uma equaÇÃo de atrito explÍcita para escoamento...
Post on 20-Nov-2018
215 Views
Preview:
TRANSCRIPT
UMA EQUAÇÃO DE ATRITO EXPLÍCITA PARA ESCOAMENTO
TURBULENTO DE FLUIDOS NÃO NEWTONIANOS PURAMENTE VISCOSOS
Mateus Getirana Ramirez
Dissertação de Mestrado apresentada ao
Programa de Pós-graduação em Engenharia
Mecânica, COPPE, da Universidade Federal do
Rio de Janeiro, como parte dos requisitos
necessários à obtenção do título de Mestre em
Engenharia Mecânica.
Orientadores: Daniel Onofre de Almeida Cruz
Paulo Couto
Rio de Janeiro
Setembro de 2015
UMA EQUAÇÃO DE ATRITO EXPLÍCITA PARA ESCOAMENTO TURBULENTO
DE FLUIDOS NÃO NEWTONIANOS PURAMENTE VISCOSOS
Mateus Getirana Ramirez
DISSERTAÇÃO SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DO INSTITUTO ALBERTO
LUIZ COIMBRA DE PÓS-GRADUAÇÃO E PESQUISA DE ENGENHARIA
(COPPE) DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE
DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE
EM CIÊNCIAS EM ENGENHARIA MECÂNICA.
Examinada por:
________________________________________________
Prof. Daniel Onofre de Almeida Cruz, D.Sc.
________________________________________________
Prof. Paulo Couto, Dr.Eng.
________________________________________________
Prof. Fábio Antonio Tavares Ramos, D.Sc.
________________________________________________
Prof. Juliana Braga Rodrigues Loureiro, D.Sc.
RIO DE JANEIRO, RJ – BRASIL
SETEMBRO DE 2015
iii
Ramirez, Mateus Getirana
Uma equação de atrito explícita para escoamento
turbulento de fluidos não newtonianos puramente
viscosos/ Mateus Getirana Ramirez. – Rio de Janeiro:
UFRJ/COPPE, 2015.
XI, 106 p.: il.; 29,7 cm.
Orientadores: Daniel Onofre de Almeida Cruz
Paulo Couto
Dissertação (mestrado) – UFRJ/ COPPE/ Programa de
Engenharia Mecânica, 2015.
Referências Bibliográficas: p. 80-83.
1. Fator de atrito. 2. Fluido Não Newtoniano. 3. Equação
explícita. II. Universidade Federal do Rio de Janeiro,
COPPE, Programa de Engenharia Mecânica. III. Título.
iv
Agradecimentos
Gostaria aqui de agradecer a todos que tornaram este trabalho possível de ser
realizado começando por meus pais, que sempre me incentivaram a buscar novos
conhecimentos e minha família por todo o apoio.
Também agradeço aos meus orientadores Daniel Onofre e Paulo Couto por todo
apoio neste trabalho e disponibilidade para ajudar em todas as eventualidades que foram
surgindo durante a pesquisa.
A todos o meus amigos, em especial ao Rodrigo que me acompanhou durante as
disciplinas do mestrado e nas várias horas de estudos além de uma ajuda na revisão
final.
A Daniel Muller e Luiz Guerra pela ajuda nos trabalhos durante as disciplinas
de mestrado.
Ao pessoal do laboratório, sempre disposto a ajudar, em especial ao Hamid
Anbarlooei ,por esclarecer dúvidas relativas à sua proposição, que é uma das bases deste
trabalho juntamente da Cecilia Mageski Madeira Santos que forneceu dados importantes
para formulação da equação com rugosidade e ao Wiliam Godoy por ajudar na
formatação final deste trabalho.
v
Resumo da Dissertação apresentada à COPPE/UFRJ como parte dos requisitos
necessários para a obtenção do grau de Mestre em Ciências (M.Sc.)
UMA EQUAÇÃO DE ATRITO EXPLÍCITA PARA ESCOAMENTO TURBULENTO
DE FLUIDOS NÃO NEWTONIANOS PURAMENTE VISCOSOS
Mateus Getirana Ramirez
Setembro/2015
Orientadores: Daniel Onofre de Almeida Cruz
Paulo Couto
Programa: Engenharia Mecânica
Caracterizar o comportamento dos fluidos continua sendo um grande desafio
para a engenharia, devido a grande complexidade dos fenômenos que ocorrem durante o
seu deslocamento. Apesar de existirem modelos precisos e práticos para caracterizar as
propriedades do escoamento de fluidos Newtonianos o mesmo não acontece para os
fluidos Não Newtonianos. Neste trabalho serão propostas novas equações explícitas
para calcular o fator de atrito em dutos cilíndricos e no anular, com base em princípios
físicos teóricos. Estas equações, diferindo-se da grande quantidade de modelos
empíricos hoje existentes, poderão ser utilizadas como ferramenta prática para estimar,
rapidamente, um fator fundamental para operações envolvendo fluidos Não
Newtonianos, cada vez mais utilizados.
vi
Abstract of Dissertation presented to COPPE/UFRJ as a partial fulfillment of the
requirements for the degree of Master of Science (M.Sc.)
AN EXPLICIT EQUATION OF FRICTION FACTOR FOR TURBULENT FLOW OF
NON NEWTONIAN FLUIDS PURELY VISCOUS
Mateus Getirana Ramirez
September/2015
Advisors: Daniel Onofre de Almeida Cruz
Paulo Couto
Department: Mechanics Engineering
Characterizing the behavior of fluids remains a major engineering challenge due
to the great complexity of the phenomena that occur during their displacement.
Although there are precise and practical models to characterize the properties of
Newtonian fluids flow, this isn’t the case for Non Newtonian fluids. This work will
introduce a new set of explicit equations to calculate the friction factor in cylindrical
pipes and in the annular, based on theoretical physical principles. These equations,
differing from the large amount of empirical models existent today, can be used as a
practical tool to quickly estimate a key factor in operations involving Non Newtonians
fluids, which have been increasingly utilized.
vii
Sumário
Lista de Figuras ............................................................................................................... ix
Lista de Tabelas ............................................................................................................... xi
Capítulo 1 Introdução ....................................................................................................... 1
Contexto ........................................................................................................................ 2
Organização da dissertação ........................................................................................... 4
Capítulo 2 Definições básicas........................................................................................... 6
Reologia ........................................................................................................................ 7
Parâmetros adimensionais ........................................................................................... 11
Regimes de escoamento .............................................................................................. 13
Rugosidade .................................................................................................................. 15
Capítulo 3 Revisão bibliográfica .................................................................................... 16
Modelos newtonianos ................................................................................................. 17
Modelos não newtonianos .......................................................................................... 20
Capítulo 4 Modelagem do problema .............................................................................. 24
Equação explícita ........................................................................................................ 25
Relações para regime turbulento ................................................................................. 27
Modelagem da equação para dutos circulares ............................................................ 30
Modelo implícito ..................................................................................................... 31
Equação explícita .................................................................................................... 32
Modelagem da equação para regime anular tubos concêntricos ................................. 33
Sistema implícito ..................................................................................................... 34
Sistema explícito ..................................................................................................... 37
Fator de atrito com rugosidade ................................................................................... 40
Duto ............................................................................................................................ 41
Capítulo 5 Análise dos resultados .................................................................................. 42
viii
Duto ............................................................................................................................ 42
Comparação com dados experimentais ................................................................... 43
Comparação com outros modelos ........................................................................... 50
Análise geral ............................................................................................................ 57
Anular ......................................................................................................................... 59
Comparação com dados experimentais ................................................................... 60
Comparação com outros modelos ........................................................................... 64
Análise geral ............................................................................................................ 74
Rugosidade .................................................................................................................. 75
Capítulo 6 Conclusão ..................................................................................................... 79
Referências Bibliográficas ........................................................................................... 80
Apêndice A – Dedução da equação explicita ................................................................. 84
Apêndice B – Dedução da equação no interior do duto ................................................. 87
Apêndice C – Dedução do sistema para escoamento anular .......................................... 92
Apêndice D – Dedução da equação no interior do duto com rugosidade....................... 99
Apêndice E – Dados utilizados ..................................................................................... 103
ix
LISTA DE FIGURAS
Figura 2.1 - Divisão reológica dos fluidos ....................................................................... 9
Figura 2.2 - tensão cisalhante x taxa de deformação ...................................................... 10
Figura 2.3 - Gráfico (ReMR)crit x índice de potencia(n) ................................................... 14
Figura 4.1 - Escoamento Duto ........................................................................................ 24
Figura 4.2 - Escoamento Anular ..................................................................................... 25
Figura 4.3 – Geometria do Duto ..................................................................................... 31
Figura 4.4 – Geometria do anular ................................................................................... 34
Figura 6.1 - Comparação Dados x Presente trabalho ..................................................... 44
Figura 6.2 - Comparação Dados x Presente trabalho =1,0 ............................................. 45
Figura 6.3 Comparação Dados x Presente trabalho n=0,7 ............................................. 47
Figura 6.4 - Comparação Dados x Presente trabalho n=0,46 ......................................... 49
Figura 6.5 - Presente trabalho x Dodge e Metzner ......................................................... 51
Figura 6.6 - Comparação entre modelos Duto n=1.0 ..................................................... 52
Figura 6.7 – Erro relativo Outros modelos x Presente trabalho n=1,0 ........................... 53
Figura 6.8 - Comparação entre modelos Duto n=0,7 ..................................................... 54
Figura 6.9 – Erro relativo Outros modelos x Presente trabalho n=1,0 ........................... 55
Figura 6.10 - Comparação entre modelos Duto n=0,46 ................................................. 56
Figura 6.11 – Erro relativo Outros modelos x Presente trabalho n=0,46 ....................... 57
Figura 6.12 - Erro relativo Presente trabalho x Dados experimentais ............................ 58
Figura 6.13 - Comparação Dados experimentais x Presente trabalho (Anular 1) .......... 61
Figura 6.14 –Erro relativo Dados experimentais x Presente trabalho (Anular 1) .......... 62
Figura 6.15 - Comparação Dados experimentais x Presente trabalho (Anular 2) .......... 63
Figura 6.16 - Erro relativo Dados experimentais x Presente trabalho (Anular 2) .......... 64
Figura 6.17 - Comparação entre modelos Anular 1 n = 0,874 ....................................... 65
Figura 6.18 – Diferença Presente trabalho x Outros modelos n = 0,874 (Anular 1) ...... 66
Figura 6.19 - Comparação entre modelos Anular 1 n = 0.824 ....................................... 67
Figura 6.20 – Diferença Presente trabalho x Outros modelos n = 0,824 (Anular 1) ...... 68
Figura 6.21 - Comparação entre modelos Anular 1 n = 0.784 ....................................... 69
Figura 6.22 - Diferença Presente trabalho x Outros modelos n = 0,784 (Anular 1) ...... 70
Figura 6.23 - Comparação entre modelos Anular 2 n = 0,807 ....................................... 71
Figura 6.24 - Diferença Presente trabalho x Outros modelos n = 0,807 (Anular 2) ..... 72
Figura 6.25 - Comparação entre modelos Anular 2 n = 0.784 ....................................... 73
x
Figura 6.26 - Diferença Presente trabalho x Outros modelos n = 0,784 (Anular 2) ..... 74
Figura 6.27 - Presente trabalho x Haaland ..................................................................... 76
Figura 6.28 - Presente trabalho Duto rugoso n= 0,6 ....................................................... 77
xi
LISTA DE TABELAS
Tabela 2.1 - Reynolds Critico ......................................................................................... 13
Tabela 3.1 - Modelos para Fluidos Newtonianos ........................................................... 17
Tabela 3.2 - Modelos Fluidos Não Newtonianos ........................................................... 20
Tabela 6.1 - Erro Duto n=1,0 .......................................................................................... 46
Tabela 6.2 – Erro Duto n=0,7 ......................................................................................... 47
Tabela 6.3 – Erro Duto n=0,46 ....................................................................................... 49
Tabela 6.4 - Erro relativo médio para Duto .................................................................... 59
Tabela 6.5 - Erro relativo médio Anular ........................................................................ 75
1
Capítulo 1
Introdução
Os fluidos são parte fundamental de qualquer atividade desenvolvida pela
humanidade, seja ela uma tarefa cotidiana como lavar as mãos ou industrial como a
extração de petróleo. Portanto, entender seu comportamento é fundamental para que se
utilize, da melhor maneira possível, este recurso.
Apesar de existirem diversas aplicações distintas para os fluidos, sua característica
de possuir uma, relativamente, baixa resistência à força cisalhante, traduzida em
facilidade de transporte de um ponto a outro, é utilizadas em quase todas as operações.
Durante este processo de deslocamento uma parte da energia fornecida é transformada
irreversivelmente em calor, através do atrito gerado com a parede, sendo necessário
fornecer um diferencial de potencial equivalente à energia perdida neste processo para
que o fluido possa se deslocar.
Esta perda de energia por atrito em um escoamento depende da interação entre o
fluido e a parede e não somente das características reológicas do próprio fluido,
podendo ser estimada através do fator de atrito. Ele é essencial para o projeto e operação
de qualquer instalação hidráulica, pois é empregado para definir quais tipos de
equipamentos deverão compor o sistema que o fluido irá transitar, assim como sua
configuração.
Este parâmetro também é necessário para ajustar os equipamentos quando ocorrem
flutuações na produção durante a operação. Esta variação da produção modifica o valor
do fator de atrito conforme as novas condições do escoamento, ou seja, ele pode
aumentar ou diminuir a quantidade de energia perdida por atrito dependendo das vazões
de operação, sendo necessário reconfigurar os equipamentos para que se adaptem as
novas condições. Essas variações podem ocorrer devido a diversos fatores, desde
problemas técnicos até ajustes normais da produção relacionados à sazonalidade da
demanda.
2
Como os fenômenos que governam o escoamento dos fluidos são complexos os
modelos hoje existentes, de maneira geral, quando possuem uma resolução simples são
aplicáveis apenas para poucos casos; ou quando são aplicáveis a um maior número de
casos necessitam de métodos de resolução robustos para resolver seus sistemas de
equações demandando equipamentos mais específicos e tempos maiores para resolução,
o que nem sempre é viável, pois podem existir limitações práticas que vão desde a
impossibilidade de possuir o equipamento até falta de um tempo hábil para realizar os
cálculos.
Tendo em mente o problema descrito acima este trabalho propõe uma nova
formulação explícita, que seja aplicável em uma ampla variedade de casos para calcular
o fator de atrito de fluidos Não Newtonianos puramente viscosos em tubulações, que
trabalhe com os escoamentos turbulentos no intuito de criar uma ferramenta prática para
rápidas estimativas e controle de produção em tempo real, em especial na área de
petróleo.
Contexto
Hoje a busca por eficiência faz parte de todas as áreas de produção. Isto ocorre
porque os recursos são limitados, portanto evitar desperdício tornou-se a chave para
incrementar a produção, com a vantagem associada de que normalmente as técnicas
utilizadas vêm associadas a custos menores de produção.
Para conseguir este incremento, evitando custos desnecessários, é preciso
entender melhor os fenômenos que ocorrem para modelá-los o mais próximo da
realidade quanto possível. Partindo desta ideia a utilização do modelo de fluidos Não
Newtonianos vem crescendo, difundindo-se pelas mais diversas linhas de pesquisa, não
estando limitado somente a casos típicos de engenharia, como podemos ver em
(ALLOUI e VASSEUR, 2015) e (KEFAYATI, 2015), sendo também é utilizado em
outras áreas, isto pode ser visto nos estudos (COPLEY, 1990), (HARISA, 2015) e
(SINGH e RAMASWAMY, 2015).
3
A expansão do uso destes modelos está ligada às limitações, encontradas pelo
modelo Newtoniano em descrever o comportamento de fluidos utilizados em diversas
operações, por causa de suas características não Newtonianas, de modo a torná-la mais
produtiva seja diminuindo os custos ou incrementando a produção.
Apesar de os modelos de fluidos Não Newtonianos estarem sendo cada vez mais
utilizados ainda são necessários diversos estudos para melhor compreendê-los, pois eles
introduzem novas dificuldades na resolução do escoamento devido à necessidade de
mais parâmetros para descrever sua reologia, que reflete em mais termos nas equações
que regem o escoamento.
Dependendo da aplicação do fluido Não Newtoniano uma característica tem
maior relevância que outra, por este motivo existem diversos problemas interessantes a
serem estudados quando tratamos dele. Estimar o fator de atrito é um dos mais
importantes, por se tratar de uma propriedade do escoamento que é utilizada como
parâmetro para dimensionar os equipamentos que farão o transporte do fluido assim
como ajustar os equipamentos durante a operação.
Como o fator de atrito é necessário para estimar vários valores fundamentais do
projeto ele possui diversos modelos para representá-lo, mas estes apresentam grandes
variações entre suas predições, pois, normalmente o desenvolvimento das equações
procura descrever corretamente apenas a parte relevante para sua aplicação, fazendo
com que as equações existentes atualmente possuam grande grau de empirismo, ou seja,
seu desenvolvimento está atrelado ao próprio problema estudado limitando sua validade
para pequenas faixas de Reynolds ou índices de potência, conceitos que serão melhores
explicados no capítulo seguinte, como serão vistos nas equações de (HANKS e RICKS,
1975) e (EL-EMAM, KAMEL e EL-SHAFEI, 2003), apresentadas na revisão
bibliográfica do capítulo 3.
Na indústria de petróleo estimar com precisão este fator é ainda mais relevante,
por que a crescente demanda de petróleo no mundo como podemos ver nos relatórios
(ANP, 2012), (ANP, 2013) e (ANP, 2014) tem feito pressão para que se realize uma
otimização nos processos produtivos para melhor aproveitar esse recurso. Entender o
escoamento turbulento dos diversos tipos de fluidos é fundamental para a melhora
destes processos, principalmente os de perfuração e produção.
4
Na perfuração o controle hidráulico é de fundamental importância por ser ele o
fator determinante para o controle de eventuais acidentes como os kicks e blowout, que
podem ocorrer durante a produção, que são basicamente influxos de fluidos que podem
causar desde pequenos acidentes até a perda do poço e da plataforma.
