techniques d’intervalles pour la résolution de systèmes d ...introduction analyse par...

Introduction

Analyse parintervalles

Programmationparcontraintes

Conclusion

Techniques d’intervalles pour la résolutionde systèmes d’équationsThèse du projet COPRIN, INRIA

Gilles Chabert

19 Janvier 2007

IntroductionSystèmesd’équationsclassiques

Systèmesparamétrés

AE-systèmes

Conclusion

Plan de la soutenance

1 IntroductionSystèmes d’équations classiquesSystèmes paramétrésAE-systèmes

2 Analyse par intervallesMéthode de Hansen-Bliek généraliséDécomposition LU généraliséeIntervalles modaux

3 Programmation par contraintesIntroductionUnions d’intervalles

4 Conclusion

AE-systèmes

Conclusion

Outline

4 Conclusion

AE-systèmes

Conclusion

Les techniques d’intervalles

Qu’est ce que l’arithmétique d’intervalles?

Question: si x ∈ [1, 2] comment varie f (x) = x2 − x?

x ∈ [1, 2]x2 ∈ [1, 4]

x2 − x ∈ [−1, 3]

image(f , [1, 2]) = [0, 2] ⊆ [−1, 3]

Qu’est ce que les intervalles peuvent représenter?domaines des variableserreurs numériquesincertitudes liées au modèle

AE-systèmes

Conclusion

x ∈ [1, 2]x2 ∈ [1, 4]

x2 − x ∈ [−1, 3]

image(f , [1, 2]) = [0, 2] ⊆ [−1, 3]

AE-systèmes

Conclusion

x ∈ [1, 2]x2 ∈ [1, 4]

x2 − x ∈ [−1, 3]

image(f , [1, 2]) = [0, 2] ⊆ [−1, 3]

AE-systèmes

Conclusion

x ∈ [1, 2]x2 ∈ [1, 4]

x2 − x ∈ [−1, 3]

image(f , [1, 2]) = [0, 2] ⊆ [−1, 3]

AE-systèmes

Conclusion

x ∈ [1, 2]x2 ∈ [1, 4]

x2 − x ∈ [−1, 3]

image(f , [1, 2]) = [0, 2] ⊆ [−1, 3]

AE-systèmes

Conclusion

x ∈ [1, 2]x2 ∈ [1, 4]

x2 − x ∈ [−1, 3]

image(f , [1, 2]) = [0, 2] ⊆ [−1, 3]

AE-systèmes

Conclusion

x ∈ [1, 2]x2 ∈ [1, 4]

x2 − x ∈ [−1, 3]

image(f , [1, 2]) = [0, 2] ⊆ [−1, 3]

AE-systèmes

Conclusion

x ∈ [1, 2]x2 ∈ [1, 4]

x2 − x ∈ [−1, 3]

image(f , [1, 2]) = [0, 2] ⊆ [−1, 3]

AE-systèmes

Conclusion

x ∈ [1, 2]x2 ∈ [1, 4]

x2 − x ∈ [−1, 3]

image(f , [1, 2]) = [0, 2] ⊆ [−1, 3]

AE-systèmes

Conclusion

x ∈ [1, 2]x2 ∈ [1, 4]

x2 − x ∈ [−1, 3]

image(f , [1, 2]) = [0, 2] ⊆ [−1, 3]

AE-systèmes

Conclusion

Méthode d’évaluation/bissection

boîte initiale [x ] = [0, 10]× [0, 10]

–40–20

020406080

100120140160180

f([x ]) = [− 16, 184], [−36, 100]

[x ] = [0, 5]× [0, 10]

f([x ]) = [− 16, 109], [−36, 100]

[x ] = [5, 10]× [0, 10]

–200

20406080

100120140160180

f([x ]) = [9, 184], [− 35, 100]

AE-systèmes

Conclusion

boîte initiale [x ] = [0, 10]× [0, 10]

–40–20

020406080

100120140160180

f([x ]) = [− 16, 184], [−36, 100]

[x ] = [0, 5]× [0, 10]

f([x ]) = [− 16, 109], [−36, 100]

[x ] = [5, 10]× [0, 10]

–200

20406080

100120140160180

f([x ]) = [9, 184], [− 35, 100]

AE-systèmes

Conclusion

boîte initiale [x ] = [0, 10]× [0, 10]

–40–20

020406080

100120140160180

f([x ]) = [− 16, 184], [−36, 100]

[x ] = [0, 5]× [0, 10]

f([x ]) = [− 16, 109], [−36, 100]

[x ] = [5, 10]× [0, 10]

–200

20406080

100120140160180

f([x ]) = [9, 184], [− 35, 100]

AE-systèmes

Conclusion

Filtrage (analyse par intervalles)

f : R→ R f (x) = 0

f : Rn → Rm f (x) = 0

Système linéaire avec paramètre intervalle

AE-systèmes

Conclusion

f : R→ R f (x) = 0

f : Rn → Rm f (x) = 0

Système linéaire avec paramètre intervalle

AE-systèmes

Conclusion

f : R→ R f (x) = 0

f : Rn → Rm f (x) = 0

Système linéaire avec paramètre intervalle(∃a ∈ [a]

)ax = b ?

