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TEOREMA DE EULER DEL NUMEROPENTAGONAL
Jesus A. CorralChiara ForacePiera Galber
Luis J. Salmeron ContrerasMarıa Soler Facundo
Universitat de Valencia
16 Enero 2014
Introduccion
Definicion
Un numero pentagonal esta definido por la siguiente formula:
pn =3n2 − n
2para n ∈ N∗
Introduccion
Cambiando el dominio obtenemos los numeros pentagonalesgeneralizados:
pn =3n2 − n
2para n ∈ Z
Los primeros numeros pentagonales generalizados son0,1,2,5,7,12,15, . . .
Notese que las sucesiones{3n2−n
2
}n∈Z y
{3n2+n2
}n∈Z son
iguales por serlo {n}n∈Z y {−n}n∈Z
Introduccion
Cambiando el dominio obtenemos los numeros pentagonalesgeneralizados:
pn =3n2 − n
2para n ∈ Z
Los primeros numeros pentagonales generalizados son0,1,2,5,7,12,15, . . .
Notese que las sucesiones{3n2−n
2
}n∈Z y
{3n2+n2
}n∈Z son
iguales por serlo {n}n∈Z y {−n}n∈Z
Introduccion
Una particion de un natural n es una forma dedescomponer n como suma de enteros positivos.
Euler utilizo las propiedades de las potencias para expresar lasparticiones de cualquier numero.
Funcion de particion
∞∑n=0
p(n)qn =∞∏
k=1
(1− qk )−1
donde p(n) representa el numero de particiones de n.
Introduccion
Una particion de un natural n es una forma dedescomponer n como suma de enteros positivos.
Euler utilizo las propiedades de las potencias para expresar lasparticiones de cualquier numero.
Funcion de particion
∞∑n=0
p(n)qn =∞∏
k=1
(1− qk )−1
donde p(n) representa el numero de particiones de n.
Introduccion
Una particion de un natural n es una forma dedescomponer n como suma de enteros positivos.
Euler utilizo las propiedades de las potencias para expresar lasparticiones de cualquier numero.
Funcion de particion
∞∑n=0
p(n)qn
=∞∏
k=1
(1− qk )−1
donde p(n) representa el numero de particiones de n.
Introduccion
Una particion de un natural n es una forma dedescomponer n como suma de enteros positivos.
Euler utilizo las propiedades de las potencias para expresar lasparticiones de cualquier numero.
Funcion de particion
∞∑n=0
p(n)qn =∞∏
k=1
(1− qk )−1
donde p(n) representa el numero de particiones de n.
Introduccion
Funcion de Euler
φ(q) =∞∏
k=1
(1− qk )
Si desarrollamos φ(q):
(1− q)(1− q2) = 1− q − q2 + q3
(1− q)(1− q2)(1− q3) = 1− q2 +@@q3 −@@q
3 + q4 + q5 − q6
...(1−q)(1−q2)(1−q3) . . . (1−q22) = 1−q−q2+q5+q7−q12−q15+q22...
Introduccion
Funcion de Euler
φ(q) =∞∏
k=1
(1− qk )
Si desarrollamos φ(q):
(1− q)(1− q2) = 1− q − q2 + q3
(1− q)(1− q2)(1− q3) = 1− q2 +@@q3 −@@q
3 + q4 + q5 − q6
...(1−q)(1−q2)(1−q3) . . . (1−q22) = 1−q−q2+q5+q7−q12−q15+q22...
Introduccion
Funcion de Euler
φ(q) =∞∏
k=1
(1− qk )
Si desarrollamos φ(q):
(1− q)(1− q2) = 1− q − q2 + q3
(1− q)(1− q2)(1− q3) = 1− q2 +@@q3 −@@q
3 + q4 + q5 − q6
...(1−q)(1−q2)(1−q3) . . . (1−q22) = 1−q−q2+q5+q7−q12−q15+q22...
