teorÍa de mecanismos 4.- dinÁmica de mecanismos

Universidad Carlos III de MadridDepartamento de Ingeniería Mecánica 1

TEORÍA DE MECANISMOS

4.- DINÁMICA DE MECANISMOS

Principio de superposición de fuerzas sobre mecanismos

� En un eslabón de un mecanismo, en un instante t, hay equilibrio dinámico

� Principio de superposición de fuerzas.

sol. total sol. parciales=∑

siendo i el número de fuerzas actuantes

{ }{ }

1P F en P1

2P F en P2

kP F en Pk

F R , M

JG JG JJGJJG JG JJG

# #JJG JG JJG

P iPi 1

F en PPi 1

∑ JJG

JJJG JJJG

JJJG JJGReducción del

sistema de fuerzas en P

Equivalente dinámico/energético de un mecanismo de 1gdl

� Análisis de la energía cinética en mecanismos. Transmisión de fuerzas en mecanismos. Caso de 1gdlSistema

mecánico (1 gdl)+

Sistema de fuerzas

actuantesF∑G

Mecanismo manivela de salida (1 gdl)

+Fuerza reducida

Sistemas equivalentes energéticamente: el trabajo instantáneo

producido por la fuerza reducida en el punto de

reducción P es el mismo que el

producido por el sistema de fuerzas

actuantes (externas)

R ≡JG

Fuerza reducida en A

� (1) Si un sistema mecánico no está en equilibrio, en un instante t, SI QUEREMOS CALCULAR LA FUERZA E QUE HABRÍA QUE PONER EN EL PUNTO ADE UN ESLABÓN DADO PARA LOGRAR EL EQUILIBRIO, SE DEBE CUMPLIR (2):

Fuerza reducida en AA LOS DOS SISTEMAS MECÁNICOS SE LES PUEDE APLICAR EL PRINCIPIO DE LOS TRABAJOS VIRTUALES.

i P Ai 1

P v E v 0=

⋅ + ⋅ =∑JG JJG JGJJG

i Pi 1

P v 0=

⋅ ≠∑JG JJG

(1) (2)

Equivalente dinámico/energético mecanismo de 1gdl

� E, EQUILIBRA LAS FUERZAS F QUE ACTÚAN.

� –E , EQUIVALE A LAS FUERZAS F QUE ACTÚAN, EN EL SENTIDO DE PRODUCIR EL MISMO TRABAJO QUE ELLAS.

� EN LA FIGURA DE LA IZQUIERDA SE MUESTRA EL MECANISMO AFECTADO POR TRES FUERZAS SIN EQUILIBRAR

� EN LA FIGURA DE LA DERECHA SE MUESTRA EL MECANISMO AFECTADO POR LA FUERZA REDUCIDA, QUE SUSTITUYE A LAS FUERZAS.

Fuerza reducida en AA LOS DOS SISTEMAS MECÁNICOS SE LES PUEDE APLICAR EL PRINCIPIO DE LOS TRABAJOS VIRTUALES.

FR A=–E

Reducción en un punto A de una manivela (equilibrio)

� Se considera que no hay rozamiento entre eslabones ya que si no habría una indeterminación en y por tanto en , debido a que fluctúa entre:

min maxroz rozF , F⎡ ⎤⎣ ⎦G G

R E= −JG JG

Fuerza reducida sobre el punto A del mecanismo

Fuerza con la que se opone el mecanismo

EJGFuerza reducida Fuerza equilibrante

� La dinámica del mecanismo de 1 g.d.l.:

� La dinámica del mecanismo es reproducida por el modelo dinámico reducido en A.

� Estudio energético comparado del mecanismo y su reducción

i AP , i F , A⎡ ⎤ ⎡ ⎤→⎣ ⎦ ⎣ ⎦JG JJG

cinetica cinetica 1 2Mecanismo eslabonesi

cinetica cinetica cineticaMecanismo manivelas bielasi k

E E i j k j k k

= = + = + +

∑ ∑

i 1 k k 22 21 2 2

cinetica cinetica cinetica cineticaMecanismo manivelas bielas bielasi k k

traslacion tras rot

2 2 2 2cinetica O i biela k biela G G kMecanismo i k k k

cineticaMecanismoreduc

E E E E

1 1 1 1E I M V M V I2 2 2 2

⎛ ⎞= ω + + + ω⎜ ⎟

⎝ ⎠

∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑ ∑

i K21 2 2

cineticaMecanismo2

A A reducida A A 2A

22 2kG i

reducida A bielas O Gk ,k i kA A A

E1 M V M M 22 V

VM M I IV V V

ω⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ω= + + ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠∑ ∑ ∑

Dado un mecanismo, la masa reducida es independiente de la velocidad adquiridaG

reducida AA

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

Equivalente dinámico/energético de un mecanismo de 1 gdl

Fuerza resistente reducida en A

Masa reducida en A Fuerza

reducida en A

Fuerza motriz reducida en A

Par reducido en A9 Balance de pares reducidos en A:

A AA m rM M M= −JJJG JJJJJG JJJJG

9 Balance de fuerzas reducidas en A:

A AA m rF F F= −JJG JJJG JJG

AA eqF F= −JJG JJJJJG

Fuerza equilibrante en A

Reducida de los esfuerzos motrices Reducida de los

esfuerzos resistentes

“Cinemática y dinámica de Máquinas” A. de Lamadrid, A. de Corral, UPM, Madrid 1992

Análisis del mecanismo en el punto A de la manivela de salida

AmFJJJG

ArFJJG

Fuerza reducida en A FUERZA MOTRIZFUERZA RESISTENTEFUERZA REDUCIDA

Punto de reducción

m -> motrizr -> resistente

“Cinemática y dinámica de Máquinas” A. de Lamadrid, A. de Corral, UPM, Madrid 1992

Reducción de fuerzas sobre mecanismos

� Técnicas de obtención de las � Fuerzas reducidas� Fuerzas equilibrantes

en un mecanismo� Método de las velocidades virtuales� Método de reducción de fuerzas

Principio de los trabajos virtuales sólidos rígidos articulados sin rozamiento en equilibrio dinámico

� Un movimiento virtual del mecanismo compatible con los enlaces, el trabajo virtual producido por las fuerzas activas es nulo.

i iP , PδJG JJJG

i iP P 0⋅ δ=∑JG JJJG

ii PP v 0⋅ =∑JG JJG

JGJJJG

Fuerzas actuantes sobre los eslabones del mecanismoDesplazamiento virtual en el punto de aplicación de cada fuerza

PTV (aplicación a los n eslabones de un mecanismo, a las m fuerzas en cada eslabón)

iP iv CIR P= ω⋅ ⋅ τJJG G

i iP d CIR Pδ = α ⋅ ⋅ τJJJG G

ii PP v dtδ = ⋅JJJG JJG

Luego,

i iP P 0⋅δ =∑JG JJJG

ii PP v 0⋅ =∑JG JJG

Método de las velocidades virtuales

� Aplicando el principio de los trabajos virtuales.Mecanismo en

equilibrioCada miembro

R (reacciones apoyos)

'extF (elemento)

R ' (apoyos)

En equilibrio

Consideramos un desplazamiento virtual

El trabajo virtual realizado por las fuerzas que actúan sobre elmecanismo en un instante dado t será nulo (las fuerzas exteriores son todas las que no son

reacciones entre eslabones)NOTA: el trabajo virtual de las reactivas es nulo. En las articulaciones se anulan 2 a 2. En los apoyos fijos el trabajo realizado es nulo

Aplicación del PTV al cálculo de la fuerza reducida en A, ante las fuerzas motrices Pi

Datos:1 1

JG JJGJJG JJGJJG JJG

Reducción en A

i Pi 1

P v 0=

⋅ ≠∑JG JJG

(1) Puesto que el sistema mecánico no está en

equilibrio

1 2 3 A1 1 P 2 2 P 3 3 P R AP v cos P v cos P v cos ( F v ) 0⋅ ⋅ α + ⋅ ⋅ α + ⋅ ⋅ α + − ⋅ =

Proyección sobre de iPv

(2) Si reduzco el sistema de fuerzas en A:1 2 3P , P , P

JG JJG JJGARF

(3) El sistema de fuerzas:

Si está en equilibrio{ }A1 2 3 RP , P , P , F−JG JJG JJGJJJG

i P j Ri 1 j

P v R v 0=

⋅ + ⋅ =∑ ∑JG JJG JJG JJJG

Caso particular

1 fuerza activa: 1PJG

1 1 2 2P v P v 0⋅ + ⋅ =JG JJG JJGJJG

1 21 1 P 2 2 PP v cos P v cos 0⋅ ⋅ α + ⋅ ⋅ α =

P cos vP cos v⋅ α

= −⋅ α

( )( )

11 P 2

2 P2 1

proy P , v vproy P , v v

( )2P E Fuerza _equilibrante=JJG JG

Análisis gráfico. Fuerza reducida

� Análisis de la energía cinética en mecanismos. Transmisión de fuerzas en mecanismos. Caso de 1gdlSistema

mecánico (1 gdl)+

Sistema de fuerzas

actuantesF∑G

Mecanismo manivela de salida (1 gdl)