AE-systèmes

Conclusion

f : R→ R f (x) = 0

f : Rn → Rm f (x) = 0

)ax = b ?

x ∈ b/[a]

AE-systèmes

Conclusion

f : R→ R f (x) = 0f : Rn → Rm f (x) = 0

)ax = b ?

x ∈ b/[a]

AE-systèmes

Conclusion

f : R→ R f (x) = 0f : Rn → Rm f (x) = 0

Système linéaire avec paramètre intervalle(∃A ∈ [A]

)Ax = b ?

AE-systèmes

Conclusion

f : R→ R f (x) = 0f : Rn → Rm f (x) = 0

)Ax = b ?

Problème: inversion d’une matrice intervalle...

AE-systèmes

Conclusion

f : R→ R f (x) = 0f : Rn → Rm f (x) = 0

)Ax = b ?

Problème: inversion d’une matrice intervalle... Méthodes numériques particulières

AE-systèmes

Conclusion

Système linéaire intervalle

∃A ∈ [A] Ax = b

Une approximation extérieure des solutions suffit pas de bissection/évaluationNécessité de préconditionner [A]

Méthodes intervallesGauss-SeidelÉlimination de GaussKrawczykHansen-Bliek

AE-systèmes

Conclusion

∃A ∈ [A] Ax = b

AE-systèmes

Conclusion

∃A ∈ [A] Ax = b

AE-systèmes

Conclusion

∃A ∈ [A] Ax = b

AE-systèmes

Conclusion

∃A ∈ [A] Ax = b

AE-systèmes

Conclusion

∃A ∈ [A] Ax = b

AE-systèmes

Conclusion

∃A ∈ [A] Ax = b

AE-systèmes

Conclusion

∃A ∈ [A] Ax = b

AE-systèmes

Conclusion

∃A ∈ [A] Ax = b

AE-systèmes

Conclusion

Outline

4 Conclusion

AE-systèmes

Conclusion

Filtrage

∃u ∈ [u] f (x , u) = 0

Système linéaire à paramètres intervalles(∃A ∈ [A]

)(∃b ∈ [b]

)Ax = b

mêmes méthodes numériques

AE-systèmes

Conclusion

Filtrage

∃u ∈ [u] f (x , u) = 0

)(∃b ∈ [b]

)Ax = b

AE-systèmes

Conclusion

Filtrage

∃u ∈ [u] f (x , u) = 0

)(∃b ∈ [b]

)Ax = b

AE-systèmes

Conclusion

Détection de boîtes intérieures

∃u ∈ [u] f (x , u) = 0

AE-systèmes

Conclusion

∃u ∈ [u] f (x , u) = 0

AE-systèmes

Conclusion

∃u ∈ [u] f (x , u) = 0

AE-systèmes

Conclusion

∃u ∈ [u] f (x , u) = 0

Dim(f ) = 1 Théorème des valeurs intermédiaires

f (x , u) = 0 ⇐⇒ u = φ(x) Test d’inclusion, négation du problème

Une seule occurrence de ui Intervalles modaux (et généralisés)

Dim(u) = dim(f ) Permutation variable-paramètre

f polynomial de faible dimension Élimination de quantificateurs

Cas général Détection de frontière

AE-systèmes

Conclusion

∃u ∈ [u] f (x , u) = 0

Dim(f ) = 1

Théorème des valeurs intermédiairesf (x , u) = 0 ⇐⇒ u = φ(x) Test d’inclusion, négation du problème

AE-systèmes

Conclusion

∃u ∈ [u] f (x , u) = 0

AE-systèmes

Conclusion

∃u ∈ [u] f (x , u) = 0

f (x , u) = 0 ⇐⇒ u = φ(x)

Test d’inclusion, négation du problèmeUne seule occurrence de ui Intervalles modaux (et généralisés)

AE-systèmes

Conclusion

∃u ∈ [u] f (x , u) = 0

AE-systèmes

Conclusion

∃u ∈ [u] f (x , u) = 0

Une seule occurrence de ui

Intervalles modaux (et généralisés)Dim(u) = dim(f ) Permutation variable-paramètre

AE-systèmes

Conclusion

∃u ∈ [u] f (x , u) = 0

AE-systèmes

Conclusion

∃u ∈ [u] f (x , u) = 0

Dim(u) = dim(f )