Durante a produção, fase seguinte à perfuração, o processo de entendimento dos
mecanismos de produção do reservatório é contínuo, e uma ideia melhor do que ocorre
nele começa a ser criada, sendo que durante esse período de aprendizado a produção
precisa ser adaptada diversas vezes até que atinja um ponto de ótimo e, posteriormente,
ainda é necessário equalizá-la com a demanda para evitar desperdício, sendo necessárias
estimativas contínuas do fator de atrito para adaptar o sistema.
Por esses motivos, existe a necessidade de se criar uma ferramenta que consiga
rapidamente estimar esse parâmetro que, mesmo sendo de fundamental importância
para o processo de produção, ainda se apresenta como um problema que não possui uma
resolução fechada.
Neste trabalho será proposta uma relação para o fator de atrito na forma explícita.
Essa equação está fortemente embasada nos princípios físicos do fenômeno conferindo
a ela validade em uma larga extensão da região turbulenta o que representa uma
ferramenta extremamente útil em engenharia.
Organização da dissertação
No capítulo 1 foi feita uma breve introdução sobre o assunto, definindo o objetivo
do trabalho. No capítulo 2 uma revisão de algumas definições básicas necessárias para o
desenvolvimento do restante do trabalho é realizada, no capítulo seguinte uma revisão
bibliográfica é apresentada abordando algumas pesquisas já desenvolvidas sobre fator
de atrito.
Nos capítulos 4 e 5 o novo equacionamento para o cálculo do fator de atrito em
dutos cilíndricos e no anular é proposto, explicando as ideias utilizadas para a sua
5
elaboração, bem como o resumo de seu desenvolvimento matemático, que pode ser
visto por completo nos apêndices B, C e D.
No capítulo 6, uma análise das novas equações com intuito de averiguar sua
precisão e validade será realizado através de comparações entre os modelos existentes e
dados experimentais. Por fim, a conclusão será apresentada no capítulo 7 com algumas
considerações finais.
6
Capítulo 2
Definições básicas
Nesta seção apresentaremos alguns dos conceitos base que serão utilizados durante
o texto e são essenciais para a compreensão do mesmo. Esta seção se faz necessária,
pois não existe um modelo único para representar os fluidos conhecidos como Não
Newtonianos, assim sendo, para modelar o problema precisamos estabelecer uma
convenção.
Os conceitos aqui revisados dizem respeito a como caracterizar tanto o escoamento
quanto o próprio fluido. Estas definições formam a base do problema ao definir o modo
como ele será descrito. Esse é um problema que ainda não possui uma solução
amplamente aceita e por esse motivo existem diferentes maneiras de representá-lo.
Neste capítulo serão discutidos três pontos, separados nas três seções seguintes,
para caracterizar o escoamento e o fluido; começando por definir o fluido com uma
revisão da reologia e seus parâmetros relevantes para depois definir o escoamento
utilizando números adimensionais característicos, e por fim definir os limites utilizados
para diferenciar os regimes de escoamento. Mas antes dessas definições a descrição do
que entendemos por fluido é comentada no parágrafo seguinte.
A definição mais comum encontrada para fluidos é: uma substância que se deforma
indefinidamente quando uma tensão cisalhante é aplicada sobre ele. Apesar de esta
definição caracterizar grande parte dos fluidos conhecidos existem outros tipos de
fluidos em que esta característica não ocorre, tais como os fluidos com modelo
reológico de Herschel-Bulkley onde é necessária uma força inicial para que ele comece
a se deformar, e ainda fluidos pseudoplásticos que apresentam características de fluidos
e de corpo rígido, onde a força cisalhante apenas deforma o corpo, mas que tem sua
forma original restaurada após o cessar da força. Neste trabalho iremos tratar apenas de
fluidos que seguem a definição clássica.
7
Por fim, vale ressaltar os fluidos não são necessariamente substâncias puras, ou
seja, desde que a substância possua um comportamento macroscópico coerente com um
fluido ela pode ser uma mistura de diversas substâncias e todas as equações aqui
descritas serão válidas para ela, isso é importante, pois grande parte dos fluidos Não
Newtonianos são na verdade misturas de fluidos com alguma substância sólida como a
lama que nada mais é do que água com partículas de argila suspensa na fase líquida.
Outro ponto é que: a condição fluida de uma substância está intimamente ligada às
condições de pressão e temperatura na qual se encontra, pois ela pode se apresentar em
qualquer um dos estados dependendo das mesmas.
Reologia
Durante o texto já foram mencionados algumas vezes os conceitos de fluidos
Newtonianos e Não Newtonianos, que como seus nomes sugerem são fluidos com
comportamentos distintos. Essa diferença em seu comportamento é definida pelo modo
como ele flui quando uma força cisalhante é aplicada sobre ele. Podemos perceber
claramente que diferentes fluidos se comportam de maneiras distintas apresentando uma
maior ou menor facilidade para se deslocar, isso se deve a uma propriedade intrínseca
do fluido conhecida como viscosidade.
Para quantificar esta diferença, existente no comportamento dos fluidos, foram
desenvolvidos diversos modelos na tentativa de descrevê-los, dentre eles a relação
criada por Newton. Este modelo apresentou uma boa concordância com os dados
experimentais definindo um modelo que apresenta uma relação linear entre a taxa de
deformação e a tensão aplicada.
𝜏 = 𝜇
𝜕𝑢
𝜕𝑦 (2.1)
Onde 𝑢 representa a velocidade, 𝑦 a coordenada perpendicular à velocidade e 𝜇 a
viscosidade dinâmica do fluido.
8
O conceito de viscosidade surgiu a partir deste modelo, na forma da constante de
proporcionalidade entre a tensão e a taxa de deformação, sendo definida como uma
propriedade do fluido. Devido à importância desse modelo todos os fluidos que
apresentam um comportamento que concorde com a equação acima são conhecidos
como Fluidos Newtonianos e os que diferem dele, como Fluidos Não Newtonianos.
Este modelo conseguiu representar muito bem a água e o ar que eram os fluidos
mais utilizados na época e continuam, até hoje, sendo largamente utilizados para
realizar as mais diversas atividades, pelo grande conhecimento já adquirido de seu
comportamento. Mas com a evolução tecnológica e a observação mais cuidadosa de
outros fluidos vemos que esta relação não consegue descrever adequadamente todos os
fluidos, surgindo então à necessidade de novos modelos, que são classificados como
Não Newtonianos. Para descrever esses outros tipos de fluidos, que apresentam
comportamentos diferentes, é preciso ter o conhecimento de sua reologia.
A reologia é o estudo sobre a deformação, segundo (BARNES, HUTTON e
WALTERS, 1993). Este estudo é importante para diferenciar e classificar os diferentes
tipos de fluidos. Quando estamos falando de fluidos a reologia pode ser resumida como:
a relação que descreve a taxa de deformação pela tensão aplicada no fluido, essa é uma
relação simples para fluidos Newtonianos, pois ela é linear com o fator de
proporcionalidade definido pela viscosidade.
Os fluidos Não Newtonianos são aqueles com uma relação diferente da
Newtoniana e normalmente apresentam uma relação não linear entre a taxa de
deformação e a tensão aplicada, ou seja, a taxa de deformação do fluido não aumenta na
mesma proporção da tensão aplicada, sendo necessários então modelos com parâmetros
adicionais para descrever seu comportamento. Não existe apenas uma única maneira de
um fluido Não Newtoniano se comportar, esta nomenclatura abrange diversos tipos
diferentes de fluidos, sendo assim, eles possuem algumas subdivisões. A divisão mais
comum dos fluidos Não Newtonianos é a que a subdivide em duas classes; uma onde a
relação tensão/taxa de deformação depende do tempo e a outra na qual a taxa de
deformação depende apenas da tensão aplicada.
Este último grupo ainda se divide em outros dois tipos de fluidos: Dilatante
𝑛 > 1 e Pseudoplástico 𝑛 < 1. Essa classificação está resumida na figura abaixo:
9
Figura 2.1 - Divisão reológica dos fluidos
Neste trabalho não serão abordados os fluidos que apresentam deformação
dependente do tempo.
Para os fluidos onde a taxa de deformação e a tensão não depende do tempo foram
encontradas mais aplicações práticas e eles são extensivamente estudados para
desenvolver melhor sua aplicação, com intuito de aumentar o rendimento da produção.
A fim de obter um modelo geral que também pudesse caracterizar os fluidos
Newtonianos em um mesmo modelo reológico, um modelo de dois parâmetros
conhecidos como fator de consistência e índice de potência, determina a relação entre
taxa de deformação e tensão aplicada, conhecido como lei de potência foi proposto,
como definido abaixo:
𝜏 = 𝑘 (
∂𝑢
∂𝑦)𝑛
(2.2)
Onde 𝑢 representa a velocidade, 𝑦 a coordenada perpendicular à velocidade, 𝑛 é o
índice de potência e 𝑘 é o fator de consistência. Este modelo é reduzido ao caso
Newtoniano quando o índice de potência é igual à unidade e o fator de consistência
então se torna a viscosidade.
10
Mas mesmo esse modelo de duas variáveis ainda não conseguiu descrever todos
os fluidos e um novo modelo mais geral de três variáveis foi proposto por Herschel-
Bulkley. Como descrito abaixo:
𝜏 = 𝑘 (
∂𝑢
∂𝑦)𝑛
+ 𝜏𝑖 (2.3)
Essas equações são diferenciadas apenas por uma tensão inicial necessária para
começar o escoamento o que confere aos fluidos, onde a constante é diferente de zero, a
característica de resistir à deformação enquanto uma tensão mínima não for vencida.
Resumidamente podemos observar todos esses comportamentos no gráfico abaixo:
Figura 2.2 - tensão cisalhante x taxa de deformação
Os fluidos não newtonianos tipo Herschel-Bulkley, são representados
normalmente por suspenções ou misturas que conferem à fase fluida essas
características de resistência inicial bem como variação da resistência interna, devido à
interação das partículas presentes no fluido. Aqui podemos citar a lama como um fluido
Não Newtoniano.
11
Neste texto não serão discutidos modelos de quatro parâmetros como os modelos
de Carreau ou Cross, e não serão estudados modelos viscoelásticos.
Parâmetros adimensionais
Representar o escoamento é um grande desafio por causa da sua complexidade
sendo necessário utilizar diversas variáveis para descrever, da maneira mais completa
possível, seu comportamento. Por este motivo a obtenção de dados experimentais para
entender seu comportamento representava um grande desafio, pois diversas medições
simultâneas eram necessárias.
A fim de diminuir o esforço experimental e melhorar sua organização, o problema
utiliza-se de parâmetros adimensionais através do teorema π de Buckingham. Esta
metodologia é comum no estudo de fluidos e tem como objetivo criar números
adimensionais utilizando a combinação das grandezas definidas como relevantes para o
escoamento. Isso possibilita um melhor entendimento da relação entre as grandezas,
diminuindo a quantidade necessária de experimentos ao generalizar o problema
utilizando não mais as grandezas fundamentais e sim combinações entre elas como
parâmetros a serem medidos. Este método também facilita a comparação entre
resultados obtidos em diferentes experimentos melhorando o processo de análise.
Utilizar parâmetros adimensionais é a melhor forma de generalizar um problema,
dado que, os resultados obtidos não representam mais a situação específica, mas
qualquer problema que apresente as mesmas relações de valores adimensionais. Para
obter esta generalidade uma análise cuidadosa do problema deve ser realizada para que
as novas relações criadas pelos parâmetros que definem o problema consigam
caracterizar o fenômeno.
Quando falamos em mecânica dos fluidos o número adimensional de maior
importância foi o definido por Reynolds para analisar o escoamento de fluidos
Newtonianos, que em sua homenagem recebeu seu nome, definido como:
12
𝑅𝑒 =
𝜌𝑈𝐷
𝜇 (2.4)
Onde 𝜌 é a massa especifica 𝑉 é a velocidade característica do escoamento 𝐷 é o
comprimento característico do escoamente e 𝜇 é a viscosidade do fluido.
Este parâmetro adimensional representa a razão entre as forças de inércia e as
forças viscosas, relação está que é considerada importante mesmo para fluidos Não
Newtonianos, mas que precisa ser adaptado ao novo modelo reológico para manter a
coerência entre as unidades utilizadas. Mesmo utilizando um modelo reológico comum
podemos defini-lo de maneira diferente, em razão desta liberdade foram propostas
algumas formas diferentes, como as (METZNER e REED, 1955) e (TOMITA, 1959),
da qual iremos utilizar a proposição de (METZNER e REED, 1955) definida como:
Re𝑀𝑅 =
8 ∗ 𝜌 ∗ 𝑈(2−𝑛) ∗ 𝐷𝑛
𝑘 ∗ (6 +2𝑛)
𝑛 (2.5)
A análise adimensional facilitou a pesquisa dos fluidos por duas principais razões:
primeiro gerou uma espécie de uniformidade para os modelos ao criar parâmetros
comuns às medições realizadas, e em segundo lugar, construir modelos de teste que
possam representar os equipamentos reais através da proporcionalidade dos parâmetros
adimensionais, pois podemos obter um mesmo valor de um parâmetro adimensional
modificando a geometria na mesma proporção que mudamos a propriedade do fluido.
A construção de um modelo em escala real é, algumas vezes, economicamente
inviável. Para contornar esse problema e realizarmos os testes necessários à validação
dos modelos em sistemas de menor porte utilizamos a similaridade, que define como
podemos reduzir a escala do modelo real através da proporcionalidade dos parâmetros
adimensionais permitindo a obtenção de resultados relevantes para o caso real no
sistema experimental de menor escala.
No capítulo seguinte veremos a importância desses números, quando forem
apresentados os diversos modelos para estimar o fator de atrito, que apesar de partirem
de premissas diferentes a formulação final de todos eles utiliza o mesmo conjunto de
números adimensionais mostrando a importância deste tipo de análise do escoamento
para a obtenção de uma maior generalidade.
13
Regimes de escoamento
O escoamento monofásico apresenta três regimes bem definidos: laminar,
turbulento e transição. Conhecer em qual dos regimes o escoamento se encontra é o
começo do desenvolvimento de um modelo para estimar o fator de atrito, pois cada um
deles apresenta comportamentos bem diferentes.
No regime laminar as forças viscosas são mais relevantes e o escoamento pode ser
descrito como se fossem lâminas de fluidos escoando uma sobre outra. Sendo que no
escoamento turbulento podemos observar que as forças de inércia prevalecem sobre as
viscosas criando um escoamento com diversas escalas onde ocorrem rápidas variações
de velocidade ponto a ponto. Por fim existe um regime de transição entres esses dois
regimes onde as forças de inércia e viscosas têm a mesma ordem de grandeza e não
ocorre a dominância de apenas uma delas.
O número adimensional que representa esta relação de forças de inércia pelas
forças viscosas é o número de Reynolds. Por este motivo ele é utilizado para determinar
o regime de escoamento no qual o escoamento se encontra. Para fluidos Newtonianos os
limites da transição, para a maioria dos casos comuns, são bem conhecidos, já para
fluidos Não Newtonianos a mudança de comportamento para o regime turbulento não é
bem definida, mas continua apresentando a mesma importância.
Existem alguns modelos para avaliar onde ocorre esta transição. Aqui iremos citar
e analisar alguns deles:
Tabela 2.1 - Reynolds Critico
Modelo
Referência
(𝐑𝐞𝐌𝐑)𝐜𝐫𝐢𝐭 =𝟔𝟒𝟔𝟒𝒏(𝟐 + 𝒏)(
𝟐+𝒏𝟏+𝒏
)
(𝟏 + 𝟑𝒏)𝟐
(RYAN e JOHNSON, 1959)
14
Modelo
Referência
(𝐑𝐞𝐌𝐑)𝐜𝐫𝐢𝐭 =𝟐𝟏𝟎𝟎(𝟐 + 𝟒𝒏)(𝟓𝒏 + 𝟑)
𝟑(𝟏 + 𝟑𝒏)𝟐
(MISHRA e TRIPATI, 1973)
(𝐑𝐞𝐌𝐑)𝐜𝐫𝐢𝐭 = 𝟐𝟏𝟎𝟎 + 𝟖𝟕𝟓(𝟏 − 𝒏)
(DARBY, 2001)
Para melhor visualizar os limites de cada modelo um gráfico apresentando os três
é mostrado abaixo:
Figura 2.3 - Gráfico (ReMR)crit x índice de potencia(n)
15
Para este trabalho iremos adotar o limite superior de (ReMR)crit > 4000 para
considerar regime turbulento, pretendemos trabalhar apenas neste tipo de regime dado
que a maior parte das aplicações industriais utiliza o escoamento turbulento pela
necessidade de produções elevadas ou maior homogeneidade nos processos que é obtida
ao usar o regime turbulento.
Rugosidade
A rugosidade é um parâmetro que tem dimensão de comprimento e está relacionado
ao tipo de escoamento e as imperfeições geométricas da parede, representada pelas sutis
variações de altura que ocorrem em sua superfície.
Este é um fator importante para regimes de escoamento turbulento por afetar o
cálculo do fator de atrito diferentemente do regime laminar onde, pela predominância
das forças viscosas, o efeito dessas pequenas variações não é relevante.
16
Capítulo 3
Revisão bibliográfica
A pesquisa dos fluidos é uma das mais antigas, possuindo diversos trabalhos
publicados o que dificulta a descrição de todos os trabalhos importantes realizados, por
este motivo neste capítulo são condensados alguns dos trabalhos considerados mais
significativos para descrição do problema e modelagem do fator de atrito.
Mesmo com todas as pesquisas realizadas até hoje, o comportamento dos fluidos
Não Newtonianos não foi totalmente compreendido e formulado, isso se deve a
complexidade das interações existentes entre os diversos fenômenos que atuam no
sistema. Por isso as aplicações práticas dos fluidos podem apresentar grandes desafios
para engenharia.
Os estudos começaram a partir dos fluidos que possuem comportamento reológico
Newtoniano, isso aconteceu por serem a água e o ar os fluidos mais utilizados e ambos
apresentarem este tipo de comportamento reológico.
Com a evolução das técnicas produtivas novos tipos de fluidos, com as mais
diversas características, vêm sendo desenvolvidos e utilizados a fim de aumentar a
eficiência dos processos produtivos. Na indústria do petróleo, em especial, este tipo de
fluido é amplamente utilizado devido às dificuldades inerentes à perfuração e produção
de petróleo.
