simetria esferica
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SIMETRIA ESFERICA
Metrica de Schwarzschild
¶ Rotaciones en torno al origen de E3
~x −→ R~x (Rik xk) , δijR
ikRj
l = δkl
⇒ ~x · ~y −→ (R~x) · (R~y) = δijRikxkRj
l yl
= δklxkyl = ~x · ~y
¶ Metrica con simetrıa esferica en coordenadas“cuasicartesianas” (t, ~x)
ds2 = gαβ dxα dxβ = F (t, r) dt2 + 2E(t, r) dt (~x · d~x)
+ D(t, r)(~x · d~x )2 + C(t, r) (d~x · d~x)
siendo
r2 = ~x · ~x = δij xi xj
~x · d~x = δij xi dxj
d~x · d~x = δij dxi dxj
• Coordenadas esfericas asociadas a las coordenadas“cuasicartesianas”
xi −→ r, θ, ϕ :
x + iy = r sinθ eiϕ
z = r cos θ
⇒
~x · d~x = r dr
d~x · d~x = dr2 + r2dΩ2
1
dΩ2 ≡ dθ2 + sin2θ dϕ2
⇒ ds2 = F (t, r) dt2 + 2rE(t, r) dt dr
+ H(t, r) dr2 + r2C(t, r) dΩ2
• Condicion de esfera euclıdea
t, r −→ t, r : r2 = r2C(t, r)
⇒ ds2 = A(t, r) dt2 + 2B(t, r) dt dr
+ K(t, r) dr2 + r2 dΩ2
• Condicion de metrica diagonal
t, r −→ t, r : dt = f(t, r)[A(t, r) dt + B(t, r) dr
]
⇒ ds2 = −e2 ν(t,r) dt2 + e2 λ(t,r) dr2 + r2dΩ2 ♣ ♣
habiendo suprimido las tildes
¶ Tensor de Ricci y ecuaciones de Einstein
(MATHEMATICA + J. M. A.)
R00 =2rν′e2(ν−λ) + (ν′′ − λ′ν ′ + ν ′2)e2(ν−λ)
− (λ − λν + λ2)
R01 =1rλ
2
R11 =2rλ′ − (ν′′ − λ′ν ′ + ν ′2)
+ (λ − λν + λ2)e2(λ−ν)
R22 = e−2λ(−1 + e2λ + rλ′ − rν′)
R33 = R22 sin2θ
• Ecuaciones de Einstein de vacıo
Rαβ = 0
λ = 0 ⇒ λ(r) ♣
ν′′ − λ′ν′ + ν′2 +2rν′ = 0
ν′′ − λ′ν′ + ν′2 − 2rλ′ = 0
⇒ λ + ν = f(t) ♣
r(λ′ − ν ′) + e2λ − 1 = 0
y efectuando un cambio de coordenada temporal
ν = −λ(r) (!! Teorema de Birchoff !!) ♣
⇒
ν′′ + 2ν′2 +2rν′ = 0
− 2rν ′ + e−2ν − 1 = 0 (integral de la anterior)
⇒ 2rν′e2ν + e2ν = 1 ⇒d
dr(re2ν) = 1
⇒ re2ν = r − 2m ,(
limr→∞
e2ν = 1)
♣
3
• Metrica de Schwarzschild
⇒ ds2 = −(
1 − 2m
r
)c2dt2 +
1
1 −2mr
dr2 + r2dΩ2 ♣ ♣
g00 ' −1 − 2Φc2 , Φ = −G M
r
⇒ m =G M
c2♣ ♣
? Coordenadas esfericas asociadas a armonicas
r −→ r = r − m (solucion particular)
⇒ ds2 = − r − m
r + mdt2 +
r + m
r − mdr2 + (r + m)2dΩ2
Repaso del problema de Kepler newtoniano
• Conservacion de la energıa y del momento angular (por unidad demasa)
E =12(r2 + r2θ2 + r2 sin2θϕ2) −
GM
r
~J = ~x ∧ ~v ⇒ ~x · ~J = 0
• Eleccion del plano θ = π/2
E =12(r2 + r2ϕ2) − GM
r
J = r2ϕ (⇒ A = J/2)
4
• Potencial efectivo
E =12r2 + Φef (r) , Φef(r) ≡ J2
2r2 − GM
r
• Ecuaciones de la trayectoria