Permutation variable-paramètref polynomial de faible dimension Élimination de quantificateurs

AE-systèmes

Conclusion

∃u ∈ [u] f (x , u) = 0

AE-systèmes

Conclusion

∃u ∈ [u] f (x , u) = 0

f polynomial de faible dimension

Élimination de quantificateursCas général Détection de frontière

AE-systèmes

Conclusion

∃u ∈ [u] f (x , u) = 0

AE-systèmes

Conclusion

∃u ∈ [u] f (x , u) = 0

Cas général

Détection de frontière

AE-systèmes

Conclusion

∃u ∈ [u] f (x , u) = 0

AE-systèmes

Conclusion

Outline

4 Conclusion

AE-systèmes

Conclusion

Exemple de AE-système

f (l) = 0

Exemple du robot parallèle 2D

l1 2l ? ? l1

AE-systèmes

Conclusion

∃u ∈ [u] f (l , u) = 0

AE-systèmes

Conclusion

∀u ∈ [u] ∃v ∈ [v ] f (l , u, v) = 0

1u2u1u

AE-systèmes

Conclusion

∀u ∈ [u] ∃v ∈ [v ] f (l , u, v) = 0

1... u6u l1

1u2u1u

AE-systèmes

Conclusion

Méthodes

∀u ∈ [u] ∃v ∈ [v ] f (x , u, v) = 0

Même chose que pour les systèmes paramétrés

Filtrage

Newton Généralisé

Systèmes linéaires quantifié(∃A ∈ [A]

)(Qb ∈ [b]

)Ax = b ?

Cas linéaire

Méthodes de Shary

Bissection

Problème de double boucle

AE-systèmes

Conclusion

Méthodes

∀u ∈ [u] ∃v ∈ [v ] f (x , u, v) = 0

Même chose que pour les systèmes paramétrés

Filtrage

)(Qb ∈ [b]

)Ax = b ?

Cas linéaire

Méthodes de Shary

Bissection

AE-systèmes

Conclusion

Méthodes

∀u ∈ [u] ∃v ∈ [v ] f (x , u, v) = 0

Détection de boîtes intérieuresMême chose que pour les systèmes paramétrés

Filtrage

)(Qb ∈ [b]

)Ax = b ?

Cas linéaire

Méthodes de Shary

Bissection

AE-systèmes

Conclusion

Méthodes

∀u ∈ [u] ∃v ∈ [v ] f (x , u, v) = 0

Filtrage

)(Qb ∈ [b]

)Ax = b ?

Cas linéaire

Méthodes de Shary

Bissection

AE-systèmes

Conclusion

Méthodes

∀u ∈ [u] ∃v ∈ [v ] f (x , u, v) = 0

FiltrageNewton Généralisé

)(Qb ∈ [b]

)Ax = b ?

Cas linéaire

Méthodes de Shary

Bissection

AE-systèmes

Conclusion

Méthodes

∀u ∈ [u] ∃v ∈ [v ] f (x , u, v) = 0

)(Qb ∈ [b]

)Ax = b ?

Cas linéaire

Méthodes de Shary

Bissection

AE-systèmes

Conclusion

Méthodes

∀u ∈ [u] ∃v ∈ [v ] f (x , u, v) = 0

)(Qb ∈ [b]

)Ax = b ?

Cas linéaire

Méthodes de Shary

Bissection

AE-systèmes

Conclusion

Méthodes

∀u ∈ [u] ∃v ∈ [v ] f (x , u, v) = 0

)(Qb ∈ [b]

)Ax = b ?

Cas linéaireMéthodes de Shary

Bissection

AE-systèmes

Conclusion

Méthodes

∀u ∈ [u] ∃v ∈ [v ] f (x , u, v) = 0

)(Qb ∈ [b]

)Ax = b ?

Bissection

AE-systèmes

Conclusion

Méthodes

∀u ∈ [u] ∃v ∈ [v ] f (x , u, v) = 0

)(Qb ∈ [b]

)Ax = b ?

