teorija reprezentacija hermitskih kvaternionskih …gmuic/pecek.pdf · izometrija hermitske ( = 1)...
Post on 06-Nov-2019
25 Views
Preview:
TRANSCRIPT
PRIRODOSLOVNO - MATEMATICKI FAKULTETMATEMATICKI ODSJEK
Nevena Jurcevic Pecek
TEORIJA REPREZENTACIJAHERMITSKIH KVATERNIONSKIH GRUPA
NAD p−ADSKIM POLJIMA
DOKTORSKI RAD
Zagreb, 2015.
FACULTY OF SCIENCEDEPARTMENT OF MATHEMATICS
Nevena Jurcevic Pecek
REPRESENTATION THEORY OFHERMITIAN QUATERNIONIC GROUPS
OVER p−ADIC FIELDS
DOCTORAL THESIS
Zagreb, 2015
PRIRODOSLOVNO - MATEMATICKI FAKULTETMATEMATICKI ODSJEK
Nevena Jurcevic Pecek
TEORIJA REPREZENTACIJAHERMITSKIH KVATERNIONSKIH GRUPA
NAD p−ADSKIM POLJIMA
DOKTORSKI RAD
Mentori:prof. dr. sc. NEVEN GRBAC
prof. dr. sc. MARCELA HANZERZagreb, 2015.
FACULTY OF SCIENCEDEPARTMENT OF MATHEMATICS
Nevena Jurcevic Pecek
REPRESENTATION THEORY OFHERMITIAN QUATERNIONIC GROUPS
OVER p−ADIC FIELDS
DOCTORAL THESIS
Supervisors:prof. dr. sc. NEVEN GRBAC
prof. dr. sc. MARCELA HANZERZagreb, 2015
Zahvala
Na pocetku, zelim se zahvaliti onima koji su mi bili najveca potpora u stvaranju ovog rada.
Prvo, zahvaljujem mojim mentorima, Marceli Hanzer i Nevenu Grbcu na brojnim sugestijama,
velikoj pomoci pri prikupljanju i obradi materijala za rad te vjeri u uspjeh od mojih pocetnih
koraka na doktorskom studiju.
Zahvaljujem se zatim svim kolegama s Odjela za matematiku u Rijeci na mnostvu savjeta i
rijeci podrske u najtezim trenutcima.
I na kraju, veliko hvala onima koji bas i ne razumiju sto je u ovoj disertaciji napisano, ali
da nije bilo njihove bezuvjetne ljubavi, vjere i potpore ni ova disertacija ne bi bila napisana -
mama, tata, muzu i djecice moja, hvala vam!
i
Sadrzaj
Zahvala i
Sadrzaj iii
1 Hermitske kvaternionske grupe 1
1.1 Algebre s dijeljenjem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Opce linearne grupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Definicija hermitske kvaternionske grupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3.1 Struktura Levijevih faktora hermitskih kvaternionskih grupa . . . . . . 11
2 Reprezentacije klasicnih p-adskih grupa 15
2.1 Parabolicka indukcija i Jacquetovi moduli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2 Geometrijska lema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3 Reprezentacije opcih linearnih grupa nad algebrama s dijeljenjem . . . . . . . 22
3 Reprezentacije hermitskih kvaternionskih grupa 30
3.1 Langlandsova klasifikacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.2 Kriterij kvadratne integrabilnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.3 Struktura ψ-Hopfovog modula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.4 Jacquetovi moduli GL−tipa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.5 Aubertina involucija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.6 Generalizirana Steinbergova reprezentacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4 R-grupe za hermitske kvaternionske grupe 40
4.1 Definicija R-grupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
ii
Sadrzaj
4.2 Weylove grupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.3 R-grupe za hermitske kvaternionske grupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.4 Multiplicitet jedan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5 Reducibilnost reprezentacija hermitskih kvaternionskih grupa 56
5.1 Glavni kriteriji reducibilnosti i ireducibilnosti reprezentacija . . . . . . . . . . 57
5.2 Kuspidalne reducibilnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.2.1 Unitarna indukcija GL−tipa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.2.2 Ireducibilnost reprezentacija νβρ ρo δ(νβρ ρ, σ) i νβρ ρo L(νβρ ρ, σ)
(β ∈ (1/2)Z, β ≥ 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.2.3 Ireducibilnost reprezentacija δ([ρ, νρρ]) o σ i L([ρ, νρρ]) o σ . . . . . . . 75
5.2.4 Kuspidalna reducibilnost u 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5.2.5 Odredivanje Langlandsovih parametara ireducibilnih subkvocijenata
parabolicki induciranih reperezentacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.2.6 Kuspidalna reducibilnost u 1/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.2.7 Tocke reducibilnosti reprezentacije ναρ δ(ρ,m) o σ, m ∈ Z+ . . . . . . . 91
5.2.8 Negenericke kuspidalne reducibilnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
Sazetak 101
Summary 102
Zivotopis 103
iii
Uvod
Teorija reprezentacija p-adskih reduktivnih grupa vazna je iz vise aspekata. U teoriji auto-
morfnih formi reprezentacije takvih grupa javljaju se kao lokalne komponente automorfnih
reprezentacija. Takoder, one su i jedan od osnovnih objekata u Langlandsovoj korespondenciji.
U nekomutativnoj harmonijskoj analizi na p-adskim grupama, ireducibilne reprezentacije cine
osnovne gradivne elemente u spektralnoj dekompoziciji.
Jedna od najvaznijih metoda konstrukcije reprezentacija reduktivnih grupa je parabolicka in-
dukcija. Parabolicka indukcija igra vaznu ulogu u mnogim problemima teorije reprezentacija
poput klasifikacije ireducibilnih, kvadratno integrabilnih, temperiranih i unitarnih reprezen-
tacija pa je zbog toga razumijevanje strukture reperezentacija nastalih tom konstrukcijom
vrlo vazno. Krenuvsi od ireducibilne reprezentacije Levijevog faktora neke parabolicke pod-
grupe, parabolickom indukcijom dobiva se reprezentacija citave grupe. Osnovni problem je
kako odrediti je li tako dobivena reprezentacija ireducibilna, a ako nije, kako odrediti njen
kompozicioni niz. U ovoj disertaciji studiramo taj problem u slucaju p-adskih hermitskih
kvaternionskih grupa.
U slucaju rascjepivih i kvazirascjepivih p-adskih klasicnih grupa, reducibilnost parabolicke
indukcije reduktivnih p-adskih grupa je proucavana u brojnim radovima Bernsteina i Ze-
levinskog, Harish-Chandre, Casselmana, Knappa i Steina, Shahidija, Silbergera, Tadica...
Glavni rezultati ove disertacije su upravo generalizacija Tadicevih kriterija reducibilnosti za
rascjepive p-adske simplekticke i neparne specijalne ortogonalne grupe na slucaj hermitskih
kvaternionskih grupa. Tocnije, generalizirani su Tadicevi kriteriji dobiveni u clanku [30].
iv
Sadrzaj
Hermitske kvaternionske grupe Gn(D, ε) nad p-adskim poljem F definirane su kao grupe
izometrija hermitske (ε = 1) ili antihermitske (ε = −1) forme na konacnodimenzionalnom
desnom vektorskom prostoru nad kvaternionskom algebrom s dijeljenjem D, centralnom nad
F , koja je jedinstvena do na izomorfizam. Klasifikacija takvih formi i samih p-adskih hermit-
skih kvaternionskih grupa dana je u [17]. Te grupe nisu kvazirascjepive, tako da se neki od
postojecih rezultata, poput Shahidijeve teorije L-funkcija [20], ne mogu primijeniti. Njihova
teorija reprezentacija do sada je slabo proucavana, a rezultati koji postoje uglavnom se vezuju
uz slucaj hermitskih kvaternionskih grupa ciji je anizotropan prostor trivijalan i kojima je
F -rang vrlo mali [10], [9], [11].
Osnovna metoda proucavanja reducibilnosti parabolicki induciranih reprezentacija klasicnih
grupa je metoda Jacquetovih modula. Ova metoda je sasvim opcenita i moze se primijeniti
na hermitske kvaternionske grupe. Vazno je uociti da je struktura parabolickih podgrupa ana-
logna parabolickim podgrupama rascjepivih klasicnih grupa, sto sugerira da se slicne formule
za Jacquetove module mogu ocekivati i u ovom slucaju. Kao za rascjepive klasicne grupe,
kljucnom se pokazuje struktura izvjesnog Hopfovog modula na sumi Grothendieckovih grupa
kategorija glatkih reprezentacija konacne duljine hermitskih kvaternionskih grupa Gn(D, ε)
za n ≥ 0 nad odgovarajucom Hopfovom algebrom na sumi Grothendieckovih grupa kategorija
glatkih reprezentacija konacne duljine opcih linearnih grupa GL(k,D) za k ≥ 0. Struktura
Jacquetovih modula parabolicki induciranih reprezentacija dolazi od Geometrijske leme, cija
algebraizacija se naziva strukturna formula. U disertaciji se pokaze da se strukturna formula
generalizira na hermitske kvaternionske grupe te se koristi u studiranju reducibilnosti para-
bolicke indukcije.
S druge strane, za proucavanje reducibilnosti reprezentacija klasicnih grupa parabolicki induci-
ranih s kvadratno integrabilnih reprezentacija (tzv. diskretnih serija) Levijevog faktora koristi
se teorija R-grupa koju su u arhimedskom slucaju razvili Knapp–Stein [15], a u nearhimed-
skom Harish-Chandra [12] i Silberger [22]. To su konacne grupe cija struktura u potpunosti
odreduje broj komponenti i multiplicitete takve inducirane reprezentacije. Za rascjepive p-
adske klasicne grupe R-grupe je eksplicitno odredio Goldberg [8], a za hermitske kvaternionske
v
Sadrzaj
grupe s trivijalnim anizotropnim prostorom Hanzer [10]. Kako bi eksplicitno odredili R-grupe
proizvoljnih hermitskih kvaternionskih grupa slijedimo upravo njihove radove. Eksplicitno
odredivanje R-grupa ovisi o strukturi Levijevih faktora standardnih parabolickih podgrupa
te relativnom sistemu korijena hermitske kvaternionske grupe koju promatramo. Pokazuje
se da je krajnji rezultat analogan slucaju rascjepivih klasicnih grupa te je, uz pretpostavku
razumijevanja kriterija reducibilnosti za maksimalne parabolicke podgrupe, sam izracun R-
grupa kombinatornog tipa. Strukture R-grupa koje dobivamo direktno nam impliciraju vrlo
vazan rezultat Teorem o multiplicitetu jedan.
Glavni rezultati o reducibilnosti parabolicke indukcije ovise o kuspidalnoj reducibilnosti, od-
nosno o tocki reducibilnosti za par ireducibilnih unitarizabilnih kuspidalnih reprezentacija
opce linearne grupe nad D i hermitske kvaternionske grupe. Bazirani su na strukturnoj
formuli, teoriji R-grupa te nekim opcenitim Tadicevim rezultatima o reducibilnosti koji po-
laze od postojanja koherentnih dekompozicija Jacquetovih modula induciranih reprezentacija.
Obzirom da je u iskazu glavnih rezultata potrebno uvesti vecu kolicinu notacije i osnovnih
definicija, ne navodimo u ovom uvodu rezultate eksplicitno. Iskazi se mogu naci u poglav-
lju 5, preciznije u Teoremima 5.1, 5.2, 5.3 te 5.4 i Propozicijama 5.1, 5.2, 5.3, 5.4, 5.5, 5.6 te 5.7.
U nastavku slijedi kratak pregled sadrzaja po poglavljima.
U prvom poglavlju prisjecamo se odredenih rezultata o kvaternionskim algebrama s dijelje-
njem, centralnim nad p-adskim poljem, definiramo opce linearne grupe nad njima, te hermitske
i antihermitske forme i p-adske hermitske kvaternionske grupe. Detaljno opisujemo parametri-
zacije Levijevih faktora standardnih parabolickih podgrupa hermitskih kvaternionskih grupa.
U drugom poglavlju podsjecamo se terminologije i standardne notacije za teoriju reprezen-
tacija opcih linearnih grupa nad algebrama s dijeljenjem te dajemo pregled rezultata koji ce
biti potrebni u nastavku rada.
Trece poglavlje posveceno je poznatim rezultatima iz teorije reprezentacija hermitskih kva-
ternionskih grupa. U njemu uvodimo Langlandsovu klasifikaciju za hermitske kvaternionske
grupe, kriterij kvadratne integrabilnosti te strukturu izvjesnog Hopfovog modula na sumi
Grothendieckovih grupa glatkih reprezentacija konacne duljine hermitskih kvaternionskih
vi
Sadrzaj
grupa. Zatim definiramo Jacquetove module GL-tipa, Aubertinu involuciju te generaliziranu
Steinbergovu reprezentaciju.
U cetvrtom poglavlju uvodimo teoriju R-grupa za hermitske kvaternionske grupe, te koristeci
taj koncept, proucavamo pitanje reducibilnosti reprezentacija hermitskih kvaternionskih grupa,
parabolicki induciranih iz kvadratno integrabilnih reprezentacija Levijevih faktora. Pokazu-
jemo da vrijedi produktna formula, te nam iz strukture dobivenih R-grupa kao posljedica
slijedi vazan rezultat o multiplicitetu jedan.
U posljednjem petom poglavlju dokazani su glavni rezultati ove disertacije o reducibilnosti
parabolicki induciranih reprezentacija hermitskih kvaternionskih grupa koje smo zahvaljujuci
prosirenju teorije R-grupa i strukturne formule uspjeli poopciti sa slucaja kvazirascjepivih
klasicnih grupa na proizvoljne hermitske kvaternionske grupe.
vii
Poglavlje 1
Hermitske kvaternionske grupe
Na pocetku rada dajemo kratak uvod u algebre s dijeljenjem, hermitske forme definirane
nad njima te definiramo hermitske kvaternionske grupe. Sadrzaj poglavlja prati radove
[17, 19, 10, 16].
1.1 Algebre s dijeljenjem
Neka je F nearhimedsko lokalno polje karakteristike nula. Dakle, F je konacno prosirenje
polja p-adskih brojeva Qp i ponekad cemo ga kratko zvati p-adsko polje. Neka je O njegov
prsten cijelih, a p maksimalan ideal u O. Oznacimo s
q = |O/p|
kardinalni broj rezidualnog polja od O. Tada je q = pk za neki prost broj p i neki k > 0 te
p zovemo rezidualnom karakteristikom polja F . Apsolutnu vrijednost na F oznacavat
cemo s | |F .
Neka je D konacnodimenzionalna centralna algebra s dijeljenjem nad F (tj. centar od D je
F ). Oznacimo s τ involuciju na D. Dakle, τ je anti-automorfizam reda 2 takav da je
τ(d+ d′) = τ(d) + τ(d′), ∀d, d′ ∈ D
τ(dd′) = τ(d′)τ(d), ∀d, d′ ∈ D
1
Poglavlje 1. Hermitske kvaternionske grupe
τ(τ(d)) = d, ∀d ∈ D
U slucaju τ |F = idF involuciju τ nazivamo involucijom prve vrste, a u protivnom involu-
cijom druge vrste.
Sljedecim teoremom opisana je klasifikacija algebri s dijeljenjem D centralnih nad F .
Teorem 1.1 [17, Poglavlje 1.4] Neka je F nearhimedsko lokalno polje karakteristike nula i
neka je D konacnodimenzionalna centralna algebra s dijeljenjem nad F . Pretpostavimo da
postoji involucija τ na D. Tada su moguca sljedeca tri slucaja:
(a) D = F i τ = idF ,
(b) D je kvadratno prosirenje F ′ polja F i τ je netrivijalni element Galoisove grupe Gal(F ′/F ),
(c) D je jedinstvena (do na izomorfizam) kvaternionska algebra centralna nad F s involucijom
τ prve vrste.
U ovom radu interes stavljamo na kvaternionske algebre s dijeljenjem D (posljednji slucaj
prethodnog teorema).
Neka je D takva algebra. Oznacimo s τ standardnu involuciju na D koja fiksira centar od D.
U nastavku slijedeci [10] dajemo jednu matricnu realizaciju algebre s dijeljenjem D koja je
izuzetno pogodna za racunanje.
D je algebra dimenzije 4 nad F uz bazu 1, w1, w2, w3 koja zadovoljava sljedece relacije:
w21 = α
w22 = β
w1w2 = −w2w1 = w3 (1.1)
za neke α,β ∈ F . Na proizvoljan element d = x0 + x1w1 + x2w2 + x3w3 kvaternionske algebre
D involucija τ djeluje na sljedeci nacin:
τ(d) = x0 − x1w1 − x2w2 − x3w3. (1.2)
2
Poglavlje 1. Hermitske kvaternionske grupe
Algebra s dijeljenjem D ima poznatu matricnu reprezentaciju u M(2, F (√α)) danu s
d = x0 + x1w1 + x2w2 + x3w3 7→
x0 + x1√α x2 + x3
√α
βx2 − βx3√α x0 − x1
√α
. (1.3)
Oznacimo li s F algebarski zatvarac polja F , to je
D ⊗F F ∼= M(2, F ), (1.4)
stoga na prirodan nacin mozemo prosiriti involuciju τ s kvaternionske algebre D do involucije
na M(2, F ).
Po Skolem-Noetherinom teoremu postoji matrica h0 sa svojstvom da je za svaki element x u
M(2, F )
τ(x) = h0xth−1
0 . (1.5)
Uz matricnu reprezentaciju (1.3) algebre s dijeljenjem D, za matricu h0 mozemo uzeti
h0 =
0 1
−1 0
. (1.6)
Na prostoru M(k,D) involuciju mozemo definirati s
g 7→ g∗ = τ(g)t. (1.7)
Tu involuciju na nacin analogan onomu ranije mozemo prosiriti na
M(2k, F ) ∼= M(k,D)⊗F F (1.8)
i koristenjem Skolem-Noetherinog teorema realizirati ju matricom
h =
h0
h0
. . .
h0
. (1.9)
3
Poglavlje 1. Hermitske kvaternionske grupe
Dakle,
g∗ = hgth−1. (1.10)
Takoder, iz formule (1.8) mozemo zakljuciti da je M(k,D) ulozen u M(2k, F ) .
1.2 Opce linearne grupe
Neka je F fiksno p-adsko polje i D jedinstvena kvaternionska algebra s diljenjenjem nad F . U
ovom poglavlju opisujemo strukturu standardnih parabolickih podgrupa opcih linearnih grupa
definiranih nad D koja je u potpunosti analogna stukturi opcih linearnih grupa definiranih
nad p-adskim poljem F .
Oznacimo za svaki pozitivan cijeli broj k s M(k,D) algebru svih k×k matrica s koeficijentima
iz D te s Ik jedinicnu matricu u M(k,D). Tada je GL(k,D) grupa invertibilnih matrica u
M(k,D) uz prirodnu topologiju. Fiksirajmo sada prirodan broj k i minimalnu parabolicku
podgrupu PGLmin od GL(k,D) definiranu nad F sastavljenu od gornje trokutastih matrica u
GL(k,D). Parabolicke podgrupe od GL(k,D) koje sadrze PGLmin zvat cemo standardnim
parabolickim F -podgrupama. One se mogu parametrizirati uredenim particijama (α)
prirodnog broja k. Neka je (α) = (k1, . . . , kl) jedna takva particija i PGL(α) = MGL
(α)NGL(α) njoj
pridruzene standardne parabolicke podgrupe. Tada je
PGL(α) =
g1 ∗ ∗ ∗
g2 ∗ ∗. . .
gl
: gi ∈ GL(ki, D)
, (1.11)
MGL(α) =
g1
g2
. . .
gl
: gi ∈ GL(ki, D)
, (1.12)
4
Poglavlje 1. Hermitske kvaternionske grupe
NGL(α) =
Ik1 ∗ ∗ ∗
Ik2 ∗ ∗. . .
Ikl
. (1.13)
MGL(α) nazivamo Levijevim faktorom (ili Levijevom podgrupom) od PGL
(α) , NGL(α) unipotent-
nim radikalom od PGL(α) , a rastav PGL
(α) = MGL(α)N
GL(α) standardnom Levijevom dekompo-
zicijom od PGL(α) . Uocimo da je
MGL(α)∼= GL(k1, D)×GL(k2, D)× · · · ×GL(kl, D). (1.14)
1.3 Definicija hermitske kvaternionske grupe
Neka je F nearhimedsko lokalno polje karakteristike 0 i D jedinstvena kvaternionska algebra
centralna nad F s involucijom τ prve vrste. Neka je V konacnodimenzionalan desni vektorski
prostor nadD. Tada je ε-hermitska forma ([16]), ε ∈ −1, 1 nad (D, τ) svako preslikavanje
φ : V × V → D koje zadovoljava sljedece uvjete:
φ(x1 + x2, y) = φ(x1, y) + φ(x2, y), ∀x1, x2, y ∈ V
φ(xd, y) = τ(d)φ(x, y), ∀x, y ∈ V, ∀d ∈ D
φ(y, x) = ετ(φ(x, y)), ∀x, y ∈ V. (1.15)
U slucaju ε = 1 (resp. ε = −1) formu φ nazivamo hermitskom (resp. antihermitskom)
formom, a uredeni par (V, φ) hermitskim (resp. antihermitskim) prostorom.
Neka je dana ε-hermitska forma φ : V × V → D na desnom vektorskom prostoru nad D
dimenzije N . Fiksirajmo uredenu bazu e1, e2, . . . , eN od V . Neka je
J = [φ(ei, ej)]i,j=1,...,N
N ×N matrica ciji su koeficijenti dobiveni djelovanjem forme φ na elemente baze prostora
V. Matricu J zovemo matricom ε-hermitske forme φ.
5
Poglavlje 1. Hermitske kvaternionske grupe
Za dvije ε−hermitske forme φ1 i φ2 definirane na prostorima V1 i V2 kazemo da su ekviva-
lentne ako postoji D-izomorfizam γ : V1 → V2 takav da je
φ2(γ(x), γ(y)) = φ1(x, y), ∀x, y ∈ V1.
Pisemo tada da je φ1 ∼= φ2, a preslikavanje γ zovemo ekvivalencijom ili izometrijom. Pro-
blem klasifikacije ε−hermitskih prostora sastoji se od trazenja potpunog skupa invarijanata
koji ce u cijelosti klasificirati te prostore do na ekvivalenciju.
Neka je n pozitivan cijeli broj, l nenegativan cijeli broj i Vn ε-hermitski prostor nad D
dimenzije N = 2n+ l, koji ima ortogonalnu dekompoziciju
Vn = Xn ⊕W ⊕ Yn. (1.16)
U toj dekompoziciji W je anizotropan dimenzije l, dok su Xn i Yn maksimalni izotropni pot-
prostori od Vn cije su dimenzije n. Drugim rijecima, (1.16) je Wittova dekompozicija prostora
Vn, odnosno Vn je ortogonalna suma anizotropnog prostora W s n hiperbolickih ravnina.
Ako fiksiramo ε ∈ −1, 1, uredenu bazu f1, f2, . . . , fl anizotropnog prostora W te uredene
baze e1, e2, . . . , en i en+1, en+2, . . . , e2n prostora Xn i Yn redom, takve da vrijedi
φ(ei, e2n−j+1) = δij, i, j = 1, . . . , n
onda smo s
φ(v, v′) = ετ(φ(v, v′)), φ(vx, v′x′) = τ(x)φ(v, v′)x, v, v′ ∈ Vn, x, x′ ∈ D (1.17)
definirali hermitsku formu na Vn. S obzirom na ovako definiranu formu, slijedeci [17, Poglavlje
1], hermitske i antihermitske prostore nad (D, τ) mozemo klasificirati koristenjem dviju
invarijanti:
• dimenzije N i
• determinante d prostora.
6
Poglavlje 1. Hermitske kvaternionske grupe
Dimenzije l anizotropnih potprostora W od Vn u hermitskom slucaju mogu jedino biti 0 i 1,
dok u antihermitskom mogu biti 0, 1, 2 i 3. U hermitskom slucaju jedina invarijanta je dimen-
zija prostora, dok su u antihermitskom slucaju invarijante dimenzija prostora i determinanta
prostora.
U tablicama koje slijede opisana je klasifikacija hermitskih i antihermitskih prostora definira-
nih nad (D, τ).
Tablica 1.1: Hermitski prostori, ε = 1 (vidi [17, Poglavlje 1.11])
Dimenzija N Kratak opis
2n U prostoru Vn anizotropan potprostor je tri-
vijalan (tj. Vn = Xn ⊕ Yn )
2n+ 1 Postoji jedinstven netrivijalan anizotropan
prostor W cija je dimenzija l = 1
Tablica 1.2: Antihermitski prostori, ε = −1 (vidi [17, Poglavlje 1.12])
DimenzijaN Determinanta d Kratak opis
2n d ∈ (F×)2 U prostoru Vn anizotropan prostor je
trivijalan.
2n+ 2 d /∈ (F×)2 Postoje 3 mogucnosti za anizotropan
prostor W cija je dimenzija l=2.
2n+ 1 d /∈ −(F×)2 Postoje 3 mogucnosti za anizotropan
prostor W cija je dimenzija l=1.
2n+ 3 d ∈ −(F×)2 Postoji 1 mogucnost za anizotropan
prostor W cija je dimenzija l=3.
Oznacimo s Gn = Gn(D, ε) grupu izometrija forme φ definirane na Vn shvacene kao reduktivne
algebarske grupe definirane nad F . Neka je JW matrica restrikcije forme φ na anizotropnom
7
Poglavlje 1. Hermitske kvaternionske grupe
potprostoru W i neka je za svaki k ∈ N, Jk matrica definirana s
Jk =
1
. ..
1
. (1.18)
Tada su matrice hermitskih formi na Vn oblika
J =
0 0 Jn
0 JW 0
Jn 0 0
, (1.19)
dok su one antihermitskih formi oblika
J =
0 0 Jn
0 JW 0
−Jn 0 0
, (1.20)
pri cemu se u izrazima (1.19) i (1.20) u slucaju da je anizotropan potprostor W od Vn trivi-
jalan, matrica forme JW ne pojavljuje.
Dakle, hermitske kvaternionske grupe, kao grupe izometrija prethodno istaknutih ε-
hermitskih formi na Vn imaju grupe F -racionalnih tocaka oblika
Gn(F ) = Gn(D, ε) = g ∈ GL(N,D)|g∗Jg = J , (1.21)
gdje je za matricu g ∈ GL(N,D), matrica g∗ definirana formulom (1.10). Nad algebarskim
zatvaracem F polja F prethodno definirani hermitski prostori postaju simplekticki, dok
oni antihermitski postaju ortogonalni. Za grupe Gn(F ) s obzirom na prethodno navedenu
klasifikaciju hermitskih i antihermitskih prostora, vrijedi da su konjugirane sljedecim grupamaSp(2N, F ) u GL(2N, F ), ε = 1
SO(2N, F ) u GL(2N, F ), ε = −1.
8
Poglavlje 1. Hermitske kvaternionske grupe
Koristeci ovu karakterizaciju, prethodno definirane izomorfizme, dobro nam poznatu matricnu
realizaciju kvaternionske algebre D te cinjenicu da su navedene grupe Gn(D, ε) zapravo grupe
F -racionalnih tocaka reduktivnih algebarskih grupa, dolazimo do maksimalnih F -rascjepivih
torusa A0 za svaku od prethodno definiranih hermitskih kvaternionskih grupa, a njihovi
skupovi F -racionalnih tocaka A0(F ) su oblika
A0(F ) =
λ1
λ2
. . .
λn
Il
λn−1
. . .
λ2−1
λ1−1
: λi ∈ F ∗
, (1.22)
pri cemu se u slucaju da je l = 0, blok I0 izostavlja iz prikaza (1.22).
Elemente skupa F -racionalnih tocaka torusa A0 takoder oznacavamo i s
diag(λ1, λ2, . . . , λn, Il, λ−1n , . . . , λ−1
2 , λ−11 ).
Neka je X(A0)F oznaka za grupu F -racionalnih karaktera na A0. Tu grupu mozemo identifi-
cirati s karakterima na A0(F ).
Relativni sistemi korijena Φ(Gn(D, ε), A0) koji nam se javljaju za prethodno definirane her-
mitske kvaternionske grupe su tipa Bn i Cn. Neka je 4 = α1, α2, . . . , αn skup prostih
korijena u Φ. Poredak korijena uzimamo kao u [4]. Dakle,
αi = εi − εi+1, i = 1, . . . , n− 1
te
αn =
εn, za Φ(Gn(D, ε), A0) tipaBn,
2εn, za Φ(Gn(D, ε), A0) tipa Cn,
9
Poglavlje 1. Hermitske kvaternionske grupe
gdje je εi ∈ X(A0) karater definiran s
εi(diag(λ1, λ2, . . . , λn, Il, λ−1n , . . . , λ−1
2 , λ−11 )) = λi, i = 1, . . . , n.
Dakle,
αi(diag(λ1, λ2, . . . , λn, Il, λ−1n , . . . , λ−1
2 , λ−11 )) = λiλ
−1i+1, i = 1, . . . , n− 1
te
αn(diag(λ1, λ2, . . . , λn, Il, λ−1n , . . . , λ−1
2 , λ−11 ) =
λn, za Φ(Gn(D, ε), A0) tipaBn
λ2n, za Φ(Gn(D, ε), A0) tipa Cn.
Fiksirajmo sada minimalnu parabolicku podgrupu Pmin definiranu nad F hermitske kva-
ternionske grupe Gn(D, ε). Standardne parabolicke podgrupe od Gn(D, ε) su parabolicke
podgrupe definirane nad F koje sadrze Pmin. One su u bijekciji s podskupovima θ od 4.
Neka je Pθ = MθNθ standardna parabolicka F -podgrupa koja odgovara podskupu θ ⊂ 4.
Tada je Levijev faktor Mθ sljedeceg oblika.
(i) Ako αn /∈ θ, tada postoje pozitivni cijeli n1, n2, . . . , nk takvi da je ∑ni = n i Mθ ima
sljedeci oblik:
Mθ =
g1
. . .
gk
h
Jnk(g−1k )∗Jnk
. . .
Jn1(g−11 )∗Jn1
:gi ∈ GL(ni, D)
h ∈ G0(D, ε)
(1.23)
(ii) Ako αn ∈ θ, tada postoje pozitivni cijeli n1, n2, . . . , nk, r takvi da je ∑ni + r = n i Mθ
ima sljedeci oblik:
10
Poglavlje 1. Hermitske kvaternionske grupe
Mθ =
g1
. . .
gk
h
Jnk(g−1k )∗Jnk
. . .
Jn1(g−11 )∗Jn1
:gi ∈ GL(ni, D)
h ∈ Gr(D, ε)
(1.24)
Oznacimo s Aθ rascjepivu komponentu standardne F -parabolicke podgrupe Pθ i s Wθ
relativnu Weylovu grupu
Wθ = NGn(D,ε)(Aθ).
Uocimo, ako je θ1 ⊂ θ2, tada je Mθ1 ⊂Mθ2 , Nθ2 ⊂ Nθ1 .
Standardne parabolicke podgrupe odGn(D, ε) takoder mozemo parametrizirati i uredenim
particijama (α) = (n1, . . . , nk; r) prirodnog broja n, pri cemu je r ≥ 0 cijeli broj, a
(n1, . . . , nk) uredena particija od n− r u pozitivne cijele brojeve. Tada je za
(i) αn 6∈ θ, r = 0
Mθ = M(α) ∼= GL(n1, D)× · · · ×GL(nk, D)×G0(D, ε),
(ii) αn ∈ θ, r > 0
Mθ = M(α) ∼= GL(n1, D)× · · · ×GL(nk, D)×Gr(D, ε).