Como o desenvolvimento dos modelos Não Newtonianos, para calcular o fator de
atrito, estão fortemente ligados às ideias concebidas para os modelos Newtonianos
iremos, em primeiro lugar, fazer uma revisão sobre esse tipo de fluido, em seguida,
discutiremos os modelos para fluidos Não Newtonianos.
17
Modelos newtonianos
Para calcular o fator de atrito em fluidos Newtonianos existem diversos estudos
feitos como e mostrado na Tabela 3.1.
A grande quantidade de estudos para esse tipo de fluido se deve a dois fatores:
primeiro este tipo de fluido foi o primeiro a ser estudado, portanto teve mais tempo para
ser pesquisado e segundo por ser até hoje o tipo de fluido mais utilizado.
Podemos subdividir os modelos que descrevem o fator de atrito em duas classes:
implícita e explícita. Dos modelos implícitos para fluidos newtonianos temos que
destacar o desenvolvido por (COLEBROOK e WHITE, 1937) considerado uns dos mais
representativos e descrito pela equação abaixo:
1
√𝑓= −2Log(
𝜀
3,7D+
2,51
Re√𝑓) (3.1)
Alguns dos modelos explícitos estão resumidos na tabela abaixo adaptada de
(WINNING e COOLE, 2013):
Tabela 3.1 - Modelos para Fluidos Newtonianos
Equação Referencia
𝒇 = 𝟏, 𝟑𝟕𝟓 ∗ 𝟏𝟎−𝟑 [𝟏 + (𝟐 ∗ 𝟏𝟎𝟒𝜺
𝑫+
𝟏𝟎𝟔
𝐑𝐞)
𝟏𝟑
]
(MOODY, 1947)
𝟏
√𝒇= −𝟒 ∗ 𝐋𝐨𝐠 [(
𝟔, 𝟗𝟕
𝐑𝐞)𝟎,𝟗
+ (𝜺
𝟑, 𝟕 ∗ 𝑫)]
(SWAMEE e JAIN, 1976)
18
Equação Referencia
𝟏
√𝒇= −𝟑, 𝟔𝐋𝐨𝐠 [
𝐑𝐞
𝟎, 𝟏𝟑𝟓 ∗ 𝐑𝐞 ∗ (𝜺𝑫) + 𝟔, 𝟓
]
(ROUND, 1980)
𝟏
√𝒇= −𝟑, 𝟔𝐋𝐨𝐠 [
𝟔, 𝟗
𝐑𝐞+ (
𝜺
𝟑, 𝟕𝑫)𝟏,𝟏𝟏
]
(HAALAND, 1983)
𝒇 = [𝟒, 𝟕𝟖𝟏 −(𝑨 − 𝟒, 𝟕𝟖𝟏)𝟐
𝑩 − 𝟐𝑨 + 𝟒, 𝟕𝟖𝟏]
−𝟐
𝑨 = −𝟐𝐋𝐨𝐠 [𝜺
𝟑, 𝟕𝑫+
𝟏𝟐
𝐑𝐞]
𝑩 = −𝟐𝐋𝐨𝐠 [𝜺
𝟑, 𝟕𝑫+
𝟐, 𝟓𝟏 ∗ 𝑨
𝐑𝐞]
(SERGHIDES, 1984)
𝑨 = 𝟎, 𝟏𝟏 (𝟔𝟖
𝐑𝐞+
𝜺
𝑫)
𝟎,𝟐𝟓
𝒇 = 𝑨, 𝑨 ≥ 𝟎, 𝟎𝟏𝟖
𝒇 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟐𝟖 + 𝟎, 𝟖𝟓 ∗ 𝑨, 𝑨 < 𝟎, 𝟎𝟏𝟖
(TSAL, 1989)
19
Equação Referencia
𝟏
√𝒇= −𝟐𝐋𝐨𝐠 [(
𝜺
𝟑, 𝟕𝟎𝟔𝟓 ∗ 𝑫) + (
𝟗𝟓
𝐑𝐞𝟎,𝟗𝟖𝟑)
− (𝟗𝟔, 𝟖𝟐
𝐑𝐞)]
(MANADILLI, 1997)
𝟏
√𝒇= 𝟎, 𝟖𝟔𝟖𝟔𝐋𝐧 [
𝟎, 𝟒𝟓𝟖𝟕𝐑𝐞
𝑺 (
𝑺𝑺+𝟏)
]
𝑺 = 𝟎, 𝟏𝟐𝟒 ∗𝜺
𝑫∗ 𝐑𝐞 + 𝐋𝐧[𝟎, 𝟒𝟓𝟖𝟕𝐑𝐞]
(SONNAD e GOUDAR,
2004)
𝟏
√𝒇= 𝑨 − [
𝑨 + 𝟐𝐋𝐨𝐠 (𝑩𝐑𝐞)
𝟏 +𝟐, 𝟏𝟖
𝑩
]
𝑨 =𝟎, 𝟕𝟕𝟒𝐋𝐧[𝐑𝐞] − 𝟏, 𝟒𝟏
(𝟏 + 𝟏, 𝟑𝟐√𝜺𝑫)
𝑩 =𝜺
𝟑, 𝟕𝑫∗ 𝐑𝐞 + 𝟐, 𝟓𝟏𝟏 ∗ 𝑨
(BUZZELLI, 2008)
Dentre todos os modelos apresentados aquele que mais se destaca é o proposto
por (HAALAND, 1983) que simplifica o modelo implícito de (COLEBROOK e
WHITE, 1937) utilizados para construção do diagrama de Moody.
1
√𝑓= −3,6Log [(
𝜀
3,7𝐷)1.11
+6.9
Re] (3.2)
20
Os modelos para fluidos Newtonianos estão bem estabelecidos e são aplicados nas
mais diversas áreas com bons resultados, mas os fluidos newtonianos apresentam
limitações não representando corretamente diversos problemas, como a perfuração de
poços, devido a essas limitações existe a necessidade de utilizarmos modelos de fluidos
Não Newtonianos para estimar corretamente esses parâmetros.
Modelos não newtonianos
Os fluidos Não Newtonianos já são utilizados pela indústria e por isso existe a
necessidade de modelos para prever seu comportamento. Apesar de serem estudados a
um período menor de tempo existem vários modelos para descrevê-los dado a
importância de sua utilização.
Aqui novamente podemos dividir os modelos em implícitos e explícitos. Abaixo
estão alguns dos modelos implícitos da tabela adaptada de (GAO e ZHANG, 2007):
Tabela 3.2 - Modelos Fluidos Não Newtonianos
Autor/Ano Equação Referencia
Dodge e
Metzner (1959)
1
√𝑓=
4
𝑛0,75Log[ReMR𝑓(1−
𝑛2)] −
4
𝑛1,2
(DODGE e
METZNER, 1959)
Dodge e
Metzner tipo
Blasius (1959)
𝑓 =𝑎
ReMR𝑏
𝑎 = 0,0665 + 0,01175𝑛
𝑏 = 0,365 − 0,1775𝑛 + 0,0625𝑛2
(DODGE e
METZNER, 1959)
21
Autor/Ano Equação Referencia
Shaver and
Merrill (1959)
𝑓 =0,079
(𝑛5ReMR𝛼 )
𝛼 =2,63
10,5𝑛
(SZILAS, 1985) e
(GOVIER e AZIZ,
1972)
Tomita (1959)
1
√𝑓To
= 4Ln[ReTo√𝑓To] − 0,4
𝑓To = (4
3) [
(1 + 2𝑛)
(1 + 3𝑛)] 𝑓
ReTo = (3
4) [
(1 + 3𝑛)
(1 + 2𝑛)] ReMR
(TOMITA, 1959)
Thomas (1960)
1
√𝑓=
4
𝑛Log[ReMR𝑓(1−
𝑛2)] −
0,4
𝑛
(EL-EMAM,
KAMEL e EL-
SHAFEI, 2003)
Clapp (1961)
1
√𝑓=
2,69
𝑛− 2,95 +
4,53
𝑛Log[ReMR𝑓(1−
𝑛2)]
+ 0,68 (5𝑛 −8
𝑛)
(GOVIER e AZIZ,
1972)
Kemblowski
And
Kolodziejski
(1973)
𝑓 =0,00225𝑒(3,57𝑛2)𝑒
(572(1−𝑛4,2)𝑛0,435ReMR
)
ReMR(0,314𝑛2,3−0,064)
ReMR >31600
𝑛0,435, 𝑓 =
0,0791
ReMR0,25
(HEYWOOD,
1984)
22
Autor/Ano Equação Referencia
Hanks and
Ricks (1975)
𝑓 =0,0682𝑛
−12
ReRM
(1
1,87+2,39𝑛)
(HANKS e
RICKS, 1975)
Stein and
Kessler and
Greendar
(1980)
1
√𝑓= 1,7373Ln[ReMR𝑓0,5 − 0,398]
(EL-EMAM,
KAMEL e EL-
SHAFEI, 2003)
Bobok and
Navratile and
Szilas (1981)
1
√𝑓=
4
𝑛Log [ReMR(4𝑓)1−
𝑛2] + 1,511
1𝑛
∗ (4,242 +1414
𝑛) −
8,03
𝑛
− 2,114
(SZILAS, 1985) e
(BOBOK, 1993)
Shenoy (1986) 1
√𝑓= 3,57Log[
ReMR
(1
𝑛0,615)
6,5(
1
𝑛(1+0,75𝑛))]
(KAWASE,
SHENOY e
WAKABAYASHI,
1994)
Desouky and
El-Emam
(1990)
𝑓 = 0,125𝑛√𝑛(0,0112 + ReMR−0,3185)
(DESOUKY e EL-
EMAM, 1990)
Hemeida (1993)
1
√𝑓= 3,536 − 392,081 ∗ (
𝑓
𝑛)
0,9013
− 305,624 ∗ (𝑓
𝑛)0,9013
∗ [Ln(1 − √1 −14,142
ReMR√𝑓)
+ √1 −14,142
ReMR√𝑓]
(HEMEIDA, 1993)
23
Autor/Ano Equação Referencia
El-Emam and
Kamel and El-
Shafei and El-
Batrawy (2003)
𝑓 =
[𝑛
(3,072 − 0,1433𝑛)ReMR
(𝑛
(0,282−4,211𝑛))
− 0,00065]
4
(EL-EMAM,
KAMEL e EL-
SHAFEI, 2003)
Dentre todos os modelos citados o de (DODGE e METZNER, 1959) é o mais
aceito e apresenta resultados mais acurados para estimar o fator de atrito como
mencionado por (LANGLINAIS, BOURGOYNE JR. e HOLDEN, 1983) e (GAO e
ZHANG, 2007).
Aqui, diferentemente do caso Newtoniano, não temos uma equação explícita
amplamente aceita, pois os modelos são válidos apenas para uma pequena faixa de
aplicação ou limitadas a poucos tipos de fluidos, ou seja, não temos um equivalente para
equação de (HAALAND, 1983) nos fluidos Não Newtonianos.
24
Capítulo 4
Modelagem do problema
A ideia para desenvolver este novo modelo surgiu da lacuna apresentada no
capítulo anterior onde uma equação explícita para fluidos Não Newtonianos com ampla
validade não existe diferentemente do caso Newtoniano em que a equação proposta por
(HAALAND, 1983) desempenha esta função.
Para desenvolver esta nova estimativa para o fator de atrito foram escolhidas duas
das geometrias comuns nas operações industriais que seriam: o escoamento em duto
cilíndrico e no anular. Limitar a configuração do problema é necessário dado sua
complexidade, pois permitir que as variáveis geométricas tenham total liberdade
tornaria a modelagem extremamente difícil ou até mesmo inviável, mas essas duas
geometrias cobrem grande parte dos cenários encontrados nas indústrias e são ilustradas
abaixo em duas vistas diferentes onde as setas representam o fluxo de fluido:
Figura 4.1 - Escoamento Duto
25
Figura 4.2 - Escoamento Anular
Para modelar o problema proposto foi utilizado, como base, o estudo realizado
por (ANBARLOOEI, CRUZ e SILVA FREIRE, 2015b) onde foi desenvolvida uma
equação explícita, mas que é aplicável apenas a valores de Reynolds baixos e
intermediários em dutos hidraulicamente lisos, juntamente com uma metodologia de
resolução utilizada por (COLEBROOK e WHITE, 1937) para desenvolver sua equação
para fluidos Newtonianos. Acoplando estes dois desenvolvimentos uma nova equação
explícita com ampla faixa de aplicabilidade será desenvolvida para as duas
configurações propostas.
Equação explícita
A equação explícita, mencionada anteriormente, será a primeira apresentada, por
se tratar de uma parte integrante da formulação das demais equações para estimar o
fator de atrito. Essa equação foi obtida por (ANBARLOOEI, CRUZ e SILVA FREIRE,
2015b) utilizando como base os trabalhos de (KOLMOGOROV, 1941) e (GIOIA e
CHAKRABORTY, 2006), descrevendo o escoamento turbulento através da análise
dimensional, estendendo a teoria de Kolmogorov para fluidos Não Newtonianos.
Aqui serão demonstrados apenas os pontos principais do desenvolvimento que
pode ser visto por completo no apêndice A. O desenvolvimento começa a partir das
relações adaptadas da teoria de Kolmogorov e descritas abaixo:
26
𝜀 =𝑈3
𝐿 (4.1)
𝜀 = 𝑘 (𝑢
𝑙)𝑛−1 𝑢2
𝑙2 (4.2)
Re𝑙 =𝑢2−𝑛𝑙𝑛
𝑘 (4.3)
Re𝐿 =𝑈2−𝑛𝐿𝑛
𝑘 (4.4)
A equação (4.1) representa a relação de energia para macro escala e a equação
(4.2) representa a relação de energia para as pequenas escalas, seguido pelas definições
dos números de Reynolds para as grandes escalas e as pequenas escalas. Para obter uma
relação entre essas grandezas e o fator de atrito ainda é necessário utilizar a equação
abaixo:
Re𝑙 =𝑢2−𝑛𝑙𝑛
𝑘= 1 (4.5)
Esta é uma proposição que assume que a energia é dissipada nas pequenas escalas
quando as forças de inércia e viscosas tem a mesma ordem representado pelo número de
Reynolds das pequenas escalas ser igual a unidade.
Após alguma manipulação algébrica conseguimos chegar à relação apresentada
abaixo. Maiores detalhes podem ser vistos no apêndice A.
𝑢
𝑈=
1
Re𝐿
(1
2(𝑛+1))
(4.6)
Segundo a teoria desenvolvida por (GIOIA e CHAKRABORTY, 2006) que estende
a teoria de Kolmogorov, a tensão na parede é proporcional à velocidade do escoamento,
a densidade e a velocidade de dissipação nas pequenas escalas podendo ser expressa da
seguinte forma:
𝜏~vρU (4.7)
Onde v representa perpendicular ao escoamento para a transferência de momento e
pode ser aproximada por u e U a velocidade característica do escoamento. Para
27
chegarmos à formulação final ainda é necessário utilizar a definição do fator de atrito de
onde tiramos a relação:
𝑓~𝜏
ρU2
(4.8)
Ao substituir as relações (4.7) e (4.8) em (4.6) se obtém:
𝑓~
1
Re𝐿
(1
2(𝑛+1)) (4.9)
Para que a relação definida acima se torne uma igualdade é necessário ajustar
uma constante de proporcionalidade representada na equação abaixo por G(n):
𝑓 = 𝐺(𝑛)1
Re𝐿
(1
2(𝑛+1)) (4.10)
Esta é uma relação válida para fluidos Não Newtonianos com comportamento
reológico lei de potência. A proposição da constante 𝐺(𝑛), ser função apenas do índice
de potência (n) foi realizada, por (ANBARLOOEI, CRUZ e SILVA FREIRE, 2015b)
que após ajustes com dados experimentais obteve equação abaixo:
𝑓 = 1,018 (0,1 +
0,982 ∗ 10−2
𝑛− 0,0322 ∗ 𝑛)
1
Re𝐿
(1
2(𝑛+1))
(4.11)
Apesar da ideia por trás desta equação ser realmente inovadora pela sua
simplicidade e generalidade sua aplicabilidade é limitada a Reynolds baixos a
moderados.
Relações para regime turbulento
Para desenvolver uma equação que seja válida para todo domínio do regime
turbulento podemos perceber, de trabalhos anteriores, que as equação capazes de
realizar tal feito são, geralmente, implícitas. Isso ocorre porque para a dedução das
mesmas são realizadas menos simplificações permitindo que a formulação represente
melhor a realidade.
