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Contenido
Trigonometrıa: Ley de los Senos y Ley delos Cosenos
Carlos A. Rivera-Morales
Precalculo 2
Rivera-Morales, Carlos A. Trigonometrıa: Leyes de los Senos, Cosenos
Contenido
ObjetivosResolucion de Triangulos oblicuangulosFormula Trigonometrica para AreaFormula de HeronAplicacionesApendice
Tabla de Contenido
ObjetivosResolucion de Triangulos oblicuangulos
Ley de los Senos; Ley de los Cosenos
Formula Trigonometrica para AreaFormula de HeronAplicacionesApendice
Rivera-Morales, Carlos A. Trigonometrıa: Leyes de los Senos, Cosenos
Contenido
ObjetivosResolucion de Triangulos oblicuangulosFormula Trigonometrica para AreaFormula de HeronAplicacionesApendice
Objetivos:
Discutiremos:
Resolucion de Triangulos Oblicuangulos
Ley de los SenosLey de los Cosenos
Formula Trigonometrica para Calcular el Area de unTriangulo
Formula de Heron para Calcular el Area de un Triangulo
Aplicaciones
Rivera-Morales, Carlos A. Trigonometrıa: Leyes de los Senos, Cosenos
Contenido
ObjetivosResolucion de Triangulos oblicuangulosFormula Trigonometrica para AreaFormula de HeronAplicacionesApendice
Objetivos:
Discutiremos:
Resolucion de Triangulos Oblicuangulos
Ley de los Senos
Ley de los Cosenos
Formula Trigonometrica para Calcular el Area de unTriangulo
Formula de Heron para Calcular el Area de un Triangulo
Aplicaciones
Rivera-Morales, Carlos A. Trigonometrıa: Leyes de los Senos, Cosenos
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ObjetivosResolucion de Triangulos oblicuangulosFormula Trigonometrica para AreaFormula de HeronAplicacionesApendice
Objetivos:
Discutiremos:
Resolucion de Triangulos Oblicuangulos
Ley de los SenosLey de los Cosenos
Formula Trigonometrica para Calcular el Area de unTriangulo
Formula de Heron para Calcular el Area de un Triangulo
Aplicaciones
Rivera-Morales, Carlos A. Trigonometrıa: Leyes de los Senos, Cosenos
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ObjetivosResolucion de Triangulos oblicuangulosFormula Trigonometrica para AreaFormula de HeronAplicacionesApendice
Objetivos:
Discutiremos:
Resolucion de Triangulos Oblicuangulos
Ley de los SenosLey de los Cosenos
Formula Trigonometrica para Calcular el Area de unTriangulo
Formula de Heron para Calcular el Area de un Triangulo
Aplicaciones
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ObjetivosResolucion de Triangulos oblicuangulosFormula Trigonometrica para AreaFormula de HeronAplicacionesApendice
Objetivos:
Discutiremos:
Resolucion de Triangulos Oblicuangulos
Ley de los SenosLey de los Cosenos
Formula Trigonometrica para Calcular el Area de unTriangulo
Formula de Heron para Calcular el Area de un Triangulo
Aplicaciones
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ObjetivosResolucion de Triangulos oblicuangulosFormula Trigonometrica para AreaFormula de HeronAplicacionesApendice
Objetivos:
Discutiremos:
Resolucion de Triangulos Oblicuangulos
Ley de los SenosLey de los Cosenos
Formula Trigonometrica para Calcular el Area de unTriangulo
Formula de Heron para Calcular el Area de un Triangulo
Aplicaciones
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ObjetivosResolucion de Triangulos oblicuangulosFormula Trigonometrica para AreaFormula de HeronAplicacionesApendice
Resolucion de Triangulos Oblicuangulos
Anteriormente resolvimos triangulos rectangulos haciendo usode razones trigonometricas. Ahora resolveremos triangulosablicuangulos; esto es, triangulos que no tienen angulo rectoalguno. Como herramientas, utilizaremos dos leyes: la Ley delos Senos y Ley de los Cosenos. Para resolver un triangulo,necesitamos algunos datos para comenzar ese proceso. Untriangulo esta determinado por tres de sus seis partes, siempreque, al menos, una de ellas sea un lado. Por lo tanto, se tienencinco posibilidades.
Rivera-Morales, Carlos A. Trigonometrıa: Leyes de los Senos, Cosenos
Contenido
ObjetivosResolucion de Triangulos oblicuangulosFormula Trigonometrica para AreaFormula de HeronAplicacionesApendice
Resolucion de Triangulos Oblicuangulos
Casos Posibles
Caso 1: AAL o ALA. Se dan dos angulos y un lado deltriangulo. Este caso determina un triangulo unico.
Caso 2: LLA. Se dan dos lados del triangulo y un anguloopuesto a uno de esos lados. Este caso da lugar a tresposibilidades: no hay solucion alguna, hay una solucion unica ohay dos posibles soluciones. A este caso se le conoce como elcaso ambiguo.
