turunan · 2020. 6. 20. · trigonometri aturan rantai turunan tingkat tinggi turunan implisit laju...
Post on 28-Nov-2020
72 Views
Preview:
TRANSCRIPT
TURUNAN
Chandra Novtiar087827953335
chandramathitb07@gmail.com
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKAFAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN SAINS
INSTITUT KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN (IKIP) SILIWANGI
13 APRIL 2020
76
KALKULUS
Chandra Novtiar,M.Si.
Sub PokokPembahasan
DUA MASALAHSATU TEMA
TURUNAN
ATURAN MENCARITURUNAN
TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI
ATURAN RANTAI
TURUNAN TINGKATTINGGI
TURUNAN IMPLISIT
LAJU BERKAITAN
Daftar Pustaka
13 April 2020
Garis Besar Pembahasan
Sub Pokok Pembahasan
DUA MASALAH SATU TEMA
TURUNAN
ATURAN MENCARI TURUNAN
TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI
ATURAN RANTAI
TURUNAN TINGKAT TINGGI
TURUNAN IMPLISIT
LAJU BERKAITAN
Daftar Pustaka
76
KALKULUS
Chandra Novtiar,M.Si.
3 Sub PokokPembahasan
DUA MASALAHSATU TEMA
TURUNAN
ATURAN MENCARITURUNAN
TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI
ATURAN RANTAI
TURUNAN TINGKATTINGGI
TURUNAN IMPLISIT
LAJU BERKAITAN
Daftar Pustaka
13 April 2020
Sub Pokok Pembahasan
1. DUA MASALAH SATU TEMA2. TURUNAN3. ATURAN MENCARI TURUNAN4. TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI5. ATURAN RANTAI6. TURUNAN TINGKAT TINGGI7. TURUNAN IMPLISIT8. LAJU BERKAITAN9. DIFERENSIASI DAN APROKSIMASI
76
KALKULUS
Chandra Novtiar,M.Si.
3 Sub PokokPembahasan
DUA MASALAHSATU TEMA
TURUNAN
ATURAN MENCARITURUNAN
TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI
ATURAN RANTAI
TURUNAN TINGKATTINGGI
TURUNAN IMPLISIT
LAJU BERKAITAN
Daftar Pustaka
13 April 2020
Sub Pokok Pembahasan
1. DUA MASALAH SATU TEMA2. TURUNAN3. ATURAN MENCARI TURUNAN4. TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI5. ATURAN RANTAI6. TURUNAN TINGKAT TINGGI7. TURUNAN IMPLISIT8. LAJU BERKAITAN9. DIFERENSIASI DAN APROKSIMASI
76
KALKULUS
Chandra Novtiar,M.Si.
Sub PokokPembahasan
4 DUA MASALAHSATU TEMA
TURUNAN
ATURAN MENCARITURUNAN
TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI
ATURAN RANTAI
TURUNAN TINGKATTINGGI
TURUNAN IMPLISIT
LAJU BERKAITAN
Daftar Pustaka
13 April 2020
DUA MASALAH SATU TEMA
Sub Pokok Bahasan1. Garis Singgung2. Laju/Kecepatan
76
KALKULUS
Chandra Novtiar,M.Si.
Sub PokokPembahasan
DUA MASALAHSATU TEMA
5 TURUNAN
ATURAN MENCARITURUNAN
TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI
ATURAN RANTAI
TURUNAN TINGKATTINGGI
TURUNAN IMPLISIT
LAJU BERKAITAN
Daftar Pustaka
13 April 2020
TURUNAN
Sub Pokok Bahasan1. Definisi2. Contoh Mencari Turunan dengan menggunakan Definisi3. Diferensiabel4. Grafik fungsi Turunan
76
KALKULUS
Chandra Novtiar,M.Si.
Sub PokokPembahasan
DUA MASALAHSATU TEMA
TURUNAN
6 ATURAN MENCARITURUNAN
TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI
ATURAN RANTAI
TURUNAN TINGKATTINGGI
TURUNAN IMPLISIT
LAJU BERKAITAN
Daftar Pustaka
13 April 2020
ATURAN MENCARI TURUNAN
Sub Pokok Bahasan1. Aturan Turunan Fungsi Konstan2. Aturan Turunan Fungsi Identitas3. Aturan Turunan Fungsi Pangkat4. Aturan Turunan Perkalian Konstanta dengan Fungsi5. Aturan Turunan Fungsi Penjumlahan6. Aturan Turunan Fungsi Pengurangan7. Aturan Turunan Fungsi Perkalian8. Aturan Turunan Fungsi Pembagian
76
KALKULUS
Chandra Novtiar,M.Si.
Sub PokokPembahasan
DUA MASALAHSATU TEMA
TURUNAN
7 ATURAN MENCARITURUNAN
TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI
ATURAN RANTAI
TURUNAN TINGKATTINGGI
TURUNAN IMPLISIT
LAJU BERKAITAN
Daftar Pustaka
13 April 2020
Aturan Turunan Fungsi Konstan
Teorema AJika f (x) = k dimana k merupakan konstanta, maka untuk setiapx ,f ′(x) = 0 atau Dx (k) = 0
Pembuktianf ′(x) = limh→0
f (x+h)−f (x)h = limh→0
k−kh = limh→00 = 0
76
KALKULUS
Chandra Novtiar,M.Si.
Sub PokokPembahasan
DUA MASALAHSATU TEMA
TURUNAN
7 ATURAN MENCARITURUNAN
TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI
ATURAN RANTAI
TURUNAN TINGKATTINGGI
TURUNAN IMPLISIT
LAJU BERKAITAN
Daftar Pustaka
13 April 2020
Aturan Turunan Fungsi Konstan
Teorema AJika f (x) = k dimana k merupakan konstanta, maka untuk setiapx ,f ′(x) = 0 atau Dx (k) = 0
Pembuktianf ′(x) = limh→0
f (x+h)−f (x)h = limh→0
k−kh = limh→00 = 0
76
KALKULUS
Chandra Novtiar,M.Si.
Sub PokokPembahasan
DUA MASALAHSATU TEMA
TURUNAN
8 ATURAN MENCARITURUNAN
TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI
ATURAN RANTAI
TURUNAN TINGKATTINGGI
TURUNAN IMPLISIT
LAJU BERKAITAN
Daftar Pustaka
13 April 2020
Aturan Turunan Fungsi Identitas
Teorema BJika f (x) = x maka f ′(x) = 1 atau Dx (x) = 1
Pembuktianf ′(x) = limh→0
f (x+h)−f (x)h = limh→0
(x+h)−xh = limh→0
hh = 1
76
KALKULUS
Chandra Novtiar,M.Si.
Sub PokokPembahasan
DUA MASALAHSATU TEMA
TURUNAN
8 ATURAN MENCARITURUNAN
TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI
ATURAN RANTAI
TURUNAN TINGKATTINGGI
TURUNAN IMPLISIT
LAJU BERKAITAN
Daftar Pustaka
13 April 2020
Aturan Turunan Fungsi Identitas
Teorema BJika f (x) = x maka f ′(x) = 1 atau Dx (x) = 1
Pembuktianf ′(x) = limh→0
f (x+h)−f (x)h = limh→0
(x+h)−xh = limh→0
hh = 1
76
KALKULUS
Chandra Novtiar,M.Si.
Sub PokokPembahasan
DUA MASALAHSATU TEMA
TURUNAN
9 ATURAN MENCARITURUNAN
TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI
ATURAN RANTAI
TURUNAN TINGKATTINGGI
TURUNAN IMPLISIT
LAJU BERKAITAN
Daftar Pustaka
13 April 2020
Aturan Turunan Fungsi Pangkat
Teorema CJika f (x) = xn dimana n merupakan bilangan bulat positif, makaf ′(x) = nxn−1 atau Dx (xn) = nxn−1
Pembuktian
f ′(x) = limh→0f (x + h)− f (x)
h
= limh→0(x + h)n − xn
h
= limh→0xn + nxn−1h + n(n−1)
2 xn−2h2 + · · ·+ nxhn−1 + hn − xn
h
=h[nxn−1 + n(n−1)
2 xn−2h + · · ·+ nxhn−2 + hn−1]
h= nxn−1
76
KALKULUS
Chandra Novtiar,M.Si.
Sub PokokPembahasan
DUA MASALAHSATU TEMA
TURUNAN
9 ATURAN MENCARITURUNAN
TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI
ATURAN RANTAI
TURUNAN TINGKATTINGGI
TURUNAN IMPLISIT
LAJU BERKAITAN
Daftar Pustaka
13 April 2020
Aturan Turunan Fungsi Pangkat
Teorema CJika f (x) = xn dimana n merupakan bilangan bulat positif, makaf ′(x) = nxn−1 atau Dx (xn) = nxn−1
Pembuktian
f ′(x) = limh→0f (x + h)− f (x)
h
= limh→0(x + h)n − xn
h
= limh→0xn + nxn−1h + n(n−1)
2 xn−2h2 + · · ·+ nxhn−1 + hn − xn
h
=h[nxn−1 + n(n−1)
2 xn−2h + · · ·+ nxhn−2 + hn−1]
h= nxn−1
76
KALKULUS
Chandra Novtiar,M.Si.
Sub PokokPembahasan
DUA MASALAHSATU TEMA
TURUNAN
10 ATURAN MENCARITURUNAN
TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI
ATURAN RANTAI
TURUNAN TINGKATTINGGI
TURUNAN IMPLISIT
LAJU BERKAITAN
Daftar Pustaka
13 April 2020
Aturan Turunan Fungsi Pangkat
Aplikasi Teorema CDx (x3) = 3x2
Dx (x9) = 9x8
Dx (x100) = 100x99
76
KALKULUS
Chandra Novtiar,M.Si.
Sub PokokPembahasan
DUA MASALAHSATU TEMA
TURUNAN
11 ATURAN MENCARITURUNAN
TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI
ATURAN RANTAI
TURUNAN TINGKATTINGGI
TURUNAN IMPLISIT
LAJU BERKAITAN
Daftar Pustaka
13 April 2020
Aturan Turunan Perkalian Konstanta denganFungsi
Teorema DJika k adalah konstanta dan f fungsi yang diferensiabel ataumemiliki turunan, maka (kf )′(x) = k · f ′(x) atauDx (k · f (x)) = k · f ′(x)
PembuktianMisalkan F (x) = k · f (x), maka
F ′(x) = limh→0F (x + h)− F (x)
h
= limh→0k · f (x + h)− k · f (x)
h
= limh→0k f (x + h)− f (x)h
= k · limh→0f (x + h)− f (x)
h= k · f ′(x)
76
KALKULUS
Chandra Novtiar,M.Si.
