superficies - e. t. s. | ingenieros de caminos, canales y...
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Superficies
Superficies
DEF. Una superficie , S, es un subconjunto de R3 imagen de
una aplicación:
~x : U ⊂ R2 → S ∈ R
3
(u, v) 7→ ~x(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))
~x se llama parametrización o carta .
Se dice que una superficie S es continuamentediferenciable si x , y , z ∈ C1(U).
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Condición de regularidad
Los puntos de S para los que se cumple que∂~x∂u
× ∂~x∂v
6= ~0
se llaman puntos regulares .
Esta condición significa que los vectores∂~x∂u
y∂~x∂v
no se
anulan en ese punto y tienen direcciones distintas
Llamaremos punto singular a aquel en el que∂~x∂u
× ∂~x∂v
= ~0
Se dice que S es una superficie regular si todos suspuntos son regulares
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Curvas paramétricas
Si tomamos u = u0 tenemos ~x(u0, v) = ~α(v).Esta curva se denomina curva v-paramétrica .
Si tomamos v = v0 tenemos ~x(u, v0) = ~α(u).Esta curva se denomina curva u-paramétrica .
(u, v) se llaman coordenadas curvilíneas
Interpretación geométrica de la condición de regularidadEn cada punto regular la curva u-paramétrica y la curvav-paramétrica no son tangentes (el ángulo entre ellas no escero).
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Casos particulares de superficies regulares
Si f : U ⊂ R2 → R es una función diferenciable, entonces
el grafo de f ={
(u, v , f (u, v)) ∈ R3, (u, v) ∈ U
}
es unasuperficie regular.
Si f : R3 → R es una función diferenciable y a ∈ f (U) es unvalor regular de f , entonces
f−1(a) ={
(x , y , z) ∈ R3/f (x , y , z) = a
}
es una superficie regular.a es un valor regular de f : R3 → R si para todo
~p = f−1(a),∂f∂x
(~p),∂f∂y
(~p) y∂f∂z
(~p) no se anulan a la vez
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Cambio de parámetros
Sea S una superficie parametrizada por
~x : U ⊂ R2 → S
(u, v) 7→ ~x(u, v)
Si tenemos otra aplicación
~y : U ⊂ R2 → S
(u, v) 7→ ~y(u, v)
decimos que se trata de un cambio admisible de parámetrossi
∣
∣
∣
∣
∂(u, v)∂(u, v)
∣
∣
∣
∣
6= 0
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Plano Tangente
Sea P = ~x(u0, v0) un punto regular de la superficie S yconsideremos una curva ~α(t) = ~x(u(t), v(t)) contenida en Spasando por P = ~α(t0).
El vector tangente a ~α(t) viene dado por:
~α′(t) =d~x(u(t), v(t))
dt=
∂~x∂u
dudt
+∂~x∂v
dvdt
= ~xuu′ + ~xvv ′
Todos los vectores tangentes a la superficie S en un puntoregular están contenidos en un plano con vectores directores~xu y ~xv . Este plano se llama plano tangente a S en P.
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Ecuación del Plano Tangente. Vector Normal
Todos los vectores tangentes a la superficie S en un puntoregular están contenidos en un plano con vectores directores~xu y ~xv . Este plano se llama plano tangente a S en P.