r2 = 2E − J2
r2 +2GM
r
ϕ =J
r2
⇒ dϕ =J/r2
√2[E − Φef (r)
] dr
(puntos de retroceso)
• Ecuacion de la orbita
(du
dϕ
)2
+ u2 =2J2 (E + GM u) , u ≡
1r
⇒ u =1p
[e cos(ϕ − ϕ0) + 1
]♣
p ≡ J2
GM
e2 ≡ 1 +2pE
GM≥ 0 ,
(E ≥ −
GM
2p
)
• Ecuacion de segundo orden de la orbita (Binet)
d2u
dϕ2 + u =GM
J2
5
Problema de Kepler relativista
¶ Geodesicas de Schwarzschild
d2t
dσ2 + 2ν′ dt
dσ
dr
dσ= 0
d2r
dσ2 + ν′e4ν
(dt
dσ
)2
− ν′(
dr
dσ
)2
− re2ν
[(dθ
dσ
)2
+ sin2θ
(dϕ
dσ
)2]
= 0
d2θ
dσ2 +2r
dr
dσ
dθ
dσ− sin θ cos θ
(dϕ
dσ
)2
= 0
d2ϕ
dσ2 +2r
dr
dσ
dϕ
dσ+ 2cotg θ
dθ
dσ
dϕ
dσ= 0
• Eleccion del “plano” θ = π/2
(cos θ)0 =(
dθ
dσ
)
0= 0 ⇒
(d2θ
dσ2
)
0= 0 ⇒ θ =
π
2
⇒
e2ν dt
dσ= h
r2 dϕ
dσ= l
♣
⇒(
dr
dσ
)2
+ e2ν
(ε +
l2
r2
)= h2 ♣
ε = 1 : particulas materiales (σ = τ)
ε = 0 : fotones
6
• Interpretacion de las constantes (ε = 1)
? Energıa por unidad de masa (caso estacionario)
c2 + E = −c2w0 = −c2g0αwα = c2e2ν dt
dτ
⇒ h = 1 +E
c2 ♣
? Momento angular por unidad de masa (simetrıa azimutal)
J = w3 = g3αwα = r2 dϕ
dτ
⇒ J = l ♣
¶ Potencial efectivo
⇒(
dr
dσ
)2
+(
1 − 2m
r
) (ε +
J2
r2
)
︸ ︷︷ ︸potencial efectivo
= h2 ♣
• Partıculas materiales
F (x) =(
1 −1x
) (1 +
q2
x2
)
x ≡ r
2m> 1
q ≡ J
2m
? Asıntotas y cortes
x → 0 ⇒ F → −∞
x → ∞ ⇒ F → 1−
x = 1 ⇒ F = 0
7
F ′(x) =1x4 (x2 − 2q2x + 3q2)
⇒
x → 0 ⇒ F ′ → ∞
x → ∞ ⇒ F ′ → 0
x = 1 ⇒ F ′ = 1 + q2
? Maximos y mınimos
♠ F ′(x) : x2 − 2q2x + 3q2 = 0
⇒ x± = q2(1 ±
√1 − 3/q2
), (q2 ≥ 3) ♣
♠ F ′′(x) = − 4x5 (x2 − 2q2x + 3q2) +
2x4 (x − q2)
⇒ F ′′(x±) = ± 2x4
±
√1 − 3
q2
+ : minimo
− : maximo
? Discusion
1) Si q2 < 3 la funcion es monotona creciente (no hay maximos nimınimos) y solo puede haber estados “espirales”.
2) Si q2 = 3 aparece un punto de inflexion en x = 3 ⇒ r = 6m , quese corresponde con una orbita circular semiestable para el valor F = 4/3de la “energıa”. Los demas valores de la energıa dan lugar a estados“espirales”.
3) Si 3 < q2 ≤ 4 aparecen ya un maximo y un mınimo, que secorresponden, respectivamente, con una orbita circular inestable y otraestable. Para los otros valores de la energıa puede haber unicamenteestados ligados (en el valle) o estados “espirales”. Para q2 = 4 el maximoes tangente a la asıntota horizontal.
8
4) Si q2 > 4 y la energıa esta comprendida entre 1 y el valor delmaximo se producen estados de difusion.