+Fuerza reducida

Sistemas equivalentes energéticamente: el trabajo instantáneo

producido por la fuerza reducida en el punto de

reducción P es el mismo que el

producido por el sistema de fuerzas

actuantes (externas)

R ≡JG

Reducción de fuerzas sobre mecanismos

� Técnicas de obtención de las � Fuerzas reducidas� Fuerzas equilibrantes

en un mecanismo� Método de las velocidades virtuales� Método de reducción de fuerzas

Método de reducción en P (gráficamente)

� NOTA: descomposición vectorial. Llevando una fuerza a P y las restantes componentes aplicarlas en:� Apoyos fijos

ó� Las direcciones que puedan ser

absorbidas

las fuerzas que pasan por los puntos fijos no crean trabajo externo

Reducción de una fuerza aplicada sobre A en el punto de reducción P

F1 Absorbida por el apoyo fijo O1

Técnicas gráficas de reducción de fuerzas exteriores a un punto cualquiera

� En una pieza donde actúan fuerzas exteriores aplicar la teoría de los vectores deslizantes

� Para pasar los vectores fuerza de una pieza a otra hay que utilizar los puntos comunes de las articulaciones.

Hallar la fuerza reducida en A debido a F1

Ejemplo de reducción de la fuerza P en D al punto A

Secuencia:D D D1) P Q R , Q= +

JJG JJJG JJJG JG

D C2) R R ,=JJJG JJJG

C N3) R R ,=JJJG JJJG

N N N4) R S T ,= +JJJG JJG JJG

N A5) T T ,=JJG JJG

A A A6) T F V ,= +JJG JJG JJG

pasa por el punto fijo O6transfiero R del eslabón 5 al e

N ∈ al eslabón 3. Punto de encuentro de RC con la dirección del eslabón 4

SN pasa por el punto fijo O4

A ∈ al eslabón 3. V pasa por el

punto fijo O2

6 4 2D O O O AP Q S V F= + + +JJG JJJJG JJJG JJJG JJG

Luego:El trabajo mecánico de PD= El trabajomecánico de FA

Trabajo mecánico = 0

Ejemplo de reducción de la fuerza P en E al punto A

Secuencia: E M1) P P ,=JJG JJG

6M M M M O2) P R Q , Q Q= + =JJG JJJG JJJG JJJG JJJJG

4C M N C N N N N O3) R R , R R , R S T , S S= = = + =JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJG JJG JJG JJJG

2A N A A A A O4) T T , T V F , V V= = + =JJG JJG JJG JJG JJG JJG JJJG

M punto de intersección de P con la dirección del eslabón 6

Pasa por el punto fijo O6

O4 punto fijo

O2 punto fijo

6 4 2E O O O AP Q S V F= + + +JJG JJJJG JJJG JJJG JJGLuego:

El trabajo mecánico de PE

El trabajomecánico de

Trabajo mecánico = 0

CÁLCULO DE LA ENERGÍA CINÉTICA DE UN MECANISMO:Sistema de masas puntuales mi

equivalentes dinámicamente al eslabón (sólido rígido)

Dinámica eslabón: T GM , ISólido rígido

Sistema de i masas puntuales localizadas sobre

el eslabón sin masaG’

(1)T T iM M m⎯⎯→ =∑

( 2) 2G G i iGI I m r⎯⎯→ = ⋅∑

( )(3)i iGG G ' G m r 0⎯⎯→ = ⋅ =∑

Condiciones de equivalenciaCaso (0): 1 T 1 1

2G 1 1G 1G

i 1, m (1) M m m 0

(2) I m r r 0

(3) m r 0

= → = ⇒ ≠

= ⋅ ⇒ ≠

⋅ =JJG G No se cumple

Luego, no podemos reducir un sólido rígido a una única masa.

Sistema de masas puntuales mi equivalente dinámicamente al eslabón: sólido rígido

Caso (1): en el plano1 2 T 1 2

2 2G 1 1G 2 2G

1 1G 2 2G

i 2, m , m (1) M m m

(2) I m r m r

(3) m r m r 0

= → = + ∗

= ⋅ + ⋅ ∗

⋅ + ⋅ =JJG JJG G

Los dos puntos deben alinearse con el centro de masas

1 1G 2 2G(3) m r m r 0⋅ + ⋅ = ∗

Tres ecuaciones con 4 incógnitas: m1, m2, r1G, r2G, luego deberemos seleccionar un dato, para obtener los demás.