Sub PokokPembahasan
DUA MASALAHSATU TEMA
TURUNAN
11 ATURAN MENCARITURUNAN
TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI
ATURAN RANTAI
TURUNAN TINGKATTINGGI
TURUNAN IMPLISIT
LAJU BERKAITAN
Daftar Pustaka
13 April 2020
Aturan Turunan Perkalian Konstanta denganFungsi
Teorema DJika k adalah konstanta dan f fungsi yang diferensiabel ataumemiliki turunan, maka (kf )′(x) = k · f ′(x) atauDx (k · f (x)) = k · f ′(x)
PembuktianMisalkan F (x) = k · f (x), maka
F ′(x) = limh→0F (x + h)− F (x)
h
= limh→0k · f (x + h)− k · f (x)
h
= limh→0k f (x + h)− f (x)h
= k · limh→0f (x + h)− f (x)
h= k · f ′(x)
76
KALKULUS
Chandra Novtiar,M.Si.
Sub PokokPembahasan
DUA MASALAHSATU TEMA
TURUNAN
12 ATURAN MENCARITURUNAN
TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI
ATURAN RANTAI
TURUNAN TINGKATTINGGI
TURUNAN IMPLISIT
LAJU BERKAITAN
Daftar Pustaka
13 April 2020
Aturan Turunan Perkalian Konstanta denganFungsi
Aplikasi Teorema DDx (−7x3) = −7 · Dx x3 = −7 · 3x2 = −21x2
Dx (43 x9) = 4
3 Dx (x9) = 43 · 9x8 = 12x8
76
KALKULUS
Chandra Novtiar,M.Si.
Sub PokokPembahasan
DUA MASALAHSATU TEMA
TURUNAN
13 ATURAN MENCARITURUNAN
TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI
ATURAN RANTAI
TURUNAN TINGKATTINGGI
TURUNAN IMPLISIT
LAJU BERKAITAN
Daftar Pustaka
13 April 2020
Aturan Turunan Fungsi Penjumlahan
Teorema EJika f dan g adalah fungsi yang diferensiabel atau memilikiturunan, maka (f + g)′(x) = f ′(x) + g ′(x) atauDx (f (x) + g(x)) = Dx f (x) + Dx g(x)
PembuktianMisalkan F (x) = f (x) + g(x), maka
F ′(x) = limh→0F (x + h)− F (x)
h
= limh→0[f (x + h) + g(x + h)]− [f (x) + g(x)]
h
= limh→0
[f (x + h)− f (x)
h +g(x + h)− g(x)
h
]= limh→0
f (x + h)− f (x)h + limh→0
g(x + h)− g(x)h
= f ′(x) + g ′(x)
76
KALKULUS
Chandra Novtiar,M.Si.
Sub PokokPembahasan
DUA MASALAHSATU TEMA
TURUNAN
13 ATURAN MENCARITURUNAN
TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI
ATURAN RANTAI
TURUNAN TINGKATTINGGI
TURUNAN IMPLISIT
LAJU BERKAITAN
Daftar Pustaka
13 April 2020
Aturan Turunan Fungsi Penjumlahan
Teorema EJika f dan g adalah fungsi yang diferensiabel atau memilikiturunan, maka (f + g)′(x) = f ′(x) + g ′(x) atauDx (f (x) + g(x)) = Dx f (x) + Dx g(x)
PembuktianMisalkan F (x) = f (x) + g(x), maka
F ′(x) = limh→0F (x + h)− F (x)
h
= limh→0[f (x + h) + g(x + h)]− [f (x) + g(x)]
h
= limh→0
[f (x + h)− f (x)
h +g(x + h)− g(x)
h
]= limh→0
f (x + h)− f (x)h + limh→0
g(x + h)− g(x)h
= f ′(x) + g ′(x)
76
KALKULUS
Chandra Novtiar,M.Si.
Sub PokokPembahasan
DUA MASALAHSATU TEMA
TURUNAN
14 ATURAN MENCARITURUNAN
TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI
ATURAN RANTAI
TURUNAN TINGKATTINGGI
TURUNAN IMPLISIT
LAJU BERKAITAN
Daftar Pustaka
13 April 2020
Aturan Turunan Fungsi Pengurangan
Teorema FJika f dan g adalah fungsi yang diferensiabel atau memilikiturunan, maka (f − g)′(x) = f ′(x)− g ′(x) atauDx (f (x)− g(x)) = Dx f (x)− Dx g(x)
PembuktianBuktikan sebagai latihan !
76
KALKULUS
Chandra Novtiar,M.Si.
Sub PokokPembahasan
DUA MASALAHSATU TEMA
TURUNAN
14 ATURAN MENCARITURUNAN
TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI
ATURAN RANTAI
TURUNAN TINGKATTINGGI
TURUNAN IMPLISIT
LAJU BERKAITAN
Daftar Pustaka
13 April 2020
Aturan Turunan Fungsi Pengurangan
Teorema FJika f dan g adalah fungsi yang diferensiabel atau memilikiturunan, maka (f − g)′(x) = f ′(x)− g ′(x) atauDx (f (x)− g(x)) = Dx f (x)− Dx g(x)
PembuktianBuktikan sebagai latihan !
76
KALKULUS
Chandra Novtiar,M.Si.
Sub PokokPembahasan
DUA MASALAHSATU TEMA
TURUNAN
15 ATURAN MENCARITURUNAN
TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI
ATURAN RANTAI
TURUNAN TINGKATTINGGI
TURUNAN IMPLISIT
LAJU BERKAITAN
Daftar Pustaka
13 April 2020
Contoh Penggunaan Teorema A,B,C,D,E,F
Tentukan turunan dari fungsi 5x2 + 7x − 6 dan4x6 − 3x5 − 10x2 + 5x + 16
Dx (5x2 + 7x − 6) = Dx (5x2 + 7x)− Dx (6) · · ·TeoremaF= Dx (5x2) + Dx (7x)− Dx (6) · · ·TeoremaE= 5Dx (x2) + 7Dx (x)− Dx (6) · · ·TeoremaD= 5 · 2x + 7 · 1− 0 · · ·TeoremaC ,B,A= 10x + 7
76
KALKULUS
Chandra Novtiar,M.Si.
Sub PokokPembahasan
DUA MASALAHSATU TEMA
TURUNAN
16 ATURAN MENCARITURUNAN
TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI
ATURAN RANTAI
TURUNAN TINGKATTINGGI
TURUNAN IMPLISIT
LAJU BERKAITAN
Daftar Pustaka
13 April 2020
Dx (4x6 − 3x5 − 10x2 + 5x + 16) = Dx (4x6)− Dx (3x5)
−Dx10x2 + Dx5x + Dx16= 4Dx (x6)− 3Dx (x5)
−10Dx x2 + 5Dx x + Dx16= 4(6x5)− 3(5x4)
−10(2x) + 5(1) + 0= 24x5 − 15x4 − 20x + 5
76
KALKULUS
Chandra Novtiar,M.Si.
Sub PokokPembahasan
DUA MASALAHSATU TEMA
TURUNAN
17 ATURAN MENCARITURUNAN
TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI
ATURAN RANTAI
TURUNAN TINGKATTINGGI
TURUNAN IMPLISIT
LAJU BERKAITAN
Daftar Pustaka
13 April 2020
Aturan Turunan Fungsi Perkalian
Misalkan g(x) = x dan h(x) = 1+ 2x danf (x) = g(x) · h(x) = x(1+ 2x). Tentukanlah Dx f (x),Dx g(x) danDx h(x) = kemudian tunjukkan bahwa Dx f (x) 6= [Dx g(x)][Dx h(x)]
Dx f (x) = Dx (x(1+ 2x))= Dx (x + 2x2)
= 1+ 4xDx g(x) = Dx (x)
= 1Dx h(x) = Dx (1+ 2x)
= 2
Terlihat bahwa Dx (g(x))Dx (h(x)) = 1 · 2 sedangkanDx (f (x)) = 1+ 4x . Maka Dx f (x) 6= [Dx g(x)][Dx h(x)]
76
KALKULUS
Chandra Novtiar,M.Si.
Sub PokokPembahasan
DUA MASALAHSATU TEMA
TURUNAN
18 ATURAN MENCARITURUNAN
TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI
ATURAN RANTAI
TURUNAN TINGKATTINGGI
TURUNAN IMPLISIT
LAJU BERKAITAN
Daftar Pustaka
13 April 2020
Aturan Turunan Fungsi Perkalian
Teorema GJika f dan g adalah fungsi yang diferensiabel atau memilikiturunan, maka (f · g)′(x) = f (x)g ′(x) + f ′(x)g(x) atauDx [f (x)g(x)] = f (x)Dx g(x) + Dx f (x)g(x)
PembuktianBuktikan sebagai latihan!!
76
KALKULUS
Chandra Novtiar,M.Si.
Sub PokokPembahasan
DUA MASALAHSATU TEMA
TURUNAN
18 ATURAN MENCARITURUNAN
TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI
ATURAN RANTAI
TURUNAN TINGKATTINGGI
TURUNAN IMPLISIT
LAJU BERKAITAN
Daftar Pustaka
13 April 2020
Aturan Turunan Fungsi Perkalian
Teorema GJika f dan g adalah fungsi yang diferensiabel atau memilikiturunan, maka (f · g)′(x) = f (x)g ′(x) + f ′(x)g(x) atauDx [f (x)g(x)] = f (x)Dx g(x) + Dx f (x)g(x)
PembuktianBuktikan sebagai latihan!!
76
KALKULUS
Chandra Novtiar,M.Si.
Sub PokokPembahasan
DUA MASALAHSATU TEMA
TURUNAN
19 ATURAN MENCARITURUNAN
TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI
ATURAN RANTAI
TURUNAN TINGKATTINGGI
TURUNAN IMPLISIT
LAJU BERKAITAN
Daftar Pustaka
13 April 2020
Aturan Turunan Fungsi Perkalian
Aplikasi Teorema GCarilah turunan fungsi (3x2 − 5)(2x4 − x) dengan menggunakanaturan perkalian. Periksalah jawaban tersebut dengan cara lain
Dx [(3x2 − 5)(2x4 − x)] = (3x2 − 5)Dx (2x4 − x) +Dx ((3x2 − 5))(2x4 − x)
= (3x2 − 5)(8x3 − 1) + (6x)(2x4 − x)= 24x5 − 3x2 − 40x3 + 5+ 12x5 − 6x2
= 36x5 − 40x3 − 9x2 + 5
(3x2 − 5)(2x4 − x) = 6x6 − 10x4 − 3x3 + 5x sehingga
Dx [(3x2 − 5)(2x4 − x)] = Dx (6x6)− Dx (10x4)− Dx (3x3)
+Dx (5x)= 36x5 − 40x3 − 9x2 + 5
76
KALKULUS
Chandra Novtiar,M.Si.
Sub PokokPembahasan
DUA MASALAHSATU TEMA
TURUNAN
20 ATURAN MENCARITURUNAN
TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI
ATURAN RANTAI
TURUNAN TINGKATTINGGI
TURUNAN IMPLISIT
LAJU BERKAITAN
Daftar Pustaka
13 April 2020
Aturan Turunan Fungsi Pembagian
Teorema HJika f dan g adalah fungsi yang diferensiabel atau memiliki
turunan, maka(
fg
)′(x) = g(x)f ′(x)−f (x)g ′(x)
g2(x) atau
Dx
(fg
)= g(x)Dx f (x)−f (x)Dx g(x)
g2(x)
PembuktianBuktikan sebagai latihan!!