5) Cuando q2 crece mucho el mınimo desaparece en el infinito, ycon el los estados ligados, ya que
x± =3
1 ∓√
1 − 3/q2
• Fotones
F (x) =(
1 − 1x
)q2
x2
? Asıntotas y cortes
x → 0 ⇒ F → −∞
x → ∞ ⇒ F → 0+
x = 1 ⇒ F = 0
F ′(x) =q2
x4 (3 − 2x)
⇒
x → 0 ⇒ F ′ → ∞
x → ∞ ⇒ F ′ → 0
x = 1 ⇒ F ′ = q2
? Maximos y mınimos
♠ F ′(x) : 3 − 2x = 0
⇒ xM =32
♣
♠ F ′′(x) = −4q2
x5 (3 − 2x) − 2q2
x4
9
⇒ F ′′(xM ) = −2q2
x4M
< 0 : maximo
? Discusion
1) Existe una orbita circular inestable (estado “ligado”) para x =3/2 ⇒ r = 3m
2) Si la “energıa” supera el valor F = 4q2/27 (maximo) solo hayestados “espirales”.
3) Por debajo del valor anterior puede haber estados de difusion (ala derecha del maximo) o estados “espirales” (a la izquierda del maximo)
• Ecuacion de la orbita (segundo orden: Binet)
u =1r
⇒ du = − 1r2 dr
dσ =r2
Jdϕ
⇒ J2(
du
dϕ
)2
+ (1 − 2mu)(ε + J2u2) = h2
⇒ J2 d2u
dϕ2 − m(ε + J2u2) + (1 − 2mu)J2u = 0
⇒ d2u
dϕ2 + u = εc2m
J2 + 3mu2 ♣ ♣
Avance del perihelio de Mercurio
d2u
dϕ2 + u =GM
J2 : Binet newtoniana
d2u
dϕ2 + u =GM
J2 + 3GM
c2 u2 : Binet relativista
10
k ≡3GMu2/c2
GM/J2 = 3(
Ju
c
)2
= 3(
r dϕ
c dτ
)2
=3 v2
ϕ/c2
1 − v2/c2
kM ∼ 10−7
d2u
dϕ2 + u =GM
J2 + λJ2
GMu2 ,
(λ ≡
3G2M2
c2J2
)
u = u(0) + λu(1) + O(λ2)
⇒
u(0) ≡ uN =GM
J2 (1 + e cos ϕ)
d2u(1)
dϕ2 + u(1) =GM
J2 (1 + e cos ϕ)2
⇒ u ' GM
J2 (1 + e cos ϕ)
+ λGM
J2
[1 + e ϕ sin ϕ +
e2
3(1 + sin2 ϕ)
]
y despreciando los terminos no seculares
u ' GM
J2 (1 + e cos ϕ + λ e ϕ sinϕ)
⇒ u 'GM
J2 [1 + e cos(ϕ − β)]
β ≡ λ ϕ =3G2M2
c2J2 ϕ =3GM
c2a(1 − e2)ϕ ♣
11
⇒ β2π =6πGM
c2a(1 − e2)=
24π3a2
c2T 2(1 − e2)♣ ♣
Datos :
2m¯ = 2, 95 × 105 cm
Mercurio :
a = 5, 8 × 1012 cm
e = 0, 2056
T = 87, 97 dias
Planeta GR Observacion
Mercurio 43, 03 43, 11 ± 0, 45
Venus 8, 6 8, 4 ± 4, 8
Tierra 3, 8 5, 0 ± 1, 2
Icaro 10, 3 9, 8 ± 0, 8
(arcosegundos por siglo)
Deflexion de la luz por el Sol
• Ecuacion de la orbita
d2u
dϕ2 + u = 3GM
c2 u2
u = u(0) + mu(1) + O(m2) ,
(m ≡ GM
c2
)
• Orden cero
d2u(0)
dϕ2 + u(0) = 0
⇒ u(0) =1b
cos ϕ ♣
12
• Orden uno
d2u(1)
dϕ2 + u(1) =3b2
cos2 ϕ
⇒ u(1) =1b2 (1 + sin2 ϕ) ♣
• Solucion aproximada al orden uno
u '1b
cos ϕ +GM
c2b2(1 + sin2 ϕ) ♣ ♣
1) La orbita es simetrica respecto del eje polar
2) Asıntotas:
u = 0 ⇒ cos ϕ +m
b(2 − cos2 ϕ) = 0
cos ϕ ¿ 1 ⇒ m cos ϕ ' 0
⇒ cos ϕ = −2m
b,
(2mb
¿ 1)
⇒ ϕ = ±(
π
2+
2m
b
)
La desviacion de la luz sera, pues:
δϕ =4GM
c2b♣ ♣
2m¯ = 2, 95 × 105 cm
R¯ = 6, 96 × 108 m
⇒ δϕ = 1, 75 arcosegundos
• Calculo “newtoniano”
• Lentes gravitatorias
13
Retraso del eco de radar
