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TRASMISSIONE DEL CALORE
In Termodinamica il calore è stato definito come quella forma di energia scambiata con l’ambiente nel passaggio da uno stato di equilibrio ad un altro. Lo scambio di calore, attraverso il confine del sistema, è conseguenza di una differenza di temperatura ed avviene nel rispetto del principio di conservazione dell’energia. In particolare:
• Il Primo Principio della Termodinamica stabilisce che il calore scambiato è uguale alla variazione dell’energia del sistema.
• Il Secondo Principio stabilisce che il calore si propaga nella direzione delle temperature decrescenti.
La termodinamica non fornisce esplicite informazioni sulle modalità del processo di scambio durante la fase transitoria e sul valore dell’energia termica scambiata nell’unità di tempo, ovvero sul flusso termico q.
Lo studio dei fenomeni termici che accompagnano la propagazione del calore ed il calcolo del calore scambiato nell’unità di tempo, costituiscono l’obiettivo fondamentale della Trasmissione del Calore.
FLUSSO TERMICO
Il flusso termico q è definito come l’energia termica scambiata Q nell’intervallo di tempo Δτ. Le dimensioni nel SI sono quelle di un’energia diviso un tempo, ovvero J s -1 = W
τΔ=
Qq (J s -1 = W) passando al limiteτττ d
dQQq =Δ
=→Δ 0
lim da cui
∫=2
112 τqdQ (J)
Torna utile considerare il flusso termico scambiato riferito ad una superficie unitaria. In questo caso si parla di flusso termico specifico .Il flusso termico specifico viene indicato con q*. L’unità di misura nel sistema SI sono W m-2.
AQq =* (W m-2)
q = 24 W
A = 6 m
2
2 m
3 m
q* = 4 W m-2
Modalità di trasmissione del calore
Conduzione Termica È il meccanismo di scambio termico che si attua in un mezzo solido, liquido o aeriforme, dalle regioni a temperatura maggiore verso quelle a temperatura minore. Nei gas e nei liquidi è dovuta alle collisioni tra le molecole durante il loro moto; nei solidi è dovuta alla vibrazione delle molecole all’interno del reticolo ed al trasporto di energia da parte degli elettroni liberi.
La quantità di calore scambiata dipende dalla geometria e dalle caratteristiche del corpo così come dalla differenza di temperatura.
Per esempio in condizioni stazionarie (temperatura che non varia nel tempo) il flusso scambiato attraverso una grande parete piana di spessore L ed area A, soggetta alla differenza di temperatura ΔT= T1 -T2 con T1 > T2, raddoppia al raddoppiare della differenza di temperatura e al raddoppiare dell’area della sezione normale alla direzione del flusso, mentre si dimezza al raddoppiare dello spessore L.
q
A
L
T1 T2
L
T1
T2
q
( ) ( )spessore
ra temperatudi differenzasuperficiedella area termicoflusso ⋅∝
AA
Modalità di trasmissione del calore
Conduzione Termica La proporzionalità può essere tolta considerando la natura del materiale, ovvero introducendo la conducibilità termica λ definita come la capacità del materiale a condurre calore.
Δx
T1
T2
q xTAq
ΔΔ
−= λxTAq
x ΔΔ
−=→Δ
λ0
lim
dxdTAq λ−=
dxdTq λ−=*
dx
q
T1
T2
1 m
30°C
20°C
q* = 4010 W m -2
Rame
λ = 401 W m -1 K -1
1 m
30°C
20°C
Silicio
λ = 148 W m -1 K -1
q* = 1480 W m -2
Postulato di FOURIER
dxdTAq λ−=
L’espressione è nota come postulato di Fourier. L’espressione è valida allo stato stazionario per un mezzo omogeneo ed isotropo e nel caso in cui lo scambio termico sia monodimensionale (nel caso dell’espressione nella direzione x).
• A Area della sezione perpendicolare alla direzione dello scambio termico
• λ Conducibilità termica. È definita come il flusso termico che si trasmette attraverso uno spessore unitario del materiale per unità di superficie e per una differenza di temperatura unitaria. Le unità di misura nel SI sono W m-1 K-1 o W m-1 °C-1
• dT/dx Gradiente di temperatura. Rappresenta la variazione di temperatura nella direzione di propagazione del calore. Dato che il calore fluisce da zone a temperatura maggiore verso zone a temperatura minore, il gradiente è negativo per valori crescenti di x. È necessario introdurre il segno - per avere il flusso termico positivo nella direzione considerata
T
tan α = dT/dx
P
x
Modalità di trasmissione del calore
Convezione Termica È il meccanismo di scambio termico caratteristico dei fluidi dove al trasporto del calore per conduzione è associato il trasporto di massa ovvero movimenti di parti di fluido che modificano sostanzialmente lo scambio termico rispetto alla semplice conduzione termica.