28
Partindo desta ideia a modelagem para a nova equação começa da conservação da
quantidade de movimento em um fluido na camada limite em regime turbulento
definido como abaixo:
𝑢
∂𝑢
∂𝑥+ 𝑣
∂𝑢
∂𝑦= −𝑃𝑥 +
∂𝑢′𝑣′̅̅ ̅̅ ̅̅
∂𝑦+
∂τ
∂y (4.12)
Onde τ representa o estado de tensões e pode ser modelado através do modelo
reológico do fluido. Neste trabalho serão utilizados fluidos lei de potência representado
pela equação (2.2) explicitada novamente abaixo:
𝜏 = 𝑘 (
∂�̅�
∂𝑦)𝑛
(4.13)
Aplicando esta definição obtemos a equação abaixo:
�̅�∂�̅�
∂𝑥+ �̅�
∂�̅�
∂𝑦= −𝑃𝑥 +
∂𝑢′𝑣′̅̅ ̅̅ ̅̅
∂𝑦+
∂
∂y(𝑘 (
∂�̅�
∂𝑦)𝑛
) (4.14)
Perto da parede podemos simplificar a equação zerando o termo a esquerda da
equação considerando:
∂�̅�
∂𝑥= 0 (4.15)
�̅� = 0 (4.16)
A primeira simplificação implica que estamos em um regime permanente onde
não há mais variação da velocidade média na direção do escoamento e a segunda
simplificação afirma que a velocidade média na direção perpendicular ao escoamento é
zero, ou seja, apesar de haver movimentos em ambos os sentidos da direção
perpendicular a média nesta direção é nula. Na subcamada viscosa onde os efeitos das
tensões turbulentas são desprezíveis podemos obter a seguinte equação,
desconsiderando os efeitos do gradiente de pressão devido à pequena espessura da
subcamada viscosa:
𝑃𝑥 = 0 (4.17)
29
∂𝑢′𝑣′̅̅ ̅̅ ̅̅
∂𝑦~0 (4.18)
Com essas simplificações obtemos:
∂
∂y(𝑘 (
∂�̅�
∂𝑦)𝑛
) = 0 (4.19)
Integrando, obtemos:
𝐶 = 𝑘 (
∂�̅�
∂𝑦)𝑛
(4.20)
Onde 𝐶 é uma constante que representa a tensão na parede sendo definido como
abaixo:
𝐶 = 𝜏𝑤 = ρu𝜏
2 (4.21)
Integrando novamente:
�̅�
𝑢𝜏= 𝑦 (
ρu𝜏2−𝑛
𝑘)
1𝑛
(4.22)
A equação acima pode ser reescrita como:
𝑢+ = 𝑦+ (4.23)
Onde:
𝑢+ =
�̅�
𝑢𝜏 (4.24)
𝑦+ = 𝑦 (ρu𝜏
2−𝑛
𝐾)
1𝑛
(4.25)
As equações (4.24) e (4.25) representam as variáveis de similaridade da região
de parede e serão utilizadas na obtenção do perfil de velocidade na região turbulenta e
na equação do atrito
Para a região turbulenta acima da subcamada viscosa, onde os efeitos difusivos
viscosos perdem importância, podemos simplificar as equações do movimento como
segue:
30
∂(𝑢′𝑣′̅̅ ̅̅ ̅̅ )
∂𝑦= 0 (4.26)
Integrando a equação acima chegamos a:
𝑢′𝑣′̅̅ ̅̅ ̅̅ = 𝐶𝑡𝑒 (4.27)
Onde utilizando o modelo de comprimento de mistura obtemos:
𝑢′𝑣′̅̅ ̅̅ ̅̅ = (𝜒 ∗ y∂�̅�
∂𝑦)2
(4.28)
𝐶𝑡𝑒 = u𝜏
2 (4.29)
Integrando a equação acima chegamos a:
𝑢+ =
1
𝜒Ln[𝑦+] + 𝐶1 (4.30)
Onde 𝐶1 é uma constante a ser definida. Esta constante foi proposta por
(ANBARLOOEI, CRUZ e SILVA FREIRE, 2015a) como sendo:
𝐶1 = 5,0 − 5,44ln (𝑛) (4.31)
Com isso chegamos à forma final definida abaixo:
𝑢+ =
1
𝜒Ln[𝑦+] + 5,0 − 5,44ln (𝑛) (4.32)
Modelagem da equação para dutos
circulares
Para chegar a uma equação explícita com ampla aplicabilidade é necessário
definir bem o problema, para explorar o máximo de simplificação que possam ser
31
utilizadas, para criar um modelo que possa descrever o fenômeno da maneira mais
precisa possível.
Para desenvolver duas equações explícitas, uma para escoamento em dutos e outra
para escoamento anular, nesta seção, foi utilizada uma equação implícita que
juntamente da equação (4.32) obtemos a formulação final.
A geometria para o duto é ilustrada abaixo:
Figura 4.3 – Geometria do Duto
Modelo implícito
O início da modelagem parte das considerações de regime permanente,
isotérmico e com propriedades constantes. Com essas simplificações temos, para um
elemento de área, a conservação de massa definido como:
Q = ∫𝑣 ∗ 𝑑𝐴 (4.33)
Utilizando a geometria apresentada acima e considerando que o escoamento é
simétrico em relação a θ podemos reescrever a equação como:
U ∗ 𝜋 ∗
𝐷2
4= ∫ 𝑢 ∗ 𝜋 ∗ 𝑦 𝑑𝑦
D
0
(4.34)
Simplificando obtemos:
U =
4
𝐷2∫ u ∗ 𝑦 ∗ ⅆ𝑦
𝑎
0
(4.35)
32
Onde 𝑢𝑚 é a velocidade média e u é a velocidade em função de y. Como a
equações para o perfil de velocidade têm como referência a interface fluido/parede
temos que mudar o referencial da equação acima ficando com:
U =
2
𝑎2∫ 𝑢
_(𝑎 − 𝑦) ⅆ𝑦
𝑎
0
(4.36)
Além da equação (4.32) serão utilizadas as relações abaixo:
𝑢𝜏 = (𝜏
𝜌)
12 (4.37)
𝑓 =
2𝜏
ρv2 (4.38)
Re =
𝜌 ∗ 𝑈(2−𝑛) ∗ 𝐷𝑛
𝑘 ∗ 𝛽 (4.39)
𝛽 = (6 +2
𝑛)
𝑛 1
8 (4.40)
Substituindo estas relações na equação (4.36) e resolvendo a integral chegamos à
equação implícita final cujo desenvolvimento completo pode ser visto no apêndice B.
√2
𝑓= 2,5 ∗ Ln (
𝛾
2) −
15
4+ 5,0 − 5,44ln (𝑛) + C2 (4.41)
Onde:
𝛾 = (3 +
1
𝑛) ∗ 2(
3𝑛−82𝑛
) ∗ 𝑓2−𝑛2𝑛 ∗ ReMR
1𝑛 (4.42)
Equação explícita
Para chegarmos à forma final da equação é necessário combinar a equação (4.41)
com a equação (4.11) e juntamente com os dados experimentais definir a constante C2.
33
Foram utilizados os resultados experimentais realizados por (BOGUE, 1962),
(DODGE e METZNER, 1959) e (YOO, 1974) para obter o valor de C2 representado
pela função abaixo:
C2 = 4,23n − 3,8 (4.43)
Com isso chegamos á equação final definida como:
√2
𝑓= 2,5Ln (
𝛾
2) −
15
4+ 5,0 − 5,44Ln (𝑛) + 4,23𝑛 − 3,8 (4.44)
Onde:
𝛾 = (3 +
1
𝑛) ∗ 2(
3𝑛−82𝑛
) ∗ ReMR
1𝑛 ∗ A
2−𝑛2𝑛
(4.45)
𝐴 = 1,018(0,1 +
0,982 ∗ 10−2
𝑛− 0,032 ∗ 𝑛)
1
ReMR
12∗(𝑛+1)
(4.46)
Modelagem da equação para regime
anular tubos concêntricos
Para o caso do estudo do regime anular são acrescentadas novas incógnitas ao
problema, pois não temos apenas uma fronteira, representada pela parede interna da
tubulação, mais também temos a face externa da tubulação interna.
A maioria das equações existentes atualmente utiliza o conceito do diâmetro
equivalente, na tentativa de simplificar o problema da geometria anular, aproveitando as
equações já desenvolvidas para dutos, condensando a nova informação geométrica em
um novo diâmetro. Essa abordagem apesar de prática acaba atendendo apenas a casos
específicos, que são próximos aos utilizados em sua calibração. Esse tipo de formulação
pode apresentar estimativas pouco precisas, isto ocorre por dois motivos principais:
34
primeiro o modelo condensa toda informação geométrica em um único fator geométrico
conhecido com diâmetro equivalente; e segundo, os modelos não levam em
consideração os efeitos que ocorrem devido à nova configuração, que agora apresenta
novas restrições devido à parede interna, ao utilizar modelos próprios para dutos.
Para começarmos a análise temos novamente que definir bem os parâmetros
relevantes para esta nova geometria começando com suas características espaciais que
são ilustradas na figura abaixo:
Figura 4.4 – Geometria do anular
Sistema implícito
A nova proposição tenta descrever o fator de atrito considerando dois fatores de
atrito distintos paras caracterizar este escoamento, fe para caracterizar o fator de atrito
da parede externa e um fi para parede interna, para então obter o fator de atrito total, que
representa a perda de carga total gerada pelo atrito.
Ao adotar esta metodologia podemos dividir o problema do anular para cada uma
das interfaces fluido/parede estudadas e utilizar o equilíbrio entre as fases para
descrever a parte central do escoamento. Assim conseguimos escrever quatro equações
que serão utilizadas:
𝑢𝜏𝑒∗ 𝜋 ∗ 𝐷𝑒 =
ⅆP
ⅆx
𝐷𝑒2 − 𝐷𝑚
2
4 (4.47)
𝑢𝜏𝑖∗ 𝜋 ∗ 𝐷𝑖 =
ⅆP
ⅆx
𝐷𝑚2 − 𝐷𝑖
2
4 (4.48)
35
�̅�𝑖 = �̅�𝑒 ; raio =
𝐷𝑚
2 (4.49)
𝑄 = ∫ 𝑢 𝑑𝐴 (4.50)
As duas primeiras equações representam um equilíbrio de força nas paredes
externas e internas, respectivamente. A terceira equação afirma que: as velocidades dos
perfis de velocidade (interno e externo) que partem das paredes são iguais em um
diâmetro conhecido como Dm. A quarta equação é a conservação de massa já
simplificada para regime permanente isotérmico e com propriedades constantes.
Partido do sistema formado por essas quatro equações iremos utilizar novamente
a equação (4.32) para representar o perfil de velocidade com origem na parede
substituindo na equação (4.49) obtemos:
𝑢𝜏𝑖
𝜒Ln[𝑦𝑖𝛼𝑖] + 𝑢𝜏𝑖
𝐶1 =𝑢𝜏𝑒
𝜒Ln[𝑦𝑒𝛼𝑒] + 𝑢𝜏𝑒
𝐶1 (4.51)
Onde:
𝛼𝑘 = (𝜌 ∗ 𝑢𝜏𝑘
(2−𝑛)
𝑘)
1𝑛
(4.52)
𝑦𝑖 = 𝐷𝑚 − 𝐷𝑖 (4.53)
𝑦𝑒 = 𝐷𝑒 − 𝐷𝑚 (4.54)
E utilizando as relações abaixo:
𝑢𝜏 = (𝜏
𝜌)
12 (4.55)
𝑓 =
2𝜏
ρv2 (4.56)
Chegamos em:
√𝑓𝑖 (
1
𝜒ln [
(𝐷𝑚 − 𝐷𝑖)
𝐷𝛾𝑖] + 𝐶1) = √𝑓𝑒 (
1
𝜒ln [
(𝐷𝑒 − 𝐷𝑚)
𝐷𝛾𝑒] + 𝐶1) (4.57)
36
Onde:
𝛾𝑘 = (3 +
1
𝑛) ∗ 2(
3𝑛−82𝑛
) ∗ ReMR
1𝑛 ∗ 𝑓𝑘
(2−𝑛)2𝑛 (4.58)
Para solucionar a equação (4.50) novamente substituímos nela a equação (4.32)
para obtermos, após o ajuste com o novo sistema de coordenadas, a equação abaixo:
𝑣(𝐷𝑒2 − 𝐷𝑖
2)
4= ∫ 𝐴 𝑑𝑦
𝐷𝑚−𝐷𝑖
0
+ ∫ 𝐵 𝑑𝑦𝐷𝑒−𝐷𝑚
0
(4.59)
Onde:
𝐴 = (𝑢𝜏𝑖
𝜒Ln [𝑦𝑖 (
𝜌 ∗ 𝑢𝜏𝑖
(2−𝑛)
𝑘)
1𝑛
] + 𝑢𝜏𝑖𝐶1) ∗ (𝑦 + 𝐷𝑖) (4.60)
𝐵 = (𝑢𝜏𝑒
𝜒Ln [𝑦𝑒 (
𝜌 ∗ 𝑢𝜏𝑖
(2−𝑛)
𝑘)
1𝑛
] + 𝑢𝜏𝑒𝐶1) ∗ (𝐷𝑒 − 𝑦) (4.61)
Que apresenta como resultado final:
(𝐷𝑒
2 − 𝐷𝑖2)
4= √
𝑓𝑖2
∗ 𝐶 + √𝑓𝑒2
∗ 𝐻 (4.62)
Onde:
𝐶 =
−DI2
4𝜒+
DI2
2𝜒Ln [
DI
𝐷𝛾𝑖] +
𝐷𝑖DI
𝜒[−1 + Ln [
DI
𝐷𝛾𝑖]] + 𝐶1 (
DI2
2+ 𝐷𝑖DI) (4.63)
𝐻 =
DE2
4𝜒−
DE2
2𝜒Ln [
DE
𝐷𝛾𝑒] +
𝐷𝑒DE
𝜒[−1 + Ln [
DE
𝐷𝛾𝑒]] + 𝐶1 (
−DE2
2+ 𝐷𝑒DE) (4.64)
𝛾𝑘 = (3 +
1
𝑛) ∗ 2(
3𝑛−82𝑛
) ∗ ReMR
1𝑛 ∗ 𝑓𝑘
(2−𝑛)2𝑛 (4.65)
DI = (𝐷𝑚 − 𝐷𝑖) (4.66)
37
DE = (𝐷𝑒 − 𝐷𝑚) (4.67)
As etapas completas de cálculo podem ser vistas no apêndice C.
Como essas duas equações ainda é necessário definir 𝐷𝑚 para tanto utilizamos
as outras duas equações (4.47) e (4.48) e chegamos a:
𝐷𝑚 = (𝐷𝑒
2𝑓𝑖𝐷𝑖 + 𝐷𝑖2𝑓𝑒𝐷𝑒
𝑓𝑖𝐷𝑖 + 𝑓𝑒𝐷𝑒)
2
(4.68)
Após manipulação algébrica chegamos ao sistema formado por estas duas equações:
𝑓𝑖 =
(
(√𝑓𝑒𝜒 Ln [DE
1D𝛾𝑒] + √𝑓𝑒 ∗ 𝐶1)
1𝜒 Ln [DI
1D 𝛾𝑖] + 𝐶1
)
2
(4.69)
𝑓𝑒 = 2
(
𝐶2 +
𝐷𝑒2 − 𝐷𝑖
2
4 − (𝑓𝑖2)
12∗ 𝐸
𝐹
)
2
(4.70)
Onde:
𝐸 =
−DI2
4𝜒+
DI2
2𝜒Ln [DI
𝛾
D] +
𝐷𝑖DI
𝜒(−1 + Ln [DI
𝛾
D]) + 𝐶1 (
DI2
2+ 𝐷𝑖DI) (4.71)
𝐹 =
DE2
4𝜒−
DE2
2𝜒Ln [DE
𝛾
D] +
𝐷𝑒DE
𝜒(−1 + Ln [DE
𝛾
D]) + 𝐶1 (
−DE2
2+ 𝐷𝑒DE) (4.72)
Com este sistema podemos então determinar o valor do fator de atrito para a
parede interna e externa
Sistema explícito
38
Para aplicações práticas a divisão dos fatores de atrito de cada parede é irrelevante,
pois estamos interessados na perda total que ocorre na tubulação e a medição da própria
perda de carga é feita de maneira a considerar o sistema e não as perdas geradas pelas
paredes individualmente.
Então precisamos definir um fator de atrito total que para comparar com resultados
experimentais para isso utilizamos novamente as equações (4.47) e (4.48) para chegar a:
𝑓𝑡 =
π(𝑓𝑒 ∗ 𝐷𝑒 + 𝑓𝑖 ∗ 𝐷𝑖)
𝐷𝑒 + 𝐷𝑖 (4.73)
Agora que temos ft como sendo o fator de atrito que desejamos encontrar é
necessário definir a constante C2. Os dados experimentais foram retirados de
(LANGLINAIS, BOURGOYNE JR. e HOLDEN, 1983) dos quais, uma parte
utilizamos para calibração e a outra para validação, os dados podem ser encontrados no
apêndice E. Com isso temos a equação final descrita abaixo:
C2 = 0.0005910𝑛 − 0.0000092 + 10−16𝑒(53.722
𝐷𝑖𝐷𝑒
)− 0.0003705 (4.74)
Com isso chegamos ao sistema final definido como:
𝑓𝑖 =
(
(√fe𝜒 Ln [DE
1D γe] + √fe ∗ C1)
1𝜒 Ln [DI
1D γi] + C1
)
2
(4.75)
𝑓𝑒 = 2
(
C2 +
𝐷𝑒2 − 𝐷𝑖
2
4 − (𝐹2)
12𝐴
𝐵
)
2
(4.76)
Onde:
𝐴 =
−DI2
4𝜒+
DI2
2𝜒Ln [DI
𝛾
D] +
𝐷𝑖
𝜒(−DI + DILn [DI
𝛾
D]) + C1(
DI2
2+ 𝐷𝑖DI) (4.77)
𝐵 =
DE2
4𝜒−
DE2
2𝜒Ln [DE
𝛾
D] +
𝐷𝑒
𝜒(−DE + DELn [DE
𝛾
D]) + C1(
−DE2
2+ 𝐷𝑒DE) (4.78)
39
C2 = 0,0005910𝑛 − 0,0000092 + 10−16𝑒(53,722
DiDe
)− 0,0003705 (4.79)
𝛾𝑘 = (3 +
1
𝑛) ∗ 2(
3𝑛−82𝑛
) ∗ Re1𝑛 ∗ 𝑓𝑘
(2−𝑛)2𝑛 (4.80)
𝐹 = 1,018 (0,1 +
0,982 ∗ 10−2
𝑛− 0,032 ∗ 𝑛)
1
Re1
2∗(𝑛+1)
(4.81)
40
Fator de atrito com rugosidade
O desenvolvimento desta equação foi colocado em uma seção à parte, por se
utilizar dos desenvolvimentos já feitos anteriormente e também por se tratar de uma
equação desenvolvida mais recentemente sendo necessários maiores estudos para
refinar sua calibração.
A rugosidade é de extrema importância para estimar o fator de atrito, ela afeta de
maneira apreciável o sistema para baixos Reynolds além de ser o fator determinante
para altos Reynolds. Para incorporar esse fator nas modelagens antes descritas o perfil
de velocidade precisa ser reescrito passando a considerá-la como descrito abaixo:
𝑢+ =
1
𝜒Ln[𝑦+] + 𝐶1 − 𝛥𝐵 (4.82)
Sendo o 𝛥𝐵 definido abaixo:
𝛥𝐵 =
1
𝜒Ln[1 + 𝜙 ∗ 𝐾+] (4.83)
Onde:
𝐾+ = 𝜀 (ρu𝜏
2−𝑛
𝑘)
1𝑛
(4.84)
Aqui 𝜀 é um comprimento característico do escoamento e representa a rugosidade,
com dimensão de comprimento, enquanto 𝜙 é uma constante que precisa ser ajustada,
para o caso de fluidos Newtonianos em dutos com rugosidade utilizando grãos de areia
este valor é de 0,3.