• Ecuacion de la trayectoria (fotones)
e2ν dt
dσ= h
(dr
dσ
)2
+ e2ν J2
r2 = h2
⇒(
dr
dt
)2
= e2ν
(1 − J2/h2
r2 e2ν
)
J2
h2 −→ r0 : 1 − J2/h2
r2 e2ν = 0
(r0: coordenada radial mınima)
⇒ J2/h2
r20
=1
1 − 2m/r0
⇒(
dr
dt
)2
= (1 − 2m/r)(
1 − r20
r2
1 − 2m/r
1 − 2m/r0
)♣
• Tiempo coordenado de vuelo desde r a r0
t(r, r0) =∫ r0
r
(1 − 2m/r)−1[1 − r2
0
r2
1 − 2m/r
1 − 2m/r0
]− 12
dr
] (1 − 2m/r)−1 = 1 +2m
r+ O(m2)
]1 − 2m/r
1 − 2m/r0= 1 + 2m
(1r0
− 1r
)+ O(m2)
]
[1 −
r20
r2
1 − 2m/r
1 − 2m/r0
]− 12
=(
1 −r20
r2
)12
×
×[1 + m
r0
r(r + r0)+ O(m2)
]
14
⇒ t(r, r0) '∫ r0
r
(1 −
r20
r2
)− 12[1 + 2m
1r
+ mr0
r(r + r0)
]dr
⇒ t(r, r0) '√
r2 − r20
+ 2m logr +
√r2 − r2
0
r0+ m
√r − r0
r + r0︸ ︷︷ ︸retraso
♣
• Tierra–Venus en conjuncion superior (ida y vuelta)
∆tret ≡ 2[tret(r⊕, R¯) + tret(rV , R¯)
]
⇒ ∆tret ' 4m
(1 + log
4rV r⊕
R2¯
)
' 220µs (sobre un total de 1300 s) ♣
? Corona solar y topografıa de Venus
? Viking Lander y Viking Orbiter en Marte (1979)
Avance del periastro de PSR 1913+16
• Datos astronomicos
Constelacion : Aguila
AR = 19h 3 min
δ = 16o Norte (positiva)
D = 5 kpc
15
• Datos del pulsar (reloj)
dp = 8 ms
Tp = 59 ms , (Tp = 10−18 s/s)
Ωs = 17 rps
• Datos del sistema doble (1: pulsar; 2: companero)
M1,2 ' 1, 4 M¯ , (R1,2 ' 20 km)
a1 ' 3, 122 seg.−luz , i ' 49, 46o
e = 0, 617127 (3)
T ' 7 h 45 min , β = 4, 2263 (3)o/ano
∆T ' −14 s/20 anos
16
Soluciones interiores estaticasy con simetrıa esferica
• Metrica y tensor de Ricci
⇒ ds2 = −e2 ν(r) dt2 + e2 λ(r) dr2 + r2dΩ2
dΩ2 ≡ dθ2 + sin2θ dϕ2
R00 = e2(ν−λ)[2rν′ + (ν′′ − λ′ν ′ + ν′2)
]
R11 =2rλ′ − (ν ′′ − λ′ν′ + ν ′2)
R22 = e−2λ(−1 + e2λ + rλ′ − rν ′)
R33 = R22 sin2θ
• Tensor de Einstein
Sαβ ≡ Rαβ − 12Rgαβ , (R ≡ gαβRαβ)
R = −e−2 νR00 + e−2 λR11 +2r2 R22
=2r2 e−2 λ
[e2 λ − 1 + 2r(λ′ − ν′)
− r2(ν′′ − λ′ν ′ + ν ′2)]
17
S00 = e2(ν−λ)[
1r2 e2λ − 1
r2 +2rλ′
]
S11 = − 1r2 e2λ +
1r2 +
2rν′
S22 = e−2λ[− r(λ′ − ν ′) + r2(ν′′ − λ′ν′ + ν ′2)
]
S33 = S22 sin2θ
• Tensor de energıa–momento (fluido perfecto)
Tαβ = ρuαuβ + p (gαβ + uαuβ)
ρ(r) , p(r) , (uα) = (u0, 0, 0, 0)
gαβuαuβ = −1 ⇒ u0 = 1/√
−g00 = e−ν
u0 = g0αuα = −√
−g00 = −eν , ui = giαuα = 0
⇒
T00 = ρ e2ν
T11 = p e2λ,
T22 = p r2
T33 = p r2 sin2θ = T22 sin2θ
• Ecuaciones de Einstein
Sαβ = χTαβ , (χ = 8πG)
1r2 +
1re−2λ
(2λ′ − 1
r
)= 8πG ρ (E T)
− 1r2 +
1re−2λ
(2ν′ +
1r
)= 8πGp (E R)
e−2λ[ν′′ − λ′ν ′ + ν ′2 − 1
r(λ′ − ν′)
]= 8πGp (EA)
18
• Ecuacion “temporal” (ET)
1r2
d
dr
[r(1 − e−2λ)
]= 8πGρ
r(1 − e−2λ) = 8πG
∫ r
0ρ(r) r2 dr
⇒ e−2λ = 1 − 2m(r)r
♣
m(r) ≡ GM (r) ,[r ≥ 2m(r)
]
M(r) ≡ 4π
∫ r
