statistika - ef.uns.ac.rs · teorija verovatnoće. skup elementarnih događaja = skup svih ishoda...

Statistika

2018/19

Teorija verovatnoće

Slučajne promenljive

Eksperimenti

Ishodi eksperimenata

{Pismo, Grb} {1,2,3,4,5,6}

Teorija verovatnoće

Skup elementarnih događaja = skup svih ishoda nekog eksperimenta

},|{ BABA

},|{ BABA

},|{ AA

Unija događaja A i B:

Presek događaja A i B:

Suprotan događaj za A:

Primer

Kockica se baca jednom. Ako A označava događaj da kockica pokazuje paran broj a B događaj da kockica pokazuje broj manji od 4, odrediti presek i uniju događaja A i B.

}6,4,3,2,1{BA }2{BA

Pojam verovatnoće

• Laplasova (klasična) definicija verovatnoće

• Statistička definicija verovatnoće

• Aksiomatska definicija verovatnoće

• Geometrijska verovatnoća

Laplasova (klasična) definicija verovatnoće

},...,,{ 21 n Konačan skup elementarnih događaja

svaki elementarni događaj ima istu verovatnoću realizacije n

Pp ii

1)(

A

},...,,{21 kiiiA

n

kAP )(

Statistička definicija verovatnoće

n ponavljanja eksperimenta

m uspešnih realizacija

n

mAP )(

Osnovne osobine

1. 2. 3. Verovatnoća unije događaja A i B

1)(0 AP

1)( P

)()()()( BAPBPAPBAP

Nezavisni događaji

Događaji A i B su nezavisni ako važi )()()( BPAPBAP

Kockica se baca dva puta. Koliko iznosi verovatnoća da prvi put pokazuje broj 5 a drugi put broj 2?

Prvo Drugo bacanje

bacanje 1 2 3 4 5 6

1 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36

2 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36

3 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36

4 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36

5 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36

6 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36

36/1)( BAP6/1)( AP

6/1)( BP

Uslovna verovatnoća

0)(,)(

)()|(

BP

BP

BAPBAP

Formula totalne verovatnoće

Potpun sistem događaja nHHH ...21

jiHH ji ,

Formula totalne verovatnoće

Formula totalne verovatnoće

n

i

ii HAPHPAP1

)|()()(

Bajesova formula

A priori verovatnoća

A posteriori verovatnoća

Bajesova formula

• Pretpostavimo da cena akcija raste u 900 dana i pada u 1100. Sa kojom verovatnoćom cena akcija pada?

• Pretpostavimo da raspolažemo sa dodatnim informacijama o kretanju kamatne stope:

• Sa kojom verovatnoćom cena akcija pada ako imamo informaciju da kamatna stopa raste?

Cena Kamatna stopa

akcija Pada Raste

Pada 200 900

Raste 800 100

Permutacije i kombinacije

Permutacije i kombinacije

KOMBINACIJE

PERMUTACIJE )!(

!

kn

nPk

n

)!(!

!

knk

n

k

nC k

n

Permutacije i kombinacije

KOMBINACIJE

PERMUTACIJE

10 načina

60 načina

• Čovek svakog dana čita novine A, B, C, D . Na koliko načina se može odrediti redosled čitanja

a) sve 4 novine,

b) 3 novine,

c) 2 novine,

d) 1 novine?

• Čovek svakog dana čita novine A, B, C, D. Na koliko načina se može izabrati X novina koje će biti pročitane, ako je

a) X = 4,

b) X = 3,

c) X = 2,

d) X = 1,

e) X = 0?

Binomna verovatnoća

• Bernulijeva shema:

n ponavljanja eksperimenta,

posmatra se događaj A,

p - verovatnoća realizacije

Binomna verovatnoća

• Verovatnoća da se prilikom n ponavljanja eksperimenta, k uspešno realizuje

knk ppk

nknp

)1();(

Puasonova verovatnoća

• Granični slučaj binomne verovatnoće kada

i

• U praksi n ≥ 20 i p ≤ 0,05.

n 0p

npmek

mknp m

k

,!