BissectionProblème de double boucle

Introduction

Analyse parintervallesMéthode deHansen-Bliekgénéralisé

Décomposition LUgénéralisée

Intervalles modaux

Conclusion

4 Conclusion

Introduction

Intervalles modaux

Conclusion

Outline

4 Conclusion

Introduction

Intervalles modaux

Conclusion

Introduction

x ∈ Σ(I ±∆, b ± δ)

Oettli-Prager

(I −∆Q)x ≤ b + δ(I + ∆Q)x ≥ b − δ

Qx ≥ 0

Hansen-Bliek(I −∆)Qx ≤ Qb + δ(I + ∆)Qx ≥ Qb − δ

Qx ≥ 0

„1 00 1

Introduction

Intervalles modaux

Conclusion

Introduction

x ∈ Σ(I ±∆, b ± δ)

Oettli-Prager

(I −∆Q)x ≤ b + δ(I + ∆Q)x ≥ b − δ

Qx ≥ 0

„1 00 1

Introduction

Intervalles modaux

Conclusion

Introduction

x ∈ Σ(I ±∆, b ± δ)

Oettli-Prager

(I −∆Q)x ≤ b + δ(I + ∆Q)x ≥ b − δ

Qx ≥ 0

„1 00 1

Introduction

Intervalles modaux

Conclusion

Introduction

x ∈ Σ(I ±∆, b ± δ)

Oettli-Prager

(I −∆Q)x ≤ b + δ(I + ∆Q)x ≥ b − δ

Qx ≥ 0

„1 00 1

Introduction

Intervalles modaux

Conclusion

Maximisation de |xk | (cas classique)

Identifier formellement un optimum local

(I −∆)|x | ≤ Qb + δ =⇒ |x | ≤ (I −∆)−1(Qb + δ)

|xQ| := (I −∆)−1(Qb + δ)

En déduire un optimum global

xQ2xQ1

Introduction

Intervalles modaux

Conclusion

(I −∆)|x | ≤ Qb + δ =⇒ |x | ≤ (I −∆)−1(Qb + δ)

|xQ| := (I −∆)−1(Qb + δ)

xQ2xQ1

Introduction

Intervalles modaux

Conclusion

(I −∆)|x | ≤ Qb + δ =⇒ |x | ≤ (I −∆)−1(Qb + δ)

|xQ| := (I −∆)−1(Qb + δ)

xQ2xQ1

Introduction

Intervalles modaux

Conclusion

(I −∆)|x | ≤ Qb + δ =⇒ |x | ≤ (I −∆)−1(Qb + δ)

|xQ| := (I −∆)−1(Qb + δ)

xQ2xQ1

Introduction

Intervalles modaux

Conclusion

(I −∆)|x | ≤ Qb + δ =⇒ |x | ≤ (I −∆)−1(Qb + δ)

|xQ| := (I −∆)−1(Qb + δ)

xQ2xQ1

Introduction

Intervalles modaux

Conclusion

Minimisation de |xk | (cas classique)

Plus complexe...

(I − ∆)2

(I + ∆)1

(I + ∆)2

(I − ∆)1

Étude locale (pour un quadrant Q)Identifier n hyperplans −→ soit y leur intersection.Calculer formellement |yk | en fonction de (I −∆)−1

Borne? ∀x ∈ Σ ∩Q, |xk | ≥ |yk |Optimalité, localité? Σ ∩Q 6= ∅ =⇒ y ∈ Σ ∩Q

Introduction

Intervalles modaux

Conclusion

Plus complexe...

(I − ∆)2

(I + ∆)1

(I + ∆)2

(I − ∆)1

Introduction

Intervalles modaux

Conclusion

Plus complexe...

(I − ∆)2

(I + ∆)1

(I + ∆)2

(I − ∆)1

Introduction

Intervalles modaux

Conclusion

Plus complexe...

(I − ∆)2

(I + ∆)1

(I + ∆)2

(I − ∆)1

Introduction

Intervalles modaux

Conclusion

Plus complexe...

(I − ∆)2

(I + ∆)1

(I + ∆)2

(I − ∆)1

Introduction

Intervalles modaux

Conclusion

Plus complexe...

(I − ∆)2

(I + ∆)1

(I + ∆)2

(I − ∆)1

Introduction

Intervalles modaux

Conclusion

Plus complexe...

(I − ∆)2

(I + ∆)1

(I + ∆)2

(I − ∆)1

Introduction

Intervalles modaux

Conclusion

Maximisation de |xk | (cas généralisé)

[b] quantifié −→ δ peut avoir des composantes négatives

(I −∆)−1(Qb + δ)

δ ≥ 0

δ ≤ 0

Étude localeOptimalité, localité? Σ ∩Q 6= ∅ =⇒ xQ ∈ Σ ∩Q

Introduction

Intervalles modaux

Conclusion

(I −∆)−1(Qb + δ)

δ ≥ 0

δ ≤ 0

Introduction

Intervalles modaux

Conclusion

(I −∆)−1(Qb + δ)

δ ≥ 0

δ ≤ 0

Introduction

Intervalles modaux

Conclusion

Minimisation de |xk | (cas généralisé)

Étude locale (pour un quadrant Q)Identifier les candidats (n hyperplans = 1 candidat)Éliminer les singularitésRésultats formellement en fonction de (I −∆)−1

2n + 1possibilités...