Com esta nova definição o mesmo procedimento anterior será utilizado para
desenvolver os modelos que consideram também a rugosidade como parâmetro, mas
vale ressaltar que os resultados que serão obtidos com as equações desenvolvidas nesta
seção necessitam de maior calibração para chegar a um resultado final mais acurado.
41
Duto
Utilizando as mesmas premissas iniciais da dedução para tubulação de
escoamento em regime permanente e com propriedades constantes substituímos as
equações (4.82), na (4.36) mostrada abaixo:
U =
2
𝑎2∫ 𝑢
_(𝑎 − 𝑦) ⅆ𝑦
𝑎
0
(4.85)
Resolvendo a equação obtemos:
√2
𝑓= −
3
2 ∗ 𝜒+
1
𝜒Ln (𝑟 ∗
𝛾
𝐷) + (𝐶1 − ΔB) + 𝐶2 (4.86)
A partir deste equacionamento temos que determinar as constantes chegando à
equação final definida abaixo:
√2
𝑓= −
3
2𝜒−
1
0,434𝜒Log (
2
𝛾+ 2𝜙
𝜀
𝐷) + 1,2 − 5,44Ln (𝑛) + 4,23𝑛 (4.87)
42
Capítulo 5
Análise dos resultados
Com as equações finais para estimar o fator de atrito, em mãos, elas precisam ser
validadas para garantir que representam o fenômeno de maneira adequada.
As comparações para avaliar os casos de escoamento no duto cilíndrico e no anular,
sem rugosidade, foram divididas em três partes da seguinte forma: primeiramente a
comparação com dados reais, depois uma análise com modelos existentes e por fim uma
análise geral onde são destacados os pontos mais importantes com um resumo das
comparações anteriores.
Para as equações definidas com rugosidade a análise feita irá conter apenas
discussão sobre os resultados bem como comparação com o modelo de (HAALAND,
1983) para o caso Newtoniano no duto, pois existem poucos dados experimentais e
modelos que tratem do assunto na literatura fazendo com que uma análise mais
completa seja difícil de ser realizada.
Esta proposta de análise visa demonstrar os principais pontos positivos da nova
formulação. Ressaltando sua capacidade de representar a realidade para grandes faixas
de Reynolds mesmo se tratando de uma equação explícita.
Duto
Nesta seção iremos avaliar a equação (4.44) e discutir os resultados obtidos ao
aplicá-la. Por se tratar de uma estimativa para o fator de atrito em uma das geometrias
mais usuais, como podemos observar pelos diversos trabalhos analisando o assunto,
como os (DODGE e METZNER, 1959), (BOGUE, 1962) e (YOO, 1974), uma grande
quantidade de dados experimentais está disponível para que possamos avaliar o seu
43
comportamento com diferentes fluidos, caracterizados pelos diferentes índices de
potência.
Comparação com dados experimentais
A melhor comparação que um modelo, que tenta descrever algum fenômeno, pode
ter é com a realidade, mas a realização de medições diretas em processos produtivos
conta com diversos fatores que podem influenciar a aquisição de dados, além de erros
associados ao sistema de medição inerente a metodologia utilizada em sua construção,
portanto uma análise cuidadosa dos resultados obtidos para validar as equações é
necessária.
Aqui foram selecionados dados experimentais dos trabalhos de (DODGE, 1959),
(BOGUE, 1962) e (YOO, 1974) cobrindo os índices de potência na faixa de n=1,
fluidos Newtonianos, até 𝑛 = 0,46 e 1.000 < 𝑅𝑒𝑀𝑅 < 120.000. Estes dados foram
escolhidos por se tratarem de experimentos controlados, minimizando a possibilidade de
efeitos secundários que afetem os valores medidos, realizados com intuito de entender o
comportamento do fator de atrito.
Para começar a discutir os resultados uma visão geral é mostrada pelo gráfico
abaixo seguida de uma análise mais detalhada para cada um dos valores do índice de
potência(n).
44
Figura 5.1 - Comparação Dados x Presente trabalho
Neste primeiro gráfico é possível observar que o novo modelo representado pelas
linhas com a legenda Presente trabalho no gráfico acima, concorda com os dados
experimentais, indicados pelos diferentes pontos ilustrados no gráfico, pois segue a
tendência do fator de atrito no regime turbulento. É possível também reparar que para o
casso do regime laminar, 𝑅𝑒𝑀𝑅 < 4.000, onde a equação não é valida, a discrepância
entre o modelo e o experimento é grande demonstrando que a nova proposição não
representa corretamente os fenômenos que nele ocorrem.
Devido à proximidade dos valores obtidos com o novo modelo e os dados
experimentais esta avaliação qualitativa serve apenas para ilustrar que o novo modelo
45
consegue descrever o comportamento geral, mas ainda e necessário verificar a precisão
dos resultados. Para tanto uma análise mais detalhado dos dados se faz necessária, para
melhor visualização eles foram agrupados em três grupos, segundo seus índices de
potências, definidos pelos dados experimentais.
Quando o índice de potência é igual à unidade o modelo de leis de potências
definido pela equação (2.2) é simplificado e passa a representar os fluidos Newtonianos.
Este caso é especial por se tratar de um caso de referência, possuindo diversos modelos
que conseguem estimar seu comportamento com precisão. Abaixo está um gráfico com
apenas pontos referentes a este caso e a nova proposição, seguido de uma tabela com os
erros absolutos e relativos:
Figura 5.2 - Comparação Dados x Presente trabalho =1,0
46
Tabela 5.1 - Erro Duto n=1,0
n=1,0
ReMR Erro Absoluto Erro
Relativo ReMR Erro Absoluto
Erro Relativo
5208,75 -3,08E-04 3,20% 78188,9 1,25E-04 2,72%
6242,56 -1,23E-03 12,20% 82668,2 4,07E-05 0,88%
6554,39 -2,08E-04 2,34% 88015 9,57E-05 2,12%
7800,76 -2,41E-04 2,83% 91133,4 -2,42E-05 0,53%
10821,2 -8,08E-05 1,06% 96354,3 -1,88E-05 0,42%
15011,1 3,46E-05 0,50% 97027,6 -2,31E-04 4,88%
40350,3 -1,01E-04 1,81% 103303 -1,41E-04 3,07%
45738,5 -1,17E-05 0,22% 105484 3,93E-05 0,89%
49379,7 2,25E-04 4,51% 106963 -8,62E-05 1,91%
49724,7 -9,56E-06 0,18% 109984 1,56E-06 0,04%
51486,5 -4,96E-05 0,95% 113091 -1,08E-04 2,41%
56364,8 -1,19E-04 2,29% 118740 -1,10E-05 0,25%
58361,8 -2,73E-05 0,54% 119570 1,03E-05 0,24%
60429,6 9,25E-05 1,89% 123806 -1,31E-04 2,96%
61705,3 -8,79E-05 1,74% 125542 -4,71E-06 0,11%
67083,1 -5,01E-05 1,02% 151511 -2,28E-06 0,06%
68499,2 -9,86E-06 0,20% 161310 -1,05E-04 2,53%
74989,4 -4,15E-05 0,86% 196037 -1,01E-04 2,51%
75513,4 4,20E-05 0,89% 220673 -3,88E-05 1,00%
77646,3 -1,60E-05 0,34% 233315 -7,91E-05 2,05%
No gráfico acima, que mostra o caso dos Fluidos Newtonianos, juntamente da
tabela, onde estão apresentados apenas os dados referentes ao regime turbulento, que os
resultados obtidos apresentam uma boa precisão com apenas quatro valores
ultrapassando um erro relativo maior que 3 %.
Este resultado é especialmente importante por se tratar dos fluidos com
comportamento reológico Newtoniano, pois é considerado um caso de referência devido
a maior entendimento de seu comportamento sendo utilizado por diversos estudos para
validar seus modelos, sendo assim a conformidade com estes dados garante maior
credibilidade ao novo modelo.
Ao diminuir o índice de potências para 0,7 começamos a avaliar os fluidos não
newtonianos propriamente ditos. Abaixo seguem os resultados obtidos:
47
Figura 5.3 Comparação Dados x Presente trabalho n=0,7
Tabela 5.2 – Erro Duto n=0,7
n=0,7
ReMR Erro
Absoluto Erro
Relativo ReMR
Erro Absoluto
Erro Relativo
4082,13 1,79E-04 2,22% 11361,7 3,96E-04 6,54%
4407,1 2,35E-04 2,97% 11682,6 1,05E-05 0,19%
4824,67 2,23E-04 2,92% 12012,6 5,59E-05 1,02%
5101,07 3,86E-04 5,15% 13059,5 3,60E-04 6,23%
5507,16 1,69E-04 2,32% 13428,4 2,23E-04 3,99%
5623,41 -9,75E-05 1,40% 14396,8 2,95E-04 5,30%
5782,25 2,37E-04 3,28% 15435,1 3,99E-04 7,17%
6028,95 1,84E-04 2,67% 16206,1 2,28E-04 4,28%
48
n=0,7
ReMR Erro
Absoluto Erro
Relativo ReMR
Erro Absoluto
Erro Relativo
6113,51 -4,91E-04 7,91% 17374,8 1,43E-04 2,86%
6786,62 2,80E-04 4,05% 17865,5 2,65E-04 5,08%
7027,07 3,53E-04 5,11% 18889 5,44E-04 10,02%
7429,64 1,65E-04 2,55% 19694,9 1,39E-04 2,79%
7800,76 2,67E-04 4,05% 22016,2 4,76E-04 9,23%
8133,59 3,08E-04 4,70% 22796,2 2,95E-04 5,99%
9219,72 3,82E-04 5,97% 23277,5 -7,35E-05 1,67%
9546,38 2,86E-04 4,58% 27703,9 2,56E-04 5,50%
10597,5 3,54E-04 5,94% 35845,6 3,37E-04 7,57%
11126,8 2,84E-04 4,76%
Aqui o erro relativo é maior que no casso dos fluidos Newtoniano, mas ainda se
encontra por volta dos 5% com apenas alguns dois pontos que se sobressaem desta
estimativa. Avaliando o gráfico juntamente da tabela a nova equação consegue
representar os fluidos não newtonianos com precisão, pelos pequenos valores de erro
observados.
Com a diminuição do índice de potência vemos que o Reynolds crítico aumenta e
neste gráfico também observamos parte do comportamento laminar que não é
comtemplado pela equação e retirado da comparação na tabela acima, mas mantido no
gráfico para demonstrar que a equação não é valida neste caso, como pode ser
observado pela maior distância entre o modelo e os dados experimentais.
O valor de n=0.46 é considerado baixo e não são muitos fluidos encontrados que
apresentam um comportamento semelhante. A dificuldade tanto de preparo quanto
manutenção das propriedades do fluido durante o experimento dificulta a sua realização,
por esse motivo temos uma quantidade menor de dados para esse caso.
49
Figura 5.4 - Comparação Dados x Presente trabalho n=0,46
Tabela 5.3 – Erro Duto n=0,46
n=0,46
ReMR Erro Absoluto Erro
Relativo ReMR Erro Absoluto
Erro Relativo
4053,81 -2,51E-05 0,38% 7692,88 2,38E-05 0,47%
4437,9 1,18E-04 1,82% 7910,16 1,77E-04 3,43%
5030,52 6,47E-05 1,06% 8305,29 -1,66E-04 3,52%
5030,52 -9,58E-04 18,92% 8599,55 -9,98E-05 2,11%
5065,67 3,19E-04 5,05% 9480,13 4,95E-05 1,05%
5742,12 -5,59E-04 10,90% 17134,5 1,86E-04 4,74%
7175,41 -3,09E-04 6,34% 19558,3 2,29E-04 6,01%
50
Aqui novamente o gráfico mostra todos os dados experimentais inclusive do
regime laminar, apenas para reforçar a ideia de que a equação não é valida para este
caso, e na tabela temos separado a comparação apenas com os dados relativos ao regime
turbulento. Pela análise do mesmo podemos ver que temos apenas dois pontos
afastados, mas isto se deve ao fato de os dados experimentais apresentarem uma
variação muito grande do índice de potência, sendo necessário escolher um valor de
índice potência para trabalhar, sendo assim esta maior distância pode estar relacionada a
este fato.
Comparação com outros modelos
A comparação com outros modelos é importante para averiguar como a nova
proposição se comporta mediante os resultados que hoje são utilizados. Nesta seção o
novo modelo será comparado com outras três equações, sendo duas delas implícitas e
uma terceira explícita para o cálculo do fator de atrito. Serão utilizadas comparações
com os valores do índice de potência utilizado na seção anterior, para facilitar a
comparação geral, que será realizada posteriormente.
Como podemos observar no gráfico abaixo a nova equação proposta apresenta
concordância com a desenvolvida por (DODGE e METZNER, 1959), essa concordância
é um ponto positivo, pois o valor do fator de atrito obtido pela correlação de Dodge e
Metzner é considerado uma referência quando tratamos do fator de atrito para dutos em
fluidos não newtonianos. Abaixo temos um gráfico com a comparação apenas entre
estes dois modelos.
51
Figura 5.5 - Presente trabalho x Dodge e Metzner
Para comparar a nova equação com outros modelos são mostrados dois gráficos
para cada índice de potências sendo o primeiro um gráfico comparando as equações e o
segundo mostrando a diferença entre eles em termos relativos ao novo modelo
percentualmente. A seguir estão os gráficos com os índices de potência 𝑛 = 1,0.
52
Figura 5.6 - Comparação entre modelos Duto n=1.0
53
Figura 5.7 – Erro relativo Outros modelos x Presente trabalho n=1,0
Quando 𝑛 = 1,0, fluidos Newtonianos, as equações tendem a convergir por se
tratar de um commportamento considerado como referência, apresentando resultados
semelhantes. Como podemos observar nos gráficos acima. Contudo para a equação
explícita (ANBARLOOEI, CRUZ e SILVA FREIRE, 2015a), desenvolvida apenas para
descrever uma faixa restrita de ReMR, sua previsão começa a apresentar diferenças com
os demais modelos como se pode ver pelo comportamento da linha verde no segundo
gráfico. Pode-se observar também que os modelos implícitos apresentam resultados
muito próximos do novo modelo.
54
Figura 5.8 - Comparação entre modelos Duto n=0,7
55
Figura 5.9 – Erro relativo Outros modelos x Presente trabalho n=1,0
Conforme diminuímos o valor do índice de potências começamos a perceber
uma diferença maior entre os diversos modelos, como podemos ver pelos gráficos
acima, que representam o índice de potência n=0,7. A diferença entre a nova equação e
outros modelos são maiores, mantendo uma proximidade com a equação de (DODGE e
METZNER, 1959) e (ANBARLOOEI, CRUZ e SILVA FREIRE, 2015a).
56
Figura 5.10 - Comparação entre modelos Duto n=0,46
57
Figura 5.11 – Erro relativo Outros modelos x Presente trabalho n=0,46
Aqui podemos ver que a diferença entre os modelos e a nova proposição fica
ainda mais acentuada quanto menor é o índice de potência utilizado.
Análise geral
Para avaliar a precisão do método foram agrupados os erros relativos referentes à
parte turbulenta dos dados no gráfico abaixo.
58
Figura 5.12 - Erro relativo Presente trabalho x Dados experimentais
Do gráfico acima é possível ver que o novo modelo apresenta resultados bem
próximos da realidade com um erro relativo médio de aproximadamente 4%.
Nas seções anteriores foram apresentadas comparações entre o novo modelo
com dados experimentais e outras equações, para estimar o fator de atrito demostrando a
conformidade do modelo com a realidade, através da comparação com os dados
experimentais. Abaixo temos uma tabela com a comparação dos diversos modelos com
os dados experimentais.
59
Tabela 5.4 - Erro relativo médio para Duto
Erro relativo médio (%)
Presente trabalho Dodge e Metzner Tomita Hamid
n=1,0 1,55% 1,56% 1,56% 3,71%
n=0,7 3,82% 2,94% 25,40% 3,19%
n=0,46 4,76% 4,94% 55,33% 5,06%
Geral 3,38% 3,15% 27,43% 3,99%
Com a análise das tabelas acima podemos perceber que a nova proposição
juntamente da equação de (DODGE e METZNER, 1959) possuem os menores erros.
Mesmo com os dois resultados sendo próximos, a nova proposição possui uma grande
vantagem em relação à proposição de (DODGE e METZNER, 1959), que é o fato dela
ser explícita, eliminando a necessidade de procedimentos iterativos para resolução do
problema. Como podemos ver dos gráficos anteriores a equação proposta por
(ANBARLOOEI, CRUZ e SILVA FREIRE, 2015a) também obtém bons resultados
para este intervalo dos dados experimentais, mas começa a se afastar do comportamento
quando atingimos um ReMR alto ou diminuímos o índice de potência.
Anular
Para calcular o fator de atrito no regime anular, normalmente são utilizadas as
equações já existentes para descrever o duto, substituindo o valor do diâmetro do duto
por um diâmetro equivalente. O diâmetro equivalente é obtido através de uma relação
dos parâmetros geométricos do escoamento anular, esta metodologia tenta adaptar os
resultados antigos a nova geometria, ou seja, as equações ficam inalteradas, mas o novo
diâmetro equivalente compensa as mudanças da geometria para que se possa representar
corretamente o fator de atrito.
Apesar de ser a metodologia mais utilizada, por trabalhar com equações familiares, seus
resultados apresentam discrepâncias significativas com a realidade, quando analisamos
sua aplicabilidade, limitando sua utilização a casos específicos, isso ocorre porque esses
60
modelos tentam condensar toda nova informação geométrica em um único parâmetro.
Existem algumas definição para o diâmetro equivalente das quais são mostradas 3 das
mais utilizadas abaixo:
𝐷𝑒 = De − Di (6.1)
𝐷𝑒 =1
2[De4 − Di4 −
(De2 − Di2)2
Ln (DeDi)
] +1
2[De2 − Di2]
12 (6.2)
𝐷𝑒 = 0.816(De − Di) (6.3)
Iremos analisar nesta seção duas configurações de anular comparando com dados
experimentais e os outros modelos.
Comparação com dados experimentais
Começaremos mostrando os resultados obtidos para o primeiro anular, este
possui um diâmetro interno, Di, de 0.562m e diâmetro externo, De, de 0.658m.