76
KALKULUS
Chandra Novtiar,M.Si.
Sub PokokPembahasan
DUA MASALAHSATU TEMA
TURUNAN
20 ATURAN MENCARITURUNAN
TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI
ATURAN RANTAI
TURUNAN TINGKATTINGGI
TURUNAN IMPLISIT
LAJU BERKAITAN
Daftar Pustaka
13 April 2020
Aturan Turunan Fungsi Pembagian
Teorema HJika f dan g adalah fungsi yang diferensiabel atau memiliki
turunan, maka(
fg
)′(x) = g(x)f ′(x)−f (x)g ′(x)
g2(x) atau
Dx
(fg
)= g(x)Dx f (x)−f (x)Dx g(x)
g2(x)
PembuktianBuktikan sebagai latihan!!
76
KALKULUS
Chandra Novtiar,M.Si.
Sub PokokPembahasan
DUA MASALAHSATU TEMA
TURUNAN
21 ATURAN MENCARITURUNAN
TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI
ATURAN RANTAI
TURUNAN TINGKATTINGGI
TURUNAN IMPLISIT
LAJU BERKAITAN
Daftar Pustaka
13 April 2020
Aturan Turunan Fungsi Pembagian
Aplikasi Teorema HCarilah d
dx3x−5x2+7
ddx
3x − 5x2 + 7 =
(x2 + 7) ddx (3x − 5)− (3x − 5) d
dx (x2 + 7)
(x2 + 7)2
=(x2 + 7)(3)− (3x − 5)(2x)
(x2 + 7)2
=(3x2 + 21)− (6x2 − 10x)
(x2 + 7)2
=−3x2 + 10x + 21
(x2 + 7)2
76
KALKULUS
Chandra Novtiar,M.Si.
Sub PokokPembahasan
DUA MASALAHSATU TEMA
TURUNAN
22 ATURAN MENCARITURUNAN
TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI
ATURAN RANTAI
TURUNAN TINGKATTINGGI
TURUNAN IMPLISIT
LAJU BERKAITAN
Daftar Pustaka
13 April 2020
Aturan Turunan Fungsi Pembagian
Aplikasi Teorema HCarilah Dx y jika y = 2
x4+1 + 3x
Dx y = Dx2
x4 + 1 + Dx3x
=(x4 + 1)Dx (2)− 2Dx (x4 + 1)
(x4 + 1)2 +(x)Dx (3)− 3Dx (x)
x2
=(x4 + 1)(0)− 2(4x3)
(x4 + 1)2 +(x)(0)− 3(1)
x2
=−8x3
(x4 + 1)2 −3x2
76
KALKULUS
Chandra Novtiar,M.Si.
Sub PokokPembahasan
DUA MASALAHSATU TEMA
TURUNAN
23 ATURAN MENCARITURUNAN
TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI
ATURAN RANTAI
TURUNAN TINGKATTINGGI
TURUNAN IMPLISIT
LAJU BERKAITAN
Daftar Pustaka
13 April 2020
Aturan Turunan Fungsi Pembagian
Aplikasi Teorema HTunjukkan bahwa Dx (x−n) = −nx−n−1 dimana n bilangan bulatpositif
Dx (x−n) = Dx1xn
=(xn)Dx (1)− 1Dx (xn)
(xn)2
=(xn)(0)− (nxn−1)
(x2n)
=−nxn−1
x2n
= −nx−n−1
sehingga Dx
(3x
)= −3
x2
76
KALKULUS
Chandra Novtiar,M.Si.
Sub PokokPembahasan
DUA MASALAHSATU TEMA
TURUNAN
23 ATURAN MENCARITURUNAN
TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI
ATURAN RANTAI
TURUNAN TINGKATTINGGI
TURUNAN IMPLISIT
LAJU BERKAITAN
Daftar Pustaka
13 April 2020
Aturan Turunan Fungsi Pembagian
Aplikasi Teorema HTunjukkan bahwa Dx (x−n) = −nx−n−1 dimana n bilangan bulatpositif
Dx (x−n) = Dx1xn
=(xn)Dx (1)− 1Dx (xn)
(xn)2
=(xn)(0)− (nxn−1)
(x2n)
=−nxn−1
x2n
= −nx−n−1
sehingga Dx
(3x
)= −3
x2
76
KALKULUS
Chandra Novtiar,M.Si.
Sub PokokPembahasan
DUA MASALAHSATU TEMA
TURUNAN
ATURAN MENCARITURUNAN
24 TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI
ATURAN RANTAI
TURUNAN TINGKATTINGGI
TURUNAN IMPLISIT
LAJU BERKAITAN
Daftar Pustaka
13 April 2020
TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI
Turunan Fungsi sin(x)
Dx (sin x) = limh→0sin(x + h)− sin x
h
= limh→0sin x cos h + cos x sin h − sin x
h
= limh→0
(− sin x 1+ cos h
h + cos x sin hh
)= − sin x
[limh→0
1+ cos hh
]+ cos x
[limh→0
sin hh
]Karena limh→0
sin hh = 1 dan limh→0
1−cos hh = 0 maka
Dx (sin x) = (− sin x) · 0+ (cos x) · 1= cos x
76
KALKULUS
Chandra Novtiar,M.Si.
Sub PokokPembahasan
DUA MASALAHSATU TEMA
TURUNAN
ATURAN MENCARITURUNAN
25 TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI
ATURAN RANTAI
TURUNAN TINGKATTINGGI
TURUNAN IMPLISIT
LAJU BERKAITAN
Daftar Pustaka
13 April 2020
TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI
Turunan Fungsi cos(x)
Dx (cos x) = limh→0cos(x + h)− cos x
h
= limh→0cos x cos h − sin x sin h − cos x
h
= limh→0
(− cos x 1− cos h
h − sin x sin hh
)= (− cos x) · 0− (sin x) · 1= − sin x
76
KALKULUS
Chandra Novtiar,M.Si.
Sub PokokPembahasan
DUA MASALAHSATU TEMA
TURUNAN
ATURAN MENCARITURUNAN
26 TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI
ATURAN RANTAI
TURUNAN TINGKATTINGGI
TURUNAN IMPLISIT
LAJU BERKAITAN
Daftar Pustaka
13 April 2020
TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI
TEOREMA AFungsi f (x) = sin x dan g(x) = cos x yang keduanya merupakanfungsi yang diferensiabel dan
Dx (sin x) = cos xDx (cos x) = − sin x
Contoh Soal 1Tentukan Dx (3 sin x − 2 cos x)
Dx (3 sin x − 2 cos x) = 3Dx (sin x)− 2Dx (cos x)= 3 cos x + 2 sin x
76
KALKULUS
Chandra Novtiar,M.Si.
Sub PokokPembahasan
DUA MASALAHSATU TEMA
TURUNAN
ATURAN MENCARITURUNAN
26 TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI
ATURAN RANTAI
TURUNAN TINGKATTINGGI
TURUNAN IMPLISIT
LAJU BERKAITAN
Daftar Pustaka
13 April 2020
TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI
TEOREMA AFungsi f (x) = sin x dan g(x) = cos x yang keduanya merupakanfungsi yang diferensiabel dan
Dx (sin x) = cos xDx (cos x) = − sin x
Contoh Soal 1Tentukan Dx (3 sin x − 2 cos x)
Dx (3 sin x − 2 cos x) = 3Dx (sin x)− 2Dx (cos x)= 3 cos x + 2 sin x
76
KALKULUS
Chandra Novtiar,M.Si.
Sub PokokPembahasan
DUA MASALAHSATU TEMA
TURUNAN
ATURAN MENCARITURUNAN
27 TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI
ATURAN RANTAI
TURUNAN TINGKATTINGGI
TURUNAN IMPLISIT
LAJU BERKAITAN
Daftar Pustaka
13 April 2020
TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI
Contoh Soal 2Carilah persamaan garis singgung grafik fungsi y = 3 sin x di titik(π, 0)Turunan fungsi y adalah dy
dx = 3 cos x , sehingga di titik x = πkemiringan/gradien garis singgung adalah 3 cosπ = 3(−1) = −3.Jadi, persamaan garis singgung grafik fungsi y = 3 sin x di titik(π, 0) adalah
y − 0 = −3(x − π)y = −3x + 3π
Contoh Soal 3Tentukanlah Dx (x2 sin x)
Dx (x2 sin x) = x2Dx (sin x) + sin xDx (x2)
= x2 cos x + 2x sin x
76
KALKULUS
Chandra Novtiar,M.Si.
Sub PokokPembahasan
DUA MASALAHSATU TEMA
TURUNAN
ATURAN MENCARITURUNAN
27 TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI
ATURAN RANTAI
TURUNAN TINGKATTINGGI
TURUNAN IMPLISIT
LAJU BERKAITAN
Daftar Pustaka
13 April 2020
TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI
Contoh Soal 2Carilah persamaan garis singgung grafik fungsi y = 3 sin x di titik(π, 0)Turunan fungsi y adalah dy
dx = 3 cos x , sehingga di titik x = πkemiringan/gradien garis singgung adalah 3 cosπ = 3(−1) = −3.Jadi, persamaan garis singgung grafik fungsi y = 3 sin x di titik(π, 0) adalah
y − 0 = −3(x − π)y = −3x + 3π
Contoh Soal 3Tentukanlah Dx (x2 sin x)
Dx (x2 sin x) = x2Dx (sin x) + sin xDx (x2)
= x2 cos x + 2x sin x
76
KALKULUS
Chandra Novtiar,M.Si.
Sub PokokPembahasan
DUA MASALAHSATU TEMA
TURUNAN
ATURAN MENCARITURUNAN
28 TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI
ATURAN RANTAI
TURUNAN TINGKATTINGGI
TURUNAN IMPLISIT
LAJU BERKAITAN
Daftar Pustaka
13 April 2020
TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI
Contoh Soal 4
Tentukanlah nilai dari ddx
(1+sin x
cos x
)Untuk menyelesaikan masalah ini gunakan aturan turunan fungsipembagian
ddx
(1+ sin xcos x
)=
cos x ddx (1+ sin x)− (1+ sin x) d
dx cos xcos2 x
=cos x(cos x)− (1+ sin x)(− sin x)
cos2 x
=cos2 x + sin x + sin2 x
cos2 x=
1+ sin xcos2 x
76
KALKULUS
Chandra Novtiar,M.Si.
Sub PokokPembahasan
DUA MASALAHSATU TEMA
TURUNAN
ATURAN MENCARITURUNAN
29 TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI
ATURAN RANTAI
TURUNAN TINGKATTINGGI
TURUNAN IMPLISIT
LAJU BERKAITAN
Daftar Pustaka
13 April 2020
TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI
TEOREMA B
Dx (tan x) = sec2 xDx (sec x) = sec x tan xDx (cot x) = − csc2 xDx (csc x) = − csc x cot x
Contoh Soal 5Carilah nilai dari Dx (xn tan x)
Dx (xn tan x) = xnDx (tan x) + tan xDx (xn)
= xn sec2 x + nxn−1 tan x
76
KALKULUS
Chandra Novtiar,M.Si.
