 1,61 5,24 2,01 2,01 -0,82 1,98 5,15 2,263,80 4,47 1,56 5,30 2,15 2,15 -0,90 1,94 5,13 2,293,60 4,72 1,51 5,41 2,36 2,36 -1,00 1,91 5,14 2,353,40 5,00 1,46 5,59 2,68 2,68 -1,14 1,89 5,19 2,463,20 5,31 1,42 5,89 3,18 3,18 -1,34 1,87 5,28 2,653,00 5,67 1,38 6,40 4,06 4,06 -1,72 1,87 5,45 2,982,80 6,07 1,34 7,43 5,84 5,84 -2,58 1,88 5,73 3,65
0
1
2
3
4
5
6
7
8
3 4 5 6
Módulo1Módulo2Módulo3Módulo4Módulo5Módulo6Módulo7Total Módulos
Estudio de sensibilidad y aplicaciones. Capítulo 7
291
Figura 7.24 p/2k frente bTotal/h para 7 Módulos.
Así pues, como se aprecia en la figura 7.24, a partir de un factor de forma
global (bTotal/h) de 3,5, los valores de p/2k que determinan el límite superior en
cada caso son más reducidos con la opción de modular el perfil completo en 7
Módulos.
Dado que las curvas muestran la deformación de una pieza desde sus dimensiones
iniciales (h1=6) hasta las que determinan el final de la deformación (h1=2,8), la curva
final a considerar será la compuesta por la línea roja (6 Módulos) en la fase inicial de
la deformación hasta alcanzar el factor de forma de 3,5 mencionado, y a partir de
este instante progresar en el cálculo mediante la línea azul (7 Módulos), puesto que
determinan los valores mínimos en cada situación, y estos valores mínimos son los
que materializan el límite superior buscado.
0
1
2
3
4
5
6
3 4 5 6bTotal/h
p/2k
6 Módulos7 Módulos
CAPÍTULO 8
CONCLUSIONES
No se deben hacer predicciones, en especial sobre el futuro.
N. Böhr
Capítulo 8
CONCLUSIONES
8.1 Introducción
A lo largo de este último capítulo de la Tesis se pretende realizar un
seguimiento general de las aportaciones efectivas que finalmente se han realizado
en cada uno de los capítulos precedentes, con un análisis comparativo frente a los
objetivos que fueron descritos al inicio de la misma para, de esta forma, identificar su
grado de consecución.
La estructura empleada radica en la consideración de tres apartados. En el
primero se analizarán los resultados generales, exponiendo a grandes rasgos los
objetivos básicos alcanzados, considerados éstos como el cuerpo fundamental de la
presente Tesis. La segunda parte se dedica a la exposición de las conclusiones
particulares, especificando aquellos otros resultados, análisis y logros que, si bien no
formaban parte en su conjunto del objetivo fundamental, han tenido que ser
igualmente desarrollados como elementos complementarios en el proceso de
culminación de aquellos otros más generales. Finalmente, la tercera y última parte
Francisco de Sales Martín Fernández
296
aporta una visión de la Tesis orientada hacia el futuro, basándose en las
características de los resultados obtenidos, para sugerir propuestas de posibles
desarrollos futuros que cierren aquellas puertas abiertas por la presente Tesis, en
cuanto a nuevas posibilidades de aplicación del método, dada la necesidad de
acotar el tiempo de su desarrollo.
8.2 Conclusiones generales
Mediante la Tesis expuesta en la presente memoria se ha conseguido
alcanzar los objetivos principales que fueron especificados en el capítulo 1, mediante
el planteamiento inicial y justificación de la misma. El desarrollo del estudio realizado
y el análisis de los datos generados permiten obtener las siguientes conclusiones
generales.
- Se ha constatado la ausencia en un elevado número de trabajos exhaustivos
previos sobre estudios analíticos de aplicación del Teorema del Límite
Superior mediante el modelo de Bloques Rígidos Triangulares.
- Se ha implantado un método analítico ampliamente desarrollado para
geometrías no restringidas a placas planas paralelas, el cual posibilita la
incorporación de parámetros esenciales en el proceso de conformado por
deformación plástica.
- Se han efectuado un conjunto de propuestas metodológicas con las que
incorporar de una forma concreta los diferentes parámetros tecnológicos ya
indicados, entre los que cabe mencionar la influencia del rozamiento, la
temperatura, o el endurecimiento del material debido al propio proceso de
deformación.
- El tratamiento particular de estas metodologías ha permitido identificar la
problemática global y el modo de afrontarlas mediante diferentes enfoques.
Conclusiones. Capítulo 8
297
- Se ha conseguido realizar un análisis comparativo entre métodos de diferente
concepción matemática, dada la versatilidad que presenta el modelo
propuesto en la Tesis, con el que se ha podido adaptar a las condiciones de
trabajo de métodos como el de elementos finitos.
- Se ha realizado un amplio estudio de sensibilidad con el que establecer el
rango de aplicación óptima del método.
8.3 Conclusiones particulares
Además de las conclusiones generales, anteriormente indicadas, que trataban
de dar respuesta a las expectativas globales de los objetivos planteados en la
justificación de la Tesis, también se pueden extraer otras conclusiones, más
particulares y específicas que, sin estar previstas inicialmente, han surgido en el
desarrollo de las herramientas de análisis. Entre ellas se pueden destacar las
siguientes:
- El método propuesto, y que ya se ha expuesto en las conclusiones generales,
presenta un valor añadido que radica en el hecho de la sencillez, desde un
punto de vista matemático, de aplicación del mismo.
- De forma paralela a dicha sencillez, es notable destacar el reducido coste
computacional que presenta la implementación y el posterior uso del método
basado en el Teorema del Límite Superior aquí desarrollado, frente a otros
alternativos como el correspondiente al Método de Elementos Finitos, descrito
en el capítulo 6.
- El doble enfoque planteado al implementar el método ha permitido dar una
solución coherente a los diferentes problemas, tanto geométricos como
tecnológicos, que han ido presentándose a lo largo del desarrollo de la Tesis.
- De estos dos enfoques, es el denominado Modular aquel que ha configurado
la estructura final de la solución general de aplicación del modelo,
Francisco de Sales Martín Fernández
298
constituyendo este nuevo enfoque un elemento innovador, puesto que se
aleja del tratamiento tradicional presente en la bibliografía clásica. El carácter
modular de esta propuesta, que divide la superficie a estudiar en zonas
discretas, conformadas cada una de ellas por un conjunto de tres bloques
rígidos triangulares, posibilita su adaptación a configuraciones geométricas
muy diversas.
- La versatilidad del modelo permite su adaptación a perfiles de deformación
del material que responden a configuraciones geométricas formadas por la
combinación de placas planas paralelas y placas planas inclinadas,
teóricamente sin limitación alguna, si bien tecnológicamente se determinará
un rango óptimo de aplicación.
- El modelo posibilita la discriminación de las diferentes componentes
energéticas presentes en un proceso de deformación plástica, lo que facilita la
consideración de la influencia de cada una de las mismas. Así, la distorsión
del material se verá incorporada a través de las superficies de discontinuidad
establecidas entre bloques rígidos, mientras que el rozamiento -tanto interno
como externo- será incorporado a partir de los coeficientes de rozamiento
oportunos y de la tensión de fluencia del material.
- El rozamiento externo existente en la interfase herramienta-pieza,
considerado como uno de los parámetros tecnológicos fundamentales, es
incorporado en sus dos opciones, esto es, como rozamiento por adherencia y
como rozamiento por deslizamiento, presentando la posibilidad incluso de su
presencia de forma combinada en un proceso desarrollado en zonas
previamente definidas del mismo.
- La incorporación del rozamiento por deslizamiento ha obligado a realizar un
diferente tratamiento matemático, debido a la dependencia de la carga
aplicada, en la consecución de sus resultados. Esta diferente operativa,
efectuada mediante un proceso iterativo, presenta una elevada convergencia
en los resultados obtenidos.
Conclusiones. Capítulo 8
299
- El modelo implementado abre la posibilidad de incorporar diferentes
parámetros adicionales al del rozamiento indicado con anterioridad, entre
ellos la acritud y la temperatura, que condicionan el valor de la tensión de
fluencia a cortadura pura del material en estudio. La inclusión de estos
factores acerca a la realidad el valor de los resultados finales, puesto que
elimina, en cierta medida, las hipótesis simplificadoras de partida que
consideran nula sus influencias.
- La modelización del método, fundamentalmente geométrica, aporta la ventaja
adicional de poder obtener, en cualquier punto, las velocidades de cada una
de las zonas virtuales rígidas consideradas, y con ello, a través de la primera
y última zona considerada, la velocidad de fluencia, tanto de entrada como de
salida, del material
- El carácter geométrico del modelo genera un campo de optimización en el
cálculo de la carga límite aplicada a partir de la modificación en el número de
módulos considerados, inicialmente con un mismo número de BRT en cada
uno de ellos, pero con la posibilidad de que este número de BRT sea, a su
vez, modificado.
- De forma colateral, han sido adicionalmente contempladas comparaciones
puntuales con métodos analíticos simples ya considerados en la bibliografía
clásica.
- Los resultados obtenidos presentan un alto nivel de robustez, generándose
incoherencias sólo en aquellas situaciones en las que las singularidades
trigonométricas así lo imponen.
- En último lugar, y no por ello de menor importancia, ha sido posible establecer
curvas que representan el límite superior necesario para garantizar la
realización de un determinado proceso de forja, teniendo presente en cada
Francisco de Sales Martín Fernández
300
situación todos los parámetros tecnológicos y geométricos anteriormente
indicados.
8.4 Líneas de desarrollo futuro Si bien la aplicación del método analítico propuesto en esta Tesis se ha visto
sometido a una completa evolución desde la idea original, hasta alcanzar la solución
final, se considera que con él se abren ciertas posibilidades de desarrollo ulterior.
Entre otras, podríamos indicar la posibilidad de realización de un programa
informático en el que, mediante rutinas, facilite una integración del sistema,
facilitando las potencialidades del modelo establecido. Este programa, bajo entornos
CAD-CAM-CAE tendría una clara vocación industrial.
Desde la vertiente docente, consideramos a su vez de gran interés formalizar
un programa similar al anterior, con un grado menor de complejidad y orientado al
alumno dentro del espacio europeo de enseñanza superior (EEES).
La ampliación en el análisis a otras geometrías y procesos tanto estacionarios como no estacionarios no contemplados en el presente análisis, así como someter al modelo a situaciones particulares en zonas locales que presenten algún tipo de singularidad.
REFERENCIAS
El plagio anticipador sucede cuando alguien roba tu idea original y la publica cien años antes de que tú nazcas.
R. Menton
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303
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ANEXO A
Si me dan una fómula, e ignoro su significado, no me enseña nada; pero si ya la conozco. ¿Qué es lo que me enseña?
S. Agustín
ANEXO A
A1.1 Introducción
Tal y como se ha indicado en diferentes apartados de los capítulos 3
(Metodología general), 4 (Metodología bajo enfoque No Modular), 5 (Metodología
bajo enfoque Modular) y 6 (Aplicaciones), en el presente anexo se incluye mediante
gráficos y tablas, una recopilación más exhaustiva de los diversos casos
contemplados sometidos a la variación de valores de los parámetros considerados
en cada caso.
A1.2 Enfoque no modular disposición contraria para 3, 4 y 5 BRT
La disposición contraria de BRT es, tal y como se indicó en el capítulo 3, aquella
originaria disposición de bloques modificada con posterioridad para resolver el
problema de la continuidad de material mediante bloques virtuales manteniendo una
forma triangular.
A partir de esta configuración se realizaron una serie de estudios previos con los
que determinar la evolución del método, y para ello se ofrecen a continuación (Figs.
A.1 a A.6) las diferentes curvas, resultantes de una pieza a analizar con un factor de
Francisco de Sales Martín Fernández
322
forma variable (b/h) para coeficientes de rozamiento por adherencia con valores
límite de 0 y 1. Las tablas que recogen los valores que conforman las curvas antes
citadas vienen recogidos en las Tablas A.1 a A.6.
Se contempla el presente estudio para un configuraciones diferentes de 3, 4 y
5 BRT. El conjunto de curvas de color negro, reúne las soluciones de la
configuración de BRT establecida para un mismo valor del área de material a
deformar, por lo que al ir modificándose el valor de la altura del cuarto de pieza a
estudiar (h), irá modificándose, a su vez, el valor de b (ancho de la pieza).
Figura A.1 Evolución de p/2k con m=0 para 3 BRT contrario
Tabla A.1 Valores de la evolución de p/2k con m=0 para 3 BRT contrario.
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4 5b/h
p/2k
b h1=2 b h1=1,8 b h1=1,6 b h1=1,4b h1=1,2 b h1=1 b h1=0,8b h1=0,6b h1=0,4 b h1=0,20,20 10,03 0,22 8,13 0,25 6,44 0,29 4,95 0,33 3,67 0,40 2,60 0,50 1,76 0,67 1,18 1,00 1,03 2,00 2,600,40 6,70 0,44 5,45 0,50 4,33 0,57 3,34 0,67 2,50 0,80 1,82 1,00 1,30 1,33 1,02 2,00 1,20 4,00 3,820,60 5,05 0,67 4,11 0,75 3,28 0,86 2,55 1,00 1,94 1,20 1,45 1,50 1,11 2,00 1,01 3,00 1,45 6,00 5,050,80 4,06 0,89 3,32 1,00 2,66 1,14 2,09 1,33 1,61 1,60 1,25 2,00 1,03 2,67 1,05 4,00 1,72 8,00 6,291,00 3,41 1,11 2,79 1,25 2,25 1,43 1,79 1,67 1,41 2,00 1,13 2,50 1,00 3,33 1,13 5,00 2,01 10,00 7,531,20 2,94 1,33 2,42 1,50 1,97 1,71 1,58 2,00 1,27 2,40 1,06 3,00 1,00 4,00 1,23 6,00 2,30 12,00 8,781,40 2,60 1,56 2,15 1,75 1,76 2,00 1,43 2,33 1,18 2,80 1,03 3,50 1,03 4,67 1,34 7,00 2,60 14,00 10,031,60 2,33 1,78 1,94 2,00 1,60 2,29 1,32 2,67 1,11 3,20 1,01 4,00 1,06 5,33 1,45 8,00 2,90 16,00 11,271,80 2,13 2,00 1,77 2,25 1,48 2,57 1,24 3,00 1,07 3,60 1,00 4,50 1,10 6,00 1,57 9,00 3,21 18,00 12,522,00 1,96 2,22 1,64 2,50 1,38 2,86 1,17 3,33 1,04 4,00 1,00 5,00 1,15 6,67 1,69 10,00 3,51 20,00 13,772,20 1,82 2,44 1,54 2,75 1,30 3,14 1,12 3,67 1,02 4,40 1,02 5,50 1,20 7,33 1,82 11,00 3,82 22,00 15,022,40 1,70 2,67 1,45 3,00 1,24 3,43 1,09 4,00 1,01 4,80 1,03 6,00 1,26 8,00 1,94 12,00 4,12 24,00 16,272,60 1,60 2,89 1,37 3,25 1,19 3,71 1,06 4,33 1,00 5,20 1,06 6,50 1,32 8,67 2,07 13,00 4,43 26,00 17,512,80 1,52 3,11 1,31 3,50 1,15 4,00 1,04 4,67 1,00 5,60 1,08 7,00 1,39 9,33 2,20 14,00 4,74 28,00 18,763,00 1,45 3,33 1,26 3,75 1,11 4,29 1,02 5,00 1,01 6,00 1,11 7,50 1,45 10,00 2,33 15,00 5,05 30,00 20,013,20 1,39 3,56 1,22 4,00 1,08 4,57 1,01 5,33 1,01 6,40 1,14 8,00 1,52 10,67 2,47 16,00 5,36 32,00 21,263,40 1,34 3,78 1,18 4,25 1,06 4,86 1,00 5,67 1,03 6,80 1,18 8,50 1,58 11,33 2,60 17,00 5,67 34,00 22,513,60 1,29 4,00 1,15 4,50 1,04 5,14 1,00 6,00 1,04 7,20 1,21 9,00 1,65 12,00 2,73 18,00 5,98 36,00 23,763,80 1,25 4,22 1,12 4,75 1,03 5,43 1,00 6,33 1,05 7,60 1,25 9,50 1,72 12,67 2,87 19,00 6,29 38,00 25,014,00 1,21 4,44 1,10 5,00 1,02 5,71 1,00 6,67 1,07 8,00 1,29 10,00 1,79 13,33 3,00 20,00 6,60 40,00 26,264,20 1,18 4,67 1,08 5,25 1,01 6,00 1,01 7,00 1,09 8,40 1,33 10,50 1,86 14,00 3,14 21,00 6,91 42,00 27,514,40 1,16 4,89 1,06 5,50 1,01 6,29 1,01 7,33 1,11 8,80 1,37 11,00 1,94 14,67 3,27 22,00 7,22 44,00 28,764,60 1,13 5,11 1,05 5,75 1,00 6,57 1,02 7,67 1,13 9,20 1,41 11,50 2,01 15,33 3,41 23,00 7,53 46,00 30,014,80 1,11 5,33 1,03 6,00 1,00 6,86 1,03 8,00 1,16 9,60 1,45 12,00 2,08 16,00 3,54 24,00 7,84 48,00 31,265,00 1,09 5,56 1,02 6,25 1,00 7,14 1,04 8,33 1,18 10,00 1,49 12,50 2,15 16,67 3,68 25,00 8,16 50,00 32,515,20 1,08 5,78 1,02 6,50 1,00 7,43 1,05 8,67 1,20 10,40 1,54 13,00 2,23 17,33 3,82 26,00 8,47 52,00 33,765,40 1,06 6,00 1,01 6,75 1,00 7,71 1,06 9,00 1,23 10,80 1,58 13,50 2,30 18,00 3,95 27,00 8,78 54,00 35,015,60 1,05 6,22 1,01 7,00 1,01 8,00 1,08 9,33 1,26 11,20 1,62 14,00 2,38 18,67 4,09 28,00 9,09 56,00 36,265,80 1,04 6,44 1,00 7,25 1,01 8,29 1,09 9,67 1,28 11,60 1,67 14,50 2,45 19,33 4,23 29,00 9,40 58,00 37,516,00 1,03 6,67 1,00 7,50 1,02 8,57 1,11 10,00 1,31 12,00 1,71 15,00 2,53 20,00 4,36 30,00 9,71 60,00 38,76
Anexo A
323
Figura A.2 Evolución de p/2k con m=1 para 3 BRT contrario
Tabla A.2 Valores de la evolución de p/2k con m=1 para 3 BRT contrario
h1=2
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4 5
b h1=2 b h1=1,8 b h1=1,6 b h1=1,4b h1=1,2 b h1=1 b h1=0,8b h1=0,6b h1=0,4 b h1=0,20,20 10,05 0,22 8,16 0,25 6,48 0,29 5,00 0,33 3,74 0,40 2,70 0,50 1,91 0,67 1,46 1,00 1,65 2,00 5,100,40 6,74 0,44 5,49 0,50 4,38 0,57 3,42 0,67 2,61 0,80 1,97 1,00 1,54 1,33 1,43 2,00 2,14 4,00 7,570,60 5,10 0,67 4,17 0,75 3,36 0,86 2,65 1,00 2,08 1,20 1,65 1,50 1,43 2,00 1,56 3,00 2,70 6,00 10,050,80 4,13 0,89 3,39 1,00 2,76 1,14 2,22 1,33 1,79 1,60 1,50 2,00 1,42 2,67 1,75 4,00 3,29 8,00 12,541,00 3,48 1,11 2,89 1,25 2,37 1,43 1,94 1,67 1,62 2,00 1,43 2,50 1,47 3,33 1,97 5,00 3,88 10,00 15,031,20 3,03 1,33 2,53 1,50 2,10 1,71 1,76 2,00 1,51 2,40 1,41 3,00 1,55 4,00 2,20 6,00 4,49 12,00 17,531,40 2,70 1,56 2,27 1,75 1,91 2,00 1,63 2,33 1,46 2,80 1,43 3,50 1,65 4,67 2,45 7,00 5,10 14,00 20,031,60 2,45 1,78 2,08 2,00 1,77 2,29 1,55 2,67 1,43 3,20 1,46 4,00 1,76 5,33 2,70 8,00 5,71 16,00 22,521,80 2,25 2,00 1,93 2,25 1,67 2,57 1,49 3,00 1,41 3,60 1,50 4,50 1,88 6,00 2,96 9,00 6,33 18,00 25,022,00 2,09 2,22 1,81 2,50 1,59 2,86 1,45 3,33 1,42 4,00 1,55 5,00 2,01 6,67 3,22 10,00 6,95 20,00 27,522,20 1,97 2,44 1,72 2,75 1,54 3,14 1,43 3,67 1,43 4,40 1,62 5,50 2,14 7,33 3,48 11,00 7,57 22,00 30,022,40 1,86 2,67 1,65 3,00 1,49 3,43 1,42 4,00 1,46 4,80 1,68 6,00 2,28 8,00 3,75 12,00 8,19 24,00 32,522,60 1,78 2,89 1,59 3,25 1,46 3,71 1,41 4,33 1,49 5,20 1,76 6,50 2,42 8,67 4,02 13,00 8,81 26,00 35,012,80 1,71 3,11 1,54 3,50 1,44 4,00 1,42 4,67 1,52 5,60 1,83 7,00 2,56 9,33 4,29 14,00 9,43 28,00 37,513,00 1,65 3,33 1,51 3,75 1,43 4,29 1,43 5,00 1,56 6,00 1,91 7,50 2,70 10,00 4,56 15,00 10,05 30,00 40,013,20 1,60 3,56 1,48 4,00 1,42 4,57 1,44 5,33 1,60 6,40 1,99 8,00 2,84 10,67 4,83 16,00 10,67 32,00 42,513,40 1,56 3,78 1,46 4,25 1,41 4,86 1,46 5,67 1,65 6,80 2,08 8,50 2,99 11,33 5,10 17,00 11,29 34,00 45,013,60 1,53 4,00 1,44 4,50 1,42 5,14 1,49 6,00 1,70 7,20 2,16 9,00 3,14 12,00 5,37 18,00 11,92 36,00 47,513,80 1,50 4,22 1,43 4,75 1,42 5,43 1,51 6,33 1,75 7,60 2,25 9,50 3,29 12,67 5,65 19,00 12,54 38,00 50,014,00 1,48 4,44 1,42 5,00 1,43 5,71 1,54 6,67 1,80 8,00 2,34 10,00 3,43 13,33 5,92 20,00 13,16 40,00 52,514,20 1,46 4,67 1,42 5,25 1,44 6,00 1,57 7,00 1,86 8,40 2,43 10,50 3,58 14,00 6,19 21,00 13,79 42,00 55,014,40 1,44 4,89 1,41 5,50 1,45 6,29 1,60 7,33 1,91 8,80 2,52 11,00 3,73 14,67 6,47 22,00 14,41 44,00 57,514,60 1,43 5,11 1,42 5,75 1,47 6,57 1,63 7,67 1,97 9,20 2,61 11,50 3,88 15,33 6,74 23,00 15,03 46,00 60,014,80 1,43 5,33 1,42 6,00 1,49 6,86 1,67 8,00 2,02 9,60 2,70 12,00 4,03 16,00 7,02 24,00 15,66 48,00 62,515,00 1,42 5,56 1,43 6,25 1,51 7,14 1,70 8,33 2,08 10,00 2,79 12,50 4,19 16,67 7,29 25,00 16,28 50,00 65,015,20 1,42 5,78 1,43 6,50 1,53 7,43 1,74 8,67 2,14 10,40 2,89 13,00 4,34 17,33 7,57 26,00 16,90 52,00 67,515,40 1,41 6,00 1,44 6,75 1,55 7,71 1,78 9,00 2,20 10,80 2,98 13,50 4,49 18,00 7,84 27,00 17,53 54,00 70,015,60 1,41 6,22 1,45 7,00 1,57 8,00 1,82 9,33 2,26 11,20 3,07 14,00 4,64 18,67 8,12 28,00 18,15 56,00 72,515,80 1,42 6,44 1,47 7,25 1,60 8,29 1,86 9,67 2,32 11,60 3,17 14,50 4,79 19,33 8,39 29,00 18,78 58,00 75,016,00 1,42 6,67 1,48 7,50 1,62 8,57 1,90 10,00 2,39 12,00 3,26 15,00 4,95 20,00 8,67 30,00 19,40 60,00 77,51