61
Figura 5.13 - Comparação Dados experimentais x Presente trabalho (Anular 1)
62
Figura 5.14 –Erro relativo Dados experimentais x Presente trabalho (Anular 1)
No primeiro gráfico podemos ver uma boa concordância com os resultados
experimentais, que é confirmado com o gráfico ao lado onde podemos ver um erro
relativo máximo de 16%.
Abaixo são apresentados os resultados para o segundo anular com 𝐷𝑖 = 0,845𝑚
e 𝐷𝑒 = 0,126𝑚.
63
Figura 5.15 - Comparação Dados experimentais x Presente trabalho (Anular 2)
64
Figura 5.16 - Erro relativo Dados experimentais x Presente trabalho (Anular 2)
Os valores absolutos mostrados podem fazer parecer que o resultado está mais
distante do que parece. Para avaliar a efetividade do método foi feita uma análise do
erro relativo.
Aqui vemos que, mesmo distantes, apresentam um erro relativo semelhante à
comparação anterior e abaixo de 15%, com apenas duas exceções, mostrando a
concordância do novo modelo.
Comparação com outros modelos
65
Abaixo estão as comparações realizadas entre o novo modelos e os modelos de
Dodge e Metzner e Tomita com a definição para o diâmetro equivalente dado pela
equação (6.1), para o anular 1:
Figura 5.17 - Comparação entre modelos Anular 1 n = 0,874
66
Figura 5.18 – Diferença Presente trabalho x Outros modelos n = 0,874 (Anular 1)
67
Figura 5.19 - Comparação entre modelos Anular 1 n = 0.824
68
Figura 5.20 – Diferença Presente trabalho x Outros modelos n = 0,824 (Anular 1)
69
Figura 5.21 - Comparação entre modelos Anular 1 n = 0.784
70
Figura 5.22 - Diferença Presente trabalho x Outros modelos n = 0,784 (Anular 1)
Como podemos perceber em todos os três casos a diferença entre os modelos é
grande, mesmo quando analisamos o erro relativo apresentado no segundo gráfico de
cada índice de potência. Isto é em parte pela escolha do diâmetro equivalente.
Abaixo estão as comparações das equações para o anular 2:
71
Figura 5.23 - Comparação entre modelos Anular 2 n = 0,807
72
Figura 5.24 - Diferença Presente trabalho x Outros modelos n = 0,807 (Anular 2)
73
Figura 5.25 - Comparação entre modelos Anular 2 n = 0.784
74
Figura 5.26 - Diferença Presente trabalho x Outros modelos n = 0,784 (Anular 2)
Aqui novamente os resultados estão bem distantes como é demonstrado pelo
segundo gráfico de cada uma das comparações
Análise geral
Para melhor visualizar as diferenças entre os modelos a tabela abaixo resume os
resultados mostrados nessa seção com a comparação entre os diversos modelos e os
dados experimentais:
75
Tabela 5.5 - Erro relativo médio Anular
Erro relativo médio (%)
n Presente trabalho Tomita Dodge e Metzner
Anular 1
(De=0,0286)
0,874 8,57% 38,63% 33,33%
0,824 10,35% 29,11% 20,90%
0,784 12,21% 21,44% 9,92%
Anular 2
(De=0,0512)
0,807 20,90% 91,35% 92,29%
0,784 22,60% 91,27% 92,33%
Geral 14.93% 54.36% 49.76%
Podemos perceber que a nova proposição apresenta os menores erros, obtendo os
melhores resultados para os casos com a vantagem de ser uma equação explícita. É
importante relatar que diâmetro equivalente utilizado pode melhorar os resultados
obtidos em até 30% para as outras equações, mas mesmo assim não consegue chegar
aos mesmos resultados obtidos pela nova formulação.
Rugosidade
Ao introduzir a rugosidade como mais um parâmetro, a análises completa torna-se
mais difícil, pois menos dados experimentais estão disponíveis, portanto as equações
aqui utilizadas serão comparadas com alguns modelos para testar sua validade.
76
O valor de 𝜙 utilizado para obter esses resultados é uma proposta desenvolvida
em outra pesquisa realizada no laboratório por (SANTOS, 2015) que apresenta
resultados preliminares consistentes e é definido abaixo:
ϕ = 100,1(1−1𝑛) ∗ 0,27 (5.4)
Quando estamos falando de dutos cilíndricos podemos testar a rugosidade com
as equações já amplamente conhecidas para o caso newtoniano garantindo a boa
aproximação com os dados. Aqui foi escolhida outra equação explícita amplamente
utilizada, a equação de Haaland, para realizar a comparação.
Figura 5.27 - Presente trabalho x Haaland
77
Como podemos ver pelo gráfico as duas equações apresentam previsões muito
próximas mostrando que a nova equação para o caso newtoniano apresenta resultados
acurados
Para o caso de fluidos não newtonianos temos apenas os resultados obtido pela
nova formulação
Figura 5.28 - Presente trabalho Duto rugoso n= 0,6
Para este caso não existe uma equação amplamente aceita para descrever o caso
além de dados escassos para testar a nova formulação podemos apenas avaliar que o seu
comportamento segue o padrão esperado e por este motivo acreditamos que ela possa
fornecer bons resultados se for corretamente calibrada.
78
Para esta equação onde foi incluída a rugosidade, por falta de dados experimentais,
não podemos afirmar o quanto precisa ela será em aplicações, mas utilizando este novo
modelo conseguimos resultados equiparáveis aos de Haaland para o caso newtoniano e
quando estudamos os comportamento da função para fluidos Não Newtonianos
observando um comportamento semelhante ao esperado o que leva a creditar que o
ajuste proposto irá gerar uma equação aplicável ao caso Não Newtoniano.
79
Capítulo 6
Conclusão
O comportamento dos fluidos é extremamente complexo e desenvolver equações
que consigam descrever suas características de forma explicita é um desafio, mas
devido à praticidade para resolução de problemas fornecida por este tipo de formulação,
aliadas a sua rapidez de respostas, fazem dela uma ótima ferramenta de engenharia.
Neste trabalho foram propostas três novas equações explícitas para representar o
fator de atrito de fluidos Não Newtonianos que têm tido uma grande expansão em sua
utilização, com diferentes aplicações. Sendo que a equação com o termo rugoso
necessita de maiores estudos para garantir sua aplicabilidade.
Para tubulações lisas onde uma análise mais completa pode ser realizada é possível
constatar que a metodologia utilizada para construção das equações apresenta bons
resultados, obtendo estimativas precisas e acuradas, além de abranger uma grande faixa
de aplicação, devido ao fato de todo o seu desenvolvimento estar baseado em
fundamentos físicos, juntando isto ao fato desta nova formulação ser explícita é possível
aplicá-la para aprimorar diversas rotinas de cálculo computacionais e implementar
controles de produção mais rápidos e precisos.
A equação com o termo rugoso é uma formulação ainda em desenvolvimento, por
isso é necessário pesquisar mais para obter resultados semelhantes ao das tubulações
hidraulicamente lisas e foram ilustradas neste trabalho para demonstrar a possibilidade
de expansão da ideia por trás da construção das equações.
A metodologia utilizada para desenvolver estas equações pode ser estendida para
outros tipos de reologia, sendo necessário adaptarem-se as equações básicas de forma
semelhante à realizada no capítulo 4, possibilitando desenvolver novas equações para
reologias não abordadas, bem como geometrias diferentes.
80
Referências Bibliográficas
ALLOUI, Z.; VASSEUR, P. Natural convection of Carreau–Yasuda non-Newtonian
fluids in a vertical cavity heated from the sides. International Journal of Heat and
Mass Transfer, v. 84, p. 912–924, 2015.
ANBARLOOEI, H. R.; CRUZ, D. O. A.; SILVA FREIRE, A. P. Friction equation for
purely viscous non-Newtonian. In Proceedings of Turbulence, Heat and Mass
Transfer 8, Sarajevo, Bosnia and Herzegovina, 2015a.
ANBARLOOEI, H. R.; CRUZ, D. O. A.; SILVA FREIRE, A. P. Fully turbulent mean
velocity profile for purely viscous non-Newtonian fluids. In Proceedings of the 15th
European Turbulence Conference, Delft, Netherlands, 2015b.
ANP. Boletim Anual de Preços 2012: preços do petróleo, gás natural e
combustíveis nos mercados nacional e internacional. Agência Nacional do Petróleo,
Gás Natural e Biocombustíveis. [S.l.]. 2012.
ANP. Boletim Anual de Preços 2013: preços do petróleo, gás natural e
combustíveis nos mercados nacional e internacional. Agência Nacional do Petróleo,
Gás Natural e Biocombustíveis. [S.l.]. 2013.
ANP. Boletim Anual de Preços 2014: preços do petróleo, gás natural e
combustíveis nos mercados nacional e internacional. Agência Nacional do Petróleo,
Gás Natural e Biocombustíveis. Rio de Janeiro. 2014.
BARNES, H. A.; HUTTON, J. E.; WALTERS, K. W. F. R. S. AN INTRODUCTION
TO RHEOLOGY. [S.l.]: Elsevier Science Publishers, 1993.
BOBOK, E. Fluid Mechanics for Petroleum Engineers. Amsterdam: Elsevier Science
Pub Co, v. 32, 1993.
BOGUE, D. C. Velocity profiles in turbulent non-Newtonian pipe flow. University
of Delaware. [S.l.]. 1962.
BUZZELLI, D. Calculating friction in one step. Mach. Des., v. 80, p. 54–55, 2008.
81
COLEBROOK, C. F.; WHITE, C. M. Experiments with fluid friction in roughened
pipes. Proc. R. Soc. Lond. Ser. A, Math. Phys. Sci., v. 161, p. 367–381, 1937.
COPLEY, A. L. FLUID MECHANICS AND BIORHEOLOGY. THROMBOSIS
RESEARCH, v. 57, p. 315-331, 1990.
DARBY, R. Take the mystery out of non-newtonian fluid. Chemical Engineering, v.
108, p. 66–73, March 2001.
DESOUKY, S. M.; EL-EMAM, N. A. A generalized pipeline design correlation for
pseudoplastic fluids. Journal of Canadian Petroleum Technology, v. 29, p. 48−54,
1990.
DODGE, D. W. Turbulent flow of non-Newtonian fluids in smooth round tubes.
University of Delaware. [S.l.]. 1959.
DODGE, D. W.; METZNER, A. B. Turbulent flow of non-newtonian. AIChE Journal,
v. 5, p. 189–204, 1959.
EL-EMAM, N.; KAMEL, A. H.; EL-SHAFEI, M. . E. A. New equation calculates
friction factor for turbulent flow of non-Newtonian fluids. Oil & Gas Journal, v. 101,
p. 74−83, 2003.
GAO, P.; ZHANG, J.-J. New assessment of friction factor correlations for power law
fluids in turbulent pipe flow: A statistical approach. J. Cent. South Univ. Technol.,
2007.
GIOIA, G.; CHAKRABORTY, P. “Turbulent Friction in Rough Pipes and the Energy
Spectrum of the Phenomenological Theory”. Physical Review Letters, v. 96, 2006.
GOVIER, G. W.; AZIZ, K. The Flow of Complex Mixtures in Pipes. New York: Van
Nostrand Reinhood Co, 1972.
HAALAND, S. E. Simple and explicit formulas for the friction factor in turbulent pipe
flow. J. Fluids eng., v. 105, p. 89–90, 1983.
HANKS, R. W.; RICKS, B. L. Transitional and turbulent pipe flow of pseudoplastic
fluids. Journal of Hydronautics, v. 9, p. 39−44, 1975.
82
HARISA, G. I. Blood viscosity as a sensitive indicator for paclitaxel induced oxidative
stress. Saudi Pharmaceutical Journal, v. 23, p. 48–54, 2015.
HEMEIDA, A. M. Friction factor for yieldless fluids in turbulent pipe flow. Journal of
Canadian Petroleum Technology, v. 32, p. 32−35, 1993.
HEYWOOD, N. I. Pipeline design for non-newtonian fluids. Transactions of the
Institute of Chemical Engineering Symposium, p. 33−45, 1984.
KAWASE, Y.; SHENOY, A. V.; WAKABAYASHI, K. Friction and heat and mass
transfer for turbulent pseudoplastic non-Newtonian fluids flowing in rough pipes.
Canadian Journal of Chemical Engineering, v. 72, p. 798−804, 1994.
KEFAYATI, G. R. Simulation of vertical and horizontal magnetic fields effects on non-
Newtonian power-law fluids in an internal flow using FDLBM. Computers & Fluids,
v. 114, p. 12–25, 2015.
KOLMOGOROV, A. N. The local structure of turbulence in incompressible viscous
fluid for very large Reynolds. Dokl. Akad. Nauk.SSSR, v. 30, p. 299-303, 1941.
Reprinted in 1991 Proc. R. Soc. London A. Vol. 434, pp. 9–13.
LANGLINAIS, J. P.; BOURGOYNE JR., A. T.; HOLDEN, W. R. Frictional Pressure
Losses for the Flow of Drilling Mud and Mud/Gas Mixtures. 58th Annual Technical
Conference and Exhibition, San Francisco, 1983.
MANADILLI, G. Replace implicit equations with signomial functions. Chem. Eng., v.
104, p. 129, 1997.
METZNER, A. B.; REED, J. C. Flow of non-newtonian fluids correlationof laminar,
transition and turbulent-flows regions. AIChE Journal, v. 1, p. 434–440, 1955.
MISHRA, P.; TRIPATI, G. Heat and momentum transfer to purely viscous non-
newtonian fluids flowing through tubes. Transactions Institution of Chemical
Engineering, v. 51, p. 141–150, 1973.
MOODY, L. F. An approximate formula for pipe friction factors. Trans. Am. Soc.
Mech. Eng., v. 69, p. 1005–1006, 1947.
83
ROUND, G. F. An explicit approximation for the friction factor—Reynolds number
relation for rough and smooth pipes. Can. J. Chem. Eng., v. 58, p. 122, 1980.
RYAN, N. W.; JOHNSON, M. Transition from laminar to turbulent flow in pipes.
AIChE Journal, v. 5, p. 433–435, 1959.
SANTOS, C. M. M. Proposição do termo rugoso, 2015. Conversa privada.
SERGHIDES, T. K. Estimate friction factor accurately. Chem. Eng., v. 91, p. 63–64,
1984.
SINGH, A.; RAMASWAMY, H. S. Effect of product related parameters on heat-
transfer rates to canned particulate non-Newtonian fluids (CMC) during reciprocation
agitation thermal processing. Journal of Food Engineering, v. 165, p. 1–12, 2015.
SONNAD, J. R.; GOUDAR, C. T. Constraints for using LambertWfunction-based
explicit Colebrook–White equation. J. Hydraul. Eng. Am. Soc. Civ. Eng., v. 130, p.
929–931, 2004.
SWAMEE, D. K.; JAIN, A. K. Explicit equations for pipe flow problems. J. Hydraul.
Div. Am. Soc. Civ. Eng., v. 102, p. 657–664, 1976.
SZILAS, A. P. Flow mechanics and production, Part A In: Production and Transport
of Oil and Gas. 2ª. ed. Amsterdam: Elsevier Science Pub Co, v. 18, 1985.
TOMITA, Y. A study of non-newtonian flow in pipe lines. Bulletin of The Japan
Society of Mechanical Engineers, v. 2, p. 10–16, 1959.
TSAL, R. J. Altshul–Tsal friction factor equation. Heat-Piping-Air Cond., v. 8, p. 30–
45, 1989.
WINNING, H. K.; COOLE, T. Explicit Friction Factor Accuracy and Computational
Efficiency for Turbulent Flow in Pipes. Flow Turbulence Combust, v. 90, p. 1–27,
2013.
YOO, S. S. Heat transfer and friction factors for non-Newtonian fluids in turbulent
flow. US, University of Illinois at Chicago Circle. [S.l.]. 1974.