1.3.1 Struktura Levijevih faktora hermitskih kvaternionskih
grupa
Poznavanje strukture standardnih parabolickih F -podgrupa hermitskih kvaternionskih
grupa od iznimne je vaznosti za izucavanje njihove teorije reprezentacija. Kao sto
11
Poglavlje 1. Hermitske kvaternionske grupe
smo u prethodnoj sekciji istaknuli, svaka hermitska kvaternionska grupa Gn(D, ε) je
zapravo grupa F -racionalnih tocaka odredene reduktivne algebarske grupe te su njene
standardne Levijeve F -podgrupe u korespondenciji s podskupovima θ skupa prostih
korijena 4 = 4(Gn(D, ε), A0) u sistemu korijena i oznacavamo ih s Mθ. Prema formu-
lama (1.23) i (1.24) Levijevi faktori Mθ sastavljeni su od GL−blokova i najvise jednog
klasicnog bloka. Sada cemo preciznije opisati njihovu strukturu na nacin koji ce nam
kasnije omoguciti racunanje R-grupa za reprezentacije inducirane s diskretnih serija od
Mθ. U nastavku slijedimo rad D. Goldberga [8].
Neka je θ = θ1 ∪ θ2 ∪ θ3 ∪ · · · ∪ θk rastav od θ ⊂ 4 na disjunktnu uniju povezanih
komponenti Dynkinovog dijagrama. Ako su θi i θj komponente od θ pisemo da je
θi ∼ θj (1.25)
ako postoji w ∈ Wθ takav da je w(θi) = θj. Bez smanjenja opcenitosti u ostatku rada
slijedeci [8] pretpostavljamo sljedece dvije cinjenice
• ako je αn ∈ θ tada pretpostavljamo da je αn ∈ θk,
• ako je i < j uz θi ∼ θj, tada je θi ∼ θl,∀i < l < j.
Na taj nacin ce parametrizacija parabolickih podgrupa parametriziranih podskupovima
θ koji ne sadrze αn biti drugacija od onih koje su parametriziranih podskupovima θ koji
sadrze αn. Dakle, uvodimo dva slucaja:
Slucaj (1) : αn 6∈ θ, (1.26)
Slucaj (2) : αn ∈ θ. (1.27)
te u ovisnosti o njima razmatramo strukturu Levijevih faktora standardnih parabolickih
podgrupa od Gn(D, ε)
Neka je
X = θiki=1
i
X(θi) = θj : θi ∼ θj.
12
Poglavlje 1. Hermitske kvaternionske grupe
Tada je orbita od θi pri djelovanju Wθ ili ±X(θi) ili X(θi). U slucaju (1), kada αn /∈ θ,
Wθ(θi) = ±X(θi). Ova nam struktura odreduje particiju od X
X = X1 ∪X2 ∪ · · · ∪Xr (1.28)
pri cemu je svaki Xi = X(θj) za neki j.
Za svaki i = 1, . . . , r definiramo pozitivne cijele brojeve mi na sljedeci nacin. U slucaju
(1),
mi = |θj|+ 1, ∀i = 1, . . . , r, (1.29)
gdje je θj ∈ Xi proizvoljan, a u slucaju (2), mi je definiran kao u slucaju (1), za svaki
i 6= r, a za i = r je
m = mr = |θk|. (1.30)
Dalje, neka je
ni = |Xi|, (1.31)
tj. Xi = θi1, θi2, . . . , θini
Nadalje, slijedeci [8, str. 1113] pretpostavljamo da medu komponentama nema razmaka
i da je α1 ∈ θ. Dakle, neka je
X1 = θ11, θ12, . . . , θ1n1,
X2 = θ21, θ22, . . . , θ2n2,...
Xr = θr1, θr2, . . . , θrnr,
pri cemu je svaki Xi sastavljen od komponenata iste duljine.
Za slucaj (1) tada stavimo
b =r∑i=1
mini,
nr+1 = n− b.
13
Poglavlje 1. Hermitske kvaternionske grupe
Uz ovakvu notaciju imamo da je
Mθ(F ) ∼= GL(m1, D)n1 ×GL(m2, D)n2 × · · · ×GL(mr, D)nr ×GL(1, D)nr+1 (1.32)
U slucaju (2), kada nam jeαn ∈ θ uz oznake iz formula (1.29),(1.30) i (1.31) definiramo
b′ =r−1∑i=1
mini,
nr+1 = n−m− b′.
Tada je
Mθ(F ) ∼= GL(m1, D)n1×GL(m2, D)n2×· · ·×GL(mr−1, D)nr−1×GL(1, D)nr+1×Gm(D)
(1.33)
Ovakav oblik standardne Levijeve podgrupe mozemo pretpostaviti jer je svaka stan-
dardna Levijeva podgrupa konjugirana jednoj ovakvoj, a pripadne parabolicke podgrupe
su asocirane.
14
Poglavlje 2
Reprezentacije klasicnih p-adskih
grupa
U ovom poglavlju definiramo osnovne pojmove te navodimo ukratko najvaznije rezultate
iz teorije reprezentacija klasicnih p-adskih grupa koji ce biti koristeni u istrazivanju pa-
rabolicki induciranih reprezentacija hermitskih kvaternionskih grupa. Sadrzaj poglavlja
uglavnom prati radove [2], [33], [5] i [29].
Neka je G reduktivna algebarska grupa nad lokalnim nearhimedskim poljem F karak-
teristike 0 i neka je P = MN parabolicka F -podgrupa od G. Iate oznake koristimo za
odgovarajuce grupe F−racionalnih tocaka. Pod reprezentacijom grupe G na kom-
pleksnom vektorskom prostoru V podrazumijevamo homomorfizam π : G → GL(V ).
Za reprezentaciju (π, V ) kazemo da je glatka ako je za svaki v ∈ V , stabilizator
g ∈ G|π(g)v = v otvoren. S π oznacavat cemo kontragredijentnu reprezentaciju od
π i reci cemo da je π samodualna ako je π ∼= π. Za glatku reprezentaciju kazemo
da je dopustiva ako je za svaku otvorenu podgrupu H ≤ G, prostor H-invarijanata
V H = v ∈ V |π(h)v = v, ∀h ∈ H konacnodimenzionalan. Dopustiva reprezentacija
15
Poglavlje 2. Reprezentacije klasicnih p-adskih grupa
(π, V ) je unitarizabilna ako postoji skalarni produkt ( , ) na V takav da je
(π(g)v, π(g)w) = (v, w), ∀v, w ∈ V, ∀g ∈ G.
Svaka unitarizabilna reprezentacija je potpuno reducibilna. Dopustivu reprezentaciju
(π, V ) s unitarnim centralnim karakterom nazivamo kvadratno integrabilnom ako su
svi njeni matricni koeficijenti kvadratno integrabilne funkcije. Za glatku reprezentaciju
(π, V ) od G kazemo da je esencijalno kvadratno integrabilna ako zakretanjem
nekim karakterom od G ona postaje kvadratno integrabilna. Ireducibilne, kvadratno
integrabilne reprezentacije od G nazivamo reprezentacijama diskretnih serija od
G. Uvedimo sljedece oznake.
• Skup svih klasa ekvivalencije ireducibilnih glatkih reprezentacija od G oznacavat
cemo G.
• Podskup od G koji sadrzi unitarizabilne klase oznacavat cemo s G.
• Skup svih klasa ekvivalencije ireducibilnih esencijalno kvadratno integrabilnih re-
prezentacija od G oznacavat cemo s DG.
2.1 Parabolicka indukcija i Jacquetovi moduli
Parabolicki inducirane reprezentacije hermitskih kvaternionskih grupa osnovni su objekt
proucavanja u ovom radu stoga cemo se u ovom dijelu rada prisjetiti nacina na koji
ih dobivamo te osnovnih svojstava parabolicke indukcije. Buduci su parabolicki in-
ducirane reprezentacije i Jacquetvi moduli usko povezani, prisjetit cemo se ujedno i
kako definiramo Jacquetove module, koja su njihova osnovna svojstva te Frobeniusovog
reciprociteta koji predstavlja direktnu vezu medu ovim dvjema konstrukcijama.
Jedna od osnovnih uloga parabolicki induciranih reprezentacija jest u konstrukciji iredu-
cibilnih reperezntacija p-adskih grupa. Medutim, valja naglasiti da indukcija nije uvijek
igrala ulogu u konstrukciji ireducibilnih reprezentacija. Npr. kod kompaktnih Liejevih
grupa gdje su inducirane reprezentacije vrlo velike, a ni kod komutativnih grupa gdje
16
Poglavlje 2. Reprezentacije klasicnih p-adskih grupa
su ireducibilne reprezentacije jednodimenzionalne ta konstrukcija ireducibilnih repre-
zentacija indukcijom nije dosla do izrazaja te su tek razvojem harmonijske analize na
reduktivnim grupama nad lokalnim poljima Gelfand i Naimark prvi ukazali na znacaj
ovog, posebnog tipa induciranja i zasluzni su za prve vaznije rezultate o parabolicki
induciranim reprezentacijama.
Opisat cemo sada konstrukciju parabolicki induciranih reprezentacija. Neka je G re-
duktivna grupa nad lokalnim nearhimedskim poljem F i neka je P = MN parabolicka
podgrupa od G. Oznacimo s δP modularni karakter od P. Neka je (σ, U) glatka repre-
zentacija Levijevog faktora M od P. Na prostoru IndGP (σ) lokalno konstantnih funkcija
f : G→ U koje zadovoljavaju
f(mng) = δP (m)1/2σ(m)f(g), ∀m ∈M, ∀n ∈ N,∀g ∈ G (2.1)
grupa G djeluje desnim translacijama
Rg(f(x)) = f(xg).
Na taj nacin definirana je glatka reprezentacija od G koju zovemo parabolicki indu-
ciranom reprezentacijom od G sa σ iz parabolicke podgrupe P.
Konstrukcija reprezentacija reduktivne grupe G iz reprezentacija njenih Levijevih faktora
ima sljedeca svojstva (za vise detalja pogledati [27]).
• Funktor parabolicke indukcije iGM iz kategorije reprezentacija konacne duljine od
M u kategoriju reprezentacija konacne duljine od G, koji reprezentaciji σ Levije-
vog faktora M parabolicke podgrupe P od G pridruzuje parabolicki induciranu
reperezentaciju IndGP (σ) je egzaktan.
• Parabolicka indukcija komutura s kontragredijentom, tj.
IndGP (σ) ∼= IndGP (σ).
• Ako su P1 = M1N1 i P2 = M2N2 standardne Levijeve dekompozicije standard-
nih parabolickih podgrupa P1 i P2 od G pri cemu je P1 ⊆ P2 i ako je σ glatka
17
Poglavlje 2. Reprezentacije klasicnih p-adskih grupa
reprezentacija od M1, tada vrijedi
IndGP1(σ) ∼= IndGP2(IndM2P1∩M2(σ)). (2.2)
Svojstvo (2.2) nazivamo indukcijom u koracima.
• Inducirane reprezentacije iz asociranih parabolickih podgrupa imaju jednake kom-
pozicijske nizove.
Recimo sad ukratko nesto o Jacquetovim modulima i o njihovoj vezi s parabolicki indu-
ciranim reperezentacijama.
Neka je (π, V ) reprezentacija grupe G, P = MN parabolicka podgrupa od G i neka je
V (N) = π(n)v − v| v ∈ V, n ∈ N.
Buduci M normalizira N, taj prostor je M -invarijantan. Oznacimo s rGM(π) reprezenta-
ciju od M na kvocijentnom prostoru VN = V/V (N) zakrenutu s karakterom (δP |M)−1/2.
Dakle,
(rGM(π))(m)(v + V (N)) = δ−1/2P (m)π(m)v + V (N). (2.3)
Tada (rGM(π), VN) zovemo Jacquetovim modulom reprezentacije π u odnosu na
P = MN.
Osnovna svojstva Jacquetovih modula su:
• Funktor Jacquetovog modula rGM je egzaktan funktor iz kategorije reprezentacija
konacne duljine od G u kategoriju reperezentacija konacne duljine od M.
• Ako su P1 = M1N1 i P2 = M2N2 standardne Levijeve dekompozicije standard-
nih parabolickih podgrupa P1 i P2 od G pri cemu je P1 ⊆ P2 i ako je π glatka
reprezentacija od G tada nam vrijedi
rGM1(π) ∼= rM2M1(rGM2(π)). (2.4)
18
Poglavlje 2. Reprezentacije klasicnih p-adskih grupa
Svojstvo (2.4) nazivamo tranzitivnoscu Jacquetovih modula.
• Neka je π glatka reprezentacija konacne duljine odG i neka je P = MN standardna
parabolicka podgrupa od G. Tada je rGM(π) izomorfan kontragredijentnoj repre-
zentaciji Jacquetovog modula od π u odnosu na suprotnu parabolicku podgrupu
P .
Vezu izmedu parabolicke indukcije i Jacquetovih modula daje nam Frobeniusov re-
ciprocitet kojeg cemo vrlo cesto kod istrazivanja pitanja reducibilnosti parabolicki
induciranih reprezentacija koristiti. Postoje dvije forme ovog reciprociteta.
Fiksiramo li parabolicku podgrupu P = MN od G i dopustive reprezentacije π od G
i σ od M tada nam prva forma Frobeniusovog reciprociteta kaze da postoji kanonski
izomorfizam
HomG(π, IndGP (σ)) ∼= HomM(rGM(π), σ). (2.5)
Neka je P suprotna parabolicka podgrupa od P (jedinstvena parabolicka podgrupa koja
zadovoljava da je P ∩ P = M ), tada nam druga forma Frobeniusovog reciprociteta kaze
da je
HomG(IndGP (σ), π) ∼= HomM(σ, rGM(π)), (2.6)
pri cemu je Jacquetov modul u drugom prostoru ispreplitanja uzet s obzirom na su-
protnu parabolicku podgrupu P od P.
Uocimo da, ako pretpostavimo da je za ireducibilnu reprezentaciju π od G, rGM(π) 6= 0
za neku standardnu parabolicku podgrupu P = MN od G, tada nam Frobeniusov
reciprocitet implicira da da je π ulozena u IndGP (σ) za neku ireducibilnu reprezentaciju
σ od M. Odaberemo li Levijev faktor M minimalan s obzirom na navedeno svojstvo, to
tada mozemo dobiti da je π ulozena u IndGP (σ), pri cemu je rMM ′(σ) = 0 za sve prave
parabolicke podgrupe P ′ = M ′N ′ od M.
Definicija 2.1 Ireducibilnu reprezentaciju π od G za koju je rGM(π) = 0 za svaku
pravu parabolicku podgrupu od G nazivamo kuspidalnom reperezentacijom.
19
Poglavlje 2. Reprezentacije klasicnih p-adskih grupa
Na kraju ove sekcije dajemo iskaz poznatog Casselmanovog teorema o podreprezentaciji
koji nam daje izvjesnu vezu medu ireducibilnim reprezentacija dane reduktivne grupe
G i kuspidalnim reprezentacijama Levijevih faktora parabolickih podrgupa P = MN
od G.
Teorem 2.1 (Teorem o podreprezentaciji, [6]) Neka je π ireducibilna reprezenta-
cija od G. Tada postoji P = MN parabolicka podgrupa od G i ireducibilna kuspidalna
reprezentacija ρ od M takva da je
π → IndGP (ρ).
2.2 Geometrijska lema
Geometrijska lema predstavlja vrlo vazan rezultat za teoriju reprezentacija klasicnih
p−adskih reduktivnih grupa, a do njega su neovisno dosli Bernstein i Zelevinsky ([2])
te Casselman ([5]). Njome su opisane izvjesne filtracije Jacquetovih modula parabolicki
induciranih reprezentacija, a njena ”algebraizacija”, strukturna formula, pokazala se
kao vrlo korisan alat u izucavanju reducibilnosti parabolicki induciranih reprezentacija.
U nastavku pratimo radove [2] i [5].
Neka je F lokalno nearhimedsko polje i neka je G grupa F -racionalnih tocaka povezane
reduktivne algebarske grupe definirane nad F . Krace kazemo da je G povezana reduk-
tivna p-adska F -grupa. Fiksiramo maskimalan F−rascjepiv torus A0 i minimalnu
parabolicku podgrupu P0 od G koja ga sadrzi. Odabir minimalne parabolicke podgrupe
P0 odreduje bazu 4 od sistema korijena Φ(G,A0) sastavljenu od prostih korijena te
odreduje skup pozitivnih korijena. Oznacimo s W Weylovu grupu
W = NG(A0)/A0.
Neka je P parabolicka podgrupa od G koja sadrzi P0. Takve podgrupe nazivamo stan-
dardnim parabolickim podgrupama, kao i u slucaju hermitskih kvaternionskih
20
Poglavlje 2. Reprezentacije klasicnih p-adskih grupa
grupa. Sve standardne parabolicke podgrupe povezane reduktivne F−grupe G mogu
se parametrizirati podskupovima θ ⊆ 4 na sljedeci nacin: za proizvoljan neprazan
podskup θ ⊆ 4 neka je
Aθ =⋂α∈θ
Kerα
te neka je
Mθ = ZG(Aθ),
gdje je ZG oznaka za centralizator u G Tada je Mθ Levijeva podgrupa standardne
parabolicke podgrupe Pθ od G i Pθ = MθNθ je standardna Levijeva dekompozicija od
Pθ. Oznacimo sada s Wθ podgrupu Weylove grupe W generiranu svim refleksijama
wα |α ∈ θ, pri cemu je wα refleksija na prostoru korijena. Da bi iskazali Geometrijsku
lemu potrebno je jos za podskupove θ, Ω ⊂ 4 opisati skup predstavnika od [WΩ\W/Wθ],
definiranih u [5]. Slijedeci [5], za α ∈ 4 definiramo skupove
Wα = w ∈ W | wα > 0
iαW = w ∈ W | w−1α > 0.
Tada za klase W/WΩ, WΩ \W i Wθ \W/WΩ mozemo odabrati set predstavnika klasa
u oznakama
[W/WΩ], [WΩ \W ], [Wθ \W/WΩ].
Pritom je
[W/WΩ] =⋂α∈Ω
Wα,
[WΩ \W ] =⋂α∈Ω
αW,
te
[Wθ \W/WΩ] = [Wθ \W ] ∩ [W/WΩ].
Sljedeci teorem dokazan je u [5, Propozicija 6.3.3]
Teorem 2.2 (Geometrijska lema) Neka je G povezana reduktivna p-adska grupa,
neka su Ω, θ ⊆ 4 te neka je Pθ = MθNθ Levijeva dekompozicija standardne parabolicke
21
Poglavlje 2. Reprezentacije klasicnih p-adskih grupa
podgrupe Pθ od G . Dalje, neka skup [Wθ \W/WΩ] ima m elemanata w1, w2, . . . , wm te
neka je σ dopustiva reprezenacija Levijevog faktora Mθ.Tada elemente w1, w2, . . . , wm
od [Wθ \W/WΩ] mozemo numerirati na nacin da postoji filtracija
0 = τ0 ⊆ τ1 ⊆ τ2 ⊆ · · · ⊆ τm = rGMΩ(IndGPθ(σ))
od rGMΩ(IndGPθ(σ)) takva da je za svaki 1 ≤ i ≤ m
τi/τi−1 ∼= IndMΩw−1i Pθwi∩MΩ
(w−1i (rMθ
Mθ∩wiΩ(σ))).
2.3 Reprezentacije opcih linearnih grupa nad alge-
brama s dijeljenjem
Buduci odredivanje reducibilnosti parabolicki induciranih reprezentacija hermitskih kva-
ternionskih grupa zelimo uciniti sto blizim dobro nam poznatoj teoriji reprezentacija
opcih linearnih grupa, prisjetit cemo se u kratkim crtama standardne notacije i osnovnih
rezultata iz teorije reprezentacija opcih linearnih grupa nad algebrama s dijeljenjem.
Napomenimo da su notacija, a i rezultati, vrlo slicni onima koji su za opce linearne grupe
definirane nad p−adskim poljima uveli Bernstein i Zelevinsky ([33, 2]). U nastavku
pratimo rad [25].
Oznacimo s RN reduciranu normu na algebri M(k,D), k×k matrica s koeficijentima iz
kvaternionske algebre s dijeljenjem D centralne nad p−adskim poljem F karakteristike 0.
Karaktere od GL(k,D) koristenjem RN identificiramo s karakterima od F×. Stavimo
ν = |RN |F : GL(k,D)→ F×.
Za dopustive reprezentacije πi od GL(ki, D), i = 1, 2 s
π1 × π2 (2.7)
oznacavamo reprezentaciju od GL(k1 + k2, D) parabolicki induciranu iz PGL(k1,k2) =
22
Poglavlje 2. Reprezentacije klasicnih p-adskih grupa
MGL(k1,k2)N
GL(k1,k2). Ako je dodatno π3 dopustiva reprezentacija od GL(k3, F ), tada vri-
jedi
π1 × (π2 × π3) ∼= (π1 × π2)× π3 (2.8)
Neka je (α) = (k1, k2, . . . , kl) uredena particija od k i neka je π dpustiva reprezentacija
konacne duljine opce linearne grupe GL(k,D). Jacquetov modul od π u odnosu na
parabolicku podgrupu PGL(α) = MGL
(α)NGL(α) od GL(k,D) oznacavat cemo s
r(α)(π).
Oznacimo s Rk Grothendieckovu grupu kategorije svih dopustivih rezentacija konacne
duljine grupe GL(k,D). Neka je R = ⊕k≥0Rk. Postoji prirodno preslikavanje s objekata
te kategorije u R koje nazivamo semisimplifikacijom i oznacavamo s s.s.. Za dopustivu
reprezentaciju π konacne duljine od GL(k,D) njena semisimplifikacija je dana s
s.s.(π) =∑
τ∈ ˜GL(k,D)
mult(τ : π)τ, (2.9)
pri cemu je mult(τ : π) multiplicitet ireducibilne glatke reprezentacije τ u π, a ˜GL(k,D)
neunitarni dual opce linearne grupe GL(k,D). Mnozenje m : R⊗R→ R definirano je
indukcijom, a komnozenje m∗ : R→ R⊗R Jacquetovim modulima
m∗(π) =k∑l=0
s.s.(r(l,k−l)(π)) ∈ R⊗R. (2.10)
Uz preslikavanja m i m∗ R ima strukturu Hopfove algebre nad Z tj. komnozenje je
multiplikativno
m∗(π1 × π2) = m∗(π1)×m∗(π2). (2.11)
Formula (2.11) naziva se strukturnom formulom za opce linearne grupe, ona je poslje-
dica Teorema 2.2 i od posebne je vaznosti za teoriju reprezentacija opcih linearnih grupa
jer nam osigurava jednostavan nacin za racunanje kompozicijskih faktora Jacquetovih
modula (za maksimalne parabolicke podgrupe) parabolicki induciranih reprezentacija.
Buduci su u strukturu Hopfove algebre R prema konstrukciji ugradena vrlo vazna svoj-
stva Jacquetovih modula i parabolicke indukcije poput indukcije u koracima (2.2) te
tranzitivnosti Jacquetovih modula (2.4), to iako prema definiciji Hopfova algebra R
23
Poglavlje 2. Reprezentacije klasicnih p-adskih grupa
ukljucuje Jacquetove module samo za maksimalne parabolicke podgrupe, svojstvo tran-
zitivnosti Jacquetovih modula ce nam omoguciti racunanje drugih Jacquetovih modula
koristenjem ove strukture. Ovaj algebrarski pristup prosirit cemo u ovoj disertaciji i na
nase hermitske kvaternionske grupe.
Neka je τ standardna involucija na D. Za matricu g = (gij) ∈ GL(k,D) definiramo
matricu
τ(g) = (τ(gij)) ∈ GL(k,D).
Oznacimo li s gt transponiranu matricu od g te s
gτ = τ(gt) = (τ(gji)),
tada je g 7→ (gτ )−1, za svaki pozitivan cijeli broj k, neprekidna involucija na GL(k,D)
koju cemo oznaciti sa ∗. Za dopustivu reprezentaciju π od GL(k,D) definiramo sada
reprezentaciju π∗ na istom prostoru izrazom
π∗(g) = π(g−∗). (2.12)
Prema zapazanjima Muica i Savina ([18]), za ireducibilnu glatku reprezentaciju grupe
GL(k,D) vrijedi sljedeca relacija
π∗ ∼= π. (2.13)
Prema lokalnoj Jacquet-Langlandsovoj korespondenciji ([7]) medu ireducibilnim esen-
cijalno kvadratno integrabilnim reprezentacijama grupa GL(k,D) i GL(2k, F ), svakoj
ireducibilnoj kuspidalnoj reprezentaciji ρ grupe GL(k,D) pridruzena je ireducibilna
esencijalno kvadratno integrabilna reprezentacija ρ′ grupe GL(2k, F ).
Oznacimo s C skup svih klasa ekvivalencije ireducibilnih kuspidalnih reprezentacija svih
opcih linearnih grupa GL(k,D), k ≥ 1. Tada, za ρ ∈ C, definiramo cijeli broj s(ρ) na
sljedeci nacin
s(ρ) =
1, ako je ρ′ kuspidalana
2, inace(2.14)
24
Poglavlje 2. Reprezentacije klasicnih p-adskih grupa
i stavimo
νρ = νs(ρ). (2.15)
Tada nam vrijedi sljedeci teorem o reducibilnosti parabolicki induciranih reprezentacija
opce linearne grupe definirane nad algebrom s dijeljenjem D.
Teorem 2.3 Neka su ρ1 i ρ2 ireducibilne kuspidalne reprezentacije grupa GL(k1, D) i
GL(k2, D) redom. Parabolicki inducirana reprezentacija ρ1 × ρ2 grupe GL(k1 + k2, D)
je reducibilna ako i samo ako je k1 = k2, s(ρ1) = s(ρ2) i ρ1 ∼= ν±1ρ2 ρ2.
Za ρ ∈ C, m nenegativan cijeli broj i karakter νρ = νs(ρ) skup oblika
ρ, νρρ, . . . , νmρ ρ
nazivamo segmentom ireducibilnih kuspidalnih reprezentacija opcih lineranih grupa
nad algebrama s dijeljenjem i oznacavamo s
4 = [ρ, νmρ ρ].
Skup svih segmenata kuspidalnih reprezentacija opcih linearnih grupa oznacit cemo sa
S. Za svaki segment 4 = [ρ, νmρ ρ] ∈ S, reprezentacija νmρ ρ× νm−1ρ ρ× · · · × νρρ× ρ ima
jedinstvenu ireducibilnu podreprezentaciju koju oznacavamo s
δ(4) = δ([ρ, νmρ ρ]) (2.16)
i jedinstven ireducibilan kvocijent kojeg oznacavamo s
s(4) = s([ρ, νmρ ρ]). (2.17)
Dakle, vrijedi nam
δ([ρ, νmρ ρ]) → νmρ ρ× νm−1ρ ρ× · · · × νρρ× ρ s([ρ, νmρ ρ]). (2.18)
Ireducibilna reprezentacija δ(4) je esencijalno kvadratno integrabilna i karakterizirana
je cinjenicom da je νmρ ρ⊗ · · · ⊗ νρρ⊗ ρ u njenom Jacquetovom modulu.
25
Poglavlje 2. Reprezentacije klasicnih p-adskih grupa
Preslikavanje 4 7→ δ(4) je bijekcija sa skupa S u skup svih klasa ekvivalencije
ireducibilnih esencijalno kvadratno integrabilnih reprezentacija opcih linearnih grupa
GL(k,D), k ≥ 1.
Ako je l > m formalno uzimamo da je
[νlρρ, νmρ ρ] = ∅.
Takoder, uzimamo δ(∅) = s(∅) kao identitetu od R. Vrijedi nam
m∗(δ([ρ, νmρ ρ])) =m∑
i=−1δ([νi+1
ρ ρ, νmρ ρ])⊗ δ([ρ, νiρρ]) (2.19)
m∗(s([ρ, νmρ ρ])) =m∑
i=−1s([ρ, νiρρ])⊗ s([νi+1
ρ ρ, νmρ ρ]). (2.20)
Neka je ρ reprezentacija od GL(k,D). Uredenu l−torku (k, k, . . . , k) ∈ Zl oznacimo s
(k)l. Reprezentacije δ([ρ, νmρ ρ]) te s([ρ, νmρ ρ]) se mogu koristenjem formula
r(k)m+1(δ([ρ, νmρ ρ])) = νmρ ρ⊗ νm−1ρ ρ⊗ · · · ⊗ νρρ⊗ ρ (2.21)
i
r(k)m+1(s([ρ, νmρ ρ])) = ρ⊗ νρρ⊗ · · · ⊗ νm−1ρ ρ⊗ νmρ ρ (2.22)
okarakterizirati kao ireducibilni subkvocijenti od νmρ ρ× νm−1ρ ρ× · · · × νρρ× ρ.
Neka je π dopustiva reprezentacija od GL(k,D). Pretpostavimo da je π subkvocijent
od ρ1×ρ2×· · ·×ρl pri cemu su ρi ireducibilne kuspidalne reprezentacije opcih linearnih
grupa. Tada multiskup (ρ1, ρ2, . . . , ρl) zovemo nosac od π. Ako je dodatno, σ dopustiva
reprezentacija reduktivne grupe G , tada je π ⊗ σ reprezentacija od GL(k,D) × G te
definiramo GL−nosac od π ⊗ σ kao nosac od π, tj. (ρ1, ρ2, . . . , ρl).
Napomena 2.1 ([33])Nosac ireducibilne reprezentacije π od GL(k,D) uvijek postoji i
on je jedinstveno odreden .
26
Poglavlje 2. Reprezentacije klasicnih p-adskih grupa
Uvedimo sada oznaku koju cemo u nastavku rada cesto koristiti. Za ireducibilnu
kuspidalnu reprezentaciju ρ opce linearne grupe GL(k,D) te pozitivan cijeli broj m,
stavimo
δ(ρ,m) = δ[ν−(m−1)/2ρ ρ, ν(m−1)/2
ρ ρ]. (2.23)
Tada je prema [30, Poglavlje 9] za svaki α ∈ R,
ναρ δ(ρ,m) ∼= δ(ναρ ρ,m). (2.24)
U nastavku se u kratkim crtama prisjecamo dijela Langlandsove klasifikacije za opce
linearne grupe. Svaku ireducibilnu esencijalno kvadratno integrabilnu reprezenaciju
δ od GL(p,D) mozemo zapisati u obliku δ = νe(δ)δu, pri cemu je e(δ) ∈ R i δu je
unitarizabilna reprezentacija opce linearne grupe. Za ireducibilne, esencijalno kvadratno
integrabilne reprezentacije δ1, . . . , δk opcih linearnih grupa, odaberemo permutaciju p
skupa 1, 2, . . . , k tako da bude
e(δp(1)) ≥ e(δp(2)) ≥ · · · ≥ e(δp(k)).
Tada reprezentacija δp(1) × δp(2) × · · · × δp(k) ima jedinstven ireducibilan subkvocijent
kojeg oznacavamo s
L(δ1, . . . , δk).
(δ1, . . . , δk) 7→ L(δ1, . . . , δk) je Langlandsova klasifikacija za opce linearne grupe nad
algebrama s dijeljenjem. Za dva segmenta 41 i 42 kazemo da su povezana ako je
41 ∪42 ∈ S segment koji je razlicit od segmenata 41 i 42 .
Prema Lemi 2.5 u [25] reprezentacija δ(41) × δ(42) je reducibilna ako i samo ako su
segmenti 41 i 42 povezani i tada je
L(δ(41), δ(42)), δ(41 ∪42)× δ(41 ∩42)
kompozicijski niz od δ(41)× δ(42).
27
Poglavlje 2. Reprezentacije klasicnih p-adskih grupa
Neka je M(S) skup svih konacnih multiskupova nad S. Neka je a = (41,42, . . . ,4k) ∈
M(S). Odaberemo permutaciju ζ skupa 1, . . . , k tako da je
e(δ(4ζ(1))) ≥ e(δ(4ζ(2))) ≥ · · · ≥ e(δ(4ζ(k))).
Uvedimo reprezentacije
λ(a) = δ(4ζ(1))× δ(4ζ(2))× · · · × δ(4ζ(k))
i
ξ(a) = s(4ζ(1))× s(4ζ(2))× · · · × s(4ζ(k)).