Caso (2): en el plano1 2 3 T 1 2 3

2 2 2G 1 1G 2 2G 3 3G

1 1G 2 2G 3 3G

i 3, m , m , m (1) M m m m

(2) I m r m r m r

(3) m r m r m r 0

= → = + +

= ⋅ + ⋅ + ⋅

⋅ + ⋅ + ⋅ =JJG JJG JJG G

3 ecuaciones con 9 incógnitas

2x 2 y

m , m , mr , r

Caso (3): en el plano3 masas alineadas en el punto G3 ecuaciones con 6 incógnitas

Caso (4): en el plano3 masas alineadas con el punto G. Y en el punto G disponemos de una de ellas3 ecuaciones con 5 incógnitas

3 Gm m=

1G 2G 3G

m , m , mr , r , r

m , m , mr , r

1G 2Gr , r9 Si suponemos elegidos (datos), podemos obtener:

1 2 Gm , m , m

1G 1G 2G

2G 1G 2G

Imr r r

Im Mr r

=⋅ +

= −⋅

Isi M m 0r r

⎛ ⎞= ⇒ =⎜ ⎟⋅⎝ ⎠

REPRESENTACIÓN GRÁFICA

b) alineadas T 1 2 3

i 1 1 2 2 3 3

2 2 21 1 2 2 3 3 G

1) M m m m

2) r (G); m r m r m r 0

3) m r m r m r I

⋅ + ⋅ + ⋅ =

G JG JG JG G

1 1m r⋅JG

2 2m r⋅JG

3 3m r⋅JG

Caso (5): en el plano3 masas alineadas con el punto G, y en G disponemos la terceraSi imponemos la condición:

3 Gm m=

1G 2GGT G

T1G 2G2 1G

Mm rr rIsi M m 0

Mr r m rr r

⎧ = ⋅⎪ +⎪= ⇒ = ⎨⋅ ⎪ = ⋅⎪ +⎩

2G T G

T T1G 2G 1G 2G

I M rM Mr r r r

⋅= ≡ =

⋅ ⋅

Radio de giro

2G 1G 2Gr r r= ⋅

El sistema se ha simplificado y queda reducido a 2 masas posicionadas en

Que son conjugados respecto al punto G

1G 2Gr , r

1 2m , m dato⇒

NOTA: recordando el concepto de punto de percusión en un eslabón al articularse sobre un punto fijo, 2 será el centro de percusión, del eslabón considerado, suponiendo al eslabón girado alrededor de 1.

Cálculo gráfico del punto E conjugado del A sobre el G

NOTA 1: hay ∞parejas E, A puntos conjugados sobre GNOTA 2: Normalmente A es una articulación

Mm GEAE

iG radio de giro del eslabón

Mm GAAE

Sistema dinámico equivalente.Casos prácticos:

Sistema dinámico equivalente para:9 Manivela, balancín:

9 Biela:

Centro de percusión

om No tiene efecto dinámico

Sistema dinámico equivalente.Caso del cuadrilátero articulado

(a) Localización de los puntos dinámicamente interesantes.

(b) Localización de los sistemas de masas equivalentes en cada eslabón

{ARTICULACIÓNi,Ei}Centros de masa

Centros de percusión

JJJG GJJJG G4O4inercia (m )Par 0=

JJJG G

4O4inercia (m )F 0=G G

Al estar posicionadas en puntos fijos, no tiene efectos dinámicos

2 42O 4Om y m

22Om 44Om

teorÍa de mecanismos 4.- dinÁmica de mecanismos

Documents

dinámica de máquinas teoría

dinámica - teoría

teoría de mecanismos. ejercicios resueltos

el espacio teatral para la teoría dinámica de roles del

articulo teoría de mecanismos y máquinas

teoría de mecanismos

teoría de mecanismos práctica 10 caracterización y...

teoría de la dinámica económica - michał kalecki

159 enfoque modular para la dinámica de mecanismos planos

teorÍa del conflicto y mecanismos de soluciÓn

teorÍa de mecanismos - ocw

proyecto docente teoría de máquinas y mecanismos grp

la dinÁmica del conflicto colombiano y la teorÍa de las

dinámica de grupos teoría y comportamiento organizacional...

la teorÍa de la eficiencia dinÁmica - jesús huerta de...

teorÍa de mecanismos 2.- resistencias...

teoría de los mecanismos y maquinas

teoría de máquinas y mecanismos - shigley

crecimiento económico y la teoría de la eficiencia...

teoría dinámica (elemental)