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Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico
Departamento de Ingeniería Mecánica
TESIS DE MAESTRÍA EN CIENCIAS
Determinación de la Conductividad Térmica de un Sólido por Medio de un Método Inverso de Transferencia de Calor
presentada por
Álvaro del Jesús Yam Morayta Ing. Mecánico por el Instituto Tecnológico de Campeche
como requisito para la obtención del grado de: Maestría en Ciencias en Ingeniería Mecánica
Director de tesis: Dr. Jesús Perfecto Xamán Villaseñor
Co-Director de tesis: Dr. José Jassón Flores Prieto
Cuernavaca, Morelos, México. 21 de Febrero de 2012
Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico
Departamento de Ingeniería Mecánica
TESIS DE MAESTRÍA EN CIENCIAS
Determinación de la Conductividad Térmica de un Sólido por Medio de un Método Inverso de Transferencia de Calor
presentada por
Álvaro del Jesús Yam Morayta Ing. Mecánico por el Instituto Tecnológico de Campeche
como requisito para la obtención del grado de: Maestría en Ciencias en Ingeniería Mecánica
Director de tesis: Dr. Jesús Perfecto Xamán Villaseñor
Co-Director de tesis: Dr. José Jassón Flores Prieto
Jurado: Dra. Yvonne Chávez Chena – Presidente
Dr. Jesús Arce Landa – Secretario Dr. Efraín Simá Moo – Vocal
Dr. Jesús Perfecto Xamán Villaseñor – Vocal Suplente
Cuernavaca, Morelos, México. 21 de Febrero de 2012
DEDICATORIAS
A Dios Padre por guiarme en el camino de la sabiduría y de la paciencia, por cuidarme
en cada momento de mi vida, por formar parte de la gran familia Yam Morayta y por los
buenos amigos que he conocido a lo largo de mí camino. Sin lugar a duda, la amistad y el
amor forman parte esencial de mi vida. ¡Gracias dios Padre!
A mis padres: Álvaro y Mildret. Ustedes son el motor que me impulsa a seguir adelante
todos los días de mi vida. Gracias por todos los consejos y opiniones que me han ayudado a
elegir mi camino. Me han enseñado que lo más importante en la vida es la familia y para
fortalecerla hay que ser humilde, paciente, saber escuchar y entender, y sobre todo dar sin
esperar algo a cambio. A ustedes todo mi respeto y cariño, porque han sacrificado todo por
nosotros, se han esforzado todos los días para darnos a nosotros, sus hijos, lo mejor posible y
a pesar de las carencias económicas siempre nos han apoyado en nuestros proyectos. Con
mucho orgullo grito a los 4 vientos para que el mundo me escuche decir: ¡Hoy en día soy la
persona que soy gracias a mis Padres!
A mis hermanas: Fernanda y Fanny. A pesar de las diferencias que existen entre
nosotros, siempre me han apoyado y cuidado. La unión como hermanos es la base de nuestra
gran familia. Esta unión nos distingue del resto de los demás. Les agradezco todo el cariño que
me ofrecen día tras día y recuerden que ¡Ustedes son las rosas más bellas de mi jardín!
A mis sobrinos: Víctor y Fernando. Les demuestro a ustedes que todo se puede lograr en
esta vida con paciencia, esfuerzo, perseverancia y coraje. Que mis acciones les sirva como
ejemplo en sus futuras decisiones. Recuerden que además de ser su tío, soy también su amigo.
2o olviden que ustedes son ¡La nueva luz de nuestra gran familia!
A mis compañeros y amigos: Alex, Azucena, Chagolla, Cintli, Daniel, Elva, Esteban,
Felipe, Ingrid, Ivett, Javier, Juana, Karla, Leo, Lucio, Marcos, Melo, Meño, *adia, *eto,
*ico, Pipo, Quique, Rafa, Serrano y Ulysses. Gracias por todos los momentos que vivimos
durante la maestría. Solo me queda desearles ¡Éxito en sus proyectos y salud ante todo!
AGRADECIMIE*TOS
Gracias Padre mío, por regalarme la vida, por estar a mi lado en los buenos y malos
momentos de mi vida y por cuidar de mi familia y amigos en mi ausencia.
A Mi Familia, por su apoyo incondicional y sus buenos consejos ya sean de padres o
hermanas. Gracias a ustedes cumplí una meta más en mi vida.
Al Dr. Jesús Perfecto Xamán Villaseñor, por la confianza depositada en mi persona, por
sus concejos, por su paciencia, por ser el asesor de este trabajo de tesis y sobre todo por
brindarme su amistad en todo momento. Por esto y más ¡Muchas gracias!
A mi co-director el Dr. José Jassón Flores Prieto, por sus enseñanzas, observaciones y
por estar al pendiente en todo momento del desarrollo de este trabajo de tesis.
Al comité revisor: Dra. Yvonne Chávez Chena, Dr. Jesús Arce Landa y Dr. Efraín
Simá Moo, por sus comentarios e importantes sugerencias durante la revisión de la tesis.
A los Catedráticos del Departamento de Ingeniería Mecánica del CE)IDET, muchas
gracias por colaborar en mi formación como profesional y por sus buenos consejos.
A la familia Frías Enríquez, por el apoyo absoluto que me ofrecieron durante todo este
tiempo y por recordarme que la familia es el tesoro más grande y valioso que todo ser humano
tendrá a lo largo de su vida. En especial a Mimí y a Daniela por regalarme grandes momentos
que serán recuerdos inolvidables en mi vida.
A mis amigos y compañeros de generación 2009: Azucena, Daniel, Ingrid, Javier,
Juana, Meño, )ico, Rafa y Ulysses. En especial a “mis hermanos” Cintli, Ivett y Leo; a todos
ustedes muchas gracias por acompañarme en los buenos y malos momentos, pero sobre todo
por brindarme su amistad en todo el transcurso de esta aventura.
A mis amigos del CENIDET: Abat, Alex, Chagolla, Elva, Esteban, Felipe, Karla,
Lucio, Marcos, Melo, )adia, )eto, Pedro, Pipo, Quique y Serrano; gracias por su amistad y
apoyo durante la maestría.
Al Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico (CE)IDET), por
brindarme la oportunidad de formarme en ésta institución, de antemano muchas gracias.
Al Concejo Nacional de Ciencia y Tecnología (CO)ACYT), por el apoyo económico
brindado durante la maestría.
REFLEXIO*ES
El Helecho y el Bambú.
Un día decidí darme por vencido, renuncié a mi trabajo, a mi relación, a mi vida. Fui al
bosque para tener una última plática con Dios. “Dios”, le dije. “¿Podrías darme una buena
razón para no darme por vencido?”. Su respuesta me sorprendió…”mira a tu alrededor”, él dijo.
“¿Ves el helecho y el bambú?”, “sí”, respondí. Cuando sembré las semillas del helecho y el
bambú, las cuidé muy bien. Les di luz y agua. El helecho rápidamente creció. Su verde brillante
cubría el suelo. Pero nada salió de la semilla de bambú. Sin embargo no renuncié al bambú. En
el segundo año, el helecho creció más brillante y abundante y nuevamente, nada creció de la
semilla de bambú. Pero no renuncié al bambú, dijo él. En el tercer año, aún nada brotó de la
semilla de bambú. Pero no renuncié al bambú, me dijo. En el cuarto año, nuevamente nada
salió de la semilla de bambú. No renuncie dijo. Luego, en el quinto año un pequeño brote de
bambú se asomó de la tierra. En comparación con el helecho, era aparentemente muy pequeño
e insignificante. En el sexto año, el bambú creció más de 20 metros de altura. Se había pasado
cinco años echando raíces que lo sostuvieran. Aquellas raíces lo hicieron fuerte y le dieron lo
que necesitaba para sobrevivir. “No le daría a ninguna de mis creaciones un reto que no pudiera
sobrellevar”, él me dijo.”¿Sabías que todo este tiempo que has estado luchando, realmente has
estado echando raíces?”. No renunciaría al bambú, nunca renunciaría a ti. “No te compares con
otros”, me dijo. El bambú tiene un propósito diferente al del helecho, sin embargo, ambos eran
necesarios y hacían del bosque un lugar hermoso. Tu tiempo vendrá, Dios me dijo. “¡Crecerás
muy alto!”, “¿qué tan alto debo crecer?”, pregunté. “¿Qué tan alto crecerá el bambú?”, me
preguntó en respuesta. “¿Tan alto como pueda?”, indagué.
Nunca te arrepientas de un día en tu vida. Los buenos días te dan felicidad. Los malos días
te dan experiencia. Ambos son esenciales para la vida. La felicidad te mantiene dulce, los
intentos te mantienen fuerte, las penas te mantienen humano, las caídas te mantienen humilde,
el éxito te mantiene brillante. Pero sólo Dios te mantiene caminando…
Anónimo
CONTENIDO
Lista de figuras………………………………………………………………………………....I
Lista de tablas………………………………………………………………………………...IV
Nomenclatura……………………………………………………………………………….....V
Resumen……………………………………………………………………………………..VII
Abstract……………………………………………………………………………………....IX
Capitulo 1.-I)TRODUCCIÓ). Pág.
1.1.-Motivación………………………………………………………………...........................2
1.2.-Revisión bibliográfica………………………………………….........................................4
1.2.1.-Métodos inversos para determinar la conductividad térmica
dependiente de la temperatura………………………..............................................5
1.2.2.-Métodos inversos para determinar la conductividad térmica
dependiente del espacio…………………………………………………………....7
1.2.3.-Métodos inversos para determinar la conductividad térmica
dependiente de la temperatura y del espacio………………………………............8
1.2.4.-Conclusión de la revisión bibliográfica…………………………………………..11
1.3.-Justificación del estudio…..……………………………………………………...…......11
1.4.-Objetivo general…………………………………………………………....…………...12
1.4.1.-Objetivos específicos……………………………………………………………..13
1.5.-Alcance……..……………………………………………………………………………13
1.6.-Estructura de la tesis………..………………………………………………...………...13
Capitulo 2.-CO)CEPTOS DE TRA)SFERE)CIA DE CALOR I)VERSA.
2.1.-Concepto del Problema Inverso de Transferencia de Calor (PITC)…….…………..16
2.2.-Clasificación de los Problemas Inversos de Transferencia de Calor……….………..17
2.2.1.-Problemas inversos de acuerdo a la naturaleza de la transferencia
de calor………………………………………………………………..….….........18
Pág.
2.2.2.-Problemas inversos en estado permanente y en estado transitorio……...………..18
2.2.3.-Problemas inversos lineales y no lineales……………………………….….…….19
2.2.4.-Condiciones de frontera en los Problemas Inversos de
Transferencia de Calor…………………………………………………….……...19
2.3.-Métodos para resolver los problemas inversos de transferencia de calor….…..........20
2.4.-Aplicaciones practicas de los problemas inversos de transferencia de calor….…….21
2.5.-Definición y naturaleza de la conductividad térmica…………………………….…...22
2.5.1.-Definición de la conductividad térmica………………………………….….…...23
2.5.2.-Naturaleza de la conductividad térmica…………………………………….........24
Capitulo 3.-MODELOS FÍSICOS Y MATEMÁTICOS.
3.1.-Modelos físicos y matemáticos del sistema coordenado cartesiano…………………..26
3.1.1.-Modelos físicos…….………………………………………………………..…....26
3.1.2.-Modelos matemáticos…………………………………………………………….28
3.1.2.1.-Sistema unidimensional (x)………………………………………………...29
3.1.2.2.-Sistema bidimensional (x, y)…………………………………………….....30
3.1.2.3.-Sistema compuesto (x, y)…………………………………………………..30
3.2.-Modelos físicos y matemáticos del sistema coordenado cilíndrico………...….….......31
3.2.1.-Modelos físicos…….………………………………………………………..…....31
3.2.2.-Modelos matemáticos…………………………………………………………….33
3.2.2.1.-Sistema unidimensional (r)…………………………………………….......33
3.2.2.2.-Sistema bidimensional (r, z)……………………………………………….34
3.2.2.3.-Sistema compuesto (r, z)……………………………………………..…....34
Capitulo 4.-METODOLOGÍA DE SOLUCIÓ).
4.1.-Métodos numéricos……………………………………………………………………...36
4.2.-Metodología del MVF en los modelos matemáticos en coordenadas cartesianas…...38
4.2.1.-Sistema bidimensional (x, y)……………………………………………………..39
Pág.
4.2.1.1.-Problema directo…………………………………………………………..40
4.2.1.2.-Problema inverso………………………………………………………….44
4.2.2.-Sistema compuesto (x, y)………………………………………………………...47
4.2.2.1.-Problema directo…………………………………………………………..48
4.2.2.2.-Problema inverso…………………………………………………….........49
4.3.-Metodología del MVF en los modelos matemáticos en coordenadas cilíndricas…....51
4.3.1.-Sistema bidimensional (r, z)……………………………………………………...51
4.3.1.1.-Problema directo…………………………………………………………..53
4.3.1.2.-Problema inverso……………………………………………………….…55
4.3.2.-Sistema compuesto (r, z)………………………………………………………....59
4.3.2.1.-Problema directo…………………………………………………………..59
4.3.2.2.-Problema inverso……………………………………………………….….60
4.4.-Métodos de solución de ecuaciones algebraicas…………………………………….…62
4.4.1.-Métodos directos………………………………………………………………....62
4.4.2.-Métodos iterativos………………………………………………………………..62
4.5.-Diagrama de flujo de los códigos numéricos…………………………………………..63
4.5.1.-Criterio de convergencia…………………………………………………………63
4.5.2.-Diagrama de flujo………………………………………………………………..64
Capitulo 5.-VERIFICACIÓ).
5.1.-Verificación del código numérico……………………………………………………....68
5.1.1.-Verificación del código numérico desarrollado con los resultados
reportados por Yeung W. y Lam T. (1995)……………………………………...68
5.1.1.1.-Conductividad térmica constante………………………………………….69
5.1.1.2.-Conductividad térmica dependiente del espacio…………………………..71
5.1.1.3.-Conductividad térmica dependiente de la temperatura…………………...73
5.1.2.-Verificación del código numérico desarrollado con los resultados
reportados por Chang C. y Chang M. (2006)……………………………………78
5.1.2.1.-Conductividad térmica dependiente del espacio………………………….78
Pág.
5.1.2.2.-Conductividad térmica dependiente de la temperatura…………………....80
5.2.-Estudio de independencia de malla en el espacio y tiempo…………………………...84
5.2.1.-Independencia de malla en el espacio…………………………………………....87
5.2.2.-Independencia de malla en el tiempo…………………………………………….89
Capitulo 6.-RESULTADOS.
6.1.-Resultados de los problemas inversos en coordenadas cartesianas………………….95
6.1.1.-Sistema unidimensional (x)…………………………………………………........95
6.1.1.1.-Conductividad térmica constante………………………………………….95
6.1.1.2.-Conductividad térmica dependiente del espacio………………………......96
6.1.2.-Sistema bidimensional (x, y)…………………………………………………......97
6.1.2.1.-Conductividad térmica constante……………………………………….....98
6.1.2.2.-Conductividad térmica dependiente de la temperatura…………………...99
6.1.3.-Sistema compuesto (x, y)……………………………………………………….103
6.1.3.1.-Conductividad térmica constante………………………………………...103
6.1.3.2.-Conductividad térmica dependiente de la temperatura………………….106
6.2.-Resultados de los problemas inversos en coordenadas cilíndricas………………….110
6.2.1.-Sistema unidimensional (r)……………………………………………..……….110
6.2.1.1.-Conductividad térmica constante………………………………………...111
6.2.1.2.-Conductividad térmica dependiente de la temperatura…………………..112
6.2.2.-Sistema bidimensional (r, z)…………………………………………………….113
6.2.2.1.-Conductividad térmica dependiente del espacio………………………....114
6.2.2.2.-Conductividad térmica dependiente de la temperatura………………….116
6.2.3.-Sistema compuesto (r, z)………………………………………………………..120
6.2.3.1.-Conductividad térmica constante………………………………………...120
6.2.3.2.-Conductividad térmica dependiente de la temperatura………………….121
Capitulo 7.-CO)CLUSIO)ES Y RECOME)DACIO)ES. Pág.
7.1.-Conclusiones…………………………………………………………………...............125
7.2.-Recomendaciones……………………………………………………………………...127
Referencias Bibliográficas…….............................................................................................128
Página I
LISTA DE FIGURAS
Descripción Pág.
Figura 2.1.-Escala de la conductividad térmica para diversos estados
de la materia a temperatura y presión normales………………………………….23
Figura 3.1.-Modelo físico del sistema coordenado cartesiano………………………….…....27
Figura 3.2.-Modelo físico del sistema coordenado cilíndrico………………………………..32
Figura 4.1.-Dominio computacional del esquema centrado bidimensional cartesiano……....39
Figura 4.2.-Dominios computacionales en las fronteras bidimensionales cartesianas.............45
Figura 4.3.-Dominio computacional del esquema centrado bidimensional cilíndrico…….....52
Figura 4.4.-Dominios computacionales en las fronteras bidimensionales cilíndricas…….….57
Figura 4.5.-Diagrama de flujo del algoritmo numérico cartesiano y cilíndrico……………...66
Figura 5.1.-Modelo físico del medio sólido unidimensional cartesiano……………………..69
Figura 5.2.-Distribución de la conductividad térmica constante
en un medio sólido unidimensional cuando t=0.2 s……………………………...71
Figura 5.3.-Distribución de la conductividad térmica dependiente del
espacio en un medio sólido unidimensional cuando t=0.2 s…………………….73
Figura 5.4.-Distribución de la conductividad térmica dependiente de la temperatura
en un medio sólido unidimensional cuando t=0.2 s: (a) Conductividad
térmica reportada por Yeung W. y Lam T. (1995) y, (b) Conductividad
térmica obtenida con el código numérico desarrollado………………………….75
Figura 5.5.-Distribución de la conductividad térmica dependiente de la temperatura
en un medio sólido unidimensional cuando t=0.05, 0.1 y 0.2 s: (a)
Conductividad térmica reportada por Yeung W. y Lam T. (1995) y,
(b) Conductividad térmica obtenida con el código numérico desarrollado…......77
Figura 5.6.-Distribución de la conductividad térmica dependiente del espacio
en un medio sólido unidimensional cuando t=0.2 s……………………………...80
Figura 5.7.-Distribución de la conductividad térmica dependiente de la temperatura
en el medio sólido unidimensional cuando t=0.05, 0.1, 0.2 y 0.3 s: (a)
Conductividad térmica reportada por Chang C. y Chang M. (2006) y, (b)
Conductividad térmica obtenida con el código numérico desarrollado………....83
Página II
Descripción Pág.
Figura 5.8.-Modelo físico del sistema compuesto cilíndrico...................................................85
Figura 5.9.-Línea donde se desea conocer la distribución de la conductividad térmica
para el estudio de independencia de malla en el espacio y tiempo……………....86
Figura 5.10.-Distribuciones de la conductividad térmica en la línea A del cilindro
sólido compuesto, cuando está sujeta a diferentes mallas: (a) t=0.02 s,
(b) t=0.70 s y (c) t=1.50 s (estado permanente)……………………………....87
Figura 5.11.-Distribuciones de la conductividad térmica en la línea A para los
diferentes pasos de tiempo: (a) t=0.02 s, (b) t=0.7 s y (c) t=estado
permanente……………………………………………………………………...89
Figura 5.12.-Distribución de la conductividad térmica en el cilindro sólido
compuesto cuando se encuentra en el estado permanente……………………...91
Figura 6.1.-Conductividad térmica constante de la placa unidimensional cartesiana……......96
Figura 6.2.-Conductividad térmica dependiente del espacio de la placa
unidimensional cartesiana……………………………………………………......97
Figura 6.3.-Distribución de la conductividad térmica constante en la placa
bidimensional………………………………………………………………….....98
Figura 6.4.-Comparación de la temperatura numérica obtenida con la analítica…………....101
Figura 6.5.-Comparación de la conductividad térmica numérica con la analítica…………..102
Figura 6.6.-Modelo físico de la placa sólida compuesta bidimensional…………………….103
Figura 6.7.-Comportamiento del fenómeno físico a lo largo de la geometría de la placa
sólida compuesta: a)Conductividad térmica y b)Temperatura…………………104
Figura 6.8.-Distribución de la conductividad térmica-temperatura de la placa sólida
compuesta: a)Hierro-Baquelita-Plomo y b)Plomo-Hierro-Baquelita……..........106
Figura 6.9.-Modelo físico del sistema compuesto bidimensional…………………………..106
Figura 6.10.-Distribución de la conductividad térmica en la placa sólida compuesta:
a) t=0.5 s, b) t=0.9 s, c) t=1.2 s y c) t=1.9 s (Estado Permanente)…………..107
Figura 6.11.-Distribuciónes de la conductividad térmica en la placa sólida compuesta,
para los diferentes casos antes mencionados………………………………….109
Figura 6.12.-Modelo físico del cilindro sólido unidimensional…………………………......110
Figura 6.13.-Conductividad térmica constante del cilindro sólido unidimensional………...112
Página III
Descripción Pág.
Figura 6.14.-Conductividad térmica dependiente del espacio y de la temperatura
en diferentes tiempos………………………………………………………….113
Figura 6.15.-Modelo físico del cilindro sólido bidimensional……………………………....114
Figura 6.16.-Distribución de la conductividad térmica dependiente del espacio
en el cilindro sólido bidimensional…………………………………………....116
Figura 6.17.-Distribución de la conductividad térmica en el cilindro sólido: a) t=0.3 s,
b) t=0.6 s, c) t=1.0 s y c) t=1.4 s (Estado Permanente)………………………117
Figura 6.18.-Distribución del fenómeno a lo largo de la geometría del cilindro
sólido: (a)Conductividad térmica y (b) Temperatura…………………………118
Figura 6.19.-Distribuciones de la conductividad térmica dependiente de la temperatura,
cuando está sujeta a diferentes condiciones…………………………………..119
Figura 6.20.-Distribución de la conductividad térmica constante en el cilindro
sólido compuesto……………………………………………………………...120
Figura 6.21.-Distribucion de la conductividad térmica en el cilindro sólido
compuesto…………………………………………………………………….121
Figura 6.22.-Distribuciones de la conductividad térmica en el cilindro sólido
compuesto, para los diferentes casos antes mencionados…………………….123
Página IV
LISTA DE TABLAS
Descripción Pág.
Tabla 5.1.-Comparación de los resultados analíticos y numéricos de la conductividad
térmica constante…………………………………………………………………70
Tabla 5.2.-Comparación de los resultados analíticos y numéricos de la conductividad
térmica dependiente del espacio………………………………………………….72
Tabla 5.3.-Comparacion de los resultados analíticos y numéricos de la conductividad
térmica dependiente de la temperatura…………………………………………...74
Tabla 5.4.-Comparación de los resultados analíticos y numéricos de la conductividad
térmica dependiente de la temperatura cuando t=0.05 s…………………………76
Tabla 5.5.-Comparación de los resultados analíticos y numéricos de la conductividad
térmica dependiente de la temperatura cuando t=0.1 s…………………………..76
Tabla 5.6.-Comparación de los resultados analíticos y numéricos de la conductividad
térmica dependiente del espacio………………………………………………….79
Tabla 5.7.-Comparación de los resultados analíticos y numéricos de la conductividad
térmica dependiente de la temperatura: (a) Cuando el tiempo es igual a
t=0.05 y 0.1 s y, (b) Cuando el tiempo es igual a t=0.2 y 0.3s…………………...81
Tabla 5.8.-Máximo error relativo en la línea A cuando ∆t=0.01 s…………………………..88
Tabla 5.9.-Máximo error relativo encontrado en la línea A, en los diferentes
pasos del tiempo………………………………………………………………….90
Tabla 6.1.-Casos resueltos para determinar la conductividad térmica……………………….93
Tabla 6.2.-Conductividad térmica de algunos materiales sólidos………………………........94
Tabla 6.3.-Comparación de los resultados analíticos y numéricos de la temperatura……....100
Tabla 6.4.-Comparación de los resultados numéricos y analíticos de la conductividad
térmica…………………………………………………………………………..102
Tabla 6.5.-Condiciones de frontera y soluciones analíticas de la conductividad
térmica…………………………………………………………………………..108
Tabla 6.6.-Condiciones de frontera y soluciones analíticas de la conductividad
térmica…………………………………………………………………………..122
Página V
NOMENCLATURA
Latinas
=baaaaaa WSPP2E ,,,,,, 0Coeficientes agrupados.
=Cp Calor especifico.
=wsne ffff ,,, Factores de interpolación.
=g Término fuente.
=10 , JJ Función de Bessel de 1era clase de orden cero y de orden uno, respectivamente.
=LzLr, Dimensiones del cuerpo solido cilíndrico.
=LyLx, Dimensiones del cuerpo solido cartesiano.
=2z2r , Número de nodos en el plano r y z, respectivamente.
=2y2x, Número de nodos en el plano x y y, respectivamente.
=WS2E qqqq ,,, Flujos de calor.
=φR Residual.
=zr ,,θ Ejes coordenados del sistema cilíndrico.
=T Temperatura.
=iT Temperatura inicial.
t = Tiempo.
=ωνυ ,, Componentes de velocidad.
=zyx ,, Ejes coordenados del sistema cartesiano.
Griegas
=α Difusividad térmica.
=nβ Raíces de la función de Bessel.
=∆∆ zr, Incremento en el plano r y z, respectivamente.
=∆t Incremento o paso de tiempo.
=∆∆ yx, Incremento en el plano x y y, respectivamente.
=PSP2PWPE zzrr δδδδ ,,, Distancias del sistema cilíndrico.
Página VI
=PSP2PWPE yyxx δδδδ ,,, Distancias del sistema cartesiano.
=φφ εε 21 , Criterios de convergencia.
=mη Raíces de la función seno.
=λ Conductividad térmica del material.
=ρ Densidad.
=nP
nP ϕϕ , Variable del tiempo actual y del tiempo anterior, respectivamente.
Página VII
RESUMEN
Este trabajo de investigación presenta el desarrollo de un código numérico para determinar
la conductividad térmica de un material sólido, a través de la teoría del Problema Inverso de
Transferencia de Calor (PITC). El código desarrollado utiliza la técnica numérica del Método
de Volúmenes Finitos (MVF). Con esta técnica se obtiene de la ecuación de transferencia de
calor, una serie de ecuaciones algebraicas en notación de coeficientes agrupados, por medio de
las cuales es posible determinar la conductividad térmica de un material sólido unidimensional,
bidimensional y compuesto; tanto en el sistema coordenado cartesiano como en el sistema
coordenado cilíndrico. El medio sólido se encuentra sujeto a condiciones de frontera de primera
o segunda clase (temperaturas o flujos de calor), en estado transitorio, sin generación de calor y
solo existe transferencia de calor por conducción. Además, la distribución de la temperatura
que se necesita para resolver el Problema Inverso de Transferencia de Calor, se obtiene de dos
formas: analíticamente o numéricamente. Cuando no esté disponible la solución analítica de la
distribución de la temperatura, es necesario resolver el Problema Directo de Transferencia de
Calor (PDTC) para obtener la solución numérica de la distribución de la temperatura y así
resolver el Problema Inverso de Transferencia de Calor.
Por otra parte, los resultados numéricos fueron verificados con los resultados analíticos
reportados en los trabajos de Yeung W. y Lam T. (1995) y Chang C. y Chang M. (2006), que
determinaron la conductividad térmica de un medio sólido unidimensional, sujeto a
temperaturas o a flujos de calor en sus fronteras. Cabe mencionar que los resultados numéricos
son semejantes a los resultados analíticos, con un máximo error relativo de 4.84%. Además, se
presentan los diversos resultados que se obtienen al resolver los Problemas Inversos de
Transferencia de Calor en el sistema coordenado cartesiano y cilíndrico. En estos resultados se
aprecia el comportamiento de la conductividad térmica en todo el dominio del sistema bajo
estudio. Este comportamiento puede ser constante, dependiente del espacio y dependiente de la
temperatura. De los resultados presentados, destacan aquellos en los cuales se determina la
conductividad térmica en un medio sólido compuesto, porque debido al desarrollo de modernos
materiales complejos en donde la conductividad térmica es variable con el espacio y la
temperatura, el uso de los métodos convencionales para la determinación de la conductividad
Página VIII
térmica ya no son muy convenientes. Por lo tanto, el enfoque hacia los Problemas Inversos de
Transferencia de Calor puede proveer respuestas satisfactorias para tales situaciones.
Página IX
ABSTRACT
In this research work, the development of a numerical code to determine the thermal
conductivity in a solid material, through the Inverse Heat Transfer Problem (IHTP) approach is
shown. The developed code is based on the finite volume method. With this technique a set of
algebraic equations is obtained from the heat transfer differential equation, these equations are
written in grouped coefficients notation and from them, the thermal conductivity of a solid
material in one or two dimensions, and even composite materials can be obtained. The solid
medium is subject to first or second kind boundary conditions (temperatures or heat flows), in
transient state, with no heat generation and only heat transfer by conduction is present. Besides,
the temperature distribution required to solve the Inverse Heat Transfer Problem is obtained in
either way, analytically or numerically. When the analytical solution of the temperature
distribution is not available, it becomes necessary to solve the Direct Heat Transfer Problem in
order to achieve the numerical solution for the temperature distribution and together with it, the
Inverse Heat Transfer Problem.