Francisco de Sales Martín Fernández
324
Figura A.3 Evolución de p/2k con m=0 para 4 BRT contrario
Tabla A.3 Valores de la evolución de p/2k con m=0 para 4 BRT contrario
P/2k
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4 5
h1=2 h1=1,8 h1=1,6 h1=1,4 h1=1,2 h1=1 h1=0,8 h1=0,6 h1=0,4 h1=0,2b P/2k b P/2k b P/2k b P/2k b P/2k b P/2k b P/2k b P/2k b P/2k b P/2k0,20 15,02 0,22 12,17 0,25 9,63 0,29 7,38 0,33 5,45 0,40 3,82 0,50 2,50 0,67 1,54 1,00 1,02 2,00 1,820,40 10,03 0,44 8,13 0,50 6,44 0,57 4,95 0,67 3,67 0,80 2,60 1,00 1,76 1,33 1,18 2,00 1,03 4,00 2,600,60 7,53 0,67 6,12 0,75 4,85 0,86 3,74 1,00 2,79 1,20 2,01 1,50 1,41 2,00 1,05 3,00 1,13 6,00 3,410,80 6,04 0,89 4,91 1,00 3,91 1,14 3,03 1,33 2,28 1,60 1,67 2,00 1,22 2,67 1,00 4,00 1,28 8,00 4,231,00 5,05 1,11 4,11 1,25 3,28 1,43 2,55 1,67 1,94 2,00 1,45 2,50 1,11 3,33 1,01 5,00 1,45 10,00 5,051,20 4,34 1,33 3,54 1,50 2,83 1,71 2,22 2,00 1,70 2,40 1,30 3,00 1,05 4,00 1,03 6,00 1,63 12,00 5,881,40 3,82 1,56 3,12 1,75 2,50 2,00 1,97 2,33 1,54 2,80 1,20 3,50 1,02 4,67 1,08 7,00 1,82 14,00 6,701,60 3,41 1,78 2,79 2,00 2,25 2,29 1,79 2,67 1,41 3,20 1,13 4,00 1,00 5,33 1,13 8,00 2,01 16,00 7,531,80 3,08 2,00 2,53 2,25 2,05 2,57 1,64 3,00 1,31 3,60 1,08 4,50 1,00 6,00 1,20 9,00 2,20 18,00 8,362,00 2,82 2,22 2,32 2,50 1,89 2,86 1,52 3,33 1,24 4,00 1,05 5,00 1,01 6,67 1,26 10,00 2,40 20,00 9,192,20 2,60 2,44 2,15 2,75 1,76 3,14 1,43 3,67 1,18 4,40 1,03 5,50 1,03 7,33 1,34 11,00 2,60 22,00 10,032,40 2,42 2,67 2,00 3,00 1,65 3,43 1,35 4,00 1,13 4,80 1,01 6,00 1,05 8,00 1,41 12,00 2,80 24,00 10,862,60 2,26 2,89 1,88 3,25 1,55 3,71 1,29 4,33 1,10 5,20 1,00 6,50 1,07 8,67 1,49 13,00 3,00 26,00 11,692,80 2,13 3,11 1,77 3,50 1,48 4,00 1,24 4,67 1,07 5,60 1,00 7,00 1,10 9,33 1,57 14,00 3,21 28,00 12,523,00 2,01 3,33 1,68 3,75 1,41 4,29 1,19 5,00 1,05 6,00 1,00 7,50 1,13 10,00 1,65 15,00 3,41 30,00 13,353,20 1,91 3,56 1,60 4,00 1,35 4,57 1,15 5,33 1,03 6,40 1,01 8,00 1,17 10,67 1,73 16,00 3,61 32,00 14,183,40 1,82 3,78 1,54 4,25 1,30 4,86 1,12 5,67 1,02 6,80 1,02 8,50 1,20 11,33 1,82 17,00 3,82 34,00 15,023,60 1,74 4,00 1,47 4,50 1,26 5,14 1,10 6,00 1,01 7,20 1,03 9,00 1,24 12,00 1,90 18,00 4,02 36,00 15,853,80 1,67 4,22 1,42 4,75 1,22 5,43 1,08 6,33 1,00 7,60 1,04 9,50 1,28 12,67 1,99 19,00 4,23 38,00 16,684,00 1,60 4,44 1,37 5,00 1,19 5,71 1,06 6,67 1,00 8,00 1,06 10,00 1,32 13,33 2,07 20,00 4,43 40,00 17,514,20 1,55 4,67 1,33 5,25 1,16 6,00 1,04 7,00 1,00 8,40 1,07 10,50 1,36 14,00 2,16 21,00 4,64 42,00 18,354,40 1,50 4,89 1,29 5,50 1,13 6,29 1,03 7,33 1,00 8,80 1,09 11,00 1,41 14,67 2,25 22,00 4,84 44,00 19,184,60 1,45 5,11 1,26 5,75 1,11 6,57 1,02 7,67 1,01 9,20 1,11 11,50 1,45 15,33 2,33 23,00 5,05 46,00 20,014,80 1,41 5,33 1,23 6,00 1,09 6,86 1,01 8,00 1,01 9,60 1,13 12,00 1,49 16,00 2,42 24,00 5,26 48,00 20,855,00 1,37 5,56 1,20 6,25 1,08 7,14 1,01 8,33 1,02 10,00 1,16 12,50 1,54 16,67 2,51 25,00 5,46 50,00 21,685,20 1,34 5,78 1,18 6,50 1,06 7,43 1,00 8,67 1,03 10,40 1,18 13,00 1,58 17,33 2,60 26,00 5,67 52,00 22,515,40 1,30 6,00 1,16 6,75 1,05 7,71 1,00 9,00 1,03 10,80 1,20 13,50 1,63 18,00 2,69 27,00 5,88 54,00 23,345,60 1,28 6,22 1,14 7,00 1,04 8,00 1,00 9,33 1,04 11,20 1,23 14,00 1,68 18,67 2,78 28,00 6,08 56,00 24,185,80 1,25 6,44 1,12 7,25 1,03 8,29 1,00 9,67 1,05 11,60 1,25 14,50 1,72 19,33 2,87 29,00 6,29 58,00 25,016,00 1,23 6,67 1,10 7,50 1,02 8,57 1,00 10,00 1,07 12,00 1,28 15,00 1,77 20,00 2,96 30,00 6,50 60,00 25,84
Anexo A
325
Figura A.4 Evolución de p/2k con m=1 para 4 BRT contrario
Tabla A.4 Valores de la evolución de p/2k con m=1 para 4 BRT contrario
P/2k
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4 5
h1=2 h1=1,8 h1=1,6 h1=1,4 h1=1,2 h1=1 h1=0,8 h1=0,6 h1=0,4 h1=0,2b P/2k b P/2k b P/2k b P/2k b P/2k b P/2k b P/2k b P/2k b P/2k b P/2k0,20 15,04 0,22 12,19 0,25 9,66 0,29 7,42 0,33 5,50 0,40 3,89 0,50 2,62 0,67 1,75 1,00 1,49 2,00 3,720,40 10,05 0,44 8,17 0,50 6,48 0,57 5,01 0,67 3,75 0,80 2,71 1,00 1,93 1,33 1,50 2,00 1,74 4,00 5,460,60 7,57 0,67 6,16 0,75 4,91 0,86 3,82 1,00 2,90 1,20 2,16 1,50 1,65 2,00 1,47 3,00 2,09 6,00 7,220,80 6,09 0,89 4,97 1,00 3,98 1,14 3,12 1,33 2,41 1,60 1,86 2,00 1,52 2,67 1,53 4,00 2,47 8,00 8,991,00 5,11 1,11 4,18 1,25 3,37 1,43 2,67 1,67 2,10 2,00 1,68 2,50 1,47 3,33 1,64 5,00 2,88 10,00 10,761,20 4,41 1,33 3,63 1,50 2,94 1,71 2,36 2,00 1,89 2,40 1,57 3,00 1,47 4,00 1,77 6,00 3,30 12,00 12,541,40 3,89 1,56 3,21 1,75 2,62 2,00 2,13 2,33 1,75 2,80 1,51 3,50 1,49 4,67 1,92 7,00 3,72 14,00 14,321,60 3,49 1,78 2,90 2,00 2,38 2,29 1,96 2,67 1,65 3,20 1,48 4,00 1,54 5,33 2,09 8,00 4,15 16,00 16,101,80 3,18 2,00 2,65 2,25 2,20 2,57 1,83 3,00 1,58 3,60 1,46 4,50 1,60 6,00 2,25 9,00 4,58 18,00 17,892,00 2,92 2,22 2,45 2,50 2,05 2,86 1,74 3,33 1,53 4,00 1,47 5,00 1,66 6,67 2,43 10,00 5,02 20,00 19,672,20 2,71 2,44 2,29 2,75 1,93 3,14 1,66 3,67 1,50 4,40 1,48 5,50 1,74 7,33 2,61 11,00 5,46 22,00 21,452,40 2,54 2,67 2,16 3,00 1,84 3,43 1,60 4,00 1,48 4,80 1,51 6,00 1,82 8,00 2,79 12,00 5,90 24,00 23,242,60 2,39 2,89 2,04 3,25 1,76 3,71 1,56 4,33 1,47 5,20 1,54 6,50 1,91 8,67 2,97 13,00 6,34 26,00 25,022,80 2,27 3,11 1,95 3,50 1,70 4,00 1,53 4,67 1,46 5,60 1,57 7,00 1,99 9,33 3,16 14,00 6,78 28,00 26,813,00 2,16 3,33 1,87 3,75 1,65 4,29 1,50 5,00 1,47 6,00 1,61 7,50 2,09 10,00 3,34 15,00 7,22 30,00 28,593,20 2,07 3,56 1,80 4,00 1,60 4,57 1,48 5,33 1,48 6,40 1,66 8,00 2,18 10,67 3,53 16,00 7,66 32,00 30,373,40 1,99 3,78 1,75 4,25 1,57 4,86 1,47 5,67 1,49 6,80 1,70 8,50 2,28 11,33 3,72 17,00 8,10 34,00 32,163,60 1,92 4,00 1,70 4,50 1,54 5,14 1,47 6,00 1,51 7,20 1,75 9,00 2,37 12,00 3,91 18,00 8,55 36,00 33,943,80 1,86 4,22 1,66 4,75 1,52 5,43 1,46 6,33 1,53 7,60 1,80 9,50 2,47 12,67 4,10 19,00 8,99 38,00 35,734,00 1,80 4,44 1,62 5,00 1,50 5,71 1,47 6,67 1,56 8,00 1,86 10,00 2,57 13,33 4,30 20,00 9,43 40,00 37,514,20 1,76 4,67 1,59 5,25 1,49 6,00 1,47 7,00 1,58 8,40 1,91 10,50 2,67 14,00 4,49 21,00 9,88 42,00 39,304,40 1,72 4,89 1,56 5,50 1,48 6,29 1,48 7,33 1,61 8,80 1,97 11,00 2,78 14,67 4,68 22,00 10,32 44,00 41,084,60 1,68 5,11 1,54 5,75 1,47 6,57 1,49 7,67 1,64 9,20 2,03 11,50 2,88 15,33 4,87 23,00 10,76 46,00 42,874,80 1,65 5,33 1,52 6,00 1,47 6,86 1,50 8,00 1,67 9,60 2,09 12,00 2,98 16,00 5,07 24,00 11,21 48,00 44,655,00 1,62 5,56 1,51 6,25 1,46 7,14 1,51 8,33 1,71 10,00 2,15 12,50 3,09 16,67 5,26 25,00 11,65 50,00 46,445,20 1,59 5,78 1,50 6,50 1,46 7,43 1,53 8,67 1,74 10,40 2,21 13,00 3,19 17,33 5,46 26,00 12,10 52,00 48,235,40 1,57 6,00 1,49 6,75 1,47 7,71 1,55 9,00 1,77 10,80 2,27 13,50 3,30 18,00 5,65 27,00 12,54 54,00 50,015,60 1,55 6,22 1,48 7,00 1,47 8,00 1,56 9,33 1,81 11,20 2,33 14,00 3,40 18,67 5,85 28,00 12,99 56,00 51,805,80 1,54 6,44 1,47 7,25 1,48 8,29 1,58 9,67 1,85 11,60 2,39 14,50 3,51 19,33 6,04 29,00 13,43 58,00 53,586,00 1,52 6,67 1,47 7,50 1,48 8,57 1,60 10,00 1,89 12,00 2,46 15,00 3,61 20,00 6,24 30,00 13,88 60,00 55,37
Francisco de Sales Martín Fernández
326
Figura A.5 Evolución de p/2k con m=0 para 5 BRT contrario
Tabla A.5 Valores de la evolución de p/2k con m=0 para 5 BRT contrario
P/2k
0
1
2
3
4
5
0 1 2 3 4 5
h1=2 h1=1,8 h1=1,6 h1=1,4 h1=1,2 h1=1 h1=0,8 h1=0,6 h1=0,4 h1=0,2b P/2k b P/2k b P/2k b P/2k b P/2k b P/2k b P/2k b P/2k b P/2k b P/2k
0,20 20,08 0,22 16,30 0,25 12,93 0,29 9,97 0,33 7,43 0,40 5,33 0,50 3,72 0,67 2,72 1,00 2,87 2,00 8,490,40 13,46 0,44 10,95 0,50 8,73 0,57 6,79 0,67 5,15 0,80 3,83 1,00 2,91 1,33 2,58 2,00 3,64 4,00 12,560,60 10,17 0,67 8,30 0,75 6,66 0,86 5,24 1,00 4,06 1,20 3,16 1,50 2,64 2,00 2,74 3,00 4,54 6,00 16,660,80 8,21 0,89 6,74 1,00 5,44 1,14 4,34 1,33 3,46 1,60 2,83 2,00 2,58 2,67 3,02 4,00 5,50 8,00 20,771,00 6,92 1,11 5,71 1,25 4,66 1,43 3,77 1,67 3,09 2,00 2,66 2,50 2,62 3,33 3,36 5,00 6,48 10,00 24,881,20 6,00 1,33 4,99 1,50 4,11 1,71 3,39 2,00 2,86 2,40 2,59 3,00 2,73 4,00 3,74 6,00 7,47 12,00 28,991,40 5,33 1,56 4,46 1,75 3,72 2,00 3,13 2,33 2,72 2,80 2,58 3,50 2,87 4,67 4,13 7,00 8,48 14,00 33,101,60 4,82 1,78 4,06 2,00 3,43 2,29 2,94 2,67 2,64 3,20 2,60 4,00 3,04 5,33 4,54 8,00 9,49 16,00 37,211,80 4,41 2,00 3,75 2,25 3,21 2,57 2,81 3,00 2,59 3,60 2,66 4,50 3,23 6,00 4,96 9,00 10,50 18,00 41,312,00 4,09 2,22 3,51 2,50 3,04 2,86 2,71 3,33 2,58 4,00 2,73 5,00 3,43 6,67 5,39 10,00 11,52 20,00 45,412,20 3,83 2,44 3,31 2,75 2,91 3,14 2,65 3,67 2,58 4,40 2,82 5,50 3,64 7,33 5,82 11,00 12,54 22,00 49,512,40 3,62 2,67 3,16 3,00 2,81 3,43 2,61 4,00 2,60 4,80 2,92 6,00 3,86 8,00 6,26 12,00 13,56 24,00 53,612,60 3,44 2,89 3,03 3,25 2,74 3,71 2,58 4,33 2,64 5,20 3,03 6,50 4,08 8,67 6,69 13,00 14,58 26,00 57,702,80 3,29 3,11 2,93 3,50 2,68 4,00 2,58 4,67 2,69 5,60 3,15 7,00 4,31 9,33 7,14 14,00 15,60 28,00 61,783,00 3,16 3,33 2,84 3,75 2,64 4,29 2,58 5,00 2,74 6,00 3,28 7,50 4,54 10,00 7,58 15,00 16,63 30,00 65,863,20 3,06 3,56 2,78 4,00 2,61 4,57 2,59 5,33 2,80 6,40 3,40 8,00 4,77 10,67 8,02 16,00 17,65 32,00 69,943,40 2,97 3,78 2,72 4,25 2,59 4,86 2,61 5,67 2,87 6,80 3,54 8,50 5,01 11,33 8,47 17,00 18,67 34,00 74,023,60 2,89 4,00 2,68 4,50 2,58 5,14 2,64 6,00 2,94 7,20 3,67 9,00 5,25 12,00 8,92 18,00 19,69 36,00 78,093,80 2,83 4,22 2,64 4,75 2,57 5,43 2,67 6,33 3,02 7,60 3,81 9,50 5,49 12,67 9,37 19,00 20,72 38,00 82,164,00 2,77 4,44 2,62 5,00 2,58 5,71 2,71 6,67 3,10 8,00 3,95 10,00 5,73 13,33 9,82 20,00 21,74 40,00 86,224,20 2,73 4,67 2,60 5,25 2,59 6,00 2,75 7,00 3,18 8,40 4,10 10,50 5,98 14,00 10,27 21,00 22,76 42,00 90,284,40 2,69 4,89 2,59 5,50 2,60 6,29 2,80 7,33 3,27 8,80 4,24 11,00 6,22 14,67 10,72 22,00 23,78 44,00 94,334,60 2,66 5,11 2,58 5,75 2,62 6,57 2,84 7,67 3,36 9,20 4,39 11,50 6,47 15,33 11,17 23,00 24,81 46,00 98,384,80 2,64 5,33 2,57 6,00 2,64 6,86 2,90 8,00 3,45 9,60 4,54 12,00 6,72 16,00 11,62 24,00 25,83 48,00 102,435,00 2,62 5,56 2,58 6,25 2,67 7,14 2,95 8,33 3,54 10,00 4,69 12,50 6,96 16,67 12,07 25,00 26,85 50,00 106,475,20 2,60 5,78 2,58 6,50 2,70 7,43 3,01 8,67 3,64 10,40 4,84 13,00 7,21 17,33 12,52 26,00 27,87 52,00 110,515,40 2,59 6,00 2,59 6,75 2,73 7,71 3,07 9,00 3,73 10,80 4,99 13,50 7,46 18,00 12,97 27,00 28,89 54,00 114,545,60 2,58 6,22 2,60 7,00 2,76 8,00 3,13 9,33 3,83 11,20 5,14 14,00 7,71 18,67 13,43 28,00 29,91 56,00 118,575,80 2,58 6,44 2,61 7,25 2,79 8,29 3,19 9,67 3,93 11,60 5,30 14,50 7,96 19,33 13,88 29,00 30,93 58,00 122,606,00 2,57 6,67 2,63 7,50 2,83 8,57 3,25 10,00 4,03 12,00 5,45 15,00 8,21 20,00 14,33 30,00 31,95 60,00 126,62
Anexo A
327
Figura A.6 Evolución de p/2k con m=1 para 5 BRT contrario
Tabla A.6 Valores de la evolución de p/2k con m=1 para 5 BRT contrario
P/2k
0
1
2
3
4
5
0 1 2 3 4 5
h1=2 h1=1,8 h1=1,6 h1=1,4 h1=1,2 h1=1 h1=0,8 h1=0,6 h1=0,4 h1=0,2b P/2k b P/2k b P/2k b P/2k b P/2k b P/2k b P/2k b P/2k b P/2k b P/2k0,20 20,12 0,22 16,35 0,25 12,99 0,29 10,04 0,33 7,53 0,40 5,48 0,50 3,95 0,67 3,13 1,00 3,80 2,00 12,190,40 13,51 0,44 11,02 0,50 8,81 0,57 6,90 0,67 5,30 0,80 4,05 1,00 3,26 1,33 3,20 2,00 5,03 4,00 18,120,60 10,24 0,67 8,40 0,75 6,77 0,86 5,39 1,00 4,27 1,20 3,46 1,50 3,10 2,00 3,57 3,00 6,40 6,00 24,080,80 8,30 0,89 6,85 1,00 5,59 1,14 4,53 1,33 3,71 1,60 3,20 2,00 3,15 2,67 4,05 4,00 7,82 8,00 30,061,00 7,03 1,11 5,84 1,25 4,83 1,43 4,00 1,67 3,40 2,00 3,11 2,50 3,32 3,33 4,60 5,00 9,26 10,00 36,041,20 6,13 1,33 5,15 1,50 4,31 1,71 3,66 2,00 3,22 2,40 3,11 3,00 3,54 4,00 5,18 6,00 10,72 12,00 42,021,40 5,48 1,56 4,64 1,75 3,95 2,00 3,43 2,33 3,13 2,80 3,17 3,50 3,80 4,67 5,78 7,00 12,19 14,00 48,001,60 4,98 1,78 4,27 2,00 3,69 2,29 3,28 2,67 3,10 3,20 3,27 4,00 4,08 5,33 6,40 8,00 13,67 16,00 53,991,80 4,60 2,00 3,98 2,25 3,50 2,57 3,18 3,00 3,11 3,60 3,40 4,50 4,39 6,00 7,02 9,00 15,15 18,00 59,972,00 4,30 2,22 3,76 2,50 3,36 2,86 3,13 3,33 3,14 4,00 3,55 5,00 4,70 6,67 7,66 10,00 16,63 20,00 65,962,20 4,05 2,44 3,59 2,75 3,26 3,14 3,10 3,67 3,20 4,40 3,71 5,50 5,03 7,33 8,29 11,00 18,12 22,00 71,952,40 3,86 2,67 3,45 3,00 3,19 3,43 3,10 4,00 3,27 4,80 3,89 6,00 5,36 8,00 8,94 12,00 19,61 24,00 77,932,60 3,70 2,89 3,35 3,25 3,14 3,71 3,11 4,33 3,36 5,20 4,07 6,50 5,70 8,67 9,58 13,00 21,10 26,00 83,922,80 3,57 3,11 3,27 3,50 3,11 4,00 3,14 4,67 3,46 5,60 4,26 7,00 6,05 9,33 10,23 14,00 22,59 28,00 89,903,00 3,46 3,33 3,21 3,75 3,10 4,29 3,18 5,00 3,57 6,00 4,46 7,50 6,40 10,00 10,88 15,00 24,08 30,00 95,883,20 3,37 3,56 3,16 4,00 3,10 4,57 3,23 5,33 3,68 6,40 4,67 8,00 6,75 10,67 11,54 16,00 25,57 32,00 101,873,40 3,30 3,78 3,13 4,25 3,11 4,86 3,29 5,67 3,80 6,80 4,87 8,50 7,10 11,33 12,19 17,00 27,06 34,00 107,853,60 3,24 4,00 3,11 4,50 3,13 5,14 3,36 6,00 3,92 7,20 5,08 9,00 7,46 12,00 12,85 18,00 28,55 36,00 113,833,80 3,20 4,22 3,10 4,75 3,15 5,43 3,43 6,33 4,05 7,60 5,30 9,50 7,81 12,67 13,50 19,00 30,05 38,00 119,814,00 3,16 4,44 3,10 5,00 3,19 5,71 3,50 6,67 4,18 8,00 5,51 10,00 8,17 13,33 14,16 20,00 31,54 40,00 125,794,20 3,14 4,67 3,10 5,25 3,22 6,00 3,58 7,00 4,32 8,40 5,73 10,50 8,53 14,00 14,82 21,00 33,03 42,00 131,774,40 3,12 4,89 3,11 5,50 3,27 6,29 3,67 7,33 4,46 8,80 5,95 11,00 8,90 14,67 15,48 22,00 34,53 44,00 137,754,60 3,11 5,11 3,13 5,75 3,32 6,57 3,75 7,67 4,60 9,20 6,17 11,50 9,26 15,33 16,13 23,00 36,02 46,00 143,734,80 3,10 5,33 3,15 6,00 3,37 6,86 3,84 8,00 4,74 9,60 6,40 12,00 9,62 16,00 16,79 24,00 37,52 48,00 149,715,00 3,10 5,56 3,17 6,25 3,42 7,14 3,94 8,33 4,88 10,00 6,62 12,50 9,99 16,67 17,45 25,00 39,01 50,00 155,695,20 3,10 5,78 3,20 6,50 3,48 7,43 4,03 8,67 5,03 10,40 6,85 13,00 10,35 17,33 18,11 26,00 40,51 52,00 161,665,40 3,11 6,00 3,23 6,75 3,54 7,71 4,13 9,00 5,18 10,80 7,07 13,50 10,72 18,00 18,78 27,00 42,00 54,00 167,645,60 3,12 6,22 3,26 7,00 3,60 8,00 4,22 9,33 5,33 11,20 7,30 14,00 11,09 18,67 19,44 28,00 43,50 56,00 173,615,80 3,13 6,44 3,30 7,25 3,66 8,29 4,32 9,67 5,48 11,60 7,53 14,50 11,45 19,33 20,10 29,00 44,99 58,00 179,596,00 3,15 6,67 3,34 7,50 3,73 8,57 4,43 10,00 5,63 12,00 7,76 15,00 11,82 20,00 20,76 30,00 46,48 60,00 185,56
Francisco de Sales Martín Fernández
328
A1.3 Enfoque no modular combinación PPP-PPI con 5 BRT
Figura A.7 No Modular Combinación PPP-PPI con 5 BRT y h1=1; m=0; α variable.
m=0; alpha=35
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4 5 6b/h
p/2k
m=0; alpha=25
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4 5 6
b/h
p/2k
m=0; alpha=5
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4 5 6b/h
p/2k
m=0; alpha=5
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4 5 6b/h
p/2k
b/h1 P/2k0,2 9,9810,6 3,366
1 2,0841,4 1,5661,8 1,3032,2 1,1572,6 1,074
3 1,0313,4 1,0143,8 1,0174,2 1,0344,6 1,063
5 1,1035,4 1,1535,8 1,213
6 1,247
m=0; alpha=10
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4 5 6
b/h
p/2k m=0; alpha=15
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4 5 6
b/h
p/2k
b/h1 P/2k0,2 9,9370,6 3,322
1 2,0441,4 1,531,8 1,2742,2 1,1392,6 1,075
3 1,0593,4 1,0843,8 1,1544,2 1,2884,6 1,539
5 2,1015,4 4,3165,8 -7,185
6 -2,427
b/h1 P/2k0,2 10,030,6 3,408
1 2,1251,4 1,6041,8 1,3362,2 1,1842,6 1,094
3 1,0423,4 1,0133,8 1,0014,2 1,0014,6 1,01
5 1,0255,4 1,0455,8 1,07
6 1,083
b/h1 P/2k0,2 9,8910,6 3,278
1 2,0021,4 1,4961,8 1,2552,2 1,1492,6 1,147
3 1,2923,4 1,9673,8 -5,7744,2 -0,3114,6 0,114
5 0,2755,4 0,3655,8 0,427
6 0,453
m=0; alpha=20
-1
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4 5 6
b/h
p/2k
b/h1 P/2k0,2 9,8440,6 3,232
1 1,9611,4 1,4671,8 1,2612,2 1,2782,6 2,345
3 -0,2543,4 0,2783,8 0,3914,2 0,444,6 0,471
5 0,4965,4 0,525,8 0,543
6 0,555
b/h1 P/2k0,2 9,7920,6 3,182
1 1,9191,4 1,4531,8 1,3972,2 -1,7752,6 0,397
3 0,483,4 0,4923,8 0,4964,2 0,54,6 0,507
5 0,5185,4 0,5325,8 0,549
6 0,558
m=0; alpha=30
-1
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4 5 6
b/h
p/2k
b/h1 P/2k0,2 9,7370,6 3,13
1 1,8791,4 1,4991,8 -0,4432,2 0,5722,6 0,562
3 0,5313,4 0,5083,8 0,4944,2 0,4894,6 0,491
5 0,4975,4 0,5085,8 0,523
6 0,531
b/h1 P/2k0,2 9,6760,6 3,072
1 1,8481,4 3,4291,8 0,7142,2 0,6382,6 0,564
3 0,5133,4 0,483,8 0,4614,2 0,4524,6 0,451
5 0,4565,4 0,4665,8 0,479
6 0,487
Anexo A
329
Figura A.8 Combinación PPP-PPI con 5 BRT y h1=1; m variable; α=0
m=1 alpha=0
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4 5 6b/h
p/2k
m=0,8; alpha=0
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4 5 6b/h
p/2k
m=0,6; alpha=0
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4 5 6b/h
p/2k
m=0,4; alpha=0
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4 5 6b/h
p/2k
m=0,2; alpha=0
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4 5 6b/h
p/2k
m=0,1; alpha=0
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4 5 6b/h
p/2k
m=0; alpha=0
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4 5 6b/h
p/2k
b/h1 P/2k0,2 10,030,6 3,408
1 2,1251,4 1,6041,8 1,3362,2 1,1842,6 1,094
3 1,0423,4 1,0133,8 1,0014,2 1,0014,6 1,01
5 1,0255,4 1,0455,8 1,07
6 1,083
b/h1 P/2k0,2 10,030,6 3,42
1 2,1441,4 1,631,8 1,372,2 1,2252,6 1,143
3 1,0983,4 1,0773,8 1,0734,2 1,084,6 1,096
5 1,1195,4 1,1475,8 1,179
6 1,196
b/h1 P/2k0,2 10,030,6 3,431
1 2,1631,4 1,6561,8 1,4042,2 1,2672,6 1,192
3 1,1543,4 1,1413,8 1,1444,2 1,1594,6 1,182
5 1,2135,4 1,2485,8 1,287
6 1,308
b/h1 P/2k0,2 10,040,6 3,453
1 2,21,4 1,7091,8 1,4712,2 1,3492,6 1,289
3 1,2673,4 1,2683,8 1,2864,2 1,3164,6 1,355
5 1,45,4 1,455,8 1,505
6 1,533
b/h1 P/2k0,2 10,050,6 3,476
1 2,2381,4 1,7611,8 1,5392,2 1,4322,6 1,387
3 1,3793,4 1,3963,8 1,4294,2 1,4744,6 1,527
5 1,5885,4 1,6535,8 1,722
6 1,758
b/h1 P/2k0,2 10,060,6 3,498
1 2,2751,4 1,8141,8 1,6062,2 1,5142,6 1,484
3 1,4923,4 1,5233,8 1,5714,2 1,6314,6 1,7
5 1,7755,4 1,8555,8 1,94
6 1,983
m=0,9 alpha=0
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4 5 6b/h
p/2k
b/h1 P/2k0,2 10,060,6 3,51
1 2,2941,4 1,841,8 1,642,2 1,5552,6 1,533
3 1,5483,4 1,5873,8 1,6434,2 1,714,6 1,786
5 1,8695,4 1,9575,8 2,049
6 2,096
b/h1 P/2k0,2 10,060,6 3,521
1 2,3131,4 1,8661,8 1,6742,2 1,5972,6 1,582
3 1,6043,4 1,6513,8 1,7144,2 1,7894,6 1,872
5 1,9635,4 2,0585,8 2,157
6 2,208
Francisco de Sales Martín Fernández
330
A1.4 Enfoque no modular comparativa entre disposiciones
Figura A.9 Comparativa No modular entre disposiciones de BRT; m variable; h1=1; 3
BRT.
comparativa configuraciones BRT; m=0
0
1
2
3
4
5
6
0 1 2 3 4 5 6b/h
p/2k
Disposición contrariaNueva disposición
comparativa configuraciones BRT; m=0,2
0
1
2
3
4
5
6
0 1 2 3 4 5 6b/h
p/2k
Disposición contrariaNueva disposición
comparativa configuraciones BRT; m=0,4
0
1
2
3
4
5
6
0 1 2 3 4 5 6b/h
p/2k
Disposición contrariaNueva disposición
Anexo A
331
Figura A.10 Comparativa No modular entre disposiciones de BRT; m variable; h1=1;
4 BRT.
comparativa configuraciones BRT; m=0
0
1
2
3
4
5
6
0 1 2 3 4 5 6b/h
p/2k
Disposición contraria
Nueva disposición
comparativa configuraciones BRT; m=0,2
0
1
2
3
4
5
6
0 1 2 3 4 5 6b/h
p/2k
Disposición contraria
Nueva disposición
comparativa configuraciones BRT; m=0,4
0
1
2
3
4
5
6
0 1 2 3 4 5 6b/h
p/2k
Disposición contraria
Nueva disposición
Francisco de Sales Martín Fernández
332
Figura A.11 Comparativa No modular entre disposiciones de BRT; m variable; h1=1;
5 BRT.
comparativa disposiciones 5 BRT; m=0,6
0
1
2
3
4
5
6
0 1 2 3 4 5 6b/h
p/2k
Disposición contrariaNueva disposición
comparativa disposiciones 5 BRT; m=0,8
0
1
2
3
4
5
6
0 1 2 3 4 5 6b/h
p/2k
Disposición contrariaNueva disposición
comparativa disposiciones 5 BRT; m=1
0
1
2
3
4
5
6
0 1 2 3 4 5 6b/h
p/2k
Disposición contrariaNueva disposición
Anexo A
333
A1.5 Enfoque no modular nueva disposición
Figura A.12 No Modular nueva configuración; m variable; 3 BRT.
