tİtreŞİm problemlerİnİn doĞrusallaŞtirilmasi (kÜÇÜk yer deĞİŞtİrmeler)
Post on 04-Jan-2016
54 Views
Preview:
DESCRIPTION
TRANSCRIPT
1
TİTREŞİM PROBLEMLERİNİN DOĞRUSALLAŞTIRILMASI(KÜÇÜK YER DEĞİŞTİRMELER)
Titreşim problemleri, küçük ötelemeler ve küçük yer dönmeler kabulü ile doğrusal diferansiyel denklemler ile incelenmektedir. Büyük yer değiştirmeler söz konusu olduğunda doğru çözüm için diferansiyel denklemlerin nonlinear formları göz önünde bulundurulmalı ve çözümler bu şekilde yapılmalıdır.
k
R
x
R
x
R
x
cos
sintan
cos
sinRx
Burada sin ifadesi Taylor serisine açılır ise
!5!3!1
sin531
<<1 için, küçük açılar için sin
cos ifadesi için Taylor serisi yazılır ise
!4!2
1cos42
<<1 için , küçük açılar için 1cos
R
1Rx
2
Bir nokta etrafında dönüş hareketine sahip kirişler için de
benzer ifadeler geçerlidir.
O xA OA
xsin A
A
OAsinOAxA
HAREKET DENKLEMİ OLUŞTURMA YÖNTEMLERİTitreşim analizi yapılacak sistemin matematik
modelinin oluşturulmasını takiben literatürde mevcut yöntemlerden biri kullanılarak sistemin hareketini tanımlayan diferansiyel denklemler (hareket denklemleri) oluşturulur. Hareket denklemleri oluşturulur iken farklı yöntemler kullanılabilir. Bu yöntemlerden sık kullanılanları aşağıda verilmiştir.
F(t)
k
x(t)
c
m
g
1. Newton’un 2. yasası ile: Şekilde görülen sistem tek serbestlik dereceli sistemdir ve m kütlesinin hareketi x koordinatı ile tanımlanabilir. Newton’un 2. yasası gereği cisme etkiyen kuvvetlerin toplamı cismin kütlesi ile ivmesinin çarpımına eşittir.
3
d
d
ds
x)t(x
x)t(x
)t(xx)t(x
m
F(t)
x(t)=xs+xd(t)
mg
k(xs+xd) dxc
Serbest Cisim Diyagramı
xs: m kütlesinin statik çökmesi
xd: m kütlesinin statik çökme sonrasındaki yer değiştirmesi
Newton’un 2. yasası gereği öteleme yapan sistemler için
xmF Dönme hareketi yapan sistemler için
IM
4
xmxcxxkmg)t(F dds
ddd xmxckxk
mgkmg)t(F
)t(Fkxxcxm ddd
)t(Fkxxcxm
xxd Yer değiştirme statik çökme etrafındaki yer değiştirmedir.
)t(fkxdt
dxc
dt
xdm
2
2
2. Dinamik Denge Yöntemi (d’Alembert Prensibi):
Bu yöntemde cisme etki eden atalet kuvvetleri de serbest cisim diyagramında
gösterilir ve cisim statik dengede kabul edilerek
0F 0Mveya eşitlikleri kullanılır.
5
m
F(t)
x(t)=xs+xd(t)
mg
k(xs+xd) dxc
dxm d’Alembert veya atalet kuvveti
0xmxckxk
mgkmg)t(F ddd
yine x=xd ile
)t(Fkxxcxm
6
3. Enerji Yöntemi :
Bu metod ile enerjinin korunumu prensibi uygulanır. Bir sistemin toplam
enerjisinin artış hızı sisteme verilen güce eşittir.
nett P
dt
dE
Burada Et sistemin potansiyel ve kinetik enerjilerinin toplamı, Pnet ise sisteme verilen net toplam güç olup; dış kuvvetler ve momentlerin sisteme verdikleri güç + işaretli, sistemin dışarıya verdiği mekanik güç ve sönümleyici elemanlar tarafından çevreye yayılan ısı gücü – işaretlidir.
dvgnet PPPP
Sisteme verilen mekanik güçlerin toplamı
Sistemin dışarıya verdiği mekanik güçlerin toplamı
Sönümleyici elemanlardan dışa atılan ısıl güçlerin toplamı
7
2k xm
2
1E 2
p kx2
1E 22
t kx2
1xm
2
1E xxcx)t(FPnet
xxcx)t(Fkx2
1xm
2
1
dt
d 22
xxcx)t(Fxkxxxm )t(Fkxxcxm
4. Lagrange Yöntemi:
Bu yöntemde de incelenen sisteme ait kinetik ve potansiyel enerjiler dikkate alınır. Ayrıca Sanal İş ilkesi ile dış kuvvetlerin ve sönüm kuvvetlerinin sistemin genel koordinatlarında gerçekleştirmiş oldukları sanal işler dikkate alınarak türetilen genel kuvvetler hareket denkleminin türetilmesi için kullanılır.
