una , nessuna e centomila ( parallele )
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Una, nessuna e centomila (parallele)
Alberto SaraccoDipartimento di
Matematica e InformaticaUniversità di Parma
Notte dei ricercatori, Parma 27 settembre 2013
Approvato dalla rete!
Il V postulato (1)
Dati r e P, quante parallele a r per
P?
Nessuna Una Infinite
Il V postulato (2)
Una! E’ il famoso V postulato di Euclide! (sarebbe l’ assioma di Playfair)
I primi IV postulati…
•Per due punti passa una retta
I
•Una retta finita si può prolungare indefinitamente
II
•Dati un centro e un raggio si può descrivere un cerchio
III
•Angoli retti sono uguali tra loro
IV
e il V
Se una retta incidente ad altre due rette forma due
angoli interni la cui somma sia minore di due
retti
ALLORA
Le due rette prolungate indefinitamente si
incontreranno dalla parte dei due angoli minori di
due retti
Cosa non va nel V postulato?
1
•Non piaceva ad Euclide
•Le prime 28 proposizioni non lo usano
2
•Sembra un teorema
•Il suo inverso è la Prop. 17
3
•La Proposizione 32 implica le proposizioni 16 e 17
•Perchè Euclide le enuncia?
La geometria assoluta
Occorre dimostrare il V
postulato
Oppure sostituirlo con
un altro assioma
Studiare la geometria
assoluta, dove valgono I, II, III e IV
Teoremi della geometria assoluta• In ogni triangolo la somma di due
angoli è minore di due retti
17
• Dati un punto P e una retta r non passante per P, esiste (almeno) una parallela a r passante per P31
Almeno una!
Dati r e P, quante parallele a r per
P?
Nessuna Una Infinite
Proprietà equivalenti a V
P = V
P teorema della g. euclidea
V teorema della g. assoluta + P
Proprietà equivalenti a V
Rette parallele alla stessa retta sono
parallele
Luogo dei punti equidistanti da una
retta: retta
Esiste una coppia di rette
equidistanti
Esistono due triangoli simili ma
non congruenti
Somma degli angoli interni di un
triangolo: 180
Esiste un triangolo con somma degli angoli interni 180
Esiste un rettangolo
Per un punto esterno a una retta
passa una e una sola parallela
…
Girolamo Saccheri
ASSURDO!
non V
Geometria assoluta
Euclides ab omni naevo vindicatus (1733)
Nei quadrilateri birettangoli isosceli
sono acuti• Equivalente a infinite parallele
sono retti• Equivalente a 1 parallela (V postulato)
sono ottusi• Equivalente a nessuna parallela
gli altri due angoli
Le ipotesi
Dell’angolo acuto
Dell’angolo retto
Dell’angolo ottuso
L’ipotesi dell’angolo ottuso
Ipotesi dell’angolo ottuso
V postulato
Assurdo!
L’ipotesi dell’angolo
ottuso distrugge sé stessa
L’ipotesi dell’angolo acuto
Ipotesi dell’angolo acuto
Esistono rette asintotiche
Non bello (???)
L’ipotesi dell’angolo
acuto ripugna all’idea di linea
retta
La geometria iperbolica
Saccheri aveva semplicemente trovato la geometria iperbolica
Geometria assoluta +
Negazione V postulato =
Geometria iperbolica
Nella geometria iperbolica
Ci sono infinite parallele ad r passanti per P
Esistono rette asintotiche
Somma degli angoli interni di un
triangolo: <180°
Somma degli angoli interni di un
triangolo: non costante
Triangoli simili sono
congruenti
Somma degli angoli interni + area del
triangolo = costante!
L’area dei triangoli è
limitata
Esistono rette incidenti parallele
alla stessa retta …
Un modello del piano iperbolicoPiano = disco
aperto D
Rette = diametri e circonferenze
perpendicolari al bordo di D
Angoli tra rette = angoli tra le
tangenti
Distanza = complicata. Man mano che ci si avvicina al bordo la distanza tra punti
aumenta
Limite del cerchio, M. C. Escher
Altre geometrie…
Negando il V postulato
• Abbiamo ottenuto la geometria iperbolica
Cosa succede se cambiamo altri postulati?
• Si trovano altre geometrie…
La geometria sfericaPiano = sfera S
Rette = circonferenze
massime
Angoli tra rette = angoli tra le
tangenti
Distanza = misurata sulle circonferenze
come nella geometria euclidea
Geometria sferica
Tutte le rette si intersecano
Vale il V postulato
Somma degli angoli interni di un
triangolo: >180 °
Somma degli angoli interni di un
triangolo: non costante
Triangoli simili sono
congruenti
Somma degli angoli interni - area del
triangolo = costante!
L’area dei triangoli è
limitata
Vale l’ipotesi dell’angolo
ottuso…
E l’assurdo?
Qualcosa non torna, ma cosa?