Tabla A.7 Valores No Modular nueva configuración; m variable; 3 BRT.
Evolución 3 BRT no Modular
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4 5 6b/h
p/2k
m=0 m=0,05 m=0,1 m=0,2 m=0,4 m=0,6 m=0,8 m=1
b/h m=0 m=0,05 m=0,1 m=0,2 m=0,4 m=0,6 m=0,8 m=10,20 5,05 5,05 5,05 5,06 5,07 5,08 5,08 5,090,40 2,60 2,60 2,61 2,62 2,64 2,65 2,66 2,680,60 1,82 1,82 1,83 1,85 1,87 1,89 1,91 1,930,80 1,45 1,46 1,47 1,49 1,52 1,55 1,58 1,601,00 1,25 1,26 1,27 1,30 1,34 1,38 1,41 1,441,20 1,13 1,15 1,16 1,19 1,24 1,29 1,33 1,361,40 1,06 1,08 1,10 1,13 1,19 1,24 1,29 1,331,60 1,03 1,04 1,06 1,10 1,17 1,23 1,28 1,331,80 1,01 1,03 1,05 1,09 1,17 1,24 1,29 1,342,00 1,00 1,02 1,05 1,10 1,18 1,26 1,32 1,382,20 1,00 1,03 1,06 1,11 1,20 1,29 1,36 1,422,40 1,02 1,05 1,08 1,13 1,23 1,32 1,40 1,472,60 1,03 1,07 1,10 1,16 1,27 1,37 1,45 1,522,80 1,06 1,09 1,13 1,19 1,31 1,41 1,51 1,583,00 1,08 1,12 1,16 1,23 1,35 1,47 1,56 1,653,20 1,11 1,15 1,19 1,26 1,40 1,52 1,62 1,713,40 1,14 1,19 1,23 1,31 1,45 1,58 1,69 1,783,60 1,18 1,22 1,27 1,35 1,50 1,64 1,75 1,853,80 1,21 1,26 1,31 1,39 1,56 1,70 1,82 1,934,00 1,25 1,30 1,35 1,44 1,61 1,76 1,89 2,004,20 1,29 1,34 1,39 1,49 1,67 1,82 1,96 2,084,40 1,33 1,38 1,43 1,54 1,72 1,89 2,03 2,154,60 1,37 1,42 1,48 1,59 1,78 1,95 2,10 2,234,80 1,41 1,47 1,53 1,64 1,84 2,02 2,18 2,315,00 1,45 1,51 1,57 1,69 1,90 2,09 2,25 2,395,20 1,49 1,56 1,62 1,74 1,96 2,16 2,32 2,475,40 1,54 1,60 1,67 1,79 2,02 2,22 2,40 2,555,60 1,58 1,65 1,72 1,84 2,08 2,29 2,47 2,635,80 1,62 1,69 1,76 1,90 2,14 2,36 2,55 2,716,00 1,67 1,74 1,81 1,95 2,21 2,43 2,63 2,79
Francisco de Sales Martín Fernández
334
Figura A.13 No Modular nueva configuración; m variable; 4 BRT.
Tabla A.8 Valores No Modular nueva configuración; m variable; 4 BRT.
Evolución 4 BRT No Modular
0
1
2
3
4
5
6
0 1 2 3 4 5 6b/h
p/2k
m=0 m=0,05 m=0,1 m=0,2 m=0,4 m=0,6 m=0,8 m=1
b/h m=0 m=0,05 m=0,1 m=0,2 m=0,4 m=0,6 m=0,8 m=10,20 7,55 7,55 7,55 7,56 7,57 7,57 7,58 7,580,40 3,85 3,85 3,86 3,87 3,88 3,89 3,90 3,910,60 2,65 2,66 2,66 2,68 2,70 2,72 2,73 2,740,80 2,08 2,08 2,09 2,11 2,14 2,16 2,18 2,201,00 1,75 1,76 1,77 1,79 1,83 1,86 1,88 1,901,20 1,55 1,56 1,58 1,60 1,65 1,68 1,71 1,731,40 1,42 1,44 1,45 1,48 1,53 1,57 1,61 1,631,60 1,34 1,36 1,38 1,41 1,47 1,51 1,55 1,581,80 1,28 1,31 1,33 1,36 1,43 1,48 1,52 1,552,00 1,25 1,27 1,30 1,34 1,41 1,47 1,51 1,552,20 1,23 1,26 1,28 1,33 1,41 1,47 1,52 1,562,40 1,23 1,25 1,28 1,33 1,42 1,49 1,54 1,592,60 1,23 1,26 1,29 1,34 1,44 1,51 1,57 1,622,80 1,24 1,27 1,30 1,36 1,46 1,54 1,60 1,663,00 1,25 1,29 1,32 1,38 1,49 1,58 1,65 1,703,20 1,27 1,31 1,34 1,41 1,53 1,62 1,69 1,753,40 1,29 1,33 1,37 1,44 1,56 1,66 1,74 1,803,60 1,32 1,36 1,40 1,48 1,61 1,71 1,79 1,863,80 1,34 1,39 1,43 1,51 1,65 1,76 1,85 1,914,00 1,38 1,42 1,47 1,55 1,70 1,81 1,90 1,984,20 1,41 1,46 1,51 1,59 1,74 1,86 1,96 2,044,40 1,44 1,49 1,54 1,64 1,79 1,92 2,02 2,104,60 1,48 1,53 1,58 1,68 1,85 1,98 2,08 2,174,80 1,51 1,57 1,63 1,73 1,90 2,04 2,15 2,235,00 1,55 1,61 1,67 1,77 1,95 2,09 2,21 2,305,20 1,59 1,65 1,71 1,82 2,01 2,16 2,27 2,375,40 1,63 1,69 1,76 1,87 2,06 2,22 2,34 2,445,60 1,67 1,74 1,80 1,92 2,12 2,28 2,41 2,515,80 1,71 1,78 1,85 1,97 2,17 2,34 2,47 2,586,00 1,75 1,82 1,89 2,02 2,23 2,40 2,54 2,65
Anexo A
335
Figura A.14 No Modular nueva configuración; m variable; 5 BRT.
Tabla A.9 Valores No Modular nueva configuración; m variable; 5 BRT.
Evolución 5 BRT No Modular
0
1
2
3
4
5
6
0 1 2 3 4 5 6b/h
p/2k
m=0 m=0,05 m=0,1 m=0,2 m=0,4 m=0,6 m=0,8 m=1
b/h m=0 m=0,05 m=0,1 m=0,2 m=0,4 m=0,6 m=0,8 m=10,20 10,03 10,03 10,03 10,04 10,05 10,06 10,07 10,080,40 5,06 5,06 5,07 5,08 5,10 5,13 5,14 5,160,60 3,42 3,43 3,44 3,45 3,49 3,52 3,55 3,570,80 2,61 2,62 2,64 2,66 2,71 2,75 2,79 2,811,00 2,14 2,15 2,17 2,20 2,26 2,32 2,36 2,391,20 1,83 1,85 1,87 1,91 1,98 2,05 2,10 2,131,40 1,62 1,65 1,67 1,71 1,79 1,87 1,93 1,971,60 1,47 1,50 1,52 1,57 1,67 1,76 1,83 1,871,80 1,36 1,39 1,42 1,47 1,58 1,68 1,76 1,812,00 1,28 1,31 1,34 1,40 1,52 1,63 1,72 1,782,20 1,22 1,25 1,28 1,35 1,48 1,60 1,70 1,762,40 1,17 1,21 1,24 1,31 1,46 1,59 1,70 1,772,60 1,13 1,17 1,21 1,29 1,45 1,59 1,71 1,782,80 1,11 1,15 1,19 1,28 1,44 1,60 1,72 1,803,00 1,09 1,13 1,18 1,27 1,45 1,62 1,75 1,833,20 1,07 1,12 1,17 1,27 1,46 1,64 1,78 1,873,40 1,06 1,11 1,17 1,27 1,48 1,66 1,81 1,913,60 1,06 1,11 1,17 1,28 1,49 1,69 1,85 1,963,80 1,06 1,11 1,17 1,29 1,52 1,73 1,89 2,004,00 1,06 1,12 1,18 1,30 1,54 1,76 1,94 2,064,20 1,06 1,13 1,19 1,32 1,57 1,80 1,99 2,114,40 1,07 1,14 1,20 1,34 1,60 1,85 2,04 2,174,60 1,08 1,15 1,22 1,36 1,64 1,89 2,09 2,224,80 1,09 1,16 1,23 1,38 1,67 1,93 2,14 2,285,00 1,10 1,17 1,25 1,40 1,70 1,98 2,20 2,345,20 1,11 1,19 1,27 1,43 1,74 2,03 2,26 2,415,40 1,13 1,21 1,29 1,45 1,78 2,08 2,31 2,475,60 1,14 1,22 1,31 1,48 1,82 2,13 2,37 2,535,80 1,16 1,24 1,33 1,51 1,86 2,18 2,43 2,606,00 1,17 1,26 1,35 1,54 1,90 2,23 2,49 2,67
Francisco de Sales Martín Fernández
336
A1.6 Enfoque no modular disposición contraria comparativa con m variable
Figura A.15 No Modular comparativa; m variable. h1=1
No Modular m=0
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4 5 6b/h
p/2k
3BRT4BRT5BRT
No Modular; m = 0,1
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4 5 6b/hp/
2k
3BRT4BRT5BRT
No Modular; m = 0,2
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4 5 6b/h
p/2k
3BRT4BRT5BRT
Anexo A
337
Figura A.16 No Modular comparativa; m variable.h1=1
No Modular; m = 0,3
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4 5 6b/h
p/2k
3BRT4BRT5BRT
No Modular; m = 0,4
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4 5 6b/h
p/2k
3BRT4BRT5BRT
No Modular; m = 0,5
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4 5 6b/h
p/2k
3BRT4BRT5BRT
Francisco de Sales Martín Fernández
338
Figura A.17 No Modular comparativa; m variable.h1=1.
No Modular; m = 0,6
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4 5 6b/h
p/2k
3BRT4BRT5BRT
No Modular; m = 0,7
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4 5 6b/h
p/2k
3BRT4BRT5BRT
No Modular; m = 0,8
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4 5 6b/h
p/2k
3BRT4BRT5BRT
No Modular; m = 0,9
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4 5 6b/h
p/2k 3BRT4BRT5BRT
No Modular; m = 1
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4 5 6b/h
p/2k 3BRT
4BRT5BRT
Anexo A
339
A1.7 Enfoque no modular nueva disposición, comparativa adherencia-deslizamiento
Figura A.18 No Modular comparativa adherencia-deslizamiento; m-μ variable;.h1=1.
m=0; mu=0
0
1
2
3
4
5
6
0 2 4 6b/h
p/2k P/2k(mu)
P/2k (m)
m = mu = 0,05
0
1
2
3
4
5
6
0 2 4 6b/h
p/2k
P/2k(mu)
P/2k (m)
m = mu = 0,1
0
1
2
3
4
5
6
0 2 4 6b/h
p/2k
P/2k(mu)
P/2k (m)
m = mu = 0,2
0
1
2
3
4
5
6
0 2 4 6b/h
p/2k P/2k(mu)
P/2k (m)
m = mu =0,3
0
1
2
3
4
5
6
0 2 4 6b/h
p/2k
P/2k (mu)
P/2k (m)
Francisco de Sales Martín Fernández
340
A1.8 Enfoque modular nueva disposición. Optimización de módulos
Figura A.19 Optimización de Módulos.
Tabla A.10 Valores optimización de módulos.
m=0; h1=2; alpha=0º
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4 5bi-bt
p/2k
media b1+b2bt=2b1
p/2k Módulo1 p/2k Módulo2 bi media bbt=2b1 tita bi phi bi tita bt phi bt bt5,05 5,05 1,00 5,05 1,82 5,71 5,71 16,70 16,70 2,002,60 2,60 1,50 2,60 1,25 11,31 11,31 26,57 26,57 3,001,82 1,82 2,00 1,82 1,06 16,70 16,70 34,99 34,99 4,001,45 1,45 2,50 1,45 1,01 21,80 21,80 41,99 41,99 5,001,25 1,25 3,00 1,25 1,00 26,57 26,57 47,73 47,73 6,001,13 1,13 3,50 1,13 1,03 30,96 30,96 52,43 52,43 7,001,06 1,06 4,00 1,06 1,08 34,99 34,99 56,31 56,31 8,001,03 1,03 4,50 1,03 1,14 38,66 38,66 59,53 59,53 9,001,01 1,01 5,00 1,01 1,21 41,99 41,99 62,24 62,24 10,001,00 1,00 5,50 1,00 1,29 45,00 45,00 64,54 64,54 11,001,00 1,00 6,00 1,00 1,37 47,73 47,73 66,50 66,50 12,001,02 1,02 6,50 1,02 1,45 50,19 50,19 68,20 68,20 13,001,03 1,03 7,00 1,03 1,54 52,43 52,43 69,68 69,68 14,001,06 1,06 7,50 1,06 1,62 54,46 54,46 70,97 70,97 15,00
Anexo A
341
Figura A.20 Optimización de Módulos
.Tabla A.11 Valores optimización de módulos.
m=0; h1=1; alpha=5º
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4 5bi-bt
p/2k
media b1+b2bt=2b1
p/2k Módulo1 p/2k Módulo2 bi media b1+b2 bt=2b1 tita bi phi bi tita bt phi bt bt5,05 4,88 1,00 4,96 1,82 5,71 5,81 16,70 17,57 2,002,60 2,44 1,50 2,52 1,27 11,31 11,71 26,57 28,72 3,001,82 1,66 2,00 1,74 1,11 16,70 17,57 34,99 38,58 4,001,47 1,31 2,50 1,39 1,09 21,80 23,27 41,99 46,89 5,001,27 1,13 3,00 1,20 1,14 26,57 28,72 47,73 53,72 6,001,17 1,04 3,50 1,10 1,23 30,96 33,84 52,43 59,28 7,001,11 1,00 4,00 1,06 1,35 34,99 38,58 56,31 63,82 8,001,09 1,00 4,50 1,04 1,50 38,66 42,93 59,53 67,55 9,001,09 1,03 5,00 1,06 1,69 41,99 46,89 62,24 70,64 10,001,11 1,07 5,50 1,09 1,90 45,00 50,48 64,54 73,24 11,001,14 1,14 6,00 1,14 2,14 47,73 53,72 66,50 75,44 12,001,18 1,22 6,50 1,20 2,42 50,19 56,64 68,20 77,32 13,001,23 1,32 7,00 1,28 2,74 52,43 59,28 69,68 78,94 14,001,28 1,43 7,50 1,37 3,12 54,46 61,66 70,97 80,36 15,00
Francisco de Sales Martín Fernández
342
Figura A.21 Optimización de Módulos.
Tabla A.12 Valores optimización de módulos.
m=0; h1=1; alpha=10º
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4 5bi-bt
p/2k
media b1+b2bt=2b1
p/2k Módulo1 p/2k Módulo2 bi media b1+b2 bt=2b1 tita bi phi bi tita bt phi bt bt5,05 4,71 1,00 4,88 1,83 5,71 5,92 16,70 18,55 2,002,61 2,28 1,50 2,44 1,30 11,31 12,14 26,57 31,26 3,001,83 1,52 2,00 1,67 1,18 16,70 18,55 34,99 42,91 4,001,48 1,19 2,50 1,33 1,21 21,80 24,97 41,99 52,82 5,001,30 1,05 3,00 1,16 1,35 26,57 31,26 47,73 60,91 6,001,21 1,00 3,50 1,09 1,58 30,96 37,27 52,43 67,38 7,001,18 1,02 4,00 1,09 1,93 34,99 42,91 56,31 72,57 8,001,18 1,10 4,50 1,13 2,42 38,66 48,10 59,53 76,74 9,001,21 1,22 5,00 1,22 3,14 41,99 52,82 62,24 80,15 10,001,27 1,40 5,50 1,35 4,29 45,00 57,08 64,54 82,96 11,001,35 1,64 6,00 1,53 6,31 47,73 60,91 66,50 85,30 12,001,46 1,94 6,50 1,76 10,76 50,19 64,33 68,20 87,29 13,001,58 2,33 7,00 2,07 28,41 52,43 67,38 69,68 88,99 14,00
Anexo A
343
Figura A.22 Optimización de Módulos.
Tabla A.13. Valores optimización de módulos.
p/2k Módulo1 p/2k Módulo2 bi media b1+b2 bt=2b1 tita bi phi bi tita bt phi bt bt5,06 5,07 1,00 5,06 1,83 5,71 5,71 16,70 16,70 2,002,61 2,63 1,50 2,62 1,28 11,31 11,31 26,57 26,57 3,001,83 1,86 2,00 1,85 1,10 16,70 16,70 34,99 34,99 4,001,47 1,51 2,50 1,49 1,05 21,80 21,80 41,99 41,99 5,001,28 1,33 3,00 1,30 1,06 26,57 26,57 47,73 47,73 6,001,16 1,22 3,50 1,19 1,10 30,96 30,96 52,43 52,43 7,001,10 1,17 4,00 1,13 1,16 34,99 34,99 56,31 56,31 8,001,07 1,15 4,50 1,11 1,23 38,66 38,66 59,53 59,53 9,001,05 1,14 5,00 1,10 1,31 41,99 41,99 62,24 62,24 10,001,05 1,15 5,50 1,10 1,39 45,00 45,00 64,54 64,54 11,001,06 1,17 6,00 1,11 1,48 47,73 47,73 66,50 66,50 12,001,08 1,20 6,50 1,14 1,58 50,19 50,19 68,20 68,20 13,001,10 1,23 7,00 1,16 1,67 52,43 52,43 69,68 69,68 14,001,13 1,27 7,50 1,20 1,77 54,46 54,46 70,97 70,97 15,00
m=0,1; h1=1; alpha=0º
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4 5bi-bt
p/2k
media b1+b2bt=2b1
Francisco de Sales Martín Fernández
344
Figura A.23 Optimización de Módulos.
Tabla A.14. Valores optimización de módulos.
m=0,2; h1=1; alpha=0º
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4 5bi-bt
p/2k
media b1+b2bt=2b1
p/2k Módulo1 p/2k Módulo2 bi media b1+b2 bt=2b1 tita bi phi bi tita bt phi bt bt5,06 5,08 1,00 5,07 1,85 5,71 5,71 16,70 16,70 2,002,62 2,66 1,50 2,64 1,30 11,31 11,31 26,57 26,57 3,001,85 1,91 2,00 1,88 1,13 16,70 16,70 34,99 34,99 4,001,49 1,57 2,50 1,53 1,10 21,80 21,80 41,99 41,99 5,001,30 1,40 3,00 1,35 1,11 26,57 26,57 47,73 47,73 6,001,19 1,31 3,50 1,25 1,16 30,96 30,96 52,43 52,43 7,001,13 1,27 4,00 1,20 1,23 34,99 34,99 56,31 56,31 8,001,11 1,27 4,50 1,19 1,31 38,66 38,66 59,53 59,53 9,001,10 1,28 5,00 1,19 1,40 41,99 41,99 62,24 62,24 10,001,10 1,30 5,50 1,20 1,50 45,00 45,00 64,54 64,54 11,001,11 1,33 6,00 1,22 1,60 47,73 47,73 66,50 66,50 12,001,14 1,38 6,50 1,26 1,70 50,19 50,19 68,20 68,20 13,001,16 1,42 7,00 1,29 1,81 52,43 52,43 69,68 69,68 14,001,20 1,48 7,50 1,34 1,91 54,46 54,46 70,97 70,97 15,00
Anexo A
345
Figura A.24 Optimización de Módulos.
Tabla A.15. Valores optimización de módulos.
m=0,3; h1=1; alpha=0º
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4 5bi-bt
p/2k
media b1+b2bt=2b1
p/2k Módulo1 p/2k Módulo2 bi media b1+b2 bt=2b1 tita bi phi bi tita bt phi bt bt5,07 5,10 1,00 5,08 1,86 5,71 5,71 16,70 16,70 2,002,63 2,69 1,50 2,66 1,33 11,31 11,31 26,57 26,57 3,001,86 1,95 2,00 1,91 1,17 16,70 16,70 34,99 34,99 4,001,51 1,63 2,50 1,57 1,14 21,80 21,80 41,99 41,99 5,001,33 1,48 3,00 1,40 1,17 26,57 26,57 47,73 47,73 6,001,22 1,40 3,50 1,31 1,23 30,96 30,96 52,43 52,43 7,001,17 1,38 4,00 1,27 1,31 34,99 34,99 56,31 56,31 8,001,15 1,39 4,50 1,27 1,40 38,66 38,66 59,53 59,53 9,001,14 1,41 5,00 1,28 1,50 41,99 41,99 62,24 62,24 10,001,15 1,45 5,50 1,30 1,60 45,00 45,00 64,54 64,54 11,001,17 1,50 6,00 1,33 1,71 47,73 47,73 66,50 66,50 12,001,20 1,56 6,50 1,38 1,83 50,19 50,19 68,20 68,20 13,001,23 1,62 7,00 1,42 1,94 52,43 52,43 69,68 69,68 14,001,27 1,69 7,50 1,48 2,06 54,46 54,46 70,97 70,97 15,00
Francisco de Sales Martín Fernández
346
Figura A.25 Optimización de Módulos.
Tabla A.16. Valores optimización de módulos.
p/2k Módulo1 p/2k Módulo2 bi media b1+b2 bt=2b1 tita bi phi bi tita bt phi bt bt5,07 5,11 1,00 5,09 1,88 5,71 5,71 16,70 16,70 2,002,64 2,72 1,50 2,68 1,35 11,31 11,31 26,57 26,57 3,001,88 2,00 2,00 1,94 1,20 16,70 16,70 34,99 34,99 4,001,53 1,69 2,50 1,61 1,19 21,80 21,80 41,99 41,99 5,001,35 1,55 3,00 1,45 1,22 26,57 26,57 47,73 47,73 6,001,25 1,49 3,50 1,37 1,29 30,96 30,96 52,43 52,43 7,001,20 1,48 4,00 1,34 1,38 34,99 34,99 56,31 56,31 8,001,19 1,51 4,50 1,35 1,48 38,66 38,66 59,53 59,53 9,001,19 1,55 5,00 1,37 1,59 41,99 41,99 62,24 62,24 10,001,20 1,60 5,50 1,40 1,71 45,00 45,00 64,54 64,54 11,001,22 1,66 6,00 1,44 1,83 47,73 47,73 66,50 66,50 12,001,26 1,74 6,50 1,50 1,95 50,19 50,19 68,20 68,20 13,001,29 1,81 7,00 1,55 2,08 52,43 52,43 69,68 69,68 14,001,34 1,90 7,50 1,62 2,20 54,46 54,46 70,97 70,97 15,00
m=0,4; h1=1; alpha=0º
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4 5bi-bt
p/2k
media b1+b2bt=2b1
Anexo A
347
Figura A.26 Optimización de Módulos.