droite support(I −∆)1

...(I −∆)n

(I −∆)k xQ(I + ∆)1 y (k ,1)

...(I + ∆)n y (k ,n)

I1 z(k ,1)

...In z(k ,n)

Introduction

Intervalles modaux

Conclusion

...(I −∆)n

(I −∆)k xQ(I + ∆)1 y (k ,1)

...(I + ∆)n y (k ,n)

I1 z(k ,1)

...In z(k ,n)

Introduction

Intervalles modaux

Conclusion

...(I −∆)n

(I −∆)k xQ(I + ∆)1 y (k ,1)

...(I + ∆)n y (k ,n)

I1 z(k ,1)

...In z(k ,n)

Introduction

Intervalles modaux

Conclusion

...(I −∆)n

(I −∆)k xQ(I + ∆)1 y (k ,1)

...(I + ∆)n y (k ,n)

I1 z(k ,1)

...In z(k ,n)

Introduction

Intervalles modaux

Conclusion

...(I −∆)n

(I −∆)k xQ(I + ∆)1 y (k ,1)

...(I + ∆)n y (k ,n)

I1 z(k ,1)

...In z(k ,n)

Introduction

Intervalles modaux

Conclusion

...(I −∆)n

(I −∆)k xQ(I + ∆)1 y (k ,1)

...(I + ∆)n y (k ,n)

I1 z(k ,1)

...In z(k ,n)

Introduction

Intervalles modaux

Conclusion

Étude locale (suite)Vérifier que chaque candidat est bien une borneSélectionner l’optimum parmi les candidatsOptimalité, localité?

droite supportΣ ∩ Q

y(k,3)Q

z(k,2)Q

y(k,2)Q

Introduction

Intervalles modaux

Conclusion

y(k,3)Q

z(k,2)Q

y(k,2)Q

Introduction

Intervalles modaux

Conclusion

y(k,3)Q

z(k,2)Q

y(k,2)Q

Introduction

Intervalles modaux

Conclusion

y(k,3)Q

z(k,2)Q

y(k,2)Q

Introduction

Intervalles modaux

Conclusion

y(k,3)Q

z(k,2)Q

y(k,2)Q

Introduction

Intervalles modaux

Conclusion

y(k,3)Q

z(k,2)Q

y(k,2)Q

Introduction

Intervalles modaux

Conclusion

Étude globale (cas généralisé)

Propriété Min-max

minimisation

minimisationm

aximisation

QUADRANTS (2n−1)

y (k,1)Q1

y (k,i)Q1

y (k,1)Q∗

y (k,i)Q∗

Sur un demi-espace (e.g., xk ≥ 0)xk −→ xQxk −→ candidat maximisant xk sur Q∗

Existence de solutions

xk ≥ xk =⇒ existe solution x telle que xk ≥ 0 ?

Introduction

Intervalles modaux

Conclusion

Propriété Min-max

minimisation

minimisationm

aximisation

QUADRANTS (2n−1)

y (k,1)Q1

y (k,i)Q1

y (k,1)Q∗

y (k,i)Q∗

Introduction

Intervalles modaux

Conclusion

Propriété Min-max

minimisation

minimisationm

aximisation

QUADRANTS (2n−1)

y (k,1)Q1

y (k,i)Q1

y (k,1)Q∗

y (k,i)Q∗

Introduction

Intervalles modaux

Conclusion

Propriété Min-max

minimisation

minimisationm

aximisation

QUADRANTS (2n−1)

y (k,1)Q1

y (k,i)Q1

y (k,1)Q∗

y (k,i)Q∗

Introduction

Intervalles modaux

Conclusion

Première expérimentation

Surface initiale [l1]× [l2] 36cm2

Surface de tolérance 16cm2

Amplitude des perturbations 1cmPrécision du pavage 0.01cm

Image avec perturbations u1 et u2.

Résultats numériques

Perturbations Newton Test intérieur + Newton généralisé∅ 132.67s 1.30s 1.30s[u1] - 3.34s 2.57s[u1] . . . [u3] - 13.4s 8.32s[u1] . . . [u6] - 867.37s 55.42s

Introduction

Intervalles modaux

Conclusion

Outline

4 Conclusion

Introduction

Intervalles modaux

Conclusion

Décomposition LU généralisée

Décomposition LU classique

A = LU

Décomposition LU intervalle

[A] ⊆ [L][U]

[A] = [L][U]

Intervalles généralisés

Les bornes peuvent être inversées [0, 1] [1, 0]

Nouvelle inclusion [1, 5] ⊆ [4, 2] ⊆ [3, 3] ⊆ [2, 4]

Propriétés de groupe pour les opérateurs

Introduction

Intervalles modaux

Conclusion

A = LU

[A] ⊆ [L][U]

[A] = [L][U]