On the other hand, the numerical code was verified with the work developed by Yeung W.
y Lam T. (1995) y Chang C. y Chang M. (2006), who determined the thermal conductivity in a
one dimensional solid, subject to temperatures and heat flows on the boundaries. It is worth to
mention that the numerical results obtained with this code are similar to those reported by the
authors, with a maximum difference of 11.69%. Besides, the different results obtained when
solving the Heat Transfer Inverse Problems in cylindrical or Cartesian coordinate system are
presented. In these results, it can be observed the behavior of the thermal conductivity all over
the domain of the system under study. This behavior can be constant or to depend on either
space or temperature. From the results, highlight the problems in which the thermal
conductivity in a composite solid medium is determined, this due to the development of new
complex and modern materials for which the thermal conductivity varies with time and
temperature, the use of conventional methods to determine the thermal conductivity are no
longer very convenient. Therefore, focusing on Inverse Heat Transfer Problems, can provide
satisfactory answers to such situations.
Capítulo 1 INTRODUCCIÓN
Página 1
CAPÍCAPÍCAPÍCAPÍTULOTULOTULOTULO 1111
En este Capítulo se muestra la importancia de este trabajo de investigación. En el
primer punto se presenta la motivación, posteriormente se presenta una breve revisión
bibliográfica, la cual contiene el estado del arte sobre los métodos inversos de transferencia
de calor para determinar la conductividad térmica de un material. En las secciones
siguientes se presenta la justificación, el objetivo y el alcance. Por último, se describe la
estructura general de este trabajo de tesis.
INTRODUCCIÓNINTRODUCCIÓNINTRODUCCIÓNINTRODUCCIÓN
Capítulo 1 INTRODUCCIÓN
Página 2
1.1 MOTIVACIÓ�.
Desde hace mucho tiempo, los combustibles fósiles como el carbono, el petróleo y el
gas natural se han utilizado para impulsar el desarrollo industrial y las comodidades de la
vida moderna, pero ha sido imposible evitar efectos colaterales indeseables. Desde la tierra
en que se cultiva, hasta el agua para consumo humano y el aire que respiramos, el medio
ambiente ha pagado un costo muy alto. Efectos como el smog, la lluvia ácida y el
calentamiento global se deben en gran medida a la emisión de contaminantes producidos
durante la quema de combustibles fósiles. El calentamiento global está asociado a un
cambio climático, el principal efecto que causa el calentamiento global es el efecto
invernadero, que es un fenómeno atmosférico natural que permite mantener la temperatura
del planeta, al retener en mayor cantidad la energía proveniente del Sol. El aumento de la
concentración de dióxido de carbono en la atmósfera (CO2) proveniente del uso de
combustibles fósiles ha provocado la intensificación del fenómeno, el consecuente aumento
de la temperatura global, el derretimiento de los hielos polares y el aumento del nivel de los
océanos.
Preocupados por el deterioro ambiental, la comunidad internacional ha iniciado en
diversos foros y tratados, acciones encaminadas a reducir la emisión de contaminantes y en
su momento reducir sus efectos. El ahorro de energía es una de las muchas maneras que se
tiene para reducir estas emisiones a la atmosfera y desacelerar de esta manera el
calentamiento global. La energía térmica es la que más se consume en el país, ésta se
estima entre el 80% y 85% del consumo total, por lo que su uso debe ser racional y
eficiente. El uso eficiente de la energía térmica implica que es necesario contar con un
sistema diseñado de tal manera que las pérdidas de la energía sean mínimas, obteniendo así
un ahorro. Es por ello que los sistemas destinados a la utilización de la energía térmica
deben ser diseñados con materiales cada vez más óptimos con el fin de obtener sistemas
térmicos cada vez más eficientes (Gare M., 2006).
Desde el punto de vista socioeconómico, el estudio de los procesos de conducción de
calor, así como la determinación de las propiedades termofísicas de los materiales ha tenido
Capítulo 1 INTRODUCCIÓN
Página 3
mucha importancia en los últimos años, debido a la aplicación de normas y reglamentos
con fines de ahorro de energía, todo esto para tratar de sobrellevar los problemas
relacionados con el calentamiento global. En este sentido, para la industria de la
construcción, es importante conocer las propiedades termofísicas de los materiales para
lograr diseños óptimos al consumo de la energía. Dentro de las propiedades termofísicas de
los materiales, se encuentra la conductividad térmica (λ); que es una propiedad termofísica
relacionada con el transporte de energía. Sin embargo, determinar el valor de la
conductividad térmica de un material a veces resulta difícil, porque no puede llevarse a
cabo de forma experimental ya que las condiciones de trabajo (temperatura o flujo de calor)
para su solución son elevadas, o bien, porque el costo para reproducirlo de forma
experimental es alto. Debido a esto, surge la oportunidad de desarrollar nuevas técnicas de
estudio, entre ellas se encuentran las que se basan en la solución de los problemas inversos.
Los Problemas Inversos de Transferencia de Calor (PITC) se utilizan para obtener
información de una o más causas de su estado, a partir de observaciones del sistema o del
proceso. En otras palabras, los problemas inversos permiten estudiar la relación efecto-
causa de los fenómenos de transferencia de calor. Las características causantes de la
transferencia de calor, para un modelo del fenómeno físico, son las condiciones de frontera
y sus parámetros, las condiciones iniciales, las propiedades termofísicas, las fuentes
internas de calor y las características geométricas del cuerpo o del sistema. El efecto es el
estado térmico definido por el campo de temperatura del objeto en estudio. Por lo tanto,
cuando es necesario reconstruir las características causantes a partir de cierta información
del campo de temperatura, se está frente al planteamiento de un problema inverso de
transferencia de calor.
Los problemas inversos, a diferencia de los problemas directos, frecuentemente no
pueden ser reproducidos por medio de experimentos reales ya que no es posible invertir la
relación causa-efecto en forma física. Lo que obliga la implementación de los métodos
numéricos, ya que permiten simular las condiciones del fenómeno de estudio. Por lo tanto,
es necesario el desarrollo de métodos y algoritmos que permitan obtener resultados
adecuados.
Capítulo 1 INTRODUCCIÓN
Página 4
Por otra parte, debido al desarrollo de modernos materiales complejos que tienen
propiedades termofísicas variables con la temperatura y el espacio, el uso de los métodos
convencionales para la determinación de las propiedades termofísicas ya no son muy
convenientes (Alifanov O., 1994). Además, están limitados por la geometría del material de
prueba y por el intervalo de valores que manejan. Por lo tanto, el enfoque hacia los
Problemas Inversos de Transferencia de Calor puede proveer respuestas satisfactorias para
tales situaciones.
1.2 REVISIÓ� BIBLIOGRÁFICA.
La primera tentativa para resolver un problema inverso fue presentada por Stefan
quién obtuvo la solución por diferencias finitas en 1890 (Char M. y Chang F., 2007). Este
resultado puede ser considerado como la primera solución satisfactoria de un problema
inverso de transferencia de calor en una dimensión. Sin embargo, esto no fue conocido sino
hasta que Burggraf en 1964 obtuvo resultados similares del Problema Inverso de
Transferencia de Calor (PITC). Aunque la formulación y solución de este problema fue
presentado hace un siglo, ha crecido rápidamente como un tema de investigación durante
los últimos veinte años, debido a la combinación del avance tecnológico, métodos
matemáticos y modernas facilidades computacionales.
En la actualidad, existe una gran variedad de aplicaciones prácticas de los PITC (las
cuales se mencionaran en el capítulo siguiente). Sin embargo, sólo se enfoca atención a la
aplicación que consiste en determinar las propiedades termofísicas de los materiales.
Principalmente el de la conductividad térmica.
La conductividad térmica es una propiedad termofísica que puede ser constante,
dependiente del espacio y dependiente de la temperatura. Cuando la conductividad térmica
es constante, la solución de la ecuación de difusión de calor es sencilla de obtener. Las
complicaciones comienzan cuando la conductividad térmica es dependiente del espacio y
de la temperatura. La razón es porqué cuando la conductividad térmica es dependiente del
Capítulo 1 INTRODUCCIÓN
Página 5
espacio, se tiene una ecuación diferencial lineal de difusión de calor; por el contrario,
cuando es dependiente de la temperatura, se tiene una ecuación diferencial no lineal de
difusión de calor. Por lo tanto, la revisión bibliográfica se realizó dividiendo los estudios
encontrados en la literatura acerca de los métodos inversos para determinar la
conductividad térmica en tres apartados: a) métodos inversos para determinar la
conductividad térmica dependiente de la temperatura, b) métodos inversos para determinar
la conductividad térmica dependiente del espacio y c) métodos inversos para determinar la
conductividad térmica dependiente de la temperatura y del espacio.
1.2.1 Métodos inversos para determinar la conductividad térmica dependiente de la
temperatura.
Yang C. (1998) desarrolló un método iterativo eficiente para determinar la
conductividad térmica dependiente de la temperatura. El enfoque propuesto por este autor
comprende dos fases: un análisis directo y un análisis inverso. En la fase del análisis
directo, la conductividad térmica se consideró como un valor conocido y luego se utilizó
para obtener el campo de temperatura de la ecuación de conducción de calor a través de un
método numérico. Por lo tanto, un conjunto de ecuaciones no lineales se formuló para la
fase del análisis inverso. En la fase del análisis inverso, un método de linealización se
utilizó para obtener la conductividad térmica desconocida de manera sistemática. Sin
embargo, son necesarias varias iteraciones para obtener la conductividad térmica
desconocida. Los resultados mostraron que la velocidad de convergencia es
considerablemente rápida, ya que el número de iteraciones para acercarse a una solución
satisfactoria es de nueve a once veces y el mayor valor del error relativo es de 6.64% con
11 iteraciones cuando se tiene un error en la medición del 2%.
Kim S. (2002) empleó un método inverso para determinar las propiedades termofísicas
dependientes de la temperatura de un flujo de fluidos en un ducto circular. Consideró que la
conductividad térmica y la capacidad de calor volumétrica del fluido, sean determinadas a
través de la técnica de estimación de parámetros. Los coeficientes sensitivos con respecto a
los parámetros desconocidos son evaluados para la estimación inversa. Utilizó un sistema
en línea para obtener las mediciones de la temperatura a través de un método de
Capítulo 1 INTRODUCCIÓN
Página 6
calentamiento continuo o pulsante. La determinación de las propiedades tanto de la
conductividad térmica como el del calor volumétrico, a pesar de que los errores de
medición se encuentran entre -2.57% a 2.57%, es aceptable al compararlas con los valores
exactos.
Tadeusz T. y Malinowski B. (2003) aplicaron un método inverso para determinar la
conductividad térmica dependiente de la temperatura a través del método de elemento
finito. Los autores emplearon la ecuación de conducción de calor en estado transitorio, en
un medio cilíndrico semi-infinito aislado en la superficie lateral y calentado uniformemente
en la superficie superior. De tal forma, que sólo existe conducción de calor en la dirección
longitudinal. Para determinar la conductividad térmica utilizó un campo de temperatura
que varía con el espacio y con el tiempo. El campo de temperatura se simuló de forma
analítica y numérica para cinco puntos estratégicos en el medio, utilizando condiciones de
frontera de Dirichlet. Utilizó el método de elemento finito porque ofrece una buena
aproximación del campo de temperatura. La conductividad térmica se expresó a través de
un polinomio de segundo orden. Al comprobar los resultados experimentales con los
resultados obtenidos por el método inverso, se observo que el error relativo no excede del
3.80%. Por lo tanto, el método presentó resultados aceptables en la determinación de la
conductividad térmica dependiente de la temperatura.
Zueco J. et al. (2005) realizaron la determinación inversa de la conductividad térmica
dependiente de la temperatura, en un sistema unidimensional usando el método de
simulación de red. Las condiciones de frontera que utilizaron en el sistema unidimensional
son de segunda y tercera clase. A partir de la solución del problema directo, los autores
obtuvieron un conjunto de temperaturas para un punto particular de la placa. Este conjunto
de temperaturas se modificó al añadir un error aleatorio para simular las mediciones reales,
dicho conjunto de temperaturas representó los datos de entrada en el problema inverso. Con
esta información disponible, se utilizó una función por secciones para estimar la
conductividad térmica dependiente de la temperatura. Los resultados mostraron que para
los diferentes tipos de dependencias (sinusoidal, por intervalo y rectangular) para la
conductividad térmica, la dependencia rectangular es la que presentó mayor error. Es decir,
Capítulo 1 INTRODUCCIÓN
Página 7
el error para la dependencia rectangular cuando la temperatura es medida en la frontera
adiabática, varía de 1.56 a 2.10; mientras que el error para la temperatura medida en la
frontera convectiva, varía de 1.08 a 1.64. Por lo tanto, para este caso el punto adiabático es
más sensible que el punto convectivo bajo las mismas condiciones.
1.2.2 Métodos inversos para determinar la conductividad térmica dependiente del
espacio.
Yang C. (1997) propuso un modelo lineal inverso para determinar la conductividad
térmica dependiente del espacio en problemas de conducción de calor unidimensional. El
autor adoptó una versión modificada del método de la matriz inversa para resolver
problemas que involucran a la conductividad térmica. En este método, el modelo lineal
inverso representó la conductividad térmica desconocida de forma explícita. Entonces, la
conductividad térmica prevista y el campo de temperatura disponible se sustituyeron en el
modelo aproximado de la ecuación de conducción de calor. Este modelo aproximado se
convirtió en una combinación lineal de coeficientes desconocidos para la conductividad
térmica y a continuación, de este modelo lineal inverso, se pudo obtener la solución del
problema mediante el método de mínimos cuadrados. Los resultados numéricos mostraron
que el intervalo del error relativo está entre 0.38% y 3.21%. Sin embargo, la diferencia
entre los resultados obtenidos con los resultados exactos, se desvanece cuando no se
consideran los errores en la medición.
Kim S. (2001) propuso un método directo para determinar la conductividad térmica
dependiente del espacio al utilizar solamente datos de temperatura en la superficie. El
método considera la ecuación de conducción de calor unidimensional en estado estable y la
expresa como la ecuación de Laplace al aplicar la transformación de Kirchhoff. Lo anterior
permitió obtener una combinación lineal de funciones conocidas con coeficientes
desconocidos. El flujo de calor supuesto y la temperatura medida en la frontera son los
parámetros requeridos para determinar los coeficientes, sin embargo, es necesario que el
número de incógnitas sea menor que el número de conjuntos de datos obtenidos
experimentalmente a diferentes condiciones. Durante el cálculo, no es necesario resolver la
ecuación de conducción de calor ya que la conductividad térmica se obtuvó al conocer el
Capítulo 1 INTRODUCCIÓN
Página 8
flujo de calor y la temperatura en la frontera. En los resultados se observó que al comparar
la conductividad térmica numérica con la experimental, se obtuvó un error relativo que
varía del 1.00% al 3.20%, por lo que se consideró una buena aproximación.
Kim S. y Kim M. (2002) propusieron un enfoque integral para la determinación
inversa de la conductividad térmica dependiente del espacio sin considerar temperaturas
internas. Utilizaron la conductividad térmica como una función lineal. Por lo tanto, el
problema inverso se convirtió en un problema de estimación de parámetros, que determinó
los coeficientes desconocidos de la función de la conductividad térmica. Se consideró un
dominio de conducción de calor unidimensional con flujo de calor y aislamiento en las
fronteras, la distribución de la temperatura se modeló como una función de posición de
tercer orden. Con la finalidad de evaluar el algoritmo propuesto, la determinación de la
conductividad térmica indicó que el algoritmo es 99% confiable, cuando el error de
medición se encuentra entre -0.50% y 0.50%.
Huang C. (2006) resolvió el problema inverso como una estimación de la función
para determinar tanto la conductividad térmica efectiva como la capacidad de calor
volumétrica en coordenadas esféricas. El autor utilizó el método de Levenberg-Marquardt
(LMM) para determinar, de forma simultánea, la conductividad térmica efectiva
dependiente del espacio y la capacidad de calor volumétrica, a través de mediciones de
temperaturas. Un parámetro de amortiguación se agregó a la expresión resultante para
mejorar la convergencia. De acuerdo al análisis estadístico, el método ofreció la confianza
del 99% en los límites de las propiedades térmicas determinadas, ya que ofreció un error
relativo del 4.49%. Los resultados que se obtuvieron por este método, establecen que una
buena determinación de la conductividad térmica dependiente de la posición y de la
capacidad de calor volumétrica, se puede obtener al utilizar este algoritmo.
1.2.3 Métodos inversos para determinar la conductividad térmica dependiente de la
temperatura y del espacio.
Yeung W. y Lam T. (1995) determinaron la conductividad térmica dependiente de la
temperatura y del espacio. Utilizaron el método de diferencias finitas para discretizar la
Capítulo 1 INTRODUCCIÓN
Página 9
ecuación de conducción de calor. Esto convirtió la ecuación diferencial parcial gobernante
en un sistema de ecuaciones lineales. Como resultado, la función de la conductividad
térmica se obtuvó mediante la solución del sistema de ecuaciones lineales. Los resultados
mostraron un error relativo máximo de 10.30%.
Huang C. y Chieh S. (2000) aplicaron el método del gradiente conjugado para
determinar la conductividad térmica dependiente de la temperatura y del espacio en un
medio no homogéneo bidimensional. A través del problema directo, se determinó el campo
de temperatura del medio cuando se conoce la conductividad térmica, las condiciones
iniciales y de frontera. Para el problema inverso, el campo de temperatura se usó para
determinar la conductividad térmica. De tal manera, se empleó un proceso iterativo basado
en el método del gradiente conjugado que minimiza la forma funcional de la conductividad
térmica. Sin embargo, para realizar este proceso iterativo es necesario calcular el tamaño
del paso y el gradiente de la forma funcional de la conductividad térmica. Entonces, para
desarrollar expresiones que determinen estas dos cantidades, se construyó un problema
sensitivo y un problema adjunto. Se empleó la técnica del método implícito para resolver
tanto el problema sensitivo y adjunto. Los resultados mostraron que cuando se usa errores
de medición del 1% y 3%, se podrá determinar la conductividad térmica con un error
relativo que varia del 5% al 10%.
Chang C. y Chang M. (2006) determinaron la conductividad térmica dependiente de la
temperatura y del espacio utilizando el método de volumen finito en un dominio
unidimensional, no homogéneo y con generación de calor. La ecuación de conducción de
calor se convierte en un sistema de ecuaciones lineales en forma matricial. Como datos de
entrada, utilizaron valores de temperatura y de generación de calor en puntos discretos de
la malla, así como también flujos de calor en la superficie. De tal forma, la conductividad
térmica se obtuvó al resolver directamente el sistema de ecuaciones lineales. Los resultados
mostraron que la aproximación entre la conductividad térmica numérica con la solución
exacta es aceptable, debido a que el error relativo máximo es del 8.70% cuando el error de
medición varía del -3% al 3%. Además, para diferentes espesores en la malla, el error
relativo máximo disminuye conforme disminuye el espesor de la malla.
Capítulo 1 INTRODUCCIÓN
Página 10
Char M. y Chang F. (2007) usaron el método de cuadratura diferencial (DQM) para la
determinación inversa de la conductividad térmica dependiente de la temperatura y del
espacio en una placa unidimensional. La ecuación gobernante de conducción de calor se
discretizó en el dominio espacial por el DQM y en el dominio del tiempo por el método de
diferencia finita. Los autores consideraron la función en un dominio unidimensional y para
aproximar la derivada de la función en un punto discreto del dominio, el método DQM
usó la suma lineal ponderada de todos los valores de la función en todos los puntos
discretos. Se empleó la función de interpolación de Lagrange para determinar los
coeficientes de ponderación. Los resultados mostraron que al considerar nueve y diecinueve
puntos de medición, el intervalo del error relativo entre la conductividad térmica exacta y
la determinada es de 5.10% y 1.24%, respectivamente, para un error de medición del 3%.
La diferencia entre los valores exactos y los determinados incrementa cuando el número
de los puntos medidos disminuye.
Chang C. y Chang M. (2008) propusieron un método semi-discretizado para la
determinación inversa de la conductividad térmica dependiente de la temperatura y del
espacio. Se aproxima la distribución de la temperatura con una función polinómica de
tercer orden. La derivada de la conductividad térmica, la derivada espacial y temporal de la
temperatura, en la ecuación de conducción de calor, se obtuvieron por el método de
diferencias finitas. Entonces, la ecuación de conducción de calor se transforma en un
sistema de ecuaciones lineales discretizadas en forma de matriz. La conductividad térmica
se determinó mediante la solución de las ecuaciones lineales.
Pourgholi R. y Rostamian M. (2009) utilizaron un algoritmo numérico para
determinar la conductividad térmica dependiente de la temperatura y del espacio en
problemas inversos de conducción de calor unidimensional. El algoritmo numérico
propuesto por estos autores se basa en el uso de una función de base para resolver los
problemas auxiliares. Para regularizar las ecuaciones mal condicionadas del sistema lineal
resultante, se aplicó el método de regularización de Tikhonov para aproximar la solución
numérica a la solución estable. Este método no requiere ningún tipo de discretización en el
dominio. Lo que se busca es determinar una condición de frontera que dependa sólo de la
Capítulo 1 INTRODUCCIÓN
Página 11
ecuación de conducción de calor. Los resultados mostraron que el método permanece
estable con respecto a pequeñas perturbaciones con los datos de entrada.
1.2.4 Conclusión de la revisión bibliográfica.
Después de haber revisado el estado del arte acerca de la determinación inversa de la
conductividad térmica, se observa que se debe tener cuidado con los requisitos de
estabilidad y convergencia cuando la conductividad térmica es dependiente solamente de la
temperatura o cuando depende de la temperatura y del espacio, porque en estos casos los
resultados son muy propensos a obtener errores en la programación. Caso contrario ocurre
cuando la conductividad térmica es dependiente del espacio, en el cual los requisitos de
estabilidad y convergencia son más fáciles de cumplir. Es por eso que el método más
utilizado para la solución de los Problemas Inversos de Transferencia de Calor es el método
de Levenberg-Marquardt, porqué cumple satisfactoriamente los requisitos de estabilidad y
convergencia, ya que ha tenido una rigurosa investigación matemática. También se aprecio
que la mayoría de los trabajos revisados, solamente determinan la conductividad térmica en
un medio unidimensional en coordenadas cartesianas. En los cuales, el método inverso que
presentó mayor error relativo fue el método numérico propuesto por Yeung W. y Lam T.
(1995), por el contrario, el método inverso que presentó menor error relativo fue el método
lineal propuesto por Yang C. (1997). Entonces, es fundamental elegir un método inverso
que permita determinar la conductividad térmica en un medio sólido unidimensional y
bidimensional, tanto en coordenadas cartesianas como en coordenadas cilíndricas, y que
además sus resultados cumplan los requisitos de estabilidad y convergencia.
1.3 JUSTIFICACIÓ� DEL ESTUDIO.
A partir del trabajo pionero de Stefan en 1890 (Char M. y Chang F., 2007), quien
resolvió por primera vez un Problema Inverso de Transferencia de Calor mediante la
técnica de diferencias finitas, la principal dificultad que impedía la solución teórica del
Problema Inversos de Transferencia de Calor, era un aspecto puramente matemático del
problema planteado. Estos sistemas fueron considerados imposibles de resolver y por lo
Capítulo 1 INTRODUCCIÓN
Página 12
tanto sin importancia practica. Sin embargo, el método de regularización de Tikhonov
(Tikhonov A. y Arsenin V., 1977), el enfoque de estimación de función de Beck (Beck J. et
al., 1985) y los métodos iterativos de regularización de Alifanov (Alifanov O., 1994) fueron
los que revitalizaron el interés en la solución de los Problemas Inversos de Transferencia de
calor.
Desde ese entonces, ha surgido una gran diversidad de métodos de solución de los
Problemas Inversos de Transferencia de Calor, entre los cuales, los más comunes por los
investigadores son: el método polinomial, el método secuencial de Beck de especificación
de función, el método de Levenberg-Marquardt y los métodos numéricos. Las principales
ventajas de estos métodos inversos son que han tenido una rigurosa investigación
matemática y que pueden ser aplicados ampliamente a otros Problemas Inversos de
Transferencia de Calor. La desventaja del método polinomial y del método secuencial de
Beck, se debe en que dependen en gran medida de la forma funcional de la variable
desconocida, de tal manera, cuando la variable depende de la temperatura estos métodos
son muy iterativos, lo que provoca que el tiempo de computó incremente
considerablemente. Mientras que en el método de Levenberg-Marquardt y en los métodos
numéricos, el tiempo de computó es corto (incluso cuando la variable depende de la
temperatura). Sin embargo, los métodos numéricos sobresalen cuando se trata de resolver
un problema que involucra un fenómeno de transferencia de calor, ya que son capaces de
resolver las ecuaciones diferenciales parciales que representan dicho fenómeno. De tal
manera, por las razones expuestas, se seleccionó la técnica de los métodos numéricos para
la solución del Problema Inverso de Transferencia de Calor en este trabajo de tesis.
1.4 OBJETIVO GE�ERAL.
Desarrollar un código numérico para determinar la conductividad térmica de un
material sólido, empleando la teoría del Problema Inverso de Transferencia de Calor
(PITC).
Capítulo 1 INTRODUCCIÓN
Página 13
1.4.1 Objetivos específicos.
1.-Establecer las ecuaciones que permitan determinar la conductividad térmica.
2.-Desarrollar un algoritmo numérico que sea capaz de resolver las ecuaciones planteadas.
3.-Variar la dependencia de la conductividad térmica del material sólido.
4.-Validar y verificar el algoritmo numérico.
1.5 ALCA�CE.
El algoritmo numérico desarrollado será capaz de determinar la conductividad térmica
de un material sólido, la cual puede ser: constante, dependiente de la temperatura y
dependiente del espacio; en un sistema bidimensional cartesiano o cilíndrico. A partir de la
distribución de temperaturas obtenidas mediante mediciones experimentales ó de forma
teórica.
1.6 ESTRUCTURA DE LA TESIS.
La estructura de esta tesis comienza en el Capítulo 2, donde se presenta el concepto y
la clasificación de los Problemas Inversos Transferencia de Calor, así como también la
definición y naturaleza de la conductividad térmica. En el Capítulo 3, se describen los
modelos físicos y matemáticos que se utilizan para la determinación de la conductividad
térmica de un medio sólido. Cabe mencionar que en dicho Capítulo se establecen las
consideraciones para los modelos físicos y matemáticos. El Capítulo 4 contiene la
metodología de solución de los modelos matemáticos que se plantearon en el Capítulo
anterior. Esta metodología se basa en la técnica numérica de volumen finito. En los últimos
apartados de este Capítulo, se menciona el criterio de convergencia y el diagrama de flujo
del algoritmo numérico. En el Capítulo 5, se presenta la verificación de los códigos
numéricos desarrollados para la determinación de la conductividad térmica, con problemas
de la literatura revisada. El Capítulo 6 muestra los resultados obtenidos al resolver el
Problema Inverso de Transferencia de Calor. En dichos resultados se observa la
Capítulo 1 INTRODUCCIÓN
Página 14
conductividad térmica cuando es constante, dependiente del espacio y dependiente de la
temperatura. Tanto en el sistema cartesiano como en el sistema cilíndrico. Por último, en el
Capítulo 7 se presentan las conclusiones de este trabajo de investigación y las
recomendaciones para los trabajos futuros.
Capítulo 2 CONCEPTOS DE TRANSFERENCIA DE CALOR INVERSA
Página 15
CAPÍTULOCAPÍTULOCAPÍTULOCAPÍTULO 2222
En este Capítulo se define el concepto del Problema Inverso de Transferencia de Calor
(PITC). Se presentan las ventajas y desventajas del PITC. Además, se menciona la
clasificación de los PITC, así como también los métodos que existen hoy en día para
resolver los PITC y las aplicaciones prácticas. Por último, se menciona la definición y
naturaleza de la conductividad térmica.
CONCEPTOS DE CONCEPTOS DE CONCEPTOS DE CONCEPTOS DE
TRANSFERENCIA DETRANSFERENCIA DETRANSFERENCIA DETRANSFERENCIA DE
CALOR INVERSACALOR INVERSACALOR INVERSACALOR INVERSA
Capítulo 2 CONCEPTOS DE TRANSFERENCIA DE CALOR INVERSA
Página 16
2.1 CO�CEPTO DEL PROBLEMA I�VERSO DE TRA�SFERE�CIA
DE CALOR (PITC).
Cuando se conocen los parámetros característicos en un proceso de transferencia de
calor, como son: el flujo de calor o la temperatura en la superficie exterior de un sólido
(condición de frontera), las condiciones iniciales, la generación de calor interna, la
geometría del medio y sus propiedades termofísicas; es posible encontrar la distribución de
temperaturas en su interior. Esto es lo que se conoce como Problema Directo de
Transferencia de Calor (PDTC). Los problemas directos (que son los más comunes) se
definen, en general, mediante modelos matemáticos, es decir, por un conjunto de: a)
ecuaciones diferenciales, b) ecuaciones que definen ciertos parámetros en función de las
variables dependientes o independientes y c) ecuaciones que definen las condiciones de
frontera y las condiciones iniciales. La solución analítica exacta del problema directo sólo
es posible en determinados casos, frecuentemente alejados de situaciones reales.