Introduccion
Funcion de Euler
φ(q) =∞∏
k=1
(1− qk )
Si desarrollamos φ(q):
(1− q)(1− q2) = 1− q − q2 + q3
(1− q)(1− q2)(1− q3) = 1− q2 +@@q3 −@@q
3 + q4 + q5 − q6
...(1−q)(1−q2)(1−q3) . . . (1−q22) = 1−q−q2+q5+q7−q12−q15+q22...
Introduccion
∞∏k=1
(1− qk ) = 1− q − q2 + q5 + q7 − q12 − q15 + q22...
Los coeficientes 1,2,5,7,12,15,22 . . . que aparecen en losexponentes son los numeros pentagonales generalizados.
Ademas las q elevadas a pn con n par (impar) tienen signopositivo (negativo).
p1 = 1 p−1 = 2 p3 = 12 p−3 = 15
p0 = 0 p2 = 5 p−2 = 7 p4 = 22
Introduccion
∞∏k=1
(1− qk ) = 1− q − q2 + q5 + q7 − q12 − q15 + q22...
Los coeficientes 1,2,5,7,12,15,22 . . . que aparecen en losexponentes son los numeros pentagonales generalizados.Ademas las q elevadas a pn con n par (impar) tienen signopositivo (negativo).
p1 = 1 p−1 = 2 p3 = 12 p−3 = 15
p0 = 0 p2 = 5 p−2 = 7 p4 = 22
Introduccion
∞∏k=1
(1− qk ) = 1− q − q2 + q5 + q7 − q12 − q15 + q22...
Por tanto es natural plantearse que
∞∏k=1
(1− qk ) =∞∑
n=−∞(−1)nqpn =
∞∑n=−∞
(−1)nq3n2−n
2
Euler enuncio y demostro precisamente esto.
Introduccion
∞∏k=1
(1− qk ) = 1− q − q2 + q5 + q7 − q12 − q15 + q22...
Por tanto es natural plantearse que
∞∏k=1
(1− qk ) =∞∑
n=−∞(−1)nqpn =
∞∑n=−∞
(−1)nq3n2−n
2
Euler enuncio y demostro precisamente esto.
Teorema
Teorema del numero pentagonal
∞∏k=1
(1− qk ) =∞∑
n=−∞(−1)nq
3n2−n2
Notar que:
∞∑n=−∞
(−1)nq3n2−n
2 =∞∑
n=−∞(−1)−nq
3n2+n2 =
∞∑n=−∞
(−1)nq3n2+n
2
Teorema
Teorema del numero pentagonal
∞∏k=1
(1− qk ) =∞∑
n=−∞(−1)nq
3n2−n2
Notar que:
∞∑n=−∞
(−1)nq3n2−n
2 =
∞∑n=−∞
(−1)−nq3n2+n
2 =∞∑
n=−∞(−1)nq
3n2+n2
Teorema
Teorema del numero pentagonal
∞∏k=1
(1− qk ) =∞∑
n=−∞(−1)nq
3n2−n2
Notar que:
∞∑n=−∞
(−1)nq3n2−n
2 =∞∑
n=−∞(−1)−nq
3n2+n2 =
∞∑n=−∞
(−1)nq3n2+n
2
Teorema
Teorema del numero pentagonal
∞∏k=1
(1− qk ) =∞∑
n=−∞(−1)nq
3n2−n2
Notar que:
∞∑n=−∞
(−1)nq3n2−n
2 =∞∑
n=−∞(−1)−nq
3n2+n2 =
∞∑n=−∞
(−1)nq3n2+n
2
Demostracion por biyeccion
Teorema
∞∏k=1
(1− qk ) =∞∑
n=−∞(−1)nq
3n2+n2
Empezamos la demostracion utlizando la funcion de particion
∞∏k=1
(1− qk )−1 =∞∑
n=0
p(n)qn
Demostracion por biyeccion
Teorema
∞∏k=1
(1− qk ) =∞∑
n=−∞(−1)nq
3n2+n2
Empezamos la demostracion utlizando la funcion de particion
∞∏k=1
(1− qk )−1 =∞∑
n=0
p(n)qn
Demostracion por biyeccion
Claramente: ( ∞∏k=1
(1− qk )−1
)( ∞∏k=1
(1− qk )
)= 1
Por tanto: ( ∞∑n=0
p(n)qn
)( ∞∑n=0
anqn
)= 1
Demostracion por biyeccion
Claramente: ( ∞∏k=1
(1− qk )−1
)( ∞∏k=1
(1− qk )
)= 1
Por tanto: ( ∞∑n=0
p(n)qn
)( ∞∑n=0
anqn
)= 1
Demostracion por biyeccion
Desarrollando el producto:
1 = (p(0)q0 + · · ·+ p(n)qn + . . . )(a0q0 + · · ·+ anqn + . . . )
= (p(0)a0 + p(0)a1q + · · ·+ p(0)anqn + . . . ) + . . .(p(n)a0qn + p(n)a1qn+1 + · · ·+ p(n)anqn+n + . . . ) + . . .