Introduction

Intervalles modaux

Conclusion

A = LU

[A] ⊆ [L][U]

[A] = [L][U]

Introduction

Intervalles modaux

Conclusion

A = LU

[A] ⊆ [L][U]

[A] = [L][U]

Introduction

Intervalles modaux

Conclusion

A = LU

[A] ⊆ [L][U]

[A] = [L][U]

Introduction

Intervalles modaux

Conclusion

A = LU

[A] ⊆ [L][U]

[A] = [L][U]

Introduction

Intervalles modaux

Conclusion

A = LU

[A] ⊆ [L][U]

[A] = [L][U]

Introduction

Intervalles modaux

Conclusion

A = LU

[A] ⊆ [L][U]

[A] = [L][U]

Introduction

Intervalles modaux

Conclusion

Outline

4 Conclusion

Introduction

Intervalles modaux

Conclusion

Intervalles modaux

Théories existantesNouvelle structure algébrique (x ,∃), (x ,∀) ⊆Notion d’extension d’une fonction aux intervallesmodauxOpérations meet

∨et join

∧ extension optimale, ou fonction sémantique f ∗

Les théorèmes établissent surtout les propriétés decette extension par rapport à l’inclusion

Lien entre intervalles modaux et généralisés

L’arithmétique des intervalles

généralisés

permet de calculer

dans certains cas

une extension aux intervalles

modaux

Introduction

Intervalles modaux

Conclusion

Intervalles modaux

∨et join

généralisés

permet de calculer

dans certains cas

modaux

Introduction

Intervalles modaux

Conclusion

Intervalles modaux

∨et join

généralisés

permet de calculer

dans certains cas

modaux

Introduction

Intervalles modaux

Conclusion

Intervalles modaux

∨et join

généralisés

permet de calculer

dans certains cas

modaux

Introduction

Intervalles modaux

Conclusion

Intervalles modaux

∨et join

généralisés

permet de calculer

dans certains cas

modaux

Introduction

Intervalles modaux

Conclusion

Intervalles modaux

∨et join

généralisés

permet de calculer

dans certains cas

modaux

Introduction

Intervalles modaux

Conclusion

Intervalles modaux

∨et join

L’arithmétique des intervalles généraliséspermet de calculer

dans certains cas

modaux

Introduction

Intervalles modaux

Conclusion

Intervalles modaux

∨et join

L’arithmétique des intervalles généraliséspermet de calculer dans certains casune extension aux intervalles

modaux

Introduction

Intervalles modaux

Conclusion

Intervalles modaux

∨et join

L’arithmétique des intervalles généraliséspermet de calculer dans certains casune extension aux intervalles modaux

Introduction

Intervalles modaux

Conclusion

Intervalles modaux

Notre reformulationIdentifier les objets que l’on doit et peut calculer (pourla résolution de AE-systèmes)

notion d’image quantifiée:

Montrer comment calculer de tels objets:

Schéma

image quantifiée {z | ∀x ∈ [x ] ∃y ∈ [y ] z = x + y}⇓ ⇓

min-max [maxx∈x

miny∈y

f (x , y), minx∈x

maxy∈y

f (x , y)]

⇓ ⇓intervalles généralisé [x ] + (dual [y ])

Introduction

Intervalles modaux

Conclusion

Intervalles modaux

Notre reformulationIdentifier les objets que l’on doit et peut calculer (pourla résolution de AE-systèmes)

notion d’image quantifiée:

Montrer comment calculer de tels objets:

Schéma

min-max [maxx∈x

miny∈y

f (x , y), minx∈x

maxy∈y

f (x , y)]

Introduction

Intervalles modaux

Conclusion

Intervalles modaux

Notre reformulationIdentifier les objets que l’on doit et peut calculer (pourla résolution de AE-systèmes) notion d’image quantifiée:Montrer comment calculer de tels objets:

Schéma

min-max [maxx∈x

miny∈y

f (x , y), minx∈x

maxy∈y

f (x , y)]

Introduction

Intervalles modaux

Conclusion

Intervalles modaux

Schéma

min-max [maxx∈x

miny∈y

f (x , y), minx∈x

maxy∈y

f (x , y)]

Introduction

Intervalles modaux

Conclusion

Intervalles modaux

Schéma

image quantifiée {z | ∀x ∈ [x ] ∃y ∈ [y ] z = x + y}

⇓ ⇓min-max [max

x∈xminy∈y

f (x , y), minx∈x

maxy∈y

f (x , y)]

Introduction

Intervalles modaux

Conclusion

Intervalles modaux

Schéma

min-max [maxx∈x

miny∈y

f (x , y), minx∈x

maxy∈y

f (x , y)]