Por el contrario, la determinación de los parámetros característicos en un proceso de
transferencia de calor, a partir del conocimiento de la distribución de temperaturas internas
del sistema en estudio, es lo que se conoce como Problema Inverso de Trasferencia de
Calor (PITC). En las décadas de 1860-1890, el problema que consistía en determinar el
flujo térmico incidente a partir de medidas de temperaturas efectuadas en el interior del
sólido, es lo que originó el nombre de PITC. Naturalmente, existen muchos tipos de
Problemas Inversos de Transferencia de Calor pero, históricamente, la denominación PITC
ha hecho referencia a ese problema concreto (Masanori M. y Mitsutake Y., 2000). En la
práctica, el problema directo aparece principalmente en aplicaciones de diseño, mientras
que el problema inverso surge en análisis de datos experimentales.
El concepto de un problema inverso bien planteado, originalmente introducido por
Hadamard (Godunov S., 1978), requiere que su solución satisfaga las tres siguientes
condiciones:
1.-La solución debe existir (Existencia).
2.-La solución debe ser única (Unicidad).
Capítulo 2 CONCEPTOS DE TRANSFERENCIA DE CALOR INVERSA
Página 17
3.-La solución debe ser estable bajo pequeños cambios (Estabilidad).
La existencia de una solución para un PITC puede asegurarse mediante razonamiento
físico. Por otro lado, la unicidad de la solución de los problemas inversos puede probarse
matemáticamente para algunos casos especiales. También, el problema inverso es muy
sensible a los errores aleatorios en los datos de entrada medidos, de tal manera que se
requieren métodos especiales para su solución y así satisfacer la condición de estabilidad.
Por otra parte, las principales ventajas y desventajas de los PITC son las siguientes:
*Ventajas:
1.-Son frecuentemente encontrados en muchas situaciones, donde las mediciones directas
de condiciones de frontera o propiedades termofísicas del cuerpo sólido son muy
difíciles de reproducir experimentalmente.
2.-Hacen posible una colaboración más cercana entre los investigadores teóricos y los
experimentales, para obtener la máxima información sobre el problema físico bajo
estudio.
*Desventajas:
1.-Es un problema mal planteado, es decir, puede no tener solución. En caso de que exista
la solución, está podría no ser única ni continua con respecto a los datos de entrada.
2.-No hay un camino inicial suficientemente preciso para comenzar el cálculo. Por lo que se
requiere de un gran número de iteraciones para obtener la convergencia y en algunos
casos la solución nunca converge.
2.2 CLASIFICACIÓ� DE LOS PROBLEMAS I�VERSOS DE
TRA�SFERE�CIA DE CALOR.
Los Problemas Inversos de Transferencia de Calor se pueden clasificar de acuerdo a
las siguientes categorías:
Capítulo 2 CONCEPTOS DE TRANSFERENCIA DE CALOR INVERSA
Página 18
2.2.1 Problemas inversos de acuerdo a la naturaleza de la transferencia de calor.
Los Problemas Inversos de Transferencia de Calor pueden clasificarse de acuerdo con
la naturaleza del proceso de transferencia de calor, como:
1.-Conducción.
2.-Convección (forzada o natural).
3.-Radiación superficial.
4.-Radiación con la participación de algún medio.
5.-Conducción y radiación simultánea.
6.-Conducción y convección simultánea.
7.-Cambio de fase (fundición o solidificación).
Cabe mencionar que esté trabajo de investigación solo se enfoca en la transferencia de
calor por conducción, para la determinación de la conductividad térmica de un material
sólido.
2.2.2 Problemas inversos en estado permanente y en estado transitorio.
A) Estado permanente (estacionario):
Los problemas en estado permanente son los más simples, debido a que su solución
sólo exige conocer la conductividad térmica del medio y no es preciso disponer de un
historial de temperaturas (Zueco J., 2003). Cuando se quiere determinar la conductividad
térmica de un medio en estado permanente, es necesario recurrir a dos métodos: a) El
método directo, donde la conductividad térmica puede ser obtenida directamente aplicando
la ley de Fourier. Normalmente, el error obtenido en la determinación es considerable al
realizarlo experimentalmente, ya que existen pérdidas de calor difíciles de medir, y b) El
método indirecto, que es más complicado, en donde es necesario obtener la solución
inversa de la ecuación de transferencia del calor, asumiendo la existencia de no linealidades
importantes.
B) Estado transitorio:
El Problema Inverso de Transferencia de Calor en estado transitorio se puede dividir a
su vez en dos categorías: aquellos que permiten ser resueltos mediante formulación
agrupada (lumped capacity model), en los cuales la distribución de la temperatura es
Capítulo 2 CONCEPTOS DE TRANSFERENCIA DE CALOR INVERSA
Página 19
prácticamente la misma en todo el medio (Beck J. et al., 1985), y aquellos a los que no se
puede aplicar dicho modelo. En todos los problemas transitorios, el conjunto de las
temperaturas medidas forman parte de los datos de entrada.
2.2.3 Problemas inversos lineales y no lineales.
Otra clasificación estrictamente matemática de los Problemas Inversos de
Transferencia de Calor es la linealidad y no linealidad. Las causas de la no linealidad están
principalmente en las dependencias de las características térmicas del medio con la
temperatura y/o en ciertas condiciones de frontera, aunque existen otras. Las características
térmicas pueden ser función del espacio sin afectar la linealidad del problema. La
linealidad, si existe, es una propiedad importante ya que permite la superposición y
generalmente elimina la necesidad de iterar para buscar la solución. Si el PITC lineal es
tratado como si fuera no lineal, se consume excesivo tiempo de computación.
2.2.4 Condiciones de frontera en los Problemas Inversos de Transferencia de Calor.
Para resolver la ecuación diferencial de transferencia de calor, con el propósito de
determinar la distribución de la temperatura en el medio, se necesita un conjunto de
condiciones iniciales y de frontera. La condición inicial especifica la distribución de la
temperatura del medio en el inicio de la coordenada del tiempo (t=0), solamente es
necesaria la condición inicial cuando los problemas son dependientes del tiempo
(transitorios). Las condiciones de frontera son aquellas que informan del valor de la
temperatura o del flujo de calor en la superficie exterior del medio. Se expresan
matemáticamente mediante ecuaciones diferenciales o algebraicas, cuyos argumentos son
las variables dependientes (temperatura y flujo de calor) (Özisik $., 1977). En los
Problemas Inversos de Transferencia de Calor, es habitual clasificar las condiciones de
frontera de acuerdo a los siguientes tipos:
1.-Especificación de la temperatura (condición de frontera de primera clase). En este caso
se especifica cuál es la temperatura en la superficie límite considerada, que puede estar
en función del espacio, del tiempo o ser constante. Está primera condición de frontera se
expresa como:
0TT fron = (2.1)
Capítulo 2 CONCEPTOS DE TRANSFERENCIA DE CALOR INVERSA
Página 20
Si la temperatura es nula, se dice que la condición de frontera de primera clase es
homogénea.
2.-Especificación del flujo de calor (condición de frontera de segunda clase). Es cuando se
especifica la distribución o el valor del flujo de calor a través de la superficie límite.
Puede ser especificada como una función del tiempo o como un valor constante. Si n es
un vector normal a una superficie A, entonces, esta segunda condición de frontera se
expresa como:
0q
n
T =∂∂− λ
(2.2
si la derivada de la temperatura normal a la superficie limite es cero, se dice que la
condición de frontera de segunda clase es homogénea. Este tipo de condición de
frontera indica un aislamiento térmico o una frontera adiabática, o una condición de
simetría.
3.-Condición de frontera convectiva (condición de frontera de tercera clase). Es cuando
existe una transferencia de calor por convección entre la superficie de un medio solido
(cuya temperatura es Tf ) y un medio fluido (cuya temperatura es T∞). Está tercera
condición de frontera se expresa como:
( )fTTh
n
T −=∂∂− ∞λ (2.3)
donde h es el coeficiente de transferencia de calor o coeficiente de convección. La
temperatura del fluido T∞ puede ser constante, función del espacio y del tiempo. Si la
temperatura del fluido es cero, T∞ = 0, se dice que la condición de frontera de tercera
clase es homogénea. Por otro lado si h tiende a infinito, la condición de frontera de
tercera clase se transforma en una condición de frontera de primera clase.
2.3 MÉTODOS PARA RESOLVER LOS PROBLEMAS I�VERSOS
DE TRA�SFERE�CIA DE CALOR.
A continuación, se presentan varios métodos usados para la solución de los PITC.
Tales métodos requieren generalmente de la solución del problema directo asociado.
Capítulo 2 CONCEPTOS DE TRANSFERENCIA DE CALOR INVERSA
Página 21
Entonces, los métodos pueden ser clasificados (Özisik $. y Orlande H., 2000) en los
siguientes grupos:
1.-El método de ecuación integral.
2.-Los métodos de trasformada integral.
3.-El método de solución en series.
4.-El método polinomial.
5.-La transformación de la ecuación de conducción de calor en una ecuación hiperbólica.
6.-Los métodos numéricos tales como diferencias finitas, elemento finito y volumen finito.
7.-Los métodos de filtrado iterativo.
8.-Los métodos de estado permanente.
9.-El método secuencial de Beck de especificación de función.
10.-El método de Levenberg-Marquardt para la minimización de la norma de mínimos
cuadrados.
11.-El método de regularización de Tikhonov.
12.-Los métodos iterativos de regularización para estimación de parámetros y de funciones.
13.-Los algoritmos genéticos.
Como resultado de estos nuevos métodos de solución y la disponibilidad de
computadoras de gran capacidad y alta velocidad, se han hecho factibles las soluciones
exitosas de los PITC. Las pasadas tres décadas han sido las más activas en el avance de los
métodos de solución para los PITC.
2.4 APLICACIO�ES PRÁCTICAS DE LOS PROBLEMAS
I�VERSOS DE TRA�SFERE�CIA DE CALOR.
Los Problemas Inversos de Transferencia de Calor se encuentran en varias ramas de la
ciencia e ingeniería. La ingeniería mecánica, química y espacial, las matemáticas, la
astrofísica, la geofísica, la estadística y especialistas de muchas otras disciplinas están
interesados en los problemas inversos, cada quién con diferentes aplicaciones en mente. Por
lo tanto, la necesidad de desarrollar métodos fiables para la solución de los problemas
Capítulo 2 CONCEPTOS DE TRANSFERENCIA DE CALOR INVERSA
Página 22
inversos debe ser inducido y estimulado a través de la práctica. Las aplicaciones prácticas
de los PITC incluyen, entre otras, las siguientes áreas específicas (Özisik $. y Orlande H.,
2000):
1.-Determinación de las propiedades termofísicas de los materiales.
2.-Determinación de las propiedades de radiación y las condiciones de frontera en
materiales semitransparentes, absorbentes, emisores y dispersores.
3.-Control del movimiento de la interface sólido-líquido durante la solidificación.
4.-Determinación de la condición interna y del flujo de calor en la frontera, por convección
forzada en el interior de ductos.
5.-Determinación de la variación con respecto al tiempo de la conductancia de interface
desconocida, entre la solidificación del metal y la fundición del metal durante el vaciado.
6.-Determinación de la conductancia de interface entre superficies periódicas en contacto.
7.-Propiedades de radiación de superficies reflejantes de calentadores y paneles
criogénicos.
8.-Determinación de la liberación de calor durante la fricción de dos sólidos.
9.-Control y optimización del proceso de vulcanización del caucho.
10.-Determinación de las formas de frontera de cuerpos.
La determinación de tales cantidades con los métodos convencionales es un asunto
difícil sino es que imposible. Sin embargo, con la aplicación del análisis inverso de
transferencia de calor, no sólo se pueden manejar tales problemas sino que se mejora el
valor informativo de los estudios y se acelera el trabajo experimental.
2.5 DEFI�ICIÓ� Y �ATURALEZA DE LA CO�DUCTIVIDAD
TÉRMICA.
A continuación, se presenta la definición de la conductividad térmica y posteriormente
se muestra una figura donde se observa la escala de la conductividad térmica para diversos
estados de la materia. Por último, se mencionan los factores generales de la naturaleza de la
conductividad térmica.
Capítulo 2
2.5.1 Definición de la conductividad
La conductividad térmica de un material se define
de calor que pasa en la unidad de tiempo,
de un m de espesor, cuando entre las dos caras de la misma existe una
temperaturas de un ºC. Puede entenderse como
material para conducir calor mediante el fenóm
física, atómica y molecular de la materia, y se relaciona con el estado que guarda la
materia. El valor de la conductividad tér
bajo en algunos materiales especiales como la
térmico. En la Figura 2.1 se presenta la escala de
estados de la materia (Incropera F
una sustancia, es por eso, que es nula en el
ha practicado un vacío bajo.
Figura 2.1.-
La conductividad térmica (
siguiente expresión:
CONCEPTOS DE TRANSFERENCIA DE CALOR INVERSA
Definición de la conductividad térmica.
La conductividad térmica de un material se define (Faires V., 1988
de calor que pasa en la unidad de tiempo, a través de una superficie de un
cuando entre las dos caras de la misma existe una
Puede entenderse como una medida de la habilidad que
para conducir calor mediante el fenómeno de difusión; depende de la estructura
física, atómica y molecular de la materia, y se relaciona con el estado que guarda la
materia. El valor de la conductividad térmica es relativamente alto en los
bajo en algunos materiales especiales como la fibra de vidrio, que se considera un
igura 2.1 se presenta la escala de la conductividad térmica para diversos
Incropera F., 2002). Para que exista conducción térmica hace falta
una sustancia, es por eso, que es nula en el vacío ideal y muy baja en ambientes donde se
ha practicado un vacío bajo.
-Escala de la conductividad térmica para diversos estados
de la materia a temperatura y presión normales.
La conductividad térmica (λ) se determina de acuerdo a la ley de Fourier con la
λ (W/m°C)
NSFERENCIA DE CALOR INVERSA
Página 23
, 1988) como: la cantidad
a través de una superficie de un m2 en una pared
cuando entre las dos caras de la misma existe una diferencia de
una medida de la habilidad que tiene un
depende de la estructura
física, atómica y molecular de la materia, y se relaciona con el estado que guarda la
mica es relativamente alto en los metales y muy
e considera un aislante
conductividad térmica para diversos
Para que exista conducción térmica hace falta
ideal y muy baja en ambientes donde se
Escala de la conductividad térmica para diversos estados
la ley de Fourier con la
Capítulo 2 CONCEPTOS DE TRANSFERENCIA DE CALOR INVERSA
Página 24
dxdT
q
/
"−=λ (2.4)
donde "q es el flujo de calor que pasa a través del material y dT/dx es el gradiente de
temperatura a lo largo del material.
2.5.2 �aturaleza de la conductividad térmica.
Los factores generales acerca de la naturaleza de la conductividad térmica con las
propiedades de varios materiales son:
1.-Los materiales en forma cristalina, metálicos o no metálicos, conducen mejor el calor
que los materiales en su forma amorfa.
2.-En cristales y otros materiales de estructura orientada, por ejemplo un material fibroso
parecido a la madera, la conductividad térmica tiene diferentes valores relativos a los
ejes estructurales del material, tales que hay ejes principales para la conductividad
térmica.
3.-Las impurezas químicas en substancias cristalinas dan como resultado bajas
conductividades térmicas comparadas con los estados puros. Los metales puros tienen
mucho más alta conductividad térmica que sus respectivas mezclas.
4.-Pequeñas diferencias estructurales en cristales relacionados con su crecimiento promedio
influencia su conductividad térmica. Por esta razón, la naturaleza cristalina tiene la más
alta conductividad que la variedad sintética.
5.-El deterioro mecánico, tal como el trabajo de enfriamiento y el deterioro por irradiación
nuclear, causan cambios en la conductividad térmica del material.
6.-Por lo general, los metales son mejores conductores del calor que los no metales.
7.-La fase sólida de los materiales tiene la más alta conductividad que su respectiva fase
líquida.
8.-La fase líquida muestra más alta conductividad que la fase gaseosa.
Estos factores demuestran que las propiedades de transporte y la conductividad
térmica, son función de las propiedades fisicoquímicas de los materiales y que los
fenómenos que se asocian con la conductividad térmica, pueden ser explicados en términos
del conocimiento de la naturaleza del calor y de la estructura del material.
Capítulo 3 MODELOS FÍSICOS Y MATEMÁTICOS
Página 25
CAPÍTULOCAPÍTULOCAPÍTULOCAPÍTULO 3333
En este Capítulo los modelos matemáticos que a continuación se presentan, toman en
cuenta el modelo físico que le corresponde y las consideraciones establecidas de acuerdo al
problema directo e inverso a resolver. Cabe mencionar que los modelos físicos están sujetos
a condiciones de frontera de primera o segunda clase (temperaturas o flujos de calor) y los
modelos matemáticos son unidimensionales y bidimensionales, ambos en coordenadas
cartesianas y cilíndricas.
MODELOS FÍSICOS MODELOS FÍSICOS MODELOS FÍSICOS MODELOS FÍSICOS
Y Y Y Y
MATEMÁTICOSMATEMÁTICOSMATEMÁTICOSMATEMÁTICOS
Capítulo 3 MODELOS FÍSICOS Y MATEMÁTICOS
Página 26
Para efectuar el análisis de un sistema, se necesita un modelo físico y matemático que
lo represente. El modelo físico es la construcción geométrica del sistema de estudio con el
propósito de comprender detalladamente el comportamiento de dicho sistema, o parte de
ella, bajo ciertas circunstancias establecidas. Mientras que el modelo matemático equivale
a una ecuación matemática o un conjunto de ellas, con base a las cuales se puede conocer el
comportamiento del sistema. Además, el modelo matemático que se desarrolla a partir de
un sistema no es único, debido a lo cual se pueden lograr representaciones diferentes del
mismo proceso. Estas diferentes representaciones no contradicen una a la otra. Ambas
contienen información complementaria, por lo que se debe encontrar aquella que
proporcione la información de interés para cada problema en particular.
3.1 MODELOS FÍSICOS Y MATEMÁTICOS DEL SISTEMA
COORDE�ADO CARTESIA�O.
A continuación, se presentan los modelos físicos y matemáticos del sistema
coordenado cartesiano.
3.1.1 Modelos físicos.
Para determinar la conductividad térmica en el sistema coordenado cartesiano, se
considera una placa sólida de longitud Lx y altura Ly. La Figura 3.1 representa el sistema
en consideración. La distribución de la temperatura es prescrita en todo el dominio del
medio sólido cuando t=0 s. Para tiempos t ˃ 0, las fronteras están sujetas a un conjunto de
temperaturas o flujos de calor (como se muestra en la Figura 3.1), para transmitir la energía
hacia el interior del medio sólido por medio del fenómeno de conducción.
Capítulo 3 MODELOS FÍSICOS Y MATEMÁTICOS
Página 27
Figura 3.1.- Modelo físico del sistema coordenado cartesiano.
*Consideraciones del sistema coordenado cartesiano.
Como se observó, el modelo físico de la Figura 3.1 representa una placa sólida en
coordenadas bidimensionales (x, y,), en la cual se determina la distribución de la
conductividad térmica. Sin embargo, también se desea conocer la distribución de la
conductividad térmica en el sistema coordenado unidimensional (x). Prácticamente, el
modelo físico del medio unidimensional es semejante a la Figura 3.1, la diferencia radica en
que se desprecia el eje coordenado y. Entonces, las consideraciones que se mencionan en
los siguientes párrafos, se toman en cuenta en el sistema coordenado cartesiano
unidimensional y bidimensional. Estas son:
1.-Solo existe el fenómeno de transferencia de calor por difusión.
2.-Problemas finitos.
3.-Medios homogéneos y no homogéneos.
4.-No existe generación de calor.
5.-Estado transitorio.
Longitud
qW
qE
( ) ?,, =tyxλ A
ltur
a
y
T q
TE TW
TS qS
x
x=0 x=Lx
y=0
y=Ly
O
Capítulo 3 MODELOS FÍSICOS Y MATEMÁTICOS
Página 28
6.-El perfil o la distribución de la temperatura en el medio, la cual se utiliza como dato de
entrada en el método inverso, se calcula numéricamente o analíticamente.
7.-Condiciones de frontera de primera o segunda clase, es decir, temperaturas o flujos de
calor en las fronteras.
De todas estas consideraciones, se aclara nuevamente que se conoce la distribución de
la temperatura en el medio porque se calculó de forma analítica o numérica, esto evita el
montaje experimental (por razones de tiempo y costo). Cuando no esté disponible la
solución analítica de la distribución de la temperatura, es necesario resolver el Problema
Directo de Transferencia de Calor para obtener la solución numérica de la distribución de la
temperatura y así resolver el problema inverso.
La idea anterior (de resolver el problema directo) implica conocer a priori la solución
del problema inverso. Efectivamente, se trata de resolver un problema inverso cuya
solución exacta se conoce a priori; esto permite conocer el error relativo de la solución
obtenida con respecto a la solución exacta y así comprobar la capacidad de la solución
obtenida. Esta manera de proceder es común en la literatura científica para verificar la
capacidad de los diferentes métodos numéricos que presentan diferentes autores.
3.1.2 Modelos matemáticos.
La ecuación general de convección-difusión de calor en coordenadas cartesianas, es la
siguiente:
( ) ( ) ( ) ( ) gz
T
zy
T
yx
T
xT
zT
yT
xCpT
t+
∂∂
∂∂+
∂∂
∂∂+
∂∂
∂∂=
∂∂+
∂∂+
∂∂+
∂∂ λλλρωρνρυρ
(3.1) donde: ρ = densidad.
Cp =calor especifico. T = variable dependiente general (temperatura). λ = conductividad térmica del material.
ωνυ ,, = componentes de velocidad en las direcciones x, y y z, respectivamente.
TERMI O
TEMPORAL
TERMI OS
CO VECTIVOS
TERMI OS
DIFUSIVOS
TERMI O
FUE TE
Capítulo 3 MODELOS FÍSICOS Y MATEMÁTICOS
Página 29
t = tiempo. zyx ,, = ejes coordenados.
g = término fuente.
A continuación, se establecen los modelos matemáticos cartesianos a partir de la
ecuación general de convección-difusión de calor en coordenadas cartesianas.
3.1.2.1 Sistema unidimensional (x).
A) Problema directo:
Si las condiciones iniciales y de frontera de la temperatura son conocidas o dadas, así
como también las propiedades termofísicas del material, la generación de calor y la
geometría del medio; se tiene en frente un problema directo cuyo objetivo principal es
determinar la distribución de la temperatura en el interior del medio sólido.
De acuerdo a las consideraciones antes mencionadas, el problema directo
unidimensional es de difusión de calor, en estado transitorio y sin generación de calor.
Entonces, los términos convectivos y la difusión en la dirección y y z de la Ecuación (3.1)
son nulos. Por lo tanto, el modelo matemático para el problema directo unidimensional en
coordenadas cartesianas es el siguiente:
( )
∂∂
∂∂=
∂∂
x
T
xCpT
tλρ (3.2)
sujeto a: 0 < x < Lx, t ˃ 0
condición inicial: T(x, 0)= fm(x), 0 ≤ x ≤ Lx
B) Problema inverso:
Cuando la distribución de la temperatura en el interior del medio sólido se conoce, así
como también la generación de calor, las condiciones iniciales y de frontera de la
temperatura, y la geometría del medio sólido; se tiene en frente un problema inverso cuyo
objetivo principal es determinar las propiedades termofísicas del medio sólido. De tal
forma, esté estudio particular se enfoca en determinar la conductividad térmica en cualquier
punto del medio sólido, dando como conocidas las otras propiedades termofísicas.
Capítulo 3 MODELOS FÍSICOS Y MATEMÁTICOS
Página 30
En el problema inverso, la ecuación general de convección-difusión de calor es la
misma que en el problema directo. Por lo tanto, bajo las consideraciones antes
mencionadas, el modelo matemático para el problema inverso unidimensional en
coordenadas cartesianas es el siguiente:
( )
∂∂
∂∂=
∂∂
x
T
xCpT
tλρ (3.3)
sujeto a: 0 ≤ x ≤ Lx, t ˃ 0
condición inicial: λ(x, 0)= fn(x), 0 ≤ x ≤ Lx
Por observación se concluye, que el modelo matemático para el problema directo e
inverso es el mismo. La diferencia radica en la variable que se determina en el modelo
matemático de acuerdo al problema que se resuelve.
3.1.2.2 Sistema bidimensional (x, y).
Para el sistema bidimensional, se toman las mismas consideraciones que en el sistema
unidimensional y además, se considera el término difusivo en la dirección y de la Ecuación
(3.1). Entonces, el modelo matemático para el problema directo e inverso bidimensional en
coordenadas cartesianas, es el siguiente:
( )
∂∂
∂∂+
∂∂
∂∂=
∂∂
y
T
yx
T
xCpT
tλλρ (3.4)
A) Problema directo:
sujeto a: 0 < x < Lx, 0 < y < Ly, t ˃ 0
condición inicial: T(x, y, 0)= fm(x, y), 0 ≤ x ≤ Lx, 0 ≤ y ≤ Ly
B) Problema inverso:
sujeto a: 0 ≤ x ≤ Lx, 0 ≤ y ≤ Ly, t ˃ 0
condición inicial: λ(x, y, 0)= fn(x, y), 0 ≤ x ≤ Lx, 0 ≤ y ≤ Ly
3.1.2.3 Sistema compuesto (x, y).
Es importante mencionar que los materiales compuestos son aquellos que se forman
por la unión de dos o más materiales para conseguir la combinación de propiedades que no
Capítulo 3 MODELOS FÍSICOS Y MATEMÁTICOS
Página 31
son posibles de obtener en los materiales originales (Özisik �., 1977). Las consideraciones
para el sistema compuesto, son las mismas que se mencionaron para el sistema
bidimensional. Por lo tanto, el modelo matemático para el problema directo e inverso
compuesto en coordenadas cartesianas es:
( )
∂∂
∂∂+
∂∂
∂∂=
∂∂
y
T
yx
T
xCpT
tλλρ (3.5)
Sin embargo, al momento de resolver el problema directo compuesto hay que tener
cuidado con la ubicación de las propiedades termofísicas de los materiales, ya que cambian
a una cierta longitud o altura del medio sólido. Mientras que en el problema inverso
compuesto, la diferencia se encuentra en la forma en que se trata la conductividad térmica
en la interface entre los materiales del medio sólido (lo anterior se explica con detalle en el
siguiente Capítulo).
3.2 MODELOS FÍSICOS Y MATEMÁTICOS DEL SISTEMA
COORDE�ADO CIL�DRICO.
A continuación, se presentan los modelos físicos y matemáticos del sistema
coordenado cilíndrico.
3.2.1 Modelos físicos.
La Figura 3.2 representa un cilindro sólido o macizo de radio Lr y altura Lz, en el cual
se desea determinar la distribución de la conductividad térmica. Cuando el tiempo es t=0 s,
la distribución de la temperatura es prescrita en todo el dominio del medio sólido. Para
tiempos t ˃ 0, las fronteras están sujetas a un conjunto de temperaturas o flujos de calor
(como se muestra en la Figura 3.2), para transmitir la energía hacia el interior del medio
sólido por medio del fenómeno de conducción.
Capítulo 3 MODELOS FÍSICOS Y MATEMÁTICOS
Página 32
Figura 3.2.- Modelo físico del sistema coordenado cilíndrico.
*Consideraciones del sistema coordenado cilíndrico.
Además de determinar la distribución de la conductividad térmica en el sistema
cilíndrico bidimensional (r, z), ver Figura 3.2, también se desea determinar la distribución
de la conductividad térmica en el sistema cilíndrico unidimensional (r). Entonces, las
consideraciones que se toman en cuenta en el sistema coordenado cilíndrico
unidimensional y bidimensional son:
1.-Solo existe el fenómeno de transferencia de calor por difusión.
2.-Problemas finitos.
3.-Simetría en el origen.
4.-Medios homogéneos y no homogéneos.
5.-No existe generación de calor.
6.-Estado transitorio.
7.-El perfil o la distribución de la temperatura en el medio, la cual se utiliza como dato de
entrada en el método inverso, se calcula numéricamente o analíticamente.
8.-Condiciones de frontera de primera o segunda clase, es decir, temperaturas o flujos de
calor en las fronteras.
r
z
Alt
ura
TE
qE
z=Lz
z=0
q T
TS qS
( ) ?,, =tzrλ
Radio r=Lr
O
Capítulo 3 MODELOS FÍSICOS Y MATEMÁTICOS
Página 33
3.2.2 Modelos matemáticos.
La ecuación general de convección-difusión de calor en coordenadas cilíndricas, es la
siguiente:
( ) ( ) ( ) ( ) gz
T
z
T
rrr
Tr
rrT
zT
rTr
rrCpT
t+
∂∂
∂∂+
∂∂
∂∂+
∂∂
∂∂=
∂∂+
∂∂+
∂∂+
∂∂ λ
θλ
θλρωρν
θυρρ 1111
(3.6) donde: ρ = densidad.