• Nella geometria sferica non vale il I postulato (se interpretato come “per due punti passa una e una sola retta”) e non vale il II postulato (le rette sono finite)
• Nella geometria sferica dati tre punti su una retta non ha senso chiedersi quale sta tra gli altri due
I postulati non postulati
Euclide usa anche delle “verità” che non
enuncia esplicitamente
Per parlare correttamente di “geometria euclidea”,
dovremmo enunciare tutti gli assiomi
Gli assiomi di Hilbert (20)•Due punti distinti dello spazio individuano una retta.•Ogni coppia di punti di una retta individua tale retta.•Tre punti non allineati dello spazio individuano un piano.•Qualsiasi terna di punti non allineati di un piano individua tale piano•Se due punti di una retta giacciono su un piano tutti i punti della retta giacciono su quel piano•Se due piani hanno un punto in comune avranno almeno un secondo punto in comune•Ogni retta contiene almeno due punti, ogni piano contiene almeno tre punti non allineati, ed esistono almeno quattro punti non complanari
Assiomi di collegamento
•Se un punto A sta tra B e C, A sta anche tra C e B, ed i tre punti sono allineati•Dati due punti distinti A e B, esistono un terzo e un quarto punto C e D sulla retta passante per A e Btali che A sta tra C e B e B sta tra A e D•Dati tre punti distinti e allineati, ce n'è esattamente uno che giace tra gli altri due•Assioma di Pasch: siano dati tre punti A, B e C non allineati, contenuti in un piano p, ed una retta dcontenuta in p non contenente nessuno dei tre punti A, B, C: se d contiene un punto del segmento AB, allora contiene anche un punto di uno dei due segmenti AC e BC. (Intuitivamente l'assioma potrebbe essere espresso così: se una retta entra in un triangolo attraverso un lato, allora deve uscirne da uno degli altri due.)
Assiomi di ordinamento
•Se A, B sono due punti di una retta a ed inoltre A' è un punto sulla stessa retta ovvero su un'altra a', si può sempre trovare un punto B', da una data parte della retta a' rispetto ad A', tale che il segmento AB sia congruente, ovvero uguale, al segmento A'B'. In simboli: AB ≡ A'B'.
•La relazione di congruenza tra segmenti è transitiva, cioè se A B′ ′ e A B′′ ′′ sono congruenti ad AB, alloraA B′ ′ ≡ A B′′ ′′.•Siano AB e BC segmenti su una retta r privi di punti interni comuni, e siano A B e B C segmenti su una retta ′ ′ ′ ′ r′ privi di punti interni comuni. Se AB ≡ A B′ ′ e BC ≡ B C′ ′, allora AC ≡ A C′ ′.•Sia ABC un angolo e B'C' una semiretta, esistono e sono uniche due semirette B'D e B'E, tali che l'angolo DB'C' è congruente all'angolo ABC et l'angolo EB'C' è congruente all'angolo ABC.•La relazione di congruenza tra angoli è transitiva, cioè se A B C′ ′ ′ e A B C′′ ′′ ′′ sono congruenti ad ABC, allora A B C′ ′ ′ ≡ A B C′′ ′′ ′′.•Se per due triangoli ABC e A B C′ ′ ′ si ha che AB ≡ A B′ ′, AC ≡ A C′ ′, e l'angolo BAC ≡ all'angolo B A C′ ′ ′, allora tutto il triangolo ABC ≡ al triangolo A B C′ ′ ′.
Assiomi di congruenza
•(Postulato di Playfair): Dati una retta r, un punto A non in r, ed un piano p contenente entrambi, esiste al più una retta in p contenente A e non contenente nessun punto di r.
Assioma delle parallele
•(Assioma di Archimede). Se AB e CD sono due segmenti qualsiasi, allora esiste sulla retta contenenteAB una famiglia di punti A₁, A₂, …,An tali che i segmenti AA₁, A₁A₂, A₂A₃, …, An-1An, sono congruenti a CD e tali che B giace tra A e An.
•(Assioma di completezza ). Ad un sistema di punti, rette e piani è impossibile aggiungere altri elementi geometrici in modo che il sistema così generalizzato formi una nuova geometria obbediente a tutti i venti assiomi precedenti. In altre parole gli elementi della geometria formano un sistema che non è suscettibile di estensione, ammesso che si considerino validi i venti assiomi del sistema assiomatico di Hilbert.
Assiomi di continuità
E quindi?
Dati r e P, quante parallele a r per P?
Una,
(geometria euclidea)
nessuna
(geometria sferica)
e centomila!
(geometria iperbolica)
Sitografia / Bibliografia
• www2.unipr.it/~saralb74/divulgazione• Wikipedia• http://lcalighieri.racine.ra.it/pescetti/ricerca_g
eometrie_non_euclidee_2004_05/somm_none/seconda_parte.htm
• http://www.dmf.unicatt.it/~bibsoft/provatesi/modello_iperbolico.htm
• Le geometrie non euclidee, D. Palladino e C. Palladino
• Geometrie non euclidee, S. Benvenuti
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