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Transformada Discreta de Transformada Discreta de FourierFourier
Prof. José Mauricio Netomauricio@cear.ufpb.br
1
Universidade Federal da ParaíbaDepartamento de Engenharia ElétricaCentro de Energias Alternativas e Renováveis
• Para um sinal discreto não periódico x[n], de tamanho L:
2
2 , 0,..., 1k k LL
[ ] ( )Fx n X
1
0
( ) [ ] , 0,1, 2,...., 1L
j n
n
X x n e k L
Transformada Discreta de Fourier
• L = 5 k = 0,1,2,3,4
3
4
0
42 /5
0
44 /5
0
46 /5
0
48 /5
0
0 0 (0) [ ]
21 (2 / 5) [ ]542 (4 / 5) [ ]5
63 (6 / 5) [ ]5
84 (8 / 5) [ ]5
n
j n
n
j n
n
j n
n
j n
n
k X x n
k X x n e
k X x n e
k X x n e
k X x n e
2 , 0,..., 1k k LL
Transformada Discreta de Fourier
Transformada Discreta de Fourier
• Módulo e Fase
4
0
1
2
3
4
0
42 /5
0
44 /5
0
46 /5
0
48 /5
0
0 0 (0) [ ] (0)
21 (2 / 5) [ ] (2 / 5)542 (4 / 5) [ ] (4 / 5)5
63 (6 / 5) [ ] (6 / 5)5
84 (8 / 5) [ ] (8 / 5)5
j
n
jj n
n
jj n
n
jj n
n
j n
n
k X x n X e
k X x n e X e
k X x n e X e
k X x n e X e
k X x n e X
4je
• Resolução da TDF:
5
0
1
2
3
4
0 0 (0)
21 (2 / 5)542 (4 / 5)5
63 (6 / 5)5
84 (8 / 5)5
j
j
j
j
j
k X e
k X e
k X e
k X e
k X e
02L
Transformada Discreta de Fourier
• A Transformada de Fourier para o sinal x[n], de tamanho N, é definido por:
7
2 , 0,..., 1k k NN
1
0
( ) [ ] , 0,1, 2, ...., 1N
j n
n
X x n e k N
1
0
1[ ] ( ) , 0,1, 2,..., 1N
j n
k
x n X e n NN
[ ] ( )Fx n X Notação:
Transformada Discreta de Fourier
13
Resumo das Formulas da Transformada Discreta de FourierResumo das Formulas da Transformada Discreta de Fourier
14
Transformada Discreta de FourierTransformada Discreta de Fourier
2 fs
f (Hz)
( )2
sff Hz
0 02 ; sffN N
• Para uma sequência x[n], 0nN-1, a DFT é dada por:
15
12 /
0
1
0
( ) [ ] , 0,1,2,...., 1
( ) [ ]
Nj kn N
n
NknN
n
X k x n e k N
X k x n W
Desenvolvimento da Formula da DFT
0 1 2 ( 1)
2 /
( ) [0] [1] [2] ... [ 1]
2 2cos sin
k k k k NN N N N
j NN
X k x W x W x W x N W
W e jN N
16
12 /
0
1
0
1[ ] ( ) , 0,1, 2,...., 1
[ ] ( )
Nj kn N
k
Nkn
Nk
x n X k e n NN
x n X k W
Inversa da DFT
0 1 2 ( 1)1[ ] (0) (1) (2) ... ( 1)n n n N nN N N Nx n X W X W X W X N W
N
• Para uma sequência discreta x[n] obtida através da amostragem de um sinal analógico x(t) e truncada utilizando uma janela com comprimento T0=NT, em que T é o Tempo de amostragem e N é o numero de pontos dos dados amostrados.
• O tempo para a janela de dados é
T0=NT
17
Análise do Espectro
18
Análise do Espectro
• Para uma sequência x[n], n=0,1,...,(N-1), com DFT:
• A partir do calculo dos coeficientes da DFT (número complexo) pode ser determinada:
– Amplitude do espectro– Fase do espectro– Potência do espectro
19
Análise do Espectro
1
0
( ) [ ] , 0,1, 2,...., 1N
nkN
n
X k x n W k N
• Amplitude do espectro:
• Pode-se modificar a amplitude do espectro para um lado da representação espectral dobrando a amplitude, mantendo o termo DC em k=0.
20
Análise do Espectro
1 (0) , 0
2 ( ) , 1,..., / 2k
X kNAX k k N
N
2 21 1| ( ) | Re ( ) Im ( )
0,1,2,...., 1
kA X k X k X kN N
k N
• Fase do espectro:
21
Análise do Espectro
1
0
( ) [ ] , 0,1, 2,...., 1N
nkN
n
X k x n W k N
1 Im ( )tan
Re ( )
0,1,2,...., 1
k
X kX k
k N
• Potência do espectro:
• Trasladando-se para o espectro de interesse:
22
Análise do Espectro
2 2 22 2
1 1| ( ) | Re ( ) Im ( )
0,1,2,...., 1
kP X k X k X kN N
k N
22
22
1 | (0) | 0
2 | ( ) | 1,..., / 2k
X kNP
X k k NN
• Para a sequência discreta, com frequência de amostragem fs = 100 amostras/s, determine a amplitude, fase e potência do espectro.