Reprezentacija λ(a) ima jedinstven ireducibilan kvocijent kojeg oznacavamo s L(a), dok
reprezentacija ξ(a) ima jedinstvenu ireducibilnu podreprezentaciju koju oznacavamo sa
Z(a).
Neka je a = (41,42, . . . ,4k) ∈M(S). Ako postoje i, j ∈ 1, . . . , k, i < j takvi da su
segmenti 4i i 4j povezani, tada zamjenjujuci par 4i,4j parom 4i ∪4j,4i ∩4j u a
dobivamo multiskup
a′ = (41, . . . ,4i−1,4i ∪4j,4i+1, . . . ,4j−1,4i ∩4j,4j+1, . . . ,4k) ∈M(S)
i pisemo
a′ ≺ a.
Koristenjem ≺ generiramo parcijalan uredaj ≤ na M(S) te nam tada vrijedi sljedeca
cinjenica:
Za a = (41,42, . . . ,4k) i a′ = (4′1,4′2, . . . ,4′k′) ∈M(S), reprezentacija L(δ(4′1), . . . , δ(4′k′))
je subkvocijent od δ(41) × · · · × δ(4k) ako i samo ako je a′ ≤ a. U slucaju da je a′
minimalan multiskup s navedenim svojstvom, onda je on multipliciteta jedan. Dakle,
zakljucujemo, ako medu segmentima 41, . . . ,4k povezani parovi segmenata ne postoje,
onda je reprezentacija δ(41)× · · · × δ(4k) ireducibilna.
Pri ispitivanju reducibinosti parabolicki induciranih reprezentacija hermitskih kvaterni-
onskih grupa cesto cemo koristiti sljedeci teorem.
28
Poglavlje 2. Reprezentacije klasicnih p-adskih grupa
Teorem 2.4 ([30, 25]) Neka su a, b ∈M(S). Tada:
(a) L(b)(redom Z(b)) je subkvocijent od λ(a) (resp. ζ(a)) ako i samo ako je b ≤ a.
(b) Multiplicitet od L(a) (resp. Z(a)) u λ(a) (resp. ζ(a)) je jedan.
(c) Ako je b ≤ a i ako je b minimalan u M(S), tada je multiplicitet od L(b) (resp. Z(b))
u λ(a) (resp. ζ(a)) jedan.
Napomena 2.2 U radu cemo cesto koristiti i sljedecu cinjenicu.
Neka su a, b ∈ M(S). Ako je L(b) subkvocijent od λ(a), tada je nosac od L(a) jednak
nosacu od L(b).
29
Poglavlje 3
Reprezentacije hermitskih
kvaternionskih grupa
Neka je D kvaternionska algebra s dijeljenjem, centralna nad nearhimedskim poljem F
karakteristike 0 . Zbog slicnosti strukture opce hermitske kvaternionske grupe Gn(D, ε)
sa strukturom klasicnih rascjepivih grupa (standardni Levijevi faktori su produkti opcih
linearnih grupa i manje hermitske kvaternionske grupe) za sumu Grothendieckovih
grupa kategorije glatkih reprezentacija konacne duljine opce hermitske kvaternionske
grupe Gn(D, ε) u ovom poglavlju na nacin analogan onome za klasicne rascjepive grupe
uvodimo strukturu izvjesnog Hopfovog modula nad Hopfovom algebrom R glatkih
reprezentacija konacne duljine od GL(k,D), k ≥ 0 te se prisjecamo Langlandsove
klasifikacije, kriterija kvadratne integrabilnosti i Aubertine involucije, buduci ce nam
svi ti koncepti pomoci pri analizi reducibilnosti parabolicki induciranih reprezentacija u
petom poglavlju.
3.1 Langlandsova klasifikacija
Slijedeci Poglavlje 11.2 u [3] opisat cemo Langlandsovu klasifikaciju za Gn(D, ε). Neka
je kao u Poglavlju 2, ν(g) = |RN(g)|F , g ∈ GL(k,D) pri cemu je RN reducirana norma.
30
Poglavlje 3. Reprezentacije hermitskih kvaternionskih grupa
Za svaku esencijalno kvadratno integrabilnu reprezentaciju δ grupe GL(n,D), postoji
jedinstven realan broj e(δ) i jedinstvena kvadratno integrabilna reprezentacija δu takva
da je
δ = νe(δ)δu.
Za uredeni multiskup (δ1, δ2, . . . , δk) ireducibilnih, esencijalno kvadratno integrabilnih
reperezentacija grupa GL(·, D) kazemo da je u standardnom poretku ako je
e(δ1) ≥ e(δ2) ≥ · · · ≥ e(δk).
Za reprezentacije δi grupa GL(·, D) i reprezentaciju τ grupe Gr(D, ε) pisemo
δ1 × δ2 × · · · × δk o τ = IndGn(D,ε)P (δ1 ⊗ δ2 ⊗ · · · ⊗ δk ⊗ τ)
pri cemu je P pripadna standardna parabolicka podgrupa od Gn(D, ε). Neka je
(δ1, δ2, . . . , δk) multiskup ireducibilnih, esencijalno kvadratno integrabilnih reprezenta-
cija grupa GL(·, D) koji je u standardnom poretku i neka je e(δk) > 0. Promatramo
reprezentaciju δ1 ⊗ δ2 ⊗ · · · ⊗ δk ⊗ τ pripadne standardne Levijeve podgrupe i stavimo
e(δ) = (e(δ1), e(δ1), . . . , e(δk), e(δk), 0, . . . , 0) ∈ X(A0)⊗Z R ∼= Rn (3.1)
U izrazu (3.1), za svaki i = 1, . . . , k se e(δi) pojavljuje tocno ni puta ako je δi re-
prezentacija od GL(ni, D) i 0 se pojavljuje r puta. Uvedimo parcijalni uredaj na
X(A0) ⊗Z R ∼= Rn. Kazemo da je (x1, x2, . . . , xn) ≤ (y1, y2, . . . , yn) ako i samo ako
vrijede sljedece nejednakosti:
x1 ≤ y1
x1 + x2 ≤ y1 + y2...
x1 + x2 + · · ·+ xn ≤ y1 + y2 + · · ·+ yn.
(3.2)
Neka je ( , ) skalarni produkt na X(A0)⊗Z R koji je invarijantan na djelovanje Weylove
grupe i neka je β1, β2, . . . , βn baza dualna bazi α1, α2, . . . , αn sastavljenoj od prostih
korijena pripadnog korijenskog sistema.
31
Poglavlje 3. Reprezentacije hermitskih kvaternionskih grupa
Teorem 3.1 (Langlandsova klasifikacija, [3, 9]) Parabolicki inducirana reprezen-
tacija δ1 × δ2 × · · · × δk o τ pri cemu su ireducibilne, kvadratno integrabilne reprezen-
tacije (δ1, δ2, . . . , δk) u standardnom poretku uz e(δk) > 0 i pri cemu je τ ireducibilna
temperirana reprezentacija grupe Gr(D, ε) ima jedinstven ireducibilan kvocijent kojeg
oznacavamo s L(δ1, δ2, . . . , δk; τ), a koji je multipliciteta 1 u induciranoj reprezentaciji.
Na ovaj nacin dobivamo sve ireducibilne reprezentacije grupe Gn(D, ε).
3.2 Kriterij kvadratne integrabilnosti
Za dopustivu ireducibilnu reprezentaciju π grupe Gn(D, ε) i uredenu particiju
(α) = (n1, n2, . . . , nk) od n− r, pri cemu je r ≥ 0, sa s(α)(π) oznacavamo normaliziran
Jacquetov modul te reprezentacije u odnosu na standardnu parabolicku podgrupu P(α)
s Levijevom podgrupom M(α) izomorfnom GL(n1, D)×GL(n2, D)× · · · ×GL(nk, D)×
Gr(D, ε). Medu medusobno asociranim parabolickim podgrupama, odaberimo podgrupu
P(α) minimalnu s obzirom na svojstvo da je s(α)(π) 6= 0. Svaki ireducibilan subkvocijent
od s(α)(π) je tada nuzno kuspidalan. U nastavku dajemo analogon poznatog Cassel-
manovovog kriterija kvadratne integrabilnosti za opce p-adske reduktivne grupe ([5]).
iskazan u terminima nase notacije.
Teorem 3.2 (Kriterij kvadratne integrabilnosti, [5, 9]) Ireducibilna dopustiva
reprezentacija π grupe Gn(D, ε) je kvadratno integrabilna ako i samo ako za svaki iredu-
cibilan subkvocijent σ = σ1 ⊗ σ2 ⊗ · · · ⊗ σk ⊗ τ od s(α)(π) za svaku uredenu particiju (α)
od n− r vrijedi sljedece
(e(σ), βn1+n2+···+ni) > 0, ∀i = 1, 2, . . . , k. (3.3)
Drugim rijecima, da bi ireducibilna dopustiva reprezentacija π bila kvadratno integra-
bilna nuzno je i dovoljno da za svaku uredenu particiju (α) = (n1, . . . , nk; r) od n
minimalnu u odnosu na svojstvo s(α)(π) 6= 0 i svaki ireducibilan subkvocijent σ od
s(α)(π) 6= 0 vrijedi (3.3).
32
Poglavlje 3. Reprezentacije hermitskih kvaternionskih grupa
3.3 Struktura ψ-Hopfovog modula
Uloga Jacquetovih modula u analizi parabolicki induciranih reprezentacija klasicnih
p-adskih grupa je iznimno velika. Strukturna formula u [29], koja je bazirana je na Ge-
ometrijskoj lemi, daje izniman doprinos u odredivanju Jacquetovih modula parabolicki
induciranih reprezentacija klasicnih rascjepivih grupa. Kako bi koristeci Teorem 2.2
odredili filtracije Jacquetovih modula parabolicki induciranih reperezentacija hermitskih
kvaternionskih grupa, potrebno je izracunati predstavnike kvocijentnih klasa u Weylovoj
grupi. Buduci se relativni sistemi korijena dobiveni za hermitske kvaternionske grupe
ne razlikuju od onih za klasicne rascjepive grupe Sp(2n, F ) te SO(2n+ 1, F ), pripadne
Weylove grupe su esencijalno jednake, te je struktura standardnih Levijevih podgrupa
od Gn(D, ε) analogna, to strukturu izvjesnog Hopfovog modula na direktnoj sumi Grot-
hendieckovih grupa glatkih reprezentacija konacne duljine od Gn(D, ε) uvodimo na nacin
koji je analogan onome opisanom u [29].
Fiksiramo pozitivan cijeli broj n. Neka je i1 ∈ 1, 2, . . . , n te neka su π i σ dopustive
reprezentacije grupa GL(i1, D) te Gn−i1(D), redom. Za element i2 ∈ 1, 2, . . . , n, neka
su d i k cijeli brojevi koji zadovoljavaju sljedece nejednakosti:
0 ≤ d ≤ mini1, i2,
max0, (i1 + i2 − n)− d ≤ k ≤ mini1, i2 − d.
Tada tocno znamo kako izgleda skup predstavnika klasa [W4\αi1 \W/W4\αi2] ([29]).
Slijedeci notaciju iz [29], te predstavnike cemo oznacavati s
qn(d, k)i1,i2 .
Uocimo da element w = qn(d, k)i1,i2 djeluje na matricu
diag(g1, g2, g3, g4, h, Jg−∗1 J, Jg−∗2 J, Jg−∗3 J, Jg−∗4 J),
pri cemu je g1 ∈ GL(k,D), g2 ∈ GL(i2 − d − k,D), g3 ∈ GL(d,D), g4 ∈ GL(i1 − d −
k,D) i h ∈ Gn−i1−i2+d+k(D, ε), na sljedeci nacin
w(diag(g1, g2, g3, g4, h, Jg−∗1 J, Jg−∗2 J, Jg−∗3 J, Jg−∗4 J))w−1 =
33
Poglavlje 3. Reprezentacije hermitskih kvaternionskih grupa
diag(g1, g4, Jg−∗3 J, g2, h, Jg
−∗2 J, g3, Jg
−∗4 J, Jg−∗2 J, Jg−∗1 J),
Kao sto je u prvom poglavlju istaknuto, na Grothendieckovoj grupi, odnosno direktnoj
sumi Grothendieckovih grupa R = ⊕k≥0Rk glatkih reprezentacija konacne duljine grupa
GL(k,D) postoji dobro poznata struktura Hopfove algebre.
Oznacimo sada s R(Gn(D, ε)) Grothendieckovu grupu glatkih rezentacija konacne du-
ljine hermitske kvaternionske grupe Gn(D, ε). Neka je R(G) = ⊕n≥0R(Gn(D, ε)). Tada
nam parabolicka indukcija daje strukturu R-modula na R(G) pri cemu lijevo mnozenje
elementima iz R oznacavamo s o. R(G) je ocito R-modul. Struktura komodula defini-
rana je na nacin analogan onom za GL−slucaj kada uvedemo Z−linearno preslikavanje
µ∗ : R(G)→ R⊗R(G) definirano na bazi ireducibilnih dopustivih reprezentacija s
µ∗(σ) =n∑k=0
s.s.(s(k)(σ)), (3.4)
gdje je s(k)(σ) = s(k;n−k)(σ)
Kao konvenciju u ovom radu koristimo sljedeci zapis:
π1 ≤ π2 ⇔ s.s.(π1) ≤ s.s.(π2), (3.5)
pri cemu je s.s.(π1) ≤ s.s.(π2) ako i samo ako za svaku ireducibilnu dopustivu reprezen-
taciju σ od G je mult(σ : π1) ≤ mult(σ : π2).
Jacquetov funktor rGM mozemo podignuti do homomorfizma R(G) → R(M) kojeg
takoder oznacavamo s rGM . Uocimo da je spomenuti homomorfizam pozitivan, tj.
π ≥ 0⇒ rGM(π) ≥ 0. (3.6)
Iz formule (3.6) nam direktno slijedi da je taj homomorfizam i monoton, tj.
π1 ≤ π2 ⇒ rGM(π1) ≤ rGM(π2). (3.7)
Napomena 3.1 Da ne bi doslo do zabune u interpretaciji rezultata, u nastavku rada
koristimo ”=” kada definiramo nesto ili radimo u Grothendieckovoj grupi, a ”∼=” u
slucaju kada zelimo naglasiti izomorfnost reprezentacija.
34
Poglavlje 3. Reprezentacije hermitskih kvaternionskih grupa
Sljedece dvije propozicije iskazuju nam dobro poznate cinjenice o parabolickoj indukciji
koje su iskazane u terminima nase notacije.
Propozicija 3.1 Za dopustive reprezentacije π, π1 i π2 opcih linearnih grupa i dopustivu
reprezentaciju σ od Gn(D, ε) vrijedi sljedece:
i) π1 o (π2 o σ) ∼= (π1 × π2) o σ
ii) (π o σ)∼ ∼= π∼ o σ∼.
Dokaz: Dokazi u koracima slijede one u rascjepivom slucaju u ([28, Propozicija 4.1] i
[29, Propozicija 6.1])
Propozicija 3.2 Neka je π ∈ R i σ ∈ R(G). Tada je πoσ = πoσ u Grothendieckovoj
grupi R(G)
Dokaz: Dokazi u koracima slijede one u rascjepivom slucaju u ([28, Propozicija 4.2] i
[29, Propozicija 6.2]).
Neka je σ dopustiva reprezentacija od Gn(D, ε) i (α) = (n1, . . . , nk; r) uredena particija
od n i s(α)(σ) Jacquetov modul od σ za P(α). Ako je σ reprezentacija konacne duljine od
Gn(D, ε), tada semisimplifikaciju s.s.(s(α)(σ)) promatramo kao element u Rn1 ⊗Rn2 ⊗
· · · ⊗Rnk ⊗Rr(G).
Tenzorski produkt R⊗R(G) na ocit nacin postaje R⊗R−modul:
(∑i
r′i ⊗ r′i′) o (∑j
rj ⊗ sj) =∑i
∑j
(r′i × rj)⊗ (r′i′ o sj) (3.8)
Oznacimo sa s : R ⊗ R → R ⊗ R linerano preslikavanje takvo da je s(π1 ⊗ π2) = π2 ⊗ π1 i
definiramo homomorfizam prstena ψ∗ : R→ R⊗R sa
ψ∗ = (m⊗ 1) (⊗m∗) s m∗. (3.9)
35
Poglavlje 3. Reprezentacije hermitskih kvaternionskih grupa
Primijetimo da zbog spomenutog rezultata Muica i Savina ([18]) u prethodnom poglavlju,
u definiciji preslikavanja ψ∗ ne stavljamo s (2.12) definiranu reprezentaciju, vec kontragredi-
jentnu˜ . Uz sve navedeno u ovoj sekciji, slijedeci Teorem 5.2 i Teorem 5.4 u [29] i njihove
dokaze dobivamo strukturnu formulu za hermitske kvaternionske grupe.
Teorem 3.3 (Struktura ψ∗-Hopfovog modula na R(G)) Za glatku reprezentaciju π∗
konacne duljine od GL(k,D) i za glatku reprezentaciju σ konacne duljine grupe Gr(D, ε)
vrijedi
µ∗(π o σ) = ψ∗(π) o µ∗(σ) (3.10)
Dokaz:
Ispostavlja se da je oblik homomorfizma ψ∗ pomocu kojeg je ralizirana struktura Hopfovog
modula na R(G), analogan obliku tog homomorfizma u rascjepivom slucaju simplektickih
grupa Sp(n, F ) i SO(2n + 1, F ) ([29])i opce linearne grupe GL(n, F ) ([33]) pa ce nam kao
poopcenje rezultata A. V. Zelevinskog u slucaju opcih linearnih grupa i M. Tadica za slucaj
rascjepivih klasicnih grupa, ova strukturna formula dati znacajan doprinos u proucavanju
induciranih reprezentacija grupa koje promatramo.
3.4 Jacquetovi moduli GL−tipa
Neka je π dopustiva reprezentacija konacne duljine opce linearne grupe GL(k,D) te neka
je σ kuspidalna reprezentacija konacne duljine hermitske kvaternionske grupe Gr(D, ε). Ako
je τ subkvocijent parabolicki inducirane reprezentacije π o σ hermitske kvaternionske grupe
Gk+r(D, ε), tada definiramo
sGL(τ) = s(k)(τ), (3.11)
gdje je s(k;r)(τ) Jacquetov modul (3.11) nazivamo Jacquetovim modulom GL-tipa. Ovi
Jacquetovi moduli posebno su zanimljivi zbog sljedeceg svojstva
s.s.(sGL(τ)) = ρ⊗ σ (3.12)
za neki ρ ∈ Rk, ρ ≥ 0. Svojstvo (3.12) posljedica je strukturne formule (3.10).
36
Poglavlje 3. Reprezentacije hermitskih kvaternionskih grupa
3.5 Aubertina involucija
Neka je iGn(D,ε)M funktor normalizirane parabolicke indukcije, rGn(D,ε)
M normalizirani Jacquet-
ov funktor, te neka je R(G) = R(Gn(D, ε)) Grothendieckova grupa kategorije svih glatkih
reprezentacija konacne duljine opce hermitske kvaternionske grupe Gn(D, ε). Aubertina
involucija([1]) DGn(D,ε) definirana je na Grothendieckovoj grupi R(G) izrazom
DGn(D,ε) =∑θ⊂4
(−1)|θ|iGn(D,ε)Mθ
rGn(D,ε)Mθ
, (3.13)
pri cemu Mθ kao i ranije oznacava standardnu Levijevu podgrupu koja je u korespondenciji s
θ ⊂ 4, a |θ| je kardinalni broj skupa θ. Dakle, suma ide po skupu svih standardnih Levijevih
pogrupa od G. Za ireducibilu dopustivu reprezentaciju π od G, definiramo
π = ±DGn(D,ε)(π),
uzimajuci predznak + ili− tako da π bude pozitivan element Grothendieckove grupeR(Gn(D, ε)).
Reprezentaciju π zovemo Aubertinom involucijom reprezentacije π.
3.6 Generalizirana Steinbergova reprezentacija
Neka je ρ ∼= ρ samodualna ireducibilna unitarna kuspidalna reprezentacija grupe GL(k,D) te
neka je σ ireducibilna kuspidalna reprezenatcija opce hermitske kvaternionske grupe Gr(D, ε).
Pretpostavimo da je ναρ ρo σ reducibilna za neki α > 0 (uvijek postoji jedinstven β ≥ 0 tako
da je νβρ ρo σ reducibilna ([23, Lema 1.2])). Tada za svaki m ≥ 0 reprezentacija
να+mρ ρ× να+m−1
ρ ρ× · · · × ναρ ρo σ
ima jedinstvenu ireducibilnu podreprezentaciju i ona je kvadratno integrabilna. Zbog analogije
sa Steinbergovom reprezentacijom za klasicne grupe, koja je specijalan slucaj prethodne kons-
trukcije za trivijalnu reprezentaciju σ trivijalne grupe i trivijalni karakter ρ odGL(1, F ) ∼= F×,
a koja je za povezanu reduktivnu grupu G nad F definirana u [5], nazivamo ju generalizira-
nom Steinbergovom reprezentacijom.
Osnovna svojstva generaliziranih Steinbergovih reprezentacija dana su u teoremu koji slijedi
([25, 29]).
37
Poglavlje 3. Reprezentacije hermitskih kvaternionskih grupa
Teorem 3.4 Neka je ρ ireducibilna unitarizabilna kuspidalna reprezentacija grupe GL(k,D)
te neka je σ ireducibilna kuspidalna reprezenatcija opce hermitske kvaternionske grupe Gr(D, ε).
Pretpostavimo da je ναρ ρo σ reducibilna za neki α > 0. Tada:
(a) ρ ∼= ρ,
(b) Reprezentacija να+mρ ρ × να+m−1
ρ ρ × · · · × ναρ ρ o σ, za svaki m ≥ 0 ima jedinstevnu
ireducibilnu podreprezentaciju koju oznacavamo s
δ([ναρ ρ, να+mρ ρ], σ). (3.14)
Zatim,
µ∗(δ([ναρ ρ, να+mρ ρ], σ)) =
m∑i=−1
δ([να+i+1ρ ρ, να+m
ρ ρ])⊗ δ([ναρ ρ, να+iρ ρ], σ). (3.15)
Formalno uzimamo da nam je
δ(∅, σ) = σ.
Reprezentacija δ([ναρ ρ, να+mρ ρ], σ) je kvadratno integrabilna te je
δ([ναρ ρ, να+mρ ρ], σ) = δ([ναρ ρ, να+m
ρ ρ], σ).
(c) Reprezentacija να+mρ ρ×να+m−1
ρ ρ×· · ·×ναρ ρoσ za svaki m ≥ 0 ima jedinstven ireducibilan
kvocijent kojeg oznacavamo s
s([ναρ ρ, να+mρ ρ], σ). (3.16)
Vrijedi da je
µ∗(s([ναρ ρ, να+mρ ρ], σ)) =
m∑i=−1
s([ν−α−mρ ρ, ν−α−i−1ρ ρ])⊗ s([ναρ ρ, να+i
ρ ρ], σ). (3.17)
Formalno uzimamo da nam je
s(∅, σ) = σ.
Takoder, iz Langlandsove klasifikacije jasno je da je
s([ναρ ρ, να+mρ ρ], σ) = L(ναρ ρ, να+1
ρ ρ, . . . , να+mρ ρ, σ).
Reprezentaciju (3.16) mozemo opisati kao jedinstven ireducibilan subkvocijent π od νm+αρ ρ×
νm−1+αρ ρ× · · · × ναρ ρo σ koji zadovoljava da je
ν−α−mρ ρ⊗ ν−α−(m−1)ρ ρ⊗ · · · ⊗ ν−α−1
ρ ρ⊗ ν−αρ ρ⊗ σ = s(k)m+1(π) (3.18)
38
Poglavlje 3. Reprezentacije hermitskih kvaternionskih grupa
Dokaz: Dokaz tvrdnji iskazanog teorema analogan je dokazima ekvivalentnih tvrdnji za
kvazi-rascjepive klasicne grupe koji se mogu pronaci na vise mjesta, a istaknut cemo neka:
za tvrdnju (a) [21], za (b) dokaz Propozicije 3.1. u [31], a dokaz pod (c) je slican dokazu
tvrdnje (b) uz primjenu Aubertine involucije (3.13).
39
Poglavlje 4
R-grupe za hermitske kvaternionske
grupe
Pitanje reducibilnosti reprezentacija parabolicki induciranih iz kvadratno integrabilnih re-
prezentacija Levijevih faktora vrlo je vazno pitanje za teoriju reprezentacija p-adskih grupa
opcenito. Kao vrlo mocan alat za analizu takvih reprezentacija pokazao se koncept R-grupe
kojim pristupamo sljedecem, vrlo vaznom problemu:
Neka je G povezana reduktivna algebarska grupa definirana nad nearhimedskim poljem F
karkteristike 0 i neka je M Levijeva podgrupa parabolicke F -podgrupe P od G. Neka je σ
ireducibilna dopustiva reprezentacija od M . Zanima nas rastav parabolicki inducirane repre-
zentacije IndGP (σ) na ireducibilne komponente, i to specijalno u slucaju kada je σ reprezentacija
iz diskretnih serija.
S ciljem odredivanja strukture reprezentacija induciranih s diskretnim serijama IndGP (σ),
Knapp i Stein su u arhimedskom slucaju ([15]) te Harish-Chandra u p-adskom ([12]), razvili
teoriju singularnih operatora ispreplitanja koja vodi do teorije R-grupa koju su u arhimed-
skom slucaju uveli Knapp i Stein ([15]), a u p-adskom Silberger ([22]). R-grupa odreduje nam
koliko se neizomorfnih ireducibilnih komponenti pojavljuje u IndGP (σ) te multiplicitet svake
od tih komponenti. Da bi mogli eksplicitno odrediti R-grupe nasih hermitskih kvaternionskih
grupa, moramo imati neke informacije o strukturi Levijevih faktora njihovih standardnih
parabolickih podgrupa te o tome kada je IndGP (σ) reducibilna za odgovarajuce maksimalne
40
Poglavlje 4. R-grupe za hermitske kvaternionske grupe
parabolicke podgrupe P . Dalje, uz pretpostavku razumijevanja kriterija reducibilnosti za
induciranje iz maksimalnih parabolickih podgrupa i postojanja produktne formule za R-grupe,
racunanje R-grupa za proizvoljnu parabolicku podgrupu P postat ce nam kombinatornog
tipa. Iz same strukture dobivenih R-grupa slijedit ce nam da je parabolicki inducirana repre-
zentacija IndGP (σ) uvijek multipliciteta jedan.
U ovom poglavlju cemo uz kratko prisjecanje definicije R-grupe, slijedeci radove D. Goldberga
[8] za slucaj klasicnih rascjepivih grupa te M. Hanzer [10] za hermitske kvaternionske grupe
s trivijalnim anizotropnim prostorom pokazati da se u slucaju opce hermitske kvaternionske
grupe Gn(D, ε) odredivanje R-grupa moze reducirati te da se R-grupa pridruzena reprezen-
taciji diskretnih serija Levijevog faktora M standardne parabolicke podgrupe od Gn(D, ε)
moze zapisati kao produkt R-grupa pridruzenih bazicnim parabolickim podgrupama. Osim
te redukcije, racunanje R-grupa cemo i dalje reducirati koristenjem rezultata iz [14] poka-
zujuci da je za svaku bazicnu parabolicku podgrupu hermitske kvaternionske grupe R-grupa
oblika (Z/2Z)d, pri cemu se uz poznavanje kriterija reducibilnosti za maksimalne parabolicke
podgrupe broj d moze eksplicitno odrediti.
4.1 Definicija R-grupe
Neka je Pθ = MθNθ standardna parabolicka podgrupa hermitske kvaternionske grupe Gn(D, ε)
koja je u korespondenciji s podskupom θ skupa prostih korijena 4 = 4(Gn(D, ε), A0). Kao
u Poglavlju 1, neka je Aθ rascjepiva komponenta od Pθ s relativnom Weylovom grupom
Wθ = NGn(D,ε)(Aθ)/Mθ.
Postoji prirodno djelovanje relativne Weylove grupe Wθ na reprezentacije od Mθ. Za σ ∈ DMθ,
pri cemu je DMθskup klasa ekvivalencije ireducibilnih esencijalno kvadratno integrabilnih
reprezentacija od Mθ i w ∈ Wθ djelovanje je dano s
wσ(m) = σ(wmw−1). (4.1)
41
Poglavlje 4. R-grupe za hermitske kvaternionske grupe
Oznacimo s W (σ) stabilizatorsku podgrupu pri djelovanju relativne Weylove grupe, tj.
W (σ) = w ∈ Wθ | wσ ∼= σ. (4.2)
Kazemo da je reprezentacija σ singularna ili razgranata ako postoji neki netrivijalan element
w ∈ W takav da je wσ ∼= σ. U protivnom kazemo da je σ nesingularna ili nerazgranata.
Neka je C(σ) algebra ispreplitanja reprezentacije IndGP (σ). Prema Bruhatovom teoremu
iz Harish-Chandrinog rada ([12]) poznata je ocjena dimenzije algebre ispreplitanja C(σ)
kardinalitetom grupe W (σ)
dimCC(σ) ≤ |W (σ)|.
Tocnu dimenziju algebre ispreplitanja C(σ) dat ce nam R-grupa. Ako je σ nesingularna, onda
nam prethodni rezultat govori da IndGP (σ) mora biti ireducibilna pa izucavanje reducibilnosti
u slucaju kada je σ reprezentacija diskretnih serija reduciramo na singularan slucaj, odnosno
na onaj kada postoji netrivijalni element w Weylove grupe takav da je
wσ ∼= σ.
Za dopustivu reprezentaciju σ standardne Levijeve podgrupe Mθ i element w Weylove grupe
takav da je w(θ) = θ′ podskup skupa prostih korijena stavimo
Nw = Nmin ∩ wNθw−1
pri cemu je Nθ unipotentni radikal parabolicke podgrupe suprotne od Pθ, a Nmin unipot-
netni radikal minimalne parabolicke podrgupe Pmin od G . Iskoristimo li (4.1), s wσ(m) =
σ(w−1mw), m ∈Mθ′ definirali smo reprezentaciju od Mθ′ .
Oznacimo kompleksificirani dual realne Liejeve algebre aθ od Aθ s (a∗Mθ)C pri cemu je
aθ = Hom(X(Mθ)F ,R),
te s X(Mθ)F Z-modul F−racionalnih karaktera od Mθ. Tada je
(a∗Mθ)C = X(Mθ)F ⊗R C.
42
Poglavlje 4. R-grupe za hermitske kvaternionske grupe
Neka je HPθ : Pθ → aMθhomomorfizam koji je trivijalan na unipotentnom radikalu Nθ od Pθ,
a Levijevom faktoru Mθ je definiran uvjetom
q<α,HPθ (m)> = |α(m)|F , ∀α ∈ X(Mθ)F , ∀m ∈Mθ. (4.3)
Za p ∈ Pθ,
HPθ(p) = |α(m)|F
gdje je p = mn, m ∈Mθ, n ∈ Nθ.
Neka je λ ∈ (a∗Mθ)C i fλ ∈ IndGn(D,ε)
Pθ(σ ⊗ q<λ,HPθ ()>). Samo formalno definiramo standardni
operator ispreplitanja:
Aw(σ, λ)fλ(g) =∫Nwfλ(w−1ng)dn. (4.4)
Ako za neki λ ovaj integral konvergira za svaki fλ, onda on definira operator ispreplitanja
Aw(σ, λ) : IndGn(D,ε)Pθ
(σ ⊗ q<λ,HPθ ())→ IndGn(D,ε)Pθ′
(wσ ⊗ q<wλ,HPθ′
()). (4.5)
Prethodni integral slabo konvergira u konusu u pozitivnoj Weylovoj komori od (a∗Mθ)C i ima me-
romorfno produljenje na citav prostor (a∗Mθ)C (vidi [20]). Ako je element w najdulji element u
relativnoj Weylovoj grupi Wθ, tada operator Aw(σ, λ) zovemo dugi operator ispreplitanja.