Per esempio, il trasferimento di energia tra una superficie solida ed il liquido o gas adiacente in movimento implica gli effetti combinati di conduzione tra la superficie e lo strato di fluido a contatto con essa ed il trasporto di massa all’interno del fluido.
conduzione
Trasporto di massa
La convezione può essere di due tipi:
•Convezione forzata
Il fluido è forzato a fluire sulla superficie da dispositivi esterni quali: ventilatori, pompe, vento, etc.
•Convezione naturale o libera
Il movimento del fluido è causato da forze di galleggiamento indotte da differenze di densità legate a variazioni di temperatura
Legge di Newton per la convezione
Il flusso termico q trasmesso per convezione è direttamente proporzionale alla differenza di temperatura ed è espresso dalla legge di Newton dove:
)( ∞−= TThAq s
A : area della superficie interessata allo scambio termico (m2)
Ts : temperatura della superficie (K)
T∞ : temperatura del fluido a distanza sufficientemente grande dalla superficie (K)
h : coefficiente di trasmissione del calore per convezione (Wm-2K-1). È un parametro determinato sperimentalmente il cui valore dipende da tutte le variabili che influenzano la convezione quali la geometria della superficie, la natura del moto, le proprietà e la velocità del fluido.
Tipo di convezione h (W m-2 K-1)
Convezione naturaledei gas
2 ÷ 25
Convezione naturaledei liquidi
10 ÷ 1000
Convezione forzatadei gas
25 ÷ 250
Convezione naturaledei liquidi
50 ÷ 20 000
Ebollizione econdensazione
2 500 ÷ 100 000
Modalità di trasmissione del calore
Irraggiamento termico È l’energia emessa sotto forma di onde elettromagnetice (o
fotoni) a seguito di modificazioni nelle configurazioni elettroniche elettroniche degli atomi o delle molecole.
La trasmissione del calore per irraggiamento non richiede, al contrario della conduzione e della convezione, la presenza di un mezzo interposto ed avviene alla velocità di propagazione della luce.
Nel caso della trasmissione del calore interessa l’irraggiamento termico, ovvero la radiazione emessa dai corpi a causa della loro temperatura.
A
Legge di Stefan-Boltzmann
4*
4
Tq
ATq
n
n
σ
σ
=
=W
W/m2
Tutti i corpi ad una temperatura superiore a 0 K emettono una radiazione termica il cui massimo, per la data temperatura, si ha per un corpo ideale detto corpo nero.
Il flusso termico emesso qn è dato dalla legge di Stefan-Boltzmann
q
Superfici reali
4
4
* Tq
ATq
εσ
εσ
=
= W
W/m2
Modalità di trasmissione del calore
Irraggiamento termico
Nel caso di una superficie reale il flusso emesso è inferiore a quello emesso dal corpo nero alla stessa temperatura. Si tiene conto di questo introducendo nell’espressione di Stefan-Boltzmann l’emissività ε della superficie. L’emissività 0 ≤ ε ≤ 1 è una misura di quanto una superficie differisce da un corpo nero per il quale ε = 1.
A, TS, ε
TC
Nel caso di due superfici, separate da un gas,(es. aria) che nonpartecipa allo scambio termico, di emissività ε, di area A e temperatura Ts completamente contenuta nell’altra di area molto più grande ( o nera), a temperatura Tc, il flusso netto scambiato è dato da:
( )44CS TTAq −= εσ
Nel forno a microonde il cibo cuoce assorbendo l’energia elettromagnetica generata dal tubo a microonde (magnetron). La radiazione non è una radiazione termica, ovvero non èdovuta alla temperatura del tubo, ma alla conversione dell’energia elettrica in una radiazione elettromagnetica avente una ben precisata lunghezza d’onda. La lunghezza d’onda della radiazione è tale da essere riflessa dalle superfici metalliche, trasmessa dai tegami di vetro, ceramica o plastica ed assorbita e convertita in energia interna dalle molecole del cibo; in particolare dall’acqua dallo zucchero e dal grasso.