Sub PokokPembahasan
DUA MASALAHSATU TEMA
TURUNAN
ATURAN MENCARITURUNAN
29 TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI
ATURAN RANTAI
TURUNAN TINGKATTINGGI
TURUNAN IMPLISIT
LAJU BERKAITAN
Daftar Pustaka
13 April 2020
TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI
TEOREMA B
Dx (tan x) = sec2 xDx (sec x) = sec x tan xDx (cot x) = − csc2 xDx (csc x) = − csc x cot x
Contoh Soal 5Carilah nilai dari Dx (xn tan x)
Dx (xn tan x) = xnDx (tan x) + tan xDx (xn)
= xn sec2 x + nxn−1 tan x
76
KALKULUS
Chandra Novtiar,M.Si.
Sub PokokPembahasan
DUA MASALAHSATU TEMA
TURUNAN
ATURAN MENCARITURUNAN
30 TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI
ATURAN RANTAI
TURUNAN TINGKATTINGGI
TURUNAN IMPLISIT
LAJU BERKAITAN
Daftar Pustaka
13 April 2020
TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI
Contoh Soal 6Carilah persamaan garis singgung grafik fungsi y = tan x di titik(π
4 , 1).Turunan fungsi y adalah dy
dx = sec2 x , sehingga di titik x = π4
kemiringan/gradien garis singgung adalahsec2 (π
4)= 1
cos2 π4= 1(√
22
)2 = 112= 2. Jadi, persamaan garis
singgung grafik fungsi y = tan x di titik (π4 , 1) adalah
y − 1 = 2(x − π
4 )
y = 2x − π
2 + 1
76
KALKULUS
Chandra Novtiar,M.Si.
Sub PokokPembahasan
DUA MASALAHSATU TEMA
TURUNAN
ATURAN MENCARITURUNAN
31 TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI
ATURAN RANTAI
TURUNAN TINGKATTINGGI
TURUNAN IMPLISIT
LAJU BERKAITAN
Daftar Pustaka
13 April 2020
TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI
Contoh Soal 7Tentukanlah semua titik pada y = sin2 x dimana garis singungnyahorizontal. Garis singgung suatu grafik horizontal ketikagradiennya nol.
ddx sin2 x =
ddx sin x sin x
= sin x ddx sin x + sin x d
dx sin x
= sin x cos x + sin x cos x= 2 sin x cos x
2 sin x cos x = 0 ketika sin x = 0 atau cos x = 0. Kondisi ini terjadisaat x = 0,±π
2 ,±π,±3π2 , · · ·
76
KALKULUS
Chandra Novtiar,M.Si.
Sub PokokPembahasan
DUA MASALAHSATU TEMA
TURUNAN
ATURAN MENCARITURUNAN
TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI
32 ATURAN RANTAI
TURUNAN TINGKATTINGGI
TURUNAN IMPLISIT
LAJU BERKAITAN
Daftar Pustaka
13 April 2020
ATURAN RANTAI
TEOREMA A ATURAN RANTAIMisalkan y = f (u) dan u = g(x). Jika g terdiferensialkan di xdan f terdiferensialkan di u = g(x), maka fungsi komposisi f ◦ gyang didefinisikan sebagai (f ◦ g)(x) = f (g(x)) terdiferensialkandi x dan
(f ◦ g)′(x) = f ′(g(x))g ′(x)Dx (f (g(x)) = f ′(g(x))g ′(x)
dydx =
dydu
dudx
76
KALKULUS
Chandra Novtiar,M.Si.
Sub PokokPembahasan
DUA MASALAHSATU TEMA
TURUNAN
ATURAN MENCARITURUNAN
TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI
33 ATURAN RANTAI
TURUNAN TINGKATTINGGI
TURUNAN IMPLISIT
LAJU BERKAITAN
Daftar Pustaka
13 April 2020
ATURAN RANTAI
CONTOH 1Diketahui y = (2x2 − 4x + 1)60. Tentukan Dx yMisalkan y = u60 dan u = 2x2 − 4x + 1. Sehingga f (u) = u60 danu = g(x) = 2x2 − 4x + 1 maka
Dx y = Dx f (g(x))= f ′(u)g ′(x)= (60u59)(4x − 4)= 60(2x2 − 4x + 1)59(4x − 4)
76
KALKULUS
Chandra Novtiar,M.Si.
Sub PokokPembahasan
DUA MASALAHSATU TEMA
TURUNAN
ATURAN MENCARITURUNAN
TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI
34 ATURAN RANTAI
TURUNAN TINGKATTINGGI
TURUNAN IMPLISIT
LAJU BERKAITAN
Daftar Pustaka
13 April 2020
ATURAN RANTAI
CONTOH 2Diketahui y = 1
(2x5−7)3 . Tentukan dydx
Misalkan y = 1u3 = u−3 dan u = 2x5 − 7. Sehingga
dydx =
dydu
dudx
= (−3u−4)(10x4)
=−3u4 (10x4)
=−30x4
(2x5 − 7)4
76
KALKULUS
Chandra Novtiar,M.Si.
Sub PokokPembahasan
DUA MASALAHSATU TEMA
TURUNAN
ATURAN MENCARITURUNAN
TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI
35 ATURAN RANTAI
TURUNAN TINGKATTINGGI
TURUNAN IMPLISIT
LAJU BERKAITAN
Daftar Pustaka
13 April 2020
ATURAN RANTAI
CONTOH 3
Hitunglah Dt
(t3−2t+1
t4+3
)13.
Misalkan y = u13 dimana u = (t3−2t+1)t4+3 . Dengan menggunakan
aturan rantai ditambah aturan pembagian memberikan
Dt
(t3 − 2t + 1
t4 + 3
)13= 13
(t3 − 2t + 1
t4 + 3
)12Dt
(t3 − 2t + 1
t4 + 3
)= 13
(t3 − 2t + 1
t4 + 3
)12
(t4 + 3)(3t2 − 2)− (t3 − 2t + 1)(4t3)
(t4 + 3)2
= 13(
t3 − 2t + 1t4 + 3
)12−t6 + 6t4 − 4t3 + 9t2 − 6(t4 + 3)2
76
KALKULUS
Chandra Novtiar,M.Si.
Sub PokokPembahasan
DUA MASALAHSATU TEMA
TURUNAN
ATURAN MENCARITURUNAN
TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI
36 ATURAN RANTAI
TURUNAN TINGKATTINGGI
TURUNAN IMPLISIT
LAJU BERKAITAN
Daftar Pustaka
13 April 2020
ATURAN RANTAI
CONTOH 4Jika y = sin 2x , tentukanlah dy
dx . Misalkan y = sin u dimanau = 2x . Dengan menggunakan aturan rantai
dydx =
dydu
dudx
= cos u(2)= 2 cos 2x
CONTOH 5Tentukanlah F ′(y) dimana F (y) = y sin y2. Dengan menggunakanaturan perkalian untuk perkalian antara y dengan sin y2 danaturan rantai untuk turunan sin y2 menjadi
F ′(x) = yDy [sin y2] + sin y2Dy [y ]= y(cos y2)Dy (y2) + sin y2(1)= 2y3 cos y2 + sin y2
76
KALKULUS
Chandra Novtiar,M.Si.
Sub PokokPembahasan
DUA MASALAHSATU TEMA
TURUNAN
ATURAN MENCARITURUNAN
TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI
36 ATURAN RANTAI
TURUNAN TINGKATTINGGI
TURUNAN IMPLISIT
LAJU BERKAITAN
Daftar Pustaka
13 April 2020
ATURAN RANTAI
CONTOH 4Jika y = sin 2x , tentukanlah dy
dx . Misalkan y = sin u dimanau = 2x . Dengan menggunakan aturan rantai
dydx =
dydu
dudx
= cos u(2)= 2 cos 2x
CONTOH 5Tentukanlah F ′(y) dimana F (y) = y sin y2. Dengan menggunakanaturan perkalian untuk perkalian antara y dengan sin y2 danaturan rantai untuk turunan sin y2 menjadi
F ′(x) = yDy [sin y2] + sin y2Dy [y ]= y(cos y2)Dy (y2) + sin y2(1)= 2y3 cos y2 + sin y2
76
KALKULUS
Chandra Novtiar,M.Si.
Sub PokokPembahasan
DUA MASALAHSATU TEMA
TURUNAN
ATURAN MENCARITURUNAN
TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI
37 ATURAN RANTAI
TURUNAN TINGKATTINGGI
TURUNAN IMPLISIT
LAJU BERKAITAN
Daftar Pustaka
13 April 2020
ATURAN RANTAI
CONTOH 6
Tentukanlah Dx
(x2(1−x)3
1+x
). Dengan menggunakan aturan
pembagian dan aturan rantai sehingga (Kerjakan sebagai latihan)
CONTOH 7Tentukanlah d
dx1
(2x−1)3
ddx
1(2x − 1)3 =
ddx (2x − 1)−3
= −3(2x − 1)−3−1 ddx (2x − 1)
= −3(2x − 1)−4(2)
=−6
(2x − 1)4
76
KALKULUS
Chandra Novtiar,M.Si.
Sub PokokPembahasan
DUA MASALAHSATU TEMA
TURUNAN
ATURAN MENCARITURUNAN
TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI
37 ATURAN RANTAI
TURUNAN TINGKATTINGGI
TURUNAN IMPLISIT
LAJU BERKAITAN
Daftar Pustaka
13 April 2020
ATURAN RANTAI
CONTOH 6
Tentukanlah Dx
(x2(1−x)3
1+x
). Dengan menggunakan aturan
pembagian dan aturan rantai sehingga (Kerjakan sebagai latihan)
CONTOH 7Tentukanlah d
dx1
(2x−1)3
ddx
1(2x − 1)3 =
ddx (2x − 1)−3
= −3(2x − 1)−3−1 ddx (2x − 1)
= −3(2x − 1)−4(2)
=−6
(2x − 1)4
76
KALKULUS
Chandra Novtiar,M.Si.
Sub PokokPembahasan
DUA MASALAHSATU TEMA
TURUNAN
ATURAN MENCARITURUNAN
TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI
38 ATURAN RANTAI
TURUNAN TINGKATTINGGI
TURUNAN IMPLISIT
LAJU BERKAITAN
Daftar Pustaka
13 April 2020
ATURAN RANTAI
CONTOH 8Tentukanlah ekspresi turunan untuk fungsi-fungsi berikut dengansyarat F diferensiabel.(a) Dx (F (x3))
(b) Dx [(F (x))3]
Jawaban :(a) Misalkan u = x3 sehingga F (x3) = F (u). Maka
Dx F (x3) = F ′(x3)Dx (x3) = 3x2F ′(x3)
(b) Misalkan u = F (x) sehingga F (x)3 = u3. Dengan aturanpangkat dan aturan rantai,Dx [(F (x))3] = 3[F (x)]2Dx (F (x)) = 3[F (x)]2F ′(x)
76
KALKULUS
Chandra Novtiar,M.Si.