Agrupando obtenemos:
1 = (p(0)a0)q0+(p(0)a1 + p(1)a0)q1+(p(0)a2 + p(1)a1 + p(2)a0)q2 + . . .(p(0)an + p(1)an−1 + . . . p(n)ao)qn + . . .
Demostracion por biyeccion
Desarrollando el producto:
1 = (p(0)q0 + · · ·+ p(n)qn + . . . )(a0q0 + · · ·+ anqn + . . . )= (p(0)a0 + p(0)a1q + · · ·+ p(0)anqn + . . . ) + . . .
(p(n)a0qn + p(n)a1qn+1 + · · ·+ p(n)anqn+n + . . . ) + . . .
Agrupando obtenemos:
1 = (p(0)a0)q0+(p(0)a1 + p(1)a0)q1+
(p(0)a2 + p(1)a1 + p(2)a0)q2 + . . .(p(0)an + p(1)an−1 + . . . p(n)ao)qn + . . .
Demostracion por biyeccion
Desarrollando el producto:
1 = (p(0)q0 + · · ·+ p(n)qn + . . . )(a0q0 + · · ·+ anqn + . . . )= (p(0)a0 + p(0)a1q + · · ·+ p(0)anqn + . . . ) + . . .
(p(n)a0qn + p(n)a1qn+1 + · · ·+ p(n)anqn+n + . . . ) + . . .
Agrupando obtenemos:
1 = (p(0)a0)q0+(p(0)a1 + p(1)a0)q1+(p(0)a2 + p(1)a1 + p(2)a0)q2 + . . .(p(0)an + p(1)an−1 + . . . p(n)ao)qn + . . .
Demostracion por biyeccion
Concluimos que:
1 = p(0)a0 = 1 · a0 → a0 = 1
m∑n=0
p(m − n)an = 0 ∀m ≥ 1
Demostracion por biyeccion
Concluimos que:
1 = p(0)a0 = 1 · a0 → a0 = 1
m∑n=0
p(m − n)an = 0 ∀m ≥ 1
Demostracion por biyeccion
Ahora, queremos llegar a que:
∞∑n=0
anqn =∞∑
i=−∞(−1)iq
3i2+i2
Es decir, ∀n ≥ 1 :
an =
1 si n = 1
2 (3i2 + i) si i es par
−1 si n = 12 (3i2 + i) si i es impar
0 en otro caso
Demostracion por biyeccion
Ahora, queremos llegar a que:
∞∑n=0
anqn =∞∑
i=−∞(−1)iq
3i2+i2
Es decir, ∀n ≥ 1 :
an =
1 si n = 1
2 (3i2 + i) si i es par
−1 si n = 12 (3i2 + i) si i es impar
0 en otro caso
Demostracion por biyeccion
Sustituyendo esto en nuestra relacion recursiva, tenemos:
0 =∑m
n=0 p(m − n)an =
∑i=1, bi≤m p(m − bi)(−1)i
con bi =12 (3i2 + i)
es decir, el resultado es cierto si∑i par
p(m − bi) =∑
i impar
p(m − bi)
Demostracion por biyeccion
Sustituyendo esto en nuestra relacion recursiva, tenemos:
0 =∑m
n=0 p(m − n)an =∑
i=1, bi≤m p(m − bi)(−1)i
con bi =12 (3i2 + i)
es decir, el resultado es cierto si∑i par
p(m − bi) =∑
i impar
p(m − bi)
Demostracion por biyeccion
Sustituyendo esto en nuestra relacion recursiva, tenemos:
0 =∑m
n=0 p(m − n)an =∑
i=1, bi≤m p(m − bi)(−1)i
con bi =12 (3i2 + i)
es decir, el resultado es cierto si∑i par
p(m − bi) =∑
i impar
p(m − bi)
Demostracion por biyeccion
Esto es equivalente a decir que |X| = |Y| donde
X :=⋃
i par, bi≤m P(m − bi) , Y :=⋃
i impar, bi≤m P(m − bi)
Vamos a ver la biyeccion entre X e Y.