Modalità di trasmissione del calore
Le modalità di trasmissione del calore sono tre, ma possono non essere contemporaneamente presenti. Per esempio:
Si ha trasmissione del calore solo per conduzione
Solidi opachi
Solido opaco
Conduzione
Si ha trasmissione del calore per conduzione ed irraggiamento
Solidi semitrasparenti
Si ha trasmissione del calore per conduzione ed eventualmente per irraggiamento
Fluido in quiete
Si ha trasmissione del calore per convezione ed irraggiamento
Fluido in movimento
Gas
Conduzione o
Convezione
Irraggiamento
Vuoto
Irraggiamento
T1
T1
T1
T2
T2
T2
Si ha trasmissione del calore solo per irraggiamento
Vuoto
Conduzione Termica
Lo studio dello scambio termico per conduzione all’interno di un mezzo, comporta la conoscenza delladistribuzione di temperatura, ovvero la conoscenza della funzione T(x,y,z,τ). Questa funzione puòessere ottenuta dalla risoluzione dell’equazione generale della conduzione, che esprime il bilancio dienergia in un mezzo sede di propagazione di calore.Il bilancio energetico viene impostato su un generico elemento infinitesimo individuato all’interno delmezzo.Si consideri un generico volume infinitesimo dV di spigoli dx, dy, dz e si assuma che:
1. il mezzo sia costituito da un solido opaco a baricentro fermo con proprietà fisiche definite edindipendenti dal tempo τ;
2. le variazioni di volume, conseguenti alle variazioni di temperatura, sono trascurabili in confronto alvolume stesso. Quindi, il lavoro scambiato con l’esterno sia trascurabile, δL = 0;
3. all’interno del volume dV il calore generato nell’unità di tempo e di volume, sia espresso dallafunzione g(x,y,z,τ) le cui unità di misura nel sistema S.I. sono Wm-3.
L’equazione generale della conduzione si ricava applicando al volume considerato il primo principiodella termodinamica che, nelle ipotesi fatte, diventa:
dQ = dU
Ovvero:
Il calore netto scambiato + calore generato = variazione di energia(calore entrante - calore uscente) all’interno del volume interna
x
Qy
Qx Qx+dx
y
z
dx
dy
dz
Qy+dy
Equazione generale della conduzione
τddzdyqQ xx ⋅⋅⋅= *
τ∂
∂τ ddzdydxx
qqddzdyqQ xxdxxdxx ⋅⋅⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=⋅⋅⋅= ++
***
τ∂
∂τ∂
∂ ddVx
qddzdydxx
qQQ xxdxxx ⋅−=⋅⋅⋅−=− +
**
τ∂
∂τ
∂∂
ddVy
qddzdydx
yq
QQ yydyyy ⋅−=⋅⋅⋅−=− +
**
τ∂
∂τ∂
∂ ddVz
qddzdydxz
qQQ zzdzzz ⋅−=⋅⋅⋅−=− +
**
dVdTcdUdU τ∂τ∂ρτ
∂τ∂
==
τddVgQg ⋅⋅=dove
q* flusso specificog calore generato
nell’unità di tempo e di volumeV volumeρ densitàτ tempo
Equazione generale della conduzione
dVTcddVgddVz
qddVy
qddV
xq zyx
∂τ∂ρττ
∂∂τ
∂∂
τ∂
∂=⋅⋅+⋅−⋅−⋅−
***
∂τ∂ρ
∂∂
∂∂
∂∂ Tcg
zq
yq
xq zyx =+−−−
***
sostituendo
Dal momento che consideriamo lo stesso volume, possiamo scrivere:
Sostituendo ai flussi specifici l’espressione di Fourier si ha:
∂τ∂ρ
∂∂λ
∂∂
∂∂λ
∂∂
∂∂λ
∂∂ Tcg
zT
zyT
yxT
x=+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −−
per mezzi isotropi ed omogenei, l’equazione precedente diventa:
∂τ∂ρ
∂∂
∂∂
∂∂λ Tcg
zT
yT
xT
=+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++ 2
2
2
2
2
2
Equazione generale della conduzione
dividendo tutto per ρc
∂τ∂
ρ∂∂
∂∂
∂∂
ρλ T
cg
zT
yT
xT
c=+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++ 2
2
2
2
2
2
postoc
aρλ
=
∂τ∂
ρ∂∂
∂∂
∂∂ T
cg
zT
yT
xTa =+⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++ 2
2
2
2
2
2
∂τ∂
ρT
cgTa =+∇2
Equazione generale della conduzione: Casi particolari
Caso monodimensionale
∂τ∂
ρ∂∂ T
cg
xTa =+2
2
Caso monodimensionalesenza generazione interna di calore (g=0)Equazione di FOURIER ∂τ
∂∂
∂ Tx
Ta =2
2
Caso monodimensionaleallo stato stazionarioEquazione di POISSON
02
2
=+c
gx
Taρ∂
∂
Caso monodimensionaleallo stato stazionario e senza generazione di caloreEquazione di LAPLACE
02
2
=x
T∂∂
Soluzione dell’equazione di LAPLACE
20°C
20°C
20°C
20°C
20°C16°C
16°C
16°C
16°C
16°C
-1.6 °C
-1.6 °C
-1.6 °C
-1.6 °C
-1.6 °C
-1.6 °C
-1.6 °C
-1.6 °C
02
2
=dx
Td
( ) 0=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
dxxdT
dxd ( )
1cdx
xdT=
( ) dxcxdT 1= ( ) 21 cxcxT +=
Conducibilità Termica
La conducibilità termica λ indica la capacità di un materiale a condurre il calore. Per esempio a temperatura ambiente il rame ha λ = 401 W/(m K), mentre l’acqua ha λ = 0.613 W/(m K). Il rame conduce il calore quasi 1000 volte più dell’acqua, per questo motivo si dice che è un buon conduttore termico, mentre l’acqua è un cattivo conduttore termico pur essendo un mezzo eccellente per accumulare calore. Infatti il calore specifico dell’acqua è cp = 4.186 kJ/(kg K), mentre per il rame è cp = 0.385 kJ/(kg K)
Materiale λ W/(m K)Diamante 2300Argento 429Rame 401Oro 317Alluminio 237Ferro 80.2Mercurio (l) 8.54Vetro 0.78Mattone 0.72Acqua (l) 0.613Legno 0.17Gomma 0.13Fibra di vetro 0.043Aria 0.026Polistirene espanso 0.036
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Scambio termico per conduzione
Il caso della lastra piana
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Equazione generale della conduzione
Caso monodimensionale ∂τ∂
ρ∂∂ T
cg
xTa =+2
2
Caso monodimensionale senza generazione interna di calore (g=0): Equazione di FOURIER ∂τ
∂∂
∂ Tx
Ta =2
2
Caso monodimensionale allo stato stazionario:Equazione di POISSON
02
2
=+c
gx
Taρ∂
∂
Caso monodimensionale allo stato stazionario e senza generazione di calore: Equazione di LAPLACE 02
2
=x
T∂∂
∂τ∂
ρ∂∂
∂∂
∂∂ T
cg
zT
yT
xTa =+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++ 2
2
2
2
2
2
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Soluzione con condizioni del I° tipo:
x
T
0 L
Imporre condizioni del primo tipo vuol dire imporre:
• x = 0 T(0) = T1
• x = L T(L) = T2
con T1>T2
⇒= 02
2
dxTd Inserisco le
condizioni al contorno
⇒= 1CdxdT
21)( CxCxT +⋅=
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Soluzione con condizioni del I° tipo:
⇒=+⋅= 221)( TCLCLT
12121 0)0( TCTCCT =⇒=+⋅=
121)( Tx
LTTxT +⋅
−−=
xL
