um pouco da histÓria do cÁlculo antonio carlos brolezzi
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UM POUCO DA HISTÓRIA DO CÁLCULO
Antonio Carlos Brolezzi
A forma de pensar os problemas levando em conta processos que
envolvam de algum modo o infinito remonta aos gregos.
Arquimedes aplicou a idéia da decomposição e composição de figuras pelo método da exaustão e calculou as primeiras integrais
Arquimedes de Siracusa (287-212 aC)
Alessandro Botticelli (1444-1510) Alegoria da Primavera (1477-1478)
Com o renascimento, a Europa passou a produzir uma nova arte, filosofia e ciência.
Alessandro Botticelli (1444-1510) Alegoria da Primavera (1477-1478)
Com o renascimento, a Europa passou a produzir uma nova arte, filosofia e ciência.
Alessandro Botticelli (1444-1510) O Nascimento de Venus
Com o renascimento, a Europa passou a produzir uma nova arte, filosofia e ciência.
Com mais liberdade e uma visão em que o homem era o centro de todas as coisas, iniciou-se uma forma nova de abordar a vida e a ciência.
A popularização da imprensa a partir de 1450 por Gutemberg ajudou a mudar a relação homem-conhecimento.
A popularização da imprensa a partir de 1450 por Gutemberg ajudou a mudar a relação homem-conhecimento.
A popularização da imprensa a partir de 1450 por Gutemberg ajudou a mudar a relação homem-conhecimento.
A Biblia de Gutemberg
A Biblia de Gutemberg
Nicole Oresme (1323-1382) havia proposto novas formas de entender o movimento, introduzindo uma certa noção de gráficos de movimentos.
Galileu Galileu (1564-1642) incentiva seus discípulos a pesquisarem sobre o movimento e seus princípios científicos.
Galileu Galileu (1564-1642) incentiva seus discípulos a pesquisarem sobre o movimento e seus princípios científicos.
Bonaventura Francesco Cavalieri (1598-1647) anima-se com as idéias de Galileu, e inaugura uma nova forma de lidar com a estereometria, propondo o uso dos infinitamente pequenos.
Bonaventura Francesco Cavalieri (1598-1647) anima-se com as idéias de Galileu, e inaugura uma nova forma de lidar com a estereometria, propondo o uso dos infinitamente pequenos.
René Descartes (1596-1650) cria uma nova filosofia e propõe um papel de destaque para a matemática na organização do conhecimento.
René Descartes (1596-1650) cria uma nova filosofia e propõe um papel de destaque para a matemática na organização do conhecimento.
René Descartes (1596-1650) cria uma nova filosofia e propõe um papel de destaque para a matemática na organização do conhecimento.
René Descartes (1596-1650) cria uma nova filosofia e propõe um papel de destaque para a matemática na organização do conhecimento.
René Descartes (1596-1650) cria uma nova filosofia e propõe um papel de destaque para a matemática na organização do conhecimento.
René Descartes (1596-1650) cria uma nova filosofia e propõe um papel de destaque para a matemática na organização do conhecimento.
Pierre de Fermat (1601-1665) propõe 7 anos antes de Descartes que uma equação com duas variáveis deveria descrever uma curva no espaço.
Pierre de Fermat (1601-1665) propõe 7 anos antes de Descartes que uma equação com duas variáveis deveria descrever uma curva no espaço.
Pierre de Fermat (1601-1665) propõe 7 anos antes de Descartes que uma equação com duas variáveis deveria descrever uma curva no espaço.
Pierre de Fermat (1601-1665) propõe 7 anos antes de Descartes que uma equação com duas variáveis deveria descrever uma curva no espaço.
Pierre de Fermat (1601-1665) propõe 7 anos antes de Descartes que uma equação com duas variáveis deveria descrever uma curva no espaço.
Pierre de Fermat (1601-1665) propõe 7 anos antes de Descartes que uma equação com duas variáveis deveria descrever uma curva no espaço.
Isaac Barrow 1630 (Londres)-1677 (Londres)
Professor de Newton, que tornou-se seu sucessor quando ele renuncio à cátedra para tornar-se capelão de Carlos II
Isaac Barrow 1630 (Londres)-1677 (Londres)
Professor de Newton, que tornou-se seu sucessor quando ele renuncio à cátedra para tornar-se capelão de Carlos II.
Sir Isaac Newton 1642 (Woolsthorpe)-1727 (London)
Em 1687 Newton publica Philosophiae naturalis principia mathematica
O maior tratado científico já escrito.
Sir Isaac Newton 1642 (Woolsthorpe)-1727 (London)
Newton teria criado o Cálculo Diferencial e Integral entre 1665 e 1666, quando o Trinity College foi fechado por causa da peste.
Sir Isaac Newton 1642 (Woolsthorpe)-1727 (London)
Já se faziam derivadas e integrais antes dele, mas ele percebeu que se tratavam de coisas inversas e - o mais importante - percebeu o
valor do Cálculo.
Sir Isaac Newton 1642 (Woolsthorpe)-1727 (London)
Newton deixou cerca de 5000 páginas de manuscritos sem publicação.
Gottfried Wilhelm von Leibniz 1646 (Leipzig)-1716 (Hannover)
Em 1673 Leibniz viajou a Londres, onde comprou um livro de Barrow e tornou-se membro da Royal Society. Dizem que teria lido
manuscritos de Newton.
Gottfried Wilhelm von Leibniz 1646 (Leipzig)-1716 (Hannover)
Em 1676 Leibniz cria o Cálculo com uma notação bem diferente de Newton. Sua notação prevaleceu até hoje.