Demostracion por biyeccion
Esto es equivalente a decir que |X| = |Y| donde
X :=⋃
i par, bi≤m P(m − bi) , Y :=⋃
i impar, bi≤m P(m − bi)
Vamos a ver la biyeccion entre X e Y.
Demostracion por biyeccion
Definimos:ϕ : X→ Y de manera que:
λ ∈ P(m − bi) : m − bi = m − 12(3i2 + i) = λ1 + λ2 + · · ·+ λl
con λ1 ≥ λ2 ≥ · · · ≥ λl
ϕ(λ) =
λ′ : m − bi−1 = (l + 3i − 1) + (λ1 − 1) + · · ·+ (λl − 1)si l + 3i ≥ λ1
λ′ : m − bi+1 = (λ2 + 1) + · · ·+ (λl + 1) + 1 + · · ·+ 1︸ ︷︷ ︸si l + 3i < λ1 λ1 − l − 3i − 1
Demostracion por biyeccion
Definimos:ϕ : X→ Y de manera que:
λ ∈ P(m − bi) : m − bi = m − 12(3i2 + i) = λ1 + λ2 + · · ·+ λl
con λ1 ≥ λ2 ≥ · · · ≥ λl
ϕ(λ) =
λ′ : m − bi−1 = (l + 3i − 1) + (λ1 − 1) + · · ·+ (λl − 1)si l + 3i ≥ λ1
λ′ : m − bi+1 = (λ2 + 1) + · · ·+ (λl + 1) + 1 + · · ·+ 1︸ ︷︷ ︸si l + 3i < λ1 λ1 − l − 3i − 1
ϕ : X→ Y
m = 10 , i = 2 −→ P(m − bi) = P(3) = {3,2 + 1,1 + 1 + 1}
Tomamos:λ = 2 + 1 = λ1 + λ2 −→ l + 3i = 2 + 6 ≥ 2 = λ1
ϕ(λ) = (l + 3i − 1) + (λ1 − 1) + (λ2 − 1) =(2 + 6− 1) + (2− 1) + (1− 1) = 7 + 1
λ = 2 + 1 −→ ϕ(λ) = 7 + 1 ∈ P(10− b1) = P(8)λ = 3 −→ ϕ(λ) = 6 + 2 ∈ P(8)λ = 1 + 1 + 1 −→ ϕ(λ) = 8 ∈ P(8)
ϕ : X→ Y
m = 10 , i = 2 −→ P(m − bi) = P(3) = {3,2 + 1,1 + 1 + 1}
Tomamos:λ = 2 + 1 = λ1 + λ2
−→ l + 3i = 2 + 6 ≥ 2 = λ1
ϕ(λ) = (l + 3i − 1) + (λ1 − 1) + (λ2 − 1) =(2 + 6− 1) + (2− 1) + (1− 1) = 7 + 1
λ = 2 + 1 −→ ϕ(λ) = 7 + 1 ∈ P(10− b1) = P(8)λ = 3 −→ ϕ(λ) = 6 + 2 ∈ P(8)λ = 1 + 1 + 1 −→ ϕ(λ) = 8 ∈ P(8)
ϕ : X→ Y
m = 10 , i = 2 −→ P(m − bi) = P(3) = {3,2 + 1,1 + 1 + 1}
Tomamos:λ = 2 + 1 = λ1 + λ2 −→ l + 3i = 2 + 6 ≥ 2 = λ1
ϕ(λ) = (l + 3i − 1) + (λ1 − 1) + (λ2 − 1) =(2 + 6− 1) + (2− 1) + (1− 1) = 7 + 1
λ = 2 + 1 −→ ϕ(λ) = 7 + 1 ∈ P(10− b1) = P(8)λ = 3 −→ ϕ(λ) = 6 + 2 ∈ P(8)λ = 1 + 1 + 1 −→ ϕ(λ) = 8 ∈ P(8)