Cp =calor especifico. T = variable dependiente general (temperatura). λ = conductividad térmica del material.
ωνυ ,, = componentes de velocidad en las direcciones r, θ y z, respectivamente. t = tiempo.
zr ,,θ = ejes coordenados.
g = término fuente.
A continuación, se establecen los modelos matemáticos cilíndricos a partir de la
ecuación general de convección-difusión de calor en coordenadas cilíndricas.
3.2.2.1 Sistema unidimensional (r).
De acuerdo a las consideraciones antes mencionadas, el problema directo e inverso
unidimensional es de difusión de calor, en estado transitorio y sin generación de calor; los
términos convectivos y la difusión en la dirección θ y z de la Ecuación (3.6) son nulos. Por
lo tanto, el modelo matemático para el problema directo e inverso unidimensional en
coordenadas cilíndricas es el siguiente:
( )
∂∂
∂∂=
∂∂
r
Tr
rrCpT
tλρ 1
(3.7)
A) Problema directo:
sujeto a: 0 < r < Lr, t ˃ 0
condición inicial: T(r, 0)= fm(r), 0 ≤ r ≤ Lr
TERMI O
TEMPORAL
TERMI OS
CO VECTIVOS
TERMI OS
DIFUSIVOS
TERMI O
FUE TE
Capítulo 3 MODELOS FÍSICOS Y MATEMÁTICOS
Página 34
B) Problema inverso:
sujeto a: 0 ≤ r ≤ Lr, t ˃ 0
condición inicial: λ(r, 0)= fn(r), 0 ≤ r ≤ Lr
�ota: Hay que tener en cuenta que el sistema unidimensional cilíndrico sólido, sólo
está sujeto a un conjunto de temperaturas o flujos de calor en r=Lr, porque en el origen (O)
se tiene una temperatura finita. Sin embargo, como el cilindro sólido se considera simétrico
en el origen, se recomienda utilizar una condición de frontera aislada o adiabática en el
origen (Özisik �., 1977). Esta misma condición se puede aplicar en el sistema
bidimensional cilíndrico sólido.
3.2.2.2 Sistema bidimensional (r, z).
Tomando en cuenta las consideraciones para el sistema cilíndrico bidimensional y
utilizando el término difusivo en la dirección z de la Ecuación (3.6), se establece que el
modelo matemático para el problema directo e inverso bidimensional en coordenadas
cilíndricas es el siguiente:
( )
∂∂
∂∂+
∂∂
∂∂=
∂∂
z
T
zr
Tr
rrCpT
tλλρ 1
(3.8)
A) Problema directo:
sujeto a: 0 < r < Lr, 0 < z < Lz, t ˃ 0
condición inicial: T(r, z, 0)= fm(r, z), 0 < r ≤ Lr, 0 ≤ z ≤ Lz
B) Problema inverso:
sujeto a: 0 < r ≤ Lr, 0 ≤ z ≤ Lz, t ˃ 0
condición inicial: λ(r, z, 0)= fn(r, z), 0 < r ≤ Lr, 0 ≤ z ≤ Lz
3.2.2.3 Sistema compuesto (r, z).
El modelo matemático para el problema directo e inverso compuesto en coordenadas
cilíndricas, es el mismo que se aprecia en la Ecuación (3.8), es decir:
( )
∂∂
∂∂+
∂∂
∂∂=
∂∂
z
T
zr
Tr
rrCpT
tλλρ 1
(3.9)
Capítulo 4 METODOLOGÍA DE SOLUCIÓN
Página 35
CAPÍTULOCAPÍTULOCAPÍTULOCAPÍTULO 4444
En este Capítulo se describe la metodología para resolver los modelos matemáticos de
los problemas directos e inversos de transferencia de calor que se presentaron en el
Capitulo anterior. En los últimos apartados de este Capítulo, se menciona el criterio de
convergencia y el diagrama de flujo de los algoritmos numéricos desarrollados para
determinar la conductividad térmica de un medio sólido.
METODOLOGÍA DE METODOLOGÍA DE METODOLOGÍA DE METODOLOGÍA DE
SOLUCIÓNSOLUCIÓNSOLUCIÓNSOLUCIÓN
Capítulo 4 METODOLOGÍA DE SOLUCIÓN
Página 36
Como recordatorio, en los capítulos anteriores se mencionó los diferentes métodos que
existen hoy en día para la solución de los Problemas Inversos de Transferencia de Calor
(PITC) y además, se justificó el método inverso que se utiliza para la solución del PITC, es
decir, este trabajo de tesis se enfoca en la técnica inversa de los métodos numéricos para la
determinación de la conductividad térmica en un medio sólido. A continuación, se explica
la técnica numérica elegida.
4.1 MÉTODOS �UMÉRICOS.
Infinidad de problemas que involucran flujos de fluidos, transferencia de calor y de
masa o algún otro fenómeno de transporte, se reducen a la solución de ecuaciones
diferenciales parciales llamados modelos matemáticos. Estas ecuaciones diferenciales
parciales que gobiernan los procesos físicos reales son generalmente de naturaleza
compleja, y su solución sólo es posible para casos simples. Para ello, la aplicación de los
métodos numéricos (los cuales se sirven de una serie de valores aproximados para la
solución deseada) normalmente permiten obtener resultados de aplicación más general. Se
requiere invariablemente de la formulación de hipótesis simplificadoras: lo que se estudia
no es el sistema físico real sino un modelo matemático de él, que puede o no representar
apropiadamente al sistema. Para el empleo de los métodos numéricos solamente se necesita
disponer de una computadora, lo cual generalmente es posible hoy en día en la mayor parte
de los centros de estudio o de trabajo. Por lo tanto, este método es eficiente, menos costoso
si se compara, por ejemplo, con el método experimental, puede resolver problemas
complejos y los resultados se pueden obtener en un periodo de tiempo corto.
Por todo lo anterior, los métodos numéricos se han convertido en una alternativa
interesante para la solución de estos tipos de problemas. Los métodos numéricos más
comunes para resolver las ecuaciones de conservación de masa, momento y energía, son
tres: el Método de Diferencias Finitas (MDF), el Método de Volumen Finito (MVF) y el
Método de Elemento Finito (MEF). La principal diferencia entre las tres técnicas está
asociada con la manera en la cual las variables de flujo son aproximadas y con el proceso
Capítulo 4 METODOLOGÍA DE SOLUCIÓN
Página 37
de discretización. Cada método tiene sus desventajas dependiendo de la naturaleza del
problema físico a ser resuelto, pero no hay un mejor método para todos los problemas. En
breve se menciona que el MDF puede ser aplicado a cualquier tipo de malla. Sin embargo,
el método se complica cuando se aplica a mallas no regulares. Las líneas de la malla se
utilizan como las líneas coordenadas. La desventaja del MDF es que es no-conservativo,
esto es, la conservación de masa no se cumple a menos que se tenga especial cuidado para
ello. La exactitud del MDF puede ser examinado por el orden de truncamiento en la
expansión de las series de Taylor. Con respecto al MVF se menciona que puede ser
acomodado para cualquier tipo de malla y por lo tanto, puede ser aplicado a geometrías
complejas. El método es conservativo (las propiedades relevantes cumplen con
conservación para cada volumen), así que las integrales de superficie son las mismas para
las interfaces (fronteras) de los volúmenes de control adyacentes. La desventaja del MVF
comparado con el MDF, es cuándo se utiliza esquemas de alto orden, ya que el MVF es
más difícil de desarrollar en 3D (el procedimiento se hace más tedioso). Por último, el
MEF es muy utilizado en geometrías complejas, pero la desventaja del MEF se debe a
que los avances de este método han sido lentos en las aplicaciones de flujos de fluidos y
transferencia de calor, debido a las dificultades encontradas con los fenómenos para acoplar
las ecuaciones de conservación.
Ahora, debido a que los modelos matemáticos que se plantearon en el Capitulo
anterior, son todos conservativos y se relacionan con el proceso de difusión de calor, por
estas razones, se elige el MVF como la técnica numérica para la solución de los modelos
matemáticos. A continuación, se describe en qué consiste este método numérico.
*Método de Volúmenes Finitos (MVF).
Este método fue originalmente desarrollado como una forma especial de la
formulación en diferencias finitas. El punto de inicio de este método es usar la forma
integral de las ecuaciones de conservación. El dominio de estudio es sub-dividido en un
número finito de volúmenes de control (VC) adyacentes y las ecuaciones de conservación
se aplican para cada VC. En el centroide de cada VC recae un nodo computacional en el
cual las variables φ se calculan. Se usa alguna interpolación para expresar los valores de
Capítulo 4 METODOLOGÍA DE SOLUCIÓN
Página 38
las variables en las superficies de los VC en términos de los valores nodales (localizados en
el centro del VC). Las integrales de superficie se aproximan al usar alguna fórmula de
cuadratura disponible. Como resultado se obtiene una ecuación algebraica para cada VC, en
el cual, valores de los nodos vecinos aparecen. La aproximación del MVF es quizá la más
simple de entender y programar, con respecto a las otras técnicas numéricas. Todos los
términos que necesitan ser aproximados tienen significado físico, este es el motivo por el
cual es popular entre los ingenieros.
La metodología numérica del MVF se resume en los siguientes pasos (Patankar S.,
1980):
1.-Definir y generar una malla numérica, la cual representa el dominio de cálculo en que se
desea conocer el valor de las variables dependientes.
2.-Integración de las ecuaciones gobernantes del fenómeno que se estudia, sobre todos los
volúmenes de control del dominio de solución.
3.-Discretización de las ecuaciones integrales para obtener un sistema de ecuaciones
algebraicas.
4.-Solución de las ecuaciones algebraicas por un algoritmo directo o iterativo, según la
complejidad del fenómeno de estudio.
Como el MVF es conservativo, su formulación permite tener resultados un poco más
exactos conforme los volúmenes de control se aproximen al infinito, es decir, al continuo.
4.2 METODOLOGÍA DEL MVF E� LOS MODELOS
MATEMÁTICOS E� COORDE�ADAS CARTESIA�AS.
A continuación, se aplica la metodología del MVF para la solución de los modelos
matemáticos directos e inversos, en el sistema bidimensional cartesiano. Cabe mencionar
que no se presenta la aplicación del MVF para la solución de los modelos matemáticos
unidimensionales, porque a partir de la solución de los modelos matemáticos
bidimensionales se puede obtener la solución de los modelos unidimensionales. Lo anterior
Capítulo 4 METODOLOGÍA DE SOLUCIÓN
Página 39
se logra al despreciar, del modelo matemático bidimensional, el término difusivo del
segundo eje coordenado, es decir, el eje coordenado y.
4.2.1 Sistema bidimensional (x, y).
*Paso 1: Dominio computacional.
El dominio computacional del esquema centrado para el sistema bidimensional
cartesiano, es el siguiente:
Figura 4.1.-Dominio computacional del esquema centrado bidimensional cartesiano.
En la Figura 4.1 el nodo P tiene como vecinos en el plano horizontal a los nodos W
(en la dirección –x) y E (en la dirección +x) que se encuentran a una distancia δxPW y
δxEP respectivamente. En el plano vertical sus nodos vecinos son S (en la dirección –y) y
� (en la dirección +y) que se encuentran a una distancia δyPS y δy�P respectivamente.
∆x
�
n
S
E W
s
e w P
∆y
δy�P
δyPS
δxPW δxEP
x
y
Ly
Lx
O
Capítulo 4 METODOLOGÍA DE SOLUCIÓN
Página 40
Entre los nodos P y W se encuentra el limite izquierdo del volumen de control denotado
por la letra w, lo mismo sucede entre los nodos P y E donde el límite derecho es llamado e.
De manera análoga, el límite superior del volumen de control es n que se encuentra entre
los nodos P y �; y el límite inferior s que se encuentra entre los nodos P y S. Por lo tanto,
la distancia que existe entre los límites horizontales del volumen de control, representa el
incremento en el plano x que se simboliza con ∆x, y de manera análoga el incremento en
el plano y con ∆y. Entonces:
( ) ( )22 −=∆
−=∆
�y
Lyy
�x
Lxx
(4.1)
donde: Lx= longitud del cuerpo solido.
Ly = altura del cuerpo solido.
�x =números de nodos en el plano x.
�y =números de nodos en el plano y.
*Paso 2: Integración de la ecuación gobernante sobre los volúmenes de control del
dominio de solución.
Al integrar la Ecuación (3.4) sobre el volumen de control de la Figura 4.1 y sobre el
intervalo de tiempo de t a t+#t, resulta lo siguiente:
( ) dtdxdy
y
T
ydtdxdy
x
T
xdtdxdyCpT
t
tt
t
e
w
n
s
tt
t
e
w
n
s
tt
t
e
w
n
s
∂∂
∂∂+
∂∂
∂∂=
∂∂
∫ ∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∆+∆+∆+
λλρ
(4.2)
*Paso 3: Discretización del modelo matemático.
La discretización consiste en convertir las ecuaciones integrales en un sistema de
ecuaciones algebraicas. En la discretización del modelo matemático bidimensional
cartesiano, que a continuación se presenta, sólo se muestran las expresiones finales de cada
término del modelo matemático, tanto en el problema directo como en el inverso.
4.2.1.1 Problema directo.
A) $odos internos.
De la Ecuación (4.2) resulta:
Capítulo 4 METODOLOGÍA DE SOLUCIÓN
Página 41
( ) dxdt
y
Tdydt
x
TdxdydTCp
n
s
e
w
tt
t
e
w
n
s
tt
t
tt
t
e
w
n
s
∂∂+
∂∂= ∫∫∫∫∫ ∫∫
∆+∆+∆+
λλρ (4.3)
**Resolviendo la parte A de la Ecuación (4.3), se obtiene lo siguiente:
( ) ( )0
P
n
P
tt
t
e
w
n
s
TTyxCpdxdydTCp −∆∆=∫ ∫∫∆+
ρρ
(4.4)
**Resolviendo la parte B de la Ecuación (4.3), se obtiene lo siguiente:
tyx
TT
x
TTdydt
x
T
PW
n
W
n
Pn
w
EP
n
P
n
En
e
e
w
n
s
tt
t
∆∆
−−
−=
∂∂
∫∫∆+
δλ
δλλ
(4.5)
**Resolviendo la parte C de la Ecuación (4.3), se obtiene lo siguiente:
txy
TT
y
TTdxdt
y
T
PS
n
S
n
Pn
s
�P
n
P
n
�n
n
n
s
e
w
tt
t
∆∆
−−
−=
∂∂
∫∫∆+
δλ
δλλ
(4.6)
sustituyendo las ecuaciones (4.4)-(4.6) en la Ecuación (4.3) y agrupando términos
semejantes, se obtiene lo siguiente:
0P
n
S
PS
n
sn
�
�P
n
nn
W
PW
n
wn
E
EP
n
en
P
PS
n
s
�P
n
n
PW
n
w
EP
n
e Tt
yxCpT
y
xT
y
xT
x
yT
x
yT
t
yxCp
y
x
y
x
x
y
x
y
∆∆∆+
∆+
∆+
∆+
∆=
∆∆∆+∆+∆+∆+∆ ρ
δλ
δλ
δλ
δλρ
δλ
δλ
δλ
δλ
(4.7)
donde:
∆=EP
n
eE
x
ya
δλ
∆=PW
n
wW
x
ya
δλ
(4.8a)
∆=�P
n
n�
y
xa
δλ
∆=PS
n
sS
y
xa
δλ
(4.8b)
∆∆∆=
t
yxCpaP
ρ0
( )0
PS�WEP aaaaaa ++++= ( )00PP aTb = (4.8c)
por lo tanto, la Ecuación (4.7) se puede expresar como:
bTaTaTaTaTan
SS
n
��
n
WW
n
EE
n
PP ++++= (4.9)
A B C
Capítulo 4 METODOLOGÍA DE SOLUCIÓN
Página 42
sujeto a: 1 < i < $x-1, 1 < j < $y-1 para t ˃ 0
La Ecuación (4.9) es la ecuación generativa del sistema de ecuaciones algebraicas en
notación de los coeficientes agrupados para los nodos internos del problema directo
cartesiano.
*Conductividad térmica en la interface de los materiales simples.
En las ecuaciones (4.8a y b), las conductividades térmicas eλ , wλ , nλ y sλ se utilizan
para representar los valores de la conductividad térmica λ que le corresponden a las caras
e, w, n y s (respectivamente) del volumen de control que se muestra en la Figura 4.1. Por
lo tanto, se necesita expresiones matemáticas que estén en términos de estos puntos
nodales, para evaluar las conductividades térmicas en las interfaces.
El procedimiento más sencillo para obtener el valor de la conductividad térmica eλ en
la interface, es asumir una variación lineal de eλ entre los puntos P y E, es decir:
( ) EePee ff λλλ −+= 1
(4.10a)
de manera similar, la conductividad térmica wλ , nλ y sλ en la interface es:
( ) ,1 WwPww ff λλλ −+=
( ) ,1 �nPnn ff λλλ −+= ( ) SsPss ff λλλ −+= 1 (4.10b)
donde los factores de interpolación ef , wf , nf y sf son relaciones definidas en términos
de las distancias nodales. Si la interface e se sitúa en medio de los puntos P y E, el valor del
factor ef es de 0.5, de manera similar, el valor del factor wf , nf y sf es de 0.5. Entonces,
las ecuaciones (4.10) se pueden expresar como:
,
2EP
e
λλλ +=
,
2WP
w
λλλ +=
,
2�P
n
λλλ +=
2SP
s
λλλ +=
(4.11)
las ecuaciones (4.11) se conocen como las medias aritméticas de las conductividades
térmicas en las interfaces (Patankar S., 1980). Entonces, las ecuaciones (4.8a y b) se
pueden expresar como:
Capítulo 4 METODOLOGÍA DE SOLUCIÓN
Página 43
,2
∆
+=
EP
n
E
n
PE
x
ya
δλλ
,2
∆
+=
PW
n
W
n
P
Wx
ya
δλλ
,
2
∆
+=
�P
n
�
n
P
�y
xa
δλλ
∆
+=
PS
n
S
n
P
Sy
xa
δλλ
2
(4.12)
�ota: Se recomienda utilizar las ecuaciones (4.12) solo en mallas uniformes y en
materiales simples (no compuestos).
B) $odos en las fronteras.
La ecuación generativa del sistema de ecuaciones algebraicas en notación de los
coeficientes agrupados para los nodos en las fronteras del problema directo cartesiano es:
bTaTaTaTaTan
SS
n
��
n
WW
n
EE
n
PP ++++= (4.13)
donde:
1.-Cuando se especifica la temperatura en la frontera, los coeficientes son:
en i=1 000001 ====== baaaaa S�WEP
en i=$x-1 000001 ====== baaaaa S�WEP
en j=1 000001 ====== baaaaa S�WEP
en j=$y-1 000001 ====== baaaaa S�WEP (4.14)
2.-Cuando se especifica el flujo de calor en la frontera, los coeficientes son:
en i=1
======
P
EPPS�WEP
xqbaaaaa
λδ
00011
en i=$x-1
======
P
PWP
S�WEP
xqbaaaaa
λδ
00101
en j=1
======
P
�PP
S�WEP
yqbaaaaa
λδ
01001
en j=$y-1
======
P
PSP
S�WEP
yqbaaaaa
λδ
10001
(4.15)
Capítulo 4 METODOLOGÍA DE SOLUCIÓN
Página 44
4.2.1.2 Problema inverso.
A) $odos internos.
De la Ecuación (4.2), resulta:
( ) dxdt
y
Tdydt
x
TdxdydTCp
n
s
tt
t
e
w
e
w
tt
t
n
s
tt
t
e
w
n
s
∂∂+
∂∂= ∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫
∆+∆+∆+
λλρ
(4.16)
**Resolviendo la parte E de la Ecuación (4.16), se obtiene lo siguiente:
( ) ( )0
P
n
P
tt
t
e
w
n
s
TTyxCpdxdydTCp −∆∆=∫ ∫∫∆+
ρρ
(4.17)
**Resolviendo la parte F de la Ecuación (4.16), se obtiene lo siguiente:
tyx
TT
x
TTdydt
x
T
PW
n
P
n
W
n
W
n
P
EP
n
P
n
E
n
E
n
P
e
w
n
s
tt
t
∆∆
−
++
−
+=
∂∂
∫∫∆+
δλλ
δλλλ
22 (4.18)
**Resolviendo la parte G de la Ecuación (4.16), se obtiene lo siguiente:
txy
TT
y
TTdxdt
y
T
PS
n
P
n
S
n
S
n
P
�P
n
P
n
�
n
�
n
P
n
s
e
w
tt
t
∆∆
−
++
−
+=
∂∂
∫∫∆+
δλλ
δλλλ
22
(4.19)
sustituyendo las ecuaciones (4.17)-(4.19) en la Ecuación (4.16) y agrupando términos
semejantes, se obtiene lo siguiente:
( )0
2222
2222
P
n
P
n
S
PS
n
P
n
Sn
�
�P
n
P
n
�n
W
PW
n
P
n
Wn
E
EP
n
P
n
E
n
P
PS
n
P
n
S
�P
n
P
n
�
PW
n
P
n
W
EP
n
P
n
E
TTt
yxCpx
y
TTx
y
TTy
x
TTy
x
TT
xy
TTx
y
TTy
x
TTy
x
TT
−∆
∆∆+
∆
−−
∆
−−
∆
−−
∆
−−
=
∆
−+∆
−+∆
−+∆
−
ρλδ
λδ
λδ
λδ
λδδδδ
(4.20)
donde:
∆
−= y
x
TTa
EP
n
P
n
E
E δ2
∆
−= y
x
TTa
PW
n
P
n
W
W δ2
(4.21a)
∆
−= x
y
TTa
�P
n
P
n
�
� δ2
∆
−= x
y
TTa
PS
n
P
n
S
S δ2
(4.21b)
E F G
Capítulo 4 METODOLOGÍA DE SOLUCIÓN
Página 45
δxPW δxEP TS qS
∆∆∆=
t
yxCpaP
ρ0
( )S�WEP aaaaa +++= ( )[ ]00
PP
n
P aTTb −= (4.21c)
por lo tanto, la Ecuación (4.20) se puede expresar como:
baaaaa n
SS
n
��
n
WW
n
EE
n
PP +−−−−= λλλλλ (4.22)
sujeto a: 1 < i < $x-1, 1 < j < $y-1 para t ˃ 0
La Ecuación (4.22) es la ecuación generativa del sistema de ecuaciones algebraicas en
notación de los coeficientes agrupados para los nodos internos del problema inverso
cartesiano.
B) $odos en las fronteras.
En el capítulo anterior, se mencionó que los problemas directos e inversos están
sujetos a condiciones de frontera de primera o segunda clase (temperaturas o flujos de
calor). La Figura 4.2 muestra los dominios computacionales en las fronteras, cuando están
sujetas a temperaturas o a flujos de calor.
Figura 4.2.-Dominios computacionales en las fronteras bidimensionales cartesianas.
Ex
y
Ly ∆y P
qW
Lx
S
�
E
W EP
S
P
�
P
S
�
W
W
∆xu
∆x
∆yv
δy�P
δyPS
qE
T$
i=1
j=1
j=$y-1
i=$x-1
q$
TE
TW
O
Capítulo 4 METODOLOGÍA DE SOLUCIÓN
Página 46
A continuación, solamente se presenta las expresiones de los coeficientes agrupados
cuando se realiza la discretización de la Ecuación (3.4) en las fronteras Oeste y Sur. Cabe
mencionar que la discretización de la Ecuación (3.4) en las fronteras es semejante al
desarrollado en las ecuaciones (4.16)-(4.22). Entonces, la ecuación generativa del sistema
de ecuaciones algebraicas en notación de los coeficientes agrupados para los nodos en las
fronteras del problema inverso cartesiano es:
baaaaa n
SS
n
��
n
WW
n
EE
n
PP +−−−−= λλλλλ (4.23)
donde:
CASO 1: Condiciones de frontera de primera clase.
1.-Cuando se especifica la temperatura en la Frontera Oeste (lado izquierdo de la Figura
4.2), los coeficientes agrupados son:
∆
−= y
x
TTa
EP
n
P
n
E
E δ2
0=Wa 0=�a 0=Sa (4.24a)
∆∆∆=
t
yxuCpaP
ρ0
∆
+−+= yx
TTTaa
PE
n
EE
n
E
n
PEP δ2
43
( )[ ]00PP
n
P aTTb −= (4.24b)
sujetos a: i=1, 1 < j < $y-1 para t ˃ 0
CASO 2: Condiciones de frontera de segunda clase.
1.-Cuando se especifica el flujo de calor en la Frontera Sur (lado inferior de la Figura 4.2),
los coeficientes agrupados son:
∆
−= yv
x
TTa
PE
n
P
n
E
E δ2
∆
−= yv
x
TTa
PW
n
P
n
W
W δ2
∆
−= x
y
TTa
�P
n
P
n
�
� δ2
0=Sa
(4.25a)
∆∆∆=
t
yvxCpaP
ρ0
( )�WEP aaaa ++= ( )[ ]xqaTTb n
PPP
n
P ∆+−= 00
(4.25b)
sujetos a: 1 ≤ i ≤ $x-1, j=1 para t ˃ 0
Capítulo 4 METODOLOGÍA DE SOLUCIÓN
Página 47
4.2.2 Sistema compuesto (x, y).
El dominio computacional y el procedimiento para discretizar el modelo matemático
de la Ecuación (3.5) del sistema compuesto, es similar al que se presentó en el sistema
bidimensional, ver ecuaciones (4.16)-(4.25). La diferencia se encuentra en la forma en que
se trata la conductividad térmica en la interface entre los materiales del medio sólido. A
continuación, se explica lo anterior.
*Conductividad térmica en la interface de los materiales compuestos.
Se explicó que el procedimiento más sencillo para obtener el valor de la conductividad
térmica en la interface, es asumir una variación lineal. A este conjunto de ecuaciones se le
conoce como la media aritmética de la conductividad térmica en la interface, ecuaciones
(4.11). Sin embargo, este simple enfoque puede ocasionar errores en algunos casos, porque
no es capaz de manejar con precisión el cambio brusco de la conductividad térmica. Este
cambio abrupto se puede apreciar en los materiales compuestos, por lo tanto, se necesita
expresiones matemáticas que puedan sobrellevar este inconveniente.
En el desarrollo de esta alternativa, se considera que existe un flujo de calor en la
interface de dos puntos, por ejemplo en la interface e de los puntos P y E. Este flujo se
representa como:
( )EP
EPe
ex
TTq
δλ −
=
(4.26)
donde : e
Ee
EPf
xx
δδ =
(4.27)
para un medio compuesto, el análisis del flujo de calor en la interface e se representa como:
( )
E
Ee
P
eP
EP
e xx
TTq
λδ
λδ
+
−=
(4.28)
combinando las ecuaciones (4.26)-(4.28), se obtiene lo siguiente:
11
−
+
−=
E
e
P
e
e
ff
λλλ
(4.29)
Capítulo 4 METODOLOGÍA DE SOLUCIÓN
Página 48
si la interface e se sitúa en medio de los puntos P y E, el valor del factor ef es de 0.5. Por
lo tanto, la Ecuación (4.29) se puede expresar como:
( )111 5.0 −−− += EPe λλλ
(4.30a)
o bien:
EP
EP
e λλλλλ
+=
2
(4.30b)
de la misma forma, la conductividad térmica en la interface w, n y s es:
EP
EP
e λλλλλ
+=
2
WP
WP
w λλλλλ
+=
2
�P
�P
n λλλλλ
+=
2
SP
SP
s λλλλλ
+=
2
(4.31)
las ecuaciones (4.31) se conocen como las medias armónicas de las conductividades
térmicas en las interfaces (Patankar S., 1980).
�ota: Se recomienda utilizar las ecuaciones (4.31) solo en mallas uniformes y en
materiales compuestos.
A continuación, los coeficientes agrupados que se presentaron en el problema directo e
inverso del sistema bidimensional, se expresan en términos de las medias armónicas de la
conductividad térmica, ecuaciones (4.31), para obtener las ecuaciones de los coeficientes
agrupados del sistema compuesto.
4.2.2.1 Problema directo.
La Ecuación (4.32) es la ecuación generativa del sistema de ecuaciones algebraicas del
problema directo en el sistema compuesto.
bTaTaTaTaTan
SS
n
��
n
WW
n
EE
n
PP ++++= (4.32)
Donde los coeficientes agrupados son:
A) $odos internos.
∆
+=
EP
n
E
n
P
n
E
n
PE
x
ya
δλλλλ2
∆
+=
PW
n
W
n
P
n
W
n
P
Wx
ya
δλλλλ2
(4.33a)
Capítulo 4 METODOLOGÍA DE SOLUCIÓN
Página 49
∆
+=
�P
n
�
n
P
n
�
n
P
�y
xa
δλλλλ2
∆
+=
PS
n
S
n
P
n
S
n
P
Sy
xa
δλλλλ2
(4.33b)
∆∆∆=
t
yxCpaP
ρ0
( )0
P��WEP aaaaaa ++++= ( )00PP aTb = (4.33c)
sujetos a: 1 < i < $x-1, 1 < j < $y-1 para t ˃ 0
B) $odos en las fronteras.