84
APÊNDICE A – DEDUÇÃO DA EQUAÇÃO
EXPLICITA
A fim de deixar o texto principal sucinto a formulação matemática completa da
equação desenvolvida está descrita neste apêndice. Começando com as relações já
definidas:
𝜀 =𝑈3
𝐿 (A.1)
𝜀 = 𝑘 (𝑢
𝑙)𝑛−1 𝑢2
𝑙2 (A.2)
𝑢2−𝑛𝑙𝑛
𝑘= 1 (A.3)
Re𝐿 =𝑈2−𝑛𝐿𝑛
𝑘 (A.4)
Reescrevendo as equações acima obtemos:
𝜀 =𝑈3
𝐿 (A.5)
𝑢 = 𝑙 (𝜀
𝑘)
1𝑛+1
(A.6)
𝑙 = (𝑘
𝑢2−𝑛)
1𝑛
(A.7)
𝑘 =𝑈2−𝑛𝐿𝑛
Re𝐿 (A.8)
Substituindo as equações (A.5), (A.7) e (A.8) na equação (A.6):
𝑢 = (𝑈2−𝑛𝐿𝑛
Re𝐿
1
𝑢2−𝑛)
1𝑛
(𝑈3
𝐿
Re𝐿
𝑈2−𝑛𝐿𝑛)
1𝑛+1
(A.9)
Que pode ser simplificada da seguinte forma:
85
𝑢 =𝑈
2−𝑛𝑛 𝐿
𝑢2−𝑛𝑛 Re𝐿
1𝑛
∗𝑈
𝐿∗ Re𝐿
1𝑛+1 (A.10)
(𝑢
𝑈)
2𝑛
= Re𝐿
(−1
𝑛(𝑛+1))
(A.11)
Reescrevendo obtemos a forma final:
𝑢
𝑈=
1
Re𝐿
(1
2(𝑛+1))
(A.12)
Segundo (GIOIA e CHAKRABORTY, 2006) temos que a tensão na parede é
proporcional segundo a relação:
𝜏~vρU (A.13)
E o fator de atrito apresenta a seguinte relação:
𝑓~
𝜏
ρU2 (A.14)
Substituindo (A.13) e (A.14) na equação (A.12) obtemos:
𝜏
ρU
1
𝑈~
1
Re𝐿
(1
2(𝑛+1)) (A.15)
Chegando a relação:
𝑓~
1
Re𝐿
(1
2(𝑛+1)) (A.16)
Como a relação acima trata apenas de uma proporção existente entre o fator de
atrito e o número de Reynolds é necessário introduzir uma função para transformar esta
proporção em uma equação, então podemos escrever a equação abaixo:
𝑓 = 𝐺(𝑛)
1
Re𝐿
(1
2(𝑛+1)) (A.17)
A forma da função, como tendo dependência do índice de potência (n), foi
proposta no trabalho de (ANBARLOOEI, CRUZ e SILVA FREIRE, 2015b) após
avaliar os dados experimentais chegando à equação final abaixo:
86
𝑓 = 1.018 (0.1 +
0.982 ∗ 10−2
𝑛− 0.0322 ∗ 𝑛)
1
Re𝐿
(1
2(𝑛+1)) (A.18)
87
APÊNDICE B – DEDUÇÃO DA EQUAÇÃO
NO INTERIOR DO DUTO
Neste apêndice a dedução completa para se chegar à equação (4.41) será
demonstrada. Começando com a conservação de massa em um escoamento no regime
permanente onde o fluido possui propriedades constantes, que pode ser representado
pela equação baixo:
𝑄 = ∫ 𝑢 𝑑𝐴 (B.1)
Figura B. 1 - Duto
A partir da geometria definida pela figura acima podemos escrever as relações
abaixo:
𝑄 = 𝑈 ∗ 𝜋 ∗ 𝑟2 (B.2)
ⅆA = 2 ∗ 𝜋 ∗ 𝑦 ∗ −ⅆy (B.3)
Substituindo na equação (B.1) temos:
𝑈 ∗ 𝜋 ∗ 𝑟2 = −∫ 2 ∗ 𝜋 ∗ 𝑦 𝑑𝑦
𝑟
𝑜
(B.4)
88
Simplificando:
𝑈 =
−2
𝑟2∫ 𝑢 ∗ 𝑦 𝑑𝑦
𝑟
0
(B.5)
Primeiro começaremos com as equações (4.23) a (4.25) mostradas abaixo:
𝑢 = 𝑢+𝑢𝜏 (B.6)
𝑢+ =
1
𝜒Ln(𝑦+) + 𝐶1 (B.7)
𝑦+ = 𝑦 (𝜌 ∗ 𝑢𝜏
2−𝑛
𝑘)
1𝑛
(B.8)
Essas equações são válidas quando o sistema de coordenadas se encontra na
parede por isso precisamos reescrever a equação (B.5) como abaixo:
𝑈 =
2
𝑟2∫ 𝑢 ∗ (𝑟 − 𝑦) 𝑑𝑦
𝑟
0
(B.9)
Agora podemos substituir as equações (B.6), (B.7) e (B.8) na equação (B.9) para
obtermos:
𝑈 =
2
𝑟2∫ (
1
𝜒Ln(𝑦 ∗ 𝛼) + 𝐶1) ∗ 𝑢𝜏 ∗ (𝑟 − 𝑦) 𝑑𝑦
𝑟
0
(B.10)
Onde:
𝛼 = (𝜌 ∗ 𝑢𝜏
2−𝑛
𝑘)
1𝑛
(B.11)
Para solucionar a equação acima separamos a integral em duas partes como
mostrado abaixo:
𝑣
𝑢𝜏=
2
𝑟2[∫ (
1
𝜒Ln(𝑦 ∗ 𝛼)) (𝑟 − 𝑦) 𝑑𝑦
𝑟
0
+ ∫ 𝐶1 ∗ (𝑟 − 𝑦) 𝑑𝑦𝑟
0
] (B.12)
Para solucionar a primeira integral da equação acima dividimos novamente em
duas partes:
89
∫ (
1
𝜒Ln(𝑦 ∗ 𝛼)) (𝑟 − 𝑦) 𝑑𝑦
𝑟
0
=1
𝜒[ ∫ 𝑟 ∗ Ln(𝑦 ∗ 𝛼) 𝑑𝑦
𝑟
0
+ ∫ 𝑦 ∗ Ln(𝑦 ∗ 𝛼) 𝑑𝑦𝑟
0
] (B.13)
Cuja solução da primeira parte utiliza-se do método de integração por partes
para chegar a:
∫𝑟 ∗ Ln(𝑦 ∗ 𝛼) 𝑑𝑦 = 𝑟[−𝑦 + 𝑦 ∗ Ln(𝑦 ∗ 𝛼)] (B.14)
E na segunda precisamos aplicar o método duas vezes para chegarmos à solução
dada abaixo:
∫𝑦 ∗ Ln(𝑦 ∗ 𝛼) 𝑑𝑦 =−𝑦2
4+
𝑦2
2∗ Ln(𝑦 ∗ 𝛼) (B.15)
Substituindo (B.14) e (B.15) em (B.13) obtemos:
∫ (
1
𝜒Ln(𝑦 ∗ 𝛼)) (𝑟 − 𝑦) 𝑑𝑦
𝑟
0
=1
𝜒(𝐴 + 𝐵) (B.16)
Onde:
A = {𝑟 ∗ [−𝑦 + 𝑦 ∗ Ln(𝑦 ∗ 𝛼)]}0
𝑟 (B.17)
𝐵 = [
−𝑦2
4+
𝑦2
2∗ Ln(𝑦 ∗ 𝛼)]
0
𝑟
(B.18)
Podemos simplificar o lado direto da equação da seguinte maneira:
1
𝜒(𝐴 + 𝐵) =
1
𝜒∗ [−
3𝑟2
4+
𝑟2
2∗ Ln(𝑟 ∗ 𝛼)] (B.19)
Por fim obtemos:
∫ (
1
𝜒Ln(𝑦 ∗ 𝛼)) (𝑟 − 𝑦) 𝑑𝑦
𝑟
0
=1
𝜒∗ [−
3𝑟2
4+
𝑟2
2∗ Ln(𝑟 ∗ 𝛼)] (B.20)
Para a segunda parte da equação (B.12) podemos resolvê-la por integração direta
chegando a:
∫ 𝐶1 ∗ (𝑟 − 𝑦) 𝑑𝑦
𝑟
0
= 𝐶1 ∗ [𝑟 ∗ 𝑦 −𝑦2
2]0
𝑟
(B.21)
90
Que pode ser simplificada para:
∫ 𝐶1 ∗ (𝑟 − 𝑦) 𝑑𝑦
𝑟
0
= 𝐶1 ∗ (𝑟2 −𝑟2
2) = 𝐶1 ∗
𝑟2
2 (B.22)
Para escrever o problema somente com os parâmetros adimensionais ainda
precisaremos das relações descritas abaixo:
𝑓 =
2𝜏
𝜌 ∗ 𝑈2 (B.23)
ReMR =
𝜌 ∗ 𝑈2−𝑛 ∗ 𝐷𝑛
𝑘 ∗ 𝛽 (B.24)
𝛽 = (6 +2
𝑛)𝑛 1
8 (B.25)
𝑢𝜏 = √𝜏
𝜌 (B.26)
Através dessas definições podemos escrever 𝛼 como:
(𝜌 ∗ 𝑢𝜏
2−𝑛
𝑘)
1𝑛
= [𝑓2−𝑛2 (
𝜌𝑈2
2𝜏)
2−𝑛2
∗ ReMR
𝑘𝛽
𝜌𝑣2−𝑛𝐷𝑛∗𝜌
𝑘(𝜏
𝜌)
2−𝑛2
]
1𝑛
(B.27)
Simplificando obtemos:
(𝜌 ∗ 𝑢𝜏
2−𝑛
𝑘)
1𝑛
=1
𝐷(𝑓
2−𝑛2𝑛 ∗ ReMR
1𝑛 ∗ 0.5
2−𝑛2𝑛 ∗ 𝛽
1𝑛) (B.28)
Para tornar o resultado final mais elegante iremos escrevê-lo da forma:
(𝜌 ∗ 𝑢𝜏
2−𝑛
𝑘)
1𝑛
=𝛾
𝐷 (B.29)
Onde:
𝛾 = (3 +
1
𝑛) ∗ 2(
3𝑛−82𝑛
) ∗ 𝑓2−𝑛2𝑛 ∗ ReMR
1𝑛 (B.30)
91
Também podemos utilizar as relações (B.23), (B.24), (B.25) e (B.26) para
reescrever o lado esquerdo da equação (B.12) como segue abaixo:
𝑈
𝑢𝜏= 𝑣 ∗ (
𝜌
𝜏)
12∗
1
√𝑓∗ (
2𝜏
𝜌 ∗ 𝑣2)
12
= √2
𝑓 (B.31)
Substituindo as equações (B.14), (B.19), (B.22), (B.29) e (B.31) na equação
(B.12) obtemos:
√2
𝑓=
2
𝑟2∗ (
1
𝜒∗ [−
3𝑟2
4+
𝑟2
2∗ Ln (𝑟 ∗
𝛾
𝐷)] + 𝐶1 ∗
𝑟2
2) (B.32)
Que pode ser simplificada para a forma final:
√2
𝑓= −
3
2 ∗ 𝜒+ Ln (
𝛾
2) + 𝐶1 + 𝐶2 (B.33)
Onde:
𝛾 = (3 +
1
𝑛) ∗ 2(
3𝑛−82𝑛
) ∗ ReMR
1𝑛 ∗ 𝑓
2−𝑛2𝑛 (B.34)
92
APÊNDICE C – DEDUÇÃO DO SISTEMA
PARA ESCOAMENTO ANULAR
Neste apêndice mostra-se detalhadamente a dedução do sistema representado
pelas equações (4.75) até a (4.81). Para começar a dedução deste sistema partimos de
um conjunto de quatro equações definidas abaixo:
𝑢𝜏𝑒∗ 𝜋 ∗ 𝐷𝑒 =
ⅆP
ⅆx
𝐷𝑒2 − 𝐷𝑚
2
4 (C.1)
𝑢𝜏𝑖∗ 𝜋 ∗ 𝐷𝑖 =
ⅆP
ⅆx
𝐷𝑚2 − 𝐷𝑖
2
4 (C.2)
𝑢𝑖(𝐷𝑚) = 𝑢𝑒(𝐷𝑚) (C.3)
𝑄 = ∫ 𝑢 𝑑𝐴 (C.4)
Aqui as equações (C.1) e (C.2) representam um equilíbrio de forças na parede
interna do duto externo e o equilíbrio na parede externa do duto interno
respectivamente. A equação (C.3) afirma que a velocidade dos dois perfis tem que ser
iguais quando o diâmetro for igual a 𝐷𝑚. Por fim a equação (C.4) representa o equilíbrio
de massa para um escoamento que atingiu o regime permanente com propriedades
constantes.
Além desse conjunto de equações precisaremos novamente das equações (4.23)
(4.25) mostradas abaixo:
𝑢 = 𝑢+𝑢𝜏 (C.5)
𝑢+ =
1
𝜒Ln(𝑦+) + C1 (C.6)
𝑦+ = 𝑦 (𝜌 ∗ 𝑢𝜏
2−𝑛
𝑘)
1𝑛
(C.7)
Aplicando as equações (C.5), (C.6) e (C.7) na equação (C.3) obtemos:
93
𝑢𝜏𝑖
𝜒Ln [𝑦𝑖 (
𝜌𝑢𝜏𝑖
2−𝑛
𝑘)
1𝑛
] + 𝑢𝜏𝑖𝐶1 =
𝑢𝜏𝑒
𝜒Ln [𝑦𝑒 (
𝜌𝑢𝜏𝑒2−𝑛
𝑘)
1𝑛
] + 𝑢𝜏𝑒𝐶1 (C.8)
Utilizando as relações abaixo
𝑢𝜏 = (𝜏
𝜌)
12 (C.9)
𝑦𝑖 = 𝐷𝑚 − 𝐷𝑖 (C.10)
𝑦𝑒 = 𝐷𝑒 − 𝐷𝑚 (C.11)
Chegamos em:
(𝜏𝑖
𝜌)
12 1
𝜒Ln[𝐷𝐼 ∗ 𝛼𝑖] + (
𝜏𝑖
𝜌)
12𝐶1 = (
𝜏𝑒
𝜌)
12 1
𝜒Ln[𝐷𝐸 ∗ 𝛼𝑒] + (
𝜏𝑒
𝜌)
12𝐶1 (C.12)
Onde:
𝛼𝑘 = (𝜌 ∗ 𝑢𝜏𝑘
2−𝑛
𝑘)
1𝑛
(C.13)
DI = 𝐷𝑚 − 𝐷𝑖 (C.14)
DE = 𝐷𝑒 − 𝐷𝑚 (C.15)
Utilizando a definição do fator de atrito:
𝑓 =
2𝜏
ρU2 (C.16)
Chegamos em:
√𝑓𝑖 (ρU2
2𝜏𝑖)
12
(𝜏𝑖
𝜌)
12(1
𝜒Ln[𝐷𝐼 ∗ 𝛼𝑖] + 𝐶1)
= √𝑓𝑒 (ρU2
2𝜏𝑒)
12
(𝜏𝑒
𝜌)
12(1
𝜒Ln[𝐷𝐸 ∗ 𝛼𝑒] + 𝐶1)
(C.17)
94
Após simplificarmos chegamos em
√𝑓𝑖 (
1
𝜒Ln[𝐷𝐼 ∗ 𝛼𝑖] + 𝐶1) = √𝑓𝑒 (
1
𝜒Ln[𝐷𝐸 ∗ 𝛼𝑒] + 𝐶1) (C.18)
Utilizando a mesma relação mostrada pelas equações (B.23) até (B.29) do
apêndice B mostradas abaixo:
(𝜌𝑢𝜏𝑘
2−𝑛
𝑘)
1𝑛
=𝛾𝑘
𝐷 (C.19)
Onde:
𝛾𝑘 = (3 +1
𝑛) ∗ 2(
3𝑛−82𝑛
) ∗ 𝑓𝑘
2−𝑛2𝑛 ∗ ReMR
1𝑛 (C.20)
Chegamos a uma das equações que irão compor o sistema final definida como:
√𝑓𝑖 (
1
𝜒Ln [
𝐷𝐼
𝐷𝛾𝑖] + 𝐶1) = √𝑓𝑒 (
1
𝜒Ln [
𝐷𝐸
𝐷𝛾𝑒] + 𝐶1) (C.21)
Figura C. 1 – Anular
Para a equação (C.4) segundo a geometria adotada é ilustrada acima temos:
𝑄 = 𝑈 ∗ 𝜋 ∗(𝐷𝑒
2 − 𝐷𝑖2)
4 (C.22)
𝑑𝐴 = 𝜋 ∗ 𝑦 𝑑𝑦 (C.23)
Substituindo as equações (C.22) e (C.23) na (C.4) obtemos:
95
𝑈 ∗ 𝜋 ∗
(𝐷𝑒2 − 𝐷𝑖
2)
4= ∫ 𝑢 ∗ 𝜋 ∗ 𝑦 𝑑𝑦
𝐷𝑒
𝐷𝑖
(C.24)
Aplicando as equações (C.5), (C.6) e (C.7) na equação (C.24), após ajustar para
a geometria mostrada na Figura C. 1Erro! Fonte de referência não encontrada.
obtemos:
𝑈(𝐷𝑒2 − 𝐷𝑖
2)
4= A + B (C.25)
𝐴 = ∫ (
𝑢𝜏𝑖
𝜒Ln[𝑦 ∗ 𝛼𝑖] + 𝑢𝜏𝑖
𝐶1) ∗ (𝑦 + 𝐷𝑖) 𝑑𝑦𝐷𝑚−𝐷𝑖
0
(C.26)
𝐵 = ∫ (
𝑢𝜏𝑒
𝜒Ln[𝑦 ∗ 𝛼𝑒] + 𝑢𝜏𝑒
𝐶1) ∗ (𝐷𝑒 − 𝑦)𝑑𝑦𝐷𝑒−𝐷𝑚
0
(C.27)
Onde 𝛼𝑖 e 𝛼𝑒 são definidos pela equação (C.13). Resolvendo 𝐴 obtemos:
A = 𝑢𝜏𝑖
(𝐶 + 𝐼) (C.28)
𝐶 = ∫
𝑦
𝜒ln[𝑦 ∗ 𝛼𝑖] 𝑑𝑦
𝐷𝑚−𝐷𝑖
0
+ ∫1
𝜒ln[𝑦 ∗ 𝛼𝑖] 𝑑𝑦
𝐷𝑚−𝐷𝑖
0
(C.29)
𝐼 = ∫ 𝑦 ∗ 𝐶1 𝑑𝑦
𝐷𝑚−𝐷𝑖
0
+ ∫ 𝐶1 ∗ 𝐷𝑖 𝑑𝑦𝐷𝑚−𝐷𝑖
0
(C.30)
Utilizando a técnica de integração por partes para resolver 𝐶 e integração direta
para 𝐷:
C =
−𝐷𝐼2
4𝜒+
𝐷𝐼2
2𝜒Ln(𝐷𝐼 ∗ 𝛼𝑖) +
𝐷𝑖
𝜒[−𝐷𝐼 + 𝐷𝐼 ∗ Ln(𝐷𝐼 ∗ 𝛼𝑖)] (C.31)
𝐼 = 𝐶1
𝐷𝐼2
2+ 𝐷𝑖 ∗ 𝐶1 ∗ 𝐷𝐼 (C.32)
A segunda integral segue o mesmo princípio de resolução da primeira tendo
apenas que tomar cuidado com os sinais assim temos:
∫ (
𝑢𝜏𝑒
𝜒Ln[𝑦𝑒𝛼𝑒] + 𝑢𝜏𝑒
𝐶1) ∗ (𝐷𝑒 − 𝑦)𝑑𝑦𝐷𝑒−𝐷𝑚
0
= 𝑢𝜏𝑒(𝐸 + 𝐹) (C.33)
96
𝐸 =
𝐷𝐸2
4𝜒−
𝐷𝐸2
2𝜒Ln(𝐷𝐸 ∗ 𝛼𝑒) +
𝐷𝑒
𝜒[−𝐷𝐸 + 𝐷𝐸 ∗ Ln(𝐷𝐸 ∗ 𝛼𝑒)] (C.34)
𝐹 = −𝐶1
𝐷𝐸2
2+ 𝐷𝑒 ∗ 𝐶1 ∗ 𝐷𝐸 (C.35)
Substituindo as equações (C.31) e (C.33) na equação (C.25) obtemos:
𝑣(𝐷𝑒2 − 𝐷𝑖
2)
4= 𝑢𝜏𝑖
(𝐶 + 𝐷) + 𝑢𝜏𝑒(𝐸 + 𝐹) (C.36)
Utilizando a igualdade definida por (C.19) juntamente das simplificações
definidas abaixo:
𝑢𝜏 = (𝜏
𝜌)
12√𝑓 (
ρU2
2𝜏)
12
= 𝑣√𝑓
2 (C.37)
Chegamos em:
𝑣(𝐷𝑒
2 − 𝐷𝑖2)
4= 𝑣√
𝑓𝑖2
∗ 𝐺 + 𝑣√𝑓𝑒2
∗ 𝐻 (C.38)
𝐺 =
−DI2
4𝜒+
DI2
2𝜒Ln [
DI
𝐷𝛾𝑖] +
𝐷𝑖
𝜒[−DI + DI ∗ Ln [
DI
𝐷𝛾𝑖] + 𝐶1
DI2
2+ 𝐷𝑖𝐶1DI (C.39)
𝐻 =
DE2
4𝜒−
DE2
2𝜒Ln [
DE
𝐷𝛾𝑒] +
𝐷𝑒
𝜒[−DE + DE ∗ Ln [
DE
𝐷𝛾𝑒] − 𝐶1
DE2
2+ 𝐷𝑒𝐶1DE (C.40)
Onde DI e DE são definidos pelas equações (C.14) e (C.15) respectivamente.