Rivera-Morales, Carlos A. Trigonometrıa: Leyes de los Senos, Cosenos
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ObjetivosResolucion de Triangulos oblicuangulosFormula Trigonometrica para AreaFormula de HeronAplicacionesApendice
Resolucion de Triangulos Oblicuangulos
Casos Posibles
Caso 1: AAL o ALA. Se dan dos angulos y un lado deltriangulo. Este caso determina un triangulo unico.
Caso 2: LLA. Se dan dos lados del triangulo y un anguloopuesto a uno de esos lados. Este caso da lugar a tresposibilidades: no hay solucion alguna, hay una solucion unica ohay dos posibles soluciones. A este caso se le conoce como elcaso ambiguo.
Rivera-Morales, Carlos A. Trigonometrıa: Leyes de los Senos, Cosenos
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ObjetivosResolucion de Triangulos oblicuangulosFormula Trigonometrica para AreaFormula de HeronAplicacionesApendice
Resolucion de Triangulos Oblicuangulos
Casos Posibles
Caso 3: LAL. Se dan dos lados del triangulo y el angulocomprendido entre ellos. Este caso determina un triangulounico.
Caso 4: LLL. Se dan los tres lados del triangulo. Este casodetermina un triangulo unico.
Dependiendo de la informacion que se tenga a mano secomenzara la resolucion del triangulo con la ley de los senos o laley de los cosenos.
Rivera-Morales, Carlos A. Trigonometrıa: Leyes de los Senos, Cosenos
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ObjetivosResolucion de Triangulos oblicuangulosFormula Trigonometrica para AreaFormula de HeronAplicacionesApendice
Resolucion de Triangulos Oblicuangulos
Casos Posibles
Caso 3: LAL. Se dan dos lados del triangulo y el angulocomprendido entre ellos. Este caso determina un triangulounico.
Caso 4: LLL. Se dan los tres lados del triangulo. Este casodetermina un triangulo unico.
Dependiendo de la informacion que se tenga a mano secomenzara la resolucion del triangulo con la ley de los senos o laley de los cosenos.
Rivera-Morales, Carlos A. Trigonometrıa: Leyes de los Senos, Cosenos
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ObjetivosResolucion de Triangulos oblicuangulosFormula Trigonometrica para AreaFormula de HeronAplicacionesApendice
Resolucion de Triangulos Oblicuangulos
Casos Posibles
Caso 3: LAL. Se dan dos lados del triangulo y el angulocomprendido entre ellos. Este caso determina un triangulounico.
Caso 4: LLL. Se dan los tres lados del triangulo. Este casodetermina un triangulo unico.
Dependiendo de la informacion que se tenga a mano secomenzara la resolucion del triangulo con la ley de los senos o laley de los cosenos.
Rivera-Morales, Carlos A. Trigonometrıa: Leyes de los Senos, Cosenos
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ObjetivosResolucion de Triangulos oblicuangulosFormula Trigonometrica para AreaFormula de HeronAplicacionesApendice
Resolucion de Triangulos Oblicuangulos
Ley de los Senossen(A)
a = sen(B)b = sen(C)
c o asen(A) = b
sen(B) = csen(C)
Ley de los Cosenosa2 = b2 + c2 − 2bc cos(A)b2 = a2 + c2 − 2ac cos(B)c2 = a2 + b2 − 2ab cos(C)
Rivera-Morales, Carlos A. Trigonometrıa: Leyes de los Senos, Cosenos
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ObjetivosResolucion de Triangulos oblicuangulosFormula Trigonometrica para AreaFormula de HeronAplicacionesApendice
Resolucion de Triangulos Oblicuangulos
Ley de los Senossen(A)
a = sen(B)b = sen(C)
c
o asen(A) = b
sen(B) = csen(C)
Ley de los Cosenosa2 = b2 + c2 − 2bc cos(A)b2 = a2 + c2 − 2ac cos(B)c2 = a2 + b2 − 2ab cos(C)
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ObjetivosResolucion de Triangulos oblicuangulosFormula Trigonometrica para AreaFormula de HeronAplicacionesApendice
Resolucion de Triangulos Oblicuangulos
Ley de los Senossen(A)
a = sen(B)b = sen(C)
c o asen(A) = b
sen(B) = csen(C)
Ley de los Cosenosa2 = b2 + c2 − 2bc cos(A)b2 = a2 + c2 − 2ac cos(B)c2 = a2 + b2 − 2ab cos(C)
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ObjetivosResolucion de Triangulos oblicuangulosFormula Trigonometrica para AreaFormula de HeronAplicacionesApendice
Resolucion de Triangulos Oblicuangulos
Ley de los Senossen(A)
a = sen(B)b = sen(C)
c o asen(A) = b
sen(B) = csen(C)
Ley de los Cosenosa2 = b2 + c2 − 2bc cos(A)
b2 = a2 + c2 − 2ac cos(B)c2 = a2 + b2 − 2ab cos(C)
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ObjetivosResolucion de Triangulos oblicuangulosFormula Trigonometrica para AreaFormula de HeronAplicacionesApendice
Resolucion de Triangulos Oblicuangulos
Ley de los Senossen(A)
a = sen(B)b = sen(C)
c o asen(A) = b
sen(B) = csen(C)
Ley de los Cosenosa2 = b2 + c2 − 2bc cos(A)b2 = a2 + c2 − 2ac cos(B)
c2 = a2 + b2 − 2ab cos(C)
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ObjetivosResolucion de Triangulos oblicuangulosFormula Trigonometrica para AreaFormula de HeronAplicacionesApendice
Resolucion de Triangulos Oblicuangulos
Ley de los Senossen(A)
a = sen(B)b = sen(C)
c o asen(A) = b
sen(B) = csen(C)
Ley de los Cosenosa2 = b2 + c2 − 2bc cos(A)b2 = a2 + c2 − 2ac cos(B)c2 = a2 + b2 − 2ab cos(C)
Rivera-Morales, Carlos A. Trigonometrıa: Leyes de los Senos, Cosenos
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ObjetivosResolucion de Triangulos oblicuangulosFormula Trigonometrica para AreaFormula de HeronAplicacionesApendice
Resolucion de Triangulos Oblicuangulos
Ejercicio: Resuelva el siguiente triangulo.