Introduction

Intervalles modaux

Conclusion

Intervalles modaux

Schéma

min-max [maxx∈x

miny∈y

f (x , y), minx∈x

maxy∈y

f (x , y)]

Introduction

Intervalles modaux

Conclusion

Intervalles modaux

Schéma

min-max [maxx∈x

miny∈y

f (x , y), minx∈x

maxy∈y

f (x , y)]

⇓ ⇓

intervalles généralisé [x ] + (dual [y ])

Introduction

Intervalles modaux

Conclusion

Intervalles modaux

Schéma

min-max [maxx∈x

miny∈y

f (x , y), minx∈x

maxy∈y

f (x , y)]

Introduction

ProgrammationparcontraintesIntroduction

Unions d’intervalles

Conclusion

4 Conclusion

Introduction

Conclusion

Outline

4 Conclusion

Introduction

Conclusion

Les CSP

Un exemple en domaine discret

54 1 7

8 VariablesDomainesContraintesFiltrage

En domaine continu:Avantage : pas de limite aux conditions d’applicationdes algorithmesInconvénient : peu de propriétés mathématiquesexploitées

Introduction

Conclusion

Les CSP

54 1 7

? VariablesDomainesContraintesFiltrage

Introduction

Conclusion

Les CSP

54 1 7

4 5 67 8 9

1 2 3VariablesDomainesContraintesFiltrage

Introduction

Conclusion

Les CSP

54 1 7

Introduction

Conclusion

Les CSP

54 1 7

Introduction

Conclusion

Les CSP

54 1 7

Introduction

Conclusion

Les CSP

54 1 7

Introduction

Conclusion

Les CSP

54 1 7

Introduction

Conclusion

Les CSP

54 1 7

Introduction

Conclusion

Cohérences partielles

54 1 7

2 67 8

A partir d’un état “bloque”Instanciation de valeursProjection de contraintePropagation

Recherche arborescente:Point de choix + filtrage jusqu’à l’obtention d’une solution oud’une incohérence

Introduction

Conclusion

54 1 7

2 67 8

Introduction

Conclusion

54 1 7

2 67 8

Introduction

Conclusion

49 6 3

54 1 7

2 67 8

Introduction

Conclusion

49 6 3

54 1 7

2 67 8

Introduction

Conclusion

Projection en domaine continu

Utilisation de la forme symbolique

Exemple(x + y)2 = sin(x + y)

Calcul:

[x ]← ±√

sin([x ] + [y ])− [y ] ∩ [x ]

Introduction

Conclusion

Calcul:

[x ]← ±√

sin([x ] + [y ])− [y ] ∩ [x ]

Introduction

Conclusion

Calcul:

[x ]← ±√

sin([x ] + [y ])− [y ] ∩ [x ]

Introduction

Conclusion

Calcul:

[x ]← ±√

sin([x ] + [y ])− [y ] ∩ [x ]

Introduction

Conclusion

Calcul:

[x ]← ±√

sin([x ] + [y ])− [y ] ∩ [x ]

Introduction

Conclusion

Calcul:

[x ]← ±√

sin([x ] + [y ])− [y ] ∩ [x ]

Introduction

Conclusion

Propriétés de l’arc-cohérence

Problème de convergence

Se traduit en pratique par un problème de complexitéen tempsSe résout par l’introduction d’un critère d’arrêtprématuré (gain < w)Nouvelle proposition dans le cadre la thèse (“flottantsvirtuels”)

Introduction

Conclusion

Introduction

Conclusion

Introduction

Conclusion

Introduction

Conclusion

Introduction

Conclusion

Introduction

Conclusion

Introduction

Conclusion

Introduction

Conclusion

Introduction

Conclusion

Introduction

Conclusion

Problème de calculabilité

2 4 6 8 10x

Se traduit en pratique par un problème de complexitéen espaceSe résout en ne conservant que l’enveloppe desprojections (2B-cohérence)Deux nouvelles propositions dans le cadre la thèse:BoxSet, AC-IGC

Introduction

Conclusion

2 4 6 8 10x

Introduction

Conclusion

2 4 6 8 10x

Introduction

Conclusion

2 4 6 8 10x

Introduction

Conclusion

2 4 6 8 10x

Introduction

Conclusion

2 4 6 8 10x

Introduction

Conclusion

2 4 6 8 10x

Introduction

Conclusion

2 4 6 8 10x

Introduction

Conclusion

Outline

4 Conclusion

Introduction

Conclusion

BoxSet cohérence

Idée : introduire un point de choix des qu’une unionapparaît dans la propagation.Point fixe = union des boîtes arc-cohérentes

La complexité en espace ne dépend plus du nombre deflottantsLa version naïve conduit à une explosion combinatoireLa version paresseuse

exploite le point fixe de 2B-cohérenceintègre un calcul de projection sans uniondétecte les points de bissection