Los coeficientes agrupados para los nodos en las fronteras del sistema compuesto, son
los mismos que se presentaron en las ecuaciones (4.14) y (4.15).
4.2.2.2 Problema inverso.
La ecuación generativa del sistema de ecuaciones algebraicas del problema inverso en
el sistema compuesto es:
baaaaan
SS
n
��
n
WW
n
EE
n
PP +−−−−= λλλλλ (4.34)
donde los coeficientes agrupados son:
A) $odos internos.
∆
−
++= −− y
x
TTa
EP
n
P
n
E
EPEP
E δλλλλ 112
2
∆
−
++= −− y
x
TTa
PW
n
P
n
W
WPWP
W δλλλλ 112
2
(4.35a)
∆
−
++= −− x
y
TTa
�P
n
P
n
�
�P�P
� δλλλλ 112
2
∆
−
++= −− x
y
TTa
PS
n
P
n
S
SPSP
S δλλλλ 112
2
(4.35b)
∆∆∆=
t
yxCpaP
ρ0
( )S�WEP aaaaa +++= ( )[ ]00
PP
n
P aTTb −= (4.35c)
sujetos a: 1 < i < $x-1, 1 < j < $y-1 para t ˃ 0
B) $odos en las fronteras.
CASO 1: Condiciones de frontera de primera clase.
1.-Cuando se especifica la temperatura en la Frontera Oeste, los coeficientes agrupados son:
Capítulo 4 METODOLOGÍA DE SOLUCIÓN
Página 50
∆
−
++=
−−y
x
TTa
EP
n
P
n
E
EPEP
E δλλλλ 112
2
0=Wa (4.36a)
0=�a
0=Sa
(4.36b)
∆∆∆=
t
yxuCpaP
ρ0
∆
+−+= yx
TTTaa
PE
n
EE
n
E
n
PEP δ2
43
( )[ ]00PP
n
P aTTb −= (4.36c)
sujetos a: i=1, 1 < j < $y-1 para t ˃ 0
CASO 2: Condiciones de frontera de segunda clase.
1.-Cuando se especifica el flujo de calor en la Frontera Sur, los coeficientes agrupados son:
∆
−
++= −− yv
x
TTa
EP
n
P
n
E
EPEP
E δλλλλ 112
2
∆
−
++= −− yv
x
TTa
PW
n
P
n
W
WPWP
W δλλλλ 112
2
(4.37a)
∆
−
++= −− x
y
TTa
�P
n
P
n
�
�P�P
� δλλλλ 112
2
0=Sa
(4.37b)
∆∆∆=
t
yvxCpaP
ρ0
( )�WEP aaaa ++= ( )[ ]xqaTTb n
PPP
n
P ∆+−= 00
(4.37c)
sujetos a: 1 ≤ i ≤ $x-1, j=1 para t ˃ 0
*Paso 4: Solución de las ecuaciones algebraicas por un método directo o iterativo.
Las ecuaciones algebraicas (tanto del problema directo como del inverso) que se
obtuvieron al discretizar los modelos matemáticos de las ecuaciones (3.4) y (3.5), se
agrupan para expresarlas en forma matricial con la finalidad de resolverlas con algún
método de solución de ecuaciones algebraicas. De tal forma, se tiene lo siguiente:
[ ][ ] [ ]BA =ϕ
(4.38)
donde:
[ ] =A Matriz de los coeficientes agrupados.
Capítulo 4 METODOLOGÍA DE SOLUCIÓN
Página 51
[ ] =ϕ Vector de la variable desconocida (temperatura para el problema directo y
conductividad térmica para el problema inverso).
[ ] =B Vector de los términos conocidos.
Al final de este Capítulo, se encuentra un apartado donde se menciona y se explica el
método que se eligió para la solución de las ecuaciones algebraicas.
4.3 METODOLOGÍA DEL MVF E� LOS MODELOS
MATEMÁTICOS E� COORDE�ADAS CILÍ�DRICAS.
A continuación, se aplica la metodología del Método de Volúmenes finitos (MVF) a
los modelos matemáticos en coordenadas cilíndricas. No se presenta la aplicación del MVF
para la solución de los modelos matemáticos unidimensionales, porque a partir de la
solución de los modelos matemáticos bidimensionales se puede obtener la solución de los
modelos unidimensionales, es decir, se desprecia el término difusivo del eje coordenado z
del modelo bidimensional para obtener la solución del modelo unidimensional.
4.3.1 Sistema bidimensional (r, z).
*Paso 1: Dominio computacional.
El dominio computacional del esquema centrado para el sistema bidimensional
cilíndrico, es el siguiente:
Capítulo 4 METODOLOGÍA DE SOLUCIÓN
Página 52
Figura 4.3.-Dominio computacional del esquema centrado bidimensional cilíndrico.
De manera similar que en el sistema bidimensional cartesiano, en la Figura 4.3 la
distancia que existe entre los límites horizontales del volumen de control, representa el
incremento en el plano r que se simboliza con ∆r, y de manera análoga el incremento en el
plano z con ∆z. Entonces:
( ) ( )22 −=∆
−=∆
�z
Lzz
�r
Lrr
(4.39)
donde: Lr= radio del cuerpo solido.
Lz =altura del cuerpo sólido.
�r =números de nodos en el plano r.
�z =números de nodos en el plano z.
∆r
�
S
E W
s
e w P
∆z
δz�P
δzPS
δrPW δrEP
r
z
Lz
Lr
n
O
Capítulo 4 METODOLOGÍA DE SOLUCIÓN
Página 53
*Paso 2: Integración de la ecuación gobernante sobre los volúmenes de control del
dominio de solución.
Al integrar la Ecuación (3.8) sobre el volumen de control de la Figura 4.3 y sobre el
intervalo de tiempo de t a t+#t, resulta lo siguiente:
( ) drdzdtz
T
zrdrdzdt
r
Tr
rdrdzdtTCpr
t
tt
t
e
w
n
s
tt
t
e
w
n
s
tt
t
e
w
n
s
∂∂
∂∂+
∂∂
∂∂=
∂∂
∫ ∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∆+∆+∆+
λλρ
(4.40)
se multiplico toda la expresión de la Ecuación (4.40) por r, para facilitar el desarrollo de la
discretización.
*Paso 3: Discretización del modelo matemático.
La discretización de la Ecuación (4.40) para el problema directo e inverso, es la
siguiente:
4.3.1.1 Problema directo.
A) $odos internos.
De la Ecuación (4.40) resulta:
( ) rdrdt
z
Tdzdt
r
TrrdrdzdTCp
n
s
e
w
tt
t
e
w
n
s
tt
t
tt
t
e
w
n
s
∂∂+
∂∂= ∫∫∫∫∫ ∫∫
∆+∆+∆+
λλρ
(4.41)
**Resolviendo la parte A1 de la Ecuación (4.41), se obtiene lo siguiente:
( ) ( )0
2 P
n
P
we
tt
t
e
w
n
s
TTzrCprr
rdrdzdTCp −∆∆
+=∫ ∫∫
∆+
ρρ
(4.42)
**Resolviendo la parte B1 de la Ecuación (4.41), se obtiene lo siguiente:
tzr
TTr
r
TTrdzdt
r
Tr
PW
n
W
n
Pn
ww
EP
n
P
n
En
ee
e
w
n
s
tt
t
∆∆
−−
−=
∂∂
∫∫∆+
δλ
δλλ
(4.43)
**Resolviendo la parte C1 de la Ecuación (4.41), se obtiene lo siguiente:
trrr
z
TT
z
TTrdrdt
z
T we
PS
n
S
n
Pn
s
�P
n
P
n
�n
n
n
s
e
w
tt
t
∆∆
+
−−
−=
∂∂
∫∫∆+
2δλ
δλλ
(4.44)
A1 B1 C1
Capítulo 4 METODOLOGÍA DE SOLUCIÓN
Página 54
sustituyendo las ecuaciones (4.42)-(4.44) en la Ecuación (4.41) y agrupando términos
semejantes, se obtiene lo siguiente:
0
222
222
Pwen
S
PS
n
swen
�
�P
n
nwen
W
PW
n
ww
n
E
EP
n
ee
n
Pwe
PS
n
swe
�P
n
nwe
PW
n
ww
EP
n
ee
Tt
zrCprrT
z
rrrT
z
rrrT
r
zrT
r
zr
Tt
zrCprr
z
rrr
z
rrr
r
zr
r
zr
∆∆∆
++
∆
++
∆
++
∆+
∆
=
∆∆∆
++
∆
++
∆
++
∆+
∆
ρδλ
δλ
δλ
δλ
ρδλ
δλ
δλ
δλ
(4.45)
donde:
∆=EP
n
eeE
r
zra
δλ
∆=PW
n
wwW
r
zra
δλ
(4.46a)
∆
+=�P
n
nwe�
z
rrra
δλ
2
∆
+=PS
n
sweS
z
rrra
δλ
2
(4.46b)
∆∆∆
+=t
zrCprra we
P
ρ2
0
( )0P��WEP aaaaaa ++++= (4.46c)
( )00PP aTb =
(4.46d)
por lo tanto, la Ecuación (4.45) se puede expresar como:
bTaTaTaTaTan
SS
n
��
n
WW
n
EE
n
PP ++++= (4.47)
sujeto a: 1 < i < $r-1, 1 < j < $z-1 para t ˃ 0
La Ecuación (4.47) es la ecuación generativa del sistema de ecuaciones algebraicas en
notación de coeficientes agrupados para los nodos internos del problema directo cilíndrico.
�ota: Se recuerda utilizar las ecuaciones (4.11) en las ecuaciones (4.46a y b),
solamente en mallas uniformes y en materiales simples (no compuestos).
B) $odos en las fronteras.
La ecuación generativa del sistema de ecuaciones algebraicas en notación de los
coeficientes agrupados para los nodos en las fronteras del problema directo cilíndrico es:
Capítulo 4 METODOLOGÍA DE SOLUCIÓN
Página 55
bTaTaTaTaTan
SS
n
��
n
WW
n
EE
n
PP ++++= (4.48)
donde:
1.-Cuando se especifica la temperatura en la frontera, los coeficientes son:
en i=$r-1 000001 ====== baaaaa S�WEP
en j=1 000001 ====== baaaaa S�WEP
en j=$z-1 000001 ====== baaaaa S�WEP (4.49)
2.-Cuando se especifica el flujo de calor en la frontera, los coeficientes son:
en i=$r-1
======
P
PWP
S�WEP
rqbaaaaa
λδ
00101
en j=1
======
P
�PP
S�WEP
zqbaaaaa
λδ
01001
en j=$z-1
======
P
PSP
S�WEP
zqbaaaaa
λδ
10001
(4.50)
4.3.1.2 Problema inverso.
A) $odos internos.
De la Ecuación (4.40), resulta:
( ) rdrdt
z
Tdzdt
r
TrrdrdzdTCp
n
s
e
w
tt
t
e
w
n
s
tt
t
tt
t
e
w
n
s
∂∂+
∂∂= ∫∫∫∫∫ ∫∫
∆+∆+∆+
λλρ
(4.51)
**Resolviendo la parte E1 de la Ecuación (4.51), se obtiene lo siguiente:
( ) ( )0
2 P
n
P
we
tt
t
e
w
n
s
TTzrCprr
rdrdzdTCp −∆∆
+=∫ ∫∫
∆+
ρρ
(4.52)
**Resolviendo la parte F1 de la Ecuación (4.51), se obtiene lo siguiente:
tz
r
TTr
r
TTrdzdt
r
Tr
PW
n
P
n
W
n
W
n
P
w
EP
n
P
n
E
n
E
n
P
e
e
w
n
s
tt
t
∆∆
−
++
−
+=
∂∂
∫∫∆+
δλλ
δλλ
λ22
(4.53)
E1 F1 G1
Capítulo 4 METODOLOGÍA DE SOLUCIÓN
Página 56
**Resolviendo la parte G1 de la Ecuación (4.51), se obtiene lo siguiente:
trrr
z
TT
z
TTrdrdt
z
T we
PS
n
P
n
S
n
S
n
P
�P
n
P
n
�
n
�
n
P
n
s
e
w
tt
t
∆∆
+
−
++
−
+=
∂∂
∫∫∆+
222 δλλ
δλλλ
(4.54)
sustituyendo las ecuaciones (4.52)-(4.54) en la Ecuación (4.51) y agrupando términos
semejantes, se obtiene lo siguiente:
( )0
2222222
222222
P
n
P
wen
S
PS
n
P
n
Swen
�
�P
n
P
n
�wen
W
PW
n
P
n
W
w
n
E
EP
n
P
n
Ee
n
P
PS
n
P
n
Swe
�P
n
P
n
�we
PW
n
P
n
W
w
EP
n
P
n
E
e
TTt
zrCprrr
z
TTrrr
z
TTrrz
r
TTrz
r
TTr
rz
TTrrr
z
TTrrz
r
TTrz
r
TTr
−∆
∆∆
++
∆
−
+−
∆
−
+−
∆
−−
∆
−−
=
∆
−
++∆
−
++∆
−+∆
−
ρλδ
λδ
λδ
λδ
λδδδδ
(4.55)
donde:
∆
−= z
r
TTra
EP
n
P
n
E
eE δ2
∆
−= z
r
TTra
PW
n
P
n
W
wW δ2 (4.56a)
∆
−
+= r
z
TTrra
�P
n
P
n
�we
� δ22
∆
−
+= r
z
TTrra
PS
n
P
n
Swe
S δ22 (4.56b)
∆∆∆
+=t
zrCprra we
P
ρ2
0
( )S�WEP aaaaa +++= (4.56c)
( )[ ]00PP
n
P aTTb −= (4.56d)
por lo tanto, la Ecuación (4.55) se puede expresar como:
baaaaan
SS
n
��
n
WW
n
EE
n
PP +−−−−= λλλλλ (4.57)
sujeto a: 1 < i < $r-1, 1 < j < $z-1 para t ˃ 0
La Ecuación (4.57) es la ecuación generativa del sistema de ecuaciones algebraicas en
notación de los coeficientes agrupados para los nodos internos del problema inverso
cilíndrico.
Capítulo 4 METODOLOGÍA DE SOLUCIÓN
Página 57
B) $odos en las fronteras.
La Figura 4.4 muestra los dominios computacionales en las fronteras del sistema
cilíndrico, cuando están sujetas a temperaturas o a flujos de calor.
Figura 4.4.-Dominios computacionales en las fronteras bidimensionales cilíndricas.
A continuación, se presenta las expresiones de los coeficientes agrupados cuando se
realiza la discretización de la Ecuación (3.8) en las fronteras Este y Norte. La metodología
para obtener estas expresiones es similar al desarrollado en las ecuaciones (4.51)-(4.57).
Entonces, la ecuación generativa del sistema de ecuaciones algebraicas en notación de los
coeficientes agrupados para los nodos en las fronteras del problema inverso cilíndrico es:
baaaaa n
SS
n
��
n
WW
n
EE
n
PP +−−−−= λλλλλ (4.58)
donde:
r
z
Lz
δrPW
Lr W EP
S
P E
�
P
S
�
W
W
∆r
∆zv
δrEP qS
TE
T$
i=1
j=1
j=$z-1
i=$r-1
∆ru
∆z
q$
qE
TS
O
Capítulo 4 METODOLOGÍA DE SOLUCIÓN
Página 58
CASO 1: Condiciones de frontera de primera clase.
1.-Cuando se especifica la temperatura en la Frontera Este (lado derecho de la Figura 4.4),
los coeficientes agrupados son:
0=Ea
∆
−= z
r
TTra
PW
n
P
n
W
wW δ2
(4.59a)
0=�a
0=Sa (4.59b)
∆∆∆
+=t
zruCprra wP
P
ρ2
0
∆
+−+= z
r
TTTraa
PW
n
p
n
W
n
WW
PWP δ2
34
(4.59c)
( )[ ]00PP
n
P aTTb −= (4.59d)
sujetos a: i=$r-1, 1 < j < $z-1 para t ˃ 0
CASO 2: Condiciones de frontera de segunda clase.
1.-Cuando se especifica el flujo de calor en la Frontera Norte (lado superior de la Figura
4.4), los coeficientes agrupados son:
∆
−= zv
r
TTra
EP
n
P
n
EeE δ2
∆
−= zv
r
TTra
WP
n
P
n
W
wW δ2
(4.60a)
0=�a
∆
−
+= r
z
TTrra
PS
n
P
n
Swe
S δ22
(4.60b)
∆∆∆
+=t
zvrCprra we
P
ρ2
0
( )SWEP aaaa ++= (4.60c)
( )
∆
+−−= rq
rraTTb n
Pwe
PP
n
P 200
(4.60d)
Capítulo 4 METODOLOGÍA DE SOLUCIÓN
Página 59
sujetos a: 1 ≤ i ≤ $r-1, j=$z-1 para t ˃ 0
4.3.2 Sistema compuesto (r, z).
El dominio computacional y el procedimiento para discretizar el modelo matemático
de la Ecuación (3.9) del sistema compuesto en coordenadas cilíndricas, es similar al que se
presento en el sistema bidimensional cilíndrico, ver ecuaciones (4.41)-(4.60). Solamente
que ahora los coeficientes agrupados se expresan en términos de la media armónica de la
conductividad térmica, ver ecuaciones (4.31). Por lo tanto, se tiene lo siguiente:
4.3.2.1 Problema directo.
La Ecuación (4.61) es la ecuación generativa del sistema de ecuaciones algebraicas del
problema directo en el sistema compuesto cilíndrico.
bTaTaTaTaTan
SS
n
��
n
WW
n
EE
n
PP ++++= (4.61)
Donde los coeficientes agrupados son:
A) $odos internos.
∆
+=
EP
e
n
E
n
P
n
E
n
PE
r
zra
δλλλλ2
∆
+=
PW
w
n
W
n
P
n
W
n
P
Wr
zra
δλλλλ2
(4.62a)
∆
+
+=
�P
we
n
�
n
P
n
�
n
P
�z
rrra
δλλλλ
2
2
∆
+
+=
PS
we
n
S
n
P
n
S
n
P
Sz
rrra
δλλλλ
2
2
(4.62b)
∆∆∆
+=t
zrCprra we
P
ρ2
0
( )0P��WEP aaaaaa ++++= (4.62c)
( )00PP aTb =
(4.62d)
sujetos a: 1 < i < $r-1, 1 < j < $z-1 para t ˃ 0
B) $odos en las fronteras.
Los coeficientes agrupados para los nodos en las fronteras del sistema compuesto, son
los mismos que se presentaron en las ecuaciones (4.49) y (4.50).
Capítulo 4 METODOLOGÍA DE SOLUCIÓN
Página 60
4.3.2.2 Problema inverso.
La ecuación generativa del sistema de ecuaciones algebraicas del problema inverso en
el sistema compuesto cilíndrico es:
baaaaan
SS
n
��
n
WW
n
EE
n
PP +−−−−= λλλλλ (4.63)
donde los coeficientes agrupados son:
A) $odos internos.
∆
−
++= −− z
r
TTra
EP
n
P
n
E
EPEP
e
E δλλλλ 112
2
∆
−
++= −− z
r
TTra
PW
n
P
n
W
WPWP
w
W δλλλλ 112
2
(4.64a)
∆
−
+++
= −− rz
TTrra
�P
n
P
n
�
�P�P
we
� δλλλλ 112
∆
−
+++
= −− rz
TTrra
PS
n
P
n
S
SPSP
we
S δλλλλ 112
(4.64b)
∆∆∆
+=
t
zrCprra we
P
ρ2
0
( )S�WEP aaaaa +++= (4.64c)
( )[ ]00PP
n
P aTTb −= (4.64d)
sujetos a: 1 < i < $r-1, 1 < j < $z-1 para t ˃ 0
B) $odos en las fronteras.
CASO 1: Condiciones de frontera de primera clase.
1.-Cuando se especifica la temperatura en la Frontera Este, los coeficientes agrupados son:
0=Ea
∆
−
++= −− z
r
TTra
PW
n
P
n
W
WPWP
w
W δλλλλ 112
2
(4.65a)
0=�a
0=Sa
(4.65b)
∆∆∆
+=t
zruCprra wP
P
ρ2
0
∆
+−+= z
r
TTTraa
PW
n
p
n
W
n
WW
PWP δ2
34
(4.65c)
Capítulo 4 METODOLOGÍA DE SOLUCIÓN
Página 61
( )[ ]00PP
n
P aTTb −= (4.65d)
sujetos a: i=$r-1, 1 < j < $z-1 para t ˃ 0
CASO 2: Condiciones de frontera de segunda clase.
1.-Cuando se especifica el flujo de calor en la Frontera Norte, los coeficientes agrupados
son:
∆
−
++= −− zv
r
TTra
EP
n
P
n
E
EPEP
e
E δλλλλ 112
2
∆
−
++= −− zv
r
TTra
PW
n
P
n
W
WPWP
w
W δλλλλ 112
2
(4.66a)
0=�a
∆
−
+++
= −− rz
TTrra
PS
n
P
n
S
SPSP
we
S δλλλλ 112
(4.66b)
∆∆∆
+=t
zvrCprra we
P
ρ2
0
( )SWEP aaaa ++= (4.66c)
( )
∆
+−−= rq
rraTTb n
P
we
PP
n
P 200
(4.66d)
sujetos a: 1 ≤ i ≤ $r-1, j=$z-1 para t ˃ 0
*Paso 4: Solución de las ecuaciones algebraicas por un método directo o iterativo.
De la misma forma que en el sistema coordenado cartesiano, las ecuaciones
algebraicas obtenidas al discretizar los modelos matemáticos en coordenadas cilíndricas, se
agrupan para expresarlas en forma matricial con la intención de resolverlas con algún
método de solución de ecuaciones algebraicas.
A continuación, se mencionan los diferentes métodos que existen para resolver un
sistema de ecuaciones algebraicas.
Capítulo 4 METODOLOGÍA DE SOLUCIÓN
Página 62
4.4 MÉTODOS DE SOLUCIÓ� DE ECUACIO�ES ALGEBRAICAS.
Es necesario plantear un método eficiente que pueda resolver cada sistema de
ecuaciones algebraicas. Básicamente existen dos técnicas para la solución de un sistema de
ecuaciones algebraicas: los métodos directos y los métodos indirectos o iterativos.
4.4.1 Métodos Directos.
Los métodos directos como la Regla de Cramer, la eliminación Gaussiana y el
algoritmo de Thomas no se emplean con frecuencia, porque el uso de las técnicas de
inversión directa requiere bastante almacenamiento en la memoria y muchas operaciones
renglón-columna para invertir la matriz en cuestión. Por ejemplo, para un sistema de n
ecuaciones con n incógnitas, la eliminación Gaussiana necesita aproximadamente n3
operaciones aritméticas. Así, cuando se utiliza un sistema de 500 ecuaciones con 500
incógnitas se requieren casi 125 millones de operaciones.
4.4.2 Métodos Iterativos.
Los métodos iterativos se basan en la repetida aplicación de algoritmos sencillos que
normalmente después de un cierto número de iteraciones alcanzan la convergencia. El
número de operaciones para cada ciclo de iteración se establece arbitrariamente y a
diferencia de los métodos directos no se puede saber de antemano el número de iteraciones
que serán necesarias para obtener la convergencia. Tampoco es posible garantizar la
convergencia a menos que el sistema satisfaga cierto criterio. La principal ventaja de los
métodos iterativos es que sólo se necesita almacenar en la memoria los coeficientes
diferentes de cero.
Como la matriz del sistema de ecuaciones algebraicas (tanto del problema directo
como del inverso) es nonadiagonal (en este tipo de matrices el número de espacios en cero
es elevado), se utilizará un método iterativo para invertir la matriz en cuestión.
Hoy en día existen muchos métodos iterativos para la solución de un sistema de
ecuaciones algebraicas, entre los cuales se mencionan los siguientes: el método de Gauss-
Capítulo 4 METODOLOGÍA DE SOLUCIÓN
Página 63
Seidel (GS), el método de línea por línea (LBL), el método de línea Gauss-Seidel (LGS) y
el método de línea Gauss-Seidel de direcciones alternantes implícitas (LGS-ADI). Cada
método tiene sus ventajas y desventajas, sin embargo, la convergencia del método LGS-
ADI es más rápida, debido a que la información de las condiciones de las fronteras es
transportada más rápidamente hacia los nodos interiores del dominio. Por lo tanto, se
emplea el método LGS-ADI como el método iterativo para la solución de las ecuaciones
algebraicas.
4.5 DIAGRAMA DE FLUJO DE LOS CÓDIGOS �UMÉRICOS.
4.5.1 Criterio de convergencia.
La solución numérica se dice que converge, cuando se aproxima a la solución exacta
del problema conforme a los pasos de tiempo y espacio tienden a cero. Los códigos
numéricos desarrollados satisfacen dos criterios para que la solución pueda converger.
Estos son:
1.-Un criterio de convergencia φε1 que asegure que la solución de las ecuaciones
algebraicas en el tiempo actual es la correcta.
2.-Un criterio de convergencia φε2 que permite obtener la solución permanente de las
ecuaciones algebraicas.
El primer criterio se cumple cuando el residual φR tiene un valor ≤ 1x10-4. El residuo
φR se obtiene con la siguiente desviación cuadrática:
( )[ ] φφ εφφ 1
2 ≤+−= ∑ ∑ baaR vecinosvecinosPP (4.67)
Para cumplir el segundo criterio de convergencia φε2 , el residuo φD debe tener un
valor ≤ 1x10-5. El residuo φD se obtiene de la diferencia absoluta entre la variable del
tiempo actual contra la variable del tiempo anterior, es decir:
( ) φφ εϕϕ 2
0 ≤−= P
n
PAbsD
(4.68)
Capítulo 4 METODOLOGÍA DE SOLUCIÓN
Página 64
donde:
=n
Pϕ Variable del tiempo actual.
=0Pϕ Variable del tiempo anterior.
4.5.2 Diagrama de flujo.
Para fines propios, se compiló los programas en la plataforma Fortran Powerstation
V. 4.0 para resolver las ecuaciones generativas de $ sistemas de ecuaciones algebraicas, a
través del método de solución elegido. El diagrama de flujo, que se muestra en la Figura
4.5, se utiliza para desarrollar los algoritmos numéricos tanto del sistema cartesiano como
del sistema cilíndrico. Los pasos del diagrama de flujo son los siguientes:
1.-Introduccion de valores conocidos. En este punto se establecen los parámetros restantes
conocidos, como son: geometría del medio sólido, condiciones de frontera, condiciones
iniciales y las propiedades termofísicas.
2.-Generacion del dominio computacional. Aquí se definen los nodos computacionales y el
incremento espacial, en donde se calcula la variable desconocida. Ambos dependen de la
geometría del medio sólido y del tamaño de la malla numérica.
3.-Asignación del valor inicial. Se asigna el valor inicial de la variable que se desea conocer
en todo el dominio del medio sólido.
4.-Paso de tiempo. Se establece el incremento del tiempo para las corridas temporales del
código numérico.
5.-Variable del tiempo anterior. Se establece el valor de la variable en el tiempo pasado.
6.-Distribución de la temperatura de entrada. Se determina experimentalmente la
distribución de la temperatura de entrada en todo el dominio del medio sólido. En este
trabajo de investigación, como no se cuenta con la información experimental necesaria,
la distribución de la temperatura de entrada se obtendrá de forma analítica o numérica.
Dando por hecho que se conoce la distribución de la conductividad térmica en todo el
dominio del medio sólido.
7.-Generación de la matriz de coeficientes. Se calculan los coeficientes de las ecuaciones
generativas del sistema de ecuaciones algebraicas.
Capítulo 4 METODOLOGÍA DE SOLUCIÓN
Página 65
8.-Variable iterativa. Se utiliza para asignar el valor de la variable en el primer proceso
iterativo y para renombrar a la variable cuando no se cumple el primer criterio de
convergencia.
9.-Solución del sistema de ecuaciones algebraicas. Se aplica un método de solución para
encontrar los valores de la variable desconocida.
10.-Primer criterio de convergencia. Es el criterio que establece que los valores de la
variable son los que le corresponde al tiempo en que se calcularon. Si no se cumple el
criterio, se regresa al paso número ocho.
11.-Distribución de la variable en el tiempo actual. Aquí se conocen las distribuciones de la
variable en todo el domino del medio sólido, para todos los tiempos de cómputo.
12.-Segundo criterio de convergencia. Es el criterio que establece que se alcanzó el estado
permanente de la variable. Si no se cumple el criterio, regresar al paso número cuatro.
13.-Distribucion final de la variable. Representa la distribución en estado permanente de la
variable en todo el dominio del medio sólido.
Capítulo 4 METODOLOGÍA DE SOLUCIÓN
Página 66
Figura 4.5.-Diagrama de flujo del algoritmo numérico cartesiano y cilíndrico.