Neka su P i P ′ parabolicke podgrupe od Gn(D, ε) s istom Levijevom podgrupom, neka
je σ reprezentacija diskretnih serija od M te neka je λ ∈ (a∗Mθ)C. Definiramo stndardni
(integralan) operator ispreplitanja JP ′|P (λ, σ) medu reprezentacijama IndGP (σ ⊗ q<λ,HP ()>) i
IndGP ′(σ ⊗ q<λ,HP ′ ()>) definiran na sljedeci nacinJP ′|P (λ, σ)
JP ′|P (λ, σ)f(g) =∫N∩N ′\N ′
fλ(ng)dn (4.6)
Oznacimo s RP ′|P (λ, σ) normalizirani operator ispreplitanja dobiven iz JP ′|P (λ, σ) i s l(w)
operator lijeve translacije elementom w−1 Weylove grupe. Kada je λ = 0 iskljucujemo ga iz
notacije. Ovaj operator djeluje na prostorima induciranih reprezentacija. Ako σ djeluje na
prostoru V , tada za svaki w ∈ W (σ) postoji izomorfizam Tw na V takav da je
Tw(wσ)(m) = σ(m)Tw,
43
Poglavlje 4. R-grupe za hermitske kvaternionske grupe
za sve m ∈M . Definiramo operatore
R(w, σ) := Twl(w)Rw−1Pw|P (σ)
koji su operatori ispreplitanja za reprezentaciju IndGP (σ).
Prema Harish-Chandrinim rezultatima (vidi Teorem 5.5.3.2 u [12]) familija R(w, σ) : w ∈
W (σ) razapinje kao vektorski prostor algebru C(σ). Sada bi bez pozivanja na Plancherelovu
mjeru mogli reci da je R-grupa podgrupa elemenata u W (σ) koja djeluje na (a∗Mθ)C na nacin
da fiksira pozitivnu komoru, no radi racunanja, lakse nam je definirati R-grupe koristenjem
Plancherelove mjere.
Definicija 4.1 Plancherelove mjere µ(σ, λ, w) definirane su na sljedeci nacin
Aw(σ, λ)Aw−1(wσ,w λ) = µ(σ, λ, w)−1γ2w(G/P ) (4.7)
pri cemu je
γ2w(G/P ) =
∫Nwq<2ρP ,HP (n)>dn, (4.8)
a ρP je polusuma pozitivnih korijena u Nθ.
Kada je w najdulji element u pripadnoj Weylovoj grupi onda ga izbacujemo iz notacije.
Oznacavat cemo s µα(σ, λ) Plancherelovu mjeru koja je u korespondenciji s reprezentacijom
IndMαP ∗θ
(σ ⊗ q<λ,HP∗θ ()>), gdje je korijen α u skupu korijena standardne parabolicke podgrupe
Pθ koji su u korespondenciji s Aθ. Grupa Mα je Levijeva podgrupa od G koja centralizira
torus Aθ∪α i P ∗θ = Mα ∩ Pθ je maksimalna parabolicka podgrupa od Mα. Pisat cemo µα(σ)
za µα(σ, 0). Oznacimo s
4′ = α ∈ Φ(Pθ, Aθ) : µα(σ) = 0
Prema [12, str. 183]
µwα(σ) = µα(w−1σ) (4.9)
Knapp-Steinova R-grupa Rσ reprezentacije σ ∈ DMθdefinira se kao
Rσ = w ∈ W (σ) : w(4′) > 0. (4.10)
44
Poglavlje 4. R-grupe za hermitske kvaternionske grupe
Uocimo sada da je w(4′) = 4′ ako i samo ako je w ∈ Rσ stoga je
Rσ = w ∈ W (σ) : w(4′) = 4′. (4.11)
Veza izmedu kardinalnog broja R-grupe pridruzene reprezentaciji diskretnih serija σ ∈ DMθ
te dimenzije algebre ispreplitanja C(σ) parabolicki inducirane reprezentacije IndGPθ(σ) dana
je sljedecim teoremom.
Teorem 4.1 (Harish-Chandra)
dim C(σ) = |Rσ|.
U daljnjem izlaganju, kada fiksiramo reprezentaciju σ pisat cemo R umjesto Rσ.
Bez smanjenja opcenitosti tijekom racunanja pretpostavit cemo da su blokovi opce linearne
grupe iste velicine unutar Levijeve podgrupe grupirani zajedno. To mozemo napraviti jer je
svaka standardna Levijeva podgrupa asocirana nekoj drugoj standardnoj Levijevoj podgrupi
koja ima spomenuti oblik, a reprezentacije asociranih parabolickih podgrupa imaju jednake
Plancherelove mjere.
4.2 Weylove grupe
Neka je G = Gn(D, ε) hermitska kvaternionska grupa i neka je Pθ njena standardna pa-
rabolicka podgrupa koja je u korespondenciji s podskupom θ skupa prostih korijena 4 =
4(Gn(D, ε), A0). Za racunanje R-grupa vec su koristene relativne Weylove grupe
W (G/Aθ) = Wθ = NG(Aθ)/Mθ. (4.12)
Buduci je NG(Aθ)/Mθ podgrupa od NG(A0)/Mθ∩NG(A0) ∼= W0/(Mθ∩NG(A0))/M0, za pred-
stavnike od Wθ mozemo uzeti elemente Weylove grupe W0 modulo Weylova grupa sistema
korijen Φ(Mθ, A0).
Prisjetimo se Weylovih grupa sistema korijena Bn i Cn koji nam se pojavljuju.
Sn mozemo interpretirati kao grupu permutacija na skupu elementima dijagonale torusa
A0(F ), a (Z/2Z)n djeluje kao promjena predznaka. Uz ciklicku notaciju elemenata iz
45
Poglavlje 4. R-grupe za hermitske kvaternionske grupe
Tablica 4.1: Weylove grupe sistema korijena Bn i Cn(vidi [4])
Sistem korijena Weylova grupa
Bn W0 ∼= Sn o (Z/2Z)n
Cn W0 ∼= Sn o (Z/2Z)n
Sn nam transpozicija (ij) zamjenjuje λi s λj u diag(λ1, . . . , λn, Il, λ−1n , . . . , λ−1
1 ). Ako s cioznacimo netrivijalni element u i−toj kopiji od (Z/2Z)n, tada nam ci salje λi u λ−1
i u
diag(λ1, . . . , λn, Il, λ−1n , . . . , λ−1
1 ) i zovemo ga promjenom predznaka.
U nastavku slijedimo radove D. Goldberga [8] za klasicne rascjepive grupe i [10] za slucaj
hermitskih kvaternionskih grupa s trivijalnim anizotropnim prostorom te prosirujemo dobivene
rezultate na slucaj opce hermitske kvaternionske grupe. U ovisnosti o dvama slucajevima s
obzirom na koje smo parametrizirali standardne parabolicke podgrupe hermitske kvaternionsih
grupa (vidi (1.23) i (1.24)), sljedeca Propozicija nam u ovisnosti o istim daje formu pripadnih
relativnih Weylovih grupa.
Propozicija 4.1 a) Ako αn 6∈ θ, tada je
Wθ∼= (
r+1∏i=1
Sni) n Zn1+n2+···+nr+12
∼=r+1∏i=1
(Sni n (Z/2Z)ni) (4.13)
b) Ako αn ∈ θ, tada je
Wθ∼= ((
r−1∏i=1
Sni)× Snr+1) n Zn1+n2+···+nr−1+nr+1 ∼=∏i 6=r
(Sni n (Z/2Z)ni) (4.14)
Dokaz: Ako umemo u obzir strukturu Levijevih podgrupa i cinjenicu da Weylova grupa
djeluje kao permutacija medu blokovima iste velicine, a kao zamjena predznaka unutar torusa
Aθ, tvrdnja teorema je ocigledna.
4.3 R-grupe za hermitske kvaternionske grupe
Definicija 4.2 Neka je Pθ = MθNθ standardna parabolicka podgrupa od Gn(D, ε). Ako
je Levijev faktor Mθ oblika Mθ∼= GL(m1, D)n1 ili Mθ
∼= GL(m1, D)n1 × Gk(D, ε), onda
parabolicku podgrupu Pθ zovemo bazicnom.
46
Poglavlje 4. R-grupe za hermitske kvaternionske grupe
U prvom koraku pokazat cemo da racunanje R-grupa za opcu hermitsku kvaternionsku grupu
Gn(D, ε) mozemo reducirati koristenjem produktne formule kojom odredivanje R-grupa re-
duciramo na racunanje R-grupa za bazicne parabolicke podgrupe. Buduci znamo kako nam
izgledaju Levijevi faktori standardnih parabolickih podgrupa hermitske kvaternionske grupe
Gn(D, ε), koje smo parametrizirani podskupovima θ sistema prostih korijena (vidi formule
(1.23) i (1.24)), za pocetak cilj nam je pokusati izraziti relativne Weylove grupe Wθ u termi-
nima relativnih Weylovih grupa bazicnih parabolickih podgrupa. Taj rezultat biti ce nam
kljucan za dokazivanje produktne formule. Napomenimo da je u slucaju klasicnih p-adskih
grupa s relativnim sistemom korijena tipa Dn racunanje R-grupa kompliciranije upravo iz
razloga sto takav rezultat ne postoji ([8]). I dalje zadrzavamo pretpostavke da nema razmaka
medu komponentama skupa θ, te da su komponente iste velicine grupirane zajedno, te koris-
timo sve oznake uvedene u tom poglavlju.
Slijedeci Poglavlje 1.3.1 ove disertacije u kojem je opisana struktura Levijevih faktora stan-
darnih parabolickih podgrupa hermitske kvaternionske grupe Gn(D, ε) definiramo sljedece
grupe. U slucaju kada je Levijev faktor oblika (1.32) (αn /∈ θ), za svaki i = 1, . . . , r + 1
definiramo grupu Gi = Gmini(D) koja ima bazicnu parabolicku podgrupu Pi s Levijevim
faktorom Mi∼= GL(mi, D)ni . Neka je Ai rascjepiva komponenta od Mi.
Lema 4.1 [10, Lema 3.3] Ako αn /∈ θ, tada je
Wθ∼=
r+1∏i=1
W (Gi/Ai).
Toruse Ai mozemo realizirati kao podgrupe torusa Aθ, te Levijeve faktore Mi kao podgrupe
Levijevih faktoraMθ. Svaki skupXi iz (1.28) sadrzi (mi−1)ni korijena. Za svaki i ∈ 1, . . . , r
oznacimo s Θi jedinstven korijenski podsistem tipa Bmini ili Cmini sistema Φ(G,A0) koji sadrzi
Xi. Neka je 4i baza od Θi dobivena dodavanjem skupu Xi i neka je
Θr+1 = α ∈ Φ(G,A0) : (α, β) = 0,∀β ∈ θ.
Skupu korijena od Xi, sada odgovara rascjepiv torus Ai u Gi, tj. Ai = AXi . Oznacimo s Piparabolicku podgrupu od Gi koja je u korespondenciji s Ai (Pi = PXi).
47
Poglavlje 4. R-grupe za hermitske kvaternionske grupe
Sada, neka je σ = σ1⊗σ2⊗ · · ·⊗ σr⊗σr+1 ∈ DMθ, pri cemu su σi ∈ DMi
. Oznacimo s Wi(σi)
stabilizator reprezentacije σi u W (Gi/Ai). Buduci je Mθ∼=∏r+1i=1 Mi to nam iz prethodne leme
direktno slijedi sljedeca lema.
Lema 4.2 [10, Lema 3.4]
Ako αn /∈ θ, tada je
W (σ) ∼=r+1∏i=1
Wi(σi).
Dokaz: Neka je w ∈ W (σ). Tada je w = (w1, w2, . . . , wr+1), pri cemu je svaki wi ∈
W (Gi/Ai), ∀i = 1, . . . , r + 1. Ako je g ∈ Mθ, to je g = (g1, g2, . . . , gr+1) pri cemu je
svaki gi ∈Mi. Dakle, imamo da je
wgw−1 = (w1−1giw1, w2
−1giw2, . . . , w−1r+1gr+1wr+1).
Zbog toga je wσ ∼= ⊗r+1i=1
wiσi sto ima za posljedicu da je wσ ∼= σ ako i samo ako je wiσi ∼= σi
za svaki i.
Sljedeca lema govori nam o vezi izmedu podskupa 4′ skupa korijena koji se javlja u definiciji
R-grupe s odgovarajucim podskupovima 4′i bazicnih Levijevih podgrupa. Koristenjem te
leme za odredivanje 4′ mozemo se usredotociti na pojedini sistem Θi.
Lema 4.3 [10, Lema 3.5] Ako αn /∈ θ i ako α /∈ ⋃Θi tada
α|Aθ /∈ 4′.
Dokaz: Korijeni oblika α = ±2εl za neki l ∈ 1, 2, . . . , n, nuzno su elementi nekog Θi, i =
1, . . . , r + 1 po konstrukciji jer su dodani skupu Xi da bi se formirali podsistemi korijena
Θi, i = 1, . . . , r ili su u Θr+1. Stoga, ako α /∈ ⋃Θi, onda mozemo pretpostaviti da je korijen
α kratki korijen, tj. da je on oblika α = εj ± εk, za neke j, k. Buduci α /∈ ⋃Θi, to postoje
neki l, s, l 6= s, takvi da je εj − εj+1 ∈ 4l i εk − εk+1 ∈ 4s. Tada je
Mα∼=
∏f 6=l,s
Mf ×GL(ml, D)nl−1 ×GL(ms, D)ns−1 ×GL(ml +ms, D).
Neka je P ∗α maksimalna parabolicka podgrupa u Mα dana sa Mα ∩ Pθ. Promatrajmo sada
reprezentaciju IndMαP ∗α
(σ).
IndMαP ∗α
(σ) ∼= ⊗f 6=l,sσf ⊗p 6=p0 σl,p ⊗t6=t0 σs,t ⊗ IndGL(ml+ms,D)GL(ml,D)×GL(ms,D)(σl,p0 ⊗ σs,t0),
48
Poglavlje 4. R-grupe za hermitske kvaternionske grupe
pri cemu je
σl ∼= ⊗nlp=1σl,p
i
σs ∼= ⊗nst=1σs,t
.
Buduci je Mθ maksimalna Levijeva podgrupa u Mα, da bi vrijedilo da je µα(σ) = 0 (i α ∈ 4′)
nuzno je i dovoljno (vidi [8]) da je reprezentacija σ singularna u Mα te da je inducirana
reprezentacija ireducibilna, a da bi se σ granala nuzno je da je ms = ml sto ovdje nije slucaj.
Time je lema dokazana.
Prethodna lema ukazuje nam na cinjenicu da se za odredivanje 4′ mozemo usredotociti na
pojedini podsustav Θi. Neka je korijen α iz prethodne leme unutar skupa Φ(Pi, Ai). Uvedimo
sljedece oznake
Ai,α = (Ai ∩Kerα)
Mi,α = ZGi(Ai,α)
P ∗i,α = Pi ∩Mi,α.
Neka je µα(σi) Plancherelova mjera pridruzena reprezentaciji IndMi,α
P ∗i,α(σi). Tada nam vrijedi
sljedeca lema.
Lema 4.4 Ako αn /∈ θ tada za i ∈ 1, . . . , r + 1 i α ∈ Θi vrijedi
(i)
Mα∼=
∏k=1,...,r+1,k 6=i
Mk ×Mi,α,
(ii)
P ∗α∼=
∏k=1,...,r+1,k 6=i
Mk × P ∗i,α,
(iii)
W (Mα/Aθ) = W (Mi,α/Ai)
49
Poglavlje 4. R-grupe za hermitske kvaternionske grupe
(iv)
IndMαP ∗α
(σ) ∼= σ1 ⊗ σ2 ⊗ · · · ⊗ σi−1 ⊗ IndMi,α
P ∗i,α(σi)⊗ · · · ⊗ σr+1
Dokaz: Dokaz ove leme prati korake Leme 3.6 u ([10]).
Neka je
4′i = α ∈ Φ(Pi, Ai) : µα(σi) = 0
i neka je
Ri = w ∈ Wi(σi) : w(4′i) = 4′i
U sljedecoj propoziciji opisano je kako R-grupu pridruzenu reprezentaciji IndGn(D,ε)Pθ
(σ), pri
cemu je σ ∼= σ1 ⊗ σ2 ⊗ · · · ⊗ σr ⊗ σr+1 reprezentacija diksretnih serija od Mθ mozemo izraziti
preko R-grupa pridruzenih reprezentacijiama IndGiPi (σi).
Propozicija 4.2 (Produktna formula) Neka αn /∈ θ, neka je s R oznacena R-grupa od
IndGn(D,ε)Pθ
(σ) te neka su s Ri oznacene R-grupe reprezentacija IndGiPi (σi), i ∈ 1, . . . , r + 1.
Tada vrijedi
R = R1 ×R2 × · · · ×Rr+1 (4.15)
Dokaz: Neka je w ∈ R. Prema definiciji, w ∈ W (σ) ako je w(4′) = 4′. Element w prema
lemi (4.1) mozemo zapisati u obliku (w1, . . . , wr+1 pri cemu je svaki wi ∈ Wi(σi). Svojstva
(iii) i (iv) prethodne leme govore nam da je σ singularna reprezentacija od Mα ako i samo ako
je σi singularna reprezentacija od Mi,α te je parabolicki inducirana reprezentacija IndMαP ∗α
(σ)
ireducibilna ako i samo ako je IndMi,α
P ∗i,α(σi), ∀i ireducibilna
Uocimo da je ovo zapravo analogon rezultata za GL(n,D) koji nam kaze da je za odredivanje
reducibilnosti parabolicki inducirane reprezentacije IndGP (σ) dovoljno znati odgovor u slucaju
M = GL(m,D)k pri cemu je mk = n.
Promotrimo sada drugi slucaj, tj. slucaj kada je αn ∈ θ. Diskusija je vrlo slicna prethodnom
slucaju. Ponovo definiramo grupe Gi i parabolicke podgrupe Pi od Gi koje nam daju pro-
duktnu formulu vrlo slicnu onoj koja je dobivena u Propoziciji 4.2, uz razliku da nam u tom
slucaju Xr u dekompoziciji komponenti Dynkinovog dijagrama ima samo jednu komponentu
50
Poglavlje 4. R-grupe za hermitske kvaternionske grupe
θk koja sadrzi αn.
Dakle, neka je X = X1 ∪X2 ∪ · · · ∪Xr pri cemu Xr sadrzi samo komponentu θk unutar koje
se nalazi korijen αn (Xr je jednoclan skup). Neka je za svaki i ∈ 1, . . . , r− 1 Θi jedinstveni
korijenski podsistem sistema korijena Φ(Gn(D, ε), A0) tipa Bmini+m ili Cmini+m koji sadrzi
Xi ∪Xr. Neka je Gi = Gmini+m(D). Za i 6= r stavimo
Ai = AXi∪Xr ,
Pi = PXi∪Xr .
Tada je Levijev faktor od Pi
Mi = ZGi(Ai) ∼= GL(mi)ni ×Gm(D),
dakle Pi je bazicna parabolicka podgrupa od Gi. Iz toga nam slijede sljedeci rezultati ciji
dokazi su u koracima potpuno analogni onima u slucaju αn /∈ θ pa ih izostavljamo, a mogu
se pogledati u ([8]).
Lema 4.5 [8, Lema 4.10] Neka su θ i θi kao sto smo ranije naveli. Tada je:
i) Aθ ∼= A1 × A2 × · · · × Ar−1 × Ar+1,
ii) Mθ∼= M ′
1 ×M ′2 × · · · ×M ′
r−1 ×M ′r+1 ×Gm(D) pri cemu je Mi
∼= M ′i ×Gm(D)
Za i 6= r neka je
Wi = W (Gi/Ai).
Tada je Wi∼= Sni o (Z/2Z)ni i vrijedi nam sljedeca lema.
Lema 4.6 [8, Lema 4.11] Neka je αn ∈ θ. tada je
Wθ∼= W1 ×W2 × · · · ×Wr−1 ×Wr+1
51
Poglavlje 4. R-grupe za hermitske kvaternionske grupe
Vratimo se sad na reprezentacije. Neka je σ ∼= σ1 ⊗ σ2 ⊗ · · · ⊗ σr−1 ⊗ σr+1 ⊗ ρ ∈ DMθpri
cemu je za svaki i 6= r, σi ∈ DM ′i te je ρ ∈ DGm(D). Tada je za svaki i 6= r, σi ⊗ ρ ∈ DMi.
Oznacimo sada kao i u prvom slucaju s Wi(σi) stabilizator reprezentacije σi ⊗ ρ. Tada je za
svaki wi ∈ Wi = W (Gi/Ai),wi(σi ⊗ ρ) ∼=wi σi ⊗ ρ
pa razgranatost od σi ⊗ ρ ovisi samo o σi.
Propozicija 4.3 [8, Korolar 4.12 i Lema 4.13] Ako je αn ∈ θ, tada je
(i) W (σ) ∼= W1(σ1)× · · · ×Wr−1(σr−1)×Wr+1(σr+1).
(ii) Ako α /∈ ⋃Θi tada
α|Aθ /∈ 4′.
Neka je i 6= r i neka je α ∈ Θi ∩ Φ(Pθ, Aθ). Tada uvodimo sljedece oznake
Ai,α = (Ai ∩Kerα)
Mi,α = ZGi(Ai,α)
P ∗i,α = Pi ∩Mi,α.
Neka je µα(σi ⊗ ρ) Plancherelova mjera pridruzena reprezentaciji IndMi,α
P ∗i,α(σi ⊗ ρ) pri cemu je
σi ∈ DM ′i ( µα(σi ⊗ ρ) je odredena s IndMαP ∗α
(σ)). Tada nam vrijedi sljedeca lema.
Lema 4.7 [8, Korolar 4.16 i Lema 4.15] Ako je αn ∈ θ tada za i ∈ 1, . . . , r + 1, i 6= r i
α ∈ Θi ∩ Φ(Pθ, Aθ) vrijedi
(i)
Mα∼= M ′
1 ×M ′2 ×M ′
i−1 ×Mi,α × · · · ×M ′r−1 ×M ′
r+1
(ii)
P ∗α∼= M ′
1 ×M ′2 ×M ′
i−1 × P ∗i,α × · · · ×M ′r−1 ×M ′
r+1,
(iii)
W (Mα/Aθ) = W (Mi,α/Ai)
52
Poglavlje 4. R-grupe za hermitske kvaternionske grupe
(iv)
IndMαP ∗α
(σ) ∼= σ1 ⊗ σ2 ⊗ · · · ⊗ σi−1 ⊗ IndMi,α
P ∗i,α(σi)⊗ · · · ⊗ σr−1 ⊗ σr+1
Neka je σ ∼= σ1 ⊗ σ2 ⊗ · · · ⊗ σr−1 ⊗ σr+1 ⊗ ρ ∈ DMθpri cemu je σi ∈ DM ′i te je ρ ∈ DGm(D).
Za svaki i 6= r analogno koracima u slucaju (1) definiramo
4′i = α ∈ Φ(Pi, Ai) : µα(σi ⊗ ρ) = 0
te R-grupu reprezentacije σi ⊗ ρ u odnosu na indukciju s Pi na Gi
Ri = w ∈ Wi(σi) : w(4′i) = 4′i
.
Propozicija 4.4 [8, Lema 4.17 i Teorem 4.18]
(i) Za svaku reprezentaciju σ ∈ DMθ
4′ = ∪i 6=r4′i,
(ii)
R = R1 × · · · ×Rr−1 ×Rr+1
4.4 Multiplicitet jedan
Analizirajuci R-grupe hermitskih kvaternionskih grupa uocili smo da je odredivanje R-grupa
za grupe Gn(D, ε) moguce reducirati na odredivanje R-grupa pripadnih bazicnih parabolickih
podgrupa. Za njihov izracun koristimo poznati rezultat Keysa [14] u kojem je dokazano da
su jedini moguci elementi unutar R-grupa promjene predznaka.
Lema 4.8 Neka je Gn(D, ε) hermitska kvaternionska grupa, Pθ njena bazicna parabolicka
podgrupa ciji je Levijev faktor Mθ∼= GL(k,D)r ×Gm(D), i neka je σ ∈ DMθ
. Ako je w = sc
element unutar R-grupe reprezentacije IndGn(D,ε)Pθ
(σ), pri cemu je s ∈ Sr, c ∈ Zr2, tada je
s = 1.
53
Poglavlje 4. R-grupe za hermitske kvaternionske grupe
Dokaz: Pretpostavimo suprotno tj. da s ima netrivijalan ciklus za kojeg pretpostavljamo da
je oblika (1 . . . j+1). Do na konjugaciju promjenama predznaka unutar Wθ element c djeljuje
trivijalno na skupu indeksa 1, 2, . . . , j+1 ili je c = cj+1. Ako pretpostavimo da je djelovanje
od c na 1, 2, . . . , j + 1 trivijalno, tada nam wσ ∼= σ implicira σ1 ∼= σ2 ∼= . . . ∼= σj+1. Iz toga
slijedi da je εk−εjk+1 ∈ 4′, medutim w(εk−εjk+1) < 0 sto je u kontradikciji s pretpostavkom
da je w ∈ R. Pretpostavimo sada da c = cj+1. Tada nam je scj+1 ∈ W (σ), dakle i εk+εjk+1 ∈
4′. Medutim, w(εk + εjk+1) < 0 sto je ponovo u kontradikciji s pretpostavkom da je w ∈ R.
Dakle, zakljucujemo da je s = 1 i R ∼= (Z/2Z)d za neki d ∈ N.
Induciranje iz maksimalnih parabolickih podgrupa predstavlja vrlo vazan dio teorije R-grupa
hermitskih kvaternionskih grupa, stoga se prisjetimo ukratko njihove strukture i nacina na
koji elementi pripadnih relativnih Weylovih grupa djeluju na njih.
Levijev faktor maksimalne F -parabolicke podgrupe od Gn(D, ε) ima sljedeci oblik:g
h
Jk(g−∗)Jk
pri cemu je g ∈ Gl(k,D), h ∈ Gr(D), r ≥ 0 te je r + k = n. Netrivijalni element relativne
Weylove grupe djeluje kao promjena znaka, tj.
w
g
h
Jk(g−∗)Jk
w−1 =
g−∗
h
JkgJk
pa zakljucujemo da je σ ⊗ ρ singularna ako i samo ako je σ∗ ∼= σ.
Lema 4.9 Neka je M ∼= GL(m,D)×GL(k,D) Levijev faktor maksimalne standardne para-
bolicke podgrupe P = MN u GL(m+ k,D). Neka su σ1 ∈ DGL(m,D) i σ2 ∈ DGL(k,D). Tada je
reprezentacija IndGL(m+k,D)P (σ1 ⊗ σ2) ireducibilna.
Dokaz: Dokaz ove leme moze se pogledati u [7].
54
Poglavlje 4. R-grupe za hermitske kvaternionske grupe
Propozicija koja slijedi daje nam vrlo vazan rezultat o R-grupama kojim je eksplicitno moguce
u slucaju bazicnih parabolickih podgrupa odrediti prethodno spomenuti prirodan broj d takav
da je R ∼= Zd2.
Propozicija 4.5 Neka je Pθ bzicna parabolicka podgrupa hermitske kvaternionske grupe
Gn(D, ε) takva da je njen Levijev faktor Mθ∼= GL(k,D)r × Gm(D), pri cemu je m ≥ 0
i neka je σ = σ1 ⊗ σ2 ⊗ · · · ⊗ σr ⊗ ρ ∈ DMθ. Tada je R-grupa reprezentacije IndGn(D,ε)
Pθ(σ)
izomorfna (Z/2Z)d, pri cemu je d broj medusobno neizomorfnih σi takvih da je Ind(σi ⊗ ρ)
reducibilna.
Dokaz: Dokaz ove propozicije slijedi iz dokaza analognog rezultata Goldberga [8] u rascjepi-
vom slucaju.
Iz Popozicije 4.5 i Leme 4.8 zakljucujemo da su neovisno o tome koji tip hermitske kvater-
nionske grupe promatramo dobivene R-grupe uvijek Abelove sto nam za posljedicu prema
Teoremu 1.9 u [8] ima da se svaka ireducibilna podreprezentacija reprezentacije IndGP (σ),
σ ∈ DM , javlja s multiplicitetom jedan.
Teorem 4.2 (Multiplicitet jedan) Neka je Gn(D, ε) hermitska kvaternionska grupa, P =
MN njena proizvoljna parabolicka podgrupa i neka je σ ∈ DM reprezentacija diskretnih serija
od M . Tada se IndGn(D,ε)P (σ) dekomponira s multiplicitetom jedan.
Dokaz: Dokaz ovog teorema direktna je posljedica Propozicija (4.5) te spomenutog Teorema
1.9 u [8].
Prethodno navedeni rezultati za hermitske kvaternionske grupe proizvoljnog ranga pokazali
su se vrlo korisnim u proucavanju parabolicki induciranih reprezentacija hermitskih kvaterni-
onskih grupa. Primjerice, M. Hanzer je navedene rezultate u [9] primijenila za odredivanje
kompozicionih nizova reprezentacija osnovne serije hermitske kvaternionske grupe rascjepivog
ranga 2.
55
Poglavlje 5
Reducibilnost reprezentacija
hermitskih kvaternionskih grupa
U ovom poglavlju analiziramo parabolicki inducirane reprezentacije hermitske kvaternionske
grupe Gn(D, ε). Naglasak stavljamo na njihovu reducibilnost. Zahvaljujuci prosirenju teorije
R-grupa te strukturne formule na slucaj nasih hermitskih kvaternionskih grupa u mogucnosti
smo poopciti rezultate iz [30] o reducibilnosti parabolicke indukcije klasicne rascjepive grupe
na glavne objekte ove disertacije − hermitske kvaternionske grupe. Pri istrazivanju reducibil-
nosti parabolicki induciranih reprezentacija koristimo tehnike Jacquetovih modula. Buduci
se kao faktori Levijevih podgrupa hermitskih kvaternionskih grupa, kao i u slucaju klasicnih
rascjepivih grupa, javljaju opce linearne grupe, a o njihovoj teoriji reprezentacija imamo
dosta informacija ([2], [32]), ispostavlja se da su hermitske kvaternionske grupe pogodne za
primjenu spomenute metode Jacquetovih modula.
Na pocetku ovog poglavlja prisjetit cemo se vrlo jednostavnih kriterija kojima se, kao i
u slucaju klasicnih kvazirascjepivih grupa definiranih nad nearhimedskim lokalnim poljem
karakteristike razlicite od 2 (vidi [30]) moze u znatnom broju slucajeva direktno zakljuciti redu-
cibilnost ili ireducibilnost parabolicki induciranih reprezentacija. Zatim krecemo s iznosenjem
poopcenih rezultata o reducibilnosti koje razmatramo u ovisnosti o tipu kuspidalne reducibil-
56
Poglavlje 5. Reducibilnost reprezentacija hermitskih kvaternionskih grupa
nosti. Kroz cijelo poglavlje pratimo rad M. Tadica ([30]) .
5.1 Glavni kriteriji reducibilnosti i ireducibilnosti re-
prezentacija
U znacajnom broju slucajeva reducibilnost, odnosno ireducibilnost parabolicki induciranih
reprezentacija hermitskih kvaternionskih grupa moze se zakljuciti koristeci dva vrlo jednos-
tavna kriterija ([30, Poglavlje 3]). Za sve parabolicke podgrupe koje promatramo unutar
ovog poglavlja smatramo da su standardne, a buduci su ovi rezultati opceniti i vrijede za
F -racionalne tocke svake reduktivne algebarske grupe definirane nad F , umjesto Gn(D, ε),
hermitsku kvaternionsku grupu u ovom cemo poglavlju oznacavati s G.