TTTxT ⋅−
−= 211)(
⇒+⋅= 112 TLCTL
TTC 211
−−=
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Soluzione con condizioni del I°tipo:
xL
TTTxT ⋅−
−= 211)(
x
T
0 L
T1
T2
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Resistenza termica
Postulato di Fourier:
dxdTq ⋅−= λ*
xL
TTTxT ⋅−
−= 211)(
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
⋅=L
TTq 21* λ
λL
TTq 21* −=
RESISTENZA TERMICA SPECIFICA PER CONDUZIONE⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡ ⋅=
WmKLRk
2
λ
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Soluzione con condizioni del I° tipo: adimensionalizzazione
xL
TTTxT ⋅−
−= 211)( 22
211)( TTx
LTTTxT −+⋅
−−=
( ) ( )LxTTTTTxT ⋅−−−=− 21212)(
( ) Lx
TTTxT
−=−
− 1)(
21
2
( ) Lxx
TTTxTT =∧
−−
= *)(*21
2
Temperatura
adimensionale
Lunghezza
adimensionale*1* xT −=
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Soluzione con condizioni del I° tipo: adimensionalizzazione
*1* xT −=
x*
T*
0 1
1
1*0* =⇒= Tx
0*1* =⇒= Tx
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Soluzione con condizioni del I° e III° tipo:
x
T
0 L
qk* qc*
h , T∞Condizione al contorno del I° tipo:
Condizione al contorno del III° tipo:
cLxk qqLx ** =⇒==
1)0(0 TTx =⇒=
21)( CxCxT +⋅=( )[ ]∞
=
−⋅=⋅− TLThdxdT
Lx
λ
12121 0)0( TCTCCT =⇒=+⋅=
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Soluzione con condizioni del I° e III° tipo:
1CdxdT
Lx
==
( )[ ]∞−⋅=⋅− TLThC1λ
1121)( TLCCLCLT +⋅=+⋅=
( )∞−+⋅⋅=⋅− TTLChC 111λ ( ) ( )∞−⋅=⋅+⋅− TThLhC 11 λ
( ) ( )∞−⋅⋅+
−= TTLh
hC 11 λ
( ) ( ) 11)( TxTTLh
hxT +⋅−⋅⋅+
−= ∞λ
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Soluzione con condizioni del I° e III° tipo:Adimensionalizziamo:
( ) ( ) 11)( TxTTLh
hxT +⋅−⋅⋅+
−= ∞λ
( ) ( ) ∞∞∞ −++⋅−⋅⋅+
−= TTTxTTLh
hxT 11)(λ
( ) ( ) ( )∞∞∞ −+⋅−⋅⋅+
−=− TTxTTLh
hTxT 11)(λ
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Soluzione con condizioni del I° e III° tipo:
( ) ( ) 1)(
1
+⋅⋅+
−=−
−
∞
∞ xLh
hTT
TxTλ ( ) ( ) x
Lhh
TTTxT
⋅⋅+
−=−
−
∞
∞
λ1)(
1
( ) Lx
LhTT
TxT⋅
⋅+
−=−
−
∞
∞
λ1
11)(
1 ( ) Lxx
TTTxTTse =∧
−−
=∞
∞ *)(*1
*1
11* x
Lh
T ⋅
⋅+
−= λ?
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Soluzione con condizioni del I° e III° tipo:
hL ⋅λ ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
⋅=
KmWλ
[ ]mL =
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
⋅=
KmWh 2
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⋅
⋅⋅
⋅=
⋅ mWKm
KmW
hL12λ Numero
adimensionale
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Numero di BiotBi
hL ⋅λ
h
L
1λ
( )∞−⋅= TThq*
( )
h
TTq 1* ∞−=
Legge di Newton
c
k
RR Resistenza termica unitaria
per conduzioneResistenza termica unitaria per convezione
Resistenza termica unitaria per convezione
λLh
RRBi
c
k ⋅==
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Numero di Biot
λLh
RRBi
c
k ⋅== *11
11* x
Bi
T ⋅+
−=
A questo punto posso affermare che la mia distribuzione di temperatura dipende unicamente dal Numero di Biot.