Sisteme ait Lagrange ifadesi kinetik enerji ile potansiyel enerji farkına eşittir.
pk EEL
iii
L
q
L
dt
d
8
ii
p
i
kp
i
k Qq
E
q
E
iq
E
q
E
dt
d
Burada qi bir sistemin i. genel koordinatını, Qi ise bu koordinata etki eden kuvvetlerin toplamını (Genel Kuvvet) ifade eder. Genel kuvvet ifadesi Sanal İş ile elde edilir.
ii
p
i
k Qq
E
q
E
dt
d
Genel olarak kinetik enerjinin genel koordinat hızı ve potansiyel enerjinin genel koordinat ile ilişkili olduğu düşünüldüğünde Lagrange denklemi aşağıdaki basit formunu alır.
Bununla birlikte bazı mekanik uygulamalarda kinetik enerji genel koordinatın bir fonksiyonu olabilir. Bu durumda Lagrange denkleminin genel ifadesindeki 3. terim dikkate alınmalıdır.
g
θ
O
l
m
Bu denklem öteleme yapan sistemler için bir kuvvet, dönme yapan sistemler için ise bir moment dengesidir.
9
Genel kuvveti elde etmek için dış zorlamaların ve sönümleyici kuvvetlerin genel koordinatlar üzerindeki sanal işleri dikkate alınır. Genel koordinatlarda zamandan bağımsız olarak küçük değişimler dikkate alınarak () bu kuvvetlerin yaptığı iş
iii qqcq)t(FW
ii qQW 2
k xm2
1E 2
p xk2
1E xxc)t(Fxxcx)t(FW
xQ
xc)t(Fkxxmdt
d
)t(Fkxxcxm
xc)t(Fkxxmxm
xc)t(Fkx2
1
xxm
2
1
xdt
d 22
10
Örnek: Basit Sarkaç İçin Hareket Denkleminin Elde Edilmesi:
Aşağıda verilen basit sarkaç için hareket denklemini d’Alembert ve Lagrange yöntemleri ile elde edelim.
Merkezcil ivme
Teğetsel ivme
O noktasına göre toplam moment sıfıra eşitlenerek. Saat ibresi tersi yön pozitif alınarak
0MO
11
0sinmgm 0sinmgm 2
0sing
0g
sin=
Basit sarkaç harmonik bir hareket yapmaktadır. Dolayısı ile
)tsin()t( o
)tsin()t( o2
)tcos()t( o 0)tsin(g
o2
0g 2
s/radg
Görüldüğü gibi basit sarkaç için salınım hareketi sarkaç boyundan etkilenmektedir.
12
Lagrange yöntemi ile hareket denklemi:
Basit sarkaç probleminde m kütlesinin kinetik enerjisi
2k m2
1E
Potansiyel enerji ifadesi
)cos1(mgEp Sarkaç üzerinde dış zorlama veya sönüm yoktur.
0sinmgmdt
d 2
0sing
sin= 0g
v
s/radg
13
Örnek: Şekilde gösterilen sarkaç için (compound pendulum) hareket denklemini elde ediniz, doğal frekansını belirleyiniz.
G
O
θ
m, L, IO
L
L1
g
2Ok I
2
1E )cos1(LgmE 1p
QEE
dt
d pk
0I
mgL
O
1
IO sarkacın dönme noktasına göre kütle atalet momentidir.
Küçük açısal yer değiştirmeler için sin θθ
0sinmgLI 1O
tsin)t( n0 tsin)t( no2
s/radI
mgL
O
1n )Hz(
I
mgL
2
1f
O
1n
tcos)t( n0n
14
Örnek: Şekilde verilen tek serbestlik dereceli sistemin hareket denklemini yazınız ve doğal frekans ifadesini elde ediniz.
2
x
3
Lx
L2
x3
xx
A
B
22
2O mL
9
1
3
L
2
LmmL
12
1I
2222
O2
k x2
m5
2
1x
4
m
4
mm2
2
1
2
xm
2
1x
L2
3I
2
1xm2
2
1E
22t2
2t
22
t2
p xL4
k9
2
k3
2
1x
2
k
L4
k9k
2
1
2
xk2
2
1
L2
x3k
2
1kx
2
1E
15
x)t(fW
)t(fxL4
k9
2
k3x
2
m52t
s/rad
2m5
L4
k92k3
2t
n
Örnek: Şekilde verilen tek serbestlik dereceli sistemin hareket denklemini elde ediniz.
Newton’un 2. yasasına göre
ddd
ddsd
xmsinmgkxk
sinmgkxc
xmsinmgxxkxc
0kxxcxm
16
Örnek: Şekildeki tek serbestlik dereceli sistem için hareket denklemini elde ediniz.
17
Örnek: Şekildeki iki serbestlik dereceli sisteme ait hareket denklemlerini elde ediniz.