0ρ(r) r2 dr ,
[M(0) = 0
]¶
⇔dm
dr= 4πGr2ρ(r) (GRM)
? Masa de Schwarzschild (ρ = 0 para r > r0)
MSch = 4π
∫ r0
0ρ(r) r2 dr
? Masa propia
MP = 4π
∫ r0
0ρ(r)
[1 − 2m(r)
r
]− 12
r2 dr
? Energıa de enlace
EB = MP − MSch > 0
• Ecuacion “radial” (E R)
dν
dr=
(χr2p + 1)e2λ − 12r
19
⇒dν
dr=
m(r) + 4πGr3p
r[r − 2m(r)](GRP)
que es la version GR, para este caso, de la ecuacion de Poisson (Φ ∼ln ξ ; ξ =
√−g00 = eν).
? Lımite newtoniano:
r3p ¿ m(r)
m(r) ¿ r⇒ dν
dr' m(r)
r2
• Ecuacion “angular” (E A)
(sustitucion y calculo directo)
dp
dr= −m(r) + 4πGr3p
r[r − 2m(r)](ρ + p) (TOV) ♣ ♣
que es la ecuacion de Tolman–Oppenheimer–Volkoff, generalizacion rela-tivista de la ecuacion newtoniana del equilibrio hidrostatico:
p ¿ ρ
m(r) ¿ r⇒ dp
dr' −m(r)ρ
r2
Notemos el doble papel que juega la presion en RG por lo que re-specta al equilibrio. Por un lado “sostiene” la estrella y por el otro“contribuye” al colapso. En RG es “mas difıcil” el equilibrio.
• Ecuacion de estado
p = p(ρ, s, cq) :
s = entropia por nucleon
cq = composicion quimica
? Hipotesis:
s, cq = Ctes ⇒ p = p(ρ) (EEI)
20
? Tipos de estrellas] Enanas blancas] Estrellas de neutrones] Estrellas supermasivas
• Obtencion de configuraciones de equilibrio
1) Resolucion de las ecuaciones:
(EEI) : p = p(ρ)
(GRM) :dm
dr= 4πGr2ρ(r)
(TOV) :dp
dr= −
m(r) + 4πGr3p
r[r − 2m(r)](ρ + p)
con las condiciones “iniciales” y de “contorno”:
m(0) = 0 , ρ(0) = ρc
p(r0) = ρ(r0) = 0
2) Resolucion de la ecuacion:
(GRP) :dν
dr=
m(r) + 4πGr3p
r[r − 2m(r)]con la condicion de enlace con Schwarzschild en la superficie de la estrella(r = r0):
e2ν(r0) = 1 − 2m(r0)r0
Modelo de estrella con densidad constante.Solucion interior de Schwarzschild
• Ecuacion de estado
(EEI) : ρ = Cte ♣ ♣
21
• Resolucion de la ecuacion GRM
m(r) = 4πGρ
∫ r
0r2dr =
43πGρr3 ♣
⇒ e−2λ = 1 −83πGρ r2 = 1 −
r2
L2 ♣
L2 ≡ 3/8πGρ
r ≤ r0 < L
• Resolucion de la ecuacion TOV
dp
dr= −
4πGr(p + ρ/3)1 − r2/L2 (p + ρ)
⇒dp
(p + ρ/3)(p + ρ)= −4πG
dr
1 − r2/L2
⇒ 32ρ
log(
Kp + ρ/3p + ρ
)= 2πGL2 log(1 − r2/L2)
⇒ Kp + ρ/3p + ρ
= (1 − r2/L2)12
p(r0) = 0 ⇒ K = 3(1 − r20/L2)
12
⇒ p(r) = ρ(1 − r2/L2)
12 − (1 − r2
0/L2)12
3(1 − r20/L2)
12 − (1 − r2/L2)
12
♣
⇒ p(0) ≡ pc = ρ1 − (1 − r2
0/L2)12
3(1 − r20/L2)
12 − 1
♣
22
⇒ 3(1 − r20/L2)
12 − 1 > 0
⇒r20
L2 <89
⇔GM
r0<
49
♣ ♣
? Lımite newtoniano (GM ¿ r0):
pc =14ρ
2GM
c2r0+ O
[(2GM/c2r0
)2]
⇒ pc '23πGρ2r2
0 < +∞
es decir, en el caso newtoniano el equilibrio se puede conseguir paracualquier valor de ρ y r0 elevando suficientemente la presion en el centro.