Distribución de la temperatura de entrada
Introducción de valores conocidos
Incremento del paso de tiempo t=t+#t
Generación del dominio computacional
Asignación del valor inicial de la variable en el dominio espacial y temporal φ=φinicial
Nombramiento de la variable del tiempo anterior φold=φ
Generación de la matriz de coeficientes
Solución del sistema de ecuaciones
algebraicas
1er criterio de convergencia Rφ ≤1x10-4
Imprime la distribución de la variable en el
tiempo actual
2do criterio de convergencia (E. P.)
Dφ ≤1x10-5
FI�
I�ICIO
Distribución analítica Distribución numérica
Renombramiento de la variable iterativa
φiter=φ
SI
$O
Generación de la matriz de coeficientes
Renombramiento de la variable iterativa (conductividad térmica) φiter=φ
Solución del sistema de ecuaciones algebraicas
1er criterio de convergencia Rφ ≤1x10-4
$O
SI
Imprime la distribución final de la variable
SI
$O
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
En la práctica sustituirlo por la distribución experimental
Capítulo 5 VERIFICACIÓN
Página 67
CAPÍTULOCAPÍTULOCAPÍTULOCAPÍTULO 5555
En este Capítulo se presenta la verificación del código numérico desarrollado para el
sistema unidimensional cartesiano, que tiene como objetivo determinar la conductividad
térmica de un material sólido. La verificación del código numérico se realizó al comparar
los resultados obtenidos con los resultados reportados por los autores Yeung W. y Lam T.
(1995) y Chang C. y Chang M. (2006). Además, en el último apartado se presenta el
estudio de independencia de malla y del tiempo.
VERIFICACIÓNVERIFICACIÓNVERIFICACIÓNVERIFICACIÓN
Capítulo 5 VERIFICACIÓN
Página 68
Se sabe que la verificación es aquella que permite cuantificar la desviación que se
tiene debido a la solución del modelo matemático involucrado, en otras palabras, los
resultados numéricos serán comparados con alguna solución teórica reportada en la
literatura revisada. Por lo tanto, la verificación del código numérico desarrollado se realiza
comparando los resultados obtenidos con los resultados analíticos. En los últimos apartados
de este Capítulo se realiza el estudio de independencia de malla y del tiempo, para el caso
inverso que se considera más complejo, es decir, un medio compuesto que involucra las tres
situaciones de la conductividad térmica. Cabe mencionar que los software utilizados para la
visualización de las graficas son Origin 5.0 y TecPlot V.10, este último goza de una alta
aceptación entre los investigadores de CFD (Computational Fluid Dynamics).
5.1 VERIFICACIÓ� DEL CÓDIGO �UMÉRICO.
En el primer Capítulo se mencionó que en la literatura revisada se encontró solamente
problemas inversos unidimensionales, en coordenadas cartesianas y en estado transitorio.
Por lo tanto, solo se dispone de soluciones unidimensionales de la conductividad térmica
para poder verificar el código numérico desarrollado. La verificación del código numérico
desarrollado se realizó al comparar los resultados obtenidos con los resultados reportados
por diferentes autores, entre ellos se encuentran: Yeung W. y Lam T. (1995) y Chang C. y
Chang M. (2006). La razón por la cual se escogió estos trabajos de investigación para la
verificación del código numérico, es porque dichos autores utilizaron el método inverso
numérico para la solución del problema inverso de conducción de calor unidimensional.
5.1.1 Verificación del código numérico desarrollado con los resultados reportados
por Yeung W. y Lam T. (1995).
La primera verificación del código numérico en el sistema unidimensional cartesiano,
se realiza al comparar los resultados obtenidos con el trabajo de Yeung W. y Lam T. (1995).
Estos autores utilizaron el método inverso numérico (diferencias finitas) para determinar la
conductividad térmica de un medio sólido en un dominio unidimensional y en estado
transitorio. Los autores reportaron cinco casos: un caso de conductividad térmica constante,
Capítulo 5 VERIFICACIÓN
Página 69
dos casos de conductividad térmica dependiente del espacio y dos casos de conductividad
térmica dependiente de la temperatura.
A continuación, se presenta tres de los cinco casos reportados por los autores para
verificar el código numérico desarrollado, los cuales están sujetos a diversas condiciones.
El planteamiento general del problema inverso unidimensional en coordenadas cartesianas
es como sigue: considere un medio sólido, ,0 Lxx ≤≤ con una temperatura inicial ( )0,xTi
en todo el dominio del medio sólido. Cuando el tiempo 0,>t las fronteras en x=0 y x=Lx
están sujetas a un conjunto de temperaturas o flujos de calor, como se muestra en la Figura
5.1. Determinar la distribución de la conductividad térmica ( )tx,λ en el medio sólido
cuando el tiempo alcance el valor de t=0.2 s. Considere Lx=1 m, ∆t=0.01 s, Cp=1 cal/Kg°C
y ρ=1 Kg/m3.
Figura 5.1.- Modelo físico del medio sólido unidimensional cartesiano.
Las condiciones para cada uno de los problemas inversos cuando el tiempo t ≥ 0 son
las siguientes:
5.1.1.1 Conductividad térmica constante.
*Condición inicial ( ,0 Lxx ≤≤ t = 0):
( ) ( )xSentxTi π=, (5.1)
*Condiciones de frontera (t ˃ 0):
( ) CtTW °= 0,0 (5.2)
( ) CtLxTE °= 0, (5.3)
WT
x
Lx
( ) ?, =txλET
0=x Lxx =
Wq Eq
O
Capítulo 5 VERIFICACIÓN
Página 70
Las soluciones analíticas de la temperatura y de la conductividad térmica en el medio
sólido, están dadas por Yeung W. y Lam T. (1995). Por lo tanto, se tiene lo siguiente:
( ) ( )xSenetxT t ππ 22, −= (5.4)
CmW °= /2λ (5.5)
sujetos a: 0>,0 tLxx ≤≤
Como se dispone de la solución analítica de la conductividad térmica, se realiza una
comparación cuantitativa punto a punto. La Tabla 5.1 muestra los resultados de la solución
analítica y numérica cuando se considera 11 puntos o nodos.
Tabla 5.1.-Comparación de los resultados analíticos y numéricos de la conductividad
térmica constante.
x (m)
S. Analítica (W/m°C)
S. �umérica (W/m°C)
Error Relativo %
0.00 2.00 1.97 1.18
0.10 2.00 2.02 1.18
0.20 2.00 1.97 1.18
0.30 2.00 2.02 1.18
0.40 2.00 1.97 1.18
0.50 2.00 2.02 1.18
0.60 2.00 1.97 1.18
0.70 2.00 2.02 1.18
0.80 2.00 1.97 1.18
0.90 2.00 2.02 1.18
1.00 2.00 1.97 1.18
En la Tabla 5.1 se puede observar el error relativo entre la solución analítica y la
solución numérica (franja sombreada), de ello, el máximo error relativo encontrado es de
1.18%. Mientras que Yeung W. y Lam T. (1995) reportaron un valor de 12.87% para el
mismo número de nodos.
El error relativo se calcula con la siguiente fórmula:
100
.
..x
AnalíticaS
�uméricaSAnalíticaSAbsrelativoError
−=
(5.6)
Capítulo 5 VERIFICACIÓN
Página 71
En la Figura 5.2 se muestra la comparación cualitativa de la conductividad térmica
analítica con la obtenida con el código numérico desarrollado.
Figura 5.2.-Distribución de la conductividad térmica constante en un medio sólido unidimensional
cuando t=0.2 s.
Se observa en la Figura 5.2 que las distribuciones de la conductividad térmica
constante son similares, es decir, la solución analítica y la obtenida con el código numérico
desarrollado cualitativamente son semejantes entre sí.
5.1.1.2 Conductividad térmica dependiente del espacio.
*Condición inicial ( ,0 Lxx ≤≤ t = 0):
( ) ( )23, −= xtxTi (5.7)
*Condiciones de frontera (t ˃ 0):
( ) t
W etq −−= 54,0 (5.8) ( ) t
E etLxT −= 4, (5.9)
Las soluciones analíticas de la temperatura y de la conductividad térmica en el medio
sólido, están dadas por Yeung W. y Lam T. (1995). Por lo tanto, se tiene lo siguiente:
( ) ( ) textxT −−= 23, (5.10)
x (m)
λ (W
/m°C
)
Capítulo 5 VERIFICACIÓN
Página 72
( ) ( )23−= xxλ (5.11)
sujetos a: 0>,0 tLxx ≤≤
La Tabla 5.2 muestra la comparación cuantitativa de los resultados analíticos y
numéricos cuando se considera 11 puntos o nodos.
Tabla 5.2.-Comparación de los resultados analíticos y numéricos de la conductividad
térmica dependiente del espacio.
x
(m)
S. Analítica
(W/m°C)
S. �umérica
(W/m°C)
Error
Relativo %
0.00 9.00 9.00 0.02
0.10 8.41 8.41 0.03
0.20 7.84 7.84 0.03
0.30 7.29 7.29 0.03
0.40 6.76 6.76 0.04
0.50 6.25 6.25 0.04
0.60 5.76 5.76 0.05
0.70 5.29 5.29 0.06
0.80 4.84 4.84 0.07
0.90 4.41 4.41 0.08
1.00 4.00 4.00 0.09
En la Tabla 5.2 se puede observar el error relativo entre la solución analítica y la
solución numérica, donde, el máximo error relativo encontrado es de 0.09%. Mientras que
Yeung W. y Lam T. (1995) reportaron un valor de 0.96% para el mismo número de nodos.
En la Figura 5.3 se muestra la comparación cualitativa de la conductividad térmica
analítica con la obtenida con el código numérico desarrollado. Se observa en la Figura 5.3
que las distribuciones de la conductividad térmica son muy similares, es decir, la solución
analítica reportada por los autores y la obtenida con el código numérico desarrollado,
cualitativamente son semejantes entre sí.
Capítulo 5 VERIFICACIÓN
Página 73
Figura 5.3.-Distribución de la conductividad térmica dependiente del espacio en un medio sólido
unidimensional cuando t=0.2 s.
5.1.1.3 Conductividad térmica dependiente de la temperatura.
*Condición inicial ( ,0 Lxx ≤≤ t = 0):
( ) ( )xSentxTi π=, (5.12)
*Condiciones de frontera (t ˃ 0):
( ) CtTW °= 0,0 (5.13) ( ) ( )LxSenetLxT t
E π−=, (5.14)
Las soluciones analíticas de la temperatura y de la conductividad térmica en el medio
sólido, están dadas por Yeung W. y Lam T. (1995). Por lo tanto, se tiene lo siguiente:
( ) ( )xSenetxT t π−=, (5.15)
( ) ( )[ ]txTT ,15.0 +=λ (5.16)
sujetos a: 0>,0 tLxx ≤≤
Como se dispone de la solución analítica de la conductividad térmica, se realiza una
comparación cuantitativa punto a punto. La Tabla 5.3 muestra los resultados de la solución
analítica y numérica al considerar 11 puntos o nodos. En dicha tabla se observa que el
máximo error relativo encontrado entre la solución analítica y la solución numérica es de
0.32%. Además, en la Figura 5.4 se muestra la comparación cualitativa de la conductividad
x (m)
λ (W
/m°C
)
Capítulo 5 VERIFICACIÓN
Página 74
térmica analítica con la reportada por Yeung W. y Lam T. (1995) y posteriormente, con la
obtenida con el código numérico desarrollado.
Tabla 5.3.-Comparacion de los resultados analíticos y numéricos de la conductividad
térmica dependiente de la temperatura.
x
(m)
S. Analítica
(W/m°C)
S. �umérica
(W/m°C)
Error
Relativo %
0.00 0.50 0.50 0.12
0.10 0.54 0.54 0.16
0.20 0.58 0.58 0.13
0.30 0.62 0.62 0.02
0.40 0.66 0.65 0.31
0.50 0.69 0.69 0.01
0.60 0.73 0.73 0.28
0.70 0.76 0.76 0.32
0.80 0.79 0.79 0.07
0.90 0.82 0.82 0.08
1.00 0.84 0.84 0.12
(a) x (m)
λ (W
/m°C
)
Capítulo 5 VERIFICACIÓN
Página 75
(b) Figura 5.4.-Distribución de la conductividad térmica dependiente de la temperatura en un medio
sólido unidimensional cuando t=0.2 s: (a) Conductividad térmica reportada por Yeung W.
y Lam T. (1995) y, (b) Conductividad térmica obtenida con el código numérico desarrollado.
Se observa en la Figura 5.4 que las distribuciones de la conductividad térmica son muy
similares cuando t=0.2 s.
En este mismo problema inverso, Yeung W. y Lam T. (1995) determinaron la
conductividad térmica del medio sólido en diferentes tiempos, para demostrar que los
resultados que obtuvieron no pierden estabilidad a medida que pasa el tiempo. Esto con el
fin de comprobar la exactitud del método que dichos autores desarrollaron. Además,
graficaron sus resultados para observar cómo evoluciona o cambia la conductividad térmica
dependiente de la temperatura a medida que transcurre el tiempo.
A continuación, se determina la conductividad térmica en los mismos tiempos que
dichos autores lo realizaron, es decir, se determina la conductividad térmica cuando el
tiempo es igual a t=0.05 y 0.01 s. Además, se verifican los resultados obtenidos con los
analíticos y con los reportados por los autores antes mencionados.
x (m)
λ (W
/m°C
)
Capítulo 5 VERIFICACIÓN
Página 76
La Tabla 5.4 muestra los resultados de la solución analítica y numérica al considerar
11 puntos o nodos cuando t=0.05 s. Mientras que la Tabla 5.5 muestra los resultados de la
conductividad térmica cuando t=0.1 s.
Tabla 5.4.-Comparación de los resultados analíticos y numéricos de la conductividad
térmica dependiente de la temperatura cuando t=0.05 s.
x
(m)
S. Analítica
(W/m°C)
S. �umérica
(W/m°C)
Error
Relativo %
0.00 0.50 0.50 0.34 0.10 0.54 0.55 0.14 0.20 0.59 0.59 0.12 0.30 0.64 0.64 0.01 0.40 0.68 0.69 0.29 0.50 0.73 0.73 0.07 0.60 0.77 0.76 0.35 0.70 0.80 0.80 0.74 0.80 0.84 0.84 0.06 0.90 0.87 0.87 0.02 1.00 0.90 0.90 0.03
Tabla 5.5.-Comparación de los resultados analíticos y numéricos de la conductividad
térmica dependiente de la temperatura cuando t=0.1 s.
x
(m)
S. Analítica
(W/m°C)
S. �umérica
(W/m°C)
Error
Relativo %
0.00 0.50 0.50 0.23 0.10 0.54 0.54 0.16 0.20 0.59 0.59 0.26 0.30 0.63 0.63 0.18 0.40 0.67 0.67 0.48 0.50 0.71 0.71 0.05 0.60 0.75 0.75 0.06 0.70 0.79 0.79 0.11 0.80 0.82 0.82 0.22 0.90 0.85 0.85 0.01 1.00 0.88 0.88 0.03
En la Tabla 5.4 se puede observar que el máximo error relativo encontrado es de
0.74%. Mientras que en la Tabla 5.5 el máximo error relativo encontrado es de 0.48%.
Capítulo 5 VERIFICACIÓN
Página 77
Además, en la Figura 5.5 se muestra la comparación cualitativa de la conductividad térmica
analítica con la reportada por Yeung W. y Lam T. (1995) y posteriormente, con la obtenida
con el código numérico desarrollado en los diferentes tiempos.
(a)
(b)
Figura 5.5.-Distribución de la conductividad térmica dependiente de la temperatura en un medio
sólido unidimensional cuando t=0.05, 0.1 y 0.2 s: (a) Conductividad térmica reportada
por Yeung W. y Lam T. (1995) y, (b) Conductividad térmica obtenida con el código
numérico desarrollado.
t=0.2 s
t=0.1 s
t=0.05 s
x (m)
λ (W
/m°C
) λ
(W/m
°C)
x (m)
Capítulo 5 VERIFICACIÓN
Página 78
Se observa en la Figura 5.5 que las distribuciones de la conductividad térmica son muy
similares, es decir, la solución reportada por los autores y la obtenida con el código
numérico desarrollado, cualitativamente son semejantes entre si y a la solución analítica
cuando t=0.05, 0.1 y 0.2 s.
5.1.2 Verificación del código numérico desarrollado con los resultados reportados
por Chang C. y Chang M. (2006).
Para continuar con la verificación del código numérico desarrollado en el sistema
unidimensional cartesiano, los resultados obtenidos se compararon con los resultados
reportados en el trabajo de Chang C. y Chang M. (2006). Estos autores utilizaron el método
inverso numérico (volúmenes finitos) para determinar la conductividad térmica de un
medio sólido unidimensional, no homogéneo y en estado transitorio. Para lograr lo anterior,
los autores desarrollaron un sistema de ecuaciones lineales en forma matricial a partir de la
ecuación de conducción de calor. Reportaron tres casos: dos casos de conductividad
térmica dependiente del espacio y un caso de conductividad térmica dependiente de la
temperatura.
A continuación, se presenta dos de los tres casos reportados por los autores para poder
verificar el código numérico desarrollado. El planteamiento general del problema inverso
unidimensional cartesiano, es el mismo que se mencionó al inicio de este Capítulo de
verificación, al igual que el modelo físico que se observó en la Figura 5.1. Por lo tanto, solo
es necesario mencionar las condiciones a los que están sujetos los diferentes problemas
inversos para determinar la conductividad térmica.
5.1.2.1 Conductividad térmica dependiente del espacio.
*Condición inicial ( ,0 Lxx ≤≤ t = 0):
( ) CtxTi °= 0, (5.17)
*Condiciones de frontera (t ˃ 0):
( ) t
W tetT−= 36.0,0 (5.18)
( ) t
E tetLxT −= 16.0, (5.19)
Capítulo 5 VERIFICACIÓN
Página 79
Las soluciones analíticas de la temperatura y de la conductividad térmica en el medio
sólido, están dadas por Chang C. y Chan M. (2006). Por lo tanto, se tiene lo siguiente:
( ) ( ) ttextxT
−−= 26.0, (5.20)
( ) 2)3.0(425.01, −−+= xtetxλ (5.21)
sujetos a: 0>,0 tLxx ≤≤
La Tabla 5.6 muestra los resultados de la solución analítica y numérica cuando se
considera 11 puntos o nodos.
Tabla 5.6.-Comparación de los resultados analíticos y numéricos de la conductividad
térmica dependiente del espacio.
x
(m)
S. Analítica
(W/m°C)
S. �umérica
(W/m°C)
Error
Relativo %
0.00 1.17 1.17 0.25
0.10 1.21 1.21 0.21
0.20 1.24 1.23 0.21
0.30 1.25 1.25 0.23
0.40 1.24 1.23 0.12
0.50 1.21 1.21 0.24
0.60 1.17 1.17 0.09
0.70 1.13 1.13 0.18
0.80 1.09 1.09 0.04
0.90 1.06 1.05 0.14
1.00 1.03 1.03 0.08
En la Tabla 5.6 se aprecia que el máximo error relativo encontrado entre la solución
analítica y numérica es de 0.25%. Mientras que Chang C. y Chang M. (2006), reportaron un
valor de 0.67% para el mismo número de nodos. Además, en la Figura 5.6 se muestra la
comparación cualitativa de la conductividad térmica analítica con la obtenida con el código
numérico desarrollado.
Capítulo 5 VERIFICACIÓN
Página 80
Figura 5.6.-Distribución de la conductividad térmica dependiente del espacio en un medio sólido
unidimensional cuando t=0.2 s.
Al observa la Figura 5.6, se aprecia que las distribuciones de la conductividad térmica
dependiente del espacio son muy parecidas, a pesar de que existe un porcentaje de error
relativo, como se mostro en la Tabla 5.6.
5.1.2.2 Conductividad térmica dependiente de la temperatura.
*Condición inicial ( ,0 Lxx ≤≤ t = 0):
( ) ( )8.0, −= xCostxTi π (5.22)
*Condiciones de frontera (t ˃ 0):
( ) ( )8.0,02
−= − ππ CosetT t
W (5.23)
( ) ( )2.0,2
ππ CosetLxT t
E
−= (5.24)
Las soluciones analíticas de la temperatura y de la conductividad térmica en el medio
sólido, están dadas por Chang C. y Chang M. (2006). Por lo tanto, se tiene lo siguiente:
( ) ( )8.0,2
−= − xCosetxT t ππ (5.25)
( ) ( )txTT
,1
1
−=λ (5.26)
sujetos a: 0>,0 tLxx ≤≤
x (m)
λ (W
/m°C
)
Capítulo 5 VERIFICACIÓN
Página 81
En este problema inverso particular, los autores Chang C. y Chan M. (2006) además
de determinar la conductividad térmica dependiente de la temperatura cuando el tiempo es
igual a t=0.2 s, también reportaron en su trabajo de investigación los resultados que
obtuvieron cuando t=0.05, 0.1 y 0.3 s. Por lo tanto, para la verificación del código numérico
desarrollado, se determina la conductividad térmica dependiente de la temperatura en los
mismos tiempos que dichos autores lo realizaron.
La Tabla 5.7 muestra la comparación cuantitativa de los resultados analíticos y
numéricos al considerar 11 nodos, cuando el tiempo es igual a t=0.05, 0.1, 0.2 y 0.3 s.
Tabla 5.7.-Comparación de los resultados analíticos y numéricos de la conductividad
térmica dependiente de la temperatura: (a) Cuando el tiempo es igual a t=0.05 y
0.1 s y, (b) Cuando el tiempo es igual a t=0.2 y 0.3s.
x
(m)
t=0.05 s t=0.1 s
S. Analítica S. �umérica S. Analítica S. �umérica
(W/m°C) (W/m°C) (W/m°C) (W/m°C)
0.00 0.64 0.60 0.75 0.71
0.10 0.74 0.68 0.78 0.77
0.20 0.83 0.79 0.83 0.79
0.30 0.91 0.93 0.91 0.90
0.40 1.01 1.00 1.03 1.01
0.50 1.18 1.18 1.18 1.17
0.60 1.50 1.45 1.35 1.31
0.70 1.99 1.97 1.51 1.50
0.80 2.38 2.32 1.59 1.55
0.90 2.41 2.37 1.59 1.58
1.00 2.19 2.15 1.49 1.45
Máximo
Error % -------------- 7.57 --------------- 5.12
(a)
Capítulo 5 VERIFICACIÓN
Página 82
x
(m)
t=0.2 s t=0.3 s
S. Analítica S. �umérica S. Analítica S. �umérica
(W/m°C) (W/m°C) (W/m°C) (W/m°C)
0.00 0.89 0.85 0.95 0.91
0.10 0.90 0.86 0.96 0.96
0.20 0.93 0.92 0.97 0.93
0.30 0.97 0.98 0.99 0.98
0.40 1.0 0.99 1.01 0.97
0.50 1.07 1.10 1.02 1.02
0.60 1.11 1.10 1.04 1.03
0.70 1.15 1.14 1.05 1.06
0.80 1.16 1.15 1.05 1.03
0.90 1.16 1.16 1.05 1.04
1.00 1.14 1.12 1.05 1.04
Máximo
Error % -------------- 4.84 --------------- 4.74
(b)
En la Tabla 5.7 se puede observar el máximo error relativo entre la solución analítica y
la solución numérica en cada tiempo. Por lo tanto, el máximo error relativo encontrado
cuando el tiempo es igual a t=0.05 s es de 7.57%. Cuando el tiempo es igual a t=0.1 s el
máximo error relativo es de 5.12%, cuando t=0.2 s el máximo error relativo es de 4.84% y
por último, cuando t=0.3 s el máximo error relativo es de 4.74%. Mientras que Chang C. y
Chang M. (2006), reportaron un valor de 9.78% cuando el tiempo es igual a t=0.2 s. Como
es de esperar, el valor del error relativo disminuye a medida que transcurre el tiempo. El
motivo de este cambio es porque la conductividad térmica dependiente de la temperatura, a
medida que pasa el tiempo, alcanza su estado estable o permanente.
En la Figura 5.7 se muestra la comparación cualitativa de la conductividad térmica
analítica con la reportada por Chang C. y Chang M. (2006) y posteriormente, con la
obtenida con el código numérico desarrollado en los diferentes tiempos que se
mencionaron.
Capítulo 5 VERIFICACIÓN
Página 83
(a)
(b)
Figura 5.7.-Distribución de la conductividad térmica dependiente de la temperatura en el medio
sólido unidimensional cuando t=0.05, 0.1, 0.2 y 0.3 s : (a) Conductividad térmica
reportada por Chang C. y Chang M. (2006) y, (b) Conductividad térmica obtenida con
el código numérico desarrollado.
t=0.05 s
t=0.1 s
t=0.2 s
t=0.3 s
x (m)
λ (W
/m°C
) λ
(W/m
°C)
x (m)
Capítulo 5 VERIFICACIÓN
Página 84
Se observa en la Figura 5.7 que las distribuciones de la conductividad térmica son muy
similares, es decir, la solución reportada por los autores y la obtenida con el código
numérico desarrollado, cualitativamente son semejantes entre si y a la solución analítica
cuando t=0.05, 0.1, 0.2 y 0.3 s. Además, se puede observar cómo evoluciona o cambia la
conductividad térmica dependiente de la temperatura a medida que transcurre el tiempo.
Como se pudo apreciar, todos los resultados que se presentaron se asemejan a los
resultados analíticos y/o a los resultados reportados por los autores que se mencionaron. Por
lo tanto, una vez finalizada la verificación, se concluye que el código numérico
unidimensional cartesiano que se desarrolló se encuentra libre de errores de programación y
que el método inverso numérico que se utiliza para el estudio de este tema investigación
obtendrá resultados confiables.
5.2 ESTUDIO DE I�DEPE�DE�CIA DE MALLA E� EL ESPACIO Y
TIEMPO.
En este apartado se muestra la diferencia de los resultados obtenidos al variar el
tamaño de la malla (n) y el paso del tiempo (∆t). Para demostrar lo anterior, se escoge el
caso en el cual hay que determinar la conductividad térmica en un medio sólido compuesto
de tres materiales diferentes, el cual está sujeto al sistema cilíndrico bidimensional. Este
caso seleccionado para el estudio de independencia de malla en el espacio y tiempo,
representa las tres situaciones en que puede variar o no la conductividad térmica, es decir:
conductividad térmica constante, conductividad térmica dependiente del espacio y
conductividad térmica dependiente de la temperatura. Se eligió este caso porque se
considera que es el comportamiento más inestable de la distribución de la conductividad
térmica en el presente tema de investigación. Cabe mencionar que los valores de los
parámetros restantes son casos extremos, es decir, la diferencia entre el radio y la longitud
del cilindro sólido compuesto es alta, además, se considero temperaturas altas y bajas en las
fronteras.
Capítulo 5 VERIFICACIÓN
Página 85
Las mallas utilizadas para el estudio son n=10x10, 40x40, 70x70 y 100x100 nodos, es
decir, con incrementos de 30 nodos computacionales tanto en la dirección radial (r) como
en la dirección longitudinal (z), respectivamente. Mientras que los pasos de tiempo
utilizados son: ∆t=0.1, 0.05 y 0.01s.
*Determinación de la conductividad térmica en un cilindro sólido compuesto
bidimensional.
El planteamiento del problema inverso es como sigue: un cilindro sólido fabricado con
tres materiales diferentes λ1, λ2, y λ3, se encuentra sujeto a las condiciones de frontera que
se muestra en la Figura 5.8. Determinar la distribución de la conductividad térmica en el
cilindro sólido compuesto cuando alcance el estado permanente. Considere Cp=1 cal/kg°C
y ρ=1 kg/m3.
Figura 5.8.- Modelo físico del sistema compuesto cilíndrico.
donde:
*Radio y longitud, respectivamente:
Lr=0.5 m, Lz=1.5 m (Z1=Lz/3, Z2= 2Z1) (5.27)
r
ST r= Lr
z
Z1
z=Lz
Lr
ET
( ) ?,,3 =Tzrλ
�T
Z2
Material
3
Material
2
Material
1
Interfaces
?2 =λ
( ) ?,,1 =Tzrλ
Lz
�T
ST
ET
r=0
z=0
O
Capítulo 5 VERIFICACIÓN
Página 86
*Condición inicial ( ,<0 Lrr ≤ ,0 Lzz ≤≤ t = 0)
( ) ( ) 5.0,, ES�i TTTtzrT ++= (5.28)
*Condiciones de frontera (t ˃ 0)
( ) CzLrTE °= 160, (5.29)
( ) CrTS °= 3500, (5.30)
( ) CLzrT� °= 5, (5.31)
*Conductividad térmica ( ,<0 Lrr ≤ t ˃ 0):
5.0),,(1),,(1 tzrTzrTzr +++=λ
sujeto a: 1 0 zz ≤≤ (5.32a)
CmW °= /2.502λ
sujeto a: 21 << zzz (5.32b)
),,()5.0(),,(3 tzrTzrTzr ++=λ
sujeto a: Lzzz ≤≤2 (5.32c)
Figura 5.9.-Línea donde se desea conocer la distribución de la conductividad térmica
para el estudio de independencia de malla en el espacio y tiempo.