Ecuación: (x , y , z) = ~p + λ~xu + ν~xv
El vector normal a S en ~p = ~x(u0, v0) viene dado por
~N =~xu(u0, v0)× ~xv (u0, v0)
‖~xu(u0, v0)× ~xv (u0, v0)‖
La ecuación del plano tangente también se puede obtener:
((x , y , z) − ~p) · (~xu × ~xv )(u0, v0) = 0
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Primera Forma Fundamental
DEF. Se llama Primera Forma Fundamental de la superficieregular S en P ∈ S a la forma cuadrática
IP : TP(S) → R
~w 7→ IP(~w) = ~w · ~w = ‖~w‖2
Si ~w = ~α′(t) = u′(t)~xu + v ′(t)~xv ,
IP(~w) = (u′)2E + 2u′v ′F + (v ′)2G
siendo E = ~xu · ~xu, F = ~xu · ~xv y G = ~xv · ~xv los coeficientes de
la 1a Forma Fundamental:(
E FF G
)
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Aplicaciones de la 1a Forma Fundamental
Longitud de un arco de curva: ~α(t) = ~x(u(t), v(t))
s(t) =
∫ t
t0
‖~α′(t)‖dt =∫ t
t0
√
I(~α′(t))dt
=
∫ t
t0
√
(u′)2E + 2u′v ′F + (v ′)2Gdt
Elemento de longitud de arco: ds2 = Edu2 + 2Fdudv + Gdv2
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Aplicaciones de la 1a Forma Fundamental (II)
Ángulo que forman 2 curvas sobre una superficieEl ángulo que forman ~α y ~β al cortarse en el puntoP = ~α(t0) = ~β(t1) es el ángulo que forman los vectorestangentes:
~α′(t0) = du~xu + dv~xv , ~β′(t1) = δu~xu + δv~xv
cos θ =~α′(t0) · ~β′(t1)
‖~α′(t0)‖‖~β′(t1)‖
=duδuE + (duδv + dvδu)F + dvδvG√
du2E + 2dudvF + dv2G√δu2E + 2δuδvF + δv2G
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Aplicaciones de la 1a Forma Fundamental (III)
Ángulo que forman 2 curvas sobre una superficieSi ~α y ~β son curvas u y v paramétricas (respectivamente),entonces:
~α′ = ~xu, ~β′ = ~xv
y por ello
cos θ =~xu · ~xv
‖~xu‖‖~xv‖=
F√E√
G
Las curvas paramétricas son ortogonales si F = 0
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Aplicaciones de la 1a Forma Fundamental (IV)
Área de una región acotada en una superficieSea R una región acotada contenida en una superficie Sparametrizada por ~x : U ⊂ R
2 → S tal que R = ~x(Q) conQ ⊂ U.El área de R viene dada por:
Área(R) =
∫ ∫
Q‖~xu × ~xv‖dudv =
∫ ∫
Q
√
EG − F 2dudv
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Orientación
DEF. Una superficie orientada es una superficie de dos carasen la que se ha fijado una de las caras como lado positivo y laotra cara como lado negativo.
Para indicar la orientación de S asignaremos a cada punto unvector normal unitario que apunte hacia el lado positivo.
Si S está parametrizada por ~x : U ⊂ R2 → S sabemos que en
cada punto podemos obtener:
~N =~xu × ~xv
‖~xu × ~xv‖
No todas las superficies admiten un campo de vectores de estetipo (no tienen dos caras)
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Orientación (II)
DEF. Sean ~x e ~y dos parametrizaciones de S. Se dice que
definen la misma orientación cuando∣
∣
∣
∣
∂(u, v)∂(u, v)
∣
∣
∣
∣
> 0
definen orientaciones opuestas si
∣
∣
∣
∣
∂(u, v)∂(u, v)
∣
∣
∣
∣
< 0
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2a Forma Fundamental. Curvatura normal (I)
Sea ~α una c.p.d.r. contenida en S pasando porP = ~α(s0) = ~x(u0, v0) ∈ S y su vector curvatura en ese punto:
~k(s0) = ~t(s0) = k(s0)~n(s0)
Este vector lo podemos descomponer en 2:
el vector proyección de ~k(s0) en la dirección de ~N.Vector Curvatura Normal : ~Kn = (k~n · ~N)~NCurvatura Normal de S en la dirección de ~α:Kn = k~n · ~N = k cos θsiendo θ el ángulo que forman los vectores ~n(s0) y ~N(u0, v0)Kn es la longitud de la proyección del vector curvatura~k = k~n sobre la normal a S en ~pEl signo de Kn viene dado por la orientación de S.