Prisjetimo se da je za dopustive reprezentacije π1 i π2 od G koje su konacne duljine π1 ≤ π2
ako i samo ako za svaku ireducibilnu dopustivu reprezentaciju σ od G je mult(σ : π1) ≤
mult(σ : π2) (vidi (3.5)). Iz toga nam slijedi da je za dokazati da π1 6≤ π2 dovoljno naci
ireducibilnu reprezentaciju σ koja je ireducibilan subkvocijent od π1, a nije od π2 (naravno,
ako takva reprezentacija σ uopce postoji). Jasno, za dokazati π1 6≤ π2 dovoljno je i naci
neku parabolicku podgrupu P = MN od G takvu da rGM(π1) 6≤ rGM(π2) zbog monotonosti
Jacquetovog funktora (vidi (3.7)) .
U lemi koja slijedi opisan je kriterij reducibilnosti.
Lema 5.1 (Kriterij reducibilnosti) Neka su π, π′ i π′′ dopustive reprezentacije od G
konacne duljine takve da
a) π ≤ π′′ i π′ ≤ π′′,
b) postoje parabolicke podgrupe P ′ = M ′N ′ i P ′′ = M ′′N ′′ takve da je
rGM ′(π) 6≤ rGM ′(π′)
57
Poglavlje 5. Reducibilnost reprezentacija hermitskih kvaternionskih grupa
i
rGM ′′(π) + rGM ′′(π′) 6≤ rGM ′′(π′′).
Tada je π reducibilna reprezentacija i ima zajednicki subkvocijent s π′.
Dokaz: Zbog monotonosti Jacquetovog funktora (3.7) iz b) zakljucujemo π 6≤ π′ i π+π′ 6≤ π′′.
Ako pretpostavimo da nam je π ireducibilna, onda to zajedno s a) dovodi do kontradikcije.
Napomena 5.1 Zbrajanje reprezentacija u prethodnim lemama je zapravo zbrajanje njihovih
semisimplifikacija u Grothendieckovim grupama.
U primjenama ovog kriterija reducibilnosti, najcesce se prethodno navedene reprezentacije
mogu odabrati na sljedeci nacin. Neka su P0 = M0N0, P ′ = M ′N ′ i P ′′ = M ′′N ′′ parabolicke
podgrupe od G te σ0, σ′ i σ′′ ireducibilne, dopustive reprezentacije od M0, M ′ i M ′′ redom.
Pretpostavimo da vrijedi sljedece:
a) IndGP0(σ0) ≤ IndGP ′′(σ′′) i IndGP ′(σ′) ≤ IndGP ′′(σ′′);
b) postoje parabolicke podgrupe P1 = M1N1 i P2 = M2N2 takve da je
rGM1(IndGP0(σ0)) 6≤ rGM1(IndGP ′(σ′))
i
rGM2(IndGP0(σ0)) + rGM2(IndGP ′(σ′)) 6≤ rGM2(IndP ′′(σ′′)).
Tada je IndGP0(σ0) reducibilna i ima zajednicki ireducibilan subkvocijent s IndGP ′(σ′).
Reducibilnost parabolicki induciranih reprezentacija ima vrlo jake implikacije na njihove
Jacquetove module pa je jedan od nacina za dokazivanje da zadana parabolicki inducirana
reprezentacija nije reducibilna jest da se pokaze da se te implikacije ne mogu dogoditi.
Neka je P skup svih standardnih parabolickih podgrupa u G i neka je
R+(G) = x ∈ R(G) | x ≥ 0.
58
Poglavlje 5. Reducibilnost reprezentacija hermitskih kvaternionskih grupa
Uvedimo sada pojam koherentne dekompozicije Jacquetovih modula parabolicki inducirane
reprezentacije.
Definicija 5.1 Neka je P0 = M0N0 parabolicka podgrupa od G i neka je σ0 ireducibilna
dopustiva reprezentacija od M0. Neka je X neprazan podskup od P i l ∈ Z, l ≥ 2. Funkciju
Φ = (φ1, φ2, . . . , φl), pri cemu su funkcije φi : X → ∪P=MN,P∈XR+(M) tako da je φi(P ) ∈
R+(M), ∀i = 1, . . . , l zovemo koherentnom X−dekompozicijom reda l Jacquetovih
modula od IndGP0(σ0) ako vrijedi sljedece:
(i) ∑li=1 φi(P ) = rGM(IndGP0(σ0)), ∀P = MN ∈ X,
(ii) ∀P ′ = M ′N ′, P ′′ = M ′′N ′′ ∈ X,P ′ ⊆ P ′′ i 1 ≤ i ≤ l, rM′′
M ′ (φi(P ′′)) = φi(P ′),
(iii) φi ≡ 0 na Xako i samo ako φj ≡ 0 na X, ∀i, j ∈ 1, . . . , l (ekvivalentno, φi(P ) = 0,
∀P ∈ X ako i samo ako φj(P ) = 0, ∀P = MN ∈ X, ∀i, j ∈ 1, . . . , l ).
Za koherentnu X-dekompoziciju kazemo da je:
• netrivijalna ako je za neku parabolicku podgrupu P ∈ X, φ1(P ) 6= 0,
• puna koherentna dekompozicija reda l ako je X = P
• jednostavna koherentna X−dekompozicija Jacquetovih modula od IndGP0(σ0) ako je
l = 2.
Lema koja slijedi kaze nam da svaka dekompozicija reducibilne reprezentacije IndGP0(σ0) na
sumu dva striktno pozitivna elementa iz R(G) odreduje punu koherentnu dekompoziciju
Jacquetovih modula od IndGP0(σ0). Zapravo, uz pretpostavku da je IndGP0(σ0) reducibilna,
navedenu parabolicki induciranu reprezentaciju u Grothendieckovoj grupi mozemo zapisati
IndGP0(σ0) = π1 + π2, uz π1, π2 > 0. Za standardnu parabolicku podgrupu P = MN od G,
φi(P ) = rGM(πi), i = 1, 2. Pritom, φ1(P ) i φ2(P ) promatramo kao elemente u R+(M).
Prema pethodnoj definiciji, jasno je da je svaka puna koherentna dekompozicija Φ Jacqu-
etovih modula od IndGP0(σ0) netrivijalna. Zato, ako mozemo pokazati da ne postoji sistem
59
Poglavlje 5. Reducibilnost reprezentacija hermitskih kvaternionskih grupa
od φi(P ), i = 1, 2 kada P ide po podskupu svih standardnih parabolickih podgrupa P, koji
zadovoljava (i)-(iii), tada je IndGP0(σ0) ireducibilna.
Lema 5.2 Neka je P0 = M0N0 parabolicka podgrupa od G i neka je σ0 ireducibilna dopustiva
reprezentacija od M0. Ako je IndGP0(σ0) reducibilna, onda postoji puna koherentna dekompozi-
cija Jacquetovih modula od IndGP0(σ0) i ona je netrivijalna.
Dokaz: Pretpostavimo da je IndGP0(σ0) reducibilna. Tada ju u Grothendieckovoj grupi R(G)
mozemo zapisati kao
IndGP0(σ0) = π1 + π2,
π1, π2 > 0. Definiramo sada preslikavanje Φ = (φ1, φ2) sa skupa P svih standardnih para-
bolickih podgrupa od G u (∪P=MN∈PR+(M))2 izrazom
Φ(P ) = (φ1(P ), φ2(P )) = (rGM(π1), rGM(π2)).
Pokazat cemo da je ovako definirano preslikavanje puna koherentna dekompozicija Jacqu-
etovih modula od IndGP0(σ0), tj. da ona zadovoljava uvjete (i)-(iii) iz definicije koherentne
dekompozicije Jacquetovih modula od IndGP0(σ0).
(i) Ovo svojstvo iz spomenute definicije posljedica je egzaktnosti Jacquetovog funktora.
rGM(IndGP0) = rGM(π1) + rGM(π2) = φ1(P ) + φ2(P ).
(ii) Buduci da za ∀P ′, P ′′ ∈ P , P ′ ⊆ P ′′ vrijedi svojstvo tranzitivnosti Jacquetovih modula
(2.4) to je
rM′′
M ′ (rGM ′′(πi)) = rGM ′(πi),
odnosno
rM′′
M ′ (φi(P ′′)) = φi(P ′), i = 1, 2.
(iii) Neka je τ ireducibilan subkvocijent od IndGP0(σ0) i neka je P = MN ∈ P parabolicka
podgrupa od G takva da je
rGM(IndGP0(σ0)) 6= 0
60
Poglavlje 5. Reducibilnost reprezentacija hermitskih kvaternionskih grupa
Da bi dokazali da vrijedi svojstvo (iii) iz definicije dovoljno nam je pokazati da je rGM(τ) 6= 0.
Buduci svaku ireducibilnu dopustivu reprezentaciju σ0 od M0 po Teoremu2.1 o podreprezen-
taciji mozemo uloziti u parabolicki induciranu reprezentaciju i to iz ireducibilne kuspidalne
reprezentacije, neka je P ′0 ⊆ P0 parabolicka podgrupa od G, P ′0 = M ′0N′0 i σ′0 kuspidalna
reprezentacija od M ′0 takva da je
σ0 → IndM0P ′0∩M0
(σ′0).
Primijenimo li svojstvo indukcije u koracima (2.2) na prethodni izraz dobivamo da je
IndGP0(σ0) → IndGP ′0(σ′0).
Neka je sada P ′ parabolicka podgrupa od G minimalna u odnosu na svojstvo da je
rGM ′(IndGP ′0(σ′0)) 6= 0.
Tada je rGM ′(IndGP ′0(σ′0)) kuspidalna reprezentacija (u protivnom bi mogli odabrati prabolicku
podgrupu P koja je manja i ima prethodno navedeno svojstvo). Odaberemo σ′ ireducibilan
kuspidalan kvocijent od rGM ′(IndGP ′0(σ′0)). Tada je
HomM ′(rGM ′(IndGP ′0(σ′0)), σ′) 6= 0
iz cega nam Frobeniusov reciprocitet (2.5) direktno daje
HomG(IndGP ′0(σ′0), IndGP ′(σ′)) 6= 0.
Buduci su σ′ i σ′0 kuspidalne reprezentacije i vrijedi nam HomG((IndP ′0(σ′0)), IndGP ′(σ′)) 6= 0
to nam teorija Bernsteina i Zelevinskog (vidi [2], Teorem 2.9) kaze da P ′0 i P ′ moraju biti
asocirane parabolicke podgrupe. Prethodna cinjenica zajedno s IndGP0(σ0) → IndGP ′0(σ′0) nam
prema Lemi 2.12.4 iz [24] ima za posljedicu da je rGM ′(τ) 6= 0 , a zbog tranzitivnosti Jacquetovih
modula rGM ′(τ) = rMM ′(rGM(τ)) stoga je onda i rGM(τ) 6= 0.
Iz dokaza prethodne leme mozemo zakljuciti sljedece: Ako je σ0 ireducibilna dopustiva repre-
zentacija od M0 i τ netrivijalan subkvocijent od IndGP0(σ0) tada rGM(IndGP0(σ0)) 6= 0 za neku
61
Poglavlje 5. Reducibilnost reprezentacija hermitskih kvaternionskih grupa
parabolicku podgrupu P = MN od G implicira da je rGM(τ) 6= 0.
Lako se pokaze da ako je duljina repreprezentacije IndGP0(σ0) ≥ k tada postoji puna kohe-
rentna dekompozicija reda k Jacquetovih modula od IndGP0(σ0)
Neka je Y ⊂ X ⊂ P. Pretpostavimo da je Φ koherentna X−dekompozicija Jacquetovih
modula od IndGP0(σ0) i pretpostavimo da je za neki P ∈ Y , rGM(IndGP0(σ0)) 6= 0. Tada je res-
trikcija Φ|Y netrivijalna koherentna Y−dekompozicija Jacquetovih modula od IndGP0(σ0) 6= 0.
Lema 5.3 (Kriterij ireducibilnosti) Neka je P0 = M0N0 parabolicka podgrupa od G i σ0
ireducibilna dopustiva reprezentacija od M0 . Pretpostavimo da je X ⊂ P i da postoji P ∈ X
takav da je rGM(IndGP0(σ0)) 6= 0 te da ne postoji koherentna X-dekompozicija Jacquetovih
modula od IndGP0(σ0). Tada je IndGP0(σ0) ireducibilna.
Dokaz: Neka je P0 = M0N0 parabolicka podgrupa od G i σ0 ireducibilna dopustiva reprezen-
tacija od M0 te neka za X ⊂ P postoji P ∈ X takva da je rGM(IndGP0(σ0)) 6= 0. Takoder, neka
ne postoji koherentna X-dekompozicija Jacquetovih modula od IndGP0(σ0). Prema cinjenici
iskazanoj prije leme, tada nece postojati niti jednostavna koherentna dekompozicija za bilo
koji Y ⊂ X pa IndGP0(σ0) mora biti ireducibilna. Time je ova lema dokazana.
Dakle, mozemo reci da su uvjeti koherentne dekompozicije Jacquetovih modula parabolicki in-
ducirane reprezentacije hermitske kvaternionske grupe G nuzni za reducibilnost i ako mozemo
pokazati da ne postoji sistem sastavljen od rGM(πi), i ∈ 1, 2 kada P ide po svim standard-
nim parabolickim podgrupama od G, koji zadovoljava (i)-(iii), onda mozemo zakljuciti da je
IndGP0(σ0) reducibilna.
Kod dokazivanja ireducibilnosti cesto je moguce pokazati nepostojanje takvog sistema za tri
pogodno odabrane parabolicke podgrupe od G. Recimo nesto o tim, tzv. V-sistemima.
62
Poglavlje 5. Reducibilnost reprezentacija hermitskih kvaternionskih grupa
Pretpostavimo li da su P = MN,P ′ = M ′N ′, P ′′ = P ′′N ′′ prave parabolicke podgrupe od G
takve da P ⊂ P ′, P ⊂ P ′′ (P ′ 6= P ′′). Koherentna P, P ′, P ′′-dekompozicija nam igra vrlo
vaznu ulogu u dokazivanju ireducibilnosti parabolicki induciranih reprezentacija. Za takvu
koherentnu dekompoziciju kazemo da je V-tipa.
Lema koja slijedi omogucuje nam dokazivanje ireducibilnosti u brojnim slucajevima.
Lema 5.4 Neka je P0 = M0N0 parabolicka podgrupa od G i σ0 ireducibilna dopustiva repre-
zentacija od M0. Neka su P ′ = M ′N ′, P ′′ = M ′′N ′′, P ′′′ = M ′′′N ′′′ parabolicke podgrupe od
G takve da je P ′ ⊂ P ′′, P ′ ⊂ P ′′′ te rGM ′(IndGP0(σ0)) 6= 0. Pretpostavimo da postoji ireduci-
bilan subkvocijent τ ′′ od rGM ′′(IndGP0(σ0)) takav da za bilo koji ireducibilan subkvocijent τ ′′′ od
rGM ′′′(IndGP0(σ0)) vrijedi
rM′′
M ′ (τ ′′) + rM′′′
M ′ (τ ′′′) 6≤ rGM ′(IndGP0(σ0)).
Tada je IndGP0(σ0) ireducibilna.
Dokaz: Pretpostavimo suprotno, tj. pretpostavimo da je IndGP0(σ0) reducibilna. Tada u
Grothendickovoj grupi R(G) imamo IndGP0(σ0) = π1 + π2, π1, π2 > 0.
Buduci je za parabolicku podgrupu P ′ ∈ P, rGM ′(IndGP0(σ0)) 6= 0, to nam reducibilnost od
IndGP0(σ0) implicira egzistenciju koherentne dekompozicije Jacquetovih modula od IndGP0(σ0).
Neka je Φ = (φ1, φ2) : X = P ′, P ′′, P ′′′ → (∪P=MN∈PR+(M))2 X−koherentna dekompozi-
cija Jacquetovih modula od IndGP0(σ0). Tada ∀P ∈ X vrijede svojstva (i) i (ii) iz definicije
koherentne dekompozicije. Zbog (i)
rGM ′(IndGP0(σ0)) = rGM ′(π1) + rGM ′(π2),
rGM ′′(IndGP0(σ0)) = rGM ′′(π1) + rGM ′′(π2),
a (ii) nam implicira buduci je P ′ ⊆ P ′′
rM′′
M ′ (rGM ′′(πi)) = rGM ′(πi), i = 1, 2.
63
Poglavlje 5. Reducibilnost reprezentacija hermitskih kvaternionskih grupa
Bez smanjenja opcenitosti pretpostavimo da je τ ′′ ≤ rGM ′′(π1) = φ(P ′′). Koristenjem prethodno
navedenih cinjenica dobivamo
rGM ′(IndGP0(σ0)) = rGM ′(π1) + rGM ′(π2)
= rM′′
M ′ (rGM ′′(π1)) + rM′′′
M ′ (rGM ′′′(π2))
≥ rM′′
M ′ (τ ′′)) + rM′′′
M ′ (rGM ′′′(π2)
sto nam je kontradikcija. Time smo dokazali da π nije reducibilna.
Kada je σ0 unitarizabilna reprezentacija od M0 postoje i jednostavniji nacini za dokazivanje
ireducibilnosti parabolicki inducirane reprezentacije IndGP0(σ0) koji su iskazani u sljedecoj lemi.
Lema 5.5 Neka je P0 = M0N0 parabolicka podgrupa od G i σ0 ireducibilna unitarizabilna
dopustiva reprezentacija od M0. Tada vrijedi:
a) Ako je multiplicitet mult(σ0 : rGM0(IndGP0(σ0))) = 1 tada je IndGP0(σ0) ireducibilna.
b) Ako je multiplicitet mult(σ0 : rGM0(IndGP0(σ0))) = 2 tada je IndGP0(σ0) ili ireducibilna, ili je
direktna suma dviju neizomorfnih ireducibilnih reprezentacija.
c) Neka je P ′0 parabolicka podgrupa od G koja je sadrzana u P0. Pretpostavimo da postoji ire-
ducibilan subkvocijent τ0 od rGM0(IndGP0(σ0)) koji je multipliciteta 1. Neka je σ′0 ireducibilna
dopustiva reprezentacija od M ′0 i neka vrijede sljedeci uvjeti:
i) IndGP0(σ0) → IndGP ′0(σ′0)
ii) mult(σ′0 : rM0M ′0
(rGM0(IndGP0(σ0))− τ0)) = 0.
Tada je IndGP0(σ0) ireducibilna.
d) Neka su P ′ i P ′′ parabolicke podgrupe od G takve da je P ′ ⊆ P0 i P ′ ⊆ P ′′. Pretpostavimo
da postoji ireducibilan subkvocijent τ ′′ od rGM ′′(IndGP ′0(σ0)) multipliciteta 1. Neka je τ0
ireducibilan subkvocijent od rGM0(IndGP0(σ0)) i neka je σ′ ireducibilna dopustiva reprezentacija
od M ′. Pretpostavimo da vrijede sljedeci uvjeti:
64
Poglavlje 5. Reducibilnost reprezentacija hermitskih kvaternionskih grupa
i) IndGP0(σ0) → IndGP ′(σ′)
ii) Ako je τ ′0 ireducibilan subkvocijent od rGM0(IndGP0(σ0)) koji nije izomorfan τ0, tada σ′
nije subkvocijent od rM0M ′ (τ ′0).
iii) Postoji ireducibilan subkvocijent ρ′ od rM0M ′ (τ0) takav da je
mult(ρ′ : rM ′′M ′ (τ ′′)) = mult(ρ′ : rGM ′(IndGP0(σ0)))
Tada je IndGP0(σ0) ireducibilna.
Dokaz: Buduci je σ0 unitarizabilna reprezentacija, to IndGP0(σ0) mozemo zapisati kao direktnu
sumu ireducibilnih neizomorfnih reprezentacija
IndGP0(σ0) = ⊕ki=1miπi, πi 6∼= πj, i 6= j,
pri cemu je mi = mult(πi : IndGP0(σ0)), te je tada
d = dimC(EndG(IndGP0(σ0))) =k∑i=1
m2i .
Koristenjem Frobeniusovog reciprociteta (2.5) dalje dobivamo
dimC(HomM0(rGM0(IndGP0(σ0)), σ0) =k∑i=1
m2i .
Ako je mult(σ0 : rGM0(IndGP0(σ0)) == 1 (respektivno, ako je mult(σ0 : rGM0(IndGP0(σ0))) = 2 ,
tada je d ≤ 1 (respektivno, d ≤ 2) cime su tvrdnje a) i b) dokazane.
Dokazimo sada tvrdnju c). Po pretpostavci, postoji nam ireducibilan subkvocijent π od
IndGP0(σ0) takav da je τ0 ≤ rGM0(π) i ciji je multiplicitet mult(π : IndGP0(σ0)) = 1. Pretpos-
tavimo da je IndGP0(σ0) reducibilna. Neka je π′ neki ireducibilan subkvocijent od IndGP0(σ0)
koji nije izomorfan π. Tada τ0 nije subkvocijent od rGM0(π′), a buduci je IndGP0(σ0) pot-
puno reducibilna, to je π′ podreprezentacija od IndGP0(σ0). Zbog (i) nam tada slijedi da je
π′ → IndGP ′0(σ′0) pa nam Frobeniusov reciprocitet (2.5) implicira da je σ′0 kvocijent Jacqueto-
vog modula rGM ′0(π′) = rM0M ′0
(rGM0(π′)). Sada, kao posljedicu (ii) imamo da je τ0 subkvocijent
od rGM0(π′) sto je u kontradikciji s izborom od π′ pa nam je ovim dokazana tvrdnja c), tj.
IndGP0(σ0) je ireducibilna.
d) Odaberimo ireducibilan subkvocijent π od IndGP0(σ0) takav da je τ ′′ ≤ rGM0(π). Tada je
65
Poglavlje 5. Reducibilnost reprezentacija hermitskih kvaternionskih grupa
mult(π : IndGP0(σ0)) = 1. Pretpostavimo opet da nam je IndGP0(σ0) reducibilna i neka je π′ neki
ireducibilan subkvocijent od IndGP0(σ0)/π. Tada kao u dokazu c) vidimo da je ireducibilna
dopustiva reprezentacija σ′ od M ′ kvocijent od rGM ′(π′). Buduci je zbog svojstva tranzitivnosti
Jacquetovih modula rGM ′(π′) = rM0M ′ (rGM0(π′)), zakljucujemo da je τ0 subkvocijent od rGM0(π′).
Sada rGM ′(IndGP0(σ0)) ≥ rGM ′(π) + rGM ′(π′) = rM′′
M ′ (rGM ′′(π)) + rM0M ′ (rGM0(π′)) ≥ rM
′′M ′ (τ ′′) + rM0
M ′ (τ0).
Odavde se vidi da je za ireducibilan subkvocijent ρ′ od rM0M ′ (τ0) multiplicitet mult(ρ′ : rM ′′M ′ (τ ′′))
barem za jedan manji od mult(ρ′ : IndGP0(σ0)) sto je u kontradikciji s (iii) pa zakljucujemo da
IndGP0(σ0) mora biti ireducibilna.
Napomena 5.2 Slucaj (d) iz posljednje leme nam je zapravo specijalan slucaj tvrdnje pod
(c).
5.2 Kuspidalne reducibilnosti
Opisimo prvo tipove kuspidalnih reducibilnosti o kojima ce se u ostatku ovog poglavlja
govoriti.Neka je ρ ireducibilna unitarizabilna kuspidalna reprezentacija od GL(k,D) i neka
je σ ireducibilna kuspidalna reprezentacija opce hermitske kvaternionske grupe Gr(D, ε).
Definicija 5.2 Za α ∈ R, α ≥ 0 kazemo da uredeni par (ρ, σ) zadovoljava uvjet (Cα) ako
je ναρo σ reducibilna reprezentacija, pri cemu je ν = |RN |F .
Poznate su sljedece cinjenice.
• Ako ρ nije samodualna, tj. ρ 6∼= ρ, tada je ναρo σ ireducibilna za svaki α ∈ R. Stoga
par (ρ, σ) za reprezentaciju ρ koja nije samodualna ne zadovoljava uvjet (Cα) niti za
jedan realan broj α.
• Ako ρ je samodualna, tada prema [23, Lema 1.2] postoji jedinstven α ≥ 0 takav da je
ναρo σ reducibilna te je νβρo σ ireducibilna za svaki β ∈ R \ ±α. Stoga par (ρ, σ)
za samodualnu ρ zadovoljava tocno jedan uvjet (Cα).
• Ako za dani par (ρ, σ) mozemo naci α ∈ 0,±12 ,±1 tako da prethodno navedeni
uvjeti budu zadovoljeni, onda cemo reci da par (ρ, σ) ima genericku kuspidalnu
66
Poglavlje 5. Reducibilnost reprezentacija hermitskih kvaternionskih grupa
reducibilnost (neovisno o tome je li σ genericka ili nije). U protivnom kazemo da
(ρ, σ) ima negenericku kuspidalnu reducibilnost.
U ostatku rada naglasak stavljamo na parabolicki inducirane reprezentacije povezane s ge-
nerickim kuspidalnim reducibilnostima (tj. one za koje se tocke reducibilnosti nalaze unutar
skupa 0,±12 ,±1).
5.2.1 Unitarna indukcija GL−tipa
Unutar cijelog ovog potpoglavlja pretpostavljamo da je ρ ireducibilna unitarizabilna kus-
pidalna reprezentacija od GL(k,D), te σ ireducibilna kuspidalna reprezentacija od Gr(D).
Glavni ”alati” koje cemo koristiti u dokazivanju propozicija koje slijede su Lema 5.5 i Napo-
mena 5.1.
Propozicija 5.1 Neka je za svaki l ∈ Z reprezentacija ν1/2+lρ ρ o σ ireducibilna. Tada je
reprezentacija δ([ν−m−1/2ρ ρ, νm+1/2
ρ ρ]) o σ ireducibilna, za svaki nenegativan cijeli broj m.
Dokaz: Primjenjujemo prvo strukturnu formulu (3.10) na reprezentaciju δ([ν−m−1/2ρ ρ, νm+1/2
ρ ρ])o
σ. Dakle, imamo
µ∗(δ([ν−m−1/2ρ ρ, νm+1/2
ρ ρ]) o σ) = M∗(δ([ν−m−1/2ρ ρ, νm+1/2
ρ ρ]) o µ∗(σ).
Buduci je µ∗(σ) = 1⊗ σ te M∗ = (m⊗ 1) (⊗m∗) s m∗, direktnim racunom dobivamo
M∗(δ([ν−m−1/2ρ ρ, ν−m+1/2
ρ ρ])) =m+1∑
l=−m−1
m+1∑i=l
δ([ν−l+1/2ρ ρ, νm+1/2
ρ ρ])× δ([νi+1/2ρ ρ, νm+1/2
ρ ρ])
⊗ δ([νl+1/2ρ ρ, νi−1/2
ρ ρ])),
Prema Teoremu 3.3 nam je
µ∗(δ([ν−m−1/2ρ ρ, νm+1/2
ρ ρ]) o σ) = M∗(δ([ν−m−1/2ρ ρ, νm+1/2
ρ ρ])) o µ∗(σ)
= M∗(δ([ν−m−1/2ρ ρ, νm+1/2
ρ ρ])) o (1⊗ σ)
te nam je sada lako odrediti semisimplifikaciju Jacquetovog modula s obzirom na bilo koju
standardnu parabolicku podgrupu, a za ovaj dokaz potrebna nam je samo semisimplifikacija
67
Poglavlje 5. Reducibilnost reprezentacija hermitskih kvaternionskih grupa
u odnosu na Jacquetov modul GL-tipa (3.11)
s.s.(sGL(δ([ν−m−1/2ρ ρ, νm+1/2
ρ ρ])oσ) =m+1∑
l=−m−1δ([ν−l+1/2
ρ ρ, νm+1/2ρ ρ])×δ([νl+1/2
ρ ρ, νm+1/2ρ ρ])⊗σ.
(5.1)
U ovisnosti o cinjenici je li reprezentacija ρ samodulana ili ne, razlikujemo sljedece pod-
slucajeve:
a) ρ 6∼= ρ
U ovom su slucaju svi GL−nosaci reprezentacija u prethodnoj sumi razliciti, iz cega
zakljucujemo da je multiplicitet reprezentacije δ([ν−m−1/2ρ ρ, νm+1/2
ρ ρ])⊗ σ u (5.1) jedan pa
ireducibilnost zadane reprezentacije slijedi iz tvrdnje (a) Leme 5.5.
b) ρ ∼= ρ
Zbog samodualnosti reprezentacije ρ, izraz (5.1) nam postaje
s.s.(sGL(δ([ν−m−1/2ρ ρ, νm+1/2
ρ ρ]) o σ)) = δ([ν1/2ρ ρ, νm+1/2
ρ ρ])× δ([ν1/2ρ ρ, νm+1/2
ρ ρ])⊗ σ
+ 2m∑l=0
δ([ν−l−1/2ρ ρ, νm+1/2
ρ ρ])× δ([νl+3/2ρ ρ, νm+1/2
ρ ρ])⊗ σ
(5.2)
Oznacimo s τ0 = δ([ν1/2ρ ρ, νm+1/2
ρ ρ])× δ([ν1/2ρ ρ, νm+1/2
ρ ρ])⊗ σ. Multiplicitet reprezentacije
τ0 u (5.2) je jedan. Uocimo da je
δ([ν−m−1/2ρ ρ, νm+1/2
ρ ρ]) o σ → νm+1/2ρ ρ× νm−1/2
ρ ρ× · · · × ν−m−1/2ρ ρo σ.
Sada visestrukom primjenom cinjenice da je
νqρρ× νq′
ρ ρ
ireducibilna za q, q′ ∈ R ako je |q − q′| 6= 1, sto nam slijedi iz Teorema 2.4, pokazujemo
sljedece izomorfizme:
68
Poglavlje 5. Reducibilnost reprezentacija hermitskih kvaternionskih grupa
νm+1/2ρ ρ× νm−1/2
ρ ρ× νm−3/2ρ ρ× · · · × ν−m+3/2
ρ ρ× ν−m+1/2ρ ρ× ν−m−1/2
ρ ρo σ
= (νm+1/2ρ ρ× νm−1/2
ρ ρ× νm−3/2ρ ρ× · · · × ν−m+3/2
ρ ρ× ν−m+1/2ρ ρ) o (ν−m−1/2
ρ ρo σ)
∼= (νm+1/2ρ ρ× νm−1/2
ρ ρ× νm−3/2ρ ρ× · · · × ν−m+3/2
ρ ρ× ν−m+1/2ρ ρ) o (νm+1/2
ρ ρo σ)
∼= (νm+1/2ρ ρ× νm−1/2
ρ ρ× νm−3/2ρ ρ× · · · × ν−m+3/2
ρ × (ν−m+1/2ρ ρ× νm+1/2
ρ ρ)) o σ
∼= (νm+1/2ρ ρ× νm−1/2
ρ ρ× νm−3/2ρ ρ× · · · × ν−m+3/2
ρ × (νm+1/2ρ ρ× ν−m+1/2
ρ ρ)) o σ
∼= (νm+1/2ρ ρ× νm−1/2
ρ ρ× νm−3/2ρ ρ× · · · × (ν−m+3/2
ρ × νm+1/2ρ ρ)× ν−m+1/2
ρ ρ) o σ
∼= (νm+1/2ρ ρ× νm−1/2
ρ ρ× νm−3/2ρ ρ× · · · × νm+1/2
ρ × ν−m+3/2ρ ρ× ν−m+1/2
ρ ρ) o σ
∼= . . .