Tabla A.17. Valores optimización de módulos.
p/2k Módulo1 p/2k Módulo2 bi media b1+b2 bt=2b1 tita bi phi bi tita bt phi bt bt5,08 5,13 1,00 5,10 1,89 5,71 5,71 16,70 16,70 2,002,65 2,75 1,50 2,70 1,38 11,31 11,31 26,57 26,57 3,001,89 2,04 2,00 1,97 1,24 16,70 16,70 34,99 34,99 4,001,55 1,75 2,50 1,65 1,23 21,80 21,80 41,99 41,99 5,001,38 1,63 3,00 1,50 1,28 26,57 26,57 47,73 47,73 6,001,28 1,58 3,50 1,43 1,36 30,96 30,96 52,43 52,43 7,001,24 1,59 4,00 1,41 1,46 34,99 34,99 56,31 56,31 8,001,23 1,63 4,50 1,43 1,57 38,66 38,66 59,53 59,53 9,001,23 1,68 5,00 1,46 1,69 41,99 41,99 62,24 62,24 10,001,25 1,75 5,50 1,50 1,81 45,00 45,00 64,54 64,54 11,001,28 1,83 6,00 1,55 1,94 47,73 47,73 66,50 66,50 12,001,32 1,92 6,50 1,62 2,08 50,19 50,19 68,20 68,20 13,001,36 2,01 7,00 1,68 2,21 52,43 52,43 69,68 69,68 14,001,41 2,11 7,50 1,76 2,35 54,46 54,46 70,97 70,97 15,00
m=0,5; h1=1; alpha=0º
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4 5bi-bt
p/2k
media b1+b2bt=2b1
Francisco de Sales Martín Fernández
348
Figura A.27 Optimización de Módulos.
Tabla A.18. Valores optimización de módulos.
m=0,6; h1=1; alpha=0º
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4 5bi-bt
p/2k
media b1+b2bt=2b1
p/2k Módulo1 p/2k Módulo2 bi media b1+b2 bt=2b1 tita bi phi bi tita bt phi bt bt5,08 5,14 1,00 5,11 1,91 5,71 5,71 16,70 16,70 2,002,66 2,78 1,50 2,72 1,40 11,31 11,31 26,57 26,57 3,001,91 2,09 2,00 2,00 1,27 16,70 16,70 34,99 34,99 4,001,57 1,81 2,50 1,69 1,28 21,80 21,80 41,99 41,99 5,001,40 1,70 3,00 1,55 1,33 26,57 26,57 47,73 47,73 6,001,31 1,67 3,50 1,49 1,42 30,96 30,96 52,43 52,43 7,001,27 1,69 4,00 1,48 1,53 34,99 34,99 56,31 56,31 8,001,27 1,75 4,50 1,51 1,65 38,66 38,66 59,53 59,53 9,001,28 1,82 5,00 1,55 1,78 41,99 41,99 62,24 62,24 10,001,30 1,90 5,50 1,60 1,92 45,00 45,00 64,54 64,54 11,001,33 1,99 6,00 1,66 2,06 47,73 47,73 66,50 66,50 12,001,38 2,10 6,50 1,74 2,20 50,19 50,19 68,20 68,20 13,001,42 2,20 7,00 1,81 2,35 52,43 52,43 69,68 69,68 14,001,48 2,32 7,50 1,90 2,49 54,46 54,46 70,97 70,97 15,00
Anexo A
349
Figura A.28 Optimización de Módulos.
Tabla A.19. Valores optimización de módulos.
m=0,7; h1=1; alpha=0º
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4 5bi-bt
p/2k
media b1+b2bt=2b1
p/2k Módulo1 p/2k Módulo2 bi media b1+b2 bt=2b1 tita bi phi bi tita bt phi bt bt5,09 5,16 1,00 5,12 1,92 5,71 5,71 16,70 16,70 2,002,67 2,81 1,50 2,74 1,43 11,31 11,31 26,57 26,57 3,001,92 2,13 2,00 2,03 1,31 16,70 16,70 34,99 34,99 4,001,59 1,87 2,50 1,73 1,32 21,80 21,80 41,99 41,99 5,001,43 1,78 3,00 1,60 1,39 26,57 26,57 47,73 47,73 6,001,34 1,76 3,50 1,55 1,49 30,96 30,96 52,43 52,43 7,001,31 1,80 4,00 1,55 1,61 34,99 34,99 56,31 56,31 8,001,31 1,87 4,50 1,59 1,74 38,66 38,66 59,53 59,53 9,001,32 1,95 5,00 1,64 1,88 41,99 41,99 62,24 62,24 10,001,35 2,05 5,50 1,70 2,02 45,00 45,00 64,54 64,54 11,001,39 2,16 6,00 1,77 2,17 47,73 47,73 66,50 66,50 12,001,44 2,28 6,50 1,86 2,33 50,19 50,19 68,20 68,20 13,001,49 2,40 7,00 1,94 2,48 52,43 52,43 69,68 69,68 14,001,55 2,53 7,50 2,04 2,64 54,46 54,46 70,97 70,97 15,00
Francisco de Sales Martín Fernández
350
Figura A.29 Optimización de Módulos.
Tabla A.20 Valores optimización de módulos.
m=0,8; h1=1; alpha=0º
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4 5bi-bt
p/2k
media b1+b2bt=2b1
p/2k Módulo1 p/2k Módulo2 bi media b1+b2 bt=2b1 tita bi phi bi tita bt phi bt bt5,09 5,17 1,00 5,13 1,94 5,71 5,71 16,70 16,70 2,002,68 2,84 1,50 2,76 1,45 11,31 11,31 26,57 26,57 3,001,94 2,18 2,00 2,06 1,34 16,70 16,70 34,99 34,99 4,001,61 1,93 2,50 1,77 1,37 21,80 21,80 41,99 41,99 5,001,45 1,85 3,00 1,65 1,44 26,57 26,57 47,73 47,73 6,001,37 1,85 3,50 1,61 1,55 30,96 30,96 52,43 52,43 7,001,34 1,90 4,00 1,62 1,68 34,99 34,99 56,31 56,31 8,001,35 1,99 4,50 1,67 1,82 38,66 38,66 59,53 59,53 9,001,37 2,09 5,00 1,73 1,97 41,99 41,99 62,24 62,24 10,001,40 2,20 5,50 1,80 2,13 45,00 45,00 64,54 64,54 11,001,44 2,32 6,00 1,88 2,29 47,73 47,73 66,50 66,50 12,001,50 2,46 6,50 1,98 2,45 50,19 50,19 68,20 68,20 13,001,55 2,59 7,00 2,07 2,62 52,43 52,43 69,68 69,68 14,001,62 2,74 7,50 2,18 2,78 54,46 54,46 70,97 70,97 15,00
Anexo A
351
Figura A.30 Optimización de Módulos.
Tabla A.21 Valores optimización de módulos.
m=1; h1=1; alpha=0º
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4 5bi-bt
p/2k
media b1+b2bt=2b1
p/2k Módulo1 p/2k Módulo2 bi media b1+b2 bt=2b1 tita bi phi bi tita bt phi bt bt5,10 5,20 1,00 5,15 1,97 5,71 5,71 16,70 16,70 2,002,70 2,90 1,50 2,80 1,50 11,31 11,31 26,57 26,57 3,001,97 2,27 2,00 2,12 1,41 16,70 16,70 34,99 34,99 4,001,65 2,05 2,50 1,85 1,46 21,80 21,80 41,99 41,99 5,001,50 2,00 3,00 1,75 1,55 26,57 26,57 47,73 47,73 6,001,43 2,03 3,50 1,73 1,68 30,96 30,96 52,43 52,43 7,001,41 2,11 4,00 1,76 1,83 34,99 34,99 56,31 56,31 8,001,43 2,23 4,50 1,83 1,99 38,66 38,66 59,53 59,53 9,001,46 2,36 5,00 1,91 2,16 41,99 41,99 62,24 62,24 10,001,50 2,50 5,50 2,00 2,34 45,00 45,00 64,54 64,54 11,001,55 2,65 6,00 2,10 2,52 47,73 47,73 66,50 66,50 12,001,62 2,82 6,50 2,22 2,70 50,19 50,19 68,20 68,20 13,001,68 2,98 7,00 2,33 2,89 52,43 52,43 69,68 69,68 14,001,76 3,16 7,50 2,46 3,07 54,46 54,46 70,97 70,97 15,00
Francisco de Sales Martín Fernández
352
A1.9 Comparativa Modular-No Modular para PPP
Figura A.31 Comparativa Modular-No modular PPP.
Tabla A.22 Valores comparativa Modular-No Modular PPP.
Comparativa Modular-No Modular m=0
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4 5 6b
p/2k
No ModularModular
b No Modular Modular0,20 5,05 5,050,40 2,60 2,600,60 1,82 1,820,80 1,45 1,451,00 1,25 1,251,20 1,13 1,131,40 1,06 1,061,60 1,03 1,031,80 1,01 1,012,00 1,00 1,002,20 1,00 1,002,40 1,02 1,022,60 1,03 1,032,80 1,06 1,063,00 1,08 1,083,20 1,11 1,113,40 1,14 1,143,60 1,18 1,183,80 1,21 1,214,00 1,25 1,254,20 1,29 1,294,40 1,33 1,334,60 1,37 1,374,80 1,41 1,415,00 1,45 1,455,20 1,49 1,495,40 1,54 1,545,60 1,58 1,585,80 1,62 1,626,00 1,67 1,67
Anexo A
353
Figura A.32 Comparativa Modular-No modular PPP.
Tabla A.23 Valores comparativa Modular-No Modular PPP.
Comparativa Modular-No Modular m=0,2
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4 5 6b
p/2k
No ModularModular
b No Modular Modular0,20 5,06 5,060,40 2,62 2,620,60 1,85 1,850,80 1,49 1,491,00 1,30 1,301,20 1,19 1,191,40 1,13 1,131,60 1,11 1,111,80 1,10 1,102,00 1,10 1,102,20 1,11 1,112,40 1,14 1,142,60 1,16 1,162,80 1,20 1,203,00 1,23 1,233,20 1,27 1,273,40 1,31 1,313,60 1,36 1,363,80 1,40 1,404,00 1,45 1,454,20 1,50 1,504,40 1,55 1,554,60 1,60 1,604,80 1,65 1,655,00 1,70 1,705,20 1,75 1,755,40 1,81 1,815,60 1,86 1,865,80 1,91 1,916,00 1,97 1,97
Francisco de Sales Martín Fernández
354
Figura A.33 Comparativa Modular-No modular PPP.
Tabla A.24 Valores comparativa Modular-No Modular PPP.
Comparativa Modular-No Modular m=0,5
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4 5 6b
p/2k
No ModularModular
b No Modular Modular0,20 5,08 5,080,40 2,65 2,650,60 1,89 1,890,80 1,55 1,551,00 1,38 1,381,20 1,28 1,281,40 1,24 1,241,60 1,23 1,231,80 1,23 1,232,00 1,25 1,252,20 1,28 1,282,40 1,32 1,322,60 1,36 1,362,80 1,41 1,413,00 1,46 1,463,20 1,51 1,513,40 1,57 1,573,60 1,63 1,633,80 1,69 1,694,00 1,75 1,754,20 1,81 1,814,40 1,88 1,884,60 1,94 1,944,80 2,01 2,015,00 2,08 2,085,20 2,14 2,145,40 2,21 2,215,60 2,28 2,285,80 2,35 2,356,00 2,42 2,42
Anexo A
355
Figura A.34 Comparativa Modular-No modular PPP.
Tabla A.25 Valores comparativa Modular-No Modular PPP.
Comparativa Modular-No Modular m=1
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4 5 6b
p/2k No Modular
Modular
b No Modular Modular0,20 5,10 5,100,40 2,70 2,700,60 1,97 1,970,80 1,65 1,651,00 1,50 1,501,20 1,43 1,431,40 1,41 1,411,60 1,43 1,431,80 1,46 1,462,00 1,50 1,502,20 1,55 1,552,40 1,62 1,622,60 1,68 1,682,80 1,76 1,763,00 1,83 1,833,20 1,91 1,913,40 1,99 1,993,60 2,08 2,083,80 2,16 2,164,00 2,25 2,254,20 2,34 2,344,40 2,43 2,434,60 2,52 2,524,80 2,61 2,615,00 2,70 2,705,20 2,79 2,795,40 2,89 2,895,60 2,98 2,985,80 3,07 3,076,00 3,17 3,17
Francisco de Sales Martín Fernández
356
A1.10 Comparativa Modular-No Modular para combinación de perfil PPP-PPI
Figura A.35 Comparativa Modular-No modular Perfil PPP-PPI.
Tabla A.26 Valores comparativa Modular-No Modular Perfil PPP-PPI.
comparativa h1=1; m=0; alpha2=0
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4 5 6b/h
p/2k
No ModularModular
b No Modular Modular0,20 4,96 13,360,40 2,51 6,720,60 1,73 4,520,80 1,37 3,431,00 1,17 2,791,20 1,05 2,371,40 0,98 2,081,60 0,95 1,871,80 0,93 1,712,00 0,93 1,582,20 0,94 1,492,40 0,95 1,412,60 0,98 1,352,80 1,00 1,303,00 1,04 1,263,20 1,07 1,233,40 1,11 1,213,60 1,16 1,193,80 1,21 1,184,00 1,26 1,174,20 1,31 1,164,40 1,37 1,164,60 1,42 1,154,80 1,49 1,165,00 1,55 1,165,20 1,62 1,165,40 1,70 1,175,60 1,77 1,185,80 1,85 1,186,00 1,94 1,19
Anexo A
357
Figura A.36 Comparativa Modular-No modular Perfil PPP-PPI.
Tabla A.27 Valores comparativa Modular-No Modular Perfil PPP-PPI.
comparativa h1=1; m=0; alpha2=5
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4 5 6b/h
p/2k
No ModularModular
b No Modular Modular0,20 4,96 13,370,40 2,51 6,730,60 1,73 4,530,80 1,37 3,451,00 1,17 2,811,20 1,05 2,391,40 0,98 2,101,60 0,95 1,891,80 0,93 1,732,00 0,93 1,602,20 0,94 1,512,40 0,95 1,442,60 0,98 1,382,80 1,00 1,333,00 1,04 1,293,20 1,07 1,273,40 1,11 1,253,60 1,16 1,233,80 1,21 1,224,00 1,26 1,214,20 1,31 1,214,40 1,37 1,214,60 1,42 1,214,80 1,49 1,225,00 1,55 1,225,20 1,62 1,235,40 1,70 1,245,60 1,77 1,255,80 1,85 1,276,00 1,94 1,28
Francisco de Sales Martín Fernández
358
Figura A.37 Comparativa Modular-No modular Perfil PPP-PPI.
Tabla A.28 Valores comparativa Modular-No Modular Perfil PPP-PPI.
comparativa h1=1; m=0,5; alpha2=5
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4 5 6b/h
p/2k
No ModularModular
b No Modular Modular0,20 4,99 13,390,40 2,56 6,760,60 1,81 4,570,80 1,46 3,501,00 1,29 2,871,20 1,20 2,461,40 1,15 2,191,60 1,14 1,991,80 1,14 1,842,00 1,16 1,732,20 1,19 1,652,40 1,23 1,592,60 1,27 1,542,80 1,32 1,513,00 1,37 1,483,20 1,43 1,473,40 1,49 1,463,60 1,55 1,463,80 1,62 1,464,00 1,68 1,464,20 1,76 1,474,40 1,83 1,484,60 1,91 1,504,80 1,99 1,525,00 2,07 1,545,20 2,16 1,565,40 2,25 1,585,60 2,34 1,605,80 2,44 1,636,00 2,54 1,66
Anexo A
359
Figura A.38 Comparativa Modular-No modular Perfil PPP-PPI.
Tabla A.29 Valores comparativa Modular-No Modular Perfil PPP-PPI.
comparativa h1=1; m=1; alpha2=5
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4 5 6b/h
p/2k
No ModularModular
b No Modular Modular0,20 5,01 13,400,40 2,61 6,780,60 1,88 4,610,80 1,56 3,551,00 1,41 2,931,20 1,34 2,541,40 1,32 2,271,60 1,32 2,091,80 1,35 1,952,00 1,39 1,862,20 1,44 1,792,40 1,50 1,742,60 1,56 1,702,80 1,63 1,683,00 1,71 1,673,20 1,78 1,673,40 1,86 1,673,60 1,94 1,683,80 2,03 1,694,00 2,11 1,714,20 2,20 1,734,40 2,29 1,764,60 2,39 1,794,80 2,49 1,825,00 2,59 1,855,20 2,69 1,885,40 2,80 1,925,60 2,91 1,965,80 3,02 1,996,00 3,14 2,03
Francisco de Sales Martín Fernández
360
Figura A.39 Comparativa Modular-No modular Perfil PPP-PPI.
Tabla A.30 Valores comparativa Modular-No Modular Perfil PPP-PPI.
comparativa h1=2; m=0; alpha2=5
0
1
2
3
4
5 6 7 8 9 10 11 12b/h
p/2k
No ModularModular
b No Modular Modular5,00 0,96 1,405,50 1,00 1,346,00 1,04 1,296,50 1,08 1,267,00 1,14 1,247,50 1,19 1,228,00 1,26 1,218,50 1,32 1,219,00 1,39 1,219,50 1,47 1,21
10,00 1,55 1,2210,50 1,64 1,2311,00 1,73 1,2511,50 1,83 1,2612,00 1,94 1,2812,50 2,06 1,3013,00 2,19 1,3213,50 2,32 1,3514,00 2,47 1,3714,50 2,64 1,4015,00 2,83 1,4315,50 3,03 1,4616,00 3,27 1,49
Anexo A
361
Figura A.40 Comparativa Modular-No modular Perfil PPP-PPI.
Tabla A.31 Valores comparativa Modular-No Modular Perfil PPP-PPI.
comparativa h1=0,6; m=0; alpha2=1
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4 5 6b/h
p/2k
No ModularModular
b No Modular Modular0,33 1,92 4,870,67 1,16 2,541,00 1,00 1,811,33 0,99 1,481,67 1,04 1,312,00 1,12 1,222,33 1,21 1,182,67 1,32 1,173,00 1,44 1,173,33 1,56 1,193,67 1,68 1,224,00 1,81 1,254,33 1,94 1,294,67 2,08 1,345,00 2,21 1,395,33 2,35 1,445,67 2,49 1,506,00 2,63 1,566,33 2,77 1,626,67 2,91 1,687,00 3,06 1,747,33 3,20 1,817,67 3,35 1,878,00 3,50 1,948,33 3,65 2,018,67 3,80 2,079,00 3,96 2,149,33 4,11 2,219,67 4,27 2,28
10,00 4,43 2,35
Francisco de Sales Martín Fernández
362
Figura A.41 Comparativa Modular-No modular Perfil PPP-PPI.
Tabla A.32 Valores comparativa Modular-No Modular Perfil PPP-PPI.
comparativa h1=1; m=0,2; alpha2=5
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4 5 6b/h
p/2k
No ModularModular
b No Modular Modular0,20 4,97 13,380,40 2,53 6,740,60 1,76 4,550,80 1,40 3,471,00 1,22 2,831,20 1,11 2,421,40 1,05 2,131,60 1,02 1,931,80 1,01 1,772,00 1,02 1,652,20 1,04 1,572,40 1,06 1,502,60 1,09 1,442,80 1,13 1,403,00 1,17 1,373,20 1,22 1,353,40 1,26 1,333,60 1,32 1,323,80 1,37 1,314,00 1,43 1,314,20 1,49 1,314,40 1,55 1,324,60 1,62 1,334,80 1,69 1,345,00 1,76 1,355,20 1,84 1,365,40 1,92 1,385,60 2,00 1,395,80 2,09 1,416,00 2,18 1,43
Anexo A
363
Figura A.42 Comparativa Modular-No modular Perfil PPP-PPI.
Tabla A.33 Valores comparativa Modular-No Modular Perfil PPP-PPI.
comparativa h1=1; m=0,5; alpha2=5
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4 5 6b/h
p/2k
No ModularModular
b No Modular Modular0,20 4,99 13,390,40 2,56 6,760,60 1,81 4,570,80 1,46 3,501,00 1,29 2,871,20 1,20 2,461,40 1,15 2,191,60 1,14 1,991,80 1,14 1,842,00 1,16 1,732,20 1,19 1,652,40 1,23 1,592,60 1,27 1,542,80 1,32 1,513,00 1,37 1,483,20 1,43 1,473,40 1,49 1,463,60 1,55 1,463,80 1,62 1,464,00 1,68 1,464,20 1,76 1,474,40 1,83 1,484,60 1,91 1,504,80 1,99 1,525,00 2,07 1,545,20 2,16 1,565,40 2,25 1,585,60 2,34 1,605,80 2,44 1,636,00 2,54 1,66
Francisco de Sales Martín Fernández
364
Figura A.43 Comparativa Modular-No modular Perfil PPP-PPI.
Tabla A.34 Valores comparativa Modular-No Modular Perfil PPP-PPI.
comparativa h1=1; m=1; alpha2=5
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4 5 6b/h
p/2k
No ModularModular
b No Modular Modular0,20 5,01 13,400,40 2,61 6,780,60 1,88 4,610,80 1,56 3,551,00 1,41 2,931,20 1,34 2,541,40 1,32 2,271,60 1,32 2,091,80 1,35 1,952,00 1,39 1,862,20 1,44 1,792,40 1,50 1,742,60 1,56 1,702,80 1,63 1,683,00 1,71 1,673,20 1,78 1,673,40 1,86 1,673,60 1,94 1,683,80 2,03 1,694,00 2,11 1,714,20 2,20 1,734,40 2,29 1,764,60 2,39 1,794,80 2,49 1,825,00 2,59 1,855,20 2,69 1,885,40 2,80 1,925,60 2,91 1,965,80 3,02 1,996,00 3,14 2,03
Anexo A
365
A1.11 Comparativa Modular-No Modular para PPI
Figura A.44 Comparativa Modular-No modular Perfil PPI.
Tabla A.35 Valores comparativa Modular-No Modular Perfil PPI.
comparativa h1=1; m=0; alpha=5º
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4 5 6b/h
p/2k
No ModularModular
b No Modular Modular0,20 4,96 5,050,40 2,51 2,600,60 1,73 1,820,80 1,37 1,471,00 1,17 1,271,20 1,05 1,171,40 0,98 1,111,60 0,95 1,091,80 0,93 1,092,00 0,93 1,112,20 0,94 1,142,40 0,95 1,182,60 0,98 1,232,80 1,00 1,283,00 1,04 1,353,20 1,07 1,423,40 1,11 1,503,60 1,16 1,593,80 1,21 1,694,00 1,26 1,794,20 1,31 1,904,40 1,37 2,024,60 1,42 2,144,80 1,49 2,285,00 1,55 2,425,20 1,62 2,585,40 1,70 2,745,60 1,77 2,925,80 1,85 3,126,00 1,94 3,32
Francisco de Sales Martín Fernández
366
Figura A.45 Comparativa Modular-No modular Perfil PPI.
Tabla A.36 Valores comparativa Modular-No Modular Perfil PPI.
comparativa h1=1; m=1; alpha=5º
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4 5 6b/h
p/2k
No ModularModular
b No Modular Modular0,20 4,99 5,080,40 2,56 2,650,60 1,81 1,900,80 1,46 1,571,00 1,29 1,411,20 1,20 1,331,40 1,15 1,301,60 1,14 1,311,80 1,14 1,342,00 1,16 1,382,20 1,19 1,442,40 1,23 1,512,60 1,27 1,602,80 1,32 1,693,00 1,37 1,793,20 1,43 1,893,40 1,49 2,013,60 1,55 2,133,80 1,62 2,264,00 1,68 2,404,20 1,76 2,554,40 1,83 2,704,60 1,91 2,874,80 1,99 3,045,00 2,07 3,235,20 2,16 3,435,40 2,25 3,635,60 2,34 3,865,80 2,44 4,106,00 2,54 4,35
Anexo A
367
Figura A.46 Comparativa Modular-No modular Perfil PPI.
Tabla A.37 Valores comparativa Modular-No Modular Perfil PPI.
comparativa h1=1; m=0; alpha=10º
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4 5 6b/h
p/2k
No ModularModular
b No Modular Modular0,20 4,88 5,050,40 2,43 2,610,60 1,65 1,830,80 1,29 1,481,00 1,09 1,301,20 0,98 1,211,40 0,92 1,181,60 0,89 1,181,80 0,88 1,212,00 0,89 1,272,20 0,91 1,352,40 0,95 1,462,60 0,99 1,582,80 1,05 1,743,00 1,12 1,933,20 1,20 2,153,40 1,30 2,423,60 1,42 2,743,80 1,57 3,144,00 1,74 3,644,20 1,97 4,294,40 2,26 5,134,60 2,67 6,314,80 3,25 8,025,00 4,18 10,765,20 5,88 15,845,40 10,08 28,41
Francisco de Sales Martín Fernández
368
Figura A.47 Comparativa Modular-No modular Perfil PPI.
Tabla A.38 Valores comparativa Modular-No Modular Perfil PPI.
comparativa h1=1; m=1; alpha=10º
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4 5 6b/h
p/2k
No ModularModular
b No Modular Modular0,20 4,93 5,100,40 2,53 2,710,60 1,80 2,000,80 1,48 1,701,00 1,33 1,591,20 1,26 1,561,40 1,24 1,591,60 1,25 1,661,80 1,28 1,772,00 1,33 1,902,20 1,39 2,062,40 1,46 2,242,60 1,54 2,452,80 1,63 2,703,00 1,73 2,983,20 1,85 3,303,40 1,98 3,673,60 2,13 4,103,80 2,30 4,624,00 2,51 5,244,20 2,76 6,004,40 3,08 6,994,60 3,51 8,304,80 4,12 10,165,00 5,07 13,075,20 6,80 18,315,40 11,03 31,06
Anexo A
369
Figura A.48 Comparativa Modular-No modular Perfil PPI.
Tabla A.39 Valores comparativa Modular-No Modular Perfil PPI.
comparativa h1=1; m=0; alpha=-5º
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4 5 6b/h
p/2k
No ModularModular
b No Modular Modular0,20 5,14 5,050,40 2,69 2,600,60 1,91 1,810,80 1,54 1,441,00 1,34 1,231,20 1,23 1,101,40 1,16 1,031,60 1,12 0,981,80 1,11 0,942,00 1,10 0,932,20 1,11 0,922,40 1,13 0,912,60 1,15 0,912,80 1,18 0,923,00 1,21 0,933,20 1,24 0,943,40 1,28 0,953,60 1,32 0,963,80 1,37 0,984,00 1,41 0,994,20 1,46 1,014,40 1,51 1,024,60 1,56 1,044,80 1,61 1,055,00 1,67 1,075,20 1,73 1,095,40 1,78 1,105,60 1,84 1,125,80 1,91 1,136,00 1,97 1,15
Francisco de Sales Martín Fernández
370
Figura A.49 Comparativa Modular-No modular Perfil PPI.