Sub PokokPembahasan
DUA MASALAHSATU TEMA
TURUNAN
ATURAN MENCARITURUNAN
TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI
39 ATURAN RANTAI
TURUNAN TINGKATTINGGI
TURUNAN IMPLISIT
LAJU BERKAITAN
Daftar Pustaka
13 April 2020
ATURAN RANTAI BERULANG
CONTOH 9Tentukanlah Dx sin3 (4x). Ingat bahwa sin3 (4x) = [sin (4x)]3
Dx sin3 (4x) = Dx [sin (4x)]3
= 3[sin (4x)]3−1Dx sin (4x)= 3[sin (4x)]2 cos (4x)Dx (4x)= 3[sin (4x)]2 cos (4x)(4)= 12 cos (4x) sin (4x)]2
76
KALKULUS
Chandra Novtiar,M.Si.
Sub PokokPembahasan
DUA MASALAHSATU TEMA
TURUNAN
ATURAN MENCARITURUNAN
TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI
40 ATURAN RANTAI
TURUNAN TINGKATTINGGI
TURUNAN IMPLISIT
LAJU BERKAITAN
Daftar Pustaka
13 April 2020
ATURAN RANTAI BERULANG
CONTOH 10Tentukanlah Dx sin[cos [x2]]
Dx sin[cos [x2]] = cos[cos [x2]]Dx [cos [x2]]
= cos[cos [x2]] · [− sin (x2)] · Dx [x2]
= cos[cos [x2]] · [− sin (x2)] · (2x)= −2x sin (x2) cos[cos [x2]]
76
KALKULUS
Chandra Novtiar,M.Si.
Sub PokokPembahasan
DUA MASALAHSATU TEMA
TURUNAN
ATURAN MENCARITURUNAN
TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI
ATURAN RANTAI
41 TURUNAN TINGKATTINGGI
TURUNAN IMPLISIT
LAJU BERKAITAN
Daftar Pustaka
13 April 2020
TURUNAN TINGKAT TINGGI
TURUNAN TINGKAT TINGGIMisalkan terdapat fungsi f . Operasi turunan pada f menjadikan fmenjadi f ′. Selanjutnya, fungsi f ′ diturunkan kembali menjadisuatu fungsi f ” (dibaca f double aksen) dan disebut turunankedua dari f . Kemudian, f ” diturunkan kembali sekali menjadif ′′′ sebagai turunan ketiga dari f . Turunan keempatdinotasikan dengan f 4 dan turunan kelima dinotasikan dengan f 5
dan lain-lain. Sebagai contoh jika kita memiliki suatu fungsif (x) = 2x3 − 4x2 + 7x − 8. Maka
f ′(x) = 6x2 − 8x + 7f ”(x) = 12x − 8f ′′′(x) = 12f 4(x) = 0
Karena f 4(x) = 0 maka turunan keempat dan turunan tingkattinggi selanjutnya dari x akan bernilai 0.
76
KALKULUS
Chandra Novtiar,M.Si.
Sub PokokPembahasan
DUA MASALAHSATU TEMA
TURUNAN
ATURAN MENCARITURUNAN
TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI
ATURAN RANTAI
42 TURUNAN TINGKATTINGGI
TURUNAN IMPLISIT
LAJU BERKAITAN
Daftar Pustaka
13 April 2020
TURUNAN TINGKAT TINGGI
NOTASI TURUNAN TINGKAT TINGGITurunan Notasi f ′ Notasi y ′ Notasi D Notasi LeibnizPertama f ′(x) y ′ Dx y dy
dxKedua f ”(x) y” D2
x y d2ydx2
Ketiga f ′′′(x) y ′′′ D3x y d3y
dx3
Keempat f 4(x) y4 D4x y d4y
dx4
......
......
...Ke-n f n(x) yn Dn
x y dnydxn
76
KALKULUS
Chandra Novtiar,M.Si.
Sub PokokPembahasan
DUA MASALAHSATU TEMA
TURUNAN
ATURAN MENCARITURUNAN
TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI
ATURAN RANTAI
43 TURUNAN TINGKATTINGGI
TURUNAN IMPLISIT
LAJU BERKAITAN
Daftar Pustaka
13 April 2020
TURUNAN TINGKAT TINGGI
CONTOH 1Misalkan y = sin 2x . Carilah d3y
dx3 ,d4ydx4 dan d12y
dx12 .
dydx = 2 cos 2x
d2ydx2 = −22 sin 2x
d3ydx3 = −23 cos 2x
d4ydx4 = 24 sin 2x
d5ydx5 = 25 cos 2x
... =...
d12ydx12 = 212 sin 2x
76
KALKULUS
Chandra Novtiar,M.Si.
Sub PokokPembahasan
DUA MASALAHSATU TEMA
TURUNAN
ATURAN MENCARITURUNAN
TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI
ATURAN RANTAI
44 TURUNAN TINGKATTINGGI
TURUNAN IMPLISIT
LAJU BERKAITAN
Daftar Pustaka
13 April 2020
TURUNAN TINGKAT TINGGI
LAJU DAN PERCEPATAN : LAJUSuatu obek bergerak di sepanjang garis sehingga posisinya saat tdinyatakan dengan s = 2t2 − 12t + 8, dimana s dalam satuancentimeter dan t dalam satuan detik dengan t ≥ 0. Tentukanlahlaju saat t = 1 detik dan saat t = 6 detik. Kapankah benda ketikalajunya 0? Kapankah lajunya bernilai positif?
v(t) =dsdt
= 4t − 12
sehingga laju saat t = 1 detik adalah v(1) = 4(1)− 12 = −8centimeter per detik dan laju saat t = 6 detik adalahv(6) = 4(6)− 12 = 24 centimeter per detik. Laju bernilai nolketika v(t) = 4t − 12 = 0 atau saat t = 3 detik. Laju bernilaipositif ketika v(t) = 4t − 12 > 0 atau t > 3 detik.
76
KALKULUS
Chandra Novtiar,M.Si.
Sub PokokPembahasan
DUA MASALAHSATU TEMA
TURUNAN
ATURAN MENCARITURUNAN
TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI
ATURAN RANTAI
45 TURUNAN TINGKATTINGGI
TURUNAN IMPLISIT
LAJU BERKAITAN
Daftar Pustaka
13 April 2020
TURUNAN TINGKAT TINGGI
LAJU DAN PERCEPATAN : PERCEPATANPercepatan merupakan kecepatan perubahan laju terhadap waktu,yang dinotasikan dengan a
a(t) =dvdt =
d2sdt2
Contohnya adalah pada soal sebelumnya, dengans = 2t2 − 12t + 8 maka
v(t) =dsdt = 4t − 12
a(t) =d2sdt2 = 4
Hal ini memperlihatkan bahwa laju naik dengan kecepatan yangkonstan yaitu 4 centimeter per detik dalam 1 detik, ditulis 4centimeter per detik per detik atau 4 cm
detik2
76
KALKULUS
Chandra Novtiar,M.Si.
Sub PokokPembahasan
DUA MASALAHSATU TEMA
TURUNAN
ATURAN MENCARITURUNAN
TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI
ATURAN RANTAI
46 TURUNAN TINGKATTINGGI
TURUNAN IMPLISIT
LAJU BERKAITAN
Daftar Pustaka
13 April 2020
TURUNAN TINGKAT TINGGI
CONTOH 2Suatu benda bergerak di sepanjang garis horizontal denganposisinya setiap saat dituliskan sebagai
s(t) = t3 − 12t2 + 36t − 30
dimana s jarak dalam satuan kaki dan t dalam detik.(a) Kapankah ketika lajunya 0?(b) Kapankah lajunya positif?(c) Kapankah benda bergerak ke arah kiri (arah negatif)?(d) Kapankah percepatannya positif?
76
KALKULUS
Chandra Novtiar,M.Si.
Sub PokokPembahasan
DUA MASALAHSATU TEMA
TURUNAN
ATURAN MENCARITURUNAN
TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI
ATURAN RANTAI
47 TURUNAN TINGKATTINGGI
TURUNAN IMPLISIT
LAJU BERKAITAN
Daftar Pustaka
13 April 2020
TURUNAN TINGKAT TINGGI
JAWABAN CONTOH 2(a) v = ds
dt = 3t2 − 24t + 36 = 3(t − 2)(t − 6). Sehinggakecepatan v = 0 saat t = 2 dan t = 6
(b) v > 0 ketika (t − 2)(t − 6) > 0, yaitu saat t pada intervalwaktu (−∞, 2) ∪ (6,∞)
(c) Benda bergerak ke arah kiri, saat v < 0 atau(t − 2)(t − 6) < 0 yaitu saat t pada interval waktu (2, 6)
(d) a = dvdt = 6t − 24 = 6(t − 4) sehingga a > 0 saat t > 4
76
KALKULUS
Chandra Novtiar,M.Si.
Sub PokokPembahasan
DUA MASALAHSATU TEMA
TURUNAN
ATURAN MENCARITURUNAN
TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI
ATURAN RANTAI
48 TURUNAN TINGKATTINGGI
TURUNAN IMPLISIT
LAJU BERKAITAN
Daftar Pustaka
13 April 2020
TURUNAN TINGKAT TINGGI
GERAK JATUH BEBASJika suatu benda dilempar ke atas dengan ketinggian awal s0 kakidengan laju awal adalah v0 kaki per detik. Jika s merupakanketinggian di atas permukaan tanah, dalam kaki per detik, makas = −16t2 + v0t + s0. Dalam hal ini, kecepatan positifmenandakan benda bergerak ke atas.
CONTOH 3Dari atas suatu gedung dengan ketinggian 160 kaki, sebuah boladilemparkan ke atas dengan laju awal sebesar 64 kaki per detik(a) Kapankah bola mencapai ketinggian maksimum?(b) Berapakah ketinggian maksimumnya?(c) Kapankah bola mencapai dasar gedung?(d) Dengan laju berapakah bola mencapai dasar gedung?(e) Berapakah percepatan saat t = 2?
76
KALKULUS
Chandra Novtiar,M.Si.
Sub PokokPembahasan
DUA MASALAHSATU TEMA
TURUNAN
ATURAN MENCARITURUNAN
TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI
ATURAN RANTAI
48 TURUNAN TINGKATTINGGI
TURUNAN IMPLISIT
LAJU BERKAITAN
Daftar Pustaka
13 April 2020
TURUNAN TINGKAT TINGGI
GERAK JATUH BEBASJika suatu benda dilempar ke atas dengan ketinggian awal s0 kakidengan laju awal adalah v0 kaki per detik. Jika s merupakanketinggian di atas permukaan tanah, dalam kaki per detik, makas = −16t2 + v0t + s0. Dalam hal ini, kecepatan positifmenandakan benda bergerak ke atas.
CONTOH 3Dari atas suatu gedung dengan ketinggian 160 kaki, sebuah boladilemparkan ke atas dengan laju awal sebesar 64 kaki per detik(a) Kapankah bola mencapai ketinggian maksimum?(b) Berapakah ketinggian maksimumnya?(c) Kapankah bola mencapai dasar gedung?(d) Dengan laju berapakah bola mencapai dasar gedung?(e) Berapakah percepatan saat t = 2?
76
KALKULUS
Chandra Novtiar,M.Si.