*11
11* x
Bi
T ⋅+
−=( ) ⇒== 00* xx ( )11* TTT ==
( ) ⇒== Lxx 1*
Bi
T 11
11*+
−=
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Numero di Biot
0→Bi ( )kck RRR >>→ 0
1. Se in un corpo la resistenza termica per conduzione è bassa vuol dire che è possibile ipotizzarlo come se fosse tutto alla stessa temperatura
2. Al suo interno non esistono gradienti termici: in una fase di transitorio termico si porterebbe rapidamente alla stessa temperatura
Ho due casi limite: 0→Bi ∞→Bi
MATERIALE PERFETTAMENTE CONDUTTORE
( )∞−=∧= TThqq ck 1*0* ⇒= 1*x
*11
11* x
Bi
T ⋅+
−=
1* ≈T
T(L)=T1
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Numero di Biot
( )ckc RRR >>→ 0
Ho due casi limite: 0→Bi ∞→Bi
∞→Bi1. Se in un corpo la resistenza termica per conduzione è elevata vuol dire
che al suo interno esistono forti gradienti termici
2. Esiste un’elevata disomogeneità al suo interno
( )0** 1 =∧
−= ∞
ck qLTTq
λ
⇒= 1*x
*11
11* x
Bi
T ⋅+
−=
0* →T
T(L)=T∞MATERIALE PERFETTAMENTE ISOLANTE
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Numero di Biot
T*
x*0 1
1
∞→Bi
0→Bi
0>>∞ Bi
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Esempio
Materiale: Polistirene espanso
KmWhmL
KmW
⋅==
⋅= 21035,0035,0λ
210035,0
35,010=
⋅=
⋅=
λLhBi
Materiale: Parete reale
KmWhmL
KmW
⋅==
⋅= 21035,0087,0λ
40087,0
35,010≈
⋅=
⋅=
λLhBi
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Strato composto con condizioni I° tipo
T0 T1 T2 T3
L1 L2 L3
q1 q2 q3
Con:
T0> T1> T2> T3
λ1> λ 2> λ 3
Allo stato stazionario avrò:
q1= q2= q3= q
AL
TTq
⋅
−=
1
1
101
λ AL
TTq
⋅
−=
2
2
212
λ AL
TTq
⋅
−=
3
3
323
λ
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Strato composto con condizioni I° tipo
AL
TTq
⋅
−=
1
1
101
λA
LqTT⋅
⋅=−1
1110 λ
AL
TTq
⋅
−=
2
2
212
λA
LqTT⋅
⋅=−2
2221 λ
AL
TTq
⋅
−=
3
3
323
λA
LqTT⋅
⋅=−3
3332 λ
Sommando ho:
( ) ( ) ( )A
LqA
LqA
LqTTTTTT⋅
⋅+⋅
⋅+⋅
⋅=−+−+−3
33
2
22
1
11322110 λλλ
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Strato composto con condizioni I° tipo
Sapendo che: q1= q2= q3= q
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅
+⋅
+⋅
⋅=−A
LA
LA
LqTT3
3
2
2
1
130 λλλ
( ) ( )32130 RRRqTT ++⋅=−
( )( )321
30
RRRTTq++
−=
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Strato composto con condizioni I° tipo
T0 T1 T2 T3
L1 L2 L3
q1 q2 q3
R1 R2 R3
( )
∑=
−= n
ii
n
R
TTq
1
0 ( )
∑=
−= n
ii
n
R
TTq
1
0
**
Scambio termico per conduzione
La geometria cilindrica
Equazione generale della conduzione
Caso monodimensionale ∂τ∂
ρ∂∂ T
cg
xTa =+2
2
Caso monodimensionale senza generazione interna di calore (g=0): Equazione di FOURIER ∂τ
∂∂
∂ Tx
Ta =2
2
Caso monodimensionale allo stato stazionario:Equazione di POISSON
02
2
=+c
gx
Taρ∂
∂
Caso monodimensionale allo stato stazionario e senza generazione di calore: Equazione di LAPLACE 02
2
=x
T∂∂
∂τ∂
ρ∂∂
∂∂
∂∂ T
cg
zT
yT
xTa =+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++ 2
2
2
2
2
2
Soluzione con condizioni del I° tipo:
r1r2
L
Ipotesi di partenza:
1. Assenza di generazione interna di calore;
2. Materiale omogeneo ed isotropo;
3. Caso monodimensionale in direzione radiale;
4. Stato stazionario.
Equazione della conduzione in geometria cilindrica:
012
2
=⋅+drdT
rdrTd
Soluzione con condizioni del I° tipo:
r1r2
L
Imposto le condizioni al contorno:
1. r = r1 T(r1) = T1;
2. r = r2 T(r2) = T2;
con T1> T2
012
2
=⋅+drdT
rdrTd 01
=⋅+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
drdT
rdrdT
drd
Ora poniamo:
UdrdT
= 0=+rU
drdU
rdr
UdU
−=
Soluzione con condizioni del I° tipo:
rdr
UdU
−= *lnln CrU +−= ( ) *ln CrU =⋅
*CerU =⋅ 1CrU =⋅ 1CrdrdT
=⋅
UdrdT
=
rdrCdT ⋅= 1 21 ln)( CrCrT +⋅=
11 )() TrTa =
22 )() TrTb =
12111 ln)( TCrCrT =+⋅=
22212 ln)( TCrCrT =+⋅=
Soluzione con condizioni del I° tipo
Sottraiamo la seconda dalla prima:
2
1121 ln
rrCTT ⋅=−
2
1
211
lnrrTTC −
=
1
2
211
lnrrTTC −
−=
Sostituiamo la C1 nella prima equazione:
21
1
2
212111 ln
lnln Cr
rrTTCrCT +⋅
−−=+⋅= 1
1
2
2112 ln
lnr
rrTTTC ⋅
−+=
1
1
2
211
1
2
21 lnln
lnln
)( r
rrTTTr
rrTTrT ⋅
−++⋅
−−=
Soluzione con condizioni del I° tipo
1
1
2
211
1
2
21 lnln
lnln
)( r
rrTTTr
rrTTrT ⋅
−++⋅
−−=
rr
rrTTTrT 1
1
2
211 ln
ln)( ⋅
−+=
1
1
2
211 ln
ln)(
rr
rrTTTrT ⋅
−−=
Equazione di distribuzione della temperatura
r
T
0
1
1
2
211 ln
ln)(
rr
rrTTTrT ⋅
−−=
r1
T1
r2
T2
Il flusso termico
Partiamo da Fourier:
drdTAq ⋅⋅−= λ
rCAq 1⋅⋅−= λ
1
1
2
211 ln
ln)(
rr
rrTTTrT ⋅
−−=
rCU
drdT 1==
1
2
211
lnrrTTC −
−=
LrA ⋅⋅⋅= π2
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛−
−⋅⋅⋅⋅⋅⋅−=
1
2
21
ln
12
rrTT
rLrq πλ
1
2
21
ln2
rrTTLq −
⋅⋅⋅⋅= πλ
Il flusso termico
1
2
21
ln2
rrTTLq −
⋅⋅⋅⋅= πλ
1
2
21
ln2
1rr
L
TTq
λπ ⋅⋅⋅
−=
1
2ln2
1rr
LRk λπ ⋅⋅⋅
=kRTTq 21 −
=
Definendo ora “Rk”come la
“resistenza termica conduttiva all’interno di uno strato cilindrico”:
Soluzione con condizioni del I° e III° tipo
r1r
L
T∞,h Rk Rc T∞T1
ck RRTTq
+−
= ∞1
hLrrr
L
TTq
⋅⋅⋅⋅+
⋅⋅⋅
−= ∞
πλπ 21ln
21
1
1
Resistenza termica per convezione
Soluzione con condizioni del I° e III° tipo
hLrrr
L
TTq
⋅⋅⋅⋅+
⋅⋅⋅
−= ∞
πλπ 21ln
21
1
1
hLrrr
LR
⋅⋅⋅⋅+
⋅⋅⋅=
πλπ 21ln
21
1
Proviamo a vedere come varia la resistenza in funzione del raggio.
Soluzione con condizioni del I° e III° tipo
hLrrr
LR
⋅⋅⋅⋅+
⋅⋅⋅=
πλπ 21ln
21
1 drdR
02
112
12
1
1 ≥⋅⋅⋅⋅
−⋅⋅⋅⋅⋅
=rLhr
rrLdr
dRπλπ
0112
1≥⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
⋅−⋅
⋅⋅⋅=
rhLrdrdR
λπ
Soluzione con condizioni del I° e III° tipo
0112
1≥⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
⋅−⋅
⋅⋅⋅=
rhLrdrdR
λπ011
≥⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⋅−
rhλ
0≥⋅⋅
−⋅rh
rhλ
λ
Denominatore sempre positivo
0≥−⋅ λrh
hr λ
≥
Il raggio critico
hr λ
≥h
rcλ
= RAGGIO
CRITICO
hλ
- +
Il raggio critico
R
r
1
ln2
1rr
LRk λπ ⋅⋅⋅
=
hLrRc ⋅⋅⋅⋅
=π2
1
hλ
Rc
Rk
Rtot
Il raggio critico
hrc
λ=
11 rhrrc
⋅=
λBir
rc 1
1
=
1>Bi crr >1
1=Bi crr =1
1<Bi crr <1
Il raggio critico
1>Bi crr >1
R
rrc r1
1=Bi crr =1
R
rrc= r1
1<Bi crr <1
R
rrcr1
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