Tabla A.40 Valores comparativa Modular-No Modular Perfil PPI.
comparativa h1=1; m=1; alpha=-5º
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4 5 6b/h
p/2k
No ModularModular
b No Modular Modular0,20 5,19 5,100,40 2,79 2,700,60 2,06 1,960,80 1,75 1,631,00 1,61 1,471,20 1,55 1,391,40 1,54 1,361,60 1,56 1,351,80 1,60 1,362,00 1,66 1,392,20 1,72 1,422,40 1,80 1,462,60 1,89 1,502,80 1,98 1,553,00 2,08 1,603,20 2,18 1,643,40 2,29 1,693,60 2,40 1,753,80 2,51 1,804,00 2,63 1,854,20 2,75 1,904,40 2,88 1,954,60 3,01 2,004,80 3,14 2,055,00 3,28 2,105,20 3,42 2,155,40 3,56 2,205,60 3,71 2,255,80 3,86 2,306,00 4,02 2,35
Anexo A
371
Figura A.50 Comparativa Modular-No modular Perfil PPI.
Tabla A.41 Valores comparativa Modular-No Modular Perfil PPI.
comparativa h1=1; m=0; alpha=-10º
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4 5 6b/h
p/2k
No ModularModular
b No Modular Modular0,20 5,23 5,050,40 2,78 2,590,60 2,00 1,800,80 1,64 1,431,00 1,45 1,211,20 1,34 1,081,40 1,28 0,991,60 1,24 0,941,80 1,24 0,902,00 1,24 0,872,20 1,26 0,852,40 1,29 0,842,60 1,32 0,832,80 1,37 0,833,00 1,42 0,823,20 1,47 0,823,40 1,53 0,833,60 1,60 0,833,80 1,67 0,834,00 1,75 0,844,20 1,83 0,844,40 1,92 0,854,60 2,02 0,854,80 2,12 0,865,00 2,23 0,865,20 2,34 0,875,40 2,47 0,885,60 2,61 0,885,80 2,75 0,896,00 2,91 0,90
Francisco de Sales Martín Fernández
372
Figura A.51 Comparativa Modular-No modular Perfil PPI.
Tabla A.42 Valores comparativa Modular-No Modular Perfil PPI.
comparativa h1=1; m=1; alpha=-10º
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4 5 6b/h
p/2k
No ModularModular
b No Modular Modular0,20 5,28 5,100,40 2,89 2,690,60 2,17 1,950,80 1,86 1,621,00 1,73 1,451,20 1,68 1,361,40 1,69 1,321,60 1,72 1,301,80 1,79 1,302,00 1,87 1,312,20 1,96 1,332,40 2,07 1,352,60 2,19 1,382,80 2,33 1,403,00 2,47 1,443,20 2,62 1,473,40 2,78 1,503,60 2,96 1,533,80 3,14 1,574,00 3,34 1,604,20 3,55 1,634,40 3,77 1,664,60 4,01 1,704,80 4,26 1,735,00 4,53 1,765,20 4,82 1,795,40 5,13 1,825,60 5,46 1,855,80 5,81 1,886,00 6,19 1,91
Anexo A
373
Figura A.52 Comparativa Modular-No modular Perfil PPI.
Tabla A.43 Valores comparativa Modular-No Modular Perfil PPI.
comparativa h1=1; m=0,5; alpha=-5º
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4 5 6b/h
p/2k
No ModularModular
b No Modular Modular0,20 5,16 5,070,40 2,74 2,650,60 1,98 1,880,80 1,65 1,531,00 1,47 1,351,20 1,39 1,251,40 1,35 1,191,60 1,34 1,161,80 1,35 1,152,00 1,38 1,162,20 1,42 1,172,40 1,46 1,192,60 1,52 1,212,80 1,58 1,233,00 1,64 1,263,20 1,71 1,293,40 1,78 1,323,60 1,86 1,353,80 1,94 1,394,00 2,02 1,424,20 2,11 1,454,40 2,19 1,494,60 2,29 1,524,80 2,38 1,555,00 2,47 1,595,20 2,57 1,625,40 2,67 1,655,60 2,78 1,685,80 2,88 1,726,00 2,99 1,75
Francisco de Sales Martín Fernández
374
Figura A.53 Comparativa Modular-No modular Perfil PPI.
Tabla A.44 Valores comparativa Modular-No Modular Perfil PPI.
comparativa h1=1; m=0,5; alpha=-10º
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4 5 6b/h
p/2k
No ModularModular
b No Modular Modular0,20 5,26 5,070,40 2,84 2,640,60 2,09 1,880,80 1,75 1,521,00 1,59 1,331,20 1,51 1,221,40 1,48 1,161,60 1,48 1,121,80 1,51 1,102,00 1,55 1,092,20 1,61 1,092,40 1,68 1,092,60 1,76 1,102,80 1,85 1,123,00 1,94 1,133,20 2,05 1,153,40 2,16 1,163,60 2,28 1,183,80 2,41 1,204,00 2,54 1,224,20 2,69 1,244,40 2,85 1,264,60 3,01 1,274,80 3,19 1,295,00 3,38 1,315,20 3,58 1,335,40 3,80 1,355,60 4,03 1,375,80 4,28 1,386,00 4,55 1,40
Anexo A
375
Figura A.54 Comparativa Modular-No modular Perfil PPI.
Tabla A.45 Valores comparativa Modular-No Modular Perfil PPI.
comparativa h1=2; m=0; alpha=-20º
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4 5 6b/h
p/2k
No ModularModular
b No Modular Modular1,00 2,53 2,111,50 1,95 1,482,00 1,71 1,182,50 1,61 1,013,00 1,59 0,913,50 1,62 0,844,00 1,69 0,794,50 1,80 0,755,00 1,94 0,735,50 2,12 0,716,00 2,36 0,696,50 2,65 0,687,00 3,02 0,677,50 3,51 0,668,00 4,17 0,668,50 5,11 0,659,00 6,52 0,659,50 8,88 0,65
10,00 13,64 0,64
Francisco de Sales Martín Fernández
376
Figura A.55 Comparativa Modular-No modular Perfil PPI.
Tabla A.46 Valores comparativa Modular-No Modular Perfil PPI.
comparativa h1=2; m=1; alpha=-20º
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4 5 6b/h
p/2k
No ModularModular
b No Modular Modular1,00 2,68 2,241,50 2,19 1,672,00 2,06 1,422,50 2,07 1,303,00 2,18 1,243,50 2,35 1,214,00 2,58 1,204,50 2,88 1,215,00 3,24 1,215,50 3,68 1,236,00 4,23 1,246,50 4,90 1,267,00 5,75 1,287,50 6,86 1,298,00 8,34 1,318,50 10,42 1,339,00 13,55 1,359,50 18,80 1,37
10,00 29,36 1,38
Anexo A
377
A1.12 Enfoque Modular Perfil 2 Módulos. Coeficiente de rozamiento por adherencia m=0,1
Figura A.56 Comparativa Modular (2 Módulos) Perfil combinado.
Tabla A.47 Valores comparativa Modular (2 Módulos) Perfil combinado.
Perfil combinado 2 Módulos h1=1; alpha1=-5º; alpha2=5º
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4 5 6b/h
p/2k
p/2k Módulo1p/2k Módulo2media b1+b2
p/2k Módulo1 p/2k Módulo2 media b1+b25,05 5,33 5,192,61 2,90 2,751,82 2,13 1,971,46 1,78 1,611,25 1,59 1,421,13 1,49 1,301,06 1,43 1,231,01 1,40 1,200,99 1,39 1,170,97 1,40 1,170,97 1,41 1,170,97 1,43 1,180,97 1,45 1,190,98 1,48 1,200,99 1,51 1,221,01 1,54 1,241,02 1,57 1,261,04 1,61 1,281,06 1,64 1,311,08 1,68 1,331,10 1,71 1,351,11 1,74 1,381,13 1,78 1,401,15 1,81 1,431,17 1,85 1,451,19 1,88 1,471,21 1,92 1,501,23 1,95 1,521,25 1,98 1,541,27 2,01 1,56
Francisco de Sales Martín Fernández
378
Coeficiente de rozamiento por adherencia m=0,1
Figura A.57 Comparativa Modular (2 Módulos) Perfil combinado.
Tabla A.48 Valores comparativa Modular (2 Módulos) Perfil combinado
Perfil combinado 2 Módulos h1=1; alpha1=-10º; alpha2=10º
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4 5 6b/h
p/2k
p/2k Módulo1p/2k Módulo2media b1+b2
p/2k Módulo1 p/2k Módulo2 media b1+b25,05 5,60 5,322,60 3,17 2,881,82 2,41 2,101,44 2,06 1,731,24 1,87 1,531,11 1,77 1,411,03 1,71 1,330,97 1,68 1,280,94 1,67 1,250,91 1,67 1,230,90 1,67 1,220,89 1,68 1,220,88 1,70 1,220,88 1,72 1,220,89 1,74 1,220,89 1,76 1,230,89 1,78 1,230,90 1,80 1,240,91 1,82 1,250,91 1,84 1,260,92 1,86 1,260,93 1,89 1,270,94 1,91 1,280,95 1,93 1,290,95 1,95 1,300,96 1,97 1,310,97 1,99 1,320,98 2,01 1,320,99 2,03 1,331,00 2,04 1,34
Anexo A
379
Coeficiente de rozamiento por adherencia m=0,1
Figura A.58 Comparativa Modular (2 Módulos) Perfil combinado.
Tabla A.49 Valores comparativa Modular (2 Módulos) Perfil combinado
Perfil combinado 2 Módulos h1=1; alpha1=-15º; alpha2=15º
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4 5 6b/h
p/2k
p/2k Módulo1p/2k Módulo2media b1+b2
p/2k Módulo1 p/2k Módulo2 media b1+b25,05 5,88 5,452,60 3,46 3,011,81 2,70 2,221,43 2,36 1,851,22 2,18 1,641,09 2,08 1,511,00 2,02 1,430,94 1,99 1,370,90 1,97 1,330,87 1,97 1,300,85 1,97 1,280,83 1,98 1,270,82 1,99 1,250,81 2,01 1,250,81 2,02 1,240,80 2,04 1,240,80 2,06 1,230,80 2,08 1,230,80 2,10 1,230,80 2,11 1,230,80 2,13 1,230,81 2,15 1,230,81 2,17 1,230,81 2,19 1,230,81 2,21 1,230,82 2,22 1,230,82 2,24 1,230,82 2,26 1,230,83 2,28 1,240,83 2,30 1,24
Francisco de Sales Martín Fernández
380
Coeficiente de rozamiento por adherencia m=0,1
Figura A.59 Comparativa Modular (2 Módulos) Perfil combinado.
Tabla A.50 Valores comparativa Modular (2 Módulos) Perfil combinado
Perfil combinado 2 Módulos h1=1; alpha1=-20º; alpha2=20º
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4 5 6b/h
p/2k
p/2k Módulo1p/2k Módulo2media b1+b2
p/2k Módulo1 p/2k Módulo2 media b1+b25,05 6,16 5,592,60 3,76 3,141,81 3,01 2,351,42 2,68 1,971,21 2,50 1,761,07 2,41 1,620,98 2,35 1,530,91 2,33 1,460,87 2,31 1,410,83 2,31 1,370,80 2,32 1,350,78 2,33 1,320,77 2,35 1,300,76 2,36 1,290,75 2,38 1,280,74 2,40 1,260,73 2,42 1,260,73 2,45 1,250,73 2,47 1,240,72 2,49 1,230,72 2,52 1,230,72 2,54 1,220,72 2,56 1,220,72 2,59 1,220,72 2,61 1,210,72 2,64 1,210,72 2,66 1,210,72 2,69 1,210,72 2,71 1,200,72 2,74 1,20
Anexo A
381
Coeficiente de rozamiento por adherencia m=0,1
Figura A.60 Comparativa Modular (2 Módulos) Perfil combinado.
Tabla A.51 Valores comparativa Modular (2 Módulos) Perfil combinado
Perfil combinado 2 Módulos h1=1; alpha1=5º; alpha2=-5º
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4 5 6b/h
p/2k
p/2k Módulo1p/2k Módulo2media b1+b2
p/2k Módulo1 p/2k Módulo2 media b1+b25,06 4,81 4,932,61 2,37 2,491,84 1,61 1,721,49 1,26 1,371,30 1,08 1,181,20 0,98 1,081,15 0,93 1,031,13 0,90 1,011,14 0,90 1,011,16 0,91 1,021,20 0,92 1,041,24 0,94 1,071,30 0,96 1,111,36 0,99 1,151,44 1,01 1,191,52 1,03 1,241,60 1,05 1,281,70 1,06 1,321,80 1,07 1,361,91 1,07 1,402,03 1,07 1,442,15 1,05 1,472,29 1,02 1,492,43 0,98 1,512,58 0,92 1,522,75 0,85 1,522,92 0,76 1,513,11 0,66 1,493,31 0,53 1,453,53 0,37 1,39
Francisco de Sales Martín Fernández
382
Coeficiente de rozamiento por adherencia m=0,2
Figura A.61 Comparativa Modular (2 Módulos) Perfil combinado.
Tabla A.52 Valores comparativa Modular (2 Módulos) Perfil combinado.
Perfil combinado 2 Módulos h1=1; alpha1=5º; alpha2=-5º
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4 5 6b/h
p/2k
p/2k Módulo1p/2k Módulo2media b1+b2
p/2k Módulo1 p/2k Módulo2 media b1+b25,06 4,82 4,942,62 2,40 2,511,86 1,66 1,751,51 1,32 1,411,33 1,16 1,241,23 1,08 1,151,19 1,04 1,111,18 1,04 1,101,19 1,05 1,111,22 1,08 1,141,26 1,11 1,181,31 1,16 1,221,37 1,20 1,281,45 1,24 1,331,52 1,29 1,391,61 1,33 1,451,71 1,37 1,511,81 1,41 1,571,92 1,44 1,632,03 1,46 1,692,16 1,48 1,742,29 1,48 1,792,43 1,48 1,832,58 1,46 1,872,74 1,42 1,902,92 1,37 1,923,10 1,31 1,933,30 1,22 1,923,51 1,11 1,903,73 0,98 1,86
Anexo A
383
Coeficiente de rozamiento por adherencia m=0,5
Figura A.62 Comparativa Modular (2 Módulos) Perfil combinado.
Tabla A.53 Valores comparativa Modular (2 Módulos) Perfil combinado.
Perfil combinado 2 Módulos h1=1; alpha1=5º; alpha2=-5º
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4 5 6b/h
p/2k
p/2k Módulo1p/2k Módulo2media b1+b2
p/2k Módulo1 p/2k Módulo2 media b1+b25,08 4,87 4,972,65 2,50 2,581,90 1,80 1,851,57 1,52 1,541,41 1,40 1,401,33 1,37 1,351,30 1,39 1,351,31 1,44 1,381,34 1,52 1,431,38 1,60 1,501,44 1,70 1,581,51 1,80 1,671,60 1,90 1,771,69 2,01 1,871,79 2,12 1,981,89 2,23 2,092,01 2,33 2,202,13 2,44 2,312,26 2,53 2,422,40 2,62 2,542,55 2,71 2,642,70 2,78 2,752,87 2,84 2,853,04 2,89 2,953,23 2,92 3,033,43 2,94 3,113,63 2,94 3,183,86 2,91 3,234,10 2,86 3,274,35 2,79 3,29
Francisco de Sales Martín Fernández
384
Coeficiente de rozamiento por adherencia m=1
Figura A.63 Comparativa Modular (2 Módulos) Perfil combinado.
Tabla A.54 Valores comparativa Modular (2 Módulos) Perfil combinado.
Perfil combinado 2 Módulos h1=1; alpha1=5º; alpha2=-5º
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4 5 6b/h
p/2k
p/2k Módulo1p/2k Módulo2media b1+b2
p/2k Módulo1 p/2k Módulo2 media b1+b25,10 4,94 5,022,71 2,65 2,681,98 2,03 2,011,67 1,84 1,761,54 1,81 1,681,49 1,87 1,691,49 1,98 1,751,52 2,12 1,851,58 2,29 1,971,66 2,47 2,101,75 2,66 2,261,85 2,87 2,421,97 3,08 2,592,09 3,29 2,772,22 3,50 2,962,36 3,72 3,152,51 3,94 3,352,67 4,15 3,552,83 4,36 3,753,01 4,56 3,953,19 4,76 4,153,39 4,95 4,353,59 5,12 4,553,81 5,28 4,744,03 5,43 4,924,27 5,55 5,104,53 5,65 5,264,79 5,73 5,425,07 5,79 5,555,37 5,81 5,67
Anexo A
385
Coeficiente de rozamiento por adherencia m=0
Figura A.64 Comparativa Modular (2 Módulos) Perfil combinado.
Tabla A.55 Valores comparativa Modular (2 Módulos) Perfil combinado.
Perfil combinado 2 Módulos h1=1; alpha1=0º; alpha2=-5º
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4 5 6b/h
p/2k
p/2k Módulo1p/2k Módulo2media b1+b2
p/2k Módulo1 p/2k Módulo2 media b1+b25,05 4,96 5,012,60 2,51 2,551,82 1,71 1,771,45 1,34 1,391,25 1,12 1,191,13 0,99 1,061,06 0,90 0,981,03 0,84 0,931,01 0,80 0,901,00 0,76 0,881,00 0,74 0,871,02 0,72 0,871,03 0,71 0,871,06 0,70 0,881,08 0,69 0,881,11 0,68 0,891,14 0,67 0,911,18 0,66 0,921,21 0,65 0,931,25 0,65 0,951,29 0,64 0,961,33 0,63 0,981,37 0,62 0,991,41 0,61 1,011,45 0,60 1,031,49 0,59 1,041,54 0,58 1,061,58 0,57 1,081,62 0,56 1,091,67 0,55 1,11
Francisco de Sales Martín Fernández
386
Coeficiente de rozamiento por adherencia m=0,5
Figura A.65 Comparativa Modular (2 Módulos) Perfil combinado.
Tabla A.56 Valores comparativa Modular (2 Módulos) Perfil combinado.
Perfil combinado 2 Módulos h1=1; alpha1=0º; alpha2=-5º
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4 5 6b/h
p/2k
p/2k Módulo1p/2k Módulo2media b1+b2
p/2k Módulo1 p/2k Módulo2 media b1+b25,08 5,04 5,062,65 2,65 2,651,89 1,94 1,911,55 1,63 1,591,38 1,48 1,431,28 1,42 1,351,24 1,40 1,321,23 1,41 1,321,23 1,43 1,331,25 1,46 1,351,28 1,50 1,391,32 1,54 1,431,36 1,59 1,471,41 1,64 1,521,46 1,69 1,571,51 1,74 1,621,57 1,79 1,681,63 1,84 1,731,69 1,88 1,791,75 1,93 1,841,81 1,98 1,901,88 2,02 1,951,94 2,07 2,012,01 2,11 2,062,08 2,15 2,112,14 2,19 2,172,21 2,23 2,222,28 2,27 2,282,35 2,31 2,332,42 2,35 2,38
Anexo A
387
Coeficiente de rozamiento por adherencia m=1
Figura A.66 Comparativa Modular (2 Módulos) Perfil combinado.
Tabla A.57 Valores comparativa Modular (2 Módulos) Perfil combinado.
Perfil combinado 2 Módulos h1=1; alpha1=0º; alpha2=-5º
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4 5 6b/h
p/2k
p/2k Módulo1p/2k Módulo2media b1+b2
p/2k Módulo1 p/2k Módulo2 media b1+b25,10 5,11 5,112,70 2,80 2,751,97 2,16 2,061,65 1,92 1,791,50 1,85 1,671,43 1,85 1,641,41 1,90 1,661,43 1,97 1,701,46 2,06 1,761,50 2,15 1,831,55 2,26 1,911,62 2,36 1,991,68 2,47 2,081,76 2,58 2,171,83 2,69 2,261,91 2,80 2,361,99 2,91 2,452,08 3,01 2,542,16 3,12 2,642,25 3,22 2,732,34 3,32 2,832,43 3,42 2,922,52 3,52 3,022,61 3,61 3,112,70 3,70 3,202,79 3,80 3,292,89 3,88 3,392,98 3,97 3,483,07 4,06 3,573,17 4,14 3,65
Francisco de Sales Martín Fernández
388
Coeficiente de rozamiento por adherencia m=0
Figura A.67 Comparativa Modular (2 Módulos) Perfil combinado.
Tabla A.58 Valores comparativa Modular (2 Módulos) Perfil combinado.
Perfil combinado 2 Módulos h1=1; alpha1=0º; alpha2=-7º
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4 5 6b/h
p/2k
p/2k Módulo1p/2k Módulo2media b1+b2
p/2k Módulo1 p/2k Módulo2 media b1+b25,05 4,93 4,992,60 2,47 2,531,82 1,67 1,751,45 1,29 1,371,25 1,07 1,161,13 0,94 1,031,06 0,84 0,951,03 0,77 0,901,01 0,72 0,861,00 0,68 0,841,00 0,65 0,831,02 0,62 0,821,03 0,60 0,821,06 0,58 0,821,08 0,56 0,821,11 0,54 0,831,14 0,52 0,831,18 0,51 0,841,21 0,49 0,851,25 0,47 0,861,29 0,46 0,871,33 0,44 0,881,37 0,42 0,891,41 0,40 0,901,45 0,38 0,921,49 0,36 0,931,54 0,34 0,941,58 0,32 0,951,62 0,30 0,961,67 0,28 0,97
Anexo A
389
Coeficiente de rozamiento por adherencia m=0,5
Figura A.68 Comparativa Modular (2 Módulos) Perfil combinado.
Tabla A.59 Valores comparativa Modular (2 Módulos) Perfil combinado.
Perfil combinado 2 Módulos h1=1; alpha1=0º; alpha2=-7º
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4 5 6b/h
p/2k
p/2k Módulo1p/2k Módulo2media b1+b2
p/2k Módulo1 p/2k Módulo2 media b1+b25,08 5,00 5,042,65 2,62 2,631,89 1,90 1,891,55 1,58 1,571,38 1,43 1,401,28 1,36 1,321,24 1,33 1,291,23 1,33 1,281,23 1,34 1,281,25 1,36 1,311,28 1,39 1,331,32 1,42 1,371,36 1,45 1,411,41 1,49 1,451,46 1,52 1,491,51 1,56 1,541,57 1,59 1,581,63 1,63 1,631,69 1,66 1,681,75 1,69 1,721,81 1,73 1,771,88 1,76 1,821,94 1,78 1,862,01 1,81 1,912,08 1,84 1,962,14 1,86 2,002,21 1,89 2,052,28 1,91 2,092,35 1,93 2,142,42 1,95 2,18
Francisco de Sales Martín Fernández
390
Coeficiente de rozamiento por adherencia m=1
Figura A.69 Comparativa Modular (2 Módulos) Perfil combinado.
Tabla A.60 Valores comparativa Modular (2 Módulos) Perfil combinado.
Perfil combinado 2 Módulos h1=1; alpha1=0º; alpha2=-7º
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4 5 6b/h
p/2k
p/2k Módulo1p/2k Módulo2media b1+b2
p/2k Módulo1 p/2k Módulo2 media b1+b25,10 5,08 5,092,70 2,77 2,731,97 2,12 2,041,65 1,87 1,761,50 1,79 1,651,43 1,79 1,611,41 1,82 1,621,43 1,88 1,651,46 1,96 1,711,50 2,04 1,771,55 2,13 1,841,62 2,22 1,921,68 2,31 2,001,76 2,40 2,081,83 2,49 2,161,91 2,58 2,251,99 2,67 2,332,08 2,75 2,412,16 2,84 2,502,25 2,92 2,582,34 3,00 2,672,43 3,07 2,752,52 3,15 2,832,61 3,22 2,922,70 3,29 3,002,79 3,36 3,082,89 3,43 3,162,98 3,49 3,243,07 3,56 3,313,17 3,62 3,39
Anexo A
391
Coeficiente de rozamiento por adherencia m=0
Figura A.70 Comparativa Modular (2 Módulos) Perfil combinado.
Tabla A.61 Valores comparativa Modular (2 Módulos) Perfil combinado.
Perfil combinado 2 Módulos h1=1; alpha1=-5º; alpha2=0º
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4 5 6b/h
p/2k p/2k Módulo1
p/2k Módulo2media b1+b2
p/2k Módulo1 p/2k Módulo2 media b1+b25,05 5,22 5,142,60 2,77 2,681,81 1,98 1,891,44 1,61 1,521,23 1,39 1,311,10 1,26 1,181,03 1,18 1,100,98 1,12 1,040,94 1,08 1,010,93 1,05 0,980,92 1,03 0,970,91 1,02 0,960,91 1,01 0,960,92 1,01 0,960,93 1,00 0,960,94 1,00 0,970,95 1,00 0,970,96 1,00 0,980,98 1,00 0,990,99 1,00 1,001,01 1,01 1,011,02 1,01 1,021,04 1,01 1,031,05 1,02 1,041,07 1,02 1,051,09 1,02 1,061,10 1,02 1,071,12 1,03 1,081,13 1,03 1,091,15 1,03 1,10
Francisco de Sales Martín Fernández
392
Coeficiente de rozamiento por adherencia m=0,5
Figura A.71 Comparativa Modular (2 Módulos) Perfil combinado.
Tabla A.62 Valores comparativa Modular (2 Módulos) Perfil combinado.
Perfil combinado 2 Módulos h1=1; alpha1=-5º; alpha2=0º
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4 5 6b/h
p/2k
p/2k Módulo1p/2k Módulo2media b1+b2
p/2k Módulo1 p/2k Módulo2 media b1+b25,07 5,30 5,192,65 2,91 2,781,88 2,19 2,031,53 1,88 1,701,35 1,73 1,531,25 1,66 1,441,19 1,63 1,401,16 1,62 1,381,15 1,64 1,381,16 1,66 1,391,17 1,69 1,411,19 1,72 1,431,21 1,76 1,451,23 1,79 1,481,26 1,83 1,511,29 1,87 1,541,32 1,91 1,581,35 1,95 1,611,39 1,98 1,641,42 2,02 1,671,45 2,06 1,711,49 2,09 1,741,52 2,12 1,771,55 2,16 1,801,59 2,19 1,831,62 2,22 1,861,65 2,25 1,891,68 2,28 1,921,72 2,31 1,951,75 2,34 1,98
Anexo A
393
Coeficiente de rozamiento por adherencia m=1
Figura A.72 Comparativa Modular (2 Módulos) Perfil combinado.
Tabla A.63 Valores comparativa Modular (2 Módulos) Perfil combinado.
Perfil combinado 2 Módulos h1=1; alpha1=-5º; alpha2=0º
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4 5 6b/h
p/2k
p/2k Módulo1p/2k Módulo2media b1+b2
p/2k Módulo1 p/2k Módulo2 media b1+b25,10 5,37 5,232,70 3,06 2,871,96 2,40 2,171,63 2,15 1,881,47 2,07 1,761,39 2,05 1,711,36 2,08 1,701,35 2,13 1,721,36 2,19 1,751,39 2,27 1,791,42 2,34 1,841,46 2,42 1,891,50 2,50 1,951,55 2,58 2,011,60 2,66 2,071,64 2,74 2,121,69 2,82 2,181,75 2,89 2,241,80 2,96 2,301,85 3,03 2,351,90 3,10 2,411,95 3,17 2,462,00 3,24 2,522,05 3,30 2,572,10 3,36 2,622,15 3,42 2,672,20 3,48 2,722,25 3,54 2,772,30 3,59 2,822,35 3,64 2,86
Francisco de Sales Martín Fernández
394
Figura A.73 Comparativa Modular (2 Módulos) Perfil combinado.