ϕ : X→ Y
m = 10 , i = 2 −→ P(m − bi) = P(3) = {3,2 + 1,1 + 1 + 1}
Tomamos:λ = 2 + 1 = λ1 + λ2 −→ l + 3i = 2 + 6 ≥ 2 = λ1
ϕ(λ) = (l + 3i − 1) + (λ1 − 1) + (λ2 − 1) =
(2 + 6− 1) + (2− 1) + (1− 1) = 7 + 1
λ = 2 + 1 −→ ϕ(λ) = 7 + 1 ∈ P(10− b1) = P(8)λ = 3 −→ ϕ(λ) = 6 + 2 ∈ P(8)λ = 1 + 1 + 1 −→ ϕ(λ) = 8 ∈ P(8)
ϕ : X→ Y
m = 10 , i = 2 −→ P(m − bi) = P(3) = {3,2 + 1,1 + 1 + 1}
Tomamos:λ = 2 + 1 = λ1 + λ2 −→ l + 3i = 2 + 6 ≥ 2 = λ1
ϕ(λ) = (l + 3i − 1) + (λ1 − 1) + (λ2 − 1) =(2 + 6− 1) + (2− 1) + (1− 1) = 7 + 1
λ = 2 + 1 −→ ϕ(λ) = 7 + 1 ∈ P(10− b1) = P(8)λ = 3 −→ ϕ(λ) = 6 + 2 ∈ P(8)λ = 1 + 1 + 1 −→ ϕ(λ) = 8 ∈ P(8)
ϕ : X→ Y
m = 10 , i = 2 −→ P(m − bi) = P(3) = {3,2 + 1,1 + 1 + 1}
Tomamos:λ = 2 + 1 = λ1 + λ2 −→ l + 3i = 2 + 6 ≥ 2 = λ1
ϕ(λ) = (l + 3i − 1) + (λ1 − 1) + (λ2 − 1) =(2 + 6− 1) + (2− 1) + (1− 1) = 7 + 1
λ = 2 + 1 −→ ϕ(λ) = 7 + 1 ∈ P(10− b1) = P(8)
λ = 3 −→ ϕ(λ) = 6 + 2 ∈ P(8)λ = 1 + 1 + 1 −→ ϕ(λ) = 8 ∈ P(8)
ϕ : X→ Y
m = 10 , i = 2 −→ P(m − bi) = P(3) = {3,2 + 1,1 + 1 + 1}
Tomamos:λ = 2 + 1 = λ1 + λ2 −→ l + 3i = 2 + 6 ≥ 2 = λ1
ϕ(λ) = (l + 3i − 1) + (λ1 − 1) + (λ2 − 1) =(2 + 6− 1) + (2− 1) + (1− 1) = 7 + 1
λ = 2 + 1 −→ ϕ(λ) = 7 + 1 ∈ P(10− b1) = P(8)λ = 3 −→ ϕ(λ) = 6 + 2 ∈ P(8)
λ = 1 + 1 + 1 −→ ϕ(λ) = 8 ∈ P(8)
ϕ : X→ Y
m = 10 , i = 2 −→ P(m − bi) = P(3) = {3,2 + 1,1 + 1 + 1}
Tomamos:λ = 2 + 1 = λ1 + λ2 −→ l + 3i = 2 + 6 ≥ 2 = λ1
ϕ(λ) = (l + 3i − 1) + (λ1 − 1) + (λ2 − 1) =(2 + 6− 1) + (2− 1) + (1− 1) = 7 + 1
λ = 2 + 1 −→ ϕ(λ) = 7 + 1 ∈ P(10− b1) = P(8)λ = 3 −→ ϕ(λ) = 6 + 2 ∈ P(8)λ = 1 + 1 + 1 −→ ϕ(λ) = 8 ∈ P(8)
ϕ : Y→ X
m = 10 , i = 1 → P(m−bi) = P(8) = {8,7+1,6+2,5+3, . . . }
λ = 8 −→ ϕ(λ) = 1 + 1 + 1 ∈ P(3)λ = 7 + 1 −→ ϕ(λ) = 2 + 1 ∈ P(3)λ = 6 + 2 −→ ϕ(λ) = 3 ∈ P(3)λ = 5 + 3 −→ ϕ(λ) = 4 + 4 + 2 ∈ P(10)...
