te 091467 teknik numerik sistem linear - share...
Post on 06-Mar-2019
234 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Bidang Studi Teknik Sistem Pengaturan Jurusan Teknik Elektro - FTI Institut Teknologi Sepuluh Nopember
Trihastuti Agustinah
TE 091467 Teknik Numerik Sistem Linear
Tujuan Pembelajaran
Mahasiswa mampu:
1. Mendekomposisi matriks menggunakan metode singular value decomposition (SVD)
2. Menghitung invers menggunakan SVD
OBJEKTIF Teori Contoh Simpulan Latihan
Pendahuluan
Dekomposisi matriks singular dapat dilakukan dengan menggunakan metode Singular Value Decomposition
(SVD).
Objektif TEORI Contoh Simpulan Latihan
Singular Value Decomposition (SVD)
Dekomposisi matriks A∈ Rm×n dua matriks ortonormal U dan V
matriks quasidiagonal S
Objektif TEORI
dengan U ∈ Rm×m
V ∈ Rn×n
S = diag(σ1, …, σρ)
A = USVT
Contoh Simpulan Latihan
Bentuk matriks S
S adalah elemen diagonal berupa nilai singular A • tidak negatif dengan urutan menurun • σ1 ≥ σ2 ≥ … ≥ σρ dengan ρ = min(m, n)
Objektif TEORI
Matriks S memiliki bentuk
×− nnm
diag
)(
1
0),,( ρσσ
)],,([ 1 ρσσ diag
[ ])(1 0),,( mnmdiag −×ρσσ m < n
m = n
m > n
Contoh Simpulan Latihan
Prosedur dekomposisi (1)
Objektif TEORI
Diberikan matriks A (m×n)
Langkah 2. Dapatkan eigenvalue B melalui pers. karakteristik
|λI - B| = 0
Langkah 1. Definisikan matriks B
Jika m ≤ n B = AAT
Jika m > n B = ATA
B adalah matriks bujursangkar dimensi m atau n (ukuran yang lebih kecil antara baris dan kolom)
Contoh Simpulan Latihan
Prosedur dekomposisi (2)
Objektif TEORI
Langkah 3. Dapatkan nilai singular A (akar kuadrat positif eigenvalue matriks B)
ii λσ =
Langkah 4. Bentuk matriks S dengan cara
Jika m < n
=
000
000000
2
1
m
S
σ
σσ
Contoh Simpulan Latihan
Prosedur dekomposisi (3)
Objektif TEORI
=
m
S
σ
σσ
00
0000
2
1 Jika m = n
Langkah 4. (lanjutan)
Jika m > n
=
000
00
0000
2
1
nS
σ
σσ
Contoh Simpulan Latihan
Prosedur dekomposisi (4)
Objektif TEORI
Langkah 5. Dapatkan matriks U dan V
Kolom matriks U dibentuk dari eigenvektor normalisasi dari C
C = AAT
Kolom matriks V dibentuk dari eigenvektor normalisasi dari matriks D
D = ATA
Contoh Simpulan Latihan
Invers matriks melalui SVD
Objektif TEORI
Review: sifat matriks ortonormal U dan V
U-1 = UT dan V-1 = VT
Invers matriks A (m = n)
A-1 =(VT) -1 S -1U -1
= V (diag(1/σ1, …, 1/σρ)) UT
Contoh Simpulan Latihan
Contoh 1 (1)
Objektif Teori CONTOH
Matriks A dan inversnya menggunakan SVD
−
=3344
A
Dapatkan:
a) SVD dari matriks A
b) Invers matriks A menggunakan SVD
Simpulan Latihan
Contoh 1 (2)
Langkah 1. Karena ukuran matriks A adalah 2×2 (m=n), maka
=
−
−
==180032
3434
3344TAAB
Langkah 2. Eigenvalue B
0)18)(32(180
032det =−−=
−
−=− λλ
λλ
λ BI
λ1 = 32 dan λ2 = 18
Objektif Teori CONTOH Simpulan Latihan
Contoh 1 (3)
Langkah 3. Nilai singular A:
18dan 32 21 == σσ
Langkah 4. Bentuk matriks S:
=
180032S
Langkah 5. Matriks U dan V
Matriks U: dibentuk dari eigenvektor normalisasi matriks C=B
