termodynamika i fizyka statystycznath- · używamy pojęć i obserwujemy zjawiska w skali...

1

Lech Longapok. D.2.49, II piętro, sektor DZakład Fizyki Statystycznej

e-mail: lech.longa@uj.edu.plDyżury: poniedziałki 14 -15.50

można się umówić wysyłając e-maila

TERMODYNAMIKA I FIZYKA STATYSTYCZNA

?

Używamy pojęći obserwujemy zjawiskaw skali makroskopowej,które wyprowadza się zpraw mikroskopowych

(oddziaływań międzycząstkowych)gdzie te pojęcia i zjawiska

nie mają, apriorisensu

6

Termodynamika oraz Fizyka Statystycznazajmuje się zjawiskami emergentnymi

7

1. Kopia wykładów ( http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/wp/?page_id=619 )

2. K. Zalewski, Wykłady z termodynamiki

fenomenologicznej i fizyki statystycznej.

3. J. Werle, Termodynamika Fenomenologiczna.

4. A. I. Anselm, Podstawy fizyki statystycznej i

termodynamiki.

5. Kerson Huang, Mechanika Statystyczna. (4)

6. M. Toda, R. Kubo, N. Saitô Statistical Physics I,

Statistical Physics II.

7. D.J. Amit and Y. Verbin, Statistical Physics,

An Introductory Course

8. J. D. Walecka, Introduction to Statistical Mechanics

LITERATURA 2

© Lech Longa Termodynamika i Fizyka Statystyczna

8

Cel wykładów:

• Omówienie podstaw termodynamiki fenomenologicznej: postulatów będących uogólnieniem obserwacjiempirycznych, a znanych jako zasady termodynamiki.

• I i II zasada jako podstawowe postulaty.

• 0 i III-cia zasada mają charakter techniczny (np. 0-wa zasada wynika z II).

• Tutaj ze względów dydaktycznych każda z zasad (od 0-wej do III) i ich konsekwencje będą omówione niezależnie.

3

© Lech Longa Termodynamika i Fizyka Statystyczna

9

4Cel wykładów:• Omówienie podstaw fizyki statystycznej:

pojęcie entropii Boltzmana oraz temperatury absolutnej; rozkłady używane w fizycestatystycznej, ich pochodzenie i własności; zastosowania do konkretnych układówkwantowych oraz klasycznych.

• Wstęp do teorii informacji (entropia informacyjna i jej własności).

• Hipoteza ergodyczna.• Elementy termodynamiki nierównowagowej

(produkcja entropii, relacje Onsagera).

© Lech Longa Termodynamika i Fizyka Statystyczna

Wykład 1

Elementy teorii rachunku prawdopodobieństwa

10© Lech Longa Termodynamika i Fizyka Statystyczna

Plan:

1. Definicja aksjomatyczna i `praktyczna`2. Prawdopodobieństwo warunkowe i twierdzenie Bayesa3. Funkcje rozkładu; rozkład Gaussa4. Funkcje charakterystyczne; rozwinięcie kumulantów5. Centralne twierdzenie graniczne.

Elementy teorii prawdopodobieństwa

11© Lech Longa Termodynamika i Fizyka Statystyczna

Definicja aksjomatyczna prawdopodobieństwa

ΩA

12

B

13

Ω

A A

14

Praktyczna `definicja`:

Zliczamy próby n(A) przy których zaszło zdarzenieA i dzielimy przez całkowitą liczbę wszystkich prób;

Obowiązuje tutaj prawo wielkich liczb mówiące, że:

𝑃𝑃 lim𝑁𝑁→∞

𝑛𝑛(𝐴𝐴,𝑁𝑁)𝑁𝑁

= 𝑃𝑃(𝐴𝐴) = 1

15

Prawdopodobieństwo warunkowe

AB

Bardzo ważne pojęcie przy badaniu procesów stochastycznych;(będzie odgrywać rolę lokalnych prawdopodobieństw przejść)

Ω

© Lech Longa Termodynamika i Fizyka Statystyczna

16

Niezależność statystyczna

= P(B), gdy B nie zależy od A

Przykład: rzucanie uczciwą kostką

© Lech Longa Termodynamika i Fizyka Statystyczna

17

Ważne przy analizie tw. Bayesa B

Ω

1A

2A3A

4A5A6A

© Lech Longa Termodynamika i Fizyka Statystyczna

18

Twierdzenie Bayesa B

Ω

1A

2A3A

4A5A6A

Twierdzenie Bayesa ma bezpośrednie zastosowanie przy analizie procesów stochastycznych;Równanie Master (które będziemy omawiać) jest szczególnym przypadkiem tego twierdzenia