un vector contenido en el plano tangente a S.Vector Curvatura Tangencial o Geodésica : ~Kg = ~k − ~Kn
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2a Forma Fundamental. Curvatura normal (II)
Para calcular Kn tenemos en cuenta lo siguiente:
~N ·~t = 0 ⇒ d ~Nds
·~t + ~N ·~t = 0 ⇒ ~N ·~t = −d ~Nds
·~t
Escribimos los vectores:
d ~Nds
=∂~N∂u
u′ +∂~N∂v
v ′
~t =~α′(t)
‖~α′(t)‖ =~xuu′ + ~xv v ′
IP(~α′(t))
y
sustituimos:
Kn =−1
IP(~α′(t))
(
~Nuu′ + ~Nvv ′
)
·(
~xuu′ + ~xvv ′)
= −(u′)2~Nu · ~xu + u′v ′(~Nv · ~xu + ~Nu · ~xv ) + (v ′)2~Nv · ~xv
IP(~α′(t))
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2a Forma Fundamental. Curvatura normal (III)
Denotando por:
e = −~Nu · ~xu, f = −~Nu · ~xv = −~Nv · ~xu , g = −~Nv · ~xv
llegamos a:
Kn =(u′)2e + 2u′v ′f + (v ′)2g
IP(~α′(t))
Ahora definimos:DEF. La Segunda Forma Fundamental de la superficieregular S en P ∈ S es la forma cuadrática
IIP : TP(S) → TP(S)
~w 7→ IIP(~w) = −(d ~N)(~w) · ~w = (u′)2e + 2u′v ′f + (v ′)2g
siendo ~w = ~xuu′ + ~xvv ′
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2a Forma Fundamental. Curvatura normal (IV)
Interpretación de la 2a Forma Fundamental
IIP(~t(s0)) = −(d ~N)(~t(s0)) ·~t(s0) = ~N(~t(s0)) · k(s0)~n(s0) = Kn
La 2a Forma Fundamental aplicada sobre un vectorunitario ~w ∈ TP(S) nos da la curvatura normal de unac.p.d.r. que pasa por P con vector tangente~t = ~w (en P)
Para un vector cualquiera ~w ∈ TP(S),
Kn =IIPIP
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2a Forma Fundamental. Cálculo de coeficientes
Vamos a ver otra forma de calcular de calcular
e = −~Nu · ~xu, f = −~Nu · ~xv = −~Nv · ~xu , g = −~Nv · ~xv
Dado que ~N =~xu × ~xv
‖~xu × ~xv‖, se cumple que ~N · ~xu = ~N · ~xv = 0
Derivamos esas igualdades respecto a u y a v :
~Nu · ~xu + ~N · ~xuu = 0 ⇒ e = ~N · ~xuu
~Nv · ~xu + ~N · ~xuv = 0 (1)~Nu · ~xv + ~N · ~xvu = 0 (2)~Nv · ~xv + ~N · ~xvv = 0 ⇒ g = ~N · ~xvv
De (1)-(2) se deduce que: −~Nu · ~xv = ~N · ~xuv = −~Nv · ~xu
y además que f = ~N · ~xuv
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Teorema de Meusnier
Todas las curvas contenidas en S que tienen en P ∈ S lamisma tangente, tienen en ese punto la misma curvaturanormal.
Esto nos permite hablar de curvatura normal a lo largo de unadirección en P.
DEF. Dado ~w ∈ TP(S), se llama sección normal de S en P enla dirección de ~w a la intersección de S con el plano quecontiene a ~w y a ~N(P).
Para una sección normal: |Kn| = k
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Direcciones y Curvas asintóticas
DEF. Se llama dirección asintótica de S en P a una direcciónde TP(S) tal que la curvatura normal es 0.
Por tanto las direcciones asintóticas vienen dadas por:
(u′)2e + 2u′v ′f + (v ′)2g = 0
DEF.Una curva o línea asintótica es una curva regular tal queen todo punto su vector tangente es una dirección asintótica.
Su ecuación diferencial es: edu2 + 2fdudv + gdv2 = 0
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Curvaturas principales
DEF. Se denominan curvaturas principales en P a los valoresmáximo (Kn1) y mínimo (Kn2) de la curvatura normal.Se pueden obtener resolviendo la ecuación
(EG − F 2)K 2n + (2Ff − Eg − Ge)Kn + eg − f 2 = 0
Las direcciones en las que la curvatura toma valores extremosse llaman direcciones principales en P.
Para calcularlas se debe resolver:(Ef − Fe)du2 + (Eg − Ge)dudv + (Fg − Gf )dv2 = 0
DEF. Si una curva ~α contenida en S es tal que su vectortangente en todos sus puntos es una dirección principal, sedice que ~α es una línea de curvatura de S.
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Curvatura total y media
DEF. Curvatura total : K = Kn1Kn2 =eg − f 2
EG − F 2
DEF. Curvatura media : H =12(Kn1 + Kn2) =
Eg + Ge − 2Ff2(EG − F 2)
DEF. Se dice que S es una superficie mínima si sus curvasasintóticas son ortogonales o (equivalentemente) si H = 0.
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