La Figura 5.9 muestra la línea A en la cual se desea conocer la distribución de la
conductividad térmica para el estudio de la independencia de malla en el espacio y tiempo.
A r
z
Material sintético 1
Material sintético 2
Acero
Lr
2
O
Capítulo 5 VERIFICACIÓN
Página 87
Como se observa, la línea A se encuentra en el centro de la dirección radial para observar el
comportamiento de la conductividad térmica en las interfaces del medio sólido compuesto.
5.2.1 Independencia de malla en el espacio.
A continuación, se muestra la distribución de la conductividad térmica obtenida en la
línea A, la cual está sujeta a las diferentes mallas. Se considera un paso de tiempo
∆t=0.01 s.
(a) (b)
(c)
Figura 5.10.-Distribuciones de la conductividad térmica en la línea A del cilindro sólido compuesto,
cuando está sujeta a diferentes mallas: (a) t=0.02 s, (b) t=0.70 s y (c) t=1.50 s (estado
permanente).
z (m) z (m)
λ (W
/m°C
)
λ (W
/m°C
)
z (m)
λ (W
/m°C
)
Interfaces
Capítulo 5 VERIFICACIÓN
Página 88
En la Figura 5.10 se observa cómo cambia la distribución de la conductividad térmica
en el medio sólido compuesto, a medida que el tamaño de la malla incrementa.
Como se dispone de la solución analítica de la conductividad térmica, ver ecuaciones
(5.32), en la Tabla 5.8 se muestra el máximo error relativo de la distribución de la
conductividad térmica obtenida en la línea A, cuando está sujeta a las diferentes mallas a
medida que transcurre el tiempo.
Tabla 5.8.-Máximo error relativo en la línea A cuando ∆t=0.01 s
Malla
(n)
Máximo Error Relativo %
t=0.02 s t=0.70 s t=1.50 s
10x10 27.98 23.98 22.27 40x40 12.97 6.29 1.89 70x70 11.71 1.13 1.80x10-3
100x100 11.07 6.81x10-3 8.70x10-4
Al observar la Figura 5.10a, b y c, se aprecia que a medida que el tiempo alcanza el
estado permanente (t=1.50 s), las distribuciones de la conductividad térmica son más
estables. Este comportamiento se aprecia más cuando se comparan los valores máximos de
los errores relativos de la Tabla 5.8. Por ejemplo, el máximo error relativo encontrado en la
malla n=40x40 nodos cuando t=0.02 s, es mayor cuando se compara con el máximo error
relativo encontrado en t=1.50 s para la misma malla. Por lo tanto, en la Tabla 5.8 se
observa que la malla n=10x10 nodos cuando t=0.02 s, es la que presenta el mayor de todos
los máximos errores relativos (27.98%). Por el contrario, la malla n=100x100 nodos
cuando t=1.50 s, es la que presenta el menor de todos los máximos errores relativos
(8.70x10-4). En otras palabras, en la Tabla 5.8 se observa que al aumentar el tamaño de la
malla a medida que transcurre el tiempo, los resultados numéricos obtenidos de la
conductividad térmica son más exactos, es decir, presentan menor error relativo cuando se
comparan con los resultados analíticos. Entonces, es posible utilizar una malla n ≥ 70x70
nodos (la diferencia entre las mallas n=70x70 y n=100x100 nodos es aproximadamente
9.30x10-4 cuando t=1.50 s) para obtener la distribución numérica de la conductividad
térmica en todo el dominio del cilindro sólido compuesto, porque a partir de este tamaño de
malla, la diferencia de los resultados obtenidos es insignificante.
Capítulo 5 VERIFICACIÓN
Página 89
5.2.2 Independencia de malla en el tiempo.
Se eligieron tres pasos de tiempos ∆t=0.1, 0.05 y 0.01s para obtener la distribución de
la conductividad térmica en la línea A de la Figura 5.9. Se considera una malla n=100x100
nodos. A continuación, se realiza lo mencionado.
(a) (b)
(c)
Figura 5.11.-Distribuciones de la conductividad térmica en la línea A para los diferentes
pasos de tiempo: (a) t=0.02 s, (b) t=0.7 s y (c) t=estado permanente.
En la Figura 5.11 se observa el comportamiento de la distribución de la conductividad
térmica en la línea A. La Tabla 5.9 muestra el máximo error relativo encontrado en la
distribución de la conductividad térmica en cada uno de los diferentes pasos de tiempo.
z (m) z (m)
z (m)
λ (
W/m
°C)
λ (W
/m°C
)
λ (W
/m°C
)
Interfaces
Capítulo 5 VERIFICACIÓN
Página 90
Tabla 5.9.-Máximo error relativo encontrado en la línea A, en los
diferentes pasos del tiempo.
∆t
(s)
Máximo Error Relativo %
t=0.02 s t=0.70 s t=Estado P.
0.1 41.03 21.20 9.17
0.05 12.49 7.02x10-3 9.51x10-4
0.01 11.07 6.81x10-3 8.70x10-4
En la Tabla 5.9 se observa que la distribución de la conductividad térmica presenta
menor error relativo a medida que alcanza su estado permanente. Es importante mencionar
que el valor del tiempo permanente depende del criterio de convergencia que se considera
en el código numérico desarrollado, es decir, al cambiar el criterio de convergencia el
tiempo permanente resultante puede ser mayor o menor al que se obtuvo en este caso (el
criterio de convergencia se mencionó en la capitulo anterior). Además, se observa que el
error relativo obtenido al utilizar un paso de tiempo ∆t=0.1 s (por ejemplo en t=0.70 s), es
mayor comparado con los otros pasos de tiempo considerados. Por lo tanto, entre más
pequeño sea el paso del tiempo, menor será el error relativo entre la solución analítica y la
numérica. De acuerdo a la Tabla 5.9, se puede utilizar un paso de tiempo ∆t=0.01 s, porque
a partir de este valor la malla es independiente del paso del tiempo.
Retornando a la Figura 5.11c, el comportamiento de la distribución de la línea A es
peculiar, porque es en esta línea donde se puede apreciar el cambio abrupto de la
conductividad térmica, es decir, al pasar del material ( )Tzr ,,1λ (dependiente del
espacio y de la temperatura) al material 2λ (constante) y después al material
( )Tzr ,,3λ (dependiente del espacio y de la temperatura). Además, en las interfaces no
se presentan anomalías, porque las ecuaciones (4.31) del Capítulo 4 están funcionando
correctamente en el código numérico compuesto desarrollado. Lo anterior se debe a que las
ecuaciones (4.31) están amortiguando el cambio brusco de la conductividad térmica.
En la Figura 5.12 se observa la distribución de la conductividad térmica en todo el
dominio bidimensional del cilindro sólido compuesto, cuando alcanza el estado
permanente.
Capítulo 5 VERIFICACIÓN
Página 91
Figura 5.12.-Distribución de la conductividad térmica en el cilindro sólido
compuesto cuando alcanza el estado permanente.
En conclusión, una malla espacial de 100x100 nodos computacionales y con un paso de
tiempo ∆t=0.01 s, son suficientes para realizar el análisis de los problemas que se presentan
en esta tesis.
λ
r (m)
z(m
)
Capítulo 6 RESULTADOS
Página 92
CAPÍTULOCAPÍTULOCAPÍTULOCAPÍTULO 6666
En este Capítulo se presenta los resultados obtenidos al momento de resolver los
problemas inversos de conducción de calor. En estos resultados se aprecia el
comportamiento de la conductividad térmica en todo el dominio del sistema bajo estudio.
Este comportamiento puede ser constante, dependiente del espacio y dependiente de la
temperatura.
RESULTADOSRESULTADOSRESULTADOSRESULTADOS
Capítulo 6 RESULTADOS
Página 93
La principal ventaja de una técnica numérica, es que se pueden variar los parámetros
que intervienen directamente en el comportamiento del fenómeno físico que se estudia. Con
esto se puede observar la contribución de los parámetros sobre el fenómeno físico.
A continuación, se presentan los resultados que se obtienen al resolver los problemas
inversos, los cuales están sujetos a diversas condiciones, con la finalidad de mostrar el
alcance de los códigos numéricos desarrollados. Cabe mencionar que la conductividad
térmica en todo el dominio del sistema puede ser: constante, dependiente del espacio y
dependiente de la temperatura. En la Tabla 6.1 se aprecia mejor los casos que se
resolvieron.
Tabla 6.1.-Casos resueltos para determinar la conductividad térmica.
Dependencia de la
conductividad
térmica (λ)
Medios simples
Medios compuestos
Sistema
cartesiano
Sistema
cilíndrico
Sistema
cartesiano
Sistema
cilíndrico
1D 2D 1D 2D 2D 2D
Constante √ √ √ √ √
Dependiente
del espacio
√
√ √ √
Dependiente de
la temperatura
√ √ √ √ √
Para los casos en donde la conductividad térmica es constante, los materiales que se
utilizaron para resolver el problema inverso fueron seleccionados con el propósito de
abarcar el amplio intervalo de las conductividades térmicas de los materiales sólidos. En la
Tabla 6.2 se aprecia lo mencionado.
Capítulo 6 RESULTADOS
Página 94
Tabla 6.2.-Conductividad térmica de algunos materiales sólidos.
Material λ(W/m°C)
Asbesto 0.58
Baquelita 1.40
Plomo 35.30
Hierro 147.0
Cobre 401.0
Plata 429.0
Para los casos en donde la conductividad térmica es dependiente del espacio, se eligió
dos tipos de dependencia espacial. Estas son: dependencia lineal y dependencia sinusoidal.
Cuando la conductividad térmica es dependiente de la temperatura, se utilizaron bajas
y altas temperaturas en las fronteras, con la finalidad de observar el comportamiento de la
conductividad térmica en todo el dominio del sistema cuando está sujeto a cambios bruscos
de temperatura.
En este Capítulo los datos de la distribución de la temperatura de entrada para el
problema inverso se obtienen de dos formas: analíticamente o numéricamente.
1.-Cuando la distribución de la temperatura de entrada se obtiene de forma analítica,
simplemente se plantea el problema inverso para determinar la conductividad térmica
del medio sólido. Por lo general, cuando se dispone de la solución analítica de la
temperatura, también se tiene la solución analítica de la conductividad térmica. Esto con
el fin de comprobar la exactitud del método inverso utilizado.
2.-Cuando la distribución de la temperatura de entrada se obtiene de forma numérica,
primero es necesario plantear el problema directo cuya solución numérica se obtiene
aplicando el Método de Volúmenes Finitos (MVF). A continuación, se plantea el
problema inverso a partir de este dato (distribución de temperatura) y se supone
desconocido una parte del enunciado del problema directo (conductividad térmica), se
procede a su determinación y se comprueba la exactitud del método inverso al
compararlo con la solución exacta que se dio como conocida en el problema directo.
Capítulo 6 RESULTADOS
Página 95
6.1 RESULTADOS DE LOS PROBLEMAS I�VERSOS E�
COORDE�ADAS CARTESIA�AS.
Los resultados que a continuación se presentan, corresponden a una placa sólida
unidimensional, bidimensional y compuesta en coordenadas cartesianas. Dichos resultados
se presentan en estado permanente cuando la conductividad térmica es constante o
dependiente del espacio. Sin embargo, cuando la conductividad térmica es dependiente de
la temperatura, los resultados se presentan en distintos tiempos con la finalidad de observar
la evolución de la conductividad térmica a medida que transcurre el tiempo.
6.1.1 Sistema unidimensional (x).
El sistema que se considera consiste en una placa unidimensional, ,0 Lxx ≤≤ con una
distribución de temperatura que varía con la distancia. El modelo físico se aprecia en la
Figura 5.1. Las condiciones para cada uno de los problemas cuando el tiempo t ≥ 0 son las
siguientes:
6.1.1.1.-Conductividad térmica constante.
*Condición inicial ( ,0 Lxx ≤≤ t = 0):
( ) ( )xCostxTi π=, (6.1)
*Condiciones de frontera (t ˃ 0):
( ) CtTW °=10,0 (6.2)
( ) CtLxTE °= 5, (6.3)
La solución de la temperatura de entrada se obtiene de forma analítica, además, se
conoce el valor de la conductividad térmica de la placa unidimensional. Esto es:
( ) ( )xCosetxT t ππ 22, −= (6.4)
CmW °= /40.1λ
(6.5)
sujetos a: 0>,0 tLxx ≤≤
considere: �t= 0.01 s, Lx=0.80 m, Cp=1.0 cal/kg°C y ρ=1.0 kg/m3.
(Baquelita)
Capítulo 6 RESULTADOS
Página 96
El resultado del primer problema inverso unidimensional cartesiano, se muestra en la
Figura 6.1.
Figura 6.1.- Conductividad térmica constante de la placa unidimensional cartesiana.
En la Figura 6.1 se aprecia el comportamiento de la distribución de la conductividad
térmica, cuando la placa unidimensional está sometida a condiciones de primera clase en
sus fronteras. Al comparar cuantitativamente la solución numérica con el valor exacto, se
determina que el máximo error relativo encontrado es de 3.27x10-5
%. Por último, se
menciona que el sistema alcanza el estado permanente cuando el tiempo es igual a t=0.36 s.
6.1.1.2.-Conductividad térmica dependiente del espacio.
*Condición inicial ( ,0 Lxx ≤≤ t = 0):
( ) ( ) 5.0, Ei TtxT = (6.6)
*Condiciones de frontera (t ˃ 0):
( ) 2/5,0 mWtqW = (6.7)
( ) CtLxTE °= 10, (6.8)
La solución de la temperatura de entrada se obtiene de forma numérica y se dispone de
la solución analítica de la conductividad térmica de la placa unidimensional. Esto es:
( ) ( ) ( )[ ]5.02 +++= xxxλ (6.9)
sujeto a: 0>,0 tLxx ≤≤
considere: �t= 0.01 s, Lx=1.0 m, Cp=0.1 cal/kg°C y ρ=0.1 kg/m3.
λ (
W/m
°C)
x (m)
Capítulo 6 RESULTADOS
Página 97
En la Figura 6.2 se aprecia el comportamiento de la distribución de la conductividad
térmica dependiente del espacio, cuando la placa unidimensional está sometida a
condiciones de primera y segunda clase en sus fronteras.
Figura 6.2.- Conductividad térmica dependiente del espacio de la placa unidimensional cartesiana.
Como se observa, el valor de la conductividad térmica dependiente del espacio
aumenta de manera lineal conforme se incrementa la dimensión del sistema. El
comportamiento de este fenómeno físico se debe principalmente a la relación lineal de la
conductividad térmica con el espacio, ver Ecuación (6.9). Al comparar cuantitativamente la
solución numérica con la solución analítica, se determina que el máximo error relativo
encontrado es de 0.16%. El sistema alcanza el estado permanente cuando el tiempo es igual
a t=1.30 s.
6.1.2 Sistema bidimensional (x, y).
El planteamiento del problema inverso es como sigue: se desea determinar la
distribución de la conductividad térmica (λ) de una placa sólida ( ,0 Lxx ≤≤ Lyy ≤≤0 ).
Las fronteras del sistema están sujetas a condiciones de primera o segunda clase, como se
muestra en la Figura 3.1. Las condiciones para cada uno de los problemas cuando el tiempo
t ≥ 0 son las siguientes:
x (m)
λ (
W/m
°C)
Capítulo 6 RESULTADOS
Página 98
6.1.2.1.-Conductividad térmica constante.
*Condición inicial ( ,0 Lxx ≤≤ ,0 Lyy ≤≤ t = 0):
( ) )(2,, ES�i TTTtyxT ++= (6.10)
*Condiciones de frontera (t ˃ 0):
( ) CtLyxT� °= 10,, (6.11)
( ) CtxTS °= 20,0, (6.12)
( ) CtyLxTE °= 5,, (6.13)
( ) 2/2.1,,0 mWtyqW = (6.14)
La solución de la temperatura de entrada se obtiene de forma numérica y se conoce el
valor de la conductividad térmica de la placa sólida bidimensional. Por lo tanto, se tiene lo
siguiente:
CmW °= /0.147λ (6.15)
sujeto a: ,0 Lxx ≤≤ ,0 Lyy ≤≤ t ˃ 0
considere: �t= 0.01 s, Lx=0.5 m, Ly=0.5 m, Cp= 1.0 cal/kg°C y ρ=1.0 kg/m3.
En la Figura 6.3 se observa el comportamiento constante de la conductividad térmica a
lo largo de toda la geometría de la placa sólida bidimensional.
Figura 6.3.- Distribución de la conductividad térmica constante en la placa bidimensional.
(Hierro)
x (m)
λ
y(m
)
Capítulo 6 RESULTADOS
Página 99
El máximo error relativo encontrado entre la solución numérica y el valor exacto de la
conductividad térmica es de 8.21x10-3
%. El sistema alcanza el estado permanente en un
tiempo de t=0.90 s.
6.1.2.2.-Conductividad térmica dependiente de la temperatura.
*Condición inicial ( ,0 Lxx ≤≤ ,0 Lyy ≤≤ t = 0):
( ) )(5.0,, WES�i TTTTtyxT +++= (6.16)
*Condiciones de frontera (t ˃ 0):
( ) CtLyxT� °= 80,, (6.17)
( ) CtxTS °= 40,0, (6.18)
( ) CtyLxTE °= 40,, (6.19)
( ) CtyTW °= 40,,0 (6.20)
La solución propuesta de la distribución de la temperatura de entrada, se obtuvo al
resolver de forma analítica la ecuación de conducción de calor en coordenadas cartesianas
(x, y), en estado permanente y sin generación de calor. Para lograr lo anterior, se utilizo el
método se separación de variables. Por lo tanto, las soluciones analíticas de la temperatura
y de la conductividad térmica en la placa sólida bidimensional, son las siguientes:
( ) ( ) ( )∑∞
=
−
−−+=1
112,
n
�S
n
E TTLx
xnsen
Lx
Lynsenh
Lx
ynsenh
nTyxT
ππ
π
π (6.21)
( ) ( )
+++=
y
yxTxT
2
,5.0λ (6.22)
sujetos a: ,0 Lxx ≤≤ Lyy ≤≤0
considere: Lx=1.0 m, Ly=1.0 m, Cp= 1.0 cal/kg°C y ρ=1.0 kg/m3.
Como se observa, la solución analítica de la temperatura se encuentra en estado
permanente, por lo tanto, la distribución obtenida de la conductividad térmica en la placa
sólida bidimensional (como depende de la temperatura) se encuentra también en estado
permanente. Entonces ¿es posible conocer la distribución de la conductividad térmica en la
Capítulo 6 RESULTADOS
Página 100
placa sólida bidimensional, cuando la distribución de la temperatura de entrada se
encuentra en estado permanente?, ¿si es posible, será la solución correcta?
Para contestar las preguntas anteriores, primero se determina numéricamente la
distribución transitoria de la temperatura de entrada. Para verificar la solución numérica
con la solución analítica de la temperatura de entrada, es necesario que la solución
numérica alcance el estado permanente. A continuación, se realiza lo mencionado.
La Tabla 6.3 muestra la comparación cuantitativa de la temperatura numérica con la
temperatura analítica al considerar 50 puntos o nodos (solo se muestran los nodos
relevantes). El código numérico alcanza el estado permanente en t =8.0 s.
Tabla 6.3.-Comparación de los resultados analíticos y numéricos de la temperatura.
x
(m)
y
(m)
S. Analítica
(°C)
S. #umérica
(°C)
Error
relativo %
0.00 0.00 40.00 40.00 0.00
0.00 0.01 40.00 40.00 0.00
* * * * *
0.01 0.94 45.00 45.00 1.94x10-4
0.01 0.95 46.22 46.22 2.10x10-3
0.01 0.96 48.17 48.17 0.01
0.01 0.97 51.08 51.08 9.31x10-3
* * * * *
0.52 0.76 62.54 62.54 1.02x10-3
0.52 0.77 63.19 63.19 1.07x10-3
0.52 0.78 63.85 63.85 3.11x10-3
* * * * *
1.00 0.98 40.00 40.00 0.00
1.00 1.00 40.00 40.00 0.00
En la Tabla 6.3 se observa que el máximo error relativo encontrado entre la solución
analítica y la numérica es de 0.01%.
En la Figura 6.4 se muestra la comparación cualitativa de la temperatura numérica con
la temperatura analítica.
Capítulo 6 RESULTADOS
Página 101
Figura 6.4.-Comparación de la temperatura numérica obtenida con la analítica.
Se observa en la Figura 6.4 que las distribuciones de temperatura son muy similares.
Por lo tanto, cualitativamente y cuantitativamente las soluciones de la temperatura de
entrada son semejantes. Además, se establece que el método directo (implementado en el
código numérico desarrollado) está operando correctamente.
Ahora, se determina la distribución analítica de la conductividad térmica, usando la
solución analítica de la temperatura de la Ecuación (6.21). Posteriormente, se determina la
distribución numérica de la conductividad térmica introduciéndole la solución numérica de
la temperatura previamente encontrada. Esto con el fin de comparar ambas soluciones. La
Tabla 6.4 muestra la comparación cuantitativa al considerar 50 nodos computacionales
x (m)
y (
m)
Capítulo 6 RESULTADOS
Página 102
Tabla 6.4.-Comparación de los resultados numéricos y analíticos de la conductividad térmica.
x
(m)
y
(m)
S. Analítica
(W/m°C)
S. #umérica
(W/m°C)
Error
relativo %
0.00 0.00 20.25 20.25 4.21x10-3
0.00 0.02 20.04 20.04 4.11x10-3
* * * * *
0.35 0.18 20.04 20.04 4.30x10-3
0.35 0.20 20.02 20.02 4.01x10-4
0.35 0.22 20.01 20.01 4.10x10-3
0.35 0.25 20.01 20.01 2.14x10-4
* * * * *
0.95 0.14 19.47 19.47 5.01x10-3
0.95 0.16 19.31 19.31 0.02
0.95 0.18 19.15 19.15 0.01
* * * * *
1.00 0.97 13.93 13.93 2.11x10-4
1.00 1.00 13.83 13.83 7.121x0-3
En la Tabla 6.4 se observa que el máximo error relativo encontrado es de 0.02%.
Además, en la Figura 6.5 se muestra la comparación cualitativa de la conductividad térmica
numérica con la conductividad térmica analítica.
Figura 6.5.-Comparación de la conductividad térmica numérica con la analítica.
x (m)
y (
m)
Capítulo 6 RESULTADOS
Página 103
Se aprecia en la Figura 6.5 que las distribuciones de la conductividad térmica son
semejantes cuando ambas soluciones se encuentran en el estado permanente. Entonces, si es
posible determinar la distribución de la conductividad térmica en estado permanente,
siempre y cuando la solución de la temperatura de entrada se encuentre también en estado
permanente.
6.1.3 Sistema compuesto (x, y).
En este caso se desea conocer la distribución de la conductividad térmica (λ) de una
placa sólida rectangular, fabricada con dos o más materiales diferentes que se unen a la
base del mismo material.
6.1.3.1.-Conductividad térmica constante.
Para el primer problema inverso compuesto en el sistema cartesiano, se considera una
placa sólida fabricada con tres materiales diferentes λ1, λ2 y λ3 (baquelita-plomo-hierro,
respectivamente). El modelo físico se observa en la Figura 6.6, el cual está sujeto a
condiciones de frontera de primera clase. Los valores de la conductividad térmica
(baquelita-plomo-hierro) se aprecian en la Tabla 6.2.
Figura 6.6.-Modelo físico de la placa sólida compuesta bidimensional.
1.0 m
0.5 m
0.2 m
0.2 m
0.3 m
1.0 m
x
y
0°C
20°C
30°C
5°C
λ3
λ2
λ1
O
Capítulo 6 RESULTADOS
Página 104
En la Figura 6.7 (a) se aprecia el comportamiento constante de la conductividad
térmica de los tres materiales diferentes de la placa solida. Como se esperaba, la zona roja
representa el material de mayor conductividad térmica (hierro). Por el contrario, la zona de
color azul fuerte representa el material de menor conductividad térmica (aislante). Además,
se observa que en las interfaces (donde ocurre el cambio brusco de la conductividad térmica
de un material a otro) el comportamiento es uniforme, o bien, no presenta algún
comportamiento irregular al momento de pasar de un material a otro.
(a)
(b) Figura 6.7.-Comportamiento del fenómeno físico a lo largo de la geometría de la placa
sólida compuesta: a)Conductividad térmica y b)Temperatura.
Interfaces
x (m)
λ
y (
m)
T
x (m)
y
(m
)
Capítulo 6 RESULTADOS
Página 105
Por otra parte, en la Figura 6.7 (b) se aprecia la distribución de la temperatura en la
placa sólida, como resultado de los materiales diferentes del que está fabricado. Se observa
que la frontera Sur es la zona más caliente de la placa sólida. Sin embargo, la difusión de la
temperatura de esta zona hacia el resto de la placa solida, es lenta porque precisamente en
esta zona se encuentran los dos primeros materiales cuyas conductividades térmicas son
menores comparadas con el tercer material. Mientras que en la frontera norte, se encuentra
la menor temperatura de la placa sólida, pero su difusión es más rápida a lo largo de toda la
geometría de la placa sólida, porque en esta zona se encuentra el material de mayor
conductividad térmica.
En la Figura 6.8 (a) y (b), se aprecian las distintas distribuciones de la conductividad
térmica constante en la placa sólida compuesta, cuando se altera el orden de los materiales.
Además, se aprecian sus respectivas distribuciones de la temperatura cuando se realiza lo
mencionado. El máximo error relativo encontrado en este caso es de 0.12% cuando t=0.91 s
(estado permanente).
(a)
x (m) x (m)
y (
m)
y
(m
)
T λ
Capítulo 6 RESULTADOS
Página 106
70°C
(b)
Figura 6.8.-Distribución de la conductividad térmica-temperatura de la placa sólida
compuesta: a)Hierro-Baquelita-Plomo y b)Plomo-Hierro-Baquelita.
6.1.3.2.-Conductividad térmica dependiente de la temperatura.
En este caso se considera una placa sólida fabricada con dos materiales sintéticos λ1 y
λ2. El modelo físico se muestra en la Figura 6.9. Prácticamente está sujeto a condiciones de
frontera de primera clase.
Figura 6.9.- Modelo físico del sistema compuesto bidimensional.
y=0
λ T
x (m) x (m)
y
(m
)
y
(m
)
Interface
x=0 Lx=1.0 m
x
80°C 20°C
y
( ) ?,,1 =tyxλ ( ) ?,,2 =tyxλ
40°C
x=Lx/2
Ly=0.5 m
Capítulo 6 RESULTADOS
Página 107
Las soluciones exactas de la conductividad térmica en la placa compuesta son:
( ) ( )[ ] ( )yxmtyxTyxT ++++= 0.1,,1λ
(6.23)
( ) ( )[ ] ( )mymtyxTxT 0.12.1,,2 +++=λ
(6.24)
A continuación, en la Figura 6.10 se presenta la solución numérica de la conductividad
térmica. En esta figura se aprecia la evolución de la conductividad térmica en la placa
sólida a medida que transcurre el tiempo.
(a) (b)
(c) (d)
Figura 6.10.-Distribución de la conductividad térmica en la placa sólida compuesta:
a) t=0.5 s, b) t=0.9 s, c) t=1.2 s y c) t=1.9 s (Estado Permanente).
En la figura anterior se observa que el material que se encuentra en la parte derecha de
la interface, al principio la conductividad térmica es mayor en la parte central de la placa
sólida, pero a medida que transcurre el tiempo la frontera sur es la que permanece con el
mayor valor de conductividad térmica, es decir, el material 2λ es mejor conductor. El
sistema alcanza el estado permanente cuando t=1.9s.
Interface x (m)
y (
m)
y (
m)
x (m)
y (
m)
y (
m)
x (m) x (m)
Capítulo 6 RESULTADOS
Página 108
Como complemento, en la Figura 6.11 (a)-(f) se muestran diversos resultados cuando
alcanzan el estado permanente, obtenidos al resolver el problema inverso compuesto. En la
figura 6.11 (a) y (b) se usan dimensiones de Lx=0.1m y Ly=0.05m, mientras que en la
figura 6.11 (c)-(f) se usan dimensiones de Lx=0.1m y Ly=0.1m. En todos los casos la
condición inicial es de 35°C. Además, en la Tabla 6.5 se muestran las condiciones de
frontera a los cuales están sujetos cada caso y sus respectivas soluciones analíticas de la
conductividad térmica.
Tabla 6.5.-Condiciones de frontera y soluciones analíticas de la conductividad térmica.
Caso
Condiciones de Frontera (°C)
Conductividad térmica (W/m°C)
T# TS TE TW λ1 λ2
a 30 20 10 60 ( )[ ] ( )yxtyxTyx ++++ 0.1,, 2.0
b 40 70 20 80 ( )[ ] ( )yxtyxTyx ++++ 0.1,, ( )[ ] ( )0.10.12,, +++ ytyxTx
c 20 60 40 70 0.01 121.5
d 10 5 40 20 ( )( )[ ] ( )yxeyx +++ 0.50.1 13.5
e 0 5 30 30 ( )( )3.03.0 ++ xy ( )( )[ ]3.03.00.1 +++ xy
f 30 40 10 25 2.05 ( )( )[ ]3.03.00.3 −−+ xy
(a) (b)
λ
λ
x (m) x (m)
y (
m)
y (
m)
Capítulo 6 RESULTADOS
Página 109
(c) (d)
(e) (f)
Figura 6.11.-Distribuciónes de la conductividad térmica en la placa sólida compuesta,
para los diferentes casos antes mencionados.