);(

Slučajne promenljive

• Slučajna promenljiva X je preslikavanje koje svakom elementarnom događaju pridružuje realan broj

RX :

Prekidna ili neprekidna slučajna promenljiva?

• Bacanje novčića, elementarnom događaju pridružuje se broj prikazanih grbova.

• Novčić se baca 3 puta, elementarnom događaju pridružuje se broj prikazanih grbova.

• Kockica se baca 2 puta, elementarnom događaju pridružuje se zbir prikazanih brojeva.

• Tačna težina studenta izabranog na slučajan način.

• Tačno vreme provedeno na pauzi. • Tačan broj sekundi potrebnih da se popuni

anketa.

Prekidne slučajne promenljive

,...},{ 21 xxRX

kk pxXP )(

...

...

2

2

1

1

p

x

p

xX

1)( XRXP

10 kp

Skup mogućih vrednosti slučajne promenljive

Verovatnoća sa kojom slučajna promenljiva X “uzima” vrednost xk

Osobine:

Zakon raspodele slučajne promenljive X:

Novčić se baca 3 puta, elementarnom događaju pridružuje se broj prikazanih grbova.

Zakon raspodele slučajne promenljive:

81

83

83

81

3210X

Transformacije slučajnih promenljivih

Odrediti:

• Y1 = X + 1

• Y2 = 2X

• Y3 = 2X + 1

• Y4 = X2 + 1

31

31

31

101:X

Matematičko očekivanje prekidne slučajne promenljive

n

i

ii pxXE1

)(

Vrednost koja se u proseku može očekivati nakon velikog broja eksperimenata

Matematičko očekivanje prekidne slučajne promenljive

• Osobine:

1.

2.

3.

4. Za nezavisne X, Y

n

i

ii pxXE1

)(

CCE )(

)()( XEXE

)()()( YEXEYXE

)()()( YEXEYXE

Varijansa prekidne slučajne promenljive

2222 ))(()(]))([()( XEXEXEXEXVarX

Očekivano kvadratno odstupanje oko prosečne vrednosti (E(X)) slučajne promenljive

Varijansa prekidne slučajne promenljive

• Osobine:

1.

2.

3. Za nezavisne X, Y

2222 ))(()(]))([()( XEXEXEXEXVarX

0)( CVar

)()( 2 XVarXVar

)()()( YVarXVarYXVar

Diskretna uniformna slučajna promenljiva

k

k

kk

xxxX

11

2

1

1

...

...

Realizacija svakog ishoda eksperimenta je podjednaka

2)( minmax xx

XE

12

1)1()(

2

minmax

xxXVar

Osobine:

Diskretna uniformna slučajna promenljiva

k

k

kk

xxxX

11

2

1

1

...

...

Realizacija svakog ishoda eksperimenta je podjednaka

2)( minmax xx

XE

12

1)1()(

2

minmax

xxXVar

Osobine:

Bernulijeva slučajna promenljiva

Eksperiment

Uspešan Neuspešan

ppX

1

1

0

Osobine:

pXE )(

)1()( ppXVar

Binomna slučajna promenljiva

Elementarni događaj iz Bernulijeve šeme

Broj realizacija eksperimenta

011

1

0

0

......10

qnpn

nknqkpk

nnqpnnqp

n

nkX

npXE )(

Osobine:

)1()( pnpXVar

Binomna slučajna promenljiva

Elementarni događaj iz Bernulijeve šeme

Broj realizacija eksperimenta

011

1

0

0

......10

qnpn

nknqkpk

nnqpnnqp

n

nkX

npXE )(

Osobine:

)1()( pnpXVar

Binomna slučajna promenljiva

Elementarni događaj iz Bernulijeve šeme

Broj realizacija eksperimenta

011

1

0

0

......10

qnpn

nknqkpk

nnqpnnqp

n

nkX

npXE )(

Osobine:

)1()( pnpXVar

Puasonova slučajna promenljiva

Granični slučaj binomne slučajne promenljive za veliki broj eksperimenata i malu verovatnoću realizacije eksperimenta:

kk

ek

mkXP

!)(

mXE )(

Osobine:

mXVar )(

Neprekidne slučajne promenljive

Funkcija gustine fX:

Dxxf ,0)(.1

1)(.2 D

dxxf

b

a

dxxfbXaP )()(.3

Nenegativna na oblasti definisanja

Ukupna površina ispod funkcije gustine iznosi 1

Verovatnoća da X “uzme” neku vrednost u intervalu [a,b]

Matematičko očekivanje neprekidne slučajne promenljive

• Osobine:

1.

2.

3.

4. Za nezavisne X, Y

CCE )(

)()( XEXE

)()()( YEXEYXE

)()()( YEXEYXE

dttftXE X )()(

Varijansa neprekidne slučajne promenljive

• Osobine:

1.

2.

3. Za nezavisne X, Y

2222 ))(()(]))([()( XEXEXEXEXVarX

0)( CVar

)()( 2 XVarXVar

)()()( YVarXVarYXVar

Uniformni raspored

,),,(: babaUX

],[,0

],[,1

)(

bax

baxabxfX 2

)(ba

XE

12

)()(

2abXVar

Osobine:

Uniformni raspored

,),,(: babaUX

],[,0

],[,1

)(

bax

baxabxfX

]3,1[,0

]3,1[,2

1

)(

x

xxfX

]2

11,1[,0

]2

11,1[,2

)(

x

xxf X

2)(

baXE

12

)()(

2abXVar

Osobine:

Osobine: 1. Funkcija gustine ima oblik simetričnog zvona 2. Raspored je simetričan u odnosu na x = µ, 3. α3 = 0, α4 = 3. 4.

Normalan raspored

0,),,(: 22 RX Ν

Rxexf

mx

X

,2

1)(

2

21

2

)(XE 2)( XVar

Osobine: 1. Funkcija gustine ima oblik simetričnog zvona 2. Raspored je simetričan u odnosu na x = µ, 3. α3 = 0, α4 = 3. 4.

Normalan raspored

0,),,(: 22 RX Ν

Rxexf

mx

X

,2

1)(

2

21

2

)(XE 2)( XVar

Normalan raspored

0,),,(: 22 RX Ν

Rxexf

mx

X

,2

1)(

2

21

2

Normalan raspored

0,),,(: 22 RX Ν

Rxexf

mx

X

,2

1)(

2

21

2

Standardizovan normalan raspored

)1,0(:NZ

Rxexfx

X

,2

1)( 2

2

0)( ZE 1)( ZVar

Osobine:

Standardizovan normalan raspored

)1,0(:NZ

Rxexfx

X

,2

1)( 2

2

hi-kvadrat raspored

riZi ,...,1),1,0(: N

22

2

2

1

2 ... rr ZZZ

nezavisne slučajne promenljive

rE r )( 2 rVar r 2)( 2

Osobine:

hi-kvadrat raspored

riZi ,...,1),1,0(: N

22

2

2

1

2 ... rr ZZZ

nezavisne slučajne promenljive

rE r )( 2 rVar r 2)( 2

Osobine:

i nezavisne slučajne promenljive

Studentov t – raspored

)1,0(:NZ2

r

r

rr

Zt

2

Osobine: 1. Funkcija gustine je simetrična, 2. Raspored je simetričan u odnosu na t = 0, 3. α3 = 0, 4. 0)( rtE

2)(

r

rtVar r

i nezavisne slučajne promenljive

Studentov t – raspored

)1,0(:NZ2

r

r

rr

Zt

2

Osobine: 1. Funkcija gustine je simetrična, 2. Raspored je simetričan u odnosu na t = 0, 3. α3 = 0, 4. 0)( rtE