ϕ : Y→ X
m = 10 , i = 1 → P(m−bi) = P(8) = {8,7+1,6+2,5+3, . . . }
λ = 8 −→ ϕ(λ) = 1 + 1 + 1 ∈ P(3)
λ = 7 + 1 −→ ϕ(λ) = 2 + 1 ∈ P(3)λ = 6 + 2 −→ ϕ(λ) = 3 ∈ P(3)λ = 5 + 3 −→ ϕ(λ) = 4 + 4 + 2 ∈ P(10)...
ϕ : Y→ X
m = 10 , i = 1 → P(m−bi) = P(8) = {8,7+1,6+2,5+3, . . . }
λ = 8 −→ ϕ(λ) = 1 + 1 + 1 ∈ P(3)λ = 7 + 1 −→ ϕ(λ) = 2 + 1 ∈ P(3)
λ = 6 + 2 −→ ϕ(λ) = 3 ∈ P(3)λ = 5 + 3 −→ ϕ(λ) = 4 + 4 + 2 ∈ P(10)...
ϕ : Y→ X
m = 10 , i = 1 → P(m−bi) = P(8) = {8,7+1,6+2,5+3, . . . }
λ = 8 −→ ϕ(λ) = 1 + 1 + 1 ∈ P(3)λ = 7 + 1 −→ ϕ(λ) = 2 + 1 ∈ P(3)λ = 6 + 2 −→ ϕ(λ) = 3 ∈ P(3)
λ = 5 + 3 −→ ϕ(λ) = 4 + 4 + 2 ∈ P(10)...
ϕ : Y→ X
m = 10 , i = 1 → P(m−bi) = P(8) = {8,7+1,6+2,5+3, . . . }
λ = 8 −→ ϕ(λ) = 1 + 1 + 1 ∈ P(3)λ = 7 + 1 −→ ϕ(λ) = 2 + 1 ∈ P(3)λ = 6 + 2 −→ ϕ(λ) = 3 ∈ P(3)λ = 5 + 3 −→ ϕ(λ) = 4 + 4 + 2 ∈ P(10)...