Tabla A.64 Valores comparativa Modular (2 Módulos) Perfil combinado.
perfil combinado 2 Módulosmu=0; m=0; alpha1=-5º; alpha2=5º
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4 5 6b/h
p/2k
p/2k Módulo1p/2k Módulo 2p2k Total
b/h1 p/2k Módulo1 p/2k Módulo 2 p2k Total0,2 5,01 5,31 5,160,4 2,55 2,87 2,710,6 1,77 2,08 1,920,8 1,39 1,72 1,55
1 1,19 1,52 1,351,2 1,06 1,40 1,231,4 0,98 1,33 1,151,6 0,93 1,29 1,101,8 0,90 1,27 1,08
2 0,89 1,27 1,062,2 0,88 1,27 1,052,4 0,87 1,28 1,062,6 0,87 1,29 1,062,8 0,88 1,31 1,07
3 0,89 1,33 1,083,2 0,90 1,35 1,103,4 0,91 1,37 1,113,6 0,92 1,40 1,133,8 0,94 1,42 1,15
4 0,95 1,45 1,164,2 0,97 1,48 1,184,4 0,98 1,50 1,204,6 1,00 1,53 1,224,8 1,02 1,56 1,24
5 1,03 1,58 1,265,2 1,05 1,61 1,285,4 1,07 1,64 1,305,6 1,08 1,67 1,325,8 1,10 1,69 1,34
6 1,12 1,72 1,35
Anexo A
395
Figura A.74 Comparativa Modular (2 Módulos) Perfil combinado.
Tabla A.65 Valores comparativa Modular (2 Módulos) Perfil combinado.
perfil combinado 2 Módulosmu=0; m=0; alpha1=0º; alpha2=5º
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4 5 6b/h
p/2k
p/2k Módulo1p/2k Módulo 2p2k Total
b/h1 p/2k Módulo1 p/2k Módulo 2 p2k Total0,2 5,05 5,14 5,090,4 2,60 2,69 2,650,6 1,82 1,92 1,870,8 1,45 1,57 1,51
1 1,25 1,38 1,321,2 1,13 1,29 1,211,4 1,06 1,25 1,161,6 1,03 1,24 1,131,8 1,01 1,26 1,13
2 1,00 1,30 1,152,2 1,00 1,35 1,182,4 1,02 1,42 1,222,6 1,03 1,50 1,272,8 1,06 1,60 1,33
3 1,08 1,70 1,393,2 1,11 1,82 1,473,4 1,14 1,95 1,553,6 1,18 2,09 1,633,8 1,21 2,24 1,73
4 1,25 2,41 1,834,2 1,29 2,59 1,944,4 1,33 2,79 2,064,6 1,37 3,00 2,184,8 1,41 3,23 2,32
5 1,45 3,47 2,465,2 1,49 3,74 2,625,4 1,54 4,03 2,785,6 1,58 4,34 2,965,8 1,62 4,69 3,15
6 1,67 5,06 3,36
Francisco de Sales Martín Fernández
396
Figura A.75 Comparativa Modular (2 Módulos) Perfil combinado.
Tabla A.66 Valores comparativa Modular (2 Módulos) Perfil combinado.
perfil combinado 2 Módulosmu=0; m=0,5; alpha1=0º; alpha2=5º
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4 5 6b/h
p/2k p/2k Módulo1
p/2k Módulo 2p2k Total
b/h1 p/2k Módulo1 p/2k Módulo 2 p2k Total0,2 5,05 5,22 5,130,4 2,60 2,85 2,720,6 1,82 2,15 1,980,8 1,45 1,88 1,67
1 1,25 1,78 1,511,2 1,13 1,77 1,451,4 1,06 1,81 1,441,6 1,03 1,89 1,461,8 1,01 2,00 1,50
2 1,00 2,13 1,562,2 1,00 2,27 1,642,4 1,02 2,43 1,732,6 1,03 2,61 1,822,8 1,06 2,80 1,93
3 1,08 3,01 2,053,2 1,11 3,23 2,173,4 1,14 3,46 2,303,6 1,18 3,70 2,443,8 1,21 3,97 2,59
4 1,25 4,24 2,754,2 1,29 4,53 2,914,4 1,33 4,85 3,094,6 1,37 5,17 3,274,8 1,41 5,52 3,47
5 1,45 5,89 3,675,2 1,49 6,28 3,895,4 1,54 6,70 4,125,6 1,58 7,15 4,365,8 1,62 7,62 4,62
6 1,67 8,13 4,90
Anexo A
397
Figura A.76 Comparativa Modular (2 Módulos) Perfil combinado.
Tabla A.67 Valores comparativa Modular (2 Módulos) Perfil combinado.
perfil combinado 2 Módulosmu=0; m=1; alpha1=0º; alpha2=5º
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4 5 6b/h
p/2k
p/2k Módulo1p/2k Módulo 2p2k Total
b/h1 p/2k Módulo1 p/2k Módulo 2 p2k Total0,2 5,05 5,29 5,170,4 2,60 3,00 2,800,6 1,82 2,39 2,100,8 1,45 2,19 1,82
1 1,25 2,18 1,711,2 1,13 2,25 1,691,4 1,06 2,38 1,721,6 1,03 2,54 1,781,8 1,01 2,74 1,87
2 1,00 2,95 1,982,2 1,00 3,19 2,102,4 1,02 3,45 2,232,6 1,03 3,72 2,382,8 1,06 4,01 2,53
3 1,08 4,31 2,703,2 1,11 4,63 2,873,4 1,14 4,97 3,063,6 1,18 5,32 3,253,8 1,21 5,69 3,45
4 1,25 6,07 3,664,2 1,29 6,48 3,884,4 1,33 6,90 4,124,6 1,37 7,35 4,364,8 1,41 7,82 4,61
5 1,45 8,31 4,885,2 1,49 8,83 5,165,4 1,54 9,37 5,455,6 1,58 9,95 5,765,8 1,62 10,56 6,09
6 1,67 11,20 6,44
Francisco de Sales Martín Fernández
398
Figura A.77 Comparativa Modular (2 Módulos) Perfil combinado.
Tabla A.68 Valores comparativa Modular (2 Módulos) Perfil combinado.
perfil combinado 2 Módulosmu=0,2; m=1; alpha1=0º; alpha2=5º
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4 5 6b/h
p/2k
p/2k Módulo1p/2k Módulo 2p2k Total
b/h1 p/2k Módulo1 p/2k Módulo 2 p2k Total0,2 5,15 5,29 5,220,4 2,71 3,00 2,860,6 1,93 2,39 2,160,8 1,58 2,19 1,88
1 1,39 2,18 1,781,2 1,29 2,25 1,771,4 1,24 2,38 1,811,6 1,22 2,54 1,881,8 1,23 2,74 1,98
2 1,25 2,95 2,102,2 1,29 3,19 2,242,4 1,34 3,45 2,392,6 1,40 3,72 2,562,8 1,47 4,01 2,74
3 1,55 4,31 2,933,2 1,64 4,63 3,133,4 1,73 4,97 3,353,6 1,84 5,32 3,583,8 1,96 5,69 3,82
4 2,08 6,07 4,084,2 2,22 6,48 4,354,4 2,37 6,90 4,644,6 2,53 7,35 4,944,8 2,71 7,82 5,26
5 2,90 8,31 5,615,2 3,11 8,83 5,975,4 3,34 9,37 6,365,6 3,59 9,95 6,775,8 3,86 10,56 7,21
6 4,17 11,20 7,69
Anexo A
399
Figura A.78 Comparativa Modular (2 Módulos) Perfil combinado.
Tabla A.69 Valores comparativa Modular (2 Módulos) Perfil combinado.
perfil combinado 2 Módulosmu=0,3; m=0; alpha1=0º; alpha2=5º
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4 5 6b/h
p/2k
p/2k Módulo1p/2k Módulo 2p2k Total
b/h1 p/2k Módulo1 p/2k Módulo 2 p2k Total0,2 5,21 5,14 5,170,4 2,77 2,69 2,730,6 2,00 1,92 1,960,8 1,65 1,57 1,61
1 1,47 1,38 1,431,2 1,38 1,29 1,341,4 1,35 1,25 1,301,6 1,35 1,24 1,301,8 1,38 1,26 1,32
2 1,43 1,30 1,362,2 1,50 1,35 1,432,4 1,59 1,42 1,512,6 1,70 1,50 1,602,8 1,82 1,60 1,71
3 1,97 1,70 1,843,2 2,14 1,82 1,983,4 2,33 1,95 2,143,6 2,56 2,09 2,323,8 2,82 2,24 2,53
4 3,13 2,41 2,774,2 3,48 2,59 3,044,4 3,90 2,79 3,344,6 4,41 3,00 3,704,8 5,03 3,23 4,13
5 5,80 3,47 4,645,2 6,78 3,74 5,265,4 8,08 4,03 6,065,6 9,87 4,34 7,115,8 12,48 4,69 8,58
6 16,67 5,06 10,86
Francisco de Sales Martín Fernández
400
Figura A.79 Comparativa Modular (2 Módulos) Perfil combinado.
Tabla A.70 Valores comparativa Modular (2 Módulos) Perfil combinado.
perfil combinado 2 Módulosmu=0,3; m=0,5; alpha1=0º; alpha2=5º
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4 5 6b/h
p/2k
p/2k Módulo1p/2k Módulo 2p2k Total
b/h1 p/2k Módulo1 p/2k Módulo 2 p2k Total0,2 5,21 5,22 5,210,4 2,77 2,85 2,810,6 2,00 2,15 2,070,8 1,65 1,88 1,76
1 1,47 1,78 1,631,2 1,38 1,77 1,581,4 1,35 1,81 1,581,6 1,35 1,89 1,621,8 1,38 2,00 1,69
2 1,43 2,13 1,782,2 1,50 2,27 1,892,4 1,59 2,43 2,012,6 1,70 2,61 2,152,8 1,82 2,80 2,31
3 1,97 3,01 2,493,2 2,14 3,23 2,683,4 2,33 3,46 2,903,6 2,56 3,70 3,133,8 2,82 3,97 3,39
4 3,13 4,24 3,684,2 3,48 4,53 4,014,4 3,90 4,85 4,374,6 4,41 5,17 4,794,8 5,03 5,52 5,28
5 5,80 5,89 5,855,2 6,78 6,28 6,535,4 8,08 6,70 7,395,6 9,87 7,15 8,515,8 12,48 7,62 10,05
6 16,67 8,13 12,40
Anexo A
401
Figura A.80 Comparativa Modular (2 Módulos) Perfil combinado.
Tabla A.71 Valores comparativa Modular (2 Módulos) Perfil combinado.
b/h1 p/2k Módulo1 p/2k Módulo 2 p2k Total0,2 5,21 5,29 5,250,4 2,77 3,00 2,880,6 2,00 2,39 2,190,8 1,65 2,19 1,92
1 1,47 2,18 1,821,2 1,38 2,25 1,811,4 1,35 2,38 1,861,6 1,35 2,54 1,951,8 1,38 2,74 2,06
2 1,43 2,95 2,192,2 1,50 3,19 2,352,4 1,59 3,45 2,522,6 1,70 3,72 2,712,8 1,82 4,01 2,92
3 1,97 4,31 3,143,2 2,14 4,63 3,393,4 2,33 4,97 3,653,6 2,56 5,32 3,943,8 2,82 5,69 4,25
4 3,13 6,07 4,604,2 3,48 6,48 4,984,4 3,90 6,90 5,404,6 4,41 7,35 5,884,8 5,03 7,82 6,42
5 5,80 8,31 7,065,2 6,78 8,83 7,815,4 8,08 9,37 8,735,6 9,87 9,95 9,915,8 12,48 10,56 11,52
6 16,67 11,20 13,94
perfil combinado 2 Módulosmu=0,3; m=1; alpha1=0º; alpha2=5º
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4 5 6b/h
p/2k
p/2k Módulo1p/2k Módulo 2p2k Total
Francisco de Sales Martín Fernández
402
Figura A.81 Comparativa Modular (2 Módulos) Perfil combinado.
Tabla A.72 Valores comparativa Modular (2 Módulos) Perfil combinado.
perfil combinado 2 Módulosm=0; mu=0; alpha1=0º; alpha2=5º
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4 5 6b/h
p/2k
p/2k Módulo1p/2k Módulo 2p2k Total
b/h1 p/2k Módulo1 p/2k Módulo 2 p/2k Total0,2 5,05 5,14 5,090,4 2,60 2,69 2,650,6 1,82 1,92 1,870,8 1,45 1,57 1,51
1 1,25 1,39 1,321,2 1,13 1,29 1,211,4 1,06 1,25 1,161,6 1,03 1,24 1,131,8 1,01 1,26 1,13
2 1,00 1,30 1,152,2 1,00 1,35 1,182,4 1,02 1,42 1,222,6 1,03 1,50 1,272,8 1,06 1,60 1,33
3 1,08 1,70 1,393,2 1,11 1,82 1,473,4 1,14 1,95 1,553,6 1,18 2,09 1,643,8 1,21 2,25 1,73
4 1,25 2,41 1,834,2 1,29 2,60 1,944,4 1,33 2,79 2,064,6 1,37 3,00 2,194,8 1,41 3,23 2,32
5 1,45 3,48 2,475,2 1,49 3,75 2,625,4 1,54 4,04 2,795,6 1,58 4,36 2,975,8 1,62 4,70 3,16
6 1,67 5,07 3,37
Anexo A
403
Figura A.82 Comparativa Modular (2 Módulos) Perfil combinado.
Tabla A.73 Valores comparativa Modular (2 Módulos) Perfil combinado.
perfil combinado 2 Módulosm=0,5; mu=0; alpha1=0º; alpha2=5º
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4 5 6b/h
p/2k
p/2k Módulo1p/2k Módulo 2p2k Total
b/h1 p/2k Módulo1 p/2k Módulo 2 p/2k Total0,2 5,08 5,14 5,110,4 2,65 2,69 2,670,6 1,89 1,92 1,910,8 1,55 1,57 1,56
1 1,38 1,39 1,381,2 1,28 1,29 1,291,4 1,24 1,25 1,241,6 1,23 1,24 1,231,8 1,23 1,26 1,25
2 1,25 1,30 1,272,2 1,28 1,35 1,322,4 1,32 1,42 1,372,6 1,36 1,50 1,432,8 1,41 1,60 1,50
3 1,46 1,70 1,583,2 1,51 1,82 1,673,4 1,57 1,95 1,763,6 1,63 2,09 1,863,8 1,69 2,25 1,97
4 1,75 2,41 2,084,2 1,81 2,60 2,204,4 1,88 2,79 2,334,6 1,94 3,00 2,474,8 2,01 3,23 2,62
5 2,08 3,48 2,785,2 2,14 3,75 2,955,4 2,21 4,04 3,135,6 2,28 4,36 3,325,8 2,35 4,70 3,52
6 2,42 5,07 3,74
Francisco de Sales Martín Fernández
404
Figura A.83 Comparativa Modular (2 Módulos) Perfil combinado.
Tabla A.74 Valores comparativa Modular (2 Módulos) Perfil combinado.
perfil combinado 2 Módulosm=1; mu=0; alpha1=0º; alpha2=5º
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4 5 6b/h
p/2k
p/2k Módulo1p/2k Módulo 2p2k Total
b/h1 p/2k Módulo1 p/2k Módulo 2 p/2k Total0,2 5,10 5,14 5,120,4 2,70 2,69 2,700,6 1,97 1,92 1,940,8 1,65 1,57 1,61
1 1,50 1,39 1,441,2 1,43 1,29 1,361,4 1,41 1,25 1,331,6 1,43 1,24 1,331,8 1,46 1,26 1,36
2 1,50 1,30 1,402,2 1,55 1,35 1,452,4 1,62 1,42 1,522,6 1,68 1,50 1,592,8 1,76 1,60 1,68
3 1,83 1,70 1,773,2 1,91 1,82 1,873,4 1,99 1,95 1,973,6 2,08 2,09 2,093,8 2,16 2,25 2,21
4 2,25 2,41 2,334,2 2,34 2,60 2,474,4 2,43 2,79 2,614,6 2,52 3,00 2,764,8 2,61 3,23 2,92
5 2,70 3,48 3,095,2 2,79 3,75 3,275,4 2,89 4,04 3,465,6 2,98 4,36 3,675,8 3,07 4,70 3,88
6 3,17 5,07 4,12
Anexo A
405
Figura A.84 Comparativa Modular (2 Módulos) Perfil combinado.
Tabla A.75 Valores comparativa Modular (2 Módulos) Perfil combinado
.
perfil combinado 2 Módulosm=0,5; mu=0,1; alpha1=0º; alpha2=5º
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4b/h
p/2k
p/2k Módulo1p/2k Módulo 2p2k Total
b/h1 p/2k Módulo1 p/2k Módulo 2 p/2k Total0,2 5,08 5,30 5,190,4 2,65 2,87 2,760,6 1,89 2,12 2,000,8 1,55 1,79 1,67
1 1,38 1,65 1,511,2 1,28 1,60 1,441,4 1,24 1,61 1,431,6 1,23 1,68 1,451,8 1,23 1,79 1,51
2 1,25 1,94 1,602,2 1,28 2,14 1,712,4 1,32 2,39 1,852,6 1,36 2,70 2,032,8 1,41 3,09 2,25
3 1,46 3,57 2,513,2 1,51 4,16 2,843,4 1,57 4,92 3,253,6 1,63 5,91 3,773,8 1,69 7,22 4,45
4 1,75 9,04 5,394,2 1,81 11,68 6,744,4 1,88 15,82 8,854,6 1,94 23,18 12,564,8 2,01 39,59 20,80
5 2,08 106,51 54,29
Francisco de Sales Martín Fernández
406
A1.13 Enfoque Modular comparativa entre tipos de rozamiento. Perfil 2 Módulos.
Figura A.85 Comparativa Modular combinación rozamiento (2 Módulos).
Tabla A.76 Valores comparativa Modular combinación rozamiento (2 Módulos).
Comparativa m=0; mu=0
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4 5 6bi
p/2k
Adh.Desliz.-Adh.Desliz.Adh.-Desliz.
b1 Adh. Desliz.-Adh. Desliz. Adh.-Desliz.0,2 5,05 5,05 5,05 5,050,4 2,60 2,60 2,60 2,600,6 1,82 1,82 1,82 1,820,8 1,45 1,45 1,45 1,45
1 1,25 1,25 1,25 1,251,2 1,13 1,13 1,13 1,131,4 1,06 1,06 1,06 1,061,6 1,03 1,03 1,03 1,031,8 1,01 1,01 1,01 1,01
2 1,00 1,00 1,00 1,002,2 1,00 1,00 1,00 1,002,4 1,02 1,02 1,02 1,022,6 1,03 1,03 1,03 1,032,8 1,06 1,06 1,06 1,06
3 1,08 1,08 1,08 1,083,2 1,11 1,11 1,11 1,113,4 1,14 1,14 1,14 1,143,6 1,18 1,18 1,18 1,183,8 1,21 1,21 1,21 1,21
4 1,25 1,25 1,25 1,254,2 1,29 1,29 1,29 1,294,4 1,33 1,33 1,33 1,334,6 1,37 1,37 1,37 1,374,8 1,41 1,41 1,41 1,41
5 1,45 1,45 1,45 1,455,2 1,49 1,49 1,49 1,495,4 1,54 1,54 1,54 1,545,6 1,58 1,58 1,58 1,585,8 1,62 1,62 1,62 1,62
6 1,67 1,67 1,67 1,67
Anexo A
407
Figura A.86 Comparativa Modular combinación rozamiento (2 Módulos).
Tabla A.77 Valores comparativa Modular combinación rozamiento (2 Módulos).
Comparativa m=0,5; mu=0
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4 5 6bi
p/2k
Adh.Desliz.-Adh.Desliz.Adh.-Desliz.
b1 Adh. Desliz.-Adh. Desliz. Adh.-Desliz.0,2 5,10 5,06 5,05 5,060,4 2,70 2,63 2,60 2,630,6 1,97 1,85 1,82 1,850,8 1,65 1,50 1,45 1,50
1 1,50 1,31 1,25 1,311,2 1,43 1,21 1,13 1,211,4 1,41 1,15 1,06 1,151,6 1,43 1,13 1,03 1,131,8 1,46 1,12 1,01 1,12
2 1,50 1,13 1,00 1,132,2 1,55 1,14 1,00 1,142,4 1,62 1,17 1,02 1,172,6 1,68 1,20 1,03 1,202,8 1,76 1,23 1,06 1,23
3 1,83 1,27 1,08 1,273,2 1,91 1,31 1,11 1,313,4 1,99 1,36 1,14 1,363,6 2,08 1,40 1,18 1,403,8 2,16 1,45 1,21 1,45
4 2,25 1,50 1,25 1,504,2 2,34 1,55 1,29 1,554,4 2,43 1,60 1,33 1,604,6 2,52 1,65 1,37 1,654,8 2,61 1,71 1,41 1,71
5 2,70 1,76 1,45 1,765,2 2,79 1,82 1,49 1,825,4 2,89 1,87 1,54 1,875,6 2,98 1,93 1,58 1,935,8 3,07 1,98 1,62 1,98
6 3,17 2,04 1,67 2,04
Francisco de Sales Martín Fernández
408
Figura A.87 Comparativa Modular combinación rozamiento (2 Módulos).
Tabla A.78 Valores comparativa Modular combinación rozamiento (2 Módulos).
Comparativa m=1; mu=0
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4 5 6bi
p/2k
Adh.Desliz.-Adh.Desliz.Adh.-Desliz.
b1 Adh. Desliz.-Adh. Desliz. Adh.-Desliz.0,2 5,15 5,08 5,05 5,080,4 2,80 2,65 2,60 2,650,6 2,12 1,89 1,82 1,890,8 1,85 1,55 1,45 1,55
1 1,75 1,38 1,25 1,381,2 1,73 1,28 1,13 1,281,4 1,76 1,24 1,06 1,241,6 1,83 1,23 1,03 1,231,8 1,91 1,23 1,01 1,23
2 2,00 1,25 1,00 1,252,2 2,10 1,28 1,00 1,282,4 2,22 1,32 1,02 1,322,6 2,33 1,36 1,03 1,362,8 2,46 1,41 1,06 1,41
3 2,58 1,46 1,08 1,463,2 2,71 1,51 1,11 1,513,4 2,84 1,57 1,14 1,573,6 2,98 1,63 1,18 1,633,8 3,11 1,69 1,21 1,69
4 3,25 1,75 1,25 1,754,2 3,39 1,81 1,29 1,814,4 3,53 1,88 1,33 1,884,6 3,67 1,94 1,37 1,944,8 3,81 2,01 1,41 2,01
5 3,95 2,08 1,45 2,085,2 4,09 2,14 1,49 2,145,4 4,24 2,21 1,54 2,215,6 4,38 2,28 1,58 2,285,8 4,52 2,35 1,62 2,35
6 4,67 2,42 1,67 2,42
Anexo A
409
Figura A.88 Comparativa Modular combinación rozamiento (2 Módulos).
Tabla A.79 Valores comparativa Modular combinación rozamiento (2 Módulos).
Comparativa m=0; mu=0,1
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4 5 6bi
p/2k
Adh.Desliz.-Adh.Desliz.Adh.-Desliz.
b1 Adh. Desliz.-Adh. Desliz. Adh.-Desliz.0,2 5,05 5,13 5,15 5,130,4 2,60 2,68 2,71 2,680,6 1,82 1,91 1,93 1,910,8 1,45 1,55 1,58 1,55
1 1,25 1,36 1,39 1,361,2 1,13 1,26 1,29 1,261,4 1,06 1,21 1,25 1,211,6 1,03 1,19 1,23 1,191,8 1,01 1,19 1,24 1,19
2 1,00 1,21 1,27 1,212,2 1,00 1,25 1,31 1,252,4 1,02 1,30 1,37 1,302,6 1,03 1,37 1,44 1,372,8 1,06 1,44 1,53 1,44
3 1,08 1,53 1,62 1,533,2 1,11 1,63 1,73 1,633,4 1,14 1,74 1,86 1,743,6 1,18 1,87 2,00 1,873,8 1,21 2,02 2,16 2,02
4 1,25 2,19 2,34 2,194,2 1,29 2,38 2,56 2,384,4 1,33 2,62 2,80 2,624,6 1,37 2,89 3,09 2,894,8 1,41 3,22 3,44 3,22
5 1,45 3,63 3,87 3,635,2 1,49 4,14 4,40 4,145,4 1,54 4,81 5,09 4,815,6 1,58 5,72 6,03 5,725,8 1,62 7,05 7,38 7,05
6 1,67 9,17 9,52 9,17
Francisco de Sales Martín Fernández
410
Figura A.89 Comparativa Modular combinación rozamiento (2 Módulos).
Tabla A.80 Valores comparativa Modular combinación rozamiento (2 Módulos).
Comparativa m=0,5; mu=0,5
0
1
2
3
4
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2bi
p/2k
Adh.Desliz.-Adh.Desliz.Adh.-Desliz.
b1 Adh. Desliz.-Adh. Desliz. Adh.-Desliz.0,2 5,10 5,51 5,63 5,510,4 2,70 3,18 3,30 3,180,6 1,97 2,60 2,72 2,600,8 1,65 2,59 2,72 2,59
1 1,50 3,19 3,33 3,191,2 1,43 6,31 6,48 6,311,4 1,41 -10,02 -9,82 -10,021,6 1,43 -1,95 -1,71 -1,951,8 1,46 -0,82 -0,52 -0,82
2 1,50 -0,38 0,00 -0,382,2 1,55 -0,13 0,34 -0,132,4 1,62 0,02 0,64 0,022,6 1,68 0,14 0,93 0,142,8 1,76 0,22 1,28 0,22
3 1,83 0,30 1,73 0,303,2 1,91 0,36 2,38 0,363,4 1,99 0,42 3,44 0,423,6 2,08 0,47 5,54 0,473,8 2,16 0,52 11,80 0,52
Anexo A
411
A1.14 Enfoque Modular comparativa p con endurecimiento- grado de deformación.
El factor de forma parte en todos los casos del valor unidad.
Figura A.90 Comparativa Modular p con endurecimiento y m variable.