Objektif Teori CONTOH Simpulan Latihan
Contoh 1 (4)
Langkah 5. Sistem homogen:
014000
2
1 =
xx
=
01
1u
000014
2
1 =
−xx
=
10
2u
=
1001
U
=
−
−=−
00
180032
)(2
1
xx
BIλ
λλ x
Eigenvektor normalisasi untuk matriks U
λ=32
λ=18
Objektif Teori CONTOH Simpulan Latihan
Contoh 1 (5)
Matriks V: dibentuk dari eigenvektor normalisasi matriks D
=
−
−==
257725
3344
3434
AAD T
0)18)(32(257725
det =−−=
−−−−
=− λλλ
λλ DI
Persamaan karakteristik matriks D
λ1 = 32 dan λ2 = 18
Eigenvalue matriks D
Objektif Teori CONTOH Simpulan Latihan
Contoh 1 (6)
07777
2
1 =
−
−xx
−=
11
2x07777
2
1 =
−−−−
xx
=
11
1x
−=
21212121V
−=
2121
2v
=
2121
1v
Matriks V:
Eigenvektor normalisasi untuk matriks V
λ=32
λ=18
Sistem homogen:
=
−−−−
=−00
257725
)(2
1
xx
BIλ
λλ x
Objektif Teori CONTOH Simpulan Latihan
Contoh 1 (7)
SVD dari matriks A:
TUSVA =
T
−
=
21212121
180032
1001
−
=3344
Objektif Teori CONTOH Simpulan Latihan
Contoh 1 (8)
Invers matriks A
TUdiagVA ))/1,,/1(( 11
ρσσ =−
−=
1001
18100321
21212121
−=
61816181
Objektif Teori CONTOH Simpulan Latihan
Contoh 2 (1)
Dapatkan SVD untuk matriks 2×3 berikut:
=
010101
A
dapatkan juga invers matriks A melalui SVD
Objektif Teori CONTOH Simpulan Latihan
Contoh 2 (2)
Langkah 2. Eigenvalue matriks B
Langkah 1. Matriks B = AAT ukuran matriks A adalah m < n
=
==
1002
011001
010101TAAB
0)1)(2(10
02det =−−=
−
−=− λλ
λλ
λ BI
Nilai eigen: λ=2 dan λ=1
Objektif Teori CONTOH Simpulan Latihan
Langkah 3. Nilai singular A: σ1 =√2 dan σ2 =1
=
010002S
=
−
−=−
00
1002
)(2
1
xx
BIλ
λλ x
λ=2 T]01[1 =u
λ=1 T]10[2 =u
=
1001
U
Langkah 4. Matriks S:
Langkah 5. Matriks U dan V dibentuk dari eigenvektor normalisasi matriks C (karena m<n, maka C=B) dan D
Contoh 2 (3)
Objektif Teori CONTOH Simpulan Latihan
Contoh 2 (4)
Pers. karakteristik matriks D
Matriks D= ATA
Eigenvalue matriks D: λ = 2, 1, 0
=
==
101010101
010101
011001
AAD T
0)1)(2(101
010101
det =−−=
−−−
−−=− λλλ
λλ
λλ DI
Objektif Teori CONTOH Simpulan Latihan
Contoh 2 (5)
λ=2
Sistem homogen:
=
−−−
−−=−
000
101010101
)(
3
2
1
xxx
DIλ
λλ
λ x
=21
021
1v
=
−
−
000
101010101
3
2
1
xxx
Hitung eigenvektor normalisasi untuk matriks V:
Objektif Teori CONTOH Simpulan Latihan
Contoh 2 (6)
λ= 1
Matriks V:
=
−
−
000
001000100
3
2
1
xxx
=
010
2v
λ=0
−=
210
21
3v
−=
21021010
21021V
=
−−−
−−
000
101010101
3
2
1
xxx
Objektif Teori CONTOH Simpulan Latihan
Contoh 2 (7)
SVD dari matriks A:
TUSVA =
=
010101
−
=
21021010
21021
010002
1001
Objektif Teori CONTOH Simpulan Latihan
Contoh 2 (8)
Invers matriks A:
TUdiagVA ))1,,1(( 11
ρσσ =−
=
02/11002/1
−=
1001
0010021
21021010
21021
Objektif Teori CONTOH Simpulan Latihan
Singular Value Decomposition
1) SVD mendekomposisi matriks ke dalam perkalian dua matriks ortonormal dan satu matriks quasidiagonal
2) Bentuk matriks quasidiagonal bergantung pada ukuran baris dan kolom dari matriks yang akan didekomposisi
3) Invers matriks dapat dihitung menggunakan metode SVD
Contoh SIMPULAN Objektif Teori Latihan
top related