Simplificando a equação (C.38) chegamos à segunda equação do sistema final definida
abaixo por:
(𝐷𝑒
2 − 𝐷𝑖2)
4= √
𝑓𝑖2
∗ 𝐺 + √𝑓𝑒2
∗ 𝐻 (C.41)
Ainda é preciso definir o valor de 𝐷𝑚 para um valor conhecido para tanto o
quociente entre as equações (C.1) e (C.2) obtendo:
𝑢𝜏𝑒𝐷𝑒
𝑢𝜏𝑖𝐷𝑖
=𝐷𝑒
2 − 𝐷𝑚2
𝐷𝑚2 − 𝐷𝑖
2 (C.42)
97
Utilizando a equação (C.16) na equação (C.42) chegamos em:
𝑓𝑒2ρv2𝐷𝑒
𝑓𝑖2ρv2𝐷𝑖=
𝐷𝑒2 − 𝐷𝑚
2
𝐷𝑚2 − 𝐷𝑖
2 (C.43)
Simplificando obtemos:
𝑓𝑖𝐷𝑖(𝐷𝑒
2 − 𝐷𝑚2 ) = 𝑓𝑒𝐷𝑒(𝐷𝑚
2 − 𝐷𝑖2) (C.44)
Isolando 𝐷𝑚 temos:
𝐷𝑚 = (𝐷𝑒
2𝑓𝑖𝐷𝑖 + 𝐷𝑖2𝑓𝑒𝐷𝑒
𝑓𝑖𝐷𝑖 + 𝑓𝑒𝐷𝑒)
2
(C.45)
Com isso obtemos o sistema formado pelas equações (C.21) e (C.41) mostrado
abaixo:
√𝑓𝑖 (
1
𝜒Ln [
𝐷𝐼
𝐷𝛾𝑖] + 𝐶1) = √𝑓𝑒 (
1
𝜒Ln [
𝐷𝐸
𝐷𝛾𝑒] + 𝐶1) (C.46)
(𝐷𝑒
2 − 𝐷𝑖2)
4= √
𝑓𝑖2
∗ 𝐺 + √𝑓𝑒2
∗ 𝐻 + 𝐶2 (C.47)
Que pode ser reescrito da seguinte forma:
𝑓𝑖 = 𝑓𝑒 ∗ [(1𝜒 Ln [
𝐷𝐸𝐷 𝛾𝑒] + 𝐶1)
(1𝜒 Ln [
𝐷𝐼𝐷 𝛾𝑖] + 𝐶1)
]
2
(C.48)
𝑓𝑒 = 2 ∗
[ (𝐷𝑒
2 − 𝐷𝑖2)
4 + 𝐶2 − √𝑓𝑖2 ∗ 𝐺
𝐻
] 2
(C.49)
Onde:
𝐺 =
−DI2
4𝜒+
DI2
2𝜒Ln [
DI
𝐷𝛾𝑖] +
𝐷𝑖
𝜒[−DI + DI ∗ Ln [
DI
𝐷𝛾𝑖] + 𝐶1
DI2
2+ 𝐷𝑖𝐶1DI (C.50)
98
𝐻 =
DE2
4𝜒−
DE2
2𝜒Ln [
DE
𝐷𝛾𝑒] +
𝐷𝑒
𝜒[−DE + DE ∗ Ln [
DE
𝐷𝛾𝑒] − 𝐶1
DE2
2+ 𝐷𝑒𝐶1DE (C.51)
𝛾𝑘 = (3 +1
𝑛) ∗ 2(
3𝑛−82𝑛
) ∗ 𝑓𝑘
2−𝑛2𝑛 ∗ ReMR
1𝑛
(C.52)
DI = 𝐷𝑚 − 𝐷𝑖 (C.53)
DE = 𝐷𝑒 − 𝐷𝑚 (C.54)
E o valor de 𝐷 é o comprimento característico e depende da definição utilizada
para ReMR Neste trabalho adotamos a definição abaixo:
𝐷 = 𝐷𝑒 − 𝐷𝑖 (C.55)
99
APÊNDICE D – DEDUÇÃO DA EQUAÇÃO
NO INTERIOR DO DUTO COM
RUGOSIDADE
Neste apêndice a dedução completa para se chegar à equação (4.87) será
demonstrada. Esta demonstração é muito semelhante à realizada no apêndice B. Para
um escoamento onde o fluido tem propriedades constantes e se encontrasse em regime
permanente temos que:
𝑄 = ∫ 𝑢 𝑑𝐴 (D.1)
A partir da geometria definida pela figura acima podemos escrever as relações
abaixo:
𝑄 = 𝑈 ∗ 𝜋 ∗ 𝑟2 (D.2)
ⅆA = 2 ∗ 𝜋 ∗ 𝑦 ∗ ⅆy (D.3)
Substituindo na equação (D.1) temos:
𝑈 ∗ 𝜋 ∗ 𝑟2 = ∫ 2 ∗ 𝜋 ∗ 𝑦 𝑑𝑦
𝑟
𝑜
(D.4)
Simplificando a equação acima resulta em:
𝑈 =
2
𝑟2∫ 𝑢 ∗ 𝑦 𝑑𝑦
𝑟
0
(D.5)
Onde 𝑢 é definido pelas equações (4.24) e (4.25) e (4.82) mostradas abaixo:
𝑢 = 𝑢+𝑢𝜏 (D.6)
𝑢+ =
1
𝜒Ln(𝑦+) + 𝐶1 − ΔB (D.7)
100
Onde 𝑦+e ΔB seguem como foram definidas anteriormente no Capítulo 4:
𝑦+ = 𝑦 (𝜌𝑢𝜏
2−𝑛
𝑘)
1𝑛
(D.8)
𝛥𝐵 =
1
𝜒Ln[1 + 𝜙 ∗ 𝐾+] (D.9)
𝐾+ = 𝜀 (ρu𝜏
2−𝑛
𝑘)
1𝑛
(D.10)
Essas equações são válidas quando o sistema de coordenadas se encontra na
parede por isso precisamos reescrever a equação (D.5) como abaixo:
𝑈 =
2
𝑟2∫ 𝑢 ∗ (𝑟 − 𝑦) 𝑑𝑦
𝑟
0
(D.11)
Agora podemos substituir as equações (D.6) e (D.7) na equação (D.11) para
obtermos:
𝑈 =
2
𝑟2∫ (
1
𝜒Ln(𝑦 ∗ 𝛼) + 𝐶1 − ΔB) ∗ 𝑢𝜏 ∗ (𝑟 − 𝑦) 𝑑𝑦
𝑟
0
(D.12)
Onde:
𝛼 = (𝜌 ∗ 𝑢𝜏
2−𝑛
𝑘)
1𝑛
(D.13)
Para solucionar a equação (D.12) utilizaremos o mesmo procedimento do
Apêndice B onde separamos a integral em duas partes como mostrado abaixo:
𝑈
𝑢𝜏=
2
𝑟2[∫ (
1
𝜒Ln(𝑦 ∗ 𝛼)) (𝑟 − 𝑦) 𝑑𝑦
𝑟
0
+ ∫ (𝐶1 − ΔB)(𝑟 − 𝑦) 𝑑𝑦𝑟
0
] (D.14)
A Solução da primeira parte é idêntica à apresentada pelas equações de (B.13)
até (B.19) de onde o resultado final é apresentado abaixo:
∫ (
1
𝜒Ln(𝑦 ∗ 𝛼)) (𝑟 − 𝑦) 𝑑𝑦
𝑟
0
=1
𝜒∗ [−
3𝑟2
4+
𝑟2
2∗ Ln(𝑟 ∗ 𝛼)] (D.15)
101
A solução de segunda parte da equação (D.14) pode ser obtida por integração
direta, chegando a:
∫ (𝐶1 − ΔB) ∗ (𝑟 − 𝑦) 𝑑𝑦
𝑟
0
= (𝐶1 − ΔB) ∗ [𝑟 ∗ 𝑦 −𝑦2
2]0
𝑟
(D.16)
Que pode ser simplificada para:
(𝐶1 − ΔB) ∗ (𝑟2 −
𝑟2
2) = (𝐶1 − ΔB) ∗
𝑟2
2 (D.17)
Para escrever o problema somente com os parâmetros adimensionais
utilizaremos novamente a simplificação desenvolvida pelas equações (B.23) até (B.29)
cujo resultado final é:
(𝜌 ∗ 𝑢𝜏
2−𝑛
𝑘)
1𝑛
=𝛾
𝐷 (D.18)
Onde:
𝛾 = (3 +
1
𝑛) ∗ 2(
3𝑛−82𝑛
) ∗ 𝑓2−𝑛2𝑛 ∗ ReMR
1𝑛 (D.19)
Através das relações (B.23) e (B.26) para reescrever o lado esquerdo da equação
(D.14) como segue abaixo:
𝑈
𝑢𝜏= 𝑈 ∗ (
𝜌
𝜏)
12∗
1
√𝑓∗ (
2𝜏
𝜌 ∗ 𝑈2)
12
= √2
𝑓 (D.20)
Substituindo as equação (D.15), (D.17) e (D.20) na equação (D.14) obtemos:
√2
𝑓=
2
𝑟2∗ (
1
𝜒∗ [−
3𝑟2
4+
𝑟2
2∗ Ln (𝑟 ∗
𝛾
𝐷)] + (𝐶1 − ΔB) ∗
𝑟2
2) (D.21)
Que pode ser simplifica para:
√2
𝑓= −
3
2 ∗ 𝜒+
1
𝜒Ln (𝑟 ∗
𝛾
𝐷) + (𝐶1 − ΔB) + C2 (D.22)
Substituindo (D.9) e (D.10) na equação acima chegamos em:
102
√2
𝑓= −
3
2𝜒+
1
𝜒Ln (𝑟 ∗
𝛾
𝐷) −
1
𝜒Ln [1 + 𝜙 ∗ 𝜀 (
ρu𝜏2−𝑛
𝑘)
1𝑛
] + 𝐶1 + 𝐶2 (D.23)
Utilizando a igualdade definida por (D.18) podemos simplificar a equação acima
para
√2
𝑓= −
3
2 ∗ 𝜒−
1
𝜒Ln (
2
𝛾+ 2 ∗ 𝜙 ∗
𝜀
𝐷) + 𝐶1 + 𝐶2 (D.24)
Reescrevendo a equação acima com o logaritmo na base 10 para comparação
com as equações de (COLEBROOK e WHITE, 1937) e (HAALAND, 1983) obtemos:
√2
𝑓= −
3
2 ∗ 𝜒−
1
0.434 ∗ 𝜒Log (
2
𝛾+ 2 ∗ 𝜙 ∗
𝜀
𝐷) + 𝐶1 + 𝐶2 (D.25)
103
APÊNDICE E – DADOS UTILIZADOS
As tabelas Tabela E. 1, Tabela E. 2 e Tabela E. 3 apresentam os dados adaptado
dos trabalhos de (BOGUE, 1962), (DODGE e METZNER, 1959) e (YOO, 1974).
Tabela E. 1 – Dados Duto n = 1,0
n=1,0
Re Bogue Re Yoo
3289,55 0,011197 14197,7 0,007127
3754,89 0,01071 16548,2 0,006731
5208,75 0,009612 17990,4 0,00686
6242,56 0,010047 21863,4 0,006396
6554,39 0,008906 22016,2 0,006276
7800,76 0,008517 23440,1 0,006519
10821,2 0,007644 25661 0,006002
15011,1 0,006905 27511,6 0,005815
40350,3 0,00556 29909,3 0,005777
58361,8 0,005054 30540,7 0,006001
75513,4 0,004712 32290,3 0,005632
91133,4 0,004593 34619 0,005596
103303 0,004593 35845,6 0,005632
119570 0,00431 38699,2 0,005353
161310 0,004174 40350,3 0,005421
196037 0,004018 45738,5 0,005318
220673 0,003867 49379,7 0,004991
233315 0,003867 49724,7 0,005217
51486,5 0,005217
56364,8 0,005184
60429,6 0,004896
61705,3 0,005053
67083,1 0,004926
68499,2 0,004864
74989,4 0,004803
77646,3 0,004742
78188,9 0,004594
82668,2 0,004623
88015 0,004507
96354,3 0,004535
97027,6 0,004741
105484 0,004393
106963 0,004506
109984 0,004393
104
n=1,0
Re Bogue Re Yoo
113091 0,004477
118740 0,004337
123806 0,00442
125542 0,004282
151511 0,004122
Tabela E. 2 – Dados Duto n = 0,7
n=0,7
Re Bogue n=0,7 Re Dodge n=0,726
5101,07 0,00750556 1110,1 0,0153917
6028,95 0,00691041 1215,28 0,013471
6113,51 0,00620392 1406,65 0,0110647
7429,64 0,00644344 1832,76 0,00949992
10597,5 0,00596923 1858,46 0,00897265
11682,6 0,0054615 2006,41 0,00842058
12012,6 0,00546136 2371,37 0,00732267
17374,8 0,00499558 2438,35 0,00770366
23277,5 0,00439919 2744,78 0,00741516
2763,96 0,00678501
2963,29 0,00785025
3089,72 0,00847081
3199,19 0,00713725
3502,31 0,00810198
3551,43 0,00836295
3807,55 0,00805013
4082,13 0,00804962
4407,1 0,00789733
4824,67 0,00765015
5507,16 0,00727074
5623,41 0,00695483
5782,25 0,00722444
6786,62 0,00690966
7027,07 0,00690944
7800,76 0,00660872
8133,59 0,00656668
9219,72 0,00640142
9546,38 0,00624085
11126,8 0,00596896
11361,7 0,00604505
13059,5 0,00578177
13428,4 0,00560113
105
n=0,7
Re Bogue n=0,7 Re Dodge n=0,726
14396,8 0,00556535
15435,1 0,005565
16206,1 0,00532307
17865,5 0,00522226
18889 0,00542457
19694,9 0,00496342
22016,2 0,00515544
22796,2 0,00493137
27703,9 0,0046569
35845,6 0,00445359
Tabela E. 3 – Dados Duto n = 0,406~0,557
n=0,46
Re Bougue
n=0,445-0,47 Re
Dodge n=0,464-0,557
Re Dodge
n=0,406 - 0,464
5742,12 0,00512917 1173,7 0,0142628 5030,52 0,00506512
7910,16 0,00516029 1782,41 0,0098063 7175,41 0,00487438
8305,29 0,00472158 1951,29 0,00926138 7692,88 0,00506315
17134,5 0,00392562 2092,01 0,00836702 8599,55 0,00472142
19558,3 0,00380261 2438,35 0,00746316 9480,13 0,00469115
2542,39 0,00704876
3089,72 0,00624731
3176,99 0,00620765
3312,54 0,00620741
3359 0,0067409
3382,47 0,00632655
3502,31 0,00644789
3651,74 0,00674038
3677,26 0,0068264
3860,94 0,00686953
4053,81 0,00661269
4437,9 0,00648751
5030,52 0,00608807
5065,67 0,0063242
Os dados para o regime anular foram adaptados de (LANGLINAIS,
BOURGOYNE JR. e HOLDEN, 1983) apresentados na Tabela E.4 e na Tabela E.5.
106
Tabela E.4 – Dados Anular 1
Anular 1 (DI=0,033401 DE=0,0620014)
n=0,874 n=0,824 n=0,807 0,784
Re ft Re ft Re ft Re ft
9797,313 0,137908 4313,41 0,148164 4313,527 0,143641 4777,022 0,122857
12011,58 0,126083 5317,382 0,134018 5768,413 0,135719 4922,633 0,119017
14303,99 0,117022 6562,922 0,119416 7673,693 0,127502 5091,6 0,110404
16606,62 0,111337 7748,034 0,114287 9538,227 0,120122 5846,688 0,114764
19689,54 0,103673 8985,772 0,107666 11755,56 0,11151 6172,481 0,107998
21841,44 0,101517 9821,409 0,105205 13742,84 0,110437 6548,587 0,103623
23785,51 0,101107 11357,46 0,103314 16084,77 0,107091 6726,23 0,100681
26215,61 0,100089 12208,91 0,09914 17321,75 0,104906 6738,103 0,098046
29178,79 0,098175 12299,75 0,098792
6773,744 0,110459
30673,34 0,095785
7675,318 0,101292
7857,99 0,095842
8102,728 0,102327
8633,353 0,089621
8633,353 0,091272
9082,114 0,096717
9082,114 0,098236
9421,3 0,096222
10080,66 0,096185
10825,23 0,092945
10889,85 0,095233
11097,1 0,092993
Tabela E.5 – Dados Anular 2
Anular 2 (DI=0,073025 DE=0,1242568)
n=0,824 n=0,807 n=0,784
Re ft Re ft Re ft
4081,132 0,539569 4519,193 0,71494 4193,321 0,694205
4867,309 0,493971 5053,922 0,67965 4193,321 0,730112
5216,403 0,501803 5494,363 0,645771 4606,552 0,666559
6248,698 0,581398 4815,704 0,657745
4916,989 0,672455
5444,793 0,615369
5660,14 0,628492
5981,856 0,613905
top related