Tabla A.81 Valores comparativa Modular p con endurecimiento y m variable.
p con endurecimiento (Al99.5)h1=3; m variable; Área=9; b1= variable
0
100
200
300
400
500
600
0 10 20 30 40 50 60grado de deformación (%)
p co
n en
dure
cim
ient
o
m=0 m=0,2m=0,4 m=0,6m=0,8 m=1
coeficiente de rozamientogrado deform. (%) m=0 m=0,2 m=0,4 m=0,6 m=0,8 m=1
0,001,68 214,05 223,08 232,11 241,14 250,17 259,213,39 220,45 230,26 240,07 249,89 259,70 269,515,13 223,27 233,76 244,25 254,73 265,22 275,716,90 224,54 235,67 246,79 257,92 269,05 280,188,70 224,96 236,72 248,49 260,25 272,02 283,78
10,54 224,89 237,30 249,71 262,12 274,53 286,9312,41 224,53 237,60 250,68 263,75 276,82 289,8914,31 224,03 237,79 251,55 265,30 279,06 292,8216,25 223,48 237,95 252,43 266,90 281,38 295,8518,23 222,96 238,18 253,41 268,63 283,86 299,0820,25 222,53 238,54 254,56 270,57 286,58 302,6022,31 222,25 239,09 255,94 272,79 289,63 306,4824,42 222,16 239,89 257,62 275,35 293,07 310,8026,57 222,31 240,98 259,64 278,31 296,97 315,6428,77 222,75 242,41 262,08 281,74 301,40 321,0731,02 223,52 244,25 264,97 285,70 306,43 327,1533,31 224,67 246,53 268,40 290,26 312,12 333,9935,67 226,25 249,33 272,41 295,49 318,57 341,6538,08 228,30 252,69 277,08 301,47 325,86 350,2540,55 230,89 256,69 282,48 308,28 334,08 359,8743,08 234,08 261,39 288,70 316,02 343,33 370,6445,68 237,93 266,88 295,83 324,79 353,74 382,6948,34 242,52 273,25 303,97 334,70 365,43 396,1651,08 247,93 280,59 313,24 345,90 378,56 411,2253,90 254,26 289,02 323,78 358,53 393,29 428,0456,80 261,63 298,67 335,72 372,76 409,81 446,8659,78 270,14 309,70 349,25 388,80 428,35 467,9062,86 279,96 322,26 364,56 406,86 449,17 491,4766,04 291,24 336,57 381,90 427,22 472,55 517,88
Francisco de Sales Martín Fernández
412
Figura A.91 Comparativa Modular p con endurecimiento y m variable.
Tabla A.82 Valores comparativa Modular p con endurecimiento y m variable.
p con endurecimiento (Al99.5)h1=30 mm.; m=0; Área =900 mm2 ; b1 variable
0
100
200
300
400
500
600
0 10 20 30 40 50 60
grado de deformación (%)
p co
n en
dure
cim
ient
o (N
/mm
2)m=0 m=0,2m=0,4 m=0,6m=0,8 m=1
coeficiente de rozamientogrado deform. (%) m=0 m=0,2 m=0,4 m=0,6 m=0,8 m=1
0,001,68 214,05 223,08 232,11 241,14 250,17 259,213,39 220,45 230,26 240,07 249,89 259,70 269,515,13 223,27 233,76 244,25 254,73 265,22 275,716,90 224,54 235,67 246,79 257,92 269,05 280,188,70 224,96 236,72 248,49 260,25 272,02 283,78
10,54 224,89 237,30 249,71 262,12 274,53 286,9312,41 224,53 237,60 250,68 263,75 276,82 289,8914,31 224,03 237,79 251,55 265,30 279,06 292,8216,25 223,48 237,95 252,43 266,90 281,38 295,8518,23 222,96 238,18 253,41 268,63 283,86 299,0820,25 222,53 238,54 254,56 270,57 286,58 302,6022,31 222,25 239,09 255,94 272,79 289,63 306,4824,42 222,16 239,89 257,62 275,35 293,07 310,8026,57 222,31 240,98 259,64 278,31 296,97 315,6428,77 222,75 242,41 262,08 281,74 301,40 321,0731,02 223,52 244,25 264,97 285,70 306,43 327,1533,31 224,67 246,53 268,40 290,26 312,12 333,9935,67 226,25 249,33 272,41 295,49 318,57 341,6538,08 228,30 252,69 277,08 301,47 325,86 350,2540,55 230,89 256,69 282,48 308,28 334,08 359,8743,08 234,08 261,39 288,70 316,02 343,33 370,6445,68 237,93 266,88 295,83 324,79 353,74 382,6948,34 242,52 273,25 303,97 334,70 365,43 396,1651,08 247,93 280,59 313,24 345,90 378,56 411,2253,90 254,26 289,02 323,78 358,53 393,29 428,0456,80 261,63 298,67 335,72 372,76 409,81 446,8659,78 270,14 309,70 349,25 388,80 428,35 467,9062,86 279,96 322,26 364,56 406,86 449,17 491,4766,04 291,24 336,57 381,90 427,22 472,55 517,88
Anexo A
413
Figura A.92 Comparativa Modular p con endurecimiento y m variable.
Tabla A.83 Valores comparativa Modular p con endurecimiento y m variable.
p con endurecimiento (Al99.5)h1=30 mm.; m=1; Área =900 mm2 ; b1 variable
0
100
200
300
400
500
600
0 10 20 30 40 50 60
grado de deformación (%)
p co
n en
dure
cim
ient
o (N
/mm
2)
m=0 m=0,2m=0,4 m=0,6m=0,8 m=1
coeficiente de rozamientogrado deform. (%) m=0 m=0,2 m=0,4 m=0,6 m=0,8 m=1
0,001,68 218,54 228,07 237,60 247,14 256,67 266,203,39 225,51 235,89 246,26 256,64 267,01 277,385,13 228,90 240,01 251,11 262,22 273,32 284,436,90 230,75 242,56 254,36 266,17 277,98 289,788,70 231,79 244,30 256,81 269,31 281,82 294,32
10,54 232,40 245,62 258,84 272,06 285,27 298,4912,41 232,79 246,74 260,69 274,65 288,60 302,5614,31 233,10 247,82 262,54 277,26 291,98 306,7016,25 233,45 248,98 264,50 280,02 295,55 311,0718,23 233,93 250,30 266,68 283,05 299,42 315,7920,25 234,62 251,89 269,16 286,42 303,69 320,9622,31 235,58 253,81 272,03 290,25 308,47 326,6924,42 236,90 256,13 275,37 294,61 313,84 333,0826,57 238,63 258,95 279,27 299,60 319,92 340,2428,77 240,86 262,34 283,83 305,31 326,80 348,2831,02 243,66 266,39 289,13 311,86 334,59 357,3333,31 247,11 271,20 295,28 319,36 343,44 367,5235,67 251,33 276,87 302,41 327,95 353,48 379,0238,08 256,42 283,53 310,65 337,77 364,88 392,0040,55 262,50 291,34 320,17 349,00 377,83 406,6643,08 269,74 300,44 331,14 361,85 392,55 423,2545,68 278,31 311,06 343,80 376,55 409,29 442,0448,34 288,43 323,42 358,41 393,39 428,38 463,3751,08 300,35 337,81 375,27 412,73 450,19 487,6553,90 314,41 354,60 394,78 434,97 475,16 515,3556,80 330,99 374,21 417,43 460,64 503,86 547,0859,78 350,61 397,20 443,80 490,39 536,98 583,5762,86 373,91 424,28 474,66 525,03 575,40 625,7766,04 401,73 456,36 510,99 565,61 620,24 674,86
Francisco de Sales Martín Fernández
414
Figura A.93 Comparativa Modular p con endurecimiento y m variable.
Tabla A.84 Valores comparativa Modular p con endurecimiento y m variable.
coeficiente de rozamientogrado deform. (%) m=0 m=0,2 m=0,4 m=0,6 m=0,8 m=1
0,001,68 224,12 234,37 244,61 254,86 265,11 275,353,39 231,86 243,03 254,20 265,38 276,55 287,725,13 236,00 247,99 259,97 271,96 283,94 295,926,90 238,66 251,43 264,19 276,96 289,73 302,498,70 240,58 254,13 267,68 281,24 294,79 308,34
10,54 242,15 256,51 270,87 285,23 299,59 313,9412,41 243,61 258,81 274,00 289,20 304,39 319,5914,31 245,13 261,21 277,28 293,35 309,42 325,5016,25 246,84 263,84 280,84 297,84 314,84 331,8318,23 248,86 266,84 284,82 302,81 320,79 338,7720,25 251,31 270,33 289,36 308,39 327,41 346,4422,31 254,28 274,42 294,57 314,72 334,86 355,0124,42 257,90 279,25 300,60 321,95 343,29 364,6426,57 262,31 284,95 307,59 330,24 352,88 375,5228,77 267,64 291,68 315,73 339,77 363,81 387,8631,02 274,08 299,64 325,20 350,76 376,32 401,8933,31 281,82 309,03 336,25 363,46 390,68 417,8935,67 291,12 320,14 349,16 378,18 407,20 436,2338,08 302,29 333,29 364,29 395,29 426,29 457,2940,55 315,72 348,90 382,08 415,26 448,44 481,6243,08 331,90 367,49 403,07 438,66 474,25 509,8445,68 351,48 389,75 428,01 466,27 504,54 542,8048,34 375,35 416,60 457,84 499,09 540,34 581,5851,08 404,68 449,28 493,87 538,46 583,06 627,6553,90 441,16 489,53 537,90 586,26 634,63 683,0056,80 487,21 539,86 592,52 645,17 697,83 750,4859,78 546,51 604,07 661,62 719,18 776,74 834,2962,86 624,90 688,11 751,32 814,53 877,74 940,9466,04 732,24 802,03 871,81 941,60 1011,38 1081,17
p con endurecimiento (Al99.5)h1=30 mm.; m=1; Área =900 mm2 ; b1 variable; aplpha=10º
0
100
200
300
400
500
600
0 10 20 30 40 50 60
grado de deformación (%)
p co
n en
dure
cim
ient
o (N
/mm
2)
m=0 m=0,2m=0,4 m=0,6m=0,8 m=1
Anexo A
415
Figura A.94 Comparativa Modular p con endurecimiento y m variable.
Tabla A.85 Valores comparativa Modular p con endurecimiento y m variable.
p con endurecimiento (Al99.5)h1=30 mm.; m=0; Área variable (mm2); b1= variable alpha variable
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50grado de deformación (%)
p co
n en
dure
cim
ient
o (N
/mm
2)
0º 2º 4º
6º 8º 10º
ángulo alphagrado deform. (%) 0º 2º 4º 6º 8º 10º
1,68 174 180 188 197 210 2263,39 183 190 198 209 224 2435,13 189 197 206 219 235 2576,90 194 202 213 227 246 2718,70 198 208 220 236 257 286
10,54 202 213 226 244 268 30112,40 206 218 233 253 280 31814,31 210 224 240 262 293 33716,25 215 229 248 273 307 35918,23 219 235 256 284 324 38320,25 224 242 265 297 342 41222,31 230 249 275 310 362 44624,42 235 257 286 326 386 48626,57 242 265 297 343 414 53428,77 248 275 311 363 445 59331,02 256 285 326 386 483 66833,31 264 296 342 411 528 76435,67 273 309 361 441 582 89138,08 282 323 382 476 648 106940,55 293 338 406 516 732 133243,08 305 355 433 564 839 175845,68 318 375 464 622 981 256948,34 332 396 500 693 1178 469051,08 347 421 542 781 1469 24383
Francisco de Sales Martín Fernández
416
A1.15 Enfoque Modular. Comparativa pconendurecimiento-Área-grado de
deformación para diferentes tipos de módulos.
Figura A.95 Comparativa Modular Rozamiento-Módulos.
Tabla A.86 Valores comparativa Modular Rozamiento-Módulos.
Área variable; Grado def. 25%; h1=30mm.; Tª=0º
0
100
200
300
400
500
600
500 600 700 800 900 1000 1100 1200Área
p co
n en
dure
cim
ient
o a
Tª
cons
tant
e
adh. Módulo1Desliz. Módulo1Adh. Módulo2Desliz. Módulo2
Área1 adh. Mód.1 25% Desliz. Mód.1 25% Adh. Mód.2 25% Desliz. Mód.2 25%
525 284,16 67,42 465,83 283,70550 276,84 69,97 446,98 278,56575 270,44 72,59 429,95 274,52600 264,86 75,26 414,53 271,47625 259,99 78,00 400,52 269,31650 255,76 80,78 387,76 267,99675 252,10 83,62 376,12 267,44700 248,95 86,51 365,49 267,62725 246,27 89,44 355,76 268,49750 244,00 92,42 346,84 270,01775 242,12 95,44 338,67 272,17800 240,59 98,51 331,17 274,95825 239,38 101,62 324,29 278,32850 238,47 104,77 317,99 282,29875 237,83 107,97 312,20 286,84900 237,44 111,20 306,90 291,97925 237,29 114,48 302,05 297,69950 237,36 117,79 297,62 304,00975 237,64 121,15 293,58 310,91
1000 238,11 124,55 289,90 318,431025 238,77 127,98 286,56 326,571050 239,60 131,46 283,55 335,351075 240,59 134,98 280,84 344,801100 241,73 138,53 278,41 354,931125 243,03 142,13 276,26 365,781150 244,46 145,77 274,36 377,371175 246,03 149,45 272,72 389,741200 247,73 153,17 271,30 402,931225 249,55 156,94 270,11 416,97
Anexo A
417
Figura A.96 Comparativa Modular Rozamiento-Módulos.
Tabla A.87 Valores comparativa Modular Rozamiento-Módulos.
Área variable; Grado def. 40%; h1=30mm.; Tª=0º
0
100
200
300
400
500
600
500 600 700 800 900 1000 1100 1200Área
p co
n en
dure
cim
ient
o a
Tª
cons
tant
e
adh. Módulo1Desliz. Módulo1Adh. Módulo2Desliz. Módulo2
Área1 Adh. Mód.1 40% Desliz. Mód.1 40%Adh. Mód.2 40% Desliz. Mód.2 40%
525 303,40 108,60 442,94 327,72550 299,34 113,42 427,58 329,73575 296,15 118,34 413,93 333,16600 293,74 123,37 401,78 337,96625 292,03 128,50 390,97 344,09650 290,94 133,72 381,35 351,53675 290,41 139,04 372,80 360,28700 290,39 144,45 365,22 370,33725 290,84 149,96 358,52 381,71750 291,72 155,55 352,63 394,46775 292,99 161,24 347,48 408,61800 294,63 167,02 343,01 424,24825 296,62 172,89 339,18 441,41850 298,92 178,86 335,93 460,20875 301,53 184,92 333,23 480,73900 304,42 191,07 331,06 503,10925 307,59 197,32 329,37 527,45950 311,01 203,66 328,15 553,94975 314,68 210,10 327,37 582,76
1000 318,58 216,63 327,01 614,091025 322,71 223,27 327,05 648,191050 327,06 230,01 327,49 685,331075 331,63 236,85 328,30 725,811100 336,40 243,79 329,47 770,021125 341,38 250,84 331,01 818,371150 346,55 258,00 332,89 871,351175 351,92 265,27 335,12 929,551200 357,48 272,65 337,68 993,651225 363,23 280,14 340,57 1064,48
Francisco de Sales Martín Fernández
418
Figura A.97 Comparativa Modular Rozamiento-Módulos-Grado deformación.
Tabla A.88 Valores comparativa Modular Rozamiento-Módulos-Grado deformación.
Comparativa 25-40% deformación
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
500 600 700 800 900 1000 1100 1200p
Áre
aadh. Mód.1 25%Desliz. Mód.1 25%Adh. Mód.2 25%Desliz. Mód.2 25%adh. Mód.1 40%Desliz. Mód.1 40%Adh. Mód.2 40%Desliz. Mód.2 40%
Área1 adh. Mód.1 25% Desliz. Mód.1 25% Adh. Mód.2 25% Desliz. Mód.2 25%Adh. Mód.1 40%Desliz. Mód.1 40%Adh. Mód.2 40% Desliz. Mód.2 40%
525 284,16 67,42 465,83 283,70 303,40 108,60 442,94 327,72550 276,84 69,97 446,98 278,56 299,34 113,42 427,58 329,73575 270,44 72,59 429,95 274,52 296,15 118,34 413,93 333,16600 264,86 75,26 414,53 271,47 293,74 123,37 401,78 337,96625 259,99 78,00 400,52 269,31 292,03 128,50 390,97 344,09650 255,76 80,78 387,76 267,99 290,94 133,72 381,35 351,53675 252,10 83,62 376,12 267,44 290,41 139,04 372,80 360,28700 248,95 86,51 365,49 267,62 290,39 144,45 365,22 370,33725 246,27 89,44 355,76 268,49 290,84 149,96 358,52 381,71750 244,00 92,42 346,84 270,01 291,72 155,55 352,63 394,46775 242,12 95,44 338,67 272,17 292,99 161,24 347,48 408,61800 240,59 98,51 331,17 274,95 294,63 167,02 343,01 424,24825 239,38 101,62 324,29 278,32 296,62 172,89 339,18 441,41850 238,47 104,77 317,99 282,29 298,92 178,86 335,93 460,20875 237,83 107,97 312,20 286,84 301,53 184,92 333,23 480,73900 237,44 111,20 306,90 291,97 304,42 191,07 331,06 503,10925 237,29 114,48 302,05 297,69 307,59 197,32 329,37 527,45950 237,36 117,79 297,62 304,00 311,01 203,66 328,15 553,94975 237,64 121,15 293,58 310,91 314,68 210,10 327,37 582,76
1000 238,11 124,55 289,90 318,43 318,58 216,63 327,01 614,091025 238,77 127,98 286,56 326,57 322,71 223,27 327,05 648,191050 239,60 131,46 283,55 335,35 327,06 230,01 327,49 685,331075 240,59 134,98 280,84 344,80 331,63 236,85 328,30 725,811100 241,73 138,53 278,41 354,93 336,40 243,79 329,47 770,021125 243,03 142,13 276,26 365,78 341,38 250,84 331,01 818,371150 244,46 145,77 274,36 377,37 346,55 258,00 332,89 871,351175 246,03 149,45 272,72 389,74 351,92 265,27 335,12 929,551200 247,73 153,17 271,30 402,93 357,48 272,65 337,68 993,651225 249,55 156,94 270,11 416,97 363,23 280,14 340,57 1064,48
ÍNDICE DE FIGURAS Y TABLAS
ÍNDICE DE FIGURAS Y TABLAS
Pág.
CAPÍTULO 2
Figura. 2.1 Detalle de forja por estampación 21
Figura. 2.2 Pieza a deformar 36
Figura 2.3 Distribución de tensiones 37
Figura 2.4 Campo de líneas de deslizamiento 41
Figura 2.5 Campo de líneas de deslizamiento con curvatura 42
Figura 2.6. Hodógrafo de las superficies de discontinuidad 53
Figura 2.7 División en zonas de pieza prismática. 53
CAPÍTULO 3
Figura 3.1 Disposición de pieza entre placas planas paralelas 59
Figura 3.2 Condiciones de contorno de un cuarto de pieza. 60
Figura 3.3 Sección de la pieza sometida a análisis. 64
Figura 3.4 Campo de discontinuidad de velocidades. 65
Figura 3.5 Fases de creación del hodógrafo. 66
Figura 3.6 Superficies sometidas a rozamiento. 68
Figura 3.7 Diagrama de flujo con enfoque No Modular. 70
Figura 3.8 Diagrama de flujo con enfoque Modular. 73
CAPÍTULO 4
Figura 4.1 Configuración geométrica contraria para 3 BRT en PPP. 78
Figura 4.2 Hodógrafo para 3 BRT en configuración PPP con
disposición contraria.
78
Francisco de Sales Martín Fernández
422
Figura 4.3 Evolución p/2k para 3 BRT en configuración PPP con
disposición inicial.
80
Tabla 4.1 Resultados de p/2k; 3 BRT en configuración PPP con
disposición inicial
81
Figura 4.4 Esquema de evolución del proceso de forja con 3 BRT
inicial y PPP.
82
Figura 4.5 Evolución de valores de p/2k para 3 BRT inicial y PPP. 82
Figura 4.6 Configuración geométrica contraria para 4 BRT en PPP. 83
Figura 4.7 Hodógrafo para 4 BRT en configuración PPP con
disposición inicial.
83
Figura 4.8 Configuración geométrica contraria para 5 BRT en PPP. 85
Figura 4.9 Hodógrafo para 5 BRT en configuración PPP con
disposición inicial.
86
Figura 4.10 Configuración geométrica inicial para 3 BRT en PPI. 89
Figura 4.11 Hodógrafo para 3 BRT en configuración PPI con
disposición inicial.
89
Figura 4.12 Evolución p/2k para 3 BRT, configuración PPP y
disposición inicial.
94
Figura 4.13 Disposición inicial de BRT en PPP 95
Figura 4.14 Encaje irregular de BRT en PPP-PPI. 96
Figura 4.15 Disposición definitiva de BRT en PPP. 96
Figura 4.16 Disposición definitiva de BRT en PPP. 97
Figura 4.17 Encaje de BRT en PPP-PPI. 97
Figura 4.18 Configuración geométrica de 3 BRT sobre PPP. 98
Figura 4.19 Simetría horizontal, ausencia de movimiento relativo. 98
Figura 4.20 Hodógrafo para 3 BRT en configuración PPP 98
Figura 4.21 Evolución de p/2k vs factor de forma en PPP con 3 BRT. 102
Tabla 4.2 Resultados de p/2k para 3 BRT en configuración PPP. 103
Figura 4.23 Evolución de proceso de forja con disposición de 3 BRT y
PPP.
103
Figura 4.24 Valores de evolución de proceso de forja con disposición
3 BRT y PPP.
104
Índice de tablas y figuras
423
Figura 4.25 Valores de evolución modificado de proceso de forja para
3 BRT y PPP.
104
Figura 4.26 Configuración geométrica para 4 BRT en PPP 105
Figura 4.27 Hodógrafo para 4 BRT en configuración PPP. 105
Figura 4.28 Configuración geométrica para 5 BRT en PPP. 109
Figura 4.29 Hodógrafo para 5 BRT en configuración PPP. 109
Figura 4.30 Comparativa evolución p/2k para 3 BRT con PPP. 114
Figura 4.31 Evolución con m variable para 3-4-5 BRT no Modular y
PPP.
115
Figura 4.32 Evolución con m=0, 0.2, 0.5 y 1 para 3-4-5 BRT no
Modular y PPP.
115
Figura 4.33 Configuración geométrica de 3 BRT en PPI. 116
Figura 4.34 Hodógrafo para 3 BRT en configuración PPI. 116
Figura 4.35 Evolución de p/2k para 3 BRT en configuración PPI con m
variable.
119
Figura 4.36 Evolución de p/2k para 3 BRT en PPI con α variable y
m=0.
120
Figura 4.37 Evolución de p/2k para 3 BRT en configuración PPI con m
variable.
120
Figura 4.38 Configuración de 5 BRT para perfil PPP-PPI. 121
Figura 4.39 Hodógrafo para configuración de 5 BRT con perfil PPP-
PPI.
122
Figura 4.40 Evolución p/2k con 5 BRT y perfil PPP-PPI. 124
Figura 4.41 Configuración geométrica de 3 BRT en PPP. 125
Figura 4.42 Hodógrafo para 3 BRT en configuración PPP. 125
Figura 4.43 Evolución de opciones de cálculo de p/2k para 3 BRT. 128
Figura 4.44 Evolución de opciones de cálculo de p/2k para 3 BRT. 128
Figura 4.45 Evolución de p/2k, 3 BRT.con μ variable. sin iteración 129
Figura 4.46 Evolución de p/2k, 3 BRT con μ variable y una iteración 130
Figura 4.47 Configuración geométrica de 3 BRT en PPI. 130
Figura 4.48 Hodógrafo para 3 BRT en configuración PPI 131
Figura 4.49 Comparativa para 3 BRT en PPI m-μ. 133
Francisco de Sales Martín Fernández
424
CAPÍTULO 5
Figura 5.1 Optimización mediante modulación 138
Figura 5.2 Optimización mediante modulación 138
Tabla 5.1 Valores optimización mediante modulación 139
Figura 5.3 Configuración geométrica de 3 BRT en PPP. 140
Figura 5.4 Hodógrafo para 3 BRT en configuración PPP. 141
Figura 5.5 p/2k para 3 BRT en configuración modular PPP. 144
Figura 5.6 Configuración geométrica de 3 BRT en PPP. 145
Fig. 5.7 Hodógrafo para 3 BRT en configuración PPP. 145
Figura 5.8 p/2k para m=0 y α=0 para 3 BRT en PPP Modular. 149
Figura 5.9 Configuración geométrica de 3 BRT en PPI 150
Figura 5.10 Hodógrafo para 3 BRT en configuración PPI 150
Figura 5.11 p/2k para 3 BRT en configuración modular PPI 154
Figura 5.12 Configuración geométrica de 3 BRT en PPI. 155
Figura 5.13 Hodógrafo para 3 BRT en configuración PPI. 155
Figura 5.14 p/2k para m=0 y α=0 para 3 BRT en PPI Modular con
α1=α2=0º.
159
Figura 5.15 p/2k para m=0 y 3 BRT en PPI Modular con α1=15º y
α2=0º
160
Figura 5.16 Composición de gráficas;Modular;3 BRT;m=0;PPP-
PPI(α1=15º y α2=0º)
160
Figura 5.17 Módulos independientes para PPP y PPI. 162
Figura 5.18 Combinación de módulos en un perfil PPP-PPI 162
Figura 5.19 Resultados de p/2k para 2 módulos. 163
Tabla 5.1 Resultados de p/2k para 2 módulos. 163
Figura 5.20 Comparativa de 3 BRT Modular 165
Figura 5.21 Configuración geométrica de 3 BRT en PPP. 166
Figura 5.22 Hodógrafo para 3 BRT en configuración PPP. 167
Figura 5.23 Evolución de p/2k;3 BRT PPP Coulomb sin mód. previo y
μ=0
170
Figura 5.24 Configuración geométrica de 3 BRT en PPP. 171
Figura 5.25 Hodógrafo para 3 BRT en configuración PPP. 171
Índice de tablas y figuras
425
Figura 5.26 Evolución de p/2k con μ=0,05 y α=15º. 174
Figura 5.27 Configuración geométrica de 3 BRT en PPI. 175
Figura 5.28 Hodógrafo para 3 BRT en configuración PPI. 175
Figura 5.29 Evolución p/2k para μ=0,05 y α=15º. 178
Figura 5.30 Configuración geométrica de 3 BRT en PPI. 179
Figura 5.31 Hodógrafo para 3 BRT en configuración PPI. 179
Figura 5.32 Evolución de p/2k de h1=2 a h1=0,4 182
Figura 5.33 Módulos independientes para PPP y PPI. 183
Figura 5.34 Combinación de módulos en un perfil PPP-PPI. 184
Figura 5.35 p/2k frente a b/h para 2 módulos en un perfil PPP-PPI 184
Tabla 5.2 Resultados de p/2k para 2 módulos en un perfil PPP-PPI. 185
Figura 5.36 Comparativa adherencia-deslizamiento. 186
Tabla 5.3 Valores de C y n para diferentes metales o aleaciones. 187
Figura 5.37 3 BRT adh.+endurecimiento. Al995. Curva de proceso.
h1=2 a 0,4; m=0.