∼= νm+1/2ρ ρ× νm−1/2
ρ ρ× · · · × ν1/2ρ ρ× νm+1/2
ρ × ν−1/2ρ ρ× ν−3/2
ρ ρ× · · · × ν−m+1/2ρ ρo σ
Ponavljanjem procedure s ν−m+1/2ρ ρ, ν−m+3/2
ρ ρ, . . . , ν1/2ρ ρ dobivamo
νm+1/2ρ ρ× νm−1/2
ρ ρ× · · · × ν−m−1/2ρ ρo σ
∼= νm+1/2ρ ρ× ν−m−1/2
ρ ρ× · · · × ν1/2ρ ρ× νm+1/2
ρ ρ× νm−1/2ρ ρ× · · · × ν1/2
ρ ρo σ
Zbog toga je
δ([ν−m−1/2ρ ρ, νm+1/2
ρ ρ]) o σ → νm+1/2ρ ρ× · · · × ν1/2
ρ ρ× νm+1/2ρ ρ× · · · × ν1/2
ρ ρo σ (5.3)
Oznacimo sa
σ′0 = νm+1/2ρ ρ⊗ . . . ν1/2
ρ ρ⊗ νm+1/2ρ ρ⊗ · · · ⊗ ν1/2
ρ ρ⊗ σ
Prema (5.2), da bi pokazali da nam vrijedi drugi uvjet Leme 5.5, dovoljno je pokazati da
σ′0 nije subkvocijent od
r(k)2m+2(δ([ν−1/2−lρ ρ, νm+1/2
ρ ρ])× δ([ν3/2+lρ ρ, νm+1/2
ρ ρ]))⊗ σ
za svaki 0 ≤ l ≤ m. Buduci za 0 ≤ l ≤ m
δ([ν−1/2−lρ ρ, νm+1/2
ρ ρ])× δ([ν3/2+lρ ρ, νm+1/2
ρ ρ]),
ima neki νiρρ, za i < 0 u nosacu, to nam prethodna cinjenica direktno slijedi pa smo
pokazali da nam vrijede uvjeti (c) Leme 5.5 te njenom primjenom zavrsavamo dokaz ove
propozicije.
69
Poglavlje 5. Reducibilnost reprezentacija hermitskih kvaternionskih grupa
Propozicija 5.2 Neka je za svaki l ∈ Z reprezentacija νlρρoσ ireducibilna. Tada je za svaki
m ≥ 0 reprezentacija δ([ν−mρ ρ, νmρ ρ]) o σ ireducibilna.
Dokaz: Razlikujemo dva podslucaja:
(a) ρ 6∼= ρ
U ovom slucaju, na nacin analogan koracima u dokazu prethodne propozicije dobivamo
da je reprezentacija δ([ν−mρ ρ, νmρ ρ]) o σ ireducibilna.
(b) ρ ∼= ρ
Za dokaz ireducibilnosti u ovom slucaju koristimo tvrdnju (d) Leme 5.5. Iz strukturne
formule te formule (2.19) na slican nacin kao u dokazu prethodne propozicije dobivamo
s.s.(s(2mk)(δ([ν−mρ ρ, νmρ ρ]) o σ) =m∑
i=−mδ([ν−i+1
ρ ρ, νmρ ρ])× δ([νi+1ρ ρ, νmρ ρ])⊗ νiρρo σ
= δ([νρρ, νmρ ρ])× δ([νρρ, νmρ ρ])⊗ ρo σ
+ 2m∑i=1
δ([ν−i+1ρ ρ, νmρ ρ])× δ([νi+1
ρ ρ, νmρ ρ])⊗ νiρρo σ
(5.4)
te
s.s.(sGL(δ([ν−mρ ρ, νmρ ρ]) o σ)) = 2m∑i=0
δ([ν−iρ ρ, νmρ ρ])× δ([νi+1ρ ρ, νmρ ρ])⊗ σ (5.5)
Uocimo prvo da su u formuli (5.4) svi elementi u sumi u drugom retku ireducibilni.
Oznacimo zatim za i = 0, pribrojnik spomenute sume s τ ′′. Dakle,
τ ′′ = δ([νρρ, νmρ ρ])× δ([νρρ, νmρ ρ])⊗ ρo σ.
U (5.4), τ ′′ ima multiplicitet jedan. Takoder, primijetimo da su sve reprezentacije u sumi
na desnoj strani formule (5.5) ireducibilne. Oznacimo s τ0 prvi clan spomenute sume,
dakle
τ0 = δ([ρ, νmρ ρ])× δ([νρρ, νmρ ρ])⊗ σ.
70
Poglavlje 5. Reducibilnost reprezentacija hermitskih kvaternionskih grupa
Sada analognim postupkom kao u dokazu Propozicije ?? dobivamo:
δ([ν−mρ ρ, νmρ ρ]) o σ → νmρ ρ× νm−1ρ ρ× · · · × ν−m+1
ρ ρ× ν−mρ ρo σ
pri cemu je
νmρ ρ× νm−1ρ ρ× · · · × ν−m+1
ρ ρ× ν−mρ ρo σ
∼= νmρ ρ× νm−1ρ ρ× · · · × ν−m+1
ρ ρ× νmρ ρo σ
∼= νmρ ρ× . . . νρρ× ρ× νmρ ρ× ν−1ρ ρ× · · · × ν−m+1
ρ ρo σ
∼= . . .
∼= νmρ ρ× . . . νρρ× ρ× νmρ ρ× νm−1ρ ρ× · · · × νρρo σ.
Neka je
σ′ = νmρ ρ⊗ · · · ⊗ νρρ⊗ ρ⊗ νmρ ρ⊗ · · · ⊗ νρρ⊗ σ.
Buduci da iz cinjenice da svaka reprezentacija δ([ν−lρ ρ, νmρ ρ])× δ([νl+1ρ ρ, νmρ ρ])⊗ σ, 1 ≤
l ≤ m u GL−nosacu ima neki νiρ, i < 0 to smo pokazali da σ′ nije subkvocijent od
r(k)2m+1(δ([ν−lρ ρ, νmρ ρ])× δ([ν−lρ ρ, νmρ ρ]))⊗ σ za 1 ≤ l ≤ m te imamo zadovoljen uvjet (ii)
u tvrdnji (d) Leme 5.5. Iz formule 2.19 slijedi nam da je
τ0 ∼= δ([νρρ, νmρ ρ])× δ([ρ, νmρ ρ])⊗ σ →νmρ ρ× νm−1ρ ρ× · · ·
×νρρ× νmρ ρ× νm−1ρ ρ× · · · × νρρ× ρo σ
stoga je ρ′ = νmρ ρ⊗νm−1ρ ρ⊗· · ·⊗νρρ⊗νmρ ρ⊗νm−1
ρ ρ⊗· · ·⊗νρρ⊗ρ⊗σ kvocijent od s(k)2m+1(τ0).
Da bi primijenili Lemu 5.5 preostaje nam jos pokazati uvjet (iii). Iz formule (5.5) vidimo
da je dovoljno pokazati da ρ′ ne moze biti subkvocijent od r(k)m+1(δ([ν−l+1ρ ρ, numρ ρ]) ×
δ([νl+1ρ ρ, νmρ ρ])⊗ s(k)(νlρ o σ) za 1 ≤ l ≤ m. Iz Teorema 3.3 moze se vidjeti da je
s.s.(s(k)(νlρ o σ)) = νlρρ⊗ σ + ν−lρ ρ⊗ σ
iz cega nam direktno slijedi ono sto smo zeljeli dokazati i time je dokaz ove propozicije
zavrsen.
71
Poglavlje 5. Reducibilnost reprezentacija hermitskih kvaternionskih grupa
Propozicija 5.3 Pretpostavimo da je reprezentacija ν1/2ρ ρo σ reducibilna. Tada je za svaki
m ≥ 0 reprezentacija δ([ν−m−1/2ρ ρ, νm+1/2
ρ ρ]) o σ reducibilna i reducira se na sumu dviju
neizomorfnih ireducibilnih reperezentacija.
Dokaz: Ova propozicija direktno slijedi iz Teorema 4.2 u [26].
Propozicija 5.4 Pretpostavimo da je jedna od reprezentacija νρρo σ ili ρo σ reducibilna.
Tada je za svaki m ≥ 0 reprezentacija δ([ν−mρ ρ, νmρ ρ]) o σ reducibilna i reducira se na sumu
dviju neizomorfnih ireducibilnih reperezentacija.
Dokaz: Ova propozicija direktno slijedi iz Teorema 5.4 i 6.4 u [26].
Napomena 5.3 Iskoristimo li Aubertinu involuciju (3.13), iz prethodnih propozicija mozemo
dobiti dualne rezultate uz iste pretpostavke na reprezentacije ρ i σ, te cijeli broj m ≥ 0.
• Pretpostavimo da je jedna od reprezentacija νρρ o σ ili ρ o σ reducibilna. Tada je
reprezentacija s([ν−mρ ρ, νmρ ρ]) o σ reducibilna i reducira se na sumu dviju neizomorfnih
ireducibilnih reperezentacija.
• Neka je za svaki l ∈ Z reprezentacija νlρρ o σ ireducibilna. Tada je reprezentacija
s([ν−mρ ρ, νmρ ρ]) o σ ireducibilna.
• Neka je za svaki l ∈ Z reprezentacija ν1/2+lρ ρ o σ ireducibilna. Tada je reprezentacija
s([ν−m−1/2ρ ρ, νm+1/2
ρ ρ]) o σ ireducibilna.
• Pretpostavimo da je reprezentacija ν1/2ρ ρo σ reducibilna. Tada je reprezentacija
s([ν−m−1/2ρ ρ, νm+1/2
ρ ρ]) o σ reducibilna i reducira se na sumu dviju neizomorfnih iredu-
cibilnih reperezentacija.
5.2.2 Ireducibilnost reprezentacija νβρ ρo δ(νβρ ρ, σ) i νβρ ρo L(νβρ ρ, σ)
(β ∈ (1/2)Z, β ≥ 1)
Nak je P skup svih standardnih parabolickih podgrupa opce hermitske kvaternionske grupe
Gr(D, ε). U onome sto slijedi pokazat cemo ireducibilnost parabolicki induciranih reperezen-
72
Poglavlje 5. Reducibilnost reprezentacija hermitskih kvaternionskih grupa
tacija za koje postoji koherentna P \ Gr(D, ε)− dekompozicija Jacquetovih modula, a koja
igra vaznu ulogu u dokazivanju ireducibilnosti.
Propozicija 5.5 Neka je ρ ireducibilna unitarizabilna kuspidalna reprezentacija od GL(k,D)
i neka je σ ireducibilna kuspidalna reprezentacija od Gr(D, ε). Pretpostavimo da je β ∈
(1/2)Z, β ≥ 1 te da je reprezentacija νβρ ρ o σ reducibilna. Tada su reprezentacije νβρ ρ o
δ(νβρ ρ, σ) te νβρ ρo L(νβρ ρ, σ) ireducibilne.
Dokaz: Pokazat cemo da je uz pretpostavke propozicije reprezentacija νβρ ρ o δ(νβρ ρ, σ) ire-
ducibilna, a ireducibilnost reprezentacije νβρ ρo L(νβρ ρ, σ) tada direktno slijedi iskoristi li se
Aubertina involucija (3.13).
Dokaz ide kontradikcijom, dakle pretpostavimo da je uz navedene pretpostavke propozicije
reprezentacija νβρ ρo δ(νβρ ρ, σ) reducibilna.
Uocimo da je
sGL(νβρ ρo δ(νβρ ρ, σ)) = νβρ ρ× νβρ ρ⊗ σ + ν−βρ ρ× νβρ ρ⊗ σ. (5.6)
Buduci taj Jacquetov modul ima duljinu 2, a mi smo pretpostavili da je νβρ ρ o δ(νβρ ρ, σ)
reducibilna, to postoji subkvocijent π od νβρ ρo δ(νβρ ρ, σ) za kojega je
sGL(π) = νβρ ρ× νβρ ρ⊗ σ.
Sada je ocito
δ([ν−β+1ρ ρ, νβ−1
ρ ρ]) o π ≤ δ([ν−β+1ρ ρ, νβ−1
ρ ρ])× ν−βρ ρ× νβρ ρo σ (5.7)
te
δ([ν−βρ ρ, νβρ ρ]) o σ ≤ δ([ν−β+1ρ ρ, νβ−1
ρ ρ])× ν−βρ ρ× νβρ ρo σ (5.8)
Koristenjem strukturne formule (3.10) dobivamo
s.s.(sGL(δ([ν−βρ ρ, νβρ ρ]) o σ)) =β∑
i=−β−1δ([ν−iρ ρ, νβρ ρ])× δ([νi+1
ρ ρ, νβρ ρ])⊗ σ, (5.9)
s.s.(sGL(νβρ ρ× ν−βρ ρ× δ([ν−β+1ρ ρ, νβ−1
ρ ρ]) o σ))
= (νβρ ρ+ ν−βρ ρ)× (νβρ ρ+ ν−βρ ρ)×β−1∑i=−β
δ([ν−iρ ρ, νβ−1ρ ρ])× δ([νi+1
ρ ρ, νβ−1ρ ρ])⊗ σ,
(5.10)
73
Poglavlje 5. Reducibilnost reprezentacija hermitskih kvaternionskih grupa
s.s.(sGL(δ([ν−β+1ρ ρ, νβ−1
ρ ρ]) o π)) =
νβρ ρ× νβρ ρ×β−1∑i=−β
δ([ν−iρ ρ, νβ−1ρ ρ])× δ([νi+1
ρ ρ, νβ−1ρ ρ])⊗ σ.
(5.11)
Ako pretpostavimo da je τ subkvocijent od δ([ν−βρ ρ, νβρ ρ]) o σ, Frobeniusov reciprocitet (2.5)
nam tada implicira da je
δ([ν−βρ ρ, νβρ ρ])⊗ σ ≤ sGL(τ). (5.12)
Uocimo jos da δ([ν−βρ ρ, νβρ ρ])⊗ σ nije subkvocijent od sGL(δ([ν−β+1ρ ρ, νβ−1
ρ ρ]) o π), pa ako je
τ subkvocijent od δ([ν−β+1ρ ρ, νβ−1
ρ ρ]) o π, tada
δ([ν−βρ ρ, νβρ ρ])⊗ σ 6≤ sGL(τ). (5.13)
Razmatramo sada sljedeca dva slucaja u ovisnosti o β:
a) Ako pretpostavimo da je β ∈ 1/2 + Z, tada nam formule (5.9), (5.10) i (5.11) impli-
ciraju da je multiplicitet reprezentacije δ([ν1/2ρ ρ, νβρ ρ]) × δ([ν1/2
ρ ρ, νβρ ρ]) ⊗ σ u svakom
sGL(δ([ν−βρ ρ, νβρ ρ])oσ), sGL(νβρ ρ×ν−βρ ρ×δ([ν−β+1ρ ρ, νβ−1
ρ ρ])oσ) i sGL(δ([ν−β+1ρ ρ, νβ−1
ρ ρ])o
π) jedan. Ova cinjenica u kombinaciji s (5.7) i (5.8) implicira postojanje zajednickog ire-
ducibilnog subkvocijenta τ od δ([ν−βρ ρ, νβρ ρ]) o σ i δ([ν−β+1ρ ρ, νβ−1
ρ ρ]) o π te sada, (5.12) i
(5.13) vrijede za istu reprezentaciju τ pa smo dosli do kontradikicije cime je dokaz u ovom
slucaju gotov.
b) Preostalo nam je tvrdnju dokazati za slucaj β ∈ Z. Slicno kao u prethodnom slucaju
formule (5.9), (5.10) i (5.11) impliciraju da je multiplicitet reprezentacije δ([ρ, νβρ ρ]) ×
δ([νρρ, νβρ ρ]) ⊗ σ u svakom od Jacquetovih modula sGL(δ([ν−βρ ρ, νβρ ρ]) o σ), sGL(νβρ ρ ×
ν−βρ ρ× δ([ν−β+1ρ ρ, νβ−1
ρ ρ]) o σ) i sGL(δ([ν−β+1ρ ρ, νβ−1
ρ ρ]) o π) dva. Ova cinjenica zajedno s
(5.7) i (5.8) implicira postojanje zajednickog ireducibilnog subkvocijenta τ koji nam opet
vodi do kontradikcije.
Time je prethodna propozicija dokazana.
74
Poglavlje 5. Reducibilnost reprezentacija hermitskih kvaternionskih grupa
5.2.3 Ireducibilnost reprezentacija δ([ρ, νρρ]) o σ i L([ρ, νρρ]) o σ
Neka je ρ samodualna (ρ ∼= ρ) ireducibilna unitarizabilna kuspidalna reprezentacija od
GL(k,D) i neka je σ ireducibilna kuspidalna reprezentacija opce hermitske kvaternionske
grupe Gr(D, ε). Pretpostavimo da su reprezentacije ρ o σ i νρρ o σ ireducibilne. Tada je
prema rezultatima iz [8], buduci je F nearhimedsko polje cija je karakteristika jednaka nuli
te Propoziciji 5.2 i reprezentacija ρ × δ([ν−1ρ ρ, νρρ]) o σ takoder ireducibilna i vrijede nam
sljedeci analogoni rezultata iz [30] za grupe Sp(2n, F ) te SO(2n+ 1, F ).
Lema 5.6 Multiplicitet reprezentacije δ([ρ, νρρ])× δ([ρ, νρρ])⊗ σ u µ∗(ρ× ρ× νρρ× νρρo σ)
je cetiri. Taj isti multiplicitet navedena reprezentacija ima i u µ∗(ρ× δ([ν−1ρ ρ, νρρ]) o σ).
Dokaz: Uocimo da je
s.s.(s(4k)(ρ× ρ× νρρ× νρρo σ)) = 4∑
(ε1,ε2)∈±12ρ× ρ× νε1ρ ρ× νε2ρ ρ⊗ σ. (5.14)
te
s.s.(s(4k)(ρ× δ([ν−1ρ ρ, νρρ])oσ)) = 4ρ× δ([ν−1
ρ ρ, νρρ])⊗σ+ 4ρ×νρρ× δ([ρ, νρρ])⊗σ. (5.15)
Tada koristenjem Teorema 2.4, i formula (5.14) te (5.15) dobivamo tvrdnju leme, tj. dobivamo
da je multiplicitet reprezentacije δ([ρ, νρρ]) × δ([ρ, νρρ]) ⊗ σ u µ∗(ρ × νρρ × νρρ o σ) i u
µ∗(ρ× δ([ν−1ρ ρ, νρρ]) o σ) cetiri.
Propozicija 5.6 Pretpostavimo da su reprezentacije ρo σ i νρρo σ ireducibilne. Tada su i
reprezentacije δ([ρ, νρρ]) o σ i L(ρ, νρρ) o σ ireducibilne.
Dokaz: Dokazat cemo da je uz spomenute pretpostavke reprezentacija δ([ρ, νρρ])oσ ireduci-
bilna, a ireducibilnost reprezentacije L(ρ, νρρ)oσ tada direktno slijedi iskoristi li se Aubertina
involucija (3.13).
Dokaz ide kontradikcijom, tj. pretpostavimo da je δ([ρ, νρρ]) o σ reducibilna. Buduci je
µ∗(δ([ρ, νρρ]) o σ) = 1⊗ δ([ρ, νρρ]) o σ + (νρρ⊗ ρo σ + ρ⊗ νρρo σ)
+(2δ([ρ, νρρ]) + L(ρ, νρρ) + δ([ν−1ρ ρ, ρ]))⊗ σ,
(5.16)
75
Poglavlje 5. Reducibilnost reprezentacija hermitskih kvaternionskih grupa
to postoji ireducibilan subkvocijent π takav da je
s(k)(π) = νρρ⊗ ρo σ.
Direktnim racunom dobiva se da je
s.s.(s(2k)(π)) = 2δ([ρ, νρρ])⊗ σ.
Promotrimo sada δ([ρ, νρρ]) o π.
s.s.(s(4k)(δ([ρ, νρρ]) o π))
= 2δ([ρ, νρρ])2 ⊗ σ + 2ρ× νρρ× δ([ρ, νρρ])⊗ σ + 2δ([ν−1ρ ρ, ρ])× δ([ρ, νρρ])⊗ σ.
(5.17)
Buduci je 4δ([ρ, νρρ])2 ⊗ σ ≤ µ∗(δ([ρ, νρρ]) o π, prema prethodnim lemama imamo da je
ρ× δ([ν−1ρ ρ, νρρ]) o σ ≤ δ([ρ, νρρ]) o π).
To nam dalje implicira
s(4k)(ρ× δ([ν−1ρ ρ, νρρ]) o σ) ≤ s(4k)(δ([ρ, νρρ]) o π)
te
4ρ× δ([ν−1ρ ρ, νρρ])⊗ σ + 4ρ× νρρ× δ([ρ, νρρ])⊗ σ
≤ 2δ([ρ, νρρ])2 ⊗ σ + 2ρ× νρρ× δ([ρ, νρρ])⊗ σ + 2δ([ν−1ρ ρ, ρ])× δ([ρ, νρρ])⊗ σ.
Promotrimo li ρ× δ([ν−1ρ ρ, νρρ])⊗ σ, vidimo da se to ne moze dogoditi, sto nam upotpunjuje
dokaz prve tvrdnje, tj. da je δ([ρ, νρρ]) o σ ireducibilna.
5.2.4 Kuspidalna reducibilnost u 1
Neka je ρ ireducibilna unitarizabilna kuspidalna reprezentacija od GL(k,D) i σ ireducibilna
kuspidalna reprezentacija opce hermitske kvaternionske grupe Gr(D, ε). Pretpostavimo da
je reprezentacija νρρ o σ reducibilna. Neka je α ∈ R. Buduci je π o σ = π o σ u R(G), to
u teoremima u ovoj i sljedecoj sekciji promatramo samo slucaj kada je α ≥ 0. Rezultati za
slucaj α < 0 se onda lako opisuju koristeci ove rezultate.
76
Poglavlje 5. Reducibilnost reprezentacija hermitskih kvaternionskih grupa
Teorem 5.1 Pretpostavimo da su ρ i ρ0 ireducibilne unitarizabilne kuspidalne reprezentacije
od GL(k,D) i GL(k0, D) redom te neka je σ ireducibilna kuspidalna reprezentacija od Gr(D, ε).
Pretpostavimo da je reprezentacija νρρoσ reducibilna. Neka je m pozitivan cijeli broj i α ∈ R,
α ≥ 0. Ako
(a) ρ 6∼= ρ0 tada je ναρ0 o δ([νρρ, νmρ ρ], σ) reducibilna ako i samo ako par (ρ0, σ) zadovoljava
uvjet (Cα), tj ναρ0 o σ je reducibilna.
Ako za par (ρ0, σ) vrijedi uvjet (C0), tada je reprezentacija ρ0 o δ([νρρ, νmρ ρ], σ) suma
dviju neizomorfnih ireducibilnih temperiranih reprezentacija.
Ako je α > 0, te ako za par (ρ0, σ) vrijedi uvjet (Cα) , tada ναρ0 o δ([νρρ, νmρ ρ], σ) sadrzi
jedinstven kvadratno integrabilan subkvocijent kojeg oznacavamo s δ(ναρ0, [νρρ, νmρ ρ], σ)
te tada u Grothendieckovoj grupi imamo da je
ναρ0 o δ([νρρ, νmρ ρ], σ) = δ(ναρ0, [νρρ, νmρ ρ], σ) + L(ναρ0, δ([νρρ, νmρ ρ], σ))
(b) ρ ∼= ρ0 te ako je ναρ ρoσ ireducibilna za svaki α 6= 1 (α ≥ 0), tada je ναρ ρo δ([νρρ, νmρ ρ], σ)
reducibilna ako i samo ako je α ∈ 0,m+ 1. Reprezentacija ρo δ([νρρ, νmρ ρ], σ) je suma
dviju neizomorfnih ireducibilnih temperiranih reprezentacija. U Grothendieckovoj grupi
imamo da je
νm+1ρ ρo δ([νρρ, νmρ ρ], σ) = δ([νρρ, νm+1
ρ ρ], σ) + L(νm+1ρ ρ, δ([νρρ, νmρ ρ], σ)).
(c) Ako je α > 0 te ako je ναρ0 o δ([νρρ, νmρ ρ], σ) ireducibilna, tada je
ναρ0 o δ([νρρ, νmρ ρ], σ) ∼= L(ναρ0, δ([νρρ, νmρ ρ], σ)).
Dokaz: Odredimo prvo µ∗(ναρ0 o δ([νρρ, νmρ ρ], σ)). Primjenom strukturne formule (3.10)
dobivamo
µ∗(ναρ0 o δ([νρρ, νmρ ρ], σ))
= ((ν−αρ0 ⊗ 1 + ναρ0 ⊗ 1) + 1⊗ ναρ0) o (m∑i=0
δ([νi+1ρ ρ, νmρ ρ])⊗ δ([νρρ, νiρρ], σ)).
(5.18)
Iz (5.18) direktno mozemo iscitati Jacquetov modul GL−tipa
s.s.(sGL(ναρ0oδ([νρρ, νmρ ρ], σ))) = ν−αρ0×δ([νρρ, νmρ ρ])⊗σ+ναρ0×δ([νρρ, νmρ ρ])⊗σ, (5.19)
77
Poglavlje 5. Reducibilnost reprezentacija hermitskih kvaternionskih grupa
te takoder vidjeti da je
s(mk)(ναρ0 o δ([νρρ, νmρ ρ], σ)) ≥ δ([νρρ, νmρ ρ]⊗ ναρ0 o σ (5.20)
s((m−1)k)(ναρ0 o δ([νρρ, νmρ ρ], σ)) ≥ δ([ν2ρρ, ν
mρ ρ]⊗ ναρ0 o δ(νρρ, σ) (5.21)
Promotrimo prvo slucaj kada je ρ 6∼= ρ0 .
Za α > 0, koristeci formulu (5.19) te Teorem 2.4 dobivamo da je ναρ0 o δ([νρρ, νmρ ρ], σ)
reprezentacija multipliciteta 1 cija je duljina najvise 2.
Kada nam je α = 0, tada nam formula (5.18) za µ∗(ναρ0 o δ([νρρ, νmρ ρ], σ)) implicira da je
multiplicitet reprezentacije ρ0 ⊗ δ([νρρ, νmρ ρ], σ) u s(k0)(ρ0 o δ([νρρ, νmρ ρ], σ)) najvise 2. Sada
nam tvrdnja (b) Leme 5.5 implicira da i u ovom slucaju (α = 0) takoder imamo reprezentaciju
multipliciteta jedan cija je duljina najvise 2.
Pretpostavimo sada da je reprezentacija ναρ0 o σ reducibilna za neki α > 0.
Analizirajuci Jacquetove module GL−tipa, zakljucujemo da reprezentacije
δ([νρρ, νmρ ρ]) o δ(ναρ0, σ)
te
ναρ0 o δ([νρρ, νmρ ρ], σ)
imaju tocno jedan zajednicki ireducibilan faktor π ciji je Jacquetov modul GL−tipa
sGL(π) = ναρ0 × δ([νρρ, νmρ ρ])⊗ σ.
Prema Teoremu 3.2 (Casselmanov kriterij kvadratne integrabilnosti), reprezentacija π je
kvadratno integrabilna. Reprezentaciju π oznacavamo s δ(ναρ0, [νρρ, νmρ ρ], σ) te nam je u
Grothendieckovoj grupi R(G)
ναρ0 o δ([νρρ, νmρ ρ], σ) = δ(ναρ0, [νρρ, νmρ ρ], σ) + L(ναρ0, δ([νρρ, νmρ ρ], σ).
Pretpostavimo sada da je α = 0 i da je reprezentacija ρ0 o σ reducibilna te je zapisimo kao
78
Poglavlje 5. Reducibilnost reprezentacija hermitskih kvaternionskih grupa
sumu neizomorfnih ireducibilnih reprezentacija
ρ0 o σ = τ1 ⊕ τ2,
pri cemu su τ1 i τ2 neizomorfne ireducibilne temperirane reprezentacije. Multipliciteti od
ρ0×δ([νρρ, νmρ ρ])⊗σ u Jacquetovim modulima sGL(δ([νρρ, νmρ ρ])oτ1), sGL(ρ0oδ([νρρ, νmρ ρ], σ))
te sGL(ρ0 × νρρ × · · · × νmρ ρ o σ) su 1,2 i 2 redom. Koristeci Napomenu 5.1 zakljucujemo
reducibilnost.
Promotrimo jos podslucaj kada pretpostavimo da ναρ0oσ nije reducibilna. Primjenom Leme
5.4 na
τ ′′ = δ([νρρ, νmρ ρ])⊗ ναρ0 o σ,
P ′′ = P(mk),
P ′′′ = P(mk+k0)
i s
P ′ = P(k,k,k,...,k,k0)
pri cemu se u zadnjem indeksu k pojavljuje tocno m puta, zakljucujemo ireducibilnost.
Promotrimo sada slucaj koji nam je preostao, kada je ρ ∼= ρ0 . Razlikujemo 4 podslucaja.
(i) α ≥ 0, α 6∈ 0, 1,m+ 1
Uzimanjem
τ ′′ = δ([νρρ, νmρ ρ])⊗ ναρ ρo σ
i primjenom Leme 5.4 zakljucujemo ireducibilnost.
(ii) α = 1
Reprezentacija νρρo δ(νρρ, σ) je prema Lemi 5.1 ireducibilna pa za m > 1 primjenom
Leme 5.4 na prethodno naveden nacin uz uzimanje
τ ′′ = δ([ν2ρρ, ν
mρ ρ])⊗ νρρo δ(νρρ, σ)
i koristenjem fromule (5.21) dobivamo ireducibilnost.
79
Poglavlje 5. Reducibilnost reprezentacija hermitskih kvaternionskih grupa
(iii) α = 0
Slicno kao i ranije koristenjem analognog argumenta dobivamo da je ρo δ([νρρ, νmρ ρ], σ)
reprezentacija multipliciteta 1 cija je duljina najvise 2. Takoder, multipliciteti od
δ([ρ, νmρ ρ])⊗ σ u sGL(ρo δ([νρρ, νmρ ρ], σ)), sGL(δ([ρ, νmρ ρ]) o σ) te sGL(ρ× νρρ× · · · ×
νmρ ρo σ) su svi 2 te nam dalje iz Napomene 5.1 slijedi reducibilnost.
(iv) α = m+ 1
Primjenom Teorema 3.3 te Propozicije 3.2 uocavamo da je reprezentacija νm+1ρ ρ o
δ([νρρ, νmρ ρ], σ) reducibilna pa preostaje pokazati da je onda duljine 2. Uocimo da je
duljina Jacquetovog modula sGL(νm+1ρ ρ o δ([νρρ, νmρ ρ], σ)) tri. Neka je π ireducibilan
subkvocijent od νm+1ρ ρo δ([νρρ, νmρ ρ], σ) takav da je
δ([νρρ, νmρ ρ])⊗ νm+1ρ ρo σ ≤ µ∗(π).
Duljina od sGL(π) je veca ili jednaka 2 te postoje dva razlicita subkvocijenta π1 ⊗ σ te
π2 ⊗ σ od sGL(νm+1ρ ρo δ([νρρ, νmρ ρ], σ)) takvi da
r(k)m+1(πi)⊗σ+(r(k)m⊗s(k))(δ([νρρ, νmρ ρ])⊗νm+1ρ ρoσ) 6≤ s(k)m+1(νm+1
ρ ρoδ([νρρ, νmρ ρ], σ))
za i = 1, 2. Sada iz komentara iza Leme 5.2 imamo da je duljina od νm+1ρ ρoδ([νρρ, νmρ ρ], σ)
najvise dva cime smo zavrsili dokaz.
5.2.5 Odredivanje Langlandsovih parametara ireducibilnih subk-
vocijenata parabolicki induciranih reperezentacija
Neka je IndGn(D,ε)P0 (σ0) parabolicki inducirana reprezentacija opce hermitske kvaternionske
grupe Gn(D, ε). Za odredivanje Langlandsovih parametara ireducibilnih subkvocijenata od
IndGn(D,ε)P0 (σ0) koristit cemo jednu od sljedecih metoda:
(i) konstrukcija netrivijalnog ispreplitanja IndGn(D,ε)P (τ)→ IndGn(D,ε)
P0 (σ0).
(ii) konstrukcija surjektivnog ispreplitanja ψ : IndGn(D,ε)P (π) IndGn(D,ε)
P0 (σ0) te ulaganja
IndGn(D,ε)P ′ (τ ′) → IndGn(D,ε)
P (π), pri cemu ce IndGn(D,ε)P ′ (τ ′) dati Langlandsov parametar
ako je ψ netrivijalno preslikavanje na IndGn(D,ε)P ′ (τ ′).