23
Exemplo 2
2 2
1
2 22
1Re ( ) Im ( )
Im ( )tan
Re ( )
1 Re ( ) Im ( )
0,1,2,...., 1
k
k
k
A X k X kN
X kX k
P X k X kN
k N
• Para a sequencia discreta x[n] ={1, 2, 3, 4}, com N=4, os coeficientes da DFT são:
24
Exemplo 2
Amplitude do espectroFase do espectroPotência do espectro
25
Amplitude Fase Potência
26
• Trasladando-se a amplitude para o espectro de interesse:
27
1 (0) , 0
2 ( ) , 1,..., / 2k
X kNAX k k N
N
• Considere um sinal senoidal com f0=1Hz, com 32 amostras
28
Estimação de Espectros usando Funções de Janelas (Window Functions)
N=32 amostras
• Se for usado uma janela de N=16 amostras que é um múltiplo de dois ciclos de onda. A janela seguinte repetirá a onda com continuidade e a DFT é:
29
Estimação de Espectros usando Funções de Janelas (Window Functions)
• Se for usado uma janela de N=18 amostras, que não é um múltiplo de um ciclo de onda (2,25 ciclos), a segunda janela repetirá a primeira janela com descontinuidade, e a DFT é:
30
Estimação de Espectros usando Funções de Janelas (Window Functions)
31
Uma única componente de frequência (o esperado)
Componente da frequência principal e harmônicos (que não existem no sinal original), denominado de Vazamento Espectral (Espectral Leakage), devido a que a amplitude é descontínua no domínio do tempo.
• Para reduzir o efeito do vazamento espectral, uma função de janela pode ser usado cuja amplitude se reduz de forma suave e gradual (próximo a zero) nos extremos da janela.
• Aplicando a função de janela w[n] para a sequência discreta x[n], se obtém uma nova sequência xw[n]:
32
Estimação de Espectros usando Funções de Janelas (Window Functions)
[ ] [ ] [ ], 0,1,..., ( 1)wx n x n w n n N
33
Redução da descontinuidade
34
Redução do Vazamento Espectral
Transformada de Fourier
35
Funções de Janelas (Window Functions)
• Janela Retangular
• Janela Triangular
• Janela de Hamming
• Janela de Hanning
36
Funções de Janelas (Window Functions)
• Para a sequência discreta x[0]=1, x[1]=2, x[2]=3 e x[3]=4, e dada uma frequência de amostragem fs=100amostras/s, Ts=0,01s, determinar a amplitude, fase e potência do espectro, usando a janela triangular
37
Exemplo 3
• Para N=4
38
Exemplo 3
• A nova sequência é
• A DFT de xw[n] para k=0,1,2,3:
39
Exemplo 3
0 1 2 34 4 4 4( ) [0] [1] [2] [3]k k k k
w w w wX k x W x W x W x W
• A resolução do espectro é
• Determinação da Amplitude, Fase e Potência
40
Exemplo 3
0100 25
4sff HzN
• Simetria e Periodicidade
Propriedades da DFT
41
Propriedades da DFT
42
Propiedades de la TDF
43
Propriedades da DFT
44
Propriedades da DFT
45
Propriedades da DFT
46
2c s
c
ff
Propriedades da DFT
47
• O espectro de interesse para o filtro passa-baixos é ilustrado entre as frequências de 0 a fs/2
48
t
x(t)
A/D
fs = Frequência de amostragem (sampling)
Ts = 1/fs = Tempo entre amostras discretas
n
X[n]
0 1 n
X[n]
0 1
N = número de amostras
N-1
Considerações de Sistemas de Aquisição do Sinal
49
t
x(t)
A/D
n
X[n]
0 1 n
X[n]
0 1
N = número de amostras
N-1
fs = 10 kHzTs = 1/fs = 0.1 ms (Tempo de amostragem)N = 100 amostrastwindow = N*Ts=100*0.1ms = 10 ms
twindow
fs = Frequência de amostragem (sampling)
Ts = 1/fs = Tempo entre amostras discretas
50
t
x(t)
A/D
n
X[n]
0 1 n
X[n]
0 1 N-1
fs = 10 kHzTs = 1/fs = 0.1 ms (Tempo de amostragem)N = 100 amostrastwindow = N*Ts=100*0.1ms = 10 ms
twindow
DFT
1
0
( ) [ ] ,
20,1,2,...., 1,
Nj n
n
X x n e
kk N
N
Código em Matlabclc, close all, clearfs = 10000; %Frequencia de AmostragemTs = 1/fs; %Periodo de amostragem (sampling)N = 100; %Numero de amostras em twindow%Vetor de Tempon = 0:1:(N-1); %Tempo discreto nt = n*Ts; %Tempo discreto t (s)fo = 1000; %Frequencia do sinal (Hz)x = sin(2*pi*fo*t);%Aplicando a FFTX = fft(x);k = 0:1:(N-1);omega = 2*pi*k/N;plot(omega,abs(X))xlabel('omega (rad)')ylabel('|FFT|')title('Espectro de x(n)')