22
21k xm2
2
1xm
2
1E 2
22
1221p kx
2
1xxk2
2
1kx
2
1E
121211 xxxxcxfW
Çok serbestlik dereceli sistemlerde Lagrange denklemi her bir genel koordinat için yazılır. x1 için Lagrange denklemi yazılır ise,
11
p
1
k Qxx
E
x
E
dt
d
18
)xx(cf)xx(k2kxxm 1211211
121211 fkx2kx3xcxcxm
x2 için Lagrange denklemi yazılır ise,
22
p
2
k Qxx
E
x
E
dt
d
)xx(ckx)xx(k2xm2 122122 0kx3kx2xcxcxm2 21212
Hareket denklemleri matris formunda yazılır ise
Lineer sistemler için Kütle, Sönüm ve Direngenlik matrisleri simetriktir.
19
Örnek: Aşağıdaki iki serbestlik dereceli sistemin hareket denklemlerini yazınız.
2222
11k Lm2
1Lm
2
1E
2
122211p 2
L
2
Lk
2
1cos1gLmcos1gLmE
0W
20
Lagrange denklemi θ1 için uygulanır ise,
02
L
2
L
2
LksingLmLm 12111
21
0gLm4
Lk
4
LkLm 112
2
1
2
12
1
02
L
2
L
2
LksingLmLm 12222
22
0gLm4
Lk
4
LkLm 222
2
1
2
22
2
0
0
gLm4
Lk
4
Lk
4
LkgLm
4
Lk
Lm0
0Lm
2
1
2
22
2
1
2
2
12
2
21
Lagrange denklemi θ2 için uygulanır ise,
21
Örnek: Aşağıdaki iki serbestlik dereceli sistemin hareket denklemlerini yazınız.
212
G
212
k L
xxI
2
1
2
xxm
2
1E
222
211p xk
2
1xk
2
1E
2
xxfW 12
22
Lagrange denklemi x1 için uygulanır ise
2
fxk
L
xx
L
I
2
xxm
2
1
dt
d11
12G12
2
fxkx
L
1mL
12
1x
L
1mL
12
1x
4
mx
4
m1122
212
221
2
fxkx
12
m
4
mx
12
m
4
m1121
2
fxkx
6
mx
3
m1121
Lagrange denklemi x2 için uygulanır ise
2
fxk
L
xx
L
I
2
xxm
2
1
dt
d22
12G12
2
fxkx
L
1mL
12
1x
L
1mL
12
1x
4
mx
4
m2222
212
221
23
2
fxkx
12
m
4
mx
12
m
4
m2221
2
fxkx
3
mx
6
m2221
f
f
2
1
x
x
k0
0k
x
x
3
m
6
m6
m
3
m
2
1
2
1
2
1
24
Örnek: Şekildeki iki serbestlik dereceli sisteme ait hareket denklemlerini elde ediniz.
222
22
1k sinLm2
1cosLxm
2
1xm
2
1E
sinL
cosL
cosL
sinL
Hız
Hız
Referans
cosgLmxk2
1E 2
2p xfW
25
222
22
1k sinLm2
1cosLxm
2
1xm
2
1E
2222
22222
21k sinLm
2
1cosLcosLx2xm
2
1xm
2
1E
2222
21k LcosLx2xm
2
1xm
2
1E
cosgLmxk2
1E 2
2p xfW
x’e göre Lagrange denklemi
Qxx
E
x
E
dt
d pk
fxkcosLmxmxmdt
d221
fxkcosLmsinLmxmm 2221
fxksincosLmxmm 2221
26
0singLmsinLxmLmcosLxmdt
d22
222
0singLmsinLxmLmsinLxmcosLxm 222
222
θ’ya göre Lagrange denklemi
QEEE
dt
d pkk
2222
21k LcosLx2xm
2
1xm
2
1E
cosgLmxk2
1E 2
2p
fxksincosLmxmm 2221
0singLmLmcosxLm 22
22
fxkLmxmm 2221
0L
g
L
x
Küçük açılar için
0sinL
gx
L
cos
27
Örnek: Şekildeki iki serbestlik dereceli sisteme ait hareket denklemlerini elde ediniz.
g
θ
O
l
m
l+rk
222k rrm
2
1E
cosrmg
k
mgrk
2
1E
2
p
222k rm
2
1rm
2
1E cosrmgmg
k
gm
2
1mgrrk
2
1E
222
p
θ için Lagrange denklemi yazılır ise
QEE
dt
d pk
0sinrmgrmdt
d 2
0sinrmgmrrm2mdt
d 22
28
0sinrmgmrrm2mdt
d 22
0sinmgrsinmgmrrmr2rm2rm2m 22
r için Lagrange denklemi yazılır ise
222k rm
2
1rm
2
1E
rpkk Q
r
E
r
E
r
E
dt
d
0cosmgmgkrmrmrmdt
d 22
0cosmgmgkrmrmrm 22
cosrmgmgk
gm
2
1mgrrk
2
1E
222
p
top related