© Lech Longa Termodynamika i Fizyka Statystyczna

19

Perkolacja (Wolfram demo)

© Lech Longa Termodynamika i Fizyka Statystyczna

20

(podstawowy model agregacji: `EDEN model`)Ewolucja klastra odbiega kształtem od koła;

brzeg ewoluującego obszaru jest nieregularny

21

Funkcje Rozkładu:

© Lech Longa Termodynamika i Fizyka Statystyczna

22

UWAGA: podany przepis zawiera w sobie przypadek dyskretny;np. jeśli

© Lech Longa Termodynamika i Fizyka Statystyczna

23

( )

24

Momenty rozkładu:

< x> : pozycja ' środkamasy'rozkładu

<x>

25

.

.

.

Rozkłady zawężone(brzegowe): 𝜌𝜌 𝑥𝑥 = 𝜌𝜌 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑦𝑦

Nomenklatura:a

26

27

Funkcja charakterystyczna rozkładu

Ma sens tylko wtedy, gdy szereg jest zbieżny; momenty wyższe niżpierwszy mogą nieistnieć a mimo to f(k) będzie istnieć

Transformata Fouriera (bądź Laplaca) f-cji rozkładu

Przykład (rozkład Caychy’ego znany także jako r. Breita-Wignera)

28

Własności f-cji charakterystycznej:

: jeśli istnieje

W praktyce wielokrotnie znamy f(k) analitycznie,natomiast nie znamy rozkładu

Trywialne uogólnieniena przyp. wielowymiarowy

29

30

Rozwinięcie Kumulantów(bardzo ważny wzór w fizyce statystycznej, wykorzystywany do r. perturbacyjnych)

-

Problem: znaleźć algorytmgenerujący kolejne kumulanty

31Wyprowadzić wzór na czynnik normalizujący rozkład Gaussa

32

Rozkład sumy zmiennych losowychi Centralne Twierdzenie Graniczne:

Często pojawiające się zagadnienie w fizyce statystycznej:

< v12 + v2

2 + ... + vN2 > : średniaprędkość

< H1 + H2 + ... + HN > : średnia energianieoddziaływujących cząstek

Pod średnią mamy sumę niezależnychzmiennych losowych. Można zapytaćjaki rozkład prawdopodobieństwa ma suma(jeśli znamy rozkład pojedynczej zmiennej losowej wchodzącej do sumy)

33

34

• Rozkład Gaussa w granicy dużych N

•Dyspersja rozkładu zachowuje się jak:

35

Zamiast dowodu ilustracja jak duże musi być N w praktyce:

1X

1

𝜌𝜌𝑌𝑌𝑁𝑁 𝑦𝑦 =

36

N=2

: ścisły (z)

: przybliżony (cz)

37

N=3

: ścisły (z)

: przybliżony (cz)

38

Jak dobrze pracujeCTG? (programy dostępnena stronie kursu)

39

Materiał do samodzielnych studiów

(ćwiczenia)

40

Zamiana zmiennych w rozkładach

1 dim Z = f(X) Związek między zmiennymi Losowymi X z Z ( tr. współrzędnych z =f(x) )

41

zadanie: uogólnićformułę z deltą Diraca

42

PRZYKŁADY:

43

Przykłady na f-cje charakterystyczne(a) Rozkład Levy’ego

Jest to rozkład dla którego funkcja charakterystyczna ma postać:

44

(0,1)

θ

45

Funkcja charakterystyczna

wyprowadzić

47

Centralne twierdzenie Granicznevs funkcje charakterystyczne

48

Dalsze wykorzystanie funkcji charakterystycznej f(k): (badanie rozkładu sumy niezależnych zmiennych losowych)

49

przykład: rozkład dwumienny: (modelem może być rzut monetą lub błądzenie przypadkowe)

50

51

52

Rozkłady stabilne (nieskończenie podzielne)

53

Są to ważne rozkłady w zastosowaniach,szczególnie w:

•Teorii procesów stochastycznych•Teorii zjawisk krytycznych

54

Przykład: rozkład Gaussa

Dla rozkładu Gaussa mamy więc znacznie ogólniejsząsytuację (pokazać)

55

I znowu podejście od strony funkcjicharakterystycznych pozwala rozwiązaćzagadnienie rozkładów stabilnych całkiemogólnie:

W.K.W. na to aby mieć r. stabilny:

56

Przykłady:

(a) Rozkład Gaussa

57

Przykłady:

(a) Rozkłady Levy’ego

58

Dziękuję za uwagę