51
Propriedades da DFT
• Simetria• Período igual a 2*
52
0 1 2 3 4 5 6 70
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
omega (rad)
|FFT
|
Espectro de x(n)
2
1
0
( ) [ ] ,
20,1,2,...., 1,
Nj n
n
X x n e
kk NN
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
n
x(n) DFT
N=100fs=10 kHzfo = 1 kHz
Transformação de escalas de (rad) para frequência em Hertz
53
2 fsOmega f(Hz)
0 1 2 3 4 5 6 70
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
omega (rad)
|FFT
|
Espectro de x(n)
2
fs/2
fsf (Hz)
( )2
sff Hz
Código em Matlab
fs = 10000; %Frequencia de AmostragemTs = 1/fs; %Tempo de amostragem (sampling)N = 100; %Numero de amostras em twindow%Vetor de Tempon = 0:1:(N-1); %Tempo discreto nt = n*Ts; %Tempo discreto t (s)fo = 1000; %Frequencia do señal (Hz)x = sin(2*pi*fo*t);%Aplicando a DFTX = fft(x);k = 0:1:(N-1);omega = 2*pi*k/N;Hertz = omega*fs/(2*pi);figureplot(Hertz,abs(X))xlabel('f(Hz)')ylabel('|FFT|')title('Espectro de x(n)')figureplot(n,x)xlabel('n')ylabel('x(n)')
54
Realizando a Transformação
55
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 100000
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
f(Hz)
|FFT
|
Espectro de x(n)
fs/2 fsfo
• Simetria com respeito a fs/2• Período igual a fs• Largura de Banda de
interesse é igual ao intervalo [0, fs/2]
BW = [0, fs/2]=[0, 5kHz]
DFT de um sinal com ruído branco Gaussiano
• Valor médio = 0 • Desvio padrão = 0.1
56
-0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.40
5
10
15
20
25
30
35
40
%Codigo em MATLABr = 0 + 0.1*randn(1,1000);figure,hist(r,100)
Código em MATLABfs = 10000; %Frequencia de AmostragemTs = 1/fs; %Tempo de amostragem(sampling)N = 100; %Numero de amostras en twindow%Vetor de Tempon = 0:1:(N-1); %Tempo discreto nt = n*Ts; %Tempo discreto t (s)fo = 1000; %Frequencia do señal (Hz)r = 0 + 0.1*randn(1,N); %ruido branco Gaussianox = sin(2*pi*fo*t)+r;%Aplicando a DFTX = fft(x);k = 0:1:(N-1);omega = 2*pi*k/N;Hertz = omega*fs/(2*pi);figureplot(Hertz,abs(X))xlabel('f(Hz)')ylabel('|FFT|')title('Espectro de x(n)')figureplot(n,x)xlabel('n')ylabel('x(n)')
57
DFT do ruído branco Gaussiano
58
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 100000
10
20
30
40
50
60
f(Hz)
|FFT
|
Espectro de x(n)
DFT do ruído
Código em MATLABfs = 10000; %Frequencia de AmostragemTs = 1/fs; %Tempo de amostragem(sampling)N = 100; %Numero de amostras en twindow%Vetor de Tempon = 0:1:(N-1); %Tempo discreto nt = n*Ts; %Tempo discreto t (s)fo = 1000; %Frequencia do señal (Hz)r = 0 + 0.1*randn(1,N); %ruido branco Gaussianox = sin(2*pi*3*fo*t)+sin(2*pi*fo*t)+r;%Aplicando a DFTX = fft(x);k = 0:1:(N-1);omega = 2*pi*k/N;Hertz = omega*fs/(2*pi);figureplot(Hertz,abs(X))xlabel('f(Hz)')ylabel('|FFT|')title('Espectro de x(n)')figureplot(n,x)xlabel('n')ylabel('x(n)')
59
DFT de 2 sinais senoidais
• fo = 1 kHz• f1 = 3 KHz
60
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 100000
10
20
30
40
50
60
f(Hz)
|FFT
|Espectro de x(n)
Que contecerá se a frequência do sinal de entrada f1 é superior a fs/2 = 5000 Hz ??
• Para fo = 1000 Hz• Se f1 = 6000 Hz• Teorema de Amostragem fs2fmax fs/2fmax• 5000 fo e f1 SE OBSERVA QUE NÃO SE SATISFAZ O TEOREMA DE AMOSTRAGEM
610 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000
0
10
20
30
40
50
60
f(Hz)
|FFT
|
Espectro de x(n)
fo Simetria de fof1Simetria de f1
Análise de Espectro
• Projeto de Filtros Digitais. Por exemplo, passa-faixa centrado em 4000 Hz
65
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 100000
10
20
30
40
50
60
f(Hz)
|FFT
|
Espectro de x(n)
Espectro em Frequência
Filtro Passa-Faixa
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