80
Poglavlje 5. Reducibilnost reprezentacija hermitskih kvaternionskih grupa
Metoda koju smo prvu spomenuli je jednostavnija metoda. Uocimo da je za dokazivanje
netrivijalnosti u (ii) dovoljno dokazati da za neku parabolicku podgrupu P ′′ = M ′′N ′′ od
Gn(D, ε) vrijedi
rGn(D,ε)M ′′ (IndGn(D,ε)
P0 (σ0)) 6≤ rGn(D,ε)M ′′ (IndGn(D,ε)
P (π))− rGn(D,ε)M ′′ (IndGn(D,ε)
P ′ (τ ′)).
Teorem 5.2 Pretpostavimo da su ρ i ρ0 ireducibilne unitarizabilne kuspidalne reprezentacije
od GL(k,D) i GL(k0, D) redom te neka je σ ireducibilna kuspidalna reprezentacija od Gr(D, ε).
Pretpostavimo da je reprezentacija νρρoσ reducibilna. Neka je m pozitivan cijeli broj i α ∈ R,
α ≥ 0. Ako
(a) ρ 6∼= ρ0 tada je ναρ0 o s([νρρ, νmρ ρ], σ) reducibilna ako i samo ako (ρ0, σ) zadovoljava uvjet
(Cα), tj. ako i samo ako je ναρo o σ je reducibilna.
Ako je α > 0 te ako je ναρ0 o s([νρρ, νmρ ρ], σ) reducibilna tada u Grothendieckovoj grupi
imamo da je
ναρ0 o s([νρρ, νmρ ρ], σ) = L(ναρ0, νρρ, . . . , νmρ ρ, σ) + L(νρρ, . . . , νmρ ρ, δ(ναρ0, σ)).
Ako je α = 0, prikazemo ρ0 o σ kao sumu neizomorfnih ireducibilnih reprezentacija
ρ0 o σ = ⊕ji=1τi,
gdje je j najvise 2. U tom slucaju je
ρ0 o s([νρρ, νmρ ρ], σ) = ⊕ji=1L(νρρ, ν2ρρ, . . . , ν
mρ ρ, τi)
(b) ρ ∼= ρ0 te ako je ναρ ρoσ ireducibilna za svaki α 6= 1 (α ≥ 0), tada je ναρ ρos([νρρ, νmρ ρ], σ)
reducibilna ako i samo ako je α ∈ 0,m+ 1. Tada imamo da je
νm+1ρ ρo s([νρρ, νmρ ρ], σ) = L(νρρ, . . . , νm+1
ρ ρ, σ) + L(νρρ, . . . , νm−1ρ ρ, δ([νmρ ρ, νm+1
ρ ρ]), σ),
ρo s([νρρ, νmρ ρ], σ) = L(νρρ, . . . , νm+1ρ ρ, ρo σ)⊕ L(δ([ρ, νρρ]), ν2
ρρ . . . , νm+1ρ ρ, σ),
pri cemu prva jednakost vrijedi samo u Grothendieckovoj grupi.
81
Poglavlje 5. Reducibilnost reprezentacija hermitskih kvaternionskih grupa
(c) α > 0 i ako je ναρ0 o s([νρρ, νmρ ρ], σ) ireducibilna, tada je
ναρ0 o s([νρρ, νmρ ρ], σ) = L(ναρ0, νρρ, ν2ρρ, . . . , ν
nρ ρ, σ)
Dokaz: Koristeci Aubertinu involuciju (3.13) te Teorem 5.1 dobivamo tocke reducibilnosti i
duljine induciranih reprezentacija te nam preostaje opis ireducibilnih subkvocijenata.
Promotrimo prvo slucaj (a), ρ 6∼= ρ0.
Tada postoji epimorfizam
ναρ0 × νmρ ρ× · · · × νρρo σ → ναρ0 o s([νρρ, νmρ ρ], σ). (5.22)
Buduci su reprezentacije ναρ0 × νkρρ i νkρρ× ναρ0 izomorfne, to je za α > 0,
L(ναρ0, νmρ ρ, ν
m−1ρ ρ, . . . , νρρ, σ) ≤ ναρ0 o s([νρρ, νmρ ρ], σ).
Ako je α = 0 i ako je ρ0 o σ ireducibilna, na slican nacin dobivamo da je
L(νmρ ρ, νm−1ρ ρ, . . . , νρρ, ρ0 o σ) ≤ ρ0 o s([νρρ, νmρ ρ], σ).
Ako je ρ0 o σ reducibilna, zapisemo je u obliku
ρ0 o σ = τ1 ⊕ τ2,
gdje su τ1 i τ2 neizomorfne ireducibilne temperirane reprezentacije. Tada nam restrikcija
preslikavanja (5.22) daje ispreplitanja
ϕi : νmρ ρ× νm−1ρ ρ× · · · × νρρo τi → ρo s([νρρ, νmρ ρ], σ), i = 1, 2.
Pretpostavimo da je jedno od preslikavanja ϕi = 0.Koristeci svojstvo da je ϕ1⊕ϕ2 epimorfizam
(5.22), dobivamo da je
L(νmρ ρ, νm−1ρ ρ, . . . , νρρ, τi) ≤ ρ0 o s([νρρ, νmρ ρ], σ)
za i = 1, 2.
82
Poglavlje 5. Reducibilnost reprezentacija hermitskih kvaternionskih grupa
Pretpostavimo sada da je α > 0 ta da je ναρ0 o σ reducibilna. Restrikcijom preslikavanja
(5.22) dobivamo ispreplitanje
ϕ : νmρ ρ× νm−1ρ ρ× · · · × νρρo δ(ναρ0, σ)→ ναρ0 o s([νρρ, νmρ ρ], σ).
Pretpostavimo da je preslikavanje ϕ = 0. Tada postoji epimorfizam
νmρ ρ× νm−1ρ ρ× · · · × νρρo L(ναρ0, σ)→ ναρ0 o s([νρρ, νmρ ρ], σ).
Analizom Jacquetovih modula GL− tipa uocavamo da je ovo nemoguce pa je zbog toga
L(νmρ ρ, νm−1ρ ρ, . . . , νρρ, δ(ναρ0, σ)) ≤ ναρ0 o s([νρρ, νmρ ρ], σ).
Pretpostavimo sada da je ρ0 ∼= ρ.
Za α = m+ 1 je
L(νm+1ρ ρ, νmρ ρ, . . . , νρρ, σ) ≤ νm+1
ρ ρo s([νρρ, νmρ ρ], σ).
Promatrajuci restrikciju preslikavanja (5.22)
δ([νmρ ρ, νm+1ρ ρ])× νm−1
ρ ρ× · · · × νρρo σ → νm+1ρ ρo s([νρρ, νmρ ρ], σ)
uz pretpostavku da je to preslikavanje nul-preslikavanje, dobivamo da postoji epimorfizam
L(νmρ ρ, νm+1ρ ρ)× νm−1
ρ ρ× · · · × νρρo σ → νm+1ρ ρo s([νρρ, νmρ ρ], σ)
sto implicira
(L(ν−m−1ρ ρ, ν−mρ ρ) + ν−m−1
ρ ρ× νmρ ρ+ L(νmρ ρ, νm+1ρ ρ))× (ν−m+1
ρ ρ+ νm−1ρ ρ)×
(ν−m+2ρ ρ+ νm−2
ρ ρ)× · · · × (νρρ+ ν−1ρ ρ)⊗ σ ≥ (ν−m−1
ρ ρ+ νm+1ρ ρ)× s([ν−mρ ρ, ν−1
ρ ρ])⊗ σ.
Nadalje, moramo imati
L(ν−m−1ρ ρ, ν−mρ ρ)× ν−m+1
ρ ρ× · · · × ν−1ρ ρ⊗ σ ≥ ν−m−1
ρ ρ× s([ν−mρ ρ, ν−1ρ ρ])⊗ σ,
ali to zbog Teorema 2.4 ne moze vrijediti pa je
L(δ([νmρ ρ, νm+1ρ ρ]), νm−1
ρ ρ, . . . , νρρ, σ) ≤ νm+1ρ ρo s([νρρ, νmρ ρ], σ).
83
Poglavlje 5. Reducibilnost reprezentacija hermitskih kvaternionskih grupa
Pretpostavimo sada da je α = 0.
Tada postoji epimorfizam
νmρ ρ× νm−1ρ ρ× · · · × ν2
ρρ× ρ× νρρo σ → ρo s([νρρ, νmρ ρ], σ). (5.23)
Promotrimo restrikciju ϕ epimorfizma (5.23)
νmρ ρ× νm−1ρ ρ× · · · × ν2
ρρ× L(ρ, νρρ) o σ → ρo s([νρρ, νmρ ρ], σ)
te pretpostavimo da je ona nul preslikavanje. U tom slucaju je
ρo s([νρρ, νmρ ρ], σ) ≤ νmρ ρ× νm−1ρ ρ× · · · × ν2
ρρ× δ(ρ, νρρ) o σ
pa je
2ρ×s([ν−mρ ρ, ν−1ρ ρ])⊗σ ≤ (ν−mρ ρ+νmρ ρ)×· · ·×(ν−2ρ ρ+ν2
ρρ)×(δ([ν−1ρ ρ, ρ])+ρ×νρρ+δ([ρ, νρρ]))⊗σ.
To nam implicira da je
2ρ× s([ν−mρ ρ, ν−1ρ ρ])⊗ σ ≤ ν−mρ ρ× · · · × ν−2ρ ρ× δ([ν−1
ρ ρ, ρ])
sto zbog Teorema 2.4 ne moze vrijediti pa je
L(νmρ ρ, νm−1ρ ρ, . . . , ν2
ρρ, νρρ, ρo σ) ≤ ρo s([νρρ, νmρ ρ], σ).
Uocimo da je
(ρ× νρρ)/L(ρ, νρρ) ∼= δ([ρ, νρρ])
i promotrimo prirodan epimorfizam
ψ : νmρ ρ× νm−1ρ ρ× · · · × ν2
ρρ× ((ρ× νρρ)/L(ρ, νρρ)) o σ (ρo s([νρρ, νmρ ρ], σ))/Imϕ.
Ako pretpostavimo da nam je ψ = 0, onda ϕ mora biti epimorfizam pa je
ρo s([νρρ, νmρ ρ], σ) ≤ νmρ ρ× νm−1ρ ρ× · · · × ν2
ρρ× L(ρ, νρρ) o σ.
84
Poglavlje 5. Reducibilnost reprezentacija hermitskih kvaternionskih grupa
Analizirajuci Jacquetove module GL−tipa dobivamo da je
2ρ×s([ν−mρ ρ, ν−1ρ ρ])⊗σ ≤ (ν−mρ ρ+νmρ ρ)×· · ·×(ν−2
ρ +ν2ρρ)×(L(ν−1
ρ ρ, ρ)+ν−1ρ ρ×ρ+L(ρ, νρρ))⊗σ
stoga je
2ρ× s([ν−mρ ρ, ν−1ρ ρ])⊗ σ ≤ ν−mρ ρ× · · · × ν−2ρ ρ× (L(ν−1
ρ ρ, ρ) + ν−1ρ ρ× ρ).
Dobili smo opet situaciju koja zbog Teorema 2.4 nije moguca pa je
L(νmρ ρ, νm−1ρ ρ, . . . , ν2
ρρ, δ([ρ, νρρ]), σ) ≤ ρo s([νρρ, νmρ ρ], σ).
Ako α 6∈ 0, 1, . . . ,m,m+ 1 tada kao u prvom dijelu direktno dobivamo da nam je
ναρ ρo s([νρρ, νmρ ρ], σ) = L(ναρ ρ, νmρ ρ, νm−1ρ ρ, . . . , ν2
ρρ, νρρ, σ).
Za α = m tvrdnja je ocita.
U slucaju kada je α = l ∈ 0, 1, . . . ,m− 1 imamo epimorfizme
νlρρ× s([νlρρ, νmρ ρ])× s([νρρ, νl−1ρ ρ]) o σ νlρρ× s([νρρ, νmρ ρ]) o σ νlρρo s([νρρ, νmρ ρ], σ).
Iskoristimo li sada cinjenicu da je νlρρ × s([νlρρ, νmρ ρ]) ∼= s([νlρρ, νmρ ρ]) × νlρρ, dobivamo da
postoji epimorfizam
νmρ ρ× νm−1ρ ρ× · · · × νl+1
ρ ρ× νlρρ× νl−1ρ ρ× · · · × νρo σ νlρρo s([νρρ, νmρ ρ], σ),
cime je dokaz zavrsen.
5.2.6 Kuspidalna reducibilnost u 1/2
Neka je ρ ireducibilna unitarizabilna kuspidalna reprezentacija od GL(k,D) te neka je σ ire-
ducibilna kuspidalna reprezentacija hermitske kvaternionske grupe Gr(D, ε). Pretpostavljamo
unutar ovog poglavlja da je reprezentacija ν1/2ρ ρo σ reducibilna. Iz Propozicije 5.3 znamo da
je δ([ν−1/2ρ ρ, ν1/2
ρ ρ]) o σ direktna suma dviju ireducibilnih reprezentacija. Buduci je
sGL(δ([ν−1/2ρ ρ, ν1/2
ρ ρ]) o σ) = 2δ([ν−1/2ρ ρ, ν1/2
ρ ρ])⊗ σ + ν1/2ρ ρ× ν1/2
ρ ρ⊗ σ,
85
Poglavlje 5. Reducibilnost reprezentacija hermitskih kvaternionskih grupa
to nam Frobeniusov reciprocitet (2.5) implicira da ireducibilne podreprezentacije, nazovimo
ih s τ1 i τ2, zadovoljavaju da je
sGL(τ1) = δ([ν−1/2ρ ρ, ν1/2
ρ ρ])⊗ σ + ν1/2ρ ρ× ν1/2
ρ ρ⊗ σ,
sGL(τ2) = δ([ν−1/2ρ ρ, ν1/2
ρ ρ])⊗ σ.
Oznacit cemo τ1 s δ([ν−1/2ρ ρ, ν1/2
ρ ρ]+, σ), a τ2 s δ([ν−1/2ρ ρ, ν1/2
ρ ρ]−, σ). Dakle, τ1 je ireducibilan
subkvocijent od δ([ν−1/2ρ ρ, ν1/2
ρ ρ]) o σ ciji je Jacquetov modul GL−tipa reducibilan.
Teorem 5.3 Pretpostavimo da su ρ i ρ0 ireducibilne unitarizabilne kuspidalne reprezentacije
od GL(k,D) i GL(k0, D) redom te neka je σ ireducibilna kuspidalna reprezentacija od Gr(D, ε).
Pretpostavimo da je reprezentacija ν1/2ρ ρo σ reducibilna. Neka je m nenegativan cijeli broj i
α ∈ R, α ≥ 0. Ako
(a) ρ 6∼= ρ0, tada je ναρ0 o s([ν1/2ρ ρ, ν1/2+m
ρ ρ], σ) reducibilna ako i samo ako je (ρ0, σ) zadovo-
ljava uvjet (Cα), tj. ako i samo ako je ναρ0 o σ reducibilna.
Ako je α > 0 te ako je ναρ0 o σ reducibilna, tada u Grothendieckovoj grupi imamo da je
ναρ0 o s([ν1/2ρ ρ, ν1/2+m
ρ ρ], σ)
= L(ναρ0, ν1/2ρ ρ, ν3/2
ρ ρ, . . . , ν1/2+mρ ρ, σ) + L(ν1/2
ρ ρ, ν3/2ρ ρ, . . . , ν1/2+m
ρ ρ, δ(ναρ0, σ)).
Ako je α = 0, tada zapisemo ρ0 o σ = ⊕ji=1τi kao sumu neizomorfnih ireducibilnih
temperiranih reprezentacija, pri cemu je j najvise 2.Tada je
ρ0 o s([ν1/2ρ ρ, ν1/2+m
ρ ρ], σ) = ⊕ji=1L(ν1/2ρ ρ, ν3/2
ρ ρ, . . . , ν1/2+mρ ρ, τi).
(b) ρ ∼= ρ0, tada je ναρ ρo s([ν1/2ρ ρ, ν1/2+m
ρ ρ], σ) reducibilna ako i samo ako je α ∈ 1/2,m +
3/2. U Grothendieckovoj grupi imamo da je
νm+3/2ρ ρo s([ν1/2
ρ ρ, ν1/2+mρ ρ], σ)
= s([ν1/2ρ ρ, ν3/2+m
ρ ρ], σ) + L(ν1/2ρ ρ, ν3/2
ρ ρ, . . . , νm−1/2ρ ρ, δ([νm+1/2
ρ ρ, νm+3/2ρ ρ]), σ),
ν1/2ρ ρo s([ν1/2
ρ ρ, ν1/2+mρ ρ], σ) = L(ν1/2
ρ ρ, ν1/2ρ ρ, ν3/2
ρ ρ, ν5/2ρ ρ, . . . , νm+1/2
ρ ρ, σ)
+ L(ν3/2ρ ρ, ν5/2
ρ ρ, . . . , νm+1/2ρ ρ, δ([ν−1/2
ρ ρ, ν1/2ρ ρ]−, σ)).
86
Poglavlje 5. Reducibilnost reprezentacija hermitskih kvaternionskih grupa
(c) Ako je α > 0 te ako je ναρ0 o s([ν1/2ρ ρ, ν1/2+m
ρ ρ], σ) ireducibilna, tada je
ναρ0 o s([ν1/2ρ ρ, ν1/2+m
ρ ρ], σ) = L(ναρ0, ν1/2ρ ρ, ν3/2
ρ ρ, . . . , ν1/2+mρ ρ, σ).
Dokaz: Kao i u dokazu Teorema 5.1 odredimo prvo µ∗(ναρ0 o s([ν1/2ρ ρ, νm+1/2
ρ ρ], σ)).
µ∗(ναρ0 o s([ν1/2ρ ρ, νm+1/2
ρ ρ], σ)) = ((ν−αρ0 ⊗ 1 + ναρ0 ⊗ 1) + 1⊗ ναρ0)
om∑
i=−1s([ν−m−1/2
ρ ρ, ν−i−3/2ρ ρ])⊗ s([ν1/2
ρ ρ, ν1/2+iρ ρ], σ).
(5.24)
Iz (5.24) direktno mozemo iscitati Jacquetov modul GL−tipa
s.s.(sGL(ναρ0 o s([ν1/2ρ ρ, νm+1/2
ρ ρ], σ))
= ν−αρ0 × s([ν−m−1/2ρ ρ, ν−1/2
ρ ρ])⊗ σ + ναρ0 × s([ν−m−1/2ρ ρ, ν−1/2
ρ ρ])⊗ σ.(5.25)
Jednostavnom modifikacijom dokaza tvrdnje (a) Teorema 5.1, slijedi i dokaz tvrdnje (a) ovog
teorema, stoga direktno krecemo sa slucajem kada nam je ρ ∼= ρ0.
(i) Dokaz ireducibilnosti za α 6∈ 1/2,m+ 3/2 analogan je dokazu Teorema 5.1.
(ii) α = m+ 3/2
Analognim argumentima kao u dokazu Teorema 5.1 dobivamo da su s([ν1/2ρ ρ, νm+3/2
ρ ρ], σ),
L(ν1/2ρ ρ, . . . , νm−1/2
ρ ρ, δ([νm+1/2ρ ρ, νm+3/2
ρ ρ], σ)) ≤ νm+1/2ρ ρ o s([ν1/2
ρ ρ, νm+3/2ρ ρ], σ) te da
je duljina najvise 2.
(iii) α = 1/2
Prvo uocimo da postoji epimorfizam
ν1/2ρ ρ× s([ν1/2
ρ ρ, νm+1/2ρ ρ]) o σ ν1/2
ρ ρ× s([ν1/2ρ ρ, νm+1/2
ρ ρ], σ),
a zatim
νm+1/2ρ ρ× νm−1/2
ρ ρ× · · · × ν1/2ρ ρ× ν1/2
ρ ρo σ ν1/2ρ ρo s([ν1/2
ρ ρ, νm+1/2ρ ρ], σ),
stoga je
L(ν1/2ρ ρ, ν1/2
ρ ρ, ν3/2ρ ρ, ν5/2
ρ ρ, . . . , νm+1/2ρ ρ, σ) ≤ ν1/2
ρ ρo s([ν1/2ρ ρ, νm+1/2
ρ ρ], σ).
87
Poglavlje 5. Reducibilnost reprezentacija hermitskih kvaternionskih grupa
Nadalje imamo epimorfizam
ν−1/2ρ ρ× νm+1/2
ρ ρ× νm−1/2ρ ρ× · · · × ν3/2
ρ ρ× ν1/2ρ ρo σ ν−1/2
ρ ρo s([ν1/2ρ ρ, νm+1/2
ρ ρ], σ),
(5.26)
pa i epimorfizam
νm+1/2ρ ρ× νm−1/2
ρ ρ× · · · × ν3/2ρ ρ× ν−1/2
ρ ρ× ν1/2ρ ρo σ ν−1/2
ρ ρo s([ν1/2ρ ρ, νm+1/2
ρ ρ], σ)
(5.27)
Ako promotrimo najviseϕ epimorfizma (5.27) na
νm+1/2ρ ρ× νm−1/2
ρ ρ× · · · × ν3/2ρ ρ× L(ν−1/2
ρ ρ, ν1/2ρ ρ) o σ
i ako pretpostavimo da je ϕ epimorfizam, tada je
(ν1/2ρ ρ+ ν−1/2
ρ ρ)× s([ν−m−1/2ρ ρ, ν−1/2
ρ ρ])⊗ σ ≤ (ν−m−1/2ρ ρ+ νm+1/2
ρ ρ)× (ν−m+1/2ρ ρ+ νm−1/2
ρ ρ)
× · · · × (ν−3/2ρ ρ+ ν3/2
ρ ρ)× (2L(ν−1/2ρ ρ, ν1/2
ρ ρ) + ν−1/2ρ ρ× ν−1/2
ρ ρ)⊗ σ..
Medutim, to ne moze vrijediti jer se koristeci Teorem 2.4 moze vidjeti da je
Z([ν−m−1/2ρ ρ, ν−1/2
ρ ρ], ν1/2ρ ρ)⊗ σ subkvocijent lijeve, ali ne i desne strane sto nam daje
kontradikciju.
Uocimo jos da je L([ν−1/2ρ ρ, ν1/2
ρ ρ]) = s([ν−1/2ρ ρ, ν1/2
ρ ρ]). Dakle, ϕ nije epimorfizam pa
imamo netrivijalno ispreplitanje
ψ : νm+1/2ρ ρ×νm−1/2
ρ ρ×· · ·×ν3/2ρ ρ×δ([ν−1/2
ρ ρ, ν1/2ρ ρ])oσ → (ν−1/2
ρ ρos([ν1/2ρ ρ, νm+1/2
ρ ρ], σ))/Imϕ.
Prisjetimo se da je
δ([ν−1/2ρ ρ, ν1/2
ρ ρ]) o σ = δ([ν−1/2ρ ρ, ν1/2
ρ ρ])+, σ)⊕ δ([ν−1/2ρ ρ, ν1/2
ρ ρ])−, σ)
i pretpostavimo da je ψ netrivijalno preslikavanje na
νm+1/2ρ ρ× νm−1/2
ρ ρ× · · · × ν3/2ρ ρo δ([ν−1/2
ρ ρ, ν1/2ρ ρ])+, σ).
Sada nam treba informacija o Jacquetovim modulima Langlandsovog kvocijenta
L(νm+1/2ρ ρ, . . . , ν3/2
ρ ρ, δ([ν−1/2ρ ρ, ν1/2
ρ ρ]+, σ)).
88
Poglavlje 5. Reducibilnost reprezentacija hermitskih kvaternionskih grupa
Buduci postoji epimorfizam
νm+1/2ρ ρ×· · ·×ν3/2
ρ ρoδ([ν−1/2ρ ρ, ν1/2
ρ ρ]+, σ) L(νm+1/2ρ ρ, . . . , ν3/2
ρ ρ, δ([ν−1/2ρ ρ, ν1/2
ρ ρ]+, σ)),
to postoji ulaganje
L(νm+1/2ρ ρ, . . . , ν3/2
ρ ρ, δ([ν−1/2ρ ρ, ν1/2
ρ ρ]+, σ)) → ν−m−1/2ρ ρ×· · ·×ν−3/2
ρ ρoδ([ν−1/2ρ ρ, ν1/2
ρ ρ]+, σ)
(5.28)
Prethodno smo koristili formulu za kontragredijent u Langlandsovoj klasifikaciji te
cinjenicu da je
δ([ν−1/2ρ ρ, ν1/2
ρ ρ]+, σ) ∼= δ([ν−1/2ρ ρ, ν1/2
ρ ρ]+, σ)
sto nam direktno slijedi iz
δ([ν−1/2ρ ρ, ν1/2
ρ ρ]+, σ) → δ([ν−1/2ρ ρ, ν1/2
ρ ρ] o σ ∼= δ([ν−1/2ρ ρ, ν1/2
ρ ρ]) o σ
te cinjenice da je sGL(δ([ν−1/2ρ ρ, ν1/2
ρ ρ]+, σ)) reducibilan. Frobeniusov reciprocitet (2.5)
te postojanje netrivijalnog ispreplitanja (5.28) dalje impliciraju da je ν−m−1/2ρ ⊗ν−m+1/2
ρ ⊗
· · · ⊗ ν−3/2ρ ⊗ δ([ν−1/2
ρ ρ, ν1/2ρ ρ]+, σ) kvocijent odgovarajuceg Jacquetovog modula od
L(νm+1/2ρ ρ, . . . , ν3/2
ρ ρ, δ([ν−1/2ρ ρ, ν1/2
ρ ρ]+, σ)).
Nadalje, iz sGL(δ([ν−1/2ρ ρ, ν1/2
ρ ρ]+, σ)) vidimo da je ν−m−1/2ρ ⊗ ν−m+1/2
ρ ⊗ · · · ⊗ ν−3/2ρ ⊗
ν1/2ρ ρ ⊗ ν1/2
ρ ρ ⊗ σ takoder subkvocijent odgovarajuceg Jacquetovog modula iste repre-
zentacije, a buduci smo pretpostavili da je preslikavanje ψ netrivijalno na νm+1/2ρ ⊗
νm−1/2ρ ⊗ · · · ⊗ ν3/2
ρ ⊗ δ([ν−1/2ρ ρ, ν1/2
ρ ρ]+, σ), to
ν−m−1/2ρ ⊗ ν−m+1/2
ρ ⊗ · · · ⊗ ν−3/2ρ ⊗⊗ν1/2
ρ ρ⊗ ν1/2ρ ρ⊗ σ
mora biti subkvocijent odgovarajuceg Jacquetovog modula od
ν−1/2ρ ρo s([ν1/2
ρ ρ, νm+1/2ρ ρ], σ).
Medutim, zbog (5.25) to se ne moze dogoditi pa smo dosli do kontradikcije koja dokazuje
da je
L(ν3/2ρ ρ, ν5/2
ρ ρ, . . . , νm+1/2ρ ρ, δ([ν−1/2
ρ ρ, ν1/2ρ ρ]−, σ)) ≤ ν1/2
ρ ρo s([ν1/2ρ ρ, νm+1/2
ρ ρ], σ).
89
Poglavlje 5. Reducibilnost reprezentacija hermitskih kvaternionskih grupa
Jos nam preostaje dokazati da je duljina od ν1/2ρ ρo s([ν1/2
ρ ρ, νm+1/2ρ ρ], σ) jednaka 2. Iz
(5.28) i Teorema 2.4 nam slijedi da je duljina od ν1/2ρ ρo s([ν1/2
ρ ρ, νm+1/2ρ ρ], σ) najvise 3.
Da bi dokazali da je ta duljina najvise 2 dovoljno je pokazati da ne postoji subkvocijent
π od ν1/2ρ ρo s([ν1/2
ρ ρ, νm+1/2ρ ρ], σ) za kojega je
sGL(π) = ν−1/2ρ ρo s([ν−1/2
ρ ρ, ν−m−1/2ρ ρ])⊗ σ.
Pretpostavimo suprotno, tj. da takav subkvocijent postoji. Oznacimo li s τ ireducibilan
subkvocijent koji sadrzi s([ν−1/2ρ ρ, ν−m−1/2
ρ ρ])2⊗σ kao subkvocijent u svom Jacquetovom
modulu, tada je τ multipliciteta jedan u
ν−m−1/2ρ ρ× ν−m+1/2
ρ ρ× · · · × νm+1/2ρ ρo σ.
Uocimo sada da je
s([ν−1/2ρ ρ, ν−m−1/2
ρ ρ])2 ⊗ σ ≤ sGL(s([ν−m−1/2ρ ρ, νm+1/2
ρ ρ]) o σ)
iz cega nam slijedi da je
τ ≤ s([ν−m−1/2ρ ρ, νm+1/2
ρ ρ]) o σ.
Dalje nam Frobeniusov reciprocitet implicira da je
s([ν−m−1/2ρ ρ, νm+1/2
ρ ρ])⊗ σ ≤ sGL(τ).
Promotrimo sada ϑ = s([ν−m−1/2ρ ρ, ν−3/2
ρ ρ]) o π. Tada je
s([ν−m−1/2ρ ρ, ν−1/2
ρ ρ])2 ⊗ σ ≤ sGL(ϑ)
pa je
τ ≤ ϑ,
no s([ν−m−1/2ρ ρ, νm+1/2
ρ ρ])⊗ σ 6≤ sGL(ϑ) i time smo dosli do kontradikcije, cime je ovaj
teorem dokazan.
90
Poglavlje 5. Reducibilnost reprezentacija hermitskih kvaternionskih grupa
5.2.7 Tocke reducibilnosti reprezentacije ναρ δ(ρ,m) o σ, m ∈ Z+
Neka je ρ ireducibilna unitarizabilna kuspidalna reprezentacija od GL(k,D). Prisjetimo se
oznake uvedene formulom (2.23) u Poglavlju 2 ovog rada. Dakle,
δ(ρ,m) = δ([ν−(m−1)/2ρ ρ, ν(m−1)/2
ρ ρ]).
U teoremu koji slijedi opisane su tocke reducibilnosti za reprezentaciju ναρ δ(ρ,m) o σ pri
cemu nam je m pozitivan cijeli broj, α ∈ R i σ ireducibilna kuspidalna reprezentacija opce
hermitske kvaternionske grupe Gr(D, ε)
Teorem 5.4 Pretpostavimo da je ρ ireducibilna unitarizabilna kuspidalna reprezentacija od
GL(k,D) te σ ireducibilna kuspidalna reprezentacija od Gr(D, ε). Neka je m pozitivan cijeli
broj i α ∈ R. Tada reprezentacija ναρ δ(ρ,m) o σ ima sljedece tocke reducibilnosti:
(a) Ako ρ nije samodualna (ρ 6∼= ρ), onda je ναρ δ(ρ,m) o σ ireducibilna za svaki α ∈ R.
(b) Ako je ν1/2ρ ρo σ reducibilna reprezentacija, tada je reprezentacija ναρ δ(ρ,m) o σ je redu-
cibilna ako i samo ako je
α ∈−m
2 ,−m
2 + 1, . . . , m2
.