Sub PokokPembahasan
DUA MASALAHSATU TEMA
TURUNAN
ATURAN MENCARITURUNAN
TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI
ATURAN RANTAI
49 TURUNAN TINGKATTINGGI
TURUNAN IMPLISIT
LAJU BERKAITAN
Daftar Pustaka
13 April 2020
TURUNAN TINGKAT TINGGI
JAWABAN CONTOH 3Dari atas suatu gedung dengan ketinggian 160 kaki, sebuah boladilemparkan ke atas dengan laju awal sebesar 64 kaki per detik.Misalkan t = 0 berkorespondensi dengan waktu bola dilemparkanke atas. Maka s0 = 160 dan v0 = 64 (v0 bernilai positif karenabola dilempar ke atas), maka
s(t) = −16t2 + 64t + 160
v(t) =dsdt = −32t + 64
a(t) =dvdt = −32
(a) Bola mencapai ketinggian maksimum saat lajunya 0 atau−32t + 64 = 0 atau t = 2 detik
(b) Saat t = 2, s = −16(2)2 + 64(2) + 160 = 224 kaki
76
KALKULUS
Chandra Novtiar,M.Si.
Sub PokokPembahasan
DUA MASALAHSATU TEMA
TURUNAN
ATURAN MENCARITURUNAN
TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI
ATURAN RANTAI
50 TURUNAN TINGKATTINGGI
TURUNAN IMPLISIT
LAJU BERKAITAN
Daftar Pustaka
13 April 2020
TURUNAN TINGKAT TINGGI
JAWABAN CONTOH 3(Lanjutan)(c) Bola mencapai dasar gedung saat s = 0 atau
−16t2 + 64t + 160 = 0−16(t2 − 4t − 10) = 0
(t2 − 4t − 10) = 0
yang menghasilkan t = 4±√
16+402 = 4±2
√14
2 = 2±√14.
Namun hanya waktu t positif yang masuk akal makat = 2+
√14 detik
(d) Saat t = 2+√14, v = −32(2+
√14) + 64 = −32
√14. Jadi,
bola menyentuh tanah dengan laju 32√14 kaki per detik.
(tanda negatif menandakan saat benda bererak ke bawah).(e) Percepatan selalu konstan yaitu a = −32kakiperdetik2.
76
KALKULUS
Chandra Novtiar,M.Si.
Sub PokokPembahasan
DUA MASALAHSATU TEMA
TURUNAN
ATURAN MENCARITURUNAN
TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI
ATURAN RANTAI
TURUNAN TINGKATTINGGI
51 TURUNAN IMPLISIT
LAJU BERKAITAN
Daftar Pustaka
13 April 2020
TURUNAN IMPLISIT
TURUNAN IMPLISITPada persamaan y3 + 7y = x3, kita tak dapat menyelesaikan ydalam fungsi x . Persamaan ini dinamakan persamaan implisit.Dengan menuliskan y sebagai y(x) kita dapat menuliskan ulangpersamaan menjadi y(x)3 + 7y(x) = x3. Kita dapat menentukanhubungan antara x , y(x) dan y ′(x) dengan menurunkan keduaruas terhadap x . Dengan aturan rantai diperoleh
ddx y3 +
ddx (7y) =
ddx x3
3y2 dydx + 7dy
dx = 3x2
dydx (3y2 + 7) = 3x2
dydx =
3x2
3y2 + 7
76
KALKULUS
Chandra Novtiar,M.Si.
Sub PokokPembahasan
DUA MASALAHSATU TEMA
TURUNAN
ATURAN MENCARITURUNAN
TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI
ATURAN RANTAI
TURUNAN TINGKATTINGGI
52 TURUNAN IMPLISIT
LAJU BERKAITAN
Daftar Pustaka
13 April 2020
TURUNAN IMPLISIT
TURUNAN IMPLISIT(LANJUTAN)Saat x = 2 persamaan menjadi y3 + 7y = x3 = 23 = 8 atauy3 + 7y = 8 sehingga diperoleh y = 1. Gradien garis singgungkurva/grafik y3 + 7y = x3 di (x , y) = (2, 1) adalah
dydx =
3(2)2
3(1)2 + 7
=1210
=65
Metode ini merupakan ilustrasi dalam menentukan dydx tanpa
mencari/menentukan persamaan y terhadap variabel x . Metodeini diberi nama metode turunan impilsit
76
KALKULUS
Chandra Novtiar,M.Si.
Sub PokokPembahasan
DUA MASALAHSATU TEMA
TURUNAN
ATURAN MENCARITURUNAN
TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI
ATURAN RANTAI
TURUNAN TINGKATTINGGI
53 TURUNAN IMPLISIT
LAJU BERKAITAN
Daftar Pustaka
13 April 2020
TURUNAN IMPLISIT
CONTOH 1Tentukanlah dy
dx jika diketahui persamaan 4x2y − 3y = x3 − 1Metode 1Dengan mencari y terlebih dahulu
4x2y − 3y = x3 − 1y(4x2 − 3) = x3 − 1
y =x3 − 14x2 − 3
Maka
dydx =
(4x2 − 3)(3x2)− (x3 − 1)(8x)(4x2 − 3)2
=4x4 − 9x2 + 8x
(4x2 − 3)2
76
KALKULUS
Chandra Novtiar,M.Si.
Sub PokokPembahasan
DUA MASALAHSATU TEMA
TURUNAN
ATURAN MENCARITURUNAN
TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI
ATURAN RANTAI
TURUNAN TINGKATTINGGI
54 TURUNAN IMPLISIT
LAJU BERKAITAN
Daftar Pustaka
13 April 2020
TURUNAN IMPLISIT
CONTOH 1(LANJUTAN)Metode 2 TURUNAN IMPLISITDengan menurunkan kedua ruas 4x2y − 3y = x3 − 1 terlebihdahulu diperoleh d
dx (4x2y − 3y) = ddx x3 − 1
4x2 dydx + 8xy − 3dy
dx = 3x2
dydx (4x2 − 3) = 3x2 − 8xy
dydx =
3x2 − 8xy4x2 − 3 (1)
Jawaban yan diperoleh berbeda dengan metode 1. Denganmensubstitusikan y = x3−1
4x2−3 ke persamaan (1) menjadidydx = x3−1
4x2−3 =3x2−8x x3−1
4x2−34x2−3 = 12x4−9x2−8x4+8x
(4x2−3)2 = 4x4−9x2+8x(4x2−3)2
76
KALKULUS
Chandra Novtiar,M.Si.
Sub PokokPembahasan
DUA MASALAHSATU TEMA
TURUNAN
ATURAN MENCARITURUNAN
TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI
ATURAN RANTAI
TURUNAN TINGKATTINGGI
55 TURUNAN IMPLISIT
LAJU BERKAITAN
Daftar Pustaka
13 April 2020
TURUNAN IMPLISIT
CONTOH 2Tentukanlah dy
dx jika diketahui persamaan x2 + 5y3 = x + 9
ddx (x
2 + 5y3) =ddx (x + 9)
2x + 15y2 dydx = 1
dydx =
1− 2x15y2
76
KALKULUS
Chandra Novtiar,M.Si.
Sub PokokPembahasan
DUA MASALAHSATU TEMA
TURUNAN
ATURAN MENCARITURUNAN
TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI
ATURAN RANTAI
TURUNAN TINGKATTINGGI
56 TURUNAN IMPLISIT
LAJU BERKAITAN
Daftar Pustaka
13 April 2020
TURUNAN IMPLISIT
CONTOH 3Carilah persamaan garis singgung kurva y3 − xy2 + cos xy = 2 dititik (0, 1). Gunakan notasi y ′ untuk dy
dx
3y2y ′ − x(2yy ′)− y2 − sin xy(xy ′ + y) = 0y ′(3y2 − 2xy − x sin xy) = y2 + y sin xy
y ′ =y2 + y sin xy
3y2 − 2xy − x sin xy
Di (0, 1) diperoleh y ′ = 13 sehingga persamaan garis singgung
kurva tersebut di (0, 1) adalah
y − 1 =13 (x − 0)
y =13x + 1
76
KALKULUS
Chandra Novtiar,M.Si.
Sub PokokPembahasan
DUA MASALAHSATU TEMA
TURUNAN
ATURAN MENCARITURUNAN
TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI
ATURAN RANTAI
TURUNAN TINGKATTINGGI
57 TURUNAN IMPLISIT
LAJU BERKAITAN
Daftar Pustaka
13 April 2020
TURUNAN IMPLISIT
CONTOH 4Jika y = 2x 5
3 +√
x2 + 1, tentukanlah Dx y
Dx y = Dx(2x 5
3 +√
x2 + 1)
= 2Dx (x53 ) + Dx (
√x2 + 1)
= 2(53x 5
3−1)+
12 (x
2 + 1) 12−1 · (2x)
=103 x 2
3 +x√
x2 + 1
76
KALKULUS
Chandra Novtiar,M.Si.
Sub PokokPembahasan
DUA MASALAHSATU TEMA
TURUNAN
ATURAN MENCARITURUNAN
TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI
ATURAN RANTAI
TURUNAN TINGKATTINGGI
TURUNAN IMPLISIT
58 LAJU BERKAITAN
Daftar Pustaka
13 April 2020
LAJU BERKAITAN
DUA CONTOH SEDERHANA :CONTOH 1Sebuah balon kecil yang berjarak 150 kaki dari seorang pengamatakan dilepaskan ke atas. Jika balon tersebut bergerak ke atasdengan laju 8kaki/detik, seberapa cepatkah jarak dari pengamatdan balon bertambah ketika balon berada pada ketinggian 50 kaki.
Misalkan t merupakan waktu (dalam detik) setelah balondilepaskan. Misalkan pula h merupakan ketinggian balon daridasar tanah dan x merupakan jarak dari pengamat terhadap posisiawal balon dilepaskan. Baik h maupun x merupakan variabel yangbergantung pada t. Diagram sederhana untuk mengambarkankondisi ini adalah sebagai berikut
76
KALKULUS
Chandra Novtiar,M.Si.
Sub PokokPembahasan
DUA MASALAHSATU TEMA
TURUNAN
ATURAN MENCARITURUNAN
TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI
ATURAN RANTAI
TURUNAN TINGKATTINGGI
TURUNAN IMPLISIT
58 LAJU BERKAITAN
Daftar Pustaka
13 April 2020
LAJU BERKAITAN
DUA CONTOH SEDERHANA :CONTOH 1Sebuah balon kecil yang berjarak 150 kaki dari seorang pengamatakan dilepaskan ke atas. Jika balon tersebut bergerak ke atasdengan laju 8kaki/detik, seberapa cepatkah jarak dari pengamatdan balon bertambah ketika balon berada pada ketinggian 50 kaki.
Misalkan t merupakan waktu (dalam detik) setelah balondilepaskan. Misalkan pula h merupakan ketinggian balon daridasar tanah dan x merupakan jarak dari pengamat terhadap posisiawal balon dilepaskan. Baik h maupun x merupakan variabel yangbergantung pada t. Diagram sederhana untuk mengambarkankondisi ini adalah sebagai berikut
76
KALKULUS
Chandra Novtiar,M.Si.