ϕ : X→ Y
Queremos ver que esta funcion es una involucion((ϕ ◦ ϕ)(λ) = λ) y por tanto es biyectiva
ϕ(λ) =
λ′ : m − bi−1 = (l + 3i − 1) + (λ1 − 1) + · · ·+ (λl − 1)si l + 3i ≥ λ1
λ′ : m − bi+1 = (λ2 + 1) + · · ·+ (λl + 1) + 1 + · · ·+ 1︸ ︷︷ ︸si l + 3i < λ1 λ1 − l − 3i − 1
Caso 1:Sea λ ∈ P(m − bi) : l + 3i ≥ λ1,
ϕ : X→ Y
Queremos ver que esta funcion es una involucion((ϕ ◦ ϕ)(λ) = λ) y por tanto es biyectiva
ϕ(λ) =
λ′ : m − bi−1 = (l + 3i − 1) + (λ1 − 1) + · · ·+ (λl − 1)si l + 3i ≥ λ1
λ′ : m − bi+1 = (λ2 + 1) + · · ·+ (λl + 1) + 1 + · · ·+ 1︸ ︷︷ ︸si l + 3i < λ1 λ1 − l − 3i − 1
Caso 1:Sea λ ∈ P(m − bi) : l + 3i ≥ λ1,
ϕ : X→ Y
Queremos ver que esta funcion es una involucion((ϕ ◦ ϕ)(λ) = λ) y por tanto es biyectiva
ϕ(λ) =
λ′ : m − bi−1 = (l + 3i − 1) + (λ1 − 1) + · · ·+ (λl − 1)si l + 3i ≥ λ1
λ′ : m − bi+1 = (λ2 + 1) + · · ·+ (λl + 1) + 1 + · · ·+ 1︸ ︷︷ ︸si l + 3i < λ1 λ1 − l − 3i − 1
Caso 1:Sea λ ∈ P(m − bi) : l + 3i ≥ λ1,
Prueba por biyeccion
ϕ(λ) = λ′ : m − bi−1 = (l + 3i − 1) + (λ1 − 1) + · · ·+ (λl − 1)
Tomamos
λ′1 = l + 3i − 1, λ′
2 = λ1 − 1, . . . , λ′l+1 = λl − 1
con l + 3i − 1 ≥ λ1 − 1 ≥ λ2 − 1 ≥ · · · ≥ λl − 1
Ası tenemos:
λ′ = λ′1 + · · ·+ λ′l ′ con λ′1 ≥ · · · ≥ λ′l ′
Podemos aplicar de nuevo la funcion
Prueba por biyeccion
ϕ(λ) = λ′ : m − bi−1 = (l + 3i − 1) + (λ1 − 1) + · · ·+ (λl − 1)
Tomamos
λ′1 = l + 3i − 1, λ′
2 = λ1 − 1, . . . , λ′l+1 = λl − 1
con l + 3i − 1 ≥ λ1 − 1 ≥ λ2 − 1 ≥ · · · ≥ λl − 1
Ası tenemos:
λ′ = λ′1 + · · ·+ λ′l ′ con λ′1 ≥ · · · ≥ λ′l ′
Podemos aplicar de nuevo la funcion
Prueba por biyeccion
ϕ(λ) = λ′ : m − bi−1 = (l + 3i − 1) + (λ1 − 1) + · · ·+ (λl − 1)
Tomamos
λ′1 = l + 3i − 1, λ′
2 = λ1 − 1, . . . , λ′l+1 = λl − 1
con l + 3i − 1 ≥ λ1 − 1 ≥ λ2 − 1 ≥ · · · ≥ λl − 1
Ası tenemos:
λ′ = λ′1 + · · ·+ λ′l ′ con λ′1 ≥ · · · ≥ λ′l ′
Podemos aplicar de nuevo la funcion
Prueba por biyeccion
ϕ(λ) = λ′ : m − bi−1 = (l + 3i − 1) + (λ1 − 1) + · · ·+ (λl − 1)
Tomamos
λ′1 = l + 3i − 1, λ′
2 = λ1 − 1, . . . , λ′l+1 = λl − 1
con l + 3i − 1 ≥ λ1 − 1 ≥ λ2 − 1 ≥ · · · ≥ λl − 1
Ası tenemos:
λ′ = λ′1 + · · ·+ λ′l ′ con λ′1 ≥ · · · ≥ λ′l ′
Podemos aplicar de nuevo la funcion
ϕ : Y→ X
ϕ(λ′) =
λ′′ : m − bi′−1 = (l ′ + 3i ′ − 1) + (λ′1 − 1) + · · ·+ (λ′l − 1)si l ′ + 3i ′ ≥ λ1
λ′′ : m − bi′+1 = (λ′2 + 1) + · · ·+ (λ′l + 1) + 1 + · · ·+ 1︸ ︷︷ ︸si l ′ + 3i ′ < λ1 λ′1 − l ′ − 3i ′ − 1
con l ′ = l + 1 y i ′ = i − 1
Como l ′ + 3i ′ = (l + 1) + 3(i − 1) = l + 3i − 2 <<< l + 3i − 1 = λ′1
estamos en el caso 2.