188
Figura 5.38 3 BRT desliz.+endurecimiento. Curva de proceso. h1=2 a
0,4; μ=0,05
189
Figura 5.39 3 BRT adherencia + endurecimiento. Al995. h1=2 a 0,4;
m=0,05.
190
Figura 5.40 3 BRT deslizamiento + endurecimiento. Al995. h1=2 a 0,4;
μ=0,05.
190
Figura 5.41 Adh.+ endurec. Al995. p con endurecimiento-grado
deformación.
191
Tabla 5.4 Valores Adh.+ endurec. Al995. p con endurecimiento-grado
deformación.
191
Figura 5.42 Adh.+ endurec. Al995. p/2k frente a b/h. 192
Tabla 5.5 Valores de Y para diferentes materiales. 194
Figura 5.43 3 BRT Endurecimiento + Temperatura. Coef. Roz.=0,1 196
Fig. 5.44 Configuración geométrica de 3 BRT en PPI. 197
Fig. 5.45 Hodógrafo para 3 BRT en configuración PPI. 198
Figura 5.46 Comparativa segundo módulo. 200
Figura 5.47 Comparativa primer módulo 201
Figura 5.48 Configuración geométrica de 3 BRT en PPI. 202
Francisco de Sales Martín Fernández
426
Figura 5.49 Hodógrafo para 3 BRT en configuración PPI. 202
Figura 5.50 Comparativa segundo módulo. 204
Figura 5.51 Comparativa primer módulo. 205
CAPÍTULO 6
Figura 6.1 Configuración de 2 módulos y variación de la altura final del
2º módulo
210
Figura 6.2 Comparativa de p/2k para primer y segundo módulo con
m=0
210
Figura 6.3 Comparativa de p/2k para primer y segundo módulo con
m=1
211
Tabla 6.1 Resultados Comparativa de p/2k para primer y segundo
módulo.
211
Figura 6.4 Configuración dos módulos y variación de longitud final del
2º módulo
212
Figura 6.5 Comparativa de p/2k para primer y segundo módulo con
m=0.
212
Figura 6.6 Comparativa de p/2k para primer y segundo módulo con
m=1.
213
Tabla 6.2 Resultados Comparativa de p/2k para primer y segundo
módulo.
213
Figura 6.7 Configuración dos módulos y variación altura final del
segundo módulo
214
Figura 6.8 Comparativa de p/2k para primer y segundo módulo con
m=0.
214
Figura 6.9 Comparativa de p/2k para primer y segundo módulo con
m=1
214
Tabla 6.3 Resultados Comparativa de p/2k para primer y segundo
módulo.
215
Figura 6.10 Configuración dos módulos y variación longitud inicial del
primer módulo
215
Índice de tablas y figuras
427
Figura 6.11 Comparativa de p/2k para primer y segundo módulo con
m=0.
216
Figura 6.12 Comparativa de p/2k para primer y segundo módulo con
m=1.
216
Tabla 6.4 Resultados Comparativa de p/2k para primer y segundo
módulo.
216
Figura 6.13 Configuración dos módulos y variación longitud del
segundo módulo
217
Figura 6.14 Comparativa de p/2k para primer y segundo módulo con
m=0.
217
Figura 6.15 Comparativa de p/2k para primer y segundo módulo con
m=1
218
Tabla 6.5 Resultados Comparativa de p/2k para primer y segundo
módulo.
218
Figura 6.16 Configuración dos módulos y variación longitud del 2º
módulo con h3>h2
219
Figura 6.17 Comparativa de p/2k para 1º, 2º módulo y combinación de
ambos
220
Figura 6.18 Comparativa de p/2k para 1º y 2º módulo con m=1. 220
Tabla 6.6 Resultados Comparativa de p/2k para primer y segundo
módulo.
220
Figura 6.19 Configuración dos módulos y variación longitud del
segundo módulo
221
Figura 6.20 Comparativa de p/2k para primer y segundo módulo con
m=0.
221
Figura 6.21 Comparativa de p/2k para primer y segundo módulo con
m=1.
222
Tabla 6.7 Resultados Comparativa de p/2k para primer y segundo
módulo.
222
Figura 6.23 Configuración dos módulos y desplazamiento de la matriz
de estampación. (variación en altura)
223
Figura 6.24 Comparativa de p/2k para primer y segundo módulo con
m=0.
223
Francisco de Sales Martín Fernández
428
Figura 6.25 Comparativa de p/2k para primer y segundo módulo con
m=1
223
Tabla 6.8 Resultados Comparativa de p/2k para primer y segundo
módulo.
224
Figura 6.26 Diferentes tipos de familias 236
Figura 6.27 Elementos de primer orden 237
Figura 6.28 Elementos de segundo orden 237
Figura 6.29 Tipos de integración en función del tipo de elemento 239
Tabla 6.9 Características del material en estudio 239
Figura 6.30 Mallado mediante MEF 240
Figura 6.31 Distribuciones de tensiones y deformaciones mediante
MEF
240
Tabla 6.10 Valores de p/2k tras aplicación del MEF 241
Figura 6.32 Evolución de p/2k MEF versus BRT para factor de forma
b/h=0,5
245
Tabla 6.11 Resultados de p/2k MEF–BRT para b/h=0,5 245
Figura 6.33 Evolución de p/2k MEF versus BRT para factor de forma
b/h=1
246
Tabla 6.12 Resultados de p/2k MEF–BRT para b/h=1 246
Figura 6.34 Evolución de p/2k MEF versus BRT para factor de forma
b/h=2
247
Tabla 6.13 Resultados de p/2k MEF–BRT para b/h=2 247
Figura 6.35 Evolución de p/2k MEF versus BRT para factor de forma
b/h=4
248
Tabla 6.14 Resultados de p/2k MEF–BRT para b/h=4 248
Figura 6.36 Evolución de p/2k MEF versus BRT para factor de forma
b/h=6
249
Tabla 6.15 Resultados de p/2k MEF–BRT para b/h=6 249
Figura 6.37 Evolución de p/2k MEF versus BRT para factor de forma
b/h=0,5
252
Tabla 6.16 Resultados de p/2k MEF–BRT para b/h=0,5 252
Figura 6.38 Evolución de p/2k MEF versus BRT para factor de forma
b/h=1
253
Índice de tablas y figuras
429
Tabla 6.17 Resultados de p/2k MEF–BRT para b/h=1 253
Figura 6.39 Evolución de p/2k MEF versus BRT para factor de forma
b/h=2
254
Tabla 6.18 Resultados de p/2k MEF–BRT para b/h=2 254
Figura 6.40 Evolución de p/2k MEF versus BRT para factor de forma
b/h=4
255
Tabla 6.19 Resultados de p/2k MEF–BRT para b/h=4 255
Figura 6.41 Evolución de p/2k MEF versus BRT para factor de forma
b/h=6
256
Tabla 6.20 Resultados de p/2k MEF–BRT para b/h=6 256
Figura 6.42 Grado de variación de modelos de BRT frente a MEF para
b/h=0,5.
257
Figura 6.43 Grado de variación de modelos de BRT frente a MEF
(b/h=0,5 y r=50%).
257
Figura 6.44 Grado de variación de modelos de BRT frente a MEF
(b/h=0,5 y r=50%).
258
Figura 6.45 Grado de variación de modelos de BRT frente a MEF para
b/h=1.
258
Figura 6.46 Comparativa de 3 BRT no modular-von Karmann. 261
Figura 6.47 Pieza a deformar según Johnson 261
Figura 6.48 Hodógrafo según Johnson 262
Figura 6.49 Evolución de p/2k según Johnson 262
Figura 6.50 Evolución de p/2k según Johnson 263
Tabla 6.21 Valores de la evolución p/2k en Johnson y en modelo de
BRT
263
CAPÍTULO 7
Figura 7.1 deformación de módulo de PPP. 270
Figura 7.2 Configuración de 2 módulos y variación de la altura final del
2º módulo.
271
Figura 7.3 Configuración de módulos PPP y PPI. 273
Francisco de Sales Martín Fernández
430
Figura 7.4 Evolución de p/2k de primer, segundo módulo y perfil
combinado.
273
Figura 7.5 Configuración de 3 módulos PPP-PPI-PPP. 275
Figura 7.6 Evolución de p/2k para 3 módulos PPP-PPI-PPP 275
Tabla 7.1 Resultados de p/2k para 3 módulos PPP-PPI-PPP 276
Figura 7.7 Configuración de 3 módulos PPI-PPP-PPI. 277
Figura 7.8 Evolución de p/2k para 3 módulos PPI-PPP-PPI. 277
Tabla 7.2 Resultados de p/2k para 3 módulos PPI-PPP-PPI. 278
Figura 7.9 Configuración de 3 módulos PPI-PPI-PPI con inclinación
negativa.
279
Figura 7.10 Evolución de p/2k para 3 módulos PPI-PPI-PPI. 279
Tabla 7.3 Resultados de p/2k para 3 módulos PPI-PPI-PPI. 280
Figura 7.11 Configuración de 3 módulos PPI-PPI-PPI. 281
Figura 7.12 Evolución de p/2k para 3 módulos PPI-PPI-PPI. 281
Tabla 7.4 Resultados de p/2k para 3 módulos PPI-PPI-PPI. 282
Figura 7.13 Configuración de 3 módulos PPI-PPI-PPI con inclinación
negativa.
283
Figura 7.14 Evolución de p/2k para 3 módulos PPI-PPI-PPI con
inclinación negativa.
283
Tabla 7.5 Resultados de p/2k para 3 módulos PPI-PPI-PPI con
inclinación negativa
284
Figura 7.15 Velocidad del material entre módulos 285
Figura 7.16 Sección de la pieza de trabajo, División modular 286
Figura 7.17 Dimensionamiento cuarto de pieza 286
Figura 7.18 Descenso de la matriz superior. 287
Figura 7.19 División en 6 Módulos. 287
Figura 7.20 División en 7 Módulos. 288
Figura 7.21 Modificación del factor de forma debida a la deformación. 288
Figura 7.22 p/2k versus bTotal/h para 6 Módulos. 289
Tabla 7.6 Valores p/2k versus bTotal/h para 6 Módulos. 289
Figura 7.23 p/2k versus bTotal/h para 7 Módulos. 290
Tabla 7.7 Valores p/2k versus bTotal/h para 7 Módulos. 290
Figura 7.24 p/2k versus bTotal/h para 7 Módulos. 291
Índice de tablas y figuras
431
ANEXO A
Figura A.1 Evolución de p/2k con m=0 para 3 BRT contrario 319
Tabla A.1 Valores de la evolución de p/2k con m=0 para 3 BRT
contrario
319
Figura A.2 Evolución de p/2k con m=1 para 3 BRT contrario 320
Tabla A.2 Valores de la evolución de p/2k con m=1 para 3 BRT
contrario
320
Figura A.3 Evolución de p/2k con m=0 para 4 BRT contrario 321
Tabla A.3 Valores de la evolución de p/2k con m=0 para 4 BRT
contrario
321
Figura A.4 Evolución de p/2k con m=1 para 4 BRT contrario 322
Tabla A.4 Valores de la evolución de p/2k con m=1 para 4 BRT
contrario
322
Figura A.5 Evolución de p/2k con m=0 para 5 BRT contrario 323
Tabla A.5 Valores de la evolución de p/2k con m=0 para 5 BRT
contrario
323
Figura A.6 Evolución de p/2k con m=1 para 5 BRT contrario 324
Tabla A.6 Valores de la evolución de p/2k con m=1 para 5 BRT
contrario
324
Figura A.7 No Modular Combinación PPP-PPI con 5 BRT y h1=1;
m=0; α variable.
325
Figura A.8 Combinación PPP-PPI con 5 BRT y h1=1; m variable; α=0 326
Figura A.9 Comp. No modular entre disposiciones de BRT; m variable;
h1=1;3BRT.
327
Figura A.10 Comp.No modular entre disposiciones de BRT; m
variable; h1=1; 4 BRT.
328
Figura A.11 Comp.No modular entre disposiciones de BRT; m
variable; h1=1; 5 BRT.
329
Figura A.12 No Modular nueva configuración; m variable; 3 BRT. 330
Tabla A.7 Valores No Modular nueva configuración; m variable; 3 BRT 330
Figura A.13 No Modular nueva configuración; m variable; 4 BRT 331
Francisco de Sales Martín Fernández
432
Tabla A.8 Valores No Modular nueva configuración; m variable; 4 BRT 331
Figura A.14 No Modular nueva configuración; m variable; 5 BRT 332
Tabla A.9 Valores No Modular nueva configuración; m variable; 5 BRT 332
Figura A.15 No Modular comparativa; m variable.h1=1 333
Figura A.16 No Modular comparativa; m variable.h1=1 334
Figura A.17 No Modular comparativa; m variable.h1=1. 335
Figura A.18 No Modular comparativa adherencia-deslizamiento; m-μ
variable;.h1=1.
336
Figura A.19 Optimización de Módulos. 337
Tabla A.10 Valores optimización de módulos. 337
.Figura A.20 Optimización de Módulos 338
Tabla A.11 Valores optimización de módulos 338
Figura A.21 Optimización de Módulos 339
Tabla A.12 Valores optimización de módulos. 339
Figura A.22 Optimización de Módulos. 340
Tabla A.13. Valores optimización de módulos. 340
Figura A.23 Optimización de Módulos. 341
Tabla A.14. Valores optimización de módulos 341
Figura A.24 Optimización de Módulos 342
Tabla A.15. Valores optimización de módulos. 342
Figura A.25 Optimización de Módulos 343
Tabla A.16. Valores optimización de módulos 343
Figura A.26 Optimización de Módulos. 344
Tabla A.17. Valores optimización de módulos. 344
Figura A.27 Optimización de Módulos 345
Tabla A.18. Valores optimización de módulos 345
Figura A.28 Optimización de Módulos 346
Tabla A.19. Valores optimización de módulos 346
Figura A.29 Optimización de Módulos 347
Tabla A.20 Valores optimización de módulos 347
Figura A.30 Optimización de Módulos 348
Tabla A.21 Valores optimización de módulos. 348
Figura A.31 Comparativa Modular-No modular PPP 349
Índice de tablas y figuras
433
Tabla A.22 Valores comparativa Modular-No Modular PPP 349
Figura A.32 Comparativa Modular-No modular PPP. 350
Tabla A.23 Valores comparativa Modular-No Modular PPP 350
Figura A.33 Comparativa Modular-No modular PPP. 351
Tabla A.24 Valores comparativa Modular-No Modular PPP. 351
Figura A.34 Comparativa Modular-No modular PPP. 352
Tabla A.25 Valores comparativa Modular-No Modular PPP 352
Figura A.35 Comparativa Modular-No modular PPI 353
Tabla A.26 Valores comparativa Modular-No Modular PPI 353
Figura A.36 Comparativa Modular-No modular PPI. 354
Tabla A.27 Valores comparativa Modular-No Modular PPI 354
Figura A.37 Comparativa Modular-No modular PPI. 355
Tabla A.28 Valores comparativa Modular-No Modular PPI 355
Figura A.38 Comparativa Modular-No modular PPI 356
Tabla A.29 Valores comparativa Modular-No Modular PPI 356
Figura A.39 Comparativa Modular-No modular PPI 357
Tabla A.30 Valores comparativa Modular-No Modular PPI 357
Figura A.40 Comparativa Modular-No modular PPI 358
Tabla A.31 Valores comparativa Modular-No Modular PPI 358
Figura A.41 Comparativa Modular-No modular PPI 359
Tabla A.32 Valores comparativa Modular-No Modular PPI. 359
Figura A.42 Comparativa Modular-No modular PPI 360
Tabla A.33 Valores comparativa Modular-No Modular PPI 360
Figura A.43 Comparativa Modular-No modular PPI. 361
Tabla A.34 Valores comparativa Modular-No Modular PPI 361
Figura A.44 Comparativa Modular-No modular Perfil combinado 362
Tabla A.35 Valores comparativa Modular-No Modular Perfil combinado 362
Figura A.45 Comparativa Modular-No modular Perfil combinado. 363
Tabla A.36 Valores comparativa Modular-No Modular Perfil combinado 363
Figura A.46 Comparativa Modular-No modular Perfil combinado. 364
Tabla A.37 Valores comparativa Modular-No Modular Perfil combinado 364
Figura A.47 Comparativa Modular-No modular Perfil combinado 365
Tabla A.38 Valores comparativa Modular-No Modular Perfil combinado 365
Francisco de Sales Martín Fernández
434
.Figura A.48 Comparativa Modular-No modular Perfil combinado 366
Tabla A.39 Valores comparativa Modular-No Modular Perfil combinado 366
Figura A.49 Comparativa Modular-No modular Perfil combinado 367
Tabla A.40 Valores comparativa Modular-No Modular Perfil combinado 367
Figura A.50 Comparativa Modular-No modular Perfil combinado. 368
Tabla A.41 Valores comparativa Modular-No Modular Perfil combinado 368
Figura A.51 Comparativa Modular-No modular Perfil combinado 369
Tabla A.42 Valores comparativa Modular-No Modular Perfil combinado 369
Figura A.52 Comparativa Modular-No modular Perfil combinado. 370
Tabla A.43 Valores comparativa Modular-No Modular Perfil combinado 370
Figura A.53 Comparativa Modular-No modular Perfil combinado. 371
Tabla A.44 Valores comparativa Modular-No Modular Perfil combinado 371
Figura A.54 Comparativa Modular-No modular Perfil combinado. 372
Tabla A.45 Valores comparativa Modular-No Modular Perfil combinado 372
Figura A.55 Comparativa Modular-No modular Perfil combinado. 373
Tabla A.46 Valores comparativa Modular-No Modular Perfil combinado 373
Figura A.56 Comparativa Modular (2 Módulos) Perfil combinado 374
Tabla A.47 Valores comparativa Modular (2 Módulos) Perfil combinado 374
Figura A.57 Comparativa Modular (2 Módulos) Perfil combinado 375
Tabla A.48 Valores comparativa Modular (2 Módulos) Perfil combinado 375
Figura A.58 Comparativa Modular (2 Módulos) Perfil combinado. 376
Tabla A.49 Valores comparativa Modular (2 Módulos) Perfil combinado 376
Figura A.59 Comparativa Modular (2 Módulos) Perfil combinado 377
Tabla A.50 Valores comparativa Modular (2 Módulos) Perfil combinado 377
Figura A.60 Comparativa Modular (2 Módulos) Perfil combinado 378
Tabla A.51 Valores comparativa Modular (2 Módulos) Perfil combinado 378
Figura A.61 Comparativa Modular (2 Módulos) Perfil combinado. 379
Tabla A.52 Valores comparativa Modular (2 Módulos) Perfil
combinado.
379
Figura A.62 Comparativa Modular (2 Módulos) Perfil combinado. 380
Tabla A.53 Valores comparativa Modular (2 Módulos) Perfil
combinado.
380
Figura A.63 Comparativa Modular (2 Módulos) Perfil combinado 381
Índice de tablas y figuras
435
Tabla A.54 Valores comparativa Modular (2 Módulos) Perfil combinado 381
Figura A.64 Comparativa Modular (2 Módulos) Perfil combinado 382
Tabla A.55 Valores comparativa Modular (2 Módulos) Perfil combinado 382
Figura A.65 Comparativa Modular (2 Módulos) Perfil combinado 383
Tabla A.56 Valores comparativa Modular (2 Módulos) Perfil
combinado.
383
Figura A.66 Comparativa Modular (2 Módulos) Perfil combinado 384
Tabla A.57 Valores comparativa Modular (2 Módulos) Perfil combinado 384
Figura A.67 Comparativa Modular (2 Módulos) Perfil combinado. 385
Tabla A.58 Valores comparativa Modular (2 Módulos) Perfil combinado 385
Figura A.68 Comparativa Modular (2 Módulos) Perfil combinado 386
Tabla A.59 Valores comparativa Modular (2 Módulos) Perfil combinado 386
Figura A.69 Comparativa Modular (2 Módulos) Perfil combinado 387
Tabla A.60 Valores comparativa Modular (2 Módulos) Perfil combinado 387
Figura A.70 Comparativa Modular (2 Módulos) Perfil combinado 388
Tabla A.61 Valores comparativa Modular (2 Módulos) Perfil combinado 388
Figura A.71 Comparativa Modular (2 Módulos) Perfil combinado. 389
Tabla A.62 Valores comparativa Modular (2 Módulos) Perfil combinado 389
Figura A.72 Comparativa Modular (2 Módulos) Perfil combinado 390
Tabla A.63 Valores comparativa Modular (2 Módulos) Perfil combinado 390
Figura A.73 Comparativa Modular (2 Módulos) Perfil combinado 391
Tabla A.64 Valores comparativa Modular (2 Módulos) Perfil combinado 391
Figura A.74 Comparativa Modular (2 Módulos) Perfil combinado. 392
Tabla A.65 Valores comparativa Modular (2 Módulos) Perfil combinado 392
Figura A.75 Comparativa Modular (2 Módulos) Perfil combinado. 393
Tabla A.66 Valores comparativa Modular (2 Módulos) Perfil
combinado.
393
Figura A.76 Comparativa Modular (2 Módulos) Perfil combinado. 394
Tabla A.67 Valores comparativa Modular (2 Módulos) Perfil combinado 394
Figura A.77 Comparativa Modular (2 Módulos) Perfil combinado 395
Tabla A.68 Valores comparativa Modular (2 Módulos) Perfil
combinado.
395
Figura A.78 Comparativa Modular (2 Módulos) Perfil combinado 396
Francisco de Sales Martín Fernández
436
Tabla A.69 Valores comparativa Modular (2 Módulos) Perfil combinado 396
Figura A.79 Comparativa Modular (2 Módulos) Perfil combinado 397
Tabla A.70 Valores comparativa Modular (2 Módulos) Perfil combinado 397
Figura A.80 Comparativa Modular (2 Módulos) Perfil combinado 398
Tabla A.71 Valores comparativa Modular (2 Módulos) Perfil
combinado.
398
Figura A.81 Comparativa Modular (2 Módulos) Perfil combinado. 399
Tabla A.72 Valores comparativa Modular (2 Módulos) Perfil combinado 399
Figura A.82 Comparativa Modular (2 Módulos) Perfil combinado 400
Tabla A.73 Valores comparativa Modular (2 Módulos) Perfil combinado 400
Figura A.83 Comparativa Modular (2 Módulos) Perfil combinado 401
Tabla A.74 Valores comparativa Modular (2 Módulos) Perfil combinado 401
Figura A.84 Comparativa Modular (2 Módulos) Perfil combinado. 402
Tabla A.75 Valores comparativa Modular (2 Módulos) Perfil
combinado.
402
Figura A.85 Comparativa Modular combinación rozamiento
(2 Módulos).
403
Tabla A.76 Valores comparativa Modular combinación rozamiento
(2 Módulos).
403
Figura A.86 Comparativa Modular combinación rozamiento
(2 Módulos).
404
Tabla A.77 Valores comparativa Modular combinación rozamiento
(2 Módulos).
404
Figura A.87 Comparativa Modular combinación rozamiento
(2 Módulos).
405
Tabla A.78 Valores comparativa Modular combinación rozamiento
(2 Módulos)
405
Figura A.88 Comparativa Modular combinación rozamiento
(2 Módulos).
406
Tabla A.79 Valores comparativa Modular combinación rozamiento
(2 Módulos).
406
Figura A.89 Comparativa Modular combinación rozamiento
(2 Módulos)
407
Índice de tablas y figuras
437
Tabla A.80 Valores comparativa Modular combinación rozamiento
(2 Módulos).
407
Figura A.90 Comparativa Modular p con endurecimiento y m variable. 408
Tabla A.81 Valores comparativa Modular p con endurecimiento y m
variable
408
Figura A.91 Comparativa Modular p con endurecimiento y m variable 409
Tabla A.82 Valores comparativa Modular p con endurecimiento y m
variable
409
Figura A.92 Comparativa Modular p con endurecimiento y m variable 410
Tabla A.83 Valores comparativa Modular p con endurecimiento y m
variable
410
Figura A.93 Comparativa Modular p con endurecimiento y m variable 411
Tabla A.84 Valores comparativa Modular p con endurecimiento y m
variable.
411
Figura A.94 Comparativa Modular p con endurecimiento y m variable. 412
Tabla A.85 Valores comparativa Modular p con endurecimiento y m
variable
412
Figura A.95 Comparativa Modular Rozamiento-Módulos. 413
Tabla A.86 Valores comparativa Modular Rozamiento-Módulos. 413
Figura A.96 Comparativa Modular Rozamiento-Módulos 414
Tabla A.87 Valores comparativa Modular Rozamiento-Módulos 414
Figura A.97 Comparativa Modular Rozamiento-Módulos-Grado
deformación
415
Tabla A.88 Valores comparativa Modular Rozamiento-Módulos-Grado
deformación
415
Nota biográfica sobre el autor
Francisco de Sales Martín Fernández nació en Málaga el 16 de octubre de
1964. Cursa el Bachillerato en el Instituto Ntra. Sra. de la Victoria de Málaga y
realiza los estudios de Ingeniería Técnica Industrial en la Escuela Universitaria
Politécnica de la Universidad de Málaga obteniendo el título de Ingeniero Técnico
Industrial en 1991.
En febrero de 1996, tras doce años de experiencia profesional en empresas
privadas, es contratado como profesor Ayudante, y posteriormente como profesor
Asociado, por la Escuela Universitaria Politécnica de Málaga. En octubre de 2000
adquiere la plaza de Titular de Escuela Universitaria adscrito a la Escuela
Universitaria Politécnica de Málaga.
Ha desarrollado su labor docente mediante la impartición, entre otras, de las
asignaturas de Tecnología Mecánica y Tecnología de fabricación, pertenecientes al
área de Ingeniería de los Procesos de Fabricación.
Coautor de diversas monografías sobre temas relacionados con el área de
conocimiento de Ingeniería de los Procesos de Fabricación.
En octubre de 2005 obtiene el título de Ingeniero Industrial, otorgado por la
Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales de Málaga. Cursa el programa
de doctorado interuniversitario de Ingeniería de Fabricación en el bienio 2005-2007,
culminando el programa con la obtención del Diploma de Estudios Avanzados en
noviembre del año 2007.
Es coautor de comunicaciones y ponencias a congresos de carácter nacional
e internacional.
Miembro fundador y responsable del área de administración del laboratorio de
Metrología Dimensional de la Universidad de Málaga (CEMUM), así como miembro y
socio desde su fundación, de la Sociedad de Ingeniería de Fabricación.
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