Sub PokokPembahasan
DUA MASALAHSATU TEMA
TURUNAN
ATURAN MENCARITURUNAN
TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI
ATURAN RANTAI
TURUNAN TINGKATTINGGI
TURUNAN IMPLISIT
59 LAJU BERKAITAN
Daftar Pustaka
13 April 2020
LAJU BERKAITAN
Jarak dari pengamat ke titik awal pelepasan balon sejauh 150 kakitidak berubah ketika waktu t bertambah. Sedangkan jarak antarapengamat dengan balon s dan jarak antara titik pertama balondilepaskan dan posisi balon h berubah ketika t waktu bertambah.Hubungan antara variabel-variabel tersebut sesuai dengan teoremaphytagoras
s2 = h2 + (150)2
Dengan menurunan secara implisit kedua ruas terhadap t diperoleh
2s dsdt = 2hdh
dt
s dsdt = hdh
dt
Ketika h = 50 kaki, s memenuhi s2 = h2 + (150)2 sehinggadiperoleh s2 = (50)2 + (150)2 = 2500+ 22500 = 25000 ataus = 50
√10 kaki
76
KALKULUS
Chandra Novtiar,M.Si.
Sub PokokPembahasan
DUA MASALAHSATU TEMA
TURUNAN
ATURAN MENCARITURUNAN
TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI
ATURAN RANTAI
TURUNAN TINGKATTINGGI
TURUNAN IMPLISIT
60 LAJU BERKAITAN
Daftar Pustaka
13 April 2020
LAJU BERKAITAN
Substitusi s = 50√10 kaki,h = 50 kaki dan dh
dt = 8 kakidetik ke
s dsdt = h dh
dt menjadi
50√10ds
dt = 50(8)
dsdt =
8√10
Jadi, ketika ketinggian balon h = 50 kaki, jarak pengamat danbalon bertambah dengan laju 8√
10kakidetik
76
KALKULUS
Chandra Novtiar,M.Si.
Sub PokokPembahasan
DUA MASALAHSATU TEMA
TURUNAN
ATURAN MENCARITURUNAN
TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI
ATURAN RANTAI
TURUNAN TINGKATTINGGI
TURUNAN IMPLISIT
61 LAJU BERKAITAN
Daftar Pustaka
13 April 2020
LAJU BERKAITAN
DUA CONTOH SEDERHANA :CONTOH 2Air dialirkan ke dalam sebuah tangki berbentuk kerucut terbalikdengan debit/laju 8 kaki3
menit . Jika tinggi tangki adalah 12 kaki danradius atau jari-jari tangki adalah 6 kaki, seberapa cepat ketinggianair bertambah ketika ketinggian air tersebut adalah 4 kaki
Misalkan h dinotasikan sebagai ketinggian air dan r merupakanradius atau jari-jari permukaan air.
76
KALKULUS
Chandra Novtiar,M.Si.
Sub PokokPembahasan
DUA MASALAHSATU TEMA
TURUNAN
ATURAN MENCARITURUNAN
TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI
ATURAN RANTAI
TURUNAN TINGKATTINGGI
TURUNAN IMPLISIT
61 LAJU BERKAITAN
Daftar Pustaka
13 April 2020
LAJU BERKAITAN
DUA CONTOH SEDERHANA :CONTOH 2Air dialirkan ke dalam sebuah tangki berbentuk kerucut terbalikdengan debit/laju 8 kaki3
menit . Jika tinggi tangki adalah 12 kaki danradius atau jari-jari tangki adalah 6 kaki, seberapa cepat ketinggianair bertambah ketika ketinggian air tersebut adalah 4 kaki
Misalkan h dinotasikan sebagai ketinggian air dan r merupakanradius atau jari-jari permukaan air.
76
KALKULUS
Chandra Novtiar,M.Si.
Sub PokokPembahasan
DUA MASALAHSATU TEMA
TURUNAN
ATURAN MENCARITURUNAN
TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI
ATURAN RANTAI
TURUNAN TINGKATTINGGI
TURUNAN IMPLISIT
62 LAJU BERKAITAN
Daftar Pustaka
13 April 2020
LAJU BERKAITAN
Volume air V di dalam tangki bertambah dengan laju 8 kaki3
menit ataudVdt = 8. Akan dicari seberapa cepat ketinggian air bertambahatau dh
dt ketika h = 4.Hubungan antara V dengan h dapat dituliskan sebagaiV = 1
3πr2h. Karena radius r dan laju pertambahan radius r tidakkita perlukan, maka kita dapat menentukan nilai r yangbergantung pada h yang memenuhi
rh =
612
r =h2
sehingga V = 13πr2h menjadi V = 1
3π( h
2)2h = πh3
12
76
KALKULUS
Chandra Novtiar,M.Si.
Sub PokokPembahasan
DUA MASALAHSATU TEMA
TURUNAN
ATURAN MENCARITURUNAN
TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI
ATURAN RANTAI
TURUNAN TINGKATTINGGI
TURUNAN IMPLISIT
63 LAJU BERKAITAN
Daftar Pustaka
13 April 2020
LAJU BERKAITAN
Dengan menurunkan kedua ruas secara impilist pada V = πh3
12diperoleh
dVdt =
dVdh
dhdt
=3πh2
12dhdt =
πh2
4dhdt
sehingga ketika h = 4 kaki dan dVdt = 8 kaki3
menit
8 =π(4)2
4dhdt
dhdt =
2π
Jadi, ketinggian air bertambah dengan laju 2π
kakimenit
76
KALKULUS
Chandra Novtiar,M.Si.
Sub PokokPembahasan
DUA MASALAHSATU TEMA
TURUNAN
ATURAN MENCARITURUNAN
TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI
ATURAN RANTAI
TURUNAN TINGKATTINGGI
TURUNAN IMPLISIT
64 LAJU BERKAITAN
Daftar Pustaka
13 April 2020
LAJU BERKAITAN
PROSEDUR SISTEMATISBerdasarkan contoh 1 dan 2 dapat kita simpulkan langkah-langkahatau prosedur sistematis untuk menyelesaikan masalah lajuberkaitan ini adalah
1 MENDEFINISIKAN VARIABEL-VARIABEL YANGTERLIBAT
2 TULISKAN SEMUA YANG DIKETAHUI DALAM SOALTENTANG VARIABEL-VARIABEL DAN INFORMASI YANGTERKANDUNG DI DALAMNYA
3 MENENTUKAN HUBUNGAN ANTAR VARIABEL4 HUBUNGAN ANTAR VARIABEL DITURUNKAN SECARA
IMPLISIT5 MEMPEROLEH NILAI VARIABEL LAIN KEMUDIAN
SUBSTITUSI DATA-DATA YANG DIKETAHUI DAN NILAIVARIABEL LAIN KE PERSAMAAN STEP 4
76
KALKULUS
Chandra Novtiar,M.Si.
Sub PokokPembahasan
DUA MASALAHSATU TEMA
TURUNAN
ATURAN MENCARITURUNAN
TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI
ATURAN RANTAI
TURUNAN TINGKATTINGGI
TURUNAN IMPLISIT
65 LAJU BERKAITAN
Daftar Pustaka
13 April 2020
LAJU BERKAITAN
CONTOH 3Pesawat terbang ke arah utara pada tengah hari dengan laju640 mil
jam . Lima belas menit kemudian, pesawat kedua terbang kearah timur dengan laju 600 mil
jam . Jika kedua pesawat terbang darititik yang sama, seberapa cepat kedua pesawat terpisah pada jam13.15.
STEP 1Misalkan t merupakan waktu (dalam jam) setelah pukul 12.15, ymerupakan jarak tempuh (dalam mil) pesawat pertama yangterbang ke arah utara setelah pukul 12.15 dan x merupakan jaraktempuh (dalam mil) pesawat kedua yang terbang ke arah timur.Misalkan pula s merupakan jarak antara dua pesawat. Dalamwaktu setelah tengah hari hingga pukul 12.15, pesawat pertamatelah menempuh jarak 640
4 = 160 mil, sehingga jarak jarak tempuhpesawat pertama pada waktu t adalah y + 160.
76
KALKULUS
Chandra Novtiar,M.Si.
Sub PokokPembahasan
DUA MASALAHSATU TEMA
TURUNAN
ATURAN MENCARITURUNAN
TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI
ATURAN RANTAI
TURUNAN TINGKATTINGGI
TURUNAN IMPLISIT
65 LAJU BERKAITAN
Daftar Pustaka
13 April 2020
LAJU BERKAITAN
CONTOH 3Pesawat terbang ke arah utara pada tengah hari dengan laju640 mil
jam . Lima belas menit kemudian, pesawat kedua terbang kearah timur dengan laju 600 mil
jam . Jika kedua pesawat terbang darititik yang sama, seberapa cepat kedua pesawat terpisah pada jam13.15.
STEP 1Misalkan t merupakan waktu (dalam jam) setelah pukul 12.15, ymerupakan jarak tempuh (dalam mil) pesawat pertama yangterbang ke arah utara setelah pukul 12.15 dan x merupakan jaraktempuh (dalam mil) pesawat kedua yang terbang ke arah timur.Misalkan pula s merupakan jarak antara dua pesawat. Dalamwaktu setelah tengah hari hingga pukul 12.15, pesawat pertamatelah menempuh jarak 640
4 = 160 mil, sehingga jarak jarak tempuhpesawat pertama pada waktu t adalah y + 160.
76
KALKULUS
Chandra Novtiar,M.Si.
Sub PokokPembahasan
DUA MASALAHSATU TEMA
TURUNAN
ATURAN MENCARITURUNAN
TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI
ATURAN RANTAI
TURUNAN TINGKATTINGGI
TURUNAN IMPLISIT
66 LAJU BERKAITAN
Daftar Pustaka
13 April 2020
LAJU BERKAITAN
STEP 1 (LANJUTAN)
STEP 2Untuk t > 0, dy
dt = 640 dan dxdt = 600. Kita ingin mencari ds
dt saatt = 1 (yaitu pukul 13.15).
76
KALKULUS
Chandra Novtiar,M.Si.
Sub PokokPembahasan
DUA MASALAHSATU TEMA
TURUNAN
ATURAN MENCARITURUNAN
TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI
ATURAN RANTAI
TURUNAN TINGKATTINGGI
TURUNAN IMPLISIT
66 LAJU BERKAITAN
Daftar Pustaka
13 April 2020
LAJU BERKAITAN
STEP 1 (LANJUTAN)
STEP 2Untuk t > 0, dy
dt = 640 dan dxdt = 600. Kita ingin mencari ds
dt saatt = 1 (yaitu pukul 13.15).
76
KALKULUS
Chandra Novtiar,M.Si.
Sub PokokPembahasan
DUA MASALAHSATU TEMA
TURUNAN
ATURAN MENCARITURUNAN
TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI
ATURAN RANTAI
TURUNAN TINGKATTINGGI
TURUNAN IMPLISIT
67 LAJU BERKAITAN
Daftar Pustaka
13 April 2020
LAJU BERKAITAN
STEP 3Teorema phytagoras, hubungan antar variabel pada langkah 1 dan2 adalah
s2 = x2 + (y + 160)2
STEP 4Turunkan secara implisit tehadap t dan gunakan aturan rantaisehingga diperoleh
2s dsdt = 2x dx
dt + 2(y + 160)dydt
s dsdt = x dx
dt + (y + 160)dydt
76
KALKULUS
Chandra Novtiar,M.Si.