En la figura anterior se observa los diferentes casos de la conductividad térmica, es
decir, cuando es constante, dependiente del espacio y dependiente de la temperatura.
x (m) x (m)
y (
m)
y (
m)
y (
m)
λ
λ
x (m) x (m)
y
(m
)
λ λ
Capítulo 6 RESULTADOS
Página 110
De todo lo anterior, se establece que el código numérico desarrollado para determinar
la conductividad térmica en el sistema compuesto está operando adecuadamente. El error
relativo obtenido en cada caso presentado, se encuentra entre 12.78% a 0.12%. Por lo
tanto, se obtiene resultados confiables.
6.2 RESULTADOS DE LOS PROBLEMAS I�VERSOS E�
COORDE�ADAS CIL�DRICAS.
Los resultados que a continuación se presentan, corresponden a un cilindro sólido o
macizo unidimensional, bidimensional y compuesto en coordenadas cilíndricas.
6.2.1 Sistema unidimensional (r).
El planteamiento del problema inverso es como sigue: un cilindro sólido, Lrr ≤<0 ,
se encuentra inicialmente a una temperatura ( )0,rTi en todo su dominio. Para tiempos
0,>t la frontera en r=Lr se mantiene a una temperatura TE o a un flujo de calor qE, como
se muestra en la Figura 6.12. Determinar la distribución de la conductividad térmica (λ) en
el cilindro sólido. Las condiciones para cada uno de los problemas cuando el tiempo t ≥ 0
son las siguientes:
Figura 6.12.- Modelo físico del cilindro sólido unidimensional.
r
( ) ?, =trλ
ET
r
Lr O
Eq
ET
Eq
Lr
Capítulo 6 RESULTADOS
Página 111
6.2.1.1.-Conductividad térmica constante.
*Condición inicial ( ,<0 Lrr ≤ t = 0):
( ) CtrTi °= 30, (6.25)
*Condiciones de frontera (t ˃ 0):
( ) CtLrTE °=100, (6.26)
La solución analítica propuesta de la distribución de la temperatura de entrada, se
obtuvo al resolver de forma analítica la ecuación de conducción de calor unidimensional
(coordenada cilíndrica r), en estado transitorio y sin generación de calor. Para lograr lo
anterior se aplicó la función de Green. Mientras que el valor de la conductividad térmica se
obtiene de la Tabla 6.2. Por lo tanto, las soluciones analíticas de la temperatura de entrada y
de la conductividad térmica en el cilindro sólido, son las siguientes:
( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
−+= ∑
∞
=
−1
2,
2211
2
1
0
1
t
n
En
n
in
n
n
n
t nn eTLrJTLrJ
LrJ
rJe
LrtrT
αβαβ
ββ
ββ
ββ
(6.27)
CmW °= /30.35λ (6.28)
donde:
=10 , JJ Función de Bessel de 1era clase de orden cero y de orden uno, respectivamente.
=nβ Raíces de la función de Bessel.
=α Difusividad térmica. Cpρλα = (6.29)
sujetos a: 0>,<0 tLrr ≤
considere: �t= 0.01 s, Lr=0.5 m, Cp=1.0 cal/kg°C y ρ=1.0 kg/m3.
En la Figura 6.13, se observa la distribución de la conductividad térmica constante a lo
largo de la dirección radial del cilindro sólido, el cual está sujeto a una condición de
primera clase en la frontera r=Lr.
(Plomo)
Capítulo 6 RESULTADOS
Página 112
Figura 6.13.- Conductividad térmica constante del cilindro sólido unidimensional.
Se aprecia que la conductividad térmica se mantiene prácticamente constante en la
dirección radial del cilindro solido. Al comparar cuantitativamente la solución numérica
con la solución analítica, se determina que el máximo error relativo encontrado es de
4.37x10-3
%. El sistema alcanza el estado permanente cuando el tiempo es igual a t=0.46 s.
6.2.1.2.-Conductividad térmica dependiente de la temperatura.
*Condición inicial ( ,<0 Lrr ≤ t = 0):
( ) ( )rSentrTi π=, (6.30)
*Condiciones de frontera (t ˃ 0):
( ) CtLrTE °= 30, (6.31)
La solución de la temperatura de entrada se obtiene de forma numérica y se conoce la
solución analítica de la conductividad térmica del cilindro sólido unidimensional. Por lo
tanto, se tiene lo siguiente:
( ) ( )[ ] ( )trTrSenxT ,5.11012 4 πλ += − (6.32)
sujeto a: 0>,<0 tLrr ≤
considere: �t= 0.01 s, Lr=0.8 m, Cp= 0.1cal/kg°C y ρ=0.1 kg/m3.
r (m)
λ (
W/m
°C)
Capítulo 6 RESULTADOS
Página 113
En la Figura 6.14 se observa la distribución de la conductividad térmica a medida que
transcurre el tiempo hasta llegar al estado permanente.
Figura 6.14.- Conductividad térmica dependiente del espacio y de la temperatura
en diferentes tiempos.
De tal manera, se observa en la figura anterior que el sistema alcanza el estado
permanente cuando t=0.5 s. Entonces, cuando t=0.5 s, se aprecia que el comportamiento de
la distribución de la conductividad térmica describe una curva senoidal a medida que se
aleja del centro del cilindro sólido unidimensional. Por la relación funcional de la
conductividad térmica, ver Ecuación (6.32), en el origen del cilindro sólido el valor de la
conductividad térmica es pequeño. Por lo tanto, se determina que en el origen del cilindro
sólido existe un material sintético de baja conductividad térmica. Cabe mencionar que el
máximo error relativo encontrado entre la solución numérica y la analítica es de 1.91%.
6.2.2 Sistema bidimensional (r, z).
El planteamiento del problema inverso en coordenadas cilíndricas, es similar al
mencionado en el sistema cartesiano (x, y). La diferencia radica en que ahora se considera
un cilindro sólido o macizo bidimensional ( ,<0 Lrr ≤ Lzz ≤≤0 ). El modelo físico se
observa en la Figura 6.15.
λ (
W/m
°C)
r (m)
Capítulo 6 RESULTADOS
Página 114
Figura 6.15.- Modelo físico del cilindro sólido bidimensional.
A continuación, se presentan los casos resueltos que consisten en determinar la
conductividad térmica a lo largo de todo el dominio del cilindro sólido bidimensional.
6.2.2.1.-Conductividad térmica dependiente del espacio.
La solución propuesta de la distribución de la temperatura de entrada, se obtuvo al
resolver de forma analítica la ecuación de conducción de calor en coordenadas cilíndricas
(r, z), en estado transitorio y sin generación de calor. Para lograr lo anterior se aplicó la
función de Green. Por lo tanto, las soluciones analíticas de la temperatura y de la
conductividad térmica en el cilindro sólido bidimensional, son las siguientes:
( ) ( ) ( )( )[ ] ( )
( ) ( )LzLrJLrT
��
rJzsenetzrT m
mn
ni
n mn
nm
m
tp ηηββ
ηββηαλ
cos1*,, 1
1
0
1
2
−=∑∑∞
=
∞
=
− (6.33)
( ) ( )zrzr ++= 3,λ (6.34)
sujetos a: 0>,0,<0 tLzzLrr ≤≤≤
r
( ) ?,, =tzrλ
ST
r=Lr
z
Lz
z=Lz Lr
ET
�T
z=0
Eq
r=0
�q
Sq
O
Capítulo 6 RESULTADOS
Página 115
donde:
=10 , JJ Función de Bessel de 1era clase de orden cero y de orden uno, respectivamente.
=mn ηβ , Raíces de la función de Bessel y raíces de la función seno, respectivamente.
( ) ( ) =mn �� ηβ , Normas de la función.
=α Difusividad térmica.
Cpρλα = , 222
mnp ηβλ += , ( )2
Lz� m =η , ( ) ( )
2
2
1
2 LrJLr� n
n
ββ =
(6.35)
*Condición inicial ( ,<0 Lrr ≤ ,0 Lzz ≤≤ t = 0):
( ) CtzrTi °= 30,, (6.36)
*Condiciones de frontera (t ˃ 0):
( ) CtLzrT� °= 0,, (6.37)
( ) CtrTS °= 0,0, (6.38)
( ) CtzLrTE °=10,, (6.39)
considere: Lr=0.5 m, Lz=1 m, �t= 0.01 s, Cp=1 cal/kg°C y ρ=1 kg/m3.
En la Figura 6.16 se muestra el comportamiento de la distribución de la conductividad
térmica dependiente del espacio en el cilindro sólido bidimensional. Cabe mencionar que el
máximo error relativo encontrado es de 0.02%. Se alcanza el estado permanente cuando el
tiempo es igual a t =1.10 s. En la Figura 6.16 se observa que el comportamiento de la
conductividad térmica es de forma lineal y su valor aumenta a medida que se aleja del
centro del cilindro sólido. Al observar detalladamente la Ecuación (6.34), se determina que
la conductividad térmica dependiente del espacio solo cambia por la geometría del medio
sólido, es decir, la única forma en que puede existir cambios notables en el
comportamiento de la distribución de la conductividad térmica, incluso cambiando los
parámetros restantes, es variando la geometría del medio sólido que se estudia.
Capítulo 6 RESULTADOS
Página 116
Figura 6.16.-Distribución de la conductividad térmica dependiente
del espacio en el cilindro sólido bidimensional.
6.2.2.2.- Conductividad térmica dependiente de la temperatura.
Para concluir con los problemas inversos bidimensionales, se presenta la distribución
de la conductividad térmica dependiente de la temperatura en el cilindro sólido. El sistema
está sujeto a condiciones de primera clase en sus frontera ( ,5 CT� °= CTS °= 30 y
CTE °= 90 ), la propiedades termofísicas son unitarias (calor especifico y densidad). La
geometría del cilindro sólido es de tal manera que el radio es igual a Lr=0.5 m y la altura
Lz= 1.0 m. Por último, la ecuación de la solución analítica de la conductividad térmica es:
( ) ( ) ( )tzrTzrT ,,5.0 ++=λ (6.40)
A continuación, en la Figura 6.17 se presenta la distribución de la conductividad
térmica en distintos tiempos hasta alcanzar el estado permanente cuando t=1.4 s. En esta
Figura se observa que prácticamente se mantiene el mismo comportamiento, esto se debe a
que la temperatura de la frontera Este es muy predominante con respecto a las otras dos
temperaturas de las fronteras.
r (m)
z (m
)
Capítulo 6 RESULTADOS
Página 117
(a) (b)
(c) (d)
Figura 6.17.-Distribución de la conductividad térmica en el cilindro sólido: a) t=0.3 s,
b) t=0.6 s, c) t=1.0 s y d) t=1.4 s (Estado Permanente).
Para una mejor apreciación de este fenómeno, en la Figura 6.18 (a) se muestra la
ampliación de la Figura 6.17 (d) de la distribución de la conductividad térmica en todo el
dominio del cilindro sólido bidimensional cuando alcanza el estado permanente. Mientras
λ λ
r (m)
z (
m)
z (
m)
r (m)
r (m) r (m)
λ λ
z (
m)
z (
m)
Capítulo 6 RESULTADOS
Página 118
que la Figura 6.18 (b) representa la distribución de la temperatura correspondiente a dicha
distribución de conductividad térmica.
(a) (b)
Figura 6.18.-Distribución del fenómeno a lo largo de la geometría del cilindro sólido:
(a)Conductividad térmica y (b) Temperatura.
En la Figura 6.18 (b), se observa que la frontera Este del cilindro sólido es la zona
donde se encuentra la mayor concentración de la temperatura. Lo anterior se debe al hecho
de que en la misma zona del cilindro sólido, ver Figura 6.18 (a), el material alcanza el
mayor valor de la conductividad térmica, es decir, en esta zona el material es muy
conductor. En otras palabras, el transporte de energía en forma de calor está controlado por
las propiedades termofísicas del material bajo estudio. Estas propiedades, como por
ejemplo la conductividad térmica, tienen una influencia determinante en la distribución de
la temperatura durante los procesos transitorios de calentamiento o enfriamiento.
λ
T
r (m)
z (m
)
r (m)
z (m
)
Zonas de mayor concentración
Capítulo 6 RESULTADOS
Página 119
Cuando la conductividad térmica depende de la temperatura, es posible apreciar
cambios notables en su comportamiento con el simple hecho de cambiar solo un parámetro
inicial. Esto se debe a que la conductividad térmica, como depende de la temperatura, sub-
depende de la geometría del sistema bajo estudio y, desde luego, de la condición inicial y
de frontera. En la Figura 6.19 (a) se muestra el comportamiento de la distribución de la
conductividad térmica cuando cambia solamente la geometría del sistema (Lr=0.5 m y
Lz=1.5 m). Mientras que la Figura 6.19 (b) muestra el comportamiento de la distribución de
la conductividad térmica cuando cambia solamente las condiciones de frontera ( ,10 CT� °=
CTS °= 90 y CTE °= 30 ). Por último, el máximo error relativo encontrado es de 4.01%.
(a) (b)
Figura 6.19.-Distribuciones de la conductividad térmica dependiente de la temperatura,
cuando está sujeta a diferentes condiciones.
Carslaw H. y Jaeger J. (1959) mencionan que en la mayoría de los problemas
prácticos de ingeniería, las propiedades termofísicas dependen de la temperatura y, en
consecuencia, la ecuación de conducción calor es una ecuación en derivadas parciales no
lineal cuya solución, en general, se obtiene a través de una técnica numérica. Por lo tanto, la
determinación de cualquier propiedad termofísica de un medio sólido, representa un
r (m) r (m)
z (
m)
z (m
) λ
λ
Capítulo 6 RESULTADOS
Página 120
problema inverso no lineal de enorme complejidad. Entonces, la determinación de la
conductividad térmica dependiente de la temperatura constituye el caso más difícil de
resolver, comparado con la determinación de la conductividad térmica constante e incluso,
con la determinación de la conductividad térmica dependiente del espacio.
6.2.3 Sistema compuesto (r, z).
A continuación, se determina la distribución de la conductividad térmica (λ) en un
cilindro sólido, el cual puede estar fabricado con dos o más materiales diferentes.
6.2.3.1.- Conductividad térmica constante.
Para el primer problema inverso compuesto en el sistema cilíndrico, se considera un
cilindro sólido fabricado con tres materiales diferentes λ1, λ2 y λ3 (hierro-cobre-plata,
respectivamente). El modelo físico se observa en la Figura 5.8, el cual está sujeto a
condiciones de frontera de primera clase ( ,70 CT� °=
CTS °= 10
y CTE °= 30 ). Los
valores exactos de las conductividades térmicas se aprecian en la Tabla 6.2.
En la Figura 6.20 se presenta la distribución de la conductividad térmica obtenida
numéricamente.
Figura 6.20.-Distribución de la conductividad térmica constante
en el cilindro sólido compuesto.
r (m)
z
(m)
λ
Interfaces
Capítulo 6 RESULTADOS
Página 121
En la figura anterior se aprecia las tres distribuciones constantes de la conductividad
térmica a lo largo de su geometría, que corresponden a los materiales con los cuales está
fabricado el cilindro sólido. Prácticamente la frontera Norte (zona superior) representa el
material de mayor conductividad térmica (plata). Mientras que la frontera Sur (zona
inferior) representa el material menos conductor (hierro). Cabe mencionar que el máximo
error relativo encontrado es de 0.09% cuando t=1.03 s (estado permanente).
6.2.3.2.- Conductividad térmica dependiente de la temperatura.
El último problema inverso compuesto que se presenta en este Capítulo, consiste en un
cilindro solido fabricado con dos materiales diferentes, en los cuales la conductividad
térmica depende de la temperatura. El cilindro sólido está sujeto a condiciones de frontera
de primera clase, las cuales son: ,5 CT� °=
CTS °= 90 y CTE °= 30 . Con dimensiones de
Lr=0.5 m y Lz=1.0 m. Las soluciones analíticas de la conductividad térmica en el cilindro
sólido compuesto son:
( ) ( )[ ] 0.10.2,,,,1 +++= zrtzrTTzrλ (6.41)
( ) ( ) ( )tzrTzrTzr ,,5.0,,2 ++=λ (6.42)
En la Figura 6.21 se aprecia la solución numérica de la conductividad térmica
obtenida en el cilindro sólido compuesto, cuando alcanza el estado permanente (t=1.92 s).
Figura 6.21.-Distribucion de la conductividad térmica en el cilindro sólido compuesto.
r (m)
z
(m)
λ
Interface
Capítulo 6 RESULTADOS
Página 122
En la figura anterior se aprecia que el material ( )Tzr ,,1λ ubicado en la frontera Sur
(zona inferior) tiene una mejor relación de conductividad térmica en todo su dominio.
Como complemento, en la Figura 6.22 (a)-(d) se aprecian diversos resultados cuando
se resuelve el problema inverso cilíndrico compuesto, dichos resultados se obtienen cuando
el sistema alcanza el estado permanente. Cabe mencionar que las dimensiones utilizadas en
todos los casos son de Lr=0.05m y Lz=0.1m. Además, la condición inicial en todos los
casos es el promedio de sus condiciones de frontera. En la Tabla 6.6 se muestran las
condiciones de frontera a las cuales están sujetos los diversos casos y sus respectivas
soluciones analíticas de la conductividad térmica.
Tabla 6.6.-Condiciones de frontera y soluciones analíticas de la conductividad térmica.
Caso
Condiciones de Frontera (°C)
Conductividad térmica (W/m°C)
T# TS TE λ1 λ2
a 50 10 30 0.04 210.01
b 20 20 60 ( ) ( )[ ]zrezr +++0.1 0.5
c 30 0 0 ( ) ( )[ ]zrezr +++0.4 ( )( )[ ] ( )zrezr +++ 0.10.4
d 10 25 60 ( ) ( ) ( )[ ]zrtzrTzr ++++ 0.1,,0.3 9.0
(a) (b)
r (m) r (m)
z
(m)
z (
m)
λ λ
Capítulo 6 RESULTADOS
Página 123
(c) (d)
Figura 6.22.-Distribuciones de la conductividad térmica en el cilindro sólido compuesto,
para los diferentes casos antes mencionados.
El error relativo obtenido en cada caso presentado se encuentra entre 10.37% a 2.12%.
Por lo tanto, el código numérico desarrollado para determinar la conductividad térmica en
el cilindro compuesto presenta resultados confiables.
r (m) r (m)
z
(m)
z
(m)
λ λ
Capítulo 7 CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
Página 124
CAPÍTULOCAPÍTULOCAPÍTULOCAPÍTULO 7777
En este Capítulo se presenta las conclusiones obtenidas en este trabajo de
investigación. Además, se recomienda varios puntos para los siguientes estudios futuros,
con la intención de dar seguimiento a los estudios realizados en este trabajo de
investigación, y de esta manera extender y aplicar los conocimientos aquí generados.
CONCLUSIONES CONCLUSIONES CONCLUSIONES CONCLUSIONES
Y Y Y Y
RECOMENDACIONESRECOMENDACIONESRECOMENDACIONESRECOMENDACIONES
Capítulo 7 CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
Página 125
7.1 CO�CLUSIO�ES.
Se aplicó satisfactoriamente la teoría del Problema Inverso de Transferencia de Calor
para implementar un método inverso que permita determinar la conductividad térmica de
un material sólido. Dentro del estudio se planteó dos configuraciones del material sólido. El
primero consiste de un material sólido simple, el cual puede ser homogéneo (propiedades
termofísicas constantes en el espacio y tiempo) y no-homogéneo (propiedades termofísicas
variables en el espacio y tiempo); y el segundo consiste de un material sólido compuesto
por dos o más materiales sólidos simples, los cuales también pueden ser homogéneos y no-
homogéneos.
Se obtuvó una serie de ecuaciones algebraicas en notación de coeficientes agrupados,
por medio de las cuales fue posible desarrollar los códigos numéricos que permitieron
determinar la conductividad térmica en una placa rectangular o en un cilindro sólido. Estas
ecuaciones algebraicas se obtuvieron al resolver los modelos matemáticos
unidimensionales y bidimensionales (sistema cartesiano y cilíndrico), con el método
inverso numérico (Método de Volúmenes Finitos).
Se realizó la verificación del código numérico en el sistema cartesiano unidimensional,
porque en la literatura solamente se encontró resultados bajo estas condiciones. Al verificar
(cuantitativamente y cualitativamente) los resultados obtenidos del código numérico
desarrollado con los resultados analíticos reportados en los trabajos de Yeung W. y Lam T.
(1995) y Chang C. y Chang M. (2006), se observó que se obtuvieron resultados similares.
El máximo error relativo encontrado en el trabajo de Yeung W. y Lam T. (1995) fue de
12.87%, mientras que en el código numérico desarrollado fue de 1.18%. De la misma
manera, en el trabajo de Chang C. y Chang M. (2006) el máximo error relativo encontrado
fue de 9.78%, mientras que en el código numérico desarrollado fue de 4.84%.
De los resultados obtenidos en los tres casos en que se puede presentar la
conductividad térmica, es decir, conductividad térmica constante, dependiente del espacio y
dependiente de la temperatura; se observó que el primer caso es el más fácil de determinar,
porque su comportamiento es estable en todo el medio sólido, por lo cual el tiempo de
Capítulo 7 CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
Página 126
cómputo y el número de iteraciones es corto. Pero el comportamiento para los dos últimos
casos depende de la forma funcional en que se exprese la conductividad térmica del medio
sólido. De tal manera, cuando la conductividad térmica depende de la posición, la
dependencia lineal obtuvo mejores resultados en comparación con la dependencia
sinusoidal, porque a medida que la geometría del sistema aumenta los resultados obtenidos
con una dependencia sinusoidal producen un mayor error relativo. Por último, cuando la
conductividad térmica es dependiente de la temperatura, se obtuvo mejores resultados a
medida que disminuye la diferencia de temperaturas en sus fronteras. Cabe mencionar que
se determinó satisfactoriamente la conductividad térmica de un material sólido dentro del
intervalo de 0.58 a 429.0 W/m°C, con diferencia de temperatura en las fronteras de 5 a
85°C y dimensiones que van de 0.1 a 1m. El máximo error relativo que se encontró en los
resultados obtenidos fue de 12.78%.
La aplicación de la ecuación de la media armónica de la conductividad térmica,
permitió determinar satisfactoriamente la conductividad térmica en materiales sólidos
compuestos, tanto en el sistema cartesiano como en el sistema cilíndrico. Esta ecuación
permitió que la interface entre los materiales presente un comportamiento estable al
momento de cambiar de un material a otro. Sin esté comportamiento no es posible
determinar la conductividad térmica en los materiales sólidos compuestos.
Se resolvió un problema inverso en donde se despreció el término transitorio, en el
cual se demostró que es posible determinar la conductividad térmica de un material sólido
en estado permanente. Con la consideración de que la distribución de la temperatura de
entrada en el método inverso, se encuentre también en estado permanente.
Finalmente, el código numérico desarrollado en coordenadas cilíndricas para
determinar la conductividad térmica de un material sólido, es un paso importante para los
códigos computacionales que se están desarrollando en la transferencia de calor inversa, ya
que permite determinar un amplio intervalo de conductividad térmica de un material sólido,
además el tiempo de cómputo es moderado. Esta es la aportación principal de este trabajo
de investigación.
Capítulo 7 CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
Página 127
7.2 RECOME�DACIO�ES.
A continuación, se mencionan las siguientes recomendaciones para los trabajos
futuros, con la finalidad de complementar los resultados obtenidos en este trabajo de
investigación. Estas son:
1.-La distribución de la temperatura que se utiliza como datos de entrada en el problema
inverso se obtenga de forma experimental.
2.-Extender el código numérico desarrollado para determinar de forma simultánea las otras
propiedades termofísicas, como son: la densidad y el calor específico.
3.-Comparar los resultados numéricos obtenidos en este trabajo, con resultados
experimentales.
4.-Desarrollar un código numérico en 3D que permita determinar cualquier propiedad
termofísica de una material sólido, tanto en el sistema cartesiano como en el sistema
cilíndrico.
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Página 128
“REFERE�CIAS BIBLIOGRÁFICAS”
*Alifanov O. (1994), Inverse Heat Transfer Problems, Springer-Verlag, New York, 1994.
*Beck J. et al. (1985), Inverse Heat Conduction Ill-Posed Problems, Wiley Interscience,
New York.
*Carslaw H. y Jaeger J. (1959), Conduction of Heat in Solids, Second Edition, Oxford
Univ. Press, London y New York, Cap. 3.
*Chang C. y Chang M. (2006), �on-iteration Estimation of Thermal Conductivity Using
Finite Volume Method, Int. Commun. Heat Mass Transfer, Vol. 33, págs. 1013–1020.
*Chang C. y Chang M. (2008), Inverse Determination of Thermal Conductivity Using
Semi-discretization Method, Appl. Math. Mod., Vol. 33, págs. 1644–1655.
*Char M. y Chang F. (2007), Inverse Determination of Thermal Conductivity by
Differential Quadrature Method, Int. Commun. Heat Mass Transfer, Vol. 35, págs. 113-
119.
*Faires V. (1988), Termodinámica, UTEHA, México, págs. 237-238.
*Gare M. (2006), Mecánica de Materiales, Sexta Edición, págs. 215-217.
*Godunov S. (1978), Ecuaciones de la Física Matemática, Mir, Moscú.
*Huang C. y Chieh S. (2000), A Two-dimensional Inverse Problem in Imaging the
Thermal Conductivity of a �on-homogeneous Medium, Int. J. Heat Mass Transfer, Vol.
43, págs. 4061-4071.
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Página 129
*Huang C. (2006), An Inverse Problem in Estimating Simultaneously the Effective
Thermal Conductivity and Volumetric Heat Capacity of Biological Tissue, Appl. Math.
Mod., Vol. 31, págs. 1785–1797.
*Incropera F. (2002), Fundamentals of Heat and Mass Transfer, Fifth Edition, JOHN
WILEY & SONS, págs 60-67.
*Kim S. (2001), A Simple Direct Estimation of Temperature-dependent Thermal
Conductivity with Kirchhoff Transformation, Heat Mass Transfer, Vol. 28, págs. 537-
544.
*Kim S. (2002), An Inverse Method for Estimating Thermophysical Proprieties of Fluid
Flowing a Circular Duct, Heat Mass Transfer, Vol. 29, págs. 1029-1036.
*Kim S. y Kim M. (2002), An Integral Approach to the Inverse Estimation of
Temperature-dependent Thermal Conductivity without Internal Measurements, Int.
Commun. Heat Mass Transfer, Vol. 29, págs. 107-113.
*Masanori M. y Mitsutake Y. (2000), A �ew Estimation Method of Thermal Diffusivity
Using Analytical Inverse Solution for One-dimensional Heat Conduction, Int. J. Heat
Mass Transfer, Vol. 44, págs. 3169-3177.
*Özisik N. (1977), Basic Heat Transfer, Mc Graw-Hill, México, págs. 28-33.
*Özisik N. y Orlande H. (2000), Inverse Heat Transfer: Fundamentals and Applications,
Taylor & Francis. New York.
*Patankar S. (1980), �umerical Heat Transfer and Fluid Flow, Hemisphere Publiching Co.
*Pourgholi R. y Rostamian M. (2009), A �umerical Technique for Solving IHCP Using
Tikhonov Regularization Method, Appl. Math. Mod., Vol. 32, págs. 102-109.
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Página 130
*Tadeusz T. y Malinowski B. (2003), Application of an Inverse Solution to the Thermal
Conductivity Identification Using the Finite Element Method, J. Mat. Proc. Tech., Vol.,
146, págs. 145-155.
*Tikhonov A. y Arsenin V. (1977), Solution of Ill-Posed Problems, Winstons & Sons,
Washington, D. C.
*Yang C. (1997), A Linear Inverse Model for the Temperature-dependent Thermal
Conductivity Determination in One-dimensional Problems, Appl. Math. Mod., Vol. 22,
págs. 1-9.
*Yang C. (1998), Estimation of the Temperature-dependent Thermal Conductivity in
Inverse Heat Conduction Problems, Appl. Math. Mod., Vol. 23, págs. 469-478.
*Yeung W. y Lam T. (1995), Second-order Finite Difference Approximation for Inverse
Determination of Thermal Conductivity, Heat Mass Transfer, Vol. 39, págs. 3685-3693.
*Zueco J. (2003), Solución de Problemas Inversos en Conducción de Calor Mediante el
Método de Simulación por Redes, Tesis doctoral, Cartagena, España.
*Zueco J. et al. (2005), Inverse Determination of Temperature Dependent Thermal
Conductivity Using �etwork Simulated Method, J. Mat. Proc. Tech., Vol. 174, págs.
137-144.
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