ϕ : Y→ X
ϕ(λ′) =
λ′′ : m − bi′−1 = (l ′ + 3i ′ − 1) + (λ′1 − 1) + · · ·+ (λ′l − 1)si l ′ + 3i ′ ≥ λ1
λ′′ : m − bi′+1 = (λ′2 + 1) + · · ·+ (λ′l + 1) + 1 + · · ·+ 1︸ ︷︷ ︸si l ′ + 3i ′ < λ1 λ′1 − l ′ − 3i ′ − 1
con l ′ = l + 1 y i ′ = i − 1
Como l ′ + 3i ′ = (l + 1) + 3(i − 1) = l + 3i − 2 <<< l + 3i − 1 = λ′1
estamos en el caso 2.
Demostracion por biyeccion
ϕ(λ′) = (λ′2 + 1) + · · ·+ (λ′l + 1) + 1 + · · ·+ 1
= (λ′2 + 1) + · · ·+ (λ′l+1 + 1) + λ′1 − l ′ − 3i ′ − 1
= (λ1 − 1 + 1) + · · ·+ (λl − 1 + 1) + (l + 3i − 1 − l − 1 − 3i + 3 − 1)
= λ1 + λ2 + . . . λl
Realizando una demostracion analoga para el caso 2 tenemos que ϕ es unainvolucion y por tanto,ϕ es biyectiva como querıamos.
Demostracion por biyeccion
ϕ(λ′) = (λ′2 + 1) + · · ·+ (λ′l + 1) + 1 + · · ·+ 1
= (λ′2 + 1) + · · ·+ (λ′l+1 + 1) + λ′1 − l ′ − 3i ′ − 1
= (λ1 − 1 + 1) + · · ·+ (λl − 1 + 1) + (l + 3i − 1 − l − 1 − 3i + 3 − 1)
= λ1 + λ2 + . . . λl
Realizando una demostracion analoga para el caso 2 tenemos que ϕ es unainvolucion y por tanto,ϕ es biyectiva como querıamos.
Demostracion por biyeccion
ϕ(λ′) = (λ′2 + 1) + · · ·+ (λ′l + 1) + 1 + · · ·+ 1
= (λ′2 + 1) + · · ·+ (λ′l+1 + 1) + λ′1 − l ′ − 3i ′ − 1
= (λ1 − 1 + 1) + · · ·+ (λl − 1 + 1) + (l + 3i − 1 − l − 1 − 3i + 3 − 1)
= λ1 + λ2 + . . . λl
Realizando una demostracion analoga para el caso 2 tenemos que ϕ es unainvolucion y por tanto,ϕ es biyectiva como querıamos.
Demostracion por biyeccion
ϕ(λ′) = (λ′2 + 1) + · · ·+ (λ′l + 1) + 1 + · · ·+ 1
= (λ′2 + 1) + · · ·+ (λ′l+1 + 1) + λ′1 − l ′ − 3i ′ − 1
= (λ1 − 1 + 1) + · · ·+ (λl − 1 + 1) + (l + 3i − 1 − l − 1 − 3i + 3 − 1)
= λ1 + λ2 + . . . λl
Realizando una demostracion analoga para el caso 2 tenemos que ϕ es unainvolucion y por tanto,ϕ es biyectiva como querıamos.
Demostracion por biyeccion
ϕ(λ′) = (λ′2 + 1) + · · ·+ (λ′l + 1) + 1 + · · ·+ 1
= (λ′2 + 1) + · · ·+ (λ′l+1 + 1) + λ′1 − l ′ − 3i ′ − 1
= (λ1 − 1 + 1) + · · ·+ (λl − 1 + 1) + (l + 3i − 1 − l − 1 − 3i + 3 − 1)
= λ1 + λ2 + . . . λl
Realizando una demostracion analoga para el caso 2 tenemos que ϕ es unainvolucion y por tanto,ϕ es biyectiva como querıamos.
TEOREMA DE EULER DEL NUMEROPENTAGONAL
Jesus A. CorralChiara ForacePiera Galber
Luis J. Salmeron ContrerasMarıa Soler Facundo
Universitat de Valencia
16 Enero 2014
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