Sub PokokPembahasan
DUA MASALAHSATU TEMA
TURUNAN
ATURAN MENCARITURUNAN
TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI
ATURAN RANTAI
TURUNAN TINGKATTINGGI
TURUNAN IMPLISIT
67 LAJU BERKAITAN
Daftar Pustaka
13 April 2020
LAJU BERKAITAN
STEP 3Teorema phytagoras, hubungan antar variabel pada langkah 1 dan2 adalah
s2 = x2 + (y + 160)2
STEP 4Turunkan secara implisit tehadap t dan gunakan aturan rantaisehingga diperoleh
2s dsdt = 2x dx
dt + 2(y + 160)dydt
s dsdt = x dx
dt + (y + 160)dydt
76
KALKULUS
Chandra Novtiar,M.Si.
Sub PokokPembahasan
DUA MASALAHSATU TEMA
TURUNAN
ATURAN MENCARITURUNAN
TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI
ATURAN RANTAI
TURUNAN TINGKATTINGGI
TURUNAN IMPLISIT
68 LAJU BERKAITAN
Daftar Pustaka
13 April 2020
LAJU BERKAITAN
STEP 5Untuk setiap t > 0, dy
dt = 640 dan dxdt = 600. Saat t = 1, x = 600
dan y = 640, maka s =√(600)2 + (640+ 160)2 = 1000.
Substitusikan semua data-data yang diketahui dan diperoleh kepersamaan pada step 4, menjadi
1000dsdt = (600)(600) + (640+ 160)(640)
1000dsdt = 872000
dsdt = 872
Jadi, pada pukul 13.15, dua pesawat terpisah 872 miljam
76
KALKULUS
Chandra Novtiar,M.Si.
Sub PokokPembahasan
DUA MASALAHSATU TEMA
TURUNAN
ATURAN MENCARITURUNAN
TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI
ATURAN RANTAI
TURUNAN TINGKATTINGGI
TURUNAN IMPLISIT
69 LAJU BERKAITAN
Daftar Pustaka
13 April 2020
LAJU BERKAITAN
CONTOH 4Seorang wanita berdiri di atas jurang di pantai melihatmenggunakan teleskop sebuah motorboat yang lewat mendekatigaris pantai di bawah wanita tersebut. Jika teleskop tersebutberjarak 250 kaki di atas permukaan laut dan motorboat bergerakmendekati garis pantai dengan laju 20 kaki
detik , seberapa cepat sudutteleskop berubah ketika boat berjarak 250mil dari garis pantai.
STEP 1Hubungan antara variabel x dan θ digambarkan sebagai berikut
76
KALKULUS
Chandra Novtiar,M.Si.
Sub PokokPembahasan
DUA MASALAHSATU TEMA
TURUNAN
ATURAN MENCARITURUNAN
TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI
ATURAN RANTAI
TURUNAN TINGKATTINGGI
TURUNAN IMPLISIT
69 LAJU BERKAITAN
Daftar Pustaka
13 April 2020
LAJU BERKAITAN
CONTOH 4Seorang wanita berdiri di atas jurang di pantai melihatmenggunakan teleskop sebuah motorboat yang lewat mendekatigaris pantai di bawah wanita tersebut. Jika teleskop tersebutberjarak 250 kaki di atas permukaan laut dan motorboat bergerakmendekati garis pantai dengan laju 20 kaki
detik , seberapa cepat sudutteleskop berubah ketika boat berjarak 250mil dari garis pantai.
STEP 1Hubungan antara variabel x dan θ digambarkan sebagai berikut
76
KALKULUS
Chandra Novtiar,M.Si.
Sub PokokPembahasan
DUA MASALAHSATU TEMA
TURUNAN
ATURAN MENCARITURUNAN
TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI
ATURAN RANTAI
TURUNAN TINGKATTINGGI
TURUNAN IMPLISIT
70 LAJU BERKAITAN
Daftar Pustaka
13 April 2020
LAJU BERKAITAN
STEP 2Diberikan dx
dt = −20 (tanda negatif menandakan karena xberkurang seiring pertambahan waktu t. Kita menginginkanmengetahui dθ
dt saat x = 250
STEP 3Dengan menggunakan kesamaan trigonometri
cos θ =x250
STEP 4Dengan menurunkan kedua ruas persamaan pada step 3 danmenggunakan aturan rantai diperoleh
sec2 θdθdt =
1250
dxdt
76
KALKULUS
Chandra Novtiar,M.Si.
Sub PokokPembahasan
DUA MASALAHSATU TEMA
TURUNAN
ATURAN MENCARITURUNAN
TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI
ATURAN RANTAI
TURUNAN TINGKATTINGGI
TURUNAN IMPLISIT
70 LAJU BERKAITAN
Daftar Pustaka
13 April 2020
LAJU BERKAITAN
STEP 2Diberikan dx
dt = −20 (tanda negatif menandakan karena xberkurang seiring pertambahan waktu t. Kita menginginkanmengetahui dθ
dt saat x = 250
STEP 3Dengan menggunakan kesamaan trigonometri
cos θ =x250
STEP 4Dengan menurunkan kedua ruas persamaan pada step 3 danmenggunakan aturan rantai diperoleh
sec2 θdθdt =
1250
dxdt
76
KALKULUS
Chandra Novtiar,M.Si.
Sub PokokPembahasan
DUA MASALAHSATU TEMA
TURUNAN
ATURAN MENCARITURUNAN
TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI
ATURAN RANTAI
TURUNAN TINGKATTINGGI
TURUNAN IMPLISIT
70 LAJU BERKAITAN
Daftar Pustaka
13 April 2020
LAJU BERKAITAN
STEP 2Diberikan dx
dt = −20 (tanda negatif menandakan karena xberkurang seiring pertambahan waktu t. Kita menginginkanmengetahui dθ
dt saat x = 250
STEP 3Dengan menggunakan kesamaan trigonometri
cos θ =x250
STEP 4Dengan menurunkan kedua ruas persamaan pada step 3 danmenggunakan aturan rantai diperoleh
sec2 θdθdt =
1250
dxdt
76
KALKULUS
Chandra Novtiar,M.Si.
Sub PokokPembahasan
DUA MASALAHSATU TEMA
TURUNAN
ATURAN MENCARITURUNAN
TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI
ATURAN RANTAI
TURUNAN TINGKATTINGGI
TURUNAN IMPLISIT
71 LAJU BERKAITAN
Daftar Pustaka
13 April 2020
LAJU BERKAITAN
STEP 5Saat x = 250, θ = π
4 dan sec2 (π4)= 1
cos2(
π4
) = 1(√2
2
)2 = 124= 2
maka
2dθdt =
1250 (−20)
dθdt = − 1
25 = −0.04
Jadi, θ berubah −0.04 mildetik . Tanda negatif menandakan θ
berkurang seiring bertambahnya waktu.
76
KALKULUS
Chandra Novtiar,M.Si.
Sub PokokPembahasan
DUA MASALAHSATU TEMA
TURUNAN
ATURAN MENCARITURUNAN
TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI
ATURAN RANTAI
TURUNAN TINGKATTINGGI
TURUNAN IMPLISIT
72 LAJU BERKAITAN
Daftar Pustaka
13 April 2020
LAJU BERKAITAN
CONTOH 5Matahari yang terbit di atas sebuah gedung dengan tinggi 120kaki membentuk bayangan. Seberapa cepat bayangan bertambah(dalam kaki per detik) ketika cahaya matahari membentuk sudut450
STEP 1Misalkan t menyatakan waktu (dalam detik) sejak tengah malam.Misalkan x menyatakan panjang bayangan (dalam kaki) dan θmenyatakan sudut antara sinar matahari dengan dasar gedung.Lihat gambar di bawah
76
KALKULUS
Chandra Novtiar,M.Si.
Sub PokokPembahasan
DUA MASALAHSATU TEMA
TURUNAN
ATURAN MENCARITURUNAN
TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI
ATURAN RANTAI
TURUNAN TINGKATTINGGI
TURUNAN IMPLISIT
72 LAJU BERKAITAN
Daftar Pustaka
13 April 2020
LAJU BERKAITAN
CONTOH 5Matahari yang terbit di atas sebuah gedung dengan tinggi 120kaki membentuk bayangan. Seberapa cepat bayangan bertambah(dalam kaki per detik) ketika cahaya matahari membentuk sudut450
STEP 1Misalkan t menyatakan waktu (dalam detik) sejak tengah malam.Misalkan x menyatakan panjang bayangan (dalam kaki) dan θmenyatakan sudut antara sinar matahari dengan dasar gedung.Lihat gambar di bawah
76
KALKULUS
Chandra Novtiar,M.Si.
Sub PokokPembahasan
DUA MASALAHSATU TEMA
TURUNAN
ATURAN MENCARITURUNAN
TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI
ATURAN RANTAI
TURUNAN TINGKATTINGGI
TURUNAN IMPLISIT
73 LAJU BERKAITAN
Daftar Pustaka
13 April 2020
LAJU BERKAITAN
STEP 2Pelajari sendiri
STEP 3Pelajari sendiri
STEP 4Pelajari sendiri
STEP 5Pelajari sendiri
76
KALKULUS
Chandra Novtiar,M.Si.
Sub PokokPembahasan
DUA MASALAHSATU TEMA
TURUNAN
ATURAN MENCARITURUNAN
TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI
ATURAN RANTAI
TURUNAN TINGKATTINGGI
TURUNAN IMPLISIT
74 LAJU BERKAITAN
Daftar Pustaka
13 April 2020
LAJU BERKAITAN
CONTOH 6Lihat soal latihan 6 pada buku kalkulus tentang laju berkaitan
STEP 1Pelajari sendiri
STEP 2Pelajari sendiri
STEP 3Pelajari sendiri
STEP 4Pelajari sendiri
STEP 5Pelajari sendiri
76
KALKULUS
Chandra Novtiar,M.Si.
Sub PokokPembahasan
DUA MASALAHSATU TEMA
TURUNAN
ATURAN MENCARITURUNAN
TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI
ATURAN RANTAI
TURUNAN TINGKATTINGGI
TURUNAN IMPLISIT
LAJU BERKAITAN
75 Daftar Pustaka
13 April 2020
Daftar Pustaka
I D.Varberg, E.Purcell, and S.Rigdon, Calculus 9rd Edition,Jakarta, Erlangga, 20xx.
76
KALKULUS
Chandra Novtiar,M.Si.
Sub PokokPembahasan
DUA MASALAHSATU TEMA
TURUNAN
ATURAN MENCARITURUNAN
TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI
ATURAN RANTAI
TURUNAN TINGKATTINGGI
TURUNAN IMPLISIT
LAJU BERKAITAN
76 Daftar Pustaka
13 April 2020
Terima Kasih
Chandra Novtiar087827953335
chandramathitb07@gmail.com
top related