• Resolucion de la ecuacion GRP
dν
dr=
4πGr
1 − r2/L2
(ρ
3+ p
)
⇒dν
dr=
r
L2γ1/2(r)1
3γ1/2(r0) − γ1/2(r)
γ(r) ≡ 1 −r2
L2
⇒ ν(r) = log[3γ1/2(r0) − γ1/2(r)
]+ log K
⇒ e2ν(r) =[3γ1/2(r0) − γ1/2(r)
]2♣
habiendo impuesto:
e2ν(r0) = 1 − 2m(r0)r0
23
• Energıa de enlace
? Masa propia
MP = 4πρ
∫ r0
0
r2dr√1 − r2/L2
= 4πρ
∫ α0
0sin2 αdα
(sinα0 ≡ r0/L)
⇒ MP = 2πρL3
[arcsin
r0
L−
r0
L
(1 −
r20
L2
)1/2]
⇒ MP =43πr3
0ρ︸ ︷︷ ︸M
Sch
[1 +
310
r20
L2 + O
(r40
L4
)]
⇒ EB = MP − MSch = MSch
[310
r20
L2 + O
(r40
L4
)]♣
⇒ EB ' 43πr3
0ρ310
r20
3/8πGρ=
1615
π2Gr5oρ
2 ♣ ♣
? Energıa de enlace clasica
Φ(r) = −G43πr3ρ
r= −
43πGr2ρ
⇒ dE(r) =[0 − Φ(r)
]4πr2ρdr =
163
π2Gρ2r4dr
⇒ EB =∫ r0
0dE =
1615
π2Gr5oρ
2 ♣ ♣
24
• Modelo completo. Condiciones de enganche
? Interior (r ≤ r0 < L)
ds2 = −[32
γ1/2(r0) − 12
γ1/2(r)]2
c2dt2
+ γ−1(r)dr2 + r2dΩ2
γ(r) ≡ 1 −r2
L2 = 1 −83πGρ r2
? Exterior (r ≥ r0 > 2GMS )
ds2 = −(
1 − 2GMS
r
)c2dt2
+(
1 −2GMS
r
)−1
dr2 + r2dΩ2
MS ≡43πρ r3
0
? Continuidad a traves de Σ : r = r0
] gItt(r0) = − γ(r0) , gE
tt(r0) = − γ(r0)
⇒[gtt
]Σ = 0 ♣
] gIrr(r0) = γ−1(r0) , gE
rr(r0) = γ−1(r0)
⇒[grr
]Σ = 0 ♣
25
]
∂rgItt(r0) =
12γ ′(r0) = −
83πGρ r0
∂rgEtt(r0) = −
83πGρ r0
⇒[∂rgtt
]Σ = 0 ♣
]
∂rgIrr(r0) =
163
πGρ r0
(1 −
83πGρ r2
0
)−2
∂rgErr(r0) = −8
3πGρr0
(1 − 8
3πGρr2
0
)−2
⇒[∂rgrr
]Σ 6= 0 ♣
es decir, de manera generica
[gαβ
]Σ = 0 ⇒
[∂agαβ
]Σ = 0
[∂rgab
]Σ = 0
[∂rgrβ
]Σ 6= 0
(a, b, . . . = t, θ, ϕ)
que son las condiciones de enganche (enlace) denominadas de O’Brien–Singe.
26
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