(c) Ako je ρoσ reducibilna reprezentacija, tada je reprezentacija ναρ δ(ρ,m)oσ je reducibilna
ako i samo ako je
α ∈−m+ 1
2 ,−m+ 1
2 + 1, . . . , m− 12
(d) Ako je νρρo σ reducibilna reprezentacija, tada je, reprezentacija ναρ δ(ρ,m) o σ je reduci-
bilna ako i samo ako je
α ∈−m− 1
2 ,−m− 1
2 + 1, . . . , m+ 12 \ 1,−1 ako je m = 1
Dokaz: Neka je l nenegativan cijeli broj. Kako bi skratili notaciju u dokazu cemo raditi s
reprezentacijom
νβρ δ([ρ, νlρρ]) o σ ∼= δ([νβρ ρ, νβ+lρ ρ]) o σ,
91
Poglavlje 5. Reducibilnost reprezentacija hermitskih kvaternionskih grupa
pri cemu je β ∈ R. Koristenjem strukturne formule (3.10) tada dolazimo do cinjenica da je
s.s.(s(p)(δ([νβρ ρ, νβ+lρ ρ]) o σ))
= νβ+lρ ⊗ δ([νβρ ρ, νβ+l−1
ρ ρ]) o σ + ν−βρ ρ⊗ δ([νβ+1ρ ρ, νβ+l
ρ ρ]) o σ,(5.29)
te
s.s.(sGL(δ([νβρ ρ, νβ+lρ ρ]) o σ))
=l+1∑i=0
δ([ν−β−l+iρ ρ, ν−βρ ρ])× δ([νβ+l−i+1ρ ρ, νβ+l
ρ ρ])⊗ σ.(5.30)
Promatrajuci clanove u sumi koji su u korespondenciji s i = l − 1 te i = l dobivamo
s.s.(sGL(δ([νβρ ρ, νβ+lρ ρ]) o σ)) ≥ δ([ν−β−1
ρ ρ, ν−βρ ρ])× δ([νβ+2ρ ρ, νβ+l
ρ ρ])⊗ σ+
ν−βρ ρ× δ([νβ+1ρ ρ, νβ+l
ρ ρ])⊗ σ.(5.31)
Krenimo sada s dokazivanjem tvrdnji teorema.
(a) Pretpostavimo da ρ nije samodualna reprezentacija. Tada je νβ+lρ ρ 6∼= ν−βρ ρ za svaki β ∈ R.
Pokazat cemo da u ovom slucaju vrijedi tvrdnja teorema indukcijom po l. Pretpostavimo
da je l ≥ 1. Kao posljedica Leme 5.4 slijedit ce nam ireducibilnost. Oznacimo s
τ ′′ = ν−βρ ρ× δ([νβ+1ρ ρ, νβ+l
ρ ρ])⊗ σ,
P ′′ = P((l+1)k),
P ′′′ = P(k),
P ′ = P(k)l+1 .
Reprezentacija τ ′′ je ireducibilna. Iz (5.31) vidimo da nam je
τ ′′ ≤ sGL(δ([νβρ ρ, νβ+lρ ρ]) o σ).
Dokazimo sada da su nam ispunjeni uvjeti iz Leme 5.4. Uzmemo prvo
τ ′′′ = νβ+lρ ρ⊗ δ([νβρ ρ, νβ+l−1
ρ ρ]) o σ
i pretpostavimo da je
(1⊗ s(k)l)(τ ′′′) + (r(k)l+1 ⊗ σ)(τ ′′) ≤ s(k)l+1(δ([νβρ ρ, νβ+lρ ρ]) o σ). (5.32)
92
Poglavlje 5. Reducibilnost reprezentacija hermitskih kvaternionskih grupa
Tada (5.29) implicira
(r(k)l+1 ⊗ 1)(τ ′′) ≤ ν−βρ ρ⊗ s(k)l(δ([νβ+1ρ ρ, νβ+l
ρ ρ]) o σ). (5.33)
Koristeci strukturu Hopfove algebre na R, te formula (2.21) i (2.21) , mozemo uociti da
ovo ne moze vrijediti, pa ni (5.32) ne moze vrijediti. Analogno se vidi da (5.32) ne moze
vrijediti uzmemo li
τ ′′′ = ν−βρ ρ⊗ s(k)l(δ([νβ+1ρ ρ, νβ+l
ρ ρ]) o σ.
Buduci su sada ispunjeni svi uvjeti Leme 5.4, zakljucujemo da je δ([νβ+1ρ ρ, νβ+l
ρ ρ]) o σ
ireducibilna.
(b) Reprezentacija δ([ν1/2ρ ρ, νj+1/2
ρ ρ])oσ je reducibilna za cijeli broj j ≥ 0 (posljedica tvrdnje
(ii) Propozicije 3.4) te je u tom slucaju jedan subkvocijent kvadratno integrabilna repre-
zentacija δ([ν1/2ρ ρ, νj+1/2
ρ ρ], σ). Koristeci Napomenu 5.1 pokazat cemo sada reducibilnost
od
δ([ν−s−1/2ρ ρ, νt+1/2
ρ ρ]) o σ,
pri cemu su s, t ∈ Z, s, t ≥ 0. Koristeci strukturnu formulu (Teorem 3.10), te Teorem 2.4
mozemo vidjeti da je multiplicitet reprezentacije
δ([ν1/2ρ ρ, νs+1/2
ρ ρ])× δ([ν1/2ρ ρ, νt+1/2
ρ ρ])⊗ σ
jednak jedan u sljedece tri reprezentacije:
sGL(ν−s−1/2ρ ρ× ν−s+1/2
ρ ρ× ν−s+3/2ρ ρ× · · · × νt−1/2
ρ ρ× νt+1/2ρ ρo σ),
sGL(δ([ν−s−1/2ρ ρ, νt+1/2
ρ ρ]) o σ),
sGL(δ([ν1/2ρ ρ, νs+1/2
ρ ρ]) o δ([ν1/2ρ ρ, νt+1/2
ρ ρ], σ)),
te je
sGL(δ([ν−s−1/2ρ ρ, νt+1/2
ρ ρ]) o σ) 6≤ sGL(δ([ν1/2ρ ρ, νs+1/2
ρ ρ]) o δ([ν1/2ρ ρ, νt+1/2
ρ ρ], σ)),
stoga nam Napomena 5.1 sada povlaci reducibilnost reprezentacije δ([ν1/2ρ ρ, νt+1/2
ρ ρ])oσ.
Sada indukcijom pokazujemo ireducibilnost koje tvrdimo u (b). Dovoljno je promatrati
93
Poglavlje 5. Reducibilnost reprezentacija hermitskih kvaternionskih grupa
slucaj kada je β+ l/2 ≥ 0 (u protivnom se prelazi na kontragredijent), a zbog Propozicije
5.2 vidimo da i to mozemo restringirati na slucaj kada je β + l/2 > 0. Zamijetimo da uz
ove pretpostavke uvijek vrijedi
νβ+lρ ρ 6∼= ν−βρ ρ.
Pretpostavimo dalje da je l ≥ 1 te da
δ([νβρ ρ, νβ+lρ ρ]) 6∈ δ([ν−m+1/2
ρ ρ, ν−1/2ρ ρ]), δ([ν−m+3/2
ρ ρ, ν1/2ρ ρ]), . . . , δ([ν1/2
ρ ρ, νm−1/2ρ ρ]).
Prema pretpostavci indukcije, obje reprezentacije na desnoj strani izraza (5.29) su iredu-
cibilne.
Promotrimo slucaj kada nam je β 6= 0. Prema propoziciji 5.6, dovoljno je razmatrati
samo slucaj l ≥ 2. Oznacimo s
τ ′′ = δ([ν−β−1ρ ρ, ν−βρ ρ])× δ([νβ+2
ρ ρ, νβ+lρ ρ])⊗ σ = δ([ν−1
ρ ρ, ρ])× δ([ν2ρρ, ν
lρρ])⊗ σ,
te uzmimo P ′, P ′′ i P ′′′ kao u (a) dijelu dokaza, dakle
P ′′ = P((l+1)k),
P ′′′ = P(k),
P ′ = P(k)l+1 .
Odmah uocimo da je τ ′′ ireducibilna te da je prema (5.31)
sGL(δ([νβρ ρ, νβ+lρ ρ]) o σ) = sGL(δ([ρ, νlρρ]) o σ).
Na nacin isti onomu koji smo prethodno koristili, primjenjujuci Lemu (5.4), dobivamo
da je δ[νβρ ρ, νβ+lρ ρ]) o σ = δ[ρ, νlρρ]) o σ ireducibilna reprezentacija. cime je dokazana (b)
tvrdnja nase propozicije.
Tvrdnje (c) i (d) dokazuju se na analogan nacin, koristenjem formula (5.29) i (5.30). U tim
slucajevima nemamo delikatnih tocaka kao u (b) pa ne treba koristit Lemu 5.6.
Prethodni teorem se koristenjem Aubertine involucije (3.13) moze u istoj formi pokazati da
vrijedi za segmentne reprezentacije Zelevinskog
s(ρ,m) = s([ν−(m−1)/2ρ ρ, ν(m−1)/2
ρ ρ]).
94
Poglavlje 5. Reducibilnost reprezentacija hermitskih kvaternionskih grupa
5.2.8 Negenericke kuspidalne reducibilnosti
U ovom dijelu prosirujemo rezultate o reducibilnosti parabolicki induciranih reprezentacija
klasicnih rascjepivih grupa (vidi [30]) u slucaju negenerickih polucijelih reducibilnosti na
slucaj hermitske kvaternionske grupe Gn(D, ε). Koristimo metdou Jacquetovih modula kao i
ranije bez nekih esencijalnih promjena, a podslucajevi koje promatramo u dokazima su slicni
onima koje smo promatrali u Poglavljima 5.2.4 i 5.2.6.
Prisjetimo se prvo ireducibilnih kvadratno integrabilnih reprezentacija koje su povezane s
negenerickim kuspidalnim reducibilnostima, a cija je glavna slicnost s kvadratno integrabil-
nim reprezentacijama uvedenim u Teoremu 3.4 da su svi njihovi Jacquetovi moduli takoder
ireducibilni.
Neka je ρ ireducibilna unitarizabilna kuspidalna reprezentacija grupe GL(k,D) te neka je σ
ireducibilna kuspidalna reprezenatcija hermitske kvaternionske grupe Gr(D, ε). Pretpostavimo
da je νβρ ρo σ reducibilna za neki β > 0 te uzmimo cijeli broj l takav da je
0 < β − l ≤ β.
Tada prema Teoremu 3.4 reprezentacija
νβ−lρ ρ× νβ−l+1ρ ρ× · · · × νβρ ρo σ
ima jedinstvenu ireducibilnu podreprezentaciju koju oznacavamo s δ([νβ−lρ ρ, νβρ ρ], σ). Repre-
zentacija δ([νβ−lρ ρ, νβρ ρ], σ) je kvadratno integrabilna reprezentacija koja prema [31, Poglavlje
7, Lema 7.1] zadovoljava
µ∗(δ([νβ−lρ ρ, νβρ ρ], σ)) =l+1∑i=0
s([νβ−lρ ρ, νβ−iρ ρ])⊗ δ([νβ−i+1ρ ρ, νβρ ρ], σ). (5.34)
Ako je β > 1, onda mozemo uzeti l ≥ 1 takav da je 0 < β − l ≤ β. U tom slucaju kvadratno
integrabilne reprezentacije δ([νβ−lρ ρ, νβρ ρ], σ) nisu istog tipa kao u Teoremu 3.4, a nazivamo
ih regularnim kvadratno integrabilnim reprezentacijama.
Vrijedi nam sljedeca propozicija.
95
Poglavlje 5. Reducibilnost reprezentacija hermitskih kvaternionskih grupa
Propozicija 5.7 Neka su ρ i ρ0 ireducibilne unitarizabilne kuspidalne reprezentacije grupa
GL(k,D) te GL(k0, D) redom, te neka je σ ireducibilna kuspidalna reprezentacija opce her-
mitske kvaternionske grupe Gr(D, ε). Neka je β > 0, β ∈ (1/2)Z. Pretpostavimo da je νβρ ρoσ
reducibilna. Odaberimo s, t ∈ Z takve da je 0 < β − t ≤ β ≤ β + s i neka je α ∈ R. Tada:
(a) Ako ρ 6∼= ρ0, tada su ναρ0 o δ([νβρ ρ, νβ+sρ ρ], σ) i ναρ0 o δ([νβ−tρ ρ, νβρ ρ], σ) reducibilne ako i
samo ako je ναρ0 o σ reducibilna.
(b) ναρ ρo δ([νβρ ρ, νβ+sρ ρ], σ) je reducibilna ako i samo ako je
α ∈ ±(β − 1),±(β + s+ 1).
(c) ναρ ρo δ([νβ−tρ ρ, νβρ ρ], σ) je reducibilna ako i samo ako je
α ∈ ±(β − t− 1),±(β + 1).
Dokaz: Propoziciju je zbog cinjenice da je π o σ ∼= π o σ u R(G) (vidi Propoziciju 3.2)
dovoljno pokazati da vrijedi u slucaju α ≥ 0.
Odredimo prvo µ∗(ναρ0 o δ([νβρ ρ, νβ+sρ ρ], σ)).
µ∗(ναρ0 o δ([νβρ ρ, νβ+sρ ρ], σ))
= (1⊗ ναρ0 + ν−αρ0 ⊗ 1 + ναρ0 ⊗ 1) os∑
j=−1δ([νβ+j+1
ρ ρ, νβ+sρ ρ])⊗ δ([νβρ ρ, νβ+j
ρ ρ], σ).
(5.35)
Kao u dokazu Teorema 5.1 koristeci (5.35) dalje odredujemo semisimplifikaciju Jacqueto-
vog modula GL−tipa reprezentacije ναρ0 o δ([νβρ ρ, νβ+sρ ρ], σ) i dobivamo
s.s.(sGL(ναρ0 o δ([νβρ ρ, νβ+sρ ρ], σ)))
= ν−αρ0 × δ([νβρ ρ, νβ+sρ ρ])⊗ σ + ναρ0 × δ([νβρ ρ, νβ+s
ρ ρ])⊗ σ,(5.36)
te takoder da je
s(sk)(ναρ0 o δ([νβρ ρ, νβ+sρ ρ], σ)) ≥ δ([νβρ ρ, νβ+s
ρ ρ]⊗ ναρ0 o σ, (5.37)
96
Poglavlje 5. Reducibilnost reprezentacija hermitskih kvaternionskih grupa
s((s−1)k)(ναρ0 o δ([νβρ ρ, νβ+sρ ρ], σ)) ≥ δ([νβ+1
ρ ρ, νβ+sρ ρ]⊗ ναρ0 o δ(νβρ ρ, σ). (5.38)
Dokazimo sad prvo da nam tvrdnje iskazane propozicije vrijede za reprezentaciju ναρ0 ×
δ([νβρ ρ, νβ+sρ ρ], σ).
(i) Promotrimo kao i u Teoremu 5.1 prvo slucaj kada nam ρ 6∼= ρ0 . Tada nam je duljina od
(5.36) dva. Pretpostavimo da je ναρ0 oσ ireducibilna. Ako ναρ0 6∼= ν−αρ0, tada nam for-
mule (5.36) i (5.37), svojstvo tranzitivnosti Jacquetovih modula te Lema 5.4 impliciraju
reducibilnost reprezentacije ναρ0 × δ([νβρ ρ, νβ+sρ ρ], σ). Slicno se pokazuje ireducibilnost
reprezentacije ναρ0× δ([νβρ ρ, νβ+sρ ρ], σ) u slucaju da je reprezentacija ρ0 samodualna ako
pogledamo multiplicitete te iskoristimo formule (5.35) i (5.36) ponovo.
Pretpostavimo da je reprezentacija ναρ0 o σ reducibilna.
Za α > 0 smo u regularnoj situaciji pa koristeci (5.36) te Teorem 7.4 u [31] dobivamo
reducibilnost od ναρ0 × δ([νβρ ρ, νβ+sρ ρ], σ).
Ako je α = 0 te zapisemo reprezentaciju
ρ0 o σ = τ1 ⊕ τ2,
pri cemu su reprezentacije τi, i = 1, 2 neizomorfne ireducibilne temperirane reprezentacije.
Multipliciteti od ρ0 × δ([νβρ ρ, νβ+sρ ρ]⊗ σ) u Jacqetovim modulima GL−tipa
sGL(δ([νβρ ρ, νβ+sρ ρ] o τ1),
sGL(ρ0 o δ([νβρ ρ, νβ+sρ ρ], σ)),
i
sGL(ρ0 × νβρ ρ× νβ+1ρ ρ× · · · × nuβ+sρo σ)
su redom 1,2 i 2. Sada nam iz Napomene 5.1 slijedi reducibilnost reprezentacije ναρ0 ×
δ([νβρ ρ, νβ+sρ ρ], σ).
97
Poglavlje 5. Reducibilnost reprezentacija hermitskih kvaternionskih grupa
(ii) Koristimo formule (5.35), (5.36) i (5.37) u kojima uzimamo da nam je reprezentacija ρ0
zapravo ρ.
Za α = β + s+ 1 smo u regularnoj situaciji, te nam tu formula (5.36) povlaci reducibil-
nost.
Ako je β ∈ 12 , 1 i α ∈ ±(β − 1) tada nam Teorem (5.1) implcira reducibilnost.
Za β > 1 smo ponovo u regularnoj situaciji i tu opet formula (5.36) povlaci reducibilnost.
Preostalo je jos pokazati ireducibilnost od ναρ ρ× δ([νβρ ρ, νβ+sρ ρ], σ) koja se tvrdi u pro-
poziciji.
Pretpostavimo li da α 6∈ ±(β − 1),±(β + s+ 1), tada nam (5.36) ima duljinu dva.
U slucaju da α 6∈ 0, β, tada nam formule (5.36) i (5.37) te Lema 5.4 impliciraju
ireducibilnost.
Pretpostavimo li da je α = β, tada nam formula (5.36) te Propozicija 5.5 impliciraju
ireducibilnost.
Ako je α = 0, ireducibilnost dobivamo na nacin analogan onom u slucaju, ρ 6∼= ρ0
promatranjem multipliciteta.
Promotrimo sada reprezentaciju ναρ0 × δ([νβ−tρ ρ, νβρ ρ], σ).
Za taj slucaj dovoljno je promatrati one podslucajeve kada nam je β ≥ 3/2. Odredimo prvo
µ∗(ναρ0 o δ([νβ−tρ ρ, νβρ ρ], σ)).
µ∗(ναρ0 o δ([νβ−tρ ρ, νβρ ρ], σ)) = (1⊗ νρρ0 + ν−αρ0 ⊗ 1 + ναρ0 ⊗ 1)ot+1∑i=0
s([νβ−tρ ρ, νβ−iρ ρ])⊗ δ([νβ−i+1ρ ρ, νβρ ρ], σ).
(5.39)
Na temelju formule (5.39) odredujemo semisimplifikaciju Jacquetovog modula GL−tipa
reprezentacije ναρ0 o δ([νβ−tρ ρ, νβρ ρ], σ) i dobivamo
s.s.(sGL(ναρ0 o δ([νβ−tρ ρ, νβρ ρ], σ)) = ν−αρ0× s([νβ−tρ ρ, νβρ ρ])⊗ σ+ ναρ0× s([νβ−tρ ρ, νβρ ρ])⊗ σ,
(5.40)
te takoder da je
s(tk)(ναρ0 o δ([νβ−tρ ρ, νβρ ρ], σ)) ≥ s([νβ−tρ ρ, νβρ ρ]⊗ ναρ0 o σ, (5.41)
98
Poglavlje 5. Reducibilnost reprezentacija hermitskih kvaternionskih grupa
s((t−1)k)(ναρ0 o δ([νβ−tρ ρ, νβρ ρ], σ)) ≥ s([νβ−tρ ρ, νβ−1ρ ρ]⊗ ναρ0 o δ(νβρ ρ, σ). (5.42)
Nastavljamo analogno prvom slucaju dokaz i u ovom slucaju.
(i) Promotrimo kao i u Teoremu 5.1 prvo slucaj kada nam ρ 6∼= ρ0 . Tada nam je duljina od
(5.40) dva. Pretpostavimo da je ναρ0 oσ ireducibilna. Ako ναρ0 6∼= ν−αρ0, tada nam for-
mule (5.40) i (5.41), svojstvo tranzitivnosti Jacquetovih modula te Lema 5.4 impliciraju
reducibilnost reprezentacije ναρ0 × δ([νβρ ρ, νβ+sρ ρ], σ). Slicno se pokazuje ireducibilnost
reprezentacije ναρ0× δ([νβρ ρ, νβ+sρ ρ], σ) u slucaju da je reprezentacija ρ0 samodualna ako
pogledamo multiplicitete.
Pretpostavimo da je reprezentacija ναρ0 o σ reducibilna. Za α > 0 smo u regularnoj
situaciji te nam slijedi reducibilnost od ναρ0 × δ([νβ−tρ ρ, νβρ ρ], σ).
Ako pretpostavimo da je α = 0 te zapisemo reprezentaciju
ρ0 o σ = τ1 ⊕ τ2,
pri cemu su reprezentacije τi, i = 1, 2 neizomorfne ireducibilne temperirane reprezentacije.
Multipliciteti od ρ0 × δ([νβ−tρ ρ, νβρ ρ]⊗ σ) u Jacqetovim modulima GL−tipa
sGL(s([νβ−tρ ρ, νβρ ρ] o τ1),
sGL(ρ0 o δ([νβ−tρ ρ, νβρ ρ], σ)),
i
sGL(ρ0 × νβ−tρ ρ× νβ−t+1ρ ρ× · · · × νβρ ρo σ)
su redom 1, 2 i 2. Sada nam iz Napomene 5.1 slijedi reducibilnost reprezentacije
ναρ0 × δ([νβ−tρ ρ, νβρ ρ], σ).
(ii) Koristimo formule (5.40), (5.41) i (5.42) u kojima uzmimamo da nam je reprezntacija
ρ0 zapravo ρ.
Za α = β + 1 smo u regularnoj situaciji, te nam tu formula (5.40) i Lema 7.1. iz [31]
povlace reducibilnost.
99
Poglavlje 5. Reducibilnost reprezentacija hermitskih kvaternionskih grupa
Promatramo sada slucaj α = β− t−1. Ako je β− t−1 > 0, dobivamo ponovo regularnu
situaciju te nam formula (5.40) i Lema 7.1. iz [31] povlace reducibilnost.
Pretpostavimo da nam je β − t− 1 ≤ 0. U tom slucaju je β − t− 1 ∈ 0,−1/2.
Promotrimo prvo sto se dogada kada je β − t− 1 = 0. Uocimo da je tada β = t+ 1 i
s.s.(sGL(s([ρ, νβρ ρ]) o σ)) =β∑
i=−1s([ν−βρ ρ, ν−i−1
ρ ρ])× s([ρ, νiρρ])⊗ σ).
Multipliciteti reprezentacije s([ν−1/2ρ ρ, νt+1/2
ρ ρ])⊗ σ u Jacquetovim modulima
sGL(s([ν−1/2ρ ρ, νt+1/2
ρ ρ]) o σ),
sGL(ν−1/2ρ ρo δ([ν1/2
ρ ρ, νt+1/2ρ ρ], σ),
sGL(ν−1/2ρ ρ× s([ν1/2
ρ ρ, νt+1/2ρ ρ] o σ)
su redom 1, 2 i 2 sto dokazuje reducibilnost reprezentacije ρo δ([νρρ, νβρ ρ], σ). U slucaju
β − t − 1 = −1/2 je β = t + 1/2 i tada imamo da su multipliciteti reprezentacije
s([ρ, νβρ ρ])⊗ σ) u Jacquetovim modulima
sGL(s([ρ, νβρ ρ]) o σ)
su jedan u svim slucajevima pa je za reducibilnost dovoljno pokazati
sGL(ν−1/2ρ ρo δ([ν1/2
ρ ρ, νt+1/2ρ ρ], σ)) 6≤ sGL(s([ν−1/2
ρ ρ, νt+1/2ρ ρ]) o σ). (5.43)
sto nam slijedi iz cinjenice da je multiplicite reprezentacije
ν1/2ρ ρo δ([ν1/2
ρ ρ, νt+1/2ρ ρ]) o σ)
na lijevoj strani formule (5.43) jednak 1, a 0 na desnoj strani.
Preostalo je jos pokazati ireducibilnost iz tvrdnje (c). Pretpostavimo da nam α 6∈
±(β − t − 1),±(β + 1). Sada (5.40) ima duljinu 2. Ako α 6∈ 0, β tada nam
formule (5.40) i (5.41) povlace ireducibilnost. Za α = β ireducibilnost slijedi iz formula
(5.40), (5.42) te Propozicije 5.5, a za α = 0 ireducibilnost dobivamo razmatranjem
multipliciteta.
100
Sazetak
Kljucne rijeci: hermitske kvaternionske grupe; parabolicki inducirane reprezentacije;
Jacquetovi moduli; R-grupa; reducibilnost; strukturna formula; p-adsko polje; klasicne grupe;
U ovoj disertaciji proucavamo problem reducibilnosti reprezentacija p-adskih hermitskih kva-
ternionskih grupa koje su parabolicki inducirane iz kuspidalnih i (esencijalno) kvadratno
integrabilnih reprezentacija Levijevih faktora standardnih parabolickih podgrupa. Glavni re-
zultati su generalizacija Tadicevih kriterija reducibilnosti za rascjepive simplekticke i neparne
specijalne ortogonalne grupe na slucaj proizvoljnih hermitskih kvaternionskih grupa. Dokazi
se baziraju na tehnikama Jacquetovih modula te koriste strukturnu formulu i teoriju R-grupa.
Pritom je pokazano da za hermitske kvaternionske grupe vrijedi strukturna formula te su
odredene R-grupe.
101
Summary
Main words: hermitian quaternionic groups; parabolically induced representations;
Jacquet modules; R-groups; reducibility; structure formula; p−adic fields; classical groups;
In the thesis, the reducibility of representations of p-adic hermitian quaternionic groups that
are parabolically induced from cuspidal and (essentially) square-integrable representations
of the Levi factors of standard parabolic subgroups is studied. Main results generalize the
reducibility criteria of Tadic for split symplectic and special orthogonal groups to the case
of arbitrary hermitian quaternionic groups. Proofs rely on the Jacquet module techniques
and use the structure formula and the theory of R-groups. It is proved that for hermitian
quaternionic groups the structure formula holds and the R-groups are determined.
102
Zivotopis
Nevena Jurcevic Pecek rodena je 15. sijecnja 1983. godine u Rijeci. Po zavrsetku srednje
skole, 2001. godine upisuje dvopredmetni studij Matematike i informatike pri Filozofskom
fakultetu Sveucilista u Rijeci. Za vrijeme studija obavlja duznost demonstratora iz nekoliko
kolegija. U svibnju 2006. uspjesno brani diplomski rad pod nazivom Grupe reda 16. U rujnu
2006. zaposljava se kao asistent na Odjelu za matematiku Sveucilista u Rijeci te krajem
iste godine upisuje doktorski studij matematike pri Prirodoslovno-matematickom fakultetu u
Zagrebu. Tijekom izobrazbe za doktora znanosti sudjelovala je u radu seminara za Unitarne
reprezentacije i automorfne forme. Clan je Drustva matematicara i fizicara u Rijeci, Zavoda
za algebru i teoriju brojeva na Odjelu za matematiku Sveucilista u Rijeci te Alumni kluba
Odjela za matematiku Svecilista u Rijeci.
103
Bibliografija
[1] A.-M. Aubert, Dualite dans le groupe de Grothendieck de la categorie des representations
lisses de longueur finie d’un groupe reductif p-adique, Trans. Amer. Math. Soc. 347
(1995), 2179–2189.
[2] I. N. Bernstein, A. V. Zelevinsky, Induced representations of reductive p-adic groups. I,
Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. (4) 10 (1977), 441–472.
[3] A. Borel and N. Wallach, Continuous cohomology, discrete subgroups, and representations
of reductive groups, second ed., Mathematical Surveys and Monographs, vol. 67, American
Mathematical Society, Providence, RI, 2000.
[4] N. Bourbaki, Lie groups and Lie algebras. Chapters 7–9, Elements of Mathematics
(Berlin), Springer-Verlag, Berlin, 2005.
[5] W. Casselman, Introduction to the theory of admissible representations of p-adic reductive
groups (1974), Preprint, University of British Columbia.
[6] W. Casselman, Jacquet modules for real reductive groups, Proceedings of the International
Congress of Mathematicians (Helsinki, 1978), Acad. Sci. Fennica, Helsinki, 1980, pp. 557–
563.
[7] P. Deligne, D. Kazhdan, M.-F. Vigneras, Representations des algebres centrales simples
p-adiques, Representations of reductive groups over a local field, Travaux en Cours,
Hermann, Paris, 1984, pp. 33–117.
[8] D. Goldberg, Reducibility of induced representations for Sp(2n) and SO(n), Amer. J.
Math. 116 (1994), 1101–1151.
104
Bibliografija
[9] M. Hanzer, The unitary dual of the Hermitian quaternionic group of split rank 2, Pacific
J. Math.
[10] M. Hanzer, R groups for quaternionic Hermitian groups, Glas. Mat. Ser. III 39(59)
(2004), 31–48.
[11] M. Hanzer, Unitary dual of the non-split inner form of Sp(8, F ), Trans. Amer. Math.
Soc. 360 (2008), 1005–1034 (electronic).
[12] Harish-Chandra, Harmonic analysis on reductive p-adic groups, Harmonic analysis on
homogeneous spaces (Proc. Sympos. Pure Math., Vol. XXVI, Williams Coll., Williams-
town, Mass., 1972), Amer. Math. Soc., Providence, R.I., 1973, pp. 167–192.
[13] H. Jacquet, Representations des groupes lineaires p-adiques, Theory of group represen-
tations and Fourier analysis, Springer, 2011, pp. 119–220.
[14] C. D. Keys, On the decomposition of reducible principal series representations of p-adic
Chevalley groups, Pacific J. Math. 101 (1982), 351–388.
[15] A. W. Knapp, E. M. Stein, Intertwining operators for semisimple groups, Ann. of Math.
(2) 93 (1971), 489–578.
[16] D. W. Lewis, The isometry classification of Hermitian forms over division algebras,
Linear Algebra Appl. 43 (1982), 245–272.
[17] C. Mœglin, M.-F. Vigneras, and Jean-Loup Waldspurger, Correspondances de Howe sur
un corps p-adique, Lecture Notes in Mathematics, vol. 1291, Springer-Verlag, Berlin,
1987.
[18] G. Muic, G. Savin, Complementary series for Hermitian quaternionic groups, Canad.
Math. Bull. 43 (2000), no. 1, 90–99.
[19] W. Scharlau, Quadratic and Hermitian forms, Grundlehren der Mathematischen Wissen-
schaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences], vol. 270, Springer-Verlag,
Berlin, 1985.
105
Bibliografija
[20] F. Shahidi, On certain L-functions, Amer. J. Math. 103 (1981), no. 2, 297–355.
[21] F. Shahidi, Twisted endoscopy and reducibility of induced representations for p-adic
groups, Duke Math. J. 66 (1992), 1–41.
[22] A. J. Silberger, The Knapp-Stein dimension theorem for p-adic groups, Proc. Amer.
Math. Soc. 68 (1978), 243–246.
[23] A. J. Silberger, Special representations of reductive p-adic groups are not integrable, Ann.
of Math. (2) 111 (1980), no. 3, 571–587.
[24] A. J. Silberger, Discrete series and classification for p-adic groups. I, Amer. J. Math.
103 (1981), 1241–1321.
[25] M. Tadic, Induced representations of GL(n,A) for p-adic division algebras A, J. Reine
Angew. Math. 405 (1990), 48–77.
[26] M. Tadic, Construction of square integrable representations of classical p-adic groups,
Universitat zu Gottingen. SFB Geometrie und Analysis, 1993.
[27] M. Tadic, Representations of classical p-adic groups, Representations of Lie groups
and quantum groups (Trento, 1993), vol. 311, Longman Sci. Tech., Harlow, 1994,
pp. 129–204.
[28] M. Tadic, Representations of p-adic symplectic groups, Compositio Math. 90 (1994),
no. 2, 123–181.
[29] M. Tadic, Structure arising from induction and Jacquet modules of representations of
classical p-adic groups, J. Algebra 177 (1995), 1–33.
[30] M. Tadic, On reducibility of parabolic induction, Israel J. Math. 107 (1998), 29–91.
[31] M. Tadic, On regular square integrable representations of p-adic groups, Amer. J. Math.
120 (1998), no. 1, 159–210.
[32] M. Tadic, Representation theory of GL(n) over a p-adic division algebra and unitarity
in the Jacquet-Langlands correspondence, Pacific J. Math. 223 (2006), no. 1, 167–200.
106
Bibliografija
[33] A. V. Zelevinsky, Induced representations of reductive p-adic groups. II. On irreducible
representations of GL(n), Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. (4) 13 (1980), 165–210.
107
top related