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Resolucion de Triangulos Oblicuangulos
Ejercicio: Resuelva el siguiente triangulo: ∠A = 26◦,a = 1.0m, b = 1.8m
Si tratamos de dibujar el triangulo, encontramos dos posiblestriangulo: el I y el II.
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Resolucion de Triangulos Oblicuangulos
Ejercicio: Resuelva el siguiente triangulo: ∠A = 26◦,a = 1.0m, b = 1.8m
Si tratamos de dibujar el triangulo, encontramos dos posiblestriangulo: el I y el II.
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ObjetivosResolucion de Triangulos oblicuangulosFormula Trigonometrica para AreaFormula de HeronAplicacionesApendice
Resolucion de Triangulos Oblicuangulos
Ejercicio: Resuelva el siguiente triangulo:
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ObjetivosResolucion de Triangulos oblicuangulosFormula Trigonometrica para AreaFormula de HeronAplicacionesApendice
Resolucion de Triangulos Oblicuangulos
Ejercicio: Resuelva el siguiente triangulo:
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ObjetivosResolucion de Triangulos oblicuangulosFormula Trigonometrica para AreaFormula de HeronAplicacionesApendice
Formula Trigonometrica para Calcular el Areade un Triangulo
Formula trigonometrica para calcular el area de un triangulo
Para cualquier triangulo ABC, el area del triangulo esta dadapor cualquiera de las siguientes formulas:
Area = 12bc sen(A); Area = 1
2ac sen(B); Area = 12ab sen(C)
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Formula de Heron
El matematico griego Heron de Alejandrıa desarrollo la siguienteformula para calcular el area de un triangulo siempre que seconozcan las longitudes de los tres lados a, b y c del trıangulo.
Formula de Heron para calcular el area de un triangulo
Area =√
s(s− a)(s− b)(s− c)s= a+b+c
2 (semiperımetro del triangulo)
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Formula de Heron
El matematico griego Heron de Alejandrıa desarrollo la siguienteformula para calcular el area de un triangulo siempre que seconozcan las longitudes de los tres lados a, b y c del trıangulo.
Formula de Heron para calcular el area de un triangulo
Area =√
s(s− a)(s− b)(s− c)s= a+b+c
2 (semiperımetro del triangulo)
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Resolucion de Triangulos Oblicuangulos
Ejercicio: Calcule el area del triangulo ABC si ∠A = 24◦40′,b = 23.7cm y ∠C = 52◦40′. Haga uso de la formula:
1 trigonometrica de area.
2 de Heron.
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Resolucion de Triangulos Oblicuangulos
Ejercicio: Distancia a traves de un rıo Para calcular ladistancia AB a traves de un rıo, se mide una distanciaBC = 354m en un lado del rıo. Se determino que el∠B = 112◦10′ y el ∠C = 15◦20′. Determine la distanciaAB.(Vea la figura.)
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Resolucion de Triangulos Oblicuangulos
Ejercicio: Longitud de un tunel Para medir la distancia atraves de una montana para la construccion de un tunel, seescogio un punto C que se puede alcanzar desde ambosextremos del tunel. (Vea la figura.) Si la distancia AC = 3800m,BC = 2900m y el ∠C = 110◦, determine la longitud del tunel.
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ObjetivosResolucion de Triangulos oblicuangulosFormula Trigonometrica para AreaFormula de HeronAplicacionesApendice
Apendice
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Ley de los Senos; Caso Ambiguo
Si el angulo A es agudo, entonces hay cuatro posibles resultados.
Triangulos Posibles Dibujo Condiciones Necesarias
0 sen(B) > 1;a < h < b
1 sen(B) = 1;a = h < b
1 0 < sen(B) < 1;a ≥ b
2 0 < sen(B2) < 1;a < h < b
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Ley de los Senos; Caso Ambiguo
Si el angulo A es obtuso, entonces hay 2 posibles resultados.
Triangulos Posibles Dibujo Condiciones Necesarias
0 sen(B) ≥ 1;a ≤ b
1 0 < sen(B) < 1;a > b
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