2)(

r

rtVar r

i nezavisne slučajne promenljive

Studentov t – raspored

)1,0(:NZ2

r

r

rr

Zt

2

i nezavisne slučajne promenljive

Studentov t – raspored

)1,0(:NZ2

r

r

rr

Zt

2

i nezavisne slučajne promenljive

Snedekorov F – raspored

22 nm

n

mnm

n

m

F2

2

,

2)( ,

n

nFE nm

)4()2(

)2(2)(

2

2

,

nnm

nmnFVar nm

Osobine:

Slučajna promenljiva X

X1, X2,..., Xn, nezavisne slučajne promenljive sa istom očekivanom vrednošću µ i varijansom σ2

n

X

X

n

i

i 1

Osobine:

)(XE

nXVar

2

)(

nX

Primer

Godine starosti kod 5 osoba su 18, 20, 22, 24, 26. a) Odrediti zakon raspodele ove populacije, očekivanu vrednost i standardnu devijaciju. b) Formirati sve uzorke sa ponavljanjem veličine 2 i odrediti aritmetičke sredine uzoraka. c) Odrediti očekivanu vrednost i standardnu devijaciju rasporeda aritmetičkih sredina uzoraka.

a)

2,0

26

2,0

24

2,0

22

2,0

20

2,0

18X

22)( XE

22X

Uzorci za n = 2: 18 18 18 18 20 19 18 22 20 18 24 21 18 26 22 20 18 19 20 20 20 20 22 21 20 24 22 20 26 23 22 18 20 22 20 21 22 22 22 22 24 23 22 26 24 24 18 21 24 20 22 24 22 23 24 24 24 24 26 25 26 18 22 26 20 23 26 22 24 26 24 25 26 26 26

b)

x

xi: 18 19 20 21 22 23 24 25 26 fi: 1 2 3 4 5 4 3 2 1

c)

xi: 18 19 20 21 22 23 24 25 26 fi: 1 2 3 4 5 4 3 2 1

04,0

26

08,0

25

12,0

24

16,0

23

20,0

22

16,0

21

12,0

20

08,0

19

04,0

18X

c)

22)( XE

2X

Polazni podaci: xi: 18 20 22 24 26 fi: 1 1 1 1 1

n = 2 xi: 18 19 20 21 22 23 24 25 26 fi: 1 2 3 4 5 4 3 2 1

n = 3 xi: 18.0 18.7 19.3 20.0 20.7 21.3 22.0 22.7 23.3 24.0 24.7 25.3 26.0 fi: 1 3 6 10 15 18 19 18 15 10 6 3 1

Polazni podaci:

n = 2

n = 3

2,0

26

2,0

24

2,0

22

2,0

20

2,0

18X

04,0

26

08,0

25

12,0

24

16,0

23

20,0

22

16,0

21

12,0

20

08,0

19

04,0

18X

008,0

26

024,0

33,25

048,0

67,24

08,0

24

12,0

33,23

144,0

67,22

152,0

22

144,0

33,21

12,0

67,20

08,0

20

048,0

33,19

024,0

67,18

008,0

18X

Slučajna promenljiva

Broj realizacija događaja A, u n nezavisnih eksperimenata ima Binomni raspored sa parametrima n i p = p(A). X - broj uspešnih realizacija eksperimenta

Osobine:

p̂

n

Xp ˆ

ppE )ˆ(

n

pppVar

)1()ˆ(

n

ppp

)1(ˆ

Centralna granična teorema

Neka su X1, X2,..., Xn, slučajne promenljive, sa istom očekivanom vrednošću µ i varijansom σ2. Označimo sa i . Kada distribucija slučajne promenljive

teži ka slučajnoj promenljivoj sa standardizovanim normalnim rasporedom.

n

i

iXX1

n

i

inXX

1

1 n

n

X

n

nXZ

22