Étude approfondie des propriétés obtenues:boxset cohérence sans occurrence multiple de variablepas de comparaison possible entre un CSP et sadécomposition

Introduction

Conclusion

BoxSet cohérence

Introduction

Conclusion

BoxSet cohérence

Introduction

Conclusion

BoxSet cohérence

Introduction

Conclusion

BoxSet cohérence

Introduction

Conclusion

BoxSet cohérence

Introduction

Conclusion

BoxSet cohérence

Introduction

Conclusion

AC-IGC

Idée fondamentaleLa cohérence des unions se fait à deux niveaux

Niveau valeur

Niveau intervalles (notion de I-support)

Introduction

Conclusion

AC-IGC

Niveau valeur

Introduction

Conclusion

AC-IGC

Niveau valeur

Introduction

Conclusion

AC-IGC

Niveau valeur

Introduction

Conclusion

AC-IGC

Niveau valeur

Introduction

Conclusion

AC-IGC

Niveau valeurNiveau intervalles (notion de I-support)

Introduction

Conclusion

AC-IGC

Introduction

Conclusion

AC-IGC

Introduction

Conclusion

AC-IGC

Introduction

Conclusion

AC-IGC

Introduction

Conclusion

AC-IGC

Introduction

Conclusion

AC-IGC

Introduction

Conclusion

AC-IGC

Introduction

Conclusion

AC-IGC

Introduction

Conclusion

AC-IGC

Introduction

Conclusion

AC-IGC

Introduction

Conclusion

AC-IGC

AC–IGC = combinaison arc-cohérence (valeurs) etcohérence globale (intervalles)arc-cohérence ≺ AC–IGC ≺ BoxSetPossibilité de greffer un algorithme de graphe(I-cliques)

L’approche EtiqAC

Objectif: maintien incrémental des I-cliquesOutil : Propager des informations sur l’origine des trous

Introduction

Conclusion

AC-IGC

L’approche EtiqAC

Introduction

Conclusion

AC-IGC

L’approche EtiqAC

Introduction

Conclusion

AC-IGC

L’approche EtiqAC

Introduction

Conclusion

AC-IGC

L’approche EtiqAC

Introduction

Conclusion

EtiqAC

Recours à une nouvelle structure de donnée hybride:

union d’intervalles + BDD

[x1] [x2] [x3]

Introduction

Conclusion

EtiqAC

Recours à une nouvelle structure de donnée hybride:union d’intervalles + BDD

[x1] [x2] [x3]

Introduction

Conclusion

EtiqAC

Recours à une nouvelle structure de donnée hybride:union d’intervalles + BDD

[x1] [x2] [x3]

Introduction

Conclusion

4 Conclusion

Introduction

Conclusion

Conclusion (1)

Analyse par intervallesContributions

1 Hansen-Bliek généralisé2 LU généralisé

Perspectives1 Tests d’existence de solutions (cas non carré)2 Analyse convexe?3 Représentation alternative de continuums

Introduction

Conclusion

Conclusion (1)

Introduction

Conclusion

Conclusion (1)

Introduction

Conclusion

Conclusion (1)

Introduction

Conclusion

Conclusion (1)

Introduction

Conclusion

Conclusion (1)

Introduction

Conclusion

Conclusion (2)

Intervalles modauxContributions

1 Nouvelle formulationSynthèse

mal adapté pour la détection de boîtes intérieures dansle cas généralrend le filtrage de AE-système possibleparfaitement adapté au cas linéaire... mais les intervalles généralisés aussi

Introduction

Conclusion

Conclusion (2)

Introduction

Conclusion

Conclusion (2)

Introduction

Conclusion

Conclusion (2)

Introduction

Conclusion

Conclusion (2)

Introduction

Conclusion

Conclusion (2)

Introduction

Conclusion

Conclusion (3)

Programmation par contraintesContributions

1 Cohérence calculable sur les flottants2 Cohérences d’unions d’intervalles intérêt académique vouées à l’échec sur les CSP continus

Perspectives1 Nouvelles contraintes avec contracteurs spécifiques2 Bissection de paramètres3 AE-systèmes

Introduction

Conclusion

Conclusion (3)

Introduction

Conclusion

Conclusion (3)

Introduction

Conclusion

Conclusion (3)

Introduction

Conclusion

Conclusion (3)

Introduction

Conclusion

Conclusion (3)

Introduction

Conclusion

Conclusion (4)

Autres activités de thèse1 Développement d’une librairie en C++2 Collaborations

Introduction

Conclusion

Conclusion (4)

Introduction

Conclusion

Conclusion (4)

Introduction

Conclusion

Conclusion (4)

Merci !

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