George Berkeley 1685 (Irlanda)-1753 (Oxford)
Berkeley era um filósofo e teólogo metafísico, e atacou a fundamentação lógica do Cálculo en sua obra The analyst: or a discourse addressed to an infidel mathematician.
Ele argumentava que embora o Cálculo levasse a resultados verdadeiros, seus fundamentos eram semelhantes aos religiosos.
George Berkeley 1685 (Irlanda)-1753 (Oxford)
Dizia: E o que são estes fluxões? A velocidade de incrementos evanescentes.
E o que são incrementos evanescentes? Não são nem quantidades finitas, nem infinitamente pequenas, nem portanto nada. Podemos chamá-las de fantasmas de quantidades que se foram?
George Berkeley 1685 (Irlanda)-1753 (Oxford)
As críticas de Berkeley foram importantes para dirigir a atenção dos matemáticos para a clarificação lógica do Cálculo.
Augustin Louis Cauchy 1789 (Paris)-1857 (near Paris)
Cauchy - ao contrário de Gauss - adorava ensinar e produziu muitos livros didáticos.
Augustin Louis Cauchy 1789 (Paris)-1857 (near Paris)
Deu ao Cálculo a forma que ele tem hoje em três obras:
Cours d'analyse (1821) - para estudantes da École Polytechnique
Augustin Louis Cauchy 1789 (Paris)-1857 (near Paris)
Sur un nouveau genre de calcul analogue au calcul infinétesimal (1826)
Leçons sur le Calcul Différential (1829) - definiu pela primeira vez uma função complexa de uma variável complexa.
Augustin Louis Cauchy 1789 (Paris)-1857 (near Paris)
Cauchy publicava abundantemente, às vezes se repetia.
Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor 1845 (St Petersburg)-1918 (Halle/Alemanha)
Coube a Cantor e Dedekind a tarefa de clarificar o conceito de número real e dar, assim, maior fundamentação ao Cálculo.
Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor 1845 (St Petersburg)-1918 (Halle/Alemanha)
Coube a Cantor e Dedekind a tarefa de clarificar o conceito de número real e dar, assim, maior fundamentação ao Cálculo.
Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor 1845 (St Petersburg)-1918 (Halle/Alemanha)
Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor 1845 (St Petersburg)-1918 (Halle/Alemanha)
Julius Wihelm Richard Dedekind 1831 (Braunschweig)-
1916 (Braunschweig/Alemanha)
Julius Wihelm Richard Dedekind 1831 (Braunschweig)-
1916 (Braunschweig/Alemanha)
Julius Wihelm Richard Dedekind 1831 (Braunschweig)-
1916 (Braunschweig/Alemanha)
Julius Wihelm Richard Dedekind 1831 (Braunschweig)-
1916 (Braunschweig/Alemanha)
Karl Theodor Wilhelm Weierstrass
1815-1897
Weierstrass foi professor do secundário até os 40 anos, quando então entrou para a academia.
No colégio, por 15 anos lecionou diversas disciplinas Matemática, Física, Botânica, Geografia, História, Alemão, Caligrafia e até mesmo Ginástica. Foi o mais importante professor de alunos de matemática superior.
Como professor, Weierstrass tinha habilidades como professor que o tornaram mundialmente famoso. Além disso, ele ficou tornou-se muito procurado por sua disponibilidade constante, e seu hábito de beber com os estudantes (ele em geral era quem pagava) e por enxergar o futuro dos alunos.
Weierstrass depois que se tornou professor universitário não escrevia na lousa – ficava sentado. Um aluno escrevia. Havia aulas com mais de 250 pessoas. Os alunos eram o centro das suas preocupações. Ele tinha muita paciência – era famoso por seu rigor.
Alguns dos alunos mais famosos de Weierstrass (100 deles se tornaram professores universitários):
Georg Cantor, Sofia Kovalevskaia, Lazarus Fuchs, Hermann Amandus Schwarz, Friedrich Schottky, Ferdinand Georg Frobenius, Hermann Minkowski,Carle Runge, Ludwig Boltzmann, Max Planck...
Sofia Vasilyevna Kovalevskaya 1850 (Moscou)-1891 (Estocolmo)
Uma das suas alunas mais famosas é Sofia.
Sofia Vasilyevna Kovalevskaya 1850 (Moscou)-1891 (Estocolmo)
Weierstrass tentou em vão encontrar uma posição na universidade para Sonja (Sofia). O preconceito venceu.
O Cálculo teve, grosso modo, a seguinte seqüência histórica:
Integrais (Arquimedes)
Derivadas (Fermat e Descartes)
Teorema Fundamental (Newton & Leibniz)
Limites (Cauchy)
Números Reais (Cantor & Dedekind)
Arimetização da Análise (Weierstrass)
No ensino de Cálculo, em geral, a seqüência adotada é a seguinte:
Números Reais
Limites
Derivadas
Integrais
Teorema Fundamental
Análise
Na História:
1. Integrais
2. Derivadas
3. Limites
4. Números Reais
Em muitos cursos e livros didáticos:
4. Números Reais
3. Limites
2. Derivadas
1. Integrais
Na História:
1. Integrais2. Derivadas
3. Limites4. Números Reais
Em muitos cursos e livros didáticos:
4. Números Reais 3. Limites
2. Derivadas 1. Integrais
A idéia seria então seguir a ordem histórica?
Isso tem possibilidade de êxito (há resultados)?
Por que seguir a ordem histórica seria melhor?
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